Пример решения варианта 16

1
Российская аэрокосмическая олимпиада школьников 2009 г.
Задание № 16
Председатель
оргкомитета олимпиады
Председатель методической предметной
комиссии
__________________________
С.М. Стажков
Задача 1
Соединив 100 г 20%-ного раствора кислоты,
немного 30%-ного раствора кислоты и 250 г
воды, получили 400 г нового раствора.
Каково процентное содержание нового
раствора?
Задача 3
Решить уравнение
3x  3  8  2 x  1
В ответ записать сумму корней.
Задача 5
Найти значение параметра m, при котором
сумма квадратов действительных корней
уравнения
Задача 2
Решить уравнение
| 6 x  7 |  | 8 x  6 | 5 x  5
В ответ записать наибольшее решение.
Задача 4
Решить неравенство:
x3
 2x
4x 1
В ответ записать наибольшее целое
значение х.
Задача 6
Решить неравенство
1
5
x  (m  2) x  2m  m  11  0
будет наибольшей.
2
_____________________
Е.С. Баранова
2
Задача 7
Решить неравенство:
x2
0
log 2 (4  x)
В ответ записать наибольшее целое
решение.
Задача 9
Дана точка Р, удаленная на 7см от центра
окружности с радиусом 11см. Через эту
точку проведена хорда длиной I8см. Каковы
длины отрезков, на которые делится хорда
точкой Р? В ответ записать сумму
квадратов длин искомых отрезков.
516cos
x
6
16cos 2
x
6
 8  10 y  25 y 2  15
В ответ записать наименьшее
положительное значение суммы х + у.
Задача 8
Решить уравнение
1
sin z sin(60  z ) sin(60  z ) 
8
В ответ записать сумму решений (в
градусах), удовлетворяющих условию.
Задача 10
Упростить алгебраическое выражение:
x
1 2 x 1
x 1
(

) (

) x
2 2 x
x 1
x 1
и вычислить при x = З.
Указания:
Задача считается решенной, если получены все ответы. Контрольные ответы записывать в
виде десятичной дроби без наименований. Если требуемый ответ или решение
отсутствует – ответ писать в талоне ответов слово НЕТ. При записи ответа, дроби
округлять до 0,01 (0,555…≈0,56). √2 = 1,41, √3 = 1,73, π = 3,14 .
2
Российская аэрокосмическая олимпиада школьников 2009 г.
Задание № 16
Задача 1. Соединив 100 г 20%-ного раствора кислоты, немного 30%-ного раствора
кислоты и 250 г воды, получили 400 г нового раствора. Каково процентное содержание
нового раствора?
Решение.
Эта задача требует знаний о процентной концентрации раствора. Это определение
рассматривается в курсе химии. Процентная концентрация – это количество грамм
вещества в 100 граммах раствора. Если известно это определение, то решение задачи не
вызывает затруднений.
Действительно, если получили 400 г нового раствора, то было взято 30% раствора:
400 – (100+250) = 50 г.
Полученный раствор содержит кислоту в количестве:
а) в 100 г 20% раствора: 20 г
б) в 50 г 30% раствора: 30:2= 15 г
Т.е. в 400 г раствора содержится 35 г кислоты, а в 100 г раствора содержится 35:4 = 8,75 г
кислоты.
Это и есть процентное содержание полученного раствора.
Ответ: 8,75
Задача 2. Решить уравнение
| 6 x  7 |  | 8 x  6 | 5 x  5
В ответ записать наибольшее решение.
Решение. Большинство задач, содержащих модули, удобнее начинать с
определения точек, в которых выражение в модуле обращается в ноль.
Изображаем эти точки на числовой оси. Раскрываем модули. Для этой задачи
имеем:
3/4
7/6
0
Имеем 3 интервала, на которых следует по разному раскрыть модули.
х
3
1) x < 3/4: 7- 6х – (6 – 8х) = -5х + 5; 1 + 2х = -5х + 5; 7х = 4; х = 4/7 ≈ 0,57 – этот
корень подходит;
2) 3/4 < х < 7/6: 7- 6х – (8x - 6) = -5х + 5; -14x + 13 = -5х + 5; -9x + 8 = 0; х = 8/9 ≈
0,89 – этот корень подходит;
3) х > 7/6: 6х - 7 – (8x - 6) = - x = 8/9 5х + 5; -2x -1 = -5х + 5; 3x – 6 = 0; x = 2; – этот
корень подходит;
Имеется три корня, наибольшее решение: 2
Примечание. Поскольку требовалось найти наибольший корень, то для
уменьшения объема вычислений можно было не вычислять все корни, а начать их
вычисление с самого правого интервала. Если на нем имеется корень, то он и
является наибольшим. Для записи ответа остальные корни можно было бы и не
вычислять.
Ответ: 2
Задача 3. Решить уравнение
3x  3  8  2 x  1
В ответ записать сумму корней.
Решение.
Такие задачи следует начинать с выяснения области определения функций. Это
позволяет исключить побочные корни и уменьшить объем решения.
Область определения. а) х ≥ -1; b) x ≤ 4; Объединим: -1 ≤ x ≤ 4
Избавимся от иррациональности:
3x  3  8  2 x  1;
3x  3  1  8  2 x ;
3x  3  1  2 8  2 x  8  2 x;
5x  6  2 8  2 x ;
Ï î ñêî ëüêó êî ðåí ü í åî ò ðèöàò åëüí û é , ò î : 5x  6  0;
6
6
x  ; èçì åí èëàñü î áëàñò ü î ï ðåäåëåí èÿ :
x4
5
5
(5 x  6) 2  4(8  2 x); 25 x 2  60 x  36  32  8 x; 25 x 2  52 x  4  0;
26  262  25  4 26  24

;
25
25
2
x1  ; x2  2
25
x1,2 
Первый корень не входит в область определения, подходит только второй корень.
Ответ: х = 2
4
Задача 4. Решить неравенство:
x3
 2x
4x 1
В ответ записать наибольшее целое значение х.
Решение.
1
Область определения: x   4
Для умножения на знаменатель следует учитывать его знак. Поэтому рассматриваем два
случая.
1
4
x  3  2 x  (4 x  1); x  3  8 x 2  2 x; 8 x 2  x  3  0
a) x  
D  12  4  8  3  0;
Âåù åñò âåí í û õ êî ðí åé í åò , í åðàâåí ñò âî ðåø åí èé í å èì ååò .
1
4
x  3  2 x  (4 x  1); x  3  8 x 2  2 x; 8 x 2  3x  3  0
b) x  
3  32  4  8  3 3  9

;
16
16
3
3
x1   ; x2  ;
4
8
x1,2 
3
С учетом области определения получим: x  (;  4 ) Наибольшее целое из полученного
диапазона: х = -1
Ответ: х = -1
Задача 5. Найти значение параметра m, при котором сумма квадратов действительных
корней уравнения
x 2  (m  2) x  2m2  m  11  0
будет наибольшей.
Запишем решение квадратного уравнения:
x 2  (m  2) x  2m 2  m  11  0
(m  2)  (m  2) 2  4(2m 2  m  11) (m  2)  m 2  4m  4  8m 2  4m  44
x1,2 


2
2
(m  2)  7m 2  8m  48

;
2
(m  2)  7 m 2  8m  48
(m  2)  7 m 2  8m  48
x1 
; x2 
;
2
2
Уравнение имеет корни, если дискриминант неотрицательный:
5
4  42  7  48 4  352 4  4 22 4(1  22)



