KONTROL NAYa PO DISKRETNOJ MATEMATIKE DLYa STUDENTOV ZAOChNOJ FORMY OBUChENIYa

АНО ВО РОССИЙСКИЙ НОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
(ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ)
ЧАСТЬ 1
ТЕМЫ: Множества, бинарные отношения, комбинаторика, элементы математической логики
Составил: канд. физ.-мат.наук, доцент каф. ИТиЕНД
Миназетдинов Н.М.
МОСКВА 2019
2
1. Операции над множествами
Заданы подмножества A, B и C множества арабских цифр. Найдите подмножества
a) A  B  C ; b) ( A \ B )  C ; c) ( A \ B)  (C  A) ; d) ( A  B ) \ (C  A)
1
2
3
A={1; 2; 3}, B={1; 5; 6; 7}, C={0; 4; 8; 9}.
A={1; 2; 7}, B={1; 3; 5; 7}, C={0; 2; 3; 7}.
A={1; 5; 8}, B={1; 3; 6; 7}, C={0; 3; 4; 8}.
16
17
18
4
5
6
7
A={1; 2; 3; 5}, B={1; 3; 5}, C={1; 2; 5; 8}.
A={1; 2; 3; 5}, B={1; 3; 7}, C={1; 2; 5; 9}.
A={1; 2; 3; 5}, B={1; 5; 8}, C={1; 3; 5; 8}.
A={1; 2; 3; 5; 8}, B={1; 3; 5; 8}, C={5; 8}.
19
20
21
22
8
A={1; 2; 3; 7; 9}, B={1; 3; 5; 7}, C={8; 9}.
23
9
A={0; 2; 3; 5; 9}, B={1; 2; 6; 7}, C={7; 9}.
24
10
A={0; 2; 4; 5; 9}, B={1; 2; 6}, C={2; 3; 4;
7; 8}.
A={0; 2; 3; 5; 9}, B={1; 2; 8}, C={0; 3; 5;
6; 8}.
A={0; 2}, B={1; 2; 7}, C={0; 3; 5}.
. A={1; 2}, B={1; 2; 3}, C={0; 3; 5}.
25
A={1; 3; 4; 5; 7}, B={1; 3; 6; 8}, C={2; 3;
5; 6; 7}.
A={0; 3}, B={1; 2; 3}, C={0; 3; 5}.
29
11
12
13
14
15
26
27
28
30
A={0; 2; 7}, B={1; 3; 5; 7}, C={0; 2; 3; 8}.
A={1; 5; 8}, B={1; 3; 5; 9}, C={0; 2; 3; 7}.
A={1; 2; 3; 5}, B={1; 3; 5; 7}, C={1; 2; 5;
8}.
A={1; 2; 3; 5}, B={3; 5; 7}, C={1; 2; 5; 6}.
A={1; 2; 3; 5; 9}, B={1; 3; 5; 7}, C={5; 8}.
A={1; 2; 3; 5; 9}, B={1; 3; 5; 7}, C={5; 9}.
A={0; 2; 3; 5; 9}, B={1; 2; 7}, C={2; 3; 6;
7;9}.
A={0; 2; 3; 5; 9}, B={1; 2; 7}, C={0; 3; 5; 6;
9}.
A={0; 2; 3; 4; 6}, B={1; 2; 7}, C={0; 4; 5; 6;
7}.
A={0; 2}, B={1; 2; 5}, C={0; 4; 5}.
A={0; 2; 3; 5; 9}, B={1; 2; 7; 8; 9}, C={0; 3;
5; 6; 9}.
A={1; 2}, B={0; 2; 4}, C={0; 3; 4}.
A={0; 3; 4; 6; 7}, B={1; 3; 6; 7; 9}, C={0; 2;
5; 6; 8}.
A={1; 2; 4; 5; 7}, B={1; 2; 7; 8; 9}, C={0; 3;
5; 6; 9}.
A={1; 2; 4; 5; 7}, B={1; 3; 6; 8; 9}, C={0; 3;
5; 6; 8}.
