комбинаторика

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАЗАНСКАЯ БАНКОВСКАЯ ШКОЛА (КОЛЛЕДЖ)
ЦЕНТРАЛЬНОГО БАНКА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
Дидактический материал
для самостоятельной работы студентов по теме:
«Задачи по комбинаторике и теории вероятностей»
по дисциплине «Математика»
для студентов, обучающихся по специальности
080110 «Банковское дело»
Казань-2011
РАССМОТРЕНО
на заседании комиссии
математического и общего
естественнонаучного цикла
Пр. №__от ______________ 2011 г.
Председатель комиссии
__________А.Я. Драпкин
Составитель:
Т.В.Фёдорова,
преподаватель
математики
первой
категории
образовательного учреждения среднего профессионального образования «Казанская
банковская школа (колледж) Центрального Банка Российской Федерации»
СОДЕРЖАНИЕ.
 Комбинаторные задачи.
 Элементы комбинаторики.
 Классическая вероятностная модель. Геометрическая вероятность.
 Комбинаторные задачи геометрического содержания.
 Применение комбинаторики к вычислению вероятностей.
 Задачи на основные формулы теории вероятностей.
 Упорядоченные множества и размещения.
 Перестановки. Число перестановок.
 Сочетания.
 Выражение числа размещений и сочетаний через перестановки.
 Свойства сочетаний.
 Формула Ньютона.
 Дополнительные упражнения.
Список используемой литературы.
При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой
совокупности объектов элементы, обладающие тем или иным свойством, располагать эти
элементы в определённом порядке и т.д. Поскольку в таких задачах речь идёт о тех или
иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами.
Область
математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.
1. Комбинаторные задачи.
Задача 1. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С – три
дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
Ответ: 15
Задача 2. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова
«полка»?
Ответ: 6 способами.
Задача 3. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно
выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы
эти перчатки были различных размеров?
Ответ: 30 способов выбора.
Задача 4. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх
горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти различных цветов?
Ответ: 60.
Задача 5. Сколькими способами можно составить четырёхцветный флаг из
горизонтальных полос, имея четыре различных цвета?
Ответ: P4  4! 24.
Задача 6. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Сколькими различными
способами это можно сделать? В скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один
туз? В скольких случаях окажется ровно один туз? В скольких случаях – ровно 4 туза?
52!
52  51  50  49  48  47  46  45  44  43
10