;
7
7
7
7
4(1  22)
4(1  22)
m1 
 3.25; m2 
 2.11;
7
7
Äî ï óñò èì û å çí à÷åí èÿ m í àõî äÿò ñÿ â èí ò åðâàëå :
7 m 2  8m  48  0; m1,2 
3.25  m  2.11
Составим сумму квадратов:
(m  2)  7 m 2  8m  48 2 (m  2)  7 m 2  8m  48 2
x  x2  (
) (
) 
2
2
1
 [(m  2) 2  2(m  2) 7 m 2  8m  48  (7 m 2  8m  48) 
4
2
1
2
(m  2) 2  2(m  2) 7 m 2  8m  48  (7 m 2  8m  48)] 
1
 2(m 2  4m  4  7m 2  8m  48)  3m 2  6m  26  3(m 2  2m  1)  29 
4
 3(m  1) 2  29
Из этого выражения очевидно, что минимальная сумма квадратов корней уравнения (она
равна 29) получается при m равным -1. Это значение входит в допустимый интервал m
Ответ: -1
Задача 6.
5
Решить неравенство
1
x
x
516cos 16cos 2
6
6
 8  10 y  25 y 2  15
В ответ записать наименьшее положительное значение суммы х + у.
Решение. Это неравенство содержит две переменные. В общем случае оно не решается,
т.к. для решения уравнений (и неравенств) для двух переменных необходимо иметь два
уравнения. Поэтому, вероятно, здесь имеется особый случай. Исследуем это неравенство.
Обозначим:
A  5  16 cos
x
6
 16 cos 2
x
6
; x  ( ; );
B  8  10 y  25 y 2 ; Î áëàñò ü î ï ðåäåëåí èÿ y í àéäåì ï î çäí åå.
Òî ãäà èñõî äí î å í åðàâåí ñò âî ì î æ í î çàï èñàò ü :
1
5 À  Â  15
Äèñêðèì èí àí ò À ðàâåí : Ä  162  4  5 16  256  320  0;
Ñëåäî âàò åëüí î , À  0 ï ðè ëþ áû õ çí à÷åí èÿ õ õ. À  êâàäðàò è÷í àÿ
ô óí êöèÿ , î í à èì ååò ì èí èì óì . Ôóí êöèÿ
1
èì ååò ì àêñèì óì .
À
6
Ðàññì î ò ðèì B  8  10 y  25 y 2 . Î áëàñò ü î ï ðåäåëåí èÿ : 8  10 y  25 y 2  0
5  52  25  8 5  225 5  15
25 y  10 y  8  0; y1,2 


;
25
25
25
10
20
y1 
 0.4; y2 
 0.8; 0.4  y  0.8
25
25
  êî ðåí ü èç êâàäðàò è÷í î é ô óí êöèè , (ò .ê . êî ýô ô èöèåí ò ï ðè
2
y 2 î ò ðèöàò åëüí û é ), î í èì ååò ì àêñèì óì .
Найдем максимум В. Он совпадает с максимумом подкоренного выражения:
d
d
10
(8  10 y  25 y 2 )  50 y  10;
(...)  0  y 
 0.2;
dy
dy
50
B(0.2)  8  10  0.2  25  (0.2) 2  9  3
Найдем минимум А – показательная функция при этом будет иметь максимальное
значение.
A  5  16 cos
x
 16 cos 2
x
 5  16 z  16 z 2 ;
6
6
dÀ
dÀ
1
x
1 x
2
 16  32 z;
 0  z   ; cos
 ;

 2 k ;
dz
dz
2
6
2
6
3
 x  4  12 k ; x  4  12k ; k  0; 1; 2 
1
min( A)  5  16 z  16 z 2  1  5  8  16   1
z 
4
2
Таким образом, оказывается, что искомое неравенство выполняется при экстремальных
значениях x и y. А именно, при значении показательной функции равном 5 и квадратном
корне равном 3. Значения x и y определены выше. Решение нестрогого неравенства
реализуется равенством: 15 = 15. Это единственное решение, т.к.:
A  5  16 cos
x
6
 16 cos 2
x
6
 1; B  8  10 y  25 y 2  3
1
1
5 À  5; Â  3; Ñëåäî âàò åëüí î ,5 À Â  15
È ñõî äí î å í åñò ðî ãî å í åðàâåí ñò âî âû ï î ëí ÿåò ñÿ â
âèäå ðàâåí ñò âà ï ðè çí à÷åí èÿõ àðãóì åí ò î â :
 x  4  12k ; k  0; 1; 2 

 y  0, 2
Запишем ответ: x  y  4  0, 2  4, 2
Задача 7.
Решить неравенство:
x2
0
log 2 (4  x)
7
В ответ записать наибольшее целое решение.
Решение. Область определения:
x  2; x  2  0; x  2
1)
2) log 2 (4  x); 4  x  0; x  4
3) Çí àì åí àò åëü í å ðàâåí í óëþ : log 2 (4  x)  0; 4  x  1; x  3
×èñëèò åëü
x  2 í åî ò ðèöàò åëüí û é , ï î ýò î ì ó í åðàâåí ñò âî 
äî ëæ í î âû ï î ëí ÿò üñÿ ï ðè î ò ðèöàò åëüí î ì çí àì åí àò åëå.
Çí àì åí àò åëü log 2 (4  x) áóäåò î ò ðèöàò åëüí û ì ï ðè õ  3.
Ý ò î âõî äèò â ï ðî ò èâî ðå÷èå ñ î áëàñò üþ î ï ðåäåëåí èÿ êâàäðàò í î ãî êî ðí ÿ.
Ï î ýò î ì ó í åñò ðî ãî å í åðàâåí ñò âî âû ï î ëí ÿåò ñÿ â âèäå ðàâåí ñò âà ï ðè õ  2
Ответ: 2
Задача 8.
1
8
В ответ записать сумму решений (в градусах), удовлетворяющих условию.
Решить уравнение sin z sin(60  z ) sin(60  z ) 
Решение.
Ï î ô î ðì óëàì ï ðåî áðàçî âàí èé ï ðî èçâåäåí èé â ñóì ì û èì ååì :
1
1
1
sin(60  z ) sin(60  z )  [cos( 2 z )  cos(120 )]  [cos(2 z)  ] 
2
2
2
1
1 1
1 3
 [cos 2 z  sin 2 z  ]  [1  2sin 2 z  ]   sin 2 z
2
2 2
2 4
Ï î äñò àâèì â èñõî äí î å óðàâí åí èå :
3
1
sin z sin(60  z ) sin(60  z )  sin z (  sin 2 z )  (3sin z  4sin 3 z );
4
4
Í î â ñêî áêàõ í àõî äèò ñÿ ñèí óñ ò ðî éí î ãî óãëà :
sin 3  3sin   4sin 3  ; Ï î ýò î ì ó èñõî äí î å óðàâí åí èå ì î æ í î çàï èñàò ü :
1
1
1
sin 3 z  ; sin 3 z  ; Ðåø åí èå ýò î ãî óðàâí åí èÿ :
4
8
2

5
3 z   2 k ; 3 z 
 2 k ;
6
6
 2 k
5 2 k
z1  
; z2 

;
18
3
18
3
Òàêèì î áðàçî ì èì ååò ñÿ äâà ðåø åí èÿ . Çàï èø åì èõ ñóì ì ó ï ðè óñëî âèè
z

(èëè 90 ) :
2
Î ò âåò : 60

5 
  60
18 18 3

8
Задача 9.
Дана точка Р, удаленная на 7см от центра окружности с радиусом 11см. Через эту точку
проведена хорда длиной I8см. Каковы длины отрезков, на которые делится хорда точкой
Р? В ответ записать сумму квадратов длин искомых отрезков.
A
Дано:
R = 11 см
АВ = L = 18 см
R
M
OP = 7см
Найти: AP2 + PB2 = ?
О
P
B
Решение. Проводим из центра окружности перпендикуляр ОМ к хорде АВ. Это будет
высота ОМ из вершины О равнобедренного треугольника ОАВ.
Тогда прямоугольные треугольники ОАМ и ОВР равны, АМ = МВ = ½ АВ = 9 см.
Из ΔОАМ по теореме Пифагора: ОМ2 = R2 – АМ2 = 112 – 92 =121 – 81 = 40;
Из ΔОМР по теореме Пифагора: РМ2 = ОР2 – ОМ2 = 72 – 40 =49 – 40 = 9; РМ = √9 = 3.
Тогда: АР = АМ + РМ = 9 + 3 = 12 см; РВ = МВ – РМ = 9 – 3 = 6 см. AP2 + PB2 = 122 + 62 =
144 + 36 = 180
Ответ: 180
Задача 10.
Упростить алгебраическое выражение:
x
1 2 x 1
x 1
(

) (

) x
2 2 x
x 1
x 1
и вычислить при x = З.
Решение.
Приводим выражения в круглых скобках к общему знаменателю:
(
x
1 2 x 1
x 1
x  1 2 ( x  1) 2  ( x  1) 2

) (

) x  (
) (
) x 
2 2 x
x 1
x 1
x 1
2 x
( x  1) 2 x  2 x  1  ( x  2 x  1) ( x  1) 2 4 x


 ( x  1)  1  x
x 1
x 1
4 x
4 x
Ï î äñò àâèì õ  3 : 1  x  1  3  2

Î ò âåò : 2