Тактаров Н. Г. Справочник по ВМ

Н.Г.ТАКТАРОВ СПРАВОЧНИК ЫСШЕИ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ ингг Н. г. Тактаров СПРАВОЧНИК ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ для СТУДЕНТОВ ВУЗОВ Издание стереотипное Ш 88 МОСКВА Т а к та р о в Н ико лай Григорьевич С п р а во чн и к по вы сш ей математике для студентов вузов. Изд. стереотип. — М.: Книжный дом « Л И Б Р О К О М », 2019. — 880 с. Настоящий справочник содержит все главные разделы высшей матема тики — от математического анализа и алгебры до математической логики и дифференциальной геометрии, включая аналитическую геометрию, теорию функций комплексной переменной, теорию дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, векторный и тензорный анализ, теорию вероятно стей, математическую статистику, теорию множеств и численные методы. Наряду с теоретическим материалом в справочник включено более 500 при меров с подробными решениями. Способ изложения материала в сочетании с объемом содержащейся информации дает отличную возможность примене ния справочника в современных учебных программах и в то же время ставит данную книгу в один ряд с лучшими классическими справочниками по вы с шей математике. Доступное изложение материала позволяет использовать справочник и для самостоятельного изучения математики. Издание предназначено в основном для студентов, аспирантов и препо давателей университетов, институтов и высших инженерно-технических заведений. Оно будет, несомненно, полезно всем, кто изучает высшую мате матику. РЬдательство «Книжный дом “ Л И Б РО К О М ” ». 117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56. Формат 70x100/32. Печ. л. 27,5. Зак. № 5959. Отпечатано в ОАО И ПК «Ульяновский Дом печати». 432980, Ульяновск, ул. Гончарова, д. 14. I8В N 9 7 8 -5 -3 9 7 -0 6 6 5 3 -2 © Книжный дом «Л И Б Р О К О М », 2008, 2018 НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА Е-та11; иК55@иК55.ги 24970 Ю 245855 Каталог изданий в Интернете: 1 п й р :/ А Л ^ 5 5 .г и Тел/факс (многоканальный): 9 785397 066532 Ш188 +7 (499) 724 25 45 Оглавление Глово 1. ДЕЙаВИТЕЛЬНЫ Е ЧИ С Л А . А Л Г Е Б Р А ...............................................17 1.1. Действительные ч и с л а ........................................................................... Свойства действительных чисел 1.1.2. Непрерывность множества всех действительных ч и с е л .............. 18 1.1.3. Абсолютная в е л и ч и н а .................................................................... 19 1.1.4. Некоторые часто встречающиеся п о сто ян н ы е............................. 1.1.5. Геометрическое изображение чисел и числовых множеств . . . . 1.1.6. Грани числовых м н о ж е с т в ................................................................ 22 1.2. ................................................... 17 1.1.1. 17 19 20 Некоторые сведения из элементарной алгебры. Логарифмы. Арифметическая и геометрическая прогрессии........................................ 23 ............................................................................... 23 1.2.1. Степени и корни 1.2.2. Некоторые часто используемые ф о р м улы ....................................... 23 1.2.3. Некоторые средние з н а ч е н и я ........................................................... 24 1.2.4. Некоторые нер авен ства..................................................................... 25 1.2.5. Некоторые конечные сум м ы ..............................................................25 1.2.6. Пропорции 1.2.7. Деление полинома на по лин ом ........................................................ 26 ......................................................................................... 26 1.2.8. Алгебраические ур авн ен и я................................................................ 27 1.2.9. Л о га р и ф м ы ........................................................................................ 30 1.2.10. Арифметическая прогрессия..............................................................31 1.2.11. Геометрическая прогрессия................................................................ 32 1.3. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений.........................32 1.3.1. Матрицы и определители...................................................................32 1.3.2. Действия над м атр и ц ам и .................................................................. 37 1.3.3. Ранг м атрицы ...................................................................................... 40 Матрицы со специальными свойствами си м м етр и и .................... 42 Системы линейных ур а вн е н и й .......................................................42 Глава 2. С И а Е М Ы КО О РД И Н А Т. ВЕКТО РН А Я А Л ГЕБРА . ТЕН ЗО РЫ . ВЕКТО РН Ы Е П РО С Т РА Н С Т ВА ........................................ 48 2.1. Прямоугольные системы координат...........................................................48 2.1.1. Прямоугольная система координат на пло ско сти.......................... 48 2.1.2. Прямоугольная система координат в пространстве 2.2. ..................... 49 Криволинейные системы координат...........................................................50 2.2.1. Полярная система ко о р д и н ат.......................................................... 50 2.2.2. Криволинейные системы координат в пространстве..................... 51 2.3. Векторная алгебра...................................................................................... 54 2.3.1. Основные п о н я т и я ........................................................................... 54 2.3.2. Умножение векторов на число и их сло ж ен и е............................... 55 2.3.3. Скалярное произведение векторов...................................................60 2.3.4. Векторное пр ои звед ен ие..................................................................63 2.3.5. Смешанное произведение 2.4. ............................................................... 65 Замена системы коорд инат....................................................................... 66 ..................................66 2.4.1. Параллельный перенос системы координат 2.4.2. Поворот системы координат.............................................................67 2.5. Тензоры....................................................................................................... 68 2.5.1. Основные п о н я т и я ........................................................................... 68 2.5.2. Тензорная алгебра..............................................................................71 2.5.3. Свойства симметричных тензоров второго р а н г а .......................... 72 2.6. Векторные пространства............................................................................ 74 2.6.1. Понятие векторного пространства...................................................74 2.6.2. Линейная зависимость ве к то р о в .....................................................75 2.6.3. Базис пространства. Координаты векто р а...................................... 77 2.6.4. Евклидовы векторные пространства ..............................................79 2.7. Гильбертово пространство ....................................................................... 81 2.8. Преобразование координат вектора при изменении б ази са ......................84 2.9. Линейные преобразования (линейные операторы).................................... 85 2.10. Собственные значения и собственные векторы м а тр и ц ............................88 2.11. Квадратичные ф орм ы .................................................................................93 2.11.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду . . . . 2.11.2. 93 Классиф икация квадратичных ф о р м .............................................. 2.11.3. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов.......................................................................... .... Глаю 3. А Н А Л И ТИ ЧЕС КА Я Г Е О М Е Т Р И Я .......................................................97 3.1. Аналитическая геометрия на п л о ско сти ..................................................97 3.1.1. Метод к о о р д и н ат...............................................................................97 3.1.2. Основные ф орм улы ............................................................................ 98 3.1.3. Преобразование декартовых к о о р д и н ат..........................................99 3.1.4. Прямая л и н и я .................................................................................. 101 3.1.5. Взаимное расположение п р ям ы х .....................................................104 3.1.6. Линии второго порядка (конические сечения) 3.2. ........................... 106 Аналитическая геометрия в пространстве.............................................. 120 3.2.1. Уравнение поверхности и л и н и и ................................................... 120 3.2.2. Основные формулы в декартовых коорд инатах............................122 3.2.3. П л о ск о с ть ..........................................................................................124 3.2.4. Прямая л и н и я .................................................................................. 126 3.2.5. Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей 3.2.6. Поверхности второго поряд ка..........................................................131 ............... 128 Гло»а 4. О С Н О ВН Ы Е ПО НЯТИЯ М А ТЕМ А ТИ ЧЕС КО ГО А Н А Л И ЗА 4.1. . 1 4 2 Действительная функция одной действительной переменной................ 142 4.1.1. Понятие ф ун кц и и ............................................................................. 142 4.1.2. Способы задания ф ун кц и й .............................................................. 143 4.1.3. Свойства функций. Функции со специальными свойствами . . . 144 4.2. Числовые последовательности............................................................... 147 4.2.1. Предел числовой последовательности 4.2.2. Признаки существования предела.................................................. 149 4.2.3. Основные свойства сходящихся последовательностей..................149 4.2.4. Число е .............................................................................................. 149 4.2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности......................................................................... 150 4.2.6. Неопределенности 4.2.7. Предельная точка последовательности...........................................151 4.3. ...........................................147 ...........................................................................150 Предел ф ун кц и и ..................................................................................... 152 4.3.1. Определение предела........................................................................ 152 4.3.2. Критерий Кош и существования конечного пределафункции . . 153 4.3.3. Односторонние пределы 4.3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие ф ун кц и и .................... 154 4.3.5. Действия над пределами .................................................................153 ................................................................ 155 4.4. Асимптотические соотношения между функциями 4-5. Непрерывность ф ункций......................................................................... 158 .................... 156 4.6. Точки разрыва функции и их классификация.......................................... 160 4.7. Свойства функций, непрерывных на о тр езке.......................................... 162 Глава 5. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л Ь Н О Е И С ЧИ С Л ЕН И Е Ф У Н К Ц И Й О Д Н О Й П ЕР ЕМ Е Н Н О Й .................................................................... 164 5.1. Производная и ее геометрический с м ы с л ................................................164 5.1.1. Определение производной............................................................. 164 5.1.2. Геометрический смысл пр о и зво д н о й ............................................ 165 5.1.3. Левая и правая производная...........................................................166 5.1.4. Основные правила дифференцирования....................................... 166 5.1.5. Производные основных элементарных ф у н к ц и й .........................167 5.1.6. Бесконечная производная 5.1.7. Дифференцирование неявных ф ун к ц и й ....................................... 169 ..............................................................168 5.2. Дифференциал ф ун кц и и .......................................................................... 169 5.3. Производная обратной ф ункции.............................................................. 170 5.4. Дифференцирование функций, заданных параметрически 5.5. Производные и дифференциалы высших поряд ков............................... 172 5.5.1. ...................171 Производные высших п о р я д к о в ....................................................172 5.5.2. Формула Л е й б н и ц а.......................................................................... 173 5.5.3. Дифференциалы высших п о р яд ко в...............................................173 5.5.4. Инвариантность формы первого дифференциала.........................174 5.6. Экстремум. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и К о ш и ......................... 174 5.6.1. Э кстр ем ум ......................................................................................... 174 5.6.2. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума дифференцируемой ф ун кц и и )........................................................ 175 5.6.3. Теорема Р о л л я ................................................................................. 176 5.6.4. Теорема Л а ф а н ж а ............................................................................ 176 5.6.5. Теорема К о ш и ................................................................................. 176 5.6.6. Некоторые следствия из теоремы Л а гр а н ж а ................................ 177 5.6.7. Производная четной (нечетной) функции ...................................177 5.7. Формула Тейлора. Вычисление пр ед ело в.............................................. 177 5.8. Раскрытие неопределенностей. Правило Л о п и таля............................... 180 5.8.1. 5.8.2. Раскрытие неопределенности вида 0 /0 ......................................... 180 Раскрытие неопределенности вида о о / о о .................................... 181 5.8.3. Неопределенности вида О ■оо, оо — оо, 0 °, 1 *,о о '^ ..................... 182 5.9. Возрастание и убывание функции. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба ....................................................................................... 183 5.9.1. Достаточный признак возрастания и убыванияфункции . . . . 183 5.9.2. Выпуклость и вогаутость кр и во й .................................................. 183 5.9.3. Точки перегиба................................................................................184 5.10. Нахождение максимумов и минимумов функций ................................. 185 5.10.1. Необходимые условия локального экстремума (максимума и минимума) ф у н к ц и и .............................................. 185 5.10.2. Достаточные условия строгого локального экстр ем ум а............. 186 5.10.3. Нахождение абсолютного эк с тр е м у м а ........................................ 187 5.11. Асимптоты графика ф ункции.................................................................188 5.12. Построение графика функции .............................................................. 190 Глава 6. О С Н О ВН Ы Е ЭЛ ЕМ ЕН ТА РН Ы Е Ф У Н К Ц И И ................................... 193 6.1. Показательная (экспоненциальная) ф ункция........................................ 193 6.2. Логарифмическая ф ун к ц и я................................................................... 193 6.3. Пшерболические ф ункции...................................................................... 194 6.3.1. Гиперболический с и н у с ................................................................. 194 6.3.2. Гиперболический косинус 6.3.3. Гиперболический тан ген с............................................................... 195 ............................................................ 194 6.3.4. 6.3.5. Гиперболический к о та н ге н с..........................................................196 Обратные гиперболические функции (ар еаф ун кц и и )................196 6.3.6. Некоторые соотношения между гиперболическими ф ункциями ......................................................................................197 6.4. Степенная ф ун кц и я................................................................................ 197 6.5. Тригонометрические ф ункции.................................................................202 6.5.1. Определения тригонометрических ф у н к ц и й .............................. 202 6.5.2. Свойства тригонометрических ф ун кц и й ......................................203 6.5.3. Значения тригонометрических функций при некоторых значениях ар гум ен та...................................................................... 206 Формулы приведения ................................................................... 207 6.5.4. 6.5.5. 6.5.9. Соотнош ения между тригонометрическими функциями одного а р гум е н та ........................................................................... 207 Тригонометрические функции половинного аргумента и кратных ар гум ен то в.................................................................... 208 Тригонометрические функции суммы и разности двух а р гум ен то в..............................................................................209 Суммы, разности и произведения тригонометрических ф у н к ц и й .......................................................................................... 209 Степени тригонометрических функций ......................................210 6.5.10. 6.5.11. Обратные тригонометрические функции ................................... 210 Тригонометрические уравнения.................................................... 213 6.5.6. 6.5.7. 6.5.8. Глово 7. ИН ТЕГРАЛЬН О Е И С ЧИ С Л ЕН И Е Ф У Н К Ц И Й О Д Н О Й П ЕР ЕМ Е Н Н О Й ....................................................................214 7.1. Первообразная и неопределенный интеграл............................................ 214 7.1.1. Первообразная функция ................................................................ 214 7.1.2. Неопределенный и н те ф а л ..............................................................215 7.1.3. Основные свойства неопределенного интеграла........................... 216 7.1.4. Таблица основных неопределенных интегралов........................... 216 7.1.5. Основные методы интефирования ...............................................218 7.1.6. Интеф ирование рациональных ф у н к ц и й ..................................... 222 7.1.7. Интеф ирование некоторых иррациональных выражений . . . . 226 7.1.8. Интеф ирование тригонометрических, показательных и гиперболических ф ун кц и й.......................................................... 229 7.2. Определенный и н те гр ал .......................................................................... 234 7.2.1. Свойства и геометрический смысл определенного интефала . . 234 7.2.2. Определенный интефал как функция верхнего и (или) нижнего предела ин теф и р о ван и я....................................239 7.2.3. 7.2.4. Формула Н ью тона—Л е й б н и ц а ...................................................... 240 Замена переменной и интефирование по частям в определенном и н те ф а л е .............................................................241 7.3. Несобственные интегралы........................................................................243 7.3.1. Несобственные интеф алы первого р о д а........................................243 7.3.2. Несобственные интеф алы второго р о д а ........................................248 7.3.3. Сведение несобственных интефалов второго рода к интефалам первого р о д а............................................................ 251 7.3.4. Некоторые несобственные интеф алы .........................................251 7.4. Геометрические приложения определенного интеграла..........................252 7.4.1. Вычисление площадей плоских ф и г у р .......................................... 252 7.4.2. Вычисление длин дуг плоских к р и в ы х .......................................... 255 7.4.3. Вычисление о бъем о в........................................................................ 256 7.4.4. Вычисление площади поверхности вр а щ е н и я.............................. 257 Глово 8. Ф У Н К Ц И И Н ЕС К О Л Ь К И Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х .....................................259 8.1. Основные понятия. Предел функции. Непрерывность........................... 259 8.1.1. Основные п о н я т и я .......................................................................... 259 8.1.2. Предел функции нескольких переменных..................................... 262 8.1.3. Непрерывные функции нескольких перем енны х......................... 263 8.2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных . . . 265 8.2.1. Частные производ ны е..................................................................... 265 8.2.2. Дифференциал ф у н к ц и и ................................................................ 267 8.2.3. Правило дифференцирования сложной ф ун кц и и......................... 268 8.2.4. Дифференцирование неявной ф у н к ц и и ....................................... 269 8.2.5. 8.2.6. Производная по направлению. Градиент........................................270 Инвариантность формы первого дифференциала.........................272 8.2.7. 8.2.8. Дифференциалы высших п о р яд к о в.............................................. 273 Формула Тейлора для функций нескольких переменных............ 275 8.2.9. Теория неявных ф ун кц и й ................................................................ 277 8.2.10. Отображения. Зависимость ф ун к ц и й ............................................ 280 8.2.11. Замена переменных в дифференциальных вы ражениях...............283 8.2.12. Экстремум ф ункции нескольких перем енны х..............................287 8.3. Двойные интегралы и их свойства...........................................................293 8.3.1. 8.3.2. Определение двойного интефала ................................................. 293 Геометрические приложения двойного интеграла.........................294 8.3.3. 8.3.4. Свойства двойных ин теф алов.........................................................295 Вычисление двойных интефалов ..................................................296 8.3.5. Замена переменных в двойных и н те ф а л ах ...................................300 8.4. Тройные интегралы и их свойства...........................................................301 8.4.1. Определение тройного интефала ................................................. 301 8.4.2. 8.4.3. 8.4.4. М ногократный интефал ................................................................ 302 Вычисление тройных ин теф алов.................................................... 303 Замена переменных в тройных и н те ф а л а х .................................. 305 8.5. Криволинейные интегралы....................................................................... 306 8.5.1. Криволинейные интефалы первого р о д а ..................................... 306 8.5.2. 8.5.3. 8.6. Криволинейные интефалы второго р о д а ..................................... 309 С вязь криволинейных интефалов первого и второго рода . . . .313 Поверхностные интегралы....................................................................... 314 8.6.1. 8.6.2. Двухсторонние и односторонние поверхности............................. 314 Площадь поверхности............................................. 314 8.6.3. 8.6.4. Поверхностные интефалы первого рода........................................316 Существование и вычисление поверхностных интефалов первого рода ...................................................................................317 Поверхностные интефалы второго р о д а....................................... 318 Существование и вычисление поверхностных интефалов второго рода..................................................................................... 320 С вязь поверхностных интефалов первого и второго рода . . . . 322 Геометрические приложения поверхностных и н теф ал ов............ 324 8.6.5. 8.6.6. 8.6.7. 8.6.8. *.7. Формула Остроградского ....................................................................... 324 8.7.1. Односвязные и неодносвязные о б л а с т и ....................................... 324 8.7.2. *-8. Формула О стр оф алско го ................................................................ 326 Формулы Стокса и Г р и н а ....................................................................... 327 8.8.1. Формула С т о к с а ............................................................................ 327 8.8.2. 8.9. Формула Гр и н а...............................................................................328 Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования . . 330 8.9.1. Плоский путь интефирования 8.9.2. Пространственный путь и н те ф и р о ва н и я...................................333 ....................................................330 8.10. Интеф алы, зависящие от параметра....................................................334 8.10.1. Собственные интеф алы, зависящ ие от пар ам етр а....................334 8.10.2. 8.10.3. Несобственные интеф алы, зависящ ие от параметра................. 336 Применения несобственных интефалов, зависящих от параметра, к вычислению несобственных и н теф ал о в........... 339 8.11. Кратные несобственные интегралы ...................................................... 342 8.11.1. Двойные несобственные интефалы от неофаниченных функций ....................................................... 342 8.11.2. Тройные несобственные интефалы от неоф аниченных функций ....................................................... 344 8.11.3. Двойные несобственные интефалы по неофаниченной о б л а сти .......................................................... 344 8.12. Кратные интегралы, зависянше от параметров ...................................346 8.12.1. 8.12.2. Собственные кратные интеф алы, зависящие от параметров . .346 Несобственные кратные интефалы, зависящие от параметров . . 346 8.12.3. Нью тонов потенциал..................................................................... 347 Главо 9. Р Я Д Ы ................................................................................................ 349 9.1. Числовые ряды и их с в о й с т в а ..............................................................349 9.1.1. 9.1.2. 9.2. Общие понятия ............................................................................ 349 Свойства сходящихся р я д о в .........................................................351 Признаки сходимости знакопостоянных рядов..................................... 352 9.2.1. Признаки сравнения неотрицательных р я д о в ........................... 352 9.2.2. Признаки Даламбера и К о щ и ...................................................... 353 9.3. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды . . . . 356 9.3.1. 9.3.2. 9.4. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов . . . 356 Абсолютно и условно сходящиеся р я д ы ..................................... 357 Бесконечные произведения...................................................................360 9.5. Функциональные последовательности и р я д ы ..................................... 364 9.5.1. Функциональные последовательности....................................... 364 9.5.2. Функциональные ряды ................................................................ 365 9.6. Степенные р я д ы ....................................................................................369 9.6.1. Общие понятия .............................................................................369 9.6.2. Свойства степенных р яд о в........................................................... 371 9.7. Ряд Тейлора. Разложение функций в степенные р яд ы .......................... 376 9.7.1. Ряд Тейло р а......................................................................................376 9.7.2. Разложение некоторых элементарных функций в степенные р я д ы ........................................................................... 377 9.8. Ряды и интегралы Фурье ......................................................................381 9.8.1. Ряды Ф у р ь е ......................................................................................381 9.8.2. Интегралы Ф у р ь е ............................................................................ 389 Главо 10. Ф У Н К Ц И И КО М П Л ЕКС Н О Й П Е Р Е М Е Н Н О Й .............................395 10.1. Комплексные ч и с л а ............................................................................... 395 10.1.1. Определение комплексных чисел и действия с н и м и ................ 395 10.1.2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного ч и с л а ...................................... 397 10.1.3. 10.1.4. 10.1.5. Возведение комплексных чисел в степень и извлечение к о р н я.........................................................................401 М ножества точек на комплексной п л о ск о с ти ............................. 403 Предел последовательности точек комплексной плоскости , , ,404 10.2. Функции комплексной переменной...................................................... 405 10.2.1, Понятие ф ун кц и и............................................................................405 10.2.2, Предел функции. Н еп р ер ы вн о сть.................................................406 10.3. Аналитические ф ун кц и и ........................................................................407 10.3.1, Производная функции. Условия Ко ш и— Р и м а н а ........................407 10.3.2. Аналитические ф у н к ц и и ............................................................... 409 10.4. Интегрирование функций комплексной переменной ............................411 10.4.1, Определение интеграла и его сво й ства .........................................411 10.4.2, И нтеф альные теоремы и ф о р м ул ы .............................................. 413 10.5. Представление аналитических функцийрядам и.................................... 417 10.5.1, Функциональные ряды. Степенные р я д ы .................................... 417 10.5.2, 10.5.3, 10.5.4, 10.5.5, Ряды Тейлора................................................................................... 419 Ряд Лорана ......................................................................................421 Особые т о ч к и ................................................................................... 423 Нули и особые точки в бесконечности......................................... 425 10.6. Вычеты и контурные интегралы ............................................................427 10.6.1. Основные п о н я т и я ......................................................................... 427 10.6.2. Применение вычетов к вычислению определенных и н теф ал о в....................................................................................... 431 10.7. Аналитическое продолжение................................................................ 433 10.7.1, Понятие аналитического продолжения......................................... 433 10.7.2, Аналитическое продолжение при помоши степенных рядов , , . 434 10.7.3, М ногозначные аналитические ф ун к ц и и .......................................435 10.7.4. Аналитическое продолжение действительной аналитической функции ...............................................................435 10.8. Римановы поверхности. Точки ветвл ен и я............................................. 436 10.8.1. Общие понятия ............................................................................. 436 10.8.2. Условие однолистности функции ............................................... 436 10.8.3. Римановы поверхности. Точки ветвл ен и я................................... 437 10.8.4. Логарифмические точки ве тв л е н и я.............................................439 10.8.5. Заклю чительные за м е ч а н и я ......................................................... 440 10.9. Конформное отображение......................................................................441 10.9.1. Понятие и свойства конформного отображения ....................... 441 10.9.2. Примеры конформных отобр аж ен ий...........................................445 10.10. Некоторые элементарные ф ун кц и и ....................................................... 447 10.10.1. Обш ая степенная ф ун кц и я............................................................ 447 10.10.2. Тригонометрические и гиперболические ф ун к ц и и .................... 448 10.10.3. Показательная и логарифмическая ф ун кц и и .............................. 449 Глово 11. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е УРА ВН ЕН И Я 11.1. ........................................ 451 Обыкновенные дифференциальные уравнения..................................... 451 11.1.1. 11.1.2. 11.1.3. Основные понятия. Достаточные условия сущ ествования и единственности р еш ения............................................................ 451 Дифференциальные уравнения первого п о р яд к а ...................... 459 Дифференциальные уравнения высших п о р яд к о в .................... 490 11.1.4. 11.1.5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков . . .495 Линейные системы дифференциальных уравнений ..................519 11.1.6. 11.1.7. Теория усто й чи во сти ......................................................................527 Операционный метод решения дифференциальных ур а вн ен и й ........................................................................................531 11.2. Дифференциальные уравнения с частными производными.................. 536 11.2.1. 11.2.2. 11.2.3. 11.2.4. Основные понятия и определения............................................... 536 Уравнения с частными производными первого п о р яд к а .......... 539 Уравнения с частными производными второго п о р я д к а .......... 551 Методы решения уравнений гиперболического т и п а ............... 562 11.2.5. 11.2.6. Уравнения эллиптического т и п а .................................................. 586 Решение уравнений параболического т и п а .................................596 Глава 12. ВА РИ А Ц И О Н Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е ............................................... 604 12.1. Общие свед ен и я.................................................................................... 604 12.2. Вариация функционала от функции одной независимой переменной .. 607 12.3. Необходимое условие экстремума функционала. Уравнение Эйлера . . 608 12.4. Достаточные условия слабого экстремума............................................ 611 12.5. Задача со свободными ко н ц а м и ............................................................ 613 12.6. Функционалы от нескольких функций одной независимой переменной............................................................................................... 614 12.7. Функционалы, зависящие от производных высших по р яд ков............. 615 12.8. Функционалы от функций нескольких независимых переменных . . . .615 12.9. Условные экстремумы. Метод множителей Л агр ан ж а..........................617 12.10. Изопернметрнческие задачи.................................................................... 618 12.11. Прямые методы решения вариационных зад ач...................................... 621 Глава 13. ВЕКТО РН Ы Й А Н А Л И З ................................................................. 624 13.1. Векторные функции одного скалярного ар гум ен та...............................624 13.1.1. Векторная функция и ее п р е д е л ................................................... 624 13.1.2. Дифф еренцирование.......................................................................625 13.2. Скалярные и векторные п о л я................................................................. 627 13.2.1. Скалярное п о л е .............................................................................. 627 13.2.2. Векторное поле .............................................................................. 628 13.3. Производная скалярного поля по направлению. Градиент..................... 629 13.4. Криволинейные интегралы. Потенциальное п о л е ................................. 631 13.4.1. Криволинейные интегралы ............................................................. 631 13.4.2. Потенциальное п о л е ....................................................................... 633 13.5. Поверхностные и объемные интегралы ................................................ 634 13.5.1. Поверхностные и н тегр ал ы ............................................................. 634 13.5.2. Объемные и н теф ал ы .......................................................................636 13.6. Дивергенция и ротор векторного поля. Производная по направлению................................................................. 636 13.6.1. Дивергенция ................................................................................... 636 13.6.2. Р о т о р ................................................................................................637 13.6.3. Производная по направлению ......................................................639 13.7. Основные формулы векторного ан али за................................................ 640 13.8. Интегральные формулы .........................................................................643 13.8.1. Формула О строградского................................................................643 13.8.2. Следствия из формулы О строград ского....................................... 643 13.8.3. Формула С т о к с а .............................................................................. 644 13.9. Нахождение векторного поля по ротору и градиенту............................ 645 13.10. Цилиндрические и сферические координаты.........................................646 13.11. Некоторые сведения из тензорного анализа .........................................648 Глава Ы . Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л Ь Н А Я ГЕ О М ЕТ Р И Я ............................................ 652 14.1. Кривые на плоскости............................................................................. 652 14.1.1. Способы задания кривых на плоскости. Длина дуги кривой . . . 652 14.1.2. Касательная и нормаль к плоской кривой ................................. 653 14.1.3. Особые точки к р и в о й ................................................................... 655 14.1.4. 14.1.5. 14.1.6. 14.1.7. А си м п тоты ....................................................................................... 657 Кривизна плоской к р и в о й ............................................................ 658 Касание плоских к р и в ы х ...............................................................661 Дискриминантная кривая и огибающая семейства кривых ...6 6 2 14.1.8. 14.1.9. Эволю та и эво л ьвен та................................................................... 664 Изогональные тр а ек то р и и ............................................................ 665 14.2. Кривые в пространстве...........................................................................667 14.2.1. Способы задания кривых. Длина дуги к р и во й ............................ 667 14.2.2. Основные элементы пространственной к р и в о й ......................... 668 14.2.3. Формулы Серре— Френе .............................................................. 671 14.3. Поверхности............................................................................................ 671 14.3.1. Общие свед ен и я............................................................................. 671 14.3.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности....................... 673 14.3.3. Первая квадратичная форма поверхности. Элемент длины дуги и элемент п л о щ а д и ....................................676 14.3.4. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривой на повер хности................................................ 677 14.3.5. Главные кривизны, гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности.................................................................... 679 14.3.6. Классиф икация точек повер хности............................................. 680 14.3.7. 14.3.8. 14.3.9. 14.4. Специальные кривые и направления на поверхности................681 С вязь средней кривизны с вариацией площади поверхности . . 682 Некоторые специальные п о вер х н о сти .........................................683 Формулы Гаусса, ВейнгартенанГаусса—Б о н н е ......................................683 Глава 15. ТЕО РИЯ ВЕРО ЯТНО СТЕЙ И М А ТЕМ А ТИ ЧЕС КАЯ С Т А Т И С Т И КА ........................................... 686 15.1. Теория вероятностей ............................................................................. 686 15.1.1. Испытания и с о б ы ти я....................................................................686 15.1.2. Классическое определение вер о ятн о сти ...................................... 687 15.1.3. 15.1.4. 15.1.5. 15.1.6. 15.1.7. Статистическое определение вероятности................................... 690 Геометрическое определение вероятности....................................691 Алгебра соб ы ти й ............................................................................. 691 Правила сложения и умножения вер о ятн о стей ..........................694 Формула полной вероятности. Формулы Б а й е с а ....................... 697 15.1.8. 15.1.9. 15.1.10. 15.1.11. Повторение и с п ы та н и й ................................................................. 698 Случайные величины. Дискретные случайные величины . . . .700 Непрерывные случайные ве л и чи н ы ..............................................705 Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной в е л и ч и н ы ...................................................................... 712 15.1.12. М атематическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной ве л и ч и н ы ...................................................................... 715 15.1.13. Многомерные случайные вели чи н ы ............................................. 717 15.1.14. Закон больших чисел ................................................................... 722 15.2. М атематическая статистика ................................................................ 725 15.2.1. Выборочный м ето д ........................................................................ 725 15.2.2. Полигон и гистограм м а................................................................. 727 15.2.3. Эм пирическая ф ункция распределения ......................................728 15.2.4. Точечная оценка параметров генеральной совокупн ости.......... 730 15.2.5. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности . . 738 15.2.6. Оценка неизвестной вероятности по относительной частоте . . .741 15.2.7. Анализ корреляции и регрессии по результатам выборок. . . . 742 15.2.8. Проверка статистических ги п о те з................................................747 15.2.9. Таблицы ..........................................................................................765 Глава 16. ЧИ С Л ЕН Н Ы Е М Е Т О Д Ы .................................................................778 16.1. Приближенные числа и действия с н и м и ..............................................778 16.2. Решение систем линейных уравнений ...................................................781 16.2.1. Метод Г а у с с а .................................................................................. 781 16.2.2. Метод Гаусса— Ж о р д ана................................................................. 783 16.3. Решение нелинейных уравнений.............................................................784 16.3.1. Графическое решение уравнений.................................................. 784 16.3.2. Метод половинного деления.................................. 784 16.3.3. Метод хорд ..................................................................................... 785 16.3.4. Метод касательных (метод Н ью то н а )...........................................786 16.3.5. Комбинированный метод хорд и касательны х............................ 787 16.3.6. Метод итераций (метод последовательных приближений) . . . .787 16.4. Вычисление значений ф ункций............................................................... 788 16.4.1. Приближенные ф о р м улы ...............................................................788 16.4.2. Вычисление значений полинома по схеме Горнера.....................788 16.4.3. Вычисление значений аналитической ф ун кц и и ......................... 790 16.5. Интерполяция функций........................................................................... 795 16.5.1. Постановка задачи ин терп оляц и и................................................ 795 16.5.2. Интерполяционный полином Л а ф а н ж а ......................................795 16.5.3. Линейная интерполяция .............................................................. 797 16.5.4. 16.5.5. 16.5.6. 16.6. Интерполяционный полином Лагранжа с равноотстоящими узлам и............................................................ 798 Интерполяционные полиномы Н ь ю т о н а ................................... 799 Численное диф ф еренцирование.................................................. 802 Приближение (аппроксимация) функций 16.6.1. 16.6.2. 16.6.3. 16.6.4. ..............................................806 Постановка задачи аппроксимации ф у н к ц и й ............................ 806 Равномерное приближение ф у н к ц и й ...........................................808 Метод наименьших квадратов....................................................... 810 С п л а й н ы ......................................................................................... 811 16.7. Приближенное вычисление интегралов...................................................815 16.7.1. Вычисление интегралов при помощир я д о в ................................815 16.7.2. Квадратурные ф о р м улы .................................................................816 16.7.3. Метод М о н те-Кар ло ......................................................................821 16.8. Численное решение дифференциальных уравнений...............................824 16.8.1. Метод Эйлера ................................................................................824 16.8.2. Методы Рунге— К у т т а ................................................................... 826 16.8.3. Метод Адамса ................................................................................827 16.8.4. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных ур а вн е н и й ..................................................... 828 Глово 17. О С Н О ВН Ы Е ПО НЯТИЯ М А ТЕМ А ТИ ЧЕС КО Й Л О ГИ КИ И ТЕО РИ И М Н О Ж Е а В ................................................................. 832 17.1. Алгебра логики (алгебра вы сказы ваний)................................................ 832 17.1.1. Общие свед ен и я............................................................................. 832 17.1.2. Логические операции ...................................................................832 17.1.3. Формулы и функции алгебры вы сказы ваний..............................835 17.1.4. Логика п р ед и като в........................................................................837 17.1.5. Метод математической и н д у к ц и и ............................................... 839 17.2. Основы теории м н о ж е ств...................................................................... 840 17.2.1, Основные п о н я т и я ........................................................................ 840 17.2.2. Операции над м н о ж ествам и ......................................................... 841 17.2.3. М ощ ность м н о ж е ств..................... 843 17.2.4, Отображение м н о ж е ств................................................................ 844 И М ЕН Н О Й У К А З А Т Е Л Ь ...................................................................................846 П РЕДМ ЕТНЫ Й У К А ЗА Т ЕЛ Ь ........................................................................... 848 О С Н О ВН Ы Е О Б О З Н А Ч Е Н И Я .........................................................................876 Глава 1 Д Е Й С Т В И Т Е Л Ь Н Ы Е ЧИСЛА. АЛГЕБРА 1.1. Действительные числа 1.1.1. С войства действительных чисел 1.1.1.1. Рациональные и иррациональные число Наттральными называются числа 1 ,2 ,3 ,... . Числа . . . , -3 , -2 , - 1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,... носят название целых чисел. Все действительные (или вещественные) числа подразделяются на рацио нальные и иррациональные числа. Рациональным называется число, которое можно представить в виде дроби р|^ , где р ,д — целые числа {д / 0), а также в виде конечной или бесконечной десятичной периодической дроби. Действительные числа, не являю щ иеся рациональными, называю тся ирра циональными. Иррациональное число может быть представлено только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Натуральные и целые числа относятся к рациональными. Пример 1. Числа - = 0,75 ” уу = 0,636363... являются рациональными. Числа \/3 = 1,732050... и 1 Г = 3,141592... — иррациональные. 1.1.1.2. Свойства сложения и умножения действительных чисел Для любых действительных чисел а и Ь определены единственным образом числа а + Ь и аЬ, называемые суммой и произведением этих чисел соответ ственно. Сложение и умножение действительных чисел обладают следующими свойствами (а , Ь ,с — любые действительные числа). 1) а + Ь = Ь + а , а Ь = Ьа (коммутативность). 2) а + {Ь + с) = (а + Ь) + с, а(Ьс) = {аЬ)с (ассоциативность). 3) а{Ь + с) = аЬ + ас (дистрибутивность). 4) Сущ ествует единственное число О (нуль) такое, что а + 5) Для любого числа а существует число Ь такое, что о + Ь = О {Ь = - а ) 6) Сущ ествует единственное число 1 (единица) такое, что 1 ■а = а. 7) Для любого числа а / О существует число Ь такое, что аЬ = \ (Ь = 1/а 1.1 .1.3. О = а. С равнение действительных чисел Для любых двух действительных чисел а , Ь справедливо одно из трех соотно ш ений: а = Ь, а > Ь, а < Ь. При этом для любых действительных чисел а, Ь, с: 1) из а < Ь ч Ь < с следует а < с\ 2) из а < 6 следует а + с < Ь + с; 3) если а < Ь н О О, то ас < Ьс. Если а < 6, то пиш ут также Ь > а. Если а < Ъ или а — Ь, то пиш ут а ^ Ь. Число а > О называется положительным, о < О — отрицательным. 1 .1 .2 . Н е п р е р ы в н о сть м н о ж е ства все х д е й стви тел ьн ы х чи се л П усть множество всех рациональных чисел разбито на два таких непустых подмножества А и В (классы ), что каждое рациональное число принадлежит только одному классу и из принадлежности чисел а и Ь классам А и В соот ветственно следует, что а < Ь. Тогда такое разбиение (называемое сечением) определяет: 1) Рациональное число, если класс А имеет наибольшее число или же класс В имеет наименьшее число. 2) Иррациональное число, если класс А не имеет наибольшего числа, а класс В наименьшего числа (свойство непрерывности множества всех действительных чисел). М ножество всех рациональных чисел не обладает свойством непрерывности. Пример 2. Если класс А состоит из рациональных чисел а < \/3, а класс В — из рациональных чисел Ь > \/3, то класс А не имеет наибольшего числа, в класс В — наи меньшего. Для иррационального числа \/3 = 1,732050... можно взять бесконечную последовательность рациональных чисел 1,7 < 1,73 < 1,732 < ... < \/3, не превы шающих числа \/з, аналогично строится последовательность рациональных чисел 1.8 > 1,74 > 1,733 > . .. > \/з, превышающих число -Уз. И з вышеприведенных свойств действительных чисел следуют все осталь ные их свойства. Далее, для краткости, действительные (вещ ественные) числа обычно будем называть просто числами, если не оговорено противное. 1.1.3. А бсолю тн ая величина Абсолютная величина |а| числа а определяется следующим образом: |а| если а ^ О, если а < 0. Свойства абсолютной величины: 1) N > 0, | - а 2) |а6| = |а||6|. = |а|, -|а| ^ а < из |а| = О следует а = 0. а 3) | 1а | - | 6| | ^ | а + 6 К | а | + |Ь|. 4) ||а |- |6| | ^ | а - & | ^ И + |6|. 5) И з |а| < А , |6| ^ В следует |а + Ь| < Л + В и |оЬ| < А В . 1.1.4. Н екоторые часто встречаю щ иеся постоянные V I = 1,414214 = : 0,707107, 7Г = 3,141593 = 1 : 0,318310, ■УЗ= 1,732051 = : 0,577350, у/^ = 1,772454 = 1 : 0,564190, -/Ш = 3,162278 = : 0,316228, = 2,506628 = 1 : 0,398942, 1,25992! = : 0,793701, ^ = 1,570796, 6 = 2,718282 = : 0,367879, у = 1,047198, = 7,389056 = : 0,135335, 1ёя- = 0,497150, у ^ = 1,648721 = : 0,606531, 1пя- = 1,144730, 1п 10 = 2,302585 = : 0,434294, 18 е = 0,434294, 1п 2 = 0,693147, 1пЗ = 1,098612, Постоянная Эйлера е” = 23,140693 = 1 : 0,043214. 180° : 7Г = 57°,295780, 7Г : 180 = 0,017453, = 9,869604 = 1 : 0,101321, С = 0,577216. п п! 0 1 : п! 1 18 п! 1 0,000000 1 1 1 0,000000 2 2 0,5 0,301030 3 6 0,166667 0,778151 4 24 0,041667 1,380021 5 120 0,008333 2,079182 6 720 0,001389 2,857333 7 5 040 0,000198 3,702431 8 40 320 0,000025 4,605520 9 362 880 0,000003 5,559763 0,5 0,25 0,125 16 1.1.5. 0,0625 32 0,03125 64 0,015625 128 0,007813 256 0,003906 512 0,001953 10 1024 0,000971 2 048 0,000488 12 4096 0,000244 13 1192 0,000122 14 16 384 0,000061 Геометрическое и зо бр аж ени е чисел и числовых множеств 1.1 .5.1. Числовая ось Пусть на некоторой прямой (рис. 1.1) заданы две различные точки О (начало отсчета) и Е (единичная точка). Длина отрезка О Е , называемого единичным (или масштабным) отрезком, принимается за единицу измерения длин всех отрезков на этой прямой. Направление на этой прямой от точки О к Е назы вается положительным направлением и обозначается стрелкой, а направление О - 2 - 1 Е 0 1 А 2 М В 3 X Рис. 1.1 от к О — отрицательным. П рямая, с заданным на ней положительным направлением, называется осью. О сь с заданным началом отсчета длин и еди ничным отрезком называется числовой прямой (числовой осью, или осью координат). Обозначение: ось Ох. П усть А ж В ~ две точки на оси Ох, Направленным называется отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек А к В считается его началом, а какая — концом. Направленный отрезок, для которого А — начало, В — конец, обозначается А В (или А В ). Направление от начала отрезка к концу принимается за направление отрезка. Отрезок В А направлен от точки В к А . Величиной А В направленного отрезка А В на оси координат называется число, равное его длине \АВ\ (измеренной масштабным отрезком), взятой со знаком плюс (или минус), если направление А В и оси О х совпадают (или противоположны). Величины отрезков А В и В А отличаются только знаками: А В = - В А . Если точки А н В совпадают, то А В — 0. На рис. 1.1 имеем: О А = \ОА\, О С = -\0С\. Если направление от точки А к В положительное, то говорят, что точка В расположена правее точки А , а точка А — левее точки В . Каждому числу соответствует единственная точка на числовой оси. Поло жительное (отрицательное) число а (с) изображается точкой А (С ), лежащей правее (левее) точки О , причем длина отрезка О А (О С ) равна а (|с|) (рис. 1.1). И наоборот, каждой точке М оси Ох соответствует некоторое чис ло X (называемое координатой точки М ), равное длине отрезка О М , взятой с надлежащим знаком. Точкам О и Е соответствуют числа О и 1 соответ ственно. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множествами всех действительных чисел и всех точек на числовой оси. По этой причине часто не делается различий между понятиями «точка» и «число». Числовая ось обладает свойством непрерывности. 1.1.5.2. Некоторые числовые множества П усть а и Ь (а < Ь) — некоторые числа. Тогда множество всех чисел (точек) X , для которых: 1) а < X < Ь, н а з ы в а е т с я ограниченным интервалом и о б о з н а ч а е т с я (а ; 6); 2) а ^ I < &, — отрезком [а; 6]; 3) а < I < (), а < X < 6, н а з ы в а ю т с я конечными полуинтервалами и [а; Ь) с о о т в е т с т в е н н о ; (о ; 6| 4) а < X < +оо; -оо < х ^ а, — бесконечными полуинтервалами |а; +оо) и ( - 00; а I соответственно; 5) а < X < +оо; -оо < х < а, — бесконечными интервалами (а; +оо) и (- о о ;а ) соответственно. Все вышеперечисленные числовые множества называю тся также проме жутками. При этом [а; 6| называют замкнутым промежутком, (а ; 6) — открытым промежутком; а , 6 — концы промежутка, (Ь ~ а ) — длина промежутка. Числовые промежутки изображаются в виде геометрических промежутков на числовой оси О х (рис. 1.1). М ножество всех действительных чисел, а также вся чис ловая ось обозначаются одним из следующих способов: -оо < х < +оо или (- о о ; -Ьоо). 1.1.6. Грани числовых множеств Числовое множество X называется ограниченным сверху (снизу), если сущ е ствует число С такое, что х ^ С {х ^ С ) для всех х из X . Число С называется верхней (нижней) границей множества X . М ножество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным. Пусть X — офаниченное снизу числовое множество. Число т = 1п Г Х называется нижней гранью множества X , если каждое число х из X удовле творяет неравенству I ^ т и для каждого е > О существует х' из X такое, что X < т + е. Аналогично, число М = к и р Х называется верхней гранью множества X , если каждое I из X удовлетворяет неравенству х ^ М и для любого г > О существует х' из X такое, что х > М - е. Если множество X не ограничено снизу (сверху), то полагают, что 1пС X = -00 (я и р Х = -Ьоо). Верхняя (н и ж н яя) грань является наименьшим (наибольш им) числом, ограничивающим множество сверху (сни зу). При этом 1п1' X и 5и р Х могут либо принадлежать, либо не принадлежать множеству X . Если 1пГ X (з и р Х ) принадлежит X , то он называется минимальным (максимальным) элементом X . Обозначение: щ1п Х ( т а х Х ) . Любое непустое ограниченное сверху (снизу) множество имеет и притом только одну верхнюю (ниж ню ю ) грань. Пример 3. Для множества X = (а; Ь| точка а ям яется нижней гранью о = {пГ X, а 6 — верхней Ь = 5цр X. Причем нижняя грань о не принадлежит X , а верхняя фань Ь — принадлежит, т. е. зир X = тах X ^ Ь. Примечание. Если о — некоторая точка (действительное число) на оси Ох, д — любое положительное число, то интервал { а - 6, а+ 6), содержащий точку о, называется (открытой) 1$-окрестностью (или просто окрестностью) точки а. При этом а — 6 < х < а + 5 или — а| < <5. Если точка о совпадает с символом ос, то ее окрестность: 1*1 > 1/д. 1.2. Некоторые сведения из элементарной алгебры. Логарифмы. Арифметическая и геометрическая прогрессии 1.2.1. Степени и корни Если п — натуральное число, то а " является произведением п сомножителей, равных а. При а / О по определению а” = 1. Нулевая степень числа нуль не имеет смысла. Если а > О и п — натуральное, то арифметическим корнем п-й степени из о называется единственное положительное число, п-я степень которого равна о. Обозначение: ?/а или а'^". Если а < О, то корень определяется лиш ь при нечетном п. Для о = О имеем ^ = 0. Если рассматриваются оба значения (положительное и отрицательное) корня четной степени из а > О, то говорят об алгебраическом корне. П усть а ^ О, т и п — натуральные числа. Тогда по определению: а™/" = ( = 7 ^ = а^"‘ = — а™ (а 0). Для любых рациональных и иррациональных чисел р, д справедливы равенства = о''"''’ , {а’’У = а '"', {а Ь У = а’' а? = о''” ’ (а > О, Ь > 0). 1.2.2. Н екоторые часто используемые формулы Если а, Ь — некоторые числа, то: (а ± Ь )^ = а^ ± 2 аЬ + Ь^, (а ± ЬУ = а^± Ъ а Ч + ЪаЬ^ ± Ь\ (а + 6)" = а " + С^аГ-'Ь + + ... + С Г 'а й " ^ ' + *" (п = 1, 2, 3 ,. ..) , ..... где га! — факториал целого числа п ^ О, определяемый формулами га! = 1 - 2 - 3 - . . . - ( п - 1 ) - п (п > 0), 0!= 1, и представляющий собой произведение всех натуральных чисел от I до п. Формула для (а + Ь)" называется биномом Ньютона. Для любых чисел о, Ь, с выполняю тся следующиеформулы (а + Ь + с)^ = а } + Ь^ + с^ + 2аЬ + 2ас + 2Ьс, а.^-Ь^ = { а - Ь){а + 6), а ^ - Ь ^ = {а - Ь )(а ^ + аЬ + Ь^), а^ + Ь^ = (а + Ь){а^ - а Ь + Ь^), а " - 6" = (о - Ь ^ а "- ' + а ’‘~^Ь + ... + + й "^ ') (п — любое натуральное число), о" - Ь" = (а + Ь )(а "- ' - а"-^Ь + . . . + аЬ'‘-^ - Ь^-') (п — четное натуральное число), а " + б" = (а + Ь )(о "“ ' (п — нечетное натуральное число). Значения биномиальных коэффициентов \ т я 0 1 2 4 3 5 6 7 8 9 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 I 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1.2.3. 1) Н екоторые средние значения Среднее арифметическое п величин а , , . . . , а„ - (в | +02 + ■■■+ а „). п 10 1 2) Среднее геометрическое п величин !У а ,а 2 ...а „. 3) Среднее квадратичное п величин + а1 + ... + а1). 4) Среднее гармоническое п величин / 1 1 п : 1.2.4. - \а1 1 \ . - 02 ап/ Некоторые неравенства 1) |01 + 02 + ... + а„| < |а1| + |02| + ... + |о„|, где 0 |, « 2, действительные или комплексные числа. , а „ — любые 2) 1 /1 1 I 1 п\а1 1-------------------- й2 I \ __________ ) ^ а „/ у 'Д 1 а 2 • • • Лп ^ ^ \ / + 1, “ ( ^ 1 + й 2 -I-. . . + Оп) ^ п а^ + ... + « 2), где все действительные а ь Я г , . . . , а „ положительны; равенства выпол няю тся только при 0 | = 02 = ... = а „. 3) Неравенство Коши— Буняковского: 10161 + . .. + о „6„| ^ + . .. + о^'у/б) + ... + 6^, где все действительные о,, Ь^ произвольны. Равенство выполняется толь ко при 01 : 6| = . . . = а „ : Ь„. 4) Неравенство Чебышева: если 01 ^ 02 ^ ... ^ о„ и (>1 ^ 6: ^ ... ^ 6„ или О] ^ 02 ^ ... ^ о„ и 61 ^ Ь2 ^ . .. ^ Ь„ (все а ,, Ь, — положительны), то ( 0 1 -|- . . . -Ь О п ) ( 6 | -I- . . . -Ь 6 „ ) ^ 7 1 ( 0 1 6 1 + • • • -|- о „ 6 „ ) , равенство выполняется лиш ь при 01 = . . . = о„ и 6| = ... = 6„. 1.2.5. Н екоторые конечные суммы 1+ 2 + 3 + ... + п = п (п + 1 ) ' ’ 2 I -Н 3 -|- 5 -Ь ... -Ь { 2 п — 1)) = 2 -Ь 4 + 6 -|-. .. "Ь 2п — п(т1 -1-1), 1^ + 2^ + 3^ + . . . + = у (2 п ^ + Зп + 1), 1^ + 2^ + 3^ + ... + = — (п^ + 2 п + I). 6 4 1.2.6. Пропорции Если - = - , то ай = сЬ и о а т а + пЬ т с + пЛ ра + дЬ рс + д й ’ где т , п, р, д — любые числа. В частности, а± Ь с±<1 а - Ь с — (I д, а +Ь с + й' Ь ' 1.2.7. Д еление полинома но полином Деление нолинома на полином, аналогичное делению целых чисел, рас смотрим на конкретных примерах. Полиномы (делимое, делитель и проме жуточные результаты) должны быть расположены по убывающим степеням переменной х, при этом старшая степень делителя не должна превышать стар шей степени делимого. Степень последнего остатка меньше степени делителя. Пример 4. Разделим полином 6х^ -I- П (делитель). - Зж -I- I (делимое) на полином Зж^ - 2 х + \ Решение. 6х^ + 11*^ - 3 1 + 1 гх‘ - 2 х + \ 6х^ - 4х^ -1- 2х 2х + 5 15х" - 5 х ~ +1 15х^ - 10ж + 5 51-4 Здесь 2х + 5 — частное от деления, 5х — 4 — остаток от деления. Следовательно можно записать: 6ж’ -Н 1 - Зх-I-I Зх^-2х+ \ , , 5г-4 = 2х + 5 + Зх^-2х+]' Пояснение. Делим 6®’ на Зх^, результат 2х — первое слагаемое частного. Умножим делитель на 2х и результат вычтем из делимого, получим первый остаток. Делим 15х^ на Зж^, найдем второе слагаемое частного, равное 5. Умножим делитель на 5 и вычтем из первого остатка, получим второй (и последний) остаток, степень которого меньше степени делителя. Пример 5. Разделим полином ж’ - а’ на полином х — а. Решение. X - а х^ - х^ + а х + ах^ - а’ — а^х = х + ах + а . 1.2.8. А лгебр аи чески е уравнения 1.2.8.1. Уравнения. Системы уравнений Пусть / (х ) и г (х ) — два выражения, содержащие одну переменную х . Решить уравнение / (х ) = ^ (х ) с одной неизвестной х означает найти все его решения (кор ни), т. е. такие значения х , при подстановке которых в уравнение вместо X , значения / (х ) и д{х) равны. Говорят, что такие значения х удовлетворяю т данному уравнению. Например, уравнение 2 х - 4 = О имеет один корень х = 2. Нулем функции у = / (х ) называется точка Хо, являю щ аяся корнем уравнения / (х ) = О, т. е. /(х о ) = 0. Число Хо называ ется т-кратны м нулем (корнем) полинома Р ( х ) , если Хо — т-кр атн ы й корень урав нения Р { х ) = 0,т. е. Р { х ) = ( х - Х о ) ™ ^ ( х ) , где ^ {x ) — полином и ^ (х о ) ф 0. Н у лям функции соответствуют точки пересе чения или точки касания ф аф ика ф унк ции с осью абсцисс. Например, функция 2/ = х^ - 6х^ -Ь 9х = х (х - 3)^ имеет од нократный (простой) нуль в точке Х| = О Рис. 1.2 и двукратный нуль в точке Хг = 3 (рис. 1.2). Пусть X — множество допускаемых значений, которые может принимать неизвестная х. В зависимости от множества X уравнение можег не иметь решений в X (тогда оно называется неразрешимым в множестве X ) , ли бо иметь конечное или бесконечное множество рещений (разрешимое в X уравнение). Например, уравнение я? = 1 неразрешимо в множестве рацио нальных чисел, а в множестве действительных чисел имеет два решения \/2 и - '/2 . Уравнение = -1 неразрешимо в множестве действительных чисел, но разрешимо в множестве комплексных чисел. Уравнение 81п I = О имеет бесконечное множество решений для действительных х. Если решениями уравнения являю тся все числа из множества X , то оно называется тожде ством в множестве X . Например, уравнение = х является тождеством в множестве неотрицательных действительных чисел (х ^ 0), но не является тождеством в множестве всех действительных чисел. Чтобы подчеркнуть тождественность какого-либо равенства, вместо знака «= » иногда применяют знак «=» (например: (х - 1 )(х + 1 ) н х^-1). Выражение 0 = 6 означает также, что а по определению равно Ъ. Уравнение / (х ) = О, в котором / (х ) — полином от переменной х, называется алгебраическим уравнением. Все остальные уравнения являю тся неалгебраическими, в том числе и иррашюнальные уравнения, содержашие неизвестную х под знаком корня. Неалгебраические уравнения, в которых неизвестная х содержится под знаком трансцендентных функций называются трансцендентными уравнениями. К ним относятся тригонометрические, показа тельные и логарифмические уравнения. В общем случае уравнение может содержать п неизвестных х ,, Х г , . . . , х „ : / (х ,, Х 2 , . . . , Х „ ) = ,?(х ,, Х 2 , . . . , Х „ ) . Здесь каждая неизвестная x^ имеет свое множество допускаемых зна чений X^ (г — 1,2, . . . , п ) . Решением (корнем) уравнения называется такая конечная последовательность чисел (т. е. набор п чисел, расположенных в определенном порядке) ( я ь я г , .. . , а „ ) из соответствующих множеств до пускаемых значений, при подстановке которых в уравнение вместо неизвест ных Х (, Х2, .. . , х „ , левая часть уравнения равна правой. Решить уравнение — значит найти множество всех его решений. Например, уравнение х^ + у^ = \ имеет бесконечное множество решений: (0; 1), (1;0), (\/2/2; \/2/2), ... для действительных х н у . Системой уравнений с неизвестными Х ь Х2, . . . , х „ называется совокуп ность уравнений, для которых требуется найти конечную последовательность п чисел (01, 02, . . . , а „ ) , одновременно удовлетворяющих каждому из этих уравнений. Такие последовательности чисел называются решениями системы уравнений. Например, система двух уравнений с тремя неизвестными Х - у + !^ = Ъ, Х + у- 2 = \ имеет бесконечное множество решений: ( 2 ; - 1 ;0 ) , (2; 0; I), . .. . Решить си стему уравнений — значит найти множество всех ее решений. Если удается последовательно исклю чить неизвестные из уравнений системы, например, выражая какую-либо неизвестную в одном из уравнений через другие неизвестные и подставляя ее в остальные уравнения, то решение системы сводится к решению одного уравнения с одним неизвестным. 1.2.8.2. Решение алгебраических уравнений Линейное уравнение (уравнение первой степени) ох = Ь (а / 0) имеет един ственное решение х = Ь/а. Квадратное уравнение (уравнение второй степени) ах^ + Ьх + с = О (а ^ 0) имеет два корня в множестве комплексных чисел: - Ь ± \/Ь^ - 4ас Х\л = ------; ------- • 2о Если коэффициенты а .Ь ,с — любые комплексные числа, то у/Ь^ - 4ас — одно из двух значений квадратного корня. При этом К] + гг = -Ь/а, Х|Хг = с/а (теорема Виета). В случае действительных а ,Ь ,с корни х ,, Хг либо действительные раз личные, если дискриминант О = - 4ос > 0; либо действительные равные, если 0 = 0; либо комплексно сопряженные, если О < 0. Делением на а квадратное уравнение приводится к виду 2 X + р х + д — О, Ь р=~, а с «=-. а Тогда Квадратный полином в левой части квадратного уравнения может быть представлен в вице произведения (разложение на множители) ах^ + Ьх + с = а (х - х |) (х - Хг), х^ + р х + д = (х - х ])( х - хг). Теорема Виета для кубического уравнения х^ + гх^ + зх + 1 = 0: Х| -Ь Х2 4- Хз = - г , Х| Х 2 Х1Хз -Ь Х2Х3 = Я, 11X2X3 = - < (х ь Х2, хз — корни уравнения). Биквадратное уравнение ах'^+Ьх^+с = О при помощи замены неизвестной х^ = I приводится к квадратному уравнению а1^ + Ы + с = 0. Если — корни квадратного уравнения, то 4 корня биквадратного уравнения находятся из равенств х^ = <], х^ = <2Обншй вид алгебраического уравнения с одной неизвестной х : Р „(х ) г а „х " + а „ _ , х " “ ' + ... + Оо = О {а „ ф О ). Здесь коэффициенты (г = О, 1 , . . . , п ) — действительные или ком плексные числа, п — степень полинома Р „ { х ) , Оо — свободный член. Если Рп {х ) = {х ~ х |)™ р „_ т (х ) ( I ^ т ^ п ), где Р „- т (х ) — полином степени {п - т ) ч Рп - т{х \) ф О, то Х| называется корнем уравнения порядка (или кратности) т . Если Х| не является корнем (т. е. Р „(Х |) / 0 ), то Рп(х) = (х - x \ )^ {x ) + где ^ {x ) — некоторый полином (теорема Безу). Каждое алгебраическое уравнение Рп {х ) = О степени п с действительны ми или комплексными коэффициентами имеет ровно п корней, если корень кратности т принять за т корней. Если уравнение с действительными коэф фициентами (действительное уравнение) Рп{х) = О имеет комплексные корни, то все они встречаются комплексно сопряженными парами а + и а - г/З, т. е. число комплексных корней четное. Поэтому действительное уравнение нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень. Разложение полиномов на множители. Если корни действительного или комплексного полинома Рп (х ) равны Х |, •••, х* и имеют кратности гп \,... ,гпк (ш ) + .. . + т/с = п ), то полином можно представить в виде произведения Р „ ( х ) = а „ ( х - х , Г ‘ ■ ■ ■ (х ~ х ,Г . Каждая пара множителей (х - х ] ) ( х - Хг), соответствующая паре ком плексно сопряженных корней Х| = а + г^, Х 2 = а - г/9, объединяется в один действительный квадратный множитель (х - а У + + рх + д (р = - 2 а , д = + /3^). 1.2.9. Логариф мы Логарифмом действительного числа Л > О по действительному основанию а (а > О, а ф I ) называется показатель степени х , в которую надо возвести а, чтобы получить число А , т. е. А = а^. Обозначение: х = 1о8„ Л . Например, 1о 82 8 = 1оё2 2^ = 3 , 1о 8 з ( 1 /9 ) = 1о8з 3 “ ^ = - 2 , 1ов2 I = 10& 2° = 0 . При заданном основании каждому действительному числу Л > О соот ветствует единственный логарифм. Действие нахождения логарифма какоголибо выражения называется его логарифмированием. Свойства логарифмов: 1 )а '°® ” ^ = Л ; 2 )1 о 8 „а = 1 ; 3) 1о8„ а ” = р ; 5) 1о8„(^5) = 1о8„ а + 1о8„ В ; 6) 1°8а 1) ^ = 1о8„ а - 1о8„ В ; 1о8„ Л ' ' = р 1о8„ Л; 8) 1о8„ V I = - 1о8„ А\ п 9) 108ь л = (1о8а А ) ■(108ь а) = 1о8„о ; 4) 1о8„ I = 0; Логарифмы по основанию а = 10 называю тся десятичными логарифмами и обозначаются 18^4. В частности 1в 10" = п. Целая часть десятичного лога рифма называется характеристикой, а дробная часть — мантиссой. Например, 18 137 = 1§ (10^-1,37) = 2 + 1е 1,37 = 2,13672, характеристика равна 2, а мантис са равна 0,13672. П оскольку 1§ (1 0 "В ) = п + 1§В (п — целое), то десятичные логарифмы чисел, отличающихся множителем 10" , имеют разные характе ристики, но одинаковые мантиссы. Поэтому в логарифмических таблицах приводятся лиш ь мантиссы целых чисел. Д ля нахождения числа по его деся тичному логарифму применяются таблицы антилогарифмов. Если х = 1% А , то число А называется антилогарифмом числа х. Натуральные логарифмы. Основанием натуральных логарифмов (обозна чение: 1п^4) служит трансцендентное число е, равное := И т Л - |- - ') п-*оо \ п/ = 2,718281828.... Для перехода от десятичных логарифмов к натуральным и наоборот при меняются формулы: 1п 4 = — = (1п 10) 1§ 4 и (2,302585) 1§ А, \&е \&Л = ^ = (1ё е) 1п А й: (0,434294) 1п А. 1п 10 1.2.10. А р иф м ети ческая прогрессия Арифметической прогрессией называется конечная последовательность чи сел, в которой каждый последующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа й, называемого разностью прогрессии: 0 |, Я| + й, а\ + 2с1, й|-I-(п - 1)й. Общий член профессии равен: а/ь = О] 4- (А: - 1)й (А = I, 2 ,.. . , п). Проф ессия называется возрастающей (убывающей) если й > О (й < 0). Приме ром арифметической профессии является конечная последовательность нату ральных чисел I, 2 , . . . , п {Л = 1). Свойство профессии: а*, = {ак -1 + 01,^ 1)/2. Сумма всех п членов профессии равна й'п = а, + 02 -Н . .. -I- а „ = ^ а* = ^ [2а, -Ь а{п - 1)]. 1.2.11. Геометрическая прогрессия Геометрической прогрессией называется конечная последовательность чисел, в которой каждый последующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на одно и то же число д ^ О, называемого знаменателем прогрессии: а^^ , а ,? . а,д Общий член прогрессии равен ац = а ,9* ' {к=^ 1, 2, ,п ). Например, 1, 1 • 2, 1 • 2 ^ , .. ., 1 •2 "“ ' (д = 2). Прогрессия называется возрастающей (убывающей), если д > I (О < д < I). При 5 < О прогрессия знакочередующаяся. Свойство прогрессии: а* = у^о^Гр’Ок+ТСумма всех п членов прогрессии равна (при д / 1): „ А = 9" - = 1 1 - 9 " 1.3. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений 1.3.1. М атрицы и определители 1.3 .1.1. О сновны е понятия Матрицей размера т х п (или т х п-матрнцей) называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества (обычно из дей ствительных или комплексных чисел), имеющая т строк и п столбцов: А = 0|1 0|2 «21 <»22 ••• _а.т1 ... О-т! а\п а.2п О'гпп. Элемент матрицы Оц расположен в г-й строке (первый индекс) и ^'-м столбце (второй индекс), где г = 1, 2, . . . , т ; ^ = 1, 2, . . . , п. П рименяю тся и другие способы записи матриц: 'а „ . \О т1 ■ ^тпп/ ап . ■■ ащ От! ■ ^тп а также ||0(;||; ||о,^||т,п; [о .;]; [а 1;|т ,п ; (а.;)- М атрицы обозначаются больш и ми латинскими буквами: А , В , С , Матрица, у которой т = п, называется квадратной матрицей порядка п. Матрица размера 1 х п , состоящ ая из одной строки, называется матрицей-строкой (или вектор-строкой), а матрица размера п X 1 — матрицей-столбцом (или вектор-столбцом). Далее матрицу-строку бу дем записывать в виде: (0 |, а г , . . . , а „ ) , а матрицу-столбец одним из способов: = { о ,, 0 2 , . . . , а „ } = (0 | , 0 2 , . . . , о „ )^ Любое число можно рассматривать как 1 х I -матрицу, состоящ ую из од ного элемента. В квадратной матрице порядка п элементы ац {г = 1 , 2 , . . . , п ) назы ваются диагональными и расположены на главной диагонали матрицы. Сумма всех диагональных элементов называется следом матрицы. Обозначение: Т гЛ = 5 р Л = О ц + 022 + . . . + о„„. Квадратная матрица, у которой все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю А = Он О О 022 О О называется диагональной. Если в диагональной матрице порядка п каждый элемент ац = 1, то матрица называется единичной и обозначается Е или I (а также Е „ или 1„): Г1 Е= О ... О' О 1 . .. О О О Вводя символ Кронекера ‘-С: если *■/ 3, если единичную матрицу можно записать в виде Е = (<!{;). Матрица любого разме ра, в которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается (0) или просто 0 . Матрица А размера п х т , получающаяся из матрицы А размера т х п заменой строк соответствующими столбцами, называется транспонированной к матрице А: '0 | , а ,2 321 02 2 .^ т 1 0^2 Т . . ■• Й1п •• «гп ’оц 021 • Отп1 «1 2 й22 .. ® т2 а\п (12п - ® тп _ О тп. или А^ = (а^ )^ = {а р ). При этом (^4^)^ = А. Пример оборот: 6 . При транспонировании вектор-строка переходит в вектор-столбец и на (01, 02, ... , 0„)^ = ■«Г 02 , Лп. 'а,' 02 = (0| ,02, . . . , 0„). .“ п- 1.3.1.2. Определитель квадратной матрицы Каждой квадратной матрице порядка п с действительными или комплексными числовыми элементами А = (а^^) можно поставить в соответствие единствен ное число О , называемое определителем (или детерминантом) матрицы А или просто определителем п-го порядка. Определитель матрицы А = (а^^) обозначается одним из следующих четырех символов: 'ац а,2 . а|„ ап аи • а1п а21 022 ■ а2„ = 021 022 ■•• 02п Оп\ а„2 . Опп. а„1 а„2 . Опп В = де1А = (1е1 и определяется следующим образом. Определитель первого порядка для матрицы (а ц ), состоящей из одного элемента (числа), равен самому этому числу, т. е. йе! (о ц ) = ап . Определитель второго порядка по определению равен ац в |2 = аца22 - а|2а2ь 021 022 т. е. находится как произведение элементов на главной диагонали минус произведение двух остальных элементов. Определитель третьего порядка определяется равенством аи О = а21 аз1 «12 0,3 022 023 а.12 азз = «И а22 а2з аз2 а зз - а12 а21 а2з «31 а зз + 013 а21 0 22 аз1 аз2 Определитель порядка п - 1, получающийся из матрицы А = (щ^) порядка п вычеркиванием г-й строки и ^'-го столбца, на пересечении которых находится элемент а ^ , называется минором элемента вц . Например, для матрицы третьего порядка (п = 3) «22 «23 а з2 озз , М |2 = «21 023 О з| озз , М |3 = 021 022 031 «32 являются минорами элементов Оц, 0 |2, « 13, . . . соответственно. Алгебраическим дополнением А^^ элемента а^^ называется число, равное Определитель второго порядка можно записать теперь в виде ап а ,2 021 «22 = «п-^п + а |2Л |2, = (- 1 )'+ 'М и = 022, А п = (- 1 )'+ 'М ,2 = -а2,. Для определителя третьего порядка аналогично записываем В = а и А и + 012^12 + 013^ 13, = ( - ! ) ''' = М || = 022033 - 023032, 4 ,2 = ( - 1 ) ' + 'М , 2 = - М |2 , Л |з = ( = М |з . - 1) '+ ’ М |з Пусть нам известно правило вычисления определителя произвольной квадратной матрицы порядка п - 1. Тогда, по определению для произвольной квадратной матрицы А = {а^^) порядка п определитель равен: О = де1Л = Оп^4|| + 012^12 + ... + а[„А \„. При этом говорят, что определитель разложен по первой строке. Аналогич ным образом определитель может быть разложен по любой строке и любому столбцу, например, по второй строке и третьему столбцу соответственно с1е1 А = 021^21 + 022^122 + •••+ 0,1„ А 2п = 0 |зЛ|з + О23Л 23 + . . . + а„)А„^. Вычисление определителя порядка п, таким образом, сводится к вычис лению определителей порядка п - 1, каждый из которых выражается через определители порядка п - 2 и т.д., до тех пор, пока вычисления не сведутся к нахождению определителей второго порядка. Пример 7. Вычислить определительтретьего порядка 3 1 -2 0 = 5 - 3 4 -2 2 . -3 Решение. Разложим определитель по первой строке: В = ОцЛп + а|2-А|2 + а^зЛ^з, где “ п = 3, 0 |2 = 1, 0 |з = -2; -3 -2 2 = 13, -3 Л ,2 = (-|)'+^ 5 4 -3 -2 = 5 4 2 = 23, -3 2. Следовательно, X) = 3 •13 + I •23 + (-2) •2 = 58. Свойства определителей. 1) Определитель транспонированной матрицы равен определителю ис ходной матрицы А , т. е. определитель не изменяется при замене строк столбцами. 2) При перестановке любых двух строк (двух столбцов) изменяется только знак определителя, при неизменной его абсолютной величине. 3) Определитель равен нулю, если соответствующие (т. е. имеющие оди наковые порядковые номера) элементы двух строк или двух столбцов пропорциональны, в частности, равны. 4) Множитель, общий для всех элементов любой строки (или столбца), можно вывести за знак определителя. Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на некоторое число, то определитель умно жится на это число. 5) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столб ца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умно женные на любое число. 6) Определитель треугольной матрицы (т. е. такой, все элементы которой, расположенные ниже, либо выше главной диагонали, равны нулю) равен произведению элементов главной диагонали «11 0 012 0 0 022 ■■■ а ,„ •.. 02„ . .. = 011022 ■.■•Опп а „„ П П к=1 *=1 где — символ Кронекера, В = с1е1 (а^^), нения. — алгебраические допол- 1.3.2. Действия над матрицами 1.3.2.1. Равенство матриц Две матрицы А = (о^^) и В = (6,^) называются равными (запись: А = В ) , если они имеют одинаковый размер т х п и все элементы, стоящие на одинаковых местах, равны между собой, т. е. (» = 1, 2, . . . , т ; У = 1, 2, . . . , п). 1.3.2.2. Сумма матриц Суммой А + В двух матриц А = (а^^) и В = (Ь,^) одинакового размера т х п называется матрица С = (с^^) такого же размера с элементами + Ь^^, ’ “ 11 + Ьп в |2 + Й12 <*1п + Ь1п <*2| + ^21 022 + Ь22 < 12п + &2п .От1 + ^т1 ^тп2 + ^тп2 С = А + В= ••• ^тп + &тп. Аналогично определяется разность матриц С = Л - 5 = О,^ - 1.3.2.3. Умножение матрицы на число Произведением матрицы А = на число а (или произведением числа а на матрицу А ) называется матрица А а (или а А ) , все элементы которой получаются из элементов матрицы А умножением на это число, т. е. А а = а А = (а о ц ) = ааи а О |2 а а ,„ а о 2| а 022 аа2п 1а а „1 аат2 ••• ащ Вышеперечисленные действия обладают следующими свойствами: 1) А + В = В + А\ 2) а (А + В ) = а А + а В \ 3) А + ( В + С ) = (А + В ) + С-, 4) (а + р )А = а А + РА\ 5) а (р А ) = (а ^ )А , где А , В , С — матрицы одинакового размера, а , Р — любые числа. 1.3.2.4. Противоположная матрица Матрица - А = (-1)>4 = (- о ^ ) называется противоположной для матрицы А = (о у ) любого размера. Сумма А + (- Л ) = Л - 4 = (0) равна нулевой матрице. Пример 8. Для числа а = 2 и матриц О В = А+В = ’З 2 5 0 Г , 9 -А = -1 I -5 -2 -2 ~2 , -4 -I 5 2-А = Л-2 = '2 -2 10 4 4 8 1.3.2.5. Умножение матриц Пусть А = (а;*) и В = (а^^) — две матрицы размера т х п и п х з соответ ственно (т. е. число столбцов п матрицы А равно числу строк матрицы В ) , тогда для этих матриц определено произведение С = А В , где С = (с^^) — матрица размера т х я с элементами П Сц = ^ <^^кЬк^ = 0(1 Ь|^ + 0,262; + ••■+ а,пЬп] 1;=1 (1 = 1 , 2 , . . . , т ; 7 = I, 2 , . . . , Таким образом, чтобы найти элемент с,^, стоящий в 1-й строке и столбце матрицы С = А В , надо элементы 1-й строки первой матрицы (т. е. А ) умножить на соответствующие элементы ] - т столбца второй матрицы (т. е. В ) и сложить полученные произведения (т. е. «умножают строки на столбцы»). Отметим, что произведение двух ненулевых матриц А (0) и В 5^ (0) может оказаться равным нулевой матрице. Например, 0 0' 1 0 "о 0' .0 0. 0 о' 1 0 В связи с этим, из равенства А В = А С , т.е. А { В - С ) = (0) при А ф (0), вообще говоря не следует, что В - С = (0), или В = С . Пример 9. АВ = I 2 .2 3 -3 1. 1 —11 0 Свойства умножения матриц. 1) А ( В С ) = ( А В ) С ; 2) (А + В ) С = А С + В С ; 3) С (А + В ) = С А + С В ; 4) а ( А В ) = ( а А ) В = А ( а В ) , где А, В , С — матрицы, а — число. 0 1 ^ 4 2 0 - 1. -1 -1 -6 13 5' 3 Произведения А В и В А матриц А и В определены одновременно, в частности, для квадратных матриц одного порядка. Умножение матриц не коммутативно, т. е. произведение двух матриц зависит, вообще говоря, от по рядка сомножителей ( А В / В А). Пример 10. 7 4 6 4 Здесь А В ф В А. Для произвольных (не квадратных) матриц А, В может оказаться даже, что произведение А В имеет смысл, а произведение В А — не имеет. Матрицы А, В , для которых А В = В А , называются перестановочными (коммутативными). Так, например, единичная матрица Е„ перестановочна с любой квадратной матрицей порядка п: АЕ„ = Е„А = А. Если А и В — квадратные матрицы одного порядка, то с1е1 (А В) = 6 е1 (В А ) = (с1е( А) ■(де1 В). Справедливы следующие равенства для транспонированных матриц (А + В )^ = А ^ + В ^ , (Л В)^ = В'^А'^. Для квадратной матрицы А справедливо ае1 А'^ = с1е1 А. 1.3.2.6. Обратная матрица (квадратная матрица называется невырожденной (вырожденной), если ее опре делитель не равен (равен) нулю. Обратной матрицей (обозначение: А ) по отношению к невырожденной квадратной матрице А называется такая матрица, которая при умножении на А как слева, так и справа, дает единичную матрицу Для каждой невырожденной квадратной матрицы существует единствен ная обратная матрица. Вырожденная квадратная матрица обратной не имеет. Справедливы равенства {А ~ 'у '= А , (А В )^ = В 'А - . 1 де! >4' {А - У = {А ^ Г Нахождение обратной матрицы для невырожденной матрицы А прово дится в следующей последовательности. 1) Находим определитель I ) = с1еЫ / О, 2) Для всех элементов матрицы А находим алгебраические дополнения 3) Составляем матрицу из алгебраических дополнений А = . а затем транспонированную матрицу А ^ = которая получится из А путем перестановки местами строк и столбцов с одинаковыми номерами: А\] . , .^п\ . Л]1 А\п А = ^пп. .А\п 4) Разделив все элементы матрицы А чим обратную матрицу Ап] А^ = ■^пп. на величину определителя В , полу ' ^^11 -^«1 п 1 ' А-' = - Р О ■4]п ■'^пп 1 О О \ Пример 11. Для матрицы в примере 7 найти обратную матрицу. Решение. I) 0 = й^1А^ 58. 2) = 13, Ап = 23, ^413 — 2, ^421 -= 7, .122 = - ' , А-а = 10, Азз = -14. =• 3) Запишем матрицы А и А^: 1 = ■ 13 7 . -4 23 -1 -16 2" 10 - 14] Г = '13 23 . 2 Г -4 1 -16 10 -14. - 1 4) Обратная матрица равна А ■|3 7 4■ 58 23 58 1 58 16 58 58 58 2 10 14 .58 1.3.3. Ранг матрицы Если в произвольной матрице А = (а,^) размера т х п выбрать любые к строк и к столбцов, где к < т 1п ( т , п), то элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют матрицу размера к х к. Определитель этой матрицы называется минором к-то порядка матрицы А. Р а н г о м матрицы А называется наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы. Таким образом, матрица А имеет ранг г, если: 1) г"ществует хотя бы один минор порядка г, не равный нулю; т 2) все миноры порядка г + 1 и выше равны нулю. Ранг матрицы, состоящей из одних нулей, по определению равен нулю. Д е ф е к т о м матрицы называется разность межцу наименьшим из чисел , п и рангом матрицы г. 3-1 2 1 4 -2 -2 5 -4 Пример 12. Найти ранг матрицы А = 1 2 1 Решение. В матрице содержится не равный нулю минор порядка 2 |: а все миноры порядка 3 равны нулю. Следовательно, ранг г = 2, а дефект равен 3 - 2 = 1. > Ранг матрицы не изменяется при следующих э л е м е н т а р н ы х п р е о б р а з о в а 1) при перестановке любых двух строк, 2) при умножении любой строки на число, не равное нулю, 3) при сложении любой строки с другой строкой, умноженной на некоторое число; а также при транспонировании матрицы. Аналогичные свойства справедливы и для столбцов. На этих свойствах ранга матрицы основан удобный на практике способ нахождения ранга, используюший метод Гаусса (см. 16.2). Пример 13. Найти ранг матрицы из примера 12. Решение. Производя элементарные преобразования матрицы А в примере 12 по методу Гаусса, запишем последовательность преобразованных матриц I1 •1 1 -2 2 Г 4 - 2 2 5 1 -4 0 0 1 2 1- 3 3 13 8 5 3 3 3 13 8 5 3 3 3^ ~3 1 =!• 1 1 2. 1 ~3 13 3 3 5 0 .0 3 0 8 1_ 3 3 0 0 . Последняя матрица содержит ненулевые миноры второго порядка, все миноры третьего порядка равны нулю, так как третья строка состоит из нулевых элементов. Следовательно, ранг исходной матрицы А равен 2. > 1.3.4. М атрицы со специальными свойствами симметрии Квадратная матрица А = (а^^) с действительными или комплексными эле ментами называется: 1) симметричной, если = А , т. е. если = о^^; 2) антисимметричной (кососимметричной), если А^ = - А , т. е. если 3) ортогональной, если = -о^^; А = А А ^ = Е , т. е. если А^ = А~^. Любую квадратную матрицу А можно единственными способом пред ставить (разложить) как сумму симметричной и антисимметричной матриц: А = ^ - {А + А ^ ) + '- { А - А '^ ) . Пример 14. Разложим матрицу А на симметричную (первое слагаемое справа) и ан тисимметричную (второе слагаемое): А = '1 4 2 -3 .1 4 -5 ‘ 8 ■ = -1. 1 3 . -2 3 - 2 -3 6 6 ■0 -1- -1 - 1. 3 1 0 -2 -3' 2 0, Квадратная матрица А = (а,у) с комплексными элементами называется: 1) эрмитовой, если А^ = А , т.е. если а^^ = а,^, где А = (о,у) — матрица, комплексно сопряженная к А , полученная из А заменой ее элементов на комплексно сопряженные; 2) косоэрмитовой (аитиэрмитовой), если А^ — - А , т. е. если а^, = -а^^; 3) унитарной, если ^ А = А А ^ = Е , т . е . если А^ ^ А '. Любая комплексная квадратная матрица А может быть единственным способом представлена (разложена) в виде суммы эрмитовой и антиэрмитовой I матриц А = Н\ + гН 2, где Н\ = - {А + А ) — эрмитова матрица, а = 1 ^ - ( А - А ) — антиэрмитова. 1.3.5. 1.3.5.1. Системы линейных уравнений Основные понятия Система т уравнений с п неизвестными Х), Хг, ■■■,х „ О ц Х ] -I- а , 2 X 2 -Ь . . . + 0 | „ х „ = 6 ,, 021X1 Ч- «22X2 + . . . -Ь 0 2 „ Х „ = &2, От1Х| -Ь Отп2Х2 -Н . . . + ОтпХп — ^ аг^X^ = Ьг (г = 1, 2, . . . , т ) , ;= ‘ где о,; — коэффициенты, Ь^ ~ свободные члены, называется системой линейных уравнений. Если все = О, то система называется однородной, в противном случае — неоднородной. Матрицы 'а и л = а ,2 021 022 .От! От2 .. ■ а |„‘ •. . 02„ ■• , {А ,В ) = о ,„„. 'а и 012 ■• 0 ]„ б ,' Ол 022 ■• 02„ Ьг Ога! От2 ^тп Ьт. называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно. Решением системы линейных уравнений называется конечная последова тельность п чисел, т. с. набор п чисел (с ь С г,. . . , с „), расположенных в опре деленном порядке, принадлежащих множеству допускаемых значений и удо влетворяющих одновременно каждому из уравнений системы при подстановке этих чисел вместо соответствующих неизвестных. Решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений. Система линейных уравнений мо жет иметь либо одно решение, состоящее из набора п чисел, либо бесконечное множество решений, либо ни одного решения. Система, не имеющая ни од ного решения, называется несовместной, в противном случае — совместной. Две системы уравнений (или два уравнения) называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одинаковые множества решений. 1-3.5.2. Решение систем линейных уравнений Вводя обозначения 'ь>- 'хх' X = Х2 , в = Хп. Ьг Ь,п. систему уравнений ( 1.1) можно записать в виде матричного уравнения Л Х = В. (1.2) где А — матрица системы (1.1). Рассмотрим сначала решение системы ( 1.1) в случае т = п, когда число неизвестных совпадает с числом уравнений. 1. Метод обратной матрицы. При т = п матрица А системы (1.1) — ■квадратная. Пусть О = йе1 А ф О . Умножая матричное уравнение (1.2) слева на обратную матрицу А , получим {А -^'А )Х = А ~ 'в . Отсюда следует (так как Л ~ 'Л = Е , Е Х = X ) , что единственное решение системы имеет вид X = А 'в . или ' 11' Х2 'ь ,' Л2\ 1 >412 А22 ^п2 Ь2 1 11п Хп. где 02 (1.3) " Ъ “ V Ь„. .о „. {* = 1. 2 , . . . , п). Таким образом, X] — — (А ц Ь1 + А 2 ]Ь 2 Пример 15. Методом обратной матрицы решить систему уравнений 31| + Х 2 - 2Ху = 6, 51| - 3X2 + 21з = -4, 4X1 - 2X2 - Зхз = -2. Решение. Используя выражение обратной матрицы Л получим 7 -4" ■ 6 " '13 ’* 1 ‘ 11 1 -4 23 - 1 -16 Х2 ^ 58 10 -14 .-2 . 2 Х2. Искомое решение: х, = 1, 12 , найденное в примере 11, '5 8 ' 174 . 0 ' 1‘ = . 3 0. = 3, хз = О или (I; 3; 0). > 2. Формулы Крамера. Из матричного равенства (1.3) следуют формулы Крамера, дающие решение системы линейных уравнений: Ог В = аи 0,2 . .. а,„ Оп . .. Ь, . .. 0 |„ «21 022 . .. 02„ 021 . .. б2 . .. 02„ ■ Лпп 0п1 •.. ь„ . Опп “ п1 Чп2 , о ,= Здесь определитель Д {« = 1, 2 , . . . , п) получается из определителя О путем замены в нем «-го столбца на столбец свободных членов системы ( 1.1). Пример 16. Решить по формулам Крамера систему в примере 15. Решение. -2 1 о = = 58, -3 6 В , = -4 -3 -2 -2 -2 1 I 6 02 = = 58, = 174, -4 О, = 5 -3 -4 4 -2 -2 -2 О, *, = - = !, = 0, В Ь/] * з = д = 0. = > Однородная система линейных уравнений (все 6, = 0) всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: Х\ = 0, Хг = 0, . . . , Хп = 0. Если при т = п определитель В = Ле1 А / О, то однородная система имеет единственное решение, являющееся нулевым. Для того чтобы однородная система линейных уравнений при т = п имела также решение, отличающееся от нулевого, необходимо и достаточно выполнение условия I ) = де1>1 = 0. 3. Метод П1усса решения системы состоит в последовательном исклю чении неизвестных из уравнений этой системы. Алгоритм метода приведен в 16.2. В общем случае т ф п . Пример 17. Методом Гаусса решить систему уравнений из примера 15. Решение. Используя алгоритм метода Гаусса, получим последовательность расширен ных матриц (знаком * отмечены ведущие элементы): 1 1 -2 -3 2 -2 -3 (-7)' I О Г1 1 3 0 1 2 21 3 - ^ --- 3 =>■ -14 -10 - - Г 1 .0 0 2 1 ‘^ 1 0• - ? .« « © ■ ° 3 1 0 . Переходя в обратном направлении от последней расширенной матрицы к исходной. будем иметь: Хз = О, 8 12 I 2 = 3 + -Жз = Ъ, Х\ = 2 — -Х ; + -Хз = 1. > 4. В общем случае число неизвестных п не равно числу уравнений си стемы та, так что п < т , п > т или п = т . Если ранг Г| матрицы А системы (1,1) и ранг Г2 расширенной матрицы {А , В ) не равны друг другу (Г| / Гг), то эта система несовместна (не имеет решения). Теорема Кронекера—Капелли. Система уравнений (1.1) совместна (т е . имеет решение) тогда и только тогда, когда матрица системы А и расширенная матрица {А , В ) имеют одинаковые ранги (г, = гз = г). При этом, если г = п, то решение единственно. В частности, однородная система имеет только нулевое решение. В общем случае, если г < п, то решение не единственно, при этом однородная система имеет ненулевые решения. Пример 18. Решить систему уравнений г, + 2X 2 = I, 2x1 + 4X2 = 3. Решение. Ранги матриц 1 2 2 4 А = (А. В ) = равны соответственно г, = I , Гг = 2. Поскольку Г] ^ Гг, система несовместна,т. е. не име ет решения. Действительно, умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из второго, приходим к противоречию: «0=1», показывающему несовместность системы. о Пример 19. Решить систему уравнений 2 = 3, X, - Х 2 = 2, X] -1- 2X2 = ■ Решение. Ранги матриц А = '1 1 Г -1 , (А ,В ) = ■| I 1 -1 3 2 .1 2 4 .1 2 соответственно равны г, = 2, Гг = 3. Система несовместна, так как г, ф Тг. > Пример 20. Решить систему уравнений 2Х| + Х2 + 3*3 + х, = 10, ЗХ] — 2x2 + Хз —4x4 = “ 5, X, - 3X2 - 2хз - 5*4 = -!5. Решение. Используя алгоритм метода Гаусса (см. 16.2.1), получим последовательность расширенных матриц (знаком + отмечены ведущие элементы): -2 0 о I 11 40 ' У у 0 0 0 о 0 Здесь ранги матриц А и (А , В ) равны г, = Гг = 2, т. е. система совместна. Так как г < п (2 < 4), то решение не единственно. В последней расширенной матрице третья строка нулевая и может быть отброшена. В результате получим систему двух уравнений 1 3 1 11 40 *1 + = 5, Х2 + Х , + — 14 = — , 2 2 2 которую перепишем в виде 3 1 *1 1 40 - 1 2 = 5 - - I ) - -Х 4 , Х2 = — 11 - X ] у Х ,. Вводя обозначения Жз = р ь Х 4 = Р 2 , гдер|,рг — произвольные действительные числа (параметры), получим: 40 *2 = у 11 - Р | - 15 2 XI = — - р, + -р2. у Р 2 > Следовательно, множество решений системы имеет вид: /15 I у 2 - Р | ^Р2, у + 40 - Р 11 | - \ у Р 2 , Р ь Р2 I = ^ (| , ^ , 0 , 0 ) + р , , - . , - 1 . 1 , 0 ) + Р 2 (В .- Д ,0 ,1 ). Множество р»ешений соответствующей однородной системы А Х — (0) имеет вид р ,(- 1 , - 1 , 1 , 0 ) + Р ; ( ^ у - у , о , 1 ^ О Пример 21. Решить систему уравнений 2Х| + 12 = I, | — Х 2 = 2, 1 XI — 2X2 = 3. Решение. Применяя алгоритм Гаусса, получим I 2' 1I 1 -1 2 I -2 3 О О ( (-0 ' 5 1 2 п 3 2 2 5 -1 О '2 2. Ранги А и (А , В ) равны между собой Г| = Г 2 = 2 и равны числу неизвестных, 1 I следовательно, система имеет единственное решение: Х 2 = —1 , Х| = - — = 1 или Глава 2 С И С Т Е М Ы КООРДИНАТ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Т Е Н ЗО Р Ы . В Е К Т О РН Ы Е ПРОСТРАНСТВА 2.1. Прямоугольные системы координат 2.1.1. Прямоугольная система координат на плоскости Координатами точки называются числа, определяющие ее положение на линии, на поверхности, или в пространстве. Две взаимно перпендикулярные оси координат О х и О у, пересекающи еся в точке О (начало координат) и имеющие одинаковые длины масштабных отрезков О Еу и О Е 2 , образуют декартову прямоугольную (или просто декарто ву) систему координат на плоскости, проходящей через две эти оси (рис. 2.1). Длина отрезка ОЕ^ (или О Е 2) берется за единицу измерения длин всех отрезков на плоскости. Положительные направления осей О х н О у, т. е. на правления от точки О к точкам В ] и Е 2 соответственно, выбираются таким образом, что поворот отрезка О Е\ на 90° до совмещения с отрезком О Е 2 ви ден происходящим против часовой стрелки (правая система координат). Если этот поворот происходит по часовой стрелке, то система координат называ ется левой. Далее везде рассматриваются только правые системы координат. Декартова система координат, а также плоскость в которой лежат оси коорди нат, обозначается О х у. Оси О х и О у называются осью абсцисс и осью ординат соответственно. Оси координат делят плоскость на четыре части, которые на зывают четвертями или квадрантами и нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV (рис. 2.1), Прямые, проходящие через какую-либо точку М на плоскости параллельно осям О у и О х, пересекают ось О х в точке М ,, а ось О у — в точке М 2, соответственно. Величина О М [ = х направленного отрезка О М , , т.е. его длина \ОМ\\, взятая со знаком плюс (или минус), если направления О М \ и оси О х совпадают (или противоположны), называется абсциссой точ ки М . Аналогично определяется величина О М 2 = у, называемая ординатой точки М . Величины х VI у называются координатами точки М (рис. 2.1). Начало координат О имеет координаты ж -= О, !/ = 0. Если точка М имеет координаты X и то пишут: М ( х , у ) . Координаты точки, выражаемые кон кретными числами, например, М ( 2; 1), будем отделять друг от друга точкой с запятой. Первой в скобках указывают абсциссу, а второй — ординату. Таким, образом, координаты точки образуют упорядоченную пару чисел ( х ,у ) , т. е. набор двух чисел, в котором указано, какое число считается первым, а какое — вторым. В заданной декар.овой системе координат каждой точке М на плос кости соответствует единственная упорядоченная пара чисел ( х , у ) , являю щихся ее координатами, и обратно, любой упорядоченной паре М(х, у) чисел (х, у ) соответствует един ственная точка М { х , у ) на плос кости. То есть между всеми точ ками плоскости и упорядоченны ми парами чисел устанавливает ся взаимно однозначное соответ ствие. Начало координат О име ет координаты (0; 0), точка — координаты ( 1; 0), точка Е 2 — координаты (0; 1). В общем случае применяют ся также прямолинейные систе мы координат, в которых угол Рис. 2.1 между осями координат не равен 90°, а масштабные отрезки 0 Е \ и О Е 2 имеют разную длину. Такие системы координат называются общими декартовыми или аффинными системами коор динат. Если при этом длины 0 Е \ и О Е 2 одинаковые, то система координат называется косоугольной. 2.1.2. П рямоугольная система координат в пространстве Декартова прямоугольная (или просто декартова) система координат О х уг в пространстве (рис. 2.2) определяется заданием трех взаимно перпендику лярных осей координат: О х (ось абсщ1сс), О у (ось ординат), О г (ось аппликат), пересекающихся в точке О (начало координат) и имеющих масштабные от резки О Е ^, О Е 2 , ОЕ^ одинаковой длины. Длина этих отрезков принимается за единицу измерения длин всех остальных отрезков. Направления осей ко ординат от точки О к точкам Е^ (г = 1 , 2 , 3 ) называются положительными направлениями осей, а противоположные направления — отрицательными. Плоскости О уг, О гх , О х у, проходящие через пары осей координат, на зываются координатными плоскостями. Проведем через какую-либо точку М пространства три плоскости, параллельные трем координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями О х, О у, О г обозначим М ], М 2, М } (рис. 2 . 2 ) . Величины О М , = х, О М 2 = у, ОМ^ = г направленных отрезков О М \ , О М 2, О М } называются координатами точки М . Координаты X, у, г называются соответственно абсциссой, ординатой, аппликатой точки М . Начало координат О имеет координаты х = О, у = О, г = 0. Если точка М имеет координаты х , у , 2 , то пишут; М { х , у, г ). В частности точки Е \, Е 2, Е } имеют координаты ( 1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) соответственно (координаты, выраженные в числах, отделяются друг от друга точкой с запятой). При задании системы координат между точками пространства и упорядо ченными тройками чисел (х, у, г ) (т. е. такими наборами трех чисел, в которых указано, какое из них считается первым, вторым, третьим) устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждой точке М пространства со ответствует тройка чисел, а каждой тройке чисел — единственная точка в пространстве. Декартова система координат в пространстве называет ся правой, если поворот отрезка ОЕ^ на угол 90° до совмещения с отрез ком О Е 2 виден из точки Е } про исходящим против часовой стрелки. В противном случае система коор динат называется левой. Далее везде используется только правая система координат. Три координатные плос кости делят пространство на 8 ок тантов, нумеруемых римскими циф рами от I до V III. В общем случае в пространстве применяются также общие декартовы (аффинные) и косоугольные системы координат (см. 2.1.1). 2.2. Криволинейные системы координат 2.2.1. Полярная система координат Полярная система координат на плоскости (рис. 2.3) состоит из заданной точки О (полюса) и лучей, выходящих из точки О , один из которых О Е называется полярной осью (длина О Е принимается за единицу измерения длин). Если задана полярная система координат, то с каждой точкой М плоскости можно связать два числа р и (р — полярные координаты точки, где р — длина отрезка О М . называемая полярным радиусом, а ^ — угол Е О М , называемый полярным углом, который считается положительным при отсчете от полярной оси О Е против часовой стрелки и отрицательным в противном случае. Если точка М имеет полярные координаты р (первая координата) и 1р (вторая координата), то пишут М {р ,(р ). Полярные координаты могут принимать значения из промежутков: О ^ р < + 00, О ^ ^ < 2ж, но иногда рассматривают отрицательные поляр ные углы, а также углы, превышаю щие 2тг, При условии О ^ ^ < 2!г каждой точке М плоскости (исключая полюс О , для которого р = О, а угол <р неопределен, т. е. принимает любые значения) соответствует единственная пара чисел (р, и обратно, каждой паре чисел (р,>р), О ^ у < 2тг, р > О, соответствует единственная точка. Координатными линиями в поляр ной системе координат (т. е. такими линиями, вдоль которых изменяется только лишь одна координата, а дру гая — постоянна) являются концентрические окружности р = соп51 с центром в точке О и лучи у = соп51, выходящие из точки О. На пересечении двух координатных линий (при заданных р к <р) к находится точка М {р , у>). Если ось О х декартовой системы координат О х у совпадает (включая масштабные отрезки) с полярной осью О Е , а начало координат О совпадает с полюсом (рис. 2.3), то декартовы (х, у ) и полярные (р, >р) координаты точки М связаны соотношениями х = рсо& 1р, у = р й п 1р , р = -\/х^ + у^, 18^ = — (х ^ 0). X Здесь I = О М ) , у = О М 2■ Единичные базисные векторы ёр и направлены по касательным к со ответствующим координатным линиям в сторону возрастания координаты и изменяются от точки к точке. 2.2.2. Криволинейны е системы координат в пространстве 2.2.2.1. Цилиндрическая система координат Цилиндрическая система координат (рис. 2.4) определяет положение точки М в пространстве посредством трех координат (масштаб измерения длины пред полагается заданным): р , 1р , 2 . Здесь первая координата р — длина отрезка о м ' , где М ' — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на плос кость О х у (О ^ р < -1-оо); вторая координата <р — угол между положительной полуосью Ох и отрезком О М ' , ^ считается положительным при отсчете от полуоси Ох против часовой стрелки, если смотреть со стороны положи тельного направления оси О г (О ^ у < 2тг); третья координата г = М ' М совпадает с аппликатой г = О М " точки М в декартовой системе координат, совмещенной с цилиндрической системой (рис. 2.4) (промежуток изменения: Рис. 2.4 - с » < г < +оо). Если точка М имеет цилиндрические координаты р,<р,2 , то пишут: М (р , (р, г ). Цилиндрические координаты точки М (р , г ) связаны с ее декартовыми координатами (ж, у, г ) соотношениями х = р со 8 у , р = \/х^ + у^, з/ = р 5 т ^ , = ® г = 2\ ( 51П м = - ) , \ Р/ г = г. Здесь х = О М \ — абсцисса, у = 0М 2 — ордината точки М ' (или М ) . Предполагается, что в обеих системах координат использованы равные еди ницы масштаба. Координатными поверхностями в цилиндрической системе координат (т. е. такими поверхностями, вдоль которых одна из координат постоянна, а две другие изменяются) являются; круговые цилиндры р = сопз1, полуплоскости (р = СОП51, плоскости 2 = С 0П 51. На пересечении трех координатных поверх ностей (при заданных р, р, г ) находится точка М {р , г). Линии пересечения каждых двух координатных поверхностей называются координатными линия ми. Здесь — это две прямые и окружность, проходящие через точку М. Попарно ортогональные единичные базисные векторы ёр, = к, об разующие правую тройку, направлены по касательным к соответствующим координатным линиям в сторону возрастания координаты и изменяются при переходе от точки к точке (рис. 2.4). 2.2.2.2. Сферическая систь.ла координат Сферическая система координат (рис. 2.5) определяет положение точки М в пространстве посредством трех координат: р, в, <р (масштаб измерения дли ны предполагается заданным). Здесь первая координата р — длина отрезка О М (О < /9 < +оо); вторая координата в — угол между положительной полу осью О г и отрезком О М , положительное направление отсчета в от полуоси Ох показано стрелкой на рис. 2.5 (0 ^ й ^ 7г ) ; у — угол между положительной полуосью О х и отрезком О М ' { М ' — основание перпендикуляра, опущен ного из точки М на плоскость О х у), положительное направление отсчета от полуоси Ох показано стрелкой на рис. 2.5 (О ^ у7 < 2тг). Если точка М имеет сферические координаты р, в, то пишут: М {р , в, (р). Если декартова система координат совмещена со сферической системой так, что в обеих системах равные единицы масштаба (рис. 2.5), то для любой точки М ее сфе рические координаты связаны с декартовыми координатами соотношениями: х = р со 8 ^ 8т й , Р = \/х^~+ У^~+ ~^, у = р 5т1р 5ю в, С О & в = - , Р Щ ! р = X 2 = рсо&в; ( 81П у = \ 5 ^х^ , + I■ у^/ Здесь X = 0 М [ — абсцисса, у = О М ’2 — ордината точки М ' (или М ) , 2 = ом" — аппликата точки М . К о о р д и н а т н ы е поверхности: сф е р ы р = со п 8 1 с ц ен тр о м в т о ч к е О , к р у го вы е к о н у с ы в = С0П51, п о л у п л о с к о с т и ^ = СОП81. На п е р е се ч е н и и э ти х трех поверхностей (при заданных р, в, <р) находится точка М (р , в, 1р ). Координат ные линии: две окружности и луч, проходящие через точку М и являющиеся линиями пересечения каждых из двух координатных поверхностей. Попарно ортогональные единичные базисные векторы е«, обра зующие правую тройку, направлены по касательным к соответствующим координатным линиям в сторону роста координаты вдоль линии (рис. 2.5). 2.3. Векторная алгебра 2.3.1. О сновны е понятия Величины, каждое значение которых может быть выражено только одним числом (обычно действительным), называются скалярными величинами или скалярами (например: длина, угол, площадь, объем, время, масса, температура и т.д.). Величины, определяемые заданием некоторого числа и направлением в пространстве, называются векторными величинами или векторами (например: скорость, ускорение, сила и т.д.). Вектором называется направленный отрезок прямой в пространстве, т. е. такой отрезок, для которого указано, какая из двух его граничных точек считается первой (начало вектора), а какая — второй (конец вектора). Вектор, начало которого — точка А , а конец — точка В , обозначается А В или А В , а также а или а (рис. 2.6). Направление от начала вектора к концу считается п р а в л е н и е м вектора и обозначается на рисунке стрелкой. Начало А вектора А В называется также его точкой приложения. Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка А В . Обозначения модуля: \АВ\, |а| или а. Векторы подразделяются на связанные, скользящие и свободные, в зави симости от того, для описания каких физических величин они используются. Связанным называется вектор, начало которого (точка приложения) фиксиро вано. Например, вектор скорости движущейся точки. Скользящим называется вектор, который можно, не изменяя его длины и направления, переносить вдоль одной и той же прямой (рис. 2.7). Каждый скользящий вектор а можно рассматривать также как бесконечное множество направленных от резков, лежащих на одной прямой, имеющих равную длину и одинаковое направление. Каждый вектор из это го множества равен а. Скользящим вектором является, например, сила, приложенная к абсолютно твердому телу. Свободным называется вектор, который можно переносить в проРис. 2.7 странстве параллельно самому себе, не изменяя его длины и направления. Точка приложения свободного вектора не определена (может быть любой). Каждый свободный вектор а можно рассматривать как бесконечное множество направленных отрезков, имеющих равную длину, одинаковое направление, параллельных друг другу и прило женных к разным точкам пространства. Каждый вектор из этого множества равен вектору а (рис. 2.6). Свободным является, например, вектор скорости поступательно движущегося абсолютно твердого тела. Далее везде рассматри ваются только свободные векторы (если не оговорено противное). Вектор б, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его модуль равен О, а направление неопределенное (любое). Вектор В А назы вается противоположным вектору А В . Вектор, противоположный вектору а, обозначается - а . Вектор, длина которого равна I, называется единичным вектором или ортом. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллель ных прямых, называются коллинеарными и могут иметь либо одинаковые, либо противоположные направления. Свободные векторы о и 6 называются равными (о = Ь), если они коллинеарны, имеют равные модули и одинаковые направления. Векторы не являются равными, если не выполняется хотя бы одно из этих трех условий. Векторы, лежащие в одной плоскости или в па раллельных плоскостях, называются компланарными. В векторной алгебре рассматриваются следующие действия над векторами: умножение на число, сложение, вычитание, умножение векторов. 2.3.2. Умножение векторов на число и их сложение 1. Произведением вектора а на число А называется вектор с = Ао, коллинеарный вектору а, имеющий длину |с| = |А| •|о| и направление, совпадающее с направлением а при А > О, либо противоположное направлению а при Л < О (рис. 2.8). 2. Сумма двух векторов а н Ь определяется следующим образом. При помощи параллельного переноса приведем векторы а и Ь (если они неколлинеарны) к общему началу, т. е. приложим их к одной точке А (рис. 2.9). Вектор с, приложенный к точке А и совпадающий с диагональю параллелофамма. Ри с. 2.9 построенного на векторах а и Ь как на сторонах, называется суммой векто ров а к Ь (правило параллелограмма). Запись: с = а + Ь. Второе определение суммы векторов. Приложим вектор а к точке А , а к концу вектора а приложим вектор 5 (рис. 2.10). Тогда вектор с, идущий из точки А (на чало вектора о) в конец вектора 6, будет суммой с = а + Ь (правило треугольника). 3. Разность а - Ь находится как сумма а + (- 6 ) (рис, 2.11). Разность а - Ь может быть найдена также как вектор, идущий из конца вектора Ь в конец вектора а (рис. 2.12). Несколько векторов а ] , Ог, . . . , а „ , в общем случае не компланарных, можно сложить по пра вилу многоугольника: к концу вектора а, прило жим вектор 02, к концу которого приложим вектор О] и т. д. до а „ . Тогда сумма векторов Ь = О] -Ь 02 -Ь . .. + а „ определяется как вектор Ь, Ри с. 2.11 замыкающий ломаную и идущий из начала первого вектора (т. е. а , ) в конец последнего вектора (т. е. а „ ) (рис. 2.13). Если складываемые векторы не ком планарны, то ломаная не лежит в одной плоскости. 4. Свойства действий сложения векторов и умножения их на число: 1) о + Ь = 6 + а; 2) о + (6 + с) = (о + Ь )+ с ; 3) Х(ца) = (А/1)о; 4) (А + 1л)а = Аа + /»а; 5) А(а + 6) = Аа + А6; 6) ( - 1 )0 = - а; 7) 0 - 0 = 0; 8) 0 + 6 = 0 . Для любых векторов о и 6 выполняются неравенства: | | а | - | 6 | | ^ | о ± Ь | < | о | + |Ь|. 5. Разложение вектора по базису. Линейной комбинацией векторов о,, 02, . . . , о„ с действительными коэф фициентами Л ь А г,. . . , А„ называется вектор 6 = А1О1 + А2О2 + . . . + АпОпВекторы О], 02,. ■■, о „ называются линейно независимыми, если равенство А 101 + А2О2 + . . . + АцОп = О выполняется только для А] = А2 = . .. = А„ = 0. В противном случае векторы называются линейно зависимыми. Если два вектора Оь 02 неколлинеарны, то они линейно независимы. Если три вектора 01, 02,03 некомпланарны, то они линейно независимы. Всякий вектор о, лежащий на плоскости, содержащей векторы 01, 02, может быть разложен в виде линейной комбинации о = С 1О1 + С 2О2, где коэффициенты С | , С 2 называются координатами (компонентами) вектора о относительно векторов 01,02 (рис. 2.14). Аналогично, любой вектор о в пространстве может быть записан в виде (т.е. разложен по векторам Оь 02, Оз) о = С |01 + С 2Л2 + С*зОз. Это разложение по векторам Оь 02, 03 иногда записывается в виде о = (С ь С 2, Сз). Совокупность трех линейно независимых векторов 01, 02,03 (а в случае плоскости — двух векторов 0 |, 02), взятых в определенном порядке, образует базис. Если о = ( а ь аг, а з ), В = (/3|, /02, /83), то о+Ь = (а \ + Р ] , 02+02, « з + А ) , Рис. 2 .1 4 Ха = (А а ], А а 2, А аз). Если базисные векторы 0 |, 02,03 приложены к одной точке О и поворот от вектора 0 | к вектору ог на кратчайший угол виден из конца вектора Оз происходящим против часовой стрелки, то говорят, что эти векторы образуют п р а в у ю т р о й к у в е к т о р о в (или п р а в у ю с и с т е м у ) , в противном случае — л е в у ю т р о й к у (или с и с т е м у ) . 6. Д е к а р т о в ы п р я м о у г о л ь н ы е к о о р д и н а т ы в е к т о р а . Если в пространстве за дана (правая) прямоугольная декартова система координат О х у г , то в качестве базисных векторов можно взять три единичных попарно перпендикулярных друг другу вектора (орта) г , ] , к осей координат 0 х , 0 у , 0 г соответственно (рис. 2.15). Тогда а = Ох» + О у ] + а ^ к , где числа ах,ау,а^ называются декартовыми (прямоугольными) координатами (или компонентами) вектора а. Базис, состоящий из взаимно перпенди кулярных ортов г , ] , к , называется ортонормированным. Сложение векторов а = (ах,ау, о^), Ь = (Ь^, Ьу. Ь^) проводится по правилу: а + 6 = (Оз: + а„ + &„, «г + 6г) = (Лх + Ьх)* + {а,у + Ьу)] + (а^ + Ь^)*; умножение вектора на число: Аа = (Аа^, ЛОу, Аа^). Если векторы а и Ь равны, то их координаты соответственно равны: Оу = Ьу, Вектор г = О М , идущий от фиксированной точки, обычно от начала координат О , к заданной точке М ( х , у , г ) пространства, называется радиусвектором точки М (рис. 2.16). Разложение радиус-вектора г = О М в базисе 1, ] , к имеет вид г = XI + У ] + 2к. Здесь х , у ,2 — декартовы координаты точки М . Обозначая через а , /3,7 углы между радиус-вектором г и векторами г , ] , к (рис. 2.16), можно записать х = г-сова, г/ = г с о 5 / 2 = г ■С0 5 7 , где г = |г| = \/х^ + у^ + 2 ^ — длина вектора г. Величины со5а , со&0, СО87 называются направляющими косинусами радиус-вектора г. Любой свободный вектор а может быть перенесен параллельно самому себе и приложен к лю бой точке пространства, тогда как радиус-вектор по определению приложен к фиксированной точке. _____ Выражения координат вектора а = А 1А 2 (рис. 2.17) через координаты радиус-векторов его начала Г| = О А [ и конца Гг = О А 2 находятся по формулам (а = Г 2 - Г | ) : а^ = Х 2 ~ Х 1 , О у= у2-у2, а ,= 2 2 - 2 и где а = (ах ,О у,аг), г, = (х ,, «/ь 2,), Тг = (хг, 2/2, 22). Длина |а| вектора а = {а^,ау, а^) находится по формуле И = Расстояние й между точками ^11(11, 2/], 2|) и А 2(х 2, У2, ■^2) равно а = \ а \ = ^ (Х 2 - Хг)2 + {У 2 - У \ У + 2.3.3. (2 2 - 2,)2. С калярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов а и Ь называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла ц> между ними: |а||6|со8^. Обозначения: аЬ, а Ь, (а ,Ь ). Обозначая через ё = а/|о| (т. е. а = ё\а\) единичный вектор, коллинеарный вектору а, можно записать а Ь = \а\ё •6 = |а| Пру Ь. Число Прр Ь = ё -Ь = |Ь|со8 (р называется (алгебраической) проекцией вектора Ь = А В на направление ё вектора а. С вектором ё можно связать ось Оа, положительное направление которой определяется нанравляюншм вектором (или ортом) ё, лежащим на оси (рис. 2.18). Опустим из точек А и В перпенди- куляры А А) и В В 1 на ось О а. Тогда проекция вектора Ь = А В на ось Оа будет равна длине вектора А 1В 1 на оси О а , взятой со знаком плюс (или ми нус), если направление А 1В 1 совпадает (или противоположно) с положи тельным направлением оси О а. Вектор А] В ) называется при этом составляю щей вектора А В по оси Оа. Проекция вектора Ь на ось О а иногда обозначает ся =ё- 6. Пусть Ь = Ь\+ Ь 2 + . .. + Ь„, тогда 6о= Ь]о + 620 + •••+ *по >т. е. проек ция суммы векторов на некоторую ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось. Справедливы равенства 0.x = Пр( о = га, ау = Пр^ а = ]а , Ог = Пр^ а - ка. Ри с. 2.19 где ах,ау, а^ — декартовы координаты вектора о. В частности, А В = А [ В ] + А 2В 2 = вх* "Ь г д е .41^1 и ^42^2 — с о с т а а л я ю щ и е в е к т о р а соответственно (рис. 2.19). а = АВ по осям О х и О у С в о й ств а ска л я р н о го произвед ения. 1) аЬ = Ьа; 2) (Аа)6 = А(а6); 3) а(Ь + с) = а6 + ас; 4) аЬ = О, только если а и 6 перпендикулярны или хотя бы один из векторов нулевой; 5) оо = о^ = |а р . И з этих свойств, в частности, следует, что линейные комбинации векто ров перемножаются по тем же правилам, что и обычные полиномы в алгебре. Пример 1. (2о + ЗЬ){а - 26) = (2а + 36)о + {2а + Щ {-2Ь) = 2о^ + ЗЬа + + (2а)(~2Ь) + (Щ (- 2 Ь ) = 2а^ + З а Ь - 4 а Ь - б Р = 23‘ - а Ь - б Р . Для базисных векторов г , ] , к справедливы равенства: и = Л = кк = 1, Пример 2. ({ = } к = кг = 0. - ; ) ( > +к) = г] +гк - Ц - ]к = - В ы р а ж е н и е ска л я р н о го про извед ен ия через ко о р д и н а ты в е кто р о в . Если а = о^г + + а^к = {ах, Оу, а^), Ь = Ьхг + Ьу} + Ь^к = {Ьх, Ьу, 6 г), то аЬ = О1 6 Если а = 0 1 + 02 1 + ОуЬу + а ,Ь ,. + . . . + а „ , то “ х = “ II + « 2 1 + •■■+ О т , “ !/ = “ >!/+ “ 2 ], + ••• + а„;,, “ г = “ и + “ 2 г + ••• + ОпгУгол ^ между векторами а = { а х , а у , а г ) , Ь = (Ь х ,Ь у ,Ь г ) можно найти по формуле аЬ С05 ^ —' — 1 « 1 |Ь| ОхЬх + ЛуЬу + ' ........ ^ а 1 + а 1 + а \ ^ Ц + Щ, + Ы К о си н усы углов а , ^3,7 , образуемых вектором базиса Лх С05а= — , а где а = |а| Су, а^) с векторами к , назы ваю тся направляющими косинусами вектора а: а С08^5=— , а С057 = — , а + а1. С во йство направляю щ их косинусов: со 8 ^ а + со 8 ^ /3 + со5^ 7 = 1 . В частности, для радиус-вектора (рис. 2.16): С05 а = X г „ У С08 р = 2 -г С08 7 = - , г где г = |г| = \/х^ + у^ + Условием перпендикулярности векторов а и 6 является аЬ = йхЬх + ауЬу + Огбг = 0. Пример 3. Даны три точки >1(1; 1), В (3 ;3 ), С(3; 1) на плоскости. Найти угол 1р = ^ В А С . Решение, а = А В = г в - г л = (хв - Х а , ул) = (2; 2), где хл, Хв', Ул,Ув ~ координаты точек А и В . Аналогично, Ь = А С = гс — Г а = (2;0). Отсюда и находим аЬ 2 - 2 + 2 -О у/2 2.3.4. Векторное произведение 1. В е к т о р н о е п р о и з в е д е н и е двух векторов а \\ Ъ (обозначения: а х Ь или [а, 6]) называется такой вектор с = а х Ь, который определяется тремя условиями: 1) его модуль равен |с| = |а| •|6|81п ^ , где (р — угол между векторами а и 6, не превосходящий тг (рис. 2.20). 2) вектор с перпендикулярен плоскости, в которой лежат а и Ь. 3) вектор с направлен так, что поворот от а к 6 на угол ^ виден из конца вектора с совершающимся против часовой стрелки, т. е. упорядоченный набор векторов а, Ь, с образует правую тройку Модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов а = А В и 6 = А В равен площади параллелограмма А В С В , построенного на этих векторах как на сторонах (рис. 2.20). С в о й с тв а в е кто р н о го пр о и зв е д е н и я. 1) а X Ь = - Ь X а; 2) ( \ а ) х Ь = Х { а х Ь ) ; 3) а X а = 0; 4) а X (6 + с) = 5) а {а X Ь) = 0; 6) Ь(а X 6) = 0; а X6 + а X с ; 7) 0 x 6 = 0, только если нулевой. а и Ь коллинеарны, или хотя бы один из векторов Справедливо равенство: (о X Ь)2 = - (а ■Ь)^ (о н |о1, Ь = |Ь|). Линейные комбинации векторов перемножаются как обычные полино мы, но с учетом порядка сомножителей, так как при изменении этого порядка знак векторного произведения изменяется на противоположный. Пример 4. ( 2 а + 36) х ( а - 26) = ( 2 о + 36) х о + ( 2 а + 36) х ( - 2 6 ) = = 2 в х а + 3 6 х о - 4 о х 6 - 6 6 х 6 = - З а х 6 - 4 а х 6 = - 7 а х 6. Для базисных векторов г , ] , к справедливы равенства: г х 1 = ] х ] = к х к = 0, г х ] = к, ] х к = I, к х г = ]. Пример 5. { г - ] ) х ( ^ + к) = г х ] + 1 х к - ] Х ] - ^ х к = к - ] + 1 . В ы р а ж е н и е в е кт о р н о го пр о и зв е д е н и я через ко о р д и н а ты в е кто р о в . Если а = 0x1 + Оу] + а^к = (а^, ау,а^), + Ьу] + В= = {Ьх, Ьу, Ь г ), с = с^г + Су] + с,к = (Сх,Су, с ,), ] к с = а X Ь = 0>х г 0>у (^2 Ьх Ьу ь^ ах аг Ьх Ь, + к Ьх Ьу = {ауЬ^ - а^Ьу)1 + (а^Ьх- ахЬ^)] + [ахЬу - ауЬх)к, т. е. Сх = йуЬх — а^Ьу, Су = а^Ьх - ОхЬ^, = ахЬу - ауЬх- Условие коллинеарности векторов о и Ь: Ьх Ьу Ьг ' Пример 6 . Найти площадь треугольника, построенного на векторах а = (1; 1; 1), 6 = ( I ; 1; -1 ), приложенных к одной точке. Решение, с = о х 6; с, = 1•(- 1 ) - М с = (-2;2;0); = -2, с, = 1■1- 1•(- 1 ) = 2, = 1•1- 1•1 = 0; |с| = ^ 4 + 4 + с] = 2'Л.. Площадь треугольника равнаполовине площади параллелофамма, т. е. \/1 (рис. 2.20). [> 2. Двойным векторным произведением векторов а, 6, с называется вектор 3 = а X {Ь X с), который может быть найден либо непосредственно, . ри помощи выполнения двух векторных умножений подряд (сначала внутри скобок), либо по формуле а х {Ь х с) = Ь{а -с) - с(а ■Ь), где в круглых скобках — скалярные произведения. 2.3.5. С м еш анное произведение Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов о = (01, 05, 02), Ь = (б1, 6;,,Ьг), с = (с ^ ,с у,с ,}, взятых в указанном порядке, называется число (скаляр), равное скалярному произведению вектора а на векторное произведение векторов б и с , т. е. о •(Ь X с). Обозначения смешанного произведения: (а ,Ь ,с ) или обе, (аЬс). Свойства смешанного произведения. 1) а - (Ь х с ) = (а ,Ь ,с ) = (6, с ,а ) = (с ,о ,Ь ) = - (Ь ,о ,с ) = - ( с , 6, о) = - {а ,с ,Ь )\ 2) (о, 6, с) = О только если а, 6, с компланарны, или хотя бы один из век торов нулевой; 3) (о, Ь, с) > О, если тройка векторов правая, (а, 6, с) < 0, если тройка левая. Смешанное произведение некомпланарных векторов о, Ь, с равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс Я ^ппав/^иыы1г г (или минус), если тройка векторов а , Ь ,с правая (или левая) (рис. 2,21). В частности, (», ^, к ) = \. Смешанное произведение может быть выражено через координаты век торов в виде определителя Ох (а, Ь, с) = Оу аг Ьг Ьу Ьг Сх Су = П. с. Условие компланарности трех векторов а, Ь, с записывается в виде равен ства нулю ( 0 = 0) определителя, выражающего смешанное произведение этих векторов. 2.4. Замена системы координат 2 .4.1. Параллельный перенос системы координат Пусть даны две декартовы системы координат с одинаковыми единицами мас штаба: первая (старая) — О х у г и вторая (новая) — О 'х 'у 'г , соответственные оси которых О х и О 'х ', О у и О'у', О г и О 'г параллельны (рис. 2.22). Ра диус-векторы точки М в первой и второй системах координат, обозначаемые О М = г и О 'М = г ', связаны равенством г = г ' + 0 0 ', из к01орого следуют соотношения между координатами точки М в обеих системах координат: X - X +Хо (х - X - Хо), У= У {у ^ У - Уо), г = 2 +го {г = 2 - го), где ОСУ = (хо, Уо, 2о) — радиус-вектор точки О ' в системе О х у г ; х , у ,2 к х , у , г' — координаты точки М в первой и второй системах координат. Для ба зисных векторов справедливы равенства: г = г к = к '. В этих базисах любой вектор а имеет разложения а = (а^, Яу, а^), а = (а^, а'у, а^). При этом = Ох, 2.4.2. о,у = Оу, = а^. П оворот системы координат Пусть даны две декартовы системы координат: первая (старая) — ОХ|ХгХз и вторая (новая) — О Х |Х 2Хз (здесь для координат введены обозначения х = Х | , у = Х 2, г = Хз) с ортонормированными базисами ё ],ё 2,ё^ и ё \ ,ё 2 , ё -1 и совпадающими в точке О началами координат (рис. 2.23). Предполагается, что положение векторов второго базиса по отношению к первому базису задано. Обозначая координаты одной и той же точки М в первой и второй системах координат 1 | ,Х 2,Хз и х '|,х 2,х з , запишем радиус-вектор г = О М этой точки в виде г = Х|ё| + Х 2С2 + хзёз, г = х\ё! + х'гёг + х\ё1. Приравнивая оба эти выражения, т. е. ^ х 'ё/= х ; И умножая скалярно обе части этого равенства последовательно на ё\, ё'2, ё\ с учетом ортонормированности базисов, получим формулы преобразования координат точки при переходе от старой системы координат к новой Х| = а ц Х 1 -1-012X 2-1-« 13X3, х'г = 021X 1 -1- О 22Х2 -Ь а гзХ з, х'з = а з |Х 1 + «32X2 -Ь аззХ з, или 3 ;=| (2.1) Векторы обоих базисов связаны равенством 3 ё/ = 5 ^а.^ё^ (* = 1,2,3). (2.2) Из девяти коэффициентов только три можно задавать произвольно, так как они связаны между собой шестью соотношениями 3 3 = > (» = 1.2,3); = 0 ;= 1 (* / 7; ^ = I. 2, 3), 1=1 выражающими ортонормированность базиса, т. е. ё ; - ё ; = бц, где 6^^ — символ Кронекера: ^ ГО при г = ], и при г / ; (1,7 = 1,2,3). Вектор о может быть разложен как в первом, так и во втором базисе а = а]ё| + агёг + а^ё^ = а'|ё|' + а'2ё{ + а'^ёз, 3 где а[ = ^ а^^а^. При этом {а\)^ + (аг)^ + (а'з)^ = 01+02 + 03. ]=\ 2.5. Тензоры 2.5.1. О сн овны е понятия Декартову систему координат 0х\х^хз в пространстве обозначим через К , а через К — систему 0 x 1123^3, в которую переходит система К при повороте ее вокруг некоторой оси, проходящей через точку О (рис. 2.23). Скаляр, т. е. величина, значение которой выражается только одним чис лом (см. 2.3.1), по определению не изменяется при повороте системы коор динат (является инвариантным). Обобщением понятия скаляра является вектор (свободный), т. е. величи на, определяемая заданием упорядоченной тройки чисел (компонент). Любой вектор по определению инвариантен относительно изменения системы коор динат, т. е. О]?! + 0262 + Озёз = о'|ё|' + 0262, а'зёз (за исключением базисных векторов ё ], ёг, ёз, которые поворачиваются вместе с осями координат). Из инвариантности вектора следует, что его компоненты при переходе от ск гемы К к системе К ' преобразуются по формуле, анало гичной (2.1): 3 ^ X I [а,^]> 0). (2.3) ;=1 Обобщением понятия вектора является тензор. Тензором второго ранга называется инвариантная величина, определяемая совокупностью девяти действительных чисел Т^^ {г , ] = 1, 2, 3), преобразую щихся при переходе от системы К к К ' по формуле 3 3 = Х ; Е {1,^= 1,2, 3). (2.4) к = \ га = 1 Числа называются компонентами тензора. Тензор обозначается одним из следующих способов: 'Тп Т = (Тц)= Т 2, ТЗ, Тп Г , з ‘ Тгг Тгг Гз2 Тзз. или просто . Рангом (или порядком) тензора называется число индексов его компонент. В общем случае тензор ранга г имеет 3"^ компонент Т у , (всего г индексов). Любой скаляр является тензором нулевого ранга. Любой вектор (кроме базис ных) представляет собой тензор первого ранга. Коэффициенты перехода от системы К к к ' не образуют тензора, так как их индексы относятся к осям разных систем. Пример 7. Если а = (а |,а 2,аз) и Ь = (Ь],Ь 2,Ьу) — векторы, то набор из девяти произведений = о.