Методы решения иррациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Метод замены функций"

Конспект урока по алгебре
в 11 классе по теме
"Методы решения иррациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Метод замены
функций"
Цели урока:
 Образовательные: проверка усвоения тем на обязательном уровне; изучение нестандартных методов решения
неравенств, отработка навыков решения неравенств.
 Развивающие: продолжить развитие умений и навыков самостоятельного пополнения знаний; развитие умения
сопоставить факты, способность переводить теоретические знания в практические навыки.
 Воспитательные: формирование таких качеств знаний, как прочность, глубина, оперативность;
воспитание у
учащихся культуры поведения, добросовестного отношения к учебному труду, сопереживания успехам и неудачам
товарищей, формирование навыков адекватной самооценки деятельности.
Тип урока: урок изучения нового материала с компьютерной поддержкой.
Используемые технологии: дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, коллективная, групповая, парная
Оборудование:
 презентация,
 компьютер,
 проектор,
 интерактивная доска,
 карточки с тестовыми заданиями,
 диагностические карты.
Образовательные результаты, которые будут достигнуты учащимися
1. Смотр знаний по свойствам с самопроверкой покажет знания учащихся свойств функции, наличие адекватной
самооценки деятельности.
2. Спланированное обобщение систематизирует знания, закрепит навыки выполнения заданий, способствует развитию
математического мышления и речи.
3. Разнообразие форм работы на уроке способствует формированию умения применять знания в новой ситуации.
4. Использование интерактивных средств обучения развивает интерес к математике и мультимедиа, активизирует и
мобилизует, формирует восприятие компьютера и интерактивной доски, беспроводного планшета, как инструмента
обучения.
Ход урока:
Этап урока
Деятельность педагога
Деятельность учащихся
Организация начала урока
Учащимся сообщается тема урока и цели,
подчеркивается актуальность повторения данной
темы для подготовки к ЕГЭ.
Обеспечение
комфортных
условий для работы на уроке:
создание
благоприятной
Слайды 1-3
Время
работы
1 мин
Девиз урока: "Усердие всё превозмогает".
психологической
атмосферы,
настрой на совместную работу.
Только свой труд в изучении математики может Учащиеся
проверяют
принести результаты. Перед нами стоит задача: готовность к уроку, рабочее
повторить типы, методы и особенности решения место.
иррациональных,
показательных
и
логарифмических уравнений и неравенств;
освоить
нестандартный
метод
решения
неравенств - метод замены функций - это уже
повышенный уровень изучения математики.
Наши знания должны работать и
дать
положительный результат на экзамене. Сегодня
каждый из вас проведет диагностику своих
знаний по данной теме, для этого у каждого
диагностические карты, в которых вы оцените
свои знания и возможности по каждому из
разделов. В соответствии с этой оценкой на
индивидуальных консультациях мы постараемся
устранить имеющиеся пробелы.
Начинаем наш урок с умственной гимнастики.
Устный опрос.
7 мин
Слайд 4
Организация устной фронтальной работы с
классом
по
повторению
теоретического
материала и способов решения логарифмических
уравнений.
Индивидуальная работа на ПК
К ПК приглашаются четверо учащихся. Они по программе «Дрофа». Оценка
задания
дается
получают
индивидуальные
карточки
с каждого
компьютером, решение сдаётся
заданиями. (Приложение №1)
на листочке учителю вместе с
Остальные учащиеся работают с учителем.
таблицей результатов.
Часть А
Вопросы показаны на доске и предлагаются
учащимся для устных ответов с места. Учитель
с помощью маркера заполняет пробелы на
интерактивной доске.
Заполните пропуски "Слепое письмо".
Учащиеся повторяют теорию,
 Уравнение - … содержащее переменную.
заполняя пропуски в "слепом
 Корень уравнения - это … при которой
письме".
уравнение обращается в …
 Уравнения называют равносильными, если …
или не имеют … вообще.
 Решить уравнение – это … или доказать, что
… нет.
Часть В
Устный
счет проходит
компьютерной презентации:
с
помощью
Учащиеся
устно
решают
уравнения, ответы проверяются с
помощью
компьютерной
презентации.
Слайд 5
Часть C
Слайд 6
Актуализация знаний
учащихся
Комплексное применение
знаний на практике
Учащиеся
устно
решают
неравенства,
ответы
проверяются
с
помощью
компьютерной презентации.
Класс за две недели до урока был разделен на три
группы. Каждая группа выбрала тип уравнений и
неравенств. Группы приготовили выступления,
содержащие теоретическую и практическую
части. Формой выступления была выбрана
презентация.
Сообщения учащихся.
а) Показательные уравнения и неравенства и
методы их решения.
Работа в группе.
б) Логарифмические уравнения и неравенства и Защита презентации
методы их решения.
в) Иррациональные уравнения и неравенства и
методы их решения.
Применение
теоретического
материала
к
решению задач.
Учитель предлагает разделиться на группы и Учащиеся в группах обсуждают
приступить к решению уравнений:
и решают уравнения.
Один из учащихся от каждой
6 мин
10 мин
Слайд 7
группы представляет решение у
доски. Остальные участники
учебного процесса внимательно
слушают, делают заметки в
тетрадях, задают вопросы по
ходу решения, оценивают работу
группы.
Учитель предлагает представить решения у
доски.
