Топологические графы

№ 1 (17), 2011 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
УДК 621.317.7
И. Р. Добровинский, Е. А. Ломтев,
Ю. Т. Медведик, П. М. Стеблев, А. А. Трофимов
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРАФОВ
ДЛЯ РАСЧЕТА СХЕМ УЗЛОВ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
НА ОПЕРАЦИОННЫХ УСИЛИТЕЛЯХ И АНАЛИЗА
ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Аннотация. Предложен метод расчета операционных усилителей на основе
использования топологических графов, что позволяет резко сократить объем
вычислений за счет перехода от принципиальных электрических схем узлов
средств измерений непосредственно к графам и к функциям преобразования.
Ключевые слова: операционный усилитель, топологический граф, коэффициент усиления, исток, сток.
Abstract. The article introduces a method of calculating operational amplifiers based
on the use of topological graphs. Application of the method allows to drastically reduce the amount of computation due to transition from principal electrical circuit units
of measurement tools directly to graphs and functions of the transformation.
Key words: operational amplifier, topological graph, gain, source, drain.
Введение
Расчет узлов средств измерений на операционных усилителях (ОУ)
с реальными характеристиками связан с решением систем уравнений высокого порядка. Электрической схемой замещения ОУ является трехполюсник,
который описывается системой трех уравнений. Измерительный усилитель,
использующий три ОУ, описывается системой девяти уравнений, и ее решение представляет весьма сложную задачу. Использование топологических
графов позволяет во много раз упростить решение данных задач при переходе от принципиальной электрической схемы непосредственно к топологическому графу, на основании которого можно получить функцию передачи
усилителя, его входное и выходное сопротивления.
1. Применение формулы Мезона для определения
значения коэффициента передачи инвертирующего ОУ
На рис. 1,а представлена электрическая схема инвертирующего ОУ,
а на рис. 1,б – соответствующий топологический граф, который является графическим изображением системы линейных уравнений (1).
Топологический граф содержит исток – источник входного напряжения
Uвх, зависимые узлы 1 и 2, соответствующие напряжениям на инвертирующем e– и неинвертирующем e+ входах ОУ и сток – узел 3. Потенциалу стока
соответствует напряжение на выходе усилителя Uвых.
Работа инвертирующего усилителя описывается соотношениями:
e   e  gвх ( g 22 ) 1;

 
1

1
1
e  U вх g1 ( g11 )  e gвх ( g11 )  U вых g 2 ( g11 ) ;



U вых   ke  ke ,
(1)
139
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где g11 и g22 – собственные проводимости узлов 1 и 2, равные сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся соответственно в этих узлах:
g11 = g1 + g2 + gвх; g22 = g3 + gвх,
причем проводимость gi = (Ri)–1 при i = 1, 2, 3; k – коэффициент усиления ОУ.
R2
Uвх
R1
Uвх
1
3
rвх
g1/g11
g2/g11
1
-k
Uвых
gвх/g22
k
gвх/g11
Uвых
3
2
2
R3
а)
б)
Рис. 1. Схема и топологический граф операционного усилителя:
R1, R2, R3 – навесные резисторы; rвх – дифференциальное входное
сопротивление ОУ; k – реальное значение коэффициента усиления ОУ;
Uвх, Uвых – напряжения на входе и выходе ОУ соответственно
Первые два уравнения системы составлены по законам Кирхгофа в соответствии с методом узловых потенциалов. Третьему уравнению соответствуют односторонние передачи входных сигналов е+ и е– дифференциального усилителя на его выход.
Коэффициент передачи реального ОУ определим по топологическому
графу (рис. 1,б) с учетом реальных значений входного сопротивления ОУ –
rвх и коэффициента усиления дифференциального входного сигнала k:
Gиу 
U вых
P  P 
P11  P2  2
 1 1 2 2 
,
U вх