Ьу (г,] = 1,2,3) является тензором Т = (аф,), так как его компоненты преобразуются по формуле (2.4). Пример 8. Тензор (см. символ Кронекера в 1.3.1.1) I о («.;) = о О о I о о I в любой системе координат К ' имеет вид йу = и называется единичным тензором. З а п и с ь т е н з о р а в и н в а р и а н т н о м в и д е . Для записи тензора в инвариантном виде (аналогичном записи вектора а = а|ё] + агёг + озёз) вводится понятие д и а д ы (или а ф ф и н о р а ) . Д и а д о й (или а ф ф и н о р о м ) называется д и а д н о е п р о и з в е д е н и е любых двух векторов, в том числе и базисных ё^,ё^, которое по определению задается записью одного вектора за другим в о п р е д е л е н н о м п о р в щ к е , например ё]ё2 или ёгё] (следует отличать от скалярного произведения), при этом ё]ё2 / ёге,. И н в а р и а н т н а я з а п и с ь т е н з о р а Т имеет вид: 3 ^= Е >•>=1 При этом в системах К п К ' соответственно: 3 ^ 3 ^ ё „ ,. Здесь ё;ё; и ё^ ёт — диады (г ,], к , т = \, 2, 3). Например, тензор {а^Ь^) представляет собой диаду (аффинор) аЬ, которую можно записать в виде комбинации диад ё;ё^: аЬ = (а|ё| + Огёг + азё}){Ь\ё\ + 62^2 + бзёз) = — ё]ё\(1\Ь\ + ё1ё2а|б2 + ё]ёуа\Ь^ + 626102^1 + ё2ё202б2 + + ёгёзОгбз + ёзё|аз6| + ёзё20з&2 + €3630363. С и м м е т р и ч н ы е и а н т и с и м м е т р и ч н ы е т е н з о р ы . Тензор условию = Тр, называется с и м м е т р и ч н ы м . Если , удовлетворяющий = -Т^{, то говорят. что тензор а н т и с и м м е т р и ч н ы й . Любой тензор Щ можно представить в виде суммы симметричного 8^^ и антисимметричного тензора: Т^^ = 8ц + А ц , где Зц = “ (Г у + Т ц ), Ац = 2.5.2. ~ ^я)- Тензорная алгебра Суммой тензоров одинакового ранга и называют тензор С у вида С у = А у + В^^. Любой тензор можно представить как сумму нескольких тензоров оди накового ранга. П р о и з в е д е н и е м т е н з о р а А у н а с к а л я р А называется тензор В у с компо нентами В у = А4у-. П р о и з в е д е н и е м т е н з о р о в (в общем случае различного ранга) ^4у и В ^ т называется тензор С^ит с компонентами Произведение тензоров зависит, вообще говоря, от порядка сомножите лей. Ранг произведения тензоров равен сумме рангов сомножителей. С в е р т ы в а н и е т е н з о р а А ф по индексам ^ и *; проводится следующим образом. Индексы ] м к полагаются равными друг другу, а затем по ним проводится суммирование. Получающийся в результате свертывания тензор называется с в е р т к о й т е н з о р а А^^|, по индексам ] н к. В данном случае свертка является вектором (тензором ранга I) 3 В результате одного свертывания ранг тензора уменьшается на два. Свертыва ние можно применять к тензорам любого ранга большего либо равного двум. Сверткой тензора второго ранга Т^^ является скаляр, называемый с л е д о м тензора: ( Г у ) = Гц -Ь Т 22 + Ззз и инвариантный относительно преобразования координат. Например, следом тензора 0(6; (где щ, — компоненты векторов о и Ь) является скалярное произведение а Ь = 0 |6] + а^Ьг + « 363. Свертка тензора Г у с вектором является некоторым вектором Ц : 3 Ь^ = '^ Т г у а ^ . > = 1 Следовательно, тензор можно рассматривать как оператор, преобразую щий вектор а в вектор Ь. Правило частного. Пусть даны равенства 3 3 ^ Т ^ а ,= Ь , 1=1 где 6, оь Ь{, А ц , 3 = ;=1 = Вцс, ;=1 — известные тензоры. 3 Тогда Т^, Т^^ также являются тензорами. В частности, если ^ ^(>^0 — скаляр, то Щ — тензор. Перестановка индексов. Если компоненты тензора выражаются че рез компоненты тензора по формуле то говорят, что В *;, получен из перестановкой индексов г н к. В общем случае тензоры А и В отличаются друг от друга. Тензор называется симметричным (или антисиммет ричным) по какой-либо совокупности индексов, если при перестановке любых двух индексов из этой совокупности его компоненты не меняют (или меняют) знак на противоположный. 2.5.3. С войства симметричных тензоров второго ранга Пусть — симметричный тензор, т. е. Т^^ = Г,, { { , ] = 1,2,3). Из девяти его компонент независимы только шесть, так как Г 12 = Г 21, Г 13 = 7з|, Тгг = Т 32. С этим тензором можно связать поверхность, определяемую уравнением 3 = Т [] х ] + Т22х 1 + Т }} х 1+ 2Т\2Х[Х2 + 2Т\)Х\Х} + 2Т2}Х2Х} = 1. (2.5) Выражение в левой части (2.5) называется квадратичной формой от пе ременных 11, ^ 2, 13. Уравнение (2.5) определяет поверхность второго поряд ка, называемую тензорной поверхностью, центр которой находится в начале координат: эллипсоид, гиперболоид, цилиндрическую поверхность или две параллельные плоскости. В частности, если Тц > О, Т 22 > О, Г 33 > О, то по верхность является эллипсоидом. Если вектор преобразуется в вектор 3 ;= 1 то вектор а^, для которого 3 >=| (А — число), называется собственным вектором тензора Т^. Следовательно, в результате преобразования собственный вектор а переходит в коллинеарный ему вектор Аа. Здесь число А называется собственным значением тензора, соответствующим данному собственному вектору о. Уравнение 3 для нахождения собственных векторов можно записать в виде 3 ^ ;=1 3 = А^ ;=1 — символ Кронекера), или 3 ^ № ;- А ,5 „)а ^ = 0 . (2.6) ;= | Однородное уравнение (2.6) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю с1е1 (Т^^ = О, т. е. Т{1 - А Г|2 ^21 Тц - А Т|3 Тгз Тц Т}2 Тц - А = 0. (2.7) Собственные значения А; (г = 1,2,3) находятся как корни характе ристического уравнения (2.7), имеющего третью степень относительно А. Все собственные значения симметричного тензора являются действительными числами (положительными, отрицательными или равными нулю). Собствен ные векторы а, и О;, соответствующие различным собственным значениям А( ^ А^, ортогональны друг другу, т. е. их скалярное произведение равно нулю: а. О; = 0. Если все собственные значения разные и А] > 0 , Аг > О, Аз > О, то тензорная поверхность — трехосный эллипсоид. При этом существуют три взаимно перпендикулярных собственных вектора, направленных вдоль полу осей эллипсоида. Взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр Хх = О, Х 2 = О, ®з = О тензорной поверхности, направления которых совпадают с направле ниями собственных векторов, называются главными осями тензора, а значения А], Аг, Аз называются главными значениями тензора. Если в качестве осей ко ординат повернутой системы К ' выбрать главные оси, то тензор Т^^ в системе к ' примет вид ГА, О О Аз О О Аз^ .0 О' •^1 — Г|'|, Аг = Т'22, Аз = Т33. Уравнение тензорной поверхности в системе К ' им ет вид -'1(1’])^ + А2(хг)^ + Аз(х'з)^ = 1. Если при этом только два из трех положительных собственных значений одинаковые, то получим эллипсоид вращения. Вполне определено только одно главное направление, а два других, перпендикулярных к нему, можно выбрать произвольно (при условии их взаимной перпендикулярности). Если А| = Аг = Аз > О, то эллипсоид переходит в сферу. Направления всех трех главных осей становятся при этом неопределенными, т. е. можно выбрать любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр сферы. 2.6. Векторные пространства 2 .6.1. Понятие векторного пространства Векторное (линейное) п-мерное пространство является обобщением понятия множества всех свободных векторов обычного трехмерного геометрического пространства. Вектором I п-мерного действительного векторного пространства (или п-мерным вектором) называется упорядоченная система п действительных чисел: х = {х х ,х г ,. . . , х „ ) . Числа Х | ,Х 2, . . . , Х „ называются координатами вектора х. Пример 9. Векторами в смысле данного определения являются: 1) строки и столбцы матрицы размера т х п, соответственно п- и т-мерными векторами; 2) свободные векторы на плоскости и в пространстве представляют собой соответ ственно двумерные и трехмерные векторы; 3) каждое решение системы линейных уравнений с п неизвестными является п-мерным вектором. Два вектора х = (х ь 12, . . . , х „) и у = (у|, !/2-•••. Уп) считаются равными тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты одинаковы, т. е. Х| = 2/1, Х2 = 3/2, ... , х„ = у „. Всякое векторное равенство равносильно п скалярным равенствам. Вектор О = (0; 0 ; . . . ; 0) (всего п нулей) называется нулевым вектором. Суммой векторов х = (Х|, Х2, . . . , * „ ) и у — (2/ь 2/2. •••, !/п) называется вектор 2 = X + у = (21, 22, . . . ,2 „ ) = (Х1 -|- «/1, Х2 -Ь «/2, ••. , Х „ -|- 2/п), Т. е. 2^ = X^ + У^ («■ = 1 , 2 , . .. ,п ). С войства сл о ж е ни я векторов. 1 )х + у = у + х\ 4) 2) (х + у ) + г = х + { у + х)-, 3) I + О = х; (2.8) для любого вектора х существует п р о т и в о п о л о ж н ы й ему вектор у = - х такой, что г + у = 0. П р о и з в е д е н и е м в е к т о р а х н а д е й с т в и т е л ь н о е ч и с л о а называется вектор у = {у и У 2, ■■■, Уи) = а х = {а х ,, а х 2, . .. , а х „ ) , т.е. у^ = а х { (г = 1 , 2 , . . . , п ) . С войства ум но ж е ни я векто р а на число. 1)11 = г ; 2) Ох = 0; 5) а ( / 3х ) = 3 )(- 1 )х = - х ; {а/})х; 6) (а + / 3) х Л) а (х + у) = а х + ау\ =ах + /Зх. Любое множество ге-мерных векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения их на действительное число, не выходящие за пределы этого множества и обладающие свойствами (2.8) и (2.9), на зывается в е к т о р н ы м ( л и н е й н ы м ) п р о с т р а н с т в о м . В частности, множество всех п-мерных векторов образует п-мерное векторное пространство, обозначаемое через Х „ . Число п координат вектора называется р а з м е р н о с т ь ю векторного пространства. Пример 10. 1) Множество всех векторов на плоскости является двумерным векторным про странством. Если векторы а = (а^, а^), Ь = (Ь^, Ь),) лежат в данной плоскости, то векторы 0 -1-6 = (аг + Ьг,ау + Ьу), аа = (ао^, а а ,) также лежат в этой плоскости. 2) Множество всех векторов в трехмерном пространстве образует векторное про странство. Если координаты векторов, а также числа, на которые умножаются век торы, являются комплексными, то говорят о к о м п л е к с н о м в е к т о р н о м п р о с т р а н стве. Примечание. Векторным пространством, в общем случае, называется множество эле ментов любой природы, в котором определены операции сложения элементов и умно жения их на число, действительное или комплексное, удовлетворяющие условиям (2.8) и (2.9). Рассмотренное выше п-мерное действительное векторное пространство является лишь одним из частных случаев векторного пространства общего вида. Дру гой частный случай — векторное пространство С[а; 6], элементами которого являются функции /(г ), непрерывные на некотором отрезке |о; Ь|. Действительно, сумма любых двух непрерывных функций непрерывна, а также непрерывна функция, умноженная на любое число. Введенные операции, не выходящие за пределы множества С|о; Ь|, удовлетворяют условиям (2.8), (2.9). 2.6.2. Л инейная зависимость векторов Векторы Х ] , Х 2,- - - ,Х т с комплексными координатами, принадлежащие п-мерному векторному пространству, называются л и н е й н о з а в и с и м ы м и , если существуют действительные или комплексные числа С ], С г ,. . . , Сщ, не все равные нулю и такие, что С[Х1 + С 2Х 2 + ■■■+ С т Х т = 0. (2.10) Если равенство (2.10) возможно только при С\ = С 2 — ... = Сщ = О, то векторы Х { , Х 2, , Х т называются линейно независимыми. Выражение в левой части (2.10) называется линейной комбинацией векторов х ] , . . . , Хш с коэффициентами С ], ■■■, С т •Если несколько векторов линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных, например, если С т / О, то из (2.10) следует С\ _ Сг _ Ст-1 _ ~ Хт — „ Хт-]. Пример 11. Для трехмерного векторного пространства линейная зависимость двух векторов означает, что они коллинеарны. Если два вектора неколлинеарны, то они линейно независимы. Линейная зависимость трех векторов означает их компланар ность. Если три вектора некомпланарны, то они линейно независимы. Выражая векторы Х | , . . . , х„, через их координаты: x^ = {Х |,, X 2^, ■■■, x„^}, равенство (2.10) можно записать в виде Хц' 'х п ' 121 Х22 ^1т Х2т = 0 + ... + С т -^п1. .^п2. .^пт. или в виде системы п уравнений относительно коэффициентов ..., т ) { ] = 1, 2, С |Х || + С 2 Х 1 2 + . . . + С т Х [ т = О, С | Х 2 1 + С 2Х 22 + . . . + С т Х 2 т = 0 , С |Х „, + С 2 Х„ 2 + . . . + = 0 (2 11) . Если система (2.11) имеет (или не имеет) ненулевые решения, то векторы X I, . . , Х т линейно зависимы (или независимы). Рассмотрим матрицу размера п х т X = Хп Х,2 Х [т Х21 Х 22 Х2т №1 Х„2 (2.12) Пусть ранг этой матрицы равен г (см. 1.3.3). Система (2.11) с т неизвест ными С 1, С 2, ■■■, С т (предполагается, что т ^ п ) имеет ненулевое решение тогда и тсхлько тогда, когда г < т (см. 1.3.5). Следовательно, векторы 1|,®2. ... , Х т линейно зависимы, если г < т , и линейно независимы, если т= ^ т. Та ким образом, ранг г матрицы X равен наибольшему числу линейно независи мых векторов, содержащихся в данной их совокупности. Если Х |, Х 2, . . . , 1г — линейно независимые векторы из данной их совокупности, то всякий другой вектор из совокупности может быть записан в виде линейной комбинации этих г векторов. Если т > п, то ранг матрицы X очевидно не превышает п. Пример 12. Исследовать на линейную зависимость совокупность векторов I , = {3 ;- 1 ;2 ;1 }, * ; = {1; 4;-2; 2}, = {-2; 5;-4; I}. Решение. Ранг матрицы X = ■3 -1 2 . 1 1 -2‘ 4 5 -2 -4 2 I. равен г = 2 (см. пример 13 в 1.3.3). Следовательно, данные три вектора линейно за висимы. Это видно также из равенства Жг ~ ~ = 0. 2.6.3. Б ази с пространства. Координаты вектора Наибольшее число линейно независимых векторов п-мерного векторного пространства равно размерности п этого пространства. Всякая совокуп ность п линейно независимых векторов пространства Ь „ называется базисом этого пространства. Система п линейно независимых единичных векторов (ортов) ё| = ( 1 ; 0 ; . . . ; 0 ) , ё2 = (0 ; 1 ; . . . ; 0 ) . ё„ = (0; 0 ; . . . ; 1 ) называется каноническим базисом пространства ■ Если а ] , а 2, . . . , а „ — какой-либо базис пространства Ь „ , то любой вектор а этого пространства может быть представлен и притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов этого базиса а = С\й\ "Ь СгСг -Ь . . . -Ь СпИп, (2*13) где числа С^ (г = \, 2 , . . . , п) называются координатами вектора а в данном базисе. Если неоговорено противное, то координатылюбоговектора х = (Х|, X I , . . . , 1„ ) в пространстве задаются в каноническом базисе: X = Ххё^ + Х 2ё2 + ■. ■+ х „ё „. (2.14) Пример 13. В двумерном пространстве 1/2 разложение вектора а в базисе а,, 02 имеет вид а = € 10, + С 2О2. Подпространство. Размерность Пусть имеется к (к ^ п ) линейно независимых векторов в пространстве Ь „ : Х ь *2, •••, Х)ь- (2-15) Тогда множество всех векторов, полученных по формуле X = С 1Х 1+ С 2Х2 + ... + (2.16) где С | , С 2, ... , С* — любые числа, называется линейным подпространством пространства Ь „ . Говорят также, что векторы Х | , . . . , Х * образуют подпро странство Ьк. Некоторое множество Ь'„ векторов, принадлежащих Ь „ , тогда и только тогда является линейным подпространством пространства Ь „ , когда для любых векторов х и у, принадлежащих векторы х + у и а х ( а — любое действительное число) также принадлежит Ь'„, в частности, вектор О принадлежит Ь'„. Подпространство само является векторным пространством, базис которого состоит из к векторов (2.15). Наибольщее число к линейно-независимых векторов, принадлежащих подпространству Ь * , называется размер ностью этого подпространства. При этом к ^ п . Следовательно, в п-мерном прюстранстве имеются, в частности, следующие подпросфанства: Хо — нулевой размерности, состоящее из одного нулевого вектора 0; X , — одного измерения (т. е. его размерность равна I); Ьг — двух измерений и т.д. до — самого пространства п измерений. Пример 14. Пусть — трехмерное векторное пространство, образованное всеми векторами, выходящими из некоторой точки О (рис. 2.24), с каким-либо базисом О], 0 2 , Оз. Тогда одномерные подпространства образуются совокупностями всех векто ров, лежащих на любой прямой, проходящей через точку О , например, на прямой, определяемой вектором О], т е . совокупностью векторов С 1 О1 . С каждой прямой. проходящей через точку О, связано одномерное подпространство. Двумерные под пространства ^2 образуются совокупностями всех векторов, лежащих на любой плос кости, проходящей через точку О , например, на плоскости, проходящей через векторы 01, 02, т. е. совокупностью векторов С]й 1 + С 2О2. С каждой плоскостью, проходящей через точку О, связано двумерное подпространство. 2.6.4. Евклидовы векторные пространства Действительное га-мерное векторное пространство, в котором каждым двум векторам ставится в соответствие действительное число (скалярное произве дение этих векторов), называется п-мерным евклидовым пространством Е „ . С к а л я р н ы м п р о и з в е д е н и е м двух векторов х = (х ь . . . , х „) = (у\, ■■■,У п ) называется число (х, у ) , равное ( X , У ) = X^У^+X2У2 + ■■■+ХпУп- (2.17) С в о й ств а ска л я р н о го произвед ения. 1) (х, у) = {у, х), (а х , у) = а (х , у)\ 2) (х-Ь г/, 2) = (х, г ) + (г/, г); 3) {х, х) > О для всех (2.18) х ^ О, (х, х ) = О для х = 0. Пример 15. Евклидовым пространством является: 1) Множество всех векторов на плоскости в обычном геометрическом пространстве. Скалярное произведение векторов а = {а^,йу) и Ь~{Ъ^,Ъу) равно {а,Ь)^ахЬг + ауЬу. 2) Множество всех векторов в трехмерном геометрическом пространстве с обычным скалярным произведением (см. 2.3.3). М о д у л ь в е к т о р а . М о д у л е м ( д л и н о й , н о р м о й ) вектора х называется неотри цательное действительное число 1г| = + ^ ( х , х ) = У х ^ + ^ [ч ” Г + ^ . Обозначения модуля: |х| или ||^|. Единичным вектором (ортом) называется вектор, модуль которого равен I . Вектор х/|х| является единичным для любого вектора х ^ О, Свойства модуля вектора следуют из свойств скалярного произведения: 1) |х| ^ 0; 3) 2) |х| = О только при х = 0; |Ах| = |А| •|х|; 4) |х-Ь «71 ^ |х|-Ь |г/| для всех векторов и действительных чисел А. Для любых векторов х к у справедливо неравенство |(х, у)| ^ |х| ■|у1. Углом между ненулевыми векторами х и у называется действительное число (р (о ^ ^ ^ гг), определяемое равенством (х,у) |г|-1г7|- Ортогональность. Два вектора х и у пространства Е „ называются орто гональными (перпендикулярными), если (х, у ) = 0. Угол 1р между ненулевыми ортогональными векторами равен тт/2. Нулевой вектор ортогонален любому вектору пространства. Совокупность векторов г ,, Х2, . . . , Хщ называется ор тогональной системой, если она не содержит нулевого вектора и любые два ее вектора ортогональны друг другу, т. е. {x^,x^) = О ^). Если, кроме попарной ортогональности, все векторы х, единичные, т.е. то система векторов называется ортонормированной. Свойства ортогональных систем. 1. Векторы ортогональной системы линейно независимы. 2. В п-мерном пространстве Е „ ортогональная система содержит не более п векторов. Базис Ё | ,г 2, . . . , Ё п пространства Е „ , образованный ортонормирован ной системой, называется ортонормированным базисом Простей ший ортонормированный базис пространства Е „ состоит из ортов ё\ = ( I ; 0 ; . . . ; 0), Ё2 = (0; 1 ; . . . ; 0), . . . , ё„ = (0; 0 ; . . . ; I). Очевидно что ё^ё^ = Если I = (х ь Х2, . . . , х „), где Х( — координаты вектора в ортонормированном базисе ё],ё г ,. . . , ё „, то х, = (х, ё(). Любой базис 0 |, « 2, . . . , о„ евклидова пространства может быть преобра зован в некоторый ортонормированный базис ё |,Ё 2, . . . , ё „ методом ортогонализации Шмидта. Рассмотрим этот метод на примере произвольного базиса О], 02, аз в трехмерном пространстве. Сначала построим ортогональную си стему векторов Ь), Ь2, Ьз по формулам: г - 0| = а\. г от = - (02, 6]) г й - у ------ =— =— 0 | , _ От.= (Ь ь Ь | ) 0 ,-к (О з,Ь|)г =— 0 \ (03, 62);: -------- =---- =— (Ь ь б ,) 02, (62, 62) а затем ортонормированный базис - — ^ Здесь скалярное произведение находится по формуле (2.17). П ример 16. Базис а | = ( 2 ;—1;1), Оз = ( - 1 ;2 ; 1), аз = (1 ;2 ;4 ) трехмерного про странства преобразуем в ортонормированный методом ортогонализации Шмидта. Координаты векторов записываются в базисе г, ] , к. Получим: 6, = о , = ( 2 ; - 1 ; 1 ); (к ,.6 |) = 6, (а 2 ,Ь ,) = - 3 ; б2 = {-1;2;1) + ^ (2 ;- 1 ;1 )= (^ 0 ;^ ;^ ); (Ьг,Ь2) = \, (03,6,) = 4, |6,| = \ / ^ ) = А . _ / 2 1 1 \ . (а ,,Ь :)= 9 ; |Ь2| = ; ^ , _ 1»з1 = ; ^ ; _ / \/3 73\ Примечание. Евклидовым п р о с т р а н с т в о м в обшем случае называется действительное вееторное пространство, состоящее из элементов любой природы (см. примечание в 2.6.1), в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее условиям (2.18). Рассмотренное выше п-мерное евклидово пространство со скалярным произве дением (2.17) является частным случаем евклидова пространства общего вида. Другим частным случаем является пространство С\а\Ь] функций, непрерывных на отрезке [а ; &] (называемое п р о с т р а н с т в о м н е п р е р ы в н ы х ф у н к ц и й ) со скалярным произведением любых двух элементов, т. е. непрерывных функций /(ж) и ^(х), определяемым соот ношением ь {/,$) = I } Ш х ) ах. (2.20) Условия (2.18) при этом выполняются. Норма ||/|[ вектора (элемента) /(ж) евклидова пространства С[а\ 6] определяется равенством Ц/|| = у^(/. /). В одном и том же векторном пространстве скалярное произведение и норму можно определить раз личными способами. Например, в пространстве С\а\ Ь\ можно ввести также норму 1 1/11 = та х \}(х)\. 1«л| 2.7. Гильбертово пространство Г к л ь б е р т о в ы м п р о с т р а н с т в о м Н (действительным или комплексным) называет ся произвольное бесконечномерное векторное пространство (действительное Или комплексное), в котором: 1) определено с к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е { х ,у ) любых двух элементов х и у, принадлежащих Н, являющееся в обшем случае комплексным числом, удовлетворяющим условиям: 1а) (х, у) = (у ,х ), где черта означает комплексное сопряжение (при этом (х, х ) — действительное число); 16) (х + у , г ) = ( х ,г ) + (у,г)- (2.21) 1в) (Ах, у) = А(х, у ), \ — любое комплексное число; 1г) (1 , 1) > 0; [х ,х ) = О тогда и только тогда, когда 1 = 0; число ||хЦ = у / (х, х) называется н о р м о й элемента х; 2) для любой последовательности элементов х„ (п = 1, 2 , .. .) пространства, удовлетворяющей условию Цх^ - х„|| -> О (при т , п -> оо), существует элемент х , принадлежащий Я , такой, что ||х„ - х|| О при п оо (свойство п о л н о т ы пространства). При этом говорят, что последователь ность элементов х „ с х о д и т с я к элементу х. Б е с к о н е ч н о м е р н о с т ь пространства Н означает, что для любого натураль ного п найдется п линейно независимых элементов. Два элемента х н у называются о р т о г о н а л ь н ы м и , если (х, у) = 0. После довательность элементов Х 1 , Х 2 , . . . называется о р т о н о р м и р о в а н н о й с и с т е м о й { х „ } , если все эти элементы попарно ортогональны и имеют норму, рав ную единице. Примером ортонормированной системы в пространстве всех функций, разлагающихся в ряд Фурье в интервале ( - т г ; тг), является т р и г о н о м е тр и че ская систем а { ^ „ ( < ) } , « = 1 , 2 , . . . : I С05 I 81П I У/Ъ^ у/т! у/тт ..., С05 п 1 51П п 1 у/тГ у/п 2.22 Р я д о м Ф у р ь е элемента ^ по ортонормированной системе { х „ } называется ряд вида 00 где г „ = (« ,х „ ) (га = 1 , 2 , ... ) . П=1 Ортонормированная система { х „ } называется п о л н о й , если кроме нулево го элемента не существует никакого другого элемента данного пространства, который был бы ортогонален всем элементам х„ системы { х „ } . В частно сти, тригонометрическая система (2.22) является полной ортонормированной системой. Полная ортонормированная система { х „ } в гильбертовом про странстве Н называется о р т о н о р м и р о в а н н ы м б а з и с о м этого пространства. Для любого элемента ^ пространства Я справедливо единственное разложение в ряд Фурье в ортонормированном базисе { х „ } : 00 В = ^8пХп, (2.23) п= 1 00 где = ( г ,х „ ) (п = 1 ,2 ,...); причем Ц^|| = гае числовой ряд п=1 В Правой части последнего равенства сходится. 00 Если / = 00 /„х „ И 5 ТО скалярное произведение п=1 п=1 00 (/,г) = Е п=1 Гильбертово пространство ^2 Элементами этого пространства являются бесконечные числовые после00 довательности х = (Х ],Х 2, . . . ) такие, что ряды ^ |1„ р сходятся (здесь п=1 х„ — действительные или комплексные числа). Сумма любых двух элементов X = (Х | ,Х 2, . . . ) , у = (у \ ,у 1 , . . . ) и произведение элемента х на любое число А определяются соотношениями Х + у = (Х \ + 2 / 1 , Х2 + г/2, ■■•). = (А Х 1 , А Х 2 , •••). Скалярное произведение элементов х и 2/ из /2 по определению равно 00 {^ ,у ) = ' ^ Х „ У „ , п=1 где черта означает комплексное сопряжение. Норма элемента х равна 1|а:|| = \ / {х ,х ) = у/х ] + х ] + ... . Скалярное произведение удовлетворяет неравенству |(х ,2/)|^ ||х ||- |Ы |. Пространство /2 полно (свойство 2 полноты выполняется). В качестве ортонормированного базиса в пространстве можно взять бесконечную систему единичных попарно ортогональных векторов е\ = ( 1 ; 0 ;...) , С2 = (0; 1; 0 ;.. .) , ез = (0; 0; 1; 0 ;.. .) , ... . Для любого вектора х из справедливо единственное разложение по базису { е „ } , имеющее вид X = Х\е\ + Х2в2 + Хзвз + . .. . Гильбертово пространство всех функций, разлагающихся в тригонометрический ряд Фурье в интервале ( —7Г < I < 1г) Скалярное произведение любых двух элементов /(<) и ^{1) этого пространства равно = ! /(<)«(<) В качестве базиса можно взять тригонометрическую систему (2.22). Раз00 ложение функции / {I) в этом базисе / ( I ) = ^ /п^п(0 является тригоно- п=1 метрическим рядом Фурье этой функции, причем ........ 2.8. Преобразование координат вектора при изменении базиса 1. Пусть ё ь ё г ,. . . , ё„ и ё\, ё{ , . . . , ё„’ — два базиса в одном и том же п-мерном действительном или комплексном векторном пространстве Ь „ . Векторы первого (старого) базиса ё, разложим во втором (новом) базисе ё/ (2.24) Любой вектор базисов: X пространства X = ^ может быть разложен в каждом из этих Х;ё^ = ^ ;=1 (2.25) Х'ё/. ;=1 Подставляя (2.24) в (2.25), получим х' = ^ 8 ^^x^ (1 = 1 , 2 , . . . , п ) . (2.26) >=1 Здесь 5 = (5;^) — матрица перехода от первого базиса ко второму, причем й л (5 у ) # О, Запишем (2.26) в матричном виде Г 1л X, X ' = 5 Х , х ' = 'Х 1 ‘ , 1 Хп. X (2.27) = Хп. П рим ечание. В п-мерном комплексном векторном пространстве с базисными орта ми ё| = (1;0;... ;0), ёг = (0; 1 ;...; 0), , ё„ = (0;0;. . . ; I) скалярное произведение любых двух векторов х = ( х , , Х 2, . . . , х „ ) , у = { у 1, у 2, . . . , у „ ) с комплексными коор динатами определяется равенством 2 2- I - . . . (Х , у ) = Х^у\ + Х У Ч- х „ у '„ , где знак ♦означает комплексное сопряжение. Скалярное произведение удовлетворяет свойствам (2.21). Длина (норма) вектора х определяется равенством ||х|| = л/|х,Р-Цх2|2-Ь...-Цх„|^. Ненулевые векторы х к у называются ортогональными, если (х ,у) = 0. Базисные векторы ё^ (« = I, 2 ,..., п) ортонормированы, т. е. попарно ортогональны и имеют единичную длину 2. Если оба базиса ё^ и ё/ (1 = 1,2, . . . , п ) ортонормированы (т. е. (б1, ё]) = д^^ и (ё/ё/) = (5у где — символ Кронекера), то из (2.24) следует ! в ;). И з (2.24) и условия ортонормированности обоих базисов следует 1= 1 т. е. 8^8 = Е . Следовательно, матрица перехода 3 ортогональна. Свойства матрицы перехода. 1) 5 ^ = 5 “ ' ; 3) П П *=1 к=1 Е 4 *=1 = Е 5 * ^ = 1, (ае15)^ = 1, ае15 = ±1. *=) Матрицы 3^ и 5 ” ' также ортогональны. 2.9. Линейные преобразования (линейные операторы) Пусть Х \ ,Х 2, ■■■, х „ и 3/1, 2/2, •••■2/п — две упорядоченные системы перемен ных, рассматриваемые как координаты двух векторов х » у в одном и том же Действительном или комплексном векторном пространстве Ь „ с базисом в), €2, ■■■, е „, связанных соотношениями г/1 = ,х „ ), У2 = / 2 ( Х 1 , Х 2 , . . . , Х „ ) , (2.29) Рп = / г . ( Х | , Х 2 , . . . , Х „ ) , где / ь /г, •••, /п — заданные однозначные функции. П Правило (2.29), по которому каждому вектору х — п из сопо- 1=1 ставляется однозначно определенный вектор у = з/,ё, из Ь „ , называется 1=1 преобразованием пространства Ь „ . Здесь все векторы, включая базисные, предполагаются записанными в виде матриц-столбцов (см. 1.3.1): ё, = {1 ;0 ;...;0 }, ё„ = {0 ; 0 ; . . . , 1}. Преобразование (2.29) называется линейным, если 2/1 = 0 | | Х | + а | 2 Х 2 + . . . + а | „ х „ , г/2 = 021Х] + «22X2 + . . . + а 2 „ Х „ , Уп = а„|Х| + о „2Х 2 + ... + а „„ х „, где коэффициенты а^^ — действительные или комплексные числа. Линейное преобразование (2,30) векторного пространства Ь „ называется также линей ным оператором в Ь „ . Преобразование (2.30) можно записать в матричном виде у = А х или 'а п г/1 = .г/п. “ 21 .ощ а,2 ■ а\п «22 ■ 02„ «п2 Х| (2.31) Хп] Здесь квадратная матрицы А -- (а^^), состоящая из коэффициентов линейного преобразования, называется матрицей линейного оператора (линейного преобра зования) или просто линейным оператором А в пространстве Ь „ . Координатами вектора являются элементы ^-го столбца матрицы (оператора) А , т.е. ^1; , 02>» •••1 . Если (1е( .4 ^ О, то оператор А называется невырожденным, в противном случае — вырожденным. Оператор А невырожден тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен размерности пространства Ь „ . Если с1е( А О, то существует обратное (по отнощению к у = А х ) преобразование х = А 'у. Если с)е1 = О, то соотношение у " А х преобразует п-мерное пространство Ь „ в его подпространство мень[цего числа измерений. Свойства линейного оператора Л . А (х + у ) = А х + А у, где X, у А (а х ) = а А х , (2,32) — любые векторы из 1/„, а — любое число. Пример 17. В двумерном координатном пространстве (на плоскости Ох.Жг) задан оператор ^ _ С08 ^ [51П ^ - 81П у) соку? Этот оператор преобразует векторы ё| = {1; 0} и ёг = {0; 1} в векторы е/ С08у? - 81П 1р 81П С 08 (р 'Г 0 _ 81П (р 51П (р С08 То есть векторы ё| и ёз получаются поворотом векторов ё| и ёг соответственно на угол У" против часовой стрелки. Аналогично, вектор у = Ах получается из вектора I на плоскости поворотом его на угол ^ без изменения длины. Пример 18. В пространстве оператор Е^ , представляемый единичной матрицей (см. 1.3) осуществляет тождественное преобразование, оставляющее все векторы в Ь „ без изменения. Примечание. Линейное отображение векторного пространства в векторное про странство Ь т представляется аналогично при помощи матрицы размера т х п. Действия над линейными преобразованиями (линейными операторами) А и В в пространстве : {А + В ) х = А х + В х , {а А )х = а {А х ), { В А ) х = В (А х ) , (2.33) где X — любой вектор, записанный в виде матрицы-столбца, а — любое число. Операторы А + В , а А , А В — также линейные. Представляющие их матрицы получаются из матриц А В при помощи соответствующих действий над этими матрицами. Например, если у = А х, г = В у , то г = В { А х ) = (В А )х . Представление линейного оператора в различных базисах. Пусть дано не которое линейное преобразование (оператор) у = А х в пространстве представляемое матрицей А в базисе ё^, С2, . . . , ё„ и преобразующее век тор X в вектор у (оба вектора записаны в виде матриц-столбцов). Введем в этом же пространстве второй базис ё/, ё{ , . . . , ё„'. Тогда согласно (2.28) име ем X = 5 'х ', у = 8 ~ 'у '■Следовательно, преобразование у = А х во втором базисе принимает вид у ' = (5 ^ 4 5 "')х ' = А 'х '. Оператор А имеет во втором базисе вид А ' = 5 Л 5 " ' . Обозначая V = 3 ~ ', запишем А ' = У ~ ‘АУ. Матрица В называется подобной матрице А , если существует невырожденная матрица такая, что В = У ~ 'А У . Подобие матриц — свойство взаимное. В частности, в действительном трехмерном пространстве, откладывая векторы от начала координат, можно считать числа Х | ,Х 2,Х з координатами вектора { Х 1, Х 2,Х ^ } или координатами его конца, т. е. точки. При переходе от первого базиса ко второму (см. 2.4.2) имеем 3 х; = ^ = а^^). ;=| или х ' = З х , где 8 — матрица перехода от первого базиса ко второму. Пусть дано преобразование у = А х (йе! ^4 / 0) вектора х в у в первом базисе ё и ё 2,ё }. Выясним вид этого преобразования во втором базисе ё/, ё/, ёз'. Имеем: х = 3 ~ 'х ', у = 3 ~ 'у ', где все векторы записываются как матрицыстолбцы. Тогда во втором базисе у ' = А 'х ', где А' = З А З ~ '. 2 .1 0 . Собственные значения и собственные векторы матриц в результате линейного преобразования вида у = А х в комплексном п-мерном пространстве вектор х преобразуется в вектор у. Собственным вектором квадратной матрицы (или оператора) А с действи тельными или комплексными элементами, определяющей линейное преоб разование, называется ненулевой вектор х такой, что А х = Ах, (2.34) где А — некоторое число, называемое собственным значением матрицы (или оператора) А , соответствующим собственному вектору х. При этом исходный вектор X (записанный в виде матрицы-столбца) переходит в коллинеарный ему векторАх. Если х — собственный векторматрицы А , то вектор С х , где С — любое число, также будетсобственным вектором для А . Уравнение (2.34) можно записать в виде А х = \ Е х , где Е — единичная матрица ( Е х = х ), или в виде ( А - Х Е ) х = 0. (2.35) Здесь матрица А - Х Е называется характеристической матрицей. Матричное уравнение (2.35) представляет собой систему однородных линейных урав нений относительно координат собственного вектора х = {х \ ,х г ,... , х „ ) , которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т. е. (1е1 (^4 - Х Е ) = 0, или йе! (А - Х Е ) = Он - А а,2 «21 022 - А а„] 0„2 • «1п 02п «пп “ А Уравнение Р я(А ) = О, где Рп(А) — характеристический полином п-й степени, получающийся в результате раскрытия определителя в (2.36), на зывается характеристическим уравнением матрицы А. Корни этого уравнения (действительные или комплексные) являются собственными значениями мат рицы А . Совокупность всех собственных значений матрицы А называется ее спектром. Если А = А; — какое-либо собственное значение матрицы А , т.е. Р п ( К ) = О, то подставив А; в матричное уравнение (2.35), получим систему уравнений для нахождения собственных векторов матрицы А , соответствую щих собственному значению А (: (ап -А ,)Ж | + а ц Х 2 + .. . + а ,„х „ = 0 , 021*1 + («22 - \)Х 2 -I- ... -I- 02„Х„ = О, (2.37) а „|Х , -I- а„2Х2 -Ь . . . -Ь (а „ „ - X^)x„ = 0. Определитель однородной системы (2.37) с1е1(^4 - Х { Е ) = О, следова тельно, система имеет ненулевые решения, дающие собственные векторы, соответствующие значению А;. Если матрица А - \ { Е имеет ранг г (г < п), то существуют т = п - т линейно независимых собственных векторов I* ''* , х^'^\ . . . , соответствующих собственному значению А,. Причем любая линейная комбинация этих векторов также будет собственным вектором, соответствующим значению А,. Число линейно независимых собственных векторов, соответствующих одному и то му же корню характеристического уравнения, не превышает кратности этого корня. Если кратность корня равна I, то этому собственному значению соот ветствует единственный (с точностью до коэффициента пропорциональности) собственный вектор. Пример 19. Для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы А= 2 3 1 4 составим характеристическое уравнение 2-А 3 1 4-А = А^ - 6А + 5 = О, корни которого (т.е. собственные значения матрицы) равны А| = 1, Аг = 5. Коор динаты собственных векторов I*'*, соответствующих значению А| = 1, найдем из системы уравнений '1 3 X,' =0 или ■ I I -I- 3*2 = О, Ранг матрицы А - Х ^ Е равен I. Взяв, например, 1 | = 3 ,12 = -1, запишем собственный вектор в виде Собственным будет также всякий вектор С)Х^'\ где С\ — любое число ф 0. Аналогично для Лг = 5 составляем систему уравнений (^4 - Х ^ Е )! = О или Г - З г , + 3^2 = О, \ 1| - 12 = 0. Положив, например, Х\ = 1, гг = и любой вектор получим = { I ; I} . Собственным будет (Сг ф 0) Пример 20. Матрица А = 1 1 имеет характеристическое уравнение - 2А + 2 = О, корни которого А| = I - I , А2 = I + Этим собственным значениям соответствуют собственные векторы: г*'* = С | { 1, - » }, 1 *^* = С2{ 1, г}, где С|, Сг — любые, не равные нулю числа. Пример 21. Матрица А = имеет характеристическое уравнение А^(А - 3) = О, корни которого А| = А2 = О, Аз = 3. Для двукратного корня А| = О имеем матричное уравнение (^4 — \\Е)х = 0. Соответствующая система состоит из трех одинаковых уравнений г, + Ж2 + = 0. Ранг матрицы А равен I, т е. существуют два линейно независимых собственных вектора, соответствующих значению А] = 0. В качестве этих двух векторов возьмем, например, I* "* = {1 ;- 1 ;0 }, = {- 1 ;0 ;1 }. Ненулевые линейные комбинации этих собственных векторов также являются собственными векто рами, лежащими на плоскости, проходящей через векторы выходящими из начала координат Для Аз = 3 имеем матричное уравнение {А - А ,В )* = 0. Ранг матрицы А —Х^Е равен 2. Из трех уравнений соответствующей системы одно яв/1яется следствием двух других, поэтому офаничимся двумя уравнениями; — 2X 2 = ~х^, 1|+12 = 213. Полагая 13 = 1, получим г, = I , *2 = ■■Следовательно, ж*’* = {1; I; 1}. Собственным будет также любой вектор Сз®*’^ {Су Ф 0). Свойства собственных значений и собственных векторов матриц (операторов) 1) Если А ь А 2, . . . , А „ порядка п, то — собственные значения квадратной матрицы А с1е1 ^4 = А| А2 .. . А„, 5р ^4 = А 1 + А2 + ... + А„, где 5ру4 — след (т.е. сумма диагональных элементов) матрицы А. Для следа матрицы А используется также обозначение Тг А. Таким об разом, для квадратной матрицы А порядка п имеем 8р ^4 = Тг Л = О н + . . . + й „„. 2) Если А — собственное значение матрицы А , то матрица В = С оА'’ + С , А '+ ... + С,пЛ"‘ (А'‘ = Е , А ' = А ) имеет собственное значение С оА" + С |А ' + . . . + С „А ™ . Если де1Л ^ О, то собственное значение матрицы А ^ "‘ = (А~^)’^ , где т — натуральное число, равно А” ™. 3) Каждая (квадратная) матрица А является корнем своего характеристиче ского многочлена Р „(А ), т.е. Р „ ( А ) = О (теорема Гамильтона—Кэли). 4) Собственные векторы, соответствующие различным собственным значе ниям матрицы, линейно независимы. 5) Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены и одинаковые собственные значения (с учетом их кратности). 6) Свойство вектора быть собственным для какого-либо линейного опера тора не зависит от выбора базиса. 7) Пусть действительная симметричная матрица (оператор) А в п-мерном пространстве имеет п линейно независимых собственных векторов. То гда в ортонормированном базисе, ортами которого являются единичные собственные векторы ё | , ё г , . . . , ё „, матрица (оператор) А примет диа гональный вид А, О . .. О ^ ,^ 0 О А: . .. О О ... А„ т. е. все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Здесь А| — собственные значения, соответствующие собственным векторам. Всякую симметричную квадратную матрицу (оператор) А в п-мерном про странстве, характеристический многочлен которой имеет п корней, можно при вести к диагональному виду посредством преобразования подобия А! = У^^АУ, где V — некоторая невырожденная матрица. С войства д ействител ьны х си м м е тр ичн ы х м а тр и ц 1) Все собственные значения действительной симметричной матрицы дей ствительны. Примечание. Действительными являются также все собственные значения лю бой эрмитовой матрицы, т е. такой, что а^^ = Оу,. 2) Собственные векторы действительной симметричной матрицы, соответ ствующие различным собственным значениям, являются взаимно орто гональными. Из собственных векторов может быть построен ортогональ ный базис. 3) Всякая действительная симметричная матрица преобразованием подобия может быть приведена к диагональному виду. 4) Число линейно независимых собственных векторов, соответствующих каждому собственному значению, равно его кратности. 5) Для действительной симметричной матрицы А всегда можно найти такую ортогональную матрицу V, что матрица А ' = У ~ 'А У = будет диагонального вида. А\ Пример 22. Привести к диагональному виду симметричную матрицу -I 1 I А = 1 -I 1 I 1 -1 Решение. Собственные значения матрицы: А| = I, Аг = Аз = -2. Собственные векторы: = {I; I; 1}, = {-1; 1;0}, 1). Положим а найдем из условия ортогональности векторов и = {-С | — Сг; С ь Сз}, т. е. 2С\ + С2 = 0. Примем С\ = -1, тогда С; = 2. Находим: х'^> = - I - = {- 1 ;- 1 ;2 }. Собственные векторы х*‘>, х*^>, попарно ортогональны. Нормируя эти векторы, получим ортонормирюванный базис 1 ! 1 75’ 75’ 7 ! Столбцы ортогональной матрицы V, осушествляюшей преобразование подобия, со стоят из координат векторов ё|, ёг, ёу, т. е. У з V = 7 VI 1 1 ! 7 2 1 0 1 2 7 1 . Следовательно, матрица А переходит в диагональную матрицу 2.11. Квадратичные формы Пусть X = (х ь 1 2 , . . . , х „), = {х |, Х 2 , •• • , х „ } — соответственно векторстрока и вектор-столбец, А = {а^^) — действительная симметричная = а^,) матрица порядка п. Квадратичной формой от п переменных Х | ,Х 2, . . . , Х п называется выражение П (р (х ,,х 2 ,...,х п ) = ^ а^^x^x^ (2.38) ИЛИ (р {х и Х 2 ,...,Х п ) = хАх'^. Матрица А называется здесь матрицей квадратичной формы. В частности, при п = 3 квадратичная форма имеет вид 1 р (х и х 2 , X , ) = а п х \ + 0 2 2 X 2 + “ з з х ? где 2 0 1 2 X 1 X 2 -I- г о в Х . Х з + 2 0 2 3 X 2 X 3 , — некоторые числа. Если в квадратичной форме (2.38) перейти при помощи линейного преобразования х = В х ' , где В — невырожденная матрица, к переменным X = { Х ] , Х 2, ■■■, х „ } , то квадратичная форма примет вид п Е ! / I ацХ1Х, 1 ,;= 1 где матрица >4' = (о^^) связана с матрицей А = {а{^) соотношением А ' = В ^ А В . Если преобразование ортогонально, т.е. В ^ = В ~ ' , тогда будем иметь равен ство А ' = В ~ 'А В . Пример 23. ^Р(X^,X2) = (11, 12) Здесь 0 |2 = Дц ^21 «12 022. .^2. = аих\ + а22х\ + 2апххх2- 0 2 1. 2.1 1.1. Приведение квадратичной формы к каноническом у виду Каждая действительная квадратичная форма (2.38) при помощи линейного преобразования х = У у от переменных х = { х ь . . . , х „ } к переменным У = {у\, ■■■,У п }, где V — некоторая ортогональная матрица, может быть приведена к каноническому виду (нормальному виду, или сумме квадратов): ^(2/1, ■■■,Уп) = ^12/1 + \2У2 -ь •■•-ь КУп< (2.39) где А 1,А 2, . . . , А „ — собственные значения матрицы А (число слагаемых в (2.39), соответствующих кратному собственному значению, равно его крат ности). Столбцы матрицы V состоят из координат ортонормированной си стемы базисных векторов матрицы А (см. пример 22). 2 .11 .2 . Классиф икация квадратичных форм Действительная квадратичная форма П 'Р = называется: 1) п о л о ж и т е л ь н о о п р е д е л е н н о й , 2) о т р и ц а т е л ь н о о п р е д е л е н н о й , 3) н е о т р и ц а т е л ь н о й , 4) н е п о л о ж и т е л ь н о й , если для каждой совокупности действи тельных чисел X ], Х2, ... , х „, не равных нулю одновременно, выполняются соответственно неравенства: 1 ) у > 0 , 2) ^ < О , 3) <р^0, 4) <р^0. Неотри цательные и неположительные формы называю тся также з н а к о п о с т о я н н ы м и ( к в а з и з н а к о о п р е д е л е н н ы м и ) . Все остальные квадратичные формы являю тся н е о п р е д е л е н н ы м и (или з н а к о п е р е м е н н ы м и ) (при этом может иметь попеременно либо положительный, либо отрицательный знак в зависимости от выбора со вокупности чисел x^, не все из которых одновременно равны нулю ), либо р а в н ы м и т о ж д е с т в е н н о н у л ю . В случае знакопостоянных (квазизнакоопределенных) форм для всех значений x^ (г = 1 ,..., п ) выполняется /р ^ О или ^ < О , и имеется такая совокупность x^, одновременно не равных нулю, для которой 1р = 0. Действительная квадратичная форма (не равная тождественно нулю) является: 1) положительно определенной, 2) отрицательно определенной, 3) неотрицательной, 4) неположительной, 5) неопределенной в зависимости от величины собственных значений матрицы А = (О у ), которые соответ ственно: 1 ) все положительны, т. е. А ; > О ( I = 1 , . . . , п ) ; 2) все отрицательны, т. е. А, < 0 {г = 1 , .. ., п ) ; 3) среди А; есть равные нулю, а все остальные положительны, 4) среди А^ есть равные нулю, а все остальные отрицательны, 5) среди есть как положительные, так и отрицательные и тогда ^ в (2.38) может в зависимости от значений х, или /р в (2.39) в зависимости от принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для положительной определенности действительной квадратичной фор мы необходимо и достаточно, чтобы каждый из следующих определителей был положительным В , = а. С, = «11 0|2 «21 «2 2 а„ 012 «1» «21 022 02п <1111 »п2 Для отрицательной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно выполнение неравенств: Х)| < О , 1>2 > О , < О , 1)4 > О , . . . ( к р и т е р и й С и л ь в е с т р а ). Пример 24. Привести к каноническому виду квадратичную форму = - I ? - х \-х \ + 2X 1*2 -I- 2X 113 + 212X3- Решение. Матрица А этой квадратичной формы имеет вид, приведенный в примере 22. Собственные значения матрицы: А| = I , Аг = Аз = -2. При помощи преобразования переменных х = У у , где х = {Х | , Х 2 , * з ) . У = {У\,У 2,Уъ], а матрица V найдена в решении примера 2 2 , данная квадратичная форма приводится к каноническому виду »’ = У?-2У2-2!/.?. 1> 2 . П . З . О д новрем енное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов П усть имеются две действительные формы П П *.;=1 1.;=| причем — положительно определенная. Требуется найти линейное пре образование (не обязательно ортогональное), приводящее обе квадратичные формы одновременно к сумме квадратов. Вначале, при помощи линейного преобразования х = У у , гае V — некоторая ортогональная матрица, приве дем форму у?| к каноническому виду п У’! = X ] 1= 1 при ЭТОМ форма (р2 примет вид п 1. 3 = \ Вводя новые переменные 2, = У^у/Щ, получим У»! = ^ 2?, ^ 1=1 1. 1=1 Произведем затем ортогональное преобразование г = С г ' от перемен ных г = { 2|....... г „ } к переменным г ' = { г [ , . . . , г '„}, приводящее форму (р2 к каноническому виду. При этом <р] останется суммой квадратов. О конча тельно получим = V2 = ^ А . { 2 ;') ^ 1=1 1=1 Здесь Л, (* = 1,2, . . . , п ) — некоторые числа, для нахождения которых со ставим квадратичную форму п Ф = ^2 “ ^ *.;=1 (Ьгу - Хагу)ХгХ^, где А — параметр. В результате перехода к переменным г,' форма Ф примет Определитель, составленный из коэффициентов формы Ф в переменных равен ае1 |Ь.^ - Ао^^), а в переменных : ае( [(А^ - А)Ло] = (А, - А)(Аа - А )... (А „ - А). Обозначая через О невырожденную матрицу результирующего пре образования X = О г ' от переменных х = { г ь . . . , 1 „ } к переменным г ' = { 2 [ , , 2„ } (это преобразование в общем случае неортогонально), най дем, что в переменных 2^ форма Ф будет иметь матрицу С ' = С О , где С — матрица формы Ф в переменных x^, символ Т означает транспонирование. Имеем: ае! С ' = с1е1 {Г ) ''С О ) = ((1е1 Л^)(де« С)(ае1 О ) = (ае1 С)(с1е1 ^ )^ где де! О / О и не содержит А. Отсюда следует, что полиномы, равные йе! С ' и де1 С , имеют одинаковые корни А = А^ {{ = \ , . .. ,п ), которые находятся из уравнения 6|1 — А0|] Ь\„ — Ао|„ Ьц - А02| . Ь2„ - А02„ К ] - Ао„| . ^пп ~ АОпп = 0. (2.40) Таким образом, задача одновременного приведения двух квадратичных форм к сумме квадратов сводится к нахождению корней уравнения (2.40). Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕО М ЕТРИ Я Аналитическая геометрия — раздел математики, изучающий простейшие геометрические образы (прямые, плоскости, линии и поверхности второго порядка) алгебраическими средствами с применением метода координат, согласно которому положение каждой точки геометрического образа опре деляется заданием чисел, называемых координатами точки (см. 2.1). Далее везде применяются правые декартовы (прямоугольные) системы координат, если не оговорено противное. 3 .1 . А налитическая геом етрия н а плоскости 3.1.1. М етод координат Сущ ность метода координат заключается в следующем. Пусть на плоскости задана прямоугольная (декартова) система координат О х у (см. 2.1.1) и не которая линия Ь (рис. 3.1). Уравнением линии Ь относительно системы О ху называется такое соотношение Р {х , у ) = О (не являющ ееся тождеством), связывающ ее переменные I и у . которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки М { х , у ) , лежащей на и не удовлетворяют координа ты точек, не лежащих на Ь . Говорят при этом, что уравнение Р ( х , у ) = О залает (или определяет) соответству ющую линию Ь . Линию можно рассмагривать как множество всех таких точек на плоскости, координаты ко торых удовлетворяют данному уравне нию. Метод координат позволяет изу чать геометрические свойства линий алгебраическими средствами. Напри мер, задача нахождения точек пере сечения двух линий, заданных двумя уравнениями, сводится к решению системе этих двух уравнений. В полярной системе координат уравнение линии имеет вид Р {р , (р) = 0. Пример 1. Точка М (3 ; 4) лежит на линии, определяемой уравнением а точка Р (1 ; 1) не лежит на ней. Линии с уравнениями пересекаются в двух точках: М | (\ ^ ; 2'/5) и + -25 = О, - 25 = О и 2г - у = О -2\/5). В аналитической геометрии на плоскости рассматриваются обычно ли нии, уравнения которых являю тся алгебраическими уравнениями первой и второй степеней: А х + В у + С = а, Ах^ + 2 В х у + Су^ + 2 0 х + 2 Е у + Р = 0, называемые алгебраическими линиями первого и второго порядка соответ ственно. Линиями первого порядка являю тся только прямые линии. К линиям второго порядка относятся; окружность, эллипс, гипербола, парабола, пары прямых. Другие, более сложные линии изучаются в алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии. 3 .1.2. Основные формулы 3.1.2.1. Расстояние й между двумя точками (1 = М \{х и У \) и М г (х 2,У 2У. + {у 1 - у \ У . 3.1.2.2. Деление отрезка в данном отношении Даны точки М х {х иУ \) и М 2(х 2,У 2)- Координаты точки М { х , у ) . лежащей на прямой М 1М 2 и делящей направленный отрезок М |М г в отношении т П ]/ т 2 = А, т.е. (Л ^-1) М М 2 ГП2 находятся по формулам т 2Х , + т , Х 2 Х\+ ХХ2 щ \+ т2 1+ А ’ Ш 2У^ + ГП1У2 У\+ ХУ2 гп\ + Ш 2 1+ А р Если А > О — точка М лежит внутри отрезка М 1М 2, а если А < О (А / - 1 ) — точка М лежит вне М |М г . Координаты середины отрезка М 1М 2 (А = I): х\+ х2 г/1 + г/2 У = ^ При А = О точка М совпадает с М | . Если А -> ±оо, то точка М М 2. 3.1.2.3. П усть даны точки М ^ {Х ],у 1), М г (х 2, у {), М з(жз ,у з ), То гда угол а между направленными отрезками М |М г и М 3М 4 находится по формуле (12 - Х^){х^ - X , ) + (г/ 2 - У\){УА - Уз) \/(*2 - Х|)^ + (У2 - !/ 1 )V (® 4 - Хз)2 + (2/4 - 2/з)2 3.1.2.4. Площадь треугольника с вершинами М ]{х ],у \ ), М 2{х 2,У 2), М }{ х } ,у }) находится по формуле 1 1 XI Х2 Хз = I г/1 г/2 г/3 [х|(г / 2 - г/з) + Х 2 {у 1 - 2/|) + хз(г / 1 - г/2 )] • Здесь берется знак минус, если значение определителя отрицательно, и плюс — в противном случае, так как 5 > 0. 3.1.3. П р е о б р азо ван и е декартовых координат Уравнение какой-либо линии имеет разный вид в различных декартовых си стемах координат. Зная уравнение линии в одной (старой) системе координат О х у, можно найти ее уравнение в другой (новой) системе О ' х у , если извест ны формулы преобразования координат точки при переходе от одной системы к другой. На плоскости общие формулы преобразования (см. 2.4) упрощаются и принимают следующий вид. 1) При параллельном переносе осей координат (рис. 3.2) Х= 1 '- Ь Х о , , г/ = ?/ + 2/0 , или х' У , = 1 -1о, (3.2) = У ~Уо. где 1о, Уо — координаты точки О ' в старой системе О х у ; х = О М ,, у = О М 2, X = 0 'М [ , у = О 'М 2. 2) При повороте осей координат вокруг начала координат О на угол а , который считается положительным при повороте против часовой стрелки и отрицательным в противном случае (рис. 3.3) X = х ' С08 а - у 51П а. у = X 51П а + 2/ С08 а , или X = X С05 а + 2/ 51П а , у = —X 51П а + «/ С08 а , где I = 0 М \ , у — О М 2, X = 0 М (, у = О М 2 — координаты точки М в ста рой и новой системах координат. м м; м; Уч о' М, Рис. 3.2 П ри одн оврем ен н ом параллельн ом п ереносе и повороте осей координат формулы преобразования и м е ю т в и д : X = Хо + X у = Уо + X со з X = ( х - хо) соз а + у' = - { х - То) - у а 5Ш а , & 1 п а + у ' со з а , 81П а (у + - у о ) 31п а , {у - Уо) соз а . Вышеприведенные ф ормулы преобразования координат не изменяют расстояния между двумя точкам и , величину угла между двумя векторами и площадь треугольника. 3.1.4. Прямая линия 3.1.4.1. Общее (полное) уравнение прямой линии (алгебраической линии первого порядка) является алгебраическим уравнением первой степени отно сительно декартовых координат х к у А х + В р + С = О, (3.5) где постоянные А и В не равны нулю одновременно. При 4 = 0 (или В = 0) прямая параллельна оси О х (и л и О у ). Если С = О, то прямая проходит через начало координат. 3.1.4.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Если В ф О ,т о уравнение (3.5) можно записать в виде (3.6) где к = а называется угловым коэффициентом прямой; а — угол между данной прямой и положительным направлением оси Ох (угол а считается по ложительным при отсчете против часовой стрелки, и отрицательным — в про тивном случае) (рис. 3.4); Ь = О М — ордината точки М (0 ,6 ) пересечения прямой с осью О у. Если 6 = О, то прямая проходит через начало координат. 3.1.4.3. Уравнение прямой в отрезках Уравнение прямой в отрезках получается из уравнения (3.5) делением обеих его частей на (- С ) : (3.7) Прямая пересекает оси О х и О у в точках М 1(о, 0) и М г(0 , 6) соответ ственно (рис. 3.5) и отсекает на осях отрезки с величинами а и 6, которые могут иметь любые знаки. Если прямая параллельна какой-либо оси, то один из соответствующих отрезков не сущ ествует (обращается в бесконечность). Пример 2. Пусть 2х-3у + 6 = 0 — общее уравнение прямой. Тогда уравнение с угло вым коэффициентом: у = -х + 2. Уравнение в отрезках: (-3 ) ^ 2 -3, Ь = 2). У м, - 1 // Л а 1 М, Рис. 3.5 1 1 -1 0 X Рис. 3.6 Для построения прямой отложим отрезки с величинами ОМ| — —3, ОМт = 2 на осях Ох и Оу и проведем через точки М |(-3 ;0 ) и М2(0; 2) прямую (рис. 3.6). Угловой коэффициент к = 1^ а = 2/3. 3.1.4.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку Мо(жо.2/о) и имеющей заданный угловой коэффициент (заданное направление) к (рис. 3.4) имеет вид У - У 0 = к ( х - Хо). (3.8) Уравнение (3.8) является также уравнением пучка прямых, проходящих через точку Мо(хо, уо) в различных направлениях (при разных значениях к). 3.1.4.5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М , ( х , , У 1) и М 2(Х 2,У 2У1 ^ = ^ У2 - »1 Х 2 - Х , = \ (3.9) Х2 - Х 1/ 3.1.4.6. Нормальное (или нормированное) уравнение прямой: X соз (р + у &\п - р = о. (3.10) где р ^ О — длина перпендикуляра О К , опущенного из начала координат на данную прямую (рис. 3.7), >р — угол между положительным направле нием оси О х и направлением перпендикуляра О К . Угол ^ (О ^ ^ ^ 2тг) отсчитывается против часовой стрелки (в положительном направлении). Нор мальное уравнение прямой (3.10) может быть получено из общего уравнения А х + В у + С = 0, умножением его на нормирующий множитель 1 где знак ц всегда противоположен знаку С . Если С = О, то знак /4 берется произвольно. 3 .1 .4 .7 . Расстояние Л от точки М ]( х \ , 2/1) до прямой с уравнением Ах + В у + С = О (или х со 5 (р + у $ т 1р - р = 0) равно (рис. 3.7); (1 = |Х|С05^-Ьг/, 81П ^-р|. = ^/Ж Тв^ Пример 3. Пусть даны прямая Зх + 4у - 5 = О и точка М ( - 4 ; 3). Тогда нормальное 3 4 уравнение прямой -х + - у — 1 = О {/х = 1/5). Расстояние от точки М до прямой: |3-(- 4 )+ 4-3-51 ^ </9+ 16 3.1.4.8. Взаимное расположение прямой и точек П усть дана прямая Р { х , у ) = А х + В у + С = 0 и две точки М $х \,у $, Л^2(®2>2/2)- Тогда точки М ^ ,М г лежат по разные стороны от этой прямой, если числа Р ( х ^, «/О и Р ( х 2, уг) имеют противоположные знаки. Точки лежат по одну сторону от прямой, если эти числа имеют одинаковые знаки. 3.1.4.9. Три точки М | (ж 1, г/|), М 2 ( х 2 , У 2 ), М ^ ( х ^ , у ^ ) находятся на одной прямой в том и только в том случае, когда 1 3.1.5. 3.1.5.1, 1 1 I , Х2 X, У\ У2 Уъ = 0. Взаим ное располож ение прямых Координаты точки М о (х о , Уо) пересечения двух прямых и задаваемых уравнениями А 1 Х + В ,У + С 1 = 0 и А2Х + В2У + С 2 = 0 (3.11) у = к\Х + Ьх и у = к 2Х + Ь2, (3.12) находятся по формулам Хо = В, с, В2 С2 А, В, А2 В2 ь, - Ь 2 — , , , к 2 -кх Уо С, Л, Сг А, А2 А261 - кфг В, к2 - к , А2 В2 т. е. являю тся решением системы двух уравнений этих прямых. 3.1.5.2. Угол й |2 между двумя пересекающимися прямыми и Ьг (в зя тыми в данном порядке), задаваемыми уравнениями (3.11) и (3.12), отсчиты ваемый против часовой стрелки при повороте прямой Ь\ вокруг точки Мо их пересечения до первого совмещения с прямой Хг (рис. 3.8), находится по одной из формул: 18 0:12 = С05а12 = А 1В 2 - А 2В 1 кг - ку А ,А 2 + В 1В 2 1 + к ,к 2 ’ А \А 2 + В 1В 2 -^2 + Щ 51Па12 = А \ В 2 — А 2В\ ^ I + к? -у/1 + (3,13) 1 + к ]к 2 ^ А ] + В ]^ А \ + В\ Углы а |, «2 и а ,2 (О ^ 0|2 < л-) связаны соотношением «12 = а г ~ а\Поменяв местами к, и кг в формулах (3.13), получим тангенс (косинус, синус) угла 021 = 7Г - 0 1 2 Примечание. Если хотя бы одна из прямых Ь 1, Ь 2 параллельна оси Оу, угол а |2 может быть найден при помощи простых геометрических построений. Пример 4. Даны две прямые (X ,) у = Ъ х - 2 , (^г) У = -2х + 3 (рис. 3.9). Точка Ма (I; 1) пересечения этих прямых находится из решения системы уравнений прямых. По одной из формул (3.13) находим 3 . 1 . 5 . 3 . Прямые (3.11) или (3.12) п а р а л л е л ь н ы , если А 1А 2 - В , В 2 = 0 / |^или Л, = В ,\ к^= кг. 3 . 1 . 5 . 4 . Прямые (3.11) или (3.12) п е р п е н д и к у л я р н ы , если А ,А 2 + В ] В 2 = 0 или к ]к 2 = - 1 . 3 . 1 . 5 . 5 . Уравнение прямой, проходящей через точку М о(хо, Уо) и п а р а л л е л ь н о й п р я м о й у = кх + Ь или А х + В у + С = 0: у - У о = к (х - Х о ) или А (х - Хо) + В { у - Уо) = 0. (3.14) 3 . 1 . 5 . 6 . Уравнение прямой, проходящей через точку М о (х о ,уо ) и п е р п е н д и к у л я р н о й к п р я м о й у = кх + Ь или А х + В у + С = 0: У - Уа = - \ ( х ~ Хо) К или А { у - у о ) ~ В ( х - х а ) = 0. (3.15) 3.1.5.7. Расстояние между параллельными прямыми Ах + В у + = 0 , А х + В у + С 2 = О (С | Ф- С г): 6. = С ,- С 2 \/А ^ Т в 2 3 . 1 .5 .8 . Три прямые Л ,х + В 1у + С^ = О (г — 1, 2, 3) пересекаются в одной точке, либо параллельны, если 3.1.6. 3 .1 .6 .1 . А, В, С, А2 В2 С2 = 0. А} Вз Сз Линии второго порядка (конические сечения) Основные понятия 1. Л и н и е й в т о р о г о п о р я д к а (л. в. п.) называется множество точек М ( х , у ) плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени относительно х и у с действительными коэффи циентами: а ц х ^ -Ь 2 а п х у + аг2У^ + 2а^^х + 2а2з.у + О33 = О (3 .1 6 ) (а ||Х + аиУ + а в )х + (а 2]Х + О228/ + 02з)у + («31® + аз2У + азз) = О, где а^^ = [г ,] = 1, 2, 3). Уравнение (3.16), называемое общим уравнением л. в. п., можно записать также в матричном виде: -2аг^ + Озз = О, А = Оц 0|2 021 «22 г' о = (а ,з ,а 2з), (3.17) г = (х ,у ), = {х , у } — матрица-столбец. Три величины 5 = 011+ 022, ^ = Он 0,2 021 022 , Оц 012 013 А = 021 031 022 023 Озз 032 (3.18) называются инвариантами уравнения (3.16) или (3.17), так как они не изме няются при параллельном переносе и повороте осей координат (3.2)-(3.4). Л. в. п. на плоскости называют также коническими сечениями, так как они могут быть получены в сечении прямого кругового конуса соответствующей плоскостью. Например, если секущ ая плоскость перпендикулярна оси конуса, то в сечении получается окружность или точка. 2. Центры, диаметры и главные оси л. в. п. Точка С называется центром симметрии какой-либо геометрической фигуры (или просто ее центром), если каждой точке А данной фигуры соответствует такая точка А! этой же фигуры, что отрезок АА! проходит через точку С и делится этой точкой пополам. Прямая линия называется осью симметрии какой-либо геометрической фигуры, если каждой точке В данной фигуры соответствует такая точка В ! этой же фигуры, что отрезок В В ' пересекает эту ось, перпендикулярен к ней и делится в точке пересечения с ней пополам. Центральными называю тся л. в. п., имеющие единственный центр. Л. в. п., не имеющие центра или имеющие множество центров, называются нецен тральными. Л. в. п., для которых инвариант / О, являю тся центральными; если X) = О, то л. в. п. — нецентральная. Координаты центра С (го ,у о ) цен тральной л. в. п. находятся из системы уравнений ОцХо + 012У0 + 0 |з = О, <>2|Хо -Ь О223/0 -I- 023 = о, т. е. 1о = - 0|3 023 Он 021 012 Оц 013 022 021 022 Оц 012 021 022 012 022 Уо — (3.19) Хордой л. в. п. называется отрезок прямой, соединяющий любые две точ ки линии. Середины параллельных хорд любой л. в. п. лежат на одной прямой, называемой диаметром л. в. п., сопряженным данному направлению хорд. Все диаметры центральной л. в. п. пересекаются в ее центре. Для нецентральной л. в. п. все диаметры параллельны либо совпадают. Два диаметра центральной л. в. п., каждый из которых делит пополам хорды, параллельные другому диа метру, называю тся взаимно сопряженными. Диаметр л. в. п., перпендикулярный к сопряженному ему направлению хорд, называется главной осью л. в. п., яв ляю щ ейся осью симметрии л. в. п. Каждая центральная л. в. п. имеет либо две взаимно перпендикулярные главные оси, либо бесконечное множество различных главных осей в случае окружности. Нецентральная л. в. п. имеет одну главную ось. Точки пересечения л. в. п. с ее главными осями называются вершинами л. в. п. Направления главных осей и нормальных к ним направлений совпадают с направлениями собственных векторов симметричной матрицы А в (3.17); собственные значения А ь Аг — всегда действительны и находятся из харак теристического уравнения оц-А а|2 021 <»22 - А = 0, или А ^-5'А -Ы > = 0, (3.20) где 5 = А] -ЬА2, о = А1А2. Условие А] > О всегда может быть достигнуто умножением уравнения (3.16) на (- 1 ). Направления главных осей л. в. п. и сопряженных им хорд называю тся главными направлениями л. в. п. Только у окружности главные направления неопределенны, т. е. могут быть любыми, но перпендикулярными. Парабола имеет единственную главную ось и два главных направления. 3.1.6.2. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду Сущ ествует декартова система координат, в которой общее уравнение л. в. п. (3.16) приводится к одному из девяти простейших (канонических) видов. 1. Д ля нахождения этой системы координат можно воспользоваться не посредственно преобразованиями координат (см. 3.1.3). Повернем сначала оси координат на угол а , где ла = -------- ; 1.$ 2 Он - 022 при нахождении угла а могут быть полезными формулы со8 2 а = --- 1 /1 + С08 2а со5а = ± л / --------- , V 2 ’ /1 - со8 2а 5 т а = ± л /----------. V 2 Затем применим формулы преобразования (3.3), тогда уравнение (3.16) примет вид т. е. исключается слагаемое с ^ •у'. Если 012 = О, то поворот осей не нужен. Если 0|1 = 022, то 18 2а обращается в бесконечность, т. е. 2а = ±п/2 или а = ±тг/4. 2. Если в (3.21) о'|| / О, а '22 ^ О, то применяя преобразование “и <»22 где х " , у " — новые координаты, получим уравнение а'\ 1{х ')^ + а'22(у " У = -о!}}. (3.22) Если а'з'з ^ О, то из (3.22) следует: К] «2 где кг = — г - Если обе величины к [, кг положительны, то « II «22 получим уравнение линии, называемой эллипсом (частны м случаем которого при к[ = кг является окружность). Если к\ < О, *2 < О, то получается уравнение мнимого эллипса, не имеющего действительных точек. Если одна из к\ и кг положительна, а другая — отрицательна, то получается уравнение гиперболы. Если в (3.22) а "} = О, то получим уравнение а\,{х")^ + а'гг{у'')^ = 0. При этом, если а'|^, а'гг разного знака, то получим пару пересекающихся прямых. Если а ц ,а 22 одинакового знака, то получим пару мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке (0; 0). 3. Пусть один из коэффициентов Оц, а'22 в (3.21) равен нулю (например, “ 22 = 0)- Тогда (3.21) примет вид а \ , ( х ' ) ' + 2 а',зг ' + 2 а 'г , у ' + а '33 = 0. Если о'2з Ф о, (3.24) то из (3.24) получим уравнение параболы: г/' = - ^ ( х ' ) ^ - ф х ' - ^ . 2<»23 “ 23 2“ 23 (3.25) Если а'23 = О, то из (3.24) получим уравнение а\х(х')^ + 2а\^х + а '33 = О, представляющее либо пару параллельных прямых (при 6 = (а'|з)^ - о'ца'33 > 0), либо пару мнимых параллельных прямых (при 6 < 0), либо пару слившихся прямых (при <5= 0). Аналогично рассматривается случай о'ц = О, О22 ф 0. Всего, таким обра зом, получается девять канонических видов уравнений л. в. п. Записывая (3.25) в виде где а, Ь, с легко получаются из (3.25); находя вершину параболы по формулам Ь Хо = - ^2аГ ’ , 4 ас-Ь^ 4а ’ перенося начало координат в точку (хо, р'о) и применяя преобразование координат х ' = х " + х'а, у = у " + у'о, можно записать уравнение (3.26) в виде у " = а(х ")^ или в каноническом виде {х")^ = ± 2р у " , где р = 1/(2|о|); знак выбирается в зависимости от знака а. Если а'п = О, а'22 ф О, то уравнение параболы имеет канонический вид (у У = ± 2рх". 4. Д ля нахождения системы координат, в которой общее уравнение л. в. п. (3.16) приводится к каноническому виду, можно найти сначала собственные векторы матрицы А в (3.17), соответствующие собственным значениям А1, А2, а затем выбрать новые оси координат в направлении этих векторов. В случае центральной л. в. п. начало новой системы координат следует взять в центре С(хо, Уо) и применить преобразование координат (3.4), в котором а — угол между положительным направлением оси Ох и одним из двух главных направлений л. в. п. 5. Если инвариант Д = О, то л. в. п. распадается на две различные или совпадающие прямые. Если Д / О, то л. в. п. нераспадающаяся. К нераспадающимся л. в. п. относятся: эллипс и окружность, гипербола, парабола, мнимый эллипс, не имеющий ни одной действительной точки. 3.1.6.3. Окружность О к р у ж н о с т ь — замкнутая л. в. п., все точки которой одинаково удалены от ф иксированной точки, называемой ц е н т р о м о к р у ж н о с т и . Общее уравнение окружности (х - Хо)^ + ( у - г/о)' = (3.27) где Л — радиус окружности, С(хо,«/о) — ее центр (рис. 3.10). Отрезок А В , соединяющий любые две точки А и В окружности, называется х о р д о й (рис. 3.10). Хорда, проходящая через центр, называется д и а м е т р о м и имеет наибольшую длину. Диаметр, проходящий через середину хорды, перпенди кулярен к ней. Окружность радиуса Н с центром в начале координат О (рис. 3.11) имеет уравнение к а н о н и ч е с к о г о в и д а х Ч = Я^. Уравнению Ах^ + Ау^ + В х + С у + 0 = 0 соответствует окружность, если выполнено условие Ее центр С(хо, ро) и радиус Д находятся по формулам В^ + С ^ - Л А В хо = 2А’ 2А’ ^ 4А^ Уравнение окружности с центром С(а:о, Уо) и радиусом Я в параметриче ской форме: X = Хо + Н с о & < р , у = уо + Н 51П V?, (3.28) где х , у декартовы координаты ее произвольной точки М (х , у ), (р — угол между положительным направлением оси О х и подвижным радиусом С М (рис. 3.10). Длина окружности: Ь = 2тгК\площадь круга: 3 = тгД^ где гг = 3,14159... . Уравнение касательной к окружности х^ + в точке М \{х \,у\) имеет вид ХхХ + у\у = . 3.1.6.4. Эллипс Эллипсом называется множество точек М {х , у ) на плоскости (рис. 3.12), сум ма расстояний Г] = М Р \ и гг = М Р 2 которых до двух фиксированных точек Р ] ( - с , 0) и ^’2(с, 0), называемых фокусами эллипса, остается постоянной: Г] + Г2 = 2а (а > с). Точки А, В , С , В — вершины эллипса, точка О — его центр; А В = 2а, С О = 2Ь (а ^ Ь) — соответственно большая и малая оси, которые делятся точкой О пополам. Оси координат О х и О у являю тся глав ными осями эллипса. Эллипс — замкнутая центральная л. в. п., симметричная относительно главных осей О х к Оу. Каноническое уравнение эллипса в системе координат, начало которой совпадает с центром эллипса, а оси координат совмещены с осями эллипса где - (? (а > Ъ)\ а, Ь — большая и малая полуоси; Р \ Р 2 = 2с — Если о = Ь, то с = О и фокусы совпадают. Уравнение ф о ку сн о е р а сст о я н и е . (3.29) переходит при этом в уравнение окружности . Величина с / е = - = \\ - - г <1 а \ а} называется эксцентриситетом эллипса и характеризует его вытянутость (у окруж ности е = 0). Если о < 6, то фокусы находятся на оси О у и с = \/Ь^ - а^, е = с/Ь. При помощи поворота осей координат на 90° можно привести этот случай к предьщущему (а > Ь). Уравнение эллипса в параметрическом виде х = осо5<, у = Ь&\п1, где I — параметр. В полярной системе координат, полюс которой находится в фокусе Рг, а полярная ось направлена по оси О х (рис. 3.12), уравнение эллипса имеет вид Р = Р 1+ ( е С 08 где р — ф о к а л ь н ы й п а р а м е т р , равный половине хорды, проходящей через фокус параллельно малой оси С О . Две прямые В \ \\ Ог с уравнениями х = - а /е и х = а/е, параллельные малой оси С В , называю тся директрисами эллипса (рис. 3.12). Для любой точки М эллипса справедливо Л \ ~ <1г~ где (1| и (42 — расстояния от М до директрис В \ и Х>2 (рис. 3.12). Отрезок прямой, соединяющий любые две точки эллипса, называется хор дой. Хорды, проходящие через центр, называются диаметрами. М ножество сере дин хорд, параллельных какому-либо диаметру, само лежит на другом диамефе. Оба эти диаметра и В В ' называются взаимно сопряженными (рис. 3.13). П р и т ч а н и е 1 . В аналитической геометрии диаметром л. в. п. иногда называют также всю бесконечную прямую, проходящую через концы диаметра, понимаемого как отрезок. Радиус кривизны Н эллипса (3.29) в точке Мо(хо, уо) равен п , 212 2^0 V аЬ ' Уравнение касательной к эллипсу (3.29) в точке Мо(хо, Уо)'ххо Площадь эллипса 8 = тгаЬ. УУо 62 П рим ечание 2. Если уравнение эллипса (инвариант > 0) задано в общем виде (3.16), то полуоси а и & могут быть найдены по формулам: 1Д “ Аз-О .2 _ Л|А^ I А _ Л, О А Х ]\2 ’ где А] ^ Аг > О, а координаты центра — по формулам (3.19). Значения А 1 А2 находятся из уравнения (3.20). 3.1.6.5. Гипербола Гиперболой называется множество точек М ( х , у ) на плоскости (рис. 3.14), разность (по абсолютной величине) расстояний Г| = М Р 1, Г2 = М Е 2 которых до двух фиксированных точек ^’|(- с , 0) и ^ 2(с, 0 ), называемых фокусами гиперболы, остается постоянной, т. е. |г| - Г г ! = 2а < 2с. Гипербола состоит из двух бесконечных ветвей: правой (х > 0) и левой (1 < 0). Для правой ветви Г| - Г2 = 2а, для левой Г| - Гг = -2а. Точки А и В — вершины гиперболы, О — центр гиперболы, делящий фокусное расстояние Р \ Р 2 = 2с пополам. Отрезок А В длиной 2а называется действительной (или фокальной) осью, а отрезок С П длиной 2Ь — мнимой осью. Оси координат Ох (на которой лежат ф окусы) и О у являю тся главными осями гиперболы (осями симметрии). Каноническое уравнение гиперболы в декартовой системе координат, на чало которой совпадает с центром, а на оси О х находятся фокусы гиперболы, имеет вид х^ где а и 6 — действительная и мнимая полуоси, - а^. Величина _______ е= а = \/ у >+ "2 > * называется эксцентриситетом гиперболы. Уравнение гиперболы в полярной системе координат, полюс которой совмещен с фокусом Г 2 , а полярная ось имеет положительное направление оси Ох (рис. 3.14) р= 1 т е С05 . где р = Ь^/а — фокальный параметр, равный половине длины хорды, прохо дящей через фокус параллельной мнимой оси С О , верхние знаки в числителе и знаменателе относятся к правой ветви (х > 0), нижние знаки — к левой ( I < 0). Уравнение гиперболы в параметрической форме I = осЬ< , у = Ь^Ы , где I — параметр. Ь Ь Две прямые (рис. 3.14) с уравнениями у = - х п у = — х , к которым а а неограниченно приближаются ветви гиперболы при х -» ±оо, называются асимптотами гиперболы. Прямые 0 | и 02 (рис. 3.14) с уравнениями х = - а /е и х = а/е, параллельные мнимойоси С В , называю тся директрисами. Если (1\, — рас стояния от любой точки гиперболы М (х , у) до соответствующих директрис, Г| Г2 (1 \ <12 При 0 = 6 гипербола называется равнобочной (равносторонней) и имеет уравнение . Ее асимптоты перпендикулярны друг другу. Если в этом случае взять в качестве осей координат асимптоты, то уравнение равнобочной гиперболы примет вид х у = а^/2. Ее ветви расположены в 1-й и 3-й четвертях (рис. 3.15). Радиус кривизны гиперболы (3.30) в точке М о(хо, Уо) равен . 3/2 Д = „2,2(4 + V 6'* / = ЦТаЬ Уравнение касательной к гиперболе (3.30) в точке М |(х 1, !/|): Х ,х у,У _ Гипербола с каноническим уравнением --2 + ^ = ^ а? 0^ (3.31) называется сопряженной с гиперболой (3.30). Ее фокусы лежат на оси О у. Обе эти взаимно сопряженные гиперболы, имеющие общие асимптоты, изображены на рис. 3.16, из них (3.31) — штриховой линией. Действительная ось каждой из взаимно сопряженных гипербол является мнимой осью другой, и наоборот. Середины параллельных хорд гиперболы лежат на одной прямой, про ходящей через центр и называемой диаметром. Отрезки диаметров делятся в центре пополам. Через середины хорд, параллельных какому-либо диаметру Рис. 3.17 АА!, проходит другой диаметр В В ' (рис. 3.17). Оба эти диаметра называются взаимно сопряженными. Диаметры данной гиперболы являю тся одновременно диаметрами сопряженной с ней гиперболы. Примечание. Если уравнение гиперболы (инвариант В < 0) зааано в общем виде (3.16), то полуоси а и 6 в уравнении (3.30) могут быть найдены по формулам: 2 I Д “ “ Х ,В ~ Д А|А2 ’ А; О А.АГ где А| > О, Аг < 0. Значения А|,А2 находятся из уравнения (3.20), а координаты центра — по формулам (3.19). 3.1.6.6. Парабола Параболой называется множество точек М ( х , у ) плоскости (рис. 3.18), рас стояние г = М Р которых до фиксированной точки Р {р / 2 ,0 ), называемой фокусом, равно расстоянию Л — М К до фиксированной прямой В с урав нением X = -р /2, называемой директрисой, т. е. т = Л = х + р/2, где р — фокальный параметр, равный расстоянию Р А от фокуса до директрисы или половине длины хорды, проходящей через фокус параллельно директрисе. Прямая А Р , проходящая через фокус Р и перпендикулярная директрисе, называется главной осью параболы, точка пересечения О которой с параболой называется вершиной параболы. Вершина делит пополам расстояние А Р = р М К от фокуса до директрисы. Эксцентриситет параболы е = = 1. Парабо М Р ла — нецентральная л. в. п., имеющая одну бесконечную ветвь, симметричную Относительно главной оси. Каноническое уравнение параболы в декартовой системе координат О гу , начало которой совпадает с вершиной О , а ось О х направлена по главной оси от вершины к фокусу, имеет вид !/' = 2рх. (3.32) Направления осей О х и О у (рис. 3.18) называются главными направлени ями, из них только Ох является осью симметрии, т. е. главной осью. Уравнение параболы в полярной системе координат, полюс которой сов мещен с фокусом, а полярная ось направлена вдоль оси О х (рис. 3.18) Р = г = - ^ . 1 - С 0 5 1р Е ^ и главной осью параболы является ось О у, фокусом — точка Р {0 , р/2), а директрисой —прямая у = - р / 2 , то каноническоеуравнение параболы (рис. 3.19) имеет вид г ' = 2ру. (3.33) Уравнения парабол, симметричных параболам (3.32) и (3.33) относитель но осей О у и О х , имеют соответственно вид: Соответствующим поворотом осей координат уравнения (3.33) и (3.34) привод5га;я к виду (3.32). Середины параллельных хорд параболы лежат на одной, параллельной главной оси параболы (рис. 3.20) и называемой диаметром. Диаметр, соответ ствующий хордам, параллельным директрисе, является главной осью. Уравнение параболы с осью, параллельной оси О у (рис. 3.21) у = ах^ + Ьх + с. Ее фокальный параметр р = 1/(2|а|). При а > О парабола обращена верщиной вниз (рис. 3.21), при о < О — вверх. Координаты вершины М о ( х о , у о ) параболы: Ь Аас 2^0 = — ;---- • 1а 4а Координаты X] и Хг точек пересечения параболы с осью О х находятся из условия у = а. Точка пересечения параболы с осью О у находится из усло вия X = 0. Уравнения параболы с осью , параллельной оси О х = X = ау^ + Ьу + с. Радиус кривизны параболы (3.32) в точке М (х , у): ( р + 2 х )^/2 Д = Причем Я = р в вершине параболы (0; 0). Касательная к параболе (3.32) в точке М 1(х 1, }>г) имеет уравнение УУ\ = р (ж + Х |). Касательная Т Т ' и нормаль ЛГЛГ' к параболе в точке М являю тся биссек трисами углов между фокальным радиус-вектором Р М точки М параболы и диаметром К М , проходящим через точку М (рис. 3.18). П римечоние. Если уравнение параболы (инвариант 13 = 0) задано в обшем виде (3.16) и при этом А| > О, Аг > О, то соответствующим выбором новой системы координат , уравнение параболы можно привести к виду х = 2ру. где р = 1 / Д Л1 V А| А — 2 1 / д инвариант (3.18). А при А| = О, Аг > О — к виду у = 2рх, р = --г~- Значения Аг V Аг АьАг находятся из уравнения (3.20). Условия А] > О (или Аг > о) можно достичь умножением уравнения (3.16) на (-1 ). 3.2. Аналитическая геометрия в пространстве 3.2.1. Уравнение поверхности и линии П усть в пространстве задана декартова (прямоугольная) система координат О х у г и некоторая поверхность Е . Уравнением поверхности Е в заданной системе координат называется такое соотношение Р { х , у , г ) = О, связы ваю щее переменные х ,у , 2 , которому удовлетворяют координаты каждой точки М { х , у , г ) , лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на Е . Говорят при этом, что уравнение задает (или определяет) соответствующую поверхность. Метод координат позволяет изучать геометрические свойства поверхности путем изучения уравнения этой поверхности средствами алгебры. Поверхность можно рассматривать как мно жество всех таких точек пространства, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Пример 5. Точка (2; 2; I) лежит на поверхности с уравнением - 9 = О (сфера с центром в начале координат, радиус которой равен 3), точка (2 ;- 1 ;3 ) не лежит на ней. Пример 6. Уравнение = О задает только одну точку (0; 0; 0). Тогда как уравнение + I = О не задает никакого геометрического объекта, так как не имеет действительных решений. Линию Ь в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей Е , и Е г . У р а в н е н и е м л и н и и Ь называется система двух уравнений Р \ (х ,у ,х ) = О и Р г (х ,у ,х ) = О, определяющих поверхности Е ] и Ег. Координаты каждой точки, лежащей на линии Ь , удовлетворяют одно временно обоим этим уравнениям. Пример 7. Система уравнений двух плоскостей Х:, и х + 2у + г = 3, X- у+г= \ определяет прямую Ь , являющуюся линией пересечения этих плоскостей. Линии и поверхности в пространстве можно задавать также п а р а м е т р и ч е с к и при помощи вспомогательных переменных — п а р а м е т р о в . Н е п р е р ы в н о й к р и в о й Ь в пространстве называется множество точек М { х , у , г ) = М (г ), координаты которых заданы как непрерывные одно значные функции от одного действительного параметра I, принимающего значения на некотором конечном или бесконечном промежутке -о с < <1 < <^ <2 < +оо: X = х{1), у = у{1), г = 2(1) или г = г ((), где г (х , у, г ) — радиус-вектор точки М (х , у, г ) на кривой Ь. Непрерывная кривая называется п р о с т о й к р и в о й (или к р и в о й Ж о р д а н а ) , если разным значениям параметра I соответствуют разные точки этой кри вой (т. е. кривая не имеет точек самопересечения и самоналегания). Если начальная точка (при < = <|) и конечная точка (при I = <2) простой кривой совпадают, то она называется з а м к н у т о й п р о с т о й кривой. Незамкнутая (либо замкнутая) простая кривая может быть получена непрерывной деформацией отрезка прямой (либо всей окружности). Простая кривая называется г л а д к о й , если функции х { 1) , у { 1) , г { 1) (<| < < < <2) имеют непрерывные производ ные, одновременно не обращающиеся в нуль, т. е. |1\<)1 + |2/'(01 + \^'(^)\ > О в промежутке (<|,<2). В каждой внутренней точке (т. е. < I < <2) такая кривая имеет единственную касательную, непрерывно изменяющую свое на правление. Точки кривой, в которых |1'(<)| + |у’(*)1 + к '(0 1 = О' называются ее о с о б ы м и т о ч к а м и . В особой точке кривая не имеет касательной. Простая к у с о ч н о г л а о к а я кривая (незамкнутая или замкнутая) состоит из конечного числа отрезков (дуг) гладких кривых. Н е п р е р ы в н о й п о в е р х н о с т ь ю Е называется множество точек М {х , у, г ) = М (г ) , координаты которых заданы как однозначные непрерывные функции от двух действительных параметров и, V: х = х (« , « ), у = у (и ,ь ), г = г (и ,у ) или г = г(и , ю), где (и , и) — переменная точка некоторой области П на плос кости ОиV\ г { х , у , г ) — радиус-вектор точки М ( х , у , г ) на поверхности Е . Непрерывная с в я з н а я (см. 8.7.1) поверхность, не имеющая самопересечений и самоналеганий, называется п р о с т о й п о в е р х н о с т ь ю . Кусок простой неза мкнутой поверхности (например, полусферы) может быть получен путем непрерывных деформаций (растяжений, сжатий, изгибаний) единого куска плоскости, возможно, имеющего отверстия. Простая поверхность, ограничен ная кусочно гладкой замкнутой кривой, называется г л а д к о й , если в каждой ее внутренней точке М { г { и , г ) ) частные производные функций х {и ,ю ), у(и,ю ). г(и , V) по и, V непрерывны, т. е. существует единственная, изменяющ аяся непрерывно касательная плоскость. Простая поверхность (незамкнутая или замкнутая) называется к у с о ч н о г л а д к о й , если она состоит из конечного числа гладких поверхностей. В аналитической геометрии в пространстве рассматриваются поверх ности, уравнениями которых являю тся алгебраические уравнения первой и второй степеней; А х + В у + С г + В = О, Ах^ + Ву^ + Сг^ + 2 0 х у + 2 Е у г + 2 Р х г + 2Сх + 2 Н у + 2 М г + N = 0, называемые а л г е б р а и ч е с к и м и п о в е р х н о с т я м и п е р в о г о и в т о р о г о п о р я д к а со ответственно. Поверхностями первого порядка являю тся только плоскости. К поверхностям второго порядка относятся: цилиндрические поверхности, сфера, эллипсоид, гиперболоиды, коническая поверхность, параболоиды, па ры плоскостей. Основной способ изучения и классификации поверхностей второго порядка заключается в таком выборе декартовой системы координат, в которой уравнение данной поверхности имеет наиболее простой с т а н д а р т н ы й (или к а н о н и ч е с к и й ) вид. 3.2.2. О сновны е ф ормулы в декартовых координатах 3 .2 .2 ,1 . Расстояние (1 между двумя точкам и М |(1 |. )/|, г ,) и М г(х 2, уг. 2:2) в пространстве ____________________________________ = \ /{Х 2 - Х ))^ -Ь { У 2 - У ^ у + { 2 2 - г ,)2 . 3 .2 .2 .2 . Координаты х , у ,2 и радиус-вектор Гм точки М ( х , у , г ) , лежащей на прямой М 1М 2 и делящей направленный отрезок в отношении ГП] . Ш 2 = А, т. е. М ]М : М М 2 = т \ : Ш 2 = X . \ (А / - I ) , находятся по формулам: ГП2Х] + т [ Х 2 Х 1+ХХ2 т\ + Ш 2 У= 1 +А ’ ГП2У 1 + т , у 2 _ у, + Ху 2 гп1 + т 2 1+ А га22| + ТП122 Ш| + ГО2 Гм = ’ + Х 22 1+ А ’ т 2Г \ + т . 1Г 2 г, + Аг2 т [ + Ш2 1+ А где Г| — 0 М \ , Т2 = О М 2 — радиус-векторы точек М | и М 2. Если А < О (А - 1 К то точка М лежит вне отрезка М \ М 2. Для середины М ( х , у , г ) отрезка М 1М 2 имеем Хх -1-Х2 У\ +Уг Гм = Г| +Г2 3^.2.3. Направляющие косинусы вектора (1 = М 1М 2 = Г2 - Г | , где г, = О ЛГ|, Т2 = О М 2\ Х 2 -Х^ У1 - У 1 |Г2 - Г| Г 1^2 - п Г 22 - 2 , С087 = — к2 - г , Г \Г2 - Г| I = у/ (г , - х , У + {У 2 - У \ У + (22 - г,)2, со5^ а + со5^ /3 Ч- со8^ 7 = 1 , где |г2 - Г] I = (< — расстояние между точками М [ и Л/2. 3 .2 .2.4. Проекции вектора И = М 1М 2 на оси О х , О у, О г соответственно равны: = Х 2 ~ Х[ = (^ С 0 8 О , йу = У2 - У\ = <1С 0 8 /3, йя = ^2 - 2| = Й С 0 8 7, ■ 3.2 .2.5. Объем V треугольной пирамиды (тетраэдра) с вершинами в точР \ ,Р г, Рз. Ра, равен абсолютной величине выражения 1 Х\ У\ 21 Х2 13 У2 у■^ 22 1 2ъ 1 где (% = 1,2, 3,4 ) в определителе — координаты вершин. Равенство V = О является необходимым и достаточным условием расположения четырех точек в одной плоскости. О б ъ е м п а р а л л е л е п и п е д а , построенного на векторах а, 6, с, приложенных к одной точке, равен абсолютной величине смешанного произведения (см. 2.3.5) этих трех векторов. 3.2.3. Плоскость 3.2.3.1. Общее (полное) уравнение плоскости (алгебраической поверхно сти первого порядка) является алгебраическим уравнением первой степени относительно декартовых (прямоугольных) координат х, у, г А х + В у + С 2 + 0= = а, (3.35) где постоянные А , В , С не равны нулю одновременно. Если в уравнении (3.35) хотя бы один коэффициент равен нулю, уравнение называется н е п о л н ы м . Если О = О, то плоскость проходит через начало координат. При А = О(или В = О, или С = 0)плоскость параллельна соответственно оси О х (или О у, или О г). Если А = В = 0 (или А = С = 0, или В = С = 0 ), то плоскость параллельна соответственно плоскости О х у { 0 x 2 , или О у г ). 3.2.3.2. Уравнение плоскости в в е к т о р н о й ф о р м е : т + 0 = 0, (3.36) где г = ( х ,у , х ) — радиус-вектор переменной точки плоскости М { х , у , г ) , N = (А . В , С ) — вектор перпендикулярный к данной плоскости и называемый н о р м а л ь н ы м в е к т о р о м (рис. 3.22). Направляющие косинусы вектора N А С08а = —= = = = = , х/А ^ Т В^ Т С ^ ^ С05/? В . . ==, ^А^ + В^ + С^ С С087= ^= = = = = , ^А^ + В^ + С^ С05^ а + со8^ /9 + со5^ 7= 1N ■ ■ Вектор п = -т- В V л . называется единичным вектором нормали к плосС/ кости (|п| = 1). 3.2.3.3. Нормальное уравнение плоскости: Т ХС 080 т у С05/3 ^1=г С057 - р = О, где р = |0| , , V >1 + В (3.37) . > О — длина перпендикуляра О М , опущенного из -Ь начала координат на данную плоскость (рис. 3.22); верхние знаки (- ) в (3.37) берутся при I ) > 0; а нижние знаки (+ ), если В < 0; при 0 = 0 берутся либо только верхние, либо только нижние знаки. Рис. 3.22 Пример 8. Записать в нормальном виде уравнение плоскости х + 2у - 2г + 6 = 0. Решение. Найдем величину 1 • У Ж + Ж Т с^ ^ ^ \2 + 2^+ ( - 2У Здесь О = 6 > О, поэтому берем верхний знак, и /» = -1/3. Умножив обе части данного уравнения на 11 = -1/3, получим нормальное уравнение плоскости 1 2 2 - 5® - 3< /+ Зг- 2 = 0. 3.2.3.4. Уравнение плоскости в > отрезках: ^ + 1 + ^ = 1. (3.38) а Ь с где а = - V I А , Ь = - О / В , с = - О / С — величины отрезков,отсекаемых плоскостью на осях О х, О у, О г в точках Л ,(о , 0 ,0 ),^ 2(0, 6 ,0 ),^ з(0 ,0 , с) (рис. 3.22). 3.2.3.5. Параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку Мо(ха, уа, го): I = Хо + а^и + ЬхЮ, у = Уо + о.уи + ЬуЬ, г = + а^и + бг»»; или г = Го + иа + ю6, где Го = О М о , а и 6 — два вектора, лежащие на данной плоскости. 3.2.3.6. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору М { А , В , С ) и проходящей через точку Мо(хо, Уо, 2о) = А (х - хо) + В { у - уо) + С (г - 2о) = О (3.39) или в векторном виде ^ { т - Го) = О (ТУг + I ) = О, где О = -]У го ), выражающем ортогональность векторов N и г - Го, тае г — радиус-вектор произвольной (переменной) точки М (х , у, г ) = М (г ) на плоскости. Урав нение (3.39) является также уравнением плоскости, проходящей через точку Мо{хо, Уо, и параллельной плоскости А х + В у + С и + В = 0. 3.2.3.7. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М^(x^, у 1, г ,) = М^{т^) (г = 1, 2, 3), не лежащие на одной прямой: Х -Х | у- У х X I -Хх У2-У\ 1з - Х| 2 -г, 22-21 - г/1 =0 2з - 2| или в векторном виде (г - Г | , Г 2 - Г ь Г з - Г | ) = о, представляющем собой равенство нулю смещанного произведения (см. 2.3.5) трех векторов, лежащих в данной плоскости. 3.2.4. Прям ая линия 3.2.4.1. Общее уравнение прямой линии в пространстве может быть пред ставлено системой уравнений двух плоскостей Л\Х -Ь В \ у + С 1 2 -Ь /?] — О, А 2Х -I- В 2У + С 2 2 - Ы >2 = О, на пересечении которых эта прямая находится. При этом предполагается, что коэффициенты А ], В ] , С] не пропорциональны коэффициентам А 2, В 2, С 2, соответственно. 3.2.4.2. Уравнение прямой в векторном виде г Я | 4 />| = О, гЛ^2 -ь ^2 = О, где Я | г ( Л | , В 1 , С | ) , N 2 = ( А 2 , В 2 , С 2 ) , г = ( г , г / , 2 ) . 3.2.4.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки М ,(1 ь У 1,г , ) = М ,(Г |) и М 2(Х 2,У 2,^ 2) = М 2(Г 2): X - X] у-у\ 2 - г. Х2 - X I У 2 - VI ^2 - г, или в векторном виде (г - Г ]) х (г 2 - п ) = 0. 3.2.4.4. Уравнение прямой, проходящей через данную фиксированную точку М о (х о , Уо, в данном направлении, задаваемом направляющим вектором прямой а = {а^:, 0^ ,02): Х-Хо у-уо Ох ау 2-^0 (каноническое уравнение) (3.41) или в векторно-параметрическом виде г = Го + а(. где I — параметр, г = О М , Го = О М о (рис. 3.23). Уравнение прямой в параметрическом виде: Х = Х 0 + 0 ^ 1, 2 = го + а ^ 1 . у = уо + Оу1, (3.42) Уравнение (3.41) связано с уравнениями (3.40): с, В2 С2 В , « 1 = ■ ау = С , С з А1 А2 , 0.г = А2 В2 или а = К \ X N 2. Уравнение (3.41) можно записать также в векторном виде (г - Го) X а = 0. 3 .2.5. Взаим ное расположение точек, прямых и плоскостей 3 .2 .5 .1 . Угол а между двумя прямыми с уравнениями вида (3.41) и на правляющими векторами а\ = {а \х ,а 1у,а\^) и Ог = (021, аг^, « 2г) находятся по формуле _ Д|Д2 _ 011021 + а\уа 2р + Прямые с направляющими векторами й| и 02 параллельны при условии 0| X 02 = о, т. е. «11 а\у аи 021 “ 2!/ 02г Условие перпендикулярности прямых 0,02 = О, т. е. “ и<*2ж + Ч\уЧ2у + а 1г02г = О3 .2 .5 .2 . Угол Р между двумя плоскостями Л 1Х + В \ у + С |г + X)] = 0 , А 2Х + В 2У + С 22 + О 2 = О находится по формуле С05 р = ЛГ1ЛГ2 ^4|>42 + В 1В 2 + С 1С 2 = ^ а ] + в ] + с ]^ а \ + в 1 + с 1 т к М , = ( А , , В , , С ^ ) , Ы 2 = {А 2, В 2, С 2). Две плоскости параллельны при условии ЛГ, х ЛГ2 = О, т. е. А| В| С\ А2 В2 С2 Две плоскости перпендикулярны при условии ЛГ|Л^2 = О, т.е. А 1А 2 + В 1В 2 + С 1С 2 = 0. 3 .2 .5 .3 . Угол 7 между прямой {3 .4 1 ) и плоскостью Ах + В у + С г + В = О находится по формуле 51П 7 = |ЛГо| \Аах + В а у + Сог| |ЛГ| . |о| \/А^ + В^ + С ^ ^ а 1 + а 1 + а 1 Здесь угол 7 = 90° - 71, где 7 ] — угол между векторами N М = {А ,В ,С ). _ Прямая и плоскость параллельны, если N 5 = О, т. е. и а', Прямая и плоскость перпендикулярны, если ЛГ х а = О, т. е. (1х ^2 3 .2 .5.4. Пусть две непараллельные плоскости А\Х + В , у + С ]2 + Д , = О и А 2Х + В 2У + Сгг + 1)2 = О определяют некоторую прямую. Уравнение мно жества всех плоскостей, проходящих через эту прямую (называемого пучком плоскостей), имеет вид т | (у 1 | Х + В ^ у + С , г + 1 )|) + т 2 (Л 2 Х + В г у + С 22 + 0 2 ) = О, где гп \,тг — любые числа, не равные нулю одновременно. 3.2.5.5. Расстояние Л от точки М \ { х \ , у \ , г \ ) до плоскости А х + В у + С г + О = 0 равно \Ах\ + В у 1 + Сг\ + В\ 3.2.5.6. Расстояние Л от точки М ^ ( х \ , у \ , г \ ) = М 1(Г |) до прямой г = г^ + Ш, равно |а X ( г , - Г о ) | — й— ■ где а = (а^, о „, а ,), Г| - Го = (1 | - Хо, У\ - Уо, 21 - го). 3.2.5.7. Кратчайшее расстояние й между двумя прямыми г = г, + 0 |< и г = г2 + аг<: а) если прямые не параллельны, то |(Г2 - Г 1 ,а |,а 2 )| |а, X 02| где под знаком абсолютной величины в числителе стоит смешанное про изведение векторов, б) если прямые параллельны, то |(Г2 - п ) X а|| |а1| 3.2.5.8. Расстояние й между параллельными плоскостями А х + В у + С г + О> = 0 и А х + В у + С г + П 2 = 0 (О , ^ ^ г ): 1 ^ 1 - ^2| ^/Ж + Ж ТС ^' 3.2.5.9. Координаты точки пересечения трех плоскостей находятся из ре ш ения системы уравнений этих плоскостей. Три плоскости могут не иметь ни одной общей точки, могут иметь бесконечное множество точек пересече ния (если они проходят через одну прямую ), либо иметь только одну общую точку. 3.2.5.10. Взаимное расположение плоскости Р { х , у , 2 ) = А х + В у + Сг: + 0 = 0 и двух точек М |(х ,, 2/ь г ,) и М 2(х г ,у 2, 22). Если точки лежат по разные стороны от плоскости, то знаки чисел « ]) и Р ( х 2, уг, ^2) противопо ложны, если по одну сторону — то одинаковы. 3.2.5.1 1. Координаты точки пересечения прямой, заданной в виде (3.40) с плоскостью находятся посредством решения системы трех уравнений, из ко торых одно определяет плоскость а два других — прямую. Если прямая задана в параметрическом виде (3.42), то значение <, параметра для точки пересече ния М ] прямой с плоскостью А х + В у + С г + О = О находится подстановкой . выражений для х, у, г из уравнений (3.42) в уравнение плоскости. Коорди наты Х\,у\, г\ точки М { находятся затем из трех уравнений прямой линии. 3 .2 .5 .1 2 . Уравнение плоскости, проходящей через данную точку Ма(хо, уо, го) и перпендикулярной к прямой г = Г \ + а 1 с направляющим вектором а, имеет вид а {г - Го) = О, т. е. ах(х - хо) + ау{у - Уо) + а г(г - го) = 0. 3.2.5.13. Уравнение прямой, проходящей через точку М о(хо, 2/о, го) и пер пендикулярной к плоскости А х + В у + С г + О = 0: Г = Го + Ш , где Го = О М о , N = (А , В , С ), I — параметр. 3 .2 .5 .1 4 . Уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую г = Г| -Ь а< и заданную точку М о {х о ,уо , 2о), выражается в виде равенства нулю смешанного произведения трех векторов (г - Го, п - Го, а) = 0. 3 .2 .5 .1 5 . Уравнение плоскости, параллельной двум заданным неколлинеарным векторам а\ и З 2 и проходящей через точку Мо(хо, уо, го) = Мо{го). (г - Г о , а ,, аз) = 0. Аналогично находится уравнение плоскости, проходящей через одну из двух заданных (непараллельных) прямых и параллельной второй прямой. 3.2 .5 .1 6 . Уравнение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости Ах + В у + С г + О = О и проходящей через заданную прямую г = й + а1: ( г - г 1, а , ^ ) = 0, где ТУ = (Л , В , С ). 3.2 .5 .1 7 . Уравнение перпендикуляра, опущенного из заданной точки Мо(хо, Уо, на заданную прямую г = Г) + й , определяется системой урав нений двух плоскостей; а (г - Го) = О и (г - Го, Г 1 - го, о ) = 0. 3.2.5.1 8 . Уравнение прямой, перпендикулярной одновременно к двум задан ным прямым г = Г| + и г = Г 2 -I- 02<, определяется системой уравнений двух плоскостей; (г - Г ь о ь о ) = О и (г - Г 2, 02 , а ) = О, где а = й| X 02. 3.2 .5.19. Условие, при котором две прямые г = Г| -Ь О!^ и г = г 2 -I- а ]( пересекаются либо находятся в одной плоскости; (Г2 - п .а ],а 2 ) = 0. 3.2.6. 3.2.6.1. Поверхности второго порядка Основные понятия 1. Поверхностью второго порядка (п. в. п.) называется множество точек М (х , у, г ) в пространстве, координаты которых в декартовой (прямоугольной) системе координат О х уг удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени относительно х , у , г с действительными коэффициентами; + а ц у ^ -Ь О з з г ^ + 2 а п х у + 2а^■^xг 2 о 2 з у г -I- 4- 2а^^x + 2ацу -н 20342 -I- 044 = О (3.44) или (а ц 1 -I- а п у +а ,зг -Ь 0 ,4)1 -Ь (0211 + а-^гу + «232 + 024) 3/ + -Н (о з | 1 + 032!/ -I- оззг -I- 0з4)г -Ь ( 041Х -Н а ^ у + 043^ -И 044) = О, где а^^ = а^^ ( I , ; = 1,2, 3 ,4 ). Уравнение (3.44) может и не представлять никакого действительного геометрического образа, если оно не имеет действительных решений. В этом случае говорят, что уравнение представляет мнимую п. в. п. Уравнение (3.44) в матричном виде А = ац 012 «1 3 «21 0,22 023 «32 “ 33. .0 3 1 г = (х , у, г), = {х , у, г } , а = (о и , 024, « 34). Четыре величины 5 = О ц + 0 2 2 + “ 33, = йл А = = “ 11 022 <123 Оц ац “ 21 “ 32 “ 33 “ 31 “ 33 “ 12 “ 13 “ 21 “ 22 “ 23 “ 31 “ 32 “ 33 “ 11 О Т д = “ П “ 12 “ 13 “ 14 “ 21 «22 “ 23 “ 24 “ 31 “ 32 “ 33 “ 34 “ 41 “ 42 “ 43 “ 44 (3.46) являю тся инвариантами уравнения (3.44) или (3.45) относительно параллель ного переноса и поворота осей координат (см. 2.4.1 и 2.4.2). Основные свойства п. в. п. (3.44) могут быть изучены при помощи х а р а к те ристической квадратичной ф орм ы Ф {х. у, г) = а ц 1 ^ + а 22У^ + “ зз^^ -Ь 2012x3/ + 20,3x 2 -Ь 202зуг, всегда действительные собственные числа которой А |,Л 2, Аз находятся из ее х а р а кте р и с ти ч е с ко го ур авне ни я Оц - А 01 2 “ 13 “ 21 “ 22 “ А 023 “ 31 “ 32 “ 33 - = О, или х ^ - з х ^ + т х - о = о, (3.47) А где 5 — А1 -Н А2 -Н Аз, Т =■ А1А2 + А2А3 -1- А1А3, О = А1А2А3. 2. Наряду с ц е н т р о м с и м м е т р и и и о с ь ю с и м м е т р и и (см. 3.1.6.1) п. в. п. может иметь также п л о с к о с т ь с и м м е т р и и . Плоскость называется п л о с к о с т ь ю с и м м е т р и и какой-либо геометрической фигуры, если каждой точке А этой фигуры соответствует такая точка А ' этой же фигуры, что отрезок А А ! пер пендикулярен к этой плоскости и делится пополам в точке пересечения с ней. Середины параллельных хорд любой п. в. п. лежат в одной плоскости, называемой д и а м е т р а . 1ь н о й п л о с к о с т ь ю . Прямая, по которой пересекаются две диаметральные плоскости, называется д и а м е т р о м . В случае центральной по верхности (О ф й ), все диаметры п. в. п. пересекаются в о д н о й - е д и н с т в е н н о й точке, называемой ее центром. Для нецентральной поверхности, не имеюшей центра, либо имеюшей множество центров (0 = 0), все ее диаметры парал лельны или лежат в одной плоскости. В системе координат О х уг, начало которой совпадает с центром поверхности, каждой точке п. в. п. г = (х , у. соответствует точка поверх>1ости г ' = (- 1 , - у , - г ). Координаты центра С(хо, уо, -го) центральной п. в. п. находятся как решение системы уравнений ац® о + ЧпУо + <»13.г:о + Ои = О, <*21®0 + 0223/0 + <123^0 + 024 = О, аз1го + аз2Уо + Оз}2о + 034 = 0. (3.48) Переходя к новым координатам х' = х — Хо, У = у - Уа, г ' = г - 2о, уравнение центральной п. в. п. можно записать в виде а ,,( х 'У + а 22(у 'У + а зз(г 'У + 2ах2х'у + 2 о ,зх 'г ' + 2а2зу г! + ^ = О- (3-49) Диаметральная плоскость, перпендикулярная соответствующим ей хор дам, называется г л а в н о й п л о с к о с т ь ю п. в. п. и является ее плоскостью симмет рии. Только у цилиндров плоскости симметрии, перпендикулярные к обра зующим, не являю тся главными плоскостями. Диаметр, являю щ ийся линией пересечения двух главных плоскостей, называется г л а в н о й о с ь ю п. в. п., кото рая является также осью симметрии. П. в. п. (центральная или нецентральная), для которой Д О, называется н е в ы р о ж д е н н о й . В противном случае (Д = 0) — в ы р о ж д е н н о й . К вырожден ным поверхностям относятся конусы, цилиндры, пары плоскостей. Если уравнение вырожденной п. в. п. распадается на два уравнения первого поряд ка с действительными или комплексными коэффициентами, определяющими две действительные или мнимые плоскости, то говорят, что поверхность р а с п а д а ю щ а я с я . Каждая невырожденная п. в. п. имеет хотя бы одну главную ось. Всякая центральная п. в. п. имеет не менее трех взаимно перпендикулярных главных осей. 3. Направления собственных векторов матрицы А в (3.45), соответствую щих ее собственным значениями А ,, А2, Аз, называю т г л а в н ы м и н а п р а в л е н и я м и характеристической квадратичной формы Ф { х , у , г ) с матрицей А . Направ ляющие косинусы со5а , со5^ , С057 главных направлений, являю щ ихся на правлениями собственных векторов матрицы Л , находятся из системы трех уравнений (ац - А) со8а + 0|2 сов р + 013 С057 = О, 021 С05 0 -1- (022 - Х)сО&Р + 023 С05 7 = О, (3.50) 0з1С05 а -Ь 032 ео5уЗ -Ь (033 — А) со57 = 0, где А — собственное значение матрицы А. В случае, когда все три корня А ],А 2,А з уравнения (3.47) не равны нулю, система (3.50) определяет для каждого из этих корней направляющие косинусы главной оси. В случае простого (однократного) корня А = О, ему соответствует единственная главная ось, направляющие косинусы которой находятся из (3.50). Если А = О — двукратный корень, то п. в. п. будет параболическим цилиндром, либо парой параллельных плоскостей. Например, параболический цилиндр имеет одну главную плоскость и не имеет главных осей. 3.2.6.2. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду Сущ ествует декартова (прямоугольная) система координат, в которой общее уравнение п. в. п., в зависимости от значений его коэффициентов, приводится к одному из семнадцати простейших с т а н д а р т н ы х (или к а н о н и ч е с к и х ) видов, определяющих соответствующие п. в, п. 1. В случае центральной п. в. п. ( В / 0; А] ^ О, А2 ^ О, Аз 5^ 0) в новой системе координат К ', полученной из старой параллельным переносом осей (начало системы К ' помещено в центр С(хо, Уо, ^о) поверхности), уравнение п. в. п. (3.44) примет вид (3.49), т. е. исчезают слагаемые первой степени. Переходя затем к декартовой системе координат К " , начало которой сов мещено с центром С(хо, уо, ^о) поверхности, а оси координат С х " , С у " , С г " совпадают по направлению с ортонормированными собственными векторами ё|, Ё2, ёз матрицы А в (3.45), уравнение (3.49) можно записать в виде А ,(^ 'У + Ы у У + А з (/ у + 1 = 0, (3.51) т. е. исчезают произведения координат. Такое преобразование называется н р е о б р а з о в а н и е м к г л а в н ы м о с я м . При этом всегда можно полагать А ] > 0 . Это достигается, например, умножением уравнения (3.44) на (- 1 ). Если какое-либо собственное значение А| = Аг 7^ Аз, т. е. имеет крат ность 2, то любое направление, перпендикулярное к единственному направле нию, соответствующему значению Аз Ф О, является главным направлением, соответствующим значению А| = А2. В этом случае имеется бесконечное множество троек линейно независимых векторов. При необходимости одну из этих троек векторов следует ортогонализировать (см . 2.5.3) и нормиро вать для получения ортонормированных собственных векторов 61, 62, 63. Если А] = Аг = Аз, то каждое направление является главным. В качестве ё ь ёг, ёз при этом можно взять любые три попарно ортогональных единичных вектора. Нахождение главных направлений п. в. п. сводится к нахождению ненулевых направляющих косинусов, удовлетворяющих системе (3.50) при некотором т значении А, равном нулю или нет. Д ля нахождения матрицы перехода $ = У от системы координат К ' к К " (см. 2.4 и 2.9) следует воспользоваться мето дом, приведенном в 2.10 (см решение примера 22). В зависимости от значения коэффициентов и их знаков, уравнение (3.51) содержит в себе следующие частные случаи: 1) действительные эллипсоиды, 2) мнимые эллипсоиды, 3) однополостные гиперболоиды, 4) двухполостные гиперболоиды, 5) действительные конусы, 6) мнимые конусы. 2. Если п. в. п. нецентральная ( 0 = 0), то хотя бы одно из трех собствен ных значений равно нулю (А| / О, А2 5^ О, А3 = 0). Приведение уравнения (3.44) к каноническому виду проводится при этом сначала переходом к си стеме координат к ', полученной поворотом системы О х уг вокруг старого начала координат О (см. 2.4.2) так, что новые оси О х ', Оу\ Ог! становятся параллельными ортонормированным собственным векторам ё |,ё 2,ё з матри цы Л. В результате уравнение (3.44) примет вид АДх’)^ + + 20|4х’ + 2(^2^у' + 2о.'м^' + = 0. (3-52) Если а'и ^ О (т. е. А ^ 0 ), то преобразование координат х = х " + х'о, у = у " + уо, г = г " + 2о (где х'о, у'о, 4 находятся из трех уравнений: А|Хо+0|4 = о, А2Уо+ ®24 = •^1(®о)^+'^2(9о)^ + 2о']4Хо + 2<1249о+ 2в’з42^+а44 = 0) переводит уравнение (3.52) к виду А , ( * " ) Ч А 2( » " ) ' + 2а'з42" = 0. (3.53) Уравнение (3.53) содержит частные случаи: 1) параболоиды эллиптиче ские, 2) параболоиды гиперболические. При этом Д > О, если А) и Аг — разных знаков, и Д < О, если А1 и Аг — одного знака. Если в'з4 = О (т.е. Д = 0 ), то уравнение (3.52) имеет вид А ,(х ')^ -I- А г (у У + 2а',4х' -Н 2а'24у + 044 = 0. (3.54) Применяя к (3.54) преобразование х' = х " + х'ц, у' = у " +у'о, г' = 2" (где х'о, у'онаходятся из двух уравнений: А|а:о + О14 = О, А2Р0 + “ м = 0 ) приведем (3.54) к виду А . ( х " ) Ч А 2 ( / ) Ч а : к = 0, (3.55) где «44 = А|(жо)^ + + 2а24Уо + ^44Здесь возможны случаи: I) а '44 = О, 2) а '44 Ф 0. Уравнению (3.55) соответствуют поверхности: 1) цилиндры эллиптиче ские, 2) цилиндры гиперболические, 3) цилиндры эллиптические мнимые, 4) пары пересекающихся действительных плоскостей, 5) пары пересекаюшихся мнимых плоскостей. Если А| = Аз = О, Аг ф О, то, направив ось О у новой системы координат по направлению собственного вектора, соответствующего значению Аг ф О, получим уравнение поверхности в виде *^2(у )^ 2014! "Ь 2(124У 4- 2йз42 + Л44 = 0. (3-56) Уравнение (3.56) при а'14 = а'34 = О содержит частные случаи: 1) пары действительных параллельных плоскостей, 2) пары мнимых параллельных плоскостей, 3) пары совпадающих действительных плоскостей. Если а'з4 / О, то применяя преобразование координат х' = х " со&а г "5 ш а , у = у ", г' = х“ 51п а-Ь г " со8 а , где с18а = приведем (3.56) “ 34 к виду Л2(у " У + 2024!/" + 2Ьх" + 044 = О, (3.57) где Ь = а ',4 со8а + а'з4 8 т а . Уравнение (3.57) является уравнением пара болического цилиндра, образующие которого перпендикулярны плоскости 2 = 0 . Всего, таким образом, имеется семнадцать классов поверхностей вто рого порядка. 3.2.6.3. 1. Классификация поверхностей второго порядка Нераспадающиеся поверхности; Невырожденные (Д ^ 0): 1) ~ «2 ^2 + ^ + ^ = эллипсоид (Д < О, 0 3 > О, Т > 0), уг .2 2) —7 + 77 + ^ — - 1 — мнимый эллипсоид (А > О, > О, Г > 0 ), 0^ & л. ^ ^ О и 3) —г Л— 7 -- т = 1 ~ однополостный гиперболоид (Д > О, \г сг (или) г ^ 0), х2 4) —гН — -г - = -1 — двухполостный гиперболоид (А < О, Р 5 ^ О \г (т и (или) Т ^ 0), 5) --- 1 ----= 22 (р > О, д > 0) — эллиптический параболоид (А < 0 , = 0), Р Я 2/2 6) ------- = 2 2 (р > о, д > 0) — гиперболический параболоид (А > О, 0 = 0). Вырожденные (А = 0): у^ 7) —г + т т = * — эллиптический цилиндр ( ^ = О, Г > 0), (г х^ у^ 8) —гН— - = - 1 — мнимый эллиптический цилиндр (1> = О, Г > 0), (Г х^ 9) —г 7 = 1 — гиперболический цилиндр (X ) = О, Т < 0), (Г 10) у^ = 2рх — параболический цилиндр { В = 0, Т = 0), Х^ «2 ^2 11) —7 + - Г 7 = 0 — конус (О Ф о, 0 8 ^ О и (или) Т ^ 0), \г сг у^ 12) “ + ^ + ^ — 0 — мнимый конус (действительная точка) ( 0 3 > О, Т > 0). 2. 13) Цр- Распадающиеся вырожденные поверхности (А = О, Р = 0); у^ = О — пара пересекающихся плоскостей, д2 „2 14) — 1 - ^ = 0 — пара мнимых пересекающихся плоскостей (действительная г прямая), 15) — пара параллельных плоскостей, 16) = -а^ — пара мнимых параллельных плоскостей, 17) = О — пара совпадающих действительных плоскостей. 3.2.6.4. Невырожденные поверхности, конус и цилиндры 1. Эллипсоид — центральная замкнутая п. в. п. (рис. 3.24) с уравнением канонического вида , где а ,Ь ,с — полуоси эллипсоида. Если а, 6, с — различные, то эллипсоид называется трехосным. При а = Ь > с имеем сжатый эллипсоид вращения (сфех^ ронд), полученный при вращении эллипса ^ + ^ = ■. лежащего в плоскости у = О, вокруг оси О г. Если а = Ь < с, то эллипсоид вращения вытянутый. При а — Ь = с имеем сферу х^ + у^ + радиуса а. Сечение эллипсоида любой плоскостью является эллипсом (в частности, окружностью ). Объем 4 4 , эллипсоида равен -тгаЬс, объем сферы -тта . 2. Однополостный гиперболоид — незамкнутая центральная п. в. п. (рис. 3.25) с уравнением канонического вида: ^2 ..2 ,2 „2 где а ,Ь ,с — полуоси. 3. Двухполостный гиперболоид — незамкнутая центральная п. в. п. (рис. 3.26) с уравнением канонического вида: где о, 6, с — полуоси. Д ля обоих гиперболоидов любая плоскость, проходящая через ось О г или параллельная оси О г , пересекает их по гиперболам. Д ля однополостного гиперболоида эти линии пересечения могут быть также прямыми. Сечения обоих гиперболоидов плоскостями, параллельными плоскости О х у, являю т ся эллипсами. Если а = 6, то имеем гиперболоиды вращения. Через любую точку однополостного гиперболоида проходят две прямые, полностью лежа щие на его поверхности и называемые прямолинейными образующими. Такие поверхности называю тся линейчатыми. 4. Конус (коническая поверхность) — незамкнутая центральная п. в. п. (рис. 3.27) с каноническим уравнением; и с вершиной (центром) в начале координат. О сью симметрии конуса явля ется ось О г. Сечения конуса плоскостями, параллельными плоскости Охр. являю тся эллипсами. При а = Ь имеем круглый (или прямой круговой) конус. Конус (3.58) является асимптотическим конусом для обоих гиперболоидов (однополостного и двухполостного), точки которых при удалении в беско нечность приближаются к этому конусу 5. Эллиптический параболоид — нецентральная незамкнутая п. в. п. (рис. 3.28) с каноническим уравнением: Плоские сечения, параллельные плоскости О х у, — эллипсы. Плоские се чения, параллельные оси О г, — параболы. При р = ц имеем параболоид вращения, получаемый вращением параболы г/ = О, вокруг оси О г. = 2рг, лежащей в плоскости X Рис. 3.28 6. Гйперболическнй параболоид — незамкнутая нецентральная п. в. п. (рис. 3.29) с каноническим уравнением: С ечения, параллельные плоскостям 0 x 2 и О у г , — параболы. Сечения плоскостями, параллельными плоскости О х у, — гиперболы (при 2 0) или две пересекающиеся прямые (при г = 0). Гиперболический параболоид — линейчатая поверхность: через каждую его точку проходят две прямые, цели ком принадлежащие его поверхности. 7. Цилиндры (цилинарические поверхности) — нецентральные незамкну тые п. в. п., форма которых определяется плоской кривой, называемой на правляющей. Прямые линии (называемые образующими), перпендикулярные плоскости, содержащей направляющую, и проходящие через точки направля ющей, образуют множество точек, из которых состоит цилиндрическая поверхность. а) Каноническое уравнение эллиптического цилиндра (рис. 3.30) имеет вид: Направляющ ая — эллипс в плоскости Оху (г = 0). Образующие параллельны оси О г . При а = Ь получается прямой круговой Щ1ЛИНДР х^ + у^ = . б) Каноническое уравнение гиперболического цилиндра (рис. 3.31) имеет вид: а? '• Направляющая — гипербола в плоскости О х у (г = 0). в) Каноническое уравнение параболического цилиндра (рис. 3.32) имеет вид: = 2рх. Направляющая — парабола в плоскости О х у (г = 0). Глава 4 ОСНОВНЫ Е ПОНЯТИЯ М АТЕМ АТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 4.1. Действительная функция одной действительной переменной 4.1.1. Понятие функции П усть дано множество X = { г } всех действительных числовых значений, которые может принимать переменная величина х. Тогда, если каждому зна чению переменной х из заданного множества X по определенному правилу ставится в соответствие действительное число у, то говорят, что на множестве X задана действительная функция у = / (х ) (или у = у {х )) от одной действи тельной переменной х. Здесь величина х называется независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией, поскольку она зависит от величины х. Символ / обозначает функциональную зависимость, т. е. правило, по которому каждому значению х ставится в соответствие значе ние у. Для обозначения аргумента, функции и функциональной зависимости могут использоваться и другие символы. М ножество X всех возможных зна чений аргумента х называется областью определения (областью задания, или областью существования) ф ункции. М ножество У = {»/} всех значений вели чины у называется областью изменения (или множеством значений) функции. Символами X и у обозначаются и сами переменные величины, и их отдельные частные значения. В простейших случаях множества X и V являю тся неко торыми оф аниченными или бесконечными промежутками на числовой оси (см. 1.1.5.2). Если каждому значению аргумента х соответствует только одно значение функции у, то ф ункция называется однозначной, если несколько (возможно, даже бесконечное множество) значений у, то — многозначной. Лю бая заданная ф ункция предполагается однозначной, если не оговорено противное. 4 .1 . Д е й с т в и т е л ь н а я ф у н кц и я о д н о й д е й с т в и т е л ь н о й п е р е м е н н о й 143 Пример 1. 1) Функция у = х^ определена на промежутке X = (-оо; +оо), область изменения: У = (0;+оо); т.е. -оо < х < +оо и О ^ у < +оо. 2) Для функции у = \/1 - соответственно: X = [-1; 1], У = [0; +оо). 3) Функция у = , задана в интервале X = (-2 ; 2), на концах интервала, т. е. \/4-х^ в точках * = ±2, функция не определена (стремится к бесконечности), область изменения: У = [0,5;+оо). 4.1.2. Способы задания функций Табличный способ задания функции представляет собой таблицу, в которой перечислены значения аргумента (обычно, только некоторые) и соответствуюшие им значения функции. Примерами являю тся таблицы логарифмов, тригонометрических функций и т.д. Пример 2. Функция у = /(х) = х^ мо жет быть задана при помощи таблицы некоторых ее значений: -3 X у = 9 т -2 -1 4 1 X 1 2 3 У = / (*) 1 4 9 0 0 Графический способ задания функции у = / (х ) состоит в по строении на плоскости с декарто вой системой координат О х у мно жества точек с координатами ( I , у ) = (х ,/ ( х ) ), называемого графиком функции У = П х ). Абсциссами этих точек являю тся значения аргумента х , а ордина тами — соответствующие значения функции / (х ). Пример 3. На рис. 4.1 приведен график функции у = х^. Аналитический способ заключается в задании функции при помощи одной или нескольких формул, в которых указаны (перечислены) математические действия над величиной х для нахо ждения у. В качестве области опреде ления при этом берутся все те зна чения I , при которых выполнимы действия, указанные в этих формулах. В частности, все ф ункции в примере 1 заданы аналитически. Пример 4. Функция сигнум: -1-1 при г > о, О при 1 при I < О, 1 -1 -1 = 0, заданная аналитически, имеет область оп ределения X = ( —0 0 ; 4-оо), область изме Рис. 4.2 нения: К = {- 1 ; 0; I } ; ее график приведен на рис. 4.2. Использую тся также и другие способы задания ф ункций, например, при помощи словесного описания: функция Дирихле равна 1, если х — рацио нальное число, и равна О, если х — иррациональное число. Для функции Дирихле: X = (-оо;-|-оо), V = {0 ; 1}. Часто применяется задание функций при помощи предельного перехода, например, в виде суммы сходящегося ряда: X , ^ " 27 + --- • Если при аналитическом способе задания функция представлена в виде у — / (х ), то говорят, что она задана явно (например, у = х^). Если пере менные х н у связаны соотнощением Р ( х , у ) = О, то говорят, что функция у = / (х ) задана неявно (например, х^ +у^ = 4). При параметрическом пред ставлении ф ункции соответствующие друг другу значения х н у выражаются в виде двух функций от вспомогательной переменной I, называемой па раметром: X = ^р(^), у = ф(1) [О ^ ^ Т\. Например, параметрическое представление неявно заданной ф ункции х^ + у^ = Л можно записать в виде: = 2 со8 4, 3/ = 2 51П < (О ^ < 2тг). Исклю чая из этих двух функций параметр (, получим исходную связь между х н у . X Примечание. Неявная функция + у^ = Ч двузначна: у = ±\/4 - на две однозначные функции: у = л/4 - 4.1.3. 1 и распадается ^, у = -\/4 - С войства функций. Ф у н к ц и и со специальными свойствами Если на одном и том же множестве X заданы две функциональные зависи мости / и то можно определить сумму } + § . разность / произведение /^, ч а с т н о е //^ , как такие новые функциональные зависимости, частные значения которых находятся соответственно по формулам п х )+ Ф ), т - Ф ) . / (х ы х ), ^ ь (^ ) ^ о | для каждого X из X Если на некотором множестве X определена функция / (х ), то, задавая произвольные числа а ^ О, 6 / 0 , с / 0 , из функции / (х ) можно получить следующие функции: I) / {х ) + Ь, 2) с / (х ), 3) } ( х - а ) , 4) / (с х ), а также их комбинации. Ф ункц ии 1) и 2) определены на том же множестве X , что и / (х ). График функции 1) получается из графика / (х ) параллельным сдвигом последнего вдоль оси О у на величину Ь вверх (Ь > 0) или вниз (Ь < 0). График функции 2) получается из ф аф ика / (х ) умножением всех ординат ф аф ика / (х ) на величину с (с учетом ее знака) при тех же значениях абсцисс, т. е. путем равномерного растяжения графика / (х ) вдоль оси О у ъ с раз. График функции 3) получается из ф аф ика / (х ) параллельным сдвигом вдоль оси Ох на величину а вправо (а > 0), или влево (а < 0). График функции 4) получается из ф аф ика / (х ) посредством деления всех абсцисс на величину с (с учетом знака) при тех же значениях ординат, т. е. путем равномерного сжатия ф аф ика / (х ) вдоль оси О х в с раз. Функц ия / (х ), определенная на некотором промежутке X , называется п е р и о д и ч е с к о й , если существует число Т > О такое, что / (х + Т ) = / (х ) для любого X из X и X + Т , принадлежащего X . При этом н а и м е н ь ш е е ч и с л о Т > О н а з ы в а е т с я п е р и о д о м ф у н к ц и и / (х ). Например, функция С08ПХ (п — натуральное) является периодической с периодом Т = 2тг/п, ( 2тг\ так как со5га1х + — I = со5пх при любом х из области определения X = (- 00; +оо). Функция / (х ), определенная на множестве X , симметричном относи тельно начала координат, называется ч е т н о й [ н е ч е т н о й ] , если / (- х ) = / (х ) [/ (- х ) = - / (х )]. График четной функции симметричен относительно оси Оу, а ф аф ик нечетной функции симметричен относительно начала коорди нат (см. 3.1.6.1). Например, функции у = х^, у = с о б х — четные, а у = х^, 81П Х — нечетные. Больш инство функций не относятся ни к четным, ни к нечетным. Лю бая ф ункция / (х ), определенная на множестве, симмет ричном относительно начала координат, может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций: I/ = / (х ) = ^ [/ (х ) + / (- х )] + ^ [/ (X ) - / (-X )] . ф ункция у = / (х ) называется в о з р а с т а ю щ е й [ у б ы в а ю щ е й ] на множестве X , если для любых Х |, хг из X , удовлетворяющих условию х\ < Х 2, выполня ется строгое неравенство / (х ,)< / (х 2) [/ (х |) > / (х з )[. Если же / (х | )< / (х 2) [/ (^ О > / (х г )], то ф ункция называется н е у б ы в а ю щ е й [ н е в о з р а с т а ю ш е й ] на множестве X или м о н о т о н н о й . Возрастающие и убывающие ф ункции назы ваю тся с т р о г о м о н о т о н н ы м и . Например, ф ункция у = 2х возрастает на всей числовой оси. Ф ун кц и я называется в о з р а с т а ю щ е й в н е к о т о р о й т о ч к е , если она является возрастающей в некоторой достаточно малой окрестности этой точки. Ф ун кц ия / (х ) называется о г р а н и ч е н н о й , ( н е о г р а н и ч е н н о й ) на множестве X , если множество V всех ее значений у = / (х ) (где х принадлежит X ) является ограниченным (неограниченным) множеством (см, 1.1.6). Например, ф ункция 2; = 2х не ограничена на всей числовой оси, но оф аничена на любом отрезке |о; 6], С л о ж н о й ф у н к ц и е й называется функция от функции. П усть у = / (и ) — функция от и, где и = §{х) — ф ункция от х , тогда у является сложной функцией от независимого аргумента х , т е . у = Р ( х ) = / [я (х )| — ф ункция, область определения которой состоит из тех значений х , для которых значения и = г (х ) входят в область определения функции / (и ). При этом величину и называю т п р о м е ж у т о ч н ы м а р г у м е н т о м . Возможны также сложные функции с двумя, тремя и т.д. п р о м е ж у т о ч н ы м и а р г у м е н т а м и . Пример 5. 1) у = и’ , и = 8 1 па:; сложная функция у = яп ’ I X = ( - 0 0 ; +оо). 2) у = 1пи, « = имеет область определения в = 51П2:, где и ,V — промежуточные аргументы; областью определения сложной функции у = 1п (8|п^ х) является вся числовая ось, за ис ключением точек х„ = гиг (п — целое число), в которых 8шх„ = 0. П усть ф ункция у = / (х ) задана на множестве X , а У — множество ее значений. О б р а т н о й ф у н к ц и е й для функции у = / (х ) называется такая ф унк ция X = ё ( у ) , которая определена на множестве V и ставит в соответствие каждому у из У такое х из X , для которого / (х ) = у. Чтобы найти функцию, обратную для у = / (х ), необходимо рещить уравнение / (х ) = у относитель но неизвестной х , т. е. выразить х через у. Две функции у = / (х ) и х = ^(у) называют также в з а и м н о о б р а т н ы м и , так как каждая из них является обратной для другой. Пример 6. Обратными для функций: 1) у = х’ , 2) у = е ', 3) у = 2* -I- 1 являются соответственно: 1) х = 2) х = 1п у, 3) х = - (у - I). Ф ун кц ия X = я (у ), обратная для у = / (х ), может быть многозначной. Например, для функции у = обратная функция х = ±у/у является двузнач ной. Для однозначности х = ^ (у) необходимо и достаточно, чтобы разным значениям аргумента Х| / Хг соответствовали разные значения функции 3/1 Ф У 2, т. е. каждому значению у соответствовало бы только одно значение X такое, что у = / (х ). Д ля однозначности х = ^ (у ) достаточно, чтобы у = / (х ) являлась строго монотонной. При этом, поскольку у = / (х ) однозначна, она устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами X к У. Если обратная ф ункция ^ (у ) однозначна, то выполняю тся тождества: = 9 (П х )) = х для всех г из X и всех у из V. Далее всегаа подразумевается, что обратная ф ункция однозначна, если не оговорено противное. Пример 7. Функция у = строго монотонна на промежутках 1) О ^ ж < +оо и 2) -00 < * < 0. В первом случае однозначная обратная для у = функция х = у/у, а во втором случае х = -\/у. Графики взаимно обратных функций у = / (г ) и I = % {у ), очевидно, совпа дают. Если аргумент обратной функции обозначить, как это принято, через х, то она запишется в виде у = ^ (х ). В таких обозначениях графики взаимно обратных функций у — } ( х ) к у = ^ х ) симмет ричны друг другу относительно прямой У = X . В качестве примера, на рис. 4.3 приведены графики взаимно обратных функций у = х ^ и у = у/х при I > 0. Все функции подразделяются на эле ментарные, и неэлементарные. К основ ным элементарным ф ункциям относят ся: степенная функция у = х“ (о — лю Рис. 4.3 бое действительное число), показательная функция у = о ', логарифмическая функция у = 1оё<,х, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, гиперболические функции, обратные гиперболические функции. Элементарными называют также ф унк ции, полученные из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий (сложения, вы читания, умножения, деления) и со ставления сложных функций с конечным числом промежуточных аргументов. 4.2. Числовые последовательности ^'2.1. Предел числовой последовательности Числовой последовательностью (или просто последовательностью) называют действительную функцию, определенную на множестве натуральных чисел: / (п ) = а „ (п = 1,2, . . . ) . Последовательность записывается в виде {« п }, или { 0| , 02, а „ , . . . } , или О], 02, . . . , а „ Числа а „ называю тся элемента ми (или членами) последовательности. Например, последовательность {1 / п } состоит из элементов 1, 1/2, 1 /3 ,... . Последовательность { а „ } называется ограниченной сверху (снизу), если существует действительное число М ( т ) такое, что х „ ^ М (х „ ^ т ) для всех п. Последовательность, ограниченная и сверху, и снизу, называется просто ограниченной: т ^ х „ ^ М для всех п. Для ограниченной последовательности |а„| ^ К , где К — наибольшее из чи сел | т |, \М\. Говорят, что последовательность { а „ } имеет своим пределом число о (сходится к о, или стремится к а ), если для любого числа е > О существует натуральное число N (г ) такое, что для всех п> N выполняется неравен |о„ - а\ < е, т. е. при возрастании номера п элемент а „ неограниченно приближается к а. В этом случае пишут: И т Хп = а, П-*СС или И т х „ = а, или х „ -> а. Примечание. Неравенство |а „- а | < Е равносильно двум неравенствам а - е < а „ < а + е. Последовательность, имеющая (не имеющая) предел, называется сходя щейся (расходящейся). Предел постоянной величины равен самой этой вели чине. Если последовательность { а „ } имеет предел, то он единственный. Лю бая сходящаяся последовательность ограничена. Ограниченность по следовательности — необходимое, но не достаточное условие сходимости. Пример 8. 1) Для офаниченной последовательности {1 /п} имеем П т {1 /п} = 0. Действитель- П-ЮО НО, если зададим число е > О, то из неравенства 1-0 П = -< е п (1) следует п > 1/е. Если выбрать число N > 1/5, то для всех п > N неравенство (1) будет выполняться. 2) Гп-П 12 Ограниченная последовательность < -----^ = О, ( п ; 2 3 имеет предел п- 1 П И т ----- = 1. п-юо 3) Неограниченная последовательность { п } = 1 ,2 ,3 ,... является расходящейся (не имеющей предела). 4) Ограниченная последовательность { ( - 1 ) " } = - I , 1, —1, 1 ,... расходится. 5) Офаниченная последовательность < -----? = - 1 ,- , — , . . . стремится к 0. I п ^ 2 3 Последовательность { а „ } называется н е у б ы в а ю щ е й ( н е в о з р а с т а ю щ е й ) , ес ли о„ ^ 0„+1 (о „ ^ о„+ 1) для всех п. В случае строгого неравенства а „ < а„+ ] ( о „ > о „ + 1) последовательность называется в о з р а с т а ю щ е й ( у б ы в а ю щ е й ) . Не^ы ваю щ ие и невозрастаюшие последовательности называю тся м о н о т о н н ы м и п о с л е д о в а т е л ь н о с т я м и . Возрастающие и убывающие последовательности на зывают с т р о г о м о н о т о н н ы м и . 4.2.2. Признаки сущ ествования предела 1) М онотонная и ограниченная (с обеих сторон) последовательность имеет предел. 2) Если для элементов трех последовательностей {агп}, {з/п}> {•^п} выполня ются неравенства у„ ^ х „ 4: 2„ » И т у„ = М т г „ = а, то И т х „ = а. п-*оо п-юо п-*оо 3) Критерий сходимости Коши. Для сущ ествования предела последовательно сти { а „ } необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О существовало число такое, что для всех п > N и р > О выполнялось |хп - *п+р1 < е. 4.2.3. О сновны е свойства сходящихся последовательностей Пусть для последовательностей { а „ } , {Ь „ } сущ ествуют пределы И т о„ = а, П~*00 И т Ь„ = Ь, тогда; П-+00 1) Если а „ ^ Ь„, то а ^ Ь. 2) П т (а а „ ± Р Ь „) = а а ± 0Ь, где а , /3 — действительные числа. П-ЮО 3) И т (а „Ь „) = аЬ. п-юо 4) Ит ^ ^ {Ь^О). п-юо Од О 5) И т |а„1 = |о|. п -ю о 6) Если И т а „ = а > О, то И т п -ю о = 'УЪ,. п-»-о& 4.2.4. Число е Последовательность с элементами (п = 1 ,2 ,3 ,...) имеет предел / 1\ ^ е = 2,718281828..., п -ю о \ П / являющ ийся иррациональным числом. 4.2.5. Бесконечно м алые и бесконечно больш ие последовательности Последовательность { а „ } , для которой И т а „ = О, называется бесконечно п-»оо малой. Последовательность { о „ } называется б е с к о н е ч н о б о л ь ш о й , е с л и для лю бого К ’ > О можно найти номер N такой, что при п ^ N все элементы последовательности | а „ | > К . П р и этом говорят, ч т о о „ с т р е м и т с я к б е с к о н е ч н о с т и , и пишут: И т о„ = оо или а „ -)• оо. В частности, возможны П-ЮО случаи: И т а „ = +оо или П т а „ = *-оо. Например, последовательность п-юо п-»оо а „ = ( —1)"п является бесконечно большой, так как |а„| -Ьоо при п оо. Лю бая бесконечно большая последовательность неограничена. Неограничен ная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неоф аниченная последовательность {1 , 2, 1, 3 , . . . , I, п , . . . } не является бес конечно большой, так как не все ее элементы могут превышать любое наперед заданное число К > 0. Произведение { а „ Ь „ } оф аниченной последовательности { а „ } на беско нечно малую последовательность {6 „ } является бесконечно малой последо вательностью, т. е. И т (а „Ь „) = 0. п-юо Если { а „ } — оф аниченная последовательность, а {6 „ } — бесконечно большая последовательность, то П т ^ = 0. п-*оо 0„ Если { а „ } — бесконечно малая последовательность то Иш — = 00. п-юо о„ 4.2.6. Неопределенности Если а „ -» О и -> О, т о выражение а „/ Ь „ называется н е о п р е д е л е н н о с т ь ю в и д а 0/0. Для а „ оо и Ь„ 00 выражение а„/Ь„ называется н е о п р е д е л е н н о с т ь ю в и д а оо/оо. Если а „ О, Ь„ -> оо,то выражение а „Ь „ — н е о п р е д е л е н н о с т ь в и д а О оо. При а „ -> + 00, Ь„ -> Ч-оо (или а „ -> -оо, Ь„ -> - о о ) выражение а „ -Ьп называется н е о п р е д е л е н н о с т ь ю в и д а оо - оо. Нахождение соответствующего предела (если он существует) называется р а с к р ы т и е м н е о п р е д е л е н н о с т и . Пример 9. I) Если о„ = Дг, Ь„ = П (неопределенность 0/0). то П т ^ п-*оо Ьп = И т - = 0; И т — = Н т п = п-юо п п -к х а„ шоо сю 2) Если а„ = п, Ь = ' , то Пт (а„6.) = 1 т - = О а-юо п-*оо п (неопределенность ос •О или оо/оо). 3) Если а„ = \/п, Ь„ = •Уп- то ( \ / п - у / п - 1)(-Уп + \/п- 1) 1 | т ( о „ - 6 , ) = 1 | т ------------- —----- , п-юо в-юо -4-у/п —I I = 1 1 т — = -- - - - - . - = О у/п + у/П — 1 (неопределенность оо - оо). 4.2.7. Предельная точка последовательности Пусть Оь 02, . . . , о „ , . .. — некоторая числовая последовательность. Возьмем произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел 1 ^ р| < Р 2 < ••• и выберем из последовательности { а „ } элементы с номерами Р ь Р г . . . . , тогда последовательность , Ор,, . . . называется подпоследовательностью последовательности {о „ }. Если последовательность { а „ } сходится и имеет конечный предел а (или оо), то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет предел а (или оо). Конечное число с (или оо) называется п р е д е л ь н о й т о ч к о й ( ч а с т и ч н ы м п р е д е л о м ) последовательности { о „ } , если сущ ествует такая ее подпоследова тельность что Н т Ор. = с. п— »00 в любой окрестности предельной точки имеется бесконечное множество элементов последовательности {о „ }. Любая оф аниченная последовательность имеет хотя бы один конечный частичный предел ( т е о р е м а Б о л ь ц а н о — В е й е р ш т р а с с а ) . Или иначе: из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу. Если этот частичный предел единственный, то он и является конечным пределом последовательности. Любая последовательность (оф аниченная или нет) имеет частичные пре делы (конечные, или -Ьоо, или - о о ). Наименьший частичный предел (конеч ный или бесконечный) последовательности { а „ } называется н и ж н и м п р е д е л о м п о с л е д о в а т е л ь н о с т и и обозначается И щ а „. Наибольш ий частичный предел называется в е р х н и м п р е д е л о м п о с л е д о в а т е л ь н о с т и : 1 1 т а „ . Если последователь ность не Офаннчена снизу, то П та п = -о о , если не оф аничена сверху, то И т о „ = +00. Равенство нижнего и верхнего пределов является необходимым и достаточным условием существования обычного предела (конечного или бесконечного) последовательности { а „ } , при этом Н т о „ = и т а „ = 1 1 т а „ . П~*00 Пример 10. 1) Ограниченная последовательность имеет две предельные точки О и 3. Для подпоследовательности 1; у пре дел равен О, а для подпоследовательности 3; 3 ;... пр>едел равен 3. При этом И т о „ = 0, П т а „ = 3. Нижний и верхний пределы не равны, следовательно, данная последовательность расходится. 2) Последовательность {о „ } = 1; - I ; 1; - I ; .. . имеет Д т о„ = - I , П т а „ = 1 и яв ляется расходящейся. 3) Для последовательности ^^ = 1 1 1 3 17 I 2 2 4 4 8 8 2” - I •— •----- • ’ 2 "’ 2" ’ имеем ПтОп = 0 , 11т о„ = 1. Последовательность расходится. 4.3. Предел функции 4 .3.1. О пределение предела П усть ф ункция у = / (х ) определена на некотором множестве X = {х } и пусть точка х = а такая, что она либо принадлежит множеству X , либо не принадлежит, но обладает тем свойством, что в любой ее е-окрестности а - е < х < а + е содержатся точки множества X , отличные от а. Такой точкой является, например, один из концов интервала. Число А называется пределом (предельным значением) функции у = /(х ) в точке X = а , если для всякого числа е > О найдется число (5 = б(е) > О такое, что для всех х , для которых О < |х - а| < Й, выполняется неравенство |/ (х ) - А К е . Запись: И т / (х ) = А или / (х ) А (х а). х-*а Используется также другое определение предела. Число А называется пределом функции / (х ) в точке а , если для лю бой сходящейся к а последовательности { х „ } значений х (все х „ / й) соответствующая последовательность { / ( х „ ) } сходится к Л , т. е. по мере приближения X к о (при этом х Ф а ) справа или слева, значение / (х ) неограниченно приближается к А. Если ф ункция / (х ) имеет в точке х = о некоторое предельное значение, то оно в этой точке единственно, так как последовательность { / ( х „ ) } может иметь только один предел. Пределом постоянной величины называется сама эта величина. Пример 11. 1) Для функции у — имеем И т х-*2 — 4. Здесь функция определена при х = 2. _I 2) Функция у = определена для всех х ^ I. Сокращая дробь на х - I , так как X 7^ 1, получим , ™ ? 1 ^ = И X —1 *-*! т Ы Ы X —1 = И т ( х + , ) = 2. *-*! 3) Функция у = со8(1/ х ), определенная при всех х ^ О, не имеет предела при X О, так как ее значения изменяются от - I до +1, совершая бесчисленные колебания при х -> О, не стремясь при этом ни к какому определенному числу. Следующие два предела назы ваю тся замечательными: 1) Иш — = 1; где иррациональное число е = 2,718281828,.. является, в частности, основа нием н а т у р а л ь н ы х л о г а р и ф м о в . 4.3.2. Критерий Кош и сущ ествования конечного предела функции Для того чтобы существовал конечный предел 1 1 т/(а:), необходимо и дох ~ *а статочно, чтобы для каждого е > О существовало такое д = <5(е), что 1/(®1) - /(®2)1 < г, как только О < |11 - а| < <5 и О < |Х2 - а] < (5, где Х [,Х 2 — любые точки из области определения функции / (х ). При этом / (х ) не обязательно определена при х = а. 4.3.3. Односторонние пределы Число А] называется п р е д е л о м с л е в а ф ункции / (х ) в точке а , если она опреде лена на некотором полуинтервале [Ь; а) и существует предел 11т / (х „ ) = А\ х „- * а для любой сходящейся к о последовательности { ! „ } значений аргумента, при условии Хп < а. Обозначения; А ,= И т / (х ) = / (а - 0 ) = И т / (х ). х^а-О Аналогично, число А 2 называется п р е д е л о м с п р а в а функции / (х ) в точке а, если она определена на некотором полуинтервале (а ; с] и существует предел И т / {х „ ) = А^ для любой сходящейся к а последовательности {х „ } х»-*а значений аргумента, при условии х „ > а. Обозначения: А2 = И т / (х ) = / (а + 0) = Иш / (х ). 1-,а+0 “ Т*? Для сущ ествования обычного предела функции / (х ) в точки а необхо димо и достаточно равенство пределов слева и справа в этой точке. При этом И т / (х ) = х ~ *а Ит / (х ) = х-*а-0 Ит / (х ). х-*а+ 0 Пример 12. Для функции /(х) = 58па: (см. пример 4) имеем: /(- 0 ) = П т /(X ) = - 1, /(+ 0) = И т / (* ) = 1. 1-*+0 Число А называется пределом функции / (х ) при х —>+оо (или х -о о ), если для любой бесконечно большой последовательности { х „ } значений ар гумента, все элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны (или отрицательны), соответствующая последовательность значений функции { / ( х „ ) } сходится к А . Запись; Ит 1-»+00 / (х ) = А (или Ит Например, для функции / (х ) = — имеем Ит х -» + о о X 4.3.4. } ( х ) = А ). Х-*-00 = X Ит — = 0. х -*~о о X Бесконечно м алые и бесконечно больш ие функции Если ф ункция / (х ) -> О при х -> о, где а — некоторое число, или -Ьоо, или - 00, то она называется бесконечно малой функцией при х а (или в точке X X = а ). Например, функция / (х ) = х^ - I является бесконечно малой при -> 1 (в точке х = 1 ) и х - > - 1 (в точке х = - 1 ). Если И т / (х ) = Л , то функция а (х ) = / (х ) - А является бесконечно х ~ *а малой при X -> а (в то ч к е х = а). Функц ию / (х ) называют бесконечно большой функцией при х о, где о — число, или -Юо, или - 00, и пиш ут И т / (х ) = оо (или / (х ) -> оо при х-*а а ), если / (х ) определена в некоторой окрестности точки а , за исклю че нием, быть может, самой этой точки, и для всякого числа М > О справедливо неравенство |/(х )| > М , как только О < |х - а| < 6( М ) . Абсолютное значение |/(х )| при этом неограниченно возрастает при х -> а как слева, так и справа. Если при этом в некоторой окрестности точки а выполняется / (х ) > О (или / (х ) < 0 ), то пиш ут X И т / (х ) = -1-00 ( Иш / (х ) = - о о ). Аналогично определяются бесконечно большие ф ункции при х —> -|-оо и X —> -оо: И т / (х ) = оо, 1-»+оо И т / (х ) = оо, а^-^-оо И т / (х ) = ±оо. Х->±00 Используется также понятие бесконечно большой функции, связанное с односторонними пределами: П т / (х ) = + 00, 1-»а-0 11т П т / ( г ) = +оо, 1-»а+0 / (х ) = - 00, х-*а-0 Ит / (х ) = -оо. х-*а+ 0 Если функция / (х ) — бесконечно малая при г г ^ а, то функция г(х ) = о и / ( г ) / О при — бесконечно большая при х -+ а. Если / (® ) ${х) — бесконечно большая при х -> а , то / (х ) = -7— — бесконечно 8{х ) малая при I -> а. Например, / (х ) = х - 1 — бесконечно малая при х 1, а функция ^(х) = ------- бесконечно большая при х -)• 1. X - 1 Пример 13. О /(®) = 2) ~ бесконечно большая функиия при ж 0. /(*) = — !— — бесконечно большая, т. е. |/(г)| -» оо при х ->I. При этом X —1 /(х) -» -00 при X -» I слева (х < 1), /(х) -> +оо при I -> 1 справа (х > 1). 4.3.5. Действия над пределами Если существуют пределы И т / (х ) = ^4 и 11т й ( х ) = В при х->о (или х-+±оо, или X -> о ± 0), то 1) для любых чисел о и /9 11т [ а / ( х ) + Р^(х)\ = а А + 2) 11ш / (х )г (х ) = >1В ; Равенства 1) и 2) применимы к любому числу функций. При вычислении пределов функций могут быть использованы следующие пределы: 11т Л Ч - - ) х-*(х> \ X / = 11т (1 + 5/)'^ * '= е, 1/-*0 5ШХ 1 п ( 1 + х ) 11Ш ---- = 1, 1 - .0 Пт 1 -+ 0 1 -* 0 --- ^ = 1п а. г -» + о о X X Пт X ( 1+ х )“ -1 П т -------1 -* 0 11т --------- = 1, X = = X а. 1 - .+ 0 О о (а > О, о / 1), 7Г П т агс(§1 = - . 2 + 5ж — 2 Пример 14. П т — ;— ;----— = {разложим числитель и знаменатель на множи^ ^ т^-2 -Х^ + 6Х + \в ' 3(х + 2 )^ х + Л тели, решая соответствующие квадратные уравнения} = П т — ^ ^ = X— 2 -(х + 2 )(х - 8 ) {сократим дробь на 1 + 2, так как х ф -2, и положим после сокращения дроби Пример 15. 1 Пт -Ч-00 — — --1х- + X = {разделим числитель и знаменатель на } = -I х^ 3-0 + 0 3 И т ------ ;--- = -------- — х-»+оо 2 + 0 2 X _ \/5 - X - Пример 16. + Т 1 1 т = ---- — ----- — = {разложим знаменатель на множители, решив х~*2 X Зх Ч" 2 квадратное уравнение, а также умножим числитель и знаменатель дроби на у/5 - х ---------- . - +\ / х Т Т } — П т ^ х^2 (х - 2)(х - 1 )(л / 5 ^ + мем затем х = 2 , так как х 2 } = — = {сократим дробь на х - 2 и при- . уЗ 51ПЗх 3(5ш3х) , 3 5Ш У 3 3 Пример 17. П т —-— = П т : = {З х = у } = П т ----- = - ! = - . Х^о 5х х-»о 5(3х) 5 у 5 5 3 Пример 18. 11т ( . + ^ ) = ||т (| + ^ ) ’ = { ^ н „ } = 1|т [ ( ) + Другие приемы вы числ ения пределов с использованием правила Лопиталя и формулы Тейлора приведены в 5.7 и 5.8. 4.4. Асимптотические соотношения между функциями П усть а ( х ) и ^ { х ) — две ф ункц ии, определенные в некоторой окрестности то чки а , за исклю чением , б ы ть может, самой этой то чки (то ч ки а может быть конечной, или + 0 0 , или - о о ), тогда: 1) Е с л и сущ ествует число Д > О такое, что О < а (1 ) ^ < А при х а• то говорят, что а ( х ) — ф ункц ия не высшего порядка малости, чем /5(®) при X —У а , и пиш ут а {х ) = 0 \Р (х )\ при х —у а. Читается: а (х ) равно О большое от ^ (х ) при х а. 2 ) Если существует конечный предел I™ = Аф а х->а Р (х ) Ф ( х ) ф О при X а и X / а ), то говорят, что ф ункции а ( х ) и Р ( х ) имеют о д и н а к о в ы й п о р я д о к м а л о с т и при г -> а. Запись; а ( х ) = 0 '\ ^ (х )\ при х -у а. При этом заведомо а ( х ) = 0 [Р (х )\ при I -> а. 3) Если предел 11т = 1 Ш х ) Ф О при I а и I а ), то функции /3(1) а ( х ) и Р ( х ) называются э к в и в а л е н т н ы м и (или а с и м п т о т и ч е с к и р а в н ы м и ) при X а. Запись: а ( г ) ~ Р ( х ) при х -у а. Ф Ф 4) Если предел И т = О (^ (х ) О при х а л х а ), ю говорят, :г-*а Р { х ) что функция а ( х ) имеет б о л е е в ы с о к и й п о р я д о к м а л о с т и , ч е м 0 (х ), при X а. Запись: а ( х ) = о [()(х )] при х -* а. Читается: а (х ) равно о малое о т /3(х) при X -У а. Если а ( х ) = о\Р{х)\ при г X -> а. При ж ^ 0: 5 1 п х ~ г, а, то а (х ) = е(х) -0{х), где е{х) 1п ( 1 + х ) ~ 1 , 2-2 1-со5Х~— , 2 е'’ - 1 ~ х , О при (8 х ~ х , X + X - I ~ п При вы числении пределов отношение двух функций можно заменять отношением эквивалентных функций. 11т = А ф О ( т 1-.0 Х™ п о р я д к а т при х —у 0 . Е сли > 0 ) , то а (х ) называют б е с к о н е ч н о м а л о й Если П т ^ 7^ О ( т > 0), то а (х ) называют б е с к о н е ч н о б о л ь ш о й 1-ЮО Х ” * п о р я д к а т при х —> + о о . Показательная ф ункция стремится к бесконечности при х -> + о о быст рее любой степени х ™ , т. е. И т — = + 00 . 1-*+0С х"" Если П т = Л 7^ О, то а (х ) называется б е с к о н е ч н о б о л ь ш о й э к с п о 1-»+оо н е н ц и а л ь н о г о п о р я д к а при х -> +оо. Если а (х ) ~ /?(х) при х -4 а , то /3(1) - а (х ) — ^ ^ ^ 0 прих^а, т.е. Р {х ) - а (х ) = о [р (х )]. Для обозначения бесконечно малой при х —^ о функции а (ж ) исполь зуется выражение а (х ) = о(1) при х —>а. Например, а (х ) = = о(1) при X -> + 0 0 . Пример 19. 2 1) а; = о{х) при X -► О, так как Н т — = 0. 1-»0 2) I - С05Х = о(х) при X 3) 18Х ~ X при X X 1 —008 X о,так как И т ------------------ = 0. 1-»0 X \% Х /8 1П Х 1 \ о, так как 1 1 т -------= И т 1 ----------- I = 1х-»0 X *-»0 \ X 008 X / 4) 8Ш X = 0*(х) при X при X —> 0 . 5) х^ + 2х = 0 (х ) при X О, так как П т 1-»0 О, так как И т «-♦о 6) Зх^ - X + I = О(х^) при X = 1 ^ 0 ; при этом также 81П х = 0{х) X х^ __2х 1 X = 2^0. + 0С, так как й т ^ 1-»+00 ^ ,3 2 3 7) X 4- X 008 X ~ X при X —^ + 00, так как Х^ = 3^0 Х^ Н- Х^ 008 X п т -------------^------------— I . *-»+оо X 4.5. Непрерывность функций Ф ункц ия / (х ), определенная в некоторой окрестности точки х = Хо, в том числе в самой точке Хо, называется непрерывной в точке Хо (при х = Хо). если предел этой функции при х -> Хо существует и равен значению функции в точке Хо: И т / (х ) = /(хо), (4.1) Х-*Хй т. е. для любого числа е > О существует число <5 = 6(е, Хо) > О такое, что при |х - Хо| < |5 для всех х из области определения функции выполняется неравенство |/(х ) - /(хо)| < е. Равенство (4.1) можно записать также в виде И т / (х ) = / ( И т х ) , т. е. можно переходить к пределу под знаком непрерывной 1 -* 1 о 1 -» а :о функции. Вводя приращение аргумента Д х = х - Хо и приращение непрерывной функции / (х ) в точке Хо, равное Д?/ = Д / = / (х ) - /(хо) (рис. 4.4), можно Рис. 4.4 Пт Д 1-»0 Г/(хо + Д х ) - /(г о )] = И т Л р = 0. (4.2) д » -» о Следовательно, функция г/ = } { х ) , определенная в некоторой окрестно сти точки ж = 1о, н е п р е р ы в н а в точке Хо, если в этой точке приращение Д у функции, соответствующее приращению аргумента Д х , является бесконечно малым при Д х -> 0. При этом любому сколь угодно малому приращению Д х соответствует также малое приращение Д у . График непрерывной в окрестно сти точки Хо функции является отрезком непрерывной (сплощной) линии. Пример 20. 1) Функция у = С (С — постоянная) непрерывна в любой точке Хо, так как при ращение функции Ду = /(®о -1-Д *) - /(*о) = С - С = О при любых Хо и Дх. Следовательно, Мт А у = 0. Дх-*0 2) Функция у = X непрерывна в любой точке Хо, так как А у = /(хо + Дх) - /(хо) = (хо -Ь Ах) —Хо = Дх. Следовательно, Ит А у = Ит Дх = 0. Дх-»0 Лх-*0 3) Функция у = непрерывна в любой точке Хо, так как Ду = (хо -I-Дх)^ - х^ = 2хоДх + (Дх)^ и Ит А у = 0. Дх-»0 4) Функция у — \/х непрерывна в любой точке Хо ^ О и не является непрерывной в точке Хо = 0. Функция / (х ) называется н е п р е р ы в н о й с л е в а ( с п р а в а ) ( с п р а в а ) в точке Хо, если в этой точке предел слева (справа) существует и равен значению /(хо): П т / (х ) = /(хо) х~*хо~0 [ Мш / (х ) = / (х о )]. г— Мо+0 Если функция непрерывна в некоторой точке и слева, и справа, то она просто непрерывна в этой точке. Ф ункц ия / (х ) называется н е п р е р ы в н о й на данном множестве точек (интервале, отрезке и т, п.), если она непрерывна в каждой точке этого множества. Сумма, разность, произведение, а также отношение непрерывных функ ций (когда делитель не равен нулю) являются непрерывными функциями. Если функция а = и (х ) непрерывна в точке Хо, а функция у = / (а ) непрерывна в точке щ = и(хо), то сложная функция у = / (« (х )) = 1 '(х) непрерывна в точке а: = Хо. В частности, полином любой степени непрерывен во всех точках чис ловой оси. Отношение двух полиномов (т. е. дрюбно-рациональная функция) непрерывно в любой точке числовой оси, в которой знаменатель не равен нулю. 4 .6 . Точки разры ва ф ункции и их кл асси ф и кац и я Точка Хо, в которой функция не является непрерывной (иначе говоря, раз рывна), называется точкой разрыва функции. В такой точке Хо равенства (4.1) и (4.2) не выполняются: а) любо не сушествует /(хо), т. е. функция не опре делена при X = Хо; б) либо не существует предел И т / (х ); в) либо обе части х-Ио формулы (4.1) имеют смысл, но не равны друг другу. 1. Устранимый разрыв. Точка Хо называется точкой устранимого разры ва функции / (х ), если в этой точке существует конечные односторонние пределы, равные друг другу И т / (х ) = Н т / (х ) = А, Х-Ио-0 Х~Ио+0 но при этом функция либо не опре делена в точке Хо, либо ее значе ние /(хо) не равно предельному зна чению А в этой точке. Разрыв такого типа можно устранить, если принять значение функции при х = Хо равным ее предельному значению в этой точке: /(хо) = А. На рис. 4.5 изображен гра фик функции, имеющей устранимый разрыв в точке х = Хо. Конец стрелки указывает на исключенную из фафика точку. 2. Разрыв первого рода (конечный разрыв). Точка Хо называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу односторонние пределы: Ит / (х ) ^ И т / (х ) 1-Ио+О (х е. /(хо - 0) / /(хо -)- 0 )). На рис. 4.6 приведен график функции, непрерывной слева в точке разрыва первого рода Хо и разрывной справа, а также имеющей разрывы первого рода в точках Х\ ,Х 2, X}. Величина |/(хо + 0) - /(хо - 0)| называется скачком функции. Пример 21. Для функции / {х } = 5 8 П х (см. пример 12) скачок в точке разрыва первого рода X = 0 равен | / (+ 0 )- / (- 0 )| = 2. Эта функция разрывна и слева, и справа в точке X = О, а ее значения у = О в точке I = О не равно ни левому, ни правому пределу. 3. Разрыв второго рода. Точка Хо называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке не существует левого или правого предела, или не существу ют оба эти предела, или же хотя бы один из этих пределов бесконечен. Пример 22. Функция у = 1/г (рис. 4.7) имеет в точке х = О разрыв второго рода, так как Ит V = 1-*-0 -ос. Пт V = +00. 1-1+0 В этом случае говорят также, что функ ция имеет бесконечный разрыв в точке 1 = 0. На рис. 4.8 приведен график функции, имеющей бесконечные разрывы в точках Х \ ,Х 2, ХзФункция / (х ) называется ку сочно непрерывной на отрезке |а; 6|, если она имеет односторонние пре делы в точках а и Ь и непрерывна Ри с. 4.8 во всех точках интервала (о; Ь) за исключением конечного числа точек раз рыва первого рода. 4.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке Функции, непрерывные на отрезке |а; 6|, т. е. непрерывные в интервале (а; Ь) и непрерывные справа в точке а и слева в точке Ь, обладают следующими свойствами. I. Если функция / (х ) непрерывна на конечном отрезке [а; 6], то: 1) / (х ) Офаничена на этом отрезке. 2) Существует минимум т ерштрасса). и максимум М функции на [о; Ь| (теорема Вей- 3) Если числа / (о ) ^ О и /(6) О и имеют разные знаки, то в интервале (о; Ь) существует хотя бы одна точка Хо. в которой /(хо) = 0. 4) Если / (а ) / / (Ь ), то функция принимает все промежуточные значения между / (а ) и /(6) (теорема Коши). 5) Если т и М ( т < М ) соответственно минимум и максимум / (х ) на [а ;Ь и С — некоторое число, такое, что т < С < М , то в интервале (а; Ь существует точка го, в которой /(хо) = С . 2. Если функция у — } ( х ) непрерывна и строго возрастает (или убыва ет) на отрезке [а; 6] и имеет значения А = / (а ), В = /(6 ), то на отрезке \А ',В] (или \В\А \) существует однозначная непрерывная строго возрастаю щая (или убывающая) обратная к у = / (х ) функция у = §{х) (см. 4.1.3). Пример 23. Функция у = /(х) = непрерывна и строго возрастает на любом отрезке [а;Ь], принадлежащем промежутку [0;-Ьсх)). На любом отрезке [о^ 6^] существует однозначная строго возрастающая обратная функция у — ^(х) — '/х. 3 . Функция / (х ) называется р а в н о м е р н о н е п р е р ы в н о й на данном множе стве X = { х } (отрезке, интервале, полуинтервале и т. п.), если она определена на X и для всякого числа е > О найдется <5(е) > О, зависящее только от е, такое, что |/(Х |) - /(х г)! < г для любых х ,, Хг, принадлежащих X и удовле творяющих неравенству |х, - Хг! < <5Если функция / (х ) равномерно непрерывна на X , то она и просто непрерывна на X ^ л и функция / (х ) определена и непрерывна на отрезке |а;Ь ), то она равномерно непрерывна на нем ( т е о р е м а К а н т о р а ) . Пример 24. Функция /(ж) = 1/х непрерывна в интервале (0; 1), но не является рав номерно непрерывной в этом интервале. Глава 5 ДИ Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛЬН О Е ИСЧИСЛЕНИЕ Ф У Н КЦ И Й ОДНОЙ ПЕРЕМ ЕННО Й 5.1. Производная и ее геометрический смысл 5 .1.1. О пределение производной Пусть у = у (х ) = / (х ) — функция, определенная в некоторой окрестности фиксированной точки I , в том числе в самой этой точке. Дааим аргументу X приращение Д х любого знака, такое, что новое его значение Х| = х + Дх также принадлежит этой окрестности. Тогда приращение А у функции в точке X , соответствующее приращению аргумента Д х , равно Д у = Д / = / (х .) - / (х ) = / (х + Д х ) - / (х ). Производной от функции / (х ) по X в данной фиксированной точке х называется предел (если он существует) отношения приращения функции Д у к соответствующему приращению аргумента Д х , когда Д х неофаниченно стремится к нулю. Обозначения производной: Iдх-ю Дх . Вт ^ Д1-»о Д х йх Лх = г м , (5 .) Производная является мерой скорости изменения величины у отно сительно величины X . Функция называется дифференцируемой в некоторой точке X , если в этой точке существует ее конечная производная. Функция, дифференцируемая в некоторой точке, непрерывна в этой точке. Обратное утверждение в общем случае неверно. Действие нахождения производной от функции / (х ) называется дифференцированием функции по х. Если функ ция у = / (х ) определена в интервале (а; 6) и в каждой точке этого интервала имеет производную, то эта производная также является функцией от х, опре деленной в интервале (а; Ь). Пример 1. Найти производную от функции у = в точке х. Решение. Задавая приращение Ах аргумента х, найдем соответствующее приращение функции Ду = (х + Лх)^ = 2хЛх + (Д х)^ По определению производной: , Ду 2хДх + (Дх)^ у = ||щ — = Ит ---= |1т ( 2х + Лх) = 2х. Л1 -Ю Дх Д1 -*о Дх > 5.1.2. Геометрический смысл производной Пусть подвижная точка М | (Х | ,/ (Х | ) ) на фафике непрерывной в интервале (а; 6) функции у = } ( х ) (рис. 5.1) неофаниченно приближается по графику к фиксированной точке М (х , / (х )) на фафике (при этом Х| или Д1->0). Тогда, в общем случае, будет изменятся угол между направленной секущей М М \ (т. е. прямой, проходящей через точки М , М\ и направленной в сто рону возрастания х ) и положительным направлением оси Ох. Предельное положение (направленной) секущей при неофаниченном приближении точки М\ к точке М называется (направленной) касательной М Т к фаф ику функции в точке М . Производная / '(х ) (если она существует) в точке х равна тангенсу угла а (х ) наклона касательной к положительной полуоси О х , называемому угловым коэффициентом к {х ) касательной, т. е. к {х ) = 1$ а {х ) = / ’{х ). При этом -7г/2 < а < 5г / 2 . Уравнение касательной к кривой у = / (х ) в точке Щ х о ,У о )У ^ У о = / '( х о ) ( х - х о ) ( 2/0 = / ( х о ) ) . 5.1.3. Л е в а я и п равая производная Левой (или правой) производной функции / (х ) в точке х называется левое (или правое) предельное значение отношения А у / А х при А х —>О, т. е. Д х<0 ' Д 1>0 ' Левой (правой) производной от / (х ) в точке х соответствует левая М Т _ (правая М Т ^ ) касательная к графику у = / (х ) в точке М { х , у ) , имеющая угловой коэффициент /1(х) (или /!|_(х)). Если функция / (х ) дифференци руема в точке X, то она имеет левую и правую производные и Ш = Л ( х ) = / '(х ). Если функция / (х ) имеет в точке X левую и правую производные и они равны, то / (х ) имеет в точке х обыч ную производную: / : ( х ) = Д ( х ) = / '(х ). Если левая и правая производные существуют в точке х, но не равны друг другу, то обычная производная в точке X не существует. Пример 2. Функция / (х ) = |х1 имеет вточке X = О правую производную /^(0) = I и левую производную / 1 ( 0 ) = - 1 , но не имеет в точке х = О обычной производной. Такие точки фафика, в которых левая и правая производные не равны, называются угловыми. Левая и правая касательные к графику в угловой точке 0(0; 0) обозначены ОТ- и ОТ+ (рис. 5.2). Обычная касательная в точке 0(0 ; 0) не существует. 5.1.4. О сновны е правила диф ференцирования Если функции а (х ), 1)(х), ь)(х) имеют производные в точке х и С — посто янная величина (число), то: 1) С ' = 0. 2) (С и )' = С и . 3) ( и + V - го )' — и 4) {иV)' = и V + ««'. + V - V} . 6) (« “ У = ( а — любое число). 7) (1п«)' = ^ . 8) П р а в и л о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я с л о ж н о й ф у н к ц и и . Если функции у = / (и ) и и = и(х) имеют производные, то .// ч ч \У^ = П п ) - и ( х ) = у ^ - щ = Луйи\ Здесь индексы у производных показывают, по какой переменной произ водится дифференцирование. 9) Логарифмическая производная. Выражение / '( * ) /(а:) называется л о г а р и ф м и ч е с к о й н р о и з в о д н о й от / (х ). Если / (х ) = и (х )”*** (« > 0), то 1п / (х ) = г)(х) 1п и (х). Отсюда следует: / '( х ) = (« ” )' = и ' 5.1.5. 1п и + ' Производные основных элементарных функций 1) (х “ )' = а х “ ~' ( а — любое действительное число), х = \ , (х^)' = 2х, 2) ( е 7 = е". 3) ( а ^ = о М п а (О < а / 1). 4 )(1 п х )' = 1 . X 5) (1о§„ х )' = — !— X 1п в 6) (8 :п х )'= с 0 5 х . (х > О, О < а 7^ 1). ^) (С08Х)' = -81ПХ. 8) (18х )' = С08^ 9) ( с18х )' = 10) X ^ . (-1 < (а гс 8 ш х )' = V I - х^ X < 1). I 11) (агссо8х)' = 12) (агс1§х)' = (- 1 < к 1). 1 1+ ' 13) (агсс18х)' = - ' 1 +х214) (хЬ х )' = сЬ X . 15) ( с Н х ) ' = 811х . 16) (1Ьх)' = сЬ'^ X 17) ( « Ь х)' = - 1 (х / 0 ). X 18) (х^)' = х^(1 + 1пх) (1 > 0). Пример 3. Найти производные сложных функций: \) у = со5х^ Ус = { у = со8и, и = х^} = у[и, = -(81пи)2а: = - 2181пх^; 2) у = е“ “ *, (/^ = { у = е“ , и = со8х} = у'и^ = -е“ 51п х = -е“ * ' 8т х; 3) у = С08 ( 1 ^ - 3 * + ! ) , уЦ. = { у = С08И , и= х^-Зх+ 1} = у[и'^ = = ~ (2 х - 3)81П (х^ - З х + I ) . 5.1.6. Бесконечная производная Если функция / (х ) непрерывна в точке х и /Чх) = И т — = + 0 0 Дзг^О Д х (или - ею), - (8 1 п и )(2 х - 3 ) = то говорят, что в точке х функция /(ж ) имеет бесконечную производную. При этом касательная к графику функции у = / (х ) параллельна оси О у (рис. 5.3). 5.1.7. Д иф ф еренцирование неявных функций Пусть дифференцируемая функция у {х ) задана в неявном виде Р { х , у ) = 0. Производная у '(х ) может быть найдена из равенства Р {х , у(х))'^ = О, в кото ром Р (х , у ) рассматривается как сложная функция от х. Пример 4. Найти производную у функции у{х), заданной неявно: Р(х , у) = х‘ + 2ху -у^ -2 х = 0. Решение. Дифференцируя по х соотношение Р (х ,у ) = 0, в котором у = у(х), получим 2х + 2у + 2ху - 2уу - 2 = 0, откуда х-у Аналогично находятся производные высших порядков, путем многократного дифференцирования равенства Р{х , у) = О по ж. > 5.2. Дифференциал функции 1. Пусть функция / (х ) от независимой переменной х определена в не которой окрестности точки х. Если приращение Д у этой функции в точке X, связанное с приращением Д х , может быть представлено в виде Д у = / (х + Д х ) - / (х ) = ^4(х)Дх + о (Д х ) •Д х , (5.2) гае А (х ) не зависит от Д х , а (Д х ) — бесконечно малая функция аргумента А х [а (Д х ) О при Д х 0], то главная линейная относительно Д х часть приращения Д у (при Л / 0) называется дифференциалом йу функции / (х ) в точке х: <1у = Л} = А {х )А х . (5.3) Если Л (х ) = О, то слагаемое А ■Д х перестает быть главной частью при ращения Д у , однако и в этом случае дифференциал определяется по формуле (5.3), при этом (1у = 0. 2. Геометрически дифференциал функции / (х ) в точке х, соответству ющий приращению Д х , представляет собой приращение йу = С В (рис. 5.1) ординаты у касательной к фаф ику функции, а приращение Д у = С М ] я в ляется приращением ординаты фафика функции у = / (х ). Для существования дифференциала функции } { х ) необходимо и доста точно, чтобы она имела конечную производную (т. е. являлась бы дифферен цируемой), при этом йу = г/'Дх г / '(х )Д х . Если у = / (х ) = I , то йу = йх = А х , т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой. Следовательно, (1у = / ’(х ) йх. На основании этого производная может быть записана в виде отношения диф ференциала Лу функции к дифференциалу независимой переменной х, т.е. у' = Пх) = 2 3. Для дифференцируемых функций и (х ) и «(х ) справедливы формулы: 1) й (и ± п ) — (1и± (IV, 2) <^(ии) = и(1ь + 3) й{си) = сй и / и \ V (1и, (с — число), V Л и - и (IV , , , 4. Приращение дифференцируемой в точке х функции / (х ) можно на основании (5.2) записать в виде А у - (1у + о (Л х ). Следовательно, при достаточно малом Д х справедлива приближенная формула Л у и (1у или / (х + Д х ) и / (х ) + / '(х )Л х , (5.4) которая широко используется в приближенных вычислениях. Относительная погрешность формулы (5.4) может быть сделана сколь угодно малой для до статочно малого Д х , при условии / '(х ) Ф 0. В частности, согласно формуле (5.4): 1) для / (х ) = 5ШХ при X = О имеем 51П Д х и Д х ; 2) если / (х ) = и X = О, то га 1 -ь Д х; 3) для / (х ) = (!-!- х )“ ( а — любое действительное число) и х = О имеем (1 Д х )“ а 1 -Ь а Д х ; 4) если / (х ) = 1п (1 + х) и х = О, то 1п (1 Д х) ~ Дх. 5.3. Производная обратной функции Если функция у = / (х ) в интервале (о; Ь) непрерывна, строго возрастает (или убывает) и имеет конечную производную / '(х ) ф О, то обратная для / (х ) функция X = ^ {у) также имеет производную и = или 4 = 1 (1у (5.5) \ ( 1х ) Пример 5.Для функции у = агс81П1 (-1 < I < I, -ж 12 < у < 1г/2) обратной явля ется г = 5ШУ (-Л-/2 < у < Я-/2). По формуле (5.5) находим „' = 1 = — * х', = -^_ = (51пу)|, С08У ' = у '1 - 5 ш ’ у ‘ \/1 - х^ Пример 6. Для функции у = агссо«* ( - 1 < 1 < 1 , 0 < ! / < т г ) обратной является X = С05 у, следовательно I I (сову); I 8шу I ^ 1 - С08^у VI - Пример 7. Для функции у = агс18 I (-00 < х < +оо) обратной является х = у (-тг/2 < у < тг/2), следовательно (а г с Ш х ) , = I -----— (18у), = С05 2 у = I ------- 5— = 1+18* ' ------ ;■ >+* Пример 8. Для функции у = агссг^х (-ос < х < +ос) обратной является х = с18у (О < у < т), следовательно I (агссЩ х)', = - 1 + С18^ X 1 1+ х^ ■ 5.4. Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть соответствующие друг другу значения величин х и у заданы в виде диф ференцируемых функций от параметра I ( а < I < /3), т.е. х = у = Предполагается, что для функции х = 1р ( 1) существует однозначная обрат ная функция I = а {х ), поэтому у может быть явно выражена через х, т. е. У = ф\а(х)\ = } ( х ) . Производная у по х находится по формуле Пример 9. Найти производную функции, заданной параметрически, х = созй, у = $\п1 (О < << 7Г, -7Г < << 0). Решение, у' = В интервале (0;тг) функция <р{1) = С05( строго убы- ьает, а в интервале (-тг; 0) —строго возрастает. В обоих интервалах ^р (I) ^ 0 . > 5.5. Производные и дифференциалы высших порядков 5 .5.1. Производные высших порядков Если функция / (х ) определена в интервале (а ;Ь ), то ее производная, если она существует в интервале (а; Ь), также является некоторой функцией / '(х ), определенной в этом же интервале. Если функция / '{х ) имеет производную в интервале (а; 6), то эту производную называют второй производной от / (х ) и обозначают у " = } " ( х ) = }''^\х ). При этом обычную производную у называют еще первой производной. В общем случае производной порядка п (п-й производной) от } ( х ) называется производная (если она существует) от производной порядка п - 1: / И (^ )= [/ (п - .)(^ )]ф ункция, имеющая на некотором множестве конечную производную порядка п, называется п раз дифференцируемой на этом множестве. Фун кц ия, п раз дифференцируемая и имеющая непрерывную производ ную /*"*(х) на некотором множестве, называется п раз непрерывно диффе ренцируемой на этом множестве. Пример 10. 1) (51П Х ) ' = (51П х ) ' " 2) СО$Х = = (- 81П 81П х)' = - (С 08 х ) ' " * = 008 ^ Х -Ь 005 ; (5 Ш х ) " = I = 51П (с О $ х )' = +3^^ ; . .. ; - 81П X = (51П х)*“* = 5Ш 81П ^ Х + 2^^ ; + . . 3) ( е 7 = е ^ ( е Т = е ^ . . . ; ( е ' ) ' " ' = е ^ 4) у = х“ (х > О, а — любое действительное число), у' = ах“ “ '; у" = а ( а - 1)х“ "^; у'" = а (а - 1)(а - 2)х“ ' ^ . . . ; у*"* = а (а - 1)(а - 2 )... (а - п + 1)х“ ~". Если а = т ( т — натуральное), то (х’")'"’* = 1-2-... т = т ! и (х” )*"’ = О при п > т . Например, (х‘‘)' = 4х\ (х'*)" = (4х^)' = 12х\ (х*)'" = (12х^)' = 24х, (х’’)*'** = (24х)' = 24, (х'')*’* = (24)' = О, все следующие производные равны нулю. 5) ( а ') ' = о ' 1п о (о > 0), (о ')" = а ' 1п^ о, . . . , (а *)'"' = о ' 1п" о. Для функции, заданной параметрически: х = <р(1), вторая производная равна у = ‘Ф {г), „_ ^ ^ ^ ^ (рф -ф ф ^ ~ Л х\ф ) фй1 \ ф ) . _ М *) ; _ <^ФЮ .. _ < 1М ( ) (Ф У ’ г_ Аналогично находятся производные более высоких порядков. 5.5.2. Ф о р м у л а Л ейбница Если функции и (х), V(x) имеют производные до порядка п включительно, то 1=0 г д е « " » = и, « “ ’ » = С- = — 1'.(п О! = 1. - «)! 5.5.3. Д иф ф еренциалы высших порядков Пусть в интервале (о; Ь) задана функция р = / (х ) независимого аргумента х, т. е. X не является функцией какой-либо другой переменной. Дифференциал с1у = } '( х ) й х , являющийся функцией от х и Лх, называют также п е р в ы м д и ф ф е р е н ц и а л о м . Если функция / '(х ) дифференцируема в интервале (а; Ь) и величина Лх имеет заданное фиксированное значение, не зависящее от х в этоминтервале, то, по определению, в т о р ы м д и ф ф е р е н ц и а л о м функции У — } ( х ) в точке I называют дифференциал от первогодифференциала в точке X. Обозначение: а^у = й(лу) = й [/ '(х ) Лх] = ах ■а у '( х ) ] = / "(х )(й х )' = / " (х ) йх'. З д е с ь 4х — п о с т о я н н а я , т . е . й^х = й(йх) = (йх)1 йх = 0. Д и ф ф е р е н 1и < а л о м п о р я д к а п ( п - м д и ф ф е р е н ц и а л о м ) функции у = { ( х ) на зывается дифференциал от дифференциала порядка (п - 1): А = <^(<^"“ 'у ) = / ‘"*(г:)<^х". (5.7) З д е с ь < г 'у = <1у. = Л^х = . . . = 0 . Согласно (5.7) для производной порядка п функции у = / (х ) по н е з а в и с и м о й переменной х имеем 2/*” * = 0 - Пример 11 . Считая х независимой переменной, найдем дифференциалы: й(х’ ) = (х^)' Лх = Зх^ Лх\ Л \х ') = ЬЛх^, й^(ж’ ) = {х^У Лх~ = 6х Лх^: ^ (х ') = Л\х^) = ... = 0. (5.8) 5 .5.4. И нвариантность формы первого диф ф еренциала Дифференцируемую функцию у = / (х ) от независимой переменной х можно записать в виде сложной функции у = / (х ) = ^ [а (х )|, где ^(и) и и (х ) — некоторые функции, дифференцируемые в точках и и х и и = и(х). Для первого дифференциала имеем й у = у '^ й х = ^ ( и ) и ( х ) (1х = у'^щ йх = у'^(щ = Ум т. е. Лу = у'^йх н йу = у'^ Ли. Следовательно, для обоих случаев, когда у рас сматривается как функция от независимого аргумента х , или от зависимой переменной и (промежуточного аргумента и), форма первого дифференциала остается неизменной ( и н в а р и а н т н о й ) . Отсюда, в частности, следует, что < 1у У^ = Т х ' , У'‘ = Ти Для второго дифференциала, используя формулу й(ии) = и Л у + у йи, получим: а^у = / " (х ) (1 х^ = й(<1 у) = й\^{и) йи\ = = {Ли) й[г'(и)] + « '(« ) = / ( “ )(<^«)^ + «■'(«) где й^и = «"(х )(й х )^ = и ( х ) Лх^. Таким образом, форма второго дифференциала (а также всех дифферен циалов высших порядков) зависит от того, рассматривается ли у как функция независимого аргумента х, или как функция от промежуточного (зависимого) аргумента и. В последнем случае добавляется, вообще говоря, не равное нулю слагаемое ^ (и ) которое равно нулю только для и {х ) = ах + Ь. Пример 12. Для у = / {х ) = х^ имеем Лу = у'^ Лх = 6х^ Лх, Л^у = й{йу) = {"{х )Л х ^ = ЗОх^Лх^ Если и ( I ) = x ^ у = $ (и ) = и \ то й у - у '„ Л и = Зу}Ли = Зх'2хйх = Ьх^Лх, а^и = а(аи) = 2 Л х \ д}у = а(а у) = й(3и' йи) = йи й(Зи^) + Зи^ = Ьи <1и^ + Зи^ = вх^{2х ЛхУ + Ъх*(2 Лх^) = 24ж‘*кх^ + вх* Лх^ — ЗОх"* Лх^. 5 .6 . Экстремум. Теоремы Ф ер м а, Ролля, Л а гр а н ж а и Кош и 5 .6.1. Экстр ем ум Говорят, что функция / (х ), определенная в некоторой окрестности точки X = с, достигает в этой точке л о к а л ь н о г о м а к с и м у м а (или м и н и м у м а ) , если существует содержащаяся в области определения / (х ) окрестность этой точки (с - (5; с + б), во всех точках которой выполняется неравенство / (с ) > / (х ) (или / (с ) ^ / (х )). (5.9) Если вместо неравенств (5.9) выполняются строгие неравенства / (с ) > / (х ) (или / (с ) < / (х )) при X ^ с, то говорят о строгом локальном максимуме (или минимуме). В противном случае — о нестрогом локальном максимуме (минимуме). Абсолютным максимумом (или минимумом) функции на некотором мно жестве называется ее наибольшее (или наименьшее) значение на этом мно жестве. Максимум или минимум функции (локальный или абсолютный) на зывают экстремумом (локальным или абсолютным). Для функции у = / (х ), непрерывной на отрезке |а; 6|, локальный экс тремум может достигаться только во внутренних точках этого отрезка, но не в концевых точках а и 6, так как / (х ) не определена в полной окрестности этих точек (слева и справа от них). На рис. 5.4 в точке А достигается строгий абсолютный минимум / (х ), в точке В — строгий локальный максимум, в точ ке С — нестрогий локальный минимум, в точке О одновременно достигают ся строгие локальный и абсолютный максимумы. М ожно также сказать, что в концевых точках о и 6 достигаются односторонние локальные экстремумы. 5.6.2. Теорема Ф е р м а (необходим ое услови е локального экстрем ума диф ф еренцируемой функции) Если функция / (х ) дифференцируема в интервале (а; 6) и в некоторой точке с этого интервала имеет локальный максимум или минимум, то ее производная при X = с равна нулю; / (с) = Геометрический смысл теоремы; касательная к фаф ику функции у = } ( х ) в точке (с, / (с )) параллельная оси Ох. 5.6.3. Теорема Ролля Если функция } ( х ) непрерывна на отрезке |а; 6], имеет конечную производ ную во всех точках интервала (а; Ь) и / (а ) = /(6 ), то существует хотя бы одна точка с интервала (о; Ь), в которой / '(с ) = 0. Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л т е о р е м ы : на фафике функции у = / (х ) существует такая точка (с, / (с )), в которой касательная к фаф ику параллельна оси Ох. 5 .6.4. Теорема Л а гр ан ж а Если функция / (х ) непрерывна на отрезке |а; Ь] и имеет конечную произ водную в интервале (о; Ъ), то в этом интервале найдется точка с такая, что справедлива формула /(6) - / (а ) = / '(с )(6 - а ), или о- а = / '(с ), (5.10) называемая ф о р м у л о й к о н е ч н ы х п р и р а щ е н и й . Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л т е о р е м ы на фафике функции у = / (х ) существует точка (с, / (с )) такая, что касательная к фафику в этой точке параллельна хорде (секущей), проходящей через точки (а , / ( а ) ) и (Ь, /(6 )). Если промежуточное число с записать в виде с = а + в { Ь - а ) , где в — некоторое число (О < в < 1), то формула (5.10) примет вил /(6) - / (а ) = (Ь - а )/ '(а + в(Ь - а )), / (о -I- Д х ) - / (а ) = Д х / '(о + ^Д х) (5.11) (Д х = Ь - а). В формуле (5.10) не обязательно полагать, что'Ь > а. 5 .6.5. Теорема Кош и Если функции / (х ) и й(х) непрерывны на отрезке [а; 6], дифференцируемы в интервале (а ;Ь ) и § '{х ) ^ О для всех х из (а; 6), то в интервале (а; 6) существует точка с такая, что выполняется формула т - / (а ) « (* )- « (« ) /'(с ) (5.12) « '(с )' В формуле (5.12) не обязательно Ь > а. Формула (5.10) — частный случай формулы (5.12) при ^(х) = X. 5 .6 .6 . Н екоторые следствия из теоремы Л а гр ан ж а 1) Если функция /(а;) дифференцируема в интервале (а; Ь) и / '(х ) = О всю ду в (о; Ь), то / (х ) постоянна в (а; Ь). 2) Функция / (х ), дифференцируемая в (а ;Ь ), не убывает (не возрастает) в (а; Ь) тогда и только тогда, когда / '(х ) ^ О (/ '(х ) ^ 0) всюду в (о; Ь). 3) Для того чтобы функция / (ж ), дифференцируемая в (а ;Ь ), строго воз растала (строго убывала) в (а; Ь), достаточно, чтобы / '(х ) > О (/ '(х ) < 0) всюду в (а; Ь). 5 .6 .7 . Производная четной (нечетной) функции Если функция / (х ) — четная (нечетная) и дифференцируема в интервале (- а ; а ), то ее производная / '(х ) — нечетная (четная) функция. 5.7. Формула Тейлора. Вычисление пределов 1. Если функция / (х ) в некоторой окрестности (хо - (5; Хо -Ь (5) (<5 > 0) точки Хо имеет производные порядка (п -Ь 1) (ге — любое фиксированное натуральное число), то для каждого х из этой окрестности выполняется формула Тейлора: П х ) = /(Хо) + ^ ( х - х о ) + ^ ( х - х„)^ + . .. п! (5.13) или / (х ) = Р „ { х ) -Ь Л „ (х ) = ^ ^ ^ ^ ( х - хо)‘ + й „ (х ), к=0 где Здесь Р „ {х ) — полином Тейлора, с = Хо + ^ (х - Х о ) (О < 0 < 1), т. е. Хо < с < х; М х ) называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. При я = О формула Тейлора сводится к формуле конечных приращений. Для кавдой / (х ) выражение Р „ { х ) единственно. В частном случае, при Хо = О, из формулы (5.13) получается формула Маклорена: Другая запись формулы Тейлора (5.13) имеет вид: . д ., - Ё <=■'» где Д х = X - хо. 2. Если / (х ) непрерывна вместе со своими производными до (п + 1)-го порядка включительно на отрезке |о; Ь], содержащем точки Хо и х, то про изводная в силу непрерывности, офаничена на [а; 6|: М „+1 = та х |/*"+ '’(х)| < + 00. Отсюда следует оценка для остаточного члена на отрезке |о; Ь|: |г> ^_\| ^ -^п+1 |_ _ |П+1 Л/„+1 „ц_| где Ь = т а х {Ь - Хо, Хо - а }. Из (5.16) следует, что при фиксированном п: |Л „(х)| = о(х - Хо)" при х->Хо. Если / (х ) имеет производные любого порядка, офаниченные на отрезке кЫ одним и тем же числом |/'" 1 ^ М (п = о, 1, 2 , . . . ) , то из (5,16) следует Ц т й „(х ) = 0 П->00 для любого фиксированного х из |о; Ь]. Пример 13. Функция / {х ) = е* имеет производные любого порядка на промежутке ( - 0 0 : +ос): /***(*) = /***(0 ) = I ■Все производные офаничены на любом отрезке (- а ;а | (о > 0) числом е“ . Формула Маклорена: где X может быть положительными или отрицательным. Оценка остаточного члена на отрезке |—о; а] |Дп(з;)и При этом |Дп(х)1 (п+ 1)! О при п -> оо для любого X из (- а ; а). 3. А с и м п т о т и ч е с к и е о ц е н к и н е к о т о р ы х э л е м е н т а р н ы х ф у н к ц и й . Выражение, характеризующее поведение какой-либо функции / (х ) при х —>Хо, называ ется а с и м п т о т и ч е с к о й о ц е н к о й этой функции (или а с и м п т о т и ч е с к о й ф о р м у л о й ) . Из формулы Маклорена (5.14) получаются следующие асимптотические оцен ки, справедливые при х -> 0: 1)е ^ = 1 + х + ^ + ... + ^ + о(х’'), 2) 1п (1 -I- х) = X - ^ -I- ^ - ... + (- 1 )" “ ' — -Ь о (х "), 2 3 п + + (5.17) п! (а — любое действительное число), 4) 51п х = х - ^ + ... + ( - 1 ) " - ' ^ ^ ^ + о ( х ^"), 5) со5 х = 1 - | ^ + . . . - К - 1 ) ’- ^ + о ( х ^"+‘). Формулы (5.17) дают представление вышеперечисленных функций при малых значениях |ж| для любого фиксированного номера п. 4. В ы числение пределов при пом ощ и ф орм улы Тейлора. 51П X - X Пример 14. И пт — — - = < применяячетвертуюформулу (5.17) при п = --- х-»0 ж2 5Ш 51П X х - |^ + 0 (х ^ )- х з.„^ = + Пример 15. , = __ = ' “ зГ + -> О при х -» 0. применяя пятую формулу (5.17)) при п = 2, Ит получим С051 = ' “ I -I- <-I , получим , - 1 + а (х ) ) I = 1,п, 1^ - — -I-х^о(х“) Здесь а (х ) = 2 I ’ Х' первая формула (5.17) при п = 2 дает е‘ = н 0(1^), отсюда при I = - — следует е~‘ = I — Г + "5“ + ' = = 1>т------------------т----------------- = Ит х-*о ж*» г-»0 о(х^) о(х*) Здесь — --- ^ О, —2--- ^ ^ при X -> 0. ' 1 о(х^) 12^ о(х^) 1 ’ Т2' 5.8. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя 5 .8.1. Раскрытие неопределенности вида 0/0 Г{х) Говорят, что отношение двух функций — представляет собой при х о « (г ) неопределенность вида 0/0, если 11т / (х ) = И т ^ (х ) = 0. Раскрыть неопредех-*о 1-*а / (х ) ленность — значит найти предел И т —— , если он существует. х “~ * а1 е{Х) Пусть функции / (х ) и ^(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а {а — число, +оо или -оо), за исключением, быть может самой точки а, а также П т / (х ) = И т й (х ) = О и ^(х) Ф О, / ( х ) О в этой х -*а х-*а окрестности. Тогда, если существует конечный или бесконечный предел И т е'(х ) то справедливо равенство Иш х-> а § ( х ) = Иш 1 (5.18) ->а ^ ( х ) выражающее правило Лопиталя. Аналогичное правило справедливо для одно сторонних пределов. Примечание. Предел в левой части (5.18) может существовать, лаже если предел в пра вой части не существует. Если в результате применения правила Лопиталя снова получается не определенность, то это правило может применяться повторно (если / ’(х ), ^ (х ) удовлетворяют тем же требованиям, что и / (х ) и ^ (х )) и т.д. много кратно: 1Ь,пт, — — - к Н п, т ■ = Ни, И т ... , = ... . х-.а ^(х) х^а ^ {х ) х^а^ '{х ) Пример 16. I) ~4 (х^ - 4)' 2х 1 П т -т— -= 11т — — ™ =Ит — = т^2 х^ - 8 г-»2 - 8)' х-*2 Зх3 2) Иш ’ Ж -8Ш Х (х - 8 1 п х ) ' ^— = 11Ш — - г- — *-»0 *-*0 1п(1 + х ) 1-С08Ж , (1-С05Ж)' 1 51ПХ = 1|Щ — ~ — - И т — — — = - Пт = (х ^ ) .. 3) И т ------- — 1|гп 1-+0 | 1 п (1 + х )Г X 1 -*0 5.8.2. Г-^О х' Ит 1^0 (З х ^ У X 6 а:-»0 1 = 1. 1+ X ХС1$Х- I ХС05Х- 5ШX (х С08X ~ 51Пх)' - 81ПX 4) П т :--- = 11т---- — ----- = Ит — - у -.— -— — Пт х-»0 х^ х-*0 х^з'тх 1--»0 (х^81пх)' г-»0 281ПХ + ХС08Х (-81ПхУ -С08Х 1 _ 11^^ ----------- ^ — Цщ ----------- = --- . *-»0 (281ПХ + ХС08Х)' х-»0 ЗС08Х - Х5ШХ 3 л* _ л-арГ 45) Ит — ;--- —И т ------- = 2. Х-Ю 8ШХ х-*0 С08Х ' ----- Зх^ г-»0 Раскрытие неопределенности вида о о / с » Говорят, что отношение двух функций представляет собой при х а {а — число, + 0 0 или - с о ) неопределенность вида оо/оо, если П т / (х ) = х ~ *а 11т^(х) = 00 ( + 0 0 или -оо). Для раскрытия этой неопределенности, т. е. для х-ю нахождения предела Ц т / (* ) , используется следующее правило Лопиталя: если / (х ) и ^ (х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестно сти точки о, за исключением, быть может, самой этой точки; И т / (х ) = х-*а Ц т ^ (х ) = оо; г(х ) / О, г'(х ) / О в указанной окрестности; тогда, если сушех-*а ствует конечный или бесконечный предел И т х-»о Г/'М , то / (^ ) .. / '( * ) И т ——- = И т — 1-.0 ^(х) 1-.0 ^ (х ) /СПЧ ( 5. 19) Равенство (5.19) справедливо и для односторонних пределов. Формула (5.19) может применяться повторно (см. 5.8.1). Пример 17. 1) При а > о имеем: 1 2) Для 1п 1 (1п 1)' Х~' И т —— = Ит ■= Ит — Г Т -. +00 Ж»1 -.+00 (х“ У 1 -+ 0С а х “ ~' 1 = -*+00 I вычисления следующегопредела применим формулу (5.19) г»раз: Ит — г-»+ос = Ит — — = ... = И т —^ г-*+оо 3) При а > О имеем: П т --- = И т х-и-о ^-и-0 - а х ° ' =0 (о > 0). = --- П т х ° = 0. а 7-*+о “ ОХ” ®- 4) е ” /* Г X' I 1 1 Мт --- — < замена — = у> = г-*+0“ X ) у" Ит »-»+ ■ос ^ — = е** «■ Ит — =0 У-++00 е^' (п — любое нату- ральное число). е"'/'' Г 1 1 у" 5) И т — г— = < замена — = у > = П т — = О (п — любое натуральное число). 1 -*о х^" I. ^ 1 -»+оо е*' 6 ) / се З Х 005 X И т -----— И т 3( ----- 1 = 3 1-*ж/2 1 § Х х -*ж /2 \С 053х/ Г СО$ X Иш ----- = 3 Г - 51П X И т — ----- [г-»т/2 С05 З х ] 1^ — — 3 5Ш З х -(-О’ч5.8.3. Неопределенности вида О • оо, 0 0 - 0 0 , О®, 1°°, оо" Неопределенности перечисленных видов сводятся к неопределенностям 0/0 и оо/оо посредством алгебраических преобразований и логарифмирования. Пример 18. Неопределенности О ■оо и оо — оо сводятся к неопределенности 0/0 или оо/оо. I) П т хс1ёх - < С18 Х = —!— > = И т х-* 0 X ^ I х-*0 = И т( I : — X 1-^0 \ а > О имеем: И т х ° \пх = П т 2) При о 1^+0 х-*+0 3) / Ит | = И т соз^ х С05^ X / = г-*0 = О (см. пример 17). х~*+0 X ** 1 - - X 1 \ ( X - 1 ) - 1п х --------- ) = И т = Ит •— И т X - 1 / 1 -И (х - 1 ) 1 п X ' 1 I п X +, .I ---* * 1 г->1 \ 1 п х X Пример 19. Для сведения неопределенностей вида 0^, 1°“ , сс^ к неопределенности О •0 0 применяется равенство /(х)*'** = ехр {^ (х ) 1 п / ( х ) } (/ (х ) > 0 ), где ехр { у } = е". 1) И т I * = ||т ехр {х 1п х } = { И т х 1п х = О (см. пример 18)} = е° = I . г-»4-0 Т-*П ^ г-к4-Л •* -»+о Г 2) И т X = И т ехр < Х-*\ X-*] I, Здесь ехр { у } = е** 3) И т (1 + Зх)'^ "'^ г^+ оо 1 '1 Г 1п X ^ = < И т 1- X ^ 1 И т ехр {-*-1п (1 + Зх) ]• = | г-»+оо X X” ' '1 - 1 1п х = И т — = - 1^ = е г- »М - X г-»1 - 1 Ит ^ = Пт -1п( 1 + 3х) = ^ • 5.9. Возрастание и убывание функции. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба 5.9.1. Достаточный признак возрастания и убы вания функции Функция называется возрастающей (или убывающей) в интервале (а; Ь), если ббльшим значениям аргумента соответствуют большие (или меньшие) значе ния функции. Для того чтобы дифференцируемая в интервале (а; Ь) функция возрастала (или убывала) в этом интерва ле, достаточно, чтобы производная /"(х ) была положительной (или отрицатель ной) всюду в этом интервале. Таким об разом, нахождение интервалов монотон ности функции / (х ) сводится к нахо ждению интервалов знакопостоянства ее производной / '(х ). Если для функции / (х ) производная О /'(о ) > О (или / '(а ) < 0) в точке х = а, то /(ж ) возрастает (или убывает) в точке X = а. Рис. 5 .5 Пример 20. Для функции у производная у = 2х < О при -оо < х <0 (функция убывает); </'>ОприО<х< -Ноо (функция возрастает). В точке I = Оданная функция не является ни возрастаюшей, ни убывающей (стационарная точка) (рис. 5.5). 5.9.2. Выпуклость и вогнутость кривой Кривая (ф аф ик функции у = / (х ), име ющей конечную производную) называет ся выпуклой (или вогнутой) в некотором интервале (о; 6), если эта кривая рас положена ниже (или выше) любой ка сательной к кривой в этом интервале. Выпуклый (вогнутый) фаф ик функции называют также выпуклым вверх (в ы пуклым вниз). Достаточное условие выпуклости (или вогнутости), в предположении существо вания конечной второй производной / ” (х ) при а < X < Ь, фаф ик функции У = / (х ) является выпуклым (или вогну тым) в интервале (а; Ь), если / "(ж ) < О (или / " (х ) > 0) во всех точках этого интервала. Если вторая производная функции у = / (х ) непрерывна и отрицательна (или положительна) в точке го, то в некоторой окрестности этой точки график у = / (х ) является выпуклым (или вогнутым). Пример 21. График функции у = } ( х ) = (рис. 5.6) является выпуклым при —сх) < К О (у " = б1 < 0) и вогнутым при О 0). 5.9.3. Точки перегиба Пусть ф аф ик непрерывной в интервале (а; Ь) функции у = } { х ) имеет каса тельную (возможно, параллельную оси О у ) для любого х из (а; Ь). Если при переходе величины х через некоторое значение Хо в (а; 6) соответствующая точка М (х , / (х )) графика переходит с одной стороны касательной к фафику в точке Мо(хо, / (х о )) на другую, то говорят, что при х = Хо график имеет точку перегиба Мо. Для краткости, точку Хо также иногда называют точкой перегиба. Например, при х = О график у = х^ имеет точку перегиба 0 (0 ; 0), при этом касательная в точке О совпадает с осью О х. При х < О точки фафика лежат ниже касательной, а при х > О — выше. В достаточно малой (двухсторонней) окрестности точки перегиба Хо выпуклость графика у = / (х ) заменяется вогнутостью (или наоборот) при переходе через Хо. Необходимое условие существования точки перегиба. Если функция / (х ) имеет конечную вторую производную в точке Хо и ф аф ик у = / (х ) имеет точку перегиба Мо(хо, /(х о )), то /"(х о ) = 0. Достаточные условия существования точки перегиба. Первое условие. Пусть функция у = / (х ), непрерывная в точке Хо, имеет непрерывную вторую производную в некоторой (двухсторонней) окрестности точки Хо. за исклю чением, быть может, самой точки Хо, а ф аф ик у = / (х ) имеет касательную (возможно, параллельную оси О у ) в точке Мо(хо, /(хо)). Тогда, если в этой окрестности / " (х ) меняет знак при переходе через Хо, то фаф ик у = / (х ) имеет точку перегиба Мо. Таким образом, точки перегиба фафика у = / (х ) следует искать среди таких точек, для которых либо } " ( х ) = О, либо / ” (х) бесконечна или не существует. Пример 22. 1) График функции у = х ’ при х = 0 имеет перегиб, при этом у"(0 ) = О (рис. 5.6). 2) Функция у = х'^^ непрерывна в точке 1 = 0. В точке 0(0; 0) ее фаф ик (рис. 5.7) имеет вертикальную касательную (ось О у). При ж = О первая и вторая произ водные обращаются в бесконечность. В точке 0 (0 :0 ) график имеет перегиб, так „ 2 I как при переходе через х = О знак второй производной у = изменяется с плюса на минус. При I < О (у" > 0) фафик вогнутый, при I > О (у" < 0) — выпуклый. Второе условие. Пусть функция у = / (е ) имеет в некоторой окрестности точ ки Хо производную порядка п , а в самой точке Хо — производную порядка п + 1, при этом А х о ) = / < ^ > Ы = . . . = /'" > (х „ ) = 0; / < " + ‘>(хо) ф 0. Тогда, если п — четное число, то график у = / (х ) имеет перегиб при х = ХоПример 23. 1) В условиях примера 21 в точке *о = О имеем / (0 ) = /"(0) = О, /"'(0) = 6 ^ 0 . Следовательно, Жо = О — точка перегиба. 2) Для функции у = находим В точке Хо фафик имеет перегиб. = О, к‘’*(0) = 120 ф 0. 5.10. Нахождение максимумов и минимумов функций в достаточно малой (двухсторонней) окрестности точки х = с локального максимума (или минимума) непрерывной функции / (х ) значение / (с ) боль ше (или меньше) значений / (х ) для всех х / с из этой окрестности (см. 5.6.1). Функция может иметь в области определения несколько локальных макси мумов и минимумов, причем ее значение в некоторой точке локального минимума может оказаться больше ее значения в какой-либо точке локаль ного максимума. ^'10.1. Необходимые условия локального экстрем ума (м аксим ум а и м инимума) функции Первое условие. Если производная / '(х ) функции / (х ) конечна в точке * = с, в которой / (х ) имеет локальный экстремум (максимум или минимум), то / '(с ) = 0. Точка с, В которой / '(с ) = о, называется стационарной точкой для функции / (х ). Не всякая стационарная точка является точкой экстремума. Например, функция у = х^ имеет стационарную точку с = О, не являющуюся точкой экстремума. Второе условие. Если непрерывная в точке х = с функция / (х ) имеет локальный экстремум в этой точке, то либо / '(с ) = О (если производная суще ствует), либо / '(с ) не существует, либо бесконечна. Такие точки с называются критическими. На фафике функции у = / ( * ) (рис. 5.8) в точке максимума А с абсциссой х = С| касательная А Т горизонтальна = 0), в точке минимума В с абсциссой х = С2 касательная не существует (левая В Т и правая ВТ + касательные не лежат на одной прямой), в точке максимума С с абсциссой X = Сз левая и правая производные обращаются в +оо и -оо соответственно, а левая С Г _ и правая С Г+ касательные противоположно направлены и лежат на одной вертикальной прямой. Точки локального экс тремума ищутся среди критических точек, которые проверяются затем при помощи одного из трех достаточных условий экстремума. 5 .10 .2 . Д остаточные условия строгого локального экстремума Первое условие. Пусть: 1) функция / (х ) определена и непрерывна в не которой двухсторонней окрестности критической точки х = с, для которой либо / '{с ) = О, либо / '(с ) не существует, либо бесконечна; 2) / (х ) имеет конечную производную / ’(х) всюду в этой окрестности, кроме, возможно, самой точки X = с; 3) слева от точки с и справа от нее в пределах указанной окрестности / ’(х) сохраняет знак (плюс или минус). Тогда / (х ) имеет в точке I = с локальный минимум (или максимум), если производная / ’(х) отрица тельна (или положительна) слева от точки х = с (т е . х < с) и положительна (или отрицательна) справа от х = с (т. е. х > с) в указанной окрестности. Экстремум в точке с отсутствует, если при переходе через эту точку знак / '(х ) не изменяется. На рис. 5.8 при переходе (слева направо) через критическую точку I = С| знак / '(х ) изменяется с плюса на минус (максимум); при пере ходе через X = С2 знак / '(х ) изменяется с минуса на плюс (минимум); при переходе через х = Сз знак / ’(г ) изменяется с плюса на минус (максимум). Пример 24. Функция у = (рис. 5.9) непрерывна при — 0 0 < X < + 0 0 и имеет конечную производную при X / О, равную у = При х = О левая и правая производные бесконечны: в _ ( 0 ) = -оо, у+( 0 ) = +оо. Производная имеет при х — О разрыв второго рода. Поскольку у '(х ) < О при X < О и у (х) > О при х > О, в точке X = О данная функция имеет минимум. Второе условие. Если функция / (х ) имеет в данной стационарной точке х = с (т. е. / '(с ) = 0) конечную вторую производную / ” (с) / О, то в этой точке функция / (х ) имеет максимум, если / "(с ) < О, и минимум, если / "(с ) > 0. Если же / " (с ) = О, то / (х ) может либо иметь экстремум, либо не иметь его при х = с. Пример 25. 1) Для функции у = х^ имеем: у'(0) = О, у''(0) = 2 > О (минимум при х = 0). 2) Для у = х^ находим: у'(0) = у"(0 ) = О (экстремум при х = О отсутствует). 3) Функция у = х^, для которой у (0 ) = у"{0 ) = О, имеет минимум при х = О, так как у = 4х^ изменяет знак при переходе чрез х = 0 . Третье условие. Пусть функция у = / (х ) имеет производную порядка п (п ^ 1 — целое число) в некоторой окрестности точки х = с и производную порядка п + 1 в самой точке с, причем / '(с ) = / "(с ) = . . . = /<">(с) = 0; /<"+'>(с) # 0. Тогда, если п — нечетное, то / (х ) имеет в точке с экстремум, а именно: 1) при /*"’'''*{с) < О — максимум, 2) при п — четное и /*"^'*(с) > О — минимум; если же О, то в точке с функция / (х ) не имеет экстремума. Пример 26. Для функции у = (х — 1)^ имеем: у '( 1 ) = у " ( 1 ) = у " '(1 ) = О, у'*>(1) = 2 4 > 0. Следовательно, в точке х = I данная функция имеет локальный минимум. 5.10.3. Нахождение абсолю тного экстрем ума Наибольшее и наименьшее значения (абсолютные экстремумы) функции / (х ), непрерывной на отрезке ]а; Ь], достигаются или в критической точке (в кото- рой производная / '(х ) либо равна нулю, либо не существует, либо бесконеч на), или в кониевых точках а и Ь отрезка [о; 6|. Если С|, Сг,... , Сп — критиче ские точки в интервале (а: 6), то наибольшее и наименьшее значения функции следует искать среди множества чисел: { / ( а ) , / ( С ] ) , / ( с г ) , . . . , / ( с „ ) , / (6 )}. При этом нет необходимости выяснять характер (максимум или минимум) локального экстремума в критических точках. Пример 27. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = на отрезке [0; 2]. - Зх - 2 Решение. Из условия ;/' = Зх^ - 3 = О находим критические точки Х[ = - 1, Х 2 = I , из которых только «2 = 1 находится в данном отрезке. Наибольшее и наименьшее значения данной функции, которые ищем среди значений у(0) = -2, у(\) = -4, у(2) = О, равны соответственно О и -4. 1> 5.11. Асимптоты графика функции Говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой трафика функции у = / (х ), если хотя бы один из односторонних пределов И т / (х ) или х-*а+ 0 М т / (х ) равен -Ьоо или —оо. 1-»в-0 Пример 28. График функции у = 1/х (рис. 5.10) имеет вертикальную асимптоту г = О (ось Оу), так как Мт - = -1-ос, Н т - = -оо. 1-»0+0 X г-»0-0 X Говорят, что прямая у = кх + Ь является наклонной асимптотой графика функции у = / (х ) при X -> +00 (или X -у -о о ), если функцию / (х ) можно представить в в и д е/(х ) = Лх + 6 + а (х ), где М т а (х ) = 0 (и ли И т а (х ) = 0), 1-Ц-ОО 1-»-00 те . \/{х )-кх - Ь \ является бесконечно малой функцией при х -> +оо (х —>- о о ). График функции неограниченно приближается к асимптоте на бесконечности, т.е. при X +00 или (и ) при х -> -оо. Пример 29. График функции у = }(х ) = 1+ 1 /1 (рис. 5.11) имеет единственную наклонную асимптоту у = х при х -» +оо и при х -* -оо, так как Ит \/(х) - х\ = г-*±оо Пт = |1/1 | =0. 1->±00 Для того чтобы график функции у = / (х ) имел при х -> +оо (х —> -о с) наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали конеч ные пределы Ит 1-*+00 (и-00) = *, Ит \ } ( х ) - к х \ = Ь, х-*+ оо тогда прямая у = кх + Ь является асимптотой. При Л = О прямая у = Ь на зывается горизонтальной асимптотой. Примечание. Кроме прямолинейных асимптот у = кх + Ь могут рассматриваться также и криволинейные асимптоты Пример 30. 1) График функции у = 1+е~* имеет горизонтальную асимптоту у = I прих->+оо, так как 1-Ь е~^ ------ =0, к = Пт х-*+<х = Ит (1 + е *) = 1. X 1 -» + 0 0 2) график функции 2х^ + имеет две вертикальные асимптоты х = —1 и а; = 1, так как каждый из двух од носторонних пределов в точках х = -1 и х = 1 равен - Ь о о или - о с . Имеем далее х~*±оо М = X (,= Иш 1 -*±(Х (\Цх^±—Î - 2 Л/ = 1 . график данной функции имеет наклонную асимптоту у = 2х + 1 при х -> +ос и при X -00. 5 .12. Построение графика функции Для построения графика функции у = / (х ) необходимо качественное иссле дование поведения этой функции, в особенности в таких характерных точках, как точки разрыва, локального экстремума, перегиба, по следующей схеме: 1. Найти область определения функции, точки разрыва, промежутки не прерывности. 2. Выяснить наличие четности и нечетности функции, ее периодичности. 3. Найти точки пересечения графика с осями координат, интервалы знакопостоянства функции. 4. Найти асимптоты фафика. 5. Найти первую и вторую производные, а также определить точки, в ко торых эти производные равны нулю, не существуют или обращаются в бесконечность. 6. Найти точки локального экстремума, а также значения функции в этих точках, промежутки возрастания и убывания функции, исследовать по ведение функции в концевых точках области определения. 7. Найти промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба, а также наклон касательных в этих точках. 8. Полученные результаты желательно занести в одну или несколько таб лиц. При необходимости следует найти значения функции в некоторых промежуточных точках. 9. Построить примерный эскиз графика функции. Пример 31. Построить фафик функции у = (1 - 1 )’ Решение. 1. Функция определена и непрерывна всюду на числовой прямой -со < х < +оо, за исключением точки ж = О, в которой знаменатель дроби обращается в нуль. Односторонние пределы в точке ж = 0: 11т — — ;— = 1-.0-0 2х^ - С Х ), Нт 1-.ОЧ-0 (х - 1 ) ’ ----^— = - 0 0 . 2х^ Точка X = О — точка разрыва второго рода (бесконечный разрыв). 2. Функция не является периодической, ни четной, ни нечетной. 3. Точки пересечения ф аф икас осью Ох (у = 0) находятся из условия у = {(х ) = 0. Здесь имеется только одна такая точка с ж = I . Точек пересечения графика с осью Оу (х = 0) нет, так как при г = О функция не определена. При х > I значения у = }(х ) положительны, при х < I (кроме х = 0) ~ отрицательны. 4. Прямая 1 = 0 — единственная вертикальная асимптота. Оба односторонних предела при х = О равны -оо. Ищем наклонные асимптоты: к= 11т 1-*±00 —— ^ 2х’ = 1 2 , 6 = \\т \ }(х ) - кх \ = и±оо График имеет одну наклонную асимптоту У = -Зх^ + Зх - 1 Ит и±ос 2х^ ^ * ' •± 00. 5. Находим производные: (х У = 1 )^(х 3 (х - 1) + 2) У = 2x5 При этом у' = 0 в точках х = -2 , х = 1; у' обращается в бесконечность в точке = О, не принадлежащей области определения. Производная у" равна нулю при X = 1 и обращается в бесконечность при х = 0. X 6 . Для нахождения точек экстремума и промежутков монотонности составим таб лицу (критические точки: - 2 ; I; 0 ). Промежуток значений х Знак у' Поведение функции -0 0 < х < -2 - 2 <X < 0 0 <X < 1 + - + возрастает убывает возрастает 1 <X < + 0 0 + возрастает Из таблицы видно, что функция имеет в точке х = -2 локальный максимум и / (- 2 ) = -27/8 = -3,375. В точке х = О минимума нет, так как при х = О функ ция не определена. В концевых точках области определения, т е . при х -> + 0 0 (х -» -оо) функция /(х) -> + 0 0 (/(х) -> -оо). Следовательно, функция не до стигает наибольшего и наименьшего значений в области определения. Для нахождения промежутков выпуклости и вогнутости, а также точек перегиба, составим таблицу (точки, в которых у" равно нулю, не существует или обращается в бесконечность: 0 ; 1 ) Промежуток значений х -0 0 Знак у" Поведение графика <I <0 0 <I < 1 1 <I < + 0 0 - - + выпуклый выпуклый вогнутый Из этой таблицы видно, что фафик имеет одну точку перегиба с координатами х ~ \ , у ~ / ( \ ) = 0. Касательная в точке перегиба горизонтальна, так как у'(1) = 0. Вычислим значения функции в нескольких промежуточных точках: 9. X -4 -3 у -3,91 -3,56 - 1 -4 0,5 2 3 5 -0,125 0,125 0,44 1,28 Построим примерный эскиз фафика функции (рис. 5.12). При этом точные значения координат найдены только для нескольких точек, которые соединяются затем плавной линией. й Глава 6 О С Н О В Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т А РН Ы Е Ф У Н К Ц И И 6.1. Показательная (экспоненциольная) функция Функция у = (а > а, а Ф \), определенная на множестве всех дей ствительных чисел -00 < X < +00, называется показательной (экспонен циальной) функцией. Функц ия принимает только положительные значения (О < 3/ < -Ьоо), монотонна, возрастает при а > 1 (рис. 6.1) и убывает при О < а < I (рис. 6.2), непрерывна, бесконечно раз диф^ренцируема, не имеет ни нулей, ни экстремумов. Ось Ох является асимптотой фафика, проходя щего чрез точку (0; 1). Показательная функция у = может быть записана также в виде у = е ^ '"“ = е х р {х 1 п о }, где ехр {<} = е‘ , е = 2,781828... — основание натуральных логарифмов. Графики функций у = и у = а ^ взаимно симметричны относительно оси О у. 6.2. Логарифмическая функция •'1®гарифмическая функция у — 1о§„ х (а > О, а / 1, область определения: х > О, область изменения: -оо < у < +оо) является обратной для показательной ^ Справочник по X функции X = а®. Логарифмическую функцию можно записать также в виде у = |0 8 а X = 1п а 1п X . Функц ия монотонна, возрастает при а > О < а < I (рис. 6.4), непрерывна, бесконечно раз логарифмических функций проходят через точку Графики функций у = 1о8„ X и у = взаимно прямой у = X . I (рис. 6.3) и убывает при дифференцируема. Графики (1; 0). Асимптота — ось Орсимметричны относительно 6.3. Гиперболические функции 6.3.1. Гиперболический синус Функц ия у = -(е^ - е^^), называемая г и п е р б о л и ч е с к и м с и н у с о м , определена при всех X , нечетная, монотонно возрастающая. Область изменения: -оо < у < + 00. График (рис. 6.5) проходит через точку 0 (0 ; 0), являющуюся точкой перегиба. Обозначение: у ~^\\х. 6.3.2. Гиперболический косинус Функция у = = с Ь х , называемая г и п е р б о л и ч е с к и м к о с и н у с о м . определена при всех действительных х; область изменения: 1 ^ з; < +оо; четная, убывает при х < О, возрастает при х > О, при а: = О — минимум. График (рис. 6.6) проходит через точку (0; 1). 6.3.3. Гиперболический тангенс Функция V = ------- = 1(1 X , называемая гиперболическим тангенсом, опрее* + е ^ делена при -оо < х < +оо; область изменения: -1 < х < 1. Функц ия нечетная, монотонно возрастающая. Асимптоты: у = \, у = - I . График (рис. 6.7) проходит через точку 0(0 ; 0), являющуюся точкой перегиба. 6.3.4. Гиперболический котангенс Функция у = е* + е~^ — = с1Ьг, называемая гиперболическим котангенсом, X _ ^-х определена при всех I 0; область изменения: (-оо; - 1 ), (1; +оо). Функция нечетная, монотонно убывает при I < О и при х > 0. Асимптоты: х = О, »/ = 1, у = -1 (рис. 6.8). Рис. 6.8 6.3.5. О бр атн ы е гиперболические функции (ареаф ункции) Эти функции определяют как решения уравнений (относительно перемен ной у ) &Ьу = X , с Ъ у ^ X , 2/ = X , с1Ь I/ = х: 1) у = АгеН I = 1п (х + %/х^ + 1) (- с о < х < +оо). 2) у = АгсЬ X = 1п (х ± у/х^ — 1) (х ^ 1). Функц ия у = АгсН х — двузнач ная. Для X ^ I и О ^ I/ < -Ьоо имеем у — АгсЬ х = 1п (х -И \/х^ - 1); а для X ^ I и -00 < у ^ О соответственно у = АгсН х = 1п (х - \/х^ - 1). 3) г/= А П Ь х = ^ 1п 2 I ~ 4) у = А гс ( 1 1 X = ^ 1п (|х| < 1). X (|х| > 1). Вышеперечисленные функции называются соответственно ареасинус, ареакосинус, ареатангенс, ареакотангенс. Графики обратных гиперболических функций получаются из фафиков соответствующих гиперболических функ ций (рис. 6.5-6.8) зеркальным отображением относительно прямой у = х. 6.3.6. Некоторые соотношения между гиперболическими функциями (б Ь х }' = сЬ (сЬ х )' I, (1)11)' = — 2 = 5Н X , ( С( Н1) ' — = -- , 2 ' VVÎ. , СП X ^ &Ъх (1х = с Ъ х + У ^ Ь x (^ x 5П с, = 1п с Ь х + с , сЬ^ X - I = 1, ’ X У сЬ I = 5(1 I + С, У с1Н X й х = 1п х| + С , 5Н 2х = 2 5Нх ■с Ь х , сЬ 2х = X + сЬ^ X, 8|1 (х ± 1/) = 8Ь X • сЬ 3/ ± сЬ X • 5Н у, сЬ (х ± у) = сЬ X • сК I/ ± 5Ь X • 5Н у, 1Ь { х ± у ) = 1Н X ± 111 5» 1 ± 1Ь X •1Ь 5/’ X ± у X ± у зН X ± 5Ь 2/ = 2 5Н — -— •сН — -— , сН X + сЬ у = 2 сН X + у X + V • сН X - V , X —V с Ъ х - с Ъ у = 2вЬ 6.4. Степенная функция 1. Пусть а — произвольное действительное число. Общая степенная функ ция у = х“ (х > 0) определяется равенством у = х“ = а “ "*-" (а > 1 ). При о > О ( а < 0) общая степенная функция возрастает (убывает). Ф у н к ция непрерывна в промежутке О < х < +оо и принимает положительные Рис. 6.9 Рис. 6.10 значения. При а > О функция определена также в точке х = О и равна нулю; при а < О она не определена в точке х = 0. Если а = О, то х” = 1 (х Ф 0); О® не имеет определенного смысла. На рис. 6.9, 6.10 приведены графики степенных функций для различных значений а . 2. Если га — натуральное число, то функция у = х " определена на всей числовой оси. Ф ункц ия у = х “ " = 1/х" определена при всех х # 0. Функция у = х называется линейной, ее график — прямая линия (рис. 6.11). У 1 \ 1 1 -1 О 1 X Рис. 6.14 Рис. 6.13 График функции у = г " (п > 2) называется параболой п-го порядка. При п = 2 т (т. е. четном) ф аф ик симметричен относительно оси О у (рис. 6.12), проходит через точки (0; 0), (1; 1), (-1 ; 1); ось О х — касательная; минимум в точке (0;0). Если п = 2 т + 1 (т. е. нечетное), то начало координат яв ляется центром симметрии фафика (рис. 6.13); 0 (0 ; 0) — точка перегиба; ось О х — касательная; фаф ик проходит через точки (0;0), (-1 ; - 1 ), (1; 1). 3. График функции у = 1/х" (х / 0) при п = 2 т (четном) симметричен относительно оси О у (рис. 6.14), проходит через точки (1; 1), (-1 ; 1), асимп тоты — оси координат. Если п = V 2 т + 1 (нечетное), то центром сим метрии графика (рис. 6.15) является начало координат; график проходит через точки (1; 1), (-1 ; - 1 ); асимп тоты — оси координат; х = О — 1 точка разрыва. 4. Функция у = х'^" = V x , где п = 2 т (четное), двузначна и опре делена при X ^ О, ф аф ик (рис. 6.16) проходит через точки (0 ;0 ), (1; 1), (• ;- 1 ); если п = 2т-|- 1 (нечет ное), то функция определена при ~оо < I < +оо; ф аф ик (рис. 6.17) проходит через точки 0 (0 ; 0) (точ ка перегиба), (1; 1), (- 1 ;- 1 ) ; ось Оу — касательная в точке 0(0 ; 0). -1 1 -1 1 г 1 X 5. Фун кц ия у = ( т / п — несократимая дробь; т , п — натуральные числа) при п — нечегноми т — четном определена в промежутке —оо<х<+оо; ось О у — ось симметрии графика (рис. 6.18) и, при т < п, одновременно касательная в точке 0(0 ; 0). График проходит через точки (1; 1), (-1 ; 1). Если т — четное, п — нечетное и т > п, то фаф ик функции у = определенной при -со < х < +сю, аналогичен фаф ику у = (рис. 6.12); О у — ось симметрии; О х — касательная к фаф ику в точке 0 (0 ; 0). Если т и п — нечетные, то ф аф ик функции у = , определенной при любом X , центрально симметричен относительно точки 0 (0 ; 0); при т > п ф аф ик функции аналогичен ф аф ику касательная к фаф ику в точке 0(0 ; 0); при т < п ф аф ик функции аналогичен фафику у = х'^^ (рис. 6.17); ось О у — касательная к фаф ику в точке 0(0 ; 0). у = х^(рис. 6.13); ось О х — При п — четном и т > п функция у = двузначна и определена при О ^ X < +00. Ось О х — касательная к графику в точке 0 (0 ; 0) (рис. 6.19). Если п — четное и т аналогичен графику у = < п, то график двузначной функции у = (рис. 6.16). 6. Функция у = ( т , п — натуральные) имеет в точке х = О разрыв. Оси координат являются асимптотами графика. При п — четном функция определена в промежутке О < х < +оо, а при п — нечетном — для любого х ^ О . Симметрия графиков относительно осей координат или начала координат зависит от четности и нечетности т и п . Все графики проходят через точку ( I ; 1) (р и с,6.200-е). 6.5. Тригонометрические функции 6.5.1. О пределения тригонометрических функций Пусть ^ — величина центрального угла А О М , опирающегося на дугу окруж ности А М длиной 3 (рис. 6.21). Угол измеряется в фадусах или радианах. Радианная мера угла является безразмерной и равна отношению дуги « к ра диусу окружности г, т. е. = з/т. За единицу измерения углов берется радиан — центральный угол, для которого з = т. Радианная мера полного угла равна 2тг, а пря мого 7г / 2 . Если 1р — величина какого-либо угла в фадусах, а ^ — в радианах, то ' ^ = 0,017453 ^ 180° ^ = 57,295780° • Пусть М (х , у ) — точка на окружности ради уса г (рис. 6.21). Величина ^ угла А О М , отсчи тываемого от положительного направления ОА оси О х против часовой стрелки, считается по ложительной, а по часовой стрелке — отрицательной. Тригонометрические функции действительного аргумента >р определяются равенствами: 81П ^ = — (синус), г у 81П 1Р / ч (тангенс), Щ>р = - = ---- с 1 $ (р = г 5ес ^ = — = созес ш = - = ---- X С 08^ 1 С 05 1р (секанс), С08^ = - (косинус), X СО^(р — = ---------у 8Ш^ у ^ ^ (котангенс), (косеканс). 5Ш 1Р Если Г = 1, ТО 51П ^ = 2/, С 05 = X , где х и у — абсцисса и ордината точки Знаки значений тригонометрических функций зависят от к о о р д и н а т н о й четверти, в которой находятся аргумент 1р: М . четверть аргумент 81П91 С05у> Ч<Р ае,!р 1 0< (()< ^ + + + + II 1 <^<>г + - - - - - + + - + - - <^ < 3 III 7Г IV ^■к < !р < 1 т - )Г Аргумент тригонометрических функций — угол, измеряемый в фадусах или радианах. Далее везде, если не оговорено противное, углы измеряются в радианах, при этом аргумент считается числом, не имеющим размерности. 6.5.2. Свойства тригонометрических функций Синус: у = / {х ) = 81П ж. Область определения: -оо < х < +оо. Область из менения (множество значений): - |=гг/<1 . Ф ункц ия нечетная; нули: I * = ктг (к = О, ±1, ± 2 ,...); периодическая с периодом Т = 2тг; точки экстремума: I* = тг/2 + кж\ точки перегиба: г* = ктг \ участки монотонности; возрастает при -тг/2 + 2кт! < X < тг/2 + 2ктг, убывает при ж/2 + 2кж < х < Зтг/2 + 2кп {к = О, ±1, ± 2 ,...). График приведен на рис. 6.22. Косинус: г/= / ( 1 ) = со51 (рис. 6.23). Область определения: - о о < 1 <+оо. Множество значений: -1 ^ у ^ I. Функц ия четная; нули: тг/2 + кж (к = О, ±1, ± 2 ,...); периодическая с периодом Т = 2л-; точки экстремума: I * = Ля-; у ! \ тг 1 2 0 ‘ у 7Г -1 2 = 81ПХ 1 ^ --- 7 г\^ X точки перегиба: тг/2 + кж; участки монотонности: возрастает при -ж + 2к л < < 2кж, убывает при 2кж < х < ж + 2ктг (здесь А: = О, ±1, ± 2 , . . . ) . X Тангенс; у = } { х ) = (рис.6.24). Область определения; -оо < х < + о о , 7^ 7г/2 + кж (Л = О, ±1, ± 2 ,...). Область изменения: -оо < у < +оо. Ф у н к ция нечетная; нули I * = ктт являются также точками перегиба; периодиче ская: Г = Я-; участки монотонности; возрастает при -ж /2+ кж < х < ж12+кл', вертикальные асимптоты; х = ж12 -Ь кж. X Котангенс: у — / (х ) = с 1$х (р и с.6.25).Областьопределения; -оо<г<-Ноо, Область изменения: -оо < у < -Ьоо. Ф ункц ия нечетная; нули I * = ж 12 + к ж являются также точками перегиба; периодическая; Т = ж\ убывает при к ж < х < ж + к ж \ вертикальные асимптоты: х = к ж { к = О, ±1, ±, 2 ,.. .)• X ф кж . Секанс: у = / (х ) = 8ес х (рис. 6.26). Область определения: -оо < х < -Ьоо, X Ф ж 12 + кж. Область изменения; -оо < х < - I, I ^ х < -|-оо. Функция четная; не имеет нулей; периодическая, Т = 2тг; точки экстремума; мини мумы в точках 2кж, максимумы в точках ж + 2кж; участки монотонности (возрастания и убывания) отделены друг от друга соседними точками экс тремума (при этом X Ф ж12 кж)\ вертикальные асимптоты; х = тг/2 + кж ( * = 0, ± 1 ,± 2 ,...). Косеканс: 1/=/(х)=со5ес1 (рис. 6.27). Область определения; —оо<ж<+оо, X ^ к п (А; = О, ±1, ± 2 ,...). Область изменения: - о о < х ^ - 1 , 1 ^ х < +оо. Ф ункц ия нечетная; не имеет нулей; периодическая, Г = 2тг; точки экстрему ма: минимумы — в точках тг/2 + 2кп, максимумы — в точках 3/2тг + 2ктт; участки монотонности (возрастания и убывания) отделены друг от друга со седними точками экстремума (при этом х Ф к т ); вертикальные асимптоты: X = кп. 6 .5 .3 . Зн а че н и я тригонометрических функций при некоторых значениях аргумента Значение аргумента в радианах и фадусах будем обозначать через <р и ответственно. со При (р = О {(р = 0 °); 81п0 = О, СО8 0 = 1, 1§0 = О, с1§0 — не существует. При = ж/6 {(р = 30°); 81П (т/6 ) н 81П 30° = 1/2; со8(я-/6) = \/3/2 и 0,866025; (8(я-/6) = \/з/3 и 0,577350; с1в(5г/6) = ^/Ъ к 1,732051. При ^ = 7г/4 ( у = 45°): 8т(тг/4) = -\/2/2я» 0,707107; со5(я-/4) = У^/2и0,707107; 18( я-/4) = 1; с18(тг/4) = 1. При 1р = 1г1 Ъ (1р = 60°): 81п (7г/ 3 ) = \ / 2 / 2 а 0,8 6 6 0 2 5 ; со 5 (7 г/3 ) = 1 /2 ; 1§(7г/3) = ^ 3 и 1,732051; С18 (тг/З) = у ^ / З и 0 ,577350. При V? = >г/2 {<р = 90°): 51п (тг/2) = 1; со5 (тг/2) = 0; 1ё (я-/2) — не существует; с18(я-/2) = 0. Для нахождения значений редко применяемых функций аес и сояес ^ можно воспользоваться их выражениями через со8 ^ и 81п ^ (в случае деления на нуль соответствующая функция не определена). 6.5.4. Ф о р м ул ы приведения Если аргумент тригонометрической функции ^ > 2я-, то для нахождения значений функции надо учитывать ее периодичность. Формулы приведения позволяют сводить значения тригонометрических функций для значений аргумента во II, II I, IV четвертях к значениям функции от аргументов в I четверти (О < г < ’г/2). 1) 81П = С08 2) 81П = С08 3) >р, 8Ш (тг ± ^ ) = Т 8Ш С08 ~ = С08 + ^^ = С 0 8 (?Г ± ^>) = - 81П - 81П (р, С05 18 (л- ± V’) = ± 18 V, С1ё (я- ± ^ ) = ± С1в 4) 81П ^ - 7 Г ± (8 ^ 7 Г ± = — С05 С08 = Т с(8 5) 81П (2п ~ <р) = - 81П 18 (2тг - ^) = - (8 с 18 ^ - Л ' ± = 07Г ± ± 8 1П (р, = Т (8 у ; С08 (2тГ ~ <р) = С05 <р, с18 (2 тг - < р)=- с1й <р. 6-5.5. Соотнош ения м ежду тригонометрическими функциями одного аргумента 51П^ <р+ С08^ V = 1, Ш 1% 1р = ---- , 8Ш С08 С18^ = -Т С08 ^ 1 + с1§ ^ = . (8 ^ •С18 ^ = I , Ю 8 Ш (р 1 , §ес (р = 2 , I 1+18 <Р = 1 , С08 С С Т~~ €08*^ (р (р = 1 ±-/1 + 18^ <р ^Т~ = СО&1Р — ±, V А1 - 5Ш^ 1 ±\/1+18^^’ I 51ПМ 18^ = = 1 С1ё>р= ‘8 'Р = --- ‘= ± \ / 1 + с18^^ ±-^^1 -С08^Ш = — , ± ^/\-& \п^^р С 18»’ ±\/1 + с о & (р ±\/1 - 8Ш^ (р С08<р 5Ш(^ ± - / Г ^ С08'^ 1р - 18^ Здесь знак перед каждым радикалом определяется координатной четвер тью, в которой находится аргумент (угол) ^р. 6.5.6. Тригонометрические функции половинного аргум ента и кратных аргументов 1. Половинный аргумент ^/2 . . (р , ^ 1р 2 (р с18 Т 2 / 1 - ~ V ' + / 1+ = ±4 у 1 Ш /1 ^ V *~ ^ 81П ^ I <Р 1+ С05 ^ С05 - С05 Ш 81П (р С05 ^ + С08 Ш ^ + С05 ^ ’ 5Ш Ю I - СО&1р ' Здесь знак перед радикалом определяется четвертью, в которой находится аргумент (угол) 1р/ 2 . 2. Кратные аргументы т р ( п = 2; 3; 4). 51П 2<р = 2 51П 1р С 0 5 (р = 2(8^’ 1 +18 V С08 2^ = 008 2 V» - 81П 2 2 I ~ 18 У’ Ш = 1 - 2 51П 1р = ----- = -- , 1 + 18 («’ 218^ 1 - 18^ ^ ’ 2 С18 - 18 ’ С18^ (р - \ _ с18 V? - 18 ^ 2 С18 V’ 2 8Ш 3<Р = 3 81П у? - 4 8Ш^ у?, С08 3(р ~ 4 С05^ у? - 3 С08 <р, 1- 3(8 ^ 8Ш 4^ = 8 С05^ ^ С08 4^ = 8 81П 0 0 8 “' ^ - 3 с1ё^ >р - \ ^ - 4 0 0 8 <р81П ^р, 8 С08^ + \, - 4 1ё у - 4 1ёV С1ё‘' V - 6 с1§^ и + 1 1е4^ = --- 7 ^------2— > с184» = Ц ----------- . \ <р+ \%^ 1р 4 с18 ^ - 4 с1§ 9? 6.5.7. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов 81П ( а ± 0 ) = 8Ш а С 0 8 /9 ± С 08 а 81П Р , С0 8 ( а ± р ) = С0 8 а с о 8 ,9 =р 8ш а 1ё ( а ± р ) = с 1ё ( а ± р ) = 8 1п р , Щ а ± Х ^ Р 1 =р 18 а 18 ’ с18 а с18 /3 т 1 с18/9±с18а ' Здесь а и /9 — два аргумента (угла). 6.5.8. I. Суммы, разности и произведения тригонометрических функций Суммы и разности функций. ■ а ^ ■ 01+ Р • ^ ^ 8Ш а + 8Ш /3 = 2 81П ---- 8Ш а — 81П р = 2 8Ш -- а - 13 С 08 — - — , С08 а +р С 08 а + С 08 й = 2 С 08 ----- " + /5 , а - 13 С 08 2 ’ ^ . а + /3 . а - ( 008 а - С08 й = -2 8Ш -81П 2 2 р 008 а + д 81П а = г 81П ( о + ^ ) = г 008 (»•= \/р^ + 5Ш^ = - , со8^ = - ; Р г г ’ - а - я могут иметь любой знак), сова + 81П а = \/2 5гп ^, сок а - 5Ш а = ■У2 сое ^, 51П (а ± в) Ц а ± 1ё Р = — ^--соя а соз р 81П (а ± Р ) 018 а ± с 1% Р = ± - ---- — 8 1П 2. а зш р П ро изве д ен ия ф ун кц ий . 81П а 81П /3 = ^ [со8 ( « - /8) - С08 (а + , 0 ) ] , С0 8 а со819 = ^ [со8 ( а - /9) + со8 ( а + /9)], 8 1П а со8 /9 = - [ 8 1 П { а - Р ) + 81п { а + ; 9 ) ] , , , а 180(8/3 = 1ёа + 18)в ----— — с(8 а + с18 уЗ 51П ( а + /3) 8 1П ( а - /9) = со8^ /3 - со8^ а , ( а + /9) 008 ( а - /9) = со8^ /3 - 51п^ а . 008 6 .5 .9 . Степени тригонометрических функций 8Ш^ у = - ( I - С08 2(р), 008^ ^ = - ( I + 008 2<р), 81П^ 1р = - ( 3 81П Ш - 81П З ш ), 4 008^ И = - ( 3 008 И + 008 З и ) , 4 5ш '' 1Р = ^ (0 0 5 4 ^ - 4 008 2<Р + 3 ), соз"* (р = ^(0О 5 4|^ + 4 008 2(р + 3). о 8 6.5.10 . О б р а тн ы е тригонометрические функции Функции, обратные к тригонометрическим функциям и называемые круговыми ф у н к ц и я м и (или а р к ф у н к ц и я м и , или о б р а т н ы м и т р и г о н о м е т р и ч е с к и м ф у н к ц и я м и ) , определяются как решения уравнений 81пг/ = х, со 5 у = х , (§ 1/ = 018 2/ = X при каждом заданном значении х (относительно переменной у): у = Агс81п X, у = Агосо8 X, у ~ Аго1в X, у = Лгсс18 X и носят названия арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс соответствен но. Таким образом, здесь находится значение аргумента тригонометрической функции у по заданному ее значению х, например, 81п(Агс5т1) = х. По скольку тригонометрические функции периодические, обратные к ним функ ции бесконечнозначны. Графики бесконечнозначных обратных функций по лучаются из графиков соответствующих тригонометрических функций зер кальным отображением относительно прямой у ^ х. Однозначные ветви многозначных аркфункций (главные значения) обо значаются соответственно агс81п х, агссок х, агс18 х, агсс1§ х (иногда использу ются обозначения 51п“ ' х , со8~‘ х , образом: х, с(е~' х ) и определяются следующим Функция Область определения Область изменения у = агс$1п X -1 ^ X ^ 1 -тг/2 ^ у ^ тг/2 -1 ^ X ^ 1 0< у^7Г у = агс1б X -00 < X < +00 - и 11 < у <)г/2 у = агсс1ё X -00 < X < -Ьоо 0<у <ж у = агссоз X Монотонность возрастает убывает возрастает убывает Графики однозначных главных ветвей аркфункций приведены на рис. 6.286.31. Р и с. 6 .3 0 У У = атсс1ех В частности, а г с з т 0,5 = — ^ 8 1 п — = 0,5^ ; агс1 8 ' ^ = у (^ ® ^ агссоя О= ^ '^ ) ’ 1= ^со8 ^ ^ ^С 18 ^ > = *) • Многозначные аркфункции связаны с однозначными соотношениями; А гС81П I = ( - 1 ) " аГС81П X + пп, А г с с о 5 X = ± агссо8 X + 2пж, Агс18 X = агс18 х + п т, Агсс1б X = агсс18 X + пж (п = О, ± 1, ± 2 ,...). Н е ко т о р ы е с о о т н о ш е н и я м е ж д у о б р а тн ы м и тр и го н о м е тр и ч е с к и м и ф ун кц и я м и . -агссо8 X = —, агс18 X - агсс18 ® “ у ’ а г с 8 1п I = а г с с о 8 х = а гс 1 8 - агс5ш ( - х ) = 2 X ________, V I - х^ агссо5ж = л- - агссоз (- ж ) = - - а г с з т х = агсс1§ . 2 V 1агс1ё X = - агс1§ (- х ) = - - агсс1ё х = агс5Ш . ., 2 л/1 + х2 7Г X агса^ х = 7Г - агсс1§ (- х ) = - - агс1§ х = агссоз - р = = , 2 аГС81П V 1+ X (ал/1 - 6^ + Ь \ / 1 - о^) при оЬ ^ О или а^ + 6^ ^ 1; гг - агс51п (а\/1 - агс51п о + агс51п Ь = + Ь \ Л - а^) 6>О и -тг - агс81п (а л / 1 - при а > О, + 6^ > 1; + 6\/1 - а^) при о < О, 6 < О и а^ + Ь^> и а+ 6 агс18 агс1ё а + агс18 Ь = тт + агс18 - п + агс1б 6.5.11. 1 - аЬ а+Ь 1 - аЬ а+ Ь 1 - аЬ при а6 < 1; при о > О, а Ь > I; при а < О, аЬ > 1. Тригонометрические уравнения Общие решения тригонометрических уравнений 1) 81п х = а, 2) со5Х = а (о — любое действительное число, |а| < I) ; 3) 1§1 = Ь, 4) с ! ^ ! = 6 (6 — любое действительное число) имеют соответственно вид: 1) X = ( - 1)" агс81п а + п я , 2) X = ± агссо5 а + 2 т г . 3) X = агс1ё Ь + П1г, 4) X = агсс(8 Ь + п л , где п = О, ± 1, ± 2 , . . . . Глава 7 И Н ТЕГРА Л ЬН О Е И С Ч И С Л Е Н И Е Ф УНКЦИЙ ОДНОЙ Н ЕРЕМ ЕН Н О Й 7.1. Первообразная и неопределенный интеграл 7.1.1. П ер во о б р азн а я функция Функция Р { х ) , дифференцируемая в некотором интервале (а ,Ь ), конечном или бесконечном, называется п е р в о о б р а з н о й ф у н к ц и е й (или просто п е р в о о б р а з н о й ) для функции / {х ) в этом интервале, если для каждого х из (а; Ь) выполняется Р '{ х ) — / (х ) или (1Р{х) — Р '( х ) Лх = } ( х ) <1х. Пример 1. 1) Если }(х ) = то первообразная Р (х ) = х’ в промежутке -ос < х < +оо, так как (х^У = Зх^ или Л(х^) = Лх. 2) Для /(х) = С08Х имеем Р {х ) = 81пж в промежутке (-оо; +оо), так как (8 | т )' = С05 X или Й(5|П х) = С08 * <1х. Если ^^1(x ) и Р 2(х ) — любые две первообразные для / (х ) в интервале (а; 6), то всюду в этом интервале Р 2(х ) = С , где С — некоторая постоянная. Две первообразные для одной и той же функции / (х ) могут различатся лишь на постоянную. Если Ф (х ) ~ одна из первообразных для / (х ) в (а; 6), то любая другая первообразная Р ( х ) для / (х ) в (а ,Ь ) имеет вид: Р ( х ) = Ф (х ) + С , где С — некоторая постоянная. График любой первообразной Р 2(х ) = Р 1{х ) + С может быть получен из графика какой-либо одной первообразной ^'|(х) посредством параллельного переноса фафика у = ^^1(x ) вдоль оси О у на величину М \М г = С (при любом значении х) вверх (если С > 0), или вниз (если С < 0) (рис. 7.1). Для любого х из (а; Ь) угловые коэффициенты касательных М\Т\ и М 2Т 2 к фафикам в точках М | и М 2 с одинаковой абсциссой х равны между собой. График любой из первообразных Р { х ) называют и н т е г р а л ь н о й л и н и е й функции / (х ). Через каждую точку проходит одна и только одна интегральная линия. 7.1.2. Неопределенный интеграл Н е о п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л от функции / ( х ) в интервале ( о ; Ь ) — это общее выражение для всех первообразных функции / (х ) в (а ;Ь ), содержащихся в соотношении Г ( х ) = Ф ( х ) + С , где Ф (х ) — одна из первообразных для /(х ), С — любая постоянная. Обозначение неопределенного интеграла: / /(х ) йх. Здесь знак ^ называется з н а к о м и н т е г р а л а , / (х ) йх — п о д ы н т е г р а л ь н ы м в ы р а ж е н и е м , / (х ) — п о д ы н т е г р а л ь н о й ф у н к ц и е й , х — п е р е м е н н о й и н т е г р и р о в а н и я . Таким образом, любая первообразная Р { х ) для / (х ) в (а; Ь) имеет вид: Р {х ) = У / (х ) ах = Ф (х ) + с, где Ф (х ) — одна из первообразных для / (х ) в (а; 6), С — любая постоянная. При этом / (х ) йх = Р '{ х ) йх = й Р (х ) = й Ф (х ). Для всякой функции / (х ), непрерывной в (а; Ь), существует первообраз ная и неопределенный интефал в (о; 6). Действие нахождения неопределенного интеграла от функции / (ж ), т.е. Нахождение неизвестной функции по ее производной / (х ), называется н н '^ е г р и р о в а н и е м функции / (х ). Интефирование и дифференцирование — вза имно обратные математические операции. Правильность интефирования Проверяется дифференцированием. Пример 2. В условиях примера 1 имеем: 1) У Зх^<1х = х^ + С . Проверка: (х ’ + С ) ' = З I^ 2) ^ С0 8 * = 51П1 + С. Проверка: (51П I + С ) '= 008 *. Пример 3. Для функции / (г ) = 1/х (х ф 0) имеем при I > О Г Лх I — = 1па: + С , ^ так как , 1 (1п* + С ) = - ; X X соответственно при х < О — = 1п ( - 1 ) + С. так как . [1п (-а:) + С]^ = — X X Объединяя оба эти результата, получим ^ ^ = \п\x^ + С (х^^О). 7.1.3. О сн овны е свойства неопределенного интеграла 1) й ^ / (х ) < 1х = /( или х)йх1 = / (х ). й Р (х ) = Р ( х ) + С . 3) ^ А } ( х ) Лх = А ^ } ( х ) Лх (А ф О — любое число). 4) У ^ 1 / (х )± г (х )|й х = ! }{х )Л х ± ! ^(х)д.х. 7.1.4. Таблица основных неопределенных интегралов 1) ! й Лх = С. 2) \ ах = х ! + 3) | х “ Лх = 4) ^+ С ! ^ =\п\х\+С 5) I 6) С. ^[ ( а ^ -1; если а < О, то х / 0). ( х #0 ) . е^(1х = е^ + С . ах = ~ + С (О < а 1п а I). 7) у 51П а; ЙХ = - С05 1 + с. 8) у С05Х ЙХ = 51П X + с . 9) 10 И ) [ - ^ = / "(1 + с 18’ х )Й 1 = -С18Х + С у 8Ш^ X у = /"(1 + 18^ х) (4х = ( 8 Х + с [ У С05^х У У 18ХЙХ= - 1п |со8х1 + с (х / 12) У с18Х Й1 = 1п |81П х| + С 13) у (х (х / П7Г, п = о, ± 1 ,...). ^ ^ + ПЯ-, п = О, ± 1 , . . . ) . 2 ^ +ПЯ-, п = о ,± 1 ,...). (х 7^ 2пл-, п = О, ± 1 ,...). !8Н ж йх = сЬ з: + С . 14) У < сЬ I <^х = 5Ь I + С . 15) У И1ХЙ Х = 1п с Ь х + С . 16) У с1Ьх йх = 1п |5Н х| + С 17) [ У сЬ^х (х ^ 0). + '*) [ ~ = - с 1Ъ х + С •/ 81т' X *^) [ ~ ^ ■' уа^ - (х ^ О ). = агс51П — к С = - агссо5 - + С] а а (1x1 < а, а > 0). 2п\ У йх 1 X 1 X , ' / ^ --- 5- = - агс(8 - + С = - - агсс(8 - + С ] ( а ^ + х^ о а а а , 0), [ -^ 4 ^ = = = 1п (х + \ / х Ц ^ ) + С = АгкЬ - + С| ( а > 0 ) . У 23) = 1п |х + л/х^ - 0^1 + С = АгсЬ ^ + [ / _ 0^ - 1 = 1 2а а - а: о+X С| (|х| > а > 0). + С = - А п Ь - + С] а а (|х| < а, а > 0). 1 X + С = - Агс1Н — уС\ а а ( | х | > о > 0). Формулы 1)-24) проверяются дифференцированием: производные правых частей этих формул равны соответствующим подынтегральным функциям. П рим ечание. Если Р {х ) — первообразная для /(ж), то I /{ах + 6) йх = - Р (а х + Ь) + С, а что доказывается по правилу дифференцирования сложной функции. Благодаря этому свойству таблица неопределенных интегралов может быть расширена. Производная всякой элементарной функции является также элементар ной функцией. В отличие отдифференцирования, результат интегрирования некоторых функций не может быть выражен в элементарных функциях, на пример: ^ е / йх ^ с (к {х ^ )( 1х, , , ^ ! 5 т (х ^ )й х , Г СО&Х , , , ^ у _ ,х ( х ^ 0 ) , 1 Г 81П X — ах. функции, представляемые этими интефалами, хотя и существуют, но не яв ляются элементарными. 7.1.5. 1. О сновны е методы интегрирования М е т о д р а з л о ж е н и я . Если / ( х ) = / | ( х ) + Д ( х ) -Ь . . . -Ь / „ ( х ) , то ^ }(х )а х = ! /,(х)<гх + ^ /з(х) йх + . . . + у и (х )й х . Пример 4. = + С ,+ 2*'/' + С 2 = +2 ^ +с (С = С, + Сг). Прим ечание. Обычно в промежуточных вычислениях не пишут произвольные посто янные для каждого интефала. 2. М е т о д п о д с т а н о в к и ( м е т о д з а м е н ы п е р е м е н н о й и н т е г р и р о в а н и я ) заключа ется в том, что вместо переменной интегрирования х в неопределенном ин теграле / / (х ) Лх вводится другая (вспомогательная) переменная I, связанная с х соотноше нием (подстановкой) I = <р(х), /р(х) ~ функция, имеющая непрерывНУ*® производную в некотором промежутке изменения х. Обычно п о д б и р а е т е * ' такая функция I = ‘р (х ), что справедливо равенство } ( х ) = §\>р(х)\1р '(х ), где ^\1р {х)] — сложная функция от х, причем неопределенный интефал /' «{<) М = С{1) + С находится проще, чем исходный. Тогда / ( х ) а х ^ о [ ф ) ] + с. /■ Правильность этой формулы проверяется дифференцированием обеих ее частей с использованием правила дифференцирования сложной функции: ^ С Ы х ) ] = С ' 1 ф ) ] ■у'(х ) и учетом равенства 0 '( 1) =«(<)■ В частности, для интеграла Кх) применяя подстановку I = / (х ), М = { '( х ) Лх, получим ^ = У у = 1п |<! + С = 1п |/(х)| + С ( } ( х ) ф 0). Если подынтефальная функция имеет вид / (а х + 6), то иногда интефал удается найти подстановкой I = ах + Ь. В ряде случаев может быть использована подстановка х = где ^'(0 имеет непрерывную производную в некотором промежутке изменения пере менной I, приводящая к следующей формуле интефирования ® правой части которой после интефирования следует вернуться к исходной ''временной интефирования I , используя функцию, обратную к I = ф( 1). Пример 5. / Г I ^ 51П 1хЛх — < подстановка: I = 2х; далее: Ш, — (2х)' йх = 2 <1х, Лх = ~ 8 1П < ■— ^ С05Й + С = {возвращаемся к исходной переменной ж, ис пользуя равенство ^ = 2 х } = - ^ со5 2х + С. Проверка: С05 2х + С = 81П 2 Х . 220 Глава 7. И нт егра льное и с ч и с л е н и е ф у н к ц и й о д н о й п е р е м е н н о й 2) I \/з5^</1 = |< = З а :- 2 ,(й = й (31-2 ) = 3<41, й1 = ^<й| = ^ = {< = С051, (Й = (С 08 1 )' /1х = - ^\П X Лх) = - ^ 3) / ^ = - ^ '-^101 = Г * (й = = ; Г Ч С = — -Ц -+ С. 4 4 со5^ X 4) = ^1п |21 + 3| + С. = 1п |« + л/«2_ з | + с = 1п |х^ + л/х'0-3| + С. / ,—..., (1х , = •{ Выделим в подкоренном выражении полный квадрат: •^-х^-2х+ \ -х^ - 2 х + \ = -(х^ + 2 х - 1) = -(1^ + 21+ 1 - 2 ) = - ( г + 1)^ + 2. Подстановка; Г <= I + и 7) ^ 8) ^ ^ = / у (И С05Х(1х = у/а^ - -- I 1+ 1 = ЗГС51П —= + С . у/2 ^ уП = у а} / (й + — Г 2 - х^ = - о ^5 1 п ^( = | со5^ ^ = -(1 I СОя2Ы< = у < + — 8|п2( + С = 2 — ^ со8^ + С. соз 21) = а} X ^ 1 - 5 1 п Ч | = — <Н а) ' = е '+ С = (1х = { х = о 5 1 п ^ ( а > 0 ) , (1х — асо& 1(1 1, г хЧ = - > = + с . ч/2 { I = & т х , <и = с о я х 4 х } = У е со5^ 1^ = ^ а соя I •асо51 (II = а} = аГС81П ---^ X а г с 8 1п - а 2 + — 2 81П (■ X ! • - \/1 а\ { 81п2( = 2 81П<С05 4 = 2 5|П(>< — 8ГпЧ + С = { I = аГС8|П - , 8Ш ( ЗГС81П - I = I ^ „ т + С = о’ — 2 а о \ а^ 2 3. Метод интегрирования по частям. Если функции и (х ) и г (х ) — непре рывно дифференцируемы в некотором интервале, то справедлива формула ^ и{x)V '(x) йх = и {х ) ■г (х ) - ^ у {х )и '(х ) Лх, или Пример 6. 1) у а : е * й г = ^ о б о з н а ч и м : и = 1 , — ^ Лх = = хе‘ - ^ ж 1п 1 й ж = 2) = у |и = е* й ж ; о т с ю д а с л е д у е т : = е " й х = ж е * - е * + С . П р о в е р к а : ( а : е * - е * + С ) ' = ж е*. = 1 п ж , й » = ж й х ; й « = ( 1 п а : ) '( г г = ^ . VГ Лх | = (1 п х )у -у у = йж , » = ^ х^ - , » = ^ й» = ^ хЛх = х^ = у 1 п ж - - + С . 3) У^ж8тжйх = | « = ж, й» = 81пжйа:; йи = йг, » = ^ — ^ 81пжЙ1 = - со8ж| = = -жсо8ж + У С08ХЙ1 = -жсо8а: + 8та: + С. 4) ^ 1пж Й 1 = | и = 1 п х , й» = йж; й и = ^ , « = ^ ^ йж = ж | = (1п ~ = х\пх - X + С . 5) У ж ^ с о 8 3 ж й ж = ^ = ' « = 1 ^ йи = со8 3 ж й ж ; й и = ( ж ^ )'й ж = 2 ж й ж , и с о з З ж - ^ й (3 ж ) = ^ 8 1 п З ж | = ^ ж ^ 8 1 п З ж - ^ 7 , гд е / = ^ = ^ со& Зx< ^ x = ж зш З ж й ж . Интсфал 7 вычислим также по частям: ^ ^ а: 8 1 П Зж йх = | и = х, (IV = З1 п Зж <1х; йи = <^ж, г = ^ 51П Зж йж = = у 8шЗж- ^ й(3ж) = - ^ С05 3ж| = -^ЖС08 3Ж + ^ 81пЗх+ С. Окончательно находим: / 1 2 Ж^С0 8 Зж йж = - ж ^ 51П Зж + - X С0 8 Ъх - ■/= У е*С08ЖЙЖ = 2 — 8 1 П ЗЖ + С . = е“ , йч = С08Ж Йж; йи = е'ЙЖ, I; = ^(1V = ^ со8жйж = = 81пж^ = е ‘' 81п ж - У 8шж е*йж = е*8т ж - / 1, где 7) = ^ е ’‘ ■5тxс^x. Вычислим 7| также по частям: ^^ = у = У е*" 8 1 П ж йж = | и = е * , й » = 8 1 п ж йж ; й и = е* йж , » = ^ 8Ш ж йж = - С0 8 ж | = - е ' С0 8 ж + У ЛV = е* со в ж йж = - е ' ’ со8 ж йж + ^ , где ^ ^ е* С0 8 хЛх — исходный интефал. Имеем систему двух уравнений для нахождения 7 и 7,: У = е* 81П X — 7|, ^^ = -е‘ со8 х + ^, решая которую, найдем ^ = 51ПI + е* С08 х), Проверка: 7' = е* со8 а:, /[ = 7.1.6. 3^ = ^(е* 81п х - е’ со8 х). 81п I . Интегрирование рациональных функций 1. Отношение двух действительных полиномов Р ( х ) и <3(г), не имеющих общих множителей: где Р ( х ) = О тх’" + а „ . , х ” '~' + . . . + Оо, (? (г) = 6„ х " + 6„ _ 1х " '+ ... + 6о, называется р а ц и о н а л ь н о й ф у н к ц и е й ( д р о б н о - р а ц и о н а л ь н о й ф у н к ц и е й , или р а ц и о н а л ь н о й д р о б ь ю ) . Если степень Р { х ) меньше степени ^ ( г ) , то дробь называет ся п р а в и л ь н о й , в противном случае — н е н р а в н л ь н о й . Если дробь неправильная, то делением Р { х ) на ^ {x ) ее можно записать в виде д (х ) ''^ ^ Я ( х ) ’ где Ц^{х) — полином, называемый целой частью; Пример 7. х* + х^ - З х , ' ^ ^ — правильная дробь. Я (х ) Зх 1^+1 х^ + 1 ' Правильные дроби вида: Л* (г - с )‘ ’ М *х + N /1 (х ^ + р х + д )*' где к — натуральное число; с, р, д, А ^ ,М к ,И 11 — действительные числа; квад ратный полином х^ + рх + д не имеет действительных корней - 4д < 0), т. е. не раскладывается на действительные множители первой степени, назы ваются элементарными (простейшими) рациональными дробями. Для интефирования неправильной дроби следует; 1) представить ее в ввде суммы целой части и правильной дроби, 2) полином ^ (x ) разложить на множители вида х - с и + рх + д, где - 4д < 0: ^ {x ) = 6„(х - с ,)“ ' .. . ( г - Сг)“ '(х^ + р ,х + д ,/ ' ...(х ^ + р ,х + 3) правильную дробь - ' ^ разложить на сумму элементарных дробей, при Я (х ) этом каждому сомножителю (х - с )" в разложении ^ (х ) на множители соответствует сумма элементарных дробей ^ 1 X - с - ^ "Г , 2 I \ л “Г • • • " г (х - с У (х - с)“ ’ а каждому сомножителю (х^ + рх + д)^ — сумма элементарных дробей М ,х + К , ^ х^ + р х + д М 2X + N 2 ^ ^ (х^ + р х + дУ М р х + Ир (х^ + рх + д)^ При этом некоторые из коэффициентов .4^, М „ ,М а могут оказаться равны ми нулю. Для нахождения неизвестных коэффициентов разложения дроби на сумму элементарных дробей следует привести эти элементарные дроби к общему знаменателю ^ (х ) и сравнить затем коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях обеих частей равенства. В результате получается система уравнений для нахождения этих коэффициентов. В этом и состоит метод неопределенных коэффициентов разложения рациональной дроби на элементарные. Пример 8. Разложить на сумму элементарных дробей правильную дробь Р (х ) ^ д {х ) X х ^ - х ^ + 2х + 2' Решение. Разложим ^ (x ) на множители: д (х ) = х ^ - х ^ - 2 х + 2 = { х - 1 ) ' ( 1 ^ + 2х + 2), причем полином х^ + 2х + 2 не имеет действительных корней {р^ - 4д = -4 < 0). Разложение на сумму элементарных дробей запишем в виде Р {х ) _ д(х) А, X А2 - I ^ (х - М |1 + N 1 ^ х^ + 2х + 2' Приводя к общему знаменателю (?(х ) дроби в правой части равенства, складывая их и приравнивая числители в обеих частях равенства, получим: Р ( х ) = Л ,(х - 1)(!^ + 2х + 2) + Аг(х‘ + 2х + 2} + (М ,х + ЛГ,)(х - 1)^ Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и правой частях, находим х в левой М , + М| = О (ж’), А 1 + А 2 - 2М, + N , = 0 (х^), 2А2+ М,-2N, = I (х), ,-2А, + 2А2 + Л ,=0 (1 °), Решая эту систему, получим А, = 1/25, А^ = 1/5, М| = -1/25, вательно, искомое разложение имеет вид X 1 1 х *- х '^ - 2 х + 2 ~ 25(1 - 1) Р (х ) ример 9х^-22х+11 х ^ ~ 6х^ + \\х - 6 ' = -8/25. Следо 1+ 8 5 (г - 1)^ “ 25(х^ + 2ж + 2)' 91^-221+11 {х - \){х —2}{х - 3) А В С х - 1 ~^х — 2 ^ х - 3 Аналогично примеру 8 получим 9х^ - 22г + 11 = х ЦА +В + С) + х (-5А - АВ - ЗС) + 6.1 + ЗВ + 2С. Имеем систему трех уравнений: 1) 9 = А + В + С, 2) 22 = 5Л + 4В + ЗС, 3) 11 = 6Л + ЗВ + 2С, решая которую, найдем А = -1, В = -3, С = 13. Следовательно, исходная дробь имеет разложение Р(х) _ ^ {x) I ^ 1-1 х-2 1-3' Интефирование правильной рациональной дроби сводится к интефированию элементарных дробей. 2. Интегрирование элементарных дробей. = А\п\х - с\ + С . А Лх (х - с)* (А - 1 )(! - с)*“ ' Интегралы вида I), 2) вычисляются подстановкой I = х - с. 3) Интефал вида /; М х+М ^ .2 , +рx + ^ .2 (Р - 4 д < 0 ) вычисляется посредством вьщеления полного квадрата; п2 / р и использованием подстановки I = х-\- В результате получим + рх + д = 1^+ а^, 2 где О =д - — >0, что позволяет свести исходный интеграл к двум табличным: Г Мх + М ^ М ^ 2 , 2ЛГ-М р / / (4х = — 1п {х + р х + д)-\--- . 8ГС18 I У х ^+ р х + д 2 У Iч, 4) 2х + р , \ ^ I + С. Интефал / (х^ + р х + ?)* р подстановкой I = х + - приводится к виду / 2 ^ 2ЛГ - М М 1+ Ь ( 1^ + а^)>= ’ р = д , Ь = -------- , интегрирование которого сводится к на4 2 хождению двух интегралов, из которых первый вычисляется подстановкой где а / ; (<2 + а^)* 2(/к - 1)(<2 + о^: а второй — по рекуррентной (т. е. возвратной) формуле: Следовательно, вычисление интеграла ^|^ сводится к вычислению интеграла Л -|. Повторяя вычисления (к - I) раз, приходим к интегралу (II — ^ / : 1^ + I = I - а г с 1в - а а ^ + С . Интеграл ^|, можно вычислить также тригонометрической подстановкой <= а (8 а. Пример 10. О с учетом примера 8 имеем: 2) Согласно примеру 9 имеем: 9х^ - 221 + 11 —6х^ 4- 11ж - 6 8 Справочник по 3. м нож ители. Н е ко то р ы е ч а с тн ы е сл уч а и р а зл о ж е н и я п о л и н о м о в на действител ьны е 1) = (х + а)(х^ - а х + а^) (р^ - 4д = -За^ < 0). 2) = ( х - о)(х^ + ах + а^) (р^ - 4д = -За^ < 0). 3) х^ + а ' = (х^ + а х \ П + а^)(x^ - ах\/2 + а^) 4) х'' - о"' = (х - а )(х + а)(х^ + а^). (р^- 4д < 0). (См. также формулы в 1.2.2.) 7.1.7. Интегрирование некоторых иррациональных выражений Выбором соответствующей подстановки интегралы от некоторых иррацио нальных выражений удается свести к интефалам от рациональных функций. Далее будем обозначать через № . . ) . § Ц рациональную функцию от аргументов и, V, где Р (и , г ), (? (« , V) — полиномы 1ух аргументов и, «, V, 1 например: Р (и , ю) = 2и^ + « 1;^ - 3®^ + и - V + 1. от двух 1. Интсфал вида 7 = У Д (х , У а х + Ь) Лх вычисляется подстановкой I = \/ах + Ь. При этом 1 йх = -п1" Пример I I . — ах + Ь, х = Г- Ь М . Получается интефал от рациональной функции: [ ] у/х+\ Лх= [ У \/х^ + I “ Лх = {1= \/х, х = <“ , Лх = аО Л1) = = {делим числитель дроби на знаменатель} = + 2. Интефал вида -4< + 8агс1вг + С, где ( = вычисляется при помощи подстановки _ ^ „/ а ж + 6 „_ а х +Ь ^сх + й ’ сх + с1 ’ _ (ай - Ьс)п1"~' ^ 01" - а ’ * { а - Ы ” )^ Следовательно, , ] а П ри«ер12. у - ^ — = = -Ь I — --- ^ З а т е м ^ {I — 1)(^ + 1) гласно 7.1.6. 3. Л (а < ^ - М п < " ' ) (а - с * ")2 . ,х = - ^ ,й х = ^ ^ | = интефал от рациональной функини вычисляется со- Интеграл вида Г \ У Ь \\^" / апт. ж + 6 * ’ \ с х + <г/ / аахт -А\ -Ь Ь\ у^ ’ \сг + й/ (1х, ’ ■■■ где й — рациональная функция от своих аргументов; а , /3,... — рациональ ные числа (простые дроби), при помощи подстановки сх + а ' в которой п — наименьший общий знаменатель дробей а , / 3 ,..., приводится к интегралу от рациональной функции. Пример 13. ^ = [ ^ . Здесь а = ^ , /8 = . Наименьший общий знаменатель ^ у/х V ^ 2 3 ^ = 6. Подстановкой 1^ = х, йх = Л получим интефал от рациональной функции 7=б | ^ ^ =б + = К б ' ” + 1^'” + ТЗ'” + ■••+ + +«+'" 1«- и) + с, где I = 4. Интеграл от дифференциального бинома 1“ (а + Ь х ")" Й1 , где т , п . р — рациональные числа; а / О, 6 ^ О, может быть приведен к ин тегралу от рациональной функции только в следующих трех случаях (теорема Чебышева): 1) Если р — целое число, то применяется подстановка х = I ' , где г — общий знаменатель дробей т и п . 2) Если ^ * — целое, то используется подстановка а + Ьх" = Г , где г — п знаменатель дроби р. 3) Если — Нр — целое, то применяется подстановка ах~" + 6 = Г , где п г — знаменатель дроби р. При п = 1 эти три случая равносильны, соответственно, следующим: 1) р — целое, 2) т — целое, 3) т + р — целое. Пример 14. У = [ - 7- ^ . Здесь т = 1, п = - , р = ^ Имеем второй случай и \+ \ ^ = 1^,х = ^ = Ъ 1(1^ - I) ' 5. ^ ‘ ^ 2 <1х = = 31 (1 " - 2< Ч 1)(й = = 3. г, 2 /3 <И. Счедовательно, - 24’ + 3« + С, где <= х /Г+ г^ з. Интефал вида Лх / : \/ах^ + Ьх + с находится вьшелением полного квадрата из квадратного полинома: { 1 Ь 9 .Ь х ^ с = а [х + 2 - x + ^ - I? ^ с\ ( + - ^ = а (^ . + - ^ • 6^ - 4ас 4а Ь Затем используется подстановка I = х + — . 2а 6. Интеф алы вида У Д (х , \/ах^ + Ь х + с) йх {а Ф 0) сводятся к интефалам от рациональных функций при помощи однойиз трех следующих подстановок Эйлера: I) Если о> О, то \ / + Ъх + с + х\/а = I, ах^ + Ьх + с = (I - х\/а)^' ~~ С ^ ^ : , V ах^ + Ьх + с = 1-Х\/а = 1 - - ----- -р '/а. Подстановка Ъ + Иу/а Ь + 21у/а применима в промежутке, где ах^ + 6х + с ^ 0. 2) Е сли а < О (а х ^ + Ь х + с > О, с > ^ 0 ), то ^ 2^с1-Ь \/ах^ + Ь х + с = х 1 + \/с, I = -------- . а - 1^ прим еняется подстановка 3) Если уравнение ох^ + Ьх + с = О при любом знаке о имеет два разных корня X I, Х 2 (нумерация корней несущественна), то применяется под становка \/ох^ + Ьх + с а {х - х-Л 1 = --------------= 4/--------- , X - х\ у Х-Х| ’ Г х = Х|<^ - ахг <2 - а Лх Пример 15. ^ = / ---- --------- У х+^ ^ Т х Т )_ _ _ _ Применяем первую подстановку у/х^ + х + ) + х = 1, + х + \=(1-х)^ = 1^-11х + х^, - 1 1^ + 1 +\ X = ------------, Лх = 2 - ----------- ^ (И. Исходный интеграл сводится к интефалу от рацио1+21 ( 1+ 2 * )-' нальной функции: 7.1.8. И нтегрирование тригонометрических, покозательных и гиперболических функций 1. Для нахождения интегралов \) ! хЛх, 2 ) У с о 5 ^ " + 'х й х , где п — натуральное число, применяют соответственно подстановки: 1) Пример 16. У^51П^ I йж = ^ 2) I —5ШХ. < = С05Х, X ■з т х Лх = - со$^ х ) % т х Л х = { I = с т х , ^ = (сова:)' йх = - % т х Л х ) = - ^ ( \ - 1^) (11 = - 1 + ^ — + С = - со&'х + - соз’ 1 + С. 2. Для нахождения интегралов 1) У 5 1 п ^ " х й х , 2 ) у " со & ^ "хЛ х Подынтегральные функции вначале преобразуются при помощи применения (возможно, повторного) формул 5Ш^ X = ^ (1 - Пример 17. ^ ! л п x ^ x = ^ С 05 2 х ), С05^ X = ^ (1 — со52*) ^ (1 + С 05 Лх = ^ ^ 2 х ). — 2со&2х + со$^ 2х) <1х = С08™ X • 8 1 п " X й х /■ хотя бы одно из чисел т и п — нечетное, то применяется подстановка <= 5Ш X (при т — нечетном) или I = со8 х (при п — нечетном). Пример 18. ! X ■ X Лх = ^ = {< = 81П * , 008^ а: • 8Ш^ I ■С08 г й х = <и = САХХ Л х } = = У ( 1 - 1^)1^ й« = у - Если оба числа т и п 8Ш^ X = ^ (1 - С 05 2 х ) , х ) $ т ^ X ■с о ^ х Л х = у+ С = ^ 8 1 п’ г - ^ х + С. — четные, то применяются формулы С08^ X = ^ { 1 + С 08 2 х ) , 8 1 П Х ■С 0 8 Х = ^ 5ш 2 х . Пример 19. ^ 81п’ X ■С(Х х(1х = ! = (81П X ^у ■ ■С08 х)^ С05^ 8 1 П^ 2г у (1 - йж + 008 X ^у Лх = ^ ^ 8 1 П^ 2х 4г) ЙХ + ^ у 81П^ 2х •(1 + С08 2х) Лх = ■0 0 8 2х Лх = 8 1 П^ 2х Й( 8 1 П 2х) = = 4 :1 81П 4 1 + 4 : 81п’ 2х + С . 16 64 48 4. Интегралы вида У 81П т х ■С08 п х йх, ^ 81п т х ■81п п х Лх, ^ со8 т х ■со8 п х д,х вычисляются при помощи формул, приведенных в 6.5.8,2. Пример 20. У 8 1 П З х ■0 0 8 2ж ЙЖ = ^ У [8 1 П ( З х - 2 х ) + 8 1 П ( З х + 2 х )] ЙХ = = ^ у [8 1 П X + 51П 5 х ] Й Х = - ^ 0 0 8 X - 5. Интефалы — 0 0 8 5Х + С . где натуральное число п > 1, вычисляется путем ваделения множителя 18^ х или с(8^ X. ПриАюр 21. / ) . /'2 , 18 х Л х = I 18 ж •181 ^ / У ® С05^ * . /" ■“ <^0®^* Чх<1х = I г 1%хс1х = ^ С08^ X = / 18 ® ЛНв х) - I -- — Лх = {5Ш I ^ ] = -й(со5 г ) } = сов X = ^ 18^ I + 1п |со5 х\ + С. 6. Интегралы, подынтегральные функции которых содержат выражения: 1) а ^ - x ^ у / - х ^ \ 2) х^ + а }, у/х^ + а?\ 3) х^-а^, V х ^ - а^, врядеслучаев удается вычислить при помощи подстановок: I) г = а ■5Ш< или х = а -со5<; а а 2) X = о •1ё< или I = а •с18<; 3) I = 81П I или х = С05 I П рим ер 22. 1) ^ -\/а^ -х ^ Лх = {ж = осо5< (О ^ = -а у Г \ / - ( I - С 0 8 2^) У 2' ' < ж), Лх = - а $ т 1 Л 1 } = = -------------- 2 — > = со&^ I ) \/Ь I СО&1 (И = ^ С 5 \п 1 + X \ а = = + С. ^ | = - — агссок — |- —у ^ I = агс1в х ; 81П (агс1в х ) = . , > = л/ТТх^ ^ + С. 3) = = {- = ^ ( « = ,8^} = / .8^ <^* = / — <<= агссоз — = агсш \/х^ — 1 V = I ^ 8 т 2< + С = < < = агссоз —, 81п 2^ = 2 8Ш< х 4 X С08 ^ = 2 со8< - V I - со8^ < = 2 —у 1 = Г X ; = .8«-* + С = — I — агссо5— К С. X 7. П усть Л (и , I») — рациональная ф ункц ия. Тогда ин теф ал о т ф ункции «(51П X, С05 х ) сводится К интеф алу от рациональной ф ункции (рационализиру^ я ) у н и в е р с а л ь н о й т р и г о н о м е т р и ч е с к о й п о д с т а н о в к о й I = 1${х/2) (-тг < х < тг) в силу равенств: X X X 2 ^ 81П X = 2 81П - С05 — = 2 1§ — С08 — = ^ —р , 2X 1-1^ со8а; = 2со8 т - 1 = -^— п . 2 1 “Ь * 2Л1 ах = -— 1 "1“ ь х = 2 гис1% 1 , Следовательно, / «( й Пример 23. [ = <11. ’т ^ ) |е = 1 8 ^ } = [ (Й = 4+ С = 18^ + С. У 1 + С 0 8 1 1 . 2 } ^ 2 Частные случаи рационализации интеграла от функции Л (а п х , С0 8 х) 1) Если Д ( з т г , со5х) нечетна относительно 8ш х, т, е. К {- 8Ш X , С 08 х) = - Л ( 8 т I , С 08 х), то применяется подстановка I = со8 х , 2) Если Й(з1п X , С 08х) нечетна относительно со8 х , т. е. Д (8 1 П X , — С 08 х) = - Д ( 8 Ш X , С 08 х), то используется подстановка ( = 8шх. 3) Если Д (- 81П X , - С05 х) = Д ( з т X , С 08 х), то применяется подстановка I = Щ х (или I = с18®)Пример 24. Г Лх 1) 81П а; У = У Гятх Л х I 5Ш^ X .,1 \+1 = - 2 'п Г 8т^ X С = { ( = 0 0 5 1 , (Й = - 8 1 П Ж Й * } = - / -— - = _ 1 1 - С08 X + С = - 1п ------2 Г 81П^ IС05 X I + С05 X Г 1^ Л1 Исходный интеграл рационализировался. / 81П X С08 X ^ = 1+<2 ^ X + СОЗ** X 51П^ г 81П X = 1 — С05 X = = ^ агс1е и + С = ^ ] агс1е (18'' х) \ + 1^ + С. 2у , С08 X = 1 + (^’ - ,= а ^ = и } = с. 8. Если Р { х ) — полином степени п, то: Р (х )- С05 01 <1Х = 1) Р "(х ) Р<*\х) + с. 2) У Р ( х ) м51П ах Лх = -51П ах 3) I Р (г )е " Р (х ) Р '{ х ) - Р '( х ) , Р " '{ х ) р(^>(х) ■+ а ‘а , , + с. + с. 9. Если Р ( х ) — полином степени п, то следующие интегралы находятся (много1фатным) интегрированием по частям: Р (х )е “ ’ ах. 1) I 2) У Р ( х ) 8Ш (Ьх + с) йх. 3) ^ Р (х )с о 8 {Ь х + с )й х . “*) ^ Р (х )е °^ а п (Ьх + с) Лх. 5) У Р (х )е "^ со&(Ьх + с) йх. В частности, 1) У X V " (1х = - х " е “ - - У х "- 'е “ йх. х " 8 т Ь х йх = - ^ соя Ьх + ^ ^ х " 'со & Ь х й х . /■ п ^ х^зтЬ ! ^ X со5 Ьх йх = --- ^ ч хе“ * 51П 6х (<х = 0^+62 п Ь ] (а 81 П Г ^ , апЬхЛх. Ьх - Ь С05 Ьх) [(а ^ - 6^) 8ГП Ьх - 2аЬ со8 Ь х ] . 08Ьх Лх = х е “* С Х^ах —;-- -т (о С 05 Ьж + Ь 81П Ьх) (а 2 [(а^ - Ь^) С08 Ьх + 2аЬ ятп Ьх ]. С е“^ 81П Ьх Лх = --- г (а 81п Ьх - Ь со8 Ь х ). а^ + Ь^ ' е“ е “^ С08Ьх йх = ^ (а С086х + 6 81П Ь х ). 10. Если Н (и ,у ) — рациональная функция, то интефалы вида Я(5Н X, сЬ х) йх могут быть вычислены, если гиперболические функции выразить через пока зательные. Пример 25. Г (1х Г Лх Г ^ / ------ = 2 / ----------г = <( = е , У сЬ I + I У е* + е"* + 2 , /■ * , ] 1(1 + 1- ' + 1 ) ~ ] X (й 1 = \п1, Лх = — > = * (1 + \ У ~ 7.2. Определенный интеграл 7 .2.1. С войства и геометрический смысл определенного интеграла 1. I } 2 „ 1+ \* 2 е' + Л „ Определение Пусть функция у = { ( х ) определена и ограничена на (конечном) отрезке |а;6 |, а < Ь. Разобьем |а;6| на п промежутков произвольными точками Х{ (г - О, 1 , .. ., п) так, что а = хо < х, < Х 2 < ■■■< х „ = Ь (рис. 7.2). На каждом из частичных отрезков (г = О, 1 , . . . , п ) возьмем произвольную промежуточную точку (х,_| ^ ^ Х (), найдем значения функции /((г) и составим сумму, называемую интегральной суммой: П Л = ^/(С .)Д Х ( (Дх; = Х ( - Х , _ | ) . 1=1 Пусть при неофаниченном увеличении числа п отрезков разбиения наи большая из длин этих отрезков та х Дх^ стремится к нулю. Если при этом существует конечный предел ^ интефальных сумм 7 „, то функция / (х ) называется интегрируемой (по Риману) на отрезке |а; 6), а предел ^ = Ит т а х Даг<-»0 ^ (7.1) ' называется определенным интегралом (по Риману) от функции / ( г ) по отрезку (а; 6] и обозначается 6 ^ = ^ / {х )с 1х. Согласно этому определению интеграла для любого числа е > О суще ствует число д{е) такое, что при любом разбиении отрезка [о; Ь] на частичные ‘*4>езки с длинами т а х Д х ; < (5, и независимо от выбора промежуточных ’^чек выполняется неравенство 5 ] ; т ) А х , - ^ < е. 1=1 В выражении определенного интефала функция / (х ) называется подын''^Фальной функцией, х — переменной интегрирования, числа а и 6 соот ветственно нижним и верхним пределами интегрирования. Значение интефала зависит от пределов а и Ь, функции / (х ) и не зависит от обозначения пере менной интефирования, например ь I П х ) ах = у т< и- Классы функций, интегрируемых (по Риману) на отрезке [а; 6|: 1) непрерывные на [о; й] функции, 2) функции, ограниченные на |о; Ь] и имеющие на [а; 6| конечное или счет ное множество точек разрыва, 3) офаниченные и монотонные на [о; 6] функции. Интефируемая на [а; Ь] функция интефируема и на любом отрезке, содержащемся в 1о;6]. Функция, неофаниченная на отрезке [о; 6], не инте фируема на этом отрезке. Офаниченность функции — необходимое условие ее интефируемости. 2. Геометрический смысл определенного интеграла Если / ( г ) ^ О на отрезке |а; Ь], а < 6, то определенный интефал ь /■ / (х ) ах численно равен площади 3 криволинейной трапеции — плоской фигуры, офаниченной линиями: 1) ось О х , 2) ф аф ик у = } { х ) , 3) прямые х = а и X = Ь (рис. 7.2). Интеф зльная сумма равна площади ступенчатой фигуры, состоящей из п прямоугольников. Площадь 1-го прямоугольника равна /(4 ;)Д х , . Если / (х ) принимает на [а; 6] разные знаки, то плошадь криволинейной трапеции равна 5 = 1 3. \т\ах. Свойства определенного интеграла Если нижеперечисленные интефалы существуют, то: 1) I / (х )й х = 0. а Ь Ь 2) У /(х)<1х = - У / (х )й х . ь с 3) ^ / (х ) а о = У / (х ) (1х-\- ^ а / (х ) б/х (а , 6, с — любые числа). с Ь Ь 4) 1 \ } ( х ) ± г ( ^ ) \ й х = I Ь / (х )(1 х ± ^ ф ) а х . а а Ь 5) У к / (х ) йх = к ^ а а Ь / (х ) йх (к — любое число), а 6) Из условия / (х ) ^ §{х) на [а; Ь\, а < Ь , следует ь у ь / (I) У ? ( х ) йг. а а 7) Из условия т ^ / (х ) < М на (а; Ь), о < Ь, следует ь т ( Ь - а ) ^ ^ / (х ) (1х < Л/(6 - о). 9 О 8 ) ^ /(х)<1х < У |/(х )1 (0 ^ 6). 9) Если функция / (х ) интегрируема на [а; 6], то при изменении ее значения в некоторой точке с отрезка |а; 6| значение интеграла 6 )й х У /{^)< не изменяется. Формулы среднего значения (теоремы о среднем значении) О Если функция / (х ) интегрируема на |а; Ь| и т ^ / (х ) ^ М , то существует Число 7 (тп ^ 7 < М ) такое, что ь а Называемое средним значением функции / (х ) на отрезке [а; Ь|. 2) Если / (х ) непрерывна на |а;6|, то найдется хотя бы одна точка ^ {а < ^ < Ь) такая, что / П х ) ( 1х = т { Ь - а ) . Здесь / = / { ( ) . Геометрический смысл формулы; существует хотя бы одна точка ( {а < ^ < Ь) такая, что площадь криволинейной трапеции а А Б Ъ (рис. 7.3) равна площади прямоугольника а А 'В 'Ь со сторонами Ь - а н /(^). 3) Пусть функции / (х ) и ё ( х ) интегрируемы на |о; 6| и т ^ / (х ) ^ М на (о; 6], а также ^(х) > О (или ^(х) ^ 0) на всем отрезке [а; 6]. Тогда суще ствует число ( т < < М ) такое, что о 1 о 1 {х )в (х ) ах = (I ^ я (х ) ах. в частности, если / (х ) непрерывна на [о; й], то существует хотя бы одно такое число ^ (а < ^ < Ь), что о о ^ Я х Ы х ) ах = } ( 0 ^ ^(х) ах. 4) Если фуикции / {х ) и §{х) ограничены и интефируемы на |а;6|, а, кроме того, ^(х) — монотонна на |а; 6|, то на |а; 6| существует такое число 6 что ь ( ь ^ / (х )я {х ) ах = §(а) У / ( х ) а х ^ ^ ( ь ) ^ / {х )а х . 7.2.2. О пределенный интеграл как функция верхнего и (или) нижнего предела интегрирования Если функция }(1 ) интегрируема на отрезке [а; 6], то для любого х (а ^ х ^ 6) функция интегрируема также на отрезке [а, х ], причем интеграл Л (7.2) Ф (х ) = ^ называемый интегралом с переменным верхним пределом, яаляется непрерыв ной на [а; 6] функцией верхнего предела х. Здесь переменная интегрирования обозначена Ь. Геометрический смысл: функция Ф (х ) численно равна пере менной (зависящей от х ) площади фигуры а А В 'х (рис. 7,4). Приращение Ф(1 -Ь Д х ) - Ф (х ) функции Ф (х ) равно приращению площади этой фигуры. Аналогично определяется интеграл с переменным нижним пределом. Если ин тегрируемая на [а; Ь] функция /(<) непрерывна в точке х (а ^ х ^ 6), то в этой точке существует производная от Ф (х ): X Ф '( х ) = И т Л х -> 0 Ф (х + Д х ) - Ф (х ) (1 Дх йх I (И = /(Х ). Следовательно, если / (х ) непрерывна на [о; 6], то для нее существует '’^рвообразная. При этом в качестве одной из первообразных можно взять Интеграл (7.2), т. с. неопределенный интеграл от функции / (х ), непрерывной 1“ ; &1, можно записать в виде X Р { х ) = Ф (х ) + С = ^ / (х ) йх = У /(«) М + С (а^х^Ь). (7.3) 240 Глава 7. Интегральное исчисление функций одной переменной Часто используется также запись X ^ } ( х ) ( 1х = У / ( г ) < 1 х + С. а 7.2.3. Ф о р м у л а Н ью тона—Л ей бн и ц а 1-й вывод формулы Записывая любую первообразную Р ( х ) для функции } ( х ) , непрерывной на [а; 6], в виде X р (х ) = I / {С )а 1 + С а И п о л а г а я с н а ч а л а х = а, п о л у ч и м / ) (^^ + С - С ; /(«)< полагая затем х = 6, найдем ь т ь = I / {1 )М + С = I а а / {х )а х + Р { а ) , где переменная интегрирования обозначена х. Из двух предыдущих равенств следует формула Ньютона—Лейбница О I / (х ) ах = Р {Ь ) - Р { а ) = Р ( х ) (7.4) Выражение в правой части (7.4) читается: * Р {х ) с двойной подстановкой от о до Ь». Пример 26. I) ^ Лх = |о д н а из первообразных; Р (х ) = у | = Р (х ) = Р(2) - / '(- О 2) ^ $ тх с1х = {Р (^ ) = -сов х ] = (-со & х ) о = - С08 я- + С08 о = 1 + 1 = 2. о 3) 1 е - Ч х = { Р ( х } = - е - П = - е -I 2-й вывод формулы Разобьем отрезок [о; Ь], на котором определена и непрерывна функция / ( х ) , на частичные отрезки произвольным образом точками а = Хо < Х| < ... < Хп = Ь. Пусть ^’(х) — какая-либо первообразная для / (х ), тогда, используя формулу конечных приращений (5.10), получим т = П “ )= п х п )- р {х о ) = [^ ’( х „ ) - Р '( х „ _ ,) ] + 1 [^ ^ (x „ - ) - Р ( Х п - 2 ) ] + • •. + 1 [^ ^ (® ) - ^ ’Ы ] = = ^ [Р(Х^) - Р-СХ;-,)] = ^ Р ' Ш Х . - X;-,) = ^ 1=1 1=1 1=1 Переходя в правой части предыдущего равенства к пределу, когда т а х Д х( О, Получим формулу (7.4). ^•2.4, З а м е н а переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле Замена переменной ^ и : 1) функция / (х ) непрерывна на отрезке [а; 6], 2) функция х = й(<) определена и непрерывна вместе со своей производной ^'{1) на отрезке [а , /3], "■Де а = § (а ), 6 = ^(/3), 3) сложная функция /(?(<)) определена и непрерывна " а |о , , ТО с п р а в е д л и в а ф о р м у л а о I Р }(х )й х = у /(«(<))«'(<) л . Пример 27. 1) У у / Л х = | х = §{1) = а 51п/, ${1) = асо$1; О — а 51П а , а = а51П :^ мем а ^ 0 , у 9 = - , т . е . 0 ^ / ^ - асо ^1 (И — ^ а} со&^1 (И=^ о ’Г = у аV 1 при- о \ У (I+ с о 5 2г)й< = у Н + - 5 Ш 2 М О = — . ® е = {х = 2) г (0 = е‘ , ^'(1) = е'; 1 = е“ , е = е'*, а = О, ;3 = 1} = 1 = г У ' 1М = - \ = -. 2 о 2 О 'Ь +5= / У ( х -1) ^^ ^ ^ = .(О ^ + I. .'(О = ■; I при X = О и X = 2 имеем соответственно а = -1 , /3 = 1} = = 1п (< + л/<"+4) 2. = 1п %/РТ4 1+ У 5 У 5 -Г Интегрирование по частям Если функции и {х ) и «(ж) имеют непрерывные производные на отрезке |а; Ь\, то ь ^ У а ( г ) » '(1 ) = |и(х )и (1 )| 6 - ^ V {x )и (x ) Их. Пример 28. >г/2 I) ^ X С08 X йа: = и »/2 = (х •81П х) О и = I, = V — С05 X ЙЖ, V = ^ ^/2 г — / 8Ш X </х = [х 51п X + С05 х\ у ' (IV = 81П х | = 2) ^ 1П 1 ЙХ = | « = 1па;, й» = »' I = {х \ п х ) Г = =31пЗ-2. ' хе^ <1х = {и = X, (IV = V (1х ~ е"" V = е^} = (хе^) о ' Г - I 4х = о = (х е^ - е^ )' 7.3. - ! I 3 = (*1пж-х) 3) = йх, » = ^ Лу = = 1. Несобственные интегралы Несобственные интегралы являются обобщением понятия обычного (собствен ного) определенного интеграла на случай бесконечного промежутка инте грирования и неофаниченной подынтегральной функции. Для определения интеграла при этом, кроме предельного перехода в интефальной сумме, тре буется еще один предельный переход. 7.3.1. Н есобственные интегралы первого рода Пусть функция / (х ) определена при х ^ а и (собственно) интефируема на любом конечном отрезке [а; 6). Если существует конечный предел О (7.5) 1т / / (х ) (1х, 11т ++00 ^ ^ он называется сходящимся несобственным интегралом первого рода от / (х ) нэ промежутке (а;-Ьоо). Обозначение: +00 [ у о / (х ) йх = И т / / (х ) йх. »-*+оо ^ (7.6) Если не существует конечный предел (7.5), то выражение (7.6) называется 1**сходя1Цимся несобственным интегралом первого рода. ''Ример 29. •^СЮ >) Ь [ е~’ Лх= Ит ^ [ е~ 'Л х = Ь-»+оо ^ И т (-е ' ) 6-»+оо о = Интегра! сходится, так как существует предел. П т (е° - е **) = 1. 6-»+оо + 00 2) Ь I С0$х(1х= Н т ^ / со$х<1х= Ь-*+оо ^ 0 П т (8 1 п6 -5 ш 0 )= х-*+оо 11т зшЬ. Ь-++оо О Интефал расходится, так как предел не существует. +00 / 6 <^x — = 11т X Г йх / — = Ь->+IX>^ 1 X 1 1 т (1 т ) »->+оо * 1 = 11т 1п6 = +оо. »->+оо I Интефал расходится, так как конечный предел не существует. Аналогично определяются следующие несобственные интефалы: О 1) I а +00 1 (х )й х , 2) I -0 0 /{х)< 1х = I -0 0 + (Х П х )Л х + I -0 0 }(х )й х а в предположении, что оба несобственных интеграла в правой части равенства сходятся. Сумма этих интегралов не зависит от выбора а. Пример 30. + 00 Г О 2Лх Г -0 0 Ответ; ^ = ,т и Г -0 0 } У ь, ^2 = +00 Их 2 ах /? -т 1:-.+ооУ 12+4 о ( = о ЬЛ к 1 ) = У- .И т СагсШ . >—>Л = 6;-.+оо^ 2 Ох ®2/ т ■ 2 + ^2 = 1г. Формула Ньютона—Лейбница для сходящегося несобственного интеграла (7.6) имеет вид +00 / ( г ) с1х = Р {+ о о ) - Р (а ), где Р {+ о о ) = 11т Р {Ь ). »-*+оо к несобственным интеф алам может быть применено интеф ирование по частям, а такж е замена переменной, при условии строгой м о н о т о н н о с т и функции X = « ( < ) ■ Геометрический смысл и нтеграл а Сходящийся несобственный интефал (7.6) представляет площадь заштрихо ванной бесконечной полосы под фафиком у = { ( х ) (рис. 7.5). Несобственный интеграл, свойства Если соответствующие интегралы существуют, то: +00 1) ! а / (х )( 1х ± ! а +00 2) у +00 +00 [}(х )± % (х )]Л х = ^ ^ (х)Л х. а +00 к / {х ) Лх = к ^ а } ( х ) Лх (к — любое число). о Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла Говорят, что несобственный интеграл (7.6) сходится абсолютно, если суще ствует (сходится) несобственный интеграл от |/(х)|: +00 / \{(х)\Лх. (7.7) Если же интефал (7.6) сходится, но интефал (7.7) расходится, то интефал {^•6) называется условно сходящимся. Если интефал (7.6) сходится абсолютно, он сходится и условно, обратное неверно. ^^ризнаки сходимости: *) Если / ( г ) ^ 0 , х (х )^ 0 и при а^х<-|-оо выполняется / ( х ) ^ г ( * ) , то +00 из сходимости а) У] = ^ г (х ) йх следует сходимость б) +00 ^ }{х )й х . а из расходимости б) следует расходимость а), и выполняется неравенство ^2 ^ +00 2) Если |/(х)| < « (х ) при X > о и у +00 а а ^(х) с1х сходится, то сходится абсолютно. 3) Если при о < а ^ X < +оо функция / (х ) удовлетворяет неравенству |/(ж)| ^ с/х’’, где р ,с — постоянные {р > 1), то интеграл +СХ 1 / (х ) ах сходится; если же / (х ) ^ с/х**, где р ^ 1 и с > О, то этот интеграл расходится. 4) Если при р > 1 существует конечный предел Н т 1-»+00 |/(х)|х'’ = С , то +00 интеграл ^ / (х ) с1х (а > 0) сходится; если же при р < 1 существует а положительный предел О > Ит Х-++00 / (х )х '’ = с > О, то этот интеграл (при 0) расходится. +00 Несобственный интефал / — (а > 0) расходится при р ^ I и сходится ^ хР а при р > I , при этом +00 / < 1х а ' ’’ хР р-\ а 5) Если ^(х) монотонно стремится к нулю при х -> +оо, а / (х ) имеет ограX +00 ниченную первообразную Ф (х ) = ^ /(*) <<4, то интефал ^ {(х )в (х )^ х а а сходится, в общем случае не абсолютно (т. е. условно). Пример 31. ИнтефШ! ^ — — Ах (а > 0) сходится при р > О, так как ^(х) = ^ ж монотонно при X + 0 0 , а первообразная ^ со&х Ах ограничена. В частности, при 1 р = 1 интеграл сходится условно, так как + 00 +00 /■ |С05 г ] а . +00 соз^ X Г 1+ /■ а 1 сов 21 а г ах Г со$2х , а а Причем первый интефал справа — расходящийся, а второй — сходящийся, так как, интегрируя по частям, получим: а 2а 81П I 2а “. ' ? 2а 1 7 $т1 где интеграл в последнем равенстве сходится по признаку 3). При р = 2 интеграл сходится абсолютно, так как + 00 +00 у ^ гл х ^ 1 а Главное значение интеграла Если интеграл ^ / (х ) < 1х = ^ / {х ) -0 0 I / (х ) йх -0 0 расходится, но существует предел о [ И т /( х ) 6-»+00 ^ -Ь й х = А, ТО ч и с л о А н а з ы в а ю т г л а в н ы м з н а ч е н и е м н е с о б с т в е н н о г о и н т е г р а л а в с м ы с л е К о ш и и о б о зн ачаю т: +00 V . р. ^ / (ж ) Лх = А . -0 0 +00 / ь хйх г= 1 + х^ Г Пт X Ах / ь-*+(х ^ -00 г = О, так как подынтегральная функция \ -\-х^ -Ь нечетна на |-Ь, &]• При этом сам несобственный интефал +00 / хЛх I + г = о Г хЛх / 7 +00 ; * 1+1^ Г / хйх т---- г 71+ расходится. 7.3.2. Н есобственные интегралы второго рода Пусть функция / (х ) определена на промежутке (о; Ь), ограничена на любом отрезке [а; б'], “ ^ < 6 (О < е < 6 - а ), но не офаничена в окрестно сти [6 - е; 6) точки Ь (т. е. Ц т |/(ж)| = оо). Такая точка Ь называется особой 1-*Ь-0 точкой (точкой разрыва) функции / (х ). Если при этом / ( г ) (собственно) ин тегрируема на каждом отрезке (а ;б '], заключенном в промежутке [о ;Ь ), то выражение И1Ш т I/ Ь -е [ } { х ) йх = И т I / (х ) (1х, (7.8) называется несобственным интегралом второго рода от /(ж ) по промежутку [о ;Ь ). Несобственный интеграл (7.8) обозначается так же, как и обычный (собственный) интеграл: 6 ь-е [ / (х ) Лх = Ц т [ } ( х ) Лх. ^ Е-*+о ^ а (7.9) а Если существует (или не существует) конечный предел (7.8), то несоб ственный интефал (7.9) называется сходящимся (или расходящимся). Пример 33. I) , Вычислим интсфал Лх Ц " _ ■Точка 1 = 1 — особая, так как подынте- ^ 0 фальная функция неофаниченно возрастает при х Ит [ I слева. Предел Ит (-2-/1 - х ) = 2 о существует, следовательно, 1те; интефал сходится, и / = 2. Г йх Интефал / --- ^ расходится, так как предел у (I —ж) 2) о Ит г-»+0 “^ У (1 - 1 )^ Т. Ш ( ^ ) е-<+0\| - г У - ' = . 1 . ( 1 - , ) =+00, г-.+о\е ^ „ е. не существует конечный предел. Если особой является точка х = а < Ь, то, по определению, ь ь ь [ / (х ) йх = ^ 11т о '- ю + О [ / (х ) йх = 1|т ^ г-» + о [ / (х ) йх. ^ В случае, когда а и Ь — две особые точки функции / (х ) , то, по опреде лению, где с — любая точка в интервале (о; 6). Предполагается, что оба несобственных интефала в правой части равенства сходятся. Если единственная особая точка Хо функции / (х ) лежит внутри |а; 6| (точки о и 6 — не особые), то, по определению, » 10 А 6 Ь [ {( х ) Л х = [ / (х )й х + [ / (х )й х = Ит [ / (х )й х + 11т [ }(х )Л х ^ ^ ^ I^->xо-о^ x;-^xо+о^ " о 1о О I; (х^ = х о - е ', Хо =хо + е"). (7.10) Предполагается, что оба несобственных интеграла в правой части (7.10) сходятся по отдельности. Определение (7.10) распространяется на случай любого конечного числа особых точек функции / (х ) внутри |о; Ь ], либо внутри промежутка [а; +оо). Главное значение интеграла Если интеграл (7.10) расходится, но существует предел ь Пт ^ / (х ) ^^x+ I ь / (х ) Лх = V. р. У / (х ) Лх, е-*+0 ™ он называется главным значением несобственного интеграла в смысле Коши (правая часть равенства является обозначением). 1^вометрический смысл интеграла Сходящийся несобственный интеграл (7.8) представляет площадь заштрихо ванной бесконечной полосы (рис. 7.6). I пример 34. Подынтегральная функция / (г ) = ^ интеграла ^ '^Инственную особую точку 1 = 0, так как / (х ) -> +оо при I “‘‘"снения сходимости интефала найдем предел { 1 1 —р +00 ^ (р > 0) О справ если р < I, если р > I. Если р = 1, то Г йх И т / е-*+0 У — = 11ГП 1п: X е-*+0 = - 11т 1пе = +оо, е-»+0 Следовательно, данный интеграл сходится при р < 1 и расходится при р ^ 1. Пример 35. В интеграле У^ -1 подынтегральная функция имеет единствен ную особую точку X = О внутри отрезка |- 1; 11 Имеем -е' = Пт 1 О Г Г 1 Лх Г Лх 1 [ Лх + Пт с'-+ + оу [ Лх = П т Зх'^’ + Пт е'-++0 Зх'^’ = 3 + 3 = 6. -I ^ -1 Интеграл сходится и У = 6. 3 I Пример 36. Несобственный интеграл ^ Г 6х V. р. / ---- - 1|т ^ X- 2 \ Г ---X —2 с1х Г расходится.Найдем его главное зна* йх / ------ 1- / ---У х —2 У х —2 2+с 2- € = Н т (1п \х - 2|) + П т (1п |х - 2|) = 1п 2. Признаки сходимости интегралов вида (7.9), подынтефальные ф ункции ко торых имеют единственную особую точку х = Ь\ I) Если в промежутке |о; 6) выполняются неравенства О ^ / (х ) С ^(х), ь то из сходимости интефала а) У] = ^ ^(х) йх следует сходимость а Ь Ь) Зг = ^ }{х )(1 х , и выполняется неравенство Уз ^ 7|. Из расхолиа мости интефала б) следует расходимость интеграла а). 1 2) Если / (х ) > О и ё(х ) > О на [а; Ь) и существует конечный предел И т 4 4 х^ Ь -О § ( х ) то интегралы а) и б) сходятся одновременно или расходятся одновремен но. В качестве функций ^(х) удобно применять функции §{х) = ^ (Р > 0 ). Аналогичные признаки сходимости могут быть сформулированы и для интегралов второго рода других видов. 7.3.3. Сведение несобственных интегралов второго рода к интегралам первого рода Если функция / (х ) непрерывна на промежутке |а; Ь) и Ь — особая точка 1>-е /(*), то, проводя в интеграле У / ( х ) а х замену переменной х ~ Ш I 1 та = - г , ---- < ( ^ , будем иметь Ь-а е Ь -с Мс I/(»-<■) При этом из сходимости одного из интегралов 6 |/ (х )й х , I 1 / (6 - о ) следует сходимость другого, а также равенство обоих интефалов. Интегралы второго рода (аналогично интефалам первого рода) можно *'нтегрировать по частям и при помощи замены переменной. ^•3.4, Некоторые несобственные интегралы 00 00 ’) У е ' “ <гх = ^ (о > 0 ). О у* о 2) У 'х е '‘*(/х = ^ (а > 0). о (/х = ^ (а > 0 ). 4) У о ^ 00 5) ^ (1х = ^ (а > 0). о 00 6) ^ е сок Ьх Ах = (® > 0)- о 00 , X (1х / = — . + I о 0 7Г 0 8) 12 'у о /* / е "^ 1 п х й 1 = - С = -0,577215665. о при о< 0. '»>/ О ОС и) ^ 00 51П(1^)ЙХ= -0 0 У СО&(х^)Лх= -0 0 00 ■ ) , . /• 8ш^ах ^ Г С08^аж . , 2 ) у - _ , х = у — <^х = ос. о о 00 00 ^ Г ^\ПХ ^ Г С05Х /7Г 7 .4 . 7.4.1. Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур I. Площадь 8 криволинейной трапеции а А В Ь (рис. 7.7), расположенной между осью О х и фафиком непрерывной функции у = / (х ) (/ ( х ) ^ О на отрезке а < х ^ 6), равна ь Если / (г ) < О на [о ;Ь ], то ь 3= ~^ а Если / (х ) принимает значения раз ных знаков на [а; 6|, то (1 х. При этом отрезок [а; Ь] разбивается на промежутки знакопостоянства / (х ). Фигуры более сложной формы разбивают на несколько криволинейных тра пеций. 2. Площадь 5 фигуры Л]^42^2Йь офаниченной фафиками у = / 1( 1), У = }г (х ), х = а , х = Ь ( а < Ь ) (рис. 7.8), равна О 8 = ! \1 г(х) - !^(х)\Лх. Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя пересекающи мися (в двух точках) графиками функций, вначале находят точки пересечения из уравнения / 1(1 ) = /г(х), имеющего корни Х | ,Х 2 (Х| < Хг), которые беРУгся в качестве пределов интегрирования: а = Х\, Ь = Хз. 2 Пример 37, Площадь эллипса ^ 2 ^ Ь у----Здесь у = ± - V . ® = 1 равна 5 = 2 - / V ~ а ] Лх ~ тгак -а Пример 38. Найти площадь фигуры, офаниченной фафиками функций у = х\ у= (рис. 7.9). Решение. Точки пересечения фафиков: х^ = у/х, х^ = х, х{х^ - 1) = 0; Х| = О, *2 = >. !/| = о, !/2 = ■■ Искомая площадь Р и с . 7 .1 о 3. Площадь 8 сектора О А В (рис. 7.10), офаниченного дугой непрерыв ной кривой А В , с уравнением в полярных координатах р = р((р) {а ^Р) и двумя лучами О А (^ = а ) и О Б ((р = 0 ), равна Р 4. П л о щ а д ь ф и гу р ы , о гр а н и ч е н н о й к р и в о й , з а д а н н о й п а р а м е т р и ч е с к и . Пусть X = ‘Р И ): у = Ш {О ^ Т ) - пара метрические уравнения кусочно глад кой замкнутой кривой С , обход кото рой при возрастании параметра I со вершается против часовой стрелки, пР** лом фигура, лежащая внутри кривой, остается слева (рис. 7.11). Тогда пло щадь 3 этой фигуры равна т т 8= 1 х { 1) у '( 1) (И = - I О т у { 1) х ( 1 ) О ^ / [*(0г/'(«) - х '{ 1)у ( 1)] М. О Пример 39. Площадь, офаниченная эллипсом х = асо&1, у = Ь$\п1 { 0 ^ 1 ^ 2тг), равна 2» 2я ^ ~ 2/ 1 + аЬ 81п’ 1)(И = — о (й = 1гаЬ. о См. также пример 37. 7.4.2. Вы чи слени е длин дуг плоских кривых Длина I дуги гладкой кривой А В (рис. 7.12), заданной непрерывно дифференцируемой функцией у = } ( х ) (а < х ^ Ь), равна 1. О ' = ! 2. \ / ^ + [ у' (х)\ ^Лх. Д лина дуги кривой, заданной параметрически х = (р{1). у = 1р(1) где (р{1),ф {Ь ) — непрерывно дифференцируемые функции, равна т Дифференциал (элемент) длины дуги: И = уД хЧИ ^. 3. Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением р = р { 1р) {а ^ (р ^ Р ) , где р(<р) — непрерывно дифференцируемая функция, находится по формуле Пример 40. I) Длина дуги окружности у = у/] - 5; О (О $ I $ 1) равна: о 2) = агс81п 1 = -. 2 В параметрической форме задано уравнение дуги окружности: х = сов1, у = 51п1 (О ^ < 1г/2). Длина дуги Ж/2. ^ 3) ^ \/81п^Т^Гсм^ (й = ^ (11 = 1 '/2 _ Т О ~ 2’ В полярных координатах уравнение дуги окружности: р = \ (О ^ ^ < 1г/2). Длина дуги 1/2 Г. -/2 [ = ^ с1(р = !р . о 7.4.3. Вычисление объем ов 1. Объем V тела (рис. 7.13), заключенного между плоскостями х = о и 1 = 6, для которого известна площадь 3 = ^ (х ) [а ^ I ^ 6| сечения его плоскостью, перпендикулярной оси О х в точке х, находится по формуле ь У = ! 8 (х )а х . 2. Объем V тела (рис. 7.13), полученного вращением вокруг оси О х кри волинейной трапеции а А В Ь (лежащей в плоскости Оху)', а ^ х ^ / (х ), где / (х ) — непрерывная функция, находится по формуле О = ^ / 1/ Ш Пример 41. Найти объем тела, полученного вращением эллипса вокруг оси Ох. Решение. У = ж ^ 7.4.4. (^1 - = ^жаЬ^. (^х - Вычисление площади поверхности вращ ения Площадь 5 поверхности, образованной вращением вокруг оси О х дуги А В графика функции у — / (х ) [о < I < 6], где / (х ) — непрерывно дифферен цируемая функция (рис. 7.13), определяется формулой ь 5 = 27г | |/(х)|у^1 + [/ '(х )Р й х , а ‘*ли, для параметрически заданной кривой х = ^ ((). У = ’Ф(^) |0 ^ т 5 = 2тгу ___________ + ^ Т ], Пример 42. Вычислить площадь 5 поверхности, образованной вращением дуги кри вой у = сЬ а: (О ^ а: ^ I) вокруг оси Ох. Решение. I I 5 = 2ж ^ сЬ X \ / Г + 1 ь ^ Лх = 2ж ^ сЬ^ хЛх = Г Ч /< (II (е'^ + 2 + е-"*)йх = х {1 Н = е , х = \г\Ь, ёх = — Глава 8 Ф У Н К Ц И И Н ЕС К О Л ЬК И Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х 8.1. Основные понятия. Предел функции. Непрерывность 8.1.1. О сновны е понятия Пусть задано множество Е = { { х , у ) } упорядоченных пар действительных чи сел. Упорядоченность означает, что указано, какое из двух чисел пары берется первым, а какое — вторым. При перестановке местами этих чисел получается, в общем случае, уже другой элемент множества Е . Если каждой паре чисел (х, у ) из заданного множества Е по определен ному правилу ставится в соответствие действительное число 2 , то говорят, что на множестве Е задана (действительная) функ1щя г = г(х , у ) (или г = / (х , у )) от двух переменных х и у. Переменные х , у называются независимыми пе ременными (или аргументами), г — зависимой переменной (или функцией). Буква / обозначает функциональную зависимость переменных х , у , г . По скольку каждой паре чисел (х ,у ) на плоскости О х у соответствует точка М (х, у) с координатами х ,у , то говорят также, что функция г = } ( х , у ) ^ а н а на множестве Е = { М } точек плоскости О х у, и пишут; 2 = г { М ) г = / ( М ) . Множество Е называется областью определения (областью ^*Д*ния, или областью существования) функции. Число г, соответствующее определенной паре чисел (х ,у ) , называется (частным) значением функции “ точке М { х , у ) . Множество 2 = { г } всех частных значений функции г = / (х , у) назымножеством значений функции (или областью ее изменения). Различают “Днозначные и многозначные функции. Любая заданная функция всегда счита йся однозначной, если не оговорено противное. Ф ункц ия может быть задана в явном виде: г = г(х , у ), так и в неявном виде: Р { х , у, г ) = 0. П>афиком функции г = /(х , у) в трехмерном пространстве О х уг назы^^тся множество точек М ( х , у , г ) с координатами х , у , г , где г = } ( х , у ) (обычно ф афик является некоторой поверхностью). Для построения фафика функции г = } ( х , у ) в точках М ( х , у ) множества Е на плоскости О х у прово дятся перпендикуляры^этой плоскости, на которых откладываются числовые значения функции М М = г = 1 (х ,у ) (рис. 8.1). Формулу 2 = } ( х , у ) назы вают уравнением поверхности. Линией уровня (или изолинией) функции г = } ( х , у ) называется линия на плоскости О х у с уравнением / (х , у ) = С , где С — некоторое число из об ласти изменения функции. Линия уровня является проекцией на плоскость Оху кривой пересечения графика г = / (х , у ) с плоскостью г = С , параллель ной плоскости О х у (рис. 8.2). Изменяя С , получим различные линии уровня. П р и м е р 1. 