2. Прямое произведение множеств.
Проверить справедливость равенства для множеств A {1,5}, B {5,3}, C {1,3}.
3
4
3. Бинарные отношения
На конечном множестве с помощью перечисления задано отношение. Постройте матрицу
отношения. Выясните, обладает ли данное отношение свойствами рефлексивности,
антирефлексивности, симметричности, антисимметричности и транзитивности. Установите,
является ли данное отношение отношением порядка или эквивалентности.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
={(1;1); (1;2); (1;3); (1;4); (2;2); (2;3);
(2;4); (3;3); (3;4); (4;4)}.
={(1;1); (2;1); (2;3); (2;4); (3;2); (3;3);
(3;4); (4;3); (4;4)}
={(1;1); (2;1); (1;2); (2;4); (2;2); (4;2);
(1;4); (4;1); (4;4)}.
={(1;1); (2;1); (1;2); (2;4); (2;2); (4;2);
(1;4); (4;1); (4;4)}.
={(1;1); (2;1); (1;2); (2;4); (4;2); (1;4);
(4;1)}
={(1;2); (1;3); (1;4); (2;3); (2;4); (3;4)
={(1;3); (1;4); (2;2); (2;3); (2;4); (4;2);
(3;4); (4;4)}
={(1;1); (1;2); (2;4); (2;2); (1;4); (3;3);
(4;4)}
={(1;3); (2;4); (3;1); (3;4); (4;2); (4;3)}
={(2;1); (2;2); (2;4); (3;4); (4;1); (4;2);
(4;3); (4;4)}
={(1;1); (2;1); (1;2); (2;4); (2;2); (4;2);
(1;4); (3;3); (4;1); (4;4)}
={(1;1); (2;1); (1;2); (2;4); (4;2); (1;4);
(4;1)}
={(2;1); (1;2); (2;3); (3;2); (1;3); (3;1)}
={(1;1); (2;1); (2;2); (3;1); (3;2); (3;3);
(4;1); (4;2); (4;3)}
={(1;3); (2;1); (2;2); (2;4); (3;2); (3;4);
(4;4)}
16 ={(1;1); (2;1); (2;3); (2;4); (3;2); (3;3);
(3;4); (4;3); (4;4)}
17 ={(1;2); (1;3); (1;4); (2;3); (2;4); (3;4)
18 ={(1;1); (2;1); (1;2); (2;4); (4;2); (1;4);
(4;1)}
19 ={(1;1); (2;1); (2;2); (3;1); (3;2); (3;3);
(4;1); (4;2); (4;3)}
20 ={(2;1); (1;2); (2;3); (3;2); (1;3); (3;1)}
21 ={(1;1); (2;1); (1;2); (2;4); (2;2); (4;2);
(1;4); (3;3); (4;1); (4;4)}
22 ={(2;1); (2;2); (2;4); (3;4); (4;1); (4;2);
(4;3); (4;4)}
23 ={(1;3); (2;1); (2;2); (2;4); (3;2); (3;4);
(4;4)}
24 ={(1;1); (2;1); (2;2); (4;2); (4;1); (4;4)}.
25 ={(1;3); (1;4); (2;2); (2;3); (2;4); (4;2);
(3;4); (4;4)}
26 ={(1;1); (2;1); (1;2); (2;4); (4;2); (1;4);
(4;1)}
27 ={(1;1); (2;1); (1;2); (2;4); (2;2); (4;2);
(1;4); (4;1); (4;4)}.
28 ={(1;1); (2;1); (2;3); (2;4); (3;2); (3;3);
(3;4); (4;3); (4;4)}
29 ={(1;1); (2;1); (1;2); (2;4); (2;2); (4;2);
(1;4); (4;1); (4;4)}.
30 ={(1;1); (1;2); (2;4); (2;2); (1;4); (3;3);
(4;4)}
4. Элементы комбинаторики
1
2
3
4
5
6
.В скачках участвуют 12 лошадей. Букмекер принимает ставки на призовые тройки лошадей.
Сколько вариантов ему придется рассмотреть?
В скачках участвуют 11 лошадей. Букмекер принимает ставки на призовые тройки лошадей.
Сколько вариантов ему придется рассмотреть, если для получения выигрыша достаточно указать
лошадей, пришедших первыми, в произвольном порядке?
Электронное табло состоит из 1000 лампочек. Сколько различных рисунков можно изобразить на
этом табло?
В ряд выложены 9 белых шаров. Сколько существует способов покрасить 5 из них в черный цвет?
В ряд выложены 8 белых шаров. Сколько существует способов покрасить 4 из них в различные
цвета?
В ряд стоят 8 солдат. Сколькими способами можно отправить их в наряд, если каждого солдата
можно отправить на кухню, в уборную, на пост, или никуда не отправлять?
5
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Найдите количество способов составить поезд из 8 пронумерованных пассажирских вагонов,
использовав все вагоны
Найдите количество способов составить поезд из 8 пронумерованных (числами от 1 до 8)
пассажирских вагонов, использовав все вагоны, чтобы первые три вагона имели номера 1,2,3
соответственно.
Найдите количество способов составить поезд из 8 пронумерованных пассажирских вагонов, чтобы
нумерация вагонов шла в порядке возрастания. Часть вагонов можно не использовать.
Найдите количество способов разложить 11 апельсинов в подарки 5 детям. Апельсины
одинаковые, дети – разные!
В лифт 9-этажного дома на 1 этаже вошло 6 человек. Найдите количество способов им выйти из
лифта, если никто не вышел ниже третьего этажа?
В лифт 10-этажного дома на 1 этаже вошло 5 человек. Найдите количество способов им выйти из
лифта, если никто не вышел ниже третьего этажа, и все вышли на разных?
Хулиган Вася зашел в подъезд 12-этажного дома с 7 петардами и взорвал каждую из них на
площадке какого-нибудь этажа около лифта. Сколькими способами Вася мог это сделать, если ни
на одном этаже не было взорвано более одной петарды? Все петарды одинаковые.
Хулиган Вася зашел в подъезд 10-этажного дома с 8 петардами и взорвал каждую из них на
площадке какого-нибудь этажа около лифта. Сколькими способами Вася мог это сделать? Все
петарды одинаковые.
У ребенка есть 7 карточек с различными буквами. Сколько слов (даже бессмысленных) он сможет
составить?
У ребенка есть 5 карточек с различными буквами и две карточки – с одной и той же буквой «А».
Сколько слов (даже бессмысленных) он сможет составить?
. У ребенка есть 7 карточек: 4 с буквами «А» и 3 с буквами «М». Сколько слов (даже
бессмысленных) он сможет составить?
Сколько существует шестизначных телефонных номеров, все цифры в которых нечетны?
Инспектор ГИБДД решил, что будет останавливать каждую машину, если он ранее не останавливал
автомобиль с теми же тремя цифрами в номере (неважно, в каком порядке). Сколько машин ему
придется остановить?
Инспектор ГИБДД решил, что будет останавливать каждую машину, все цифры в номере которой
различны, если он ранее не останавливал автомобиль с теми же тремя цифрами в номере
(неважно, в каком порядке). Сколько машин ему придется остановить?
Найдите количество различных наборов из 6 карт в руке карточного игрока «в дурака». В колоде 36
карт.
На пути автомобиля – 10 светофоров. Автомобиль либо останавливается на красный свет, либо
проезжает светофор на зеленый цвет без остановки. Каково число способов проехать этот путь?
Сколькими способами победитель "Поля чудес" может выбратьчетыре приза из 20 имеющихся.
У каждого человека по 32 гнезда для зубов. Сколько разных наборов зубов может быть у человека
(зуб или есть, или нет)?
Сколькими способами можно из 30 участников собрания выбрать председателя, заместителя
председателя и секретаря?
В ряд стоят 8 солдат. Сколькими способами можно отправить их в наряд, если каждого солдата
можно отправить на кухню, в уборную, на пост, или никуда не отправлять?
Найдите количество способов составить поезд из 8 пронумерованных пассажирских вагонов,
использовав все вагоны
Найдите количество способов составить поезд из 8 пронумерованных (числами от 1 до 8)
пассажирских вагонов, использовав все вагоны, чтобы первые три вагона имели номера 1,2,3
соответственно.
Найдите количество способов составить поезд из 8 пронумерованных пассажирских вагонов, чтобы
нумерация вагонов шла в порядке возрастания. Часть вагонов можно не использовать.
Найдите количество способов разложить 11 апельсинов в подарки 5 детям. Апельсины
одинаковые, дети – разные!
6
5. Комбинаторика. Метод включений и исключений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Из 100 человек студентов, сдавших сессию, 48 человек сдали экономику, 42 студента – математику
и 37 человек – логику. По экономике или математике сдали экзамен 76 человек, по экономике или
логике также 76 человек, а по математике или логике – 66 человек. Сколько человек сдали хотя бы
один экзамен, если все три предмета сдали 5 человек? Сколько человек не сдали ни одного
экзамена? Сколько человек сдали только один экзамен по логике?
При обследовании читательских вкусов студентов оказалось, что 60 % студентов читают журнал А,
50 % - журнал В, 50 % - журнал С, 30 % - журналы А и В, 20 % - журналы В и С, 40 % - журналы А
и С, 10 % - журналы А, В и С. Выяснить, сколько процентов студентов не читает ни одного из
журналов.
На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один
иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро - немецкий, шестеро - французский,
пятеро знают английский и немецкий, четверо - английский и французский, трое - немецкий и
французский. Выяснить сколько человек знают все три языка.
В отряде из 40 ребят 30 умеют плавать; 27 умеют играть в шахматы; 5 не умеют ни плавать, ни
играть в шахматы. Определить количество ребят, умеющих плавать и играть в шахматы.
В группе 40 туристов. Из них 20 человек говорят по-английски, 15 — по-французски, 11 — поиспански. Английский и французский знают семь человек, английский и испанский — пятеро,
французский и испанский — трое. Два туриста говорят на всех трёх языках. Сколько человек
группы не знают ни одного из этих языков?
В группе 25 студентов. Из них в бассейн ходят 10 человек, в гимнастический зал – 8 человек, в
волейбольную секцию – 6 человек. При этом 4 человека ходят одновременно в бассейн и на
гимнастику, 3 человека – в бассейн и на волейбол и 2 человека – на гимнастику и на волейбол.
Один человек ходит во все три секции. Сколько студентов группы не занимается в спортивных
секциях?
Из 100 школьников английский знают 42, немецкий — 30, французский — 28, английский и
немецкий — 5, английский и французский — 10, немецкий и французский — 8, английский,
немецкий и французский — 3 школьника. Сколько школьников не знают ни одного языка?
Группа ребят отправилась в поход. Семеро из них взяли с собой бутерброды, шестеро — фрукты,
пятеро — печенье. Четве- ро ребят взяли с собой бутерброды и фрукты, трое — бутерброды и
печенье, двое — фрукты и печенье, а один — и бутерброды, и фрукты, и печенье. Сколько ребят
пошли в поход?
В лаборатории института работают несколько человек. Каждый из них знает хотя бы один
иностранный язык. 7 человек знают английский, 7 — немецкий, 8 — французский, 5 знают
английский и немецкий, 4 — немецкий и французский, 3 — французский и английский, 2 человека
знают все три языка. Сколько человек работает в лаборатории? Сколько из них знает только
французский язык? Сколько человек знает ровно 1 язык?
В классе 30 человек, каждый из которых изучает иностранный язык. 20 человек изучает
английский, 15 – французский и 17 – немецкий. При этом в группах изучающих по два языка
насчитывается по 10 человек. Сколько человек изучает все три языка?
На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром –
38 человек, с ветчиной – 42 человека, и с сыром и с колбасой – 28 человек, и с колбасой и с
ветчиной – 31 человек, и с сыром и с ветчиной – 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25
человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек
взяли с собой пирожки?
В камеру помещен 31 заключенный, известно, что 20 заключенных отбывают наказание по 105 ст.
УК РФ, по ст. 111 – 14 заключенных, по ст. 116 – 11 человек. Одновременно по двум статьям 105 и
111 осуждено 6 человек, по 105 и 116 – 5 человек, по 111 и 116 – 3 человека. Сколько человек в
камере осуждено по 3 статьям одновременно?
В аудитории находятся несколько программистов. Шестеро знают VISIAL BASIC, шестеро — PHP,
семеро умеют программировать на JAVA. Четверо знают VISIAL BASIC и PHP, трое — VISIAL
BASIC и JAVA, двое — PHP и JAVA. Один из них умеет программировать на всех языках. Сколько
человек в аудитории? Сколько из них знают только VISIAL BASIC?
На первом курсе в одной группе учатся 40 курсантов. Из них по теории государства и права имеют
тройки 19 человек, по информатике и математике - 17 человек и по физкультуре – 22 человека.
Только по одному предмету имеют тройки: по теории государства и права – 4 человека, по
информатике и математике – 4 человека и по физкультуре – 11 человек. 7 человек имеют тройки и
7
15
16
17
18
19
20
21
22
по информатике и математике, и по физкультуре, из них 5 имеют тройки и по теории государства и
права. Сколько человек учится без троек? Сколько человек имеют тройки по двум из трех
дисциплин?
Первая рота 1-го курса состоит из 70 курсантов. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 – поют в
хоре, 22 – увлекаются спортом. В драмкружке 10 курсантов из хора, в хоре 6 – спортсменов, в
драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько курсантов не
поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?
Первая рота 1-го курса состоит из 70 курсантов. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 – поют в
хоре, 22 – увлекаются спортом. В драмкружке 10 курсантов из хора, в хоре 6 – спортсменов, в
драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько спортсменов
посещают хор или драмкружок?
В музыкальном ансамбле используется четыре инструмента, Для каждого инструмента в ансамбле
имеется четыре человека, владеющих данным инструментом, для любых двух инструментов - три
человека, играющих на них, для любых трех - два человека. Один человек владеет всеми четырьмя
инструментами. Сколько человек в ансамбле?
В группе 40 туристов. Из них 20 человек говорят по-английски, 15 — по-французски, 11 — поиспански. Английский и французский знают семь человек, английский и испанский — пятеро,
французский и испанский — трое. Два туриста говорят на всех трёх языках. Сколько человек
группы не знают ни одного из этих языков?
При обследовании читательских вкусов студентов оказалось, что 60 % студентов читают журнал А,
50 % - журнал В, 50 % - журнал С, 30 % - журналы А и В, 20 % - журналы В и С, 40 % - журналы А
и С, 10 % - журналы А, В и С. Выяснить, сколько процентов студентов читает не менее двух
журналов.
Из 100 туристов, выехавших в заграничное путешествие, 10 человек не знают ни немецкого, ни
французского языков, 76 человек знают немецкий и 83 – французский. Сколько туристов знают оба
эти языка?
При исследовании читательских интересов студентов оказалось, что 60% студентов читают журнал
А, 50% – журнал В, 50% – журнал С, 30% – журналы А и В, 50% – журналы А и С, 20% – журналы
В и С, 20% – журналы А, В и С. Сколько процентов студентов читают хотя бы один из журналов A,
B и C?
На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром –
38 человек, с ветчиной – 42 человека, и с сыром и с колбасой – 28 человек, и с колбасой и с
ветчиной – 31 человек, и с сыром и с ветчиной – 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25
человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек
взяли с собой пирожки?
23
Студент пришел в библиотеку в поисках книги, которая содержит одновременно материал по
химии, по физике и по математике. Библиотекарь заявила, что существует всего 30 книг, имеющих
хотя бы одно из перечисленных свойств, причем книг с материалом по химии всего 23 штуки, книг
по физике 21 штука и книг по математике 17. Можно ли наверняка утверждать, что нужная
студенту книга имеется в библиотеке?
24
Староста одного класса дал следующие сведения об учениках: «В классе учатся 45 школьников, в
том числе 25 мальчиков. 30 школьников учатся на хорошо и отлично, в том числе 16 мальчиков.
Спортом занимаются 28 учеников, в том числе 18 мальчиков и 17 школьников, учащихся на хорошо
и отлично. 15 мальчиков учатся на хорошо и отлично и занимаются спортом». Покажите, что в этих
сведениях есть ошибка.
25
В камеру помещен 31 заключенный, известно, что 20 заключенных отбывают наказание по 105 ст.
УК РФ, по ст. 111 – 14 заключенных, по ст. 116 – 11 человек. Одновременно по двум статьям 105 и
111 осуждено 6 человек, по 105 и 116 – 5 человек, по 111 и 116 – 3 человека. Сколько человек в
камере осуждено по 3 статьям одновременно?
26
В аудитории находятся несколько программистов. Шестеро знают VISIAL BASIC, шестеро — PHP,
семеро умеют программировать на JAVA. Четверо знают VISIAL BASIC и PHP, трое — VISIAL
BASIC и JAVA, двое — PHP и JAVA. Один из них умеет программировать на всех языках. Сколько
человек в аудитории? Сколько из них знают только VISIAL BASIC?
8
27
28
29
30
В группе 25 студентов. Из них в бассейн ходят 10 человек, в гимнастический зал – 8 человек, в
волейбольную секцию – 6 человек. При этом 4 человека ходят одновременно в бассейн и на
гимнастику, 3 человека – в бассейн и на волейбол и 2 человека – на гимнастику и на волейбол.
Один человек ходит во все три секции. Сколько студентов группы не занимается в спортивных
секциях?
На первом курсе в одной группе учатся 40 курсантов. Из них по теории государства и права имеют
тройки 19 человек, по информатике и математике - 17 человек и по физкультуре – 22 человека.
Только по одному предмету имеют тройки: по теории государства и права – 4 человека, по
информатике и математике – 4 человека и по физкультуре – 11 человек. 7 человек имеют тройки и
по информатике и математике, и по физкультуре, из них 5 имеют тройки и по теории государства и
права. Сколько человек учится без троек? Сколько человек имеют тройки по двум из трех
дисциплин?
В музыкальном ансамбле используется четыре инструмента, Для каждого инструмента в ансамбле
имеется четыре человека, владеющих данным инструментом, для любых двух инструментов - три
человека, играющих на них, для любых трех - два человека. Один человек владеет всеми четырьмя
инструментами. Сколько человек в ансамбле
На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один
иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро - немецкий, шестеро - французский,
пятеро знают английский и немецкий, четверо - английский и французский, трое - немецкий и
французский. Выяснить сколько человек знают ровно два языка.
6. Алгебра высказываний. Преобразуйте формулу так, чтобы она содержали только
логические связки , ,  :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
  X  Y   Y  X     X  Y 
 X  Y   Y  X     Z  X 
  X  Y    X  Y      X  Y    X  Y  
  X  Y   Z    X  Z 
 X  Y  Z      X  Y   Z 
 X  Y     X  Y   X 
  X  Y   Y    Z  Y 
X  Z Y  Y
 X  Y     X  Y    X  Y  
 X  Z     X  Y    Z  Y  
X   Y  Z 
  X  Y   Y  X     X  Y 
  X  Y   Y  X     Z  X 
 X  Y    X  Y    X  Y    X  Y  
  X  Y   Z    X  Z 
 X  Y  Z      X  Y   Z 
 X  Y     X  Y   X 
 X  Y   Y    Z  Y 
 X  Y     X  Y    X  Y  
9
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
 X  Y     X  Y    X  Y  
 X  Z     X  Y    Z  Y  
  X  Y   Y  X     X  Y 
  X  Y   Y  X     Z  X 
 X  Y  Z      X  Y   Z 
 X  Y     X  Y   X 
  X  Y   Y    Z  Y 
X   Y  Z 
  X  Y   Y  X     X  Y 
 X  Y   Y  X     Z  X 
 X  Y     X  Y    X  Y  
7. Приведите формулу к дизъюнктивной нормальной форме
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
 X  Y    Z  T 
  X  Y    Z  X    Y  Z 
 X  Y  Z      X  Z    X  Y  
  X  Y   Z    X   X  Z  
X Y   Z
 X  Y    X  Z 
X YX  Z
 X  Y     X  Z   Y 
  X  Y    Z  X    Y  Z 
 X   Y  Z     X  Z 
 X  Z    X  Y 
 X  Y    Z  T 
X Y   Z
 X  Y  Z      X  Z    X  Y  
  X  Y   Z    X   X  Z  
X  Y  Z 
 X  Y    X  Z 
X YX  Z
 X  Y     X  Z   Y 
 X  Z    X  Y 
10
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
 X  T    Z  Y 
 X  Y     X  Z   Y 
 X  Y   Z
  X  Y   Z    X   X  Z  
 X  Y  Z     X  Z 
 X  Y  Z      X  Z    X  Y  
  X  Y   Z    X   X  Z  
X   Y  Z 
 X  Y    X  Z 
X YX  Z
8. Найдите СДНФ для формулы:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
 X   Y  Z     X  Z 
  X  Y    Z  X    Y  Z 
 X  Y    Z  T 
  X  Y   Z    X   X  Z  
X YX  Z
X  Y  Z 
X Y   Z
 X  Y     X  Z   Y 
 X   Y  Z     X  Z 
 X   Y  Z     X  Z 
  X  Y    Z  X    Y  Z 
 X  Y    Z  T 
  X  Y   Z    X   X  Z  
X  Y  Z 
 X  Y     X  Z   Y 
 X   Y  Z     X  Z 
 X   Y  Z     X  Z 
 X  Y  Z     X  Z 
  X  Y    Z  X    Y  Z 
  X  Y   Z    X   X  Z  
X YX  Z
11
22
23
24
25
26
27
28
29
30
X   Y  Z 
 X  Y     X  Z   Y 
 X  Y    Z  T 
 X  Y  Z     X  Z 
X   Y  Z 
 X  Y     X  Z   Y 
 X  Y  Z     X  Z 
  X  Y    Z  X    Y  Z 
 X  Y  Z      X  Z    X  Y  
9. Выясните, равносильны ли следующие формулы:
1
2
3
4
5
 X  Z   Y И X  Z  X 
  X  Y    Y  X  И   X  Y   X  Y
 X  Z    X  Y  И   X  Z    Z  X     X  Y 
 X  Y    X  Z   Y  Z  И  X  Y    X  Z   Y  Z 
 X  Y    X  Y  Z   И  X  Y     X  Z    X  Y  
6
  X  Y   Y  X     X  Z 
7
 X  Y    X  Z   Y  Z  И  X  Y    X  Z   Y  Z 
  X  Z    Z  X     X  Y  и  X  Z    X  Y 
Y  Z   X И Y   Z  Y 
   P  Q    Q  P   И Q  P
 X  Z    X  Y   Y  Z  И  X  Z    X  Y   Y  Z 
 X  Y    X  Z   Y  Z  И  X  Y    X  Z   Y  Z 
   A  B    B  A   И Q  P
Y  X   Y   X  Z   И Y  X    Y  Z   Y  X  
 X  Z    X  Y  И   X  Z    Z  X     X  Y 
 X  Z   Y И X  Z  X 
 X  Y    X  Y  Z   И  X  Y     X  Z    X  Y  
 X  Y    X  Z   Y  Z  И  X  Y    X  Z   Y  Z 
 A  C    A  B  И   A  C    C  A    A  B 
С  D И    D  C    C  D  
 X  Y    X  Y  Z   И  X  Y     X  Z    X  Y  
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
И
 X  Z    X  Y 
12
22
23
24
25
26
27
28
29
30
 X  Z   Y И X  Z  X 
  X  Y    Y  X  И   X  Y   X  Y
 A  B      A  C    A  B   И  A  B    A  C    B  C 
 X  Z   Y И X  Z  X 
 X  Y    X  Y  Z   И  X  Y     X  Z    X  Y  
  X  Y    Y  X  И   X  Y   X  Y
  B  D    D  B     B  A И  B  D    B  A
 X  Z    X  Y  И   X  Z    Z  X     X  Y 
   P  Q    Q  P   И Q  P
Перечень вопросов для подготовки к экзамену / зачету:
1. История возникновения теории множеств.
2. Основные понятия и определения теории множеств, алгебры логики и теории графов.
3. Структура теории множеств (ТМ): концептуальный базис, дедуктивные средства,
содержательная надстройка.
4. Понятия множество, элемент, универсум, подмножество, кортеж, «универсум».
5. Пояснение понятия «множество» с агрегатной и атрибутивной точек зрения.
6. Мультимножество. Уточнение исходных понятий ТМ.
7. Декартово произведение.
8. п-арное соответствие. Алгебраическая n-арная операция.
9. Алгебраическая система.
10. Чёткие и нечёткие множества.
11. Языковые выражения теории множеств.
12. Операции над множествами, мультимножествами и нечеткими множествами.
13. Понятие мощность множества. Способы задания множеств.
14. Наглядное представление задаваемых множеств. Диаграмма Эйлера-Венна. Индикаторы
множества.
15. Классификация множеств. Числовые характеристики. Кардинальные и трансфинитные числа.
16. Аксиоматика содержательно (интуитивно) построенных множеств. Парадоксы Рассела и
Кантора. Аксиоматика формально построенных теорий множеств.
17. Основы комбинаторного анализа. Определение комбинаторного анализа.
18. Классификация комбинаторных задач. Треугольник Паскаля. Число Белла. Число Стирлинга.
19. Метод включений и исключений. Задачи, решаемые в комбинаторном анализе, их примеры.
20. Соответствия и бинарные отношения. Определение соответствий. Бинарные соответствия.
21. Чёткие и нечёткие соответствия.
22. Классификация бинарных соответствий. Примеры интерпретации соответствий.
23. Способы задания соответствий. Таблица Кэли.
24. Операции над соответствиями.
25. Определение бинарного отношения. Специальные бинарные отношения: порядок,
эквивалентность.
26. Свойства бинарных отношений. Представление бинарных отношений порядка с помощью
диаграмм Хассе.
27. Основные структуры. Алгебраические системы и морфизмы. Определение.
28. Алгебры и модели (реляционные системы). Алгебраические подсистемы.
29. Выделенные элементы несущего множества. Унары, определение, примеры.
13
30. Группоид: полугруппы, группы, квазигруппы. Полукольца. Алгебра множеств (алгебра
Кантора).
31. Реляционные системы.
32. Упорядоченные, частично упорядоченные множества.
33. Алгебра нечетких множеств.
34. Алгебра логики. Булева алгебра логики. Язык алгебры логики. Задача Венна.
35. Логические (булевы) функции как n-арные операции.
36. Способы задания логических функций. Табличные задания булевых функций.
37. Существенные и несущественные переменные.
38. Равенство булевых функций. Эквивалентность.
39. Разложение булевых функций по переменным.
40. Классическое представление логических функций: ДНФ, КНФ.
41. Каноническое представление логических функций: совершенная дизъюнктивная нормальная
форма (СДНФ), совершенная конъюктивная нормальная форма (СКНФ).
Эквивалентные преобразования логических функций.