1  ( L1  L2  L3 )
(2)
где P1 и P2 – пути от истока Uвх к стоку Uвых; 1 и 2 – алгебраические дополнения соответствующих путей;  = 1 – (L1 + L2 + L3) – определитель данного
графа.
В топологическом графе коэффициенты передачи двухузловых контуров L1, L2 и трехузлового контура L3 равны произведениям коэффициентов
передач входящих в них ветвей:
L1 
2
 kg 2
g вх
kg g
; L2 
; L3  2 вх .
g11g 22
g11
g11 g 22
Коэффициенты передач путей Р1 и Р2 равны [1]
P1  U вх
g1
g
 k  ; P2  U вх 1
g 22
g11
gвх
k,
g 22
а алгебраические дополнения коэффициентов передач путей 1   2  1 , так
как в топологическом графе нет контуров, не касающихся путей Р1 и Р2.
140
№ 1 (17), 2011 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
Подставляя в (2) выражения для коэффициентов передачи путей и контуров, получим коэффициент передачи реального ОУ:
1 
1

1  gвх  g 22  

Gиу(реал) 
.
2
gвх
kg 2 
1 

1
1  gвх  g 22  

g11g 22 g11 
kg1  g 22 
(3)
Подставляя в (3) выражения для коэффициентов передачи g11 и g22, после преобразований получим значение коэффициента передачи реального ОУ:
Gиу(реал) 
kg1 g3
.
kg 2 g3  ( g1  g 2  g3 ) gвх  ( g1  g 2 ) g3
(4)
Для идеального инвертирующего ОУ с учетом того, что k  ,
gвх  0 , после упрощений получим
g
R
Gиy(ид)   1   2 .
(5)
g2
R1
2. Применение формулы Мезона для определения значения
коэффициента передачи неинвертирующего ОУ
На рис. 2,а представлен неинвертирующий операционный усилитель
ОУ, а на рис. 2,б – соответствующий ему топологический граф.
R2
g2/g11
1
-k
R1
R3
Uвх
gвх/g11
1
3
rвх
Uвых
Uвх
gвх/g22
k
g3 /g22
Uвых
3
2
2
а)
б)
Рис. 2. Схема и граф неинвертирующего операционного усилителя
Топологическому графу соответствует система линейных уравнений:
g2
 
 g вх
e  e g  U вых g ;
11
11

 
g
g
 вх
 U вх 3 ;
e  e
g
g 22
22




U вых  ke  ke .

(6)
Из топологического графа (рис. 2,б) определим коэффициент передачи
реального неинвертирующего ОУ:
141
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 g 
k  1  вх 
g11 
U
P  P 