Музыкальное сопровождение
Физкультминутка
(для глаз)
Слайд 8
Изучение
нового
материала
При решении большинства логарифмических
неравенств с переменным основанием нужно
рассматривать либо два случая
(
,
), либо использовать метод
интервалов, либо применять метод замены
функций. Рассмотрим метод замены функций.
1 мин
18 мин
Эта тема очень актуальна при выполнении
заданий С3.
Слайд 9
Учащиеся решают уравнения
методом рационализации
Учитель раздает памятки
и проверяют решения по листам
(метод рационализации) (Приложение №2) и
предлагает
решить
неравенства
методом самоконтроля.
При необходимости
рационализации.
корректируют решения.
Слайд 10
Неравенство
учащиеся решают самостоятельно, с выбором
метода определяются самостоятельно.
Слайд 11
Учащиеся в парах обсуждают и
предлагают способы решения.
Один из учеников выполняет
задание у доски
Учитель предлагает сравнить методы решения и
сделать выводы о рациональности его выбора и
оценивает выполнение задания.
Учитель предлагает коллективно решить
неравенство
(Приложение №3)
Рефлексия учебной
деятельности
1мин
Учитель предлагает учащимся оценить свою Учащиеся отвечают на вопросы
работу на уроке. На экране слайды с вопросами:
и задают интересующие вопросы
по данному уроку учителю.
Слайд 12
Учащиеся выставляют отметки в
дневники.
Записывают домашнее задание.
Итог урока и домашнее
задание
Слайд 13
Хочется закончить наш урок словами:
1мин
Слайд 14
Приложение №1.
Устная работа на компьютерах (во время повторения теоретического материала) – интерактивное тестирование.
Вариант 1.
1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
1.
2.
3.
4
х 2 1
2. Найдите произведение корней уравнения: 3  81
1) -5;
2) -4
3) 4;
4) 6.
3. Найдите сумму корней уравнения: lg(4x-3) = 2lgx;
1) -2;
2) 4
3) -4;
4) 2.
4. Сколько корней имеет уравнение
1) 4
2) 2
3) 1;
?
4). Ни одного
5. Решите уравнение:
1)
;
2)
6. Решите уравнение: 7
1) 21;
2) 8;
;
log7 x
3)
x
1
log7 x
;
4)
.
 15
3) -7
4) 1.
Вариант 2
1. Найдите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
1) (62;64);
2) (79;81);
3) (-80;-78);
4) (-12;-10).
2. Сколько корней имеет уравнение
1) 0;
2) 1;
3) 2
3. Найдите сумму корней уравнения
1) -13
2) -5
3) 5;
?.
4) 4.
4) 9.
4.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
1) (-4;-2);
2) (1;2);
3) (2;4);
4) (4;6).
5. Решите уравнение:
1) 5;
2) -1
3) 5 и -1;
6. Найдите наименьший корень уравнения:
1) -1
2) 0
3) 1;
4) -5.
.
4) 2.
Вариант 3.
1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
1) (1;2);
2) (2;4);
3) (0;1);
4) (4;6).
2.Найдите произведение корней уравнения
.
1) -99
2) -9;
3) 33
4) -33
3. Найдите сумму корней уравнения
1) -1
2) 1;
3) 4;
4) 5.
4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
1) (19;20);
2) (-1;1);
3) (-11;-9);
4) (9;11).
5. Найдите корень уравнения:
1). 0;
2). Нет корней;
3). 0и1;
4). 2.
6. Найдите корень уравнения
1) 0
2) -3
3) 0 и -3;
4) Нет корней.
Вариант 4.
1. Найдите сумму корней уравнения:
1) -1;
2) 1;
3) 4;
4) 5.
2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
1) (-7;-5);
2) (-5;-3);
3) (2;4);
4) (5;7).
3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
1) (-4;-2);
2) (-2;-1);
3) (-1;0);
4) (1;2).
4. При каких значениях аргумента значение функции
равно 96?
1) 5;
2) Таких значений нет
3) -7
4) 4.
5. Найдите корень уравнения
1) 0,1;
2) 0,1 и
;
6. Сколько решений имеет уравнение
1) 1
2) 2;
3)
;
4) Нет решения.
?
3 3;
4) 4
Приложение №2
Памятка по методу рационализации
Суть метода.
Метод рационализации (декомпозиции, метод замены множителей, правило знаков)
заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(х) (в конечном итоге рациональное),
при которой неравенство G(х) > 0 равносильно неравенству F(x) > 0 в области определения выражения F(x).
Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где f, g, h, p, q – выражения
с переменной х.
h  0, h  1, f
 0, g  0, a  0; a  1.
F
1
1а
1б
log a f  1
log a f
2
2а
2б
log h f  log h ( g )
log h f  1
log h f
3
4
4а
5
6
G
log a f  log a g
log f h  log g h g  1,  f  1
h f  h g h  0
h f 1
f h  g h  f  0; g  0
f g
a 1 f  g 
a 1 f  a
a 1 f 1
h 1 f  g 
h 1 f  h
h 1 f 1
h 1g 1h 1g  f 
h 1 f  g 
h 1 f
 f  g h
 f  g  f  g 
Некоторые следствия (с учётом области определения неравенства)
1) log h f . log p g > 0  (h - 1)(f - 1) (p - 1)(g - 1) >0;
2) log h f + log h g > 0  (fg - 1)(h - 1) >0;
3) f  g  0  f  g  0 ;
4)
h h
h h
f
g
p
g
0
f g
 0.
pg
Приложение №3
Решение неравенства.
Заместитель руководителя ОО _______________ /О.Н. Абашкина/