1) г = у/1 -х^ -у^. Область определения: х'^ + у^ ^ 1 — круг радиуса 1,сцеитром в начале координат. Множество значений функции: О < г < 1. Графиком функции является верхняя (г ^ 0) полусфера радиуса 1. Линии уровня — окружности = С ^ 1 на плоскости Оху. 2) Функция 2 = + у^ определена на всей плоскости Оху. Множество значений: [0; -(-с»). График: параболоид врашения. Линии уровня: окружности х^ + у^ = С ^ 0 . 3) г = 1п(а:у). Область определения: множество точек, для которых ху > 0. Мно жество значений: -оо < г < +оо. Линии уровня: гиперболы ху = е'^. Аналогично случаю двух переменных рассматриваются множества Е , состоящие из упорядоченных систем п чисел (х ,, Х2, . . . , х „), на которых задаются функции 2 = / ( х | , . .. , х „) = / ( М ) от п переменных Х 1, . . . , х „ или Отточек М { х \ , . . . , х „ ) п-мерного координатного (векторного) пространства представляющего собой множество всевозможных упорядоченных систем п чисел (Х |,. . , х „ ) или точек М с координатами 1 |, . - ,х „ . Множество Е = {М } ъ Е " котором задана функция г = / ( М ) , называется областью определения (задания) этой функции. Для функций более чем двух переменных наглядное представление в виде фафика, в общем случае, невозможно. Множество точек в пространстве Е " , координаты которых удовлетворяют уравнению / ( х ь . . . , х „ ) = С , где С — число, называется поверхностью уровня функции 2 = / (Х |, . . . . х „). Расстояние й ( М ', М " ) между двумя точками М ' ( х \ , . . . , х ’„ ) и М " ( х '[ , . . . , х 1 ) Пространства Е " определяется по формуле й (М ', М " ) = ^/{x\ - х ';у + (X ' - х'^у + . . . + (х'„ - х'')2 = Множество всех точек { М } в пространстве Е " , координаты Х 1 , . . . , Х „ 1<оторых удовлетворяют неравенству й(М , М о) ^ Л , где Л — некоторое число, Называется п-мерным шаром в точка Мо — центр шара. Если выполняется строгое неравенство й(М , М о) < Л , то множество { М } называется открытым п-мерным шаром. Множество точек, для которых й(М , М о) = й , называется п-мерной сферой. Множествоточек, определяемое неравенствами (е = 1,2,.. ,,п), называется п-мерным параллелепипедом с центром в точке М о(1? , . . . , х},). В случае строгих неравенств |г, - х?| < й, (г = 1, 2 , , п) имеем открытый параллелепипед. Окрестностью (е-окрестностью) точки М о (х ? ,. . . , 1° ) в Е " называется любой открытый шар й(М , Мо) < е с центром Мо. Прямоугольной окрестностью точки Мо называют любой открытый па раллелепипед с центром Мо. Точка М множества { М } называется его внутренней точкой, если суще ствует такая е-окрестность точки М , все точки которой принадлежат { М } . Точка М называется граничной точкой множества { М } , если в любой ее г-окрестности имеются точки как принадлежащие множеству { М } , так и не принадлежащие ему, при этом сама М может не принадлежать { М } . Множе ство в В " , все точки которого внутренние, называется открытым. Множество { М } , все фаничные точки которого принадлежат ему, называется замкнутым. Непрерывной кривой в Е " называется множество точек в Е ^ , координаты Х \ , . . . ,х „ которых являются непрерывными функциями параметра 1\ X, = ^ |(< ), .... х „ = <р„{1) (а 1^/3). График такой кривой в Е " состоит из одного сплошного куска без разрывов. Множество { М } в Е " называется связным, если любые две его точки М ' ( х \ , , х'„) и М " ( х " , , х'^) можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат { М } . В частности, связная поверхность в Б состоит из одного куска, возможно, с отверстиями. Открытое связное множество { М } называется областью. Границей обла сти называется множество всех ее ф аничных точек. Примеры областей: совокупность всех внутренних точек круга или квадрата на плоскости. Множество { М } , получающееся присоединением к области { М } всех ее ф а н и ч н ы х то чек, называется замкнутой областью. Область называется ограниченной, если все ее точки находятся внутри некоторого шара. В противном случае область называется неограниченной. 8.1.2. Предел функции нескольких переменных Пусть функция г = } { М ) определена на множестве Е = { М } в Е " и пусть М о (х °,. . . , х ° ) — точка Е ” такая, что она либо принадлежит множеству Е , либо не принадлежит, но в любой сколь угодно малой ее е-окрестности содержатся точки множества Е , отличные от Мо. О пр ед еление 1. Число А называется п р е д е л о м ф у н к ц и и 2 = / { М ) в точ ке Мо, если для любой сходящейся к точке Мо последовательности точек М ь М г , , М „ , . , принадлежащих Е и отличных от М о, после довательность соответствующих значений функции / ( М | ) , / ( М г ) , . . . , / ( М „ ) , ... сходится к А . Обозначение: Ит Н М ) = А М->Мо или Ит (1=1.2 / (х и ■■■, х „) = А. п) Определение 2. Число А называется пределом функции г = / ( М ) в точке Мо (или при М —» М о), если для любого числа г > О существует число 6 = (5 (е , М о) > О такое, что | / (М ) - А\ < е, если только М принадлежит .Б и О < (1{М, М о) < <5. Пусть область определения функции / ( М ) в Е " неофаничена. Число А называется пределом / ( М ) при М -> ос (обозначение: И т / ( М ) = А ), если Л /- К Х для любого е > о существует число Н такое, что для всех М из области опре деления функции, для которых (1(0. М ) > К | 0 = (0; 0 ; . . . ; 0 )|, выполняется неравенство | / (М ) - А\ < е. Действия над пределами функций нескольких переменных аналогичны таковым для функций одной переменной. Понятия бесконечно малых и бесконечно больщих функций нескольких переменных вводятся также ана логично. 8.1.3. Непрерывные функции нескольких переменных '•Функция г = / ( М ) , заданная на множестве Е = { М ] в Е " , называется н е " р е р ы в н о й в т о ч к е М о, принадлежащей Е , если предел этой функции в точке ^0 существует и равен ее значению в этой точке: И т / ( М ) = / (М о ) М— *Мо или 11п1 / ( М ) = / ( Ип1 М ) . М— ^Мо М та Следовательно, если / ( М ) непрерывна в Мо, то для любого е > О суще“^вует (5(е, Мо) > О такое, что для всех М из Е , удовлетворяющих условию Мо) < <5, справедливо неравенство | / (М ) - /(М о)| < е. Точки, в которых Функция не является непрерывной, называются ее т о ч к а м и р а з р ы в а . Функция Л Л ^ ) называется н е п р е р ы в н о й в д а н н о й о б л а с т и , если она непрерывна в любой точке. П о л н ы м п р и р а щ е н и е м Д г функции 2 = / ( М ) в точке Мо (при переходе точки М о ( х ь . . . , х “ ) к точке М (х | , ■■•, * п ), где Мо и М “ бласти определения функции) называется разность принадлежат Д г = / ( М ) - / ( М о ) = / ( х ? 4 - Д х , , . . . , х “ -Ь Д х „ ) - / ( х ? , . . . , х “ ) , Для непрерывности функции / ( М ) в точке Мо необходимо и достаточно, чтобы Ит Лг = Л/-*Мо Ит Ах,-10 0=1.2 Л г = 0. п) Равномерная непрерывность. Ф ун кц ия / ( М ) называется равномерно не прерывной в области { М } пространства В " , если для каждого е > О существует (5(е) > О, зависящее только от е, такое, что для любых точек М ' и М " из { М } выполняется неравенство 1 /(М ') - / ( М " ) | < е, как только М " ) < д. Частным приращением функции 2 = } ( х ^,. .. , 1 „ ) в точке М (х \ 1„), соответствующим приращению Д х( аргумента x^ (номер « задан) при фик сированных значениях остальных аргументов О ?^ «), называется разность = / (х ь 12 , . . . . -Ь А x ^ , x ^ ^ ^ , . . . , г „ ) - - / ( Х | , Х 2 , . . ■, x , . ^ , x ^ , x ^ ^ , и . . . , х „ ) {< = 1, 2 , . . . , п) . Предполагается, что значения функции берутся в точках, принадлежащих области ее определения. Непрерывность сложной функции. Пусть на некотором множестве В про странства Е'^ заданы функции х, = ^](<ь . .. , ( т ) , ■■■, х „ = ^п(<ь ..• .<т), ставящие в соответствие каждой точке множества В точку М ( х \ , . . . ,Хп) множества { М } в пространстве Е " . Пусть на множестве { М } задана функ ция г = } { х \ , , х „). Тогда функция г = Е ( Ь и . . . , и = } Ы Ь ...........< т). . . . . ........ 1 т ) ) , определенная на множестве О пространства Е " ' , называется сложной функщ|ей. Сложная функция Р непрерывна в точке если функции ............ и/ непрерывны в соответствующих точках. Пример 2. Пусть Х[ = е“ , Х 2 = е“ ” (-оо 0) Функция г = Р(1) = 1п г, Ч- 1п Х 2 = является сложной. Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность, произведение, а также отношение непрерывных ф унк ций (когда делитель не равен нулю) являются непрерывными функциями. 2) Если г = / ( М ) непрерывна в точке Мо и / (М о ) > О (или /(Л/о) < 0), то существует окрестность точки Мо такая, что для всех точек М из этой окрестности / ( М ) > О (или / ( М ) < 0). 3) Если / ( М ) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве { М } , то она офаничена на { М } . 4) Если } ( М ) непрерывна на офаниченном замкнутом множестве { М } , то она достигает на { М } своих наибольшего и наименьшего значений. 5) Если / ( М ) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве. 6) Если / ( М ) непрерывна в области { М } и в точках М ) и М г этой области принимает значения а, = / (М ] ) и 02 = / ( М 2) (о] < 02), то для каждого числа а (0 | < о < 02) найдется точка М , принадлежащая { М } и такая, что / ( М ) = а. 8.2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 8.2.1. Частные производные 1. Пусть функция / ( М ) определена в некоторой (открытой) окрестности фиксированной точки М { х \ , , х „) пространства Е " . Частной производной функции г = / ( М ) = /(Ж ] , . . . , х „ ) по аргументу х; в точке М называется предел (если он существует) отношения частного приращения этой функции к соответствующему приращению аргумента Аx^, когда Д Х( стре мится к нулю: / (x ,,...,x ^ - |,x ^ + А x ^ , x ^ . ^ , - / ( х ........ , х „ ) Дх.г п т Д х( = к т --------------------------------------------------------------------------------------- -- -----------------------------------------------------------------------------------------------■ Дх,- Обозначения частной производной: л ц -10 Д х, оx^ ах, = Л Д ^ ь- - - (8.1) Примечание. Частная производная (8.1) определена только для внутренних, но не для Ф^ничных точек области определения функции. Функция / ( М ) называется дифференцируемой по x^ в точке М , если су ществует ее конечная частная производная (8.1) в этой точке. Согласно определению, для нахождения частной производной функции А * 1, . . . , х „ ) по аргументу х, следует найти обыкновенную производную Функции одной переменной Х (: / ( х ? , х 5 , . . . , х ? _ „ х „ х ? + „ . . . , х “ ), '^читая все остальные аргументы х^ = х ° Ф г) постоянными величинами. "Пример 3. ') г = ^X^ + 2ху + (здесь I , = х , Х 2 = у), дг/дх = 6х + 2у (переменная у при ЭТОМ считается постоянной, т. е. ее производная по х равна 0), дг1ду = 2х -\-Зу (при этом X считается постоянной). 3) X да \ г = агс1б-, — = • ’ у ’ дх I + х^/у^ \ 4) г = 81п(г^ - Х у), ^ = { 2 х - у)сО$(х^ - Х у), ^ = -ЖС05(1^ - ху). дх ду у - у дг " х^ + у^ ' ду х х^ + у^' Примечание. При п > 1 из существования у функции ! ( М ) конечных частных про изводных по всем аргументам * ], Жг. ■■■. в данной точке М в общем случае не следует ее непрерывность в этой точке. 2. Геометрический смысл частной производной. Пусть г = / (х , у ) — функ ция двух переменных. Частная производная /^(хо.з/о) (если она существует) равна тангенсу угла наклона к оси О х касательной к сечению графика функ ции / (х , у ) плоскостью у = УйЪ точке с абсциссой Хо. Производная /„(хо, уо) равна тангенсу угла между осью О у и касательной к сечению графика функ ции 2 = / (х , у) плоскостью I = Хо в точке с ординатой уо3. Частные производные высших порядков. Пусть / ( М ) определена на не котором открытом множестве Е . Если } { М ) имеет частные производные д}/дх^ (г = 1,2, . . . , п ) во всех точках множества Е , то эти производные сами являются функциями от М ( Х | , ... ,х „ ) . Частные производные высших порядков функции х = / (Х | , . . . , х „) (если они существуют) определяются формулами а ^ !(м ) д х] а ^ / (м ) ~ дх^ V ах. ) д (д{(м)\ _ дх(дхк д Ч (М ) ^ 9х,9х^9х* / а У (М )\ ^ дх{ \ дх^дхк (М ) ) Число т = 1 ,2 ,... произведенных дифференцирований называют по рядком частной производной. Производные, начиная со второго порядка, называются смешанными, если дифференцирование проводится по аргумен там, из которых хотя бы два — разные, например, (г ф ] ) . Пример 4. Для функции г = е " (см. пример 3) имеем: г „ д^г. д (д г \ дудх~ д у \ д х ) д { д г\ , , „ д^г , ’ дхду^ = — ( — Л = ( 1 х + х^у)е^' дх\ду^ в общем случае значение смешанной производной зависит от после довательности вычисления промежуточных частных производных. Однако, в частности, а У (М о ) Э У (М о ) дх{дхк дх 1сдх{ в точке Мо, если функция г = } ( М ) = 1 {х \ ,. .. , х „ ) определена вместе со своими производными дx^ ’ дхк ’ дx^дxк ’ дхкдх{ в некоторой окрестности точки Мо и, кроме того, и непрерывны в точке Мо- Это утверждение распространяется на непрерывные смешанные производные любого порядка, отличающиеся друг от друга лишь последова тельностью дифференцирования. 8.2.2. Д иф ф еренциал функции 1- Функция 2 = / ( М ) = / ( Ж | , . . . , х „ ) называется (один раз) дифференци руемой в точке М ( х \ , . . . , х „ ) , содержащейся в области определения / ( М ) вместе с некоторой своей окрестностью, если для каждой точки М ] { х 1 -Ь Д Х ), ,х „ + Д х „) из этой окрестности полное приращение Д г функции в точке М может быть представлено в виде А г = Д / ( М ) = / '(М , } - / { М ) = А 1А х 1 + А 2А х 2 + . .. + А „А х п + о{р), (8.2) А 1, А 2, . . . , А „ — величины, не зависящие от Д х ь . . . , Д х п ; о{р) — бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с Р = ^ (Д Х | )2 - Ь ... + (Д Х „)2, о(/э)1 = 0. Линейная часть Й2 = й/ = Л |Д Х | + А г А х 2 + ... -Ь А „ А х „ '’Риращения называется (первым) дифференциалом или полным дифференци алом функции / ( М ) в точке М , при этом Д г = -Ь о(р). Если / ( М ) дифференцируема в точке М ( х х „ ), т е . выполняется равенство (8.2), в этой точке существуют все частные производные первого порядка и /гДЛГ) = А{ (г = I, 2 ,.. . , п ) [необходимое условие дифференцируемости]. Если / ( М ) имеет в некоторой точке М все непрерывные частные произ водные первого порядка, то она дифференцируема и имеет первый дифференЧиал в этой точке [достаточное условие дифференцируемости]. Если функция (один раз) дифференцируема в некоторой точке М , то она непрерывна в этой точке, так как И т Д г = 0. Одного только существования частных производ ных недостаточно для дифференцируемости и даже непрерывности функции. Ф ункц ия / ( М ) называется дифференцируемой на множестве { М } в Е " . если она дифференцируема в каждой точке М этого множества. 2. Геометрический смысл дифференциала. Пусть г = / (х , р) — функция, дифференцируемая в некоторой точке М^(хо,уо< 0) на плоскости О х у. Если перейти из точки Мо в точку М',(хо + А х , уо + А у , 0), то аппликата (коорди ната г ) касательной к графику г = / (х , у) плоскости в точке Мо(хо, уо, 2:0), где 2о = }(х о ,У о ), получит приращение, равное дифференциалу функции / (х , у) в точке Мо(хо, уо, 0): <г/(Мо) = й/(хо, Уо) = /х(хо, Уо)^х + /'(хо, 2/о)Аг/, и станет равной 2о + (^/(Мо). При этом приращение аппликаты графика г = / (х , у) равно полному приращению А г функции /(х , у) в точке Мо, так что 2, = / (М |') = / (М о ) + А г = 20 + А г . 3. Для независимых переменных Х], Х 2, ■■■, х „ вводят понятие (независи мых) дифференциалов < 1х{ и принимают Д х; = ЙХ( {г = 1,2, . . . , п ) , следо вательно, дифференциал функции равен д/ = а/ 5/ +- + где все частные производные берутся в точке М ( Х | , . .. , х „). Величина (</ зависит от X ] , . . . , 1„ и <^Х1, . . . , Л х „. При этом (1{йХ{) = О, т. е величины являются некоторыми числами, не зависящими от Х |,- - - ,х „. Если 2 = дх, то Й2 = (1х{ = -— Дх, = Дх^. дх, 8.2.3. П рави ло диф ф еренцирования сложной функции Пусть 2 = / ( Х | , . . . ,Х п ), где х, .,< „), I = 1, 2 п. Если все функ ции Х( = ^{(<1, . . . , 1т ) дифференцируемы в некоторой точке Ро(<?. ••••* т )’ а функция 2 = / ( х ] , . . . , х „ ) дифференцируема в соответствующей точке М о (х ? ,... , х °) , где X? = .,< „), то сложная функция г = ■Л т ) ® / ( ^ ] , ... , у „ ) дифференцируема в точке Ро. при этом ее частные производные в точке Ро равны: дг дР дг 9х, дг дх 2 дг дх„ ^ дг дx^ Здесь производные й г/вХ ; берутся в точке Мо, а производныедх,/в1{ — в точке Ро. Если функции зависят от одного аргумента то г = Р (1 ) — функ ция одного аргумента, при этом (12 _ дг Лх 1 М ~ дг дг Лх„ дх „ м ■ Пример 5.Производная сложной функции г = 1п(1|12), где (см. пример 2), равна ^ <й ^ 2, дх, 01 ^ дХ 2 (И Х ,Х 2 1 | = е“ , Х 2 = е "’‘ -3, _ 1 ,1 2 ^ ’ Теорема Эйлера об однородных функциях. Фун кц ия / ( Х [ , . . . , х „) называ ется однородной функцией степени а , если для каждого числа I выполняется равенство /(< Х|,. . . , 1х„) = <“ / ( ! ] , . . . , х „). Если функция / — однородная, степени о и дифференцируемая, то ^ а / ( х , ........ х „) 2 ^ яГ <=1 = “ / ( * ' ........ ^»)' Пример 6. Функция г = / ( г , , * 2 ) ^ х] + Х ,Х 2 - }( 1Х1, 1х-Л = 1^НХ\,Х 2). При этом - ^ ^ 1 1 + 0 *1 — однородная степени 2, так как ■ ^ ^ * 2 = 2/. 0 *2 Полная производная. Пусть в функции г = / (х , у\, ■■■ ,Уз) переменные У( (« = 1,2, . . . , я ) зависят от х. Производная от г по х с учетом этой мвисимости называется полной производной и равна йх ~ йх дх ду\ йх ду, йх ^•2.4. Д иф ф еренцирование неявной функции Пусть функция у от аргумента х задана неявно в виде функционального Уравнения Р (х , у ) = О, где функция Р (х , у ) непрерывна вместе со своими Частными производными первого и второго порядков в некоторой области Пространства . Если существует однозначная функция у = / ( х ) , определен ная в некотором интервале, в котором выполняется равенство Р (х , / (х )) = О и # ’;(х ,/ (х ))9 ^ о , то производные у и у" находятся по формулам = -Ту - 2р ;;,к к + 1^ ^ а Ш ■■Де в частных производных следует принять у = } ( х ) . В частности, для нахожЛЗДия у можно продифференцировать ^ '(х ,/ (х )) = 0 по х, т е. Р^ + Р у / '{х )= 0, и выразить затем у' = } '( х ) . Выражение для у " находится дифференцирова нием по X формулы для у' с учетом того, что ^ 1(2:, у), Р у{х , у ) — сложные функции от X. Пример 7. 1) Пусть Р{х , у) = - 4 = О (-2 < К ' Ц 2, О < у ^ 2), тогда у = л/4 - (х^ + у2-4)'^ у’ где I и у в правой части связаны соотношением у = У з , то у'(1) = и — 4 = 0. Если х = 1, Поскольку Р", = 2х, = 2у. Р ;’:, = 2, = О, Р'уу = 2, то имеем у" = -(х^ + у ‘')у~^ = -4у Отсюда, при г = I, у - \/3, // 4 находим у (I) = --- ■=. 3\/3 2) Р (х . у) = ж’ - е” = О (х > О, -00 < у < +оо). Здесь у = 3 1пх. Дифференцируя Зд.2 у) = О по X, находим Зх — е^у' = О, у' = — е' 3) Р {х . у) = агс18 “ “ \/х^ + у2 = О (х рг +» ' х^ + у ^ ’ ' = —. X О, у ^ 0). Находим: ,/ ^ х^ + у^’ + У X - у ■ 4) /'(х, у) = X —со5у = 0 (- 1 < х < 1 ,0 < у < л ^ ) . Здесь у = агссо5 х. Дифферен цируя Р (х , у) = О по X , получим 1 - Ь у 5 т у = 0, 8.2.5. , 1 1 у = - - — • = -81П у ^ 1 - С08^ у I VI - П роизводная по направлению . Градиент 1. Пусть функция и = / ( М ) = / ( х | , . . . , х „ ) определена в некоторой окрестности точки М о (ж ?,. . . , г “ ) в .Е ". Проведем через Мо некоторую ось, т. е. прямую, положительное направление которой задается единичным направляющим вектором I с координатами /, = со8а^ (| = I, 2 ,... , п). где а^ — углы между вектором I и положительными направлениями осей координат, а положение точки М на этой оси определяется величиной * направленного отрезка М д М . Предел ^ ^ = П т /(^1 + ^<1, ■■ ■. ~ (1з а-*0 + Д/п) - / (Х |. ■■■, Жп) 3 (если он существует) называется производной по направлению I от функции и = / ( М ) в точке Мо (для этой производной используется также обозначение Ли/(II). Если / ( М ) дифференцируема в точке Мо, то для нее существует произ водная по любому напраалению I и 2. аи й / (м „), , а / (М о ), ^ а / (М о ) (1 з дх1 дх„ ^ дx^ Вектор — а- где частные производные берутся в точке М ( х \ н а з ы в а е т с я градиен том функции и = / ( М ) в точке М . Производная от } ( М ) по направлению I равна проекции фадиента на это направление: аз = I ■§гаа / ( М ) = |§гаа / (М ) | ■со8 где ч> — угол между векторами I и вгай /. Модуль фадиента равен Градиент функции в точке М характеризует направление и величину наибольшего роста этой функции в данной точке, т. е. производная максимальна в направлении фадиента, когда ^ = О и со8^ = 1. Если вектор 1 {М ) является касательным к поверхности уровня и = /{х ........, х „ ) = С в точке М , лежащей на этой поверхности, то ^ ^ = г (М )- 8 г а а / (М ) = 0, аз т.е. фадиент перпендикулярен к поверхности уровня. Пример 8. Для функции / (г ), где г = + ... + х^, имеем: ^ О .... где г = (х |........ х „) — радиус-вектор точки М { Х [ , , !„)• Производная от / (г ) по любому направлению I равна ^ = '-/'{г)(х, 1, + ... + Если: I) / (г ) = г, то вгай / (г ) = г/г, 2) / (г ) = 1/г, то |{га<1 / (г ) = - г / г \ Примечание. В трехмерном пространстве 9/ В га а /(х ,у,.) й/ 3/ для функции и = / (* , у, г) имеем: дГ д/ ^ -д Г д{ где со8а ,со 8^,со$7 — направляющие косинусы вектора I. 3. Производная функции вдоль кривой. Пусть х, = (а ^ ^ /3) (I = 1, 2 , . . . , п ) — параметрические уравнения кривой Ь в пространстве Е " . Если функции ^р^ — непрерывно дифференцируемые, то производная от дифферен цируемой функции / ( Х | , . . . , 1„ ) , где x^ = вдоль кривой Ь определяется формулой <У <и (</[У|(<)........ Vп(^)\ ^ 9 } (1 хх м дх^й1 д / йх„ дх„ м ■ Величина (1}/И является также производной от функции / по направлению вектора касательной к кривой Ь . Если I = з — длина дуги кривой Ь , то (^X1 (1X 2 Ла ' йв ' ^Хп " ’ йз — направляющие косинусы единичного вектора г касательной и ЛНМ) аз 8.2.6. = г (М )- 8 г а а / (М ). И нвариантность формы первого дифференциала Любую функцию 2 = / ( Х ] , . . . , Х „ ) от независимых переменных Х],.--.^ п (т. е., не являющихся функциями от других переменных), определенную в некоторой области { М } пространства Е " , можно различными спосо бами записать в виде сложной функции г = з ( и ь . . . , где функции И; = ^ ;(Х |, •.., х „) определены в области { М } . Пусть функция } ( М ) = / ( Х | , . . . , Х „ ) имеет в точке М области { М } все непрерывные ч а с т н ы е производные первого порядка, тогда она диф^ренцируема и ее (первый) дифференциал равен дг ^ (1г = - — ЙХ| дх, дг ^ ^ + -— Лхп = > Зх„ " ^ дг ^ ---с1Х{. дх, Пусть функции 2 = </{«1, . . . , Ищ) И = 1р ] ( х \ , , х „) имеют все не прерывные частные производные первого порядка в соответствующих точка5< пространств Е ' ” и Е " , тогда, по правилу дифференцирования сложной функ ции, имеем Следовательно, форма первого дифференциала и н в а р и а н т н а , одинакова как для независимых, так и для зависимых переменных. С в о й с т в а д и ф ф е р е н ц и а л а . Из инвариантности формы первого диффе ренциала, в частности, следует, что если и ( х ] , . . . , х „ ) и у(х ^ ,. . . , х „ ) — дифференцируемые функции, то выполняются равенства: Л{с и) = с ( 1и (с — постоянная), й(и ± « ) = / и \ > ± V (1и - и (IV й ! - 1 = --------- й(и•V) = и<^V + V<1 и, ^ (и# 0). Например, если г = и •«, то, рассматривая 2 как функцию двух пере менных и, и, имеем Лг = ^ ди йи + ^ дг й г = V й и + и /IV, где и, и — функции от 1 ь . . . , х „ . Непосредственный вывод предьщущей формулы; . д{и •у) = й (и « ) = > ^ ------------- <1Х{ = дx^ ди > ^ V - — (^ x ^ + У дх, дь , , , и - — (1Х{ = V (1и + и (IV . дх. Предварительное вычисление полного дифференциала функции может Рачительно упростить нахождение ее частных производных. Пример 9. Для функции г = е**' имеем, обозначая ху = и, — (е“ )в (1и = е'* (1и — ® ^{ху) = е^^у(1х + е^^х(1у. Коэффициенты при йх и Ау равны частным произ““дным: г, = уе'", г!у = хе^'. Далее, й (4 ) = = у^е’ ” Лх + (1 + ху)е"' (1у. ^едовательно, г", = г", = (1 + ху)е^’>. ^'2.7. Д иф ф еренциалы высших порядков 1. Пусть X I , . . . , х „ — независимые переменные и функция г = / ( М ) = ^(®1, . . . , х „ ) имеет все непрерывные частные производные до порядка га включительно (т. е. т раз дифференцируема) в точке М ( Х [ , . ■■, х „ ) про'^анства Е " . Дифференциал (I’ г порядка з от функции 2 = / ( М ) опре деляется как (первый) дифференциал от дифференциала порядка (« - I), т. е. (« = 2 , 3 , . . . ) . При этом дифференциалы йг, й'’“ 'г,(4‘г берутся при одних и тех же заданных значениях независимых дифференци алов < 1 X 1, . . . , й х „, которые рассматриваются как постоянные, не зависящие от X I , •••. (т- е. (1{^x^) = 0). Таким образом, л = - ^ (Ё ^ - Ё Л .) - где все производные берутся в точке М . В силу равенства смешанных произ водных = г".^. второй дифференциал представляет собой квадратичную форму от величин Ах\, . . . , (1 х„: П П (1^ г (М ) = (1хг ах^ (а*^ = г " ^ Д М )). 1=1 ;=1 в частности, для функции г = } ( х , у ) имеем: дг = а {Ч г) = дг ^ + 2 ^ 4у + 0 ( й г , ) ^ Обычно пишут: (Лх)^ = Лх^, (Лу)^ = Лу^ и т.д. Аналогично вычисляется дифференциал г = (1(4^г ) и т.д. Д и ф ф е р е н циал « - Г О порядка может быть записан в виде символической формулы Согласно символической формуле, для функции г = / (х , у) имеем: д^г 2 , 2 йх -Ь 2 < 1х < 1у + с1у , ^дх^ дхду ' ду^ а \ = {^Лх ^ -г = 4 " + 3 4 "„ ЙХ^ Лу + Примечание. Выражение ( <^х ~ ( 1 у \ ох оу / Ньютона (о + к)’ . <^2; Лу^ + г "' <^У' может быть найдено по формуле бинома ^ г. Дифференциалы высших поряоков от функций зависимых аргументов. Пусть функция г = представлена в виде сложной функции г = д {п\,... ,Ит)> гае щ , х „ ) . Пусть функции д и имеют все непрерывные частные производные второго порядка. Имеем: = ^ г ) = й ( |: ^ = Е [(< ^ ^ ) ^ Таким образом, формы выражений вторюго дифференциала (8.3) и (8.4) отличаются друг от друга, т. е. второй и все последующие дифференциалы не обладают, в общем случае, инвариантностью формы. Второй и последую щие дифференциалы имеют инвариантную форму в частном случае линейных функций и^ : — 0^0 + о^|Х| + а^■2X2 + ... + а^„х„. Если г = д\щ {х), щ ( х ) , . . . , « т (х )| = / (х ), то йх^ ^ ^ дщ дщ йх йх ‘-;=| »=| •/ ^ ди^ Лх^ \ ; =1 •> 8-2.8. Ф о р м у л а Тейлора для функций нескольких переменных Пусть функция .2 = / ( М ) г / ( Х | ___ х „) имеет непрерывные частные произ водные по всем своим аргументам до порядка т-1-1 включительно в некоторой ^-окрестности точки М о ( х ° , . . . , х“ ), тогда для любой точки М (х х „) = М ( х ? - н Д х , , . . . , х “ + Д 1„) этой е-окрестности приращение Д.г = Д / ( М „ ) = / ( М ) - /(М о ) Функции может быть представлено в виде формулы Тейлора с центром в точке К\ А / (М о ) = / ( М ) - / (М о ) = = Й /(М „) + ^ Й^/(М „) + . . . + ;^<^’"/ (М о ) + '^4е Р{^х'\ + 0 Д х | , . . . , х“ -I- 0 Д х „) (О < ^ < 1) — точка в заданной е-окрестнов выражениях дифференциалов й’/ (я = 1 , 2 , . . . , т + 1) дифференциалы аргументов x^ равны их приращениям Дх^ = Х( - х? (« = 1, 2 , . . . , п). Формула Тейлора может быть записана также в виде: +^ ^ + •■• . 4 ) + ДгаС*!, •••. Хг.), X / ( х ? + 0 Д Х | , . . . , х ^ + Й Д г „) (О < 0 < 1 ). Здесь К т — остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа: Х{ = х ° + Дх, («■= I, 2 ,.. . , л). При т = 1 формула Тейлора для функции г = / ( х 1, . . , , х „) принимает вид: / ( х ь . . . , х „ ) = / ( х ? , . . . , х“ ) + ^ 1=1 Дх. + ^ ^ ^ / "^ .Д Х ;Д Х ;, 1=1 ]=] где производные/1. И берутся в точках х? и х ° + 0 Д Х ( (1,7 = 1, 2 , . . . , п) соответственно. Формула Тейлора для функции г = / (х , у) при т = 2: Цх, у) = / ( х о , Уо) + [ /^ ( х о , У о ) А х + /^ ( х о , у о ) Д у ] + + 2 [/*1(®о, 2/о)Ах^ + 2/";,(хо, г/о)АхДг/ + /"„(хо, г/о)Ау^] + Дг(х, у); Д 2( г , !/) = ^ [/1« (® о + « А х , г/о + в А у )А х ^ + (8.5) + ^/хху(хо + ОА х , уо + в Л у )А х ^ А у + + 3 / :;,(ю + в А х , Уо + 9 А у )А х А у ^ + / “ „(хо + в А х , уо + ЙДг,)Дг,'] (0< 6><1, Если функция точки М ( х , у ) из И т Н т ( х , у ) = О, т-*1Х ряда (ряда Тейлора) Дх = х - Х о , А у = у ~ у о ). 2 = } ( х , у ) бесконечно дифференцируема и для любой е-окрестности точки М о{хо,уо) выполняется условие то / {х ,у ) может быть представлена в виде степенного в данной окрестности точки Мо(хо, уо)' / ( х , 2/) = / ( х „ , у о ) + Е ; ; ^ / 1™ г"*(хо,2/о)Дх’" А 2/", т+п^1 здесь /;о(х, у) = /'о(х, у ) = / (х , у)'. О! = I . При Хо = Уо = О ряд Тейлора переходит в ряд Маклорена. Пример 10. Разложим функцию /(х, у) = е* $1пу по формуле Тейлора в окрестности точки 0(0; 0) при т = 2 (до остаточного члена Я 2{х ,у) включительно). Область определения функции: |х1 < +оо, |у| < +оо. Частные производные: /' = е*81пу, ('^ - е ’ со$у, /"; = е ‘ в\пу, / ", = е*со8у, = - е 'в ш у , /^ 2 = - е '5 ш у , = е ’ & ту, = е 'с о в у , = -е*со5 у. Подставляя значения первых и вторых производных при I = V = О в формулу (8.5) и учитывая, что А х = х - О = х, А у = у - О = у, получим искомое разложение /(х, у ) = е^%1п у = у + ху + Я 2(х. у), Н 2(х, у) = ^ - Зху^) 51Пву + е^” (3х^у - у^) соз №у] (О < в < I). Если 1ж| и \у\ малы по сравнению с I, то е*§1Пу « у + ху с точностью до членов второго порядка включительно. 8.2.9. Теория неявных функций 8.2.9.1. Неявные функции одной переменной Пусть Р ( х , у ) — функция двух переменных х н у , определенная на некото ром множестве О точек М { х , у ) плоскости О ху. Если существует непустое множество точек М (х , у ), принадлежащих О , координаты х, у которых удо влетворяют равенству Р {х , у ) = О н при этом X — множество всех таких значений х, каждому из которых соответствует хотя бы одно значение у такое, что Р {х , у ) = О, то говорят, что на множестве X определена неявно (уравнением Р (х , у ) = 0) функция у = } ( х ) , в общем случае, многозначная. Для всех X из X при этом тождественно Р (х , / ( г ) ) = 0. Пример 11. Уравнение Р (х , у) = I V ную функцию у — - 4 = О (|а:| $ 2) определяет неявно двузнач- 4 — 1 ^, которая распадается на две однозначные: у = соответствующие верхней (у ^ 0) и нижней (у < 0) полуокружно стям. Теорема существования. Пусть функция Р ( х , у ) определена и непрерыв на вместе со своими частными производными первого порядка в некото рой окрестности точки (хо, Уо) плоскости О х у и при этом Р{х о , Уо) = О, ^ (* о , Уо) ф 0. Тогда существует некоторая окрестность |х - Хо| < < 5 (<5 > 0) точки Хо. в которой определена единственная однозначная непрерывно диф ференцируемая функция у = / (х ) такая, что уо = /(®о) и для всех х Из указанной <5-окрестности точки Хо выполняется тождественное равен ство Р ( х , } ( х ) ) = 0. Если Р ( х , у ) (непрерывно) дифференцируема т раз, то функция / (х ) также непрерывно дифференцируема т раз. Правило диффе ренцирования неявной функции см. в 8.2.4. Примечание. При выполнении условий теоремы существования явное разрешение Уравнения Р (х , у) = О относительно у = / (х ) не всегда возможно, однако в любом *^Учае производная у находится согласно 8.2.4. 8.2.9.2. Неявные функции нескольких переменных Неявная функция и = / (х \ , . . . , х „) переменных задается функ циональным уравнением Р ( х \ , ... ,Х п\и ) = О, где функция Р определена на некотором множестве точек пространства Е"'^ ^ . Прим ер 12. Уравнение Р (х , у ,и ) = - 1 = 0 (х^ +у^ < I) задает неявно двузначную функцию и = ± \/ \ , распадающуюся на две однозначные. Кроме указанных двух функций, уравнение Р — О задает также бесконечное множество других функций на множестве ^ 1. Т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я . Пусть функция Р { х \ , . . . , х „; и ) от п + 1 перемен ной определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производ ными первого порядка в некоторой окрестности О точки М о(х° , . . . , х °; и°) пространства Б "'*'' и при этом ..., « “ ) = О, Р!,(х1, . . . , х ° ; и ° ) / 0 . Тогда найдется окрестность с1(М, М о ) < 3 {й > 0) точки М о(х“ , ... ,х1) пространства Е " такая, что в ней существует единственная однозначная дифференцируемая (имеющая все непрерывные частные производные пер вого порядка) функция и = / ( Х | , ... , х „), для которой и ° = / (х ? , ... ,Хп) и Р { х 1,...,х „- ,и (х 1, . . . , х „ ) ) = 0 тождественно для каждой точки М '(х х ,... ,х„) из указанной й-окрестности. Если Р дифференцируема т раз, то функция / также т раз дифференцируема. Частные производные функции и = / ( Х | , . . . , х „), заданной неявно урав нением ^ ^ (X |,..., х „; и) = О, находятся по формулам: дР д Р ди + „ = ди Р'^^ . = ...... 8.2.9.3. Геометрический смысл теоремы существования Пусть X — некоторая поверхность с уравнением Р (х , у, г ) = О в системе координат О х уг и при этом производные Р ’^ ,Р'у,Р1 непрерывны на по верхности Е . Точка М { х , у , г ) на поверхности Е называется о с о б о й , если в этой точке о д н о в р е м е н н о Р'х (М ) = Р у {М ) = Р [ { М ) = 0. В окрестности особой точки уравнение Р (х , у, г ) = О не разрешимо однозначно относитель но хотя бы одной из переменных х , у , г , т. е. кусок поверхности Т, вблизи особой точки не имеет однозначных проекций на координатные плоскости. Точки поверхности Е , не являющиеся особыми, называются о б ы к н о в е н н ы м и В окрестности обыкновенной точки кусок поверхности Е может быть спро ецирован однозначно хотя бы на одну из координатных плоскостей. 8.2.9.4. Вычисление частных производных порядка, выше первого, отфункции и = } { х , у ) , заданной неявно уравнением Р { х , у ; и ) = О, проводится в следующей последовательности. Пусть, например, требуется найти произ- дЧ ди водную ^ ^ . Д и ф ф е р е н ц и р у я равенство ^ что (т.е. = дР /д Р Учиты вая, —функции от аргументов х , у , и , из которых и — функция от х, у —сложные функции от х, у ), получим: дР д^и ди д ^ ^ ду\дх) дудх дх ду\ди /дР ди ) где д^Р д /д Р\ д у\дх) д^Р дудх ^ дидх ди ^ д / 'д Р \ д у’ д у\ди) Пример 13. Для функции и = \/4 уравнением Р (х , у; и) = дх д^и дудх д^Р д^Р дуди ^ ди^ ^ ду' < 4, и > 0), заданной неявно {х^ + - 4 = О, имеем: дх { д ди ^ х\ ду\ и) д^и д { х у\ ду^дх Зу^иО и’ д ду / \\ ^д у\и) ( \ ду / ди X ди и^ ду и' ху и’ ’ Зу^\ Отметим, что дР/ди = 2« = О при +у^ = 4, т. е. условия теоремы существова ния неявкой функции не выполняются в точках окружности + у ' = 4 на плоскости 0*у. Уравнение Р {х , у ;и ) = О однозначно неразрешимо относительно и в любой окрестности таких точек. ^'2.9.5. Неявные функции, определяемые системой уравнений Совокупность т неявных функций от независимых переменных * ь •.., х „ может быть задана при помощи системы т функциональных урав нений: Р Л х , , . . ■,Х п ,и и - , «га) = 0, Р 2{хи-- , и „ ) = 0, Р т (Х \ ,. . . , х „ ; и | , . (8.6) ,Ига) = 0, Так что функции щ = . . . , х „) (« = 1, 2 ,.. . , т ) ищутся как решение ^ой системы, т. е. при подстановке функций щ = в уравнения (8.6) полу чаются тождества. Теорема об однозначной разрешимости системы уравнений (8.6) относитель но функций Ы т и дифференцируемости этих функций. Пусть функции Р ] { Х ] , . .. , х „ \ и ] , . , Пщ) а = 1 ,2 , ... , т ) определены в некоторой окрест ности О точки М о (г ? ,. . . , 1° ; и ? , . . . , и „ ) пространства Е ” ^"' и непрерывны в О вместе со своими п + т частными производными первого порядка. Тогда, если Р^{Мо) — О и якобиан (функциональный определитель Якоби) йе1 _ Щ д {р „...,Р г „) дх, _ дР, дР^ дп 1 дПт дР^ дРг. дщ ди„ т. е. отличен от нуля в точке Мо, то система (8.6) определяет в некоторой окрестности О ' точки Мд(х° , . . . , х“ ) пространства Е " единственные одно значные (один раз) дифференцируемые функции щ = ^ р ^ ( x \ , , х „) {г = 1, 2 , . . . , т ) , для которых ^ , ( 1 ? , . . . , х “ ) = «? и тождественно удовлетворяются уравнения (8.6) в каждой точке окрестности О ' . Если все функции Р^ диффе ренцируемы в раз, то все также дифференцируемы я раз. Дифференциалы йи, и йх* связаны линейными уравнениями ^ ар = ^ + 1=1 ар дщ (^ = 1-2.........т ) . дщ ди, могут быть найдены (например, по форд Х к’ ’ Зхц мулам Крамера) из системы т линейных уравнений Частные производные дхк ■Е дщ дхк ,п). (8.7) получаемых дифференцированием сложных функций ^’; ( х 1, . . . , х „ ; и | , . . . , и „ ) = 0, где щ = . . . , х „ ) , по Хк. Определитель системы (8.7) (якобиан) не ра вен нулю в окрестности точки Мо. Частные производные о т щ , . . . ,и т Х \ , . . . , Х „ второго и большего порядков получаются д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е м выражений дщ/дхк. 8.2.10. О то бр аж ен и я. Зави си м ость функций 1. Отображения. Пусть в некоторой окрестности точки Р о (х °, . . . , заданы функции щ = (р^(x^,..., х „) (г = 1, 2 , . . . , п). Эти функции опреД^' ляют отображение окрестности { Р } точки Ра на некоторое множество {Р> в п-мерном пространстве переменных . Это отображение называ ется взаимно однозначным, если каждой точке Р из { Я } соответствует только одна точка Р ' из { Р ' } и при этом каждая точка Р ' соответствует только одной точке Р . Если функции щ = ■■■, х „) (1 = 1, 2 , . . . , п ) определе ны в окрестности точки Ро и имеют там непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам, а якобиан 9 (х ь ...,х „) в точке Ро, то функции определяют взаимно однозначное отображение не которой окрестности { Р } точки Ро(х1, . . . , х^) на некоторую окрестность { Р ' } точки Р Ц и ° , . . . , и ° ) , где и? = . . . , х“ ), Ф ункции ... ,и „ ) О = 1, 2 , . . . , п ), осуществляющие обратное отображение, также дифференци руемы в окрестности точки /д. Взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение, осуществляемое непрерывными функциями 1р, и называет ся гомеоморфным. Пусть система непрерывно дифференцируемых по всем аргументам функ ций у^ = , х „ ) (1 = 1, 2 , . . . , п) осуществляет отображение (называемое непрерывно дифференцируемым) открытого множества О точек А (х ........ х „) на некоторое множество С ' точек В (у ^ ,. .. ,Уп)- Пусть, кроме того, система непре рывно дифференцируемых по всем аргументам функций г, = ■■,уг) (• = '■2 п) осуществляет отображение открытого множества точек В { у \ , , уп) на некоторое множество точек С ( г , г „). Тогда можно рассматривать сложное отображение (композицию, или суперпозицию отображений) некоторого опсрытого множества точек А {Х ], ■■■, х „ ) на множество точек € ( 21, . . . , г „ ), определяемое системой непрерывно диф^ренцируемых по всем аргументам функций ( / Д х ] , •■•, х „ ) , . . . , / „ ( х ь . . . , ! „ ) ) (1 = I, 2 , ..., п ). Якобианы этих непр>ерывно дифференцируемых отображений связаны между ВДбой равенствами: - г» дг/ ду. = (1е( = де1 Зх ,^ • вх . -Л=1 = с1е1 -6е1 9 у,. О у/ а(г,,...,г„) д(у 1 [дхз\ в (У 1,---,Уп) д (х и - .,х „)' • Уп) В частности, композиция двух взаимно обратных отображений является тонсдественным отображением с якобианом, равным 1, т.е. в (х '‘''Я Всех точек х „) д {у у „) д{У1,...,Уп) д {х х „) .......... из С . Если С — область в Е " отображения 6(У......... ,У„) и якобиан непрерывно дифференцируемого / О в С , то множество С ' в Е ’‘ , на которое отоб- ражается область О , является также областью. При этом взаимная однознач ность между точками областей С и С ' является локальной, т. е. выполняется только в окрестности некоторой точки Ро области С и не обязательно во всей области С . Пример 14. Преобразование х = рсоВ 1р, у = рзт(р , г = х цилиндрических коор динат точек трехмерного пространства в декартовы координаты осуществляет отобра жение области О пространства , состоящей из точек, координаты которых (р, ч>, г) офаничены условиями: р > О, О ^ 1р < 2ж, -оо < г < +оо, на область О', содер жащую все точки пространства , за исключением точек (О, О, г), лежащих на оси Ог. Функции, осуществляющие данное отображение, непрерывно дифференцируемы в О, а якобиан у, г) д{р, <р, г) дх дх др в(р дх да % вр ^ д(р ^ дг дг да дг др д(р дг С05 8т ^ О -р 81П ^ О рсо5^р О = Р ^ 0 , О 1 так как р > 0. Следовательно, данное отображение является взаимно однозначным отображением указанных областей С и С'. Однако, если координата у) произвольна, те . —00 < (р < -^-00, то отображение является лищь локально взаимно однозначным, так как каждой точке (ж, у, г) соответствует при этом бесконечное множество точек (р, 1р, г) с одинаковыми р и г, но отличающимися на 2жп значениями (р. 2. Зависимость функций. Функции = }^ (x \ ,... , х „ ) (г = 1,2, ...> ’*) называются зависимыми в некоторой области С пространства Е " , если сушествует функция Р { и ] , . . . , и „ ) от т аргументов такая, что для всех точек из С выполняется равенство Р { } ( х ^ , . . . , х „ ) , . . . , }гп(х\, ■■■,Х п )) = 0. В против ном случае функции щ называются независимыми в области С . Линейи»* зависимость (независимость) функций является частным случаем их зависи мости (независимости) в области С . Достаточное условие независимости функций. Пусть функции и, = /|(*|’ . . . , 1„ ) (« = I, 2 , . . . , т ; п '^ т ) определены и дифференцируемы в окрест ности некоторой точки М о (х °,. . . , 1° ) . Тогда, если якобиан этих функций по каким-либо т аргументам не равен нулю в Мо, то данные функниИ независимы в некоторой окрестности Мо. Примечание. При т > п функции Ц], . . . , всегда зависимы. Пример 15. Для функций щ = х] + х\, и г = x^ + *2 якобиан равен 9(И|, и:) 2X2 I д (хи Х 2) = 2(1 , - хг ) . функции И|,и2 независимы всюду в любой окрестности каждой точки (г,, хг). не со держащей точек прямой Х2 = Х ], в точках которой якобиан обращается в нуль. 8.2.11. З а м е н а переменных в дифференциальных выражениях 1. Выражения с обыкновенными производными. Пусть в некотором диф ференциальном выражении р {х , у , у: , у: , , . . . ) = с , где С — некоторая постоянная, у = у {х ) — функция от х, требуется ввести новые переменные: функцию и = и{1) и независимую переменную I, которые связаны со старыми переменными х, у соотношениями (8.8) Предполагается, что все рассматриваемые функции дифференцируемы достаточное число раз. Дифференциалы функций (8.8) равны; где йи = — Л . Отсюда следует: т , _ ^ _ Лу/М йх дд т дд Ли ^ диМ Лх/М _ 9[+д'и- «[ П + Ги-< д 1 ^ ди М (8.9) д'1+9и- К ' У гх = лх/м + / ; •«; сч 'Аналогично находятся последующие производные. В результате исходное ®Фференциальное выражение примет вид При замене одного только аргумента (при старой функции у ), согласно ‘Отношению X = 1 ( 1 ) (при этом у = у (х ) = у ( }(Ь )) ), имеем: (1 у У^ = Тх < 1Ш У XX = 1 йу /'(О М ' <1(у'х)/<и 1 При замене одной только функции (при старом аргументе х ), согласно соотношению у = д{и), где и = и {х ), имеем: Ух = ау йд(и) Ли йх йи Лх' < 1Ф ) Примечание. Если старые переменные х ,у связаны с новыми 1,и соотношениями I = (р{х,у), и = 1р{х,у). то переход к новым переменным проводится аналогично изложенному в п. 2. (1у Пример 16. Преобразовать дифференциальное уравнение — ах X+у = ---- х~у к полярной системе координат, т. е. перейти к новым переменным /?(у?) (функция) и (р (аргумент), согласно соотношениям х = рсо5<р, у = р5\п (р. Решение. Согласно (8.9), получим (вводя обозначения I = 1р, и = р, }(1, и) = рсоир. д{1,и) = р$\тр): Лр р С 0 5 и + 51П и ■ — Лу _ ^ ^ Л1р Лх -о 51П Ш йр + С08 Ш • — а 1р Исходное дифференциальное уравнение в новых переменных после некоторых преобразований принимает вид Ар|^^р — р. ^ 2. Выражения с частными производными. Предположим, что в дифферен циальном выражении / дг дг \ ^ у '^ ' ^ ' д х ' д у ' д х ^ ' д х д у ' д у ^ ' ) где С — постоянная величина; х , у — независимые переменные; г = 2 {х ,у) " функция, требуется перейти к новым независимым переменным и, V и новой функции V) = « ;(« ,« ), которые связаны со старыми переменными соотноше ниями I = / ( и , I), и ;); у = з (и , » ,№ ); 2 = Л (и , г , ш ). (8.Ю ) Дифференциалы функций (8.10) равны 5/ ^ дГ дГ д1 а/ 8 } (д т йх = — Ли + — (IV + — Л т = -— Ли + — (IV + — ди дV ды ди дV ди> \ д и ^ ды Л Ли + — у дV / ^ ^ ^9 ^ С9т дт \ Лу = — Ли + — Л ь + — [ — Ли + — Лг ], ди дг ды \ д и дь / дг дг дН дН дН { ду1 ди> \ Лг = — Лх + — Лу = — Ли + — ЛV + Ли -Н Лг I . дх ду ди дь д т \д и ду / .л (о-' Подставляя выражения Лх и Лу из (8.11) в выражение Лг и приравнивая затем коэффициенты при Ли и Ль, получим систему двух уравнений дг дх д и ^ дь) ди дх дь ^ дм] дг дд д т дг ди д т ди дд дд д т _ дН д1г дV ^ д т дь ^ду дк д т ди ^ д т д и ’ дк д т дь ^ д т д г ’ из которой можно выразить производные дх/дх, дг/ду через д т /д и , д т /д ь . Выражения производных второго порядка от г по I и у находятся при помощи дифференциалов от производных первого порядка и Аналогично вычисляются производные от г более высоких порядков. Если заменяются только независимые переменные, но не функция, т. е. * = /(и , т>), у — д {и ,V ), г = №, то выражения производных 4 . 4 через г'и, г', находятся из системы уравнений дг _ дг 9 / бг дд ди ду д и ’ дх ди дг _ дг д / дь дг дд дх дV ^ ду д г ’ решая которую (например, по формулам Крамера) относительно З г / З х , дг/ду, получим дг дг дг дг дг дх ди дV ду ди дг ( 8 . 12) т е Оу (г ,) = 1;2) — функции от и ,V . Вторые производные от г по х, у находятся дифференцированием первых производных по формулам (8.12), в частности: дЧ д (д г \ дхду д х\д у) д / = Оц ^ д (д г \ д (д г \ '* " д и \ д у / ^ ' ‘ '^ д V \ д у ) дг дг\ 9021 дг ди^ / да 2] дг д ( дг д г\ дй22 дг ^ +«22 ди дг дидV / д^г дуди + до 22 дг ^ + “ 22 дь дь дVЧ Если старые х , у , г и новые и, V, ю переменные связаны соотношениями и = (р {х ,у , 2 ), V = ■ф{x,у,г), и} = 0{ х , у , 2 ) и при этом г = г(х , у ) п т = т { и , « ), то д'ф д<р д<р / дг дг \ дгр д1р / д г 9г \ дт дю а т = — аи + — ди дV дв дв д в / 'д г ^2 \ = — < 1х + — (1у + ~ [ — ах + — ау ]. дх ду дг \ д х ду ) Подставляя эти выражения для Ли » Лу в й т и приравнивая коэффи циенты при Лх и йу, получим систему двух уравнений, из которой можно выразить дх/дх, дг/ду через дгв/ди, д•ш|дV. Чтобы выразить вторые про изводные, надо записать дифференциалы от первых производных и т.д. Если заменяются только независимые переменные и они связаны соот ношениями и — 1р (х, у ), V = 1р(х, у ), и; = г, то производные отфункции I по старым переменным I , I/ и по новым переменным и, V связаны соотно шениями дг _ дг д(р дх дх^ дг дф дь? V 9х / ^ д^г ди^ \ д у ) у дь дх ) д^г / д 'ф ^ диду дх дх ^ д у ^ \ д х ) ^ д^г д(р дчр ^ дг дф ди ду ^ ду д у ' д^г д(р дчр д^г _ д ^ г / ^ " ^ дхду ду дх\д ид х) ^ д^г / д(р'^ ду^ дг _ дг д<р ди дх ^ дь д х ' д ^ г / д 1р ^ диду ду ду ^ ду^ \ 9 у ) д^г д(р д<рд^г / д(р дгр ди^ дх ду ^ диду \ д х ду ^ ду дх ) ^ дг д^!р дг д^ф ^ ди дх^ ^ ду дх^' дг д^<р дг д^ф ^ ди ду^ ^ ду ду^' д<р дф \ ^ д^г дф дф ^ дг д^<р ^ дг д^ф ду^ дх ду ди дхду где г{и,у) = г ( х(и, у), у{и, у)), а I ду д х д у ' = х(и,у), у - у(и,у) — соотношения, обратные к и = >р(х, у), у - ф(х, у). Примечание. Старые и новые переменные могут быть связаны также неявными вЫР^' жениями Р ^ (x ,у .^ ,и ,V ,V }) = 0 (% = 1, 2, 3), допускающими разрешение относительно и, г, ш и относительно х , у , г . Пример 17. Оператор Лапласа Д г = где г = г {х ,у ), преобразовать полярной системе координат, согласно соотношениям х = рсо^<р, у = р51пу>. Решение. Здесь преобразуются только независимые переменные, а функция г не пре образуется. Имеем: Лх = со$ 1р с1р - р $т (р (1(р, дг ^ дг дх Лу = $т <рЛр + р сов 1р Л1р, дг , дг (со8 {р Л р- р^\1\(р й(р) + дг ^ дг дг дг ор о<р ^рАр + рсо&(р Л(р) = — (1р оу Приравнивая коэффициенты при (^р и <1(р, находим дг дх дг - с о .^ + - .ш ^ = - ; дг дг дг - _ р „„(р + - р с о з ^ = - . Отсюда следует дг дх дг 51П<р дг дг , дг со51р дх др д<р р ' ду д р ^ '"'^ ^ д1р р ' Используя предыдущие формулы, находим: дх\д х) 2 ‘^‘^ ‘^ д р у д х ) д^г др^ р д1р \ д х ) 2 51П^со8^ д^г р вт^ 1р д^г дрд!р ^ р^ д<р^ ^ :р дг р 2 а\п (р <м%1р дг др^ р^ д!р' Аналогично вычисляется д^г/ду^. Оператор Лапласа в полярных координатах прини мает вид д^г ^ I дг I д‘г др^ ^ р д р ^ р- д<р^ ^ ^'2.12. Экстр ем ум функции нескольких переменных I. О п р е д е л е н и е э к с т р е м у м а . Пусть функция г = /(М ) 5 / ( х ] , ... , х „ ) определена в некоторойокрестности точки М о (х ? ,... , г “ ) пространства Е ’' . Говорят, что функция / ( М ) имеет в точке Мо локальныйм а к с и м у м (или ло* Ч ь н ы й м и н и м у м ) , если существует е-окрестность э т о й точки, содержащаяся ® области определения функции, такая, что для каждой точки М из этой 0|<рестности выполняется неравенство / (М )^ / (М о ) (или / (М )^ / (М „)). Соответствующее значение функции / (М о ) называют при этом ее м а к с и • « л ь н ы м (или м и н и м а л ь н ы м ) з н а ч е н и е м . Локальные максимум и минимум ^Меют общее название л о к а л ь н ы й э к с т р е м у м . В случае строгих неравенств Н М ) < /(М о ) ( / ( М ) > / (М о )), выполняющихся для всех точек М из ука^Нной окрестности, не совпадающих с точкой Мо, говорят о с т р о г о м э к с ’ 1 ^ * |у м е , в противном случае — о н е с т р о г о м э к с т р е м у м е . В достаточно малой окрестности точки экстремума Мо приращение функции А г = / ( М ) - }(М^) сохраняет знак; Д г ^ О в случае максимума, Д г > О в случае минимума. Абсолютным максимумом (минимумом) или абсолютным экстремумом функ ции, определенной и непрерывной в замкнутой офаниченной области на зывается ее наибольшее или наименьшее значение в этой области, которые могут достигаться либо во внутренней точке области — локальный (внутрен ний) экстремум, либо в граничных точках области — граничный экстремум. 2. Необходимое условие экстремума. Если определенная в некоторой окрестности точки Мо функция / ( М ) имеет локальный экстремум в этой точке, то либо все ее частные производные первого порядка (если они существуют) обращаются в нуль в точке Мо: вП М о ) _ д дх, ’ а / (М о ) _ д дх 2 ’ а / (М о ) д ■■■ ’ либо эти частные производные в точке Мо не существуют, либо бесконечны. Такие точки Мо, в которых все частные производные = О не существуют или бесконечны, называются точками возможного экстремума (критическими точками). Если функция г = / ( М ) дифференцируема в точке Мо и имеет в Мо локальный экстремум, то ее дифференциал в этой точке равен тождественно нулю; й/(Мо) = /1,(М о) с1х 1 + ... + /^.(М о) йх„ = О при любых <^Х|,.. •, ЛХп или 8гас1 / (М о ) = 0. И з условия <^/(Мо) = О следует система равенств /х,{Мо) = . .. = /х^{Мо) = 0. Точка М о {х °,... в которой выполняется эта система равенств, называется стационарной точкой, а значение функции /(М о ) в этой точке называется ее стационарным значением. Пример 18. 1) Функция г = - у ^ (фафик — гиперболический параболоид) не имеет в точке (0; 0) экстремума, но при этом г^.(0; 0) = г^(0; 0) = 0. На фафике имеются точки, расположенные как выше, так и ниже горизонтальной касательной плоскости, проходящей через точку (0; 0; 0). 2) Функция г = -х^ (график — эллиптический параболоид) имеет максимум в точке (0; 0) и при этом г^(0; 0) = г^(0; 0) = 0. Все точки графика расположены ниже горизонтальной плоскости, проходящей через точку (0;0;0). 3) Функция г = л/х^ + у'^ (г ^ 0) (график — конус) имеет минимум в точке (0; 0), в которой производные г^, г'у не существуют. График не имеет касательной плоскости, проходящей через точку (0;0;0). 3. Нахождение экстремумов функции. Если 2 = / ( Х ] , ... , х „) — дифф^' ренцируемая в некоторой области функция, то для нахождения ее экстремумо® в этой области следует; I) Найти критические точки из системы уравнений / ; , ( х | , . . . , х „ ) = 0, ..., / ; „ ( х | , . . . , х „ ) = о. 2) Для каждой критической точки Мо(ж“ , .. •, х“ ) проверить неизменность знака приращения А г = / ( М ) - / (М о ) функции / ( М ) для всех точек М в достаточно малой окрестности точки М о . Если при этом Л г ^ О (Л г < 0), то функция имеет в точке Мо минимум (максимум). 4. Д о с т а т о ч н о е у с л о в и е с т р о г о г о экстремума ф у н к ц и и . Пусть функция г = /(М) = / (Ж |,. . . , х „) имеет все непрерывные производные до второго поряд кавключительно в некоторой окрестности точки М о (1 ь . . . , х“ ) и й/(М о) = 0. Тогда функция / ( М ) имеет в точке Мо; П 1) максимум, если < О при 1=1 п 2) минимум, если й^/(Мо) > О при ^ \йx^\ Ф 0. 1= 1 Если аргументы Х \ , . . . , Х п функции ^ { х [ , . . . , х „ ) являются независи мыми переменными, то второй дифференциал этой функции в точке Мо является квадратичной формой относительно <^Х], . . . , й /(М о ) = X ) “V ( “ ■>= “ я = ) ■ Следовательно, если й^/(Мо) является положительно (отрицательно) опре деленной квадратичной формой, то функция г = / ( М ) имеет в точке Мо -вокальный минимум (максимум). Если квадратичная форма неопределенна ® точке Мо, то / ( М ) не имеет экстремума в Мо. Для исследования знака “торого дифференциала можно привести соответствующую ему квадратичную форму к диагональному виду. М ожно также использовать критерий Силь вестра. Если первый дифференциал достаточное число раз дифференцируемой Функции обращается в точке Мо в нуль, а второй дифференциал является знакопостоянной (квазизнакоопределенной) квадратичной формой, то вопрос ° Наличии или отсутствии экстремума решается с применением дифферен циалов более высоких порядков. 5. Функция двух переменных. Пусть функция 2 — / (х , у ) двух переменных "Чеет все непрерывные производные до второго порядка включительно по х, у 8Окрестности точки Мо(хо, г/о), а в самой точке Мо выполняется необходимое ''словие экстремума <^/(хо, уо) = О или дН хо.Уо) ^ дх д/{хо, Уо) ^ ^ ' ду ^огда для функции г = / (х , у) имеем в точке Мо(хо, г/о): 1) Локальн1яй минимум, если а ^ (м „) ^ „ = о = / Г™ ац 012 «21 022 2 „ = а ц Л 22 — Л )2 > О, д^ПМ о) л = где " _ 9^/{Мо) 0(2 = Л 21 = дхду 2) Л о к а л ь н ы й м а к с и м у м , если Оц < О (или «22 < 0) и В > 0. 3) О т с у т с т в и е э к с т р е м у м а , если О < 0. 4) Н е о п р е д е л е н н ы й с л у ч а й (функция может иметь экстремум в точке Мц. а может и не иметь), если I ) = 0. В этом случае необходимо дополни тельное исследование. Примечание. Числа Оц и й22 имеют одинаковый знак при условии X) > 0. Пример 19. Для функции г = г^х = бз;, - Зху - 2 имеем - Зу, = 3(/^ - 31, = —3, г'уу = 6у. Решая систему уравнений г'^ = Зх — Зу — О, 2^ = Зу^ - 31 = О, находим две критические точки: М1(0;0) и ^ 2 ( 1 ; 1). В точке М| имеем: а,, = г;'ЛО;0) = О, а ,2 = 4',(0; 0) = -3 , а ; 2 = ^'„(О; 0) = О, Р = 0 1 , 0 2 2 - о?; = -9 < 0. В точке М | экстремума нет Для точки М 2 находим В = 27 > О, Оц = 6 > О, т е. функция имеет минимум. При этом / (М ,) = / ( I ; 1) = -3. Пример 20. Функция г = х^ + у ‘ имеет критическую точку Мо(0; 0), в которой г^=0. ^ = 0. В этой точке функция имеет локальный минимум, так как очевидно, что Дг^О в окрестности точки Мц. При этом О = 0 в точке Мо- 2 Пример 21. Функция г = х^ + имеет критическую точку Мо(0;0). В этой точке экстремума нет, так как приращение Д г в окрестности точки Мо(0;0) может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от знаков А х и Ду. При этом О = О в точке М о . 6 . Н а х о ж д е н и е а б с о л ю т н о г о э к с т р е м у м а . Д л я нахождения н а и б о л ь ш е г о наименьшего значений ( а б с о л ю т н о г о э к с т р е м у м а ) функции, определенной и дифференцируемой (имеющей непрерывные производные) в некоторой замкнутой офаниченной области в Е " , следует найти все стационарны^ точки этой функции (в которых все первые производные обращаются в нуль), вычислить значения функции в этих точках и сравнить их со з н а ч е н и я м и функции в граничных точках области. Наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в замкнуто" области. В частности, если область двумерная, то на ее границе данная функция зависит только от одной переменной. и 7 . У с л о в н ы й э к с т р е м у м . Если требуется найти экстремум функции, аргУ' менты которой удовлетворяют дополнительным соотношениям (уравнени!'^ с в я з и , или о г р а н и ч е н и я м ) , то такие экстремумы называют у с л о в н ы м и . В это связи обычные экстремумы называют б е з у с л о в н ы м и . Пример 22. Найти минимум функции 2 = / (г , у) = + 2у^ при условии д{х, у ) = ^ _ у + 1 = 0 . Это означает, что экстремум функции ищется не на всей плоскости Оху, а на прямой х - у + 1 = 0. Решение. Выражая у из уравнения связи д{х, у ) = О и подставляя в 2 = /{х , у ), сведем задачу отыскания условного экстремума к задаче нахождения обычного (безусловного) экстремума функции г = Ь{х ) = + 4х + 2. Из условия Н'(х) = 6* + 4 = О находим критическую точку хо = -2/3, в которой функция Л (г) имеет минимум (так как к"{хо) = 6 > 0).Из уравнения д (х ,у ) = О находим уо = 1/3. Функция г = х^ + 2у^ имеет в точке (-2/3; 1/3) условный минимум г = 2/3 при условии х - у + 1 = 0. [> В общем виде задача формулируется следующим образом. Пусть требуется найти экстремум функции г = / ( Х ] , ... ,х „ , у ^ ........ у^ ) от п + т переменных при условии, что эти переменные удовлетворяют уравнениям связи 9| ( х ь . . . , г „ , у ь . . . , у т ) = 0, ......................................................................... д п ( х , , . . . , х „ , у и - . - , У т) = ( 8 .1 3 ) 0. Говорят, что функция / , при наличии офаничений (8.13), имеет макси мум (или минимум) в точке М о(х 1 , . . . , х ^ ,у Ч ,... , у ° ) пространства координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (8.13), если в существует такая окрестность точки Мц, что для всех точек М из этой окрестчости, координаты которых удовлетворяют уравнениям (8.13), выполняется неравенство / ( М ) ^ / (М о ) (или / ( М ) > / (М о )). Точка Мо называется при этом точкой локального условного экстремума. Если функции д \ , . . . , д т дифференцируемы в окрестности точки М ц и якобиан , ■■■. 9 т ) , ^ д(У 1, ... ,У ,п ) ® окрестности этой точки, то система (8.13) разрешима относительно пере*'енных У 1, ... ,У т в некоторой окрестности точки М о, т. е. у^ = . . . , Хп) 1 ,2 ,... , т ) , где — функции, дифференцируемые вточке М о (х ? х“ ). Подставляя функции у^ = 1р 1 в функцию / , получим сложную функцию ^ = / ( Х 1 ........... Х „ , ^ ? | ( х ......... .. х „ ) , . . . , < Р ш ( х ь . . . , х „ ) ) н й ( Х | , . . . , Х „ ) Независимых друг от друга переменных Х ] , . . . , х „, безусловный экстремум '“ 'Торой можно искать согласно п. 4. Метод множителей Лагранжа для отыскания точек возможного условного ^'^стремума функции / при ограничениях (8.13) не требует исключения т пе рченных из т -I-п, от которых зависит эта функция, и состоит в следующем, ^ а ч а нахождения условного экстремума функции / ( М ) = / (х ь ... , х „, у,, ■’ У т ), определенной и дифференцируемой в некоторой области С простран ства при наличии уравнений связи з^ (М ) = р Д Х], . . . , х „, у ] , . . . ,у ,„) = 0 {г = I , . .. , т ) , т т все д^ — дифференцируемы в С и якобиан 9(91, ■■■,дт) ФО (в области С ), сводится к задаче нахождения обычного (безусловного) экстремума фунгаши Лагранжа Ь ( М ) = Ц х х , . . . , 1 „ , 1/1 г/га) = { ( М ) + А,5 , ( М ) + . . . + \ т 9т ( М ) , где А ] , . . . , А т — постоянные множители Лагранжа (произвольные числа). В ре зультате получаем систему п + 2т уравнений аь — = 0, 5x1 дЬ ^ = 0, дхп 91= 0, дЬ 7^=0, ду] ..., дЬ — =0, д ут (8.14) 9т = О для нахождения п + т координат Х 1, . . . , х „ , у 1, ... , у т точек Мо возможного условного экстремума (стационарных точек) и т чисел А , , . . . , Ат - Точки локального условного экстремума функции / ( М ) могут находиться среди найденных стационарных точек функции Ь ( М ) . Решение вопроса о том, какие из этих точек являются точками условного экстремума, может быть проведено путем выяснения знака второго дифференциала ё^ Ц М о) в стацио нарной точке Мо функции Ь ( М ) . Ф ункц ия / ( М ) имеет условный максимум (минимум) в стационарной точке Мо функции Ь { М ) , если й^Ь(Мо) < ® (<г^1,(Мо) > 0), где = (й х , ^ + ... + а х ^ ^ ^ + й у , - ^ + ... + а у ^ - ^ 1 (М о ), причем сюда следует подставить вместо дифференциалов й у и . . . , Лут их зна чения, выраженные через дифференциалы й х ,,. . . , <1х„ из системы уравнений ^ ЙХ| -I-... + йх„ + йу, + ... -Ь ^ йут = ах, дхп д у1 дут , ддт &9т ^ , 9д\ — (1хх + ... + — йХп + йу\ + ■■■+ ^— й у т = дx^ дх„ дух д ут о, 0. Отметим, что приращения функций / и Ь равны Д / = А Ь при выполнении условий Й1 = О </т = ОПример 23. Найти точки условного экстремума функции и = /(х , у, г ) = х - 2 у + ^‘ при условии д{х, у, г) = + у^ + ~ I =0. Решение. Составим функцию Лафанжа: Ь = / + Хд = х - 2 у + 2г + Х(х^ + у ‘ + г^~ I). Стационарные точки находятся из системы уравнений: дЬ дь — = I + 2Аа; = О, — = -2 + 2Аи = О, дх ду I V дЬ — = 2 + 2Лг = О, да - 1 = О, решая которую, найдем две стационарные точки соответствующих им значения множителя Лагранжа А: 1) *, = -1/3, у, = 2/3, г, = -2/3, А, = 3/2; 2) 12 = 1/3, = -2/3, гг = 2/3, А^ = -3/2. Второй дифференциал функции Лагранжа равен Лх^ + X"; Лу^ + X где (^2 = — г М 2(хг,У 1,гг) и два + 2Ь1у ах Лу + 2^", <1у Лг + 2Х", йх йг, у (1х--- <1у. Отсюда следует г Л^Ь = 2\ (^ + ^ й а :Ч 4 А ^ й ж й у + 2А^1 + < 1у\ В точке М| функция и = /(г, у, г) имеет локальный условный минимум, так какй^ДМ,) > О, причем /(М |) = -3. В точке Мг — локальный условный максимум, гак как Л^ЦМг) < О, причем / (М 2) = 3. > 8-3. Двойные интегралы и их свойства 8-3.1. О пределение двойного интеграла Пусть О — замкнутая офаниченная область на плоскости О х у, фаницей 'которой является кусочно гладкая замкнутая линия, а 2 = /(х , у) — неко торая функция, заданная и офаниченная в области О . Разобьем область О “Роизвольно на п частичных замкнутых областей О ], 02 ,. ■■, Оп, не имею щих общих внутренних точек и офаниченных кусочно гладкими линиями (Рис.8.3). В каждой частичной области с площадью Д 5, возьмем (внутри на фанице ^^) произвольную точку М^(x^, у() и составим сумму п >=| ^эзываемую интегральной суммой. Обозначим через (1^ диаметр области наибольщее расстояние между точками ее ф аницы), а наибольший из диаметров — (1 . Если существует конечный предел ^ (число), к которому стремятся ин^гральные суммы когда наибольший из диаметров ^ частичных областей 'Щемится к нулю (при этом п со), то этот предел называется двойным (или ®*Ухкратным) интегралом от функции /{х , у ) по области О , а функция / (х , у) при этом называется интегрируемой (по Риману) в области О . Обозначения двойного интефзла: 7 = I I {{х ,у )Л 8 или ^ = I I в ! ( х , у ) а х Л у. п Здесь / (х , у) называется подынтегральной функцией, х , у — п ер е м ен н ы м и интегрирования. О — областью интегрирования, выражение (18 или (1х Лу — элементом площади. Согласно этому определению интефала, для любого числа е > О найдется число д > О такое, что \^ - 3„\ < е, если только <1 < 8 . Классы интегрируемых функций. Каждая из следующих функций интефируемой (по Риману) в офаниченной замкнутой области О : является 1) Ф ункц ия, непрерывная в области О . 2) Ф ункц ия, определенная и офаниченная в области О и имеющая в О раз рывы лишь на конечном числе кусочно гладких кривых. П р о и з в о л ь н ы е , но конечные изменения значений функции на таких кривых не изменяют величины интефала. 8.3.2. Геометрические приложения двойного интеграла Если функция г = / {х , у) О и непрерывна в области О , то двойной I I ин теф зл }(х ,у ) а з о численно р а в е н о б ъ е м у V цилиндрического тела С , офаниченного с Н И З У областью Ь , с в е р х у — фафиком этой ф у н к ц и и , а с боков — ц и л и н д р и ч е с к о й Ри с. 8.4 поверхностью, образованной перпендикулярами к плоскости О х у, проходя щими через точки границы области О (рис. 8.4). Если } ( х , у ) = 1 в О , то интеграл численно равен площади области В . Площадь 5 некоторого куска <г гладкой поверхности г = ^ {х ,у ) (рис. 8.4), № { ( х , у ) — однозначная функция, имеющая непрерывные первые про изводные в области В плоскости О х у, на которую проецируется кусок а , Находится по формуле о В'З.З. С войства двойных интегралов ^л и функции интефируемы в соответствующих областях, то справедливы Следующие соотнощения: I) Аддитивность. } ( х , у ) Л х ( 1у = о / { х , у ) ( 1х ( 1у + с, } ( х , у ) ЛхЛу, -02 0 \,0 2 — две частичные области без общих внутренних точек, на которые Разбита область О некоторой кусочно гладкой кривой. 2) Линейность. Если функции / » д интефируемы в О , то С[/ + С2д также интефируема в В и ^ ^ [ с ^ Н x , у ) + С2 д {x ,у )](^ x а у = с^ о } ( х , у ) (1 х йу + сг Ц в д (х ,у ) йхЛу, о где С], С2 — любые действительные числа, 3) Если функции / ( I , у) и д(х, у) интефируемы в I ) , то их произведение интефируемо в В . 4) Если всюду в О выполняется /(х , у) ^ д{х, у ), то }(х ,у )а х й у ^ Ц 5) в I) и д {х ,у ) ЛхНу. И з инт^фируемости } ( х , у ) в О следует интефируемость \}(х,у)\ Г ( х , у ) ( 1 х ( 1у ^ Ц о \ }(х ,у )\ ( 1х ( 1у. о 6) Если т — наименьшее, М — наибольшее значения функции /(х , у), непрерывной в области О , имеющей площадь 8 , то т5 < } ( х , у ) йх йу ^ М 8 . 7) Теорема о среднем значении. Если функция / (х , у) непрерывна,д(х, у) интефируема в (связной) области О и д{х, у) ^ О (или д{х, у ) ^ 0) в В , то в В сушествует по крайней мере одна точка М (х о , Уо) такая, что } ( х , у)д(х, у) Лх йу = /(хо, Уй) О д{х, у ) Лх йу. о в частности, если д {х ,у ) = 1 в О , то II- / { х , у ) ах (1у = /(хо,2/о) •5', о где 8 — площадь области О . 8.3.4. Вычисление двойных интегралов 1. а ^ х ^ Ь , из формул: Прямоугольная область интегрирования. О , заданная неравенствами (рис. 8,5). Двойной интефал вычисляется по одной а 1) I I / { х , у ) а х ( 1у = ! О о а с а Л / (х ,у )а х с 1 у = о У Лу ^ 1 (х ,у )й х . с Ь й 2) о У }(х ,у )< 1 х( 1 у = I I а Ь й < 1х I }(х ,у )а у а х = I !(х ,у )Л у - а с Здесь выражения, стоящие в правых частях формул, называются повтор ными интегралами. При этом в формуле 1) в повторном интеграле вы числяется сначала интефал по пере менной X от о до Ь (вн)тренний ин теграл), в предположении, что у — постоянная, а затем вычисляется ингегрм по переменной у от с до й (внешний интеграл). В формуле 2) вычисления проводятся в обратной последовательности. ^ с Р и с . 8 .5 Пример 24. Интеграл от функции /(*, у) = х^у по области 0 : 0 $ ! ^ 1 , 0 $ у $ 2 равен 2 1 2 1 Л х ‘у ЛхАу = ! I о 0 0 х^у Лх<1у = ^ Лу ! 0 О х^у Лх = 0 О Второй способ вычисления интеграла: 12 л О х ‘у <1х(1у = 1 1 0 0 1 2 х^у ЛуЛх = ^ Лх ^ х^у Лу = 0 0 = / ( 4 ) | > = / - ’- = 4 2. Криволинейные области интегрирования, а) Если область интефирования определяется неравенствами: а < I < 6, /|(х ) ^ ^ /2{х ) (рис. 8.6), то и (г) где интегрирование в повторном интеграле справа проводится сначала по у (в предположении, что х постоянна), а затем — по переменной х. б) В случае области П , определенной неравенствами д\{у) К х ^ 92{у )’ с ^ у ^ (1 (рис. 8.7), имеем: л !(х ,у )< 1 х а у = ! П с 92(х) (1 у ! / (х ,у )а х , 5 ,( 1 ) где интефирование справа проводится сначала по х , а затем — по у. в) Если, в случае произвольной области О (рис. 8.8), ее удается разбить на несколько частичных областей вида а) или б), не имеющих общих внут ренних точек, то интефал по области В равен сумме интефалов по этим "Исгичным областям. Пример 25. Вычислить интефал от функции г = х^у по об ласти С , заключенной между кривыми у у = \/х (рис. 8.9). Рошенир Первый способ. Кривые пересекаются в двух точках: 0(0;0) и Л(1; 1). Следовательно, а = О, Ь = 1, / ,{х ) = 1г{х) = Уж. Находим: 1 ч/г х‘у ахау = ^ ах ^ х^у ау = О О аг2 о о Второй способ. Учитывая, что с = О, I V» х‘у ахау = ^ лу ! х^у ах = = I , р 1 (у) = р2 {у ) = л/У’ получим: 8. 3. 5. З а м е н а переменных в двойных интегралах Пусть функции I = х {« , V), у = у{и, V), имеющие непрерывные производные по «, и, устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками М ( х , у ) в офаниченной замкнутой области О на плоскости О х у, фаницей которой является кусочно гладкая замкнутая кривая, и точками М '(и,V) области о ' на плоскости с прямоугольной декартовой системой координат О'иг), а якобиан дх дх ^ = д(х, у ) ди д{и, V) ду ду ди /О (в области о ') . ду Тогда, если некоторая функция } ( х , у ) интефируема в области В , то спра ведлива следующая формула замены переменных: } { х , у ) Л х 11у = /{x {и,V ),у{и,V ))\^\с^и(^V. О О' Величина |7| называется элементом площади в криволинейных коорди натах и, V. В частности, при переходе к полярным координатам по формулам X = р со$<Ру у — р$ 1П(р, имеем _ д{х. у ) _ 9{р, V) следовательно: }(х ,у )й х Л у = о /(рсо^^р,р$^п (р)р(1рс11р. О' Здесь и = р, V = (р. Элемент площади в полярных координатах й З = р <1р4(р. Пример 26. Найти интефал от функции /{х. у) = х^ + у^ по области О . являющейся четвертью круга: х^ + у^ ^ ■ . х ^ 0. у ^ 0. Решение. Область О ' определяется неравенствами: тельно. {х^ + у^) Лх Лу = (р^ С05^ Ч>+ < р )р п/2. Следова <1рЛ!р = жН* Пример 27. Объем цилиндрического тела, офаничеиного снизу полукругом Г ) : ( 1 - 1 ) Ч » Ч 1, !/^ 0; а сверху — поверхностью г = х у , равен V = 2 (1х ( 1у = ху Ах (1у. Таким образом, ж/2 2сся>р ж/2 У= ^^{р^со 5^р'&^п(р)р(^р<^^р = ^ (1(р ^ 1У 0 = | < = сок^э, ( И ~ — 51П 1р<11р, со&*р-в\П(р(1р = 2 ^ со5^(р ■5т (р< 1(р = 0 О = СОКО = 1 , 12 = со к ~ г 1^'^ I = -2/е^<й = - 2 - [ = -. Пример 28. Найти площадь 5 куска <т поверхности г = ху, проекцией О которого на плоскость О х у является круг Решение. 8 = ^ 1. ^ 1+ (4 )^ + (4)^ ~ о \/1 + Лх Лу. Переходя к по- в ^рным координатам, находим, что область В ' определяется неравенствами О ^ р Тройные интегралы и и х свойства ®-4.1. О пределение тройного интеграла Пусть С — замкнутая ограниченная область трехмерного пространства с си'^темой декартовых координат О х уг, границей которой является замкнутая 'Ч'сочно гладкая поверхность, а и = / (х , у, г ) — некоторая функция, за■'^анная и ограниченная в области С . Разобьем область С произвольно на п частичных замкнутых областей не имеющих общих внутренних точек и офаниченных кусочно гладкими замкнутыми поверхностями. В каж дой частичной области С ( с объемом ДУ; возьмем (внутри или на ее границе) произвольную точку М^{x^, у^, и составим сумму П ^п = ^ п x ^ ,У ^ ,г ^ )А V ^ , 1= 1 называемую интегральной суммой. Наибольщий из диаметров <I^ областей С^ обозначим й. Если существует конечный предел ^ (см. определение двойного интефала), к которому стремятся интефальные суммы когда наибольший из диаметров й частичных областей стремится к нулю (при этом п оо), то этот предел называется тройным (трехкратным) интегралом от функции /(х , у, г) но области С , а функция / (х , у, г ) называется при этом интегриру емой (по Риману) в области С . Обозначения тройного интефала: ^ = 1Л / {х ,у ,г )а у = I I I о П М ) ( 1У = I I I а {(х ,у ,г )й х й у Л г . о Здесь выражение (IV = <1х Лу Лг называется элементом объема в прямоугольных (декартовых) координатах. Согласно этому определению интефала, для любого числа с > О найдется число (5 > О такое, что |7 - 7„| < е, если только (^ < <5. Классы интегрируемых функций. Каждая из следующих функций является интефируемой (по Риману) в офаниченной замкнутой области С : 1) Фун кц ия, непрерывная в области С . 2) Ф ункц ия, определенная и офаниченная в области С и имеющая в С разрывы лишь на конечном множестве кусочно гладких кривых и по верхностей. Произвольные, но конечные изменения значений функций на таких кривых и поверхностях не изменяют величины интефала. 8.4.2. М ногократный интеграл МногократныйI (или п-кратный) интег интеграл от функции и = / ( х , , .. . , х „ ) по за мкнутой офаниченной 1иченной области С в п-мерном ; пространстве Е " : ^=II I / {Х \ ,х 2, . . . , х „ ) ( 1х ^ а х 2 ... (1х„ определяется аналогично трехкратному интефалу. При этом объем п-мерного прямоугольного параллелепипеда равен по определению произведению длин его ребер, выходащих из одной вершины. Элементарный объем в Е " равен (IV = (1x 1 (1x 2 ■■■<1х„. Свойства тройного (а также многократного) интеграла те же, что и свойства 1)-7) двойного интеграла, приведенные в 8.3.3. Если = 1 в С, то п-кратный интефал (в том числе тройной) равен объему V области С : II 8.4.3. I (1 x 1 Лх2 ■■■ (1 х „ = V. Вычисление тройных интегралов 1. Пусть пространственная область С , имеющая форму параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат, определяется неравенствами: в| ^ X ^ 6| , «2 ^ г/ ^ “ 3 ^ 2 ^ 63. Тогда нахождение тройного интефала сводится к вычислению повторного интеграла по формуле: ///■ / { х , у , г ) ( 1х йу д,г = с 63 &2 6| = ^2 / { х , у , г ) а х ( 1у ( 1 г = ! 0} 02 0| йг ! Оз ^1 (1 у ! 02 / { х , у , 2 ) ( 1х. 0| Здесь интефирование в повторном интеграле справа сначала проводится По X (при этом у, 2 считаются постоянными), а затем последовательно по переменным у н г. Последовательность интефирования может быть и другой (ср. с 8.3.4). 2. Если пространственная область С является цилиндрическим телом, ограниченным снизу и сверху поверхностями 2 = Н \(х ,у), г = к 2{х ,у ) со ответственно, а с боков — цилиндрической поверхностью, сечением которой Плоскостью О х у является область О (рис. 8.10), то справедлива формула Ы^,у) { ( х , у , 2 )( 1 х ( 1 у (12 = а а х (1у о У { ( х , у . 2 )( 12 . к,{х.у) Здесь интефирование справа производится сначала по 2 , в предположении, "•То X, 2/ постоянны, а затем — по области О , т. е. тройной интефал сводится двойному В частности, если О определяется неравенствами а < х ^ /'(® ) С У < М х ) , то ь Мх) } { х , у , г ) ( 1х ( 1у <12 = ^ йх ^ О а / 1(1 ) Ых . у ) < 1у У Л ,( 1 .у) / (х , у, г )й г . Ри с. 8.10 Примечание. Поверхность Е , ограничивающая цилиндрическое тело С , пересекается каждой прямой, параллельной оси О г, не более чем в двух точках (рис. 8.10). Если прямые, параллельные осям координат, пересекают I) более чем в двух точках, то С следует разбить на такие частичные области, чтобы поверхность каждой из них пересекалась с соответствующей прямой не более чем в двух точках. При этом интефал по С равен сумме интегралов по частичным областям. Пример 29. Вычислим интеграл ^ от функции и = хуг по области О : х^+у' + а^ ^ X ^ О, у ^ О, .г > 0. Решение. Область О : Следовательно: 3 = + у^ ^ I, * ^ 0 , у ^ О или 0 < х ^ 1 , 0 < у ^ хуг Лх Лу <12 = С Лх Лу о ^ а хуг Лг = 1 8.4.4. З а м е н а переменных в тройных интегралах Пусть функции X = х ( и , V, и;), у = у{и, » , ш), г = г ( и , V , ы ) , имеющие не прерывные частные производные первого порядка по « , » , « ) . устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками М (х , у. г ) офаниченной замкнутой области С пространства О х уг, фаницей которой является за мкнутая кусочно гладкая поверхность и точками М '{и , V, ш) области С ' про странства 0 'иVV^, а якобиан Хп ^ ^ д { х , у , 2) Уи д{и, V, V]) 1 / 4 у'ь, ФО (в области с'). 4 Тогда для каждой интефируемой в области С функции /{х . у, г ) справедлива следующая ф о р м у л а з а м е н ы п е р е м е н н ы х : III с = / { х { и , ь , т ) , у { и , г , т ) , г(и , г, т ) ) |7| (1и йи с1и . О' Здесь выражение |7| йи (IV < 1ш называется элементом объема в криволинейных координатах а, и, ю. Ч а стны е сл учаи кр и в о л и н е й н ы х координат. ') В цилиндрических координатах р ,(р ,г имеем: х = рсо^(р, у = р^т/р, д(х, у, г ) 2 = X ( и = р, V = ю , V) = г ) , 3 — — г = р, элемент объема равен 0{р.<р,г) р Лр с1(р Л г. 2) В сферических координатах р ,в,(р имеем: х = р & т в с о 51р . у = р & т в 1^\п1р, д(х, у, г ) -у г = р со$в {и = р, V = в, V) = (р), ^ = — — -— г = р $1п^, элемент о\Р> ^ объема равен 81п 9 4р (10 (1(р, Пример 30. Вычислить интефал от функции / (х ,у ,г ) = г по области 6 , ограни'*«Нной верхней полусферой + у^ +г^ ^ Я {г ^ 0) и плоскостью Оху. В сферических координатах область С переходит в С': О ^ ^ % 1р ^ 2т. следовательно. гЛхЛуЛ 2 = {рсо&в)р^ % тв ЛрЛв Л1р = Д, О ^в^ж /2, ж/2 2ж =^ О О 2т Я ^ (1 9 ^ С05 в & т в ё р = ~ О ж /2 ^ 0 ^ О<10 = 0 4 — = 51Пв, (II — СО50 (16, I] = ^(0) = 0, 12 = I ~ ^ ~ ^ I пК* ~ —— . [> Пример 31. Найти объем V тела О, офаниченного поверхностями; \) 2 = х^+у^, 2} г = л/х^ + у^. Решение. Уравнения поверхностей в цилиндрических координатах: I) г = р^, 2) г=р. Координаты точек пересечения этих поверхностей находим из уравнения = р. имеющего корни р, = О, ^2 = I- Следовательно, поверхности пересекаются в точке 0(0; 0) и по окружности р^ = = I, г = !. Область С' (соответствующая области С ) описывается неравенствами: 0 ^ / ? ^ К О ^ у ? ^ 2тг, р ^ г ^ р. Отсюда V = (1х (1у (1г = а р (1р (1<р — с 2ж =^ \ р 2ж I лр ^ рлг = ^ - р ’ )ар=^-ж. 1> 8.5. Криволинейные интегралы Криволинейные интефалы являются обобщением обычного одномерного определенного интефала, взятого по отрезку прямой, на случай, когда интефирование проводится по отрезку кривой (плоской или пространственной) 8 .5.1. Криволинейны е интегралы первого рода 1. Пусть и = } ( х , у, г) — функция, определенная и офаниченная на от резке А В кусочно глаакой пространственной (в частности, плоской) кривой С , определяемой параметрическими уравнениями х = х ( 1), у = у { 1), г = ' (<1 ^ ^ Ьг). При этом начальной точке А и конечной точке В кривой ^ соответствуют значения параметров <| и <2 соответственно. Разобьем отрех»^ А В произвольно на п частичных отрезков точками А = Мо, М ,, ■■■, Л/„ = ^ (рис. 8.11). Длину частичного отрезка кривой М ,_ |М , (г = 1,2 п) обо значим А1,. На каждом частичном отрезке М , ,М , возьмем произвольную мчку N^(x^, У 1, 2 {) и составим сумму П =Е 1= 1 П =х; 1= 1 У'’ Чмываемую интегральной суммой. Пусть Д/ — наибольшая из длин . Если существует конечный предел 3 (см. 7.2.1) интегральных сумм при ^ О (п -> оо), то этот предел называется криволинейным интегралом первого 1 ’<'Да от функции /(ж, у, г) по кривой А В (или С ). Обозначения: 7 = У / ( М ) (11 = I / (х , у, г ) Л = 1 /(х , у, г ) М. (8. 15) ^Ри этом кривая С может быть и замкнутой, если точки А к В совпадают. Поскольку все длины в интегральной сумме положительны, неза висимо от направления прохождения кривой С при интегрировании от А В или от В к А, криволинейный интефал первого рода (8.15) не зависит направления прохождения кривой С , т е . I АП / {х , у, г ) I / ( х , 2, , ^ ) Л . ВА В ч а с т о м случае кривая А В может быть замкнутой. 2. Свойства криволинейных интегралов первого рода. Если существуют со ответствующие интефалы, то справедливы следующие соотношения: 1) I [ а М М ) + 13ММ)]с11 = а ^ АВ где а,13 — любые числа. 2) ^ / { М ) Ш = I АВ ^ АВ / ( М ) Л + У }(М )(1 1 , АВ АС СВ где С — любая точка кривой А В , лежащая между А \\ В . 3) I }(М )Ш ^ ! \ }{М )\ С Ч - АВ АВ 4) Если / ( М ) непрерывна на А В , то на этой крию й найдется точка Р такая, что / / ( М ) Ш = 1- } ( Р ) (I - длина А В ) . 3. Существование криволинейных интегралов первого рода и их вычисление. Если функция / (х , у, г ) офаничена и кусочно непрерывна на кусочно гладкой кривой С , т о эта кривая может быть разбита на конечное число отрезков без общих внутренних точек, на каждом из которых функция н е п р е р ы в н а . При этом интефал по кривой С определяется как сумма интефалов по всем гладким отрезкам, составляющим эту кривую. В связи с этим о ф а н и ч и м с я здесь случаем непрерывной функции, заданной на гладкой кривой. Если гладкая кривая А В в пространстве О х уг задана параметрически х = х{Ь)< у = у ( 1), 2 = 2 ( 1) ( < 1 ^ 4 ^ Ьг), а функция / ( М ) = / ( х , у , г ) н е п р е р ы в н а на А В , то криволинейный интефал первого рода (8.15) от / ( М ) по кривой А В существует и справедлива формула, сводящая криволинейный интеграл к обычному определенному интефалу У 1(М )т = у АВ [ } { х ( 1), у { 1), г { 1 ) ) ) ^ [ х ' т + [у’а ) ? + (г'(<)Р М- (| Аналогичная формула справедлива и для кривой на плоскости Оху- Если в качестве параметра выбрать длину I дуги кривой А В , отсчитываемую некоторой фиксированной точки этой кривой в определенном (положитель ном) направлении (по аналогии с координатой х на оси Ох), т. е, х = х (ч ’ у = у{1), г = г(1) {1, ^ к ), то I / { М ) М = 1 1 {х ( 1) , у ( 1) , г ( 1)) Ш . (8-17) Если при этом I = 1(1), то <и=^(и = \1\х'(1)? + [у'Ш + [^'Ш<И = ^ ( й х ) 2 + (Й2/)2 + (й г)2 , где знак перед корнем обычно выбирают так, чтобы было (11/й 1 > 0. Если гладкая кривая А В на плоскости О х у задана в виде у (а ^ X < 6), т. е. в качестве параметра берется х, то = у(х ) ь I } ( М ) й1 = I АВ / ( х , у ) ^ \ + [ у '{ х ) ] Ы х . (8.18) а Отметим, что интепзалы по параметрически заданным кривым в правых частях формул (8.16)-(8.18) изменяют знак на противоположный при переста новке пределов интефирования (по свойству определенных интефалов), т. е. при изменении направления интефирования, когда В становится началом, а Л — концом кривой. Пример 32. Если А В — верхняя полуокружность радиуса Н с центром в начале координат, имеющая параметрические уравнения х = Ксо51, у = (О ^ ^ тг) ч при этом А = (Д, 0), В = { - Я , 0), то ^ 005^ I; <и = л/В ? сов^ 1 + Ш = 81п^ I Л1 = В с И ] = лв = ^ д ’ со?’ 1Ш = ^ ^ (^ + со8 21) (11 = ^ 81П 21 «+ - X - 8-5.2. Криволинейные интегралы второго рода I. Пусть А В — отрезок кусочно гладкой кривой С (А — начало, В — ко нец этого отрезка), Р (х , у, г ) = Р ( М ) — функция, определенная и оф аниченНая в точках М (х , у, г ) на А В . Аналогично 8.5.1 разобьем отрезок А В произ вольно на п частичных отрезков (рис. 8.11) точками Мо = А, М и ... , М „ = В На каждом из этих частичных отрезков возьмем произвольную точку 2/,', г ,), обозначим через А ц = Х{ проекцию вектора М^-\М^ На ось Ох, составим интегральную сумму п л = п Р {N ^ )А x ^ = ^ 1= 1 Пусть Д/ — наибольшая из длин 1= 1 Р ( x ^ , У ( , г ^ )А x ^ . Если существует предел ^ (см. 7.2.1) интегральных сумм при Д/ -»0 (п -> оо), то он называется криволинейным интегралом второго рода. Обозна чения: ^ = ! Р (х , у, 2 ) ах = ! Р (М )й х . с АВ в частности, кривая С может быть замкнутой. Аналогично, для функций ^ {x , у, г ) = Я ( М ) и К (х , у, г ) = К ( М ) , опре деленных и офаниченных на кривой А В , можно определить интегралы ^ Я {х ,у ,г ) (1 у и У Л ( X , у, г ) с1г. Складывая эти три криволинейных интефала от функций Р , К по од ной и той же кривой А В , получим общий криволинейный интеграл второго рода по кривой А В : /' Р (ж , у, г ) <1х + <5(х, у, г ) йу + П (х , у, г ) (8.19) АВ являющийся, по определению, пределом интефальных сумм вида П ^ [Р(Л Г,)Д х. + ^ (N ,)А у , + Д(ЛГ,)Д 2.], 1де Д х ь Ау^, Аг^ — проекции вектора М^-\М^ на оси О х, О у , О г. При изменении направления интефирования, когда точка В становится началом, а А — концом кривой, знак криволинейного интефала второго рода изменяется на противоположный при неизменном абсолютном значении; ^ Р Лх + ^ (1у + К Л г = - ^ Р Фх + ^ Лу + Е Л г . АВ ВА В частном случае, когда кривая А В является отрезком |о;Ь| оси 01' криволинейный интефал Г АВ переходит в обычный интефал ь Р (х , у ) Лх Если кривая А В лежит в плоскости О х у, то криволинейный интеграл при нимает вид У Р { х , у ) ах + ^ ( x , у ) йу. АВ Если при этом точки А к в совпадают, то кривая интефирования (не име ющая точек самопересечения) является замкнутой. Из двух возможных на правлений обхода такой кривой положительным называется то, при котором область, ограниченная этой кривой, остается по левую сторону от направ ления перемещения точки по кривой. Говорят также, что точка при этом совершает обход кривой против часовой стрелки. Криволинейный интефал по замкнутой кривой С с положительным обходом обозначается: / Р (х , у) ах -Ь (3(х, у) йу. с в частности, площадь области на плоскости О х у, офаниченной одной кусочно гладкой замкнутой кривой С , находится по (Цюрмуле 3 = ^ ^ Х(1у ~ у (1 х . с Пример 33. Вычислить интефал "о периметру треугольника О А В с вершинами 0(0:0), А(1; 0), В(1; I). ?»шенив. ■^= ^ уЛх + х^Лу + ^ уЛх + х^ < 1у + ^ уЛх + х^ йу = ОА во АВ — {н а ОА: у = О, с1у = 0; на А В : х = 1, Лх = 0: на В О : у = х. Лу = Лх} = I = 0+ I о о Лу + I ( х + х ‘)(1х = ^. > I 2. Свойства криволинейных интегралов второго рода. Если существуют со“Твегствуюшие интефалы, то справедливы следующие равенства: I) 1\аММ) +^ЫМ) ]<1х = а ^ М М ) Лх + р ^ /г{М)ах, АВ где а , Р — любые числа. АВ АВ 2) ^ {(М )й х = ^ {(М )й х + I {(М )й х , АВ АС СВ где с — точка кривой А В , лежащая между А н В . Криволинейный интеграл второго рода зависит от начальной и конечной точек кривой и, в общем случае, от ее формы. Случай, когда интефал не за висит от формы кривой, рассматривается в 8.9. 3. Существование криволинейных интегралов второго рода и их вычисле ние. Если гладкая кривая А В в пространстве О х уг задана параметрически X = х(«), у = у{1), г = г(1) (Ь\ 1г), а функции Р ( М ) , ^ ^ М ). К ( М ) , где М (х , у, г ) — точка на А В , непрерывны на А В , то существуют криволиней ные интефалы ^ Р (М )й х , ! ^ (М )(^ x , АВ ^ Н (М )а г АВ АВ И справедливы следующие формулы, сводящие криволинейные интегралы к обычным определенным интефалам 17 у Р{х(1),у(1),т)х(Ь)(И, Р (М )й х = I АВ I 1\ (2 д {м )й у = I У К (М )й 2 = I АВ д {х Ц ),у (1 ),2 {1 ))у '(1 )а 1 , К {х (1 ),у (1 ),г {1 ))г '(г )М . и Складывая левые и правые части этих равенств, получим формулу, сво дящую общий криволинейный интсфал второго рода (8.19) к обычному опре деленному интсфалу по переменной I от <| до <2Аналогичные формулы справедливы и для кривых на плоскости Оху В частности, если кривая А В задана непрерывно дифференцируемой (глаД' кой) функцией у = у{х ) (а ^ х ^ Ь), а функции Р ( х , у), д (х , у) непрерывны на А В , то ь у)д,х = ^ Р { х , у ( х ) ) Лх, АВ а Ь Если функции Р ( М ) , ^ { М ) , Е { М ) ограничены и кусочно непрерывны на некоторой кривой, то эта кривая распадается на некоторое число отрезков, на кажаом из которых данные функции непрерывны. Интефал по кусочно падкой кривой определяется как сумма интефалов по всем гладким отрезкам, составляющим эту кривую. Пример 34. Вычислить интефал ^ =! х уЛ х -\р Лу АВ локривой А В , являющейся четвертью окружности с уравнениями х = Ксо&1 , у = Н % т 1 (0< 4< х/2), где А = (К ;0 ) при 1 = 0, В = (О, Н) при I = тг/2. »/г »/2 Решение. ^ = ^ И?(-ах?1с<к1-%т^1сс&1)(11 = -2Н? ^ 5шЧсо5<<й = о > о Пример 35. Вычислить интеграл ^ = ^ (у - X*) йх + ху йу лв 10отрезку параболы у = у{х) = (О ^ х < I ) от точки 4(0; 0) до В ( I ; I ). ?»шени« 8'5.3. С вязь криволинейных интегралов первого и второго рода Ь:ли X = х Ц ), у = у { 1), г = 2 ( 1) — параметрическое задание гладкой кривой ' где в качестве параметра берется длина I дуги кривой (см. 8.5.1), то '’зправляюшие косинусы со5 а ( М ) , со8/3(М), со8 7 (М ) вектора касательной ‘'Кривой А В в переменной точке М (х . у, г ), направленного в положительном Направлении кривой, равны I I с о 8 а (М ) = ^ , со8,9(М ) = ^ , с о 8 7 (М ) = ^ . ш о1 ш В силу этого получим формулу, устанавливающую связь между интефаПервого рода (в правой части равенства) и второго рода (слева): I Р { М ) йх + ^ ( М ) йу + Д ( М ) йг = АВ = ^ АВ [ Р ( М ) С05 а ( М ) + ^ ( М ) С0 8 / 3 ( М ) + Д ( М ) с о 8 7 ( М ) ] Л1. 8.6. Поверхностные интегралы 8.6.1. Д вухсторонние и односторонние поверхности Непрерывная без самопересечений поверхность в пространстве называется гладкой, если в каждой ее точке М (х , у, г ) существует единственная касатель ная плоскость, положение которой в пространстве изменяется непрерывно при непрерывном перемещении точки М по этой поверхности. Поверхность, состоящая из конечного числа гладких кусков, соединенных друг с другом без разрывов кусочно гладкими кривыми, называется кусочно гладкой. Вектпром нормали (единичным) к поверхности Е в точке Мо называется вектор п(Мо), приложенный к Мо и перпендикулярный к касательной плоскости в Мо. Возьмем на гладкой поверхности Е любую точку Мо и будем перемещать эту точку по произвольной замкнутой линии, лежащей на Е , проходящей через Мо и не имеющей общих точек с фаницей Е . Если при возвраще нии Мо в первоначальное положение изменяющийся вектор п(М о) также возвращается в первоначальное положение, то такая поверхность называется двухсторонней, если же направление нормали меняется на противоположное, то поверхность называется односторонней. Примеры двухсторонних поверх ностей: плоскость, цилиндрическая поверхность, сфера и т д. Примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса, для получения которого прямоугольную полосу А В В 'А ' (рис. 8.12 а) перекручивают на 180° и скле ивают сторону А В с А в ' так, чтобы точка А совпала с В ' . а В — с А (рис. 8.125). Если же совмещают А с А ', а В с В ' без перекручивания поло сы, то получается цилиндр (рис. 8.12 в). Различия двухсторонней (цилиндр) и одностороннел (лист Мёбиуса) поверхностей состоят в том, что фанииа цилиндра состоит из двух кривых, а листа Мёбиуса — из одной: цилиндр можно непрерывным движением кисти по замкнутой кривой (не [1срссекая его границ) окрасить только с одной из двух его сторон. то1да как лист Мёбиуса окрашивается при этом целиком, т е . имеет только одну сторону. Далее везде рассматриваются только двухсторонние поверхн(х:ти. Двусто ронняя поверхность Е имеет две стороны, которые в каждой точке Мо на 5 различаются противоположными направлениями нормалей к Е . Выбор опр<:' деленной стороны поверхности Е называется ее ориентацией. Ориентация ^ определяет для каждой замкнутой кривой С на Е положительное направле ние обхода С такое, что при обходе С в этом направлении внутренняя часть поверхности, ограниченная кривой С , остается слева от направления этого обхода, если смотреть из конца выбранного вектора нормали. Иначе говоря, обход соверщается против часовой стрелки. 8.6.2. Площ адь поверхности Если некоторая двухсторонняя поверхность Е , !аданная параметрически оД' позначными непрерывными функциями х = x (и ,V ), у = у { и ,у ), г = В' А’ а) В. А ' В. В ' Ри с. 8.12 где (и, г) — любая точка некоторой офаниченной замкнутой области П в плос кости О иу, является гладкой, т. е. первые частные производные от х = х(и, и), У = у{и, I)), г = г(а , и) непрерывны и ^4^ + Л _ 9( у , 2) ^ Уи д {и ,у) У'ь г„ 4 В = > О, где в { 2 ,х ) С = 5(и ,и ) д {х ,у ) д (и ,у ) площадь 5 этой поверхности определяется по одной из следующих двух Формул: \) 8 = Ц ^ / А Ч ^ В Ч ^ (^ и (1 V , 1г 2) 5 = ^ V ЕС - йи (IV, 11 где ^ ~ {х'и)^ + (у'иУ + (г'и)\ О = (х,)^ + + (4 )\ Р = х'^Х„ + у '^ „ + . ^“ Дынтефальное выражение (13 = \ / Е С — Р^ (1и (IV называется элементом *''0Щади поверхности Е в криволинейных координатах и,V. Если гладкая оверхность задана однозначной функцией г = } ( х , у ) (т. е. ^ и н у ) с непрерывными первыми частными производными, то площадь X этой поверхности, офаниченного кусочно гладкой кривой, находится по формуле где Е ' — область, являющаяся проекцией И на О ху. Площадь кусочно гладкой поверхности равна сумме площадей составля ющих ее гладких кусков. Пример 36. Найти площадь куска конической поверхности г = екцией О которого на плоскость Оху является круг (х с центром в точке (Д , 0). + ^ > О, про ^ радиуса Я Решение. В полярных координатах х = рсо$ 1р, у = р5\тр круг О определяется не равенствами: О $ $ 2Дсо8^, —7г/2 ^ ^ < тг/2. Так как (г^)^ + ( 2 ^)^ = 1, находим: » /2 5 = •ЛЛхЛу = '/2 I 2 Я с0 5 (! Л<р ^ 1 /2 рЛр = 2'/2К‘ ^ со$^1р Л 1р = -ж/2 '' = ^2К' I т/2 {\+со5 2^)(^^р = V 2 Я '(^ ^ р + ^ - ^ ^ = 1г\/2К \ [> - 1 /2 ->г/2 8.6.3. Поверхностные интегралы первого рода Пусть на двухсторонней 1усочно гладкой поверхности Е (либо незамкнУ' той. либо замкнутой) определена ограниченная функция / ( М ) = } ( х , у л ) ' где М — точка на Е . Разобьем поверхность Е кусочно гладкими кривыми (рис. 8.13) на п частичных произвольных поверхностей Е , (1 = 1 ,2 ,..., п) без общих внутренних точек с площадями Д 5 ;, А — наибольший из диаметров этих частичных поверхностей. В каждой из поверхностей Е , возьмем произ вольную точку М^(x^, у^,г^) и составим интегральную сумму П ^п = '^ ^ {x ^ .у ^ ,г^ )А З ^ . 1= 1 Если существует предел ^ (см. определение двойного интефала), к кото рому стремятся интегральные суммы при ^ О (п -> оо), то он называет*:*' поверхностным интегралом первого рода от функции / (х . у, г ) по поверхности Е . Обозначения: Поверхность Е может быть как замкнутой, так и незамкнутой. Если /(М ) = 1 на I), то интефал ^ равен площади 5 поверхности Е . И з опре деления поверхностного интеграла первого рода следует его независимость от выбора стороны поверхности Е (т. е. от ее ориентации). 8-6.4. С ущ ествование и вычисление поверхностных интегралов первого рода ЬУ1И на гладкой двухсторонней поверхности Е (замкнутой, либо незамкнутой), ^ и н о й параметрическими уравнениями х = х(и, в ), у = у{и, п), 2 = 2 {и, ю), УДоалетворяюшими условиям 8.6.2, определена функция /(х , у, г ), непрерывНая в точках М поверхности Е , то поверхностный интеграл первого рода / ( М ) по Е существует и справедлива следующая формула, сводящая его двойному интегралу: }(М )й 8 = т. / {х (и , V ), у(и, и ), г{и , » ) ) V Е С - Ли о Где П _ ограниченная замкнутая область на плоскости Оию. Для поверхности Е , заданной однозначной непрерывно дифференциру емой функцией г = 2(1 , у) в области Е ' на плоскости О х у, имеем }(М ) = / (х, г/, 2(1 ,!/)) ^ 1 - Ь (4 )^ + (4 )^ Интефал по кусочно гладкой поверхности находится как сумма интегра лов по составляющим ее гладким поверхностям. Пример 37. Вычислить интеграл ■/ = 1 1 (х^ + у")Л 8 Е по части I) поверхности конуса г = л/х^ + у^, заключенной между плоскостями г = 1, г = 2. Решение. Область I)', являющаяся проекцией Е на плоскость Оху, офаничена окруж ностями + 2/^ = 1 и = 4. В полярных координатах х = /) С05 у = /)51пу) область О определяется неравенствами I ^ < 2, О < ^ ^ 27Г. Учитывая, что {г',У + {г'у)^ = I, получим 2 3= л/2р’ Лрё1р = у/2 ^ П 8.6.5. 1 2» 2 Лр ^ <^<Р = 2у'2тг ^ р' Лр = 0 1 Поверхностные интегралы второго рода Пусть на двухсторонней кусочно гладкой поверхности Е , заданной одно значной функцией г = г { х , у ), определена Офаниченная функция / { М ) = / ( 1 , 1/, г ), где М — точка на Е . Разобьем поверхность I) на произвольные части Е ; (» = 1, 2 , . . . , п ), в каждой из которых возьмем произвольную точку У1, (аналогично 8.^ 3). Пусть й — наибольший из диаметров частей . С каждой точкой М^ свяжем единичную нормаль п { М 1) к поверхности 2 с направляющими косинусами со8 а(М <), со$^{М ^), со8 7 (М ;). Пусть Е ! — проекция на плоскость О х у, ^ — граница ^^,С^ — фаница Е ' (рис. 8.14). Если поверхность Е ориентирована, т. е. выбрана одна из ее сторон (одно из направлений нормали п { М ) в каждой точке М ) , то тем самым выбрано и положительное направление обхода фаницы С^ поверхности Е* (см. также 8.6.1). Площадь Д5,' = А 8^со5 'у{М^) проекции Е| берется со знаком плюс (или минус), если векторы п (М ,) образуют острые (или тупые) углы с поло жительным направлением оси О г или, что то же самое, фаница С1 обходится в положительном (или отрицательном) направлении, когда фаница С^ обхо дится в положительном направлении. При этом говорят также, что выбрана верхняя (внешняя) Е"*" или нижняя (внутренняя) Е “ сторона поверхности 5^' На рис. 8.14 нормаль гё(М ) соответствует верхней стороне поверхности Е . Выбрав определенную сторону Е ’*' или Е “ интефальную сумму: П поверхности Е , со стави м Р и с . 8 .1 4 Если существует конечный предел ^ (см. определение двойного интефала), к которому стремятся интегральные суммы при О (п -> оо), то он называется поверхностным интегралом второго рода от / ( М ) повыбранной Стороне ( Е “ ) поверхности Е . Обозначения: ^ = 1 (М )с о % - ){М )А 8 = Л к }(х ,у ,г )й х й у . Е+(Е-) Если поверхность И может быть задана однозначными функциями х = х (у ,г ) " У = у (^ ,х ), то аналогично определяются также поверхностные интегралы ■•о стороне !)■'■ ( Е “ ) поверхности Е : / ( М ) С08 а ( М ) г. Ц Е } ( х , у , г ) ( 1 у( 1 г, Е + (Е -) !(М )с о ^ ^ (М ) а з = Е + ( Е ') ! ( х , у , г ) а г ( 1 х. После выбора определенной стороны поверхности Е поверхностный интеграл второго рода можно рассматривать как поверхностный интеграл первого рода по Е от одной из функций: / ( М ) со в а, } ( М ) со8/3, / ( М ) СО87. Изменение ориентации поверхности, т. е. замена одной ее стороны на другую, приводит к изменению знака поверхностного интеграла второго рода на про тивоположный при его неизменной абсолютной величине. Если Р ( х , у, г ), ^ {x , у, г ), Е { х , у, г ) — функции, определенные на одной поверхности Е , то рассматривают также общий поверхностный интеграл второго рода, определяемый как сумма трех поверхностных интефалов от функций Р, Я по одной и той же стороне поверхности Е , либо незамкнутой, либо замкнутой; Р ( 1у Л 2 + д а г ах + Н й х йу = 5: Р(1у(1г + Е д<1 2 (1х + Е НЛхЛу. Е 8.6.6. С ущ ествование и вычисление поверхностных интегралов второго рода Если на гладкой двухсторонней поверхности Е (незамкнутой, либо замкнутой), заданной параметрически функциями х = х (и , « ), у = у {и ,V ), г = г{и,V). удовлетворяющими условиям 8.6.2, определена непрерывная на Е функ ция / ( М ) = / { х , у , г ) , то поверхностные интегралы второго рода от }{ М ) по внешней стороне Е ^ поверхности Е существуют и справедливы формулы: }(х ,у ,г )а х а у = ± Е+ / ( х { и , ь ) , у { и , у ) , 2 {и, « ))С й и й и , П / (х , у, г ) Е+ Л = ± / {x {и ,V ),у {и ,V ),г { и , V ))В (Iи (^ V , п / { х , у , 2) й у а г = ± I I { { x ( и , V ) , у ( и , V ) , г ( и , V ) ) А ( 1 ие^V. В предьщущих формулах справа берется знак плюс, если направление обхода границы области П на плоскости О и« совершается против ч а с о в о й стрелки, и минус — в противном случае. Выражения для А, В , С приведены в 8.6.2. Складывая три предьшущих интеф ала, найдем: Л Рс1у(12 + да2(1х + п а х а у = ± Ц ( А Р + в д + с н ) Ли й». Е+ !! Если поверхность Е задана однозначной функцией г = г ( х , у ). то на правляющие косинусы единичной нормали п ( М ) к этой поверхности нахо дятся п о ф о р м у л а м С05 а ( М ) = --- —, со 5 (б (М ) = Тл/1 +р^ + д^’ Тл/1 +р^ + 9^’ 1 с о 5 7 (М ) = 92 ------- у = = = = . Р = - ^ . Я = ^ , ±-\/1+Р^ + 9 верхние (нижние) знаки перед радикалами соответствуют внешней Е'*' (внутренней Е ~ ) стороне Е . В этом частном случае параметрические уравне ния поверхности Е имеют вид: х = и , у = г , г = г(и, V) и где Л8 = \/Е С - Ли Ль = \/| +р^ + Лх йу, следовательно, поверхностный интефал } { М ) по стороне Е"*" ( Е “ ) поверх ности Е равен: / {х ,у , г ) ах (1у = ± Е+(5]-) } { х . у , 2 (х,у))< 1 х Л у, 5:' где знак плюс (минус) перед двойным интефалом справа берется при выборе стороны Е'*' (Е ~ ), Е ' — проекция Е на плоскость О ху. П р и м е р 38. Вычислить интефал + г )й хй у по: 1) верхней стороне И'’’ поверхности г = ^ этой поверхности. -Ь у^, О ^ 2 ^ 2) нижней стороне ^шение Проекцией Т! поверхности Е на плоскость Оху является круг -\-у^ ^ К ' . •Переходя в двойном интеграле к полярным координатам х - рсо&(р, у = р$\п<р, ^^аходим: 2ж Н 1) Ц ( х ^ + у^ + г ) Лх Л у = {2х^ 2у^) Л х Л у = ^ I V Е+ 2ж Я ~ ~ О 2 р ’ й р д.>р = 0 0 ’ О 2) Л(х^-\-у^ + г)( 1х 4у = - { 2х^-\-2у^)АхАу = -тгК*. пример 39. Вычислить интефал 7= хЛу йг ^ уАгАх Е+ . г Лх Ау, > где — верхняя сторона (нормали к ней образуют острые углы с осями Ох, Оу, Ог) части плоскости х у + г ~ \, отсеченная от нее плоскостями х = 0. у =0, г= 0 и являющаяся треугольником с вершинами Л(1; 0; 0), В{0, 1; 0), С(0; 0; 1). Решение. Введем обозначения: 7 = ^, + ^2 + х(1уАг + I I уй гйх + Ц гЛхЛу, 1:+ Е+ Е+ — области на координатных плоскостях, являющиеся треугольниками О В С . О СА. О А В соответственно. Находим: =Л хауАг = Л { \ - у - г ) 4 у 4 г = Ц Е+ \ 0\ \-у I 1-у Л у^г- Ц уА уЛ г- Ц 0[ О] 0\ I 1-» I (1 = ^ <^У! 0 0 ^2 = Л ! уЛу ! 0 Л г-! 0 йу 0 г<1уйг 2 0 — уУ о уЛ 2.Лх = Л { \ ~ 2 - х) (12 (1х; Е+ 02 ^3 = Л г Л х А у = Ц ц - х ~ у )а х с 1у. 1:-* Пз Из симметричного вила подынтефальных выражений в 31, 3^ и областей интефирования В \, 1>2, Вг следует, что7| — 3-^ = Зу. Таким образом, / = 7,4 - + «/з = 3^1 = 8.6.7. С вязь поверхностных интегралов первого и второго рода Если поверхность Е (замкнутая или нет) задана параметрически х = ж (и ,» )’ у — у (и ,у ), г = г { и , г ) , то направляющие косинусы нормали п ( М ) к вы бранной стороне поверхности Е определяются по формулам ^ ^ 008 й = ±^А^ + в и - с ^ ' В ± ^ А ^ + в^ + с ^ ’ с С05 7 = — , . . ± л/ТТЖ Т с^ Здесь знак перед радикалом берется в зависимскти от выбора стороны по верхности Е ; выражения для А, В , С приведены в 8.6.2. Справедлива следующая формула, связывающая поверхностный интеграл второго рода (левая часть равенства) и первого рода (правая часть): Р йу йг + ^ Лг йх + К й х Лу = { Р со&а + ^ сая() + Н со ^ у ) ЛЗ- где С05 0 , со8;3,со5 7 — направляющие косинусы нормали к стороне Е"*" по верхности Е (замкнутой или нет). При переходе к стороне обе части этого равенства изменяют знак. Интеграл по кусочно гладкой поверхности нахо дится как сумма интегралов по составляющим ее гладким кускам. Пример 40. Вычислить интеграл ^ хЛу Ли + у ЛгЛх + гйх Лу, Е+ где Е ’*' — верхняя сторона сферы + у^ + . Решение. В сферических координатах параметрические уравнения сферы имеют вид I = Д 81П й соя = Л 81П9 51П у , г: = Д С05 в (и = в , V = 1р ), В область П в плоскости Ов^ определяется неравенствами 2ж. Находим: Л = С05 й 8|П^ В = Д^ С08 9 51П у 008 у), С = Д ‘ 81П 9 С08 81Пв. Отсюда следует: со8а = 8 1 ПЙсо8 ^ = х /Л , со8у8 = 8 т 0 з т р = у /Я, СО8 7 = С0 8 Й = г/Д , при этом знак плюс перед радикалом связан с выбором стороны . Отметим, что эти выражения можно найти также с учетом коллинеарности вектора внешней нормали к сфере и радиус-вектора точки сферы г = ( х , у , г ) . Преобразуя интефал 3 в поверх ностный интеграл первого рода, найдем (Й5 = Л^ } = 8 1п ^ (* ' + у Ч г ^ )й 5 = Я \ т в м а ,р = Е О 2ж = в йв Л1р)'. ! X <1'Р ! 0 2ж 81П й йй = Л^ 2Л<р = АжЯ\ > о 0 пример 41. Вычислить интеграл 1— 2^ со&'уНЗ и По внешней стороне поверхности г — 4О ^ 2 < 1 ( 7 - острый угол между ^ ью Ог и внешней нормалью к данной поверхности). Чтение. Переходя к полярным координатам х = рсозу», у = р$\п(р, найдем 2ж I ^ = ^ ^ 2и x (Iу = Е+ 1Ч»Ч1 {х^ + у У ( 1х(1у = 2ж I р^(1р<1<р= ^ Л'р ^ “ “ 0 0 > 8.6.8. Геометрические приложения поверхностных интегралов Объем V тела, офаниченного кусочно гладкой поверхностью Е , может быть найден по одной из следующих формул: \) у = Х(1у(1г, 2) V = ^ ^ г йхЛу, у йг йх. А) V — - 5:+ 3) Е+ Е+ х йу -\^у йг йх + г йх йу, Е+ где Е'*' — внешняя сторона И. В частности, объем V шара радиуса й , согласно примеру 40, равен 8.7. Формула Остроградского 8.7.1. О д носвязны е и неодносвязные области Множество { М } точек пространства Е " ( п = I, 2, 3 , .. .) называется связным, е с л и л ю б ы е д в е е г о точки можно с о е д и н и т ь н е п р > ер ы Б Н О й к р и в о й , в с е точки к о т о р о й п р и н а д л е ж а т э т о м у м н о ж е с т в у { М } . Связное м н о ж е с т в о состоит к а к б ы из о д н о г о к у с к а . Пример 42. 1) Множество точек на оси О х, состоящее из двух промежутков (- 1 :0 ) и (1:3). не является связным; 2) множество точек на плоскости (или в пространстве), состоящее из точек двух непересекаюшихся кругов (или щаров), не является связным: 3) множество точек на плоскости, находящихся между двумя концентрическими окружностями, связно. Область О на геометрической плоскости называется о д н о с в я з н о й , если любую замкнутую простую кривую (контур), все точки которой п р и н а д л е ж а т О . можно непрерывной дес}юрмаиией стянуть в точку, принадлежащую Ооставаясь при этом в /5 и не касаясь ее границ (такая область не имеет отверстий), в противном случае область называется м н о г о с в я з н о й . На рис. 8.15 область О — многосвязная, так как контуры С [, С'2 , охватывающие от верстия, нельзя стянуть в точки в приделах V . Граница плоской конечной односвязной области состоит из одной замкнутой простой кривой. Всю плос кость причисляют к односвязным областям. О бласть С в трехмерном геометрическом пространстве называется: 1) п р о с т р а н с т в е н н о о д н о с в я з н о й , если любую замкнутую простую поверхность. Рис. 8.15 все точки которой принадлежат С , можно непрерывной деформацией стя нуть в точку, принадлежащую С . оставаясь при этом в С и не касаясь ее границ; 2) поверхностно односвязной, если любой контур, все точки которого принадлежат С , можно непрерывной деформацией стянуть в точку, принад лежащую С , оставаясь в С и не касаясь ее границ. Например, щар, а также все пространство, односвязны согласно обоим определениям. Область С , Получаемая исключением из внутренности сферы точек одной или несколь ких трубок, упирающихся концами в сферу (рис, 8.16), является только про странственно односвязной; неограничен ная область вне С неодносвязна в обоих смыслах. Внутренность тора — тела, об разуемого вращением круга вокруг пря мой, лежащей в плоскости этого круга ч не пересекающей его, является толь ко пространственно односвязной, тогда как внешность тора неодносвязна в обо их смыслах. Представление о форме тора Дает баранка или спасательный круг. 06■часть вне бесконечного цилиндра одно*^8язна только в первом смысле. Область, Получаемая исключением из внутренних Рис. 8.16 точек сферы внутренних точек одной или нескольких содержащихся в ней сфер меньшего размера, является только поверхностно односвязной. В про странственно односвязной области отсутствуют полости, офаниченные за мкнутыми кусочно гладкими поверхностями. Н а всякий кусочно гладкий контур, находящийся в поверхностно односвязной области, может быть «на тянута» двухсторонняя кусочно гладкая поверхность, все точки которой рас положены в этой области. 8.7.2. Ф о р м у л а О строградского Пусть О — конечная, в общем случае многосвязная область в пространстве О х у г с кусочно гладкой границей X), состоящей из конечного числа кусочно гладких замкнутых поверхностей Е , (называемых связными компонентами по верхности I;). Область С с присоединенной к ней фаницей обозначим С. Если функции Р ( х , у , г ) , ^ { x , у , г ) , Я { х , у , г ) непрерывны в С , а все их частные производные первого порядка непрерывны в С , то справедливо ра венство, называемое формулой Остроградского (или Остроградского—Гаусса): III с ^^ Î I ^ где поверхностный интсфал справа равен сумме интефалов по всем поверх ностям со8а , сов^й, С057 — направляющие косинусы внешней (по отнощению к О ) нормали й к Е , т. е. на внутренних поверхностях нормаль направлена внутрь этих поверхностей, а на внешних — вовне (рис. 8.16). Пусть пространственная область С — односвязна (т. е. не имеет замкну тых полостей). Для того чтобы поверхностный интефал // ( Р с о 8а + ^ С05/3 + Д С087 ) <13 (8.20) на любой кусочно гладкой замкнутой (без самопересечений) поверхности 5^содержащейся в С , был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках С выполнялось равенство ^^ + ^ + ^ = 0 дх ду дг (8.21) Поверхностный интефал (8.20) по двум незамкнутым разным поверх ностям Е | и Е 2, опирающимся на один и тот же контур С , в обшеМ случае различен для Е ] и Е 2, направления нормалей к которым с о г л а с о ваны с направлением обхода контура С . При выполнении условия (8.21) в пространственно односвязной области С интефал (8.20) не зависит от вида поверхностей, опирающихся на один и тот же контур С в С . Пример 43. Вычислим интефал ^ X йу + у Лг Лх + г Лх Лу Е+ ПО внешней поверхности сферы = Н '. Решение. Имеем по формуле Острофадского ^ ( IС 0 5 а + у С05 ^ + г С08 -у) Й 5 = =///(ё+I +I) С где V = с — объем шара. [> Объем V конечной многосвязной (в частности, односвязной) области С мо жет быть найден по формуле V = ^ X Лу Лг + у йг йх + 2 Лх с1у, Е где поверхностный интефал равен сумме интсфалов по внешним сторонам всех поверхностей Е ; . 8-8. Формулы Стокса и Грина 8.8.1. Ф о р м у л а Стокса Пусть С — кусочно гладкая кривая, офаничивающая конечную двухсторон нюю кусочно гладкую незамкнутую поверхность I) в пространстве (рис. 8.17); У, г ), ^ {x , у, г ), Д (х , у, г ) — функции, непрерывные вместе с первыми Производными по х , у ,2 в некоторой пространственной окрестности Е , тогда ‘^''Раведлива формула Стокса: ^ Р ^х + ^ <1у + Я (12 = С05 а С08 Р С05 7 д/дх д/ду д/дг р д Я аз = т. интефал по кр ивой С равен сумме интефалов по всем замкнутым контуС^, из которых СОСТОИТ С ; сок а , со5/3, СО87 — направляющие косинусы Р и с. 8 .1 7 нормали п поверхности Е ; направление обхода С^ при интефировании тако во, что при этом поверхность Е остается слева, если смотреть из конца вектора п (система О х уг — правая). Если поверхность Е односвязна и офаничена одним контуром С (рис. 8.17), то говорят, что поверхность Е «натянута» на контур С . Пример 44. Вычислим криволинейный интефал ^ = ^ у Лх + г (1у + X Лг с по окружности с , являющейся линией пересечения плоскости 1 + у + г = 0 и сферы х^ + у^ + = В : , обход которой виден против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ох. Решение. Так как вектор нормали к внешней стороне данной плоскости равен = (1; 1; I). то |ЛГ| = \/з и со5 а = С05^ = С057 = 1/\/з. Имеем: Отсюда следует ^ (- С05а - С05^ - С057) Е = - ^ ЛЗ = -у/зз = Г где I) — круг с фаницей С в плоскости х + у + г = 0. 8.8.2. > Ф о р м у л а Грина 1. Пусть О — конечная, в общем случае многосвязная область на плос кости О х у (рис. 8.15) с кусочно гладкой фаницей С , состоящей из конечного числа кусочно гладких замкнутых кривых С; (называемых связными компо нентами С ). Область О с присоединенной к ней границей обозначим О . Если функции Р {х , у ), ^ {x , у ) непрерывны вместе со своими частными производ ными у ), Я'х{х, у ) в области О , то выполняется формула Грина + = с ах ^ у, о где криволинейный интеграл в левой части равен сумме интегралов по всем за мкнутым кривым (контурам) С (, направление обхода которых при интегриро вании берется положительным (т е. область О остается слева), при этом внеш ний контур обходится против часовой стрелки, а внутренние — по часовой. Пример 45. Вычислим интефал ^ = ^ х^уЛх - ху^ Лу с по окружности х^ + у^ = В^. Решение. Переходя в двойном интеграле к полярным координатам х = рсо 5 (р, У = Р 5\п1р, находим 2г / = - В (х^ + у^) Лх<1у = - ^ Л1р ! О 0 р' Лр = > 0 Площадь конечной плоской многосвязной области О , фаница С которой состоит из кусочно гладких контуров С ^, находится по формуле х Л у - у Лх, ■'Де интеграл равен сумме интегралов по всем контурам **<тельном направлении. с обходом в поло- 2. Другой вид формулы П>ина. Пусть т = {тх. Ту) — единичный вектор 'касательной к контуру С ; направление г совпадает с положительным направ лением обхода С , а также с положительным направлением отсчета длины его /, которую берем в качестве параметра на С , т. е. х = х { 1), у = уЦ ) — •■араметрические уравнения С . И пусть п = (п^, Пу) — единичная нормаль С , направленная вне области О (рис. 8.18). Вектор п совмещается с т при Повороте на угол -кII против часовой стрелки; при этом Пх = Ту, Пу = -т^, *** — Т х Л = ~Пу (II, Лу = Туй1 = Пх (II. Заменяя в формуле Грина Р на а ^ на Р , получим двумерный аналог формулы Остроградского с в где Пх,Пу — направляющие косинусы нормали п. Примечание. Если запись т и п е П = Г>1 + ах комплексной форме: г = т, + гт^ = ^ лу , то Т = !П = - « 5, + >П1, т. е. Тг = -Пу, Т„ = П^. 8.9. Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования 8.9.1. Плоский путь интегрирования Если функции Р ( х , у ), ^ {x , у ) непрерывны вместе с частными производными Р'у, ^'x ъ односвязной области О на плоскости О х у, то следующие четыре утверждения равносильны (т.е. из одного любого следуют остальные три): 1) Выражение Р йх + ^ йу является полным дифференциалом некото рой однозначной функции 17{х, у ) = 1 /{М ), определенной в О , т. еР й х + ^<1у = (Ш, т е Р = д = 17у. Ф ункц ия 1 !(х ,у ) определена с точностью до произвольной постоянной С , т.е. если 17(х,у) — кое-либо частное выражение этой функции, то ее общее выражений 11\(х,у) = 17(х, у ) + С , где С — произвольная постоянная. 2) Для всякой кусочно гладкой замкнутой кривой (контура) С (возможно, самопересекающейся), расположен ной в О , справедливо равенство У Р Л х + д Л у = 0. В качестве С можно взять, например, контур А \ В 2 А (рис. 8.19), расположенный в V . 3) __ О Для любых точек А и В в О (рис. 8.19) интефал / Р и с. 8 .1 9 рд.х + д < 1 у ^ и ( в ) - и ( А ) не зависит от формы кусочно гладкой незамкнутой кривой, соединяющей точки Л и В и находящейся полностью в Ь (например, кривые А 1 В и А 2 В ), т. е. является функцией только координат точек А к В . При этом можно записать и \ (х ,у ) = ^ Р Л х + д Л у + С , где А = (хо, Уо) — фиксированная точка, В = (х, у) — переменная точка, т. е. С = П]{хо, уо). Если принять и \ {А ) = О, то С = 0. 4) Всюду в В тождественно выполняется равенство дх ду ■ Для нахождения 11\{х,у) можно воспользоваться одной из двух следую щих формул; I 1) г7|(х,г/) = ! У 2) У р {х ,у о )а х + ^ д {х ,у )(1 у + с . X г/,(х ,у) = ^ д {х о ,у )( 1у + ^ р ( х , у ) а х + Уо (8.22) с. (в.гз) Хо в формулах (8.22) и (8.23) интефирование проводится от точки А{хо, Уо) Ло точки В ( х , у ) по кривым А К В и А М В соответственно (рис. 8.20), '^''стоящим из отрезков прямых, параллельных осям координат. В ( Х , у) Уо >1{з:о.Уо) К ( х , !/ „) О Ри с. 8.20 Пример 46. Выражение у + х ё у является полным дифференциалом некоторой функции и ( х , у ) , так как = Р'^ = \ всюду в плоскости О ху. Если, например, Хц = 1, Уо = 2, то по формуле (8.22) находим I о С^|(г, у) = У 2ЙХ + У I йу + С = ху + С| (С^ = С - 2). I 2 Аналогично, по формуле (8.23): II 1^1 (х. у) = ! I Лу + ^ г/йх + С = ху + С | ( С | = С - 2 ) . Есл и область О м ногосвязна, то вы ш еприведенны е утверждения 1)-4) экви вален тн ы л и ш ь для частичны х областей, содержащихся в О и не имею щих внутри себя отверстий. Есл и же контур С охватывает какое-либо одно отверстие (например, С [ или на рис. 8.15) в м ногосвязной области, то и н те ф а л по тако м у конуру, в общ ем случае, не равен нулю , но имеет одно и то же значение для различных контуров, охватываю щ их какое-либо одно отверстие. П р и этом ф ун кц и я Щ х , у ) , вообще говоря, многозначна. Пример 47. Функция 1р{х. у ) = Агс1в (у/х ) определена всюду на плоскости ОхУза исключением точки (0;0). Рассмотрим функции непрерывные и удовлетворяющие условию ■ > Я '. = р ,‘ = -) {х^ + У^у всюду, кроме точки (0;0). Если односвязная область О не содержит точку (0;0). то все утверждения 1)-4), приведенные выше, эквивалентны друг другу в О- ЕслИ многосвязная область В является кругом с центром в начале координате исключенной точкой (0;0) (так как функция <р не определена в этой точке), то интефал взятый по любой замкнутой кривой С, охватывающей точку (0;0), в частности, по окружности радиуса Я с центром в точке (0;0), равен (уравнения окружности: х = Ясо&(р, у = Я 81п<р): 2ж При этх)м АВ АВ где 1р — полярный угол точки В = (В , (р)' А В — дуга окружности; точка А = (Д. 0); постоянная С = 0. Функция — многозначна, так как при каждом полном обходе точки (0;0) значение увеличивается на 2)г. 8.9.2. Пространственный путь интегрирования Пусть функции Р ( х , у, 2), ^ (х , у, г ), Д (х , у, г ) и все их первые частные про изводные по X , у , 2 непрерывны в некоторой поверхностно односвязной области С в пространстве О х у 2 . Тогда следующие четыре утверждения рав носильны (т. е. из одного любого следуют остальные три): 1) Выражение Р Лх + ^ йу + К Л х является полным дифференциалом (Ю некоторой однозначной функции (7(х, у, г ) = С/(М ), определенной в С , т.е. Р = Я = Пу, К = и ',и Р Л х + д<1у + К Л г = (IV. 2) Для всякой кусочно гладкой замкнутой кривой С (возможно, с самопе ресечениями), расположенной в С , справедливо равенство Р йх + ^ йу + К 6,2 = с 3) Для любых точек Л и В в С интеграл Р й х + д(1у + к л 2 = и ( в ) - и{А) АВ зависит только от координат точек Л и В , но не от формы кривой А В , их соединяющей и расположенной полностью в С . При этом общее выражение 1/\(х, у, г ) функции П имеет вид [7, = ^ Р (1 х ^ д (1 у - ^ - Я а г - ь С , АВ где А = (жо, г/о, ^о) — фиксированная точка, В = (х, у, г ) — переменная точка, С — произвольная постоянная. 4) Всюду в С тождественно выполняются равенства дя ад ду 91“ „ дР дв ад ор , , ’ Если область С поверхностно многосвязна (рис. 8.16), то криволинейный интеграл по замкнутому контуру С , охватывающему какую-либо одну полость, в общем случае не равен нулю и не зависит от формы этого контура. Функция V I при этом многозначна. Для нахождения у, г ) можно воспользоваться, например, формулой X у г {/|(1 , у, г ) = ^ Р (х ,уо ,го )(1 х + ^ д { х , у ,2ц) Лу + ^ Н (х ,у , г ) (12 + С, Хц Ко го где три интеграла справа вычисляются последовательно по трем отрезкам пря мых, параллельных осям координат О х , О у, О 2 соответственно: 1) отточки А = (хо, уо. 2о) до (х, 2/0, го), 2) от точки (х, уп, го) до (х, у, 2о), 3) от точки (х, у, 2о) до точки В = (х, у, г). Точки А » В могут быть соединены и дру гими аналогичными ломаными. Пример 48. Пусть Р = уг(21 + у + г), ^ = хг{х + 2у + г). Д = ху{х + у + 2г). Равенства (8.24) выполняются тождественно для любой точки (х, у, 2). Взяв точку А = (0; 0; 0), получим X V I и ,{х .у ,г ) = У Ос1х + ^ ОЛу + ^ ху(х + у + 2;:) (12 + С = хуг{х + у + г) + С- 8.10. Интегралы, зависящие от параметра 8.10.1. Собственные интегралы, зависящ ие от п арам етра Пусть функция /(х , у) определена и непрерывна в ограниченном прямо угольнике: а ^ х ^ А , Ь ^ у ^ В , тогда интефал У А П у) = / (х , у) йх а является функцией от у, определенной и непрерывной на отрезке Ь ^ у й ^ и называемой (собственным) интегралом, зависящим от параметра у. О б л асть определения функции /(х , у) может иметь и более сложный вид, н а п р и м е р «(»/) ^ X 5: ю(у), 6 ^ у ^ В (рис. 8.21). Дифференцирование под знаком интеграла. Если / (х , у ) и ее частная про изводная /^(х, у) непрерывны при справедлива формула Лейбница: А ^ Ь ^ В , т о при Ь < у < В Л ^ /(х , у)(1х = ^ / '(х , у) ах. Если пределы интегрирования являются дифференцируемыми функция ми и(у) и V{у) от параметра у н а < и {у ) < А , а < ь {у ) < А при Ь < у < В , так что и {у) ^ х ^ V{у) (рис. 8.21), то »(») Н у) а ^ Ц х , у ) ах = / { г { у ) , у ) у \ у ) - / { и { у ) , у ) и '{ у ) + ! !'у(х, у ) (1х Лу “ (к) »(!/) ( Ь < у < В) . Интегрирование под знаком интеграла. Если функция / (х , у ) непрерывна при а ^ х ^ А, Ь ^ у ^ В , - г о В ^ Н А Р ( у ) ‘^у = ^ ! л и / ( 2:. у ) <^х йу -- У ^ /(х , у ) йу йх. Пример 49. Пусть совГ Р '(у )= I е » '^ й х . ЫП1Г функции /{х .у ) = и /^(х,у) =V I I ^ 1 И —ОС < у < +00. Находим непрерывны при всех -1 ^ С«|Г У ( у ) = - (е ‘'^"»15шу + е‘'^“ '1со8у) + У ч / Г ^ - е '^ ^ й х . $1П{Г Полученную производнунэ Р '(у ) можно дифференцировать снова. Пример 50. Функция / (х , у) = со5 (х + у) при О < * < тг/2, О ^ у $ т непрерывна. Отсюда Р(У ) ^ соя (ж + у ) (^X = = Ж ^ Р { у ) Лу - 81П 51П у. Ж = ! 8Ш +0 Лу = -2. - 51П у Изменяя порядок интегрирования, получим такой же результат: т/2 /[/ 8.10.2. С05 (х + у ) Лу лх = -г. Н есобственные интегралы, зависящ ие от п арам етра Равномерная сходимость. Пусть несобственный интефал первого рода +00 Р (у )= А [ }(х ,у )й х = \\т [ Д х ,у )(1 х ^ .4 - * + с ю ^ а а (8.25) сходится при любом значении параметра у из промежутка Ь ^ у ^ Схо дящийся несобственный интефал (8.25) называется равномерно сходящ им ся по параметру у на отрезке |Ь; В \ , если для любого е > О существует число А (е) > а, не зависящее от у и такое, что для любого К > А (е) и для всех У из [6; В\ выполняется неравенство +00 ^ / (х .у ) Равномерная сходимость интефала (8.25) равносильна равномерной схо димости любого ряда вида ос у "=» к где о = Оо < 0 | < 02 < ... < а „ < а„+1 < . .. и Н т а „ = +оо. п-*+оо Если /(х , у ) непрерывна при а < х < +оо и при изменении параметра в конечном промежутке Ь ^ у ^ В . а интефал (8.25) сходится равномерно на [Ь ;В ], то этот интефал является непрерывной функцией от у на | 6 ;В ], т.е. для 2/0 из [Ь ;В | имеем +0С' Пт У +00 {(х ,у )Л х = ^ }( х ,у а ) ах. Признаки равномерной сходимости. 1) Признак Вейерштрасса. Для равномерной и абсолютной сходимости инте фала (8.25) достаточно, чтобы существовала не зависящая от у функция +00 д{х) такая, что: а) |/(х, у)| С д(х) при а ^ х < +оо и б) ^ д(х) йх < +оо а (т.е. интефал сходится). +00 2) Если: а) интефал ^ Н(х) йх сходится и б) функция д(х, у ) офаничена а +00 равномерно по 2/ на [(>;В| и монотонна по х, то интефал ^ Ъ,(х)д(х,у) Лх а сходится равномерно по у на отрезке (6; В\. 3) Признак Днни. Пусть / (х , у) непрерывна и неотрицательна при а ^ х < +оо и для каждого у из [6; В\ сходится интефал (8.25). Тогда, если функция Р ( у ) непрерывна на (6; В ] , то интефал (8.25) сходится равномерно по у на |6; В \. Аналогично рассматриваются несобственные интефалы второго рода, Зависящие от параметра у (Ь ^ у ^ В ) , от неофаниченных по переменной х Функций } ( х , у ) . При помощи преобразования переменной х несобственные Интефалы второго рода, зависящие от параметра у , преобразуются к несоб ственным интефалам первого рода, зависящим от параметра. Пример 51. / С05Ху , — - ах при —ос < у < ^ сходится равномерно, так +00 |со5 ху\ 1 _ <--------!— = д (х ) и интефал как - ^ 1+ 1:2 + 0 0 I + / :г Лх сходится (см. пример 30 ^ \ +Х ^ в 7.3.1). 2) Интефал Р ( у ) = , где фиксированное р > О, при О ^ у < 1 СХОДИТСЯ +00 равномерно, так как интеграл ^ Л(х)(^х, где Л(ж) ^ сходится I (по признаку 5 в 7.3.1), а функция д {х ,у ) = е” '"*' монотонна по х и равномерно по у ограничена, так как д {х, у ) ^ е** = 1 при О ^ у < +оо. +0С 3) Интефал Р {у ) = ^ х^е~^ Лх при а ^ у ^ 6 сходится равномерно, так как 1 +00 ^ х’’е~^ = д(х) при 1 ^ а: < +сж. Интефал ^ д {х )4 х сходится (по приI знаку 4 в 7.3.1), поскольку Ит г-^+оо = О для любого г. Дифференцирование по параметру. Если: 1) функция } ( х , у ) и ее частная производная }'у (х ,у ) непрерывны при а ^ X < +00 и при изменении у в конечном промежутке Ь < у < В . +00 2) интефал Р { у ) = ^ /(ж, у ) <1х сходится при некотором у из |6; В | , а +00 3) интеграл ^ /у{х,у)с1х сходится равномерно при Ь < у < В , то спра- а ведливо правило Лейбница: + 00 ^ '(у ) = ; ^ / +00 у)<1^ = ! а у ) Л х ( Ь < у < В ). а Пример 52. 1) В условиях примера 51,2 имеем / ,{х .у ) = - е »•— . Следовательно, при р > I справедливо равенство ♦-00 -Р'(!/) = 2) У (У ^О ). В условиях примера 51,3 имеем 4 ( * . у) = ух''~'е~' $ Ьх"-' = д{х) +00 и интефал ^ д(х) Лх сходится. Следовательно, +00 Р '( у ) = ! ух'‘ 'е~^Лх (а ^ < 6). Интегрирование по параметру. Если: 1) функция / ( I , у) непрерывна при а ^ х < +оо и при изменении г/ в ко нечном отрезке |Ь; В |, <-00 2) интефал Р ( у ) = ^ } ( х , у ) й х сходится равномерно по у из [ Ь ;В ] , то а справедлива формула В в +00 +00 У {^{у) <^У = ^ < ^ У ^ /{х , у)<1х= ! Ь Ь а В Лх ! а / {I, у) ау. Ь Эта формула верна также и для бесконечного промежутка ( 6, В ) при Условии, что /(х , у) ^ О, внутренние интефалы непрерывны и одна из частей Равенства имеет смысл. Пример 53. Интеграл Р {у ) в условиях примера 51,2 сходится равномерно при р > О “ О ^ !/ < + 0 0 , следовательно, / Р {у ) ‘‘У = 1 [ 1 ь ] ь ^ ^ ( - В > * > «)• I ^'10.3. Применения несобственных интегралов, зависящ их от парам етр а, к вычислению несобственных интегралов (-00 / о 81 П г +00 / ч /" I й х . Интефал Р [ у ) ~ ^ -XV ^ о ^>(одится равномерно при О < у < +оо. Действительно, так как функция Н{х) = (51пх)/х -> 1 при X —» О, то можно полагать ее непрерывной и при X = 0. Следовательно, интеграл +00 ^ Н(х) Лх = ^ Н(х) (1х + ^ Л(х) йх — сходящийся, причем второй интефал справа сходится по признаку 5 в 7.3,1. Функция д{х, у) = е'*®' монотонна по х и равномерно по у офаничена, так как д(х, у) ^ е” = 1, поэтому интефал Р ( у ) сходится равномерно. +00 Интефал ^ е^^*'51пхйх сходится равномерно при О < ;/о ^ 2/ < +оо, о +00 так как |е~*‘' 81пх| < а интефал ^ е” **'” йх сходится при уо > 0. о Интефируя по частям, получим +00 р'(у) = - / I + у2' о Интефируя здесь обе части равенства по у, получим при у > 0: = = -ЗГС18У + С. Так как И т Р { у ) = О, И т агс18 у = тг/2, находим С = ж/2. Следовательно, 1^->+00 У-++00 Р { у ) = - атс1^ у + 7г/2. Поскольку +00 ^’(О) = М т Р { у ) = [ »- *+ о <1х, ^ X о то отсюда находим искомое значение несобственного интефала +00 $Ш X Ж I о Подобным же образом могут быть вычислены и некоторые другие не собственные интефалы. Эйлеровы интегралы. 1) Несобственный интеграл I +00 Г (^ )= о (параметр х > 0), называемый гамма-функцией, сходится при х > О и расходится при х < О. Свойства: а) Г (х + 1) = х Г (х ); б) Г ( п ) = ( п - 1)! ( п = 1, 2 , . . . ) ; / 1\ 1 -3---(2п- 1) _ г ( ^ « + 2 ] = ------ 2------- ^ г) Г (х )Г (1 - х) = ^---- , ( п = 1, 2, . . . ) ; (О < X < 1); 5Ш 7ГХ д) При X > о ф ункция Г (х ) н еп р ер ы вн а и и м еет н еп р ер ы вн ы е п р о и зво д н ы е всех порядков +00 л \ \ п 1)' Г*">(Х) : 0 В частности: +00 ■ у ' -00 о (интеграл Пуассона); +00 Г{1) = ! е~ и1= \-, Г(2 ) = Г(1 ); = ^ . о 2) Несобственный интефал I В ( х , 2/) = I о зависящий от двух параметров х и з/ и называемый бета-функцией, сходится, если одновременно х > О и у > 0. Свойства: а) В(х,г/) = В (у ,х ) ; , Г(х )Г(г/), о г) В ( х , 2, ^ 1) = ^ В ( х , г / ) ; „I в , . . Формула Стирлинга п! = \/2жп “п= е“ " » I (О < 6>„ < I) дает асимптотическое выражение для п ! = 1 ■ 2 •3 ••■ п , когда п — большое натуральное число. Произведение всех натуральных чисел от I до п называется факториалом (или п-факториалом). По определению принимается О! = I. 8.11. Кратные несобственные интегралы Несобственные интегралы могут быть двух видов; 1) подынтсфальная функ ция неограничена, 2) область интегрирования неофаничена. 8.1 1.1. Двойные несобственные интегралы от неограниченных функций Пусть функция / ( М ) = / (х . у) непрерывна всюду в конечной области О на плоскости О х у. за исключением точки М о{хо,уо) (которая находится внутри или на фанице О ), в окрестности которой / ( М ) не ограничена. Пусть Д — произвольная малая окрестность точки Мо, а П \ Л — область, получаемая исключением точек Д из О . Если при неофаниченном стягива нии Д к точке Мо интефал } ( М ) й З стремится к определенному пределу. не зависящему от способа стягивания Д к Мо, то этот предел называется (сходящимся) иесобственным интегралом от / ( М ) по области О . Обозначения: Л П М )(1 8 ИЛИ / / я . , у ) йх Лу. (8.26) о о Если этот предел не существует, то интефал называется расход ящ и м ся. Если } ( М ) может принимать значения разных знаков и существует (схо дится) несобственный интефал то интеграл (8.26) называется абсолютно сходящимся. Если интефал (8.27) сходится, то сходится и интефал (8.26). В отличие от обычных одномерных интефалов, для кратных интефалов понятия обычной сходимости и абсолют ной сходимости эквивалентны, т. е. из сходимости интефала (8.26) следует сходимость (8.27). Для сходимости несобственного интефала (8.26) от неотрицательной в О функции / (г , у ) ^ О необходимо и достаточно, чтобы хотя бы для одной последовательности областей Д „ (п = 1 ,2 ,...), стягивающейся к М » и таких, что Д „+1 полностью принадлежит Д „ при любом п (в частности, для последовательности круговых областей Д „ , стягивающихся к Мо при п оо), была офаниченной числовая последовательность = Л ПМ )<13. о\Дп При этом гюследовательность а „ не убывает при возрастании п. Общий признак сравнения. Если / ( М ) > О и д {М ) ^ О в I ) и всюду в В выполняется / ( М ) ^ д { М ), то из сходимости интефала д (М ) Л З следует о сходимость интефала } ( М ) й З. п Частный признак сравнения. Интефал (8.27) сходится, если в окрестности точки Мр функция удовлетворяет условию |/ (М )| ^ А/г^, где г = у (х - жо)^ + (у - Уо)^ — расстояние от точки М (х , у ) до Мо(хо, г/о); А и р — Постоянные (р < 2). Несобственный интефал от г ’’ при р < 2 сходится в О и расходится при р > 2. Пример 54. Вычислим интефал 3 = /'/' 1п — . П у/х^+у'‘ Ах ёу. Ьшение. В окрестности начала координат 0 (0 ; 0) подынтегральная функция не офаЧичена. Переходя к полярным координатам I = р с о и р , у = р ^ т < р в области < Рп < Р ^ I . где — радиус круговой области Д „, получим 12» ^ = Ит^ ^ 12» ^1п ^рЛрЛ<р = - Пт^ ^ ^ р \пр<1рЛ<р = Рп о = —2п П т ( — Л.^0 тг ' 2' ^Десь предел П т р 1 1п р„ = О по правилу Лопиталя. л.-»о 8.1 1.2. Тройные несобственные интегралы от неограниченных функций Если функция / ( М ) = / (х , р, г ) непрерывна всюду в конечной области С пространства О х у г, за исключением точки М о {х о ,у о ,^ ), в окрестности которой / ( М ) не офаничена, то совершенно аналогично предьшушему опре деляется несобственный интеграл от / ( М ) по С , обозначаемый / { М ) (IV или } ( х , у , г ) а х ( 1у ( 12. с (8.28) с Все вышеприведенные свойства двойных несобственных интефалов пе реносятся на тройные несобственные интефалы со следующими уточнения ми: I) круговые области Д „ заменяются на шаровые, 2) в частном признаке сравнения абсолютная сходимость интефала (8.28) (см. 8. 11.1) обеспечивается при р < 3. Несобственный интефал от и расходится при р ^ 3. сходится в области С при р < 3 1 1 1 Пример 55. Вычислим интефал ^ ~ ^ ^ ^ ООО Лх Лу Лг х^у^г' Решение. В окрестности точки 0(0 ; 0; 0) функция не офаничена. Получим I / = У (•=1,2.3)€5 = Нт I I [ л г [ л у [ Пт У Е2 Лх .У С) Х’’У^ : 2' (I - р ) “ '(1 - ? ) ■ '( ! - г )" (х 1-Р1 (1=1.2,3) = ( 1 - р ) " ‘( 1 - ? ) ■ ' ( ! - г )“ ' 8.1 1 (р < I, ? < I, г < 1). 