,
Gну (реал)  вых  1 1 2 2 
2

U вх
kg 2 kg 2 gвх
gвх


1
g11 g11g 22 g11g 22
g3
g 22
(7)
здесь 1 = 2 = 1, а определитель данного графа  = 1 – (L1 + L2 + L3), где коэффициенты передач контуров равны:
L1 = 
2
kg 2
kg g
g вх
; L2 = 2 вх ; L3 =
.
g11
g11 g 22
g11 g 22
Для идеального неинвертирующего ОУ с учетом
k  , gвх  0 после ряда упрощений получим [2]
U
g
g  g2
g
R
Gну(ид)  вых  11  1
1 1 1 2 .
U вх
g2
g2
g2
R1
того,
что
(8)
при k 
gвх 0
При необходимости большого усиления инвертирующего и неинвертирующего усилителей в цепи обратной связи используются резисторы с высоким значением номиналов. Это приводит к увеличению влияния помех и
наводок. Данный недостаток можно исключить использованием инвертирующих или неинвертирующих ОУ с Т-образной обратной связью.
3. Применение формулы Мезона для определения значения
коэффициента передачи неинвертирующего
и инвертирующего ОУ с Т-образной обратной связью
На рис. 3 представлены неинвертирующий ОУ с Т-образной обратной
связью и его топологический граф соответственно.
R2
g2 /g33
R4
3
g2/g11 3
-k
1
R1
Uвх
R5
R3
1
4
rвх
gвх/g11
Uвых
Uвх
2
gвх/g22
k
g5 /g22
2
а)
g4/g33
Uвых
4
б)
Рис. 3. Неинвертирующий операционный усилитель с Т-образной
обратной связью и его граф: g11, g22, g33 – собственные проводимости
узлов 1, 2, 3, значения которых равны g11 = g1 + g2 + gвх;
g22 = g5 + gвх; g33 = g2 + g3 + g4, проводимость gi = (Ri)–1
Из рис. 3,б получим следующую формулу Мэзона [1] для топологического графа:
Gну(реал) 
142
P11  P2  2
.
1   L1  L2  L3  L4 
(9)
№ 1 (17), 2011 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
Здесь 1 = 1 – L4, 2 = 1. Определитель топологического графа будет
равен  = 1   L1  L2  L3  L4  , где коэффициенты передачи четырехузлового контура L2 = k
g 2 g 4 g вх
g g
, трехузлового контура L1 = k 2 4 , двухузлоg11 g33
g11 g33g 22
2
g вх
g 22
и L4 =
, а коэффициенты передачи путей
g11 g 22
g11 g33
g5
g g
, P2 = 5 вх ( k ). Подставляя выражения для коэффициентов
P1 = k
g 22 g11
g 22
передач путей, алгебраических дополнений и контуров в (9), получим выражение для коэффициента передачи реального неинвертирующего ОУ
с Т-образной обратной связью:
вых контуров L3 =
U
Gну(реал)  вых 
U вх
g5 
g 22  g5 gвх
k 1 

 k 
g 22  g11 g33  g 22 g11
g g 
1  k 2 4 1 
g11 g33 
gвх 
g 22
g2
 вх

g 22  g11g33 g11 g 22
.
(10)
Для идеального неинвертирующего усилителя, полагая, что k  ,
gвх  0 , после ряда упрощений получим [2]:
R  R4  R2 R4 ( R3 ) 1 R4
R
R
R
R R

. (11)
Gну(ид)  1  4  4  2  2 4  1  2
R3 R1 R1 R1R3
R1
R3
На рис. 4 представлены инвертирующий ОУ с Т-образной обратной
связью и его топологический граф соответственно.
R2
Uвх
R1
R4
3
g2 /g33
R3
1
Uвх
4
rвх
Uвых
g1/g11
1
gвх/g11
g4/g33
gвх/g22
k
2
R5
g2/g11 3
-k
Uвых
4
2
а)
б)
Рис. 4. Инвертирующий ОУ с Т-образной обратной связью и его граф
Определим реальный и идеальный коэффициенты передачи инвертирующего ОУ с Т-образной обратной связью (рис. 4). Исходя из топологического графа ОУ (рис. 4,б), получим реальный коэффициент передачи:
g
gg
k 1  k 1 вх
P  P 
g11
g11 g 22
Gин(реал)  1 1 2 2 
,

1   L1  L2  L3  L4 
(12)
143
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где P1, P2 – коэффициенты передачи путей, алгебраические дополнения которых 1, 2 и 1 = 2 = 1, так как отсутствуют контуры, не касающиеся данных
путей.
Для идеального инвертирующего усилителя, полагая, что k  ,
gвх  0 , получим
R R
R4  R2  2 4
 g1 g1 g1 g3 
g1 g33
R3
G иу(ид)  
.
 



g2 g4
R1
 g4 g2 g4 g2 
(13)
4. Анализ погрешностей коэффициента передачи ОУ
Важнейшим параметром средства измерения (СИ) является его передаточная функция. Она выражается через параметры основных узлов СИ как
отношение выходной величины к входной. Используя теорию сигнальных
графов, можно формализовать и упростить процедуру получения функции
преобразования и анализа погрешностей СИ [2]. Передаточная функция характеризуется как передача графа G = f (gi), где G – коэффициент передачи
графа; gi – коэффициент передачи i-й ветви графа (i = 1, 2, 3, ...), f – функция
преобразования [1].
Определим влияние нестабильности i-й ветви графа на нестабильность
коэффициента передачи графа:
Ggi 
G gi G gi gi

