Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное преобразование Фурье.

Лекция № 11.
Цифровая обработка сигналов в частотной области. Дискретное
преобразование Фурье.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) относится к классу основных
преобразований при цифровой обработке сигналов. Дискретное преобразование Фурье, по
возможности вычисляемое быстрыми методами, лежит в основе различных технологий
спектрального анализа.
Известно, что при дискретизации аналогового сигнала его спектр становится
периодическим с периодом повторения, равным частоте дискретизации д  2 T . С
другой стороны, дискретному спектру должен соответствовать периодический сигнал.
Рассмотрим в качестве исходных данных последовательность N дискретных отсчетов
x(k ) , заданных на отрезке  0,T1  , k  0,1, 2,..., N 1 . Моделью последовательности таких
отсчетов является сигнал из смещенных по времени дельта-функций:
x(t ) 

 x(k ) (t  kT ) .
(11.1)
k 
Мысленно периодизируем этот сигнал с периодом T1  NT . Так как дискретный сигнал
(11.1) – периодический, его спектр должен быть дискретным с расстоянием между
гармониками, равными 2 NT . Этот дискретный периодический сигнал можно
представить рядом Фурье:
xдп (t ) 

 c ( n )e
jn1t
.
(11.2)
n 
Коэффициенты c(n) этого ряда находят согласно формуле:
1
c ( n) 
NT
1

NT
NT
 x(t )e
0
N 1
NT
k 0
0
 jn1t
1
dt 
NT
 x(k )   (t  kT )e
 jn1t
NT n 1
  x(k ) (t  kT )e
 jn1t
dt 
0 k 0
(11.3)
dt.
Переходя к новой переменной t   t T , получим:
1 N 1
1 N 1
 jn1Tt 


x
(
k
)

(
t

k
)
e
dt

x(k )e  jn1kT .
 

N k 0
N
k 0
0
N
c ( n) 
Так как 1 
(11.4)
2 2

, окончательно имеем:
T1 NT
c ( n) 
2 nk
j
1 N 1
N
x
(
k
)
e
.

N k 0
(11.5)
1
n  0,1, 2,...,( N 1).
Соотношение (11.5), позволяющее вычислить комплексные амплитуды гармоник
дискретного сигнала, представляет собой линейную комбинацию отсчетов этого сигнала.
Его называют прямым дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).
Наряду с прямым ДПФ существует обратное дискретное преобразование Фурье:
N 1
x ( k )   c ( n )e
j
2
kn
N
, k  0,1,..., ( N  1).
(11.6)
n 0
Замечание. В размещении множителя 1
N
в выражении (11.5) нет полного единства. В
некоторых источниках этот множитель относят к формуле обратного ДПФ, удаляя его
из формулы для прямого ДПФ.
Ортогональный дискретный базис Фурье, в котором выполняется ДПФ,
представляет собой систему дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ), заданную на
дискретной временной оси N отсчетами:
eN (k , n)  exp( j
2
kn); k , n  0,1,..., N  1.
N
(11.7)
Система функций (11.7) представляет собой ограниченный набор экспонент с
частотами, кратными основной частоте
2
, поскольку eN (k , n) периодична по k с
N
периодом N .
Свойства дискретного преобразования Фурье.
1. Линейность.
Дискретное преобразование Фурье – линейное преобразование, то есть если
последовательностям x(k ) и y (k ) с одним и тем же периодом N соответствуют
наборы гармоник c1 (n) и c2 (n) , то последовательности ax(k )  by(k ) будет
соответствовать спектр ac1 (n)  bc2 (n) .
2. Симметрия.
Свойство симметрии, которым обладает спектр непрерывного сигнала, сохраняется и
для спектра дискретного периодического сигнала. Если отсчеты x(k ) – вещественные
числа, тогда коэффициенты ДПФ, номера которых расположены симметрично
относительно N 2 , образуют сопряженные пары:
c ( N  n) 
2
2
 j k ( N n )
j kn
1 N 1
1 N 1
N
N
x
(
k
)
e

x
(
k
)
e
 c  ( n) .


N k 0
N k 0
(11.8)
Из формулы (11.8) следует, что спектр является сопряжено симметричным
относительно N 2 , то есть содержит ровно такое же количество информации, что и
2
сам сигнал. Действительно, если исходный сигнал представляется набором из N
вещественных чисел, то его спектр представляется набором из N 2 комплексных
чисел, каждое из которых с информационной точки зрения эквивалентно двум
вещественным. Вторая половина спектра взаимно-однозначно связана с первой.
Можно считать, что коэффициенты c( N  1), c( N  2),..., c( N  1) отвечают
2
2
отрицательным частотам. При изучении амплитудного спектра сигнала они не дают
новой информации.
Гармоника с нулевым номером (постоянная составляющая), как следует из (11.5)
представляет собой среднее значение всех отсчетов сигнала на одном периоде:
с(0) 
1 N 1
 x( k )  c( N ) .
N k 0
(11.9)
Если N  четное число, то
1 N 1
c( N )   x(k )(1) k
2
N k 0
(11.10)
И амплитуда гармоники с номером N 2 определяется суммой отсчетов с
1
чередующимися знаками: c( N )   x(0)  x(1)  ...  x( N  2)  x( N  1) .
2
N
3. ДПФ круговой свертки.
Возьмем две последовательности  x1 (k ) и  x2 (k ) одинаковой длины N , ДПФ
которых соответственно равны c1 (n) и c2 (n) . Вычислим их круговую свертку по одному
периоду:
N 1
y (n)   x1 (m) x2 (n  m) .
(11.11)
m 0
Найдем N  точечное ДПФ этой свертки:
s (k ) 
1
N
N 1
 y ( n )e
n 0
j
2 nk
N

1
N
 N 1
 j
  x1 (m) x2 (n  m) e

n 0 m0

N 1
2 nk
N
2 k ( n  m )
j
 N 1
  j 2Nkm
N
x
(
m
)
x
(
n

m
)
e
 c1 (k )c2 (k ),
e
 1 
2
m0
n

0


k  0, 1,..., N  1.

1
N

N 1
(11.12)
При выводе формулы (11.12) учтено свойство сдвига периодической
последовательности. Таким образом, круговой свертке дискретизированных и заданных на
одном временном промежутке сигналов соответствует перемножение их спектров.
Вычисление круговой свертки двух сигналов с помощью ДПФ осуществляется по
следующему алгоритму:
3

вычисление ДПФ исходных сигналов по формуле (11.5);

перемножение коэффициентов полученных ДПФ согласно (11.12);

вычисление сигнала y (n) с помощью обратного ДПФ полученной
последовательности s(k ) .
4. Равенство Парсеваля для дискретных сигналов.
Определим значение
N 1
 c ( n)
2
, используя формулу ДПФ:
n 0
N 1
1 N 1
 1 N 1

    x(k )eN (k , n)  x(m)eN (m, n)  
N m0
n 0
n 0  N k 0

N 1 N 1
N 1
N 1
1
1
 1
2
  x(k )x(m)   eN (k , n)eN (m, n)    x(k ) .
N k 0 m0
 N n 0
 N k 0
N 1
 c ( n)
2
(11.13)
При выводе формулы (11.13) использовано условие ортонормированности
дискретных экспоненциальных функций:
N 1
e
n 0
N
N , k  m
(k , n)eN (m, n)  
0, k  m
(11.14)
Таким образом, мощность сигнала x(k ) на N отсчетах равна сумме мощностей
его частотных компонентов.
5. Связь ДПФ и спектра дискретного сигнала.
Имея один и тот же набор значений дискретного сигнала x(k ) , можно рассчитать либо
спектральную функцию X ( j ) этого дискретного сигнала по формуле (8.12), либо его
ДПФ по формуле (11.5). Сравнение этих формул показывает, что ДПФ представляет
собой просто дискретные отсчеты спектральной функции дискретного сигнала,
соответствующие частотам n  nд N :
c ( n)  X (
2 n
n
)  X (д ) .
NT
N
(11.15)
Из соотношения (11.15) следует важный вывод: если добавить к конечному
набору отсчетов некоторое количество нулей, спектральная функция дискретного
сигнала, естественно, не изменится, но ДПФ даст большее число спектральных
отсчетов, соответствующих частотам, более тесно расположенным в интервале от нуля
до частоты дискретизации.
6. Связь ДПФ с Z-преобразованием.
Сравнивая формулу прямого ДПФ дискретной последовательности x(k ) с формулой
Z-преобразования, видим, что коэффициенты ДПФ с(n) равны значениям Zпреобразования этого сигнала в N точках, равномерно распределенных по единичной
4
окружности Z-плоскости. Эти коэффициенты однозначно представляют саму
последовательность, поскольку она может быть точно восстановлена с помощью
обратного ДПФ.
Получим Z-преобразование последовательности через коэффициенты ДПФ
этой последовательности:
2 nk
N 1
N 1 N 1
j


X ( z )   x ( n ) z  n     c ( k )e N  z  n 
n 0
n 0  k 0

n
 j 2N k 1  N 1
1 zN
  c ( k )  e
z    c (k )
2 k
j
k 0
n 0 
 k 0
1  e N z 1
N 1
N 1
.
(11.16)
Формула (11.16) показывает, что Z-преобразование конечной последовательности x(n) ,
n  0,1,..., N  1, непосредственно связано с коэффициентами c(k ) , k  0,1,..., N  1 , ее
ДПФ.
5