1> 1.3. Д войны е несобственные интегралы по неограниченной области Пусть Д произвольная конечная область, содержащаяся в бесконечной во всех направлениях области О на плоскости О х у. Если функция /(х,У> непрерывна в X), то существует интефал II НМ)аз. д Если при произвольном неофаниченном расширении Д во всех напраВ' лениях области О предыдущий интефал стремится к определенному пределу. то этот предел называется (сходящимся) несобственным интегралом от / ( М ) по бесконечной области О . Обозначения; Л / {М )Л 8 ИЛИ //я . ,у )а х а у . (8.29) о о в противном случае интефал называется расходяишмся. Если сходится интефал |/ (М )| то интефал (8.29)называется о абсолютно сходящимся. Для несобственных кратных интефалов понятия схо димости и абсолютной сходимости эквивалентны. Если / {х ,у ) > О в О , то в качестве Д можно взять множество точек О, содержащихся в неофаниченно расширяющемся круге с фиксированным центром. Пусть П \ А — множество точек О , лежащих вне круга Д радиуса г. Тогда, если интефал (8.29) от / ( М ) ^ Осходится, то интефал от / ( М ) по области 0 \ А стремится к нулю при г оо. Достаточный признак сходимости. Интефал (8.29) сходится, если для всех точек М из Ь , достаточно удаленных от фиксированной точки Мо, выполняется условие |/ (М )| ^ А /г’’ , где г — расстояние от Мо до М , А “ р — постоянные (р > 2). Аналогично можно определить несобственный тройной интеграл от функ ции / ( М ) по неофаниченной области С в пространстве О х уг со следующими уточнениями: 1) круговую область следует заменить щаровой, 2) в достаточ ном признаке сходимости следует взять р > 3. Пример 56. Вычислим интефал где X) _ все бесконечное пространство. ^ЗЩение. Переходя к сферическим координатам х = /)51п^со5^, у = ^= рсо5 ^ и взяв в качестве А шар радиуса К с центром в начале координат, получим г 2» ^ = ит I [ [ € ^ А -ю о ^ ^ ^ Н 51п в Лр Лв й(р = 4л- И т / е ^ р^ (1р ~ Я -ю с ^ ООО = = о <й = 2рй/>) = 2)Г ^ е ‘V I М = = 2ж ^ > О примечание 1. Несобственные криволинейные интегралы сводятся к обычным опреде‘^^Нным интефалам. примечание 2. Несобственные поверхностные интегралы сводятся к двойным интег^ам. 8.12. Кратные интегралы, зависящие от параметров 8 .12 .1 . Собственные кратные интегралы, зависящ ие от парам етров Пусть X = ( х , , , х „) — точка ограниченной области С пространства В", ^ У — {У \у ■■’ У т ) — точка офаниченной области О в Е " ' . Соответствующие замкнутые области обозначим С , О . Пусть / { х ь ... , х „ ; у 1, . ■., У т ) = }(х\у), функция, определенная по всем своим аргументам x^ (* = 1,2 п) и а = 1 ,2 ,... , т ) в областях С к О соответственно. Если для любой точки Уа = (г/?. ■••, У т ) в О функция / (х ; у ) интефируема в области С , то функция = У/**/ с р {у ) = р { у , , . . . , у т } = /(з^ь Ут)^Хх ... (1Хп = ^ /{х\-у)( 1х, с определенная в В , называется собственным интегралом, зависящим от пара метров у \ ,... ,Ут- В частности, области С и О могут совпадать: С = О. Если } ( х \ у ) непрерывна по совокупности всех своих аргументов ХиУ) в соответствующей замкнутой области (п + т)-мерного пространства, то Р(у) является непрерывной функцией в О . При этом Р ( у ) можно по параметрам под знаком интефала, т. е. ^ Р(У\,- -,Ут)ЛУ\ - ЛУт = у интеф и ровать ^ /{х-у)(1у, ...■< 1Уп Если, кроме того, частная производная непрерывна по совокупности всех аргументов Х( и у^, то Р { у ) имеет в О непрерывную частную производную ту) _ 9У] 8.12.2. [ д}(х- у) у ■( I X \ . . . и Х п ду^ Н есобственные кратные интегралы, зависящ ие от парам етров Пусть М '(х ', у', г ) и М (х , у, г ) — точки некоторой офаниченной области С пространства О х уг. И пусть } { х , у , г ! \ х . у , 2 ) = / ( М ' . М ) — функция, определенная и непрерывная в С при М ' ф М \л неофаниченная в окрест ности М ' = М . Несобственный интеграл Р { М ) = Р {х , у, г ) = } ( М ‘. М ) Л У', с где ЛУ' = Лх' Лу йг , зависящий от параметров х ,у , г , называется сходящимся равномерно по параметрам х , у , г в точке Мо{хо, уо, го), принадлежащей С , если для любого числа Е > О существует число 6(е) > О такое, что для всех точек М , расстояние г = М М о которых от точки Мо не превышает <5 и для любой шаровой окрестности Д точки Мо, радиус которой не превышает 6 , выполняется неравенство /// / { М ', М ) д У ' < е. Если интеграл Р ( М ) сходится равномерно по параметрам х ,у , г в точке ^о(ха,Уо,2о} в С , то он является функцией, непрерывной в точке МоДостаточный признак равномерной сходимости. Пусть подынтефшьная функция } ( М ' , М ) = д { М ', М ) Н { М ') , где д ( М ', М ) непрерывна в С при М ' ф М , а к { М ') равномерно офаничена всюду в О. Тогда, если существуют постоянные р ( 0 С, выполняется ^ {М ) сходится принадлежащей < р < 3 ) и А > 0 такие, что для всех М ' и М , принадлежащих неравенство \д (М ', М )\ ^ А/г^ (г = М М ' ) , то интсфал равномерно по параметрам в каждой точке М о(1о. Уо> ^о), С. 8.12.3. Ньютонов потенциал Ньютонов потенциал {/(х, у, х) тела С в точке М (х , у, г)определяется инте гралом (о о ) О где р(х', у ', г ') ^ О — плотность тела С в точке М ' , г = У (х' - х )2 + {у' - у У + {г' - г У " расстояние между точками М '{ х , у ' , г ) и М { х , у , г ) . Если точка М Находится вне тела С , то (8.30) является собственным интефалом, зависящим от параметра, так как г ^ 0. Если при этом р(х , у ,х !) непрерывна в С , то, в силу непрерывности вне С производной 3 1 дх г 1 Зг дх х' - X функция 1/(х, у, г ) дифференцируема вне д и (х ,у ,г ) /■/■/• , и ее производная равна , „ х '- х , С Здесь подынтефальная функция также имеет непрерывную производную по X , следовательно, 3(х' - х )2 д Щ х ,у ,г ) Р ( х ',!/', г ') = 1 а у '. с Аналогично можно найти производные и ( х , у , г ) по I/ и г. Складывая вторые производные, получим дх^ дг^ ~ Если точка М находится внутри тела С , то (8,31) является несобствен ным интефалом, так как г = О при М ' = М (подынтефальная функция Р ^ в (8,31) обращается в бесконечность). Если А = т т р ( х , у , г ) , то - ^ — (р = 1) и ^ ^ (р = 2), следовательно, интефалы (8.30) и (8.31) сходятся равномерно в каждой точке Мо области С , а поэтому являются непрерывными функциями от х , у , г в С . При этом интефал (8.31) полу чается дифференцированием (8.30) по х под знаком интефала. Аналогично находятся производные (8.30) по у и 2 . Глава 9 РЯДЫ 9.1. Числовые ряды и их свойства 9.1.1. О б щ и е понятия Пусть дана бесконечная числовая последовательность 0 |, О г,. . . , а „ где «и = / (п ) — некоторая функция натурального аргумента п. Формальное выражение ОС 0 | + 02 + ... + о„ + . . . = ^ а „ П=1 (9.1) чмывается числовым рядом или просто рядом. Отдельные числа а „ , входящие > (9.1), называются элементами или членами ряда, выражение а „ = / (п ) Называется общим членом (элементом) ряда. Сумма первых п членов ряда (9.1) Называется п-й частичной суммой (или отрезком) данного ряда П 5 „ = о, + аг + ... + а „ = ^ о^. 1= 1 Частичные суммы образуют бесконечную последовательность { 5 „ } : 3 \ = а ], 82 = + 02- ■••• 5п = 0 | + 02 + ... + о „ ............ Если существует конечный предел последовательности частичных сумм 5„ = 5 , то ряд (9.1) называется сходящимся, а число 3 называется суммой ^*Даряд, сумма (9.1). При этом говорят также, что данный ряд сходится к сумме В этом случае пишут 00 5' = 0 | + 02 + . . . + 0„ + . . . = ^ 2 “ п. П =1 Если последовательность { 5 „ } расходится, т. е. предел И т не суще- п -ю о ’^Ует или бесконечен, то ряд (9.1) называется расходящимся. Сходимость Р'Иа эквивалентна сходимости последовательности его частичных сумм. Пример 1. 00 1) Ряд 1 + I + .. . = ^ 1 расходится, так как последовательность 5] = 1, 5: = 2, п^| 5„ = п. .. . не имеет конечного предела. 2) Ряд 1 - 1 + 1 - ! + ... = ^ ( - 1 ) ” ’ расходится, так как последовательносп. п=| 5| = 1, 52 = О, . . . , 52„-1 = 1, 52„ = О ... не имеет предела. 3) Рассмотрим ряд, составленный из членов бесконечной геометрической профес сии: . . . . Частичная сумма5 „ этого 8„ — 1+ ^ + .. . + 5 — ряда при д ф 1 равна \-д" 1 д" I -д I -д 1-д' Если |д| < 1, то И т 5„ = ---- , т. е. ряд сходится и его сумма равна 5 - 1 -д “ | _5 При д = 1 или 9 = -1 ряд расходится. Если I}! > I , то ряд также расходится. Критерий Коши сходимости ряда. Для сходимости ряда (9.1) необходимо и достаточно, чтобы для любого числа е > О существовало натуральное число ЛГ(е) такое, что для всех номеров п ^ М {е ) и для любого натурального т { т = 1 ,2 ,3 ,.,.) выполнялось неравенство |*^п+т ■ |а„+1 + Яп+2 + . . . + ап+т\ < ?■ ^п| 1=П+1 Отсюда, в частности, следует, что если ряд (9.1) сходится, то Нгп — Игп (5>1 п-»оо 5^—1) — —О п-ю о [необходимый (но не достаточный) признак сходимости ряда]. Таким образом, если общий член о„ ряда (9.1) не стремится к нулю при п ^ оо, то этот ряд заведомо расходится. Пример 2. 1) Ряд 1 — 14-1 — 1 + ... заведомо расходится, так как его общий член о„ — ( —I) вообще не имеет пр>едела. 2) Для ряда 1Н 1 --------Ь---, называемого гармоническим, необходимое 2 3 п условие сходимости И т 1/п = О выполняется, однако, этот ряд расходится- Действительно, предполагая, что этот ряд сходится и имеет сумму 5, можно записать П т {32п - ■5'п) - 1»п1 § 2» - Мт 5„ = 5 - 5 = О, п-юо п-юо п-»оо что противоречит неравенству — ' Г п+ I ' 1 Г- + • • • + п + 2 2п 1 >П 1 • = 2п 2 - ^2п ~ —. Остатком ряда (9.1) называется ряд ОО < 1п+1 + 0„+2 + . . . = ^ а^, 1=П+1 получаемый из данного отбрасыванием его первых п членов. Если ряд (9.1) сходится, то можно записать 3= +д„. где 5п — частичная сумма ряда (9.1), В „ — сумма остатка этого ряда. При этом последовательность Н „ (п = 1, 2, . . . ) является бесконечно малой, т е . 1ш1 Д„ = 0. я-юо 9.1.2. С войства сходящихся рядов 1) Если некоторый ряд сходится (расходится), то любой его остаток сходится (расходится). Из сходимости (расходимости) любого остатка ряда следует сходимость (расходимость) данного ряда. 2) Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добаапение к ряду конечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда. 3) Если а^ = са,, где с ^ О — некоторое число (в частности, с = - 1), то п 00 ряд а* сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд 1=1 этом 8 ' = с 8 , где 5 и 5' — суммы данных рядов. 00 4) Если ряды а) 00 в) 00 и б) »=1 а\. При 1=1 а! сходятся и имеют суммы 8 и то ряд 1=1 ^ ^ ( а . ± «!{), полученный почленным сложением (вычитанием) этих 1=1 рядов сходится и имеет сумму 5 ± 5*. И з сходимости ряда в) в обшем случае не следует сходимость рядов а) и б ). 00 5) Если ряд а^ сходится к сумме 3 , то его члены можно произвольно (=1 группировать в порядке их следования (не переставляя местами), напри мер, (0 | + 02) + (аз + Й4 + 05) + ... . В результате получится сходящийся ряд с такой же суммой 5. *1римечание 1. Перестановка членов сходящегося ряда, члены которого имеют не“ Динаковые знаки, может привести к изменению его суммы и даже к расходимости. Если ряд. все члены которого имеют одинаковые знаки, сходится, то произвольная Перестановка его членов не влияет на сходимость ряда и не изменяет его сумму. Примечание 2. Раскрытие скобок в сходящемся ряде может привести к расходимосгн ряда. Например, ряд ( 1 - | ) + ( | - | ) + .. . = 0 + 0 + ... сходится, однако, при раскрытии скобок получается расходящийся ряд 1 - I + I - I + .. . (см. пример 1,2). 9.2. Признаки сходимости знакопостоянных рядов Ряд, все члены которого неотрицательны, т. е. а „ > О (или неположительны, I т. е. а „ $ 0), называется знакопостоянным. Далее (в силу свойства 3 в 9.1.2) офаничимся неотрицательными рядами (у которых все а „ > 0). Последо вательность частичных сумм такого ряда является неубывающей. Для того чтобы неотрицательный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы по следовательность его частичных сумм была ограниченной сверху. 9.2.1. П ризнаки сравнения неотрицательных рядов 00 00 1. Пусть а) ^ а „ и б) ^ — Два неотрицательных ряда. Если для П=1 П=1 всех номеров п, начиная с некоторого номера N ( п ^ выполняются неравенства о„ < Ь„, то из сходимости ряда б) следует сходимость ряда а); а из расходимости а) следует расходимость б). Примечание. Справедливость признака 1 не нарушится, если неравенство о„ ^ &п заменить неравенством а„ < с Ь „, где с — любое положительное число. Пример 3. 1) При а $ 1 ряд I -И -I4- ... расходится, так как — ^ - (п ° ^ п) при 2“ 3“ п“ п а ^ 1 (см. пример 2.2). При а > I данный ряд сходится (см. пример 6, I). 2” 2) Ряд ^ з»Т|Г2 2" та*^ 2” / 2\ ” 3” ~ ( 3 ) ’ ^ из членов геометрической профессии с д = 2/3 О, то ряды а) и б) сходятся и расходятся одновременно. В частности, если Ьп ^ 1/п“ , то при а > I ряд а) сходится; при а ^ I — расходится (см. пример 3, О- ^ о Пример 4. Ряд ^ ; сходится, так как при а = -^ имеем п\/п + 1 Ит : = Ит = 1 > 0. п-юо П х / т т * я-*0С1 \ ^ п + 1 9.2.2. П ризнаки Д а л а м б е р а и Кош и 00 1. Признак Даламбера I. Ряд а „ с положительными членами о„ > О П=1 (п = 1 ,2,...) сходится, если ^ > 1 Оп < р < 1 (п = 1, 2 ,...), и расходится при (п = 1, 2, . . . ) . Признак Даламбера П. Ряд ^ о„ (о „ > О при п = 1 ,2 ,...) сходится, если Ит = д < I, и расходится при д > I. Если д = 1, то признак 11 «не действует», ряд может быть либо сходя щимся ^например, ^ , либо расходящимся ^например, ^ Пример 5. 1) Ряд У ' — сходится, так как П I 1 а»-!.! = Ит П-ЮО а„ п-»оо (п + 1)! ' п! д = Ит 2) Ряд = Ит п-*ос п + 1 — сходится, так как п« Оп+| П-»Х йп д = И т ---- = И т = И тГ " {п + 1)! п! я-юс (« + !)" + ' ■П Л \ п + 1/ = Ит (^1 + - ^ п-*оо \ п/ = 0 < 1. . 2. Признак Коши I. Пусть дан ряд а „ (все а „ ^ 0). Если ^ р I. При д = I признак II «не работает» (см. два примера к признаку Даламбера). Признак Коши I I I. Если Пт„_,оо 00 ^ (понятие верхнего предела см. в 4.2.7), то ряд а „ (в котором все а „ > 0) при I 1 расходится. При I = 1 признак П1 «не действует». Пример 6. 1) Ряд г»=1 — сходится, так как П т \ / ^ = И т ------ = - < 1 ( И т ^ 2” п-*оо п~*оо 2 2 п-*х 2) Для ряда (д > 0) имеем И т = Н т о''*' п = п. Если О ^ о < К П-400 П=! - I). П-^00 то ряд сходится, при д ^ \ — расходится. 3. Интегральный признак Коши. Пусть функция / (х ) непрерывна, неот рицательна и не возрастает всюду при х ^ \ . Тогда ряд 00 00 Х ; а„ п=! / (п ) = / ( ! ) + / ( 2) + .,. + / ( „ ) + ... п=1 сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом -1-00 ^ } ( х ) Лх. (9.2) 1 В этом интефале в качестве нижнего предела может быть взято любое фикси рованное число ш ^ 1. Если ряд сходится, то его остаток Л „ ^ + а „+2 + --• удовлетворяет неравенствам +00 ^ +00 /(х) Лх < К „ < ^ /(х) ах. Геометрический смысл интегрального признака Коши. Если интефал (9.2) расходится, т. е. площадь бесконечной криволинейной трапеции, офаниченной линиями X = 1, у = О, у = } ( х ) при 1 ^ 1 , бесконечна, то бесконечная ступенчатая фигура, образованная из прямоугольников с высотами / (п ) (п = 1, 2, . . . ) и единичной ширины, имеет площадь, которая бесконечна, так как интефал (9.2) расходится. В случае сходимости интефала (9.2) площадь криволинейной трапеции конечна, следовательно, конечной будет и площадь /(2) + /(3 ) + ... вписанной ступенчатой фигуры, что означает сходимость ряда 02 + Оз I . . . , следовательно и ряда 0 | + а 2 + аз + ... . Пример 7. 1) Исследовать сходимость ряда где а — любое фиксированное число. 1-0 Решение. Интефал / — равен: а) ---У 1“ 1— 0: —I —1 ь при а ^ 1, б) 1п х|, = 1п 6 при а = I. При а > 1 несобственный интеграл сходится, т.е. существует конеч ный предел +00 г йх Г ах I / _ = Ит / — = г. ь^+00 У х " У а - I При а ^ 1 соответствующие пределы бесконечны, т. е. интефал расходится. Сле довательно, при а > I ряд сходится, при а ^ 1 расходится. > 2) Исследовать сходимость ряда п П=1 (а > 0). +00 +00 Г йх при 1по 7^ 1, б) 1пх|, при / —;— равен: а) - 1п о + I У ^ I 1п а = 1. Интефал и ряд сходятся при 1п а > I , т. е. при а > е, и расходится при о ^ е. > Решение. Интефал 00 3) Исследовать сходимость ряда ^ I г— , где а — произвольное число. п 1п" п +00 Решение. Интефал ^ ^ ^ _ равен а) х^ ' ( 1- а ) 1п“ ' ' х при 1;б) 1п 1п х |2 I при а = 1. Интефал и ряд сходятся при а > 1 и расходятся при а ^ 1. 9.3. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды Ряд, члены которого имеют разные знаки, называют знакопеременным. Знако переменный ряд называется знакочередующимся, если его члены поочередно положительны и отрицательны: 00 ь,-ь2 +ь,-... +(~1 Г 'ь „ + ( - 1)"б„+, +... = п=] где все 6„ ^ 0. Если первый член ряда отрицательный, то умножением на (-1) ряд приводят к виду (9.3). 9.3.1. П р и зн ак Л ей бн и ца сходимости знакочередую щ ихся рядов Знакочередующийся ряд (9.3) сходится, если: 1) 6„ ^ Ь „+1 (гг = 1 ,2 ,...), 2) Ит = 0. п -*ос Частичную сумму сходящегося ряда (9.3) четного порядка 5гп можно записать двумя способами: 5 2 п = ( Ь | - Ь г ) + ( Ь з - 6 4 ) + . . . + (б 2 п - | Зщ = (>| - (^2 - 63) - (64 - 65) - ••• - 1>2 п ) , (1>2п -2 - * 2 п -|) - (>2„. Отсюда следует: 5 ' < й | . 5 - 5 „ = й „ = ( - 1)"Ь„+, + ( - 1)"+ 'б„+2 + --- ( п = 1, 2,. . . ) , где 5 — сумма ряда (9.3), Я „ — сумма остатка этого ряда, имеющая оценку Д „ = (-1)"0„6„+1 (О < ^ 1).Т е . Я „ имеет знак первого отбрасываемого члена (-1)"6„+ | и не превыщает его по абсолютной величине. При п — четном Д „ = Ь„^1 - 6„+2 + . .. (О < Д „ < Ь„+|). При п — нечетном Я „ = -Ьп+\ + Ь „+2 - ... или - Д „ = * „+ ] - Ь„+2 + ■■■ (О < - Е „ < 6„+|). Пример 8. Знакочередующийся ряд - - - + - - ,.. + (- 1 )"“ ' — + ,.. = 2 4 6 2п ( - 1 ) " '' — П=1 сходится, так как 1) 2) И т — = 0 . Найдем количество членов п 2 4 6 п^сь 2п данного ряда, необходимое для того, чтобы его п-я частичная сумма имела точность до 0,1. Имеем |Яп| ^ Ь„+\ = —---- =0.1. Отсюда находим: 2(п + 1) = 10, п = 4. 2 (п + 1) Следовательно. 5 4 = - ---- • " 7 “ о ~ 2 4 6 8 ^ точностью до 0.1, т. е. 5 0,3. 9.3.2. А бсолю тно и условно сходящиеся ряды 00 00 Ряд 1) ^ 2 ®" называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд 2) ^ |а„|, В=1 п=1 составленный из абсолютных величин |о„| членов исходного ряда. И з сходи мости ряда 2) следует сходимость ряда I), т.е., если какой-либо ряд сходится абсолютно, то он сходится в обычном смысле. Если ряд 2) не сходится, то ряд I) может либо сходиты:я, либо расходиться в обычном смысле. 00 Ряд называется условно (не абсолютно) сходящимся, если этот ряд П=1 сходится в обычном смысле, а ряд 2) из абсолютных величин его членов рас ходится. Сходящиеся ряды с неотрицательными членами, очевидно, сходятся абсолютно. Ряды, которые сходятся при любой перестановке их членов и притом к одной и той же сумме, называют иногда безусловно сходящимися. Для того чтобы ряд был абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы он был безусловно сходящимся. Пример 9. 1) Ряд ' ^ ------ = I ----- 1 -------- И... при а > 1 сходится абсолютно, так как п» 2“ 3“ 4» ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходится (см. пример 7,1). При О < а < I данный ряд сходится условно по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. При а = 1, согласно формуле Маклорена, для функции 1п (I-I-х) = I - -^ + у - . . . -I-(- 1 )” ' — + В „{х ), где |й„(а:)| < — ^— (О $ ж ^ 1), при х = I находим п+ I |п 2 = | - 1 - 2 н 1 - . . . - К - | ) " - ' - ! - + Д „ (1 ) . 3 Следовательно, |5„ —1п 21 < ---- , где п -Ь 1 = 1п 2. п — частичная сумма ряда 1 2 3 . . Таким образом. 5 = И т п-юс ( - 1)" 2) Ряд ^ — — , где а — любое число, не являющееся целым отрицательным, ^ сходится условно по признаку Лейбница, так как ряд > ^ по интефальному признаку Коши. 1 ------ : расходится !о + л| Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. 1. Абсолютно сходяшийся ряд после любой перестановки его членов остает ся абсолютно сходящимся и имеющим прежнюю сумму (теорема Коши). 2. Если ряд сходится условно, то можно так переставить его члены, что по лучится другой ряд, сходящийся к любому наперед заданному числу 5' (-0 0 < 8 ' < Ч-оо), либо расходящийся (теорема Римана). 3. Во всяком сходящемся ряде можно без изменения порядка членов объ единять их в любые группы, так что ряд, сосгавленный из этих фупп, сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Раскрытие скобок в ряде допускается только в том случае, если в результате этого получа ется сходяшийся ряд. Пример 10. Р я д в виде ряда / 1-2 1 ----- ^--------------Ь... сходится, так как его можно записать 2-3 п(п-1-1) 1\ П 1\ /I в котором получается сходящийся ряд 1 \ - ^ ^ I + . . . , при раскрытии скобок !--- 1- .. ■, п п -Ь I I 2 поскольку последовательность его частичных сумм 5] = 1, 5; = - , 5з = 1, 54 = -. ^5 2 2 3 = 1, 5б = - , ... стремится к I . Сумма исходного ряда также равна I . Арифметические действия над сходящимися рядами. 00 00 1. Если ряды 00 «п и п= 1 сходятся к суммам 5„ и 8ь соответственно, п=1 то ряд Х ^ ( а „ ± Ь„) СХОДИТСЯ к сумме ± 5(,. п=1 00 2. Если ряды а) 00 Ь„ сходятся абсолютно к суммам и Зь п=1 п=1 соответственно, то ряд, членами которого являются все произведения вида (I = 1, 2, . . . ; ] = 1, 2, . . . ) , расположенные в любом порядке, также сходится абсолютно и имеет сумму За-Зь- Если только один из двух рядов а) и б) сходится абсолютно (другой при этом может сходиться только условно), то их произведение, записанное в специальном виде (^п= Х !1 а „ и б) ^ ^п=1 ^ ^ ^ п=1 + ■•• + + ••• = = а\Ь\ + {а\Ь 2 + ^261) + ... -н (а 1Ь„ + о.2Ь„-1 + ... + + ■■• ^ является сходящ имся (в обш ем случае не абсолю тно) рядом, а его сумма равна 8 а ' Зь- Если оба ряда а) и б) сходятся условно, то ряд, составленный по правилу (9.4), может оказаться расходящимся. Вслучае сходимости он имеет сумму За-Зьх° Пример 11. Ряд 3(х) = 1 + * + — + ...Н -- Г ”’" " ' значении X ПО признаку Даламбера, так как И т . абсолютно при любом ч. • п -ю о [ ( п + I)! . п! п -ю о П I Для любых двух чисел х и у имеем по формуле (9.4); 3{х)8{у) = +^ + + ^ = 1 + ( I + у) + ^ (1 + у )' + ^ (1 + » ) Ч .. . = 5(1 + у). Признаки сходимости произвольных знакопеременных рядов. 00 1, Признак Абеля. Ряд а „ 6„ сходится, если выполнены два условия: П=1 00 а) ряд ^ а „ сходится, б) последовательность { Ь „ } ( п - 1 , 2 , . . . ) монотонна п=1 И ограничена. 00 2. Признак Дирихле. Ряд ^ а „Ь „ сходится, если; а) последовательность П=1 П частичных сумм А „ = ^ о; ограничена, т. е. |Л„| < М для всех п, 6) по1=1 следовательность { 6„ } является невозрастаюшей и бесконечно малой, т. е. Н т Ь„ = 0. П->СХ) Примечание. Признак Лейбница является частным случаем признака Дирихле при ^ Ьт1 +ь К -> 0. При этом |Л„| < I . а„ = (- 1 )" " ' и 1 1 1 1 1 1 1 1 Пример 12. Исследуем сходимость ряда 1 + - + - - 7 - 7 - 7 + - + о + л “ '-* • Пусть 0 ^ | = I, 02 = I, аз = !, 04 2 3 4 5 6 7 о У = -1, аз = -1 , Об = -1 , а; = I, ая “ !, ад = 1, . . . ; Ь, = —. Тогда исходный ряд запишется в виде 00 00 Ряд Оп имеет ограни ченную последовательность частичных сумм; А] = й] = I , А 2 = в! й2 = 2, = 3, А^ = 2, А , = \, А^ = 0. Ат = \, А^ — 2, Ад = 3 , где все < М = 3. После довательность {Ь „ } не возрастает и стремится к нулю. Следовательно, исходный ряд сходится (не абсолютно). Суммы некоторых рядов 1 1 ■+ ■+ ... = 1,21 ' + ^ + ^ + ^ ■+ . 1 >+ 1 + 1 2^ 90 1 + "■ '- 2 + з " 4 + , _ 1 32 8 1.233701. = 1п2 = _ 1 + . 42 " “ 12 9.4. Бесконечные произведения 1. Пусть дана бесконечная числоваяпоследоЕ последовагельность 61,63..... 6, ......... 1ная числовая Формальное выражение 00 (9.5) 6, •б2 •••6. •••= П называется бесконечным произведением. Числа 6^ называются его членами (или элементами). Произведение первых п членов бесконечного произведения (9.5) называется его п-м частичным произведением П р „ = 6,6з - - 6„ = П<>.1=1 Частичные произведения образуют бесконечную последовательность {Яп}Р | = 6ь Р 2 = 6|б2, Р „ = 6162 .... Если существует конечный и отличный от нуля предел Ц т ]~Г 6^ = И т Р „ = Р , (9.6) то бесконечное произведение (9.5) называют сходящимся, а число Р называют значением бесконечного произведения и пишут Если предел (9.6) не существует, то произведение (9.5) называют неопр«аеленно расходящимся. Если Ь^ Ф- О для всех номеров { и предел (9.6) равен О, или +оо, или -оо, то бесконечное произведение (9.5) называется расходящимся соответственно к О, или к +оо, или к -оо. Если имеются (|( = О, то говорят, что произведение (9.5) сходится к нулю. Далее везде будем предполагать, что все Ь{ Ф 0. Каждой числовой последовательности { Р , } , все элементы которой отличр ны от нуля, соответствует бесконечное произведение с элементами Ь^ = — — при : > 1 и Ь| = Р ) , для которого числа Р^ (1 = 1, 2, . . . ) являются частичны ми произведениями. Необходимое условие сходимости бесконечного произведения (9.5); р. И т 1-ЮО Ь{ = И т — = 1, 1-ЮО так к а к И т Р^ = И т Р,-, = Р фО. г-ю о г-*о о Следовательно, если бесконечное произведение (9.5) сходится, то его члены, по крайней мере, начиная с некоторого номера т , положительны. Поскольку добавление или удаление конечного числа членов, не равных нулю, не влияет на сходимость бесконечного произведения, то не офаничивая общности, можно считать, что все 6, (г = I, 2 , .. .) положительны. Пример 13. 1) Исследуем сходимость бесконечного произведения п [■ - ^ — 1=п о] Н к + 1) =п Г — * Г— Д * + |/ Имеем; _/1 2 3 П -1Ч/4 “ \ 2 'з '4 " п 5 6 Д з ' 4' 5 п + 2\ I п +2 ' п +I/ “ п ' Бесконечное произведение сходится к значению Р = К т Р „ = Пт ----- = -. п-*од п-»оо ЗП 3 2) < Х> у к «Ь Бесконечное произведение 1~1 сН ( — 1 при любомX сходится к значению - *=| *=1 ^ ' Действительно, умножая обе 5е части равенства =е ь ( | ) с н ( ^ ) . . . с ь ( ^ ) X на зЬ (ж/2") и применяя п раз формулу 2 «И (■ сН <= 8Ь 24, получим 2” X 2" Отсюда следует „ 5Нх "х /х\ зН X 1|гп Р „ = ------ П т I — : 5Н I — 1 п-»оо X п-»оо[2" \2 / так как предел выражения в квадратных скобках равен 1. 2. Для того чтобы бесконечное произведение (9.5) с положительными членами сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд 00 1=1 Если этот ряд сходится к сумме 5 , то бесконечное произведение (9.5) сходится к значению Р = . Если 6, = 1 + а, (г = 1, 2 ,...) и все а, имеют один и тот же знак (воз можно, начиная с некоторого номера), то для сходимости бесконечного проп изведения (9.5) необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд . Условие 00 1=1 Ит = О является необходимым для сходимости ряда а, и для сходимо1-юо 1=1 сти произведения 00 П ( 1 + а . ) = (1 + а [)(1 + а 2 ) - - ( 1 +а, )-' -. (9.7) 1=1 В общем случае, если щ принимают как положительные, так и отрицательные 00 значения и ряд ^ а^ сходится, то бесконечное произведение (9.7) сходится 1=1 00 или расходится одновременно с рядом а]. Пример 14. 1) Бесконечное произведение 2 3 4 п4 1 I ' 2' 3 ^ X—' ^ в силу расходимости ряда > расходится, причем к +оо, так как Пт Рп ^ “ п «-*оо п=1 2) Произведение 1 в силу расходимости ряда )» расходится, причем к О, так как П=1 ^ Нш Рп — И т ----- = О п-юо п-юо п + 1 и Ь„ / О д л я лю бого 00 , 3) Бесконечное произведение П при ' И + ~ я=1^ ЭТОМ с х о д и т с я . п. 1Ч 00 ) сходится при а > I , так как ряд ^ ^' I — П=1 ” 3. Бесконечное произведение (9.5) или (9.7) называется абсолютно (соотI ветственно. условно, не абсолютно) сходящимся в том и только в том случае, когда абсолютно (соответственно, условно), сходится ряд 00 ^ 00 1пЬ, = ^ 1=1 1п (1 + а,). 1= 1 I ^ Бесконечное произведение ]^ (1 + 01) сходится абсолютно тогда и только 1=1 00 №гда, когда абсолютно сходится I О;. (=1 Из абсолютной сходимости бесконечного произведения следует его схо димость в обычном смысле. В абсолютно (но не в условно) сходящемся бесконечном произведении Чроизвольная перестановка сомножителей местами не влияет на сходимость и На значение произведения. Пример 15. Исследуем на абсолютную и условную сходимость бесконечное произве дение п *‘"л ^ I + ■ о„ с членами о„ = --- — , а также данное бесконечное произведение схо- П=| 00 ^ тся абсолютно при а > 1 (см. пример 7, 1). Знакочередующийся ряд 00 ^ < а ^ I сходится условно. Ряд с членами 00 ^ при п=1 (см. п. 2) сходится при 2а > 1, т.е. а > !/2. Следовательно, данное бесконечное произведение сходится условно при 1/2 < а ^ 1. 4. Некоторые формулы. При -оо < х < +оо справедливы разложения И з первого разложения при х = ж/2 следует формула Валлиса ^ Л 2 И ( 2п У ( 2п - 1) ( 2п + 1)- 9.5. Функциональные последовательности и ряды 9.5.1. Ф ункц и о н альн ы е последовательности Если каждому числу п из последовательности натуральных чисел (1, 2, 3,...) по определенному правилу ставится в соответствие некоторая функция /„(г) одного аргумента, определенная в интервале а' < х < Ь ', то множество занумерованных функций одного и того же аргумента { / „ ( г ) } или / 1(1), / г (х ),. . . , / „ ( х ) , . . . , определенных в (а ; Ь'), называют функциональной по следовательностью. Функции /п(х) называют членами (элементами) данной последовательности, а интервал (а'; Ь'), на котором определены эти функции, называют областью определения последовательности. Принаечание. В общем случае рассматривают функции / „(х ), определенные на неко тором множестве { * } точек I = { г , , ••• . * „ } векторного пространства Е " . Придавая переменной х какое-либо числовое значение Хо из области определения (о ; 6') функциональной последовательности {/ п (х )}, п о л у ч и м числовую последовательность {/ « (х о )} . Если эта числовая п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь с х о д и т с я (расходится), то говорят, что данная функциональная п о с л е д о в а т е л ь ность сходится (расходится) в точке Хо. Множество всех точек Хо, в которы* данная функциональная последовательность сходится, называется ее областью сходимости, которая может либо совпадать с областью определения, либо яв ляться ее частью, либо быть пустым множеством. Далее предполагается, что область сходимости является некоторым интервалом (а ;Ь ). Функция /(^ )' определяемая равенством / (х ) = И т / „(х ) для к а ж д о г о х из области сходиП-ЮО мости (а; 6), называется предельной функцией последовательности Пусть последовательность { / „ ( х ) } сходится в интервале (а: Ь) к предель ной функции / (х ). Говорят, что эта последовательность сходится равномер*^ к функции / (х ) в (а; Ь), если для любого г > О можно указать число N = N (1 )' не зависящее от х и такое, что при п '^ М (е ) для всех х из (о; Ь) выполняется неравенство | / { 1 ) - / „ ( х ) 1 < е. (9.8) При этом иногда используется обозначение / „ (г ) =3 / (х ). Если при заданном I неравенство (9.8) не может быть удовлетворено одновременно для всех х из (о; Ь) ни при каком значении N. то говорят, что последовательность сходится неравномерно к / (х ) в (а :Ь ). Критерий Коши. Для равномерной сходимости функциональной после довательности {/ п (х )} в интервале (а; Ь) к некоторой предельной функции необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О существовало не зависящее от X число N = Л^(е) такое, что при N и при любом натуральном т ^ 1 выполнялось неравенство | / т + п (г )- / п (г )| < г одновременно для всех х из (о; 6). Пример 16. Исследовать последовательности на равномерную сходимость: 1) Последовательность /„(х) = при -оо < х < +оо сходится к предельной п функции /(х) = О, причем равномерно, так как, например, для е = 0,01 имеем неравенства |81ппа:| 1 ^ ^ $ - <е, п п которые выполняются при п > N = 1/е = 100 для всех значений I одновременно. 2) Последовательность функций /„(х) = $т(х/п) при -ос < х < +оо сходится к функции /{х) = о неравномерно. Действительно, при любом фиксированном X имеем /п(х) О при п -> оо. Однако для е < 1 неравенство |51п(х/п)| < е не может быть выполнено одновременно для всех х ни при каком значении ЛГ, так как найдутся такие х, при которых синус принимает значения ± 1. 9-5.2. Функц и о н альн ы е ряды Формальное выражение 00 Х ; Ш = /1 ( * ) + / 2 ( х ) + ... + / „(X ) + ..., (9.9) п=1 ^Оставленное из членов функциональной последовательности {/ п (х )}, назы вается функциональным рядом. Сумма первых п членов ряда (9.9) называется ’^-й частичной суммой этого ряда 3 „(х ) = ^ М х ) ( п = 1, 2, . . . ) . Интервал (а ;Ь ), в котором последовательность { 5 „ ( х ) } сходится, назы вается областью сходимости ряда (9.9). Предельная функция П 5 (1 ) = И т П— *00 5„(х ) = И т ^ ( х ) = / 1(1 ) + { 2( 1 ) + ... + / „ (х ) + . . . , V П— ЮО ‘ * 1=1 определенная в (а; Ь), если она существует, называется суммой ряда (9.9), ко торый при этом называется сходящимся. Функция 00 Д „(х ) = 5 ( х ) - 5„(х ) = / „ + | ( 1 ) - Ь / „ + 2( 1 ) + . . . = ^ / „(х ). определенная для сходящегося ряда (9.9), имеющего сумму 3 {х ), называется остатком ряда. Функциональный ряд (9.9) называется равномерно сходящимся в интервале (а: Ь) к своей сумме 8 {х ), если последовательность его частичных сумм { ^ „ ( х ) } сходится к предельной функции 8 {х ) равномерно в (а; Ь). Критерий Коши. Для равномерной сходимости ряда (9.9) в интервале (а; Ь) необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О существовало число N = N { 1 ) такое, что при п > N и любом натуральном т выполнялось неравенство |5 „+ „(х ) - 5 „(х )| < е одновременно для всех х из (а; Ь). Признаки равномерной сходимости 00 1. Признак Вейерщтрасса. Ряд ^ / „(х ) сходится абсолютно и равП=1 номерно в интервале (а; 6), если существует сходящийся числовой ряд О] + 02 + ■■. + а „ + ■■■ такой, что для всех х из (а; 6) выполняются не равенства |/п(х)| ^ а „ (п = 1 ,2 ,...). При этом говорят, что ф ункциональный ряд мажорируется числовым рядом. 00 2. Признак Абеля. Ряд ^ а „(х )Ь „(х ) сходится равномерно в интервале П=1 00 (а; Ь), если: а) ряд ^ а „(х ) сходится равномерно в (а; Ь); б) последовательП=1 ность {Ь п (х )} является монотонной и офаниченной для каждого х из (о;М00 3. признак Дирихле. Ряд ^ а „ ( х ) 6п(а;) сходится равномерно в (а :Ь ), п п= \ если: а) частичные суммы ^ ^ а Д х ) для всех п Офаничены в (а; 6) одним и тем же числом; б) последовательность {& „(ж )} монотонна лля каждого х и равномерно в (о; Ь) сходится к нулю. 4. Признак Дини. Если все члены функционального ряда непрерывны и иеотрицательны на отрезке | а ;6| и сумма ряда также непрерывна на | а ;6|, то данный ряд сходится к своей сумме равномерно на [а; Ь\. Пример 17. ос 1) I Ряд ; ^ п=\ \-п^ г сходится равномерно в прюмежутке —оо < х < +ос, так как мажо- 1 п* рируется сходящимся числовым рядом с положительными элементами а„ = — / I I ^ \х^ + п^ 2) Ряд ^ п=2 ДЛЯ всех Л X ) I. — сходится равномерно на отрезке О < I < 2я-, так как частичные П + 51П X суммы ^ ( “ 0 " ЛЛЯ всех п ограничены (не превышают 1), а последовательность п=2 с элементами Ь„ = -------- для каждого х монотонна и, в силу неравенства П -Ь 51П I ------- п 4-$1П X ^ п- 1 {п = 2, 3, . . . ) , равномерно сходится к нулю на указанном отрезке. 3) Ряд > 51П П Х приа >1 сходится равномерно в промежутке -оо < х < +ос, П=1 ^ 1 так как мажорируется сходящимся при а > 1 числовым рядом 2_^ ~ - Свойства функциональных рядов 1. Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных на отрезке [а; 6| Функций является непрерывной на |а; 6| функцией. Если Хо — точка на |а; Ь), То {\т 8 {х) = И т Х -* Х о Х -* Х о ‘-п=1 =Е п=1 М т / „(х ) Х^Хо т. е. к пределу можно переходить почленно. 2. Если члены /,,(х) сходяшегося к своей сумме 3 (х ) в интервале (а; Ь) 00 Ряда }п (х ) имеют непрерывные производные {'„(х ) и ряд из производных /!,(х) сходится равномерно в (а ;Ь ), то исходный ряд сходится в (а;Ь) п=1 равномерно к сумме 3 (х ), которая имеет в (а; Ь) непрерывную производную, и б13(х) а йх Лх -* п=1 т. е. ряд можно дифференцировать почленно. 00 3. Если ряд ^ / „(х ) с непрерывными на отрезке |а; 6) членами /„(х) П=1 сходится к своей сумме 8 (х ) равномерно на [о ;Ь ], то ряд из интегралов от функций /п(х) от а до X < Ь ^ X ^ X / |(х )Й 1 + X / 2 ( 1 ) <4х + ... + а а У ^ / „ (х )й х + . .. = а ^ ! X }„ ( х ) й х а X сходится равномерно на [а; 6) к сумме ! 3 (х )й х , т е . ряд можно инте- а грировать почленно. Если верхний предел интефирования а; = 6, то ряд из интефалов становится числовым рядом. 00 пример 18. Ряд ^ п=1 К сумме 8{х) = оо ж" = х ^ х"” ‘ на отрезке О < ж ^ ^ < 1 сходится равномерно п=1 так как мажорируется сходящимся при О ^ ^ < I числовым 00 00 рядом ^ 5" (см. пример 1,3). Ряд из производных ^ пх"~' = 1+ 2х + + ... + п=1 я=| пх"~' + ... также сходится равномерно на |0; 5|, так как мажорируется сходящимся по признаку Даламбсра числовым рядом 1 + 2? + + ... + пд""' + . . . , поскольку 11т [{п + \)д" : пд"” '] = ? < 1. п-кх Следовательно, исходный функциональный ряд можно. 1) почленно дифференцировать: 2) почленно интефировать от О до х ^ 9.6. Степенные ряды 9.6.1. О б щ и е понятия Степенным рядом называется функциональный ряд вида 00 Оо + О1(х - 1 о ) + а2(х-Х о)^ + ... + о „(а ;- 1 о )" + . . . = ^ о „ ( я : - Х о ) " , п=0 (9.10) где Оо, « 1, 02, . . . — действительные числа, называемые коэффициентами ряда (9.10); Хо — число, называемое центром этого ряда. Если хо = О, то ряд (9.10) принимает вид 00 00 ао + а ,х + 02Х^ + ... + а „х " + .. . = ^ а „х " = оо + ^ а^x^. п=0 »=1 (9.11) Заменой переменной у = х - Хо ряд (9.10) преобразуется в ряд вида (9.11) с центром Хо = 0. Всякий степенной ряд (9.11) всегда сходится в точке х = 0. Относительно сходимости ряда (9.11) в какой-либо точке х / О могут быть три следующих случая: 1) Степенной ряд расходится во всех точках, кроме х = 0. Например, ряд X + 2^1^ + 3^1^ + ... + п "х " + . . . расходится при любом х к нулю при п 00. О, так как общий член ряда не стремится 2) Степенной ряд сходится во всех точках -оо < х < +оо. Например, ряд х^ х^ 1+ Х + - + - + . х" сходится при любом X по признаку Даламбера, так как х "+ ‘ 11т П->00 (п + 1)! ■ п! 3) |х| = И т ----- = О < 1. п-»оо п + 1 Степенной ряд сходится в одних точках х / О и расходится в других. Например, ряд X х^ х^ х" ' + ^ + 5^ + •••+ ^ + •••’ где а > I , сходится при |х| < 1и расходится при |х| > 1, так как по признаку Даламбера имеем: х"+' Ит п-юо (п + 1) “ ■п“ (см. также пример 7,1). = Ит | х | ( ^ ) “ = | п -м о \ 1 + П / Интервал сходимости. Областью сходимости степенного ряда (9.11) явля ется некоторый интервал (- Д ; Я ) (или \х\ < Л ), симметричный относительно точки X — 0. Число В > О называется радиусом сходимости ряда. В интервале сходимости (- Д ; Д ) ряд сходится абсолютно. Вне интервала, т. е. при |х| > Д, ряд расходится. Если ряд сходится при всех х, то пишут Д = со. В случае сходимости ряда только в точке ж = О имеем Д = 0. В точках I = - Л и I = Л (т. е. в концах интервала сходимости) ряд может либо сходиться, либо расходиться. Радиус сходимости Л ряда (9.11) находится по формуле Коши—Лзамара ^ К П-+00 Ум = в которой стоит (конечный или бесконечный) верхний предел И т , всегда существующий по определению (см. 4.2.7). При этом Д = оо, если X = О, и Д = О, если Ь = со. Если существует обычный предел И т у | а ^ , то он п-*оо равен верхнему пределу Ь . Радиус сходимости ряда (9.11) можно найти также при помощи признака Даламбера по формуле Д = 1/д, где д = И т |о„+1 : а„|, если этот предел П-ЮО (конечный или бесконечный) существует. Здесь Л = оо при д = О и Л = О при д = оо. Если существует конечный или бесконечный предел д, то он равен верхнему пределу Ь . Интервал сходимости степенного ряда (9.10) симметричен относительно точки жо и имеет вид Х о - Д < ж < Х о + Л (или |х - Хо| < Л ). В концах Хо - Л и хо + Л этого интервал ряд либо сходится, либо расходится. Ряд может сходиться в одном их этих концов и расходиться в другом. Радиус сходимости Д находится так же, как и для ряда (9.11). Если ряд (9.11) содержит бесконечное множество нулевых членов, как например 1 - х^ + х"* - х* + ... , то отнощение |а„+| : о„| не имеет предела и радиус сходимости не может быть найден по признаку Даламбера, даже если исключить нулевые члены и заново перенумеровать оставшиеся. В таких случаях обычно применяют формулу К о ш и —Адамара. Пример 19. 1) Ряд х" имеет радиус сходимости Л = I, так как о = П т |1 : II = I. В обеих п-*оо п=0 фаничных точках х = - ] и г = +1 интервала сходимости (-1; I) ряд расходитсяРяд сходится в интервале (-1; I). Для ряда > 2" —X / V 2" \ «V 2"+' 2" / п ^ =2, г : — = П т 2 ---- I — „ ^ о о (п + | )2 „2 V п + I/ I о„ = — I имеем о = П т Д = - = В фаничной точке х = - интервала сходимости имеем сходяшийсЯ д 2 2 1 числовой ряд ^ — 1 (см. пример 7,1). В точке * = - - получим сходящийся абсолютно числовой ряд 3) Для ряда ^ ^ °° ( “ О" находим ? = й т п -О Ряд сходится при любом . Степенной ряд сходится на отрезке I I ( п + 1)! ■ г»! = Ит — 1 1 'г 2 - = О, т. е. Л = оо. п-*оо п + 1 X. <» 4) Для ряда ^ — х " {а > 0) имеем Ь — И т \ / — = ||гп п-*оо V П — = Н т —7 = = а п-юо V П п-юо у п (так как И т У п = 1), Л = ^ = - . В граничной точке п-чоо Ь <х / 1 1\ димости ^ и м е е м I = - интервала схоа получим сходящийся условно по признаку Лейбница ряд ^ П=1 ряд сходится в промежутке 5) 1 расходящийся числовой ряд 2_^ В точке х — - - ^ . Степенной ” 0 0/ Последовательность коэффициентов ряда I- х ^ + х* - + ■■■имеет вид 1;0; —I: 0; 1;... . Взяв подпоследовательность 1; -1; 1 ;..., не содержащую нулевых ко эффициентов, получим ^ = Ит ^\а„\ = 1. Следовательно, Я = 1/Ь = I. Если обозначить = у. то получим ряд \ ~ у + - у’ + ... , уже не содержащий нулевых коэффициентов, для которого имеем д = Е = ]/д = \. 9.6.2. С войства степенных рядов СЮ 1. Теорема Абеля. Если степенной ряд ^ а „ 1" с интервалом сходимости п=0 (- Й ; К ) , где Я — радиус сходимости, сходится в фаничной точке х = Д, то его сумма 8 {х ) непрерывна в точке х = Я слева, т. е. 8 { Я ) = И т ^ 8 {х). 00 2. Если степенной ряд ^ а „х " сходится абсолютно или условно в какой- п=0 Либо точке I = г / О, то он сходится абсолютно и равномерно на всяком отрезке [а; 6], лежащем строго внутри отрезка [-|г|; |г|], т. е. точки а и 6 Не совпадают с точками |г| и -|г|. Если степенной ряд расходится при I = г, То он расходится и при всех |1 | > |г|. 3. Для любого числа г, удовлетворяющего неравенствам О < г < Д Ж ’ где К — радиус сходимости, степенной ряд ^ а „х ” сходится равномерно п=0 на отрезке [ - г ; г | , т. е. при |х| ^ г . Сумма этого ряда является функцией, непрерывной на [- г ; г]. 4. Сумма 5(ж) степенного ряда в интервале его сходимости { - К . К ) , те. |1 | < Л , является непрерывной функцией. 00 00 5. Если два ряда Оп®" и Ь „х " сходятся в одном том же интервале п=о п=0 ( - Я ; Я ) и в каждой точке этого интервала их суммы равны, то а„ = Ь„ (п = О, 1, 2 , .. . ) (теорема единственности). 6. Степенной ряд внутри его интервала сходимости можно дифференци ровать почленно любое число раз, например, для первой производной имеем а $ (х ) а йх йх ^ а „ ( 1 - Х о )" '•«=0 = ^ п а „ ( х - 1о)" '• п=1 Ряд из производных имеет тот же радиус сходимости К , что и исходный ряд. 00 Если исходный ряд ^ а „х " расходится (соответственно, сходится) в каком- п=0 либо конце интервала (- Д ; Д ), то в этом же конце ряд из производных рас ходится (соответственно, может быль либо сходящимся, либо расходящимся). Пример 20. 1) Производная ряда \+ х + х^ + х^ + ... + х ° + .. . = — !— , сходящегося в интерва-че 1- X (-1; I), равна \ + 2х + Ъх^ + .. , + пх"~' = (см. пример 21). Аналогично находятся последующие производные. Исходный ряд и все его производные сходятся в интервале (-1; I) и расходятся в его концах I = -1, I = 4-1. 2) Дифференцируя ряд I* х’ 81ПЖ = 1 - — -I- — - — (^е = 00), получим х1 X* х‘ (51П х)' = С08 I = 1 - — -I— -Н . . . ( Я = ОО). 2! 4! 6! х2 х'' 3) Для ряда 1п (1 - х) = - X - ---- — ------ .. . (Д = 1) производная при 1x1 < 1 2 3 4 равна !— = - 1 - х - х ^ - х ^ - . . . . I - X В точке X = 1 исходный ряд и его производная расходятся. При ж = —1 исходный ряд сходится по признаку Лейбница, однако ряд из производных расходится. 7. В интервале сходимости |г - 1о| < Д степенной ряд (9.10) (а также (9.11)) можно интегрировать почленно; / г 8(х )й х = I ^ 1 ^ о „ ( 1 -а;о)'‘ < 1х = С I- п=0 -I 00 . п=0 " + ' Полученный в результате интегрирования ряд сходится в том же интервале, что и исходный ряд. В частности, интефируя почленно от О до х, где |1 | < Л , 00 сходящийся в промежутке (- Д ; Д ) ряд ^ а „ х " , получим ряд из интефалов X / 5(х)<гх = ^ ^ 1"+ ', п=0 о сходящийся в интервале (- Д ; Л ). Если исходный ряд сходится (расходится) в каком-либо конце интервала сходимости, то в этом же конце ряд из инте гралов сходится (соответственно, может быть либо сходящимся, либо расхо дящимся). Пример 21. Найдем сумму ряда х + 2х^ + Зх^ + ... + п х " + .. . . Решение. Радиус его сходимости Д = 1, так как о = И т ” ^ ' = 1. Запишем ряд п-*оо в виде х(1 + 2х + Зх^ + ...) = получим (см. пример 1,3) X п ■3 (х ). Интефируя ряд 3 (х ) = ] + 2х + Зх^ + . . . , У 5(х) ах = X + х^ + + ... = х (1 + х + х ^ + ...) = X х' Отсюда 5(1) = ( 1- * ) Следовательно, сумма исходного ряда равна 8. ( 1-х)^— — при |х| < I. 1> Действия со степенными рядами. Пусть ряды 00 5 „(х )= - Х ;а п х " п=0 00 и $ь{х) = ^ 2 Ьпх’' п=0 имеют радиусы сходимости и Кь соответственно. Пусть К — наименьшее из Ка и Ль, если же они равны, то Л — их общее значение. В любой точке х общего интервала сходимости (- Л ; Л ) справедливы равенства: 1) З а (х ) ± 5ь(х) = ^ ( а „ ± Ь „)1" ; п=0 00 2) З а (х ) ■8ь(х) = Сг,х". где с„ = а„Ь„ + а,Ь„-, + ... + а„Ь„. п=0 Деление рядов проводится по правилу (если 6о = 5(,(0) 4^ 0): 8а{х ) а д Од + а ]Х + й 2Х^ + . . . " Ь„ + Ь,х + Ь2Х^ + ... 2 + + + ... = а д , где коэффициенты Со, С|, Сз,... находятся из соотношения ао + а ,х + огх^ + ... = (6о + 611 + Ь2Х^ + .. .)(со + с,х + + ...) путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х в обеих частях равенства. Затем ищется радиус сходимости ряда Со + С|Х + + ..., так как ом может быть меньше, чем К . Подстановка ряда в ряд. Если функция у = $(х) является суммой степен ного ряда ^(х) = Оо + а|Х + а 2Х^ + ... и / {у ) = 6(, + Ь, у + 62»/^ + ■. •, то сложная функция Р { х ) = /(^ (х )) также является суммой некоторого степенного ряда Р { х ) = Со + С1Х + сгх^ + . . . , коэффициенты которого находятся подстановкой ряда у = ао + а ,х + а 2Х^ + -- ■ в ряд / {у ) = Ьо + Ь,у + Ь2У^ + ... и приведением подобных членов. Затем ищется радиус сходимости получен ного ряда. Пример 22. Даны два ряда, сходящихся в интервале (-1; I) (см. пример 1,3): I) ' 2) ' а) \ +х^ I = |-хЧх^-хЧх*-..., — — г = 1-Ь г Ч X* -I- -Ы * -I-.. . . I - х^ В результате действий с этими рядами, получим; (Сумма рядов) -— ^ -|- -- ' = 2 + 2х'' + 2х’^ + ... = ~ ^ ^ = 2х^ + 2х‘ -|- 2х* + ... = 1+х^ " 1-х^ б) (Разность рядов) ^ 1-х^- в) Умножение рядов удобно проводить путем умножения членов первого ряда по следовательно на члены второго ряда и сложением «столбиком» слагаемых с оди- 9.6. Стеленные ряды наковыми степенями х; «у 1 - х^ + х^ - х^ + X* - . . X 1 + х^ + X V х^ + X V . ... 1 - х Ч х" - х Ч X* - ... № Ж + х^ - х Ч . . . 8 X - ... 1 + 0 + г " + 0 + г * + . . . = 1+а:'' + 1* + . . . . Следовательно, х“ +- • ..•.•= •I _ Д.4 1 - х^: = I• -1-х" •- + ' - I + г) Деление рядов удобно проводить по правилу деления полиномов: 1+ + 1- - х" + х* + + * “ + ... 1- 1 + 2 х ^ + 2 х “ + 2х^ + . •. х Ч х Ч X * -... 2 x 4 0 + 2 x 4 0 + ... х“ - х Ч X* - . . . 2х^ - 2 х ‘' + 2 х ‘ - 2х* + . . . 2 1“ + 0 + 2х* + . . . 2х ‘‘ - 2 х ‘ + 2 х * - . . . 2х ‘ + 0 + ... 2х ‘ - 2х* + . . . 2х* + . . . Следовательно, 1 1 1-х- ■1+ = 1+ + 2* “' + 2а:‘ + ... = 1 1- ' д) Интефируя ряд 1), получим т / Ах 1+ * ^ = а г с ‘« " = " - Т +Т - Т +- (|1|< I). Для всех рядов, полученных в этом примере, Л = ! по формуле Ко ш и—Адамара (см. пример 19,5). Ряд в п.д) сходится при х = -1 и х = 1 по признаку Лейб ница, при этом 7Г 1 1 1 агс1ё 1 = - = 1- - + - - - + . . . . Пример 23. Для нахождения разложений в ряд относительно х функций е“ '*, е^, 51пх^ со5(х + ж^) И Т. П. слсдует В известных разложениях функций е '. со5 1 . 51пг заменить аргумент х соответственно на х^, х + х^ и т. д. В частности, 9.7. Ряд Тейлора. Разложение функций в степенные ряды 9.7.1. Ряд Тейлора Говорят, что некоторая функция / (х ) может быть рааложенав интервале (жо “ Жо + Л ), где В ^ О, в степенной ряд по степеням х - хо, если существует степенной ряд, сходящийся к / (х ) всюду внутри указанного интервала, т.е. 00 / (х ) = ^ а „(х - хо)" = ао + а , ( х - Хо) + . . . + о „(х - хо)" + . .. . п=0 (9.12) При этом функция / (х ) называется аналитической в точке Хо и имеет в этой точке конечные производные всех порядков. Ф ункц ия, аналитическая в точке Хо, аналитична и в достаточно малой окрестности этой точки. Если функция / (х ) может быть разложена в интервале (хо - Я ; Хо + Я ) в степенной ряд (9.12), то это разложение единственно и может быть записано в виде ряда Тейлора по степеням х - Хо: п=0 ,/ !1 ^ (._ .„ )Ч ....^ (х - Х о )" ..... (9.13) Здесь О! = 1, /*“*(хо) = /(хо). Если Хо = 0. то ряд Тейлора принимает вид р .» , п=0 называемый рядом Маклорена. Один и тот же степенной ряд может являться рядом Тейлора для разных функций. Например, степенной ряд, у которого все коэффициенты равны яуяю, является рядом Тейлора как для функции / (х ) = О при -оо < х < +оо, ПК и для функции = п Р И х / 0, [ О при X = О, уюторой все производные равны нулю при х = О (по правилу Лопиталя), ошако / (х ) # О при X Ф 0. Такие функции, не являющиеся суммами своих рядов Тейлора, неаналитичны. Неаналитичными являются также функши: 1) у которых радиус сходимости ряда Тейлора равен нулю; 2) которые не имеют конечной производной какого-либо порядка в точке Хо, например, функция \/х неаналитична в точке Хо = 0. Если функции / (х ) и ^(х) аналитичны в точке Х о , то в этой точке (1)ункции / (х ) ± ? ( х ) , / (х ) -^(1), / (х )/ ?(х ) (если ^(хо) ф 0) также аналигачны. Сложная функция Р { х ) = /(^ (х )) аналитична в точке Хо, если ^(х) аналитична в Х о , а / {у ) аналитична в точке уо = ^{хо). Достаточные условия аналитичности функции 1. Пусть функция / (х ) имеет в некотором интервале (х о - Д ; Хо + Д ), гае Я 5^ О, все производные и при этом в указанном интервале И т й „ (х ) = О, где Кп{х) — остаточный член в форме Лаф анжа (см. 5.7,1), тогда для функции /(*) справедливо разложение (9.13) в ряд Тейлора, т е . / (х ) аналитична «точке Х о . 2. Если в интервале (хо - Д, Хо + й ) , где Д О, функция / (х ) имеет все Производные, которые в этом интервале офаничены по абсолютной величине одним и тем же числом, т. е. |/*"^(х)| < М (п = 1, 2, . . . ) , то функция / (х ) ВДалитична в каждой точке этого интервала. Примечание 1. Аналогично (9.13) записывается рядТейлора для функций / ( х , , , х„) нескольких переменных Примечание 2. Если функция аналитична в каждой точке некоторой области (открысвязное множество), то она называется аналитической в этой области. При этом Функция и представляющий ее степенной ряд должны в этой области удовлетворять 1рем условиям: функция определена, следовательно, имеет конечное значение в каж дой точке; ряд — сходящийся; сумма ряда равна этой функции. ^■7.2. Разлож ен ие некоторых элементарных функций в степенные ряды Пример 24. Разложим функцию / (х ) = ---- в степенной ряд по степеням х — 1 {x^ = 1 ). функция / (х ) в интервале (-3 ; 3) аналитична как отношение аналитических Функций. Первый способ разложения. Находим последовательно: / (0 = ^. = / ''(1) = - ^ . 2” +' ’ Ряд Тейлора имеет вид «—и 2"+ 2П+1 2 Для этого ряда 1 2»+2 ' 2П+1 2’ т. е. Д = 1/д' = 2. В интервале (хо - Л; Хо + Я ) = (-1; 3) находим остаточный член по формуле суммы бесконечной геометрической профессии, так как х — 1 < 2: Н„(х) = /(х) - 3„{х) = : ^ ( х - 1)"+' + ^ ( * - 1)"+^ + ... = 2П+2 Видно, что при любом X из интервала сходимости П т Н „{х ) = 0. Следовательно, п-*оо полученный ряд Тейлора сходится к функции / (х ) в промежутке (-1; 3). Второй способ разложения. Используя равенства 3 - I = (3 найдем разложение в ряд по формуле суммы бесконечной геометрической профессии 1 I 2П+1 3-х Пример 25. Разложим функцию \ + X - 2х^ в ряд Маклорена. Разлагая данную дрюбь на простейшие дроби (см. 7.1.3), получим ряд / (х ) = 1 (1~х)(!+2х) 3[1-х 1 1 +2х] имеющий интервал сходимости {х] < 1/2. Пример 26. Разложить в ряд Маклорена функцию х^ № ) = ТГ^- 3 Выполняя деление числителя на знаменатель по правилу деления полинома на поли ном, получим ряд /(х) = 1^+ 1* + 1* + ж " + ... , радиус сходимости которого К = \ (по формуле Кош и—Адамара). I Пример 27. Разложить функцию / (х ) = е* в ряд Маклорена. Находим: / (х ) = / " (2:) = ... = /<"'(!) = в'; / '” •(0) при X = О все производные равны I. Следовательно, а„ = ----- п! сходимости ряда Д = И т п^оо 0„+, = Ит п! 1 = — . Радиус п! = И т ( п + 1) = ос. Ряд абсолютно сходится при всех х. Для любого интервала { —К , К ) имеем |/^” *(х)| — < е^. т. е. все производные ограничены в совокупности числом е^. Следовательно, при любом X справедливо разложение Пример 28. Пусть / (х ) = х т х. Находим: /'{х) = С05Х = 51П ( х + 0 .... , Г ( х ) = —51ПX = 81П ^Х + 2—^ , / '”*(Х)=5Ш ^Х + П 0 . При X = О получим /(0) = о, /'(0 ) = I, /"(0 ) = О, /"'(0 ) = - I, = 0, . . . . Все производные при любом х ограничены в совокупности: |/*"*(х)| ^ 1. Разложение Имеет вид Пример 29. Разложение функции / (х ) = созх в ряд Маклорена можно получить аналогично примеру 28, либо дифференцируя ряд для 51п х; С 0 5 х - (8 тх )' = 1 X- (- 1 )” х^" . .. + - ^ ^ **... (|х|<оо). Пример 30. Разложение / (х ) = 1п (1 + х) в ряд Маклорена можно найти, интефируя о т О д о х { —I < х < / 1) разложение функции ---- вряд (см. пример 1, 3): I + X Их 1^ = . х” "^* , ( д=, ) . О при X = 1 этот ряд сходится по признаку Лейбница, при х = -1 расходится. Следо вательно. полученное разложение 1п ( I -Ь х) в ряд спраЕ)едлиЕю в промежутке ( —1; 1). Аналогично. А также 1- X х" X" 1п • = 1п (1 - ж) - 1п (1 + х) = -2 Х + У + У + . . . I +X (-1 < X < 1), Пример 31. Разложим в ряд Маклорена функцию /(х) = (1 + х)^*. где а — действи тельное число. Имеем / ’"^{х) = а (а - 1)(а- 2 )... ( а - п + 1)(1 + х)“ “ " . Следовательно, можно записать ряд сумма 5{х) которого удовлетворяет равенству а ■3(х) = (1 + г) •З'(х). Для функции /(х) также имеем а-/{х) = (1 +х)-/'(х). Отсюда [1п /}' = |1п 5]', т. е. 1п / и 1п 5 имеют равные значения и равные производные при х = 0. Следовательно, /(х) = 8 {х). Таким образом, 2! (1*1 < 1). п! В частности. 1 1± х = \ т х + х ^ т х ’ + х ‘' ^ . . . >/1 ± 1 = 1 ± 1 1•1 (|1 | < 1), I • I -3 2-4"® "^2-4-6*“ 1-3 , ■■ (1*1 ^ I), 1-3-5 3 ( 1*1 < 1). УГТ ^1 ± 1 = 1± 1 -2-5 3-6 3-6-9 ( 1*1 ^ 1). Пример 32. 1) Интефируя от О до X ряд 1-3 4 7 Г ^ = ' + 2" 1-3-5 +••• получим 2) агс18* (|х К О- Пример 33. Разложим в ряд Маклорена интефал г ^ {x ) = ! ах. О Интегрируя от О до а: ряд для функции е“ * (см. пример 23), получим 7Н = х - 1 .^ + 1 9.8. 9.8.1. 1. 4 - ... ( N < 00). Ряды и интегралы Фурье Ряды Ф у р ь е Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида: Оо / пжх тгх \ ао тгж . ттгх у + ^ ( а „ 005 + Ьп 51П - р I = у + С05 — + Ь] 81П ~ — + п=1 ^ ' 2пх . . 2пх П7ГХ ^ , ппх + 0 2 С 05 — ------ 1- Й2 51П — --Ь . . . + 0 „ С 05 — Н Ь„ 5Ш — ------ 1- . . . , (9.15) или, в частном случае I = тт : у + ^ ( “ п С05 ПХ + К 51П пх) = у + 01 С08 I + 6] 51П I + 02 С05 2Х + п=| +&2 5Ш 2х + ... + о„ С05пх + Ь „ & т п х + ... , (9.16) где ЧИСЛО I > Оназывается пол}Т1ериодом, а числа Оо, О], Ь|, 02,62, . . . , о„, Ь „ ,... — коэффициентами этого ряда. Тригонометрический ряд можно записать также в виде 00 у + X] где А „ = л/о^ + 6^, 18 = а „/Ь„. Используя равенства е'"^ = со5 пх + I 51П пх. е ” '"^ = со5 пх - I 51П пх. Где «^ = -1, ряд (9.16) можно записать в комплексной форме где Со = у , с^„ = ^ (а „ - г 6 „), с„ = ^ (а „ + гЬ„) (п = 1, 2 ,...). Заменив здесь X на ж хЦ , получим комплексную форму ряда (9.15): ^ П=-00 (9.17') Задача заключается в разложении некоторой периодической функции / (х ) с периодом 21 или 2тг в тригонометрический ряд вида (9.15), соответ ственно (9.16), сходящийся к этой функции. Члены тригонометрических рядов (9.15) и (9.16) являются периодиче скими функциями с периодами 21 и 2тт соответственно. 2. Скалярное произведение (см. 2.7) любых двух кусочно непрерывных на отрезке а ^ х ^ Ь функций /(ж ) и ^(х) определяется равенством ь и , 9) = ! }(х )е (х ) Лх. а Везде в 9.8 под кусочно непрерывной на отрезке |а; 6| функцией пони мается функция, непрерывная всюду на |а;6|, за исключением, возможно, конечного числа точек разрыва первого рода таких, что в любой из этих точек X = с существует левый / (с - 0) и правый / (с + 0) конечные пределы и ^ / ( с - 0 ) + / (с - Ю ) Если (/ , д) = О, то функции / (х ) и ^(х) называются ортогональными на |а; Ь]. Множество функций, попрано ортогональных на отрезке |а;Ь|, называется ортогональной системой функций на этом отрезке. Система функций; а) 1 , 008 X , 8ГП X , С08 2х, 81П 2 х , , с о в пх, 8Ш п х , . . . , входящих в триго нометрический ряд (9.16), является ортогональной на отрезке \- 1т;ж\ в силу равенств Г . ,1 / I 81П т х ■81П пх ах = < ш Ф 0, 0, т 0; 7Г / ^ С08 т х ■со 8 пх Лх = т Ф 0, 2тг, т = п 5 т т х - с о 8 пх Л х = 0. -7Г где т ^ О, п > О — целые числа; = 1 при т = п, <5„„ = О при т ф п. Система функций: б) 7ГХ 2жх 7Г1 2жх 1, С05— , 5Ш — , С05—р , 5 Ш— п тгх С05— п тгх 5Ш —р , ... является ортогональной на отрезке |-/;/|. При этом соответствующие ин тегралы вычисляются в пределах от (-/) до I. Системы функций а) и б) являются ортогональными также и для любого промежутка интегрирования шиной 2-к (соответственно 21). Пусть некоторая функция / (х ), определенная в интервале (-тг; тг), а за тем периодически с периодом 2тг продолженная вне этого интервала на всю числовую ось, является суммой сходящегося тригонометрического ряда (9.16): 00 / (х ) = — + со5 кх -Ь Ьк 51П кх). к=1 Умножая обе части этого равенства последовательно на со5 пх (п = О, 1, 2 ,...) и на 81П тгх (п = 1 ,2 ,...) и интефируя затем обе части полученных равенств от до 7Г с учетом ортогональности системы функций а), получим формулы для нахождения коэффициентов Фурье а „ и Ь„ функции / (х ): йп = — ^ / (х ) С05 п х й х (п = О, 1» 2 ,...), -■к •к Ь„ = - ^ /(х )5 1 п п х й х ( п = 1 , 2 , ...). -Ж Ряд (9.16), в котором коэффициентами а „ и Ь„ являются коэффициенты '1^Урье функции / (х ), называется рядом Фурье функции / (х ), а процедура Раможения функции в ряд Фурье называется ее гармоническим анализом. Ко:эффициенты Фурье разложения функции / (х ) в ряд вида (9.15) Находятся по формулам I а„ = I / (х ) С08 ^ йх (п = 0, 1 ,2 ,...), I ! } ( х ) ? . т '^ й х ( п = 1, 2, . . . ). В формулах для нахождения коэффициентов а „ .Ь „ интефир<1вание мо'•'ет быть проведено в любом промежутке длиной 2тг (или 21). Комплексные коэффициенты Фурье с„ для ряда (9.17) или (9.17') нахо дятся по формулам л С„ = ^ У I / ( Ф ' " ' ' Лх -» или ^ У йх, -I здесь п = О, 1, 2 ,.. . . При этом используется равенство /' ах = 2п 6^ „, где дтп — 1 при т = п, дт„ = О при т ^ п. Задача гармонического анализа функции / (х ) состоит, таким образом, в выяснении условий, при которых ряд Фурье этой функции является сходя щимся и его сумма равна / (х ). 3. Теорема Дирюше. Пусть функция / (х ), определенная (т. е, имеющая конечные значения) в интервале ( - 7 г ; т г ) , удовлетворяет в этом интервале условиям Дирихле: 1) / (х ) в указанном интервале либо непрерывна, либо кусочно непрерывна и имеет конечное число точек разрыва первого рода, в каждой из которых существует как левый, так и правый конечные пределы этой функции; 2) интервал ( - л - ; тг) можно разбить на конечное число интер валов. в каждом из которых / (х ) непрерывна и монотонна. Тогда ряд Фурье функции / (х ) сходится всюду в интервале ( - г г ; т г ), а его сумма Ит у п-юо -Ь ^ (а* сов кх -Ь Ь* 51П кх ) равна: а) функции / (х ) в любой точке х, в которой / (х ) непрерывна; б) - [/ (с - 0) -Ь / (с -I- 0)] в каждой точке разрыва с; в) ^ [/(-тг -Ь 0) + /(тг - 0)] на концах х = -гг и х = ж интервала. Примечание. В обшем случае функция / (х ) определена в интервале (-1.1)- Если функция / (х ) периодически с периодом 2тг (или 2^) продолжена за пределы интервала (-тг; тг) (или (-/; /)), то утверждения теоремы Дирихле применимы при любом х, а не только внутри интервала (-тг;я') или (- ^ ;0 При таком продолжении функции концы X = ±тг (или х = ±/) интервала яв ляются точками ее разрыва, если /(-яЧ-0) /(тг-0) (или /(-^-1-0) Ф /(1-0))- 4. Разложение четных и нечетных функций. Если / (х ) — четная в ( - т ; тг) функция, т. е. / ( - х ) = / (х ), то з ) а „ = ^ ^ / ( 1)с о 8п х й х (п = о, 1, 2 , . . .), 6„ = О ( п = 1 , 2 , , . . ) . о Ряд Фурье при этом не содержит синусов. Если / (х ) — нечетная в функция, т е , / ( - х ) = - / ( х ) , то Я- б) Оо = О, а „ = О, = — ^ / (х ) 81ППХ (1х (п = 1, 2 ,...). о Ряд Фурье при этом не содержит косинусов. В случае интервала (-/; I) формулы а) и б) принимают вид: I а') “ п = у У / ( * ) о ^ ( б') 0„ = о, К = / (х ) 51П ^ ЙХ, о а соответствующие ряды Фурье приведены в п. 5. 5. Разложение в интервале (0; I). Если некоторая функция / (х ) определена в интервале (0; I), в котором она удовлетворяет условиям Дирихле (см. п. 3), то эту функцию можно разложить в указанном промежутке в ряд либо По косинусам: Оо а) /(х) = ^ + Е « " ттх С 05 — — , либо по синусам: б) } ( х ) = ' ^ Ь „ ы п ' ^ , П—\ где коэффициенты в разложениях а) и 6) находятся соответственно по форму лам а ') и б ') (см. п. 4). В частном случае функция / (х ) может быть определена в интервале (0; тг). Оба ряда а) и б) представляют в интервале (0; I) одну и ту же функцию / (х ), но в интервале {-1 ,0 ) они представляют разные функции. При этом ряд а) соответствует функции, полученной из / (х ) четным продолжением в соседний интервал (-/; 0), а затем с периодом 21 продолженной вне интерва ла (-^; I) на всю числовую ось (см. пример 34,3); тогда как ряд б) соответствует Функции, полученной из / (х ) нечетным продолжением / (х ) в интервал (-/; 0), а затем продолженной с периодом 21 вне интервала (-/; I) на всю числовую ось (см. пример 34,4). П ри этом в случае разложения а) имеем: / ( - 0 ) = / (+ 0 ) П - 1 + 0) = / (/ - 0 ); в случае б): / ( - 0 ) = - / ( + 0 ) , /(-< + 0) = - / { I - 0). Пример 34. I) Пусть функция /(ж ) = * определена в интервале (- х ; тг). Продолжим ее периодически с периодом 2ж за пределы этого интервала на всю числовую ось и примем, что в точках х = (2п + 1)тг (п = О, ±1, ± 2 ,...) она принимает значение [/(-т г + 0) + /(т г - 0 )] = ^ ( - 7 Г + 71-) = 0. График полученный таким способом периодической функции, определенной на всей числовой оси и совпадающей в интервале {- п ;п ) с функцией / (х ) = х, изображен на рис. 9.1. Концы стрелок указывают на точки, исключенные из графика функции. В силу нечетности функции /{х) в ( —тг; тг) все а„ — О, г X 81П П Х ^ Х = пп ( х С05 п х ) :/ Согласно теореме Дирихле в интервале (-тг; тг) сумма ряда Фурье равна / 81П X 81П 2х 81П Зх \ а в точках х = ±тг сумма ряда равна нулю. График суммы ряда Фурье, имеющей раз рывы в точках X = (2п+ 1)тг (п = О, ±1, ±2, ...), изображен на рис. 9.1. 2) Разложим в ряд Фурье четную функцию / (х ) = |х|, определенную при -ТГ < X < 7Г. Находим, что все = О, - / хйх = тг. о„ = - [ хсо5пх<гх= — (Х5Ш П Х ) тгУ о тга' о [ з1ппх<<х = 2— ^ тгп У ^ „2 --- - ^ „2 1' > о в силу четности функции имеем /(-тг + 0) = /(тг - 0) = я-, следовательно, в точках = птг сумма ряда не имеет разрывов и равна /(тг) = ж. Таким образом, на отрезке X |- 1 г; тг] сумма ряда Фурье по теореме Дирихле равна 7Г 4 / С05 X 2- Н — С08 Зх +— С05 5х \ + — График суммы ряда изображен на рис. 9.2 3) Пусть / (х ) = х(тг — х) определена в промежутке О ^ х < л-. Продолжим ее четно в соседний интервал (-1г;0). В результате получим четную функцию, опреде ленную в интервале (-тг; тг), для которой все Ь„ = О, 2 г ао = - I х(тг - х) ах = у , о 2 ? / Ч . С05П7Г + I 2 , а„ = ~ I х(тг - х) со зп х ах = - 2 ---= — т1(-1) + Ч- тг ^ п о п Сумма ряда Фурье, не имеющая разрывов на всей числовой оси, равна по теореме Дирихле при О ^ X ^ 7Г С08 2 х ?-( — С08 4 х +^ С08бх + - 1Т - + = х{тг - х). На отрезке |- х ; 0] сумма найденного ряла равна -х{тг + х ). График суммы ряда при веден рис. 9.3. 4) Разложим функцию } ( х ) = х(ж - х ), определенную при О < I < и рас смотренную в 3), в ряд по синусам. Продолжим ее нечетно в интервал (-1г:0). Для полученной нечетной функции, определенной в интервале (-л-; т ) , имеем: все о„ = 0. 2 Г 4 Ь„ = - I х(тг - аг) 51ППХ <^x = ---- 7г ^ тт-* о Сумма ряда Фурье, не имеюшая разрывов на всей числовой оси, по теор^еме Дирихле равна при О ^ х ^ я8 /51ПХ 51ПЗж 5ш 5х \ +— На отрезке (—тг;0] сумма найденного ряда равна х(тг + х). График ряда приведен на рис. 9.4. 5) Рассмотрим функцию ( имеющую разрыв 1в точке «о = - ^ С| -я О — при С2 при О < X < п. 1 -ж О I < О, при = 0, = 0. Находим коэффициенты Фурье: ^ С2 Лх = С| +С2, О я с, 005 ПхЛх + ^ С2 С08 ПХ Лх ! ь„=- 1 - 7Г < С| = 0, О к ^ С| 51П ПхЛх + ^ С2 51П ПХ Лх = (с, - Сз) У 1 ь. 1 1 1 1 1 1 1 1 Г 1 ! 1 1 1 1 1 - 2 ’^! .1 1 - 1 ^ 0 1 1 1 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 1 1 1 1 . 1. 1 1 2. '-1 Г' Рис. 9.5 По теореме Дирихле сумма ряда Фурье равна С1 С| + С2 2(с, - С2) 81П 81П X ЗХ с, + С 2 , - 7Г < I X = ОИ < О, X = ±7Г, О < X < Л-. График суммы ряда изображен на рис. 9.5. 9.8.2. Интегралы Ф у р ь е Если функция периодична в бесконечном интервале (-оо; +оо) или получена периодическим продолжением функции, заданной в интервале (-/; I) , то она может быть разложена в ряд Фурье. Непериодическую функцию нельзя разложить в ряд Фурье. Однако, если функция / (х ): 1) определена на всей оси -00 < X < +00; 2) удовлетворяет условиям Дирихле в любом конечном интервале (см. 9.8.1,3); 3) абсолютно интегрируема в интервале (-о о ;+ о о ), т. е. существует несобственный интеграл +<Х) у |/(х)| ах < + 00, -0 0 то эта функция во всех своих точках непрерывности может быть представлена в виде интеграла Фурье (или разложена в интеграл Фурье): +00 + 00 +00 -0 0 -0 0 В точках разрыва функции /(ж ) левую часть равенства (9.18) следует за менить на - [ } { х + о) + ! ( х - Щ . Выражение (9.18) может быть получено из разложения функции, опреде ленной в интервале (-/; /), вряд Фурье (см. формулу (9.15) в 9.8.1) в результате предельного перехода I +оо. Если /(<) — периодическая функция от времени <, то ряд Фурье представ ляет ее в виде наложения (суммы) бесконечного (счетного) множества гармо нических колебаний со8ш„< и с частотами = птг// (п = 1 ,2 ,...). Совокупность всех частот называется спектром, в данном случае дис кретным (т. е. прерывистым), функции / ((). Интеграл Фурье представляет непериодическую функцию /(<) в виде наложения бесконечного множества гармонических колебаний с непрерывно изменяющейся частотой ш (непрерыв ный спектр), которая может принимать значения либо на всей бесконечной оси Ош, либо на некотором ее отрезке. В общем случае спектр функции может иметь как дискретные, так и непрерывные части. Формула (9.18) для четной функции / (ж ), при тех же замечаниях о точках ее разрыва, принимает вид +00 а) / (х ) ^ ^ +00 а{ш)со^и}Х€ 1х, о а{ш) = ^ ^ / (у ) сови}у йу, о а для нечетной +00 б) / (х ) = У о +00 Ь{и>) &'тшх Лх, Ь{ш) = - ^ /{у )& тш ус1 у. о Если функция / (х ) определена в промежутке (0;-|-оо), удовлетворяет условиям Дирихле в любом конечном интервале, содержащемся в проме жутке (0;+ оо), и абсолютно интефируема в (0;+ оо), то она может быть представлена в указанном промежутке по нашему желанию либо в виде а) при четном продолжении, либо в виде б) при нечетном продолжении. В случае четной функции / (х ), определенной в (-оо;-(-оо), а также в случае четного продолжения / (х ), определенной в (0; +оо), имеем +00 а) / (* ) = “ у 0 +00 ^ 0 +00 /(г/) С0 8 (/2/ со&шхЛш = ^ С (ш ) со&шх о р - С М +00 = у - у /(у )с о & ш у( 1у. о Для нечетной функции / (х ), определенной в (-о о ;+ о о ), а также при нечетном продолжении / ( г ) (О < I < +оо) ^ б) +00 /(а:) = ^ у * +00 ^ +00 / { у ) в т ш у ( 1у 5\п(л}Х(1ш = у ~ ^ 3(и})в\п(^хсио; +0 5 И = \/-у / { у ) а т ш у ( 1у. о Здесь функции С (ш ) и для случаев а) и б) называются соответствен но косинус-образом и синус-образом Фурье функции / (х ). В случае четной / (х ), согласно (9.20), имеем Р (ш ) = С (о;), где С(и>) продолжается четно при ш < О, так как 5(ш ) = 0. Для нечетной / (х ), согласно (9.20), нахоаим = *5(о|), где 5'(а>) продолжается нечетно при и/ < О, так как С(и/) = 0. Для произвольной / (х ) имеем / ( * ) = \ [ / ( * ) + / ( - * ) ] + ^ [ / ( * ) - / (- ж )] = /|(Х ) + / 2(Х). где /|(х ) и /2(1) — четная и нечетная функции соответственно. Следова тельно, образ Фурье для / (х ) равен Р {ш ) = С (ш ) + гЗ{ш ), где С {ш ) и 8 (ш) — косинус-образ и синус-образ функций /|(х ) и /г(х) соответственно, продол женные надлежащим способом для о) < 0. Интеграл Фурье (9.18) может быть записан в виде +00 / (* ) = ^ У О +00 ^ }(у )с о & ш (у - х )а у , (9.19) -0 0 а также в комплексной сной форме + 000 0 ++ 00 00 +00 }(х ) = ^ <^У = ^ ^ у < 1ш\ (9.20) +00 ^'(ы) = У т е ^ и у . где интефал с бесконечными пределами по переменной ш понимается в смыс ле главного значения, т. е, нижний и верхний пределы интефирования стре мятся соответственно к (-о о ) и (-Ьоо), оставаясь равными по абсолютной величине. Форма (9.20) интеграла Фурье эквивалентна форме (9.19) в силу равенства = соаш(у - х) + 1 & т ш {у - х ), а также четности косинуса и нечетности синуса по переменной ш. Комплексная функция Р {и 1) дей ствительного аргумента ш, получаемая из / ( г ) по второй формуле (9.20), называется образом Фурье (или спектральной плотностью) функции / (х ). При этом Р {и 1) непрерывна в каждой точке Ош и П т |^^(а^)| = 0. |и|-юо Если функция (1 + |х |)"/ (1), где п — натуральное число, абсолютно интефируема в (-о о ;+ о о ), то образ Фурье Р(и 1 ) функции / ( г ) дифферен цируем п раз по ш и производную порядка т ( т = 1, 2, . . . , п ) можно найти по (}юрмуле -0 0 т.е. дифференцированием под интефалом. Если Р (ш ) и 0(и>) — образы Фурье функций / (х ) и ^(х) соответственно, то образ Фурье свертки двух функций / (х ) и ^(х) +00 1 *8 = ! /(ш )г(х - ш) -0 0 равен +00 1 ^ (/ * < 1х = -X Если Р {ш ) — образ Фурье функции / (х ), а Рп{‘^) — образ Фурье про изводной / (х ) (если она существует), то Р п(‘‘^) = {-гш )’'Р{и>) при условии, что все производные от / (х ) порядка, меньше п, спремятся к нулю при |х| -у -Ьоо. Пример 35. Представим в виде интеграла Фурье функцию /(х) = с” *** (а > 0), опре деленную в интервале О О, то, дважды интефируя по частям, получим четную функцию .— С(ш) = у “ + 00 / со$ шу (1у = Интеграл Фурье для функции ^(х): +00 +00 2 г 2а 2а Г со&шх 2{х) = \ - I —= —:--- — со5о;ж а х = — / --- г аш. V я- У \/2^(а2+ а>2) тг У а^ + шо о Интеграл Фурье в комплексной форме = С{ш)\. +00 +00 -00 О Исходная функция }(х ) представляется этими интегралами Фурье в интервале О О, 1 О, то, дважды интефируя по частям, получим нечетну - у Д- у Се 3(ш) = (/ - / е” ”" 51Пш уй у= Интеграл Фурье для функции Л(х): +М 0И 0 +СС 2 г 2ш 2 Г ш^тшх , Н(х) = \ - I —:---— 81па>хах = - / -т---- г оы. V я- У \/2т(а^+и;2) тг У + о Интефал Фурье в комплексной форме = %8{ш)] : + 00 +0С -0 0 -0 0 Примечание. Интефалы с бесконечными пределами по переменной ш понимаются в смысле главного значения. Пример 36. Для четной функции /(х) = е~“* косинус-образ Фурье равен; С И = 1 е-“ ’/Пример 37. Найти функцию если +00 у ^(ш) С05ШХ б^а^ = Решение. Поскольку функция С(а;) = является косинус-образом для / (х ) = — !— г, находим 1+ ^-оо о Следовательно, (р(о^) = е~'^ (а» ^ 0). Глава 10 Ф УНКЦИИ КОМ ПЛЕКСНОЙ П ЕРЕМ ЕН Н О Й 10.1. Комплексные числа 10.1.1. О пределение комплексных чисел и действия с ними Комплексные числа вводятся как обобщение понятия действительного числа, так что множество всех действительных чисел становится частью множества комплексных чисел. Комплексным числом г называется пара г = (о, Ь) действительных чисел а и Ь, взятых в определенном порядке, т. е. указывается, какое из этих чисел о и 6 является первым, а какое вторым. Первое число а и второе Ь назы ваются соответственно действительной (или вещественной) и мнимой частями комплексного числа 2 и обозначаются: а = К е г , 6 = 1 т г . При 6 = 0 ком плексное число 2 = (а, 0) считается совпадающим с действительным числом числом а, т. с. г = а. Таким образом, множество всех действительных чисел содержится во множестве комплексных чисел. Если а = О, то комплексное число г = (О, Ь) называется чисто мнимым (или просто мнимым). Комплекс ные числа (0,0) = 0; (1,0) = 1; (О, I) = г называются соответственно нулем, единицей, мнимой единицей. Комплексные числа г, = ( о ь 6|), г 2 = (а 2М ) по определению равны, т.е. г, = 22, если 0 | = «2 и Ь| = &2■В противном случае комплексные числа не равны. По определению суммой двух комплексных чисел 2 \ = ( 01, 61), 22 = ( 02, 62) называется комплексное число 2| -Н22 = (0 | -1-02, 61-1^62), а их нроизведением — комплексное число 2|22 = («102 - 6162, 0162 -I- 0261). Сумма и произведение комплексных чисел обладают свойствами: 1) 2| -Ь 22 = 22 -ь 2, , 2) 2|22 = 222,, 3) (2 1 + 22 ) -I- 2з = 21 -Ь ( 2 2 -I- 2з), 4) ( 2 1 2 2 ) 2 3 = 2|(222з), 5) (2 1 -1- 2 2 ) 2 3 = 2 |2 з 4- 2 2 2 3 . И з определения действий сложения и умножения следует: 2 + 0 = 2, 2-0 = 0, 2-1= 2, м = *^ = (0, 1)-(0, 1) = (-1,0 ) = -1. Ввиду отсутствия действительных чисел, обладающих свойством г^ = -1, число г называют мнимой единицей. В силу этого свойства мнимой единицы любое комплексное число 2 = (а , Ь) можно представить в алгебраическом виде: 2 = о + гЬ. Действительно, 2 = (о, Ь) = (о, 0) + (О, Ь) = (а, 0) + (0 ,1 )(6 , 0) = о + гЬ. М нимое число (О, Ь) можно представить в виде О + *Ь или гЬ. Отметим, что мнимой частью комплексного числа а + гЬ называется действительное число Ь, но не чисто мнимое число >6. Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сло жению, т. е., если 2, = (0 |,Ь |) = 0 | + гЬ ,, 22 = ( 02, Ьг) = 02 + И>2, то 02, Й| - 62) 2 , - 2 2 = (0| - = «I - 02 + г(Ь, - 62). Действия сложения, вычитания и умножения с комплексными числами, записанными в алгебраическом виде, проводятся по тем же правилам, что и с обычными полиномами, с учетом равенства = - 1 , т. е. 21 ± 22 = (0 1 + гЬ]) ± (0 2 + «6 2 ) = (О] ± Ог) + 1 (Ь| ± 6 2 ), 2,22 = (01 + гЬ,)(а2 + >62) = (0|02 - 6,62) + »{0|б2 + 02б|). Комплексное число (а , -Ь ) = а - гЬ называется сопряженным с числом 2 = (а, й) = а + г6 и обозначается 2 = а - гЬ. Переход от числа 2 к сопряжен ному 2 называется действием сопряжения. При этом: 2122 = 2 | 22 , (2 ) = 2, 2+ 2 = 2а, Ке 2 = - ( 2 -Ь 2 ), 2, ±22 2 - 2 = 2 , ± 22, = ИЬ. г { \ т 2 ) = гЬ = 22 ^ {2 = - 0.^ + ^ О, 2 ). Если 2 является корнем алгебраического уравнения с действительными коэффициентами, то 2 — также корень этого уравнения. Деление на комплексное число, не равное нулю, определяется как дей ствие, обратное умножению, т.е., если 2, = а ,+ г Ь ,, 22 = а2 + 162 (22 ^ 0), то 2[ 22 01-1-161 02 -I- 162 2122 {0 | -Ь «б1)(а 2 - 162) 2 22 2 (02 -|- »б2)(Оа - «62) 01024-6162 о] + , 6102-0162 «2 + ^ При этом 222 = 2 | и 222 = 21 . Произведение п (п — натуральное число) равных комплексных чисел 2 называется п -й степенью числа 2 и обозначается 2 " . Например, «'^ = - 1 . Если п — натуральное, то 2 " " = 1/2 " . Число т называется корнем п-й степени (п — натуральное) из числа г , если и)" = г. Обозначение: ь) = ^ 2 . Д ля всякого г ^ 0 корень чУг имеет п различных значений (см. 10.1.3). В частности, имеет значения +1 и - I ; = ±\. Действие, ставящее в соответствие каждому комплексному числу 2 ^ 0 комплексное число «с = вается инверсией. Пример 1. 13 - 26» ^ 9+ 4 10.1 .2 . ' / г, где действительное число Д > О задано, назы Пусть г,= 7 - 4«, ^2 = 3 + 2«. Тогда г, + 22 = Ю - И , 2 [ - 22 = 4 ~ 6»; _ 2-, 1_ 3 -2 » _ 2 _ 1 ■ *’ 3+ 2» “ (3 + 2»)(3-2») “ 13 13*' Гео м етр и ческое и зо б р а ж е н и е комплексных чисел. М о д ул ь и ар гум ен т ком плексного числа Действительные числа изображаются точками на прямой (числовой оси). Поскольку комплексное число г = х + {у является упорядоченной парой дей ствительных чисел X и у , его можно изобразить точкой М ( х , у ) с абсциссой X и ординатой у на плоскости с декартовой прямоугольной системой коор динат О х у (рис. 10.1). Рассматриваемая в таком смысле плоскость называется комплексной плоскостью, а оси О х и О у — действительной и мнимой осями соответственно. Точка А (1 ,0 ) изображает действительное число 1 + О» = I, а точка В (0 , 1) — мнимую единицу О + 1» = «. Комплексное число г = х + гу можно изобразить также вектором О М , началом которого является начало координат О , а концом — точка М ( х , у ) (рис. 10.1). Между точками ком плексной плоскости М ( х , у ) и комплексными числами г = х + ху существует взаимно однозначное соответствие, поэтому обычно не делают различий меж ду точками плоскости и комплексными числами и говорят, например, «точка 2 = X + 1у». в частности, точка » совпадает с точкой В (0 , I) мнимой оси (рис. 10.1). Число г = х - г у , сопряженное числу г = х + гу, изображается точ кой М '{х , - у ), симметричной точке М (х , у ) относительно оси О х (рис. 10.2). Сумма г| + 22 двух комплексных чисел и гг геометрически изображается вектором, полученным сложением векторов, соответствующих числам 2| и 22, по правилу параллелограмма. Разность чисел 2| - 22 изображается суммой векторов, соответствующих числам 2| и ( - 22) (рис. 10.3). Для умножения и деления комплексных чисел простые геометрические аналоги отсутствуют. Неотрицательное число \г\ = = у/х^ + у'^, равное длине вектора О М , изображающего число г = х + гу, называется модулем этого комплексного числа. Модуль действительного числа равен его абсолютной величине. Модуль \г\ = О тогда и только тогда, когда 2 = 0. Из равенства |-г|22 ••■2„| = (2,22 •••2„ ) ( 2,22 ' ' ' 2„ ) = следует |г|гз г„| = |2]||22| ••• |2„|. Справедливы следующие равенства (см. рис. 10.3): 1^1 + 2г| < |2,| + |22|, |2| - 2г| ^ Цг:,! - \гг\\, к=\ где 2*, 2[. {к = 1,2 п ) — любые комплексные числа. Из равенства |2 р = 22 = х^ + у^ следует Угол <р (обычно в радианах) между положительным направлением оси Ох ивектором О М = (х ,р ), изображающим комплексное число г = х + гу (рис. 10.1), называется аргументом этого числа. Обозначение: ^ = Аг^г. Положение точки г = х + гу на комплексной плоскости однозначно определяется как ее декартовыми координатами х и так и полярными координатами р = |г|, ^ = А т$г, при этом (рис. 10.1): I = /9 С08 у = р $ Ы (р , р = \/ + у^. У Модуль комплексного числа г = х + (у определяется однозначно: |г| = л/х^ + у \ а аргумент — неоднозначно, с точность до слагаемого 2ггп (п = О, ± 1 ,...). Зна чение аргумента считается положительным (или отрицательным), если его отсчет от положительной полуоси О х ведется против хода (или по ходу) часовой стрелки. Для того чтобы сделать аргумент однозначным, берут его значение аг§г = которое удовлетворяет условию -тг < =5 ’г и назы вается главным значением (рис. 10.4). Если точка г = х + гу на комплексной плоскости с переменными х и у приближается сверху (соответственно, снизу) к отрицательной (т. е. I < 0) полуоси О х , то (ро -> + я (соответ ственно, -> -7г). Главное значение аргумента <ро числа г = х + гу можно найти по формуле = ягсщ (у/х ) при I > 0; а при х < О и 2/ > О (либо у < 0) имеем (ро = агс18 (у/х ) + п (либо = агс1ё (у/х ) - тг). Величина 1ра может быть найдена также из двух равенств: 5111^0 = у/р^ соз^о ^ где р = у / + у^ и -я- < ^0 ^ Л'. Справедливо равенство ^=узо+2я-п (п = О, ± 1 ,...), или Агёг = аг8г + 2тгп. Для сопряженных чисел ъх%г = - аг^г. Для точки 2 = 0 аргумент не определен. Комплексные числа нельзя сравнивать между собой (т. е. нельзя сказать, какое из них больше), однако можно сравнивать их действительные и мнимые части, а также модули. П рим ер 2. 1) 2 , = -1 - 1 , |г,| = \/2, агвг, = -^тг; 2) 22 = 1 + », |22| = ащ 22 = 3) 2з = - I + 1-УЗ, |25| = 2, агв2з = 4) |1 | = 1, агв» = ^ ; 5)агв2 = 0; ^тг; 6) аг% (-г) = 7) агв (-3) = тт. В этом примере все значения аргументов — главные. Т р и г о н о м е т р и ч е с к а я ф о р м а к о м п л е к с н о г о ч и с л а г = х + гу: 2 = |г|(с08^ + г81П1^). Используя формулу Эйлера со8 ^ ± г 81п ^ можно записать в показательной форме: 2 = |2|(со5 ^ + г 81П ^ ) = |2 |е'*’, 2 , комплексное число г = х - гу = \г\е~"‘’. Если г, = |2 | | ( с о 5 ^ ’ 1 + « ^ » 1) = | г , | е ‘ *’ ' , 22 | г 2 | (с 0 5 у ? 2 + • 51П ^ 2 ) = | 2 2 |е ‘ *’' , = 8ш ТО 2,22 = |21||22|[с05(^| + ^ 2) + » 5Ш (^71 + ^»2)] = к ] ||г2 ^ [С 0 5 ( V , - Умножая число 2 <Р2) + I 51П (V ?! “ ^>2 ) ] = ” '*• = х + гу на мнимую единицу г = получим 1г = - » + »1 = И е ‘<*’+5>, т. е. вектор числа 2 поворачивается (при неизменной длине) вокруг начала координат на угол и 12 против часовой стрелки. 10.1.3. Возведение комплексных чисел в степень и извлечение корня Если г = |2|(со5у)+« 51П V?) = |г|е'*’ , то для любого натурального п справедлива ф орм ула М у а в р а г " = | 2 Г ( с о 5 пу> + г 81П п < р ) = 1 г Г е ‘ "» ’ . Эта формула верна также для любого целого числа п = О, ±1, ± 2 , . . . . Пример 3. 1) г = 2^008 ^ + 181П 2) ;г = I - г ’ = 2^(со8!г + 1 51п тг) = - 2 ’ = - 8 ; = е ~ "'\ / = е"^" = со8 ( - 2тг) + « 5Ш ( - 21г) = 1; 3) = е " = С 0 5 Я - + 181 П я - = - 1 , 4) = е “ ' ' = С05 ( - т ) + « 81П ( - т ) = со8 гг = - 1 . »’ = = со8 ^ + 1 5| п ^ К о р е н ь п - й с т е п е н и из числа г = |г|(со8^о + *51п^о) = |2 |е‘*’° , где <ро= 1ч ^ 2 — главное значение аргумента числа г, определяется как комплексное число го = п-я степень которого равна числу 2 , т е . = 2 . Если записать VI = |и;|е'*, где в — аргумент числа №, то И)" = |ю|"е’' ” = |2|е‘»’“ . Следовательно, |и;1= ’{/ Щ (арифметический корень из модуля), вп = 1ро + 2ктг (А = О, ± 1 ,...), т. е. в = —(^0 + 2ктг). Таким образом, п „ /г^ / Фо + 2кж юп + 2кп \ «>* = У Й ( с о 8 ^-^-^^ Л = 0, ± 1,± 2........ Все эти значения корня имеют одинаковый модуль \/\г\, а их аргументы получаются из аргумента (ра/п последовательным прибавлением или вычи танием угла 2тг/п. При п-кратном прибавлении угла 2я-/п значения корня будут повторяться. Всего будет п различных значений щ , Ю 1, , 1»„_| корня из числа г О, которые получаются при А = О, I, 2 ,... , п - 1. Значение корня называется г л а в н ы м з н а ч е н и е м . Поскольку все значения Юо, Ы \ ,... , ш„-1 име ют равные модули, соответствующие им точки лежат в вершинах правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса \/\^\ с центром в начале координат, и имеют полярные углы - (^о + ЗЛтг); А = 0, \, ... , п - 1. В частности. 2Ы 2ктг ( 2к + \ ) ж , . ( 2к + 1)ж V -1 = со5----------1-г 5Ш -------п п { п = 1 ,2 ,.. .; *: = 0, 1 , 2 , . . . , п - I). V 1 = С05 ---- 1- г 51П - Пример 4. Найдем значение корня № = 1 Здесь 1^1 = I , ^0 = 2тг/3. ,УЗ из числа 1ж 2ж _ Решение. Имеем ш ^= со% {2ж/3) + 2кп , . , Нглп (2 ^ 3 ) + 24т -------------- (к = 0, 1 , 2 , 3). Следовательно, ж . 7Г у/З И)0 = 008 - + I 5Ш — = — 6 7ж №2 = С08 — 6 7тг + 1 81П — 2 = I . + 2ж и ;,= С05— 2 3 \/3 1 --- Ю 3 = С05 — . 2л + : 8Ш — 5ж + 1 81П — 3 I </3 = - - Н------ 1; 5ж 2 2 I </3 = - р ---------- — 3 6 2 2 3 3 \/2 2 Эти четыре значения корня лежат в вершинах квадрата, вписанного в окружность еди ничного радиуса (рис. 10.5). Отметим, что точка г здесь совпадает с точкой . > 10.1.4. М но ж ества точек но комплексной плоскости Б е с к о н е ч н о у д а л е н н о й т о ч к о й (комплексным числом г = оо) на комплексной плоскости считается единственная точка, в которую переходит точка г = О (начало координат) в результате преобразования «; = 1/г. Число ; = оо не имеет определенного аргумента. Комплексная плоскость с присоединенной к ней точкой 2 = оо называется п о л н о й (или р а с ш и р е н н о й , или з а м к н у т о й ) к о м п л е к с н о й п л о с к о с т ь ю . Плоскость без точки 2 = оо называют о т к р ы т о й . О к р е с т н о с т ь ю (открытой) С{д, го) точки го / оо комплексной плоскости называется множество всех точек г , для которых |г - го| < й, где <5 > О — заданное число. Это множество является внутренностью круга радиуса б с центром в точке го с присоединением точки го. О к р е с т н о с т ь ю С { К , оо) точки г = оо называется внешность любого круга радиуса Д, в частности, множество точек |г| > Д , с присоединением точки г = 00. Случай, когда точка г = оо исключается, оговаривается особо. О б л а с т ь ю (открытой) полной комплексной плоскости называется мно жество О точек, обладающих следующими свойствами: 1) вместе с любой своей точкой множество X) содержит также достаточно малую окрестность этой точки (свойство открытости); 2) любые две точки, принадлежащие В , можно соединить ломаной линией, полностью состоящей из точек множества О (свойство связности), г р а н и ц е й области О называется множество точек, не принадлежащих О , но в любой окрестности которых находятся точки из О . Точки, из которых состоит граница, называются г р а н и ч н ы м и . Область О с пр^1соединенной к ней фаницей называют з а м к н у т о й о б л а с т ь ю и обозначают О . Н е п р е р ы в н о й к р и в о й в комплексной плоскости называется множество точек г = х + гу таких, что х = х ( 1), у = у ( 1) (-оо ^ <1 С <С <2 С +оо), где У(^) ~ непрерывные функции действительного параметра I. П р о с т о й к р и в о й ( к р и в о й Ж о р д а н а ) называется непрерывная кривая без точек самопересечения и самоналегания (т. е. разным значениям параметра I соответствуют разные точки этой кривой). Кривая Жордана, у которой началь ная и конечная точки совпадают, называется з а м к н у т о й . Замкнутая кусочно гладкая кривая Жордана называется также (замкнутым) к о н т у р о м . Область открытой плоскости называют о г р а н и ч е н н о й , если все ее точки лежат внутри некоторюго круга с центром г = 0. В противном случае область называется н е о г р а н и ч е н н о й . Число связных замкнутых частей (контуров), из которых состоит фаница области (офаниченной или неофаниченной) в полной плоскости, называется п о р я д к о м с в я з н о с т и этой области. В зависимости от числа офаничивающих контуров области подразделяют на о д н о с в я з н ы е и м н о г о с в я з н ы е ( д в у х - , т р е х с в я зн ы е и т .д .). П ример 5. 1) Граница окрестности С ( д , го) точки г о состоит из одного контура (окружности). Следовательно, С ( ^ , 2 о) является односвязной областью. 2) Область между двумя концентрическими окружностями является двухсвязной, так как Офаничена двумя контурами (окружностями). 3) Окрестность точки г = оо с включением этой точки — односвязна, а с исклю чением г = 00 — двухсвязна. 10.1.5. Предел последовательности точек комплексной плоскости Точка 2о = Хо + гро называется п р е д е л о м последовательности { г „ } = г,, ^2, . . . , комплексной плоскости если для любого числа (5 > О существует номер ЛГ((5) такой, что г„ принадлежат окрестности С(<5, го) для каждого п ^ ЛГ(б). Говорят при этом, что данная последовательность с х о д и т с я к 2о, и пишут И т = 2о. Справедливы равенства 11т = го. 2„,... точек г„ =х„ +гр„ г, п-кх п~ ю о х„ И т «„ = уо. Сходящаяся последовательность имеет необходимо единственп-*оо ный предел. Последовательность, не имеющая конечного предела, называется р а с х о д я щ е й с я . Если 2 = оо является единственным пределом расходящейся последовательности, то пищут И т = со. При этом для любого числа Д > О п-ю о найдется номер N ( Н ) такой, что для всех п ^ ^У(й) ство \г„\ ^ Я , т е . все точки последовательности с оказываются вне круга |г| < К . Предел суммы, разности, произведения, частного стей равен сумме, разности, произведению, частному не равен нулю) этих последовательностей. Числовой р я д выполняется неравен номерами п ^ N ( 3 ) двух последовательно (если предел делителя 00 с* = с, - ь С2 + с* -I- . . . = А= 1 = ( а , + г 6 , ) + ( а з + %Ъг) -н . . . + ( а * + + ...= = а ^ + а г + ■■■+ ак + ■■■+ г((>| -Н &2 + •■■ + (>*• + •• ■). где с* — комплексные числа ( / оо), называется сходящимся, если сходят00 ся оба действительных ряда 00 а* и Л=1 6* • При этом существует предел *=} 00 5 = 11т п-»оо с^^, называемый суммой ряда. Необходимое условие сходимости ряда: И т С)ь = 0. к-*оо 10.2. Функции комплексной переменной 10.2.1. Понятие функции Комплексная переменная 2 представляет собой пару действительных пере менных X и у, расположенных в определенном порядке: г = (х ,р ) = х + гу. Каждому значению 2 = х + гу комплексной переменной г соответствует точка (х, у ) на комплексной плоскости О ху. Пусть О и С — множества на полных (расширенных) плоскостях комплексных переменных г и и) соответственно. Тогда, если указан закон, по которому каждой точке г = х + гу из О ставится в соответствие определенная точка (или несколько точек) V) = и(х, у) + г ь {х ,у ) из С?, то говорят, что IV является о д н о з н а ч н о й (или м н о г о з н а ч н о й ) к о м п л е к с н о й ф у н к ц и е й комплексной переменной г , и пишут ш = и + IV = / (г ). Модуль |г| и аргумент Агв 2 переменной г = х + гу являются соответственно одно значной и бесконечнозначной действительной функцией от г. Множества V я С называются соответственно м н о ж е с т в о м о п р е д е л е н и я функции / (г ) и м н о ж е с т в о м е е и з м е н е н и я . Далее функции предполагаются однозначными, если не оговорено противное. Задание функции комплексной переменной т = и + гь = / (г ) равносильно заданию двух функций двух дей ствительных переменных и = и {х ,у ), и = «(х , 2/), ставящих в соответствие каждой точке г = {х, у ) из О на плоскости О ху (г-плоскости) точку ю = (и, и) из С на плоскости Оии (ш-плоскости). При этом и (х ,у ) = К е / (2); V {x ,у) = ^ т / {г ) или т = ^ { 2 ) = и {х ,у ) + гу {х ,у) = \и)\е'^. Главное значение аргумента во функции т = и+»1), удовлетворяющее условию - ж < во ^ Я-, равно: во = агс1в (и/и) при и > 0; если и < О и в ^ О (либо V < 0), то 1ро = агс1в (к/и) + Я’ (либо = агс18 (« / « ) - 5г). Величину во можно найти также из равенств: зт^ о = со5 0о = и/г, где г = П ример 6. 1) Д л я / (г ) \/{г)\ = - г ^ и м е е м и ( з :, у ) ^ X П р и ж > О им еем во = К е /( г ) = а г с 1 ё (у / х ) х, у (х ,р ) = 1 т / (г ) = у, (д л я х < О с м . в ы ш е ) . 2) Если /(г ) = г^ = (х + гу)^ = х^ -у^ + Ц2ху), то и = - у \ V = 2ху, |/(л)| = х^ + у^\ во = агс(8(«/и) при и > О (для и < О см. выше). 3) Для /{г) = \/г находим: и + ^V = \/г, г = х + гу = и^ + »(2иг/), ж = 1/2 у = 2и ь , и = ± ^(х + |/(2)| = - { - X + л/х^ + у^ ) + у^ »о = агс18 (и/и) = агс(8 [\/*^ + I - * ;],* : = х/|!/|. Функц ия т = / (г ) задает некоторое отображение множества О во мно жество С . Точка т из С (или совокупность точек) называется образом точки г из I ) , а точка 2 — прообразом точки т . Если ш = } { г ) однозначна на В и при этом каждым двум различным точкам 2, и гг из I ) всегда соответствуют разные точки И1| = }(г \ ) и «)2 = /(гг) из С , то такое отображение называется взаимно однозначным или однолистным. Область О , в которой однозначная функция однолистна, называется областью однолистности этой функции. При однолистном отображении прообраз г = § (т ) можно рассматривать как од нозначную функцию от т , которая называется обратной к функции м> = / ( 2)Отображение го = / (г ) взаимно однозначно тогда и только тогда, когда обе функции / (г ) и §{ш) однозначны. Если функция й = / (г ) отображает множество О во множество С , а V) = й (® ) — множество С в С , т о функция т = Н {г) = ^ (/ {х )!, отображающая О в С , называется сложной функцией, составленной из функций / и В частности, если функция ю = / (г ) — однолистная, а функция г =^(1«) — обратная к / (г ), то ^ |/ (г )) = г. 10.2.2. Предел функции. Непрерывность Пусть функция ю = и {х ,у ) + г ь {х ,у ) = / (г ) = / (х + гу) определена и од нозначна в некоторой окрестности точки го, кроме, быть может, самой этой точки. Говорят, что существует предел функции / (г ) при г -> го (запись: И т / (г ) = щ ) , если для любой последовательности { г „ } точек из области определения функции, сходящейся к го, последовательность {« ; „ } = {/ (г п )} сходится к числу и)о ф 00. Запись П т / (г ) = и;о равносильна следующей: 2-»2о 11т и(х, у) = щ , где И т у(х , у) = «о, I— Но = хо + гуо, щ = щ + ^Vо, щ со, Ио ^ оо. Основные свойства пределов (предел суммы, разности, произведения, част ного) сохраняются для функций комплексной переменной. Однозначная функция / (г ) называется непрерывной в точке 2о, если она определена в некоторой окрестности 2о, включающей эту точку и И т / (г ) = /(^о) ^ со. г->го Для непрерывности / (г ) в 2о необходима и достаточна непрерывность функ ций и{х, у ) и и(х, г/) в точке {хо, уо). Функц ия, непрерывная в каждой точке области О , называется непре рывной в этой области. Понятие равномерной непрерывности функции ком плексной переменной вводится по аналогии с действительными функциями многих переменных. _ Функция / (г ) называется ограниченной в замкнутой области П , если су ществует такое число М > О, что |/(г)| ^ М для каждой точки г из В . Поверхность в пространстве точек (х, у. К) с уравнением к = /»(х, у) ^ О, где Ь,(х ,у) = |/(г)| = %/и^ -Ь называется рельефом функции / (г ) = / (х -Ь гу) = и{х, у ) + гг(х, у). Некоторые простые примеры функций. Функц ия V) = Р „(г ) 5 О пг" -Ь . . . - Ь а о называется целой рациональной функцией или полиномом степени п (п — на туральное). При п = 1 полином а ]г -Ьао называется линейной функцией. Если 0| = О, то линейная функция является постоянной. Функция _ Р п (г) представляющая собой отношение двух полиномов, называется дробно-раци ональной функцией. Ее частным случаем при п — т = I является дробно линейная функция 0 |г + во IV = ------- . Ь 1г + Ьо 10.3. Аналитические функции 10.3.1. П роизводная функции. Условия К о ш и — Римана Пусть функция V! = / (г ) = и{х, у) + гV(x, у ) определена и однозначна в об ласти О на плоскости переменной г = х + гу. Пусть точки г и г + А г принадлежат О . Разность / (г + Д г ) - / (г ) = А т = А и + гА г называется приращением функции, соответствующим приращению А г / О аргумента г. Если существует конечный предел , / (г -Ь Д ^) - /(^ ) Ь т дг^о ---------------------- Аг = / (г ), не зависящий от способа стремления Д г к нулю, то этот предел называется п р о и з в о д н о й ф у н к ц и и V) = / (г ) в точке г и обозначается одним из следующих способов: Функц ия / (г ) называется при этом д и ф ф е р е н ц и р у е м о й в т о ч к е г. Функция, дифференцируемая в каждой точке области В , называется д и ф ф е р е н ц и р у е м о й в это й области. Если А г принимает чисто действительные либо чисто мнимые значения А г = А х , А г = гА у соответственно, то , ди ,дю ,ди ду Сравнивая оба эти выражения для производной, получим равенства дх ду ду дх называемые у с л о в и я м и К о ш и — Р и м а н а и являющиеся необходимыми услови ями дифференцируемости функции / (г ) в точке 2 . Если кроме выполнения ( 10.1) в некоторой точке г = х + гу, у функций и{х, у ) и у{х , у ) существуют полные дифференциалы в той же точке (для этого достаточно, чтобы их частные производные и'х,иу,г'х, ь'у были непрерывны в указанной точке), то условия ( 10.1) являются достаточными для дифференцируемости / (г ) = и + !« в точке 2 . В этом случае производную от т = / (г ) можно найти по одной из формул: ,, , ди дV дь ди ди ди дь дV , „ Свойства производной и правила дифференцирования остаются теми же, что и для действительных функций. В частности, если т = / (г ) и 2 = — взаимно обратные функции, однолистные в окрестностях точек г и №, то , Ат 1 1 / (г ) = И т ■ — = 11т — — —— - = Дг-*о А г ль,->о ( А г / А т ) ^ (т ) Приращение А т функции т = / {г ) можно записать в виде Д и = (1т + а { А 2), где йи) = / '(г ) — дифференциалфункции/(г), = Д г , а И т — ---= О, Дг-»о А г т. е. а ( А г ) — малая вьющего порядка относительно А г при А г -> 0. Пример 7. 1) Для функции /(г) = имеем и = Коши— Римана ди дь дх ду , V = 1ху (см. пример 6,2). Условия ди ду ду дх а также непрерывности первых частных производных от и(х, у) и »(х, у) выпол няются на всей комплексной плоскости. Имеем /'(^;) = 2х + *(2!,) = 2г. 2) Если /{г) = г = x-^у,■тои = x ,V = -у. Одно из условий Коши—Римана дх ^ ду нигде не выполняется. Следовательно, данная функция нигде не имеет произ водной. 3) Пусть /{г) = (2г -Ь 3)^ = [${2 }]^, где ^(г) = 2г + 3. По правилу дифференциро вания сложной функции находим /'{г) = 2^(2)^'(г:) = 2{2г -}- 3) •2 = 8г + 12. 1 10.3.2. А налитические функции I Однозначная функция / (г ) называется аналитической (или регулярной, моI вогенной, голоморфной) в точке г , если она дифференцируема в некоторой ‘ окрестности этой точки (см. 10.3.1). Функция называется аналитической в от крытой области, если она аналитична в каждой точке этой области. Функц ия / (г ) называется аналитической в бесконечности (в точке г = оо), если функция ^(г) = / (1 /г) аналитична в точке 2 = 0 . По определению » /'(оо) = - ( 2^ <%/<^2) при 2 = 0. Однозначная функция / ( 2) аналитична в точке 2 = 2о (или 2 = оо) тогда и только тогда, когда она представима в виде степенного ряда 00 /(•2=) = р 00 /(■') = п=0 п=0 сходящегося в некоторой окрестности точки 2о (или 2 = оо) (альтернативное определение аналитической функции). Достаточное условие аналитичности функции. Для аналитичности одно значной в области О функции / ( 2) = и -Ь достаточно выполнение условий К о ш и — Римана ( 10.1) и непрерывности частных производных щ, ь'у всюду в этой области. Обратная функция. Если функция IV = / ( 2) аналитична в точке 2о и / '( 20) О, то / ( 2) имеет обратную аналитическую функцию в точке % = /(го) — функцию 2 = г (« '). Пример 8. 1) Функции /(г) = / (2 ) = /{х -I- «у) = е'е'", /{г) = (2г -*- 3)^ аналитичны на всей комплексной плоскости. 2) Функция / {г} = 2 нигде не является аналитичной (см. пример 7,2). Точки, в которых функция аналитична, называются п р а в и л ь н ы м и (или р е г у л я р н ы м и ) т о ч к а м и . Точки, в которых функция не аналитична, называются ее о с о б ы м и т о ч к а м и . С войства а н а л и ти чески х ф ун кц ий 1. Если функция / {г ) = и + IV аналитична в открытой области О , то в каждой точке этой области существуют и являются аналитическими функциям производные любого порядка от / (г ). 2. Если функция аналитична во всей открытой плоскости и офаничена, то она постоянна. Или иначе: если функция аналитична в полной (замкнутой) плоскости, то она постоянна. 3. Ф ункц ия, аналитическая (следовательно, непрерывная) в замкнутой об ласти В , имеет максимум модуля |/(г)| на фанице этой области. 4. Значения аналитической функции / (г ) в некоторой подобласти (напри мер, линии) области О определяют э т у функцию единственным образом всюду в О . Иначе говоря, если значения двух аналитических в области О функций / |(г ) и /2(.г) совпадают в некоторой подобласти О , то / |(г ) = /г (г ) всюду в области О ( т е о р е м а е д и н с т в е н н о с т и а н а л и т и ч е с к о й ф у н кц и и ). 5. Для любой аналитической функции / (г ) = п + ю однозначные функции и{х, у ) и и(х, у) являются сопряженными гармоническими функциями, т. е. удовлетворяющими уравнениям Лапласа Л и = О, Д » = О и условиям К о ш и — Римана (10.1). 6. Если УЗ = / (ю ) и а = ^ (г) — обе аналитические, то сложная функция И) = также является аналитической. 7. Сумма, разность, произведение, частное двух аналитических функций (если знаменатель не обращается в нуль) являются аналитическими функциями. Н а х о ж д е н и е а н а л и т и ч е с к о й ф у н к ц и и п о е е д е й с т в и т е л ь н о й ч а с т и . Пусть в односвязной области О задана (однозначная) гармоническая функция и(х, у)< т. е. удовлетворяющая уравнению Лапласа дЧ дЧ - дх^ + ду^ ~ ‘*Если и{х, у ) является действительной частью некоторой аналитической функ ции / {г ) = и + ю , то ее мнимая часть у(х, у ) находится по формуле , , (*.») Г ди ди (Ха.Уа) где (хо, уо) — фиксированная точка в О , С — произвольное действительное число, а интефал не зависит от вида пути интефирования, соединяющего точки {х„,Уо) и {х ,у ). Пример 9. Полином Р „(г ) во всей плоскости и дробно-линейная функция а/ = (0 1г + О о ) /( Ь |2 + Ьо) при г ^ -6 0 /6 1 (см. 10.2.2) являются аналитическими. 10.4. И нтегрирование ф ункций комплексной переменной 10.4.1. О пределение интеграла и его свойства Пусть С — кривая (путь интефирования) на плоскости комплексной пере менной г = X + 1у с концами в точках а и 6, на которой задана функция /(х) = и(х, у ) -Ь ^V(x, у ). Возьмем на С произвольные фиксированные точки а = го, 2], ^2, . . . , = 6, расположенные одна за другой, и составим сумму П Л = Е / (с * )д « ь к=\ где — произвольная промежуточная точка частичного отрезка [г*_|;г(ь] кривой С ; Дг* = - 2*_|. По определению, интегралом от функции / (г ) по кривой С (с начальной точкой а и конечной точкой Ь) называется ком плексное число равное ^ = [ } ( г ) Л г = Иш ^ п-*оо (10.3) с если соответствующий предел существует (при условии та х |Д г *| -> 0) и не зависит от способа разбиения кривой С на частичные отрезки и от вы бора промежуточных точек. Интефал (10.3) всегда существует, если С — кусочно гладкая кривая, а / {г ) — кусочно непрерывная и офаниченная на С функция. Если кривая С содержит точку г = оо и (или) если / (г ) не офаничена на С , то интефал (10.3) можно определить как несобственный. В общем случае интефал (10.3) от функции / (г ) зависит от вида кривой С , соединяющей фиксированные точки а и Ь. Отделяя в (10.3) действительную и мнимую части, получим ^ / (г ) С = У [и(х, у ) + гг(х, 1/ ) ] Л{х + гу) = с = ^ и(х, у ) Лх - в (г , у) Лу + г ^ ь {х . у) Лх + и(х, у ) йу, с с где действительные интефалы берутся по той же кривой С . Все свойства действительных интефалов переносятся на комплексные интегралы: / [ к Л г ) + к 2ф ) ] I С с / л . ) . - / С / (г ) Й2, ^ с~ / {г ) Ли + I Л г , с / (г ) < 1^ = ! С\-\-Сг Н^) + ! С\ /(•^) С2 Здесь к ] , к 2 — любые комплексные числа; С ~ — кривая, совпадающая с С, но проходимая в противоположном направлении; С| + С 2 — кривая, состоя щая из частей С] и С 2. Если М = та х |/(2)| на кривой С н Ь — длина С , то /■ с П г )а г ^ М 1. Интеграл по замкнутой кривой С , называемой также (замкнутым) кон туром, обозначается ^ } { г ) ( 1г. с При этом предполагается, что обход контура С при интегрировании проис ходит в положительном направлении, при котором область, ограниченная этим контуром, остается слева. Если кривая С имеет параметрическое представление 2 = 2(<) = х(1) + 1у{1) [а ^ < /3, а = г ( а ) , Ь = то интеграл (10.3) по кривой С вычисляется по формуле Р 13 ^ / (2) < 1 ^ = ^ /[•г(<)]г'(0 С а 0 = У *У а а где / 12(<)|2'(<) = ф ) + ггр(1). Пример 10. Вычислим интеграл от /{г) = 1/г по окружности С радиуса К с центром в начале координат, обходимой в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. Решение- Параметрическое уравнение этой окружности: г = О ^ ^ ^ 2тг. Имеем д.г = следовательно, с с о = Д(со5 + » 81Пу?)- А н а л о ги чн о вы чи сляется и н те ф а л ^ ^ Лг, гд е п - ц е л о е ч и с л о ( п ^ — I ) : с 2» ^ = «Д "+' ^ 10.4.2. 2ж 2ж а<р = » Д " + ' ^ С05 {п+ \)1р а1 р - Д " + ‘ 1 51П (п + \)^ < 1 р = 0. Интегральные теоремы и формулы 1. Интегральная теорема Коши. Если функция / (г ) аполитична в некото рой односвязной области, т о для всех кусочно гладких кривых С , полностью лежащих в этой области и соединяющих две фиксированные точки а и Ь из этой области, интеграл О I п^) =I имеет одно и т о ж е значение, зависящее только о т положения точек а и Ь. 2. Интеграл о т аналитической функции / {г ) по любому замкнутому кон туру, лежащему в односвязной области, равен нулю: / / (г ) йг = 0. 3. Если / (г ) аполитична в односвязной области О , т о интеграл о т / (г ) по кривой С , у которой начальная то чка а зафиксирована, является аналитической в О функцией о т переменной конечной точки интегрирования {верхнего предела) г: г / { ( г ) Л г = Ф (г ). При этом Ф '(г ) = } ( 2 ). Функция Ф {г ) называется первообразной для } ( г ) . Любые две первообразные Ф (г ) и Р { г ) одной и то й ж е функции } ( г ) отлича ю тся друг о т друга на некоторое комплексное число А , т .е . Ф (г ) = Р { 2 ) + А, г I / (г ) с1г = Р { г ) + А. Отсюда, при 2 = а, следует Р ( а ) = - А . Полагая затем 2 = Ь, получим формулу I } ( г ) Л2 = Р (Ь ) - Р {а ), где Р ( г ) — произвольная первообразная для / (г ). Совокупность всех первооб разных Р ( 2 ) + А для / (г ) называется неопределенным интегралом о т /(г). В простейших случаях неопределенные интегралы вычисляются по те м ж е формулам, ч то и для соответствующих действительных функций. Пример 11. Функция г", где п — целое число, при п > О аналитична во всей комплексной плоскости, а при п < - I — в плоскости с исключенной точкой г = 0. В соответствии с примером 10 интефал от функции г" при п ^ -1 по любой кусочно гладкой кривой, не проходящей через точку г = О и соединяющей точки о и 6, равен О / г"й г = п + п+ I 1 4. Интегральные формулы Коши. Пусть функция / (г ) аналитична в не которой односвязной области О , С — замкнутый контур в О , окружающий точку го = 1о + тогда значение функции /(го) и любой ее производной /*"*(2о) В точке го находятся по интегральным формулам Коши: ■го)з /И /. ^ I ( г - г о ) ’‘+' йг, где г ~~ переменная интефирования, обход контура С совершается в поло жительном направлении (при этом точка 2о всегда находится слева от направ ления обхода). Формулы Кош и выражают значение аналитической функций и ее производных в точках некоторой области через значения этой функции на контуре, офаничиваюшем область. При этом производные могут быть найдены в результате дифференцирования по го под знаком интефала в пер вой формуле (10.4). Для любых двух замкнутых контуров С\ и Сг в О , окружающих точку 2о и обходимых в одном и то же направлении, справедливо равенство: / Ж , . . / № 1 ,, У г-го / 2 -го с, С2 Если 2о — какая-либо точка расширенной комплексной плоскости, ле жащая вне замкнутой области, офаниченной контуром С , то интефалы в правых частях формул (10.4) обращаются в нуль. 5. Обобщение на многосвязные области. Пусть В — конечная (т - Ь 1)-связная область ( т = 2 на рис. 10.6), фаница С которой состоит из т - 1-1 попарно не пересекающихся кусочно гладких замкнутых контуров Со, С ] , , С т , где С ь С г ,. . . , С т лежат внутри Со. Тогда, если / (г ) аналитична в О и непре рывна в V , то I {(х) с =^ Со / (2 ) Й2 + ^ ^ / (2 ) аг = о, Ск где все контуры Со, С | , . . . , С ^ обходятся в положительном направлении (т. е. область В при обходе остается слева). При изменении направлений обхода контуров С ] , . . . , С т на противоположные знаки соответствующих интегралов заменяются на противоположные. Пусть О — конечная т-связн ая область, фаница С которой состоит из замкнутых контуров Со, С ь ... , С т - | . Если / ( 2) аналитична в О и не прерывна в И , то для любой внутренней точки 2о области О (рис. 10.6) справедливы формулы (10.4), в которых интегрирование проводится по всем контурам Со, С | , , С т - ь ограничивающим В и проходимым в положи тельном направлении (вычисленные по отдельным контурам интефалы затем складываются). Для точек го вне области О интегралы в правых частях фор мул (10.4) равны нулю. Пример 12. При помощи формул Коши (10.4) вычислим интеграл ^= 2о)” Лг, с где С — окружность радиуса Я с центром в точке стрелки; п — целое число. обходимая против часовой Решение. При п = -1 находим по первой формуле (10.4): / с Лг. = 2тг«/(2о) = 27г« (щесь } ( г ) = I ). г- Ч Дифференцируя обе части этого равенства (п - 1) раз по го, получим: / Лг (^ - 2о)’ = 0, т. е. исходный интефал ^ равен нулю при п ф Таким образом, 3 = 2тг{ при п = -1, 7 = О при п ^ -1. Непосредственное вычисление данного интефала дает тот же результат (см. пример 10, в котором следует положить г = го + Де'*’). [> Пример 13. Функция /(г) = 1/г аналитична в двухсвязной области О < |2 | < Д, где Д > О — любое число. Вычислим интефал от /{г ) по кри вой С, которая выходит из точки 2 = I . и, обой дя вокруг точки 2 = 0 один раз по окружности \г\ = 1 (С|) против часовой стрелки, идет затем из точки 2 = I в точку 2о (Сг) (рис. 10.7): /• Й2 ^= 7 с / Й2 с, /• Й2 т+У Т = = 2л-* + !п 2о- Здесь интеграл по С| вычислен в примере 10, а \п г — первообразная для \/г такая, что ее значение равно нулю при 2 = \, а затем изме няется непрерывно вдоль € 2 - При этом кривая С 2 может быть помешена в некоторую односвязную область, несодержащую точку 2 = 0. Если точку 2 = 0 обойти п раз, прежде чем попастьв точку 2 о,то ^ = 2тгг + 1п2о- Здесь интефал ^ = ^п 2о является многозначной функцией от 10.5. Представление аналитических функций рядами 10.5.1. Ф ункц и о н альн ы е ряды. Степенные ряды 1. Функциональным называется ряд 00 Ш + / 2(г ) + ... + Ш + ... = ^ 2 членами которого являются комплексные функции / „ (г ), определенные в не которой области В на 2 -плоскости. Множество всех точек, в которых ряд (10.5) сходится, называется областью сходимости ряда. Предел 8 {г ) частичных сумм ряда называется суммой ряда п 3 {г ) = И т ^ Д ( г ) = И т 8„{г ). П-+С» ^ ' п-ю о к=\ Понятие равномерной сходимости ряда (10.5) вводится по аналогии с рав номерной сходимостью ряда действительных функций. 2. Степенным рядом называется функциональный ряд вида 00 Оо + 0 |(-г — ^о) + . ■■+ Оп(^ “ + •••= “ -2о)", ( 10.6) п=0 где го, а „ (п ^ О, 1, 2 ,. . .) — комплексные числа, г — комплексная перемен ная. Если 2о = О, то ряд (10.6) принимает вид (10.7) К такому же виду приводится ряд (10.6) преобразованием ^ = г - 2о- Ряд (10.6) определен на всей г-плоскости. Существуют степенные ряды, область сходимости которых состоит из единственной точки г = го (или г = 0); а также ряды, сходяшиеся во всей г-плоскости. Теорема Абеля. Есяи степенной ряд (10.6) сходится в точке г ф то э т о т ряд'. 1) либо сходится абсолютно во всей г-плоскости, 2) либо суще ств у е т действительное число Л > О такое, что ряд сходится абсолютно для всех г в области | г - 2о| < Я (включая го) и расходится при |г-го| > К . Круг |г - го| < Д называется круг сходимости этого ряда, К — радиу сом сходимости. Ряд (10.6) м о ж е т сходиться в одних точках окружности |г - го| = Я и расходиться в других. Радиус сходимости ряда (10.6) ра00 вен радиусу сходимости действительного степенного ряда |а„|г". При п= () Д = о ряд (10.6) сходится только в точке 2 = 2о, а если К = оо, т о ряд сходится во всей 2 -плоскости. Радиус сходимости степенного ряда (10.6) может быть найден по одной из следующих двух формул: 1) л = -, 9 = П т д п-юо 2) Д = - , д = И т д п-юс «п+1 если соответствующий предел существует. М ожет оказаться, что действительная последовательность |а||,\/|а^ , не имеет предела (конечного или бесконечного), но из ее членов можно извлечь подпоследовательности (с возрастающими номерами членов) такие, что они имеют пределы (называемые частичными пределами), тогда Я находится по формуле Коши—Адамара: 1 Д = -, 5 ? = Пт п-юо где И т — наибольщий из частичных пределов последовательности { ^ | а „ | } . 1 1 I Например, последовательность 1, 2, - , 2 ,.. . , —, 2 ,.. . имеет два частичных 2 3 п предела О и 2. Наибольший частичный предел здесь равен 2. Пример 14. I) Р я д I + 2 г + З г^ + . . . + пг"~' + ( п + 1 ) г " + ■ . . и м е е т р а д и у с с х о д и м о с т и К = П т -------- = П-ЮС П + I 2) Д л я ряда 3) Ряд ^ 1. п\г" н а х о д и м Л = Пт I . <"+ '>■ = 0. г " и м е е т Д = 1. п=0 4) Д л я ряда 1 + 5) Р яд находим а — И т — им еет Л = ^ п ! п-*п- Пт 1 = оо. Я = - = 0 . п 1 : , ^ ( п + 1)!] 6) Д л я ряда ] ~ + г^ - . . . + {~ \ )" г ‘” ~ . п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь е го к о э ф ф и ц и е н т о м и м еет вид: I ; 0; - 1 ; 0; 1 ; . . . . В ер хн и й предел по след о вательно сти { равен д = 1 ( н и ж н и й п р е д е л р а в е н 0 ). С л е д о в а т е л ь н о , Л = 1. 7) Д л я р я д а г — — + — — ц и е н т о в 1; 0 . + (—1) - — ; ( - 1 ) " - — !— 3 5 2п+ \ { ^ 1 “ п 1} р а в е н д = и ме е м п о сл е д о в а те л ь н о сть к о э ф ф и . В е р хн и й предел по след о вательно сти 1 И т ( ---------- ) п-»оо \ 2п + 1/ = 1. С ле д о вате льн о , Л = 1. Н и ж н и й п р е д е л р а в е н 0. В круге сходимости сумма 5 (г ) любого степенного ряда является анали тической функцией, дифференцирование и интегрирование которой прово дится почленным дифференцированием и интефированием этого ряда по В результате этих действий радиус сходимости исходного ряда не изменя ется. Если степенные ряды имеют общий круг сходимости, то внутри этого круга сумму, разность и произведение степенных рядов можно представить в виде степенного ряда с таким же кругом сходимости. Деление комплексных степенных рядов производится по аналогии с делением действительных сте пенных рядов. 10.5.2. Ряды Тейлора Сумма 5 (г ) степенного ряда в круге его сходимости является аналитической функцией. Справедливо и обратное утверждение, называемое теоремой Тей лора: аналитическая в области О функция } ( г ) в некоторой окрестности каждой точки «о (го ^ оо), принадлежащей О , может быть представлена единственным степенным рядом 00 }(г ) = ^ а „ ( г - г о Т , п=0 радиус сходимости К которого не меньще расстояния Л от области О . Комплексные числа а „ находятся по формуле до фаницы С с где С ' — окружность \г - го\ = Я ' < Л. Ряд ( 10. 8 ) называется рядом Тейлора (или разложением Тейлора) функции / (г ) в круговой окрестности точки и имеет радиус сходимости не меньше, чем (1. Любой сте пенной ряд в своем круге сходимости является рядом Тейлора для его суммы. Примечание. Е с л и а н а л и т и ч е с к а я ф у н к ц и я о п р е д е л е н а н а в с е й к о м п л е к с н о й п л о с к о с т и , з а и с к л ю ч е н и е м , б ы т ь м о ж е т , и з о л и р о в а н н ы х о с о б ы х т о ч е к , т о г р а н и ц а к р у га с х о д и м о с т и ее с т е п е н н о г о р я д а п р о х о д и т ч е р е з б л и ж а й ш у ю к е го ц е н т р у о с о б у ю т о ч к у этой ф у н к ц и и . Нулем функции / ( г ) называется всякая точка г = такая, в которой /(го) = 0. Номер га ^ 1 младшего не равного нулю коэффициента ряда Тейлора для / (г ) в окрестности го называется порядком нуля го, т. е. / ( г ) = а „ ( г - го)"* + а „ + , ( г - + ... (а „ ^ 0), / (г ) = ( г - г о Г « ( г ) , где §(г) аналитична в окрестности точки 2о, ^(20) ф 0. Если т = 1, то нуль 2о называется простым. Пример 15. Показательная функция сум м а схо д ящ е го ся в сю д у ряд а к о м п л е к с н о й п е р е м е н н о й г определяется к а к = '+ ^ +^ + +й +- - О ч е в и д н о , ч т о (е * )' = е * . е ° = 1. А н а л о г и ч н о определяются ф у н к ц и и 8Ш 2 и со5г: 3! .г' 2! + + г’ г’ 5! г'' 7! 4! 6! { Я = 0 0 ), (К = оо). При действительных значениях г = х ряды, представляющие , 51п г , сок г (см. пример 15), совпадают с рядами для функций е’^, 5ш х, со8 1 . Поскольку соответствующие действительные ряды абсолютно сходятся для любого числа X , то по теореме Абеля эти ряды абсолютно сходятся и для любого комплекс ного числа г. Заменив г на *г в разложении е^, получим: - {ггУ (г гУ (гг)* = 1 + *г + ^ + ^ + ^ + ^ / ,5 + ...= Перемножая два абсолютно сходящихся ряда для е^' и = ^1 + 2, + ^ = 1 + ( 2 ,+ 2 2 ) + ^1 + 22 + ^ Ц ^ Следовательно, 1 = 0, у = ч>, получим формулу Эйлера + ... = найдем + ...^ = е'^ '+ Ч (со8 у + г бш у ) . Полагая здесь е'*’ = С08 у + г 51П (р. Пример 16. Разложим т = /{г} = 1п (I + г) в ряд в окрестности г = 0. Эта функция аналитична и однозначна в любой односвязной области, не содержащей точку г = —I (см. пример 13). Логарифмическая функция определяется как обратная к показательной, т. е., если ш = 1п 2 . то 2 = е® = е'" ^ Дифференцируя г = е'" ^ по 2 как сложную функ цию, получим 1 = е'"^(1п2)'. Отсюда (1п г)' = I : е'"^ - 1/г. Следовательно, /(0) = О, /(0 ) = [|п (1 + =1, /"(0) = 1п(1+г) = 2 - у + Радиус сходимости ряда К — Ит , /"'(0) = ^ , ... . Таким образом. у - ... . = I. Ряд сходится при всех |г:| < 1, Примечание. Здесь 1п (1 + г) означает главную ветвь многозначной функции Ьп (1+г), для которой /(0) = О (см. 10.9.2,6). 10.5.3. Ряд Л о р а н а В любой точке 2 кольца г < |2 - 2о| < Я . где г ^ О, Д ^ оо, между кон центрическими окружностями с общим центром в точке 2 = 2о (го / оо), в котором аналитична функция / ( 2 ), эта функция может быть представлена (разложена) единственным образом в виде ряда по положительным и отри цательным степеням (2 - 2о), равномерно сходящимся в любой замкнутой области, принадлежащей этому кольцу: /(2 ) = ^ а „(2 - 2о)" + ^ Ь„(2 - 2„)-", П=0 П=1 коэффициенты которого находятся по формулам: (10.9) Здесь С — произвольный замкнутый контур внутри указанной кольцевой области, охватывающий точку го (например, любая окружность |г - го\ = р, где г < р < К ) , обход которого совершается в положительном направлении (против часовой стрелки). Ряд в (10.9), коэффициенты которого находятся по формулам (10.10), называется радом Лорана или лорановским разложением функции / (г ). Первое слагаемое в правой части (10.9) называется правильной (регулярной) частью, а второе — главной частью ряда Лорана. Объединяя оба ряда (10.9) в один, можно записать / (г ) Й2 с {г - го Г+ ' ’ ( 10. 11) где п = О, ±1; ± 2 ,... . +00 Еслиряд ^ а „ ( 2 - г о )" сходится в кольце г < |г-.го| < К , тоего сумма П=-00 /(д;) аналитична в этом кольце, а указанный ряд является рядом Лорана для / (г ). Ряд Тейлора является частным случаем ряда Лорана, в котором все а „ = О при п = - 1, - 2, . . . . Пример 17. Разложим /(г) = особой точкой функции является учитывая разложение в ряд Лорана при го = 0. Ближайшей к 2о = О = 1. Следовательно, г = 0. Я — I. Согласно (10.11), I -г получим - / ( Ё .-) Д с р т =0 ^ ^ ^ Ё / А ; . т =0 р где С — окружность |г| = Л < I. Используя показательную форму комплексного числа, найдем (см. пример ю): : - 2тгг 2-кг —I О при п —т + 2 — I, при п - т + 2ф 1. Следовательно. о„ = -1 при п = т - I , т. е. при п ^ -1, так как т = О, 1, 2,.. а„ = О при п ф т - 1, т. е. при п < ~\. Таким образом, получим искомое разложение 1 2(2 - 1) = 1 2 I - 2 - г - , которое можно получить также и непосредственно, используя разложение для (1 —2 ) 10.5.4. О со б ы е точки Точка го называется изолированной особой точкой (однозначной) функции / (г ), если в некоторой окрестности О < |г - го| < Я точки го эта функ ция аналитична всюду, кроме самой точки го. Особые точки многозначного характера рассматриваются в 10.8. В любом кольце О < г < |г - го| < Д ана литическая функция / ( г ) имеет лорановское разложение вида ( 10.11). Различают следующие три типа изолированных особых точек г = го / 00, в зависимости от вида разложения функции / (г ) в ряд Лорана (10. I I ) в окрест ности точки го: 1 . У с т р а н и м а я о с о б а я т о ч к а , если главная часть ряда Лорана функции / (г ) в окрестности точки 2о отсутствует, т.е. а „ = О при п = - 1 , - 2 , . . . и ряд Лорана обращается в ряд Тейлора. При этом: а) либо /(го) = а „, т. е. / (г ) аналитична в точке го, являющейся п р а в и л ь н о й т о ч к о й ; б) либо /(го) Ф аа = 00 И т / (г ) = 5(го) / со, где 5 (г ) — сумма ряда / (г ) = ^ о„(2 - го)", совпа- п=0 дающая с / (г ) при г / го, тогда го является у с т р а н и м о й о с о б о й т о ч к о й , так как, приняв, что /(го) = Оо = И т / (г ), получим функцию, аналитическую гфг« И в точке го. Говорят также, что в случае б) функция / (г ) доопределена в точке го по непрерывности. Если функция / (г ) офаничена в достаточно малой окрестности точки го, то го — устранимая особая точка. Справедливо и обратное утверждение. 2. П о л ю с п о р я д к а т (га = 1 ,2 ,...). если главная часть ряда Лорана для / (г ) в окрестности точки го содержит лищь конечное число членов с отри цательными степенями где а _ ш / 0; а „ = О при п = -га - I, - т - 2 ,. . . . При г а = 1 полюс назы вается простым. В случае полюса го существует предел П т / (г ) = оо. Если И т ( г - го)“ / (г ) ^ А, то А ^ О, Л ^ сх). г->2о Если точка го является нулем кратности га функции ^ (г), аналитической в некоторой области, содержащей го, т. е. ^ (г) = (г - го)"‘^ (г ), где <^(г) аналитична в окрестности точки го (включая эту точку) и ^(го) ф О, то функция / (г ) = ——- аналитична в некоторой окрестности О < |г - го| < < 5 « (2) точки го (кроме этой точки), которая является полюсом порядка т для / (г ). Учитывая разложение в ряд Тейлора аналитической в окрестности точки го (включающей эту точку) функции Ф ) = 6о + *1 ( г - го) + Ь2 {г - ' Ф 2 о)^ + ...; Ьо = — Ц - ^ О, ) Ф о ) можно записать лорановское разложение функции / (г ) в окрестности О < |г - 2о| < <5 точки 2о: */ Ч 1 г ( 2) ^ ^ {г - г о Г ф ) , { г - 2о Г ^1 , ( г - 2о)"“-' ^ т -1 г - 2о + Ьга + Ьт+\{г - 2о) + Ьт+ 2{^ ~ ^о)^ + . . . . Если точка г = 2о — полюс порядка т для / (г ), то ^{г) = имеет в точке го нуль кратности т . 3. С у щ е с т в е н н о о с о б а я т о ч к а , если в разложении Лорана функции / (г ) в окрестности точки го имеется бесконечное множество слагаемых с отрица тельными степенями (см. ряд (10.9)). В этом случае не существует ни конеч ного. ни бесконечного предела И т / (г ). г-*го С вой ства а на л и ти ческо й ф ун кц и и вблизи сущ ественно особой то ч ки : 1) Если в некоторой окрестности существенно особой точки го аналити ческая функция / (г ) Ф О, то го является существенно особой и для функции 1/ / (г ). 2) Теорема Сохоцкого. Если го — существенно особая точка однозначной аналитической функции, то для любого комплексного числа А (а также со) найдется последовательность точек г„ -> го такая, что П т / (г ) = А. г-*2о 3) Т е о р е м а П и к а р а . В любой окрестности существенно особой точки го содержится бесконечное множество точек г таких, что / (г ) = А , где А — любое комплексное число (А Ф со), за исключением, быть может, одного. Пример 18. 1) Аналитическая в окрестности 2 = 0 функция (51Пг )!г имеет устранимую особую точку 2 = 0. Действительно, используя разложение 51пг в ряд (см. пример 15), получим (при любом г фО) 51Пг _ г* ~ ~ ” 3!' 5! “ ■■■’ т. е. ряд Лорана в окрестности г = О не имеет главной части. Приняв, что (81П г)/г = 1 при г = О, получим аналитическую и в точке г = О функцию. 1- е‘ 2) Функция ----- имеетустранимую особую точку ^ = О, так как г 1- е ' г л 3) /(■*) = имеет полюс порядка тп = 2 в точке г = го, так как функция х(г) = 1//(г) = (г имеет нуль второго порядка в точке 2 = 2ц4) { ( г ) = е'/г имеет полюс порядка 1 в точке г = О, так как при г фО е- I г г ~ 2! 3! ■ 5) Функция имеет существенно особую точку г = О, так как, подставив 1/г (при г ^ 0) вместо л в ряд Тейлора для е‘ (см. пример 15), получим е'1‘ = \ + - + — + — + , /(■^) = 51П(1/г) имеет существенно особую точку г = О, так как, подставив 1/г (при г ф 0) вместо г в ряд Тейлора для 8т г (см. пример 15), получим , 1 1 1 1 1 З !2 3 + 5 ! г * 7 !г’ + - ' " 7) Функция I /(81П г) имеет бесконечное множество простых полюсов в точках г = птг (п = О, ±1,±2,...) действительной оси, в которых 81п г имеет нули первого порядка. 10.5.5. Нули и особы е точки в бесконечности Е с л и ф у н к ц и я / ( г ) а н а л и т и ч н а ( т . е . н е и м е е т о с о б ы х т о ч е к ) вне о к р у ж н о с т и с ц е н тр о м в то ч ке г = О и д о с та то ч н о б о л ь ш о го р а д и уса К (и с к л ю ч а я т о ч к у г = о о ), т о го в о р я т , ч т о б е с к о н е ч н о у д а л е н н а я т о ч к а г = оо я в л я е т с я и з о л и рованной особой то ч ко й этой ф ун кц и и . Д ля изучения поведения ф ун кц и и / ( г ) , анал итической в о кр е стно сти т о ч к и г = 00 ( к р о м е т о ч к и 2 = оо), т . е . п р и | г | > Д и 2 / о о , п о л а г а ю т 2 = 1 /^ и р а с с м а т р и в а ю т за те м п о в е д е н и е ф у н к ц и и е (0 — / ( ' / О = / (^ ) в к о м п л е к с н о й ^ — п л о с к о с т и в о к р е с т н о с т и |^ | < 1 / й т о ч к и С = О ( к р о м е т о ч к и ^ = 0 ) , п р и э т о м ||Щ й ( С ) = П т / ( г ) . Ф у н к ц и я / ( г ) а н а л и т и ч н а в т о ч к е С-»0 2-»00 г = 00 И е е о к р е с т н о с т и , е с л и ф у н к ц и я 8 « ) = / ( 1 / С ) а н а л и т и ч н а в т о ч к е С = О и е е о к р е с т н о с т и . Т о ч к а г = оо я в л я е т с я н у л е м к р а т н о с т и т ф у н к ц и и / ( г ) , е с л и т о ч к а ^ = О — н у л ь к р а т н о с т и т д л я ^ (С )- Д ™ р а з л о ж е н и я / (г ) в р я д Л о р а н а в о к р е с т н о с т и т о ч к и г = оо с н а ч а л а н а х о д я т р а з л о ж е н и е в р я д Л о р а н а ф у н к ц и и « ( О = / ( 1 / С ) в о к р е с т н о с т и О < |С | < 1/Л т о ч к и ( = 0: п=0 п=1 в ко т о р о м за м е н я ю т затем С н а 1 /г ; 00 00 / (г ) = ' ^ Ь . „ г ' ‘ + ^ Ь „ г - " . ( 10.12) 00 00 Ряды в (10.12) называются соответственно главной п=1 п=0 и правильной частями ряда Лорана (10.12) функции / (г ) вокрестности |г| > й особой точки 2 = 0 0 . Если точка С = О Для функции ^ (() = /(1/С) является: 1) устранимой особой точкой, 2) полюсом порядка т , 3) существенно особой точкой, то точка 2 = 00 для / (г ) будет соответственно; I) устранимой особой точкой, 2) полюсом порядка т , 3) существенно особой точкой. При этом множество отличных от нуля коэффициентов при положительных степенях г в раз ложении (10.12): I) пусто, 2) конечно, 3) бесконечно. Все изложенное в 10.5.4 о поведении аналитической функции в окрестно сти конечной изолированной особой точки справедливо и для изолированной особой точки 2 = оо. Прим ер 19. 1) Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки г = ос и определим тип этой точки. Полагая ^ = 1/2 и раскладывая в ряд окрестности С = получим Заменяя здесь ( на \/г, получим искомое разложение в окрестности г = со Разложение в окрестности г = оо формально совпадает с разложением в окрестности точки г = О (см. пример 18). Однако разложение в окрестности точки 2 = 00 содержит лишь правильную часть, тогда как разложение в окрест ности г = О имеет только главную часть соответствующего ряда Лорана. Точка 2 = 00 является устранимой особой точкой для (если принять, что = I при г = оо), поскольку ^ = О для является правильной точкой. То есть аналитична в точке г — оо. 2) ^^ля функции /{г) ~ {г^ -Ь 4)е"^ точка г = ос является существенно особой, так как, сделав замену г = \/( (( ^ 0), получим * -'(9 -(? *')'" '■ Следовательно, С = О является существенно особой точкой функции ^?(С)’ ^ г = 00 — существенно особой точкой функции /{г). 3) Для функции /{г) — 2 ^ точка г = оо является полюсом порядка т = 3. Сделав замену 2 = 1/( ( ( ^ 0), получим ^(() = /(1/С) = 1/С^- Следовательно, я(С) имеет в точке С = О полюс порядка 3, а функция /(г) — полюс порядка 3 в точке 2 = 00. 4) Функция /{г) = --- при помощи замены г — \/^ {^ Ф 0) переходит в функцию = /(1/0 = Ближайшей к точке ^ = О особой точкой является С — следовательно, радиус сходимости ряда Тейлора для ^ (0 в окрестности С = ^ равен Я = \. Функция имеет следуюшее разложение в окрестности ( = 0: « (0 = - С - С ' - С ’ ---- = -С(1+С + С' + ---), 1С1< 1- Полагая ^(0) = О, находим, что устранимая особая точка ^ = О является нулем первого порядка для ^(0- Ряд для / {г ) в окрестности г — оо имеет вид Полагая /(ею) = О, достигаем того, что г = ос становится устранимой особой точкой, а также нулем первого порядка для /(г). 5) Функции е‘ , созг, 51пг имеют существенно особую точку г = оо, что видно из раз ложений е‘^^, С05 (1/С), 81П (1/0 (при С?^0) в окрестности ( = 0 (см. пример 18). 10.6. Вычеты и контурные интегралы 10.6.1. О сн овны е понятия Если г = го / 00 — конечная изолированная особая точка (однозначной) аналитической функции / (г ), то коэффициент о_| при (г - 2о)~' в разложе нии Лорана функции / (г ) в окрестности го / {г ) - Оо + а|{2 - 2о) + <12(2 - 2 о ) ^ . . . + г - 2о ^2 + ••• [2 - гаУ называется вычетом функции / (г ) относительно точки го. Обозначения вы чета: К ез/(го ), ге8 / ( 2о), В ы ч / (г о ), Ке5 / (г ), Кея 1/(г), го|. г=Го Из формулы (10.11) для коэффициентов ряда Лорана при п = -1 следует Ке5 /(го) = ^ где С — произвольный замкнутый контур, охватывающий (только одну) особую точку го, обход которого происходит против часовой стрелки, так что го остается при этом слева. Обычно в качестве С берут окружность |г-го| — г достаточно малого радиуса г. При этом величина вычета не зависит от г. Для конечной устранимой особой точки г<) вычет равен нулю: Ке5/(го) = 0 . Если изолированная особая точка го аналитической функции / (г ) яв ляется бесконечно удаленной (го “ оо) и лорановское разложение / (г ) + 00 в окрестности 2о = оо имеет вид ^ , то вычет функции / (г ) относи- П — -(Х> тельно 2о = 00 равен (см. пример 10): Я е з/(о с) = ^ / с- с 7 = с (10.13) где С~ — окружность \г\ = Я достаточно большого радиуса Д (чтобы об ласть \2 \ > К содержала единственную особую точку го = со), проходимая по часовой стрелке, так что окрестность точки 2о = ос остается слева, С — та же окружность, но проходимая против часовой стрелки. И з формулы (10.13), в частности, следует, что вычет относительно бесконечно удаленной устранимой особой точки может и не равняться нулю (в отличие от конечной устранимой особой точки). Например, для функции / (г ) = 1/г точка 2 = оо является нулем, однако Ке8 /(оо) = - 1. Теорема о вычетах. П усть (однозначная) функция } ( г ) аналитична в огра ниченной области О , за исключением конечного числа изолированных особых точек 2 ], 22, ■■■, г „. И пусть контур С охватывает все э т и точки, не про ходит ни через одну из них и полностью принадлежит области О (рис. 10.8) вместе со своей внутренностью. Тогда выполняется равенство'. ^ }(г ) с <12 = 2тгг ^ Ке8 /(г *); Ке8 / ( 2*) = ^ *=| / (г ) <^2, с» где С* — окружность |2 - 2*| = г*, к = 1 , 2 , . . . , п. Прим ечание. Если Х> является п-связной офаниченной областью, то ее граница С состоит из п попарно не пересекающихся замкнугых контуров, проходимых в поло жительном направлении. Таким образом, вычисление интеграла по некоторому замкнутому конту ру С сводится к нахождению вычетов относительно конечного числа точек, находящихся внутри этого контура. Из теоремы о вычетах, в частности, следует, что если / (г ) аналитична на расширенной (полной) комплексной плоскости, кроме конечного числа изолированных особых точек 2о = оо, 2|, 22, . . . , 2„ , то сумма вычетов отно сительно всех особых точек (включая 2о = оо) равна нулю: П Вычисление вычета функции относительно полюса. Если точка г = го — полюс порядка т функции / (г ), имеющей лорановское разложение а_, (2 - го)™ 2 -2 0 оо + 0о + 01( г - г о ) + . . . , то вычет относительно полюса 2о может быть найден по формуле 1 ■ При т = 1 отсюда следует а_, = Кез /(го) = И т (2 - 2о )/ (г) г-^го (О! = 1). Если / (г ) аналитична в точке 2о / оо или «о — устранимая особая точка, то КС5 / ( 2о) = 0 . Вычет функции / (г ) относительно точки 2 = оо находится по формуле Ке5 / ( 2) = И т [ - 2/ ( 2)], г-*сс при условии существования предела. р(^) Если / ( 2) = -т— , где функции р { г ) , д(г) аналитичны в точке 2 = 2о / оо 9(2) , и р (2о) # О, а д{г) имеет нуль первого порядка в 2о, т. е. д{го) = О и д (20) ф О, Пример 20. 1) С05 г Функция /{г} = , ; имеет в точках = га, гг = -го полюсы первого по- рядка. Соответствующие вычеты равны: Кез /(»а) = Ит (г - га) Ке8{(- г а ) = 11т С05 (ш) (г - га){г + га) (г + го) 2%а С05 2 С05 (го) {г - га)(г + га) 2га р(г) имеет простые полюсы в точках г = \ и г = пп д{г) ( г - 1) 8Ш2 (п = О, ±1, ± 2 ,...), в которых д{г) имеет нули первого порядка. Учитывая ра венство д'(г) = 51П2 Ч- (г - )) С08 2, для полюсов 2| = О и 22 = 1 найдем соответ ственно Р (0) _ Р (1) 2 = - 1, Ке8/ ( 1) = Ке5/ (0) = ? '(0) ? '( ') 8Ш 1' I 1 3) Вычет функции /(л) = — относительно точки г = оо, являющейся простым 2) Функция/ (2) = нулем этой функции, равен Ке5/(ос) = Ит = 1. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Пусть (однозначная) функ ция / ( 2) аналитична в односвязной области О и на ограничивающем ее замкнутом контуре С всюду, кроме конечного числа полюсов. И пусть а; — нули для / {г ) кратности щ (1 = 1, 2, . . . , га) внутри I ) , а — ее полюсы кратности Р ] а = 1 , 2 , з) внутри О. Тогда, если С не проходит ни через полюсы, И И через нули этой функции, то для любой функции ^ ( . г ) , аналити ческой всюду в Р и на С , справедливо равенство с ;=1 ]=\ Отсюда при ^ {г) = 1 следует 1 Г /' ( 2 ) 2ж г Т /(^ ) (10.14) где N — число нулей, Р — число полюсов (с учетом их кратности) внутри ОЛогарифмическим вычетом аналитической функции / (г ) относительно точки 2о называется вычет функции |1п /(.г)|' = относительно го. Левая часть (10.14) равна сумме логарифмических вычетов / (г ) относительно всех нулей и полюсов / (г ), содержащихся в О. Обозначая и» = и + гг) = / (г ) = ге'*, где г = |/(г)|, в — какое-либо значе ние аргумента функции / (г ), непрерывно изменяющееся при движении точки 2 П О контуру с в положительном направлении, будем иметь 1п / (г ) = \пг + гв “ / '(г ) (11 п / { г ) / (г ) йг \ (1г .М <1г ' г С учетом этого равенства и в силу замкнутости контура С формула (10.14) примет вид (принцип аргумента): • I 21г г 7 с / (г ) с где Л е в — изменение аргумента / (г ) при полном однократном обходе точкой г контура С . Величина Дсй/2я- равна числу оборотов вектора и; = / (г ) в №-плоскости О и г вокруг точки V) = О при однократном обходе точкой г контура С . Если Р = О, то движущаяся точка № соверщает при этом N полных обходов вокруг точки И) = 0. 10.6.2. П рименение вычетов к вычислению определенных интегралов Если требуется вычислить определенный интефал от действительной функ ции / (х ) по конечному или бесконечному промежутку (а; Ь) оси О х, то под бирают некоторый незамкнутый контур К , который вместе с промежутком (о; Ь) офаничивает некоторую область О , а затем к аналитическому продол жению (см. 10.7) / (г ) функции /(ж ) применяют теорему о вычетах Г Г / /(х )с1х + / / (г ) <^2 = 2тгг ^ а Ке5 / (г .), (10.15) 1=1 К где — особые точки / (г ) в О . Задача сводится к вычислению интефала по контуру К . Иногда функцию / ( г ) подбирают так, что / ( х ) является ее действи тельной или мнимой частью, тогда интефал от / (х ) находится отделением действительной или мнимой части от (10.15). Пример 21. Д л я в ы ч и с л е н и я н е с о б с т в е н н о г о и н т е г р а л а -1-00 [ С05Х . -Г-— ^ (^x рассмотрим интеграл ёг от вспомогательной функции комплексной перемен ной по замкнутому контуру С, состоящему из полуокруж ности К радиуса Л и ее диаметра, лежащего на оси Ох (рис. 10.9). Функция /(г) аналитична на всей комплексной плоскости, кроме простых полюсов 2 , = га, Лз = -»а. Точка г = оо является нулем второго порядка для /(г). Предполагается, что Д > о, те. внутри контура С находится только один полюс г| = га. Вычет /(г) относительно 21 = га равен: Ке5 /{га) = Ит {а - га) е “ {г ~ га){г + *о) 2аг’ Следовательно, 7 ^ у* /{г) Ах = 2тгг Кез /{га) = Интеграл ^ запишем в виде суммы ^ = ^}^ + где к = / • - !1 ] х^ +а а Лх, — интефал от / (г) по полуокружности К , для которого справедлива оценка < та х — 1*1 = |е--| г2 + аЦ кь- \г^ иК. где |е’'| = = |е"|е ^ = |со81 + I 8|п г|е ' 0). Для точек полуокруж ности К , с учетом неравенства |2 | —22! ^ ]|2 1| — |22||, имеем: I I |2^+ а^| |2^ - (10)^1 ■1М '1 Следовательно, >О при Д -> оо (для любого агё2 ). В пределе Д —^ оо получим значение исходного интефала: + 00 П т 1н= ] I т ах = -е х^ + а^ а . 10.7. Аналитическое продолжение 10.7.1. Понятие аналитического продолжения Если в областях и Ог на 2-плоскости заданы (однозначные) аналити ческие функции / |(г ) и /2(2) соответственно, удовлетворяющие равенству / 1(2) = /2(2) в обшей части (пересечении) <1 областей 0 | и Х>2 (рис. 10.10), которая, в частности, может быть отрезком кривой, то говорят, что функция / 1(2) ана литически продолжается в область 0 2 - А на логично, / 1(2) является аналитическим про должением / 2(2) из области 02 в 0 \ через их общую часть Л. Согласно теореме един ственности (см. 10.3.2), если существует анаРис. 10.10 литическое продолжение, то оно единственно. Следовательно, функции / 1(2) и /2(2) можно рассматривать как элементы одной и той же функции / ( 2), аналитической в объединении областей и 0 2 . При этом / ( 2) = / 1(2) в В | и / ( 2) = / 2(2) в 0 2 . П ример 22. Пусть — круг |2| < I, а область — круг |г - ![ < '/2. В Х>| задана аналитическая функция определенная своим степенным рядом /|(г) = I - 2 + - 2^-1-... = 2 3 ( - 0 ” 2". п=0 Используя разложение функции ^ найдем, что /1(2 ) — ---- вобласти 1-(--2 ряд в окрестности точки 2 = 1 , получим в ряд Тейлора в окрестности точки г = О, Раскладывая функцию ---- в степенной 1+2 / 2( 2 ) “ 1 2 - 1- 1 -1-» ' - Г Т 7 П Т Т 7 ) - - , Этот ряд сходится к /2(2 ) в области />2 {так как он сходится при при \г —г\ < \^2), и его сумма равна у-|-— . Таким образом, / 1( 2 ) = <1 пересечения областей 1+ ! < 1, т. е. ^ области и 02- Обе функции / 1( 2 ) и / 2( 2 ) являются элементами одной же функции /{г) = \ ^ аналитической в области объединения Х>| и 1 > 2. Следовательно, / 1( 2 ) и / 2( 2 ) являются аналитическими продолжениями друг друга в соответствующие области. Более того, ^^ ^ является аналитическим продолжением функции /[{г), определенной в круге В ] , на всю комплексную плоскость с исклю ченной точкой 2 = —]. 10.7.2. А нали тическое продолжение при помощи степенных рядов Если аналитическое продолжение возможно, то обычно его осуществляют при помощи степенных рядов. Пусть дана аналитическая функция / 1( 2 ), представленная степенным рядом в круге сходимости \г - г]\ < Н\ (область 0 | ) . Выберем внутри 01 точку и построим степенной ряд Тейлора в окрестности г: 22 ф п=0 коэффициенты которого находятся при помощи / ,(г ) по формуле „ ( 2) _ ' М , “и — /1 . Круг сходимости этого ряда |г - 22! < Яг (область О г) может выходить за пре делы круга Х )|, тогда получается аналитическое продолжение / 1(2) за пределы С ] . В результате повторения процедуры аналитического продолжения будем иметь цепь пересекающихся кругов сходимости. Если этот процесс может быть продолжен по всем возможным направлениям, то получим функцию, анали тическую во все более увеличивающейся области, а функции / |(г ), / 2( 2 ) , . . ■, являющиеся суммами степенных рядов, будут элементами некоторой общей аналитической функции / (г ). Если продолжение степенного ряда, представ ляющего функцию / |(г ), далее невозможно ни в каком направлении, то говорят, что эта функция непродолжаема и окружность круга является ее естественной границей. Если центры 22, ■.., 2т пересекающихся кругов сходимости 0 ^,0 2 , ■■■. О т лежат на некоторой кривой С , то говорят, что функция / (г ) аналитически продолжается вдоль С . Т е о р е м а м о н о д р о м и и . Е с т некоторая функция ано/штически продолжа ется вдоль любой непрерывной кривой, содержащейся в односвязной области, т о данная функция однозначна в этой области. 10.7.3. М ногозначн ы е аналитические функции Может оказаться, что при аналитическом продолжении функции / 1( 2 ) при помощи цепи пересекающихся кругов мы получим круг пересекающий ся с первым кругом Л ] . Значения аналитических функций / |(г ) и / т (^ ) в точках пересечения » В т могут; 1) совпадать, 2) не совпадать. В первом случае общая функция / ( 2) будет однозначной и аналитической в области ее продолжения. Во втором случае / ( 2) является многозначной, а однозначные аналитические функции, из которых она состоит, называются ее (однознач ными) ветвями. 10.7.4. А нали тическое продолжение действительной аналитической функции Действительная однозначная функция / (х ) действительной переменной, определенная в промежутке (а; 6) оси О х , называется аналитической в (о; Ь ), если в некоторой окрестности каждой точки Хо из (а; Ь) она может быть представлена в виде суммы ряда 00 {(х ) = '^ а „ ( х - х о Т , п=0 имеющего действительные коэффициенты. Если /(ж ) аналитична в (а ;Ь ), а / (г ) — комплексная аналитическая функция в области В , содержащей промежуток (а ;Ь ), и / (х ) = / (г ) при г = х в (а ;Ь ), то говорят, что / (г ) является аналитическим продолжением / (х ) из {а ,Ь ) в В . Для построения аналитического продолжения / (г ) функции / (х ), определенной в (а ;Ь ), в некоторую область В , симметричную относительно действительной оси Ох ( 1т 2 = 0), следует в разложении / (х ) заменить х на 2 = х -Ь гу : / ( 2) = ^ а „ ( 2 -х о ) " . п=0 Пример 23. 1) Однозначная функция действительной переменной .I ” е* = 5 ^ “ п! определяется рядом (|х| < -Ноо). п=и Заменяя в этом ряде х на 2 = ж + гу, получим ряд 00 п с х о д я щ и й с я н а в с е й к о м п л е к с н о й п л о с к о с т и ( Д = о о ), с у м м а / ( г ) к о т о р о г о с о в п а д а е т с е* п р и г = X . Ф у н к ц и я / ( г ) я в л я е т с я е д и н с т в е н н ы м ( п о т е о р е м е е д и н с т в е н н о с т и ) а н а л и т и ч е с к и м п р о д о л ж е н и е м е” в к о м п л е к с н у ю п л о с к о с т ь . В с и л у э то го / ( г ) м о ж н о н а зв а ть к о м п л е к с н о й п о к а з а т е л ь н о й ф у н к ц и е й и о б о з н а ч и т ь е . 2) Комплексные функции 51п г, со8г могут быть определены как аналитические про должения соответствующих однозначных действительных функций 51п х и со8х. 3) Заменяя в разложении 1п (I + 2:) (см. 9.7.2, пример 30) х на 2, получим ряд 1 п (1 + г ) = г - у + у-... (|г|< 1 ), сумма которого 1п (1 + г) равна главной ветви бесконечнозначной функции ^п (1 + г) (см. пример 16). 10.8. Римановы поверхности. Точки ветвления 10.8.1. О б щ и е понятия Однозначные аналитические функции могут иметь в некоторой точке г = гцфой (или 2 = оо) изолированные особенности вида: устранимая особая точка, по люс, существенно особая точка. Многозначные функции имеют в некоторой точке г = го 7^ 00 (или 2 = оо) изолированные особенности, называемые точками ветвления, понятие и свойства которых рассматриваются ниже. 10.8.2. Условие однолистности функции Если однозначная аналитическая в области О функция IV = / (г ) = и(х, у) + 1ь {х , у) удовлетворяет в какой-либо точке 2о области О условию /'(^о) Ф О, из кото рого следует ди ди д(и, V) дх ду д{х, у) ду ,2 дю ду то система уравнений и = и{х, у ), V = V{x, у ) в некоторой окрестности точки 2о может быть однозначно разрешена относительно х и у. Следовательно, такая окрестность точки 2о является областью однолистности (см. 10.2.1) функции / (г ), а обратная функция г = ^{ы ) однозначна и аналитична в некоторой окрестности точки то = /(^о) и /(те) = / 'И ' Фун кц ия К) = / (г ) осуществляет при этом взаимно однозначное отобра жение окрестности точки 2о на некоторую область ю-плоскости, содержащую точку ТОО- П римечание. Если /\ г ) ^ О в каждой точке области В , то /(г) не обязательно является однолистной во всей этой области. В общем случае об однолистности можно говорить лишь для достаточно малой окрестности каждой точки г из О. 10.8.3. Римановы поверхности. Точки ветвления Для функции т — производная го' = Зг^ = О при г — О и т ' ^ О при г ^ 0. Следовательно, любая окрестность точки г = О не является для функции V) = областью однолистности, при этом и; = не имеет однозначной обратной функции. Областями однолистности для т = являются, например, три бесконечные области Г>о, 02 в 2 -плоскости, аргументы <р точек г = \2 \е“^ которых удовлетворяют соответственно неравенствам (рис. 10.11 о): т ж ж 5лт г < 1р < — . Если точку 2 перемещать по г-плоскости в пределах любой из областей По. то соответствующая ей точка т = \т\е'^ = будет пере мещаться по всей И)-плоскости, из которой исключены точки отрицательной действительной полуоси и < О, « = О, т. е. Й = тг (рис. 10.116), Раствор угла каждой из областей О о , 0 \, 0 2 , равный 2тг/3, увеличивается в 3 раза, становясь равным 2тг, что соответствует всей и;-плоскости с исключенной по луосью в = п (говорят также, что ш-плоскость разрезана вдоль отрицательной полуоси 0 = 7Г от точки 2 = О до г = оо). Лучи (р = -тг/З и ^ = тг/3, ограни чивающие область Оо, перейдут соответственно в нижний (0 = - я ’) и верхний { в = 7г) берега разреза ге-плоскости. Каждая из областей О ц , В { , О г , явля ясь областью однолистности для ш = , отображается взаимно однозначно на всю ю-плоскость с разрезом. Точки г = О и г = ос находятся во взаимно однозначном соответствии с точками и; = О и и; = оо. Любой другой точке ю ( и ) ^ О и ю / о о ) в ю-плоскости соответствуют три числа (точки) 2о, г ь 22 в г-плоскости, являющиеся значениями корня г = \/'т (см. 10.1.3): / = ( </у])и = 3 /]— г/ ^0 + . 00 + 2ЙТГ \ V 1»"11 С 0 8 -------- ^------------ Ь г 5Ш -------- ^-------- 1 , ( 10. 16) где /г = О, 1, 2; 0о — главное значение аргумента ю (-тг < во ^ тт). Рассмотрим три экземпляра (листа) «с-плоскости с разрезом, обозначен ных С о . С ь С г и расположенных друг над другом в указанном норяаке. При этом лист Ск соответствует области О* (Л = О, 1, 2). Для объединения этих трех листов в единое целое соединим (или, как говорят, склеим) верхний берег разреза листа Со с нижним берегом разреза лежащего над ним листа О ,; верхний берег разреза С\ с нижним берегом разреза О^, а верхний берег разреза Сг соединим с оставщимся свободным нижним берегом разреза Со (возникающие при этом пересечения листов во внимание не принимаются). Построенная таким способом многолистная (в данном случае трехлистная) область называется римановой новерхностью функции 2 = . Функц ия (отоб ражение) IV = 2 ^ является трехлистной и устанавливает взаимно однозначное соответствие между всей расщиренной 2 -плоскостью и римановой поверх ностью функции 2 = Для каждой области Ок (к = О, 1,2) обратную к «) = 2^ функцию обозначим 2 = = (\/то)к, значения которой на ходятся по формуле (10.16). Функции 2 = 5*(ю ) (Л = О, 1,2) называются (однозначными) ветвями многозначной функции 2 = Каждая из ветвей равна нулю при и; = 0. Ветвь г = $о(^) (^ = 0) называется главной. Каждая из ветвей определена в соответствующей области Со, С| или С 2 и имеет область изменения или 0 2 Если, исходя из некоторой фиксированной точки то с аргументом Оо = -тг на листе Со, соверщать обход точки ю = О (не пересекая ее) по непрерывной кривой против часовой стрелки, переходя на действительной полуоси 9 = ж с листа Со на С ], затем с С ] на С 2, а далее обратно на лист Со, то мы возвратимся в точку Юо- При этом происходит непрерывный последователь ный переход точки 2 на 2 -плоскости с одной ветви трехзначной функции 2 = \/ш на другую; в результате точка г вернется в первоначальное положение 2= т. е. при трехкратном обходе точки то = О (а также точки т = оо) происходит возврат к исходной ветви. В связи с этим точки ю = О и т = оо называются алгебраическими точками ветвления порядка 2 функции 2 = ■ Для того чтобы можно было рассматривать ветви функции независимо друг от друга, используется соответствующий разрез ю-плоскости. Если запретить пересечение этого разреза, то точка ы не сможет обойти точки ветвления и рассматриваемая ветвь не сможет непрерывно перейти в другую. Разрез является линией разрыва ветви, значения которой отличаются друг от друга на разных берегах разреза. Совершенно аналогично рассматриваются алгебраические точки ветвле ния (и) = О и и; = оо) порядка п - 1 функции г = !Уй) (п — любое натуральное число), обратной к V] = г " . Области однолистности Оо. 0 | , •••, Оп-\ Ф ун к ции ю = г " на г-плоскости определяются неравенствами 2к ж - ж 2кж + ж ------- < 1р < ------п п ,, (А; = О, 1, 2, . . . , п - 1). Риманова поверхность функции г = \/ю является п-листной, состоящей из листов Со, С ь •••, С „_1 с разрезами по отрицательной действительной полуоси, склеенных между собой. В любой окрестности точек ветвления ю = О и И) = 00 разные ветви функции \/и) не могут быть отделены друг от друга. Если конечная область С в ю-плоскости односвязна и не содержит точку ветвления ги = О, то в ней можно рассматривать отдельные ветви данной функции. Каждая из этих ветвей устанавливает однолистное отображение области С , а, следовательно, для каждой точки этой области по формуле производной обратной функции можно записать (^еIсМ _ йт 1 _ _ 1 _______ ^ (г ")г пг" пи» п т.е. в каждой точке области С , не содержащей точку и; = О, существует опре деленное значение производной рассматриваемой ветви. Таким образом, каж дая из ветвей в области С является аналитической функцией. 10.8.4. Логариф м ические точки ветвления Областями однолистности экспоненциальной функции т = являются по лосы на г-плоскости шириной 2тг и параллельные действительной оси Ох: Ок '. 2ктг - ж < 1 т г < 2кт + ж (Л = . . . , - 1 , О, 1,...). Каждая из этих полос однолистности отображается взаимно однозначно на всю и)-плоскость с исключенной точкой № = О и имеющую разрез вдоль отрицательной действительной полуоси (и < О, и = О, т. е. ^ = ж) от точки VI = О но VI — оо. Прямые у = \ т г = -ж у = \ т X = ж на 2 -плоскости, ограничивающие полосу Оо, переходят соответственно в нижний и верхний берега разреза и)-плоскости. Отображение к = переводит прямые у = \гп2 = Ь на 2 -плоскости в лучи в = Ь на то-плоскости, где ^-аргумент то. Логарифмическая функция 2 = Ьп то (то / 0) определяется как обратная функция 2 =^(то) к то = е*. Полагая г = х + гу, ю = ге'*’ , где г = |то|; в = во + 2кж (А = О, ±1, ± 2 , . . . ) ; во — главное значение {-тг < йо ^ тг) аргумента то, по лучим ге‘* = = е* •е‘^, т. е. г = , х = 1п г (г ^ 0); у = во + 2кж. Следовательно, для каждой из областей отдельные однозначные ветви 2 = ?*(«<) = (Ьг! и>)к многозначной функции г = ^пV^ можно записать в виде г = X + гу = (Ьп ю)к = 1пг + г(^о + 2^тг) {к = О, ±1, ±2, . . . ) . Ветвь 2 = ?о (® ) = 0) называется г л а в н о й . Фун кц ия И) = — б е ско н е ч н о л и стн а , а 2 = Ь п то — б е ско не чно зн ачна , так как все ее ветви г = (Ьп ю)*: отличаются друг от друга. Какую-либо из ветвей обозначают также г = 1п ю . Рассмотрим бесконечное множество л и с т о в ... , С - [ , О о , С 1, . . . расши ренной И)-плоскости с исключенной точкой » = О и имеющей разрез вдоль полуоси 0 = 7Г, расположенных друг над другом в указанном порядке. Со единяя края разрезов соседних листов, как и при построении римановой поверхности функции 2 = получим б е с к о н е ч н о л и с т н у ю р и м а н о в у н о в е р х н о с т ь функции г = ^п т . Точки и; = О и и; = оо являются точками ветвления бесконечного порядка и называются т р а н с ц е н д е н т н ы м и т о ч к а м и в е т в л е н и я (или л о г а р и ф м и ч е с к и м и т о ч к а м и в е т в л е н и я ) функции 2 = Ьп И), так как при каждом обходе в одном и том же направлении вокруг этих точек происходит переход к очередной новой ветви, а возврат к исходной ветви невозможен ни при каком числе обходов. Функц ия № = устанавливает взаимно однозначное соответствие между расширенной г-плоскостью и бесконечнолистной римановой поверхностью с исключенной точкой те = 0. В любой конечной односвязной области С в те-плоскости, не содержащей точку те = О, можно рассматривать отдельные ветви функции г — ^ п го, зна чения которых в каждой заданной точке №о отличаются друг от друга на 1 к ш . Каждая из этих ветвей устанавливает однолистное отображение области С . По формуле производной обратной функции имеем йто {е % = 1 = 1 те ( , ^ 0), т. е. производные для всех ветвей существуют и равны между собой в любой точке те / 0. Следовательно, каждая ветвь 2 = 1п те является однозначной аналитической в области С функцией. 10.8.5. Заклю чительны е зам ечания Если в функции г = г ( » ) , обратной к те = / (г ), поменять местами, как это часто делается, обозначения зависимой и независимой переменной, т. е. рассматривать функцию те = ^ (г ), то в 10.8.3 и 10.8.4 обратные функции запишутся в виде те = и те = Ь п г . Остальные обозначения также следует изменить соответствующим образом. Каждая из однозначных ветвей много значной функции является аналитической функцией, и к ней применимы интегральные теоремы Кош и при условии, что контур интефирования не пе ресекает соответствующие разрезы плоскости. Точка 2 = 00 является точкой ветвления для функции / ( г ) , если функция Н О — /(1/С), полученная в результате преобразования г - 1/ ( , имеет при ^ = О точку ветвления. Например, многозначная функция / (г ) = 1/ \/г имеет точку ветвления г = ос (а также 2 = 0), так как функция /1( ( ) = точку ветвления С = О (а также С = оо). имеет 10.9. Конформное отображение 10.9.1. Понятие и свойства конформного отображения Пусть ю = / (г ) = и(х, у ) + гь{х, у ) — однозначная аналитическая в области 2о этой области условию / ’ (г:о) ф О (см. 10.8.2), в силу которого она однолистна в некоторой окрестности точки 2о. Тогда взаимно однозначное отображение т — / {г ) достаточно малой окрестности точки 2о в 2 -плоскости на некоторую область в ю-плоскости, содержащую точку гоо = / ( 20 ) , называется конформным отображением (первого О функция, удовлетворяющая в точке рода). При этом отображении угол а между дугами и С ® любых двух кривых, проходящих через точку 2о, равен по величине и направлению отсчета углу а точку щ = / ( между образами С^,'^ и этих дуг, проходящих через 2 о ) (рис. 10.12а, б). Элементы длин |Й2о| = ^ (<1хУ + (Л уУ и 0 © О б) \йтй\ = ^ (йиУ + (ЛюУ дуг Сг и в точках го и то связаны соотношением Произвольный бесконечно малый треугольник (т. е. имеющий бесконечно малые стороны) вблизи точки го отображается в подобный ему бесконечно малый треугольник на ге-плоскости, причем все его стороны растягиваются в |/'(го)| раз и поворачиваются на угол а г§ /'(2о), а площадь умножается на |/'(го)|^ = а; — -.- . Здесь /'(го) - функция от го. д (х ,у ) Точки, в которых } ' ( г ) = О или 1//'(г) = О и, следовательно, конформ ность нарушается, называются критическими точками отображения го = / (г ). Отображение, при котором неизменными являются только величины углов между двумя кривыми, но не направления их отсчета, называется антиконформным (или конформным отображением второго рода). Например, т = г. Далее рассматриваются только конформные отображения первого рода. Отоб ражение т = / (г ) конформно в точке г = оо, если отображение ^(^) = /(1/С) конформно в точке С = ОЗадача построения конформного отображения некоторой односвязной об ласти О в г-плоскости на односвязную область О в то-плоскости сводится к нахождению однозначной аналитической и однолистной в области функ ции, область значений которой совпадает с С . При этом предполагается, что О не является всей расширенной г-плоскостью или всей г-плоскостью с од ной исключенной точкой. В Длякаждойодносвязной области О в г-плоскости, кромевсейрасширенной г-плоскости и^-плос костисоднойисключеннойточкой, существуетоднозначнаяаналитическая функция и; = /(г), осуществляющая конформноеотображениеобласти О на внутренность единичногокруга |г«| < 1. Функция /(г) определенаедин ственным образом, еслизаданыусловия: /(го) = Шо « агв/'(го) =а, где го,Щ,а —заданные числа, причемго принадлежит В. Задача комформного отображения двух областей друг на друга сводится к конформному отображениюкаждойизнихнаединичныйкруг. Теорема Римана о конформном отображении. X — 1 пр и м е р 24. Ф у н к ц и я т — ■ о сущ ествляет конф ор м ное отобр аж ение правой 2 -п о л у п л о с к о с т и ж = К е 2 > О н а е д и н и ч н ы й к р у г |гу1 < 1 ( р и с . Ю . 1 3 а , 5 ) . П р и э т о м т о ч к а г — О ( Л 1) п е р е х о д и т в т о ч к у ги — - I ( Л ',) ; гу'(О ) = 2 , а г § ш '( 0 ) = 0 . Т о ч к а г — оо п е р е х о д и т в т о ч к у ь) = \. П р я м а я х = О (г = гу) п е р е х о д и т в о к р у ж н о с т ь |ш | = 1. П р и к о н ф о р м н о м о т о б р а ж е н и и в з а и м н о п е р п е н д и к у л я р н ы е п р я м ы е х = со п 5 1 и у = С0П 51 н а 2 - п л о с к о с т и п е р е х о д я т во в з а и м н о о р т о г о н а л ь н ы е к р и в ы е н а 1У - п л о с к о с т и ; и о б р а т н о , к о о р д и н а т н ы м п р я м ы м и = с о п 5 1, V ~ со п 5 1 н а и ? -п л о с к о с т и с о о т в е т с т в у ю т в з а и м н о о р т о г о н а л ь н ы е к р и в ы е н а 2 -п л о с к о с т и . © 0 б) «) Ри с. 10.13 П ример 25. Функция и) = г является двухлистной во всей 2 -плоскости. Обратная к ней функция г = — двузначна и имеет точки ветвления гу = О и г^? со. Функция V) — 2 ^ отображает всю расширенную 2 -плоскость на двухлистную риманову поверхность функции г = у/ь). В точках 2 = О и 2 = оо, являющихся критическими, преобразование не является конформным. Первая четверть ^-плоскости (О ^ у? ^ тг/2) © 0 «) Рис.10.15 отображается на верхнюю «/-полуплоскость (О ^ й < ж). Правая г-полуплоскость (~ж/2 < у! ^ тг/2) отображается на всю ««-плоскость с разрезом (-ж < в ^ ж). Левая г-полуплоскость также отображается на всю ш-плоскость (неоднолистность). Областями однолистности функции VI = являются, например, правая 2 -по луплоскость (-1г/2 < >р < ж/2) и В ,: левая г-полуплоскость (ж/2 < 1р < Зтг/2). Отображение конформно в областях однолистности, за исключением критических точек. Пусть г = И - «у, то = и -Ь»«, тогда для V) = имеем и = - у^ и = 2ху. Прямым и = С\ и V = Сг на и;-плоскости соответствуют два семейства ортогональных гипербол ~ = С\ и 2ху = Сг на 2 -плоскости (рис. 10.14о,б). Каждой точке гиперболы х^ - у^ — в правой (левой) полуплоскости а: > О (х < 0) соответствует только одна точка прямой и = С,. Однако каждой точке прямой и = С, будут соответ ствовать точки как на гиперболе х^ -у^ = С| (г > 0), так и на гиперболе - у^ = С| (г < 0) (двухзначность). Прямые х = Сх, у = Сг на г-плоскости переходят в два семейства ортогональных парабол и = а ± на то-плоскости (рис. 10.15 о, б). Лучи, выходящие из точки г = О, переходят в лучи, выходящие из точки и; = О и повер нутые на некоторый угол. Если угол между двумя лучами, выходящими из г = О, равен а , то угол между их образами на ш-плоскости равен 2а (2а ^ 27г). Точки г = О и г = 1 переходят в точки № ~ О и ад = 1. Любая область В , содержащаяся в области однолистности, конформно отображается на некоторую область О в («-плоскости. Интеграл Шварца—Кристоффеля г И) = ^ У ( г - Х | ) “ '- '( г - 12)“ '- ' ■■•(г - где йг + В, = п - 2\ А ^ О, В — некоторые комплексные числа, определяет конформное отображение верхней полуплоскости у = 1 т .г > О на внутрен ность офаниченного п-угольника {п Ъ) ъ то-плоскости; точки контура п-угольника взаимно однозначно соответствуют точкам оси О х; различные точки ( —00 < Х\ < Х 2 < ■■. < Хп < +оо) ОСИ О х соответствуют вер шинам и)1, «>2, . . . , «>п п-угольника, внутренние углы которого в вершинах Ы] равны а^тг { } = 1 ,2 ,... ,п)-, т = В при 2 = 0. Для каждого заданного п-угольника на ш-плоскости из всех точек три могут выбираться произ вольно, а остальные значения и величины А н В находятся единственным образом из условия задачи. Если одной из вершин многоугольника, например ы „, соответствует точ ка г „ = оо, то множитель (г - х „ ) " " ~ ' , содержащий х „ , выпадает из формулы Ш варца— Кристоффеля. 10.9.2. Примеры конформных отображений 1. Линейная функция IV = а г + Ь {а = |а|е'“ ^ 0) осуществляет конформ ное (линейное) отображение всей расширенной г-плоскости на расширенную ш-плоскость. Данное отображение является наложением тр>ех отображений: 1) поворот 2 -плоскости на угол а , 2) подобное преобразование с коэффици ентом растяжения |а|, 3) сдвиг на постоянный вектор Ь. Прямые переходят в прямые, окружности — в окружности. Линейное отображение при о ^ 1 можно записать в виде V) - и)о = а (2 - 2о), го = -—!— 1- а . Точка г = 2о переходит в точку т = го. 2. Функц ия «) = 1/2 осуществляет отображение расширенной 2-плоско сти на расширенную «)-плоскость. Пусть 2 = ре'*’ , = ге'*, тогда г = 1/р, О = -(р. Окружность \г\ = 1 переходит в окружность |и)| = 1. Внутренность круга |2| < 1 переходит в область |и;| > 1, и наоборот, область \г\ > 1 перехо дит во внутренность круга |ге| < 1. В точке 2 = 0 отображение не конформно. Точки 21 = 1 и 22 = - 1, 2з = «, 24 = -« переходят в точки и)) = 1, И)2 = -1, щ = - I , №4 = I. И з равенства и + IV = 1/(х + 1у ) следует « = ^ , У = -^ , р = у/х^ + у^. Любая прямая или окружность на 2 -плоскости переходит в окружность на И)-плоскости. 3. Дробно-линейное отображение, осуществляемое дробно-линейной функ цией V} = { а й - Ь с ^ О , С ф 0), сг + й взаимно-однозначно отображает расширенную 2 -плоскость на расширен ную 1с-плоскость. Отображение конформно на всей плоскости, исключая точку го = -й /с, в которой т(г о ) = оо, т '(г о ) = оо. функция, обратная к дробно-линейной, является также дробно-линейной. Прямые и окружности в г-плоскости переходят в прямые или окружности в №-плоскости и обратно. Неподвижные точки, т. е. отображающиеся сами в себя (то = г ), находятся из уравнения аг + Ь сг + й ’ т. е. + (а - а )г - Ь = 0. 4. Функц ия и> = ( т = ге'*, 2 = ре"*’) двузначна и имеет две ветви, одна из которых — главная (ю = -тг < ^ >!■) — отобража ет взаимно однозначно всю г-плоскость с разрезом вдоль отрицательной полуоси О х (^0 = выходящим из точки 2 = О, на правую те-полуплоскость (-7г/2 < 0 с 7г/2); а другая ветвь (г» = - п < щ ^ т ) — на левую полуплоскость (я-/2 < б < 35г/2). Конформность нарущается в точке г = О, в которой ю'(0) = оо. Неподвижными являются точки 2 = О и 2 = 1. Полагая ю = и + IV, г = х + гу, получим х = у } у = 2ию\ и = ± ~ ( г + V = ± ^ ( - х -Ь \ / 1^ + у^)'^^. Прямым и = С( и « = Сг на то-плоскости соответствуют параболы на 2 -плоскости. 5. Экспоненциальная функция т = (и = со&у, V = & т у ) может быть записана в виде ге‘® = е“’+'*';т. е. г = , у = в ^ во+ 2ктг (-тг <во< ,тт), й = О ± 1, ± 2 , . . . . В силу (е^)' = Ф О, функция то = осуществляет кон формное отображение горизонтальных полос шириной 2тг на 2 -плоскости, например, —тг < у ^ тг, на всю то-плоскость с разрезом по отрицатель ной действительной Ои (и ^ О, V = 0) (см. также 10.8.4). Отрезки прямых х = С| ( - т г ^ 2/ ^ т г ) н а 2 -плоскости переходят в окружности на №-плоскости; прямые у = С 2 переходят в лучи во = С 2, выходящие из на чала координат. 6. Логарифмическая функция и) = ^п 2 — бесконечнозначна, с точками ветвления 2 = О, 2 = оо. Полагая т = и + IV, 2 = ре"*', 95 = + 2А;тг, -ж < 1ро л , к = О, ±1, ±2 , . . . , получим 2 = е” = р = е " , <р = V, т е . и = \п р, V = ^0 + 2/гтг, или т = \п р + г{ 1ро + 2А;тг). Производные для всех ветвей логарифмической функции равны между собой в любой точке г и находятся по правилу дифференцирования обратной функции: (1 п г )' = (е” )' е"' 2' Каждая ветвь 1п г является аналитической функцией. Главная ветвь И) = 1п г = 1п р + 1^0 функции т = ^п г (при к = 0) конформно отображает всю г-плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси (х < О, у = 0) на полосу -гг < 1 ти ) ^ 7Г. Конформность нарушается в точках ветвления 2 = О и г = сю. Отрезкам прямых и = С\ (-тг < и < гг) и прямым V = С 2 (-7 Г < Сз ^ гг) на №-плоскости соответствуют окружности р= \г\ = е^' и лучи = Сг- 10.10. Некоторые элементарные функции 10.10.1. О б щ а я степенная функция Общая степенная функция ю = 2° (а = а + г/3 — произвольное комплексное число) определяется равенством 2° = и является при /3 О бесконеч нозначной. Пусть 2 = ре’*’ , тогда ^п 2 = 1п р-1-1(^0 + 2/гя’) (см. 10.9.2,6). Сле довательно. ьа = г “ = ехр { а 1п г-/9(^о + 2Лгг)} -ехр { 1 \а(<рп + 2кж) + 0 \п г | } , где ехр { Ф } = 6*, к = О, ± 1 , ± 2 , . . . . Главная ветвь получается при к = 0. При /3 = 0 значения 2“ лежат на окружности |ю| = е " '" '’ — р ° и имеют аргументы Ок = а(^о-I-2<:гг). Если а — р/д — рациональное число (несократимая дробь), то функция 2“ = является 5-значной. При а иррациональном функция г " бесконечнозначна и имеет точки ветвления 2 = О, 2 = оо. Справедливы следующие тейлоровские разложения в окрестности точки 2 = О (в случае многозначных функций рассматриваются их главные ветви): где а — любое комплексное число; если а = п — натуральное, то ряд пере ходит в конечную сумму. Здесь рассматривается однозначная ветвь, равная 1 при 2 = 0. Круг сходимости: |2| < 1. Разложение функции (с ± 2)“ , где с — комплексное число, находится при помощи равенства (с ± 2) — = -(|± - ) С± 2 С \ С/ 2 )“ = с‘‘ ( 1± 0 “. = 1 [ 1т - - Н ( - ) Т ( - ) С С\С / \с/ ' |2| < |С|, с ф О . ' 2 2-4 2-4-6 3 И < 1. 2-4-6-0 Здесь рассматривается ветвь, равная I при г = 0. Обозначая 1+ 2 = С. можно записать разложение главной ветви а/^ в окрестности С = I : 2-4 -6-8' | С- 1| < 1. 10.10.2. Тригонометрические и гиперболические функции 5шг = 2 - — + — -... С05г = 1 - — 5Ь2 = 2 + — с112 г" (|2| < оо), + — - + — (|г1< оо), +... = 1+ — + — + . . . (|2: | < 00), (121 <оо). Периоды функций 81п 2 , С08 2 и 5Ь 2 , сН 2 равны соответственно 2тг и 2тгг. Определение остальных функций: 1ё 2 = С05 2 51П2 С1§2 = С08 2 Ш2= 81П 2 8К 2 сНг’ сШ2 = сЬ2 8Н 2 Справедливы равенства: 8Ш 2 = ^ ( е ‘" - е - ' " ) , 5(1 2= ^ ( е " - е ~ " ) , 8Ш 2 = -181112, (8 2 = - И Ь 12, С08 2 = сН 12, с1Н 2 = г с ( Ь « 2. Обратные функции и еоотношення между ними: 12^ I 3 2^ 1 3 5 2’ агс8Ш 2 = 2 + - . - + - . - . + - . - . - . у + ... ( к 1< 1). а 1 г I . Н 3 г* агс182 = г - у + у - . . . ^ 2.^ 10.10.3. 1 3 . = 5 л , ч ( N<1 ) , . (|г| < 1), (|2 | < зПЪг = 2 + — + — + агс81П 2 = - аг5Н гг, 2* 1), агс1ё 2 = -г аПН гг. П оказательн ая и логариф мическая функции Общая показательная функция ю = число, определяется равенством , где а — произвольное комплексное и является бесконечнозначной функцией, главная ветвь которой получается, если Ьп о взять при к = О (см. 10.10.1). При а = е имеем е^ = 1 + ^ + ^ + ^ + ... Функция ( N < 00). — периодическая, с периодом 2жг. Справедливы равенства: е'* = С05 г + г 81п г (формула Эйлера), = е^(со8 у + г&\пу), = сН 2 + зН 2. Пример 26. 1) Главное значение ^ равно: ^ ^ .4 (1 . ^ ^0 . ^ , „ , 2 = е08 у + .• 5|П у . 2) Главное значение г' равно: Логарифмическая функция V) = ^'п г (г ^ 0) определяется как обратная к 2 = е” . Пусть 2 = ре'*, р = \г\, = 1рй + 2жк, к = О, ± 1 , ± 2 , . . . , ~ж < (ро Я-, тогда Ь п 2 = 1пр + !^ , где 1пр — обычный натуральный логарифм. Однозначная функция 1п2 = 1пр + гу?о {к = 0) называется главной ветвью бесконечнозначной логарифмической функции Ьп г (см. также 10.8.4), Пример 27. Найти значения логарифмов комплексных чисел: 1) 1п1 = !п ||| + »агё* = О + = 1 ^. 2) 1п ( - 1) = 1п I -«I + «аш(-«) = « ^ - 0 =- 3) Ьп(2.) = Ьп [2е'№+“ ''] = \п2 + г ( ^ +2к-к^ . * = 0,±1,±2. 4) 1п (-е) = 1п I - е| + «аг8 (-е) = 1 + «тт. у . Решение. Для главной ветви логарифмической функции, значение которой равно О при 2 = 0, справедливо разложение 1п ( 1 + 2 ) = г - у + у - ... (|г:|<1). [> Глава 11 Д И Ф Ф Е Р ЕН Ц И АЛ Ь Н Ы Е УРАВНЕНИЯ Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее не известную функцию (или несколько функций), ее производные или диф ференциалы различных порядков, а также независимые переменные. Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным; если от нескольких аргументов, то — уравнением с частными производными. Любая функция, удовлетворяющая дан ному дифференциальному уравнению, т. е. обращающая его в тождество, называется решением этого уравнения. Пример 1. Обыкновенное дифференциальное уравнение у + х у = 0 содержит неиз вестную функцию у{х). В уравнении с частными производными неизвестная функция и{х, у) зависит от двух аргументов. 11.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 11.1.1. О сновны е понятия. Д остаточные условия сущ ествования и единственности решения 11.1.1.1. Основные понятия и определения О б ы к н о в е н н ы м д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м у р а в н е н и е м п о р я д к а п называется уравнение вида Р ( х , у ( х ) , у '{ х ) , у " { х ) , . . . = 0, ( 11. 1) где Р — функция указанных аргументов, связывающая независимую пе ременную X, неизвестную функцию у (х ) и ее производные. Порядком п дифференциального уравнения называется порядок наивысшей (старшей) из входящих в него производных неизвестной функции. В некоторых част ных случаях уравнение может не содержать явно х ,у {х ), а также отдельных производных. Пример 2. У р а в н е н и я {у У + -у^ = 0 и у" -\-4у = 0 с о о т в е т с т в е н н о п е р в о г о и в т о р о го порядка. Уравнение ( И Л ) записано в неявном виде. Уравнение, разрешенное от носительно старшей производной г/*"’ = / (г , г/, 2/' , . . . , !/*"■'>), ( 11.2) называется уравнением в явном (нормальном) виде. Если левая часть уравнения ( 11.1) линейна по совокупности у , у ', . . . ,у^ "\ то оно называется линейным уравнением п-го порядка. Некоторая функция у = >р{х), непрерывная в конечном или бесконечном промежутке (а; Ь) вместе со своими производными до порядка, равного порядку дифференциального уравнения ( 11. 1) и обращающая это уравнение (или уравнение ( И . 2)) в тождество для всех х из (а; Ь), т. е. Р { х , >р(х), 1р '{х ), ^ р " { x ) , ур*"*(х)) г О ( а < X < Ь ), называется решением (интегралом) этого уравнения в промежутке (а; Ь). В об щем случае интегралом какого-либо дифференциального уравнения называ ется любое уравнение, не содержащее производных неизвестной функции, из которого это дифференциальное уравнение может быть получено как следствие. Процесс нахождения решений (интегралов) дифференциально го уравнения называется его интегрированием. Если все решения какоголибо дифференциального уравнения выражаются через элементарные функ ции или через неопределенные интефалы от элементарных функций (т. е. в квадратурах), то говорят, что это уравнение интегрируется в конечном виде. Большинство дифференциальных уравнений не интегрируются в конечном виде. Решения таких уравнений ищутся с помощью степенных рядов, а также с использованием различных приближенных методов (см. 16.8). П ример 3. 1) Ф у н к ц и я у ~ п р и л ю б о м х я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я у " — 4у = О, ч т о п р о в е р я е т с я н е п о с р е д с т в е н н о й ее п о д с т а н о в к о й в у р а в н е н и е . 2 ) Ф у н к ц и и у = з т х , у = со&х о б р а щ а ю т у р а в н е н и е у " + у = О в т о ж д е с т в о п р и в с е х X. 3 ) У р а в н е н и е х^у = 1 я в л я е т с я и н т е ф а л о м д л я д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я ху' + 2у = О, т а к к а к (х^у)' — 2ху + х^у' — 0. Решение уравнения может быть найдено также в неявном виде Ф (х , у) = О, либо в параметрической форме х = 1р ( 1), у = ‘ф Ц), где I — параметр. Общее р е ш е н и е уравнения ( 11.1) или ( 11.2) порядка п записывается в виде 2 /= ^ (1 ,С |,С 2 , ... ,С „), (1 1 .3 ) где С 1, С 2, . . . , С „ — п р о и з в о л ь н ы е п о с т о я н н ы е ( п о с т о я н н ы е и н т е г р и р о в а н и я ) . Общее решение уравнения порядка п , записанное в неявном виде Ф (х ,2 /,С ь ...,С „) = 0, называется о б щ и м и н т е г р а л о м этого уравнения. Для каждой совокупности конкретных значений постоянных С ] , ... , С „ из общего решения получается ч а с т н о е р е ш е н и е . График какого-либо частного решения уравнения на плос кости О х у называется и н т е г р а л ь н о й к р и в о й этого уравнения. Множество всех этих кривых называется я-параметрическим с е м е й с т в о м и н т е г р а л ь н ы х к р и в ы х , зависящим от параметров С ] , . . . ,С „ . Обратно, каждому семейству кривых, например, однопараметрическому Ф { х , у , С ) = О, соответствует некоторое дифференциальное уравнение Р (х , у, у ') = О, которое получается исключе нием параметра С из системы уравнений Ф (х, у. С ) = О, Ф ^(х, у. С ) + Ф ’у { х . у. С )у = 0. Если семейство кривых задано уравнением у = (р {х ,С ), то предьшущая си стема примет вид: у = <р(х. С ), у = (р'^{х. С ). Некоторые дифференциальные уравнения имеют дополнительные, о с о б ы е р е ш е н и я ( о с о б ы е и н т е г р а л ы ) , не входящие в общее решение, т. е. их нельзя получить из общего решения ни при каких значениях С\, Сг, (включая ±оо). Задача К о ш и (начальная задача) состоит в отыскании частного решения, удовлетворяющего п начальным у с л о в и я м у{хо) = Уо, у'(хо) = Уо, ■■■, у ‘’’~'\хо) = У о^ '\ где 1о,з/о, у'о,. . . , уд" '^ — заданные числа ( н а ч а л ь н ы е з н а ч е н и я ) . Задание на чальных условий означает, что при I = Хо задаются значения функции и всех ее производных до порядка ( п - 1) включительно. Решение задачи Кош и ино гда записывают в виде у = у(х, Х о , Уо, З/о. •••>Уо"~'^), в котором указываются начальные значения. В частности, для уравнения у' = / (х , у) начальное условие имеет вид: У = Уо при X = Хо (или у(хо) = уо}- Геометрически решение задачи Кош и состоит при этом в отыскании интегральной кривой уравнения, проходящей через заданную точку (хо, уо) на плоскости О ху. Если общее решение (11.3) уравнения (11.1) или (11.2) известно, то по стоянные С|, С з , . . . , С „ , определяющие соответствующее частное решение. находятся из системы уравнений 1р{хо, С| . . . , С „ ) = Уо, 1р '{хо,С { = у'о. где производные по а; от 1р(х, С ) , . . . , С „ ) берутся при х = Хо- Если выра зить произвольные постоянные С 1, ... , С „ через начальные значения Хо, Уо, Уо,---,Ро‘~‘^ и подставить их в общее решение (11.3), то общее рещение, записанное в виде у = у(х,Х о,уо,У о,--.,У о"^'^), где Хо зафиксировано, а уо, у ц , играют роль произвольных посто янных, называется общим решением в форме Коши. При фиксированных на чальных значениях из общего решения получается частное решение. П рим ер 4. Уравнение первого порядка у' = 2х имеет общее решение у = +С {С — произвольное число), равное неопределенному интефалу от 2х. Семейство интефвльных кривых уравнения состоит из бесконечного множества парабол, соответ ствующих разным значениям С (рис. П.1). Задача Коши с начальными условиями у = Уо при х = Хо здесь состоит в нахождении параболы, проходящей чеЕ>ез заданную точку (жо,уо)- Для нахождения С подставим X = Хоу у = Уо в общее решение, полу чим С = Уо - х1, т.е. у = х^ Уо - х]. Например, если Жо = Ь Уо = 2, то С = 1 и у = + 1. Таким образом, из множества парабол общего решения выделена одна, проходящая через точку (!; 2). Краевая задача заключается в нахожде нии частного рещения у = 1р {х) дифферен циального уравнения порядка п при наличии п краевых (граничных) условий, наложенных на функцию 1р {х) и ее производные в кон цах X = а к X = Ь некоторого заданного отрезка [о; 6], в котором это рещение ищется. Функц ия (р{х) обращает уравнение в тожде ство внутри [а; 6] и удовлетворяет краевым условиям на его концах. Если для уравнения второго порядка краевые условия имеют вид у (а ) = Уа, у{Ь) = у ь, то геомет рический смысл краевой задачи состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданные точки (а, */„), (Ь, уь). Пример 5. Решением уравнения у" + у = О, удовлетворяющим краевым условиям у(0) = О, у(тг) = О на концах отрезка |0; ]г|, является функция у = С 51п I (О $ I < тг), где С — произвольное число. Данная краевая задача имеет бесконечное множество решений. Для краевых условий у(0) = О, у(тг/2) = I задача имеег единственное решение у = $ тх (О ^ < >г/2). С исте м а о б ы кн о в е н н ы х д иф ф е р ен ц иал ьн ы х ур авне ний Р х (х \У \,.--,У т-,У ....... у ' т , - ) = ^ (« = 1, 2, . . . , т ) ( 11.4) содержит т неизвестных функций У1( г ) , . . . , У т (х ) и их производные различ ного порядка. П о р я д к о м п^ каждого из уравнений системы (11.4) называется наивысший порядок содержащейся в нем производной. П о р я д к о м п с и с т е м ы (11.4) называется сумма порядков п = П| + . .. + П т всех входящих в нее урав нений. Любая совокупность функций у^ = <р\(х), , У т = 4>т(х), обраща ющих все уравнения системы (11.4) в тождества относительно х , называется р е ш е н и е м ( и н т е г р а л о м ) этой системы. Процесс нахождения рещений системы называется ее и н т е г р и р о в а н и е м . График рещения системы, являющийся неко торой кривой в { т + 1)-мерном пространстве точек (х, у|, . У т ), называет ся и н т е г р а л ь н о й к р и в о й с и с т е м ы (11.4). Общее решение у, = ^р^{x, С \ ,. . . , С „) (* = 1,2 т ) системы ( П . 4) содержит п п р о и з в о л ь н ы х п о с т о я н н ы х ( п о с т о я н н ы х и н т е гр и р о в а н и я ) С ь ..., которые могут быть найдены при помощи п начальных условий. Уравнение вида (11.2) с одной неизвестной функцией у (х ) сводится к системе п уравнений первого порядка ^ = Лу2 ^ = У з. .... йуп-\ ^ = У п , <^Уп ,, . ^ = /(.,Уь...,У„), где у, = у (х ), у 2 = у '{х ), . . . , у „ = у * ""'* (г ) — новые неизвестные функции. Если найдено решение этой системы, то тем самым найдено также и решение уравнения ( 11.2), так как у(х ) н у](х). Обратный переход от системы п уравнений первого порядка к одному уравнению п-го порядка удается провести не всегда. Однако всегда можно перейти от системы к совокупности нескольких уравнений (каждое — с одной неизвестной функцией), сумма порядков которых равна п. Любую систему вида (11.4) можно свести к равносильной ей системе п уравнений первого порядка, заменяя высшие производные новыми неизвест ными функциями. П ример 6. Система трех уравнений второго порядка х" = Р(х , у, г), у" = Я(х , у, г), г " = Щх. у, г) с тремя неизвестными функциями х(1), у( 1), г( 1) при помощи введения еще трех неизвестных функций и(<) = х'. V(^) = у, т { 1) = г сводится к системе шести уравнений первого порядка (1х < 1у (1и — = Р {х ,у ,г ), (1г Лх) — = д (х ,у ,и ), йи) — = К (х .у ,г ), содержащей шесть неизвестных функций х(1), у(1), г(1), и{1), V{^), т{1). Шесть про^ извольных постоянных С| , . . . , Сб, входящих в каждую из шести функций общего решения, например, х = ^](<, С ] , . . . , Сь), находятся при помощи начальных условий хЦо) = Х о, у((о) = Уо, г(«о) = и (1 о ) = Ч о, в(<о) = Vо, Ч )(1о) = Щ . Подставляя найденные отсюда значения С ь решение. го, , Сб в общее решение, получим частное Н о р м а л ь н о й с и с т е м о й называется система п дифференциальных уравне ний первого порядка, разрешенных относительно производных п неизвестных функций у^{x) ( « = 1, 2, . . . , п): у\ = /\{х,Уи-- - ,Уп), у'г = ^ ,[5 ^ у'п = и ( x , У ^ , ■ ■ ■ , У п ) ■ 06щее р е ш е н и е у^ = (р ({х ,С \ ,.. ■, Сп) (1 = 1, 2 , . . . , п) системы (11.5) со держит п произвольных постоянных, которые могут быть найдены при по мощи начальных условий У\(х) = У\0, У2{х) = У20, ■■■, Уп{х)=У„о п р и 1 =Х о , ( 11.6) где Х о ,ую ,У 2о, ■■■,УпО — заданные числа. В результате получается ч а с т н о е р е ш е н и е у^ = Общее решение системы (11.5) может быть записано также в ф орме К о ш и Уг = у Л х , Хо, 2/10. •••, Упо) (» = 1, 2 , . . . , п ), где Хо фиксировано, а значения у ю , . . . , у„о ифают роль произвольных постоян ных. П е р в ы м и н т е г р а л о м системы (11.3) называется функция ф (х ,у и У г ,... ,уп ), не являющаяся тождественной постоянной и обращающаяся в постоянную при подстановке в нее любого решения у{ = ^р^(x) (» = 1, 2 , . . . , п ) системы (11.5). Первый интефал удовлетворяет дифференциальному уравнению дхр дФ дФ ох дух ву„ В частном случае независимая переменная х может не входить явно в пер вый интефал. Примеры нахождения первых интефаловсм. в 11.2.2.1 и 11.2.2.2. Разрешая равенства у( = (р{{х, С \ ,. . . , С „ ) относительно С { , можно по лучить п первых интегралов . .. ,уп ) = С, (* = 1,2, Если известны п первых независимых интегралов системы (11.5), то задача ее инте грирования решена, так как из уравнений У 1, ■■■,Уп) = ^ (* = 1 , . . . , п) можно выразить искомые функции через х и С ;. Каждый известный первый интеграл позволяет понизить порядок системы на единицу. Примечание. Первые интефалы называются независимыми, если ни одна из функций не может быть представлена как функция от остальных. Если правые части системы (11.5) зависят линейно от неизвестных ф унк ций з/ь . . . , 2/п, то система уравнений ^ = Щ + / .(* ) (* = 1, 2, . . . , п) называется линейной. 11.1.1.2. Достаточные условия существования и единственности решения Пусть требуется решить задачу Кош и ^ = / {х , у ), ах у{хо) = Уо- (11-7) Теорема Пикара. Если однозначная функция / (х , у ) в правой части урав нения (11.7); 1) определена и непрерывна по совокупности переменных х, у в замкнутом прямоугольнике Н на плоскости О х у, определяемом неравенствами х й - а ^ х < , х ц + а, у ц - Ь ^ у ^ у а + Ъ, 2) удовлетворяет условию Липшица \ }( 1: , У ) - }( х ,у )\ < ,Ь \ у - у \ , где число Ь > О, а (х, у ) и (х, у) — любые две точки из прямоугольника К , т о задача Коши (11.7) имеет единственное решение у = (р(х) {т . е. 1р (х ) = / (х , <р(х)) и (р{хо) = Уо)- Решение ^ (х ) непрерывно дифференцируемо на отрезке |х - Хо| ^ й, где Н = т1п{о, Ь / М }, |/(х, у)\ ^ М в области К . Примечание 1. Если / ( х , у ) удовлетворяет условию теоремы Пикара в некоторой открытой области О на плоскости Оху. то задача Коши (11.7) имеет единственное решение при любых Жо.Ио таких, что точка (хсУо) принадлежит О. Каждое из по лученных решений может быть продолжено до границы области О. Геометрический емысл теоремы Пикара: через всякую точку (хо, уо) в О проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (11.7). П рим ечание 2. Условие Липшица заведомо выполняется, если частная производная /у непрерывна (или ограничена) в области V . Если в этой теореме отказаться от условия Липшица, то получим достаточное условие лишь существования решения для заданного начального условия. П рим ечание 3. Теорема Пикара обобщается также нанормальнуюсистему (] 1.5) с на чальными условиями (11.6), если условие Липшица записать в виде |/ И х , у ь . . - У п ) - / . ( ж , У ь - - - , У п ) | (* = 1 ,2 ,...,п ) для любых двух точек (ж,у1, ... ,Уп) и {х,у Уп) из открытой области о ъ{п + !)-мер' ном пространстве. В частности, условие Липшица выполняется, если все производные непрерывны (или офаничены) в В . П рим ечание 4. Задача Коши для уравнения (11.2) с начальными условиями У (*о )= 9 о , у'(хо) = у'о. имеет одно и только одно, п раз непрерывно дифференцируемое решение, при усло вии, что однозначная функция / непрерывна по совокупности всех аргументов в некоторой окрестности точки (жо, уо, !/о> ■■•■ " имеет в этой окрестности непрерывные частные производные по у,у \ Н е п р е р ы в н а я за в и си м о сть р еш е ни я зад а чи К о ш и о т па р а м етро в и н а ч а л ьн ы х з н а ч е н и й . 1. Если в задаче Кош и Лу/<1х = }( х , у , 1 ) , у(хо) = 2/о, функция /(х , у, I) , где < — параметр, задана в области Ь , определяемой неравенствами |х - го| С о - 12/ ~ Уа\ С С < С <2, и удовлетворяет в ней условиям: 1) / непрерывна по совокупности всех своих аргументов, и, значит, \ } { х , у , 1)\ ^ М в О ; 2) удовлетворяет условию Липшица по у, — то данная задача Кош и имеет единственное решение у = у{х,Хо,Уо,1), являющееся непрерывно дифференцируемой функцией от х в промежутке |х - Хо| < й, где к = П11п {а , Ь / М }, а также непрерывной функцией от < в промежутке С << <2. равномерно по х из |х-Хо| < Л; т е . для каждого Е > О найдется число д > О, зависящее только от е и такое, что при |Д<| < <5 выполняется неравенство |у(х, Х(1,уо,Ь + А1) - у (х , Хо, !/о, ОI < ^ пля любого х из промежутка |х- Х о К Л. 2. Если в уравнении йу/йх = / {х , у ) правая часть / (х , у ) удовлетворяет обоим условиям теоремы Пикара в области |х - Хо| С о. I?/ ~ 2/о| С Ь, то реше ние у = у(х, X*, у ') этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию у {х ‘ ) = у ' , является непрерывной функцией по совокупности начальных дан ных X*, у ' вобласти |х * - Х о | С А, |у*-уо| С Ь/2 (О ^ А < й/4, где Л определе но в п. 1) равномерно по х из промежутка С : |х-Хо| С Й/2-А; т. е. для каждого е > О найдется число <5 > О, зависящее только от е и такое, что при |Лх*| < (5, |Ду*| < <5выполняется неравенство \ у {х ,х '+ А х ',у * + А у ') - у { х , х * , у ‘ )\ < е для любого X из С . 1 1 .1 .2. 11.1.2.1. Д иф ф еренциальные уравнения первого порядка Основные сведения Если дифференциальное уравнение первого порядка общего вида Р ( х , у , у ') = 0 ( 11.8) может быть разрешено относительно производной, то оно примет нормальный внд 2 = (•'■9) Уравнение (11.9) можно записать также в виде, связывающем дифферен циалы: = / (х , у ) Лх. Общее решение уравнения (11.9) имеет вид у = >р(х. С ). Наличие общего решения позволяет решать задачу Кош и У = }{х ,у ), у(ха) = Уо при любых начальных условиях го, Уа из области О , в которой выполня ются оба условия теоремы Пикара. Общее решение, записанное в неявном виде Ф (х , 2^, С ) = О, называется общим интегралом уравнения. При известных начальных условиях из общего интефала может быть найден частный инте грал. Значение С определяется при этом из уравнения Ф(хо, Уо, С ) = 0. Если общий интсфал записан в виде 'ф(х, у ) = С , то левая часть этого равенства называется интегралом уравнения. Дифференциальное уравнение может быть получено из его общего интефала путем исключения параметра С из системы уравнений: дФ дФ I Ф ( х , у , С ) = 0, Одно и то же дифференциальное уравнение может иметь несколько об щих интефалов. Геометрический смысл дифференциального уравнения. Если у = у (х ) — частное решение уравнения (11.9), то касательная М Т к интефальной кривой у = у{х ) на плоскости О х у в каждой точке М { х , у ) , лежащей на этой кривой (рис. 11.2), имеет угловой коэффициент к = } ( х , у ) (так как к = 1$ а { М ) = у '{х ) = } { х , у { х ) ) ) . Даже не решая уравнения (11.9), можно получить представление о расположении его интефальных кривых. Через каждую точку М ( х , у ) области О на плоскости О х у, в которой определена Функция / (г , 2/), проведем вектор достаточно малой длины, составляющий угол а (18а = / (г , у ) = { ( М ) \ с положительным направлением оси Ох. Точ ка М вместе с таким вектором называется линейным элементом. Множество всех линейных элементов образует поле направлений уравнения (И .9 ). Геомет рически задача интефирования уравнения ( 11.9) заключается в нахождении таких кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпада ет с направлением поля. Если поле направлений представлено достаточно густо расположенными линейными элементами, то интегральные кривые могут быть изображены приближенно без решения уравнения (рис. 11.3), что дает возможность качественного исследования уравнения. При этом по лезно вначале изобразить изоклины (линии равного наклона) с уравнением /{х , у ) = к = соп8(, вдоль которых направление поля, определяемое уравне нием (11.9), неизменно. При условии, что } ( х , у ) непрерывно дифференци руема, линии точек перегиба и линии экстремумов (если они существуют) инте гральных кривых могут быть найдены из уравнений р" = }'х + / у ' /(*■!/) = О и у = { ( х , у ) = О соответственно. Например, изоклинами уравнения у ' = 2х (см. пример 4) являются прямые х = к/2, параллельные оси О у; линия точек перегиба здесь отсутствует; линия экстремумов: х = 0. Пример 7. Правая часть уравнения у' = + у^ непрерывна и имеет непрерывную производную по у на всей плоскости. Изоклинами являются окружности + у^ = к. При к = 0 окружность вырождается в точку (0; 0). В точках изоклины = 1 угол а = я‘/4. Линий экстремума нет. Линия точек перегиба: у^ + х^у + х = 0. Некоторые иитефальные кривые изображены на рис. 11.4 сплошными линиями. Штриховыми изображены изоклины. Если в некоторой точке М ( х , у ) правая часть уравнения (11.9) обраща ется в бесконечность, что означает направление поля, параллельное оси О у (вертикальное), то наряду с уравнением ( П . 9) рассматривают также «перевер нутое» уравнение Т у-1 ^ у в котором X = х (у ). уравнения (11.9) и (11.10), а также их интегральные кривые всегда рассматриваются совместно. О б ы к н о в е н н ы е и о с о б ы е т о ч к и у р а в н е н и я . Точка (хо, уо) на плоскости О х у, в окрестности которой, содержащей и эту точку, выполняются оба условия теоремы Пикара для уравнений (11.9) или (11.10), называется о б ы к н о в е н н о й т о ч к о й уравнения (11.9). Через каждую обыкновенную точку в указанной ее окрестности проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (11.9) или (11.10). Вся эта окрестность сплошь заполнена интегральными кривыми, не имеющими друг с другом общих точек. Точка (хо,уа), в которой не выполняются все условия теоремы Пикара для уравнений (11.9) и (11.10), но выполняются в ее достаточно малой окрест ности, называется ( и з о л и р о в а н н о й ) о с о б о й т о ч к о й уравнения (11.9). Множество особых точек может представлять собой некоторую линию, называемую о с о б о й л и н и е й уравнения. Если (хо, Уо) — особая точка и существует интефальная кривая у = у(х ) или X = х (у ) такая, что у (х ) -> уо при х ^ Ха или х {у ) ->■ Хо при у уо, то говорят, что эта интегральная кривая п р и м ы к а е т к особой точке. Поле направлений в особой точке не определено. К особой точке могут примыкать либо несколько интефальных кривых, либо ни одной. П римечание. Особыми случаями задачи Коши называются: 1) задача нахождения интегральных кривых, примыкающих к особой точке {хо, Ио); 2) случай, когда хотя бы одно из начальных значений Хо, Уо не является конечным; 3) случай, когда правая часть уравнения (11.9) обращается в бесконечность в ко нечной или бесконечно удаленно начальной точке (хо.Уо). Пример 8. Рассмотрим уравнение (1у/Лх = у/х как единую совокупность самого этого уравнения, а также «перевернутого» уравнения Лх/йу = х/у. Поле направлений данного уравнения определено всюду на плоскости Оху, исключая точку 0(0; 0), в которой правые части обоих урав нений обращаются в неопределенность 0/0. Условия теоремы Пикара выполня ются всюду, кроме точки (0;0). Точка (0; 0) — особая, и в ней поле направле ний не определено. Непосредственной подстановкой проверяется, что функции у = Сх (х ^ й) и X = С^у (у ф 0), где С, С\ ~ постоянные, являются ре шениями самого уравнения и «перевер нутого» соответственно. Объединяя эти решения, получим, что интегральными кривыми данного уравнения являются все полупрямые (лучи), включая полу оси координат: у = Сх {х Ф 0)\ Х = 0 {у ф 0), примыкающие к особой точке 0(0; 0) (рис. 11.5). Изоклины здесь совпадают с интефальными кривыми. Пример 9. Для уравнения Лу/Лх = -х/у (рассматриваемого совместно с «переверну тым») особой является точка 0(0; 0). Все остальные точки плоскости Оху — обыкно венные, так как в некоторой их окрестности выполняются оба условия теоремы Пикара либо для исходного уравнения, либо для «перевернутого». Записывая уравнение в виде хЛх + уЛу = 0, или Л{х^ + у^) = 0, найдем, что (общий) интеграл уравне ния имеет вид х^ + у^ = С^ {С — посто янная). Изоклины: лучи, выходящие из начала координат; интегральные кри вые: окружности (рис. П.6), ни одна из которых не примыкает к особой точке 0 ( 0; 0). Некоторые дифференциальные уравнения кроме общего решения могут иметь также дополнительные (особые) решения. В связи с этим каждое уравнение необходимо ис следовать на наличие особых реше ний. Особым решением дифференци ального уравнения называется такое его решение, во всех точках которо го нарушается единственность решения задачи Кош и, т. е. к любой точке особого решения примыкают по крайней мере две интегральные кривые. Всякое особое решение является особой линией, но не наоборот. Особое решение не может быть получено из общего решения у = {р(х. С ) ни при каком конкретном значении произвольной постоянной С (в том числе ±схэ). Если правая часть уравнения у = / (х , у) удовлетворяет в некоторой об ласти обоим условиям теоремы Пикара, то уравнение не имеет в этой области особых решений, т.е. задача Кош и (11.7) для любой точки указанной области имеет единственное решение. Если / (х , у) непрерывна в некоторой области и имеет частную производную по у, то особыми решениями могут быть только такие кривые у = ^>{х), в каждой точке которых производная не су ществует (либо обращается в бесконечность). При этом следует проверить, удовлетворяет ли у = ф {х) уравнению и не нарушается ли единственность решения задачи Кош и. Пример 10. Правая часть уравнения ^ = № . у ) = 3У г ? ах Н е п р е р ы в н а в о в с е й п л о с к о с т и Оху. Производная /' = об р ащ ае тся в б е с к о - (1х 1 _2/з нечность при у — О (ось Ох). Правая часть перевернутого уравнения ^ ~ не определена при у = 0. Ось Ох {у = 0) является особой линией. Условия теоремы Пикара выполняются по отдельности в верхней (у > 0) и нижней {у < 0) полуплоско стях. Через каждую точку этих полуплоскостей проходит единственная интефальная кривая. Функция у = (х + С)^ является общим решением (см. 11.1.2.3) как самого уравнения, так и перевернутого в каждой из указанных полуплоскостей (что прове ряется подстановкой в уравнение). Особым решением может быть только функция у = О, так как /у обращается в бесконечность при у = 0. Очевидно, что функция у = О удовлетворяет уравнению. Задача Коши для точек (хо.О) оси Ох у' = /( » .! /) - у Ы = Уо = о имеет решение у = 0. Для заданного начального условия из общего решения находим также О = (жо + С)^, т. е. С = -Хо- Следовательно, к точке ( х о , 0 ) примыкают слева (х < Хо) и справа (х > Хо) две кубические полупараболы у = (х - Хо)^ (рис. 11.7). Таким образом, в точках решения у = О единственность решения задачи Коши нарушена, и это решение особое. Особое решение у = О не может быть получено из общего ни при каком значении С. Пример 11. Уравнение у' = 2у/у имеет особое решение у = 0 (ось Ох). В полуплос кости у > О выполняются оба условия теоремы Пикара как для самого уравнения, так и для перевернутого. Интефальные кривые общего решения заполняют верхнюю полуплоскость. К каждой точке (жоЛ) особого решения у = О примыкает справа интегральная кривая (полупарабола) у = (х - Хо)^ (х > Хо). Пример 12. Функция у = О является подозрительной на особое решение уравнения у' = Зу^^^ + 1 (см. пример 10). Однако она не удовлетворяет уравнению, и поэтому особых решений нет вообще. Обычно, кривые, подозрительные на особые решения, ищутся среди огиба ющих семейства интефальных кривых общего решения (или общего интефала). О г и б а ю щ е й однопараметрического семейства кривых у = 1р (х, С ) или Ф(ж, 3/, С ) = О называется такая кривая, которая в каждой своей точке имеет касательную, общую только с одной кривой данного семейства, проходящей через эту же точку, т. е. огибающая вся состоит из точек касания (см. так же 14.1.7). Огибающая Я { х , у ) = О семейства кривых (если она существует) находится исключением параметра С из системы двух уравнений у = ф ,С ), ( 11.11) ИЛИ Ф (1 , 2/ ,С ) = 0, = 0, ( 11.11') при условии, что функции у - (р{х, С ) или Ф(а:, у. С ) имеют непрерывные частные производные по х, у, С . Чтобы выяснить, является ли кривая Н {х ,у ) = 0 огибающей, следует проверить равенство угловых коэффициентов касатель ных к огибающей и интегральной кривой в их общих точках. Огибающая семейства кривых общего решения у = (р(х. С ) или общего интефала Ф { х , у , С ) = О уравнения (11.8) или (11.9) в с е г д а является также интефальной кривой (решением) уравнения. В н е к о т о р ы х случаях это реше ние оказывается особым (т. е. в каждой его точке нарушается единственность решения задачи Кош и). Однако, иногда случается так, что огибающая входит в состав семейства кривых и поэтому не является особым решением. Система (11.11) или (11.11') может не определять вообще никакой кривой. В общем случае кривая (называемая д и с к р и м и н а н т н о й к р и в о й ) , получаемая из ( 11.11) или ( И . и ' ) , может оказаться не огибающей, а множеством о с о б ы х т о ч е к (в которых одновременно = О и ф|, = 0) кривых семейства, т. е. не быть особым интефалом. При отсутствии огибающих особые решения отсутствуют. Особые решения могут быть найдены также непосредственно при нахо ждении общего решения уравнения, так как при этом иногда производятся действия, приводящие к нарушению равносильности промежуточных урав нений (например, деление на какое-либо выражение ^{x, у )). В результате могут потеряться решения у = <р{х), при которых ^{х, у ) = 0. Эти решения могут оказаться особыми, если они не входят в общее решение. Отметим, что в отличие от особого решения, частное — единственно при заданных начальных значениях. Пример 13. Уравнение в примере 10 имеет общее решение у = {х + С)^. Система (11.11) здесь принимает вид у = (х + С )\ 3(1 4 - 0 = 0, исключая из которой С, получим дискриминантную кривую у = О, которая является огибающей семейства общего рещения, так как в точках оси Ох угловые коэффици енты касательных к интегральной кривой и огибающей совпадают {у = 0). Пример 14. Для семейства полукубических парабол (у + С)^ = нантной кривой, получаемой из системы (П .П '), имеющей вид (у + С)^ = х\ {х ^ 0) дискрими 2{у + С ) = 0. является прямая х = О (ось Оу), представляющая собой множество особых точек кривых семейства, но не огибающую. Пример 15. Семейство окружностей с центром в начале координат не имеет огибающей. Дискриминантная кривая состоит из единственной точки (0; 0). Пример 16. Семейство окружностей х^ + {у + С У = 1 имеет две огибающие: прямые X = - I, I = I. 11.1.2.2. Неполные уравнения Уравнения вида у' = } ( х ) или у = } ( у ) называются 1. н еп олн ы м и . Для уравнения | = /(х ), (11.12 ) где функция / (х ) непрерывна в интервале -оо ^ решение имеет вид у = У / (х ) Лх + С {а < X а < х < 6 ^ +сю, общее < Ь). Здесь первое слагаемое в правой части представляет собой какую-либо одну первообразную для / (х ). Частное решение уравнения (11.2) с начальным условием у{ха) ~ уо может быть записано в виде X г= у /(х)<гх Уо- Хо пример 17. Для решения задачи Коши (/' = 31^ + 21- 1, !/(0)= 1 находим общее решение у — х^-^х^-х + С. Полагая здесь а: С = 1. Частное решение имеет вид у = х^ + х^ - х + \. О, у = 1, находим Если функция / (х ) непрерывна в интервале (а; 6), кроме точки разрыва X = ^, находящейся внутри или на концах этого интервала, причем / (х ) обращается в бесконечность при х = ^, то уравнение ( 11. 12) рассматривается совместно с «перевернутым» уравнением им ею щ им ( 11.12). рещ ение X = ^ , которое п рисоединяется к реш ен и ям уравнения Пример 18. Праваячастьуравнения й у /й г = 1/а:^ непрерывнапри все»^, кроме ж = 0, при котором она обращается в бесконечность. Для х О имеемрешенку = -1/ж+С. Перевернутое уравнение с1х/с1у = имеет решение 1 = 0, которое присоединяется к решению исходного уравнения. Решение х = О — частное (не а.ч)бое), так как семейство интефальных кривых не имеет огибающей. 2. Если в уравнении 2 = /(г') функция / (у ) непрерывна и / (у ) / О в интервале -о о ^ ^4 < у < В < +оо, то его общий и частный интефал (для начального условия у{хо) = уо) имеют соответственно вид Уо где Уо принадлежит промежутку (Л ; В ) , С — произвольная постоянная. Если /(»/) = О при А < Г) < В , ю уравнение (11.13) имеет решение у = г/. Все интегральные кривые уравнения (11.13) состоят из кривых общего интеграла (11.14) и прямой у — Г). Пример 19. 1) Правая часть уравнения Лу1Лх = у - 1 непрерывна при всех у и обращается в нуль при у ~ — 1. Интефальными кривыми данного уравнения яа1яются кривые а: = 1п |у - 11+ С (у 1) и прямая у = 1. В полуплоскостях у > 1 и у < 1 имеем соответственно интефальные кривые ж = 1п (у - 1) + С и х = 1п(I - у) + С , для которых прямая у = I является асимптотой. При С = О имеем у = 1+ е^ (у > 1) и у = I - е* (у < I). Для начальных условий Ж о = I. У о = 2 частное решение имеет вид у = 1+ . Изоклинами уравнения являются прямые у = соп51. 2) Решением задачи Коши <*!/ 2 ~Г ах = У ' • У - 13 "Р** „ * = ® является функция у = (3 - х) ' ( -0 0 < а; < 3). При а: ^ 3 это решение не су ществует Если 1 - » 3 - 0 , т о у - » +оо; у -» О при X -* -сх>. Интефальными кривыми данного уравнения являются у= - ^ ^ (У ^ ^ ) " И= “ 11.1.2.3. Уравнения с разделенными переменными 1. Уравнение вида Р { х ) (1х + д ( у ) (1у = О, (1115) где множители при йх и йу зависят только от х и только от у соответственно, Называется уравнением с разделенными переменными. Если функции Р ( х ) и ^ { у ) непрерывны и функция у = 1р (х) является решением уравнения то. подставляя ее в уравнение, получим тожаество ( 1 1 . 15) , Р { х ) Лх + ^(^р{x))(р'(х ) йх = О, интегрируя которое, найдем У Р ( х ) Лх + ^ д { 1р (х))(р'{х) ах = С. Осуществляя во втором интефале замену переменной у = ^ (х ), находим, что общий интеграл уравнения (11.15) имеет вид: У Р ( х ) й х + У Я ( у ) й у = С, (11.16) где знак неопределенного интеграла означает какую-либо одну первообраз ную. Частный интефал при начальных значениях Хо, уо может быть найден либо из (11.16), либо по формуле I ! У Р ( х ) й х + У С?(г/) = 0. (11.17) Хо Пример 20. Для уравнения 1+ 1^ I+ общий интеграл имеет вид 1п (1 + 1^) - 1п (1 + у^) = С, или |^ = е^. Для начальных данных хо = О, уо = I из общего интефала находим С = - 1п 2. Част ный интефал: 2(1 -1-1^)-у^ - 1= 0. Этот интефал получается также из формулы (11.17). 2. Уравнение с разделяющимися переменными / (х )е (у ) ах + / ,(х )е ,(у ) ау = о, ( 11. 18) в котором все четыре функции непрерывны, приводится к виду (11.15) деле нием на § (у )/ ,(х ): А (^) е(у) Общий интефал этого уравнения При этом предполагается, что /|(х ) ф О, ^(у) 51^ 0. В результате деления может произойти потеря решений вида х = | , у = )?, где числа — решения уравнений ^ ( х ) = О, § (у) = 0. Такие решения могут быть либо частными, либо особыми. В точках пересечения прямых х = ( , у = Г) уравнение (11.18) не определено, и поэтому такие точки исключаются из решений. Пример 21. Разделив уравнение 1(1 - у^) Лх + у(\ - х^)<1у = О на (1 - 1^)(1 - у^), получим хйх ^ уЛу ^ ^ 1- 1- Общий интеграл этого уравнения: - ^ 1п |1- * ^ 51п |1-у^| = - 1пС, ( 1) |(1 - * ^ )(1 - у ^ )|= С ^ (2) ИЛИ При делении могли утеряться дополнительные решения х = \,х = - \ , у = 1,у = -1. Непосредственная проверка показывает, что все эти четыре функции являются реше ниями уравнения. При этом из решений следует исключить четыре точки пересечения соответствующих четырех прямых. Дополнительные решения здесь являются частны ми (не особыми), так как содержатся в общем интефале (2) при С = 0. Отметим, что после освобождения в интефале ( 1) от логарифмов, получается интефал (2), в котором значения х = ± 1, у = ±1 уже являются допустимыми. Пример 22. Разделяя в уравнении йу/йг = 2у/х (г^ О ) переменные, получим йу/у = 2йх/1. П о формуле (11.19) находим 1п |у| = 2 1п |х| -И1п |С|. Огсюда у = Сх^ (х Ф 0). При С = 0 получаем решение у = 0 (х ф 0 ). «Перевернутое» уравнение йх/йу = х/(2у) (у ф 0) имеет, кроме того, решение х = О {у фО). Интефальные кривые исходного уравнения: полупараболы у = Сх^ {х Ф 0); две полуоси оси Ох (у = й, х ф 0); две полуоси оси Оу {х = 0, у ф 0), примыкающие к особой точке 0(0; 0), в которой поле направлений не определено. Нахождение всех решений упрощается, если исходное уравнение записать в виде 2уЛх - хду = 0. При делении на х у происходит потеря решений X = О, у = О с исключенной точкой (0; 0). 11.1.2.4. О днородны е уравнения 1. Функц ия / (х , у) называется однородной функцией степени п, если ПЬх,1у) = еПх.у), ( 11.20) где I — произвольный параметр. Если п = 0,т.е. /(<х, 1у) = / (х , у ), то /(х , у) называется однородной функцией нулевой степени (или просто однородной). Любая однородная функция может быть записана в виде } ( х , у ) — (р{у/х), так как, полагая I = 1/х, получим /(х , у ) = }(1 х,1 у) = / (1 ,у / х ) = <р{у/х). й2Х + &зУ Пример 23. Для функции /(х, у) = ----- — имеем а|Х + 0|У т. е. /(х, у) — однородная функция. Ее можно записать в виде а 2 + Ь21 (х ,у) = ----- 02 + Ь^и 0| + 6|2. Уравнение у' = } ( х , у ) называется однородным относительно х и з/, если / (х , у) — однородная функция (нулевой степени). Однородное уравне ние можно записать в виде ( 11. 21) Изоклинами уравнения (1 1.21) являются лучи у = кх (х ^ 0), так как вдоль каждого луча (А = соп81) направление поля, задаваемого этим уравнением, неизменно: 18 а = ^ (к ) = соп81, где !§ а — угловой коэффициент касательной к интефальной кривой. Интегральные кривые пересекают луч у = кх под одинаковыми углами. Все интегральные кривые уравнения (11.21) могут быть получены из какой-либо одной интегральной кривой (не являющейся прямой) посредством преобразования подобия х, = ах, у] = ау (а > 0) с центром подобия в начале координат. Уравнение Р { х , у ) а х + д (х ,у )(1 у = 0, (11.22) в котором Р ( х , у ) и ^ ^ x ,у ) — однородные функции одинаковой степени, также является однородным, так как отношение Р / ^ — однородная функция нулевой степени. Предполагается, что Р и ^ — непрерывные в некоторой области функции, не обращающиеся там одновременно в нуль. Точка (хо, уо), в которой Р и ^ одновременно равны нулю, называется особой точкой урав нения (11.22). В этой точке поле направлений уравнения у' = - Р / д = (р{у/х) не определено. Уравнение (11.21) приводится к уравнению с разделяющимися перемен ными при помощи подстановки у — х ■и {х ), где и(х) — новая неизвестная функция. Подставляя (1у йи Т~ = Лх йх “ в уравнение ( 11.21), получим х й и + [ и - ^(и)1 йх = О, Разделяя переменные, найдем (1 и йх + — =0 ( х ф й , и - <р(и) ф 0). Интегрируя, получим общий интефал уравнения ( И . 21): 1 - (г )+ ,п |,|.С . = ,11,23) Кроме того, следует рассмотреть уравнения 1 ) х = 0, 2 ) и - ( р ( и ) = 0. (11.24) Если функция I г О удовлетворяет перевернутому уравнению (1х 1 Й!/ <р(у/х)’ то решение х = О {у ^ 0) (которое может оказаться особым) следует при соединить к общему интефалу (11.23). Если второе уравнение (11.24) имеет решение и = т ( т — постоянная), то у = т ■х (х # 0) будет решением (возможно, особым) уравнения (11.21). Если ^ (и ) = и, то уравнение (11.21) примет вид йу/йх = у/х. Решения этого уравнения: у = С х (г / 0); а; = О (у ^ 0); особых решений нет. Точка (0; 0) — особая. Пример 24. Применяя в однородном уравнении (у + х)у Лх - х^Лу = О подстановку У = х-и (Лу = иЛх + х Ли), приведем его к виду Лх —х^Ли = 0. Разделяя пеЛх Ли ременные (при условии х ^ О, и ф 0), получим уравнение------ Г “ общий X и интеграл которого 1п |а:| + х !у = С. Кроме того, решениями исходного уравнения являются также х = 0 {у ^ 0), у = 0 (х ф Ч). Точка (0;0) — особая. Пример 25. Уравнение у = ' У = и ^ — однородное. Используя подстановку у = хи, I I + х и , приведем его к уравнению х и = и + и’ ~ л п / / п г , и л и ---------г Ли = О ( х ф \ - и ^ X и + и^ ф 0), общий интефал которого —(х1 + 1) = С, или и + и^ + у^ —С у = 0. Это — уравнение семейства окружностей с центрами на оси Оу и примыкающих к особой точке (0;0) вдоль оси Ох. Исходное уравнение имеет также решение у = О {х ф 0); Функция X = О не является решением. 3. Уравнение / « 2Х + »2^ Х (,1 2 5 ) < 1х \ а , x + Ь^у + с^^ приводится к однородному или к уравнению с разделяющимися переменны ми. Переходя от переменных х , у к новым переменным и ,V : X = и + а, у = ь + ^, где о, /3 — числа, которые находятся из системы можно привести уравнение (11.25) к однородному (IV / а 2и + Ь2V \ < 1и \ а 1а + 6| » / ' Если 0 |б2 = <*2^1 >то, вводя вместо у переменную ю {х) — агх + Ьгу, получим уравнение с разделяющимися переменными. Пример 26. Найдем общий интсфал уравнения у = ^ ^ ^ X — У ~ 2 Решение- Полагая здесь х = « + а , у = V йх = Ли, йу = Ль и находя из системы а - ^ - 2 = 0, а + ^9-4 = 0 значения а = 3, /5 = 1, получим уравнение и+V Ли и — V Это однородное уравнение удобнее интегрировать не стандартной подстановкой ь = и-г{и}, а переходя на плоскости Оиь к полярным координатам и = рсоар, V = р &т 1р, Ли = со5 (р Лр —р$1П(р Л<р, Лх) — 81П (р Лр-\- рсо5 <р<1<р. Уравнение принима ет вид Лр = рЛ(р, или Лр!р = Л<р, откуда р = С е^. Это — семейство логарифмических спиралей, примыкающих к осо^й точке (0; 0) и обходящих ее бесконечно много раз в одном направлении при (р ±оо (см. пример 43). Возвращаясь к переменным х, у, получим общий интефал 0 * - З И + ( у - 1)^ = С-ехр< где ехр {<} = е‘. 4. [> Уравнение вида (11.22) называется обобщенным однородным, если при помощи подстановки у = и ° , йи = а и °‘~ Ли со специально подобранным показателем а оно приводится к однородному относительно ж и « (х ). 1 1 .1 .2 .5 . Л и н е й н ы е у р а в н е н и я п е р в о го п о р я д к а и приводящ иеся к ним 1. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида Лу — + р {х )у = д{х), (11.26) где р {х ) и д(х) — известные функции, непрерывные в интервале (о; 6), конеч ном или бесконечном. Если д(х) = О (д(х) ^ 0), то уравнение (11.26) называ ется однородным (неоднородным) относительно у и у' (не следует смешивать с уравнением, однородным относительно х и у). Согласно теореме Пикара уравнение (11.26) имеет единственное частное рещение, удовлетворяющее начальному условию у{хо) = уо, где Хо принадлежит (а; Ь). Однородное урав нение всегда имеет нулевое рещение у = 0. 2. Разделяя переменные в однородном уравнении у + р {х )у = О, получим — + р {х ) йх = 0. Интефируя, найдем общее решение 1п|у| + У р (х )й х = С\, или 2/ = С - е х р | - У р(х)</х| {С = ±е^‘). Неопределенный интеграл означает здесь одну из первообразных. Решение у = О содержится в обшем. Если задано начальное условие у{хо) = уа, то частное решение у = Уп- ехр Пример 27. Разделяя переменные в уравнении у' - ху = О, получим У Отсюда 1п |у| - у = С |; т. е. |у| = Общее решение: у = С-е' где С = ±е‘' ’ . При начальном условии у{0) = I имеем С = 1, т. е. у = е* 3. М е т о д ы и н т е г р и р о в а н и я н е о д н о р о д н ы х у р а в н е н и й . Если известно какоелибо одно частное решение у — у\{х) неоднородного уравнения (11.26), то его общее решение равно сумме у = у Л х ) + г {х ), г { х ) = С е х р 1 ^ - ^ р {х )а х ^ , (И .27) где г (х ) — общее решение соответствующего однородного уравнения г + р (х )г = 0 . Постоянная С может быть найдена из начального условия у{хо) = Уо- Если известны два частных решения ух{х) и уз(х) неоднородного уравнения, Не пропорциональные между собой, то его общее решение имеет вид У = У 1 + С {У 2 - У , ). Пример 28. Найти общее решение уравнения у' - ху = х. .Решемир Неоднородное уравнение имеет частное решение у, = -1. Общее решение однородного уравнения; г = Се” (см. пример 27). Общее решениенеоднородного уравнения: у = -1 + Се* . Для начального условия у(0) = 1 имеем 1 = - 1+ С , т. е. С = 2 и у = -1 + 2е*''^ > Метод подстановки. Запишем неизвестную функцию в виде у = и{х)-ь{х), отсюда у = и'в + ии'. Уравнение (11.26) примет вид Vи + « (« ' + рV) = д. Рас сматривая V как вспомогательную функцию, выберем ее так, чтобы она удо влетворяла уравнению «' + рт = О, откуда V= С ехр Подставляя V в уравнение ьи = д, получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим и {х). Окончательно общее решение урав нения (11.26) запишется в виде у = ехр ( 11.2 8 ) Здесь символы интефирования означают какую-либо одну соответствующую первообразную; ехр {<} = е‘ . Постоянная С\ может быть найдена из началь ного условия у (го) = !/оМетод вариащ1и произвольной постоянной (метод Лагранжа). Решение не однородного уравнения (11.26) ищем в виде у = С (х ) •ехр - ! Р {x )(^ x У где С (х ) — неизвестная, непрерывно дифференцируемая функция. Подстав ляя выражение у и ^ Лх ^ с1С{х) ехр { - йх Р (х ) 1 - С {х )р {х ) ехр I - р (х ) Лх | в (1 1.26), получим уравнение внение для С(х)\ С (х ) \ С (х ) = д(х) •ехр имеющее решение С {х ) = I д(х) ■ехр р (х ) Лх ^й х + С\. С учетом выражения С {х ) получим общее решение в виде (11.28). Пример 29. Найти общее решение уравнения у' — 2у = с*. Решение. Общее рещение однородного уравнения; у = С е ^ . Общее решение неодно родного уравнения ищем в виде у = С(х)с^*. Подставляя у и у' = (У(х)е^^ + 2С{х)е^^ в исходное уравнение, получим С'(ж)е^* = е*, или С '{х) = е~^. Отсюда С(ж) = С| -е'*Общее решение исходного уравнения; у — (С\ —е~^)е^ = —е*. Для начального условия у(0) — 1 имеем С| = 2 и у = —е*. О 4. Уравнением Бернулли называегся уравнение вида у' + р (х )у = д {х)у” ' ( т / О, т # I). (11.29) Разделив обе части (11.29) на у"" и вводя новую неизвестную функцию «(х ): и = у '~ ” ‘ , и = ( \ - т ) у ' ”'у , приведем уравнение к линейному виду и' + ( I - тп)р{х)и = (1 - т )д {х ). Из общего решения и (х ) этого уравнения находится общее рещение уравне ния (11.29): I У = и . Если т > О, то уравнение (11.29) имеет также решение у = О, являющееся особым при О < т < 1. Пример 30. Для уравнения Бернулли у' - 2ху = —(I + 2х‘)у^ ( т = 2) решение У = 0 — частное, особых решений нет. Обозначая и = 1/у или у = 1/«, у = получим линейное уравнение и + 2*и = I + 2ж^, которое имеет частное решение И] = X. Общее решение соответствующего однородного уравнения: Общее решение неоднородного линейного уравнения: и = х+Се~^ исходного уравнения: г = . Общее решение 2, = 1 = 1 : [ * + Се-‘ Ч 5. У равнение Р и кка ти г/'= о(х)г/^ + б(х)г/+ с(х) ( п .з о ) в общем случае не интегрируется в квадратурах. Если известно одно его част ное решение У 1(х ), то подстановкой у = У 1(х ) + 1/ « (х ) оно приводится к линейному относительно и (х ) уравнению. При с(х) = О уравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли. 1 1-1.2.6. Уравнение в полных дифференциалах I. Если левая часть уравнения Р (х ,у )А х + д (х ,у )а у = 0 (11.31) является полным дифференциалом некоторой однозначной функции Р (х , у ), Т е., если Р й x + ^ Л у = й Р , = Р, = (3, то уравнение (11.31) называется у р а в н е н и е м в п о л н ы х д и ф ф е р е н ц и а л а х . При этом (11.31) можно записать в виде Л Р { х , у ) = О, откуда находим его общий интефал Р ( х . у ) = С , а решениями являю тся дифференцируемые функции у = (р(х), для которых Р{х, <р(х)) = с. Пример 31. Уравнение хйх + уЛу = й является уравнением в полных дифференци алах, так как I йг + у йу = + у ') . Его общий интефал: начального условия у(1) = I имеем С = I , частный интеграл: + у^) = С. Для + у^ = 2. Если в уравнении (11.31) функции Р , ^ м их частные производные определены и непрерывны в некоторой односвязной области О на плоскости О х у, то это уравнение является уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда всюду в О выполняется тождество (см. также 8.9.1) Т ду (Ч-32) дх Общий интефал уравнения (11.31) может быть найден по формуле (см. 8.9.1): X у Р (х ,у ) = ^ Р {х ,у о )а х ^ ^ ^ {x ,у )(^ у ^ с , Хо (11.33) Уо где (хо1Уо) — какая-либо точка в области В . При решении конкретных задач можно не пользоваты:я формулой (11.33), а проводить промежуточные вычисления, применяя неопределенные интефалы вместо определенных. Пример 32. Уравнение (З г + 2у) <1х + (2х —у)(1у = ^ является уравнениемвполных дифференциалах, так как Р'у = 2. = 2 \\Ру = Полагая хо = 0. уо= О в формуле (11.33), получим общий интефал г у ^ Зх(^х + ^ { 2 x ~ у ) ау = С, о о или + 2ху - ^-у- =с. Решим задачу, не применяя формулы (11.33). Найдем функцию Р {х ,у ) такую, что = Зх + 2у, Ру = 2х —у. \\з первого уравнения получим Р = У (3 1 + 2у) Лх + (р(у) = ^ Отсюда + 2ху + у>(ж). = 2х + ^'(у) = 2* - у, т е. >р'(у) = -у и !р(у) = - у + С |. Следовательно, Е = ^ 1 ^+ 2ху-^-у^ + С^. Полагая здесь С, = О, запишем общий интефал Р(х , у) = С. Для начального условия у = О при 1 = 0 находим С = О, т. е. через начало координат проходит интефальная кривая Зх^ + 4ху - у^ = 0. 2. Если условие (11.32) не выполнено, то уравнение (11.31) не является уравнением в полных дифференциалах. Если удается подобрать функцию )1 = ц{х, у) такую, что выражение /лР Лх + Лу становится полным диффе ренциалом некоторой функции Р\{х, у ), то функция д(х, у) называется инте грирующим множителем уравнения (11.31), а его общим интегралом является Р\(х, у ) = с . Для любого уравнения вида (11.31) существует интегрирующий множитель, однако его не всегда легко найти. Интефируюшие множители удовлетворяют дифференциальному уравнению д {ц Р ) д Ш (д Р Однако, фактически, нахождение )1 {х, у ) из этого уравнения может оказаться более сложной задачей, чем интегрирование уравнения (11.31). Пример 3 3. Уравнение (у - е*) Лх + Лу = О не является уравнением в полных диф ференциалах, так как условие (11.32) не выполнено. Умножая его на /и = е‘ , получим уравнение в полных дифференциалах (е*у-е^*) йх-Не* йу = О, или й(е*у- - е ^ ) = 0. Общий интефал этого уравнения; е*у - ]-е^‘ = С. Общее рещение исходного уравне ния: у = 1е'-ЬС е-'. 1 1 .1 .2 .7 . У р а в н е н и я , н е р а з р е ш е н н ы е о т н о с и т е л ь н о п р о и з в о д н о й 1. Если уравнение Р ( 1 ,у,а/') = 0 (11.34) может быть разрешено относительно производной у , то в общем случае получится п различных нормальных дифференциальных уравнений первого порядка У = 1 М ,у )\ у ' = М х , у У, у' = и ( х ,у )(И-35) Уравнение (11.34) определяет в каждой точке (хо,уо), вообще говоря, несколько направлений у'о поля, получаемых из уравнения ^ ' ( г о , Уа, Уо) = ОПример 34. 1) Уравнение (у')^ - 1 = О в каждой точке («о. !/о) определяет два направления поля: Уо = 1, Уо = -1- Интефальными кривыми являются прямые у = х + С и у — -X + С. 2) Уравнение (у')^ -1-1=0 вообще не имеет решения (действительного). Если число решений у = у (х ) уравнения (11.34), каждое из которых является дифференцируемой функцией и удовлетворяет начальному условию У(хо)= уо, не превышает числа направлений у'о поля в точке (х о ,2/о)> то говорят, что соответствующая задача Кош и имеет единственное решение. Частным (особым) решением уравнения (1 1.34) называется такое его решение, в любой точке которого единственность решения задачи Кош и выполняется (нарушается). Если функция Р ( х , у , у ) непрерывно дифференцируема по всем трем переменным в некоторой окрестности точки (хо,Рп.р'о), где уо — одно из направлений поля уравнения (11.34) и частная производная д Р /д у Ф О в этой точке, то уравнение (11.34) имеет единственное решение у (х ) такое, что у(ха) = уо и 2/'(1о) = р'оОсобые решения уравнения (11.34) ищутся среди дискриминантных кри вых этого уравнения, получающихся при исключении р' из системы Е ( х , у , у ' ) = (^, дР — = 0. При этом следует проверить, удовлетворяет ли полученная кривая уравнению и является ли решение особым. Прим ер 35. Для уравнения Р(х , у, у ) = (у У - 4х^ = О дискриминантная кривая есть ось Оу {х = 0), которая находится исключением у' из системы Р { х , у . у ) = О, дР18у' = 2у = 0. Дискриминантная кривая здесь не является интефальной кривой, так как во всех ее точках направление поля {у = 0) не совпадает с направлением касательной {у' = ос) к ней. 2. Интефирование уравнения (11.34) сводится к интефированию п урав нений (11.35). Если Ф ( ( х , у , С ) = 0 (I = 1 , . . . , п ) — обшие интефалы этих уравнений, то общим интефалом уравнения (11.34) называется выражение, полученное перемножением этих интефалов: Ф (х ,у , С ) = Ф > (х ,у ,С )Ф 2( х , у , С ) ■■■Ф „ ( х , у , С ) = 0. (11.36) Если разрешить (11.36) относительно у, то получится решение уравнения (11.34). Если известны общие решения у = <р{{х,С), то Ф { { х , у , С ) = у - ^р^(x,С). При этом необходимо проверить, нельзя ли из отдельных отрезков интефальных кривых у = ^ ,(х . С ) построить еще и другие решения, которые должны быть дифференцируемыми функциями. Если существует огибающая семейства интефальных кривых уравнения (1 1.34), то она всегда является его особым решением. Пример 36. Разрешая относительно у уравнение в примере 34, получим два урав нения; у = 21, у = -2ж, решениями которых являются параболы у = I* + С, у = -х^ + С. Обший интефал исходного уравнения: (у - С)^ - х ' = 0. Интефальными кривыми исходного уравнения являются эти параболы, а также дифференцируемые кривые, составленные из отрезков парабол. 3. Рассмотрим уравнение Если Я (х , у ) = - ^ > О в некоторой области на плоскости О х у, то, раз решая (11.37), получим два уравнения у' = - Р { х , у ) ± у / я {х , у), интегрируя которые, найдем общий интеграл уравнения (11,37). Особые ре шения уравнения (11.37) могут находится только среди дискриминантных кривых й (х , у) = 0. 4. Некоторые частные случаи а) Неполное уравнения Р { у ') = О имеет общий интеграл = О, если только уравнение Р {р ) = О имеет действительные корни. Если Р{р о ) = О, I У ~ С то, интегрируя уравнение у = ро, получим у = рцх + С . Отсюда ро = ----- . X В силу Р(ро) = О получаем вышеприведенный общий интеграл. Пример 37. Общим интефалом уравнения (у'У — 1 — О является у-с — 1= 0, т.е. 2----: X б) Решение уравнения у = (р {у) ищется в параметрической форме. П о лагая у' = р , запишем уравнение в виде у = ^ (р ). Выразим также х через р. Из — = р следует <1х = — = ах Р йр. Интегрируя, получим Р шЧп) (1р + С = 'ф (х ,С ). Р Уравнения х = ф(х. С ), у = (р{р) дают общее решение исходного уравнения в параметрической форме. Исключая, если возможно, из этих уравнений параметр р, получим общий интеграл Ф (г , у , С ) = 0. I в) Аналогично интефируется уравнение х = >р{у), если положить у' = р, <^У = у' (1х = р (1х = рч>'(р) Лр'. X = У(Р)> У= У Пример 38. Для уравнения у = (у^)^ - (у 'У , предполагая, что у = р ^ 0. имеем У = 1р{р) = - р^, ^ (1р + С = ^{Зр-2)(^р-^-С = -р^ ~2р-\-С. Общее решение в параметрической форме: х = ~р^ ~2р + С, у = -р^. Если р = О (у’ =0), то получим решение у = С , удовлетворяющее уравнению только при С = 0. г) Пусть дано неполное уравнение Р (х , у ') = О (или Р { у , у ') = 0). Если из этого уравнения удается выразить х (или соответственно у ), а также р = у через некоторый параметр I , то общее решение уравнения может быть получено в параметрической форме. Пример 39. Дано уравнение у = Полагая р — у = зЬ Л, найдем у = л /Г+ зй Ч = сЬ I. Далее Лу ^ Лу ( Ф 1)'<и — = р, Лх = — = — —— =(й. Лх р $Н< отсюда х = 1+ С. Обшее решение имеет вид х = 1 + С . у = с Ы . Исключая I. получим у = сН ( х - С ) . д) У р а в н е н и е Л а г р а н ж а у = 1р (у')х + 1 р (у ) (11.38) интефируется в параметрическом виде. Предполагая, что 1р {у ') = у' и обозначая у' = р (т. е., принимая у за параметр), запишем (11.38) в виде у = (р(р)х+ 1р{р). Отсюда, взяв дифференциал от обеих частей, получим уравнение с1(р < 1^ , <р{р) Лх + X — йр + — йр = у йх = р Л х ар ар с неизвестной функцией х от аргумента р. Предполагая, что ^ (р ) - р Ф й, запишем уравнение в виде ^ (1р р - 1^ {р) У ''( р ) р - 1р(р) ■ Общий интефал этого линейного уравнения имеет вид I = /](р ) •С + ^|{р). Подставляя полученное выражение для х в равенство у = <р(р)х + ^ {р ), найдем некоторое соотношение у = / 2(р) ■С + ^2{р), которое совместно с найденным общим интефалом даст общее решение уравнения (11.38) в па раметрической форме. Исключая р из выражений для х н у , найдем общий интефал уравнения Лафанжа. Если уравнение р - 1р {р) — О имеет действи тельные корни р = (« = I, 2 , . . . . га), то они дадут решения у = + ^(р^) (прямые линии), которые могут быть особыми. е) Уравнение Клеро у = ху' + ф {у ) является частным случаем уравнения Лафанжа, когда <р{у') = у'- Для интефирования уравнения Клеро обозначим у = р, тогда Д и ф ф ерен ц и руя (11.39) по I , найдем йр (1ф {р)с 1р йр = Р. д.х ах1>{ру 4р = 0. Получим два уравнения: р '(х ) = О, х + ^’ (р) = 0. Решение первого из них р = С ; с учетом этого из (11.39) получается общее решение уравнения Клеро у = х С + ф {С ), (11.40) представляюшее собой семейство прямых линий. Второе из этих уравнений совместно с (11.39) также дает решение уравнения Клеро в параметрической форме х = -ф '{р ), у = - р 1р'(р) + ф(р). (11-41) которое обычно является особым и во многих случаях представляет собой огибающую семейства (11.40). Исключая р из (11.41), получим особый интефал. Пример 40. Дано уравнение Клеро у = ху - 1/у'. Здесь ф(р) = -1/р. ^'(Р) = 1/Р^Общее решение: у = хС - \1С. Исключая р из уравнений х = -1/р^ у = -2/р, получим интеграл (параболу) у^ = -4х, являющийся особым, так как представляет собой огибающую семейства прямых общего решения (рис. 11.8). Огибающая может быть найдена также исключением С из системы: у =^С-1 ; 0= х + ^ . 5. Изогональные траектории. Углом 1р между двумя кривыми называется угол между касательными к ним в точке их пересечения. Изогональными (в частности, ортогональными, т. е. >р = тг/2) траекториями однопараметриче ского семейства кривых Ф (г , у , С ) = О называется другое семейство кривых, каждая из которых пересекает любую кривую данного семейства под одним и тем же заданным углом ^ (см. также 14.1.9). Дифференциальное уравнение Р { х , у , у ') = 0 (11.42) семейства кривых Ф {х , у ,С ) = 0 находится исключением параметра С из си стемы (см. 11.1.1.1): Ф = О, + Ф'уу' = 0. Дифференциальное уравнение семей ства изогональных траекторий для данного семейства кривых Ф (х, у , С ) = О находится исключением у' из уравнения у\ - у' ' + у\у' где угол ^ отсчитывается от кривой Ф(а;, у, С ) = 0 до искомой кривой у = У )(х ), и уравнения (11.42). В результате получается дифференциальное уравнение с неизвестной функцией У 1(х ). Для нахождения уравнения ортого нальных траекторий надо в уравнении (11.42) заменить у и у' соответственно на У 1 и - 1/г/ь т.е. Р ( х , у и - У у [ ) = 0. Пример 41. Найти ортогональные траектории семейства у = + С (см. пример 4). Решение. Дифференциальное уравнение этх)го семейства: у =2х. Заменив у* на —1/У|получим у\ = {х ф 0). Общее решение этого уравнения у; = -^1п|х| + С 1 дает искомое семейство ортогональных траекторий, к которым следует присоединить функцию X = О (ось Оу), являющуюся решением «перевернутого» уравнения. 1> 1 1 .1 .2 .8 . О с о б ы е т о ч к и д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й п е р в о го п о р я д ка Если правая часть уравнения у’ = / (х , у ) непрерывна вместе с частной про изводной /^(х, у) в точке (хо, Уо) и некоторой ее окрестности, то согласно теореме Пикара через эту точку проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения. Если в некоторой точке (хо, Уо) функция / (х , у) разрывна и (или) не существует производная / у (х ,у ), то такая точка может оказаться (изолированной) особой точкой, (см. 11. 1.2.1), в которой не выполняется утверждение теоремы Пикара. Однако такие точки не обязательно должны быть особыми, так как условия теоремы Пикара являются только достаточ ными, но не необходимыми. Особыми точками уравнения <^У Р (х ,у ) . где Р (х , у) и ^ (x , у ) — однозначные, непрерывно дифференцируемые всюду в плоскости О х у функции, называются такие точки, в которых одновременно выполняются равенства Р ( х , у ) = О, ^ { x , у ) = 0. В таких точках поле направлений не определено и уравнение (11.43) не имеет смысла. Если в некоторой точке {хо, уо) выполняются условия Р (х о , уо) 7^ 0, ^(xо, Уп) = О, то, рассматривая уравнение (11.43) совместно с «перевернутым* уравнением (см. 11.1.2. 1), можно утверждать, что эта точка является обыкновенной. Классификация особых точек однородного уравнения (1у а^ х + Ь^у Лх а 1Х + Ь1у ' (11.44) где 0|, Ь|, 02, 62 — постоянные и 0162-0261 ^ 0 . Уравнение (11.44) всегда рас сматривается совместно с «перевернутым» уравнением (см. 11.1.2.1). Точка (0; 0) является единственной (изолированной) особой точкой уравнения (11.44). Уравнению ( И .44) соответствует однородная линейная система двух урав нений с неизвестными функциями х { 1) и у { 1): ^ = 0 ,1 -1- 6,у, ^ = й 2Х + Ь2У, (11.45) имеющая в отличие от уравнения (11.44) нулевое решение (точку покоя) 1 = 0, 9 = 0 (наряду с прочими решениями). Переходя к новым переменным X* = т ^ х + щ у , у ' = гп2х + пгу ( т , П 2 - ТП2П1 # 0), (11.46) уравнение (11.44) можно привести к простейшим формам, удобным для иссле дования, которым соответствуют канонические формы системы (11.45). Вид простейших форм уравнения (11.44) и специфика поведения его интегральных кривых в окрестности особых точек полностью определяются характеристи ческими числами, т. е. корнями Г \, Г2 характеристического уравнения 0| - г Ь^ 02 &2 - г = - (о | + + (0 162 - 0 26 1) = о, ( 1 1- 47 ) Которое не может иметь корня г = 0. Для уравнения (11.44) возможны только приведенные ниже типы особых точек. 1.Если корни Г ], Г 2 — действительные или комплексные и не равны друг другу (г|^ г 2), то преобразованиемвида (11.46), в котором коэффициенты т | , П |, Ш 2, П2 находятся из систем Г (0 1 - г ,)т , + 02П1 = 0, 1 Ь/ТП, + (/>2 - Г |)П | = 0 ; Г ( а , - Г 2 > т 2 + О 2 П 2 = О, 1 Ь|Т7г2 + (62 - Г 2>П2 = О, уравнение (11.44) приводится к форме ^ = ах* Г] х ‘ (11.48) Здесь возможны следующие четыре случая: 1а) Корни Г | ,Г 2 — действительные, различные и одного знака. Если Г| > О, Г2 > О, то, не теряя общности, можно принять Г2 > Г] > 0; а если Г| < О, Г2 < О, то Г2 < Г|. Интегральными кривыми уравнения (11.48), рассматриваемого совместно с перевернутым ЙХ* Г|Х* йу* Г 2У* на плоскости О х 'у ', являются г/'= С |х ’ р ''’' ' ( X V 0); х * = 0 (г^‘ / 0). (и .49) Такая особая точка называется обыкновенным узлом. Интегральные кривые примыкают к особой точке (0; 0) и все, кроме двух лучей х* = О (у ' ^ 0), касаются в этой точке оси Ох*. На плоскости О х у качественная картина расположения интегральных кривых в окрестности особой точки (0; 0) будет аналогичной. Пример 42. Для уравнения у' — 2 у /х имеем характеристическое уравнение ( I - г ) ( 2 - г ) = 0, г, = 1, Г2 = 2, Разделяя переменные, находим интефальные кривые: у = Сх^ (ж ^ 0) и х = О (у ^ 0) (рис. И.9). 16) Корни Г ], Г2 — действительные, различные и разных знаков. Из (1 1.49) следует, чтона плоскости О х 'у ' к особой точке (0;0), называемой в этом случае седлом,примыкают только четыре интефальные кривые (это полуоси Ох* и О у ‘ ): у ' = 0 (х* / 0) (С = 0); X* = О {у ‘ ф 0), называемые сепаратрисами седла. Между сепаратрисами располагаются осталь ные интефальные кривые (С / 0), похожие на гиперболы и не примыка ющие к особой точке. На плоскости О х у сепаратрисами являются лучи Г71|Х + П\у = О, ГП2Х + П2У = О, выходяшие из особой точки (0:0), между которыми находятся интефальные кривые, имеющие вид гипербол. Пример 43. Для уравнения у = —у1х имеем Г] = -1, г, = 1. Интефальные кривые: = с/х [х ф 0 ), X = О (у ф 0). Сепаратрисами являются четыре полуоси осей Ох и Оу (рис. 11.10). У 1в) Корни Г|, Г2 — комплексно сопряженные: Г\ = а + /З», Г 2 = а (а ф а , Р ф 0). В уравнении (11.48) переменные х ’, у* будут комплексными. В формулах (11.46) коэффициенты можно выбрать так, что т г = т \ , П 2 = П\, где черта означает комплексное сопряжение, т. е. У = х " . Вводя новые (действительные) перемен ные и, V по формулам х ’ = и + I V , у ' = и — I V , приведем уравнение (11.48) к виду (см. 8.2.11): а » Ли + /Зи (11.50) а и - 13у ’ интефальными кривыми которого на плоскости Оиу являются логарифмические спирали, примыкающие к особой точке (0; 0), называемой в этом случае ф о к у с о м . На плоскости О х у расположение интефальных кривых вблизи особой точки (0; 0) будет качественно аналогичным. Пример 44. у' = Рис. 11.11 - (см. также пример 26). Характеристические числа: г, = 1+ 1, ^2 = I — г. Интегральные кривые: семейство логарифмических спиралей р = Се^ (рис. 11.11), асимптотически приближающихся к точке (0;0), так как р О при <р - 00, не имея при этом определенного направления. Здесь р м координаты на плоскости Оху. — полярные 1г) Корни Г|, Г2 — чисто мнимые: г, = Рг, Г 2 = -/Зг (/3 Ф 0). Уравнение (11.50) при а = О принимает вид (IV _ и йи V' Интефальными кривыми являются окружности у } + = |С|^ на плоскости Оию с центром в особой точке (0 ;0 ), называемой в этом случае центром (см. пример 6 и рис. 11,6). На плоскости О х у интефальными кривыми будут подобные эллипсы или окружности с центром в особой точке (0; 0). 2. Уравнение (11.47) имеет кратный корень г, = гг / 0. Здесь возможны следующие два случая: 2а) Коэффициенты Ь, = 02 = О, 0 | = &2 и Г| = Г2 = а , , т. е. уравнение ( 11.44) имеет вид (1у 6.x X Интефальными кривыми являются лучи (см. пример 8) у = С х (х ф О )\ х = И ( у ф 0), примыкающие к особой точке (0; 0), называемой дикритическим узлом, в ко тором каждая интефальная кривая имеет свое направление касательной, в от личие от обыкновенного узла. I * Ь2 ~ а\ 26) Корни Г| = Г2 = -(а|-|-Ь2). При помощи замены х = 02И --- -— у, у ' = у («2 Ф 0) уравнение (11.44) приводится к виду Лу' _ х ’ -Ь г,у* Й1* Г|Х* Интефальными кривыми на плоскости О х 'у " являются у* = х '^ С - Н ^ 1п |1 *|^ I* = О ( х * / 0), (у* ф 0). Все эти кривые примыкают к особой точке (0;0), называемой вырожденным узлом, касаясь в этой точке одной и той же прямой х* = О (ось О у*). Анало гично расположены интефальные кривые на плоскости О х у в окрестности особой точки (0; 0). Пример 45. у X +у . Здесь Г1 = Г2 = 1. Данное однородное уравнение интегриру ется при помощи подстановки у = х-и(х) (см. I I . 1.2.4). Получим уравнение и' = 1/х, имеющее общее решение и = 1п |х| + С (г ^ 0), к которому присоединяется решение ж = О {у ф а). Интегральные кривые исходного уравнения: у = х(1п 1а:| + С ) (х ф 0), 1 = 0 (9 ^ 0) (рис. 1 1 .12). Примечание. В общем случае, если точка (0; 0) является особой для уравнения ( 1 1.43), то, применяя формулу Тейлора, это уравнение можно записать в виде ^ Лх ^ а 2Х + Ь2у + Р 1(х ,у) 0|Ж + 6|у + д | ( г , у ) ’ (11.51) где Ри^\ — бесконечно малые относительно у/х^ + у^. Тип особой точки уравнения (11.51) совпадает с ее типом для уравнения линейного (первого) приближения, имеющего вид ( И .44) (т. е. когда Р| и в ( 11.51) отбрасываются) во всех случаях, кроме одного исключения: если для уравнения (11.44) особая точка — центр, то для уравнения (11.51) она может быть центром или фокусом, либо иметь более сложный характер (в зависимости от вида слагаемых Если а,Ь2 - 0261 = О, то особая точка называется особой точкой высшего порядка. Такие точки могут иметь либо один из перечисленных выше типов, либо иметь более сложный характер. П . 1 .2 .9 . О б щ и е м е т о д ы и н т е гр и р о в а н и я 1. Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений при ведены в 16.8. 2. Метод последовательных приближений Пикара является приближенным аналитическим методом интегрирования уравнений. Пусть требуется найти Решение у = у {х ) уравнения у' = { ( х , у ) , удовлетворяющее начальному условию у{хо) = уо- Тогда, если /(ж, у) и / '(х , у ) определены и непрерывны в некоторой окрестности начальной точки (хо, уо), то в силу теоремы Пикара в окрестности точки Хо существует единственное решение, удовлетворя ющее начальному условию. Метод последовательных приближений основан на построении последовательности { 5/„(х )} функций, сходящихся к искомому решению у {х ) уравнения. При выполнении условий теоремы Пикара рас сматриваемая задача Кош и эквивалентна интегральному уравнению X у {х ) = Уо + ! /(<. У(1)) решение которого (а также задачи Ко ш и) строится в виде последовательности функций Уп(х) = Уо + ^ {(1,Уп-\(Ь))(И ( п = 1, 2, ...), 10 каждая из которых может рассматриваться как приближенное решение данно го дифференциального и интегрального уравнения. Для значений х, достаточ но близких к Хо, последовательные приближения Уп(х) сходятся равномерно к искомому решению у (х ). Примечание. Иногда переменный верхний предел х интефала и переменная инте- фирования I обозначаются одной и той же буквой х. Пример 46. Решим задачу Коши у = ^ху, у(0) = I . Имеем уо = I . 1 Г х^ У>{х) = ' + 2 У * '“ = ' + о I Уг(х) л + Точное решение задачи Коши у{х) = е* »2 -г ^ X* ~ ^ а его разложение в степенной ряд х“ «(*) = ' + Т + 5 2 + - Ни одно из приближений уо. у,,У 2,-- - не является точным решением задачи, однако их последовательность сходится к точному решению. 3. Применение степенных рядов. Если функция / {х , у ) в правой части уравнения у' = / (х , у) с начальным условием у(хо) = уо аналитична по х и у (см. 10.7), т. е. может быть представлена двойным степенным рядом в окрестности точки (хо, Уо) и, следовательно, дифференцируема любое число раз, то существует решение задачи Кош и в виде сходящегося степенного ряда коэффициенты которого (^ = 1, 2, . . . ) , находятся последова тельным дифференцированием данного уравнения: у '{х ) = у), / (ж , У "(х ) = /^ + /уу = / ; + /;■ / ( I , у), с последующей заменой г и у на 1о и роДля нахождения коэффициентов ак может применяться также метод неопределенных коэффициентов, согласно которому в обе части уравнения у = /(х , у) подставляется ряд (11.52) с неопределенными коэффициентами, которые находятся затем приравниванием выражений при одинаковых сте пенях (х — Хо) в обеих частях равенства. Примечание. Аналогично в виде степенного ряда (11.52), применяя один из двух описанных здесь методов, можно искать решение задачи Коши для уравнения п-го порядка у '" '= / (х .у .„ ', »(*о) = Уо, у '(* о) = у 1, у ‘” " ” (*о) = уГ '" - Решение задачи Коши для системы уравнений »« =/т(*,У1,---,У»), Ут(*о) = УтО (т = 1 ,2 п) ищется в виде рядов 00 = Л “ * м (* - *о)* к~1 ( т = 1 , 2 ...... п). Пример 47. у' = ху, у(0) = 1. Решение задачи Коши ишем в виде ряда с неопреде ленными коэффициентами у = I -I-0 , 1 4- агХ^ а,х' + ад/ + . . ., дифференцируя который, получим ряд у' — а, + 1агХ + + 404®^ + ... . Подставим оба этих ряда вместо у и у' в уравнение а, + 2о2 1 -I- Зоз*’ -I-4в4 1^ + ... = * + а,х^ + + аух^ + ... . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, по лучим а, = О, 2ог = 1, Зоз = о,, 4в4 = 02, . . . , те. О] = О, 02 = 1/2, Оз = О, 04 = 1/4, = 1/8, 05 = О Следовательно, решение Нахождение коэффициентов ряда путем последовательного дифференцирования ис ходного уравнения дает тот же результат, так как у " ^ у + ху', у'(0) = 0, у"' = 2у' + ху", 1/"(0)=1, а, =0, <^2 = ^, !/<“* = Зу" + жу", у"'(0) = 0, «3 = 0, у< > ) = 3, 04 = ^, • 1 1.1.3. Д иф ф еренциальные уравнения высших порядков 11.1.3.1. Общие сведения Уравнение п-го порядка имеет общий вид Р { х ,у ,у ',у " ,...,у ^ " ^ ) = 0 (11.53) или вид, разрешенный, если это возможно, относительно старшей производной ?/<"> = / (ж, г/,3/', У ' , . . . , (11.54) Решение задачи Коши для уравнения (11.53) или ( П . 54) заключается в на хождении его решения, удовлетворяющего начальным условиям 2/ = г/о, у =у'й, •••, 2/*"“ '* = Уп^'^ при X = Хо, где Хо, г/о, Уо, ■■■, г/о"~'* — некоторые заданные числа. Если выполнены условия теоремы Пикара для уравнения (11.54) (см. при мечание 4 к теореме Пикара в 11.1.1.2), то оно имеет одно и только одно решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Общее решение у = С , , С 2, . . . , С „ ) уравнения (11.54), для которого выполнены условия теоремы Пикара, содержит п произвольных постоянных С | , С 2, ... , С „ , которые могут быть найдены при помощи начальных условий. Общее решение уравнения (11.54) может быть записано также в виде общего интеграла Ф (х , у , С ] , С 2, ■.. , С „) = 0. При определенных числовых значениях величин С ], С 2, . . . , Сп получим частное решение (частный интеграл) данного уравнения. Особое рещенне уравнения (11.54) определяется так же, как и для уравнения первого порядка. Оно не может быть получено из общего ни при каких значениях С | , С г ,. . . , С „ , включая ±оо. В частности, для уравнения второго порядка с начальными условиями у{хо) = Уо, у'(хо) = Уо геометрический смысл решения задачи Кош и заклю чается в нахождении интегральной кривой у = у (х ) (частного решения), проходящей через точку (хо, уо) на плоскости О х у и имеющей в этой точке касательную с заданным угловым коэффициентом ко = — у'аПример 48. Решим задачу Коши Интегрируя дифференциальное уравнение два раза, получим у + у — — + С 1Х + С 2 . При помощи начальных условий найдем: С\ = \, С 2 = 2, т. е. х^ У = ^ + х + 2. Если уравнение (11.53) разрешимо относительно старшей производной, то получается одно или несколько уравнений вида Совокупность общих решений (общих интефалов) этих уравнений называется общим интегралом уравнения ( И .53). Иногда общий интефал уравнения (11.53) удается найти и без его разрешения относительно старшей производной. Основным общим методом интефирования уравнений высших порядков является понижение порядка, т. е. сведение данного уравнения к другому, имеющему более низкий порядок. Понижение порядка возможно не для всех уравнений. Ниже рассмотрены типы уравнений, для которых возможно по нижение порядка. 11.1.3.2. Понижение порядка уравнения 1. Уравнение у*"* = / ( г ) . Порядок уравнения 2,'"> = / (х ), (11.55) в котором / {х ) непрерывна в интервале (а; 6), понижается путем последова тельного интефирования п раз: х) (1х + С ] , йх + С\Х + Сг, Пример 49. у " = С05 3; - 81пх. Интсфируя уравнения три раза, получим его общее решение у" = 51ПX + С 0 5 х + С\, у ' = - С 0 8 1 + 51111 + С | 1 + С г , у = - 81ПI - С05Х + ]^С[Х^ + С^Х + С}. При последовательном интегрировании уравнения (11.55) вместо неопре деленных интефалов можно брать определенные интефалы с переменным верхним пределом х и фиксированным нижним пределом Хо, являющимся любым числом из (а; Ь): X , = / ^ Хо X X / ... у Хо X лх ^ /(х) ах + Хо Хо Здесь первое слагаемое справа, содержащее п интегралов, может быть запи сано в виде одного интефала X И является частным решением уравнения (1 1.55) при нулевых начальных усло виях: г>(1о) = 0, у'(хо) = 0, .... 9*"“ '>(хо) = 0. Общее рещение (11.56) уравнения (11.55) можно записать в виде у = 2/|(х) + С ;х "^ ' + Сг'х"-^ + ... + С ;_ ,х + С 1 где вместо постоянных С \ , .. ., С п введены новые постоянные С ' которые находятся из начальных условий: уЫ ) = Ро, р'(хо) = у'о, ■■■, С „, У^"~'\хо) = 2. Уравнение, не содержащее явно неизвестной функции и ее нескольких по следовательных младших производных, =0 (11.57) допускает понижение порядка на к единиц путем введения новой неизвестной функции и = 2/***. Уравнение принимает вид /■(х, = 0. Если и = <Р\{х, С \ ,. . . , С „_ *) — общее решение этого последнего уравнения, то общее рещение у = >р(х. С ) , ... , С „ ) уравнения ( 11.57) находится последо вательным интегрированием уравнения 3/<*> = ^ | ( х , С ь - . . , С „ _ » ) , Пример 50. (I + х )у " + у" = 0 (1 + * > 0). Обозначая и = у", получим уравнение (1 + х)и' + и = О или й[(1 + х)и] = О, общий интефал которого (I + х)и = С ) . С, Интегрируя уравнение у = ---- последовательно два раза, получим общее решение 1 -Ь X исходного уравнения: у = С| [(1 + I ) 1п (I + ж) - х] + С 2Х + С,. Примечание. Если уравнение типа (11.57) содержит у и не содержит функцию у, то применяется подстановка и = у. 3. У равнение, не содерж ащ ее явно независим ой перем енной х Р {у .у !/*"’) = о (11-58) интегрируется посредством введения новой искомой функции р = у'. За новую независимую переменную берем у ,т .е . полагаем р = р (у). По правилу диф ференцирования сложной функции уч ^ Отсюда следует, что уравнение (11.58) принимает вид / ар (Г“- ‘р \ - ’ а у " - ') ~ „ ' имеющий порядок (п - 1). Если р = ^ |(у , С ь - .- ■<?„_!) — общее решение этого последнего уравнения, то общий интефал (11.58) равен: Лу / ; ^31(2/, С ь . . . , С „ - | ) = X + С „. В частности, уравнение у " = 1 ( у , у ) может быть записано в виде Для уравнения у " = } ( у ) имеем (у ? = ! 2 { ( у ) ( 1 у + С ^ = г (у ) + С\. Прим ер 5 1. (у У = 0. Полагая уу" - р = у, р = р (у ), приведем исходное уравнение к виду ... Интефируя, получим 1 ёх Р Лу 1п 1У1 + С| = - - = - — . Интегральными кривыми исходного уравнения являются 1 + у 1п |у| + С ,у + Сг = О, у = Сг- 4. Если левая часть уравнения Р { х , у , у , . , 2/*"*) = О является полной производной, то порядок уравнения понижается путем однократного интефирования. Пример 52. у" + ху' + у = 0. Уравнение можно записать в виде (у' + ху}' = 0. Отсюда у' + ху = С ,. Решая это линейное уравнение, получим 5. Уравнение Е ( х , у , у = О, левая часть которого является однородной функцией (см. 11.1.2.4) аргументов у , у , , у^"\ допускает по нижение порядка на единицу путем введения новой функции и (х ) = у'/у, т. е. ^ = ехрI |• У и < 4 и |. Пример 53. х^уу" — (у - х у'У . Подставляя в это однородное относительно у, у ', у" уравнение выражения у — ехр и й и |, у' = и■ еxр ^^ и й и |, у" = (и + и^) ехр • ^ и й и |, получим уравнение х \и + и^) = (I - хиУ. или , и 2 + - и X 1 т = 0. х^ общее решение которого и = С|Х” ^ 4- х“ '. Отсюда, в силу равенства и = (1пу)\ находим 'с,' у = Сг ехр ^ I « йх > = СгХ ■ехр 11.1.4. 1 1 .1 .4 .1 . Линейные дифференциальные уравнения высших порядков О бщ ая теория л инейны х ур авне ни й 1. Линейное дифференциальное уравнение порядка п имеет общий вид “ о(х)у*’’' + + .. . + а „{х )у = ? (х ) или, если Оо(х) ф О в некотором интервале, г/<"> + . . . + р „ { х ) у = / (х ), (11.59) где функции Р | ( х ) , . . . ,р „ {х ), / (х ) предполагаются непрерывными в интер вале (а; Ь), что обеспечивает существование и единственность решения задачи Коши для любых значений уо, Уо,--., Уо" '* при любом го из (а; 6). Уравне ние (11.59) называется неоднородным (однородным), если / (х ) ^ О (/ (х ) = 0). Вводя линейный дифференциальный оператор п-го порядка уравнение (11.59) можно записать в виде Ь {у ) = / (х ). Здесь Ь (у ) является некоторой функцией, получающейся в результате выполнения над функцией У{х) операций, перечисленных в правой части (11.60). Пример 54. Пусть Ь = < 1Л , + 2х--1. Тогда для функции у = х получим ахах М у ) = у" + - у = {х ')" + Щ х^)' - х’ = б1 + 5x1 2. Свойства линейного дифференциального оператора Ь 1) Ь (С у ) = С Ц у ) ( С — любое число). 2) Ц у\ + У 2) = Ц у \ ) + Ц уг)Отсюда следует 1ЛС\У\ -!-■■■ + СпУт,) = С \Ь(у\) + ... + С „ Ц у „ ) . 3. Свойства частных решений линейного однородного уравнения. Если у| (х ), ' >Ут{х) — частные решения однородного линейного уравнения Ь {у ) = О в интервале (а; Ь), т. е. ^(у^{x)) = 0, 1 = 1 , . . . , т (а < х < 6), то их линейная Комбинация у (х ) = С]»/1(х ) + ... + С т У т (х ), где С| — любые числа, также Является решением этого уравнения. Каждое однородное уравнение имеет Нулевое (тривиальное) решение ; 0. 4. Функции 2/1(х )....... У т {х ) {а < X < Ь) называются линейно независи мыми в интервале (а; 6), если их линейная комбинация С\У] + ... + Сщу„ тождественно равна нулю в (а; 6) только при условии, что все С; (г = 1, . . . , т ) равны нулю. В противном случае эти функции называются линейно зависи мыми в (о ;Ь ). Если функции у \ , . . . , у т линейно зависимы в (а ;Ь ), те . С\У\ + ... + С т У т = 0 (а < X < Ь ) при условии, что не все С{ равны нулю, то одна из них является линейной комбинацией остальных. Совокупность п линейно независимых решений У\,У 2, ■■■,Уп (а < х <Ъ) однородного линейного уравнения п-го порядка Ь (у ) = О называются фун даментальной системой решений этого уравнения. Если решения у \ , . . . , у „ образуют фундаментальную систему решений уравнения 1 {у ) = О, то общее решение этого уравнения имеет вид у {х ) = С]У\{х) + ... + С „ у „{х ). Любое линейное однородное уравнение имеет бесконечное множество фундамен тальных систем. Для того чтобы решения у \ ,. .. , у „ однородного линейного уравнения п-го порядка Ь {у ) = О были линейно независимы в интервале (а; Ь), в кото ром непрерывны коэффициенты этого уравнения, необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского (вронскиан) И^(х) = У| У2 Уп у\ У2 Уп У^Г^ . не обрашался в нуль в какой-либо одной точке Хо из (а; 6). И з формулы Лиувилля X й ^ (х ) = Ж ( х о ) е х р | - У р ,( х ) й х 10 где каждое Хо принадлежит (а; 6), следует, что: а) если Ж (х о ) = О, то ’№ (х ) = О во всех точках (о; 6), б) если 1^(хо) ф О хотя бы в одной точке Хо из (а; Ь), то 1У(х) / О всюду в (о; Ь). Пример 35. Уравнение у" + у — О имеет частные решения = созх, У2 ~ 51пх, которые образуют фундаментальную систему в промежутке (-ос; +оо), так как № {Х ) сох X 51П X 51П X С 05 X = - Общее решение уравнения: у = С\ со51 -Ь С2 51п л. 5. Пусть !(1(х) — какое-либо частное решение линейного неоднород ного уравнения п-го порядка Ь (у ) = / (х ), т. е. Ь { у 1{х )) = / (х ) в (а; 6), а 21(1), 22(х ), . . . , г „{х ) — линейно независимые решения однородного урав нения Ь (г ) = О, левая часть которого такая же, как и у неоднородного уравнения. Тогда общее решение у неоднородного уравнения равно сумме любого частного решения У((х ) этого неоднородного уравнения и общего решения г (х ) соответствующего однородного уравнения: У = У\(х) + г (х ) н у^{x) -Ь С |2|(х) -I-... + С „ 2„(х ). Пример 56. Неоднородное уравнение у" + у — х имеет частное решение у, = х. Общее решение однородного уравнения г" + г = О имеет вид (см. пример 55) г = С] созх-ЬСг ЯП х. Общее решение неоднородного уравнения: у = х+С^ С0&Х+С2 «1П х. 6. Для нахождения частного решения неоднородного уравнения Ц у ) = / (х ) можно использовать принщш наложения (суперпозищ1и), который заключается в следующем. Если правая часть уравнения имеет вид / (х ) = / ](х ) +}г {х ) и уравнения Ь (у ) = /|(х ), Ь (у ) = /г(х) имеют частные решения у\ и у 2соот ветственно, то сумма у\ -Ь у 2 будет частным решением уравнения Ь {у ) = / (х ). 7. Метод вариации произвольных постоянных. Общее решение неоднород ного уравнения 1 {у ) - } ( х ) ищется в виде у = С \(х)г\(х) С „ (х ) 2„ (х ), где С ,(х ) — некоторые функции от х, подлежащие определению; 21 ( х ) , , 2„(х ) — фундаментальная система решений уравнения Ц г ) = О, Производ ные С '(х ) находятся из системы алгебраических уравнений первой степени + С 222 -Н ... -Ь с ^ 2„ = о, С[г\ -Ь -I-... -Ь = О, С ;21"-'» -Ь + ... -Ь = о, с ;2 |’- ' ' -н -Ь ... -н = /(Х ). В силу условия 1У (х ) / о эта система имеет решение, которое можно найти, например, по формулам Крамера С 1(х ) = <^|(х), ..., С^„(х) = 1^;„(х). С |(х ) = У V^|{x)(Î + А |, ..., С „(х ) = ! Отсюда ^рп(x)<^x^ А „. где Л | , . ., , — произвольные постоянные, знак неопределенного интефала Здесь означает какую-либо одну первообразную. Общее решение неоднород ного уравнения имеет вид у = у^ + 2 = гх ! (рх(1 х + ... + г„ У <р„(1х + А , 2 , + . . . ^ Л „ 2„. Если Ах = . .. = А „ = О, то отсюда получается частное решение родного уравнения. неодно Пример 57. Найти частное и общее решения неоднородного уравнения у" —у = ~х. Решение. Для однородного уравнения г" — г = О имеем решения 2] = е*, 22 — е~^. Определитель Вронского ^V(x) = 21^2 = - 2 ^ 0 . Общее решение однородного уравнения: 2. = С|е*+С2е“ *, где С,, Сг — постоянные. Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде у = С\{х)е^ + Сг(х)е~^, где С [(х ),С 2(х) — неизвестные функции. Система для нахождения С1 и С'^: + С-2е-’ =(!, Отсюда С\ = -^хе^“ , С[ = СЛ^) = с у - С 'г е - " = -х. Интефируя, получим С,(х) = + 1)е“ * + А,, - \)е' + А 2. Общее решение неоднородного уравнения: у = У1 + 2 = х + А]е^ + А 2в~^; частное решение: у] = х. Если заданы начальные условия, например, у = I , у' = - I при 1 = 0, т о Л 1= - - , 4 2 = 2 » у = X - -е* + 1 1 .1 .4 .2 . Л и н е й н ы е о д н о р о д н ы е у р о в н е н и я с по стоянны м и коэф ф и ц и е нтам и 1. Общий вид линейного уравнения п-го порядка с постоянными дей ствительными коэффициентами О], а г ,... , а „: Н у ) = г/'"’ + а , - Ь .. . Н- а „„ |у ' + а „у = / (х ), (11.61) где функция / (х ) непрерывна в конечном или бесконечном интервале (а; Ь). Если / (х ) = О, то уравнение называется о д н о р о д н ы м . Если комплексная функция действительной переменной х у {х ) = и (х ) + п { х ) {г = V ^ ) , где и {х), » (х ) — действительные функции, является решением однородного уравнения Ь {у ) = О, то и {х ) и и(х) также являются решениями этого уравне ния. Частное решение однородного уравнения ищем в виде у = е''^. Подстав ляя производные у' = ге’^^, у" = ... , у*"* = г "е ’’^ в дифференциальное уравнение, получим ■Р{т) = О, где Р { г ) = г" + а\г’'~' + .. . + а „- 1Г + а „ на зывается х а р а к т е р и с т и ч е с к и м п о л и н о м о м . Алгебраическое уравнение Р ( г ) = О называется х а р а к т е р и с т и ч е с к и м у р а в н е н и е м данного дифференциального урав нения, а его корни — х а р а к т е р и с т и ч е с к и м и ч и с л а м и этого уравнения. Функция у = е’’^ тогда и только тогда является решением однородного дифференци ального уравнения с постоянными коэффициентами, когда г является харак теристическим числом этого уравнения. 2. И н те гр и р о в а н и е л и н е й н о го о д н о р о д н о го у р а в н е н и я в то р о го п о р я д к а с п о - 1Н Н Ы М И к о э ф ф и ц и е н т а м и . Д л я у р а в н е н и я в т о р о г о п о р я д к а Ц у ) = у " + р у '+ д = 0, (И .62) гд е р,д — д е й с т в и т е л ь н ы е ч и с л а , х а р а к т е р и с т и ч е с к о е у р а в н е н и е и м е е т в и д + рг + д = О, к о р н и к о т о р о г о Г 1.2 Здесь возможны три следующих случая. Если характеристические числа Г), Гг: 1) различные и действительные; 2) комгиексные, т.е. г , = а + 1 /3 , Г з = а - >/9; 3) равные, т.е. Г| = Г2 = -р/2, то общее рещение уравнения (11.62) имеет соответственно вид: 1) у = + С 2е'■^^ 2) у = е“ "'(С| со5(бх + С 2 ^1п 0 х), 3) у = + С^х). Постоянные С | , Сг могут быть найдены при помощи начальных условий У { ч ) = Ро, у'{хо) = уо, где хо, Уо. Ро — заданные числа. Например, в случае I) величины С|, Сг находятся из системы уравнений 8,0 = у'о = Здесь второе уравнение получается подстановкой начальных условий в про изводную общего рещения. Пример 58. О у" ~ Зу' + 2р = 0. Характеристическое уравнение Г] = I , Г2 = 2. Общее решение: у = С|в* + — Зг + 2 = О имеет корни 2) у" - 4у' + 5у = 0. Характеристическое уравнение - 4г + 5 = О имеет корни Г[ = 2 +«, Г2 = 2 - 1 (а = 2, /3 = I ). Общее решение: у = е^*(С| С 0 5 Х + С 251п 1 ). 3) у" + 2у' + у = 0. Характеристическое уравнение г, = Г2 = - I. Общее решение: у = е '( С 1 + Сгх). '*) у" + у' = 0. Характеристическое уравнение Г2 = —I . Общее решение: у = С] + . + 2г + 1 = О имеет корни + г = О имеет корни г, = О, 3. И н те гр и р о в а н и е л и н е й н о го о д н о р о д н о го у р а в н е н и я п - г о п о р я д ка с п о с т о я н н ы м и к о э ф ф н щ 1е н т а м и где 0 | , . . . , а „ — действительные числа. Характеристическое уравнение для (11.63) имеет вид г " + а , г " ' ' + . . . + а „ _ , г + а „ = 0. При нахождении общего решения уравнения (11.63) возможны следующие случаи. 1) Все корни характеристического уравнения различные и действительные, т. е. среди характеристических чисел г , , . . . , г „ нет ни одинаковых, ни ком плексных. Общим решением будет у = + Сге’''^ + ... + С„е'''^. (11.64) 2) Все корни различные, но среди них имеются комплексные. При этом каждой паре комплексно сопряженных корней вида а ± 1р соответствуют два линейно независимых частных рещения е“ со8^г, е“ 81П,9х. Найдя п линейно независимых действительных частных решений диффе ренциального уравнения, образующих фундаментальную систему решений, общее решение уравнения строят затем как линейную комбинацию вида (11.64) этих частных решений, в которой каждому действительному корню г соответствует частное решение вида е'’^, а каждой паре комплексно сопря женных корней а ± 1/3 — два частных решения вида е“ сок Дх, е“ * 81п ^х. 3) Среди корней имеются кратные действительные. Если г — действи тельный корень кратности к, то ему соответствует к линейно независимых частных решений ^гх € у ^ хе гх , .. . , X к~ \ гх € у входящих в фундаментальную систему решений, при помощи которой стро ится общее решение в виде линейной комбинации этих частных решений. 4 ) Среди корней имеются кратные комплексные. Если т = а + гр — корень кратности к, то имеется также сопряженный корень г = а - гР кратности к. При этом соответствующие 2к слагаемых в общем решении (11.64) заменяются линейной комбинацией [(С] -Ь СгХ-Ь . . ■-Ь Пример 59. -Ь ') СО5^0Х Ч-((7;ь+1 + + •••+ ^)8^п^^x]- -Ь 7у"' + ву" -Ь 2у' ~ 0. Характеристическое уравнение г-' -1-4г‘‘ -И7г’ + 6г^ + 2г = 0 имеет корни Г| = О, = Гз = -1, г< = 1 у = С| -I- Г5 = 1 - 1 . Общее решение уравнения: -I- С}хе~‘ Ч- С<е' со® * -I- 81п х. 11.1.4.3. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с по стоянными действительными коэффициентами вида (11.61) может быть най дено методом вариации произвольных постоянных (см. 11.1.4.1). При этом требуется выполнение интефирования. В силу того что общее решение неод нородного уравнения равно сумме какого-либо его частного решения и об щего решения соответствующего ему однородного уравнения (см. 11.1.4.1), интегрирование неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда его правая часть имеет специальный вид, сводится к нахо ждению частного решения 3/1(1) методом неопределенных коэффициентов, не требующим интегрирования и состоящим в том, что частное решение ищется в виде, содержащим неопределенные коэффициенты. Метод неопределенных коэффициентов. Случай 1. Пусть правая часть уравнения (11.61) имеет вид / ( 1 ) = Р т (х )е ‘"‘ , где а — действительное число, Р т {х ) — действительный полином степени т , в частности, некоторое число. Тогда частное решение имеет вид: 1а) У 1 = Я т ( х ) е “ ^, где ^ т ( x ) — полином степени т с неопределенными коэффициентами, при условии, что а не является корнем характеристиче ского уравнения. 16) у, = 1*^ щ (х )е“ , если а — корень кратности к характеристического уравнения. П рим ер 60. 1) у" + 2у' = X — 1. Здесь т = 1, а = О, так как правую часть уравнения можно записать в виде е °'(г - I). Корни характеристического уравнения -I- 2г = О равны Г| = О, Г2 = -2. Так как а — корень кратности к = I характеристи ческого уравнения, частное решение ищем в виде у^ = х{Ах + В ). Подставляя производные у\ = 2Ах + В я у" = 2А ъ дифференциальное уравнение, получим: 2Л + 4Ах + 2В = х —\. Сравнивая здесь коэффициенты при одинаковых степенях X слева и справа, найдем А = 1/4, В = -3/4. Следовательно, > 2 3 V. = 4^ - 4^Общее решение однородного уравнения: 2 = С| + нородного уравнения: у = у, + г = . Общее решение неод + С| -I- 2) у" - 2у' + у = Здесь т = О, а = 2, г, = Гг = I, следовательно, частное р>ешение ищем в виде у[ = . Подставляя у ь у | .у 1^ в уравнение, получим Л = 1, т. е. у 1= Общее решение однородного уравнения: г ~ С\б^ + Сгхе*. Обшее решение неоднородного уравнения: у = у| г. Случай 2. Пусть правая часть уравнения (11.61) имеет вид / ( х ) = е“ "'1Р1(1) С05/ЗХ + Р2(х) 81П 0х\. где а,/3 — действительные числа, Р \ (х ), Р 2(х ) — полиномы, наивысшая сте пень которых равна га, т. е. один из них имеет степень га, а другой — меньшую степень и, в частности, может быть тождественно равным нулю. Тогда частное решение у^ имеет вид: 2а) степени т ные числа полинома либо Рз = = е“ [ ^ , ( г ) со8/Зх + Ц2(г)51п,б1), где Я \ (х ), ^ 2{x ) — полиномы с неопределенными коэффициентами, при условии, что комплекс а ± 1/3 не являются корнями характеристического уравнения. Оба ^ | и ^2 записываются одновременно даже в случае, когда Р] = О 0. 26) у 1 = 1*е“ ''|С?|(х) со5/Зх -Ь ^ 2{x ) 5гп/3х|, если а + (соответственно а — гР ) — корень кратности к характеристического уравнения. Пример 61. О у" + 4у = со5 2х. Здесь а = О, /9 = 2, т = 0. Корни характеристического урав нения -Ь 4 ^ О равны Г[ = 2», Г2 = -2г, следовательно, к = \. Частное решение ищем в виде у) = со5 2ж + В 5ш 2х). Подставляя производные от у 1 в дифференциальное уравнение и приравнивая коэффициенты при со^2х и 81п2ж в обеих частях равенства, получим Л = О, В = 1/4. Частное решение: У) - X 51П 2 х . Общее решение однородного уравнения: г = С\ С 0 5 2 1 + С2 зт 2х. Обшее решение неоднородного уравнения: у = У1 + 2 . 2) у" - 4у' + 5у = со5 х. Здесь а = 2, ^ = I, т = 0. Корни характеристического уравнения г^-4г + 5 = О равны = 2+ *, Гг = 2 - 1 , те. Л = 1. Частное решение ищем в виде у) = хе^'(Лсо8х + В 81пх). Подставляя у\.у\,у'! в уравнение и приравнивая коэффициенты при со5 х и 51п х в обеих частях равенства, находим >1 = 0, В = 1, те . у| = хе^*81пх. Общее решение однородного уравнения: 2 = е^*(С'| С05 Х + С2 81П х). Общее решение неоднородного уравнения: у = у\+^Примечание. Если правую часть /(х) уравнения (11.61) можно представить в виде суммы нескольких слагаемых, для каждого из которых применим метод неопределен ных коэффициентов, то для нахождения частного решения неоднородного уравнения используется принцип суперпозиции (наложения) (см. 11.1.4.1,6). Пример 62. Ь {у) = у"' + 2у" + 5у' = хе” *" -2х + 4 51п 2х. Здесь г^ + 2г^ + 5г = О, Г1 — О, Г2 = -1 4- 2*. Гз = —1 — 2*. Представим правую часть уравнения в виде суммы слага емых /|(х) = хе~^, /2(х) = -2х, /з(х) = 4 81п2х. Частное решение исходного урав нения равно сумме частных решений у) , у2,уз уравнений Ь {у ) = хе~^\ Ь {у ) — -2х, Ь(у) ^ 4 51П2х, из которых первое относится к случаю 1а); второе -- к случаю 16). так как а О является корнем характеристического уравнения; фетье — к случаю 2а); т. е. У1 — е ^(Ах В ). у 1 = х{Сх + В ) , у^ = Есо^2х 42х, где А, В , С, В , Е , Е — ис комые коэффициенты. Общее решение однородного уравнения: х — С\ сох 2x4 Сяе” ^ 81П 2х. Общее решение неоднородного уравнения: у = У1 + У: + Уз + -г. 1 1 .1 .4 .4 . Уравнение Э йлера Уравнением Эйлера (однородным) называется дифференциальное уравнение + ••■+ а „ - 1х у + а „у = О, где 0| , . . . , а „ — постоянные. Заменой независимой переменной по формуле I = е* (или < = 1 т ) уравнение Эйлера приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. Имеем: ах И Лх 4х ' М М ^ ’ т.е. ^ Их ^ с1х \ ( 1х / М ’ ^ ± ( ^ -Л (И (И \ й 1 ) (И \ с 1х / -1 ^ (11^ М т.е. 2^ ау Лх^ (И^ м Аналогачно вычисляются последующие производные. Неоднородное уравне ние Эйлера интегрируется методом вариации произвольных постоянных либо методом неопределенных коэффициентов. Однородное уравнение Эйлера может быть проинтефировано также непо средственно, без замены переменной, если искать его решение в виде у = х . Вычисляя производные и подставляя их в уравнение Эйлера, получим алгеб раическое уравнение степени п для нахождения т . Если это уравнение имеет п рамичных корней тп \,... , т „ , т о общее решение уравнения Эйлера имеет вид у = С 1х” " + . . . + Спх’" \ Если корень т , имеет кратность а , то ему соответствуют частные решения вида: х ”" , хГ1пх, x"■Ч1п x )^ ..., х ”"(1 п х )“ ~‘. Паре сопряженных корней а ± гЬ соответствуют два решения: х“ со8(61пх), х“ 81п(61пх). 