Ответ: C52
способами.
10!42!
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10
10
10
 C 48
В C 52
случаях.
9
C 41  C 48
способами.
6
C 48
способами – надо взять 4 туза и выбрать ещё 6 карт из 48.
Задача 7. В некотором государстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов.
Какова может быть наибольшая численность населения государства (наибольшее число
зубов равно 32)?
Ответ: в государстве не может быть больше, чем 2 32 жителей.
Задача 8. Пусть p1 ,..., pm - различные простые числа. Сколько делителей имеет число
q  p11 ... p m m , где  1 ,...,  m - некоторые натуральные числа (делители 1 и q включаются)?
Ответ: (1  1)...( m  1).
Задача 9. Сколько способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи,
ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?
Ответ: 5040.
Задача 10. Пятнадцать занумерованных биллиардных шаров разложены по шести лузам.
Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 615 .
Задача 11. Сколькими способами можно расставить на 32 чёрных полях шахматной доски
12 белых и 12 чёрных шашек?
32!
Ответ:
способов.
12!12!8!
Задача 12. Сколькими способами можно составить набор из 8 пирожных , если имеется 4
сорта пирожных?
Ответ: 165 различных наборов.
Задача 13. В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и
профорга. Сколько существует способов это сделать?
Ответ: 24360.
Задача 14. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими
способами они могут распределить работу?
Ответ: 1024 .
Задача 15. В ящике 100 деталей, из них 30 – деталей 1-го сорта, 50 – 2-го, остальные – 3го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?
Ответ: 80 способов извлечения одной детали 1-го или 2-го сорта.
Задача 16. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько
различных вариантов жеребьевки при этом возможно?
Ответ: 5040.
Задача 17. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует
вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены различные
премии?
Ответ: 100000.
Задача 18. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть
сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна
партия?
Ответ: 120.
Задача 19. В условиях задачи 6 определить, сколько существует вариантов распределения
призов, если по всем номинациям установлены одинаковые призы?
Ответ: 2002.
Задача 20. Садовник должен в течении трех дней посадить 6 деревьев. Сколькими
способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного
дерева в день?
Ответ: 10 .
Задача 21. Сколько существует четырехзначных чисел (возможно, начинающихся с нуля),
сумма цифр которых равна 5?
Ответ: 56.
Задача 22. Сколькими способами можно разбить группу из 25 студентов на три
подгруппы А, В и С по 6, 9 и 10 человек соответственно?
25!
.
Ответ:
6!  9!  10!
Задача 23. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5 и 6, в которых
цифра 4 повторяется 3 раза, а цифры 5 и 6 – по 2 раза?
Ответ: 210.
2. Элементы комбинаторики
1. Найдите число размещений: 1) из 10 элементов по 4; 2) из n + 4 элементов по n – 2.
Ответ: 1) 5040;
2) n  4n  3...8  7.
2. Решите уравнение An5  30 An4 2 .
Ответ: 6; 25.
3. Составить всевозможные перестановки из элементов: 1) 1; 2) 5, 6; 3) a, b, c.
Ответ: 1) 1; 2) 2; 3) 6.
52!
.
4. Вычислить значения выражений: 1) 5! + 6!; 2)
50!
Ответ: 1) 840;
2) 2652.
13
5. Вычислить: 1) C15
; 2) C 64  C50 .
Ответ: 1) 105; 2) 16.
C y  C y  2 ,
6. Решить систему уравнений  x 2 x
 C x  66.
Ответ: х = 15; у = 5.
3. Классическая вероятностная модель. Геометрическая вероятность
Задача 1. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова
вероятность, что все три фрукта – апельсины?
Ответ: 0,12
Задача 2. Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любое число от
1 до 10. Считая, что выбор каждым из студентов любого числа из заданных
равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из них задуманные числа совпадут.
Ответ: 0,28.
Задача 3. Найти вероятность того, что в 8-значном числе ровно 4 цифры совпадают, а
остальные различны.
Ответ: 0,021168 .
Задача 4. Шесть клиентов случайным образом обращаются в 5 фирм. Найти вероятность
того, что хотя бы в одну фирму никто не обратится.
Ответ: 0,8848 .
Задача 5. Пусть в урне имеется N шаров, из них М белых и N–M черных. Из урны
извлекается n шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно m белых
шаров.
С m C n m
Ответ: Р(А)= M nN  M .
CN
Задача 6. Точку наудачу бросили на отрезок [0; 2]. Какова вероятность ее попадания в
отрезок [0,5; 1,4]?
Ответ: 0,45.
Задача 7 (задача о встрече). Два лица А и В условились встретиться в определенном
месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 20 минут, после
чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них
может произойти наудачу в течении указанного часа и моменты прихода независимы?
Ответ: 5/9.
4. Комбинаторные задачи геометрического содержания.
Существует много комбинаторных задач, имеющих геометрическое содержание,
например задачи на подсчёт числа диагоналей многоугольника, числа точек пересечения
нескольких прямых или окружностей и т.д.
Задача 1. На плоскости проведено п прямых, причём никакие две из них не параллельны
и никакие три не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения имеют эти
прямые?
Ответ: C n2 .
Задача 2. Найти число точек пересечения диагоналей, лежащих внутри выпуклого п –
угольника, если никакие три из них не пересекаются в одной точке.
Ответ: C n4
Задача 3. На одной из параллельных прямых линий отмечено 10 точек, а на другой – 7
точек. Каждая точка одной прямой соединена с каждой точкой другой прямой. Найдите
число точек пересечения полученных отрезков, если никакие три отрезка не имеют общей
точки (общие точки на концах отрезков не считаются).
Ответ: 945.
5. Применение комбинаторики к вычислению вероятностей.
Задача 1. Пусть мешок содержит одинаковые по размерам и материалу шары, помеченные
числами от 1 до 90. Из мешка вытаскивают какие-то 5 шаров. Какова вероятность, что
среди этих шаров один помечен числом 90?
C894
89!  85!  5! 1
 .
Ответ: p A  5 
18
C90
85!  4!  90!
Задача 2. Из пруда, в котором плавают 40 щук, выловили 5 щук, пометили их и пустили
обратно в пруд. Во второй раз выловили 9 щук. Какова вероятность, что среди них
окажутся ровно две помеченные щуки?
C mr  C nkmr


p
A

Ответ:
.
C nm
Задача 3. Из коробки, содержащей карточки с буквами о, н, к, ь, наудачу извлекают одну
карточку за другой и располагают в порядке извлечения. Какова вероятность, что в
результате получится слово «конь»?
1
.
24
Задача 4. Из коробки, содержащей карточки с буквами а, к, о, р, р, т, т, извлекают одну
за другой буквы и располагают в порядке извлечения. Какова вероятность, что получится
слово «трактор»?
4
.
Ответ:
71
Задача 5. Из урны, содержащей белый и чёрный шары, извлекают шар, записывают его
цвет и возвращают в урну. После п извлечений получаем кортеж длины п из букв б и ч.
Какова вероятность, что он содержит k букв б?
Ck
Ответ: nn .
2
Ответ:
6. Задачи на основные формулы теории вероятностей
Задача 1. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы.
Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?
Ответ:
10! 5!

C102  C52 2!8! 2!3!
P( A) 

 0,524.
15!
C152
2!13!
Задача 2. Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий, 42%
– французский; английский и немецкий – 8%, английский и французский – 10%, немецкий
и французский – 5%, все три языка – 3%. Найти вероятность того, что случайно
выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский,
немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.
Ответ: а) 0,5; б) 0,8; в) 0,2.
Задача 3. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если
известно, что в семье есть дети обоего пола?
Ответ: 0,5.
Задача 4. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну
за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно
две детали?
Ответ: 7 / 30.
Задача 5. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных
шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если
из каждого ящика вынуто по одному шару.
Ответ: 3 / 4 .
Задача 6. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30
человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3 студентов, а третий — 21
студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех
экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен
у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, у третьего — 70%. Найти
вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.
Ответ: 0,58 .
Задача 7. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, B, С. На
долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики
известно, что среди поставляемых фирмой А деталей 10% бракованных, фирмой В – 5% и
фирмой С – 6%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь окажется годной?
Ответ: 0,923.
Задача 8 (см. задачу 6). Пусть известно, что студент не сдал экзамен, т.е. получил оценку
«неудовлетворительно». Кому из трех преподавателей вероятнее всего он отвечал?
Ответ: вероятнее всего, слабо подготовившийся студент сдавал экзамен третьему
экзаменатору.
7. Упорядоченные множества и размещения.
Задача 1. Вычислить: A103 ; A64 ; A75 .
Ответ: 2520.
A3  A 2
Задача 2. Вычислить: 5 3 6 .
A4
5
Ответ: .
4
5
Задача 3. Решить уравнение: Ax4  Ax31  A43 .
4
Ответ: 6.
Задача 4. Из чисел 4, 9, 7, 11, 19, 23 сколько можно составить дробей, из которых каждая
состоит из двух чисел: одно в числителе, а другое в знаменателе?
Ответ: 30.
Задача 5. Вычислить: A122 ; A85 ; A113 .
Ответы: 132; 6720; 990.
Задача 6. Пользуясь формулой Amn  m(m  1)( m  2)( m  3)...( m  n  2)( m  n  1) ,
A2kk23 ;
A32mm12 . Причём в формулах надо записать три первых
написать: A2kk1 ;
множителя, затем многоточие и в конце обязательно последний множитель и
предпоследний.
Ответы: 2k (2k  1)( 2k  2)...( k  1)k ;
(2k  3)( 2k  2)( 2k  1)...( k  7)( k  6) ;
(3m  1)(3m  2)(3m  3)...( m  1)( m  2).
Задача 7. Решить уравнения: а) Ax3  56 x ; б) Ax4 2  30 Ax2 .
Ответы: а) 9; б) 4.
Задача 8. Сколько можно подать сигналов из пяти различных флажков, поднимая их в
любом количестве и в любом порядке?
Ответ: 325.
Задача 9. Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на четыре различные
должности из девяти кандидатов на эти должности?
Ответ: 3024.
Задача 10. В девятом классе 35 учащихся. Они обменялись друг с другом
фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?
Ответ: 1190.
Задача 11. Из скольких различных предметов можно составить 210 размещений по два
