МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное бюджетное образовательное учреждение Российской Федерации «Государственный гуманитарно-технологический университет» Кафедра физики и математики КУРСОВАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ПИФАГОРА Выполнил студент: Пилипенко Валерий Валерьевич академическая группа МИН-15 направление подготовки (специальность) учитель математики и английского языка Научный руководитель: Лазарев ???? «30» апреля 2018 г. Орехово-Зуево, 2018 Содержание 1. Введение...................................................................................................3 2. Теоретическая часть................................................................................4 2.1. Из биографии Пифагора..............................................................4 2.2. История развития теоремы Пифагора........................................7 2.3. Три варианта доказательства теоремы.......................................9 2.4. Понятие Пифагоровой тройки...................................................12 3. Практическая часть...............................................................................13 3.1. Применение теоремы Пифагора при решении задач............13 3.1.1. Задача №1...............................................................13 3.1.2. Задача №2................................................................15 3.1.3. Задача №3................................................................17 3.1.4. Задача №4................................................................19 4. Заключение............................................................................................21 5. Список литературы...............................................................................22 2 Введение Темой для своей курсовой работы я выбрал теорему Пифагора. Это одна из древнейших теорем геометрии. Предпосылки к ее появлению возникали еще задолго до Пифагора, например, в Древнем Египте. Поэтому мне стало интересно, отчего же авторство данной теоремы принадлежит именно ему. Сама теорема мне интересна не менее, чем ее история. Вопрос поиска Пифагоровых троек весьма не прост, поэтому требует детального рассмотрения. Итак, основные цели, которые я ставил перед собой при написании данной работы, это: сделать ретроспективный обзор на историческое развитие теоремы Пифагора; рассмотреть теорему и варианты ее доказательств; выявить закономерность появления пифагоровых троек; сделать вывод о значении данной теоремы в развитии математики и жизни людей. 3 2.1 Из биографии Пифагора Пифагор Самосский — древнегреческий философ, математик и создатель религиозно-философской школы пифагорейцев. Вся жизнь Пифагора усеяна мифами и легендами о том, что он был посвящен во все тайны мироздания. Поэтому истинная его биография во многом недостоверна - чаще просто приукрашена, но пифагорейского гения отрицать я, конечно, не буду, ведь ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом. Самыми известными источниками о бытие Пифагора являются писания философа-неоплатоника Ямвлиха «О Пифагоровой жизни»; Порфирия «Жизнь Пифагора»; Диогена Лаэртского «Пифагор». Но и эти авторы за основу брали сочинения более ранних авторов, из которых следует отметить ученика Аристотеля Аристоксена родом из Тарента, где сильны были позиции пифагорейцев. Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос. Сведения о происхождении его родителей рознятся - кто-то писал, что они были известными ремесленниками, другие - богатыми купцами. Пифагор за свою жизнь повстречал чуть ли не со всех известных мудрецов той эпохи, греков, персов, египтян, впитал в себя все возможные знания того времени. В юном возрасте Пифагор отправился в Египет, чтобы набраться мудрости и тайных знаний у египетских жрецов. Диоген и Порфирий пишут, что самосский тиран Поликрат снабдил Пифагора рекомендательным письмом к фараону Амасису, благодаря чему он был допущен к обучению и посвящён не только в египетские достижения медицины и математики, но и в таинства, запретные для прочих чужеземцев. Ямвлих пишет, что Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз, завоевавший Египет в 525 до н. э. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, 4 общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком. По Порфирию, Пифагор покинул Самос из-за несогласия с тиранической властью Поликрата в 40-летнем возрасте. Так как эти сведения основываются на словах Аристоксена, источника IV века до н. э., то считаются относительно достоверными. Точно неизвестно, посещал ли Пифагор Египет, Вавилон или Финикию, где набрался, по легендам, восточной мудрости. Диоген Лаэртскийцитирует Аристоксена, который говорил, что учение своё, по крайней мере что касается наставлений по образу жизни, Пифагор воспринял от жрицы Фемистоклеи Дельфийской, то есть в местах не столь отдалённых для греков. Разногласия с тираном Поликратом вряд ли могли послужить причиной отъезда Пифагора, скорее ему требовалось возможность проповедовать свои идеи и, более того, претворять своё учение в жизнь, что затруднительно осуществить в Ионии и материковой Элладе, где жило много искушённых в вопросах философии и политики людей. Ямвлих сообщает: «Его философия распространилась, вся Эллада стала восхищаться им, и лучшие и мудрейшие мужи приезжали к нему на Самос, желая слушать его учение. Сограждане, однако, принуждали его участвовать во всех посольствах и общественных делах. Пифагор чувствовал, как тяжело, подчиняясь законам отечества, одновременно заниматься философией, и видел, что все прежние философы прожили жизнь на чужбине. Обдумав всё это, отойдя от общественных дел и, как говорят некоторые, считая недостаточной невысокую оценку самосцами его учения, он уехал в Италию, считая своим отечеством страну, где больше способных к обучению людей.» Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где нашёл много последователей. Их привлекала не только мистическая философия, которую он убедительно излагал, но и предписываемый им образ жизни с элементами здорового аскетизма и строгой морали. Пифагор 5 проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа, достигнуть которого возможно там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей, и которым народ повинуется в чём-то безоговорочно, как дети родителям, а в остальном сознательно, подчиняясь нравственному авторитету. Пифагору традиция приписывает введение слов философия и философ. Ученики Пифагора образовали своего рода религиозный орден, или братство посвящённых, состоящий из касты отобранных единомышленников, буквально обожествляющих своего учителя — основателя ордена. Этот орден фактически пришёл в Кротоне к власти, однако из-за антипифагорейских настроений в конце VI в. до н. э. Пифагору пришлось удалиться в другую греческую колонию Метапонт, где он и умер. Почти 450 лет спустя, во времена Цицерона, в Метапонте как одну из достопримечательностей показывали склеп Пифагора. У Пифагора была жена по имени Феано, сын Телавг и дочь Мийя. По Ямвлиху, Пифагор возглавлял своё тайное общество тридцать девять лет, тогда приблизительная дата смерти Пифагора может быть отнесена к 491 до н. э., к началу эпохи греко-персидских войн. Диоген, ссылаясь на Гераклида, говорит, что Пифагор мирно скончался в возрасте 80 лет, или же в 90 лет (по другим источникам). Из этого следует дата смерти 490 до н. э. (или 480 до н. э.). Евсевий Кесарийский в своей хронографии обозначил 497 до н. э. как год смерти Пифагора. 6 2.2 История развития теоремы Пифагора Сейчас вопрос принадлежности теоремы именно Пифагору двояк. Одни историки и математики согласны, что это поистине его теорема, так как он первый привел полноценное доказательство, другие же считают, что его фамилия рядом с этой теоремой стоять права не имеет, так как ранее Евклид уже делал заметки по доказательству данной теоремы в одной из своих книг. Видно, что история сыграла со многими фактами злую шутку, и достоверная информация до нас так и не дошла. Еще в Древнем Китае уже были первые задатки о теореме Пифагора. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4» . Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях. Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. 7 В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39. В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики. Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов. 8 2.3 Три варианта доказательства теоремы Пифагора. Рассмотрим ниже три наиболее часто встречающихся варианта доказательства. Вариант 1 (Древнекитайский). На китайских чертежах были нарисованы четыре равных прямоугольных треугольника, образующих своими гипотенузами квадрат. Далее доказательство становилось элементарным - достаточно было сделать выкладки о площадях фигур. (a+b)2=2ab+c2 ; a2+2ab+b2=2ab+c2 ; a2+b2=c2. Теорема доказана. Данное доказательство встречается чаще других, так как школьные учебники чаще всего предоставляют именно его. 9 Вариант 2. Проводим окружность с центром в точке А и радиус b. Из теории подобия известно, что если через точку В, лежащую вне окружности провести касательную BC (C - точка касания) и секущую, пересекающую окружность в точках M и N, то: BC2=BM*BN; a2 = (c+b)(c-b); a2=c2-b2; c2=a2+b2. Теорема доказана. 10 Вариант 3. CD - высота. cosα=AD:AC=AC:CB → AB*AD=AC2. cosβ=BD:BC=BC:AB → BD*AB=BC2. AC2+AB2=AB(AD+DB)=AB2. a2+b2=c2. Теорема доказана. Справедливости ради, стоит отметить, что существует более трехсот вариантов доказательства теоремы Пифагора - начиная от простых, графических, и заканчивая сложными алгебраическими методами. Также стоит отметить, что теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов (один из углов прямой), поэтому любое доказательство теоремы косинусов применимо и к теореме Пифагора. 11 2.3 Понятие Пифагоровой тройки Пифагорова тройка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел (x,y,z) удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению: x2+y2=z2. Примитивные тройки получаются довольно просто. Берется уже готовая тройка (x1,y1,z1), где x1,y1,z1 решения уравнения x2+y2=z2, и умножается на любое натуральное число k - соответственно, мы получаем новую тройку (kx1,ky1,kz1). Любая примитивная пифагорова тройка (x,y,z) , где x — нечётно, а y — чётно, однозначно представляется в виде (m2-n2, 2mn, m2+n2) для некоторых натуральных взаимно простых чисел m>n разной чётности. Самой популярной пифагоровой тройкой является всеми известная тройка (3, 4, 5). Ей пользовались еще в Древнем Египте для построения прямых углов. Любая примитивная тройка получается из пары взаимно простых чисел, а это значит, что количество таких троек бесконечно. 12 3.1 Применение теоремы Пифагора при решении задач Задача 1. Дано: △ABC, BD⏊AC. AB = 20. AD = 16. DC = 9. Найти: BC - ? Решение: 1) По условию задачи BD⏊AC, значит △ABD и △DBC прямоугольные. 2) По теореме Пифагора BD2 + AD2 = AB2. BD2 = AB2 - AD2. 13 3) По теореме Пифагора BC2 = BD2 + DC2. BC2 = (AB2 - AD2) + DC2. BC = √(400 − 256) + 81 = 15. Ответ: BC = 15. 14 Задача 2. Дано: В треугольнике один из углов при основании равен 45⁰, а высота делит основание на части 20 и 21. Найдите большую боковую сторону. Решение: 1) Рассмотрим △ABD. ⦟A = 45⁰ ( по условию). ⦟D = 90⁰ (так как BD⏊AC), значит и ⦟ABD = 45⁰ и △ABD равнобедренный, поэтому AD = BD = 20, а DC = 21. 2) По теореме Пифагора: AB = √𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = √800 = 20√2. BC = √𝐷𝐶 2 + 𝐵𝐷2 = √841 = 29. 3) Большая боковая сторона 29. 4) Если предположить, что стороны делятся иначе AD = 21, DC = 20, то по аналогичному решению получим: 15 AB = 21√2, BC = 29. 5) Большая боковая сторона 21√2. Ответ: 29 или 21√2. 16 Задача 3. Дано: ABCD - равнобедренная трапеция. AD = BC = 13. AB = 10. AK⏊DC, BE⏊DC. Найти: Площадь трапеции ABCD ( SABCD ) - ? Решение: 1) DK = CE (△ADK = △CBE по гипотенузе и острому углу). 2) ABEK - прямоугольник, тогда KE = 10, а DK = 20−10 2 = 5. 3) △ADK - прямоугольный ⟹ по теореме Пифагора: AK = √132 − 52 = 12. 17 4) SABCD = 1 2 AK(AB+CD) = 180. Ответ: SABCD = 180. 18 Задача 4. Дано: AKMN - ромб. AM = 10. KN = 24. Найти: а) AK - ?; б) SAKMN - ? Решение: 1) KO = ON = 12. 2) AO = OM = 5. 19 3) △AKO - прямоугольный. По теореме Пифагора: AK2 = KO2 + AO2; AK = 13. 4) SAKMN = 1 2 (KN⋅AM) = 120. Ответ: AK = 13, SAKMN = 120. 20 Заключение 1. Во введении обоснована актуальность выбранной темы. 2. Выполнен ретроспективный обзор вопросов, связанных с данной темой. 3. Дано определение теоремы Пифагора и представлены основные методы доказательства и свойства теоремы. 4. Составлены и решены задачи на тему "Теорема Пифагора". 21 Список литературы 1. clck.ru/9cYCW 2. clck.ru/DR7FM 3. clck.ru/DR7Ff 4. . Г.И. Глейзер История математики в школе VII – VIII классы, пособие для учителей, — М: Просвещение 1982г. 5. В. Литцман.Теорема Пифагора, М. 1960. 6. А.В. Волошинов «Пифагор» М. 1993. 7. А. Н. Земляков «Геометрия в 10 классе» М. 1986. 8. В. В. Афанасьев «Формирование творческой студентов в процессе решения активности математических задач» Ярославль 1996. 9. П. И. Алтынов «Тесты. Геометрия 7 – 9 кл.» М. 10. М.С. Атанасян “Геометрия” 7-9 класс. М: 1998. Просвещение, 1991 22
