школьная олимпиада по математике

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СВЕТОЧЕГОРСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА
КРАСНОСЕЛЬСКОГО РАЙОНА КОСТРОМСКОЙ ОБЛАСТИ
Школьная
олимпиада по математике
для учащихся 5-9 классов
Учитель – Красильникова Ольга Станиславовна
Светочева Гора, 2007
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Цели проведения олимпиады:

пробуждение и поддержка у учащихся познавательного интереса к
математике;

развитие математических способностей учащихся, их логического
мышления, сообразительности;

привлечение учащихся к самостоятельной творческой работе.
Условия проведения олимпиады:

олимпиада проводится во внеурочное время в течение 1,5-2 часов;

в олимпиаде участвуют все желающие учащиеся 5-9 классов;

задания для учащихся каждого класса различны;

за решение каждого задания выставляется определенное количество
баллов:
 3 балла – решение верное и полное;
 2 балла – решение верное, но содержит недочеты, негрубые
ошибки или является неполным;
 1 балл – решение неверное, но содержит верные идеи;
 0 баллов – решение неверное или отсутствует;

победителями олимпиады в каждом классе становятся учащиеся,
набравшие наибольшее количество баллов;

подведение итогов олимпиады и награждение победителей проводится
на общешкольной линейке.
3
ЗАДАНИЯ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 5 КЛАССА
1. Масса бидона с молоком – 32 кг, а без молока – 2 кг. Какова масса бидона,
заполненного молоком наполовину?
2. Запишите число 100 с помощью пяти единиц и одного знака действия.
3. Вычеркните в числе 4000538 пять цифр так, чтобы оставшееся число было
наибольшим.
4. Парусник отправился в плаванье в понедельник в полдень. Плаванье будет
продолжаться 100 часов. Назовите день и час его возвращения в порт.
5. Разбейте циферблат часов с помощью отрезков на три части таким образом, чтобы
сумма чисел в каждой из этих частей была одной и той же.
6. Сколько раз к наибольшему однозначному числу надо прибавить наибольшее
двузначное число, чтобы получилось наибольшее трехзначное число?
7. Расставьте скобки в записи 7  9 + 12  3  2 так, чтобы значение получившегося
выражения было равно 23.
8. Сумма трех натуральных чисел равна их произведению. Найдите эти числа.
9.
Сколько прямоугольников изображено на рисунке?
10. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно записать с помощью
цифр 1, 2, 3 так, чтобы в каждом числе цифры были различными.
4
ЗАДАНИЯ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 6 КЛАССА
1. Число состоит из семи восьмерок, девяти единиц и одной пятерки. Делится ли это
число на 9? Ответ поясните.
2.
Какая часть квадрата закрашена?
3.
К числу 10 припишите слева и справа одну и ту же цифру так, чтобы полученное
число было кратно 72.
4.
Даны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8 и 9. Расставьте их в кружки так, чтобы сумма их на
каждой стороне треугольника была равна 20.
5.
В записи 8 8 8 8 8 8 8 8 поставьте между некоторыми цифрами знак «+» так,
чтобы значение получившегося числового выражения было равно 1000.
6.
Петя провел три прямые линии и отметил на них шесть точек. Оказалось, что на
каждой прямой он отметил три точки. Покажите, как он это сделал.
7.
Как, имея два сосуда вместимостью 5 литров и 7 литров, налить из
водопроводного крана 6 литров?
8.
Как разрезать прямоугольник длиной 16 см и шириной 9 см на две равные части
так, чтобы из этих частей можно было составить квадрат?
9.
Через три года мальчик будет втрое старше, чем он был три года назад. Сколько
сейчас мальчику лет?
10.
Разделите данную фигуру на четыре равные фигуры.
5
ЗАДАНИЯ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 7 КЛАССА
1. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом:
26  25 – 25  24 + 24  23 – 23  22 + 22  21 – 21  20 + 20  19 – 19  18 +
17  16 + 16  15 – 15  14.
18  17 –
2. Выразите число 10 пятью девятками. Укажите как можно больше способов.
3. Расставьте знаки действий и скобки так, чтобы получилось верное равенство:
1 9 9 9 = 0.
4. На доске написано число 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1. Какие цифры необходимо стереть,
чтобы получилось возможно наибольшее число, делящееся на 9?
5. Прямоугольник АВСД разделен двумя отрезками на четыре прямоугольника,
площади трех из которых равны 2 см2, 4 см2 и 6 см2. Найдите площадь
прямоугольника АВСД.
В
С
2
4
6
А
Д
6. Чашка и блюдце вместе стоят 25 руб., а четыре чашки и три блюдца стоят 88 руб.
Найдите цену чашки и цену блюдца.
7. Изобразите, как с помощью спичек можно получить на столе углы в 60 и 120.
8. Найдите ошибку в следующих рассуждениях:
44=55
4  (1  1) = 5  (1  1)
41=51
4=5
22=5
9. Докажите, что выражение (a + b)  x + x  (a  b)  2ax тождественно равно нулю.
10. Найдите трехзначное число, которое равно квадрату двузначного числа и кубу
однозначного числа.
6
ЗАДАНИЯ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 8 КЛАССА
1. Мотоциклист выехал из города А в город В. Если он будет ехать со скоростью 25
км/ч, то он опоздает на 2 часа. Если же его скорость будет 50 км/ч, то он приедет на
1 час раньше срока. Найдите расстояние между городами и время, которое должен
был затратить мотоциклист, чтобы приехать вовремя.
2. Поставьте знак модуля так, чтобы равенство 1 2  4  8  16 = 19 стало верным.
3. Расставьте по кругу числа 14, 27, 36, 57, 178, 469, 590, 2345 так, чтобы любые два
соседних числа имели общую цифру.
4. Разложите на множители: 4 (a2 + b2) + 21b2  20ab  36.
5. Расставьте в записи 4  12 + 18  6 + 3 скобки таким образом, чтобы получилось
возможное наибольшее число.
6. Разделите 550 на 2525.
7. Какое наибольшее число можно записать с помощью четырех единиц?
8. Докажите, что значение числового выражения 116 + 146  133 делится на 10.
9. Кирпич имеет массу 4 кг. Чему будет равна масса кирпича, если все его измерения
(длину, ширину и высоту) увеличить в 5 раз? Ответ поясните.
10. Мальчик каждую букву своего имени заменил порядковым номером этой буквы в
русском алфавите. Получилось число 510141. Как зовут мальчика? Ответ поясните.
7
ЗАДАНИЯ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССА
1. Запишите число 10 с помощью семи четверок, знаков арифметических действий и
запятой.
2. Постойте график функции Y = X 3.
3. Вычислите:
11  (62 + 52)  (64 +54)  (68 + 58)  (616 +516)
632  532
4. Женщина решила похудеть к пляжному сезону. За весну она похудела на 25%, за
лето, к сожалению, она прибавила в весе на 20%, осенью снова похудела на 10%, а
зимой махнула на себя рукой и прибавила 20%. Похудела или поправилась за год
эта несчастная жертва моды?
5. Составьте многочлен шестой степени с переменной x, зная, что при любых
значениях x значение этого многочлена должно быть положительно.
6. Упростите выражение:
1
1
1+
1
1+
х
7. Зная, что m/n = 1/3, найдите значение выражения (n  2m)/m.
8. Петя тратат1/3 часть своего времени на занятия в школе, 1/4 – на игру в футбол,
1/5 – на прослушивание музыки, 1/6 – на просмотр телевизионных передач, 1/7 – на
решение задач по математике. Вопрос: можно ли так жить?
9. Решите уравнение:
1 + 8  (1 + 8  (1  8 : (1 + 4 : (1  4 : (1  8х))))) = 1993.
10. Фигура, изображенная на рисунке, состоит из одних квадратов. Найдите сторону
левого нижнего квадрата, если сторона самого маленького квадрата равна 1.
8
Решения заданий для учащихся 5 класса
1. Масса молока в полном бидоне: 322=30 кг. Масса молока в бидоне, заполненном
наполовину: 30:2=15 кг. Масса бидона, заполненного молоком наполовину:
15+2=17 кг.
2. 11111=100.
3. Необходимо вычеркнуть четверку, три нуля и тройку. Оставшееся число – 58.
4. В сутках 24 часа, поэтому 100 ч = 4  24 ч + 4 ч = 4 сут. + 4 ч. Поэтому парусник
вернется в пятнице в 16 ч.
5.
12
11
1
10
2
9
3
8
4
7
5
6
6. 9 + 99  10 = 999. Ответ: 10 раз.
7. (7  9 + 12) : 3  2 = 23.
8. Эти числа – 1, 2 и 3, т.к. 1 + 2 + 3 = 1  2  3.
9. Всего 36 прямоугольников. Из них: квадратов, содержащих 1 часть – 9 шт.,
квадратов, содержащих 4 части – 4 шт., квадратов, содержащих 9 частей – 1 шт.,
прямоугольников, содержащих 2 части – 12 шт., прямоугольников, содержащих 3
части – 6 шт., прямоугольников, содержащих по 6 частей – 4 шт.
10. 123+132+213+231+312+321=1332.
9
Решения заданий для учащихся 6 класса
1.
Нет, т.к. сумма всех цифр этого числа не делится на 9: 78+91+5=70.
2.
Закрашена 1/64 часть большого квадрата.
3.
Необходимо приписать цифру 4: 4104  72 = 57.
4.
Возможный вариант изображен на рисунке:
4
3
1
8
5
9
2
7
5.
888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000.
6.
Возможный вариант изображен на рисунке:
6
7. Наполняем семилитровый сосуд, переливаем из него 5 л в пятилитровый, затем5 литров выливаем, а
оставшиеся 2 л в семилитровом сосуде выливаем вновь в пятилитровый сосуд. Снова наполняем
семилитровый сосуд, отливаем из него 3 л в пятилитровый сосуд. Тогда в семилитровом сосуде
останется 4 л. Выливаем все из пятилитрового сосуда и выливаем в него 4 л из семилитрового сосуда.
Наполняем вновь семилитровый сосуд, отливаем из него 1 л в пятилитровый сосуд. Таким образом, в
семилитровом сосуде получаем 6 л.
8.
9.
10.
Пусть сейчас мальчику х лет. Тогда 3 года назад ему было (х3) лет, а через 3 года будет (х+3) лет. По
условию задачи составляем уравнение: х + 3 = 3  (х  3).
Решив уравнение, получим х = 6. Значит, сейчас мальчику 6 лет.
10
Решения заданий для учащихся 7 класса
1.
26  25 – 25  24 + 24  23 – 23  22 + 22  21 – 21  20 + 20  19 – 19  18 +18  17 – 17 
16 + 16  15 – 15  14 = 25 (26 – 24) + 23 (24 – 22) + 21 (22 – 20) + 19 (20 – 18) + +17
(18 – 16) + 15 (16 – 14) = 2 (25 + 23 + 21 + 19 + 17 +15) = 2 (40 + 40 + 40) = 2 120 =
240.
2.
9 + 99/99 = 10; 9 + 999 – 9 = 10; 99/9 – 9/9 = 10; 9 9/9  9/9 = 10; 9 + 9/9 – 9 + 9 = = 10.
3.
1 (9 – 9)  9 = 0/
4.
Из признака делимости на 9 следует, что сумма стертых цифр должна быть равна 6.
Так как больше то число, у которого цифр больше, то стирать надо две тройки.
Останется число из 10 цифр. Чтобы это число было наибольшим, надо в старших
разрядах иметь большие цифры, поэтому стираем две последние тройки.
5.
Так как верхние прямоугольники имеют общую сторону и площадь правого в 2
раза больше, то и его вторая сторона будет в 2 раза больше. Аналогично и вторая
сторона правого нижнего прямоугольника будет больше стороны верхнего левого
прямоугольника в 3 раза. А это означает, что площадь нижнего правого
четырехугольника будет в 6 раз больше площади левого верхнего прямоугольника, т.е.
будет равна 12 см2. Поэтому площадь всего прямоугольника будет равна 24 см2.
6.
Одна чашка и одно блюдце вместе стоят 25 рублей, поэтому 4 чашки и 4 блюдца
будут стоить 100 рублей. Т.К., по условию задачи 4 чашки и 3 блюдца стоят 88 рублей,
то одно блюдце стоит 100 – 88 = 12 рублей. Тогда одна чашка будет стоить 25 – 12 =
13 рублей.
7.
60
120
8.
Ошибка в вынесении за скобки «множителей».
9.
(a + b)  x + x  (a  b)  2ax = ax + bx + ax  bx  2ax = 2ax  2ax = 0.
10.
729 = 272 = 93.
11
Решения заданий для учащихся 8 класса
1. Пусть х ч должен был затратить мотоциклист, чтобы приехать вовремя. Тогда (х+2)
ч он затратил при скорости 35 км/ч, а (х – 1) ч – при скорости 50 км/ч. По условию
задачи составляем уравнение: 35(х+2) = 50(х – 1). Решив уравнение, получим х =
8. Расстояние между пунктами равно: 35(8 + 2) = 350. Ответ: расстояние – 350 км,
время – 8 часов.
2. 1  2  4  8  16 = 19.
3. Например: 2345 – 14 – 178 – 27 – 57 – 590 – 469 – 36 – 2345.
4. 4 (a2 + b2) + 21b2  20ab  36 = 4a2 +4b2 + 21b2  20ab  36 = 4a2 + 25b2  20ab  36 =
= (4a2  20ab + 25b2) – 36 = (2a – 5b)2 – 36 = (2a – 5b – 6)  (2a – 5b + 6).
5. 4  (12 + 18  6 + 3).
6. 550/2525 = (52)25/2525 = 2525/2525 = 1.
7. 1111.
8. Число 1116 оканчивается цифрой 1, число 146 – цифрой 6, число 133 – цифрой 7.
Значит, значение данного выражения оканчивается цифрой 1 + 6 – 7 = 0,
следовательно, это значение делится на 10.
9. При увеличении каждого измерения кирпича в 5 раз его объем увеличивается в
5  5  5 = 125 раз. Значит, масса кирпича при неизменной плотности увеличится
тоже в 125 раз и станет равной 4  125 = 500 кг.
10. Имя мальчика – Д И М А.
5
10
14
1
12
Решения заданий для учащихся 9 класса
1. 44,4 : 4 – 4,4 : 4 = 10.
2.
y
1
3
0
1
3
х
3
3.
=
11  (62 + 52)  (64 +54)  (68 + 58)  (616 +516) =
632  532
11  (62 + 52)  (64 +54)  (68 + 58)  (616 +516)
=
16
16
8
8
4
4
2
2
2
2
(6 +5 )  (6 + 5 )  (6 +5 )  (6 + 5 )  (6  5 )
11
6  52
2
= 11 = 1.
11
4. Пусть до похудания женщина весила х кг. К концу весны она стала весить х –
(25/100)х = (3/4)х кг, к концу лета: (3/4)х + (20/100)  (3/4)х = (9/10)х кг, к концу
осени: (9/10)х – (10/100)  (9/10)х = (81/100)х кг, а концу зимы: (81/100) + (20/100) 
(81/100)х = (486/500)х кг. Т.к. (486/500)х  х, то за год женщина похудела.
5. Например, х6 + 1.
6. Ответ: (х+1)/(2х+1).
7. (n  2m)/m = (n/m) – (2m)/m = 3 – 2 = 1.
8. Пусть все Петино время занимает х часов. Тогда на занятия в школе Петя тратит
(х/3) ч, на игру в футбол – (х/4) ч, на прослушивание музыки – (х/5) ч, на просмотр
телепередач – (х/6) ч, на решение задач по математике – (х/7) ч. Найдем сумму
часов, затраченных Петей на все эти занятия: (х/3) + (х/4) + (х/5) + (х/6) + (х/7) =
(153/140)х ч. Но (153/140)х  х. Значит, Петя тратит на все занятия больше часов,
чем занимает все его время. Ответ: так жить нельзя.
9. Применяя правила нахождения неизвестных компонентов математических
действий и правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую,
получаем корень уравнения: х = 1/9.
10. Обозначим сторону самого большого квадрата за х. Тогда, двигаясь от большого
квадрата по часовой стрелке, последовательно выразим через х стороны других
квадратов: х–1, х–2, х–3. Обозначив сторону искомого квадрата за у, получим два
выражения для длины верхней стороны фигуры: х + (х–1) = у + (х–2) + (х–3). Из
данного равенства находим, что у = 4.