элемента в каждом?
Ответ: 15.
Задача 12. Найдите п, если An5  18  An4 2 .
Ответ: 9;10.
Задача 13. Какая часть из 10 7 семизначных телефонных номеров состоит из семи
различных цифр?
Ответ: 0,06048.
8. Перестановки. Число перестановок.
P P P P
Задача 1. Вычислить 7 ; 10 ; 8 ; m .
P5 P8 P6 Pm2
Ответ: 42; 10; 56; m(m  1).
P
P  9 P8
P
P
Задача 2. Вычислить: а) 9 ; б) n ; в) 2 m 1 ; г) 10
.
P2 m 1
P9
P6
P9
Ответы: а) 504; б) 110; в) 4m 2  2m ; г) 9.
Задача 3. Упростить:
(n  2)!
(2k )!
1
1
а)
; б)
; в)
 .
n!
(2k  1)!
(k  1)! k!
1
1
Ответы: а) n 2  3n  2 ; б)
; в)
.
2k  1
(k  2)! k
Задача 4. Из элементов множества А составьте всевозможные перестановки, если:
а) A  
1;
б) A  7;8;
Ответ: а) (1); б) (7;8) и (8;7).
Задача 5. Сколько различных трёхцветных флагов с тремя горизонтальными полосами
можно получить, если использовать красный, синий, белый цвета?
Ответ: 6.
Задача 6. Найдите значение выражения:
102!
6!5!
.
;
а) 8!9!;
б) 10!1!;
в)
г)
120
100!
Ответ: а) 403200; б) 3628799; в) 10302; г) 5.
Задача 7. Сократите дробь:
n  2! ; в) n  1! ; г) 2k 2k  1 k  N .
n!
а)
; б)
n!
n  1!
n  3!
2k !
1
1
Ответ: а) п; б)
; в) n  1n  2 ;
г)
.
2k  2!
nn  1
Задача 8. Выполните действия:
1
1
1
1
а) 
;
б)
 ;
k  1! k!
n! n  1!
mm  1m  2...m  k  1
p p  1 p  2 p  3 p  4!
m  k .
в)
;
г)
m!
 p  2!
k 1
n
1
Ответ: а)
; б)
; в) p p  1 ;
г)
.
k!
n  1!
m  k !
Задача 9. Сколько элементов должно содержать множество, чтобы число всех
перестановок из элементов этого множества было:
а) не больше 1000;
б) не меньше 500?
Ответ: а) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;
б) n  6.
Задача 10. Сколькими способами можно составить список из 9 учеников?
Ответ: 9! 362880.
Задача 11. В пассажирском поезде 14 вагонов. Сколькими способами можно распределить
по вагонам 14 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?
Ответ: 14!
Задача 12. Из цифр 0, 1, 2, 3 составлены всевозможные четырёхзначные числа так, что в
каждом числе нет одинаковых цифр. Сколько получилось чисел?
Ответ: 18.
Задача 13. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без
повторения цифр. Выясните, сколько среди этих пятизначных чисел таких, которые:
а) начинаются цифрой 3;
б) не начинаются с цифры 5;
в) начинаются с 54;
г) не начинаются с 543.
Ответ: а) 24;
б) 96;
в) 6;
г) 118.
9. Сочетания.
Задача 1. Каждый из присутствующих на собрании должен поздороваться со всеми
другими за руку. Сколько получится всех рукопожатий, если на собрании присутствовало
20 человек?
Ответ: 190 рукопожатий.
C3  C2
Задача 2. Вычислить: C84 ; Ñ125 ; Ñ 2kk2 ; 6 2 5 .
C9
2k (2k  1)...( k  4)( k  3) 5
Ответы: 70; 792;
;
.
18
(k  2)!
Задача 3. Проверь равенство: C m9  C m8  C m9 1 .
Задача 4. Решить уравнения: а) C x3  C x21  0,7C x3 2 ;
б) C x4  3,75 Ax2 .
Ответы: а) 4 и 3; б) 12.
Задача 5. Сколько прямых линий можно провести через 10 точек, если никакие три не
лежат на одной прямой?
Ответ: 45 линий.
Задача 6. Составьте все подмножества множества М и найдите их число, если:
а) M  
1 ; б) M  1;2 .
Ответ: а) пустое множество; 1 ;
б) пустое множество; 1 ; 2; 1;2.
Задача 7. Дано множество X  a; b; c; d . Составьте все подмножества множества Х,
которые:
а) не содержат элемент а;
б) содержат элемент а.
Сколько подмножеств получилось в случае а) и в случае б)?
Ответ: а) 8; б) 8.
Задача 8. Сколько подмножеств имеет множество из 6 элементов?
Ответ: 64.
Задача 9. Найдите:
а) C 82 ;
в) C 74 ;
д) C54  C50 ;
1
100
1
 C100
.
б) C17
;
г) C 86 ;
е) C100
Ответ: а) 28; б) 17; в) 35; г) 28; д) 6; е) 101.
Задача 10. Из 20 рабочих нужно выделить 6 для работы на определённом участке.
Сколькими способами это можно сделать?
6
 38760.
Ответ: C 20
Задача 11. В девятом классе 35 учащихся. Из них нужно избрать 4 делегата на
конференцию. Сколько имеется возможностей такого выбора?
4
 52360.
Ответ: C 35
Задача 12. Сколько можно составить из простых делителей числа 2310 составных чисел,
которые содержат только два простых делителя?
Ответ: 2310  2  3  5  7 11. Поэтому для решения задачи достаточно определить,
сколькими способами можно из пяти чисел 2, 3, 5, 7, 11 выбрать два. Число таких
способов равно C 52  10.