 S gi gi ,
gi G
gi G gi
(14)
где Sgi – весовой коэффициент i-й ветви, показывающий, с каким весом учитывается ее относительная погрешность в общей погрешности передачи графа G.
Так как относительная погрешность коэффициента передачи i-й ветви
графа gi , то весовой коэффициент погрешности передачи ветви равен
S gi 
G gi
.
gi G
(15)
Для блоков и узлов средств измерений уравнение связи параметров
имеет вид дробно-линейной функции
G = (agi + b) (cgi + d)–1.
(16)
Проделав необходимые преобразования над уравнением связи параметров в соответствии с выражением (14), получим выражения Sgi для дробнолинейной функции передачи графа:
Sgi = (ad – bc) gi [(agi + b) (cgi + d)]–1.
(17)
Из общего выражения для весового коэффициента погрешности передачи gi -ветви графа получим значения для часто встречающихся частных
случаев, получаемых при равенстве нулю одного из коэффициентов в передаче графа (17):
– если a = 0, то G = b(cgi + d)–1, а Sgi = –(1 + d/cgi)–1;
144
(18)
№ 1 (17), 2011 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
– если b = 0, то G = agi(cgi + d)–1, а Sgi = (1 + cgi/d)–1;
–1
(19)
–1
– если c = 0, то G = (agi + b)(d) , а Sgi = (1 + b/agi) ;
(20)
– если d = 0, то G = (agi + b)(cgi)–1 , а Sgi = –(1 + agi/b)–1;
(21)
– если b = 0 и d = 0, то Sgi = 1;
(22)
– если а = 0 и с = 0, то Sgi = –1.
(23)
Использование формулы Мэзона резко упрощает процедуру нахождения функции передачи графа. Данная методика универсальна в смысле применения системного подхода, т.е. последовательного ее применения к информационно-измерительным системам и комплексам, к структурам средств
измерений, к блокам и узлам этих структур и, наконец, к отдельным элементам блоков и узлов. Удобным в расчетах является использование расширенных графов. В них узлы, являющиеся независимыми источниками входного,
опорного, компенсирующего или пилообразного напряжений, напряжения
смещения представляются ветвями расширенного графа. Так как они входят
в коэффициент передачи графа, то их нестабильности влияют на его нестабильность. Данное обстоятельство позволяет выделить аддитивную погрешность как нестабильность независимых источников и мультипликативную
составляющую общей погрешности измерения как нестабильности коэффициентов передачи отдельных ветвей расширенного графа.
Для этого введем в расширенный граф единичный узел, потенциал или
ток которого равен единичному значению соответствующего параметра. Этот
узел будет общим узлом всех независимых источников, а значения выходных
параметров источников будут коэффициентами передач ветвей, исходящих из
единичного узла.
В качестве примера рассмотрим применение данной методики к анализу погрешностей блоков и узлов СИ на основе ОУ, например, для анализа погрешностей коэффициента передачи инвертирующего усилителя (рис. 2,а).
Реальный коэффициент передачи его в соответствии с выражением (4) имеет
следующий вид:
Gиу(реал) 
kg1 g3
.
kg 2 g3  ( g1  g 2  g3 ) gвх  ( g1  g 2 ) g3
(24)
Здесь знаменатель выражения (24) является определителем Δ графа, а
сам граф представляет собой частный случай дробно-линейной функции.
Так как все параметры входят в выражение (24) в первой степени, то
оно представляют собой дробно-линейную функцию. Весовые коэффициенты
погрешностей Sgi определяются частными случаями (18) и (19). Тогда выражения для весовых коэффициентов отдельных частных составляющих погрешности реального коэффициента передачи инвертирующего ОУ будут
иметь следующий вид:
Sg1 = –[1 + (g1gвх + g1g3)(kg2g3 + g2gвх + g3gвх + g2g3)–1]–1;
(25)
Sg2 = [1 + (kg2g3 + g2gвх + g2g3)(g1g3 + g1gвх + g3gвх)–1]–1;