63. х^у" - 2ху' + 2у = 0. Полагая х = е' и заменяя производные от у по I производными по I, получим Прим ер V т.е. линейное уравнение <й/ 2^ + 2у = 0. <й " характеристическое уравнение которого - Зг + 2 = О имеет корни Г| = 1, = 2. Общее решение: у = С|е' + Сге^’. Возвращаясь к прежней переменной, получим у = С 1Х + Сгх'. Если искать рещение в виде у = х"", то у' = т х " ~ ', у” = т ( т Подставляя эти выражения в исходное уравнение, после сокращения на получим уравнение - З т + 2 = О, имеющее корни ГП] = I, Шг = 2. Полученное общее рещение совпадает с предыдущим. 1 1.1.4.5. Кр аевы е задачи. Ф ун кц ия Грина Для вьшеления частного решения дифференциального уравнения из его обще го решения может рассматриваться либо задача Коши, состояшая в отыскании частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, либо краевая за дача, заключающаяся в нахождении частного решения, удовлетворяющего краевым (фаничным) условиям (см. 11.1.1.1) на обоих концах заданного про межутка, внутри которого это решение ищется. Число ф аничных условий должно совпадать с порядком уравнения. 1. Краевая задача для уравнения второго порядка. Обычно рассматривается следующая краевая задача на отрезке [а; Ь|, состояшая из дифференциального уравнения Ц у ) = Р о { х ) у " + р Л х ) у '+ Р 2(х )у = / { х ) (а ^ х ^ Ь ) (11.65) и двух краевых (ф аничных) условий 1^1(») = а м » '(а ) + а п у {а ) + а п У (Ь) + а ц у {Ь ) = ;9|, У1 {у ) = а 21у '(а ) + а 22у (а ) +а 2уу'{Ь) + й 2Ау(Ь)= 02, ( 11.66) где р а {х ),р 1{х ),р 2{х ), / {х ) непрерывны в [а; 6] и ро{х) ф 0; предполагается, что ранг матрицы коэффициентов Ли а ,2 а ,з 0 ,4 а21 022 «23 «24. равен двум, т. е. хотя бы один из щести определителей Д . = 02( 02] (* < ]\ г , ] = 1,2, 3,4) отличен от нуля. Если а ц = = а 2\ — 0:22 = О, то краевые условия примут вид а п у '{ а ) + а , 2у {а ) = 01, а 2зу'(Ь) + а24Р(6) = Л . (11.67) Краевые условия (11.66) и (11.67) называются смешанными (неразделенными) и разделенными соответственно. Краевая задача (11.65), (11.66) называется однородной, если / (х ) = О, /З, = /З2 = О, в противном случае — неоднород ной. Решение у = у?(х) краевой задачи (11.65), (11.66) обращает уравнение (11.65) в тождество на |а: 6| и удовлетворяет краевым условиям (11.66), т е. КД^(х)) = А (» = 1,2). Любая однородная 1фаевая задача всегда имеет три виальное решение 1р (х ) = 0. Всякая линейная комбинация решений какойлибо однородной краевой задачи также является ее решением. Существуют неоднородные краевые задачи, совсем не имеющие решений. Пример 64. Решить краевую задачу: у" + 4у = С05 2г; 2у(0) + у'(0) = 2, Решение. Общее решение данного уравнения (см. пример 61): у = С | С05 2г + Сг 81П2 1 + ^ 1 51П 2х. Его производная у = -2С| 81П 2х + 2С 1 С05 2х + ^ ъ т 2 х + С05 2х. Подставляя значенияу и у' в точках х = О и х = яг/4 в краевыеусловия,получим систему 2С| 4-2Сз =2, 2С, - 20^ = 1/4 Отсюда находим С| = 9/16, Сг = 7/16. Решение краевой задачи: 9 7 I у = 7 7 С08 21 -Ь — 51П 2г + -151П 2х. > 16 16 4 Если Ро (х ), р \(х), Р 2(х ) непрерывны на |а;Ь ), то дифференциальный оператор , определяемый равенством 1 ’ (у) = {роу)" - (Р \У )' + Р 2 У = + (2ро - + Рз + Ро - р\ называется сопряженным к оператору Ь . Уравнение Ь ’ (и ) = О называется (сопряженным к уравнению Ь {у ) = 0. Если и (х ), V(x) — две любые дважды непрерывно дифференцируемые на [а; 6] функции, то выполняется соотно шение ь / ( [и . Ц ь ) - V ^ '(и )] йх = [ро(«« - » « ') + (Р| - Р о ) Н , (11.68) Называемое формулой Грина. Если Ь {у ) = Ь ‘ (у ), то оператор Ь и однородное уравнение Ц у ) = О Называются самосопряженными. Оператор Ь является самосопряженным тогда и только тогда, когда р] = р'о- При этом I = Ь ‘ = Р о - ^ + Р о т- + ахах ч М у) = Всякое уравнение второго порядка у " + а^(х)у + а г{х )у = ^(х). (Риу'У + Р 2У- где 0 |(х), 02(х ),^ (х ) непрерывны, можно привести к самосопряженному виду р (х )у " + р '(х )у + д (х)у = [р(х)з/']' + д(х)у = / (х ) умножением на функцию ^1 {x ) = е x р |^ ^ а^(х )ах '^, здесь е х р { 1 } = е‘ , р (х) = ц {х ), д(х) = 02(х)/1(х ), / (х ) = й(1 )/1(х ). Пусть дана краевая задача вида (11.65), (11.66): Ь {у ) = / (х ), У^^у) = Д (г = 1,2), Тогда соответствующая однородная к р а е в а я з а д а ч а Ц и ) = 0, Г^(и) = 0, (1 = 1 ,2 ) (11,69) называется с а м о с о п р я ж е н н о й , если: 1) Ь (и ) = Ь ‘ (и ), 2) для любых двух систем чисел {« ( в ), и (а), и{Ь), и { Ь ) } и {» (а ), » ’(а), 1)(6), ю'(6) } , удовлетворяющих оди наковым краевым условиям У ;(« ) = О, У,(«) = О (| = 1, 2), справедливо соотнощение ь [ро(и® - И«')1 а = о, Краевая задача (11,69) самосопряжена тогда и только тогда, когда 1) Р 1 =ро, 2) ро(а)Пз4 = ро(Ь)П , 2. Неоднородная краевая задача Д2/) = / ( х ) , Ш = 0 (1=1,2). для которой соответствующая однородная задача (11,69) самосопряжена, раз решима тогда и только тогда, когда для всякого нетривиального решения ф{х) однородной краевой задачи (если оно существует) выполняется равенство ь I Н х Ж х ) й х - 0, а Если однородная краевая задача (11,69) имеет только тривиальное решение (ф {х) = 0), то неоднородная краевая задача (11,65), (11,66) имеет решение, и притом единственное, 2. Ф у н к ц и я Г р и н а . Ф у н к ц и е й Г р и н а (или ф у н к ц и е й в л и я н и я ) о д н о р о д н о й краевой задачи (11.69) называется функция С { х , ( ) , удовлетворяющая следу ющим условиям: I) Она определена и непрерывная в квадрате О , определяемом неравен ствами а $ X, ^ 6 на плоскости О х |, 2) Как функция от х она имеет в каждом из двух треугольников а < ^ < х ^ Ь и а ^ х < ( < Ь непрерывные производные по х до второго порядка и при X / 4 удовлетворяет однородному уравнению Ц р ) = Рйу"+Р\У +РгУ = О, т.е. Ц С ) = 0. 3) Как функция от х она (при каждом фиксированном а < ^ < Ь) удо влетворяет однородным краевым условиям У |(С ) = 0 (* = 1, 2). 4) На д и а г о н а л и к в а д р а т а О , т .е . п р и х = ^ (а < ( < Ь), ее п е р в а я п р о и з водная п о X и м еет р азр ы в п ервого рода, п ри чем д О (х , 0 д С (х ,0 дх РоЮ ' х = (-0 Для самосопряженной краевой задачи ( И . 69) функция Грина симметрична, т.е. С (х , 0 = С (^ ,х ). Построение функции Грина. Если однородная краевая задача (11.69) имеет только тривиальное решение у = 0,т о для этой задачи существует единствен ная функция Грина. Если известны какие-либо два линейно независимых решения у\{х) и У2{х ) однородного уравнения 1 {у ) = О, то функция Грина строится по формуле ~ Г а ] ( 0 г/1(1) + О2и ) у 2(х ) при I при Ь|(^)г^|(г) + Ь2(02/2(х ) а^ х ^ ^ ^ Ь, где оД^), 02(^), 61(0 , б2(€) определяются так, чтобы выполнялись условия 1)-4) в определении функции Грина. Если С ( х , 0 — функция Грина однородной краевой задачи (11.69), то решение неоднородной краевой задачи Ш = / (х ), У .(г / ) = 0 ( * = 1, 2 ) , ( 1 1 .7 0 ) где /(ж) непрерывна на |а; 6], находится по формуле ь у{х) = ! О(х,0 т)<1С ( Ч - 71) а Решение неоднородной краевой задачи Ш = 0, V^(у) = |^^ (» = 1.2) (11.72) ищется в виде у = С\у\(х) + С 2У1 ( х ) , где С ], С 2 находятся из краевых условий (11.72). Решение краевой задачи (11.65), (11.66) равно сумме решений краевых задач (11.70) и (11,72). Следовательно, без ограничение общности, решение краевой задачи (1 1.65), (1 1.66) сводится к решению задачи (1 1.70). Примечание. Простейшие краевые условия у(о) = у^, у(Ь) = уь посредством замены искомой функции у{х) на г{х) по формуле Уь-Уа, 2 = У - У а - - Г (х о- а V -а) преобразуются в однородные краевые условия г{а) = О, 2(6) = 0. В этом случае неоднородная краевая задача легко преобразуется в краевую задачу с однородными краевыми условиями. Для краевой задачи \р (х )у '\ + ч {х )у = } ( х ) а и у '( а ) + а ] 2«/(а) = О, (а ^ х ^ ь у , а 2}у '{Ь ) + 024(6) = О, в предположении существования только тривиального решения однородной краевой задачи, функция Грина имеет вид ^ У 2( 0 У 1{х), С {х . О = { I ( 11.74) -^уЛ 0 У2{х ), а ^ (,^ х ^ Ь , где 2/1(1), У2{х ) — решения однородного уравнения (11.73) (т.е. при / (х ) = 0) такие, что 3/1(1) удовлетворяет только первому фаничному условию (11.73) (в точке х —а ) , а у 2{х) — только второму условию (в точке 1 = 6); С = р(^)й^'(^). ^^(4) = У \а)У 2{0 - У2Ю у ']( 0 - При этом функция 3/1(1) ищется как решение задачи Кош и для однородного уравнения (11.73) (т.е. при / ( 1 ) н 0) с на чальными условиями 3/1(0) = - а ц , 3/'|(а) = для 3/2(1 ) — соответственно 3/2(6) = - 023, 3/2 = “ 24. Функции 3/1(х ), з/2(х ) линейно независимы. Пример 65. Решить неоднородную краевую задачу: у " + ^ у = /{х) (О ^ х ^ ж ): у{ 0)= \ . у{п) = -\. ( 1) Решение. Построим сначала функцию Грина для однородной краевой задачи у" + = 0; у(0) = О, у(ж) = О, (2) имеющей только тривиальное решение у = 0. Сравнивая задачу (2) с (11.73), найдем, что Он = О, а|г = 1. азз = О, 024 = 1. Характеристические числа: Г|,2 = * У|(г) уравнения (2) ищем в виде у,{х) = С, со8 Решение 81п ~х и с учетом начачьных условий У|(0) =-Он = О, 1/1(0) = а ,2 = I получим У){х) = 51П - I . Аналогично. у:(х) = Сз С 0 5 + С4 51П Сз = I, С4 = 0, те . у 2(х )= с о и ^ х . Учитывая, что = —1/2, р(^) = I, найдем согласно (11.74): - 2 с05^{О {х ,0 = о < ^ < X < 7Г. -2 51П -^ ■( С05 - I ) ; Здесь С(х, { ) = С(^, I ) , т. е. функция Грина симметрична. Краевая задача ( I ) разбивается на две краевые задачи. Решение г|(х) краевой задачи с однородными условиями г" + = /( * ) ; гС О ) = О, 2 (п) = О находится по формуле (11.71): » г ,{ х ) = I X в { х . О П О < Ч = - I 2 , т ' - ( ( а > ^ ' - х У ц ) ( Ц - Ж - / 2 С05 • ^51П / {() Решение «2(0:) задачи ищем в виде г" + - 2 = 0; 4 г(0 )= 1 , «2(1) = А) С08 ф ) = -I + Лг 5Ш ^х. Находя А ,,А 2 С помощью условий 2^(0) = 1, г2(к) = - I, получим 4, = 1, ^2 = -1 и 12{х) = С05- X - 51П - X . Решение у{х) исходной краевой задачи (1) равно сумме решений у(х) = 21(1) + 22(1). > П р и м е ч а н и е к п р и м е р у 6 5 . Однородная краевая задача у"+ - у = 0; у(0) = 0,у ( 2х) = 0 имеет нетривиальное решение у = 81П ^х. Поэтому неоднородная краевая задача, “ частности: у" + -у = со5 -х. у{0) = /9,, у { 21г) = ^2. не имеет решения, если только 4 2 Не выполнено определенное условие разрешимости, которое можно найти следующим ^разом. Учитывая, что общее решение данного неоднородного уравнения имеет вид */ = С 1 С 0 5 - Х + С 2 51П - Х + Х - 5 1 П - Х , П О Л уЧ И М И З Г р а Н И Ч Н Ы Х У СЛОВИЙ С \ = Д |, С | = -р 2 - ^ Уравнения совместны только при условии = -^2^ которое и является условием Разрешимости данной краевой задачи. Если = -02, то неоднородная краевая задача I 1 1 Имеет бесконечное множество решений у = сок -х + Сз 5Ш -х + х ■81п -х, так как Постоянная С 2 не определена. Пример 66. Для краевой задачи у " = / ( * ) (о < * < 1>); у(а) = О, у(Ь) = О имеем: а,, = 0, а |2 = 1, «гз = О, 024 = 1, у,(х) = х - а, У2(х) = 1 - 6,ЦГ(^) = Ь-а, р(^) = 1. Следовательно, функция Грина, согласно (11.74), имеет вид - Щ х - а); 6- « о< I < ^ < 6, 7--- ( ^ - о ) ( * - 6); О- а Решение краевой задачи для любой непрерьЕвной функции /(х) имеет вид ь X ь у(х} = I а { х . о т ) < ‘( = I а а о ( х 4 ) т )< ^ (+ 1 о {х ,о т )< ч = X X =^ 3. Ь а X Задачи на собственные значения. Неоднородной краевой задаче Н у) + Ы ^ )У = Ц х) (а < з :^ Ь ); У^у) = (г = 1,2) соответствует однородная задача, предполагаемая самосопряженной Ц у ) + Х8(х )у = О (о ^ X ^ 6); У,(г/) = О (.' = 1, 2), ( I I .75) где Ц у ) = [р (х )у '\ + ^(x)у\ р (х ), р '(х ), д(х), ^{х) непрерывны в (а; 6|. Задача на собственные значения заключается в том. что в однородной крае вой задаче (11.75) требуется найти те значения (в общем случае комплексные) параметра А, для которых эта задача имеет нетривиальные (т. е. не равные тождественно нулю) решения. Такие значения А называются собственными значениями (числами), а их совокупность — спектром задачи на собственные значения. Каждое нетривиальное решение у = <р{х) задачи называется соб ственной функцией, соответствующей данному собственному значению. Рассмотрим следующую самосопряженную задачу для случая ^(х) = 1: Ь ( » ) + Аз/ = 0 а и у '{ а ) + а о у {а ) = О, ( а ^ х ^ Ь ) ; а 21у'(Ь) + а 2Ау{Ь) = 0. Если А = О не является собственным значением краевой задачи (11.76), т.е. при А = О задача имеет только тривиальное решение у = О, то задача (11.76) равносильна, согласно (11.71), интегральному уравнению с симметричным ядром (в силу симметричности функции Грина): О О сновны е сво й ств а со б ств е н н ы х зн аче ни й и со б ств е н н ы х ф ун кц и й кра е во й зад ачи (1 1 .7 6 ). 1) Существует по крайней мере одно собственное число и соответствующая ему собственная функция. 2) Если ^ |(х ) и (Р2(х ) — собственные функции, соответствующие отличным друг от друга собственным числам А] и Аз, то выполняется условие ортогональности и I 1Р \ { х ) Ы х ) = 0. 3) Собственные числа действительны. Каждому из них соответствует только одна собственная функция (с точностью до числового множителя). Для краевых условий, отличающихся от (11.76), каждому А может соответ ствовать не более двух линейно независимых собственных функций. 4) Все собственные числа образуют бесконечную последовательность А, ^ Аг < Аз ^ ^ А„ < . 5) Пусть А„ (п = 1, 2, . . . ) и (р„{х) — собственные числа и соответствующие им собственные функции, образующие ортонормированную систему. Тогда каждую функцию (р{х), удовлетворяющую граничным условиям (11.76) и имеющую непрерывные производные до второго порядка на [а; 6], можно разложить в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье 1р{х) = ^ с „ ‘Рп(х), где Г с„ = / (р(х)(р„(х) ах. а Для неоднородной краевой задачи Ш турма—Лнувилля |р (г )у 'Г + д{х)у + Аг(х)г/ = / (х ) а ц у '(а ) + а п у {а ) = О, (а < х ^ 6); а 2уу'{Ь) + а24У(*) = О справедливы следующие утверждения. О Если параметр А не равен ни одному из собственных чисел соответствую щей однородной задачи (т. е. однородная задача имеет только тривиальное решение), то неоднородная задача (11.77) для любой непрерывной / (х ) имеет единственное решение. 2) Если параметр А равен одному из собственных чисел однородной задачи (т. е. однородная задача имеет нефивиальное решение), то неоднород ная задача имеет решение только при условии, когда для собственных функций (р{х), соответствующих собственному числу А, выполняется равенство (условие разрешимости): / (х ) 1р {х) йх = 0. /■ При этом задача (11.77) имеет бесконечное множество решений, так как, если у (х ) — решение задачи (11.77), то ее решением будет также функция у{х ) + С ■<р{х), где С — произвольное число, ^ (х ) — собственная функ ция, соответствующая собственному числу А. Таким образом, для заданного значения А либо однородная задача имеет нетривиальное решение, либо неоднородная имеет единственное решение (альтернатива Фредгольма). Пример 67. Найдем собственные значения и собственные функции однородной кра евой задачи у " + >^у = й (О < I < 0 ; » (0 ) = о, у (1 ) - 0. (1) Требуется найти все значения А, при которых задача (1) имеет ненулевые (нетриви альные) решения у ^ 0. Решение. 1) Если А < О, то характеристическое уравнение -I- А = О (см. 11.1.4.2) имеет различные действительные корни Г12 = ±\^-А, а общее решение уравнения (О имеет вид у = + Сге’"^^. Краевые условия ( I ) дают = С; = О, т.е. у = О 2) Если А = О, то у = С 1 1 -(-Сг. Здесь также С| = С2 = О и у н 0. 3) А > 0. Характеристические числа: Г |.2 = ±:\/А. Общее решение уравнения (I): у = С| С05 \/А I -I-Сг у'А I . Краевые условия (I) дают С| = О, Сз 51п \/А/ = 0. Здесь С 2 ^ О, так как иначе у = О, следовательно. 51п \/А I = 0. Отсюда \/Х„1 = ±пи (п = 1, 2 ,...), те. А„ = (пж/1)^. Если п = 0,то у н 0. Собственным значениям А|, Аг,... соответствуют собственные функции у„(х) = А„&1п’^ х ( п = 1 , 2 , ...), где А„ — произвольные постоянные. Полагая Л„ — ^/2/1, получим ортонормИ' рованную систему собственных функций , . [2 . пп Если А ^ А„ (п = I, 2___), то любая неоднородная краевая задача у" + Ау = /(!)• у(0) = О, у{1) = О имеет единственное решение. Если А = А„, то н е о д н о р о д н а я задача имеет бесконечное множество решений (см. пример 65) при в ы п о л н е н и и условия разрешимости. Р" 11.1.4.6. Интегрирование уравнений с помощью степенных рядов 1. Линейное уравнение вида (11.59) порядка выше первого с перемен ными коэффициентами не может быть в общем случае проинтефировано в конечном виде (т.е. в квадратурах). Один из наиболее распространенных ме тодов интегрирования таких уравнений основан на представлении искомого решения в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами, если коэффициенты уравнения являются аналитическими функциями, т. е. могут быть представлены в виде степенных рядов с известными коэффициентами. Идея этого метода состоит в том, что ряды, представляюшие коэффициенты уравнения и искомого решения, подставляются в уравнение, а затем при равниваются друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях х , что позволяет найти неопределенные коэффициенты ряда (см. также 11.1.2.9). Примечание. Функция /(х) называется аналитической в точке 1о, если в некоторой окрестности \х — Ха\<б этой точки она представима в виде степенного ряда по сте пеням {х - Хо): 00 а„(х - /( X ) = (11.78) п=0 Если /(ж) обладает этим свойством в каждой точке Хо интервала (а; Ь), то она назы вается аналитической в интервале (о; 6). Аналитическая функция имеет производные всех порядков. Разложение (11.78) функции /(х) может быть записано в виде ряда Тейлора для этой функции в точке Хо'. П х ) = /(Хо) -и Е ^ / “ ’(*о)(х - х„)‘ . (11.79) 2 . Т е о р е м а Коши о с у щ е с т в о в а н и и и е д и н с т в е н н о с т и а н а л и т и ч е с к о г о р е ш е н и я « д а ч и К о ш и . Задача Кош и для линейного уравнения п-го порядка + . . . + р „^ ,{х )у ' + р „(х )у = У{хо) = Уо, у(хо)=у'о / (I), = Уо. у'о, ■■■, Уо” '^ — любые заданные чиош, при условии, что функции Р |(х ), >Рп{х), / (х ) ана^штичны в точке Хо, имеет единственное решение, анали'Чическое в точке Хо, причем ряд ^ У= Уо+ ^ { х - х „ ) -Н § ( х - х „ ) ' -Ь . . . + ( ^ ^ ( г - * о ) ‘" - " + - Н а „ (х - х 0)“ - ь а „+ ,(х - х „)"+ ' -Н ..., (11.81) ^Р^^тавляющий э т о решение, сходится в то м ж е промежутке, в котором схо^^^ся ряды, представляющие р \ (х ),... ,р п (х ), / (х ). Коэффициенты ряда (11.81) могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов, либо методом последовательного дифференцирования уравнения. Для этого сле дует вычислить производные у почленным дифференцированием ряда (11.81) и подставить затем полученные ряды, а также ряды, представ ляющие функции р ь- -,Рп. / в окрестности точки Хо, в дифференциаль ное уравнение (11.80). Приравнивая в полученном равенстве коэффициенты при одинаковых степенях (х - Хо), получим уравнения для нахождения а„. Сходимость полученного ряда (11.81) обеспечивается выполнением условий теоремы Коши. Пример 68. Найдем аналитическое решение задачи Коши » " + у3 ^г/ = 1п ( 1+ 1); у(0) = 1, !/'(0) = - 1. ( 1) Решение. В этом уравнении I - * = ж (И - а ;- |- г^ - Ь х ^ ...) 1п (I + I ) = I - у -1- у а) ( - 1< - .. . К 1), ( - 1 < 1 ^ 1). Метод неопределенных коэффицие1гтов. Решение ищем в виде ряда (хо = 0) у = Оо + 0 , 1 + агХ^ + О зж ’ 4 - 04Ж'' + 0 5 1 ’ (2) сходящегося в интервале - 1 < х < 1. Производные у' и у" равны у = в 1+ 2021 Ц- Зоз*^ 4а,х’ + Ьа^х* + .... у" = 2а 2 + 3- 2а,X + 4 ■304*^ -Н5 •4051’ -Н ... . При помощи начальных условий найдем Оо = 1, о, = - 1. Подставляя все ряды в урав нение (I), получим (2о2 -I- 3 ■2оз1 + 4 ■304*^ + 5 ■405Х’ + ...) + + х(1 + X + х^ + х^ х’ + . . . ) ( ! - X + агХ^ + а,х^ + ...) = х ~ — + — - . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях предыдущего равенства, получим систему уравнений о 2о2 = о, 3-2оз + I = 1, 4 - 304 = - у 5 ■4 о 5 + 0 2 = ^ , из которой получим; I Искомое решение: 2-3-4 3-4-5 4-5-6 б) Метод последовательного дифференцирования уравнения. Коэффициенты ряда (2), начиная с 02, находим по формуле (см. (11.79)) а, = 1 У ’\0 ) (Л = 2,3,...), в которой производные находятся последовательным дифференцированием уравне ния (I). Из (I) при ж = О с учетом начальных условий следует у"(0) = О, т.е. Ог = 0. Дифференцируя (1) и подставляя у = \, у = —] при х = О, получим у"'{0) = О (й) = 0). Аналогично, у**^(0) = - I , !/*’*(0) =1-2, !/*‘*(0) = -I -2-3, ... . Таким обра зом, для решения получается тот же результат. > 3. Интегрирование линейных однородных уравнений второго порядка. Рас смотрим уравнение второго порядка у " + р { х ) у '+ д{х)у = О, (11.82) где р{х), д(х) аналитичны в точке Хо. Пусть требуется найти фундаментальную систему решений у|(х ) и у 2{х ) (см. 11.1.4.1) уравнения (11.82), аналитических в точке Хо. Обычно эти решения выбираются так, что они удовлетворяют начальным условиям у ,( х о ) = 1, 2/ '| ( х о ) = 0 , У2 {Хо)= 0, У2(Хо) = \. Решения У[{х), у 2(х ) ищутся в виде рядов 00 У\ = И - Х ^ а * ( х - Х о ) * , У2 = х - Х о + ' ^ Ь „{х - Хо)*, *= 2 сходящихся в той же окрестности точки Хо, что и ряды, представляющие р (х) и ?(х ). Общее решение уравнения (11.82) записывается в виде у = С,У\{х) + С2У2{Х). Примечание. Если уравнение имеет вид Ро(х}у' + Р 1{х)у'+ Р 2(х)у = О, где Рц, Р|, ^^2 — полиномы от X, то ряды для !/|(х) и У2{х) можно подставлять непосредственно в это уравнение. Пример 69. Найдем фундаментальную систему решений уравнения у" + у = О, ана литических в точке 1 = 0. Решения, удовлетворяющие начальным условиям (11,83), ищем в виде рядов 00 00 1/1 = 1 + У2 = х + ^ ь „ х \ *=| *=| имеющих радиус сходимости Д = оо. Находя коэффициенты этих рядов, аналогично примеру 68, получим искомую фундаментальную систему решений х‘‘ х’ У 2 = * - - + - - . . . = 51111. 4. Интегрирование уравнений с помощью обобщенных степенных рядов. Если дифференциальное уравнение имеет вид (Х - Х й )^ у + ( х - Хо)р(х)у + ^ (x )р = о, (11.84) где р (х ), д(х) аналитичны в точке Хо, то точка Хц называется регулярной особой точкой этого уравнения. При этом коэффициенты уравнения х-х„ { х - ХоУ неограничены при х -> Хо- Решение уравнения (11.84) ищется в виде обоб щенного степенного ряда С» 2/ = (х - Х о ) '’ ^ а * ( х - Х о ) * , к=0 (11.85) где р — некоторое действительное число, предполагается, что Оо # 0. Ряд (11.85) сходится в той же окрестности точки Хо, что и ряды ОС ОС А=0 к=0 Подставляя в (11.84) ряды, представляющие функции р . д , у , у ', у " , приводя подобные члены и приравнивая к нулю коэффициенты при различных степе нях (х - Х о ) , получим уравнения для вычисления коэффициентов а^. Первое из этих уравнений дает определяющее уравнение для нахождения р\ р(р - 1 )+ р оР + до = О, корни которого обозначим р\,рг. Здесь возможны три случая. I) Если р\ - р 2 не равно целому числу, то по формуле (11.85) можно постро ить два линейно независимых рещения, образующих фундаментальную систему: У\ = (х - Хо)''' ^ а*(х - Хо)‘ , У1 = ( х - Хо)'" ^ Ь к ( х - Хо)‘ . 2) Если Р] — Р 2 — натуральное число, то можно построить двалинейно независимых решения: 00 - У \ = ( х - хо)'” ^ ак(х к=а 1о)*, 00 У2 = Ьу\ 1п (х - Хо) + (г - Ьк(х - хо)\ к= 0 где Ь — некоторое число. Если 6 = О, то получается случай 1). 3) Если р^ = Р 2, то решения и у 2 строятся, как в случае 2). У равнение Бесселя х ^ у "+ х у + { х ^ - т } ) у = 0, где т ( 11.86) — заданное число, имеет регулярную особую точку х = 0. Согласно вышеизложенному, находим определяющее уравнение р(р - 1) + /5 = О и его корни р 1 = т , Р 2 = Решение уравнения (11.86) ишем в виде У = х™(оо + 0 |Х + 02Х^ + . ..) . Подставив этот ряд в уравнение и приравнивая к нулю коэффициенты при различных степенях х, начиная с х’"'*'', найдем значения 01, 02, . . . . Полученный ряд, в котором принято, что 1 Оо = 2 '"Г(тп + 1 )’ где Г — гамма-функция, определяет функцию Бесселя первого рода ш -го порядка: ^^^x) = о„х™ I - ••• + ( п=о 2^ ( т + 1) 2'*2! ( т + 1) ( т + 2) 2 ^ "п !(т + 1)(тп + 2) ••• (тп + п ) ^ , п !Г (п + т + 1) ( 2 ) Этот ряд сходится по признаку Даламбера при любом х . Здесь р\ - р2 = 2 т . Следовательно, если т не равно целому числу, то общее решение уравнения ( 11.86) имеет вид у = С^^„,(x) + С 2^ - т (x ), где ряд 3^т(х) получается из ряда выполняется равенство ^ - т {x ) = 7 „ ( х ) заменой т на ( - т ) . Для целых т Если т — натуральное число или нуль, то общее решение уравнения ( 11.86) равно где 00 ^ т ( х ) = Ь ■ ^ „(x )1 п x + х-"" ^ Ь ,х \ 1с=0 Для т = 1/2 и т = -1/2 имеем ^ \ |2 (x )= = У _ 1 / 2 (х ) = V 7ГЖ ч/— V 7ГЖ С 05Х . Применяются также м о д и ф и ц и р о в а н н ы е ф у н к ц и и Б е с с е л я п е р в о г о р о д а тп - г о п о р я д к а чисто мнимого аргумента 00 I / ^ \ 2п+т удовлетворяющие дифференциальному уравнению х^у" + х у - (х^ + п ? ) у = 0. Справедливы р е к у р р е н т н ы е с о о т н о ш е н и я : X ^ [ х ~ ™ 7 „ (1 )] = - х “ ” / „ + 1 (х ), ^ [ х ™ / „ ( х ) ] = х "‘7„_1( х ). У р а в н е н и е м Л е ж а н д р а для целых неотрицательных п называется урав нение -п (п + 1}у 5 ( 1 - х^)у" - 2ху' + п {п + \)у = 0. (11.87) Точки X = —I, X = 1 я в л я ю т с я для н е г о р е г у л я р н ы м и о с о б ы м и . Р е ш е н и я м и у р а в н е н и я (11.87) с л у ж а т полиномы Лежандра Р „{х ): Ро(х) = 1, Р |(х ) = х, Р з(х ) = ^ (5 х ' - Зх), 2. Р 2(* ) = ^(Зх^'- 1), Р ,{х ) = 5 ( 35х'‘ - ЗОх^ + 3), о .... Полиномы Лежандра могут быть найдены по ф о р м у л е Р о д р и г а На отрезке -1 1 выполняются неравенства |Рп(2;)| ^ 1. Полином Р п {х) имеет п простых действительных корней, расположенных в интервале - К г < 1. Для полиномов Лежандра выполняются равенства (п + 1) Р „ + 1( г ) - ( 2п + 1) г Р „ ( х ) + п Р „ _ , ( г ) = 0; I ^ Р „(г )Р „(х )Й 1 = -1 где = 1 при т = п; 11.1.5. = О при т ф п. Линейные системы диф ференциальных уравнений П . 1.5.1. Основные понятия Линейная система дифференциальных уравнений у'\ = Р\\{х)у\ + Р п (х )у 2 + ••• + Р |„(х )у „ + / ] ( ! ) , »2 = Р 2 г(х )г/1 +Р 22(х)у2 + ■ ■■ + Р2п{.х)Уп + /2 (х ), ( Ц 88 ) !/п = Рп1(х)»| + Р „ 2(Х)У 2 + . . . + Р„п{х)Уп + /п(х) называется о д н о р о д н о й ( н е о д н о р о д н о й ) , если все Д (х ) = О (хотя бы одно из М х ) ^ 0). С у щ е с т в о в а н и е и е д и н с т в е н н о с т ь р е ш е н и я . Если все Р {]{х ), /|(х ) непре рывны в некотором интервале (о; Ь), то существует единственное решение » |= » |(* ). Уп = Уп{х) системы ( 11.88), удовлетворяющее начальным условиям У\{х) = Ую, •••. Уп(х) = упо при Х = Х0 из (а;(>), Хо, Ую, . .. , у „0 — заданные числа ( н а ч а л ь н ы е д а н н ы е ) . Функции решения !'|(х ),. . . , у „{х ) непрерывно дифференцируемы в (а; Ь). Геометрически решение системы (11.88) изображается интефальной кри вой, проходящей через точку (хо, Ую Упо) в (п + 1)-мерном пространстве ’^чек ( х , у ,у „ ) . Если ввести в рассмотрение матрицы Г (х ) = г /|( х )' у\(х) У2(Х) У2(х) , У '{х ) = 1\(х) Р(х) = , у'п(х)_ > (*). Р ( х ) = \ р ф )\ = /п (х )_ >11 Р\г ••• Р т Р 21 Р 22 •■■ Р 2„ Риг ■ .Рш Н(х) Рпп. то систему ( 11.88) можно записать в матричном виде (11.90) У ' = Р ( х ) У + Р (х ). Примечание. Для записи вектора-столбца У (х) далее используется также обозначение Г ( 1) = у „} (см. 1.3.1.1). Общее решение у, = . .. , С „ ) (г = 1,2, . . . , п ) системы ( 11.88) или (11.90) содержит п произвольных постоянных С \ ,. .. , С „ , которые могут быть найдены при помощи начальных условий. Свойства решений однородной системы. Рассмотрим однородную систему У ' = Р (х )У . (11.91) Если У^ = {у |,(х ), У2, ( х ) , . . . , у „ ,(х )} (« = 1,2) — два решения-столбца си стемы (11.91), то К = С\У\ -I-С2У2, где С ь С г — любые числа, также является решением системы. Решением системы (11.91) будет линейная комбинациялюбого конечного числа решений ^.(х) этой системы т г = х ; с ,у ,(х ). 1=1 Решения У \ ( х ) , , У т (х ) системы (11.91) называются линейно независимыми в (а; 6), если их линейная комбинация удовлетворяет тождеству У {х ) = 0 только в случае С\ = . .. = С „ = 0. Всякая совокупность п линейно неза висимых решений У\(х) (1 = 1 п) системы (11.91) называется ее фунда ментальной системой решений. И з фундаментальной системы решений можно составить фундаментальную матрицу, столбцами которой являются эти реше ния У^ (г = I , . . . , п ) : \^(х) = (У ,,У 1 , . . . , У „ ) = >11 (г ) У21(х) г/12(х ) . ■■ У\п(х)' »22(Х ) ••• У2п(х) Л/-1(х) УпЛх) ■■• Упп(х). Совокупность п решений системы (11.91) только тогда является фундамен тальной системой решений, когда сушествует точка Хо из (о ;Ь ), в которой определитель Вронского Д (х ) = <1е1№'(х) отличен от нуля, т. е. Л(х о ) ф 0. При этом Д (г ) ф О для любого х из (о; Ь). Однородная система (П-91) с не прерывными коэффициентами р^^{x) всегда имеет фундаментальную систему решений. Общее решение (вектор-столбец) однородной системы (1 1.91) имеет вид ли нейной комбинации векторов-столбцов фундаментальной системы решений У = С ,Г ,( х ) -Ь С2 У2 (х) + ... + С „ У „ ( х ) , где С 1,С 2,... ,С п — произвольные постоянные, значения которых при за данных начальных условиях находятся из системы Ую = С '1У п ( х о ) -I- С 2г/|2(Хо) -Ь . . . -И С „У 1„(Х о ), У20 = С'|У21(Хо) + С 2!/22(Хо) + ■■■+ С„!/2п(хо), !/пО = С',!/„,(хо) Сг!/„2{хо) + . .. -I- С „у „„(х о ), определитель которой Д (х о ) ф 0 . Общее решение системы (1 1.91) можно записать также в матричном виде У = Ц '(х )- С , где С = {С ь С 2, . . . , С „ } — постоянный вектор-столбец. О б щ е е р е ш е н и е н е о д н о р о д н о й с и с т е м ы (11.90) имеет матричный вид У = г { х ) ■С + У (х ), где У — общее решение-столбец системы (11.90), 2 (х ) — фундаментальная Матрица однородной системы 2 ' = Р ( х ) 2 , С — постоянный вектор-столбец, У (х ) — частное решение-столбец системы (11.90). " •1.5.2. Системы с постоянными коэффициентами О д н о р о д н ы е системы. Рассмотрим однородную линейную систему урав нений у’\ = « 112/1 + “ 1292 + •■• + У1 = “ 212/1 + “ 222/2 + •.. + лтУ п, (11.92) 2/1 = “ «12/1 + “ п22/2 + •••-Ь ОцпУп, где — действительные числа. М атричная запись системы (И .92) У' = А У, ■■Де К = {у |, У2....... 2/п } — вектор-столбец неизвестных функций, А = [а^ | — ^трица размера п х п из коэффициентов. Частное решение системы (11.92) ищ ется в виде у, = , у 2 = А 2с'^, у „ = А „е '^ , где Л* — некоторые числа, г — число, одинаковое для всех ф ункций, образующих рещение. Подставляя это рещение в (11,92), получим систему для нахождения чисел Л^ (оц — г)А\ + 0 |2>42 + . . . + а\пА„ — О, <»2|-41 + (о 22 - г )А 2 + . . . + а 2пА „ = О, (1 1 .9 3 ) « 1.1^1 + а „ 2Аг + . . . + (а „„ - г )Л „ = 0. Эта однородная система имеет ненулевое решение только тогда, когда ее определитель равен нулю, т. е. Р (г ) = Он - г 021 а„| а ,2 0 |„ « 22- г с^2п «П2 = 0. ■ О пп-Г Уравнение Р { г ) = О называется характеристическим уравнением, а его корни характеристическими числами. Рассмотрим частные случаи. 1. Если все п характеристических чисел действительные и различные, то, подставляя каждое из них, равное (к = 1, 2 , . . . , п ), вместо г в ( 11.93) и решая полученную систему, найдем какое-либо ненулевое ее решение А 21с, , Апк (эти числа определяются с точностью до постоянного мно жителя). Частное решение-столбец, соответствующее значению г*, имеет вид: = {у^^, У2Ь •■■, Л 2*е’■ ‘^ . . . , И з этих п решений-столбцов может быть составлена фундаментальная мат рица \У{х) = |^/^^| системы (11.92): »У(х) = (Г,,.. ■,Уп) = ’Апе^'" Апе'^^ . ^2,е^'" А22е'-^^ . Л2в’'=* . Общее решение — столбец системы (11.92) имеет вид Г = { у , , у 2, . . . , Уп} = 1 Г(х ) •С = С ,У ,(х ) -Ь ... -Ь С „У „{х ), где С = {С ь С г ,. . . , С „ } — постоянный столбец; или У] = С 1 + С2^4^2е'^^^ -I- ... -Н С „ А ]„ е ’^’'^ и — 1, 2 , . . . , п). Пример 70. Решим систему дифференциальных уравнений ^ = 4у - г, Лх ^ = - 6у + Зг. Ах Решение. Составим характеристическое уравнение 4-г -1 -6 3-г = - 7г + 6 = О, имеющее корни Г| = 6 , Гг = I . При Г] = 6 система ( 1 1.93) для нахождения Х |, Лг при нимает вид - 2 А ,- Л 2 = 0, - 6Л | - З Л 2 = 0 и сводится к одному уравнению 2А, + Л ; = 0. Примем, например, А, = \, тогда Кг = -2. То есть числу г, = 6 соответствует частное решение ух = е‘*, г, = -2е‘” . Аналогично для числа = 1 найдем частное решение у 2 = е*, 22 = Зе*. Запишем фундаментальную матрицу системы У\ г, VI ^ е гг] [- 2е‘^ е' Зе* Общее решение системы находится по одной из двух формул: 1) 2) = С. + С2 С\У\ + С 2У2 С\г\ + € 2^2. «2 2, сС С,е'“Н-Сзе' +гС 2е\ 2, 2 2;. ,-2С,е‘* !/1 т.е. у = С ,е ‘' + С ге ', г = - 2С ,е'’^ + ЗС 2е^ > 2. Пусть все характеристические числа различные и среди них есть ком плексные, которые всегда встречаются комплексно сопряженными парами, например, Г] = а 4-»/3, Г2 = а - 1/9 . Подставив Г] + вместо г в (11.93) и решая полученную систему аналогично предыдущему, найдем комплексные значения = 04 -Ь >6»: (* = 1, 2 , . . . , п ). Частное решение оказывается ком плексным и имеющим вид 2/1 = (о, -Ь «6,) ехр { ( а 1Р )х ), Уп = (ап + гЬ„) ехр { ( а + >/3)х}. '■Де ехр{<} = е‘ . Действительные и мнимые части в этом решении дают 'Соответственно два линейно независимых действительных частных решения 'системы (11.92). Сопряженный корень Г2 уже не дает новых линейно неза висимых решений, т.е. каждой паре Г ь Г г комплексно сопряженных корней соответствуют только два линейно независимых действительных частных ре шения. Найдя все линейно независимые частные решения системы, можно вписать общее решение системы (аналогично случаю 1). Пример 71. Рассмотрим систему уравнений Характеристическое уравнение ( - 7 - г ) ( - 5 - г ) - 1-(-2) = г^+ 12г+37 = О имеет корн» г, = - 6 + «, Г 2 = - 6 - 1 . При г = г, система ( П . 93) принимает вид (-1 - » )Л , =0, -2Л| + (1 - г)А 2 = О и сводится к одному уравнению, полагая в котором Л, = I, получим А -1 = 1 + 1 . Отделяя действительные и мнимые части в комплексном частном решении у ц , г [ 2'. У1.2 =У\ + >У2 = ехр { ( -6 + 1 ) 1 } = е“ ‘*(со51 + 18 Ш 1 ), «1.2 = 2, + ггг = (1 + < ) ехр { ( - 6 + •)!} = е‘ '“ (1 + «)(со5 1 + « 5ш х) = = е'** [(С08 X - 5Ш I ) + г(51п I + С08 ж)] , получим два линейно независимых частных решения (у 1, 2 |) и (уз.гг): У 1 = е " ‘ 'со 5ж , !/2 = 51П Ж , г| = е"‘ '(со 8 1 - 81П х); «2 = е " ‘ *(со 8 X + 5Ш I) . Общее решение исходной системы имеет вид у = С^у, + С2У2 = е '‘*(С| С05 I + С2 51Пх), г = С ,г,+ С222 = е” ‘'[С|(со51 - 51Пх) + С2(с05Х + 81п х)]. 3. Если среди характеристических чисел имеется число Г) кратности т . то соответствующее ему решение системы (11.92) ищется в виде У 1 = Р \(х )е’’'^, у 2 = ^’2(x )е ’■'^ ..., у „ = Р„(х)е'''^ , где Р | ( г ) , Р 2( х ) , , Р п (х) — полиномы степени ( т - 1) с неопределенными коэффициентами, которые путем подстановки этого рещения в систему (11.92) выражаются через т произвольных параметров. В частности, эти полиномы могут обратиты;я в п чисел, из которых только т произвольны, и через них выражаются все остальные. Полагая в полученном рещении последова тельно один из параметров равным единице, а остальные — нулю, получим совокупность т линейно независимых частных р>ещений. Если число Т\ " действительное, то полученные частные решения действительны. Если Г 1 = а + 1/3 — комплексное кратности т , то имеется также характеристическое число а - %Р кратности т . Найдя т линейно незави симых комплексных частных решений, соответствующих числу Г| = а + *Р (аналогично случаю кратного действительного корня) и отделяя в них дей ствительные и мнимые части, получим 2т линейно независимых частны* действительных решений. В общем случае среди п характеристических чисел имеются простые действительные числа (каждому из них соответствует одно частное действи тельное р еш ение); пары простых сопряженных комплексных чисел (каждо* паре соответствуют два действительных частных р еш ен и я); действительны® т г Ч ’этаь'2 числа (каждому соответствует Ш ) действительных реш ений); ГП2-кратные пары комплексных сопряженных чисел (каждой паре соответ ствуют 2я »2 действительных частных решений). Пример 72. Решим систему уравнений У 1 = 2 » 1 + !/2 , У2 = 2У1+У1, Уз = 2уз. (1) Решение. Характеристическое уравнение 2-г О О I 2-г О О 1 = (2 - г)5 = о 2-г имеет трехкратный ( т = 3) корень Г| = 2, поэтому решение ищем в виде р, = (Аох^ + А ,х + Л 2)е^. У2 = (В о х Ч В |а : + В 2)е^*, Уз = Подставляя У),У2*УЗ в ( 1), получим 2АоХ + А| = + В|Ж + -Вг, 2ВоХ + В ] — "Ь 2Ло« + + /?2’ = 0. Отсюда находим Во = 0. 2Ао = В ,, А, - В 2. Ло = 0. 2Во = 1^1, В , = />2, = О, т. е. Во — О, 1?о — ^1 = 0 , В [ = 2Ао, В 2 = А[, /?2 ~ 2Ао, где А^, А], А 2 — произвольные параметры. Следовательно, у, = {АоХ^ + Л,х + у2 = (2Л)Х + Л ,)е^ , уз = 2Лов^*. Три линейно независимых частных решения-столбца, соответствующих трехкратному ’^^Рактеристическому числу г = 2 и образующих фундаментальную систему решений, Имеют вил У\ = {У 1 ь У 2 1 ,У з 1 } = 5 ^ 2 -^ У 1 2 ,У 2 2 .У з2 } = {ж ^ е ^ ,2 х е ^ ,2 е ^ }, {x е ^ ,е ^ О }, Уз = {У13,У2з.Узз} = {е ^ ,0, 0}. ^Щее решение системы ( 1): V = {у ь У2 , У з } = ^ 1^1 + С2К2 + С 3У 3 , т.е. VI = С[У\\ + С2У12+ С3У13 = С\Х^е^ + Сгхе^ + , У2 — ^1У21 + С 2У 22 + С^у2з = 2С\хе^^ + Сге^^, Уз = С'|Уз 1 4 - С 2У 32 + С з у з з = 2С\€^. О Неоднородные системы. Общее решение-столбец У неоднородной линей ной системы с постоянными коэффициентами П у[ = {* = 1 ,.. ., п ) (11.94) 3= 1 равно сумме какого-либо частного решения-столбца У = {у\, ■■■,У п ) не однородной системы (11.94) и общего решения-столбца соответствующей однородной системы П >=| У = у + с ^ г , + . .. + с „ 2 „ , где 2 ^ ,... , 2 п — вектор-столбцы фундаментальных решений однородной си^ м ы ; С |, . . . , Сп — произвольные числа. Д ля нахождения частного решения У можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных, соглас но которому постоянные С, в общем решении-столбце 2 = С\2[ + . .. + С „2 „ однородного уравнения заменяются неизвестными функциями С^(x), т.е. част ное решение У системы (11.94) ищ етсяввиде У = С ] { х ) 2 1 ( х ) + . . .+ С „(х )2 „(х ). Подставляя выражение У = {у ь •■■, !/п} в (11.94), получим систему диффе ренциальных уравнений для нахождения функций С {{х ). Пример 73. Найдем обшее решение неоднородной системы Решение. Для соответствующей однородной системы г\ = 22. Л2 = г, (2) характеристическое уравнение имеет вид (- г )(- г ) - 1 = - 1 = 0. Его корни Г| = Ь Гг = —1. Аналогично примеру 70 находим общее рещение системы (2): 2| — + О26 *, ^2 = *. Частное решение У = {у ^ у г} системы (1) ищем в виде у, = С ,(1)е 'ч - С 2(х )е ", Подставляя (3) в (1), получим (У\{х) = у 2 = С,(х)е’ - С 2(х )е - . С^(х) = (3) Интегрируя и полагая 3 I постоянные интегрирования равными нулю, получим С,(х) = -х. С 2(х) = --е Частное решение системы (1): ^ т 1 . у, = -хе - -е , 3 ^ 1 , У; = -хе + -е . 21 ■ Обшее решение системы (I): У1 = У1+ 2 “ 7^^ + С|е* + Сгв 4 !/з = У2 + ^2 = 2*®^ + 4®^ ■*" (4) ” ^ 2^ *, где Сь Сг — произвольные постоянные. Если при нахождении С](х), Сз(х) постоянные интефирования не полагать рав ными нулю, то выражения (3) сразу дадут общее решение (4) системы (I). > 11.1.6. Теория устойчивости Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Лт ^ = / , ( < , Х ь . . . . х „ ) (^ = 1 ,.. .,п ) , (11.95) т где правые части непрерывны по совокупности всех переменных I, и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем пере менным X] (т. е. удовлетворяют условиям теоремы Пикара сущ ествования и единственности реш ения). Решение системы (11.95), удовлетворяющее на чальным условиям x^{^о) = Хй (* = 1........ ” ). запишем в виде I. = х;(«;<о,Х|о, ••• ,Хпо) = (11.96) где x^ — непрерывные ф ункции от < и начальных значений <о>Хю , •••■Хпо в некоторой области изменения этих величин. Если под аргументом I по нимать время, то всякое частное решение (11.96) системы (11.95) можно рассматривать как движение некоторой и з о б р а ж а ю щ е й т о ч к и М { х \ , . .. , х „ ) в п-мерном пространстве, начавшей свое движение при < = <о из положе ния М о (г|о ,. . . , х „о ). Далее предполагается, что решение (11.96) существует на бесконечном промежутке «о ^ < + °о . Некоторое решение (движение точки) (11.96), подлежащее исследованию на устойчивость, называется н е в о з м у щ е н н ы м р е ш е н и е м ( д в и ж е н и е м ) . Решение (движение) Х{ = х,(<; <о. хю , ••., х„о) = x^{^), соответствующее новым на чальным условиям x^(^о) = Хй при I = 1ц, называется в о з м у щ е н н ы м р е ш е н и е м (движением), а числа (х,о — Х(о) — ( н а ч а л ь н ы м и ) в о з м у щ е н и я м и . Изображаю щая точка М ( х ь - - ,х „) возмущенного движения начинает свое движение " 3 положения М о ( х ю , . . . , х„о) при I = 1а- Невозмущенное решение (движение) (11.96) называется у с т о й ч и в ы м п о (или просто у с т о й ч и в ы м ) , если для каждого числа Е > О найдется Число д{е) > О такое, что для Хц, для которого |х*о - х » ! < <5(е) (« = 1 ,. . ., п ), ® промежутке 1о < +ос выполняются неравенства Л япунову |х;(< ;«о,х,о,. . . ,х „о ) - Х((<;<0 , Х ю , . . . ,х „о )| < г (« = 1,.. . ,п). Ь:ли же для некоторого е > О нельзя найти такого <5(е), то движение (11.96) Называется н е у с т о й ч и в ы м . Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л у с т о й ч и в о с т и состоит в том, что координаты Х \ ,... , х „ переменной точки М возмущенного движения отклоняю тся от со ответствующих координат X I , . . . , х „ точки М невозмущенного движения на величины, не превышающие е в любой один и тот же для обеих точек момент времени I ^ 1о, если только возмущения не превыщают д при I = /(,, Невозмущенное движение (11.96) называется асимптотически устойчи вым, если оно устойчиво и, кроме того, существует достаточно малое число йо > О такое, что Н т |х ((0 - х ^ (« )| = 0 1— *СС (г п) (11.97) при условии |Х(о-гй|<<5о (* = 1 ,...,п ). В этом случае все разности хД<) - хД() стремятся к нулю при неограниченном возрастании времени, если только возмущ ения {x^о - х^о) достаточно малы. Если свойство (11.97) выполняется при любых х,о (*■ = 1 ,.. ., п ) и движение (11.96) устойчиво, то это движение называется у с т о й ч и в ы м в ц е л о м . Переходя в системе (11.95) от неизвестных функций x^ к новым неиз вестным функциям, называемым о т к л о н е н и я м и , у^ = x ^ - Х { { 1 - «о, Х |о ,. . . , х„о) = x ^ - x ^ ( ^ ) , получим систему ^ (11.98) в которой = ^^{^,У\+X^{^),... ,Уп + х „(Ь )) - {^ {^ ,x ^ (^ ),... , х „ { ( ) ) . Началь ные условия для системы (11.98) имеют вид: у;(<о) = x^о - Х(о = уцу. Если все отклонения равны нулю, т. е. = О (» = 1 ,..., п ), то возмущенное движение Х{{1) совпадает с невозмущенным x^{^) для I ^ (о. При этом дня правых частей (11.98) выполняются равенства О ,. . . , 0) = 0. В п-мерном пространстве точек ( у , у „ ) невозмущенному д в и ж е н и ю соответствует н е п о д в и ж н а я т о ч к а ( н у л е в о е р е ш е н и е ) — начало координат, соответствующее нулевым начальным условиям у^(^о) = 0 (( = 1,...,п )Таким образом, задача исследования устойчивости движения х,(<) сводится к изучению устойчивости нулевого рещения = О (» = 1 ,..., п ) системы (11.98), т. е. необходимо исследовать, будут ли для возмущенного д в и ж е н и я у^(() выполняться неравенства |№(<)| < Е для всех I ^ <о, если при < = выполняются неравенства |у,о| < <5(г). Нулевое решение у, = О н а з ы в а е т с я а с и м п т о т и ч е с к и у с т о й ч и в ы м , если оно устойчиво и , кроме того, Иш у^(^) = ® ДЛЯ достаточно малых у^оПример 74. Уравнение ( / у / ( И = к у , где к — постоянная величина (параметр), имеет обшее решение у = С е ^ . Начальному условию у ( ^ о ) = Уо О соответствует ч а с т н о е (возмущенное) решение Если Уо = получим нулевое (невозмущенное) решение у = О при I ^ <оИсследуем устойчивость нулевого решения для трех возможных случаев. 1) к = 0. Отклонение возмущенного решения у{1) = уо {уо ф 0) от нулевого реше ния = |уо“ 0| = |уо1 < е при всех <> если |уо| < где (5 = г. В этом случае решение у = О устойчиво. ^ |уо| при I > <о- Если положить (5 = е, то |у(<)| < е при условии |уо| < т. е. невозмушенное решение у = О устойчиво и даже асимптотически устойчиво, так как у(1) -> О при I -» +00. Решение у = 0 также устойчиво в целом. 3) к > 0. В этом случае, даже если возмущение уо как угодно мало, величина |у({)| неограниченно увеличивается при I +оо, т. е. возмущенное решение будет неофаниченно удаляться от невозмущенного, что и означает неустойчивость последнего. 2) к < 0. Здесь |у(е)| = Примечание к пр им е р у 7 4 Для уравнения Лх/(И = к(х - а), где к ,а — постоянные, исследование устойчивости решения х = а, начальное значение которого Хо ~ о, сводится к изучению устойчивости решения у = О уравнения йу/(й = ку, которое получается из исходного уравнения, если положить у = х —а. Пример 75. Задача об устойчивости нулевого решения уравнения йу/<й = у^ не может быть поставлена, так как возмущенные решения существуют не при всех I ^ 1ц (см. пример 19,2). Устойчивость решений линейных систем. П усть система (11.98) линейна и имеет постоянные коэффициенты Я у : 5 = (» = 1 , . . . , п). (11.99) ;= 1 ^рактеристическое уравнение (см. 11.1.5.2) этой системы имеет вид Р (г ) = ае( (а ^ ^ - г д у ) = 0 . ^ нулевого решения (невозмущенного движения) у* = О (г = 1 ,.. ., п ) си'^темы ( 11.99) справедливы следующие утверждения. 1- Если действительные части всех характеристических чисел (корней харак теристического уравнения) отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. 2. Если хотя бы одно из характеристических чисел имеет положительную действительную часть, то невозмущенное движение неустойчиво. 3. Если некоторые характеристические числа имеют ненулевые действи тельные части, а остальные — отрицательные действительные части, то характер устойчивости может быть установлен непосредственно из вида общего решения системы (11.99) (см. 11.1.5.2). Прим ер 76. Исследуем устойчивость нулевых решений систем: ч |--' 1--=»^ « I-*' I-» - Решение. 1) Характеристическое уравнение (-1 - г)(-2 - г) = О имеет корни г, = -|, Г2 = -2. Нулевое решение х = 0, у = 0 асимптотически устойчиво. 2) Характеристическое уравнение (I - г )(- 1- г) = О имеет корни Г| = -1, гг = 1. ! Нулевое решение неустойчиво. 3) Характеристическое уравнение + I = 0 имеет корни Г] = - 1, гг = +1. Дифференцируя первое уравнение системы и подставляя Лу/М из второго, получим уравнение + 1 = 0. Отсюда и из равенства у = Лх/сЧ. находим общее решение системы; X = С| со8<+ Сг 51П у = -С| 81П 4 + Сг С08 Видно, что для любых начальных условий х(0) = Жо, у(0) = уо возмущенное решение ограничено, что свидетельствует об устойчивости нулевого решения. 4) Характеристическое уравнение = О имеет корни г, = = 0. Интегрируя по I каждое уравнение системы, получим ее общее решение х = С\, у = С:, которое офаничено для любых начальных условий. Нулевое решение системы устойчиво. > И ссл ед ование усто й чи в о сти реш ений не л инейны х си сте м с пом ощ ью ли н е й н о г о п р и б л и ж е н и я . Применяя формулу Тейлора для ф ункций нескольких переменных и учиты вая, что . .. ,0 ) = О, нелинейную систему (11.98) можно записать в виде ~ = '^ацУ] + <рЛ(^Уь--,Уп) (г = 1 ,...,п ), ( 1 1 . 100) где коэффициенты о^^ = дд^/ду^ { 1, 0, . . . , 0) в общем случае зависят только от I. В частности, если система (11.98) — а в т о н о м н а я ( с т а ц и о н а р н а я ) , тег;(2/ь ■■■ ,Уп) не зависят явно от I, то все а,^ — постоянные, а не зависят от I. Отбрасывая в (11.100) нелинейные слагаемые и п р е д п о л а га я си сте м у а в т о н о м н о й , получим линейную систему вида (11.99), называемую в этом случае л и н е й н ы м (или п е р в ы м ) п р и б л и ж е н и е м для нелинейной системы ( 11.98) или (11.100). Е с л и все корни характеристического уравнения Р { г ) л и н е й н о г о приближения имеют отрицательные действительные части, то нулевое (невозмушенное) движение нелинейной системы ( 11. 100) (в которой все о,; " постоянные) асимптотически устойчиво независимо от вида н е л и н е й н ы х слагаемых кр^. Если среди характеристических чисел имеется хотя бы одно с положительной действительной частью, то нулевое решение н е л и н е й н о й системы неустойчиво независимо от вида (р^. Если отсутствую т характери стические числа с положительной действительной частью, но имеются чисто мнимые, то необходимо дополнительное исследование на устойчивость с примечением нелинейных слагаемых |р^. Пример 77. Исследуем на устойчивость постоянные (стационарные) решения урав нения ^ = х’ - 4х = /(х). (1) Приравнивая /(ж ) к нулю, найдем три корня, которым соответствуют стационарные решения дифференциального уравнения: 1) I = О, 2) а; = -2, 3) х = 2. Исследуем их на устойчивость. 1) Отбрасывая в /(х) нелинейное слагаемое, получим линейное приближение Ле/Л = -4ж, для которого характеристическое число г = -4 < 0. Следователь но, решение ж = О нелинейного уравнения ( I) устойчиво. 2) Раскладывая /(х) в ряд Тейлора /(х ) = /(*о) + / '{хо)(х - Хо) + ■■■в окрестности точки = -2 и удерживая только линейное слагаемое, получим линейное приближение уравнения ( 1) Лх/сЧ = 8(* + 2), или йу/М = 8у (у = ж + 2), для которого характеристическое число г = 8 > О, т. е. решение х = —2 уравнения (1) неустойчиво. 3) Аналогично случаю 2) получим уравнение йх1<й = 8(х - 2), или Лу1Ш, = 8у (у = г - 2), что свидетельствует о неустойчивости решения х = 2 (так как г = 8 > 0). О перационны й метод решения диф ференциальных уравнений (Операционный метод решения задачи Кош и для дифференциального уравнечия сводит эту задачу, при помощи некоторого интефального преобразовак нахождению решения вспомогательного алгебраического уравнения. ^*6ратное преобразование решения этого алгебраического уравнения позво'’яет найти решение данной задачи Кош и. 1- Основные сведения из операцнонного исчисления. Для интегрирования линейных дифференциальных уравнений обычно используется интегральное ®1**®6разомшие Лапласа: 00 ^{р) = ^ [п ^ )\ = I ( 11. 101) О ^Десь р = (т + гш — комплексное число; /(<) — действительная или ком••лекснозначная ф ункция действительной переменной I, определенная при ^ О, интегрируемая в (0; -Ьоо) и удовлетворяющая при всех I ^ О условию ^■^(*)| ^ М е ’’°‘ (действительные постоянные М , <То удовлетворяют условиям М > О, <То ^ 0 ). Н аряд у с (11.101) использую тся такж е записи / (Р ) = Л [/(< ),р ], 7 (р ) = /(<)• Ф ун кц ия /(<) называется при этом о р и г и н а л о м , а функция / (р ) — и з о б р а ж е н и е м функции /(<). При <7 > (То несобственный интефал (11.101) сходится аб солютно и равномерно и определяет в комплексной полуплоскости К е р > щ функцию / (р ), аналитическую в этой полуплоскости и единственную для каждой функции / ((). О с н о в н ы е с в о й с т в а п р е о б р а з о в а н и я Л а п л а с а . Пусть Л [/(< )) = / (р ), тогда справедливы равенства: 1) л [с ,/ ,(< ) + С 2/2« )] = с , л [/,(0 1 + С 2Л [/ 2(<)1. 2) Л|/(а<)| = (а > 0). 3) Л |е “‘ /(<)1 = 7 ( р - а ) 4) Л [е “ ’^‘ / (0 1 = Л р ( а — лю бое). -Ро) 5) Л | / ( < - « „ ) ) = е-‘«'’7 (р ) (Ро - лю бое). (< о > 0 ). 6) Л (< "/ (()] = (- 1 )"7 "^ (р ) (п — натуральное). 7) Л(/< ")(г)| = р " 7 (р ) - [ р " ' 7 ( 0 ) + р " ‘ 7 '( 0 ) + . . . + / ‘" ' ‘>(0)], в частности, л[/'(<)1=р/(р)-/(о), Л | / " (« )1 = Р '/ (Р )- [Р / (0 ) + / '(0 )], л1/"'(()1 = р'7(р) - [р^( 0)+ р /'( 0) + /"( 0)]. 8) Л ^ 1 (т )Л т = ^ 7 (Р ). о 9) Л /(<) ! 7 (9 ) Йд. I 10) Л ^ / |(г ) /2(< - г ) йт = Ш - Ш - Примечание 1. Предполагается, что все функции /(<), рассматриваемые как ориги налы, равны нулю при << 0 . Например, если /(Л) = 1 при <^ О, т о п р е д п о л а г а е т с я , что /(<) = О при I < 0. Примечание 2. Оригинал /{I) определяется однозначно при <^ О по своему извест ному изображению /{р). т - (К е р > 0) Р 1 I" (п — натуральное) Ц (К е р > 0) (Кер > о) р-а (п — натуральное) (Кер > о) (р - а )” 51Па1 -2 (К е р > 0) +а СО&а1 ^ (К е р > а ) сЬ а< (Кер > о) е“ 51ПМ (Кер > о) (р - а У + Ь^ р-а е С05 Ы (Кер > о) (р - а У + 2ар <81П а1 (р^ + а’)2 I С05 а1 (р^ + «2)2 *^Ример 78. Вычислим изображение Л (Кер > 0) (Кер > 0) = /(?)• Используя свойства преобразования Лапласа и таблицу изображений, получим /(р ) = ^ [ЛСе-') + аЛ (() - Л(1)] = ^ _1 1 р+ о р^ р 1 ■ р ^ (р + а ) ' Применение операционного метода к решению дифференциальных урав 2. нений. Пусть требуется найти частное решение х = х(1) линейного уравнения с постоянными коэффициентами Ь {х ) = X*"* + а ,х *""'* + ... + о „_ |х ' + а „х = / (« ), удовлетворяющее начальным условиям х (0 ) = хо, х '( 0 ) = Хо, ..., х ‘" “ '>(0) = х^"“ ‘*. Применяя к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа и обозна чая изображения функций х ( 1) и /(<) через х (р ) = Л[х(<)| и / (р ) = Л|/(()| (предполагается, что эти изображения сущ ествую т), приведем дифференци альное уравнение к веномогательному (операторному) уравнению <р(р) х {р )-^ > (р ) = 7(р), где <р{р) = р " + 01? " ” ' + . .. + о „-|р + а „; ’Ф (Р) = + . . . + х^,"” '*] -Ь + Л\ [р" ^Хо + р" ^х'о + . . . + Хд" + .. . + 0„_2 [рхо + х'о] + 0 „-|Хо- в частности, при нулевых начальных условиях получается ф(р) = 0. Из опе раторного уравнения находим изображение искомого решения х(<): Находя по этому изображению оригинал, получим искомое частное решение х(<). Прим ер 7 9 . Р е ш и м з а д а ч у К о ш и х " -2х" + х = е ^ ‘\ 1 ( 0 ) = О, 1 ( 0 ) = 1, х " ( 0 ) = 1. Решение. З д е с ь '/ '( р ) = (р^*0 + р х'о + х'о ) + а ,( р х о + х!,) Ч- 02*0 = Р - I ; Ф ) = Р ’ + 0|Р^ + “ 2Р + а , = р ’ ~ 2р‘ + р: О пер ато р но е ур ав нени е им еет вид (р’ - 2р^ + Р )* (Р ) - ( Р - I) = откуда Л (е“ ') = Раскладывая правую часть этого равенства на простейшие (элементарные) дроби, найдем 1 I I ----г: + : 4(р+ 1) +' т 4 ,(р - 1) ' 2(р - 1)2 * (Р ) = - Т Г -: Переходя шесь к оригиналам по таблице изображений, получим решение задачи Коши г (0 = ^е' +^<е‘. о 3. Применение операционного метода к решению систем дифференциальных )фавнений. П усть требуется найти частное решение Х\{1),. .. системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами ®'| = + / |(0 . >=| П Х2 = X ] + /2(0- >=1 п 4 = X ] У=| УДоалетворяющее начальным условиям 1|(0) = Х,о, х„(0)=х„о- П рименяя к уравнениям этой системы преобразование Лапласа и обо значая л|х.(<)1 = х,(р), А\мт = ш . Получим систем у операторных уравнений п Р 2.(р) = а<}Х,{р) + Л (р) + 1,0 («■= 1 ,..., п). }=> •*ешая эту систем у линейных алгебраических уравнений относительно изоб ражений x^(р) и переходя затем к оригиналам, получим искомое частное Решение x^{^) (I = 1 , .. .,п ) . Операционный метод позволяет также найти и общее решение системы дифференциальных уравнений. Пример 80. Найдем: общее решение системы х' = х + у - I , у = -2х + 4у + 6/; б) частное решение при начальных условиях х(0) = 1. у (0) = I . Решение, а) Для нахождения общего решения начальные условия запишем в общем виде х ( 0 ) = С (, 2/(0) = С 2. Запишем операторную систему р х ( р ) = х ( р ) + У (р ) - - + С | , Р р у ( р ) = - 2 х (р ) + 4 у (р ) + ^ + ^2. Отсюда, например, по формулам Крамера, находим \ ~ С 2 + 1)р^ + 4 р + 6 ~ р ^ ( р ^ ~ 5 р + 6) * ^ С2Р ^ - (2С ,+ С ,)У + 8р - 6 р2(р2-5р + 6) Раскладывая дроби на элементарные, получим , 3 а:(р) = 2р , 1 1 2С, - Сг - + ^ + -----р-2 1 ~ 2 ,- г , !----, р- 3 4Сг - 2С, + 2 ^ ■ Переходя к оригиналам, найдем общее решение х{1) ==1+1+ ( 2с , - С г - + (Сг - С, + 1)е'‘, У(0 = \ - ^ + ( 2с , - ЗС, - \ У ' ‘ + (4С2 - 2С, + 2)е^‘. б) Частное решение: Ф ) = 1 + (- ^ е ^ ‘ + е^‘; у{ 1) +4е^‘. й 11.2. Дифференциальные уравнения с частными производными 11.2.1. О сн овны е понятия и определения Обозначим через О некоторую область п-мерного действительного евкли дова пространства Е „ точек с декартовыми прямоугольными координатами X I , . .. , х „ . Дифференциальным уравнением с частными производными называ ется функциональное уравнение вида Ч ' ...... связывающее две или более независимых переменных 1 | , . . . , являющ ихся координатами точек из области О , неизвестную функцию и (х х „) и хо та бы одну ее частную производную. Порядок старщей производной неизвест ной функции, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения. Решением (интегралом) уравнения называется функция « (х ,....... х „), удовле творяющая этому уравнению, т. е. обращающая его в тождество в области V . Пример 81. Функция и = является решением уравнения ви да на всей плоскости Оху. Решением будет также любая функция /{х^ - у^), имеющая производные. Общее решение (общий интеграл) уравнения с частными производными является семейством рещений, содержащим, в общем случае, произвольные функции, число которых обычно равно порядку дифференциального урав нения, а не только произвольные постоянные. Частные решения (интегралы) выделяются из общего рещения путем задания соответствующих дополни тельных условий, налагаемых на искомую функцию и ( х \ , , х„ ) или на эту функцию и ее частные производные на некотором множестве точек простран<^теа Е „ (краевые условия). Особыми решениями уравнения называю тся такие дополнительные его решения, которые не могут быть получены из общего чи при каком выборе произвольных функций. Дифференциальное уравнение совместно с краевыми условиями образует краевую задачу. Краевая задача называется корректно поставленной задачей (или коррект ной задачей), если выполнены следующие условия: О решение задачи существует при любых допустимых, не противоречащих друг другу исходных данных задачи; решение единственно для каждого набора исходных данных, достаточных для однозначного вьщеления этого решения; решение непрерывно зависит от исходных данных, т. е. оно устойчиво (при этом достаточно малые изменения исходных данных приводят к малому же, в каком-либо определенном смысле, изменению реш ения). Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному из этих условий, называются ***орректнымн. Обычно, хотя и не всегда, рассматриваются только корректные ’адачи. Дифференциальное уравнение называется линейным, если функция Р ® (11.102) линейно (т. е. в первой степени) зависит от неизвестной функции *' Всех ее частных производных. Линейные уравнения второго порядка назы®*'0тся также уравнениями математической физики и имеют общий вид где коэффициенты а^^,Ь^,с, а также / , — заданные функции только не зависимых переменных В частности, коэффициенты могут бьщ постоянными. Линейное уравнение 1 {и ) = / ( г ........, х „ ) называется линей ным неоднородным (однородным), если / ^ О (/ = 0). Каждая линейна комбинация С 1«1 + . . . + С „ и „ решений линейного однородного уравнении Ь {и ) = О также является его решением. Всякое решение и линейного неод нородного уравнения Ь {и ) = / (если оно сущ ествует) представляется в ввд! суммы частного решения щ этого уравнения и общего решения и соответ ствующего однородного уравнения ^ (и ) = О, т.е. и = «о + « . Квазилинейным уравнением второго порядка называется уравнение, ли нейное относительно старших (вторых) производных неизвестной функции 5, +К*" ё I:) = где коэффициенты а,^ являю тся заданными функциями от тех же аргументов, что и ф ункция Ф. Система уравнений с частными производными ....^=0 где и (х 1, . . . , х „ ), ь {х \ ,. . . , х „ ) , . . . — неизвестные ф ункции, может иметь решение только при выполнении определенных условий с о в м е с т н о сти, налагаемых на заданные функции и их производные. Э т и условия находятся исключением функций и , « , . . . и их производных из с о о т н о ш е н и й , полученных дифференцированием по Х ], . . . , г „ уравнений данной системы Пример 82. Для нахождения условия совместности системы ^ + / ( * , У ) = 0, ^ + , ( х , у ) = о, продифференцируем первое уравнение по у, а второе — два раза по х. смешанные производные от и, найдем искомое условие ду П риравнивая дх^' Любое уравнение или систему уравнений в частных производных можя® привести к системе дифференциальных уравнений первого порядка, р а с с м а т ривая некоторые частные производные как новые неизвестные функции. Решение уравнений с частными производными методом разделения пер«' менных состоит в том, что во многих случаях попытка искать решение в вИДв 11.2. ^^ффвренциальные уравнения с частными производными дает возможность записать уравнение ( 11.102) в разделенной форме / ди, а^«| \ „ С 9ио \ Неизвестные функции и 1,«о должны по отдельности удовлетворять уравне ниям /' йи, <г^и, \ ^ ^ 5«о Зио ^ ^ где С — произвольная постоянная (постоянная разделения), которая нахо дится при помощи заданных дополнительных (краевых и других) условий. В результате исходное уравнение (11.102) распадается на обыкновенное диф ференциальное уравнение для ф ункции и Д х ,) и уравнение с частными производными для функции « 0(12, • .., х „), которое имеет на одну независи мую переменную меньше. К уравнению для щ можно попытаться повторно применить метод разделения переменных и т.д. Существование н единственность решения дифференциального уравнения или системы уравнений с частными производными устанавливается отдельно в каждом случае, даже при выполнении условий совместности. 4 .2 .2 . Уравнения с частными производными первого порядка Дифференциальное уравнение с частны м и производными первого порядка имеет общий вид где р _ заданная функция от указанных аргументов, Х |, . . . , х „ — независи*'ые переменные, х ( х \ , , х „) — неизвестная функция. Частными случаями Предыдущего уравнения являю тся линейное однородное уравнение ^ а .(х ь ...,х „ )— =0 " *<1>азнлинейное уравнение ^ а Д х | ,.- . ,х „ ;г )— = с ( х , , . . . , х „; 2), 1=1 а- с _ заданные функции указанных аргументов. 539 1 1.2.2.1. Линейные однородные уравнения первого порядка Рассмотрим линейное однородное уравнение с двумя независимыми перемен ными =0 (а^ + й ^ о ) , (11.1051 где заданные функции а (х ,у ) , Ь (х ,у ) имеют непрерывные частные про изводные в некоторой области В на плоскости О х у. Предполагается, то решение г(х , у ) уравнения имеет непрерывные частные производные первого порядка. Геометрически решение г = г (х , у ) уравнения ( I I . 105) представляя собой поверхность (интегральную поверхность) в пространстве О х у г. Равен ство (11.105) означает, что производная от г ( х . у ) по направлению вектора (а ;Ь ) на плоскости О х у равна нулю. Кривая на плоскости О х у, в каждой точке которой касательная к ней коллинеарна направлению вектора (а; 4) в этой же точке, называется характеристикой линейного уравнения (11.105). Характеристики являю тся интегральными кривыми обыкновенного диффе ренциального уравнения Лх ^ йу а(х , у ) Ь{х, у ) ■ Параметрическое представление х = х {з ), у = у (« ) характеристики находите* из системы уравнений с1х - = а (х ,у ), (IV ^ = 6(х ,у ). Через каждую точку в О проходит единственная характеристика. Есл* г(х , у) — решение уравнения (11.105), то на каждой характеристике х = !(*)■ У = У(^) функция г(х , у ) сохраняет постоянное значение, так как I дг йх X = йв дх (1з дг Лу дг ду Ла дх дг ду ^ ^ г { х ,у ) = С, где постоянная С имеет разные значения на разных характеристиках. Хара'^' теристики являю тся линиями уровня интефальной поверхности. П усть 7 — заданная кривая на плоскости О х у, не совпадающая с хара'^' теристикой. Обозначим через г длину дуги кривой 7 , отсчитываемую с сО" ответствующим знаком от некоторой точки на этой кривой. Х а р а к т е р и с т И 1 0 < образуют однопараметрическое семейство, для которого параметром я в л я е т с я например, значение г , соответствующее точке А пересечения х а р а к т е р и с т И ки Г (т ), проходящей через точку М ( х , у ) , с кривой 7 (рис. 11.13). Точк^^ М ( х , у ) взаимно однозначно соответствует пара чисел ( т , з ) , где з н а ч е н и е определяет положение точки А и характеристику, а « — положение точки ^ на характеристике, т. е . х = х (т, з), у = у (т , з), или г = Т {х , у ), з — 5(х,У'' Уравнение характеристики в переменных (г , я) имеет вид т = С] = ' Ри с. 11.13 т. е. на характеристике выполняется Г (х , у) = С\, являю щ ееся уравнением характеристики в переменных (х, у). Общее решение уравнения (11.105) имеет вид г { х ,у ) = Р { Т ( х , у ) ) , где Р — произвольная дифференцируемая ф ункция от какой-либо функции Т{х ,у), постоянной вдоль характеристик этого уравнения, т. е. а т {х , у ) йз дТ ах дх йз ду йв на каждой характеристике. Пример 83. Для уравнения в примере 81 дифференциальное уравнение характеристик "меет вид йх/у = йу/г, интегральные кривые которого Т(х, у) = х^-у^ = С| = сопя являются характеристиками, заполняющими всю плоскость Оху. Общее решение №авнения с частными производными (пример 81): и{х,у) = /(х^ - у^), где / — проВДвольная дифференцируемая функция. Вдоль каждой характеристики /(х^-у^) = С, Че постоянная С зависит от постоянной С\, различной на разных характеристиках. Пример 84. Для уравнения о ^ + ^ = 0 (« = и{х, у), а = соп81), где I — время, дифференциальное уравнение характеристик: Лх!Л1 = о. Характеристиками являпрямые !р(х,1) = X - а1 = Сх = С0П81 на плоскости 0x1. Общее решение: “(*,() = / (г - а<), где / — любая дифференцируемая функция. Вдоль характеристик выполняются равенства и(х,1) = }{С \) = С = сопЛ. Полученное решение и{х,1) ^ывается бегущей волной, движущейся вдоль оси Ох слева направо со скоростью а изменения своей формы /(х) на плоскости Охи. Начальная задача (задача Коши). П усть требуется найти частное решение '*•!/) уравнения (11.105), удовлетворяющее начальному условию г/)|., = -г(г(А), у { \ )) = «(А ), где «(А ) — заданная ф ункция на кривой 7 , имеющей параметрическое пред. ставление х = г (А ), у = у(А ) и не совпадающей с характеристиками на какойлибо своей дуге. Задача Кош и решается следующим образом. Для функции <р(х,у), постоянной на характеристике, вдоль кривой 7 имеем »? = ^ {г,г/)|., = ^ (х (А )), у(А ) = Ф (А ). Отсюда А = Л(г}). Вдоль характеристики справедливо г(А ) = » |Л (7)] = V [ К ( 1р (х, 2^))]. Искомое частное решение уравнения (11.105) в области О имеет вид г ( х ,у ) = » [Л (^ (1 ,у ) )]. Это решение содержится в общем решении и удовлетворяет начальному условию. Г е о м е т р и ч е с к и частному решению г(х , у ) соответствует интефальная по верхность г = г ( х , у ) , проходящая через пространственную кривую 7 с па раметрическим уравнением х = х (А ), у = у {\ ), г = ® (А ), проекцией которой на плоскость О х у является кривая 7 |х = х (А ), у = у (А )]. Через каждую точку на 7 , соответствующую значению А, проходит единственная характеристика, являю щ аяся линией уровня для поверхности г — г { х ,у ),т . е . г = »(А ) = сопй вдоль характеристики. Поверхность г = г{х , у ) образована пространствен ными кривыми X = х (я ), у = у (з ), 2 = в(А ) = С0П51, проекциями которы* на плоскость О х у являю тся характеристики х = х (« ), у = у {а ), соответству ющие значениям А. Пример 85. Найдем решение и{х, I) задачи Коши для уравнения в примере 84 с на чальным условием и{х, 0) = ь(х). Линией 7 здесь является прямая <= О на плоскост* 0x1, а в качестве параметра Л возьмем х. На линии 7 имеем ^ I) = х (см. Г*' шение примера 84). Вдоль характеристики справедливо у(х) = V((р) = г(х Искомое решение и(х, I) = » (* - а1) является бегущей волной, форма ь{х) которой* задана в начальный момент времени I = 0. Прим ечание. Если 7 совпадает с какой-либо характеристикой, то возможны следУ®" щие случаи. 1) г(ж, у) = сопя на 7 . Решений в этом случае может быть бесконечное множеств» 2) г{х, у) ^ СОП51 на 7 . Задача Коши при этом не имеет решения. Л и н е й н о е о д н о р о д н о е у р а в н е н и е о б щ е го в и д а ^ а . ( Х | , . . . , 1„ ) ^ .=1 =0 ( 11.Ю^> ^ где функции а^ имеют непрерывные первые частные производные в неКО' торой области В пространства Е „ , рассматривается аналогично случаю независимых переменных. Уравнению (11.106) можно поставить в соответствие два вида систем обыкновенных дифференциальных уравнений: ЙХ| (1X 2 а 1(х 1, . . . , х „ ) 02(г ь •••, х „) ^ = а^(а:ь• ••,Xп ) ■" (11.107) а „ (1 |, •••. Хп) ( » = 1, . . . , п ) . (11.108) Интегральные кривые системы (11.107) или (11.108) в области О называются характеристиками уравнения (11.106). Решение системы (11.108) дает пара метрическое представление г , = x^(^) (г = характеристик. Через каждую точку в I ) проходит одна и только одна характеристика. Решение ,х „ ) уравнения (11.106) остается постоянным вдоль характеристики, так как Область В заполнена семейством характеристик, зависящим от (п ~ 1) па раметров Каждой точке М ( х 1, . . . , х „ ) из В взаимно одно значно соответствует упорядоченная совокупность чисел (Г ] ,. . . , г „_ ], я), т. е. = Т ^ ( x | , , х „ ), 3 = 5 (х | ,. . . , х „). Совокупность чисел (г | ,. . . , т „_ 1) вы деляет характеристику из их семейства, а значение « определяет положение Точки М на выделенной характеристике. Общее решение уравнения (11.106) имеет вид 2 = /'■’(Г |(Х |, . . . , х „ )........ Т „_ ,(х ь . . . , х „ )), где ~ произвольная дифференцируемая функция, — какие-либо ф унк ции, постоянные вдоль характеристик. Первым интегралом системы (11.107) Называется функция ^ (Х |, . . . , х „), обращающаяся в постоянную вдоль инте'Радьных кривых этой системы, т е . (11р д(р ЙХ| д 1р й х „ _ р йз дх\ йз дх „ йз Че x^ = x^{з) — решение системы в параметрической форме. Первым инте•Ралом при этом будет также любая ф ункция Р{<р). Примечание. Иногда первым интегралом называется не функция а равенство = С0П51, связывающее компоненты любого ее частного решения. , Всякий первый интефал системы (11.107) является решением уравнения 'Ч.106), и, обратно, всякое решение уравнения (11.106) является первым ин^^Фалом системы (11,107). Общее решение 2( х ь . . . , х „ ) уравнения (11.106) может быть получено формуле 2(Х | ,... ,х „ ) = Р {> р ](х ,,. . . , х „ ) , . . . , 1р „- 1{х и ■■■, х „ ) ) , где Р — произвольная дифференцируемая функция от аргументов 1р 1, >Р1( х ] , . . . , х „) (г = 1 ,2 ,... , п - I ) — независимые первые интегралы системы (11.107), т. е. такие, что в области О якобиан д{(ри---,'Рп-1) , „ 9 (х ,,. . .,х „ _ | ) ^ Пример 86, • Найти первые интефалы следующих систем уравнений. . (^X^ 1) 3— = аЖз Ж| 4X2 + 3— ажз = -X , +Х 2 . Решение. Умножая первое и второе уравнение системы соответственно на Х\ и Х} и складывая их, получим Л{х] + х1) — у - р - X, +Х2 Отсюда = 2й*з- + г] = С е^’ . Первый интеграл системы имеет вид 1р(Х1,Х2,Хз) = + так как ешоль любой интефальной кривой системы <р{х\, Хг, Жз) — С . Исходную систему можно записать также в виде ЛХ\ — аз 4X2 = х , + Х 2, — аз 4x2 = - Х |+ Х 2, “ 5- = аз и где 5 — параметр. Тогда вдоль интефальной кривой й(р д(р 4х\ ^ д(р 4x2 д(р 4х^ 4з дх\ 4з дх2 4з дх2 4з 4X1 ^ 2) _ = Х 2, ахз 4X2 — ахз ^ р, = - Х |. Решение. Аналогично предыдущему получим ± у , + , 1) = о. Отсюда находим первый интефал ^ (х ,,х 2) = I ? + Задача Коши для уравнения (11.106) заключается в нахождении ч а с т н о г о решения г (х ь ... ,х „) этого уравнения, удовлетворяющегоначальному усл®' ВИЮ 2 ( Х ь . . . , Х „ ) | д = и ( А ь . . . , А „ _ 1) на (п - 1)-мерном многообразии (множестве точек) С , содержащемся в об ласти V и имеющем параметрическое представление х, = x^{X^,.. ■, (1 = 1 ,.. ., п ); V — функция, заданная на многообразии. Если у?((Ж |,. ••> (1 = 1, . . . , п - 1) — первые интефалы системы (1 1.107), то на многообразии О будем иметь Ч, = (Р ,(х ь . . . , 1 „)1 с = ^Р^( г .(А | ,. . . , •••. , А „_ |)) = = Ф |(А |,. . . , А „_ |). Разрешая эту систему относительно А ] А„_1 (в предположении, что это возможно), получим А; = Л,(»7ь . . . , 7/„_|) (I = 1 п - 1). Искомое частное решение в области О , удовлетворяющее начальному условию на С , имеет вид г{х\ Хп) = V Л |(|^ |(1 , ........ 1„ ) ......... 1р „ . ](х и ■■■, х „ ) ) , . . . , . . . , Л „_ , ....... х „ ) , . . . , ^?„-1(х ь . . . , х „)) Примечание. Вопросы единственности решения задачи Коши для уравнений первого порядка рассматриваются в 11.2.2.2. П .2.2.2. Квазилинейные уравнения первого порядка Рассмотрим сначала квазилинейное уравнение с двумя независимыми пере менными х ,у : а { х , у , 2 )р + Ь ( х , у , 2 )д = с { х , у , г ) (а^ + 6^ ^ 0), (11.109) ™ а, Ь, с, — заданные дифференцируемые функции от аргументов х, у, г в некоторой области О пространства О х у г ; 2 (х ,у ) — неизвестная функция; Р = дг1дх, д = дг/ду. Предполагается, что решение г (х , у ) уравнения имеет Непрерывные частные производные первого порядка (т. е. г = г (х , у) — гладповерхность в О х у г). Геометрически решение г ( х , у ) уравнения (11.109) представляет собой поверхность (интегральную поверхность) г = 2 {х ,у ) в про'^анстве. Величины р, д, (- 1 ) пропорциональны координатам вектора нор мали к поверхности г = г ( х ,у ). Вектор с координатами (а ,Ь ,с ) находится ® касательной плоскости к этой поверхности. Уравнение (11.109) выражает условие ортогональностиар + Ьд + с -{ - I ) = 0 векторов (р, д, -1 ) и (о , 6, с) в каждой точке интегральной поверхности. Интегральные кривые системы обыкновенных дифференциальных урав нений Чх ^ Лу ^ _ лг _ _ ( „ „ 0^ о (х , у, г ) Ь (х . у . г ) с (ж , у , г ) Или ^ = а {х ,у ,г ), аз ^ = Ь {х ,у ,г ), а8 аз ^ = с (х ,у ,г ) (11.111) ••ззываются характеристиками квазилинейного уравнения (11.109). Предпола^ ^ с я, что функции о, Ь, с удовлетворяют условиям теоремы Пикара в области ■Через каждую точку в П проходит одна и только одна характеристика. Рис. 1 1 .1 4 Характеристики заполняют всю область О . Каждая интеф альная поверхность г = г {х ,у ) образована (покрыта) характеристиками, целиком лежащими на ней. Если известны два независимых первых интефала у, г ), (р2{х, у,^) системы ( 11. 110), то уравнение Р { 1Р 1{Х, У, 2 ), 1Р 2{Х, у, г )) = о, где Р — произвольная функция своих аргументов ^р\,<р2, дает общее решение уравнения (11.109) в неявном виде. Два семейства поверхностей с уравне ниями (р \ {х ,у ,г) = С ] и (р2( х , у , 2 ) = Сг дают в пересечении различные характеристики для разных С ] и С г. Семейство характеристик является двуК' параметрическим с параметрами С\ и Са. Задача Коши (начальная задача) для уравнения (11.109) заключается в определении интефальной поверхности г = г (х , у ) этого уравнения, прохо дящей через пространственную кривую 7 с параметрическим п р е д с т а в л е н и е м X = хо(А), у = 2/о(А), 2 = 2о (\) (А 1 < А ^ Аг), в котором правые части непрерывно дифференцируемы по А. Геометриче' ски решение задачи Кош и состоит в том, что из каждой точки кривой 7 выпускается характеристика Г уравнения (11.109). М ножество всех такИ* характеристик и образует искомую интефальную поверхность (рис. 11.1'*'’ Если 7 сама является характеристикой, то через 7 проходит, вообще говорЯ' бесконечное множество интефальных поверхностей (решений уравнения). Аналитическое решение задачи Коши. Если 1р \ {х ,у , 2 ), 1р 2{ х , у , г ) — независимых первых интефала системы ( 11.110), то, подставляя в них парЗ' метрическое представление у , получим два уравнения ^Р((хо(А),г/о(А),го(А)) = С; (г = 1, 2), Исключая из них А, найдем связь ^^(С |,С 2) = О, конкретизирующую вид произвольной функции Р в общем решении. Искомое рещение г(х , у ) задачи Коши определяется в неявной форме уравнением Р {^ 1 { х ,У,2),>Р2{х ,У ,2 )) = 0. Е^иственность решения задачи Коши. При достаточно малом я решение системы ( 11.111) имеет вид Х = х {8 ,Х о,У о,2 о), У = У{3,Х0,У(1,20), 2 = 2(в, Хо, 2/о, 2о), где в качестве начальных данных при я = О взяты координаты точек кривой 7. Подставляя в эти равенства параметрическое представление 7 , получим х = г (я . А ), у = у {з ,Х ), 2 = 2( 8, А). (11.112) Если определитель, составленный из первых двух функций ( 11.112), Д (я , А) = - х\у, ф О ааоль кривой 7 (при я = 0), то искомое рещение 2(1 . у) задачи Кош и единственно в некоторой достаточно малой окрестности ко ординат (х, у ) некоторой точки на кривой 7 , так как при этом первые два уравнения (11.112) можно однозначно решить относительно * и А. С учетом этого третье равенство ( 11.112) дает единственную гладкую функцию г ( х ,у ) такую, что интегральная поверхность х = г (х , у ) содержит отрезок кривой 7 . Если Д («, А) = О вдоль 7 , то для сущ ествования интефальной поверхности, проходящей через 7 , необходимо, чтобы 7 была характеристикой. В этом случае через 7 проходит бесконечное множество интефальных поверхностей. Пример 87. Рассмотрим квазилинейное уравнение (у Система (11.111) примет вид < Лх 1х т~ = У “ -2’ б8 <1у -г - 2 - х , йз йг — = X - у. , . (2) ^Мадывая три этих уравнения, получим ^ (х + у + г) = 0. ^сюда 1р,(х,у, г) = X + у + г = С, = сопя. ^^'ножая уравнения (2) последовательно на х .у ,г и затем складывая их, найдем - — 2 Ля {х^ + у^ + 2^) = 0, т. е. у);(1 , у , г ) = = С 2 = СОП51. Тем самым найдены два независимых первых интефала <р; и ^ 2- Общее решение г(х ,у) уравнения ( 1) в неявной форме: Р {х + у + г; + у^ + г^) = О, где Р — произвольная функция двух своих аргументов и у);. Найдем вид Р такой, чтобы соответствующая интефадьная поверхность проходила через прямую 7, определяемую уравнениями х = О, у = 2г (задача Кощи). Исключая х, у, г из двух последних уравнений и из равенств <р1 = С], <Р2 — С 2 , получим х = О, у = ^С], 2 = -С? - Сг = 0. Следовательно, ^'(С ьС г) = - С;. Искомое решение г(х. у) задачи Кощи дается выражением 5(1 + у + - (г Ч у Ч = 0. Пример 88. Для уравнения дх ду система ( 1 1 .1 1 1 ) имеет вид ^ = 2. , Лв ^ = - ., Лз ^ = 1. Лз Ее интефальная кривая, проходящая при « = О через точку (го, Уо,г<,}, определяется уравнениями X = 3^+ 2г„з+ Хо, у = -« + уо. г = « + го. (2) Будем искатьинтефальную поверхность, проходящую через линию 7 с уравнениями у = Уо = л, I = 1 о = А^ Подставляя Хо, г = 2о = А. (3) уо. го из (3) в (2), получим I = 2А« + А^ у = -« + А, г = 8 + Л. (^) Так как Д(« =О, А) = 4А О на 7 , то из (4) находим единственную интеф поверхность г = \/ж (исключая я и Л из (4)). Примечание. Линейное однородное уравнение (11.105) можно рассматривать как ква зилинейное уравнение ( II. 109), в котором с = 0. При этом одним из первых интефалов системы (11.111) является решение г{х ,у). и Лг(х,у)/<1з = О вдоль характеристик уравнения (11.105). Пример 89. Линейное уравнение дг дг ^Тх-^д-у= ^ рассмотрим как квазилинейное. Из системы (11.111), принимающей вид йх -Г =У' 0.8 Лу таз - Аг Т аз" = находим два первых интеграла: + у^, <р2 = г (так как (11р,/Ла = О, </у);/йя = 0). Общее решение квазилинейного уравнения определяется равенством Р(<Ри <Р2) = Р(х^ + у \ г ) = 0. Отсюда 2 = /{х^ + у^). Квазилинейное однородное уравнение с п независим ы м и перем енны м и Я / ^ 1 „ , г ) р ( = с ( г .............. х „ , г ) ( У .=1 да \ ) / 0. Л = ^ ) ( П . 113) ^,=1 рассматривается аналогично случаю двух независимых переменных. П усть и = Ф( * | , . .. , х „ , г ) — решение линейного уравнения ^ ди ви „ соответствующего квазилинейному уравнению (11.113), и уравнение Ф (1 | , . . . , х „ , г ) = 0 определяет некоторую функцию х = ^ ( x ^ , . , х „). Тогда, если 51^ О при ^ то 2 = (р(х 1, . . . , х „) является решением уравнения (11.113). Характеристики уравнения (11.113) определяются как интегральные кри вые системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1х, _ о, _ йХп _ с1г ■■■ а„ с Или — = а ,, ..., — = а „, -т- = с, (11.114) йа Ла аз где 8 — параметр. Характеристики являю тся линиями в (п + 1)-мерном про«Т^анстве точек (х ь . . . , х „, 2). Всякая интегральная поверхность г — 2( х ь . . . , х „ ) уравнения (11.113) ® (»+ 1)-мерном пространстве образована (покры та) характеристиками, цели'^ом лежащими на ней. Векторы (р \,... , р „ , - \ ) и ( а , , . ••, о „, с) направлены Соответственно по нормали и касательной к интефальной поверхности. Урав«ЗДие (11,113) выражает условие ортогональности этих векторов. Вектор направлен по касательной к характеристике. Если (р ,(х\,... , х „ , г ) (« = 1, . . . , п ) — независимые первые интефалы системы (11.114), то п-параметрическое семейство характеристик определясистемой уравнений ^р^{xи■■■,x„,2)^V^ Чх — параметры. (1 = 1 ,.. .,п ) , (11.115) Всякая интегральная поверхность г (Х |,- - - ,х „) образована семейством характеристик, зависящ им от (п - I) параметров. Д ля вьщеления (п - 1)-па раметрического семейства характеристик из п-параметрического свяжем па раметры щ соотношением Р {г 1 т/п) = О, где Р — произвольная диф ференцируемая ф ункция. Подставляя (11.115) в Р , получим общее решение уравнения (11.113) в неявном виде Р {(р ^ (x ^ ,...,x „),...,^ р „{x |,.■ ■ ,x п )) = 0. (11.116) З а д а ч а К о ш и для уравнения (11.113) состоит в нахождении интегральной поверхности, содержащей заданное (п - 1) -мерное многообразие 7 с пара метрическим представлением = а:“ (А ,, . . . , А „ _ 1) ( » = 1 ,. .., п ) , г = Л А „ ...,А „ _ ,), где А ] А „_| — параметры. Подставляя (11.117) в (11.115), получим систему уравнений ^ > .(х ?(А ,,...,А „_ ,) , . . . , Л а ,А „_ ,)) =>/; (• = 1, . . . , п ) , исклю чая из которой А ],..., А „ _ | , найдем соотношение Р {т ]\ ,... г)„) = 0 , где Р — уже вполне определенная функция. Отсюда получаетсярешение вида (11.116) задачи Кош и. Полученная интегральная поверхность заполнена характеристиками x^ = хД«, X ? , . . . , х ^ 2 ° ) / О о 0\ г = г(в , X I , , х „, 2 ), (1 = 1 ,.. ., п), выходящими из точек ( х ? , . . . , х ° , г ” ) на 7 при я = 0. Подставляя сюда (11.117). найдем решение задачи Кош и в виде (п - 1)-параметрического семейства характеристик x^ = Х ((« ,А | ,... ,Л „_ |) (« = 1, . . . , п ) , г = г ( я ,А | ,.. .,А „ - 1). Если определитель Д (^ > ,А ь ...,А „_ ,) = а, а„ бХ[ дх„ а\, дХ, дх\ дх„ 9К-1 а А „_, не равен нулю на многообразии 7 (т. е. при в = 0), то, исклю чая параметры из (п - 1)-параметрического семейства характеристик, получим интефальну!® поверхность г = г (х | ,. . . . х „), являю щ ую ся единственным решением задач** Кош и. 11.2.3. Уравнения с частными производными второго порядка 11.2.3.1. Приведение уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными к каноническому виду. Характеристики 1. Замена независимых переменных. Рассмотрим уравнение второго по рядка с двумя независимыми переменными х, у, линейное относительно производных второго порядка от неизвестной функции и(х, у): д^и д^и д^и ( ди д и \ где А, В , С — заданные ф ункции только от х ,у , имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно. В частном случае уравнение (11.118) может иметь вид (11.103), т. е. Р линейно зависит от и (х ,у ) и ее производных первого порядка. Введем вместо х, у новые независимые пере менные I , Г) по формулам ^ = ^ ,(х ,у ), Г1 = 1р 2{х ,у ) , (11.119) где р |,^2 — ф ункции, имеющие непрерывные производные до второго д ( 1р\, 1Р 2) порядка вклю чительно, причем якобиан ^ / О в рассматриваемой д{х, у) области. Подставляя выражения производных неизвестной ф ункции и{х, у ) по старым переменным х, у через производные по новым переменным т; (см. 8.2.11) в уравнение (11.118), получим Здесь , „(д1р\д!р1 дх дх ду д^р^д^рг\ ' д1р,д<р2 ду д х ) ^ ^ ду ду’ “ ( 4 .» ? ) = и [ ^ 1 ( 6 ' ? ) . ( Р 2 ( 6 V ) ] . X = у = ^ 2(^ .4) ~ преобразование, обратное к (11.119). Спра ведливо тождество ( 11.121) у) 2. Классификация уравнений 1) Если в рассматриваемой области О выражение Д = В ^ - А С > О, то урав нение (11.118) называется гиперболическим (гиперболического типа) в В . 2) Если Д = О в I ) , то уравнение (11.118) называется параболическим (па раболического типа) в О . 3) Если Д < О в К , то уравнение (11,118) называется эллиптическим (эл липтического типа) в О . При замене независимых переменных тип уравнения (11.118) не изменяется согласно (11.121). Если Д изменяет знак в I ) , то уравнение (11.118) называется уравнением смешанного типа в О . Кривая в О , на которой Д = О, называет ся параболической линией уравнения. Две части области О , на которые она делится параболической линией, называются соответственно областью эллип тичности уравнения (если Д < 0) и областью гиперболичности (если Д > 0). Пример 90. Уравнение Т^икоми д^и д^и — смешанного типа. В области у <0 (А = - А С = - у > 0) — гиперболического типа; на линии у = 0 (А = 0) — параболического типа; при р > О (Д < 0) — эллип тического типа. 3. Канонический вид уравнений 1) Гкперболический тип. Если уравнение (11.118) — гиперболическое (А — - А С > 0) в области В , то в этой области существуют функции такие, что заменой переменных (11.119) уравнение (11.118) приводится к первому каноническому (простейш ему) вцду Если Л = С = О в области О , то, разделив (11.118) на 2 В ^ О, сразу получим канонический вид уравнения. Пусть А Ф О н (или) С / О в I ) . Не нарушая общ ности, примем А фО. Функции 1р\,<р2 в (11.119) выберем так, чтобы Л = О, С = О, т е. эти функции являю тся решениями дифференциального уравнения первого порядка называемого уравнением характеристик. После разрешения относительно это уравнение распадается на два дифференциальных уравнения + к,{х,у)(р^ = 0, + к2{х,у)<Рд = о. гд е ,____________________________ в + л/В2 - А С *=. = , ^__ . В /=2 = А С . Эпш двум уравнениям соответствуют обыкновенные дифференциальные урав нения (см. 11.2.2.1) А, м и к2 л л ^ = А ,(х ,г / ), ^ = М х .У ). (11123) Иногда уравнением характеристик называется выражение А (ау)^ - 2 В йх йу + С (йх)^ = О, распадающееся на два уравнения (11.123). Возьмем в качестве <р\,1р 2 в (11.119) левые части общих интегралов ^р^(x,у)= С^, <р2{ х , у ) = С 2 уравнений (11.123). При этом у ,, 1р 2 удовлетворяют также уравнению (11.122). Кривые (р\(х, у ) = С 1 , 1р2{х, у ) = Сг называю тся характеристиками уравнения (11.118) и образуют два семейства кривых. Для нахождения характеристик удобно использовать уравнения (11.123). После замены х , у на V согласно (11.119) уравнение (11.120) принимает первый канонический вид. Ещ е одна замена переменных р = ^ + г), = приводит уравнение (11.118) к экви валентному второму каноническому виду д^и д^и ( ди ди\ . . ,, Если уравнение (11.118) — линейное, то его канонический вид также является линейным уравнением. П р и м е р 91. Приведем к каноническому виду уравнение Трикоми (см. пример 90) в об'1асти гиперболичности у <0. Уравнения (11.123) принимают вид 1 , 1 уЯ /’ ^Щие интегралы этих уравнений соответственно равны: ^ , = -ж - - у / ^ = Сь (Р2 = - X + ^Рактеристиками являются левые и правые ветви кривых ^ Вершинами (остриями) на оси Ох. Замена ^=^X- Г )= ^ х л / ^ = С 2- = “ ^(® " ('У (У ^ ®) приводит уравнение Трикоми в области у < О к первому каноническому виду д^и Замена р виду + а = I / ди 5и\ приводит уравнение Трикоми ко второму каноническому дЫ дЫ др^ д(т^ I ди _ 3(Т да Пример 92. Уравнение = 0 , Л = 1 , В = 0 , С = - у , Д = В ^ - АС — у — дх^ ду^ гиперболического типа в области у > 0. Уравнения (11.123) принимают вид у' = V». у' = -\/у и имеют общие интефалы соответственно: ^| = г - 2^/у = С |, ^2 = * + Характеристиками являются левые и правые полупараболы у = касающиеся вершинами оси Ох. Замена ^ — х — 2^/у, уравнение к первому каноническому виду д^и ^ 1 _ д(дп д^) =х+ = С'г- “ С)^ (У Ф приводит данное ( и = и ( 4 . Г))). О Второй канонический вид: д^и д^и I „ ■ 2) Параболический тип. Пусть уравнение (11.118) — параболическое (Д = 0) в области В . Один из коэффициентов А , С отличен от нуля. Не теряя общ ности, полагаем ^4 / 0. В этом случае А| = кг = В / А и для нахождения характеристик имеется только одно уравнение с частными производными 1Рх + = о, или обыкновенное — = — . Пусть <р\{х,у) = С — обший А ах А интефап последнего уравнения, тогда функция <р\(х,у) будет решением уравнения с частными производными. Взяв в формулах (11.119) в качестве найденную функцию ^р^(x, у ), а в качестве ^2 любую функцию, такую что д{(р\^ (Р2) якобиан — --- — Ф О (если ^4 О, то можно принять = х ), и, используя о{х, у) замену ^ = >р\(х, у ), 1) = X, приведем (11.118) к каноническому виду д^и / ди ди\ (и = = п а .у )). тик как А = О, В = О, С = А ф 0. Уравнение параболического типа имеет только одно семейство характе* ристик ^ |(х , у) = С . Если уравнение (11.118) — линейное, то его канонический вид также является линейным уравнением. Пример 93. Приведем к каноническому виду уравнение д^и д^и д^и ди ди А = | ,В = -1, С = I, А = - А С = 0. Уравнение для нахождения характеристик: Ну/11х = —1. Его общий интеграл = х + у — С . Прямые х + у ~ С образуют семейство характеристик. Замена ( = х + у, г) = у = 1^0 д{х,у) данное уравнение к каноническому виду приводит Пример 94. д^и + у ^ = 0 (Х>0). Здесь Л = ж^ В = ху, С = у^, А = В^ - А С = 0. Уравнение характеристик йу/йж = у/х имеет общий интефал у/х = С. Характеристиками являются лучи, выходящие из начала координат Замена ( = - , г) = у уравнение к каноническому виду д{х,у) х^ ^ . приводит данное (и = « « . Ч))- ^ = 0 3) Эллиптический тип (Д = - А С < О в области П ). Уравнения (11.123) принимают в этом случае вид ^ _ В <^x .4 ^ А _ В _ (^x А А ' А ’ ■■Де I — мнимая единица. При этом к] = к 2- Общие интефалы М х , у ) = ‘Р {х ,у ) + М х , у ) = С |, ^ 2(х. у ) = Ф , у ) - Щ х . у ) = Сг (С, = С 2) уравнений — комплексно сопряженные. Замена переменных =<р(х,у), V= Приводит уравнение (11.118) к каноническому виду дЧ / д^и ае ^ Так как I = С , В = 0 . ^ ди ди\ = 'Ф {х ,у ) Уравнение эллиптического типа не имеет действительных характеристик (характеристики мнимые). Если уравнение (11.118) — линейное, то его кано нический вид также является линейным уравнением. Пример 9 5. Уравнение Трикоми д^и д^и + (см. также примеры 90, 91) эллиптично в области у > О (Д = - у < 0). Первое уравнение (11.123) принимает вид ^ = - т- ^ . Его общий интефал ш, = ш + гй = ах 1у/» = С ]. Замена ^ = <р = -х, г] = приводит уравнение Трикоми к каноническому виду (в области у > 0): д^и \д и П р и м е р 9 6 . Уравнение д^и д^и ^ = 1. -В=0, С = -у, Д = у — эллиптическое в области у < О (см. также пример 92). Первое уравнение (11.123) принимает вид ^ = « \ / ^ . Его общий интефал = ^ + :^ = х - = С)- Замена ^ = 1р = х ,Т 1 = ф = - 2 у / ^ приводит данное уравнение к каноническому виду (в области у < 0): д^и 4. д^и 1 йи _ Канонический вна линейных уравнений с постоянными коэфф ициентами. Если исходное уравнение + 2В и 1^ + + 6,Вз: + ЬгИ» + Ьз« + / (х , у ) = О является линейным с постоянными коэффициентами, то с о о т в е т с т в у ю ш е ® каноническое уравнение с неизвестной функцией и {(, г]) также будет линей ным с постоянными коэффициентами. Дальнейшее упрощение у р а в н е н и я возможно при помощи замены неизвестной функции где а , Р — числа, подлежащие определению. После подстановки в ы р а ж е н и й для производных в уравнение числа о , /3 выбираются так, чтобы обратить в нуль два коэффициента в каноническом уравнении. 11.2.3.2. Уравнения второго порядка с несколькими независимыми переменными. Классификация. Характеристики 1. Классификация уравнений. Рассмотрим уравнение второго порядка, линейное относительно вторых производных А д^и / ди с непрерывными коэффициентами ную замену независимых переменных У^ = У^{x\,■■■,x„) ди\ ,х „ ) . Произведем невырожден (« = 1, 2, . . . ,п ); х „) ^0. Старые переменные х^ можно выразить через новые у*; 1у = х , ( у ^ , . . . , уп). При этом й ( у ь . . . , у „) = и (х ,(г/......... у„ ) , . . . . и (х х „) = й { у , ( х . . . , у „)); х „),у „ (х и х „ ) ). Справедливы равенства: ди дй ду] ^ д^и _ А д х {д х , вх , ’ дуг ду, дугдуг дx^ д х , После замены переменных уравнение (1 1 .1 2 4 ) дй ^ д^уг дуг дx^дx^ примет вид г,«=1 где »")• 1,>=1 •' в каждой фиксированной точке М о (х °, ■■■, х ° ) Уравнению (11.124) соответствует квадратичная форма П дифференциальному Формула (11.125) в точке Мо совпадает с формулой преобразования коэффи циентов этой квадратичной формы при невырожденном линейном преобра зовании ^ д уЛ хЧ,. . . ,х'1 ) = . ^1е1( а ^ ) 5^ 0, ;=] П переводящем ее к виду ^ Всегда существует линейное невырож- г, « = 1 денное преобразование, приводящее квадратичную форму с действительными коэффициентами к каноническому виду Г т 1= 1 1=Г+\ ("» ^ п ), причем числа г и т не зависят от вида линейного преобразования, а опреде ляю тся исключительно коэффициентами квадратичной формы и точкой Ма. Это позволяет провести следующую классификацию типов дифференциаль ного уравнения (11.124) в каждой точке Мо и некоторой ее достаточно малой окрестности: 1) эллиптический тип, если т — п » все п слагаемых в каноническом виде квадратичной формы одного знака (т. е. либо г = т , либо г = 0); 2) гиперболический тип, если т (т. е. 1 ^ г ^ п - 1); — п к имеются слагаемые разных знаков 3) нормальный гиперболический тип, если т = п к либо г = 1, либо г = п - 1; 4) параболический тип, если имеются равные нулю слагаемые, т.е. т < я; 5) нормальный параболический тип, если т = п - \ и либо г = О, либо т = т , т.е. только одно слагаемое равно нулю, а остальные (п - 1) " одного знака. Приведенная классификация зависит от выбора точки М о, так как числа г и т зависят от М о. В общем случае дифференциальное уравнение может иметь либо один и тот же тип во всех точках некоторой области О , либо иметь различный тип в разных ее точках, т. е. быть уравнением с м е ш а н н о г о типа (см. пример 90). В общем случае невозможно привести уравнение (11.124) к к а н о н и ч е с к о му виду одновременно во всех точках области О с помощью одной и той же за мены независимых переменных. Такая возможность имеется только при п = 2Если постоянны в В , то уравнение (11.124) при помощи н е к о т о р о г о линейного преобразования П 8/. = [йе! (а^^) ф 0| 11.2. Дифференциальные уравнения с частными производными 559 во всей области О может бы ть приведено к каноническому виду ^ ди дй\ ......ч . ) - " 1. Характеристики. П усть «с(х ь . . . , 1 „ ) (п ^ 2) — функция, такая что на поверхности 10(11, •••, 1п) = О справедливо ( ды '"“‘ " П й Зю \ ; ...... Тогда, если и )(х ь ... , х „ ) удовлетворяет дифференциальному уравнению ха рактеристик ^ дхю дь) топоверхностые(а:1, . . . ,х „ ) = О называется характеристической поверхностью (характеристикой) уравнения (11.124). При п = 2 имеем характеристическую линию (см. 11.2.3.1). Если каждая поверхность семейства «»(1 | , .. . , Х п ) - С = 0 {а < С < Ь ) является характеристикой уравнения (И .1 2 4 ),то , вси л у 8га<)«; ^ О, Это семейство заполняет некоторую достаточно малую область В , через ■®кдую точку которой проходит характеристика, причем только одна. Если ^формулах замены независимых переменных взять у, = « ;(Х |,. .. ,Жп)> то = 0 в I? согласно (11.125). 3. Основные уравнения математической физики. 1) Примером уравнения <Иперболического типа является (трехмерное) волновое уравнение, описыва•“ Щее распространение волн различной природы в трехмерном пространстве Охуг. и(х, у, г, I ) — неизвестная ф ункция, I — время, а = соп51 — скорость Распространения волны в данной однородной изотропной среде. В частном Случае Р = 0. Если ф ункции и и Р зависят только от одной (от двух) про'^ н с тв е н н ы х переменных и от времени, то волновое уравнение называется "ДНомерным (двумерным). Одномерное (соответственно двумерное) волновое ''Равнение описывает, в частности, малые поперечные колебания однородной '^ У н ы (соответственно мембраны). Уравнение характеристик для трехмерного волнового уравнения имеет вид [ дь) Поверхность - к ? - (Х - Хо)^ - (у - Уо)^ - (г - го)^ = О в четырехмерном пространстве (х , у, 2 , 1) называется характеристическим ко нусом с вершиной в точке (хо, Уо, 2о, <о) и является характеристикой волнового уравнения. Характеристиками являю тся также плоскости о< + Ь ]! + ЬгУ + &з2 = С , где С , 6], 62. 6з — любые числа, причем Ь] + 1^ + ь1 = \ . 2) водности К параболическому типу относится (трехмерное) уравнение теплопро где о = СОП81, и (х , у ,г ,1 ) — неизвестная функция, описывающ ая процессы распространения тепла и диффузии вещества в данной однородной изо тропной среде. Аналогично волновому уравнению рассматриваются также одномерное и двумерное уравнения теплопроводности (в декартовых коорди натах соответственно и = и{х, <) и и = и{х, у, <)). В частном случае Р = 0. Уравнение теплопроводности имеет уравнение характеристик Характеристики образуют семейство плоскостей ю = I - С = 0. 3) Если в уравнении теплопроводности можно принять и = и(х,у,^)^ Р = Р (х , у, г ), т. е. ди/д1 = О, д Р / М = О (стационарный процесс), то это уравнение принимает вид А и = - ^ Р (х ,у ,г ) = 0 + _ + называемый уравнением Пуассона, которое при ^’ = О обращается в уравнение Лапласа Д « = О, Пусть в волновом уравнении внешнее возмущение Р {х , у, г, I ) = Ро(х, у, г )е '“ ‘ периодическое, тогда, если искать решение уравнения в виде Уравнения Лапласа, П>зссона и Гельмгольца относятся к эллиптическому типу. Уравнение характеристик для них имеет вид \г (д к \ , а... \ 2 (д ь > \ / я... \ 2 /д ы у „ Отсюда ш {х , у , 2 ) = с = соп81 и 8га<1и» = О на ю { х , у , г ) = О, что невоз можно. Следовательно, вышеперечисленные уравнения эллиптического типа не имеют действительных характеристик. 11.2.3.3. Основные краевые задачи для уравнений математической физики Для того чтх5бы из множества решений дифференциального уравнения, задан ного в области О , выделить единственное решение, описывающее некоторый реальный процесс, необходимо задавать дополнительные условия, называе мые краевыми условиями. К ним относятся: начальные и граничные условия. Задача нахождения решения, удовлетворяющего краевым условиям, называ ется краевой задачей. Различают следующие типы краевых задач для уравнений математической физики. 1. Задача Коши для уравнений гиперболического (соответственно парабо лического) типа: требуется найти функцию и{х, у , г , 1), удовлетворяющую при * > О уравнению (И . 126) (соответственно (11.127)) в любой точке М {х , у, г ) “сего пространства О х уг, а также начальным условиям при <= 0: и ( х , у , 2 , 0) = (р (х ,у , 2), д и (х , у , 2 , 0) ---- —-----= 11) { х , у , 2 ) (соответственно и ( х , у , 2 , 0) = 1р (х ,у , 2 )), где <р,г(> — заданные функции. ^*6ласть О совпадает здесь со всем пространством О х у 2 . 1. Краевая задача для уравнений эллиптического типа: в ограниченной области О пространства Охуг найти функцию и { х , у , 2 ), удовлетворяющую Эллиптическому уравнению, а на границе Е области В — заданному фаничНому условию ди а« + ^ = 7. и а ,р ,'у — заданные на поверхности Е функции от х , у , г ; причем а ^ О, ^ ^ О, а + 0 > 0\ ди/дп — производная по внешней нормали к Е . Рассматривают следующие частные виды общего ф аничного условия; = 71 (первый тип), ди дп Е — 72 (второй тип), ди = 7з (т р е т и й т и п ). которым соответствуют к р а е в ы е з я о а ч и п е р в о г о , в т о р о г о и т р е т ь е г о т и п а . Для уравнений Лапласа и Пуассона краевая задача первого типа (соответственно второго или третьего) называется з а д а ч е й Д и р и х л е (соответственно з а д а ч е й Н е й м а н а или с м е ш а н н о й з а д а ч е й ) . Начальные условия для эллиптических уравнений отсутствую т 3. С м е ш а н н а я з а д а ч а для уравнения гиперболического (соответственно парабо.тнческого) типа: в оф аниченной области О требуется найти функцию и { х , у , 2 , 1), удовлетворяющую в О при I > О уравнению (11.126) (соответ ственно (11.127)), а также краевым условиям: а) начальным, в замкнутой области О при 1 = 0, и { х , у , г , 0) = 1р { х ,у , г ) , = гр{х, у, г ) (соответственно и (х , у, г, 0) = (р{х, у, г )), где >р,ф — заданные ф ункции; б ) ф аничному, на ф анице Е области О при < > О, и ( х , у , г , 1) \ ^ = ' 1( х , у , х , 1), где функция 7 (1 , у, г, I) задана на поверхности Е при < > 0. Здесь ф аничное условие может бы ть одного из трех перечисленных выш е типов (см . п. 2), в которых 71, 72,73 — ф ункции от х, у ,г ,1 . Замкнутая поверхность Ё ограни чивает две области, в которых может искаться решение: внутренню ю и внеш нюю. В соответствии с этим различают в н у т р е н н и е и в н е ш н и е краевые задачи. Примечание. Н екото ры е типы краевых задач для одномерных и двумерных у р а в н е н и й рассматриваются ниже. 11.2.4. М етоды реш ения ур авнен и й гиперболического типа 1 1.2.4.1. Метод характеристик нахождения общего решения гиперболических уравнений 1. Для одномерного волнового уравнения д^и “ ^ - ^ = 0 , (11.128) уравнение характеристик имеет в и д а}{(11)^ - {4 х У = 0. Его общ ие и н т е т р а л ы : X - а1 = С ] , X + а ( = € 2- Замена переменных ^ = х - а1. г} = х + а1 или д Эт1 д ^ У д г ,) Интегрируя его последовательно по ^ и т/, получим общее решение уравнения (11.128): и {х , у ) = Ф {х - а 1 )+ 'Ф{х + а1), (11.129) где Ф, Ф — произвольные, дважды непрерывно дифференцируемые функции, называемое решением Даламбера. Решение и = Ф (х - а1) (соответственно и = Ф (х + а 1)) называется прямой (соответственно обратной) бегущей волной. Прямая (обратная) волна распространяется направо (налево) по оси О х со скоростью а. Физический смысл решения. Уравнение (11.128) описывает малые попе речные колебания бесконечной струны, совпадающей в покое с осью О х , а при колебании находящейся все время в одной и той же плоскости. Рещение (11.129) дает поперечное смешение и(х, у ) точки х струны в момент времени ( и является наложением прямой и обратной волн, распространяющихся по струне. Ф ун кц ия Ф (х - а1) описывает возмущение, исходящее при < = О из точки Хо и приходящее в момент I в точку х = Хо + без изменения формы (рис. 11.15). Аналогично ф ункция Ф (х + а1) описывает возмущение, приходящее в момент I в точку Хо - а1 из точки Хо- Рис. 11.15 Пример 97. Найти общее решение уравнения. 1 ' д^и д^и -5-Т “ 2 5т г —-т дх^ дхду 2 со5 ж— ду^ п - со5 г — = 0. ву /1\ (1) Решение. Здесь А = В^ —А С = \> 0 . Уравнение гиперболическое. Уравнение харак’^истик: у' = - 8 т х + 1 , у' = -81П1-1. Их общие интефалы: 1 - у + со51 = С|, ^+ у- с о 8Х = Сг- Замена ^ = х - у + со&х, 1) = Ц - у - с о 8 1 приводит уравнение (1) к виду д^и _ д д (д т}~ д ( \ д т , ) ди Отсюда — = /{г}). Интефируя по п, найдем дт^ «(4^»?) = Ф ( 0 + Ф(»7) где Ф, Ф — произвольные функции своих аргументов. Возвращаясь к старым пере менным, получим общее рещение исходного уравнения (I): и(х, I) = Ф(Х - у + С08 ж) + Ф ( 1 + у - С05 ж), 2) (1> 0, у> 0 ). > (2) Решение. Здесь Д = > 0. Уравнение характеристик: х^{ЛуУ - у^{<1х)^ = 0. Его общие интефалы: ху = С,, у/х = Сг- Замена^ = ху, Г1 = у/х приводит уравнение (2) к виду д^и \д и д^дг) Обозначая V — ди дг) 2^ дт! дV V получим уравнение -г-------= 0 , общее решение которого ^ Ц V = /{г})у/1. Имеем уравнение — = дт) обшее решение которого «(«.»;) = ф( 0 + ф ('))V ^ , где Ф, Ф — произвольные функции. Обшее решение уравнения (2): и (* ,() = Ф (ху) + Ф ^ | ^ У 1у. 1 1.2.4.2. Решение краевых задач для гиперболических уравнений I. Метод характеристик. Рассмотрим задачу Кош и для однородного вол нового уравнения (11.128), заключающ уюся в нахождении его решения и (х ,Ч при 1 ^ 0, удовлетворяюшего в промежутке -оо < х < +оо начальным усло виям ди = ф{х), т 1=0 где (р(х), ф {х) — функции, заданные в промежутке (- о о ; 4-оо). Предполагает ся, что 1р {х) имеет первые две производные, а ^ (* ) — только первую. Данна* задача Кош и описы вает свободные колебания бесконечной струны, для ко торой задана начальная форма и начальная скорость ее точек. Определяя функции Ф , Ф в общем решении (11.129) так, чтобы выполнялись начальные условия, получим формулу Даламбера, дающую рещение задачи Кош и 1 Ф ^ ) = ^[<р{х - <^^) + Ф + ^^^)] + ^ + 0( ^ ф{г)с12. (11.130) х-аХ Полученное рещение единственно и непрерывно зависит от начальных дан ных. Задача Кош и поставлена корректно. Решение (11.130) можно записать в виде наложения (сум м ы ) прямой и обратной волн: и (х, г) = (Р1{х - а 1) + ^ [(а: + а 1). где X < р Лх ) = ^ ^’(-г) X Ф Л х ) = ^>р(х) + ^ У ^’(г ) О Если ^ (х ) = О, то имеем решение «(*, ^)=\Ых-аЬ)+ <р(х+о<)]. Если >р(х) = О, то решение имеет вид х+ < а "(г ,< ) = ^ / Х -1 Л которое также можно представить как наложение прямой и обратной волн. 8 самом деле, в этом случае « (х , I) = Р { х + а1) - Р ( х - о<), ''Я' Р ( г ) — какая-либо первообразная для ф ункции ^ ^ ’(г ). При этом на блюдается явление остаточного действия, которое заключается в том, что, если ^(®) 5^ О только в некотором промежутке (х ь х г ). то с течением времени ’^чки струны будут смеш аться вдоль оси О у на некоторый отрезок с длиной ” оставаться в покое в этом положении. Причем эта область постоянного *^Чещения расширяется равномерно со временем, т. е. за прошедшей волной ®'^ется область постоянного ненулевого смешения. Пример 98. Найдем методом характеристик решение уравнения в примере 97.1, удовлетворяющее начальным условиям ди = ф(х). у= а»х Решение. Здесь кривая у — сок х не является характеристикой. Определим в общем ре шении данного уравнения функции Ф, Ф так, чтобы выполнялись начальные условия Ф{х) + Ф(х) = (р(х), -Ф'{х) + ф'(а;) = ф{х). Интефируя второе равенство, получим X - Ф (г) + Ф (*) = ! +С. *0 Отсюда и из первого начального условия следует * Ф (г) = ] ^ ф ) 0(л) йг - 1 с, *0 X Ф (1 ) = ~ ф ) + ' - ^ ф(г) Лг+ '-С. Подставив выражения Ф и Ф в формулу общего решения (см. пример 97.1), получим искомое решение: ^ “ (2:,у) = ^[у> (х-у+ ^ С 08 г) + ^ (Х + У -С 0 5 1 )] + ^ г + к -с о в г ^ > Г'|Г+С«1 2. С в о й с т в а х а р а к т е р и с т и к в о л н о в о г о у р а в н е н и я . Для выяснения смысла ре шения (11.130) однородного уравнения будем рассматривать х а р а к т е р и с т и к и X - а ( = С 1 , X + а1 = С 2 (два семейства прямых линий) на ф а з о в о й п л о с к о с т и 0x1. Точка (х,1) на этой плоскости характеризует точку х струны в д а н н ы й момент времени I. Функц ии и = ^ ,(х - о<) и и = 1р[{х + а1) постоянны вдоль характеристик первого и второго семейства соответственно. Пусть при <= ® отклонение струны и = <р\(х) ^ О в интервале {х , , х 2) и (р\{х) = О вне этого интервала. Через точки (11, 0) и {х 2, 0) проведем характеристики I - о< = *| и X - а1 = Х 2 (рис. 11.16), разбивающие верхнюю полуплоскость <> О н а об ласти 1, 2, 3. Ф ун кц ия и = ^ ](х - а1) ^ О только в области 2, для к о т о р о й Х| < X - а1 < Хг. При этом характеристики х - а1 = х^ , х - а1 — х\ с о о т в е т ствую т переднему и заднему фронтам прямой волны. Для того чтобы найти на струне точки, начальные возмущения которых дощли к моменту <о ки Хо (т. е . из которых подошли прямая и обратная волны ), возьмем т о ч к У М{хо.1и) на фазовой плоскости (рис. 11.17) и проведем через нее характе ристики X - а( = Хо - а1о = X , и х + а( = хо +а1о = Х 2, которые пересекут ось Р и с . 1 1 .1 6 Р и с. 1 1 .1 7 О* вточках А (х о ~ а(о , 0) и В {х о + а1о, 0). Ф ун кц и я и = 1р ] { х - а 1) + 1р ](х + а1) “ Точке М (хо,<о) имеет значение и (х о ,к ) = которое опре деляется ее значениями в точках А и В . Треугольник А М В называется ''^рактеристическим треугольником точки М{хо,1о)- Согласно (11.130), попе речное отклонение и {хо , 1о) точки го бесконечной струны в момент (о опре деляется только ее начальными отклонениями (р(х) в точках А{хо - о1о, 0) ** В(хо -Ь а<о, 0) и начальными скоростями ^р{х) на всей стороне А В харак’^РИстическою треугольника: «(Л /) = ^ [‘Р (А ) + >р(В)\ + ^ У <^2. АВ *^*Чальные условия вне отрезка А В не влияю т на значение решения в точке 3. Решение задачи Коши для неоднородного одномерного волнового уравне ния. П усть требуется решить задачу Кош и 2 д^и в^и •5?+ и(х, 0) = 1^ (х), = ^ (® ) (-0 0 < X < +оо), описывающ ую вынужденные колебания бесконечной струны. Данная задача разбивается на две: 1) задача Кош и д^V д V (x , 0) 2) задача Кош и 2^^*" + „ = д ю (х , 0) «-<х,0)=0, — ^ = 0. Решение исходной задачи имеет вид и = V + IV, где х+<и Ф - о = ^ Ы х - а 1) + <р{х + “ < )]+ ^ ^ ^>(г) (^г, х~а1 I « '(х .О = ^ У о х+ аЦ ~ т) У }(г ,т )Л г й т . х-аЦ -т) 4. Колебания ограниченной струны. П усть имеется конечная струна, сов падающая в состоянии покоя с отрезком О ^ х ^ ^ оси О х . Требуется методом характеристик найти решение однородного уравнения д^и а ? ’ удовлетворяющее начальным условиям = ф {х), « 1,=о = (О ^ X < /) и ф аничны м условиям « 1х= о= 0- « 1х=; = 0’ означающим, что концы струны х = О и х = <закреплены. Здесь ^ (х ) и заданы в промежутке О ^ х ^ при этом ^ (0 ) = (р{1) = О, ^ (0 ) = гр(1) ^ Предполагается, что ^ (ж ) имеет первую и вторую, а ^ (х ) — первую непре рывные производные; а также выполняется условие ^ "(0 ) = (р"(1). Решение данной задачи может быть сведено к изучению колебаний бесконечной стру ны методом характеристик. Д ля этого надо продолжить ф ункции (р{х) и ^ (х ) из промежутка [0;/] в промежуток [- ^ ;(] нечетным образом, а затем с пери одом 21 на всю ось О х по формулам (р (- х ) = - ц > {х ), < р (х + 2 1 ) = (р {х ), г 1 > (- х ) = - г р { х ) , ■ ф (х + 2 1 ) = ' ф { х ) . При этом движение бесконечной струны на отрезке [0; /] такое же, как и у конечной струны с закрепленными концами х = О, х = 1. Решение исходной краевой задачи находится по формуле Даламбера (11.130) с учетом продол жения !р(х) и ^ (х ) на всю ось Ох. 5. Решение задачи Коши методом Римана. Любое линейное гиперболиче ское уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными приво дится к виду д^и ди Ь(х, у ) ^ + с{х, у )и = / (х , у). ду (11.131) Соответствующее уравнение характеристик имеет вид (1х (1у = 0. Характери стиками уравнения (11.131) являю тся прямые х = С\, у = Сг, параллельные осям координат. Пусть С — разомкнутая дуга кривой, пересекаюшаяся не бо лее чем в одной точке с прямыми, параллельными осям координат (рис. 11.18). Кривая С задана уравнением у = П (х ), где Л (г ) — дифференцируемая функ ция и Н '{х) Ф О на С . Задача Коши: найти решение и (х , у ) уравнения (11.131), удовлетворяю щее на кривой С начальным условиям и ( х ,у )\ ^ = и { х ,Н (х )) = 1р {х ); ди — I = ^ ( х , Н { х ) ) = 11!{х ), ап где ‘р(х), ^ (х ) —заданные на С ф ункции такие, что !р(х) ди ди ди дифференцируема, а щ х ) — непрерывна; ^ ~ — непрерывно ~ производная по направлению единичной нормали п = {Пх,Пу) к кривой С (рис. 11.18). ди ^ д и д и Если известны и и — на С , то, тем самым, известны такж е -— и -— на с. дп дх ду При этом йи = и^йх + и|, Лу. В качестве начальных условий на С можно задавать и, и^, и!у как ф ункции х или у. Наряду с выражением Ь (и ) (см. левую часть (11.131)) рассмотрим сопря женное с Ь (и ) дифференциальное выражение 1 '{и ) = ю"), - (а®)^ - {ЬV)'у + о). Предполагается, что а (х ,у ) , Ь (х ,у ) имеют непрерывные производные пер вого порядка. Пусть М о(хо, уо) — произвольная точка, а ^4 и В — точки пересечения кривой С с характеристиками х = хо, у = Уо, проходящими че рез Мо. Обозначим через С область, оф аниченную характеристиками х = у = Уо и дугой А В . Нормаль й — внеш няя для С . Тогда решение и(Мо) задачи Кош и в каждой точке Мо{хо, уо) дается ф о р м у л о й Р и м а н а : 2и{М о) = 2и(хо, уо) = (« ■Я )а + (и ■Н )в ~ 2 Ц } ■К й х а у с + ^ [« Д - и К + 2ЬиД) с1х - (и [Н - иШ, + 2аиН ) (1у]. (1 ВА где, например, (и ■Д )д = пл ■Я а — соответствующ ее значение в точке К (М , Мо) = Н (х , у, Хо, Уо) — ф у н к ц и я Р и м а н а . которая зависит от двух пар аргументов и определяется следующими условиями; 1) Д , как функция от х ,у , является решением однородного сопряженного уравнения 1 '( Н ) = 0; 2) Уо; Хо, Уо) = Ь(х. уо)Д (х. уо\Хо, уо) на характеристике М оВ\ 3) К'у(хи ,у,Х о,уа) ^ а {х о ,у )я {х о ,у ,х о ,у о ) на характеристике М о А : 4) Д (М о, М о) = Л(хо, уп', Хо, Уо) = 1 в точке М = М о. Отсюда следуют равенства: X К {х , Уо; а:о, Уо) = ехр | у * Ь{х, уо) (на М о В ), Ха у Д(хо, у. Ха, Уо) = ехр I у* а{хо, у ) (на М цА). Уо Таким образом, ф ункция Римана Н является решением уравнения 1 * {Я ) = О, удовлетворяющим двум предыдущим равенствам, и не зависит ни от начальных условий на С , ни от формы этой кривой. Точки М (х , у ) и Мо(хо, уо) являются для Л соответственно аргументом и параметром. Выражения, сто ящие в (11.132) под знаком интефала по В А , содержат только функции, известные на В А . Действительно, если х = х (в ), у = у{я ) — уравнения С , где а — длина дуги, то ^ <^{х) + ^ (х )Н '(х ) = + «'„П т) с / Г Т Г О Й ’ у ' ( г ) Д ' ( х ) - у> (х ) = (и,Ту + и„Пу) уг+гар ’ где т = (г ,. Ту), п = (п 1 ,п у ) = (Ту, - т , ) — соответственно единичный вектор исательной и нормали к С . Причем <^и|р = ^ '(х ) йх, /1 // ч ^ и'п\с = Ф {х Ь (р ( х ) ^ ^ _ Н'(х) <18 ~ Решение (11.132) задачи Кош и единственно и непрерывно зависит от на'*1'1ьных данных. Значение решения и(М о ) зависит только от начальных ^нных на дуге А В кривой С , вырезаемой характеристиками, выходящими точки М о. Если изменить начальные условия вне дуги А В , то решение Изменится лиш ь вне криволинейного треугольника М о А В . П рим ер 9 9 . Р е ш и т ь м е т о д о м Р и м а н а з а д а ч у К о ш и (с м . т а к ж е п р и м е р ы 9 7 и 9 8 ): Решение. Уравнение ( I ) заменой ^ = X - у + со&х. Г) = X + у - с т х приводится к виду Ь{и ) = и'/, = 0. Уравне ние линии у = со$х в новых переменных: ( = г) (рис. 11.19). На прямой 4 = »? имеем «I = = = И{(1 - 5Ш х) + и^(1 + 81Пх) = = « {(1 - 8ш ^ + и;,(1 +5Ш^); Ч = так как I = ^ на А В . Разрешая предыдущую систему двух уравнений относительно и^.и, по формулам Крамера (с учетом того, что на А В и, = = ^’{? ))' находим Принимая в формуле Римана (11.132) а = 6 = с = / = 0, получим 2и(С„, чв) = (и •Д)д + (и .К )в + ^ [(и^Д - иД^) 0^ - («;д - « < ) <1г,]. ВА Неизвестная пока функция Римана Д(4, т/, уравнению Ь *{Я ) = = О 1о) должна удовлетворять с о п р я ж е н н о м у = т)о и ^ = ^о' и условиям на характеристиках г)о\Со, »Л,) = ехр О •^ = = 1 (на М оВ), (о П Я (4о.1;;^о.Чо) = ехр о -Й1) = е“ = I (на МоЛ). 40 Ишем решение уравнения Щ,, = О в виде Л = Р{1), Р{0 ) = I , где / = Равенство I = Одает уравнения характеристик ^ Ч выходящих из Л1оция Е{1) является решением уравнения 1Р"{1) + г {1 ) = О при условии Р (0 ) = I тефируя это уравнение, получим /^'(0 = С\ 1п Л- Сг- Удовлетворяя условию Р(0) ^ ' найдем С\ — О, С 2 — 1, т. е. Л = 1. Окончательно, из (2), получим »») и(^о. Чо) = ^ [»)(6 ) + ^>(То)] + ^ У ^>(0 Возвращаясь к старым переменным, найдем решение задачи (1) я;+у-С051 « (* .» ) = !/ + со8а:)+ ^>(а: + у - с о 5 ж)] + ^ ^ ф{г)с1г, Х -У + С О & Х совпадающее с полученным в примере 98. > 6. Задача с характеристическими начальными условиями. П усть требуется найти решение и{М о) уравнения 1 {и ) = и"у + а (х , у)и^ + Ь(х, у)и'у + си = О, когда заданы только значения неизвестной функции и{х, у ) на характеристи ках Р Л и Р В , параллельных осям и проходящих через точку Р (х | ,У\) цо пере сечения с прямыми М^)А и М о В , параллельными осям координат (рис. 11.18): = Ф ), = Ф(У ) \ Ф \ ) = ■ф(У\)\. Применяя формулу Римана (1 1.132), находим, что единственное искомое ре шение дается формулой '‘{хо,Уо) = п{М о) = и { Р ) - Я ( Р , М о ) + ^ К ■(аи + Пу) йу + ^ Е ■{Ьи + и'х) с1х. РВ РА Здесь и(х, у ) = 1р (х ) на Р А , следовательно, В результате при у = У\ уравнение Ь (и ) = О переходит в обыкновенное уравнение первого порядка. Решение которого дает значение Пу на Р А , которое, тем самым, уже известно. ‘Аналогично находятся на Р В . 7. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний ограниченной струны. Требуется найти решение и (х , Ь) уравнения, описывающего свободные коле“*ния струны, закрепленной на концах х = О и х = I, ^ "Ри граничных условиях и{х, 0) = О и и{1,1) = О " Начальных условиях ^ и { х , 0) = ф ) , и',{х, 0) = 1р{х). функции 1р {х ), ф {х) заданы на отрезке [0; /], причем ^ (0) = (р{1) = 0. Ищем ненулевое частное рещение методом Фурье (методом разделения ^ М енны х) в виде произведения и{х, I) = X (х ) ■Т(1). И з граничных условий 'Дует Х (0 ) = Х (1 ) = 0 . Подставляя и = X Т в уравнение, получим Х "{х ) Т"(1) Здесь левая часть зависит только от I , а правая — только от I, следовательно обе эти части равны постоянной величине, которую обозначим (- А ). Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения для Х ( х ) и Т((): Х " { х ) + Х Х {х ) = О, Т "(1 ) + а^ХТ{1) = 0. Требуется найти значения А, при которых сущ ествую т ненулевые решения первого из этих уравнений. Такая задача называется задачей Ш турма—ЛиуБ И Л Л Я . Возможны следующие случаи. 1) А < 0. Характеристическое уравнение + А = О имеет корни Г |,2 = Подчиняя общее решение X = С [е ’''^ + ф аничны м условиям АГ(0) = Х {1 ) = О, находим С| = Са = О, т.е, Х ( х ) = 0. 2) А = 0. Общее решение X = С |1 + Сг. И з граничных условий следует С , = С 2 = 0, т.е. Х (х ) = 0. 3) А > 0. Характеристические числа Г |,2 = ±*\/А. И з общего решения Х ( х ) = С] с о з '/ Х х + Сг \ [\ х , с учетом фаничных условий, находим С| = О, Сг / О (в противном случае Х { х ) = 0). Следова тельно, ненулевые решения возможны только при условии при значениях = О, т.е. ‘■=(т) Только при таких значениях А = А„ (собственных значениях) д и ф ф е р е н ц и а л ь ное уравнение имеет ненулевые решения (собственные функции) Л’„(х ) = 5 ш ^ ^ ( п = 1, 2, ...), где принято Сг = I. При А = А„ общее решение уравнения для Т{1) имеет виД ^ , тга1 птга1 Т„(1) = Ап со5 — -Ь 5 „ 5Ш Ф ун кц ия и „{х ,1 ) = Х п (х )Т „{1 ) удовлетворяет волновому уравнению и гра ничным условиям. Если на отрезке [0; /] ф ункция ^ (х ) дважды непрерывно дифферениирУ® ма, имеет кусочно непрерывную третью производную и удовлетворяет услов** ям у?(0) = у (/ ) = у>"(0) = = О, а ф (х) — непрерывно дифферениирУ®’^^ имеет кусочно непрерывную вторую производную и удовлетворяет у с л о в и я тр{ 0) = ф{1) = О, то сумма ряда , О = 2^ пжа 1 М л С08 - у - + В „ 5Ш ппа 1 \ 1 птгх 51П — где I I Ап=7 I Ф ) 51П^ I (1х, I ^ I 1р(х) 8 1 П ^ I (1х П1га ^ В„ = ----- о (п = 1, 2, . . .), о является дважды непрерывно дифференцируемым решением волнового урав нения, удовлетворяющим граничным и начачьным условиям. Вводя обозна чения А „ = а „ 51П<5„, В „ = а „ соз можно записать в виде ряда , о„ = V / л IТ в | , полученное решение / и (х , ( ) = 2 ^ а „ 5Ш — г ^ + д „^ , 5Ш каждое слагаемое которого соответствует с т о я ч е й в о л н е , в которой точки стру нысовершают г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я с одинаковой ф а з о й <(„ и ч а с т о т о й ш„ = Ша/1. При этом а м п л и т у д а волны о „ 5 1 п {птгх/1) зависит от положения точки. 8. В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я с т р у н ы , з а к р е п л е н н о й н а к о н ц а х . Требуется най™ решение уравнения, описывающего колебания струны под действием внеш ней силы 81^ лри граничных и начальных условиях и (0 ,« ) = 0 , « (/,< ) = 0 ; ^ и ( г , 0 ) = у 5 (х ), « |( х , 0 ) = ^ ( х ) . Решение данной краевой задачи ищ ется в виде суммы и = V + •т решений * и V) следующих двух краевых задач: О о1^ = а ^ |- 7 + /{ х ,0 - V(0,^) = 0, »(/,<) = О, «(а;,0) = 0, »;(х, 0) = 0, дх^ = ю ( 0 ,0 = П 1(1,1) = 0 , 0, Ц х ,0) = ^ (х ), « ;( / , 0 ) = ^’ ( х ) . ^'Шение второй из этих двух задач приведено выш е в п. 7. Решение V первой ищется в виде плх » (х , = 2**что граничные условия выполняю тся сразу Разложим / (х , I) в промежутке ^ ^ / В ряд Фурье по синусам /{х, <) = X—^ птгх /п(<) 5Ш— , гд е I /п ( 1 ) = 7 У / (* ’ О ^ о Для нахождения Тп{1) имеем уравнения ТЩЬ) + = /„(<) = п= = 1, 2 , . . ^ П р и у с л о в и я х Т „ ( 0 ) = о , Г ,^ (0 ) = 0 . С о о т в е т с т в у ю щ и е р е ш е н и я э т и х у р а в н е н и й им ею т вид I I ^ йЛ / " о о Подставляя Т„(<) в выражение для г{х , I) , получим искомое решение первой задачи. 9. В ы н у ж а е н н ы е к о л е б а н и я с т р у н ы с п о д в и ж н ы м и к о н ц а м и . Требуется найти решение краевой задачи « (0,<) = ?|(< ). и ( 1. 1) = $ 2{ 1), и { х , 0) = 1р {х ), и ',{х , 0) = 1р(х). Данная задача сводится к задаче с нулевыми ф аничны м и условиями, к кото рой применим метод Фурье. Введем вспомогательную функцию т { х , 1) = Ц ^ 5 |(х )+ у й (« ), для которой т {0 ,1 ) т{1,1) = ^ 2{ 1)- Решение исходной краевой задачи ищется в виде и = « + и», где » — новая неизвестная ф ункция, у д о в л е т в о р Я ' юшая граничным условиям » (0 ,1) — О, ь{1, <) = О и начальным условиям « ( 1 , 0 ) = ^ ( х ) - ^ , ( 0 ) - [«2( 0 ) - ? 1 (0)1 у = <р,(х), 1>;(х, 0) = 11>{х) - « ',(0) - | й (0) - г'1(0) ! у = ф у н к ц и я у {х , I ) и щ е т с я к а к р е ш е н и е к р а е в о й зад ач и д^и 2 ^^^ X /| (г , <) = / (х , I) - ?| (О - [82{^) - «■|'(0] у ■ Метод решения этой задачи приведен выше в п. 8. 10. О б щ а я с х е м а м е т о д а р а з д е л е н и я п е р е м е н н ы х . Пусть требуется найти решение уравнения Л Г■ Л«| п в^и д аи - д {х )и , (11.133) где /)(г), р (х ), р '(х ), д{х) — непрерывные функции при О ^ х ^ 2, причем р{х) > О, р (х ) > О, д{х) ^ О, удовлетворяющее ф аничны м условиям а « (0 ,1) + Ри'х{0,1) = О, 'уи{1,1) + дщ{1,1) = О и начальным условиям и {х , 0) = ^ (х ), « '((х , 0 ) = 1р { х ) , (О < X ^ I), гае а , р , у , б — постоянные и / О, 7 ^ + (5^ ^ 0 . Сначала иш ется нену• 1евое решение уравнения (11.133) в виде произведения и(х,1) = Х { х ) Т(1), Удовлетворяюшее только граничным условиям. И з (11.133) следует ^ [ р ( х ) Х '( х > ] - д (х )Х (х ) р (х )Х (х ) № А — некоторое число. В результате имеем два обыкновенных дифференииальных уравнения ^ [р (х )Х ' (х )] + [А р(х) - ? (х )] Х (х ) = О, Т " (0 + АТ(<) = 0. (11.134) (11.135) Чтобы получить ненулевое решение уравнения (11.133) вида и = Х Т , удо®'>егворяюшее граничным условиям, необходимо и достаточно выполнение '1^ничных условий аЛ-(О) + ;8 Х '(0 ) = О, 7 ^ (0 + <5Х'(/) = 0. (11.136) образом, для нахождения Х ( х ) приходим к следующей задаче на соб'^ н н ы е значения для обыкновенного дифференциального уравнения: найти ^кие значения параметра А (называемые с о б с т в е н н ы м и з н а ч е н и я м и ) , при ко^“ Рых существуют ненулевые решения уравнения (11.134), удовлетворяющие ''’^овиям (11,136) (называемые с о б с т в е н н ы м и ф у н к ц и я м и ) . Доказано, что для ^нной задачи: •) Существует счетное множество действительных собственных значений А, < Аз < ... < А„ < . .. . 2) Каждому А „ соответствует собственная ф ункция Х п {х ) (одна или две), определяемая с точностью до числового множителя, который обычно выбирают так, что I / р(х)Х^(х)с1х = I. О ф ункции, удовлетворяющие этому условию, называются нормированными. Х=1 3) Если ф ) ^ О и [р {х )Х „{х )Х '„(х )] ( / < О, то все А „ > 0. 1=0 ГО р (х )Х „ (х )Х щ (х ) <1х = < ( т 7^ п), , , т. е. собственные функции о6- и ( т = п ), о разуют ортогональную и нормированную систему с весом р{х). 5) Теорема Стеклова. Всякая функция / (г ), имеющая непрерывную первую производную и кусочно непрерывную вторую производную и удовлетво ряющая условиям (11.136), может быть разложена в абсолютно и равно мерно сходящийся ряд по собственным ф ункциям Х „ (х ); !(х ) = ^ СпХп(х), где Сп= "= ' Г р ( х ) Х „ ( х ) } ( х ) йх. о Уравнение (1 1.135) при каждом А = А„ имеет общее решение Г„(< ) = А „ С08 \/% , I + Вп 51П где А „ , В „ — произвольные постоянные. Каждая функция и „(х ,1 ) = Х „{х )Т „{1 ) является решением у р а в н е н и я (11.133) с соответствующими ф аничны м и условиями. Ч т о б ы у д о в л е т в о р и т ь также начальным условиям, составим ряд 00 и{х, 1) = ^ 2 П=1 С05 5Ш У а ; 1 )Х п (х). (П-137) Если ряд (11.137), а также ряды, получающиеся из него почленным д в у к р а т ным дифференцированием по г и (, сходятся равномерно, то его сумма буд^^ удовлетворять уравнению (11.133) и ф аничны м условиям. Для удовлетвори' ния начальных условий к уравнению (11.133) потребуем, чтобы 00 « ( I , 0) = ^ А п Х п (х ) = П=1 00 Если ряды в этих двух равенствах сходятся равномерно, то, умножая их на р (х )Х „(х ) и интефируя по а: от О до /, найдем коэффициенты I / = У р{х)< р(х)Х„(х) ах, В„ = ^ у р (х )ф {х )Х „{х ) ах. о о Подставляя эти коэффициенты в ряд (11.137), получим искомое решение уравнения (11.133), удоалетворяющее одновременно граничным и начальным условиям. 11. ■Ц)ехмерное однородное волновое уравнение. Решение и (М , I) = и{х, у, г, I) юлнового уравнения в каждой точке М (х , у, г ) безф аничного пространства в любой момент вре мени <^ О, удовлетворяющее при 1 = 0 начальным условиям и(х, у, 2 , 0) = Ф (1 , у, г ), щ (х , у, 2 , 0) = Ф (г , у, г ), где Ф и Ф — соответственно трижды и дважды непрерывно дифференцируемы, дается формулой Пуассона и (М ,1 )= Ф {р )а з ' 4-па г г ^ (Р )л з ' (11.138) где 8/^^ — сфера радиуса г = а1 с центром в фиксированной точке М {х , у, 2 )\ — переменная точка интегрирования на сфере 5мг с координатами * = I + а Ы , у = у + Ра1, 2 = 2 + 70<; — направляющие косинусы Радиуса М Р сферы З м г , <13 = 51п в М Л<р = ^Феры Змг в сферических координатах. Формулу (1 1.138) можно записать еще в виде 2)г Яи { х , у , 2 , 1) = ^ ^11 0 0 — элемент плошади гя Ж У’ ^ 0 0 углы 1р и в при интефировании изменяю тся в промежутках О < ^ ^ 2тг, ^ б ^ 7г; а = 81П #со8 = 51п 051п у?, 7 = С05Й. Решение (11.138) един^Твенно и непрерывно зависит от начальных данньк при конечных значениях I . Смысл решения (11.138). П усть начальные возмущения Ф и Ф отличаются Нуля только в некоторой конечной области С с поверхностью Е , которая отделяет при 1 = 0 возмущенную область С от покоящегося пространства. При < > О колебания из О передаются в окружающее пространство, так что в любой момент времени I можно построить поверхность, отделяющую точки, до которых возмущение уже дошло, от тех, до которых оно еще не допио П усть точка М находится вне С . Если I < Л/а, где с1 — кратчайшее расстояние от ЛГ до Е (рис. 11.20), то сфера 8иг расположена вне С и Ф = 0. Ф = О на 8 \1г- Согласно (11.138) имеем при этом « (М , I) = О, т. е. в о з м у щ е н и е еще не дошло до М . При I = й/а сфера Зм г коснется Е . Если I > О/а, где В — наибольшее расстояние от М до Е , то 8мг снова будет находится вне С ( С — полностью внутри 8 м г) и, согласно (11.138), и(М ,1) = 0 . Распространяющ аяся из точек области С волна имеет два фронта: пе редний фронт, т. е. поверхность, отделяющая в момент I еще п о к о я ш и е с я точки пространства от уже колеблющихся; и задний фронт, являю щ ийся по верхностью, которая отделяет еще колеблющиеся точки пространства от у*^ покоящихся. Через каждую точку М вне С волна проходит последователь но обоими своими фронтами: при = й/а она подойдет к М передним фронтом, а при <2 = О / а сойдет с М задним фронтом, т. е. в промежуго'^ от до <2 волна проходит через точку М . При < > <2 в точке М смешение и{М ,1) обращается в нуль, но не в постоянную, как в случае струны (т-^в случае плоской волны). Поверхность переднего фронта в момент I н а х о Д И 'К * как огибающая семейства сфер радиуса г = а1 с центрами на п о в е р х н о с т и Е (принцип Гюйгенса). Постоянная а в волновом уравнении равна скоросг* распространения фронта волны. 12. Трехмерное неоднородное волновое уравнение. Решение задачи в безф аничном пространстве для неоднородного уравнения д^и т = а^Аи + } ( М , I), и{М , 0) = Ф (М ), щ (М , 0) = Ф (М ), где М {х , у, г ) — точка в пространстве, ищ ется в виде и = у + у), где ® и и; — решения следующих двух задач: 1) ^ = а ^ Д « , и (М ,0) = Ф (М ), г<;(М,0) = Ф (М ); 2) ^ = а ^ А г о + 1 (М ,1 ), и>(М, 0) = О, и>;(М,0) = 0. 01^ Решение первой задачи приведено выше в п. 11. Решение второй задачи дается выражением, называемым запаздывающим потенциалом: Ома где интефирование ведется по объему шара В м н радиуса К = а1 с центром в точке М \ (IV = й х й уй г', Р { х , у , г ) — переменная точка интегрирования; г = Р М — расстояние между точками Р » М ( 0 ^ г < Д ) . В выражении (11.139) функция / берется в момент I - г/а, предшествующий моменту I на промежуток времени г/о , необходимый для распространения возмущения из точки Р в точку М со скоростью а. 13. Цилиндрические волны. Требуется двумерного однородного волнового уравнения пространстве д^и 2/ V и{х, у, 0) = Ф (х , у ), найти решение задачи Кош и для в безграничном трехмерном ^ ^’ (11.140) щ (х , у, 0) = Ф (х , у), функции Ф , Ф , заданные в безграничном пространстве, зависят только у и остаются постоянными на всякой прямой, параллельной оси О г. При решение и(х, у, I ) также не зависит от г , т. е. его значение не изменяется При изменении г и любых фиксированных х ,у ,1 . Такие волны в пространстве 'называются цилиндрическими. Решение задачи (11.140) находится по формуле / ** /•/• 2тга д1 + 1 2тго УУ Сцг ГГ II Сиг Ц х ,у )Л 8 ^аЧ '^ ~ (х - х У - ( у - у У Ф (х , у ) (18 у/аЧ'^ - (х - х У - { у - у У ' ^Мг — круг радиуса т = сЛс центром в точке М (х , у ) (в которой ищется ре"®^ние) на плоскости О х у, х , у — переменные интефирования; ЛЗ = (1хйу — ^'’^Мент площади. Приведенная формула дает искомое решение в каждой точке '’Рямой, проходящей через любую точку М (х , у, 0) параллельно оси Ох. Решением задачи Кош и для неоднородного волнового двумерного урав нения с нулевыми начальными условиями (Ф = О, Ф = 0) имеет вид / (г , у, т ) Лх Лу Лт, где р^ = (х-х)^ + {у-у)^\ Смн — круг радиуса В = а{1-т) с центром в точке М {х ,у ,0 ). П усть начальные возмущения Ф (х , у), Ф (х , у ) не равны нулю лишь в не которой бесконечной цилиндрической области, сечением которой плоскостью О х у является фигура В , оф аниченная замкнутой кривой Г . Пусть М — точ ка в плоскости О х у вне В и й — наименьшее расстояние от М до Г. Тогда передний фронт цилиндрической волны достигает точки М в момент <1 = Л/а. Однако, в двумерном случае, в отличии от трехмерного, возмущение в точке М , начиная с момента <2 = О/о, (О — наибольшее расстояние от М до Г ), не обращается ни в нуль (как в пространстве), ни в постоянную (как на струне). При этом и(х, у, () -у О, если < со. В двумерном случае у волны есть передний фронт, но нет заднего. 14. П о с т а н о в к а з а д а ч и о к о л е б а н и я х м е м б р а н ы . П о д м е м б р а н о й понимают тонкую упругую натянутую пленку, не оказывающ ую сопротивления на изгиб. Пусть в состоянии покоя мембрана находится в плоскости О х у и занимает некоторую область О , оф аниченную контуром С . Уравнение малых по перечных колебаний мембраны, находящейся под действием равномерного натяжения, приложенного к ее краям (к контуру С ), имеет вид + (а = соп.1), (11.141) где и {х ,у ,1 ) — смещение точки {х ,у ) мембраны в момент I, перпенди кулярное к плоскости О х у, функция / характеризует внешнюю силу. ствую ш ую на мембрану. Ехли / = О (или / ^ 0 ), то колебания называются' с в о б о д н ы м и (или в ы н у ж д е н н ы м и ) . Уравнение ( 1 1 . 