Задача 13. Сколько можно составить из простых делителей числа 3570 составных чисел,
которые содержат только три простых делителя?
Ответ: 10.
Задача 14. Упростите выражение:
2
3
C nn11 ;
а)
б)
C n2 n 3 .
n 1
22n  1
Ответ: а) п; б) nn  1.
Задача 15. Сколько различных плоскостей можно провести через п точек пространства, из
которых никакие четыре не лежат в одной плоскости, если каждая плоскость проходит
через три из данных точек?
Рассмотрите случаи:
а) n  3 ;
в) n  6 ;
б) n  5 ;
г) n  10.
3
Ответ: C n ; а) 1; б) 10; в) 20; г) 120.
Задача 16. Сколько диагоналей имеет:
а) выпуклый пятиугольник;
б) выпуклый двенадцатиугольник;
в) выпуклый двадцатипятиугольник;
г) выпуклый п-угольник, где п > 3?
Ответ: а) 5; б) 54; в) 275; г) из каждой вершины п-угольника можно провести п – 3
диагоналей; так как вершин п, а каждая диагональ проходит через две вершины, то
искомое число равно 0,5п (п – 3).
Задача 17. Сколько человек участвовало в шахматном турнире, если известно, что каждый
участник сыграл с каждым из остальных по одной партии, а всего было сыграно 210
партий?
Ответ: 21.
Задача 18. Сколькими способами можно группу из 15 учащихся разделить на две группы
так, чтобы в одной группе было четыре человека, а в другой – одиннадцать человек?
Ответ: 1365.
10. Выражение числа размещений и сочетаний через перестановки.
P
Задача 1. Упростить выражение n 12 k  2 .
A2 k 1 P2 k  n
Ответ: 2(k  1).
Задача 2. Упростить выражение
Ответ:
C mk 11  C mk
.
C mk 1
m
.
(k  1)
Ank11  Ank1
Задача 3. Упростить выражение
.
Ank
n2  k
Ответ:
.
n
Задача 4. Проверьте тождество: C mk  C mk 11  C mk 12  C mk 1 .
11. Свойства сочетаний.
Задача 1. Вычислить C ; C ; C .
18
20
Ответ: 190 ;
12
15
x 1
x2
455; C x3 2 .
Задача 2. Определить C11x , если C15x  C15x 3 .
Ответ: 462.
Задача 3. Проверить справедливость следующих тождеств:
а) 12A75  A74   A87 ; б) Amk 11  m  1Amk ;
в)
Pn
 Pnk ;
C  Pk
k
n
г) Ank 2  Ank  2kAnk 1  k k  1Ank 2 .
7
Задача 4. Определить х, если C 13
x  Cx ?
Ответ: 20.
k
k 2
 C 20
.
Задача 5. Определите число сочетаний из 9 элементов по k, если C 20
Ответ: 1.
Задача 6. Решить уравнения:
3
а) Ax5  3 Ax4 ;
б) Ax3  Ax21  Ax3 2 ;
в) 8C x51  3 Ax3 ; г) C 2xx1 : Ñ 2xx  22  77 : 20 ;
7
A 4  Px 4
1
5
д) C xx14  P5  C xx25 ; е) Ax31  8C x3  C x4 2 ;
ж) x
 42.
8
7
Px 2
Ответы: а) 7; б) 5; в) 8; г) 11; д) 8; е) 6; ж) 7.
C y  C xy  2 ,
Задача 7. Определить х и у из системы  x 2
 C x  153.
Ответ: 18 и 8.
Задача 8. Найти число элементов т, если число размещений из m  4 элемента по три в
14,4 раза больше числа сочетаний из m  2 элемента по три.
Ответ: 5.
Задача 9. Определить п, если число сочетаний из п элементов по 5 относится к числу
сочетаний из п элементов по три, как 3 : 2.
Ответ: 9.
Задача 10. Сколько можно в выпуклом десятиугольнике провести диагоналей?
Ответ: 35.
Задача 11. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1, 3, 0, 7, 5?
Ответы: 48.
Задача 12. Даны девять точек на плоскости, из которых никакие три не лежат на одной
прямой. Сколько окружностей можно провести через данные точки, если через каждые
три точки можно провести одну окружность?
Ответ: 84.
Задача 13. Если из элементов a, b, c, e составить все перестановки, то сколько среди тех
будет таких, которые начинаются с буквы а?
Ответ: 24.
Задача 14. Докажите, что справедливо равенство:
а) C nm  2C nm 1  C nm 2  C nm22 ;
б) C nm  3C nm1  3C nm 2  C nm 3  C nm33 .
Задача 15. Вычислите:
17
94
а) C18
;
в) C 94
;
34
д) C 37
;
18
999
98
б) C 20
;
г) C1000
;
е) C100
.
Ответ: а) 18; б) 190; в) 1; г) 1000; д) 7770; е) 4950.
Задача 16. Учащийся имеет по одной монете достоинством в 1 коп., 2 коп., 3 коп., 5 коп.,
10 коп., 15 коп., 20 коп. Сколькими способами он может эти монеты разложить в два
кармана?
Ответ: 128.
Задача 17. Из 10 различных цветков нужно составить букет так, чтобы в него входило не
менее двух цветков. Сколько способов существует для составления такого букета?
Ответ: 1013.
Задача 18. Имеется 12 различных конфет. Сколькими способами можно из них составить
набор, если в наборе должно быть чётное число конфет?
Ответ: 2047.
12. Формула Ньютона.
Упражнения.
1. Найдите разложение степени бинома:
5
1
 13


д)  x  y 3  ;


з) 1  y 2 ;
б) x  y  ;
е) x  2 y  ;
и) p 2  1 ;
в)  x  y  ;
ж) 3 x  1 ;
1

к)   2  .
y

а) a  b  ;
6
5


6
5
г)


4

6
5
7

4
x y ;
Ответы: а) a 6  6a 5 b  15a 4 b 2  20a 3b 3  15a 2 b 4  6ab 5  b 6 ;
б) x 5  5x 4 y  10 x 3 y 2  10 x 2 y 3  5xy 4  y 5 ;
в) x 5  5x 4 y  10 x 3 y 2  10 x 2 y 3  5xy 4  y 5 ;
г) x 2  4 x xy  6 xy  4 y xy  y 2 ;
5
4
1
2
2
1
4
5
д) x 3  5 x 3 y 3  10 xy 3  10 x 3 y  5 x 3 y 3  y 3 ;
е) x 6  12 x 5 y  60 x 4 y 2  160 x 3 y 3  240 x 2 y 4  192 xy5  64 y 6 ;
ж) 2187 x 7  5103x 6  5103x 5  2835 x 4  945 x 3  189 x 2  21x  1 ;
з) 1  4 y 2  6 y 4  4 y 6  y 8 ;
и) p 12  6 p 10  15 p 8  20 p 6  15 p 4  6 p 2  1 ;
1 10 40 80 80
 33 .
к) 5  4  3  2 
y
y
y
y
y


31
2. Найдите два средних члена разложения a 3  ab .
15 63 15
16 61 16
a b ; T16  C 31
a b .
Ответ: T15  C31
3. Пользуясь формулой Ньютона, докажите, что:
n
а) сумма всех биномиальных коэффициентов разложения a  b  равна 2 n ;
б) сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме
биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах.
У к а з а н и я.
а) Положите в формуле Ньютона а = 1, b = 1;
б) Положите в формуле Ньютона а = 1, b = -1.
13. Дополнительные упражнения.
1. Решите уравнение:
n  2!  72;
2n !  20n! ;
а)
в)
n!
2n  3! n  2!
k  1!  30;
k!
12k!
б)
г)

.
k  1!
k  4! k  2!
Ответ: а) 7; б) 5; в) 3; г) 6.
2. Решите неравенство:
n  1! 72;
n  2! 1000;
а)
в)
n  3!
n  1n  2
2n  1! 420;
n  4n  3 0,00002.
б)
г)
2n  3!
n  3!
Ответ: а) 3;4;5;6;7;8;9; б) n  N , n11; в) 0;1;2;3;4;5;6;
г) 5;6;7;8;9;10;11;12;13.
3. Сколько всевозможных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, не
повторяя цифры в числе?
Ответ: 96.
4. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, не
повторяя цифры в числе.
Ответ: 1332.
5. Найдите сумму всех четырёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7,
не повторяя цифры в числе.
Ответ: 106656.
6. Среди перестановок цифр числа 1234567, сколько таких, которые:
а) начинаются с 123;
б) кончаются 123;
в) начинаются с цифр 1, 2, 3, причём эти цифры расположены в любом порядке и
занимают первые три места;
г) начинаются с рядом стоящих цифр 1 и 2?
Ответ: а) 24; б) 24; в) 3!4! 144; г) 2  5! 240.
7. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить,
чтобы при этом 1-й и 2-й тома: а) не стояли рядом; б) стояли рядом?
Ответ: а) 28 29! ;
б) 2  29!
8. Решите уравнение:
C n 1
1
7
а) C n3  C n4 2 ;
в) n2n1  ;
5
C 2 n 1 13
C 2nn 1
9

.
n 1
17
C2n
Ответ: а) 3;14; б) 5;
в) 19; г) 17.
9. При каких значениях п имеет место неравенство:
а) C n5 C n4 ;
б) C n5  C n4 ?
Ответ: а) 5;6;7;8;
б) ï  N , n9.
б) 3C 2nn1  5C 2nn 1 ;
г)
10. Решите неравенство:
а) C n5 C n3 ;
в) C19k 1 C19k ;
б) C 27n  C 25n ;
г) C15k  2 C15k .
Ответ: а) 5;6;7; б) n  N , n 6; в) k  N , 1  k  9; г) 9;10;11;12;13;14;15.
11. Сколько окружностей можно провести через 10 точек плоскости, из которых никакие
четыре точки не лежат на одной окружности и никакие три точки не лежат на одной
прямой, если каждая окружность проходит через три из этих точек?
Ответ: 120.
12. Докажите, что верно равенство:
9
10
C99  C109  C119  ...  C 20
 C 21
.
13. Сколько различных аккордов можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если
каждый аккорд может содержать от трёх до десяти звуков?
Ответ: 968.
14. Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и трёх членов редакционной
комиссии. Сколькими способами можно выбрать этих пять человек?
Ответ: 13160160.
15. В подразделении 60 солдат и 5 офицеров. Сколькими способами можно выделить
караул, состоящий из трёх солдат и одного офицера?
Ответ: 171100.
16. Из 10 юношей, 8 мальчиков 5 девушек нужно составить шахматную команду, в
которую входили бы 4 юноши, 1 мальчик и 2 девушки. Сколькими способами это можно
сделать?
Ответ: 16800.
17. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трём из них
изготовление трёх различных видов деталей (по одному виду на каждого)?
Ответ: 336.
18. В комитет избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его заместителя,
секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 3024.
19. Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани шести
различных цветов и все стулья должны быть разного цвета?
Ответ: 6!
20. Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов из состава конференции, на которой
присутствуют 15 человек?
Ответ: 3003.
1
10
, A10
, A105 , An1 , An2 ?
21. Чему равны A10
22. Сколькими способами можно выбрать и расставить на полке 3 книги из 5?
Ответ: n  A53
23. Сколькими способами могут сесть 10 человек в ряду из 10 n мест, если определённые
два лица, А и В, сядут рядом?
У к а з а н и е. Разбить множество искомых комбинаций на два: в первом А левее В, во
втором – правее.
Ответ: п = 2  9!
24. Поезд состоит из двух багажных вагонов, четырёх плацкартных и трёх купейных.
Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны стоять
в начале поезда, а купейные – в конце?
Ответ: n  2!4!3!
25. Сколькими способами можно обозначить данный треугольник, используя буквы А, В,
С?
Ответ: n  3!
26. Сколькими различными способами можно переставить буквы слова «молоко»?
Ответ: 120
27. Сколько различных перестановок можно образовать из всех букв слова «экзамен»,
если все гласные должны стоять в следующем порядке: э, а, е?
Ответ: n  5!
28. Сколько различных десятизначных чисел можно получить, используя при их
написании цифры 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5?
10!
Ответ: n 
2!3!3!2!
29. Сколько чисел, больших 3000000, можно получить, используя при их написании
цифры 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3?
6!
Ответ: n 
3!2!
30. Сколько различных маршрутов может выбрать пешеход, чтобы пройти 9 кварталов, из
них 5 на запад и 4 на север? (Предполагаем, что улицы изображаются линейками
клетчатой бумаги и тянутся как угодно далеко.)
Ответ: n  C 95
31. Сколькими способами можно расположить в один ряд 5 красных мячей, 4 чёрных и 5
белых так, чтобы мячи, лежащие по краям были одного цвета?
13!
Ответ: n 
5!5!3!
32. Сколькими способами можно выбрать 3 подарка из 10 различных предметов?
Ответ: n  C103
33. Сколькими способами можно выбрать несколько фруктов (но не менее одного) из 7
яблок, 4 лимонов и 9 апельсинов? Считаем, что фрукты одного вида неразличимы.
Ответ: 399.
34. Двадцать школьников делятся на три группы. В первую группу входят 3 человека, во
вторую – 5, в третью – 12. Сколькими способами можно это сделать?
3
 C175 .
Ответ: n  C 20
Список используемой литературы:
1) Виленкин Н.Я., Ивашёв – Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ
для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики. –
2-ое изд., дораб. – М.: Просвещение, 1990.
2) Виленкин Н, Я. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. М., «Просвещение»,
1976.
3) Глаголев Н.С., Орлов Е.А., Топазов Н.Г., Де-Пельпор Г.Е. Математика. Часть 1. Алгебра и
простейшие функции. М.: Высшая школа, 1963.
4) Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. 8-е изд., испр. и доп.—М.: Едиториал УРСС,
2005.
5) Колмогоров А.Н., Вейц Б.Е., Демидов И.Т., Ивашёв – Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Алгебра и начала анализа: Учеб. пособие, изд 3-е, - М.: Просвещение, 1977.
6) Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. Для
общеобразоват. Учреждений. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2009.
7) Свешников А. А. и др., «Сборник задач по теории вероятностей, математической
статистике и теории случайных функций», — М.: Наука, 1970.
8) Ширяев А. Н. Вероятность. - М.: Наука, 3-е издание, переработанное и дополненное, 2004.
Цель настоящей работы – помочь студентам в приобретении навыков по решению задач по
теории вероятностей. В начале каждого раздела приводится необходимый теоретический
материал, после чего подробно рассматривается большое число типовых примеров.