(26)
Sgвх = –[1 + [(g1 + g2 + g3)gвх[kg2g3 + (g1 + g2)g3]–1]–1.;
(27)
–1 –1
Sgk = –[1 + kg2g3 [(g1 + g2 + g3)gвх + (g1 + g2)g3] ] ;
(28)
145
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Sg3 = [1 + (g1gвх + g1g3)(g2g3 + g2gвх + g3gвх)–1]–1.
(29)
Так как значения проводимостей ветвей графа gi меньше единицы, а
значение коэффициента передачи ОУ больше тысячи, то весовой коэффициент погрешности Sgi может иметь как очень малое значение, так и значение,
близкое к единице. Значение весового коэффициента погрешности Sgi определяется положением коэффициента передачи операционного усилителя k
(в числителе или знаменателе). Когда значение весового коэффициента погрешности Sgi близко к единице, требования к параметрам схем наиболее высокие.
Заключение
Использование топологических графов позволяет получить выражения
для коэффициентов передач ОУ без составления систем уравнений и их решения. Это приводит к резкому сокращению времени на проведение расчетов.
Использование топологических графов позволяет во много раз упростить решение данных задач за счет непосредственного перехода от принципиальной электрической схемы к топологическому графу, на основании которого можно получить функцию передачи усилителя и произвести анализ
погрешности измерений.
Список литературы
1. М э з о н , С . Электрические цепи, сигналы и системы / С. Мэзон, Г. Циммерман. –
М. : Изд-во иностранной литературы, 1963. – 619 с.
2. Д о б р о в и н с к и й , И . Р . ИИС для измерения параметров электрических цепей /
И. Р. Добровинский, Е. А. Ломтев. – М. : Энергоатомиздат, 1999. – 120 с.
3. Г у т н и к о в , В. С . Интегральная электроника в измерительных устройствах /
В. С. Гутников. – Л. : Энергоатомиздат, 1998. – 203 c.
Добровинский Игорь Рувимович
доктор технических наук, профессор,
кафедра информационно-измерительной
техники, Пензенский государственный
университет
Dobrovinskiy Igor Ruvimovich
Doctor of engineering sciences, professor,
sub-department of information-measuring
technology, Penza State University
E-mail: idobr@tl.ru
Ломтев Евгений Александрович
доктор технических наук, профессор,
кафедра информационно-измерительной
техники, Пензенский государственный
университет
Lomtev Evgeny Alexandrovich
Doctor of engineering sciences, professor,
sub-department of information-measuring
technology, Penza State University
E-mail: rectorat@pnzgu.ru
Медведик Юрий Тимофеевич
кандидат технических наук, ассистент,
кафедра электротехники и транспортного
электрооборудования, Пензенский
государственный университет
E-mail: yura.medvedik@mail.ru
146
Medvedik Yury Timofeevich
Candidate of engineering sciences, assistant,
sub-department of electrical engineering
and transport electrical equipment,
Penza State Univesity
№ 1 (17), 2011 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника
Стеблев Павел Михайлович
аспирант, Пензенский
государственный университет
Steblev Pavel Mikhaylovich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: rs-pilot@bk.ru
Трофимов Алексей Александрович
аспирант, Пензенский
государственный университет
Trofimov Aleksey Alexandrovich
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: trof.aa@mail.ru
УДК 621.317.7
Добровинский, И. Р.
Использование топологических графов для расчета схем узлов
средств измерений на операционных усилителях и анализа их погрешностей / И. Р. Добровинский, Е. А. Ломтев, Ю. Т. Медведик, П. М. Стеблев,
А. А. Трофимов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Технические науки. – 2011. – № 1 (17). – С. 139–147.
147