1 4 1 ) — двумерное. Для нахо ждения функции и (х ,у ,1 ) к уравнению ( 1 1 . 1 4 1 ) следует добавить граннч»^ у с л о в и е на контуре мембраны, например, для случая, когда на контуре мембрана закреплена: и {х ,у ,1 ) = 0 на С (или и |^ ,= 0 ); а также н а ч а л ь н ы е у с л о в и я , т. е. смеш ения и скорости каждой точки мембраиь* и{х, у, 0) = Ф (х , у). и[(х, у, 0) = Ф (х , у). 15. С в о б о д н ы е к о л е б а н и я п р я м о у г о л ь н о й м е м б р а н ы . Рассмотрим свободные колебания мембраны, контуром которой является прямоугольник со сторо нами X = О, X = р , у = О, у = д. М атематическая постановка задачи: = + « '; ) ; « (0,у , < )= 0, и (р ,у ,1 ) = 0, и ( х , 0 ,1 ) = 0 , и {х ,д ,1 ) = 0\ и {х , у , 0) = Ф (г , у ), щ {х , у, 0) = Ф (х , у). (11142) Частны е реш ения уравнения (11.142) ищем методом разделения пере менных в виде и {х , у , I ) = « (х ,}/) •Т{1 ), удовлетворяющем только ф аничным условиям из (11.142). И з уравнения (11.142) следует (см. также 11.2.4.2, п. 7): Т"(1) ^ а^Т{1) где + ^ 2 V — постоянная. В результате получаем дифференциальное уравнение Т" -I- {а к )^ Т = О и краевую задачу «;(0, у ) = V(р, у ) = О, ^ » (х , 0) = ь(х . д) = 0. краевая задача такж е решается методом разделения переменных: г {х ,у ) = Х {х )У {у ). В результате получим У"(У) ^ . 2 _ У {у ) _ .2 Х (х ) Где к\ — еще одна посте постоянная (см . 11.2.4.2, п. 7). Отсюда получаем два уравНения Х ' \ х ) + к ^ Х {х ) = О, Г " ( у ) + к \ У (у ) = О (*2 = к ^ - к ], или = к }+ к 2). Граничные условия к ним: А’(О) = 0, Х ( р ) = 0 ; ^'(0) = О, У (д ) = 0. Общ ие реш ения предыдущих уравнений: Х (х ) = С ) С05 к ] ! + Сг 51П У (у) = С} сок к2 У 4- С 4 51П к 2 у. ^ учетом ф ани чны х условий находим С| = Сз = 0. Полагая С 2 = С 4 = I , '•ВДучим Х ( х ) = 51пЛ|г, У ( у ) — 8ш к 2У- И з условий 5т * г / ) = О, 8Ш * 2? = О следует тп пи , . = --- , * 2п = — ( т , п = 1, 2, . . . ) . Р Ч Этим собственным значениям к^п соответствуют собственные функции ттгх Ч тп (Х ,У ) = 8 Ш ппу р д ----- 81П ----- . Чтобы удовлетворить начальным условиям из (11.142), запишем двойной ряд °° « (Х , У , 1 ) = тж х { А т п С08 а к т п 1 + В „ „ 51П а Й ш п О «1П ^ Р т ,п = 1 П1ту 81П 81П --■ 9 Если этот ряд, а также ряды, получающиеся из него двукратным почленным дифференцированием по х ,у ,1 , сходятся равномерно, то его сумма будет решением уравнения (11.142), удовлетворяющим граничным условиям. Для удовлетворения начальных условий необходимо, чтобы и(х, У , 0 )= щ (х ,у ,0 )= 8Ш --- = Ф (х , у), 9 2 _ , ^ тп 81П т,п=1 Р ^ а * : т „ В „ „ 8ш ^ ^ 8т — т ,п =1 Р 9 = ф (1 ,у ). Предполагая, что эти ряды, являющ иеся разложениями функций Ф и Ф в двой ные ряды Фурье, сходятся равномерно, умножая обе части обоих равенств на ти х птгу 81П ---- •8Ш --Р Ч и интегрируя по X от О до р и по у от О до д, найдем коэффициенты X А тп = — V ! А / ж/ \ ^ / / Н х , у) 8Ш ---- 8 Ш ---- ЙХ (1у, РЯ ^ ^ Р о о Я р я _ 4 В т п = --- ;— С Г , ^ / / Ф (х , у) 5 Ш лрдктп ^ ^ о о ттгх Р 81П ппу я йх Лу. Значения частоты колебания ш мембраны находится по формуле 16. Свободные колебания круглой мембраны. М атематическая постановка задачи о колебаниях круглой мембраны радиуса р с центром в начале коор динат в полярных координатах (г , в) имеет вид: д1^ \д г ^ ^ г дг ^ (11.143) дв^ ) ’ и {г ,в , 0 ) = Ф {г,в), и(г,в,0|г= р = 0; и;(г, в, 0) = Ф (г , в). Здесь полярные координаты обозначены (г, в) вместо (р, (р). Решение и (г, в, I) задачи (11.143) ищется методом разделения переменных в виде и (г, в, Ь) = Т{1) ■V(^, в) в классе функций, периодических по в с периодом 2тг и оф аниченных во всех точках мембраны. В результате получается уравнение Т "{1) + и краевая задача 1 в е 1 2 „ I = О „ где — постоянная, и (г, в ) — однозначная, периодическая по 0 с периодом 2т функция, конечная при г = 0. Решение этой краевой задачи ищ ется также методом разделения переменных в виде » (г, в) — Д (г ) ■У{в) с введением еще одной постоянной. Окончательное решение задачи (11.143), удовлетворяющее фаничным и начальным условиям, имеет вид ряда: 00 « (г , в,1) = ' ^ {А „т С05 Ш„„1 + В „ т 5Ш ш „„1) сов пв + п=0 т —] + { С „ т С05 + О п т 81П Ш „т«) 51П пв) ^ к ^ тГ ), "т.т = а к „ т , К т = ^^пт|р, ^^пт — положительные корни трансцен дентного уравнения ^п(^^) = О [-^п — ф ункция Бесселя первого рода п-го Порядка); п = О , 1 ,2 ,...; т = 1 ,2 ,...; коэффициенты А „ т , В „ т , С „ т , О п т Находятся при помощи начальных условий (11.143) аналогично п. 15: о о Р 2ж А = ^72 I ( [ ^ 7 „ % ,(/ Х „ т ) 1 С ит — , ,2 ^ '7 У Ф (^ .в )^ п (^ ^ ^ \ с О & (п в )^ а Т |1 в , У ОО Р 2ж ' ' Т [ [ \ Р ) &\п{пв)г(1г(1в. Коэффициенты В о т, ^ п т . ^ п т находятся соответственно по формулам для -^Отл, Спт путем замены в них Ф (г , в) на Ф (г , в) и делением соответству ющих формул на ацпт/р- 11.2.5. Уравнения эллиптического типа 1 1.2.5.1. Общие сведения Трехмерное уравнение эллиптического типа, имеющее вид _ д^и д^и д^и дх^ ду^ дг^ „ \ V ду^ дг^) ’ где и(х, у, г) — неизвестная ф ункция, Д — оператор Лапласа, называется уравнением Лапласа. Неоднородное уравнение Л и = /(ж , у, г ) эллиптическо го типа, где / (х , у, г ) — заданная ф ункция, называется уравнепием Пуассона. Если ф ункция щ(х, у) не зависит от координаты г (т. е. сохраняет постоянное значение на каждой прямой, параллельной оси О г ), то получим двумерное уравнение Лапласа Д и = -Ь и'уу = О, так как = 0. Аналогично рассмат ривается и двумерное уравнение Пуассона. Для нахождения ф ункции и к уравнению эллиптического типа следует присоединить некоторое граничное условие (см. 11.2.3.3). Начальные условия в этом случае не требуются. П усть область О оф аничена замкнутой по верхностью Е . Если область В , в которой ищется решение эллиптического уравнения, конечна, то краевая задача называется внутренней, если бесконеч на, то внешней задачей. Д ля внещней задачи ставится еще условие обращения решения в нуль на бесконечности. О бы чно для внешних и внутренних задач рассматривают граничное условие: 1) и\^ = <р(М), где ^ (М ) — непрерывная ф ункция, заданная на поверх ности X); или условие Р = 1р ( М ) , когда на Е задается нормальная к Е производная функции «• дп Е При этом краевая задача с первым (вторы м ) ф аничны м условием н а з ы в а е т е * задачей Дирихле (задачей Неймана) для эллиптического уравнения. М о *^ рассматриваться также и смешанная задача. Область О может быть как двумерной, оф аниченной контуром С , так и трехмерной, о ф а н и ч е н н о поверхностью Е . Если ф аницей области О является плоскость (прямая), говорят, что краевая задача поставлена для полупространства ( п о л у п л о с к о с т и ^ Внутренняя задача Дирихле для уравнений Д и = О и Д а = / и м ^ ственное решение во множестве функций, непрерывных в области П вмест^ с частными производными первого порядка. Решение внутренней заД8‘‘ 2) Неймана для уравнений Л и = О и Д и = / определяется однозначно с точ ностью до произвольного постоянного слагаемого при выполнении условия /(м) д у = о, р(м) аз - 1 Е о вытекающего из формулы Грина (см. 11.2.5.2). 11.2.5.2. Гармонические функции Функция и, непрерывная вместе со своими частными производными до вто рого порядка в некоторой области С (трехмерной или двумерной) и удовле творяющая там уравнению Лапласа (трехмерному или двумерному) Д и = О, называется гармонической функцией в О . Формула П>ина. П усть О — некоторая оф аниченная трехмерная область, — ее кусочно гладкая поверхность; и, и — две ф ункции, непр^ы вны е со своими производными до второго порядка в замкнутой области О , тогда справедлива формула Грина / / / ( “Д” о =/ / Е № производные в правой части берутся по направлению внещней для О чормали = Лх Лу Л г, (13 — элемент площади. Д ля двумерной области В, ограниченной кусочно гладким контуром С , формула Грина имеет вид (и Д ® - и Д и) (1хйу = ^ в ~ с Если вместо внешней нормали брать внутреннюю, то надо изменить знак Правой части формулы Грина на противоположный. Формула Грина приме'**'Ма и в случае области О (или В ) , ограниченной несколькими замкнутыми "“ верхностями Е ; (или контурами С {). И з формулы Грина следует, что для ■ ’*>бой функции и, непрерывной вместе со_своими производными до второго "“Рядка в трехмерной замкнутой области В , справедлива формула Е В ^ — любая произвольно фиксированная точка в О , г = |М оМ | — рас^ яние от фиксированной точки Мо(хо, уо, ^о) до переменной точки инте^'•Рования М (х , 2/, г ); Д • 1/г = О при М Ф М(,. Соответствующ ая формула для плоской области В имеет вид пт= - ,п г ^ ^] ± с | | ( 1п г ) А п аз. (11,145) в Здесь учтено, что в двумерном случае Д(1п г ) = О при М ^ Мо. Свойства гармонических функций. П усть ф ункция и { М ) гармонична (т.е. Д и = 0) в конечной области Ь, оф аниченной поверхностью Е , и непрерывна со своими производными первого порядка в О , тогда: Е Л8-, 3) “ (л^о) = ^ II и { М ) а з , где 5н — сфера радиуса Я с центром Мо. целиком находящаяся в О , М — точка на 8 (теорема о среднем значении); 4) функция и ( М ) , не равная тождественно постоянной, достигает своего наибольщего и наименьшего значений только на ф анице Е области В Гармонические функции на плоскости имеют аналогичные свойства, ко торые устанавливаются при помощи формулы Грина и формулы (11.145). в частности, теорема о среднем значении примет вид ^ I и ( М ) а1, Сн где Сн — окружность радиуса К с центром Мо. 1 1.2.5.3. Решение краевых задач методом функций Грина Рассмотрим задачу Дирихле в ограниченной области О с поверхностью 3: Д « = /, « 1;, = Р , где / и Р — непрерывные функции. Ф ункц ией Грина оператора Лапласа для области О называется фуни* С (М , М о ) , удовлетворяющая следующим условиям. 1) С (М , М о) является функцией двух точек: М , принадлежащей О , и принадлежащей О . 1^к ф ункция от переменной точки М (х ,у ,^ )произвольно фиксированной точке М о ( х о , !/ о , ^ ) , она у д о в л е т в о р и уравнению Лапласа А С = С'^^ + С'у^ + С'^г = О (является г а р м о н и ч е с к о / во всех точках М из О кроме М = М о. При М = Мо ф ункция С(ЛЛ обращается в бесконечность. 2) Граничное значение 0 {М , М о) на поверхности Е равно нулю: С (М ,М о )\ ^ = 0 . 3) Она может быть представлена в виде С (М , М о) = С (х , у, г; Хо, уо, го) = М>), где г = |М М о| — расстояние между точками М и М о; ^ (М , М о) — ф унк ция, гармоническая всюду в П и непрерывная в В по М . Аналогично определяется ф ункция Грина для бесконечной области вне 2, при этом требуется, чтобы С стремилась к нулю , если точка М стремится к бесконечности для любой фиксированной точки Мо. Смйства функции Грина 1) 0 < С (М ,М о ) < для М . М о е С , М / М о ; 4тгг 2) С (М ,М о ) = С (М о ,М ). Физический смысл функции Г^ина. П усть Е — электропроводящая по верхность с нулевым потенциалом. Тогда С (М ,М о ) = С (М о ,М ) можно рассматривать как суммарный потенциал, создаваемый в точке Мо зарядом +7- , помещенным в точку М , и зарядами, индуцированными на Е . Для построения функции П>ина необходимо найти гармоническую в обла'ти о функцию ? (М , М о ), удовлетворяющую на Е ф аничному условию г (М ,М о )|„ = - ' 4ят Если найдена ф ункция Грина С {М , М о ), то, согласно (И .144) и формуле ФИна, искомое рещение задачи Дирихле в точке Мо имеет вид О Е = - II Е С _ переменная точка интегрирования, ЛУм = Л х Л у й г. В случае плоской области В , ограниченной контуром С , ф ункция Грина “Ператора Лапласа имеет вид с (м , М о) = - 2тг 1п г + г (м , М о) (м е в . М о е В ), где г = \ММо\, ^ {М , М о) — ф ункция, гармоническая всю ду в В и непре рывная в В по М . На контуре С вы полняется С (М Л / о )|с = О- Например, решение краевой задачи Л и = О, = в области В с фаницей С дается при этом формулой Вв(М,Мо) и (М о ) = - У Р ( М ) ~ где М дп (11.146) - переменная точка интегрирования. Пример 100. Найти решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге с центром в начале координат с окружностью С радиуса Н: Д и = О, « |р = Р( 1р) . где Р { 1р) — заданная функция, у) — полярный угол в полярных координатах (р, р). Решение. Построение функции Грина а ( м . м „ ) = - ^ 1п - + х(лг, м „ ) 2тг г сводится к нахождению функции $, гармонической в круге и равной на С . Обозначим через М ] точку на луче О М о, для которой рор^ = Д ’ , где ро = ОМц, Р\ = 0М [ (рис. 11.21). Для любой точки М на окружности С треугольники ОММо иОММ, подобны, так как угол при О общий и ОМд : О М = О М : ОМх. Из подобия следует Го _ ^ _ Я г, К р, ’ где Го = |го| = |АГоЛ/|, г, = |г,| = |М |М |. Отсюда го = г- 2т 1п Р о г ,/ Н . Следовательно, р „ г ,' т.е. 1 Г 1 0 (М ,М „) = — \\п 2тг [ Го а 1п--/>оГ, гдеточка М, вообще говоря, уже не лежит на окружности. Для рещения краевой задачи ло формуле (11.146) вычислим производную дС/дп на С по направлению внешней нормали п: 1 д Я дС 1 3 — дп 2тг дп — 1п — = дп Го 1п Го дп д I I дго 9 , я 1дг, I” ---- роГ1 1 ■ 5— 1п — - ^ = ----С08 (Го, п), дго Го] дп Го д , Я — 1п - - — 1п ------ дг, 1 -г—= -------- С0 8 ( Г |,П )1 г, рог,_ дп ПК как бго — ^ = 8га()„ Го = С05 (го, п); дг, — дп дп Из треугольников ОММо и О М М , находим С05(го,п) = г + '•5 - р 1 = С05 (г,, п). С08(Г],п) = 2йг„ 2Дг, Я^ учетом р, = — , а на окружности Г] = Го — , получим Ро Ро № I дп 2ТГЙ - Ро г^ ^треугольника ОММо находим г^ = К^+р1~2Нро соз (^-^о). где (Я, (р) и (ро, <Ро) — *“ординаты точки М на окружности и точки Мо соответственно. Учитывая, что окружности (Им = Я (1‘р. по формуле (11.146) находим искомое решение г* и(Мо) = и(ро, »>о) = ^ У ^ Я^-Ро -Р((р)Л1р, ^+ р1~ 2Яро ео8 ( 1р - <ро) О ^ззываемое интефалом Пуассона для круга. пример 101. Решить внутреннюю задачу Дирихле для шара радиуса К. Решение в сферических координатах (р, в, <р) проводится аналогично примеру 100. В тех же обозначениях (после замены окружности сферой) функция Грина имеет вид 4)г\Го роГ.У Искомое решение в точке М(1{ро, во, (ро) внутри сферы, называемое интефалом Пуас сона для сферы, имеет вид - т = ё / / оо - 2 Я р ~ с о 'у + р 1У'^ где С08 7 = С05 в С05 #0 + 8'П 9 81П9о С05 (^! - Ро). > 11.2.5.4. Решение краевых задач методом разделения переменных Д ля простых по форме областей (прямоугольник, круг, круговое кольцо, цилиндр, шар, прямоугольный параллелепипед и др.) решение краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона может быть найдено методом разделения переменных. 1. Найти в полярных координатах <р) функцию и{р, у ) , гармоническую в круге В радиуса г, непрерывную в В и принимающую заданные значения Р { ‘р) на ф а н и ц е круга р = г ;т . е . решить в н у т р е н н ю ю краевую задачу Д а = О, и(г, !р) = Р(>р). Ф ун кц ия Р в общем случае кусочно непрерывна. Решение и(р, (р) должно быть однозначной, следовательно, периодической функцией: и{р,(р + 2тг) = и{р, >р). Решение ищ ется в виде и{р, <р) = Я (р ) ■Ф {‘р) ^ 0. Тогда из уравнения Лапласа В полярн ы х координатах 1 д^и рдрУдр) после разделения переменных следует р^К"(р ) + рН1{р) Ф"(<^) й (р ) Ф(|р) = А, где А — постоянная. Получаем два дифференциальных уравнения: ф" + АФ = 0 [Ф^О, Ф ( у + 2тг) = Ф ( ^ ) | , р^Ш' + р В ! - \ К = 0 ( Д ^ О ). ^^^ , 47) Ф (^ ) = А С05 + В 51П %/А^, удовлетворяющее условию периодичности Ф({р + 2тг) = Ф (^ ), если \/Д = п , где п — любое неотрицательное целое число. Числа А „ = (п = О, 1 ,2 ,...) называются собственными значениями данной задачи. Соответствующие им ненулевые решения 1, С05^, . . . , С05П^, 5шпу?, ... называются собственными функциями задачи. При А = О общее решение уравнения имеет вид Ф о (^) = Ло + Вц>р. В силу периодичности. Во = 0. Полагая Ло = I, получим собственную функцию, соответствующую собавенному значению Ао = 0. Общее решение первого уравнения (11.147): ф „(уз) = А „ со5П(р + В „ 5Ш т р (п = О, 1, 2 ,...). Общее решение второго уравнения (11.147) при А = п^ (п = 1, 2 ,...), я в ляющегося уравнением Эйлера (см. 11.1.4.4), ищем в виде Д (р ) = р™. Отсюда т = о, т. е. т = ± п. Общее решение имеет вид Е „ ( р ) = Спр" + Опр " (п > 0). Если п = О, то общее решение: Д о(р) = Со + Г>о 1п р. Решение должно быть конечным при р = О, следовательно, надо положить = О (п = О, 1, ^••• ). Реш ениями вида Н {р)Ф ((р) являю тся функции и„ = р "(о „ С05П9? + 6„ 51пп^) (п = О, 1, 2 ,...), где о„ = А „ С „ , Ь„ = В „ С „ . Решение внутренней краевой задачи представим в виде суммы решений и „ , т. е. в виде ряда 00 и(р, (р) = ^ р"(ап С05 П(р + Ь„ 81п тр ) (р ^ г). п=0 *^о^%1)ициенты ап, К находятся из ф аничного условия и{г, <р) = Р(<р)’ 2т 2-к Оо = ^ М , У а„ = ^ О ^ Р { 1 ) С05 п1 (11, о 2х Ь„ = ^ I Р (1 )^ тп 1 Л 1 ( п = 1, 2,. . . ) . О ^Умма ряда, представляющего решение и(р , V?), равна интегралу Пуассона для "РУга (см. пример 100). Примечание 1. Решение внешней краевой задачи для круга, офаниченное в беско нечности, ищется аналогично и имеет вид ряда «(р. г ) = ^ п=0 Р коэффициенты которого находятся из ф аничного условия. Примечание 2. Решение краевой задачи для кольцевой области между двумя кон центрическими окружностями /? = Д и = 0; Г| , /) = Г 2 (Г 1 < Г 2) и{г2,<р) = и (г ь ^ ) имеет вид ряда п «(/), = йо(^>) + 5 3 п=\ где общие выражения для Я о ,К п , Ф „, содержащие все коэффициенты, приведены выше. Коэффициенты этого ряда находятся из ф аничны х условий аналогично предыдущему. 2. Найти решение « (х , у) краевой задачи = 0; “ (0 , у ) = / | ( у ) , и ( а ,у ) = }2(у) (О ^ г / ^ Ь), « (х , 0) = Р \(х ), и(х, Ь) = Р 1(х ) (О ^ а; ^ а) в прямоугольной области (О ^ х ^ а , причем /1 (0) = ^^](0), /](Ь ) = /^г(®)' Ш ) = Р М ),Р 2 (а ) = т Данная краевая задача сводится к следующим двум задачам: 1) Д « = 0; 1а) и (0 ,3/) = О, V (а .у ) = ^), 16) к (х , 0) = Р |(х ), (11.148) V {x ,Ь ) = Р 2(х); 2) Ди; = 0; 2а) и)(0,г/) = /|(з/), 26) ю (х, 0) = О, ш {а ,у ) = }г {у ), ( 11.149) и)(х, Ь) = 0; тогда решение исходной краевой задачи и{х, у ) = и(х, у ) + ю (х, у). Ищем решение уравнения Лапласа (1 1.148) в виде и(х, у ) = Х ( х ) ■У (У'' удовлетворяющее сначала только однородным ф аничны м условиям 1а). ПоД' ставляя V = X У в уравнение, получим соотношение X " V — = = -А А У распадающееся на два уравнения (А — постоянная), П одставляя V = X V в у с л о в и е 1 а ), п о л у ч и м ^Г(0) = 0, Х (а ) = 0. (11.151) Только при А > о первое уравнение (11.150) с ф аничными условиям и (11.151) имеет ненулевое решение X = А В С05 \ / А х + ^Хх, 5 1П в котором А = 0 ; \/Ха = 7 Г П , т е . собственные значения равны А „ = тг^п^/а^ (п = 1 ,2 ,...). Соответствующие собственные (ненулевые) функции: Х „ ( х ) = 81П (полагаем В X а = 1). При А = А„ второе уравнение (11.150) имеет общее реш ение Уп{у) = С „ сН — у а + 0 „ 8Н — у. а Решение краевой задачи (11.148) запишем в виде ряда V (x , у) / = } ттп 1 С „с Ь а у + 0 „ 8Н тгп \ у а ) жп 51П а X, № С „ , В „ находятся при помощи граничных условий 16) в (11.148): О л 2 Г жп1 Сц = - / ^^|(<) 51п (II, а ] а С„ сЬ о тгпЬ а К вЬ ппЬ а а 2 /* , , тгп1 , = - / ^:(<) 5Ш Ш. а ] а о 1^аевая задача (11.149) решается аналогично. 3. Найти решение краевой задачи с + « '; = о ; 1) и (0 ,у ) = к, 2) « ; ( х , 0)= 0, и {а ,у ) ку ( О ^ у ^ Ь ) , = « ;( х ,6) = 0 (О ^ х ^ а ) ® Прямоугольнике (О ^ х ^ а , О ^ X < 6). Ищем решение в виде и (х ,у ) = Х ( х ) ■У { у ) , удовлетворяющее сначала ’^лько однородному ф аничному условию 2). После разделения переменных "Чеем два уравнения: X " - X X = 0, У " + А К = 0. И з ф аничного условия 2) Следует: К '(0 ) = О, У '{Ь ) = 0. При А = Ао = О имеем У ( у ) = Ао + ВоУ, где '^0 ^ О, ^?о = 0. При А > О получим У ( у ) = А со8 '/ \ у + В $ т \/\у, где В = О, К = ж^п^/Ь^ (п = 1 ,2 ,...). Собственным числам Ао, А ь А г,. . . соответствуют Собственные функции жу 2жу 1, С05 — , С05 — — , . . . . О о Уравнение для Х ( х ) при А = О имеет решение Х ( х ) = Со + А = А„ (п = 1 ,2 ,...) „ ^ „ Я’ПХ жпх Х „ ( х ) = С „ сЬ + 0 „ 5Н — — . о о Решение исходной краевой задачи ишем в виде ряда 00 у- и(х, у ) = С а + О ох + ^ сЬ ^ + ппх \ 0 „ зЬ —— а пои ппу I С05 — - . п=1 ^ Найдя коэффициенты Со, Во, С „, В „ при помоши граничных условий I), по лучим искомое решение: ( 2 т + 1)пх' , , , к {Ь - 2 ) 1 т =0 Ь ' { 2 т + \)1гу' ( 2т + 1)тга" Ь Ь 11.2.6. Реш ение уравнений п араболического типа 1 1.2.6.1. Общие замечания Основные типы краевых задач для уравнений параболического типа приведе ны в 11.2.3.3. Уравнение теплопроводности (трехмерное) ди у ( д^и д^и д^и д^и\ / ..к И т где и{х, у, г, I ) — неизвестная функция, о — постоянная, относится к па раболическому типу. Если заданная ф ункция / = О (/ ^ 0 ), то уравнение называется однородным (неоднородным). Аналогично рассматриваются одно мерное [и = и (х , ()] и двумерное [и = и(х, у. <)| уравнения т е п л о п р о в о д н о с т и (см. также 11.2.3.2,3) Если область О . в которой ищется решение, безф анична, т. е. сов падает со всем пространством, то ставится задача Коши: найти функиию и{х, у, X, I) = и(М , I) , удовлетворяющую при < > О уравнению (11.152) в лю бой точке М {х , у, г ) пространства и начальному условию (при <= 0) и (х , у, г , 0) = 1/>(х,у, г), где (р — заданная функция. В случае ограниченной области О пространства с фаницей Е ставится см«' шанная задача для уравнения теплопроводности: найти функцию удовлетворяющую в области О при ( > О уравнению (11.152), а также I) начальному (при <= 0) условию и (х, у, 2 , 0) = <р{х, у, г ) в области 2) граничному (при I > 0) условию и (М , <)|^ = у {М ,1 ) в каждой точке М поверхности Е , где ^ ,7 ~ непрерывные в области их определения ф ункции; причем должно в ы п о л н я т ь с я у с л о в и е с о г л а с о в а н н о с т и у ( М , 0 ) = 1р (М )\ ^ . В общем случае граничное условие имеет вид (см. 11.2.3.2,2): а (М )« + ;3 (М )^ ]^ = 7 (М ,< ) (< > 0). Принцип м а к с и м у м а и м и н и м у м а . П усть П — конечная область с по верхностью Е . Рассмотрим в пространстве ( х ,у , г ,1 ) бесконечный цилиндр С, основанием которого является О , а образующие параллельны оси 01 ^ 0). Пусть замкнутая область О т — часть этого цилиндра, оф аниченная плоскостями < = 0 и < = Т > 0 . Тогда каждая ф ункция и {М ,1 ), являю щ аяся решением однородного уравнения теплопроводности в О т » непрерывная на С у, принимает наибольшее и наименьщее значения или на «нижнем» основании цилиндра (на плоскости I = 0 ), или на его боковой поверхности. Т а и н с т в е н н о с т ь р е ш е н и я с м е ш а н н о й з а д а ч и . Решение и(х, у, г, I ) смешан ной задачи для уравнения (11.152), непрерывное в замкнутой области О т вместе с частными производными первого порядка по совокупности аргумен тов, единственно и непрерывно зависит от исходных данных (т. е. от правых частей начального и граничного условий). Е д и н с т в е н н о с т ь р е ш е н и я з а д а ч и К о ш и . Непрерывное и ограниченное в бес|<онечном пространстве при <> О решение задачи Кош и « [ = а^Д «, « (М , 0) = уг(М ), Че — непрерывная и ограниченная всюду ф ункция, единственно и не прерывно зависит от (р. ^^'2.6.2. Решение краевых задач методом разделения переменных 1. Найдем непрерывное в замкнутой области Решение и{х, I) однородного одномерного уравнения теплопроводности и, - (0 < х < 1 , 0 < 1 ^ Т ) , Удовлетворяющее начальному и граничным условиям и (х ,0 ) = ^ (1 ) и (0,<) = 0, (О ^ X ^ /), и{1,1) = 0 {0 ^ 1 ^ Т ), ■■Де (р(^х) непрерывна, имеет кусочно непрерывную производную и ^ (0) = <р{1) = 0. Ищем решение в виде « (ж ,I) = Х { х ) ■Т(1). Подставляя его в исходное урав нение, находим Т'{1) Х "{х ) ^ = (А - п о с « ,я „ „ а я ). Отсюда получаем два уравнения Х " + АХ= 0, Г ' + а^АГ = 0. (11.153) Граничные условия к первому из них: Х (0 ) = 0, Х {1 ) = 0. Только для (собствен ных) значений А „ = (тгп/1)^ (п = 1 ,2 ,...) существуют ненулевые решения (соб ственные ф ункции) первого уравнения (11.153), равные Х „ { х ) = 5т{птгх/1). Значениям А = А „ соответствуют решения второго уравнения (11.153): Тп{1) = А „ ехр где А „ — произвольные постоянные, ехр {х } = е^. Решение исходной крае вой задачи является суммой ряда, составленного из произведений Х„Тп'. 00 N и(х,1) = 2 _/ г / \2 Л / т^па \ I п'кх “ Р коэффициенты которого находятся при помощи начального условия по фор муле 1 2 Г шх 77 ~1Г о Этот ряд удовлетворяет всем условиям краевой задачи. 2. Найти решение и{х, I) краевой задачи щ = {0 < х < 1 , * > 0); и{х, 0) = ^ (х ) и{0,1) = -ф1 {1 ), (О ^ X ^ г); и(1,1) = 'фг(1) (1^0), где <р,'ф\,1р2 — заданные функции. Искомое решение имеет вид ряда 00 П=1 Т„ (0 = е-“ | с „ + ^ ^ I е‘ ^[^’, ( г ) - ( - 1) > , ( г ) ] й г } ; (п ж а \ ^ — 2 Г С . = Т . , 0) . ; У <р(х) 5 Ш — (1х. оО V’1(<) = «1 = С0П81, ^/|2(0 = «2 = С0П81, ТО решсние принимает вид иС » 2 ( - 1)’‘«2 - «1 -ы ппх « (* ,() = и , + (« 2 - и , - + — — ---- -е ‘ 5 Ш - — + / я- ^ п I п=1 л г‘ 2 -И . П Т Г 1 Г . пих ^ + у 2^ е 51П — I (р{Х) 51П — Й1. п=1 о 3. Решение и (х , () краевой задачи и, = а ^ и " ^ . {О < х < 1, < > 0 ) ; и (г , 0) = ^ (г ) (О ^ х < /); имеет вид 00 Е и (х Л ) „=, V / . / , Р . /‘ п* 0 0 8 - — + ---- 8 Ш - — г / где ^ _ 2 ^ ^” - 1 о /<„ ( п = 1 , 2 , . . . ) — п о л о ж и т е л ь н ы е к о р н и у р а в н е н и я 2 с 1 е /X = - - {р = Ы > 0 ) . - Р 4. Р е ш е н и е и {х , I ) к р а е в о й з а д а ч и с н е о д н о р о д н ы м у р а в н е н и е м т е п л о проводности и о д н о р о д н ы м и н а ч а л ьн ы м и и ф а н и ч н ы м и усл о ви я м и «; = а^и"^ + / (х ,0 ; и (х ,0 )= 0 ; и(0,<) = 0, «(/ ,< )= О Имеет вид 00 г /• « (х ,0 = Где С0п = — , пжх х; / е“ ‘'"“ ‘ '*/-.(г)бгг «=| о '" Г ’ ■' I ^ / ч 2 г ^ . . . П 7Г Х /« (г ) = у / /(а :,г)5 ш — о 5. Решение и(х, I ) краевой задачи с неоднородным уравнением тепло проводности и неоднородными начальными и граничными условиями “( = + / (г , 0 ; и {х ,0 ) = 1р {х); и(0,1) = ^,{1), = имеет вид и{х, I ) = ^) + гу(х, I ) , где функции V, т удовлетворяют следу ющим двум краевым задачам: 1) и ,'= а Ч ' * ; * '(2 ;,0 ) = ^ ( х ) ; 2) т '1 = V ( 0 , ^ ) = ■фх{Ь), ю (х ,0 ) = 0; г { 1, 1) = ■Ф2Ц); т {0 ,1 ) = 0, № {1 ,1 ) = 0. Реш ения обеих этих задач приведены выше (в п. 2 и п. 4 соответственно). 6. Найдем решение и {х ,у ,1 ) двумерной краевой задачи, описывающей распространение тепла в прямоугольной пластине ди 2/ дЬ ° д^и\ V ^ ) ’ и {х .у ,0 ) = (р{х,у); и{0, у, I) = и{р, у, I) = 0; и(х. О, I) = и(х, д, I) = 0. Решение иш ется в виде и(х, у, I) = Х ( х ) У (у )Т {1 ). Получим уравнения X " + А^Х = О, Г" + = 0, Т ' + а}(\^ + ^^^)Т = О, где А, /4 — постоянные. Обшие решения этих уравнений X ( х ) = С\ соз Ах + С 2 51П Ах, У {у) = С} С 0 5 )МХ+ С4 5 1 П (IX, Т (1 ) = А с х р { - а ^ { \ ^ + Для удовлетворения граничных условий следует положить С]=0, С з = О, А = ^ ^ , /X = — V (т ,п = \ , 2 , .. Я Искомое решение имеет вид ряда 00 и { х , у ,1 ) = > \ * атпе •5ш т. п=1 тТГХ п 5ш Т11ГХ Р Я ктп = I т / т ^ + п^\ ^ Г 1 = - УУ 0 ч т ж у) -п — п X , ппу 0 Коэффициенты ащ„ находятся при помощи начального условия. , 1. 7. Общая схема метода разделения переменных при решении пространствен ных задач. Пусть требуется найти решение и(х, у, г, I) = и{М , I) пространавенной краевой задачи внутри области В с поверхностью Е щ = а^Аи (М е I» , 1> 0); и (М , 0) = и { х , у , г ,0 ) = <р{х,у,г)-, и (М , <)|5, = 0. Вначале ищется решение уравнения теплопроводности в виде произведения и(М,1) = Ф (М )Т {1 ) ^ О, удовлетворяющее только однородному граничному условию и|^, = 0. Разделяя переменные, получим уравнения: Д Ф + АФ = О е О ,Т ' + а^ХТ = 0 (< > 0). Граничное условие к первому из этих уравнений: Ф(М)|2, = 0. Решение для Ф (М ) в свою очередь также ищется при помо щи метода разделения переменных. Д ля функции Ф (М ) получается задача на собственные значении. Если А ь А г ,... — собственные значения задачи, а Ф |(Л Г),Ф 2( М ) , . . . — соответствующие им собственные ф ункции, образу ющие ортогональную систему, то решение исходной краевой задачи можно представить в виде ряда 00 П=1 коэффициенты которого находятся при помощи начального условия по фор муле (^ ,Ф п ) , (п = 1, 2, . . . ) , (Ф п .Ф п ) где {^ ,Ф п )= I I I 9 ( М ') Ф п(М')<1У'. О Ьесь М '( х ', у \ г ') — переменная точка интеф ирования; й У ' = Л х 'йуЛг \ '•алярное произведение (Ф „, Ф „) определяется аналогично. •'каждому собственному значению А„ в общем случае соответствуют не'Иолько линейно независимых собственных функций. Для преобразования '•стемы всех собственных функций в ортогональную систему используется ортогонализации Ш мидта, аналогичный приведенному в 2.6. Решение неоднородного уравнения щ = а^ А и + }(М Л ) однородных краевых условиях и (М ,0) = 0; "‘•'«твид и |5, = 0 гд е I ТпИ) = / Ш ехр - г ) } й г; / „ (г ) = О Здесь /„(<) — коэффициенты разложения / (М , I) по собственным функциям Фп(МУ00 т л ) = ^ ш п=1 ы м ) . Решение краевой задачи для неоднородного уравнения теплопровод ности с неоднородными ф аничны м и условиями и|^, = 1р(М,1), где М точка поверхности X,, приводится к решению р{М ,1) неоднородного урав нения теплопроводности с однородными ф аничными условиями ю!,, = О, если и {М ,1 ) = у{М ,1 ) + Р (М ,1 ), где Р — достаточно гладкая произвольная функция, такая что = V- В частности, если 1р = С = соп5(, то и = V + С. 1 1.2.6.3. Задача о распространении тепла на бесконечной прямой Требуется найти оф аниченную функцию и{х,1) (- о о 0); и{х, 0) = 1р {х) (-0 0 < X < + 00, I = 0), < +оо, I ^ ®)’ где ^ (х ) — заданная непрерывная оф аниченная ф ункция. Ишем решение уравнения в виде и{х, I) = Х ( х ) ■Т{1). И з уравнения следует Т ' + а^Х^Т = О, X " + Х ^ Х = 0. Здесь параметр А произволен в силу отсутствия ф аничных условий. Функи"* «л(х , I) = [^ (А ) С05 Ах + В (А ) 51п Ах] является частным решением уравнения при любых ^4(А), В ( Х ) . Функиия + 00 и (х ,< )= ^ е “ '•''‘ [у1(А )с о 5Ах + В {А )5т А 1] ЙА -00 также будет решением, если этот интефал сходится и может быть проД "^^) ренцирован по < и х один и два раза соответственно. Выбирая Л (А ) И , | так, чтобы выполнялось начальное условие, и используя разложение в интеграл Фурье, получим +00 ^ (А ) = ^ +00 / “ 5 В (А ) = ^ -0 0 / <Р(0 -0 0 После некоторых преобразований решение исходной задачи Кош и принимает вил +00 -о с функцию (!- » )■ 4а^( }■ являющуюся решением однородного уравнения теплопроводности при х ^ ^ и ( > О, называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. П.2.6.4. Задача о распространении тепла на полупрямой Решение и (х, I) краевой задачи щ = а^и'^х (О < X < + 00, I > 0); и{0,1) = 1р{ 1) ( ( > 0); и{х, 0) = 1р (х) {х ^ 0) * Промежутке О < I < +оо имеет вид и = и + ю , где +00 ь{х,1) = I 2а\/тН Ш е х р |- / (С + * ) Ч 4аЧ о +00 г /(2 о ^ ) начальная температура постоянна, т.е. и (х ,0) = уг(х) = щ , то Р {г ) -Т .!-' Лу. Глава 12 В А РИ А Ц И О Н Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е 12.1. О бщ ие сведения Вариационное исчисление — раздел математики, посвящ енный изучению ме тодов отыскания минимальных или максимальных (т, е. экстремальных) или просто стационарных значений функционалов. Под функционалом з д е с ь пони мается числовая (действительная или комплексная) ф ункция, определенная на некотором множестве функций. Каждой функции у (х ) из этого множестм функционал У = Ф |у (х )] ставит в соответствие некоторое число тогда как обычная ф ункция у = / (х ) каждому числу х из некоторого множества ставит в соответствие другое число у. Пример 1. I) Определенный интефал непрерывной на отрезке (а; &] функции у{х) является функиионалом, ставя щим в соответствие ка)кдой функции у(х) число — значение ^ о п р е д е л е н н о г о интефала. 2) Функиионалом является наибольшее значение (т.е. некоторое число) н е п р е р ы ® ' ной функции /(х ), определенной на отрезке (о; Ь], т.е. Ф [/ (х )1 = тах /(*)■ ОТ Пусть дан (интегральный) функционал вида ь ^ = Ф[у(х)1 = у Р\х, у(х), !,'(х)| ах . (12 ') а где Р — заданная непрерывная ф ункция трех аргументов, у {х ) — н е и з в е с т н а * функция, принадлежащая множеству ф ункций, определенных и непрерЫ®' но дифференцируемых на отрезке [а; 6]. Простейшая задача в а р и а ц и о н н о г о исчисления (задача с закрепленными концами) состоит в следующем. Н а раз личные функции у (х ) наложены граничные условия: у (о ) = з/а, у(Ь) = уь, Те. графики всех рассматриваемых функций у (х ) проходят через две закреп ленные (фиксированные) точки А (а ,у о ), В {Ь ,у ь ) (рис. 12.1). Хотя интеграл (12.1) берется от а до Ь, ф ункция у {х ) при этом неизвестна. Требуется найти Функцию у {х ), удовлетворяющую граничным условиям, для которой функчионап ( 12.1) примет экстремальное (или просто стационарное) значение. О такой функции говорят, что она доставляет экстремальное (стационарное) *«чение функционалу. ^1»«ер 2. Найти кривую с наименьшей длиной, проходящую через две заданные Л ( о , у „ ) , В(Ь, уъ) на плоскости Оху. Решение этой задачи состоит в нахождении (кривой) у = у{х), для которой функционал О Ь = Ц у (х )] = ^ у/1 + |у '( г ) 1 ^ (1х ^еоогветствуюшими фаничными условиями принимает наименьшее значение. РешеЭтой задачи, как известно, является отрезок прямой, соединяющий две точки. Для постановки и решения задач вариационного исчисления введем сле^'°Щие основные понятия. Будем рассматривать лиш ь два класса функций, ■которых ищ ется экстремум: Класс Со непрерывных на отрезке [а; 6] функций, Класс С ] непрерывно дифференцируемых на |а; 6| функций. Функционал может иметь экстремум в одном классе функций и не иметь его в другом. В каждом из классов Со и для любых двух функций 3/1{х) и у2{х) можно ввести аналог расстояния между двумя ф ункциями, называемый мет рикой. В классе Со метрика равна: Ро{у\,У 2) = та х |2/1(1 ) - 3/2(1) В классе С |: Р\{У \,У г)= та х |з/ ,(а :)- 2/2(х )|+ т я \ \у\(х) - у 2(х)\. Аналогично могут быть введены функции класса С *, определенные на от резке |о; Ь] и имеющие на нем непрерывные производные до Л-го порядка включительно. Если две функции близки в метрике р\, т.е, Р\(у\,уг) <Е,то они близки и в метрике ро,т.е. ро{У\,У 2) < е и ро(у\,У 2) < е, но не наоборот Функционал Ф|з/| называется н е п р е р ы в н ы м в точке уо (под точкой здесь понимается функция уп{х) из класса Со или С ]), если для любого числа е > О существует число (5 > О такое, что |Ф [у| - Ф|г/о] | < е, как только р{у, уа) < ^ (здесь под р подразумевается либо ро, либо р^). При этом у и уо принадлежат к одному классу Функционал ф [2/] называется л и н е й н ы м , если он: 1) непрерывен в некотором классе функций; 2) для любых у ]{х ), у 2(х ) из этого же класса выполняется условие Ф|г/1 + 8^21 = Ф [у|| + ^ [2/21ь ь Пример 3. Функционал Ф|(/| = ^ у(х) Лх — линейный, а Ф(у| = ^ нелинейный. а " а В а р и а ц и я ф у н к ц и и . П усть у (х ) и у (х ) — две функции из одного Тогда в а р и а ц и е й ду{х) функции у (х ) называется такая ф ункция от х, при каждом фиксированном значении х определяется как разность оу{^1 у{х ) - у (х ) (рис. 12.1). При этом у (х ) = у (х ) + 5у(х ). Вариация аналогична приращению Д х = х - х аргумента х обычной функции Приращение функции Л у (х ) = у (х ) - у(х ) связано с приращением аргуме Д х , а вариация функции связана с изменением вида ф ункции, т. е. с переход от функции у (х ) к у (х ) при каждом фиксированном х. Приращение функции Р\х, }( х ) , ^ {х ) \ от трех аргументов, связанное с риациями 6 } ( х ) и <5^(х), равно (при каждом фиксированном х ): Д^- = Р (х , / + <5/, « + <5«) - Р (х . / ,я ). Если у(х ), у (х ) — дифференцируемые, то [(5у(х)]' = |г/- !/(х)Г = у'(х ) - у'{х) = (5[у'(х)|, т.е. операции варьирования и дифференцирования перестановочны. При этом 1 {х) = у'(х) + ду'(х). В задаче с закрепленными концами в точках х = а , х = Ь имеем 6у(а) = О, (#) = 0 . 12.2. Вариация функционала от функции одной независимой переменной И рнрш цение Д 7 ф у н к ц и о н а л а (12.1), связанное с переходом от функции у(х ) I функции у (х ), равно ь Д7 = ф [у] - Ф [2,] = у ь р {х , у, у ') Л х - ^ Р (х , г/, у ) ах = а а Ь = ^ а Ь [р ( х , у + ду, у ' + 6 у ) - Р {х , у, 2/')] = У ^ Р ( х , у, у ') Лх а (является, в общем случае, нелинейным по 6у{х) функционалом от функций > Ц иЛ;,(х). Говорят, что ф ункция уо(х) доставляет л о к а л ь н ы й э к с т р е м у м функционалу 191 (или ф у н к ц и о н а л достигает л о к а л ь н о г о э к с т р е м у м а при у = уо{х)), если ^^’^8сеx функций у{х ) (называемых ф у н к ц и я м и с р а в н е н и я ) , достаточно близметрике ро или р |) к функции уо{х), приращение А ^ = Ф (у| - Ф|уо| ™'Щионала имеет один и тот же знак. При ^ О (или ^ 0) функ“Чал имеет л о к а л ь н ы й м и н и м у м (или м а к с и м у м ) . При А ^ = О функционал /'"^ а р е н в достаточно малой окрестности уо{х). Условие достаточной блиУ н Уо здесь связано с тем, что функционал может иметь несколько '‘Чьных экстремумов (по аналогии с обычной ф ункцией), В случае ло|7^Чого минимума (максимума) существует число Е > О такое, что А ^ > О ^ 0) для всех вариаций, удовлетворяющих условию р(уо, Уо + <5у) < е р означает ро либо />]). V Если экстремум функционала ^ = Ф 12/(1)] достигается в классе функк О) (соответственно С\), то этот экстремум (максимум или минимум) , Ывается с и л ь н ы м (соответственно с л а б ы м ) . Всякий сильный экстремум одновременно и слабым, обратное в общем случае неверно. Это следует I Определения метрик в классах Со и С\. Нахождение слабого экстремума ^ 1Цем случае является задачей более простой, чем нахождение сильного, '^Вязано с непрерывностью многих функционалов в классе ф ункций С \. 12.3. Необходимое условие экстремума функционала. Уравнение Эйлера 1. Уравнение Эйлера. Пусть функция ^Чх, у {х ), 2/'(г )] дважды непрерывно дифференцируема по всем трем своим аргументам. Требуется найти функцию у = у (х ) в классе С , непрерывно дифференцируемых ф ункций, удовлетворя ющих ф аничны м условиям у (а ) = у „, у{Ь) = уь, такую , которая доставляет слабый локальный экстремум функционалу О ^ = Ф |» (х )| = ^ Р [ х , у (х ), у '(х )] ах. ( 1 2 .2 ) Однопараметрическое семейство функций сравнения у {х ) = у(х, а ) для функции у {х ) = у {х ,0 ), доставляющей экстремум функционалу, где а — малый параметр (- а о ^ а ^ ар ), запишем в виде у { х , а ) = у(х ) + а «(1). ё (а ) = ^{Ь) = О, т е. 5у(х) = а - ^ (х ). Обозначим { ( а ) = Ф\у(х, а )] функцию, в которую перейдет функционал, вычисленный для функции сравнения. Тогда приращение функции / (а ), связанное с приращением аргумента от О до а, будет равно приращению функционала, связанному с вариациями ду и ду '■ А ^ = / (а ) - / (0 ) = Д / = / '(0 )а + ^ / "(О )а ' + . . . = ь = ^ [^’(х , у + а^, у' + а / ) - Р {х , у, ?/')] (^x = О = I О А Р ах = I дР дР , (1х + О + \ ! йх + ... (12-3) а Здесь использована формула Тейлора для приращения ^ Р ( х , у, у ) фиксированном х , многоточием обозначены дифференциалы более высоки порядков. Выражение д^ = (^/ = / '{0 )а = ^ ах. являю щ ееся линейным по йу функционалом, называется первой варияи"^* функционала ( 12.2). Выражение = /"(О )а^ называется второй вариацией функционала (12.2). Вариации более высоких порядков определяются аналогично (по индукции), формула (12.3) может быть записана в виде А ^ = 3 ^ + ^<5^ + . . . . Если функция у = Уй(х), соответствующ ая значению а = О, доставляет экстремум функционалу (12.2), то / '(0 ) = О (так как / (а ) имеет экстремум при а = 0). Необходимое условие экстремума функционала (12.2) имеет вид и = /'( 0 )а = о или о дР, дР . , -Ч йх = = 0. (1 2 .4 ) Для достижения функционалом Ф[г/] экстремума при у = 2/о(а:) необходимо, чтобы его первая вариация, если она существует, обращалась в нуль при у = уо {х ). Поскольку 6у = а ■§ (х) — произвольная ф ункция и 5у(а) = бу{Ь) = О, то “ 3 (12.4) следует дифс^ренциальное уравнение Эйлера: или р ' , - р '; , ~ р '; у у '- р '; . , . у " = 0. Уравнение Эйлера можно записать также в виде дх йхУ ^д у’) При интефировании этого дифференциального уравнения второго поРядка появляются две произвольные постоянные, которые находятся из гра"•^ных условий у (а ) = Уа, у(Ь) = уь. Интегральные кривые у = у(х , С\, Сг) ''Рзвнения Эйлера (12.5) называю тся экстремалями. Уравнение Эйлера (12.5) чвляется необходимым, но не достаточным условием слабого локального ^•^стремума, хотя иногда из смысла задачи видно, доставляет ли найденная ^•^стремаль минимум или максимум функционалу. Уравнение Эйлера является **'оке необходимым условием сильного экстремума. Отметим, что экстремаль Всегда доставляет экстремум функционалу, так как уравнение Эйлера — необходимое условие экстремума. Условие гарантирующее существование непрерывной второй производной у экстремали у = у (х ). Если Р (х , у, у '} дважды непрерывно дифференцируема по всем трем аргументам, то ф ункция у {х ) дважды непрерывно дифферен цируема для всех X, при которых К у' [*• ?/(*)■ !''(* )] ^ ОЭкстремаль у = у{х ) может иметь излом только при условии = 0. Пример 4. Найти экстремаль функционала ь ________ 1 + (у 'У } = ! а С Граничными условиями у{о) = Уа, у{Ь) = уь- Этот функционал представляет собой длину дуги кривой, соединяющей точки А{а,уа) и В{Ь,уь). Решение. Р{х , у, у ) = ^ 1 + {у 'У , принимает вид — ах у' —= = = = = О, ^ ^ Уравнение Эйлера (12.5) 1 — 0. Отсюда —7=у'= = = = СОП51. Это равенство вы- полняется, если у = С] = сопз1. Интегрируя, получим уравнение прямой у = С[Х-{-С2Из фаничных условий следует С\ = Уь ~ Уа ЬУа ~ а У ь ---- , Сг = ------- . По смыслу задачи ясно. Ь - а Ь - а что функционал достигает минимума на этой экстремали. С> Пример 5. Найти экстремаль функционала 1>П ^ =! [» ^ - (у У - 2усо81] Лх о с фаничными условиями у(0) = 1, у(л^/2) = 0. Решение. ^^ = 2у —2 со5 х, = —2у'. Уравнение Эйлера у” + у'=со8 х имеет обшее решение у = С] сокх+ Сз З1пх + -х •з т х. Из фаничных условий находим С| = Ь _ 7Г Сг = - - . Уравнение 7Г X экстремали у = соз х - - §1п х + - 81П х. Пример 6. Найти экстремаль функционала I •^ = / [ У ' + (!/')'] Лх О > Решение. Здесь Р'у — 2у, = 1у. Уравнение Эйлера у" - у = О имеет общее решеу = С\В* Ч-Сгв” *. Находя С\ и Сг из фаничных условий, получим уравнение е* - е"* экстремали у = ^ . 1> 2. Частные случаи уравнения Эйлера. 1) Если = т. е. 7^= 0,тоуравнениеЭйлерапринимаетвид Отсюда Ру> = С\ ~ С0П51 является первым интегралом этого уравнения. 2) Если Р = Р {у , у ) , т.е. ^ = О, то дх ах V д у ') уравнение Эйлера имеет первый интеграл Р — у = О- Следовательно, ду’ = С\ = соп51. 3) Если Р = Р {х ,у ) у то уравнение Эйлера принимает вид Ру = О, т.е. я в ляется алгебраическим уравнением. Пример 7. Пусть кривая у = у(дг) соединяет две фиксированные точки (а, Уо) и {Ь, уь)Найти такую кривую, чтобы поверхность, образованная ее вращением вокруг оси Ох. имела минимальную площадь. ^шение. Задача состоит в нахождении минимума функционала ь ^=! 1 т у ф + (у 'у а х . а Так как = О, то по второму частному случаю уравнения Эйлера находим У х/Г+ ТуУ С, _ \ *; V С , ) ' ^^сюда следует : = ±4х { к У > 1). V '* V ^ ^Ря для определенности справа знак плюс и интефируя, получим экстремаль у = 1 [е‘(-+С2) + ^ сН [ М х + С^)' 2л 2тг С| Постоянные С | , С 2 определяются из ф аничны х условий. Данная задача может иметь Решение не при любых ф аничны х значениях. При определенных условиях задача **'^еет два решения, из которых только одно соответствует минимуму площади. > ^2.4. Достаточные условия слабого экстремума Аля того чтобы вы яснить, доставляет ли полученная экстремаль максимум минимум функционалу, можно вычислить значения этого функционала различных функций сравнения. Иногда тип экстремума можно выяснить непосредственно из смысла задачи. Так, в примере 4 видно, что найденная экстремаль (отрезок прямой линии) доставляет функционалу минимум. С использованием второй вариации функционала можно получить до статочные условия слабого экстремума функционала = ^ У, у') Лх [2^(о) = Уа, у(ь) = Уь]. а Кривая у = Уо{х) доставляет слабый экстремум (максимум или минимум) функционалу ^ при совместном выполнении следующих трех условий: 1)2^ = Уо{х) — экстремаль, т. е. удовлетворяет уравнению Эйлера и условиям у {а ) = у „, у{Ь) = уь2) Р ( х ) = -Ру'у! [х, уо(х), з/(|(х)] > О — в случае минимума; Р { х ) < О — в случае максимума. 3) Отрезок [а; 6] не содержит точек х^, сопряженных с точкой х — а. Здесь точка Хс называется сопряженной с точкой х = о, если она является предельной точкой пересечения данной экстремали уо(х) с близкими экстремалями у {х ), выходящими из точки х = а при стремлении у(х) -> Уо{х). Сопряженная с точкой х = о, точка Хс находится следующим образом. Если Ь,{х) — решение дифференциального уравнения ^ = о ш = 01, то в качестве х^ принимают наименьший из корней уравнения Н{х) = расположенных справа от х = а. Согласно условию 3) должно выпол няться неравенство Хс > Ь. П р и м е р 8 . И ссл ед уе м т и п э кс т р е м у м а ф у н кц и о н а л а в п р и м е р е 5. И м е е м : 5' Уравнение для Л(ж) примет вид Л" + Л = 0. Его решением при Л(0) = О является Л(х) = С •51ПЖ. Корни уравнения Н{х) = О, расположенные справа от ж = О, равны т. 2тг Наименьший из них Хс = тг дает сопряженную с х = О точку, которая не лежит на отрезке [ 0 ; я - / 2 ] . Следовательно, найденная в примере 5 э к с т р е м а л ь доставляет функционалу слабый локальный максимум. 12.5. Задача со свободными концами 1. ционалу Пусть требуется найти кривую у = у (х ) , доставляющую экстремум ф унк 7 = У Р [ х . у ( х ) , у '( х ) ] Лх, среди кривых, заранее неизвестные концы которых А к В (см. рис. 12.1) находятся на прямых х = а , г = Ь, т. е. условия у (а ) = Уа, Уь = Уь не ставятся. В формуле (12.4) рассмотрим среди прочих сначала вариации 6у(х) = а-^ {х ), для которых ${а) = ^{Ь) = 0, тогда из необходимого условия экстремума (57 = О получим ''- - г " '- " ' т.е. искомые кривые должны быть экстремалями (интегральными кривыми уравнения Эйлера). С учетом этого из формулы (12.4), в силу произвольности вариаций, следуют равенства, заменяющие ф аничные условия и называемые естественными граничными условиями К ' [“ > * ' ' ( “ )] = К [*> при помощи которых находятся произвольные постоянные, входящие в урав нение экстремали. Возможны также комбинированные случаи, когда, напри мер, в точке X = а задано ф аничное условие у (а ) = Уа = соп51, а в точке х = Ь — второе условие вида ( 12.6). 2. П усть, например, в левом фиксированном конце экстремали у(х ), в точке А {а ,у а ), ставится либо ф аничное условие у (а ) = Уа — соп л, либо естественное ф аничное условие ( 12.6), а для второго (заранее неизвестного) Конца В экстремали требуется, чтобы точка В (Ь , у (Ь )) находилась на заданной •кривой у = / (х ), т.е . у(Ь) = 1(Ь). Тогда неизвестное значение х = Ь, °пределяюшее точку В , находится из условия трансверсальности у(Ъ), у '(Ь )] + [ Г ( Ь ) - 2/'(Ь)] •К [* ’ У(Ь), » '(Ь )] = 0. Условия трансверсальности могут быть заданы и в обоих концах экстреМали. П р и м е р 9 . Найти экстремаль функционала с граничными условиями: С } =I дР [у^ + = ' + «’ • ^ о Мщение. В примере 6 найдено обшее уравнение экстремали у = С ,е‘ + Из первого фаничного условия получим С] + Сг = I + е , а из второго следует дР ду’ = 2у'{\) = 2{С,€-С2е-^) = 0, т. е. С|е^ - Сг = 0. Отсюда С] = 1, Сг = е^. Искомая экстремаль у = е* + > Пример 10. Найти кратчайшее расстояние от фиксированной точки (хо,уо) ДО пря мой у = /{х) = кх + Ь. Решение. Найдем минимум функционала *1 _____ ■I = ^ У I + (у’У у(ха) = Уо, у(х,) = Ах, + 6. Уравнение экстремали имеет вид у = С,х + С 2 (см. пример 4). Из условия в точке Хо находим Уо = ^71X0 -1-С2. Условие трансверсальности в точке Х\ имеет вид т т а щ р =“ или к С\ = - 1, что означает ортогональность экстремали и заданной прямой. Отсюда С' = Л - ^ ^ = »« + т - Определяя точку пересечения этих двух прямых, легко найти искомое расстояние. 1> 12.6. Функционалы от нескольких функций одной независимой переменной Требуется найти экстремум функционала ь ^ = ф [г / |(1 ),...,9 „(1 )] = ^ Р [ x , у ^ { x ) , . . . , у „ { x ) , у \ ( x ) , . . . , у п { x ) ] ( ^ x а с граничными условиями у^{а) = у{а, У{(Ь) = уи (* = I, 2 ,... , п ) (задача с за крепленными концами). Первая вариация данного функционала определяется выражением а В задаче с закрепленными концами: ду^{а) = О, ду^{Ь) = О (« = 1, 2 , . , п ). Каждая совокупность п функций (экстремалей) з/ |(х ),. . . , р „(х ), доставляю щих экстремум функционалу, должна удовлетворять системе дифференциаль ных ура»ие"**й Эйлера а !’ а (в р \ и соответствующим граничным условиям. Данный функционал удобно рассматривать в (я -I- 1)-мерном координат ном пространстве {х ,уи - - -, Уп), тогда функции 2/1(1 ) , . . . , у „{х ) дадут урав нение кривой (экстремали) в этом пространстве. 12.7. Функционалы, зависящие от производных высших порядков Экстремали функционала ь а граничными условиями у(а) = уа, у'(о.) = у 1 .... у{Ь) = Уь, у'(Ь) = у'ь, ■■■, г/<’- '> (а) = г,1’-'>, У ^ "~ '\ь ) = у 1 " ~ ’\ являются интегральными кривыми уравнения Эйлера 12.8. Функционалы от функций нескольких независимых переменных 1. Требуется найти экстремум функционала 7 ^ Ф [и (х , 2/, г )] = Р [х ,у ,2 ,и ,и '^ .и у ,щ ](1 х а у (1 г . О Где р _ заданная, дважл>1 непрерывно дифференцируемая функция; граница И “ бласти интегрирования О и ф аничны е значения функции и{х, у, г ) на Н мо'Уг быть либо заданы, либо нет. Ф ункц ия и (х , у, 2) выбирается из множества функций, имеющих в О непрерывные частные вторые производные. Офаничимся здесь случаем, когда и{х, у, г ) задана на ф анице и!;, = «о (г, у, г). Для нахождения прирашения Д 7 функционала функции сравнения берутся в виде и (1 , у, 2, а ) = и (х , у ,х ) + а -^(х, у, г), где а — параметр, и (х , у. г) — экстремаль; ^{х, у , г ) = О на поверхности И. И з необходимого условия экстремума = О следует, что экстремаль и{х, у, г) удовлетворяет уравнению Эйлера ^ - о ди дх ди'^ ду ди'у дг ди'^ являю щ емуся необходимым условием слабого локального экстремума функ ционала. Аналогичный вид имеют уравнения Эйлера для пространств других раз мерностей. Пример 11. Уравнение Эйлера для функционала ^ ^ ^ ^ I оI I имеет вид уравнения Лапласа 2. = О- Если подынтефальная ф ункция Р в функционале (1Хтг содержит ф ункции И ((х ь . . . , х^) (I = 1, . . . , п ) от независимых переменных Х|,...,х„,т.е. г. Е./" ^“ 1 ^“ 1 \ то система уравнений Эйлера для нахождения экстремалей имеет вид дР ^ д дР \ ^ , ..... где щ ^ = д щ !д х у Здесь следует задать также соответствующие ф аничные условия на ф анице области В . 12.9. Условные экстремумы. Метод множителей Логронжо 1. Пусть требуется найти систему функций у { ( х ) , , у „ (1 ), доставляюших экстремум функционалу ь ^ = У р [ х , у ^ ( х ) ,. .. , у „ ( х ) , у \ ( х ) , . . . ,у'„(х )](1 х (12.7) а с граничными условиями у ,{а ) = , ;/((&) = у{ь (1 = 1, 2, . . . , п ) при допол нительных условиях (уравнениях связи), наложенных на эти функции: ‘Р ]{х ,У 1,- - .,У п ) = 0 (;■ = 1, 2, . . . , т ; т < п). (12.8) Умножая ]-е уравнение связи на некоторую неизвестную функцию А у(г) I; = 1, 2, . . . , т ) , интегрируя эти произведения от а до Ь, получим т допол нительных функционалов, вариации которых, очевидно, равны нулю. Складымя необходимое условие экстремума ^^ = О функционала (12.7) с вариациями кех т дополнительных функционалов, наЛаем, что искомая совокупность Функций у 1(х ) Уп(х) является решением системы уравнений Эйлера ...... = удовлетворяющим условиям ( 12.8), где т / ( х , у , . . . , у „ ,у ' 1, . . . , у '„ , Х , , . . . , к ) = ^^ + ^ 2 Неизвестные функции А Д г) называю тся множителями Лагранжа. Если суще^™Ует решение задачи, то п + га функций у\ у „, А ь ■■■, Ащ находятся + т уравнений (12.8), (12.9) и из ф аничных условий. Система уравнений Эйлера является лиш ь необходимым, но не достаточным условием экстреМетод множителей Лаф анж а аналогично применяется также в случае ‘“язей вида (р^(x,у,,■■■,уп.у'^,■■■,у'п) = 0 О = 1, 2, . . . , т ) . 2. Требуется найти экстремум функционала 7 = ф [и ,,...,и „] = р {x ^ ,и ^ ,^ \ л x ^ ...а x т о "Рч условиях (уравнениях связи) ^ *(г> ,« .) = 0 ( * : = 1 ......... в). ’ . Здесь { } = I т ) , и, (* = 1,.. . , п ) — соответственно наборы незави симых и зависимых переменных. Система уравнений Эйлера для данной задачи имеет вид д} дщ ™ ^ а / а/ \ е х Д а и ;,;) ( г - 1, . . . , п ) , где = / = -Р + ^ А * ( Х ь . . . , Х „ ) ^ З к . *= 1 Экстремали находятся из совместного решения уравнений Эйлера и урав нений связи с учетом заданных граничных условий. 12.10. Изопериметрические задачи 1. Требуется найти систему функций у ^ (х ),..., у п (х ), доставляющих экстремум функционалу (12.7) с теми же ф аничными условиями, при допол нительных в < п интегральных условиях, наложенных на эти функции: ь ! ■ ф к{х,У\,....Уп,у\,---,у'п)Л х = Ск (* = 1 , ( 1 2 . 1 0 ) а где Ск — заданные постоянные. Вариации функционалов (12.10), очевидно, равны нулю. Система ура»' нений Эйлера для данной задачи имеет вид (12.9), при этом $ / {х ,у ,,... ,у '„,Ц и - - - ,Ц ,) = Р + ^ (Хкгрк. *= | Здесь множители Лагранжа /1ц {к = , з) являю тся постоянными. Неизвест ные функции у \ (х ), Уп{х) и числа /Лз находятся из с о в м е с т н о г о решения п + з уравнений (12.9) и условий (12.10) с учетом заданных гранич ных условий. 2. Если требуется найти экстремум функционала (12.7) при т условиях (12.8) и я условиях (12.10), то система уравнений Эйлера для этой задачи имеет вид (12.9), при этом т 3 } = Р + '^ >=| + X] *=| 3. Экстремаль функционала 7 = Ф |и (х ,!/, г)1 = Р ( х ,у ,г ,и ,щ ,и 'у ,щ ) йхй уЛ г о при условии (уравнении связи) ф {х , у, 2, и, и'у, щ ) й х й у й х — С = соп5(, о а также с соответствующими граничными условиями, находится из совмест ного решения уравнения связи и уравнения Лагранжа ^ ^ ди дх ди’х ду ди'у о дг ди’^ в когором / = Р + Х-ф, X ~ множитель Лагранжа (число). П рим ер 12. Найти функцию у{х), доставляющую минимум функционалу ■I = ^ у ф + [у '{х )? <1* [» (“ ) = !/«. У(1>) = й ]. а "ри дополнительном интегральном условии ь ! \/1 + (!/'(*)Р Лх = С = СОП51. ?5Щ»!!ие. Здесь }(х . у, у',ц ) = у ф +[ у' ( * ) Р + + |у '(1)|^, ^Дец _ неизвестная постоянная. Так как / не зависит явно от х, то уравнение Эйлера ^‘-5) имеет первый интефал {у')Чу+^) 1 у = -ц + С,'^\ + (у‘У. ('"■'^сгрируя последнее дифференциальное уравнение в параметрической форме 11.1.2.7), получим где р — параметр, исключая который из двух предыдущих равенств, найдем уравнение искомой экстремали: х —Сг у = -/Л -С , с Н - — , В котором постоянные условий. находятся при помощи интегрального и фаничных > Физический смысл задачи: однородная цепь с заданной длиной свободно под вешена между двумя фиксированными точками; полученная экстремаль дает форму цепи, при которой ее потенциальная энергия минимальна в поле тяжести. Пример 13. Рассмотрим вывод уравнения Эйлера для экстр>емали функционала йх Лу Лг с интефальным условием ЛхЛуЛг = I, где интегрирование проводится по всему безфаничному пространству, а вместо гра ничных условий предполагается, что на бесконечности Иш = О- Т-е. 1^{г) г-юо стремится к нулю при г ос; 11{х,у,г) — заданная функция. Необходимое условие экстремальности (стационарности) ^ имеет вид Лх Лу <12 = О 'I I I + 2\ф6г1> Лх с1у Лг = О, III где А — постоянный множитель Лагранжа. В формуле Грина II[ - 6^А^)ахауаг = I I О Е пр>авая часть обращается на бесконечности в нуль. Следовательно, ///I [- + 2(17 + А)^] 6ф ЛхЛуЛг = 0. Искомое уравнение Эйлера можно записать в виде -^Д^- + (С7 + Л)^’ = 0. в этой задаче / = --хрАф + + \ф^. 12.11* Прямые методы решения вариационных задач в тех случаях, когда дифференциальное уравнение Эйлера не может быть решено аналитически, применяют прямые методы решения вариационных задач, позволяющие перейти от решения дифференциальных уравнений к за даче нахождения экстремума функции нескольких переменных. Общ ая идея прямых методов нахождения экстремума функционала ь ^ ! Р ( х , у , у ') а х [у {а ) = Уа, у{Ь) = Уь] (12.11) а заключается в приближении искомой функции у (х ), доставляющей экстремум функционалу, последовательностью некоторых функций и ] , и г , причем каждая функция « „ удовлетворяет граничным условиям для у {х ) и является дифференцируемой функцией от х и п неизвестных параметров, т. е. «п = и „{х , С „|, С „2, . . . , С „„). Число параметров, от которых зависит и „, равно п (п = 1, 2, . . . ) . Эти пара метры находятся из необходимого условия экстремума функции ь Л ( С „ ь С „ 2, . . . , С „ „ ) = I р (^ x , п „ , ^ '^ ( ^ x ^ ^ , а Т е. из алгебраической системы уравнений ^ = дСп1 0, ^ = 0 оСпп ( п = 1, 2, . . . ) . Точность приближенного решения увеличивается с увеличением числа п ''эраметров, однако при этом возрастает объем вычислений. Поэтому в прак тических расчетах число п берется не очень большим. 1. Метод Эйлера. Требуется найти экстремум функционала (12.11). Разо“ ‘«м отрезок |а; Ь| на п равных отрезков длиной Н = (Ь - а)/п точками *о = о, XI = а + Н, . . . , х „ = 6. При этом искомая экстремаль у = у(х ) ^Меняется ломаной с вершинами (а ,у о ), (х и У \ ), (хг,У г), •••, (Ь,Уь)- ЗамеУ(х1) приближенно неизвестными пока величинами у^, а также полагая (| = о, I , . . . , п - I ) и используя метод прямоугольников ^ приближенного вычисления определенного интефала, заменим функци°Нал ( 12.11) суммой М уиУ! Уи-^} = ^ ^ '^ р (x ^ , у ^ . - 'У Вариационная задача свелась к нахождению экстремума функции от аргу ментов у\, ■■■,Уп Найдя соответствующую ломаную для каждого п, полу чим последовательность ломаных, являющ ихся приближенными решениями вариационной задачи. Неизвестные величины находятся из си стемы алгебраических уравнений 1 ^ = 0, .... ^ = 0 . 2. М етод Ритца. Искомая экстремаль функционала (12.11) приближенно заменяется линейной комбинацией и„ функций ^ ,(х ), определенных на от резке |а; 6]: Ип = С „,^ |(1 ) + ... + С„„<р„{х), (12.12) где (р],(р2, ■■■,<Рп, ■■■ — замкнутая система ф ункций из класса функций, на которых определен функционал. П р и м е ча н и е . С и стем а ф ункций назы вается зам к н уто й , е сл и каж дая ф ункция у{х) и з т о г о ж е к л а с с а м о ж е т б ы т ь с л ю б о й т о ч н о с т ь ю п р е д с т а в л е н а ( п р и б л и ж е н а ) в виде л и н е й н о й к о м б и н а ц и и ф у н к ц и й и з э т о й с и с т е м ы . И н о г д а з а м к н у т ы е с и с т е м ы ф ункц ий н а зь н ш ю т п о л н ы м и систем ам и. Каждая приближающая функция и„ должна удовлетворять граничным условиям для функции у {х ). Это достигается в каждом случае специальным подбором функций (р^. Подставив и „ из (12.12) вместо у в (12.11), получим: ь Л ( С „ ,С п п ) = I а Параметры С „ | , ... , С „„ находятся из системы дСп\ Пример 14. ..., - ^ = дСп^ 0. М ето д о м Р и т ц а н ай ти ф у н к ц и ю , д о с т а в л я ю ш у ю э к с т р е м у м ф ункц ио налу I ^ =1[у^-(у'У]ах [у(о) = 1, у(|) = о]. О Решение. П р и б л и ж е н н о е р еш ен и е ва р и а ц и о н н о й зад ачи , у д о м е тв о р я ю ш е е ф аничны м у с л о в и я м , и щ е м в пиле и , г: I - X + С - х О ~ х ) , П ерЕю е слагаем о е ( 1 ~ х ) в дП! ~ ох = -1 -1 -С -2 С Х . уд овлетвор яет исход н ы м ф а н и ч н ы м усл о ви ям , а в т о р о е " о д н о р о д н ы м ( н у л е в ы м ) ф а н и ч н ы м у с л о в и я м . П о д с т а в л я я г*; в м е с т о у в ф ункционал* получим Из у р а в н е н и я 1 19 ^ { { с ) = - ---- - С = 0 , п о л у ч и м С = 0,132; т . е. « |(г )= 1- 0,8681 —0,132*^. 6 15 Для с р а в н е н и я у' 4 -у найд ем то чн о е реш ение вариац ионной задачи . У равнение Эйлера = О и м еет, с уч е то м г р а н и ч н ы х у с л о в и й , т о ч н о е р е ш е н и е у{х) С р авнен ие то чн о го р еш ен и я = СО$Х у(х) с - (С 18 I ) • 51П X . п р и б л и ж е н н ы м и ](ж ) п р и вед ен о в таб л и ц е: 0,00 0 ,2 5 0 ,5 0 0 ,7 5 1,00 и, (ж) 1,000 0 ,7 7 5 0 ,5 3 3 0 ,2 7 5 0,000 » (* ) 1,000 0 ,8 1 0 0 ,5 7 0 0 ,2 9 4 0,000 X Следующее, более точное приближение, ищется аналогично в виде «2 П р и м ечан и е. М е то д = 1 - ж + С ] Ж (1 - * ) + С Ритц а 2*^(1 п р им еняется аналоги чно - х) и т. д. и для р еш ени я > вариационны х мдач с ф у н к ц и о н а л а м и о т ф у н к ц и й д в у х н е з а в и с и м ы х п е р е м е н н ы х . П р и э т о м ф у н к ц и и у) по д бир аю тся та к , что б ы уд овлетвор ить гр а н и чн ы м усл о ви ям . Глава 13 В Е К Т О РН Ы Й АНАЛИЗ Раздел математики, изучающий операции над векторами, называется векторным исчислением и подразделяется на векторную алгебру (см. 2.2), рас сматривающую линейные операции над векторами и различные произведения векторов, и на векторный анализ (теорию поля), изучающ ий векторные функ ции от одной или нескольких независимых скалярных переменных. 13.1. Векторные функции одного скалярного аргумента 13.1.1. Векторная функция и ее предел Векторная функция (вектор-функция) а = а(1) от одной независимой ска лярной переменной (аргумента) I ставит в соответствие каждому значению < (и з области определения) один (для однозначной ф ункции) вектор а(()< или несколько векторов (для многозначной ф ункции). Если все векторы а{1) откладывать от некоторой фиксированной точки О (обычно от начала координат), то линия X в пространстве (или на плоскости), о п и с ы в а е м а я концом М вектора а{1), называется годографом данной векторной функции (рис. 13.1). Если точку О принять за начало прямоугольной декартовой си стемы координат, то а = а(1) = а^{1)г + Оу{1}] + а^(1)к, где 01, 01,,аг — заданные функции от I. Параметрическое уравнение годо графа имеет вид X = У = а „(0 , ^ = а,(1). Если I — время, г{1) — радиус-вектор движущейся материальной точки, то закон криволинейного движения этой точки имеет вид Рис. 13.1 где х(Ь), у{1), г(<) — ф ункция от Ь. При этом годограф называется траекторией точки. Векторная ф ункция а{1) называется ограниченной (конечной), если ее модуль |а(«)| оф аничен. Вектор Оо называется пределом векторной функции а{1) при I <0 (запись: И т а{1) = Оо), если для каждого числа е > О существует число <5(е) такое, что |о(<) - Оо| < Е при О < |<- <о| < <!• При этом Цщ \а(1) — Оо| = 0. Если предел йо существует, то 11т о(<) = г И т ах{1) + ] И т ау{1) + к И т а^Ц). ри ( = (о, если И т а(1) = а(1о), т. е. Функция а(() называется непрерывной при №гда непрерывны функции а х { 1 ) , а у ( 1 ) , а ^ (1 ) при <= <о- ^3.1.2. Д иф ф еренцирование Придадим аргументу I ф ункции а{1) приращение А1 ^ 0. Тогда вектор М М , = Д о = а{1 + Д < ) - о ( 0 ®Удет приращением вектора а(1) при переходе от значения I к значению 1+ А1 (Рис. 13.1). Векторная ф ункция а(1) называется дифференцируемой при заданзначении I, если существует конечный предел (являю щ ийся функцией (1 а (< ) о ( « + М ) - а(1) До — 77^ = I™ г; = I™ 41 Д(-*о Д< Д|->о Д ( называемый производной от а(1) в точке I. Обозначения производной: йй , М' Производная а (1 ) представляет собой вектор, касательный к годографу в дан ной точке М , соответствующей заданному значению I. Если существует про изводная а"(1) от а {1 ), то она называется второй производной от о (() и т.д. В декартовой системе координат а '{ 1 ) = а 'М ^ + а , Ш + а 'Л 1 ) к , а"(1) = а "(« )| + а 'у ( 1 ) ] + а "{1 )к и т . д. Если г{1) — радиус-вектор движущ ейся точки М , а I ~ дуговая коорди ната (длина дуги) на траектории Ь и |Д г|), то скорость «{<) и ускорение гд{1) точки М в момент I определяется следующим образом (1 г йт Ш _й1 _ йа сРг где т = (1г/<И (|г| = 1) — единичный вектор касательной к линии Ь в точке М. Правила дифференцирования: ^ И О х .- (0] = | х . - + а - х | , Если 1а(<)| = С0П51, т, е. годофаф лежит на сфере, то а а ' = 0. Следовательно, в этом случае о и о ' ортогональны при всех I. Лифференциал <1а ф ункции о(<) определяется равенством йо = а М. Неопределенный интеграл ^(<) = ^ о(<) , определяется как такая функ ция А{1), для которой А ' = а{1). Определенный интеграл от векторной функции а{1) = ах{1)г + ОуЦ)} + на промежутке от а до 6 определяется как предел соответствующей инте- фальной суммы и может быть вычислен по формуле ь ь ь ^ а{1)(11 = г У а^Ц) М + ] ! а а ь ац(1)(11 + к У аг(1)(11. а а Если функции ахЦ), о,у{1), Ог(<)! являю щ иеся компонентами векторной ф унк ции а(1), дифференцируемы необходимое число раз в окрестности точки <о, то каждая из них может быть разложена по формуле Тейлора, причем соответ ствующие остаточные члены Н „у, К щ берутся, вообще говоря, в разных точках в из интервала (0; 1) (см. 5.7). Отсюда следует, что р а з л о ж е н и е п о ф о р муле Т е й л о р а имеет вид + ,. + ^ ( д < Г + в .. где = I — = Дщ * "Ь При выполнении соответствующих условий а{1) может быть разложена в рад Тейлора (см. 9.7.1). 13.2. Скалярные и векторные поля 13.2.1. С калярн о е поле Если в некоторой области пространства О х у 2 каждой точке М {х , у, г ) = М { г ) , Че г — радиус-вектор этой точки, поставлена в соответствие скалярная ве личина Ф (М ) н Ф ( г ) н Ф (х , I/, г ), то говорят, что задано скалярное п о л е (или ■ с ка л я р н а я функция) Ф = Ф (М ). П о в е р х н о с т ь ю уровня пространственного ска■'яриого поля Ф( х, у, г ) называется поверхность в пространстве с уравнением ^(х, у, г) = С , где С — заданное число, изменяя которое, получим различные поверхности уровня. На каждой из них Ф имеет постоянное значение, свое каждой поверхности. Л и н и е й уровня п л о с к о г о скалярного поля Ф {1 , у) Называется линия на плоскости О х у, на которой Ф имеет постоянное зна чение Ф (х , у) = С . О бычно линии (поверхности) уровня изображают через равные промежутки изменения С . При этом, чем гуще расположены линии (поверхности) уровня, тем быстрее изменится функция Ф . М ожет оказаться, 410 пространственное поле Ф (М ) в некоторой декартовой системе координат зависит только от х и «/ и не зависит от г. Такое поле называется н л о ' “ о п а р а л л е л ь н ы м . В плоскости О х у оно может рассматриваться как п л о с к о е , если отвлечься от координаты 2 . Пример 1. ') Поверхностями уровня пространственной функции ф = ф(-у^х^ + у^ + г^) = Ф ( г ) , где г = |г|, являются сферы с общим центром в начале координат. Н а каждой из них Ф имеет постоянное значение, изменяющееся при переходе на другую сферу. 2) Л и н и я м и ур о в н я п л о ско го с к а л яр н о го п о л я Ф = х у я в л я ю т с я ги п ер бо лы хр = С = С0П51, з а п о л н я ю щ и е п р и С > О п е р в у ю и т р е т ь ю к о о р д и н а т н ы е четвер ти , а при С < О — втор ую и четвер тую . 13.2.2. Векторное поле Если в некоторой области пространства каждой точке М (х , у, г ) = М {т ) ста вится в соответствие вектор Р { М ) = Р { г ) = Р (х , у, г ), то говорят, что задано векторное поле Р ( М ) = Р^(х, у, 2)1 + Р^{х, у, г ) ] + Р ,{х , у, х)к. Векторной линией (линией тока) называется линия Ь , в каждой точке М (г) которой вектор йг = Ы х + ] (1у + к Лг, направляемый по касательной к ней, параллелен вектору Р ( М ) в этой же точке (рис. 13.2). Векторные линии определяются дифференциальными уравнениями: Лт X ^ ’ ( г ) = 0 или (1х йу йг Р ^ (х ,у ,г ) Р у (х ,у ,г ) Р ,(х ,у ,г )' либо '^ = Р х (х ( 1 ) , у (1 ),2 (1 ))\ ^ = где I — параметр векторной линии. При соблюдении условий теоремы сушествования и единственности решения системы дифференциальных у р а в н е н и й через каждую точку М проходит одна и только одна векторная линия. Все пространство (или его область) заполнено векторными линиями. В е к т о р н ы м и линиями плоского векторного поля Р = Рх(х, у)г + Ру{х , у ) ] являю тся линии, лежащие в плоскости О х у. Часть пространства, состоящ ая из всех в е к т о р н ы х линий, проходящих через некоторый кусок поверхности, называется вектор ной трубкой. Я М ,) П р и м е р 2. 1) В с е т о р н ы м и л и н и я м и п о л я Г = <р(г)г, гд е г = хг + ^ гк, г = | ^ , я в л я ю т с я л учи, вы ходящ ие и з начала координат. 2) В с 1с г о р н ы е л и н и и п л о с к о г о п о л я Р = к у { - кхз, гд е к — п о с т о я н н а я , о п р е д е л я ю тся уравнением у~(-*) ^ и являются окружностями _ + у^ = йу с центром в начале координат. Векторным элементом Лт линии X с уравнением г = т(1) ( I — параметр) или X = х(<), у = у{1), г = г{1) называется вектор (1т = Ы х + ] Лу+ кЛг = (х'г + у'у + / к ) Ш = г'(1) М, являющийся функцией от <. В каждой точке гладкой кривой вектор <1г на правлен по касательной. Длина дуги линии Ь находится по формуле I 1 = ^ (II (11 = у / + Лу^ + (х')^ + (у')^ + (И 13.3. Производная скалярного поля по направлению. Градиент Пусть Ф (М ) = Ф (х , у, г ) — скалярное поле в декартовой системе координат. Из каждой точки М { г ) = М (х , у, г ) пространства можно провести бесконеч ное множество лучей. Каждый из этих лучей определяется своим единичным Направляющим вектором т , выходящим из точки М , и имеет уравнение = = 0М + = г(0 ) -I- т/ (или Ц1) = х{0) + т ^ , . . . ) , где / ^ О — расстоя ние от переменной точки М , луча до фик’-Нрованной точки М (рис. 13.3). Скалярная величина Ф для точки М , каждого заданнолуча будет функцией только от I. Тогда ^ луча, определяемого вектором т , предел Щ ом, мм, Й Ф (М ) — -— (II Ф (М ,) - Ф (М ) = Ит М|-*М Ит 1-»0 ---------------- = мм, ф [г(0 ) + т1\ - Ф [г(0 )] I ’ Р и с . 1 3 .3 он существует, называется производной функции Ф (г ) в точке М (г ) по на® Р * а д е н н ю т . При изменении направления луча на противоположное про изводная по направлению изменяет только знак. Производную от Ф (М ) по направлению т = т^г + Ту] + т^к = х г + у '] + г 'к можно записать в виде ЙФ дФ йх Л дФ йу + дФ (1г ^ , , , ш Если г= г{1) или х= х (1), у= у(1 ), г= г{1 ) — уравнение какой-либо ориен тированной кривой, проходящей через точку М , и г = (г1, т„ , тг) = { х ', у ', г ) — единичный касательный вектор к этой кривой, то можно рассматривать производную от Ф (1 , у, г ) по направлению т ( М ) в каждой точке М этой кривой ЙФ дФ дФ дФ (11 Если г = г(й ); X дх ^ д у ^ ^ ^ дг = х(1), у = у{1), 2 = г(<), где I ЙФ т дФ йх дФ Лу дФ йг ~ Ъ х И ^ ~д^И И м ' — любой параметр, то Г р а д и е н т о м ф ункции (скалярного поля) Ф (М ) = Ф {х , у, г ) называется векторное поле (обозначаемое вгад Ф ), определенное в каждой точке М (х , у, г) равенством дФ- д Ф дФ8гас1 Ф = — » -Ь — ] -I- — к. дх ду дг Справедливо равенство ЙФ — = г -8гас1Ф , 01 т. е. производная по направлению т равна проекции градиента на направление т. Полный дифференциал функции Ф (г ) (т. е. линейную часть ее прирашения при переходе от точки (х , у, г ) кто чке (И - й х , у-Ьйу, г- Ь й г)) можно записать в виде ЛФ = ф'^(1х + ф'л й у + ф'^йг = (вгас! Ф ) •йт. На поверхности уровня Ф (х , у, г ) = С справедливо с1Ф = (егай Ф ) йг = О, т.е. фадиент нормален к поверхности уровня, точнее говоря, к касательной плос кости. Наименьшего (соответственно наибольшего) абсолютного значения производная д.Ф/й1 по направлению т достигает, когда т касателен к поверх ности уровня, при этом ЛФ/Ш = О (соответственно, когда г нормален к пО' верхности уровня, при этом |йФ/й/| = |вгаа Ф| = у (Ф^)^ + (Ф[,)^ + (^'г)^ В каждой точке поля вектор градиента перпендикулярен к поверхности уроВ' ня и направлен в сторону наиболее быстрого возрастания скаляра Ф-д -д градиента используется также запись егай Ф = У Ф , где V = I — + дх Оу называется оператором набла. При этом ЛФ = ( У Ф ) йг = (й г У )Ф (см. Свойства градиента: 8гад (Ф + Ф ) = 8га<1 Ф + 8гас1 Ф , Вгай С = О ( С = СОП81), ёгад (С Ф ) = С вгаё Ф (С = соп51), 8гад ( ФФ) = Ф 8гай Ф + Ф ёга(1 Ф, дФ 8гаа Ф (/ (х , у, г )) = — 8гас1 /, 8гас1 {С ■г ) = С ^Ф {С — постоянный вектор), Ф вгай Ф - Ф кгай Ф ,, , ------- Ф 2------Пример 3. Найти градиент поля Реш ение. Ф = Ф (г ), где г - у / . Поверхности уровня — сферы с центрами в начале координат. Имеем НФ §гас1 Ф = — бга<1 г, аг где { дг дт дг\ ^ \ д х ' д у' д г) ( X у г\ г V г’ г’г/ г' Следовательно, <^Ф г Вгас1Ф(г) = — аг г > примечание. Символический дифференциальный оператор гд ~д Называется оператором Гамильтона (гамильтонианом, набла-оператором, V-оператором). При этом 8гас1 Ф {х ,у ,г ) = ^Ф . ^3.4. Криволинейные интегралы. Потенциальное поле ^3.4.1. Криволинейны е интегралы Чусть Ф( г) и Р { г ) — скалярное и векторное поля, А В — кусочно гладкая 'кривая (4 и В — ее начальная и конечная точки соответственно), заданная 'Т'авнением г = г(1) или х = х{1), у = у{1), 2 = г(1), где ^ <2, <1 и 1^ соответствуют точкам А и В . Тогда с к а л я р н ы е к р и в о л и н е й н ы е и н т е г р а л ы ^2 Ф (г )Ш = ! Ф ( х , у , 2 )(И = I 1) ^ 2) У П г ) й г = У Р,{х ,у,г)< 1 х + Р у {...)(1 у + РА---)Лг = ^ 12 АВ к - I определяются как пределы соответствующ их интегральных сумм (см. также 8,5.2) и вьиисляю тся сведением их к определенным интегралам по I от <1 до «2Аналогично определяются и вычисляю тся векторные криволинейные ин тегралы к 3) ^ Ф { г )(1г =1 ^ Ф(1х ^ 2 ^ Ф(1у-\^ к ^ Ф(1г = ^ Ф {г )- ^ ( И ^ АВ АВ <2 >и. - I и 4) I Р { г ) х а г = 1 Р { г ) х ~ см = АВ <1 = 1 ! (Р ,< 1 ^ - Е ,а у )+ ] ! АВ (Р,Лх-Р^< 1^) + к АВ I (Р,с1у-{'у<1^)- АВ Для вычисления этих интегралов их удобно свести к определенным и н т е г р а л а м по Значения скалярных и векторных интегралов в общем случае зависят о формы пути интеф ирования А В (при фиксированных точках А и В ) . Криволинейный интеграл 2) имеет следующие свойства: ^ Р{г)<1г = ^ Р ( г ) а г + ! АВ АС ! Р ( т ) <1г = - ! Р {г )й г , СВ Р ( г ) аг. ^ [ к , Р | { ^ ) + к2 Р2 {^ )](^ ^ = АВ к^ ! Р^ (г)< 1г + к2 ^ АВ Р г{г )Л г , АВ [де с — точка кривой А В , лежащая между точками А и В ; к\, к 2 — любые числа. Интеграл по замкнутой кусочно гладкой кривой (по контуру) С называ ется циркуляцией и обозначается ^ Р (г ) аг = ^ Рг М (Р г = т - Р ), гае т^ Л г/Ш — единичный вектор касательной к С ; й — дифференциал дли ныдуги, Рг — проекция Р на г . 13.4.2. Потенциальное поле Векторное поле Р { г ) называется потенциальным в области О , если циркуИция поля по любому контуру С , расположенному в О , равна нулю. Для "отенциального поля интегралы по любым двум разным кривым А а В и А Ь В , '|>единяющим точки Л и В и целиком расположенным в Г>, равны друг другу У р {г )й г = У ЛаВ Р (г )а г АЬВ " Мвисят только ОТ точек .4 и 5 . В потенциальном векторном поле отсут'^УЮт замкнутые векторные линии. Если ф ункции Р х (г ), ^ к (г ), Р г {г ) имеют все непрерывные первые частпроизводные в поверхиостно-односвязной области О (см. 8.7.1), то для *'*пх)рного поля Р { г ) = (Р х ,Р у ,Р г ) В О Эквивалентны следующие четыре *Човия (т.е. из одного любого из них следуют все остальные): ') Векторное поле Р (г ) является потенциальным. В области V существует однозначная потенциальная функция (потенциал) И (М ) = {/ (г ) = 1 / {х ,у ,г ) такая, что Р { М ) = %тайХ1(М), или, что равносильно, (III = Лг ■вгас! V = Р х й х + Р у й у + Р^ йг. Для любых двух точек А и В из О и для любой кривой А В в V , их 'Соединяющей, интеграл ! АВ Рйг = ^ ли = и ( в ) -и ( А ) АВ ^висит ТОЛЬКО ОТ точек Л и В , но не от формы кривой, их соединяющей. 4) Всюду в В тождественно выполняется равенство го1 ^^ = О (см. 13,6,2), что равносильно соотношениям ду дх ’ дг дРг дР, дх 8г ду ' Каждое из условий 2), 3), 4) является необходимым и достаточным усло вием потенциальности векторного поля Р . Если 1 }(В ) = и ( г ) , 11{А) = [/(го), где точка В { г ) — переменная, а Л (го) — ф иксированная, то из условия 3) находим О С/(г) = С/(го) + I Рйт, А где интефал может вы числятся по любой кривой А В , соединяющий А и В. Способы вычисления потенциала V (г ) приведены в 8.9. Потенциал опре деляется с точностью до аддитивной постоянной. 13.5. Поверхностные и объемные интегралы 13.5.1. Поверхностные интегралы Пусть Е — двухсторонняя гладкая поверхность, заданная уравнением г = ?(«•'’) или X = х {и ,у ), у = у {и ,V ), г = г (« ,г ), где и, V — параметры (см. 8.6). Тогда вектор равный \д и & (и, V )’ ^ д(и, Ли (IV, ^ д{и, где дг дх- ду - дг - дг дх - ду - д г- ди ди ^ ди^ ^ ди ’ дь ^ дь^ ^ бг»*' называется векторным элементом поверхности и направлен по нормали к нейПри этом (13 = п(18, где п — одно из дву^ направлений е д и н и ч н о й нор Мали к элементу поверхности И , (18 = |Й5| — площадь этого элемента (см. также 8.6). В случае замкнутой поверхности Е в качестве п берут внеШ нюю нормаль. Для гладкой поверхности, заданной однозначной ф у н к и и 2 = г{х , у ) (т. е . и = х, V = у ), имеем а з = |й5| - ^ ( 4 )2 + (4 )2 + 1 йх ау. Скалярные поверхностные интегралы 1) у у Ф (м)аз, 2) р(м )а8. Т. Е И •екторные поверхностные интегралы 3) Ф (М ) а з, 4) у у Р { М ) X а з , Е Е гдеМ — точка на кусочно гладкой поверхности Т,, определяются как пределы юотаетствующих интегральных сумм (см. также 8.6.3). Для вычисления этих кнтегралов удобно свести их к двойным интегралам по переменным и, » , используя соотношения х = х(и, V), у = у { и , « ), 2 = г{и, ю). В частности, ' Е а 0 (у ,г ) д {г ,х ) д (х ,у ) — г + Гь г + -Гг д {и ,V ) д {и ,у ) д (и ,ь ) Ли йь. ' где П — область интегрирования на плоскости О и ь , Рх = ^^х(х{и, г )),у (« ,и ),г (и ,« )) «Т.Д, Если = г п, Пу = ] п, Пг = к п — направляющие косинусы нормали 2^,то = I» ! аЗ+^Пу а з + кщ аз Ф(м) аз = 1 Ц Е Фп^аз + ] Е УУ Щм ) Е л = « аз^ + з аЗу + каЗг Фпуаз + к Е Рп( м) аз и, в частности, фп, аз, Е {Р „ = п - Р ), Е Л Р {М ) х а з = Ц Е Е [ Р { М ) X й] а з . Если поверхность Е задана уравнением г = г ( х , у ) , то поверхностные ^ Ф а л ы 2), 3), 4) запиш утся соответственно в виде дх Е Е' Ф {М )(1 3 = Е + Е* <1х(1у, где Е ' — проекция поверхности Е на плоскость Охр; ф ункции Ф (М ), Р{М ) берутся в точках М { х , у , г { х , у ) ) на Е . При этом поверхностные интегралы вы числяю тся по внешней (положительной) стороне поверхности Е (см. 8.6). Поверхностный интеграл Л Р (М )а 8 = л у. Р „Л 8 Е называется потоком вектора Р ( М ) через поверхность Е . 13.5.2. О бъем н ы е интегралы Скалярный и векторный о&ьемные интегралы по области В трехмерного про странства Ф {м )а г = V Ц х ,у ,х )Л х (1 у а 2 , V Р ( М ) (IV = О [^’з:(х, у, 2)1 + Р у ] + Р:,к\ йх йу йг в определяются как пределы соответствующих интегральных сумм (см. 8.4.1) и вычисляю тся сведением их к тройным интегралам по I , у, г (см. 8.4.3). Инвариантное (не зависящее от системы координат) определение гр а д и еш и бгай Ф ( М ) скалярного поля Ф (М ) в точке М дается формулой 8гаа Ф ( М ) = Нгп ^ Л Ф (М |) Л8, Е где V — объем области, содержащей точку М и оф аниченной замкнутой поверхностью Е ; М , — переменная точка интефирования на Е ; в пределе поверхность Е стягивается к точке М . Вектор (18 — внешний к области, огра ниченной Е . 13.6. Дивергенция и ротор векторного поля. Производная по направлению 13.6.1. Дивергенция Дивергенцией (Иу А { М ) векторного поля А { М ) в точке М называется скаляр ная ф ункция от М , определяемая формулой А { М ) = Нт^ Л 2 А (М х ) <18. В декартовых координатах дивергенция вычисляется по формуле , дА^ дАу дА, дх ду дг Векторное поле ^4(г) называется соленоидальным в области В , если всюду -д -д -д в этой области (1 '1\ А = 0. При помощи оператора набла V = 1 — + ] — + к — ах ау дг дивергенцию_можно ^записать в виде скалярного произведения векторов V и^4, хе. (11у А = V - ^4. Свойства дивергенции: Ш у С = 0 (С = С 0 П 8 1 ), й[\ С А (т ) = С й\\ А (11у [Ф (г )Л (г )] = Ф ( С = сопз1), 1 + 2 8гай Ф, (1|у [^4(г) X В (г )] = В ю1 А - Ато1 В , а^Ф д^Ф дЧ Ш У 8гас1Ф (г ) = ^ + ^ + ^ = ДФ. Определение ротора см. в 13.6.2. ''ример 4. _ дх ду дг Для поля г = XI+ VI+ гк имеем й1уг=-т— 1-тг‘ + '^ = 3. дх ду дг 2) Для поля А = ^ (х ,у ,г)т имеем й\у А = ЗФ + г-8га()Ф.Если Ф = Ф (г), где г = |г|, то й|у Л = ЗФ (г) + гф '(г). V '^•6.2. Р о то р ^'мором го1 А ( М ) векторного поля А ( М ) = ^ (г ) в точке М называется век^РНая ф ункция от М , определяемая формулой Г01 А ( М ) = - И т ^ А {М ^ ) х с18. Е Обозначения см. в 13.5.2. Такое определение ротора не связано с какой•'Ибо системой координат В декартовых координатах к г Г01 Л (г ) = д/дх /Г а А , - 1 _ К ду д !д у али дг ) д/дг = V X А (г ) = дх Определение ротора через циркуляцию. П усть Е — небольшой кусок глад кой поверхности в пространстве, имеющий площадь 5 и офвниченный контуром С (рис. 13,4). Направление единичного вектора нормали й в точке М на I! согласовано с направлением обхода контура С (и з конца п обход контура виден против часовой стрелки). Тогда го1 А ( М ) определяется как такой вектор, проекция которого п ■го1 А ( М ) на п определяется формулой п • го1 А ( М ) = Ц т ^ / А (М ^) с1г, 3— *0 о ^ где М | — точка интегрирования на С ; в пределе С стягивается к точке МСвойства ротора: Г01 [Л (г ) + В ( г ) ] = го1 Л + го1 в , го! С = О ( С = СОП81), го1 [ С Л ( г ) ] = С ю 1А ( С = соп51), го( [ф (г )1 (г )] = Ф го11 + (вгай Ф ) X А, го1 [ Л ( г ) X В ( г ) ] = ( В У ) 1 - ( 1 У ) В + А < И \ В - В с1|у I . Здесь, например, {В V )А = + В у ^ +В ,^ = {В V А ^ )^ + (В \ 7 А у )] + (В У А ,) к Справедливо также равенство дФ дФ дФ (В У )Ф н 5 . - + В , - + В . - = В.(УФ), где в качестве Ф можно брать также величины А^, Ау, А^. Пример 5. 1) Для паля г = хг + у ] + гк имеем го1 г = 0. 2) го1 [Ф(г)г] = (вгаа Ф) X г = 0. 3) го([Схг] = ( г ^ ) С - ( С ^ ) г + Сй\мг-тй\мС = - (С Ч )т + ЪС = - С + гС = 2С. 13.6.3. Производная по нопровлению 1. Полный дифференциал скалярной функции. Ф (г ), т. е. главная линейная часть ее приращения Ф (г + Лг) - Ф (г ) при переходе из точки г в точку г + йт, гае Лт = 1 (1х + ] Лу + к Л г , равен ЙФ = Ф'^ёх + Ф^, (1у + Ф'г Лг = ( У Ф ) йг = {<И^)Ф. 2. Полная производная скалярной функции. Ф (г ) по направлению вектора о(г) равна — = ао • У Ф = Ф'^Оох + Ф^Ооц + Ф г “ Ог = (О о У ) Ф . где Оо = о/|о| — единичный вектор. 3. Полный дифференциал векторной функции. Р {г^ , т.е. главная линейная часть ее приращения + й г) - ^’(г ), равен ~ дР НР дР № = ~ а х + ~ а у + ~ а г = (а г У )р = + {(И ^ р ,)к = + (а г У Р .Я + + {Л т ^ )Р у ] + ((1г^)Ргк = ^ ЛРх + з Л Р у + к а р , . Полная производная векторной функции. Р ( г ) по направлению вектора “(>1 определяется как предел (см. 13.3) ар Р { г + ОоА1) - Р { г ) Т<1а - = дмо п --- (-=й) * “Ычисляется по формуле (1Р дР = дР дР (ооУ)Р^ + {ооУ)Ру] + ( о о У ) Р ’Д = + ^ к. Аналогично находится полная производная Л Р (г )1 М по направлению 'Р«войг = г « ): 5. Ряд Тейлора, если он сходится, для скалярной функции Ф (г ) имеет вид Ф (г + Д г) = Ф (г ) + (Д » ^ )Ф (г ) + ^ (Д г У )^ Ф (г ) + .., . Аналогично, для векторной функции ^ (г + Д г ) = ^ '(г ) + (Д г У )^ (г ) + ^ (Д » ^ )^ ^ (г ) + ... . При этом Д Ф (г ) = Ф (г + Д г ) - Ф (г ) = (1Ф + . . . , А Р { г ) = Р (г + Д г ) 13.7. -Р{г) =а Р +... . Основные формулы векторного онолизо 1. Д ля вывода формул векторного анализа следует раскладывать веюсры в компонентах в декартовой системе координат, т. е. о = 01» + йу] + а^к. Например, а) вгад <р(х, у, г ) = д х \д х ) ^ д у \ д у ) ^ дгуд г ) (оператор Лапласа); . б) 8^0 т = т 5 ( а М ) , ^ а (а 1у 1 ) + ^ ^ дх^ ду^ = д« дг^ ^^(сЛуЛ) ^ дА^ дАу дА, где ё|у А = + —--- 1 ; дх ду дг ^ н.7 ^ в) а. Уго1Л = - ( ^ — . , т. г) а . у М ) = ^ д>р ^ д 1р д А у\ -— + — д<р д/дА, — дАЛ д (д А у — а л .ч о , 9(<рА,) + = дА х дА у дАг . „л \\к , д) го1 то1 А = г го«1(го1^4) + ] го(„(го( А ) + к го1г(го1А ). Здесь го11(г о (Л ) = — (го1^4)г - — (го1^ )„ = ду' " дг^ ду V вх ду ) З г V дг дх ) д {д А .д А у - 8х \ 9х дАЛ ду дг ) ( д ^ А , ^ А , д ^ А Л _ д ^ V дг^ ) дх Следовательно, го( го1Л = 8гас1 д п А - А А , где Д^4 = «Д Л 1 + +ЛД^4г. Инвариантное определение оператора Лапласа Д дается формулой Д у ,(М ) = И т 1 | | ^ 5 ^ й 5 , х; где п — внеш няя нормаль, остальные обозначения см. в 13.5.2. 2. Вычисления с векторами удобно проводить, переходя к индексным обо- шчеяиям: Х \ , Х 2 , Хз = х, у, г; ё ь ёг, ёз = I , ; , к так, что 3 А = ё \А ] + 62.^2 + ёзЛз = ^ ^ € хА{. >=1 Введем символ обозначающий набор из 3^ = 27 чисел, которые опреде ляются следующим образом: ( Е|23 = ^231 = г312 = 1. Е|32 = ^213 = = - 1, все остальные е^^|, = 0. Таким образом, е*;» = О , если хотя бы два индекса из трех совпадают. Справедливо равенство 3 где = I *’ I ^ — символ Кронекера. Векторное произведение в индексных обозначениях можно записать в виде 3 А X В = ^ ^ * ,> , т = 1 3 , (^4 X В )| = ^ ^ Ех^щА^В^п т = 1 Например, (А X В )| = е 12з.^2В з + г|32^4зВ2 = ^42^3 - Л 3В 2 = АуВ^ - А^Ву и т.д. Имеем также для ротора го( А = Приведем примеры вычислений. ^ д { д<р\ ^ д^>р ^ ^ ^ а) 3 ^ Д (,. ^ б) (го1 ёгас! ^), = V Е,;га— (е га а^ )т = ; . т =1 А д в<р ^ = 2^ ’'-®- ^°‘ 8гаа^ = о. ^ 3 в)а|у(1 хВ)= ^ ^ 3 — | ,;,т =1 (е ^ ^ „Л ^ В „,) = * »,7, т =1 л и аО в т„ Е . , 1,3,т=] Зх . X I ^ Ц т ^ В ,„ + * л а(7А^ л, „ ^ ш,»,;=1 дx^ "‘ \ . д<в ^ ,^ ; , 1, т =1 = / т\ \ ^ / ^ ^ д \ ] (го. г о ы ).= ],р —1 ;,т ,п = 1 - А ■ > а^ л, ^ дх^дхх ■' т ,п = 1 '* р=1 ^ —^ дх^дх^ в •го( \ ^ =. Л- Л О ^А п Е _ •го( в . __ ^ ^ ,р ,т ,п = 1 •' ^ ,т ,п = 1 э = — ^ дх, ё|у л - АА^. Умножая это равенство на ё^ и суммируя по г, получим формулу, не за висящ ую от выбора системы координат го1 го1 А = §гас1 сИу А - А А . 3. Некоторые формулы векторного анализа. 8гас) (А -В ) = ( В Ч ) А + (Л У ) В + В х го1 Л + Л х го1В , - $тай Л^ = (Л У )Л + Л X го1 Л, А { ( р ф ) = ф А 1р + (р А 'ф + 2 $ г а 6 Л(р ■8гас1 гр. 4. Для скалярной ф ункции Ф (|г„ - Г(,|), зависящей от 3 '^ {Х г а - Х г ь У расстоян и я между т о ч к а м и и Г ;,, в з а в и с и м о с т и о т т о г о , к а к а я и з э т и х д в у х т о ч е к ф и к с и рована, м о ж н о р а с с м а тр и в а ть гр а д и е н т п о к о о р д и н а т а м д р у го й (п е р е м е н н о й ) т о ч к и . Г р а д и е н т п о к о о р д и н а т а м п е р е м е н н о й т о ч к и г „ ( с о о т в е т с т в е н н о Г/,): {V „Ф ). дН дК П оскол ьку - — дХаг = - - — дХы дн йФ дФ д к {V ь , . ). - , т о У о Ф = - У ( |Ф . А н а л о ги ч н о (и с с м а т р и в а ю т с я п р о с т р а н с т в е н н ы е п р о и з в о д н ы е д л я в е к торной ф у н к ц и и Р (К ) о т д в у х т о ч е к . 13.8. Интегральные формулы 13.8.1. Ф о р м ул а О строградского О хуг, Щ х,у,г), П усть О — к о н е ч н а я , в о б щ е м с л у ч а е м н о го с в я з н а я о б л а с т ь в п р о с т р а н с т в е о гр а н и ч е н н а я к у с о ч н о гл а д ко й п о в е р х н о с ть ю Е (ко то р а я м о ж е т с о стоять и з к о н е ч н о г о ч и с л а з а м к н у т ы х п о в е р х н о с т е й И ; ) и п у с т ь к о м п о н е н т ы Р у { . . . ) , Рг{---) в е к т о р н о г о п о л я Р { г ) н е п р е р ы в н ы в зам кнутой обл асти I» , а и х п е р в ы е ч а с т н ы е п р о и з в о д н ы е н е п р е р ы в н ы в В , т о гд а с п р а ведлива ф о р м у л а О с т р о г р а а с к о го (в в е к т о р н о й ф о р м е ) = Ц о Рй8 = Е р „а з , Е ''Де й8 = п Л 8 , п — в н е ш н я я н о р м а л ь ( с м . т а к ж е 8 . 7 . 2 ) . '3 .8 .2 . Следствия из формулы О стр оград ского ф орм улы О с тр о гр а д с ко го сл е д ую т ф орм улы Г^ина, первая и вторая со о т® ^твенно: 1) I I В 2) I = I I Щ у: ш - ш а у , О 1 Ц {< р ^ ^ - ф А ^ )Л У = о Гл д п~^ ~ - производ ная о т ^ п о направл ению внеш ней норм али п . Ч а с тн ы е сл уч а и и сл е д ствия и з ф орм улы О стр о гр а д ско го . 1) Е с л и в ф о р м у л е О с т р о г р а д с к о г о п о л о ж и т ь Щ г ) = С<р(г) ( С = с о г ш !) то <рй8 = Е ё г а а 1р (IV . О о 2 ) Е с л и п о л о ж и т ь Р ( г ) = : СС хX Л^ 4((гг ) ( С == сС оО Пп 8й 1)),, т о ■ ю 1 А (1 У = Ц ( С > ^ А ) ( 1 3 = В о = ^ тС ^ А ^ а8 ^ = / / V Е с (А х а з ) Ш А<1У = - Ц (А>^ а з ) . (й 5 , = п ,< г 5 ). ■•>•*=> О тсю да в 3) Е сл и в пе р во й ф орм уле Гр и на п о л о ж и ть ^ = 1, то Е о 4) Е Д л я за м кнуто й поверхности Е : Е гд е 7 1 3 .8 .3 . Е — объем обл асти, о ф а н и ч е н н о й по в е р хн о стью Е , Ф о р м ул а Стокса П у с т ь Е — к о н е ч н а я , в о б щ е м сл учае м н о го с в я з н а я (и м е ю щ а я о тверстия) д в у х с т о р о н н я я н е з а м к н у т а я к у с о ч н о г л а д к а я п о в е р х н о с т ь в п р о с т р а н с т в е Оху^< о гр а н и ч е н н а я к у с о ч н о гл а д ко й к р и в о й С (ко то р а я м о ж е т с о с то я ть и з не скол ь к и х з а м к н у т ы х к р и в ы х С , ) ; к о м п о н е н т ы Р х {х ,у ,г ), Р у (...), / 'г ( . .• ) в е к т о р н о го п о л я Р {г ) н е п р е р ы в н ы в м е с те с п е р в ы м и ч а с т н ы м и п р о и з в о д н ы м и в не к о т о р о й п р о с т р а н с т в е н н о й о кр е с т н о с т и Е , то гд а с п р а в е д л и в а ф орм ула С то кса (в в е к т о р н о й ф о р м е ) гд е и н т е г р а л п о к р и в о й С р а в е н с у м м е и н т е г р а л о в п о в с е м к о н т у р а м С , ; (15 = п <1^, п — н о р м а л ь к Е ; о б х о д к о н т у р о в С ; п р и и н т е ф и р о в а н и и с о в е р ш ается в н а п р а в л е н и и , п р и к о т о р о м о б л а с т ь Е о с т а е т с я с л е в а , е с л и с м о т р е т ь из к о н ц а в е к т о р а п. В с л у ч а е о д н о с в я з н о й п о в е р х н о с т и п о т о к р о т о р а ч е р е з п о в е р х н о с т ь И , н а т я н у т у ю н а к о н т у р С , р а в е н ц и р к у л я ц и и (с м . т а к ж е 8 .8 .1 ). С л едствия и з ф орм улы С то кса . 1) Е с л и в ф о р м у л е С т о к с а п о л о ж и т ь ^^'(^) = С<р(г) ( С = с о п 5 « ) , т о п о л у ч а ется ф ор м ул а ( в г а й (р) X 4 3 = - ^ 1рс1г. Е 2) С Е с л и п р и н я т ь Р {г ) = С х 4 ( г ) ( С = с о п 5 (), т о X V ) X I Л X й г, = С 3 т =\ 13,9. Н ахо ж д ен и е векторного поля по ротору и градиенту 1. В е к т о р н о е п о л е Р ( г ) н а з ы в а е т с я б е з в и х р е в ы м в о б л а с т и О есл и го 1 Р г О в ка ж д о й то ч ке о б л а сти V . Д л я то го что б ы было б е зв и хр е в ы м в О , н е о б х о д и м о и д о с та то ч н о сущ е ств о в а н и е л а с ти с к а л я р н о й ф у н к ц и и П (г ) ( в о б щ е м с л у ч а е м н о г о з н а ч н о й ) пространполе ^ ’(г) в этой о б та ко й , что ^ ( г ) = 8 г а й г / ( г ) , п р и э т о м (I V = Р Лт = ( V I I ) й г. Ф у н к ц и я V ( г ) н а з ы в а е т с я '* * л я р и ы м п о т е н ц и а л о м в е к т о р н о г о п о л я и о п р е д е л я е т с я с т о ч н о с т ь ю д о п р о и з вольной а д д и ти в н о й п о с то я н н о й . В случае п о в е р х н о с тн о о д н о с в я зн о й обл асти ^ Ф у н к ц и я 1/{г) о д н о з н а ч н а и н а х о д и т с я п о ф о р м у л е , п р и в е д е н н о й в 1 3 . 4 . 2 ; ''Р и э т о м б е з в и х р е в о е п о л е я в л я е т с я п о т е н ц и а л ь н ы м . 2 . В е кт о р н о е п о л е Р (г ) н а зы в а е тс я с о л е н о и д а л ь н ы м в о б л а с т и О , е с л и = о в с ю д у в э т о й о б л а с т и . У с л о в и е Р = то1 А в О , г д е Л ( г ) — н е к о ^Р а я в е кто р н а я ф у н к ц и я , на зы в ае м а я в е кто р н ы м п о тга ц и а л о м , н е о б х о д и м о " Д остаточно д ля со л е н о и д а л ьн о сти пол я. П о те н ц и а л А опред ел яется с то ч '* о с т ь ю д о ф а д и е н т а п р о и з в о л ь н о ^ с к а л я р н о й ф у н к ц и и . В п р о с т р а н с т в е н н о “ Д Н о с в я з н о й о б л а с т и п о т о к п о л я Р {г ^ ч е р е з л ю б у ю з а м к н у т у ю п о в е р х н о с т ь X , р а с п о л о ж е н н у ю в О , р а в е н н у л ю , т .е . II' Р (1 В = 0 {д 1 У Р = 0 ) . Е с л и д л я п о л я Г { г ) з а д а н ы д и в е р г е н ц и я и р о т о р к а к ф у н к ц и и о т г, т .е . 3. = 4жд{г), ю1Р = 4л-7(г), п р и ч е м ? и 7 стр е м ятся на б е ско н е чн о сти к н у л ю , т о п о л е Р {г ) м о ж н о за п и с а ть в вид е Р { г ) = ёга<1 ( 7 ( г ) + г о 1 ^ 4 ( г ) , З д е с ь Г ] = Х \1 + у \ ] + г\ к — п е р е м е н н ы й р а д и у с - в е к т о р и н т е ф и р о в а н и я ; |г - Г ] I — р а с с т о я н и е м е ж д у т о ч к а м и г и Г | ; и н т е гр и р о в а н и е в е д е тся п о всем у б е з гр а н и ч н о м )^ п р о с т р а н с 2 в у Е с л и с 1 1 у Р ( г ) и г о 1 ^ ’ ( г ) з а д а н ы в к а ж д о й т о ч к е г о б л а с т и О , а н а ее г р а н и ц е Е з а д а н а н о р м а л ь н а я к о м п о н е н т а Р^, т о п о л е Р ( т ) о п р е д е л я е т с я од нозначно в и м о ж е т б ы ть представл ено в виде Р ( т ) = Рх ( г ) + ^ : ( г ) (го 1 = О , д 1У 7^2 = 0 ) , т. е. в в и д е с у м м ы б е з в и х р е в о й и с о л е н о и д а л ь н о й с о с т а в л я ю щ и х . 1 3 .1 0 . Цилиндрические и сф ерические координаты 1. Ц и л и н д р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы р , 1р , г . К а ж д о й т о ч к е М п р о с т р а н с т в а по ста вл ен ы в со отве тстви е тр и е д и н и ч н ы х п о п а р н о о р то го н а л ь н ы х б азисны х в е к т о р а ёр, ё^, = к. и з м е н я ю щ и х с я п р и п е р е х о д е о т о д н о й т о ч к и к д р у го й (с м . 2 .2 .2 ). Л ю б о й в е к т о р б азисе р азл о ж е н и е А (М ), п р и л о ж е н н ы й к то чке М , и м е е т в этом Ц М ) = А „ (М )ё р (М ) + А ^ (М )ё ^ (М ) + А ,(М )к . г д е Ар, А^, Л г — ц и л и н д р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы в е к т о р а в т о ч к е М . Декартовы к о о р д и н а т ы в е к т о р а А ( М ) = А 1 ( М ) { + А у ( М ) ] + А 2( М ) к с в я з а н ы с цилин д рическим и следую щ им и соотнош ениям и: А^ = Ар С 0 8 (р ~ А,р 51П (р, Ар = Ах со'ир + Ау п т Ау = Ар 8 ш (р + А^ с о 8 = - А х ^ т1 р + А уС оир, А^ = А^, А^ = А;,. С праведливы равенства: ч 8 га а Г /(р ,^ ,.) = — ^ , 1 а 1 у А {р , <р, г ) = \д ^_ е ,+ - — д (р А р ) р ор го 1 А {р , (р ,г ) = Р к, 1 дА^ дЛ, + -й “ Р 1 д ( , ди- в , + — ог д^\ > I ^^V рё^ к д /др д /д 1р д /дг Ар р А^ А^ Д л я в ы ч и с л е н и я А А = ( Д Л ) ^ е ^ + ( Д ^ ) ^ е ^ + {А А );к и с п о л ь з у е т с я ф о р м у л а Д ^ 4 = ё га й сЛ у Э лемент длины ; - го 1 го 1 Л . <и^ = V + + Лг^. С вязь м еж ду б а зиса м и: ёр = 1 С 0 5 <р + ] 81П ^Р, ё^ = - I 81П <р + ] С 0 8 1р, ё^ = к. 2 . С ф е р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы р , в , ^р. К а ж д о й т о ч к е М п р о с т р а н с т в а п о ставл ены в со о тв е тс тв и е тр и е д и н и ч н ы х п о п а р н о о р т о го н а л ь н ы х б а зи с н ы х в е к т о р а ёр, ё « , ё^ ( с м . 2 . 2 . 2 ) . Р а з л о ж е н и е в е к т о р а А ( М ) в э т о м б а з и с е : А ( М ) = А р {М )ё р (М ) + А в (М )ё в (М ) + Л ^ (М )ё ^ (М ), г д е Ар, А ), А ^ — с ф е р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы в е к т о р а . С вязь м еж ду базисам и; ёр = 1 51П в с О ^ {р + ] ё(Р = I С 0 8 б С 0 8 <р + ) С 0 5 0 81П ^ - = -г 81П (р + ] С08 81П Й 81П V? + * С 0 8 в , к 5Ш в , <р. У м н о ж а я о б е ч а с т и р а в е н с т в а А^г + А у ] + А ^ к = Арёр -I- А^ё^ + А^ё^ с к а л я р н о , п о с л е д о в а т е л ь н о н а г, ] , к , п о л у ч и м с в я з ь м е ж д у к о о р д и н а т а м и в е к т о р а А (М ) в р а з н ы х б а з и с а х . Э лем ент длины ; С пр а ве д л и в ы сл е д ую щ и е пр ед ставл ения: Вгаа ^ = - ^ е ^ ар р^ ^ N го 1 А {р , в, (р) = - - — р дв I (11у А (р , в, (р) = л ,./ + р^ 81П0 + р 81П в д<р д д ОЛ. , 1 п в - у А , ) + р - {.ш в А е ) + р - ^ 81П в > е е %\-Гр)+двГ д { Г ди\ ^ 1 V р 31П в е ^ вр рев д /др д /д в а /а у Ар рАв р 51П в А ^ 13.11. Н екоторы е сведения из тен зо р н о го а н а л и за Е сл и в н е к о т о р о й о б л а сти О п р о с тр а н с тв а к а ж д о й то ч ке М п о ста в л е н в соот в е т с т в и е т е н з о р к а к о г о - л и б о о д н о г о и т о г о ж е р а н га (с м . 2 .5 ), т о го в о р я т , ч то в V за д а н о те нзор н ое поле. С ка л я р н о е и в е кто р н о е п о л я я в л я ю тс я ча стн ы м и сл уч а я м и те н з о р н о го п о л я . Р а ссм о тр и м сл е д ую щ и е тр и п р и м е р а тензоров в т о р о го р а н га в д е к а р т о в о й с и с т е м е к о о р д и н а т О ху2 . Д а л е е п р и н я т ы о б о зн а ч е н и я ; X] = X , Х 2 = У, X } = г ; ё, = г, ёг = ёз = к. 1. Т е н з о р д е ф о р м а ц и и . П у с т ь й ( г ^ = й (х \, Х 2,Х ^ ) — в е к т о р с м е щ е н и я ( в е к то р д е ф о р м а ц и и ) д е ф о р м и р у е м о го т в е р д о го те л а . Т о гд а в р е зул ьта те д е ф о р м а ц и и н е к о т о р а я т о ч к а М\ т е л а с р а д и у с -в е к т о р о м О М \ = г с м е с т и т с я в т о ч к у М \ с р а д и у с - в е к т о р о м О М , = г - Ь « ( г ) . Т о ч к а М г {т -\- й т ), б е с к о н е ч н о б л и з к а я к т о ч к е М | ( п р и э т о м М 1М 2 = Л т), п е р е й д е т п о с л е д е ф о р м а ц и и в т о ч к у М '1 с р а д и у с - в е к т о р о м О М '1 = г + й г + й {г + Л т). П е р е м е щ е н и е т о ч к и М г о т н о с и т е л ь н о т о ч к и М \ , т. е. о т н о с и т е л ь н о п о с т у п а т е л ь н о переместившейся на вектор й (г) систем ы ко о р д и н а т с началом в то чке М \ , равно 5 ( г + й т ) - й ( г ^ ) = йй = ( ( ^ ^ V ) « и л и в ко о р д и н а тн о м виде дщ Й1, йх, И с п о л ь з у я ф о р м у л ы п е р е х о д а о т о д н о й д е к а р т о в о й с и с т е м ы координат к д р у го й , м о ж н о п о ка за ть , ч то в е л и ч и н ы = д щ !д х , я в л я ю т с я компонен та м и те н з о р а в т о р о го р а н га . Р а з л о ж и м т е н з о р и ц н а с и м м е т р и ч н у ю и а н т и си м м е тр ичн ую части щ^ = дщ Щ \ / дщ 1 / дщ ~ 2 \ д х ,^ д^^) ^ 2 \ Щ ~ д и, Ч _ д^^ г+ та к, ч то 3 3 з^^ ЛХ] + ^ йи, = ^ ^=^ а^^(^x^. >=1 Введем в е к т о р А т а к о й , ч т о I = - т ^ X I 1 ,^ = 1 ^ *= 1 Т о гд а ч а с т ь о т н о с и т е л ь н о г о с м е ш е н и я й щ , с в я з а н н а я с т е н з о р о м о * ; , р а в н а 3 _ _ У ^ . а^^ йХ ] = (^ 4 X й г ) ь _ гд е I 2 _ >= 1 т .е . я в л я е т с я ч и с т ы м в р а щ е н и е м ( б е з д е ф о р м а ц и и ) в о к р у г м г н о в е н н о й о с и , пр оход ящ ей че р е з т о ч к у М ] в н а п р а в л е н и и в е кто р а А, а у го л п о в о р о та р а в е н 1-4]. С и м м е т р и ч н а я ч а с т ь я^^ н а з ы в а е т с я т е н з о р о м ч и с т о й д е ф о р м а ц и и . 2. Т ензор н а п р я ж е н и й . И з те о р и и у п р у го с т и и зв е стн о , ч то н а л ю б у ю обл асть V в н у т р и д е ф о р м и р о в а н н о го т е л а с о с т о р о н ы ч а с т е й те л а , н а х о д я щ его ся в н е V , д е й с т в у ю т с и л ы н а п о в е р х н о с т ь И , о ф а н и ч и в а ю ш у ю О , т а к , ч то к э л е м е н т а р н о й п л о щ а д к е Л З в о к р е с т н о с т и т о ч к и М н а Е п р и л о ж е н а сила р „ Л З, г д е р „ — с и л а н а е д и н и ц у п л о щ а д и , н а з ы в а е м а я н а п р я ж е н и е м (р и с . 1 3 .5 ) и и з м е н я ю щ а я с я в д о л ь X ). П р и э т о м р „ = р ,п , + Р 2П 2 + Р з « з . г д е ( П | , П 2, П з ) — в н е ш н я я н о р м а л ь к I ) ; р \ ,р 2,р з — н а п р я ж е н и я н а п л о щ а д к а х , п р о х о д я щ и х ч е р е з т у ж е т о ч к у М , н о р м а л я м и к к о т о р ы м являю тся в е к т о р ы ё |, ё г, ёз с о о т в е т с т в е н н о . С п р а в е д л и в ы р а в е н с т в а п = 3 Рпх = Р п ) = Р и П \ '^ Р ц п у , + Р 1 2 П 2 + Р 13 П 3 = >=1 3 Рщ = Рп2 = 3 Р2]П]\ Рпг =Р пЗ = ' ^ Рз^п^■ в б а з и с е ё^ и м е е т в и д Р азлож ение векто р а 3 Р< = ]=> Н а всю поверхность Е извне д ействует сила ^< = 1/ 3 Р- 2- 3) Е Е ■ ’= ' и л и , п р и м е н я я ф ор м ул у О с тр о гр а д ско го , Ъ ;=1 ■' "Ь С л е д о ва те л ь н о , н а е д и н и ц у о б ъ е м а тела д е й ств уе т си л а >=, ' Т е н з о р с к о м п о н е н т а м и р^^ н а з ы в а е т с я т е н з о р о м н а п р я ж е н и й . 3. В е к т о р н ы й г р а д и е н т . П р о и з в о д н а я с к а л я р н о г о п о л я ^р п о н а п р а в л е н и ю е д и н и ч н о г о в е к т о р а а = ( о ] , а г , О з) й<р д^р д!^> / д<р д>р д<р д (р \ о п р е д е л я е тс я в е к т о р о м (гр а д и е н т о м ) I - — , - — , - — 1. _ \ 5 Х 1 дх2 д х ъ ) П р о и з в о д н а я в е к т о р н о г о п о л я А ( г ) = ( ^ 1, А 2, А-^) п о н а п р а в л е н и ю еДИ н и ч н о г о в е к т о р а а = ( О ] , О г , О з ) р а в н а Л А /Л а = {а \ / )А ( с м . 1 3 . 6 . 3 ) и л и в к о о р д и н а та х ал, дА, с1А2 а “ дА1 }= ] <1Лз а^2 2 ^ дХз 3 дл, ■'’ Лп -Л дл> А алз ~ ^ ^ Яг., дх з= \ т.е. з=\ Следовательно, й А /д ^ а определяется величинами являющимися компонентами тензора, называемого векторным градиентом. Примечание. Тензор можно рассматривать также как линейный оператор, преобразу ющий одни векторы в другие. Например, тензоры и^^, р у, 0^^, рассмотренные выше, преобразуют векторы ^x^, п ,, а^ соответственно в векторы ЙИ(. р„,, ЛА,/Ла. Глава 14 Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И А Л Ь Н А Я ГЕО М ЕТРИ Я в д и ф ф е р е н ц и а . 1ь н о й г е о м е т р и и г е о м е т р и ч е с к и е о б р а з ы ( к р и в ы е л и н и и и п о в е р х н о с т и в т р е х м е р н о м е в кл и д о в о м п р о с т р а н с т в е ), за д а н н ы е некоторы м и у р а в н е н и я м и , и зуч а ю тся м е то д а м и м а те м а ти че ско го а на л и за , в осно вн ом — д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о и с ч и с л е н и я . Р а з л и ч а ю т л о к а л ь н ы е (д и ф ф е р е н ц и а л ы ш с ) с в о й с тв а ге о м е т р и ч е с ко го о б р а за , ко т о р ы е о тн о с я т с я т о л ь ко к ближ айш ей о кр е с т н о с т и т о й и л и и н о й т о ч к и , и е го с в о й ств а в ц е л о м , относящ иеся к о в с е м у о б р а зу . О д н и с в о й с т в а ге о м е т р и ч е с к о го о б р а з а з а в и с я т о т выбора с и с т е м ы к о о р д и н а т , в к о т о р о й о н и и з у ч а ю т с я , а д р у г и е — инвариантные сво й ства — о т т а ко го в ы б о р а не зависят. 14.1. К ривы е н а плоскости Ы . 1 . 1 . Способы зодония кривых на плоскости. Д л ина дуги кривой К р и в у ю ^ н а п л о с к о с т и (п л о с к у ю к р и в у ю ) м о ж н о за д а ть п р и п о м о ш и ее урав нения одним из следую щ их способов. В д е к а р т о в ы х к о о р д и н а т а х ( х , у ): • ) У = » ( * ) (я в н ы й в и д ); 2 ) Р {х , у) = 0 (н е я в н ы й в и д ); 3 ) X = х {1), у = у(1) ( п а р а м е т р и ч е с к и й в и д ) ; 4 ) г = г(1) = х (()г + у (1 )} ( в е к т о р н о - п а р а м е т р и ч е с к и й в и д ) ; В по л я рн ы х коорд инатах 5) Р = р М - _ _ Д л и н а д у г и г л а д к о й ( н е п р е р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м о й ) к р и в о й У — У' (а ^ X < 6) находится по формуле ь _________ В случае п а р а м е т р и ч е с к о го за д а н и я (2 I = I + (< ■ < < < к)- I, З д е сь х , у о з н а ч а ю т п р о и з в о д н ы е п о < . В п о л я р н ы х к о о р д и н а т а х /9 * = ^ ■^Р^(‘Р ) + У ( > Р ) ? # (а а Д иф ф еренциалом д л и н ы д у ги н а зы в а е тс я в е л и ч и н а <й= {(1ху +(<гу)2= +[у'(х)Р = = \/[г(<)Р +1»(<)1^<и= + (Лр?- Е с л и г = г ( < ) , т о Л = | й г | = \ / й г • йг. 14.1.2. Касательная и нормаль к плоской кривой Касательной к к р и в о й Ь в т о ч к е М н а зы в а е тс я п р я м а я , я в л я ю щ а я с я п р е д е л ь ны м п о л о ж е н и е м с е к у щ е й (х о р д ы ), п р о х о д я щ е й ч е р е з д в е р а з н ы е т о ч к и М * ЛГ] н а X , к о г д а т о ч к а М \ н е о г р а н и ч е н н о п р и б л и ж а е т с я к ф и к с и р о в а н н о й т о ч ке М (М ] М ) ( р и с . 1 4 . 1 ) . Е с л и г = г{1) — у р а в н е н и е к р и в о й , т о в е к т о р М Т = ? (< ) = Цщ м->о А1 = П т ^ м-10 А1 н а п р а в л е н п о к а с а те л ь н о й к к р и в о й . Е с л и в ка ч е с тв е п а р а м е тр а ^ взять длину I д у г и к р и в о й , о т с ч и т ы в а е м у ю о т н е к о т о р о й ф и к с и р о в а н н о й т о ч к и А д о пе р е м е н н о й т о ч ки М н а кр и в о й с п о л о ж и те л ь н ы м зн а ко м в определенном в ы б р а н н о м на п р а в л е н и и , и с о тр и ц а те л ьн ы м зн а ко м — в противополож ном ( а н а л о г и ч н о к о о р д и н а т е х , о т с ч и т ы в а е м о й о т т о ч к и О н а о с и Ох), т. е. г = г(1 ), т о г ( М ) = г '(1 ) б у д е т е д и н и ч н ы м ( | т | = 1 ) в е к т о р о м к а с а т е л ь н о й в к а ж д о й т о ч к е М к р и в о й , н а п р а в л е н н ы м в с т о р о н у у в е л и ч е н и я I ( р и с . 1 4 .1 ). У р а в н е н и е к а с а т е л ь н о й ( е с л и о н а с у щ е с т в у е т ) к к р и в о й в т о ч к е Мо(хо, уо), отвечаю щ ей зн а че н и ю парам етра I = д л я р а з л и ч н ы х с п о с о б о в за д а ни я кривой: 1 ) У - У о = у '{х о ){х - Хо) (г/о = у{х о))\ 2 ) ^ ^ ( х о , 2/ о ) ( х - Х о ) + Р'у{хо, Уо)(у - Уо) = 0 ; У-Уо ^ х -хр ’ т х (< „) ’ 4 ) г = г ( < о ) ( р - Ро) + Г о (г о = г (< о )), гд е р — п а р а м е т р н а к а с а т е л ь н о й . У гл о в о й ко э ф ф и ц и е н т к ка са те л ь н о й равен . _ Ч_ ° ^х(хо, Е д и н и чн ы й вектор касательной в то ч ке _ - - йт т = г т ,+ ]Т у = - = <11 гЛх + ]йу Уо) _ у(1о) Р у {х о ,у о ) - х (к У Мо{хо,уо)'х+ ]у'(хо) - ^ 1 + [ 2 /'( * о ) Р гх{1о) + ]у(к) ------ ^ Щ ( о) ? Т Ш ? О б ы чн о вектор г направляю т в сторону возрастания х, или I, или I. Нормалью к кривой в точке М назы вается пр ям ая МN, проходящая через то ч ку М перпендикулярно к касательной в то чке М (рис. 14.1). Если г = (тх,Ту) — е д и ничны й вектор касательной, то е д и ничны й вектор нормали п = (Пх,Пу) = 1Пх + ]Пу такой, что п ■т = О,м ожет иметь одно издвух направлений: либо п = {-Ту, т^ ), либо п = {Ту, -Тх); т. е. Пх = ^Ту,Пу = ±^ЬЕ сл и вы брано Пх = -Ту, Пу = Тх, т о векторы т, п ориентированы так же, как и векторы г, ]. Вектор ы тип задают положительное направление касательной и нормали, соответственно. Уравнение нормали, проходящей через то ч ку М о(хо, Уа), может быть за дано одним из следующих способов: О у'{хо)(у - уо) + X - Хо = 0\ 2 ) ^ ’^ ( х о , у о )(у - Уо) = Ру{х о , Уо){х - Х о ) ; 3) х{1о){х - Хо) -Ь у(1о){у - Уо) = 0; п{1о){р - Ро) + Го (го = г(1о)), 4) г = где р — параметр на нормали. У г о л м е ж д у д в у м я к р и в ы м и у = у\(х), у = уг{х) в т о ч к е и х п е р е с е ч е н и я А ^о (*о > У о ) п о о п р е д е л е н и ю р а в е н у г л у 7 м е ж д у е д и н и ч н ы м и к а с а т е л ь н ы м и в е к т о р а м и Т \ (М о ), Т 2( М о ) , о т с ч и т ы в а е м о м у о т Т ] к г г п р о т и в ч а с о в о й с т р е л к и , т . е . С 08 7 = Т | - Т 2 = Г ц Г з ! + т^утц. Пример 1. Для эллипса с уравнением г — хасо51 + ]Ь%\п1 (-оо < < < +ос), т.е. г — асо&1, у = Ь8ш1, находим вектор касательной г{1) = - 1 а з т I + и вектор нормали N = Т*Ьсо8< ± ]а !л п 1 . Здесь оба вектора, в общем случае, не единичные. Исключая I из уравнений х = асо&1, у = Ь% т1 , получим уравнение эллипса в виде При этом ^ ^ и уравнение касательной в точке (хо. Уо) имеет вид ^ (х - Хо) + ^ {у - !/о ) = 0 . Поскольку -? + -4 = I , то получим уравнение касательной ХрХ УоУ ~ Имеем далее х{1) = - о з ш * , у{1) = Ьс<х1. Уравнение касательной, проходящей через Точку 1 о = асо5(о. Уо — Ь81п<о. имеет вид у - Ьв\п1о _ X - а со ^ и Ь со81„ а 8 1 П <0 I Решая уравнение Р { х , у ) = О относительно у, получим у = ± 6 у ^ ~ ^ смотрим случай у ^ О, т.е. берем плюс перед радикалом (случай у < 0 рассматривается аналогично). Тогда , Ьх У = -- Уравнение касательной имеет вид Ьхо У -У о = - ' -------- , , . , (1-Ж о). '4 .1 .3 . О собы е точки кривой Лусть при параметрическом задании плоской кривой ^ ф ункции х{1) и у(1) "^'еютпри <= <0 непрерывные производные. Тогда точка М о(хо, Уо) (жо = ®{<о)> ~ У ( и ) ) на кривой I назы вается обыкновенной, если [х(<о)Р + |у(<о)Р Ф ^ л и же ®(<о) = У (*о) = О, то М » называется особой точкой кривой X ; при э т о м к р и в а я в о к р е с т н о с т и М о н е м о ж е т б ы т ь п р е д с та в л е н а в в и д е ф а ф и ка д и ф ф е р е н ц и р у е м о й ф у н к ц и и у = у(х) и л и х = х {у ). О д н а к о , р а з л а г а я 1 (« ), у(1) в р я д ы Т е й л о р а 1 (0 = х(1о)+ ^*(<о)(< - кУ+■■■, у(1) = у(1о) + ^ ! / ( < о ) ( < - < о )^ + • • • , м о ж н о и с с л е д о в а т ь в и д к р и в о й X в о к р е с т н о с т и М о (< о )П у с т ь к р и в а я Ь з а д а н а у р а в н е н и е м Р (х , у) = О и Р и м е е т в н е к о т о р о й о к р е с т н о с т и М о (х о, уа) н е п р е р ы в н ы е ч а с т н ы е п р о и з в о д н ы е п о х , у . Т о г д а т о ч к а М о н а з ы в а е т с я обы кновенной (с о о т в е т с т в е н н о о со бой ) точкой к р и в о й I , ес л и в этой то чке + ф О (с о о т в е т с т в е н н о = Р'у = 0 ) . Е с л и т о ч к а М о о б ы к н о в е н н а я (с о о т в е т с т в е н н о о с о б а я ), т о к р и в а я м о ж е т б ы т ь (с о о т в е т с т в е н н о н е м о ж е т б ы т ь ) п р е д с т а в л е н а у р а в н е н и е м у = у (х ) и л и х = х (у ) в о к р е с т н о с т и М о . Е с л и в т о ч к е М о в ы п о л н я е т с я Р'х(М о) = О , Р'у(М о ) = О , а в т о р ы е п р о и з в о д н ы е н е в с е р а в н ы н у л ю , т о о с о б а я т о ч к а н а з ы в а е т с я двой н ой . Е сл и в М о о б р а щ а ю т с я в н у л ь в се п е р в ы е и в т о р ы е ч а с т н ы е п р о и з в о д н ы е , а тр е тьи п р о и з в о д н ы е н е в се р а в н ы н у л ю , т о т о ч к а М о н а з ы в а е т с я тройной и т д. Е сл и М о — д в о й н а я т о ч ка , то и с п о л ь зу я р а зл о ж е н и е Т е й л о р а в о кр е ст ности М о Р ( х , у ) = Р {х о , уо) + А ( х - Х о У + 2 В ( х - Х о )(у - уо) + С ( у - у о )^ + ■■■=<>, гд е А ^ Р ^ А ^ о .Р о ), В = Р^ у(х о ,уо ), С = Р ;',(х о ,у о ), м о ж н о и ссл е д ов а ть в и д к р и в о й Ь в о кр е с тн о с ти точ к и М о . П оведение кр и в о й вблизи д в о й н о й то ч ки оп р е д е л я е т с я з н а к о м в ы р а ж е н и я В {х о , уо) = А С - В ■ Е с л и Р > О, т о т о ч ка М о н а зы в а е тся и зо л ир ован н ой . Е с л и О < О , т о М о н а з ы в а е т с я т о ч к о й сам о п ер *' сеч ен и я . Е с л и Л = О , т о т о ч к а М о я в л я е т с я л и б о и з о л и р о в а н н о й , л и б о т о ч к о й в о з в р а т а , л и б о точкой сам оп р и ко сн овен и я. И м е ю т с я т а к ж е и д р у ги е т и п ы особы х точек. Пример 2. Для кривой ^’( I , у ) = = 0 вточке 0(0;0) имеем (0; 0) = О, ^'^(О; 0) = О, = 2 5^ О, остальные вто рые производные равны нулю. Следовательно, 0(0; 0) ^ двойная особая точка. Имеем Г>(0;0) = 0. Точка 0 (0 ;“ ) является точкой возврата (заострения) данной кривой (рис. 14.2). Ось Ох является ее касательной в точке О- 14.1.4. Асимптоты Е сл и к р и в а я X и м е е т б е с к о н е ч н у ю в е т в ь , т . е . т а к у ю с в о ю ч а с т ь , к о т о р а я н е о гр а н и ч е н н о у д а л я е тс я в б е с к о н е ч н о с т ь , т о п р я м а я л и н и я , к к о т о р о й н е о гр а н и ч е н о п р и б л и ж а е т с я т о ч к а М (х , у) н а э т о й к р и в о й п р и у д а л е н и и в б е с конечность, н а зы в а е тс я а с и м п то то й д а н н о й к р и в о й . К р и в а я н е о ф а н и ч е н н о прибл иж ается к с в о е й а с и м п т о т е , о с та в а я с ь л и б о с о д н о й с т о р о н ы о т не е (р и с . 1 4 . 3 ) , л и б о п е р е с е к а я е е ( р и с . 1 4 . 4 ) . Д л я к р и в о й , з а д а н н о й у р а в н е н и е м у = ] ( х ) , н а к л о н н о й а с и м п т о т о й я в л я е т с я п р я м а я у = к х + Ь, г д е к = , И т *-»+оо (1-»-00) Ь= И т [ / ( х ) - к х ]. я-*+оо если э т и п р е д е л ы с у щ е с т в у ю т . П р и к = О а с и м п т о т а г о р и з о н т а л ь н а . П р я м а я 1 = 0 назы вается вер ти кал ьн ой а си м пто то й гр а ф и ка у = / ( х ) , если И т /( х ) = + о о (-о о ) и (и л и ) х>а П т /( х ) = + о о (-о о ). х<а Н а п р и м е р , г и п е р б о л а у = 1 / х и м е е т в е р т и к а л ь н у ю а с и м п т о т у х = О ( о с ь О у ), т а к к а к 2/ - > + о о п р и х - У О с п р а в а ( х > 0 ) и - о о п р и х -> О сл е ва ( х < 0 ). П р и п а р а м е т р и ч е с к о м з а д а н и и к р и в о й х = х ( < ) , у = у{1) н а х о д я т з н а ч е н и я <0 т а к и е , ч т о х ( < ) и у{1) с т р е м я т с я к ± о о п р и < сл ева и (и л и ) спр а ва . Е сл и п р и э т о м х{1) - > ± с » , а у { ( ) Ь Ф о о ,т о п р я м а я у = Ь — г о р и з о н т а л ь н а я а с и м п т о т а . Е с л и у{1 ) - > ± о о , а х{1) а ^ оо, то прям ая х = а — вертикал ьч м а с и м п т о т а . П р и х(1) ± о о , у(1) - > ± о о , е с л и с у щ е с т в у ю т п р е д е л ы к = И т • (-><0 х{1) , ь = и т Ы « )- М 0 1 . а с и м п т о т а и м е е т у р а в н е н и е у = к х + Ь. К р и в а я с б е с к о н е ч н о й в е т в ь ю м о ж е т ^ Не и м е т ь а с и м п т о т ы ( н а п р и м е р , п а р а б о л а ) . Д л я ф у н к ц и и у = / ( х ) , г р а ф и к к о *® Р о й и м е е т а с и м п т о т у у = к х + Ь , с п р а в е д л и в о р а в е н с т в о / ( х ) = к х + Ь + а { х ) Че а (х ) — б е с к о н е ч н о м а л а я п р и х оо. 1 4 .1 .5 . Кривизна плоской кривой Е с л и г = с1г{1)/(и — е д и н и ч н ы й в е к т о р к а с а т е л ь н о й к к р и в о й г = г ( / ) , где I — д л и н а д у г и к р и в о й ( с м . 1 4 .1 ,2 ), т о Лт г - - . г - Л Г = 0, т. е. в е к т о р — <1т ЛГ = — = Ш Ат П т — , д (-» о Д / гд е Д г = т(1 + Д О - т(1). н а з ы в а е м ы й в е к т о р о м к р и в и ;ш ы , п е р п е н д и к у л я р е н к к а с а т е л ь н о й , т. е . н а п р а в л е н п о н о р м а л и . П р и э т о м N в с е гд а н а т р а в л е н в с т о р о н у в о г н у т о с т и кр и в о й ( р и с . 1 4 .5 ). Т о ч к а С н а к о н ц е в е к т о р а N н а з ы в а е т с я ц е н т р о м к р и в и з н ы к р и в о й д л я т о ч к и М . О к р у ж н о с т ь р а д и у с а К = |Л Г | = М С , о п и с а н н а я и з ц е н т р а С , н а зы в а е тс я с о п р и ка с а ю щ е й с я о к р у ж н о с т ь ю (и л и к р у го м к р и в и з н ы ) к р и в о й д л я то ч ки М . Э та о кр у ж н о с т ь м о ж е т б ы ть опред ел ен а та кж е к а к предельное полож е н и е о к р у ж н о с т и , п р о х о д я щ е й ч е р е з т о ч к у М и д в е б л и з к и е к н е й т о ч к и М | , Мг н а к р и в о й , к о г д а М\ и н е о ф а н и ч е н н о п р и б л и ж а ю т с я к М ( р и с . 1 4 .5 ). Рис. 14.5 П у с т ь а (М ) — у го л м е ж д у т (М ) и в е к т о р о м г о с и Ох, о т с ч и т ы в а е м ы й п р о т и в ч а с о в о й с т р е л к и . Т о гд а к р и в и з н о й к д а н н о й к р и в о й в т о ч к е М н а зы вается в е л и ч и н а Д а к= Нт , м,-,м А1 г д е Д / — д л и н а д у г и М М , ( Д ^ > О п р и Д х > 0 ) ; Д а = а (М х ) - а ( М ) — с м е ж н о с т и ( р и с . 1 4 .6 ). Е с л и к р и в а я в о г н у т а ( и л и в ы п у к л а ) ( с м . 5 .9 .2 ), т о к р и в и з н а к б у д е т п о л о ж и т е л ь н о й ( и л и о т р и ц а т е л ь н о й ) в е л и ч и н о й . Справедлив® а) Р и с . 1 4 .6 р а в е н с т в о |А | = |7 У |. Ч а с т о к р и в и з н о й н а з ы в а ю т н е к , а |А |. К р и в и з н а и з м е няется о т т о ч к и к т о ч к е и я в л я е т с я м е р о й и с к р и в л е н н о с т и у ч а с т к а л и н и и : Чем б о л ь ш е | Л | , т е м б о л ь ш е л и н и я и с к р и в л е н а . Д л я п р я м о й к = 0. К р и визна о к р у ж н о с т и р а д и у с а й в с ю д у р а в н а 1 / Д . Т о ч к и к р и в о й , д л я к о т о р ы х к = 0, н а з ы в а ю т с я т о ч к а м и с п р я м л е н и я ( т а к о в ы м и я в л я ю т с я , н а п р и м е р , т о ч к и п е р е г и б а ). К р и в и з н а и р а д и у с к р и в и з н ы л ю б о й к р и в о й с в я з а н ы р а в е н с т в о м \к\ = 1 / Л . К р и в и з н а к к р и в о й и ц е н т р С {Х с , Ус) е е к р и в и з н ы д л я т о ч к и М ( х , у ) я х )й к р и в о й , в з а в и с и м о с т и о т с п о с о б а е е з а д а н и я ( с м . 1 4 . 1 . 1 ) , н а х о д я т с я п о следую щ им ф о р м ул а м 1 )* = (1 4 .1 а ) { у = У (х )), Ус = У + 1 + (у ')^ У" ■ Е с л и у " = О ( н а п р и м е р , в т о ч к е п е р > е г и б а ) , т о А: = О , й = с о , ц е н т р к р и визны о т с у т с т в у е т . + 2р',р^р''у 2 )к = ( Р ^ ? Р ‘^ , - 2 Р ; , Р ; , Р ^ , + (Р ^ )^ Р ^ ,' (р;,)^р'^, - 2р-р;р;^, + ( р ^у р ;', ' 3) <= = (х = х(«), !/ 3 /(х 2 + 2 /2 ) = _ Ус — у + ху - у х » (0 ), (14.1В) г(х 2 + у2) х у - ух Е с л и з д е с ь п р и н я т ь х = I , у = у{1 ), т о в э т и х ф о р м у л а х х = е сл и I = х (< ), у = < , т о у = 1 , у = 0. р2 1 , I = 0; 2 ( р ') 2 _ Р(/' [р 2 + ( ^ ) ' ) 2 | ( ^ С 0 8 ^ + Р ' 8 т (р) Хс= рСО%<р - Ус== р % \ т р - рг + 2 (р 1 у - р р ,' [р 2 + ( р ' ) 2 ] ( р 8 Ш у ? - / > ' с 0 5 у ; ) + 2 ( р ') 2 - рр/' Пример 3. 1) = 2рх. Считая здесь ж и у соответственно функцией и аргументом, запишем X = — х '{у ) = 2р 1 " (у ) = р Для точки М (0 ;0 ) имеем к = - , Я = р. р р Х с = Р . Ус = 0 . 2 ) ^ ^ а к — --Т, о' Хс 3) = 1 . у = 1‘ при I = 0. 4) р = 2Д со8^ Х о, = А = о, — ------ , Ус = о для точки М (о ,0 ). а ( -0 0 < I < + 0 0 ); х = \ . у = 21,х = 0 , у = 1 , к = 2 в точке (0;0) ^ 1 р ^ ^ у , к = ^ . х , = К . У с = 0. Т о ч к а к р и в о й , в которой о н а п е р е с е к а е т с я с о с в о е й к а с а т е л ь н о й , т. е. п е р е х о д и т с о д н о й с т о р о н ы к а с а т е л ь н о й н а д р у г у ю , н а з ы в а е т с я е е точкой п е р е г и б а . Т о ч к и п е р е г и б а н а х о д я т с я и з у с л о в и я к = О, п р и э т о м к р и в и з н а * д о л ж н а и з м е н я т ь з н а к п р и п е р е х о д е ч е р е з т о ч к у п е р е г и б а . В ч а с т н о с т и , если у = у { х ) — у р а в н е н и е к р и в о й , т о у с л о в и е к = О п р и х = Х о равносильно у с л о в и ю у "(х й ) = 0 . З д е с ь п р и х = Х о и м е е т с я т о ч к а п е р е г и б а , т о л ь к о е с л и у" и зм е н я е т з н а к п р и п е р е хо д е че р е з Хо сл е ва н а п р а в о . Пример 4. 1) Кривая у = имеет точку перегиба (0;0), а ось Ох — ее касательная в этой точке (рис. 14.7) при переходе через 1 = 0 знак у" изменяется. 2) Для кривой у = х* при 1 = 0 точка перегиба отсутствует, так как, хотя у"(0) = однако у" не меняет знак при переходе через * = О (рис. 14.8). 14.1.6. К асан ие плоских кривых Говорят, что д в е плоские кривые к а с а ю т с я д р у г д р у г а в некоторой Т о чке М о. е с л и о н и п р о х о д я т ч е р е з э т у т о ч к у и и х к а с а т е л ь н ы е в э т о й т о ч к е с о в п а д а ю т ( р и с . 1 4 . 9 ) . П у с т ь кривые Ь \ , Ь г к а с а ю т с я д р у г д р у г а в т о ч к е М о и А Г |, М г — т о ч к и п е р е с е ч е н и я к р и в ы х Ь \ , Ь г с п е р п е н д и к у л я р о м к и х о б щ е й 'а с а т е л ь н о й в п р о и з в о л ь н о й т о ч к е М на э т о й к а с а т е л ь н о й . Т о г д а г о в о р я т , ч то к р и в ы е Ь \ , Ь г и м е ю т в т о ч к е М о порядок касания п , е с л и с у щ е с т в у е т Н енулевой предел 1м ,М2| Ит М-.М. |М М о |"+ ' ■ Если э т о т п р е д е л р а в е н н у л ю , т о г о ворят, ч т о к р и в ы е и м е ю т п о р я д о к к а с а н и я в ы щ е п. Е с л и п о р я д о к к а с а н и я 'к р и в ы х в н е к о т о р о й т о ч к е б о л ь щ е Л ю б о го ч и с л а п , т о го в о р я т , ч т о э т и 'к р и в ы е и м е ю т в д а н н о й т о ч к е б е с к о Ч ^чны й п о р я д о к ка са н и я . Рис. 1 4 .9 Д остаточное условие касания порядка п пл о ски х кри вы х. Е сли для д вух " Р и в ы х у = } \ ( х ) , у = }г (х ) в н е к о т о р о й т о ч к е Хо в ы п о л н я ю т с я с о о т н о ш е н и я / 1( х о ) = / 2( 10 ) , / Г ’ (х о ) = /^ ” ’ (х „), /((х о ) = / г Ы , т о д а н н ы е к р и в ы е и м е ю т в т о ч к е М о {х о ,у о ), г д е уа = / , ( 1 о ) = / 2( 10) , п о р я д о к к а с а н и я п. З д е с ь п р е д п о л а г а е т с я , ч т о / \ (х ) и / г ( х ) и м е ю т в т о ч к е н е п р е р ы в н ы е п р о и з в о д н ы е д о п о р я д к а ( п + 1) в к л ю ч и т е л ь н о . П р и вы пол не н и и в с е х в ы ш е п е р е ч и с л е н н ы х у с л о в и й р а з н о с т ь / г ( х о + А х ) - /,(10 + Д х ) я в л я е т с я б е с к о н е ч н о м а л о й ( я - Ь | ) - г о п о р я д к а о т н о с и т е л ь н о Д х . Е с л и гр а ф и к о м ф у н к ц и и у = / ( х ) я в л я е т с я к р и в а я Ь , и м е ю щ а я в т о ч к е М о (х о , /(х о )) к а с а т е л ь н у ю Т с у р а в н е н и е м у = ^ ( х ) = / ' ( 1 о ) ( х - Х о ) + / ( х о ) , т о в случае / " ( х о ) ^ О л и н и и Ь н Т и м е ю т в т о ч к е М о п о р я д о к к а с а н и я п = \ \ е с л и же /" ( х о ) = О, т о п > 2. К р и в ы е Ь \ , Ь 2 п е р е с е к а ю т с я в т о ч к е к а с а н и я т о л ь к о в т о м с л у ч а е , ко гд а п — ч е т н о е . Т о ч к а , в к о т о р о й к р и в а я Л и ее к а с а те л ь н а я Т пе ресекаю тся и и м е ю т к а с а н и е л ю б о г о ч е т н о г о п о р я д к а п ^ 2 , н а з ы в а е т с я т о ч к а п е р е ги б а К р и в и з н а л и н и и в ее т о ч к е п е р е ги б а р а в н а н у л ю . Пример 5. 1) Кривые у = / |(х ) = х^, у = /г(г) = 2х^ имеют в точке 0 (0 ;0 ) порядок касания п = I , так как /,(0) = М Щ , /\{0) = / 2 ( 0 ), /"{О } ф /^'(О). 2) Кривая у = и ее касательная у = О в точке перегиба 0 (0 ; 0) имеют порядок касания п = 2. 1 4 .1 .7 . Дискрим инантная кривая и огибаю щ ая семейства кривых М н о ж е с т в о { ^ ( С ) } к р и в ы х н а з ы в а е т с я (о д н о п а р а м е т р и ч е с к и м ) сем ей ство м , е с л и к а ж д о й к р и в о й Ь {С ) э т о го с е м е й с т в а с т а в и т с я в с о о т в е т с т в и е опр е д е л е н н о е з н а ч е н и е п а р а м е т р а ( ч и с л а ) С , н а з ы в а е м о г о п а р а м е т р о м сем ей ства. И зм е н я я зн аче ни е С , п о л уч и м р азл и чн ы е кр и в ы е сем ейства. П усть однопа р а м е т р и ч е с к о е с е м е й с т в о к р и в ы х о п р е д е л я е т с я у р а в н е н и е м Р { х , у, С ) = О’ г д е Р — д и ф ф е р е н ц и р у е м а я ф у н к ц и я . Т о г д а , е с л и т о ч к а М ( х , у ) н а данной к р и в о й Ь (С ) с е м е й с т в а , о т в е ч а ю щ е й з н а ч е н и ю С п а р а м е т р а , я в л я е т с я пр е делом при Д С О т о ч е к п е р е с е ч е н и я д а н н о й к р и в о й Ь (С ) и б л и з к о й к ней к р и в о й Ь (С + Д С ) , т о т а к а я т о ч к а М н а з ы в а е т с я хар актер и сти ч еск ой то чко й к р и в о й Ь (С ). К о о р д и н а т ы х а р а к т е р и с т и ч е с к о й т о ч к и М (х ,у ) к р и в о й удовл е тво ряю т систем е ур авне ни й (» ■ « Д и с кр и м и н а н тн о й кр и в о й с е м е й ств а к р и в ы х н а зы в а е тся геом етр ическое м е сто (м н о ж е с тв о ) х а р а кте р и с ти ч е с ки х т о ч е к к р и в ы х д а н н о го се м ей ства . И с к л ю ч а я С и з с и с т е м ы ( 1 4 .2 ), п о л у ч и м у р а в н е н и е д и с к р и м и н а н т н о й к р и в о й О г и б а ю щ е й с е м е й с т в а к р и в ы х н а з ы в а е т с я т а к а я к р и в а я , к о т о р а я в каждой с в о е й т о ч к е к а с а е т с я т о л ь к о о д н о й к р и в о й с е м е й с т в а , а в р а з н ы х с в о и х точках каса е тся р а х т и ч н ы х к р и в ы х э то го се м е й ств а . Е с л и в р а с с м а т р и в а е м о й о б л а с т и з н а ч е н и й I , у, С в ы п о л н я ю т с я у с л о в и я 10у р а в н е н и е о г и б а ю щ е й м о ж н о н а й т и , и с к л ю ч а я п а р а м е т р С и з с и с т е м ы (1 4 .2 ). Таким о б р а з о м , е с л и к р и в ы е с е м е й с т в а и д и с к р и м и н а н т н а я к р и в а я н е и м е ю т особы х т о ч е к , т о д а н н а я д и с к р и м и н а н т н а я к р и в а я я в л я е т с я т а к ж е о г и б а ю щ е й . Вобщ ем с л у ч а е д и с к р и м и н а н т н а я к р и в а я м о ж е т с у щ е с тв о в а ть , а о ги б а ю щ а я — о тсутствовать. Д и с к р и м и н а н т н а я к р и в а я м о ж е т н а р я д у с о г и б а ю щ е й с о д е р ж а т ь особы е т о ч к и с е м е й с т в а . Пример 6. 1) Для семейства полукубических парабол Р (х ,у ,С ) = х ^ - ( у - С ) ^ = 0 имеем / с = 2 (!/ - С ). Исключая С из системы вида (14.2), получим дискри минантную линию а; = О (рис. 14.10), состоящую из особых точек. Огибающая здесь отсутствует. 2) Для семейства окружностей Р (х , у, С ) = х^ + ( у - с у - д ' = О имеем / с = - 2 (у - С ). Исключая С из системы вида (14.2), получим * = ±д, т. е. огибающими являются две прямые (рис. 14.11). Все условия существования огибающей выполнены. 1 4 .1 .8 . Эволюта и эвольвента 1. Э в о л ю т о й п л о с к о й к р и в о й н а з ы в а е т с я ге о м е т р и ч е с к о е м е с т о (м н о ж е с т в о ) ц е н т р о в к р и в и з н ы д а н н о й к р и в о й . Э в о л ю т а я в л я е т с я т а к ж е о ги б а ю щ е й о д н о п а р а м е тр и ч е с ко го се м е й ств а н о р м а л е й э то й к р и в о й . Е сл и п л о ска я кри в ая X , н е и м е ю щ а я т о ч е к с а м о п е р е с е ч е н и я , у ч а с т к о в с а м о н а л е га н и я и особы х т о ч е к , з а д а н а в в и д е у = у ( х ) и л и х = х{1), у = у(1 ), т о ф о р м у л ы (1 4 .1 а ) и ( 1 4 .1 в ) д л я н а х о ж д е н и я ц е н т р о в к р и в и з н ы я в л я ю т с я о д н о в р е м е н н о п а р а м е т р и ч е с к и м и у р а в н е н и я м и э в о л ю т ы Х с = / ( х ) , Ус = ^ ( х ) ; и л и х ^ = (р{1), Ус = и л и , и с к л ю ч а я о т с ю д а х (с о о т в е т с т в е н н о I), п о л у ч и м ур а в н е н и е э в о л ю т ы в в и д е у с = Р (х с ), гд е х ^У с — к о о р д и н а т ы п е р е м е н н о й т о ч к и эволю ты . П р и м е р 7. 1) Для параболы 1 2 у = 2рх, принимая у за параметр (см. также пример 3,1), получим I ^ и II I X = — у , у — у\ X = - , X = - , у — ], у = 0 (штрих означает диффе* 2р Р Р ренцирование по у). По формулам (14.1в) получим параметрическое уравнение эволюты параболы _ !/’ 2р +Р^ _ + 2р- р 2р _ у’ ’ ■ Исключая отсюда у, получим уравнение эволюты в виде (рис. 14.12) 2) Для эллипса х = х{1) = а с т 1 , у = у{1) = Ьз\п1 (см. также пример 3,2) по фор мулам (14.1 в) находим уравнение эволюты а^-Ь^ , Хс = ------ С05 3) I, Ь^-а^ Ус = , ь Для параболы у = х^ уравнение эволюты, найденное по формулам (14.1а), имеет вид Хс = -Лх’ . Ус = - + 31^, или ~ 2 ^ ('4 ) 2. Каж дая кривая Ь по отнош ению к своей эволю те называется эвольвентой (разверткой). К р и вую Ь (эво львенту) из ее эволю ты можно получить следующ им механическим построением. Есл и см аты вать с эволюты натянутую на нее нерастяж им ую нить, то свободны й конец М этой нити будет о п исы вать эвольвенту Ь . При этом данной эволю те соответствует с е м е й с тв о б е с к о н е ч н о г о м н о ж е с т в а э в о л ь в е н т , каж д ая из ко то р ы х опред ел яется в ы б о р о м т о ч к и М ’ н а н и т и ( р и с . 1 4 .1 3 ). Л ю б ы е д в е и з э т и х эв о л ь в е н т Ь , Ь ' и м е ю т о б щ и е н о р м а л и ( н а п р и м е р , М С ) , а о т р е з о к л ю б о й но р м а л и м м ' м е ж д у э т и м и э в о л ь в е н т а м и о с т а е т с я п о с т о я н н ы м п р и п е рем ещ ении т о ч к и М п о к р и в о й Ь . К а ж д а я н о р м а л ь э в о л ь в е н т ы я в л я е т с я Т и ге л ь н о й к э во л ю те . Э в о л ь в е н ты п е р е с е ка ю т все ка са те л ь н ы е к э во л ю те “ од п р я м ы м у г л о м , т . е . я в л я ю т с я о р т о г о н а л ь н ы м и т р а е к т о р и я м и э т и х к а с а тельны х. С и с т е м а д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й д л я н а х о ж д е н и я э в о л ь в е н т ы ''“ * е т б ы т ь п о л у ч е н а п р и п о м о щ и ф о р м у л ( 1 4 . 1 ) . '^ ■ '• 9 . И з о г о н а л ь н ы е т р а е к т о р и и 5|Усть о д н о п а р а м е тр и ч е с к о е с е м е й с т в о к р и в ы х { 1 /1 ( 0 1 ) } за д ан о у р а в н е н и е м У ],С ] ) = 0, о п р ед ел яю щ и м о рд инату к р и во й у\ к а к ф у н к ц и ю о т I и С1. ^^"Фференциальное у р а в н е н и е у\ = / ( х , у \ ) это го с е м е й с т в а к р и в ы х находит‘'с к л ю ч е н и е м п а р а м е тр а С \ и з с и с т е м ы у р а в н е н и й дР ^ ’(х ,8 ,1 , С , ) = 0, - дЕ + — , у ,= й . , И зо го н а л ь н о й т р а е к т о р и е й д а н н о г о с е м е й с тв а к р и в ы х н а з ы в а е т с я к р и в а я ’ П е р е с е к а ю щ а я к а ж д у ю к р и в у ю Ь\ э т о г о с е м е й с т в а п о д о д н и м и т е м ж е у г л о м /3 ( р и с . 1 4 . 1 4 ) , г д е ^ = а г - а\ — у г о л м е ж д у к а с а т е л ь н ы м и ^ М к кривы м к Ьг, о т с ч и т ы в а е м ы й о т к ^2 о б ы ч н о п р о т и в ч а с о С стр е л ки . И зо го н а л ь н ы е т р а е кто р и и о б р а зу ю т е щ е о д н о се м е й с тв о к р и в ы х ( 1^ ^ Р а м е т р о м С г - Е с л и у г о л /3 п р я м о й , т о и з о г о н а л ь н а я т р а е к т о р и я н а з ы в а * “ р то го н а л ь н о й . И з р а в е н с т в а г = 0 :1 + / 3 , (8 «2 = 1 е ( “ 1 + / 3 ) , 18 « I = у\. 18 « 2 = 2 /2 , где 2/1 , 2 /2 ~ ординаты кривы х X ] , Х г , получаем дифференциальное уравнение семейства изогональных траекторий у ; +18^ 1 -5/; 18/3 ^ + (,4 3) 1 - / ( х ,У2)18/3 Здесь учтено, что в точке М пересечения //[ и ^ 2 справедливо У 2 = У\- Если /3 = ?г/2, то из а : = ж/2 + а ] , 18 0 2 = -1 /1 8 а| получается дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий у ' = - - у; = ------ !--- . (14.4) / ( х .2/2) О б ш е е р е ш е н и е у 2 = 2/ 2( 2^» С 'г ) ( и л и о б щ и й и н т е ф а л ) у р а в н е н и я ( 1 4 . 3 ) д а е т се м ей ств о и зо го н а л ь н ы х тр а е кто р и й . Пример 8. 1) Для семейства лучей = С\Х, выходящих из начала координат, дифферении* альное уравнение семейства получается исключением С[ из уравнений у\ = у\ = С\ и имеет вид у\ = у\/х = / (г , у|). Уравнение (14.4) семейства о р то го н а л ь ных траекторий имеет вид уг = а е г о интефальными кривыми я в л я ю т с я окружности у\-\= 2С 2 (Сг > 0) с центром в начале координат (рис. 14.15)2) Найдем изогональные траектории семейства парабол Р {х , у\, С\) = у\-С\Х^ — т е . у| = С\Х^. Исключая С\ из уравнений у\-С\Х^ = О, -2С\Х+у\ = О, получим лифференииальное уравнение этого семейства у\ = 2у\/х = / (х , у|). Уравнение (14.3), в котором величина — к задана, принимает вил Если Д = ^•/2, то уравнение (14.4) семейства ортогональных траекторий имеет вид , ^ I ^ ^ и его общим интегралом является р2 + 2^^ ~ Следовательно, ортогональными траекториями (при С 2 > 0) являются подобные эллипсы с центром в начале координат. 14.2. Кривые в пространстве 14.2.1. Способы задания кривых. Д лина дуги кривой Кривую Ь в пространстве (пространственную кр и вую ) в декартовой системе координат О х у г м ож но задать одним из следующ их способов (см. такж е 3.2.1): 1) I = х {1), у = у {1 ), 2= г{1) ( п а р а м е т р и ч е с к и й в и д ) ; 2) г = г(1) = гх(1) + ] у {1 ) + кх(1) ( в е к т о р н о - п а р а м е т р и ч е с к и й в и д ) , где г = IX + ] у + к г = О М — радиус-вектор то ч ки М { х , у , г ) на кривой. Если за параметр I п р и н ять д л и н у I д у г и кривой ( н а т

Тактаров Н. Г. Справочник по ВМ

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Тактаров Н. Г. Справочник по ВМ

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib