МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Г.В. Носов, Е.О. Кулешова, В.А. Колчанова ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ УСТАНОВИВШИЙСЯ РЕЖИМ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Издательство Томского политехнического университета 2011 УДК 621.3.11(075.8) ББК 31.211я73 Н 845 Носов Г.В. Теоретические основы электротехники. Установившийся режим: учебное пособие / Г.В. Носов, Е.О. Кулешова, В.А. Колчанова; Национальный исследовательский Томский политехнический университет. − Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. – 216 с. ISBN 0-00000-000-0 Н 845 В пособии рассмотрены основные положения теории линейных электрических цепей и их свойства. Приведены методы решения задач по следующим разделам: цепи постоянного тока, цепи однофазного синусоидального и трехфазного токов. Теоретический материал закрепляется примерами и контрольными заданиями с методическими указаниями по их выполнению с использованием программно- интегрированной среды Mathcad. Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов Электротехнического института Томского политехнического университета. УДК 621.3.011(075.8) ББК 31.211я73 Рецензенты Ведущий научный сотрудник Института оптики атмосферы им. В.Е. Зуева СО РАН, доктор физико-математических наук, Ф.Ю. Канев Кандидат технических наук, доцент кафедры ТОЭ ТУСУРа, Т.В. Ганджа © ФГБОУ ВПО НИ ТПУ, 2012 © Колчанова В.А., Носов Г.В., Кулешова Е.О., 2012 © Оформление. Издательство Томского политехнического университета, 2012 2 СОДЕРЖАНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................. 7 2. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ ............................................................. 8 2.1. Электрические заряды. Закон Кулона ................................................. 8 2.2. Электростатическое поле...................................................................... 11 2.3. Поляризация диэлектрика и электризация проводника внешним электростатическим полем........................................................................... 15 2.4. Расчет дипольного момента ................................................................. 20 2.5. Электростатическое поле на далёких расстояниях......................... 26 3. ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ....................................... 29 4. ПОСТОЯННЫЙ ТОК ............................................................................. 34 4.1. Законы Кирхгофа ................................................................................... 34 Первый закон Кирхгофа ............................................................................... 34 Второй закон Кирхгофа................................................................................ 34 Метод законов Кирхгофа ............................................................................. 35 4.2. Теорема Телледжена .............................................................................. 35 4.3. Потенциальная диаграмма................................................................... 36 4.4. Метод контурных токов ........................................................................ 38 4.5. Метод узловых потенциалов ................................................................ 39 4.6. Метод преобразования........................................................................... 41 Правило разброса тока ................................................................................. 41 Обобщенный закон Ома ............................................................................... 41 Последовательное соединение ЭДС и сопротивлений ............................. 42 Параллельное соединение источников тока .............................................. 43 Параллельное соединение ЭДС, источников тока и сопротивлений ...... 43 Замена источника тока на источник ЭДС и наоборот .............................. 44 Преобразование треугольника в звезду и наоборот .................................. 45 Перенос источников ЭДС ............................................................................ 45 Перенос источников тока ............................................................................. 46 4.7. Метод наложения .................................................................................... 46 Принцип наложения ..................................................................................... 46 4.8. Метод эквивалентного генератора ..................................................... 48 Теорема об эквивалентном генераторе....................................................... 48 5. ЗАДАНИЕ №1 .......................................................................................... 50 5.1. Методические указания к заданию № 1............................................. 53 5.2. Документ MathCad ................................................................................. 67 6. СИНУСОИДАЛЬНЫЙ ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК ................................... 73 6.1. Действующие значения гармонических токов и напряжений ..... 73 Действующее значение тока ........................................................................ 74 3 Действующее значение напряжения ........................................................... 74 6.2. Символический метод ........................................................................... 74 6.3. Действия с комплексными числами .................................................. 75 1. Переход от алгебраической формы записи к показательной форме .............................................................................................................. 75 2. Переход от показательной формы записи к алгебраической форме .............................................................................................................. 75 3. Сложение и вычитание ...................................................................... 76 4. Умножение .......................................................................................... 76 5. Деление................................................................................................ 76 6. Возведение в степень ......................................................................... 76 7. Некоторые соотношения ................................................................... 76 6.4. Действия с синусоидальными величинами ...................................... 76 1. Сложение ............................................................................................. 76 2. Вычитание ........................................................................................... 77 3. Дифференцирование .......................................................................... 78 4. Интегрирование .................................................................................. 78 6.5. Закон Ома в комплексной форме ........................................................ 78 6.6. Законы Кирхгофа в комплексной форме .......................................... 81 Первый закон Кирхгофа в комплексной форме ........................................ 81 Второй закон Кирхгофа в комплексной форме ......................................... 81 6.7. Мощность при гармонических напряжениях и токах .................... 82 6.8. Топографические и лучевые векторные диаграммы ..................... 85 6.9. Линейные электрические цепи со взаимной индуктивностью .... 88 1. Согласное включение ........................................................................ 89 2. Встречное включение ........................................................................ 91 6.10. Последовательное соединение индуктивно связанных элементов.......................................................................................................... 92 1. Согласное включение (+) .................................................................. 93 2. Встречное включение (-) ................................................................... 93 6.11. Параллельное соединение индуктивно связанных элементов 94 6.12. Развязка индуктивной связи ......................................................... 94 1. Два индуктивно связанных элемента подходят одинаковым образом к общему узлу (d) ........................................................................... 95 2. Два индуктивно связанных элемента подходят различным образом к общему узлу (d) .......................................................................................... 95 7. ЗАДАНИЕ №2 ........................................................................................... 98 7.1. Методические указания к заданию № 2............................................. 99 7.2. Документ MathCad ............................................................................... 112 4 8. РЕЗОНАНС В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ И ТОКАХ ....................................................................... 119 8.1. Резонанс напряжений .......................................................................... 120 8.2. Частотные и резонансные характеристики .................................... 122 8.3. Резонансные кривые ............................................................................ 123 8.4. Резонанс токов....................................................................................... 126 8.5. Резонансные характеристики ............................................................ 128 8.6. Резонанс в индуктивно связанных контурах.................................. 131 9. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ .......................................................................... 134 9.1. Соединения обмоток генераторов и трансформаторов .............. 135 Симметричная система фазных ЭДС........................................................ 136 Фазовый оператор ....................................................................................... 138 Фазные напряжения(напряжения приёмника) ......................................... 138 Линейные напряжения ............................................................................... 139 9.2. Симметричный режим трехфазной цепи ........................................ 140 Соединение звезда-звезда с нулевым проводом...................................... 140 Соединение нагрузки треугольником ....................................................... 142 Трехфазная цепь в симметричном режиме .............................................. 144 9.3. Несимметричный режим трехфазных цепей .................................. 146 Соединение несимметричной нагрузки ( Z A ≠ Z B ≠ Z C ) звездой при заданных фазных ЭДС................................................................................ 147 Соединение несимметричной нагрузки звездой без нулевого провода при ( Z A ≠ Z B ≠ Z C ) заданных линейных напряжениях ....................... 149 Соединение несимметричной нагрузки ( Z A ≠ Z B ≠ Z C ) треугольником ....................................................................................................................... 150 Несимметричный режим сложной трехфазной цепи .............................. 152 9.4. Измерение мощности. Вращающееся магнитное поле ................. 155 Измерение суммарной активной мощности трехфазной цепи с нулевым проводом. ..................................................................................................... 156 Измерение суммарной активной мощности трехфазной цепи без нулевого провода. ....................................................................................... 156 Измерение суммарной реактивной мощности трехфазной цепи без нулевого провода в симметричном режиме. ............................................ 157 10. ЗАДАНИЕ №3 ......................................................................................... 161 10.1. Методические указания к заданию № 3. ................................... 164 10.2. Документ Mathcad.......................................................................... 169 11. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ ......................... 175 11.1. Расчет при обрыве одной фазы (продольная несимметрия). 181 Расчетные схемы для особой фазы С ....................................................... 183 5 Векторная диаграмма ................................................................................. 186 Баланс мощностей....................................................................................... 186 11.2. Расчет при коротком замыкании одной фазы (поперечная несимметрия) ................................................................................................. 187 Расчетные схемы для особой фазы В ....................................................... 188 Баланс мощностей....................................................................................... 192 Векторная диаграмма ................................................................................. 192 11.3. Расчет при коротком замыкании двух фаз (поперечная несимметрия) ................................................................................................. 193 Расчетные схемы для особой фазы А ....................................................... 194 Векторная диаграмма ................................................................................. 195 11.4. Расчет при коротком замыкании между фазами (поперечная несимметрия) ................................................................................................. 196 Расчетные схемы для особой фазы А ....................................................... 198 Векторная диаграмма ................................................................................. 199 12. ЗАДАНИЕ №4 ......................................................................................... 199 12.1. Методические указания к заданию № 4. ................................... 201 12.2. Документ MathCad......................................................................... 210 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................................................................ 215 6 ВВЕДЕНИЕ Теоретические основы электротехники (ТОЭ) – это техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма, являющаяся базовым общетехническим курсом для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов. Электроэнергетика – это отрасль энергетики, включающая в себя производство, передачу, сбыт и потребление электрической энергии. Электроэнергетика является наиболее важной отраслью энергетики и основой функционирования экономики и жизнеобеспечения, что объясняется такими преимуществами электроэнергии перед энергией других видов, как относительная лёгкость передачи на большие расстояния, распределения между потребителями, а также преобразования в другие виды энергии (механическую, тепловую, химическую, световую и др.). Отличительной чертой электрической энергии является практическая одновременность её генерирования и потребления, так как электрический ток распространяется по сетям со скоростью, близкой к скорости света. Основная часть электроэнергии вырабатывается крупными электростанциями: тепловыми (ТЭС), гидравлическими (ГЭС), атомными (АЭС). Электростанции, объединённые между собой и с потребителями высоковольтными линиями электропередачи (ЛЭП), образуют электрические системы. Становление электроэнергетики определялось, с одной стороны, созданием электростанций и топливной базы для них, сооружением линий электропередачи и разработкой электрической аппаратуры и энергетического оборудования, с другой – развитием теоретических основ электротехники – необходимого условия для научного обоснования энергетического строительства. В этих целях были осуществлены важные исследования в области техники высоких напряжении, теории устойчивости электрических систем, разработаны методы расчёта мощных генераторов, трансформаторов и других электрических машин, электропривода, электрических аппаратов; создана электротехнология, внедрено автоматизированное управление электрическими системами, использованы методы физического и математического моделирования при расчёте и изучении электроэнергетических систем. 7 1. 1.1. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ Электрические заряды. Закон Кулона В процессе эксплуатации нефтяных и газовых скважин, а также магистральных трубопроводов возможна электризация оборудования за счет трения и внешних электромагнитных полей, что может привести к электрическим разрядам, взрывам и пожарам. Это обуславливает необходимость изучения основ электростатики. Все вещества состоят из атомов и молекул. Важнейшими структурными элементами атомов являются элементарные частицы материи. Рассмотрим основные свойства двух из них: протонов и электронов. Протоны – частицы, обладающие положительным электрическим зарядом. Они входят в состав атомного ядра, сообщая ему положительный заряд. Электроны – мельчайшие отрицательно заряженные частицы, которые с огромной скоростью вращаются вокруг ядра по замкнутым орбитам. Заряд электрона e = −16 ⋅ 10−20 Кл. Это элементарный, т.е. наименьший, отрицательный электрический заряд. Число электронов в атомах различных химических элементов неодинаково. Так, например, атом водорода имеет один электрон, который вращается вокруг ядра по одной орбите, а натрия – 11 электронов, вращающихся по трем орбитам: на первой, ближней к ядру – 2, на второй – 8 и на третьей – 1. В атомах различных химических веществ, находящихся в обычном состоянии, существует электрическое равновесие: общий отрицательный заряд электронов равен положительному заряду ядра. В этом случае атомы, а значит, и все вещество, состоящее из этих атомов, электрически нейтральны, т.е. суммарный заряд q тела, образованного этим веществом, равен нулю. Если атом теряет один или несколько электронов, то равновесие электрических зарядов нарушается и атом превращается в положительный ион. Если же атом получает лишние электроны, то он заряжается отрицательно, превращаясь в отрицательный ион. Процесс превращения нейтрального атома в положительный или отрицательный ион называется ионизацией. Тело называют электрически заряженным, если в нем преобладают положительные или отрицательные заряды. Избыток тех или других зарядов в рассматриваемом теле возникает в результате 8 передачи заряженных частиц от одного тела другому или их перемещением внутри тела из одной его области в другую область. Такая электризация тел может быть осуществлена трением или в результате других физических и химических процессов. Электрически заряженное тело характеризуется суммарным положительным или отрицательным зарядом q, который измеряется в кулонах (Кл). Электрически заряженные тела (частицы) с зарядами q1 и q2 взаимодействуют друг с другом с силой F, которая является векторной величиной и измеряется в ньютонах (Н). При разноименных зарядах тела притягиваются друг к другу (рис. 1.1, а), а при одноименных – отталкиваются (рис. 1.1, б). Рис. 1.1. Заряженные тела называются точечными, если их линейные размеры малы по сравнению с расстоянием r между телами. Величина силы их взаимодействия F зависит от величины зарядов q1 и q2, расстояния r между ними и среды, в которой находятся электрические заряды. Связь между этими величинами была сформулирована французским ученым Кулоном в 1775 году: величина силы взаимодействия двух неподвижных точечных заряженных тел прямо пропорциональна произведению зарядов этих тел, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и зависит от среды. Закон Кулона выражается следующей формулой: q ⋅q (1.1) F = 1 22 , 4πε a r где ε a – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, которая учитывает влияние среды на величину силы. Из формулы (1.1) следует, что для разноименных зарядов q1 и q2 величина силы F получается отрицательной, что указывает на притяжение точечных тел, а для одноименных зарядов F положительна, что свидетельствует об отталкивании тел. 9 Различные вещества имеют разную абсолютную диэлектрическую проницаемость ε a . Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума ε 0 называется электрической постоянной. Её размерность выражается в фарадах на метр (Ф/м). Опытным путем установлено, что 1 ε0 = = 8,85 ⋅ 10−12 Ф/м. 9 36π ⋅ 10 Величина, показывающая, во сколько раз абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества ε a больше электрической постоянной ε 0 , называется относительной диэлектрической проницаемостью этого вещества ε r , которая не имеет размерности. Таким образом, ε a = ε r ⋅ ε 0 . Для большинства диэлектриков ε r относительно мало зависит от электрических условий и температуры, а поэтому считается значением постоянным. В табл. 1.1 приведены значения ε r для некоторых веществ (диэлектриков). Диэлектрик Воздух Трансформаторное масло Резина Бумага парафинированная εr 1 2,2 2,7 4,3 Таблица 1.1 Диэлектрик Миканит Фарфор Мрамор Стекло εr 5,2 5,8 8,3 6–10 Пример 1.1. Определить силу взаимодействия двух точечных тел с зарядами q1 = 25 ⋅ 10−6 Кл и q2 = −4 ⋅ 10−6 Кл, помещенных в трансформаторное масло на расстоянии r = 10 см друг от друга. Решение. По табл. 1.1 находим относительную диэлектрическую проницаемость трансформаторного масла ε r = 2,2 . Абсолютная диэлектрическая проницаемость трансформаторного масла ε a = ε r ⋅ ε 0 = 2,2 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 = 19,47 ⋅ 10−12 Ф/м. Расстояние между зарядами: 1 r = 10см =10 ⋅ м =10 ⋅ 10-2 м. 100 Сила взаимодействия электрических зарядов: q1 ⋅ q2 25 ⋅ 10−6 ⋅ (−4) ⋅ 10−6 F= = = −41 Н, 4πε a r 2 4 ⋅ 3,14 ⋅ 19,47 ⋅ 10−12 ⋅ 100 ⋅ 10−4 10 причем тела притягиваются к друг другу ( F < 0 ). 1.2. Электростатическое поле Электростатическое поле создается неподвижными и неизменными электрическими зарядами. Электростатическое поле является частным случаем электромагнитного поля и проявляется механическими силами, которые испытывают неподвижные заряженные тела, вносимые в это поле. Если в некоторое электростатическое поле вносить точечное тело с весьма малым пробным положительным зарядом +q, не искажающим исследуемое поле, то в каждой точке поля на это тело будет действовать определенная по значению и направлению механическая сила F. Эта сила характеризует напряженность электростатического поля Е, которая равна отношению силы F, действующей на неподвижное положительно заряженное пробное тело, помещенное в данную точку поля, к величине заряда q этого тела. Напряженность является векторной величиной, модуль которой рассчитывается как F E= , (1.2) q причем размерность напряженности вольт на метр (В/м), т.к. Н=Дж/м=А·В·с/м и Кл=А·с, т.е. Н/Кл=В/м. Используя формулы (1.1) и (1.2) можно определить величину напряженности электростатического поля, создаваемое уединенным точечным телом с зарядом q1 в некоторой точке А (с пробным зарядом q2),отстоящей от этого тела на расстоянии r1: q1 . (1.3) E1 = 4πε a r12 Аналогично можно определить величину напряженности электростатического поля, создаваемое другим уединенным точечным телом с зарядом q2 в той же точке А, отстоящей от этого тела на расстоянии r2: q2 . (1.4) E2 = 4πε a r22 Направления векторов Е1 и Е2 в точке А определяются знаками зарядов q1 и q2 соответственно: при положительном заряде тела вектор напряженности направлен от тела вдоль прямой, соединяющей заряд и точку А, а при отрицательном заряде тела вектор 11 напряженности направлен к телу по прямой, соединяющей заряд и точку А (рис. 1.2). Рис. 1.2. При этом вектор напряженности Е в точке А результирующего электростатического поля, создаваемого зарядами q1 и q2 , находится как геометрическая сумма векторов Е1 и Е2 . Важной характеристикой электростатического поля является потенциал φ численно равный работе, которая может быть совершена силами поля при перемещении положительного единичного заряда q из данной точки поля А в точку, потенциал которой принят равным нулю: 0 ϕ= ∫ F ⋅ dr A . (1.5) q Потенциал является скалярной величиной и измеряется в вольтах (Дж/Кл=В). Потенциал бесконечно удаленной точки или потенциал поверхности Земли обычно принимается равным нулю. Потенциал φ может принимать положительные и отрицательные значения. Положительное значение потенциала в точке А означает положительную работу сил поля при перемещении частицы с зарядом q. Отрицательное значение потенциала в точке А свидетельствует о том, что силы поля будут препятствовать движению частицы с зарядом q из данной точки А в точку, потенциал принят равным нулю. При этом работа сил отрицательна и возможна только за счет внешнего источника. 12 Используя формулы (1.1–1.5) можно рассчитать потенциалы электростатического поля, создаваемые по отдельности точечными уединенными телами с зарядами q1 и q2 в точке А (рис. 1.2): q q2 ϕ1 = 1 ; ϕ2 = . (1.6) 4πε a r1 4πε a r2 Потенциал φ в точке А результирующего электростатического поля, создаваемого зарядами q1 и q2 , находится как алгебраическая сумма потенциалов φ1 и φ2 , рассчитанных с учетом знаков зарядов, т.е. ϕ = ϕ1 + ϕ 2 . (1.7) Разность потенциалов двух точек поля называется электрическим напряжением U, которое равно работе, затрачиваемой на перемещение единичного заряда из одной точки (А) поля в другую точку (В): U = ϕ A − ϕ B , В. (1.8) Графически картина электростатического поля изображается с помощью силовых и эквипотенциальных линий. Силовая линия – это линия в каждой точке которой вектор напряженности Е направлен по касательной. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах. Силовые линии проводят с определенной плотностью, т.е. так, чтобы число силовых линий, проходящих через единицу поверхности, перпендикулярной силовым линиям, было равно или пропорционально значению напряженности поля в данном месте. Однородное электростатическое поле имеет во всех точках одинаковые векторы напряженности. Силовые линии однородного поля параллельны и расположены с одинаковой плотностью. Эквипотенциальная линия в каждой точке имеет одинаковое значение потенциала, причем разность потенциалов (∆φ) соседних эквипотенциальных линий должна быть постоянной. На рис. 1.3 приведена картина электростатического поля двух разноименно заряженных точечных тел. Пример 1.2. Электрические заряды точечных тел равны q1 = 4 ⋅ 10 −10 Кл; q2 = −3 ⋅ 10 −10 Кл. Расстояние между зарядами r = 14,1 см. Определить модуль напряженности Е и потенциал φ электростатического поля в точке А при r1 = r2 = 10 см (рис. 1.2), если заряды находятся в воздухе. Решение. По таблице 1.1 определяем для воздуха ε r = 1, тогда ε a = ε r ⋅ ε 0 = 1 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 = 8,85 ⋅ 10−12 Ф/м. 13 Определяем по формуле (1.3) напряженность в точке А от первого точечного заряда q1 4 ⋅ 10−10 E1 = = = 360 В/м. 4πε a r12 4π ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 0,12 1 E A 1 1 1 1 2 q1 q2 1 Рис. 1.3. Определяем по формуле (1.4) напряженность в точке А от второго точечного заряда q2 −3 ⋅ 10−10 E2 = = = −270 В/м. 4πε a r22 4π ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 0,12 В масштабе 1:1 чертим расположение зарядов и точки А (рис. 1.2). На чертеже строим вектора Е1 и Е2 в точке А, например, в масштабе 90 В/м в 1 см. При этом учитываем знаки зарядов и соответствующих напряженностей (рис. 1.2): вектор Е1 направлен от то- 14 чечного тела с зарядом q1 вдоль прямой, соединяющей этот заряд и точку А (Е1>0), вектор Е2 направлен к точечному телу с зарядом q2 вдоль прямой, соединяющей этот заряд и точку А (Е2<0). Графически складываем вектора Е1 и Е2: строим параллелограмм из этих векторов и измеряем его диагональ, которая получается равной 5 см. После умножения длины этой диагонали на масштаб построения векторов 90 В/м в 1 см получаем искомый модуль напряженности электростатического поля в точке А: Е=5·90=450 В/м. По формулам (1.6) находим потенциалы в точке А от первого q1 4 ⋅ 10−10 ϕ1 = = = 36 В 4πε a r1 4π ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 0,1 и второго точечного заряда q2 −3 ⋅ 10−10 ϕ2 = = = −27 В. 4πε a r2 4π ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 0,1 В результате искомый потенциал электростатического поля в точке А будет равен ϕ = ϕ1 + ϕ2 = 36 + (−27) = 9 В. 1.3. Поляризация диэлектрика и электризация проводника внешним электростатическим полем К диэлектрикам относятся вещества (табл. 1.1), у которых практически отсутствуют свободные заряды. При внесении диэлектрика в электростатическое поле под действием сил поля орбиты электронов смещаются в направлении, противоположном полю, вследствие чего ядра атомов оказываются уже не в центрах электронных орбит (рис. 1.4, а), а на некотором расстоянии от них (рис. 1.4, б). С точки зрения электрических свойств такой атом (молекулу) можно рассматривать как электрический диполь, т.е. как пару разноименных точечных зарядов +q и –q (рис. 1.4, в), находящихся на небольшом расстоянии h друг от друга (плечо диполя). 15 Рис. 1.4. Заряды, образующие диполи диэлектрика, являются связанными, а произведение величины заряда q и плеча h называют электрическим моментом диполя: (1.9) p = q ⋅ h. Электрический момент диполя p – векторная величина, направленная от отрицательного заряда диполя –q к положительному заряду +q (рис. 1.4, в). Электрический момент измеряется в Кл·м. Таким образом, молекулы диэлектриков во внешнем поле становятся диполями, электрические моменты p которых стремятся расположиться в направлении внешнего поля (рис. 1.5). При исчезновении поля исчезает и смещение электронных орбит. Явление смещения называется поляризацией диэлектрика. Рис. 1.5. Поляризованные молекулы создают свое электростатическое поле, направленное противоположно внешнему полю. Таким образом, в диэлектрике результирующее поле отличается от внешнего 16 поля. Если абсолютная диэлектрическая проницаемость внешней среды меньше абсолютной диэлектрической проницаемости внесенного диэлектрика, то поле внутри диэлектрика ослабляется по сравнению с внешним полем и имеет такое же направление (рис. 1.5). Если же абсолютная диэлектрическая проницаемость внешней среды больше абсолютной диэлектрической проницаемости внесенного диэлектрика, то поле внутри диэлектрика усиливается по сравнению с внешним полем и имеет противоположное направление. Способность диэлектрика поляризоваться под действием электростатического поля оценивается относительной диэлектрической проницаемостью ε r (табл. 1.1), которая показывает, во сколько раз ослабляется внешнее поле (уменьшается напряженность Е) в диэлектрике, размещенном в вакууме или воздухе. На противоположных сторонах диэлектрика (рис. 1.5) оказываются сосредоточены положительные и отрицательные связанные заряды с некоторой поверхностной плотностью σ СВЯЗ , имеющей размерность Кл/м2. При этом внутри диэлектрика положительные и отрицательные заряды диполей взаимно уравновешиваются. Суммарный заряд поляризованного диэлектрика будет равен нулю. Для определения σ СВЯЗ примем, что внешняя среда имеет абсолютную диэлектрическую проницаемость ε 0 , а прямоугольное тело из диэлектрика, расположенное во внешнем однородном поле с напряженностью Е согласно рис. 1.5, характеризуется проницаемостью ε a = ε r ⋅ ε 0 . В этом случае постоянная поверхностная плотность отрицательных связанных зарядов на поверхности диэлектрика, в которую входят силовые линии внешнего поля, приближенно без учета искажения поля определиться так E (1 − ε r ) (1.10) E, σ СВЯЗ ≈ ε 0 − E = ε 0 ε ε r r т.е. при ε r = 1 имеем σ СВЯЗ = 0 , а при ε r > 1 получаем σ СВЯЗ < 0 . Очевидно, что на противоположной поверхности диэлектрика поверхностная плотность положительных связанных зарядов будет отличаться только знаком. При этом величина напряженности равномерного результирующего поля в диэлектрике (здесь и далее Е0 – исходная напряженность внешнего поля до внесения в его тела) E 3 (1.11) EРЕЗ = ≈ ⋅E , εr 2 + εr 0 определяемая из граничного условия 17 ε 0 E = ε 0ε r EРЕЗ , (1.12) должна быть меньше пробивной напряженности ЕПР, при которой наступает пробой диэлектрика и диэлектрик теряет свои изолирующие свойства и становится проводником. Значения пробивной напряженности ЕПР при нормальных условиях и однородном постоянном поле для некоторых диэлектриков приведены в табл. 1.2. Таблица 1.2 Диэлектрик Воздух Мрамор Трансформаторное масло Бумага парафинированная Фарфор ЕПР кВ/мм 3 3–4 5–15 10–25 15–20 Диэлектрик Миканит Резина Полистирол Полиэтилен Слюда ЕПР кВ/мм 15–20 15–20 20–30 50 80–200 К проводникам относятся вещества, которые имеют достаточно много хаотически перемещающихся свободных зарядов – электронов у металлов и ионов у электролитов. При внесении проводника в электростатическое поле под действие сил поля положительные свободные заряды будут перемещаться по направлению поля, а отрицательные – навстречу полю. В результате на противоположных поверхностях проводника будут накапливаться заряды разных знаков, создающие собственное поле, направленное навстречу внешнему полю. Такое разделение зарядов (электризация проводника) будет проходить до тех пор, пока величина напряженности результирующего поля в проводнике не станет равной нулю, т.е. ЕРЕЗ = 0. При этом во всех точках проводника потенциал φ будет одинаков. Явление разделения свободных электрических зарядов в проводящем теле под действием внешнего электростатического поля называется электростатической индукцией. Таким образом, электростатическое поле будет отсутствовать не только в сплошном проводнике (рис. 1.6), но и внутри металлической оболочки. Это свойство используется для защиты приборов от действия внешних электростатических полей: для этого прибор заключают в металлическую оболочку или сетку-экран. 18 Рис. 1.6. Для определения поверхностной плотности свободных зарядов σ СВОБ (Кл/м2) примем, что внешняя среда имеет абсолютную диэлектрическую проницаемость ε 0 , а прямоугольное тело из проводника располагается во внешнем однородном поле с напряженностью Е согласно рис. 1.6. В этом случае постоянная поверхностная плотность свободных отрицательных зарядов на поверхности проводника, в которую входят силовые линии внешнего поля, приближенно без учета искажения поля определиться на основании граничного условия так (1.13) σ СВОБ ≈ −ε 0 E ≈ −3ε 0 E0 . На противоположной поверхности проводника поверхностная плотность свободных положительных зарядов будет отличаться только знаком, т.е. суммарный заряд тела равен нулю. Очевидно, что для цилиндрического или сферического тела радиуса R , расположенного во внешнем поле с напряженностью Е согласно рис. 1.7, приближенно без учета искажения поля поверхностная плотность зарядов составит (1.14) σ ≈ −σ m ⋅ cos(α ) , где σ m – максимальная поверхностная плотность отрицательных зарядов при α = π , определяемая по (1.10) для диэлектрика и по (1.13) для проводника. 19 Рис. 1.7. Пример 1.3. Определить поверхностные плотности отрицательных связанных σ СВЯЗ и свободных зарядов σ СВОБ прямоугольных тел из резины и меди соответственно. Тела расположены в воздухе и напряженность внешнего электростатического поля Е=100 В/м. Решение. Из таблицы 1.1 определяем для резины ε r = 2,7 , причем абсолютная диэлектрическая проницаемость воздуха равна ε 0 . По формуле (1.10) находим поверхностную плотность отрицательных связанных зарядов тела из резины, которая является диэлектриком: (1 − ε r ) (1 − 2,7) σ СВЯЗ ≈ ε 0 E = 8,85 ⋅10−12 ⋅ ⋅ 100 = −5,57 ⋅10−10 Кл/м2. 2,7 εr По формуле (1.13) рассчитываем поверхностную плотность свободных отрицательных зарядов тела из меди, которая является проводником: σ СВОБ ≈ −ε 0 E = −8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 100 = −8,85 ⋅ 10−10 Кл/м2. 1.4. Расчет дипольного момента Любую систему тел с суммарным нулевым зарядом можно представить в виде эквивалентного диполя с дипольным моментом (1.15) p = ∑ qk ⋅ rk = ∫ rdq = px ⋅ 1x + p y ⋅ 1y + pz ⋅ 1z , k где rk – радиус-вектор дискретной системы точечных зарядов, направленный из произвольно выбранного начала отсчета в заряд qk ; r – радиус-вектор сплошной системы зарядов, направленный из произвольно выбранного начала отсчета в элемент с зарядом dq = σ ⋅ dS , dq = ρ ⋅ dV , dq = τ ⋅ dl ; 20 σ , ρ ,τ – поверхностная, объемная и линейная плотности связанных или зарядов тел соответственно; свободных 1x ,1y ,1z – единичные векторы, направленные по осям x, y, z системы координат соответственно; px , p y , pz – проекции вектора дипольного момента на оси x, y, z . Модуль вектора дипольного момента будет равен p= px2 + p 2y + pz2 . (1.16) Так, если точечный заряд qk дискретной системы к-зарядов относительно произвольно выбранного начала прямоугольной системы координат имеет радиус-вектор (1.17) rk = xk ⋅ 1x + yk ⋅ 1y + zk ⋅1z , то из формулы (1.15) получаем вектор дипольного момента эквивалентного диполя, выходящий из того же начала координат: (1.18) p = ∑ (qk ⋅xk ) ⋅ 1x + ∑ (qk ⋅yk ) ⋅ 1y + ∑ ( qk ⋅zk ) ⋅1z , k k k где xk , yk , zk – координаты точечного заряда qk в выбранной системе координат. Определим дипольный момент для прямоугольного диэлектрического или проводящего тела с заданной постоянной поверхностной плотностью отрицательных зарядов σ , определяемой по формулам (1.10) или (1.13). Тело имеет геометрические размеры a, b, c . Начало прямоугольной системы координат выберем в центре тела так, чтобы оси были параллельны плоскостям тела (рис. 1.8), тогда радиус-вектор отрицательных поверхностных зарядов σ будет следующим (1.19) r1 = −0,5a ⋅ 1x + y ⋅ 1y + z ⋅ 1z , а для положительных зарядов ( −σ ) радиус-вектор будет равен (1.20) r2 = 0,5a ⋅ 1x + y ⋅ 1y + z ⋅ 1z . 21 b Рис. 1.8. Подстановка (1.19) и (1.20) в (1.15) позволяет получить вектор дипольного тела момента заряженного прямоугольного p = ∫ r ⋅ dq = ∫ r1 ⋅ σ dS − ∫ r2 ⋅ σ dS = ∫ r1 ⋅ σ dy ⋅ dz − ∫ r2 ⋅ σ dy ⋅ dz = 0,5b = − ∫ 0,5 c dy ∫ (−0,5a ⋅ 1x + y ⋅ 1y + z ⋅ 1z ) ⋅ σ dz − −0,5 b −0,5 c 0,5b 0,5 c ∫ −0,5b dy ∫ (0,5a ⋅ 1x + y ⋅ 1y + z ⋅ 1z ) ⋅ σ dz = −0,5 c = −σ ⋅ abc ⋅ 1x , (1.21) который направлен из начала координат по оси x по направлению от отрицательных зарядов к положительным зарядам ( σ < 0 ). Найдем дипольный момент весьма тонкого заряженного кольца радиуса R и толщиной d при R ≫ d , имеющего линейную плотность связанных или свободных зарядов (1.22) τ ≈ −τ m ⋅ cos(α ) , где τ m = d ⋅ σ m , Кл/м – максимальная линейная плотность отрицательных зарядов при α = π , причем σ m берется согласно (1.14). Начало прямоугольной системы координат x, y выберем в центре кольца так, чтобы кольцо располагалось в плоскости x, y и ось x была направлена в точку с максимальной положительной линейной плотностью зарядов (рис. 1.7). В этих условиях радиус-вектор будет следующим 22 (1.23) r = R cos(α ) ⋅ 1x + R sin(α ) ⋅ 1y . Подстановка (1.23) в (1.15) с учетом (1.22) позволяет найти вектор дипольного момента заряженного кольца 2π p = ∫ rdq = ∫ r ⋅ τ dl = ∫ R cos(α ) ⋅ 1x + R sin(α ) ⋅ 1y ⋅ τ ⋅ Rdα = 0 2π 2π = −τ m R 2 ⋅ ∫ cos(α ) 2 dα ⋅ 1x − τ m R 2 ⋅ ∫ sin(α ) ⋅ cos(α )dα ⋅ 1y = 0 0 2 = −τ m ⋅ π R ⋅ 1x , (1.24) который по-прежнему направлен из начала координат по оси x от отрицательных зарядов к положительным зарядам (τ m < 0 ). Рассчитаем дипольный момент весьма тонкого заряженного диска радиуса R , у которого поверхностная плотность зарядов изменяется согласно (1.14). Как и для кольца выбреем начало координат x, y в центре диска (рис. 1.7), тогда при 0 ≤ r ≤ R радиус-вектор будет равен (1.25) r = r cos(α ) ⋅ 1x + r sin(α ) ⋅ 1y , где r – удаление от начала координат. Подстановка (1.25) в (1.15) с учетом (1.14) позволяет определить вектор дипольного момента заряженного диска 2π R p = ∫ rdq = ∫ r ⋅ σ dS = ∫ ∫ r cos(α ) ⋅ 1x + r sin(α ) ⋅ 1y ⋅ σ ⋅ (rdrdα ) = 0 0 2π R 2π = −σ m ⋅ ∫ cos(α ) 2 dα ∫ r 2 dr ⋅ 1x − σ m ⋅ ∫ sin(α )cos(α )dα ∫ r 2 dr ⋅ 1y = 0 0 0 0 3 πR (1.26) = −σ m ⋅ ⋅ 1x , 3 который направлен из начала координат по оси x ( σ m < 0 ). Вычислим дипольный момент заряженного сферического тела радиуса R , у которого поверхностная плотность зарядов зависит от одной координаты θ и изменяется подобно (1.14). Выберем начало прямоугольной системы координат в центре сферы так, чтобы ось z была направлена в точку с максимальной поверхностной плотностью заряда (рис. 1.9). Радиус-вектор получаетсяследующим (1.27) r = R cos(α )sin(θ ) ⋅ 1x + R sin(α )sin(θ ) ⋅ 1y + R cos(θ ) ⋅ 1z . R 23 z r y x Рис. 1.9. Подстановка (1.27) в (1.15) с учетом (1.14) для угла θ позволяет рассчитать сферы вектор дипольного момента заряженной 2 p = ∫ rdq = ∫ r ⋅ σ dS = ∫∫ r ⋅ [ −σ m ⋅ cos(θ )] ⋅ R dα ⋅ sin(θ )dθ = π 2π = −σ m R ⋅ ∫ cos(α )dα ∫ sin(θ ) 2 cos(θ )dθ ⋅ 1x − 0 0 2π π −σ m R 3 ⋅ ∫ sin(α )dα ∫ sin(θ ) 2 cos(θ )dθ ⋅ 1y − 0 0 2π π 4π R 3 −σ m R3 ⋅ ∫ dα ∫ sin(θ )cos(θ ) 2 dθ ⋅ 1z = −σ m ⋅ ⋅ 1z , (1.28) 3 0 0 который направлен из начала координат по оси z ( σ m < 0 ). Определим дипольный момент двух разноименно заряженных параллельных нитей длиной l при расстоянии между ними а, когда нити имеют постоянную линейную плотность зарядов –τ и +τ . Начало прямоугольной системы координат выберем в центре между нитями так, чтобы ось z была параллельна нитям и плоскость z0x совпадала с плоскостью нитей (рис. 1.10). В результате радиус-вектор отрицательно заряженной нити (–τ) будет равен (1.29) r1 = −0,5a ⋅ 1x + 0 ⋅ 1y + z ⋅ 1z , а для положительно заряженной нити (+τ) получится таким (1.30) r2 = 0,5a ⋅ 1x + 0 ⋅ 1y + z ⋅ 1z . 3 24 Рис. 1.10. Подстановка (1.29) и (1.30) в (1.15) дает возможность рассчитать вектор дипольного момента двух разноименно заряженных параллельных нитей p = ∫ r ⋅ dq = − ∫ r1 ⋅ τ dl + ∫ r2 ⋅ τ dl = − ∫ r1 ⋅ τ dz + ∫ r2 ⋅ τ dz = 0,5 l 0,5a ⋅ 1x + z ⋅ 1z ⋅ dz = − 0,5 a ⋅ 1 + z ⋅ 1 ⋅ dz + τ x z ∫ ∫ −0,5 l −0,5 l = τ ⋅ a ⋅ l ⋅ 1x , (1.31) который направлен из начала координат по оси x (τ >0). Найдем дипольный момент заряженной прямолинейной нити длиной l. Начало прямоугольной системы координат выберем в центре нити так, чтобы ось z совпадала с ней (рис. 1.11). = −τ 0,5 l Рис. 1.11. Суммарный заряд нити равен нулю и изменение линейной плотности заряда вдоль нити примем равным πz (1.32) τ = τ m ⋅ sin( ) . l Радиус-вектор будет совпадать с осью z: 25 (1.33) r = z ⋅ 1z . Подстановка (1.32) и (1.33) в (1.15) дает возможность найти вектор дипольного момента заряженной прямолинейной нити 0,5l π z 2l 2 p = ∫ r ⋅ dq = ∫ r1 ⋅ τ dl = τ m ⋅ ∫ z ⋅ sin( )dz ⋅ 1z = τ m ⋅ 2 ⋅ 1z , (1.34) π l −0,5l который направлен из начала координат по оси z (τ m > 0 ). Пример 1.4. Определить вектор дипольного момента дискретной системы трех точечных зарядов: q1 = −5 ⋅ 10−10 Кл; q2 = 3 ⋅ 10−10 Кл; q3 = 2 ⋅ 10−10 Кл. Заряды имеют следующие координаты: заряд q1 − x1 = 0, y1 = −2 м, z1 = 0; заряд q2 − x2 = 0, y2 = 1м, z2 = 0; заряд q3 − x3 = 3 м, y3 = 0, z3 = 2 м. Решение. По формуле (1.18) рассчитываем вектор дипольного момента: p = ∑ (qk ⋅xk ) ⋅ 1x + ∑ (qk ⋅yk ) ⋅ 1y + ∑ (qk ⋅zk ) ⋅ 1z = k k k = ( q1 ⋅ x1 + q2 ⋅ x2 + q3 ⋅ x3 ) ⋅ 1x + (q1 ⋅ y1 + q2 ⋅ y2 + q3 ⋅ y3 ) ⋅ 1y + +(q1 ⋅ z1 + q2 ⋅ z2 + q3 ⋅ z3 ) ⋅ 1z = = (2 ⋅ 10−10 ⋅ 3) ⋅ 1x + (5 ⋅ 10−10 ⋅ 2 + 3 ⋅ 10−10 ⋅ 1) ⋅ 1y + (2 ⋅ 10−10 ⋅ 2) ⋅ 1z = = 6 ⋅ 1x + 13 ⋅ 1y + 4 ⋅ 1z ⋅ 10−10 Кл·м. По формуле (1.16) находим модуль этого вектора p= px2 + p y2 + pz2 = 10−10 ⋅ 62 + 132 + 42 = 14,87 ⋅ 10−10 Кл·м. 1.5. Электростатическое поле на далёких расстояниях В ряде случаев возникает задача о нахождении напряженности и потенциала на расстояниях, которые значительно превышают размеры заряженных тел. Такие расстояния называются далёкими. При расчете полей на далёких расстояниях заряженные тела с суммарными зарядами отличными от нуля заменяют точечными зарядами и расчет ведется по известным формулам (1.3–1.7). В свою очередь при расчете полей на далёких расстояниях заряженные тела с суммарным нулевым зарядом заменяют эквивалентными диполями и определяют их вектора дипольного момента, которые затем используются при расчете напряженности и потенци- 26 ала. Так если известен вектор дипольного момента p , выходящий из выбранного начала координат, то на далеком расстоянии r от этого начала координат в некоторой точке А (рис. 1.12) потенциал находится по следующей формуле: p ⋅ cos(θ ) , (1.35) ϕ= 4πε a r 2 где р – модуль вектора дипольного момента, определяемый по (1.16); θ – угол между радиусом r и вектором p . E y Er E A r p z x 0 Рис. 1.12 В свою очередь величины составляющих вектора напряженности в точке А рассчитываются так: 2 p cos(θ ) p sin(θ ) , (1.36) Er = ; Eθ = 3 4πε a r 4πε a r 3 где Er – величина составляющей вектора напряженности Er , которая направлена вдоль радиуса r от начала координат; Eθ – величина составляющей вектора напряженности Eθ , которая направлена перпендикулярно радиусу r в направлении увеличения угла θ и лежащая в плоскости этого угла. Результирующий вектор напряженности E в точке А находится как геометрическая сумма векторов Er и Eθ (рис. 1.12), причем модуль этого вектора будет равен p (1.37) E = Er2 + Eθ2 = ⋅ 3cos(θ )3 + 1 . 3 4πε a r 27 Если точка А имеет координаты x, y и z, а вектор дипольного момента записан как (1.15) и имеет модуль (1.16), то тогда угол θ можно рассчитать по следующей формуле: x ⋅ px + y ⋅ p y + z ⋅ pz θ = arccos (1.38) . 2 2 2 p ⋅ x + y + z Потенциал и напряженность в точке А от нескольких векторов дипольного момента определяются методом наложения: потенциалы от отдельных дипольных моментов складываются алгебраически, а результирующий вектор напряженности находится как геометрическая сумма векторов напряженности, создаваемых каждым дипольным моментом в отдельности. Пример 1.5. Определить потенциал и модуль вектора напряженности в точке А, расположенной в воздухе на оси y на расстоянии r=10 м от начала прямоугольной системы координат. Вектор дипольного момента равен −8 p = 5 ⋅ 10 ⋅ 1x + 5 ⋅ 10−8 ⋅ 1y + 0 ⋅ 1z Кл·м. Решение. По формуле (1.16) находим модуль вектора дипольного момента p= px2 + p y2 + pz2 = 10−8 ⋅ 52 + 52 + 02 = 7,07 ⋅ 10−8 Кл·м. По формуле (1.38) находим угол между вектором дипольного момента и радиусом r, совпадающим с осью y 0 ⋅ 5 ⋅ 10−8 + 10 ⋅ 5 ⋅ 10−8 + 0 ⋅ 0 θ = arccos = 45 . −8 2 2 2 7,07 ⋅ 10 ⋅ 0 + 10 + 0 По формуле (1.35) вычисляем потенциал в точке А p ⋅ cos(θ ) 7,07 ⋅ 10−8 ⋅ cos(45 ) = = 4,5 В. ϕ= 4πε a r 2 4π ⋅ 1 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 102 По формулам (1.36) определяем величины составляющих вектора напряженности в точке А 2 p cos(θ ) 2 ⋅ 7,07 ⋅ 10−8 ⋅ cos(45 ) Er = = = 0,9 В/м; 4πε a r 3 4π ⋅ 1 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 103 p sin(θ ) 7,07 ⋅ 10−8 ⋅ sin(45 ) = = 0,45 В/м. 4πε a r 3 4π ⋅ 1 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 103 По формуле (1.37) рассчитываем модуль вектора напряженности в точке А Eθ = E = Er2 + Eθ2 = 0,92 + 0,452 = 1,006 В/м. 28 2. ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Электрическая цепь – это совокупность соединенных проводниками источников и приемников электромагнитной энергии. Электрическая цепь служит для передачи, распределения и преобразования электромагнитной энергии. Источники преобразуют различные виды энергии в электромагнитную энергию – аккумуляторы, электромашинные генераторы и другие устройства. Приемники – это накопители и потребители электромагнитной энергии. Накопители запасают и затем отдают в цепь электромагнитную энергию – это индуктивные и емкостные накопители. Потребители преобразуют электромагнитную энергию в другие виды энергии – это нагреватели, лампы, двигатели и другие устройства. Свое назначение электрическая цепь выполняет при наличии в ней электрического тока и напряжения. Ток – это упорядоченное движение зарядов, равное скорости их перемещения через поперечное сечение участка цепи dq Кл . (2.1) i= ,A= dt с Рис. 2.1. Для однозначного определения тока за положительное направление достаточно выбрать одно из двух его возможных направлений. Напряжение равно энергии, затрачиваемой на перемещение единицы заряда из одной точки цепи в другую точку и равно разности потенциалов этих точек dW Дж . (2.2) = ϕ1 − ϕ 2 , В = u= dq Кл Потенциал ϕ – это скалярная величина, определяемая с точностью до постоянной и равная работе по переносу единицы положительного заряда из данной точки в точку с ϕ = 0 . Положительное 29 направление напряжения связано с принятым положительным направлением тока (рис. 2.1). Постоянные ток и напряжение неизменны во времени и генерируются источниками постоянного тока и напряжения, например: аккумуляторами, генераторами и т.д. При этом вводятся обозначения: i=I, u=U, P=UI. Мощность характеризует преобразование энергии на участке цепи и равна скорости изменения этой энергии dW Дж . (2.3) = u ⋅ i , Вт = P= dt с Если P>0 – то энергия потребляется на данном участке цепи, а если P<0 – то энергия генерируется на этом участке цепи. Линейные элементы схем замещения Для облегчения расчета и анализа цепей их заменяют схемами замещения, составляемые из пассивных и активных элементов. Математическое описание этих элементов отражает реальные физические процессы, происходящие в электрических цепях. Линейные цепи характеризуются линейными уравнениями для токов и напряжений и заменяются линейными схемами замещения. Линейные схемы замещения составляются из линейных пассивных и активных элементов, вольтамперные характеристики которых линейны. 1. Пассивные линейные элементы схем замещения. Взаимосвязь между напряжением и током для идеальных пассивных линейных элементов, их изображения на схемах и энергетические зависимости приведены в табл. 2.1 Таблица 2.1 Элементы Характеристики Напряжение Ток u R = R ⋅ iR di uL = L L dt 30 iR = iL = uR Мощность и энергия R 1 u L dt L∫ p = iR2 R = W= u R2 LiL2 2 R uC = 1 iC dt C∫ iC = C duC dt W= CuC2 2 Резистивные элементы необратимо преобразуют электромагнитную энергию в тепло, причем величина сопротивления R (Ом) постоянна. Индуктивные элементы запасают электромагнитную энергию W в магнитном поле, причем величина индуктивности L (Гн) постоянна. Схема замещения катушки состоит из последовательно соединенных резистивного и индуктивного элементов (рис. 2.2). Рис. 2.2. Емкостные элементы запасают электромагнитную энергию в электрическом поле, причем величина емкости C (Ф) постоянна. Схема замещения конденсатора состоит из параллельно соединенных резистивного и емкостного элементов (рис. 2.3). Рис. 2.3. Примечание: 1) При постоянном токе напряжение индуктивного элемента dI U L = L L = 0, а значит, индуктивный элемент – "закоротка" dt (рис. 2.4). UL Рис. 2.4. 2) При постоянном напряжении ток емкости I С = C значит, емкостный элемент – "разрыв" (рис. 2.5). 31 dU C = 0, а dt UС UС Рис. 2.5. 2. Активные элементы схем замещения. К активным элементам схем замещения относятся источники энергии, которые делятся на два типа: источники ЭДС (электродвижущая сила) и источники тока. Источники могут быть независимыми и зависимыми (управляемыми). Изображение идеальных источников на схемах и их характеристики приведены в табл. 2.2. Таблица 2.2 Элементы и их изображения Источник ЭДС e i + e Характеристики Генерируемая мощность u=e p=e·i i=J p=u·J u Источник тока J Идеальный источник ЭДС e характеризуется напряжением u, которое не зависит от протекающего тока i, причем сопротивление этого источника равно нулю. Идеальный источник тока J характеризуется током i, который не зависит от его напряжения u, причем сопротивление его равно бесконечности. Активные и пассивные элементы применяются для составления схем замещения реальных источников электромагнитной энергии (например, схема замещения аккумулятора рис. 2.6). 32 Рис. 2.6. Топологические понятия Топологические понятия применяются при анализе и расчете схем замещения электрических цепей. Ветвь – это часть схемы, содержащая элементы цепи, по которой течет один ток. Узел – это точка схемы, к которой подходит не менее трех ветвей. Контур – это замкнутая часть схемы, образованная ее ветвями, причем в элементарный контур не входят другие контуры. В качестве примера рассмотрим схему, изображенную на рис. 2.7. Здесь a, b, c, d – узлы схемы; ab, ac, ad, bc, bd – ветви; abda, abdca, abcda и т.д. – контуры; причем abca, bdcb, acda – элементарные контуры. e2 e1 i4 i1 i2 i3 i5 i6 Рис. 2.7. 33 3. ПОСТОЯННЫЙ ТОК 3.1. Законы Кирхгофа Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах. Первый закон Кирхгофа Для любого узла цепи алгебраическая сумма токов равна нулю, причем со знаком "+" принимаются токи, выходящие из узла: (3.1) ∑ ik = 0 . В качестве примера рассмотрим узел a, изображенный на рис. 3.1. Ток i1 входит в узел a, а токи i2 и i3 выходят из узла a. Таким образом, первый закон Кирхгофа для узла a будет иметь вид: − i1 + i2 + i3 = 0 . i1 i3 i2 Рис. 3.1. Физически первый закон Кирхгофа – это закон непрерывности электрического тока. Второй закон Кирхгофа Для любого контура цепи алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС и напряжений источников тока. Со знаком "+" принимаются те слагаемые, положительные направления которых совпадают с направлением обхода контура (3.2) ∑ ±ik Rk = ∑ ±ek + ∑ ±u J k . Второй закон Кирхгофа для контура, изображенного на рис. 3.2 будет иметь вид: − i1 R1 + i2 R2 = u + e − u J . 34 i1 R2 u UJ R2 i2 Рис. 3.2. Физически второй закон Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи. Метод законов Кирхгофа Метод законов Кирхгофа заключается в решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа необходимо составить (3.3) n1 = n у − 1 уравнений, а по второму закону Кирхгофа (3.4) n2 = nв − n у + 1 уравнений, где nу – число узлов схемы; nв – число ветвей схемы. Решение системы уравнений, составленных по законам Кирхгофа, позволяет определить все токи и напряжения в рассматриваемой цепи. 3.2. Теорема Телледжена Для любого момента времени сумма вырабатываемых мощностей источников равна сумме потребляемых мощностей во всех пассивных элементах рассматриваемой цепи (3.5) ∑ ± ek ik + ∑ ±U J q J q = ∑ unin или Pв = Pп . Эта теорема является законом сохранения энергии в электрической цепи и применяется как баланс мощностей для проверки правильности расчетов. Составим баланс мощностей для резистивной цепи с постоянными напряжениями и токами для примера, изображенного на рис. 3.3. 35 R1 R2 I2 R3 E1 I1 R4 I4 I3 E2 I5 R5 UJ Рис. 3.3. Pв = E1I1 + E2 I 2 + U J J = … Вт; 2 I1 R1 + I 22 R2 + I 32 R3 + I 42 R4 + I 52 R5 = … Вт. Pп = Погрешность расчетов определяется по формуле (3.6) и не должна превышать 3% P −P (3.6) δ P % = в п ⋅ 100 ≤ 3%. Pв 3.3. Потенциальная диаграмма Потенциальная диаграмма – это графическое изображение второго закона Кирхгофа, которая применяется для проверки правильности расчетов в линейных резистивных цепях. Потенциальная диаграмма строится для контура без источников тока, причем потенциалы точек начала и конца диаграммы должны получиться одинаковыми. Рассмотрим контур abcda (рис. 3.4) схемы, изображенной на рис. 3.3. В ветке ab между резистором R1 и ЭДС E1 обозначим дополнительную точку k. 36 E1 R2 k в c I2 I1 R1 E2 R3 а I3 d Рис. 3.4. Потенциал любого узла принимаем равным нулю (например, ϕ a = 0 ), выбираем обход контура и определяем потенциалы точек контура: ϕ a = 0; ϕ k = ϕ a − I1 R1 ; ϕ b = ϕ k + E1 ; ϕ c = ϕ b − I 2 R2 ; ϕ d = ϕ c − E2 ; ϕ a = ϕ d + I 3 R3 = 0. При построении потенциальной диаграммы необходимо учитывать, что сопротивление ЭДС равно нулю (рис. 3.5). ϕb ϕc ϕk ϕd Рис. 3.5. 37 3.4. Метод контурных токов Метод контурных токов используется для расчета резистивных линейных цепей с постоянными токами и для расчета комплексных схем замещения линейных цепей с гармоническими токами. При этом в расчет вводятся контурные токи – это фиктивные токи, которые замыкаются в независимых замкнутых контурах, отличающихся друг от друга наличием хотя бы одной новой ветви. В качестве примера рассмотрим контур, изображенный на рис. 3.6. Обозначим контурные токи I11 , I 22 , I 33 , I 44 . I 22 R1 E1 I1 b a I2 I11 I3 R2 I 33 I 44 R3 E2 c Рис. 3.6. Ток в каждой ветви равен алгебраической сумме контурных токов через нее проходящих, причем со знаком “+” берут те контурные токи, направления которых совпадает с направлением тока в ветви. I1 = I11 − I 22 I 2 = − I11 − I 44 – токи ветвей контура. I3 = I 33 − I11 По второму закону Кирхгофа для данного контура (рис. 3.6) запишем уравнение: R1 I1 − R3 I 3 − R2 I 2 = E1 − E 2 или R1 ( I11 − I 22 ) − R3 ( I 33 − I11 ) − R2 ( I11 − I 44 ) = E1 − E 2 . Тогда для контура с током I11 (рис. 3.6) получаем: ( R1 + R2 + R3 ) I11 − R1I 22 − R3 I 33 + R2 I 44 = E1 − E 2 . 38 Таким образом, для рассматриваемого контура уравнение по методу контурных токов записывается следующим образом: (3.3) Rkk I kk + ∑ ± Rkm I mm = E kk , где Rkk – суммарное сопротивление k – контура; I kk – контурный ток k – контура; Rkm – общее сопротивление между k – контуром и m – контуром; I mm – соседний контурный ток m – контура; E kk – суммарная ЭДС k – контура. Контурный ток рассматриваемого контура умножается на сумму сопротивлений своего контура, причем перед этим произведением ставится знак "+". Соседний контурный ток умножается на общее сопротивление между соседним и рассматриваемым контурными токами, причем перед этим произведением ставится знак "+", если направления этих контурных токов в общем сопротивлении совпадают между собой, и ставится знак "–", если направления их не совпадают. В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма ЭДС рассматриваемого контура, причем со знаком "+" берутся те ЭДС, направления которых совпадают с направлением рассматриваемого контурного тока. Для контура с источником тока контурное уравнение не составляется, так как контурный ток этого контура известен и равен току источника тока, причем через источник тока должен проходить только один контурный ток. Таким образом, по методу контурных токов необходимо решить значительно меньше уравнений по сравнению с методом законов Кирхгофа. 3.5. Метод узловых потенциалов b R2 E1 R1 I2 I1 а c Рис. 3.7. 39 J d Метод узловых потенциалов используется для расчета сложных линейных схем замещения с постоянными или гармоническими напряжениями и токами. Расчетные уравнения данного метода могут быть доказаны при помощи законов Кирхгофа и обобщенного закона Ома. Получим расчетное уравнение метода узловых потенциалов для узла “a” некоторой схемы. По обобщенному закону Ома: I1 = (ϕ с − ϕ a − E1 ) ⋅ Y1 ; I 2 = (ϕ с − ϕ b ) ⋅ Y2 , где Y1 = 1 , Y2 = 1 . R1 R2 По первому закону Кирхгофа для узла “a”: − I1 + I 2 − J = 0 или − (ϕ с − ϕ a − E1 ) ⋅ Y1 + (ϕ a − ϕ b ) ⋅ Y2 = J . Тогда (Y1 + Y2 ) ⋅ ϕ a − Y2 ⋅ ϕ b − Y1 ⋅ ϕ с = − E1 ⋅ Y1 + J . Т.е. в общем виде для k – узла: у (3.4) Ykk ⋅ ϕ k − ∑ Ymk ⋅ ϕ m = I k( ) , где Ykk – узловая проводимость k – узла, ϕk – потенциал k – узла, Ymk – проводимость ветви, содержащей k и m узлы, у I k( ) = ∑ ± E qYq + ∑ ± J q – узловой ток k – узла. Таким образом, потенциал ϕk рассматриваемого k – узла умножается на сумму проводимостей ветвей подходящих к этому узлу, причем перед этим произведением всегда ставится знак “+” и проводимость ветви с источником тока равна нулю. Потенциал ϕm соседнего m – узла умножается на проводимость ветви, соединяющей рассматриваемый k – узел с m – узлом, причем перед этим произведением всегда ставится знак “–”. В правой части уравнения записывается узловой ток рассматриваемого k – узла, равный алгебраической сумме подходящих к этому узлу токов источников тока и произведений подходящих к этому узлу ЭДС на проводимости своих ветвей. В узловом токе со знаком “+” берутся те слагаемые, у которых источники тока и ЭДС направлены в рассматриваемый k – узел. Потенциал одного из узлов принимается равным нулю, причем за такой узел принимается узел, соединенный с корпусом или “землей”, или один из узлов, к которому подходит ветвь с нулевым сопротивлением и ЭДС. Таким образом, для схемы с nу узлами по методу узловых потенциалов составляется система, содержащая не более n1=nу–1 уравнений, из решения которых определяются потенциалы узлов, а затем по обобщенному закону Ома рассчитываются токи и напряжения в ветвях схемы. 40 3.6. Метод преобразования На основе приведенных ниже правил можно реализовать метод преобразований для расчета тока или напряжения в k – ветви схемы. Для этого схема преобразуется до одного контура с искомым током или напряжением, где эти величины легко определяются. Преобразования резистивных и комплексных схем используются для их упрощения и могут быть доказаны при помощи законов Ома и Кирхгофа. Приведем правила преобразований без доказательства на примере резистивных цепей. Правило разброса тока I1 R1 I2 R2 I Рис. 3.8. Токи I1 и I2 в двух параллельных пассивных ветвях с сопротивлениями R1 и R2 соответственно (рис. 3.8) по правилу разброса тока определяются следующим образом: R2 R1 ; I2 = I . (3.5) I1 = I R1 + R2 R1 + R2 Обобщенный закон Ома Зная потенциалы узлов можно определить токи по обобщенному закону Ома. Если ветвь содержит источник ЭДС (рис. 3.9), то ток в этой ветви равен отношению разности высшего (из которого ток «вытекает») и низшего потенциалов плюс ЭДС (если ЭДС совпадает с направлением тока, иначе берется знак «-») к сопротивлению в этой ветви. R E I a b Рис. 3.9. I= ϕa − ϕ b + E R 41 , (3.6) В случае, когда ветвь содержит сопротивление и источник тока (рис. 3.10), напряжение на источнике тока определяется как разность потенциалов φa и φb плюс произведение тока источника на сопротивление находящееся в этой ветви. UJ J a b R Рис. 3.10. U J = ϕ b − ϕ a + RJ . (3.7) Последовательное соединение ЭДС и сопротивлений При последовательном соединении сопротивлений (рис. 3.11) эквивалентное сопротивление определяется как сумма последовательно соединенных сопротивлений. Rэкв=R1+R2+…+RN (3.8) Эквивалентное ЭДС определяется как алгебраическая сумма последовательно соединенных ЭДС. Со знаком «+» учитываются те ЭДС, направления которых совпадают с эквивалентной ЭДС (рис. 3.11). Eэкв=Σ±Ek (3.9) E2 R3 a + RЭ I a + E3 EЭ U U R2 b I E1 R1 b Рис. 3.11. По формулам (3.8) и (3.9) для примера, приведенного на рис. 3.11 получаем: E Э = E1 − E 2 + E3 , RЭ = R1 + R2 + R3 . 42 Параллельное соединение источников тока Параллельно соединенные источники тока можно заменить эквивалентным источником тока (рис. 3.12), значение которого равно алгебраической сумме значений исходных источников. Причем со знаком «+» учитываются те значения источников тока, направления которых совпадают с направлением эквивалентного источника тока (3.10). I I a a + + U J1 J2 J3 b U JЭ b Рис. 3.12. Jэкв=Σ±Jk (3.10) Для примера, приведенного на рис. 3.12 по формуле (3.10) получаем: J Э = J1 − J 2 + J 3 . Параллельное соединение ЭДС, источников тока и сопротивлений Параллельно соединенные ЭДС, источники тока и сопротивления (рис. 3.13) можно заменить эквивалентными ЭДС и сопротивлением. При этом эквивалентное сопротивление определяется как 1 (3.11) Rэкв = 1 + 1 +… 1 R1 R2 RN При этом надо учитывать, что сопротивление ветви содержащей источник тока равно ∞. Эквивалентное ЭДС определяется по формуле: E (3.12) Eэкв = 1 R1 43 I R1 I a + R R2 R3 E1 a + U U EЭ E2 b b Рис. 3.13. E E 1 . EЭ = 1 − 2 ⋅ RЭ , RЭ = 1 + 1 + 1 R1 R2 R1 R2 R3 Замена источника тока на источник ЭДС и наоборот E = JR1 , R1 = R2 . I I a + a + R2 J R1 U U E b Рис. 3.14. 44 b Преобразование треугольника в звезду и наоборот a a Ra Rca Rab Rb Отформатировано: Междустр.интервал: одинарный Rc b c b c Rbc Рис. 3.15. Rab = Ra + Rb + Ra ⋅ Rb Rab ⋅ Rca , Ra = , Rc Rab + Rbc + Rca Rbc = Rb + Rc + Rb ⋅ Rc Rab ⋅ Rbc , Rb = , Ra Rab + Rbc + Rca Rca = Rc + Ra + Rc ⋅ Ra Rbc ⋅ Rca . Rc = . Rb Rab + Rbc + Rca (3.13) Перенос источников ЭДС Данное преобразование особо хорошо использовать в случае, если в схеме есть ветвь, содержащая только источник ЭДС (рис. 3.16, а). В этом случае источник ЭДС можно вынести за узел (рис. 3.16, б), что позволяет упростить схему, исключив одну ветвь и один узел (рис. 3.16, с). E E E a E b a b E a,b E E а б Рис. 3.16. 45 с Перенос источников тока В случае если источник тока J подключен к сопротивлениям R1 и R2 как показано на рис. 3.17, а, его можно разбить на два источника, по величине равных J и подключенных параллельно каждому сопротивлению (рис. 3.17, б). Воспользовавшись преобразованием замены источника тока на источник ЭДС (рис. 3.17, с), получаем схему, в которой на одну ветвь будет меньше. a a a R1 b J R1 R1 E1 b b R2 R2 J J R2 E2 c c а б c с Рис. 3.17. E1 = JR1 , E 2 = JR2 . 3.7. Метод наложения Метод наложения справедлив для линейных цепей и основывается на принципе наложения. Принцип наложения Ток (напряжение) в любой ветви можно рассматривать как алгебраическую сумму составляющих от действия каждого источника в отдельности. При этом со знаком "+" пишутся те составляющие, направления которых совпадает с направлением результирующих величин. (3.14) I k = ∑ ± I k( n ) n U k = ∑ ±U k( ) (3.15) При этом для расчета составляющих токов и напряжений исходная схема разбивается на подсхемы, в каждой из которых дей46 ствует один источник ЭДС или тока, причем остальные источники ЭДС закорочены, а ветви с остальными источниками тока разорваны. Определим ток I1 для схемы рис. 3.18 с помощью метода наложения. R1 I1 J R2 E I2 Рис. 3.18. а) Рассмотрим подсхему с ЭДС E (рис. 3.19) E R1 I( ) 1 R2 E Рис. 3.19. E . ( R1 + R2 ) б) Рассмотрим подсхему с источником тока J (рис. 3.20) J R1 I1( ) J I1( E ) = R2 Рис. 3.20. I1( J ) = JR2 . ( R1 + R2 ) 47 Искомый ток I1 исходной схемы (рис. 3.18) определится следующим образом: E JR2 . I1 = I1( E ) − I ( J ) = − 1 R1 + R2 R1 + R2 3.8. Метод эквивалентного генератора Метод эквивалентного генератора основывается на теореме об эквивалентном генераторе. Теорема об эквивалентном генераторе Теорема об эквивалентном генераторе применяется для расчета и анализа линейных цепей с постоянными или гармоническими токами и напряжениями. Эта теорема доказывается при помощи теоремы компенсации и принципа наложения. Любой активный двухполюсник, рассматриваемый относительно двух зажимов (выводов), можно представить в виде эквивалентного источника ЭДС или тока, с ЭДС и током равными соответственно напряжению холостого хода или току короткого замыкания относительно этих зажимов (рис. 3.21). При этом внутреннее сопротивление этих источников равно эквивалентному сопротивлению активного двухполюсника относительно рассматриваемых зажимов. Ik а RГ а A Rk EГ I Rk + Uk b + Uk + JГ Ik а b RГ Rk b 48 + Uk Рис. 3.21. Где EГ = U k( хх ) , когда Ik=0 при Rk=∞; E кз J Г = Г = I k( ) , когда Uk=0 при Rk=0; RГ RГ = Rab , "А" – активный двухполюсник, содержащий источники ЭДС и тока. Эта теорема используется как метод эквивалентного генератора для расчета некоторого тока, протекающего в k - ветви EГ J ⋅R JГ (3.16) Ik = = Г Г = RГ + Rk RГ + Rk 1 + Rk RГ (хх) (кз) где EГ = U k , J Г = I k , RГ = Rэкв . Графическое определение Ik и Uk приведено на рис. 3.22. EГ U k = Rk I k Uk Ik JГ Рис. 3.22. В качестве примера рассмотрим схему, изображенную на рис. 3.23. Необходимо определить токи I1 и I2. R1 I1 J + U1 R2 E I2 Рис. 3.23. 49 Для этого вместо сопротивления R1 делаем разрыв (R1=∞) и из полученной схемы (рис. 3.24) определяем напряжение холостого хода. EГ J R2 E I2 Рис. 3.24. Для определения RГ перерисовываем схему в следующем виде (рис. 3.25): RГ R2 Рис. 3.25. Для тока I1 имеем: E Г = E − R2 J ; J Г = E R2 − J ; RГ = R2 ; EГ E R2 J = − . ( RГ + R1 ) ( R1 + R2 ) ( R1 + R2 ) Ток I2 найдем по первому закону Кирхгофа: I2=I1+J. I1 = 4. ЗАДАНИЕ №1 Линейные электрические цепи с постоянными напряжениями и токами Для заданной схемы с постоянными во времени источниками ЭДС и тока, принимая e1 ( t ) = E1 , e2 ( t ) = E 2 , e3 (t ) = 0, J ( t ) = J , выполнить следующее. 50 1. Изобразить схему, достаточную для расчета токов ветвей, соединяющих узлы, помеченные буквами, указав их номера и направления. 2. Определить токи во всех ветвях схемы и напряжение на зажимах источника тока: • по законам Кирхгофа, • методом контурных токов, • методом узловых потенциалов. • Составить баланс вырабатываемой и потребляемой мощностей. • Определить ток в ветви ab: • методом наложения, • методом преобразований. 3. Рассматривая цепь относительно сопротивления R ветви ab как активный двухполюсник, заменить его эквивалентным генератором, определить параметры эквивалентного генератора и рассчитать ток в ветви ab, построить внешнюю характеристику эквивалентного генератора и по ней графически определить ток в ветви ab. 4. Для любого контура без источника тока построить потенциальную диаграмму. 5. Определить показание вольтметра. 6. Сравнить результаты вычислений, оценить трудоемкость методов расчета и сформулировать выводы по выполненным пунктам задания. Таблица 1 E2 α1 № E1 – В В град 1 110 200 0 2 120 190 30 3 130 180 45 4 140 170 60 5 150 160 90 6 160 150 120 7 170 140 150 8 180 130 180 9 190 120 210 0 200 110 240 α2 град -90 -60 -45 -30 -120 0 30 45 60 90 № – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Таблица 2 J R β А град Ом 1 120 10 2 135 20 3 150 30 4 180 40 5 60 50 1 -90 60 2 -60 70 3 -45 80 4 -30 90 5 0 100 51 L мГн 31.85 63.69 95.54 127.39 159.24 191.08 222.93 254.78 286.62 318.47 C мкФ 318.4 159.2 106.1 79.6 63.6 53 45.4 39.8 35.3 31.8 Схемы заданий 1–2 52 Рис. 4.1. Примечание: объем задания определяет лектор; 1-ая цифра номера задания – номер строки в таблице 1; 2-ая цифра номера задания – номер строки в таблице 2; 3-ья цифра номера задания – номер схемы. 4.1. Методические указания к заданию № 1. Для заданной схемы дано: e1 (t ) = E1 , В; e2 (t ) = E2 , В; e3 (t ) = 0 , В; J (t ) = J , А. β E1 E2 J α1 α2 C ω R L M В В А град град град Ом мГн мкФ рад/с мГн 100 200 2 30 45 -60 100 318,47 31,8 314 L 2 Схема: Рис. 4.2. Изображаем схему, достаточную для расчета постоянных токов ветвей, соединяющих узлы, помеченные буквами. При этом учитываем, что индуктивный элемент L для постоянного тока является 53 “закороткой”, а емкостный элемент C при постоянном напряжении представляет собой “разрыв” ветви, причем взаимная индуктивность M влияния на постоянные токи не оказывает. Указываем произвольно номера и направления токов в ветвях схемы. Данная схема имеет: n у = 4 узла, nв = 6 ветвей, nI = 5 неизвестных токов. Рис. 4.3. Определяем токи во всех ветвях схемы и напряжение на зажимах источника тока. Используем законы Кирхгофа Рис. 4.4. Рассчитаем число уравнений, которые необходимо составить: n1 = n у − 1 = 3 уравнений по первому закону Кирхгофа, n2 = nв − n1 = 3 уравнений по второму закону Кирхгофа. Выбираем 3 узла (например, a, b, с) и составляем уравнения по первому закону Кирхгофа: 54 узел a: J + I 4 − I 5 = 0 , узел b: I1 + I 3 − I 4 = 0 , узел с: I 2 − I 3 + I 5 = 0 . Для трех элементарных контуров составляем уравнения по второму закону Кирхгофа 1 контур: − R ⋅ I 2 − 2 R ⋅ I 3 = E1 − E2 , 2 контур: 2 R ⋅ I 3 + R ⋅ I 4 + 3R ⋅ I 5 = 0 , 3 контур: − R ⋅ I 4 = U J − E1 . Полученные n = n1 + n2 = nв = 6 уравнений записываем совместно в матричном виде т.е. a 0 0 0 1 −1 0 I1 − J b 1 0 1 −1 0 0 I 2 0 c 0 1 0 1 0 I3 0 −1 или A × X = B , × = 1k 0 − R −2 R 0 0 0 I 4 E1 − E2 2k 0 0 2R R 3R 0 I 5 0 3k 0 0 0 − R 0 −1 U J − E1 которые решаем на ЭВМ при помощи программы MathCad. Для этого в программу вводим матрицу коэффициентов при заданном R = 100 Ом: 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 0 1 −1 1 A := . 0 0 0 0 −100 −200 0 0 200 100 300 0 0 0 −100 0 −1 0 Затем вводим в программу матрицу правой части уравнений при E1 = 100 В; E2 = 200 В; J = 2 А: −2 0 0 B := . −100 0 −100 55 Далее вводим в программу уравнение X := A−1 ⋅ B и получаем решение: −2.143 0.143 0.429 X = . −1.714 0.286 271.429 Таким образом, значения токов и напряжения на источнике тока получились следующие: I1 = −2.143 А; I 2 = 0.143 А; I 3 = 0.429 А; I 4 = −1.714 А; I 5 = 0.286 А; U J = 271.429 В. Для предварительной проверки полученных результатов подставляем найденные токи и напряжение U J в одно из уравнений, составленное по первому закону Кирхгофа, и в одно уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа. Например: a: J + I 4 − I 5 = −1.714 − 0.286 + 2 = 0 , 3 контур: − R ⋅ I 4 = −100 ⋅ ( −1.714 ) = 171.4 = U J − E1 = 271.429 − 100 = = 171.429 , т.е. уравнения выполняются. Используем метод контурных токов Рис. 4.5. Рассчитываем число контурных токов, которые необходимо направить в схеме – nкт = nв − n у + 1 = 3 , и число контурных уравнений, которые необходимо будет решить – nку = nI − n у + 1 = 2 . 56 Обозначаем nкт = 3 контурных тока как I11 , I 22 , I 33 и направляем их в независимых контурах, которые отличаются друг от друга наличием хотя бы одной новой ветви, причем, через источник тока должен проходить один контурный ток, например, I 33 , тогда I 33 = J . Для двух неизвестных контурных токов I11 и I 22 составляем nку = 2 уравнения для I11 : ( R + 2 R ) ⋅ I11 − 2 R ⋅ I 22 − 0 ⋅ I 33 = E1 − E2 ; для I 22 : −2 R ⋅ I11 + ( R + 2 R + 3R ) ⋅ I 22 − R ⋅ I 33 = 0 . Полученные контурные уравнения можно записать в матричном виде ( I 33 = J ) 3R −2 R I11 E1 − E2 × = −2 R 6 R I 22 R ⋅ J и решить на ЭВМ при помощи программы MathCad как в п.2.1. Эти уравнения можно решить также методами подстановки, Крамера или Гаусса. Например, для решения системы из двух контурных уравнений 300 −200 I11 −100 × = −200 600 I 22 200 используем метод Крамера. Найдем определители системы уравнений: 300 −200 ∆= = 300 ⋅ 600 − ( −200 ) ⋅ ( −200 ) = 14000 ; −200 600 −100 −200 ∆1 = = ( −100 ) ⋅ 600 − 200 ⋅ ( −200 ) = −20000 ; 200 600 300 −100 ∆2 = = 300 ⋅ 200 − ( −100 ) ⋅ ( −200 ) = 40000 . −200 200 ∆ ∆ Тогда I11 = 1 = −0.143 А; I 22 = 2 = 0.286 А. ∆ ∆ Далее находим реальные токи в ветвях схемы с учетом контурных токов, проходящих в этих ветвях: I 2 = − I11 = 0.143 А; I 3 = I 22 − I11 = 0.429 А; I1 = I11 − I 33 = −2.143 А; I 4 = I 22 − I 33 = −1.714 А; I 5 = I 22 = 0.286 А. Напряжение на зажимах источника тока найдем при помощи второго закона Кирхгофа для контура с I 33 : U J − E1 = − R ⋅ I 4 , 57 тогда U J = E1 − R ⋅ I 4 = 271.4 В. Найденные токи в ветвях схемы и напряжение на зажимах источника тока совпадают с результатами п.2.1. Используем метод узловых потенциалов. Рис. 4.6. Потенциал одного из узлов принимаем равным нулю. Таким узлом будет один из узлов ветви без сопротивления, например, Тогда, учитывая находим ϕb = 0 . E1 = ϕ d − ϕb , ϕd = E1 + ϕb = E1 = 100 В. Для неизвестных потенциалов ϕ a и ϕc составляем расчетные уравнения: 0 1 1 1 1 для ϕ a : + ⋅ ϕc − .ϕb = − J ; ⋅ ϕa − 3R R R 3R 0 1 1 1 1 1 1 1 для ϕc : − ⋅ ϕa + + + ⋅ ϕb − ⋅ ϕd = − E2 ; ⋅ ϕc − 3R 2R R R R 2 R 3R Полученные уравнения можно записать в матричном виде ( ϕd = E1 ): 1 1 1 − R + 3R −J ϕ 3R × a = 1 1 1 1 ⋅ E1 − ⋅ E2 1 1 ϕc − + + R R 3R R 2 R 3R и решить на ЭВМ при помощи программы MathCad как в п.2.1. или методами подстановки, Крамера или Гаусса. Например, для решения системы из двух уравнений 58 0.01333 −0.00333 ϕa −2 × = −0.00333 0.01833 ϕc −1 используем метод Гаусса. Для этого перепишем эти уравнения следующим образом 0.00333 2 ϕ − ⋅ ϕ = − ; a c 0.01333 0.01333 1 −ϕ + 0.01833 ⋅ ϕ = − . a 0.00333 c 0.00333 Складываем эти уравнения 0.01833 0.00333 2 1 ϕa − ϕa + ⋅ ϕc − ⋅ ϕc = − − , тогда 0.00333 0.01333 0.01333 0.00333 −2 −1 0.01333 0.00333 = −85.7 В. ϕc = 0.01833 0.00333 − 0.00333 0.01333 Затем находим 0.00333 2 ϕa = ⋅ ϕc − = −171.4 В. 0.01333 0.01333 Далее используем обобщенный закон Ома и первый закон Кирхгофа: ϕ − ϕ d + E2 I2 = c = 0.143 А; R 0 ϕb − ϕ c I3 = = 0.429 А; 2R 0 ϕ a − ϕb I4 = = −1.714 А; R ϕ − ϕa I5 = c = 0.286 А; 3R I1 = − J − I 2 = −2.143 А; U J = ϕd − ϕ a = 271.447 В. Таким образом, найденные токи и напряжение на зажимах источника тока совпадают с результатами п.2.1. и п.2.2. Для проверки правильности расчетов составляем баланс вырабатываемой Pв и потребляемой Pп мощности: Pв = E1I1 + E2 I 2 + U J J = 357,192 Вт; 59 Pп = I 22 ⋅ R + I 32 ⋅ 2 R + I 42 ⋅ R + I 52 ⋅ 3R = 357,217 Вт. Таким образом, получаем допустимую относительную погрешность расчетов P −P δ P % = в п ⋅100 = 0,0069% ≤ 3% . Pв Определяем ток в ветви ab тремя методами. Используем метод наложения Для расчета тока I 4 , который протекает в ветви ab, исходную схему с постоянными токами разобьем на три подсхемы с одним источником ЭДС или тока. Расчет подсхемы с ЭДС E1 . Рис. 4.7. E1 = 0,428 А, тогда по 2 R ⋅ ( 3R + R ) R+ 2 R + ( 3R + R ) правилу разброса находим частичный искомый ток, создаваемый ЭДС E1 : 2R I 4( E1 ) = I 2( E1 ) = 0,143 А. 2 R + ( 3R + R ) По закону Ома: I 2( E1 ) = Расчет подсхемы с ЭДС E2 . 60 Рис. 4.8. По I 4( E2 ) = I 2( E2 ) закону ⋅ Ома: I 2( E2 ) = E2 = 0,857 А, 2 R ⋅ ( 3R + R ) R+ 2 R + ( 3R + R ) тогда 2R = 0,286 А. 2 R + ( 3R + R ) Расчет подсхемы с источником тока J . UJ + J a R I 4(J) b d 2R 3R R c Рис. 4.9. Узлы b и d объединяем, тогда по правилу разброса 2R ⋅ R 3R + J 2R + R I 4( ) = J ⋅ = 1,571 А. 2R ⋅ R R + 3R + 2R + R Находим результирующий ток I 4 , как алгебраическую сумму частичных токов (частичный ток, совпадающий по направлению с результирующим током, берем со знаком “+”): E E J I 4 = I 4( 1 ) − I 4( 2 ) − I 4( ) = 0,143 − 0,286 − 1,571 = −1,714 А. Рассчитанный ток I 4 совпадает с током I 4 , найденным в п.2. Используем метод преобразований Для расчета тока I 4 исходную схему относительно ветви ab преобразуем до одноконтурной схемы, в которой будет протекать искомый ток I 4 . 61 Для этого преобразования проведем в несколько этапов. Вначале перенесем источник тока J на сопротивления ветвей ac и cd: Рис. 4.10. Затем преобразуем источники тока в ЭДС: E3 = 3R ⋅ J = 600 В и E4 = R ⋅ J = 200 В. Рис. 4.11. Далее преобразуем параллельное соединение ЭДС и сопротивления ветвей bc и cdb: 1 Rэ = = 66,666 Ом; 1 +1 2R R E2 + E4 − E1 Eэ = ⋅ Rэ = 200 В. R В результате получаем одноконтурную схему с искомым током I 4 : 62 Рис. 4.12. Тогда по закону Ома: − E3 − Eэ = −1,714 А. R + 3R + Rэ Найденный ток I 4 совпадает с результатами п.2. и п.4.1.4. I4 = Определяем ток в ветви ab методом эквивалентного генератора xx Находим напряжение холостого хода U 4( ) в ветви ab. Рис. 4.13. По методу контурных токов: I 22 = J ; ( 2 R + R ) ⋅ I11 − 2 R ⋅ I 22 = E1 − E2 , E − E2 + 2 R ⋅ I 22 тогда I11 = 1 = 1 А; I 3( xx ) = I 22 − I11 = 2 − 1 = 1 А. 2R + R 63 По 2 закону Кирхгофа: U 4( xx ) = −3R ⋅ J − 2 R ⋅ I 3( xx ) = −800 В, тогда ЭДС эквивалентного генератора равна E Г = U 4( xx ) = −800 В. Находим сопротивление эквивалентного генератора RГ : Рис. 4.14. R ⋅ 2R = 366.666 Ом. R + 2R Находим ток короткого замыкания I 4( кз ) эквивалентного генератора: E кз I 4( ) = J Г = Г = −2.182 А. RГ Находим ток в ветви ab аналитически по двум формулам: EГ I4 = = −1.714 А; RГ + R JГ I4 = = −1.714 А. 1+ R RГ Находим ток в ветви ab графически: RГ = 3 R + Рис. 4.15. 64 Точка пересечения внешней ВАХ эквивалентного генератора с ВАХ резистора R = 100 Ом ( U 4 = R ⋅ I 4 = 100 ⋅ I 4 В) дает решение: I 4 ≈ −1,7 А. Аналитический и графический расчет методом эквивалентного генератора позволяет найти ток I 4 , который совпадает с результатами п.2. и п.4. Для контура без источника тока, например, bcdb строим потенциальную диаграмму. При этом обозначаем промежуточную точку k и принимаем потенциал точки b, как и в методе узловых потенциалов, равным нулю, т.е. ϕb = 0 . Рис. 4.16. Тогда при принятом обходе выбранного контура против часовой стрелки, проводим расчет потенциалов точек: ϕc = ϕb − 2 R ⋅ I 3 = 0 − 200 ⋅ 0,429 = −85,8 В; ϕk = ϕc − R ⋅ I 2 = −85,8 − 100 ⋅ 0,143 = −100,1 В; ϕd = ϕk + E2 = −100,1 + 200 = 99,9 В; ϕb = ϕd − E1 = 99,9 − 100 = −0,1 ≈ 0 , т.е. расчеты проведены верно, т.к. получилось ϕb ≈ 0 и потенциалы точек ϕc и ϕd совпали с ранее найденными значениями в методе узловых потенциалов. Следует отметить, что при расчете потенциалов точек напряжения и ЭДС берутся со знаком “+” в том случае, когда при обходе контура перемещаемся от “-” к “+”. Строим потенциальную диаграмму: 65 Рис. 4.17. Определяем показание вольтметра двумя методами, который включен между узлами d и a. Как разность потенциалов узлов схемы, которые найдены в методе узловых потенциалов: UV = ϕd − ϕ a = 100 − ( −171,447 ) = 271,447 В. По 2 закону Кирхгофа: Рис. 4.18. UV − E1 = − R ⋅ I 4 или UV = E1 − R ⋅ I 4 = 100 − 100 ⋅ (−1,714) = 271,4 В. Т.е. результаты расчета показания вольтметра двумя методами совпали между собой. Необходимо сформулировать вывод по выполненным пунктам задания, в котором сравнить результаты вычислений и оценить трудоемкость методов расчета. 66 4.2. Документ MathCad 1.1. Решение матричного уравнения: X A 1 B 2.143 I1 X I2 X 0.429 I3 X I4 X 1.714 I5 X UJ 0.143 X 1 3 5 2 4 X 6 0.286 271.429 1.2. Значения токов и напряжения на источнике тока : I1 2.143 I2 0.143 I3 0.429 I4 I5 UJ 1.714 0.286 271.429 67 2. Метод контур ных токов 2.1. Определение значений контурных токов и напряжения на источнике тока: J33 J 3R A1 X1 2R 0 2R 6R 0 0 1 R 1 A1 E1 B1 E2 J33 R E1 J33 R B1 0.143 J11 X1 0.286 J22 X1 271.429 UJk X1 X1 1 2 3 2.2. Значения контурных токов и напряжения на источнике тока: J11 0.143 J22 0.286 UJk 271.429 2.3. Определение токов в ветвях: I1k J11 I2k J33 I1k J11 2.143 I2k 0.143 0.429 I3k J22 J11 I3k I4k J22 J33 I4k I5k J22 I5k 1.714 0.286 3. Метод узловых потенциалов 3.1. Определение значений потенциалов узлов a и c : b 0 d E1 b d 68 100 69 4.2. Потребляемая мощность 2 2 Pp I2 R Pp 357.143 2 I3 2R 2 I4 R I5 3R 4.3. Погрешность Pv Pp 100 Pv 0 5. Определение тока в ветви ab I4 5.1. Метод наложения 5.1.1. Расчет подсхемы с ЭДС E1 E1 I2' 2R ( 3R R I4' 2R R) ( 3R 2R ( 3R 0.429 I4' 0.143 R) 2R I2' I2' R) 5.1.2. Расчет подсхемы с ЭДС E2 E2 I2'' 2R ( 3R R I4'' 2R I2'' R) ( 3R ( 3R 0.857 I4'' 0.286 R) 2R 2R I2'' R) 5.1.3. Расчет подсхемы с источником тока J 2R R 3R I4''' 2R J R 3R R 2R R 2R I4''' 1.571 R 5.1.4. Расчет результирующего тока I4 I4 I4' I4'' I4''' I4 70 1.714 5.2. Метод преобразований (упрощаем исходную схему до одноконтурной) 2E1 I4 2E2 11 R J I4 14 R 1.714 5.3. Метод эквивалентного генератора 5.3.1. По методу контурных токов определяем токи ХХ I22 I11 I3xx J E1 I22 U4xx E2 2R I22 2R R I11 I11 3R J 1 I3xx 1 2R I3xx Eg U4xx Eg 800 5.3.2. Определяем сопротивление эквивалентного генератора Rг Rg 3R R 2R R Rg 2R 366.667 5.3.3. Определяем ток эквивалентного генератора Ig Ig Eg Ig Rg 2.182 5.3.4. Определяем ток I4 I4 Eg Rg R I4 1.714 или Ig I4 1 I4 R 1.714 Rg 6. Находим ток I4 графически стоим внешнюю характеристику генератора BAXg Ig 0 0 Eg BAX( x) 71 linterp BAXg 1 BAXg 2 x 72 5. СИНУСОИДАЛЬНЫЙ ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК 5.1. Действующие значения гармонических токов и напряжений Действующие значения тока и напряжения характеризуют тепловое действие в линейном резистивном элементе с сопротивлением R. При токе и напряжении: i = I m sin (ω t + α ) , u = U m sin (ω t + α ) По закону Джоуля-Ленца: T W = ∫ i 2 R dt = I 2 RT , Дж 0 T = 2π 73 ω , с. По закону Ома: u = R ⋅ i, В . Действующее значение тока T 1 2 I I= i dt = m . ∫ T0 2 Действующее значение напряжения T U= 1 2 U u dt = m . ∫ T0 2 Действующее значение гармонического тока i численно равно такому постоянному току I, который за время T в том же сопротивлении R выделяет такое же количество тепла W. Действующие значения тока и напряжения не зависят от угловой частоты ω и начальной фазы α. В результате: i = 2 I sin (ω t + α ) , u = 2U sin (ω t + α ) . 5.2. Символический метод Символический метод применяется для расчета линейных цепей с гармоническими токами и напряжениями. Этот метод основан на изображении гармонических величин комплексными числами. При этом проекция вращающегося вектора на любой из диаметров окружности, описываемая его концом, является гармонической функцией времени. Следовательно, синусоидальная величина может быть изображена вращающимся вектором на комплексной плоскости (рис. 5.1 а, б), причем этот вектор записывается в показательной, тригонометрической и алгебраической формах. j ωt +α ) ɺ jωt ⇒ i = I m sin (ωt + α ) = 2 I sin (ωt + α ) = Im 2 Ie ( = Im 2 Ie jα ɺ ⇒ I = Ie = I cos α + jI sin α = a + jb , ɺ jω t ] – мнимая составляющая вращающегося вектора, где Im[ 2 Ie j = −1 – мнимая единица. 74 + j = −1 +j ω ω ɺ jωt1 Ie α >0 а t = t1 ωt1 + α б Рис. 5.1. Iɺ – комплекс действующего значения тока. Символический метод позволяет перейти от расчета линейных цепей с переменными во времени напряжениями и токами к расчету комплексной схемы замещения с постоянными напряжениями и токами. Для комплексных схем замещения справедливы все метод расчета, используемые при постоянных напряжениях и токах, но в комплексной форме. 5.3. Действия с комплексными числами Где: Fɺ = F ⋅ e jα = a + jb – комплексное число; F – модуль; α – аргумент (фаза); a – вещественная составляющая; b – мнимая составляющая. 1. Переход от алгебраической формы записи к показательной форме b a + jb ⇒ Fe jα , где F = a 2 + b 2 , α = (180 ) + arctg . При этом a 180 градусов учитывается при a<0. 2. Переход от показательной формы записи к алгебраической форме Fe jα ⇒ a + jb ,гдеa=Fcosα, b=Fsinα. 75 3. Сложение и вычитание F1e jα 1 ± F2e jα 2 = ( a1 + jb1 ) ± ( a2 + jb2 ) = ( a1 ± a2 ) + j ( b1 ± b2 ) = a + jb = Fe jα . 4. Умножение ( a1 + j α +α jb1 ) ⋅ ( a2 + jb2 ) = .F1e jα1 ⋅ F2 e jα 2 = F1F2 e ( 1 2 ) = Fe jα . 5. Деление jα a1 + jb1 F1e 1 F1 j(α 1 −α 2 ) = = e = Fe jα . a2 + jb2 F2e jα 2 F2 6. Возведение в степень ( a1 + ( jb1 ) = F1e m ) jα 1 m = F1m e jmα 1 = Fe jα . 7. Некоторые соотношения j = −1; j 2 = 1; 1 = − j; j 3 = j. j j = e j 90 ; − j = e− j 90 ; 1 = e j 0 ; − 1 = e j180 . 5.4. Действия с синусоидальными величинами Рассмотрим действия с синусоидальными величинами, имеющими одинаковую угловую частоту ω. 1. Сложение f ( t ) = 2 F sin (ω t + α ) = f1 ( t ) + f 2 ( t ) ; jα f1 ( t ) = 2 F1 sin (ω t + α1 ) → Fɺ1 = F1e 1 ; f ( t ) = 2 F sin (ω t + α ) → Fɺ = F e jα 2 ; 2 2 2 2 2 Для определения F и α используются: а) комплексные числа jα F1e 1 + F2e jα 2 = Fe jα ⇒ определяются F и α; б) вектора на комплексной плоскости (рис. 5.2) 76 +j Fɺ1 Fɺ = Fe jα α1> 0 0 α +1 α2>0 Fɺ2 Рис. 5.2 2. Вычитание f ( t ) = 2 F sin (ω t + α ) = f1 ( t ) − f 2 ( t ) ; jα f ( t ) → Fɺ = F e 1 ; 1 1 1 f 2 ( t ) → Fɺ2 = F2 e jα 2 ; а) комплексные числа jα F1e 1 − F2e jα 2 = Fe jα ⇒ определяются F и α; б) вектора на комплексной плоскости (рис. 5.3) +j Fɺ1 Fɺ = Fe jα α1 0 α +1 α2 Fɺ2 Рис. 5.3 77 3. Дифференцирование f ( t ) = 2 F sin (ω t + α ) → Fɺ = Fe jα ; df ( t ) j (α + 90 ) = 2ω F sin ω t + α + 90 → ω Fe = jω Fɺ . dt df ( t ) В результате при f (t ) → Fɺ имеем → jω Fɺ . dt ( ) Таким образом, дифференцированию синусоидальной функции соответствует умножение изображающего ее комплекса на jω. 3. Интегрирование f ( t ) = 2 F sin (ω t + α ) → Fɺ = Fe jα ; ∫ f ( t ) dt = 2F ω ( ) sin ω t + α − 90 → В результате f ( t ) → Fɺ имеем ∫ F ω e ( j α −90 f ( t ) dt → )= Fɺ . jω Fɺ . jω Таким образом, интегрированию синусоидальной функции соответствует деление изображающего ее комплекса на jω. Закон Ома в комплексной форме Закон Ома в комплексной форме основан на символическом методе и справедлив для линейных цепей с гармоническими напряжениями и токами. Этот закон следует из физической взаимосвязи между током и напряжением отдельных элементов цепи. Iɺ R Резистивный элемент Uɺ R Uɺ R = R ⋅ Iɺ Комплекс напряжения 78 +j Iɺ Вектора напряжения и тока Uɺ R +1 На комплексной плоскости вектор напряжения резистивного элемента совпадает по направлению с вектором своего тока. Iɺ Индуктивный элемент jX L Uɺ L Uɺ L = jω L ⋅ Iɺ = jX L Iɺ Комплекс напряжения +j Uɺ L Iɺ Вектора напряжения и тока +1 На комплексной плоскости вектор напряжения индуктивного элемента опережает по направлению вектор своего тока на 90 градусов. − jX C Iɺ Емкостный элемент Uɺ С j ɺ Uɺ C = − I = − jX C Iɺ ωC Комплекс напряжения 79 +j Iɺ Вектора напряжения и тока +1 Uɺ C На комплексной плоскости вектор напряжения емкостного элемента отстает по направлению от вектора своего тока на 90 градусов. Где: XL=ωL – индуктивное сопротивление (Ом); 1 – емкостное сопротивление (Ом). XC = ωC Например, комплексная схема замещения цепи (рис. 5.4): jX L R Eɺ − jX C Iɺ Рис. 5.4. Z = jX L + R(− jX C ) ɺ Eɺ ; I= . Z R − jX C Где: Z = RЭ + jX Э = Ze jϕ – эквивалентное комплексное сопротивление цепи (Ом); Z = RЭ2 + X Э2 – модуль сопротивления (Ом); X ϕ = arctg Э – аргумент (фаза) сопротивления (Град). RЭ 80 Законы Кирхгофа в комплексной форме Сложению и вычитанию гармонических токов и напряжений с одинаковой угловой частотой ω в законах Кирхгофа соответствует сложение и вычитание их комплексных величин. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме Для любого узла комплексной схемы замещения цепи алгебраическая сумма комплексов значений токов равна нулю (5.1). (5.1) ∑ ± Iɺk = 0 . Например: Iɺ1 a Iɺ2 Iɺ3 Рис. 5.5. Узел a: − Iɺ1 + Iɺ2 + Iɺ3 = 0 . Второй закон Кирхгофа в комплексной форме Для любого контура комплексной схемы замещения цепи алгебраическая сумма комплексов напряжений на пассивных элементах равна алгебраической сумме комплексов ЭДС и напряжений на источниках тока (5.2). (5.2) ∑ ±Uɺ n = ∑ ± Eɺ k + ∑ ±Uɺ J q + ∑ ±Uɺ p . 81 Eɺ R Uɺ R IɺR IɺL Uɺ jX L + − jX C Uɺ J + Jɺ Uɺ C Uɺ L IɺC + Рис. 5.6. Uɺ R − Uɺ L + Uɺ C = Eɺ − Uɺ J + Uɺ или RIɺR − jX L IɺL + ( − jX C ) IɺC = Eɺ − Uɺ J + Uɺ . Мощность при гармонических напряжениях и токах u ( t ) = 2U sin (ω t + α ) , ( В ) ; i ( t ) = 2 I sin (ω t + β ) , ( А ) . Мощность в функции времени: P ( t ) = u ( t ) i ( t ) = P − S cos ( 2ω t + α + β ) , ( Вт ) . P = UI cos ϕ , ( Вт ) – средняя или активная мощность; (5.3) S = UI , ( ВА ) – амплитуда гармонической составляющей мощности или полная мощность; ϕ = α − β , ( град ) – угол сдвига фаз между напряжением и током; P cos ϕ = ≤ 1, т.е S ≥ P – коэффициент мощности. S 82 В P(t S+P S P S t S–P Рис. 5.7. Когда P(t)>0 – энергия поступает в двухполюсник, P(t)<0 – энергия поступает из двухполюсника во внешнюю цепь. Пусть задано: Iɺ а + Uɺ Z b Рис. 5.8. Uɺ = Ue jα , ( В ) ; Iɺ = Ie j β , ( А ) ; Z = Ze jϕ = R + jX , ( Ом ) . При Iɺ* = Ie − j β находим ɺ ɺ* = P + jQ , ( ВА ) (5.4) Sɺ = UI – комплекс полной мощности, где Iɺ* – сопряженное значение тока. Q = UI sin ϕ , (ВАр) 83 (5.5) – реактивная мощность. Т.к. Uɺ = ZIɺ , то ɺ ɺ* = ( Z Iɺ ) Iɺ* = Z I 2 = I 2 R + jI 2 X , ( ВА ) . Sɺ = UI Активная мощность: P = UI cos ϕ = I 2 R , ( Вт ) (5.6) – мощность тепловой энергии. Реактивная мощность: (5.7) Q = UI sin ϕ = I 2 X , ( ВАр ) – пропорциональна максимальной энергии, запасаемой в электромагнитном поле. Полная мощность: P (5.8) , ( ВА ) S = UI = cos ϕ – максимально возможная активная мощность при cos ϕ = 1. Можно изобразить: а) треугольник сопротивлений Z = R 2 + X 2 , R cos ϕ = . Z Z X φ R б) треугольник напряжений U = U R2 + U X2 , U cos ϕ = R , U U R = IR , U X = IX . U UX φ UR 84 в) треугольник мощностей P S = P 2 + Q 2 , cos ϕ = . S S Q φ P Топографические и лучевые векторные диаграммы Топографические и лучевые векторные диаграммы используются при анализе и расчете цепей с синусоидальными напряжениями и токами. Эти диаграммы строятся совмещенными на комплексной плоскости в масштабах напряжения и тока. Лучевые векторные диаграммы строятся для комплексов действующих значений и токов, когда их вектора выходят из начала координат каждый под своим углом. Эти диаграммы используются для графической проверки первого закона Кирхгофа. Топографические векторные диаграммы строятся для комплексов действующих значений напряжений, когда их вектора подстраиваются один к другому, образуя замкнутые контуры. Эти диаграммы используются для графической проверки второго закона Кирхгофа. Пример 1 (рис. 5.9 и рис. 5.10): d Iɺ IɺC Eɺ R Uɺ IɺR c Рис. 5.9. 85 jX L − jX C IɺL +j IɺC mU = … В мм , mI = … А мм IɺR IɺL Iɺ d Uɺ Eɺ IɺR c +1 IɺL Рис. 5.10. Пример 2 (рис. 5.11 и рис. 5.12): R c d jX L − jX C Uɺ L Uɺ R Eɺ b Uɺ C Iɺ a Рис. 5.11. 86 +j Uɺ R mU = … В d мм , mI = … А мм Eɺ с Uɺ L Iɺ а +1 Uɺ C b Рис. 5.12. Пример 3 (рис.5.13 и рис. 5.14): Iɺ с IɺC IɺR Eɺ Uɺ L jX L b Uɺ R R а Рис. 5.13. 87 Uɺ C − jX C mU = … В мм , mI = … А +j мм c U E IC UL I a +1 IRL UR b Рис. 5.14. Линейные электрические цепи со взаимной индуктивностью Электрические цепи со взаимной индуктивностью образуют трансформаторы, электрические машины и другие устройства с магнитными потоками, характеризуемые индуктивной связью. Две катушки с токами индуктивно связаны, если часть магнитного потока одной катушки сцепляется с витками другой катушки и наоборот. Параметрами индуктивной связи являются взаимная индуктивность М и коэффициент связи КСВ, причем М пропорциональна взаимным магнитным потокам Ф12=Ф21. Взаимная индуктивность wФ wФ (5.9) M = 1 12 = 2 21 , Гн . i2 i1 Коэффициент связи М (5.10) К св = < 1. L1L2 Где w1 и w2 – число витков катушек, Φ1 и Φ2 – взаимные магнитные потоки, i1 и i2 – токи катушек, L1 и L2 – собственные индуктивности катушек. Различают согласное и встречное включение двух индуктивно связанных катушек. 88 6. Согласное включение Φ11 Φ21 Φ12 i2 i1 u1 * u2 * Φ22 Рис. 5.15. M * * L1 i1 + L2 i2 u1 + u2 Рис. 5.16. Включение двух катушек называется согласным, если их взаимные магнитные потоки Ф12 и Ф21 совпадают по направлению между собой (рис. 5.15). При этом токи катушек i1 и i2 ориентированы одинаковым образом относительно одноименных зажимов (*) (рис. 5.16). Напряжения: d (Ф11 + Ф12 ) di di u1 = W1 = L1 1 + M 2 , dt dt dt , (5.11) d (Ф22 + Ф21 ) di2 di1 u2 = W2 = L2 +M . dt dt dt При гармонических токах и напряжениях: Uɺ1 = jω L1Iɺ1 + jω MIɺ2 = Uɺ L1 + Uɺ M1 , (5.12) Uɺ 2 = jω L2 Iɺ2 + jω MIɺ1 = Uɺ L2 + Uɺ M 2 . 89 . ɺ Где U L1 = jω L1Iɺ1 = jХ L1 Iɺ1 , Uɺ L2 = jω L2 Iɺ2 = jХ L2 Iɺ2 – составляю- щие, обусловленные собственными индуктивностями, Х L1 = ω L1 , Х L2 = ω L2 - индуктивные сопротивления, Х M = ω M - сопротивление взаимной индукции. +j Uɺ 2 Uɺ M1 Uɺ M 2 Iɺ1 Uɺ L2 Uɺ1 Uɺ L1 +1 Iɺ2 Рис. 5.17. При согласном включении составляющие напряжений взаимной индукции Uɺ M1 и Uɺ M 2 опережают токи их создающие Iɺ2 и Iɺ1 соответственно на 90˚. 90 7. Встречное включение Φ11 Φ21 Φ12 i2 i1 u2 u1 * Φ22 * Рис. 5.18. M * i1 + * L1 L2 u1 u2 i2 + Рис. 5.19. Включение двух катушек называется встречным, если их взаимные магнитные потоки Ф12 и Ф21 направлены навстречу друг другу. При этом токи катушек i1 и i2 ориентированы различным образом относительно одноименных зажимов (*). Напряжения: d (Ф11 − Ф12 ) di di u1 = W1 = L1 1 − M 2 , dt dt dt (5.13) d (Ф22 − Ф21 ) di2 di1 u2 = W2 . = L2 −M dt dt dt При гармонических токах и напряжениях: Uɺ1 = jω L1Iɺ1 − jω MIɺ2 = Uɺ L1 + Uɺ M1 , (5.14) Uɺ 2 = jω L2 Iɺ2 − jω MIɺ1 = Uɺ L2 + Uɺ M 2 . Где Uɺ = − jω MIɺ = − jХ Iɺ , Uɺ = − jω MIɺ = − jХ Iɺ – соM1 2 M 2 M2 1 ставляющие, обусловленные взаимной индуктивностью. 91 M 1 +j Uɺ M 2 Uɺ L2 Uɺ M1 Uɺ 2 Uɺ L1 Iɺ1 Uɺ 1 +1 Iɺ2 Рис. 5.20. При встречном включении составляющие напряжений взаимной индукции Uɺ M1 и Uɺ M 2 отстают от токов их создающих Iɺ2 и Iɺ1 соответственно на 90˚. Последовательное соединение индуктивно связанных элементов jX L2 к d Uɺ 2 R2 Uɺ R2 jX M Eɺ Uɺ R1 а R1 Uɺ1 b jX L1 с Рис. 5.21. Для схемы, изображенной на рис. 5.21 запишем уравнения по первому закону Кирхгофа Iɺ1 = Iɺ2 = Iɺ и по второму закону Кирхгофа Eɺ = Uɺ R1 + Uɺ1 + Uɺ R2 + Uɺ 2 92 или ɺ ɺ ɺ Е = R1 I + ( jХ L1 I ± jX M Iɺ) + R2 Iɺ + ( jХ L2 Iɺ ± jX M Iɺ) . Eɺ В результате Iɺ = ; X M = ω M , где R1 + R2 + j ( Х L1 + Х L2 ± 2 X M ) знак «+» – согласное включение, знак «-» – встречное включение. В результате больший ток Iɺ соответствует встречному включению. 8. Согласное включение (+) к +j Uɺ 2 Eɺ c Uɺ 1 Uɺ M 2 Uɺ L1 Uɺ R2 Uɺ M 1 d Uɺ L1 Iɺ = Ie j 0° а Uɺ R1 b +1 Рис. 5.22. 9. Встречное включение (-) Uɺ М 2 +j Uɺ М 1 Uɺ1 c к Uɺ 2 Eɺ Uɺ L2 Uɺ R2 d Uɺ L1 а Uɺ R1 b +1 93 Рис. 5.23. Параллельное соединение индуктивно связанных элементов Iɺ jX М jX L1 Uɺ 2 Uɺ1 Iɺ2 Iɺ1 Eɺ Uɺ R2 R1 Uɺ R1 jX L2 R2 Рис. 5.24. Для схемы, изображенной на рис. 5.24 запишем уравнения по первому закону Кирхгофа и по второму закону Кирхгофа Eɺ = Uɺ R1 + Uɺ1 = R1Iɺ1 + ( jX L1 Iɺ1 ± jX M Iɺ2 ) , Eɺ = Uɺ + Uɺ = R Iɺ + ( jX Iɺ ± jX Iɺ ) . R2 2 2 2 L2 2 M 1 В результате: Z − (± jX M ) ɺ ɺ Z 1 − (± jX M ) ɺ Iɺ1 = 2 ⋅ E ; I2 = ⋅E; 2 2 Z1Z 2 + X M Z1 Z 2 + X M Z + Z 2 − 2(± jX M ) ɺ Iɺ = 1 ⋅E. 2 Z1Z 2 + X M Развязка индуктивной связи Развязка индуктивной связи применяется для ее исключения с целью упрощения расчетов и может быть доказана при помощи законов Кирхгофа в комплексной форме. 94 а b Два индуктивно связанных элемента подходят одинаковым образом к общему узлу (d) j ( X L1 − Х М ) jX L1 а jX М * d c jX М jX L2 j ( X L2 − Х М ) d * b Рис. 5.25. а b Два индуктивно связанных элемента подходят различным образом к общему узлу (d) j ( X L1 + Х М ) jX L1 а − jX М * jX М d c jX L2 j ( X L2 + Х М ) d * b Рис. 5.26. После развязки индуктивной связи для расчета цепи можно использовать любой известный метод в комплексной форме. Пример: Z1 а * ZМ * Z2 b d Z Eɺ Jɺ Iɺ к Рис. 5.27. Дано: Eɺ = Ee jα , Jɺ = Je j β , Z 1 = R1 + jX 1 , Z 2 = R2 + jX 2 , Z = R + jX , Z М = jX М . Определить: Iɺ = ? 95 После развязки: Z1 − Z М а Z2 − ZМ с b ZМ Z d Eɺ Iɺ Jɺ к Рис. 5.28. Используем метод эквивалентного генератора (рис. 5.29): Z1 − Z М а Z2 − ZМ с b ZМ Uɺ xx d Eɺ Jɺ к Рис.5.29. Напряжение холостого хода: Eɺ Г = Uɺ xx = Eɺ + Jɺ ⋅ ( Z 1 − Z M ) = E Г e jα Г . Сопротивление генератора: Z Г = ( Z 2 − Z M ) + ( Z 1 − Z M ) = RГ + jX Г = Z Г e jα Г . Ток в нагрузке: EГ Eɺ Г . Iɺ = = Ie jλ , I = ZГ +Z ( R + R) 2 + ( X + X )2 Г 96 Г Активная мощность, потребляемая нагрузкой (рис. 5.30): E Г2 R P = I 2R = = f ( R) ( RГ + R )2 + ( X Г + X )2 P Pm P = f ( R) 0 Rm R Рис. 5.30. Сопротивление, при котором активная потребляемая мощность в нагрузке будет максимальной: E Г2 . Rm = R Г 2 + ( X Г + X ) 2 , Pm = 2 2 ( Rm + RГ ) Пример: Z3 Iɺ33 ZM Iɺ1 * Eɺ Jɺ Iɺ2 * + Iɺ11 Iɺ22 Z1 Z2 Iɺ Рис. 5.31. Дано: Eɺ , Jɺ , Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z М , Z н . 97 Zн Uɺ J Определить: Iɺ, Iɺ1 , Iɺ2 , Uɺ J = ? По методу контурных токов: Iɺ33 = Jɺ , Iɺ11 ( Z 1 + Z 3 ) − Iɺ22 Z M − Iɺ33 Z 3 = Eɺ , ɺ ɺ ɺ I 22 ( Z 2 + Z Н ) − I11 Z M − I 33 ⋅ 0 = 0. Далее находим: Iɺ1 = Iɺ11 ; Iɺ2 = Iɺ22 ; Iɺ = Iɺ11 − Iɺ33 ; Uɺ J = Eɺ − Iɺ Z 3 . ЗАДАНИЕ №2 Линейные электрические цепи с гармоническими напряжениями и токами Для заданной схемы с источниками гармонических ЭДС и тока e1 (t ) = 2 E1 sin(ω t + α1 ); e2 (t ) = 2 E2 sin(ω t + α 2 ); e3 (t ) = 0; J (t ) = 2 J sin(ω t + β ), принимая ω = 314 рад/с и M=L/2 , выполнить следующее. Записать систему независимых уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов. Рассчитать без учета M комплексные сопротивления ветвей, соединяющих узлы, помеченные на схеме буквами и изобразить комплексную схему замещения с этими сопротивлениями для расчета комплексов действующих значений токов ветвей (номера и направления токов сохранить согласно заданию №1, причем параллельное соединение R и С представить в виде одного комплексного сопротивления). Не исключая индуктивной связи, определить комплексы действующих значений токов всех ветвей и напряжение на зажимах источника тока: по законам Кирхгофа, методом контурных токов. Записать мгновенные значения тока в ветви ab и напряжения на зажимах источника тока. Рассчитать балансы активной и реактивной мощностей. 98 Построить лучевую диаграмму токов и совмещенную с ней топографическую диаграмму напряжений. Определить показание вольтметра. Сделать развязку индуктивной связи и по методу эквивалентного генератора относительно сопротивления R ветви ab определить комплексное сопротивление активного двухполюсника (эквиваjϕ лентного генератора) Z Г = Z Г ⋅ e Г , ЭДС генератора Eɺ Г и ток Iɺab в ветви ab, а затем при изменении сопротивления R ветви ab от 0 до 10 ⋅ Z Г рассчитать и построить зависимость для активной мощности Pab = f ( R ) . Проанализировать результаты вычислений и сформулировать выводы по заданию. Примечание: Схемы и таблицы к заданию №2 приведены в задании №1. Методические указания к работе № 2. Для заданной схемы дано: e1 (t ) = 2 ⋅ E1 ⋅ sin(ω t + α1 ) , В; e2 (t ) = 2 ⋅ E2 ⋅ sin(ωt + α 2 ) , В; e3 (t ) = 0 , В; J (t ) = 2 ⋅ J ⋅ sin(ωt + β ) , А. E1 E2 В 100 В 200 α1 град 90 J А 2 R L Ом 100 мГн 318,47 C мкФ 31,8 Схема: 99 α2 град 0 ω рад/с 314 β град -60 M мГн L 2 Рис. 6.1. Записываем систему независимых уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов (функций времени). Для этого указываем номера и направления токов в ветвях схемы аналогично заданию 1. Так как e3 (t ) = 0 , то узлы a и m, k и c объединяем. В результате полученная схема будет иметь: n у = 4 узла, nв = 7 ветвей; n1 = n у − 1 = 3 уравнений по первому закону Кирхгофа, n2 = nв − n1 = 4 уравнений по второму закону Кирхгофа. Выбираем 3 узла (например, a, b, d) и 4 контура, для которых составляем уравнения по законам Кирхгофа, учитывая, что индуктивно связанные элементы включены встречно: узел a: J (t ) + i4 − iR − iC = 0 , узел b: i1 + i3 − i4 = 0 , узел d: − i1 − i2 − J (t ) = 0 , 1 1 контур: 3 R ⋅ iR − ∫ iC ⋅ dt = 0 , C 1 di di di di 2 контур: ∫ iC dt + Ri4 + L 4 − M 3 + L 3 − M 4 + 2 Ri3 = 0 , C dt dt dt dt di di 3 контур: − R ⋅ i2 − 2 R ⋅ i3 − L 3 − M 4 = e1 (t ) − e2 (t ) , dt dt di di 4 контур: − R ⋅ i4 − L 4 − M 3 = u J (t ) − e1 (t ) . dt dt 100 Найти токи из этих дифференциальных уравнений весьма трудоемко. Поэтому используем символический метод, позволяющий дифференциальные уравнения с синусоидальными напряжениями и токами преобразовать к алгебраическим уравнениям с комплексными величинами, решить которые значительно проще. Рассчитываем без учета взаимной индуктивности M комплексные сопротивления ветвей, соединяющих узлы a, b, c, d, причем, X X L = ω L = 314 ⋅ 318.47 ⋅ 10−3 = 100 Ом; X M = L = 50 Ом; 2 1 1 XC = = = 100 Ом. ω C 314 ⋅ 31.8 ⋅ 10 −6 j 0 Ом; Z 1 = 0 Ом; Z 2 = R = 100 = 100 ⋅ e Z 3 = 2 R + jX L = 200 + j100 = 2002 + 1002 e j⋅arctg 100 200 = 223.6e j 26.6 Ом; Z 4 = R + jX L = 100 + j100 = 141.4 ⋅ e j 45 Ом; 3R ⋅ ( − jX C ) 300 ⋅ ( − j100 ) Z5 = = = 3R − jX C 300 − j100 3 ⋅ 104 e − j 90 3 ⋅ 104 e − j 90 3002 + 1002 e jarctg −100 300 = = 316.2e − j18.4 = 94.88e − j 71.6 = 30 − j 90 Ом; L = j 50 = 50 ⋅ e j 90 Ом. 2 Изображаем комплексную схему замещения с этими сопротивлениями и комплексами действующих значений: Z M = jX M = jω M = jω 101 Uɺ J Jɺ Iɺ4 Iɺ1 Eɺ1 Eɺ 2 Iɺ3 Iɺ2 Iɺ5 Рис. 6.2. Eɺ1 = E1 ⋅ e jα1 = 100 ⋅ e j 90 = j100 В; Eɺ = E ⋅ e jα 2 = 200 ⋅ e j 0 = 200 В; 2 2 Jɺ = J ⋅ e jβ = 2 ⋅ e − j 60 = 1 − j1.73 А; встречное включение. Не исключая индуктивной связи, определяем комплексы действующих значений токов всех ветвей и напряжение на зажимах источника тока. Используем законы Кирхгофа в комплексной форме ( n у = 4 – число узлов, nв = 6 – число ветвей, n1 = n у − 1 = 3 – число уравнений по первому закону Кирхгофа, n2 = nв − n1 = 3 – число уравнений по второму закону Кирхгофа): узел a: Jɺ + Iɺ4 − Iɺ5 = 0 , узел b: Iɺ1 + Iɺ3 − Iɺ4 = 0 , узел c: Iɺ2 − Iɺ3 + Iɺ5 = 0 , 1 контур: Z 2 ⋅ Iɺ2 + ( Z 3 ⋅ Iɺ3 − Z M ⋅ Iɺ4 ) = − Eɺ1 + Eɺ 2 , 2 контур: ( Z 3 ⋅ Iɺ3 − Z M ⋅ Iɺ4 ) + ( Z 4 ⋅ Iɺ4 − Z M ⋅ Iɺ3 ) + Z 5 ⋅ Iɺ5 = 0 , 3 контур: ( Z 4 ⋅ Iɺ4 − Z M ⋅ Iɺ3 ) = −Uɺ J + Eɺ1 . Полученные n = n1 + n 2 = nв = 6 уравнений записываем совместно в матричном виде т.е. 102 a 0 0 b 1 0 c 0 1 1k 0 Z 2 2k 0 0 3k 0 0 0 1 1 −1 −1 Z3 0 −Z M Z3 − ZM Z4 − ZM −Z M Z4 −1 0 Iɺ1 − Jɺ 0 0 Iɺ2 0 1 0 Iɺ3 0 или × ɺ = ɺ 0 0 I 4 − E1 + Eɺ 2 Z 5 0 Iɺ5 0 ɺ 0 1 U J Eɺ1 A × X = B , которые решаем на ЭВМ при помощи программы MathCad. В результате: 0 0 0 1 −1 0 1 −1 1 0 0 1 0 −1 1 A := −50i 0 0 100 200 + 100i 0 0 200 + 50i 100 + 50i 30 − 90i −50i 100 + 100i 0 0 0 −1 + 1.73i 0 0 0 0 0 ; B := . 0 200 − 100 i 0 0 1 100i Далее вводим в программу уравнение X := A −1 ⋅ B и получаем решение в алгебраической форме: −0.795 + 2.223i −0.205 − 0.493i 0.408 − 0.554i X = . − 0.387 + 1.668 i 0.613 − 0.062i 233.298 − 7.703i Переводим найденные значения в показательную форму, причем для этого можно использовать MathCad: Iɺ = −0.795 + j 2.223 = 2.361e j109.7 А; 1 Iɺ2 = −0.205 − j 0.493 = 0.534e − j112.5 А; Iɺ = 0.408 − j 0.554 = 0.688e − j 53.6 А; 3 Iɺ4 = −0.387 + j1.668 = 1.713e j103 А; 103 Iɺ5 = 0.613 − j 0.062 = 0.616e − j 5.7 А; Uɺ J = 233.298 − j 7.703 = 233.425e − j1.9 В. Используем метод контурных токов в комплексной форме ( n у = 4 – число узлов, nв = 6 – число ветвей, ni = 5 – число неизвестных токов, nкт = nв − n у + 1 = 3 – число контурных токов, nку = ni − n у + 1 = 2 – число контурных уравнений): Iɺ33 Iɺ22 Uɺ 4 Uɺ 3 Uɺ 5 Uɺ 2 Рис. 6.3. Контурные токи направляем так, чтобы через источник тока проходил один контурный ток и через каждое индуктивно связанное сопротивление проходил один свой контурный ток. В результате получим следующие уравнения для контурных токов (встречное включение): Iɺ33 = Jɺ = 1 − j1.73; ɺ I11 ⋅ ( Z 2 + Z 3 ) − Iɺ22 ⋅ Z 2 − Iɺ33 ⋅ Z 2 − Iɺ22 ⋅ Z M = − Eɺ1 + Eɺ 2 ; Iɺ ⋅ ( Z + Z + Z ) − Iɺ ⋅ Z + Iɺ ⋅ ( Z + Z ) − Iɺ ⋅ Z = Eɺ − Eɺ . 2 4 5 2 2 M 11 33 5 11 1 2 22 Группируем слагаемые и записываем уравнения в матричном виде: −( Z 2 + Z M ) Iɺ11 − Eɺ1 + Eɺ 2 + Jɺ ⋅ Z 2 (Z 2 + Z 3 ) . ×ɺ = ɺ ɺ ɺ −( Z 2 + Z M ) ( Z 2 + Z 4 + Z 5 ) I 22 E1 − E2 − J ⋅ ( Z 2 + Z 5 ) 104 Эти уравнения можно решить подстановкой, методом Крамера или на ЭВМ при помощи программы MathCad. Для этого в программу вводим матрицы с числовыми значениями комплексных коэффициентов в алгебраической форме: (300 + 100i) −(100 + 50i ) 300 − 273i A := , B := . −(100 + 50i) (230 + 10i) −174.3 + 414.9i Далее вводим а программу уравнение X := A −1 ⋅ B и получаем решение в алгебраической форме: 0.408 − 0.554i X = , −0.387 + 1.668i т.е. Iɺ11 = 0.408 − j 0.554 А; Iɺ22 = − 0.387 + j1.668 А. В результате токи в ветвях схемы будут следующими: Iɺ1 = Iɺ22 − Iɺ11 = − 0.795 + j 2.223 А; Iɺ2 = Iɺ11 − Iɺ22 − Iɺ33 = −0.205 − j 0.493 А; Iɺ3 = Iɺ11 = 0.408 − j 0.554 А; Iɺ4 = Iɺ22 = − 0.387 + j1.668 А; Iɺ5 = Iɺ22 + Iɺ33 = 0.613 − j 0.062 А. Напряжение на зажимах источника тока найдем по 2 закону Кирхгофа в комплексной форме (контур adba): Uɺ J − Eɺ1 = − ( Z 4 ⋅ Iɺ4 − Z M ⋅ Iɺ3 ) , тогда Uɺ J = Eɺ1 − ( Z 4 ⋅ Iɺ4 − Z M ⋅ Iɺ3 ) = 233.298 − j ⋅ 7.703 В. Таким образом, полученные результаты полностью совпали с результатами, найденными при помощи законов Кирхгофа. Записываем мгновенные значения тока в ветви ab и напряжения на зажимах источника тока: iab (t ) = i4 (t ) = 2 ⋅ 1.713 ⋅ sin(314t + 103 ) А; u J (t ) = 2 ⋅ 233.425 ⋅ sin(314t − 1.9 ) В. Рассчитываем балансы активной и реактивной мощностей. Полная вырабатываемая мощность всех источников: S в = Eɺ1Iɺ1* + Eɺ 2 Iɺ2* + Uɺ J Jɺ * = 100e j 90 ⋅ 2.361e − j109.7 + 200e j 0 ⋅ 0.534e j112.5 + +233.425e − j1.9 ⋅ 2e j 60 = 427.979 + j 414.93 ВА, где Jɺ * = 2e j 60 А; Iɺ1* = 2.361e− j109.7 А; Iɺ2* = 0.534e j112.5 А – сопряженные значения токов источников. 105 Активная потребляемая мощность: 0 Pп = I12 ⋅ Re( Z 1 ) + I 22 ⋅ Re( Z 2 ) + I 32 ⋅ Re( Z 3 ) + I 42 ⋅ Re( Z 4 ) + I 52 ⋅ Re( Z 5 ) = = 0.534 2 ⋅ 100 + 0.688 2 ⋅ 200 + 1.713 2 ⋅ 100 + 0.616 2 ⋅ 30 = 427.979 Вт; где I1 , I 2 , ..., I 5 - действующие значения (модули) токов. Реактивная потребляемая мощность: 0 Qп = I12 ⋅ Im( Z 1 ) + I 22 ⋅ Im( Z 2 ) + I 32 ⋅ Im( Z 3 ) + I 42 ⋅ Im( Z 4 ) + I 52 ⋅ Im( Z 5 ) − −2 X M I 3 I 4 cos( β 3 − β 4 ) = 0 + 0.534 2 ⋅ 0 + 0.6882 ⋅ 100 + 1.7132 ⋅ 100 + +0.6162 ⋅ ( −90) − 2 ⋅ 50 ⋅ 0.688 ⋅ 1.713 ⋅ cos( −53.6 − 103 ) = 414.93 вар; где I 3 , I 4 и β 3 , β 4 - действующие значения и фазы (углы) индуктивно связанных токов. Погрешности расчетов. По активной мощности: P − Pп δP % = в ⋅ 100 = 0 ≤ 3% . Pв По реактивной мощности: Q − Qп δQ % = в ⋅ 100 = 0 ≤ 3% . Qв Строим лучевую векторную диаграмму токов и совмещенную с ней топографическую векторную диаграмму напряжений. Для этого принимаем масштаб векторов тока m I = 0.05 А/мм и на комплексной плоскости строим векторы токов, которые выходят из начала координат каждый под своим углом. Для упрощения построения векторов можно откладывать вещественную и мнимую составляющие по вещественной и мнимой осям соответственно в принятом масштабе m , например, Iɺ = −0.795 + j 2.223 = 2.361e j109.7 А. I 1 После построения векторов токов проверяем первый закон Кирхгофа. Для этого достраиваем для узлов пунктирными линиями параллелограммы таким образом, чтобы ток равный сумме двух других токов являлся диагональю параллелограмма. Например, для узла a имеем Iɺ5 = Iɺ4 + Jɺ , т.е. Iɺ5 является диагональю параллелограмма, образованного токами Iɺ4 и Jɺ . 106 +j 2.223 Iɺ1 Iɺ4 0 -0.795 Iɺ2 +1 Iɺ5 Iɺ3 0,5 А Jɺ Рис. 6.4. Для упрощения построения топографической диаграммы напряжений на комплексной схеме расставляем стрелки напряжений Uɺ 2 ,Uɺ 3 ,Uɺ 4 ,Uɺ 5 навстречу направлениям токов. Далее, используя закон Ома и учитывая наличие индуктивной связи, проводим расчет этих напряжений (встречное включение): Uɺ = Z Iɺ = −20.5 − j 49.3 = 53.39e − j112.6 В; 2 2 2 Uɺ 3 = Z 3 Iɺ3 − Z M Iɺ4 = 220.4 − j 50.65 = 226.14e − j12.9 В; Uɺ 4 = Z 4 Iɺ4 − Z M Iɺ3 = −233.2 + j107.7 = 256.9e− j155.21 В; Uɺ = Z Iɺ = 12.81 − j 57.03 = 58.45e − j 77.3 В; 5 5 5 Eɺ1 = j100 = 100e j 90 В; Eɺ = 100 = 200e j 0 В; 2 Uɺ J = 233.3 − j 7.7 = 233.4e− j1.9 В. Затем рассчитываем комплексные потенциалы узлов и точки k схемы, предварительно приняв, например, ϕ b = 0 : ϕɺ a = ϕɺb + Uɺ 4 = − 233.2 + j107.7 В; ϕɺ d = ϕɺb + Eɺ1 = j100 В; ϕɺ c = ϕɺb − Uɺ 3 = − 220.4 + j 50.65 В; 107 ϕɺ k = ϕɺc − Uɺ 2 = − 199.9 + j 99.95 В. +j I1 I4 k a UJ d U5 U2 c E2 E1 U4 U3 b - 0 I2 +1 I5 I3 50 В 0,5 А J Рис. 6.5. Принимаем масштаб векторов напряжений и потенциалов узлов, например, mU = 50 В/см. На комплексной плоскости, где уже построены векторы токов, отмечаем точками потенциалы узлов и точки k, откладывая их вещественные и мнимые составляющие по вещественной и мнимой осям соответственно, в принятом масштабе mU . Далее соединяем точки потенциалов векторами напряжений согласно их направлениям на комплексной схеме замещения. Определяем показание вольтметра аналитически и графически, как действующее значение напряжения, между точками включения вольтметра, т.е. между узлами a и d. Аналитически: U V = Uɺ J = 233.425 В или U V = ϕɺ d − ϕɺ a = 233.2 − j 7.7 = 233.425 В. Графически (по векторной диаграмме): U V = ad ⋅ mV = 4.65 ⋅ 50 = 232.5 В. 108 Делаем развязку индуктивной связи и методом эквивалентного генератора находим ток ветви ab, т.е. Iɺab = Iɺ4 . При развязке учитываем, что индуктивно связанные сопротивления Z 3 и Z 4 подходят к общему узлу b одинаковым образом. Рис. 6.6. Далее относительно сопротивления R бывшей ветви ab (после развязки ветвь am) используем метод эквивалентного генератора. Iɺ3( xx ) Eɺ à Iɺ5( xx ) Рис. 6.7. Для определения токов Iɺ3( xx) и Iɺ5( xx) во вспомогательной схеме применим метод контурных токов: Iɺ11 = Jɺ , ɺ ɺ ɺ ɺ I 22 ( Z 3 − Z M + Z M + Z 2 ) − I11 ⋅ Z 2 = E2 − E1 Eɺ − Eɺ1 + Jɺ ⋅ Z 2 тогда Iɺ22 = 2 = 0.627 − j1.119 А. В результате: Z2 + Z3 Iɺ( xx ) = Iɺ = 0.627 − j1.119 А; Iɺ( xx ) = Iɺ = Jɺ = 1 − j1.73 А. 3 22 5 11 109 Затем по 2 закону Кирхгофа составляем уравнение и находим Eɺ Г : Eɺ Г = − ( Z 3 − Z M ) Iɺ3( xx ) − Z 5 Iɺ5( xx ) = −55.65 + j 334.35 = 338.95e j 99.45 В, т.е. E Г = 338.95 В, α Г = 99.45 . Во вспомогательной схеме ветвь с источником тока разрываем, ЭДС Eɺ1 и Eɺ 2 закорачиваем и относительно зажимов сопротивления R ветви ab находим Z Г : Рис. 6.8. Z Г = Z5 + j( X4 − XM ) + ( Z 3 − Z M )( Z 2 + Z M ) = 97.5 − Z3 − ZM + Z2 + ZM j12.5 = = 98.3e − j 7.3 Ом, т.е. R Г = 97.5 Ом; X Г = −12.5 Ом; ϕ Г = −7.3 ; Z Г = 98.3 Ом. Далее находим ток ветви ab: Eɺ Г Iɺ4 = = −0.387 + j1.668 = 1.713e j103 А, ZГ +R который совпал со значениями, найденными при помощи законов Кирхгофа и метода контурных токов. Затем изменяя величину сопротивления R ветви ab от 0 до 10 Z Г = 983 Ом рассчитываем мощность Pab , которая выделяется в виде тепла в этом сопротивлении: E Г2 ⋅ R . Pab = ( R + RГ )2 + X Г2 Результаты расчетов этой мощности вносим в таблицу: R, Ом 0 98.3 196.6 294.9 393.2 491.5 589.8 688.1 786.4 884.7 983 110 Pab , Вт 0 293.4 260.7 219.8 187.5 162.7 143.4 128.1 115.6 105.3 96.7 Максимум мощности Pab = Pm = E Г2 = 293.4 Вт наблю2 ( Rm + R Г ) дается при R = Rm = R Г2 + X Г2 = Z Г = 98.3 Ом. Строим график зависимости Pab = f ( R ) . Pab(R) Вт 300 240 180 120 60 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 R, Ом Рис. 6.9. Необходимо сформулировать вывод по выполненным пунктам задания, в котором сравнить результаты вычислений, оценить трудоемкость методов расчета и проанализировать график мощности п.7. 111 Документ MathCad ORIGIN:= 1 Дано: E1 := 100 ⋅ e E2 := 200 ⋅ e 90⋅deg⋅i 0⋅deg⋅i E3 := 0 J := 2 ⋅ e − 60⋅deg⋅i −3 L := 318.47 ⋅ 10 −6 ω := 314 C := 31.8 ⋅ 10 L M := 2 R := 100 Расчет комплексных сопротивлений : 1 ZL ZL := i ⋅ ω ⋅ L ZC := −i ⋅ ZL = 100i ZC = −100.148i ZM = 50i ZM := ω⋅C 2 Z1 := 0 Z2 := R Z3 := 2 ⋅ R + ZL Z4 := R + ZL Z1 = 0 Z2 = 100 Z3 = 200 + 100i Z4 = 100 + 100i Z5 := 3R ⋅ ZC Z5 = 30.08 − 90.107i 3R + ZC 1. Метод законов Кирхгофа 0 1 0 A := 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 Z2 Z3 −ZM 0 0 Z3 − ZM Z4 − ZM Z5 0 −ZM Z4 0 −J 0 0 B := −E1 + E2 0 E1 0 0 0 0 1 X := A 1.1. Решение матричного уравнения: −0.795 + 2.224i −0.205 − 0.492i 0.408 − 0.555i X= −0.387 + 1.67i 0.613 − 0.062i 233.372 − 7.911i ⋅B I1 := X I2 := X I3 := X I4 := X I5 := X UJ := X 1 3 5 112 −1 2 4 6 1.2. Значения токов и напряжения на источнике тока в алгебраической форме записи: I1 = −0.795 + 2.224i I2 = −0.205 − 0.492i I3 = 0.408 − 0.555i I4 = −0.387 + 1.67i I5 = 0.613 − 0.062i UJ = 233.372 − 7.911i 1.3. Определение модулей и фаз токов и напряжения: I1 = 2.362 arg ( I1) = 109.66deg I2 = 0.533 arg ( I2) = −112.644deg I3 = 0.688 arg ( I3) = −53.658deg I4 = 1.714 arg ( I4) = 103.039deg I5 = 0.616 arg ( I5) = −5.797deg UJ = 233.506 arg ( UJ) = −1.942deg 2. Метод контурных токов 2.1. Определение значений контурных токов и напряжения на источнике тока: J33 := J Z2 + Z3 −( Z2 + ZM ) 0 A1 := −( Z2 + ZM ) Z2 + Z4 + Z5 0 Z2 + Z5 −1 −Z2 −E1 + E2 + J33 ⋅ Z2 B1 := E1 − E2 − J33 ⋅ ( Z2 + Z5) −E2 − J33 ⋅ ( Z2 + Z5) X1 := A1 −1 ⋅ B1 113 J11 := X1 0.408 − 0.555i X1 = −0.387 + 1.67i 233.372− 7.911i 1 J22 := X1 2 UJk := X1 3 2.2. Значения контурных токов и напряжения на источнике тока в алгебраической форме записи: J11 = 0.408 − 0.555i J22 = −0.387 + 1.67i UJk = 233.372− 7.911i 2.3. Определение токов в ветвях: I1k := J22 − J11 I1k = −0.795 + 2.224i I2k := J11 − J22 − J33 I2k = −0.205 − 0.492i I3k := J11 I3k = 0.408 − 0.555i I4k := J22 I4k = −0.387 + 1.67i I5k := J22 + J33 I5k = 0.613 − 0.062i 2.3. Расчитываем напряжения на пассивных элементах с учетом наличия индуктивной связи: U2 := Z2 ⋅ I2 U3 := Z3 ⋅ I3 − ZM ⋅ I4 U4 := Z4 ⋅ I4 − ZM ⋅ I3 U5 := Z5 ⋅ I5 U2 = −20.535 − 49.226i U3 = 220.535− 50.774i U4 = −233.372+ 107.911i U5 = 12.837 − 57.137i или U2 = 53.337 arg( U2) = −112.644deg U3 = 226.304 arg( U3) = −12.965deg U4 = 257.114 arg( U4) = 155.184deg U5 = 58.561 arg( U5) = −77.337deg 3. Баланс мощности 3.1. полная мощность S := E1 ⋅ I1 + E2 ⋅ I2 + UJ ⋅ J 3.2. активная мощность P := ( I1 ) + ( I4 2 ⋅ Re( Z1) + ( S = 428.436+ 415.287i 114 I2 ) 2 ⋅ Re( Z4) + ( P= 3.3. реактивная мощность ) I5 2 ⋅ Re( Z2) + ) 2 ⋅ Re( Z5) ( I3 ) 2 ⋅ Re( Z3) ... 3.2. активная мощность P := ( I1 ) 2 ⋅ Re( Z1) + ( I2 ) 2 ⋅ Re( Z2) + ( 2 2 + ( I4 ) ⋅ Re( Z4) + ( I5 ) ⋅ Re( Z5) I3 ) 2 ⋅ Re( Z3) ... I3 ) 2 ⋅ Im( Z3) ... P = 428.436 3.3. реактивная мощность Q1 := ( I1 ) 2 ⋅ Im( Z1) + ( I2 ) 2 ⋅ Im( Z2) + ( 2 2 + ( I4 ) ⋅ Im( Z4) + ( I5 ) ⋅ Im( Z5) Q2 := 2 ⋅ I3 ⋅ I4 ⋅ cos ( arg( I3) − arg( I4) ) ⋅ Im( ZM ) Q := Q1 − Q2 Q = 415.287 4. Лучевая диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений 4.1. лучевая диаграмма токов m := 20 - коэффициент для масштаба тока I := ( 0 J 0 I1 0 I2 0 I3 0 I4 0 I5 ) ⋅ m 50 40 30 20 ( T) 10 Im I 20 10 0 10 10 20 30 40 ( T) Re I 115 20 30 4.2. Топографическая диаграмма напряжений (строится совмещенно с лучевой диаграммой токов) n := 0.2 - коэффициент для масштаба напряжения 4.2.1. Контур bacb: ϕb := 0 ϕa := ϕb + I4 ⋅ Z4 − I3 ⋅ ZM ϕc := ϕa + I5 ⋅ Z5 ϕbb := ϕc + I3 ⋅ Z3 − I4 ⋅ ZM потенциал ϕbb должен быть равен ϕb ϕb ϕa ⋅n ϕ1 := ϕc ϕbb 0 −46.674 + 21.582i ϕ1 = −44.107 + 10.155i 0 − 0i 4.2.2. Контур bdkcb: ϕd := ϕb + E1 ϕk := ϕd − E2 ϕcc := ϕk + I2 ⋅ Z2 потенциал ϕсс должен быть равен ϕс ϕbb := ϕcc + I3 ⋅ Z3 − I4 ⋅ ZM потенциал ϕbb должен быть равен ϕb ϕb ϕd ϕ2 := ϕk ⋅ n ϕcc ϕbb 0 20i ϕ2 = −40 + 20i −44.107 + 10.155i −0 4.2.3. Контур bdab: ϕaa := ϕd − UJ потенциал ϕaa должен быть равен ϕa 116 ϕb ϕd ϕ3 := ⋅n ϕaa ϕb 0 20i ϕ3 = −46.674 + 21.582i 0 45 40 35 30 25 20 ( T) Im I 15 10 Im( ϕ1) 5 Im( ϕ2) Im( ϕ3) 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25 30 35 ( T ) , Re( ϕ1) , Re( ϕ2) , Re( ϕ3) Re I Построенные диаграммы рекомендуется скопировать в графический редактор, например, Microsoft Visio и проставить индексы узлов и направления стрелок векторов токов и напряжений. 5. Определяем показания вольтметра Uv := UJ Uv = 233.506 или Uv := ϕd − ϕa Uv = 233.506 117 6. Определяем ток в ветви ab методом эквивалентного генератора 6.1. По методу контурных токов определяем токи ХХ J11 := J J22 := J11 = 1 − 1.732i E2 − E1 + J ⋅ Z2 J22 = 0.627 − 1.12i Z2 + Z3 I3xx:= J22 I5xx:= J11 6.2. ЭДС генератора Eg := −( Z3 − ZM ) ⋅ I3xx − Z5 ⋅ I5xx Eg = −55.351 + 334.79i Eg = 339.335 arg ( Eg) = 99.388deg 6.3. Сопротивление генератора Zg := Z5 + Im( Z4 − ZM ) ⋅ i + ( Z3 − ZM ) ⋅ ( Z2 + ZM ) Z3 + Z2 Zg = 97.58 − 12.607i 6.4. Определяем ток в ветви ab I4 := Eg I4 = −0.387 + 1.67i Zg + R 7. Расчитываем мощность Pab i := 1 .. 11 Rr := Zg ⋅ ( i − 1) i ( T T T := stack Rr , Pab Pab := i ) 118 ( Eg ) 2 ⋅ Rri (Rri + Re( Zg) )2 + Im( Zg )2 7.1. Построение зависимости Pab(R) i := 1 .. 31 Rr := i R 3 ⋅ ( i − 1) Pab := i ( Eg ) 2 ⋅ Rri (Rri + Re(Zg ) )2 + Im(Zg )2 P( r) := interp ( cspline ( Rr, Pab ) , Rr, Pab , r) 300 240 180 P ( r) 120 60 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 r РЕЗОНАНС В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ И ТОКАХ Реактивные сопротивления и проводимости отдельных участков цепи могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, следовательно, могут взаимно компенсироваться. Поэтому возможны случаи, когда, несмотря на наличие в цепи индуктивных катушек и конденсаторов, входное реактивное сопротивление или входная реактивная проводимость всей цепи оказывается равной нулю. При этом ток и напряжение совпадают по фазе, и эквивалентное сопротивление всей цепи будет активным. Такое явление называют резонансным. Резонанс – это такой режим пассивной цепи, содержащей емкости и индуктивности, при котором входные ток и напряжение совпадают по фазе. 119 При резонансе цепь потребляет только активную мощность и входное сопротивление этой цепи будет вещественной величиной. Различают резонансы: напряжений (или последовательный резонанс); токов (или параллельный резонанс); в сложной цепи. Резонанс напряжений Резонанс напряжений возможен в электрической цепи с последовательным соединением участков, содержащих емкости и индуктивности. Рассмотрим это явление на примере простейшей цепи, содержащей катушку индуктивности и идеальную ёмкость (рис 5.1). Uɺ Uɺ Rк jX L − jX C Uɺ L Uɺ С Uɺ Н Рис. 7.1. По закону Ома: Uɺ Iɺ = Ie j (α −ϕ ) , ( A) Z вх гдеUɺ = Ue jα Комплекс входного сопротивления: Z вх = ( Rк + Rн ) + j ( X L − X C ) = R + jX = Z вх e jϕ , (Ом ) где R = RК + RН , X = X L − X C , X . Z вх = R 2 + X 2 ; ϕ = arctg R Из определения резонанса: (7.1) ϕ =0. Тогда, для выполнения (7.1) необходимо равенство аргументов входного напряжения и тока, что возможно только, если мнимая часть входного комплексного сопротивления равна нулю. Отсюда, условие резонанса напряжений в сложной цепи: X = Jm (Z) = 0. 120 (7.2) В результате при резонансе напряжений для исследуемой схе1 мы (рис.7.1) X = X L − X C = 0 ; X L = X C ; или ω L = . ωC 1 ω0 = –резонансная угловая частота. LC Активная и реактивная мощности: U2 ; P= R Q = UI sin ϕ = 0 . Тогда cos ϕ = 1. Полная мощность S = P 2 + Q 2 = P , при этом U L = U C = I ⋅ X L = I ⋅ X C = U ⋅ q , где q – добротность контура, которая показывает, во сколько напряжение на реактивных элементах превышает входное напряжение. U X ρ U X q = C = L = L = C = >> 1 , то U L = U C >> U , U U R R R U U 1 L ρ = L = C = ω0 L = = , (Ом ) – характеристическое I I ω 0C C сопротивление контура При резонансе напряжений входное сопротивление цепи будет минимальным, а ток будет максимальным. Векторная диаграмма при резонансе напряжений Uɺ Rк = Rк Iɺ Uɺ Н = Rн Iɺ Uɺ Iɺ Uɺ К Uɺ L = jX L Iɺ Uɺ С = (− jX C ) Iɺ Рис. 7.2. 121 Частотные и резонансные характеристики Предположим к что к контуру приложено синусоидальное напряжение U (t ) = U 2 sin ωt амплитуда которого неизменна, а частота может изменяться в широких пределах от о до ∞ , изменение частоты приводит к изменению параметров контура, изменяется его реактивное, а, следовательно, и его полное сопротивление, а также угол сдвига между входным током и входным напряжением ϕ (аргумент комплексного сопротивления цепи). Зависимости параметров схемы от частоты называют частотными характеристиками цепи. ϕ, рад ϕ(ω) ω0 ω,рад/с Рис. 7.3. Отметим, что частоты, при которых наблюдаются фазовый и амплитудный резонансы, не совпадают с частотой собственных колебаний контура (они совпадают только в теоретическом случае, когда катушка индуктивности и конденсатор без потерь) 122 X L (ω) Z (ω) X C (ω) R(ω) ω,рад/с Рис. 7.4. При изменении частоты ω меняется реактивное сопротивление цепи. При ω → 0 сопротивление Z → ∞ и ток I → 0 . При ω → ∞ сопротивление Z → ∞ и ток I → 0 . При изменении частоты ω от 0 до ω 0 ϕ < 0 , т.е. полное сопротивление цепи имеет ёмкостный характер. π При изменении частоты ω от ω 0 до ∞ ϕ > 0 и увеличивается до , 2 т.е. полное сопротивление цепи имеет индуктивный характер. Резонансные кривые Зависимости действующих и амплитудных значений тока напряжения от частоты называют резонансными кривыми. Запишем на основании законов Ома. U Uɺ . Iɺ = ; I (ω ) = 2 Z 2 R + ωL − 1 ωC ( Z X = ωL − 1 R 123 ) ωC U L (ω ) = I ⋅ X L = UωL ( R + ωL − 1 2 U C (ω ) = I ⋅ X C = ) ; U ( ωC R + ω L − 1 2 UC , U L , I U C (ω) ωC 2 ωC ) 2 . I (ω) U L (ω) U ωL ωC ω0 U I→ R UC → 0 K ω Рис. 7.5. Максимумы напряжений U L и U C имеют место при частотах, отличных от резонансной, причём связь между частотами, при которых кривые имеют максимумы ωLωC = ω02 . Im q1 > q2 > q3 Im 2 q3 q2 q1 ω1 ω0 ω2 ω Рис. 7.6. График зависимости тока от частоты показывает, что цепь обладает избирательными свойствами. Цепь обладает наименьшим сопротивлением при резонансной частоте. Входной ток и напряжение при резонансе резко изменяют свою величину, что приводит к частотным искажениям сигнала. Чтобы эти искажения не превышали допустимой нормы, вводят понятие полосы пропускания– П (т.е. 124 спектр сигнала не должен выходить за пределы полосы пропускания). Полоса пропускания для большинства сигналов устанавливается на уровне, при котором ток – I (напряжение – U) уменьшается не более чем 2 раз от максимального значения. По полосе пропускания определяется качество резонансной цепи (её добротность) ω Q = 0 , где П = ω 2 − ω1 – полоса пропускания. П Чем больше добротность контура, тем острее кривая тока, тем выше избирательные свойства контура. Избирательными свойствами широко пользуются в электросвязи и радиотехнике, при этом режим резонанса является нормальным режимом работы цепи. Наоборот, в устройствах, где резонансный режим не предусмотрен, появление резонанса нежелательно, т.к. возникающее значительные напряжения на катушке и конденсаторе могут оказаться опасными для изоляции. Резонанс напряжений используется: а) в радиотехнике для усиления сигналов определенной частоты; б) в электроэнергетике для увеличения активной мощности нагрузки генератора (компенсация реактивной мощности). jX Г − jX C Uɺ Г Iɺ Рис. 7.7. а) XС = 0 б) XС = X Г (С = ∞ ) Pн' = ( I ' ) 2 Rн = Pн" = ( I " ) 2 Rн = Eг2 Rн , (Вт) ( Rг + Rн ) 2 + Х г2 (резонанс ) Eг2 Rн > Pн' , (Вт) 2 ( Rг + Rн ) 125 Примечание: если Rk=0, то тогда Zdb=jXL-jXC=0 – это идеальный резонанс напряжений. Резонанс токов Резонанс токов – это резонанс при параллельно соединенных емкости и индуктивности IɺК Iɺ IɺC Uɺ С Uɺ Uɺ Rк − jX C Uɺ L jX L Рис. 7.8. При резонансе токов входная проводимость цепи и входной ток минимальны По закону Ома j (α −ϕ ) ɺ Iɺ = UY , ( A) вх = Ie jα ɺ где U = Ue – входное напряжение. Комплекс входной проводимости: 1 1 j Rк − jX L + = + = Y вх = (− jX C ) ( Rк + jX L ) X C ( Rк + jX L )( Rк − jX L ) , = g − jb = Yвх е − jϕ , 1 Ом R где g = 2 к 2 , 1 – активная проводимость цепи, Ом Rк + Х L ( ( b = bк − bC = Rк2 пи. Yвх = g 2 + b2 , ) ) ХL 1 − , 2 + ХL ХС ( 1Ом ) – реактивная проводимость це- ( 1Ом ) – модуль входной проводимости цепи. b , ( град ) – угол сдвига фаз между током и напряжением. g Из определения резонанса ϕ = 0 , тогда Im(Y ) = b = bк − bC = 0 . ϕ = arctg 126 В результате при резонансе токов X 1 , bк = bC или 2 L 2 = Rк + X L X C ωL Rк2 + (ω L ) 2 = ωC . Резонанса токов можно добиться изменяя: частоту, либо ёмкость, либо индуктивность, либо активное сопротивление катушки. Тогда ϕ=0 Y вх = g b=0 ɺ jα Iɺ = Uge Q=0 cos ϕ = 1 P = U 2g S=P При резонансе токов входная проводимость цепи и входной ток минимальны. Векторная диаграмма при резонансе токов +j URк b U UL I IС α = ϕк +1 a I к = I к е j0° Рис. 7.8. 127 где – Z к = Rк2 + Х L2 ; I к = U ; IС = U ; Zк ХС U L = I к X L ; U Rк = Rк I к . Резонансные характеристики Запишем действующие значения токов ветвей ωL ; + ω L2 I C (ω ) = U ⋅ bC = U ω C , на основе этих соотношений построим резонансные характеристики. 2 2 Iɺ = Uɺ Y ; I (ω ) = U g + ( bC − bК ) ; I L (ω ) = U ⋅ bK = U g= I Rк2 Rк2 Rк + Х L2 I (ω) I C (ω ) I 0 = Ug I L (ω ) ω0 ω, рад / с резонанс Рис. 7.9 I 0 – действующее значение входного тока при резонансе токов Частотные характеристики повторяют резонансные, только в другом масштабе. 128 b bC (ω ) b = bC − bL bК (ω ) ω , рад / с ω0 0 резонанс Рис. 7.10. Примечание: Если в ветви с ёмкостью присутствует последовательное сопротивление. Результирующая комплексная входная проводимость равна Y = g + jb, R R где g = 2 1 2 − 2 2 2 ; – вещественная часть, R1 + X L R2 + X C X X b = 2 L 2 − 2 C 2 – мнимая часть входной комплексной провоR1 + X L R2 + X C димости. Iɺ Iɺ 1 Iɺ2 Uɺ R1 Uɺ R2 Uɺ Uɺ С Uɺ L − jX C jX L Рис. 7.11. Приравнивая мнимую часть входной комплексной проводимости к нулю, получаем условие резонанса токов: 129 XL X = 2 C 2 2 2 R1 + X L R2 + X C или 1 ωL ωC = 2 2 R1 + (ω L ) R12 + 1 ωC ( ) 2 . Изменением одной из величин ( ω , L, C , R1 , R2 ) при остальных четырёх постоянных не всегда может быть достигнут резонанс. Резонанс отсутствует, если значение изменяемой величины при её определении из уравнения получается мнимым или комплексным. Для L и C могут получаться и по два различных действительных значения. В таких случаях можно достичь двух различных резонансных режимов. Решая уравнение относительно ω , получим величину резонансной частоты: ω p = ω0 ρ 2 − R12 1 , ρ= LC , где ω 0 = L . C ρ 2 − R2 2 Резонанс возможен, если сопротивления оба больше или оба меньше ρ . Если же это условие не выполняется, получается мнимая частота, т.е. не существует такой частоты при которой имел бы место резонанс. При ρ = R1 = R2 , резонансная частота имеет любое значение, т.е. резонанс наблюдается при любой частоте. Uɺ R1 ϕ2 = arctg XC R2 Uɺ L Iɺ2 ϕ2 Uɺ Uɺ R 2 ϕ1 = arctg Uɺ С ϕ1 Iɺ XL R1 1 Рис. 7.12. При параллельном соединении элементов качество резонансY ной цепи считается тем выше, чем больше отношение , которое и g в этом случае называется добротностью. Добротность контура показывает во сколько раз ток на реактивных элементах превышает входной ток. При R1 = R2 = 0 130 IC I L γ = = >> 1 I I g Q= где γ = C - характеристическая (волновая) проводимость. L Iɺ1 Iɺ Iɺ2 Uɺ R 2 Uɺ L Uɺ Uɺ С jX L − jX C Рис. 7.13. φ1 = −90 Векторная диаграмма +j φ2 = arctg U = UL I2 XC R2 U R2 I φ2 UC φ1 I1 +1 Рис. 7.14. Резонанс в индуктивно связанных контурах Определим резонансные частоты и частотные характеристики цепи, на рис 7.15. Собственные частоты при которых наступит резонанс, в случае отсутствия взаимной индукции равны 131 1 ; ω2 = L1C1 ω1 = C1 e(t ) M L1 1 . L2C 2 C2 L2 R2 = 0 R1 Рис. 7.15. Схема после развязки индуктивной связи C1 X L1 − X M X L 2 − X M C e(t ) R1 XM R2 = 0 Рис. 7.16. Условием резонанса напряжений будет равенство нулю эквивалентного реактивного сопротивления (мнимой части входного сопротивления) 1 jω M j (ω L2 − ω M ) − j ωC2 1 Z = R1 + j (ω L1 − ω M ) − j + ωC1 jω M + j (ω L − ω M ) − j 1 2 ωC2 выделим мнимую часть и приравняем её к нулю, откуда получим уравнение 1 1 2 2 ω L1 − ω L2 − =ω M . ω ω C C 1 2 Решая это уравнение относительно ω , найдем частоты, отвечающие резонансу напряжений либо ω′ , либо ω ′′ . При этих частотах сопротивление цепи оказывается минимальным, а ток достигает U максимального значения I m = . R1 132 Если оба контура предварительно настроены на одну частоту ω0 и ω1 = ω 2 = ω 0 , то частоты ω′ , ω ′′ оказываются равными ω ′ = 1+ k ω0 , причём ω′ < ω 0 < ω ′′ , где k – коэффициент связи. Штриω ′′ = 1− k ховыми линиями показаны характеристики при R2 ≠ 0 . Таким образом, резонансная кривая, состоящая из двух связанных контуров имеет два максимума и один минимум. I U R1 ω ω′′ ω′ ω 0 Рис. 7.17. X R2 = 0 Резонанс токов Резонанс напряжений Резонанс напряжений X( w) X1( w) ω′ ω0 ω′′ R2 ≠ 0 w Рис. 7.18. 133 ω ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ Все звенья трехфазной цепи, начиная от генератора и кончая двигателем, были изобретены и разработаны известным русским инженером и ученым М. О. Доливо-Добровольским. Трехфазные цепи образуются тремя электрически связанными фазами (цепями) А, В, С, находящимися под переменными напряжениями одинакового периода Т, которые сдвинуты по фазе относительно друг друга на определенный угол (120 градусов). К этим фазам подключаются статические и динамические нагрузки, соединенные как правило звездой или треугольником. eА uСА а A eВ u AB eС n2 b В N u ВС С с n1 Рис. 8.1. Статические нагрузки - это обмотки трансформаторов, лампы, нагреватели, конденсаторы и др. Динамические нагрузки - это обмотки электрических двигателей. Трехфазные цепи являются наиболее экономичными и совершенными по сравнению с другими многофазными цепями и используются для электроснабжения большинства мощных потребителей электрической энергии. Генерирование и распределение электрической энергии осуществляется посредством трехфазных цепей, кото- 134 рые запитываются от обмоток генераторов и трансформаторов, характеризуемых фазными ЭДС eA(t), eB(t), eC(t). Соединения обмоток генераторов и трансформаторов Существуют два основных способа соединения обмоток генераторов, трансформаторов и приемников в многофазных цепях: соединение звездой и соединение многоугольником. Например, соединение генератора и приемника звездой показано на рис. 8.2 , а соединение треугольником — на рис.8.3. При соединении звездой (рис. 8.2 ) все «концы» фазных обмоток генератора и ветвей звезды приемника называют нейтральными (нулевыми) точками, а соединяющий их провод — нейтральным (нулевым) п р о в о д о м. Остальные провода, соединяющие обмотки генератора с приемником, называют линейными. eА A eВ u АВ N В eС uСА u ВС С N Рис. 8.2. При соединении треугольником (рис. 8.3) или многоугольником фазные обмотки генератора соединяются последовательно таким образом, чтобы «начало» одной обмотки образовало с «концом » другой обмотки общую точку. Общие точки каждой пары фазных обмоток генератора и общие точки каждой пары ветвей приемника соединяются линейными проводами. Схемы соединения обмоток источников питания и приемников не зависят друг от друга. В одной и той же цепи могут быть источники питания и приемники с разными схемами соединений. Лучи звезды или ветви многоугольника приемника называют фазами приемника, а сопротивления фаз приемника — фазными сопротивлениями. 135 ЭДС, наводимые в фазных обмотках генератора или трансформатора, напряжения на их выводах, напряжения на фазах приемниках и токи в них называют соответственно фазными ЭДС, напряжениями и токами (Еф, Uф, Iф). A eС eА u АВ uСА В eВ uВС С Рис. 8.3. Напряжения между линейными проводами и токи в них называют линейными напряжениями и токами (Uл, Iл). При соединении фаз звездой линейные токи равны фазным Iл = Iф. При соединении фаз многоугольником линейное напряжение между проводами, присоединенными к одной и той же фазе приемника или источника питания, равно соответствующему фазному напряжению Uл = Uф . Положительные направления токов во всех линейных проводах выберем одинаковыми от источника питания к приемнику, а в нейтральном проводе — от нейтральной точки приемника к нейтральной точке источника питания. Симметричная система фазных ЭДС В нормальном режиме фазные ЭДС генераторов и трансформаторов образуют симметричную систему, т.е. имеют одинаковую гармоническую форму, одинаковые частоту и амплитуду и сдвинуты по фазе относительно друг друга на 120°. e А = 2 E sin(ωt + α ) , eВ = 2 E sin(ωt + α − 120°) , eС = 2 E sin(ωt + α + 120°) . 136 (8.1) Волновая диаграмма фазных ЭДС (8.1) при α = 0 : Волновая диаграмма. При построении графика мгновенных значений (рис. 8.4) у ЭДС фазы А выбрана начальная фаза α = 0 . ЭДС в фазах А, В и С сдвинуты относительно друг друга симметрично на 1/3 периода (8.1). Порядок, в котором ЭДС в фазных обмотках генератора проходят через одинаковые значения, например через положительные максимумы, называют последовательностью фаз или порядком чередования фаз. При указанном направлении вращения ротора получаем последовательность фаз ABC А и т. д. Если изменить направление вращения ротора на противоположное, то последовательность фаз получится обратной. В е еА 2Е еВ еС t Т 3 Т 3 T − 2Е Рис. 8.4. Комплексы действующих значений фазных ЭДС равны: Eɺ А = E ⋅ е j 0° , (8.2) Eɺ = E ⋅ е − j120° , В Eɺ C = E ⋅ е j120° . Изобразим на комплексной плоскости вектора фазных ЭДС (рис. 8.5). 137 +j С Uɺ CA EɺС 120° N Uɺ ВC Eɺ В Eɺ А A 120° +1 Uɺ AВ В Рис. 8.5. Фазовый оператор Часто при анализе трехфазных цепей используется оператор a , который представляет собой фазовый множитель и при домножении обозначает поворот против часовой стрелки на 120°. (8.3) а = 1е j120° = −0,5 + j 0,866 С учетом оператора а можно записать: Eɺ А = E ⋅ е jα , Eɺ В = а 2 Eɺ А , Eɺ C = аEɺ А . (8.4) В результате Uɺ АB = U Л ⋅ е j (α + 30° ) , Uɺ ВС = а 2Uɺ AB , Uɺ СА = аUɺ AB . (8.5) Свойства оператора а: а 2 = 1е j 240° = 1е − j120° = −0,5 − j 0,866 , а 3 = 1е j 360° = 1 . Таким образом,1 + а + а 2 = 0 . В результате: Eɺ А + Eɺ В + Eɺ C = Eɺ А + а 2 Eɺ А + аEɺ А = Eɺ А (1 + а 2 + а ) = 0 . (8.6) Фазные напряжения(напряжения приёмника) Фазные напряжения – это напряжения между фазами и нулевым проводом или нейтралью. 138 а b с Uɺ A Uɺ В Uɺ С N Рис. 8.6. Uɺ A = U Ф ⋅ e jβ Где Uɺ В = а 2 ⋅ Uɺ A . ɺ ɺ U C = a ⋅ U A Линейные напряжения Линейные напряжения – это напряжения между фазами, причем эти напряжения могут быть найдены по известным фазным ЭДС. А ɺ ɺ U AВ U СА В Uɺ ВС С N Рис. 8.7. Из диаграммы (рис. 8.5) видно, что линейные напряжения равны: u AB = e А − eB = 2 3E sin(ωt + α + 30°) , uBC = eB − eC = 2 3E sin(ωt + α − 90°) , (8.7) uСА = eС − eА = 2 3E sin(ωt + α + 150°) , где Uɺ AB = U Л ⋅ e j (α + 30° ) , Uɺ ВС = U Л ⋅ e j (α −90° ) , Uɺ СА = U Л ⋅ e j (α +150° ) – комплексы действующих значений, U Л = 3Е – действующее значение. Так же линейные напряжения могут быть найдены по известным фазным напряжениям: 139 Uɺ AВ = Uɺ A − Uɺ B = U Л ⋅ e jλ ɺ 2 U ВС = Uɺ B − Uɺ C = а ⋅ Uɺ AВ , где U Л = 3U Ф . ɺ ɺ ɺ ɺ U CА = U C − U A = a ⋅ U AВ Симметричный режим трехфазной цепи Симметричный режим характеризуется симметричной системой фазных ЭДС и напряжений, а также одинаковой нагрузкой фаз. Трехфазная цепь с одинаковой нагрузкой фаз называется симметричной. Симметричный режим является нормальным режимом трехфазных цепей и рассчитывается известными методами в комплексной форме. Соединение звезда-звезда с нулевым проводом при Eɺ A = Ee jα , Z = Z ⋅ e jϕ , Z N = Z N ⋅ e jϕ N . IɺА Eɺ А A Z Uɺ А ɺ N EВ IɺВ В Z n Uɺ B Eɺ С С IɺС IɺN Z Uɺ C ZN Uɺ N Рис. 8.8. Где IɺA , IɺB , IɺC – линейные токи, равные фазным токам; Uɺ , Uɺ , Uɺ – фазные напряжения; A B C IɺN и Uɺ N – ток и напряжение нулевого провода. По 2-му закону Кирхгофа и закону Ома: Uɺ IɺA = ( Eɺ А − Uɺ N ) / Z = А , Z 140 Uɺ IɺВ = ( Eɺ В − Uɺ N ) / Z = В Z , Uɺ IɺС = ( EɺС − Uɺ N ) / Z = С Z . Тогда по 1-му закону Кирхгофа: Uɺ Eɺ + Eɺ B + Eɺ C 3 ⋅ Uɺ N . IɺN = N = IɺA + IɺB + IɺC = A − ZN Z Z 1 3 Но Eɺ A + Eɺ B + Eɺ C = (1 + a 2 + a ) ⋅ Eɺ A = 0 , т.е. Uɺ N + = 0 , значит, ZN Z Eɺ Uɺ Uɺ N = 0 , IɺN = N = 0 , отсюда IɺА = A = I Л е j (α −ϕ ) , IɺВ = а 2 IɺА , IɺС = а IɺА . Z ZN Таким образом, Uɺ А = Uɺ A , Uɺ В = а 2Uɺ А , Uɺ C = аUɺ А . Комплекс полной вырабатываемой мощности SɺВ = Eɺ А IɺA* + Eɺ B IɺB* + Eɺ C IɺC* = 3 ⋅ Е ⋅ I Л е jϕ = PB + jQB , ( BA) ; (8.8) а) активная мощность PВ = Р П = 3 ⋅ Е ⋅ I Л cos ϕ = 3 ⋅ U Л ⋅ I Л cos ϕ = 3 ⋅ I Л2 ⋅ [Re( Z )], ( Вт ) ; б) реактивная мощность QВ = QП = 3 ⋅ Е ⋅ I Л sin ϕ = 3 ⋅ U Л ⋅ I Л sin ϕ = 3 ⋅ I Л2 ⋅ [Im( Z )], (вар ) ; Векторная диаграмма ϕ > 0 141 +j С IɺС Uɺ CA EɺС ϕ Uɺ С A Eɺ А 120° N ϕ n Uɺ ВC ϕ IɺB 120° Uɺ А α +1 IɺА Uɺ AВ Eɺ В Uɺ В В Рис. 8.9. В симметричном режиме ток нулевого провода IN и напряжение смещения нейтралей UN равны нулю, поэтому цепь без нулевого провода рассчитывается аналогично, причем такой расчет можно вести на одну фазу (А). Соединение нагрузки треугольником при Uɺ AB = U Л е jλ , Z = Ze jϕ . 142 А Uɺ AB Uɺ CA B IɺB Uɺ BC IɺAB IɺA С IɺBC IɺС Z Z IɺСА Z Рис. 8.10. Где IɺA , IɺB , IɺC – линейные токи; IɺAB , IɺBC , IɺCA – фазные токи; Uɺ АВ , Uɺ ВС , Uɺ СА – линейные напряжения, равные фазным напряжениям. По закону Ома: Uɺ 2 Uɺ Uɺ IɺAB = АB = IФе j (λ −ϕ ) , IɺВС = ВС Z = а IɺАВ , IɺСА = СА = а ⋅ IɺАВ . Z Z По 1 закону Кирхгофа: IɺA = IɺAB − IɺCA = I Л е j ( λ −ϕ −30°) , IɺВ = IɺВС − IɺАВ = а 2 IɺА , Iɺ = Iɺ − Iɺ = а ⋅ Iɺ . С СА ВС А Где IФ = U Л , I Л = 3IФ . Z Комплекс полной вырабатываемой мощности определяется выражением (8.8). а) Активная потребляемая мощность РП = 3 ⋅ U Л ⋅ IФ cos ϕ = 3 ⋅ U Л ⋅ I Л cos ϕ = 3 ⋅ I Ф2 ⋅ [ Re( Z ) ] , ( Вт ) . б) Реактивная потребляемая мощность Q П = 3 ⋅ U Л ⋅ I Ф sin ϕ = 3 ⋅ U Л ⋅ I Л sin ϕ = 3 ⋅ I Ф2 ⋅ [ Im( Z ) ] , ( вар ) . Векторная диаграмма при λ > 0 и ϕ > 0 143 +j С Uɺ СА Uɺ ВC IɺС IɺСА IɺА Uɺ AВ A λ ϕ В +1 IɺАВ IɺВС IɺВ Рис. 8.11. В симметричном режиме при соединении нагрузки треугольником расчет можно было бы вести на одну фазу (А). Трехфазная цепь в симметричном режиме Eɺ А ɺ N EВ Eɺ С А В С Z1 Z1 ɺ Uɺ са I А3 IɺА1 а Z1 Uɺ А1 Uɺ В1 Uɺ С1 Z3 IɺА2 Uɺ IɺВ3 Z 3 аb b IɺВ1 IɺВ2 Uɺ IɺС3 Z 3 bc с IɺС1 IɺС 2 Z2 ZN Uɺ С3 Z2 Z2 Uɺ N = 0 144 Uɺ А3 n 2 ɺ UВ IɺN = 0 3 Рис. 8.12. В симметричном режиме расчет сложной трехфазной цепи после преобразования треугольника в звезду ведется на одну фазу (А) любым известным методом в комплексной форме, затем при помощи фазового оператора а находятся токи и напряжения других фаз. Расчет на одну фазу (А): Z1 Z3 Eɺ А A а N n2 Uɺ А3 Uɺ А1 Z2 3 IɺА1 IɺА3 IɺА2 n1 Рис. 8.13. Векторная диаграмма с Uɺ С1 +j С EɺС Uɺ са Uɺ С3 IɺА1 Uɺ bc IɺС1 ɺ IɺВ1 U А3 Uɺ В3 Uɺ ab b Eɺ B Uɺ В1 В Рис. 8.14. 145 A Eɺ А Uɺ А1 +1 а Сложную трехфазную цепь в симметричном режиме можно преобразовать до эквивалентной звезды: Z3 ⋅ Z2 3 Z = Z1 + (8.9) Z 2 Z3 + 3 ɺ EА Z IɺА1 A Uɺ А ( ) N Eɺ В IɺВ1 В Z n Uɺ B Eɺ С IɺС1 С Z IɺN Uɺ C ZN Uɺ N Рис. 8.15. Несимметричный режим трехфазных цепей Несимметричный режим обусловлен различной нагрузкой фаз или несимметричной системой напряжений трехфазного источника, причем в этом режиме напряжения и токи фаз не образуют симметричные системы при статической нагрузке фаз рассчитывается известными методами в комплексной форме, причем в этом режиме ток и напряжение в нулевом проводе могут быть не равны нулю. 146 Соединение несимметричной нагрузки ( Z A ≠ Z B ≠ ZC ) звездой при заданных фазных ЭДС Eɺ А N Eɺ В Eɺ С IɺА A ZА Uɺ А Uɺ СА Uɺ АВ IɺВ В ZВ n Uɺ B Uɺ ВС IɺС С ZС IɺN Uɺ C ZN Uɺ N Рис. 8.16. При известных: Eɺ A = Ee iα , Eɺ B = a 2 Eɺ A , Eɺ C = aEɺ A ; Z A , Z B , ZC , Z N . Определить: IɺA , IɺB , IɺC ; Uɺ A ,Uɺ B ,Uɺ C ; IɺN и Uɺ N . Запишем уравнение по методу узловых потенциалов: ϕɺ N = 0 , ϕɺ n (Y A + Y B + Y C + Y N ) = Eɺ AY A + Eɺ BY B + Eɺ C Y C , 1 1 1 1 , YB = , YC = , YN = . ZA ZB ZC ZN Напряжение смещения нейтралей определяется как: Eɺ Y + Eɺ BY B + Eɺ CY C = U N e jψ N Uɺ N = ϕɺ n − ϕɺ N = A A Y A + Y B + YC + Y N По 2 закону Кирхгофа найдем фазные напряжения: Uɺ A = Eɺ A − Uɺ N , Uɺ B = Eɺ B − Uɺ N , Uɺ C = Eɺ C − Uɺ N . По закону Ома определим линейные токи, равные фазным тогде проводимости: Y A = кам: 147 Uɺ Uɺ Uɺ IɺA = Uɺ AY A = A , IɺB = Uɺ BY A = B , IɺC = Uɺ CY C = C . ZA ZB ZC По первому закону Кирхгофа определим ток в нулевом проводе: IɺN = IɺA + IɺB + IɺC . Векторная диаграмма +j С IɺC Uɺ CA Uɺ А Uɺ С EɺС n A Uɺ N IɺN Eɺ А N Uɺ ВC Uɺ В Eɺ В α>0 +1 IɺА Uɺ AВ IɺB В Рис. 8.17. Если Z N = 0 , то Y N = 1 = ∞ , тогда Uɺ N = 0 и Uɺ A = Eɺ A , Uɺ B = Eɺ B , ZN Uɺ C = Eɺ C . Таким образом, нулевой провод выравнивает величины фазных напряжений нагрузки, что используется в бытовых электрических сетях. Если Z N = ∞ , то Y N = 0 и IɺN = 0 . При изменении модуля сопротивления одной из фаз, например: Z A′ ≤ Z A ≤ Z A′′ . Концы векторов IɺN и Uɺ N на комплексной плоскости опишут годограф – это прямая или дуга окружности (рис. 8.18). 148 +j Z 'A Z 'A IɺN' Z "A Uɺ "N Uɺ N' +1 IɺN" Z "A Рис. 8.18. Соединение несимметричной нагрузки звездой без нулевого провода при ( Z A ≠ Z B ≠ ZC ) заданных линейных напряжениях ZА IА A UА U АВ U СА I 11 ZВ IВ В n UВ I 22 U ВС ZC IС С UС Рис. 8.19. При известных: Uɺ AB = U Л e jλ , Uɺ BC = a 2Uɺ AB , Uɺ CA = aUɺ AB , Z A, Z B , ZC . 149 Определить: IɺA , IɺB , IɺC ; Uɺ A ,Uɺ B ,Uɺ C . По методу контурных токов: Iɺ11 ( Z A + Z B ) − Iɺ22 Z B = Uɺ AB ɺ − I11 Z B + Iɺ22 ( Z B + Z C ) = Uɺ BC Тогда ɺI = Iɺ , Iɺ = Iɺ − Iɺ , Iɺ = − Iɺ , Uɺ = Z A Iɺ , Uɺ = Z B Iɺ , Uɺ = Z C Iɺ . A 11 B 22 11 C 22 A A B B C C Векторная диаграмма Uɺ BC Uɺ C Uɺ CA IɺC Uɺ A Uɺ B Uɺ AB λ >0 IɺA IɺB Рис. 8.20. Примечание: Если Z A = − jX C , Z B = Z C = R Л , то U B > U C – емкостной фазоуказатель. Соединение несимметричной нагрузки ( Z A ≠ Z B ≠ Z C ) треугольником 150 Рис. 8.21. При известных: Uɺ АB = U Л e jλ , Uɺ ВС = а 2Uɺ АВ , Uɺ СА = аUɺ АВ , Z АВ , Z BС , Z CА . Определить: фазные токи IɺАВ , IɺBС , IɺCА ; линейные токи Iɺ , Iɺ , Iɺ . А B C По закону Ома определяем фазные токи: Uɺ Uɺ Uɺ IɺАВ = AВ IɺBС = BС IɺСА = СА Z AВ Z BС Z СА По первому закону Кирхгофа определяем линейные токи: IɺA = IɺAB − IɺCA , IɺB = IɺBC − IɺAB , IɺC = IɺCA − IɺBC . Векторная диаграмма 151 Uɺ CA Uɺ BC IɺCA IɺBC Uɺ AB IɺA IɺC λ >0 IɺAB IɺB Рис. 8.22. Несимметричный режим сложной трехфазной цепи При известных: ɺ E A = Ee jα , Eɺ B = а 2 Eɺ A , Eɺ C = аEɺ A , Z 1 = R1 ± jX 1 , Z 2 = R2 ± jX 2 , Z 3 = R3 ± jX 3 . Определить: линейные и фазные токи, линейные и фазные напряжения. По методу узловых потенциалов: ϕɺn = ϕɺN = 0 ; ϕɺb = ϕɺ c = ϕɺbc . 1 2 Eɺ A 2 1 ɺ ɺ ϕ ϕ + + − a bc = Z 2 Z1 Z1 Z 2 Z 3 −ϕɺ 2 + ϕɺ 2 + 2 + 2 = Eɺ B + Eɺ C bc a Z 2 Z1 Z 2 Z 3 Z1 Z1 152 ЕА А Z1 IА UА N ЕВ В 3 2 IВ 1 IВ 1 С Z1 IС IС 1 с IС 1 Z2 I ca ϕɺ − ϕɺn ] ϕɺ − ϕɺn ] , IɺB 3 = [ b , IɺС 3 = [ с ; Z Z 3 определяем фазные токи: [ϕɺ − ϕɺc ] , Iɺ = [ϕɺc − ϕɺa ] , Iɺ = [ϕɺa − ϕɺb ] ' = b Iɺbc ca ab Z2 Z2 Z2 ' ' IɺА 2 = Iɺab − Iɺca , IɺВ 2 = Iɺbc − Iɺab , IɺС 2 = Iɺca − Iɺbc ; ток в нулевом проводе: 153 UС 2 Z2 По обобщенному закону Ома определяем линейные токи: ϕɺ − ϕɺb + Eɺ B ϕɺ − ϕɺс + Eɺ С , IɺС1 = N , IɺB1 = N Z1 Z1 ϕɺ − ϕɺa + Eɺ A IɺА1 = N , Z1 По 1 закону Кирхгофа определяем линейные токи: 3 ' Рис. 8.23. 3 UВ Z3 I bc Z2 Z3 n 3 " I bc 2 I ab 3 3 UС [ϕɺ − ϕɺn ] IɺА3 = а UА Z3 IВ U аb b UВ ЕС Z3 IА IА 1 Z1 U са а 1 IN 3 IɺN = IɺA3 + IɺB 3 + IɺC 3 ток короткого замыкания: " Iɺbc = IɺB1 − IɺB 2 − IɺB 3 Проверка: IɺN = IɺA1 + IɺB1 + IɺC 1 . По закону Ома определяем напряжения: Uɺ A1 = Z1 IɺA1 ; Uɺ B1 = Z1 IɺB1 ; Uɺ C1 = Z1IɺC1 ; Uɺ A3 = Z 3 IɺA3 ; Uɺ B 3 = Z 3 IɺB 3 ; Uɺ C 3 = Z 3 IɺC 3 . Причем Uɺ ab = ϕɺ a − ϕɺb ; Uɺ bc = ϕɺb − ϕɺc = 0 ; Uɺ ca = ϕɺc − ϕɺ a Баланс мощностей а) комплекс полной вырабатываемой мощности SɺВ = Eɺ А Iɺ*A1 + Eɺ B Iɺ*B1 + Eɺ C Iɺ*C1 = PВ + jQB , ВА б) активная потребляемая мощность 2 ' 2 2 PП = I A21R1 + I B21R1 + I C21R1 + I ab R2 + ( I bc ) R2 + I ca R2 + I А2 3 R3 + + I B2 3 R3 + I C2 3 R3 , Вт в) реактивная потребляемая мощность 2 ' 2 2 QП = ± I A21 Х 1 ± I B21 Х 1 ± I C21 Х 1 ± I ab Х 2 ± ( I bc ) Х 2 ± I са Х2 ± I A2 3 Х 3 ± I B2 3 Х 3 ± I C2 3 Х 3 , вар Относительные погрешности P − Pп δP% = в ⋅ 100 = 0 ≤ 3% . Pв Q − Qп δQ % = в ⋅ 100 = 0 ≤ 3% . Qв Векторная диаграмма 154 +j С EС I С1 A IN U С1 I А1 EА b с U С3 N U В3 +1 U са I В1 U В1 n U А1 U А3 U ab EВ а В Рис. 8.24. Измерение мощности. Вращающееся магнитное поле Измерение мощности осуществляется ваттметрами, которые имеют две обмотки: токовую обмотку с малым сопротивлением и обмотку напряжения с большим сопротивлением. При этом ваттметр имеет четыре клеммы: ∗U Uɺ Iɺ ∗I I W U Рис. 8.25. 155 PW = U ⋅ I ⋅ cos ϕ , Вт Где Iɺ = I ⋅ e jβ , A ; Uɺ = U ⋅ e jα , B ; ϕ = α − β , град . Измерение суммарной активной мощности трехфазной цепи с нулевым проводом. ∗U А Uɺ А IɺА ∗I Uɺ В W1 ∗U В IɺB W2 ∗I С ∗U IɺC ∗I W3 Uɺ C n Рис. 8.26. P = PА + PВ + PС = PW1 + PW2 + PW3 = ∧ ∧ ∧ U A I A cos(Uɺ A IɺA ) + U В I В cos(Uɺ В IɺВ ) + U С I С cos(Uɺ С IɺС ) , Вт. Измерение суммарной активной мощности трехфазной цепи без нулевого провода. Измерение мощности осуществляется двумя ваттметрами, причем одна из трех возможных схем следующая. 156 ∗U IɺА А ∗I Uɺ АВ В ∗U IɺВ W2 ∗I Uɺ ВС Uɺ СА W1 IɺС С Рис. 8.27. ∧ ∧ Р = PW1 + PW2 = U СA I A cos(( − Uɺ СA ) IɺA ) + U ВС I В cos(Uɺ ВС IɺВ ), Вт . Измерение суммарной реактивной мощности трехфазной цепи без нулевого провода в симметричном режиме. А Uɺ АВ Uɺ СА Iɺ A IɺB В ∗I Uɺ ВС W ∗U IɺC С Рис. 8.28. Q = 3U Л I Л sin ϕ = 3 ⋅ PW , вар 157 ^ PW = U CA I B cos Uɺ СА IɺВ = U Л I Л cos(90° − ϕ ) = U Л I Л sin ϕ Uɺ СА (90° − ϕ ) Uɺ С Uɺ A Uɺ ВС IɺВ ϕ Uɺ AВ Uɺ В Рис. 8.29. Круговое вращающееся магнитное поле. Круговое вращающееся магнитное поле может быть создано при помощи трехфазного тока, что является одним из его важнейших технических достоинств. Присоединим к трехфазной цепи три одинаковые неподвижные катушки, оси которых сдвинуты в пространстве по отношению к друг другу на 120 градусов. При симметричной системе фазных токов iA, iB, iC эти катушки будут создавать индукции магнитного поля BA, BB, BC. 158 у iВ В Х ВС С B ⊗ 120° 120° iС С ⊗ х ВА Z ВВ Y ⊗ iA А А Рис. 8.30. Фазные токи: i A = I m sin ωt iВ = I m sin( ω t − 120 °) iС = I m sin(ω t + 120 °) Фазные индукции магнитного поля: В A = В m sin ω t В В = В m sin( ω t − 120 °) ВС = В m sin( ω t + 120 °) Проекции суммарного вектора магнитной индукции. 1. Проекция на ось Х: ВХ = ВАХ + ВВХ + ВСХ = Вm sin ωt + Вm cos 240° sin(ωt − 120°) + + Вm cos120° sin(ωt + 120°) = 1,5 Вm sin ωt , Тл . 2. Проекция на ось Y: 159 ВY = ВАY + ВВY + ВСY = 0 + Вm sin 240° sin(ωt − 120°) + + Вm sin120° sin(ωt + 120°) = 1,5 Вm cos ωt , Тл . Величина суммарной индукции не зависит от времени: В = В Х2 + ВY2 = 1,5 Вm Но ВХ и ВY зависят от времени, поэтому В вращается. у В (t = t1) В(t = 0) В (t = t2 ) х ω В(t = t3 ) 0 < t1 < t2 < t3 Рис. 8.31. Если в это вращающееся магнитное поле поместить металлический цилиндр (ротор), то за счет взаимодействия наводимых в нем вихревых токов с магнитным полем цилиндр начнет вращаться – асинхронный двигатель. Показание ваттметра: PW = U ⋅ I ⋅ cos ϕ , Вт где Iɺ = I ⋅ e jβ , A Uɺ = U ⋅ e jα , B ϕ = α − β , град 160 ЗАДАНИЕ №3 Линейные трехфазные цепи с гармоническими напряжениями и токами Для заданной схемы с симметричной системой фазных ЭДС, когда e A ( t ) = 2 ⋅ E ⋅ sin (ω t + α ) , ω = 314 рад/с выполнить следующее. В симметричном режиме до срабатывания ключа К: Определить комплексы действующих значений напряжений и токов на всех элементах схемы. Рассчитать балансы активной и реактивной мощностей. Построить совмещенные векторные диаграммы токов (лучевую) и напряжений (топографическую) для всех напряжений и токов. В несимметричном режиме после срабатывания ключа К: В исходной схеме методом узловых потенциалов определить комплексы действующих значений всех напряжений и токов. Составить балансы активной и реактивной мощностей. Построить совмещенные векторные диаграммы токов и напряжений. Проанализировать результаты вычислений, сравнить симметричный и несимметричный режимы, сформулировать выводы по работе. № Е № R L C α - В град - Ом мГн мкФ 1 127 0 1 100 318.47 31.8 2 220 30 2 90 286.62 35.3 3 380 45 3 80 254.78 39.8 4 220 60 4 70 222.93 45.4 5 127 90 5 60 191.08 53 6 220 180 6 50 159.24 63.6 7 380 -30 7 40 127.39 79.6 8 220 -45 8 30 95.54 106.1 9 127 -60 9 20 63.69 159.2 0 380 -90 0 10 31.85 318.4 161 Схемы для задания 4 162 Примечание: объем задания определяет лектор; 1-ая цифра номера задания – номер строки в таблице 1; 2-ая цифра номера задания – номер строки в таблице 2; 3-ья цифра номера задания – номер схемы. 163 Методические указания к заданию № 3. Для заданной схемы дано: Е α R L C В град Ом мГн мкФ 220 45 300 127,39 31,8 Следовательно, e A ( t ) = 2 ⋅ 220 sin ( ω t + 45 ) Схема электрической цепи. Рис. 9.1 1. Расчёт симметричного режима трёхфазной цепи Eɺ A L IɺA1 Eɺ B EɺC Uɺ AB L IɺB1 Uɺ BC L Iɺab Iɺca R IɺA3 ɺ IɺB 3 I C 3 IɺC1 R R Iɺbc Рис. 9.2 Генератор симметричен, фазные ЭДС генератора: 164 Eɺ A = 220 e j 45 В; Eɺ B = a 2 ⋅ 220 e j 45 = 220 e − j 75 В; Eɺ = a ⋅ 220 e j 45 = 220 e j 65 В. C Определяем сопротивления реактивных элементов: X L = ω L = 314 ⋅ 127,39 ⋅ 10 −3 = 40 Ом; 1 1 XC = = = 100 Ом. ωC 314 ⋅ 31.8 ⋅ 10 −6 Обозначим сопротивления ветвей схемы: Z 1 = jX L = j 40 Ом; Z 2 = − jX C = − j100 Ом; Z 3 = R = 300 Ом. Преобразуем треугольник сопротивлений Z 3 в эквивалентную Z звезду с сопротивлениями 3 (рис. 6.5.3). Поскольку в симметрич3 ной цепи потенциалы нулевых точек (N, n, n1) одинаковы, соединение этих точек нулевым проводом не нарушит режима цепи. Выделяем вместе с нулевым проводом одну фазу, например, А и сводим расчёт трёхфазной цепи к расчёту однофазной (рис. 9.4). Токи и напряжения других фаз определяем с помощью фазового оператора. Eɺ A L C IɺA1 I A3 Eɺ B Eɺ C Uɺ AB Uɺ BC IɺA2 R3 L IɺB1 IɺB 3 C IɺB 2 R3 L IɺC1 IɺC 3 C IɺC 2 R3 Рис. 9.3 Eɺ A Z1 IɺA1 Z2 I A3 Z3 3 IɺA2 Рис. 9.4 Суммарное комплексное сопротивление фазы А: 165 Z3 3 = − j 40 + − j100 ⋅ 100 = 50 - j10 Ом. Z A = Z1 + Z − j100 + 100 Z2 + 3 3 Комплексные значения токов в ветвях фазы А по закону Ома: Eɺ 220e j 45 IɺA1 = A = = 2,391 + j 3,584 = 4,308e j 56.293 А. Z A 50 - j10 Z3 100 = 2,989 + j 0,599 = 4,308e j 56.293 IɺA2 = IɺA1 3 Z3 − j 100 + 100 Z2 + 3 j101,336 А = 3,044e ɺI = Iɺ − Iɺ = ( 2,391 + j 3,584 ) − (2,989 + j 0,599) A3 A1 A2 Z2 = 2,989 + j 0,599 = 3,049e j11,336 А. Определяем токи треугольника исходной схемы Iɺ e j 30 3,049e j11,336e j 30 = 1,758e j 41.336 А; Iɺab = A3 = 3 3 ɺI = a 2 Iɺ = 1,758e − j 78.664 А; bc ab Iɺca = aIɺab = 1,758e j161.336 А. Комплексные значения токов в ветвях фазы В: IɺB 1 = a 2 IɺA1 = e − j120 ⋅ 4,308e j 56.293 = 4,308e − j 63,707 А; IɺB 2 = a 2 IɺA 2 = e − j120 3,044e j101,336 = 3,049e − j18,664 А. Комплексные значения токов в ветвях фазы С: IɺC 1 = aIɺA1 = e j120 4,308e j 56.293 = 4,308e − j176,293 А; IɺC 2 = aIɺA 2 = e j120 3,044e j101,336 = 3,049e − j138,664 А. Для проверки правильности расчётов балансы активной и реактивной мощностей. Очевидно, что мощности фаз одинаковы, а для вычисления потребляемой мощности всей цепи, нужно каждую из них утроить: Полная вырабатываемая трёхфазным генератором мощность: S в = 3 ⋅ Eɺ А Iɺ*A1 = 3 ⋅ 220e j 45 ⋅ 4,308e − j 56.293 = 2788,506 - j 556,848 ВА, где; Iɺ*A1 = 4,308e − j 56.293 А; – сопряженное значение тока. Активная потребляемая мощность: 2 0 2 0 2 Pп = 3 PФ = 3 ⋅ ( I A1 ⋅ Re( Z 1 ) + I A 2 ⋅ Re( Z 2 ) + I ab ⋅ Re( Z 3 )) = (1,76 ) 300 = 2 166 = 2788.506 Вт. Реактивная потребляемая мощность: 2 2 2 0 Qп = 3QФ = I А1 ⋅ Im( Z 2 ) + I A 2 ⋅ Im( Z 2 ) + I ab ⋅ Im( Z ab ) = = 4,3082 40 − 3,0442100 = –556.848 вар. Погрешности расчетов. По активной мощности: P − Pп δP % = в ⋅ 100 = 0 ≤ 3% . Pв По реактивной мощности: Q − Qп δQ % = в ⋅ 100 = 0 ≤ 3% Qв 2.Расчёт несимметричного режима трёхфазной цепи после срабатывания ключа К. Схема: Iɺba ɺ EA C L IɺA1 IɺA3 R Iɺ ab Eɺ B U AB N Eɺ C R L Uɺ BC C IɺB1 IɺC1 IɺB 3 n R C Рис. 9.6. Воспользуемся методом узловых потенциалов. Примем потенциал узла N равным нулю, тогда: 1 1 1 1 1 1 1 Eɺ A ϕɺ a ( Z + Z + Z + 2 Z ) − ϕɺ b ( Z + 2 Z ) − ϕɺ n ( Z ) = Z ; 1 2 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Eɺ + + ) − ϕɺ a ( + ) − ϕɺ n ( ) = B ; ϕɺ b ( + Z 3 2Z 3 Z2 Z1 Z 1 Z 2 Z 3 2Z 3 1 2 1 1 Eɺ С + ) − ϕɺ a ( ) − ϕɺ b ( ) = . ϕɺ n ( Z2 Z2 Z1 + Z 2 Z 1 + Z 2 Z 2 Токи в ветвях схемы: 167 −ϕɺ + Eɺ B ɺ −ϕɺ a + Eɺ A ɺ −ϕɺ + Eɺ C ; I B1 = b ; I C1 = n ; IɺА1 = Z1 Z1 Z1 + Z 2 ϕɺ − ϕɺ b ɺ ϕɺ − ϕɺ a ɺ ϕɺ − ϕɺ n ɺ ϕɺ − ϕɺ n ; I ab = b ; I A3 = a ; I B3 = b . Iɺab = a Z3 2Z 3 Z2 Z2 Полная вырабатываемая трёхфазным генератором мощность: S в = Eɺ А IɺA* 1 + Eɺ В IɺB* 1 + Eɺ В IɺC* 1 =1394, 253 - j1485, 451 ВА. Активная потребляемая мощность: 2 2 Pп = I ab ⋅ R + I ba ⋅ 2 R =1394,253 Вт. Реактивная потребляемая мощность: ( 2 2 2 2 2 2 ) Qп = j I А1 ⋅ X L + I B1 ⋅ X L + I C1 ⋅ X L − I A3 ⋅ X C − I B 3 ⋅ X C − I c1 ⋅ X C = = − j1485, 451 Вар Векторная диаграмма: Используя данные расчётов, строим векторную диаграмму токов и совмещённую диаграмму напряжений. Векторы токов исходят из одной точки нулевого потенциала (в данном случае это может быть любая нулевая точка: N, n, n1). При построении лучевых диаграмм необходимо учитывать, чтобы выполнялся первый закон Кирхгофа для любого узла. Построение топографической диаграммы начнём с построения напряжений фазных ЭДС генератора. Рассчитав предварительно напряжения на отдельных участках цепи. Векторы напряжений на сопротивлениях нагрузки направлены на диаграмме в сторону повышения потенциала (если смотреть по схеме, то против направления токов). Векторную диаграмму так же можно построить использовав пакет Mathcad. Для этого необходимо определить потенциалы узлов схемы. Сформировать столбцовые матрицы так, чтобы потенциалы в них располагались в том порядке, как они расположены на схеме последовательно по обходу контура. В шаблоне для постороения графиков по оси ординат отложить мнимые части сформированных матриц, а по оси абсцисс соответственно вещественные части. Для совмещения с лучевой диаграммой токов можно ввести коэффициент k, так чтобы вектора напряжений и токов были в равных масштабах. Полученную диаграмму можно скопировать в любой графический редактор и обозначить напряжения и токи исследуемой схемы. 168 Документ Mathcad Дано : a := e 120i ⋅deg EA := 220 ⋅ e 45i⋅deg C := 31.8 ⋅ 10 −6 2 Eb := a ⋅ EA L := 127.39 ⋅ 10 EC := a ⋅ EA −3 ω := 314 1. Симметричны режим 1.1. Расчет комплексных сопротивлений : xc := 1 xl := ω ⋅ L ω ⋅C z1 := i⋅ xl z2 := −i⋅ xc Расчет фазы А : z3 z2 ⋅ 3 ZA := z1 + z3 z2 + 3 EA IA1 := ZA z3 3 IA2 := IA1 ⋅ z2 + z3 3 IA3 := IA1 − IA2 z3 := r ZA = 50.074 − 9.999i IA1 = 2.391 + 3.584i IA2 = −0.598 + 2.985i IA3 = 2.989 + 0.599i Расчет фазы В и С токи треугольника : IB1 := IA1 ⋅ a 2 IC1 := a ⋅ IA1 IB2 := IA2 ⋅ a 2 IC2 := a ⋅ IA2 Iab := IA3 ⋅ e Ibc := Iab ⋅ a Ica := a ⋅ Iab 30i⋅deg 3 2 Iab = 1.322 + 1.163i Ibc = 0.346 − 1.726i Ica = − 1.668 + 0.563i 169 r := 300 1.2. Баланс мощности 1.2.1. Полная мощность S := 3 ⋅EA⋅IA1 3 S = 2.789 × 10 − 556.848i 1.2.2. Активная мощность Pa := ( Iab ) 2 ⋅z3 3 P := Pa ⋅3 P = 2.789 × 10 1.2.3. Реактивная мощность Qa := ( IA1 ) 2 ⋅z1 + ( IA3 ) 2 ⋅z2 Q := Qa ⋅3 Q = −565.108i 1.3. Векторная диаграмма 1.3.1. Для построения векторной диаграммы, определяем потенциалы узлов fN := 0 fA := EA fa := fA − IA1⋅z1 fn := fa − IA2⋅z2 fn = −0i fB := EB fb := fB − IB1 ⋅z1 fn1 := fb − IB2 ⋅z2 fn1 = −0 fC := EC fc := fC − IC1 ⋅z1 fn2 := fc − IC2 ⋅z2 fn2 = 0 1.3.2. Формируем столбцовые матрицы потенциалов узлов в том порядке, как они изображены на схеме fN fA F1 := fa fb fn 0 155.563 + 155.563i F1 = 298.93 + 59.925i −97.569 − 288.843i −0i 170 fN fB F2 := fb fc fn 0 56.94 − 212.504i F2 = −97.569 − 288.843i −201.361 + 228.919i −0i fN fC F3 := fc fa fn 0 −212.504 + 56.94i F3 = −201.361 + 228.919i 298.93 + 59.925i −0i 1.3.3. Формируем столбцовую матрицу токов для постороения лучевой диаграммы токов IA1 k := 50 0 IB1 F4 := 0 IC1 0 119.547 + 179.206i 0 95.424 − 193.134i F4 ⋅k = 0 −214.971 + 13.928i 0 171 300 c Uɺ ca A Uɺ CZ1 Uɺ CZ2 Uɺ AZ1 100 Im( F1) Im( F2) IɺC1 300 Eɺ A Eɺ C C Im( F3) IɺA1 200 200 100 0 Uɺ AZ2 100 a 200 300 Im( F4) k Uɺ bc Uɺ ab 100 Eɺ B Uɺ BZ2 200 Uɺ BZ1 b B IɺB1 300 Re( F1) Re( F2) Re( F3) Re( F4) k Рис. 9.5 2. Несимметричны режим ORIGIN := 1 2.1. Методом узловых потенциалов определяем потенциалы узлов −1 1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 − z1 z2 z3 2 ⋅z3 z2 z3 2 ⋅z3 a := 1 + 1 − z3 2 ⋅z3 1 1 1 1 + + + z1 z2 z3 2 ⋅ z3 −1 z2 −1 z2 EA z1 EB b := z1 EC z1 + z2 −1 f := a fa := f1 2 1 + z2 z1 + z2 ⋅b fb := f2 172 fn := f3 −1 z2 Токи в ветвях схемы определяем по обобщённому закону Ома для участка цепи IA1 := −fa + EA z1 −fb + EB z1 −fn + EC IC1 := z1 + z2 IB1 := IA3 := fa − fn z2 Iab := fb − fa r IB3 := fb − fn z2 Iba := fb − fa r ⋅2 2.2. Баланс мощности 2.2.1. Полная мощность S := EA⋅IA1 + EB ⋅IB1 + EC ⋅IC1 S = 1394.253 − 1485.451i 2.2.2. Активная мощность P1 := ( Iab ) 2 ⋅z3 + ( Iba ) 2 ⋅z3 ⋅2 3 P1 = 1.394 × 10 2.2.3. Реактивная мощность Q := ( IA1 ) 2 ⋅z1 + ( IB1 ) 2 ⋅z1 + ( IC1 ) 2 ⋅z1 + ( IA3 ) 2 ⋅z2 ... 2 2 + ( IB3 ) ⋅z2 + ( IC1 ) ⋅z2 3 Q = −1.485i × 10 1.3. Векторная диаграмма fN := 0 fA := EA fa := fA − IA1⋅z1 fn := fa − IA3⋅z2 fn = −0 + 0i fB := EB fb := fB − IB1 ⋅z1 fn1 := fb − IB3 ⋅z2 fn1 = −0 fC := EC fN fA fa F1 := fb fB 0 0 155.563 + 155.563i 375.163 + 126.98i F1 = −21.336 − 221.788i 56.94 − 212.504i 0 173 fN fB F2 := fb fn fa 0 56.94 − 212.504i F2 = −21.336 − 221.788i −0 + 0i 375.163 + 126.98i fN fC F3 := fc fn 0 − 212.504 + 56.94i F3 = −353.826 + 94.807i −0 + 0i IA1 0 IB1 F4 := 0 IC1 0 7.146 + 54.899i 0 2.321 − 19.569i F4 ⋅10 = 0 −9.467 − 35.33i 0 174 +j IɺA1 A Uɺ AZ1 Eɺ A a c Uɺ CZ1 Uɺ AZ1 Eɺ C C Uɺ CZ2 N n +1 Uɺ ab IɺB1 IɺC1 Eɺ B Uɺ BZ2 b Uɺ BZ1 B Рис. 9.7. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ Метод симметричных составляющих используется для расчета несимметричного (аварийного) режима динамических трехфазных цепей, содержащих двигатели и генераторы, линии и трансформаторы. В динамических трехфазных цепях имеется индуктивная связь между фазами, которую удобно учесть, используя метод симметричных составляющих. Этот метод основан на разложении трехфазной несимметричной системы A, B, C на симметричные составляющие прямой (A1, B1, C1), обратной (A2, B2, C2), и нулевой (A0, B0, C0) последовательности: Aɺ = Ае jα = Aɺ1 + Aɺ2 + Aɺ0 , Bɺ = Ве jβ = Bɺ1 + Bɺ2 + Bɺ0 , Cɺ = Се jγ = Cɺ1 + Cɺ 2 + Cɺ 0 175 Cɺ +j Aɺ Aɺ0 +1 Aɺ1 Aɺ 2 Bɺ Рис. 10.1. Составляющие прямой последовательности: Aɺ1 = А1е jα1 ɺ 2 j120° , а 2 = е − j120° . B1 = a Aɺ1 , где а = е ɺ ɺ C1 = aA1 +j Cɺ 1 120° Bɺ1 α1 < 0 120° Aɺ1 Рис. 10.2. 2. Составляющие обратной последовательности: 176 +1 Aɺ 2 = А2е jα 2 Bɺ 2 = aAɺ2 ɺ 2ɺ C2 = a A2 +j Bɺ2 120° Aɺ2 α2 > 0 +1 120° Cɺ 2 Рис. 10.3. 3. Составляющие нулевой последовательности: Aɺ = Bɺ = Cɺ = А е jα 0 . 0 0 0 0 +j Aɺ0 Cɺ 0 Bɺ0 α0 > 0 +1 Рис. 10.4. Расчет составляющих фазы А: Aɺ1 = ( Aɺ + аBɺ + а 2Cɺ ) / 3 , Aɺ 2 = ( Aɺ + а 2 Bɺ + аCɺ ) / 3 , Aɺ 0 = ( Aɺ + Bɺ + Cɺ ) / 3 . 177 Составляющие токов прямой последовательности создают магнитное поле, вращающееся по направлению вращения роторов двигателей и генераторов. Составляющие токов обратной последовательности создают магнитное поле, вращающееся навстречу вращению роторов двигателей и генераторов. Составляющие токов нулевой последовательности создают неподвижное пульсирующее магнитное поле. Таким образом, условия протекания составляющих токов разные, следовательно, и сопротивления этим составляющим разные: у двигателей и генераторов Z 1 ≠ Z 2 ≠ Z 0 ; у линий и трансформаторов Z 1 = Z 2 ≠ Z 0 . При этом в симметричной трехфазной цепи имеет место независимость действия симметричных составляющих токов и напряжений. IɺA А Z 1, 2 , 0 а Uɺ A IɺВ Z 1, 2, 0 b В Uɺ В IɺС С Z 1, 2 , 0 с Uɺ С Рис. 10.5. Фазные токи: IɺA = IɺA1 + IɺA 2 + IɺA 0 , IɺВ = а 2 IɺA1 + аIɺA 2 + IɺA0 , IɺС = аIɺA1 + а 2 IɺA 2 + IɺA0 . Составляющие фазных напряжений: 178 Uɺ A1 = Z 1IɺA1 , Uɺ A 2 = Z 2 IɺA 2 , Uɺ = Z Iɺ . A0 0 A0 Фазные напряжения: Uɺ A = Uɺ A1 + Uɺ A 2 + Uɺ A 0 , Uɺ В = а 2Uɺ A1 + аUɺ A2 + Uɺ A0 , Uɺ С = аUɺ A1 + а 2Uɺ A2 + Uɺ A0 . Это означает, что расчет симметричной трехфазной цепи можно вести на одну фазу для каждой последовательности отдельно. Особенности существования составляющих напряжений и токов нулевой последовательности: 1. Линейные напряжения Uɺ , Uɺ , Uɺ AB BC CA А Uɺ AB В Uɺ BC Uɺ CA С Рис. 10.6. 179 +j Uɺ CA Uɺ BC Uɺ AB +1 Рис. 10.7. Uɺ + Uɺ BC + Uɺ CA Uɺ AB0 = Uɺ BC0 = Uɺ CA0 = AB =0 3 Линейные напряжения не содержат составляющих нулевой последовательности. Фазные токи треугольника IɺAB , IɺBC , IɺCA А Z 1, 2 , 0 Uɺ A IɺA Uɺ CA Z1,2,0 В IɺÂÑ Uɺ ÂC Z 1, 2 , 0 С Рис. 10.8. 180 IɺÑÀ Uɺ AB0 Так как = Uɺ = Uɺ BC0 CA0 = 0, Uɺ Uɺ Uɺ То IɺAB 0 = AB 0 = 0; IɺBC 0 = BC 0 = 0; IɺCA0 = CA0 = 0. Z0 Z0 Z0 Фазные токи нагрузки, соединенной в треугольник, не содержат составляющих нулевой последовательности. 3. Ток нулевого провода Iɺn Iɺ A А В IɺB С IɺC n Iɺn n Рис. 10.9. Так как Iɺ + Iɺ + Iɺ IɺA0 = IɺB0 = IɺC0 = A B C , то Iɺn = IɺA + IɺB + IɺC = 3IɺA0 . 3 Линейные токи звезды и пропорциональные им фазные напряжения содержат составляющие нулевой последовательности при наличии нулевого провода или связи с “землей”, причем в нулевом проводе протекают только составляющие токов нулевой последовательности. Рассмотрим применение метода симметричных составляющих для расчета аварийного режима динамических трехфазных цепей, которые в нормальном режиме симметричны. Расчет при обрыве одной фазы (продольная несимметрия) Рассмотрим, например, обрыв фазы с на примере следующей схемы с одинаковой нагрузкой фаз и симметричной системой фазных ЭДС 181 Eɺ A Eɺ B N Eɺ C ZГ А В а ZГ Uɺ à À ZГ Uɺ ÃB b c 1, 2 , 0 Uɺ ÃC IɺB 1, 2 , 0 Uɺ äâÀ Z дв 1, 2 , 0 n Uɺ äâ Z дв IɺC = 0 1, 2 , 0 Uɺ äâC Uɺ C двигатель генератор ZN Z дв IɺA 1, 2 , 0 С IɺN 1, 2 , 0 Uɺ N Zn Uɺ n Iɺn Рис. 10.10. Дано: ɺ EC = аEɺ A ; Z N ; Z n ; Z Г1,2,0 = jX Г1,2,0 ; Z дв1,2,0 = R + jX дв1,2,0 . В место повреждения введем фиктивные ЭДС ɺ U A , Uɺ B , Uɺ C Uɺ A IɺA а IɺB b IɺC с Uɺ B Uɺ C Рис. 10.11. 182 Условие: Uɺ A = 0; Uɺ В = 0; IɺС = 0 . Для особой фазы С: Uɺ C = Uɺ C1 + Uɺ C 2 + Uɺ C 0 0 0 Uɺ C1 Uɺ A + aUɺ B + a 2Uɺ C Uɺ C =a⋅ = 3 3 Uɺ C 2 Uɺ + a 2Uɺ B + aUɺ C Uɺ C =a ⋅ A = 3 3 Uɺ C 0 Uɺ + Uɺ B + Uɺ C Uɺ = A = C 3 3 0 0 2 0 0 Расчетные схемы для особой фазы С а) схема прямой последовательности ZГ С N EɺC 1 Z дв с +Uɺ ГС 1 Uɺ C1 IɺC1 Рис. 10.12. Где Z 1 = Z Г1 + Z дв1 = ...Ом ; Eɺ C − Uɺ C1 IɺC1 = ; Uɺ ГС 1 = Z Г1 IɺC1 ; Z1 Uɺ двС1 = Z дв1 IɺC1 . б) схема обратной последовательности 183 1 +Uɺ двС1 n ZГ С N 2 Z с +Uɺ ГС 2 Uɺ C2 дв 2 n +Uɺ двС 2 IɺC2 Рис.10.13. Где Z 2 = Z Г2 + Z дв2 = ...Ом ; Uɺ C IɺC2 = − 2 ; Uɺ ГС 2 = Z Г2 IɺC2 ; Z2 ɺ U двС 2 = Z дв2 IɺC2 . в) схема нулевой последовательности ZГ С N Z дв 0 +3Uɺ ГС 0 n Uɺ C0 +Uɺ двС 0 3Z n 3Z N Uɺ N + 0 с IɺC0 Uɺ n + Рис. 10.14. Где Z 0 = Z Г0 + Z дв0 + 3( Z N + Z n ) = ...Ом ; 184 IɺC0 = − Uɺ C0 Z0 ; Uɺ ГС 0 = Z Г 0 IɺC0 ; Uɺ двС 0 = Z дв0 IɺC0 ; Uɺ N = 3Z N IɺC0 ; Uɺ = 3Z n Iɺ . n C0 Так как Eɺ − Uɺ C1 Uɺ C2 Uɺ C0 IɺC = IɺC1 + IɺC2 + IɺC0 = C − − = 0. Z1 Z2 Z0 То при Uɺ Uɺ C1 = Uɺ C2 = Uɺ C0 = C 3 ɺ определяем U C . Напряжение в месте повреждения 3Eɺ C Z 2 Z 0 Uɺ C = = U C ⋅ e jαC = ...B . Z1Z 2 + Z1Z 0 + Z 2 Z 0 Далее рассчитываем IɺГC1,2,0 , Uɺ ГC 1,2,0 , Uɺ двС1,2 ,0 . Затем находим IɺA = a 2 IɺC1 + aIɺC2 + IɺC0 ; IɺB = aIɺC1 + a 2 IɺC2 + IɺC0 ; Iɺ = Iɺ + Iɺ + Iɺ = 0 . С C1 C2 C0 Находим Uɺ ГA = a 2Uɺ ГC1 + aUɺ ГC2 + Uɺ ГC0 ; Uɺ ГB = aUɺ ГC1 + a 2Uɺ ГC2 + Uɺ ГC0 ; Uɺ = Uɺ + Uɺ + Uɺ . ГC ГC1 ГC2 ГC0 Находим Uɺ двA = a 2Uɺ двC1 + aUɺ двC2 + Uɺ двC 0 ; Uɺ двB = aUɺ двC1 + a 2Uɺ двC2 + Uɺ двC 0 ; . Uɺ = Uɺ + Uɺ + Uɺ двC двC1 двC2 двC 0 Проверка Iɺn = IɺN = 3 ⋅ IɺC0 ; Iɺn = IɺN = IɺА + IɺВ + IɺС ; 185 Uɺ n = Z n Iɺn ; Uɺ N = Z N IɺN . Причем Uɺ ГС ≠ 0 и Uɺ двС ≠ 0 за счет индуктивной связи. Векторная диаграмма +j Uɺ ГС 0 Uɺ ГС 2 С EɺС Uɺ ГС1 Uɺ Г С Uɺ C с b А Eɺ А IɺА N IɺN = Iɺn IɺВ Uɺ двВ n Uɺ Г B Eɺ В Uɺ N Uɺ Г А Uɺ двС Uɺ дв А Uɺ n В Рис. 10.15. Баланс мощностей а) вырабатываемая генератором полная мощность SɺB = Eɺ A Iɺ*A + Eɺ B Iɺ*B + Eɺ C Iɺ*C = PB + jQB , BA ; б) потери полной мощности в обмотках генератора Sɺ Г = Uɺ ГA Iɺ*A + Uɺ ГB Iɺ*B + Uɺ ГC Iɺ*C = PГ + jQГ , BA ; в) полная потребляемая мощность двигателя Sɺдв = Uɺ двA Iɺ*A + Uɺ двB Iɺ*B + Uɺ двC Iɺ*C = Pдв + jQдв , BA ; г) полная потребляемая мощность в нулевом проводе Sɺ0 = Uɺ N Iɺ*N + Uɺ n Iɺ*n = P0 + jQ0 , BA . В результате PП = РГ + Рдв + Р0 , Вт ; QП = QГ + Qдв + Q0 , вар . 186 а +1 Погрешности Р − РП Q − QП δ р% = В ⋅ 100 ≤ 3% , δ Q % = В ⋅ 100 ≤ 3% . РВ QВ Расчет при коротком замыкании одной фазы (поперечная несимметрия) Рассмотрим, например, короткое замыкание фазы в на “землю” на примере следующей схемы с одинаковой нагрузкой фаз и симметричной системой фазных ЭДС ZГ Z дв Eɺ А IɺГ А Iɺдв А А а ɺ Uɺ дв А Eɺ В Z Г U ГА ɺ Z дв IɺдвВ I ГB n В N b Uɺ двВ Uɺ Г В EɺС Z дв ZГ IɺГС IɺдвС С c IɺN Uɺ Г С Uɺ двС Iɺn 1, 2 , 0 1, 2 , 0 1, 2 , 0 1, 2 , 0 1, 2 , 0 1, 2 , 0 ZN Uɺ N IɺВ Uɺ n Zn Рис. 10.16. В место повреждения вводим фиктивные ЭДС Uɺ A , Uɺ B , Uɺ C . 187 IɺГA IɺГВ IɺдвA а IɺА IɺдвВ b IɺВ IɺГС IɺдвС с IɺC Uɺ A Uɺ B Uɺ C Zn ZN Uɺ N IɺN Iɺn Рис. 10.17. Условие: IɺA = 0; IɺC = 0; Uɺ B = 0 Для особой фазы В: IɺB = IɺB1 + IɺB 2 + IɺB 0 ; 0 0 2ɺ ɺ ɺ ɺ ɺI = a2 ⋅ I A + aIB + a IC = IB ; B1 3 3 0 0 2ɺ ɺ ɺ ɺ ɺI = a ⋅ I A + a I B + aI C = I B ; B2 3 3 0 0 ɺ ɺ ɺ ɺ ɺI = I A + I B + I C = I B . B0 3 3 Расчетные схемы для особой фазы В а) схема прямой последовательности 188 Uɺ n + ZГ В N 1 Z дв b Uɺ B1 IɺГ В1 n +Uɺ двB1 +Uɺ ГB1 Eɺ В 1 IɺдвB1 IɺВ1 Eɺ ВЭ Z1 Uɺ В1 IɺВ1 Рис. 10.18. Где Z Г1 ⋅ Z дв1 Eɺ = ... Ом ; Eɺ BЭ = B Z 1 = ... В ; Z Г1 + Z дв1 Z Г1 Uɺ двВ1 ɺ Uɺ B1 = Eɺ BЭ − IɺB1 Z 1 ; IɺдвВ = ; U двB1 = Uɺ B1 ; 1 Z дв1 IɺГ В = IɺВ1 + IɺдвВ ; Uɺ ГB1 = Z Г1 IɺГB1 . Z1 = 1 1 б) схема обратной последовательности N В ZГ 2 Z дв b n +Uɺ äâB 2 +Uɺ à2 Uɺ Â2 Iɺà  2 2 Iɺ 2 189 IɺдвВ2 Z2 Uɺ Â2 IɺÂ2 Рис. 10.19. Где Z2 = Z Г2 ⋅ Z дв2 = ... Ом ; Uɺ B2 = − IɺB2 Z 2 ; Uɺ двB2 = Uɺ B2 ; Z Г2 + Z дв2 Uɺ IɺдвВ = двВ2 ; IɺГ В = IɺВ2 + IɺдвВ ; Uɺ ГB2 = Z Г2 IɺГB2 . 2 2 2 Z дв 2 в) схема нулевой последовательности Z Ã0 Z дв N В b n 0 +Uɺ äâB 0 +Uɺ à0 IɺÃÂ0 Uɺ Â0 Iɺ 0 3Z N Uɺ N + IɺäâÂ0 3Z n Uɺ n + Z0 Uɺ  0 IɺÂ0 Рис. 10.20. Где Z 0 = ( Z Г 0 + 3Z N )( Z дв0 + 3Z n ) ( Z Г0 + 3Z N ) + ( Z дв0 + 3Z n ) Uɺ B0 = − Z 0 IɺB0 ; Uɺ двB0 = Z дв 0 IɺдвB0 ; = ... Ом ; 190 Uɺ В0 IɺдвВ = ; IɺГ В = IɺВ0 + IɺдвВ ; 0 0 Z дв 0 + 3Z n Uɺ Г В 0 = Z Г0 IɺГ В 0 ; Uɺ n = 3Z n IɺдвB0 ; Uɺ N = 3Z N IɺГB0 . Так как Uɺ B = Uɺ B1 + Uɺ B2 + Uɺ B0 = ( Eɺ BЭ − Z 1IɺB1 ) + (− Z 2 IɺB 2 ) + (− Z 0 IɺB 0 ) = 0 то при Iɺ IɺB1 = IɺB 2 = IɺB 0 = B определяем IɺB . 3 Ток короткого замыкания в месте повреждения 3Eɺ BЭ IɺB = = I B e j β B = ... А . Z1 + Z 2 + Z 0 Далее рассчитываем IɺдвВ , IɺГ В , Uɺ двВ , Uɺ Г В . 0 1,2,0 1,2,0 1,2,0 1,2,0 Затем находим IɺГ А = аIɺГ В1 + а 2 IɺГ В 2 + IɺГ В 0 ; Iɺ = Iɺ + Iɺ + Iɺ ; ГВ Г В1 ГВ 2 ГВ 0 IɺГС = а IɺГ В1 + аIɺГ В 2 + IɺГ В 0 . Находим Iɺдв А = аIɺдвВ1 + а 2 IɺдвВ 2 + IɺдвВ 0 ; Iɺ = Iɺ + Iɺ + Iɺ ; 2 двВ двВ 1 двВ 2 двВ 0 IɺдвС = а 2 IɺдвВ1 + аIɺдвВ 2 + IɺдвВ 0 . Далее Uɺ Г А = аUɺ Г В1 + а 2Uɺ Г В 2 + Uɺ Г В 0 ; Uɺ = Uɺ + Uɺ + Uɺ ; ГВ Г В1 ГВ 2 ГВ 0 Uɺ ГС = а 2Uɺ Г В1 + аUɺ Г В 2 + Uɺ Г В 0 ; Uɺ двА = аUɺ двВ1 + а 2Uɺ двВ 2 + Uɺ двВ 0 ; Uɺ = Uɺ + Uɺ + Uɺ ; двВ двВ 1 двВ 2 двВ 0 Uɺ двС = а 2Uɺ двВ1 + аUɺ двВ 2 + Uɺ двВ 0 . Для нулевой последовательности Iɺn = 3IɺдвВ 0 ; IɺN = 3IɺГ В 0 ; Uɺ = Z n Iɺ , Uɺ = Z N Iɺ . n n N N 191 Баланс мощностей SɺB = Eɺ A Iɺ*Г А + Eɺ В Iɺ*Г В + Eɺ С Iɺ*ГС = PB + jQB , BA ; Sɺ Г = Uɺ ГА Iɺ*Г А + Uɺ ГВ Iɺ*Г В + Uɺ ГС Iɺ*ГС = PГ + jQГ , BA ; Sɺ = Uɺ Iɺ* + Uɺ Iɺ* + Uɺ Iɺ* = P + jQ , BA ; дв двА дв А двВ двВ двС двС дв дв Sɺ0 = Uɺ n Iɺ*n + Uɺ N Iɺ*N = P0 + jQ0 , BA PП = PГ + Pдв + P0 , Вт ; QП = QГ + Qдв + Q0 , вар . Погрешности Р − РП Q − QП δ р% = В ⋅ 100 ≤ 3% , δ Q % = В ⋅ 100 ≤ 3% . РВ QВ Векторная диаграмма +j с Uɺ ГС С EɺС Uɺ двС n IɺГС Uɺ дв А Uɺ n А Eɺ A Uɺ двВ N Uɺ Г А IɺГ A 2 Uɺ N b Uɺ Г B IɺГ A0 а IɺГ A1 IɺN Eɺ В IɺГ A IɺГ В В Рис. 10.21. 192 +1 Расчет при коротком замыкании двух фаз (поперечная несимметрия) Рассмотрим, например, короткое замыкание фаз b и с на нейтраль двигателя n на примере следующей схемы с одинаковой нагрузкой фаз и симметричной системой фазных ЭДС. ZГ Z дв Eɺ А IɺГ А Iɺдв А А а ɺ Uɺ дв А Eɺ В Z Г U ГА ɺ Z дв ɺ I двВ I ГB n В N b Uɺ двВ Uɺ Г В EɺС Z дв ZГ IɺГС IɺдвС С c Uɺ двС IɺN Uɺ 1, 2 , 0 1, 2 , 0 1, 2 , 0 1, 2 , 0 1, 2 , 0 1, 2 , 0 ГС IɺС IɺВ ZN Uɺ n Uɺ N Zn Iɺn Рис. 10.22. В место повреждения вводим фиктивные ЭДС Uɺ A ,Uɺ B ,Uɺ C . а Iɺà A IɺäâA IɺÃB IɺA IɺäâB b IɺÃC IɺB IɺäâC с IɺC Uɺ B Uɺ A Zn Iɺ N n Uɺ N Рис. 10.23. 193 Uɺ C Условие: IɺA = 0; Uɺ B = 0; Uɺ C = 0 Для особой фазы А: Uɺ A = Uɺ A1 + Uɺ A2 + Uɺ A0 Uɺ A1 = Uɺ A2 = Uɺ A0 = Uɺ A + a Uɺ B + a 2 Uɺ C Uɺ A ; 3 Uɺ = A; 3 = 3 2 ɺ ɺ U A + a U B + a Uɺ C 3 ɺ ɺ U A + U B + Uɺ C 3 Uɺ A . 3 = Расчетные схемы для особой фазы А а) схема прямой последовательности аналогична однофазному к.з. при Eɺ A − Uɺ A1 ; IɺA1 = Э Z1 б) схема обратной последовательности аналогична однофазному к.з. при ɺ ɺI = − U A2 ; A2 Z2 в) схема нулевой последовательности ZГ Z дв а n N А 0 0 +Uɺ ÃA0 +Uɺ äâA0 Iɺ ÃA0 Uɺ A0 3Z N Uɺ N + 3Z n IɺA0 Uɺ n + 194 IɺäâA0 Z0 Uɺ A0 IɺA0 Рис. 10.24. Z0 = Где Z дв0 Z Г0 + 3Z N + 3Z n ( ) =… Ом ; Z дв0 + Z Г0 + 3Z N + 3Z n Uɺ двA0 Uɺ A0 ɺ ɺ ɺ ɺ ; I двA0 = ; U двA1 = U A0 ; I A0 = − Z0 Z дв0 Uɺ = Z Iɺ ; Uɺ = 3Z Iɺ ; Uɺ = 3Z ГA0 Г 0 ГA0 n n ГA0 N IɺГA0 = IɺA0 + IɺдвA0 ; Iɺ N ГA0 ; Iɺn = IɺN = 3IɺГA0 . Так как Eɺ A − Uɺ A1 Uɺ A2 Uɺ A0 +− + − = 0, IɺA = IɺA1 + IɺA2 + IɺA0 = Ý Z Z Z1 2 0 то при Uɺ Uɺ A1 = Uɺ A2 = Uɺ A0 = A 3 ɺ определяем U A . Фазное напряжение в месте повреждения 3Eɺ AЭ Z 2 Z 0 Uɺ A = = U Ae jα A = … B . Z1Z 2 + Z1Z 0 + Z 2 Z 0 Далее расчет ведем аналогично однофазному короткому замыканию Векторная диаграмма 195 +j С EɺС Uɺ ГС Eɺ A Uɺ N А Uɺ Г А N IɺГ A1 IɺГС Uɺ n n=b=c IɺГ A 2 IɺГ A Uɺ дв А IɺГ В Uɺ Г B +1 IɺГ A0 а Eɺ В В IN Рис. 10.25. Расчет при коротком замыкании между фазами (поперечная несимметрия) Рассмотрим, например, короткое замыкание между фазами b и с на примере следующей схемы с одинаковой нагрузкой фаз и симметричной системой фазных ЭДС 196 Eɺ А А Eɺ В В N EɺС С Z ɺ Z Г U ГА ɺ I ГB Uɺ Г В ZГ IɺГС а IɺдвВ 1, 2 , 0 b 1, 2 , 0 IɺN ZN Iɺдв А IɺГ А Г1 , 2 , 0 c Uɺ ГС Z дв Uɺ дв А 1, 2 , 0 Z дв 1, 2 , 0 Uɺ двВ IɺдвС n Z дв 1, 2 , 0 Uɺ двС Uɺ n Uɺ N Zn Iɺn Рис. 10.26. В место повреждения вводим фиктивные ЭДС Uɺ A ,Uɺ B ,Uɺ C . а Iɺà A IɺäâA IɺÃB IɺA IɺäâB b IɺÃC IɺB IɺäâC с IɺC Uɺ B Uɺ A Рис.10.27. Условие: IɺA = 0; IɺB + IɺC = 0; Uɺ B − Uɺ C = 0 . Для особой фазы A: IɺA = IɺA1 + IɺA2 + IɺA0 = 0 . Но Iɺ = 0 т.к. нет связи с «землей». A0 В результате IɺA1 = − IɺA2 причем Uɺ A = Uɺ A1 + Uɺ A2 + Uɺ A0 ; 197 Uɺ C Uɺ B = a 2Uɺ A1 + aUɺ A2 + Uɺ A0 ; Uɺ C = aUɺ A1 + a 2Uɺ A2 + Uɺ A0 . Тогда ɺ U B − Uɺ C = ( a 2 − a )Uɺ A1 + ( a − a 2 )Uɺ A2 = 0 или Uɺ A1 = Uɺ A2 . Расчетные схемы для особой фазы А а) схема прямой последовательности аналогична однофазному к.з. при ɺ ɺ ɺI = E AЭ − U A1 A1 Z1 б) схема обратной последовательности аналогична однофазному к.з. при Uɺ A IɺA2 = − 2 Z2 Так как Eɺ A − Uɺ A1 Uɺ A2 + − = 0, IɺA = IɺA1 + IɺA2 = Э Z Z1 2 Z 2 Eɺ AЭ ɺ ɺ ɺ ɺ то при U A1 = U A2 определяем U A1 = U A2 = =… B Z1 + Z 2 Далее без нулевой последовательности расчет ведем аналогично однофазному короткому замыканию. 198 Векторная диаграмма +j С Uɺ ГС IɺГ С EɺС Eɺ A b=c Uɺ äâC Uɺ Г А N Uɺ äâB n IɺГ В IɺГ A2 IɺГ A1 IɺГ A Uɺ дв А +1 а IɺN = Iɺn = 0 Uɺ N = Uɺ n = 0 Eɺ В Uɺ Г B А В Рис. 10.28. ЗАДАНИЕ №4 Динамическая трехфазная цепь с местной несимметрией Для динамической трехфазной цепи с симметричной системой ЭДС Eɺ A , Eɺ B , EɺC генератора и двигателем при заданной местной несимметрии для комплексов действующих значений напряжений и токов выполнить следующее. Для особой фазы рассчитать симметричные составляющие напряжений и токов. Определить напряжения и токи трехфазной цепи. Рассчитать балансы активной и реактивной мощностей. Построить совмещенные векторные диаграммы для всех напряжений трехфазной цепи и токов генератора (один из векторов напряжения или тока представить в виде суммы векторов прямой, обратной и нулевой последовательностей). 199 Проанализировать полученные результаты и сформулировать выводы по работе. Таблица 11.1 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Eɺ A В j 45 380e 127e − j 45 220e j 0 380e − j 90 220e − j 60 127e − j 30 220e j 90 127e j 60 380e j 30 220e j 45 ZN Ом ∞ 10 − j 20 − j 20 − j 20 ∞ 20 − j 20 − j 25 − j 20 Таблица 11.2 Zn Ом − j10 − j10 10 ∞ − j10 − j 20 − j 20 20 ∞ − j 20 № X Г1 X Г2 X Г0 - Ом Ом Ом 1 10 5 3 2 20 10 5 3 30 15 10 4 40 20 15 5 50 25 20 6 60 30 25 7 70 35 30 8 80 40 35 9 90 45 40 0 100 50 45 R X дв1 X дв2 Ом Ом Ом 20 20 10 40 40 20 60 60 30 80 80 40 100 100 50 120 120 60 140 140 70 160 160 80 180 180 90 200 200 100 Таблица 11.3 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Вид несимметрии Обрыв фазы а К.з. фазы а на «землю » К.з. фаз а и b на «землю» К.з. между фазами a и с Обрыв фазы b К.з. фазы b на N К.з. фаз b и c на N К.з. фазы с на n К.з. фаз a и c на n К.з. между фазами a и b Примечание: 1-ая цифра номера задания – номер строки в таблице 1; 2-ая цифра номера задания – номер строки в таблице 2; 3-ья цифра номера задания – номер строки в таблице 3. Схема задания 3 200 X дв0 Ом 6 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Рис. 11.1. Методические указания к заданию № 4. Для заданной схемы (рис. 11.1) дано: Eɺ A = 220 e − j 90 B; Eɺ B = a 2 E A ; Eɺ C = a E A ; X Г 1 = X Дв1 = 20 Oм; X Г 2 = X Дв 2 = 10 Oм; X Г 0 = X Дв 0 = 5 Oм; R = 20 Oм; Z n = − j 5 Oм; Z N = ∞. Короткое замыкание фазы С на нейтраль N генератора. Для особой фазы С рассчитываем симметричные составляющие напряжений и токов. В место повреждения вводим фиктивные ЭДС Uɺ A , Uɺ B , Uɺ C и записываем условие: IɺA = 0; IɺB = 0; Uɺ C = 0 . 201 Рис. 11.2. В результате: ɺI = Iɺ + Iɺ + Iɺ ; С С1 С2 С0 ɺI + aIɺ + a 2 Iɺ a3 Iɺ В С IɺС1 = a А = IɺС = С ; 3 3 3 2 3 Iɺ + aIɺВ + a IɺС a ɺ Iɺ IɺС 2 = a 2 А = IС = С ; 3 3 3 ɺI + Iɺ + Iɺ ɺI IɺС 0 = А В С = С , 3 3 j120 2 − j120 где a = e ; a = e ; a 3 = e j 360 = 1. Расчётная схема прямой последовательности для особой фазы С: Рис. 11.3. где Z Г 1 = jX Г 1 = j 20 Ом; Z Дв1 = R + jX Дв1 = 20 + j 20 Ом. Складываем параллельные ветви с Z Г 1 и Z Дв1 , получаем эквивалентную схему: Рис. 11.4. где Z 1 = Z Г 1 ⋅ Z Дв1 j 20 ⋅ (20 + j 20) = = 4 + j12 = 12e j 71.56 Ом Z Г 1 + Z Дв1 j 20 + 20 + j 20 202 – эквивалентное сопротивление прямой последовательности; j 71.56 Z1 j 30 12e ɺ ɺ ECЭ = EC = 220e = 136 + j 27.885 = 139.15e j11.56 В Z Г1 j 20 – эквивалентная ЭДС фазы С. В результате на основании законов Ома и Кирхгофа можно записать расчётные формулы: Uɺ С1 = EɺCЭ − Z 1IɺC1; Uɺ ДвC1 = Uɺ С1; IɺДвC1 =Uɺ ДвC1 / Z Дв1; Iɺ = Iɺ + Iɺ ; Uɺ = Z Г 1Iɺ . ГC 1 C1 ДвC 1 ГC 1 ГC1 Расчёт по этим формулам будет возможен после определения составляющей тока короткого замыкания прямой последовательности фазы С, т.е. IɺC1 . Расчётная схема обратной последовательности для особой фазы С: Рис. 11.5. где Z Г 2 = jX Г 2 = j10 Ом; Z Дв 2 = R + jX Дв 2 = 20 + j10 Ом. Складываем параллельные ветви с Z Г 2 и Z Дв 2 , получаем эквивалентную схему: Рис. 11.6. 203 Z Г 2 ⋅ Z Дв 2 j10 ⋅ (20 + j10) = = 2.5 + j 7.5 = 7.906e j 71.56 Ом ; Z Г 2 + Z Дв 2 j10 + 20 + j10 – эквивалентное сопротивление обратной последовательности. В результате на основании законов Ома и Кирхгофа можно записать расчётные формулы: Uɺ С 2 = − Z 2 IɺC 2 ; Uɺ ДвC 2 = Uɺ С 2 ; IɺДвC 2 = Uɺ ДвC 2 / Z Дв 2 ; Iɺ = Iɺ + Iɺ ; Uɺ = Z Г 2 Iɺ . Z2 = ГC 2 C2 ДвC 2 ГC 2 ГC 2 Расчёт по этим формулам будет возможен после определения составляющей тока короткого замыкания обратной последовательности фазы С, т.е. IɺC 2 . Расчётная схема нулевой последовательности для особой фазы С: Рис. 11.7. где Z Г 0 ⋅ ( Z ДВ 0 + 3Z N + 3Z n ) j 5 ⋅ (20 + j 5 + ∞ − j15) = = Z Г 0 = j 5 Ом Z Г 0 + Z ДВ 0 + 3Z N + 3Z n j 5 + 20 + j 5 + ∞ − j15 – эквивалентное сопротивление нулевой последовательности. В результате на основании законов Ома и Кирхгофа можно записать расчётные формулы: Uɺ С 0 Uɺ С 0 = − Z 0 IɺC 0 ; IɺДвC 0 = ; Uɺ ДвC 0 = IɺДвC 0 ⋅ Z Дв 0 = 0; Z ДВ 0 + 3Z N + 3Z n Uɺ = 3Z n ⋅ Iɺ = 0; Uɺ = 3Z N ⋅ Iɺ = Uɺ ; Iɺ = Iɺ + Iɺ ; Z0 = n ДвC 0 N ДвC 0 С0 ГC 0 C0 ДвC 0 Uɺ ГC 0 = Z Г 0 IɺГC 0 = −Uɺ С 0 . Расчёт по этим формулам будет возможен после определения составляющей тока короткого замыкания обратной последовательности фазы С, т.е. IɺC 0 . 204 Рассчитываем симметричные составляющие напряжений и токов особой фазы С. Так как ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ U С = U С1 + U С 2 + U С 0 = ( ECЭ − Z 1I C1 ) + ( − Z 2 I C 2 ) + (− Z 0 I C 0 ) = 0 Iɺ Iɺ Iɺ и IɺС = IɺС1 + IɺС 2 + IɺС 0 = С + С + С , то 3 3 3 ɺ 3ECЭ 139.15e j11.56 ɺI = =3 = С Z1 + Z 2 + Z 0 (4 + j12) + (2.5 + j 7.5) + j 5 = 7.328 − j14.749 = 16.47e − j 63.58 A. В результате по вышеприведённым формулам находим симметричные составляющие прямой последовательности напряжений и токов фазы С: Iɺ IɺС1 = С = 2.443 − j 4.916 A; 3 ɺ U С1 = EɺCЭ − Z 1IɺC1 = 136.327 + j 27.885 − (4 + j12)(2.443 − j 4.916) = = 67563 + j18.233 B; Uɺ ДвC1 = Uɺ С1 = 67563 + j18.233 B; Uɺ IɺДвC1 = ДвC1 = 2.145 − j1.233 A; Z Дв1 IɺГC1 = IɺC1 + IɺДвC1 = (2.443 − j 4.916) + (2.145 − j1.233) = 4.588 − j 6.149 A; Uɺ ГC1 = Z Г 1IɺГC1 = j 20 ⋅ (4.588 − j 6.149) = 122.98 + j 91.76 B. Далее находим симметричные составляющие обратной последовательности напряжений и токов фазы С: Iɺ IɺС 2 = С = 2.443 − j 4.916 A; 3 ɺ U С 2 = − Z 2 IɺC 2 = −(2.5 + j 7.5)(2.443 − j 4.916) = −42.968 − j 6.032 B; Uɺ ДвC 2 = Uɺ С 2 = −42.968 − j 6.032 B; Uɺ −42.968 − j 6.032 IɺДвC 2 = ДвC 2 = = −1.84 + j 0.618 B; Z Дв 2 20 + j10 205 IɺГC 2 = IɺC 2 + IɺДвC 2 = 0.603 − j 4.298 A; Uɺ ГC 2 = Z Г 2 IɺГC 2 = 42.98 + j 6.03 B , причём Uɺ = −Uɺ – верно. ГC 2 C2 Затем находим симметричные составляющие нулевой последовательности напряжений и токов фазы С: Iɺ IɺС 0 = С = 2.443 − j 4.916 A; 3 ɺ U С 0 = − Z 0 IɺC 0 = − j 5(2.443 − j 4.916) = −24.58 − j12.25 B; Uɺ n = 0; Uɺ N = Uɺ С 0 = −24.58 − j12.25 B; IɺДвC 0 = 0; Uɺ ДвC 0 = 0; IɺГC 0 = IɺC 0 = 2.443 − j 4.916 A; Uɺ ГC 0 = Z Г 0 IɺГC 0 = 24.58 + j12.215 B. Определяем напряжения и токи трёхфазной цепи, используя найденные симметричные составляющие фазы С и фазовый опера тор a = e j120 : IɺГA = a 2 IɺC1 + aIɺC 2 + IɺC 0 = −1.755 − j 3.144 = 3.6e − j119 A; Iɺ = aIɺ + a 2 Iɺ + Iɺ = 1.45 + j 3.759 = 4.03e j 69 A; ГB C1 C2 C0 IɺГC = IɺC1 + IɺC 2 + IɺC 0 = 7.634 − j15.363 = 17.15e − j 64 A; IɺДвA = a 2 IɺДвC1 + aIɺДвC 2 + IɺДвC 0 = −1.755 − j 3.144 = 3.6e − j119 A; IɺДвB = aIɺДвC1 + a 2 IɺДвC 2 + IɺДвC 0 = 1.45 + j 3.759 = 4.03e j 69 A; IɺДвC = IɺДвC1 + IɺДвC 2 + IɺДвC 0 = 0.305 + j 0.615 = 0.686e − j 64 A; Uɺ ГB Uɺ ГA = a 2Uɺ ГC1 + aUɺ ГC 2 + Uɺ ГC 0 = 15.848 − j105.956 = 107.135e − j 81.5 B; = aUɺ + a 2Uɺ + Uɺ = −132.64 + j32.6 = 136.588e − j166 B; ГC 1 ГC 2 ГC 0 Uɺ ГC = Uɺ ГC1 + Uɺ ГC 2 + Uɺ ГC 0 = 190.54 + j110.005 = 220e j 30 B; 206 Uɺ ДвA = a 2Uɺ ДвC1 + aUɺ ДвC 2 + Uɺ ДвC 0 = 8.724 − j101.828 = 102.2e − j 85 B; Uɺ ДвB = aUɺ ДвC1 + a 2Uɺ ДвC 2 + Uɺ ДвC 0 = −33.308 + j89.628 = 95.617e j110 B; Uɺ ДвC = Uɺ ДвC1 + Uɺ ДвC 2 + Uɺ ДвC 0 = 24.585 + j12.2 = 27.446e j 26 B; IɺN = Iɺn = 3IɺДвC 0 = IɺДвA + IɺДвB + IɺДвC = 0 – верно, т.к. Z N = ∞. Uɺ n = 0; Uɺ N = Uɺ C 0 = −24.58 − j12.215 = 27.448e − j153.6 B. При замыкании фазы С на N и при Z N = ∞ имеем: ɺ – верно. U = Eɺ ; Iɺ = Iɺ ; Iɺ = Iɺ ; Uɺ = −Uɺ ГC ГA C ДвA ГB ДвB ДвC N Рассчитываем балансы активной и реактивной мощностей. Комплекс полной вырабатываемой мощности: ∗ ∗ ∗ ɺ S B = Eɺ A IɺГA + Eɺ B IɺГB + Eɺ C IɺГC = = 220e − j 90 ⋅ (3.6e j119 ) + 220e − j 210 ⋅ (4.03e − j 69 ) + 220e j 30 ⋅ (17.15e j 64 ) = = 568.2 + j 5023 BA; где PB = 568.2 Вт > 0 – активная вырабатываемая мощность; QB = 523 вар – реактивная вырабатываемая мощность. Потери полной мощности в обмотках генератора: ∗ ∗ ∗ ɺ S Г = Uɺ ГA IɺГA + Uɺ ГB IɺГB + Uɺ ГC IɺГC = = 107.135e − j 81.5 ⋅ (3.6e j119 ) + 136.588e − j166 ⋅ (4.03e − j 69 ) + +220e j 30 ⋅ (17.15e j 64 ) = −24.289 + j 4545 BA; QГ = 4545 вар ; PГ = −24,289 Вт ≈ 0 , т.к. RГ = 0 и QГ ≫ PГ . Потребляемая двигателем полная мощность: ɺ S Дв = Uɺ ДвA Iɺ∗ДвA + Uɺ ДвB Iɺ∗ДвB + Uɺ ДвC Iɺ∗ДвC = = 102.2e − j 85 ⋅ (3.6e j119 ) + 95.617e j110 ⋅ (4.03e − j 69 ) + +27.446e j 26 ⋅ (0.686e j 64 ) = 595.837 + j 477.37 BA; где PДв = 595.837 Вт ; Q Дв = 477.37 вар . Потребляемая в нулевом проводе полная мощность. 207 Sɺ0 = Uɺ n Iɺn∗ + Uɺ N IɺN∗ = 0 ⋅ 0 + 27.448e − j153.6 ⋅ 0 = 0 BA; где P0 = 0 Вт ; Q0 = 0 вар . Потребляемая активная PП и реактивная QП мощности: PÏ = Pà + PÄâ + P0 = −24,289 + 595,837 + 0 = 571,548 Âò; QÏ = Qà + Q Äâ + Q0 = 4545 + 477,37 + 0 = 502,37 ÂÀð . Относительные погрешности: Р − РП 568.2 − 571.548 δР % = В ⋅ 100% = ⋅ 100% = 0.6 < 3%; 568.2 РП Q − QП 5023 − 5022.37 δQ % = В ⋅ 100% = ⋅100% = 0.01 < 3% – вер5023 QП но. Для построения векторной диаграммы напряжений рассчитываем комплексные потенциалы узлов схемы. Для этого примем ϕɺ N = 0; тогда ϕɺ A = ϕɺ N + Eɺ A = − j 220 B; ϕɺ = ϕɺ + Eɺ = −190.5 + j110B; B N B ϕɺC = ϕɺ N + Eɺ C = 190.5 + j110B; ϕɺa = ϕɺ A − Uɺ ГA = −15.85 − j114B; ϕɺb = ϕɺ B − Uɺ ГB = −57.88 − j 77.4 B; ϕɺc = ϕɺC − Uɺ ГC = −0.02 ≈ 0 B; ϕɺ = ϕɺ − Uɺ = −24.57 + j12.22 B; n a ДвA ϕɺn = ϕɺb − Uɺ ДвB = −24.57 + j12.22 B; ϕɺn = ϕɺc − Uɺ ДвC = −24.57 + j12.22 B; ϕɺ = ϕɺ − Uɺ = −24.57 + j12.22 B; k n n ϕɺk = ϕɺ N − Uɺ N = 0.008 − j 0.018 ≈ 0 B – верно. Выбираем для вещественной и мнимой осей масштаб напряжений mU = 2 B мм и рассчитанные потенциалы узлов с учётом этого масштаба наносим на комплексную плоскость. Направляем между полученными точками векторы ЭДС и напряжений. Выбираем мас- 208 штаб тока mI = 0.2 A мм и строим лучевую векторную диаграмму для токов генератора IɺГA , IɺГB , IɺГC . Один из векторов токов или напряжений, например Iɺ , представим в виде суммы векторов пряГC мой, обратной и нулевой последовательностей. Векторная диаграмма представлена на рис. 3.8. Проанализировать полученные результаты и сформулировать выводы по работе, указав при этом какие составляющие токов и напряжений получились наибольшими (по модулю) и наименьшими (по модулю), какие результирующие токи и напряжения получились равными (по модулю) и почему. +j . B UГB . EB . EC 100 b . . C UГC UДвB .50 . IГB UN +1 150 100 0 c=N 50 n . . IГC1 50 . . UДвA I ГC2 100 5А 100 . U ДвC I ГA 50 В 50 a . . IГC0 150 IГC . UГA 200 . EA A Рис. 11.8. 209 150 Документ MathCad 210 211 212 7. Составим баланс мощностей 7.1. Вырабатываемая генератором мощность Sв Ea IгA Eb IгB Sв Ec IгС 593.23 5028.327i 7.1.1. Потери полной мощности в обмотках генератора Sг UгA IгA UгB IгB UгC IгС Sг 3 4.548i 10 7.1.2. Потребляемая двигателем полная мощность Sдв UдвA IдвA UдвB IдвB UдвC IдвC Sдв 593.23 480.233i 7.1.3. Потери полной мощности в нейтрали генератора и двигателя So Un In So UN IN 0 7.2. Потребляемая активная мощность P Re Sг Re Sдв Re So P 593.23 Q 5.028 10 7.3. Потребляемая реактивная мощность Q Im Sг Im Sдв Im So Относительные погрешности P Q Re( Sв) P Re( Sв) Im( Sв) Q Im( Sв) 100 P 0 100 Q 0 8. Векторная диаграмма напряжений и токов. 213 3 Построенный график рекомендуется скопировать в графический редактор, например, в Microsoft Visio и проставить индексы узлов и направления стрелок векторов токов и напряжений. 214 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Бессонов, Лев Алексеевич. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник / Л. А. Бессонов. — 10-е изд. — М. : Гардарики, 1999. — 638 с. Теоретические основы электротехники : учебник для вузов в 3 т. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. — 4е изд., доп. для самостоятельного изучения курса. — СПб. : Питер, 2003. Основы теории цепей : учебное пособие / Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. — 5-е изд., перераб. — М. : Энергоатомиздат, 1989. — 528 с. Гурский, Дмитрий Анатольевич. Mathcad для студентов и школьников / Д. А. Гурский, Е. Турбина. — СПб. : Питер, 2005. — 400 с. Кирьянов, Дмитрий Викторович. Mathcad 11 / Д. Кирьянов. — СПб. : БХВ-Петербург, 2003. — 560 с. 215 Учебное издание НОСОВ Геннадий Васильевич КУЛЕШОВА Елена Олеговна КОЛЧАНОВА Вероника Андреевна ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ УСТАНОВИВШИЙСЯ РЕЖИМ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ Учебное пособие Научный редактор кандидат технических наук, доцент Г.В. Носов Редактор Е.О. Кулешова Компьютерная верстка И.О. Фамилия Дизайн обложки И.О. Фамилия Подписано к печати 05.11.2010. Формат 60х84/16. Бумага «Снегурочка». Печать XEROX. Усл.печ.л. 9,01. Уч.-изд.л. 8,16. Заказ . Тираж 50 экз. Национальный исследовательский Томский политехнический университет Система менеджмента и качества Томского политехнического университета сертифицирована NATIONALQUALITYASSURANCE по стандарту ISO 9001:2008 216
