Дискретная математика

программирования Р. ХАГГАРТИ Дискретная математика для программистов Издание 2−е, исправленное Перевод с английского под редакцией С.А. Кулешова с дополнениями А.А. Ковалева, В.А. Головешкина, М.В. Ульянова Допущено УМО вузов РФ по образованию в области прикладной математики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки «Прикладная математика» ТЕХНОСФЕРА Москва 2012 УДК 519.854 ББК 22.176 Х13 Х13 Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов Издание 2-е, исправленное Москва: Техносфера, 2012. – 400 с., ISBN 978-5-94836-303-5 Основополагающее введение в дискретную математику, без знания которой невозможно успешно заниматься информатикой и программированием. Ни одно из многочисленных изданий по этой дисциплине, вышедших на русском языке, не читается с таким удовольствием и пользой. В доступной и весьма увлекательной форме автор рассказывает о фундаментальных понятиях дискретной математики – о логике, множествах, графах, отношениях и булевых функциях. Теория изложена кратко и иллюстрируется многочисленными простыми примерами, что делает ее доступной даже школьнику. После каждой главы (начиная со второй) рассматривается приложение описанных методов к информатике. Дополнения в издании на русском языке посвящены актуальным задачам теории графов, рекурсивным алгоритмам, общей проблеме перебора и задачам целочисленного программирования. Книга будет полезна студентам, изучающим курс дискретной математики, а также всем желающим проникнуть в технику написания и проверки корректности алгоритмов, включая программистов-практиков. УДК 519.854 ББК 22.176 © Pearson Education Limited 2002 This translation of DISCRETE MATHEMATICS FOR COMPUTING, First Edition is published by arrangement with Pearson Education Limited. © 2012, ЗАО «РИЦ «Техносфера», перевод на русский язык, дополнения, оригинал-макет, оформление ISBN 978-5-94836-303-5 ISBN 0-201-73047-2 (англ.) óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ õËÁÚÁÔÅÌØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ ................................................ ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ .................................................................. 6 9 çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ ........................................................................ 1.1. íÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ ............................................................ 1.2. ðÓÅ×ÄÏËÏÄ ................................................................... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. 11 11 14 19 21 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ............................................. 2.1. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ É ÌÏÇÉËÁ ................................................. 2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙ É Ë×ÁÎÔÏÒÙ ................................................. 2.3. íÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× .................................................. 2.4. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ............................................. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ................................ 23 23 27 30 32 35 38 39 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× .......................................................... 3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ .................................... 3.2. áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× ........................................................ 3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× ...................................... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 3 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ .................................... 44 44 51 53 58 61 63 çÌÁ×Á 4. .................................................................... 4.1. âÉÎÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ .................................................... 4.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ..................................................... 4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ .......... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ .................. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ........................................................................ 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ................ æÕÎË ÉÉ ..................................................................... ïÂÒÁÔÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ ...................... ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ......................................................... 68 68 73 77 82 85 86 91 91 96 102 105 4 îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5 ........................................................... 108 ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. 112 ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ñÚÙËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ....... 113 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ............................................................. 6.1. ðÒÁ×ÉÌÁ ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ...................................... 6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ .............................................. 6.3. âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ ........................................................... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. üÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×.............................. 117 117 120 128 131 135 136 çÌÁ×Á 7. ............................................................................ 7.1. çÒÁÆÙ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ .................................................. 7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ .................................................... 7.3. äÅÒÅ×ØÑ....................................................................... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË ......................................... çÒÁÆÙ 141 142 147 152 158 163 165 çÌÁ×Á 8. ............................................ 8.1. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ............................................... 8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ .......................................................... 8.3. ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ......................................................... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 8 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ .................................. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ 171 171 175 181 184 187 189 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ............................................................. 9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ............................................................. 9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ............................................................... 9.3. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÓÈÅÍÙ................................................. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 9 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ................ 194 194 200 205 208 211 212 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ................................................... 217 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ .................................. 275 ä.1. çÅÎÅÒÁÔÏÒ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× ......................................... 275 ä.1.1. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ........................................................... 277 5 ä.1.2. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ .................................................................. 278 ä.1.3. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ............................................. 279 ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ ................................................... 281 ä.2.1. áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÊ ÍÁÔÒÉ Õ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ282 ä.2.2. ÷ÙÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ............................. 286 ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù ÉËÌÙ........................................................ 288 ä.3.1. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ × ÇÒÁÆÅ .......... 289 ä.3.2. áÌÇÏÒÉÔÍ ÅÒÒÉ ................................................... 292 ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ........................................ 294 ä.4.1. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× .......................................... 300 ............................... ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ ......................................................... ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ............ ÷×ÅÄÅÎÉÅ.............................................................. ä.5.1. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ É Ï ÅÎËÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ....................... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.1 ..................................................... ä.5.2. üÌÅÍÅÎÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÒÅËÕÒÓÉÉ .................................... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.2 ..................................................... ä.5.3. ëÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ. òÁÚÎÏÓÔÎÙÊ É ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ................................................................ îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.3 ..................................................... ä.5.4. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÏÄÓÞÅÔÙ .. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.4 ..................................................... ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÏÞÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ........... ÷×ÅÄÅÎÉÅ.............................................................. ä.6.1. ðÏÎÑÔÉÅ m-ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ............................................................ ä.6.2. ïÂÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÔÉÉÚÁ ÉÑ É ÒÉÍÅÒÙ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ............................. ä.6.3. NP-ÏÌÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ É ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ ................... ä.6.4. ïÂÚÏÒ ÔÏÞÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ............................................ ä.6.5. ÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ .................... ä.6.6. íÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ É ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ........ îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.6 ........................................................ äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ 305 305 305 305 306 317 318 332 333 344 345 359 359 359 361 362 366 368 372 381 392 ................................................................... 395 ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ ................................................ 397 õËÁÚÁÔÅÌØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ := ÎÅ P P ÉQ P ÉÌÉ Q P ⇒Q ∀ ∃ n! {P } A {Q} a∈S a 6∈ S {x : P (x)} ∅ N Z Q R A⊂S A∪B A∩B A\B U A A△B |S | (a; b) A×B R2 An P (A) M (i; j ) xRy ÏÅÒÁÔÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P ËÏÎßÀÎË ÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ P É Q ÄÉÚßÀÎË ÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ P É Q P ×ÌÅÞÅÔ Q Ë×ÁÎÔÏÒ ×ÓÅÏÂÝÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ Ë×ÁÎÔÏÒ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n ÆÁËÔÏÒÉÁÌ ÒÅÄ- É ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ A a | ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S a ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ x, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ P (x) ÉÓÔÉÎÎÏ ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ A | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÒÁÚÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ A É B ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ÁÒÁ ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ A É B ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÌÏÓËÏÓÔØ ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ n ÜËÚÅÍÌÑÒÏ× A ÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÑÞÅÊËÁ ÍÁÔÒÉ Ù, ÓÔÏÑÝÁÑ × i-ÏÊ ÓÔÒÏËÅ É j -ÏÍ ÓÔÏÌÂ Å ÁÒÁ (x; y ) ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ R 15 24 25 25 27 28 28 37 39 45 45 45 46 46 46 46 46 46 47 47 48 48 48 49 54 55 55 56 57 61 71 72 7 õËÁÚÁÔÅÌØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ R∗ Ex x≺y ÒÏÅËÔ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÙÂÏÒ R −1 S◦R MN f (x) f : A −→ B f (A) f −1 :−→ A g◦f |x| ⌊x⌋ P (n; k ) C (n; k ) O (g (n)) Æ (v ) G = (V; E ) (G) Kn íïä P ðåò Mk M∗ d[v ℄ p p∨q p∧q îå{é ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x x | ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË y ÏÅÒÁ ÉÑ ÒÏÅËÔ ÏÅÒÁ ÉÑ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÅÒÁ ÉÑ ×ÙÂÏÒ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ R É S ÂÕÌÅ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ M É N ÏÂÒÁÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ÆÕÎË ÉÑ ÉÚ A × B ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ f É g ÍÏÄÕÌØ ÞÉÓÌÁ x ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØ ÞÉÓÌÁ x ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ËÌÁÓÓ ÆÕÎË ÉÊ, ÒÁÓÔÕÝÉÈ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ g (n) ÓÔÅÅÎØ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÂÅÒ E ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÌÎÙÊ ÇÒÁÆ Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÇÒÁÆ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×Á ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁÍÉ ÂÕÌÅ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ k ÜËÚÅÍÌÑÒÏ× ÍÁÔÒÉ Ù M ÍÁÔÒÉ Á ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ p ÄÉÚßÀÎË ÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p É q ËÏÎßÀÎË ÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p É q ÆÕÎË ÉÑ îå{é 75 78 80 87 88 89 91 92 94 97 97 97 102 104 110 110 121 123 137 143 143 146 148 154 160 171 176 176 182 195 195 195 200 8 õËÁÚÁÔÅÌØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ a a b ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ éìé 205 ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå 205 ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ é 205 ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå{é 205 ÆÕÎË ÉÑ îå{éìé 209 b a a a a b b îå{éìé ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÅÌØ ÜÔÏÊ ËÎÉÇÉ | ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ ÏÂ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÈÎÉËÅ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÊ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÍ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÕ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÚÄÅÓØ ÔÅÍÙ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙ É ÓÁÍÉ Ï ÓÅÂÅ, É × Ó×ÑÚÉ Ó ÉÈ ÛÉÒÏËÏÊ ÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔØÀ ËÁË ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÔÁË É × ÄÉÓ ÉÌÉÎÁÈ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÁÒÁÔ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ, ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÅ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ, ÏÉÒÁÀÔÓÑ ÎÁ ÔÁËÉÅ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ËÁË ÌÏÇÉËÁ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ÆÕÎË ÉÉ. ÅÏÒÉÑ ÉÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ÒÅÄÎÁÍÅÒÅÎÎÏ ËÒÁÔËÏ, Á ÏÂÓÕÖÄÁÅÍÙÅ ÚÄÅÓØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÉ ×ÏÌÎÅ ÄÏÓÔÕÎÙ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ ÓÏ ÓËÒÏÍÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÄÇÏÔÏ×ËÏÊ. ÷ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÒÉÍÅÒÁÈ ÏÂÏÂÝÁÀÔÓÑ É ÒÁÚ×É×ÁÀÔÓÑ ËÌÀÞÅ×ÙÅ ÉÄÅÉ ËÕÒÓÁ, Á ËÁÖÄÁÑ ÇÌÁ×Á, ÎÁÞÉÎÁÑ ÓÏ ×ÔÏÒÏÊ, ÓÎÁÂÖÅÎÁ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅÍ ÔÅÏÒÉÉ Ë ÒÁËÔÉËÅ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÇÌÑÄÎÏ ÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÀÔ, ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ × ËÎÉÇÅ, ÒÅÛÁÅÔ ÚÁÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ. ëÁÖÄÁÑ ÇÌÁ×Á ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒÏÍ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ, Á ÞÔÏÂÙ ÏÏÝÒÉÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÉÍÉ, ÏÌÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ËÏÎ Å ËÎÉÇÉ. ïÓÎÏ×ÎÏÊ ÍÁÔÅÒÉÁÌ ËÎÉÇÉ ÏÑ×ÉÌÓÑ ÒÉ ÏÄÇÏÔÏ×ËÅ Ë ÞÔÅÎÉÀ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ (ÇÏÄÏ×ÏÇÏ) ËÕÒÓÁ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ × ïËÓÆÏÒÄÅ. ïÎ ÒÁÓÓÞÉÔÁÎ ÎÁ 20 ÌÅË ÉÊ. úÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÇÌÁ× ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ Ó×ÏÂÏÄÁ ×ÙÂÏÒÁ ÏÞÅÒÅÄÎÏÓÔÉ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ. üÔÏ ×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØÀ ÏÕÓËÁÔØ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÉÌÉ ÚÁÍÅÎÑÔØ ÉÈ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÍÉ, ÄÅÌÁÅÔ ËÎÉÇÕ ÂÏÌÅÅ ÇÉÂËÏÊ É ÕÄÏÂÎÏÊ ÄÌÑ ÉÚÕÞÅÎÉÑ. çÌÁ×Á 7 - çÌÁ×Á 8 6 çÌÁ×Á 4 6 çÌÁ×Á 1 - çÌÁ×Á 2 - çÌÁ×Á 3 ? çÌÁ×Á 9 - çÌÁ×Á 5 pp ppp p ? - çÌÁ×Á 6 10 ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ åÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÄÏÓÔÕÎÙÈ ÔÅËÓÔÏ× Ï ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÉÈ ÓÈÏÖÉÊ ÍÁÔÅÒÉÁÌ. éÈ ÓÉÓÏË ÄÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÒÅÄÍÅÔÁ ÒÉ×ÅÄÅÎ × ËÏÎ Å ËÎÉÇÉ. âÏÌÅÅ ÒÏÄ×ÉÎÕÔÙÅ ÕÞÅÂÎÉËÉ Ï ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÔÒÅÂÕÀÔ ÂÏÌØÛÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÚÒÅÌÏÓÔÉ, É Ñ ÎÁÄÅÀÓØ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌÉ, ÕÓÅÛÎÏ Ï×ÌÁÄÅ×ÛÉÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅÍ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ËÎÉÇÉ, ÓÍÏÇÕÔ ÉÚÕÞÁÔØ ÉÈ ÂÏÌÅÅ ÌÅÇËÏ É Õ×ÅÒÅÎÎÏ. ñ ÈÏÔÅÌ ÂÙ ÏÂÌÁÇÏÄÁÒÉÔØ Ó×ÏÉÈ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ËÔÏ ×ÙÄÅÒÖÁÌ ×ÓÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ É ÞÅÊ ÒÏÓÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÅÊ ÏÏÝÒÑÌ ÍÅÎÑ ÉÓÁÔØ ËÎÉÇÕ. íÏÑ ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔØ ÁÄÒÅÓÏ×ÁÎÁ ÔÁËÖÅ ÒÅ ÅÎÚÅÎÔÁÍ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÁÒÉÁÎÔÁ, ÓÄÅÌÁ×ÛÉÍ ÍÎÏÇÏ ÏÌÅÚÎÙÈ ÚÁÍÅÞÁÎÉÊ, É ÓÏÔÒÕÄÎÉËÁÍ ÉÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Á Pearson Edu ation ÚÁ ÉÈ ÕÓÉÌÉÑ, ÒÅÄÒÉÎÑÔÙÅ ÒÉ ÏÆÏÒÍÌÅÎÉÉ ÔÅËÓÔÁ. é ÎÁËÏÎÅ , ÍÏÑ ÒÉÚÎÁÔÅÌØÎÏÓÔØ | ÓÕÒÕÇÅ, ÚÁ ÅÅ ÎÅÉÚÍÅÎÎÕÀ ÚÁÂÏÔÕ É ÏÄÄÅÒÖËÕ. òÏÄ èÁÇÇÁÒÔÉ ïËÓÆÏÒÄ íÁÒÔ 2001 çìá÷á 1 ÷÷åäåîéå äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ É ÌÏÇÉËÁ ÌÅÖÁÔ × ÏÓÎÏ×Å ÌÀÂÏÇÏ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÇÏ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ. óÌÏ×Ï ÄÉÓËÒÅÔÎÙÊ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ, Á ÄÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÉÍÅÅÔ ÄÅÌÏ Ó ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÑÍÉ ÏÂßÅËÔÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ, É ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÎÉÈ ÓÔÒÕËÔÕÒÁÍÉ. üÌÅÍÅÎÔÙ ÜÔÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÙ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÎÅ Ó×ÑÚÁÎÙ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÈ ÎÁÓ ÍÎÏÖÅÓÔ× ËÏÎÅÞÎÙ ÉÌÉ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÓÞÅÔÎÙ. üÔÁ ÏÂÌÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÒÉ×ÌÅËÁÅÔÓÑ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÁÁÒÁÔÎÙÈ ÓÒÅÄÓÔ× É ÒÏÇÒÁÍÍÎÏÇÏ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÒÉ×ÌÅÞÅÎÉÅÍ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÓÉÍ×ÏÌÏ× É ÍÁÎÉÕÌÑ ÉÉ ÄÁÎÎÙÍÉ. óÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÊ ÉÆÒÏ×ÏÊ ËÏÍØÀÔÅÒ | Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÄÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ. ðÏÎÉÍÁÎÉÑ ÔÏÇÏ, ËÁË ÔÁËÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ÒÁÂÏÔÁÅÔ, ÍÏÖÎÏ ÄÏÓÔÉÇÎÕÔØ, ÅÓÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÍÁÛÉÎÕ ËÁË ÄÉÓËÒÅÔÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁÛÁ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÅÌØ ÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ | ÒÉÏÂÒÅÓÔÉ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÙ É ÔÅÈÎÉËÕ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ ÏÎÉÍÁÎÉÑ É ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ. ëÏÇÄÁ É ËÁË ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÜÔÉ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÙ É ÔÅÈÎÉËÕ | ÏÓÎÏ×Á ÒÁÚÄÅÌÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÂÒÏÓÉÍ ×ÚÇÌÑÄ ÎÁ ÒÏ ÅÓÓ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÒÉÍÅÎÉÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ÙÂÒÁÎÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ×ÉÄ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ × ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ, ÎÏ É ÅÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÎÁÓÕÝÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. úÁÔÅÍ ÍÙ ÒÁÚÏ×ØÅÍ ÁÓËÁÌÅÏÄÏÂÎÙÊ1 ÓÅ×ÄÏËÏÄ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÒÅÄÓÔ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ××ÏÄÉÍÙÈ ÄÁÌÅÅ, ÄÌÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÊ ÔÒÁËÔÏ×ËÉ ÉÈ ËÏÍÁÎÄ. 1.1. íÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ ðÒÏ ÅÓÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 1.1. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÚÁÄÁÞÕ: òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ (× ÍÉÌÑÈ) ÍÅÖÄÕ ÛÅÓÔØÀ ÛÏÔÌÁÎÄÓËÉÍÉ ÇÏÒÏÄÁÍÉ: áÂÅÒÄÉÎ, üÄÉÎÂÕÒÇ, æÏÒÔ õÉÌØÑÍ, çÌÁÚÇÏ, éÎ×ÅÒÎÅÓÓ 1 Pas al | ÑÚÙË ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 12 çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ É ðÅÒÔ ÄÁÎÏ × ÔÁÂÌ. 1.1. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÄÏÒÏÖÎÕÀ ÓÅÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÕÀ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ÇÏÒÏÄÏ×. úÁÄÁÞÁ òÅÛÅÎÉÅ áÂÓÔÒÁËÔÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ òÉÓÕÎÏË 1.1. óÈÅÍÁ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ óÁÍÁ ÔÁÂÌÉ Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÊ ÍÏÄÅÌØÀ ÒÅÁÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ïÄÎÁËÏ ÄÌÑ ÎÁÛÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÙ ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÅÅ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÍÏÄÅÌØ. ÁÂÌÉ Á 1.1 áÂÅÒÄÉÎ üÄÉÎÂÕÒÇ æÏÒÔ õÉÌØÑÍ çÌÁÚÇÏ éÎ×ÅÒÎÅÓÓ ðÅÒÔ áÂÅÒÄÉÎ üÄÉÎÂÕÒÇ æÏÒÔ õÉÌØÑÍ çÌÁÚÇÏ éÎ×ÅÒÎÅÓÓ ðÅÒÔ | 120 147 142 107 81 120 | 132 42 157 45 147 132 | 108 66 105 142 42 108 | 168 61 107 157 66 168 | 112 81 45 105 61 112 | íÙ ÎÁÒÉÓÕÅÍ ÇÒÁÆ , ÞØÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÇÏÒÏÄÁ, Á ÒÅÂÒÁ | ÄÏÒÏÇÉ ÉÈ Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÅ. âÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ Ï ÇÒÁÆÁÈ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ × ÇÌÁ×Å 7. ëÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÎÁÛÅÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 1.2, ÓÎÁÂÖÅÎÏ ×ÅÓÏÍ , ËÏÔÏÒÙÊ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÁÂÌ. 1.1. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÉÎÓÔÒÕË ÉÊ, ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÌÅÞÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ×ÒÅÍÑ), ÍÙ ÏÓÔÒÏÉÍ ÎÏ×ÙÊ ÇÒÁÆ, ÉÍÅÀÝÉÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÏÂÝÉÊ ×ÅÓ, × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ÇÏÒÏÄÏ× ÂÕÄÕÔ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÄÏÒÏÇÁÍÉ. áÌÇÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ ûÁÇ 1 ÷ÙÂÅÒÉÔÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ É ÒÅÂÒÏ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÅ ÅÅ Ó ÂÌÉÖÁÊÛÉÍ (Ï ×ÅÓÕ) ÓÏÓÅÄÏÍ. 1.1. íÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ ûÁÇ 2 ûÁÇ 3 13 îÁÊÄÉÔÅ ÎÅ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÕÀ (ÅÝÅ) ×ÅÒÛÉÎÕ, ÂÌÉÖÅ ×ÓÅÇÏ ÌÅÖÁÝÕÀ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ, É ÓÏÅÄÉÎÉÔÅ Ó ÎÅÊ. ðÏ×ÔÏÒÑÊÔÅ ÛÁÇ 2 ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ ÏËÁ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÅ ÂÕÄÕÔ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÙ. áÂÅÒÄÉÎ • 81 120 107 147 ðÅÒÔ • 45 105 112 • üÄÉÎÂÕÒÇ 157 132 • 142 éÎ×ÅÒÎÅÓÓ • • æÏÒÔ õÉÌØÑÍ 66 61 168 42 • 108 çÌÁÚÇÏ òÉÓÕÎÏË 1.2. îÁ ÒÉÓÕÎËÁÈ 1.3, 1.4 É 1.5 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÇÒÁÆÏ×, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ðÒÉÍÁ, ÅÓÌÉ ÎÁÞÉÎÁÔØ Ó ×ÅÒÛÉÎÙ ðÅÒÔ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÇÒÁÆ (Ó ÏÂÝÉÍ ×ÅÓÏÍ 339) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ, ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÕÀ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ÇÏÒÏÄÏ×. áÂÅÒÄÉÎ áÂÅÒÄÉÎ • ðÅÒÔ • • 45 • üÄÉÎÂÕÒÇ ðÅÒÔ • • • üÄÉÎÂÕÒÇ • • æÏÒÔ éÎ×ÅÒÎÅÓÓ • 45 õÉÌØÑÍ éÎ×ÅÒÎÅÓÓ • • 42 • æÏÒÔ õÉÌØÑÍ • çÌÁÚÇÏ çÌÁÚÇÏ òÉÓÕÎÏË 1.3. áÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÒÉÍÅÎÑÌÉ, ÎÁÉÓÁÎ ÎÁ ÏÂÙÞÎÏÍ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ. òÁÚÇÏ×ÏÒÎÙÊ ÑÚÙË ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÓÌÉÛËÏÍ ÍÎÏÇÏÒÅÞÉ×ÙÍ, ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍ É, × ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÜÔÏÇÏ, ÎÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÚÁÕÔÁÎÎÏÊ ÒÏÂÌÅÍÅ. íÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÎÁÉÓÁÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÄÌÑ ËÏÍØÀÔÅÒÁ, 14 çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÕÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÎÏ ËÁËÏÊ ÑÚÙË ×ÙÂÒÁÔØ? ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÑÚÙË ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÓËÒÙ×ÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÙÊ ÓÍÙÓÌ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÔ ÎÅÏÙÔÎÏÇÏ ÞÉÔÁÔÅÌÑ! ðÏÄÈÏÄÑÝÉÊ ËÏÍÒÏÍÉÓÓ × ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÉÉ | ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÓÅ×ÄÏËÏÄ , ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÎÅÂÏÌØÛÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÓÔÒÕËÔÕÒÎÙÈ ÑÚÙËÏ×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÍÅÓÔÅ Ó ÒÕÓÓËÏÏÄÏÂÎÙÍ ÏÉÓÁÎÉÅÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. ï ÎÅÍ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ. áÂÅÒÄÉÎ áÂÅÒÄÉÎ • • 81 81 ðÅÒÔ • • üÄÉÎÂÕÒÇ 45 ðÅÒÔ • 45 • üÄÉÎÂÕÒÇ 105 • éÎ×ÅÒÎÅÓÓ • • • æÏÒÔ éÎ×ÅÒÎÅÓÓ • õÉÌØÑÍ 42 • 42 • æÏÒÔ õÉÌØÑÍ • çÌÁÚÇÏ çÌÁÚÇÏ òÉÓÕÎÏË 1.4. áÂÅÒÄÉÎ • 81 ðÅÒÔ • 45 • üÄÉÎÂÕÒÇ 105 • éÎ×ÅÒÎÅÓÓ • 66 42 • æÏÒÔ õÉÌØÑÍ • çÌÁÚÇÏ òÉÓÕÎÏË 1.5. 1.2. ðÓÅ×ÄÏËÏÄ íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÅ×ÄÏËÏÄ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁ ðÁÓËÁÌÅ. áÌÇÏÒÉÔÍ × ÎÅÍ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. begin ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÉÓÏÌÎÑÅÍÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒÙ, ÕÒÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÏÒÑÄËÏÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ end óÔÒÏÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÂÌÏËÁÍÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÅÒÁÔÏÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ Ä×Å ËÁÔÅÇÏÒÉÉ: ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ É ÕÒÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ. 1.2. ðÓÅ×ÄÏËÏÄ 15 ïÅÒÁÔÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ ÒÉÉÓÙ×ÁÅÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ É ÉÍÅÀÔ ÔÁËÕÀ ÏÂÝÕÀ ÆÏÒÍÕ: ÉÍÑ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ := ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ðÒÉÍÅÒ 1.2.1. (áÌÇÏÒÉÔÍ ÓÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÞÉÓÅÌ, First É Se ond , É ÒÉÓ×ÏÅÎÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ Sum .) begin First and Se ond ; := Sum First + Se ond ; Input end õÒÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÛÁÇÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. ïÅÒÁÔÏÒÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÙ×ÁÀÔ ÔÒÅÈ ÔÉÏ×: • ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ; • ÕÓÌÏ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ; • ÏÅÒÁÔÏÒ ÉËÌÁ. óÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÓÉÓÏË ÏÅÒÁÔÏÒÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ËÁË ÏÔÄÅÌØÎÁÑ ËÏÍÁÎÄÁ × ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÉ ÚÁÉÓÁÎÙ. óÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÉÍÅÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÉÄ: begin ÏÅÒÁÔÏÒ 1; ÏÅÒÁÔÏÒ 2; ......... ÏÅÒÁÔÏÒ n; end ðÒÉÍÅÒ 1.2.2. (áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÂÍÅÎÁ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ: One É Two .) begin One and Two ; Temp := One ; One := Two ; Two := Temp ; Input end þÔÏÂÙ ÒÏÓÌÅÄÉÔØ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ One É T wo ÒÁ×ÎÙ 5 É 7 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, É ÏÂÒÁÔÉÍÓÑ Ë ÔÁÂÌ. 1.2. 16 çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ ÁÂÌÉ Á 1.2 T emp One T wo óÔÒÏËÁ 1 | 5 7 óÔÒÏËÁ 2 óÔÒÏËÁ 3 óÔÒÏËÁ 4 5 5 5 5 7 7 7 7 5 õÓÌÏ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÄÅÌÁÔØ ×ÙÂÏÒ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÍÉ ÓÉÔÕÁ ÉÑÍÉ. ïÎÉ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ if-then ÉÌÉ if-then-else. îÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ ÕÓÌÏ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ÔÁË: begin if ÕÓÌÏ×ÉÅ then ÏÅÒÁÔÏÒ end ÉÌÉ ÔÁË: begin if ÕÓÌÏ×ÉÅ then ÏÅÒÁÔÏÒ 1 else ÏÅÒÁÔÏÒ 2 end ðÒÉÍÅÒ 1.2.3. (áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÄÕÌÑ ÞÉÓÌÁ n É ÒÉÓ×ÏÅÎÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ab .) begin Input n; if n < 0 then ab := −n else ab := n; Output ab ; end ÷ ÜÔÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÓÔÏÑÝÉÊ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÅ, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ n, Á × ÔÒÅÔØÅÊ | ÒÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ (É ÎÕÌÅ×ÏÍ). íÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ É ÄÒÕÇÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÅÛÁÀÝÉÊ ÔÕ ÖÅ ÚÁÄÁÞÕ, ÎÏ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÊ else: begin Input n; if n < 0 then n := −n; ab := n; Output ab ; end úÄÅÓØ ÏÅÒÁÔÏÒ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏÞËÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n É ÉÇÎÏÒÉÒÕÅÔÓÑ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÄÒÕÇÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ. 1.2. ðÓÅ×ÄÏËÏÄ 17 ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÚÁÉÓÁÎÎÙÊ × ÔÒÅÔØÅÊ ÓÔÒÏËÅ. ïÅÒÁÔÏÒ ÚÁÉÓÉ: ÉËÌÁ ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÉËÌ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÏÄÎÕ ÉÚ ÆÏÒÍ for X := A to Z do ÏÅÒÁÔÏÒ; while ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ do ÏÅÒÁÔÏÒ; repeat ÏÅÒÁÔÏÒ 1; ÏÅÒÁÔÏÒ 2; ............. ÏÅÒÁÔÏÒ n; until ÕÓÌÏ×ÉÅ. (1) (2) (3) úÄÅÓØ X | ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ, Á A É Z | ÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ É ËÏÎÅÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ (1) ÉËÌ Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ. åÇÏ ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: for ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á do ÏÅÒÁÔÏÒ ÷ ÓÌÕÞÁÅ (2) ÉËÌ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ, Á ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ × ÎÅÍ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ, ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÅÒÎÙÍ. ëÁË ÔÏÌØËÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÌÏÖÎÙÍ, ÉËÌ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ. é ÎÁËÏÎÅ , × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ (3) ÉËÌ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÌÏÖÎÙÍ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÉÞÉÅ ÍÅÖÄÕ (2) É (3) ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÉËÌ ×ÙÏÌÎÉÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÒÁÚ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÕÓÌÏ×ÉÑ × ÎÅÍ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ. ðÒÉÍÅÒ 1.2.4. (áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÅÒ×ÙÈ n ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.) begin sum := 0; for i := 1 to n do begin j := i ∗ i; sum := sum + j ; end Output sum; end ðÒÏÓÌÅÄÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ × ÓÌÕÞÁÅ n = 4, ÚÁÉÓÁ× ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ × ÔÁÂÌ. 1.3 18 çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ ÁÂÌÉ Á 1.3 ðÅÒÅÄ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅÍ ÉËÌÁ ðÅÒ×ÙÊ ÷ÔÏÒÏÊ ÒÅÔÉÊ þÅÔ×ÅÒÔÙÊ ÒÏÈÏÄ ÒÏÈÏÄ ÒÏÈÏÄ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ ÉËÌÁ ÉËÌÁ ÉËÌÁ i j Sum | | 0 1 2 3 4 1 4 9 16 1 5 14 30 ÷Ù×ÏÄÉÍÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ: sum = 30. ðÒÉÍÅÒ 1.2.5. (áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÇÒÁÆÁ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÏÂÝÉÍ ×ÅÓÏÍ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÇÏ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ × ÄÁÎÎÏÍ Ó×ÑÚÎÏÍ ×Ú×ÅÛÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ.) begin v := ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ; u := ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ ÓÏÓÅÄÎÑÑ ×ÅÒÛÉÎÁ; Ó×ÑÚÁÔØ v É u; while ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ do begin u := ÎÅÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ, ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ; ÓÏÅÄÉÎÉÔØ u Ó ÂÌÉÖÁÊÛÅÊ end ÉÚ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ; end üÔÏ | ÎÁÉÓÁÎÎÁÑ ÎÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ ×ÅÒÓÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ðÒÉÍÁ, Ó ËÏÔÏÒÙÍ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ ÒÁÎÅÅ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ó×ÑÚÎÙÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÇÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÔØ (Ï ÒÅÂÒÁÍ) ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ (ÏÄÒÏÂÎÅÅ ÏÂ ÜÔÏÍ ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 7, ÓÔÒ. 146). ðÒÅ×ÒÁÝÅÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÒÁÂÏÔÁÀÝÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ | ÄÅÌÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÌÉ ËÕÒÓÁ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÁÎÎÙÈ, ÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÏÂÓÕÖÄÁÔØ ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ × ÎÁÛÅÊ ËÎÉÇÅ. ïÄÎÁËÏ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ ÓÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ÆÏÒÍÅ ÓÅ×ÄÏËÏÄÁ, Á ÄÒÕÇÉÅ ÏÆÏÒÍÌÅÎÙ ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÔÅÏÒÅÍ | ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁÑ É ÄÁÌÅËÏ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÁ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏ×ÅÒÑÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÎÁÉÓÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÔËÕÄÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÎÁÔØ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 1.2.5 ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÅÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ? îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1 19 ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÅÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÒÅÛÁÀÝÉÈ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÚÁÄÁÞÕ, ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÒÏÓ: ËÁËÏÊ ÉÚ ÎÉÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ? ÷ ÕÒÁÖÎÅÎÉÉ 1.5 ÒÉ×ÅÄÅÎ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ Ë×ÁÄÒÁÔÙ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (ËÁË É × ÒÉÍÅÒÅ 1.2.4). ïÂÁ ÒÁÂÏÔÁÀÔ. îÏ ËÁËÏÊ ÜÔÏ ÄÅÌÁÅÔ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÅÎØÛÅ ÁÍÑÔÉ? ëÏÒÏÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ËÁËÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÌÕÞÛÉÍ? ïÂÅ ÜÔÉ ÒÏÂÌÅÍÙ: ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ É ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× | ÂÕÄÕÔ ÏÂÓÕÖÄÁÔØÓÑ × ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÇÌÁ×ÁÈ ÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ÍÙ ÏÓ×ÏÉÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÁÁÒÁÔ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1 1.1. çÒÁÆ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÒÉÓ. 1.6 ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÔ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀ- ÝÉÈ ÓÅÍØ ÄÅÒÅ×ÅÎØ. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÄÅÒÅ×ÎÑÍÉ ÚÁÄÁÎÏ × ÍÉÌÑÈ. éÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ, ÎÁÊÄÉÔÅ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÏÂÝÅÊ ÄÌÉÎÙ, ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÕÀ ×ÓÅ ÄÅÒÅ×ÎÉ. B Ñ 3 3 3 1 6 G D 2 A 3 3 5 2 F 4 E òÉÓÕÎÏË 1.6. 1.2. îÁÊÄÉÔÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÓÌÕÞÁÑÈ (Á) n = 3; (Â) n = 5. begin f := 1; Input n; for i := 1 to n do f := f ∗ i; Output f ; end 20 çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ þÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÞÉÓÌÅ n? 1.3. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ i É j × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÒÉ m = 3 É n = 4: begin Input m, n; i := 1; j := m; while i 6= n do begin i := i + 1; j := j ∗ m; end Output j ; end ïÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÅÌÙÈ m É n > 0. þÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÒÉ n = 0? 1.4. îÁÊÄÉÔÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ: begin f irst := 1; Output f irst; se ond := 1; Output se ond; next := f irst + se ond; while next < 100 do begin Output next; f irst := se ond; se ond := next; next := f irst + se ond; end end ïÉÛÉÔÅ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÅÅ ÞÌÅÎÏ×. 1.5. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ Ü×ÏÌÀ ÉÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ l, sum É k × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å ÒÉ n = 6. ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù 21 begin Input n; k := 1; l := 0; sum := 0; while k < 2n do begin l := l + k ; sum := sum + l; k := k + 2; end Output sum; end ïÉÛÉÔÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÉ ××ÏÄÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n. 1.6. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÒÁÂÏÔÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÓÅÔÉ ÄÏÒÏÇ, ÉÚ ÕÒ. 1.1. ëÁËÏÊ ÏÌÕÞÉÌÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ? begin õÏÒÑÄÏÞÉÔÅ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ Ï ÕÂÙ×ÁÎÉÀ ×ÅÓÁ É ÒÏÎÕÍÅÒÕÊÔÅ ÉÈ ÞÉÓÌÁÍÉ: 1, 2, 3, . . . É Ô. Ä.; m := ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ; ÏÓÔÁÔÏË := ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ; ÔÅËÕÝÅÅ := 1; while ÏÓÔÁÔÏË > m − 1 do begin if ÕÄÁÌÅÎÉÅ ÒÅÂÒÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ ÔÅËÕÝÅÅ ÎÅ ÎÁÒÕÛÁÅÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ then begin ÕÄÁÌÉÔØ ÒÅÂÒÏ ÔÅËÕÝÅÅ; ÏÓÔÁÔÏË := ÏÓÔÁÔÏË − 1; end; ÔÅËÕÝÅÅ := ÔÅËÕÝÅÅ + 1; end end ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ Á- ÁÒÁÔ É ÔÅÈÎÉËÕ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÕÀ ÄÌÑ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÏÎÉÍÁÎÉÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ. 22 çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ | ÜÔÏ ÒÏ ÅÓÓ, ÒÉ×ÌÅËÁÀÝÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅÁÌØÎÙÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ. çÒÁÆ (ÍÏÄÅÌØ) ÄÁÎÎÏÊ ÓÅÔÉ ÄÏÒÏÇ ÍÅÖÄÕ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅÒÛÉÎ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÉÈ ÇÏÒÏÄÁ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ (×Ú×ÅÛÅÎÎÙÍÉ) ÒÅÂÒÁÍÉ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÝÉÍÉ ÄÏÒÏÇÉ. áÌÇÏÒÉÔÍ | ÜÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ, ×ÙÏÌ- ÎÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÌÅÞÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÚÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. áÌÇÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ ÄÌÑ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅÔÉ ÒÅÂÅÒ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÁÎÎÏÇÏ ×Ú×ÅÛÅÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ. ðÓÅ×ÄÏËÏÄÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ÓÔÒÕËÔÕÒÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÑÚÙËÁ, ÏÄ- ÈÏÄÑÝÉÊ ÄÌÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ. ïÅÒÁÔÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. õÒÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÛÁÇÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. óÏÓÔÁ×ÎÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÉÓÏË ÉÎÓÔÒÕË ÉÊ (ÏÅ- ÒÁÔÏÒÏ×), ËÏÔÏÒÙÅ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ËÁË ÏÔÄÅÌØÎÁÑ ËÏÍÁÎÄÁ × ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÉ ÚÁÉÓÁÎÙ. õÓÌÏ×ÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÄÅÌÁÔØ ×ÙÂÏÒ ÍÅÖÄÕ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÍÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÑÍÉ. ÉËÌÁ ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÉËÌ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÏÌÎÉÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ËÏÍÁÎÄ ÏÄÈÏÄÑÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ. ïÅÒÁÔÏÒ çìá÷á 2 ìïçéëá é äïëáúáåìøó÷ï ìÏÇÉËÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ × ÌÀÂÏÊ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÄÉÓ ÉÌÉÎÅ É ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÒÁ×ÉÌ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×Ù×ÏÄÁ (ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ). ìÏÇÉËÕ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÉÚ ËÏÎÔÅËÓÔÁ ÔÅÈ ÄÉÓ ÉÌÉÎ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ, É ÉÚÕÞÁÔØ ËÁË ÏÔÄÅÌØÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÎÁÕËÉ. áË ÅÎÔ × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÂÕÄÅÔ ÓÄÅÌÁÎ ÉÍÅÎÎÏ ÎÁ ÌÏÇÉËÅ, ÌÅÖÁÝÅÊ × ÏÓÎÏ×Å ÎÅÏÓÏÒÉÍÙÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×. íÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÌÏÇÉËÏÊ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ, ÉÍÅÀÝÅÊ ÄÅÌÏ Ó ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØÀ (ÉÌÉ ÌÏÖÎÏÓÔØÀ) ÒÏÓÔÙÈ ÏÉÓÁÔÅÌØÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ËÏÒÏÔËÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ × ÌÏÇÉËÕ ÒÅÄÉËÁÔÏ×. óËÁÖÅÍ ÓÒÁÚÕ, ÞÔÏ ÒÅÄÉËÁÔÁÍÉ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ1 . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÏÉÓÁÎÙ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× (ÒÑÍÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÍÅÔÏÄ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ), ÓÎÁÂÖÅÎÎÙÅ ÒÏÓÔÙÍÉ ÒÉÍÅÒÁÍÉ ÒÏ×ÅÒËÉ ÆÁËÔÏ× Ï ÞÅÔÎÙÈ É ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÍÉ ÍÅÔÏÄÏÌÏÇÉÀ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ. îÁËÏÎÅ , ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÌØÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. ðÏÓÌÅ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ, ÒÁÚÍÅÝÅÎÎÙÈ × ËÏÎ Å ÇÌÁ×Ù, ÍÙ ×ÓÔÒÅÔÉÍÓÑ Ó ÅÒ×ÙÍÉ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÍÉ ÉÚÕÞÁÅÍÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× Ë ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ. ÷ ÎÉÈ ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ËÁË ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÒÉ ÒÏ×ÅÒËÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. 2.1. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ É ÌÏÇÉËÁ óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍÉ ÂÌÏËÁÍÉ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÌÏÇÉËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, Ô. Å. ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÔÉÎÎÙÍ (ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÂÕË×ÏÊ é) ÉÌÉ ÌÏÖÎÙÍ (ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ì). îÁÒÉÍÅÒ, • ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ; • óÁÒÁ | ÄÏËÔÏÒ; 1 • 29 | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ. úÄÅÓØ ÎÕÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÌÏÇÉËÁ ÒÅÄÉËÁÔÏ× ÏÂÏÂÝÁÅÔ ÌÏÇÉËÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ, É ÍÙ ÅÀ ÔÏÖÅ ÚÁÊÍÅÍÓÑ. 24 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ Ó×ÏÅÊ ÂÕË×ÏÊ. ðÕÓÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, P ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ, Q | óÁÒÁ | ÄÏËÔÏÒ É R | 29 | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ. éÓÏÌØÚÕÑ ÔÁËÉÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ, ËÁË ÎÅ, ÉÌÉ, É, ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÏ×ÙÅ, ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ , ËÏÍÁÎÕÑ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÅ. îÁÒÉÍÅÒ, • (ÎÅ P ) | ÜÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÚÅÍÌÑ ÎÅ ÌÏÓËÁÑ; • (P ÉÌÉ Q) | ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ ÉÌÉ óÁÒÁ | ÄÏËÔÏÒ; • (P É Q) | ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ É óÁÒÁ | ÄÏËÔÏÒ. ðÒÉÍÅÒ 2.1. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÌÏÇÉËÁ | ÚÁÂÁ×Á, Á ÞÅÒÅÚ Q | ÓÅÇÏÄÎÑ ÑÔÎÉ Á. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÒÁÚÉÔØ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ × ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ. (Á) ìÏÇÉËÁ | ÎÅ ÚÁÂÁ×Á, É ÓÅÇÏÄÎÑ ÑÔÎÉ Á. (Â) óÅÇÏÄÎÑ ÎÅ ÑÔÎÉ Á, ÄÁ É ÌÏÇÉËÁ | ÎÅ ÚÁÂÁ×Á. (×) ìÉÂÏ ÌÏÇÉËÁ | ÚÁÂÁ×Á, ÌÉÂÏ ÓÅÇÏÄÎÑ ÑÔÎÉ Á. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) (ÎÅ P ) É Q. (Â) (ÎÅ P ) É (ÎÅ Q). (×) P ÉÌÉ Q. þÔÏÂÙ ÕÍÅÔØ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ, ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ ÓÏ ÓÍÙÓÌÏÍ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, Ô. Å. ËÁËÏÊ ÜÆÆÅËÔ ÏÎÉ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÁ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÏÓÔÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÁËËÕÒÁÔÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÔÁÂÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ . ïÔÒÉ ÁÎÉÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ×ÉÄÁ (ÎÅ P ), ÞØÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÔÒÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÀ P . ïÒÅÄÅÌÑÀÝÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÏÔÒÉ ÁÎÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌ. 2.1. ÁÂÌÉ Á 2.1 P é ì (ÎÅ P ì é ) 2.1. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ É ÌÏÇÉËÁ 25 ëÏÎßÀÎË ÉÅÊ ÉÌÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ P É Q ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ×ÉÄÁ (P É Q). ïÎÏ ÒÉ- ÎÉÍÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÉÓÔÉÎÎÙ ÏÂÅ ÅÇÏ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÉ. ÁËÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÈÏÒÏÛÏ ÓÏÇÌÁÓÕÅÔÓÑ Ó ÏÂÙÞÎÙÍ ÏÎÉÍÁÎÉÅÍ ÓÏÀÚÁ É × ÒÁÚÇÏ×ÏÒÎÏÍ ÑÚÙËÅ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ | ÔÁÂÌ. 2.2. ÁÂÌÉ Á 2.2 P Q (P É é é ì ì é ì é ì é ì ì ì ) Q äÉÚßÀÎË ÉÅÊ ÉÌÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ P É Q ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (P ÉÌÉ Q). ïÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏ, ÅÓÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÉÚ ÅÅ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÞÔÏ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÔÁËÖÅ ÓÏÇÌÁÓÕÅÔÓÑ Ó ÏÂÙÄÅÎÎÙÍ ÏÎÉÍÁÎÉÅÍ ÓÏÀÚÁ ÉÌÉ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, (P ÉÌÉ Q) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÌÉ P , ÉÌÉ Q, ÉÌÉ É ÔÏ, É ÄÒÕÇÏÅ. ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÄÉÚßÀÎË ÉÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ËÁË ÔÁÂÌ. 2.3. ÁÂÌÉ Á 2.3 P Q é é ì ì é ì é ì (P ÉÌÉ ) Q é é é ì ðÒÉÍÅÒ 2.2. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ ÏÂ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ: ÌÉÂÏ ÌÕÎÁ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÉÚ ÚÅÌÅÎÏÇÏ ÓÙÒÁ É çÅÎÒÉÈ VIII ÉÍÅÌ ÛÅÓÔØ ÖÅÎ, ÉÌÉ ÎÅ ×ÅÒÎÏ, ÞÔÏ ÄÒÏÎÔ1 ×ÙÍÅÒ? òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÌÕÎÁ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÉÚ ÚÅÌÅÎÏÇÏ ÓÙÒÁ, ÞÅÒÅÚ Q | çÅÎÒÉÈ VIII ÉÍÅÌ ÛÅÓÔØ ÖÅÎ É ÞÅÒÅÚ R | ÄÒÏÎÔ ×ÙÍÅÒ. óÉÍ×ÏÌØÎÁÑ ÚÁÉÓØ ÄÁÎÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: (P É Q) ÉÌÉ (ÎÅ R). éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P ÌÏÖÎÏ, Á Q É R ÉÓÔÉÎÎÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (P É Q) ÉÌÉ (ÎÅ R) ÉÍÅÅÔ ÔÁËÏÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ: (ì É é) ÉÌÉ ì, ÞÔÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ì. 1 äÒÏÎÔ | ×ÙÍÅÒÛÁÑ ÔÉ Á ÏÔÒÑÄÁ ÇÏÌÕÂÅÏÂÒÁÚÎÙÈ, ÏÂÉÔÁ×ÛÁÑ ÎÁ ÏÓÔÒÏ×ÁÈ éÎÄÉÊÓËÏÇÏ ÏËÅÁÎÁ É ÉÓÔÒÅÂÌÅÎÎÁÑ × XVII{XVIII ×.×. ÚÁ×ÅÚÅÎÎÙÍÉ ÔÕÄÁ Ó×ÉÎØÑÍÉ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 26 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ä×Á ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÉÚ ÏÄÎÉÈ É ÔÅÈ ÖÅ ÒÏÓÔÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ, ÎÏ ÒÁÚÎÙÍÉ ÕÔÑÍÉ, ÍÏÇÕÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ Ó×ÏÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ. ÁËÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ . ðÒÉÍÅÒ 2.3. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (ÎÅ (P É (ÎÅ Q))) ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ ((ÎÅ P ) ÉÌÉ Q). òÅÛÅÎÉÅ. úÁÏÌÎÉÍ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ (ÔÁÂÌ. 2.4) ÄÌÑ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ: R = (ÎÅ (P É (ÎÅ Q))) É S = ((ÎÅ P ) ÉÌÉ Q): ÷ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÅ ËÏÌÏÎËÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÂÏÉÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ P É Q. ÁÂÌÉ Á 2.4 P Q é é ì ì é ì é ì ÎÅ P ì ì é é ÎÅ Q ì é ì é P É (ÎÅ ì é ì ì ) Q R S é ì é é é ì é é ä×Å ÏÓÌÅÄÎÉÅ ËÏÌÏÎËÉ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÄÅÎÔÉÞÎÙ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ R ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ S . ÷ÁÖÎÏ ÉÚÕÞÉÔØ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÔÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ, ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ . ðÒÉÍÅÒÏÍ ÔÁËÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ: ÅÓÌÉ ÚÁ×ÔÒÁ ÂÕÄÅÔ ÓÕÂÂÏÔÁ, ÔÏ ÓÅÇÏÄÎÑ | ÑÔÎÉ Á. ðÒÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÕÓÌÏ×ÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÁÚÌÉÞÁÔØ ÆÁËÔÉÞÅÓËÕÀ ÉÓÔÉÎÕ É ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q. ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÒÅÄÏÓÙÌËÁ P ÉÓÔÉÎÎÁ, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ ÌÉÇÉÞÅÓËÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÇÏ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ Q ÌÏÖÎÏ. ïÄÎÁËÏ ÅÓÌÉ ÏÓÙÌËÁ P ÌÏÖÎÁ, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ É ËÏÇÄÁ Q ÌÏÖÎÏ, É ËÏÇÄÁ ÏÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏ. ðÕÓÔØ P | (ÌÏÖÎÏÅ) ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 1 = 5, Q | (ÔÏÖÅ ÌÏÖÎÏÅ) ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 3 = 7 É R | (ÉÓÔÉÎÎÏÅ) ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 4 = 4. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ: ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q É ÅÓÌÉ P , ÔÏ R, | ÏÂÁ ÉÓÔÉÎÎÙ. ðÒÉÍÅÒ 2.4. òÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ 1 = 5, ÔÏ, ÒÉÂÁ×ÌÑÑ 2 Ë ÏÂÅÉÍ ÞÁÓÔÑÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ 3 = 7. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q 2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙ É Ë×ÁÎÔÏÒÙ 27 ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï. ÷ÙÞÔÅÍ ÔÅÅÒØ ÉÚ ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 1 = 5 ÞÉÓÌÏ 3 É ÒÉÄÅÍ Ë −2 = 2. ðÏÜÔÏÍÕ (−2)2 = 22 , Ô. Å. 4 = 4. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ P , ÔÏ R ÔÏÖÅ ×ÅÒÎÏ. ÷ ÌÏÇÉËÅ ÕÓÌÏ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q ÒÉÎÑÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÌÏÖÎÙÍ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÒÅÄÏÓÙÌËÁ P ÉÓÔÉÎÎÁ, Á ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ Q ÌÏÖÎÏ. ÷ ÌÀÂÏÍ ÄÒÕÇÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÏ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÉÓÔÉÎÎÙÍ. éÓÏÌØÚÕÑ ÓÉÍ×ÏÌ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ ⇒, ÍÙ ÉÛÅÍ P ⇒ Q ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÕÓÌÏ×ÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q. ÁËÁÑ ÚÁÉÓØ ÞÉÔÁÅÔÓÑ ËÁË ÉÚ P ÓÌÅÄÕÅÔ Q ÉÌÉ, P ×ÌÅÞÅÔ Q, ÉÌÉ P ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ Q, ÉÌÉ Q ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÄÌÑ P . ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌ. 2.5. ÁÂÌÉ Á 2.5 P Q (P ⇒ Q) é é ì ì é ì é ì é ì é é ðÒÉÍÅÒ 2.5. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ((ÎÅ Q) ⇒ (ÎÅ P )) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍ ÉÌÉ ËÏÎÔÒÁÏÚÉÔÉ×ÎÙÍ Ë ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ (P ⇒ Q). ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ((ÎÅ Q) ⇒ (ÎÅ P )) ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ (P ⇒ Q). òÅÛÅÎÉÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ (ÔÁÂÌ. 2.6). ÁÂÌÉ Á 2.6 ÎÅ P ÎÅ Q (P ⇒ Q) ((ÎÅ ) ⇒ (ÎÅ P Q é é é ì ì ì ì é é ì Q é ì ì ì é ì é é ì é é é é é P )) ðÏÓËÏÌØËÕ Ä×Á ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÓÔÏÌÂ Á ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Ù ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, ÔÏ É ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ, ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. 2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙ É Ë×ÁÎÔÏÒÙ ìÏÇÉËÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ë ÒÏÓÔÙÍ ÄÅËÌÁÒÁÔÉ×ÎÙÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑÍ, ÇÄÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ | ÌÉÂÏ ÉÓÔÉÎÎÙ, ÌÉÂÏ ÌÏÖÎÙ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÏÄÎÕ É ÂÏÌÅÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÍÏÇÕÔ 28 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÂÙÔØ ×ÅÒÎÙÍÉ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ÌÏÖÎÙÍÉ ÒÉ ÄÒÕÇÉÈ. ðÒÅÄÉËÁÔÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, ÒÉÎÉÍÁÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÙ ÉÌÉ ÌÖÉ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. îÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ x | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ x = x2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÉËÁÔÏÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ x = 0 ÉÌÉ x = 1 É ÌÏÖÎÏ × ÌÀÂÏÍ ÄÒÕÇÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ìÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÑÔØ É Ë ÒÅÄÉËÁÔÁÍ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÇÏ ÒÅÄÉËÁÔÁ × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÓÞÅÔÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÎÅÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ïÄÎÁËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ, ÅÝÅ ÎÅÚÎÁËÏÍÙÅ ÷ÁÍ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ Ë×ÁÎÔÏÒÁÍÉ ), ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ Ë ÒÅÄÉËÁÔÁÍ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔ ÏÓÌÅÄÎÉÅ × ÌÏÖÎÙÅ ÉÌÉ ÉÓÔÉÎÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ. ðÒÉÍÅÒ 2.6. ëÁËÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÉÓÔÉÎÎÙ, Á ËÁËÉÅ ÌÏÖÎÙ? (Á) óÕÍÍÁ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÕÇÌÏ× ÌÀÂÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÁ 180◦ . (Â) õ ×ÓÅÈ ËÏÛÅË ÅÓÔØ È×ÏÓÔ. (×) îÁÊÄÅÔÓÑ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ x2 = 2. (Ç) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏÓÔÏÅ ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) éÓÔÉÎÎÏ. (Â) ìÏÖÎÏ. õ ÂÅÓÈ×ÏÓÔÏÊ1 ËÏÛËÉ È×ÏÓÔÁ ÎÅÔ. (×) ìÏÖÎÏ. (Ç) éÓÔÉÎÎÏ. þÉÓÌÏ 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÒÏÓÔÙÍ, É ÞÅÔÎÙÍ. ÷ ÒÉÍÅÒÅ 2.6 ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÎÁÂÏÒÏÍ ÏÂßÅËÔÏ× É ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑÍÉ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÏÂßÅËÔÏ×, ÉÌÉ ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ (ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ) Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÏÂßÅËÔ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÊ ÄÁÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ×ÓÅÈ É ÎÁÊÄÅÔÓÑ (ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ Ë×ÁÎÔÏÒÁÍÉ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ∀ É ∃ . ÷ËÌÀÞÁÑ × ÒÅÄÉËÁÔ Ë×ÁÎÔÏÒÙ, ÍÙ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÍ ÅÇÏ × ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÅÄÉËÁÔ Ó Ë×ÁÎÔÏÒÁÍÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÔÉÎÎÙÍ ÉÌÉ ÌÏÖÎÙÍ. 1 âÅÓÈ×ÏÓÔÁÑ ËÏÛËÁ | ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØ ÄÏÍÁÛÎÅÊ ËÏÛËÉ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙ É Ë×ÁÎÔÏÒÙ 29 ðÒÉÍÅÒ 2.7. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P (x) ÒÅÄÉËÁÔ x | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ É x2 = 16. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÓÌÏ×ÁÍÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ: ∃ x : P (x) É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÅÇÏ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ∃ x : P (x) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ x2 = 16. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÉÓÔÉÎÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 = 16 ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ×ÅÒÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ÒÉ x = 4. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, x = −4 | ÔÁËÖÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ïÄÎÁËÏ ÎÁÍ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ Ï ÚÎÁËÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x, ÞÔÏÂÙ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ∃ x : P (x). ðÒÉÍÅÒ 2.8. ðÕÓÔØ P (x) | ÒÅÄÉËÁÔ: x | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ É x2 +1 = 0. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÓÌÏ×ÁÍÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ: ∃ x : P (x) É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÅÇÏ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÔÁË: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ x2 + 1 = 0. ðÏ- ÓËÏÌØËÕ Ë×ÁÄÒÁÔ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ, Ô. Å. x2 > 0, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ x2 + 1 > 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ∃ x : P (x) ÌÏÖÎÏ. ïÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 2.8 ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ: ÎÅ ∃ x : P (x). üÔÏ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÉÓÔÉÎÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ x2 + 1 = 0. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ËÁËÏ×Ï ÂÙ ÎÉ ÂÙÌÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ x, x2 + 1 6= 0. ÷ ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ËÁË ∀ x ÎÅ P (x). äÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÄÉËÁÔÁ P (x) ÅÓÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ2 : ÎÅ ∃ x : P (x) ⇔ ∀ x ÎÅ P (x); ÎÅ ∀ x P (x) ⇔ ∃ x : P (x). ëÁË ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ, ËÏÇÄÁ × ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÉ ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ Ë×ÁÎÔÏÒÁ. ðÒÉÍÅÒ 2.9. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x É y | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á P (x; y ) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÅÄÉËÁÔ x + y = 0. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÙÓËÁ- ÚÙ×ÁÎÉÊ ÓÌÏ×ÁÍÉ É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÉÈ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ. (Á) ∀ x ∃ y : P (x; y ); 2 (Â) ∃ y : ∀ x P (x; y ). ÷ ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ ÚÎÁÞËÏÍ ⇔ . | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 30 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï òÅÛÅÎÉÅ. (Á) ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ∀ x ∃ y : P (x; y ) ÇÏ×ÏÒÉÔ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ y , ÞÔÏ x+y = 0. ïÎÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÅÒÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ËÁËÏÅ ÂÙ ÞÉÓÌÏ x ÍÙ ÎÉ ×ÚÑÌÉ, ÞÉÓÌÏ y = −x ÏÂÒÁÝÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï x + y = 0 × ×ÅÒÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï. (Â) ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ∃ y : ∀ x P (x; y ) ÞÉÔÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ y , ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï x + y = 0. üÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÔÁË: ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ y , ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÇÏ ÕËÁÚÁÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÌÏÖÎÏ. 2.3. íÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ðÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÉÑ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ | ÎÅÏÔßÅÍÌÅÍÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÏ×ÅÒËÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÏÚÎÉËÁÅÔ, ËÏÇÄÁ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ×ÉÄÁ (P ⇒ Q). óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÔÉÏ× ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ: ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P ÉÓÔÉÎÎÏ É ÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ Q. ÁËÏÊ ÓÏÓÏÂ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÉÓËÌÀÞÁÅÔ ÓÉÔÕÁ ÉÀ, ËÏÇÄÁ P ÉÓÔÉÎÎÏ, Á Q | ÌÏÖÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÍÅÎÎÏ × ÜÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P ⇒ Q) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÌÏÖÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ (ÓÍ. ÔÁÂÌ. 2.5 ÎÁ ÓÔÒ. 27). 1. ðÒÑÍÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ. 2. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ Q ÌÏÖÎÏ É ÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÏÛÉÂÏÞÎÏÓÔØ P . Ï ÅÓÔØ, ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ, ÒÑÍÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÏ×ÅÒÑÅÍ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ ((ÎÅ Q) ⇒ (ÎÅ P )), ÞÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÍÅÒÕ 2.5, ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ (P ⇒ Q). ðÒÅÄÏÌÏÖÉ×, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P ÉÓÔÉÎÎÏ, Á Q ÌÏÖÎÏ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. üÔÏÔ ÓÏÓÏÂ ÏÑÔØ-ÔÁËÉ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P ⇒ Q) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÌÏÖÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ P ÉÓÔÉÎÎÏ, Á Q ÌÏÖÎÏ. 3. íÅÔÏÄ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ. ðÒÉÍÅÒ 2.10. ðÏËÁÖÉÔÅ ÒÑÍÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ xy Ä×ÕÈ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ x É y ×ÓÅÇÄÁ ÎÅÞÅÔÎÏ. 2.3. íÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× 31 òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, É × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ x, ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ x = 2m + 1, ÇÄÅ m | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, y = 2n + 1 Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÅÌÙÍ n. úÎÁÞÉÔ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ xy = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1 ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. ðÒÉÍÅÒ 2.11. ðÕÓÔØ n | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÓÏÓÏÂ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÞÔÏ ÅÓÌÉ n2 ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ É n ÎÅÞÅÔÎÏ. òÅÛÅÎÉÅ. ïÔÒÉ ÁÎÉÅÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ Ï ÎÅÞÅÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ n2 ÓÌÕÖÉÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ n2 ÞÅÔÎÏ, Á ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ Ï ÞÅÔÎÏÓÔÉ n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÞÉÓÌÏ n ÎÅÞÅÔÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ ÒÑÍÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÞÔÏ ÞÅÔÎÏÓÔØ ÞÉÓÌÁ n ×ÌÅÞÅÔ ÞÅÔÎÏÓÔØ ÅÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ n2 . ÁË ËÁË n ÞÅÔÎÏ, ÔÏ n = 2m ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ m. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n2 = 4m2 = 2(2m2 ) | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ðÒÉÍÅÒ 2.12. íÅÔÏÄÏÍ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 = 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, Ô. Å. ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ ÄÒÏÂÉ Ó ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÉÔÅÌÅÍ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ. òÅÛÅÎÉÅ. úÄÅÓØ ÎÁÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÏÕÓÔÉÔØ, ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ x ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 = 2 ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ, Ô. Å. ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÄÒÏÂÉ x = m n Ó ÅÌÙÍÉ m É n, ÒÉÞÅÍ n 6= 0. ðÒÅÄÏÌÏÖÉ× ÜÔÏ, ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÌÉÂÏ Ó ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅÍ, ÌÉÂÏ Ó ËÁËÉÍ-ÔÏ ÒÁÎÅÅ ÄÏËÁÚÁÎÎÙÍ ÆÁËÔÏÍ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ 2m 3m × ×ÉÄÅ ÄÒÏÂÉ. îÁÒÉÍÅÒ, x = m n = 2n = 3n É Ô. Ä. ïÄÎÁËÏ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ m É n ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔØ ÚÁÉÓÉ ÒÏÁÄÁÅÔ. éÔÁË, ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ ÄÒÏÂØ x = m n ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÁ (m É n ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ). ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÞÉÓÌÏ x ÕÄÏ2 ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ x2 = 2. úÎÁÞÉÔ, m m2 = 2n2 . n = 2, ÏÔËÕÄÁ 2 éÚ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ m ÞÅÔÎÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, m ÔÏÖÅ ÞÅÔÎÏ (ÓÍ. ÕÒ. Á(Â)) É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ×ÉÄÅ m = 2p ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ p. ðÏÄÓÔÁ×É× ÜÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁÉÀ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï m2 = 2n2 , ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ 4p2 = 2n2 , Ô. Å. n2 = 2p2 . îÏ ÔÏÇÄÁ n ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ËÁË m, ÔÁË É n | ÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÎÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ 32 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÂÝÉÍ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ 2. åÓÌÉ ÖÅ ÔÅÅÒØ ×ÓÏÍÎÉÔØ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÏÂÝÅÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ Õ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ ÄÒÏÂÉ m n, ÔÏ Õ×ÉÄÉÍ Ñ×ÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. îÁÊÄÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÍÕ ×Ù×ÏÄÕ: ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 = 2 ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, Ô. Å. ÏÎÏ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ. 2.4. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ ëÏÍØÀÔÅÒÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÉÌÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÊ , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÄÅÌÁÅÔ ÔÏ, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÏ × ÅÅ ÓÅ ÉÆÉËÁÉÉ. îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÍÏÖÅÔ ÄÁ×ÁÔØ ÏÖÉÄÁÅÍÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÓÌÕÞÁÅ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÉÅÍÁÍÉ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÌÏÇÉËÉ, ÞÔÏ ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÂÕÄÕÔ ÏÌÕÞÁÔØÓÑ ÒÉ ÌÀÂÙÈ ××ÏÄÉÍÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ. ï ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ, ÒÁÚÍÅÝÅÎÎÏÍ × ËÏÎ Å ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Ù. ðÒÏ×ÅÒËÁ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÉËÌÙ, ÎÕÖÄÁÅÔÓÑ × ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÍÏÝÎÏÍ ÍÅÔÏÄÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ . ðÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÍ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Á ÜÔÏÇÏ ×ÁÖÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ, ÄÏËÁÚÁ× ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÅÇÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ÎÁÂÏÒÁ a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. begin i := 0; M := 0; while i < n do begin j := j + 1; M := max(M; a); end end äÅÊÓÔ×ÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁ ÎÁÂÏÒÅ ÄÁÎÎÙÈ: a1 = 4, a2 = 7, a3 = 3 É a4 = 8 ÒÏÓÌÅÖÅÎÏ × ÔÁÂÌ. 2.7. ÁÂÌÉ Á 2.7 j < 4? j M 0 1 0 4 äÁ äÁ 2 3 4 7 7 8 äÁ äÁ îÅÔ 2.4. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ 33 ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÙÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ M = 8, ÞÔÏ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ M ÒÁ×ÎÁ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÍÕ ÉÚ ÞÉÓÅÌ ÎÁÂÏÒÁ, ÒÏÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ Ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ. îÏ ÂÕÄÅÔ ÌÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ××ÏÄÉÍÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÞÉÓÅÌ ÄÌÉÎÙ n? òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ××ÏÄÉÍÙÊ ÎÁÂÏÒ a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an ÄÌÉÎÙ n É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Mk ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ M ÏÓÌÅ k -ÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ. 1. åÓÌÉ ÍÙ ××ÏÄÉÍ ÎÁÂÏÒ a1 ÄÌÉÎÙ 1, ÔÏ ÉËÌ ÓÄÅÌÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÏÈÏÄ É M ÒÉÓ×ÏÉÔÓÑ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÚ 0 É a1 , ËÏÔÏÒÙÍ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÂÕÄÅÔ a1 (ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÂÏÌØÛÅ 0). ÷ ÜÔÏÍ ÒÏÓÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×Ù×ÏÄ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ. 2. åÓÌÉ ÏÓÌÅ k -ÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ Mk | ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ÎÁÂÏÒÁ a1 ; a2 ; : : : ; ak , ÔÏ ÏÓÌÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÏÈÏÄÁ Mk+1 ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏ max(Mk ; ak+1 ), Ô. Å. ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÎÁÂÏÒÁ a1 ; a2 ; : : : ; ak ; ak+1 . ÷ . 1 ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ××ÏÄÉÍÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÄÌÉÎÙ 1. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÏÇÌÁÓÎÏ . 2, ÏÎ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÁÂÏÔÁÔØ É ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÄÌÉÎÙ 2. ÷ÎÏ×Ø ÒÉÍÅÎÑÑ . 2 ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÍÙ ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏ É ÎÁ ÌÀÂÙÈ ÎÁÂÏÒÁÈ ÄÌÉÎÙ 3, É Ô. Ä. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÎÁ ÌÀÂÙÈ ÎÁÂÏÒÁÈ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ n, Ô. Å. ÏÎ ËÏÒÒÅËÔÅÎ. îÁ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÑÚÙËÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÒÉÎ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ ðÕÓÔØ P (n) | ÒÅÄÉËÁÔ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ 1. P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ É 2. ∀ k > 1 ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P (k ) ⇒ P (k + 1)) ×ÅÒÎÁ. ÏÇÄÁ P (n) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ n. ðÒÉÍÅÒ 2.13. äÏËÁÖÉÔÅ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 1 + 2 + ··· +n = ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÉ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n. n(n + 1) 2 34 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï nn òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ P (n) | ÒÅÄÉËÁÔ 1 + 2 + · · · + n = . 2 ÷ ÓÌÕÞÁÅ n = 1 ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á | ÒÏÓÔÏ 1, Á ×ÙÞÉÓÌÑÑ ( +1) ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ, ÏÌÕÞÁÅÍ 1(1 + 1) = 1: 2 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 1 + 2 + · · · + k = ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ k . ÏÇÄÁ kk ( +1) 2 ÉÍÅÅÔ 1 + 2 + · · · + k + (k + 1) = (1 + 2 + · · · + k ) + (k + 1) = k (k + 1) = + (k + 1) = 2 1 = k (k + 1) + 2(k + 1) = 2 1 = (k + 2)(k + 1) = 2 (k + 1)(k + 2) = : 2 ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ k ÉÍÌÉËÁ ÉÑ P (k ) ⇒ P (k + 1) ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á. úÎÁÞÉÔ, Ï ÒÉÎ ÉÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÒÅÄÉËÁÔ P (n) ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÉ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n. ðÒÉÍÅÒ 2.14. íÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ 7n − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6 ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÏËÁÚÁÔÅÌÅ n. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ a ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ b ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a = mb ÒÉ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÅÌÏÍ ÞÉÓÌÅ m. îÁÒÉÍÅÒ, 51 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 17, ÏÓËÏÌØËÕ 51 = 3 · 17. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ ÎÁÛÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÄÅÌÉÍÏÓÔÉ ÞÉÓÅÌ, ËÏÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÎÁ b ÞÉÓÅÌ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ b. ðÕÓÔØ P (n) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÅÄÉËÁÔ 7n − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6. ðÒÉ n = 1 ÉÍÅÅÍ 7n − 1 = 7 − 1 = 6; Ô. Å. ÒÅÄÉËÁÔ P (1) ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ 7k − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6 ÒÉ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ k . ÏÇÄÁ îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2 35 7k+1 − 1 = 7(7k ) − 1 = = 7(7k − 1) + 7 − 1 = = 7(7k − 1) + 6: ÁË ËÁË 7k − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6, ÔÏ Ï ÕÏÍÑÎÕÔÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÄÅÌÉÍÏÓÔÉ ÓÕÍÍÁ 7(7k − 1) + 6 ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6. éÔÁË, 7k+1 − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6, ÔÁË ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ k ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P (k ) ⇒ P (k + 1)) ÉÓÔÉÎÎÁ. éÎÄÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÒÅÄÉËÁÔÁ P (n) ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n. ðÒÉÍÅÒ 2.15. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ x1 ; x2 ; : : : ; xn ÏÒÅ- ÄÅÌÅÎÁ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: x1 = 1 É xk+1 = xk + 8k ÒÉ k > 1: äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ: xn = (2n − 1)2 ÄÌÑ ×ÓÅÈ n > 1. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÉËÁÔ xn = (2n − 1)2 ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P (n). åÓÌÉ n = 1, ÔÏ (2n − 1)2 = (2 − 1)2 = 1, ÞÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P (1). äÏÕÓÔÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ xk = (2k − 1)2 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ k > 1. ÏÇÄÁ xk+1 = xk + 8k = = (2k − 1)2 + 8k = = 4k 2 + 4k + 1 = = (2k + 1)2 : 2 íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ xk+1 = 2(k + 1) − 1 É ÏÜÔÏÍÕ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ (P (k ) ⇒ P (k + 1)) ÄÏËÁÚÁÎÁ ÒÉ ×ÓÅÈ k > 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏÍÕ ÒÉÎ ÉÕ, ÒÅÄÉËÁÔ P (n) ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÉÓÔÉÎÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ n. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2 2.1. ðÕÓÔØ P , Q É R | ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÓËÁ- ÚÙ×ÁÎÉÑ: P: ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ. 36 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï Q: R: íÏÊ ÓÔÁËÁÎ ÕÓÔ. óÅÊÞÁÓ ÔÒÉ ÞÁÓÁ. úÁÉÛÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ËÁË ÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ×ËÌÀÞÁÀÝÅÅ P , Q É R. (Á) ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ É ÍÏÊ ÓÔÁËÁÎ ÎÅ ÕÓÔ. (Â) óÅÊÞÁÓ ÔÒÉ ÞÁÓÁ, Á Ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ. (×) åÓÌÉ ÓÅÊÞÁÓ ÔÒÉ ÞÁÓÁ, ÔÏ Ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ. (Ç) åÓÌÉ Ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ, ÔÏ ÍÏÊ ÓÔÁËÁÎ ÕÓÔ. (Ä) åÓÌÉ Ñ ÎÅ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ, ÔÏ ÍÏÊ ÓÔÁËÁÎ ÎÅ ÕÓÔ. 2.2. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ: ÒÏÚÙ ËÒÁÓÎÙÅ, Á ÞÅÒÅÚ Q | ÆÉÁÌËÉ ÓÉÎÉÅ. úÁÉÛÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ: (Á) ÅÓÌÉ ÒÏÚÙ ÎÅ ËÒÁÓÎÙÅ, ÔÏ ÆÉÁÌËÉ ÎÅ ÓÉÎÉÅ; (Â) ÒÏÚÙ ËÒÁÓÎÙÅ ÉÌÉ ÆÉÁÌËÉ ÎÅ ÓÉÎÉÅ; (×) ÌÉÂÏ ÒÏÚÙ ËÒÁÓÎÙÅ, ÌÉÂÏ ÆÉÁÌËÉ ÓÉÎÉÅ (ÎÏ ÎÅ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ) ËÁË ÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ. éÓÏÌØÚÕÑ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÄÏËÁÖÉÔÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ (Á) É (Â). 2.3. óÏÓÔÁ×ÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÅ ÉÓÔÉÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÉ ÌÀÂÙÈ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ Ó×ÏÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÑÍÉ . ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁÂÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÎÁÊÄÉÔÅ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÉ ÓÒÅÄÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ: (Á) ÎÅ (P É (ÎÅ P )); (Â) P ⇒ (ÎÅ P ); (×) (P É (P ⇒ Q)) ⇒ Q. 2.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (P ⇒ Q) ⇒ R ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ ((ÎÅ P ) ⇒ R) É (Q ⇒ R). 2.5. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ x ÓÌÏ×Ï ËÏÛËÁ, Á ÞÅÒÅÚ P (x) ÒÅÄÉËÁÔ Õ x ÅÓÔØ ÕÓÙ. úÁÉÛÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ × ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ: (Á) ÕÓÙ ÅÓÔØ Õ ×ÓÅÈ ËÏÛÅË; (Â) ÎÁÊÄÅÔÓÑ ËÏÛËÁ ÂÅÚ ÕÓÏ×; (×) ÎÅ ÂÙ×ÁÅÔ ËÏÛÅË Ó ÕÓÁÍÉ. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2 37 úÁÉÛÉÔÅ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Â) × ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ, Á ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (×) ÚÁÉÛÉÔÅ ËÁË ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ, ÔÁË É ÓÌÏ×ÁÍÉ. 2.6. ðÕÓÔØ P (x) ÏÚÎÁÞÁÅÔ x ×ÙÓÏËÉÊ, Á Q(x) | x ÔÏÌÓÔÙÊ, ÇÄÅ x | ËÁËÏÊ-ÔÏ ÞÅÌÏ×ÅË. ðÒÏÞÉÔÁÊÔÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ: ∀ x (P (x) É Q(x)): îÁÊÄÉÔÅ ÅÇÏ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ÓÒÅÄÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ: (Á) ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÅËÔÏ ËÏÒÏÔËÉÊ É ÔÏÌÓÔÙÊ; (Â) ÎÅÔ ÎÉËÏÇÏ ×ÙÓÏËÏÇÏ É ÈÕÄÏÇÏ; (×) ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÅËÔÏ ËÏÒÏÔËÉÊ ÉÌÉ ÈÕÄÏÊ. 2.7. (Á) ðÒÑÍÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÄÏËÁÖÉÔÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ- ×ÁÎÉÑ: n É m | ÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ⇒ n + m | ÞÉÓÌÏ ÞÅÔÎÏÅ. (Â) äÁÊÔÅ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ: n2 | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ⇒ n | ÞÅÔÎÏÅ. (×) íÅÔÏÄÏÍ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ n + m | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ⇒ ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ, Á ÄÒÕÇÏÅ | ÎÅÞÅÔÎÙÍ. 2.8. äÏËÁÖÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. (Á) 1 + 5 + 9 + · · · + (4n − 3) = n(2n − 1) ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n. (Â) 12 +22 + · · · + n2 = 16 n(n +1)(2n +1) ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n. (×) + 31·5 + · · · + (2n−1)1·(2n+1) = ÞÉÓÅÌ n. n n ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ 1 · 1 3 2 +1 (Ç) þÉÓÌÏ n3 − n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3 ÒÉ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÞÉÓÌÁ n. (Ä) 1 · 1! + 2 · 2!+ · · · + n · n! = (n + 1)! − 1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n. (óÉÍ×ÏÌ n! ÞÉÔÁÅÔÓÑ ËÁË n ÆÁËÔÏÒÉÁÌ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÔ 1 ÄÏ n ×ËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ: n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n.) 38 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï 2.9. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ x1 ; x2 ; : : : ; xn ÏÒÅ- ÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ x1 = 1 xk+1 = É xk ÒÉ k > 1: xk + 2 ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ x2 , x3 É x4 . äÏËÁÖÉÔÅ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ, ÞÔÏ xn = ÄÌÑ ×ÓÅÈ n > 1. 1 2n − 1 2.10. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ x1 ; x2 ; : : : ; xn ÏÒÅ- ÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ x1 = 1; x2 = 2 É xk+1 = 2xk − xk−1 ÒÉ k > 1: ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ x3 , x4 É x5 . îÁÊÄÉÔÅ ÏÂÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ xn É ÄÏËÁÖÉÔÅ ÅÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ. ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù ìÏÇÉËÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÎÁÂÏÒ ÒÁ×ÉÌ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÂÏÓÎÏ- ×ÁÎÎÙÈ ×Ù×ÏÄÏ×. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÉÍÅÀÝÅÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, Ô. Å. ÏÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÔÉÎÎÙÍ ÉÌÉ ÌÏÖÎÙÍ . óÏÓÔÁ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÏ ÉÚ ÄÒÕÇÉÈ Ó Ï- ÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÕÏÔÒÅÂÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ É, ÉÌÉ, ÅÓÌÉ ... ÔÏ É ÎÅ. ÷ ÔÁÂÌ. 2.8 Ó×ÅÄÅÎÙ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ É, ÉÌÉ É ⇒. ÁÂÌÉ Á 2.8 P É Q P ÉÌÉ Q (P ⇒ Q) P Q é é é ì é ì é é é ì ì ì é ì ì ì é ì é é ä×Á ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÒÉÎÉÍÁÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ó×ÏÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× 39 ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÅÄÉËÁÔÏÍ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÔÁË: P (x). äÌÑ ×ÓÅÈ (∀) É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (∃) | ÜÔÏ Ë×ÁÎÔÏÒÙ. ðÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÒÑÍÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ×ÉÄÁ (P ⇒ Q) ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ ÏÂ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P ×Ù×ÏÄÑÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ Q. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ (ÎÅ Q ⇒ ÎÅ P ) É (P ⇒ Q). íÅÔÏÄ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÉÍÌÉËÁ ÉÉ (P ⇒ Q), ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÌÏÖÎÏÓÔÉ Q É ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P ÒÉÈÏÄÑÔ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÅÔÏÄÏÍ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ ÏÌÅÚÎÁ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, ÉÓÔÉÎÎÏÇÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ðÒÉÎ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ | ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ: ðÕÓÔØ P (n) | ÒÅÄÉËÁÔ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ 1. P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ É 2. ∀ k > 1 ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P (k ) ⇒ P (k + 1)) ×ÅÒÎÁ. ÏÇÄÁ P (n) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ n. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× þÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÏÎ ÄÅÌÁÅÔ ÉÍÅÎÎÏ ÔÏ, ÞÔÏ É ÒÅÄÕÓÍÏÔÒÅÎÏ), ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ÓÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, × ÎÅÍ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÈ ÄÏ , × ÔÅÞÅÎÉÅ É ÏÓÌÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. üÔÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ É ÕÓÌÏ×ÉÑ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÎÅÂÏÌØÛÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÉÌÉ ÒÅÄÉËÁÔÙ. ðÕÓÔØ P | ÒÅÄÉËÁÔ, ÉÓÔÉÎÎÙÊ ÄÌÑ ×ÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ A, É Q | ÒÅÄÉËÁÔ, ÏÉÓÙ×ÁÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ËÏÔÏÒÙÍ ÄÏÌÖÎÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ {P } A {Q} ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÁÂÏÔÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ A ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÉÓÔÉÎÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÅÄÉËÁÔÁ P , ÔÏ ÏÎÁ ÚÁËÏÎÞÉÔÓÑ ÒÉ ÉÓÔÉÎÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ Q. ðÒÅÄÉËÁÔ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÈÏÄÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÉÌÉ ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅÍ , Á Q | ×ÙÈÏÄÎÙÍ 40 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÉÌÉ ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅÍ . ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ {P } A {Q} ÓÁÍÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÉËÁÔÏÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ A ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ {P } A {Q}. äÌÑ ÒÏÓÔÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÜÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÑÍÏÌÉÎÅÊÎÏ. úÁÄÁÞÁ 1. äÏËÁÖÉÔÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ òÁÚÎÏÓÔØ . òÁÚÎÏÓÔØ begin z := x − y ; end òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅÍ P Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: x = x1 É y = y1 . ðÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅ Q | ÜÔÏ z = x1 − y1 . ðÒÅÄÉËÁÔ {P } òÁÚÎÏÓÔØ {Q} ÞÉÔÁÅÔÓÑ ËÁË ÅÓÌÉ x = x1 É y = y1 , ÔÏ z = x1 − y1 . éÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ x = x1 É y = y1 × ÔÅÌÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ z , x É y . ó ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ: z = x − y , x = x1 É y = y1 ×ÌÅËÕÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï z = x1 − y1 . ëÏÇÄÁ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ A ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ Ó ÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ, ÍÙ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÍ ÅÇÏ ÎÁ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ÏÔÒÅÚËÉ A1 ; : : : ; An É ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÅÏÞËÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ×ÉÄÁ {P } A1 {Q1 }; {Q1 } A2 {Q2 }; : : : ; {Qn−1 } An {Q}; ÇÄÅ ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ÓÌÕÖÉÔ ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ. úÁÄÁÞÁ 2. äÏËÁÖÉÔÅ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏ- ÇÏÞÌÅÎ . ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ {x | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ} begin y := ax; y := (y + b)x; y := y + ; end {y = ax2 + bx + } òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÏÂØÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÎÁ ËÕÓÏÞËÉ, ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×Á× ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÅÄ- É ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÊ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× 41 {x = x1 } begin y := ax; Q1 → {y = ax1 É x = x1 } y := (y + b)x; Q2 → {y = ax21 + bx1 } y := y + ; end Q → {y = ax21 + bx1 + } P → ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÓÄÅÌÁÎÎÙÅ ×ÙÛÅ, ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ: {P } y := ax {Q1 }, {Q1 } y := (y + b)x {Q2 }, {Q2 } y := y + {Q}, | ×ÅÒÎÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅÄÉËÁÔ {P } ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ {Q} ÉÓÔÉÎÅÎ, Ô. Å. ÁÌÇÏÒÉÔÍ ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ËÏÒÒÅËÔÅÎ. áÌÇÏÒÉÔÍ Ó ÕÓÌÏ×ÎÙÍÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑÍÉ ÔÏÖÅ ÏÄÄÁÅÔÓÑ ÔÅÈÎÉËÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. ëÏÇÄÁ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ if ... then, ×Ï ×ÈÏÄÎÙÈ É ×ÙÈÏÄÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÏÔÒÁÖÅÎÙ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÅ ÕÔÉ ÞÅÒÅÚ ×ÅÓØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ. âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ: ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÎÏÅ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ if ÕÓÌÏ×ÉÅ then ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 1; else ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 2; ××ÏÄÉÔ ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅ P , Á ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÄÁÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÅ Q. ÏÇÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÏËÁÚÁÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÏÂÏÉÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×: É {P É ÕÓÌÏ×ÉÅ} ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 1 {Q} {P É ÎÅ (ÕÓÌÏ×ÉÅ)} ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 2 {Q}. 42 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï úÁÄÁÞÁ 3. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ íÏÄÕÌØ ËÏÒÒÅËÔÅÎ. íÏÄÕÌØ {x | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ} begin if x > 0 then ab := x; else abs := −x; end {abs | ÍÏÄÕÌØ ÞÉÓÌÁ x} òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅÍ P × ÎÁÛÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÓÌÕÖÉÔ {x = x1 }, Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅÍ Q Ñ×ÌÑÅÔÓÑ {abs | ÍÏÄÕÌØ ÞÉÓÌÁ x}. ðÒÅÄÉËÁÔ {P É x > 0} abs := x {Q} ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÏÄÕÌØ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x1 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÎÉÍ ÓÁÍÉÍ. ðÒÅÄÉËÁÔ {P É ÎÅ (x > 0)} abs := −x {Q} ÔÏÖÅ ÉÓÔÉÎÅÎ, ÔÁË ËÁË ÍÏÄÕÌØ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x1 ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÎÅÇÏ ÚÎÁËÏÍ. éÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÅÄ- É ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÊ ÒÉ ÒÏ×ÅÒËÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, × ËÏÔÏÒÙÈ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ ÉËÌÙ ÔÉÁ while ... do, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÇÒÏÍÏÚÄËÏ. ðÒÅÄÏÞÔÉÔÅÌØÎÅÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÔÁËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. úÁÄÁÞÁ 4. äÏËÁÖÉÔÅ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ë×ÁÄÒÁÔ . ë×ÁÄÒÁÔ {n | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ} begin sq := 0; for i := 1 to n do sq := sq + 2i − 1; end {sq = n2 } òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ P (n) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÅÄÉËÁÔ sq = n2 ÏÓÌÅ n-ÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ, Á sqk | ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ sq ÏÓÌÅ k -ÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ (1) sq1 = 12 ; (2) ÅÓÌÉ sqk = k 2 , ÔÏ sqk+1 = (k + 1)2 . ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× 43 ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ sq1 = 1 É ÕÎËÔ (1) ×ÙÏÌÎÅÎ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ k -ÏÊ ÅÔÌÉ ÉËÌÁ sqk = k 2 . ÏÇÄÁ ÏÓÌÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÏÈÏÄÁ sqk+1 = sqk + 2(k + 1) − 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÎËÔ (2) ÔÏÖÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ. éÔÁË, ÍÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÌÉ, ÞÔÏ P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ (. (1)). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, Ï ×ÔÏÒÏÍÕ ÕÎËÔÕ ÉÍÌÉËÁ ÉÑ ((P (k ) ⇒ P (k + 1)) ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÒÉ ÌÀÂÏÍ k > 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÎ ÉÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ, P (n) ÉÓÔÉÎÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n. ÷ ÚÁÄÁÞÅ 4 ÉËÌ for ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÉÔÅÒÁ ÉÊ (ÒÏÈÏÄÏ×). ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÅÔÅÌØ ÉËÌÁ ÚÁÒÁÎÅÅ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ, ËÁË × ÉËÌÅ while ... do, ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÉÎÄÕË ÉÅÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÒÏÈÏÄÏ× ×ÓÅ ÖÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ É ÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ×ÙÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ. ðÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÂÕÄÅÔ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÅÔÅÌØ ÔÁËÏÇÏ ÉËÌÁ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ËÏÎÅÞÎÏ. çìá÷á 3 åïòéñ íîïöåó÷ ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× | ÏÄÉÎ ÉÚ ËÒÁÅÕÇÏÌØÎÙÈ ËÁÍÎÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÉÊ ÕÄÏÂÎÙÊ ÑÚÙË ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÍÁÓÓÙ ËÏÎ Å ÉÊ ËÁË × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÔÁË É × É ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ. ÷ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÏÎÑÔÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÉÛÅÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÏÓÏÂÙ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÚÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ. òÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ, ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ É ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÈ ÷ÅÎÎÁ. áÎÁÌÏÇÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÍ ÍÅÖÄÕ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ É ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÇÌÁ×Ù, ÏÂÕÄÑÔ ÎÁÓ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÔÏÖÄÅÓÔ×. îÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÜÔÉÈ ÔÏÖÄÅÓÔ×, ÓÏÂÒÁÎÎÙÈ ×ÍÅÓÔÅ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× É, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÂÕÄÕÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÙ ÄÌÑ ×Ù×ÏÄÁ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. úÄÅÓØ ÍÙ ÏÓ×ÏÉÍ ÔÁËÉÅ ÎÏ×ÙÅ ÏÎÑÔÉÑ, ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÉÎ É ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÑ, ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÄÅËÁÒÔÏ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÉÍÉÔÁ ÉÉ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÍÁÎÉÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÂÉÔ). ïÎÉ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÓ×ÏÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ. ÷ ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÏ× É ÍÎÏÖÅÓÔ× ÂÕÄÅÔ ÓÏÚÄÁÎÁ ÒÏÓÔÁÑ ÂÁÚÁ ÚÎÁÎÉÊ ÄÌÑ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÉÚ ÂÁÚÙ ÄÁÎÎÙÈ Ï ÂÒÉÔÁÎÓËÉÈ ËÏÒÏÌÑÈ É ËÏÒÏÌÅ×ÁÈ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó çÅÏÒÇÁ I. 3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ íÎÏÖÅÓÔ×Ï | ÜÔÏ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÏÂßÅËÔÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. îÁÒÉÍÅÒ, • {üÓÓÅËÓ, êÏÒËÛÉÒ, äÅ×ÏÎ}; • {2, 3, 5, 7, 11}; • {ÓÙÒ, ÑÊ Ï, ÍÏÌÏËÏ, ÓÍÅÔÁÎÁ}. ÷ ÜÔÏÍ ÒÉÍÅÒÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÚÁËÌÀÞÅÎÙ × ÆÉÇÕÒÎÙÅ ÓËÏÂËÉ . þÔÏÂÙ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÓÙÌÏË, ÍÙ ÏÂÙÞÎÏ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÏÉÓÎÙÍÉ ÌÁÔÉÎÓËÉÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ. îÁ- 3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ 45 ÒÉÍÅÒ, S = {3; 2; 11; 5; 7} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÄÁÎÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÚÁÉÓØ a ∈ S ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÂßÅËÔ a | ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S . þÁÓÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ a ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S . åÓÌÉ ÏÂßÅËÔ a ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ S , ÔÏ ÉÛÕÔ: a 6∈ S . íÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ×ÙÉÓÁÔØ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÉÈ, × ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×. æÏÒÍÁÌØÎÏ ÍÙ ÉÛÅÍ S = {x : P (x)} ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÄÉËÁÔ P (x) ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÚÁÉÓØ S = {x : x | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ} ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S = {1; 3; 5; 7; : : :}: ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ 2n − 1, ÇÄÅ n | ÌÀÂÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏÅ ÄÏÕÓÔÉÍÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÏÇÏ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: S = {2n − 1 : n | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ}: ðÒÉÍÅÒ 3.1. îÁÊÄÉÔÅ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÅÒÅÞÉ- ÓÌÑÀÝÅÅ ÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. (Á) A = {x : x | ÅÌÏÅ É x2 + 4x = 12}; (Â) B = {x : x | ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÄÎÑ ÎÅÄÅÌÉ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÂÕË×Ù Å}; (×) ó = {n2 : n | ÅÌÏÅ}. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) åÓÌÉ x2 +4x = 12, ÔÏ x(x +4) = 12. ðÏÓËÏÌØËÕ x | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÄÅÌÑÝÅÅ 12, ÔÏ ÏÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÏ ÔÏÌØËÏ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 É ±12. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, x + 4 ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔ 12. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ: x = −6 ÉÌÉ x = 2. äÒÕÇÏÊ ÓÏÓÏÂ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÔÙÓËÁÎÉÉ ËÏÒÎÅÊ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 + 4x − 12 = 0. ïÎ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÏÔ×ÅÔÕ x = −6 ÉÌÉ x = 2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A = {−6; 2}. 46 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× (Â) B = {×ÔÏÒÎÉË, ÑÔÎÉ Á, ÓÕÂÂÏÔÁ}. (×) ó = {0; 1; 4; 9; 16; : : :}. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÞÉÓÅÌ ÓÔÏÌØ ÞÁÓÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ, ÞÔÏ ÉÍÅÀÔ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÎÁÚ×ÁÎÉÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ. ∅ | ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï; N = {1; 2; 3; : : :} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ; Z = {0; ±1; ±2; ±3; : : :} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ; Q = { pq : p; q ∈ Z; q 6= 0} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ; R = {×ÓÅ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÅ ÄÒÏÂÉ} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ . þÉÔÁÔÅÌØ ÄÏÌÖÅÎ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ËÎÉÇÁÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ N ×ËÌÀÞÁÀÔ É 0. ÷ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÑÚÙËÁÈ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÏÂßÑ×ÌÑÌÉÓØ ËÁË ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍÕ ÔÉÕ ÄÁÎÎÙÈ . É ÄÁÎÎÙÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂßÅËÔÏ× ÓÏ ÓÉÓËÏÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÎÉÍÉ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÉÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕËÁÚÁÎÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÀÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÏÓÏÂÏ× ËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÏ×ÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ Ä×ÕÈ ÄÁÎÎÙÈ. ïÉÛÅÍ ËÏÒÏÔËÏ ÜÔÉ ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ×ÙÛÅÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÒÉÍÅÒÁÈ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÌÉ ÄÒÕÇÉÍ Â ÏÌØÛÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ. îÁÒÉÍÅÒ, ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ó = {0; 1; 4; 9; 16; : : :} ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z = {0; ±1; ±2; ±3; : : :}. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S . äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S . üÔÏÔ ÆÁËÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÔÁË: A ⊂ S . îÁ ÒÉÓ. 3.1 ÄÁÎÁ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÑ ÜÔÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ËÁÒÔÉÎËÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍÉ ÷ÅÎÎÁ. ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÒÁ×ÎÙÍÉ , ÅÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÄÒÕÇÏÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÏÄÎÉÈ É ÔÅÈ ÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. îÁ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÑÚÙËÅ ÄÌÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× A = B ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÉÍÌÉËÁ ÉÊ: {x ∈ A ⇒ x ∈ B } É {x ∈ B ⇒ x ∈ A}: 3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ 47 S A òÉÓÕÎÏË 3.1. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ⊂S ðÒÉÍÅÒ 3.2. ðÕÓÔØ A = {n : n2 | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ} É B = {n : n | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ}: ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ A = B . åÓÌÉ x ∈ A, ÔÏ x2 | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. ëÁË ÍÙ ÒÏ×ÅÒÉÌÉ × ÒÉÍÅÒÅ 2.11, ÏÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÁÍÏ ÞÉÓÌÏ x | ÅÌÏÅ É ÎÅÞÅÔÎÏÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x ∈ B , Ô. Å. A ⊂ B . ÷ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÕÓÔØ x ∈ B . ÏÇÄÁ x | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÍÅÒÕ 2.10, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ x2 ÔÏÖÅ ÂÕÄÅÔ ÎÅÞÅÔÎÙÍ ÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, Á ÚÎÁÞÉÔ, x ∈ A. ÷ ×ÉÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÓÔÉ ×ÚÑÔÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ B ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ B ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ A, Ô. Å. B ⊂ A. éÔÁË, A = B . òÅÛÅÎÉÅ. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∪ B = {x : x ∈ A ÉÌÉ x ∈ B }: ïÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÌÉÂÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A, ÌÉÂÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B , Á ×ÏÚÍÏÖÎÏ É ÏÂÏÉÍ ÓÒÁÚÕ. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.2. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∩ B = {x : x ∈ A É x ∈ B }: ïÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A, ÔÁË É ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B . äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.3. 48 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× A B òÉÓÕÎÏË 3.2. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ A A ∪B A ∩B B òÉÓÕÎÏË 3.3. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ äÏÏÌÎÅÎÉÅÍ1 ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÄÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ A \ B = {x : x ∈ A É x 6∈ B }: äÏÏÌÎÅÎÉÅ A \ B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ B (ÓÍ. ÒÉÓ. 3.4). åÓÌÉ ÍÙ ÏÅÒÉÒÕÅÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÎÅËÏÅÇÏ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U , ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ U ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. îÁ ÎÁÛÉÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÈ ÷ÅÎÎÁ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË ËÁË ÒÁÚ É ÓÉÍ×ÏÌÉÚÉÒÕÅÔ ÜÔÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. äÌÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ A ÄÏ U , Ô. Å. U \ A. ðÏÓËÏÌØËÕ × ËÁÖÄÏÊ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï U \ A ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ A É ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÏÓÔÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅÍ 1 äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÜÔÕ ÖÅ ÏÅÒÁ ÉÀ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁÚÎÏÓÔØÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ 49 ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÎÉÍÁÑ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÁÂÏÔÁÅÍ Ó ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U , ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ A = {x : ÎÅ (x ∈ A)} ⇔ A = {x : x 6∈ A}: äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.5. B A òÉÓÕÎÏË 3.4. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÒÁÚÎÏÓÔÉ A \B A òÉÓÕÎÏË 3.5. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ A óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔØÀ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A △ B = {x : (x ∈ A É x 6∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ B É x 6∈ A)}: ïÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÔÅÈ É ÔÏÌØËÏ ÔÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÉÂÏ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ A É ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ B , ÌÉÂÏ ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ B , ÎÏ ÎÅ A. çÒÕÂÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÌÅÖÁÝÉÈ ÌÉÂÏ × A, ÌÉÂÏ × B , ÎÏ ÎÅ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÁÑ ÎÏ×ÏÅ ÏÎÑÔÉÅ, ÎÁÞÅÒÞÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.6. 50 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× B A òÉÓÕÎÏË 3.6. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ A △B ðÒÉÍÅÒ 3.3. ðÕÓÔØ A = {1; 3; 5; 7}; B = {2; 4; 6; 8}; C = {1; 2; 3; 4; 5}: îÁÊÄÉÔÅ A ∪ C , B ∩ C , A \ C É B △ C . òÅÛÅÎÉÅ. A ∪ C = {1; 3; 5; 7; 2; 4}; B ∩ C = {2; 4}; A \ C = {7}; B △ C = (B \ C ) ∪ (C \ B ) = {6; 8} ∪ {1; 3; 5} = {6; 8; 1; 3; 5}. ðÒÉÍÅÒ 3.4. ðÕÓÔØ A = {x : 1 6 x 6 12 É x ÞÅÔÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ}; B = {x : 1 6 x 6 12 É x ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ËÒÁÔÎÏÅ 3}: õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ (A ∩ B ) = A ∪ B . òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÚÄÅÓØ ÓÌÕÖÉÔ U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}: ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, A = {2; 4; 6; 8; 10; 12} É B = {3; 6; 9; 12}: 3.2. áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× 51 ðÏÜÔÏÍÕ É (A ∩ B ) = {6; 12} = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 11} A ∪ B = {1; 3; 5; 7; 9; 11} ∪ {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11} = = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 11}: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (A ∩ B ) = A ∪ B . 3.2. áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× éÚ ÏÅÒÁ ÉÊ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÛÌÁ ÒÅÞØ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ, ÍÏÖÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÉÈ ËÁÖÕÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍÉ, ÄÒÕÇÉÅ | ÍÅÎØÛÅ, ÎÏ ×ÓÅ ÔÒÅÂÕÀÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÂÕÄÕÔ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÔØÓÑ ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ1 ÍÅÖÄÕ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ É ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁÄ ÒÅÄÉËÁÔÁÍÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÔÒÁÖÅÎÏ × ÔÁÂÌ. 3.1. ÁÂÌÉ Á 3.1 ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ìÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ∪ ÉÌÉ ÎÅ ∩ É ⊂ ⇒ ðÒÉÍÅÒ 3.5. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ: (A ∩ B ) = A ∪ B . òÅÛÅÎÉÅ. (A ∩ B ) = {x : x 6∈ (A ∩ B )} = = {x : ÎÅ (x ∈ (A ∩ B ))} = = {x : ÎÅ (x ∈ A) É (x ∈ B ))}; A ∪ B = {x : (x 6∈ A) ÉÌÉ (x 6∈ B )} = = {x : (ÎÅ (x ∈ A)) ÉÌÉ (ÎÅ (x ∈ B ))}: óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÌÅÇËÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×: ÎÅ (P É Q) 1 É (ÎÅ P ) ÉÌÉ (ÎÅ Q); óÔÒÏÇÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÅÇÏ ÔÏÖÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÔØ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 52 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÇÄÅ P É Q | ÒÏÓÔÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ. ïÉÒÁÑÓØ ÔÅÅÒØ ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ É ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ (ÔÁÂÌ. 3.1), ÍÏÖÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÒÅÄÉËÁÔ ÎÅ (P É Q) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ (A ∩ B ), Á (ÎÅ P ) ÉÌÉ (ÎÅ Q) | ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A∪B . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (A ∩ B ) = A ∪ B . ó×ÏÊÓÔ×Ï, ÄÏËÁÚÁÎÎÏÅ × ÒÉÍÅÒÅ 3.5, ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ËÁË ÏÄÉÎ ÉÚ ÚÁËÏÎÏ× ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ. æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÚÁËÏÎÁÍ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× . üÔÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÙ × ÔÁÂÌÉ Å 3.2. ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÏËÁÚÁÎÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÈ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÙ × ÒÉÍÅÒÅ 3.5. ÷ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏÅ ÉÚÕÞÅÎÉÅ Ó×ÏÄÁ ÚÁËÏÎÏ× ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× (ÔÁÂÌ. 3.2) ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ× ÒÁ×ÏÊ ËÏÌÏÎËÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÏ ÉÚ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ÌÅ×ÏÊ ÕÔÅÍ ÚÁÍÅÎÙ ∪ ÎÁ ∩, ∅ ÎÁ U É ÎÁÏÂÏÒÏÔ. ÁËÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÔÏÖÄÅÓÔ× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁËÏÎÏÍ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ , Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á | Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. ÁÂÌÉ Á 3.2. úÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× úÁËÏÎÙ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B ) ∪ C A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B ) ∩ C úÁËÏÎÙ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ A ∪B =B∪A A ∩B =B∩A úÁËÏÎÙ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á A ∪∅ =A A ∩U =A A ∪U =U A ∩∅=∅ A ∪A=A A ∩A=A úÁËÏÎÙ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ úÁËÏÎÙ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ) úÁËÏÎÙ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ A ∪A=U A ∩A=∅ U =∅ ∅=U A =A A =A úÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ (A ∪ B ) = A ∩ B (A ∩ B ) = A ∪ B úÁËÏÎ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×. åÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ×ÙÈÏÄÉÔ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÄÁÎÎÏÇÏ 3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× 53 ÒÏÓÔÏÇÏ ÕÞÅÂÎÉËÁ. ïÄÎÁËÏ, ÒÉÎÑ× ÅÇÏ ÎÁ ×ÅÒÕ, ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ ÓÅÂÅ ÖÉÚÎØ, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÏËÁÚÁ× ËÁËÏÅ-ÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ× É ÏÂÒÁÔÉ× ÏÅÒÁ ÉÉ, ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÔØ É Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï. ðÒÉÍÅÒ 3.6. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A É B ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×Õ: A △ B = (A ∪ B ) ∩ (A ∩ B ): òÅÛÅÎÉÅ. îÁÏÍÎÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÍÎÏ- ÖÅÓÔ×: A △ B = (A ∩ B ) ∪ (B ∩ A): óÏÇÌÁÓÎÏ ÚÁËÏÎÁÍ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÉÍÅÅÍ. (A ∪ B ) ∩ (A ∩ B ) = (Ú. ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ B )) = (Ú. ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×Î.) = (A ∩ (A ∪ B )) ∪ (B ∩ (A ∪ B )) = (Ú. ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×Î.) = ((A ∪ B ) ∩ A) ∪ ((A ∪ B ) ∩ B ) = (Ú. ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×Î.) = ((A ∩ A) ∪ (A ∩ B )) ∪ ((B ∩ A) ∪ (B ∩ B )) = (Ú. ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×Î.) = ((A ∩ A) ∪ (B ∩ A)) ∪ ((A ∩ B ) ∪ (B ∩ B )) = (Ú. ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ) = (∅ ∪ (B ∩ A)) ∪ ((A ∩ B ) ∪ ∅) = (Ú. ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×Î. É ÔÏÖÄÅÓÔ×Á) = (A ∩ B ) ∪ (B ∩ A) óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A △ B = (A ∪ B ) ∩ (A ∩ B ); ËÁË É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ. 3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× ÷ ÇÌÁ×Å 6 ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÚÕÞÁÔØ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÕ , ÏÂÌÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÉÍÅÀÝÕÀ ÄÅÌÏ Ó ÏÄÓÞÅÔÏÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÔÅÈ ÉÌÉ ÉÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ. ÷ÏÒÏÓÙ ÅÒÅÓÞÅÔÁ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÙÍÉ, ËÏÇÄÁ Õ ÷ÁÓ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ ÒÅÓÕÒÓÙ. îÁÒÉÍÅÒ, ÓËÏÌØËÏ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÍÏÖÅÔ ÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÔØ ÄÁÎÎÁÑ ËÏÍØÀÔÅÒÎÁÑ ÓÅÔØ? éÌÉ ÓËÏÌØËÏ ÏÅÒÁ ÉÊ ÂÕÄÅÔ ÓÄÅÌÁÎÏ ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ? 54 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× íÏÝÎÏÓÔØÀ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ïÎÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ |S |. óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÄÁÅÔ ÒÏÓÔÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. éÓÏÌØÚÕÑ ÉÎÄÕË ÉÀ, ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×. æÏÒÍÕÌÁ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ. |A ∪ B | = |A| + |B | − |A ∩ B |: äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ëÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 3.7, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∪ B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×: A \ B , A ∩ B É B \ A, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, A = (A \ B ) ∪ (A ∩ B ) É B = (B \ A) ∪ (A ∩ B ): ÷×ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ: |A \ B | = m; |A ∩ B | = n; |B \ A| = p: ÏÇÄÁ |A| = m + n, |B | = n + p É |A ∪ B | = m + n + p = = (m + n) + (n + p) − n = = |A| + |B | + |A ∩ B |: A B A B òÉÓÕÎÏË 3.7. B A 3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× 55 ðÒÉÍÅÒ 3.7. ëÁÖÄÙÊ ÉÚ 63 ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÅÒ×ÏÇÏ ËÕÒÓÁ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÈ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÕ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ, ÍÏÖÅÔ ÏÓÅÝÁÔØ É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÌÅË ÉÉ. åÓÌÉ 16 ÉÚ ÎÉÈ ÓÌÕÛÁÀÔ ÅÝÅ ËÕÒÓ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÉ, 37 | ËÕÒÓ ËÏÍÍÅÒÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ, É 5 ÉÚÕÞÁÀÔ ÏÂÅ ÜÔÉ ÄÉÓ ÉÌÉÎÙ, ÔÏ ÓËÏÌØËÏ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÏÓÅÝÁÀÔ ÕÏÍÑÎÕÔÙÈ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÁÎÑÔÉÊ? òÅÛÅÎÉÅ. ÷×ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ. A = {ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ÓÌÕÛÁÀÝÉÅ ËÕÒÓ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÉ}; B = {ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ÓÌÕÛÁÀÝÉÅ ËÕÒÓ ËÏÍÍÅÒÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ}: ÏÇÄÁ ðÏÜÔÏÍÕ, |A| = 16; |B | = 37; |A ∩ B | = 5: |A ∪ B | = 16 + 37 − 5 = 48: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 63 − 48 = 15 ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÎÅ ÏÓÅÝÁÀÔ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ËÕÒÓÏ×. æÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ËÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÂÏÂÝÅÎÁ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×. óÌÕÞÁÊ ÔÒÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÉ×ÅÄÅÎ × ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÈ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å. ðÒÉ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÉ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÅÒÅÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ïÄÎÁËÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÁÂÏÔÁÔØ É Ó ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÎÁÂÏÒÁÍÉ. þÔÏÂÙ ÈÏÒÏÛÏ ÏÓ×ÏÉÔØ ÜÔÏÔ ÎÏ×ÙÊ ÔÉ ÄÁÎÎÙÈ, ÍÙ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÏÊ. õÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÏÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÉÓØ ×ÉÄÁ (a; b), ÇÄÅ a | ÜÌÅÍÅÎÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, Á b | ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÍ ÉÌÉ ÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ A × B . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A × B = {(a; b) : a ∈ A É b ∈ B }. ïÅÒÁ ÉÑ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÍÅÅÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÌÏÔÎÕÀ ÏÄ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë ÏÎÑÔÉÑÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ É ÆÕÎËÉÑ , ÉÇÒÁÀÝÉÍ ÚÁÍÅÔÎÕÀ ÒÏÌØ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ É ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÍ ÒÅÄÍÅÔ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÇÌÁ×. ðÒÉÍÅÒ 3.8. ðÕÓÔØ A = {x; y } É B = {1; 2; 3}. îÁÊÄÉÔÅ ÄÅËÁÒÔÏ×Ù ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ: A × B , B × A É B × B . òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ A × B Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {(x; 1); (x; 2); (x; 3); (y; 1); (y; 2); (y; 3)}: 56 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ðÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ B × A | ÜÔÏ {(1; x); (2; x); (3; x); (1; y ); (2; y ); (3; y )}: úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × B É B × A ÒÁÚÌÉÞÎÙ! ðÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ B × B ÓÌÕÖÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3)}: ïÓÎÏ×Ù×ÁÑÓØ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ 3.8, ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÒÁ×ÎÁ1 |A × B | = mn; ÅÓÌÉ |A| = m É |B | = n: åÓÌÉ ÖÅ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÉÌÉ ÓÒÁÚÕ ÏÂÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙ, ÔÏ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ. ëÁË É × ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÷ÅÎÎÁ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÕÀ ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × B ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 3.8 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.8 x (x, 1) (x, 2) (x, 3) y (y, 1) (y, 2) (y, 3) 1 2 3 A B òÉÓÕÎÏË 3.8. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÉÍÅÒÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á R ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÓÁÍÏ ÓÅÂÑ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï R×R ÉÌÉ R2 , ËÁË ÅÇÏ ÞÁÓÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (x; y ). éÈ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ ËÁË ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞÅË ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï R2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅËÁÒÔÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ . ïÎÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.9 1 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÁË, ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A (Á ÉÈ ÒÏ×ÎÏ m ÛÔÕË) ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ × n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒÁÈ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× 57 äÅËÁÒÔÏ×ÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× A1 , A2 , . . . , An ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A1 × A2 × · · · An = {(a1 ; a2 ; : : : ; an ) : ai ∈ Ai ; i = 1; 2; : : : ; n}: üÌÅÍÅÎÔÙ ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á | ÒÏÓÔÏ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ , ÏÂßÅËÔÙ, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÒÁÂÏÔÁÀÔ ×ÓÅ ÑÚÙËÉ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÑÍÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÔÁËÖÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂßÅËÔ ÏÂÒÁÂÏÔËÉ × ÂÁÚÁÈ ÄÁÎÎÙÈ. ÷ÓÅ ÜÔÉ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÙ × ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÇÌÁ×ÁÈ. y (3, 2) x òÉÓÕÎÏË 3.9. äÅËÁÒÔÏ×Á ÌÏÓËÏÓÔØ ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ× A1 , A2 , . . . , An ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ A, ÍÙ ÉÛÅÍ An ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ n ÜËÚÅÍÌÑÒÏ× A. ðÒÉÍÅÒ 3.9. ðÕÓÔØ B = {0; 1}. ïÉÛÉÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B n . òÅÛÅÎÉÅ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ ÄÌÉÎÙ n. ïÎÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÔÒÏËÏÊ ÂÉÔ ÉÌÉ ÂÉÔÏ×ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ ÄÌÉÎÙ n. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÎÁÛÅÇÏ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ËÁË ÓÔÒÏËÁ ÂÉÔ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ. ðÕÓÔØ S = {s1 ; s2 ; : : : ; sn }, ÒÉÞÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÙ ÏÍÅÔÉÌÉ ÞÉÓÌÏ×ÙÍÉ ÉÎÄÅËÓÁÍÉ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÓÓÙÌÏË. åÓÌÉ A ⊂ S , ÍÙ ÏÓÔÁ×ÉÍ ÅÍÕ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ n-ÂÉÔÎÕÀ ÓÔÒÏËÕ (b1 ; b2 ; : : : ; bn ), ÇÄÅ bi = 1, ÅÓÌÉ si ∈ A É bi = 0 × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ÁËÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÂÉÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. ÅÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÉÍÉÔÉÒÏ×ÁÔØ ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ, ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÍÉ Ë ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÁÍ, ÕÓÌÏ×É×ÉÛÉÓØ ÓÞÉÔÁÔØ 1 ÚÁ é, Á 0 ÚÁ ì. 58 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ðÒÉÍÅÒ 3.10. ðÕÓÔØ S = {1; 2; 3; 4; 5}, A = {1; 3; 5} É B = {3; 4}. ÷ÙÉÓÁÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ A É B , Á ÚÁÔÅÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× A ∪ B , A ∩ B É B . òÅÛÅÎÉÅ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ a = (1; 0; 1; 0; 1), Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÒÁ×ÅÎ b = (0; 0; 1; 1; 0). úÎÁÞÉÔ, a ÉÌÉ b = (1; 0; 1; 0; 1) ÉÌÉ (0; 0; 1; 1; 0) = (1; 0; 1; 1; 1); a É b = (1; 0; 1; 0; 1) É (0; 0; 1; 1; 0) = (0; 0; 1; 0; 0); ÎÅ b = ÎÅ (0; 0; 1; 1; 0) = (1; 1; 0; 0; 1): ðÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÎÁÍ ÂÅÚ ÚÁÉÎËÉ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÔÒÅÂÕÅÍÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×: A ∪ B = {1; 3; 4; 5}, A ∩ B = {3} É B = {1; 2; 5}. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 3 3.1. (Á) ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×: A = {x : x ∈ Z É 10 6 x 6 17}; B = {x : x ∈ Z É x2 < 24}; C = {x : x ∈ Z É 6x2 + x − 1 = 0}; D = {x : x ∈ R É 6x2 + x − 1 = 0}: õËÁÚÁÎÉÅ: 6x2 + x − 1 = (3x − 1)(2x + 1): (Â) ïÒÅÄÅÌÉÔÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÏ× ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á: S = {2; 5; 8; 11; : : :}; T = {1; 1 3 ; 1 7 ; 1 15 ; : : :}. 3.2. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ U = {p; q; r; s; t; u; v; w}. ðÕÓÔØ A = {p; q; r; s}, B = = {r; t; v } É C = {p; s; t; u}. îÁÊÄÉÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×: (Á) B ∩ C ; (Â) A ∪ C ; (Ä) (A ∪ B ) ∩ (A ∩ C ); (Ö) B \ C ; (Ç) A ∩ B ∩ C ; (Å) (A ∪ B ); (×) C ; (Ú) B △ C . îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 3 59 3.3. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÓÌÏ×ÁÒÑ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ. A = {x : x | ÓÌÏ×Ï, ÓÔÏÑÝÅÅ ÅÒÅÄ ÓÏÂÁËÁ }; B = {x : x | ÓÌÏ×Ï, ÓÔÏÑÝÅÅ ÏÓÌÅ ËÏÛËÁ}; C = {x : x | ÓÌÏ×Ï, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ Ä×ÏÊÎÕÀ ÂÕË×Õ}. ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÉÓÔÉÎÎÙ: (Á) C ⊂ A ∪ B ; (Â) ÂÁÓÓÅÊÎ ∈ B ∩ C ; (×) ÓÔÒÅÓÓ ∈ B △ C ; (Ç) A ∩ B = ∅. ïÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×: (Ä) A ∩ B ∩ C ; (Å) (A ∪ B ) ∩ C . 3.4. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ: A = {3n : n ∈ Z É n > 4}; B = {2n : n ∈ Z}; C = {n : n ∈ Z É n2 6 100}. (Á) éÓÏÌØÚÕÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ, ×ÙÒÁÚÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÞÅÒÅÚ A, B É C : (i) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ; (ii) {−10; −8; −6; −4; −2; 0; 2; 4; 6; 8; 10}; (iii) {6n : n ∈ Z É n > 2}; (iv) {−9; −7; −5; −3; −1; 1; 3; 5; 7; 9}. (Â) úÁÉÛÉÔÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A \ B × ÒÅÄÉËÁÔÁÈ. 3.5. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÓÅÒÉÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÷ÅÎÎÁ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÈ ÚÁËÏÎ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ: A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ): äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÚÁËÏÎ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ× ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A, B É C . 60 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× 3.6. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÓÅÒÉÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÷ÅÎÎÁ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÈ ÓÌÅÄÕ- ÀÝÅÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï: A ∩ (B △ C ) = (A ∩ B ) △ (A ∩ C ): ðÏËÁÖÉÔÅ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∪ (B △ C ) ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ (A ∪ B ) △ (A ∪ C ). 3.7. äÏËÁÖÉÔÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÚÁËÏÎÏ× ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á: (Á) (A ∩ B ) ∪ B = A ∪ B ; (Â) (A ∩ (B ∪ C )) = A ∪ B ∪ C ; (×) (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅; (Ç) (A \ B ) \ C = A \ (B ∪ C ); (Ä) A △ A △ A = A. 3.8. ïÒÅÄÅÌÉÍ ÏÅÒÁ ÉÀ ∗ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ: A ∗ B = (A ∩ B ): éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÷ÅÎÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∗ B . ó ÏÍÏÝØÀ ÚÁËÏÎÏ× ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÄÏËÁÖÉÔÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á: (Á) A ∗ A = A; (Â) (A ∗ A) ∗ (B ∗ B ) = A ∪ B ; (×) (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅; (Ç) (A ∗ B ) ∗ (A ∗ B ) = A ∩ B . 3.9. (Á) ðÏËÁÖÉÔÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÷ÅÎÎÁ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, B É C ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ: |A ∪ B ∪ C | = =|A| + |B | + |C | − |A ∩ B | − |B ∩ C | − |A ∩ C | + |A ∩ B ∩ C |: (Â) óÔÕÄÅÎÔÙ ÅÒ×ÏÇÏ ËÕÒÓÁ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÅ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÕ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ, ÍÏÇÕÔ ÏÓÅÝÁÔØ É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÄÉÓ ÉÌÉÎÙ. ÷ ÜÔÏÍ ÇÏÄÕ 25 ÉÚ ÎÉÈ ÒÅÄÏÞÌÉ ÉÚÕÞÁÔØ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ, 27 ×ÙÂÒÁÌÉ ÂÉÚÎÅÓ, Á 12 ÒÅÛÉÌÉ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÔÕÒÉÚÍÏÍ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÂÙÌÏ 20 ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÓÌÕÛÁÀÝÉÈ ËÕÒÓ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÉ É ÂÉÚÎÅÓÁ, ÑÔÅÒÏ ÉÚÕÞÁÌÉ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ É ÔÕÒÉÚÍ, Á ÔÒÏÅ | ÔÕÒÉÚÍ É ÂÉÚÎÅÓ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÎÉËÔÏ ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù 61 ÉÚ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÎÅ ÏÔ×ÁÖÉÌÓÑ ÏÓÅÝÁÔØ ÓÒÁÚÕ ÔÒÉ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ËÕÒÓÁ. óËÏÌØËÏ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÏÓÅÝÁÌÉ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ ËÕÒÓ? óËÏÌØËÏ ÉÚ ÎÉÈ ÂÙÌÉ Õ×ÌÅÞÅÎÙ ÔÏÌØËÏ ÔÕÒÉÚÍÏÍ? 3.10. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÎÅÕÓÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ A É B , ÅÓÌÉ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï A × B = B × A? îÅÕÓÔÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, B É C ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ A × B = A × C . óÌÅÄÕÅÔ ÌÉ ÏÔÓÀÄÁ, ÞÔÏ B = C ? ïÂßÑÓÎÉÔÅ Ó×ÏÊ ÏÔ×ÅÔ. 3.11. ðÕÓÔØ A, B É C | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ (Á) A × (B ∩ C ) = (A × B ) ∩ (A × C ); (Â) (A ∪ B ) × C = (A × C ) ∪ (B × C ). 3.12. ðÏËÁÚÁÔÅÌØÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ P (A) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, P (A) = {C : C ⊂ A}. (Á) îÁÊÄÉÔÅ P (A), ÅÓÌÉ A = {1; 2; 3}. (Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ P (A) ∩ P (B ) = P (A ∩ B ) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B . (×) ðÏËÁÖÉÔÅ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ, ÞÔÏ P (A) ∪ P (B ) ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó P (A ∪ B ). 3.13. ðÕÓÔØ U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} | ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ÷Ù- ÉÛÉÔÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×: A = {1; 2; 4; 5} É B = {3; 5}: îÁÊÄÉÔÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× A ∪ B É A △ B , ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù íÎÏÖÅÓÔ×Ï | ÜÔÏ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÏÂßÅËÔÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÅÇÏ ÜÌÅ- ÍÅÎÔÁÍÉ. óÉÍ×ÏÌÏÍ ∅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, Á U | ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ. N = {1; 2; 3; : : :} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. Z = {0; ±1; ±2; ±3; : : :} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. Q = { pq : p; q ÅÌÙÅ, q 6= 0} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. R = {×ÓÅ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÅ ÄÒÏÂÉ} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. 62 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A, ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ S. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÔÁË: A ⊂ S . ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÒÕÇÏÇÏ. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∪ B = {x : x ∈ A ÉÌÉ x ∈ B }: ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∩ B = {x : x ∈ A É x ∈ B }: äÏÏÌÎÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÄÏ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A \ B = {x : x ∈ A É x 6∈ B }: äÏÏÌÎÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A (ÄÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U ) ÎÁ- ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A = {x : x 6∈ A}: óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔØÀ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A △ B = {x : (x ∈ A É x 6∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ B É x 6∈ A)}: éÚ ÌÀÂÏÇÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ, ÅÓÌÉ ÚÁÍÅÎÉÔØ ∩ ÎÁ ∪, ∅ ÎÁ U É ÎÁÏÂÏÒÏÔ. íÏÝÎÏÓÔØÀ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ïÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ |S |. æÏÒÍÕÌÁ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ |A ∪ B | = |A| + |B | − |A ∩ B |: äÅËÁÒÔÏ×ÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅ- ÓÔ×Ï A × B = {(a; b) : a ∈ A É b ∈ B }: üÌÅÍÅÎÔÙ A × B ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÁÒÁÍÉ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï R × R ÉÌÉ R2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅËÁÒÔÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ. âÉÔÏ×ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ (ÄÌÉÎÙ n) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B n , ÇÄÅ B = {0; 1}. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ 63 ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ üËÓÅÒÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏÚÄÁÅÔÓÑ Ó ÅÌØÀ ÏÄÍÅÎÉÔØ ÓÏÂÏÊ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× × ÄÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. üÔÏ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÎÁËÏÌÅÎÉÅÍ ÂÁÚÙ ÚÎÁÎÉÊ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÆÁËÔÏ× ×ÍÅÓÔÅ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÎÁÂÏÒÁ ÒÁ×ÉÌ ×Ù×ÏÄÁ . ÷ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÞÅÇÏ ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÚÁÒÏÓÙ ÓÉÓÔÅÍÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×Ù×ÅÄÅÎÙ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÕÔÅÍ ÉÚ ÂÁÚÙ ÚÎÁÎÉÊ. íÙ ÏÓÔÒÏÉÍ ÒÏÓÔÕÀ ÜËÓÅÒÔÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÒÏÌÅ×ÓËÁÑ ÄÉÎÁÓÔÉÑ ÄÌÑ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ×ÏÒÏÓÙ ÏÂ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÈ ËÏÒÏÌÑÈ É ËÏÒÏÌÅ×ÁÈ É ÉÈ ÓÅÍØÑÈ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó çÅÏÒÇÁ I. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÍÙ ÏÄÇÏÔÏ×ÉÍ ÓÉÓÏË ÆÁËÔÏ×, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÒÅÄÉËÁÔÙ ÒÏÄÉÔÅÌØ É ÖÅÎÁ . ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ I, çÅÏÒÇ II) ÖÅÎÁ (óÏÆÉÑ, çÅÏÒÇ I) ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ III, çÅÏÒÇ IV) ÖÅÎÁ (÷ÉÌØÇÅÌØÍÉÎÁ, çÅÏÒÇ II) ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ III, ÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV) ÖÅÎÁ (ûÁÒÌÏÔÔÁ, çÅÏÒÇ III) ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ III, üÄ×ÁÒÄ) ÖÅÎÁ (ëÁÒÏÌÉÎÁ, çÅÏÒÇ IV) ÒÏÄÉÔÅÌØ (üÄ×ÁÒÄ, ÷ÉËÔÏÒÉÑ) ÖÅÎÁ (áÄÅÌÁÉÄÁ, ÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV) ÒÏÄÉÔÅÌØ (÷ÉËÔÏÒÉÑ, üÄ×ÁÒÄ VII) ÖÅÎÁ (÷ÉËÔÏÒÉÑ, áÌØÂÅÒÔ) ÒÏÄÉÔÅÌØ (üÄ×ÁÒÄ VII, çÅÏÒÇ V) ÖÅÎÁ (áÌÅËÓÁÎÄÒÁ, üÄ×ÁÒÄ VII) ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ V, üÄ×ÁÒÄ VIII) ÖÅÎÁ (÷ÉËÔÏÒÉÑ íÁÒÉ, çÅÏÒÇ V) ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ V, çÅÏÒÇ VI) ÖÅÎÁ (åÌÉÚÁ×ÅÔÁ, çÅÏÒÇ VI) ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ VI, åÌÉÚÁ×ÅÔÁ II) ÖÅÎÁ (åÌÉÚÁ×ÅÔÁ II, æÉÌÌÉ) ÒÏÄÉÔÅÌØ (÷ÉËÔÏÒÉÑ, üÌÉÓ) ÒÏÄÉÔÅÌØ (üÌÉÓ, ÷ÉËÔÏÒÉÑ áÌØÂÅÒÔÁ) ÒÏÄÉÔÅÌØ (÷ÉËÔÏÒÉÑ áÌØÂÅÒÔÁ, üÌÉÓ{íÏÕÎÔÂÁÔÔÅÎ) ÒÏÄÉÔÅÌØ (üÌÉÓ{íÏÕÎÔÂÁÔÔÅÎ, æÉÌÉ) õÓÌÏ×ÉÍÓÑ, ÞÔÏ ÒÏÄÉÔÅÌØ (x; y ) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÄÉÔÅÌÅÍ y , Á ÖÅÎÁ (x; y ) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ x | ÖÅÎÁ y . üÔÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÞÔÅÎÉÅ ÒÅÄÉËÁÔÏ×, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÈ ÑÚÙËÁÍÉ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÔÁËÉÍÉ, ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, PROLOG. þÔÏÂÙ ÉÚ×ÌÅÞØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÓÔÁ×ÉÔØ ×ÏÒÏÓÙ ÅÒÅÄ ÂÁÚÏÊ ÄÁÎÎÙÈ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÓÒÁÛÉ×ÁÅÍ: Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ çÅÏÒÇ I ÏÔ ÏÍ çÅÏÒÇÁ III?, ÔÏ ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÄÉËÁÔ ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ I, çÅÏÒÇ 3) ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ × ÎÁÛÅÍ ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ×. úÁÒÏÓÙ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ: ? | ÒÅÄÉËÁÔ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÁÌÉÞÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ × ÒÅÄÉËÁÔÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ×ÏÒÏÓÕ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÚÁÒÏÓ ? | ÖÅÎÁ (x, çÅÏÒÇ IV) ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÁË ÂÙÌÁ ÌÉ ÖÅÎÁ Õ çÅÏÒÇÁ IV?. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÔ×ÅÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, ÔÁË ËÁË, ÚÁÍÅÎÑÑ x ÎÁ ëÁÒÏÌÉÎÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ, ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ × ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ×. 64 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× úÁÄÁÞÁ 1. îÁÊÄÉÔÅ ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁÒÏÓÙ: (Á) ? | ÖÅÎÁ (åÌÉÚÁ×ÅÔÁ II, æÉÌÉ); (Â) ? | ÒÏÄÉÔÅÌØ (óÏÆÉÑ, çÅÏÒÇ II); (×) ? | ÖÅÎÝÉÎÁ (ëÁÒÏÌÉÎÁ); (Ç) ? | ÖÅÎÁ (æÉÌÉ, åÌÉÚÁ×ÅÔÁ II). òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ×ÙÄÁÎ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ÚÁÒÏÓ, ÔÁË ËÁË ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÎÅÇÏ × ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ× ÅÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÒÅÄÉËÁÔ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÚÁÒÏÓ ÄÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÓÉÓÏË ÆÁËÔÏ× ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÉÚ ÚÁÒÏÓÁ. þÔÏÂÙ ÓÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ ÍÏÇÌÁ ÒÅÛÁÔØ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ. ðÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÎÏ×ÙÊ ÒÅÄÉËÁÔ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÔÅÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ × ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ×. ïÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÚÁÒÏÓÙ Ï ÎÏ×ÙÈ ÒÅÄÉËÁÔÁÈ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ×Ù×ÅÄÅÎÙ ÉÚ ÓÉÓËÁ ÆÁËÔÏ×, ÇÅÎÅÒÉÒÕÑ, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÏ×ÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ. ÷ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÒÏÌÅ×ÓËÁÑ ÄÉÎÁÓÔÉÑ ËÁÖÅÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ, ÞÔÏ ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ x, ÏÁ×ÛÁÑ × ÖÅÎÁ (x; y ), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÖÅÎÝÉÎÅ. ÷ ÒÁ×ÉÌÅ (1) ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÎÏ×ÙÊ ÒÅÄÉËÁÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÔ ÏÚÎÁÞÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ x | ÖÅÎÁ y , ÔÏ x | ÖÅÎÝÉÎÁ. (1) ÖÅÎÝÉÎÁ (x) from ÖÅÎÁ (x; y ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ××ÅÄÅÍ ÒÁ×ÉÌÏ (2), ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÅÅ ÒÅÄÉËÁÔ ÍÕÖ . ïÎ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ x | ÖÅÎÁ y , ÔÏ y | ÍÕÖ x. (2) ÍÕÖ (y; x) from ÖÅÎÁ (x; y ). úÁÄÁÞÁ 2. ëÁË ÉÚÍÅÎÑÔÓÑ ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÚÁÒÏÓÙ ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 1? ïÔ×ÅÔØÔÅ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÒÏÓÙ: (Ä) ? | ÖÅÎÝÉÎÁ (üÌÉÓ{íÏÕÎÔÂÁÔÔÅÎ); (Å) ? | ÍÕÖ (áÌØÂÅÒÔ, ÷ÉËÔÏÒÉÑ); (Ö) ? | ÍÕÖÞÉÎÁ (áÌØÂÅÒÔ). òÅÛÅÎÉÅ. ÅÅÒØ ÎÁ ÚÁÒÏÓ (×) ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 1 ÂÕÄÅÔ ÄÁÎ ÏÌÏÖÉÔÅÌØ- ÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÁ×ÉÌÕ (1), ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÍÕ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÍÕ ÆÁËÔÕ: ÖÅÎÁ (ëÁÒÏÌÉÎÁ, çÅÏÒÇ IV). îÁ ÚÁÒÏÓ (Ä) ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ, ÔÁË ËÁË üÌÉÓ{íÏÕÎÔÂÁÔÔÅÎ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÓÉÓËÅ ÎÅ ÕÏÍÑÎÕÔÁ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÞØÅÊ-ÌÉÂÏ ÖÅÎÙ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ 65 ïÔ×ÅÔ × ÓÌÕÞÁÅ (Å) | ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, ××ÉÄÕ ÎÁÌÉÞÉÑ × ÓÉÓËÅ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÖÅÎÁ (÷ÉËÔÏÒÉÑ, áÌØÂÅÒÔ) É ÒÁ×ÉÌÁ (2). ïÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ÄÁÎ ÎÁ ÚÁÒÏÓ (Ö), ÔÁË ËÁË ÒÅÄÉËÁÔ ÍÕÖÞÉÎÁ ÏËÁ ÅÝÅ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎ. ðÏÄÈÏÄÑÝÅÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ, ÄÁÀÝÅÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔÉ Ë ÍÕÖÓËÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Á, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÁ×ÉÌÕ (1): (3) ÍÕÖÞÉÎÁ (y ) from ÖÅÎÁ (x; y ) íÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÒÁ×ÉÌÏ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÓÙÎÏ×ØÑÈ: (3) ÓÙÎ (x; y ) from (ÍÕÖÞÉÎÁ (x) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (y; x)) úÁÄÁÞÁ 3. ïÔ×ÅÔØÔÅ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁÒÏÓÙ: (Á) ? | ÍÕÖÞÉÎÁ (÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV); (Â) ? | ÓÙÎ (÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV, çÅÏÒÇ III); (×) ? | ÓÙÎ (÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV, ûÁÒÌÏÔÔÁ); (Ç) ? | ÓÙÎ (üÄ×ÁÒÄ VIII, çÅÏÒÇ V). òÅÛÅÎÉÅ. (Á) ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÖÅÎÁ (áÄÅÌÁÉÄÁ, ÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV) Ï ÒÁ×ÉÌÕ (3). (Â) ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ III, ÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV) ××ÉÄÕ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ÚÁÒÏÓ (Á) É ÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ (4). ïÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Á ÚÁÒÏÓÁ | ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ. ïÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÏÔ×ÅÔÁÈ ÎÁ (×) É (Ç) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ Ô×ÅÒÄÏ ÒÉÄÅÒÖÉ×ÁÔØÓÑ ÆÁËÔÏ× É ÒÁ×ÉÌ ×Ù×ÏÄÁ, ××ÉÄÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ, ÎÁÌÏÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÓÉÓÔÅÍÕ. ÏÌØËÏ ÍÏÎÁÒÈÉ ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÒÏÄÉÔÅÌÑÍÉ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÉÈ ÓÕÒÕÇÉ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÒÅÄÉËÁÔÅ ÖÅÎÁ . ÁË, ÈÏÔÑ ûÁÒÌÏÔÔÁ ÂÙÌÁ ÚÁÍÕÖÅÍ ÚÁ çÅÏÒÇÏÍ III, É ÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV | ÏÄÉÎ ÉÚ ÉÈ ÓÙÎÏ×ÅÊ, ÂÁÚÁ ÄÁÎÎÙÈ ÓÞÉÔÁÅÔ ÅÇÏ ÒÏÄÉÔÅÌÅÍ ÔÏÌØËÏ çÅÏÒÇÁ III. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ (4) ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÄÁÔØ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÚÁÒÏÓ (×). ðÒÉÞÉÎÁ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ × ÓÌÕÞÁÅ (Ç) ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÓÉÓËÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÖÅÎÁ Õ üÄ×ÁÒÄÁ VIII. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁ×ÉÌÏ (3) ÄÁÅÔ ÏÔ×ÅÔ îÅÔ ÎÁ ÚÁÒÏÓ ? | ÍÕÖÞÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII). 66 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ëÁË ÍÙ Õ×ÉÄÅÌÉ, × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÌÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊÓÑ × ÓÉÓÔÅÍÅ ÄÁÎÎÙÈ, ËÁË ÜÔÏ ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ × ÒÅÁÌØÎÙÈ ÜËÓÅÒÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ, ÔÏ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÚÁÒÏÓ ÍÏÖÅÔ ÏÚÎÁÞÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÒÏÓÔÏ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ. äÏÌÖÎÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ Ë ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÒÁ×ÉÌ ×Ù×ÏÄÁ É ×ÙÂÏÒÕ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ× ÂÁÚÙ ÄÁÎÎÙÈ ÍÏÖÅÔ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÜÔÕ ÒÏÂÌÅÍÕ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÒÉ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÏÔ×ÅÔÏ× ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÄÏ×ÅÒÑÔØ É ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ × ÒÅÄÉËÁÔÁÈ ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÏÅÒÁ ÉÑ ÎÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ, ÒÁÚÕÍÎÙÅ ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ (A) É (B ): (A) ÍÕÖÞÉÎÁ (x) from ÖÅÎÁ (x; y ); (B ) ÖÅÎÝÉÎÁ (x) from (ÎÅ ÍÕÖÞÉÎÁ (x)). ðÏÒÏÂÕÅÍ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ÚÁÒÏÓ: ? | ÖÅÎÝÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII), ÏÓÎÏ×Ù×ÁÑÓØ ÎÁ ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ×, ÎÏ ÏÌØÚÕÑÓØ ÔÏÌØËÏ ÒÁ×ÉÌÁÍÉ (A) É (B ). îÁ ÚÁÒÏÓ ? | ÖÅÎÝÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII) ÂÕÄÅÔ ÏÌÕÞÅÎ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÎÅ ÖÅÎÝÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII) ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ×Ù×ÅÄÅÎÎÙÍ ÉÓÔÉÎÎÙÍ ÆÁËÔÏÍ. ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ (B ) ÎÁ ÚÁÒÏÓ ? | ÖÅÎÝÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII) ÂÕÄÅÔ ÄÁÎ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ! óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÒÁÚÒÅÛÁÔØ ÕÏÔÒÅÂÌÅÎÉÅ ÏÔÒÉ ÁÎÉÊ × ÒÁ×ÉÌÁÈ ×Ù×ÏÄÁ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÏÌÎÏÔÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. úÁÄÁÞÁ 4. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÊÔÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ ÄÌÑ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÍÁÔÅÒÑÈ ÉÚ ÜËÓÅÒÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ËÏÒÏÌÅ×ÓËÁÑ ÄÉÎÁÓÔÉÑ. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÍÁÔØ (x) ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÚÁÒÏÓ ×ÙÄÁ×ÁÌÓÑ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ x | ÖÅÎÁ ÞØÅÇÏ-ÔÏ ÒÏÄÉÔÅÌÑ ÉÌÉ x | ÖÅÎÝÉÎÁ É ÞÅÊ-ÔÏ ÒÏÄÉÔÅÌØ. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÎÏ×ÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ Ó ÒÁ×ÉÌÏÍ (1) Ë ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÂÁÚÅ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÁÔÅÒÅÊ. õÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÉÔÅÌØÎÙÍ ÌÉ ÏÌÕÞÉÌÏÓØ ÎÏ×ÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ? òÅÛÅÎÉÅ. ÒÅÂÕÅÍÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÔÁË: ÍÁÔØ (x) from ([ÖÅÎÁ (x; y ) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (z; y )℄ ÉÌÉ ÉÌÉ [ÖÅÎÝÉÎÁ (x) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (x; y )℄). þÁÓÔØ [ÖÅÎÁ (x; y ) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (z; y )℄ ÎÁÛÅÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔ ËÁË ÍÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ËÏÒÏÌÅ×: áÌÅËÓÁÎÄÒÁ, ûÁÒÌÏÔÔÁ, åÌÉÚÁ×ÅÔÁ, óÏÆÉÑ É ÷ÉËÔÏÒÉÑ íÁÒÉ. ÷ÔÏÒÁÑ ÞÁÓÔØ [ÖÅÎÝÉÎÁ (x) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (x; y )℄ ×ÙÑ×ÉÔ ÷ÉËÔÏÒÉÀ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ 67 ïÄÎÁËÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ ÎÁÊÄÅÔ ÎÅ ×ÓÅÈ ÍÁÔÅÒÅÊ, ÏÓËÏÌØËÕ ÂÁÚÁ ÄÁÎÎÙÈ ÎÅÏÌÎÁ. ÷ ÎÅÊ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÎÅ ÚÁÉÓÁÎÙ ÄÅÔÉ åÄÉÚÁ×ÅÔÙ II. ðÅÒ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÉÌÁ ÂÕÄÅÔ ÓÞÉÔÁÔØ ÍÁÔÅÒÑÍÉ É ÍÁÞÅÈ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÒÏÂÌÅÍÁ ÂÕÄÅÔ ×ÏÚÎÉËÁÔØ É ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Õ ÍÏÎÁÒÈÁ ÂÙÌÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÖÅÎ. üÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ ÒÉ ÏÙÔËÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØ ÒÅÁÌØÎÙÊ ÍÉÒ ÒÁÍËÁÍÉ ÒÏÓÔÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÏÄÅÌÉ. çìá÷á 4 ïîïûåîéñ ëÏÇÄÁ ÇÏ×ÏÒÑÔ Ï ÒÏÄÓÔ×Å Ä×ÕÈ ÞÅÌÏ×ÅË, èÏÒÁÓÁ É áÎÎÙ, ÔÏ ÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ÎÅËÁÑ ÓÅÍØÑ, Ë ÞÌÅÎÁÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎÉ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ. õÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ÁÒÁ (èÏÒÁÓ, áÎÎÁ) ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÌÀÄÅÊ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÍÅÖÄÕ èÏÒÁÓÏÍ É áÎÎÏÊ ÅÓÔØ ÎÅËÏÅ ÒÏÄÓÔ×Ï (ËÕÚÉÎÁ, ÏÔÅ , É Ô. Ä. ). ÷ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ A × B Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÔÏÖÅ ×ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÁÒÙ × Ó×ÑÚÉ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÍÅÖÄÕ ÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍÉ ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÄÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÔ Õ ÄÒÕÇÉÈ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ËÁËÏÇÏÎÉÂÕÄØ ÉÎÓÔÉÔÕÔÁ É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï K ÞÉÔÁÅÍÙÈ ÔÁÍ ËÕÒÓÏ×. ÷ ÒÑÍÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ S × K ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÂÏÌØÛÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ (s; k ), ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ: ÓÔÕÄÅÎÔ s ÓÌÕÛÁÅÔ ËÕÒÓ k . ðÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÔÒÁÖÁÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÓÌÕÛÁÅÔ ..., ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× É ËÕÒÓÏ×. äÌÑ ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ ÌÀÂÙÈ Ó×ÑÚÅÊ ÍÅÖÄÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÏÎÑÔÉÅ ÂÉÎÁÒÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ÷ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÒÁÓÓËÁÖÅÍ Ï ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÕÔÑÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ É ÏÂÓÕÄÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×Á. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÙ ÉÚÕÞÉÍ Ä×Á ×ÁÖÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÔÉÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ: ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. ïÎÉ ÞÁÓÔÏ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ËÁË × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÔÁË É × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÚÁÄÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÔÁÂÌÉ ÄÁÎÎÙÈ. ÷ ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÔÁËÉÅ n-ÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÒÏÓÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ . 4.1. âÉÎÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ âÉÎÁÒÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ A × B . ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ A = B , ÍÙ ÇÏ×ÏÒÉÍ ÒÏÓÔÏ ÏÂ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ R ÎÁ A. ðÒÉÍÅÒ 4.1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÅÎÅÁÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÄÒÅ×Ï, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. 4.1. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÅÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å P ÞÌÅÎÏ× ÜÔÏÊ ÓÅÍØÉ: 4.1. âÉÎÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ 69 (Á) R = {(x; y ) : x | ÄÅÄÕÛËÁ y }; (Â) S = {(x; y ) : x | ÓÅÓÔÒÁ y }. æÒÅÄ & íÁ×ÉÓ äÖÏÎ & íÁÒÉ üÌÉÓ ëÅÎ & óØÀ äÖÅÊÎ æÉÏÎÁ íÁÊË ðÅÎÎÉ áÌÁÎ òÉÓÕÎÏË 4.1. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) R ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ: (æÒÅÄ, äÖÅÊÎ), (æÒÅÄ, æÉÏÎÁ), (æÒÅÄ, áÌÁÎ), (äÖÏÎ, äÖÅÊÎ), (äÖÏÎ, æÉÏÎÁ) É (äÖÏÎ, áÌÁÎ). (Â) S ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ: (óØÀ, ðÅÎÎÉ), (ðÅÎÎÉ, óØÀ), (äÖÅÊÎ, æÉÏÎÁ), (æÉÏÎÁ, äÖÅÊÎ), (áÌÉÓ, ëÅÎ), (óØÀ, íÁÊË), (ðÅÎÎÉ, íÁÊË), (äÖÅÊÎ, áÌÁÎ) É (æÉÏÎÁ, áÌÁÎ). ðÒÉÍÅÒ 4.2. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÂÉÎÁÒÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ A = {1; 3; 5; 7} É B = {2; 4; 6}: (Á) U = {(x; y ) : x + y = 9}; (Â) V = {(x; y ) : x < y }. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) U ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ: (3; 6), (5; 4) É (7; 2); (Â) V = {(1; 2); (1; 4); (1; 6); (3; 4); (3; 6); (5; 6)}. ðÒÉÍÅÒ 4.3. íÎÏÖÅÓÔ×Ï R = {(x; y ) : x | ÄÅÌÉÔÅÌØ y } ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÅÍÕ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ. 70 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ òÅÛÅÎÉÅ. R ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ: (1; 1), (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 2), (2; 4), (2; 6), (3; 3), (3; 6), (4; 4), (5; 5) É (6; 6). ÅÅÒØ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó Ä×ÕÍÑ ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÄÁÎÎÏÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ. ðÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÏÎÑÔÉÉ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, Á ×ÔÏÒÏÊ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÍÁÔÒÉ Ù. ðÕÓÔØ A É B | Ä×Á ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É R | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ. íÙ ÉÚÏÂÒÁÚÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÜÔÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÔÏÞËÁÍÉ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÎÁÒÉÓÕÅÍ ÓÔÒÅÌËÕ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÕÀ ÔÏÞËÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÁÒÙ. ÁËÏÊ ÏÂßÅËÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÇÒÁÆÏÍ ÉÌÉ ÏÒÇÒÁÆÏÍ , ÔÏÞËÉ ÖÅ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ V ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A = {1; 3; 5; 7} É B = {2; 4; 6} ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4.2 (Â). óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÏËÁÚÁÎ ÎÁ ÒÉÓ. 4.2. 1 2 3 4 5 6 7 òÉÓÕÎÏË 4.2. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ V ÍÅÖÄÕ A É B äÌÑ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÍÙ ÞÅÒÔÉÍ ÏÒÇÒÁÆ, ÞØÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÄÎÏÍÕ ÌÉÛØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A, Á ÓÔÒÅÌËÉ, ËÁË ÏÂÙÞÎÏ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÈÓÑ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ. ðÒÉÍÅÒ 4.4. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÇÒÁÆ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4.3. òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; ÔÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÛÅÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ. ïÎ ÒÉ×ÅÄÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 4.3. 4.1. âÉÎÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ òÉÓÕÎÏË 4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å 71 A ÷ÔÏÒÏÊ ÓÏÓÏÂ ÚÁÄÁÎÉÑ ÂÉÎÁÒÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÔÁÂÌÉ . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B . îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× É ×ÙÉÓÁÔØ ÉÈ × ËÁËÏÍ-ÎÉÂÕÄØ ÏÒÑÄËÅ. óÄÅÌÁÅÍ ÜÔÏ ÔÁË: A = {a1 ; a2 ; : : : ; an }; B = {b1 ; b2 ; : : : ; bm }: äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÚÁÏÌÎÉÍ ÔÁÂÌÉ Õ M Ó n ÓÔÒÏËÁÍÉ É m ÓÔÏÌÂ ÁÍÉ. óÔÒÏËÉ ÅÒÅÎÕÍÅÒÕÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, Á ÓÔÏÌÂ Ù | ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÒÑÄËÏÍ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÙ ×ÙÉÓÁÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. ñÞÅÊËÕ ÔÁÂÌÉ Ù, ÓÔÏÑÝÕÀ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ É j -ÔÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ M (i; j ), Á ÚÁÏÌÎÑÔØ ÅÅ ÂÕÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: M (i; j ) = é; ÅÓÌÉ (ai ; bj ) ∈ R; M (i; j ) = ì; ÅÓÌÉ (ai ; bj ) 6∈ R; ÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÔÁÂÌÉ Ù ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ n × m ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ . ÷ ÜÔÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ U ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4.2(Á) Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÔÒÉ Ù ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: 2 4 1 ì 3   ì 5  ì 7 é ì ì é ì  6  ì é  : ì  ì 72 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ þÔÏÂÙ ÌÕÞÛÅ ÏÎÑÔØ ÔÁËÏÊ ÓÏÓÏÂ ÚÁÄÁÎÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÍÙ Ñ×ÎÏ ÏÍÅÔÉÌÉ ÓÔÏÌÂ Ù É ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÔÏ ÄÅÌÁÔØ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ. ðÒÉÍÅÒ 4.5. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {a; b; ; d} ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ:  ì  ì   ì é é ì é é  é é ì ì ì é  ; ì  é ÏÒÑÄÏË ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌÂ Ï× × ËÏÔÏÒÏÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÒÑÄËÕ ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. îÁÚÏ×ÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ R. òÅÛÅÎÉÅ. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ: (a; b), (a; ), (b; ), (b; d), ( ; b), (d; a), (d; b) É (d; d). ðÒÉÍÅÒ 4.6. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4.3. òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: 1 2 3 4 5 6         1 2 3 4 5 6 é ì ì ì ì ì é é ì ì ì ì é ì é ì ì ì é é ì é ì ì é ì ì ì é ì é é é ì ì é     :    åÓÌÉ R | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÔÏ ×ÍÅÓÔÏ ÚÁÉÓÉ (x; y ) ∈ R ÍÏÖÎÏ ÕÏÔÒÅÂÌÑÔØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ x R y . îÁÒÉÍÅÒ, ÒÅÄÉËÁÔ x | ÓÅÓÔÒÁ y ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ. ÷ ÒÉÍÅÒÅ 4.3 ÒÅÄÉËÁÔ x | ÄÅÌÉÔÅÌØ y ÄÁÅÔ ÑÓÎÏÅ ÓÌÏ×ÅÓÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÅÝÅ ÏÄÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ðÏÄ×ÏÄÑ ÉÔÏÇ ××ÏÄÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÔÅÏÒÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÏÌÅÚÎÏ ÎÁÏÍÎÉÔØ, ÞÔÏ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÏ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÏÓÏÂÏ×: • ÓÌÏ×ÁÍÉ (Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×); • ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ; • ËÁË ÏÒÇÒÁÆ; • ËÁË ÍÁÔÒÉ Á. 4.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ 73 ðÒÉÍÅÒ 4.7. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {1; 2; 3; 4} ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÇÒÁÆÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 4.7. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ R, ×ÙÉÛÉÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÏ×. òÉÓÕÎÏË 4.3. òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ R = {(2; 1); (3; 2); (4; 3)}. íÁÔÒÉ Á (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÎÎÏÇÏ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÏÒÑÄËÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: 1 2 3 1 ì 2  é  3  ì 4 ì ì ì é ì ì ì ì é  4  ì ì  : ì  ì ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÏ× ÄÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÉÓÁÎÏ ËÁË x − y = 1: 4.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ïÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅÍ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å É ××ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÂÏÒ ÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ , ÅÓÌÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ A x R x; ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ , ÅÓÌÉ x R y ⇒ y R x ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÙ x É y ÉÚ A; ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ , ÅÓÌÉ (x R y É y R x ⇒ x = y ) ÄÌÑ ×ÓÅÈ x É y ÉÚ A; ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ , ÅÓÌÉ (x R y É y R z ⇒ x R z ) ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÒÏÊËÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x; y; z ∈ A. ÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÜÔÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. äÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÅÓÌÉ (x; x) ∈ R ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x; ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÉÚ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (x; y ) ∈ R ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ (y; x) ∈ R; ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÊ: (x; y ) ∈ R É x 6= y ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ (y; x) 6∈ R; ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÅÓÌÉ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (x; y ) ∈ R É (y; z ) ∈ R ×ÌÅËÕÔ (x; z ) ∈ R. 74 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ õ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÅÇÏ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÓÎÁÂÖÅÎÁ ÅÔÌÅÊ, Ô. Å. ÓÔÒÅÌËÏÊ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÅÊÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÅÊÓÑ × ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ×ÅÒÛÉÎÅ. ïÒÇÒÁÆ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÅÌËÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ x × ×ÅÒÛÉÎÕ y ÉÍÅÅÔ ÓÔÒÅÌËÕ, ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÕÀ × ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ: ÉÚ y × x. åÓÌÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÔÏ ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ÓÔÒÅÌËÉ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ x × ÎÅÓÏ×ÁÄÁÀÝÕÀ Ó ÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎÕ y , ÓÔÒÅÌËÁ ÉÚ y × x ÂÕÄÅÔ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÔØ. é, ÎÁËÏÎÅ , ÏÒÇÒÁÆ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÕÓÔÒÏÅÎ ÔÁË, ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ ÓÔÒÅÌËÁÍÉ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ x × y É ÉÚ y × z Õ ÎÅÇÏ ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÅÌËÁ É ÉÚ x × z . ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÁÔÒÉ , ÚÁÄÁÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÂÕÄÅÔ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÊ, Ô. Å. ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÅ ÓÔÒÏË ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÓÔÏÌÂ Ï×. ÁË ×ÏÔ, ÍÁÔÒÉ Á M , ÚÁÄÁÀÝÁÑ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÔÅÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔ, ÓÔÏÑÝÉÊ ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ (M (i; i)), ÒÁ×ÅÎ é; ÍÁÔÒÉ Á M ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÂÕÄÅÔ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ, Ô. Å. M (i; j ) = M (j; i); × ÍÁÔÒÉ Å ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ: M (i; j ) = é É i 6= j ⇒ M (j; i) = ì: ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÏÔÌÉÞÉÔÅÌØÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÍÁÔÒÉ Ù ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÔÒÕÄÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÞÅÔËÏ É ÎÁÇÌÑÄÎÏ. ðÒÉÍÅÒ 4.8. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ (ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ, ÓÉÍ- ÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ, ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ) ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ: (Á) x ÄÅÌÉÔ y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; (Â) x 6= y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ; (×) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÅÔ x ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) ðÏÓËÏÌØËÕ x ×ÓÅÇÄÁ ÄÅÌÉÔ ÓÁÍ ÓÅÂÑ, ÔÏ ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ. ïÎÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ 6, ÎÏ ÎÅ ÎÁÏÂÏÒÏÔ: 6 ÎÅ ÄÅÌÉÔ 2. ðÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÅÌÉÍÏÓÔÉ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x ÄÅÌÉÔ y , Á y × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÄÅÌÉÔ z . ÏÇÄÁ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ y = mx ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ 4.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ 75 ÞÉÓÌÁ m, Á ÉÚ ×ÔÏÒÏÇÏ | z = ny , ÇÄÅ n | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, z = ny = (nm)x, Ô. Å. x ÄÅÌÉÔ z . úÎÁÞÉÔ, ÄÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. îÁËÏÎÅ , ÎÁÛÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÊ: x ÄÅÌÉÔ y É y ÄÅÌÉÔ x ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ y = x. (Â) ÁË ËÁË ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ x 6= x ÌÏÖÎÏ, ÔÏ ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ. ïÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ x 6= y ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ y 6= x. îÁÛÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÔÁË ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, 2 6= 3 É 3 6= 2, ÎÏ, ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, 2 = 2. îÁÛÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ x 6= y É y 6= x ÎÅÌØÚÑ ÚÁËÌÀÞÉÔØ, ÞÔÏ x = y . (×) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÎËÔÁ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÔÁË ËÁË ×ÏÚÒÁÓÔ ÌÀÂÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ x ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÒÏÖÉÔÙÈ ÉÍ ÌÅÔ. ïÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÅÔ x ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ y ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÅÔ y ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ x. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÔÁË ËÁË, ÅÓÌÉ ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÁËÉÅ ÔÒÉ ÞÅÌÏ×ÅËÁ x, y É z , ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÅÔ x ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ y , Á ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÅÔ y ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ z , ÔÏ ×ÓÅ ÔÒÏÅ ÂÕÄÕÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁ. ÁË ËÁË ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÍÎÏÇÏ ÒÏ×ÅÓÎÉËÏ×, ÔÏ ÄÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. åÓÌÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÅÍ ÉÌÉ ÉÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÔÏ ÅÇÏ ÓÔÏÉÔ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÄÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R∗ , ËÏÔÏÒÏÅ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÕÖÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï. ðÏÄ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ ÍÙ ÏÎÉÍÁÅÍ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ Ë ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ R ⊂ A × A ÔÁË, ÞÔÏ ÎÏ×ÏÅ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R∗ ÕÖÅ ÂÕÄÅÔ ÏÂÌÁÄÁÔØ ÔÒÅÂÕÅÍÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R ÂÕÄÅÔ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ × R∗ . ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ×ÎÏ×Ø ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R∗ ÂÕÄÅÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÊ R Ó ×ÙÄÅÌÅÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ R∗ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ R ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÎÎÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á. âÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÏ, R∗ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á P , ÅÓÌÉ 1. R∗ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P ; 2. R ⊂ R∗ ; 3. R∗ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ R É ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P . 76 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ðÒÉÍÅÒ 4.9. ðÕÓÔØ A = {1; 2; 3}, Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ A ÚÁÄÁÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÁÒÁÍÉ: R = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3)}: ïÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ É ÎÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. îÁÊÄÉÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ. úÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ×ÓÅ ÁÒÙ ×ÉÄÁ (x; x). ðÏÜÔÏÍÕ, ÉÓËÏÍÏÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: òÅÛÅÎÉÅ. R∗ = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (2; 2); (3; 3)}; ÇÄÅ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÁÒÙ ÏÔÄÅÌÅÎÙ ÏÔ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÔÏÞËÏÊ Ó ÚÁÑÔÏÊ. úÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ×ÓÅ ÁÒÙ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÉÓÈÏÄÎÙÍ. úÎÁÞÉÔ, R∗ = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (2; 1); (3; 2)}: þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÏÌÎÉÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÛÁÇÏ×. ÁË ËÁË R ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÁÒÙ (3; 1) É (1; 2), ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÂÑÚÁÎÏ ×ËÌÀÞÁÔØ × ÓÅÂÑ É ÁÒÕ (3; 2). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÁÒÙ (2; 3) É (3; 1) ÄÏÂÁ×ÌÑÀÔ ÁÒÕ (2; 1), Á ÁÒÙ (3; 1) É (1; 3) | ÁÒÕ (3; 3). äÏÂÁ×ÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÜÔÉ ÁÒÙ: R∗ ⊃ {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (3; 2); (2; 1); (3; 3)}: ÅÅÒØ Õ ÎÁÓ ×ÏÚÎÉËÌÏ ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ (2; 1) É (1; 2). óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÚÁÍÙËÁÎÉÅ R∗ ÄÏÌÖÎÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÁÒÕ (2; 2). ÅÅÒØ ÍÏÖÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÁÒÙ ÍÙ ÄÏÂÁ×ÉÌÉ (ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÅÒÅÂÒÁÌÉ ×ÓÅ ÁÒÙ ÉÚ A2 ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, R∗ = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (3; 2); (2; 1); (3; 3); (2; 2)}: íÅÔÏÄ, ËÏÔÏÒÙÍ ÍÙ ÎÁÛÌÉ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ × ÒÉÍÅÒÅ 4.9, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÅ ÉÆÉÞÅÎ. ÷ ÇÌÁ×Å 8 ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÂÏÌÅÅ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÏÄÈÏÄ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ Ï ÍÁÔÒÉ Å ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÍÁÔÒÉ Õ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ. úÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÍÁÓÓÕ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ. äÏÕÓÔÉÍ, ÎÁÍ ÄÁÎ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, ÏÔÒÁÖÁÀÝÉÊ ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÕÀ ÓÅÔØ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÁÔÒÉ Á ÚÁÍÙËÁÎÉÑ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÚ×ÏÌÉÔ ÎÁÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÅÒÅÒÁ×ÉÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÍÅÓÔÁ × ÄÒÕÇÏÅ. 4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ 77 4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÷ ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÉÍÓÑ ÎÁ Ä×ÕÈ ×ÁÖÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÔÉÁÈ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ . ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÏÂÏÂÝÁÅÔ ÏÎÑÔÉÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ (Ô. Å. ÎÁÈÏÄÑÝÉÅÓÑ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ), ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÂÌÁÄÁÀÔ ËÁËÉÍÉ-ÔÏ ÏÂÝÉÍÉ ÒÉÚÎÁËÁÍÉ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÉÍÅÒÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. • ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÉÍÅÅÔ ÔÅ ÖÅ ÕÇÌÙ, ÞÔÏ É ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÏÄÏÂÎÙ. • ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: x R y , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ xy > 0 ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÚÎÁË. • ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ×ÏÚÒÁÓÔ, ÞÔÏ É ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÌÀÄÉ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ Ë ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ×ÏÚÒÁÓÔÎÏÊ ÇÒÕÅ. ðÒÉÍÅÒÙ ÎÁ×ÏÄÑÔ ÎÁ ÍÙÓÌØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÚÁÄÁÎÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÔÏ ×ÓÅ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÏÖÎÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ÷ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ × ÌÀÂÏÍ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ × ÓÁÍÏÍ ÒÑÍÏÍ ÓÍÙÓÌÅ. îÁÌÉÞÉÅ ÔÁËÏÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ | Ä×ÉÖÕÝÁÑ ÓÉÌÁ ÌÀÂÏÊ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÏÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. òÁÚÂÉÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÎÅÕÓÔÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× A1 ; A2 , . . . An ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ: 1) A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ; 2) Ai ∩ Aj = ∅ ÒÉ i 6= j . ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ai ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÂÌÏËÁÍÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÎÁ ÑÔØ ÂÌÏËÏ× ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 4.4. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÂÌÏËÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ËÁË ÌÏÓËÕÔÙ, ÎÅ 78 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÚÁÈÏÄÑÝÉÅ ÏÄÉÎ ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ. üÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÂÌÏËÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ ÏÂÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. òÉÓÕÎÏË 4.4. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÚÁÄÁÅÔ ÎÁ ÎÅÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ. âÌÏËÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. íÙ ÓÅÊÞÁÓ ÄÏËÁÖÅÍ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. îÏ ÒÅÖÄÅ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ex ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ A ËÁË ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ex = {z ∈ A : z R x}. äÏËÁÖÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ. ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÁ ÎÅÕÓÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A. ÏÇÄÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ A. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÞÁÓÔÅÊ. óÎÁÞÁÌÁ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÕÓÔÙÍÉ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ × A. ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, Ex | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × A. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, R | ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, Ô. Å. x R x. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x ∈ Ex É Ex ÎÅ ÕÓÔÏ. äÁÌÅÅ ÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ x R y ×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Ex = Ey . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x R y É ×ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ z ∈ Ex . ÏÇÄÁ z R x É x R y . ðÏÓËÏÌØËÕ R | ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ z R y . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, z ∈ Ey . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ex ⊂ Ey . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Ey ⊂ Ex , ÏÔËÕÄÁ Ex = Ey , ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. ÅÅÒØ ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÅÒ×ÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÞÔÏ A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÄÉÅÏÒÅÍÁ. 4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ 79 ÎÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ëÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ × ÅÒ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÁÛÅÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, Ex | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × A É ÏÜÔÏÍÕ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÔÏÖÅ ÂÕÄÅÔ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ × A. ÷ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÅÓÌÉ x ∈ A, ÔÏ x ∈ Ex . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, x ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÀ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. úÎÁÞÉÔ, É A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÎÁÛÅÇÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. é, ÎÁËÏÎÅ , × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÞÁÓÔÉ ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. üÔÉÍ ÍÙ ÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ×ÔÏÒÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ Ex ∩ Ey 6= ∅. ÏÇÄÁ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ z × A, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÀ Ex ∩ Ey . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, z R x É z R y . ÁË ËÁË R | ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ x R z É z R y . ÷×ÉÄÕ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ R, ÜÔÏ ×ÌÅÞÅÔ x R y . úÎÁÞÉÔ, Ï ×ÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, Ex = Ey . éÔÁË, ÍÙ ÒÅÄÏÌÏÖÉÌÉ, ÞÔÏ ÒÁÚÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ex É Ey ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ É ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÞÁÓÔØ ÎÁÛÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ. ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏÂÙ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÓÌÕÖÁÔ ÂÌÏËÁÍÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ÍÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ×ÓÅ ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ: ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔØ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ. ðÒÉÍÅÒ 4.10. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ R ÚÁÄÁÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: x R y , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ x − y | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÏÉÛÉÔÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔ√ ÎÏÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ 0, 1 2 É 2. òÅÛÅÎÉÅ. ÁË ËÁË x − x = 0 ∈ Z ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ. åÓÌÉ x − y ÞÉÓÌÏ ÅÌÏÅ, ÔÏ É ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ Ë ÎÅÍÕ y − x = −(x − y ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÙÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, R | ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ x − y É y − z | ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ. ÏÇÄÁ x − z = (x − y ) + (y − z ) | ÓÕÍÍÁ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, Ô. Å. ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ R ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. éÔÁË, ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ R ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ëÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ex ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ: Ex = {z ∈ R : z − x | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ}: 80 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ðÏÜÔÏÍÕ, E0 = Z; 1 | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ} = 2 1 1 1 1 1 = {: : : ; −1 ; − ; ; 1 ; 2 ; : : :}; 2 2 2 2 2 √ = {z ∈ R : z − 2 | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ} = √ √ √ √ = {: : : ; −1 + 2; 2; 1 + 2; 2 + 2; : : :}: E 1 = {z ∈ R : z − 2 E√2 òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ, ÎÏ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÉÞÎÙÍ ÏÒÑÄËÏÍ . þÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ×ÁÖÅÎ × ÔÅÈ ÓÉÔÕÁ ÉÑÈ, ËÏÇÄÁ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ËÁË-ÔÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ÓÔÁÒÛÉÎÓÔ×Ï. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÒÅÛÉÔØ ÒÉ ËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÄÒÕÇÏÊ. ðÒÉÍÅÒÙ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÏÒÑÄËÏ×. • 6 ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; • ⊂ ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á; • ... ÄÅÌÉÔ ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. íÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÞÁÓÔÉÞÎÙÍ ÏÒÑÄËÏÍ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ . åÓÌÉ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A, ÔÏ ÒÉ x 6= y É x R y ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ x ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÉÌÉ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏÍ , Á y | ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÍ . õ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ×ÚÑÔÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ y ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÍÎÏÇÏ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ïÄÎÁËÏ ÅÓÌÉ x ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ y , É ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× z , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ x R z É z R y , ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ x ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏÍ 1 y É ÉÛÅÍ x ≺ y . îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏ× ÍÏÖÎÏ ÕÓÌÏ×ÎÏ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÇÒÁÆÁ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ËÁË ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ . ÷ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, É ÅÓÌÉ x ≺ y , ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÁ x ÏÍÅÝÁÅÔÓÑ ÎÉÖÅ ×ÅÒÛÉÎÙ y É ÓÏÅÄÉÎÑÅÔÓÑ Ó ÎÅÊ ÒÅÂÒÏÍ. äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ×ÙÄÁÓÔ ÏÌÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÏÂ ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÎÅ ÏÌÅÎÉÍÓÑ ÏÄÎÑÔØÓÑ Ï ×ÓÅÍ ÅÏÞËÁÍ ÒÅÂÅÒ. 1 éÎÏÇÄÁ ÔÁËÖÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ y ÏËÒÙ×ÁÅÔ x. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ 81 ðÒÉÍÅÒ 4.11. äÁÎÏ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÄÅÌÉÔÅÌØ ... ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {1; 2; 3; 6; 12; 18}. óÏÓÔÁ×ØÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏ× É ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏ×, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ èÁÓÓÅ. òÅÛÅÎÉÅ. ÁÂÌÉ Á É ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÉÖÅ. ÁÂÌÉ Á 4.1 ÜÌÅÍÅÎÔ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË 1 ÎÅÔ ÎÅÔ 2 1 1 3 1 1 6 1, 2, 3 2, 3 12 1, 2, 3, 6 6 18 1, 2, 3, 6 6 18 12 6 2 3 1 òÉÓÕÎÏË 4.5. äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ìÉÎÅÊÎÙÍ ÏÒÑÄËÏÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÉÚ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÊ É ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÊ. ðÒÉÍÅÒÙ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. • 6 ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; • ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÉÅ ÓÌÏ× × ÓÌÏ×ÁÒÅ. òÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÏÒÔÉÒÕÀÝÉÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ ÔÒÅÂÕÀÔ, ÞÔÏÂÙ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÏÒÔÉÒÕÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÂÙÌÉ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ ×ÙÄÁ×ÁÔØ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ ÓÉÓÏË. äÒÕÇÉÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË, ÒÅÄÏÌÁÇÁÑ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÁÊÄÅÔÓÑ2 ÍÉÎÉÍÁÌØ2 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÌÕÞÁÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË. îÁÒÉÍÅÒ, × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÑÄËÁ 6 ÎÅÔ ÎÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ, ÎÉ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 82 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ (ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏ×) É ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ (ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÊ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×). þÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4.11 ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÄÎÉÍ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÞÉÓÌÏÍ 1. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, × ÎÅÍ ÅÓÔØ Ä×Á ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÈ: 12 É 18. ÷ ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×. ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÏÞËÅ ÒÅÂÅÒ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ èÁÓÓÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {1; 2; 6; 18} ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ... ÄÅÌÉÔÅÌØ .... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4 4.1. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ É ÎÁÞÅÒÔÉÔÅ ÏÒÉ- ÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÍÁÔÒÉ ÅÊ: a b 1 é 2  é 3 ì ì ì é  d é é é  ì ì : ì 4.2. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÁÔÕ- ÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ N ÏÉÛÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ: R ={(x; y ) : 2x + y = 9}; S ={(x; y ) : x + y < 7}; T ={(x; y ) : y = x2 }: 4.3. ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {1; 2; 3; 4}, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: u R v ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ u + 2v | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ðÒÅÄÓÔÁ×ØÔÅ R ËÁÖÄÙÍ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ×: (Á) ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ; (Â) × ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ; (×) × ×ÉÄÅ ÍÁÔÒÉ Ù. 4.4. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÌÀÄÅÊ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÙ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ ÉÌÉ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙ: (Á) ... ÉÍÅÅÔ ÔÅÈ ÖÅ ÒÏÄÉÔÅÌÅÊ, ÞÔÏ É ...; (Â) ... Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÒÁÔÏÍ ...; (×) ... ÓÔÁÒÛÅ ÉÌÉ ÍÌÁÄÛÅ, ÞÅÍ ...; (Ç) ... ÎÅ ×ÙÛÅ, ÞÅÍ .... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4 83 4.5. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÎÉÖÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÎÁ Z Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÙÍÉ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍÉ, Á ËÁËÉÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙÍÉ? (Á) x + y | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ; (Â) x + y | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ; (×) xy | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ; (Ç) x + xy | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. 4.6. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ, ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {x : x ∈ Z É 1 6 x 6 12}. (Á) R = {(x; y ) : xy = 9}; (Â) S = {(x; y ) : 2x = 3y }; (×) ÚÁÍÙËÁÎÉÅ R Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ; (Ç) ÚÁÍÙËÁÎÉÅ S Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ. 4.7. îÉÖÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ. ïÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ × ËÁÖÄÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. (Á) x ÎÁ ÏÄÉÎ ÇÏÄ ÓÔÁÒÛÅ, ÞÅÍ y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÌÀÄÅÊ; (Â) x = 2y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å N ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; (×) x < y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å R ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; (Ç) x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÞÅÒØÀ y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÖÅÎÝÉÎ. 4.8. îÁÊÄÉÔÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ Ï ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ, Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ É Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (a; a); (b; b); ( ; ); (a; ); (a; d); (b; d); ( ; a); (d; a) ; ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {a; b; ; d}. éÍÅÅÔ ÌÉ ÓÍÙÓÌ ÓÔÒÏÉÔØ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ? 4.9. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÁ ÄÁÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÏÉÛÉÔÅ ÂÌÏËÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A: (Á) A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÎÉÇ × ÂÉÂÌÉÏÔÅËÅ, Á R ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: x R y , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ×ÅÔ ÅÒÅÌÅÔÁ x ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÅÔÏÍ ÅÒÅÌÅÔÁ y ; (Â) A = Z, R ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: x R y ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ x − y | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ; (×) A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÀÄÅÊ, É x R y , ÅÓÌÉ x ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ÏÌ, ÞÔÏ É y ; 84 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ (Ç) A = R2 , R ÚÁÄÁÅÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÕ: (a; b) R ( ; d) × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ a2 + b2 = 2 + d2 . 4.10. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÁË: x R y × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ x2 − y 2 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÏÉÛÉÔÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. 4.11. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ èÁÓÓÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÞÁ- ÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×: (Á) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Ó ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ x ÄÅÌÉÔ y ; (Â) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× × {1; 2; 3} Ó ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ X | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y . 4.12. äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = = {a; b; ; d; e; f; g; h} ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 4.6. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ R É ÎÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ É ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. g h d f e a b c òÉÓÕÎÏË 4.6. 4.13. ìÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÊ (ÁÌÆÁ×ÉÔÎÙÊ) ÏÒÑÄÏË ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: Õ ÄÁÎÎÙÈ ÓÌÏ× X É Y ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ÂÕË×Õ ÚÁ ÂÕË×ÏÊ, ÏÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÅÚ ×ÎÉÍÁÎÉÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ, ÏËÁ ÎÅ ÎÁÊÄÅÍ ÁÒÕ ÒÁÚÎÙÈ. åÓÌÉ × ÜÔÏÊ ÁÒÅ ÂÕË×Á ÓÌÏ×Á X ÓÔÏÉÔ ÒÁÎØÛÅ (Ï ÁÌÆÁ×ÉÔÕ), ÎÅÖÅÌÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÂÕË×Á ÓÌÏ×Á Y , ÔÏ X ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ Y ; ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÂÕË×Ù ÓÌÏ×Á X ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ Y , ÎÏ ÏÎÏ ËÏÒÏÞÅ, ÔÏ X ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ Y , × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, Y ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ X . ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù 85 õÏÒÑÄÏÞÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÌÏ×Á ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ: ÂÕÔÙÌËÁ, ÂÁÎÁÎ, ÂÉÓË×ÉÔ, ÂÉ×ÅÎØ É ÂÁÎÄÖÏ . ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ÏÞÅÍÕ ÷Ù ×ÙÂÒÁÌÉ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÏÊ ÏÒÑÄÏË. ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù âÉÎÁÒÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R × A × B . åÓÌÉ A = B , ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ A. âÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÉÓÁÎÏ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ (ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×), ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ, ËÁË ÏÒÇÒÁÆ É Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÔÒÉ Ù. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÙÍ, ÅÓÌÉ x R x ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ A; ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ, ÅÓÌÉ x R y ⇒ y R x ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y ∈ A; ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ, ÅÓÌÉ (x R y É y R x ⇒ x = y ) ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y ∈ A; ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙÍ, ÅÓÌÉ (x R y É y R z ) ⇒ x R z ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y z ∈ A. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R∗ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á P , ÅÓÌÉ 1) R∗ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P ; 2) R ⊂ R∗ ; 3) R∗ | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ R É ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P . òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ëÌÁÓÓÏÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ex = {z ∈ A : z R x}: òÁÚÂÉÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× A1 ; A2 ; : : : ; An × A, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ: A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An É Ai ∩ Aj = ∅ ÒÉ i 6= j: ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ai ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÂÌÏËÁÍÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ. åÓÌÉ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÁ A, ÔÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ A. 86 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÉÞÎÙÍ ÏÒÑÄËÏÍ. íÎÏÖÅÓÔ×Á, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÔÁËÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ. ìÉÎÅÊÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å | ÜÔÏ ÔÁËÏÊ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÍÏÖÎÏ ÓÒÁ×ÎÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. åÓÌÉ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A É x R y , x 6= y , ÔÏ x ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏÍ y . ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ x ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ y É ÎÅÔ ÔÁËÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ z , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ x R z É z R y , ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ x | ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË y . ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÆÁËÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÔÁË: x ≺ y . äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÇÒÁÆ, ÞØÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÚÏÂÒÁ- ÖÁÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ x ≺ y , ×ÅÒÛÉÎÁ x ÒÁÓÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄ ×ÅÒÛÉÎÏÊ y É ÓÏÅÄÉÎÑÅÔÓÑ Ó ÎÅÊ ÒÅÂÒÏÍ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ äÁÎÎÙÅ, ÈÒÁÎÑÝÉÅÓÑ × ËÏÍØÀÔÅÒÅ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÂÁÚÏÊ ÄÁÎÎÙÈ . ðÒÏÇÒÁÍÍÙ, Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÉÚ×ÌÅËÁÅÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÉÚ ÂÁÚÙ ÄÁÎÎÙÈ ÉÌÉ ×ÎÏÓÉÔ × ÎÅÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÍÉ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ (óõâä). ÁÂÌÉ Á 4.2. T1 = ðÅÒÓÏÎÁÌØÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ìÉÞÎÙÊ äÁÔÁ ÎÏÍÅÒ æÁÍÉÌÉÑ ðÏÌ ÒÏÖÄ. óÅÍÅÊÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ 4000123 äÖÏÎÓ ö 1.2.83 ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ 2 íÏÔÔ, îØÀÔÏÎ 5001476 5112391 5072411 5532289 5083001 5196236 4936201 í ö í í í ö ö 4.5.84 21.3.84 12.12.84 15.8.83 9.7.83 21.3.84 7.10.77 ÖÅÎÁÔ ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ ÈÏÌÏÓÔ ÈÏÌÏÓÔ ÖÅÎÁÔ ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ ÚÁÍÕÖÅÍ óÉÎÇÈ óÍÉÔ óÍÉÔ þÉÎÇ çÒÁÎÔ íÁËËÁÊ æÒÅÎË áÄÒÅÓ 4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ 17 ëÒÅÓÎÔ, óÉÆÏÒÔ 21 ðÁÄÄÉÎÇ ìÜÊÎ, ÷ÉÔÜÍ 4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ 18 éÆÆÌÅÊÒÏÁÄ, óÉÆÏÒÔ 133 õÆÆÒÏÁÄ, òÅÁÄÉÎÇ 11 æÉÎÎÒÏÁÄ, îØÀÔÏÎ äÁÎÎÙÅ × ËÏÍØÀÔÅÒÅ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÙ × ×ÉÄÅ ÔÁÂÌÉ . îÁÒÉÍÅÒ, ÔÁÂÌ. 4.2 ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÇÒÕÅ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×: ÌÉÞÎÙÊ ÎÏÍÅÒ ÓÔÕÄÅÎÔÁ, ÆÁÍÉÌÉÀ, ÏÌ, ÄÁÔÕ ÒÏÖÄÅÎÉÑ, ÓÅÍÅÊÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ É ÁÄÒÅÓ. ÷ ÔÁÂÌ. 4.3 ÚÁÎÅÓÅÎÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÏÂ ÕÓÅ×ÁÅÍÏÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× Ï ÏÔÄÅÌØÎÙÍ ËÕÒÓÁÍ. üÔÉ ÔÁÂÌÉ Ù ÓÏÓÔÁ×ÑÔ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ 87 ÏÓÎÏ×Õ ÄÌÑ ÎÁÛÉÈ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÈÏÔÑ É ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÂÌÅÍÙ ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ Ó ÔÁÂÌ. 4.2 ÍÏÇÕÔ ×ÏÚÎÉËÎÕÔØ ÒÉ ÏÙÔËÅ ÉÚ×ÌÅÞØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ óÍÉÔÁÈ, Á × ÔÁÂÌ. 4.2 ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÄÅÔÁÌØÎÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÏÑ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ × ÔÁÂÌ. 4.3. ÁÂÌÉ Á 4.3. T2 = õÓÅ×ÁÅÍÏÓÔØ æÁÍÉÌÉÑ ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ. ðÒÏÇÒ. äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ ëÁÍÍÉÎÇÓ äÖÏÎÓ çÒÁÎÔ óÉÎÇÈ æÒÅÎË íÁËËÁÊ ëÕËÓÏÎ ÏÔÌ ÈÏÒ ÕÄÏ×Ì ÕÄÏ×Ì ÎÅÕÄ ÏÔÌ ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÈÏÒ ÎÅÕÄ ÏÔÌ ÏÔÌ ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÏÔÌ ÏÔÌ ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÏÔÌ ÏÔÌ ÎÅÕÄ ÕÄÏ×Ì ÎÅÕÄ ÕÄÏ×Ì ÏÔÌ ÈÏÒ óÔÒÏËÉ ÔÁÂÌÉ Ù Ó n ËÏÌÏÎËÁÍÉ, ÏÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A1 ; A2 ; : : : ; An ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÁË ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × ÒÑÍÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ A1 × A2 × · · · × An . óÔÒÏËÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÓÉÓÏË ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, Ï ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ Ai , Á ×ÓÑ ÔÁÂÌÉ Á ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ n-ÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÔÁÂÌ. 4.3 ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï T 2 × A1 × A2 × A3 × A4 × A5 , ÇÄÅ A1 | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÁÍÉÌÉÊ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, Á A2 = A3 = A4 = A5 = {ÏÔÌ, ÈÏÒ, ÕÄÏ×Ì, ÎÅÕÄ}. ïÄÉÎ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÜÔÏÇÏ ÑÔÉÎÁÒÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ | ÓÔÒÏËÁ (äÖÏÎÓ, ÈÏÒ, ÕÄÏ×Ì, ÈÏÒ, ÎÅÕÄ), × ËÏÔÏÒÏÊ ÚÁÉÓÁÎÙ Ï ÅÎËÉ äÖÏÎÓÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÉÍ ÚÁ ÞÅÔÙÒÅ ÒÅÄÍÅÔÁ. äÌÑ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ É ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ ÔÁÂÌÉ , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÁÂÏÒÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÎÉÍÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ: ÒÏÅËÔ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ É ×ÙÂÏÒ. üÔÏ ÔÏÌØËÏ ÔÒÉ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, ÓÏÚÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÍÁÎÉÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ, ÔÅÏÒÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÑÚÙË ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ É ÆÕÎË ÉÊ. ïÅÒÁ ÉÑ ÒÏÅËÔ ÆÏÒÍÉÒÕÅÔ ÎÏ×ÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÔÏÌÂ Ï× ÓÔÁÒÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÅËÔ(1, {æÁÍÉÌÉÑ, áÄÒÅÓ}) ÓÏÚÄÁÅÔ ÔÁÂÌ. 4.4. úÁÄÁÞÁ 1. îÁÊÔÉ ÒÏÅËÔ(2, {æÁÍÉÌÉÑ, ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ., äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ.}). òÅÛÅÎÉÅ. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 4.5 88 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÁÂÌÉ Á 4.4. T3 = ÒÏÅËÔ(1, {æÁÍÉÌÉÑ, áÄÒÅÓ}) æÁÍÉÌÉÑ áÄÒÅÓ äÖÏÎÓ 2 íÏÔÔ, îØÀÔÏÎ óÉÎÇÈ óÍÉÔ óÍÉÔ þÉÎÇ çÒÁÎÔ íÁËËÁÊ æÒÅÎË 4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ 17 ëÒÅÓÎÔ, óÉÆÏÒÔ 21 ðÁÄÄÉÎÇ ìÜÊÎ, ÷ÉÔÜÍ 4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ 18 éÆÆÌÅÊÒÏÁÄ, óÉÆÏÒÔ 133 õÆÆÒÏÁÄ, òÅÁÄÉÎÇ 11 æÉÎÎÒÏÁÄ, îØÀÔÏÎ ÁÂÌÉ Á 4.5 æÁÍÉÌÉÑ ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ. äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. ÏÔÌ ÈÏÒ ÕÄÏ×Ì ÕÄÏ×Ì ÎÅÕÄ ÏÔÌ ÕÄÏ×Ì ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÏÔÌ ÏÔÌ ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÏÔÌ ëÁÍÍÉÎÇÓ äÖÏÎÓ çÒÁÎÔ óÉÎÇÈ æÒÅÎË íÁËËÁÊ ëÕËÓÏÎ ïÅÒÁ ÉÑ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÔ Ä×Å ÔÁÂÌÉ Ù × Â ÏÌØÛÕÀ, ×ÙÉÓÙ×ÁÑ × ÏÄÎÕ ÓÔÒÏËÕ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÏÂÝÅÍÕ ÁÔÒÉÂÕÔÕ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ R É S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ Ä×ÕÍÑ ÔÁÂÌÉ ÁÍÉ, ÒÉÞÅÍ R | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × ÒÑÍÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ A1 × · · · × Am × B1 × · · · × Bn , Á S | × ÒÑÍÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ A1 × · · · × Am × C1 × · · · × Cp . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÝÉÅ ÁÔÒÉÂÕÔÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A1 ; A2 ; : : : ; Am . óÏÅÄÉÎÅÎÉÅ R É S | ÜÔÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × A1 × · · · × Am × B1 × · · · × Bn × C1 × · · · × Cp , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÉÄÁ (a1 ; a2 ; : : : ; am ; b1 ; b2 ; : : : ; bm ; 1 ; 2 ; : : : ; p ), ÇÄÅ (a1 ; : : : ; am ; b1 ; : : : ; bm ) ÌÅÖÉÔ × R, Á (a1 ; : : : ; am ; 1 ; : : : ; p ) | × ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å S . îÁÒÉÍÅÒ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ(3, 2) ÄÁÅÔ ÔÁÂÌ. 4.6. ÁÂÌÉ Á 4.6 æÁÍÉÌÉÑ áÄÒÅÓ ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ. ðÒÏÇÒ. äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ äÖÏÎÓ çÒÁÎÔ 2 íÏÔÔ, îØÀÔÏÎ 18 éÆÆÌÅÊÒÏÁÄ, óÉÆÏÒÔ ÈÏÒ ÕÄÏ×Ì ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÈÏÒ ÏÔÌ ÎÅÕÄ ÕÄÏ×Ì óÉÎÇÈ æÒÅÎË íÁËËÁÊ 4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ 11 æÉÎÎÒÏÁÄ, îØÀÔÏÎ 133 õÆÆÒÏÁÄ, òÅÁÄÉÎÇ ÕÄÏ×Ì ÎÅÕÄ ÏÔÌ ÈÏÒ ÎÅÕÄ ÏÔÌ ÏÔÌ ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÎÅÕÄ ÕÄÏ×Ì ÏÔÌ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ 89 ïÅÒÁ ÉÑ ×ÙÂÏÒ ÏÔÂÉÒÁÅÔ ÓÔÒÏËÉ ÔÁÂÌÉ Ù, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÏÄÈÏÄÑÝÅÍÕ ËÒÉÔÅÒÉÀ. îÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÂÏÒ(1, ðÏÌ = í É óÅÍÅÊÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ = öÅÎÁÔ) ×ÅÒÓÔÁÅÔ ÔÁÂÌ. 4.7. ÁÂÌÉ Á 4.7 ìÉÞÎÙÊ ÎÏÍÅÒ æÁÍÉÌÉÑ ðÏÌ äÁÔÁ ÒÏÖÄ. óÅÍÅÊÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ 5001476 5083001 óÉÎÇÈ çÒÁÎÔ í í 4.5.84 9.7.83 ÖÅÎÁÔ ÖÅÎÁÔ áÄÒÅÓ 4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ 18 éÆÆÌÅÊÒÏÁÄ, óÉÆÏÒÔ úÁÄÁÞÁ 2. îÁÊÄÉÔÅ ×ÙÂÏÒ(2, äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. = ÏÔÌ). òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÎÏ×ÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ (ÔÁÂÌ. 4.8) ×ÏÊÄÕÔ ÔÏÌØËÏ ÔÅ ÓÔÒÏËÉ ÔÁÂÌÉ Ù 2, Õ ËÏÔÏÒÙÈ × ÓÔÏÌÂ Å, ÏÍÅÞÅÎÎÏÍ äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÂÕÄÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÏÔÌ. ÁÂÌÉ Á 4.8 æÁÍÉÌÉÑ ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ. ðÒÏÇÒ. äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ çÒÁÎÔ óÉÎÇÈ ëÕËÓÏÎ ÕÄÏ×Ì ÕÄÏ×Ì ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÈÏÒ ÏÔÌ ÏÔÌ ÏÔÌ ÏÔÌ ÕÄÏ×Ì ÎÅÕÄ ÈÏÒ ëÁË ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ×ÓÅÈ ÔÒÅÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÚ×ÏÌÉÔ ÎÁÍ ÉÚ×ÌÅËÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÉÚ ÂÁÚ ÄÁÎÎÙÈ. úÁÄÁÞÁ 3. îÁÊÄÉÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÉÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÅÒÁ ÉÊ: R1 = ÒÏÅËÔ(T2, {æÁÍÉÌÉÑ, ðÒÏÇÒ., ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ}); R2 = ×ÙÂÏÒ(R1, ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ = ÏÔÌ ÉÌÉ ðÒÏÇÒ. = ÏÔÌ); òÅÛÅÎÉÅ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ×ÓÅ ÓÔÏÌÂ Ù ÔÁÂÌÉ Ù 2, ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ æÁÍÉÌÉÑ, ðÒÏÇÒ. É ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ, ÕÄÁÌÑÀÔÓÑ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ Ï- ÌÕÞÉÔÓÑ ÔÁÂÌÉ Á R1. úÁÔÅÍ, × ÎÏ×ÏÊ ÔÁÂÌÉ Å ÎÕÖÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÔÅ ÓÔÒÏËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÅÓÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ Ï ÅÎËÁ ÏÔÌ, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÏÔÂÒÏÓÉÔØ. üÔÏ ÄÁÓÔ ÎÁÍ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ R2 (ÔÁÂÌ. 4.9). ÁÂÌÉ Á 4.9 æÁÍÉÌÉÑ ðÒÏÇÒ. ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ ëÁÍÍÉÎÇÓ íÁËËÁÊ ÈÏÒ ÏÔÌ ÏÔÌ ÏÔÌ ëÕËÓÏÎ ÏÔÌ ÈÏÒ 90 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ úÁÄÁÞÁ 4. îÁÊÄÉÔÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ: R1 = ×ÙÂÏÒ(T1, ÏÌ = ö); R2 = ÒÏÅËÔ(T2,{æÁÍÉÌÉÑ, äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ.}); R3 = ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ(R1, R2). òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ×ÙÂÅÒÅÍ ÉÚ ÔÁÂÌÉ Ù 1 ÓÔÒÏËÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔ- ÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÔÕÄÅÎÔËÁÍ, É ÓÏÓÔÁ×ÉÍ ÉÚ ÎÉÈ ÔÁÂÌÉ Õ R1. úÁÔÅÍ ÕÄÁÌÉÍ ÉÚ 2 ×ÓÅ ÓÔÏÌÂ Ù, ËÒÏÍÅ Ä×ÕÈ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ, É ÏÌÕÞÉÍ ÔÁÂÌÉ Õ R2. ïÂÝÉÍ ÁÔÒÉÂÕÔÏÍ ÔÁÂÌÉ R1 É R2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ æÁÍÉÌÉÑ. óÏÅÄÉÎÉ× R1 É R2, ÏÌÕÞÉÍ ÉÓËÏÍÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ (ÔÁÂÌ. 4.10). ÁÂÌÉ Á 4.10 ìÉÞÎÙÊ ÎÏÍÅÒ æÁÍÉÌÉÑ ðÏÌ äÁÔÁ ÒÏÖÄ. óÅÍÅÊÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ áÄÒÅÓ 4000123 äÖÏÎÓ ö 1.2.83 ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ 5196236 íÁËËÁÊ ö 21.3.84 ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ 4936201 æÒÅÎË ö 7.10.77 ÚÁÍÕÖÅÍ 2 íÏÔÔ, îØÀÔÏÎ 133 õÆÆÒÏÁÄ, òÅÁÄÉÎÇ 11 æÉÎÎÒÏÁÄ, îØÀÔÏÎ äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. ÈÏÒ ÈÏÒ ÕÄÏ×Ì úÁÄÁÞÁ 5. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÅÒÁ ÉÊ (×ÙÂÏÒ, ÒÏÅËÔ É ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ) ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÍÅÎ É ÁÄÒÅÓÏ× ×ÓÅÈ ÔÅÈ ÓÔÕÄÅÎ- ÔÏË, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÌÕÞÉÌÉ Ï ÅÎËÕ ÎÅ ÎÉÖÅ ÈÏÒ Ï ÏÂÏÉÍ ÒÅÄÍÅÔÁÍ: ÏÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÄÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. òÅÛÅÎÉÅ. ïÄÎÁ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÏÅÒÁ ÉÊ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕ- ÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. R1 = ×ÙÂÏÒ(1, ÏÌ = ö); R2 = ×ÙÂÏÒ(2, äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. = ÏÔÌ ÉÌÉ äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. = ÈÏÒ); R3 = ×ÙÂÏÒ(R2, ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ. = ÏÔÌ ÉÌÉ ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ. = ÈÏÒ); R4 = ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ(R1, R3); R = ÒÏÅËÔ(R4,{æÁÍÉÌÉÑ, áÄÒÅÓ}). çìá÷á 5 æõîëãéé æÕÎË ÉÉ ÉÇÒÁÀÔ ÅÎÔÒÁÌØÎÕÀ ÒÏÌØ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÇÄÅ ÏÎÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÌÀÂÙÈ ÒÏ ÅÓÓÏ×, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ËÁËÉÍ-ÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÅÒÅÈÏÄÑÔ × ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÄÒÕÇÏÇÏ. ÁËÉÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× | ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ ÉÄÅÑ, ÉÍÅÀÝÁÑ ÅÒ×ÏÓÔÅÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÏ ÅÓÓÏ×. ëÁË ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ÆÕÎË ÉÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÉÚ ÓÅÂÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÊ ÔÉ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. ïÄÎÁËÏ ÅÒÅÄ ÔÅÍ, ËÁË ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÆÕÎË ÉÉ, × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÒÏÄÏÌÖÉÍ ÒÁÂÏÔÕ ÎÁÄ ÂÉÎÁÒÎÙÍÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ, ÎÁÞÁÔÕÀ × ÇÌÁ×Å 4. úÄÅÓØ ÍÙ ÉÚÕÞÉÍ Ä×Á ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ÓÏÓÏÂÁ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÉÚ ÕÖÅ ÉÍÅÀÝÉÈÓÑ. üÔÉ ÓÏÓÏÂÙ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. õÏÍÑÎÕÔÙÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ×ÁÖÎÙ, ËÏÇÄÁ ÍÙ ÏÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÆÕÎË ÉÑÍ. ðÏÓÌÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÆÕÎË ÉÊ, Á ÚÁËÏÎÞÉÍ ÜÔÏ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÚÁËÏÎÏÍ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ËÁË ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ . üÔÏÔ, ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÏÊ, ÆÁËÔ ÄÁÓÔ ÎÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÅÛÁÔØ ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÅ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ Ñ×ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ. ëÁË ÎÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ, ÔÁË É ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÏÓ×ÑÝÅÎÙ ÒÉÍÅÎÅÎÉÀ ÆÕÎË ÉÊ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ. íÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÑÚÙËÏÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ , ÈÏÔÑ É ÓÉÌØÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ (ÉÚ ÍÅÔÏÄÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ). ðÏËÁÖÅÍ, ËÁË Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÔÒÏÑÔÓÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÙÅ. 5.1. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ðÕÓÔØ R | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B . ïÒÅÄÅÌÉÍ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R−1 ÍÅÖÄÕ B É A Ï ÆÏÒÍÕÌÅ: R−1 = {(b; a) : (a; b) ∈ R}: îÁÒÉÍÅÒ, ÏÂÒÁÔÎÙÍ Ë ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ... ÒÏÄÉÔÅÌØ ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ ÂÕÄÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÒÅÂÅÎÏË .... îÁ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ÓÔÒÅÌÏË × ÏÒÇÒÁÆÅ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÅÍ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ. 92 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ÷ÔÏÒÁÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÁ ÄÌÑ ÏÎÉÍÁÎÉÑ. ðÕÓÔØ R | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B , Á S | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ B É ÔÒÅÔØÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ C . ëÏÍÏÚÉ ÉÅÊ R É S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ A É C , ËÏÔÏÒÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ S ◦ R É ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: S ◦ R = {(a; ) : a ∈ A; ∈ C É a R b; b S ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ b ∈ B }: îÏ×ÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É C , ÉÓÏÌØÚÕÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ B × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÓÒÅÄÎÉËÏ×. ðÒÉÍÅÒ 5.1. ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ a | ÓÅÓÔÒÁ b, Á S ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ b | ÍÁÔØ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ. ïÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ: S ◦ R É S ◦ S . òÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ a | ÓÅÓÔÒÁ b, Á b | ÍÁÔØ , ÔÏ a, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÂÕÄÅÔ ÓÅÓÔÒÏÊ ÍÁÔÅÒÉ , Ô. Å. a ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÔÅÔÅÊ . óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ S ◦ R ÅÓÔØ ÎÉ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË a | ÔÅÔÑ . áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍÉ ÌÅÇËÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ S ◦ S | ÜÔÏ a | ÂÁÂÕÛËÁ . ðÒÉÍÅÒ 5.2. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R É S ÚÁÄÁÎÙ ÏÒÇÒÁ- ÆÁÍÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÒÉÓ. 5.1. îÁÊÄÉÔÅ ÏÒÇÒÁÆ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ S ◦ R. aô b 1 1 2 2 3 3 x y R S òÉÓÕÎÏË 5.1. ïÒÇÒÁÆÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ R É S òÅÛÅÎÉÅ. éÓÏÌØÚÕÑ ÏÒÇÒÁÆÙ, ×ÙÉÛÅÍ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ. R = {(a; 1); (a; 2); (a; 3); (b; 2)} É S = {(1; y ); (2; x); (3; x)}: ðÒÉÍÅÎÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. a R 1 É 1 S y ⇒ (a; y ) ∈ S ◦ R; a R 2 É 2 S x ⇒ (a; x) ∈ S ◦ R; 5.1. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ 93 a R 3 É 3 S x ⇒ (a; x) ∈ S ◦ R; b R 2 É 2 S x ⇒ (b; x) ∈ S ◦ R: ÅÅÒØ ÎÁ ÒÉÓ. 5.2 ÉÚÏÂÒÁÚÉÍ ÏÒÇÒÁÆ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ. a b x y S R òÉÓÕÎÏË 5.2. ïÒÇÒÁÆ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ S ◦R ëÏÍÏÚÉ ÉÀ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ É Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÔÒÉ , ÉÈ ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ. éÍÅÑ ÍÁÔÒÉ Ù Ä×ÕÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÍÙ ÏÓÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ ÉÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ. ïÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÉÌÉ ÂÕÌÅ×ÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÁÔÒÉ . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÒÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á: A = {a1 ; a2 ; : : : ; an }; B = {b1 ; b2 ; : : : ; bm } É C = { 1 ; 2 ; :::; p }: ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ A É B , Á S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ B É C . îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á M ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: M (i; j ) = é ÅÓÌÉ (ai ; bj ) ∈ R; M (i; j ) = ì ÅÓÌÉ (ai ; bj ) 6∈ R: áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÍÁÔÒÉ Á N ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ S ÚÁÏÌÎÑÅÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÕ: N (i; j ) = é ÅÓÌÉ (bi ; j ) ∈ S; N (i; j ) = ì ÅÓÌÉ (bi ; j ) 6∈ S: åÓÌÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ bk ∈ B , ÞÔÏ ai R bk É bk S j , ÔÏ × i-ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù M ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ é. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × j -ÏÍ ÓÔÏÌÂ Å ÍÁÔÒÉ Ù N ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÔÏÖÅ ÂÕÄÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ é. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÏÓËÏÌØËÕ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ai (S ◦ R) j , ÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ P (i; j ) ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù P ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ S ◦ R ÔÏÖÅ ÒÁ×ÎÏ é. åÓÌÉ ÖÅ × i-ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù M ÎÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ é, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÔÁËÏÍÕ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÀ × j -ÏÍ ÓÔÏÌÂ Å ÍÁÔÒÉ Ù N , ÔÏ P (i; j ) = ì. 94 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á P ËÏÍÏÚÉ ÉÉ S ◦ R ÚÁÏÌÎÑÅÔÓÑ Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ: P (i; j ) = [M (i; 1) É N (1; j )℄ ÉÌÉ ÉÌÉ [M (i; 2) É N (2; j )℄ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ÉÌÉ [M (i; n) É N (n; j )℄: âÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ P = M N ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÂÕÌÅ×Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ . ðÒÉÍÅÒ 5.3. ðÕÓÔØ R É S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 5.2. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ S ◦ R Ó ÏÍÏÝØÀ ÂÕÌÅ×Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÍÁÔÒÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ R É S . òÅÛÅÎÉÅ. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÍÅÖÄÕ A = {a; b} É B = {1; 2; 3} ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ M = é ì é é é ì ; ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ËÏÔÏÒÏÊ ÏÍÅÞÅÎÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B × ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÉ ×ÙÉÓÁÎÙ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ B = {1; 2; 3} É C = {x; y }, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÍÁÔÒÉ ÅÊ   ì é N =  é ì : é ì úÎÁÞÉÔ, ÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á P ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ S ◦ R ÒÁ×ÎÁ ÂÕÌÅ×Õ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ   ì é é é é  é ì : P = ì é ì é ì ÷ ÍÁÔÒÉ Å M ÅÓÔØ Ä×Å ÓÔÒÏËÉ, Á × ÍÁÔÒÉ Å N | Ä×Á ÓÔÏÌÂ Á. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÁÔÒÉ Á P ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÔÒÏË É Ä×ÕÈ ÓÔÏÌÂ Ï×. ñÞÅÊËÁ P (1; 1) ÚÁÏÌÎÑÅÔÓÑ Ï ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù M É ÅÒ×ÏÍÕ ÓÔÏÌÂ Õ ÍÁÔÒÉ Ù N . âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ,   ì P (1; 1) = é é é  é  = (é É ì) ÉÌÉ (é É é) ÉÌÉ (é É é) é = ì ÉÌÉ é ÉÌÉ é = é: 95 5.1. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù M ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ É ÔÒÅÔØÅÍ ÍÅÓÔÁÈ ÓÔÏÉÔ é, ÔÁË ÖÅ ËÁË É × ÅÒ×ÏÍ ÓÔÏÌÂ Å ÍÁÔÒÉ Ù N . üÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ: P (1; 1) = é. óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù M ÓÏ ×ÔÏÒÙÍ ÓÔÏÌÂ ÏÍ ÍÁÔÒÉ Ù N , ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ é. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (1; 2) = é. ÁËÉÍ ÖÅ ÓÏÓÏÂÏÍ, ÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ×ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù M É ÅÒ×ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù N , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍ P (2; 1) = é. îÁËÏÎÅ , P (2; 2) = ì, ÔÁË ËÁË ×ÔÏÒÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÍÁÔÒÉ Ù M É ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù N ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é ÎÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÍÅÓÔÁÈ. éÔÁË, é é N = : é ì ðÒÉÍÅÒ 5.4. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {1; 2; 3; 4; 5} ÚÁÄÁ- ÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ       ì ì ì ì ì ì é ì ì é é ì ì é ì é ì é ì ì ì é ì ì ì    :   ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÁÔÒÉ Õ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ R ◦ R É ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ÏÞÅÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ. òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á ËÏÍÏÚÉ ÉÉ R ◦ R ÒÁ×ÎÁ       ì ì ì ì ì ì é ì ì é é ì ì é ì é ì é ì ì ì é ì ì ì       ì ì ì ì ì ì é ì ì é é ì ì é ì é ì é ì ì ì é ì ì ì       =     ì ì ì ì ì ì é ì ì é é ì é ì ì é ì ì é ì ì é ì ì é    :   üÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ R ◦ R ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ (x; z ), ÇÄÅ x R y É y R z ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ y ∈ A. ðÏÜÔÏÍÕ × ÓÌÕÞÁÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ R ËÏÍÏÚÉÉÑ R ◦ R ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ R. ïÄÎÁËÏ ÉÚ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é × ÍÁÔÒÉ ÁÈ, ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ, ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ R ◦ R ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÁÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÌÅÖÁÔ × R. éÍÅÎÎÏ ÏÜÔÏÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. 96 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ 5.2. æÕÎË ÉÉ ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ Ó×ÑÚÅÊ ÍÅÖÄÕ ÁÒÁÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÉÚ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B . æÕÎË ÉÉ | ÜÔÏ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÌÏÖÅÎÙ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ. æÕÎË ÉÅÊ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A Ó×ÑÚÁÎ Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B . äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ a ∈ A ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÁÒÁ ÉÚ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÉÄÁ (a; b). ÷ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÆÕÎË ÉÑ ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÇÒÁÆÏÍ, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÅÊ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ×ÙÈÏÄÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÓÔÒÅÌËÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ÒÉÓ. 5.3 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÇÒÁÆ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÆÕÎËÉÀ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {a; b; } × {1; 2}, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ÁÒ (a; 1), (b; 1) É ( ; 2). a 1 b 2 c òÉÓÕÎÏË 5.3. ðÒÉÍÅÒ 5.5. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A = {a; b; } É B = {1; 2; 3} Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × B . (Á) f = {(a; 1); (a; 2); (b; 3); ( ; 2)}; (Â) g = {(a; 1); (b; 2); ( ; 1)}; (×) h = {(a; 1); ( ; 2)}. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ f | ÎÅ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ a ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B : 1 É 2. (Â) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ g Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ. (×) ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÅÊ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ b ÎÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ. 5.2. æÕÎË ÉÉ 97 ðÒÉÍÅÒ 5.6. ëÁËÉÅ ÉÚ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ: (Á) x | ÂÒÁÔ ÉÌÉ ÓÅÓÔÒÁ y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ; (Â) ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÁÒÁÍÉ: {(x; x2 ) : x ∈ Z}; (×) ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å R, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÁÒÁÍÉ: {(x; y ) : x = y 2 } Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ? òÅÛÅÎÉÅ. (Á) üÔÏ ÎÅ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÅÓÔØ ÌÀÄÉ Ó ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÂÒÁÔØÑÍÉ É ÓÅÓÔÒÁÍÉ, Á ÔÁËÖÅ ÂÙ×ÁÀÔ ÓÅÍØÉ Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÅÂÅÎËÏÍ. (Â) á ×ÏÔ ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÁË ÒÁÚ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÓËÏÌØËÕ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÅÌÏÍÕ ÞÉÓÌÕ x ÅÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔ x2 ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. (×) ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ | ÎÅ √ ÆÕÎË ÉÑ,√ÔÁË ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÂÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ: (2; 2) É (2; − 2) | ÅÍÕ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÎÅÍ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÁÒÙ (x; y ) Ó ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ x. ðÕÓÔØ f | ÆÕÎË ÉÑ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B . ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ x ∈ A ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ y ∈ B , ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ (x; y ) ∈ f , ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ: y = f (x), É ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B , Á f (x) ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÂÒÁÚÏÍ x ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ f ÉÌÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ f , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ x. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ f : A −→ B , ÞÔÏÂÙ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ A × ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ B . íÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÂÌÁÓÔØÀ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ , Á B | ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ1 f . äÌÑ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, × ËÏÔÏÒÙÅ ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ A ÆÕÎË ÉÅÊ f , ××ÏÄÑÔ ÏÎÑÔÉÅ ÏÂÒÁÚ ÉÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × B , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÏÂÒÁÚÏ× ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x ∈ A. ïÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ f (A) É ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÁË: f (A) = {f (x) : x ∈ A}: äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 5.4 ÓÌÕÖÉÔ ÕÄÏÂÎÏÊ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÅÊ ÆÕÎËÉÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å B . 1 äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÉÌÉ ÚÁÄÁÎÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å B . | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 98 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ f f(A) A B òÉÓÕÎÏË 5.4. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÆÕÎË ÉÉ f : A −→ B ëÏÇÄÁ ÍÙ ÒÁÂÏÔÁÅÍ Ó ÆÕÎË ÉÅÊ f : A −→ B , ÇÄÅ A É B | ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÇÒÁÆ ÜÔÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. óÌÅÄÕÅÔ ÏÂÒÁÔÉÔØÓÑ Ë ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÄÅÅ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÅÅ ÇÒÁÆÉËÕ . òÉÓÕÎÏË 5.5. çÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ y = f (x) îÁÒÉÍÅÒ, ÇÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ f : R −→ R, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f (x) = x2 , ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 5.5. çÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÏÓØ ÏÍÅÞÁÅÔÓÑ x É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ R. ÷ÅÒÔÉËÁÌØÎÁ ÏÓØ ÏÍÅÞÁÅÔÓÑ y É ÚÁÍÅÎÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ (× ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÏÖÅ R). ëÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ, Ô. Å. ÇÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÏÞÅË (x; y ) ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ R × R, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ y = f (x). ÁË ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, f (2) = 4, ÔÏÞËÁ (2; 4) ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, ÞÔÏ ×ÉÄÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ. ðÒÉÍÅÒ 5.7. óÄÅÌÁÊÔÅ ÎÁÂÒÏÓÏË ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎË ÉÉ g : R −→ R, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ g (x) = 2 − x. îÁÊÄÉÔÅ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÉ x = 2 É x = 3. ïÔÍÅÔØÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÇÒÁÆÉËÅ. 5.2. æÕÎË ÉÉ 99 òÅÛÅÎÉÅ. þÅÒÔÅÖ ÇÒÁÆÉËÁ ÒÉ×ÅÄÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 5.6. ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÁÒÁÍ: g (2) = 0 É g (3) = −1. y x (2, 0) (3, -1) òÉÓÕÎÏË 5.6. çÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ g (x) = 2 − x ÅÅÒØ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ×ÁÖÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÆÕÎË ÉÊ. ðÕÓÔØ f : A −→ B | ÆÕÎË ÉÑ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÉÌÉ ÉÎßÅË ÉÅÊ , ÉÌÉ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÊ , ÅÓÌÉ f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 ÄÌÑ ×ÓÅÈ a1 ; a2 ∈ A. üÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ a1 6= a2 ⇒ f (a1 ) 6= f (a2 ); Ô. Å. Õ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÅÔ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÒÁÚÎÙÅ ×ÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÄÁÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÆÕÎË ÉÀ f ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÉÌÉ ÓÀÒßÅË ÉÅÊ , ÉÌÉ ÆÕÎË ÉÅÊ ÎÁ , ÅÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ b ∈ B ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ a ∈ A, ÞÔÏ b = f (a). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ f . íÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ f ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÂÉÅË ÉÅÊ , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ËÁË ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. ðÒÉÍÅÒ 5.8. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÉÓ. 5.7, ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙ, Á ËÁËÉÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙ. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ×ÓÅ ÂÉÅË ÉÉ. 100 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ (á) (à) a 1 a 1 b 2 b 2 c 3 c 3 a 1 a 1 b 2 b 2 (ã) (â) 3 c òÉÓÕÎÏË 5.7. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) äÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ËÁË a, ÔÁË É b. ïÎÁ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÓÀÒßÅË ÉÅÊ, ××ÉÄÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ × ÜÌÅÍÅÎÔ 2 ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÅÒÅÈÏÄÉÔ. (Â) äÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË ËÁË ÎÅ ÉÍÅÅÔ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. ïÎÁ ÖÅ É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. (×) úÎÁÞÅÎÉÅ 1 ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ËÁË ÎÁ a, ÔÁË É ÎÁ b. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÎÁ ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. ïÄÎÁËÏ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ × ÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ×ÈÏÄÑÔ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. (Ç) ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÎÏ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. ÏÌØËÏ × ÓÌÕÞÁÅ (Â) ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÂÉÅË ÉÀ. ðÒÉÍÅÒ 5.9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ h : Z −→ Z, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ h(x) = x2 É ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, É ÎÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÆÕÎË ÉÅÊ f : R −→ R, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÊ ÖÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f (x) = x2 , ÞÅÊ ÇÒÁÆÉË ÂÙÌ ÒÉ×ÅÄÅÎ ×ÙÛÅ. îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ h ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ ÔÏÌØËÏ 5.2. æÕÎË ÉÉ 101 ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. æÁËÔÉÞÅÓËÉ ÇÒÁÆÉË h, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 5.8, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÅÒÉÉ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÔÏÞÅË. y 9 4 1 x -3 -2 -1 1 2 3 òÉÓÕÎÏË 5.8. çÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ h(x) = x2 , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z. þÔÏÂÙ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ h ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÉÅ ÒÁÚÎÙÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ a1 6= a2 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ h(a1 ) = h(a2 ). îÁ ÇÒÁÆÉËÅ ×ÉÄÎÏ ÍÎÏÇÏ ÔÁËÉÈ ÁÒ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. îÁÒÉÍÅÒ, a1 = 2 É a2 = −2. þÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÑ Ó ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØÀ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÆÕÎË ÉÉ h. ïÑÔØ-ÔÁËÉ ÎÁÛ ÇÒÁÆÉË ÏÍÏÇÁÅÔ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ìÀÂÏÅ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ −1, ÇÏÄÉÔÓÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ. ðÒÉÍÅÒ 5.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ k : R −→ R, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ k (x) = 4x + 3, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ k (a1 ) = k (a2 ), Ô. Å. 4a1 + 3 = 4a2 + 3: éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ 4a1 = 4a2 , ÏÔËÕÄÁ a1 = a2 . úÎÁÞÉÔ, k | ÉÎßÅË ÉÑ. ðÕÓÔØ b ∈ R. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ a ∈ R, ÞÔÏ h(a) = b. ñÓÎÏ, ÞÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å a ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ a = 14 (b − 3). éÔÁË, k | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ k Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É ÓÀÒßÅË ÉÅÊ É ÉÎßÅË ÉÅÊ, ÔÏ ÏÎÁ | ÂÉÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. 102 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ 5.3. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f : A −→ B | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ f −1 . åÓÌÉ ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÓÎÏ×Á ÏÌÕÞÉÍ ÆÕÎË ÉÀ, ÔÏ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ É ÉÓÁÔØ f −1 : B −→ A ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ . æÕÎË ÉÑ f ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ ×ÉÄÁ (a; b), ÇÄÅ b = f (a). ëÏÇÄÁ f ÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f −1 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ (b; a), ÇÄÅ a = f −1 (b). úÎÁÞÉÔ, ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÄÏÌÖÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÕÓÌÏ×ÉÀ: ÅÓÌÉ f (a) = b, ÔÏ f −1 (b) = a. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÅÒÅ×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ. ðÒÉÍÅÒ 5.11. ëÁËÉÅ ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ ÒÉÍÅÒÁ 5.8 ÏÂÒÁÔÉÍÙ? òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅÍ ÓÔÒÅÌÏË × ÏÒÇÒÁÆÅ, ÅÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÍ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÔÏÌØËÏ × ÓÌÕÞÁÅ (Â) ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÏÂÒÁÔÉÍÕÀ ÆÕÎË ÉÀ. áËËÕÒÁÔÎÁÑ ÄÏ×ÏÄËÁ ÉÄÅÉ ÅÒÅÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ ÓÔÒÅÌÏË ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÁ ÄÌÑ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ k : R −→ R, k = 4x + 3 (ÓÍ. ÒÉÍÅÒ 5.10). äÅÊÓÔ×ÉÅ k ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÛÁÇÏ×: x - õÍÎÏÖÉÔØ ÎÁ 4 4x - ðÒÉÂÁ×ÉÔØ 3 4x + 3- ä×Å ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ËÏÍÁÎÄÙ: ÕÍÎÏÖÉÔØ ÎÁ 4 É ÒÉÂÁ×ÉÔØ 3 | ÌÅÇËÏ ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ: ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ 4 É ×ÙÞÅÓÔØ 3, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ ÓÔÒÅÌÏË ÄÁÅÔ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ: 1 4 (x − 3) òÁÚÄÅÌÉÔØ (x − 3) ÎÁ 4 ÷ÙÞÅÓÔØ 3 x éÔÁË, k −1 : R −→ R ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ k −1 = 14 (x − 3). îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÔÏÔ ÖÅ ÓÁÍÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ ÕÔÅÍ. ðÕÓÔØ y = k (x), ÔÁË ÞÔÏ x = k −1 (y ). îÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ y = 4x + 3. ÷ÙÒÁÚÉ× ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y , ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ x = 14 (y − 3). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, k −1 (y ) = 14 (y − 3) ÉÌÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ÏÂÙÞÎÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ x × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, k −1 (x) = 14 (x − 3), ËÁË ÎÁÍ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ. 5.3. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ 103 ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × ÒÉÍÅÒÁÈ, ÏÂÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ, ÂÙÌÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÙÍÉ. üÔÏ ÎÅ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÅ: ÏÂÒÁÔÉÍÙ ÔÏÌØËÏ ÂÉÅË ÉÉ. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ ËÒÉÔÅÒÉÊ ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ ÄÌÑ ÏÂÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ f : A −→ B . ÅÏÒÅÍÁ. æÕÎË ÉÑ f ÏÂÒÁÔÉÍÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÞÁÓÔÅÊ. óÎÁÞÁÌÁ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÂÉÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÂÒÁÔÉÍÁ. ðÕÓÔØ f : A −→ B | ÂÉÅË ÉÑ. ëÁË ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, f ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÏ×: f = (a; b) : a ∈ A É f (a) = b : ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÍÅÅÍ: f −1 = (b; a) : a ∈ A É f (a) = b : ðÏÓËÏÌØËÕ f ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ b ∈ B ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ a ∈ A, ÞÔÏ f (a) = b. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ××ÉÄÕ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÉÉ f ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï b ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅ ÁÒÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ f −1 ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. á ÜÔÏ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ f −1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ, ËÁË É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ. ÅÅÒØ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÂÑÚÁÎÁ ÂÙÔØ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÊ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ f −1 | ÆÕÎË ÉÑ. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ b ∈ B ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ A, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ (b; a) ∈ f −1 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (a; b) ∈ f , Ô. Å. b = f (a). üÔÉÍ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ f . äÌÑ ÒÏ×ÅÒËÉ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f ÏÓÔÕÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ f (a1 ) = f (a2 ). ÏÇÄÁ ÏÂÅ ÁÒÙ: (f (a1 ); a1 ) É (f (a2 ); a2 ) | ÌÅÖÁÔ × f −1 . ÁË ËÁË f −1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ, ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: a1 = a2 , ÔÁË ÞÔÏ f ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, f Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ, ËÁË É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÏ×ÅÄÅÎÏ ÏÌÎÏÓÔØÀ: ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ É, × ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÂÉÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÂÒÁÔÉÍÁ. ðÒÉÍÅÒ 5.12. ðÕÓÔØ A = {x : x ∈ R É x 6= 1} É f : A −→ A ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: f (x) = x x−1 : 104 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ f ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ É ÎÁÊÔÉ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÅÊ ÆÕÎË ÉÀ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ f (a1 ) = f (a2 ). ÏÇÄÁ a1 a1 − 1 úÎÁÞÉÔ, a2 = a2 − 1 : a1 a2 − a1 = a1 a2 − a2 ; ÏÔËÕÄÁ a1 = a2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. ðÕÓÔØ b ∈ A | ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ f . îÁÊÄÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔ a ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÀ: f (a) = b, Ô. Å. a a−1 = b: òÁÚÒÅÛÁÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ a, ÎÁÊÄÅÍ a= b b−1 : îÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÎÁÊÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔ a = b−b 1 ∈ A, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ f (a) = b. üÔÏ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÅÔ Ï ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ f . éÔÁË, ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ËÁË ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË É ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. úÎÁÞÉÔ, ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ. ïÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: f −1 (b) = a ×ÓÅÇÄÁ, ËÏÇÄÁ f (a) = b. îÏ, ËÁË ÍÙ ÕÖÅ ×ÙÑÓÎÉÌÉ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ f , a= ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, f −1 : A −→ A, b b−1 f −1 (x) = Ô. Å. ÆÕÎË ÉÑ f ÏÂÒÁÔÎÁ ÓÁÍÁ ÓÅÂÅ. : x x−1 ; íÙ ÚÁËÏÎÞÉÍ ÜÔÏÔ ÁÒÁÇÒÁÆ ÉÚÕÞÅÎÉÅÍ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÆÕÎË ÉÊ. üÔÉÍ ÏÎÑÔÉÅÍ ÂÏÌÅÅ ÌÅÇËÏ Ï×ÌÁÄÅÔØ, ÎÅÖÅÌÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÏÂÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, Ó ËÏÔÏÒÏÊ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ × ÎÁÞÁÌÅ ÇÌÁ×Ù. åÓÌÉ f : A −→ B É g : B −→ C | ÆÕÎË ÉÉ, ÔÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ g ◦ f ÍÅÖÄÕ A É C ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ ×ÉÄÁ (a; ), ÇÄÅ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ b ∈ B (a; b) ∈ f É (b; ) ∈ g . ïÄÎÁËÏ ÜÌÅÍÅÎÔ b = f (a) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï a, ÏÓËÏÌØËÕ f | ÆÕÎË ÉÑ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÜÌÅÍÅÎÔ = g (b) ÔÁËÖÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï b (g ÔÏÖÅ 5.4. ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ 105 ÆÕÎË ÉÑ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÜÌÅÍÅÎÔ = g (f (a)) ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ a É, ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ f É g | ÓÎÏ×Á ÆÕÎË ÉÑ. éÔÁË, ËÏÍÏÚÉ ÉÑ g ◦ f : A −→ C Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÊ Ï ÒÁ×ÉÌÕ (g ◦ f )(x) = g (f (x)). ðÒÉÍÅÒ 5.13. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Å ÆÕÎË ÉÉ: f : R −→ R, f (x) = x2 É g : R −→ R, g (x) = 4x + 3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ g ◦ f , f ◦ g , f ◦ f É g ◦ g . òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÓÅ ÞÅÔÙÒÅ ÎÏ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÎÁ R ÓÏ ÚÎÁÞÅ- ÎÉÑÍÉ × R. (g ◦ f )(x) = g (f (x)) = g (x2 ) = 4x2 + 3; (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (4x + 3) = (4x + 3)2 = 16x2 + 24x + 9; (f ◦ f )(x) = f (f (x)) = f (x2 ) = x4 ; (g ◦ g )(x) = g (g (x)) = g (4x + 3) = 4(4x + 3) + 3 = 16x + 15. ÷ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÑÚÙËÁÈ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÏÞÅÎØ ÛÉÒÏËÏ. ïÎÉ ÄÁÀÔ ÎÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ × ÏÄÒÏÇÒÁÍÍÙ . ÷ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÑÚÙËÏ× ÅÓÔØ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÅ ÂÉÂÌÉÏÔÅËÉ Ó ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÞÁÓÔÏ ÒÉÍÅÎÑÀÝÉÍÉÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ, ÔÁËÉÍÉ ËÁË sin x, log x, |x| É Ô. Ä. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÎÉÈ ÌÅÇËÏ ÓÏÚÄÁ×ÁÔØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÍÏÝÎÙÈ ÑÚÙËÁÈ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ËÁË ÑÚÙËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÆÕÎË ÉÊ. çÌÁ×ÎÁÑ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØ ÔÁËÉÈ ÑÚÙËÏ× | ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ, ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÈ, ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ. þÔÏÂÙ ÕÍÅÔØ ÜÔÏ ÄÅÌÁÔØ, ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ × ÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Å Ï×ÌÁÄÅÔØ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÆÕÎË ÉÊ. ÷ ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ËÁË ÒÁÚ É ÂÕÄÅÔ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÏ×ÁÎÁ ÔÁËÁÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ. 5.4. ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ðÕÓÔØ f : A −→ B | ÆÕÎË ÉÑ, ÒÉÞÅÍ ËÁË A, ÔÁË É B | ËÏÎÅÞÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ A ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×: a1 ; a2 ; : : : ; an . ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ÇÌÁÓÉÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ |A| > |B |, ÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ1 . ðÒÏÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÁÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ai 6= aj , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ f (ai ) = f (aj ). 1 äÏÕÓËÁÑ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ×ÏÌØÎÏÓÔØ, ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ × ÌÅÇËÏ ÚÁÏÍÉÎÁÀÝÅÊÓÑ ÆÏÒÍÅ: ÎÅÌØÚÑ ÒÁÓÓÁÄÉÔØ 10 ÚÁÊ Å× × 9 ËÌÅÔÏË ÔÁË, ÞÔÏÂÙ × ËÁÖÄÏÊ ËÌÅÔËÅ ÓÉÄÅÌ ÏÄÉÎ ÚÁÑ . | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 106 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÒÉÎ ÉÁ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ÒÁÚÎÙÈ ÉÎÄÅËÓÏ× i 6= j ÍÙ ÉÍÅÅÍ: f (ai ) 6= f (aj ). ÏÇÄÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×: f (a1 ); f (a2 ); : : : ; f (an ). é ÕÖ ×Ï ×ÓÑËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, |B | > n, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ: n = |A| > |B |. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÓÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ai ; aj ∈ A, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ f (ai ) = f (aj ). ðÒÉÍÅÒ 5.14. ÷ Á×ÔÏÂÕÓÅ ÅÄÅÔ 15 ÌÀÄÅÊ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Õ Ä×ÏÉÈ ÉÚ ÎÉÈ ÄÅÎØ ÒÏÖÄÅÎÉÑ × ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÍÅÓÑ Å. òÅÛÅÎÉÅ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÀÄÅÊ × Á×ÔÏÂÕÓÅ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÂÕË×ÏÊ A, Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ 12 ÍÅÓÑ Å× ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ B . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A −→ B , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ËÁÖÄÏÍÕ ÞÅÌÏ×ÅËÕ ÉÚ Á×ÔÏÂÕÓÁ ÍÅÓÑ ÅÇÏ ÒÏÖÄÅÎÉÑ. ÁË ËÁË |A| = 15, Á |B | = 12, ÔÏ |A| > |B |. ðÏ ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ ÆÕÎË ÉÑ f ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÅÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, Ô. Å. ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Á ÞÅÌÏ×ÅËÁ Ó ÏÄÎÉÍ É ÔÅÍ ÖÅ ÍÅÓÑ ÅÍ ÒÏÖÄÅÎÉÑ. úÁÄÁÞÕ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 5.14 ÌÅÇËÏ ÒÅÛÉÔØ É ÍÅÎÅÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ. äÁÎÏ 15 ÞÅÌÏ×ÅË É 12 ÍÅÓÑ Å×. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×ÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÒÏÄÉÌÉÓØ × ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÍÅÓÑ . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÔÒÕÄÎÏ ÏÎÑÔØ, ÚÁÞÅÍ ÎÁÍ ÒÉÍÅÎÑÔØ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ËÁË ÜÔÏ ÂÙÌÏ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. ïÄÎÁËÏ, ËÁË ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ ÄÁÌØÛÅ, ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÅÛÅÎÙ ÔÏÌØËÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÉÎ ÉÁ äÉÒÉÈÌÅ, ÅÓÌÉ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÁÍ ÕÄÁÓÔÓÑ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ ÏÄÈÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ. ðÏÉÓË ÎÕÖÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ | ×ÓÅÇÄÁ ÓÁÍÁÑ ÔÒÕÄÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ. ëÌÀÞÅ×ÁÑ ÉÄÅÑ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ, ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÒÁÚÍÅÝÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÂßÅËÔÏ× (ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A) × ÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ËÌÅÔÏË (ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ). ðÏÜÔÏÍÕ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Á ÏÂßÅËÔÁ ÏÁÄÕÔ × ÏÄÎÕ. ðÒÉÍÅÒ 5.15. ëÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÆÁÍÉÌÉÊ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÚÁ- ÉÓÁÎÏ × ÔÅÌÅÆÏÎÎÏÍ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÅ, ÞÔÏÂÙ Ó ÇÁÒÁÎÔÉÅÊ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Å ÆÁÍÉÌÉÉ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÂÕË×Ù É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ? òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÁÍÉÌÉÊ × ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÅ, Á B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÒ ÂÕË×, ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ÉÚ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ, ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÀÝÅÇÏ 33 ÂÕË×Ù. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ f : A −→ B ÆÕÎË ÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ËÁÖÄÏÊ ÆÁÍÉÌÉÉ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÁ ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÁÒÕ ÂÕË×: ÅÒ×ÕÀ É ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÂÕË×Ù ÆÁÍÉÌÉÉ. îÁÒÉÍÅÒ, f (ëÕÚÎÅ Ï×) = (Ë; ×). íÎÏÖÅÓÔ×Ï B ÓÏÄÅÒÖÉÔ 33 · 33 = 1 089 ÁÒ ÂÕË×. ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ ÎÁÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ |A| > |B | = 1 089, 5.4. ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ 107 ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Å ÆÁÍÉÌÉÉ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÅÓÑ É ÏËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÂÕË×Ù. ðÏÜÔÏÍÕ ÔÅÌÅÆÏÎÎÙÊ ÓÒÁ×ÏÞÎÉË ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 1 090 ÆÁÍÉÌÉÊ2 . ðÒÉÍÅÒ 5.16. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÁËÉÅ ÂÙ ÑÔØ ÉÆÒ ÉÚ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 É 8 ÍÙ ÎÉ ×ÙÂÒÁÌÉ, ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Å ÉÚ ÎÉÈ, ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÁ 9. òÅÛÅÎÉÅ. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍ ÁÒÙ ÉÆÒ, ÄÁÀÝÉÈ × ÓÕÍÍÅ 9. {1; 8}; {2; 7}; {3; 6}; {4; 5}: ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÑÔÉ ÉÆÒ (ÎÅ ×ÁÖÎÏ ËÁËÉÈ ËÏÎËÒÅÔÎÏ), Á ÞÅÒÅÚ B ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÒ: B = {1; 8}; {2; 7}; {3; 6}; {4; 5} : òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A −→ B , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ËÁÖÄÏÊ ÉÆÒÅ ÉÚ ÑÔÅÒËÉ ÁÒÕ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B , ËÏÔÏÒÁÑ × ÎÅÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ. îÁÒÉÍÅÒ, f (3) = {3; 6}. ðÏ ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Å ÉÆÒÙ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÏÁÄÕÔ × ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÁÒÕ. ëÏÒÏÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, Ä×Å ÉÚ ÑÔÉ ÉÆÒ ÄÁÄÕÔ × ÓÕÍÍÅ 9. ðÒÉÎ É ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÉÀ f : A −→ B , ÇÄÅ A É B | ËÏÎÅÞÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. åÓÌÉ |A| > k |B | ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ k , ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ f , ËÏÔÏÒÏÅ ÏÎÁ ÂÕÄÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ k + 1 ÒÁÚ. üÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÑ f ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ k ÒÁÚ, ÔÏ ×ÓÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÓÏÓÔÏÉÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÉÚ k |B | ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ðÒÉÍÅÒ 5.17. ëÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÆÁÍÉÌÉÊ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÚÁ- ÉÓÁÎÏ × ÔÅÌÅÆÏÎÎÏÍ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÅ, ÞÔÏÂÙ Ó ÇÁÒÁÎÔÉÅÊ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ÂÙ ÑÔØ ÆÁÍÉÌÉÊ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÂÕË×Ù ÁÌÆÁ×ÉÔÁ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ? òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ f : A −→ B | ÆÕÎË ÉÑ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 5.15. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÏÄÓÞÉÔÁÌÉ, B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 1 089 ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. þÔÏÂÙ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÑÔØ ÆÁÍÉÌÉÊ ÎÁÞÉÎÁÌÉÓØ É ÏËÁÎÞÉ×ÁÌÉÓØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ, ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ, ÞÔÏÂÙ |A| > 4|B | = 4 356. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÅÌÅÆÏÎÎÙÊ ÓÒÁ×ÏÞÎÉË ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÞÅÍ 4 357 ÁÂÏÎÅÎÔÏ×. 2 åÓÌÉ ÕÞÅÓÔØ, ÞÔÏ ÆÁÍÉÌÉÉ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ Ó ÂÕË× ø É ÿ, ÔÏ ÔÒÅÂÕÅÍÙÊ ÏÂßÅÍ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÁ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÍÅÎØÛÅ. ðÏÙÔÁÊÔÅÓØ ÅÇÏ ÎÁÊÔÉ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 108 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ðÒÉÍÅÒ 5.18. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÊ ÇÒÕÅ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÞÅÌÏ×ÅË ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÒÏÅ, ÚÎÁËÏÍÙÅ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ, ÉÌÉ ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅ ÚÎÁÀÝÉÅ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ x | ÏÄÉÎ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÌÀÄÅÊ, A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÑÔÉ ÌÀÄÅÊ × ÇÒÕÅ É B = {0; 1}. ïÒÅÄÅÌÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A −→ B Ï ÒÁ×ÉÌÕ: f (a) = 0; ÅÓÌÉ a ÎÅ ÚÎÁËÏÍ Ó x; 1; ÅÓÌÉ a ÚÎÁËÏÍ Ó x: ðÏÓËÏÌØËÕ 5 = |A| > 2|B |, ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÒÉ ÞÅÌÏ×ÅËÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÉÂÏ ×ÓÅ ÚÎÁËÏÍÙ Ó x, ÌÉÂÏ ×ÓÅ ÔÒÏÅ ÅÇÏ ÎÅ ÚÎÁÀÔ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÔÒÉ ÞÅÌÏ×ÅËÁ a, b É ÚÎÁËÏÍÙ Ó x. åÓÌÉ ×ÓÅ ÔÒÉ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÎÅ ÚÎÁËÏÍÙ, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÁËÁÑ-ÔÏ ÁÒÁ, ÓËÁÖÅÍ a É b ÚÎÁÅÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ. îÏ ÏÎÉ ÖÅ ÚÎÁËÏÍÙ É Ó x. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÔÒÏÅ ÌÀÄÅÊ: a, b É x | ÈÏÒÏÛÉÅ ÚÎÁËÏÍÙÅ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÁÚÂÉÒÁÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ÎÁÛÌÁÓØ ÔÒÏÊËÁ ÌÀÄÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ Ó x ÎÅ ÚÎÁËÏÍÙ. ðÒÅÄÙÄÕÝÉÅ ÒÉÍÅÒÙ ÎÁÇÌÑÄÎÏ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÀÔ, ÞÔÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÒÉÎ ÉÁ äÉÒÉÈÌÅ ÔÒÅÂÕÅÔ ÁËËÕÒÁÔÎÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ É, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ, ÔÏÎËÉÈ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ. õÄÁÞÎÏ, ÞÔÏ × ÎÁÛÉÈ ÒÉÍÅÒÁÈ ÂÙÌÏ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÓÌÏÖÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ A É B . ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÔÁË ÂÙ×ÁÅÔ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ, É × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÒÁÚÏ×ØÅÍ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÅÒÅÓÞÅÔÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÑÔ ÎÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÞØÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5 5.1. ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ {1; 2; 3} É {1; 2; 3; 4}; ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ÁÒ: R = (1; 1); (2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 4) : ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ {1; 2; 3; 4} É {1; 2}; îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5 109 ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÁÒ: S = (1; 1); (1; 2); (2; 1); (3; 1); (4; 2) : ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ R−1 , S −1 É S ◦ R. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ (S ◦ R )− 1 = R − 1 ◦ S − 1 : 5.2. ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÒÏÄÉÔÅÌØ ..., Á S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÂÒÁÔ ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ. äÁÊÔÅ ËÒÁÔËÏÅ ÓÌÏ×ÅÓÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ: R−1 , S −1 , R ◦ S , S −1 ◦ R−1 É R ◦ R. 5.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A, ÔÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë ÎÅÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R−1 ÔÏÖÅ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A. ëÁËÏ×Á Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ É ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ R É R−1 ? 5.4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ R É S ÚÁÄÁÎÙ ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ M É N ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÇÄÅ M = é é ì ì ì é É é  é N = ì  ì é é é ì é  é ì : é ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÂÕÌÅ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ M N . ëÁËÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÜÔÉÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ? 5.5. ðÕÓÔØ A = {0; 2; 4; 6} É B = {1; 3; 5; 7}. ëÁËÉÅ ÉÚ ÎÉÖÅÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ A ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × B ? (Á) (6; (Â) (2; (×) (2; (Ç) (6; 3); (2; 1); (0; 3); (4; 5) ; 3); (4; 7); (0; 1); (6; 5) ; 1); (4; 5); (6; 3) ; 1); (0; 3); (4; 1); (0; 7); (2; 5) . ëÁËÉÅ ÉÚ ÎÁÊÄÅÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙ, Á ËÁËÉÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙ? 5.6. ðÒÏ ËÁÖÄÕÀ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÞØÉ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅ- ÎÉÑ É ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó Z, ÓËÁÖÉÔÅ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÏÎÉ ÉÎßÅË ÉÑÍÉ, ÓÀÒßÅË ÉÑÍÉ ÉÌÉ ÂÉÅË ÉÑÍÉ. (Á) f (n) = 2n + 1; 110 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ (Â) g (n) = (×) h(n) = n; ÅÓÌÉ n ÞÅÔÎÏ; 2 2n; ÅÓÌÉ n ÎÅÞÅÔÎÏ; n + 1; n − 1; ÅÓÌÉ n ÞÅÔÎÏ; ÅÓÌÉ n ÎÅÞÅÔÎÏ: 5.7. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÇÒÁÆÉËÉ ÆÕÎË ÉÊ: (Á) f : Z −→ Z, f (x) = x2 + 1; (Â) g : N −→ N, g (x) = 2x ; (×) h : R −→ R, h(x) = 5x − 1; 2x − 3 ÅÓÌÉ x > 1; (Ç) j : R −→ R, j (x) = x+1 ÅÓÌÉ x < 1; (Ä) k : R −→ R, k (x) = x + |x|; (Å) l : R −→ R, l(x) = 2x − |x|. îÁÚÏ×ÉÔÅ ÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ É ÓËÁÖÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÎÉÈ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙ, Á ËÁËÉÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙ (|x| ÚÄÅÓØ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÏÄÕÌØ ÞÉÓÌÁ x, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÊ Ó x ÒÉ x > 0 É ÒÁ×ÎÙÊ −x ÒÉ x < 0). 5.8. æÕÎË ÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÅÌÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÞÉÓÌÁ , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ x ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÅ x, É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÔÁË: ⌊x⌋. (Á) ðÕÓÔØ A = {−1; 0; 1; 2} É jÆÕÎË kÉÑ f : A −→ Z ÏÒÅ2 ÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: f (x) = x 3+1 : îÁÊÄÉÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ f . (Â) ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÆÕÎË ÉÑ g : Z −→ Z, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ jnk g (n) = 2 ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ, ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÉÌÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÊ. 5.9. æÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÚÁÄÁÎÁ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: f (x) = 1 + x2 , ÇÄÅ A ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ 0, Á B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÂÅÚ 1. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ f ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ É ÎÁÊÄÉÔÅ ÏÂÒÁÔÎÕÀ Ë ÎÅÊ ÆÕÎË ÉÀ. 5.10. æÕÎË ÉÉ f : R −→ R É g : R −→ R ÚÁÄÁÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: f (x) = x2 É ( 2x + 1; g (x) = −x; ÅÓÌÉ x > 0; ÅÓÌÉ x < 0: ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ: f ◦ g , g ◦ f É g ◦ g . îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5 111 5.11. ðÕÓÔØ f : A −→ B É g : B −→ C | ÆÕÎË ÉÉ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ (Á) ÅÓÌÉ f É g ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙ, ÔÏ g ◦ f ÔÏÖÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ; (Â) ÅÓÌÉ f É g ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙ, ÔÏ g ◦ f ÔÏÖÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ; (×) ÅÓÌÉ f É g ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÔÏ (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . 5.12. (Á) óËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÎÕÖÎÏ ÂÒÏÓÉÔØ ÉÇÒÁÌØÎÕÀ ËÏÓÔØ, ÞÔÏÂÙ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÞÉÓÌÏ ÎÁ ÎÅÊ ×ÙÁÌÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×ÁÖÄÙ? (Â) óËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÎÕÖÎÏ ÂÒÏÓÉÔØ Ä×Å ÉÇÒÁÌØÎÙÅ ËÏÓÔÉ, ÞÔÏÂÙ Ó ÇÁÒÁÎÔÉÅÊ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ: ÓÕÍÍÁ ×ÙÁ×ÛÉÈ ÏÞËÏ× ÏÑ×ÉÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×ÁÖÄÙ? (×) óËÏÌØËÏ ËÁÒÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÔÁÝÉÔØ ÉÚ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ËÏÌÏÄÙ × 52 ËÁÒÔÙ, ÞÔÏÂÙ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÁÌÉÓØ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Å ÏÄÎÏÊ ÍÁÓÔÉ? (Ç) óËÏÌØËÏ ËÁÒÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÔÁÝÉÔØ ÉÚ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ËÏÌÏÄÙ × 52 ËÁÒÔÙ, ÞÔÏÂÙ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÁÌÉÓØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÞÅÔÙÒÅ ÏÄÎÏÊ ÍÁÓÔÉ? 5.13. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ × ÏÄÎÏÍ ÓÅÌÅ ÒÏÖÉ×ÁÅÔ 79 ÓÅÍÅÊ, × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ Ï 2 ÒÅÂÅÎËÁ. (Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Å ÓÅÍØÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÍÅÓÑ Ù ÒÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÏÉÈ ÄÅÔÅÊ, Ô. Å., ÅÓÌÉ × ÅÒ×ÏÊ ÓÅÍØÅ ÄÅÔÉ ÒÏÄÉÌÉÓØ × ÑÎ×ÁÒÅ É ÍÁÅ, ÔÏ É ×Ï ×ÔÏÒÏÊ | × ÑÎ×ÁÒÅ É ÍÁÅ. (Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Õ ÛÅÓÔÅÒÙÈ ÄÅÔÅÊ ÉÍÅÎÁ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÂÕË×Ù. 5.14. ðÕÓÔØ S = {1; 2; : : : ; 20}. (Á) ëÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÚÑÔØ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , ÞÔÏÂÙ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Á ÉÚ ÎÉÈ × ÓÕÍÍÅ ÄÁ×ÁÌÉ 22? (Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×ÚÑÔØ 11 ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , ÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÎÏ ÉÚ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÂÕÄÅÔ ÄÅÌÉÔØ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ × ×ÙÂÏÒËÅ. (õËÁÚÁÎÉÅ: ÉÓÏÌØÚÕÊÔÅ ÆÕÎË ÉÀ f , ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁÖÄÏÍÕ ÅÌÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÅÇÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ. îÁÒÉÍÅÒ, f (12) = 3.) 112 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù ïÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ R ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ËÁË R−1 ; ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ B É A É ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ: R−1 = (b; a) : (a; b) ∈ R . ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B , É S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ B É ÔÒÅÔØÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ C . ëÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ R É S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ A É C , ËÏÔÏÒÏÅ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: S ◦ R = (a; ) : a ∈ A; ∈ C É a R b; b S ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ b ∈ B : ðÕÓÔØ M É N | ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ R É S ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ìÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÉÌÉ ÂÕÌÅ×ÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÁÔÒÉ M N ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ËÏÍÏÚÉ ÉÉ S ◦ R. æÕÎË ÉÅÊ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × B , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ f ÍÅÖÄÕ A É B , ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ B . úÁÉÓØ f : A −→ B ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÆÕÎË ÉÀ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B . íÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÂÌÁÓÔØÀ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ f , Á B | ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f . íÙ ÉÛÅÍ y = f (x), ÞÔÏÂÙ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ, ÞÔÏ y ∈ B | ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ f , ÒÉÎÉÍÁÅÍÏÅ ÎÁ ÁÒÇÕÍÅÎÔÅ x. ÏÔ ÖÅ y ÅÝÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÂÒÁÚÏÍ x ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ f . íÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × B : f (A) = f (x) : x ∈ A (ÎÅ ÕÔÁÊÔÅ Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ). æÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ (ÉÌÉ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÊ), ÅÓÌÉ f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 ÄÌÑ ×ÓÅÈ a1 ; a2 ∈ A. æÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ b ∈ B ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ a ∈ A, ÞÔÏ f (a) = b. æÕÎË ÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ËÁË ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÉÅË ÉÅÊ ÉÌÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÊ. åÓÌÉ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ÆÕÎË ÉÉ f ÓÎÏ×Á ÆÕÎË ÉÑ, ÔÏ ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ f ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ. æÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÏÂÒÁÔÉÍÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ñÚÙËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ 113 ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ. ïÂÒÁÔÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ Ë f ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ f −1 : B −→ A. åÓÌÉ f (a) = b, ÔÏ f −1 (b) = a. ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ f : A −→ B | ÆÕÎËÉÑ, ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÁÑ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A × ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B , ÒÉÞÅÍ |A| > |B |, ÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÎÏ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ f ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ. åÓÌÉ |A| > k |B | ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ k , ÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f Ï×ÔÏÒÉÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ k + 1 ÒÁÚ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ñÚÙËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ñÚÙË ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÅÒÉÒÕÅÔ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. ÁËÉÅ ÑÚÙËÉ ÕÓÅÛÎÏ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÜËÓÅÒÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ, ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÂÝÅÓÍÙÓÌÏ×ÙÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÑÚÙËÏ×ÙÈ ÉÎÔÅÒÆÅÊÓÏ× É ÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÀÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÒÅÞÉ É ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. óÉÌÁ ÜÔÉÈ ÑÚÙËÏ× ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÉÈ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÉ ÓÔÒÏÉÔØ ÓÌÏÖÎÙÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÉÚ ÒÏÓÔÙÈ, ËÏÍÂÉÎÉÒÕÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÆÕÎËÉÉ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ, ÓÏÚÄÁÎÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÔ ÓÌÏÖÎÙÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÄÏÓÔÕÎÙÅ É ×ÅÓØÍÁ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. úÄÅÓØ ÍÙ ÏÉÛÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÅÒÉÒÕÅÔ Ó ÔÅËÓÔÏÍ ÔÁË, ËÁË ÜÔÏ ÍÏÖÅÔ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ × ÒÏÓÔÏÍ ÔÅËÓÔÏ×ÏÍ ÒÅÄÁËÔÏÒÅ. ðÕÓÔØ C = Á; Â; ×; : : : ; Ñ | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÉÔÅÒ ÎÉÖÎÅÇÏ ÒÅÇÉÓÔÒÁËÌÁ×ÉÁÔÕÒÙ ËÏÍØÀÔÅÒÁ Ó ËÉÒÉÌÌÉ ÅÊ, Á P ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï 0; 1; 2; : : : . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ S ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÒÏË (ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ) ÜÔÉÈ ÌÉÔÅÒ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÙÛØ | ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S, ËÁË É ÕÓÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ . äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ: har : S −→ C, ÇÄÅ har(s) | ÅÒ×ÁÑ ÂÕË×Á ÎÅÕÓÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ s. : S −→ S, ÇÄÅ rest(s) | ÓÔÒÏËÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÉÚ ÎÅÕÓÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ s ÕÄÁÌÅÎÉÅÍ ÅÅ ÅÒ×ÏÊ ÌÉÔÅÒÙ. rest add har : C × S −→ S, ÇÄÅ add har( ; s) | ÓÔÒÏËÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÉÚ s ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ Ë ÅÅ ÎÁÞÁÌÕ ÌÉÔÅÒÙ . len : S −→ P, ÇÄÅ len(s) | ÞÉÓÌÏ ÌÉÔÅÒ × ÓÔÒÏËÅ s. 114 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ðÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÏ ÎÁÛÉ ÓÅ ÉÆÉÞÅÓËÉÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÎÁÓ ÎÅ ÄÏÌÖÎÏ ×ÏÌÎÏ×ÁÔØ, ËÁË ÏÎÉ ÕÓÔÒÏÅÎÙ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÎÉÚËÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÄÏÓÔÕ Ë ÎÉÍ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É Ë ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÍ ÆÕÎË ÉÑÍ ÎÁ ËÁÌØËÕÌÑÔÏÒÅ | ÒÏÓÔÙÍ ÎÁÖÁÔÉÅÍ ËÎÏËÉ. úÁÄÁÞÁ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ har(s), len(rest(s)) É add har ÅÓÌÉ s = ÓÏÎ. har(s); add har Ì; , rest(s) òÅÛÅÎÉÅ. har(s) = har(ÓÏÎ) = Ó; len(rest(s)) = len(rest(ÓÏÎ)) = len(ÏÎ) = 2; add har har(s); add har Ì; rest(s) = = add har Ó; add har Ì; rest(ÓÏÎ) = = add har Ó; add har(Ì; ÏÎ) = = add har(Ó; ÌÏÎ) = ÓÌÏÎ. úÁÄÁÞÁ 2. ïÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÆÕÎË ÉÉ add har( har(s); add har( ; rest(s))); ÇÄÅ s | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÎÅÕÓÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ, Á | ÌÀÂÁÑ ÌÉÔÅÒÁ. òÅÛÅÎÉÅ. ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ×ÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÏ×ÕÀ ÌÉÔÅÒÕ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÌÅ ÅÒ×ÏÊ ÌÉÔÅÒÙ ÓÔÒÏËÉ s. úÁÄÁÞÁ 3. æÕÎË ÉÑ third : S −→ C ÎÕÖÎÁ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÔÒÅ- ÔØÅÊ Ï ÓÞÅÔÕ ÌÉÔÅÒÙ × ÓÔÒÏËÅ ÉÚ ÔÒÅÈ É ÂÏÌÅÅ ÌÉÔÅÒ. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ third ÞÅÒÅÚ har É rest. òÅÛÅÎÉÅ. ÒÅÔØÑ ÌÉÔÅÒÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÓÔÒÏËÉ s ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÊ ÄÌÉÎÙ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÅÒ×ÙÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ÓÔÒÏËÉ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÉÚ s ÕÄÁÌÅÎÉÅÍ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ. ðÏÜÔÏÍÕ third(s) = har(rest(rest(s))): ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ñÚÙËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ 115 úÁÄÁÞÁ 4. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÎÁÊÄÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ reverse2 : S −→ S, ËÏÔÏÒÁÑ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÅÒ×ÙÅ Ä×Å ÌÉÔÅÒÙ × ÓÔÒÏËÅ ÄÌÉÎÙ 2 É ÂÏÌÅÅ. ðÕÓÔØ s | ××ÏÄÉÍÁÑ ÓÔÒÏËÁ. ðÅÒ×ÁÑ ÌÉÔÅÒÁ ×Ù×ÏÄÉÍÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÒÁ×ÎÁ har(rest(s)), Á ×ÔÏÒÁÑ | har(s). ïÓÔÁÌØÎÙÅ ÌÉÔÅÒÙ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÉÚÍÅÎÎÙÍÉ É ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó rest(rest(s)). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ reverse2(s) ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: òÅÛÅÎÉÅ. add har( har(rest(s)); add har( har(s); rest(rest(s)))): úÁÄÁÞÁ 5. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ×ÚÑ× × ËÁÞÅÓÔ×Å ××ÏÄÎÏÊ ÓÔÒÏËÉ s = ËÌÏ. Input s begin u := ; t := s; i := 0; while i < len(s) do := har(t); t := rest(t); u := add har( ; u); i := i + 1; end Output u þÔÏ ÄÅÌÁÅÔ ÜÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ? òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÏÓÌÅÄÉÍ ÚÁ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ , t, u É i × ÔÅÞÅÎÉÅ ÒÁÂÏÔÙ ÉËÌÁ while É Ó×ÅÄÅÍ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ × ÔÁÂÌ. 5.1 ÁÂÌÉ Á 5.1 ðÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ 0 1 2 3 4 | Ë Ì Ï t u i ËÌÏ ÌÏ Ï Ë ÌË ÏÌË ÏÌË 0 1 2 3 3 i < 4? äÁ äÁ äÁ äÁ îÅÔ áÌÇÏÒÉÔÍ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÌÉÔÅÒÙ ÓÔÒÏËÉ × ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. 116 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ëÁË ÷Ù ÍÏÇÌÉ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÁÛÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÎÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ××ÏÄÉÍÙÈ ÓÔÒÏË. îÁÒÉÍÅÒ, rest ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÓÔÒÏËÅ s = , Á reverse2 ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÓÔÒÏËÁÈ ÄÌÉÎÙ ÍÅÎØÛÅ 2. ðÒÉÞÉÎÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÍÁÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÅÒÕÔÓÑ ×ÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÅ ÆÕÎË ÉÉ . õ ÎÉÈ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ×ÈÏÄÎÙÅ É ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ, ÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÚÎÁÞÅÎÉÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÞÁÓÔÉÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ rest Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÁË: rest : S −→ S, ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ: s ∈ S É s 6= , ÇÄÅ rest(s) | ÓÔÒÏËÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÉÚ s, ÕÄÁÌÅÎÉÅÍ ÅÅ ÅÒ×ÏÊ ÌÉÔÅÒÙ. òÁÂÏÔÁÑ Ó ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÂÙÔØ ÏÞÅÎØ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÙÍ. ðÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÆÕÎË ÉÑ rest(rest(s)) ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÓÔÒÏËÁÈ ÄÌÉÎÙ 1 ÉÌÉ ÍÅÎØÛÅ, ÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ rest ◦ rest | s ∈ S É len(s) > 1. çìá÷á 6 ëïíâéîáïòéëá ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂÌÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÅÊÓÑ ÏÄÓÞ£ÔÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. îÁ ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ, ËÁÚÁÌÏÓØ ÂÙ, ×ÏÒÏÓ Ï ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÞÁÓÔÏ ÏÞÅÎØ ÔÒÕÄÎÏ ÄÁÔØ ÏÔ×ÅÔ. íÙ ÕÖÅ ÒÅÛÁÌÉ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÚÁÄÁÞÉ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ (ÇÌÁ×Á 3) É ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ (ÇÌÁ×Á 5). ÷ ÜÔÏÊ ÖÅ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÏÂÒÁÔÉÍÓÑ Ë ÄÒÕÇÉÍ ÚÁÄÁÞÁÍ ÅÒÅÓÞÅÔÁ, ÞØÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ Ä×ÕÈ ÎÏ×ÙÈ ÒÉÎ ÉÏ×: ÒÁ×ÉÌ ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. ïÂÝÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÅÒÅÓÞÅÔÁ Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ×ÙÂÏÒËÏÊ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ÁËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÌÅÚÎÏ ÄÅÌÉÔØ ÎÁ ÔÉÙ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁË ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ: Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÅÍ ÉÌÉ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, Ó ÕÞÅÔÏÍ ÏÒÑÄËÁ ×ÙÂÏÒÁ ÉÌÉ ÂÅÚ ÏÎÏÇÏ. íÙ ×Ù×ÅÄÅÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÔÉÏ× ÚÁÄÁÞ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Ù ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÂÉÎÏÍÏÍ îØÀÔÏÎÁ É ÕÓÔÁÎÏ×ÉÍ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÅÇÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ É ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌ ÏÄÓÞÅÔÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÁÎÅÅ. üÔÁ Ó×ÑÚØ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÂÏÂÝÅÎÁ ÎÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ: (x1 + x2 + · · · + xk )n : ïÎÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ×ÙÂÏÒÏË ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÇÕÔ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ. ðÏÓÌÅ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ É ËÒÁÔËÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ ÇÌÁ×Ù, ÍÙ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× . üÔÏ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÊ Ë ÒÏÂÌÅÍÁÍ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÉ. 6.1. ðÒÁ×ÉÌÁ ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ îÁÞÎÅÍ ÜÔÏÔ ÁÒÁÇÒÁÆ Ó ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÒÑÄÁ ÒÏÓÔÙÈ ÚÁÄÁÞ. úÁÄÁÞÁ 1. ÷ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ËÏÎÄÉÔÅÒÓËÏÊ Ë ËÏÎ Õ ÒÁÂÏÞÅÇÏ ÄÎÑ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÒÏÖÎÙÈ: ÞÅÔÙÒÅ ×ÁÎÉÌØÎÙÈ, Ä×Á ÛÏËÏÌÁÄÎÙÈ É ÔÒÉ ÆÒÕËÔÏ×ÙÈ. ïÄÉÎ ÏËÕÁÔÅÌØ ÓÏÂÉÒÁÅÔÓÑ ËÕÉÔØ ÉÒÏÖÎÙÅ ÅÒÅÄ ÚÁËÒÙÔÉÅÍ ËÏÎÄÉÔÅÒÓËÏÊ. óËÏÌØËÏ ÉÒÏÖÎÙÈ ÍÏÖÅÔ ×ÙÂÒÁÔØ ÏËÕÁÔÅÌØ? 118 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ úÁÄÁÞÁ 2. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÓÍÅÛÁÎÎÕÀ ËÏÍÁÎÄÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÕÄÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÍÅÓÔÎÙÊ ÔÅÎÎÉÓÎÙÊ ËÌÕÂ ÎÁ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑÈ. ÷ ÓÏÒÔÉ×ÎÏÍ ËÌÕÂÅ ÓÏÓÔÏÑÔ 6 ÖÅÎÝÉÎ É 9 ÍÕÖÞÉÎ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÄÌÑ ÕÞÁÓÔÉÑ × ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑÈ? úÁÄÁÞÁ 3. óËÏÌØËÏ ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó 3 ÉÌÉ 4? ðÅÒ×ÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ ÏÄÓÞÅÔÏÍ. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÉÒÏÖÎÙÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙ, ÍÙ ÒÏÓÔÏ ÍÏÖÅÍ ÓÌÏÖÉÔØ ÉÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á. üÔÏ ÄÁÅÔ 4 + 2 + 3 = 9 ÉÒÏÖÎÙÈ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏËÕÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ×ÙÂÏÒ. ÷Ï ×ÔÏÒÏÊ ÚÁÄÁÞÅ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 6 ÖÅÎÝÉÎ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌØÎÉ Õ ËÌÕÂÁ, É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÄÏÂÒÁÔØ ÁÒÔÎÅÒÁ ÓÒÅÄÉ ÄÅ×ÑÔÉ ÍÕÖÞÉÎ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÒÁ×ÎÏ 6 · 9 = 54. üÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÔ Ä×Á ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÈ ÒÁ×ÉÌÁ ÅÒÅÓÞÅÔÁ. ðÒÁ×ÉÌÏ ÓÕÍÍÙ ÇÌÁÓÉÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ A É B | ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÅ ÓÏÂÙÔÉÑ, É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ A, É n2 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ B , ÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ A ÉÌÉ B ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ n1 + n2 . ðÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÄÁÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ k ÓÏÂÙÔÉÊ Ó n1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉ ÅÒ×ÏÇÏ, n2 | ×ÔÏÒÏÇÏ, É Ô. Ä., ×ÌÏÔØ ÄÏ nk ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ k ÓÏÂÙÔÉÊ ÒÁ×ÎÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ n1 · n2 · · · nk . ðÒÁ×ÉÌÏ ÓÕÍÍÙ, Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ, | ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ A É B ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÓÈÏÄÏ×, ÔÏ |A| = n1 , |B | = n2 ; Á ÏÓËÏÌØËÕ ÓÏÂÙÔÉÑ A É B ÎÅ Ó×ÑÚÁÎÙ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. ÏÇÄÁ, Ï ÆÏÒÍÕÌÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ, |A ∪ B | = |A| + |B |, Ô. Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∪ B ÓÏÄÅÒÖÉÔ n1 + n2 ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n1 + n2 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÁ ÓÏÂÙÔÉÑ A ÉÌÉ B . ðÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÔÏÖÅ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÎÁ ÑÚÙËÅ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×. ðÕÓÔØ A1 ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï n1 ÉÓÈÏÄÏ× ÅÒ×ÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ, A2 | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï n2 ÉÓÈÏÄÏ× ×ÔÏÒÏÇÏ, É Ô. Ä. ÏÇÄÁ ÌÀÂÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ k ÓÏÂÙÔÉÊ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÜÌÅÍÅÎÔ ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ A1 × A2 × · · · × Ak , ÞØÑ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÒÁ×ÎÁ |A1 | · |A2 | · · · |Ak |. ÅÅÒØ ÍÙ ÇÏÔÏ×Ù ÒÅÛÉÔØ ÔÒÅÔØÀ ÉÚ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ ÓÕÍÍÙ, ÔÁË É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. ÒÅÈÚÎÁÞÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ × ÚÁÄÁÞÅ, ÅÓÔÅ- 6.1. ðÒÁ×ÉÌÁ ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ 119 ÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ Ä×Á ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ËÌÁÓÓÁ. ë ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÎÉÈ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÞÉÓÌÁ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÅÓÑ Ó 3, Á ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ | Ó 4. äÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ÞÉÓÅÌ × ÅÒ×ÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÉÎ ×ÏÚÍÏÖÎÙÊ ÉÓÈÏÄ ÄÌÑ ÅÒ×ÏÊ ÉÆÒÙ (ÏÎÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÁ 3), 10 ÉÓÈÏÄÏ× ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÊ É 10 ÉÓÈÏÄÏ× ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÉÆÒÙ. ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅÇÏ ÞÉÓÅÌ × ÅÒ×ÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ 1 · 10 · 10 = 100. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÏÖÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ËÌÁÓÓÅ. ïÎÏ ÔÏÖÅ ÒÁ×ÎÏ 100. îÁËÏÎÅ , Ï ÒÁ×ÉÌÕ ÓÕÍÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 100 + 100 = 200 ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÈÓÑ Ó 3 ÉÌÉ 4. ðÒÉÍÅÒ 6.1. ñ ÈÏÞÕ ×ÚÑÔØ Ó ÓÏÂÏÊ ÄÌÑ ÌÁÎÞÁ Ä×Á ÆÒÕËÔÁ. õ ÍÅÎÑ ÅÓÔØ ÔÒÉ ÂÁÎÁÎÁ, ÞÅÔÙÒÅ ÑÂÌÏËÁ É Ä×Å ÇÒÕÛÉ. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ Ñ ÍÏÇÕ ×ÙÂÒÁÔØ Ä×Á ÆÒÕËÔÁ ÒÁÚÎÏÇÏ ×ÉÄÁ ÉÚ ÉÍÅÀÝÉÈÓÑ Õ ÍÅÎÑ? òÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ Ñ ÓÏÂÉÒÁÀÓØ ×ÚÑÔØ ÏÄÉÎ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÁÎÁÎÏ× É ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÑÂÌÏË, ÔÏ ÓÄÅÌÁÔØ Ñ ÜÔÏ ÍÏÇÕ 3 · 4 = 12 ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ1 . âÁÎÁÎ É ÇÒÕÛÕ Ñ ÍÏÇÕ ×ÚÑÔØ 3 · 2 = 6 ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. îÁËÏÎÅ , ÇÒÕÛÕ É ÑÂÌÏËÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ 4 · 2 = 8 ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÔÒÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÒÁÚÌÉÞÎÙ, ÔÏ ×ÓÅÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ Ä×Á ÆÒÕËÔÁ, ÒÁ×ÎÏ 12 + 6 + 8 = 26. ðÒÉÍÅÒ 6.2. çÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÅÇÉÓÔÒÁ ÉÏÎÎÙÊ ÚÎÁË ÌÅÇËÏ×ÏÇÏ Á×ÔÏÍÏÂÉÌÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÒÅÈ ÉÆÒ É ÔÒÅÈ ÂÕË× ÒÕÓÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ (ÎÅ ÓÞÉÔÁÑ ËÏÄÁ ÇÏÒÏÄÁ). âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ × ÎÏÍÅÒÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÂÕË× É ÉÆÒ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÊ Á×ÔÏÍÏÂÉÌØÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÍÏÖÅÔ ×ÙÄÁÔØ çéâää? òÅÛÅÎÉÅ. ëÁÖÄÕÀ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÕË× ÎÏÍÅÒÁ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÉÚ 33 ÂÕË× ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÕË× ÒÁ×ÎÏ 33 · 33 · 33 = 35 937. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÞÉÓÌÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÈ ÉÆÒ ÒÁ×ÎÏ 10 · 10 · 10 = 1 000. îÁËÏÎÅ , ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ Á×ÔÏÍÏÂÉÌØÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÕË× É ÔÒÅÈ ÉÆÒ, ÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÄÁÅÔ ÉÓËÏÍÙÊ ÏÔ×ÅÔ: 35 937 000 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ Á×ÔÏÍÏÂÉÌØÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÍÏÖÅÔ ×ÙÄÁÔØ çéâää. 1 ÷ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÏÕÝÅÎÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÄÅÔÁÌØ: Ä×Á ÆÒÕËÔÁ ÏÄÎÏÇÏ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÑ ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÎÅÏÈÏÖÉÍÉ ÏÄÉÎ ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ. åÓÌÉ ÂÙ ÍÙ ÎÅ ÍÏÇÌÉ ÏÔÌÉÞÉÔØ ÏÄÉÎ ÂÁÎÁÎ ÏÔ ÄÒÕÇÏÇÏ É ÏÄÎÕ ÇÒÕÛÕ ÏÔ ÄÒÕÇÏÊ, ÏÔ×ÅÔ ÂÙÌ ÂÙ ÉÎÙÍ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 120 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ 6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÅÂÅÎËÕ ÒÅÄÌÏÖÉÌÉ ÍÅÛÏË Ó ËÏÎÆÅÔÁÍÉ ÔÒÅÈ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÊ: íÉÛËÁ ÎÁ ÓÅ×ÅÒÅ (A), á ÎÕ-ËÁ ÏÔÎÉÍÉ (B ) É úÏÌÏÔÏÊ ÅÔÕÛÏË (C ). óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÒÅÂÅÎÏË ÍÏÖÅÔ ×ÙÂÒÁÔØ Ä×Å ËÏÎÆÅÔÙ ÉÚ ÍÅÛËÁ? îÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÍÏÖÎÏ ÄÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÔ×ÅÔÏ× × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÅÇÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ. óÔÁ×Ñ ÚÁÄÁÞÕ, ÍÙ ÎÅ ÕÔÏÞÎÉÌÉ, ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÂÒÁÔØ ËÏÎÆÅÔÙ ÏÄÎÏÇÏ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÑ ÉÌÉ ÎÅÔ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ ÌÉ ×ÚÑÔØ Ä×Å ËÏÎÆÅÔÙ íÉÛËÁ ÎÁ ÓÅ×ÅÒÅ, Ô. Å. AA? ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÍÅÅÔ ÌÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÒÑÄÏË ×ÙÂÏÒÁ? éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÌÉ ×ÙÂÏÒ AB ÏÔ BA ÉÌÉ ÎÅÔ? ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÞÅÔÙÒÅ ÒÁÚÎÙÈ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ. 1. ðÏ×ÔÏÒÅÎÉÑ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ É ÏÒÑÄÏË ×ÙÂÏÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 9 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ: AA, AB , AC , BA, BB , BC , CA, CB É CC . 2. úÁÒÅÝÅÎÏ ÂÒÁÔØ ËÏÎÆÅÔÙ ÏÄÎÏÇÏ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÑ, ÎÏ ÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ. ÷ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ | 6 ÓÌÕÞÁÅ×: AB , AC , BA, BC , CA É CB . 3. ðÏ×ÔÏÒÅÎÉÑ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ, ÎÏ ÏÒÑÄÏË ×ÙÂÏÒÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ÏÇÄÁ ÏÔ×ÅÔ | ÔÏÖÅ 6 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ: AA, AB , AC , BB , BC É CC . 4. é, ÎÁËÏÎÅ , ÅÓÌÉ ÎÅÌØÚÑ ÂÒÁÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ËÏÎÆÅÔÙ, Á ÏÒÑÄÏË ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÔÏ Õ ÒÅÂÅÎËÁ ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÔÒÉ ×ÁÒÉÁÎÔÁ ×ÙÂÏÒÁ: AB , AC É BC . ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ÏÄÓÞÅÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÓÏÓÏÂÏ× ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÞÅÔËÏ ÏÎÉÍÁÔØ, Ï ËÁËÏÍ ÔÉÅ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ. þÔÏÂÙ ÒÁÚÌÉÞÁÔØ ÎÁ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÔÉ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ××ÅÄÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ. îÁÞÎÅÍ Ó ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÈ ÔÅÒÍÉÎÏ×. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÂÅÒÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ x1 ; x2 ; : : : ; xk ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÍÏÝÎÏÓÔÉ k . ëÁÖÄÙÊ ÔÁËÏÊ ÎÁÂÏÒ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ×ÙÂÏÒËÏÊ ÏÂßÅÍÁ k ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÌÉ, ÉÎÁÞÅ, (n; k )-×ÙÂÏÒËÏÊ. ÷ÙÂÏÒËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ , ÅÓÌÉ ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÎÅÊ ÚÁÄÁÎ. ðÒÉ ÜÔÏÍ Ä×Å ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ×ÙÂÏÒËÉ, ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÌÉÛØ ÏÒÑÄËÏÍ ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÒÁÚÎÙÍÉ. åÓÌÉ ÖÅ ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ×ÙÂÏÒËÅ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÔÏ ×ÙÂÏÒËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ . ÅÅÒØ ××ÅÄÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÔÅÒÍÉÎÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÔÉÏÍ ÕÔÏÞÎÅÎÉÊ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ. 6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ 121 • (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅÍ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ (n; k )-×ÙÂÏÒËÁ, ÜÌÅÍÅÎÔÙ × ËÏÔÏÒÏÊ ÍÏÇÕÔ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ; • (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅÍ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ (n; k )-×ÙÂÏÒËÁ, ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ × ËÏÔÏÒÏÊ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ ÚÁÒÅÝÅÎÏ; • ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ (n; k )-×ÙÂÏÒËÁ Ó Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÍÉÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅÍ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ; • ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ (n; k )-×ÙÂÏÒËÁ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅÍ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ . ðÏÒÏÂÕÅÍ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ. îÁ ÅÒ×ÏÅ ÍÅÓÔÏ ×ÙÂÏÒËÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ðÏÓËÏÌØËÕ Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ, ÔÏ ÎÁ ×ÔÏÒÏÅ ÍÅÓÔÏ ÍÙ ÏÑÔØ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, É Ô. Ä. ðÏÓËÏÌØËÕ Õ ÎÁÓ k ÍÅÓÔ × ×ÙÂÏÒËÅ, ÔÏ ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÒÁ×ÎÏ nk . ðÒÉÍÅÒ 6.3. ãÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ × ËÏÍØÀÔÅÒÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÒÏÞËÏÊ ÉÚ N Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÚÎÁËÏ×. ðÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÏÔ×ÅÄÅÎ ÎÁ ÚÎÁË (+ ÉÌÉ −), Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ N − 1 ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÚÁ ÍÏÄÕÌØ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚ- ÌÉÞÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÏÖÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÏÍØÀÔÅÒ? òÅÛÅÎÉÅ. ä×ÏÉÞÎÁÑ ÉÆÒÁ | ÜÔÏ 0 ÉÌÉ 1. äÌÑ ÚÁÉÓÉ ÞÉÓÌÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ N ÔÁËÉÈ ÉÆÒ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ, ÒÅÄÓÔÁ- ×ÌÑÀÝÉÅ ÞÉÓÌÁ, ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÅÓÑ ÉÆÒÙ, É ÏÒÑÄÏË ÉÈ ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó (2; N )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑÍÉ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ. ðÏ ×Ù×ÅÄÅÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÓÔÒÏË ÒÁ×ÎÏ 2N . ðÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÓÅÇÄÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÓÔÒÏË: −000000 · · · 00 É + 000000 · · · 00; ËÏÔÏÒÙÅ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ 0. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ËÏÍØÀÔÅÒ ÍÏÖÅÔ ÏÅÒÉÒÏ×ÁÔØ (2N − 1) ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. äÌÑ ÞÉÓÌÁ ×ÓÅÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÏ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ1 : P (n; k ). ðÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ. îÁ ÅÒ×ÏÅ ÍÅÓÔÏ ×ÙÂÏÒËÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ðÏÓËÏÌØËÕ ÚÄÅÓØ ÎÁÍ ÎÅ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ, ÔÏ ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÍÅÓÔÁ 1 ðÏ ÓÔÁÒÏÊ ÒÕÓÓËÏÊ ÔÒÁÄÉ ÉÉ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ÅÒÅ× . k An . | ðÒÉÍ. 122 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ (n − 1) ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. îÁ ÔÒÅÔØÅ | ÉÚ (n − 2) É ÔÁË ÄÁÌÅÅ, ×ÌÏÔØ ÄÏ k -ÇÏ ÍÅÓÔÁ, ËÕÄÁ ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ (n − k + 1) ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ÅÅÒØ ÄÌÑ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. éÍÅÅÍ P (n; k ) = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1): äÌÑ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÚÁÉÓÉ ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÔ 1 ÄÏ n ×ËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n ÆÁËÔÏÒÉÁÌ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ n!. ðÏÒÏÂÕÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÜÔÏÇÏ ÓÉÍ×ÏÌÁ ×ÙÒÁÚÉÔØ P (n; k ), ÄÌÑ ÞÅÇÏ ÒÏÄÅÌÁÅÍ ÌÅÇËÉÅ, ÈÏÔØ É ÎÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. P (n; k ) = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) = (n − k )(n − k − 1) · · · 2 · 1 = (n − k )(n − k − 1) · · · 2 · 1 n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)(n − k )(n − k − 1) · · · 2 · 1 = = (n − k )(n − k − 1) · · · 2 · 1 n! = : (n − k )! = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) éÔÁË, ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ P (n; k ) = n! (n − k )! : ðÒÉÍÅÒ 6.4. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÞÅÔÙÒÅÈÂÕË×ÅÎÎÙÈ ÓÌÏ× ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÂÕË×Ù: Á, Ó, , Ï É Å, ÅÓÌÉ ÏÄ ÓÌÏ×ÏÍ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÎÉÍÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÂÕË×, ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ ÜÔÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅ ÎÅÓÅÔ × ÓÅÂÅ ÎÉËÁËÏÇÏ ÓÍÙÓÌÁ. òÅÛÅÎÉÅ. ëÁË ÄÏÇÏ×ÏÒÉÌÉÓØ, ÏÄ ÓÌÏ×ÏÍ ÍÙ ÏÎÉÍÁÅÍ ÌÀÂÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÁÚÎÙÈ ÂÕË×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÄÁÎÎÙÈ. úÎÁÞÉÔ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÏÄÓÞÅÔÏÍ ÞÉÓÌÁ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ P (6; 4). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (6; 4) = 6! 6! 6·5·4·3·2·1 = = : (6 − 4)! 2! 2·1 ðÏÓÌÅ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ: P (6; 4) = 6 · 5 · 4 · 3· 6 2· 6 1 = 6 · 5 · 4 · 3 = 360: 6 2· 6 1 6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ 123 ÅÅÒØ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑÍÉ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, Ô. Å. ×ÙÂÏÒËÁÍÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÑÄÏË ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ É Ï×ÔÏÒÙ ÚÁÒÅÝÅÎÙ. þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ2 C (n; k ). îÁÊÄÅÍ ÅÇÏ. íÙ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÎÁÍ ÆÁËÔÏÍ: ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (n; k )n! . ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÁÚÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ P (n; k ) = (n− k)! ÍÅÝÅÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÎÁÌÉÞÉÅÍ ÏÒÑÄËÁ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ P (n; k ), ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ C (n; k ). åÓÌÉ ÍÙ ÏÊÍÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÍ ÏÔ×ÅÔ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔ. ðÕÓÔØ n = 4, Á k = 3. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A = {1; 2; 3; 4}, ÏÔËÕÄÁ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÂÒÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. ëÁÖÄÏÅ (4; 3)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ | ÜÔÏ ×ÙÂÏÒ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÔÒÅÈ ÒÁÚÎÙÈ ÉÆÒ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÄÁÎÎÙÈ, ÒÉÞÅÍ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÂÕÄÕÔ ÉÄÔÉ ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÉÆÒÙ, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {1; 2; 3} Ñ×ÌÑÅÔÓÑ (4; 3)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅÍ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ. ðÅÒÅÍÅÛÁ× ÉÆÒÙ × ×ÙÂÒÁÎÎÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å {2; 1; 3}, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ (ÏÒÑÄÏË ÎÅ ×ÁÖÅÎ), ÎÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÄÒÕÇÏÅ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅ (ÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ). ÁË ÓËÏÌØËÏ ÖÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ? ÷ÏÔ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ×ÏÒÏÓ, ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÂÅÄÅ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ (n = 4, k = 3) ÏÔ×ÅÔ ÌÅÇËÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÅÒÅÞÉÓÌÉ× ×ÒÕÞÎÕÀ ×ÓÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ. îÁÍ ÖÅ ÎÁÄÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ Ó ÏÂÝÉÍ ÓÌÕÞÁÅÍ. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÅÇÏ ÂÏÌÅÅ ÞÅÔËÏ. äÁÎÏ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, Ô. Å. ×ÙÂÒÁÎÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ⊂ A, ÇÄÅ |B | = k É |A| = n. óËÏÌØËÏ ÉÚ ÎÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÁÚÎÙÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ? æÁËÔÉÞÅÓËÉ, ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï (k; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ! (ðÏÄÕÍÁÊÔÅ, ÏÞÅÍÕ.) îÏ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÍÙ ÚÎÁÅÍ3 : P (k; k ) = k! = k !: (k − k )! ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ËÁÖÄÏÅ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ k ! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, C (n; k ) = 2 P (n; k ) k! = n! (n − k )! k ! : k òÁÎØÛÅ × òÏÓÓÉÉ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÂÙÌÏ ÒÉÎÑÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ `n´ Cn , Á ÔÅÅÒØ Õ ÎÁÓ, ËÁË É ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÓÀÄÕ × ÍÉÒÅ, ÅÇÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÔÁË: k . | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 3 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ 0! = 1. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 124 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ðÒÉÍÅÒ 6.5. íÅÎÀ × ËÉÔÁÊÓËÏÍ ÒÅÓÔÏÒÁÎÅ ÄÁÅÔ ÷ÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ×ÙÂÒÁÔØ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ÉÚ ÓÅÍÉ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÂÌÀÄ. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÓÄÅÌÁÔØ ÚÁËÁÚ? òÅÛÅÎÉÅ. úÄÅÓØ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó (7; 3)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÑÍÉ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅ- ÎÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÔ×ÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ÌÅÇËÏ: C (7; 3) = = 7! 7·6·5·4·3·2·1 7! = = = (7 − 3)! 3! 4! 3! (4 · 3 · 2 · 1)(3 · 2 · 1) 7 · 6 · 5· 6 4· 6 3· 6 2· 6 1 7· 6 6 · 5 = = 35: (6 4· 6 3· 6 2· 6 1)(3 · 2 · 1) 6 3· 6 2· 6 1 éÔÁË, Õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ 35 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÁËÁÚÏ×. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ, ÞÔÏ ÍÙ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ, ÜÔÏ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ×ÙÂÏÒËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÑÄÏË ÎÅ ×ÁÖÅÎ, Á ×ÏÔ Ï×ÔÏÒÙ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÄÏÕÓËÁÀÔÓÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÒÑÄÏË × ÎÁÛÉÈ ×ÙÂÏÒËÁÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ, Á Ï×ÔÏÒÙ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÇÒÕÉÒÏ×ÁÔØ ×ÍÅÓÔÅ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÒÁÚÄÅÌÉ× ÇÒÕÙ ËÁËÉÍÉ-ÎÉÂÕÄØ ÍÅÔËÁÍÉ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ ÍÙ ÓÄÅÌÁÌÉ ×ÙÂÏÒËÕ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ÑÔÉ ÂÕË×, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÄÎÏÊ ÉÚ a, Â É ×. ÷ÙÂÏÒËÕ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ Ä×ÕÈ Á, ÏÄÎÏÊ Â É Ä×ÕÈ ×, ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ËÁË ÁÁ|Â|××, Á ×ÙÂÏÒËÁ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Ù Á É ÞÅÔÙÒÅÈ ÂÕË× × ÂÕÄÅÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÔÁË: Á||××××. äÏÇÏ×ÏÒÉÍÓÑ, ÞÔÏ ÓÌÅ×Á ÏÔ ÅÒ×ÏÊ ÍÅÔËÉ ÌÉÂÏ ÓÔÏÑÔ ÂÕË×Ù Á, ÌÉÂÏ ÎÉÞÅÇÏ, ÓÒÁ×Á ÏÔ ×ÔÏÒÏÊ ÍÅÔËÉ | ÌÉÂÏ ×, ÌÉÂÏ ÎÉÞÅÇÏ, Á ÂÕË×Ù Â, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ × ×ÙÂÏÒËÅ, ÓÔÏÑÔ ÍÅÖÄÕ ÍÅÔËÁÍÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÍÙ ×ÓÅÇÄÁ ÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÓÅÍØ ÑÞÅÅË (ÑÔØ ÂÕË× É Ä×Å ÍÅÔËÉ), ÒÉÞÅÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÙÂÏÒËÉ ÂÕÄÕÔ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÑÞÅÊËÁÍÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÏÑÔ ÍÅÔËÉ. úÎÁÞÉÔ, ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÍÅÓÔÉÔØ Ä×Å ÍÅÔËÉ × ÓÅÍØ ÑÞÅÅË. ïÓÔÁÌÏÓØ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (7; 2)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, Ô. Å. ÒÁ×ÎÏ C (7; 2). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÒ×ÕÀ ÍÅÔËÕ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ × ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÓÅÍÉ ÑÞÅÅË, Á ×ÔÏÒÕÀ | × ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÛÅÓÔÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÄÎÁ ÑÞÅÊËÁ ÕÖÅ ÚÁÎÑÔÁ. üÔÏ ÄÁÅÔ ÎÁÍ 7 · 6 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ. úÁÍÅÔÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÏÍÅÎÑ× ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÍÅÔËÉ ÍÅÓÔÁÍÉ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÚÁÏÌÎÅÎÉÅ ÑÞÅÅË. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, 7 · 6 ÎÕÖÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ 2. éÔÁË, 6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ 125 ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁ×ÎÏ 7·6 7·6·5·4·3·2·1 = = 2 (2 · 1)(5 · 4 · 3 · 2 · 1) 7! 7! = = C (7; 2): = 5! · 2! (7 − 2)! · 2! ÷ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÓÌÕÞÁÀ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ (k ÏÂßÅËÔÏ× ÉÚ n ÄÁÎÎÙÈ), ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ n − 1 ÍÅÔËÁ É k ÏÂßÅËÔÏ×. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Õ ÎÁÓ ÂÕÄÅÔ (n − 1) + k ÑÞÅÅË ÄÌÑ ÚÁÏÌÎÅÎÉÑ. úÎÁÞÉÔ, ÞÉÓÌÏ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ (n − 1) ÍÅÔËÉ × (n + k − 1) ÑÞÅÊËÕ. éÔÁË, ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ C (n + k − 1; n − 1) = (n + k − 1)! (n + k − 1)! = : (n + k − 1 − (n − 1))! (n − 1)! k ! (n − 1)! ðÒÉÍÅÒ 6.6. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÂÒÏ- ÓÁÑ ÑÔØ ÉÇÒÁÌØÎÙÈ ËÏÓÔÅÊ? òÅÛÅÎÉÅ. îÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ËÏÓÔÅÊ ÍÏÖÅÔ ×ÙÁÓÔØ ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÄÏ ÛÅ- ÓÔÉ ÏÞËÏ×, Ô. Å. ËÁÖÄÁÑ ËÏÓÔØ ÄÁÅÔ ÛÅÓÔØ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×. åÓÌÉ ÂÒÏÓÉÌÉ ÑÔØ ËÏÓÔÅÊ, ÔÏ ËÁÖÄÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÑÔÉ ÏÂßÅËÔÏ× (ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÅÓÔØ 6 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ) Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ, Ô. Å. (6; 5)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÏÂÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÅ, ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÒÁ×ÎÏ C (6 + 5 − 1; 6 − 1) = C (10; 5) = 10! = 252: 5! 5! ÷ ÔÁÂÌ. 6.1 ÓÏÂÒÁÎÙ ×ÍÅÓÔÅ ×ÓÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÙÂÏÒÏË k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ×Ù×ÅÌÉ × ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ. ÁÂÌÉ Á 6.1 ðÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ ðÏÒÑÄÏË ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ üÌÅÍÅÎÔÙ Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ k n ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ (n + k − 1)! k ! (n − 1)! üÌÅÍÅÎÔÙ ÎÅ Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ n! (n − k)! ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ n! (n − k)! k! òÁÚÂÅÒÅÍ ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÉÍÅÒÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÇÌÑÄÎÏ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÎÕÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÞÅÎØ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÙÍ ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. 126 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ÷ îÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ áÎÇÌÉÊÓËÏÊ ìÏÔÅÒÅÅ4 Ä×ÁÖÄÙ × ÎÅÄÅÌÀ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÛÅÓÔØ ÒÁÚÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÉÚ ÅÒ×ÙÈ 49 ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ìÀÂÏÊ, ËÔÏ ÕÇÁÄÁÅÔ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ×ÙÁ×ÛÉÈ ÎÏÍÅÒÏ×, ×ÙÉÇÒÁÅÔ ÇÌÁ×ÎÙÊ ÒÉÚ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÄÏÓÔÉÇÁÔØ ÍÉÌÌÉÏÎÁ ÆÕÎÔÏ× ÓÔÅÒÌÉÎÇÏ×. ðÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÛÁÎÓÙ ×ÙÉÇÒÙÛÁ ÇÌÁ×ÎÏÇÏ ÒÉÚÁ. ûÅÓÔÅÒËÁ ×ÙÉÇÒÙÛÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× | ÜÔÏ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ ÛÅÓÔÉ ÞÉÓÅÌ ÉÚ 49 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï (49; 6)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ 49! 49! = = 13 983 816; (49 − 6)! 6! 43! 6! ÔÏ ÛÁÎÓÏ× ×ÙÉÇÒÁÔØ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅÔ: 1 ÉÚ 13 983 816. çÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌØÛÅ ÛÁÎÓÏ× ÚÁ ÔÏ, ÞÔÏ × ÷ÁÓ ÏÁÄÅÔ ÍÏÌÎÉÑ, ÞÔÏ ÔÏÖÅ ÍÁÌÏ×ÅÒÏÑÔÎÏ. ÅÍ, ËÔÏ ÕÇÁÄÁÌ ÑÔØ, ÞÅÔÙÒÅ ÉÌÉ ÔÒÉ ÎÏÍÅÒÁ, ÔÏÖÅ ÒÉÓÕÖÄÁÅÔÓÑ ÒÉÚ, ÈÏÔÑ É ÎÅ ÔÁËÏÊ ×ÅÞÁÔÌÑÀÝÉÊ. ðÒÅÍÉÑ ÔÁËÖÅ ÄÏÓÔÁÅÔÓÑ É ÔÅÍ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ, ËÔÏ ÕÇÁÄÁÌ ÑÔØ ÎÏÍÅÒÏ×, Á ÛÅÓÔÏÊ, ÎÁÚ×ÁÎÎÙÊ ÉÍÉ, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÍ, ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÎÁÚ×ÁÎÎÙÍ ÒÉÚÏ×ÙÍ ÎÏÍÅÒÏÍ. ÷ÅÌÉÞÉÎÁ ÄÅÎÅÖÎÏÇÏ ÒÉÚÁ, ÚÁ ÏÄÎÉÍ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÞÉÓÌÁ ÒÏÄÁÎÎÙÈ ÌÏÔÅÒÅÊÎÙÈ ÂÉÌÅÔÏ×. ëÁÖÄÙÊ ÂÉÌÅÔ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÏÖÎÏ ×ÙÉÓÁÔØ ÛÅÓÔØ ÎÏÍÅÒÏ×, ÓÔÏÉÔ $1 (ÏÄÉÎ ÆÕÎÔ), É ÌÀÂÏÊ, ËÔÏ ÕÇÁÄÁÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ (É ÎÅ ÂÏÌØÛÅ) ×ÙÉÇÒÙÛÎÙÈ ÎÏÍÅÒÁ, Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÅÔ $10. ðÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÖÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ×ÙÉÇÒÙÛÁ $10. éÔÁË, ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ Ó×ÏÉ ÛÅÓÔØ ÎÏÍÅÒÏ× ËÁË ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ: ×ÙÂÏÒËÁ ÔÒÅÈ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× É ×ÙÂÏÒËÁ ÔÒÅÈ ÎÅ×ÅÒÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× . óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (6; 3) ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÎÁÚ×ÁÔØ ÔÒÉ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÎÏÍÅÒÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÂßÑ×ÌÑÀÔÓÑ × ÓÒÅÄÕ ÉÌÉ ÓÕÂÂÏÔÕ ÞÌÅÎÁÍÉ ÖÀÒÉ, É C (43; 3) ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÎÅÕÄÁÞÎÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ. ÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ, ×ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÉÈ $10, ÒÁ×ÎÏ 6! 43! · = 246 820: C (6; 3) · C (43; 3) = 3! 3! 40! 3! ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ×ÙÉÇÒÙÛÁ | ÜÔÏ ÄÏÌÑ ÕÄÁÞÎÏ ÚÁÏÌÎÅÎÎÙÈ ËÁÒÔÏÞÅË ËÏ ×ÓÅÍ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÚÁÏÌÎÅÎÉÑÍ, Ô. Å. 246 820 1 ≈ ≈ 0; 018: 13 983 816 57 4 ïÎÁ ÏÈÏÖÁ ÎÁ ÎÁÛÅ óÏÒÔÌÏÔÏ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ 127 ðÒÉÍÅÒ 6.7. ä×ÅÎÁÄ ÁÔØ ÞÅÌÏ×ÅË, ×ËÌÀÞÁÑ íÁÒÉ É ðÅÔÅÒÁ, Ñ×ÌÑÀÔ- ÓÑ ËÁÎÄÉÄÁÔÁÍÉ × ËÏÍÉÔÅÔ ÑÔÉ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÎÁÂÒÁÔØ ÉÚ 12 ËÁÎÄÉÄÁÔÏ×? óËÏÌØËÏ ÉÚ ÎÉÈ (Á) ×ËÌÀÞÁÀÔ ËÁË íÁÒÉ, ÔÁË É ðÅÔÅÒÁ; (Â) ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔ ÎÉ íÁÒÉ, ÎÉ ðÅÔÅÒÁ; (×) ×ËÌÀÞÁÀÔ ÌÉÂÏ íÁÒÉ, ÌÉÂÏ ðÅÔÅÒÁ, ÎÏ ÎÅ ÏÂÏÉÈ? òÅÛÅÎÉÅ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (12; 5) = ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÁ. 12! = 792 7! 5! (Á) åÓÌÉ íÁÒÉ É ðÅÔÅÒ ÕÖÅ ×ÙÂÒÁÎÙ × ËÏÍÉÔÅÔ, ÎÁÍ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÔØ × ÎÅÇÏ ÔÏÌØËÏ ÔÒÅÈ ÞÌÅÎÏ× ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÄÅÓÑÔÉ ËÁÎÄÉÄÁÔÏ×. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ 10! = 120 7! 3! ÓÏÓÏÂÁÍÉ. úÎÁÞÉÔ, íÁÒÉ É ðÅÔÅÒ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÞÌÅÎÁÍÉ 120 ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×. C (10; 3) = (Â) åÓÌÉ íÁÒÉ É ðÅÔÅÒ ÎÅ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ × ËÏÍÉÔÅÔÅ, ÔÏ ÍÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ× ÉÚ ÄÅÓÑÔÉ ËÁÎÄÉÄÁÔÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 10! = 252 5! 5! ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ ÎÉ íÁÒÉ, ÎÉ ðÅÔÅÒÁ. C (10; 5) = (×) ïÄÉÎ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ× ÄÁÔØ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÄÓÞÅÔÅ ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ íÁÒÉ, ÎÏ ÂÅÚ ðÅÔÅÒÁ. éÈ ÒÏ×ÎÏ C (10; 4). Ï ÖÅ ÞÉÓÌÏ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ×ËÌÀÞÁÀÔ ðÅÔÅÒÁ, ÎÏ ÂÅÚ íÁÒÉ. úÎÁÞÉÔ, 2 · C (10; 4) ËÏÍÉÔÅÔÁ ÉÍÅÀÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÞÌÅÎÁ ÌÉÂÏ íÁÒÉ, ÌÉÂÏ ðÅÔÅÒÁ, ÎÏ ÎÅ ÏÂÏÉÈ ÓÒÁÚÕ. áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÊ ÏÄÈÏÄ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ 792 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÓÔÁ×Ï× ËÏÍÉÔÅÔÁ ÍÏÖÎÏ ÏÔÎÅÓÔÉ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÚ ËÁÔÅÇÏÒÉÊ: (Á), (Â) ÉÌÉ (×). úÎÁÞÉÔ, ÞÉÓÌÏ ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÏÔÎÏÓÑÝÉÈÓÑ Ë ÏÓÌÅÄÎÅÊ, ÒÁ×ÎÏ 792 − 120 − 252 = 420: 128 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ 6.3. âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ þÉÓÌÁ C (n; k ) ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ËÁË ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË × ÂÉÎÏÍÅ (a + b)n . îÁÒÉÍÅÒ, (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb = = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 : ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÏÓØÍÉ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ, ÓÔÏÑÝÉÈ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÎÁÛÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ×ÙÂÉÒÁÅÍÙÈ Ï ÏÄÎÏÊ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ÓËÏÂËÉ. íÙ ×ÉÄÉÍ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÏÄÎÕ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ a É Ä×Å b. üÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ C (3; 2) = 3 ÓÏÓÏÂÁ ×ÙÂÏÒÁ Ä×ÕÈ ÓËÏÂÏË ÉÚ ÔÒÅÈ, ÏÔËÕÄÁ ÍÙ ×ÏÚØÍÅÍ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ b (Á ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÅÊÓÑ ÂÅÒÅÍ a). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ É ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÜÔÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ: C (3; 0) = 1, C (3; 1) = 3, C (3; 2) = 3 É C (3; 3) = 1. þÔÏÂÙ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Ó ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ C (n; k ), ×Ù×ÅÄÅÎÎÏÊ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ 0! = 1. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÎÅ ÓÄÅÌÁÔØ ÎÉËÁËÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ ÉÚ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÂßÅËÔÏ×. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÒÁÓËÒÙ×ÁÑ ÓËÏÂËÉ × ÂÉÎÏÍÅ (a + b)n , ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÌÕÞÁÔØ ÞÌÅÎÙ ×ÉÄÁ an−k bk (ÇÄÅ k ÒÉÎÉÍÁÅÔ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔ 0 ÄÏ n) ÒÉ ÅÒÅÍÎÏÖÅÎÉÉ ÓÉÍ×ÏÌÏ× b, ×ÚÑÔÙÈ ÉÚ k ÓËÏÂÏË, É a, ×ÚÑÔÙÈ ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ (n − k ) ÓËÏÂÏË. ÁË ËÁË ÅÓÔØ ÒÏ×ÎÏ C (n; k ) ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ k ÓËÏÂÏË ÉÚ n, ÔÏ Õ ÎÁÓ ÂÕÄÅÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ C (n; k ) ÞÌÅÎÏ× ×ÉÄÁ an−k bk ÒÉ k = 0; 1; : : : ; n. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (a + b)n = C (n; 0)an + C (n; 1)an−1 b + C (n; 2)an−2 b2 + · · · + C (n; n)bn : üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÉÎÏÍÏÍ îØÀÔÏÎÁ . òÏ×ÎÏ ÏÜÔÏÍÕ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ C (n; k ) ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ . âÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÏÌÅÚÎÏ ×ÙÓÔÒÏÉÔØ × ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ (ÓÍ. ÒÉÓ. 6.1). C (0; 0) (1; 0) C (1; 1) C (2; 0) C (2; 1) C (2; 2) C (3; 0) C (3; 1) C (3; 2) C (3; 3) C (4; 0) C (4; 1) C (4; 2) C (4; 3) C (4; 4) C (5; 0) C (5; 1) C (5; 2) C (5; 3) C (5; 4) C (5; 5) C ::: ( C n; 0) ::: ( C n; ::: 1) ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ( C n; n òÉÓÕÎÏË 6.1. ÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ ::: − 1) ::: ( ) C n; n 6.3. âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ 129 ëÁÖÄÁÑ (n + 1)-ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×, ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (a + b)n . ÷ÙÞÉÓÌÉ× ÎÅÓËÏÌØËÏ ÅÒ×ÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ 1 ::: 1 1 5 ::: 1 4 1 3 10 ::: 1 2 6 1 3 10 1 4 ::: 1 5 ::: 1 1 ::: ÁË ËÁË C (n; 0) = C (n; n) = 1, ÎÁ ×ÎÅÛÎÉÈ ÓÔÏÒÏÎÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ ×ÓÅÇÄÁ ÓÔÏÑÔ ÅÄÉÎÉ Ù. óÉÍÍÅÔÒÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ×ÙÓÏÔÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á: C (n; k ) = C (n; n − k ); ËÏÔÏÒÏÅ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ C (n; k ). åÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÒÏÓÁÀÔÓÑ × ÇÌÁÚÁ ÒÉ ×ÚÇÌÑÄÅ ÎÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ. îÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÏÖÉ× Ä×Á ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁ, ÓÔÏÑÝÉÈ × ÓÔÒÏËÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÏËÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÔÏÉÔ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÓÌÏÖÅÎÎÙÍÉ. üÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ËÁË ÆÏÒÍÕÌÁ ðÁÓËÁÌÑ : C (n − 1; k − 1) + C (n − 1; k ) = C (n; k ); ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÁÑ ÒÉ 0 < k < n. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ: (n − 1)! (n − 1)! + = (n − k )! (k − 1)! (n − k − 1)! k ! 1 (n − 1)! 1 = = + (n − k − 1)! (k − 1)! n − k k (n − 1)! n = = (n − k − 1)! (k − 1)! (n − k )k C (n − 1; k − 1) + C (n − 1; k ) = = n! (n − k )! k ! = C (n; k ): îÁÛÅ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï Ó ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÏÊ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÏÌÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÎÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÁÄÁÞÕ Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Å ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÂÕË× × ÓÌÏ×Å ëïìïâïë. ïÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÅÍÉ ÂÕË×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÓÔÁ×ÉÔØ 130 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ 7! ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ïÄÎÁËÏ × ÎÅÍ ÅÓÔØ ÔÒÉ ÂÕË×Ù ï É Ä×Å ÂÕË×Ù ë. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÅÎÑÑ ÍÅÓÔÁÍÉ ÂÕË×Ù ï ÉÌÉ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÕË×Ù ë, ÍÙ ÎÅ ÏÌÕÞÉÍ ÎÏ×ÙÈ ÓÌÏ×. ÁË ËÁË ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÔÒÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÒÁ×ÎÏ 3!, Á Ä×ÕÈ | 2!, ÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ ×ÓÅÇÏ 7! = 420 3! 2! ÒÁÚÎÙÈ ÓÌÏ× ÉÚ ÓÌÏ×Á ëïìïâïë. ÷ ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÈ. ÅÏÒÅÍÁ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n! n1 ! n2 ! · · · nr ! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË n ÏÂßÅËÔÏ×, n1 ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÔÉÕ 1, n2 | Ë ÔÉÕ 2, É Ô. Ä. ×ÌÏÔØ ÄÏ nr ÏÂßÅËÔÏ× ÔÉÁ r . ðÒÉÍÅÒ 6.8. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÉÔØ 15 ÓÔÕÄÅÎ- ÔÏ× Ï ÔÒÅÍ ÕÞÅÂÎÙÍ ÇÒÕÁÍ Ï ÑÔØ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× × ËÁÖÄÏÊ? òÅÛÅÎÉÅ. õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 15 ÏÂßÅËÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÕÖÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ × ÔÒÉ ÇÒÕÙ Ï ÑÔØ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ 15! = 68 796 5! 5! 5! ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ n1 ! n2n!!··· nr ! ÎÏÓÑÔ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÍÕÌØÔÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ . ïÎÉ ÓÔÏÑÔ ÒÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÈ xn1 1 xn2 2 · · · xnr r × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÓÔÅÅÎÉ (x1 + x2 + · · · + xr )n . ÷ ÜÔÏÍ ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÞÌÅÎ ×ÉÄÁ xn1 1 xn2 2 · · · xnr r ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ËÏÇÄÁ ÍÙ ÅÒÅÍÎÏÖÁÅÍ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ x1 , ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÉÚ n1 ÓËÏÂÏË, x2 , ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÉÚ n2 ÓËÏÂÏË, É Ô. Ä. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xn1 1 xn2 2 · · · xnr r × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÅÎ ÞÉÓÌÕ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË n ÏÂßÅËÔÏ×, n1 ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÔÉÕ, n2 | ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ É Ô. Ä. ðÒÉÍÅÒ 6.9. îÁÊÄÉÔÅ (Á) ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 z 4 ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + z )9 ; (Â) ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + 3)7 . îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6 131 òÅÛÅÎÉÅ. (Á) ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 z 4 ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + z )9 ÒÁ×ÅÎ 9! = 1 260: 3! 2! 4! (Â) ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 z 2 ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + z )7 ÒÁ×ÅÎ 7! = 210: 3! 2! 2! ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + z )7 ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÞÌÅÎ 210x3 y 2 z 2 : ðÏÌÏÖÉ× z = 3, ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + 3)7 ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÞÌÅÎ 1 890x3 y 2 . éÔÁË, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + 3)7 ÒÁ×ÅÎ 1 890. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6 6.1. (Á) õ ÞÅÌÏ×ÅËÁ ÅÓÔØ ÑÔØ ÉÄÖÁËÏ×, ×ÏÓÅÍØ ÒÕÂÁÛÅË É ÓÅÍØ ÇÁÌÓÔÕËÏ×. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÓÔÀÍÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÅÄÍÅÔÏ×? (Â) õ ÖÅÎÝÉÎÙ × ÛËÁÆÕ ×ÉÓÉÔ ÛÅÓÔØ ÌÁÔØÅ×, ÑÔØ ÀÂÏË É ÔÒÉ ÂÌÕÚËÉ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÎÁÒÑÄÏ× ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ Ó×ÏÅÊ ÏÄÅÖÄÙ? (×) ÷ ÈÏÌÏÄÉÌØÎÉËÅ ÓÔÏÉÔ ÍÏÒÏÖÅÎÏÅ ÛÅÓÔÉ ÒÁÚÎÙÈ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÊ. îÁ ÄÅÓÅÒÔ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÏÄÎÕ, Ä×Å ÉÌÉ ÄÁÖÅ ÔÒÉ ÏÒ ÉÉ ÍÏÒÏÖÅÎÏÇÏ ÓÒÁÚÕ. óËÏÌØËÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÅÓÔØ Õ ÷ÁÓ ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÓÅÒÔÏ×? 6.2. (Á) ðÅÒÅ×ÅÒÔÙÛ | ÜÔÏ ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅ Ï- ÍÅÎÑÅÔ Ó×ÏÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÅÇÏ ÉÆÒÙ ÚÁÉÓÁÔØ × ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÙÈ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÅÊ? á ÓËÏÌØËÏ ÓÅÍÉÚÎÁÞÎÙÈ? (Â) óËÏÌØËÏ ÞÅÔÙÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÉÈ 6 000, ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÉÆÒÙ? (×) ðÁÒÏÌØ, ÏÔËÒÙ×ÁÀÝÉÊ ÄÏÓÔÕ Ë ËÏÍØÀÔÅÒÕ, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÓÉÍ×ÏÌÏ×. ðÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÉÚ ÎÉÈ | ÓÔÒÏÞÎÙÅ ÂÕË×Ù ÌÁÔÉÎÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ (×ÓÅÇÏ 26 ÂÕË×), Á ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÞÅÔÙÒÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ËÁË ÉÆÒÁÍÉ, ÔÁË É ÓÔÒÏÞÎÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ. óËÏÌØËÏ ÍÏÖÎÏ ÒÉÄÕÍÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒÏÌÅÊ? 132 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ 6.3. ðÕÓÔØ S | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÅÔÙÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, × ÞØÅÊ ÄÅÓÑ- ÔÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ ÉÆÒÙ: 0, 1, 2, 3, É 6, ÒÉÞÅÍ 0 ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÓÔÏÑÔØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ. (Á) ëÁËÏ×Á ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ? (Â) óËÏÌØËÏ ÞÉÓÅÌ ÉÚ S × Ó×ÏÅÊ ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ ÎÅ ÉÍÅÀÔ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÉÆÒ? (×) ëÁË ÍÎÏÇÏ ÞÅÔÎÙÈ ÓÒÅÄÉ ÞÉÓÅÌ ÕÎËÔÁ (Â)? (Ç) óËÏÌØËÏ ÞÉÓÅÌ ÉÚ ÕÎËÔÁ (Â) ÏËÁÖÕÔÓÑ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ 4 000? 6.4. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ: (Á) P (7; 2), P (8; 5), P (6; 4) É P (n; n − 1); (Â) C (10; 7), C (9; 2), C (8; 6) É C (n; n − 1). õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ C (n; k ) = C (n; n − k ). 6.5. (Á) óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÒÉÓÕÖÄÅÎÉÑ ÅÒ- ×ÏÇÏ, ×ÔÏÒÏÇÏ É ÔÒÅÔØÅÇÏ ÍÅÓÔ ÓÅÍÎÁÄ ÁÔÉ ÕÞÁÓÔÎÉ ÁÍ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ Ï ÉËÅÂÁÎÅ? (Â) ëÏÍÉÔÅÔ ÉÚ 20 ÞÌÅÎÏ× ÉÚÂÉÒÁÅÔ ÒÅÄÓÅÄÁÔÅÌÑ É ÓÅËÒÅÔÁÒÑ. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ? (×) ðÁÒÏÌØ, ÏÔËÒÙ×ÁÀÝÉÊ ÄÏÓÔÕ Ë ËÏÍØÀÔÅÒÕ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÁÍ ÚÁÄÁÞÉ 6.2 (×). óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÁÒÏÌÅÊ ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÉÚ ÎÅÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏ×? 6.6. (Á) èÏËËÅÊÎÁÑ ËÏÍÁÎÄÁ ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÅÔ 18 ÉÇÒÏËÏ×. ïÄÉÎÎÁ- Ä ÁÔØ ÉÚ ÎÉÈ ×ÈÏÄÑÔ × ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÓÏÓÔÁ×. ðÏÄÓÞÉÔÁÊÔÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÓÏÓÔÁ×Ï×. (Â) öÀÒÉ ÉÚ 5 ÖÅÎÝÉÎ É 7 ÍÕÖÞÉÎ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ×ÙÂÒÁÎÏ ÉÚ ÓÉÓËÁ × 8 ÖÅÎÝÉÎ É 11 ÍÕÖÞÉÎ. óËÏÌØËÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÖÀÒÉ? (×) ðÒÅÄÓÔÏÉÔ ×ÙÂÒÁÔØ ËÏÍÁÎÄÕ ÞÅÔÙÒÅÈ ÉÇÒÏËÏ× × ÇÏÌØÆ ÉÚ ÑÔÉ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÉÇÒÏËÏ× É ÑÔÉ ÌÀÂÉÔÅÌÅÊ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ ÔÒÅÈ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ× É ÏÄÎÏÇÏ ÌÀÂÉÔÅÌÑ? óËÏÌØËÏ ËÏÍÁÎÄ ÓÏÓÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ× ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÌÀÂÉÔÅÌÅÊ? 6.7. ÷ ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÁÒÌÁÍÅÎÔÁ ÎÕÖÎÏ ÏÔÏÂÒÁÔØ ÔÒÅÈ ÞÌÅ- ÎÏ×, ÒÉÞÅÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÎÁÄÏ ÉÚ ÑÔÉ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÏ×, ÔÒÅÈ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÏ× É ÞÅÔÙÒÅÈ ÌÉÂÅÒÁÌ-ÄÅÍÏËÒÁÔÏ×. (Á) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ? îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6 133 (Â) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÅÓÌÉ × ÎÅÇÏ ÄÏÌÖÅÎ ×ÈÏÄÉÔØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÌÉÂÅÒÁÌ-ÄÅÍÏËÒÁÔ? (×) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÅÓÌÉ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÙ É ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÙ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÅÇÏ ÞÌÅÎÁÍÉ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ? (Ç) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÅÓÌÉ × ÎÅÇÏ ÄÏÌÖÅÎ ×ÏÊÔÉ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒ É ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔ? 6.8. ÷ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ÆÉÒÍÅ ×ÏÓÅÍØ ÞÅÌÏ×ÅË ÒÁÂÏÔÁÀÔ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÄ- ÓÔ×Å, ÑÔÅÒÏ | × ÏÔÄÅÌÅ ÓÂÙÔÁ, É ÔÒÏÅ | × ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÉ. äÌÑ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ ÎÏ×ÏÊ ÒÏÄÕË ÉÉ ÂÙÌÏ ÒÅÛÅÎÏ ÒÉÇÌÁÓÉÔØ ÎÁ ÓÏ×ÅÝÁÎÉÅ ÛÅÓÔÅÒÙÈ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÈ. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ, ÅÓÌÉ (Á) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÉÇÌÁÓÉÔØ Ï Ä×Á ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÑ ÏÔ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÔÄÅÌÁ; (Â) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÉÇÌÁÓÉÔØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×ÏÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á; (×) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÔÒÅÈ ÏÔÄÅÌÏ×? 6.9. (Á) òÅÓÔÏÒÁÎ × Ó×ÏÅÍ ÍÅÎÀ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔ ÑÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÇÌÁ×- ÎÙÈ ÂÌÀÄ. ëÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÍÁÎÉÉ × ÛÅÓÔØ ÞÅÌÏ×ÅË ÚÁËÁÚÙ×ÁÅÔ Ó×ÏÅ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÂÌÀÄÏ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÚÁËÁÚÏ× ÍÏÖÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÆÉ ÉÁÎÔ? (Â) ã×ÅÔÏÞÎÉ Á ÒÏÄÁÅÔ ÒÏÚÙ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÁÚÎÙÈ ÓÏÒÔÏ×. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÂÕËÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ ÄÀÖÉÎÙ ÒÏÚ? 6.10. ÷Ù ÏËÕÁÅÔÅ ÑÔØ ÒÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÓËÉÈ ÏÔËÒÙÔÏË × ÍÁÇÁÚÉÎÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÞÅÔÙÒÅ ÒÁÚÎÙÈ ÔÉÁ ÒÉÇÌÑÎÕ×ÛÉÈÓÑ ÷ÁÍ ÏÔËÒÙÔÏË. (Á) ëÁË ÍÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÏ× ÉÚ ÑÔÉ ÏÔËÒÙÔÏË ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ËÕÉÔØ? (Â) óËÏÌØËÏ ÎÁÂÏÒÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÅÓÌÉ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ Ä×ÕÍÑ ÔÉÁÍÉ ÏÔËÒÙÔÏË ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ, ÎÏ ËÕÉÔØ ×ÓÅ ÒÁ×ÎÏ ÑÔØ ÏÔËÒÙÔÏË? 6.11. ÷ÏÔ ×ÏÓØÍÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ: 1 7 21 35 35 21 7 1: (Á) îÁÊÄÉÔÅ ÄÅ×ÑÔÕÀ É ÄÅÓÑÔÕÀ ÅÇÏ ÓÔÒÏËÉ. 134 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ (Â) ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ a, b É | ÔÒÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁ × ×ÏÓØÍÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ, ÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ ÄÅÓÑÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ËÁË ÓÕÍÍÕ: a + 2b + . (×) ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ðÁÓËÁÌÑ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: C (n; k ) + 2C (n; k + 1) + C (n; k + 2) = C (n + 2; k + 2) ÒÉ 0 6 k 6 n − 2. (üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÏÂÏÂÝÁÅÔ ÆÁËÔ (Â) ÎÁ ×ÅÓØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ.) 6.12. (Á) ðÏÌÏÖÉ× × ÂÉÎÏÍÅ îØÀÔÏÎÁ a = b = 1, ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n = 0; 1; 2; : : : ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ: C (n; 0) + C (n; 1) + · · · + C (n; n) = 2n : ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÏÔÓÀÄÁ, ÞÔÏ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ 2n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×. (õËÁÚÁÎÉÅ: ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÓËÏÌØËÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÝÎÏÓÔÉ k ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × S .) (Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ C (n; 0) − C (n; 1) + C (n; 2) − · · · + (−1)n C (n; n) = 0: 6.13. (Á) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÓÌÏ× ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ ÓÌÏ×Á áâòáëáäáâòá? (Â) óËÏÌØËÏ ÉÚ ÎÉÈ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÂÕË×Ù ë? (×) ÷ ÓËÏÌØËÉÈ ÉÚ ÎÉÈ ÏÂÅ ÂÕË×Ù â ÓÔÏÑÔ ÒÑÄÏÍ? 6.14. (Á) îÁÊÄÉÔÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ a3 b5 ÏÓÌÅ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (a + b)8 . (Â) îÁÊÄÉÔÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xy 3 z 4 ÏÓÌÅ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (x + y + z )8 . (×) îÁÊÄÉÔÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xy 2 z ÏÓÌÅ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (x + 2y + z − 1)5 . ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù 135 ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù ðÒÁ×ÉÌÏ ÓÕÍÍÙ ÇÌÁÓÉÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ A É B | ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÅ ÓÏÂÙÔÉÑ, ÒÉÞÅÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ A É n2 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÁ ÓÏÂÙÔÉÑ B , ÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ A ÉÌÉ B ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ n1 + n2 . ðÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÄÁÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ k ÓÏÂÙÔÉÊ Ó n1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉ ÅÒ×ÏÇÏ, n2 | ×ÔÏÒÏÇÏ, É Ô. Ä., ×ÌÏÔØ ÄÏ nk ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ k ÓÏÂÙÔÉÊ ÒÁ×ÎÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ n1 · n2 · · · nk . íÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÍÏÝÎÏÓÔÉ n. åÓÌÉ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÒÑÄÏË ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅ, Á × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ. òÁÚÍÅÝÅÎÉÅ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÙÂÉÒÁÅÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÙ ÒÁÚÒÅÛÁÅÍ ÏÑ×ÌÑÔØÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍ, ÉÎÁÞÅ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅÍ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ É ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ. âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ | ÜÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ: (a + b)n = C (n; 0)an + C (n; 1)an−1 b + C (n; 2)an−2 b2 + · · · + C (n; n)bn ; ÇÄÅ n! C (n; k ) = : (n − k )! k ! ïÂÝÉÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ É (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ, ËÁË Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ, ÔÁË É ÂÅÚ ÏÎÙÈ ÄÁÎÙ × ÔÁÂÌ. 6.1. ÁÂÌÉ Á 6.1 ðÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ ðÏÒÑÄÏË ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ üÌÅÍÅÎÔÙ Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ k n ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ (n + k − 1)! k ! (n − 1)! üÌÅÍÅÎÔÙ ÎÅ Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ n! (n − k)! ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ n! (n − k)! k! ÅÏÒÅÍÁ Ï ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n! n1 ! n2 ! · · · nr ! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË n ÏÂßÅËÔÏ×, n1 ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÔÉÕ 1, n2 | Ë ÔÉÕ 2, É Ô. Ä. ×ÌÏÔØ ÄÏ nr ÏÂßÅËÔÏ× ÔÉÁ r . 136 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. üÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ïÄÎÁ ÉÚ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ | ÓÏÚÄÁÎÉÅ É ÁÎÁÌÉÚ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. äÌÑ ÕÓÅÛÎÏÇÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÔÁËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÍÅÔØ ÉÚÍÅÒÑÔØ ÚÁÔÒÁÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ×ÒÅÍÅÎÉ É ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÁÍÑÔÉ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÙ Ï ÅÎÉ×ÁÅÍ ×ÒÅÍÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. ïÄÉÎ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ× Ï ÅÎËÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÄÓÞÅÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÔÓÑ ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ. îÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏÂÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÅÓÔØ ÌÉ ÄÁÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï X × ÓÌÏ×ÁÒÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍ n ÓÌÏ×, ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÉÓË . îÁÚ×ÁÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÔ ÓÌÏ×Ï X Ó ÅÒ×ÙÍ ÓÌÏ×ÏÍ × ÓÌÏ×ÁÒÅ, ÚÁÔÅÍ ÓÏ ×ÔÏÒÙÍ, É Ô. Ä. , ÏËÁ ÓÌÏ×Ï X ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÎÁÊÄÅÎÏ × ÓÌÏ×ÁÒÅ ÉÌÉ, × ÎÁÉÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÎÁÊÄÅÎÏ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, × ÎÁÉÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÏ n ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÒÉ Ä×ÏÉÞÎÏÍ (ÄÉÈÏÔÏÍÉÞÅÓËÏÍ) ÓÏÓÏÂÅ ÓÌÏ×Ï X ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ ÓÒÅÄÎÉÍ ÉÚ ÓÌÏ×ÁÒÑ, Á ÏÔÏÍ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÉÅ ÓÌÏ×, ÒÉÎÉÍÁÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, × ËÁËÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÌÏ×ÁÒÑ (ÄÏ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÓÌÏ×Á ÉÌÉ ÏÓÌÅ ÎÅÇÏ) ÒÏÄÏÌÖÁÔØ ÏÉÓË. üÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ × ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÓÌÏ×ÁÒÑ É Ô. Ä. ÷ ÎÁÉÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ (ÓÌÏ×Ï ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ × ÓÌÏ×ÁÒÅ) Ä×ÏÉÞÎÙÊ ÏÉÓË ÓÄÅÌÁÅÔ 1 + log2 n ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ëÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÔÁÂÌ. 6.2, Ä×ÏÉÞÎÙÊ ÏÉÓË ËÕÄÁ ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÅÎ, ÞÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ. ÁÂÌÉ Á 6.2 n 1 + log 2 n 8 64 4 7 218 = 250 000 19 îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ log2 2k = k . úÁÄÁÞÁ 1. îÁ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× A, B , C , D É E ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ n, 3n2 , 2n2 + 4n, n3 É 2n ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ðÏÄÓÞÉÔÁÊÔÅ ×ÒÅÍÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÎÁ ÒÁÂÏÔÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÒÉ n = 1, n = 10, n = 100 É n = 1000, ÅÓÌÉ ÏÄÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ÓÏ×ÅÒ- ÛÁÅÔÓÑ ÚÁ 1 ÍÉÌÌÉÓÅËÕÎÄÕ. òÅÛÅÎÉÅ. ïÔ×ÅÔÙ Ó×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌ. 6.3. ëÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÔÁÂÌÉ Ù, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÇÒÏÍÎÁÑ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÁÚÎÉ Á ÍÅÖÄÕ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÍÉ × ÓÅÂÑ ÓÔÅÅÎÉ n (ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ), É ÔÅÍÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ n ×ÙÓÔÕÁÅÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏËÁ- ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. üÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× 137 ÚÁÔÅÌÑ (ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ). ðÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ ÓÔÁÒÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ n. åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÉ ÉÍÅÀÔ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÓÔÁÒÛÕÀ ÓÔÅÅÎØ n, ÔÏ ÒÁÂÏÞÉÅ ÅÒÉÏÄÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÂÌÉÚËÉ ÄÒÕÇ Ë ÄÒÕÇÕ (ÓÍ. ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ B É C ). ÁÂÌÉ Á 6.3 A 1 10 100 1000 B C 2 n 3n 1 ÍÓ 10 ÍÓ 100 ÍÓ 1000 ÍÓ 3 ÍÓ 300 ÍÓ 30 Ó 0,83 Þ D 2 3 E 2n + 4n n 2n 6 ÍÓ 240 ÍÓ 20,4 Ó 0,56 Þ 1 ÍÓ 1Ó 0,28 Þ 11,6 ÄÎÅÊ 2 ÍÓ 1,024 Ó 4 · 1017 ×ÅËÏ× 10176 ×ÅËÏ× ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÉ f (n) É g (n) ÉÚÍÅÒÑÀÔ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÉÈ ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ . âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ ÆÕÎË ÉÉ f (x) ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ Õ g (x), ÅÓÌÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ C , ÞÔÏ |f (n)| 6 C |g (n)| ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ËÁË1 f (x) = O (g (n)). úÁÄÁÞÁ 2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ 2n2 + 4n = O (n2 ). òÅÛÅÎÉÅ. ÁË ËÁË n 6 n2 ÒÉ n > 1, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ 2n2 + 4n 6 2n2 + 4n2 = 6n2 ÄÌÑ ×ÓÅÈ n ∈ N. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÌÏÖÉ× C = 6 × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÓÔÁ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁËÌÀÞÉÔØ, ÞÔÏ 2n2 + 4n = O (n2 ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÌÅÇËÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ n2 6 2n2 + 4n ÒÉ n > 1. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, n2 = O (2n2 + 4n). ä×Å ÆÕÎË ÉÉ, ÔÁËÉÅ ËÁË n2 É 2n2 + 4n, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÅÔ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ ÄÒÕÇÏÊ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÆÕÎËÉÑÍÉ ÏÄÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÓÔÁ . æÕÎË ÉÉ, ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ Ó ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍÉ B É C × ÚÁÄÁÞÅ 1 ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ É, ËÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÌÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÂÌÉÚËÉ. íÙ ÍÏÖÅÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÉÅÒÁÒÈÉÞÅÓËÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÆÕÎË ÉÊ, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÅÔ ÂÏÌØÛÉÊ ÏÒÑÄÏË ÒÏ1 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ O(g (n)) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÅ ÏÄÎÕ, Á ÅÌÙÊ ËÌÁÓÓ ÆÕÎË ÉÊ, ÒÁÓÔÕÝÉÈ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ g (n). ðÏÜÔÏÍÕ ÚÎÁË ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÚÄÅÓØ ÎÁÄÏ ÏÎÉÍÁÔØ ÕÓÌÏ×ÎÏ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ËÁË ÚÎÁË ∈. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 138 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ÓÔÁ, ÞÅÍ ÒÅÄÙÄÕÝÁÑ. ïÄÉÎ ÉÚ ÒÉÍÅÒÏ× ÔÁËÏÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: 2 3 : : : nk : :}: 2n |n n n {z ↑ ↑ ↑ ↑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ ÌÏÇÁÒÉÆÍ ÏÌÉÎÏÍ ÜËÓÏÎÅÎÔÁ 1 log n ÷ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÄÅÔÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÜÔÕ ÉÅÒÁÒÈÉÀ, ×ÓÔÁ×É× (n log n) ÍÅÖÄÕ n É n2 , (n2 log n) ÍÅÖÄÕ n2 É n3 É Ô. Ä. ÷ ÜÔÏÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ ×ÁÖÎÏ ÔÏ, ÞÔÏ Ä×ÉÇÁÑÓØ ÏÔ ÅÅ ÌÅ×ÏÇÏ ËÒÁÑ Ë ÒÁ×ÏÍÕ, ÍÙ ×ÓÔÒÅÞÁÅÍ ÆÕÎË ÉÉ ×ÓÅ ÂÏÌØÛÅÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÓÔÁ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÅÍ ÒÁ×ÅÅ × ÜÔÏÍ ÒÑÄÕ ÓÔÏÉÔ ÆÕÎË ÉÑ, ÔÅÍ ÂÙÓÔÒÅÅ ÒÁÓÔÕÔ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÏÓÔÏÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ n. óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÒÁÆÉËÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 6.2. ÅÅÒØ ÌÀÂÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ f (n) ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÆÕÎË ÉÀ g (n) ÉÚ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ f (n) ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ g (n), ÎÏ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÌÀÂÁÑ ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ, ÓÔÏÑÝÁÑ ÌÅ×ÅÅ g (n). þÔÏÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ, ÍÙ ÏÍÏÝØÀ ÎÁÛÅÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ ×ÙÄÅÌÑÅÍ × ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÂÙÓÔÒÏ ÒÁÓÔÕÝÉÊ ÞÌÅÎ (ÅÇÏ ÅÝÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÔÁÒÛÉÍ ÞÌÅÎÏÍ) É ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÎÁÛÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ × ÉÅÒÁÒÈÉÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÆÕÎË ÉÀ f (n) = 9n + 3n6 + 7 log n. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ (ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÔÏ ÉÌÉ ÉÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ) ÎÅ ×ÌÉÑÀÔ ÎÁ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ ÆÕÎË ÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ 9n = O (n), 3n6 = O (n6 ) É 7 log n = O (log n). ðÏÓËÏÌØËÕ n É log n ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ × ÉÅÒÁÒÈÉÉ ÒÁÎØÛÅ, ÞÅÍ n6 , ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ËÁË 9n, ÔÁË É 7 log n ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÌÁÓÓÕ O (n6 ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f (n) = O (n6 ), É ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÂÙÓÔÒÏ ÒÁÓÔÕÝÉÍ ÞÌÅÎÏÍ Õ f (n) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÌÅÎ 3n6 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ f (n) ÒÁÓÔÕÔ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n6 . æÁËÔÉÞÅÓËÉ, × ÜÔÏÍ ÒÉÍÅÒÅ ÆÕÎË ÉÑ f (n) ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ, ÞÔÏ É n6 . úÁÄÁÞÁ 3. éÓÏÌØÚÕÑ ÉÅÒÁÒÈÉÀ ÆÕÎË ÉÊ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÛÌÁ ÒÅÞØ ×ÙÛÅ, ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ Õ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ: (Á) n4 + 2n3 + 3; (Â) 6n5 + 2n ; (×) 5n + n2 log n. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) äÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÌÁÓÓÕ O (n4 ), ÏÓËÏÌØËÕ n4 | ÓÔÁÒÛÉÊ ÅÅ ÞÌÅÎ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. üÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× 139 (Â) üÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÌÁÓÓÕ O (2n ), ÏÓËÏÌØËÕ 2n | ÅÅ ÓÔÁÒÛÉÊ ÞÌÅÎ. (×) óÔÁÒÛÉÊ ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÕÎË ÉÉ | ÜÔÏ n2 log n. ÁËÏÊ ÆÕÎËÉÉ ÎÅÔ × ÉÅÒÁÒÈÉÉ, Á ÅÓÌÉ ÂÙ ÏÎÁ ÂÙÌÁ, ÔÏ ÓÔÏÑÌÁ ÂÙ ÍÅÖÄÕ n2 É n3 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÒÁÓÔÅÔ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ ÆÕÎË ÉÉ, ÌÅÖÁÝÉÅ × ËÌÁÓÓÅ O (n3 ). òÉÓÕÎÏË 6.2. ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ ÆÕÎË ÉÊ ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÆÕÎË ÉÉ ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÌÀÂÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÅÛÉÔØ, ÞÔÏ × ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÚÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÒÁÍÅÔÒÁ n É ËÁËÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÔÏÉÔ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ ÒÉ ÒÁÓÞÅÔÁÈ. 140 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ úÁÄÁÞÁ 4. îÁÊÄÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÆÒÁÇÍÅÎÔÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÎÁÉÓÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ, ÏÄÓÞÉÔÁ× ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ x := x + 1, ËÏÔÏÒÙÅ × ÎÅÍ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ. begin for i := 1 to 2n do for j := 1 to n do for k := 1 to j do x := x + 1; end òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÎÅÛÎÉÊ ÉËÌ (ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ i) Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ 2n ÒÁÚ. ãÉËÌ, ÏÍÅÞÅÎÎÙÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ j , Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ n ÒÁÚ. ðÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ j ÏÅÒÁ ÉÑ x := x + 1 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ j ÒÁÚ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÉËÌÁ i ÏÅÒÁ ÉÑ x := x +1 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ 1+2+ · · · + n ÒÁÚ, ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏ 12 n(n +1). úÎÁÞÉÔ ÆÕÎË ÉÑ ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ T (n) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: T (n) = 2n · éÔÁË, T (n) = O (n3 ): 1 n(n + 1) = n2 (n + 1): 2 çìá÷á 7 çòáæù çÒÁÆÙ ×ÏÚÎÉËÌÉ × ×ÏÓÅÍÎÁÄ ÁÔÏÍ ÓÔÏÌÅÔÉÉ, ËÏÇÄÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË, ìÅÏÎÁÒÄ üÊÌÅÒ, ÙÔÁÌÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÔÅÅÒØ ÕÖÅ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÕÀ ÚÁÄÁÞÕ Ï ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÓËÉÈ ÍÏÓÔÁÈ. ÷ ÔÏ ×ÒÅÍÑ × ÇÏÒÏÄÅ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÅ ÂÙÌÏ Ä×Á ÏÓÔÒÏ×Á, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ÓÅÍØÀ ÍÏÓÔÁÍÉ Ó ÂÅÒÅÇÁÍÉ ÒÅËÉ ðÒÅÇÏÌØ É ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 7.1. úÁÄÁÞÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ: ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ ÒÏÇÕÌËÕ Ï ÇÏÒÏÄÕ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ, ÒÏÊÄÑ ÒÏ×ÎÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÍÏÓÔÕ, ×ÅÒÎÕÔØÓÑ × ÔÏ ÖÅ ÍÅÓÔÏ, ÏÔËÕÄÁ ÎÁÞÉÎÁÌÁÓØ ÒÏÇÕÌËÁ. òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ, üÊÌÅÒ ÉÚÏÂÒÁÚÉÌ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇ × ×ÉÄÅ ÇÒÁÆÁ, ÏÔÏÖÄÅÓÔ×É× ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÞÁÓÔÑÍÉ ÇÏÒÏÄÁ, Á ÒÅÂÒÁ | Ó ÍÏÓÔÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÍÉ Ó×ÑÚÁÎÙ ÜÔÉ ÞÁÓÔÉ. ëÁË ÍÙ ÏËÁÖÅÍ × § 7.1, üÊÌÅÒÕ ÕÄÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÏÇÏ ÍÁÒÛÒÕÔÁ ÏÂÈÏÄÁ ÇÏÒÏÄÁ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. C c g d A e D a Êåíèíãñáåðã b B f òÉÓÕÎÏË 7.1. óÈÅÍÁ ÓÔÁÒÏÇÏ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÁ ÷ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ××ÏÄÉÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÕÀ × ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ×, É ÒÁÚÂÉÒÁÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÒÅÛÁÅÍÙÈ Ó ÏÍÏÝØÀ ÇÒÁÆÏ×. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ËÌÁÓÓÏÍ ÇÒÁÆÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÍ ÄÅÒÅ×ØÑÍÉ. äÅÒÅ×ØÑ | ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ÄÁÎÎÙÅ, ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÎÙÅ × ÉÅÒÁÒÈÉÞÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ. ðÏÉÓË Ï ÄÅÒÅ×Õ ÄÌÑ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÒÅÄÍÅÔÏ× É ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÁ ÄÁÎÎÙÈ × ÄÅÒÅ×Å ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ×ÁÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ 142 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÕÓÉÌÉÊ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ. ÷ ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ É ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÏÊ É ÏÉÓËÏÍ ÄÁÎÎÙÈ, ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ × ÄÅÒÅ×ØÑ. 7.1. çÒÁÆÙ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ îÁ ÒÉÓ. 7.1 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÓÅÍØ ÍÏÓÔÏ× ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÁ ÔÁË, ËÁË ÏÎÉ ÂÙÌÉ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ × ×ÏÓÅÍÎÁÄ ÁÔÏÍ ÓÔÏÌÅÔÉÉ. ÷ ÚÁÄÁÞÅ, Ë ËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÒÁÔÉÌÓÑ üÊÌÅÒ, ÓÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ: ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÎÁÊÔÉ ÍÁÒÛÒÕÔ ÒÏÇÕÌËÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÏÈÏÄÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÍÏÓÔÏ× É ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ × ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÍÅÓÔÅ ÇÏÒÏÄÁ? íÏÄÅÌØ ÚÁÄÁÞÉ | ÜÔÏ ÇÒÁÆ , ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÅÒÛÉÎ É ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅÂÅÒ , ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÙ. ÷ÅÒÛÉÎÙ A, B , C É D ÓÉÍ×ÏÌÉÚÉÒÕÀÔ ÂÅÒÅÇÁ ÒÅËÉ É ÏÓÔÒÏ×Á, Á ÒÅÂÒÁ a, b, , d, e, f É g ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÓÅÍØ ÍÏÓÔÏ× (ÓÍ. ÒÉÓ. 7.2). éÓËÏÍÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÂÈÏÄÕ ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÒÏÈÏÄÉÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ðÒÏÈÏÄ ÒÅÂÒÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÀ ÒÅËÉ Ï ÍÏÓÔÕ. C c d e A d a g D f B òÉÓÕÎÏË 7.2. íÏÄÅÌØ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÍÏÓÔÁÈ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÁ çÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÍÁÒÛÒÕÔ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÊÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ × ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ, É ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ Ï ×ÓÅÍ ÒÅÂÒÁÍ ÇÒÁÆÁ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ . ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ (ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ É Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ), ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÈÏÄÉÔ ÉÓËÏÍÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ, ËÁË É ÓÁÍ ÍÁÒÛÒÕÔ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÉËÌÏÍ . üÊÌÅÒ ÚÁÍÅÔÉÌ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ÇÒÁÆÅ ÅÓÔØ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ, ÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÅÂÒÁ, ×ÅÄÕÝÅÇÏ × ËÁËÕÀ-ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÕ, ÄÏÌÖÎÏ ÎÁÊÔÉÓØ ÄÒÕÇÏÅ ÒÅÂÒÏ, ×ÙÈÏÄÑÝÅÅ ÉÚ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ1 , É ÏÌÕÞÉÌ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÎÁÂÌÀ1 úÁÊÄÑ × ×ÅÒÛÉÎÕ, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ×ÙÊÔÉ Ï ÔÏÍÕ ÖÅ ÒÅÂÒÕ, ÓÏÂÌÀÄÁÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 7.1. çÒÁÆÙ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ 143 ÄÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ×Ù×ÏÄ: ÅÓÌÉ × ÄÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ, ÔÏ Ë ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÄÏÌÖÎÏ ÏÄÈÏÄÉÔØ ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, üÊÌÅÒÕ ÕÄÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ É ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÔÁË ÞÔÏ ÇÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÌÀÂÁÑ ÁÒÁ ×ÅÒÛÉÎ Ó×ÑÚÁÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÒÅÂÅÒ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ üÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÍÅÀÔ ÞÅÔÎÕÀ ÓÔÅÅÎØ. óÔÅÅÎØÀ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ Æ (v ) ÒÅÂÅÒ, ÅÊ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ 2. ÅÅÒØ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ × ÇÒÁÆÅ, ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÅÍ ÚÁÄÁÞÕ Ï ÍÏÓÔÁÈ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÁ, ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ ÎÁÊÔÉ ÎÅÌØÚÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÓÔÅÅÎÉ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÎÅÞÅÔÎÙ: Æ (B ) = Æ (C ) = Æ (D ) = 3 É Æ (A) = 5. ó ÌÅÇËÏÊ ÒÕËÉ üÊÌÅÒÁ ÇÒÁÆÙ, ÏÄÏÂÎÙÅ ÔÏÍÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÌÉ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÍÏÓÔÁÈ, ÓÔÁÌÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ, Á ÉÈ ÉÚÕÞÅÎÉÅ ×ÙÒÏÓÌÏ × ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÕÀ ÏÂÌÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ðÒÏÓÔÏÊ ÇÒÁÆ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÁÒÁ G = (V; E ), ÇÄÅ V | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ, Á E | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ, ÒÉÞÅÍ G ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÅÔÅÌØ (ÒÅÂÅÒ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÈÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÊÈÓÑ × ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ) É ËÒÁÔÎÙÈ ÒÅÂÅÒ (ËÒÁÔÎÙÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÅÂÅÒ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÁÒÕ ×ÅÒÛÉÎ). çÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 7.2, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÅÒÛÉÎÙ A É B ÓÏÅÄÉÎÑÀÔÓÑ Ä×ÕÍÑ ÒÅÂÒÁÍÉ (ËÁË ÒÁÚ ÜÔÉ ÒÅÂÒÁ É ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÒÁÔÎÙÍÉ). ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ u É v × ÒÏÓÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÍÅÖÎÙÍÉ , ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÓÏÅÄÉÎÑÀÔÓÑ ËÁËÉÍ-ÔÏ ÒÅÂÒÏÍ e, ÒÏ ËÏÔÏÒÏÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏ ×ÅÒÛÉÎÅ u (É v ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï E ÒÅÂÅÒ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÒ ÓÍÅÖÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ, ÏÒÅÄÅÌÑÑ ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÎÅÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å V . ïÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ × ÒÏÓÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÅÔ ÅÔÅÌØ, Ô. Å. ÒÅÂÅÒ, ÏÂÁ ËÏÎ Á ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ. óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ ÖÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ, ÞÔÏ ÒÅÂÒÏ e, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÅ ×ÅÒÛÉÎÕ u Ó v , ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ É v Ó u (ÉÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÅÂÒÁ ÎÅ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÙ, Ô. Å. ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ). åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÂÒÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÅ ÁÒÕ ×ÅÒÛÉÎ u É v , ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ËÁË uv (ÉÌÉ vu). ìÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ, ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁÍÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ . óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ M ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ. á ÉÚ-ÚÁ ÎÅÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù M ÓÔÏÉÔ ÓÉÍ×ÏÌ ì. 2 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×ÅÒÛÉÎÁ v Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎ ÏÍ ÒÅÂÒÁ x, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . v É x 144 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ðÒÉÍÅÒ 7.1. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÇÒÁÆ G(V; E ) Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V = = {a; b; ; d; e} É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÂÅÒ E = {ab; ae; b ; bd; e; de}. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ. òÅÛÅÎÉÅ. çÒÁÆ G ÏËÁÚÁÎ ÎÁ ÒÉÓ. 7.3. c b a d e òÉÓÕÎÏË 7.3. åÇÏ ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: a a ì b  é  b é ì  ì é  d  ì é e é ì  ì é ì ì é d e ì é ì ì é é ì é é ì    :   äÌÑ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÇÒÁÆÁ ÎÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÏÌØËÏ ÔÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÏÑÔ ÎÁÄ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ. ðÏÄÇÒÁÆÏÍ ÇÒÁÆÁ G = (V; E ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÒÁÆ G′ = (V ′ ; E ′ ), × ËÏÔÏÒÏÍ E ′ ⊂ E É V ′ ⊂ V . ðÒÉÍÅÒ 7.2. îÁÊÄÉÔÅ ÓÒÅÄÉ ÇÒÁÆÏ× H , K É L, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÉÓ. 7.4, ÏÄÇÒÁÆÙ ÇÒÁÆÁ G. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÏ× G, H É K ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 7.5. çÒÁÆÙ H É K | ÏÄÇÒÁÆÙ × G, ËÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÎÁÛÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ. çÒÁÆ L ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÇÒÁÆÏÍ × G, ÏÓËÏÌØËÕ Õ ÎÅÇÏ ÅÓÔØ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÎÄÅËÓÁ 4, Á Õ ÇÒÁÆÁ G ÔÁËÏÊ ÎÅÔ. òÅÛÅÎÉÅ. íÁÒÛÒÕÔÏÍ ÄÌÉÎÙ k × ÇÒÁÆÅ G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i = 1; : : : ; k ÁÒÁ vi−1 vi ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÔÁËÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔ ÞÅÒÅÚ v0 v1 : : : vk . îÁÒÉÍÅÒ, 1 4 3 2 5 | ÜÔÏ ÍÁÒÛÒÕÔ ÄÌÉÎÙ 4 × ÇÒÁÆÅ G ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 7.2. 7.1. çÒÁÆÙ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ 145 òÉÓÕÎÏË 7.4. ãÉËÌÏÍ × ÇÒÁÆÅ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎ ÁÍÉ ÏÄÎÏÇÏ ÒÅÂÒÁ, ÒÉÞÅÍ v0 = v1 , Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ (É ÒÅÂÒÁ) ÎÅ Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÉËÌ | ÜÔÏ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ Ó×ÏÀ ×ÅÒÛÉÎÕ É ÒÅÂÒÏ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. òÉÓÕÎÏË 7.5. ðÒÉÍÅÒ 7.3. îÁÊÄÉÔÅ ÉËÌÙ × ÇÒÁÆÅ G ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 7.2. òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÅÓÔØ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ 5: 132541 É 1 2 5 4 3 1: íÙ ÍÏÖÅÍ ÒÏÊÔÉ ÜÔÉ ÉËÌÙ ËÁË × ÏÄÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ, ÔÁË É × ÄÒÕ- 146 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ÇÏÍ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉËÌÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÇÒÁÆÅ ÅÓÔØ ÔÒÉ ÒÁÚÎÙÈ ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ 4: 1 2 5 4 1; 12341 É 2 5 4 3 2; É Ä×Á ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ 3: 1231 É 1 3 4 1: çÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÅÔ ÉËÌÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Á ÉËÌÉÞÎÙÍ . óÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÅÒÅ×ØÅ×, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ × ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ Á ÉËÌÉÞÎÙÈ ÇÒÁÆÏ×. ðÏÚÖÅ × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÉÍÉ ÚÁÊÍÅÍÓÑ. çÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ó×ÑÚÎÙÍ , ÅÓÌÉ ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÍÁÒÛÒÕÔ. ìÀÂÏÊ ÏÂÝÉÊ ÇÒÁÆ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÏÄÇÒÁÆÙ, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏËÁÖÅÔÓÑ Ó×ÑÚÎÙÍ. íÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÔÁËÉÈ Ó×ÑÚÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏÍ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ (G). ÷ÏÒÏÓÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÉÍÅÀÔ ×ÁÖÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÈ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ× Ë ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÍ ÓÅÔÑÍ. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ. áÌÇÏÒÉÔÍ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÇÒÁÆ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ = (G), Ô. Å. ÞÉÓÌÁ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G. begin V ′ := V ; := 0; while V ′ 6= ∅ do begin ÷ÙÂÒÁÔØ y ∈ V ′; îÁÊÔÉ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ ÍÁÒÛÒÕÔÏÍ Ó y ; õÄÁÌÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ y ÉÚ V ′ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÒÅÂÒÁ ÉÚ E ; end := + 1; end ðÒÉÍÅÒ 7.4. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÎÁ ÇÒÁ- ÆÅ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 7.6. 7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ 147 òÉÓÕÎÏË 7.6. òÅÛÅÎÉÅ. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 7.1. ÁÂÌÉ Á 7.1 V éÓÈÏÄÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÷ÙÂÏÒ y = 1 ÷ÙÂÏÒ y = 2 ÷ÙÂÏÒ y = 7 ′ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} {2; 4; 5; 7} {7} ∅ 0 1 2 3 éÔÁË, (G) = 3. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 7.7. òÉÓÕÎÏË 7.7. 7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ íÙ ÎÁÞÁÌÉ ÜÔÕ ÇÌÁ×Õ Ó ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÈ ÇÒÁÆÏ×, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÍÁÒÛÒÕÔÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÏÈÏÄÉÔ Ï ×ÓÅÍ ÒÅÂÒÁÍ ÇÒÁÆÁ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ðÏÈÏÖÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÉÓËÅ ÉËÌÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÇÏ 148 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÇÒÁÆÁ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ÁËÏÊ ÉËÌ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ , Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÇÒÁÆ | ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ . çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ ÓÌÕÖÁÔ ÍÏÄÅÌØÀ ÒÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÒÁÓÉÓÁÎÉÑ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÏÅÚÄÏ×, ÄÌÑ ÔÅÌÅËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÅÔÅÊ, É Ô. Ä. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÚÁÄÁÞÉ üÊÌÅÒÁ, ÒÏÓÔÏÇÏ ËÒÉÔÅÒÉÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ ÏËÁ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ. ðÏÉÓË ÈÏÒÏÛÅÇÏ ËÒÉÔÅÒÉÑ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ×. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÍÎÏÇÉÅ ÇÒÁÆÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍÉ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ËÁËÏÍ-ÔÏ ÇÒÁÆÅ ÌÀÂÁÑ ÁÒÁ ×ÅÒÛÉÎ ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÒÅÂÒÏÍ. ÁËÏÊ ÇÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÎÙÍ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ Kn , ÇÄÅ n | ÞÉÓÌÏ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, × ÌÀÂÏÍ ÏÌÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÍÏÖÎÏ ÏÔÙÓËÁÔØ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ. ðÏÌÎÙÊ ÇÒÁÆ K5 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 7.8. åÇÏ ÉËÌ a b d e a, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ. ÷ ÎÅÍ ÅÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÉËÌÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÓÍÅÖÎÁ Ó ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ, ÔÏ ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ×ÅÒÛÉÎÙ a, × ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÔÏÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉËÌÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ. äÁÌÅÅ Õ ÎÁÓ ÂÕÄÅÔ ÔÒÉ ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÔÒÅÔÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ É Ä×Á ÄÌÑ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÍÙ ×ÅÒÎÅÍÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÕ a. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 4 · 3 · 2 = 24 ÉËÌÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÉËÌ ÍÏÖÎÏ ÒÏÈÏÄÉÔØ ËÁË × ÏÄÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ, ÔÁË É × ÄÒÕÇÏÍ, ÔÏ ÒÅÁÌØÎÏ × ÇÒÁÆÅ K5 ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ 12 ÒÁÚÎÙÈ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×1 . òÉÓÕÎÏË 7.8. ðÏÌÎÙÊ ÇÒÁÆ K5 ðÏÉÓË ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÉËÌÁ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ (Ó×ÑÚÎÏÍ) ÇÒÁÆÅ | ÚÁÄÁÞÁ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÒÏÓÔÁÑ. ïÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ Ï ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÔÒÕÄÏÅÍËÉÍ. 1 ä×Å ÒÁÚÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÅÒÛÉÎ: a b ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÉËÌ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . d e a É a e d b a ÚÁÄÁÀÔ, 7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ 149 ðÒÉÍÅÒ 7.5. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÇÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 7.9, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ. òÉÓÕÎÏË 7.9. ðÒÉÍÅÒ ÎÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÇÒÁÆÁ òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × Ó×ÑÚÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ. ëÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ v ×ËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ C ×ÙÂÏÒÏÍ Ä×ÕÈ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ Ó ÎÅÊ ÒÅÂÅÒ, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÓÔÅÅÎØ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÍ ÉËÌÅ (ÏÓÌÅ ÕÄÁÌÅÎÉÑ ÌÉÛÎÉÈ ÒÅÂÅÒ) ÒÁ×ÎÁ 2. óÔÅÅÎÉ ×ÅÒÛÉÎ ÄÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ | 2 ÉÌÉ 3. ÷ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ 2 ×ÈÏÄÑÔ × ÉËÌ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÏÂÏÉÍÉ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÍÉ Ó ÎÉÍÉ ÒÅÂÒÁÍÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅÂÒÁ ab, ae, d, b, hi, hg É ij × ÔÏÍ ÉÌÉ ÉÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ ×ÈÏÄÑÔ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ C (ÓÍ. ÒÉÓ. 7.10). òÅÂÒÏ bf ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÞÁÓÔØÀ ÉËÌÁ C , ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÔÁËÏÇÏ ÉËÌÁ ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ ÓÔÅÅÎØ 2. úÎÁÞÉÔ, ÒÅÂÒÁ f j É f g ÏÂÑÚÁÎÙ ×ÈÏÄÉÔØ × ÉËÌ C , ÞÔÏÂÙ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÎÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÕ f . îÏ ÔÏÇÄÁ ÒÅÂÒÁ je É gd ÎÉËÁË ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ ÉËÌÕ C , ÏÓËÏÌØËÕ × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ × ÎÅÍ ÏÑ×ÑÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ ÔÒÉ. üÔÏ ×ÙÎÕÖÄÁÅÔ ÎÁÓ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÉËÌ ÒÅÂÒÏ ed, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ: ÒÅÂÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÂÙÌÉ ×ÙÎÕÖÄÅÎÙ ×ÙÂÒÁÔØ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ Ä×Á ÎÅÓ×ÑÚÎÙÈ ÉËÌÁ, Á ÎÅ ÏÄÉÎ, ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÉ. ÷Ù×ÏÄ: ÇÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 7.10, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÎÏÇÉÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ. ïÓÎÏ×ÏÊ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÓÌÕÖÉÔ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ , ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å. 150 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ëÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒ ÄÏÌÖÅÎ ÓÏ×ÅÒÛÉÔØ ÏÅÚÄËÕ Ï ÇÏÒÏÄÁÍ É ×ÅÒÎÕÔØÓÑ ÏÂÒÁÔÎÏ, ÏÂÙ×Á× × ËÁÖÄÏÍ ÇÏÒÏÄÅ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ, Ó×ÅÄÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÚÁÔÒÁÔÙ ÎÁ ÅÒÅÄ×ÉÖÅÎÉÑ Ë ÍÉÎÉÍÕÍÕ. òÉÓÕÎÏË 7.10. òÅÂÒÁ, ×ÈÏÄÑÝÉÅ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ C çÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÍÏÄÅÌØ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÇÒÁÆÁ, ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ÇÏÒÏÄÁ, Á ÒÅÂÒÁ | Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÅ ÉÈ ÄÏÒÏÇÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÏÓÎÁÝÅÎÏ ×ÅÓÏÍ , ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÝÉÍ ÔÒÁÎÓÏÒÔÎÙÅ ÚÁÔÒÁÔÙ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ ÕÔÅÛÅÓÔ×ÉÑ Ï ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÄÏÒÏÇÅ, ÔÁËÉÅ, ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÉÌÉ ×ÒÅÍÑ Ä×ÉÖÅÎÉÑ Ï ÄÏÒÏÇÅ2 . äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÊÔÉ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÏËÁ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ. äÌÑ ÓÌÏÖÎÙÈ ÓÅÔÅÊ ÞÉÓÌÏ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏÓÍÏÔÒÅÔØ ÄÌÑ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ, ÎÅÏÍÅÒÎÏ ÏÇÒÏÍÎÏ. ïÄÎÁËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÉÓËÁ ÓÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ . óÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÄÁÓÔ ÉËÌ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÎÏ ÎÁÊÄÅÎÎÙÊ ÉËÌ ÂÕÄÅÔ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÞÅÍ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×! ïÄÉÎ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÍÙ ÓÅÊÞÁÓ É ÉÚÕÞÉÍ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÂÌÉÖÁÊÛÅÇÏ ÓÏÓÅÄÁ. üÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÄÁÅÔ ÓÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÉËÌÙ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ Ó 2 çÒÁÆ, ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÓÎÁÝÅÎÏ ×ÅÓÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÍ | 7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ 151 ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V . ãÉËÌ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÂÕÄÅÔ ÓÏ×ÁÄÁÔØ Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔ , Á ÅÇÏ ÏÂÝÁÑ ÄÌÉÎÁ | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ w. begin end ÷ÙÂÒÁÔØ v ∈ V ; ÍÁÒÛÒÕÔ := v ; w := 0; v ′ := v ; ïÔÍÅÔÉÔØ v ′ ; while ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ do begin ÷ÙÂÒÁÔØ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ u, ÂÌÉÖÁÊÛÕÀ Ë v ′ ; ÍÁÒÛÒÕÔ := ÍÁÒÛÒÕÔ u; w := w + ×ÅÓ ÒÅÂÒÁ v ′ u; v ′ := u; ïÔÍÅÔÉÔØ v ′ ; end ÍÁÒÛÒÕÔ := ÍÁÒÛÒÕÔ v ; w := w + ×ÅÓ ÒÅÂÒÁ v ′ v ; ðÒÉÍÅÒ 7.6. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÂÌÉÖÁÊÛÅÇÏ ÓÏÓÅÄÁ Ë ÇÒÁÆÕ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÍÕ ÎÁ ÒÉÓ. 7.11. úÁ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ×ÏÚØÍÉÔÅ ×ÅÒÛÉÎÕ D. B A 5 7 8 6 10 C D 3 òÉÓÕÎÏË 7.11. òÅÛÅÎÉÅ. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 7.2. ÁÂÌÉ Á 7.2 u éÓÈÏÄÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÏÈÏÄ ÍÁÒÛÒÕÔ | D C DC A DC A B DC AB B DC ABD ′ w v 0 3 C 9 14 24 D A B B 152 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÂÙÌ ÎÁÊÄÅÎ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ ÉËÌÏ× × ÜÔÏÍ ÍÁÌÅÎØËÏÍ ÇÒÁÆÅ, ÍÏÖÎÏ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ ÅÝÅ Ä×Á ÄÒÕÇÉÈ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÁ: ABCDA ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ 23 É ACBDA ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ 31. ÷ ÏÌÎÏÍ ÇÒÁÆÅ Ó Ä×ÁÄ ÁÔØÀ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ 6; 1 · 1016 ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×, ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÒÅÂÕÅÔ ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÍÎÏÇÏ ÍÁÛÉÎÎÏÊ ÁÍÑÔÉ É ×ÒÅÍÅÎÉ. DCABD ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ 24. äÅÌÁÑ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ×ÓÅÈ 7.3. äÅÒÅ×ØÑ ëÁË ÕÏÍÉÎÁÌÏÓØ ÒÁÎÅÅ × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å, ÅÓÔØ ËÌÁÓÓ ÇÒÁÆÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÄÅÒÅ×ØÑÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ × ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÈ. çÒÁÆ G = (V; E ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ , ÅÓÌÉ ÏÎ Ó×ÑÚÅÎ É Á ÉËÌÉÞÅÎ (Ô. Å. ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉËÌÏ×). ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÇÒÁÆ Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É m ÒÅÂÒÁÍÉ. íÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ G Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ: • ìÀÂÁÑ ÁÒÁ ×ÅÒÛÉÎ × G ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÕÔÅÍ. • G Ó×ÑÚÅÎ É m = n − 1. • G Ó×ÑÚÅÎ, Á ÕÄÁÌÅÎÉÅ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁ ÎÁÒÕÛÁÅÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔØ ÇÒÁÆÁ. • G Á ÉËÌÉÞÅÎ, ÎÏ ÅÓÌÉ ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÒÅÂÒÏ, ÔÏ × G ÏÑ×ÉÔÓÑ ÉËÌ. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÉÚ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÂÅÚ ÏÓÏÂÏÇÏ ÔÒÕÄÁ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ ÓÏ ×ÔÏÒÙÍ ÉÚ ÎÉÈ. ÷ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÅÒÅ×Ï Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ n − 1 ÒÅÂÒÏ. ðÒÉÍÅÒ 7.7. äÏËÁÖÉÔÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÉÎÄÕË ÉÉ Ï ÞÉÓÌÕ ×ÅÒÛÉÎ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÄÅÒÅ×Á T Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É m ÒÅÂÒÁÍÉ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ: m = n − 1. òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÅÒÅ×Ï Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÅÂÅÒ, ÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÉ n = 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÅÒÅ×Ï T Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ (É m ÒÅÂÒÁÍÉ), ÇÄÅ n > 1 É ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó k < n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ k − 1 ÒÅÂÒÏ. õÄÁÌÉÍ ÒÅÂÒÏ ÉÚ T . ðÏ ÔÒÅÔØÅÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÄÅÒÅ×Ï T ÏÓÌÅ ÜÔÏÊ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÒÅ×ÒÁÔÉÔÓÑ × ÎÅÓ×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ. ðÏÌÕÞÉÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ Ä×Å ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ, ÎÉ ÏÄÎÁ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÉËÌÏ× (× ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÇÒÁÆ T ÔÏÖÅ ÓÏÄÅÒÖÁÌ ÂÙ ÉËÌÙ É ÎÅ ÍÏÇ 7.3. äÅÒÅ×ØÑ 153 ÂÙ ÂÙÔØ ÄÅÒÅ×ÏÍ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ | ÔÏÖÅ ÄÅÒÅ×ØÑ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÎÏ×ÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ ÞÅÒÅÚ T1 É T2 . ðÕÓÔØ n1 | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ Õ ÄÅÒÅ×Á T1 , Á n2 | Õ T2 . ðÏÓËÏÌØËÕ n1 + n2 = n, ÔÏ n1 < n É n2 < n. ðÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ ÄÅÒÅ×Ï T1 ÉÍÅÅÔ n1 −1 ÒÅÂÒÏ, Á T2 | n2 − 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï T ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÌÏ (Ó ÕÞÅÔÏÍ ÏÄÎÏÇÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÇÏ) (n1 − 1) + (n2 − 1) + 1 = n − 1 ÒÅÂÒÏ, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ. îÅÓÌÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ Ó×ÑÚÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÏÄÇÒÁÆ, Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ. ðÏÄÇÒÁÆ × G, Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ É ×ËÌÀÞÁÀÝÉÊ × ÓÅÂÑ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ G, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÔÏ×Î ÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ . ïÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï × ÇÒÁÆÅ G ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÒÏÓÔÏ: ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÅÇÏ ÒÅÂÒÏ É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÍ ÄÒÕÇÉÅ ÒÅÂÒÁ, ÎÅ ÓÏÚÄÁ×ÁÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÉËÌÏ×, ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÎÅÌØÚÑ ÂÕÄÅÔ ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÎÉËÁËÏÇÏ ÒÅÂÒÁ, ÎÅ ÏÌÕÞÉ× ÒÉ ÜÔÏÍ ÉËÌÁ. âÌÁÇÏÄÁÒÑ ÒÉÍÅÒÕ 7.7, ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á × ÇÒÁÆÅ ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÒÏ×ÎÏ n − 1 ÒÅÂÒÏ. ðÒÉÍÅÒ 7.8. îÁÊÄÉÔÅ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÏÓÔÏ×ÎÙÈ ÄÅÒÅ×Á × ÇÒÁÆÅ, ÉÚÏ- ÂÒÁÖÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 7.12. òÉÓÕÎÏË 7.12. ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ G òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÓÔÏ×ÎÙÈ ÄÅÒÅ×ØÅ×. ïÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍ ×ÙÂÏÒÏÍ ÒÅÂÅÒ: a, b, d É f . äÒÕÇÏÅ | b, , e É g . îÁÚ×ÁÎÎÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 7.13. ðÒÏ ÅÓÓ, ÏÉÓÁÎÎÙÊ × ÒÉÍÅÒÅ 7.8, ÍÏÖÎÏ ÒÉÓÏÓÏÂÉÔØ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ : îÕÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÖÅÌÅÚÎÏÄÏÒÏÖÎÕÀ ÓÅÔØ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÕÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÇÏÒÏÄÏ×. éÚ×ÅÓÔÎÁ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Á ÏÔÒÅÚËÁ ÕÔÅÊ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÏÊ ÁÒÏÊ ÇÏÒÏÄÏ×. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÓÅÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ. 154 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ îÁ ÑÚÙËÅ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ× ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÁÊÔÉ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ. ÁËÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÏÓÔÏ×ÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÉÌÉ, ÓÏËÒÁÝÅÎÎÏ, íïä . ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÚÄÅÓØ ÅÓÔØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï. ïÎ ÏÈÏÖ ÎÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ, Ó ËÏÔÏÒÙÍ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ × ÇÌÁ×Å 1 ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ ÄÌÑ ÎÁÂÏÒÁ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÛÏÔÌÁÎÄÓËÉÈ ÇÏÒÏÄÏ×. òÉÓÕÎÏË 7.13. ïÓÔÏ×ÎÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ ÇÒÁÆÁ G áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÉÓËÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á. ðÕÓÔØ G = (V; E ) | Ó×ÑÚÎÙÊ ×Ú×ÅÛÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÓÔÒÏÉÔ íïä × ÇÒÁÆÅ G, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÂÉÒÁÑ ÒÅÂÒÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ×ÅÓÁ ÄÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á. íïä × ÁÍÑÔÉ ËÏÍØÀÔÅÒÁ ÈÒÁÎÉÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á T ÒÅÂÅÒ. begin e := ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ G Ó ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ×ÅÓÏÍ; T := {e}; E ′ := E \ {e} while E ′ 6= ∅ begin e′ := ÒÅÂÒÏ ÉÚ E ′ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÅÓÁ; T := T ∪ {e′ }; E ′ := ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÉÚ E ′ \ {T }, ÞØÅ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ Ë T ÎÅ ×ÅÄÅÔ Ë ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ ÉËÌÏ×; end end ðÒÉÍÅÒ 7.9. ÷ ÔÁÂÌ. 7.3 ÄÁÎÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ (× ÍÉÌÑÈ) ÍÅÖÄÕ ÑÔØÀ ÄÅÒÅ×ÎÑÍÉ A, B , C , D É E . îÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï. 7.3. äÅÒÅ×ØÑ 155 ÁÂÌÉ Á 7.3 A B C D E D | 13 3 9 13 | 11 11 3 11 | 9 9 11 9 | 9 13 7 2 E 9 13 7 2 | A B C òÅÛÅÎÉÅ. òÅÂÒÁ ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÅÒ×ÏÅ | ÒÅÂÒÏ DE ×ÅÓÁ 2; ×ÔÏÒÏÅ | AC ×ÅÓÁ 3; ÔÒÅÔØÅ | CE ×ÅÓÁ 7. îÁ ÜÔÏÊ ÓÔÁÄÉÉ ÓÔÒÏÑÝÅÅÓÑ ÄÅÒÅ×Ï ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÔÁË, ËÁË ÎÁ ÒÉÓ. 7.14 òÉÓÕÎÏË 7.14. ÷ÉÄ ÄÅÒÅ×Á ÏÓÌÅ ÔÒÅÈ ÛÁÇÏ× óÌÅÄÕÀÝÉÅ Ï ×ÅÓÕ ÒÅÂÒÁ | AD , AE É CD , ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÅÔ ×ÅÓ 9. ïÄÎÁËÏ ËÁËÏÅ ÂÙ ÉÚ ÎÉÈ ÍÙ ÎÉ ÄÏÂÁ×ÉÌÉ, ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÉËÌ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÒÅÂÒÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÓËÌÀÞÉÔØ ÉÚ ÞÉÓÌÁ ÄÏÓÔÕÎÙÈ ÄÌÑ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Á. äÁÌÅÅ ÉÄÕÔ ÒÅÂÒÁ BC É BD ×ÅÓÁ 11. íÏÖÎÏ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔØ ÌÀÂÏÅ ÉÚ ÎÉÈ, ÏÌÕÞÉ× ÒÉ ÜÔÏÍ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ íïä: {AC; BC; CE; DE } ÉÌÉ {AC; BD; CE; DE } ×ÅÓÁ 23 ËÁÖÄÏÅ. úÁÞÁÓÔÕÀ ÎÁÍ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÉÍÅÔØ ÄÅÒÅ×ØÑ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÉÅÒÁÒÈÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ, ÔÁËÉÅ, ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÇÅÎÅÁÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÄÒÅ×Ï (ÒÉÓ. 7.15). îÁ ÎÅÍ ÏËÁÚÁÎÙ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÞÌÅÎÙ ÓÅÍØÉ âÅÒÎÕÌÌÉ, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÙÌ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ Û×ÅÊ ÁÒÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ. çÉÎÅÁÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÄÒÅ×Ï ÍÏÖÎÏ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ É ÂÏÌÅÅ ÓÖÁÔÏ. óÈÅÍÁ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. 7.16, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÒÉÍÅÒ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ. äÅÒÅ×ÏÍ Ó ËÏÒÎÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×Ï Ó ÏÄÎÏÊ ×ÙÄÅÌÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. éÍÅÎÎÏ ÜÔÁ ×ÙÄÅÌÅÎÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÄÅÒÅ×Á. ëÏÒÅÎØ, × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ×ÅÌÉÞÁÊÛÅÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÄÏÎÁÞÁÌØÎÉË ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× âÅÒÎÕÌÌÉ). ÷ÅÒÛÉÎÙ ÄÅÒÅ×Á, ÌÅÖÁÝÉÅ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄ ÄÁÎÎÏÊ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÙÎÏ×ØÑÍÉ . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ×ÅÒÛÉÎÁ, ÓÔÏÑÝÁÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÅÒÅÄ ÓÙÎÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÅ ÏÔ ÏÍ . 156 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ îÉËÏÌÁ Ò. 1623 ñËÏÂ I Ò. 1654 îÉËÏÌÁ I Ò. 1662 îÉËÏÌÁ II Ò. 1687 éÏÇÁÎ I Ò. 1667 îÉËÏÌÁ III Ò. 1695 äÁÎÉÉÌ I Ò. 1700 éÏÇÁÎ II Ò. 1710 òÉÓÕÎÏË 7.15. äÉÎÁÓÔÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ òÉÓÕÎÏË 7.16. óÈÅÍÁ ÇÅÎÅÁÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÄÒÅ×Á âÅÒÎÕÌÌÉ äÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ïÔÄÅÌØÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ Ó ËÏÒÎÅÍ (ÏÎÁ ÖÅ ÓÌÕÖÉÔ É ËÏÒÎÅÍ ÔÁËÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á). åÓÌÉ T1 , T2 , . . . , Tk | ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÅ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÄÅÒÅ×ØÑ Ó ËÏÒÎÑÍÉ v1 , v2 , . . . , vk , ÔÏ ÇÒÁÆ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÎÏ×ÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v Ë ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ v1 , v2 , . . . , vk ÏÔÄÅÌØÎÙÍ ÒÅÂÒÏÍ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ T Ó ËÏÒÎÅÍ v . ÷ÅÒÛÉÎÙ v1 , . . . , vk ÇÒÁÆÁ T | ÜÔÏ ÓÙÎÏ×ØÑ ËÏÒÎÑ v . íÙ ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÍ ÎÁ×ÅÒÈÕ, É ÓÙÎÏ×ØÑÍÉ, ÓÔÏÑÝÉÍÉ ÎÉÖÅ, ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄ ËÏÒÎÅÍ (ÓÍ. ÒÉÓ. 7.17). ëÁÖÄÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ËÏÒÅÎØ ÄÒÕÇÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÁÓÔÅÔ ÉÚ ÎÅÇÏ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×ÏÍ ÄÅÒÅ×Á T . ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ, ×ÅÒÛÉÎÁ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ×ÅÒÈÕ ÄÅÒÅ×Á | ÅÇÏ ËÏÒÅÎØ, Á ×ÏÔ ÔÅ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÓÁÍÏÍ ÎÉÚÕ ÄÅÒÅ×Á (É ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÓÙÎÏ×ÅÊ) ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÉÓÔØÑÍÉ . ïÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ ËÏÒÎÑ É ÌÉÓÔØÅ×, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ . ïÂÌÁÓÔØ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÄÅÒÅ×ØÅ× Ó ËÏÒÎÅÍ ÏÂÛÉÒÎÁ. üÔÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, É ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÁ, É ÂÉÏÌÏÇÉÑ, É ÍÅÎÅÄÖÍÅÎÔ. äÌÑ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ Ë 7.3. äÅÒÅ×ØÑ 157 ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÉÌÉ ÂÉÎÁÒÎÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ Ó ËÏÒÎÅÍ. ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÏÔÌÉÞÁÅÔ ÏÔ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÔÏ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÓÙÎÏ×ÅÊ. ÷ Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å Ó ËÏÒÎÅÍ ×ÎÉÚ ÏÔ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÄÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÒÅÂÅÒ. òÉÓÕÎÏË 7.17. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ Ä×Á ÏÄÄÅÒÅ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÅ×ÙÍ É ÒÁ×ÙÍ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑÍÉ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ. åÓÌÉ ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ Õ ËÁËÏÊ-ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÅÒÅ×Á ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÏÍÏË ÓÌÅ×Á, ÔÏ ÅÅ ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ (Ô. Å. ÎÕÌÅ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï | ÜÔÏ ÄÅÒÅ×Ï ÂÅÚ ÅÄÉÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÒÁ×ÙÊ ÏÔÏÍÏË, ÔÏ ÅÅ ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï ÂÕÄÅÔ ÎÕÌÅ×ÙÍ. ðÒÉÍÅÒ 7.10. ðÕÓÔØ T | Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. 7.18. òÉÓÕÎÏË 7.18. ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ T 158 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ïÒÅÄÅÌÉÔÅ (Á) (Â) (×) (Ç) ËÏÒÅÎØ T ; ËÏÒÅÎØ ÌÅ×ÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á ×ÅÒÛÉÎÙ B ; ÌÉÓÔØÑ T ; ÓÙÎÏ×ÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ C . îÁÒÉÓÕÊÔÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ T ′ , ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÉÚ T ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÌÅ×ÙÈ É ÒÁ×ÙÈ ÏÄÄÅÒÅ×ØÅ× Õ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) A; (Â) D ; (×) G, H , E , I É J ; (Ç) F . ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ T ′ ÎÁÞÅÒÞÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 7.19. òÉÓÕÎÏË 7.19. ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ T ′ îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7 7.1. ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ÏÞÅÍÕ ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ ÒÏÓÔÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÕÄ×ÏÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÅÇÏ ÒÅÂÅÒ. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÌÅÍÍÏÊ ÏÂ ÜÓÔÁÆÅÔÅ. éÓÏÌØÚÕÑ ÜÔÕ ÌÅÍÍÕ, ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÏÌÎÏÍ ÇÒÁÆÅ n(n−1) ÒÅÂÅÒ. Kn Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÅÓÔØ ÒÏ×ÎÏ 2 äÌÑ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n ÇÒÁÆ Kn ÂÕÄÅÔ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ? 7.2. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ, ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÏÓÔÏÊ ÇÒÁÆ G ÉÍÅÅÔ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÔÏ Õ ÎÅÇÏ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7 159 7.3. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÇÒÁÆ, ÞØÑ ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:         ì é ì é ì é é ì é ì é ì ì é ì é ì é é ì é ì é ì ì é ì é ì ì é ì é ì ì ì     :    ïÉÛÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ Kn . 7.4. ÷×ÅÄÑ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÅÒÛÉÎ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÇÒÁ- ÆÏ× ÎÁ ÒÉÓ. 7.20 ÏÄÂÅÒÉÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÉÚ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÎÉÖÅ. òÉÓÕÎÏË 7.20. ì  é   é ì  é ì ì é é ì ì é (Á)   ì ì é  é ì é    é   é é ì ì é é é ì é (Â)   ì ì é  é ì é    é   ì é ì ì é ì é ì é (Ó)  ì é   é  ì 7.5. ëÁËÉÅ ÉÚ ÇÒÁÆÏ× ÎÁ ÒÉÓ. 7.21 ÍÏÇÕÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ ÏÄÇÒÁÆÁÍÉ ÇÒÁÆÁ ÉÚ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ 7.3? òÉÓÕÎÏË 7.21. ëÁÎÄÉÄÁÔÙ × ÏÄÇÒÁÆÙ 160 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ 7.6. îÁÊÄÉÔÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÉËÌÙ × ÇÒÁÆÅ ÎÁ ÒÉÓ. 7.22. òÉÓÕÎÏË 7.22. îÁÊÄÉÔÅ × ÎÅÍ ÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 3, 4, 5, 6 É 7. 7.7. îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÒÉÓ. 7.23 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÇÒÁÆ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ P . òÉÓÕÎÏË 7.23. çÒÁÆ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ îÁÊÄÉÔÅ × ÎÅÍ ÉËÌ ÄÌÉÎÙ 9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ P ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ. 7.8. éÓÏÌØÚÕÊÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÂÌÉÖÁÊÛÅÇÏ ÓÏÓÅÄÁ ÄÌÑ ÏÉÓËÁ ÇÁ- ÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÉËÌÁ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ (ÒÉÓ. 7.24), ×ÚÑ× ÚÁ ÉÓÈÏÄÎÕÀ (Á) ×ÅÒÛÉÎÕ A; (Â) ×ÅÒÛÉÎÕ D . îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7 161 òÉÓÕÎÏË 7.24. îÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ 7.9. ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÇÒÁÆÙ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÍÁ- ÔÒÉ ÁÍÉ  ì  ì   ì (Á)   ì   ì é  ì  ì   ì (Â)   ì   ì é ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÄÅÒÅ×ØÑÍÉ:  ì ì ì ì é ì ì é ì é   ì ì ì é é  ; é ì ì é ì   ì é é ì ì  é é ì ì ì  ì ì ì ì é ì é ì ì ì   é ì é ì é  . ì é ì é ì   ì ì é ì ì  ì é ì ì ì 7.10. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÄÅÒÅ×Ï T ÉÍÅÅÔ ÔÒÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ 3 É ÞÅ- ÔÙÒÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ 2. ïÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÅÒÅ×Á ÉÍÅÀÔ ÓÔÅÅÎØ 1. óËÏÌØËÏ ×ÅÒÛÉÎ ÓÔÅÅÎÉ 1 ÅÓÔØ Õ ÄÅÒÅ×Á T ? (õËÁÚÁÎÉÅ: ÏÂÏÚÎÁÞØÔÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÄÅÒÅ×Á T ÞÅÒÅÚ n É ÒÉÍÅÎÉÔÅ ÌÅÍÍÕ ÏÂ ÜÓÔÁÆÅÔÅ.) 7.11. ìÅÓÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÒÁÆ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÊ), ËÁÖÄÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ | ÄÅÒÅ×Ï. ðÕÓÔØ G | ÌÅÓ Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É k ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍÉ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. (Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ G ÉÍÅÅÔ n − k ÒÅÂÅÒ. (Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ËÁÖÄÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÌÅÓÁ G ÅÓÔØ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÔÏ G ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ 2k ×ÅÒÛÉÎ ÓÔÅÅÎÉ 1. 162 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ (×) îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÌÅÓ Ó ÄÅ×ÑÔØÀ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É ÛÅÓÔØÀ ÒÅÂÒÁÍÉ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ ÑÔÉ ×ÅÒÛÉÎ ÓÔÅÅÎÉ 1. 7.12. îÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏ- ÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 7.25. òÉÓÕÎÏË 7.25. 7.13. ÷ ÔÁÂÌ. 7.4 ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ (× ÍÉÌÑÈ) ÍÅÖÄÕ ÛÅÓÔØÀ ÇÏÒÏÄÁÍÉ éÒÌÁÎÄÉÉ. ÁÂÌÉ Á 7.4 áÔÌÏÎ äÕÂÌÉÎ çÏÌÕÜÊ ìÉÍÅÒÉË óÌÁÊÇÏ õÜËÓÆÏÒÄ áÔÌÏÎ äÕÂÌÉÎ çÏÌÕÜÊ ìÉÍÅÒÉË óÌÁÊÇÏ õÜËÓÆÏÒÄ | 78 56 73 71 114 78 | 132 121 135 96 56 132 | 64 85 154 73 121 64 | 144 116 71 135 85 144 | 185 114 96 154 116 185 | éÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÉÓËÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÎÁÊÄÉÔÅ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÏÂÝÅÊ ÄÌÉÎÙ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÕÀ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ÇÏÒÏÄÏ×. 7.14. çÌÕÂÉÎÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ T ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÄÌÉ- ÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÕÔÉ ÏÔ ÎÅÅ Ë ËÏÒÎÀ ÄÅÒÅ×Á. çÌÕÂÉÎÁ ÇÒÁÆÁ T | ÜÔÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁÑ ÇÌÕÂÉÎÁ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ. ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù 163 (Á) îÁÞÅÒÔÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÅÒÅ×ØÑ: (i) ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ 1 Ó ÛÅÓÔØÀ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ; (ii) ÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ 2; (iii) ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ 3, ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÇÌÕÂÉÎÙ i (i > 0) ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÍÅÅÔ (i + 1) ÓÙÎÁ. (Â) ðÏËÁÖÉÔÅ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï n, ÞÔÏ ÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ n ÉÍÅÅÔ 2n ÌÉÓÔØÅ×. (ðÏÌÎÙÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ (ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÌÉÓÔØÅ×) ÉÍÅÀÔ Ï Ä×Á ÓÙÎÁ.) ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù çÒÁÆ G = (V; E ) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á V , ÞØÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ, É ÍÎÏÖÅÓÔ×Á E ÅÇÏ ÒÅÂÅÒ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÎÅËÏ- ÔÏÒÙÅ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ. ÷ÅÒÛÉÎÙ u É v ÇÒÁÆÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÍÅÖÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ËÁËÉÍ-ÔÏ ÒÅÂÒÏÍ e, ÒÏ ËÏÔÏÒÏÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏ ×ÅÒÛÉÎÁÍ u É v . óÔÅÅÎØÀ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÓÞÉÔÁÀÔ ÞÉÓÌÏ Æ (v ) ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ, ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ v . çÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÁÒÛÒÕÔ (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ), ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÊÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ × ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ×ÅÒÛÉÎÅ É ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÒÅÂÒÕ ÇÒÁÆÁ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ üÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ. ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ Ó Ä×ÕÍÑ ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ËÁÖÄÁÑ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÞÅÔÎÕÀ ÓÔÅÅÎØ. ìÅÍÍÁ ÏÂ ÜÓÔÁÆÅÔÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G = (V; E ) ÒÁ×ÎÁ ÕÄ×ÏÅÎÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÅÇÏ ÒÅÂÅÒ. ðÒÏÓÔÙÍ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÇÒÁÆ G = (V; E ) Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V É ËÏÎÅÞÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÂÅÒ E , × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÅÔ ÅÔÅÌØ É ËÒÁÔÎÙÈ ÒÅÂÅÒ. ìÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅÒÛÉÎ ÒÏÓÔÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G, ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁÍÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ. 164 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ðÏÄÇÒÁÆÏÍ ÇÒÁÆÁ G = (V; E ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÒÁÆ G′ = (V ′ ; E ′ ), × ËÏÔÏÒÏÍ E ′ ⊂ E É V ′ ⊂ V . íÁÒÛÒÕÔÏÍ ÄÌÉÎÙ k × ÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , × ËÏÔÏÒÏÊ ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ×ÅÒÛÉÎ vi−1 vi ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÒÅÂÒÏÍ. ãÉËÌÏÍ × ÇÒÁÆÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ v0 ; v1 ; : : : ; v0 , Õ ËÏ- ÔÏÒÏÇÏ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ËÒÏÍÅ ÅÒ×ÏÊ É ÏÓÌÅÄÎÅÊ, ÒÁÚÌÉÞÎÙ. çÒÁÆ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÉËÌÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Á ÉËÌÉÞÎÙÍ. ó×ÑÚÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÔ ÇÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ ×ÅÒÛÉÎ ÓÏ- ÅÄÉÎÅÎÁ ÍÁÒÛÒÕÔÏÍ. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ ÍÏÖÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÏÊ ÉËÌ × ÇÒÁÆÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÇÒÁÆÁ, ÒÉÞÅÍ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. çÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ. úÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÉÓËÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÉËÌÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÂÌÉÖÁÊÛÅÇÏ ÓÏÓÅÄÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ ÓÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. ó×ÑÚÎÙÊ Á ÉËÌÉÞÎÙÊ ÇÒÁÆ G = (V; E ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ Ï Ó×ÑÚÎÏÍ ÇÒÁÆÅ G = (V; E ) Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É m ÒÅÂÒÁÍÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: (Á) G | ÄÅÒÅ×Ï; (Â) ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ×ÅÒÛÉÎ G Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÔØ; (×) G Ó×ÑÚÅÎ É m = n − 1; (Ç) G Ó×ÑÚÅÎ, Á ÕÄÁÌÅÎÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁ ÎÁÒÕÛÁÅÔ ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï; (Ä) G Á ÉËÌÉÞÅÎ, ÎÏ ÓÏÅÄÉÎÑÑ ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ×ÅÒÛÉÎ ÎÏ×ÙÍ ÒÅÂÒÏÍ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÉËÌ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË 165 ïÓÔÏ×ÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÇÒÁÆÁ G ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÏÊ ÅÇÏ ÏÄÇÒÁÆ, ËÏÔÏÒÙÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ É ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ G. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÉÓËÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊ- ÔÉ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ. äÅÒÅ×Ï Ó ÏÄÎÏÊ ×ÙÄÅÌÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÄÅÒÅ×ÏÍ Ó ËÏÒÎÅÍ, Á ×ÙÄÅÌÅÎÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ | ÅÇÏ ËÏÒÎÅÍ. ÷ÅÒÛÉÎÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄ ×ÅÒÛÉÎÏÊ v (É ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ Ó ÎÅÊ ÒÅÂÒÁÍÉ), ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÙÎÏ×ØÑÍÉ ×ÅÒÛÉÎÙ v . ÷ÅÒÛÉÎÙ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÓÁÍÏÍ ÎÉÚÕ ÄÅÒÅ×Á (ÏÎÉ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÓÙÎÏ×ÅÊ), ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÉÓÔØÑÍÉ. ÷ÅÒÛÉÎÙ, ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ ËÏÒÎÑ É ÌÉÓÔØÅ×, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ. îÕÌÅ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï | ÜÔÏ ÄÅÒÅ×Ï, ÎÅ ÉÍÅÀÝÅÅ ÎÉ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ. ëÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ T Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×ÏÍ T . ÷ Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å Ó ËÏÒÎÅÍ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÓÙÎÏ×ÅÊ, Á Ä×Á ÏÄÄÅÒÅ×Á ×ÅÒÛÉÎÙ v ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÌÅ×ÙÍ É ÒÁ×ÙÍ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑÍÉ, ÁÓÓÏÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ Ó v . ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÌÎÙÍ, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÁÑ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÌÉÓÔØÅ×, ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ Ï Ä×Á ÓÙÎÁ. çÌÕÂÉÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ T ÒÉÎÑÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÌÉÎÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÍÁÒÛÒÕÔÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÇÏ ÅÅ Ó ËÏÒÎÅÍ. çÌÕÂÉÎÏÊ ÇÒÁÆÁ T ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÕÀ ÇÌÕÂÉÎÕ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË ä×ÏÉÞÎÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ Ó ËÏÒÎÅÍ ÏÞÅÎØ ÏÌÅÚÎÙ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ Ï ×ÙÂÏÒÅ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ï ×ÙÂÏÒÅ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÎÕÖÎÏ ËÌÁÓÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÔØ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÉÌÉ ×ÅÓÔÉ × ÎÉÈ ÏÉÓË. õÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ, ÔÁËÉÅ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ, ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÉÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÒÏË ÌÉÔÅÒ, ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ (× ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ), ÍÏÖÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ × ×ÉÄÅ ×ÅÒÛÉÎ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÉÈ ÏÒÑÄËÏÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÓÔÒÅÍÉÍÓÑ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏÂÙ ÄÁÎÎÙÅ, ÓÔÏÑÝÉÅ × ÌÅ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÂÙÌÉ ÂÙ ÍÅÎØÛÅ ÄÁÎÎÙÈ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ, Á ÄÁÎÎÙÅ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÒÁ×ÏÍ ÅÅ ÏÄÄÅÒÅ×Å | ÂÏÌØÛÅ. äÅÒÅ×Ï ÄÁÎÎÙÈ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕËÁÚÁÎÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ä×ÏÉÞÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÏÉÓËÁ . 166 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ îÁÒÉÍÅÒ, × ÄÅÒÅ×Å Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 7.26, ÓÌÏ×Á ÆÒÁÚÙ õ íïåçï ëïíðøàåòá åóø þéð îá íáåòéîóëïê ðìáå ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÙ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÓÌÏ×Ï × ÌÅ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ) ÓÌÏ×Õ, ÓÔÏÑÝÅÍÕ × ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ, Á ËÁÖÄÏÅ ÓÌÏ×Ï ÅÅ ÒÁ×ÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ ÚÁ ÓÌÏ×ÏÍ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ. ðìáå íáåòéîóëïê õ íïåçï åóø ëïíðøàåòá þéð îá òÉÓÕÎÏË 7.26. äÅÒÅ×Ï Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ ðÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Ï ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ × ×ÉÄÅ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÉÓËÁ ËÁËÉÈ-ÔÏ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ, ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ ÄÁÎÎÙÈ × ÄÅÒÅ×Ï É ÅÞÁÔÉ ×ÓÅÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊÓÑ × ÄÅÒÅ×Å × ×ÉÄÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÓÉÓËÁ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ ÈÒÁÎÉÔÓÑ ÓÉÓÏË ÓÔÕÄÅÎÔÏ× (ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ × ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ), × ËÏÔÏÒÏÍ ËÒÏÍÅ ÆÁÍÉÌÉÊ É ÉÍÅÎ ÉÍÅÀÔÓÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ×ÁÖÎÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÓÔÕÄÅÎÔÁÈ. äÏÕÓÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ×ÏÚÎÉËÌÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÎÁÊÔÉ ËÁËÕÀ-ÔÏ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ × ÓÉÓËÅ ÉÌÉ ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÎÏ×ÙÅ ÚÁÉÓÉ Ë ÓÉÓËÕ. íÙ ÓÅÊÞÁÓ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÀÔ ÏÉÓË ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÄÏÂÁ×ÌÑÀÔ ÎÏ×ÙÈ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× Ë ÓÉÓËÕ É ×Ù×ÏÄÑÔ ÎÁ ÅÞÁÔØ ×ÓÅ ÚÁÉÓÉ × ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. úÁÉÓÉ Ï ÓÔÕÄÅÎÔÁÈ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÙ × Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ (ËÁÖÄÁÑ ÚÁÉÓØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ), É ÎÁÛÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÂÕÄÕÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ×ÅÒÛÉÎÙ ÜÔÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ É ËÏÒÎÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÂÕÄÕÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÏ×ÅÒÑÔØ ÌÅ×ÙÅ É ÒÁ×ÙÅ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑ ×ÅÒÛÉÎ. þÔÏÂÙ ÜÔÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÉÉÓÁÔØ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ËÌÀÞ ÄÌÑ ÉÄÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ É ÓÓÙÌÏË ÎÁ ÅÅ ÌÅ×ÏÅ É ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑ (× ÓÔÒÕËÔÕÒÁÈ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÜÔÉÈ ÅÌÅÊ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ Ä×ÁÖÄÙ Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ ÓÉÓËÉ). éÚ ×ÓÅÈ ËÌÀÞÅÊ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË 167 ÏÒÇÁÎÉÚÕÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï (× ÎÁÛÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÏÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÏ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ). áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÉÓËÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÄÁÎÎÁÑ ÚÁÉÓØ (ËÌÀÞ ÏÉÓËÁ ) ×ÅÒÛÉÎÏÊ × Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å ÏÉÓËÁ, ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÌÀÞ ÏÉÓËÁ Ó ËÌÀÞÏÍ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á, É, ÒÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ, ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÌÅ×ÏÍ ÉÌÉ ÒÁ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑÈ. ðÏÉÓË(ÄÅÒÅ×Ï) begin if ÄÅÒÅ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÅ then ÏÉÓË := ÌÏÖØ; else if ËÌÀÞ ÏÉÓËÁ = ËÌÀÞ ËÏÒÎÑ then ÏÉÓË := ÉÓÔÉÎÁ; else if ËÌÀÞ ÏÉÓËÁ < ËÌÀÞ ËÏÒÎÑ then ÏÉÓË := ÏÉÓË (ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï); else ÏÉÓË := ÏÉÓË (ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï); end úÁÄÁÞÁ 1. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁÄ Ä×ÏÉÞÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÏÉÓËÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 7.27. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ËÌÀÞ ÏÉÓËÁ | ÂÕË×Á R, Á ËÌÀÞÉ ×ÅÒÛÉÎ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ R > K , ÔÏ ÏÉÓË ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å ×ÅÒÛÉÎÙ K . ÁË ËÁË R < T , ÒÏ ÅÓÓ ÏÉÓËÁ ÅÒÅËÌÀÞÁÅÔÓÑ ÎÁ ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï ×ÅÒÛÉÎÙ T . îÁËÏÎÅ , ××ÉÄÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á R 6= M É ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ÏÄÄÅÒÅ×ØÅ× Õ ×ÅÒÛÉÎÙ M , ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ É ÓÏÏÂÝÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÎÅ ÂÙÌÁ ÎÁÊÄÅÎÁ. K T C M V òÉÓÕÎÏË 7.27. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÓÔÁ×ËÉ ×ÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÏ×ÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ (ËÌÀÞÉ ×ÓÔÁ×ÏË ) × Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ, ÓÏÚÄÁ×ÁÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÏ×ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÓÌÅ×Á ÉÌÉ ÓÒÁ×Á ÏÔ ÕÖÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÅÊ. üÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, 168 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ËÌÀÞÉ ×ÅÒÛÉÎ × ÏÌÕÞÉ×ÛÅÍÓÑ ÄÅÒÅ×Å ÏÄÞÉÎÑÌÉÓØ ÕÓÔÁÎÏ×É×ÛÅÍÕÓÑ ÏÒÑÄËÕ. ÷ÓÔÁ×ËÁ(ÚÁÉÓØ, ÄÅÒÅ×Ï) begin if ÄÅÒÅ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÅ then ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÎÏ×ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ; else if ËÌÀÞ ×ÓÔÁ×ËÉ = ËÌÀÞ ËÏÒÎÑ then ×Ù×ÅÓÔÉ ÎÁ ÅÞÁÔØ: ÚÁÉÓØ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÄÅÒÅ×Å; else end if ËÌÀÞ ×ÓÔÁ×ËÉ < ËÌÀÞ ËÏÒÎÑ then ×ÓÔÁ×ËÁ := ×ÓÔÁ×ËÁ(ÚÁÉÓØ; ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï); else ×ÓÔÁ×ËÁ := ×ÓÔÁ×ËÁ(ÚÁÉÓØ; ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï); úÁÄÁÞÁ 2. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÓÔÁ×ËÉ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ×ÅÒÛÉÎ R, A É L × ÄÅÒÅ×Ï ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 1. òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ R > K , ÍÙ ÒÉÍÅÎÑÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÓÔÁ×ËÉ Ë ÒÁ×ÏÍÕ ÏÄÄÅÒÅ×Õ ×ÅÒÛÉÎÙ K . äÁÌÅÅ ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ R < T . úÎÁ- ÞÉÔ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÓÔÁ×ËÉ ÅÒÅËÌÀÞÁÅÔÓÑ ÎÁ ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï ×ÅÒÛÉÎÙ T . ÁË ËÁË R > M É ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï ×ÅÒÛÉÎÙ M ÎÕÌÅ×ÏÅ, ÔÏ ÍÙ ÓÔÁ×ÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ R ÓÒÁ×Á ÏÔ M É ÏÌÕÞÁÅÍ ÄÅÒÅ×Ï, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. 7.28. ÅÅÒØ ×ÓÔÁ×ÉÍ A É L, ÏÓÔÒÏÉ× ÄÅÒÅ×Ï, ÏËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. 7.29. K T C M V R òÉÓÕÎÏË 7.28. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÓÔÁ×ËÉ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÏÂÁ×ÌÑÑ ÎÏ×ÙÅ ÄÁÎÎÙÅ × ÕÄÏÂÎÏÍ ÄÌÑ ÎÁÓ ÏÒÑÄËÅ. îÁÒÉÍÅÒ, Ä×ÏÉÞÎÏÅ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË 169 ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ ÎÁ ÒÉÓ. 7.26 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÓÔÁ×ËÉ Ë ÎÕÌÅ×ÏÍÕ ÄÅÒÅ×Õ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ ÓÌÏ× ÆÒÁÚÙ õ íïåçï ëïíðøàåòá åóø þéð îá íáåòéîóëïê ðìáå × ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÉ × ÎÅÊ ÚÁÉÓÁÎÙ. K T C M A V R L òÉÓÕÎÏË 7.29. áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÏÂÈÏÄÁ ×Ù×ÏÄÉÔ ÎÁ ÅÞÁÔØ ×ÓÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀÓÑ × Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å ÏÉÓËÁ, × ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÍ ÏÒÑÄËÅ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÅÒÅ×Á ÏÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ËÏÒÎÑ, ÅÞÁÔÁÅÔÓÑ ×ÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÌÅ×ÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á. úÁÔÅÍ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ÈÒÁÎÑÝÁÑÓÑ × ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ, É ÎÁËÏÎÅ , ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÒÁ×ÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á. ðÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÂÈÏÄ(ÄÅÒÅ×Ï) begin if ÄÅÒÅ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÅ then ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÄÅÌÁÔØ; else begin ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÂÈÏÄ(ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï); ÎÁÅÞÁÔÁÔØ ËÏÒÎÅ×ÏÊ ËÌÀÞ; ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÂÈÏÄ(ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï); end end úÁÄÁÞÁ 3. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÏÂÈÏÄÁ Ë ÄÅÒÅ×Õ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÍÕ × ÚÁÄÁÞÅ 2 ÏÓÌÅ ×ÓÔÁ×ËÉ R, A É L. òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁÄ ÕËÁÚÁÎÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÉÓÏË: A; C; K; L; M; R; T ; V: 170 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ïÎ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÂÈÏÄÕ ÄÅÒÅ×Á ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ (ÒÉÓ. 7.30) É ÅÞÁÔÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ, ËÁË ÔÏÌØËÏ ÷Ù ÒÏÛÌÉ ÏÄ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. K T C M A V R L òÉÓÕÎÏË 7.30. çìá÷á 8 ïòéåîéòï÷áîîùå çòáæù íÙ ×ÅÒ×ÙÅ ÓÔÏÌËÎÕÌÉÓØ Ó ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÇÒÁÆÁÍÉ × ÇÌÁ×Å 4 ÒÉ ÏÉÓÁÎÉÉ Ä×ÏÊÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÉÌÉ, ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ, ÏÒÇÒÁÆÙ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÉÔÕÁÉÊ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÅÓÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÍÅÖÄÕ ÏÂßÅËÔÁÍÉ. ÷ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÈÅÍÙ ÓÌÕÖÁÔ ÄÌÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÈÅÍ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÏËÏ×, ÓÅÔÅ×ÏÇÏ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÚÁÄÁÎÉÊ. ÷ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ ÉÚ ÔÅÏÒÉÉ ÏÒÇÒÁÆÏ× É ÏÂÓÕÄÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ðåò. ðåò | ÜÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×Á ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁÍÉ. îÁ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÅÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ PERT | ÓÏËÒÁÝÅÎÉÅ ÏÔ Program Evaluation and Review Te hnique. ðåò ÂÙÌÁ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÁ ÄÌÑ ÏÍÏÝÉ × ËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÏÄ×ÏÄÎÏÊ ÌÏÄËÉ ×ÏÅÎÎÏ-ÍÏÒÓËÏÇÏ ÆÌÏÔÁ óûá. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÇÌÁ×Ù ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÒÏÂÌÅÍÅ ÏÉÓËÁ ÕÔÅÊ × ÓÅÔÑÈ. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÕÔÅÊ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÔÒÉ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ (ÜÔÏ ÍÁÔÒÉ Ù ÚÁÍÙËÁÎÉÑ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ) ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÇÏ ÒÅÂÒÁÍÉ ÓÅÔÉ). ÷ § 8.2 ÏÉÓÁÎ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ËÁË ÁÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ. üÔÉÍ ÍÙ, ÎÁËÏÎÅ , ÚÁ×ÅÒÛÉÍ ÒÁÂÏÔÕ, ÎÁÞÁÔÕÀ × § 4.2. äÁÌÅÅ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ × ÓÅÔÑÈ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÍÅÎÎÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÉÇÒÁÅÔ ÅÎÔÒÁÌØÎÕÀ ÒÏÌØ ÒÉ ÓÏÚÄÁÎÉÉ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÈ ÔÁÂÌÉ ÍÁÒÛÒÕÔÏ× × ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÅÔÑÈ. 8.1. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÉÌÉ ÏÒÇÒÁÆ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÁÒÕ G = (V; E ), ÇÄÅ V | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ , Á E | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ V . çÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÇÒÁÆÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÍÅÞÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ Ó ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÒÅÂÒÁÍÉ (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÄÕÇÁÍÉ ), ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÍÉ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ. óÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÄÕÇ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï E . äÕÇÕ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÕÀ ÁÒÕ (u; v ) ×ÅÒÛÉÎ u É v ÏÒÇÒÁÆÁ G, ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ uv . ÷ ÒÏÓÔÏÍ ÏÒÇÒÁÆÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÅÔÌÉ É 172 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ËÒÁÔÎÙÅ ÄÕÇÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ u É v × ÏÒÇÒÁÆÅ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ÄÕÇÉ uv ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ u × v , É ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ÄÕÇÉ vu ÉÚ v × u. åÓÌÉ uv | ÄÕÇÁ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÔÏ u ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏÍ v . îÁ ÒÉÓ. 8.1 ÒÉ×ÅÄÅÎ ÒÉÍÅÒ ÒÏÓÔÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V = {a; b; ; d} É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÕÇ E = {ab; bd; b; db; d }. òÉÓÕÎÏË 8.1. ðÒÉÍÅÒ ÏÒÇÒÁÆÁ íÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÓÌÕÖÉÔ (ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ) ÍÁÔÒÉ Á a a ì b   ì b é ì  ì é d ì é  d ì ì ì é  ì é   ì  ì (×ÅÒÛÉÎÙ a, É d ÚÄÅÓØ | ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÙ b). ðÕÔÅÍ ÄÌÉÎÙ k × ÏÒÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ vi−1 vi ËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÄÕÇÕ (i = 1; : : : ; k ). ëÏÎÔÕÒÏÍ × ÏÒÇÒÁÆÅ G ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , ÏÂÒÁÚÕÀÝÕÀ ÕÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÅÒ×ÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ v0 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÓÌÅÄÎÅÊ vk , Á ÄÒÕÇÉÈ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ×ÅÒÛÉÎ × ÎÅÊ ÎÅÔ. ïÒÇÒÁÆ G ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÍ , ÅÓÌÉ × ÎÅÍ ÎÅÔ ËÏÎÔÕÒÏ×. âÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÅ ÏÒÇÒÁÆÙ ÏÌÅÚÎÙ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÏÄÅÌÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÊ, ÚÁÄÁÞÉ × ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ (ËÏÎÔÕÒ × ÔÁËÏÊ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÁ ÉÌÉ ÉÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔØÀ É ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÁÍÁ ÓÅÂÅ). ÷ ÚÁÄÁÞÅ Ï ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÚÁÄÁÎÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ ÉÍÅÅÔ ËÏÄÏ×ÏÅ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÁ ðåò. 8.1. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ 173 ðÒÉÍÅÒ 8.1. äÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ ÍÁÇÉÓÔÒÁ ÂÉÏÌÏÇÉÉ ÓÔÕÄÅÎÔÕ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏÓÌÕÛÁÔØ ×ÏÓÅÍØ ËÕÒÓÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ. üÔÁ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÔÁÂÌ. 8.1. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÓÉÓÔÅÍÕ ðåò, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÕÀ ÒÉÏÒÉÔÅÔÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ËÕÒÓÏ×. ÁÂÌÉ Á 8.1 ðÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ ËÕÒÓÙ (A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) âÉÏÔÅÈÎÏÌÏÇÉÑ îÁÞÁÌØÎÙÊ ËÕÒÓ ÂÉÏÔÅÈÎÏÌÏÇÉÉ ãÉÔÏÌÏÇÉÑ óÔÒÕËÔÕÒÁ äîë üÎÚÉÍÏÌÏÇÉÑ äÉÅÔÏÌÏÇÉÑ çÅÎÎÁÑ ÉÎÖÅÎÅÒÉÑ âÉÏÌÏÇÉÑ ÞÅÌÏ×ÅËÁ B C H C D, G E C îÉËÁËÉÈ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÊ òÅÛÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ ðåò (ÓÍ. ÒÉÓ. 8.2) | ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÏÒÇÒÁÆ, ÒÅÄ- ÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÄÁÎÎÕÀ ÒÉÏÒÉÔÅÔÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ. ÷ÅÒÛÉÎÙ ÏÒÇÒÁÆÁ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ×ÏÓÅÍØ ËÕÒÓÏ×. äÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÓÓÙÌÏË ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÕÒÓÙ ÂÕË×ÁÍÉ ÌÁÔÉÎÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÏÔ A ÄÏ H. äÕÇÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÏÔÒÁÖÁÀÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ × ÔÁÂÌÉ Å ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ ÕÓ×ÏÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ËÕÒÓÁ. òÉÓÕÎÏË 8.2. óÉÓÔÅÍÁ ðåò: ÒÉÏÒÅÔÅÔÎÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ËÕÒÓÏ× ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÓÔÕÄÅÎÔ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 8.1 ÎÁÍÅÒÅÎ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÅÍÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚÕÞÁÔØ ÒÅÄÍÅÔÙ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÉÈ 174 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ. ïÎ ÍÏÖÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ . áÌÇÏÒÉÔÍ ÓÏÚÄÁÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ 1, 2, 3, . . . , n | ÍÅÔËÉ ×ÅÒÛÉÎ É uv | ÄÕÇÁ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÄÕÝÁÑ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ u Ó ÍÅÔËÏÊ i Ë ×ÅÒÛÉÎÅ v Ó ÍÅÔËÏÊ j , ÔÏ i < j . áÌÇÏÒÉÔÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ G = (V; E ). ÷ ÓÁÍÏÍ ÎÁÞÁÌÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÙ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A(v ). begin for v ∈ V do ×ÙÞÉÓÌÉÔØ A(v ); label := 0; whileÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ A(v ) = ∅ do begin label := 1; u := ×ÅÒÛÉÎÁ Ó A(u) = ∅; ÒÉÓ×ÏÉÔØ ÍÅÔËÕ ×ÅÒÛÉÎÅ u; for ËÁÖÄÏÊ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v ∈ V do; A(v ) := A(v ) \ {u}; end end áÌÇÏÒÉÔÍ ÕÓÅÛÎÏ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔ ÍÅÔËÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍ. ëÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÏÌÕÞÁÅÔ ÏÞÅÒÅÄÎÕÀ ÍÅÔËÕ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ Õ ÎÅÅ ÎÅÔ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×. ðÒÉÍÅÒ 8.2. îÁÊÄÉÔÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÅÔÏË ÄÌÑ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÚÏ- ÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.2. òÅÛÅÎÉÅ. ûÁÇ 0 ûÁÇ 1 ûÁÇ 2 íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ× ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: A(A) = {B}, A(B) = {C}, A(C) = {H}, A(D) = {C}, A(E) = {D; G}, A(F) = {E}, A(G) = {C} É A(H) = ∅. ðÅÒ×ÙÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÉÔØ ÍÅÔËÕ 1 ×ÅÒÛÉÎÅ H É ÕÄÁÌÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ H ÉÚ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× A(v ). A(A) = {B}, A(B) = {C}, A(C) = ∅, A(D) = {C}, A(E) = {D; G}, A(F) = {E} É A(G) = {C}. ÷ÔÏÒÏÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÉÔØ ÍÅÔËÕ 2 ×ÅÒÛÉÎÅ C É ÕÄÁÌÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ C ÉÚ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× A(v ). 8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ ûÁÇ 3 ûÁÇ 4 175 A(A) = {B}, A(B) = ∅, A(D) = ∅, A(E) = {D; G}, A(F) = {E} É A(G) = ∅. ÒÅÔÉÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. ÅÅÒØ Õ ÎÁÓ ÏÑ×ÉÌÓÑ ×ÙÂÏÒ: ËÁËÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÒÉÓ×ÏÉÔØ ÏÞÅÒÅÄÎÕÀ ÍÅÔËÕ? ÷ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÎÁÛÅÇÏ ×ÙÂÏÒÁ, ÏÌÕÞÁÔÓÑ ÒÁÚÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÅÔÏË. ðÒÉÓ×ÏÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÅÔËÕ 3 ×ÅÒÛÉÎÅ B, É ÕÄÁÌÉÍ B ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ× A(v ). A(A) = ∅, A(D) = ∅, A(E) = {D; G}, A(F) = {E} É A(G) = ∅. þÅÔ×ÅÒÔÙÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. íÙ ÓÎÏ×Á ÓÔÏÉÍ ÅÒÅÄ ×ÙÂÏÒÏÍ. îÁÚÎÁÞÉÍ ÍÅÔËÕ 4 ×ÅÒÛÉÎÅ A É ÕÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ A ÉÚ A(v ). A(D) = ∅, A(E) = {D; G}, A(F) = {E} É A(G) = ∅. ûÁÇ 5 ðÑÔÙÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÉÍ ÍÅÔËÕ 5 ×ÅÒÛÉÎÅ D É ÕÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ D ÉÚ A(v ). A(E) = {G}, A(F) = {E} É A(G) = ∅. ûÁÇ 6 ûÅÓÔÏÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÉÍ ÍÅÔËÕ 6 ×ÅÒÛÉÎÅ G É ÕÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ G ÉÚ A(v ). A(E) = ∅, É A(F) = ∅. ûÁÇ 7 óÅÄØÍÏÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÁÅÍ ÍÅÔËÕ 7 ×ÅÒÛÉÎÅ E É ÕÄÁÌÑÅÍ E ÉÚ ÓÉÓËÁ A(v ). ïÓÔÁÎÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ A(F) = ∅. ûÁÇ 8 ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÏÈÏÄ ÛÉÎÅ F. ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÁÅÍ ÍÅÔËÕ 8 ×ÅÒ- éÔÁË, ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÉÏÒÉÔÅÔÎÙÈ ÓÉÓËÏ×: H, C, B, A, D, G, E, F. ïÎ ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÏÖÎÏ ÉÚÕÞÁÔØ ËÕÒÓÙ, ÓÏÂÌÀÄÁÑ ÄÏÌÖÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. 8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÕÓÅÛÎÏ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÓÈÅÍÁÔÉÞÎÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÁÜÒÏÌÉÎÉÊ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÇÏÒÏÄÁ ×ÓÅÇÏ ÍÉÒÁ, ÉÌÉ ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÅÔÅÊ ÍÅÖÄÕ ËÏÍØÀÔÅÒÁÍÉ. ÷ ÔÁËÉÈ ÓÅÔÑÈ ×ÁÖÎÏ ÚÎÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÙËÌÀÞÅÎÉÊ ÌÀÂÏÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ (ÄÕÇÉ ÉÌÉ ×ÅÒÛÉÎÙ) Ï ×ÓÅÊ ÓÅÔÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÓÁÍÏÌÅÔ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÉÚÅÍÌÉÔØÓÑ ÄÌÑ ÄÏÚÁÒÁ×ËÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÇÏÒÏÄÅ ×ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÎÅÂÌÁÇÏÒÉÑÔÎÙÈ ÏÇÏÄÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ, ÔÏ ÏÛÉÂËÁ × ÅÇÏ ÅÒÅÁÄÒÅÓÁ ÉÉ ÇÒÏÚÉÔ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÏÊ: ÅÍÕ ÍÏÖÅÔ ÎÅ È×ÁÔÉÔØ ÇÏÒÀÞÅÇÏ ÄÌÑ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏ ÎÁÚÎÁÞÅÎÎÏÇÏ ÁÜÒÏÏÒÔÁ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÏÄÎÁ ÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÅÅÊ × ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÓÅÔÉ ÎÅ ÒÁÂÏÔÁÀÔ, ÔÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÓÅÒ×ÅÒÙ ÍÏÇÕÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅÄÏÓÔÕÎÙÍÉ. 176 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÚÁÄÁÞÅ Ï ÏÉÓËÅ ÕÔÅÊ ÍÅÖÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÁÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎ × ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ. ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÏÒÇÒÁÆ Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ, Á M | ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÂÕË×ÏÊ é ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ É j -ÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÎÁÌÉÞÉÅ ÄÕÇÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i Ë ×ÅÒÛÉÎÅ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ j . äÕÇÁ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÔÅÍ ÄÌÉÎÙ 1. âÕÌÅ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù M Ó ÓÁÍÏÊ ÓÏÂÏÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ M 2 . ÷ ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Å ÂÕË×Á é ÓÉÍ×ÏÌÉÚÉÒÕÅÔ ÎÁÌÉÞÉÅ ÕÔÉ ÄÌÉÎÙ 2. ðÏ ÍÁÔÒÉ Å M 3 = M · M · M ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ×ÓÅ ÕÔÉ ÄÌÉÎÙ 3, É ×ÏÏÂÝÅ, ÍÁÔÒÉ Á M k ÈÒÁÎÉÔ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÕÔÑÈ ÄÌÉÎÙ k . îÁËÏÎÅ , × ÍÁÔÒÉ Å ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ M ∗ = M ÉÌÉ M 2 ÉÌÉ : : : ÉÌÉ M n ÚÁÉÓÁÎÙ ÕÔÉ ÌÀÂÏÊ ÄÌÉÎÙ ÍÅÖÄÕ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. åÓÌÉ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ Ä×Å ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ, ÔÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÍÁÔÒÉ Á, ÞØÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ | ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ Ë ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ Ä×ÕÈ ÄÁÎÎÙÈ ÍÁÔÒÉ . âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ,     a11 a12 : : : a1(n−1) a1n b11 b12 : : : b1(n−1) b1n  a21 a22 : : : a2(n−1) a2n      ÉÌÉ  b21 b22 : : : b2(n−1) b2n  =  ::: ::: :::  ::: ::: ::: ::: :::  ::: :::  am1 am2 : : : am(n−1) amn a11 ÉÌÉ b11  a21 ÉÌÉ b21 =  ::: am1 ÉÌÉ bm1  bm1 bm2 : : : bm(n−1) bmn a12 ÉÌÉ b12 a22 ÉÌÉ b22 ::: am2 ÉÌÉ bm2 ::: ::: ::: ::: a1n ÉÌÉ b1n a2n ÉÌÉ b2n  :  ::: amn ÉÌÉ bmn  íÁÔÒÉ Á ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G = (V; E ) ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ E ∗ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ E ÎÁ ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÏÒÇÒÁÆÁ G. ðÒÉÍÅÒ 8.3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÒÅÄÓÔÁ- ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.3. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÎÁÉÛÅÍ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ. ì  ì M =  ì ì  é ì ì ì ì é ì é  ì é  : ì  ì 8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ a b c d 177 òÉÓÕÎÏË 8.3. ë×ÁÄÒÁÔ ÍÁÔÒÉ Ù M ÒÁ×ÅÎ    ì é ì ì ì    ì ì é é   ì M2 =   ì ì ì ì · ì ì ì é ì ì é ì ì ì ì é ì é   ì ì ì  ì ì é  = ì   ì ì ì ì ì é é ì ì  é ì  : ì  ì úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÂÕË×Á é × ÍÁÔÒÉ Å M 2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÕÔÑÍ ÄÌÉÎÙ 2 × ÏÒÇÒÁÆÅ G, Á ÉÍÅÎÎÏ: a b , a b d É b d . äÁÌØÎÅÊÛÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÔÒÅÔØÅÊ É ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÓÔÅÅÎÑÍ ÍÁÔÒÉ Ù M .     ì ì é ì ì ì ì ì  ì ì ì ì   ì ì ì ì     É M3 =   ì ì ì ì   ì ì ì ì : ì ì ì ì ì ì ì ì óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ì  ì M∗ =   ì ì  é ì ì ì é é ì é  é é  : ì  ì ïÔÍÅÔÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ ÂÕË×Á é × ×ÅÒÈÎÅÍ ÒÁ×ÏÍ ÕÇÌÕ ÍÁÔÒÉÙ M ∗ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÍÁÔÒÉ Ù M 2 É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÕÔÉ a b d. äÌÑ ÂÏÌØÛÉÈ ÏÒÇÒÁÆÏ× ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù M ∗ Ó ÏÍÏÝØÀ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ M ×ÓÅ × ÂÏÌØÛÕÀ ÓÔÅÅÎØ ÕÔÏÍÉÔÅÌØÎÏ É ÎÅÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ. âÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÙÊ ÕÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ M ∗ ÄÁÅÔ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ. ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÏÒÇÒÁÆ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ v1 ; v2 ; : : : ; vn . áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉ W0 = M , W1 , W2 , . . . , Wn , ÒÉÞÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÁÔÒÉ Ù Wk (k > 1), ÓÔÏÑÝÉÊ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ É j -ÇÏ ÓÔÏÌÂ Á Wk (i; j ), ÒÁ×ÅÎ é × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÔØ (ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ) ÉÚ 178 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ×ÅÒÛÉÎÙ vi × ×ÅÒÛÉÎÕ vj Ó ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {v1 ; v2 ; : : : ; vk }. íÁÔÒÉ Á W0 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ÏÒÇÒÁÆÁ, Á Wn | ÉÓËÏÍÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ M ∗ . õÄÁÞÎÏÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÉËÌÁ for ÒÉÄÁÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ÏÓÏÂÅÎÎÏÅ ÉÚÑÝÅÓÔ×Ï. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÅ ÒÏÈÏÄÙ ÜÔÏÇÏ ÉËÌÁ (ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÉÎÄÅËÓÏÍ k ) ×ÙÞÉÓÌÑÀÔ ÍÁÔÒÉ Ù W1 , W2 , . . . , Wn . áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ. üÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ W = M ∗ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G = (V; E ) Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M . begin W := M ; for k = 1 to n do for i = 1 to n do for j = 1 to n do W (i; j ) = W (i; j ) ÉÌÉ W (i; k ) É W (k; j ) ; end äÌÑ ÌÕÞÛÅÇÏ ÏÎÉÍÁÎÉÑ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ õÏÒÛÅÌÌÁ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ Ó ÅÇÏ ÏÍÏÝØÀ ×ÒÕÞÎÕÀ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ ÏÒÇÒÁÆÁ. ó ÜÔÏÊ ÅÌØÀ ÏÌÅÚÎÏ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ Ï ÛÁÇÁÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. úÁ ËÁÖÄÙÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ (ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÉÎÄÅËÓÏÍ k ) ÁÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÍÁÔÒÉ Õ Wk , ÉÓÏÌØÚÕÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÍÁÔÒÉ Ù Wk−1 . þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ i-ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk , ÎÁÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ: Wk−1 (i; j ) ÉÌÉ Wk−1 (i; k ) É Wk−1 (k; j ) (1) ÒÉ ÒÁÚÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ j . åÓÌÉ Wk−1 (i; k ) = ì, ÔÏ Wk−1 (i; k ) É Wk−1 (k; j ) = ì, É ÚÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (1) ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ Wk−1 (i; j ). éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, i-ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÎÅÉÚÍÅÎÎÏÊ . ÷ ÔÏÍ ÖÅ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ Wk−1 (i; k ) = é, ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (1) Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ Wk−1 (i; k ) É Wk−1 (k; j ) . ðÒÉ ÜÔÏÍ i-ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ ÉÚ ÔÅËÕÝÅÊ ÓÔÒÏËÉ i É ÔÅËÕÝÅÊ ÓÔÒÏËÉ k . çÏ×ÏÒÑ ÂÏÌÅÅ ÁËËÕÒÁÔÎÏ, ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ Wk ÏÓÔÕÁÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. 1. âÅÒÅÍ k -ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù Wk−1 . 2. óÔÒÏËÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i (i = 1; : : : ; n), Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ ì, ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ × i-ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk . 8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ 179 3. óÔÒÏËÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i (i = 1; : : : ; n), Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ é, ÓÁÒÉ×ÁÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ Ó k -ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ, Á ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ × i-ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk . ðÒÉÍÅÒ 8.4. ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ õÏÒÛÅÌÌÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.4. 3 2 4 5 1 òÉÓÕÎÏË 8.4. òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á W0 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ.    W0 =    ì ì é ì é é ì ì ì ì ì é ì ì é ì ì é ì ì ì ì ì ì ì    :   ÅÅÒØ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ W1 . õÞÉÔÙ×ÁÑ ÅÒ×ÙÊ ÛÁÇ, ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ 1-ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W0 . óÌÅÄÕÑ ÕËÁÚÁÎÉÑÍ ÛÁÇÁ 2, ÓËÏÉÒÕÅÍ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W0 Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ 1, 2 É 4 × ÍÁÔÒÉ Õ W1 ÎÁ ÔÅ ÖÅ ÍÅÓÔÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,   ì é ì ì ì  ì ì é ì ì    : ? ? ? ? ? W1 =     ì ì ì ì ì  ? ? ? ? ? äÁÌÅÅ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÛÁÇÕ 3, ÓÔÒÏËÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ 3 ÍÁÔÒÉ Ù W1 ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ ÉÚ 1-ÏÊ É 3-ÅÊ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù W0 . ðÏÜÔÏÍÕ   ì é ì ì ì  ì ì é ì ì     W1 =   é é ì é ì :  ì ì ì ì ì  ? ? ? ? ? 180 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ïÑÔØ ÒÉÍÅÎÑÅÍ ÛÁÇ 3 ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ 5-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W1 Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ, ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÊ Ë 5-ÏÊ É 1-ÏÊ ÓÔÒÏËÁÍ ÍÁÔÒÉ Ù W0 . ðÏÌÕÞÁÅÍ   ì é ì ì ì  ì ì é ì ì     W1 =   é é ì é ì :  ì ì ì ì ì  é é é ì ì íÁÔÒÉ Á W1 ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ. ÅÅÒØ ÓÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ W2 , Ï ÍÁÔÒÉÅ W1 . ÷ÚÇÌÑÄ ÎÁ 2-ÏÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W1 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÔÒÏËÉ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ 2 É 4 ËÏÉÒÕÀÔÓÑ × W2 . ðÅÒ×ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÍÁÔÒÉ Ù W2 | ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ Ë 1-ÏÊ É 2-ÏÊ ÓÔÒÏËÁÍ ÉÚ W1 . ÒÅÔØÑ ÓÔÒÏËÁ × W2 ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÁÒÉ×ÁÎÉÅÍ 3-ÅÊ É 2-ÏÊ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù W1 . é, ÎÁËÏÎÅ , ÑÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ W2 | ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ, ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÊ Ë 5-ÏÊ É 2-ÏÊ ÓÔÒÏËÁÍ W1 . úÎÁÞÉÔ,   ì é é ì ì  ì ì é ì ì    : é é é é ì W2 =     ì ì ì ì ì  é é é ì ì ïÔÍÅÔÉÍ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ 3-ÅÊ ÓÔÒÏËÉ É 3-ÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÍÁÔÒÉ Ù W2 ÓÔÏÉÔ ÂÕË×Á é. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÔÕÒ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÊÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÅ 3, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ÏÄÎÕ ÉÌÉ ÏÂÅ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ 1 É 2. ðÏÓÍÏÔÒÅ× ÎÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÒÇÒÁÆÁ (ÒÉÓ. 8.4), ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÔÕÒ ÄÌÉÎÙ 3: 3 1 2 3. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ Á W3 .   é é é é ì  é é é é ì     W3 =   é é é é ì :  ì ì ì ì ì  é é é é ì ðÏÓËÏÌØËÕ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ 4 ÎÅ ×ÙÈÏÄÉÔ ÎÉ ÏÄÎÏÊ ÄÕÇÉ, ÔÏ ÍÙ ÎÅ ÓÍÏÖÅÍ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÕÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÇÏ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ 4. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÁÔÒÉ Á W4 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó W3 . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÏÒÇÒÁÆÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÄÕÇÉ, ×ÅÄÕÝÉÅ × ×ÅÒÛÉÎÕ 5. úÎÁÞÉÔ ÎÅÔ É ÕÔÅÊ, ÞÅÒÅÚ ÎÅÅ ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ, Ô. Å. W5 = W4 . îÁËÏÎÅ , W5 = M ∗ , ÏÓËÏÌØËÕ ÇÒÁÆ ÓÏÓÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÑÔÉ ×ÅÒÛÉÎ. 181 8.3. ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ 8.3. ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ þÔÏÂÙ ÏÄÇÏÔÏ×ÉÔØ ÔÅÈÎÉËÕ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å, ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÁÄÁÞÕ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÇÏ ÁÒÕ ÄÁÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÏÒÇÒÁÆÅ. óÌÏ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÚÄÅÓØ ×ÏÌÎÅ ÕÍÅÓÔÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ×ÅÓÁ × ÏÒÇÒÁÆÅ | ÜÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÕÎËÔÁÍÉ. ÉÉÞÎÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ, ËÏÔÏÒÁÑ ÍÏÄÅÌÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÍ ÏÒÇÒÁÆÏÍ, ÜÔÏ ÔÒÁÎÓÏÒÔÎÁÑ ÓÅÔØ (Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÔÏ×ÁÒÙ ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÇÏÒÏÄÁ × ÇÏÒÏÄ) É ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÁÑ ÓÅÔØ (Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÅÒÅÒÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÎÁ ÒÉÓ. 8.5. ïÎ ÍÏÖÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÉÎÙ ÄÏÒÏÇ × ÍÉÌÑÈ ÍÅÖÄÕ ÛÅÓÔØÀ ÄÅÒÅ×ÎÑÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ × ÜÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÅ×ÅÌÉËÏ, ÔÏ ÅÒÅÂÒÁÔØ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÕÔÉ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÏÊ ÁÒÏÊ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ÎÁÍ ×ÏÌÎÅ Ï ÓÉÌÁÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÍÙ ÎÁÊÄÅÍ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÉÊ ÕÔØ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÅÒÅ×ÎÉ. ÷ ÒÅÁÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÊ × ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÎÁÓÔÏÌØËÏ ×ÅÌÉËÏ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÕÒÏÝÅÎÎÙÊ ÏÄÈÏÄ Ë ÏÉÓËÕ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ ÓÌÉÛËÏÍ ÎÅÜÆÆÅËÔÉ×ÅÎ. 1 B C 5 2 4 F A 1 3 D E 2 òÉÓÕÎÏË 8.5. îÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ, ÎÏ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ ÔÏÌØËÏ Ó ÏÄÎÉÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ äÅÊËÓÔÒÙ . ðÅÒÅÄ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÙ ÏÉÛÅÍ ÅÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ É ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÒÁÂÏÔÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁ ÎÁÛÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A Ë ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÏÒÇÒÁÆÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 8.5). ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ | ÜÔÏ ÕÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ. ïÂ- 182 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÝÉÊ ×ÅÓ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ ×ÅÓÏ× ×ÓÅÈ ÄÕÇ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÕÔØ. ïÂÝÉÊ ×ÅÓ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ, ×ÅÄÕÝÅÇÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ u × ×ÅÒÛÉÎÕ v , ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÏÔ u ÄÏ v . ïÒÅÄÅÌÉÍ ×ÅÓÏ×ÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ w, ÞØÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ w(u; v ) ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ   0; w(u; v ) = ∞;   d; ÅÓÌÉ u = v; ÅÓÌÉ u É v ÎÅ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÄÕÇÏÊ, ÅÓÌÉ uv | ÄÕÇÁ ×ÅÓÁ d: äÌÑ ÎÁÛÅÇÏ ÇÒÁÆÁ ×ÅÓÏ×ÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: A B C w= D E F         A B C D E F 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1 0 ∞ ∞ ∞  3 ∞ ∞ ∞ 4 ∞   ∞ ∞ 5  : 0 2 ∞   ∞ 0 1  ∞ ∞ 0 ÷ ÔÅÞÅÎÉÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ v ÏÒÇÒÁÆÁ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ d[v ℄, ÒÁ×ÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÀ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A ÄÏ v . ðÅÒÅÄ ÎÁÞÁÌÏÍ ÒÁÂÏÔÙ d[v ℄ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÅÓÏÍ ÄÕÇÉ (A; v ), ÅÓÌÉ ÔÁËÁÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ ∞ × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÒÏÈÏÄÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÒÇÒÁÆÁ É ÕÔÏÞÎÑÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄. îÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÔÍÅÞÁÅÔÓÑ ÏÄÎÁ ×ÅÒÛÉÎÁ u, ÄÏ ËÏÔÏÒÏÊ ÕÖÅ ÎÁÊÄÅÎ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÏÔ A É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d[u℄ ÄÏ ÎÅÅ. äÁÌÅÅ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ d[u℄ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ. äÌÑ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ, ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ v , ÞÉÓÌÏ d[v ℄ ÂÕÄÅÔ ÍÅÎÑÅÔÓÑ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÙÊ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÄÏ ÎÉÈ ÏÔ A ÂÕÄÅÔ ÒÏÈÏÄÉÔØ ÞÅÒÅÚ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÏÔÍÅÞÅÎÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ u. áÌÇÏÒÉÔÍ ÚÁ×ÅÒÛÉÔÓÑ × ÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÂÕÄÕÔ ÏÔÍÅÞÅÎÙ É ÏÌÕÞÁÔ Ó×ÏÉ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÛÁÇÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ÎÉÖÅ, × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÔÁÂÌ. 8.2 ÚÁÎÏÓÉÔÓÑ ÏÔÍÅÞÅÎÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ, ÔÅËÕÝÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄ É ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÌÕÖÉÒÎÙÍ ÛÒÉÆÔÏÍ ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ d[v ℄ ÓÒÅÄÉ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÔÍÅÔÉÔØ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÔÁÂÌÉ Å ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄ ÄÌÑ ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ÏÔÄÅÌÅÎÙ ÏÔ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÌÏÍÁÎÏÊ ÌÉÎÉÅÊ. 8.3. ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ 183 ÁÂÌÉ Á 8.2 ûÁÇ 0 1 2 3 4 5 ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ A B D C E F òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ A B C D E F îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ 0 0 2 ∞ 3 ∞ ∞ B; C; D; E; F 2 3 3 6 ∞ C; D; E; F 0 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 3 3 5 ∞ C; E; F 5 8 E; F 5 5 6 F 3 3 3 6 ûÁÇ 0 ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÍÓÑ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÍÉ ÕÔÑÍÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A, ÍÙ ÅÅ ÏÔÍÅÞÁÅÍ É ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ×ÅÓÏ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù w ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ d[v ℄. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÅÒ×ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÔÁÂÌÉ Ù. îÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ×ÓÅÈ d[v ℄ ÄÌÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ | ÜÔÏ d[B ℄ = 2. ûÁÇ 1 ïÔÍÅÞÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ B, ÔÁË ËÁË ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÌÉÖÁÊÛÅÊ Ë A. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÄÌÉÎÙ ÕÔÅÊ, ×ÅÄÕÝÉÈ ÏÔ A Ë ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ B . åÓÌÉ ÎÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÍÅÎØÛÅ ÓÔÁÒÙÈ, ÔÏ ÍÅÎÑÅÍ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÎÁ ÎÏ×ÙÅ. éÔÁË, ÒÉ ÜÔÏÍ ÒÏÈÏÄÅ ÉËÌÁ ÕÔØ A B C ÉÍÅÅÔ ×ÅÓ 3, Á ÕÔØ A B E | 6, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÓÔÁÒÙÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÄÏ ÜÔÉÈ ×ÅÒÛÉÎ ÏÔ A ÂÙÌÉ ∞. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÁÏÌÎÑÑ ×ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÔÁÂÌÉ Ù, ÍÙ ÚÁÍÅÎÉÍ d[C ℄ ÎÁ 3 É d[E ℄ ÎÁ 6. ûÁÇ 2 éÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ, ×ÅÒÛÉÎÙ C É D ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÂÌÉÖÅ ×ÓÅÈ Ë A. ïÔÍÅÔÉÔØ ÍÏÖÎÏ ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÎÉÈ. ÷ÏÚØÍÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ D . ÁË ËÁË ÄÌÉÎÁ ÕÔÉ A D E ÒÁ×ÎÁ 5, ÔÅËÕÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ d[E ℄ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÍÅÎØÛÉÔØ ÄÏ 5. ÅÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÚÁÏÌÎÉÔØ ÔÒÅÔØÀ ÓÔÒÏÞËÕ ÔÁÂÌÉ Ù. îÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ d[v ℄ ÓÒÅÄÉ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ Ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ ×ÅÒÛÉÎ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ C . ûÁÇ 3 ïÔÍÅÞÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ C É ÏÄÒÁ×ÌÑÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄. ÅÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÄÏÊÔÉ É ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ F , ÓÌÅÄÕÑ ÕÔÅÍ A B C F . åÇÏ ÄÌÉÎÁ, Á ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ É ÚÎÁÞÅÎÉÅ d[F ℄, ÒÁ×ÎÙ 8. ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ ÏÓÔÁÌÉÓØ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ: E É F . ûÁÇ 4 íÙ ÏÔÍÅÞÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ E , ÞÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÍ ÕÍÅÎØÛÉÔØ ×ÅÌÉÞÉÎÕ d[F ℄ Ó 8 ÄÏ 6. ûÁÇ 5 ïÔÍÅÞÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ F . 184 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ áÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ. ðÕÓÔØ (V; E ) | ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, É A | ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A ÄÏ ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v É ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔ ÅÇÏ ÄÌÉÎÕ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ d[v ℄. äÌÑ ×ÅÒÛÉÎ u É v ÞÅÒÅÚ w(u; v ) ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ×ÅÓ ÄÕÇÉ uv , Á × ÓÉÓËÅ PATHTO(v ) ÅÒÅÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÙ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ ÏÔ A ÄÏ v . begin for ËÁÖÄÏÊ v ∈ V do begin d[v ℄ := w(A; v ); PATHTO(v ) := A; end ïÔÍÅÔÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ A; while ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ do begin u := ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÏÔ A; ïÔÍÅÔÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ u; for ËÁÖÄÏÊ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ uv ∈ E do begin d′ := d[u℄ + w(u; v ) if d′ < d[v ℄ then begin d[v ℄ := d′ ; PATHTO(v ) := PATHTO(u); v ; end end end end îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 8 8.1. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÏÒÇÒÁÆ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ {1; 2; 3; 4; 5; 6} É ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ       é é ì é ì ì ì ì é ì ì é ì é é ì ì é é ì ì é é é ì ì é é ì é ì é ì é é ì    :   îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 8 185 ðÒÅÄÏÌÏÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÅÓ ËÁÖÄÏÊ ÄÕÇÉ ÒÁ×ÅÎ 1 É ÎÁÊÄÉÔÅ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) (Á) ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ (ÕÔÉ) ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 1 ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ 2; (Â) ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ (ÕÔÉ) ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 3 ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ 6; (×) ËÏÎÔÕÒ ÄÌÉÎÙ 5. 8.2. ðÏÌÕÓÔÅÅÎØÀ ÉÓÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÏÒÇÒÁÆÁ G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ ÄÕÇ Æ + (v ) ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÓÈÏÄÑÝÉÈ ÉÚ v , Á ÏÌÕÓÔÅÅÎØÀ ÚÁÈÏÄÁ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÞÉÓÌÏ ÄÕÇ Æ − (v ), ÚÁÈÏÄÑÝÉÈ × ÎÅÅ. ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ÏÞÅÍÕ ÏÂÅ ÓÕÍÍÙ | ÏÌÕÓÔÅÅÎÅÊ ÉÓÈÏÄÁ É ÏÌÕÓÔÅÅÎÅÊ ÚÁÈÏÄÁ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ | ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÅÇÏ ÄÕÇ. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÞÉÓÌÅ ÂÕË× é × ÌÀÂÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ? á ËÁË ÒÏÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ÉÈ ÞÉÓÌÏ × ÌÀÂÏÍ ÓÔÏÌÂ Å? 8.3. ó×ÑÚÎÙÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÏÒÇÒÁÆ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ Ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ, ÅÓÌÉ ÚÁÂÙÔØ ÒÏ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ ÄÕÇ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÙ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÔØ, ×ÅÄÕÝÉÊ ÉÚ ÅÒ×ÏÊ ×Ï ×ÔÏÒÕÀ, ÔÏ ÔÁËÏÊ ÏÒÇÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ . (Á) ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ Ó×ÑÚÎÙÈ ÏÒÇÒÁÆÏ×, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÉÓ. 8.6, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍÉ. òÉÓÕÎÏË 8.6. ó×ÑÚÎÙÅ ÏÒÇÒÁÆÙ (Â) ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ËÁË ÎÕÖÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÔØ ÒÅÂÒÁ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÇÒÁÆÁ (Ô. Å. ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÒÅÂÒÅ ÓÔÒÅÌËÕ, ÒÅ×ÒÁÔÉ× ÅÅ × ÄÕÇÕ), ÞÔÏÂÙ ÉÚ ÎÅÇÏ ÏÌÕÞÉÌÓÑ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ. 186 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ (×) ïÂßÑÓÎÉÔÅ ×ÁÖÎÏÓÔØ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ: ÏÒÇÒÁÆ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÄÏÒÏÇ × ÇÏÒÏÄÅ, ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ. 8.4. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ Ë (Á ÉË- ÌÉÞÎÏÍÕ) ÏÒÇÒÁÆÕ ÓÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ: a b a ì b  é  ì ì é ì ì ì   ì  d   ì e  ì f ì ì ì ì ì ì ì d e f é ì ì ì é ì ì ì é ì ì ì ì é ì é é ì     :    îÁÉÛÉÔÅ ÎÏ×ÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ËÏÔÏÒÏÊ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÎÏ×ÙÍÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ×ÅÒÛÉÎ. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÎÏ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Å? þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÖÉÄÁÔØ ÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ × ÓÌÕÞÁÅ ÏÒÇÒÁÆÁ ÉÚ ÕÒ. 8.1? 8.5. ÷ ÔÁÂÌ. 8.3 ÒÉ×ÅÄÅÎ ÓÉÓÏË ÄÅÊÓÔ×ÉÊ Ï ÒÉÇÏÔÏ×ÌÅÎÉÀ Ù- ÌÅÎËÁ Ó ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ ÒÉÏÒÉÔÅÔÁÍÉ. õÏÒÑÄÏÞÉÔÅ ÓÉÓÏË ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÏÒÉÔÅÔÁÍ. ÁÂÌÉ Á 8.3 ðÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ úÁÄÁÎÉÑ á â ÷ ç ä å ö äÏÂÁ×ÉÔØ ÌÕË Ë ÙÌÅÎËÕ ÷ÙÍÙÔØ ÓÁÌÁÔ-ÌÁÔÕË ðÒÉÇÏÔÏ×ÉÔØ ÓÁÌÁÔÎÕÀ ÚÁÒÁ×ËÕ ðÅÒÅÍÅÛÁÔØ ÖÁÒËÏÅ ðÅÒÅÍÅÛÁÔØ ÓÁÌÁÔ òÁÚÒÅÚÁÔØ ÙÌÅÎËÁ òÁÓÔÅÒÅÔØ ÉÍÂÉÒØ ú é ë ðÏÄÁÔØ ÇÏÔÏ×ÏÅ ÂÌÀÄÏ úÁÍÁÒÉÎÏ×ÁÔØ ÙÌÅÎËÁ ðÏÓÔÁ×ÉÔØ ËÁÚÁÎÏË ÎÁ ÏÇÏÎØ ì ðÒÉÇÏÔÏ×ÉÔØ ÒÉÓ é ì ì ë â, ÷ ÎÉËÁËÉÈ é é å á, ö, ú, ì ÎÉËÁËÉÈ 8.6. ðÕÓÔØ M = M (i; j ) | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V = {1; 2; 3; : : : ; n}. îÁÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ× A(v ) ×ÅÒÛÉÎÙ v ∈ V . ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù 187 8.7. íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ì  ì M =  ì é  é ì ì ì ì é ì ì  ì ì  : é  ì ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ M 2 , M 3 É M 4 . îÁÊÄÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ M ∗ . 8.8. ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ õÏÒÛÅÌÌÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ W1 , W2 , W3 É W4 ÄÌÑ ÏÒÇÒÁÆÁ G ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÎÁÊÄÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ M ∗ . 8.9. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ äÅÊËÓÔÒÙ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÏÒ- ÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.7, É ÎÁÊÄÉÔÅ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÄÏ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ (Á) ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A; (Â) ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ C . òÉÓÕÎÏË 8.7. 8.10. ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ äÅÊËÓÔÒÙ ÎÁÊÄÉÔÅ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ S ÄÏ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÉÚ ÒÉÓ. 8.8. îÁÊÄÉÔÅ Ä×Á ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÉ ÏÔ S ÄÏ T . ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÇÒÁÆÏÍ ÉÌÉ ÏÒÇÒÁÆÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÒÕ G = = (V; E ), ÇÄÅ V | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ, Á E | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ V . üÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á E ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÄÕÇÁÍÉ ÏÒÇÒÁÆÁ. åÓÌÉ uv | ÄÕÇÁ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÕ u ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏÍ v . 188 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ðÕÔÅÍ ÄÌÉÎÙ k × ÏÒÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , × ËÏÔÏÒÏÊ ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ vi−1 vi ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÄÕÇÕ (i = 1; : : : ; k ). òÉÓÕÎÏË 8.8. ëÏÎÔÕÒÏÍ × ÏÒÇÒÁÆÅ G ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , ÏÂÒÁÚÕÀÝÕÀ ÕÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÅÒ×ÁÑ v0 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÓÌÅÄÎÅÊ, Á ÄÒÕÇÉÈ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ×ÅÒÛÉÎ × ÎÅÊ ÎÅÔ. ïÒÇÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÍ, ÅÓÌÉ × ÎÅÍ ÎÅÔ ËÏÎÔÕÒÏ×. ÷ ÚÁÄÁÞÅ Ï ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÚÁÄÁÎÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ðåò. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ G = (V; E ) | ÜÔÏ ÍÅÔËÉ: 1, 2, 3, . . . , n ×ÅÒÛÉÎ, ÒÉÞÅÍ ÅÓÌÉ uv | ÄÕÇÁ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ ×ÅÒÛÉÎÕ u Ó ÍÅÔËÏÊ i É ×ÅÒÛÉÎÕ v Ó ÍÅÔËÏÊ j , ÔÏ i < j . äÌÑ ÏÒÇÒÁÆÁ ÍÏÖÎÏ ×ÙÉÓÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÎÔÕÒÏ×. áÌÇÏÒÉÔÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ. ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÏÒÇÒÁÆ Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M . ìÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÓÔÅÅÎØ M k ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÈÒÁÎÉÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÕÔÅÊ ÄÌÉÎÙ k ÍÅÖÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÁÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ G. íÁÔÒÉ Á M ∗ = M ÉÌÉ M 2 ÉÌÉ : : : ÉÌÉ M n ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ 189 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ. ÷ ÎÅÊ ÚÁÉÓÁÎÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÕÔÅÊ ÍÅÖÄÕ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÏ- ÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉ W0 , W1 , W2 , . . . , Wn , ÇÄÅ W0 = M , Wn = M ∗ Á ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k > 1 ÍÁÔÒÉ Á Wk ÓÔÒÏÉÔÓÑ Ï Wk−1 ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: 1. âÅÒÅÍ k -ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù Wk−1 . 2. ëÁÖÄÕÀ ÓÔÒÏÞËÕ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ ì, ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk . 3. ëÁÖÄÕÀ ÓÔÒÏÞËÕ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ é, ÓÁÒÉ×ÁÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ Ó k -ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ, Á ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk . ëÒÁÔÞÁÊÛÉÍ ÕÔÅÍ ÍÅÖÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÁÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎ × ÎÁÇÒÕ- ÖÅÎÎÏÍ ÏÒÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÔØ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ. ïÂÝÉÊ ×ÅÓ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ, ×ÅÄÕÝÅÇÏ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ u Ë v , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÏÔ u ÄÏ v . åÓÌÉ ÕÔÉ ÏÔ u ÄÏ v ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÒÉÎÑÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ∞. áÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÏÔ ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÏ ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ õÄÁÞÎÏÊ ÍÏÄÅÌØÀ ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÓÅÔÉ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, ÞØÉ ×ÅÒÛÉÎÙ (ÉÌÉ ÕÚÌÙ ) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ, Á ÄÕÇÉ | ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÌÉÎÉÉ Ó×ÑÚÉ. ëÁÖÄÁÑ ÄÕÇÁ ÔÁËÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÓÎÁÂÖÅÎÁ ×ÅÓÏÍ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÝÉÍ ÒÏÕÓËÎÕÀ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÌÉÎÉÉ. òÉÓÕÎÏË 8.9 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÓÔÕÀ ÓÅÔØ ÉÚ ÓÅÍÉ ÕÚÌÏ×. óÒÁÚÕ ÏÓÌÅ ××ÏÄÁ × ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÓÅÔÉ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÅÒÅÄÁ×ÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÎÅÓÍÅÖÎÙÍÉ ÕÚÌÁÍÉ. ðÒÏ ÅÄÕÒÁ ÓÔÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔÉÚÁ ÉÉ ÕÞÉÔÙ×ÁÅÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÒÏÕÓËÎÏÊ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÉ ÌÉÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÕÔÉ ÅÒÅÄÁÞ ÍÅÖÄÕ ÕÚÌÁÍÉ. ÷ ÅÌÑÈ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ ÔÁËÉÈ ÕÔÅÊ × ÓÅÔÉ ÒÉÍÅÎÑÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÄÏÂÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ äÅÊËÓÔÒÙ. ïÄÎÁËÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÄÈÏÄÅ ÍÏÇÕÔ ×ÏÚÎÉËÁÔØ ÓÂÏÉ × ÌÉÎÉÑÈ ÉÌÉ ÕÚÌÁÈ ÓÅÔÉ. úÁÄÅÒÖËÉ ÅÒÅÄÁÞ ÍÏÇÕÔ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ × ÔÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÇÄÁ ÒÅ×ÙÛÁÅÔÓÑ ÒÏÕÓËÎÁÑ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ ÌÉÎÉÉ. 190 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ðÒÏ ÅÄÕÒÁ äÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔÉÚÁ ÉÉ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ËÏÒÒÅËÔÉÒÕÅÔ ÒÏÕÓËÎÕÀ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ ÌÉÎÉÊ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÏÔÒÅÂÎÏÓÔÉ. þÔÏÂÙ ÄÁÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÙÍ ÕÚÌÁÍ ÒÅÛÁÔØ, ËÏÇÄÁ É ËÕÄÁ ÅÒÅÄÁ×ÁÔØ ÎÏ×ÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎ ÒÏÔÏËÏÌ ÉÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ×ÉÌ. ëÁÖÄÙÊ ÕÚÅÌ ÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÅÔ Ó×ÏÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÕÔÅÊ, ÔÁË ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÒÁÓÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÁ Ï ×ÓÅÊ ÓÅÔÉ. òÉÓÕÎÏË 8.9. óÅÍÉÕÚÌÏ×ÁÑ ÓÅÔØ ëÁÖÄÙÊ ÕÚÅÌ ÓÅÔÉ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 8.9, ÒÏÇÏÎÑÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÉÌÕÞÛÉÈ ÕÔÅÊ Ë ÄÒÕÇÉÍ ÕÚÌÁÍ É ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÑÅÔ ÜÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÄÅÒÅ×Õ, ÞÅÊ ËÏÒÅÎØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÄÏÍÁÛÎÅÍÕ ÕÚÌÕ. îÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÕÚÌÁ 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÄÅÒÅ×Ï ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.10. òÅÁÌØÎÏ, ÄÌÑ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÌÀÂÏÍÕ ÕÚÌÕ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÁÂÌÉÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÕËÁÚÁÎÙ ÂÌÉÖÁÊÛÉÅ ÓÏÓÅÄÉ ÄÌÑ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÔÏÍÕ ÉÌÉ ÉÎÏÍÕ ÁÄÒÅÓÁÔÕ1 . ÁËÁÑ ÔÁÂÌÉ Á, ÏÔÎÏÓÑÝÁÑÓÑ Ë ÕÚÌÕ 1, ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÉÖÅ (ÔÁÂÌ. 8.4). ÁÂÌÉ Á 8.4 áÄÒÅÓÁÔ óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÕÚÅÌ 1 2 2 3 2 4 4 5 4 6 4 7 4 ÁÂÌÉ Õ ÂÌÉÖÁÊÛÉÈ ÓÏÓÅÄÅÊ × ÜÔÏÍ ËÏÎÔÅËÓÔÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁÂÌÉ ÅÊ ÍÁÒÛÒÕÔÏ×. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ 191 úÁÄÁÞÁ 1. éÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ, ÎÁÊÄÉÔÅ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÅ Õ- ÔÉ ÏÔ ÕÚÌÁ 2 Ë ÌÀÂÏÍÕ ÄÒÕÇÏÍÕ Ï ÓÅÔÉ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÛÌÁ ÒÅÞØ ×ÙÛÅ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÚÁÏÌÎÉÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÄÌÑ ÕÚÌÁ 2. 1 5 2 2 4 3 1 3 5 5 4 6 7 òÉÓÕÎÏË 8.10. äÅÒÅ×Ï ÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÕÚÌÁ 1 òÅÛÅÎÉÅ. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 8.5. ÁÂÌÉ Á 8.5 ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ 2 3 4 5 1 6 7 òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ 1 2 3 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 4 4 5 6 3 3 ∞ ∞ ∞ 3 3 3 3 3 3 3 ∞ ∞ 3 3 3 3 3 4 6 6 6 4 4 4 4 6 6 6 7 ∞ 9 9 8 îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ 1, 1, 1, 1, 6, 7 3, 4, 5, 6, 7 4, 5, 6, 7 5, 6, 7 6, 7 7 8 ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 2 Ë ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, PATHTO(6) = 2; 3; 6. äÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 8.11 É ÔÁÂÌ. 8.6 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. 192 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÁÂÌÉ Á 8.6 áÄÒÅÓÁÔ óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÕÚÅÌ 1 1 3 3 4 4 6 3 7 3 2 2 4 1 3 3 3 1 5 4 3 3 1 6 4 3 4 3 6 5 2 1 5 1 5 2 7 7 òÉÓÕÎÏË 8.11. òÉÓÕÎÏË 8.12. úÁÄÁÞÁ 2. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ×ÒÅÍÅÎÎ ÁÑ ÚÁÄÅÒÖËÁ ÅÒÅÄÁÞÉ ÏÔ ÕÚÌÁ 2 Ë ÕÚÌÕ 4 ÕÍÅÎØÛÉÌÁÓØ Ó 3 ÄÏ 1. ëÁË ÉÚÍÅÎÑÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÄÌÑ ÕÚÌÁ 2? òÅÛÅÎÉÅ. ðÅÒÅÚÁÕÓÔÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ, ÕÓÔÁÎÏ×É× ×ÒÅÍÅÎÎ ÕÀ ÚÁÄÅÒÖËÕ ÎÁ ÌÉÎÉÉ 2 4, ÒÁ×ÎÕÀ 1. üÔÏ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÏ×ÙÈ ÄÅÒÅ×ØÅ× ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ. ïÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.12. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛÒÕÔÏ× | ÔÁÂÌ. 8.7. ÁÂÌÉ Á 8.7 áÄÒÅÓÁÔ óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÕÚÅÌ 1 4 3 3 4 4 5 4 6 3 7 4 úÁÄÁÞÁ 3. ëÁËÉÍÉ ÂÕÄÕÔ ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛ- ÒÕÔÏ× ÄÌÑ ÕÚÌÏ× 1 É 2, ÅÓÌÉ ÕÄÁÌÉÔØ ÌÉÎÉÉ ÍÅÖÄÕ ÕÚÌÁÍÉ 5 É 6? òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÉÎÉÑ 5 6 ÎÅ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎÁ ÒÉ ÅÒÅÄÁÞÅ ÉÎ- ÆÏÒÍÁ ÉÉ ÏÔ ÕÚÌÁ 2, ÔÏ ÅÇÏ ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛÒÕÔÏ×, ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ × ÚÁÄÁÞÅ 1, ÏÓÔÁÎÕÔÓÑ ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ 193 þÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÕÚÌÁ 1, ÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÏÉÓËÏÍ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ ÏÔ ÕÚÌÁ 1 Ë ÕÚÌÕ 6. áÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÎÁÈÏÄÉÔ ÔÁËÏÊ ÕÔØ ÂÅÚ ÏÓÏÂÙÈ ÚÁÔÒÕÄÎÅÎÉÊ: PATHTO(6) = 1; 4; 5; 7; 6. îÏ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ ÎÁÞÅÒÞÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.13. ÁÂÌÉ Á 8.8 | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛÒÕÔÏ×. ÁÂÌÉ Á 8.8 áÄÒÅÓÁÔ óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÕÚÅÌ 2 2 3 2 4 4 5 4 1 5 2 4 2 1 3 5 3 5 7 2 6 òÉÓÕÎÏË 8.13. 6 4 7 4 çìá÷á 9 âõìå÷á áìçåâòá âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ | ÜÔÏ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÅÊÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÁÎÁÌÉÚÏÍ. ïÅÒÁ ÉÉ É ÚÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ Ë ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÁÍ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÏÂÙÞÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ÏÅÒÉÒÕÅÔ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÍÉ ÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÉÚÕÞÁÅÍ ÂÕÌÅ×Õ ÁÌÇÅÂÒÕ, Á ÉÍÅÎÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {0; 1} Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÎÅÍ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÄÉÚßÀÎË ÉÉ, ËÏÎßÀÎË ÉÉ É ÏÔÒÉ ÁÎÉÑ. úÄÅÓØ ÂÕÄÕÔ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÙ ÚÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ É ÒÏ×ÅÄÅÎÁ ÁÒÁÌÌÅÌØ ÍÅÖÄÕ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ, ÌÏÇÉËÏÊ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ (ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 2) Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, É Ó ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÍÎÏÖÅÓÔ× (ÇÌÁ×Á 3) Ó ÄÒÕÇÏÊ. íÙ ÏËÁÖÅÍ, ËÁË ÂÕÌÅ×Ù ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÙ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÎÏÓÑÝÅÊ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÚÄÅÓØ ÂÕÄÅÔ ÏÉÓÁÎ ÓÏÓÏÂ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÁÒÁÇÒÁÆ ÇÌÁ×Ù ÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÔ, ËÁË ×ÓÑ ÒÁÚ×ÉÔÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ë ËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÎÉÀ É ÕÒÏÝÅÎÉÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ. ÁËÉÅ ÓÈÅÍÙ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ × ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×ÁÈ, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÈ × ËÏÍØÀÔÅÒÁÈ, ËÁÌØËÕÌÑÔÏÒÁÈ, ÔÅÌÅÆÏÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ É ÒÑÄÅ ÄÒÕÇÉÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×. õËÁÚÁÎÎÕÀ ÔÅÍÕ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ Ë ÇÌÁ×Å. ÷ ÎÅÍ, ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÂÕÌÅ×Õ ÁÌÇÅÂÒÕ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÔØ 2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ. 9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ðÒÏÓÔÅÊÛÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B = {0; 1} ×ÍÅÓÔÅ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÎÅÍ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÄÉÚßÀÎË ÉÉ (∨), ËÏÎßÀÎË ÉÉ (∧) É ÏÔÒÉ ÁÎÉÑ ( ). äÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÅÒÁ ÉÊ (∨) É (∧) ÎÁ ÓÉÍ×ÏÌÁÈ 0 É 1 ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 9.1. ∨ 0 1 0 0 1 ∧ 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 òÉÓÕÎÏË 9.1. 9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ 195 äÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÔÒÉ ÁÎÉÑ ÎÁ 0 É 1 ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: 0 = 1 É 1 = 0: äÌÑ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p É q (Ô. Å. ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ 0 É 1) ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÔÁÂÌÉ Ù, ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÏÅÒÁ ÉÊ p, p ∨ q É p ∧ q (ÓÍ. ÔÁÂÌ. 9.1 É ÔÁÂÌ. 9.2). ÁÂÌÉ Á 9.1 p 0 1 ÁÂÌÉ Á 9.2 p p q 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 p ∨q 0 1 1 1 p ∧q 0 0 0 1 üÔÉ ÔÁÂÌÉ Ù ÎÁÏÍÉÎÁÀÔ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÅ, ÉÌÉ É É, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ×ÓÔÒÅÔÉÌÉÓØ × ÇÌÁ×Å 2. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÌÅÇËÏ ÔÒÁÎÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ÔÁÂÌ. 9.1 É ÔÁÂÌ. 9.2 × ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ × ÌÏÇÉËÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ, ÚÁÍÅÎÉ× ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ p É q ÎÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P É Q, É ÉÓÏÌØÚÕÑ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ì É é ×ÍÅÓÔÏ 0 É 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, p ÚÁÍÅÎÉÔÓÑ ÎÁ (ÎÅ P ), p ∨ q | ÎÁ (P ÉÌÉ Q), Á p ∧ q | ÎÁ (P É Q). ðÏÜÔÏÍÕ É × ËÏÎÔÅËÓÔÅ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÔÁÂÌÉ Ù ÔÁÂÌÉ ÁÍÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ. íÙ ÍÏÖÅÍ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÔØ ÂÕÌÅ×Ù ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÊ (∨), (∧) É ( ), ÏÌÕÞÁÑ ÂÕÌÅ×Ù ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ , ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÍÙ ÓÔÒÏÉÌÉ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÉÚ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÈ, ËÏÍÁÎÕÑ ÉÈ Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. ÁÂÌÉ Á 9.3. úÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ úÁËÏÎÙ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÏÇÌÏÝÅÎÉÑ: úÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ: p ∧ q = q ∧ p, p ∨ q = q ∨ p; p ∧ (q ∧ r) = (p ∧ q ) ∧ r, p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q ) ∨ r; p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r), p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r); p ∧ p = p, p ∨ p = p; p ∧ (p ∨ q ) = p, p ∨ (p ∧ q ) = p; (p ∧ q ) = p ∨ q, (p ∨ q ) = p ∧ q. 196 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ä×Á ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ , ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ. ÷ÙÞÉÓÌÑÑ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÌÅÇËÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÚÁËÏÎÁÍÉ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ (ÓÍ. ÔÁÂÌÉ Õ ÎÁ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÓÔÒ.). ðÒÉÍÅÒ 9.1. äÏËÁÖÉÔÅ ÚÁËÏÎ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ: p ∧ (q ∨ r ) = (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r ): òÅÛÅÎÉÅ. ÒÅÂÕÅÍÙÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌ. 9.4. ðÏÓËÏÌØËÕ Ä×Á ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÓÔÏÌÂ Á ÔÁÂÌÉ Ù ÏÌÎÏÓÔØÀ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, ÂÕÌÅ×Ù ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ p ∧ (q ∨ r ) É (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r ) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. ÁÂÌÉ Á 9.4 p q r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 p ∧q 0 0 0 0 0 0 1 1 p ∧r 0 0 0 0 0 1 0 1 q ∨r p ∧ (q ∨ r) 0 1 1 1 0 1 1 1 (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r) 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 óÈÏÖÅÓÔØ ÎÁÚ×ÁÎÉÊ É ÆÏÒÍ ÚÁËÏÎÏ× ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÚÁËÏÎÏ× ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÉÚÕÞÅÎÎÙÈ × ÇÌÁ×Å 3, ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ÓÌÕÞÁÊÎÁ. ÷ ÔÁÂÌÉ Å, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÎÉÖÅ, ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÂÕÌÅ×ÙÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ, ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁÍÉ ÌÏÇÉËÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ É ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ. ÁÂÌÉ Á 9.5 ìÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ âÕÌÅ×Ù ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ ∪ ∨ É ∩ ∧ ÎÅ óÔÏÉÔ ÒÁÚ É ÎÁ×ÓÅÇÄÁ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ ÚÁËÏÎÏ× ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ1 , ÞÔÏÂÙ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ Ó ÉÈ ÏÍÏÝØÀ, ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÑÓØ Ë ÔÁÂÌÉ ÁÍ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÄÅÌÁÔØ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÍÙ ÒÏ×ÅÒÑÌÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×. 1 ðÏÙÔÁÊÔÅÓØ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ 197 ðÒÉÍÅÒ 9.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ( p ∧ q ) ∧ (p ∨ q ) ÜË×É- ×ÁÌÅÎÔÎÏ p. òÅÛÅÎÉÅ. óÄÅÌÁÅÍ ÎÅÓÌÏÖÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ( p ∧ q ) ∧ (p ∨ q ) = = = = = ( p) ∨ q ∧ (p ∨ q ) = (ÚÁËÏÎ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ) (p ∨ q) ∧ (p ∨ q ) = p ∨ ( q ∧ q) = p∨0 = (ÔÁË ËÁË ( p) = p) (ÚÁËÏÎ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ) (ÔÁË ËÁË q ∧ q = 0) (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ∨): p âÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÏÔ n ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p1 ; p2 ; : : : ; pn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f : B n −→ B , ÞÔÏ f (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) | ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ. îÁÛÁ ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ ÚÁÄÁÞÁ | ÏËÁÚÁÔØ, ËÁË ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ×ÉÄÅ (ÏÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ). îÁÞÎÅÍ Ó ÎÅÂÏÌØÛÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ m(p; q; r ) ÏÔ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p, q É r , ÞØÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÄÁÎÁ ÎÉÖÅ (ÔÁÂÌ. 9.6). ÁÂÌÉ Á 9.6 p q r m 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 æÕÎË ÉÑ m | ÒÉÍÅÒ ÍÉÎÔÅÒÍÁ , Ô. Å. ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 1 ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×. ÁË ËÁË m(p; q; r ) = 1 ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ p = 0, q = 1 É r = 1, ÔÏ2 m(p; q; r ) = p ∧ q ∧ r: ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ p ∧ q ∧ r ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ËÏÎßÀÎË ÉÅÊ . 2 äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÎßÀÎË ÉÉ ÆÕÎË ÉÑ ÞÅÎÉÅ 1 ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ p = q = r = 1. ðÏÜÔÏÍÕ ∧ q ∧ r = 1 ⇔ p = 0; p q = r = 1: p ∧ q ∧ r ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁ- 198 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ðÒÉÍÅÒ 9.3. ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÌÀÂÏÊ ÍÉÎÔÅÒÍ ÍÏÖÎÏ ÚÁ- ÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ËÏÎßÀÎË ÉÉ, Ô. Å. ËÁË ËÏÎßÀÎË ÉÀ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ pi ÉÌÉ ÉÈ ÏÔÒÉ ÁÎÉÊ. m(p1 ; p2 ; : : : ; pr ) òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ m(p1 ; p2 ; : : : ; pr ) | ÍÉÎÔÅÒÍ. ÏÇÄÁ × ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÔÏÌÂ Å ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ m ÂÕÄÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ ÅÄÉÎÉ Á. ÷ÏÚØÍÅÍ ÓÔÒÏËÕ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÓÉÍ×ÏÌ × ËÏÔÏÒÏÊ | 1. åÓÌÉ × ÜÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ pi = 1, ÔÏ × ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ËÏÎßÀÎË ÉÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÊ ÆÕÎË ÉÀ m, ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ pi ; Á ÅÓÌÉ pi = 0, ÔÏ ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ pi . îÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÍÉÎÔÅÒÍÁ ÉÚ ÔÁÂÌ. 9.6 ÔÁËÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 0, 1, 1, 1. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ m(0; 1; 1) = 1. ðÏÜÔÏÍÕ m(p; q; r ) = p ∧ q ∧ r . ÅÅÒØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ËÏÎßÀÎË ÉÉ, ÍÙ ÚÁÉÛÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ËÁË ÄÉÚßÀÎË ÉÀ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÁÑ ÚÁÉÓØ (ÏÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ) ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ËÏÎßÀÎË ÉÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ f (p; q; r ), ÞØÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ | ÔÁÂÌ. 9.7. åÄÉÎÉ Ù ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÓÔÏÌÂ Á × ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Å ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÔÒÅÍ ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ: p ∧ q ∧ r; p ∧ q ∧ r; p ∧ q ∧ r: ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÁ ÎÁÌÏÖÅÎÉÅÍ ÔÁÂÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×. ÁÂÌÉ Á 9.7 p q r f 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÉÚßÀÎË ÉÑ Ó 1 ÏÇÌÏÝÁÅÔ ×ÓÅ ÎÕÌÉ (ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, f1 ∨ f2 ∨ · · · ∨ fs ÒÁ×ÎÏ 1 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÒÅÄÉ 9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ 199 ÚÎÁÞÅÎÉÊ fi ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ 1), ÔÏ ÎÁÛÁ ÆÕÎË ÉÑ f ÒÁ×ÎÁ ÄÉÚßÀÎË ÉÉ ÔÒÅÈ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×: f (p; q; r ) = ( p ∧ q ∧ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r): üÔÏ É ÅÓÔØ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÆÕÎË ÉÉ f . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, × ÔÏÊ ÖÅ ÆÏÒÍÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ Ó ÌÀÂÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ðÒÉÍÅÒ 9.4. îÁÊÄÉÔÅ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÂÕÌÅ×ÏÊ q ∧ r ). ÆÕÎË ÉÉ f = (p ∧ q ) ∨ ( òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÔÁÂÌ. 9.8 ÚÁÉÛÅÍ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f . ÁÂÌÉ Á 9.8 p q r f 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 ÷ÙÉÛÅÍ ÍÉÎÔÅÒÍÙ: p ∧ q ∧ r; p ∧ q ∧ r; p ∧ q ∧ r; p ∧ q ∧ r: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓËÏÍÁÑ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ: f (p; q; r ) = ( p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r ): íÙ ÕÂÅÄÉÌÉÓØ ÎÁ ÏÙÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ÍÏÖÎÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÄÉÚßÀÎË ÉÉ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×. úÎÁÞÉÔ, ËÁÖÄÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÁ ÞÅÒÅÚ Ä×Å ÆÕÎËÉÉ ÏÔ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×: p ∨ q , p ∧ q É ÏÄÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÄÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ p. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ, ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÊ . éÔÁË, {p ∨ q; p ∧ q; p} | ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÆÕÎË ÉÊ. ïÄÎÁËÏ ÍÏÖÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ É ÍÅÎØÛÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÆÕÎË ÉÊ. îÁÒÉÍÅÒ, Ï ÚÁËÏÎÕ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ (p ∨ q ) = p ∧ q. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, p ∨ q = ( p ∧ q): 200 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ úÎÁÞÉÔ, ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÔÏÌØËÏ Ó ÏÍÏÝØÀ Ä×ÕÈ ÏÅÒÁ ÉÊ: ∧ É , Ô. Å. {p ∧ q; p} | ÔÏÖÅ ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÆÕÎËÉÊ. òÁÓÌÁÔÏÊ ÚÁ ÍÁÌÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ, ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÇÒÏÍÏÚÄËÏÓÔØ ÆÏÒÍÕÌ. ðÒÉÍÅÒ 9.5. æÕÎË ÉÑ îå{é ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: p îå{é q = (p ∧ q ): ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ { îå{é } | ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÆÕÎË ÉÊ. òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ p, p ∨ q É p ∧ q ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÁ ÞÅÒÅÚ îå{é . ÷×ÉÄÕ ÚÁËÏÎÁ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ p = (p ∧ p) = p îå{é p: ðÏ ÚÁËÏÎÕ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ p ∧ q) = (p îå{é p) ∧ (q îå{é q ) = p ∨ q = ( = (p îå{é p) îå{é (q îå{é q ): îÁËÏÎÅ , p ∧ q = (p ∧ q ) = (p îå{é q ) = = (p îå{é q ) îå{é (p îå{é q ): éÔÁË, { îå{é } | ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÅÒÁ ÉÊ. 9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÅÅÒØ ÍÙ ÏÙÔÁÅÍÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÏÂ ÕÒÏÝÅÎÉÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. ðÏÄ ÕÒÏÝÅÎÉÅÍ ÍÙ ÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÅÅ ÍÅÎØÛÅ ÓÉÍ×ÏÌÏ×, ÞÅÍ ÉÓÈÏÄÎÏÅ. íÅÔÏÄ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÕÒÏÝÅÎÉÉ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÁ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÂÏÌÅÅ ÇÒÏÍÏÚÄËÏÊ, ÞÅÍ ÓÁÍÁ ÆÕÎË ÉÑ. íÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÔÏÌØËÏ ÂÕÌÅ×Ù ÆÕÎË ÉÉ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ÏÔ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ðÒÉ ÖÅÌÁÎÉÉ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÕÀ ÔÅÈÎÉËÕ ÍÏÖÎÏ ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÎÁ ÆÕÎË ÉÉ Ó ÌÀÂÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÚÁÉÓÙ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÀ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÕÓËÁÔØ ÓÉÍ×ÏÌ ∧ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÏÍÕ, ËÁË × ÏÂÙÞÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ÏÕÓËÁÀÔ ÓÉÍ×ÏÌ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ pqr ∨ pqr ∨ pqr ×ÍÅÓÔÏ ( p ∧ q ∧ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r): 9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ 201 üÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ | ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ. åÇÏ ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: pqr ∨ pqr ∨ pqr = ( pr q ∨ prq ) ∨ pqr = = pr ( q ∨ q ) ∨ pqr = = pr ∨ pqr Ï ÚÁËÏÎÁÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ Ï ÚÁËÏÎÕ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÔÁË ËÁË q ∨ q = 1: íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÅ, ÞÅÍ ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÛÁÇÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÓÏ×ÅÒÛÉÌÉ, ÕÒÏÝÁÑ ÆÕÎË ÉÀ, ÍÏÖÎÏ ÄÅÌÁÔØ ÏÞÔÉ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ ÍÙ ÓÄÅÌÁÌÉ ÅÒÅÇÒÕÉÒÏ×ËÕ: ÅÒÅÓÔÁ×ÉÌÉ É ×ÚÑÌÉ × ÓËÏÂËÉ Ä×Á ÍÉÎÔÅÒÍÁ, ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÏÄÎÏÍ ÓÉÍ×ÏÌÅ. úÁËÏÎ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÚ×ÏÌÉÌ ÎÁÍ ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ ÛÁÇÅ ×ÙÎÅÓÔÉ ÏÄÉÎ ÍÉÎÔÅÒÍ ÚÁ ÓËÏÂËÉ, ÉÓËÌÀÞÉ× ÉÚ ÎÅÇÏ ÂÕÌÅ×Õ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ q . õÒÏÝÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÊ ÍÏÖÎÏ ÄÅÌÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ , ÍÅÔÏÄÁ, ÉÚÏÂÒÅÔÅÎÎÏÇÏ × 1950-ÙÈ ÇÏÄÁÈ ÄÌÑ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ. ïÂÒÁÚÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ | ÜÔÏ ÎÁÇÌÑÄÎÁÑ ÓÈÅÍÁ, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÁÑ ÄÌÑ ÏÂÎÁÒÕÖÅÎÉÑ ÁÒ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÓÇÒÕÉÒÏ×ÁÔØ É ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ × ÏÄÎÏ ÒÏÓÔÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p, q É r ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÔÁÂÌÉ Õ Ó Ä×ÕÍÑ ÓÔÒÏËÁÍÉ É ÞÅÔÙÒØÍÑ ÓÔÏÌÂ ÁÍÉ (ÒÉÓ. 9.2). óÔÏÌÂ Ù ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ ÄÉÚßÀÎË ÉÑÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p É q É ÉÈ ÏÔÒÉ ÁÎÉÊ, Á ÓÔÒÏËÉ | ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ r É ÅÅ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅÍ r. pq pq pq pq r r òÉÓÕÎÏË 9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÊ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ íÅÔËÉ ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ ÏÔ ÓÔÏÌÂ Á Ë ÓÔÏÌÂ Õ × ÎÉÈ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÒÏ×ÎÏ × ÏÄÎÏÍ ÓÉÍ×ÏÌÅ. ñÞÅÊËÉ ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÏÓØÍÉ ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. åÓÌÉ ÎÁÍ ÄÁÎÏ ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÔÏ × ÑÞÅÊËÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÍ × ÎÅÊ, ÍÙ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ ÉÆÒÕ 1. îÁÒÉÍÅÒ, ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÂÕÌÅ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pqr ∨ pqr ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.3. 202 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ pq r pq pq 1 1 r pq 1 òÉÓÕÎÏË 9.3. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pqr ∨ pqr úÁÔÅÍ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÇÒÕÉÒÏ×ÁÔØ ÁÒÙ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÅÄÉÎÉ × ëÁÒÔÅ ëÁÒÎÏ (ÏÈÏÖÉÈ ÎÁ ÔÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ×ÙÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.3). ÁËÁÑ ÁÒÁ × ÎÁÛÅÍ ÒÉÍÅÒÅ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ. ïÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÉÍÅÎÎÏ ÔÅÍ ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÂßÅÄÉÎÉÌÉ × ÓÄÅÌÁÎÎÙÈ ÒÁÎÅÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ. ÷ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÉ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÒÁÚÍÅÔËÅ ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ (ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÊ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÀ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÍÅÔËÉ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÓÔÏÌÂ Ï× ÏÔÌÉÞÉÌÉÓØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ) ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ, ÞÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÂÕÄÅÔ ÓËÒÙÔÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ËÁÒÔÅ ëÁÒÎÏ (ÒÉÓ. 9.4) ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pq r ∨ pqr ÎÅ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÌÅÎÙ pqr É pqr ÍÏÖÎÏ ÓÇÒÕÉÒÏ×ÁÔØ. pq pq pq pq r 1 r 1 1 òÉÓÕÎÏË 9.4. îÅÕÄÁÞÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÔÏÌÂ Ï× ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pq r ∨ pqr ðÅÒÅÏÂÏÚÎÁÞÁÑ ÓÔÏÌÂ Ù Ó ÓÏÂÌÀÄÅÎÉÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÕÀ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ (ÒÉÓ. 9.5). îÁ ÎÅÊ ÕÖÅ ÞÌÅÎÙ ÄÌÑ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ ÓÔÏÑÔ ÒÑÄÏÍ. pq r r pq pq pq 1 1 1 òÉÓÕÎÏË 9.5. áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÁÑ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pq r ∨ pqr óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, pqr ∨ pq r ∨ pqr = pq r ∨ (pqr ∨ pqr ) = = pq r ∨ pr ( q ∨ q ) = pq r ∨ pr: 9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ 203 ðÒÉÍÅÒ 9.6. õÒÏÓÔÉÔÅ ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ pqr ∨ pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pq r: òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÒÁÔÉÍ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÒÉÓ. 9.6, ÇÄÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔ- ÓÔ×ÕÀÝÁÑ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ. pq pq r 1 1 r 1 1 pq pq 1 òÉÓÕÎÏË 9.6. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ p qr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pq r éÚ ÎÅÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÄÁÎÎÏÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÅÓÔØ ÇÒÕÁ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×: pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pq r; ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ (á), É ÇÒÕÁ ÉÚ Ä×ÕÈ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×: pq r ∨ pqr: åÅ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ (â). óÎÁÞÁÌÁ ÏÒÁÂÏÔÁÅÍ ÎÁÄ ÇÒÕÏÊ (á). pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pq r = (p ∨ p)qr ∨ (p ∨ p)q r = = qr ∨ q r = q (r ∨ r) = q: ÅÅÒØ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÇÒÕÏÊ (â). pq r ∨ pqr = pr(q ∨ q) = pr: ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓÈÏÄÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÕÒÏÝÁÅÔÓÑ ÄÏ1 q ∨ pr. 1 ÷ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏ ÓÌÅÄÑ ÚÁ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ, ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÍÉÎÔÅÒÍ pq r ÚÄÅÓØ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ Ä×ÁÖÄÙ, ÈÏÔÑ × ÉÓÈÏÄÎÏÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÏÎ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÏÛÉÂËÉ ÎÉËÁËÏÊ ÎÅÔ. üÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÚÁËÏÎÏÍ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ: f = f ∨ f , ÇÄÅ f | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÊ ÒÉÅÍ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ Á×ÔÏÒÏÍ É ÄÁÌÅÅ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 204 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ðÒÉÍÅÒ 9.7. õÒÏÓÔÉÔÅ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ f (p; q; r ) = (p ∨ q ) ∧ r ∨ (q ∨ r ): òÅÛÅÎÉÅ. úÁÏÌÎÉÍ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f (ÔÁÂÌ. 9.9). ÁÂÌÉ Á 9.9 p q r f 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 ðÏ ÔÁÂÌÉ Å ÓÔÒÏÉÍ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÆÕÎË ÉÉ f : pqr ∨ pqr ∨ pqr: åÅ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.7. pq pq pq r 1 r 1 pq 1 òÉÓÕÎÏË 9.7. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pqr ∨ pqr éÚ ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ × ÎÁÛÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×Å ÁÒÙ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÄÌÑ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ: pqr ∨ pqr É pqr ∨ pqr. ðÏÓÌÅ ÉÈ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÉ: pq É qr. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÒÁÖÅÎÉÀ pq ∨ qr. îÁÇÌÑÄÎÙÊ ÓÏÓÏÂ ÏÉÓËÁ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÄÌÑ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ, ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÎÁ ÂÕÌÅ×Ù ÆÕÎË ÉÉ ÞÅÔÙÒÅÈ, ÑÔÉ É ÄÁÖÅ ÛÅÓÔÉ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ïÄÎÁËÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÏÓÌÏÖÎÅÎÉÑ ÄÅÌÁÀÔ ÍÅÔÏÄ ÍÁÌÏÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÅÌØÎÙÍ. åÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÓÏÓÏÂÙ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ. ïÓÏÂÅÎÎÏ ÒÉ×ÌÅËÁÔÅÌÅÎ ÍÅÔÏÄ ëÕÉÎÁ{ íÁË-ëÌÁÓËÉ. ïÎ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÎÙÊ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, [??℄) É ÒÉÍÅÎÉÍ Ë ÆÕÎË ÉÑÍ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. 9.3. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÓÈÅÍÙ 205 9.3. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÓÈÅÍÙ ïÄÎÏ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÌÅÖÉÔ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÓÈÅÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÌÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ , ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ × ×ÉÄÅ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ× Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ×ÈÏÄÏ× É ×ÙÈÏÄÏ×, ÒÉÞÅÍ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ×ÈÏÄÅ É ×ÙÈÏÄÅ ÍÏÖÅÔ ÏÑ×ÌÑÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ÁËÉÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Á ÓÏÂÒÁÎÙ ÉÚ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× , ÇÅÎÅÒÉÒÕÀÝÉÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÂÕÌÅ×Ù ÏÅÒÁ ÉÉ. óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 9.8. a a a b a b éìé îå a a b b é îå{é òÉÓÕÎÏË 9.8. óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× óÏÅÄÉÎÑÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ×ÍÅÓÔÅ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÆÕÎËÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ . ó ÅÅ ÏÍÏÝØÀ ÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ. ðÒÉÍÅÒ 9.8. þÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÈÅÍÙ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 9.9? p 1 q 3 6 2 7 4 r 5 òÉÓÕÎÏË 9.9. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ 206 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÔÁÂÌ. 9.10 ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÙ ×ÈÏÄÙ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×Ù- ÈÏÄÙ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÎÕÍÅÒÁ ÉÅÊ ÉÚ ÒÉÓ. 9.9. ÁÂÌÉ Á 9.10 ÷ÅÎÔÉÌØ 1 2 3 4 5 ÷ÈÏÄ ÷ÙÈÏÄ p; q pq p; q pq pq; r pqr pq ; r pq r pq; r 6 7 pq r pqr; pq r pqr ∨ pqr; pq r pqr ∨ pqr pqr ∨ pqr ∨ pq r ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÓÈÅÍÙ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ pqr ∨ pqr ∨ pq r. äÉÁÇÒÁÍÍÙ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ, ÅÓÌÉ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ é É éìé ÉÍÅÔØ ÎÅ Ï Ä×Á ×ÈÏÄÁ, Á ÂÏÌØÛÅ. îÏ ÂÏÌÅÅ ×ÅÞÁÔÌÑÀÝÅÇÏ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÄÏÂÉÔØÓÑ, ÅÓÌÉ ÒÉ×ÌÅÞØ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ ÄÌÑ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÓÌÏÖÎÏÊ ÓÈÅÍÙ. ðÒÉÍÅÒ 9.9. õÒÏÓÔÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÕÀ ÓÈÅÍÏÊ ÉÚ ÒÉÍÅ- ÒÁ 9.8 É ÎÁÊÄÉÔÅ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÕÀ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÅÅ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÕÀ. òÅÛÅÎÉÅ. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÔÒÅÂÕÅÍÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.10. ïÎÁ ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÁÒÙ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÄÌÑ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ (ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÉÈ ÎÅ ×ÉÄÎÁ ÒÉ ÄÁÎÎÏÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÉ ÓÔÏÌÂ Ï×). pq r 1 r 1 pq pq 1 òÉÓÕÎÏË 9.10. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ éÔÁË, É pq pqr ∨ pqr ∨ pq r pqr ∨ pq r = pq (r ∨ r) = pq pqr ∨ pqr = (q ∨ q)pr = pr: üÔÏ Ó×ÏÄÉÔ ÆÕÎË ÉÀ Ë ×ÙÒÁÖÅÎÉÀ pq ∨ pr , ËÏÔÏÒÏÅ, ××ÉÄÕ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÒÅÄÕ ÉÒÕÅÔÓÑ Ë ÆÕÎË ÉÉ p(q ∨ r ). 9.3. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÓÈÅÍÙ 207 âÏÌÅÅ ÒÏÓÔÁÑ ÓÈÅÍÁ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÁÑ ÆÕÎË ÉÀ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 9.8, ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.11. p p(q r) q r òÉÓÕÎÏË 9.11. ðÒÉ ×ÙÞÅÒÞÉ×ÁÎÉÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ ÎÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ×ÓÅ ÔÉÙ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ×ÉÄÅÌÉ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {∨; } Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÛÉÓØ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ é É îå. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ Ï ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ÒÉÞÉÎÅ ÎÁÍ ÎÅÕÄÏÂÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÂÏÌØÛÏÅ ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ, ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå{é . ðÒÉÍÅÒ 9.10. îÁÞÅÒÔÉÔÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ p(q ∨ r ), ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ îå{é . òÅÛÅÎÉÅ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ p(q ∨ r ) = p îå{é (q ∨ r ) îå{é p îå{é (q ∨ r ) : á ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, q ∨ r = (q îå{é q ) îå{é (r îå{é r ): éÓËÏÍÁÑ ÓÈÅÍÁ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.12. òÉÓÕÎÏË 9.12. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÆÕÎË ÉÉ p (q ∨ r) 208 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 9 9.1. úÁÏÌÎÑÑ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÄÏËÁÖÉÔÅ ÚÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ. 9.2. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÒÏ×ÅÒØÔÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅ- ÎÉÑ: (Á) (p ∧ q) ∨ r = p ∨ q ∨ r; (Â) ((p ∧ q) ∧ (r ∨ (p ∧ q))) = p ∨ q . 9.3. îÁÊÄÉÔÅ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÉÉ g (p; q; r; s), ÞØÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ | (ÔÁÂÌ. 9.11). ÁÂÌÉ Á 9.11 p q r s f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 9.4. úÁÏÌÎÉÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÂÕÌÅ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ p ∧ ( q ∨ r ) ∨ p ∧ (q ∨ r) É ÎÁÊÄÉÔÅ ÅÇÏ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ. 9.5. úÁÉÛÉÔÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ (p ∧ q) ∧ r , ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ: (Á) ÏÅÒÁ ÉÉ ∨ É ; (Â) ÆÕÎË ÉÀ îå{é . îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 9 209 9.6. âÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ îå{éìé ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ p îå{éìé q = (p ∨ q ): ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ {îå{éìé} Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÊ. 9.7. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ ÂÕÌÅ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ Ó ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pqr É ÎÁÊÄÉÔÅ ÅÇÏ ÕÒÏÝÅÎÎÕÀ ×ÅÒÓÉÀ. 9.8. îÁÊÄÉÔÅ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÉÉ f (p; q; r ) Ó ÔÁÂÌÉ ÅÊ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ | ÔÁÂÌ. 9.12. ÁÂÌÉ Á 9.12 p q r f 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÅÅ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ É ÕÒÏÓÔÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ f . 9.9. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÕÀ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÈÅÍÏÊ, ÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 9.13. p q r òÉÓÕÎÏË 9.13. 210 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ éÓÏÌØÚÕÑ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ, ÎÁÊÄÉÔÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ Ä×ÕÈ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×: é É îå. 9.10. ó ÏÍÏÝØÀ ÚÁËÏÎÏ× ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ×ÙÒÁÖÅ- ÎÉÅ p îå{é ( q îå{é r ) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÀ p ∨ ( q ∧ r ): úÁÔÅÍ ÚÁÍÅÎÉÔÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÕÀ ÎÁ ÒÉÓ. 9.14, ÎÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÕÀ ÅÊ, ÎÏ ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×: é É éìé É ÏÄÎÏÇÏ ÉÎ×ÅÒÔÏÒÁ1 . p q r òÉÓÕÎÏË 9.14. p q r p q r òÉÓÕÎÏË 9.15. 1 éÎ×ÅÒÔÏÒÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù 211 9.11. äÏËÁÖÉÔÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ, ÉÚÏÂÒÁ- ÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÉÓ. 9.15. 9.12. îÁÞÅÒÔÉÔÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ p îå{éìé q , ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå{é . (õËÁÚÁÎÉÅ: ÎÁÞÎÉÔÅ Ó ÒÏ×ÅÒËÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ q îå{éìé q = = ( p îå{é q), Á ÚÁÔÅÍ ÕÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ r ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×Õ r = r îå{é r .) ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù âÕÌÅ×Á ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ: 0 É 1. âÕÌÅ×Ù ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÍÏÖÎÏ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ∨, ∧ É ÄÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ. âÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÏÔ n ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p1 ; p2 ; : : : ; pn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f : B n −→ B , ÞÔÏ f (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) | ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ. âÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÉÎÔÅÒÍÏÍ, ÅÓÌÉ ÓÔÏÌÂÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÚÁÉÓÁÎÙ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÕ ÅÄÉÎÉ Õ. ðÕÓÔØ p É q | ÂÕÌÅ×Ù ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ. ÏÇÄÁ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ: ÁÂÌÉ Á 9.13. úÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ úÁËÏÎÙ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÏÇÌÏÝÅÎÉÑ: úÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ: p ∧ q = q ∧ p, p ∨ q = q ∨ p; p ∧ (q ∧ r) = (p ∧ q ) ∧ r, p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q ) ∨ r; p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r), p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r); p ∧ p = p, p ∨ p = p; p ∧ (p ∨ q ) = p, p ∨ (p ∧ q ) = p; (p ∧ q ) = p ∨ q, (p ∨ q ) = p ∧ q. 212 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ìÀÂÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÚÁÉÓÁÎÁ ËÁË ÄÉÚßÀÎË ÉÑ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×. ÁËÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ, ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÊ. âÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ, ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ, ÞØÉ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ ËÏÎßÀÎË ÉÑÍÉ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ÉÈ ÏÔÒÉ ÁÎÉÊ. ÷ ËÌÅÔËÁÈ ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Ù, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ ÄÁÎÎÏÊ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÙ, ÏÍÅÝÁÀÔÓÑ ÅÄÉÎÉ Ù. ä×ÏÉÞÎÏÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï | ÜÔÏ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÅ, ÓÎÁÂÖÅÎÎÏÅ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ×ÈÏÄÏ× É ×ÙÈÏÄÏ×. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÉÚ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÁÌÉÚÕÀÔ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÂÕÌÅ×Ù ÏÅÒÁ ÉÉ (ÒÉÓ. 9.16). a a b a a b éìé îå a a b b é îå-é òÉÓÕÎÏË 9.16. óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ, ÒÉÍÅÎÑÑ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ ÄÌÑ ÕÍÅÎØÛÅÎÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÂÕÌÅ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÏÇÏ ÓÈÅÍÏÊ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ 2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ | ÜÔÏ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÓÕÍÍÕ Ä×ÕÚÎÁÞÎÙÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ2 ÞÉÓÅÌ, ×ÙÄÁ×ÁÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÔ×ÅÔÁ ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. îÁÒÉÍÅÒ, 10 +2 11 = 101. äÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÆÕÎËÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÈÅÍÙ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÍÙ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÓÔÒÏÉÍ ÏÌÕÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ÓÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÉÆÒ. ïÔ×ÅÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ Ä×ÕÚÎÁÞÎÙÍ Ä×ÏÉÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. îÁÒÉÍÅÒ, 1 +2 1 = 10. 2 úÁÉÓÁÎÎÙÈ × Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ 213 ðÏÌÕÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ. ðÕÓÔØ x É y ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÉÆÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄÓÔÏÉÔ ÓÌÏÖÉÔØ, Á u É v | Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÉÆÒÙ ÓÕÍÍÙ, ÏÌÕÞÁÀÝÅÊÓÑ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 9.17. Ïîëóáèòíûé ñóììàòîð òÉÓÕÎÏË 9.17. ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ (ÔÁÂÌ. 9.14) ÒÏÑÓÎÑÅÔ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ××ÏÄÉÍÙÍÉ É ×Ù×ÏÄÉÍÙÍÉ ÉÆÒÁÍÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, u = xy (ÒÁÚÒÑÄ ÅÒÅÎÏÓÁ ) É v = x y ∨ xy (ÓÌÏÖÅÎÉÅ Ï ÍÏÄÕÌÀ 2 ). ÁÂÌÉ Á 9.14 x y u v 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 úÁÄÁÞÁ 1. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. 9.18, ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÏÌÕÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ. x y 1 4 2 3 òÉÓÕÎÏË 9.18. óÈÅÍÁ ÏÌÕÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÈÏÄÎÙÍÉ ÄÁÎÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× 3 É 4 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁÚÒÑÄ ÅÒÅÎÏÓÁ É ÓÕÍÍÁ Ï ÍÏÄÕÌÀ 2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ (ÓÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 9.15). 214 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ÁÂÌÉ Á 9.15 ìÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÷×ÏÄ ÷Ù×ÏÄ 1 x; y xy xy 2 3 4 x; y x; y xy xy; xy ∨ xy xy 2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ. îÁ ×ÈÏÄÅ 2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ ÏÌÕÞÁÅÔ Ä×Á Ä×ÕÚÎÁÞÎÙÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÞÉÓÌÁ, Á ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ Õ ÎÅÇÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÒÁ×ÎÏÅ ÓÕÍÍÅ ××ÏÄÉÍÙÈ ÞÉÓÅÌ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, 2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÞÉÓÌÁ × Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ: 11 +2 10 = 101. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ a É b ÉÆÒÙ ÅÒ×ÏÇÏ ××ÏÄÉÍÏÇÏ × ÓÕÍÍÁÔÏÒ ÞÉÓÌÁ, Á ÞÅÒÅÚ É d | ÉÆÒÙ ×ÔÏÒÏÇÏ (ÒÉÓ. 9.19). ðÕÓÔØ e, f É g | ÉÆÒÙ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍÏÊ ÓÕÍÍÙ. e a b c 2-áèòíûé ñóììàòîð f g d òÉÓÕÎÏË 9.19. äÁÌÅÅ ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ, ËÁË É × ÓÌÕÞÁÅ Ó ÏÌÕÂÉÔÎÙÍ ÓÕÍÍÁÔÏÒÏÍ, ÚÁÏÌÎÉÔØ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÉÆÒ e, f É g , ÓÞÉÔÁÑ ÉÈ ÂÕÌÅ×ÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÏÔ ××ÏÄÉÍÙÈ ÉÆÒ, ÕÒÏÓÔÉÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ É ÎÁÞÅÒÔÉÔØ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ. ïÄÎÁËÏ ÍÙ ÏÓÔÕÉÍ ÉÎÁÞÅ: ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÏÌÕÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÂÌÏËÁ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÈÅÍÙ. óÈÅÍÁ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. 9.20, ÉÓÏÌØÚÕÅÔ Ä×Á ÏÌÕÂÉÔÎÙÈ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍ: a +2 É b +2 d. óÕÍÍÁ Ï ÍÏÄÕÌÀ 2 (ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ v2 ) ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÉÆÒÕ g . óËÌÁÄÙ×ÁÑ ÒÁÚÒÑÄ ÅÒÅÎÏÓÁ u2 Ó v1 Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÌÕÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ Ä×ÕÚÎÁÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÉÆÒÁÍÉ u3 É f . îÁËÏÎÅ , ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÆÒÁ ÓÕÍÍÙ, e, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÁ ÉÚ u1 É u3 Ó ÏÍÏÝØÀ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ éìé. úÁÄÁÞÁ 2. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÏÉÓÁÎÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÓÕÍÍÙ 11 +2 10 = 101. 215 ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ òÅÛÅÎÉÅ. îÁÍ ÄÁÎÏ: a = 1; b = 1; = 1; d = 0: ÁË ËÁË a +2 = 1 +2 1 = 10, ÔÏ u1 = 1 É v1 = 0. ÷×ÉÄÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ b +2 d = 1 +2 0 = 01, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ: u2 = 0 É v2 = 1, ÏÔËÕÄÁ g = 1. äÁÌÅÅ, u2 +2 v1 = 0 +2 0 = 00, Ô. Å. u3 = 0. úÎÁÞÉÔ f = 0. îÁËÏÎÅ , u1 ∨ u3 = 1 ∨ 0 = 1, ÞÔÏ ÄÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï e = 1. éÔÁË, 11 +2 10 = 101, ËÁË É ÏÖÉÄÁÌÏÓØ. òÉÓÕÎÏË 9.20. òÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.21. a Ïîëóáèòíûé b ñóììàòîð 1 e Ïîëóáèòíûé ñóììàòîð 3 c Ïîëóáèòíûé d ñóììàòîð 2 f g òÉÓÕÎÏË 9.21. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ úÁÄÁÞÁ 3. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÒÏ ÅÓÓ ÓÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ 11 É 01 ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÈÅÍÏÊ ÉÚ ÒÉÓ. 9.21. òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ui É vi ÉÆÒÙ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÙÅ ÏÌÕÂÉÔÎÙÍ ÓÕÍÍÁÔÏÒÏÍ i ÒÉ i = 1, 2 É 3. ÁË ËÁË a = 1, b = 1, = 0 É d = 1, ÔÏ a +2 = 1 +2 0 = 01 ⇒ u1 = 0 É v1 = 1; 216 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ b +2 d = 1 +2 1 = 10 ⇒ u2 = 1 É v2 = 0 (ÏÔËÕÄÁ g = 0): ÅÅÒØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÌÕÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÍÙ ÉÍÅÅÍ v1 = 1 É u2 = 1. úÎÁÞÉÔ v1 +2 u2 = 1 +2 1 = 10 ⇒ u3 = 1 É v3 = 0 (ÏÔËÕÄÁ f = 0): îÁËÏÎÅ , u1 ∨ u3 = 0 ∨ 1 = 1; (ÏÔËÕÄÁ e = 1): éÔÁË, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÁÑ ÓÕÍÍÁ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÁÑ ÓÕÍÍÁÔÏÒÏÍ, ÒÁ×ÎÁ 100 = = 11 +2 01, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÉÓÔÉÎÅ. îÁ ÒÉÓ. 9.22 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ 3-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ, ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÝÅÇÏ Ä×Á ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÞÉÓÌÁ Ó ÉÆÒÁÍÉ a, b, É d, e, f ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÕÍÍÙ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÞÅÔÙÒÅÈÚÎÁÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÉÆÒÁÍÉ g , h, i É j . a Ïîëóáèòíûé b ñóììàòîð g Ïîëóáèòíûé ñóììàòîð h c d e 2-áèòíûé i ñóììàòîð j f òÉÓÕÎÏË 9.22. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ 3-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ úÁÄÁÞÁ 4. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÓÈÅÍÁ ÉÚ ÒÉÓ. 9.22 ÒÁ×ÉÌØÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÕÍÍÙ: (Á) 110 +2 011; (Â) 101 +2 111. òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÁÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ 1001 × ÓÌÕÞÁÅ (Á) É 1100 × ÓÌÕ- ÞÁÅ (Â). òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1 1.1. ïÄÎÁ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÅÔÅÊ ÄÏÒÏÇ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ÏÂÝÅÊ ÄÌÉÎÙ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ×ÅÒÛÉÎÅ B ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò1.1. òÉÓÕÎÏË ò1.1. ïÂÝÁÑ ÄÌÉÎÁ ÌÀÂÏÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÓÅÔÉ ÒÁ×ÎÁ 14. 1.2. (Á) f = 6, (Â) f = 120. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ n ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ f = n!. 1.3. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò1.1 ÁÂÌÉ Á ò1.1 i j 1 2 3 4 3 9 27 81 i 6= 4? äÁ äÁ äÁ îÅÔ ðÒÉ n > 0 ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ mn . ÷ ÓÌÕÞÁÅ n = 0 ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÂÕÄÅÔ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÏ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÒÏÈÏÄÙ ÉËÌÁ ÂÕÄÕÔ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÉÓÔÉÎÎÙÍ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ÉËÌÁ1 i. 1 äÌÑ ÕÓÔÒÁÎÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ÎÅÒÉÑÔÎÏÓÔÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÕÓÌÏ×ÉÅ . | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . i < n i 6= n ÎÁ 218 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1.4. ÷ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ æÉÂÏÎÁÞÞÉ, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÔÒÅÔØÅÇÏ, ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ Ä×ÕÈ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÈ. 1.5. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò1.2 ÁÂÌÉ Á ò1.2 l sum k 0 1 4 9 16 25 36 0 1 5 14 30 55 91 1 3 5 7 9 11 13 k < 12? äÁ äÁ äÁ äÁ äÁ äÁ îÅÔ ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÕÍÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÅÒ×ÙÈ n ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. 1.6. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò1.3 ÁÂÌÉ Á ò1.3 ÔÅËÕÝÅÅ ÒÅÂÒÏ ×ÅÓ 1 2 3 BG DE EF 6 5 4 4 5 6 7 8 9 10 11 AB BC CD EG FG AF CE CG 3 3 3 3 3 2 2 1 õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ Ó×ÏÂÏÄÁ ×ÙÂÏÒÁ ÒÉ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÉÉ ÒÅÂÅÒ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ×ÅÓÁ. éÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÏÓÔÁÔÏË = 11 É m = 7. ãÉËÌ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÑÔØ ÒÁÚ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÕÄÁÌÑÅÔÓÑ ÑÔØ ÒÅÂÅÒ: BG, DE, EF, AB É EG. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÅÔØ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. ò1.2. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ B 219 C 3 3 G A 1 2 D 3 2 F E òÉÓÕÎÏË ò1.2. íÉÎÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÅÔØ îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2 2.1. (Ç) P ⇒ Q, (Á) P É (ÎÅ Q), (Â) R É P , (Ä) (ÎÅ P ) ⇒ (ÎÅ Q). (×) R ⇒ P , 2.2. (Á) (ÎÅ P ) ⇒ (ÎÅ Q). (Â) P ÉÌÉ (ÎÅ Q). (×) (P ÉÌÉ Q) É (ÎÅ (P É Q)). ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌ. ò2.1. ÁÂÌÉ Á ò2.1 P Q é é ì ì é ì é ì ÎÅ ÎÅ P ì ì é é Q P ì é ì é ÉÌÉ (ÎÅ Q ) ((ÎÅ P ) ⇒ (ÎÅ é é ì é )) Q é é ì é ðÏÓËÏÌØËÕ Ä×Á ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÓÔÏÌÂ Á ÔÁÂÌÉ Ù ÉÄÅÎÔÉÞÎÙ, ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Á) É (Â) ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. 2.3. ÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌ. ò2.2 É ÔÁÂÌ. ò2.3. éÚ ÎÉÈ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Á) É (×) | ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÉ. ÁÂÌÉ Á ò2.2 P é ì ÎÅ ì é P P É (ÎÅ ì ì P ) ÎÅ (P É (ÎÅ é é P )) P ⇒ ÎÅ ì é P 220 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÁÂÌÉ Á ò2.3 P ⇒Q P É (P ⇒ ) Q (P É (P ⇒ Q)) ⇒ Q P Q é é é é é é ì ì ì é ì ì é é ì ì ì é é é 2.4. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò2.4. ÁÂÌÉ Á ò2.4 P Q R P ⇒ Q (ÎÅ é é é é ì ì ì ì é é ì ì é é ì ì é é ì ì é é é é é ì é ì é ì é ì P )⇒R é é é é é ì é ì Q ` ⇒ R (P ⇒ Q) ⇒ R (ÎÅ é ì é é é ì é é P ´ ` ´ )⇒R É Q⇒R é ì é é é ì é ì é ì é é é ì é ì íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Á ÓÔÏÌÂ Á ÔÁÂÌÉ Ù ÉÄÅÎÔÉÞÎÙ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (P ⇒ Q) ⇒ R É (ÎÅ P ) ⇒ R É Q ⇒ R ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. 2.5. (Á) ∀ x P (x); (Â) ∃ x : ÎÅ P (x); (×) ∀ x ÎÅ P (x). ïÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Â) × ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÔÁË: ∀ x P (x) (Ô. Å. ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (Á) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Â)). ïÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (×) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: ∃ x : P (x). åÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÞÉÔÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÎÁÊÄÅÔÓÑ ËÏÛËÁ Ó ÕÓÁÍÉ. 2.6. ÒÅÂÕÅÍÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÞÉÔÁÅÔÓÑ ÔÁË: ÌÀÂÏÊ ÞÅÌÏ×ÅË | ×Ù- ÓÏËÉÊ É ÔÏÌÓÔÙÊ. åÇÏ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÏ × . (×). 2.7. (Á) þÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ n É m ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ n = 2a É m = 2b, ÇÄÅ ËÁË a, ÔÁË É b | ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n + m = 2a + 2b = 2(a + b); ÏÔËÕÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÞÅÔÎÏÓÔØ ÓÕÍÍÙ n + m. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 221 (Â) åÓÌÉ n | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ n = 2a + 1 ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ a. ÷ÏÚ×ÅÄÑ n ×Ï ×ÔÏÒÕÀ ÓÔÅÅÎØ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ n2 = (2a + 1)2 = 4a2 + 4a + 1 = 2(2a2 + 2a) + 1: úÎÁÞÉÔ, n2 | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. éÔÁË, ÅÓÌÉ n2 | ÞÉÓÌÏ ÞÅÔÎÏÅ, ÔÏ É n | ÞÅÔÎÏÅ. (×) äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ n + m | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, Á ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ: ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ n É m Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ, Á ÄÒÕÇÏÅ ÎÅÞÅÔÎÙÍ, | ÌÏÖÎÏ. ïÔÒÉ ÁÎÉÅ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÂÁ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÌÉÂÏ ÞÅÔÎÙ, ÌÉÂÏ ÎÅÞÅÔÎÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜÔÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÏÔÄÅÌØÎÏ. åÓÌÉ ËÁË m, ÔÁË É n | ÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ m = 2a É n = 2b ÄÌÑ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ a É b. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÉÈ ÓÕÍÍÁ n + m = 2a + 2b = 2(a + b) ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÅÔÎÏÊ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ m É n | ÎÅÞÅÔÎÙ. ÏÇÄÁ ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ m = 2a + 1, n = 2b + 1 Ó ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ a É b. óÌÏÖÉ× ÉÈ, ÏÌÕÞÉÍ n + m = (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b) + 2 = 2(a + b + 1); ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ïÑÔØ ÒÉÛÌÉ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ Ó ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅÍ. éÔÁË, ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ × ÏÂÏÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ×ÅÄÅÔ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÎÏ. 2.8. (Á) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÒÅÄÉËÁÔ 1 + 5 + 9 + · · · + (4n − 3) = n(2n − 1) ÞÅÒÅÚ P (n). ðÒÉ n = 1 ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÏÓÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ ÉÚ 1. ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÏÓÌÅ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ n = 1 ÔÏÖÅ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÊ 1: n(2n − 1) = 1 · (2 · 1 − 1) = 1: ðÏÜÔÏÍÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ P (k ) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ k > 1. îÁÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ×ÌÅÞÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (k + 1). óÄÅÌÁÅÍ ÜÔÏ. 222 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1 + · · · + 4(k + 1) − 3 = 1 + · · · + (4k − 3) + (4k + 1) = = k (2k − 1) + (4k + 1) = = 2k 2 + 3k + 1 = = (k + 1)(2k + 1) = = (k + 1) 2(k + 1) − 1 : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÓÉÌÕ ÒÉÎ ÉÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ P (n) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ n > 1. (Â) úÄÅÓØ P (n) ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÒÅÄÉËÁÔ: 12 + 22 + · · · + n2 = 1 n(n + 1)(2n + 1): 6 ÁË ËÁË 12 = 1 É 16 n(n + 1)(2n + 1) = n = 1), ÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (1) ×ÅÒÎÏ. 1 6 · 1 · 2 · 3 = 1 (ÒÉ äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ P (k ) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÅÌÏÍ k > 1 É ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (k + 1). 12 + · · · + (k + 1)2 = 12 + · · · + k 2 + (k + 1)2 = 1 = k (k + 1)(2k + 1) + (k + 1)2 = 6 1 = (k + 1) k (2k + 1) + 6(k + 1) = 6 1 = (k + 1)(2k 2 + 7k + 6) = 6 1 = (k + 1) (2k + 3)(k + 2) = 6 1 = (k + 1) (k + 1) + 1 2(k + 1) + 1 : 6 éÔÁË, Ï ÉÎÄÕË ÉÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ P (n) ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n > 1. (×) ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ P (n) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÅÄÉËÁÔ 1 1 1 n + + ··· + = : 1·3 3·5 (2n − 1) · (2n + 1) 2n + 1 åÓÌÉ n = 1, ÔÏ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ ÒÁ×ÁÑ | n 1 = : 2n + 1 3 1 3 , Á òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 223 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (1) | ×ÅÒÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ. ðÕÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (k ) ÉÓÔÉÎÎÏ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ k . ÏÇÄÁ = = = 1 1 1 = + + ··· + 1·3 3·5 2(k + 1) − 1 2(k + 1) + 1 1 1 1 +··· + + = 1·3 (2k − 1)(2k + 1) (2k + 1)(2k + 3) k 2k + 1 + 1 k (2k + 3) + 1 = = (2k + 1)(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3) 2k 2 + 3k + 1 (2k + 1)(k + 1) k+1 = = : (2k + 1)(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3) 2k + 3 üÔÉÍÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÍÉ ÍÙ ×Ù×ÅÌÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (k +1) ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ ÏÂ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P (k ). úÎÁÞÉÔ, P (n) ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n. (Ç) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÒÅÄÉËÁÔ: n3 − n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3 ÞÅÒÅÚ P (n). ÁË ËÁË 13 − 1 = 0 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ P (k ) ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÌÏÇÏ k > 1. ÏÇÄÁ (k + 1)3 − (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 2k = = (k 3 − k ) + 3k 2 + 3k: þÉÓÌÏ k 3 − k ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3 Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÓÕÍÍÁ 3k 2 + 3k = 3(k 2 + k ) ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3. úÎÁÞÉÔ, É (k 3 − k ) + 3k 2 + 3k ÄÏÌÖÎÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ 3. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ: P (k ) ⇒ P (k + 1), É ××ÉÄÕ ÒÉÎ ÉÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ P (n) ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n. (Ä) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P (n) ÒÅÄÉËÁÔ: 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1: ðÏÄÓÔÁ×É× × ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï n = 1, ÏÌÕÞÉÍ ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï: 1 · 1! = (1 + 1)! − 1: 224 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ úÎÁÞÉÔ, P (1) ×ÅÒÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÏÂ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P (k ) ÒÉ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ k ×ÌÅÞÅÔ ÅÏÞËÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×: 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + (k + 1) · (k + 1)! = = 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + k · k ! + (k + 1) · (k + 1)! = = (k + 1)! − 1 + (k + 1)!(k + 1) = = (k + 1)!(k + 2) − 1 = (k + 2)! − 1; × ËÏÎ Å ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÏÉÔ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (k +1), ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. úÎÁÞÉÔ, P (n) ×ÅÒÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ n. 2.9. x2 = 13 , x3 = 1 7 É x4 = 1 15 . ðÕÓÔØ P (n) | ÒÅÄÉËÁÔ xn = 2n1−1 . ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ n = 1 × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (1). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ P (k ) ×ÅÒÎÏ ÒÉ ËÁËÏÍ-ÔÏ k > 1. ÏÇÄÁ xk+1 = xk 1 xk + 2 = 2k −1 1 2k −1 +2 = 1 1 = k+1 : k 1 + 2(2 − 1) 2 −1 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (k ) ×ÌÅÞÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (k + 1). úÎÁÞÉÔ, P (n) | ×ÅÒÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ n. 2.10. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÅÒ×ÙÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ: x3 = 2x2 − x1 = 2 · 2 − 1 = 3; x4 = 2x3 − x2 = 2 · 3 − 2 = 4; x5 = 2x4 − x3 = 2 · 4 − 3 = 5: îÁÛ ÏÙÔ ÎÁ×ÏÄÉÔ ÎÁ ÍÙÓÌØ, ÞÔÏ ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÅÎ Ó×ÏÅÍÕ ÎÏÍÅÒÕ. ðÏÙÔÁÅÍÓÑ ÜÔÏ ÄÏËÁÚÁÔØ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P (n) ÒÅÄÉËÁÔ xn = n. éÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (1) É P (2) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÒÏ×ÅÌÉ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (3), P (4) É P (5). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ k > 1 ÉÓÔÉÎÎÙ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P (k − 1) É P (k ). ÏÇÄÁ xk+1 = 2xk − xk−1 = 2k − (k − 1) = k + 1: éÔÁË, ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P (k + 1) ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ ÏÂ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P (k − 1) É P (k ). ÅÍ ÓÁÍÙÍ, òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 225 ÏÍÎÑ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÒÅÄÉËÁÔ P (n) ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ n. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 3 3.1. (Á) A = {10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17}; B = {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}; C=∅ ; 1 1 D = −2; 3 ; (Â) S = {3n − 1 : n ∈ N}; T = {1=(2n − 1) : n ∈ N}. 3.2. (Á) {t}; (Ç) ∅; (Â) {p; q; r; s; t; u}; (×) {q; r; v; w}; (Ä) {p; s}; (Å) {u; w}; (Ö) {r; v }; (Ú) {p; r; s; u; v }; 3.3. (Á) éÓÔÉÎÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ A ∪ B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÌÏ× ÓÌÏ×ÁÒÑ. (Â) éÓÔÉÎÎÏ, ÔÁË ËÁË ÓÌÏ×Ï ÂÁÓÓÅÊÎ ÓÔÏÉÔ ÅÒÅÄ ÓÌÏ×ÏÍ ËÏÛËÁ É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × B ; ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÄÁÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï ÉÍÅÅÔ Ä×ÏÊÎÕÀ ÂÕË×Õ Ó. (×) ìÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ B △ C ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ËÁË (B ∪ C ) \ (B ∩ C ), Á ÓÌÏ×Ï ÓÔÒÅÓÓ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B , ÔÁË É C , Ô. Å. ÏÎÏ ÌÅÖÉÔ × ÉÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ. (Ç) ìÏÖÎÏ, ÉÂÏ × ÓÌÏ×ÁÒÅ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÍÅÖÄÕ ÓÌÏ×ÁÍÉ ËÏÛËÁ É ÓÏÂÁËÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÅÍÁÌÏ ÄÒÕÇÉÈ ÓÌÏ×, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÏ×Ï ÍÙÛØ. (Ä) óÌÏ×Á ÓÌÏ×ÁÒÑ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÅÓÑ ÍÅÖÄÕ ÓÌÏ×ÁÍÉ ËÏÛËÁ É ÓÏÂÁËÁ É ÉÍÅÀÝÉÅ Ä×ÏÊÎÕÀ ÂÕË×Õ. (Å) ÷ÓÅ ÓÌÏ×Á ÓÌÏ×ÁÒÑ, ÎÅÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ Ä×ÏÊÎÕÀ ÂÕË×Õ. 3.4. (Á) (i) B; (ii) B ∩ C ; (iii) A ∩ B ; (iv) C \ B . (Â) A \ B = {3n : n ∈ Z É n > 4; É n| ÎÅÞÅÔÎÏ}. úÁÍÅÔØÔÅ, ÅÓÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ n ËÁË 2k + 1, ÔÏ ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÔÁË: A \ B = {6k + 3 : k ∈ Z É k > 2}. 3.5. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÷ÅÎÎÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò3.1. 226 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ åÓÌÉ x ∈ A ∩ (B ∪ C ), ÔÏ x ∈ A É (x ∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ C ) . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (x ∈ A) É (x ∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ A) É (x ∈ C ) : éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, x ∈ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ). ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ: A ∩ (B ∪ C ) ⊂ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ). ïÂÒÁÔÎÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. B A B A C C BÈC A Ç (B È C) B A B A C C A Ç B - ãîðç. øòðèõîâêà A Ç C - âåðò. øòðèõîâêà (A Ç B) È (A Ç C) òÉÓÕÎÏË ò3.1. 3.6. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÷ÅÎÎÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò3.2. B A B A C C A Ç (B D C) BDC B A B A C C A Ç B - ãîðç. øòðèõîâêà A Ç C - âåðò. øòðèõîâêà (A Ç B) D (A Ç C) òÉÓÕÎÏË ò3.2. ìÀÂÏÊ ÎÁÂÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ× A, B É C , × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÉÚ B , ÎÅ ÉÚ C , ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÒÁ×ÅÎ- òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 227 ÓÔ×Õ A ∪ (B △ C ) = (A ∪ B ) △ (A ∪ C ). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÕÓÔØ A = {1; 2}, B = {3; 4} É C = {4; 5}. ÏÇÄÁ B △ C = {3; 5} É A ∪ (B △ C ) = {1; 2; 3; 5}: ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, A ∪ B = {1; 2; 3; 4}; É A ∪ C = {1; 2; 4; 5} (A ∪ B ) △ (A ∪ C ) = {3; 5}: 3.7. (Á) ÷ÙÏÌÎÉÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ: (A ∩ B ) ∪ B = (A ∪ B ) ∪ B = (Ú. ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ É ÄÏÏÌÎ.) = A ∪ (B ∪ B ) = (Ú. ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ) = A∪B (Ú. ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ) (Â) ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÚÁËÏÎÁÍÉ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×: (A ∩ (B ∪ C )) = A ∪ (B ∪ C ) = (Ú. ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ É ÄÏÏÌÎ.) = A∪B∪C (ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ Ú. ÁÓÓÏ ÉÁÔ.) (×) ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÉÍÅÅÍ (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = = (B ∪ (A ∪ C ) ∩ B ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ): õÞÉÔÙ×ÁÑ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔØ, ÏÌÕÞÁÅÍ (B ∪ (A ∪ C ) ∩ B ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = = (B ∩ B ) ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ): ÅÅÒØ ÒÉÍÅÎÑÅÍ ÚÁËÏÎ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ. (B ∩ B ) ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅ ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ): ðÏ ÚÁËÏÎÁÍ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á É ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÍÕ ÏÔ×ÅÔÕ: ∅ ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅: 228 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ (Ç) óÄÅÌÁÅÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ: (A \ B ) \ C = (A ∩ B ) \ C = (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ \) = (A ∩ B ) ∩ C = (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ \) = A ∩ (B ∩ C ) = (××ÉÄÕ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ) = A ∩ (B ∪ C ) = (Ï ÚÁËÏÎÕ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ) = A \ (B ∪ C ) (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ \) (Ä) õÞÉÔÙ×ÁÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ É ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÌÕÞÁÅÍ: A △ A = (A \ A) ∪ (A \ A) = = (A \ A) = = A∩A= =∅ (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ △) (Ï Ú. ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ) (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ \) (Ï Ú. ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ) óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A△A△A=A△∅= = (A \ ∅) ∪ (∅ \ A) = (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ △) = (A ∩ ∅) ∪ (∅ ∩ A) = (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ \) = A∪∅= (Ï Ú. ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ, =A ËÏÍÍÕÔÁÔ. É ÔÏÖÄ.) 3.8. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò3.3. B A òÉÓÕÎÏË ò3.3. (Á) ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ∗ É ÚÁËÏÎÕ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ ÏÌÕÞÁÅÍ: A ∗ A = (A ∩ A) = A: òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 229 (Â) õÞÉÔÙ×ÁÑ ÒÅÄÙÄÕÝÉÊ ÕÎËÔ ÚÁÄÁÞÉ, ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÏÅÒÁ ÉÑ ∗, Á ÚÁÔÅÍ ÒÉÍÅÎÉÍ ÚÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ É ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ. (A ∗ A) ∗ (B ∗ B ) = A ∗ B = (A ∩ B ) = A ∪ B: (×) áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏÍÏÇÁÀÔ ÒÅÛÉÔØ É ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÕÎËÔ ÚÁÄÁÞÉ. (A ∗ B ) ∗ (A ∗ B ) = (A ∗ B ) = = ((A ∩ B )) = = A ∩ B: 3.9. (Á) äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò3.4. B A 2 6 5 4 1 3 7 C 8 òÉÓÕÎÏË ò3.4. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÅÔËÁÍÉ 1, 2, ... , 8, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ, É ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ i ÓÏÄÅÒÖÉÔ ni ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ÏÇÄÁ |A| + |B | + |C | = = (n1 + n2 + n4 + n5 ) + (n1 + n2 + n3 + n6 )+ + (n1 + n3 + n4 + n7 ) = = 3n1 + 2n2 + 2n3 + 2n4 + n5 + n6 + n7 : ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, |A ∩ B | + |B ∩ C | + |A ∩ C | = = (n1 + n2 ) + (n1 + n3 ) + (n1 + n4 ) = = 3n1 + n2 + n3 + n4 : 230 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, |A ∩ B ∩ C | = n1 : |A| + |B | + |C |− − |A ∩ B | − |B ∩ C | − |A ∩ C | + |A ∩ B ∩ C | = = 3n1 + 2n2 + 2n3 + 2n4 + n5 + n6 + n7 − − 3n1 − n2 − n3 − n4 + n1 = = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7 = = |A ∪ B ∪ C |; ÞÔÏ É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ1 . (Â) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÉÚÕÞÁÀÝÉÈ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ, ÞÅÒÅÚ B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÓÌÕÛÁÀÝÉÈ ËÕÒÓ ÂÉÚÎÅÓÁ, Á ÞÅÒÅÚ C | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÈÓÑ ÔÕÒÉÚÍÏÍ. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ É ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÕÎËÔÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ |A ∪ B ∪ C | = 25 + 27 + 12 − 20 − 5 − 3 = 36: éÔÁË, 36 ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÏÓÅÝÁÀÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ ËÕÒÓ. éÚÏÂÒÁÚÉÍ ÓÈÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÔÕÄÅÎÔÏ× (ÓÍ. ÒÉÓ. 3.5). éÚ ÎÅÅ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÅÔ×ÅÒÏ ÉÚ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÏÓÅÝÁÌÉ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ÌÅË ÉÉ Ï ÔÕÒÉÚÍÕ. íÏÖÎÏ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÂÏÌÅÅ ÁËËÕÒÁÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ2 . óÌÅÄÕÑ ××ÅÄÅÎÎÙÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÍ, ÎÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C \ (A ∪ B ), ÏÓËÏÌØËÕ × ÎÅÇÏ ×ÈÏÄÑÔ ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÅ ÔÕÒÉÚÍ, ÎÏ ÎÅ ÏÓÅÝÁÀÝÉÅ ÎÉ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ, ÎÉ ÂÉÚÎÅÓ. äÌÑ ÎÁÞÁÌÁ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï C ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×: C = (C \ A) ∪ (C ∩ A): ðÏÜÔÏÍÕ 1 |C | = |C \ A| + |C ∩ A|: éÓÏÌØÚÕÑ ÜÔÏÔ ÒÉÍÅÒ ËÁË ÏÄÓËÁÚËÕ, ÏÙÔÁÊÔÅÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÔÒÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 2 ïÎÏ ÄÁÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÞÉËÏÍ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 231 B A 20 4 0 5 C 0 3 4 òÉÓÕÎÏË ò3.5. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ |C | = 12 É |C ∩ A| = 5. úÎÁÞÉÔ, |C \ A| = 12 − 5 = 7. ÅÅÒØ ÎÕÖÎÏ ÏÂÒÁÔÉÔØ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ C \ A ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÅ ÔÕÒÉÚÍ, ÎÏ ÎÅ ÏÓÅÝÁÀÝÉÅ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ. ïÄÎÁËÏ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å C \ A ÍÏÇÕÔ ÏÓÔÁÔØÓÑ ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ËÒÏÍÅ ÔÕÒÉÚÍÁ ÉÚÕÞÁÀÔ ÅÝÅ É ÂÉÚÎÅÓ. ÷ÙÂÒÏÓÉ× ÉÈ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÉÓËÏÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï: (C \ A) \ B . äÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ÅÇÏ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÒÉÍÅÎÉÍ ÔÏÔ ÖÅ ÒÉÅÍ. (C \ A) \ B = |C \ A| − (C \ A) ∩ B : óÁÍÏÅ ÔÒÕÄÎÏÅ ÚÄÅÓØ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (C \ A) ∩ B . ë ÎÅÍÕ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C , ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ B , ÎÏ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ A. îÏ Ï ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ C , ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ B , ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ A, ÔÁË ËÁË ×ÓÅ ÔÒÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÂÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÉÍÅÀÔ. úÎÁÞÉÔ, (C \ A) ∩ B = C ∩ B ⇒ (C \ A) ∩ B = C ∩ B = 3: ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ: 12 − 5 − 3 = 4: 3.10. üÌÅÍÅÎÔÙ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ A × B ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ (a; b), ÇÄÅ a ∈ A É b ∈ B . åÓÌÉ A×B = B ×A, ÔÏ ÁÒÁ (a; b) ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × B ÄÏÌÖÎÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ É B × A, Ô. Å. a ∈ B É b ∈ A. ðÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÏ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a ∈ A É ÌÀÂÏÇÏ b ∈ B , ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ× A = B . íÎÏÖÅÓÔ×Ï A × C ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ (a; ), × ËÏÔÏÒÙÈ a ∈ A É ∈ C . åÓÌÉ A × B = A × C , ÔÏ (a; ) ∈ A × B , ÏÔËÕÄÁ ∈ B . üÔÏ ÎÁÍ ÄÁÅÔ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ: C ⊂ B . íÅÎÑÑ × ÎÁÛÅÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B É C ÍÅÓÔÁÍÉ, ÍÏÖÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ B ⊂ C . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, B = C . 232 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 3.11. (Á) ðÕÓÔØ x ∈ A × (B ∩ C ). ÏÇÄÁ x = (a; t); ÇÄÅ a ∈ A É t ∈ (B ∩ C ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, t ∈ B , Ô. Å. (a; t) ∈ A × B É, ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ, t ∈ C ⇒ (a; t) ∈ A × C . úÎÁÞÉÔ, (a; t) ∈ (A × B ) ∩ (A × C ). éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, A × (B ∩ C ) ⊂ (A × B ) ∩ (A × C ): é ÎÁÏÂÏÒÏÔ. åÓÌÉ x ∈ (A × B ) ∩ (A × C ), ÔÏ x ∈ A × B É x ∈ A × C . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x = (a; t), ÒÉÞÅÍ a ∈ A, Á t ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÁË B , ÔÁË É C , Ô. Å. t ∈ B ∩ C . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, x ∈ A × (B ∩ C ). üÔÉÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ: (A × B ) ∩ (A × C ) ⊂ A × (B ∩ C ): éÚ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×. (Â) ðÕÓÔØ x ∈ (A ∪ B ) × C . ÏÇÄÁ x = (s; ), ÇÄÅ s ∈ (A ∪ B ) É ∈ C . ðÏÓËÏÌØËÕ s | ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ, ÔÏ ÌÉÂÏ s ∈ A, É ÔÏÇÄÁ x ∈ A × C , ÌÉÂÏ s ∈ B , Ô. Å. x ∈ B × C . ÷ ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ x ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÌÉÂÏ A × C , ÌÉÂÏ B × C . úÎÁÞÉÔ, x ∈ (A × C ) ∪ (B × C ). é ÎÁÏÂÏÒÏÔ. åÓÌÉ x ∈ (A × C ) ∪ (B × C ), ÔÏ ÏÎ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ x = (s; ) ÇÄÅ ∈ C , Á s ÌÅÖÉÔ ÌÉÂÏ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A, ÌÉÂÏ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å B . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, s ∈ (A ∪ B ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, x = (s; ) ∈ (A ∪ B ) × C . ÷×ÉÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÓÔÉ x ÍÏÖÎÏ ÚÁËÌÀÞÉÔØ, ÞÔÏ (A × C ) ∪ (B × C ) ⊂ (A ∪ B ) × C: éÚ Ä×ÕÈ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÕÖÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×. 3.12. (Á) P (A) = ∅; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3} . (Â) ðÕÓÔØ C ∈ P (A) ∩ P (B ). ÏÇÄÁ C ⊂ A É C ⊂ B , ÏÜÔÏÍÕ C ⊂ (A ∩ B ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (A) ∩ P (B ) ⊂ P (A ∩ B ). ÅÅÒØ ×ÏÚØÍÅÍ C ∈ P (A ∩ B ). ÏÇÄÁ C ⊂ (A ∩ B ), Ô. Å. C ⊂ A É C ⊂ B . úÎÁÞÉÔ, P (A ∩ B ) ⊂ P (A) ∩P (B ). ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï P (A) ∩ P (B ) = P (A ∩ B ). (×) üÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ P (A) ∪P (B ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÌÅÖÁÝÉÅ × A, É ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÌÅÖÁÝÉÅ × B . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (A) ∪ P (B ) ⊂ P (A ∪ B ). ïÂÒÁÔÎÏÇÏ ÖÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÎÅÔ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ A ∪ B ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÅÌÉËÏÍ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÌÉÂÏ × A, ÌÉÂÏ × B . ðÕÓÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, A = {1; 2; 3}, B = {4; 5}, Á C = {1; 2; 5}. ÏÇÄÁ, ËÏÎÅÞÎÏ, C ∈ P (A ∪ B ), ÎÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, C 6∈ P (A) ∪ P (B ). òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 233 3.13. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ a = (1; 1; 0; 1; 1; 0). èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÒÁ×ÅÎ b = (0; 0; 1; 0; 1; 0). ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ∪ B . ïÎ ÒÁ×ÅÎ a ÉÌÉ (ÎÅ b) = (1; 1; 0; 1; 1; 0) ÉÌÉ (1; 1; 0; 1; 0; 1) = = (1; 1; 0; 1; 1; 1): óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A ∪ B = {1; 2; 4; 5; 6}. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A △ B ÒÁ×ÅÎ (a É (ÎÅ b)) ÉÌÉ (b É (ÎÅ a)) = = (1; 1; 0; 1; 1; 0) É (1; 1; 0; 1; 0; 1) ÉÌÉ ÉÌÉ (0; 0; 1; 0; 1; 0) É (0; 0; 1; 0; 0; 1) = = (1; 1; 0; 1; 0; 0) ÉÌÉ (0; 0; 1; 0; 0; 0) = = (1; 1; 1; 1; 0; 0): ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, A △ B = {1; 2; 3; 4}. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4 (1; a); (1; ); (2; a); (2; ); (3; b); (3; ) . çÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò4.1. 4.2. R = (1; 7); (2; 5); (3; 3); (4; 1) . S = (1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (4; 1); (4; 2); (5; 1) . 4.1. T = {(n; n2 ) : n ∈ N}. òÉÓÕÎÏË ò4.1. 234 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4.3. (Á) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ: R = (1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4) : (Â) çÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò4.2. òÉÓÕÎÏË ò4.2. çÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R (×) íÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: é  ì   é ì  é ì é ì é ì é ì  é ì  : é  ì 4.4. (Á) òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. (Â) ÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ É ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. (×) óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ É ÎÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. (Ç) òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÎÏ ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. 4.5. (Á) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÓÕÍÍÁ x + y ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó y + x. ïÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÔÁË ËÁË ÞÉÓÌÏ x + x ×ÓÅÇÄÁ ÞÅÔÎÏ. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÉÂÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, 1+4 É 4+3 | ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á 1 + 3 | ÞÅÔÎÏÅ. (Â) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ ××ÉÄÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ x ÞÉÓÌÏ x + x | ÞÅÔÎÏ. ÷×ÉÄÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á x + y = y + x ÏÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. ÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÙ x + y É y + z ÂÕÄÕÔ ÞÅÔÎÙÍÉ, ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ÞÅÔÎÏÓÔØ (×ÓÅ ÞÅÔÎÙÅ òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 235 ÉÌÉ ×ÓÅ ÎÅÞÅÔÎÙÅ). ÷ ÌÀÂÏÍ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÌÕÞÁÅ× ÓÕÍÍÁ x + z ÏËÁÖÅÔÓÑ ÞÅÔÎÏÊ. (×) üÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ××ÉÄÕ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ: xy = yx. ïÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÉÚ ÎÅÞÅÔÎÏÓÔÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ xy É yz ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÞÅÔÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ: x, y É z . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ xz ÔÏÖÅ ÎÅÞÅÔÎÏ. îÏ ÏÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÔÁË ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, 2 · 2 = 4 | ÞÉÓÌÏ ÞÅÔÎÏÅ. (Ç) ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ x + x2 = = x(x + 1) | ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÄÎÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÞÅÔÎÏ. ðÏÜÔÏÍÕ É ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÇÄÁ ÂÕÄÅÔ ÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. ïÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ x + xy É y + yz | ÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ ÌÉÂÏ x | ÞÅÔÎÏ (ÔÏÇÄÁ É x + xz | ÞÅÔÎÏ), ÌÉÂÏ x | ÎÅÞÅÔÎÏ (ÔÏÇÄÁ ×ÓÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ: x, y É z | ÎÅÞÅÔÎÙ É, ÓÎÏ×Á, x + xz | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ). éÔÁË, × ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ x + xz | ÞÉÓÌÏ ÞÅÔÎÏÅ, ÞÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. âÌÁÇÏÄÁÒÑ ÒÉÍÅÒÕ: 2 + 2 · 3 = 8 | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÏ 3 + 3 · 2 = 9 | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁÛÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. 4.6. (Á) R = (1; 9); (3; 3); (9; 1) . (Â) S = (3; 2); (6; 4); (9; 6); (12; 8) . (×) ÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙÍ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ∪ (1; 1); (9; 9) : (Ç) ÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙÍ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ S ÓÌÕÖÉÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ S ∪ (9; 4) : 4.7. (Á) x ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÌÅÔ ÓÔÁÒÛÅ, ÞÅÍ y . (Â) x = 2n y ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ n. (×) x < y (ÏÓËÏÌØËÕ ÄÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ). (Ç) x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÏÍËÏÍ y ÖÅÎÓËÏÇÏ ÏÌÁ. 236 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4.8. úÁÍÙËÁÎÉÅÍ Ï ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ ÓÌÕÖÉÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÚÁÄÁÎ- ÎÏÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÁÒÁÍÉ: (a; a); (b; b); ( ; ); (d; d); (a; ); (a; d); (b; d); ( ; a); (d; a) : úÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ: (a; a); (b; b); ( ; ); (a; ); (a; d); (b; d); ( ; a); (d; a); (d; b) : þÔÏÂÙ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÄÏÂÁ×ÉÍ ÁÒÕ (b; a) (ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÎÁÌÉÞÉÅ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÁÒ (b; d) É (d; a)), ( ; d) (ÉÚ-ÚÁ ( ; a) É (a; d)) É (d; d) (ÔÁË ËÁË × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÕÖÅ ÅÓÔØ ÁÒÙ (d; a) É (a; d)). ÅÅÒØ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÍ ÁÒÕ (b; ) (ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÎÏ×ÕÀ ÁÒÕ (b; a) É ÓÔÁÒÕÀ (a; )). éÔÁË, ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ: (a; a); (b; b); ( ; ); (a; ); (a; d); (b; d); ( ; a); (d; a); (b; a) ( ; d); (d; ); (d; d); (b; ) : åÓÌÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ, ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÁÒÙ (x; y ) É (y; x), ÇÄÅ x 6= y . ëÁËÉÅ ÂÙ ÁÒÙ ÍÙ ÎÉ ÄÏÂÁ×ÉÌÉ Ë ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ, ÍÙ ÎÅ ÓÍÏÖÅÍ ÒÅÏÄÏÌÅÔØ ÜÔÕ ÎÅÒÉÑÔÎÏÓÔØ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÔÒÏÉÔØ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÏ. 4.9. (Á) ëÁÖÄÙÊ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ËÎÉÇ, ÅÒÅÌÅÔ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÅÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ×ÅÔ. (Â) úÄÅÓØ ÅÓÔØ Ä×Á ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÞÅÔÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. (×) úÄÅÓØ ÔÏÖÅ Ä×Á ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ë ÏÄÎÏÍÕ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ×ÓÅ ÖÅÎÝÉÎÙ, Á Ë ÄÒÕÇÏÍÕ | ×ÓÅ ÍÕÖÞÉÎÙ. (Ç) ëÁÖÄÙÊ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (0; 0). 4.10. ÁË ËÁË x2 − x2 = 0 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÒÅÆÌÅË- ÓÉ×ÎÏ. åÓÌÉ x2 − y 2 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÔÏ y 2 − x2 = −(x2 − y 2 ) ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3. úÎÁÞÉÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 237 ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÒÁÚÎÏÓÔÉ x2 − y 2 É y 2 − z 2 ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ 3. ÏÇÄÁ x2 − z 2 = (x2 − y 2 ) + (y 2 − z 2 ) | ÓÕÍÍÁ ÞÉÓÅÌ, ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÎÁ 3. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÎÁ ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R. ëÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÞÉÓÌÏ 0, ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÕ: E0 = {n : n2 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3}. ÁË ËÁË n2 ËÒÁÔÎÏ ÔÒÅÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÁÍÏ ÞÉÓÌÏ n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÔÏ E0 = {0; ±3; ±6; : : :}. ëÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÊ 1, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: E1 = {n : n2 − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3}: ðÏÓËÏÌØËÕ n2 − 1 = (n − 1)(n +1), ÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ: (n − 1) ÉÌÉ (n + 1) ÄÏÌÖÎÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ 3. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n = 3m ± 1, ÇÄÅ m | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ É, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ, E1 = {::: − 1; 1; 2; 4; 5; :::}. éÔÁË, ××ÉÄÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á E0 ∪ E1 = Z, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ: E0 É E1 . 4.11. (Á) äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò4.3. òÉÓÕÎÏË ò4.3. äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ (Â) äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÄÁÎÎÏÊ ÏÄÚÁÄÁÞÉ ÉÄÅÎÔÉÞÎÁ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÔÏÌØËÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍ. 1 ↔ ∅; 6 ↔ {1; 2}; 2 ↔ {1}; 10 ↔ {1; 3}; 3 ↔ {2}; 15 ↔ {2; 3}; 5 ↔ {3}; 30 ↔ {1; 2; 3}: 238 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4.12. R = (a; d); (a; g ); (b; e); (b; g ); (b; h); ( ; e); ( ; g ); ( ; h); (d; g ); (e; g ); (e; h) : íÉÎÉÍÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ: a, b, É f. íÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ: f , g É h. 4.13. õÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ ÓÉÓÏË ÓÌÏ× ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÂÁÎÁÎ, ÂÁÎÄÖÏ, ÂÉ×ÅÎØ, ÂÉÓË×ÉÔ, ÂÕÔÙÌËÁ . îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5 5.1. R−1 = (1; 1); (1; 3); (3; 2); (4; 2); (4; 3) . S −1 = (1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 4) . S ◦ R = (1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (3; 1); (3; 2) . (S ◦ R)−1 = (1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3) . R−1 ◦ S −1 = (1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3) = = (S ◦ R)−1 . 5.2. R−1 | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÒÅÂÅÎÏË .... S −1 | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÂÒÁÔ ÉÌÉ ÓÅÓÔÒÁ .... R ◦ S | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÄÑÄÑ .... S −1 ◦ R−1 | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÌÅÍÑÎÎÉË ÉÌÉ ÌÅÍÑÎÎÉ Á .... R ◦ R | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÂÁÂÕÛËÁ ÉÌÉ ÄÅÄÕÛËÁ .... 5.3. ÁË ËÁË R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÔÏ ÏÎÏ ÒÅÆÌÅË- ÓÉ×ÎÏ, ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. ÷×ÉÄÕ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ R, ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÁÒÙ ×ÉÄÁ (x; x). úÎÁÞÉÔ É R−1 ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ÁÒÙ, Ô. Å. R−1 | ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x R−1 y É y R−1 x. ÏÇÄÁ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ y R x É x R y . âÌÁÇÏÄÁÒÑ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ x = y , ÏÔËÕÄÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R−1 ÔÏÖÅ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x R−1 y É y R−1 z . ÏÇÄÁ y R x É z R y . ðÏÓËÏÌØËÕ R | ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ z R x. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x R−1 z , Ô. Å. R−1 ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. ðÏÄ×ÏÄÑ ÉÔÏÇ ÎÁÛÉÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ R−1 ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ R−1 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØ- òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 239 ÎÏ ÏÒÑÄËÁ R É ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ R−1 | ÜÔÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ R. 5.4. MN = é ì ì é ì é  é ì é é  é é ì ì = é ì é é : é é é é ì é é é  íÁÔÒÉ Á M N ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ S ◦ R. 5.5. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÕÎËÔÏ× (Á) É (Â) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ (×) ÆÕÎË ÉÅÊ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ 0 ∈ A ÎÅ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÎÉËÁËÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B . ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÕÎËÔÁ (Ç) ÔÏÖÅ ÎÅ ÆÕÎË ÉÑ, ÉÂÏ ÜÌÅÍÅÎÔÕ 0 ∈ A × ÎÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B : 3 É 7. æÕÎË ÉÑ ÕÎËÔÁ (Á) ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË ËÁË ÏÎÁ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A (6 É 0) × ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔ 3 ∈ B . üÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ, ××ÉÄÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔ 7 ∈ B ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ × ÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ. æÕÎË ÉÑ ÕÎËÔÁ (Â) É ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, Ô. Å. ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ. 5.6. (Á) åÓÌÉ f (a1 ) = f (a2 ), ÔÏ 2a1 + 1 = 2a2 + 1, ÏÔËÕÄÁ a1 = a2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÆÕÎË ÉÑ f ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÚÎÁÞÉÔ, f | ÎÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. (Â) æÕÎË ÉÑ g ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, g (4) = = g (1) = 2. äÁÌÅÅ, ÔÁË ËÁË g (2m) = m, ÇÄÅ m | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÉÉ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ Z. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ g | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. (×) ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ h(n) | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÅÓÌÉ n | ÞÅÔÎÏ, É ÞÅÔÎÏÅ, ÅÓÌÉ n | ÎÅÞÅÔÎÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ h(a1 ) = h(a2 ), ÔÏ ÌÉÂÏ a1 + 1 = a2 + 1, ÌÉÂÏ a1 − 1 = = a2 − 1. ÷ ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: a1 = a2 . ðÏÜÔÏÍÕ h | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. åÓÌÉ m | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÞÉÓÌÏ m − 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ É, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÆÕÎË ÉÉ h, h(m − 1) = (m − 1) + 1 = m: 240 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ åÓÌÉ ÖÅ m | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ m + 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞÅÔÎÙÍ É h(m + 1) = (m + 1) − 1 = m: üÔÉÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ËÁËÏ×Ï ÂÙ ÎÉ ÂÙÌÏ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ m, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ n (ÒÁ×ÎÏÅ (m − 1) ÉÌÉ (m + 1)), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ h(n) = m. úÎÁÞÉÔ, h | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. 5.7. çÒÁÆÉËÉ ÆÕÎË ÉÊ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò5.1. (Á) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ {n2 + 1 : n ∈ Z} = {1; 2; 5; 10; : : :}: ÁË ËÁË f (−1) = f (1) = 2, ÏÎÁ ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ f (x) = 3 ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ f ÎÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. (Â) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ g ÒÁ×ÎÏ {2; 4; 8; 16; : : : }: ðÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ g (a) = g (b) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ 2a = 2b , ËÏÔÏÒÏÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÒÁ×ÎÙÈ a É b. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, g | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. ïÄÎÁËÏ ÏÎÁ ÎÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ g (x) = 3 ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. (×) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ h ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ R. åÓÌÉ h(a) = h(b), ÔÏ 5a − 1 = 5b − 1, Ô. Å. a = b. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, h | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. á ÔÁË ËÁË h ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÌÀÂÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÔÏ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ. (Ç) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ j ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ R. ÁË ËÁË j (−1) = j ( 32 ) = 0, j | ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. åÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÅÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ. (Ä) ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ k ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ ÌÀÂÏÅ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, Á ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÎÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ k ÎÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÏÎÁ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ, ÔÁË ËÁË ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ x1 < 0 É x2 < 0 ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: k (x1 ) = k (x2 ) = 0. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ á â ã , ä å òÉÓÕÎÏË ò5.1. , åñëè x > 1 åñëè x < 1 241 242 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ (Å) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ l | ×ÓÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Ô. Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÎÁ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. åÓÌÉ x > 0, ÔÏ l(x) = x > 0, Á ÒÉ x < 0 l(x) = 3x < 0. úÎÁÞÉÔ, × ÓÌÕÞÁÅ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ l(a) = l(b) ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ a É b ÂÕÄÕÔ ÉÍÅÔØ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÚÎÁË. åÓÌÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ, ÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ l ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ: a = b. åÓÌÉ ÖÅ a < 0 É b < 0, ÔÏ l(a) = l(b) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ 3a = 3b; ÏÔËÕÄÁ a = b. éÔÁË, × ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ l(a) = l(b) ×ÌÅÞÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a = b, Ô. Å. l | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. j k 2 2 (−1) +1 = = 0: áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, f (0) = 0, 5.8. (Á) f (−1) = 3 3 f (1) = 0 É f (2) = 1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f | ÜÔÏ {0; 1}. (Â) æÕÎË ÉÑ g ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, g (0) = = g (1) = 0. ïÄÎÁËÏ ÏÎÁ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ 2n g (2n) = = n; 2 ÇÄÅ n | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. 5.9. åÓÌÉ f (a) = f (b), ÔÏ 1+ a2 = 1+ 2b , ÞÔÏ ×ÌÅÞÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a = b. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÆÕÎË ÉÉ g . õÒÁ×ÎÅÎÉÅ f (x) = y 2 ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ 1 + x2 = y , ÏÔËÕÄÁ x = y− . ðÏÓÌÅÄÎÅÅ 1 ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ y = 1, ËÏÔÏ- ÒÏÅ ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ × ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ. ðÏ ÌÀÂÏÍÕ ÖÅ ÄÒÕÇÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ x, ËÏÔÏÒÙÊ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ × ÜÔÏÔ ÜÌÅÍÅÎÔ ÆÕÎË ÉÅÊ f . úÎÁÞÉÔ, f | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. íÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ f ËÁË ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ. ïÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÎÅÊ ÆÕÎË2 . ÉÑ f −1 : B −→ A ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f −1 (x) = x− 1 (2x + 1)2 ; ÅÓÌÉ x > 0; 5.10. (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = x2 ; ÅÓÌÉ x < 0; (g ◦ f )(x) = g (f (x)) = 2x2 + 1; g (2x + 1); ÅÓÌÉ x > 0; (g ◦ g )(x) = g (g (x)) = g (−x); ÅÓÌÉ x < 0: òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 243 åÓÌÉ x > 0, ÔÏ 2x + 1 > 1 É ÏÜÔÏÍÕ g (2x + 1) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3: åÓÌÉ x < 0, ÔÏ −x > 0. úÎÁÞÉÔ, g (−x) = 2(−x) + 1 = 1 − 2x: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 4x + 3; ÅÓÌÉ x > 0; (g ◦ g )(x) = 1 − 2x; ÅÓÌÉ x < 0: 5.11. (Á) òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 ) ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÉÓÁÔØ × ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÏÍ ×ÉÄÅ: g (f (a1 )) = g (f (a2 )). ÷×ÉÄÕ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ g ÉÚ ÎÅÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ f (a1 ) = f (a2 ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, f | ÔÏÖÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. úÎÁÞÉÔ, a1 = a2 . äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, g ◦ f | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË- ÉÑ. (Â) ðÕÓÔØ ∈ C . ÁË ËÁË g | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ b ∈ B , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ g (b) = . äÌÑ ÜÔÏÇÏ b, ËÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f , ÏÔÙÝÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ A, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ f (a) = b. ðÒÏÕÓËÁÑ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÏÌÕÞÁÅÍ ×Ù×ÏÄ: ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ∈ C ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ A, ÞÔÏ g (f (a) = , ÞÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ g ◦ f . (×) ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ f (a) = b É g (b) = . ÏÇÄÁ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÆÕÎË ÉÊ (g ◦f )(a) = . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (g ◦ f )−1 ( ) = a. îÏ f −1 (b) = a É g −1 ( ) = b. ðÏÜÔÏÍÕ (f −1 ◦ g −1 )( ) = f −1 (g −1 ( )) = f −1 (b) = a: íÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ∈ C ÉÍÅÅÔ ÍÅ- (g ◦ f )−1 ( ) = (f −1 ◦ g −1 )( ); ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. 5.12. (Á) îÁ ÉÇÒÁÌØÎÏÊ ËÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ×ÙÁÓÔØ ÏÄÎÏ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÞÉ- ÓÅÌ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÂÒÏÓÁÑ ËÏÓÔØ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ ÛÅÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ, ÂÒÏÓÁÑ ËÏÓÔØ ÓÅÍØ ÒÁÚ, ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÞÉÓÌÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Á ÒÁÚÁ. (Â) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÁÒ ÏÞËÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÁÄÁÀÔ ÎÁ Ä×ÕÈ ÉÇÒÁÌØÎÙÈ ËÏÓÔÑÈ. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÖÅ ÜÔÉÈ ÁÒ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÂÒÏÓÁÎÉÊ ËÏÓÔÅÊ. ðÕÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B = {2; 3; 4; : : : ; 12} ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÕÍÍ ÏÞËÏ× ÎÁ ÁÒÅ ËÏÓÔÅÊ. 244 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A −→ B , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÁÒÅ ÏÞËÏ× ÉÈ ÓÕÍÍÕ. âÌÁÇÏÄÁÒÑ ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ |A| > |B |, ÔÏ ËÁËÁÑ-ÔÏ ÉÚ ÓÕÍÍ ×ÙÁÄÅÔ Ä×ÁÖÄÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ 12 ÂÒÏÓÁÎÉÊ ËÏÓÔÅÊ ÏÄÎÁ ÉÚ ÓÕÍÍ ÏÞËÏ× ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ Ä×ÁÖÄÙ. (×) ÷ ÉÇÒÁÌØÎÙÈ ËÁÒÔÁÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÞÅÔÙÒÅ ÍÁÓÔÉ: ÔÒÅÆÙ, ÉËÉ, ÂÕÂÎÙ É ÞÅÒ×Ù. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÙÔÁÝÉ× ÑÔØ ËÁÒÔ ÉÚ ËÏÌÏÄÙ, ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÍ, ÞÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Å ÉÚ ÎÉÈ ÏÄÎÏÊ ÍÁÓÔÉ. (Ç) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÙÔÁÝÅÎÎÙÈ ËÁÒÔ, Á ÞÅÒÅÚ B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÅÔÙÒÅÈ ËÁÒÔÏÞÎÙÈ ÍÁÓÔÅÊ. ðÕÓÔØ ÆÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁÖÄÏÊ ×ÙÔÁÝÅÎÎÏÊ ËÁÒÔÅ ÅÅ ÍÁÓÔØ. éÚ ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÇÏ ÒÉÎ ÉÁ äÉÒÉÈÌÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÒÉ |A| > 3|B | ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÞÅÔÙÒÅÈ ËÁÒÔ ÏËÁÖÕÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ÍÁÓÔÉ. ðÏÌÕÞÁÅÍ ÏÔ×ÅÔ: ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÔÁÝÉÔØ 13 ËÁÒÔ. 5.13. (Á) ðÕÓÔØ A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÅÍÅÊ, ÒÏÖÉ×ÁÀÝÉÈ × ÓÅÌÅ, Á B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒ ÍÅÓÑ Å×. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A −→ B , ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁÖÄÏÊ ÓÅÍØÅ ÁÒÕ ÍÅÓÑ Å×, × ËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÄÉÌÉÓØ ÉÈ ÄÅÔÉ. ÷ ÇÏÄÕ ×ÓÅÇÏ 12 ÍÅÓÑ Å×, ÏÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÍÅÓÑ Å× ÒÁ×ÎÏ 12 · 12 = 144. ÷ Ä×ÅÎÁÄ ÁÔØ ÉÚ ÎÉÈ ×ÈÏÄÉÔ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÍÅÓÑ Á, Á × 132 ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÁÒÁÈ | ÍÅÓÑ Ù ÒÁÚÎÙÅ. ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÒÅÓÔÁ×É× ÉÈ × ÁÒÅ, ÍÙ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÏÌÕÞÉÍ ÄÒÕÇÕÀ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ÁÒÕ ÍÅÓÑ Å×, ÎÏ ÄÌÑ ÎÁÛÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÏÒÑÄÏË ÍÅÓÑ Å× × ÁÒÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ðÏÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÍÅÓÑ Å×, Ô. Å. ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B , ÒÁ×ÎÁ |B | = 12 + 132 = 78: 2 ÁË ËÁË |A| = 79, Á |B | = 78, ÔÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ä×Å ÓÅÍØÉ, ÄÅÔÉ × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÄÉÌÉÓØ × ÏÄÎÉ É ÔÅ ÖÅ ÍÅÓÑ Ù. (Â) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÔÅÊ, Á ÞÅÒÅÚ B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A → B , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÒÅÂÅÎËÕ ÅÒ×ÕÀ ÂÕË×Õ ÅÇÏ ÉÍÅÎÉ. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ |A| = 2 · 79 = 158. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ, Ó ËÏÔÏÒÙÈ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉ ÍÏÖÅÔ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ ÉÍÑ ÒÅÂÅÎËÁ, | 31 (ÍÙ ×ÙÂÒÏÓÉÌÉ òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 245 ÚÎÁËÉ: ÿ É ø, Ó ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ ÎÉ ÏÄÎÏ ÓÌÏ×Ï). úÎÁÞÉÔ, |B | = 31. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, |A| > 5|B |, ÞÔÏ, ××ÉÄÕ ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÇÏ ÒÉÎ ÉÁ äÉÒÉÈÌÅ, ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ ÎÁÍ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ 6 ÄÅÔÅÊ × ÓÅÌÅ, ÉÍÅÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Ù. 5.14. (Á) ÷ÙÉÛÅÍ ÁÒÙ ÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , ÄÁÀÝÉÈ × ÓÕÍÍÅ ÞÉÓÌÏ 22: {2; 20}, {4; 18}, {6; 16}, {8; 14}, {10; 12}. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , Á ÞÅÒÅÚ B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÁÒ. ðÕÓÔØ ÆÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔ- ÓÔ×ÉÅ ×ÙÂÒÁÎÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÔÕ ÁÒÕ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎÏ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ. îÁÒÉÍÅÒ, f (6) = {6; 16}. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ |A| > |B |, ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ä×Á ÞÉÓÌÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ f × ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÁÒÕ. á ÜÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Á ÞÉÓÌÁ Ó ÓÕÍÍÏÊ, ÒÁ×ÎÏÊ 22. ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ |B | = 6. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÚÑÔØ 6 ÞÉÓÅÌ. (Â) óÌÅÄÕÑ ÕËÁÚÁÎÉÀ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S , É ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ. ÷ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ 10 ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÏ 19. îÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÚ S | ÜÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ 1, 3, 5, 7 ÉÌÉ 9. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ B ÆÕÎË ÉÉ f ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S . ðÕÓÔØ A | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × S , ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ 11 ÞÉÓÅÌ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A → B , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÞÉÓÌÕ n ∈ A ÅÇÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ. ÁË ËÁË |B | = 10, ÔÏ Ï ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Á ÞÉÓÌÁ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÕÄÅÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÉÈ ÞÅÒÅÚ n É m. ÏÇÄÁ n = 2i b, ÇÄÅ b | ÎÅÞÅÔÎÏ1 , Á i = 0; 1; 2; 3; 4. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, m = 2j b, ÇÄÅ j = 0; 1; 2; 3; 4. åÓÌÉ i > j , ÔÏ 1 äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÔØ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÉÓÌÁ n ÒÁ×ÅÎ b. ÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ n′ = n=b | ÅÌÏÅ. åÓÌÉ n′ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÅ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÏÔÌÉÞÎÏÅ ÏÔ 1, ÓËÁÖÅÍ, ÎÁ k, ÔÏ É ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÞÉÓÌÏ n ÂÕÄÅÔ ÎÁ ÎÅÇÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÞÉÓÌÏ n ÄÏÌÖÎÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ kb, ËÏÔÏÒÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞÅÔÎÙÍ. üÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ b ÓÒÅÄÉ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÞÉÓÌÁ n. úÎÁÞÉÔ, n′ = = n=b ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ, ÏÔÌÉÞÎÏÇÏ ÏÔ 1. ðÏÜÔÏÍÕ ′ i n = 2 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ i. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 246 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ m ÄÅÌÉÔ n. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÞÉÓÌÏ n ÄÅÌÉÔ m. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ 11 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÁÄÅÔÓÑ ÁÒÁ ÞÉÓÅÌ, ÏÄÎÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÌÉÔ ÄÒÕÇÏÅ. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6 6.1. (Á) ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ 5 · 8 · 7 = 280 ÒÁÚÎÙÈ ËÏÓÔÀÍÏ×. (Â) öÅÎÝÉÎÁ ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ 5 · 3 = 15 ÒÁÚÎÙÈ ÎÁÒÑÄÏ× ÉÚ ÑÔÉ ÀÂÏË É ÔÒÅÈ ÂÌÕÚÏË. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÓÍÅÎÉÔØ ÂÌÕÚËÕ É ÀÂËÕ ÎÁ ÌÁÔØÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ï ÒÁ×ÉÌÕ ÓÕÍÍÙ Õ ÎÅÅ ÅÓÔØ 15 + 6 = 21 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÓÍÅÎÙ ÎÁÒÑÄÏ×. (×) õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ ÛÅÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÓÅÒÔÏ× ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÏÒ ÉÉ ÍÏÒÏÖÅÎÏÇÏ, 6·6 = 36 ÄÅÓÅÒÔÏ× ÉÚ Ä×ÕÈ ÏÒ ÉÊ É 63 = 216 ÉÚ ÔÒÅÈ. üÔÏ ÄÁÅÔ ×ÓÅÇÏ 6 + 36 + 216 = 258 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÄÅÓÅÒÔÁ. 6.2. (Á) ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 10 ÉÆÒ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 É 9. ïÄÎÁËÏ × ÓÔÁÒÛÅÍ ÒÁÚÒÑÄÅ ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÏÇÏ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÁ) ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÉÆÒÁ 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 9 · 102 = 900 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÅÒ×ÙÈ ÔÒÅÈ ÉÆÒ ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÏÇÏ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÁ. ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÅÇÏ ÉÆÒÙ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ Ï ÅÒ×ÙÍ ÔÒÅÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅÇÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 900 ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÙÈ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÅÊ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ É ÄÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ÓÅÍÉÚÎÁÞÎÙÈ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÅÊ. îÏ ÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÄÏÂÁ×É× × ÓÅÒÅÄÉÎÕ ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÏÇÏ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÉÆÒÕ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÓÅÍÉÚÎÁÞÎÙÊ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÔ×ÅÔ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ: 900 · 10 = 9000. (Â) îÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÒÁ×Á Õ ÔÁËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÅÔ ÓÔÏÑÔØ 1, 3 ÉÌÉ 5. ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÒÁÚÒÑÄÙ ÍÏÖÎÏ ÚÁÏÌÎÑÔØ ÌÀÂÙÍÉ ÎÅÞÅÔÎÙÍÉ ÉÆÒÁÍÉ (ÉÈ ×ÓÅÇÏ 5). ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 3 · 53 = 375 ÞÅÔÙÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÉÈ 6000, × ÞØÅÊ ÚÁÉÓÉ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ ÔÏÌØËÏ ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÉÆÒÙ. (×) õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 262 = 676 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÁÒÏÌÑ. ëÁÖÄÙÊ ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÞÅÔÙÒÅÈ òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 247 ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÂÒÁÎ ÉÚ 36 ÓÉÍ×ÏÌÏ× (26 ÂÕË× É 10 ÉÆÒ). üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ 364 = 1 679 616 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 676·1 679 616 = 1 135 420 416 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒÏÌÅÊ. 6.3. (Á) îÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÔÁËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÌÀÂÁÑ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÉÆÒ (1, 2, 3, É 6), Á ÎÁ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ | ÌÀÂÁÑ ÉÚ ÑÔÉ. ðÏÜÔÏÍÕ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ 4 · 53 = 500 ÞÉÓÅÌ. (Â) ðÅÒ×ÙÊ ÚÎÁË ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ. ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÔÒÉ ÚÎÁËÁ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ×ÙÂÏÒËÕ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÔÒÅÈ ÏÂßÅËÔÏ× ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ (ÏÄÎÏÇÏ 0 É ÔÒÅÈ ÎÅ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎÎÙÈ ÅÝÅ ÉÆÒ). ÷ÓÅÇÏ ÔÁËÉÈ ×ÙÂÏÒÏË | 4 · 3 · 2 = 24. úÎÁÞÉÔ, 4 · 24 = 96 ÞÉÓÅÌ ÉÚ S ÎÅ ÉÍÅÀÔ × Ó×ÏÅÊ ÚÁÉÓÉ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÉÆÒ. (×) þÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÍÏÖÅÔ ÏËÁÎÞÉ×ÁÔØÓÑ ÉÆÒÁÍÉ: 0, 2 ÉÌÉ 6. åÓÌÉ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÆÒÁ ÒÁ×ÎÁ 0, ÔÏ ÅÒ×ÙÅ ÔÒÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ 4 · 3 · 2 = 24 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. åÓÌÉ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÆÒÁ | 2 ÉÌÉ 6, ÔÏ (ÔÁË ËÁË ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ Ó 0) ÅÒ×ÙÅ ÔÒÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ 3 · 3 · 2 = 18 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ ÓÕÍÍÙ ÓÒÅÄÉ ÞÉÓÅÌ ÕÎËÔÁ (Â) ÒÏ×ÎÏ 24 + 18 + 18 = 60 ÞÅÔÎÙÈ. (Ç) þÔÏÂÙ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÕÎËÔÁ (Â) ÂÙÌÏ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ 4 000, ÏÎÏ ÄÏÌÖÎÏ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ Ó 4, 5 ÉÌÉ 6. ïÄÎÁËÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÞÉÓÌÁ ÉÚ ÉÆÒ 0, 1, 2, 3, É 6. úÎÁÞÉÔ, ÎÕÖÎÙÅ ÎÁÍ ÞÉÓÌÁ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó 6. ïÓÔÁÌØÎÙÅ 3 ÉÆÒÙ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÉÓÁÔØ 4 · 3 · 2 = 48 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. úÎÁÞÉÔ, 48 ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ . (Â), ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÔ 4 000. 6.4. (Á) P (7; 2) = 42, P (8; 5) = 6 720, P (6; 4) = 360, P (n; 1) = n É P (n; n − 1) = n!: (Â) C (10; 7) = 120, C (9; 2) = 36, C (8; 6) = 28, C (n; 1) = C (n; n − 1) = n. þÉÓÌÏ ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ k ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ n, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ n − k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ n. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÔÂÉÒÁÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÌÉÂÏ ×ÚÑÔØ ÎÕÖÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï, ÌÉÂÏ ×ÙÂÒÏÓÉÔØ ÌÉÛÎÅÅ. ðÏÜÔÏÍÕ C (n; k ) = C (n; n − k ). 248 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ: C (n; n − k ) = n! n! = = C (n; k ): (n − (n − k ))!(n − k )! k !(n − k )! 6.5. (Á) ðÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ÒÉÚÅÒÏ× ÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ, Á Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ ÚÁÒÅÝÅÎÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ P (17; 3) = 4080 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÉÚÏ×ÙÈ ÍÅÓÔ. (Â) úÄÅÓØ, ËÁË É × ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅ, ÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ É Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ ÚÁÒÅÝÅÎÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ P (20; 2) = 380 ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÄÓÅÄÁÔÅÌÑ É ÓÅËÒÅÔÁÒÑ ËÏÍÉÔÅÔÁ. (×) ðÒÉÄÕÍÙ×ÁÑ ÁÒÏÌØ, ÎÁ ÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÍÅÓÔÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÓÔÒÏÞÎÙÅ ÂÕË×Ù. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ P (26; 2) = 650 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ÍÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ Ä×Å ÂÕË×Ù ÄÌÑ ÎÁÞÁÌÁ ÁÒÏÌÑ, Õ ÎÁÓ ÏÓÔÁÌÏÓØ 10 ÉÆÒ É 24 ÂÕË×Ù ÄÌÑ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÁÒÏÌÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÓÉÍ×ÏÌÙ × ÎÅÍ ÎÅ ÍÏÇÕÔ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ. úÎÁÞÉÔ, ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ ÁÒÏÌÑ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ P (34; 4) = 1 113 024 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ï ÒÁ×ÉÌÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÉÓÁÔØ 650 · 1 113 024 = 723 465 600 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒÏÌÅÊ. 6.6. (Á) ðÏÒÑÄÏË ÏÔÂÏÒÁ ÉÇÒÏËÏ× × ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÓÏÓÔÁ× ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ É Ï×ÔÏÒÙ ÎÅ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ C (18; 11) = 31 824 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÓÏÓÔÁ×Á ËÏÍÁÎÄÙ. (Â) öÅÎÓËÕÀ ÞÁÓÔØ ÖÀÒÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ C (8; 5) = 56 ÓÏÓÏÂÁÍÉ, Á ÍÕÖÓËÕÀ | C (11; 7) = 330 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 56 · 330 = 18 480 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÏÓÔÁ×Ï× ÖÀÒÉ. (×) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (5; 3) = 10 ÓÏÓÏÂÏ× ÏÔÏÂÒÁÔØ ÔÒÅÈ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÉÇÒÏËÏ× É C (5; 1) = 5 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÌÀÂÉÔÅÌÑ. üÔÏ ÄÁÅÔ 10 · 5 = 50 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ, × ËÏÔÏÒÙÅ ×ÈÏÄÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÌÀÂÉÔÅÌØ. þÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ× ÒÁ×ÎÏ C (5; 4) = 5. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÂÒÁÔØ 5 ÌÀÂÉÔÅÌØÓËÉÈ ËÏÍÁÎÄ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 5 + 5 = 10 ËÏÍÁÎÄ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ× ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÌÀÂÉÔÅÌÅÊ. 6.7. (Á) íÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ C (12; 3) = 220 ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 249 (Â) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (8; 3) = 56 ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ × ÓÅÂÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ìÉÂÅÒÁÌ-äÅÍÏËÒÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÁÒÔÉÉ. ÁË ËÁË ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ 220 ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÂÅÚ ËÁËÉÈ-ÌÉÂÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ×, ÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÍÉÔÅÔÏ×, × ËÏÔÏÒÙÅ ×ÈÏÄÉÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÌÉÂÅÒÁÌ-ÄÅÍÏËÒÁÔ, ÒÁ×ÎÏ 220 − 56 = 164. (×) ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×, × ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌØ ÁÒÔÉÉ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÏ×, ÒÁ×ÎÏ C (9; 3) = 84. åÓÌÉ × ËÏÍÉÔÅÔ ÎÅ ×ÈÏÄÑÔ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÙ, ÔÏ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ C (7; 3) = 35 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 84 + 35 = 119 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×. ïÄÎÁËÏ ÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÄÓÞÅÔÅ ËÏÍÉÔÅÔÙ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÌÉÂÅÒÁÌ-ÄÅÍÏËÒÁÔÏ×, ÍÙ ÕÞÉÔÙ×ÁÌÉ Ä×ÁÖÄÙ. éÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁ×ÎÏ C (4; 3) = 4. ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 115 ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ. (Ç) íÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ C (5; 2) · C (3; 1) = 10 · 3 = 30 ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ Ä×ÕÈ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÏ× É ÏÄÎÏÇÏ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÁ, C (5; 1) · C (3; 2) = 15 ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÁ É Ä×ÕÈ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÏ×. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ C (5; 1)·C (3; 1)·C (4; 1) = 60 ËÏÍÉÔÅÔÏ×, × ËÏÔÏÒÙÅ ×ÈÏÄÑÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ×ÓÅÈ ÁÒÔÉÊ. üÔÏ ÄÁÅÔ ÎÁÍ 30 + 15 + 60 = = 105 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ. 6.8. (Á) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (8; 2) · C (5; 2) · C (3; 2) = 840 ÒÁÚÎÙÈ ÓÏÓÔÁ- ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÑ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÅ ÒÉÇÌÁÛÅÎÙ Ï Ä×Á ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÑ ÏÔ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÔÄÅÌÁ. (Â) åÓÌÉ × ÓÏ×ÅÝÁÎÉÉ ÎÅ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (8; 6) = 28 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÓÏÚÙ×Á ÓÏ×ÅÝÁÎÉÑ. åÓÌÉ × ÓÏ×ÅÝÁÎÉÉ ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÉÎ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌØ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (8; 1) · C (8; 5) = 448 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÅÇÏ 28 + 448 = 476 ÒÁÚÎÙÈ ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ ×ËÌÀÞÁÀÔ × ÓÅÂÑ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ Ä×ÏÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á. ÁË ËÁË ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÎÁÌÏÖÅÎÙ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ, ÒÁ×ÎÏ C (16; 6) = 8 008, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 7 532 ÔÒÅÂÕÅÍÙÈ ÓÏÓÔÁ×Ï×. (×) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ U ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ. ëÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ . ÚÁÄÁÞÉ, ÅÇÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ 250 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÁ |U | = 8 008: ðÕÓÔØ X | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÏÔÄÅÌÏ×. ÷ ÜÔÏÍ . ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X . ïÄÎÁËÏ, ÏÓÌÅ ÚÒÅÌÏÇÏ ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÑ, ÍÏÖÎÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÒÏÝÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÅÇÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ x = U \ X , ÏÔËÕÄÁ ÌÅÇËÏ ÂÕÄÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÔ×ÅÔ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ÓÏÓÔÁ×Ù ÔÅÈ ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÏÔÄÅÌÏ×. ðÕÓÔØ A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÒÉÇÌÁÓÉÌÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×ÅÎÎÉËÏ×, B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ ÂÅÚ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÏÔÄÅÌÁ ÓÂÙÔÁ É, ÎÁËÏÎÅ , C | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÂÙÌÏ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÏ×. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, X = A ∪ B ∪ C: íÙ ÕÖÅ ÕÍÅÅÍ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÔÒÅÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× (ÓÍ. ÓÔÒ. 60). ðÒÉÍÅÎÉÍ ÎÁÛÉ ÚÎÁÎÉÑ Ë ÜÔÏÊ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ. |X | = |A ∪ B ∪ C | = = |A| + |B | + |C |− − |A ∩ B | − |A ∪ C | − |B ∩ C | + |A ∩ B ∩ C |: ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÈ × ÆÏÒÍÕÌÅ, ÏÔÄÅÌØÎÏ: |A| = C (8; 6) = 28; |B | = C (11; 6) = 462; |C | = C (13; 6) = 1 716: íÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∩ B ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ÓÏÓÔÁ×Ù ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÇÌÁÓÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÏ×. îÏ × ÓÏ×ÅÝÁÎÉÉ ÄÏÌÖÎÙ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÕÞÁÓÔÉÅ 6 ÞÅÌÏ×ÅË, Á ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÏ× | ×ÓÅÇÏ ÔÒÏÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A∩B = ∅ É |A∩B | = 0. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, A ∩ C ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÅÈ ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÌÉ ÔÏÌØËÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ÏÔÄÅÌÁ ÓÂÙÔÁ. ÷×ÉÄÕ ÍÁÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ ÔÁËÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ, ÉÍÅÅÍ: |A ∩ C | = 0. îÅÕÓÔÙÍ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ B ∩ C , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÙÌÉ ÔÏÌØËÏ òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 251 ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×ÅÎÎÉËÉ. ðÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÉ ÉÍÅÅÍ: |B ∩ C | = C (8; 6) = 28: ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ A ∩ B ∩ C = ∅, ÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, A ∩ B = ∅. éÔÁË, |X | = |A ∪ B ∪ C | = = 28 + 462 + 1 716 − 28 = 2 178: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, |X | = |U | − |X | = 5 830: 6.9. (Á) ëÁÖÄÙÊ ÚÁËÁÚ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ×ÙÂÏÒËÕ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÛÅÓÔÉ ÏÂßÅËÔÏ× ÑÔÉ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÉÏ×. éÈ ÞÉÓÌÏ ÒÁ×ÎÏ C (n + k − 1; n − 1), ÇÄÅ n = 5 É k = 6. úÎÁÞÉÔ, ÏÆÉ ÉÁÎÔ ÍÏÖÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ C (10; 4) = 210 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÁËÁÚÏ×. (Â) ëÁÖÄÙÊ ÂÕËÅÔ | ÜÔÏ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ 12 ÒÏÚ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÞÅÔÙÒÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÉÏ×. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ C (4 + 12 − 1; 4 − 1) = C (15; 3) = 455 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÕËÅÔÁ. 6.10. (Á) îÁÂÏÒ ÏÔËÒÙÔÏË | ÜÔÏ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ Ó Ï- ×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÑÔÉ ÏÂßÅËÔÏ× ÞÅÔÙÒÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÉÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ C (4 + 5 − 1; 4 − 1) = C (8; 3) = 56 ÎÁÂÏÒÏ× ÏÔËÒÙÔÏË. (Â) ÷ÙÂÒÁÔØ Ä×Á ÔÉÁ ÏÔËÒÙÔÏË ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÛÅÓÔØÀ ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ÏÓËÏÌØËÕ C (4; 2) = 6. ðÒÉ ËÁÖÄÏÍ ×ÙÂÏÒÅ ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÓÄÅÌÁÔØ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ×ÙÂÏÒËÕ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÑÔÉ ÏÂßÅËÔÏ× ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÔÉÏ×. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ C (2 + 5 − 1; 2 − 1) = C (6; 1) = 6 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. èÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÔÅÅÒØ ÅÒÅÍÎÏÖÉÔØ ÛÅÓÔØ ÎÁ ÛÅÓÔØ É ÏÌÕÞÉÔØ ÏÔ×ÅÔ. ïÄÎÁËÏ ÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÓÅÛÎÏÍ ÒÅÛÅÎÉÉ ÌÅÇËÏ ÄÏÕÓÔÉÔØ ÏÛÉÂËÕ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÍÙ 252 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÏÇÒÁÎÉÞÉÌÉÓØ ÔÉÁÍÉ A É B ÒÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÓËÉÈ ÏÔËÒÙÔÏË. ÏÇÄÁ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÑÔÉ ÏÔËÒÙÔÏË ÜÔÉÈ ÔÉÏ× ÏËÁÖÕÔÓÑ Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ, ÅÌÉËÏÍ ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÉÚ ÏÔËÒÙÔÏË ÏÄÎÏÇÏ ÔÉÁ: 5A É 5B . åÓÌÉ ÖÅ ÍÙ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÔÉÁÍÉ A É C , ÔÏ ÓÒÅÄÉ ÎÁÂÏÒÏ× ÏÔËÒÙÔÏË ÔÁËÉÈ ÔÉÏ× ÂÕÄÕÔ ÎÁÂÏÒÙ 5A É 5C . úÎÁÞÉÔ, ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÒÁ×ÉÌÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ÍÙ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÕÞÔÅÍ ÏÄÎÏÔÉÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ ÏÔËÒÙÔÏË. úÁÍÅÔÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÙÂÏÒÏË ÑÔÉ ÏÔËÒÙÔÏË Ä×ÕÈ ÔÉÏ× Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ, ÞÔÏ × ÎÉÈ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÔËÒÙÔËÉ ÏÂÏÉÈ ÔÉÏ×, ÒÁ×ÎÏ 6 − 2 = 4. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÔÏÂÒÁÔØ 5 ÎÅ ÏÄÎÏÔÉÎÙÈ ÏÔËÒÙÔÏË Ä×ÕÈ ×ÉÄÏ×, ÒÁ×ÎÏ 4 · 6 = 24. ïÓÔÁÌÏÓØ ÕÞÅÓÔØ 4 ÏÄÎÏÔÉÎÙÈ ÎÁÂÏÒÁ. ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ: 28. 6.11. (Á) ÷ÏÓØÍÁÑ, ÄÅ×ÑÔÁÑ É ÄÅÓÑÔÁÑ ÓÔÒÏËÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ: 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1: (Â) ÷ÚÑ× ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ÞÉÓÌÁ ÉÚ ×ÏÓØÍÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ, ÏÌÕÞÉÍ 1 + 2 · 7 + 21 = 36; 7 + 2 · 21 + 35 = 84; 21 + 2 · 35 + 35 = 126; É Ô. Ä. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ÄÅÓÑÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ. (×) ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ ðÁÓËÁÌÑ C (n; k ) + C (n; k + 1) = C (n + 1; k + 1) É C (n; k + 1) + C (n; k + 2) = C (n + 1; k + 2): óÌÏÖÉ× ÜÔÉ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á, ÒÉÄÅÍ Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ C (n; k ) + 2C (n; k + 1) + C (n; k + 2) = = C (n + 1; k + 1) + C (n + 1; k + 2): ÷ÎÏ×Ø ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ðÁÓËÁÌÑ, ÏÌÕÞÉÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ: C (n; k ) + 2C (n; k + 1) + C (n; k + 2) = C (n + 2; k + 2): òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 253 6.12. (Á) ðÏÌÏÖÉ× a = b = 1 × ÂÉÎÏÍÅ îØÀÔÏÎÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ C (n; 0) + C (n; 1) + · · · + C )n; n) = (1 + 1)n = 2n : þÉÓÌÏ k -ÜÌÅÍÅÎÔÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÍÏÝÎÏÓÔÉ n ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ n ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÂÅÚ ÕÞÅÔÁ ÏÒÑÄËÁ É Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÚÎÁÅÍ, ÏÎÏ ÒÁ×ÎÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ C (n; k ). ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á × S ÍÏÇÕÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ 0 ÉÌÉ 1, ÉÌÉ 2, ÉÌÉ ... ÉÌÉ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. úÎÁÞÉÔ, × n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ C (n; 0) + C (n; 1) + · · · + C )n; n) = 2n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×. (Â) ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ a = 1, b = −1 × ÂÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ ÄÁÅÔ C (n; 0) − C (n; 1) + C (n; 2) − · · · + (−1)n C (n; n) = = (1 − 1)n = 0: 6.13. (Á) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 11! ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÂÕË× á, â, ò, á, ë, á, ä, á, â, ò É á. ÁË ËÁË ÑÔØ ÂÕË× á, Ä×Å ÂÕË×Ù â É Ä×Å ÂÕË×Ù ò ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏÔÌÉÞÉÔØ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 11! = 83 160 5!2!2! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÌÏ×. (Â) ðÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÕË×Ù á, â, ò, á, á, ä, á, â, ò É á, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ 10! = 7560 5!2!2! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÌÏ×. òÏ×ÎÏ ÓÔÏÌØËÏ ÓÌÏ×, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÈÓÑ Ó ÂÕË×Ù ë, ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÕË×Ù × ÓÌÏ×Å áâòáëáäáâòá. (×) üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÌÅÇËÏ ÒÅÛÁÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ââ ÓÞÉÔÁÔØ ÏÄÎÏÊ ÂÕË×ÏÊ. éÔÁË, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 10! = 15 120 5!2! ÒÁÚÎÙÈ ÓÌÏ×, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈ ÕËÁÚÁÎÎÙÍ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. 254 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6.14. (Á) éÓËÏÍÙÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÁ×ÅÎ C (8; 5) = 56. (Â) ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xy 3 z 4 , ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (x + y + z )8 , ÒÁ×ÅÎ 8! = 280: 1!3!4! (×) ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ ab2 d, ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (a + b + + d)5 , ÒÁ×ÅÎ 5! = 60: 1!2!1!1! äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÑÔÁÑ ÓÔÅÅÎØ ÓÕÍÍÙ a + b + + d ÉÍÅÅÔ ÞÌÅÎ 60ab2 d. ðÕÓÔØ a = x, b = 2y , = z É d = −1. ÏÇÄÁ, ÒÁÓËÒÙ×ÁÑ ÓËÏÂËÉ × (x + 2y + z − 1)5 , ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÞÌÅÎ 60x(2y )2 z (−1) = −240xy 2 z . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xy 2 z × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (x + 2y + z − 1)5 ÒÁ×ÅÎ −240. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7 7.1. ëÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ G ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÏÎÏ ×ÎÏÓÉÔ ×ËÌÁÄ × ÓÔÅÅÎØ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ, ÒÁ×ÎÙÊ 1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÕÍÍÉÒÕÑ ÓÔÅÅÎÉ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ, Ï ÞÅÍ ÎÕÖÎÏ ÏÍÎÉÔØ, ÜÔÏ ÔÏ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ uv ÍÙ ÏÄÓÞÉÔÁÅÍ Ä×ÁÖÄÙ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÓÔÅÅÎÉ ×ÅÒÛÉÎÙ u É v . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ ÒÁ×ÎÁ ÕÄ×ÏÅÎÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÒÅÂÅÒ × ÒÏÓÔÏÍ ÇÒÁÆÅ. ëÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ Kn ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ Ó ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. úÎÁÞÉÔ, ÓÔÅÅÎØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ Kn ÒÁ×ÎÁ (n − 1). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ, ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ n(n − 1). ðÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÌÅÍÍÅ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÒÁ×ÎÏ n(n2−1) . ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÏÎÑÌÉ, ÓÔÅÅÎØ ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ Kn ÒÁ×ÎÁ (n − 1). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÎÕÖÎÏ ×ÓÏÍÎÉÔØ, ÞÔÏ ÇÒÁÆ G Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÌÀÂÁÑ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÞÅÔÎÕÀ ÓÔÅÅÎØ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ Kn | ÜÊÌÅÒÏ× ÇÒÁÆ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ n | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÂÏÌØÛÅÅ 1. 7.2. ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÒÏÓÔÏÊ ÇÒÁÆ Ó n > 2 ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ S ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ. ÷×ÉÄÕ òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 255 ÒÏÓÔÏÔÙ ÇÒÁÆÁ G, ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÔÅÅÎØ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÁ n − 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, S ⊂ {0; 1; 2; : : : ; n − 1}: ïÄÎÁËÏ S ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É 0, É n − 1, × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ×ÅÒÛÉÎÁ ÓÔÅÅÎÉ n − 1 ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ É Ó ÔÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÅÎØ 0, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. éÔÁË, |S | 6 n − 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : V −→ S , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÇÒÁÆÁ G ÅÅ ÓÔÅÅÎØ. ðÏÓËÏÌØËÕ |V | = n, ÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: |V | > |S |. ÁË ÞÔÏ, Ï ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ, ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÆÕÎË ÉÑ f ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, Ô. Å. Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ. 7.3. ðÒÏÎÕÍÅÒÕÅÍ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ- ÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 6, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÏÍÅÒÁÍ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ. éÚÏÂÒÁÚÉÍ ÇÒÁÆ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.1. 2 3 4 1 5 6 òÉÓÕÎÏË ò7.1. íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ Kn ÉÍÅÅÔ n ÓÔÒÏË É n ÓÔÏÌÂ Ï×. îÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÅÅ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ (ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÓÔÒÏË ÓÏ ÓÔÏÌÂ ÁÍÉ ÔÏÇÏ ÖÅ ÎÏÍÅÒÁ) ÓÔÏÉÔ ì, Á ×ÎÅ ÅÅ | é. à á òÉÓÕÎÏË ò7.2. â 256 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7.4. ðÒÏÎÕÍÅÒÏ×Á× ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ÍÁÔÒÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 4, ÉÚÏÂÒÁÚÉÍ ÇÒÁÆÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÜÔÉÍ ÍÁÔÒÉ ÁÍ (ÒÉÓ. ò7.2). ïÂÏÚÎÁÞÉ× ÏÄÈÏÄÑÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÏ× G, H É K , ÍÏÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.2 (a) ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÇÒÁÆ H , ÎÁ ÒÉÓ. ò7.2 (Â) | ÇÒÁÆ K , Á ÎÁ ÒÉÓ. ò7.2 (×) | G. 7.5. îÁ ÒÉÓ. ò7.3 ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÔÅ ÇÒÁÆÙ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÇÒÁÆÁÍÉ ÇÒÁÆÁ ÉÚ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ 7.3. 7.6. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ ÉËÌÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌ 1 2 6 8 7 5 4 3 1: óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉËÌÏ× ÄÌÉÎ 3, 4, 5, 6 É 7. ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 3: 2 8 6 2, 2 8 7 2, 4 7 8 4 É 4 5 7 4. ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 4: 2 7 8 6 2, 2 8 4 7 2 É 4 5 7 8 4. ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 5: 1 2 7 4 3 1, 1 2 8 4 3 1, 2 6 8 4 7 2 É 2 7 5 4 8 2. ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 6: 1 2 7 5 4 3 1, 1 2 8 7 4 3 1, 1 2 7 8 4 3 1 É 1 2 6 8 4 3 1. ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 7: 1 2 6 8 7 4 3 1 É 1 3 4 5 7 8 2 1. òÉÓÕÎÏË ò7.3. 7.7. ãÉËÌ ÄÌÉÎÙ 9: a b f j i d g h a. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ C ÇÉÏÔÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ ÇÒÁÆÁ P . ðÏÓËÏÌØËÕ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ ÄÏÌÖÅÎ ÏÂÏÊÔÉ ËÁË ×ÅÒÛÉÎÙ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÔÁË É ÏÍÅÝÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÌÕÞÁÈ Ú×ÅÚÄÙ, ÏÎ ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÏÄÎÏ ÉÚ ÒÅÂÅÒ: ah, bf , i, dg ÉÌÉ ej . âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÉËÌ C ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ÒÅÂÒÏ ah. ÅÅÒØ, ÞÔÏÂÙ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÉËÌ C ×ÅÒÛÉÎÕ a, ÎÕÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÒÅÂÒÏ ab ÉÌÉ ae. ÷×ÉÄÕ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ, ÎÅ ÎÁÒÕÛÁÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ × ÉËÌ C ×ËÌÀÞÅÎÏ ÒÅÂÒÏ ae. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 257 × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÍ ÉËÌÅ ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ ÉÎÄÅËÓ 2 (ÏÄÎÏ ÒÅÂÒÏ ÏÄÈÏÄÉÔ Ë ÎÅÊ, Á ÄÒÕÇÏÅ ×ÙÈÏÄÉÔ ÉÚ ÎÅÅ). ðÏÜÔÏÍÕ ÉËÌ C ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÒÅÂÒÁ ab. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÒÏÊÔÉ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ b (×ÏÊÔÉ × ÎÅÅ É ×ÙÊÔÉ). ðÏÜÔÏÍÕ ÉËÌ C ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÂÁ ÒÅÂÒÁ: bf É b . ÷ÅÒÛÉÎÁ e ÄÏÌÖÎÁ ×ÈÏÄÉÔØ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ ÓÏ ÓÔÅÅÎØÀ 2. ðÏÜÔÏÍÕ ÉËÌ C ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÉÚ ÒÅÂÅÒ: ej ÉÌÉ de. òÁÚÂÅÒÅÍ ÜÔÉ ÓÌÕÞÁÉ ÏÔÄÅÌØÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÉËÌ C ×ÈÏÄÉÔ ÒÅÂÒÏ ej . ÏÇÄÁ ÒÅÂÒÏ ed ÎÁÍ ÒÉÄÅÔÓÑ ÉÓËÌÀÞÉÔØ ÉÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ. éÚÏÂÒÁÚÉÍ ÇÒÁÆ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.4, ×ÙÄÅÌÉ× ÎÁ ÎÅÍ ÒÅÂÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ×ËÌÀÞÉÌÉ × ÉËÌ C , É ÕÄÁÌÉ× ÔÅ, ËÏÔÏÒÙÅ × C ÕÖÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔØÓÑ ÎÅ ÍÏÇÕÔ. b f a c h i j e g d òÉÓÕÎÏË ò7.4. ïÔÄÅÌØÎÙÅ ÒÅÂÒÁ ÇÉÏÔÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉËÌÁ C éÚ ÒÉÓÕÎËÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ d ÍÏÖÎÏ ÒÏÊÔÉ ÔÏÌØËÏ Ï ÒÅÂÒÁÍ dg É d . úÎÁÞÉÔ, ÉÈ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÉËÌ C . ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÒÅÂÒÏ i ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÛÎÉÍ É ÅÇÏ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÕÄÁÌÉÔØ. ÅÅÒØ × ÎÁÛÅÍ ÇÒÁÆÅ ÏÓÔÁÌÏÓØ Ä×Á ÒÅÂÒÁ, ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎÅ i. ÷ËÌÀÞÁÑ ×ÅÒÛÉÎÕ i × ÉËÌ C , ÍÙ Ó ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØÀ ÄÏÌÖÎÙ ÄÏÂÁ×ÉÔØ Ë ÎÅÍÕ É ÒÅÂÒÁ hj É ji, ÕÄÁÌÉ× ÒÉ ÜÔÏÍ hg É jf . ðÏÄ×ÏÄÑ ÉÔÏÇ ÜÔÏÍÕ ÜÔÁÕ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÉÚÏÂÒÁÚÉÍ ÎÁÛÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.5. ÅÅÒØ ÍÙ ×ÙÎÕÖÄÅÎÙ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÉËÌ C ÒÅÂÒÏ f g , ÄÁÂÙ ÉÍÅÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÏÊÔÉ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÙ f É g . ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁ- 258 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÔÅ C ÂÕÄÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÅÓ×ÑÚÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ, Ô. Å. ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÉËÌÏÍ, ÎÅ ÇÏ×ÏÒÑ ÕÖÅ Ï ÅÇÏ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÓÔÉ. éÔÁË, ×ÙÂÏÒ ÒÅÂÒÁ ej ×ÅÄÅÔ Ë ÎÅÕÄÁÞÅ × ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÉËÌÁ. b f a c h i j g e d òÉÓÕÎÏË ò7.5. b f a c h i j g e d òÉÓÕÎÏË ò7.6. äÏÕÓÔÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÍÙ ×ËÌÀÞÉÌÉ × ÉËÌ C ÒÅÂÒÏ ed, Á ÒÅÂÒÏ ej , ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ×ÙÂÒÏÓÉÌÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÛÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.6. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 259 îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÒÉÓ. ò7.6 ÏÔÞÅÔÌÉ×Ï ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ ×ÅÒÛÉÎÙ j Ë ÉËÌÕ C ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÄÏÂÁ×ÉÔØ Ë ÎÅÍÕ ÒÅÂÒÁ f j É ji. îÏ ÔÏÇÄÁ ÒÅÂÒÏ f g ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÛÎÉÍ, ÏÓËÏÌØËÕ Ä×Á ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÒÅÂÒÁ, ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ Ë ×ÅÒÛÉÎÅ f , ÕÖÅ ×ÏÛÌÉ × ÉËÌ C . ÷ÙÂÒÏÓÉÍ ÒÅÂÒÏ f g . ÅÅÒØ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ g ÏÓÔÁÌÏÓØ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÒÅÂÒÁ: gd É gh. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔØ ÉÈ Ë ÉËÌÕ, Á ÒÅÂÒÁ hi É d ÏÔÂÒÏÓÉÔØ ËÁË ÎÅÎÕÖÎÙÅ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ ÒÉÓ. ò7.7, ÏÄÎÏÇÏ ×ÚÇÌÑÄÁ ÎÁ ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÑÔØ: ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔØ Ë ÉËÌÕ ÒÅÂÒÏ i , ÞÔÏ ÏÑÔØ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë Ä×ÕÍ ÎÅÓ×ÑÚÎÙÍ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍ. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ × ÇÒÁÆÅ P ÎÅÔ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, P | ÎÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÇÒÁÆ. b f a c h i j g e d òÉÓÕÎÏË ò7.7. 7.8. (Á) áÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÍÁÒÛÒÕÔ A C B D E A ÏÂÝÅÊ ÄÌÉ- ÎÙ 4 + 2 + 3 + 2 + 8 = 19. (Â) áÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÍÁÒÛÒÕÔ D E B C A D ÏÂÝÅÊ ÄÌÉÎÙ 2 + 4 + 2 + 4 + 5 = 17. 7.9. ðÒÏÎÕÍÅÒÏ×Á× ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ÍÁÔÒÉ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 6, ÏÓÔÒÏÉÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÇÒÁÆÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.8. (Á) çÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.8 (Á) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉËÌ 2 4 5 3 6 2. 260 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ (Â) çÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.8 (Â) | ÄÅÒÅ×Ï, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎ Ó×ÑÚÅÎ, ÉÍÅÅÔ ÛÅÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ É ÑÔØ ÒÅÂÅÒ. (á) (à) òÉÓÕÎÏË ò7.8. 7.10. ðÕÓÔØ n | ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÎÁÛÅÇÏ ÄÅÒÅ×Á. ÏÇÄÁ ÓÕÍÍÁ ÉÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ÒÁ×ÎÁ 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + (n − 7) = n + 10: ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÄÅÒÅ×Á T ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÒÏ×ÎÏ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ÍÅÎØÛÅ ÞÉÓÌÁ ×ÅÒÛÉÎ, Ô. Å. ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÒÁ×ÎÏ n − 1. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÌÅÍÍÕ ÏÂ ÜÓÔÁÆÅÔÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ: n + 10 = 2(n − 1): óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n = 12, ÏÔËÕÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÄÅÒÅ×Á T ÓÏ ÓÔÅÅÎØÀ 1 ÒÁ×ÎÏ ÑÔÉ. 7.11. (Á) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÌÅÓÁ G ÞÅÒÅÚ T1 , T2 , . . . , Tk . âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÄÅÒÅ×Ï Ti ÉÍÅÅÔ ni ×ÅÒÛÉÎ (i = 1; : : : ; k ). õ ËÁÖÄÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á Ti ÅÓÔØ (ni − 1) ÒÅÂÅÒ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÌÅÓÁ G ÒÁ×ÎÏ (n1 −1)+(n2 −1)+· · ·+(nk −1) = n1 +n2 +· · ·+nk −k = n−k: (Â) äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó Ä×ÕÍÑ É ÂÏÌÅÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×ÕÍÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÓÔÅÅÎÉ 1. ðÕÓÔØ T | ÄÅÒÅ×Ï Ó r > 2 ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ Õ ÎÅÇÏ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ 1. ÏÇÄÁ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ r − 1 ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÓÔÅÅÎØ 2 É ÂÏÌÅÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÂÕÄÅÔ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ 1 + 2(r − 1) = 2r − 1. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, Õ ÄÅÒÅ×Á T ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ r − 1 ÒÅÂÒÏ É, Ï ÌÅÍÍÅ ÏÂ ÜÓÔÁÆÅÔÅ, ÕÄ×ÏÅÎÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ 2(r − 1) òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 261 ÄÏÌÖÎÏ ÓÏ×ÁÄÁÔØ Ó ÓÕÍÍÏÊ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎ, ËÏÔÏÒÁÑ, ËÁË ÍÙ ×ÙÑÓÎÉÌÉ, ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ 2r − 1. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÙÊ ÆÁËÔ. (×) ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÅÛÅÎÎÙÊ . (Á) ÚÁÄÁÞÉ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÙÊ ÌÅÓ G ÉÍÅÅÔ 9 − 6 = 3 ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. ðÏ . (Â) Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÎÁ ÉÚ ÜÔÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÄÏÌÖÎÁ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ (ÂÅÚ ÒÅÂÅÒ). ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ Ä×Å ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÄÏÌÖÎÙ ÉÍÅÔØ ×ÏÓÅÍØ ×ÅÒÛÉÎ É ÛÅÓÔØ ÒÅÂÅÒ. íÏÖÎÏ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÇÒÁÆÏ×, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÏÓÌÅÄÎÅÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ. ïÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.9. ïÎ ÉÍÅÅÔ ÑÔØ ×ÅÒÛÉÎ ÓÔÅÅÎÉ 1. òÉÓÕÎÏË ò7.9. 7.12. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÅÂÒÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÅÓÁ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÎÅ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÍ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ, ÓÌÅÄÑ ÒÉ ÜÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÎÅ ÏÑ×ÌÑÌÉÓØ ÉËÌÙ. ïÄÎÁ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÂÅÒ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ: BE , AB , EF , EG, F H , DG É CD . íï, ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.10. òÉÓÕÎÏË ò7.10. 7.13. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÇÏÒÏÄ áÔÌÏÎ, ÞÅÒÅÚ D | äÕÂÌÉÎ, ÞÅÒÅÚ G | çÏÌÕÜÊ, ÞÅÒÅÚ L | ìÉÍÅÒÉË, ÞÅÒÅÚ S | óÌÁÊÇÏ É ÞÅÒÅÚ 262 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ W | õÜËÓÆÏÒÄ. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ: AG (×ÅÓÁ 56), GL (×ÅÓÁ 64) É AS (×ÅÓÁ 71). ïÎ ÚÁÂÒÁËÕÅÔ ÒÅÂÒÏ AL (×ÅÓÁ 73), ÏÓËÏÌØËÕ ÄÏÂÁ×É× ÅÇÏ, ÏÌÕÞÉÔ ÉËÌ. äÁÌÅÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÔÂÅÒÅÔ ÒÅÂÒÏ AD (×ÅÓÁ 78), Á ÒÅÂÒÏ GS (×ÅÓÁ 85) ÚÁÂÒÁËÕÅÔ (ÉÎÁÞÅ ÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ ÉËÌ). ðÏÓÌÅÄÎÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔ ÒÅÂÒÏ DW (×ÅÓÏÍ 96). ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ íï (ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ 365), ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.11. A G L S W D òÉÓÕÎÏË ò7.11. íï ÇÏÒÏÄÏ× éÒÌÁÎÄÉÉ 7.14. (Á) óÍÏÔÒÉ ÒÉÓ. ò7.12. òÉÓÕÎÏË ò7.12. (Â) ðÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ 1 ÉÍÅÅÔ 2 ÌÉÓÔÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, 21 = 2. úÎÁÞÉÔ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ ÒÉ n = 1. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ k ÉÍÅÅÔ 2k ÌÉÓÔÁ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ k > 1. úÎÁÞÉÔ, × ÏÌÎÏÍ Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ k + 1 ÂÕÄÅÔ 2k ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ×ÅÒÛÉÎ ÇÌÕÂÉÎÙ k . ÁË ËÁË ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ×ÅÒÛÉÎ ÉÍÅÅÔ Ä×ÕÈ ÓÙÎÏ×ÅÊ, × ÔÁËÏÍ ÇÒÁÆÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ 2 · 2k = 2k+1 ×ÅÒÛÉÎ ÇÌÕÂÉÎÙ k + 1. ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÔÁËÏÊ ÇÌÕÂÉÎÙ × ÄÅÒÅ×Å ÇÌÕÂÉÎÙ k + 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÓÔÏÍ. éÓÏÌØÚÕÑ ÒÉÎ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 263 ÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ n ÉÍÅÅÔ 2n ÌÉÓÔØÅ×. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 8 8.1. óÍÏÔÒÉ ÒÉÓ. ò8.1. (Á) ëÒÁÔÞÁÊÛÉÍ ÕÔÅÍ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 1 ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÔØ 1 4 6 2. (Â) åÓÔØ Ä×Á ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 3 ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ 6: 3 5 6 É 3 2 6. (×) ïÄÉÎ ÉÚ ËÏÎÔÕÒÏ× ÄÌÉÎÙ 5 | ÜÔÏ ËÏÎÔÕÒ 1 4 6 3 2 1. òÉÓÕÎÏË ò8.1. 8.2. ëÁÖÄÁÑ ÄÕÇÁ uv ×ÎÏÓÉÔ ×ËÌÁÄ, ÒÁ×ÎÙÊ 1, × ÏÌÕÓÔÅÅÎØ ÉÓÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ u É ÔÁËÏÊ ÖÅ ×ËÌÁÄ × ÏÌÕÓÔÅÅÎØ ÚÁÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÕÍÍÁ ÏÌÕÓÔÅÅÎÅÊ ÉÓÈÏÄÁ ×ÓÅÈ ×ÅÒ- ÛÉÎ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÄÕÇ ÇÒÁÆÁ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ É ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÕÍÍÙ ÏÌÕÓÔÅÅÎÅÊ ÚÁÈÏÄÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ×ÅÒÛÉÎÅ v ÏÒÇÒÁÆÁ. âÕË×Á é × ÜÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ × ÓÔÏÌÂ Å, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ×ÅÒÛÉÎÅ u × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ × ÇÒÁÆÅ ÅÓÔØ ÄÕÇÁ, ×ÅÄÕÝÁÑ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ v Ë ×ÅÒÛÉÎÅ u. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÉÓÌÏ ÂÕË× é × ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÅ v , ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÌÕÓÔÅÅÎØÀ ÉÓÈÏÄÁ Æ + (v ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÞÉÓÌÏ ÂÕË× é, ÓÔÏÑÝÉÈ × ÓÔÏÌÂ Å 264 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÒÁ×ÎÏ ÏÌÕÓÔÅÅÎÉ ÚÁÈÏÄÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ Æ − (u). 8.3. (Á) ïÒÇÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÓÌÅ- ×Á, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÌÕÓÔÅÅÎØ ÚÁÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ d ÒÁ×ÎÁ 0 (× ×ÅÒÛÉÎÕ d ÎÅ ×ÅÄÅÔ ÎÉËÁËÁÑ ÄÕÇÁ). úÎÁÞÉÔ, ÍÙ ÎÅ ÓÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÕÔÉ ÉÚ ÌÀÂÏÊ ÎÁÅÒÅÄ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÜÔÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ × ×ÅÒÛÉÎÕ d. ïÒÇÒÁÆ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÊ × ÓÅÒÅÄÉÎÅ ÒÉÓÕÎËÁ, ÔÏÖÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÔÏÌØËÏ Ï ÄÒÕÇÏÊ ÒÉÞÉÎÅ: ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ d ÎÅ ×ÙÈÏÄÑÔ ÄÕÇÉ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÅÅ ÏÌÕÓÔÅÅÎØ ÉÓÈÏÄÁ ÒÁ×ÎÁ 0. ëÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÍÙ ÎÅ ÓÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÕÔÉ, ×ÅÄÕÝÅÇÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ d ËÕÄÁ ÂÙ ÔÏ ÎÉ ÂÙÌÏ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÏÒÇÒÁÆ | ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÊ. ÷ ÎÅÍ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÔÕÒ a b d e a, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÕÔØ, ×ÅÄÕÝÉÊ ÏÔ ÅÒ×ÏÊ ËÏ ×ÔÏÒÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ b d e a | ÕÔØ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ b Ë a. (Â) ðÕÓÔØ C | ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÍ ÇÒÁÆÅ. ïÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÉËÌ C ÂÙÌ ÒÁ×ÅÎ v0 v1 v2 : : : vk v0 : ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÒÅÂÒÏ vi−1 vi ÒÅ×ÒÁÔÉÌÏÓØ × ÄÕÇÕ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ vi−1 É ËÏÎ ÏÍ vi . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÅÒÛÉÎÁ vk ÂÙÌÁ ÎÁÞÁÌÏÍ ÄÕÇÉ vk v0 . ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ ÍÏÖÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÏÌÕÞÉ×ÛÉÊÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÒÇÒÁÆ ÂÕÄÅÔ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ÓÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÕÔØ ÏÔ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ Ë ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ, ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÏÂÒÁÚÏ×Á×ÛÉÍÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÕÔÅÍ v0 v1 v2 : : : vk v0 , ÒÏÈÏÄÑÝÉÍ ÞÅÒÅÚ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ. (×) åÓÌÉ ÂÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÏÒÇÒÁÆ ÎÅ ÂÙÌ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÔÏ ÍÏÇÌÏ ÏËÁÚÁÔØÓÑ, ÞÔÏ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÊÏÎÁ ÇÏÒÏÄÁ ÎÅÌØÚÑ ÂÙÌÏ ÂÙ ÏÁÓÔØ × ÄÒÕÇÏÊ. 8.4. ÷ÙÉÛÅÍ ÉÓÈÏÄÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×: A(a) = {b}; A(b) = { }; A( ) = ∅; A(d) = {a; e}; A(e) = { }; A(f ) = {b; d; e}: ðÒÉÓ×ÏÉ× ÎÏÍÅÒ 1 ×ÅÒÛÉÎÅ , ÕÄÁÌÉÍ ÅÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÍÉ ÅÊ ÄÕÇÁÍÉ. íÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ× ÉÚÍÅÎÑÔÓÑ ÓÌÅÄÕ- òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 265 ÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: A(a) = {b}; A(b) = ∅; A(d) = {a; e}; A(e) = ∅; A(f ) = {b; d; e}: ÅÅÒØ Õ ÎÁÓ ×ÏÚÎÉËÌÏ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÔÂÒÏÓÉÔØ. ðÒÉÓ×ÏÉÍ ÎÏÍÅÒ 2 ×ÅÒÛÉÎÅ b É ÕÄÁÌÉÍ ÅÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÄÕÇÁÍÉ. ðÏÌÕÞÉÍ ÎÏ×ÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅÅÄÅÎÔÏ×: A(a) = ∅; A(d) = {a; e}; A(e) = ∅; A(f ) = {d; e}: ïÑÔØ ÅÓÔØ Ó×ÏÂÏÄÁ × ×ÙÂÏÒÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÌÑ ÕÄÁÌÅÎÉÑ. ðÒÉÓ×ÏÉÍ ÎÏÍÅÒ 3 ×ÅÒÛÉÎÅ a É ÕÄÁÌÉÍ ÅÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÄÕÇÁÍÉ. ðÏÄÒÁ×ÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×: A(d) = {e}; A(e) = ∅; A(f ) = {d; e}: õÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ e ×ÍÅÓÔÅ Ó ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÍÉ ÅÊ ÄÕÇÁÍÉ, ÒÉÓ×ÏÉ× ÅÊ ÎÏÍÅÒ 4. ÏÇÄÁ A{d} = ∅; A(f ) = {d}: ðÒÉÓ×ÏÉÍ ÎÏÍÅÒ 5 ×ÅÒÛÉÎÅ d É ÕÄÁÌÉÍ ÅÅ, ×ÙÂÒÏÓÉ× É ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ Ë ÎÅÊ ÄÕÇÉ. ÅÅÒØ ÏÓÔÁÌÁÓØ ÏÄÎÁ ×ÅÒÛÉÎÁ Ó ÕÓÔÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×: A(f ) = ∅: ðÒÉÓ×ÏÉÍ ×ÅÒÛÉÎÅ f ÎÏÍÅÒ 6. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË: (1), b(2), a(3), e(4), d(5) É f (6). îÏ×ÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: b a e d f         ì ì ì ì ì ì b a e d f é ì ì ì ì ì ì é ì ì ì ì é ì ì ì ì ì ì ì é é ì ì ì é ì é é ì     :    ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÔÏÌÂ Ù É ÓÔÒÏËÉ ÎÏ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÚÁÉÓÁÎÙ × ÏÒÑÄËÅ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÅÔÏË, 266 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÔÏ ÅÅ ×ÅÒÈÎÅÔÒÅÕÇÏÌØÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÄÁÅÔ ÏÌÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÏÂ ÏÒÇÒÁÆÅ. ÷ÓÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ× ÏÒÇÒÁÆÁ ÉÚ ÕÒ. 8.1 ÎÅ ÕÓÔÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÜÔÏÍ ÏÒÇÒÁÆÅ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ËÏÎÔÕÒÙ É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÓÏÚÄÁÔØ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÎÅ ÓÍÏÖÅÔ ÒÉÓ×ÏÉÔØ ÅÒ×ÕÀ ÍÅÔËÕ ÎÉ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ. 8.5. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ðåò ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò8.2. À Á Â Ã Ä Å Æ Ç È Ê Ë òÉÓÕÎÏË ò8.2. óÉÓÔÅÍÁ ðåò ÄÌÑ ÒÉÇÏÔÏ×ÌÅÎÉÑ ÙÌÅÎËÁ éÓÈÏÄÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×: A(á) = {é}; A(â) = {ì}; A(÷) = {ì}; A(ç) = {ë}; A(ä) = {â; ÷}; A(å) = ∅; A(ö) = {é}; A(ú) = {é}; A(é) = {å}; A(ë) = {á; ö; ú; ì}; A(ì) = ∅: éÔÁË, ÒÉÓ×ÏÉ× ÍÅÔËÉ 1 É 2 ×ÅÒÛÉÎÁÍ å É ì ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÕÄÁÌÉÍ ÉÈ ÉÚ ÏÒÇÒÁÆÁ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÍÉ ÉÍ ÄÕÇÁÍÉ. ÏÇÄÁ A(á) = {é}; A(â) = ∅; A(÷) = ∅; A(ç) = {ë}; A(ä) = {â; ÷}; A(ö) = {é}; A(ú) = {é}; A(é) = ∅; A(ë) = {á; ö; ú}: ïÂÏÚÎÁÞÉ× ×ÅÒÛÉÎÕ â ÍÅÔËÏÊ 3, ÷ | ÍÅÔËÏÊ 4 É é | ÍÅÔËÏÊ 5, ÕÄÁÌÉÍ â, ÷ É é ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÄÕÇÁÍÉ. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 267 ÅÅÒØ A(á) = ∅; A(ç) = {ë}; A(ä) = ∅; A(ö) = ∅; A(ú) = ∅; A(ë) = {á; ö; ú}: ïÂÏÚÎÁÞÉÍ á ËÁË 6, ä ËÁË 7, ö ËÁË 8 É ú ËÁË 9 É ÕÄÁÌÉÍ ÜÔÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÄÕÇÁÍÉ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ A(ç) = {ë}; A(ë) = ∅: îÁËÏÎÅ , ÕÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ ë, ÒÉÓ×ÏÉ× ÅÊ ÍÅÔËÕ 10, Á ÚÁÔÅÍ ÒÉÓ×ÏÉÍ ÍÅÔËÕ 11 ×ÅÒÛÉÎÅ ç. üÔÏ ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË å ì â ÷ é á ä ö ú ë ç. 8.6. begin for j := 1 to n do A(j ) := ∅; k := 1; begin while k 6 n do if M (k; j ) = é then A(j ) := A(j ) ∪ {k }; k := k + 1; end end 8.7. ì  ì M2 =  ì é é ì ì ì ì é ì ì  ì ì é ì ì ì é ì  é  ì ì ì ì é ì ì   ì ì ì ì = é é ì ì ì ì ì é é ì ì ì  ì é ; ì ì ì  ì M3 =  ì é  ì  ì M4 =  ì é é ì ì ì ì é ì ì ì é ì ì   ì ì ì   é é ì = ì ì é ì ì ì   é é ì ì é ì = ì ì ì ì ì ì ì ì ì é é ì ì ì  ì ì ì é   ì  ì ì ì é  é ì ì ì ì é ì  ì ì ì ì é ì ì ì  é  ì é ì ì ì ì é  é ì ; ì ì  ì ì : ì é   ì ì é ì 268 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ é é ∗ 2 3 4 M = M ÉÌÉ M ÉÌÉ M ÉÌÉ M =  é é é é é é  8.8. ì ì M = W0 =  ì é  ì ì W2 =  ì é  é ì ì ì ì é ì ì é ì ì é é é ì é îÁËÏÎÅ ,  ì ì ; é ì  ì ì ; é ì é  é M ∗ = W4 =  é é  ì ì W1 =  ì é  ì ì W3 =  ì é  é é é é é é é é é é é é é ì ì é ì é ì ì é ì ì é é é ì é  é é : é é  ì ì ; é ì  é é : é é  é é : é é 8.9. (Á) óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò8.1. ÁÂÌÉ Á ò8.1 ûÁÇ 0 1 2 3 4 5 ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ A B C D E F òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ A B 0 0 0 0 0 0 F îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ∞ ∞ B; C; D; E; F ∞ ∞ C; D; E; F ∞ 23 D; E; F C D E 3 10 ∞ 3 3 3 3 3 10 15 10 10 10 10 15 ∞ 15 15 15 17 17 17 23 E; F F 23 ëÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A: AB ÄÌÉÎÙ 3, AC ÄÌÉÎÙ 10, A C D ÄÌÉÎÙ 15. (Â) óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò8.2. A C D E ÄÌÉÎÙ 17, A C D F ÄÌÉÎÙ 23. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 269 ÁÂÌÉ Á ò8.2 ûÁÇ òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ A B C D E F îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ C ∞ ∞ 5 ∞ ∞ A; B; D; E; F D ∞ ∞ 0 0 5 7 13 A; B; E; F E ∞ 11 13 A; F F ∞ 11 11 7 7 7 A; B; F ∞ 5 5 5 13 B 0 0 0 13 A 0 1 2 3 4 ëÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ C : CD ÄÌÉÎÙ 5, C D E ÄÌÉÎÙ 7, ÄÌÉÎÙ 11, ÄÌÉÎÙ 13. CDEB CDF 8.10. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò8.3. ÁÂÌÉ Á ò8.3 ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ûÁÇ ×ÅÒÛÉÎÙ 0 1 2 3 4 5 6 7 S C A B D F E T òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ S A B C D E F T îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ 0 0 0 0 0 0 0 0 5 10 4 10 4 9 4 9 4 9 4 9 4 9 4 9 4 ∞ ∞ ∞ ∞ A; B; C; D; E; F; T 22 18 22 18 14 22 17 14 20 17 14 20 17 14 20 17 14 20 17 ∞ A; B; D; E; F; T ∞ B; D; E; F; T ∞ 26 26 E; F; T 25 T 5 5 5 5 5 5 5 14 14 D; E; F; T E; T 25 ëÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ S : SC SA S A; B SCD ÄÌÉÎÙ ÄÌÉÎÙ ÄÌÉÎÙ ÄÌÉÎÙ 4, 5, 9, 14, S AB F S AB F E S AB F E T SCDET ÄÌÉÎÙ ÄÌÉÎÙ ÄÌÉÎÙ ÄÌÉÎÙ 17, 20, 25, 25. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 9 9.1. ÁÂ. ò9.1 É ÔÁÂÌ. ò9.2 | ÜÔÏ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÈ × ÚÁËÏÎÁÈ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ. ðÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Á ÓÔÏÌÂ Á × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÔÁÂÌÉ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù. úÎÁÞÉÔ, ÚÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù. 270 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÁÂÌÉ Á ò9.1 p q p q ∧ q (p ∨ q ) 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 ∨ q (p ∧ q ) 1 1 1 0 1 1 1 0 p ∨q p ÁÂÌÉ Á ò9.2 p q p q 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 p ∧q p 0 0 0 1 9.2. (Á) ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ, ÚÁËÏÎÙ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ( q ) = q , ÏÌÕÞÁÅÍ (p ∧ q) ∨ r = ( p ∨ q ) ∨ r = p ∨ q ∨ r: (Â) éÓÏÌØÚÕÑ ÚÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ, ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÏÇÌÏÝÅÎÉÑ, ÉÍÅÅÍ ((p ∧ q) ∧ (r ∨ (p ∧ q))) = = (p ∧ q) ∨ (r ∨ (p ∧ q)) = = = = = ( p ∨ q ) ∨ ( r ∧ (p ∧ q)) = r ∧ ( p ∨ q )) = ( p ∨ q ) ∨ ( (( p ∨ q ) ∨ r) ∧ ( p ∨ q) = p ∨ q: 9.3. pqrs ∨ pqr s ∨ pqrs ∨ pq rs: 9.4. ðÕÓÔØ f = p ∧ ( q ∨ r ) ∨ p ∧ (q ∨ r) : ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÔÁÂÌ. ò9.3. ðÏ ÔÁÂÌÉ Å ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ: f = pqr ∨ pq r ∨ pqr ∨ pqr ∨ pqr ∨ pqr: 9.5. (Á) (p ∧ q) ∧ r = (p ∧ q) ∧ r = (p ∧ q) ∨ r = = (( p ∨ q ) ∨ r) = (p ∨ q ∨ r): òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 271 (Â) (p ∧ q) ∧ r = = p ∧ (q îå{é q ) ∧ r = = p ∧ (q îå{é q ) îå{é r îå{é îå{é p ∧ (q îå{é q ) îå{é r = h = p îå{é (q îå{é q ) îå{é i îå{é r îå{é îå{é p îå{é (q îå{é q ) h îå{é p îå{é (q îå{é q ) îå{é i îå{é p îå{é (q îå{é q ) îå{é r : ÁÂÌÉ Á ò9.3 p q r ∧ (q ∨ r) f 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 ∨ r 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 q q ∨ r p ∧ ( q ∨ r) p 9.6. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÆÕÎË ÉÉ p, p ∨ q É p ∧ q ÞÅÒÅÚ p îå{éìé q . óÄÅÌÁÅÍ ÜÔÏ. p = (p ∨ p) = p îå{éìé p; p ∨ q = (p ∨ q ) = (p îå{éìé q ) = = (p îå{éìé q ) îå{éìé (p îå{éìé q ); p ∧ q = ( p ∨ q) = p îå{éìé q = = (p îå{éìé p) îå{éìé (q îå{éìé q ): ðÏÌÎÏÔÁ ÓÉÓÔÅÍÙ ÆÕÎË ÉÊ { îå{éìé } ÄÏËÁÚÁÎÁ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÏÌÎÏÔÁ ÓÉÓÔÅÍÙ ÆÕÎË ÉÊ { îå{é } ÂÙÌÁ ÎÁÍÉ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÒÁÎÅÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÆÕÎË ÉÀ p îå{é q ÞÅÒÅÚ p îå{éìé q . 272 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ p îå{é q = (p ∧ q ) = = p ∨ q = = ( p îå{éìé q) = = (p îå{éìé p) îå{éìé (q îå{éìé q ) : óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, p îå{é q = (p îå{éìé p) îå{éìé (q îå{éìé q ) îå{éìé (p îå{éìé p) îå{éìé (q îå{éìé q ) : 9.7. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.1. pq pq pq r 1 1 1 r 1 pq òÉÓÕÎÏË ò9.1. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pqr ïÎÁ ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÁÒÙ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÅÄÉÎÉ . ðÏÜÔÏÍÕ pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pqr = ( pqr ∨ pqr ) ∨ (pq r ∨ pqr ) = r ∨ r) = = pr ( q ∨ q ) ∨ pq ( = pr ∨ pq: 9.8. f = pqr∨ pq r∨ pqr ∨ pqr: ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÆÕÎË ÉÉ f ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.2. pq r r pq pq pq 1 1 1 1 òÉÓÕÎÏË ò9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÆÕÎË ÉÉ f òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 273 îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÌÅÇËÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÕ ÁÒÕ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÅÄÉÎÉ . ïÄÎÁËÏ ÉÈ Ä×Å (ÏÄÎÁ ÎÅ ×ÉÄÎÁ ÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÉ ÓÔÏÌÂ Ï×). õÒÏÝÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÁÒ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÄÁÅÔ: pqr ∨ pq r = pr É pqr ∨ pqr = pr: ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÉÍÅÅÍ: f = pr ∨ pr: 9.9. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÆÕÎË ÉÀ pqr ∨ pqr . åÅ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.3. pq r pq pq 1 1 pq r òÉÓÕÎÏË ò9.3. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÆÕÎË ÉÉ pqr ∨ pqr õÒÏÝÁÑ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ pr . îÏ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.4. p r òÉÓÕÎÏË ò9.4. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÆÕÎË ÉÉ pr 9.10. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ: p îå{é ( q îå{é r ) = p îå{é ( q ∧ r) = = p îå{é (q ∨ r) = = p ∧ (q ∨ r) = = p ∨ (q ∨ r) = = p ∨ ( q ∧ r ): éÓËÏÍÁÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.5. 9.11. ðÅÒ×ÁÑ ÉÚ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÆÕÎË ÉÀ pqr ∨ pq r∨ qr , ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁ×ÎÁ ÆÕÎË ÉÉ pqr ∨ pq r∨ pqr ∨ pqr , ÏÓËÏÌØËÕ qr = (p ∨ p)qr: 274 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÷ÔÏÒÁÑ ÓÈÅÍÁ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÆÕÎË ÉÀ pr ∨ pq . éÚ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ 9.7, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ pr ∨ pq = pqr ∨ pq r ∨ pqr ∨ pqr: ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÜÔÉ ÓÈÅÍÙ ÇÅÎÅÒÉÒÕÀÔ ÒÁ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, Ô. Å. ÏÎÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. p q r òÉÓÕÎÏË ò9.5. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÆÕÎË ÉÉ p ∨ ( q ∧ r) 9.12. óÌÅÄÕÑ ÕËÁÚÁÎÉÀ Ë ÚÁÄÁÞÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ p îå{éìé q = (p ∨ q ) = p ∧ q = ( p ∧ q) = ( p îå{é q) = = (p îå{é p) îå{é (q îå{é q ) îå{é îå{é (p îå{é p) îå{é (q îå{é q ) : ÒÅÂÕÅÍÁÑ ÓÈÅÍÁ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.6. p q òÉÓÕÎÏË ò9.6. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÆÕÎË ÉÉ p îå{éìé q äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ á. á. ëÏ×ÁÌÅ× ä.1. çÅÎÅÒÁÔÏÒ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× íÁÔÅÍÁÔÉËÅ ×ÓÅÇÄÁ ÂÙÌÏ ÒÉÓÕÝÅ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÅ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÉÈ ËÌÁÓÓÏ× ÚÁÄÁÞ. íÎÏÇÏÌÅÔÎÉÊ ÏÙÔ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ ÒÏÂÌÅÍ É ÒÁËÔÉËÁ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÜÔÉ Ä×Å ÓÔÏÒÏÎÙ | ÏÂÝÎÏÓÔØ ÍÅÔÏÄÁ É ÅÇÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ | ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÁÎÔÁÇÏÎÉÚÍÅ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏ ÚÎÁÔØ, É × ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÜÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÍÏÖÎÏ ÌÉ × ÒÉÎ ÉÅ ÎÁÄÅÑÔØÓÑ ÎÁ ÓÏÚÄÁÎÉÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÂÝÉÈ É ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÉÌÉ ÎÁÄÏ ÓÏÚÎÁÔÅÌØÎÏ ÉÄÔÉ Ï ÕÔÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ×ÓÅ ÂÏÌÅÅ ÕÚËÉÅ ËÌÁÓÓÙ É, ÏÌØÚÕÑÓØ ÉÈ ÓÅ ÉÆÉËÏÊ, ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØ ÄÌÑ ÎÉÈ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ ÒÏÂÌÅÍ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÄÏÕÓËÁÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÁ ÅÒÅÂÏÒÁ. ïÄÎÁËÏ ÞÉÓÌÏ ÛÁÇÏ× ÅÒÅÂÏÒÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÒÁÓÔÅÔ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ. äÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÂÌÅÍ ÜÔÏÇÏ ÔÉÁ ÕÄÁÅÔÓÑ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ (ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÅÎÅÅ ÔÒÕÄÏÅÍËÉÅ, ÞÅÍ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×) ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÞÉÓÌÏ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÎÅ×ÅÌÉËÏ. äÌÑ ÏÔÌÉÞÉÑ ÕÄÏÂÎÙÈ É ÎÅÕÄÏÂÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ××ÏÄÑÔÓÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ. ÁË ÚÁÄÁÞÕ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌÅÅ ÜËÏÎÏÍÉÞÎÙÊ, ÞÅÍ ÅÒÅÂÏÒ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÊ. åÓÌÉ ÖÅ ÔÁËÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁÊÔÉ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÏ ÚÁÄÁÞÕ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÏÊ. óÔÁÌÏ ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÙÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÅÒÅÂÏÒÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÒÅÛÁÅÍÏÊ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ, ÅÓÌÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÅÛÁÀÝÉÊ ÅÅ ÚÁ ×ÒÅÍÑ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÏÌÉÎÏÍÏÍ ÏÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÄÈÏÄÙ, ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÅ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ Ä×Å ËÁÔÅÇÏÒÉÉ. ë ÅÒ×ÏÊ ËÁÔÅÇÏÒÉÉ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÏÄÈÏÄÙ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÏÙÔËÁ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÏÂßÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ, ÈÏÔÑ ÒÉ ÜÔÏÍ É ÒÉÚÎÁÅÔÓÑ ÎÅÉÚÂÅÖÎÏÓÔØ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÁÂÏÔÙ. äÌÑ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÒÉÅÍÙ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ ÎÁ ÍÅÔÏÄÅ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . ïÎÉ ÚÁËÌÀÞÁÀÔÓÑ × ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ × ×ÉÄÅ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ, É ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ÍÏÝÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÈ ÒÁÓÏÚÎÁÔØ ÂÅÓÅÒÓÅËÔÉ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÉÞÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÅÇÏ ÏÔ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÛÁÇÅ ÏÔÓÅËÁÅÔÓÑ ÅÌÁÑ ×ÅÔ×Ø. ðÏÄÈÏÄÙ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÅÓÑ ËÏ ×ÔÏÒÏÊ ËÁÔÅÇÏÒÉÉ, ÒÉÍÅÎÉÍÙ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ Ë ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÏÎÎÙÍ ÚÁÄÁÞÁÍ. ïÎÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÒÉÅÍÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÓÎÉÖÅÎÉÅ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÊ. íÅÔÏÄ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÔËÁÚÅ ÏÔ ÏÉÓËÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ É × ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ×ÍÅÓÔÏ ÜÔÏÇÏ ÈÏÒÏÛÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ ÎÁ ÜÔÏÍ ÒÉÅÍÅ, ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ Ü×ÒÉÓÔÉÞÅÓËÉ- 276 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÍÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÒÁÚÕÍÎÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÂÅÚ ÓÔÒÏÇÉÈ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÊ. äÌÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ ËÁÔÅÇÏÒÉÊ ×ÁÖÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÉÈ Ï×ÅÄÅÎÉÑ ÉÌÉ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ ÉÌÉ × ÓÒÅÄÎÅÍ. þÁÓÔÏ ÉÚÕÞÅÎÉÅ Ï×ÅÄÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× × ÓÒÅÄÎÅÍ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅÄÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÔÉÉÞÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÒÏÇÏÎËÅ ÓÏÅÒÎÉÞÁÀÝÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÎÁ ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å É ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×. åÓÌÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÉ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ, ÏÄÞÉÎÑÀÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍÕ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÍÅÔÏÄ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÏÄÞÉÎÑÀÝÉÈÓÑ ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, É ÎÁ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÊ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÂÏÒËÅ ÉÓÓÌÅÄÕÀÔ Ï×ÅÄÅÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. äÌÑ ÚÁÄÁÞ, ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÙÈ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÇÒÁÆÏ×, ÔÁËÏÊ ÏÄÈÏÄ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏ× ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× Ó ÔÅÍÉ ÉÌÉ ÉÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁ ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ÜÔÁÅ, ÒÉ ÏÂÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÅÒÅÂÏÒÎÙÈ ÚÁÄÁÞ É ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÂÏÒËÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× Ó ÔÅÍÉ ÉÌÉ ÉÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÏÄÞÉÎÑÀÝÅÊÓÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÍÕ ÚÁËÏÎÕ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ. íÅÔÏÄ ÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, × ÑÞÅÊËÁÈ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é ÒÁÚÍÅÝÅÎÙ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. äÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÁÔÞÉË ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄. äÌÑ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ, ÚÎÁËÏÍÙÈ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÔÏÌØËÏ ÏÎÁÓÌÙÛËÅ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÏÔÌÉÞÉÅ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÎÉ ÒÉÎÉÍÁÀÔ | ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄ É ÉÈ ÔÁÂÌÉ Õ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × ËÎÉÇÅ [21℄. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÌÀÂÏÊ ÑÚÙË ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ ÓÏÄÅÒÖÉÔ × Ó×ÏÉÈ ÂÉÂÌÉÏÔÅËÁÈ ÄÁÔÞÉËÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ðÕÓÔØ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÙÊ ÇÒÁÆ ÉÍÅÅÔ n ×ÅÒÛÉÎ É m ÒÅÂÅÒ ÉÌÉ ÄÕÇ. ÏÇÄÁ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÍÅÒ n × n, Á × ÅÅ ÑÞÅÊËÁÈ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÒÁÚÍÅÝÅÎÏ 2m ÂÕË× é ÄÌÑ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ (ÔÁË ËÁË ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÏÒÏÖÄÁÅÔ Ä×Å ÂÕË×Ù é , ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù) É m ÂÕË× é | ÄÌÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ. îÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ | ÒÁÓÏÌÏÖÉÔØ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÂÕË× é × ÑÞÅÊËÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÌÅÄÑ ÚÁ ÔÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÂÙÌÏ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÙÍ. ïÂÓÕÄÉÍ, ËÁË ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÄÁÔÞÉËÏÍ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ R, ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄. îÁÍ ÖÅ ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÑÞÅÊËÕ ÍÁÔÒÉ Ù, Ô. Å. ËÁË ÓÔÏÌÂÅ , ÔÁË É ÓÔÒÏËÕ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÁ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÁ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÍÁÓÛÔÁÂÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ×ÅÌÉÞÉÎÕ R, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÕÍÎÏÖÉÔØ ÅÅ ÎÁ ÏÄÈÏÄÑÝÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ k. ÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ 12R ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 12℄, Á nR | ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; n℄. îÏ ÞÉÓÌÏ nR ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÅÌÙÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÅÌÏÊ ÞÁÓÔÉ ⌊nR⌋ (ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÅ nR). ïÄ- ä.1. çÅÎÅÒÁÔÏÒ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× 277 ÎÁËÏ ÔÁËÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÎÁÓ ÔÏÖÅ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÕÓÔÒÏÉÔØ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ R ÏËÁÖÅÔÓÑ ÍÅÎØÛÅ n, ÔÏ ⌊nR⌋ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ 0, Á ÎÕÍÅÒÁ ÉÑ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌÂ Ï× ÎÁÛÅÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó 1. ÷ ÉÔÏÇÅ ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÎÏ×ÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ⌊nR⌋ +1, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÔ 1 ÄÏ n. éÔÁË, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ËÁË ÎÏÍÅÒ ÓÔÏÌÂÁ, ÔÁË É ÎÏÍÅÒ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù, ÉÓÏÌØÚÕÑ Ä×Á ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ⌊nR⌋ +1. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÒÉ ÔÁËÏÍ ×ÙÂÏÒÅ ÍÙ ÎÅ ÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ÏÓËÏÌØËÕ ÂÕÄÕÔ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎÙ ÎÅ ÏÄÎÁ, Á Ä×Å ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎÙ. éÚ ÓÏÚÄÁ×ÛÅÊÓÑ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÅÓÔØ ËÒÁÓÉ×ÙÊ ×ÙÈÏÄ. òÁÓÏÌÏÖÉÍ ×ÓÅ ÑÞÅÊËÉ ÍÁÔÒÉ Ù × ÏÄÎÕ ÓÔÒÏËÕ: ÓÎÁÞÁÌÁ ÂÕÄÕÔ ÉÄÔÉ ÑÞÅÊËÉ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù, ÚÁ ÎÉÍÉ | ÑÞÅÊËÉ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÉ É Ô. Ä. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ ÓÔÒÏÞËÕ ÉÚ n ÑÞÅÅË, ÒÉÞÅÍ ÑÞÅÊËÁ ÍÁÔÒÉ Ù, ÓÔÏÑÝÁÑ × i-ÏÊÓÔÒÏËÅ É j -ÏÍ ÓÔÏÌÂ Å ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÏÍÅÒ N = (n − 1)i + j . ÅÅÒØ ×ÅÌÉÞÉÎÁ N = n R +1 ÂÕÄÅÔ ÄÁ×ÁÔØ ÎÁÍ ÑÞÅÊËÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Á ÚÁËÏÎ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÔÒÅÂÕÅÍÙÍ, Ô. Å. ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÙÍ. ïÓÔÁÌÏÓØ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÔÒÏËÕ i É ÓÔÏÌÂÅ j ÍÁÔÒÉ Ù, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÎÁÊÄÅÎÎÕÀ ÑÞÅÊËÕ. üÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÏÎÑÔÎÙÈ, ÆÏÒÍÕÌ: N i= + 1; j = N − (i − 1)n: n íÏÖÎÏ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ, × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ, ÎÅÓËÏÌØËÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ×ÙÂÏÒÏË ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. 1 2 2 ä.1.1. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ É m ÒÅÂÅÒ, ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÍÅÒ n × n É ÓÏÄÅÒÖÁÔØ 2m ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ é , ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ. ëÁË ÏÂÙÞÎÏ × ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÇÒÁÆ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÔÅÌØ, Ô. Å. ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ i = 1; 2; : : : ; n; M (i; i) = ì . îÁ ËÁÖÄÏÍ Ë-ÏÍ ÛÁÇÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (k = 1; 2; : : : ; m) ÂÕÄÅÍ ÏÌÕÞÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÁÄÒÅÓ ÑÞÅÊËÉ (i; j ) ÍÁÔÒÉ Ù É ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ × ÎÅÅ ÂÕË×Õ é . åÓÌÉ ÑÞÅÊËÁ Ó ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÁÄÒÅÓÏÍ (i; j ) ÕÖÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÁËÕÀ ÂÕË×Õ ÉÌÉ i = j , ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÁÎÎÙÊ ÛÁÇ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÅÕÄÁÞÎÙÍ É Õ×ÅÌÉÞÉÍ m ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ. Input n | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ; m | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ; M | ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÑÞÅÊËÁÈ ì ; begin for k = 1 to m do begin ÏÌÕÞÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ 1 íÏÖÅÔ ÔÁË ÓÌÕÞÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ R ÒÉÍÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 1. ÏÇÄÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ⌊nR⌋ + 1 = ïÄÎÁËÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÍÁÌÁ, ÞÔÏ ÉÍ ÍÏÖÎÏ ÒÅÎÅÂÒÅÞØ. n + 1. 278 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ R; N := n R + 1; i := ⌊N : n⌋ + 1; j := N − (i − 1) · n; if M (i; j ) 6= é and i 6= j then begin M (i; j ) := é ; M (j; i) := é ; 2 end Output M | end else end m := m + 1 ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ. ä.1.2. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ÏÒÇÒÁÆÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ É m ÄÕÇ, ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÍÅÒ n×n É ÓÏÄÅÒÖÁÔØ m ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ é: óÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÒÇÒÁÆ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÔÅÌØ. îÁ ËÁÖÄÏÍ Ë-ÏÍ ÛÁÇÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (k = 1; 2; : : : ; m) ÂÕÄÅÍ ÏÌÕÞÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÁÄÒÅÓ ÑÞÅÊËÉ (i; j ) ÍÁÔÒÉ Ù É ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ × ÎÅÅ ÂÕË×Õ é . åÓÌÉ ÑÞÅÊËÁ Ó ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÁÄÒÅÓÏÍ (i; j ) ÕÖÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ é ÉÌÉ i = j , ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÁÎÎÙÊ ÛÁÇ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÅÕÄÁÞÎÙÍ, É Õ×ÅÌÉÞÉÍ m ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ. Input n | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ; m | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÄÕÇ ÏÒÇÒÁÆÁ; M | ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÑÞÅÊËÁÈ ì ; begin for k = 1 to m do begin ÏÌÕÞÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ R; N := n R + 1; i := ⌊N : n⌋ + 1; j := N − (i − 1) · n; if M (i; j ) 6= é and i 6= j then 2 else begin M (i; j ) := é ; end ä.1. çÅÎÅÒÁÔÏÒ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× end Output M | end 279 m := m + 1 ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ. ÷ ÅÌÏÍ ÒÑÄÅ ÓÌÕÞÁÅ× ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÓÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ ÏÂÌÁÄÁÌ ËÁËÉÍÉ-ÔÏ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. ïÄÎÏ ÉÚ ÔÁËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× | ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ËÏÎÔÕÒÏ×. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ. ä.1.3. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ É m ÄÕÇ, ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÍÅÒ n×n É ÓÏÄÅÒÖÉÔ m ÂÕË× é : âÕÄÅÍ ÒÁÚÍÅÝÁÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é ×ÙÛÅ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÚÁÄÁ×ÁÑ ÄÕÇÉ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÄÕÝÉÅ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÍÅÎØÛÉÍ ÎÏÍÅÒÏÍ Ë ×ÅÒÛÉÎÅ Ó ÂÏÌØÛÉÍ ÎÏÍÅÒÏÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ ÎÅ ÓÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ËÏÎÔÕÒÏ×. ëÁË É ÒÁÎØÛÅ, ÎÁ Ë-ÏÍ ÛÁÇÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (k = 1; 2; : : : ; m) ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÁÄÒÅÓ ÑÞÅÊËÉ (i; j ) ÍÁÔÒÉ Ù É × ÓÌÕÞÁÅ i < j , × ÑÞÅÊËÕ (i; j ), Á × ÓÌÕÞÁÅ i > j , × ÑÞÅÊËÕ (j; i) ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ ÂÕË×Õ é . åÓÌÉ ÑÞÅÊËÁ Ó ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÁÄÒÅÓÏÍ (i; j ) (× ÓÌÕÞÁÅ i < j ) ÉÌÉ (j; i) (× ÓÌÕÞÁÅ i > j ) ÕÖÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ é ÉÌÉ i = j , ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÁÎÎÙÊ ÛÁÇ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÅÕÄÁÞÎÙÍ É Õ×ÅÌÉÞÉÍ m ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ. Input n | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ; m | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÄÕÇ ÏÒÇÒÁÆÁ; M | ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÑÞÅÊËÁÈ ì ; begin for k = 1 to m do begin ÏÌÕÞÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ R; N := n R + 1; i := ⌊N : n⌋ + 1; j := N − (i − 1) · n; if i 6= j and i < j and M (i; j ) 6= é then M (i; j ) := é ; if i 6= j and i > j and M (i; j ) 6= é then M (j; i) := é ; else m := m + 1 2 end end Output M | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ. ðÒÉÎ É ÒÁÂÏÔÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÄÉÎÁËÏ×, ÏÜÔÏÍÕ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÒÁÂÏÔÕ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÏÓÔÒÏÉÍ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ 280 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÇÒÁÆ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÁÂÌÉ ÅÊ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÚ ËÎÉÇÉ äÖ. íÁËËÏÎÎÅÌÌ, ÕÖÅ ÕÏÍÉÎÁ×ÛÅÊÓÑ ÚÄÅÓØ. ðÒÉÍÅÒ ä.1.1. óÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÔØ ÏÒÇÒÁÆ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ 5 ×ÅÒÛÉÎ É 8 ÄÕÇ, É ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ ÅÇÏ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ. òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÎÁÛÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n = 5 É m = 8. ðÒÏ ÅÓÓ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÁÂÌÉ Å: ÁÂÌÉ Á ä.1.1 k R N i j m M ì ì ì ì ì ì ì 2 ì é ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì 3 2 ì ì ì ì ì ì é ì 3 2 1 2 3 4 5 0,21132 0,26215 0,79253 0,28052 0,93648 6 7 20 8 24 2 2 4 2 5 1 2 5 3 4 8 9 9 9 10 6 6 6 4 0,35606 9 2 4 10 ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì 3 7 7 7 5 7 7 7 5 ì ì ì ì ì ì ì ì 2 ì é ì ì ì ì ì ì ì ì ì é ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì é ì 3 2 ì ì ì ì ì ì ì é ì ì ì é ì 3 ì é ì ì é ì ì ì é ì 3 6 é ì ì 6 6 ì ì ì 4 ì ì ì 6 6 6 4 6 é ì é 6 6 ì ì ì 4 ì ì ì 2 7 ì 6 é ì 6 6 ì ì 4 ì ì ì ì ì ì ì ì 6 é ì é 6 6 ì ì ì 4 ì ì ì ì ì ì 7 7 7 5 7 7 7 5 7 7 7 5 7 7 7 5 ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ 281 ðÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÔÁÂÌ. ä.1.1 2 8 0,16043 5 1 5 10 10 11 0,40480 0,74225 0,70183 11 19 18 3 4 4 1 4 3 10 11 11 ì ì ì ì ì ì ì ì ì é ì ì é é ì ì é ì 3 é ì ì é ì 3 7 7 7 5 ì ì ì ì é ì ì é 2 ì é é ì ì ì ì ì ì ì ì é ì ì ì ì é ì ì é é ì ì é ì 3 2 ì ì ì ì é ì ì é é ì ì é ì 3 2 9 ì 6 é ì é 6 6 ì ì ì 4 ì ì ì 6 é ì é 6 6 é ì ì 4 ì ì ì 6 6 6 4 6 é ì é 6 6 é ì ì 4 ì ì é ì ì ì 7 7 7 5 7 7 7 5 7 7 7 5 ðÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. ä.1. ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ, ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÙÈ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÇÒÁÆÏ×, ÂÙ×ÁÅÔ ×ÁÖÎÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ, ÎÏ É ×ÙÑÓÎÉÔØ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÓÁÍÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ, Ô. Å. ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ ÏÔÄÅÌØÎÏ ËÁÖÄÕÀ ËÏÍÏÎÅÎÔÕ ÉÌÉ ÎÁÊÔÉ ÉÈ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏÒÏÖÎÏÇÏ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Á × ËÁËÏÍ-ÌÉÂÏ ÒÅÇÉÏÎÅ ÓÔÒÁÎÙ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ ÍÅÖÄÕ ÎÁÓÅÌÅÎÎÙÍÉ ÕÎËÔÁÍÉ ÕÄÏÂÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÇÒÁÆÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ | ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ ÍÅÖÄÕ ÇÒÕÏÊ ÎÁÓÅÌÅÎÎÙÈ ÕÎËÔÏ×, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÁÑ ÄÏÓÔÕ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÁÓÅÌÅÎÎÏÇÏ ÕÎËÔÁ ÇÒÕÙ × ËÁÖÄÙÊ. åÓÌÉ ÔÁËÉÈ ÇÒÕ ÎÅÓËÏÌØËÏ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÔØ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÏÒÏÇ (ÔÏ ÅÓÔØ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ ÒÅÂÅÒ × ÇÒÁÆ) 1 2 3 5 4 òÉÓÕÎÏË ä.1. 282 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÍÅÖÄÕ ÎÁÓÅÌÅÎÎÙÍÉ ÕÎËÔÁÍÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÇÒÕ Ó ÅÌØÀ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÄÏÓÔÕÁ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÁÍÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÏ×. ÷ ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ Ï ÍÁÔÒÉ Å ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ W ÏÒÇÒÁÆÁ (ÓÍ. ÓÔÒ. 176), × ËÏÔÏÒÏÊ ÈÒÁÎÉÔÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ×ÓÅÈ ÕÔÑÈ ÍÅÖÄÕ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. îÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÏÎÑÔÉÅ ÄÌÑ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÍÁÔÒÉ Õ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÁÔÒÉ ÅÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. íÁÔÒÉ ÅÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ G Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ S ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ É j -ÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÓÔÏÉÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ S (i; j ) = é , ÅÓÌÉ i = j ÉÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÁÒÛÒÕÔ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ i-ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ Ó j -ÏÊ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÙ, ÔÏ S (i; j ) = S (j; i), Ô. Å. ÍÁÔÒÉ Á Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ××ÅÄÅÍ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ (ÏÎÑÔÉÅ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÂÓÕÖÄÁÌÏÓØ ÎÁ ÓÔÒ. 185). íÁÔÒÉ ÅÊ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ C ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, Õ ËÏÔÏÒÏÊ C (i; j ) = é , ÅÓÌÉ i = j ÉÌÉ ×ÅÒÛÉÎÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i ÄÏÓÔÉÖÉÍÁ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ j É, ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ, j -ÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÄÏÓÔÉÖÉÍÁ ÉÚ i-ÏÊ. åÓÌÉ ÖÅ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅ ×ÙÏÌÎÅÎÏ, ÔÏ S (i; j ) = ì (Ô. Å. S (i; j ) = é ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ i É j ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÏÄÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ). íÁÔÒÉ Á C ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÍÁÔÒÉ Ù W ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÔÏÌØËÏ ÔÅÍ, ÞÔÏ C (i; j ) = é ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÕÔÉ ËÁË ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ i × j , ÔÁË É ÉÚ j × i. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, C (i; i) = é ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ i. óÏÇÌÁÓÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ, ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ÕÔÉ ÉÚ i-ÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ × j -ÕÀ W (i; j ) = é , Á W (j; i) = é ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÅÓÔØ ÕÔØ ÉÚ j -ÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ × i-ÕÀ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÑÞÅÊËÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÍÏÖÎÏ ÚÁÏÌÎÑÔØ Ï ÒÁ×ÉÌÕ: ÅÓÌÉ i = j; C (i; j ) = é; W (i; j ) É W (j; i); ÅÓÌÉ i 6= j: óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÍÅÔÏÄÏ× ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ É ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ. ÷ ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ ÕÖÅ ÂÙÌ ÏÉÓÁÎ ÁÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ (ÓÍ. ÓÔÒ. 177). ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, Ó ÅÇÏ ÏÍÏÝØÀ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ É ÍÁÔÒÉ Õ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ. éÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÕÖÅ ÓÈÅÍÁ ÅÒÅÎÏÓÉÔÓÑ ÎÁ ÜÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ ÏÞÔÉ ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ. ÏÌØËÏ × ÓÁÍÏÅ ÅÅ ÎÁÞÁÌÏ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ÛÁÇ, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÉÊ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ S . ïÉÛÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ É ÒÁÚÂÅÒÅÍ ÅÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÎÁ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÒÉÍÅÒÅ. ä.2.1. áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÊ ÍÁÔÒÉ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ Õ ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÇÒÁÆ G(V; E ) Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M . áÌÇÏÒÉÔÍ ÓÔÒÏÉÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÍÁÔÒÉ W , W , . . . , Wn, ÅÒ×ÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÁ W = M ÉÌÉ E; 0 0 1 283 ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ ÇÄÅ E | ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ×ÉÄÁ     é ì ::: ì ì é ::: ì ::: ::: ::: ::: ì ì ::: é   ;  ÏÓÌÅÄÎÑÑ Wn | ÉÓËÏÍÁÑ ÍÁÔÒÉ Á Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ S , Á ÑÞÅÊËÉ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÍÁÔÒÉ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ: Wk (i; j ) = Wk− (i; j ) ÉÌÉ Wk− (i; k) É Wk− (k; j ) ; 1 1 1 k = 1; :::; n; i = 1; :::; n; j = 1; :::; n: ðÏÄÒÏÂÎÏÅ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÎÁ ÓÔÒ. 178. ðÒÉÍÅÒ ä.2.1. éÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G = (V; E ), ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÒÉÓ. ä.2, É ÎÁ ÅÅ ÏÓÎÏ×Å ÏÌÕÞÉÔØ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 2 3   ì ì é ì ì  ì ì ì é ì    1  M =  ì é ì é é :  ì é ì ì ì  é ì ì é ì 4 5 óÏÇÌÁÓÎÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ, ÅÒ×ÁÑ ÍÁÔÒÉ Á W ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÔÅÍ, ÞÔÏ Õ ÎÅÅ ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÓÔÏÑÔ ÂÕË×Ù é . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,  é ì é ì ì  ì é ì é ì     W = M ÉÌÉ E =   ì é é é é :  ì é ì é ì  é ì ì é é äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù W ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÒ×ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W É ÓËÏÉÒÕÅÍ ×ÓÅ ÓÔÒÏËÉ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ ÂÕË×Á ì , × ÍÁÔÒÉ Õ W . ðÏÌÕÞÉÍ  ? ? ? ? ?  ì é ì é ì     W =  ì é é é é :  ì é ì é ì  ? ? ? ? ? 0 òÉÓÕÎÏË ä.2. 0 1 0 1 1 284 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ þÔÏÂÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W , ÄÅÊÓÔ×ÕÅÍ, ÓÌÅÄÕÑ ÕËÁÚÁÎÉÑÍ ÎÁ ÓÔÒ. 178. ðÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W ÓÁÒÉ×ÁÅÍ Ó ÅÒ×ÏÊ ÖÅ ÓÔÒÏËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù W Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ, Á ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ × ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ × ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W .  é ì é ì ì  ì é ì é ì     W =  ì é é é é :  ì é ì é ì  ? ? ? ? ? ïÓÔÁÌÏÓØ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÑÔÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W . óÁÒÉ×ÁÅÍ ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W Ó ÑÔÏÊ ÅÅ ÓÔÒÏËÏÊ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ É ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÑÔÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W . éÔÁË,  é ì é ì ì  ì é ì é ì     W =  ì é é é é :  ì é ì é ì  é ì é é é óÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ W . ðÏÓËÏÌØËÕ × ÅÒ×ÏÊ É ÑÔÏÊ ÓÔÒÏËÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù W ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ ì , ÔÏ ËÏÉÒÕÅÍ ÜÔÉ ÓÔÒÏËÉ × ÍÁÔÒÉ Õ W . ÷ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÓÁÒÉ×ÁÅÍ ÏÅÒÁ ÉÅÊ ÉÌÉ ÓÏ ×ÔÏÒÏÊ, ÔÒÅÔØÅÊ É ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù W , ÚÁÉÓÙ×ÁÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W . ðÏÌÕÞÁÅÍ  é ì é ì ì  ì é ì é ì     W =  ì é é é é :  ì é ì é ì  é ì é é é ðÒÉ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ù W ×ÁÖÎÕÀ ÒÏÌØ ÉÇÒÁÅÔ ÔÒÅÔÉÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W . ðÏÓËÏÌØËÕ × ÜÔÏÍ ÓÔÏÌÂ Å É ÓÔÒÏËÁÈ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ 2 É 4 ÓÔÏÉÔ ÂÕË×Á ì , ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ × ÍÁÔÒÉ Õ W ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ. úÁÔÅÍ ÅÒ×ÕÀ, ÔÒÅÔØÀ É ÑÔÕÀ ÓÔÒÏËÉ ÉÚ W ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÓÁÒÉÔØ Ó ÔÒÅÔØÅÊ É ÚÁÉÓÁÔØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W . ðÏÌÕÞÁÅÍ  é é é é é  ì é ì é ì     W =  ì é é é é :  ì é ì é ì  é é é é é óÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ W . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÞÅÔ×ÅÒÔÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W . ÷ÓÅ ÓÔÒÏËÉ ÜÔÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÂÕË×Ù é , ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÁÒÉÔØ ÏÅÒÁ ÉÅÊ ÉÌÉ ÞÅÔ×ÅÒÔÕÀ ÓÔÒÏËÕ Ó ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù W 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 2 2 3 2 3 2 3 3 4 3 3 285 ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ É ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÚÁÉÓÁÔØ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W . îÏ ×ÓÅ ÓÔÒÏËÉ W ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÂÕË×Ù é × ÔÅÈ ÖÅ ÓÔÏÌÂ ÁÈ, ÞÔÏ É ÞÅÔ×ÅÒÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ (ÓÔÏÌÂ Ù 2 É 4), ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÏÎÉ ÏÓÔÁÎÕÔÓÑ ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ. Ï ÅÓÔØ ÍÁÔÒÉ Ù W É W ÓÏ×ÁÄÁÀÔ.  é é é é é  ì é ì é ì     W =  ì é é é é :  ì é ì é ì  é é é é é îÁÊÄÅÍ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÍÁÔÒÉ Õ W . ðÑÔÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÂÕË×Ù ì ×Ï ×ÔÏÒÏÊ É ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÓÔÒÏËÁÈ, ÏÜÔÏÍÕ ÜÔÉ ÓÔÒÏËÉ ÅÒÅÊÄÕÔ × ÍÁÔÒÉ Õ W ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ. ïÓÔÁÌØÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W ÓÁÒÉ×ÁÅÍ ÏÅÒÁ ÉÅÊ ÉÌÉ Ó ÑÔÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ É ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ × ÍÁÔÒÉ Õ W . ðÏÌÕÞÁÅÍ  é é é é é  ì é ì é ì     W =  é é é é é :  ì é ì é ì  é é é é é ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÁÔÒÉ Á ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏÏÒÇÒÁÆÁ ÒÁ×ÎÁ  é é é é é  ì é ì é ì     W =  é é é é é :  ì é ì é ì  é é é é é éÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ (ÓÔÒ. 282), ÏÌÕÞÉÍ  é ì é ì é  ì é ì é ì     C=  é ì é ì é :  ì é ì é ì  é ì é ì é åÓÌÉ ÇÒÁÆ ÉÍÅÅÔ ÎÅÂÏÌØÛÏÅ ËÏ3 ÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ É ÒÅÂÅÒ, ÔÏ ÇÌÑÄÑ ÎÁ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Õ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÉÌÉ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÇÒÁÆÁ, 2 4 ÍÏÖÎÏ ÌÅÇËÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. ÁË ÏÒÇÒÁÆ ÉÚ ÒÉ- 1 5 ÍÅÒÁ ä.2.1 ÉÍÅÅÔ Ä×Å ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ (ÓÍ. ÒÉÓ. ä.3). ïÄÎÁËÏ × ÚÁÄÁÞÁÈ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÈ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ, ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ ÏÞÅÎØ ×ÅÌÉËÏ É ÒÕÞÎÏÊ ÍÅÔÏÄ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÎÅÒÅÎÔÁÂÅÌÅÎ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ, ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÙÊ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ. 4 3 3 4 4 5 4 5 4 5 5 òÉÓÕÎÏË ä.3. 286 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ä.2.2. ÷ÙÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ïÉÛÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, Á ÔÁËÖÅ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÓÁÍÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ É ÉÈ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ. éÄÅÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ é ÌÀÂÏÊ i-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ ÉÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÓÅÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍÓÑ × ÏÄÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ i. õÄÁÌÅÎÉÅ ÉÚ ÍÁÔÒÉ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ É Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌÂ Ï×, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÔÉÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÕÄÁÌÅÎÉÀ ÉÚ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÏÄÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. ó ÏÌÕÞÅÎÎÙÍ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÎÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ ÍÏÖÎÏ Ï×ÔÏÒÉÔØ ÏÉÓÁÎÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ, ×ÙÄÅÌÉ× ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ËÏÍÏÎÅÎÔÕ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ, É ÔÁË ÄÁÌÅÅ, ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÎÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÍÁÔÒÉ Á, ÎÅ ÉÍÅÀÝÁÑ ÎÉ ÓÔÏÌÂ Ï×, ÎÉ ÓÔÒÏË. ÁËÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÕÓÔÏÊ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ∅. Input V | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ G; M | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G; C | ÍÁÔÒÉ Á ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G; begin p := 0; B := C ; while B 6= ∅ do begin p := p + 1; ×ËÌÀÞÉÔØ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Vp ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÚ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ ÍÁÔÒÉ Ù B; é V, ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÉ Mp ×ÚÑÔØ ÏÄÍÁÔÒÉ Õ M , ÎÁÈÏÄÑÝÕÀÓÑ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÁÔÒÉ Ù ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌÂ Ï×, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ Vp ; B ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ Vp ; ÕÄÁÌÉÔØ ÉÚ V ×ÅÒÛÉÎÙ Vp ; ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ ×ÙÞÅÒËÎÕÔØ ÉÚ Output end end p | ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G; Vi , i = 1; 2; : : : p, | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ i-ÔÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ Gi ÏÒÇÒÁÆÁ G; Mi , i = 1; 2; : : : p; | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ i-ÔÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ Gi ÏÒÇÒÁÆÁ G. ðÒÉÍÅÒ ä.2.2. ïÒÅÄÅÌÉÔØ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G, ÏÌÕ- ÞÅÎÎÏÇÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÒÇÒÁÆÏ× × ÒÉÍÅÒÅ ä.1.1, É ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ ÉÈ ÏÔÄÅÌØÎÏ. 287 ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÒÁ×ÎÁ  M =      ì é é ì ì ì ì ì ì ì ì é ì é ì ì é ì ì é é ì ì é ì  é é é é é ì é ì ì ì é é é é é é é é é é é é é é é  é ì é é é ì é ì ì ì é ì é é é é ì é é é      : ðÒÉÍÅÎÉ× ÍÅÔÏÄ õÏÒÛÅÌÌÁ, ÏÌÕÞÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ: W =            : úÁÔÅÍ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ (ÓÔÒ. 282), ÎÁÈÏÄÉÍ   é ì   é  C= : é  é ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÏÌÁÇÁÅÍ p :=0, B = C . íÁÔÒÉ      Á B 6= ∅, ÏÔÏÍÕ ×ÙÏÌÎÑÅÍ ÔÅÌÏ ÉËÌÁ. { ÏÌÁÇÁÅÍ p := p + 1 = 0 + 1 = 1; { V := {1; 3; 4; 5}; { ÆÏÒÍÉÒÕÅÍ M , ×ÚÑ× ÉÚ M ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌÂÏ×, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á V : 1 1 1 M 1  :=  ì é ì ì ì ì é ì ì ì ì é é ì é ì   :  îÁ ÜÔÏÍ ÜÔÁÅ ÍÙ ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ V É ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ÅÒ×ÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G. { ×ÙÞÅÒËÉ×ÁÅÍ ÉÚ B ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ V : B := [é ℄; { ×ÙÞÅÒËÉ×ÁÅÍ ÉÚ V ×ÅÒÛÉÎÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ V , V := {2}. ÁË ËÁË B 6= ∅, Ï×ÔÏÒÑÅÍ ÔÅÌÏ ÉËÌÁ. { ÏÌÁÇÁÅÍ p := p + 1 = 1 + 1 = 2; { ÆÏÒÍÉÒÕÅÍ V := {2}; 1 1 1 1 2 288 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ { ÆÏÒÍÉÒÕÅÍ M , ×ÚÑ× ÉÚ M ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÅ 2 ÍÎÏÖÅÓÔ×Á V : M := [ì ℄ : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ V É ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ×ÔÏÒÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G. { ×ÙÞÅÒËÉ×ÁÅÍ ÉÚ B ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ V : B := ∅: ÁË ËÁË B = ∅, ÔÏ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÍ ÉËÌ É, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ×ÅÓØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÅÎÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÅÒÛÉÎ É ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ Ä×ÕÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G. ëÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ä.4. 2 2 2 2 2 2 ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù ÉËÌÙ ÷ ÎÁÞÁÌÅ ÓÅÄØÍÏÊ ÇÌÁ×Ù ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ËÎÉÇÉ ÷Ù ÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ Ó ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ Ï ËÅÎÉÇÓÂÅÒÇÓËÉÈ ÍÏÓÔÁÈ, ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÔÏÒÏÊ ××ÏÄÉÌÏÓØ ÏÎÑÔÉÅ 3 ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ É ÜÊÌÅÒÏ×Á ÇÒÁ2 ÆÁ. ÁÍ ÖÅ ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÓÔÅÅÎØ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÇÒÁÆÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÞÅÔÎÏÊ, É ÓÏÏÂÝÁÌÓÑ ÔÁËÏÊ ÆÁËÔ: ÕÓÌÏ×ÉÅ ÞÅÔÎÏÓÔÉ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ 5 4 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ × ÇÒÁÆÅ. úÁÄÁÞÁ Ï ÏÉÓËÅ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ × ÄÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÉÍÅÅÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. îÅ ÕÇÌÕÂÌÑÑÓØ × ×ÙÓÏËÕÀ ÎÁÕËÕ, ÍÏÖÎÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÚÁÄÁÞÕ ÕÂÏÒËÉ ÕÌÉ ÇÏÒÏÄÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÍÁÒÛÒÕÔ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÕÂÏÒÏÞÎÏÊ ÍÁÛÉÎÙ Ï ÕÌÉ ÁÍ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁÊÏÎÁ ÇÏÒÏÄÁ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÎ ÎÁÞÉÎÁÌÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÌÓÑ × ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÍÅÓÔÅ É ÒÏÈÏÄÉÌ Ï ËÁÖÄÏÊ ÕÌÉ Å ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ, ÅÓÌÉ ÜÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ. óÈÅÍÕ ÕÌÉ ÒÁÊÏÎÁ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÇÒÁÆÁ, ÒÅÂÒÁÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÕÌÉ Ù, Á ×ÅÒÛÉÎÁÍ | ÅÒÅËÒÅÓÔËÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ × ÇÒÁÆÅ. úÁÄÁÞÕ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÁ×ÉÌÅ. îÁÞÎÅÍ ÍÁÒÛÒÕÔ P × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ a ÇÒÁÆÁ G É ÂÕÄÅÍ ÒÏÄÏÌÖÁÔØ ÅÇÏ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ ÞÅÒÅÚ ÎÏ×ÙÅ ÒÅÂÒÁ. ÁË ËÁË Ë ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ, ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ ÍÏÖÅÔ ÚÁËÏÎÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÉÓÈÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ a. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÏÅ Ó×ÏÅ 1 òÉÓÕÎÏË ä.4. ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù 289 ÉËÌÙ ÒÅÂÒÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ, Ô. Å. ÉËÌ P = a a a : : : ak a. åÓÌÉ P ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ G, ÕÄÁÌÉÍ ÉÚ G ÒÅÂÒÁ, ×ÈÏÄÑÝÉÅ × P . ÷ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ G É ÉËÌÁ P ÉÍÅÀÔ ÞÅÔÎÙÅ ÓÔÅÅÎÉ. Ï ÖÅ′ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ É ÒÏ ÏÓÔÁÀÝÉÊÓÑ ÏÄÇÒÁÆ G . ÁË ËÁË ÇÒÁÆ G Ó×ÑÚÅÎ, ÔÏ b P‘ × P ÄÏÌÖÎÁ ÎÁÊÔÉÓØ ×ÅÒÛÉÎÁ as, ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÁÑ ′ ËÁËÏÍÕ-ÔÏ ÒÅÂÒÕ ÉÚ G . éÚ as ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÏ×ÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ P ′, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÒÅÂÒÁ ÔÏÌØËÏ ÉÚ a b ÏÄÇÒÁÆÁ G′. ÁËÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔ ÍÏÖÅÔ ÚÁËÏÎÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÉ × ×ÅÒÛÉÎÕ as , Ô. Å. P P ′ = as b : : : bm as . îÏ ÔÏÇÄÁ ÉÚ P É P ′ ÍÏÖÎÏ a ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÎÏ×ÙÊ ÉËÌ a a P = a a : : : as b : : : bm as as : : : am a; ËÏÔÏÒÙÊ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × a É ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÂÏÌØÛÅ ÒÅÂÅÒ, ÞÅÍ P (ÓÍ. ÒÉÓ. ä.5). åÓÌÉ P ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÉËÌÏÍ, ÔÏ ÜÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ. ëÏÇÄÁ ÒÏ ÅÓÓ ÚÁËÏÎÞÉÔÓÑ, ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ ÂÕÄÅÔ ÏÓÔÒÏÅÎ. 1 2 1 s m 1 1 k 1 1 1 +1 òÉÓÕÎÏË ä.5. 1 ä.3.1. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á Input ÉËÌÁ × ÇÒÁÆÅ G(V; E ) | ËÏÎÅÞÎÙÊ Ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ Ó ÞÅÔÎÙÍÉ ÓÔÅÅÎÑÍÉ begin ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ; ×ÙÂÒÁÔØ ÌÀÂÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ò := ∅; a := d; d∈V; while E 6= ∅ do begin ×ÙÂÒÁÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÂÒÏ := d; P ′ := ∅; repeat begin d ∈ ò , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ (d; x) ∈ E ; ×ÙÂÒÁÔØ ÒÅÂÒÏ (d; y ) ∈E Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: (d;′ y) ∈= ′P ′; P := P ∪ {(d; y)}; ÕÄÁÌÉÔØ ÒÅÂÒÏ (d; y ) ÉÚ å ; d := y; end; until y 6= if P 6= ∅ then ′ P := P (a; ) ∪ P ∪ P ( ; a); 290 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ else end P := P ′; end Output P | G ðÒÉÍÅÒ ä.3.1. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ × ÇÒÁÆÅ G(V; E ), ÅÓÌÉ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ ÇÒÁÆÁ . V = 1; 2; 3; 4; 5; 6 É E = (1; 2); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (3; 4); (4; 6); (5; 6) : òÅÛÅÎÉÅ. õÓÌÏ×ÉÍÓÑ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ: ÒÏÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÌÅ×Á ÎÁ- ÒÁ×Ï × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ, ×ÙÂÉÒÁÔØ ÅÒ×ÙÊ ÏÄÈÏÄÑÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ. îÁ ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ÜÔÁÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ d ∈ V . { ðÏÌÏÖÉÍ d := 1; { P := ∅; { a := d = 1. ÷ÙÏÌÎÑÅÍ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÉËÌÁ while E 6= ∅ do ... end. ÁË ËÁË ò = ∅, ÎÏ×ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ×ÙÂÒÁÔØ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ É d ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÒÁ×ÎÏÅ 1. { := d = 1; { P ′ := ∅. ÷ÙÏÌÎÑÅÍ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÉËÌÁ repeat . ..until y 6= . { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 1 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (1; 2)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 1 2; { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (1; 2) ÉÚ å (å := {(1; 4); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (3; 4); (4; 6); (5; 6)}); { d := y = 2. { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 2 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (2; 3)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 1 2 3; { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (2; 3) ÉÚ å (å := {(1; 4); (2; 4); (2; 5); (3; 4); (4; 6); (5; 6)}); { d := y = 3. { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 3 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (3; 4)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 1 2 3 4; ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù ÉËÌÙ 291 { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (3; 4) ÉÚ å (å := {(1; 4); (2; 4); (2; 5); (4; 6); (5; 6)}); { d := y = 4. { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 4 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (4; 1)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 1 2 3 4 1; { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (1; 4) ÉÚ å (å := {(2; 4); (2; 5); (4; 6); (5; 6)}); { d := y = 1. ÷ÙÏÌÎÉÌÏÓØ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏËÏÎÞÁÎÉÑ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÉËÌÁ, ÏÓËÏÌØËÕ Õ ÓÔÁÌ ÒÁ×ÅÎ Ó. ÁË ËÁË ò = ∅, ÏÌÁÇÁÅÍ ò := ò ′ = 1 2 3 4 1. ðÏÓËÏÌØËÕ å 6= ∅, Ï×ÔÏÒÑÅÍ ×ÎÅÛÎÉÊ ÉËÌ. { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ d ∈ P , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÂÒÏ (d; x), ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÅ E (ÜÔÏ ×ÅÒÛÉÎÁ d = 2); { := d = 2; { P := ∅. óÎÏ×Á ÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ×ÙÏÌÎÅÎÉÀ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÉËÌÁ repeat .. .until y 6= . { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 2 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (2; 4)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 2 4; { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (2; 4) ÉÚ å (å := {(2; 5); (4; 6); (5; 6)}); { d := y = 4. { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 4 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (4; 6)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 2 4 6; { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (4; 6) ÉÚ å (å := {(2; 5); (5; 6)}); { d := y = 6. { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 6 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (6; 5)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 2 4 6 5; { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (6; 5) ÉÚ å (å := {(2; 5)}); { d := y = 5. 292 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 5 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (5; 2)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 2 4 6 5 2; { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (5; 2) ÉÚ å (å := ∅); { d := y = 2. ðÏÓËÏÌØËÕ Õ = Ó = 2, ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÊ ÉËÌ ÚÁËÏÎÞÅÎ. ÁË ËÁË ò 6= ∅, ÏÌÁÇÁÅÍ P := P (a; ) ∪ P ′ ∪ P ( ; a) = P (1; 2) ∪ P ′ ∪ P (2; 1) = = 1 2 4 6 5 2 3 4 1: ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, Ë ÎÁÓÔÏÑÝÅÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ å = ∅. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÁËÏÎÞÅÎ ×ÎÅÛÎÉÊ ÉËÌ É ×ÅÓØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÓÔÒÏÅÎ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ: ò = 2 4 6 5 2 3 4 1. ä.3.2. áÌÇÏÒÉÔÍ ÅÒÒÉ åÓÌÉ G ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ, Á ÞÔÏ-ÔÏ ×ÒÏÄÅ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÍÁÒÛÒÕÔÏ×, ÏËÒÙ×ÁÀÝÉÈ ×ÓÅ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁ. òÅÛÉÔØ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÍÏÖÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ k ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ G ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ (ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ k | ÞÅÔÎÏ). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ËÏÎ ÏÍ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÏËÒÙ×ÁÀÝÉÈ G ÍÁÒÛÒÕÔÏ× Pi . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÒÁ×ÎÏ k=2. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÔÁËÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÇÒÁÆ G ÏËÒÙÔØ ÍÏÖÎÏ. þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ, ÒÁÓÛÉÒÉÍ G ÄÏ ÎÏ×ÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G′ , ÄÏÂÁ×É× k=2 ÒÅÂÅÒ E ′, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. ÏÇÄÁ G′ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ É ÉÍÅÅÔ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ P ′. ðÏÓÌÅ ÕÄÁÌÅÎÉÑ ÉÚ P ′ ÒÅÂÅÒ E ′ ÇÒÁÆ ÒÁÚÌÏÖÉÔÓÑ ÎÁ k=2 ÕÞÁÓÔËÏ×, ÏËÒÙ×ÁÀÝÉÈ G. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÇÒÁÆÁ Ó ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÉËÌÏÍ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÁÚÕÍÎÕÀ ÓÈÅÍÕ ÏÂÈÏÄÁ ×ÙÓÔÁ×ËÉ, Ï ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ËÏÒÉÄÏÒÁÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÅÔÉÔÅÌÉ ÄÏÌÖÎÙ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕËÁÚÁÔÅÌÑÍ, ÒÏÊÔÉ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ Õ×ÉÄÅÔØ ËÁÖÄÙÊ ÜËÓÏÎÁÔ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ. åÓÌÉ ÜËÓÏÎÁÔÙ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ Ï ÏÂÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ËÏÒÉÄÏÒÏ×, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÎÁÒÁ×ÌÑÔØ ÏÓÅÔÉÔÅÌÅÊ ÞÅÒÅÚ ÎÉÈ Ä×ÁÖÄÙ, ÞÔÏÂÙ ËÁÖÄÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ ÂÙÌÁ ÏÓÍÏÔÒÅÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÏ. üÔÏ ÎÅ ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÌÁÎ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ×ÙÓÔÁ×ËÉ, ÔÁË ËÁË × ËÏÎÅÞÎÏÍ Ó×ÑÚÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ×ÓÅÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÉËÌ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÄ×ÏÉÔØ ÒÅÂÒÁ × ÄÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ G, ÒÁÓÝÅÌÑÑ ËÁÖÄÏÅ ÎÁ ÁÒÕ ÄÕÇ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÊ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ. ÁËÁÑ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÄ×ÏÅÎÉÅÍ ÇÒÁÆÁ. ðÏÌÕÞÉ×ÛÅÅÓÑ ÕÄ×ÏÅÎÉÅ Gd ÇÒÁÆÁ G, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÇÒÁÆÏÍ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ. éÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ É ÚÁÄÁÞÕ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÜËÓËÕÒÓÉÏÎÎÏÇÏ ÍÁÒÛÒÕÔÁ ÄÌÑ ÏÓÍÏÔÒÁ ÄÏÓÔÏÒÉÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÇÏÒÏÄÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÍÁÒÛÒÕÔÁ ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù ÉËÌÙ 293 Ä×ÉÖÅÎÉÑ Á×ÔÏÂÕÓÁ Ï ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÓÈÅÍÅ ÇÏÒÏÄÓËÉÈ ÕÌÉ . ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÍÁÒÛÒÕÔ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎ ÎÅ ÒÏÈÏÄÉÌ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ Ï ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÕÌÉ . äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÉËÌÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÇÏ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ, ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÒÁ×ÉÌÏ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÅ ÜÒÒÉ. îÁÞÉÎÁÑ Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ a , ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÉÄÔÉ Ï ËÁËÏÍÕ-ÎÉÂÕÄØ ÍÁÒÛÒÕÔÕ P , ÏÔÍÅÞÁÑ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÒÅÂÒÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÏ ÂÙÌÏ ÒÏÊÄÅÎÏ. åÓÌÉ ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ × ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ g × ÅÒ×ÙÊ ÒÁÚ, ÔÏ ÏÓÏÂÏ ÏÔÍÅÞÁÅÔÓÑ ÅÒ×ÏÅ ×ÈÏÄÑÝÅÅ ÒÅÂÒÏ. éÚ ×ÅÒÛÉÎÙ g ×ÓÅÇÄÁ ÓÌÅÄÕÅÍ Ï ÒÅÂÒÕ (g; r), ËÏÔÏÒÏÅ ÉÌÉ ×ÏÏÂÝÅ ÅÝÅ ÎÅ ÂÙÌÏ ÒÏÊÄÅÎÏ, ÉÌÉ ÖÅ ÂÙÌÏ ÒÏÊÄÅÎÏ × ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ Ï ÅÒ×ÏÍÕ ×ÈÏÄÑÝÅÍÕ × g ÒÅÂÒÕ ÍÏÖÎÏ ÉÄÔÉ ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÄÒÕÇÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÎÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÒÏÈÏÄÅ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ g × ÅÉ P ÂÕÄÅÔ ÏÄÎÏ ×ÈÏÄÑÝÅÅ ÒÅÂÒÏ É ÏÄÎÏ ×ÙÈÏÄÑÝÅÅ ÒÅÂÒÏ; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P ÍÏÖÅÔ ÚÁËÏÎÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ × a . ãÅØ P ÄÏÌÖÎÁ ÏËÒÙ×ÁÔØ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ G Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. óÎÁÞÁÌÁ ÒÏ×ÅÒÉÍ ÜÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÅÂÅÒ Ó ËÏÎ ÏÍ × a . ÁË ËÁË P × ×ÅÒÛÉÎÅ a ËÏÎÞÁÅÔÓÑ, ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ Ó ËÏÎ ÏÍ × a ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÕÖÅ ÏËÒÙÔÙ × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÏÔ a ; ÔÁË ËÁË × P ÞÉÓÌÏ ×ÈÏÄÑÝÉÈ É ×ÙÈÏÄÑÝÉÈ ÒÅÂÅÒ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ × a ÄÏÌÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÏËÒÙÔÙÍ × ÏÂÏÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ. ÒÅÂÕÅÍÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ÏÓÔÁÌØÎÙÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ P . ðÒÏÊÄÅÍ Ï P ÏÔ a ÄÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ an É ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÁÈ ai ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ ÏËÒÙÔÙ × ÏÂÏÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ. ÷ÈÏÄÑÝÅÅ × an ÒÅÂÒÏ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (ai ; an) É, Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ, ÏËÒÙÔÏ × ÏÂÏÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ. îÏ ÅÒ×ÏÅ ×ÈÏÄÑÝÅÅ × an ÒÅÂÒÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÏ × P ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÉ ÄÒÕÇÉÈ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ×ÙÈÏÄÏ×; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ × an ÔÁËÖÅ ÄÏÌÖÎÙ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÏËÒÙÔÙÍÉ × ÏÂÏÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÅÒÒÉ. 0 0 0 0 0 0 0 Input n | ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ; V | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ; m | ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ; E | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ; M | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ; begin ×ÙÂÒÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ P := ∅; k := 2m; V ′ := V ; while k 6= 0 do a∈V; 0 294 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ begin (a; b), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ M (a; b) = é , ÒÉÞÅÍ × ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÏÞÅÒÅÄØ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÒÅÂÒÏ (a; b), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ M (b; a) = ì ; if b ∈ V ′ then ×ÙÂÒÁÔØ ÒÅÂÒÏ begin b ÉÚ V ′ ; ÏÌÏÖÉÔØ M (a; b) := ì ; ÕÄÁÌÉÔØ else end Output P | end end ÏÌÏÖÉÔØ P := P ∪ {(a; b)}; k := k − 1; a := b; ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ M (a; b) := ì ; ÉËÌ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ. ðÒÉÍÅÒ ä.3.2. ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÅÒÒÉ ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÉËÌ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.6 ÇÒÁÆÁ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ. òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ, ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ ÄÌÑ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ × ÉËÌ, ÂÕÄÅÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÅÒ×ÏÅ ÏÄÈÏÄÑÝÅÅ ÒÅÂÒÏ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ×ÏÚØ4 ÍÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ 1. ðÒÏ ÅÓÓ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ÔÁÂÌ. ä.4.2. ðÅÒ×ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÔÁÂÌÉÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÓÏÓÔÏÑÎÉÀ ÍÁÓÓÉ×Ï× É ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. 5 1 ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÓÔÒÏÅÎ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÉËÌ: ò = (1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 2); (2; 5); (5; 4); (4; 5); (5; 1) : 3 2 òÉÓÕÎÏË ä.6. ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ îÁÉÂÏÌÅÅ ÒÏÄÕËÔÉ×ÎÙÊ ÏÄÈÏÄ Ë ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÀÂÏÊ ÚÁÄÁÞÉ | ÉÚÕÞÉÔØ ÅÅ ÓÕÝÎÏÓÔØ. äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÚÁÄÁÞÕ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÎÁ ÑÚÙËÅ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÔÎÏÓÑÝÅÊÓÑ Ë ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÍ 295 ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÒÁÚÄÅÌÁÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÉÚÌÏÖÉÔØ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ. ë ÔÁËÉÍ ÚÁÄÁÞÁÍ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ É ÚÁÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÛÁÀÔÓÑ ÒÏÂÌÅÍÙ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ (ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÎÁ ÓÔÒ. 81). ÁÂÌÉ Á ä.4.2 k a (a; b) V ′ P M 2 12 1 {1; 2; 3; 4; 5} ∅ 6é 6 6 6é 6 4ì 2 11 2 (1; 2) {1; 3; 4; 5} {(1; 2)} 3 (2; 3) {1; 4; 5} {(1; 2); (2; 3)} 9 1 (3; 1) {4; 5} {(1; 2); (2; 3); (3; 1)} 8 5 (1; 5) {4} {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5)} 7 2 (5; 2) {4} {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2)} 6 1 (2; 1) {4} {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2); (2; 1)} ì é ì é é ì ì ì ì é ì é ì ì ì é ì é ì é ì é é ì ì ì ì ì ì é é é ì é ì ì ì é ì é ì ì ì é é ì ì ì ì ì ì é é é ì é ì ì ì é ì é ì ì ì é é ì ì ì ì ì ì é é é ì é ì ì ì é ì ì ì ì ì é é ì ì ì ì ì ì é é é ì é ì ì ì é ì ì 6é 6 6 6ì 6 4ì 2 é ì 6é 6 6 6ì 6 4ì 2 ì ì 6é 6 6 6ì 6 4ì 2 é é 6é 6 6 6é 6 4ì 2 é é 6é 6 6 6é 6 4ì 2 10 ì ì ì ì é é ì ì ì ì ì ì é é ì ì é ì ì ì é ì ì 6ì 6 6 6ì 6 4ì é ì ì ì é é ì ì ì ì ì ì é ì ì é ì 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 296 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÔÁÂÌ. ä.4.2 2 5 3 (1; 3) {4} {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2) (2; 1); (1; 3)} ì ì ì ì ì 6ì 6 6 6ì 6 4ì ì ì ì é é ì ì ì ì ì ì é é ì ì é ì 2 4 3 2 1 2 5 4 5 (3; 2) (2; 5) (5; 4) (4; 5) {4} {4} ∅ ∅ {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2) (2; 1); (1; 3); (3; 2)} {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 2); (2; 5)} {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 2); (2; 5); (5; 4)} {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2) (2; 1); (1; 3); (3; 2); (2; 5); (5; 4); (4; 5)} ì ì ì ì ì 6ì 6 6 6ì 6 4ì ì ì ì é ì ì ì ì ì ì ì é é ì ì é ì 2 ì ì ì ì ì 6ì 6 6 6ì 6 4ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì é é ì ì é ì 2 ì ì ì ì ì 6ì 6 6 6ì 6 4ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì é é ì ì ì ì 2 ì ì ì ì ì 6ì 6 6 6ì 6 4ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì é 2 0 4 (5; 1) ∅ {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2) (2; 1); (1; 3); (3; 2); (2; 5); (5; 4); (4; 5); (5; 1)} ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì 6ì 6 6 6ì 6 4ì 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 íÎÏÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ, Ó×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÍ ÏÄÚÁÄÁÞÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ËÁË ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ, ×ÙÏÌÎÑÅÍÙÈ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÂÁÚÅ ÄÁÎÎÙÈ (ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÜÌÅÍÅÎÔÏ×). îÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ËÏÍÁÎÄ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÉÓË, ×ÓÔÁ×ËÁ, ÕÄÁÌÅÎÉÅ É ÍÉÎÉÍÕÍ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÞÁÓÔØ ÚÁÄÁÞ ÏÉÓËÁ. ïÂ ÜÔÉÈ É ÄÒÕÇÉÈ ÏÄÏÂÎÙÈ ËÏÍÁÎÄÁÈ É ÏÊÄÅÔ ÒÅÞØ ÎÉÖÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ, ÔÉÉÞÎÙÈ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ. • ðÏÉÓË(a; S ) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔ Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S ; ÅÓÌÉ a ∈ S , ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÅÒÁ ÉÉ | ÏÔ×ÅÔ ÄÁ; × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÏÔ×ÅÔ ÎÅÔ. ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ • • 297 ÷ÓÔÁ×ËÁ(a; S ) ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ Á × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S , ÔÏ ÅÓÔØ ÚÁÍÅÎÑÅÔ S ÎÁ S ∪ {a}. áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÏÂÈÏÄÁ(S ) ÅÞÁÔÁÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S Ó ÓÏÂÌÀÄÅÎÉÅÍ ÏÒÑÄËÁ. • õÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÕÄÁÌÑÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ Á ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , ÔÏ ÅÓÔØ ÚÁÍÅÎÑÅÔ S ÎÁ S \ {a}. • ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(S ; S ; S ) ÏÂßÅÄÉÎÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S É S , Ô. Å. ÓÔÒÏÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S = S ∪ S . • íÉÎÉÍÕÍ(S ) ×ÙÄÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S . ó ÅÒ×ÙÍÉ ÔÒÅÍÑ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÷Ù ÕÖÅ ÚÎÁËÏÍÙ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ Ë ÇÌÁ×Å 7 ÎÁ ÓÔÒ. 167 É 169 . óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ, ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÌÁÄÅÔØ, | ÜÔÏ ÏÅÒÁ ÉÑ ÍÉÎÉÍÕÍ(S ). äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ × Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å ÏÉÓËÁ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÕÔØ v ; v ; : : : ; vp , ÇÄÅ v | ËÏÒÅÎØ ÄÅÒÅ×Á , vi | ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ ×ÅÒÛÉÎÙ vi− (i = 1; 2; : : : ; p), Á Õ ×ÅÒÛÉÎÙ vp ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ. ëÌÀÞ ×ÅÒÛÉÎÙ vp É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ × ÄÅÒÅ×Å . ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÏÌÅÚÎÏ ÉÍÅÔØ ÕËÁÚÁÔÅÌØ ÎÁ ×ÅÒÛÉÎÕ vp , ÞÔÏÂÙ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ÄÏÓÔÕ Ë ÎÁÉÍÅÎØÛÅÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÚÁ ÏÓÔÏÑÎÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÍÉÎÉÍÕÍ(S ) ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÕÀ ÒÏÅÄÕÒÕ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(v), ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÕÀ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v. áÌÇÏÒÉÔÍ É ÒÏÅÄÕÒÁ ×ÙÇÌÑÄÑÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. 1 3 1 2 3 1 2 2 0 1 0 1 Input Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á begin if T = ∅ then output else S ÄÅÒÅ×Ï ÕÓÔÏ; ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(r) (ÚÄÅÓØ r | ËÏÒÅÎØ ÄÅÒÅ×Á ); ÍÉÎÉÍÕÍ := l(v), ÇÄÅ v | ×ÏÚ×ÒÁÔ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ; ×ÙÚ×ÁÔØ ÒÏ ÅÄÕÒÕ Output end ÏÔ×ÅÔ ÄÅÒÅ×Ï ÕÓÔÏ, ÅÓÌÉ ÍÉÎÉÍÕÍ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÅÒÛÉÎ; | ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÄÅÒÅ×Á × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. Pro edure ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(v). begin if v ÉÍÅÅÔ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ w then return ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(w) else return v end ðÒÉÍÅÒ ä.4.1. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÒÁÂÏÔÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÉÎÉÍÕÍ ÎÁ ÄÅÒÅ×Å ÏÉÓËÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. ä.7 298 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ òÅÛÅÎÉÅ. äÅÒÅ×Ï ÎÅ ÕÓÔÏ, ÓÌÅ1 ÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏ ÅÄÕÒÁ if ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(1). ÷ÅÒÛÉÎÁ 1 ÉÍÅÅÔ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ | 3 2 ×ÅÒÛÉÎÕ 2, ÚÎÁÞÉÔ ×ÙÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏthen end ÅÄÕÒÁ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(2). ÷ÅÒÛÉÎÁ 2 ÉÍÅÅÔ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ | 4 6 ×ÅÒÛÉÎÕ 4, ÚÎÁÞÉÔ ×ÙÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏ- begin while ÅÄÕÒÁ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(4). ÷ÅÒÛÉÎÁ 4 ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ, 5 ÏÜÔÏÍÕ ×ÅÒÛÉÎÁ 4 É ÂÕÄÅÔ ×ÏÚ×ÒÁelse ÔÏÍ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ. ëÌÀÞÏÍ ×ÅÒÛÉÎÙ 4 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÏ×Ï begin, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÄÅÒÅ×Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÍÉÎÉÍÕÍ= begin. òÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÏÅÒÁ ÉÀ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÉÓËÏ×ÙÈ ÄÅÒÅ×ØÅ× ÔÏÖÅ ÒÏÓÔÏ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔ Á, ÏÄÌÅÖÁÝÉÊ ÕÄÁÌÅÎÉÀ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎ × ×ÅÒÛÉÎÅ v. ÷ÏÚÍÏÖÎÙ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÑ: • ×ÅÒÛÉÎÁ v Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÓÔÏÍ; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ v ÒÏÓÔÏ ÕÄÁÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÄÅÒÅ×Á; • Õ ×ÅÒÛÉÎÙ v × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÏÄÉÎ ÓÙÎ; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂßÑ×ÌÑÅÍ ÏÔ Á ×ÅÒÛÉÎÙ v ÏÔ ÏÍ ÓÙÎÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v, ÕÄÁÌÑÑ ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ v ÉÚ ÄÅÒÅ×Á (ÅÓÌÉ v | ËÏÒÅÎØ, ÔÏ ÅÇÏ ÓÙÎÁ ÄÅÌÁÅÍ ÎÏ×ÙÍ ËÏÒÎÅÍ); • Õ ×ÅÒÛÉÎÙ v Ä×Á ÓÙÎÁ; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÈÏÄÉÍ × ÌÅ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å ×ÅÒÛÉÎÙ v ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ b, ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÕÄÁÌÑÅÍ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á ×ÅÒÛÉÎÕ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ b, É ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÅ v ËÌÀÞ b. (úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÍÅÎØÛÉÈ a, ÜÌÅÍÅÎÔ b ÂÕÄÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÄÅÒÅ×Á. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ×ÅÒÛÉÎÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ b, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÌÉ ÌÉÓÔÏÍ, Ñ×ÌÑÀÝÉÍÓÑ ÞØÉÍÔÏ ÒÁ×ÙÍ ÓÙÎÏÍ, ÉÌÉ ÉÍÅÔØ ÔÏÌØËÏ ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï.) ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÄÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÄÅÒÅ×Ï ÕÓÔÙÍ É ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔ Á × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÉÄÅÔÓÑ ×ÙÏÌÎÉÔØ ÏÅÒÁ ÉÀ ÏÉÓË(a; S ), ÒÉÞÅÍ × ÓÌÕÞÁÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÄÁÔØ ËÒÏÍÅ ÏÔ×ÅÔÁ ÄÁ É ÎÏÍÅÒ ×ÅÒÛÉÎÙ v, ËÌÀÞ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó Á (ÄÁÌÅÅ ËÌÀÞ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ l(v)). ëÒÏÍÅ ÜÔÏÇÏ, ÄÌÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÏÅÒÁ ÉÉ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÚÎÁÔØ É ÎÏÍÅÒ ×ÅÒÛÉÎÙ w, Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ÏÔ ÏÍ ×ÅÒÛÉÎÙ v. óÁÍÕ ÖÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÕÀ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å. Pro edure ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) begin (1) if v | ÌÉÓÔ then ÕÄÁÌÉÔØ v ÉÚ else (2) if v ÉÍÅÅÔ ÔÏÌØËÏ ÌÅ×ÏÇÏ ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ òÉÓÕÎÏË ä.7. ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ (5) (6) (7) u then w then ÎÁÚÎÁÞÉÔØ u ÓÙÎÏÍ w ÒÁ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ if v else (3) (4) 299 else ÉÍÅÅÔ ÏÔ Á ÓÄÅÌÁÔØ u ËÏÒÎÅÍ ÄÅÒÅ×Á, ÒÉÓ×ÏÉ× ÅÍÕ ÎÏÍÅÒ v ÎÁÊÔÉ × ÌÅ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å b v ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ y; ÜÌÅÍÅÎÔ , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÅ return ÕÄÁÌÅÎÉÅ(b; S ); l(v) := b; end ðÒÉÍÅÒ ä.4.2. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÄÌÑ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ S , ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.7, ÅÓÌÉ a | ÜÔÏ ÓÌÏ×Ï if . òÅÛÅÎÉÅ. óÌÏ×Ï if ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÏ × ËÏÒ- 1 ÎÅ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ 1, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ä×Á ÓÙÎÁ (×ÅÒend ÛÉÎÙ 2 É 3), ÏÜÔÏÍÕ ×ÙÏÌÎÑÅÍ ÓÔÒÏËÕ (5) ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. îÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÓÌÏ×Ï, ÍÅÎØÛÅÅ if 3 (ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ), ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÏÅ × ÌÅ×ÏÍ 4 then ÏÄÄÅÒÅ×Å ËÏÒÎÑ É ÎÁÈÏÄÑÝÅÅÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÅ begin 2, | ÜÔÏ end. ÷ÙÚÙ×ÁÅÍ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(end; S ). 5 6 õÓÌÏ×ÉÅ ÓÔÒÏËÉ (2) ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÙÏÌÎÑelse while ÅÔÓÑ, ÔÁË ËÁË ×ÅÒÛÉÎÁ 2 Ó ËÌÀÞÏÍ end ÉÍÅÅÔ ÔÏÌØËÏ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ. õÓÌÏ×ÉÅ ÓÔÒÏËÉ (3) ÎÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ, ÔÁË ËÁË ÕÄÁÌÑÅÍÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÓÔÒÏËÅ (4): ÄÅÌÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ 2 ËÏÒÎÅÍ, ÓÙÎÏ×ØÑÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÙ 4 (ÌÅ×ÙÍ) É 3 (ÒÁ×ÙÍ). òÁÂÏÔÁ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(end; S ) ÚÁËÏÎÞÅÎÁ. ðÒÏÄÏÌÖÁÅÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (×ÙÏÌÎÑÅÍ ÓÔÒÏËÕ (7)): ÏÌÁÇÁÅÍ ËÌÀÞ ×ÅÒÛÉÎÙ 1 ÒÁ×ÎÙÍ end (l(1) := end). ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÄÅÒÅ×Ï ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.8. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÓÙÎÏ×ÅÊ, ÏÔ Á É ËÌÀÞ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÒÏÓÔÏ, ÅÓÌÉ ÄÅÒÅ×Ï × ÁÍÑÔÉ ËÏÍØÀÔÅÒÁ ÈÒÁÎÉÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÔÒÅÈ ÍÁÓÓÉ×Ï×: leftson, rightson É key. üÔÉ ÍÁÓÓÉ×Ù ÕÓÔÒÏÅÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: v; ÅÓÌÉ v | ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ ×ÅÒÛÉÎÙ i; leftson(i) = ?; ÅÓÌÉ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ i ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ ÎÅÔ; v; ÅÓÌÉ v | ÒÁ×ÙÊ ÓÙÎ ×ÅÒÛÉÎÙ i; rightson(i) = ?; ÅÓÌÉ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ i ÒÁ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ ÎÅÔ; key(i) = l (i) | ËÌÀÞ ×ÅÒÛÉÎÙ i: òÉÓÕÎÏË ä.8. 300 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ îÁÒÉÍÅÒ, ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÉÓËÏ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. ä.7, Ó ÏÍÏÝØÀ ÜÔÉÈ ÍÁÓÓÉ×Ï× ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. i leftson rightson key 1 2 3 if 2 4 ? end 3 ? 6 then 4 ? 5 begin 5 ? ? else 6 ? ? while ðÒÁ×ÉÌÁ ÏÉÓËÁ ÓÙÎÏ×ÅÊ É ËÌÀÞÁ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÁÓÓÉ×Ï×. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÔ Á ÚÁÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÓÓÉ×Ï× leftson ÉÌÉ rightson, × ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÎÏÍÅÒ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÔ ÏÍ ×ÅÒÛÉÎÙ 4 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁ 2, ÔÁË ËÁË ÞÉÓÌÏ 4 ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÓÓÉ×Á leftson. ä.4.1. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× ïÂÒÁÔÉÍÓÑ ÔÅÅÒØ Ë ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÔÏ ÅÓÔØ Ë ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅåÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S É S ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ, ÔÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÔÁËÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ É ÏÔ ÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ. ïÄÉÎ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÓÏÂÏ× ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ×ÓÔÁ×ËÁ ÄÌÑ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × ÄÒÕÇÏÅ. ðÒÉ ÜÔÏÍ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÅÒÁ ÉÀ ×ÓÔÁ×ËÁ ÒÅÄÏÞÔÉÔÅÌØÎÅÅ ×ÙÏÌÎÑÔØ ÎÁÄ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÅÌØÀ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ×ÒÅÍÅÎÉ ÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÓÏÓÏÂ ÒÁÂÏÔÙ ÏÄÈÏÄÉÔ ËÁË ÄÌÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ, ÔÁË É ÄÌÑ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×. ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÏÂßÅÄÉÎÑÀÔÓÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. üÔÏ ÕÒÏÝÁÅÔ ÒÏ ÅÓÓ, ÔÁË ËÁË ÉÓÞÅÚÁÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÒÏ×ÅÒÑÔØ, ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÌÉ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÍÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, ÌÉÂÏ ÕÄÁÌÑÔØ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÅÓÑ ÜËÚÅÍÌÑÒÙ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÉÚ S . ðÒÏ ÅÄÕÒÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á × ÄÁÎÎÏÍ ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÓÉÓËÏ×. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ 1, 2, . . ., n. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× | ÔÁËÖÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. üÔÏ ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÒÏÓÔÏ ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ × ÒÁÍËÁÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÚÁÄÁÞÉ, × ×ÉÄÅ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ÓÉÓËÏ×. ÁËÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÁÎÎÙÈ ÍÏÖÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ÎÉÅ(S ; S ; S ). 1 2 3 1 2 3 ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ 301 óÆÏÒÍÉÒÕÅÍ Ä×Á ÍÁÓÓÉ×Á r É next ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n, × ËÏÔÏÒÙÈ r(i) | ÉÍÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔ i, Á next(i) ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÎÏÍÅÒ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÁÓÓÉ×Á r, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ ÔÏÍÕ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ, ÞÔÏ É ÜÌÅÍÅÎÔ i. åÓÌÉ i | ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÔÏ ÏÌÏÖÉÍ next(i) = 0. äÌÑ ÕËÁÚÁÔÅÌÅÊ ÎÁ ÅÒ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÍÁÓÓÉ× list, ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ × ÚÁÄÁÞÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×, É ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ list(j ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÏÍÅÒ ÅÒ×ÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÉÍÅÎÅÍ j × ÍÁÓÓÉ×Å r. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÓÆÏÒÍÉÒÕÅÍ ÍÁÓÓÉ× size, ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ size(j ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÉÍÅÎÅÍ j . âÕÄÅÍ ÒÁÚÌÉÞÁÔØ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅÓÑ × ÍÁÓÓÉ×Å r, É ×ÎÅÛÎÉÅ ÉÍÅÎÁ, ÏÌÕÞÁÅÍÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ É ×ÎÅÛÎÉÍÉ ÉÍÅÎÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÓÓÉ×Ï× ext-name É int-name. üÌÅÍÅÎÔ ÍÁÓÓÉ×Á ext-name(j ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÎÅÛÎÅÅ ÉÍÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÅ ÉÍÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÓÔØ j , Á int-name(k) | ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÅ ÉÍÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ×ÎÅÛÎÅÅ ÉÍÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÓÔØ k: ðÒÉÍÅÒ ä.4.3. éÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÍÁÓÓÉ×Ù, ÏÉÛÉÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {1; 3; 5; 7}; {2; 4; 8}; {6} Ó ×ÎÅÛÎÉÍÉ ÉÍÅÎÁÍÉ 1, 2, 3 É ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ ÉÍÅÎÁÍÉ 2, 3, 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÓÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÁ×ÎÏ ×ÏÓØÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÍÁÓÓÉ×Ï× r É next ÂÕÄÅÔ n = 8. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÎÏÍÅÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÁÓÓÉ×Ï× list, size, ext-name É ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÁÓÓÉ×Á r | ÜÔÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×, Á ÍÁÓÓÉ×Á int-name | ×ÎÅÛÎÉÅ. óÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÚÁÎÅÓÅÍ × ÔÁÂÌÉ Ù. ÁÂÌÉ Á ä.4.3 ÁÂÌÉ Á ä.4.4 ÁÂÌÉ Á ä.4.5 r next list size ext-name 1 2 3 1 6 1 3 1 2 2 3 4 2 1 4 1 2 3 3 2 5 3 2 3 2 3 1 4 3 8 5 2 7 6 1 0 7 2 0 8 3 0 int-name áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(S ; S ; S ) ÓÏÓÔÏÉÔ × ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÉ Ë ÓÉÓËÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÂÏÌØÛÅÇÏ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ× S É S ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÒÉÓ×ÏÅÎÉÅ ÏÌÕÞÅÎÎÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÉÍÅÎÉ S . ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÒÁÚÍÅÒ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S . 1 1 2 3 2 3 3 302 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(i; j; k) Input i; j | ×ÎÅÛÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× i ÍÅÎØÛÅ ÒÁÚÍÅÒÁ j ); (ÕÓÔØ ÒÁÚÍÅÒ ÍÁÓÓÉ×Ù r, next, list, size, ext-name, int-name; (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) Output begin A := int-name(i); B := int-name(j ); element := list(A); while element 6= 0 do begin (element) := B; last := element; element := next(element) r end (last) := list(B); (B) := list(A); size(B ) := size(B ) + size(A); int-name(K ) := B ; ext-name(B ) := k next list end ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× i; j Ó ×ÎÅÛÎÉÍ ÉÍÅÎÅÍ k. ÷ ÒÏ ÅÓÓÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ: 1) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× i É j (ÓÔÒÏËÉ (1) É (2)); 2) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÎÁÞÁÌÏ ÓÉÓËÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (ÓÔÒÏËÁ (3)); 3) ÒÏÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔ ÓÉÓÏË ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÉÚÍÅÎÑÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÁÓÓÉ×Á r ÎÁ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÅ ÉÍÑ ÂÏÌØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (ÓÔÒÏËÉ (4){(7)); 4) ÏÂßÅÄÉÎÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÕÔÅÍ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÅÒÅÄ ÂÏÌØÛÉÍ (ÓÔÒÏËÉ (8){(10)); 5) ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔ ÎÏ×ÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÎÅÛÎÅÅ ÉÍÑ k. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÒÅÍÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ðÒÉÍÅÒ ä.4.4. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(1; 2; 4) ÄÌÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ ä.4.3. òÅÛÅÎÉÅ. óÔÒÕËÔÕÒÁ ÄÁÎÎÙÈ, ÏÌÕÞÉ×ÛÁÑÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÔÁÂÌÉ ÁÈ ä.4.6{ä.4.8. 303 ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ×ÁÖÎÙÊ ÓÏÓÏÂ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ, ×ÅÒÛÉÎÁÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, Á ËÏÒÎÀ ÄÅÒÅ×Á | ÉÍÑ ÓÁÍÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ïÅÒÁ ÉÀ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(S ; S ; S ) × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÏÌÎÉÔØ, ÒÅÏÂÒÁÚÕÑ ËÏÒÅÎØ ÄÅÒÅ×Á, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S × ÓÙÎÁ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ S , É ÚÁÍÅÎÑÑ ÉÍÑ ÄÅÒÅ×Á, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ S ÎÁ S (ÒÉ ÜÔÏÍ ÂÕÄÅÍ ÒÉÓÏÅÄÉÎÑÔØ ÍÅÎØÛÅÅ ÄÅÒÅ×Ï Ë ÂÏÌØÛÅÍÕ). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÒÅÍÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÏÓÔÏÑÎÎÏ É ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×. 1 1 2 3 2 2 ÁÂÌÉ Á ä.4.6 3 ÁÂÌÉ Á ä.4.7 ÁÂÌÉ Á ä.4.8 list size ext-name 1 6 1 3 1 { 4 2 2 7 4 2 { 2 5 3 { { { 3 1 2 8 4 { { { 4 2 5 2 7 6 1 0 7 2 0 8 2 1 r next 1 2 3 2 2 3 4 int-name óÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÓÏÂÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÓÓÉ×Ï× father , root , name , size , ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. íÁÓÓÉ× father ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ×ÓÅÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ × ×ÉÄÅ ÄÅÒÅ×ØÅ×: father (i) ÒÁ×ÅÎ ÎÏÍÅÒÕ ÏÔ Á ×ÅÒÛÉÎÙ i. åÓÌÉ i | ËÏÒÅÎØ, ÔÏ father (i) = 0. íÁÓÓÉ× root ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÏÍÅÒÁ ËÏÒÎÅÊ ÄÅÒÅ×ØÅ× ÄÌÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÔÏ ÅÓÔØ root (i) ÒÁ×ÅÎ ÎÏÍÅÒÕ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï i. size (i) ÒÁ×ÅÎ ÞÉÓÌÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á i. name (i) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉÍÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×ÏÍ Ó ËÏÒÎÅÍ i. åÓÌÉ ×ÅÒÛÉÎÁ i ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ, ÔÏ name (i) = 0. ðÒÉÍÅÒ ä.4.5. éÓÏÌØÚÕÑ ÍÁÓÓÉ×Ù father , root , name É size , ×ÙÉÛÉÔÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ ä.4.3, ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á 1 = {1; 3; 5; 7}; 2 = {2; 4; 8}; 3 = {6} ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÄÅÒÅ×ØÑÍÉ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÒÉÓ. ä.9. òÉÓÕÎÏË ä.9. 304 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ òÅÛÅÎÉÅ. éÓËÏÍÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÄÁÎÎÙÈ Ó×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌÉ Ù ä.4.9 É ä.4.10. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(i; j; k). Input i, j | ×ÎÅÛÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× i (ÕÓÔØ ÒÁÚÍÅÒ ÂÏÌØÛÅ ÒÁÚÍÅÒÁ ÍÁÓÓÉ×Ù father , name , root , size ; begin Output end j ); large := root (i); small := root (j ); father (small ) := large; size (k ) := size (large) + size (small ); name (large) := k ; name (small ) := 0; root (k ) := large; root (small ) := 0; root (large) := 0; i j ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× , ÁÂÌÉ Á ä.4.9 Ó ÉÍÅÎÅÍ k. ÁÂÌÉ Á ä.4.11 ÁÂÌÉ Á ä.4.10 father name 1 3 0 father name 4 1 3 1 3 0 2 4 0 2 4 3 2 4 0 3 0 1 3 6 1 3 0 4 4 0 2 4 3 0 5 6 3 0 5 3 0 0 3 6 0 3 7 1 0 7 1 0 8 4 0 8 4 0 root size ðÒÉÍÅÒ ä.4.6. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(i; j; k) Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ ä.4.3. òÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔÅ × ×ÉÄÅ ÄÅÒÅ×Á. òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(1; 2; 4) ÎÁÄ ÄÁÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÄÁÎÎÙÈ ÏÔÒÁÖÅÎÁ × ÔÁÂÌÉ ÁÈ ä.4.11 É ä.4.12. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.10. ÁÂÌÉ Á ä.4.12 root size 1 0 0 2 0 0 3 6 1 4 3 7 3 1 7 5 2 òÉÓÕÎÏË ä.10. 4 8 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÷. á. çÏÌÏ×ÅÛËÉÎ, í. ÷. õÌØÑÎÏ× ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ ÷ 2004 ÇÏÄÕ ÉÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÅÈÎÏÓÆÅÒÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌÏ × ÓÅÒÉÉ íÉÒ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÎÉÇÕ ò. èÁÇÇÁÒÔÉ äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ×. ëÎÉÇÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÈÏÒÏÛÏ ÚÁÒÅËÏÍÅÎÄÏ×Á×ÛÉÍ ÓÅÂÑ ÕÞÅÂÎÙÍ ÏÓÏÂÉÅÍ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ É ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ×, É ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÉ ÇÒÁÍÏÔÎÏ ÉÚÌÁÇÁÅÔ ÂÁÚÏ×ÙÅ ÒÁÚÄÅÌÙ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ. ðÏ Ó×ÏÅÍÕ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÀ ËÎÉÇÁ ò.èÁÇÇÁÒÔÉ | ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ × ÄÉÓËÒÅÔÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ Ó ÂÏÌØÛÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÔÝÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÄÕÍÁÎÎÙÈ ÒÉÍÅÒÏ× É ÚÁÄÁÞ. îÏ ÔÅÏÒÉÑ É ÒÁËÔÉËÁ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÉËÔÕÀÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÏÇÏ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Á Ó ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ, × Ó×ÑÚÉ Ó ÞÅÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÙÍ ÒÁÓÛÉÒÉÔØ ÄÁÎÎÏÅ ÉÚÄÁÎÉÅ ÚÁ ÓÞÅÔ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÇÌÁ× ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÈ ×ÏÒÏÓÁÍ Ï ÅÎËÉ É ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ, ËÏÎÅÞÎÙÍ ÒÁÚÎÏÓÔÑÍ, ÒÅËÕÒÓÉÉ É ÍÅÔÏÄÁÍ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÍ ÒÉ ÁÎÁÌÉÚÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ×ÁÖÎÙÍ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑ Ó ÒÏÂÌÅÍÏÊ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÍÅÔÏÄÁÍÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÉÇÒÁÀÝÉÍÉ ×ÁÖÎÕÀ ÒÏÌØ × ÒÁËÔÉËÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. íÁÔÅÒÉÁÌ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÌÅË ÉÏÎÎÙÅ ËÕÒÓÙ äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ É òÁÚÒÁÂÏÔËÁ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÞÉÔÁÅÍÙÅ Á×ÔÏÒÁÍÉ × íÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÁËÁÄÅÍÉÉ ÒÉÂÏÒÏÓÔÒÏÅÎÉÑ É ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ. ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÷×ÅÄÅÎÉÅ éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ, ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÆÕÎË ÉÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÕÖÅ ÄÁ×ÎÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÁÚÄÅÌÁÍÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. éÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÜÔÉÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× × ÒÁËÔÉËÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ó×ÑÚÁÎÏ, ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, Ó ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÍ ÁÎÁÌÉÚÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÅÌÏ×ÅËÕ, ×ÌÁÄÅÀÝÅÍÕ ÎÁ×ÙËÁÍÉ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÏÈÏÄÏ× ÉËÌÁ ÕÔÅÍ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ × ÅÇÏ ÔÅÌÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÓÞÅÔÞÉËÁ. ïÄÎÁËÏ ËÏÇÄÁ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÏÌÕÞÅÎÉÉ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÞÔÏ ×ÁÖÎÏ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÂÌÁÓÔÉ ÅÇÏ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ É ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔÉ ×ÙÂÏÒÁ, ÔÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ Ñ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÅÊ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÏÔ ÄÌÉÎÙ ×ÈÏÄÁ. 306 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÁ ÎÅÂÏÌØÛÏÍ ÆÒÁÇÍÅÎÔÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ: for i = 1 to n for j = i to n − i + 1 <ÔÅÌÏ for j for i end end ÉËÌÁ > óËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÔÅÌÏ ÉËÌÁ, ÅÓÌÉ n = 10? ïÔ×ÅÔ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÍ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÏÍ. îÏ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ, ËÁËÏ×Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÅÎÉÊ ÉËÌÁ ËÁË ÆÕÎË ÉÑ ÏÔ n, ÔÒÅÂÕÅÔ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÁÁÒÁÔÁ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÌÕÞÅÎÉÀ ÆÕÎË ÉÉ S (n) ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ ×ÉÄÁ S (n) = n + (n − 2) + (n − 4) + : : : ÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÎÅÉÚÂÅÖÎÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÄÌÑ Ï ÅÎËÉ ÉÈ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÒÅÛÅÎÉÊ × ÚÁÄÁÞÁÈ ÅÒÅÂÏÒÁ, ËÏÔÏÒÙÍ ÏÓ×ÑÝÅÎ ×ÔÏÒÏÊ ÒÁÚÄÅÌ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ, ÔÒÅÂÕÅÔ × ÅÌÏÍ ÒÑÄÅ ÓÌÕÞÁÅ× ÓÅÉÁÌØÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ ÏÄÓÞÅÔÏ×, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÍÏÝÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× × ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÍ ×ÉÄÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. éÚÌÏÖÅÎÉÀ ÏÓÎÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ×ÁÖÎÙÈ É ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ× × ÅÌÑÈ ÁÎÁÌÉÚÁ É ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÓ×ÑÝÅÎ ÄÁÎÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ. ä.5.1. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ É Ï ÅÎËÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ðÏÎÑÔÉÅ ÓÕÍÍÙ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÒÁËÔÉËÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÁÎÁÌÉÚÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. íÙ ÏÉÛÅÍ ËÒÁÔËÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÒÉ ÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ É Ï ÅÎËÅ, ÎÏ × ÎÁÞÁÌÅ ÎÁÏÍÎÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ. òÅÞØ ÂÕÄÅÍ ×ÅÓÔÉ Ï ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍÁÈ ÏÂÝÅÇÏ ×ÉÄÁ: a + a + · · · + an ; ÇÄÅ ak | ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÓÕÍÍÙ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ k | ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ëÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÓÕÍÍÙ ak ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÅ ÞÌÅÎÏÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÎ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ, ËÁË ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ k, Ô. Å. ak = f (k). ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÕÍÍÙ: 1+4+··· +n ; (ä.1) 1 + 41 + · · · + n1 ; (ä.2) ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ (ä.1) | f (k) = k , Á ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ (ä.2) | f (k) = k . úÁÉÓØ ÓÕÍÍÙ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÍÎÏÇÏÔÏÞÉÑ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÁ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ, ÏÎÁ ÎÁÇÌÑÄÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ×ÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÍÙðÏÎÑÔÉÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ. 1 2 2 2 2 1 2 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 307 ÓÌÅÎÎÏ ÄÏÏÌÎÉÔØ ÎÅÄÏÓÔÁÀÝÉÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ, ÏÄÎÁËÏ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÁÍÉ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ | ÜÔÁ ÚÁÉÓØ ÇÒÏÍÏÚÄËÁ, Á ×Ï-×ÔÏÒÙÈ | ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÔÏÌËÏ×ÁÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÉ ÂÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÏÍ ÏÄÈÏÄÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÒÕÇÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÙÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ: n X k=1 ak ; ÉÌÉ X 16 k 6n ak : (ä.3) äÁÎÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ××ÅÄÅÎÏ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ öÏÚÅÆÏÍ æÕÒØÅ × 1820 ÇÏÄÕ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÇÍÁ-ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅÍ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÇÄÁ ÍÙ ÉÛÅÍ ÓÕÍÍÕ ×ÉÄÁ (ä.3), ÔÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÀÔÓÑ Ä×Á ÍÏÍÅÎÔÁ. ðÅÒ×ÙÊ | ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÒÏÓÔÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÞÌÅÎÏ× ÓÕÍÍÙ ak Ï ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍÕ ÎÏÍÅÒÕ k. ÷ÔÏÒÏÊ | ÎÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÎÁÍ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÎÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ 1+2+3+4+5, ÔÏ ÎÅÔ ÓÍÙÓÌÁ ÉÓÁÔØ 1+2+ · · ·+5 ÉÌÉ ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ P k, Á ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÒÁÚÕ ÎÁÉÓÁÔØ 1+2+3+4+5 = 15, k É ÚÁÂÙÔØ ÒÏ ÏÄÏÂÎÙÅ ÇÌÕÏÓÔÉ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍÕ ÍÁÔÅÒÉÁÌÕ, ÒÉ×ÅÄÅÍ Ä×Å ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÅ ÓÕÍÍÙ | ÓÕÍÍÙ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÊ. óÕÍÍÁ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ | ÜÔÏ ÓÕÍÍÁ ×ÉÄÁ n X (a + (k − 1) · d) = na + (n −2 1)n d; (ä.4) k Á ÓÕÍÍÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ | ÜÔÏ ÓÕÍÍÁ ×ÉÄÁ n X qn − 1 aqk− = a : (ä.5) q−1 k æÏÒÍÕÌÙ (ä.4) É (ä.5) ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÎÉÖÅ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÅÌÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÓÔÁ×ÉÍ ÅÒÅÄ ÓÏÂÏÊ, ÉÓÓÌÅÄÕÑ ÓÕÍÍÙ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÉÄÅÁÌØÎÏÊ ÅÌØÀ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ×ÉÄÁ ÆÕÎË ÉÉ S (n), ÔÁËÏÊ ÞÔÏ 5 =1 =1 1 =1 S (n) = n X k=1 ak ; Ô. Å. ÏÌÕÞÅÎÉÅ Ñ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÓÕÍÍÙ ÏÔ ×ÅÒÈÎÅÇÏ ÒÅÄÅÌÁ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ðÏÌÕÞÅÎÉÅ S (n) É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÅÌØÀ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. ïÄÎÁËÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ, ÈÏÔÑ ÎÉÖÅ ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ S (n). þÁÝÅ ÕÄÁÅÔÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÂÏÌÅÅ ÓËÒÏÍÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ | ÚÁÄÁÞÕ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË ÓÕÍÍÙ. ÷ ÚÁÄÁÞÅ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË ÓÕÍÍ ÎÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÔ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, Ï ÅÎËÉ ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞ Ï ÅÎËÉ ÓÕÍÍ, ÎÁÏÍÎÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÌÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÆÕÎË ÉÊ. ÷×ÏÄÑ ÜÔÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÍÙ íÅÔÏÄÙ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË ÓÕÍÍ. 308 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÚÁÒÁÎÅÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÑÈ, ÓÔÒÅÍÑÝÉÈÓÑ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÒÉ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÉ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ n. ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÆÕÎË ÉÊ f n = 0, ÔÏ ÉÛÅÍ f (n) = o(g (n)) (ÞÉÔÁ1. ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ Ï-ÍÁÌÏÅ. åÓÌÉ nlim →∞ g n ÅÔÓÑ ÜÆ ÏÔ ÜÎ ÅÓÔØ Ï ÍÁÌÏÅ ÏÔ ÖÅ ÏÔ ÜÎ). 2. ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ï-ÂÏÌØÛÏÅ. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÞÉÓÌÏ , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ fg nn < ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n, ÔÏ ÉÛÅÍ f (n) = O(g(n)) (ÞÉÔÁÅÔÓÑ ÜÆ ÏÔ ÜÎ ÅÓÔØ O ÂÏÌØÛÏÅ ÏÔ ÖÅ ÏÔ ÜÎ). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÑËÏÅ o-ÍÁÌÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É O-ÂÏÌØÛÉÍ, ÎÏ ÎÅ ÎÁÏÂÏÒÏÔ. 3. ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ . åÓÌÉ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Å ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ > 0 É > 0, Á ÔÁË ÖÅ ÞÉÓÌÏ n , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ n > n ×ÙÏÌÎÅÎÏ g(n) 6 6 f (n) 6 g (n), ÔÏ ÉÛÅÍ f (n) = (g (n)). åÓÌÉ f (n) = (g (n)) ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ g(n) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÔÏÞÎÏÊ Ï ÅÎËÏÊ ÄÌÑ f (n). f n = 1, ÔÏ ÉÛÅÍ f (n) ∼ g (n) (ÞÉÔÁÅÔÓÑ ÜÆ 4. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ. åÓÌÉ nlim →∞ g n ÏÔ ÜÎ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÖÅ ÏÔ ÜÎ). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï: f (n) ∼ g(n), ÔÏ f (n) = g(n) + o(g(n)). ðÏÌÕÞÅÎÉÅ ÏÄÏÂÎÙÈ Ï ÅÎÏË É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÒÉ Ï ÅÎËÅ ÓÕÍÍ. åÓÌÉ ÎÅ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 1 2 ( ) ( ) S (n) = n X k=1 ak ; ÔÏ ÌÕÞÛÉÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ Ï ÅÎËÁ ÓÕÍÍÙ S (n) | ÆÕÎË ÉÑ g(n), ÞÔÏ S (n) ∼ g(n). îÏ ÔÁËÕÀ Ï ÅÎËÕ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÄËÏ. îÅÌÏÈÏÊ Ï ÅÎËÏÊ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ Ï ÅÎËÁ S (n) = (g(n)), ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÚÎÁÞÅÎÉÑ É , Á ÎÅ ÒÏÓÔÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ. ï ÅÎËÁ S (n) = O(g(n)) ÔÁËÖÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÄÅÌÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ×Ù×ÏÄÙ Ï ÈÁÒÁËÔÅÒÅ Ï×ÅÄÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ. 1 2 ðÒÉÍÅÒ ä.5.1. ðÏÌÕÞÉÔØ Ï ÅÎËÕ O-ÂÏÌØÛÏÅ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ S (n) = kPn k . òÅÛÅÎÉÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ 1 6 k 6 n ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï k 3 =1 ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ S (n) = n X k=1 k 3 6 n X k=1 n 3 3 6 n3 , =n : 4 üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ S (n) = n X k=1 k 3 = O(n ): 4 íÅÔÏÄ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. óÕÔØ ÍÅÔÏÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÕÇÁÄÙ×ÁÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÒÏ×ÅÒÑÅÍ ÅÇÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÒÉ n = 1, É, ÓÞÉÔÁÑ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ×ÅÒÅÎ ÒÉ n = n, ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÅÇÏ ÄÌÑ n + 1. 309 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ éÓÏÌØÚÕÑ ÜÔÏÔ ÍÅÔÏÄ, ÏÙÔÁÅÍÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ g(n) = n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÔÏÞÎÏÊ Ï ÅÎËÏÊ ÄÌÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÕÍÍÙ n X S (n) = k ; Ô. Å. S (n) = (n ): 4 3 4 k=1 äÌÑ ÜÔÏÇÏ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ Ï ÅÎËÉ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ É ÔÁËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ n , ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ n > n ×ÙÏÌÎÅÎÏ n X S (n) = k > n : (ä.6) 1 0 0 3 4 1 k=1 îÅ ÂÕÄÅÍ ËÏÎËÒÅÔÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ . óÁÍ ÍÅÔÏÄ ÏÚ×ÏÌÉÔ ÄÁÔØ Ï ÅÎËÕ ÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÕ. ðÕÓÔØ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ (ä.6). ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÁË ÏÄÏÂÒÁÔØ , ÞÔÏ ÂÙ ÄÌÑ ×ÓÅÈ n > n ÂÙÌÏ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 1 1 0 S (n + 1) = nX +1 k=1 k 3 > (n + 1) : 1 (ä.7) 4 ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÅÏÞËÕ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ. éÍÅÅÍ S (n + 1) = ÔÏÇÄÁ S (n + 1) = n X k=1 k 3 nX +1 k=1 k 3 = n X k k=1 3 +(n + 1) ; 3 +(n + 1) = S (n) + (n + 1) 3 3 > 1 n 4 + (n + 1) : 3 åÓÌÉ ÎÁÍ ÕÄÁÓÔÓÑ ÏÄÏÂÒÁÔØ ÔÁËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ , ÞÔÏ n + (n + 1) > (n + 1) (ä.8) ÒÉ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n, ÔÏ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ä.7), ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÍ É ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÍÅÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ä.8), ÒÅÏÂÒÁÚÕÑ ËÏÔÏÒÏÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ (n + 1) > · ((n + 1) − n ); Ó 6 4n +(6nn+ +1)4n + 1 : úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ n > 1 ×ÙÏÌÎÅÎÏ (n + 1) n 1; > = 4n + 6n + 4n + 1 4n + 6n + 4n + n 15 ÔÏÇÄÁ ×ÙÂÅÒÅÍ = , ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ S (1) = 1 > 1 , ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ n > 1 ×ÙÏÌÎÅÎÏ n X 1 S (n) = k > n : 15 1 1 4 3 4 1 1 3 3 4 1 4 1 3 3 3 1 2 3 2 3 3 1 3 1 3 15 3 4 15 3 4 k=1 òÁÎÅÅ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ n > 1 ×ÙÏÌÎÅÎÏ S (n) 6 n , ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ = , = 1, S (n) = (n ), É ÆÕÎË ÉÑ g(n) = n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÔÏÞÎÏÊ Ï ÅÎËÏÊ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ S (n). 4 1 1 15 2 4 4 310 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ íÅÔÏÄ ÏÞÌÅÎÎÙÈ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÉÚÌÁÇÁÔØ ÄÁÎÎÙÊ ÍÅÔÏÄ, ÎÁÏÍÎÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. ðÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÎÉÈ | ËÏÎÅÞÎÙÅ ÓÕÍÍÙ ÄÏÕÓËÁÀÔ ÌÀÂÕÀ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ. ÷ÔÏÒÏÅ | ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÓÕÍÍÙ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÑÚÙËÏÍ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ n n n X X X ( ak + dbk ) = ak +d bk : k=1 k=1 k=1 ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÎÅÂÒÅÇÁÔØ ÌÀÂÙÍ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ. íÅÔÏÄ ÏÞÌÅÎÎÙÈ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÆÁËÔÅ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Å ËÏÎÅÞÎÙÅ ÓÕÍÍÙ n n X X U (n) = ak ; V (n) = bk ; k=1 k=1 ÒÉ ÜÔÏÍ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ k ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ak 6 bk . ÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ U (n) 6 V (n). üÔÏÔ ÆÁËÔ ÕÄÏÂÅÎ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÄÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÓÕÍÍÁ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÌÉ ÅÅ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ Ï ÅÎËÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.2. ðÏÌÕÞÉÔØ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ U (n) = n X k=1 k k+1 2k− : 1 òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÙÂÅÒÅÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÒÏÇÒÅÓÓÉÀ | ÓÕÍÍÕ V (n) = n X k=1 2k − ; 1 n ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ | ÆÏÒÍÕÌÁ (ä.5) É ÒÁ×ÎÁ V (n) = P 2k− = 2n − 1. k ðÏÓËÏÌØËÕ k k < 1, ÔÏ U (n) 6 V (n) = 2n − 1, É ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ U (n) = O(2n ): íÅÔÏÄ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ. åÝÅ ÏÄÉÎ ÏÌÅÚÎÙÊ ÒÉÅÍ | ÜÔÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ. üÔÏÔ ÒÉÅÍ ÕÄÏÂÎÏ ÒÉÍÅÎÑÔØ ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÕÍÍ, ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ ak = f (k), É ÒÉ ÜÔÏÍ ÆÕÎË ÉÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ y = f (x) ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ É ÍÏÎÏÔÏÎÎÁ ÄÌÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x. åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ y = f (x) ÎÅ ÕÂÙ×ÁÅÔ, ÔÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ =1 +1 ak 6 kZ+1 k f (x) dx É ak > Zk k −1 f (x) dx; 1 311 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ n ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ | ÆÕÎË ÉÉ S (n) = P ak ÉÍÅÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ï ÅÎËÉ S (n) 6 k=1 nZ+1 f (x) dx É S (n) > a + 1 1 Zn f (x) dx: 1 åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ y = f (x) ÎÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ, ÔÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ kZ+1 ak > f (x) dx k É ak 6 k −1 É ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ S (n) ÉÍÅÅÍ S (n) > nZ+1 f (x) dx É Zk S (n) 6 a 1 f (x) dx; + 1 Zn f (x) dx: 1 ðÒÉÍÅÒ ä.5.3. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÓÕÍÍÕ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÑÄÁ S (n) = kPn k Ó ÅÌØÀ 1 ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ Ï ÅÎËÉ. òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x , ËÏÔÏÒÁÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ ÒÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. éÍÅÅÍ nZ n 1 dx 6 S (n) 6 1 + Z 1 dx; =1 1 +1 x 1 x 1 ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ln(n + 1) 6 S (n) 6 1 + ln(n). éÚ ÄÁÎÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÌÅÇËÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ S (n) ∼ ln(n). ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ É ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÞÔÏ S (n) = ln(n) + O(1): ðÒÉÍÅÒ ä.5.4. ðÒÉÍÅÎÉÔØPnÍÅÔÏÄ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÕÍÍÙ S (n) = k=1 ln k: òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÆÕÎË ÉÑ y = ln x ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ ÒÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, ÔÏ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ï ÅÎËÉ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ Zn ln xdx < n X 1 1 ln k < nZ+1 ln xdx: 1 ðÏÓËÏÌØËÕ ln xdx = x ln x − x, ÔÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ Ï ÅÎËÕ ÓÕÍÍÙ R n ln n − n < n X k=1 ln k < (n + 1) ln(n + 1) − (n + 1): 312 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÏÌÕÞÅÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ n X ln k ∼ n ln n: k=1 ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ Ë ÏÌÕÞÅÎÎÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ Ï ÅÎËÕ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n!. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ n! = 1 × 2 × 3 × · · · × n, Á ÏÓËÏÌØËÕ n P n n k n n! = e = ek ; ÔÏ n < n! < (n + 1) : ln( !) =1 +1 ln en en+1 ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ É ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÙÅ Ï ÅÎËÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n!, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÁ óÔÉÒÌÉÎÇÁ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ [16℄). ðÒÉÍÅÒ ä.5.5. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ kPn k = O(1). òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ 1 2 =1 1 n X k k=1 2 6 ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x , ËÏÔÏÒÁÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ ÒÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. ÏÇÄÁ n n X 1 6 1 + Z 1 dx = 1 − 1 + 1 = 2 − 1 6 2; 1 2 k=1 k 2 x n 2 1 n ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ. îÁ ×ÓÑËÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ R dx x = −x. ðÒÉÍÅÒ ä.5.6. éÓÏÌØÚÕÑ ÍÅÔÏÄ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ, ÎÁÊÔÉ n P ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ S (n) = k : 2 1 3 k=1 òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÊ Ï ÅÎËÉ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ k > 1 ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á Zk x dx < k < 3 3 k −1 ÏÔËÕÄÁ ÎÏ ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ S (n) = k=1 x dx; 3 k S (n) = n X k+1 Z n X k=1 k < 3 k > 3 Zn 3 0 nZ+1 x dx = 1 3 1 4 x dx = n ; 4 1 ((n + 1) 4 4 − 1): ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ g(n) = 1 4 n 4 313 ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ S (n) ÄÌÑ ÂÏÌØÛÉÈ n. éÍÅÅÍ 1 6 (1S=(4)nn) 6 (1=4)(((1n=+4)n1) − 1) ; (1 + 1=n) − 1=n = 1: lim (1=4)(((1n=+4)n1) − 1) = nlim →∞ n→∞ 1 éÚ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ S (n) lim = 1; n→∞ (1=4) n É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ n X 1 S (n) = k ∼ n : 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 k=1 äÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ × Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ × ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÅÌÙÊ ÒÑÄ ÍÅÔÏÄÏ×, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÉÚÌÏÖÉÍ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÅ É ÕÏÔÒÅÂÉÔÅÌØÎÙÅ. íÅÔÏÄ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÏÝÎÙÊ É ÛÉÒÏËÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÊ ÍÅÔÏÄ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ É ÄÌÑ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÅÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÕÍÍÙ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ n X (a + (k − 1) · d) = na + (n −2 1)n d: k ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ n X S (n) = (a + (k − 1) · d): íÅÔÏÄÙ ÔÏÞÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. S (n) =1 k=1 ðÒÉ n = 1 ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ÄÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÎÁ ×ÅÒÎÁ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n, ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ (n + 1) ÉÍÅÅÍ S (n + 1) = nX +1 k=1 (a + (k − 1) · d) = n X k=1 (a + (k − 1) · d) + a + nd = S (n) + a + nd; ÏÓËÏÌØËÕ S (n) = na + (n −2 1)n d, ÔÏ (n − 1)n d + a + nd = (n + 1)a + n(n + 1) d; S (n + 1) = na + 2 2 ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ. íÅÔÏÄ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×. íÅÔÏÄ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ×ÉÄ ÆÕÎËÉÉ S (n) ÉÚ×ÅÓÔÅÎ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË, Á ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÙ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. 314 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÜÔÏÔnÍÅÔÏÄ ÎÁ ÕÖÅ ÚÎÁËÏÍÏÍ ÒÉÍÅÒÅ | ÎÁÊÄÅÍ ÔÏÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ S (n) = P k : ÷ ÓÉÌÕ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ Ï ÅÎÏË ÏÙÔÁÅÍÓÑ k ÉÓËÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ × ×ÉÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÏÔ n, Ô. Å. × ×ÉÄÅ S (n) = An + Bn + Cn + Dn + E: (ä.9) ðÏÓËÏÌØËÕ S (1) = 1 | ÂÁÚÉÓ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÔÏ ÉÍÅÅÍ A + B + C + D + E = 1: ðÕÓÔØ S (n) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (ä.9) | ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÔÏÇÄÁ S (n + 1) = A(n + 1) + B (n + 1) + C (n + 1) + D(n + 1) + E; Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ S (n + 1) = S (n) + (n + 1) : (ä.10) ÏÇÄÁ, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × (ä.10) ÚÎÁÞÅÎÉÅ S (n) ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.9), ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï An + Bn + Cn + Dn + E + (n + 1) = = A(n + 1) + B(n + 1) + C (n + 1) + D(n + 1) + E; ËÏÔÏÒÏÅ ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ n, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× A, B, C , D.  4A = 1;    6A + 3B = 3; 4A + 3B + 2C = 3;    A + B + C + D = 1: òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÏÌÕÞÁÅÍ A = , B = , C = , D = 0. úÎÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ A, B, C , D ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ A + B + C + D + E = 1; ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ E = 0, É, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× × (ä.9) ÉÍÅÅÍ n X 1 = 1 n + 1 n + 1 n = n (n + 1) : S (n) = k 4 2 4 4 k úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÂÅÓÌÁÔÎÏÇÏ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÌÀÂÏÙÔÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. ðÏÓËÏÌØËÕ (1 + 2 + · · · + n) = n(n2+ 1) ; ÔÏ (1 + 2 + · · · + n ) = (1 + 2 + · · · + n) : íÅÔÏÄ ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÑ ÎÕÌÑ. éÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÒÉÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×, Á ÉÍÅÎÎÏ ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÅ ÎÕÌÑ, ÚÁÉÓÁÎÎÏÇÏ Ó×ÏÅÏÂÒÁÚÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. îÁÒÑÄÕ Ó ÜÔÉÍ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÅÒÅÉÓÙ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ÄÒÕÇÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ, ËÏÔÏÒÁÑ ÔÁËÖÅ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ Ó×ÏÅÏÂÒÁÚÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. 3 =1 4 3 4 2 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 1 1 1 4 2 2 2 4 3 2 2 3 =1 3 3 3 2 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 315 ðÒÉÍÅÒ ä.5.7. îÁÊÔÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ S (n) ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ S (n) = n X k=1 1 k(k + 2) : òÅÛÅÎÉÅ. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ S (n) 1 ; S (2) = 1 + 1 = 11 : 3 3 8 24 ðÅÒÅÉÛÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÓÕÍÍÙ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÁÞÅ, Á ÉÍÅÎÎÏ n X 1 1 S (n) = 2k − 2(k + 2) ; k É ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ, ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ n n n X 1X 1−1X 1 : 1 1 S (n) = − = 2k 2(k + 2) 2 k k 2 k k + 2 k S (1) = =1 =1 =1 =1 ÷×ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÕÍÍ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ n n X 1 ; V (n) = X 1 ; U (n) = k k + 2 k k =1 =1 É ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ ×ÔÏÒÕÀ ÓÕÍÍÕ | V (n). äÌÑ ÅÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÕÄÏÂÎÏ ÒÉÂÁ×ÉÔØ ÎÏÌØ, ÚÁÉÓÁÎÎÙÊ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ | 0 = + − − , ÔÏÇÄÁ ÉÍÅÅÍ 1 1 1 1 1 2 1 2 n 1 = 1 + 1 +X 1 − 1 − 1 = nX 1 − 1 − 1 = 1 2 k k+2 1 2 k k 1 2 k k+2 n X = k1 + n +1 1 + n +1 2 − 11 − 12 ; k ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 1 + 1 − 1 − 1; V (n) = U (n) + n+1 n+2 1 2 ÏÔËÕÄÁ 1 1 1 1 1 1 S (n) = (U (n) − V (n)) = U (n) − U (n) − − + + : 2 2 n+1 n+2 1 2 ðÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÉ n > 3 ÓÕÍÍÁ S (n) = 34 − 2(n 1+ 1) − 2(n 1+ 2) . V (n) = n X =1 =1 +2 =1 =1 316 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÉÍÅÒ ä.5.8. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÅÝÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ ÍÅÔÏÄÏÍ ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÑ ÎÕÌÑ, ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÓÕÍÍÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ É ÄÏËÁÖÅÍ ÆÏÒÍÕÌÕ (ä.5). òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÓÕÍÍÁ S (n) = kPn aqk . ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÅÅ Ë ×ÉÄÕ −1 =1 S (n) = n X k=1 aqk− 1 = a+ n X aqk− k=2 1 =a+q n X k=2 aqk− = a + (q 2 k=2 n aq − aqn ÍÙ ÓÎÏ×Á ÒÉÂÁ×ÉÌÉ ÎÏÌØ, ÚÁÉÓÁÎÎÙÊ × ×ÉÄÅ 0 = ( S (n) = a + (q k=2 nX +1 = a + q( ÁË ËÁË n X k=2 aqk− aqk− 2 2 n X + aqn) − aqn = a + q( ) − aqn = a(1 − qn) + q( aqk− k=1 k=1 aqk− 1 aqk− 2 + aqn) − aqn; ), ÄÁÌÅÅ ÏÌÕÞÁÅÍ k=2 n X n X n X 2 + aqn− ) − aqn = 1 aqk− ): 1 = S (n); ÔÏ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ S (n) ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ S (n) = a(1 − qn ) + qS (n); ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÏÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÉÓËÏÍÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ n X qn − 1 S (n) = aqk− = a : q−1 k 1 =1 íÅÔÏÄ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. éÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÎÏÇÄÁ ÔÁËÖÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÅÚÎÙÍ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍ. ðÏËÁÖÅÍ ÜÔÏ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÕÍÍÕ ×ÉÄÁ n X (ä.11) S (n) = k3k : k=1 ÷ÎÁÞÁÌÅ ÕÓÌÏÖÎÉÍ ÚÁÄÁÞÕ. ÷ÍÅÓÔÏ ÄÁÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = n X k=1 kxk ; ÔÏÇÄÁ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÁÑ ÎÁÓ ÓÕÍÍÁ ÅÓÔØ ÒÏÓÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÆÕÎË ÉÉ × ÔÏÞËÅ x = 3, Ô. Å. n X k3k = f (3): k=1 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 317 ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÉÔÏÇÅ ÏÚ×ÏÌÑÔ ÎÁÊÔÉ ÄÁÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ. f (x) = n P xk k=1 n X k=1 kxk = x n X k=1 kxk− 1 n X = x dxd ( k=1 xk ): óÕÍÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÅÇËÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ n n X X xn − 1 xn − x xk = x · xk− = x = x−1 : x−1 +1 1 k=1 k=1 ÷ÙÞÉÓÌÑÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ, ÉÍÅÅÍ n d X nxn ( xk ) = dx k +1 =1 ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, (n + 1)xn + 1 : (x − 1) − 2 (n + 1)xn + 1 ; (ä.12) (x − 1) k É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x = 3, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ n X 3 k3k = f (3) = (n3n − (n + 1)3n + 1): 4 k ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÕÍÍ ×ÉÄÁ (ä.11) Ó ÒÁÚÎÙÍÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÓÔÅÅÎÉ. ÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÕÍÍÁ f (x) = n X kxk = x nxn +1 − 2 =1 +1 =1 S (n) = n X k=1 k2k = f (2); ËÏÔÏÒÁÑ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÒÉ ÁÎÁÌÉÚÅ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÅÚ ÔÒÕÄÁ ÏÌÕÞÅÎÁ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.12). íÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÅÔÏÄÙ Ï ÅÎËÉ É ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÁÌØÎÅÊÛÉÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÓÓÍÏ∞ P ÔÒÅÎÉÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ×ÉÄÁ ak , ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÑÄÁÍÉ, É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÍÅÔÏÍk ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ. =1 îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.1 ä.5.1.1. îÁÊÄÉÔÅ ÓÕÍÍÕ kPn (2n − 2k). ä.5.1.2. îÁÊÄÉÔÅ ÓÕÍÍÕ kPn k k . =1 1 =1 ( +1) 318 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ä.5.1.3. îÁÊÄÉÔÅ ÔÏÞÎÕÀ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ kPn √k. =1 n P ä.5.1.4. îÁÊÄÉÔÅ ÔÏÞÎÕÀ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ k ä.5.1.5. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ kPn =1 √1 k3 = O(1). =1 √1 k . ä.5.2. üÌÅÍÅÎÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÒÅËÕÒÓÉÉ ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÉÚÌÏÖÅÎÉÀ ÏÂÝÅÊ ÔÅÏÒÉÉ ÒÅËÕÒÓÉÉ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Å ÚÁÄÁÞÉ. ðÅÒ×ÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÎÅÍÎÏÇÏ ÓÔÒÁÎÎÏÊ, ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁÍ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 0; 7x = 2, ÎÏ ÎÁÛ ËÏÍØÀÔÅÒ ÔÁËÏ×, ÞÔÏ ÏÎ ÕÍÅÅÔ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ, ×ÙÞÉÔÁÔØ, ÕÍÎÏÖÁÔØ É ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÔØ, ÎÏ ÎÅ ÕÍÅÅÔ ÄÅÌÉÔØ. ðÒÅÄÌÏÖÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÚ×ÏÌÉÔ ÜÔÏÍÕ ÓÔÒÁÎÎÏÍÕ ËÏÍØÀÔÅÒÕ ÒÅÛÉÔØ ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (ÇÏ×ÏÒÑ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÉÍ ÓÔÉÌÅÍ, ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÒÁÚÒÅÛÉÍÁ × ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ). ðÅÒÅÉÛÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ x = 0; 3x + 2, ÚÁÄÁÄÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x = 1 É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ xn , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ x = 1; (ä.13) xn = 0; 3xn + 2: íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ. éÚÕÞÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÜÔÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ rn = |xn − xn |. ðÏÓËÏÌØËÕ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (ä.13) xn = 0; 3xn + 2, É xn = 0; 3xn + 2, ÔÏ ÉÍÅÅÍ xn − xn = 0; 3 · (xn − xn ): óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, rn = 0; 3 · rn . ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. ÁË ËÁË x = 1, ÔÏ x = 2; 3, ÔÏÇÄÁ ÒÉ n > 2 ÉÍÅÅÍ |xn − x | = |(xn − xn− ) + (xn− − xn− ) + · · · + (x − x ) + (x − x )|: ÷ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÍÏÄÕÌÑ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁÉÓÁÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |xn − x | 6 |xn − xn− | + |xn− − xn− | + · · · + |x − x | + |x − x |; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, |xn − x | 6 rn− + rn− + · · · + r + r ; Á ÏÓËÏÌØËÕ rn = 0; 3 · rn , ÔÏ |xn − x | 6 0; 3n− r + 0; 3n− r + · · · + 0; 3r + r : éÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ 1 − 0; 3n− ; |xn − x | 6 r 1 − 0; 3 ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ xn . òÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. 1 1 +1 +1 +1 +2 +1 +2 +1 +1 +1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 1 +1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 319 äÁÌÅÅ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÒÅÄÅÌ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ dmn = |xn − xm|, É ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ ÂÕÄÅÍ ÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ n > m. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÒÏÄÅÌÁÎÎÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï dmn 6 rn− + rn− + · · · + rm + rm ; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 1 − 0; 3n−m : dmn 6 0; 3n− r + 0; 3n− r + · · · + 0; 3mr + 0; 3m− r = 0; 3m− r 1 − 0; 3 ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ n = n ("), ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÙÈ n > n , m > n ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ dmn < ". éÚ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÌÎÏÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn ÉÍÅÅÔ ÒÅÄÅÌ ÒÉ n ÓÔÒÅÍÑÝÅÍÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. xn = z , É ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÒÅÄÅÌÕ × ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ xn = 0; 3xn +2. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ nlim →∞ éÍÅÅÍ nlim xn = nlim (0; 3xn + 2), ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ z = 0; 3z + 2, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, →∞ →∞ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÅÄÅÌÁ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÅÛÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÌÀÂÏÊ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ, ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÅÒÁ ÉÀ ÄÅÌÅÎÉÑ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ (ä.13) ÍÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÞÅÒÅÚ ÅÇÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. √ ÷ÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÞÁ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÊÔÉ a (a > 0), ÅÓÌÉ ÒÁÚÒÅÛÁÅÔÓÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÞÅÔÙÒÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ |√ÓÌÏÖÅÎÉÅ, ×ÙÞÉÔÁÎÉÅ, ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ, ÄÅÌÅÎÉÅ É ÏÅÒÁ ÉÀ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ. úÎÁÞÅÎÉÅ a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x = a. ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 2x = x + a, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ 1 a x= x+ : 2 x òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÕÀ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ: x = 1; (ä.14) xn = (xn + xan ): ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÆÕÎË ÉÉ 1 a y(x) = x + ; 2 x ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ, ÎÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ ÅÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ dy 1 a = 1 − : dx 2 x √ ðÒÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ √ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ ÒÉ x √= a. æÕÎË ÉÑ y(x) ÕÂÙ×ÁÅÔ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; a) É ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ ÎÁ√ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ ( a; ∞). ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÔÏÞËÁ x = a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÍÉÎÉÍÕÍÁ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ×ÓÅÈ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÉÍÅÅÍ √ 1 a + √a = √a: y> 2 a 1 2 1 3 2 1 +1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 +1 +1 2 2 2 1 +1 1 2 2 320 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ úÎÁÞÉÔ, ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ËÒÏÍÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÒ×ÏÇÏ, ÂÏÌØÛÅ ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÙ √a: xn > √a ÒÉ n > 1. äÁÌÅÅ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÎÁÞÉÎÁÑ ÓÏ ×ÔÏÒÏÇÏ,√ ÎÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ, Ô. Å. xn 6 xn ÒÉ n > 2. îÅÔÒÕÄÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÒÉ x > a ×ÙÏÌÎÅÎÏ 1 x + a 6 1 x + x = x: 2 x 2 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ, ÎÁÞÉÎÁÑ ÓÏ ×ÔÏÒÏÇÏ, ÎÏ ÉÚ ËÕÒÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÏÇÒÁÎÉxn = z É, ÅÒÅÈÏÄÑ Ë ÞÅÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÒÅÄÅÌ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ nlim →∞ ÒÅÄÅÌÕ × ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ 1 a xn = xn + ; 2 xn ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÅÄÅÌÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ 1 a z= z+ ; 2 z ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁ×ÅÎ z = √a. úÁÉÓÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÑÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ Ï ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÞÅÒÅÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÅ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÅÇËÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÁ × ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ËÏÒÎÉ Ó ÎÕÖÎÏÊ ÓÔÅÅÎØÀ ÔÏÞÎÏÓÔÉ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÏÍ ÍÅÔÏÄÅ, ÒÉÍÅÎÑÅÍÏÍ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, É ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÏÄ ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ ÍÅÔÏÄ ÓÖÁÔÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. óÁÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÅÔÏÄ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÉÄÅÀ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. äÁÌÅÅ ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÏÑÓÎÑÀÝÉÅ ÓÍÙÓÌ ÏÎÑÔÉÑ ÒÅËÕÒÓÉÉ. îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÁÄÁÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ × ×ÉÄÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÓÌÕÞÁÅ×, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÏÞÔÉÔÅÌØÎÙÍ. ïÄÎÁËÏ ÜÔÏ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÆÕÎË ÉÀ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ, ÓÕÔØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎË ÉÉ T (n), ÇÄÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔ n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. (ïÂÙÞÎÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ n > 0 ÉÌÉ n > 1). òÅËÕÒÓÉ×ÎÏÅ ÚÁÄÁÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ×ËÌÀÞÁÅÔ Ä×Á ÜÔÁÁ. ðÅÒ×ÙÊ ÜÔÁ. æÕÎË ÉÑ T (n) ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ × ×ÉÄÅ ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n: 1 6 n 6 m. ÷ÔÏÒÏÊ ÜÔÁ. úÁÄÁÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄ ÉÌÉ ÆÏÒÍÕÌÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ, ÚÎÁÑ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ T (n) ÒÉ n 6 k (k > m), ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÉ n = k + 1, Ô. Å. ÎÁÊÔÉ T (k + 1) | ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÏÉÓÙ×ÁÀÝÉÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ. ðÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÚÁÉÓØ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÜÔÁÏ×, ÏÂÙÞÎÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÎÁÑ ÆÉÇÕÒÎÏÊ ÓËÏÂËÏÊ ÎÏÓÉÔ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ . n P ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ S (n) = ak ÔÁËÖÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ËÁË ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ k ÆÕÎË ÉÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ S (0) = 0; (ä.15) S (k) = S (k − 1) + ak ; k > 1: +1 +1 òÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. =1 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 321 ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÒÉÍÅÒ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ f (n) = n!, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÕÀ ÆÁËÔÏÒÉÁÌÏÍ. îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÎÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ n! = 1 × 2 × 3 × · · · × (n − 1) × n; ÎÏ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ËÏÍØÀÔÅÒÙ ÏËÁ ÍÎÏÇÏÔÏÞÉÅ ÎÅ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÀÔ. ðÏÜÔÏÍÕ × ÅÌÑÈ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ÜÔÕ ÆÕÎË ÉÀ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÁÞÅ. ðÒÉÂÅÇÎÅÍ Ë ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÍÕ ÚÁÄÁÎÉÀ ÆÕÎË ÉÉ f (0) = 1; (ä.16) f (k) = k · f (k − 1); k > 1: ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ Ï ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÅÇËÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÏ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ËÁË ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÓÍ. ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.13), (ä.14)), ÔÁË É ÆÕÎË ÉÉ (ÓÍ. ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.15), (ä.16)). ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÌÉ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÉÌÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ ÆÕÎË ÉÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ f (k) = ak . ðÒÉ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ x ; x ; :::; xn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ Ó ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÒÅÄÙÓÔÏÒÉÅÊ, ÅÓÌÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÞÌÅÎÏ×. ïÎÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÁ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ xn = f (xn− ; xn− ; :::; xn−i ); ÇÄÅ n > i: åÓÌÉ xn ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÓÅÈ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÞÌÅÎÏ×, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÏÌÎÕÀ ÒÅÄÙÓÔÏÒÉÀ. ãÅÌÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÁ×ÑÔÓÑ ÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÌÉ ÆÕÎË ÉÊ, ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÅÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÏÚÎÉËÁÌÉ ÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. ÷ ÉÄÅÁÌÅ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÊÔÉ Ñ×ÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÉÌÉ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ïÄÎÁËÏ ÎÁÛÅ ÉÄÅÁÌØÎÏÅ ÖÅÌÁÎÉÅ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ, Á ÔÏÞÎÅÅ, ËÒÁÊÎÅ ÒÅÄËÏ, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÎÁÛÉÍÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÑÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÞÁÝÅ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÔØÓÑ ÉÚÕÞÅÎÉÅÍ ÁÓÉÍÔÏÔÉËÉ Ï×ÅÄÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÌÉ ÆÕÎËÉÉ ÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÁÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ Ñ×ÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÉÌÉ ÞÌÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. úÁÄÁÞÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ Ñ×ÎÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÉÌÉ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÅÊ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ . ëÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. 1 1 2 2 ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆ- ìÉÎÅÊÎÙÍ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ p ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ Ó ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÒÅÄÙÓÔÏÒÉÅÊ. 322 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÎÏÛÅÎÉÅ ×ÉÄÁ an = an− + an− + · · · + pan−p ; ÇÄÅ p 6= 0: òÅÛÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÂÌÁÄÁÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. ðÕÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ b ; b ; :::; bn É ; ; :::; n Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. äÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÉÈ ÞÅÒÅÚ B = {b ; b ; :::; bn}, É C = { ; ; :::; n }, ÔÏÇÄÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ D = b · B + · C , (ÇÄÅ b É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ), Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÷ É ó , ÔÁËÖÅ ÂÕÄÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. òÅÛÅÎÉÅ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ×Ï ÍÎÏÇÏÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÛÅÎÉÀ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ p. þÔÏÂÙ ÄÁÔØ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ËÁÒÔÉÎÕ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ p = 2. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÜÔÕ ÁÎÁÌÏÇÉÀ. ïÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ dy dy + d dx + d y = 0: (ä.17) dx ìÉÎÅÊÎÏÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ 2 ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ (ä.18) an = an− + an− ⇒ an − an− − an− = 0: òÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ y = ex . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (ä.17), ÏÌÕÞÁÅÍ ex + d ex + d ex = 0; + d + d = 0: äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ + d + d = 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ. òÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ 2 ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ an = rn . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (ä.18), ÏÌÕÞÁÅÍ rn = rn− + rn− ; r − r − = 0: äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ r ÏÌÕÞÅÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ r − r − = 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÔÁËÖÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ. ÷ÏÚÍÏÖÎÙ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÑ, ÒÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÞÅÒÅÚ A É B ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. óÌÕÞÁÊ I. åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ + d + d = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ = k , = k , ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ y = Aek x + k x +Be . åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ r − r − = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ r = r , r = r , ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ an = Arn + Brn . óÌÕÞÁÊ II. åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ + d + d = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÒÁ×ÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ = = k, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 323 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ y = Aekx + kx +Bxe . åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ r − r − = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÒÁ×ÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ r = r = a, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ n. ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ an = Aan + Bna n ðÏÑÓÎÉÍ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an = a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ r = a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an = nan. ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÜÔÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ × ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (ä.18) nan = (n − 1)an− + (n − 2)an− ; É ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÄÁÎÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ×ÉÄÕ nan− (a − a − ) + an− ( a + 2 ) = 0: ðÏÓËÏÌØËÕ a | ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÔÏ (a − a − ) = 0, Á Ô. Ë. a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 2, ÔÏ ( a + 2 ) = 0. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an = nan ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. óÌÕÞÁÊ III. åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ + d + d = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÑ = ± i, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ y = = Ae x os x + Be x sin x. åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ r − r − = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÑ r = ± i, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ an = A · ( + i)n + B · ( − i)n. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ É ÅÒÅÉÛÅÍ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ × ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÏÍ ×ÉÄÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ, ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÔÁËÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÁÑ É ÍÎÉÍÁÑ ÞÁÓÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ëÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ + i ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÏ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ + i = ( os ' + i sin '); p ÇÄÅ ÍÏÄÕÌØ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÒÁ×ÅÎ = + , Á ÁÒÇÕÍÅÎÔ ' ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ os ' = ; sin ' = (0 6 ' < 2): óÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ íÕÁ×ÒÁ (( os ' + i sin ')) n = n( os n'+i sin n'). ðÏÓËÏÌØËÕ É ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÁÑ É ÍÎÉÍÁÑ ÞÁÓÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ nÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ bn = n os n' É n = = sin n' ÂÕÄÕÔ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ an = An os n' + Bn sin n'. 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 324 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÉÍÅÒÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.9. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÒÑÄÁ) æÉÂÏÎÁÞÞÉ fb(n), ÚÁÄÁÎÎÏÊ × ×ÉÄÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ fb(1) = 1; fb(2) = 1; fb(n) = fb(n − 1) + fb(n − 2) ; n > 3: (ä.19) òÅÛÅÎÉÅ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÄÌÑ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r = = r + 1 ÉÌÉ r − r − 1 = 0, ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÏÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ √ 1 ± 5 r; = 2 ; ÔÏÇÄÁ √ !n √ !n 1 + 5 1 − 5 fb(n) = · +d· 2 : 2 2 2 1 2 ïÒÅÄÅÌÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÓÔÏÑÎÎÙÈ É d. ðÏÓËÏÌØËÕ fb(1) = 1, ÔÏ √ ! √ ! 1 + 5 1 − 5 · 2 + d · 2 = 1; Á ÏÓËÏÌØËÕ × ÓÉÌÕ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (ä.19) fb(2) = 1, ÔÏ √ ! √ ! 1 + 5 1 − 5 · +d· 2 = 1: 2 íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÓÉÓÔÅÍÕ Ä×ÕÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó Ä×ÕÍÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É d. òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÏÌÕÞÁÅÍ = √ ; d = − √ ; ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ √ !n √ !n 1 1 + 5 1 1 − 5 fb(n) = √ −√ : 5 2 5 2 2 2 1 1 5 5 ðÒÉÍÅÒ ä.5.10. îÁÊÔÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÄÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÒÅËÕÒ- ÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÒÅÛÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ) a = 7; a = 19; an = 4an− − 3an− ; n > 2 : òÅÛÅÎÉÅ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r = 4r −3 ÉÌÉ r −4r +3 = 0, ÒÅÛÁÑ ÅÇÏ ÏÌÕÞÁÅÍ r = 1, r = 3, ÔÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ an = + d · 3n: ðÏÓËÏÌØËÕ a = 7, ÔÏ + 3d = 7, Á ÏÓËÏÌØËÕ a = 19, ÔÏ + 9d = 19. òÅÛÁÑ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÏÌÕÞÁÅÍ = 1, d = 2, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë an = 1 + 2 · 3n: 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 325 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ðÒÉÍÅÒ ä.5.11. òÅÛÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ a = 4; a = 12; an = 4an− − 4an− ; n > 2: 1 2 1 2 òÅÛÅÎÉÅ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r = 4r − 4 ÉÌÉ r − 4r + 2 2 +4 = 0, ÒÅÛÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ r = r = 2. ðÏÓËÏÌØËÕ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÒÁ×ÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ an = · 2n + d · n · 2n : ðÏÓËÏÌØËÕ a = 4, ÔÏ 2 + 2d = 4, Ô. Ë. × ÓÉÌÕ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ a = 12, ÔÏ 4 + 8d = 12. òÅÛÁÑ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÏÌÕÞÁÅÍ = 1, d = 1, ÔÏÇÄÁ an = 2n + n · 2n : ðÒÉÍÅÒ ä.5.12. òÅÛÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ a = 1; a = −2; an = 2an− − 4an− ; n > 2: òÅÛÅÎÉÅ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r = 2r −4 ÉÌÉ r −2r +4 = 0. òÅÛÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ r ; = 1 ± √3i. ðÏÓËÏÌØËÕ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÑ, ÔÏ√ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÉÈ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ. íÏÄÕÌØ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ = 1 + 3 = 2. äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÉÍÅÅÍ √ 1 os ' = 2 ; sin ' = 23 ; ' = 3 ; ÔÏÇÄÁ n n + d · 2n sin an = · 2n os 3 3 : éÓÏÌØÚÕÑ Ñ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ + √3d√= 1; −2 + 2 3d = −2; ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÕÀ, ÏÌÕÞÁÅÍ = 1, d = 0, ÔÏÇÄÁ n an = 2n os 3 : 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ïÂÏÂÝÅÎÉÅ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ ÛÅÎÉÑ an = an− p. äÌÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏ- + an− + · · · pan−p; ÇÄÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ rp = rp− + rp− + · · · + p ; 1 1 2 1 2 1 2 2 = 0; p6 326 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÉÌÉ rp − rp− − rp− − · · · − p = 0: åÓÌÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ r = b Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ m, ÔÏ ÏÎÏ ÏÒÏÖÄÁÅÔ m ÒÅÛÅÎÉÊ ×ÉÄÁ an = bn ; an = nbn ; an = n bn ; : : : ; an = nm− bn : åÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÁÒÙ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ r = ( os ' ± ±i sin ') Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ m, ÔÏ ÏÎÉ ÏÒÏÖÄÁÀÔ 2m ÒÅÛÅÎÉÊ ×ÉÄÁ:  an = n sin sn';  an = n os n' ; n an = n os n' ; an = nn sin n';  m − n an = n os n' ; an = nm− n sin n'; 1 1 2 2 2 1 1 1 É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.13. òÅÛÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ a = 3; a = 10; a = 19; an = 4an− − 5an− + 2an− ; n > 3: òÅÛÅÎÉÅ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r = 4r − 5r + 2 ÉÌÉ r − 4r + 5r − 2 = 0. äÁÎÎÏÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ËÏÒÎÉ r = r = 1, r = 2. ðÏÓËÏÌØËÕ r = 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 2, ÔÏ ÜÔÏÔ ËÏÒÅÎØ ÏÒÏÖÄÁÅÔ Ä×Á ÒÅÛÅÎÉÑ: an = 1; an = n, Á ËÏÒÅÎØ r = 2 ÏÒÏÖÄÁÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ an = 2n. ÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ an = b + n + d2n . äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ b, , d ÉÍÅÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ   b + + 2d = 3; b + 2 + 4d = 10;  b + 3 + 8d = 19; ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÕÀ, ÏÌÕÞÁÅÍ b = 0; = 1; d = 1, ÔÏÇÄÁ an = n + 2n : 1 2 1 1 2 2 3 3 2 2 1 2 3 ìÉÎÅÊÎÙÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏ- p ìÉÎÅÊÎÙÍ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ p ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ×ÉÄÁ an = an− + an− + · · · + p an−p + g(n); (ä.20) ÇÄÅ p 6= 0, Á g(n) | ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. íÅÔÏÄ ÒÅÛÅÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. îÁ ÅÒ×ÏÍ ÜÔÁÅ ÕÄÁÌÑÅÔÓÑ g(n), (ÔÏ ÅÓÔØ ÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÊ ÎÕÌÀ) É ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. äÁÌÅÅ ÉÝÅÔÓÑ ËÁËÏÅ-ÌÉÂÏ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÓÕÍÍÁ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ É ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÊ ÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ . 1 1 2 2 327 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÍÅÔÏÄ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÔÏ ÒÏÂÌÅÍÁ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÕÇÁÄÁÔØ ÌÀÂÏÅ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. äÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ×ÉÄÏ× ÆÕÎË ÉÉ g(n) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÊ ÒÉÅÍ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. ïÂ ÜÔÏÍ ÒÉÅÍÅ ÍÙ ÓËÁÖÅÍ ÎÉÖÅ, Á ÏËÁ ÏÔÍÅÔÉÍ ÏÄÉÎ ÏÌÅÚÎÙÊ ÆÁËÔ. åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ g(n) ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÁ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ g(n) = g (n) + g (n) É ËÁËÉÍ-ÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÎÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ an = an− + an− + · · · + p an−p + g (n); an = an− + an− + · · · + p an−p + g (n); ÔÏ ÓÕÍÍÁ ÔÁËÉÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÂÕÄÅÔ ÔÁËÖÅ ÞÁÓÔÎÙÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (ä.20). ëÁÓÁÑÓØ ×ÏÒÏÓÁ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÏÔÍÅÔÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ g(n) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ g(n) = Pm(n) · bn, ÇÄÅ Pm(n) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ m, ÔÏ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÏ × ×ÉÄÅ an = ns · Qm(n) · bn, ÇÄÅ Qm (n) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÔÏÊ ÖÅ ÓÔÅÅÎÉ ÞÔÏ É Pm (n), s | ËÒÁÔÎÏÓÔØ ËÏÒÎÑ r = b × ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ. åÓÌÉ r = b ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÔÏ s = 0. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pm(n) ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ Pm (n) = Pm (n) · 1n . ðÒÉÍÅÒ ä.5.14. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = 4an− − 3an− + 5 · 2n + (5n + 4): 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 òÅÛÅÎÉÅ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÌÏÓØ ÒÁÎÅÅ, É ÂÙÌÉ ÎÁÊÄÅÎÙ ËÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ r = 1, r = 3. ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ an = + d · 3n, ÇÄÅ É d ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÒÉÍÅÒÅ ÆÕÎË ÉÑ g(n) = 5 · 2n + (5n + 4). ïÎÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n Ä×ÕÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ g (n) = 5 · 2 É g (n) = (5n + 4). ÷ÎÁÞÁÌÅ ÎÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = 4an− − 3an− + 5 · 2n. éÍÅÅÍ ÆÕÎË ÉÀ g (n) ×ÉÄÁ g (n) = Pm(n)·bn , ÇÄÅ Pm(n) = 5 | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ É ÚÎÁÞÉÔ m = 0; b = 2 É ÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ b = 2 ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÌÏÖÉÔØ ÅÇÏ ËÒÁÔÎÏÓÔØ s = 0. ÏÇÄÁ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ an = n · Q (n) · 2n = A · 2n, ÇÄÅ A | ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÉÚ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÄÁÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ 1 A · 2n = 4A · 2n− − 3A · 2n− + 5 · 2n ⇒ − A = 5; A = −20; 4 ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ an = −20 · 2n. äÁÌÅÅ ÎÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = 4an− − 3an− + (5n + 4). éÍÅÅÍ ÆÕÎË ÉÀ g (n) ×ÉÄÁ g (n) = Pm(n) · bn, ÇÄÅ Pm (n) = 5n + 4 | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ É ÚÎÁÞÉÔ m = 1; b = 1, É ÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ b = 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 1, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÌÏÖÉÔØ s = 1. ÏÇÄÁ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ an = n · Q (n) · 1n = n(An + B), ÇÄÅ 1 1 2 2 1 1 0 1 0 2 1 2 2 1 2 1 1 2 328 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ A É B | ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÉÚ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔ- ÎÏÛÅÎÉÑ. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÄÁÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ n(An + B ) = 4(n − 1)(A(n − 1) + B ) − 3(n − 2)(A(n − 2) + B ) + (5n + 4): ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ n, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ A É B. 4A + 5 = 0; −8A + 2B + 4 = 0; ÒÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÏÌÕÞÁÅÍ A = − , B = −7, ÔÏÇÄÁ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 5 an = −20 · 2n + n(− n − 7): 4 ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÏ 5 an = −20 · 2n + n(− n − 7) + + d · 3n ; 4 ÇÄÅ É d | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. 5 4 òÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÅÒ×ÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ Ó ÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ É- òÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÅÒ×ÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ Ó ÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ×ÉÄÁ an = b(n) · an− + (n); n > 1; ÇÄÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ a ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÚÁÒÁÎÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ. éÄÅÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÅÇÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ F (n), ÒÁ×ÎÏÇÏ 1 : F (n) = Q n b(k) ÅÎÔÁÍÉ. 1 0 k=1 õÍÎÏÖÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ. ðÏÌÕÞÉÍ an n− b(n) = aQ + Qn (n) : n n Q b(k ) b(k) b(k) 1 k=1 k=1 k=1 ïÂÏÚÎÁÞÉÍ yn = b(n + 1) · F (n + 1) · an , ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÒÅÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ yn = yn− + F (n) · (n). üÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ n P a + F (k) · (k) n X k yn = y + F (k) · (k); ÔÏÇÄÁ an = : b(n + 1) · F (n + 1) k 1 0 =1 0 =1 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 329 ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÏÂÌÅÍÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÒÏÂÌÅÍÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍ n Y k=1 b(k) = e ln n Q k=1 b(k) =e n P k=1 ln b(k) ; ÔÏ É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÔÁËÉÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÏÒÏÓÕ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.15. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ a = 0; an = nn an− + 2; n > 1: òÅÛÅÎÉÅ. óÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1 = 1 : F (n) = Q n n+1 0 +1 1 k=1 ïÂÏÚÎÁÞÉÍ k+1 k yn = b(n + 1) · F (n + 1) · an = n+1 (n + 2) · an = (n + 1) · an: n+2 äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ yn ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ y = 0; yn = yn− + n ; ÏÔËÕÄÁ n n X 2 ; an = 2(n + 1) X 1 : yn = k+1 k+1 0 2 1 +1 k=1 k=1 íÅÔÏÄÙ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ Ï ÅÎËÉ ÆÕÎË ÉÊ, ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍÉ ÓÏ- ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎËÉÀ ÅÌÏÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÑ ÅÅ ÞÅÒÅÚ T (n). ïÄÉÎ ÉÚ ÒÉÅÍÏ×, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÄÏÂÎÙÈ Ï ÅÎÏË | ÜÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÔÁËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f (n), ËÏÔÏÒÁÑ ÍÁÖÏÒÉÒÏ×ÁÌÁ ÂÙ T (n) ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n, Ô. Å. ÒÉ ×ÓÅÈ n > 1 ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ T (n) 6 f (n). éÎÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÉÅÍ. úÁÄÁÅÔÓÑ ×ÉÄ ÆÕÎË ÉÉ f (n), × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÁÒÁÍÅÔÒÏ×, Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÏ× ÕÔÏÞÎÑÀÔÓÑ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÜÔÏÔ ÒÉÅÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.16. ï ÅÎÉÔØ ÆÕÎË ÉÀ, ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ T (1) = ; (ä.21) T (n) = 2T ([ n ℄) + n; n > 1; ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ [x℄ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ. 1 2 2 330 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ òÅÛÅÎÉÅ. âÕÄÅÍ ÉÓËÁÔØ f (n) × ×ÉÄÅ f (n) = a · n · log n + b, ÇÄÅ a É b ÏËÁ ÎÅ- ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÁÒÁÍÅÔÒÙ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. ðÒÉ n = 1 Ï ÅÎËÁ ÒÁÂÏÔÁÅÔ, ÅÓÌÉ ÏÌÏÖÉÔØ b > . ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ ÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ k < n ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï T (k) 6 a · k · log k + b: ðÏÌÁÇÁÑ k = [ n ℄, É ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × (ä.21) ÏÌÕÞÁÅÍ h n i n n T (n) = 2T + n 6 2 (a · k · log k + b) + n 6 2 a log + b + n = 2 2 2 = a · n · log n − a · n + n + 2b 6 a · n · log n + b: ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÌÕÞÅÎÏ × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ a > +b. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ ÂÕÄÅÔ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ, ÞÔÏ b > É a > + b. íÏÖÎÏ ÏÌÏÖÉÔØ b = , a = + . ÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ n > 1 ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ Ï ÅÎËÁ T (n) 6 ( + ) · n · log n + : üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ T (n) = O(n · log n). ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞÎÏÊ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ Ï ÅÎËÏÊ. íÙ ÌÉÛØ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ T (n) ÒÁÓÔÅÔ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ ÞÅÍ f (n) = n · log n. é ÕÖ ÅÓÌÉ ÂÙÔØ ÓÏ×ÓÅÍ ÓÔÒÏÇÉÍ, ÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÁ × ×ÉÄÅ T (n) 6 ( + ) · n∗ log n∗ + ; ÇÄÅ n∗ = n, ÅÓÌÉ n ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, É n∗ = n + 1 × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. éÓÏÌØÚÕÑ ÏÅÒÁ ÉÀ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÓÔÁÔËÁ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ, n∗ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ n∗ = n + n mod 2: 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 äÒÕÇÏÊ ÒÉÅÍ | ÜÔÏ Ï ÅÎËÁ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÍ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.17. ï ÅÎÉÔØ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ T (n) = 3T ([ n ℄) + n: òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ m, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ 4m− < n 6 4m, É ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÅÍ T (n) 6 3T (4m− ) + 4m; ÎÏ × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ T (4m− ) = 3T (4m− )+4m− , É ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÅÒ×ÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ÏÌÕÞÁÅÍ 3 m − m − m m − m T (n) 6 3 3T (4 ) + 4 +4 =3 T 4 +4 1+ 4 : ðÏÓËÏÌØËÕ T (4m− ) = 3T (4m− ) + 4m− ; íÅÔÏÄ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ. 4 1 1 1 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 331 ÔÏ Ï×ÔÏÒÉÍ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ 3 3 ; T (n) 6 3 T (4 ) + 4 1 + + 4 4 É ÒÏÄÏÌÖÁÑ ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï m− ! 3 3 3 m m T (n) 6 3 T (1) + 4 1 + + + ···+ : 4 4 4 ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÓÕÍÍÁ × ËÒÕÇÌÙÈ ÓËÏÂËÁÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ ÓÏ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ q = 3=4, É ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÅ ÒÅ×ÙÛÁÅÔ ÓÕÍÍÙ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁ×ÎÁ 4, ÔÏÇÄÁ T (n) 6 3m T (1) + 4m : îÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ×ÙÂÏÒÁ ÞÉÓÌÁ m ÉÍÅÅÍ m 6 log n + 1, É T (n) 6 3 n · T (1) + 16n; ÎÏ ÔÁË ËÁË 3 n = n = o(n), ÔÏ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ T (n) = O(n). 3 m−3 2 m 2 ! 1 +1 4 log4 log4 +1 log4 3 ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÂ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎËÁÈ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ, ÄÏËÁÚÁÎÎÁÑ × 1980 Ç. äÖ. âÅÎÔÌÉ, ä. èÁËÅÎ É äÖ. óÁËÓÏÍ [20℄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÏÝÎÙÍ ÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ Ï ÅÎËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ×ÉÄÁ. ÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÒÉ Ï ÅÎËÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÈ ÎÁ ÍÅÔÏÄÅ ÄÅËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ ä.5.16 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ, ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÏÍÕ äÖ.æÏÎ îÅÊÍÁÎÏÍ | ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÓÌÉÑÎÉÅÍ. ÅÏÒÅÍÁ. (J. L. Bentley, Dorothea Haken, J. B. Saxe, 1980) ðÕÓÔØ a > 1 É b > 1 | ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, f (n) | ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, T (n) ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÒÉ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n ÆÏÒÍÕÌÏÊ h n i T (n) = aT + f (n); b ÔÏÇÄÁ: 1) ÅÓÌÉ f (n) = O(n b a−") ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ " > 0, ÔÏ T (n) = (n b a ); 2) ÅÓÌÉ f (n) = (n b a), ÔÏ T (n) = (n b a logb n); 3) ÅÓÌÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ > 0 É " > 0, ÞÔÏ ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n ×ÙÏÌÎÅÎÏ f (n) > > n b a " É ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ d < 1, ÔÁËÁÑ ÞÔÏ, ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ n a · f ( ) 6 d · f (n); ÔÏ T (n) = (f (n)): b ÆÕÎË ÉÊ. log log log log log + 332 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒÙ Ï ÅÎËÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ Ó ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÄÁÎÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.18. ðÏÌÕÞÉÔØ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÆÕÎË ÉÉ T (n) = 8T ([ n ℄)+n: òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ a = 8, b = 4, f (n) = n, Á n ba = n = n = n√n: ðÏÓËÏÌØËÕ f (n) = O(n√n) ÄÌÑ " = √1=:2, ÔÏ, ÒÉÍÅÎÑÑ ÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÄÅÌÁÅÍ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ T (n) = (n n). ðÒÉÍÅÒ ä.5.19. ðÏÌÕÞÉÔØ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÆÕÎË ÉÉ T (n) = T ([ n ℄)+5: òÅÛÅÎÉÅ. úÄÅÓØ a = 1, b = 4=3, f (n) = 5, Á n b a = n = = n = (1); ÏÜÔÏÍÕ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ×ÔÏÒÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÔÅÏÒÅÍÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ f (n) = 5 = (n b a ) = (1); ÔÏ ÏÌÕÞÁÅÍ Ï ÅÎËÕ T (n) = (log = n). ðÒÉÍÅÒ ä.5.20. ðÏÌÕÞÉÔØ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÆÕÎË ÉÉ h n i T (n) = 2T 4 + n log n: òÅÛÅÎÉÅ. íÙ ÉÍÅÅÍ a = 2, b =; 4," f (n) = n log n, Á n b a = n = n =: = √n, ÆÕÎË ÉÑ f (n) = n log n > n , ÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ n É " = 0; 5. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÄÌÑ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÔÅÏÒÅÍÙ. äÌÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n ÉÍÅÅÍ 2f n4 = 2 n4 log n4 6 12 n log n = d · f (n); ÇÄÅ d = 12 < 1; ÕÓÌÏ×ÉÅ ×ÙÏÌÎÅÎÏ, É ÔÏÇÄÁ T (n) = (n log n). 4 log 3 2 log4 8 3 4 log log4 3 1 0 log 4 3 4 log 4 0 5+ log4 2 1 2 4 4 4 4 îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.2 ä.5.2.1. úÁÉÓÁÔØ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ × ×ÉÄÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. ä.5.2.2. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( a = 1; an = 2an− 1 + an ; n > 1; ÉÍÅÅÔ ÒÅÄÅÌ ÒÉ n → ∞ É ÎÁÊÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÒÅÄÅÌÁ. ä.5.2.3. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ 1 2 2 1 an = an− + n + n − : 3 3 3 3 1 3 1 1 8 2 2 −1 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 333 ä.5.2.4. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = 2an− + 2: ä.5.2.5. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = −5an− − 6an− : ä.5.2.6. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = −6an− − 9an− ä.5.2.7. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = −2an− − 2an− : ä.5.2.8. åÓÌÉ ÷Ù ÓÞÉÔÁÅÔÅ, ÞÔÏ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÔÏ ÏÒÏÂÕÊÔÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ Ä×ÁÖÄÙ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ áËËÅÒÍÁÎÁ | A(3; 5), ËÏÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ   n + 1; m = 0; A(m; n) = A(m − 1; n); n = 0;  A(m − 1; A(m; n − 1)): −n 1 1 1 1 2 2 2 ä.5.3. ëÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ. òÁÚÎÏÓÔÎÙÊ É ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒÙ éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÏ Ï ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÙÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÈ. ÷ ÏÓÎÏ×Å ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÈ ÌÅÖÉÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ D, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ f (x + h) − f (x) Df (x) = lim : h→ h îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÆÕÎË ÉÊ ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÒÁÚÎÏÓÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÇÏ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f (x) = f (x + 1) − f (x): ïÅÒÁÔÏÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏ-ÒÁÚÎÏÓÔÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÇÒÁÎÉÞÉÌÉÓØ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ É, ×ÍÅÓÔÏ h → 0, ×ÚÑÔÏ ÂÌÉÖÁÊÛÅÅ Ë ÎÕÌÀ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ | h = 1. äÁÌÅÅ ÓÌÅÄÏ×ÁÌÏ ÂÙ ÉÚÕÞÉÔØ Ó×ÏÊÓÔ×Á ××ÅÄÅÎÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ, ÎÏ ÍÙ ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÅÍ ÏÚÄÎÅÅ. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÕÊÄÅÍ ÎÅÍÎÏÇÏ ×ÅÒÅÄ, ÞÔÏÂÙ ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÓÍÙÓÌ ÔÏÇÏ, ÒÁÄÉ ÞÅÇÏ ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÌÓÑ ÔÁËÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ. ëÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ËÁË ÄÉÓËÒÅÔÎÙÊ ÁÎÁÌÏÇ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ. 0 334 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ïÅÒÁÔÏÒ D × ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ ÉÍÅÅÔ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ | ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÊ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÙÊ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ R . ó×ÑÚØ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ g(x) = Df (x); ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ R R g(x)dx =f (x) + C: Ï ÅÓÔØ g(x)dx | ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎË ÉÉ g(x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÁÓÓÏÍ ÆÕÎË ÉÊ, ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÁ g(x). ÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÏ-ÒÁÚÎÏÓÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ××ÅÄÅÍ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÅÍÕ ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ P. ó×ÑÚØ ËÏÎÅÞÎÏ-ÒÁÚÎÏÓÔÎÏÇÏ É ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÅÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. g(x) = f (x); ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ X g(x)Æx = f (x) + C: P úÄÅÓØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ g(x)Æx ÅÓÔØ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ÆÕÎË ÉÉ g(x) | ËÌÁÓÓ ÆÕÎË ÉÊ, ËÏÎÅÞÎÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÙÈ ÅÓÔØ g(x). âÕË×Á C × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÏÓÔÏÑÎÎÕÀ, × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ C ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÌÀÂÕÀ ÆÕÎË ÉÀ p(x), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ p(x + 1) = p(x): ðÏËÁ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, ÎÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÏÎÑÔÎÏ, ÄÌÑ ËÁËÉÈ ÅÌÅÊ ÍÙ ××ÅÌÉ ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ, É ×ÓÅ ÜÔÏ ÏËÁ ÎÁÏÍÉÎÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ | ÒÉÄÅÔÓÑ ÅÝÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅÍÎÏÇÏ ÏÄÏÖÄÁÔØ. ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ËÕÒÓ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÁËÖÅ ÏÎÑÔÉÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. íÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÓÍÙÓÌ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÎÅÍÎÏÇÏ ÏÍÎÉÔ. ÷ ÏÓÎÏ×Å ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÌÅÖÉÔ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ îØÀÔÏÎÁ{ ìÅÊÂÎÉ Á: óÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ É ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. ïÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÓÕÍÍÙ. g(x) = Df (x) ⇒ Zb a g(x)dx = f (x) b a = f (b) − f (a): áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ××ÅÄÅÍ ÏÎÑÔÉÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ g(x) = f (x) b ⇒ b X a g(x)Æx= f (x) b a = f (b) − f (a): ïÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÓÕÍÍÁ P g(x)Æx ××ÅÄÅÎÁ ÒÏÓÔÏ Ï ÁÎÁÌÏÇÉÉ, ÎÏ ÞÔÏ ÏÎÁ ÒÅÄa ÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÒÅÄÓÔÏÉÔ ÅÝÅ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ. ðÏËÁ ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÂÏÒ ÓÉÍ×ÏÌÏ×. äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÏÎÑÔØ ÓÍÙÓÌ ××ÅÄÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ×ÅÒÎÅÍÓÑ ÎÅÍÎÏÇÏ ÎÁÚÁÄ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÂÙÞÎÁÑ ÓÕÍÍÁ k=b X k=a g(k); b > a: (ä.22) ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ËÁËÉÍ-ÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÏÔÙÓËÁÔØ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÉ g(x), É ÏÎÁ ÒÁ×ÎÁ f (x), Ô. Å. g(x) = f (x + 1) − f (x): ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÓÕÍÍÕ ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 335 ÌÀÂÏÇÏ k ÉÍÅÅÍ g(k) = f (k + 1) − f (k). óÕÍÍÕ (ä.22) ÅÒÅÉÛÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÎÏÇÏÔÏÞÉÑ k=b X k=a g(k) = g(a) + g(a + 1) + g(a + 2) + · · · + g(b − 1) + g(b): äÁÌÅÅ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ Ó×ÑÚØÀ ÍÅÖÄÕ ÆÕÎË ÉÑÍÉ g(x) É f (x), ÔÏÇÄÁ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ (ä.22) ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ÂÏÌÅÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ×ÉÄ k =b X k =a g(k) = (f (a + 1) − f (a)) + (f (a + 2) − f (a + 1))+ + (f (a + 3) − f (a + 2)) + · · · + (f (b) − f (b − 1)) + (f (b + 1) − f (b)) : éÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ×ÉÄ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ × ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÓËÏÂËÁÈ ÉÍÅÀÔ ÒÁÚÎÙÅ ÚÎÁËÉ É ×ÚÁÉÍÎÏ ÕÎÉÞÔÏÖÁÀÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ×ÏÌÎÅ ÒÉÌÉÞÎÙÊ ×ÉÄ k=b X k =a g(k) = f (b + 1) − f (a); É ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÏÑÓÎÑÅÔ ÓÍÙÓÌ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ, Ô. Å. b X a g(x)Æx = k= b−1 X k=a g(k): ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Za a Zb g(x)dx = 0; a g(x)dx = − Za b g(x)dx; Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÕÍÍ ÏÌÏÖÉÍ: a P 1) a g(x)Æx = 0; b a 2) ÒÉ b < a ÉÍÅÅÍ P g(x)Æx = − P g(x)Æx. a b äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ Zb a g(x)dx + Z b g(x)dx = g(x)dx: Z a þÉÔÁÔÅÌØ ÓÁÍ ÂÅÚ ÏÓÏÂÏÇÏ ÔÒÕÄÁ ÍÏÖÅÔ ÄÏËÁÚÁÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÕÍÍ b X a g(x)Æx + X b g(x)Æx = X a g(x)Æx: 336 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÷ÓÏÍÎÉÍ ÚÎÁÍÅÎÉÔÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ Ï ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Ï ÅÒÅÍÅÎÎÏÍÕ ×ÅÒÈÎÅÍÕ ÒÅÄÅÌÕ D Zx a g(t)dt = g(x): áÎÁÌÏÇÏÍ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ ÒÉ×ÏÄÉÍ ÎÉÖÅ b+1 X a g(x)Æx − b X a g(x)Æx = (f (b + 1) − f (a)) − (f (b) − f (a)) = f (b + 1) − f (b) = g(b): ðÏÄ×ÅÄÅÍ ÉÔÏÇ, ÒÁÄÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ ÚÁÎÉÍÁÌÉÓØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÓÕÍÍÁÍÉ. ðÕÓÔØ k b ÎÁÍ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÓÕÍÍÕ ×ÉÄÁ P g(k); É ËÁËÉÍ-ÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ k a ÎÁÊÔÉ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ ÆÕÎË ÉÉ g(x) X g(x)Æx = f (x); Ô. Å. ÎÁÊÔÉ ÔÁËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ f (x), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÏÌÎÅÎÏ f (x + 1) − f (x) = g(x): ÏÇÄÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ÕÖÅ ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏÊ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ (ËÏÎÅÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÓÁÍ ×ÉÄ ÆÕÎË ÉÉ f (x) ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏÊ), Á ÉÍÅÎÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ = = k=b X k=a g(k) = b+1 X a g(x)Æx = f (b + 1) − f (a): óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÏÂÌÅÍÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÓÕÍÍ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÒÏÂÌÅÍÅ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÕÍÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÂÙ ÒÉÄÁÔØ ÜÔÏÍÕ ÏÉÓËÕ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÒÁÚÕÍÎÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÉÚÕÞÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÁÚÎÏÓÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ . ðÅÒ×ÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÉÌÉ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÅÒ×ÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÆÕÎË ÉÉ f , ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÁÑ f , ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ×ÙÛÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f (x) = f (x + 1) − f (x): ÷ÔÏÒÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÉÌÉ ÒÁÚÎÏÓÔØ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÆÕÎË ÉÉ f , ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÁÑ f , ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË f (x) = (f (x)): óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f (x) = (f (x)) = (f (x + 1) − f (x)) = = (f (x + 2) − f (x + 1)) − (f (x + 1) − f (x)) = f (x + 2) − 2f (x + 1) + f (x) : ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÏÒÑÄËÁ n ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ nf (x) = (n− f (x)). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏËÁ ÒÉÍÅÒÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ, ÎÉÖÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ nf (x). ëÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ×ÙÓÛÉÈ ÏÒÑÄËÏ×. 2 2 2 1 337 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ðÒÉÍÅÒ ä.5.21. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÏÔ ÄÏ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = x . òÅÛÅÎÉÅ. 4 3 (x ) = (x + 1) − x = 3x + 3x + 1: (x ) = ((x )) = (3x + 3x + 1) = = (3(x + 1) + 3(x + 1) + 1) − (3x + 3x + 1) = 6x + 6: (x ) = ( (x )) = (6x + 6) = (6(x + 1) + 6) − (6x + 6) = 6: (x ) = ( (x )) = (6) = 0: 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 2 3 4 3 3 3 ðÒÉÍÅÒ ä.5.22. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = ax. òÅÛÅÎÉÅ. (ax ) = ax +1 − ax = (a − 1)ax: (2x x) = 2x. éÚ ËÕÒìÅÇËÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ n(ax) = (a−1)nax, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ x ÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ D(e ) = e , ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ × ÒÁÍËÁÈ ÁÁÒÁÔÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÆÕÎË ÉÑ f (x) = 2x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÜËÓÏÎÅÎÔÙ × ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÈ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.23. ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ (ax) ÄÏËÁÚÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÏÇÒÅÓÓÉÑ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ kkPn aqk = −1 ; ÔÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ g(x) = qx− . îÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ =1 1 f (x) = ÔÏÇÄÁ kX =n k=1 aqk− 1 qx− ; q−1 1 = nX +1 1 Ô. Å. X aqx− Æx = a 1 qx− Æx = 1 q x− q−1 1 n+1 1 qx− ; q−1 1 n = a qq −−11 : äÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ××ÅÄÅÍ ÏÅÒÁÔÏÒ E , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ E (f (x)) = f (x + 1); Á ÞÅÒÅÚ I ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ I (f (x)) = f (x); ÔÏÇÄÁ ÏÅÒÁÔÏÒ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ×ÉÄÅ (f (x)) = f (x + 1) − f (x) = E (f (x)) − I (f (x)) = (E − I )(f (x)): 338 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÏÌÏÖÉÍ E = I , ÔÏÇÄÁ n(f (x)) = (E − I )n(f (x)) = E n (f (x)) − n · E n− (f (x)) + · · · · · · + (−1)k · Cnk · E n−k (f (x)) + · · · + (−1)n E (f (x)) = = f (x + n) − nf (x + n − 1) + · · · · · · + (−1)k · Cnk · f (x + n − k ) + · · · + (−1)n · f (x); ÇÄÅ Cnk = k nn−k | ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÒÉÎÑÔÏÇÏ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÔÅËÓÔÅ ËÎÉÇÉ ò. èÁÇÇÁÒÔÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ C (n; kk), Á×ÔÏÒÙ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÏÅ × ÏÔÅÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ | Cn . ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ×ÙÞÉÓÌÉÍ (f (x)), ÉÍÅÅÍ (f (x)) = f (x + 4) − 4f (x + 3) + 6f (x + 2) − 4f (x + 1) + f (x): ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÏ× E É , ËÏÔÏÒÙÅ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÂÅÚ ÏÓÏÂÏÇÏ ÔÒÕÄÁ ÍÏÖÅÔ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. E 1. ìÉÎÅÊÎÏÓÔØ. äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÆÕÎË ÉÊ f É g, É ÌÀÂÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ a É b ×ÙÏÌÎÅÎÏ E (af + bg) = aE (f ) + bE (g); (af + bg) = a(f ) + b(g). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÍÅÅÍ: E = E ; E (a) = a; a = 0. 2. ëÏÎÅÞÎÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. îÉÖÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÁÎÁÌÏÇÉ ÆÏÒÍÕÌ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ É ÞÁÓÔÎÏÇÏ. ÷ ËÕÒÓÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ D(fg) = fD(g) + gD(f ): äÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÍ (f (x)g(x)) = f (x + 1)g(x + 1) − f (x)g(x) = =f (x + 1)g(x + 1) − f (x)g(x + 1) + f (x)g(x + 1) − f (x)g(x) = =g(x + 1)(f (x + 1) − f (x)) + f (x)(g(x + 1) − g(x)) = =(f (x))E (g(x)) + f (x)(g(x)) = (f · g + Eg · f )(x); ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ (fg) = f · (g) + E (g) · (f ): (ä.23) 3. ëÏÎÅÞÎÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÞÁÓÔÎÏÇÏ. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ f D = gD(f ) g− fD(g) : g ÷ ÓÌÕÞÁÅ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÍ 1) − f (x) = f (x + 1)g(x) − f (x)g(x + 1) = fg((xx)) = fg((xx ++ 1) g(x) g(x)g(x + 1) = f (x + 1)g(x) − f (x)gg((xx))g+(xf+(x1))g(x) − f (x)g(x + 1) = = g(x)(f (x + 1) − fg((xx)))g(−xf+(x1))(g(x + 1) − g(x)) = g(x)(fg((xx)))g−(xf+(x1))(g(x)) ; 0 1 0 ! !( )! 4 4 ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÏ× É . 2 339 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ (ä.24) fg = g · (gf )· E−(fg)· (g) : òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÉÍÅÒÏ×, ÒÅÛÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁÈ (ä.23) É (ä.24). ðÒÉÍÅÒ ä.5.24. îÁÊÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ Á) (2x + 3x + 4x + 5); Â) ((x + 4x + 3)(x + 5)); ×) ( x x x ). òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÎÁÞÁÌÅ ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ (x) = (x +1) − x = 1, (x ) = (x +1) − x = 2x + 1, É ÒÁÎÅÅ ÂÙÌÏ ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ (x ) = 3x + 3x + 1. Á) îÁÊÔÉ (2x + 3x + 4x + 5). (2x + 3x + 4x + 5) = 2(x ) + 3(x ) + 4(x) + 5(1) = = 2(3x + 3x + 1) + 3(2x + 1) + 4(1) + 0 = 6x + 12x + 9: Â) îÁÊÔÉ ((x + 4x + 3)(x + 5)). éÓÏÌØÚÕÅÍ ÆÏÒÍÕÌÕ (ä.23), É ÏÌÕÞÁÅÍ ((x + 4x + 3)(x + 5)) = (x + 4x + 3) · (x + 5) + E (x + 5)(x + 4x + 3) = = (x + 4x + 3) · 1 + ((x + 1) + 5)(2x + 1 + 4)) = = (x + 4x + 3) + (x + 6)(2x + 5): ×) îÁÊÔÉ ( x x x ). îÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.24) ÉÍÅÅÍ x + 4x + 3 x + 5 = (x + 5) · (x + 4(xx++3)5)E−((xx++5)4x + 3) · (x + 5) = + 4) − (x + 4x + 3) · 1 = = (x + 5) · (2(xx ++ 15)(( x + 1) + 5) = (x + 5)(2(xx++5)5)(−x (+x 6)+ 4x + 3) : 3 2 2 2 +4 +3 +5 2 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +4 +3 +5 2 2 2 2 2 ÷ ÅÌÑÈ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÊÄÅÍ (xn ) | ÉÓÏÌØÚÕÑ ÂÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ ÏÌÕÞÁÅÍ (xn ) = (x + 1)n − xn = nxn− + n(n2− 1) xn− + · · · + Cnk · xn−k + · · · + 1; ÎÏ ÏÂÙÞÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ D(xn ) = nxn− : íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = xn ÉÍÅÅÔ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ É ÜÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÓÁÍÙÊ ÒÉÑÔÎÙÊ ÆÁËÔ, ÏÓËÏÌØËÕ Ó ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÞÁÓÔÏ ÉÍÅÔØ ÄÅÌÏ ÒÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ. ðÏÙÔÁÅÍÓÑ ×ÙÂÒÁÔØÓÑ ÉÚ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ÒÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ ÏÔÅÒÑÈ. æÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. 1 2 1 340 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÷×ÅÄÅÍ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x n , ËÏÔÏÒÕÀ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ ÒÉ x > n > 0 n x = 1; n = 0; x n = x · (x − 1) · (x − 2) · · · (x − n + 1); n > 0: æÁËÔÉÞÅÓËÉ ÆÕÎË ÉÑ f (x) = x n ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n, ÒÁ×ÄÁ ÎÅ ÓÁÍÏÇÏ ÒÉÑÔÎÏÇÏ ×ÉÄÁ, ÅÓÌÉ ÒÁÓËÒÙÔØ ÓËÏÂËÉ. îÏ ÓÅÊÞÁÓ ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÍ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ÆÁËÔ, ×ÙÞÉÓÌÉ× ÅÇÏ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ. (x n ) = (x + 1) · (x) · (x − 1) · · · (x − n + 2) − x · (x − 1) · (x − 2) · · · (x − n + 1) = = (x · (x − 1) · (x − 2) · · · (x − n + 2)) · ((x + 1) − (x − n + 1) = nx · (x − 1) · (x − 2) · · · (x − n + 2) = nx n− : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÁÁÒÁÔÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊnÆÕÎË ÉÑ f (x) = x n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = x . æÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ n ÎÁÚÏ×ÅÍ ÆÕÎË ÉÀ ×ÉÄÁ f (x) = an x n + an− x n− + · · · + a x + a x + a : ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÅÒØÅÚÎÙÈ ÒÏÂÌÅÍ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.25. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = 4x − 5x + 7x + 2: ( ( ) ( ) ( ( ) ) ) ( 1) ( ( ) 1 ( 1) (3) òÅÛÅÎÉÅ. (f (x)) = (4x = 4 · 3x (3) (2) 2 (2) (2) 1 (1) ) 0 (1) 5x + 7x + 2) = 4(x ) − 5(x ) + 7(x ) + (2) = − 5 · 2x + 7 · 1 + 0 = 12x − 10x + 7: (2) − (1) (3) (1) (2) (2) (1) (1) ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÂÙÞÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÍ ×ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÂÙÞÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÜÔÏÍÕ ×ÏÒÏÓÕ, ÎÁÏÍÎÉÍ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ ÏÄÎÕ ÔÅÏÒÅÍÕ, ÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ËÁË ÔÅÏÒÅÍÁ âÅÚÕ. ÅÏÒÅÍÁ. ïÓÔÁÔÏË, ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) = an xn + an− xn− + · · · + a x + a x + a (ÓÔÅÅÎÉ n > 1) ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ (x − a), ÒÁ×ÅÎ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ÔÏÞËÅ x = a, Ô. Å. f (a). óÈÅÍÕ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÏÂÙÞÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ ÏÑÓÎÉÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ | ÕÓÔØ f (x) = x . ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÄÏÌÖÅÎ ÉÍÅÔØ ÔÕ ÖÅ ÓÔÅÅÎØ, ÞÔÏ É ÉÓÈÏÄÎÙÊ, ÚÎÁÞÉÔ ÉÍÅÅÍ x =a x +a x +a x +a x +a : òÁÓÉÛÅÍ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ x = a x(x − 1)(x − 2)(x − 3) + a x(x − 1)(x − 2) + a x(x − 1) + a x + a : 1 1 2 2 1 0 4 4 4 4 4 (4) 3 (3) 3 2 (2) 1 (1) 0 2 1 0 341 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÅÅÒØ ÌÅ×ÕÀ É ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÜÔÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÏÄÅÌÉÍ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ x. ïÓÔÁÔËÉ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ | ÎÕÌÀ, Á × ÒÁ×ÏÊ | a , ÔÏÇÄÁ a = 0. þÁÓÔÎÏÅ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÎÏ x , × ÒÁ×ÏÊ ÏÌÕÞÁÅÍ a (x − 1)(x − 2)(x − 3) + a (x − 1)(x − 2) + a (x − 1) + a ; ÔÏÇÄÁ ÉÍÅÅÍ x = a (x − 1)(x − 2)(x − 3) + a (x − 1)(x − 2) + a (x − 1) + a : ÅÅÒØ ÏÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ | (x − 1). ïÓÔÁÔËÉ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÓÔÁÔÏË ÒÁ×ÅÎ 1, × ÒÁ×ÏÊ | a , ÔÏÇÄÁ a = 1. þÁÓÔÎÏÅ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ | x + x + 1, × ÒÁ×ÏÊ | a (x − 2)(x − 3) + a (x − 2) + a , ÔÏÇÄÁ ÉÍÅÅÍ x + x + 1 = a (x − 2)(x − 3) + a (x − 2) + a : ðÏÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ (x − 2). ïÓÔÁÔËÉ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÓÔÁÔÏË ÒÁ×ÅÎ 7, × ÒÁ×ÏÊ | a , ÔÏÇÄÁ a = 7. þÁÓÔÎÙÅ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ | x + 3, × ÒÁ×ÏÊ | a (x − 3) + a , ÔÏÇÄÁ x + 3 = a (x − 3) + a . é ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÄÅÌÅÎÉÅ | ÏÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ (x − 3). ïÓÔÁÔËÉ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÓÔÁÔÏË ÒÁ×ÅÎ 6, × ÒÁ×ÏÊ | a , ÔÏÇÄÁ a = 6. þÁÓÔÎÙÅ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ | 1, × ÒÁ×ÏÊ | a , ÚÎÁÞÉÔ a = 1. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ x = x + 6x + 7x + x : ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÒÉÍÅÎÉÍÁ ÄÌÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ËÁË ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ. ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁË ÖÅ, ÞÔÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÓÔÁÒÛÉÈ ÓÔÅÅÎÑÈ É Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ ÞÌÅÎÙ ÎÅ ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÒÉ ÅÒÅÈÏÄÅ ÏÔ ÏÂÙÞÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Ë ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÍÕ. ðÏÓËÏÌØËÕ x n = nx n− , É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, xnn = x n ; ÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ X xn x n Æx = ; n+1 ÍÙ ÏÕÓËÁÅÍ ÒÉ ÜÔÏÍ ó × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÄÌÑ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ. ÷ÏÓÏÌØÚÕn P ÅÍÓÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ x ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ k : k æÕÎË ÉÑ f (x) = x ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÁ ËÁË ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ × ×ÉÄÅ x = x + 6x + 7x + x ; ÔÏÇÄÁ 0 0 3 4 3 3 2 4 3 2 1 2 2 1 1 3 4 2 4 1 4 2 3 2 2 3 4 3 3 4 3 4 4 ( ) (4) ( (3) (2) (1) ( +1) 1) ( ) +1 ( ( +1) ) 4 4 =0 4 4 n X k k=0 = 4 x=0 x Æx = 4 nX +1 x=0 (3) (5) (4) (3) (4) (3) (2) n+1 0 2 (2) (1) (x + 6x + 7x + x )Æx = x x x + 6 + 7 + 5 4 3 2 1)(3n + 3n − 1) : = n(n + 1)(2n + 30 = x nX +1 (4) (2) = (1) x(x − 1)(2x − 1)(3x 30 2 − 3x − 1 n = +1 0 342 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ äÏ ÓÉÈ ÏÒ ÚÁÉÓØ ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÁ, ÞÔÏ n > 0. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÏÙÔÁÅÍÓÑ ××ÅÓÔÉ ÁÎÁÌÏÇ ÄÌÑ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÔÅÅÎÉ. äÌÑ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ Ó×ÑÚØ xn x n− = : (ä.25) x−n+1 ó ÏÍÏÝØÀ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÙÔÁÅÍÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ x n ÄÌÑ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÔÅÅÎÉ. ðÏÌÁÇÁÑ n = 1, ÏÌÕÞÁÅÍ xn ( æÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ. ) ( ( ) 1) ( ) = x −x1 + 1 = 1; (1) x (0) Á ÏÌÁÇÁÑ n = 0, ÉÍÅÅÍ = x −x0 + 1 = x +1 1 : éÓÏÌØÚÕÑ ÍÅÔÏÄ ÉÎÄÕË ÉÉ É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (ä.25) ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ 1 x −m = (m + x) m ; ÄÌÑ ×ÓÅÈ m > 1, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÎÅ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ. ðÒÉ m = 1 ÏÌÕÞÁÅÍ 1 = 1 : x− = (1 + x) (1 + x) x− ( (0) 1) ( ) ( ( ) 1) (1) ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x −k = ( x −k − ( k x)(k) ; 1 ( + ÔÏÇÄÁ −k = x +x k + 1 = (x +1k) k · x + 1k + 1 = = (x + k)(x + k 1− 1) · · · (x + 1) · x + 1k + 1 = = (x + k + 1)(x + k)(x1 + k − 1) · · · (x + 1) = (x + k 1+ 1) m : ( 1) ) ) ( ) ( ) éÓÏÌØÚÕÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ×ÙÞÉÓÌÉÍ (x −n ), ÏÌÕÞÁÅÍ 1 1 −n (x ) = (x + n + 1) n − (x + n) n = 1 1 = (x + n + 1) · (x + n) · · · (x + 2) − (x + n) · (x + n − 1) · · · (x + 1) = 1 1 1 = (x + n) · (x + n − 1) · · · (x + 2) (x + n + 1) − (x + 1) = ( ( ) ) ( ) ( ) = (x + n + 1) · (−x n+ n) · · · (x + 1) = (x + n −+n1) n = −nx −n− : óÒÁ×ÎÉÔÅ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÎÁ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x−n , ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ: D(x−n) = −nx−n− . ( ( 1) +1) 1 343 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ÏÔ ÆÕÎË ÉÉ x −n ÒÁ×ÎÁ ( X x −n (−n + 1) : x −n Æx = ( ) ( ) +1) ÷ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÍ ËÕÒÓÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÅÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ | ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÊ f É g ÒÁÎÅÅ ÂÙÌÁ ÏÌÕÞÅÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ (fg) = f · (g) + E (g) · (f ); ÏÜÔÏÍÕ X X X (fg)Æx = f · (g)Æx + E (g) · (f )Æx; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÆÏÒÍÕÌÕ X X f · (g)Æx = (fg) − E (g) · (f )Æx; ËÏÔÏÒÁÑ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ. æÏÒÍÕÌÁ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ É ÅÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.26. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ S (n) = kPn k2k . òÅÛÅÎÉÅ. =0 ÎÏ ÔÁË ËÁË 2 P x Æx kX =n k=0 = 2x ; x (1) nX +1 k2 = k nX +1 x2x Æx; 0 = x; ÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ ÅÒÅÉÛÅÍ × ×ÉÄÅ x2x Æx = 0 nX +1 x (1) (2x)Æx; 0 É ÉÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ, ÏÌÕÞÁÅÍ nX +1 x2x Æx = 0 ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ nX +1 x (1) (2x)Æx = (x (2x)) (1) 0 = (x2x) n+1 0 − = (n + 1) · 2n S (n) = nX +1 0 +1 n X k=0 n+1 0 (2x )Æx = (x2x) +1 2 − n+2 − nX +1 + 2; k2k = (n + 1) · 2n +1 2 (1) )Æx = 0 n+1 0 E (2x )(x − − n+2 (2x ) +1 + 2: n+1 0 = 344 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÉÍÅÒ ä.5.27. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ S (n) = kPn k 3k . òÅÛÅÎÉÅ. P x óÄÅÌÁÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ. 2 =0 1) 3 Æx = x . 2) x = x(x − 1) + x = x + x . 3) E (3x) = 3x = 3 · 3x. ó ÕÞÅÔÏÍ ÜÔÉÈ ÚÁÍÅÞÁÎÉÊ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ, ÉÍÅÅÍ n nX nX 1 X k 3k = x 3x Æx = x +x (3x)Æx = 2 k n nX 1 1 x = x + x 2 (3 ) − E (3x) x + x Æx = 2 nX n = 12 x 3x − 32 2x + 1 3xÆx = nX 3x n 1 3 x =2 x3 − 2x + 1 2 Æx = 2 nX n n = 12 x 3x − 34 3x(2x + 1) + 43 E (3x) 2x + 1 Æx = nX n n = 12 x 3x − 34 3x(2x + 1) + 29 3xÆx = n n n + 29 · 12 (3x) = = 12 x 3x − 34 3x(2x + 1) = 12 (n + 1) · 3n − 34 (2n + 3) · 3n + 34 + 94 · 3n − 94 = n = 3 2 (n − n + 1) − 32 : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ n X 3n (n − n + 1) − 3 : S (n) = k 3k = 2 2 3 2 2 (2) (1) +1 +1 +1 2 =0 (2) 2 0 (1) 0 +1 (2) +1 (1) (2) 0 +1 +1 2 (1) 0 0 +1 +1 2 (1) 0 0 +1 2 0 +1 +1 (1) 0 0 +1 0 +1 (1) 0 2 (1) 0 +1 2 +1 +1 (1) 0 2 (1) 0 +1 0 +1 0 +1 +1 +1 2 +1 2 2 k=0 îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.3 ä.5.3.1. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ x · 5x. x ä.5.3.2. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ 2x3+ 1 . ä.5.3.3. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ x + 7 x. 2 3 3 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 345 ä.5.3.4. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x : ä.5.3.5. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÆÕÎË ÉÀ 3 f (x) = 2x 4 ä.5.3.6. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ kPn k . ä.5.3.7. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ kPn k 2k . − 3x + 5x − 1: 2 2 =0 3 =0 ä.5.4. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÏÄÓÞÅÔÙ äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÏÂßÅËÔÏÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ × ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·): íÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÄÁÌÅÅ Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÈ ÞÉÓÅÌ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÍ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÕÀ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ, ÓÞÉÔÁÑ ×ÓÅ ÅÅ ÞÌÅÎÙ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ, ÒÁ×ÎÙÍÉ ÎÕÌÀ. éÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÔÁ×ÉÔ Ó×ÏÅÊ ÅÌØÀ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÅ ËÁË ÎÁÂÏÒÁ ÞÉÓÅÌ, Á ËÁË ÅÄÉÎÏÇÏ ÅÌÏÇÏ. æÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÏÄÈÏÄ ÁÁÒÁÔÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ∞ X ak z k ; (ä.26) k ÇÄÅ z ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÁË ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. óÕÍÍÁ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ (ÍÙ ÅÅ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ G(z)) É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G(z) ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·) ÒÁ×ÎÁ 0 1 2 =0 0 G(z ) = ∞ X k=0 1 2 ak z k : ïÄÎÏ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Ï ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÕÖÅ ×ÉÄÎÏ. ÷ÍÅÓÔÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÞÉÓÅÌ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ ÄÅÌÏ Ó ÏÄÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÜÔÏ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×Ï ÂÕÄÅÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÁËÏ×ÙÍ, ÅÓÌÉ ÓÁÍÁ ÆÕÎË ÉÑ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÎÙÊ ×ÉÄ. îÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÅÚÏÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ | ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÎÁÑ ÆÕÎË ÉÀ G(z), ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·), | ÂÅÚ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ÎÅÇÏ ×ÓÅ ÄÁÌØÎÅÊÛÉÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÔÅÒÑÀÔ ×ÓÑËÉÊ ÓÍÙÓÌ. íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ×ÄÁ×ÁÔØÓÑ × ÔÏÎËÏÓÔÉ ÔÅÏÒÉÉ ÆÕÎË ÉÉ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ. ðÒÉ ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÂÏÌØÛÉÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÒÑÄ (ä.26) ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÉÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ËÒÕÇÅ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = 0, Á ÆÕÎË ÉÑ G(z) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÜÔÏÍ ËÒÕÇÅ. ÏÇÄÁ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÒÑÄÁ ÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ 0 0 1 2 1 2 346 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ × ÔÏÞËÅ z = 0. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÒÑÄÁ ÅÊÌÏÒÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ 1 an = Dn (G(z )) ; (ä.27) n! z =0 ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ Dn (G(z)) z ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÒÑÄËÁ n ÆÕÎË ÉÉ G(z) × ÔÏÞËÅ z = 0. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÍ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÍÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.28. ïÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÅÊ G(z) = (az + b)n. òÅÛÅÎÉÅ. íÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÏÍÎÉÔ ÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÒÁ×ÉÌÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ: D((az + b)n ) = n(az + b)n− a; D ((az + b)n ) = n(n − 1)(az + b)n− a ; Dk ((az + b)n ) = n(n − 1) · · · (n − k + 1)(az + b)n−k ak ; ÒÉ k 6 n; Dk ((az + b)n ) = 0; ÒÉ k > n: ÁË ËÁË ÄÌÑ ÞÌÅÎÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ (ä.27), ÔÏ ÉÍÅÅÍ  1  a = bn; a = nabn− ; a = n(n − 1)a bn− ;    1 n(n − 1) · · · (n − k + 1)a2!k bn−k ; k 6 n; a = k  k!    ak = 0; k > n: úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ n(n − 1) · · · 2 · 1 1 n(n − 1) · · · (n − k + 1) = 1 · = n! = Cnk ; k! k! (n − k)(n − k − 1) · · · 2 · 1 k!(n − k)! ÇÄÅ Cnk | ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÉÓÌÏ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÉÚ n Ï k. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÁÎÎÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·), ÇÄÅ ak = Cnk ak bn−k ; k 6 n; (ä.28) ak = 0; k > n: =0 1 2 2 0 1 1 0 1 2 2 2 2 2 òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ. ðÕÓÔØ G(z) = (z − b)n, ÔÏÇÄÁ ak = Cnk (−1)n−k bn−k ; k 6 n; ak = 0; k > n: é ÅÝÅ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÙÊ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ G(z) = (1 + z)n, Ï (ä.28) ÉÍÅÅÍ ak = Cnk ; k 6 n; ak = 0; k > n; ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 347 Ô. Å. ÆÕÎË ÉÑ G(z) = (1 + z)n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÉÚ n Ï k. ÅÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ 1 ; m > 0; G(z ) = (az + b)m 1 (m + 1)(m + 2) · · · (m + k) ak ; k k D (g(z )) = D = ( −1)k m (az + b) (az + b)m k ÔÏÇÄÁ 1 (m + 1)(m + 2) · · · (m + k) ak = (−1)k ak · 1 · 1 · 2 · · · (m + k) ; ak = (−1)k k! bm k bm k k! 1 · 2···m ÉÌÉ × ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÍ ×ÉÄÅ +1 +1 +1+ +1+ +1+ ak ak = (−1)k m k · Cmm k : b (ä.29) + +1+ òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÕÓÔØ 1 G(z ) = (z − b)m ; ÔÏÇÄÁ 1 ak = (−1)m m k · Cmm k : b ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ 1 k m G(z ) = (1 + z)m ⇒ ak = (−1) · Cm Á, ÅÓÌÉ 1 m G(z ) = (1 − z)m ⇒ ak = Cm k : +1 (ä.30) +1 +1+ + k; + +1 + ïÔÄÅÌØÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ m = 0 | × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ 1 G(z ) = (1 + z) ; ÔÏÇÄÁ ak = (−1)k , Ô. Å. ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ó ÞÅÒÅÄÕÀÝÉÍÉÓÑ ÚÎÁËÁÍÉ, É, ÎÁËÏÎÅ , ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ 1 G(z ) = (1 − z) ÉÍÅÅÍ ak = 1, Ô. Å. ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÙ ÅÄÉÎÉ Å. îÁÊÄÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ 1 − zn : G(z ) = (1 − z) +1 348 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ íÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ Ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ ÅÝÅ ÎÅ ÚÁÂÙÌ ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, É ÏÎ ×ÓÏÍÎÉÔ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË ÓÕÍÍÁ 1 − zn = 1 + z + z + · · · + zn: G(z ) = (1 − z) ðÏÜÔÏÍÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÄÁÎÎÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎËÉÉ, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: ak = 1 ÒÉ k 6 n; ak = 0 ÒÉ k > n. üÔÏÔ ×Ù×ÏÄ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÄÒÕÇÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ, ÅÓÌÉ ÏÂÒÁÔÉÔØ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÏÄÎÏ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. ðÕÓÔØ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ G(z) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; an ; · · · ). ÏÇÄÁ ÆÕÎË ÉÉ G (z ) = z n · G(z ), n > 0 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bn; · · ·) É ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ Ó×ÑÚØ: bk = 0 ÒÉ k < n; bk = ak−n ÒÉ k > n. Ï ÅÓÔØ ÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ zn ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÄ×ÉÇÁÅÔÓÑ ÎÁ n ÛÁÇÏ× ×ÒÁ×Ï. ó ÕÞÅÔÏÍ ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ 1 − zn G(z ) = (1 − z) ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ. ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ ÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍ. ìÉÎÅÊÎÏÓÔØ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÓÅËÔÅ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Å ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (a ; a ; a ; : : : ; an ; · · · ) É (b ; b ; b ; : : : ; bn ; · · ·), ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ G (z) É G (z), ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ( · a + d · b ; · a + d · b ; : : : ; · an + d · bn; : : :) ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G(z) ÒÁ×ÎÁ G(z ) = · G (z ) + d · G (z ): +1 2 2 0 1 0 1 1 0 1 2 +1 2 0 1 1 2 2 0 0 1 1 1 2 ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÅÔÏÄÙ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ËÏÇÄÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ, ÎÏ × ÎÁÞÁÌÅ ÎÁÏÍÎÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÆÁËÔÙ, ËÁÓÁÀÝÉÅÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× × ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. íÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ n (ÅÇÏ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ Pn(z)) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ Pn (z ) = an z n + an− z n− + · · · + a z + a z + a ; ÇÄÅ a ; a ; a ; : : : ; an × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, an 6= 0. ëÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ Pn ( ) = 0. åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ, ÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ×ÉÄÅ Pn(z) = = (z − )Pn− (z), ÇÄÅ Pn− (z) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÓÔÅÅÎÉ. þÉÓÌÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ r, ÅÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ×ÉÄÅ Pn (z) = (z − )r Pn−r (z), ÇÄÅ Pn−r ( ) 6= 0. íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n ÉÍÅÅÔ íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÄÒÏÂÉ. 1 0 1 2 1 1 1 2 2 1 0 349 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÒÏ×ÎÏ n ËÏÒÎÅÊ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÉÈ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÆÁËÔ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pn (z ) = an z n + an− z n− + · · · + a z + a z + a ÉÍÅÅÔ k ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ; ; :::; k ËÒÁÔÎÏÓÔÉ r ; r ; :::; rk ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, Ô. Å. (r + r + · · · + rk = n), ÔÏ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ Pn (z ) = an (z − )r (z − )r · · · (z − k )rk : 1 1 1 1 2 2 2 1 1 0 2 2 1 1 2 2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ R(z) = PPmn zz ; ÇÄÅ Pn (z ) É Pm (z ) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÓÔÅÅÎÅÊ. òÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ, ÅÓÌÉ ÓÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ ÓÔÒÏÇÏ ÂÏÌØÛÅ ÓÔÅÅÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÒÏÂØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÊ. åÓÌÉ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ R(z) = PPmn zz Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ, ÔÏ ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ R(z ) = Pn−m (z ) + R (z ); ÇÄÅ Pn−m(z) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n − m, R (z) | ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ (ÉÌÉ ÒÏÓÔÅÊÛÅÊ) ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ A R(z ) = (z − a)m : òÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ R(z ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ìÀÂÁÑ ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÁ × ÓÕÍÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÈÅÍÕ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ. îÁ ÅÒ×ÏÍ ÜÔÁÅ ÄÌÑ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ÅÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ É ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂÉ. ðÒÏÂÌÅÍÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏ. ðÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÓÕÍÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ. óÏÓÏÂ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ÍÙ ÉÚÌÏÖÉÌÉ ÒÁÎÅÅ. óÈÅÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂÉ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ ×ÉÄÁ P (z ) R(z ) = n ; m > n; Pm (z ) ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ Pm (z) = bmzm + bm− zm− + · · · + b z + b z + b ÉÍÅÅÔ k ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ; ; :::; k ËÒÁÔÎÏÓÔÉ r ; r ; :::; rk ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ É, ÚÎÁÞÉÔ, ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ Pm (z ) = bm (z − )r (z − )r · · · (z − k )rk ; òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ. 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 0 350 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÔÏÇÄÁ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ R(z) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ P (z ) Pn (z ) R(z ) = n = = P (z ) b (z − )r (z − )r · · · (z − )rk m m A ;r1 1 1 A ;r1 − 2 k 2 + · · · + (zA−; ) + + · · · + (zA−; ) + · · · + · · · + (zA−k; ) : k = (z − )r + (z − )r − + (z A− ;r )r + (z A− ;r )−r − Ak;rk Ak;rk − + ···+ r k (z − k ) (z − k )rk − óÏÓÏÂ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÍÙ ÏËÁÖÅÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÁÈ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.29. îÁÊÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; an), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÒÁ×ÎÁ 4z − z − 9 : G(z ) = (z + 2)(z + 1)(z − 1) 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 1 2 2 òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÄÒÏÂÉ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÄÒÏÂÅÊ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ 4z − z − 9 A B C (z + 2)(z + 1)(z − 1) = (z + 2) + (z + 1) + (z − 1) : ïÓÔÁÌÏÓØ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÏËÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ A; B; C . ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁ×ÅÎ (z +2)(z +1)(z − 1), Ô. Å. Ë ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, É ÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÞÉÓÌÉÔÅÌÉ × ÒÁ×ÏÊ É ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÑÈ, ÏÌÕÞÁÅÍ 4z − z − 9 = A(z + 1)(z − 1) + B(z + 2)(z − 1) + C (z + 2)(z + 1): (ä.31) ÷ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ (ä.31) ÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ z É ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ A, B , C .   A + B + C = 4; B + 3C = −1;  −A − 2B + 2C = −9: òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÅÛÁÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÏÓËÏÌØËÕ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÍ ÕÔÅÍ. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ä.31) ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ËÁË ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ×ÅÒÎÏÅ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ z. ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÌÅ×ÕÀ É ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á z = −2, ÏÌÕÞÉÍ 9 = 3A, É A = 3, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ z = −1, ÉÍÅÅÍ −4 = −2B, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ B = 2. ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ z = 1 ÄÁÅÔ −6 = 6C , ÏÔËÕÄÁ C = −1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, 4z − z − 9 3 2 1 (z + 2)(z + 1)(z − 1) = (z + 2) + (z + 1) − (z − 1) : 2 2 2 351 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z , ÓÏÇÌÁÓÎÏ (ä.29) nÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bn; · · ·) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = −n , ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ bn = (−1)n, ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− ÓÏÇÌÁÓÎÏ (ä.29) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = (−1). îÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÂÅÚ ÏÓÏÂÙÈ ÕÓÉÌÉÊ ÄÏ×ÅÄÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÄÏ ËÏÎ Á. ðÒÉÍÅÒ ä.5.30. îÁÊÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎËÉÑ ÒÁ×ÎÁ 4z − 8 G(z ) = (z − 3)(z − 1) : òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÒÏÂØ ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ, ÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÅÅ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ ×ÉÄÁ A B C 4z − 8 (z − 3)(z − 1) = (z − 3) + (z − 1) + (z − 1) : ðÒÉ×ÏÄÑ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ É ÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÞÉÓÌÉÔÅÌÉ × ÌÅ×ÏÊ É ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÑÈ, ÏÌÕÞÁÅÍ 4z − 8 = A(z − 1) + B(z − 3) + C (z − 3)(z − 1): (ä.32) ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ z, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ A, B, C .   A + C = 0; −2A + B − 4C = 4;  A − 3B + 3C = −8: òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ. ðÏÓÔÕÁÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÉÍÅÒÕ 1.29, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ä.32) ËÁË ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ×ÅÒÎÏÅ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ z. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÌÅ×ÕÀ É ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á z = 3, ÏÌÕÞÉÍ 4 = 4A, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ A = 1, ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ × (ä.32) z = 1 ÄÁÅÔ −4 = −2B , É B = 2. éÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ C = −1, ÔÏÇÄÁ 4z − 8 = 1 + 2 − 1 : (z − 3)(z − 1) (z − 3) (z − 1) (z − 1) äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− ÓÏÇÌÁÓÎÏ (ä.29) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = − n , Á ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bn; · · ·) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = C n = (n + 1). äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÊÄÅÎÁ ÒÁÎÅÅ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.31. îÁÊÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÒÁ×ÎÁ G(z) = z − z : òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ G(z) × ×ÉÄÅ 4 G(z ) = (z − (1 + i))(z − (1 − i)) : 1 +2 1) 2 +1 ( 0 1 1 2 1 +1 1 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 3 +1 0 1 1 ( 1 1+ 2 1 0 2 4 2 +2 1 2 1)2 352 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ 4 A B (z − (1 + i))(z − (1 − i)) = (z − (1 + i)) + (z − (1 − i)) : áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÒÅÄÅÌÑÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ A = −2i, B = 2i, ÔÏÇÄÁ −2i 4 2i (z − (1 + i))(z − (1 − i)) = (z − (1 + i)) + (z − (1 − i)) : äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− i , ÓÏÇÌÁÓÎÏ (ä.29), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = − i n ; Á ÄÌÑ ÄÒÏÂÉ z− −i ; ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( ; ; ; : : : ; n; · · ·) ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ 1 n=− (1 − i)n : ÏÇÄÁ 1 1 i n n an = −2ibn + 2i n = 2i − = n n (1 + i) (1 − i) 2n ((1 − i) − (1 + i) ): úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ √ √ 1 + i = 2( os 4 + i sin 4 ); 1 − i = 2 os − 4 + i sin − 4 ; ÔÏÇÄÁ (1 + i)n = 2 n os(n + 1) 4 + i sin(n + 1) 4 ; (1 − i)n = 2 n os(n + 1) − 4 + i sin(n + 1) − 4 : óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n i n an = n 2 = 2 sin( n + 1) −2i sin(n + 1) 2 4 4 : 1 ( (1+ )) 1 (1+ ) +1 0 1 1 ( (1 )) 2 +1 +1 +1 +1 +1 2 +1 +1 2 +1 +1 +1 2 3− 2 äÏ ÜÔÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ ÍÙ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ÁÁÒÁÔ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÒÕÇÉÈ ÚÁÄÁÞ. ðÏËÁÖÅÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÁÈ, ËÁË ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÜÔÏÔ ÁÁÒÁÔ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.32. îÁÊÔÉ an ÄÌÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ a = 0; an = an− + n ; n > 1: ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ É ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. 0 1 1 2 1 2 òÅÛÅÎÉÅ. ÷×ÅÄÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ G(z) = nP anzn: ïÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÅËÕÒ∞ ÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ =0 1 2 an = an− 1 + 21n ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 353 ÕÍÎÏÖÉÍ ÎÁ zn É ÒÏÓÕÍÍÉÒÕÅÍ Ï n ÏÔ 1 ÄÏ ∞, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÁÅÍ ∞ ∞ ∞ X X 1X 1 z n; an z n = an− z n + n 2 2 n n n ÏÓËÏÌØËÕ a = 0, ÔÏ ∞ ∞ X X an z n = an z n = G(z ): 1 =1 =1 =1 0 n=1 n=0 ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÓÕÍÍÙ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ, ÉÍÅÅÍ ∞ X n=1 ∞ X ∞ X an− z n = an z n 1 =z +1 n=0 ∞ n X z ∞ X n=0 an z n = zG(z ); 1 zn = = z2 · 1 −1 z = − z −z 2 ; n 2 2 n n ËÁË ÓÕÍÍÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. ÏÇÄÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ G(z) z 1 G(z ) = zG(z ) − ; 2 z−2 ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 2z : G(z ) = (z − 2) =1 2 =1 2 äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ , ÓÏÇÌÁÓÎÏ (ä.30), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ1 n+1 bn = n · Cn = n : 2 2 ðÏÓËÏÌØËÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ z ÓÄ×ÉÇÁÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ×ÒÁ×Ï, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÉ n > 1 n an = 2bn− = n : 2 ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓËÏÌØËÕ a = 0, ÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ×ÅÒÎÁ É ÒÉ n = 0. 1 z−2)2 ( 1 +1 +2 +2 1 0 ðÒÉÍÅÒ ä.5.33. òÅÛÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ    a = 0; a = 1; an = an− 0 1 3 4 1 − 1 8 an− 2 + 9 32 n + ; n > 2: 3 8 òÅÛÅÎÉÅ. ÷×ÅÄÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ G(z) = nP anzn: ïÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÅËÕÒ∞ ÒÅÎÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÕÍÎÏÖÉÍ ÎÁ zn É ÒÏÓÕÍÍÉÒÕÅÍ Ï n × ÒÅÄÅÌÁÈ 2 6 n < ∞. ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ X 1X 3X 9X 3X an z n = an− z n − an− z n + nz n + z n: 4 8 32 8 n n n n n =0 1 =2 =2 2 =2 =2 =2 354 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ∞ ∞ X X n an z = an z n − a n=2 ∞ X n=2 ∞ X n=2 ∞ X n=2 ∞ X n=0 ∞ X an− z n = 1 an− z n = 2 nz n =z z zn = n=1 ∞ X n=0 ∞ X n=2 0 an z n +1 an z n +2 nz n−1 = G(z) − z; − a1 z ∞ X = n=0 an z n +1 = zG(z); = z G(z); 2 ∞ X = z dzd zn n =2 2 − a0 z ! = z dzd z 2 1−z = −(1z −+z2)z ; 3 2 2 1− z: ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ G(z) ÉÍÅÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 3 1 9(z − 2z ) + 3z ; G(z ) − z = zG(z ) − z G(z ) − 4 8 32(1 − z) 8(1 − z) ÔÏÇÄÁ 11z − 34z + 32z 11z − 34z + 32z G(z ) = 4(z − 1) (z − 6z + 8) = 4(z − 1) (z − 2)(z − 4) : òÁÚÌÏÖÉÍ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ 11z − 34z + 32z = A + B + C + D : (z − 1) (z − 2)(z − 4) (z − 1) (z − 1) z − 2 z − 4 ïÒÅÄÅÌÑÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ 11z − 34z + 32z = A(z − 2)(z − 4) + B(z − 1)(z − 2)(z − 4)+ + C (z − 1) (z − 4) + D(z − 1) (z − 2): ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ z, ÏÌÕÞÁÅÍ B + C + D = 11;    A − 7B − 6C − 4D = −34; −6A + 15B + 9C + 5D = 32;    8A − 12B − 4C − 2D = 0: þÁÓÔØ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍ ÕÔÅÍ. ðÏÌÁÇÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ z = 1, z = 2 É z = 4 ÏÌÕÞÁÅÍ 3A = 9, A = 3; −2C = 16, C = −8; 18D = 288, D = 16. ÏÇÄÁ B = 3. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 3 3 2 4 G(z ) = 4(z − 1) + 4(z − 1) − z − 2 + z − 4 ; ÉÓÏÌØÚÕÑ (ä.30), ÏÌÕÞÁÅÍ n n 3 3 1 1 3 1 1 an = (n + 1) − + 4 4 2 − 4 = 4 n + 2n − 4n : n=2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 355 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ðÒÉÍÅÒ ä.5.34. éÓÏÌØÚÕÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ Ï- ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÞÉÓÅÌ æÉÂÏÎÁÞÞÉ. þÉÓÌÁ æÉÂÏÎÁÞÞÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÙ ËÁË ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ   a = 0; a = 1;  an = an− + an− ; n > 2: 0 1 1 2 òÅÛÅÎÉÅ. ÷×ÅÄÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ G(z) = nP anzn, ÕÍÎÏÖÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ∞ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ zn É ÒÏÓÕÍÍÉÒÕÅÍ Ï n × ÒÅÄÅÌÁÈ 2 6 n < ∞, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ ∞ ∞ ∞ X X X an z n = an− z n + an− z n: =0 n=2 1 n=2 2 n=2 òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÓÕÍÍÙ × ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ, ÉÍÅÅÍ: ∞ ∞ X X an z n = an z n − a − a z = G(z ) − z; n=2 ∞ X n=2 ∞ X n=2 n=0 ∞ X an− z n = 1 an− z n = 2 n=1 ∞ X n=0 0 an z n +1 an z n +2 1 = ∞ X n=0 an z n +1 − a0 z =z = z G(z): ∞ X n=0 an z n = zG(z ); 2 îÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ G(z ) − z = zG(z ) + z G(z ); −z G(z ) = = − √ −z − −√ = z +z−1 2 z− 2 = √15 · ÔÏÇÄÁ 1 an = √ 5 − √ −1+ 5 2 z− − √ 1+ 2 5 1+ z− 5 2 + −1− 5 1− √ 5 2 2n√ − 2n√ = √1 1 + √5 n n 5 2 −1 + 5 −1 − 5 ! 5 2 √ 2 z−− 1 ! !n ; 1 1 − √5 −√ 5 2 !n : ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÅÝÅ ÏÄÎÉÍ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. ðÕÓÔØ ÄÁÎÙ Ä×Å ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ A = (a ; a ; a ; : : : ; an ; · · · ) É B = (b ; b ; b ; : : : ; bn ; · · ·), ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÙ G (z ) É G (z ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÏÇÄÁ Ó×ÅÒÔËÏÊ C = A ∗ B ÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ C = ( ; ; ; : : : ; n; · · ·), ÔÁËÁÑ ÞÔÏ ó×ÅÒÔËÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. 0 0 1 1 2 2 n = n X k=0 0 ak bn−k : 1 2 1 2 356 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G(z) ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ C ÒÁ×ÎÁ G(z ) = G (z ) · G (z ): ïÔÍÅÔÉÍ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ÆÁËÔ. åÓÌÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ B = (b ; b ; b ; : : : ; bn; · · ·) ÔÁËÏ×Á, ÞÔÏ bn = 1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n, ÔÏ Ó×ÅÒÔËÁ C = A ∗ B ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ A = (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·), Ô. Å. n X ak : n= 1 2 0 0 1 1 2 2 k=0 ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ B, ÓÏÓÔÏÑÝÅÊ ÉÚ ÅÄÉÎÉ , ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G (z) ÒÁ×ÎÁ G (z) = −z , ÔÏ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G(z ), ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ C | ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ A, ÒÁ×ÎÁ 1 G(z ) = 1 − z · G (z): éÓÏÌØÚÕÅÍ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ A: (an = n ). îÁÛÁ ÅÌØ | ÎÁÊÔÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ G (z) ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ A, ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ ∞ X G (z ) = n zn: n éÍÅÅÍ ! ! ∞ ∞ ∞ ∞ X X X d X d − − n n n n G (z ) = z nz = n z =z n z =z nz = z dz dz 2 1 2 1 1 2 1 2 1 =0 1 2 2 n=0 n=1 !! ∞ X n z = z dzd z dzd n z+z = (1 − z) : =1 2 1 1 n=1 = z dzd z dzd z 1−z = z dzd n=1 z (1 − z) = 2 3 ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ C = A ∗ B, B = (1; 1; : : : ; 1) ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1 z+z G(z ) = 1 − z · G (z) = (1 − z) : òÁÚÌÏÖÉÍ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ z+z A B C D G(z ) = = + + + (z − 1) (z − 1) (z − 1) (z − 1) (z − 1) ; É ÏÓÌÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÏÌÕÞÁÅÍ z + z = A + B (z − 1) + C (z − 1) + D(z − 1) ; ÔÏÇÄÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ D = 0;    C − 3D = 1; B − 2C + 3D = 1;    A − B + C − D = 0: 2 1 4 2 4 2 4 3 2 2 3 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 357 òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÌÕÞÁÅÍ: D = 0, C = 1, B = 3, A = 2, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ 2 + 3 + 1 : G(z ) = (z − 1) (z − 1) (z − 1) éÓÏÌØÚÕÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (ä.29), ÏÌÕÞÁÅÍ n X n(n + 1)(2n + 1) sn = k = 2 · Cn − 3 · Cn + Cn = : 6 k 4 2 3 3 2 +3 2 1 +2 +1 =0 ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÉÍÅÒÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÁÁÒÁÔÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅËÏÔÏÒÙÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× É ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÉ. ÷ ÎÁÞÁÌÅ ÕÔÏÞÎÉÍ ÎÁÛÅ ÏÎÉÍÁÎÉÅ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× Cnk | ÞÉÓÌÁ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÉÚ n Ï k. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ n > 0, ÔÏÇÄÁ   Cnk = 0; k < 0; k > n; n! ; 0 6 k 6 n:  Cnk = k!(n − k)! òÁÎÅÅ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ (1+ z)n ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (a ; a ; a ; : : : ; an; : : :), ÇÄÅ ak = Cnk . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ k > n ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÌÁ m É r, ÔÁËÉÈ ÞÔÏ m + r = n. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ G (z) = (1 + z)m ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bk ; : : :), ÇÄÅ bk = Cmk , Á ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ G (z) = (1 + z)r ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( ; ; ; : : : ; k ; : : :), ÇÄÅ k = Crk . ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÜÔÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÆÕÎË ÉÑ G(z ) = G (z ) · G (z ) = (1 + z )m (1 + z )r = (1 + z )m r = (1 + z )n : üÔÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ak = Cnk . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; ak ; : : :) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÅÒÔËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ (b ; b ; b ; : : : ; bk ; : : :) É ( ; ; ; : : : ; k ; : : :), ÓÌÅÄÏk ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k ÉÍÅÅÍ ak = P bl k−l : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÏÄÓÞÅÔÙ É ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ. 0 1 2 1 0 1 2 2 0 1 1 2 + 2 0 0 Cnk = 1 2 l=0 k X l=0 1 0 2 1 2 l · ó k −l ; óm r ÔÁË ËÁË n = r + m, ÔÏ ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ Crk m = + k X l=0 l · ó k −l ; óm r ÜÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌÏÍ Ó×ÅÒÔËÉ ÷ÁÎÄÅÒÍÏÎÄÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÒÉÍÅÒ. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ G (z) = (1+ z)n ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bn; : : :), ÇÄÅ bk = Cnk . ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ n ÆÕÎË ÉÉ G (z) = (1−z) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( ; ; ; : : : ; k ; : : :), ÇÄÅ k = (−1)k Cnk . 1 0 2 1 2 0 1 2 358 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÜÔÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÆÕÎË ÉÑ G(z ) = G (z )G (z ) = (1 + z )n (1 − z )n = (1 − z )n : üÔÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; ak ; : : :), ÇÄÅ a m = (−1)m Cnm ; a m = 0: ðÏÓËÏÌØËÕ k X ak = bl k − l ; 1 2 2 0 2 2 1 2 +1 l=0 ÔÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÄÌÑ a m 2 am= 2 m X 2 l=0 bl · m−l = 2 m X 2 l=0 ónl · (−1) m−l · Cnm−l ; 2 2 É ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× m X (−1)m · Cnm = (−1)l · ónl · Cnm−l : 2 2 l=0 ÅÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒÙ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.35. óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÄÁÔØ ÓÕÍÍÕ × 12 ËÏÅÅË, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÍÏÎÅÔÙ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×ÏÍ ÔÏÌØËÏ × 1 É 5 ËÏÅÅË. òÅÛÅÎÉÅ. þÉÓÌÏ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÄÁÔØ ÓÕÍÍÕ × k ËÏÅÅË ÏÄÎÏËÏÅÅÞÎÙÍÉ ÍÏÎÅÔÁÍÉ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bk ; : : :), ÇÄÅ bk = 1. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÜÔÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ G (z) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1 G (z ) = 1 + z + z + · · · + z k + · · · = 1− z: äÌÑ ÍÏÎÅÔ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×ÏÍ × 5 ËÏÅÅË ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( ; ; ; : : : ; k ; : : :), ÇÄÅ k = 1, ÅÓÌÉ k ËÒÁÔÎÏ 5 É k = 0 × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÜÔÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ G (z) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1 G (z ) = 1 + z + z + · · · + z k + · · · = 1−z : ÏÇÄÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÌÁ ÓÏÓÏÂÏ× ÄÌÑ ÓÕÍÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÁÔØ ÏÄÎÏËÏÅÅÞÎÙÍÉ É ÑÔÉËÏÅÅÞÎÙÍÉ ÍÏÎÅÔÁÍÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÅÒÔËÏÊ ÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ É, ÚÎÁÞÉÔ, ÅÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G(z) ÒÁ×ÎÁ 1 · 1 : G(z ) = G (z ) · G (z ) = 1−z 1−z ÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÁÔØ ÓÕÍÍÕ × n ËÏÅÅË ÒÁ×ÎÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÕ ÒÉ zn. îÁÊÄÅÍ ÜÔÏÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÄÌÑ n = 12. äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ 0 1 2 1 2 1 0 2 2 2 5 10 5 5 1 2 5 1 ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 359 ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÆÕÎË ÉÊ × ×ÉÄÅ ÒÑÄÁ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ z ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÔÒÅÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ: z = z · 1; z = z · z ; z = z · z ; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅÇÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÒÉ ÓÏÓÏÂÁ. 12 12 12 12 7 5 12 2 10 îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.4 ä.5.4.1. îÁÊÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÏ- ÉÚ×ÏÄÑÝÉÍ ÆÕÎË ÉÑÍ G(z): (Á) G(z) = 4 −1 z ; (×) G(z) = z − 6zz + 8 ; (Â) G(z) = 9 +1 z ; (Ç) G(z) = (z − 1) 1(2z + 1) . ä.5.4.2. ó ÏÍÏÝØÀ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÒÅÛÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ: (Á) aan == 2;3an− − 2n + 3; n > 0:   a = 2; (Â)  a = 6; an = 6an− − 8an− + 3n − 23n + 36; n > 1: ä.5.4.3. éÍÅÀÔÓÑ ÞÉÓÌÁ 1, 2, 3, 4, 5. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ÓÕÍÍÉÒÕÑ ÜÔÉ ÞÉÓÌÁ, ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ 6, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ. ðÏÒÑÄÏË ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ ÉÇÒÁÅÔ ÒÏÌÉ. 2 2 2 2 0 1 0 1 1 2 2 ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÏÞÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÷×ÅÄÅÎÉÅ ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ Õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ ÍÏÎÅÔÙ ÎÏÍÉÎÁÌÏÍ 2, 3, 5, 6 É 7 ÆÌÏÒÉÎÏ×, Ï ÏÄÎÏÊ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÏÍÉÎÁÌÁ, É ÷Ù ÈÏÔÉÔÅ ÂÅÚ ÓÄÁÞÉ ÏÌÁÔÉÔØ ÏËÕËÕ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ 21 ÆÌÏÒÉÎ. íÏÖÎÏ ÌÉ ÎÁÂÒÁÔØ ÉÚ ÄÁÎÎÙÈ ÍÏÎÅÔ ÓÕÍÍÕ ÒÁ×ÎÕÀ 21? á ÅÓÌÉ ÏÎÒÁ×É×ÛÉÊÓÑ ÷ÁÍ ÔÏ×ÁÒ ÓÔÏÉÔ 22 ÆÌÏÒÉÎÁ? íÙ ÓÔÁÌËÉ×ÁÅÍÓÑ Ó ÚÁÄÁÞÅÊ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÅÒÅÂÒÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ | × ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÷Ù ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÅ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÔÏ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÏÇÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÅÒÅÂÒÁÔØ ×ÏÏÂÝÅ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ. âÏÌÅÅ ÄÅÔÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÅÌÏÍÕ ÒÑÄÕ ×ÏÒÏÓÏ×: ÓËÏÌØËÏ ×ÏÏÂÝÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ËÁËÏÊ ËÏÍØÀÔÅÒ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍ ÎÁÍ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ 360 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÒÅÛÅÎÉÑ ÉÌÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÉÄÅÀ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ? üÔÏ ÒÏÓÔÏÊ ÒÉÍÅÒ ÏÞÅÎØ ÎÅ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÅÒÅÂÏÒÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ËÁË ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÕÍÍÅ | ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÞÉÓÅÌ ÕÔÅÍ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÎÉÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ, ÚÁÒÁÎÅÅ ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ? äÁÄÉÍ ÂÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÓÕÍÍÅ. ëÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÉÓÁÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÅÓÔØ? ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÏÄÈÏÄ ÔÁËÏ×: ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÒÉÓ×ÏÉ× ÉÍ ÎÏÍÅÒÁ | A = (a ; : : : ; an) É ××ÅÄÅÍ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï x = (x ; : : : xn ); xi ∈ { 0; 1 }. úÎÁÞÅÎÉÅ xi = 1 ÇÏ×ÏÒÉÔ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ai Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i ×ËÌÀÞÅÎÏ × ÓÕÍÍÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, x = (0; 1; 1; 1; 1) ÅÓÔØ ÏÉÓÁÎÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ × 21 ÆÌÏÒÉÎ. íÙ ÍÏÖÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á x ËÁË ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÉ × ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍ n- ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÉÌÉ ËÁË ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ × ÜÔÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÉÓËÕ ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÉ (×ÅËÔÏÒÁ) x Ó ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ (0; 1) ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ × n- ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, × ËÏÔÏÒÏÊ ÅÌÅ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f (x) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ. ðÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÄÈÏÄÅ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÕÍÍÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÔÅÅÒØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. äÁÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A = (a ; : : : ; an ) É ÞÉÓÌÏ V . ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ x = (x ; : : : ; xn), ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X = x| xi ∈ {0; 1} , É ÅÌÅ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1 1 1 1 f (x) = n X i=1 xi · ai ; ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÊÔÉ ÏÄÎÕ ÉÌÉ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ x ∈ X ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ f (x) = V ÉÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÔ. úÁÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÔÅÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÔ×ÅÔÉÔØ É ÎÁ ×ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ÓËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. åÓÌÉ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ x ËÁË ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÂÉÔÏ× Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ÔÒÅÂÕÅÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ 2n ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÉÍÅÎÎÏ ÓÔÏÌØËÏn ÞÉÓÅÌ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁÉÓÁÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ n ÂÉÔÏ×, ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ | |X | = 2 . ÷ ÔÁËÏÍ ÏÂßÅÍÅ ÏÌÎÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÚÁ ÒÅÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÄÁÖÅ ÒÉ ÎÅÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÊ ÒÁÓÞÅÔ. ðÕÓÔØ ÎÁ ÏÅÒÁ ÉÀ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ËÏÍØÀÔÅÒ ÚÁÔÒÁÞÉ×ÁÅÔ 10 ÔÁËÔÏ× (ÜÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ), É ÍÙ ÒÅÛÁÅÍ ÚÁÄÁÞÕ Ï ÓÕÍÍÅ ÉÚ 40 ÞÉÓÅÌ. äÌÑ ÓÌÏÖÅÎÉÑ 40 ÞÉÓÅÌ É ÒÏ×ÅÒËÉ ÂÕÄÅÔ ÚÁÔÒÁÞÅÎÏ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 400 ÔÁËÔÏ×, ÔÏÇÄÁ ÒÏ ÅÓÓÏÒ Ó ÞÁÓÔÏÔÏÊ 4çÇ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÅÒÅÂÒÁÔØ 10ÍÌÎ. ×ÁÒÉÁÎÔÏ× × ÓÅËÕÎÄÕ. þÉÓÌÏ 2 ≈ 10 , ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÖÉÄÁÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ÏÒÑÄËÁ 100000ÓÅË., ÞÔÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÏËÏÌÏ 28 ÞÁÓÏ×, Ô. Å. ÂÏÌÅÅ ÓÕÔÏË. úÁÍÅÔØÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÓÕÍÍÅ ÉÚ 41 ÞÉÓÌÁ ×ÒÅÍÑ ÂÕÄÅÔ Õ×ÅÌÉÞÅÎÏ ×Ä×ÏÅ. ÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁÍÉ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÒÉ×ÅÌÏ × 1960-È ÇÏÄÁÈ Ë ×ÁÖÎÙÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÔÅÏÒÉÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× É ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÉÚÕÞÁÀÝÅÇÏ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÍÅÔÏÄÙ É ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ. ÷×ÅÄÅÎÉÀ × ÄÁÎÎÕÀ ÒÏÂÌÅÍÁÔÉËÕ É ÏÓ×ÑÝÅÎ ÄÁÎÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ. 40 12 ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ ä.6.1. ðÏÎÑÔÉÅ m -ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á 361 ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ðÒÉ ÉÚÌÏÖÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÕÄÏÂÎÏ, ËÁË ÜÔÏ ÍÙ ÕÖÅ ×ÉÄÅÌÉ, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ, ÏÂÏÂÝÁÀÝÕÀ ÎÁÛÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ÅÌÙÈ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÔÏ ÎÁÓ ÂÕÄÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ÷ÎÁÞÁÌÅ ÏÉÛÅÍ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ m-ÍÅÒÎÏÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï [18℄. âÕÄÅÍ ÎÁÚ×ÁÔØ m-ÍÅÒÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÅÊ (x ; x ; : : : ; xm), ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ mm ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ x ; x ; : : : ; xm , É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÜÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÉÍ×ÏÌÏÍ A . ëÁÖÄÕÀ ÔÁËÕÀ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÏÞËÏÊ m-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÏÂÏÚÎÁÞÁÑ ÅÅ ÞÅÒÅÚ x, Á ÞÉÓÌÁ x ; x ; : : : ; xm ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ÔÏÞËÉ x. åÓÌÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ m-ÍÅÒÎÏÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× x, ××ÅÓÔÉ ÏÎÑÔÉÅ ÓÕÍÍÙ ×ÅËÔÏÒÏ× ËÁË ×ÅËÔÏÒ Ó ÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ É ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ËÁË ÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ m-ÍÅÒÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ëÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Am ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ m-ÍÅÒÎÙÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎ-m ÓÔ×ÏÍ, ÅÓÌÉ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÔÏÞËÁÍÉ x, y m-ÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÏÅ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ (x; y) É ×ÙÒÁÖÁÀÝÅÅÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ p (x; y) = (x − y ) + (x − y ) + · · · + (xn − yn ) : (ä.33) ïÂÝÅÕÏÔÒÅÂÉÔÅÌØÎÙÍ ÄÌÑ m-ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ E m. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, × ËÏÔÏÒÏÍ ÕËÁÚÁÎÏ ÒÁ×ÉÌÏ, ÓÔÁ×ÑÝÅÅ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÌÀÂÙÍ Ä×ÕÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ x; y ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ | (x; y), ËÏÔÏÒÏÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÔÒÅÍ ÁËÓÉÏÍÁÍ: 1) (x; y) = (y; x); 2) (x; y) 6 (x; z) + (z; y); 3) (x; y) > 0, (x; y) = 0 ⇔ x = y, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, ××ÅÄÅÎÎÏÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (ä.33) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÜÔÉÍ ÁËÓÉÏÍÁÍ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï E m Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. ðÏÄÒÏÂÎÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÏÂÝÅÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ É ÁËÓÉÏÍÁÔÉËÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ, ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ É ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈmÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × [18℄ É [27℄. îÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï E ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÞËÉ, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. ÷ ÅÌÑÈ ÆÏÒÍÁÌÉÚÁ ÉÉ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á E m , ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÔÏÌØËÏ ÔÅ ÔÏÞËÉ ÉÚ E m, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÍÅÀÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÜÔÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï m-ÍÅÒÎÙÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ, É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÇÏ ÞÅÒÅÚ Ezm: Ezm = {x| x ∈ E m ; x = (x ; x ; : : : ; xm ); xi ∈ Z ∀i = 1; m}; ÇÄÅ Z | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 362 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ïÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ × ÚÁÄÁÞÁÈ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÎÅ ×Ó£ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ezm, Á ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÅÇÏ ÔÏÞÅË | × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ, ÉÍÅÀÝÉÍÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ. ÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÜÔÉÍ ××ÅÄÅÍ ÏÎÑÔÉÅ m-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ËÕÂÁ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï Y ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË y ÉÚ Ezm, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (y ; y ; : : : ; ym) ËÏÔÏÒÙÈ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ y − x 6 k; y − x 6 k; : : : ; ym − xm 6 k; yi > xi ∀i = 1; m; (ä.34) ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ m-ÍÅÒÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ËÕÂÏÍ Ó ÒÅÂÒÏÍ k Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ x = (x ; x ; : : : ; xm ), x ∈ Ezm, É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÇÏ ÞÅÒÅÚ Cubmz(x; k). ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÎÏÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÅÒÅÂÏÒÕ ÔÏÞÅË m-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ËÕÂÁ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ 0 = (0; : : : ; 0), m (0; k ), ÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÙÍ ××ÅÓÔÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÅ ÏÂÏÔ. Å. ËÕÂÁ Cub z ÚÎÁÞÅÎÉÅ: kzm = Cubmz(0; k). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, 1mz | ÜÔÏ m-ÍÅÒÎÙÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÎÕÌÅ, ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÍÅÀÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ | 0 ÉÌÉ 1. níÙ ÕÖÅ ÚÎÁËÏÍÙ Ó ÜÔÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÔÏÞÅË | × ÒÁÍËÁÈ ÅÒÅÂÏÒÁ ÔÏÞÅË ÉÚ 1z ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÕÍÍÅ n ÞÉÓÅÌ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË Y ÉÚ Ezm, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (y ; y ; : : : ; ym) ËÏÔÏÒÙÈ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ (x; y) = r, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ m-ÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ ÒÁÄÉÕÓÁ r Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ x = (x ; x ; : : : ; xm ), x ∈ Ezm, É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÅ ÞÅÒÅÚ Szm (x; r). óËÏÌØËÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË ÓÏÄÅÒÖÉÔ m-ÍÅÒÎÙÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ? ïÔ×ÅÔ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÁÖÎÙÍ, ÔÁË ËÁË ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÕËÁÚÁÔØ ×ÅÒÈÎÀÀ Ï ÅÎËÕ ÇÒÁÎÉ Ù ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÙÔÁÅÍÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÅÅ ÕÔÅÍ ÏÌÎÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ ÔÏÞÅË. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÓÉÌÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ (ä.34) ËÁÖÄÁÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ ÔÏÞËÉ ËÕÂÁ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ k +1 ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, É ÍÙ ÉÍÅÅÍ m ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÄÌÑ ÔÏÞËÉ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezm, ÔÏ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ×Ù×ÏÄÕ, ÞÔÏ |Cubmz(x; k)m| = (k + 1)m ×ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ËÕÂÁ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÁÖÅ ËÕÂ 1z ÓÏÄÅÒÖÉÔ 2m ÔÏÞÅË. üÔÏÔ ÎÅÕÔÅÛÉÔÅÌØÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ É ÚÁÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÉÓËÁÔØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÏËÒÁÝÁÀÝÉÅ ÅÒÅÂÏÒ. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ä.6.2. ïÂÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÔÉÉÚÁ ÉÑ É ÒÉÍÅÒÙ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÏÉÓÁÎÉÀ ÏÂÝÅÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, Á×ÔÏÒÙ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÈÏÔÅÌÉ ÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÒÉÎÉÍÁÀÔ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÅ ÔÏÌËÏ×ÁÎÉÅ ÔÅÒÍÉÎÁ ÚÁÄÁÞÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ðÏÄ ÜÔÉÍ ÔÅÒÍÉÎÏÍ Á×ÔÏÒÙ ÏÎÉÍÁÀÔ ÚÁÄÁÞÕ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÌÀÂÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÚÎÁÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ m-ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ (ÕÓÌÏ×ÉÑÈ) ÏÂÝÅÇÏ ×ÉÄÁ, ÚÁÄÁÀÝÉÈ ÔÁËÏÅ ÓÕÖÅÎÉÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁËÌÀÞÅÎÏ × ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ËÏÎÅÞÎÙÊ m-ÍÅÒÎÙÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ. ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 363 ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï G × ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezm. îÁ ÔÏÞËÁÈ x ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á G ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f (x) : G → R, ÇÄÅ R | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. üÔÕ ÆÕÎË ÉÀ ÍÙ ÂÕÄÅÍ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ, ÓÌÅÄÕÑ [27℄, ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÌÅ×ÙÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÏÍ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÒÁ×ÎÏ ÏÌÏÖÅÎÎÙÅ ÔÅÒÍÉÎÙ | ÏËÁÚÁÔÅÌØ ËÁÞÅÓÔ×Á ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ, ÆÕÎË ÉÑ ÏÔÅÒØ, ËÒÉÔÅÒÉÊ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ É Ô. Ä. ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÙ ÔÁËÖÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ (ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á) ÎÁ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ gi(x) : G → R, i = 1; k × ×ÉÄÅ gi (x) 6 ai ; ai ∈ R; i = 1; k; ÔÏÇÄÁ ÏÂÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ f (x) → min; ÒÉ gi (x) 6 ai ; ai ∈ R; i = 1; k; x ∈ G: (ä.35) ÷ ÚÁÄÁÞÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÊ ×ÅËÔÏÒ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ | ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ, É ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ G, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍ ÅÌÅ×ÏÍÕ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÕ f (x). òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ (ä.35) ÔÏÞÎÏ | ÚÎÁÞÉÔ ÎÁÊÔÉ ËÁËÏÊÎÉÂÕÄØ ÉÌÉ ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ (ä.35), ÉÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÎÁ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ É ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ×ÉÄÁ (ä.35) ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂÌÁÓÔØ G, ËÁËÏÊ ×ÉÄ ÉÍÅÅÔ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ É ËÁËÏ×Á ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÆÕÎËÉÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ. ðÏ ÓÔÒÕËÔÕÒÅ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ, ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÆÕÎË ÉÑÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÉÉÚÁ ÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ: { ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÙÈ f (x) É gi (x) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁÍÉ; { ÚÁÄÁÞÉ ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÉÚ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÏ× f (x) ÉÌÉ gi(x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÌÉÎÅÊÎÙÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÞÁÓÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÉËÌÁÄÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÑÈ. éÚ ÎÅÌÉÎÅÊÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÏÌÎÏ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎ ËÌÁÓÓ ÚÁÄÁÞ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï G Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÏÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ, Á ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ É ÆÕÎË ÉÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ | ×ÙÕËÌÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. ÷ ÜÔÏÍ ËÌÁÓÓÅ ×ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÚÁÄÁÞÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Em ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÙÍ , ÅÓÌÉ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÌÀÂÏÊ ÁÒÏÊ Ó×ÏÉÈ ÔÏÞÅË, ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ É ×ÅÓØ ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÉÈ ÏÔÒÅÚÏË. îÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f (x), ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ×ÙÕËÌÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÏÊ ×ÎÉÚ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y ∈ G ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ∀ ; 0 6 6 1; f ( x + (1 − )y ) 6 f (x) + (1 − )f (y ): ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÍÅÒÙ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ïÂÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ. ÉÉÚÁ ÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. 364 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÕÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÏÔÎÏÓÑÝÉÈÓÑ Ë n ÒÁÚÎÙÍ ÔÉÁÍ. ëÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÚÅÒ×ÉÒÏ×ÁÎ × ÅÌÑÈ Ï×ÙÛÅÎÉÑ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÓÅÊ ÓÉÓÔÅÍÙ × ÅÌÏÍ. ðÕÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ xi ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× i- ÏÇÏ ÔÉÁ, ×ËÌÀÞÅÎÎÙÈ × ÓÉÓÔÅÍÕ, xi > 1, i = 1; n. ïÄÉÎ ÉÚ ÜÔÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÛÔÁÔÎÏÍ ÒÅÖÉÍÅ ÆÕÎË ÉÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÒÅÚÅÒ×Å. íÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÎÙ ÆÕÎË ÉÉ fi(xi ), ÄÁÀÝÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ Ï ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ ÔÉÁ i, × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÉÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á. åÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÏÔËÁÚÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÔÉÁ i | pi, ÔÏ ÆÕÎË ÉÑ fi (xi ) ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÉÄ fi (xi ) = 1 − pxi i : íÙ ÈÏÔÉÍ ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ, ÏÔÒÁÖÁÀÝÉÊ ÏËÁÚÁÔÅÌØ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ × ÅÌÏÍ, ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ ÓÕÍÍÁÒÎÙÅ ÚÁÔÒÁÔÙ. ÷ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÏËÁÚÁÔÅÌØ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÅÓÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ Ï ÔÉÁÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, Á ÚÎÁÞÅÎÉÅ | ÅÓÔØ ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ ÚÁÔÒÁÔÙ, ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÚÅÒ×ÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÅÓÔØ ÚÁÄÁÞÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ ÒÅÚÅÒ×ÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÁÖÄÏÇÏ ÔÉÁ, ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÕÀÝÉÈ ÎÅÌÉÎÅÊÎÙÊ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ÒÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ úÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÚÅÒ×ÉÒÏ×ÁÎÉÑ. n Y i=1 fi (xi ) → max; n X i=1 ai · xi 6 ; x = (x ; : : : ; xn) ∈ Ezn; 1 xi > 1: ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØÀ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÏÓÔØ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ | ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ É ÏËÁÚÁÔÅÌÑ ÚÁÔÒÁÔ ÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÔÉÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ xi ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÄÒÕÇÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ xj ; j 6= i. úÁÄÁÞÉ Ó ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁÍÉ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÅÛÅÎÙ ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÚÄÎÅÅ. îÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÎÁÂÖÅÎÉÅ ÒÅÄÒÉÑÔÉÑ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÅÇÏÓÑ ÓÂÏÒËÏÊ, ËÏÍÌÅËÔÕÀÝÉÍÉ ÄÅÔÁÌÑÍÉ × ËÏÎÔÅÊÎÅÒÁÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÚÇÏÔÁ×ÌÉ×ÁÀÔÓÑ É ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÄÒÕÇÉÈ ÇÏÒÏÄÏ×. íÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ × ÓÎÁÂÖÅÎÉÉ ÒÅÄÒÉÑÔÉÑ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ n ÇÏÒÏÄÏ×. ðÕÓÔØ xi | ÅÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÎÔÅÊÎÅÒÏ×, ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍÙÈ ÉÚ i-ÏÇÏ ÇÏÒÏÄÁ, Á i | ÓÕÍÍÁÒÎÁÑ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á É ÄÏÓÔÁ×ËÉ ÏÄÎÏÇÏ ËÏÎÔÅÊÎÅÒÁ ÄÅÔÁÌÅÊ ÉÚ ÇÏÒÏÄÁ i, i = 1; n. ÏÇÄÁ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÒÉ×ÅÚÅÎÎÙÈ ËÏÎÔÅÊÎÅÒÏ× ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ n X f (x) = i · xi : úÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÎÁÂÖÅÎÉÑ. i=1 ðÏÔÒÅÂÎÏÓÔØ ÒÅÄÒÉÑÔÉÑ × ËÏÍÌÅËÔÕÀÝÉÈ ÄÅÔÁÌÑÈ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ b (ËÏÎÔÅÊÎÅÒÏ×), ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÀ n X i=1 xi = b: ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 365 ðÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Ï ÄÅÔÁÌÅÊ × ÇÏÒÏÄÅ i ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ bi, Á ÏÂÒÁÔÎÙÅ ÅÒÅ×ÏÚËÉ ÉÓËÌÀÞÅÎÙ, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ. ÷ ÜÔÉÈ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑÈ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ n X xi = b; 0 6 xi 6 bi ; i = 1; n; x ∈ Ezn : f (x) → min; i=1 ÷ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ (x ∈ E n ) | ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÒÅÛÁÅÍÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÍÙ ÏÂÒÁÝÁÅÍ ÅÅ × ÚÁÄÁÞÕ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÕÔÅÍ ÏÍÅÝÅÎÉÑ ÔÏ×ÁÒÏ× × ËÏÎÔÅÊÎÅÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍÉ ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ ÅÒÅ×ÏÚËÉ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ ÅÒÅÂÏÒÁ | ÜÔÏ n-ÍÅÒÎÙÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÎÕÌÅ, É ÒÅÂÒÁÍÉ ÄÌÉÎÙ bi. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÏÓÔÁÎÏ×ËÕ ÚÁÄÁÞÉ, ÂÏÌÅÅ ÂÌÉÚËÕÀ É ÏÎÑÔÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÁÍ. óÕÔØ ÚÁÄÁÞÉ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÀ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÓÉÓÁÎÉÑ ÒÁÂÏÔÙ ÍÎÏÇÏÒÏ ÅÓÓÏÒÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. ðÕÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ m ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÒÏ ÅÓÓÏÒÏ×, Ï ËÏÔÏÒÙÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÉÔØ n ÚÁÄÁÎÉÊ, ÒÉÞÅÍ n > m. åÓÌÉ ÔÁËÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÅÓÔØ, ÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÒÏ ÅÓÓÏÒ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÅÍÕ ÚÁÄÁÎÉÑ. íÙ ÚÁÒÁÎÅÅ ÚÎÁÅÍ ×ÒÅÍÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÚÁÄÁÎÉÑ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÒÏ ÅÓÓÏÒÅ, ÉÌÉ ÉÍÅÅÍ ÅÇÏ Ï ÅÎËÕ. ðÕÓÔØ tij | ÅÓÔØ ×ÒÅÍÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÚÁÄÁÎÉÑ i ÎÁ ÒÏ ÅÓÓÏÒÅ j . îÁÛÁ ÅÌØ | ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÓÕÍÍÁÒÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ×ÓÅÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÚÁÄÁÎÉÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÅËÔÏÒ x × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn, É ÂÕÄÅÍ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ xi ÜÔÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ËÁË ÎÏÍÅÒ ÒÏ ÅÓÓÏÒÁ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÚÁÄÁÎÉÅ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i. üÔÏÔ ×ÅËÔÏÒ É ÂÕÄÅÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ ÒÁÓÉÓÁÎÉÅÍ ÒÁÂÏÔÙ ÒÏ ÅÓÓÏÒÏ×. ðÏÓËÏÌØËÕ ÉÍÅÅÔÓÑ m ÒÏ ÅÓÓÏÒÏ×, É ËÁÖÄÏÅ ÚÁÄÁÎÉÅ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÎÁÚÎÁÞÅÎÏ ÎÁ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÒÏ ÅÓÓÏÒ, ÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ 1 6 xi 6 m; i = 1; n; ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÌÁÓÔØÀ G ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ 1 = (1; 1; : : : ; 1) × n-ÍÅÒÎÏÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ó ÒÅÂÒÏÍ (m − 1) | Cubnz(1; m − 1). ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÅÓØ ÎÁÂÏÒ ÚÁÄÁÎÉÊ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ×ÙÏÌÎÅÎÎÙÍ, ËÏÇÄÁ ÏÓÌÅÄÎÉÊ (Ï ×ÒÅÍÅÎÉ) ÒÏ ÅÓÓÏÒ ÚÁ×ÅÒÛÉÔ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÚÁÄÁÎÉÑ, ÔÏ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÉÏÎÁÌ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎ × ×ÉÄÅ f (x) = jmax { T } → min; ;m j ÇÄÅ Tj | ×ÒÅÍÑ ÒÁÂÏÔÙ ÒÏ ÅÓÓÏÒÁ j , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ËÁË ïÔÉÍÉÚÁ ÉÑ ÍÎÏÇÏÒÏ ÅÓÓÏÒÎÏÇÏ ÒÁÓÉÓÁÎÉÑ. =1 Tj = n X i=1 [xi = j ℄ · tij ; ÇÄÅ ÍÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ÎÏÔÁ ÉÀ áÊ×ÅÒÓÏÎÁ | [k = l℄ = 1, ÅÓÌÉ k = l, ÉÎÁÞÅ | 0. îÉÖÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ É ÄÒÕÇÉÅ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ, ËÁË ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ Ë ÔÏÞÎÙÍ ÍÅÔÏÄÁÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. 366 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ä.6.3. NP-ÏÌÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ É ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ éÚ ÏÂÝÅÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÏÌÎÙÍ ÅÒÅÂÏÒÏÍ ÔÏÞÅË × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ËÕÂÁ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÔÒÅÂÕÅÔ ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÚÁÔÒÁÔ, ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÈ ÏÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. üÔÏ, ÏÄÎÁËÏ, ÎÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÁËÏ×Á ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÁÑ Ï ÅÎËÁ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ. íÙ ÍÏÖÅÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÞÉÓÅÌ ai , i = 1; n, ËÁË ÚÁÄÁÞÕ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÏÊ ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ezn ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ÜÔÉÈ ÞÉÓÅÌ, Á ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ f (x) = n X i=1 i · v(xi ) → max; 1 6 xi 6 n ∀i = 1; n; v(xi ) = axi : îÏ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÒÅÛÁÅÔÓÑ Ó Ï ÅÎËÏÊ (n ln n). íÏÖÅÍ ÌÉ ÍÙ ×ÓÅ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÅÛÉÔØ ÔÁË ÂÙÓÔÒÏ? ðÏÌÕÞÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÉÈ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÚÁÄÁÞ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ××ÅÄÅÎÉÅÍ × ÓÅÒÅÄÉÎÅ 1960-È ÇÏÄÏ× ËÌÁÓÓÁ P ËÁË ËÌÁÓÓÁ ÚÁÄÁÞ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ. âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ: ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ËÌÁÓÓÕ P , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÅÛÁÀÝÉÊ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÚÁ ×ÒÅÍÑ O(nk ), ÇÄÅ n | ÄÌÉÎÁ ×ÈÏÄÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, Á k ÅÓÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ n [20℄. éÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ ËÌÁÓÓ P | ÜÔÏ ËÌÁÓÓ ÚÁÄÁÞ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÂÙÓÔÒÏ ÒÅÛÉÔØ, ÉÌÉ ËÌÁÓÓ ÒÅÁÌØÎÏ ÒÅÛÁÅÍÙÈ ÚÁÄÁÞ. ðÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔØ ÚÁÄÁÞÉ Ë ËÌÁÓÓÕ P ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ×ÏÒÏÓ Ï ÇÒÁÎÉ ÁÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ × ÓÍÙÓÌÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÅÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ | ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ P ÚÁ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ÄÁÖÅ ÄÌÑ ÂÏÌØÛÉÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÌÕÞÁÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. íÙ ×ÒÁ×Å ÚÁÄÁÔØ ×ÏÒÏÓ | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ, É ÎÁÓËÏÌØËÏ ÂÙÓÔÒÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÅÇÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ? ÷ ÒÁÍËÁÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ×ÏÒÏÓÁ × ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÌÁÓÓ NP | ËÌÁÓÓ ÂÙÓÔÒÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÙÈ ÚÁÄÁÞ. úÁÄÁÞÁ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ËÌÁÓÓÕ NP, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÊ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁ ×ÒÅÍÑ O(nk ). ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ (ãð) × ÏÂÝÅÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÜÔÏÍÕ ËÌÁÓÓÕ. óÌÅÄÕÑ ÏÄÈÏÄÕ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÎÅ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÏÎÎÙÅ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ãð, Á ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ × ×ÉÄÅ ÚÁÄÁÞ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÑ ∃x : f (x) 6 C; x ∈ Ezn ; ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ: (ä.36) gi (x) 6 ai ; ai ∈ R; i = 1; k É x ∈ G: ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ãð × ÔÁËÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÄÏÌÖÅÎ ÌÉÂÏ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞËÕ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ (ä.36), ÌÉÂÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÉ ÎÅÔ. åÓÌÉ ÎÁÍ ÒÅÄßÑ×ÌÅÎ ÏÔ×ÅÔ, É ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ f (x) É gi (x) ÉÍÅÅÔ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ, ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÝÕÀ ÏÔ n, ÔÏ ÏÓËÏÌØËÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ, ÔÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÒÏ×ÅÒËÉ ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 367 ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ (ä.36) ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÁÄÁÞÁ ãð ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÌÁÓÓÕ NP. ëÁËÏ×Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÌÁÓÓÏ× P É NP? îÁ ÓÅÇÏÄÎÑ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ËÁË ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ËÌÁÓÓÏ× (P = NP), ÔÁË É ÉÈ ÎÅÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ. ðÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓ P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ËÌÁÓÓÁ NP. üÔÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÅÝÅ ÏÄÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ, Á ÉÍÅÎÎÏ ËÌÁÓÓÁ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ÷ 1971 ÇÏÄÕ ëÕË ××ÅÌ ÏÎÑÔÉÅ NPÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ËÁË ÏÄËÌÁÓÓÁ × NP | ÜÔÏ ÚÁÄÁÞÉ, Ë ËÏÔÏÒÙÍ ÚÁ ×ÒÅÍÑ, ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÌÉÎÙ ×ÈÏÄÁ, ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ Ó×ÅÄÅÎÙ ÌÀÂÙÅ ÄÒÕÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ NP. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÌÁÓÓÁ NPC (NP- omplete ) ÔÒÅÂÕÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ Ä×ÕÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ: ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÚÁÄÁÞÁ ÄÏÌÖÎÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ ËÌÁÓÓÕ NP, É, ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, Ë ÎÅÊ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏ ÄÏÌÖÎÙ Ó×ÏÄÉÔØÓÑ ×ÓÅ ÚÁÄÁÞÉ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ NP. éÓÔÏÒÉÞÅÓËÉ ÅÒ×ÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï NP-ÏÌÎÏÔÙ ÂÙÌÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÏ ëÕËÏÍ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï ×ÙÏÌÎÉÍÏÓÔÉ ÓÈÅÍÙ. íÅÔÏÄ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÂÙÌ ÒÅÄÌÏÖÅÎ ò. ëÁÒÏÍ É ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ ÉÍ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á NP-ÏÌÎÏÔÙ ÅÌÏÇÏ ÒÑÄÁ ÚÁÄÁÞ. ïÉÓÁÎÉÅ ÒÑÄÁ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÎÁÊÔÉ × [20℄, ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × [22℄. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÄÌÑ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÎÅ ÎÁÊÄÅÎÙ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ, É ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× ÏÌÁÇÁÀÔ, ÞÔÏ ÉÈ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅÌØÚÑ ÒÅÛÉÔØ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ, ÎÏ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉ ÒÏÂÌÅÍÁ P = NP ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÏÊ. NP-ÏÌÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÙÅ ËÁË ÚÁÄÁÞÉ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ, ÅÒÅÓÔÁÀÔ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ Ë ËÌÁÓÓÕ NP, Ô. Ë. ÏÔÉÍÁÌØÎÏÓÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÌØÚÑ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ÁËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ NP-ÔÒÕÄÎÙÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ [27℄. ÷ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ × ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÏÎÎÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÅÌÙÊ ÒÑÄ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë NP-ÔÒÕÄÎÙÍ [20℄, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÜÔÏ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÒÁÓÉÓÁÎÉÊ É ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ, Á ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÕÍÍÅ | NP-ÏÌÎÏÊ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÁ ÓÅÇÏÄÎÑ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÍÕ ÏÔ×ÅÔÕ ÎÁ ÒÏÂÌÅÍÕ P = NP [20℄, ÔÏ, ÓËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, ÎÅÔ É ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ãð × ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÏÎÎÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ Ó ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ×ÅËÔÏÒÁ ÒÅÛÅÎÉÑ (ÄÌÉÎÙ ×ÈÏÄÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ). óÅÇÏÄÎÑ × ÎÁÕÞÎÙÈ ÕÂÌÉËÁ ÉÑÈ ÒÏÄÏÌÖÁÀÔ ÒÅÄÌÁÇÁÔØÓÑ É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØÓÑ ËÁË Ü×ÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ, ÔÁË É "-ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ [20℄ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÓÔÁÎÏ×ÏË ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ [14℄, [9℄. äÒÕÇÏÊ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ÁÓÅËÔ ÉÚÕÞÅÎÉÑ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉ ÉÈ ËÁË ÚÁÄÁÞ × ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, Ó ÏÓÌÅÄÕÀÝÅÊ Ï ÅÎËÏÊ ÞÉÓÌÁ ×ÅÒÛÉÎ ÏÌÉÜÄÒÁÌØÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÚÁÄÁÞÉ. âÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × [13℄ É [12℄. ÷ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÔÅÒÍÉÎ ÚÁÄÁÞÉ ÅÒÅÂÏÒÁ, ËÁË ÁÎÁÌÏÇ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ÷ÏÚÎÉËÎÏ×ÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÔÅÒÍÉÎÁ × 1960-Å ÇÏÄÙ ÍÏÖÎÏ ×ÉÄÉÍÏ ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÔÏÞÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÅÒÅÂÏÒ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× Ó ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÉÓËÏÍÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÒÅÛÅÎÉÑ. òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÔÏÞÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ãð, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ËÌÁÓÓÕ NPC, × ÓÉÌÕ ×ÙÛÅ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ 368 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÔÁËÖÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍÉ. üÔÉ ÍÅÔÏÄÙ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ × ÅÌÏÍ ÒÑÄÅ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÁÖÎÙÈ ÏÓÔÁÎÏ×ÏË ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÌÕÞÉÔØ ÔÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ÕÔÅÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÏÂßÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ. ä.6.4. ïÂÚÏÒ ÔÏÞÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ðÅÒ×ÙÅ ÒÁÂÏÔÙ Ï ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍÕ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÀ ÂÙÌÉ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÙ × ËÏÎ Å 1950-È | ÎÁÞÁÌÅ 1960-È ÇÏÄÏ×. úÁ ÒÏÛÅÄÛÅÅ ×ÒÅÍÑ ÂÙÌÏ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× É ÍÅÔÏÄÏ×, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÉÈ ËÁË ÔÏÞÎÏÅ, ÔÁË É ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. íÙ ÕÖÅ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÔÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÏ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÄÌÑ ÔÅÈ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ËÌÁÓÓÕ NPC. îÏ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× (Ó ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÇÒÅÛÎÏÓÔØÀ) ÄÌÑ ÍÎÏÇÉÈ ËÌÁÓÓÏ× ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÏÌØ ÖÅ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÊ ÒÏÂÌÅÍÏÊ, ÞÔÏ É ÏÉÓË ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ [27℄. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÄÌÑ ÒÑÄÁ ÚÁÄÁÞ ÔÁËÉÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ë ÔÁËÉÍ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÒÁÓÉÓÁÎÉÑ ÍÎÏÇÏÒÏ ÅÓÓÏÒÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ, É ÏÂ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÍ ÒÅÚÅÒ×ÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÅ ÛÉÒÏËÏ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÏ×ÙÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÁ ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÁÎÁÌÏÇÉÑÈ | ÍÙ ÉÍÅÅÍ × ×ÉÄÕ ÇÅÎÅÔÉÞÅÓËÉÅ É ÍÕÒÁ×ØÉÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ, ÕÓÅÛÎÏ ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÅ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. îÅÂÏÌØÛÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ × ÜÔÉ ÍÅÔÏÄÙ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × [22℄. ðÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÍ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÉÉ, ÔÏÞÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÉÓÁÎÙ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÏÂÝÉÍÉ ÍÅÔÏÄÁÍÉ, ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÉÄÅÑÈ ÍÅÔÏÄÁ ÏÔÓÅÞÅÎÉÑ É ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . áÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ, ÍÏÄÉÆÉËÁ ÉÑÍÉ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. îÉÖÅ ÍÙ ÉÚÌÁÇÁÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÎ ÉÙ ÜÔÉÈ ÍÅÔÏÄÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÁÌÅÅ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÎÁ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ Ó×ÅÒÈÕ | ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ, × ËÏÔÏÒÙÊ ×ÉÓÁÎ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË, ÆÏÒÍÉÒÕÅÍÙÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÚÁÄÁÞÉ, ÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× | ÔÏÞÅË ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ÷ ÁÎÇÌÏÑÚÙÞÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÜÔÏÔ ÍÅÔÏÄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ British museum te hnique | ÔÅÈÎÉËÁ ÂÒÉÔÁÎÓËÏÇÏ ÍÕÚÅÑ. íÙ ÙÔÁÅÍÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÉ ÅÒÅÂÏÒÁ ÍÅÔÏÄÏÍ ÅÒÅÂÏÒÁ, ÎÏ ÎÁÓ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÒÏÂÌÅÍÁ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ | ËÁË ÔÏÌØËÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÂÏÌØÛÏÊ | ÅÒÅÂÏÒ ÔÒÅÂÕÅÔ, ÈÏÔÑ É ËÏÎÅÞÎÏÇÏ, ÎÏ ÁÓÔÒÏÎÏÍÉÞÅÓËÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ. ðÏÒÏÂÕÊÔÅ, ÎÁÒÉÍÅÒ,n Ï ÅÎÉÔØ, ÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n ×ÁÛ ËÏÍØÀÔÅÒ ÒÅÛÉÔ ÚÁÄÁÞÕ ÅÒÅÂÏÒÁ × ËÕÂÅ 1z ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÚÁ ÏÄÉÎ ÞÁÓ. íÅÔÏÄ ÏÌÎÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ. ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 369 éÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ç. äÁÎ ÉÇÕ É ò.çÏÍÏÒÉ [27℄. éÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÍÅÔÏÄ ÂÙÌ ÒÅÄÌÏÖÅÎ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. óÕÔØ ÉÄÅÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÎÁÞÁÌÅ ÒÅÎÅÂÒÅÞØ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ É ÏÙÔÁÔØÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. åÓÌÉ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÀ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÔÏÇÄÁ ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. åÓÌÉ ÖÅ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ ÏÌÕÞÅÎÏ ÎÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÔÏ Ë ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏ×ÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÆÏÒÍÉÒÕÅÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ ÂÙ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÎÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÌÏ ÎÏ×ÏÍÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ, Á ÌÀÂÏÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÌÏ ÅÍÕ. ïÉÓÁÎÎÁÑ ÒÏ ÅÄÕÒÁ Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ Ó ÎÏ×ÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÁ ÏÄÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÂÏÌØÛÅ. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ×ÎÏ×Ø ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÎÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔØ, É, ÒÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÄÏÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÏ×ÙÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ. þÅÒÅÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÔÅÒÁ ÉÊ, ÂÕÄÅÔ ÌÉÂÏ ÎÁÊÄÅÎÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÌÉÂÏ ÏÞÅÒÅÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× ÏËÁÖÅÔÓÑ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÊ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÉÔÅÒÁ ÉÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÓÏÓÏÂÁ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ. ÷ ÏÂÝÅÍ ×ÉÄÅ ÍÅÔÏÄ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ íÅÔÏÄ ÏÔÓÅÞÅÎÉÊ. Pro edure Begin 1. While íÅÔÏÄ ÏÔÓÅÞÅÎÉÊ òÅÛÉÔØ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ó ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ End. (ÏËÁ ÎÅ ÎÁÊÄÅÎÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÎÁ) begin 2.1. 2.2. end óÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ÎÏ×ÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ, ÏÔÓÅËÁÀÝÅÅ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÎÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. òÅÛÉÔØ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ó ÎÏ×ÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ. (while) ÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÏ×ÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÔÓÅËÁÀÝÅÊ ÏÔ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÉÓÈÏÄÎÙÍÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ, ÎÏ ÎÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÕÀ, ×ÅÒÛÉÎÕ É ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÅÊ ×ÓÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. üÔÁ ÁÎÁÌÏÇÉÑ É ÄÁÌÁ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÍÅÔÏÄÁÍ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÈ ÎÁ ÉÄÅÑÈ ç. äÁÎ ÉÇÁ | ÍÅÔÏÄÙ ÏÔÓÅÞÅÎÉÊ. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ ÂÙÌÁ ÒÅÄÌÏÖÅÎÁ × ÒÁÂÏÔÁÈ á. ìÜÎÄÁ É á. äÏÊÇÁ Ï ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍÕ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÀ × ÎÁÞÁÌÅ 1960-È ÇÏÄÏ×. íÅÔÏÄ ÓÔÁÌ ÛÉÒÏËÏ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÄÅÔÁÌØÎÏ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÏÍÕ É ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ äÖ.ìÉÔÌÁ, ë.íÅÒÔÉ, ä. óÕÉÎÉ É ë. ëÜÒÏÌ [7℄ ÄÌÑ ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ËÏÔÏÒÁÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ NP-ÏÌÎÏÊ (ËÌÁÓÓ NPC). íÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . 370 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÙÔËÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ, ÚÁ ÓÞÅÔ ÁÎÁÌÉÚÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÏÂÝÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, ÏÄÌÅÖÁÝÉÈ ÅÒÅÂÏÒÕ. îÁÉÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙÍ ÜÔÁÏÍ ÍÅÔÏÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÑ×ÌÅÎÉÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÔÏÞÅË, ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. íÅÔÏÄ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á | ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅÍ, É ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ Ï ÅÎÏË ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ ÚÁÄÁÞÉ (ÎÉÖÎÉÈ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ ÍÉÎÉÍÕÍ) ÎÁ ×ÙÄÅÌÅÎÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ | ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ÇÒÁÎÉ . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÏÉÓËÏ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ, É ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÔÓÅÞÅÎÉÉ ÔÅÈ ×ÅÔ×ÅÊ ÜÔÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. ðÒÏÂÌÅÍÁ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÁ Ë ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÓÏÓÔÏÉÔ × ×ÙÂÏÒÅ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ É ÒÉÎ ÉÏ× ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÏÓÔÅÊÛÅÇÏ ÓÏÓÏÂÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÏÄÈÏÄ | ÒÅÛÉÔØ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÒÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍÕ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÔÏÞÅË. ïÂÙÞÎÏ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ É Ï ÅÎÉ×ÁÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÉÒÁÀÔÓÑ ÎÁ ÓÅ ÉÆÉËÕ ÚÁÄÁÞÉ. ðÒÉ ÕÄÁÞÎÏ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑÈ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÅ ÅÒÅÂÏÒÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÚÎÁÞÉÍÙÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÚÁ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ, ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÕËÁÚÁÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. íÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÂÙÌ ÒÅÄÌÏÖÅÎ É ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎ ò.âÅÌÌÍÁÎÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ 1960-È ÇÏÄÏ× [11℄. õÓÌÏ×ÉÑ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÁ ÔÒÅÂÕÀÔ, ÞÔÏÂÙ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÌ ÓÏÂÏÊ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ, Ô. Å. íÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. f (x) = n X i=1 gi (xi ); ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÓÌÁÂÌÅÎÏ ÄÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÏÓÔÉ [27℄. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÏÉÓÁÎÉÅ ÉÄÅÉ ÜÔÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ, ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ ÅÇÏ Á×ÔÏÒÁ [11℄. üËÏÎÏÍÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁÉÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ×ÉÄÁ n X i=1 xi = C; ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÁË ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ ÏÂÝÉÊ ÒÅÓÕÒÓ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎ Ï n ÒÏ ÅÓÓÁÍ, ÒÉÎÏÓÑÝÉÍ ÄÏÈÏÄ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÊ ÆÕÎË ÉÑÍÉ gi(xi ), i = 1; n × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ É ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ xi . äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁËÓÉÍÉÚÁ ÉÉ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ f (x) → max, ×ÍÅÓÔÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÏÄÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ Ó ÄÁÎÎÙÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÓÕÒÓÏ× É ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÒÏ ÅÓÓÏ×, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÅÌÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÚÁÄÁÞ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÞÉÓÌÏ n ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÌÀÂÙÅ ÅÌÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. åÓÌÉ ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÔÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÒÏ ÅÓÓ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÔÏ ÏÄÈÏÄ ò.âÅÌÌÍÁÎÁ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÅÅ × ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÊ ÒÏ ÅÓÓ, ÔÒÅÂÕÑ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÅÓÕÒÓÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 371 ÒÏ ÅÓÓÕ, ÞÔÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ É ÏÔÒÁÖÅÎÏ × ÎÁÚ×ÁÎÉÉ ÍÅÔÏÄÁ | ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ [11℄. íÁËÓÉÍÕÍ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ f (x) × ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÒÏ ÅÓÓÏ× n, É ÏÔ ÏÂÝÅÇÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÒÅÓÕÒÓÁ C . üÔÁ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ × ÏÄÈÏÄÅ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ Ñ×ÎÏ ÕÔÅÍ ÚÁÄÁÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÊ {fm( )}, m = 1; n, 0 6 6 C , ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ fm ( ) = max f (x); xm xm > 0; m X k=1 xk = : æÕÎË ÉÑ fm( ) ×ÙÒÁÖÁÅÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÄÏÈÏÄ, ÏÌÕÞÁÅÍÙÊ ÏÔ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÅÓÕÒÓÁ Ï m ÒÏ ÅÓÓÁÍ. ÷ Ä×ÕÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏ. ÷ ÒÁÚÕÍÎÏÍ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÄÏÈÏÄ ÏÔ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÅÓÕÒÓÁ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ | gm(0) = 0, ∀m = 1; n, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ fm(0) = 0, ∀m = 1; n. ÁËÖÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ > 0 ÆÕÎË ÉÑ f ( ) = g ( ). äÌÑ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÅÓÕÒÓÁ ÍÅÖÄÕ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÒÏ ÅÓÓÁÍÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÅ fm( ) É fm− ( ) ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ m É . åÓÌÉ xm | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÓÕÒÓÁ, ÎÁÚÎÁÞÅÎÎÏÅ ÄÌÑ ÒÏ ÅÓÓÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ m, ÔÏ ÏÓÔÁÀÝÅÅÓÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï | ( − xm ) ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÏ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÄÏÈÏÄÁ ÏÔ ÏÓÔÁÀÝÉÈÓÑ m − 1 ÒÏ ÅÓÓÏ×. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ xm ÓÏ×ÏËÕÎÙÊ ÄÏÈÏÄ ÏÔ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ Ï m ÒÏ ÅÓÓÁÍ ÓÏÓÔÁ×ÉÔ gm(xm ) + fm− ( − xm ): ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÍ ÂÕÄÅÔ ÔÁËÏÊ ×ÙÂÏÒ ÚÎÁÞÅÎÉÑ xm, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÕÅÔ ÜÔÕ ÆÕÎË ÉÀ, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÍÕ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ [11℄. ( f ( ) = g ( ); fm ( ) = max [gm (xm ) + fm− ( − xm )℄; ∀m = 2; n; > 0: 6xm 6 ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÁÄÁÞÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ × ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÏÔÉÍÉÚÁÉÉ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÏËÒÁÝÁÅÔ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÒÅÛÅÎÉÑ. îÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ ÍÅÔÏÄÁ ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÀÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ (ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÏÓÔÉ) ÎÁ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÅ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÓÌÉÛËÏÍ ÓÌÏÖÎÏÊ, É ÄÏÕÓËÁÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏ Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÆÕÎË ÉÊ âÅÌÌÍÁÎÁ ÞÅÒÅÚ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÚÁÄÁÞÉ. äÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÉÄÅÉ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÒÉ×ÅÌÏ Ë ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÎÏ×ÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ | ÍÅÔÏÄÁ ÑÄÅÒ (ÏÄÒÏÂÎÅÅ ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ [27℄, [26℄). 1 1 1 1 1 0 1 1 372 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ä.6.5. ÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ îÁÞÉÎÁÑ Ó ËÏÎ Á 50-È ÇÏÄÏ× XX ×ÅËÁ, ËÏÇÄÁ ò. âÅÌÌÍÁÎ ÒÅÄÌÏÖÉÌ É ÏÂÏÓÎÏ×ÁÌ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÄÅÉ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ Ï ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÒÉ×ÌÅËÁÅÔ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ× É ÕÞÅÎÙÈ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÈÓÑ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÏÊ É ÁÎÁÌÉÚÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ðÏ×ÙÛÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ Ë ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ, ÒÁ×ÎÏ ËÁË É Ë ÅÅ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÍÏÄÉÆÉËÁ ÉÑÍ, Ó×ÑÚÁÎ Ó ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÍÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÂÌÁÓÔÑÍÉ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ. úÁÍÅÔÉÍ × ÜÔÏÊ Ó×ÑÚÉ, ÞÔÏ ÍÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÈÏÔÑ É ÏÚ×ÏÌÉÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÏËÒÁÔÉÔØ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÎÏ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÅ ÜÔÏÔ ÍÅÔÏÄ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÌÉÎÙ ×ÈÏÄÁ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÒÏÓÔ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ É, ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÄÏÓÔÕÎÏÊ ÏÅÒÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÍÑÔÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ËÏÍØÀÔÅÒÏ× ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÌÑ ÒÑÄÁ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ, Ó×ÏÄÑÝÉÈÓÑ Ë ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ Ï ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÕÁËÏ×ËÅ, Ó ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÔÏÞÎÙÈ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÈ ÍÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. éÚÌÏÖÅÎÉÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ Ï ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÕÁËÏ×ËÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ËÎÉÇÅ ò.âÅÌÌÍÁÎÁ É ó. äÒÅÊÆÕÓÁ [11℄ É ÓÔÁÔØÅ [25℄, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÊ ÁÎÁÌÉÚÕ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÈ ÂÅÌÌÍÁÎÏ×ÓËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. íÙ ÈÏÔÉÍ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÏ×ÁÔØ ÍÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÎÏ, É ÉÓÏÌØÚÕÑ ÍÅÔÏÄÙ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÌÕÞÉÔØ Ï ÅÎËÉ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÈ ÜÔÏÔ ÍÅÔÏÄ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ, ÞÔÏ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÒÀËÚÁË Ó ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÍ ÄÎÏÍ É ÎÅÒÁÓÔÑÖÉÍÙÍÉ ÓÔÅÎËÁÍÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ×ÙÓÏÔÙ. õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÔÁËÖÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÇÒÕ ËÏÒÏÂÏË, Ó ÔÁËÉÍ ÖÅ ÄÎÏÍ, ËÁË Õ ÒÀËÚÁËÁ. ÷ ÌÀÂÏÊ ÇÒÕÅ ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÏ ËÏÒÏÂÏË, É ËÁÖÄÁÑ ËÏÒÏÂËÁ × ÇÒÕÅ ÏÄÉÎÁËÏ×Á Ï ×ÙÓÏÔÅ É ÉÍÅÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ. îÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ ÔÁË ÕÁËÏ×ÁÔØ ÒÀËÚÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎ ÚÁËÒÙ×ÁÌÓÑ, É ÓÕÍÍÁ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÕÁËÏ×ÁÎÎÙÈ ËÏÒÏÂÏË ÂÙÌÁ ÂÙ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ. èÏÔÑ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÏÂßÅÍÏÍ, ÎÏ × ÒÅÁÌØÎÏÓÔÉ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÔÏÌØËÏ ×ÙÓÏÔÕ ÒÀËÚÁËÁ É ×ÙÓÏÔÙ ËÏÒÏÂÏË | × ÜÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÚÁÄÁÞÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ. ðÏÓËÏÌØËÕ Õ ÎÁÓ ÎÅÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÓÏÓÔÁ× ËÏÒÏÂÏË × ÒÀËÚÁËÅ, ÔÏ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÙÂÒÁÔØ ËÏÒÏÂËÉ ÉÚ ÇÒÕÙ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÊ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÄÅÌØÎÏÊ (ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ×ÙÓÏÔÙ) ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ. îÏ, Ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÒÁÚÒÅÚÁÔØ ËÏÒÏÂËÉ Ï ×ÙÓÏÔÅ | ÚÁÄÁÞÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ, É ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏ. îÁÒÉÍÅÒ, ÉÚ Ä×ÕÈ ÇÒÕ ËÏÒÏÂÏË Ó ×ÙÓÏÔÁÍÉ 5 É 7 É ÓÔÏÉÍÏÓÔÑÍÉ 10 É 18, × ÒÀËÚÁË ×ÙÓÏÔÏÊ 10 ÌÕÞÛÅ ÏÌÏÖÉÔØ Ä×Å ËÏÒÏÂËÉ ÉÚ ÅÒ×ÏÊ ÇÒÕÙ, ÞÅÍ ÏÄÎÕ ÉÚ ×ÔÏÒÏÊ. äÒÕÇÁÑ ÉÄÅÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÕÁËÏ×ËÉ ÒÀËÚÁËÁ É ×ÙÂÒÁÔØ ÎÁÉÌÕÞÛÉÊ, ÎÏ ÅÓÌÉ ÒÀËÚÁË ÏÞÅÎØ ×ÙÓÏËÉÊ, É Õ ÎÁÓ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÎÙÈ ÇÒÕ ËÏÒÏÂÏË, ÔÏ ÔÁËÏÊ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ÍÏÖÅÔ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÍÅÓÑ Å× ÓÞÅÔÁ, ÄÁÖÅ ÎÁ ÏÞÅÎØ ÍÏÝÎÏÍ ËÏÍØÀÔÅÒÅ. üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ, ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ, ËÁË ÚÁÄÁÞÁ ÏÂ ÕÁËÏ×ËÅ ÒÀËÚÁËÁ, ÂÏÌÅÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ | ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ Ï ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ, ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÅ óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ. ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 373 ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÅÇÏÄÎÑ ÁËÔÕÁÌØÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÕÞÅÎÉÅ ÉÍÅÎÎÏ ÔÏÞÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. ë ÔÁËÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ Ó×ÏÄÉÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓËÒÏÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ, ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÁËÅÔÁ ÁË ÉÊ ÎÁ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ. îÁ ÏÓÎÏ×Å ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÒÉ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Å ÇÒÕ ËÏÒÏÂÏË ÍÏÖÎÏ ÄÁÖÅ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÄÅÖÎÕÀ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÕ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÂÝÕÀ ÏÓÔÁÎÏ×ËÕ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ Ï ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÕÁËÏ×ËÉ: ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× Y = {yi }; yi = {vi ; i }; i = 1; n; ÇÄÅ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ yi ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÒÁÚÍÅÒÏÍ vi, ÉÌÉ ÏÂßÅÍÏÍ × ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÙÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÚÁÄÁÞ ÕÁËÏ×ËÉ, É ÅÎÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ i , ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏ ÏÔÒÁÖÁÅÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÚÎÁÞÉÍÙÅ ÒÅÄÏÞÔÅÎÉÑ ÄÌÑ ÚÁÇÒÕÚËÉ ÏÂßÅËÔÏ× ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÉÁ. ÁË ÖÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÚÁÄÁÎ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ V . ÷ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ yi ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÉÁÍÉ ÇÒÕÚÏ×. äÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÚÁÇÒÕÖÁÅÍÙÈ × ÏÂßÅÍ V ÜÌÅÍÅÎÔÏ× yi ××ÅÄÅÍ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ: x = {xi }; x = 1; n; ÇÄÅ xi | ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÅÌÏÅ, Ô. Å. x ∈ Ezn, xi > 0. úÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ×ÅËÔÏÒÁ xi = k ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÚÁÇÒÕÚËÅ k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÔÉÁ yi × ÏÂßÅÍ V . óÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÕÁËÏ×ÏË ÏÂßÅÍÁ V ÇÒÕÚÁÍÉ ÉÚ Y ÄÏÌÖÎÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÏÄÎÁ ÕÁËÏ×ËÁ, ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÕÀÝÁÑ ÓÕÍÍÁÒÎÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. íÁËÓÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ: íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ. Pn (x) = n X i=1 ÒÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ n X i=1 xi · i → max; xi · vi 6 V: óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ (ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁÒÎÙÊ ÏÂßÅÍ, ÚÁÎÉÍÁÅÍÙÊ ÇÒÕÚÁÍÉ ×ÓÅÈ ÔÉÏ× × ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÁÈ, ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ x, ÎÅ ÄÏÌÖÅÎ ÒÅ×ÙÛÁÔØ ÏÂÝÅÇÏ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ. òÅÁÌÉÚÁ ÉÑ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÅÇÏ ÔÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÅÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ä×ÕÍÑ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏ ÒÁÚÎÙÍÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍÉ: { ÔÁÂÌÉÞÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ, ÏÉÒÁÀÝÉÍÓÑ ÎÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ É ÈÒÁÎÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÂßÅÍÁ; ðÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. 374 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ { ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ, ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÍ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÆÕÎËÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÌÌÍÁÎÁ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ. ïÂÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ: | É ÔÁÂÌÉÞÎÙÊ, É ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÅÒÁÉÊ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ, ÚÁ×ÉÓÉÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÄÁÎÎÙÈ ÎÁ ×ÈÏÄÅ, ÎÏ É ÏÔ ÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. ï ÅÎËÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÂÕÄÅÔ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n; V; v ; : : : ; vn, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁÔÒÕÄÎÑÅÔ ÁÎÁÌÉÚ. íÙ ××ÏÄÉÍ ÁÒÁÍÅÔÒ k = Vv ; ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÝÉÊ, ÓËÏÌØËÏ ÇÒÕÚÏ× ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÏÂßÅÍÁ n 1 X v = · vi n 1 i=1 ÒÁÚÍÅÝÁÅÔÓÑ × ÏÂßÅÍÅ ÕÁËÏ×ËÉ V . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ × ÒÅÁÌØÎÏÓÔÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÀÂÙÈ ÇÒÕÚÏ×, ÒÁÚÍÅÝÅÎÎÙÈ × ÏÂßÅÍÅ V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, ÎÏ ÄÌÑ Ï ÅÎËÉ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ × ÓÒÅÄÎÅÍ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÁÒÁÍÅÔÒ k Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍ (×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ) ÞÉÓÌÏÍ. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ (ÓÍ. ä.6.4), ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÑÅÍÙÍ ÒÅÓÕÒÓÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ V , Á ÆÕÎË ÉÉ ÄÏÈÏÄÁ | gi(xi ) = i ·xi . îÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ | ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÄÏÈÏÄ (ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÕÁËÏ×ËÉ), ÚÁÄÁÎÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÏÍ Pn(x), ÕÔÅÍ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÒÅÓÕÒÓÁ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ ÍÅÖÄÕ ÇÒÕÚÁÍÉ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÔÉÏ×. ÷ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÌÌÍÁÎÁ, ËÏÔÏÒÏÅ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ [11℄.  f (v) = 0;    fm (v ) = max{xm · m + fm− (v − xm · vm )}; xm (ä.37)  v   m = 1; n; v = 0; V ; xm = 0; 1; : : : ; : vk ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÅÔÏÄ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÏÂ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÅ ÌÀÂÏÇÏ ÄÉÓËÒÅÔÁ ÏÂßÅÍÁ ÒÅÄÙÄÕÝÉÍÉ ÔÉÁÍÉ ÇÒÕÚÏ×. ïÄÉÎ ÉÚ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ | ÜÔÏ ÔÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÊ ÏÌÕÞÉÔØ ÎÁÂÏÒ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÏÂßÅÍÁ V , ÎÏ É ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÜÔÏÇÏ ÏÂßÅÍÁ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ×ÅËÔÏÒ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÄÌÑ ÏÂßÅÍÁ v ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ yi , i = 1; m, m 6 n, ÞÅÒÅÚ xm v , Á ÞÅÒÅÚ fm (v ) ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ × ÜÔÏÍ ÏÂßÅÍÅ. ÷ ÓÉÌÕ ÒÉÎ ÉÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ [11℄ fm(v) = max Pm (x); Á ÏÒÑÄÏË ÒÅÄßÑ×ÌÅÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× yi ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ. xm æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÌÌÍÁÎÁ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ. 0 1 ÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ. 375 ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ òÅÛÅÎÉÅ ÔÁÂÌÉÞÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ (ä.37). òÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ fn(v) É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ xnv ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÏÂßÅÍÏ× v ÏÔ 0 ÄÏ V ÉÓÈÏÄÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ (ÇÒÕÚÁÍÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÉÏ×) ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓËÏÌØËÕ ÔÁÂÌÉÞÎÙÊ ÓÏÓÏÂ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÏÂßÅÍÏ× ÕÁËÏ×ËÉ, ÔÏ ÜÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁÉÀ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÞÕ×ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ fn(v) Ï ÉÚÍÅÎÅÎÉÀ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÔÁÂÌÉÞÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. íÙ ÒÅÛÁÅÍ ÚÁÄÁÞÕ Ó ÔÒÅÍÑ ÔÉÁÍÉ ÇÒÕÚÏ×, ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÂÝÉÊ ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ V = 10. éÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÏÂ ÏÂßÅÍÁÈ É ÓÔÏÉÍÏÓÔÑÈ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× ÒÉ×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌ. ä.6.1. ÁÂÌÉ Á ä.6.1. ÁÂÌÉ Á ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ i vi i 1 2 3 2 3 5 3 4 7 ÁÂÌÉÞÎÁÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÌÌÍÁÎÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍÕ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÀ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ ÕÁËÏ×ËÕ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÉÓËÒÅÔÏ× ÏÂßÅÍÁ ÏÔ 1 ÄÏ 10, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÕÀ × ÔÁÂÌ. ä.6.2. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ×ÙÚÏ× × ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (ä.37) × ÔÁÂÌÉÞÎÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ Ë ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÔÁÂÌÉ Å ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÂßÅÍÁ. ÁÂÌÉ Á ä.6.2. ÁÂÌÉ Á ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÄÏÈÏÄÁ v x1 f1 (v ) v x1 x2 f2 (v ) v x1 x2 x3 f3 (v ) 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 3 2 1 0 3 2 1 0 0 3 3 1 3 3 0 1 5 3 0 1 0 5 4 2 6 4 2 0 6 4 0 0 1 7 5 2 6 5 1 1 8 5 1 1 0 8 6 3 9 6 0 2 10 6 0 2 0 10 7 3 9 7 2 1 11 7 0 1 1 12 8 4 12 8 1 2 13 8 0 0 2 14 9 4 12 9 0 3 15 9 0 3 0 15 10 5 15 10 2 2 16 10 ? ? ? ? ⇒ ⇒ ïÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÔÏ, ËÁË ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÓÏÓÔÁ× ÇÒÕÚÏ×, ÏÔÉÍÁÌØÎÏ ÚÁÏÌÎÑÀÝÉÈ ÏÂßÅÍ, ÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ | ÔÁËÁÑ ÞÕ×ÓÔ×É- 376 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ï ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÁ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ. Pro edure ÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ éÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÑ boxV [1::n℄ boxC [1::n℄ x[1::n; 0::V ℄ x1[1::n; 0::V ℄ ( , | ÍÁÓÓÉ×Ù ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ) ( , | ÍÁÓÓÉ×Ù ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÄÌÑ ÔÅËÕÝÅÇÏ É ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×) f [0::V ℄ ( | ÆÕÎË ÉÑ âÅÌÌÍÁÎÁ | ÏÔÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÕÁËÏ×ËÉ × ÏÂßÅÍÅ ) v Input n | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× V | ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ boxV [1::n℄ | ÏÂßÅÍÙ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× boxC [1::n℄ | ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× Begin for i = 0 to V begin æÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÄÌÑ ÇÒÕÚÏ× ÔÉÁ 1 (Ï ×ÓÅÍ ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ) x[1; i℄ = i div boxV [1℄ (ÞÉÓÌÏ ÇÒÕÚÏ× ÔÉÁ 1 × ÏÂßÅÍÅ i) x1[1; i℄ = x[1; i℄ f [i℄ = x[1; i℄ ∗ boxC [1℄ end ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ for i = 2 to N begin ( ÉËÌ Ï ÔÉÁÍ ÇÒÕÚÏ×) V i = boxV [i℄ Ci = boxC [i℄ for v = 0 to V begin ( ÉËÌ Ï ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ) maxKol = 0; maxC = f [v℄ if V i 6 v then (ÇÒÕÚ ÔÉÁ i ÒÁÚÍÅÝÁÅÔÓÑ × ÏÂßÅÍÅ v) begin z = v div V i (z | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÕÚÁ ÔÉÁ i × ÏÂßÅÍÅ v ) for k = 0 toz ( ÉËÌ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ f ) begin if (maxC < (Ci ∗ k + f [v − k ∗ V i℄)) then begin end end maxC = Ci ∗ k + f [v − k ∗ V i℄ maxKol = k end (ËÏÎÅ ÉËÌÁ Ï (end if 6 ) Vi v k) ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 377 (ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÅ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ | ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÕÁËÏ×ËÉ) end for l = 1 to i − 1 x[l; v℄ = x1[l; v − maxKol ∗ V i℄ end (for l) x[i; v℄ = maxKol (ËÏÎÅ ÉËÌÁ Ï ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ) ðÅÒÅÈÏÄ Ë ÎÏ×ÏÍÕ ÔÉÕ ÇÒÕÚÁ (ËÏÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Á ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ) ÏÂßÑ×ÉÔØ ÍÁÓÓÉ× ÍÁÓÓÉ×ÏÍ (ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Á ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÕÁËÏ×ÏË ×ÓÅÈ ÄÉÓËÒÅÔÏ× ÏÂßÅÍÁ ÇÒÕÚÁÍÉ ÔÉÏ×) x1 x for l = 1 to V sum = 0 for j = 1 to i sum = sum + x[j; l℄ ∗ boxC [j ℄ end j f [l℄ = sum end end Output (end for i ) (end for l) (ËÏÎÅ ÉËÌÁ Ï ÔÉÁÍ ÇÒÕÚÏ×) f [V ℄ | ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ × ÏÂßÅÍÅ V x[1::n; V ℄ | ×ÅËÔÏÒ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ End ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÙ ÓÏÚÄÁÄÉÍ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÊ ÍÁÓÓÉ× ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ, ÔÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÔÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÌÕÞÉÔ ×ÓÅ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÉÓËÒÅÔÏ× ÏÂßÅÍÁ É ×ÓÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÅÄßÑ×ÌÅÎÉÑ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×. ï ÅÎÉÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÕÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ × ÓÒÅÄÎÅÍ ÄÌÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÒÉÎÑÔÏÊ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÉ. íÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÇÒÕÚÙ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÏÂßÅÍ, ÒÁ×ÎÙÊ ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÅ ÂÏÌÅÅ k ÇÒÕÚÏ× ËÁÖÄÏÇÏ ÔÉÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÍÅÝÅÎÏ × ÏÂßÅÍÅ V . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ × ÉËÌÅ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ ÉÍÅÅÔ ÏÒÑÄÏË (1), ÒÁ×ÎÏ ËÁË É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ, ÕÒÁ×ÌÑÅÍÙÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÉËÌÏÍ Ï ÄÉÓËÒÅÔÕ ÏÂßÅÍÁ. ãÉËÌ Ï ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÀ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÉËÌÁ Ï ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ, É ÉÈ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌ. ä.6.3. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÏ×ÏËÕÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÏÈÏÄÏ× ×ÎÅÛÎÅÇÏ (Ï v) É ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ (Ï z) ÉËÌÏ× ÒÁ×ÎÏ V · (1) + (1 · v + 2 · v + · · · + (k − 1) · v + k) · (1) = kX − (ä.38) = (1) · (V + k + v · i) = (1) · V + k + v · k · (k2− 1) ; i ï ÅÎËÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÔÁÂÌÉÞÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. 1 =1 378 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÍÙ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÓÉÌÕ ××ÅÄÅÎÎÏÊ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÉ k = V=v, ÔÏ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ × (ä.38) ÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÉËÌÏ× V V + Vv n·V 2·v · (1); 2v + 2 É ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ ÉËÌ Ï ÔÉÁÍ ÇÒÕÚÏ× ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ n ÒÁÚ, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÕÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÔÁÂÌÉÞÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ×ÉÄÅ 2 2 : ÁÂÌÉ Á ä.6.3. áÎÁÌÉÚ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ úÎÁÞÅÎÉÑ ÓÞÅÔÞÉËÁ ÉËÌÁ Ï ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ ÏÔ 0 ÄÏ ÏÔ v ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÏÈÏÄÏ× ÉËÌÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ −1 ÄÏ 2 · v v 0 −1 1 ... ÏÔ (k ... − 1) · v ÄÏ ÒÉ k ÉËÌÏ× k ·v−1 k ·v =V −1 k äÒÕÇÉÍ ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÎÁÒÑÍÕÀ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÌÌÍÁÎÁ | ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (ä.37). òÅËÕÒÓÉÑ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÕÁËÏ×ËÉ ÇÒÕÚÁÍÉ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÔÉÏ× × ÍÅÎØÛÅÍ ÏÂßÅÍÅ. óÈÅÍÁÔÉÞÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ×ÉÄÅ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ. ÁËÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÏÂßÅÍÁ 10 ÔÉÁÍÉ ÇÒÕÚÏ×, ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌÉ Å ÔÁÂÌ. ä.6.1 ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ ä.11. òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ. òÉÓÕÎÏË ä.11. äÅÒÅ×Ï ÒÅËÕÒÓÉÊ, Ï- F3 (10) ÒÏÖÄÁÅÍÏÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÕÁËÏ×ËÉ x3 =2 x3 =0 x3 =1 F2 (10) F2 (6) x2 =3 x2 =0 x2 =1 x2 =2 F1 ( 10 ) F1 (7) F1(4) x2 =2 x2 =0 F2(2) x2 =0 x2 =1 F1(1) F1 (6) F1(3) F1(0) F1 (2) ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 379 òÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ. Fun tionF (V; x) (ÏÉÓÁÎÉÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ) V | ÔÅËÕÝÉÊ ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ) x | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×) (boxV [1::n℄, boxC [1::n℄ | ÍÁÓÓÉ×Ù ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ) (F | ÆÕÎË ÉÑ âÅÌÌÍÁÎÁ | ÏÔÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÕÁËÏ×ËÉ × ÏÂßÅÍÅ V ÇÒÕÚÁÍÉ x ÔÉÏ×) ( ( Begin if x = 0 then ( ( = 0) ÉÌÉ V = 0) F = 0 (ÆÕÎË ÉÑ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÔ-ÔØ) ÉÌÉ V ïÓÔÁÎÏ× ÒÅËÕÒÓÉÉ | ÒÑÍÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÒÉ x=0 else begin if x = 1 then ( begin ïÓÔÁÎÏ× ÒÅËÕÒÓÉÉ | ÒÑÍÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÒÉ k = V=boxV [1℄ F = k ∗ boxC [1℄ (ÆÕÎË x = 1) ÉÑ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔ ÏÔÉÍ. ÓÔ-ÔØ) (ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ) end else ( begin òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ×ÙÚÏ×Ù ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ max F ) Max = 0; k = V div boxV [x℄ if k = 0 then F = F (V; x − 1) else begin for i = 0 to k Cost = i ∗ boxC [x℄ + F ((V − boxV [x℄ ∗ i); x − 1) if Cost > Max then end F Max = Cost Optx = i (for i) = Max(ÆÕÎË ÉÑ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ) æÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ïÔÉÍÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÕÚÏ× ÔÉÁ × ÏÂßÅÍÅ end V ÒÁ×ÎÏ (if k = 0 else) x = 1 else) end (if x = 0 ÉÌÉ V = 0 else) end (if Optx x 380 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ (ÆÕÎË ÉÑ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÕÁËÏ×ËÉ × ÏÂßÅÍÅ Return End V ÇÒÕÚÁÍÉ x ÔÉÏ×) ðÒÉÍÅÒ ×ÙÚÏ×Á ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ | F(1000, 15). ÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÑÍÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ×ÅÒÛÉÎ × ÄÅÒÅ×Å ÒÅËÕÒÓÉÉ. íÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÄÇÏÔÏ×ËÁ É ÏÂÒÁÂÏÔËÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ ×ÙÚÏ×Á ×ËÌÀÞÅÎÁ × ÜÔÏÔ ×ÙÚÏ×. ÁËÉÍ R (1,1)=1 ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ ÉËÌÁ ÎÁÈÏÖÄÅ1 0 ÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÒÁÚÎÅÓÅÎÁ Ï ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ×ÙÚÏ×ÁÍ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅËÕÒR (2,1)=3 ÓÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ×ÙÏÌÎÑÅÔ ÏÒÑÄËÁ (1) 0 1 0 ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁ ÏÄÉÎ ×ÙÚÏ×. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, R (3,1)=6 ÎÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ | ÏÙÔÁÔØÓÑ ÏÌÕÞÉÔØ Ñ×1 0 0 0 ÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÅÒÛÉÎ ÄÅR (4,1)=10 ÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ××ÅÄÅÎÎÏÊ Á0 1 0 0 0 ÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ R(n; k) R (5,1)=15 ÆÕÎË ÉÀ, ÚÁÄÁÀÝÕÀ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ, × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n É k. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÉ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n É k. æÒÁÇÍÅÎÔÙ ÄÅÒÅ×Á ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ k = 1 É k = 2 ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ä.12 É ä.13. ï ÅÎËÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. òÉÓÕÎÏË ä.12. æÒÁÇÍÅÎÔ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ k =1 R(1,2)=1 0 2 1 R(2,2)=4 0 1 2 0 1 0 R(3,2)=10 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 R(4,2)=20 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 R(5,2)=35 òÉÓÕÎÏË ä.13. æÒÁÇÍÅÎÔ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ k = 2. äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ R(n; k) ÏÓÔÒÏÉÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ, ÅÒ×ÙÅ ÓÅÍØ ÓÔÒÏË ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ä.13. ÅÅÒØ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ R(n; k) ÜÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ | ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, É ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÏÍÅÒÁÍÉ ÓÔÒÏË ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ n É k | m = (n + k), ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ R(n; k) = Cnn−k ; (ä.39) 1 + ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 381 É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÁÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (1) · R(n; k) = (Cnn−k ); É ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ n ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÉ k = n − 2, × ÓÉÌÕ Ó×ÏÊÓÔ× ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×. 1 + m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 m=7 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 òÉÓÕÎÏË ä.14. ÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ | ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ. ä.6.6. íÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ É ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ íÙ ÉÚÌÁÇÁÅÍ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÖ.ìÉÔÌÁ, ë.íÅÒÔÉ, ä. óÕÉÎÉ É ë. ëÜÒÏÌ ÄÌÑ ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÕÀ ÓÔÁÔØÀ Á×ÔÏÒÏ× [7℄, É ÅÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ × [17℄. éÓÏÌØÚÕÅÍÙÊ ÎÁÍÉ ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × [17℄. íÙ ÈÏÔÉÍ ÏËÁÚÁÔØ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÎÅ ÒÏÓÔÏ ÍÅÔÏÄ ÁÄÁÔÉÒÕÅÔÓÑ Ë ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ, É ËÁË ËÒÁÓÉ×Ï ×ÓÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÒÅÏÄÏÌÅÎÙ. ëÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒ | ÜÔÏ ÓÏÔÒÕÄÎÉË ÔÏÒÇÏ×ÏÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ, ÚÁÄÁÞÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÓÅÔÉÔØ ÒÑÄ ÇÏÒÏÄÏ× Ó ÅÌØÀ ÒÅËÌÁÍÙ É ÒÏÄÁÖÉ ÔÏ×ÁÒÏ×. íÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒ ÖÉ×ÅÔ × ÓÔÒÁÎÅ Ó ÒÁÚ×ÉÔÏÊ ÔÒÁÎÓÏÒÔÎÏÊ ÓÅÔØÀ, É ÍÅÖÄÕ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÏÊ ÇÏÒÏÄÏ× ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÔÒÁÎÓÏÒÔÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÕÒÏÍ ÏÒÑÄÏË ÏÓÅÝÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÇÏÒÏÄÏ×, É ÏÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ËÁÖÄÙÊ ÇÏÒÏÄ ÂÙÌ ÏÓÅÝÅÎ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ | ÜÔÏ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÂÅÚ ×ÏÚ×ÒÁÔÏ×. óÔÏÉÍÏÓÔÉ ÒÏÅÚÄÁ ÍÅÖÄÕ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ, ÒÉÞÅÍ, × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÒÏÅÚÄÁ ÔÕÄÁ É ÏÂÒÁÔÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙ | ÜÔÏ ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. óÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÁÍÁ ÚÁÄÁÞÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÊ ÔÕÒ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÍÅÌ ÂÙ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÔÕÒÏ× | ËÏÎÅÞÎÏ, É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÒÑÍÙÍ ÅÒÅÂÏÒÏÍ ÔÕÒÏ×. ï ÅÎÉÍ ÏÂßÅÍ ÔÁËÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ × ÚÁÄÁÞÅ Ó n ÇÏÒÏÄÁÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÕÒ | ÜÔÏ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÉËÌ, ÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÕÎËÔÁ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÌÀÂÏÊ ÇÏÒÏÄ. ïÔÒÁ×ÌÑÑÓØ ÉÚ ÎÅÇÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ n − 1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, É ÍÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÏÄÉÎ ÉÈ ÎÉÈ. ÷ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÇÏÒÏÄÅ ÔÁËÉÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÂÕÄÅÔ n − 2, Ô. Ë. ×ÏÚ×ÒÁÔ ÏÂÒÁÔÎÏ ÚÁÒÅÝÅÎ. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÙÂÏÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍ, ÔÏ ÏÌÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ (n − 1)! ÔÕÒÏ×, É ÅÒÅÂÏÒÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÄÌÑ ÒÅÁÌØÎÙÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÒÉÅÍÌÅÍÙÍ. óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ. 382 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ áÓÓÏ ÉÉÒÕÑ ÇÏÒÏÄÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ, Á ÕÔÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÒÏÅÚÄÁ Ó ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÍÉ ÒÅÂÒÁÍÉ | ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÌÎÙÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÁÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ÇÒÁÆ ÂÅÚ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÅÔÅÌØ ÎÁ n ×ÅÒÛÉÎÁÈ. çÒÁÆ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÉÓÁÎ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ C , ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ËÏÔÏÒÏÊ | ij ÒÁ×ÎÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ (ÉÚÍÅÒÑÅÍÏÊ ÒÅÁÌØÎÏ × ÅÄÉÎÉ ÁÈ ×ÒÅÍÅÎÉ, ÄÅÎÅÇ ÉÌÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ) ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÅÚÄÁ ÉÚ ÇÏÒÏÄÁ i × ÇÏÒÏÄ j . úÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ, ÅÓÌÉ ij = ji , ∀i 6= j , i; j = 1; n, Ô. Å. ÅÓÌÉ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÒÏÅÚÄÁ ÍÅÖÄÕ ËÁÖÄÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ, É ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË. ïÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÅÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÏ ËÁË ii = ∞, ∀i = 1; n (ÏÄÕÍÁÊÔÅ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÷Ù ÂÕÄÅÔÅ ÒÅÁÌÉÚÏ×Ù×ÁÔØ ÜÔÏ × ÒÅÁÌØÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ?). úÁÄÁÞÁ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ× ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ËÁË ÚÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏËÒÙ×ÁÀÝÅÇÏ (ÏÌÎÏÇÏ) ÉËÌÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÔÕÒÏÍ, ÎÁ ÏÌÎÏÍ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ, ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ (× ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ) ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ C . úÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ËÁË ÚÁÄÁÞÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÏË, Á×ÔÏÒÙ ÒÅÄÌÁÇÁÀÔ Ä×Á ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÄÈÏÄÁ. −n . äÌÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑ1. ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn ÖÅÒÁ, ËÁË ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÒÅÄÅÌÉÍ ×ÎÁÞÁÌÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÛÁ ÅÌØ | ×ÙÂÏÒ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÂÅÒ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÔÕÒ, ÉÚ ×ÓÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅÂÅÒ, ÔÏ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ x, ËÁË ÕËÁÚÁÔÅÌÉ ÎÁ ×ÙÂÉÒÁÅÍÙÅ ÒÅÂÒÁ. ðÏÌÎÙÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÎÁ n ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔ n · (n − 1) = n − n ÒÅÂÅÒ | ÜÔÏ É ÅÓÔØ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÎÁÛÅÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ëÏÍÏÎÅÎÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ x ÒÉÎÉÍÁÀÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ 0 ÉÌÉ 1, ÕËÁÚÙ×ÁÑ ÎÁ ×ÙÂÉÒÁÅÍÙÅ ÒÅÂÒÁ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x ∈ 1nz −n. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÕÒ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÏ×ÎÏ n ÒÅÂÅÒ, ÔÏ ×ÅËÔÏÒ x ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÏ×ÎÏ n ËÏÍÏÎÅÎÔ, ÒÁ×ÎÙÈ ÅÄÉÎÉ Å. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÅÒÅÂÏÒÁ | ÜÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÌÕÓÆÅÒÙ (xi > 0) Ó ÒÁÄÉÕÓÏÍ ÒÁ×ÎÙÍ√ √n, É Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ. ÷ ÒÉÎÑÔÙÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ (ÓÍ. ä.6.1) ÜÔÏ | Szn −n(0; n). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÅ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÜÔÏÊ ÓÆÅÒÙ Ó ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÅÌÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÂÒÁ, ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ Ï ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍ ×ÅËÔÏÒÁ x, ÄÏÌÖÎÙ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÔÕÒ. äÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ××ÅÓÔÉ Ä×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÄÁÌÅÅ ÞÅÒÅÚ N | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ N = {i| i = 1; n}; ÞÅÒÅÚ M | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M = {i| i = 1; n − n}; É ÞÅÒÅÚ R | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ïÒÅÄÅÌÉÍ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ v M→ N × N; v(i) = (k; l); ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ×. ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. 2 2 2 2 2 + 383 ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ ËÏÔÏÒÏÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÎÏÍÅÒÕ ÒÅÂÒÁ i ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÎÏÍÅÒÁ ÁÒ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ ÒÅÂÒÕ ×ÅÒÛÉÎ | (k; l), É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ M → R ; (i) = v i = kl ; ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁÄÁÅÔ ×ÅÓÁ (ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ) ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÒÅÂÅÒ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÚÁÄÁÞÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÍÉÎÉÍÉÚÁ ÉÉ ÏÂÝÅÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÏÂßÅÚÄÁ ÇÏÒÏÄÏ×, ÔÏ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ + ( ) f (x) =    2 nX −n i=1 (i) · xi ; f (x) → min; ÒÉ 2 nP −n xi ∈ { 0; 1 }; xi = n; x ∈ Szn −n (0; n) ; i n ÒÅÂÅÒ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ×ÅËÔÏÒÕ x; ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÔÕÒ. 2 √ =1 íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÍÙ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ. 2. ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn− . ðÒÅÄÙÄÕÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ËÁÖÕÝÕÀÓÑ ÒÏÓÔÏÔÕ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ×ÅËÔÏÒÁ x, ÉÍÅÅÔ ÓÅÒØ£ÚÎÙÊ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏË | ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÔÏÌØËÏ ÎÅÍÎÏÇÉÅ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÔÕÒ (ÓÍ. ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ). íÙ ÈÏÔÉÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn− ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÌÉ ÔÕÒ. åÓÌÉ ÜÔÏ ÔÁË, ÔÏ ÏÁÄÁÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÏ×ÅÒËÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÔÕÒÁ ÄÌÑ ÔÏÞÅË ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÕÍÅÎØÛÉÔØ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. îÏ×ÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÎÑÔÉÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. âÕÄÅÍ ÄÁÌÅÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ (k; l), l > k ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ k; k + 1; : : : ; l, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÔÁËÉÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË (l − k + 1)!. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË (2; n) | ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ |(2; n)| = (n−2+1)! = = (n − 1)! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË | ÒÏ×ÎÏ ÓÔÏÌØËÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÕÒÏ× ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ × ÚÁÄÁÞÅ Ó n ÇÏÒÏÄÁÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÕÒ | ÜÔÏ ÏÌÎÙÊ ÉËÌ Ï ×ÓÅÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ, ÔÏ ÎÁÞÁÌØÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÔÕÒÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÂÒÁÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ. íÙ ÆÉËÓÉÒÕÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ ÏÄÉÎ, É ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (2; n) ÚÁÄÁÅÔ ÏÒÑÄÏË ÏÂÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÅÒ×ÏÊ, É ÏÓÌÅ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÜÔÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ, ÍÙ ÓÎÏ×Á ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÍÓÑ × ÎÁÞÁÌÏ ÔÕÒÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÎÁÛÅÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ x × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn− | ÜÔÏ ÞÉÓÌÁ ÏÔ Ä×ÕÈ ÄÏ n, Á ÓÁÍ ×ÅËÔÏÒ ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÉÚ (2; n), É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁÉÓÁÔØ xi ∈ { 2; n }; i = 1; n − 1; xi 6= xj ; ÒÉ i 6= j; x ∈ (2; n): (ä.40) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× x ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÉÚ (2; n) ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ zn− (2; n). çÄÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÔÏÞËÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× x × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn− , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ (ä.40)? úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓËÏÌØËÕ ÏÅÒÁÉÑ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÁ, ÔÏ ÓÕÍÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ËÏÍÏÎÅÎÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× x ÏÄÉÎÁËÏ×Á | ÜÔÏ ÒÁÚÎÙÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÞÉÓÅÌ ÏÔ Ä×ÕÈ ÄÏ n. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÏÞËÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× x Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÌÕÓÆÅÒÙ × Ezn− 1 1 1 1 1 1 384 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ É ÒÁÄÉÕÓÏÍ v u n uX t i2 i=2 n · (n + 1) · (2n + 1) − 1; x ∈ Szn− (0; r ); 6 ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ × ÒÁÚÄÅÌÅ ä.5. îÁÍ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ, ËÁË ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÒÅÂÅÒ | ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÕÖÅ ××ÅÄÅÎÎÙÍÉ × ÅÒ×ÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ, É ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ N × N → R ; (i; j ) = ij ; (i; i) = ∞; ËÏÔÏÒÏÅ ËÁÖÄÏÊ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÅ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ, ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏÇÏ ÜÔÏÊ ÁÒÅ, ÒÅÂÒÁ. ÷ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÍ ÆÏÒÍÁÌÉÚÍÅ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn− ÉÍÅÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÏÓÔÁÎÏ×ËÕ r= = r 1 + 1 f (x) = (1; x ) + (xn− ; 1) + x=( ( ) xi ; xi+1 ; i=1 x1 ; : : : ; xn ∈ zn−1 ; n 1 1 nX −2 f (x) → min; ÒÉ ) (2 ): òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ ÄÁÌÅÅ ÍÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÒÁÂÏÔÁÅÔ, ÈÏÔÑ É ÎÅ Ñ×ÎÏ, ÉÍÅÎÎÏ Ó ÜÔÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÂÝÅÊ ÉÄÅÅÊ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ×ÓÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÏÌÖÎÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÄÅÌÑÔØÓÑ ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÅÌØÀ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ | ÜÔÏ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. ó ËÁÖÄÙÍ ÔÁËÉÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ Ó×ÑÚÁÎÁ Ï ÅÎËÁ (ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÒÉ ÏÉÓËÅ ÍÉÎÉÍÕÍÁ), ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÁÑ ÏÔÓÅÞÅÎÉÅ ÔÅÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ | ÜÔÏ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÎÉ . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÀ ÄÒÅ×Ï×ÉÄÎÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ. ÷ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÔÁËÉÍ ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÕÒÏ× ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, É ÍÙ ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÕÅÍ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÔÕÒÁ. éÚÌÁÇÁÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÉÄÅÉ Á×ÔÏÒÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ | ÜÔÏ Ó×ÏÅÇÏ ÒÏÄÁ ËÌÁÓÓÉËÁ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . äÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÉÓÁÔØ Ä×Å ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ | ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ É ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÎÉ . îÁÞÎÅÍ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ Ó ÒÏ ÅÄÕÒÙ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. íÙ ÎÁÞÉÎÁÅÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ Ó ËÏÒÎÑ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÕÒÏ×, Ô. Å. ÜÔÁ ×ÅÒÛÉÎÁ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R ×ÓÅÈ (n − 1)! ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÕÒÏ× × ÚÁÄÁÞÅ Ó n ÇÏÒÏÄÁÍÉ. ÷ÅÔ×É, ×ÙÈÏÄÑÝÉÅ ÉÚ ËÏÒÎÑ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ×ÙÂÏÒÏÍ ÏÄÎÏÇÏ ÒÅÂÒÁ, ÓËÁÖÅÍ ÒÅÂÒÁ (k; l). éÄÅÑ Á×ÔÏÒÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÔÅËÕÝÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ× ÎÁ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á: ÏÄÎÏ, ËÏÔÏÒÏÅ, ×ÅÓØÍÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÔÕÒ, É ÄÒÕÇÏÅ, ËÏÔÏÒÏÅ, ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÜÔÏÇÏ ÔÕÒÁ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÅÂÒÏ (k; l) | ÏÎÏ, ËÁË ÍÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ×ÈÏÄÉÔ × ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÔÕÒ, òÅÁÌÉÚÁ ÉÑ ÉÄÅÊ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. 385 ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÒÁÚÄÅÌÑÅÍ R ÎÁ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {k; l} É {k; l}. ÷Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {k; l} ×ÈÏÄÑÔ ×ÓÅ ÔÕÒÙ ÉÚ R, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÒÅÂÒÏ (k; l), Ô. Å. ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÎÅÇÏ, Á ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {k; l} | ÔÕÒÙ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÄÅÑ Á×ÔÏÒÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÞÅÎØ ÅÒÓÅËÔÉ×ÎÁ | ÅÓÌÉ ÍÙ ÔÁË ÏÒÇÁÎÉÚÕÅÍ ÒÏ ÅÓÓ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ÂÕÄÅÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÏÅ ÒÅÂÒÏ, ÔÏ ×ÅÓØ ÒÏ ÅÓÓ ÂÕÄÅÔ ÚÁ×ÅÒÛÅÎ ÚÁ n ÛÁÇÏ×. ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÁ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÒÉÍÅÒÅ. ÷ ÔÁÂÌ. ä.6.4 ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÍÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ Ó ÑÔØÀ ÇÏÒÏÄÁÍÉ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÅÔÅÎÄÅÎÔÏ× ÎÁ ÒÅÂÒÏ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÒÅÂÒÁ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÎÅÂÏÌØÛÉÅ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ ÎÁ ÒÅÂÒÅ (3; 5), ÉÍÅÀÝÅÍ ÎÁÉÍÅÎØÛÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ×Ï ×ÓÅÊ ÍÁÔÒÉ Å. îÉÖÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÒÕÇÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. ëÏÒÅÎØ É ÅÒ×ÙÊ ÕÒÏ×ÅÎØ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ ÂÕÄÕÔ ÔÏÇÄÁ ÔÁËÉÍÉ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.15. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÔÕÒ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÏÄÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÕÒÏ×ÎÑ 1. åÓÌÉ ÂÙ ÍÙ ËÁË-ÔÏ ÍÏÇÌÉ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {3; 5} ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÔÕÒÁ, ÔÏ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {3; 5} | × ÜÔÏÊ ÉÄÅÅ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, É ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ ÓÕÔØ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . ÁÂÌÉ Á ä.6.4. íÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ 1 2 3 4 5 ∞ 25 40 31 27 2 2 ∞ 17 30 25 3 19 15 ∞ 6 1 4 9 50 24 ∞ 6 5 22 8 7 10 ∞ 1 ðÒÏÄÏÌÖÁÑ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ, ÍÙ ÒÁÚÄÅÌÑÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {3; 5} ÔÁËÖÅ, ËÁË É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R. óÌÅÄÕÀÝÅÅ Ï ÄÅÛÅ×ÉÚÎÅ ÒÅÂÒÏ × ÍÁÔÒÉ Å | ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (2; 1) ÓÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ 5. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {3; 5} ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ×, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ ÒÅÂÒÏ (2; 1), É ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ×, ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÏÉÓËÏ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.15. òÉÓÕÎÏË ä.15. æÒÁÇ- 47 ÍÅÎÔ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á R-Âñå òóðû ÒÅÛÅÎÉÊ Óðîâåíü 0 49 62 {3,5} {3,5} {2,1} Óðîâåíü 1 {2,1} Óðîâåíü 2 ðÕÔØ ÏÔ ËÏÒÎÑ Ë ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÄÅÒÅ×Á ×ÙÄÅÌÑÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÒÅÂÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÏÌÖÎÙ, ÉÌÉ ÎÅ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ×ËÌÀÞÅÎÙ ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÅ 386 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÌÅ×ÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÕÒÏ×ÎÑ 2 ÎÁ ÒÉÓ. ä.15 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÕÒÏ×, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÅÂÒÏ (3; 5) É ÎÅ ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÅÂÒÏ (2; 1). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏ ÅÄÕÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÉ ÔÅËÕÝÅÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÕÒÏ× ÎÁ Ä×Á ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÕÔÅÍ ×ÙÂÏÒÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÅÂÒÁ. ÅÅÒØ ÒÁÓÓËÁÖÅÍ ÏÂ ÉÄÅÅ Á×ÔÏÒÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, Ó×ÑÚÁÎÎÏÊ Ó ÒÏ ÅÄÕÒÏÊ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÇÒÁÎÉ . ó ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÄÅÒÅ×Á ÍÙ Ó×ÑÚÙ×ÁÅÍ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÎÉÖÎÉÈ ÇÒÁÎÉ | ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÆÁËÔÏÒ, ÄÁÀÝÉÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ × ÌÀÂÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÅÍ ÍÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÏÌÕÞÉÔØ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÙÅ ÎÉÖÎÉÅ ÇÒÁÎÉ Ù. ðÒÉÞÉÎÁ ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ ÏÌÎÙÊ ÔÕÒ ÓÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ Ct. åÓÌÉ ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á, Ó×ÑÚÁÎÎÁÑ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÔÕÒÏ×, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ Ct, ÔÏ ÄÏ ËÏÎ Á ÒÏ ÅÓÓÁ ÏÉÓËÁ ÎÅ ÎÕÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÜÔÕ É ×ÓÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁ ÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, Ô. Ë. ÅÓÌÉ ÍÙ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ, ÔÏ ×ÓÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅÓÑ × ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÔÕÒÙ ÉÍÅÀÔ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÂÏÌØÛÕÀ, ÞÅÍ ÕÖÅ ÎÁÊÄÅÎÎÙÊ ÔÕÒ. ïÓÎÏ×ÎÏÊ ÛÁÇ ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÎÉÖÎÉÈ ÇÒÁÎÉ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ËÁË ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. üÔÁ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ Ä×ÕÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÈ: 1. ÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ËÁÖÄÙÊ ÏÌÎÙÊ ÔÕÒ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ (ÒÅÂÒÏ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ) ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á É ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ×ÅÒÎÏ | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÏÄÉÎ É ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ É ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á, ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÔÕÒ. 2. åÓÌÉ ×ÙÞÅÓÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ h ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÓÔÒÏËÉ ÉÌÉ ÓÔÏÌÂÁ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, ÔÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ÒÉ ÎÏ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Å ÂÕÄÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÎÁ h ÍÅÎØÛÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÏÊ ÔÕÒ ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÒÅÂÒÏ ÉÚ ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÉÌÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á, ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÔÕÒÏ× ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ ÎÁ h. üÔÏ ×ÙÞÉÔÁÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÓÔÒÏËÉ (ÉÌÉ ÓÔÏÌÂ Á) ÍÁÔÒÉÙ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. ðÕÓÔØ t | ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÔÕÒ ÒÉ ÍÁÔÒÉ Å ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ C . óÔÏÉÍÏÓÔØ ÔÕÒÁ t ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ËÁË z(t) = P ij . i;j )∈t ( åÓÌÉ ÍÁÔÒÉ Á C ′ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÍÁÔÒÉ Ù C ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÓÔÒÏËÉ (ÉÌÉ ÓÔÏÌÂÁ), ÔÏ ÔÕÒ t ÄÏÌÖÅÎ ÏÓÔÁ×ÁÔØÓÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÍ ÔÕÒÏÍ É × ÍÁÔÒÉ Å C ′, ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÔÕÒÏ× Ó×ÑÚÁÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ z (t) = h + z ′ (t); ÇÄÅ z′(t) | ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÔÕÒÁ t × ÍÁÔÒÉ Å C ′. ðÏÄ ÒÏ ÅÄÕÒÏÊ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ×ÓÅÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ: ÍÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÈÏÄÉÍ ÓÔÒÏËÉ É ×ÙÞÉÔÁÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ hi ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÜÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ. úÁÔÅÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á. åÓÌÉ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÉÌÉ ÓÔÒÏËÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ hi = 0, ÔÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÉÌÉ ÓÔÒÏËÁ ÕÖÅ ÒÉ×Å- ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 387 ÄÅÎÙ, É ÍÙ ÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÓÔÏÌÂ Õ ÉÌÉ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ: X hi : h= ×ÓÅ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ðÏÌÕÞÅÎÎÕÀ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÉÚ C . ÷ ÔÁÂÌ. ä.6.5 ÏËÁÚÁÎÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. úÎÁÞÅÎÉÑ hi ÄÁÎÙ × ËÏÎ Å ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Á (ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ). ïÂÝÅÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ h = 25 + 5 + 1 + 6 + 7 + 3 = 47, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á R ÒÁ×ÎÁ 47, Ô. Å. z (t) = h + z ′ (t) > h = 47; ÔÁË ËÁË z′(t) > 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ t ÒÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Å C ′. üÔÁ ÇÒÁÎÉ Á É ÕËÁÚÁÎÁ ÏËÏÌÏ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á ÎÁ ÒÉÓ. ä.15. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÅÂÒÁ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÎÕÌÅ×ÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ × ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Å, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÔÕÒ, ÔÏ ÍÙ ÓÒÁÚÕ ÏÌÕÞÉÌÉ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ (Ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÜÔÏ ÏÞÔÉ ÞÔÏ ×ÓÅÇÄÁ ÎÅ ÔÁË). óÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÏÒÏÓ | ÜÔÏ ×ÏÒÏÓ Ï ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÇÒÁÎÉ ÄÌÑ ÎÅËÏÒÎÅ×ÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ. á×ÔÏÒÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÓÔÒÏÑÔ ÜÔÉ Ï ÅÎËÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ÁÂÌÉ Á ä.6.5. ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ 1 2 3 4 5 1 ∞ 25 40 31 27 h1 = 25 2 2 ∞ 17 30 25 h2 =5 3 19 15 ∞ 6 1 h3 =1 4 9 50 24 ∞ 6 h4 =6 5 22 8 7 10 ∞ h5 =7 h6 =0 h7 =0 h8 =0 h9 =3 h10 =0 ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÒÅÂÒÏ (3; 5) ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ËÁÖÄÏÍ ÔÕÒÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5}. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÒÅÑÔÓÔ×ÕÅÔ ×ÙÂÏÒÕ ÒÅÂÒÁ (5; 3), ÔÁË ËÁË ÒÅÂÒÁ (3; 5) É (5; 3) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÉËÌ, Á ÜÔÏ ÎÅ ÄÏÕÓËÁÅÔÓÑ ÎÉ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ ÔÕÒÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÅÂÒÏ (5; 3) ÉÓËÌÀÞÁÅÍ ÉÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ, ÏÌÏÖÉ× ÚÎÁÞÅÎÉÅ = ∞. óÔÒÏËÕ 3 É ÓÔÏÌÂÅ 5 ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÉÓËÌÀÞÉÔØ ÉÚ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÔÕÒÏ× {3; 5}, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÕÖÅ ÅÓÔØ ÒÅÂÒÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ 3 × ×ÅÒÛÉÎÕ 5. þÁÓÔØ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, ÉÚ ÔÁÂÌ. ä.6.5, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÕÄÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ ÄÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÏÉÓËÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÔÕÒÏ× {3; 5}, ÏËÁÚÁÎÁ × ÔÁÂÌ. ä.6.6. ïÎÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ Ë ÍÁÔÒÉ Å ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, ÏËÁÚÁÎÎÏÊ × ÔÁÂÌ. ä.6.7 ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ h = 15. ÅÅÒØ ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÒÁ×ÎÁ 47+15=62, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÏ ÏËÏÌÏ ×ÅÒÛÉÎÙ {3; 5} ÎÁ ÒÉÓ. ä.15. 53 388 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÁÂÌÉ Á ä.6.6. ÁÂÌÉ Á ä.6.7. íÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á 1 2 3 4 1 ∞ 0 15 3 2 0 ∞ 12 22 4 3 44 18 ∞ 5 5 1 ∞ 0 1 2 3 {3; 5} 4 1 ∞ 0 3 3 0 2 0 ∞ 0 22 0 4 0 41 3 ∞ h3 5 15 1 ∞ 0 0 0 h = 12 =3 0 0 îÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ. òÅÂÒÏ (3; 5) ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÎÁÈÏÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, ÏÜÔÏÍÕ ÏÌÁÇÁÅÍ = ∞ × ÍÁÔÒÉ Å, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ × ÔÁÂÌ. ä.6.5. ÷ ÌÀÂÏÊ ÔÕÒ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÂÕÄÅÔ ×ÈÏÄÉÔØ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÒÅÂÒÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ 3 É ËÁËÏÅ-ÔÏ ÒÅÂÒÏ Ë ×ÅÒÛÉÎÅ 5. óÁÍÏÅ ÄÅÛÅ×ÏÅ ÒÅÂÒÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ 3, ÉÓËÌÀÞÁÑ ÓÔÁÒÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ (3; 5), ÉÍÅÅÔ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ 2, Á ÓÁÍÏÅ ÄÅÛÅ×ÏÅ ÒÅÂÒÏ Ë ×ÅÒÛÉÎÅ 5 ÉÍÅÅÔ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {3; 5} ÒÁ×ÎÁ 47 + 2 + 0 = 49 (ÒÉÓ. ä.15). ðÒÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÎÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÓÏËÒÁÔÉÔØ ÅÅ ÒÁÚÍÅÒ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ, ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á { k; l }, ÔÁË ÞÔÏ ÍÙ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÓÏËÒÁÝÁÅÍ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÔÒÁÔÙ. åÝÅ ÏÄÉÎ ×Ù×ÏÄ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÙ ÓÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÔÕÒ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÓÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ, ÍÅÎØÛÅÊ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏÊ 62, ÔÏ ÔÏÇÄÁ ÍÙ ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ {3; 5}, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ×ÅÒÛÉÎÁ {3; 5} × ÄÅÒÅ×Å ÏÔÒÁÂÏÔÁÎÁ. ÏÇÄÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÅÌØÀ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ {3; 5} × ÎÁÄÅÖÄÅ ÎÁÊÔÉ ÔÕÒ ÓÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ × ÒÅÄÅÌÁÈ 49 6 Ct 6 62. ÅÅÒØ, ËÏÇÄÁ ÑÓÎÏ, ËÁË × ÏÂÝÉÈ ÞÅÒÔÁÈ, ×ÙÇÌÑÄÑÔ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ É ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÎÉ , ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÓÈÅÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ (í÷ç) ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÒÉÎÑÔÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ X | ÔÅËÕÝÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, Á (k; l) | ÒÅÂÒÏ Ï ËÏÔÏÒÏÍÕ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁ X , ÞÅÒÅÚ Y É Y . íÎÏÖÅÓÔ×Ï Y ÅÓÔØ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ× ÉÚ X , ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÅÂÒÏ (k; l), Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ× ÉÚ X , ÎÅ ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÅÂÒÏ (k; l). ÷ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÎÉÖÎÉÅ ÇÒÁÎÉ Ù ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× Y É Y ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ w(Y ) É w(Y ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. óÁÍÙÊ ÄÅÛÅ×ÙÊ ÔÕÒ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ × ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ z , ÒÉÞÅÍ × ÍÏÍÅÎÔ ÉÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÉ z = ∞. 35 áÌÇÏÒÉÔÍ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ Pro edure Input Begin 1. 2. 3. While (w(X ) < z0) ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. 0 0 áÌÇÏÒÉÔÍ í÷ç ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÷×ÏÄ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ É ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ éÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÑ ðÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ C õÓÔÁÎÏ×ËÁ ËÏÒÎÑ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ X=R ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ begin 4. (k; l) 5. w(Y) 6. w(Y ) if then begin 7. if (w(Y ) < z0) then begin z 0 = w(Y ) end (if (w(Y ) < z0) end 8. X 9. end w(X ) < z 0 ÷ÙÂÏÒ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ðÒÏ ÅÓÓ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. óÏÚÄÁÎÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ É ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ . ðÒÏ ÅÓÓ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. óÏÚÄÁÎÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ É ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ 389 Y Y . (ÒÁÚÍÅÒ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ × ×ÅÒÛÉÎÅ Y = 2) ðÒÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÝÅÊ Ï ÅÎËÉ ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎÙ Y (ÚÁÏÍÉÎÁÅÍ ÔÕÒ) (if) ÷ÙÂÏÒ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ, É ÕÓÔÁÎÏ×ËÁ ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÌÉ ÞÔÅÎÉÅ ÆÒÁÇÍÅÎÔÁ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ (while ) ïÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ End X C, z 0 ÎÁÊÄÅÎÏ ÷ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÕËÒÕÎÅÎÎÏÊ ÓÈÅÍÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÓÔÁÌÉÓØ ÎÅÒÁÓËÒÙÔÙÍÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ×ÁÖÎÙÅ ÄÅÔÁÌÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÂÓÕÄÉÔØ. üÔÁ 1. õÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÉÌÉ ÉÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÑ, ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÔÒÕÄÁ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÁ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ | ÜÔÏ ×ÙÂÏÒ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÈÒÁÎÅÎÉÑ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ | ÉÍÅÊÔÅ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ. üÔÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÓÏÓÏÂÁ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÁÍÑÔÉ ÏÄ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÅÒÅ×Á. üÔÁ 2. ðÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ | ÜÔÏ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÑ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÒÁÎÅÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ; ÄÅÔÁÌÉ ÍÙ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ. üÔÁ 3. éÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÑ ËÏÒÎÑ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á. ïÓÎÏ×ÎÏÊ ×ÏÒÏÓ × ÔÏÍ, ÂÕÄÅÔ ÌÉ ×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÄÅÒÅ×Á ÈÒÁÎÉÔØÓÑ É ÍÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÅ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÔÅËÕÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÉÓÈÏÄÎÏÊ. üÔÏ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ×ÙÂÏÒ ÍÅÖÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÅÌØÎÏÓÔØÀ É ÔÒÅÂÕÅÍÙÍ ÏÂßÅÍÏÍ ÁÍÑÔÉ. üÔÁ 4. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÏÂÓÕÖÄÁÌÉ, ×ÙÂÏÒ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ (k; l) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y É Y , ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁ ÔÅËÕÝÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÛÅÎÉÊ X . òÅÂÒÏ (k; l) ÄÌÑ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ, ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÏÌÕÞÉÔØ ÂÏÌØÛÕÀ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Y , ÞÔÏ ÏÂÌÅÇÞÉÔ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÅ Ï ÅÎËÉ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y . ÁËÉÍ ïÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÜÔÁÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. 390 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÙÔÁÅÍÓÑ ÚÁÓÔÁ×ÉÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y , ÙÔÁÑÓØ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ×ÓÅÇÏ ÚÁ n ÛÁÇÏ×. ëÁË ÒÉÍÅÎÉÔØ ÜÔÉ ÉÄÅÉ Ë ×ÙÂÏÒÕ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ (k; l)? ÷ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Å ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ C ′ , Ó×ÑÚÁÎÎÏÊ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ X , ËÁÖÄÁÑ ÓÔÒÏËÁ É ÓÔÏÌÂÅ ÉÍÅÀÔ ÈÏÔÑ ÂÙ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÎÕÌÅ×ÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ (ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË, ÔÏ ÍÁÔÒÉ Á C ′ ÎÅ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ). íÏÖÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÒÅÂÒÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÜÔÉÍ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÓÔÏÉÍÏÓÔÑÍ, ÂÕÄÕÔ Ó ÂÏÌØÛÅÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ×ÈÏÄÉÔØ × ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÔÕÒ, ÞÅÍ ÒÅÂÒÁ Ó ÂÏÌØÛÉÍÉ ÓÔÏÉÍÏÓÔÑÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÍÙ ×ÙÂÅÒÅÍ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ, ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÈÏÔÉÍ, ÞÔÏÂÙ Õ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y = {k; l} ÂÙÌÁ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌØÛÁÑ ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á. ðÕÓÔØ ÒÅÂÒÏ (k; l) ÉÍÅÅÔ kl = 0, É ÏÂÒÁÝÁÑÓØ Ë ÒÏ ÅÄÕÒÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÉÖÎÅÊ ÇÒÁÎÉ Ù, ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y ÜÔÁ ÇÒÁÎÉ Á ÚÁÄÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ w(Y ) = w(X ) + min il + min kj : j; j 6 l i; i6 k óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÅÂÅÒ (k; l), Õ ËÏÔÏÒÙÈ kl = 0 × ÔÅËÕÝÅÊ ÍÁÔÒÉ Å C ′ ÍÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÄÁÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ÎÉÖÎÅÊ ÇÒÁÎÉ Ù | w(Y ). âÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÎÁ ÜÔÁÅ 4 ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ = Pro edure Begin ( S = ÷ÙÂÏÒ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ (i; j ) ðÕÓÔØ | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ , ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ × ÔÅËÕÝÅÊ ÍÁÔÒÉ Å ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ . ðÏÌÏÖÉÍ ij ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ × ÓÔÒÏËÅ , ÉÓËÌÀÞÁÑ Ó[i; j ℄ = 0 D = min ( ó Ó[i; j ℄) + min (ÓÔÏÉÍÏÓÔØ × ÓÔÏÌÂ Å j , ÉÓËÌÀÞÁÑ Ó[i; j ℄) ) 1. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ Dij ÄÌÑ ×ÓÅÈ (i; j ) ∈ S 2. ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÅÂÒÏ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ (k; l) ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ Dkl = max(Dij ) ÄÌÑ ×ÓÅÈ (i; j ) ∈ S i End üÔÁ 5. îÁ ÜÔÏÍ ÜÔÁÅ ÍÙ ÒÅÁÌÉÚÕÅÍ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ, É ÄÏÂÁ×ÌÑÅÍ × ÏÉÓËÏ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ×ÅÒÛÉÎÕ Y , ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÚÁ X . ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ w(Y ) = w(X ) + Dkl ; ÇÄÅ Dkl ÕÖÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÏ ÎÁ ÜÔÁÅ 4. üÔÁ 6. ÷ÅÒÛÉÎÅ Y , ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÚÁ X , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÔÏ ÒÅÂÒÏ (k; l), ËÏÔÏÒÏÅ ×ÙÂÒÁÎÏ ÎÁ ÜÔÁÅ 4. ðÒÉ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÅ Y ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ | ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÔÕÒÁ, É ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÂÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÉÍ ÉËÌÁÍ, ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÚÁÒÅÝÅÎÙ. äÅÔÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ. Pro edure begin 1. æÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎÙ C éÚ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÒÏËÕ É ÓÔÏÌÂÅ . k l X ÉÓËÌÀÞÁÅÍ Y ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 391 if (k; l) X then begin 2. p q 3. ó [p; q℄ = ∞ end 4. h= 5. w(Y ) = w(X ) + h end üÔÁ 7. ÷ ËÏÎ Å ËÏÎ Ï×, ÒÏ ÅÓÓ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ, (ÒÅÂÒÏ ÎÅ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÏ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÒÅÂÅÒ, ×ËÌÀÞÅÎÎÙÈ × ÔÕÒ Ï ÕÔÉ ÏÔ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ) îÁÈÏÄÉÍ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ | É ËÏÎÅÞÎÙÊ | ÇÏÒÏÄ ÕÔÉ ÷ÙÏÌÎÑÅÍ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. ÓÕÍÍÁ ËÏÎÓÔÁÎÔ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍ ÔÁË ÍÁÌÏ ÔÕÒÏ×, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ É ÒÏ×ÅÓÔÉ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÂÅÚ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. ëÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ, ÒÏ ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÕÒÁÈ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y , ÓÏËÒÁÝÁÅÔ ÒÁÚÍÅÒ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÎÁ ÏÄÎÕ ÓÔÒÏËÕ É ÏÄÉÎ ÓÔÏÌÂÅ . åÓÌÉ × ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÂÙÌÏ n ÇÏÒÏÄÏ×, Á ÔÅËÕÝÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÍÅÒ 2 × 2, ÔÏ ÕÖÅ n − 2 ÒÅÂÅÒ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÔÕÒÅ ÉÚ Y , ÏÜÔÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÁÍÏÅ ÂÏÌØÛÅÅ Ä×Á ÔÕÒÁ, É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÝÕÀ Ï ÅÎËÕ, É ÏÌÕÞÉÔØ ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ ÔÕÒ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. ÷ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÉÈ ÒÁÓÏÚÎÁÔØ, ÍÙ ÏÓÔÁ×ÉÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ. üÔÁ 8. ÅÅÒØ ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ X , ÏÔ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏ×ÏÄÉÔØ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ. üÔÏÔ ×ÙÂÏÒ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÅÎ. íÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÕ ×ÅÒÛÉÎÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ × ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÕÀ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ, É ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ × ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÎÅ ×ÙÈÏÄÑÔ ×ÅÔ×É, Ô. Å.| ÜÔÏ ÌÉÓÔ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÎÉÖÎÅÊ ÇÒÁÎÉ ÅÊ. üÔÁ 9. ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ×ÙÂÒÁÌÉ ÎÏ×ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á X × ËÁÞÅÓÔ×Å ÔÅËÕÝÅÊ, ÔÏ ÎÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ ÎÁ ÜÔÏÍ ÜÔÁÅ | ÏÌÕÞÉÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ×ÅÒÛÉÎÅ X ÍÁÔÒÉ Õ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. åÓÌÉ ÍÙ ÈÒÁÎÉÍ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÔÏ ÍÁÔÒÉ Á ÕÖÅ ÅÓÔØ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÊÔÉ ÕÔØ ÏÔ ËÏÒÎÑ ÄÏ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ËÏÒÒÅËÔÉÒÏ×ÁÔØ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ ÜÔÁÏ× ÒÉ×ÅÄÅÍ (ÒÉÓ. ä.16) ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÌÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ëÁËÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× × ÓÍÙÓÌÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÖÉÄÁÔØ? ïÂÏ ×ÓÅÈ ÂÏÌÅÅ ÉÌÉ ÍÅÎÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÈ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÈ ÍÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÉÌÉ ÉÍÅÀÔÓÑ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÉÈ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ × ÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ. ÷ ÌÕÞÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÅÓÌÉ ÍÙ ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ ÓÏËÒÁÝÁÅÍ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, ÔÏ Ï ÅÎËÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ. üÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ô. Ë. Ï ÅÎËÁ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÜÔÁÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ | ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁ Ï ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÒÁÚÍÅÒÕ (n) ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, É × ÌÕÞÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÉËÌ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ n ÒÁÚ | ÍÙ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÏÄÎÏ ÒÅÂÒÏ × ÔÕÒ, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n ÒÅÂÅÒ. ÁïÂÓÕÖÄÅÎÉÅ É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÕÌÕÞÛÅÎÉÑ. 392 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÏÊ ÒÁÚÂÒÏÓ ÏÖÉÄÁÅÍÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ n, ÚÁ×ÉÓÑÝÉÊ ÏÔ ÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. íÙ ÉÍÅÅÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÅÎÎÏ-ÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ Ó ÓÉÌØÎÏÊ ÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØÀ. ÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ ÏÖÉÄÁÅÍÏÊ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÅÎ É ÞÁÓÔÏ ×ÙÈÏÄÉÔ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÎÁÛÉÈ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ. R 47 âñå òóðû {2,1} 62 74 {4,1} 50 {2,1} 62 {4,1} 68 53 {4,5} {4,5} 65 {1,4} 64 {1,4} òÉÓÕÎÏË ä.16. äÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÄÌÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÉÚ ÔÁÂÌ. ä.6.4 îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÅÓÓÉÍÉÚÍ × ÔÅÏÒÉÉ, ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÔÝÁÔÅÌØÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÓÒÁ×ÌÑÅÔÓÑ, × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÓÌÕÞÁÅ×, Ó ÚÁÄÁÞÁÍÉ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÏÒÑÄËÁ 50 ÚÁ ÒÅÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ïÓÏÂÏ ÏÄÞÅÒËÎÅÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏ ÔÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ËÌÁÓÓÕ NPC. íÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÒÑÄ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÕÌÕÞÛÅÎÉÊ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ É ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÒÏÓÔÙÈ (ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ) ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÔÕÒÁ Ó ÅÌØÀ ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÖÅ ÎÁ ÒÁÎÎÉÈ ÛÁÇÁÈ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.6 ë ××ÅÄÅÎÉÀ. ä.6.1. ðÏÒÏÂÕÊÔÅ ÎÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÓÕÍÍÅ × 22 ÆÌÏÒÉÎÁ, ÎÁÏ- ÍÎÉÍ, ÞÔÏ Õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ ÍÏÎÅÔÙ ÎÏÍÉÎÁÌÏÍ 2, 3, 5, 6 É 7 ÆÌÏÒÉÎÏ×. ëÁËÏÊ Õ ÷ÁÓ ÏÌÕÞÉÌÓÑ ÏÔ×ÅÔ, É ÓËÏÌØËÏ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÓÕÍÍÙ ÷Ù ÅÒÅÂÒÁÌÉ? ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ä.6.2. éÚ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ | V É ÏÂßÅÍÙ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× | vi. ðÏÙÔÁÊÔÅÓØ, ËÁË 393 ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ ÍÏÖÎÏ ÔÏÞÎÅÅ, ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÅÒÅÂÏÒÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÍ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÏÍ, É ÎÁÊÔÉ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ. ä.6.3. åÓÌÉ ÷Ù ÏÂÒÁÔÉÌÉ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÔÏ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÓÔÒÏËÁ ÔÁÂÌ. ä.6.2, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÁÑ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ, ÚÁÏÌÎÅÎÁ ÚÎÁËÁÍÉ ×ÏÒÏÓÁ | ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÉÍÅÀÝÅÊÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÏÂ ÕÁËÏ×ËÉ ×ÓÅÈ ÄÉÓËÒÅÔÏ× ÏÂßÅÍÁ ÇÒÕÚÁÍÉ ÅÒ×ÏÇÏ, É ×ÔÏÒÏÇÏ ÔÉÁ ÎÁÊÄÉÔÅ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÌÌÍÁÎÁ, ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÏÂßÅÍÁ 10 É ÔÒÅÈ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×. ä.6.4. ëÁË ÂÕÄÅÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÆÒÁÇÍÅÎÔ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ, ÅÓÌÉ × ÓÒÅÄÎÅÍ ÇÒÕÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÔÉÁ ÒÁÚÍÅÝÁÅÔÓÑ × ÏÂßÅÍÅ ÕÁËÏ×ËÉ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÔÒÅÈ ÒÁÚ | k = 3. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÕÒÏ×ÎÅÊ ÜÔÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÉÓ. ä.13. ä.6.5. éÓÏÌØÚÕÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ, ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (14) É ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.11. ïÂßÅÍÙ É ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌÉ Å. 3 i vi i 1 3 5 2 4 6 3 5 7 ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ä.6.6. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÊÔÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÄÌÑ ÔÕÒÁ × ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁ- ÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ËÁË ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn −n. òÅÂÒÁ, ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍÉ ×ÅËÔÏÒÁ xi = 1, ÄÏÌÖÎÙ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÔÕÒ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÉÓÁÎÉÅÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË n ÞÉÓÅÌ, É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ, ××ÅÄÅÎÎÙÍÉ × ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞÉ. ä.6.7. ÷ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn −n ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ M | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÜÔÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÏÌØËÏ n ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÁ×ÎÙ ÅÄÉÎÉ Å, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÎÕÌÅ×ÙÅ | ÉÍÅÎÎÏ ÏÎÉ É ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÌÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÒÅÂÏÒÁ × ÜÔÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ M = Cnn −n ; ÜÔÏ ÅÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁÓÒÅÄÅÌÉÔØ n ÅÄÉÎÉ Ï n − n ÏÚÉÉÑÍ. ðÏÙÔÁÊÔÅÓØ Ï ÅÎÉÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (n − 1)!=M | ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÏ×Á ÄÏÌÑ ÎÁÓÔÏÑÝÉÈ ÔÕÒÏ× × ÏÂÝÅÍ ÏÂßÅÍÅ ÅÒÅÂÏÒÁ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ Ï ÅÎËÉ ÆÁËÔÏÒÉÁÌÁ ÉÚ ÒÁÚÄÅÌÁ 1, É Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ: ln(1 − x) ≈ −x, 0 6 x ≪ 1. ä.6.8. ï ÅÎÉÔÅ, ÓËÏÌØËÏ ÔÕÒÏ× ×ÈÏÄÉÔ × ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {k; l} ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ Ó n ÇÏÒÏÄÁÍÉ? 2 2 2 2 394 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ä.6.9. ðÒÅÄÌÏÖÉÔÅ ÄÒÕÇÉÅ ÉÄÅÉ Ï ×ÙÂÏÒÕ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÍÅ- ÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. ëÁË ×Ù ÄÕÍÁÅÔÅ, ÍÏÖÅÔ ÌÉ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÜÔÁÁ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÚÁ ÓÞÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÂÏÌØÛÅÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÒÅÂÅÒ, ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÓÏËÒÁÝÅÎÉÀ ÏÂÝÅÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÅÛÅÎÉÑ? îÁ ÎÁÛ ×ÚÇÌÑÄ ÎÁÉÌÕÞÛÉÍ ÏÔ×ÅÔÏÍ ÂÕÄÅÔ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÏ×. ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ [1℄ Garnier, R. and Taylor, J. (1992) Dis rete Mathemati s for New Te hnology , Bristol: Institute of Physi s Publishing. [2℄ Gersting, J. L. (1999) Mathemati al Stru tures for Computer S ien e , 4th edn, San Fran is o: W. H. Freeman. [3℄ Johnsonbaugh, R. (2001) Dis rete Mathemati s , 5th edn, New Jersey: Prenti e Hall. [4℄ Rosen, K. H. (1998) Dis rete Mathemati s and Its Appli ations , New York: M Graw-Hill. [5℄ Ross, K.A. and Wright, C.R. B. (1999) Dis rete Mathemati s , 4th edn, New Jersey: Prenti e Hall. [6℄ Truss, J. K. (1999) Dis rete Mathemati s for Computer S ientists , 2nd edn, Harlow: Addison-Wesley. [7℄ Little R. D. C., Murty K. G., Sweeney D. W., Karel C. An Algorithm for the Traveling Salesman Problem . Oper. Res., 11: 979{989 (1963) (IM). [8℄ áÎÄÅÒÓÏÎ äÖ. äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ : ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. í.: éÚÄÁÔÅÌØËÉÊ ÄÏÍ ÷ÉÌØÑÍÓ. 2003. [9℄ áÎÄÒÅÅ×Á ë.ç., îÉËÉÔÏ× ó.á. ïÔÉÍÉÚÁ ÉÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÙÒØÑ × ÚÁÄÁÞÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÓËÒÏÑ // éÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÅ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÉ. 2003. 11. Ó. 24 { 29. [10℄ áÈÏ á., èÏËÒÏÆÔ äÖ., õÌØÍÁÎ äÖ. óÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÁÎÎÙÈ É ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ : ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ.: | í.: éÚÄÁÔÅÌØÓËÉÊ ÄÏÍ ÷ÉÌØÑÍÓ, 2001 Ç. [11℄ âÅÌÌÍÁÎ ò., äÒÅÊÆÕÓ ò. ðÒÉËÌÁÄÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ : ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. í.: îÁÕËÁ, çÌÁ×ÎÁÑ ÒÅÄÁË ÉÑ ÆÉÚÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ, 1965. [12℄ âÏÎÄÁÒÅÎËÏ ÷. á. ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ (http://edu.yar.ru/russian/pedbank/sor-pro/bondarenko). [13℄ âÏÎÄÁÒÅÎËÏ ÷. á. ðÏÌÉÜÄÒÁÌØÎÙÅ ÇÒÁÆÙ É ÓÌÏÖÎÏÓÔØ × ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ . ñÒÏÓÌÁ×ÌØ: ñÒÏÓÌÁ×ÓËÉÊ ÇÏÓÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ, 1995. [14℄ ÷ÁÌÅÅ×Á á.æ., çÁÒÅÅ× é.æ., íÕÈÁÞÅ×Á ü.á. úÁÄÁÞÁ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ: ÒÁÎÄÏÍÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÍÅÔÏÄ ÅÒÅÂÏÒÁ Ó ÕÓÅÞÅÎÉÅÍ // éÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÅ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÉ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. 2003. 2. 24 Ó. [15℄ çÒÉÎ ä., ëÎÕÔ ä. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ ÁÎÁÌÉÚÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× . í.: íÉÒ, 1987. | 120 Ó. [16℄ çÒÜÈÅÍ ò., ëÎÕÔ ä., ðÁÔÁÛÎÉË ï. ëÏÎËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. ïÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ : ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. í.: íÉÒ, 1998. [17℄ çÕÄÍÁÎ ó., èÉÄÅÔÎÉÅÍÉ ó. ÷ÅÄÅÎÉÅ × ÒÁÚÒÁÂÏÔËÕ É ÁÎÁÌÉÚ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× . í.: íÉÒ, 1981. 396 ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ [18℄ éÌØÉÎ ÷. á., óÁÄÏ×ÎÉÞÉÊ ÷. á., óÅÎÄÏ× âÌ. è. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ . í.: îÁÕËÁ. çÌÁ×ÎÁÑ ÒÅÄÁË ÉÑ ÆÉÚÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ, 1979. [19℄ ëÎÕÔ ä. éÓËÕÓÓÔ×Ï ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ . ÏÍÁ 1, 2, 3. 3-Å ÉÚÄ. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ.: õÞ. ÏÓ. í.: éÚÄ. ÄÏÍ ÷ÉÌØÑÍÓ, 2001 Ç. [20℄ ëÏÒÍÅÎ ., ìÅÊÚÅÒÓÏÎ þ., òÉ×ÅÓÔ ò. áÌÇÏÒÉÔÍÙ: ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ É ÁÎÁÌÉÚ. í.: íãîíï, 2001 Ç. [21℄ íÁËËÏÎÅÌÌ äÖ. áÎÁÌÉÚ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ÷×ÏÄÎÙÊ ËÕÒÓ . í.: òéã ÅÈÎÏÓÆÅÒÁ, 2002. [22℄ íÁËËÏÎÅÌÌ äÖ. ïÓÎÏ×Ù ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. 2-Å ÄÏÏÌÎÅÎÎÏÅ ÉÚÄÁÎÉÅ . í.: ÅÈÎÏÓÆÅÒÁ, 2004. [23℄ îÅÆÅÄÏ× ÷.î., ïÓÉÏ×Á ÷. á. ëÕÒÓ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ . í.: íáé, 1992. [24℄ îÏ×ÉËÏ× æ. á. äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ× . óðÂ.: ðÉÔÅÒ, 2001. [25℄ õÌØÑÎÏ× í. ÷., çÕÒÉÎ æ. å., éÓÁËÏ× á. C., âÕÄÁÒÁÇÉÎ ÷. å. óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÙÊ ÁÎÁÌÉÚ ÔÁÂÌÉÞÎÏÇÏ É ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ // Exponenta Pro íÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÈ. 2004. 2(6). ó. 64{70. [26℄ ûÅ×ÞÅÎËÏ ÷. î. ëÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÏÒÏÓÙ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ , í.: æÉÚÍÁÔÌÉÔ, 1995. [27℄ àÄÉÎ ä.â., çÏÒÑÛËÏ á.ð., îÅÍÉÒÏ×ÓËÉÊ á.ó. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ ÕÓÔÒÏÊÓÔ× É ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× áóõ . í.: òÁÄÉÏ É Ó×ÑÚØ, 1982. [28℄ ñÂÌÏÎÓËÉÊ ó. ÷. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÄÉÓËÒÅÔÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ . í.: îÁÕËÁ, 1986. ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ , 12 äÅÊËÓÔÒÙ, 181 ×ÓÔÁ×ËÉ, 167 ÏÉÓËÁ, 167 ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÏÂÈÏÄÁ, 169 ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ, 174 ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔ, 172 Á ÉËÌÉÞÎÙÊ, 146 ÂÉÅË ÉÑ, 99 ÂÉÔÏ×ÁÑ ÓÔÒÏËÁ, 57 ÂÌÏËÉ, 77 ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ, 197 ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, 195 ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, 93 ÂÕÌÅ×Ù ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ, 196 ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, 195 ×ÅÒÛÉÎÁ, 171 ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ, 156 ÇÒÁÆÁ, 142 ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÍÅÖÎÙÅ, 143 ×ÅÓ ÒÅÂÒÁ, 150 ×ÙÂÏÒ, 87 ×ÙÂÏÒËÁ, 120 ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ, 120 ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ, 120 ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ËÏÎÔÒÁÏÚÉÔÉ×ÎÏÅ, 27 ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ, 27 ÕÓÌÏ×ÎÏÅ, 26 ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ, 26 ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ, 24 ÇÌÕÂÉÎÁ ×ÅÒÛÉÎÙ, 162 ÇÒÁÆÁ, 162 ÇÒÁÆ 12, 142 Á ÉËÌÉÞÎÙÊ, 146 ÇÒÁÆ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×, 148 ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ, 150, 181 ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ, 70 ÏÌÎÙÊ, 148 ÒÏÓÔÏÊ, 143 Ó×ÑÚÎÙÊ, 146 ÜÊÌÅÒÏ×, 142 ÇÒÁÆÉË, 98 Ä×ÏÉÞÎÙÊ ÏÉÓË, 136 ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÌÏÓËÏÓÔØ, 56 ÄÅËÁÒÔÏ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, 55 ÄÅÒÅ×Ï, 152 Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ, 165 Ä×ÏÉÞÎÏÅ, 157 ÏÌÎÏÅ, 163 Ó ËÏÒÎÅÍ, 155 ÎÕÌÅ×ÏÅ, 157 ÏÓÔÏ×ÎÏÅ, 153 ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ, 154 ÄÅÒÅ×ØÑ ÂÉÎÁÒÎÙÅ, 157 ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ, 80 ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ, 198 ÄÉÚßÀÎË ÉÑ, 25, 194 ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÒÛÒÕÔÉÚÁ ÉÑ, 190 ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ, 48 ÄÕÇÁ, 171 ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, 149 ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ, 153 ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ, 27 ÚÁËÏÎ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ, 52 ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, 75 398 ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, 97 ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏÅ ÒÅÂÒÏ, 143 ÉÎßÅË ÉÑ, 99 ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, 78 ËÌÀÞ, 166 ×ÓÔÁ×ËÉ, 167 ÏÉÓËÁ, 167 ËÏÎÔÕÒ, 172 ËÏÎßÀÎË ÉÑ, 25, 194 ËÏÒÅÎØ ÄÅÒÅ×Á, 155 ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ, 128 ÍÕÌØÔÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ, 130 ÌÅÓ, 161 ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÒÑÄÏË, 81 ÌÉÓÔØÑ ÄÅÒÅ×Á, 156 ÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, 93 ÓÌÏÖÅÎÉÅ, 25 ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ, 25 ÍÁÒÛÒÕÔ, 144 ÍÁÔÒÉ Á, 71 ×ÅÓÏ×ÁÑ, 182 ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ, 176 ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, 143 ÍÉÎÔÅÒÍ, 197 ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, 44 ÚÎÁÞÅÎÉÊ, 97 ÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÅ, 61 ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ, 48 ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ, 80 ÍÏÝÎÏÓÔØ, 54 ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË, 80 ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, 97 ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, 97 ÏÂÒÁÚ, 97 ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ, 47 ÏÅÒÁÔÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ, 15 ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ, 15 ÉËÌÁ, 17 ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ, 15 ÕÓÌÏ×ÎÙÅ, 16 ÏÅÒÁ ÉÑ, 46 ÏÒÇÒÁÆ, 70, 171 Ó×ÑÚÎÙÊ, 185 ÏÒÇÒÁÆ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÊ, 185 ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, 171 ÏÔÅ , 155 ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, 55 ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ, 73 ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, 68 ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, 73 ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ, 73 ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ, 73 ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, 77 ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ, 24, 194 ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ, 47 ÅÔÌÑ, 143 ÏÄÇÒÁÆ, 144 ÏÄÄÅÒÅ×Ï, 156 ÌÅ×ÏÅ, 157 ÒÁ×ÏÅ, 157 ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, 46 ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÆÕÎË ÉÊ, 199 ÏÌÕÓÔÅÅÎØ ÚÁÈÏÄÁ, 185 ÉÓÈÏÄÁ, 185 ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ, 137 ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË, 174 ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÉÓË, 136 ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, 80 ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅ, 40 ÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ, 63 ÒÅÄÏÓÙÌËÁ, 27 ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅ, 39 ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË, 80 ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, 80 ÒÏÇÒÁÍÍÁ ËÏÒÒÅËÔÎÁÑ, 32 ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ, 32 ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ ÒÏÅËÔ, 87 ÒÏÔÏËÏÌ, 190 ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, 55 ÓÅ×ÄÏËÏÄ, 14 ÕÔØ, 172 ÒÁ×ÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, 46 ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ, 77 ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, 121 Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ, 121 ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, 182 ÒÅÂÒÏ, 142 ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏÅ, 143 ËÒÁÔÎÏÅ, 143 ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ, 49 ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ, 87 ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË, 142 ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, 121 Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ, 121 ÓÔÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÒÛÒÕÔÉÚÁ ÉÑ, 189 ÓÔÅÅÎØ ×ÅÒÛÉÎÙ × ÇÒÁÆÅ, 143 ÓÔÒÏËÁ ÂÉÔ, 57 ÓÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, 150 ÓÙÎ, 155 ÓÀÒßÅË ÉÑ, 99 ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, 24 ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÑ, 36 ÔÉ ÄÁÎÎÙÈ, 46 ÔÏÖÄÅÓÔ×Á Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ, 52 ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ, 128 ÕÚÅÌ, 189 ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ÁÒÁ, 55 ÕÓÌÏ×ÉÅ ×ÈÏÄÎÏÅ, 39 ×ÙÈÏÄÎÏÅ, 40 ÆÏÒÍÕÌÁ ðÁÓËÁÌÑ, 129 ÆÕÎË ÉÉ ÏÄÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÓÔÁ, 137 ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, 205 ÆÕÎË ÉÑ, 55, 96 ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ, 99 ÂÉÅËÔÉ×ÎÁÑ, 99 ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ, 99 ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, 137 ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ, 99 ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ, 102 ÏÂÒÁÔÎÁÑ, 102 ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁÑ, 136 ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ, 99 ÞÁÓÔÉÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ, 116 ÆÕÎË ÉÑ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ, 137 ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ, 57 ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØ ÞÉÓÌÁ, 110 ÉËÌ, 17, 145 ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×, 148 ÜÊÌÅÒÏ×, 142 ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË, 80 ÞÉÓÌÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ, 46 ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ, 46 ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ, 46 ÅÌÙÅ, 46 ÞÉÓÌÏ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ, 146 ÜËÓÅÒÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ, 63 ÜÌÅÍÅÎÔ, 44 ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ ËÏÎßÀÎË ÉÑ, 197 ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ, 77 ÑÚÙË ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, 91 399 Производство книг на заказ Издательство «Техносфера» тел.: (495) 234-01-10 e-mail: knigi@technosphera.ru Реклама в книгах: • модульная • статьи Подробная информация о книгах на сайте http://www.technosphera.ru Хаггарти Род Дискретная математика для программистов Издание 2-е, исправленное Компьютерная верстка – С.А. Кулешов Дизайн – М.В. Лисусина Выпускающий редактор – О.Н. Кулешова Ответственный за выпуск – С.А. Орлов Формат 70 х 100/16. Печать офсетная. Гарнитура Computer modern LaTeX Печ.л. 25. Тираж 1000 экз., Зак. № Бумага офсет №1, плотность 65 г/м2 Издательство «Техносфера» Москва, ул. Краснопролетарская, д.16, стр.2 Отпечатано в типографии ОАО ПИК «Идел-Пресс» 420066 г. Казань, ул. Декабристов, 2.

Дискретная математика

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Дискретная математика

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib