Ɇɢɧɢɫɬɟɪɫɬɜɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɢ ɧɚɭɤɢ Ɋɨɫɫɢɣɫɤɨɣ Ɏɟɞɟɪɚɰɢɢ ɋȺɇɄɌ-ɉȿɌȿɊȻɍɊȽɋɄɂɃ ɉɈɅɂɌȿɏɇɂɑȿɋɄɂɃ ɍɇɂȼȿɊɋɂɌȿɌ ɉȿɌɊȺ ȼȿɅɂɄɈȽɈ Ʉɭɪɫɥɟɤɰɢɣ ɩɨ Ɍɟɨɪɢɢȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ Ʉɭɪɫɥɟɤɰɢɣ ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ 2018 ɍȾɄ5 1 9 . 2 1 ( 0 7 5 . 8 ) Ⱥɜ ɬɨ ɪ : ɓɟɪɛɚɤɨɜɚɈɥɶɝɚȿɜɝɟɧɶɟɜɧɚ Ʉɭɪɫ ɥɟɤɰɢɣ ɩɨ Ɍɟɨɪɢɢ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ: ɤɭɪɫ ɥɟɤɰɢɣ / Ɉȿ ɓɟɪɛɚɤɨɜɚ. – ɋɉɛ, 2018. – 84ɫ. Ʉɭɪɫ ɥɟɤɰɢɣ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɨɛɪɚɡɨɜɚɬɟɥɶɧɨɦɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɭ ɜɵɫɲɟɝɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ Ɏɟɞɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɝɨɫɭɞɚɪɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɚɜɬɨɧɨɦɧɨɝɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɭɱɪɟɠɞɟɧɢɹɜɵɫɲɟɝɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ©ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝɫɤɢɣ ɩɨɥɢɬɟɯɧɢɱɟɫɤɢɣ ɭɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬ ɉɟɬɪɚ ȼɟɥɢɤɨɝɨ» ɢ ɱɢɬɚɥɫɹ ɛɚɤɚɥɚɜɪɚɦ ɂɄɇɌ ɢ ɂ Ɏ ɇ ɂ Ɍ ɩɨ ɞɢɫɰɢɩɥɢɧɟ«Ɍɟɨɪɢɹȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ». ɉɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɢɣ ɤɭɪɫɌɟɨɪɢɢȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ. ȼ ɩɟɪɜɨɣ ɝɥɚɜɟ ɨɩɢɫɚɧɚ ɢɫɬɨɪɢɹ ɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɹ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɧɚ ɩɪɢɦɟɪɚɯɪɚɫɤɪɵɬɢɹɩɚɪɚɞɨɤɫɨɜɜɨɡɧɢɤɚɜɲɢɯɧɚɟɟ ɩɭɬɢ ȼɤɭɪɫɟɢɞɟɬɚɤɫɢɨɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟɩɨɫɬɪɨɟɧɢɟɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɨɝɨɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚɢ ɫɷɬɨɣɩɨɡɢɰɢɢɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɚɹɢɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ Ɉɫɧɨɜɧɵɦɢ ɨɛɴɟɤɬɚɦɢ ɜ ɤɭɪɫɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɢ ɢɯ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ. Ⱦɚɧɵ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚɨɫɧɨɜɧɵɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɩɪɢɦɟɪɵ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɧɵ ɢ ɞɨɤɚɡɚɧɵ ɨɫɧɨɜɧɵɟɩɪɟɞɟɥɶɧɵɟɬɟɨɪɟɦɵ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɬɚɤɢɟ ɤɚɤ Ɂɚɤɨɧɵ Ȼɨɥɶɲɢɯ ɑɢɫɟɥ ɍɫɢɥɟɧɧɵɟ Ɂɚɤɨɧɵ Ȼɨɥɶɲɢɯ ɑɢɫɟɥ ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɵɟ ɉɪɟɞɟɥɶɧɵɟ Ɍɟɨɪɟɦɵ. Ɉɫɨɛɨɟɜɧɢɦɚɧɢɟɨɛɪɚɳɚɟɬɫɹɧɚɦɟɬɨɞɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯɮɭɧɤɰɢɣ ȼɤɭɪɫɟ ɦɧɨɝɨɩɪɢɦɟɪɨɜɢɢɥɥɸɫɬɪɚɬɢɜɧɨɝɨɦɚɬɟɪɢɚɥɚ. ɉɪɟɞɧɚɡɧɚɱɟɧɨ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ ɚɫɩɢɪɚɧɬɨɜ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɯ ɢɧɫɬɢɬɭɬɨɜ ɢ ɢɧɫɬɢɬɭɬɨɜ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɵɯ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɣ. © ɋɚɧɤɬ-ɉɟɬɟɪɛɭɪɝɫɤɢɣ ɩɨɥɢɬɟɯɧɢɱɟɫɤɢɣ ɭɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬɉɟɬɪɚ ȼɟɥɢɤɨɝɨ 2018 ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ Î. Å. Ùåðáàêîâà Î. Å. Ùåðáàêîâà Ñîäåðæàíèå 1. Èñòîðèÿ ñòàíîâëåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé 1.1. Ïðåäûñòîðèÿ 1.2. Ïåðûé ïåðèîä (XVII âåê - íà÷àëî XVIII âåêà) 1.3. Âòîðîé ïåðèîä (XVIII âåê - íà÷àëî XIX âåêà) 1.4. Òðåòèé ïåðèîä (âòîðàÿ ïîëîâèíà XIX âåêà) 1.5. ×åòâåðòûé ïåðèîä (íà÷àëî XX âåêà) 2. Äëÿ ÷åãî íóæíî èçó÷àòü òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé 3. Àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè 3.1. Àêñèîìû âåðîÿòíîñòè 3.2. Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè 4. Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè 4.1. Âçãëÿä íà êëàññè÷åñêóþ âåðîÿòíîñòü ÷åðåç ïðèçìó àêñèîìàòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ 4.2. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè 5. Ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè 5.1. Îïðåäåëåíèå 5.2. Ïàðàäîêñ Áåðòðàíà 5.3. Çàäà÷à Áþôôîíà 6. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëà Áàéåñà. Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé 6.1. Îïðåäåëåíèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè 6.2. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè 6.3. Ôîðìóëà Áàéåñà 7. Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé 7.1. Îïðåäåëåíèå 7.2. Îïðåäåëåíèå ðàçëè÷íûõ âèäîâ íåçàâèñèìîñòè äëÿ ìíîæåñòâà ñîáûòèé 7.3. Óðíîâàÿ ñõåìà Ëàïëàñà 8. Ñëó÷àéíûå ýëåìåíòû è èõ ðàñïðåäåëåíèå 9. Ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 10. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè 10.1. Îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé 10.2. Ôîðìóëà Áåðíóëëè 10.3. Î íàèáîëåå âåðîÿòíîì ÷èñëå óñïåõîâ 10.4. Ëîêàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà 10.5. Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà 10.6. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë Áåðíóëëè 10.7. Òåîðåìà Ïóàññîíà 11. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 11.1. Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 11.2. Ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 12. Ðàçëè÷íûå âèäû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 12.1. Äèñêðåòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ 12.2. Aáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ 12.3. Ñèíãóëÿðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ 13. Ñëó÷àéíûå âåêòîðû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ â Rn 4 4 4 6 6 7 8 9 9 9 13 13 13 15 15 15 17 19 19 19 20 21 21 21 22 24 25 26 26 26 28 28 28 29 29 31 31 31 33 33 35 38 41 ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 14. 15. ! Íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 43 Èíòåãðàë Ëåáåãà, Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà, Ðèìàíà-Ñòèòüåñà. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Ïîíÿòèå ñâåðòêè. 44 15.1. Èíòåãðàë Ëåáåãà, Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà 44 15.2. Èíòåãðàë Ðèìàíà-Ñòèëòüåñà 45 15.3. Ïîíÿòèå ñâåðòêè 46 15.4. Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ 47 15.5. Íåðàâåíñòâà, ñâÿçàííûå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì 48 16. Äèñïåðñèÿ. Êîâàðèàöèÿ. Êîððåëÿöèÿ. 51 16.1. Äèñïåðñèÿ 51 16.2. Êîâàðèàöèÿ. Êîâàðèöèîííàÿ ìàòðèöà 51 16.3. Êîððåëÿöèÿ 52 17. Ðàçëè÷íûå âèäû ñõîäèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 53 17.1. Êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå 54 17.2. Ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñõîäèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 56 18. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. Óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë 58 18.1. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. 58 18.2. Óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. 60 19. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè 62 19.1. Ñâîéñòâà õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 62 19.2. Ïðèìåðû õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé 63 19.3. Ôîðìóëà îáðàùåíèÿ 64 20. Ñõîäèìîñòü ðÿäîâ èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 67 21. Ìåòîä õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà (ÖÏÒ) 68 22. Ïîíÿòèå âûáîðêè, ñòàòèñòèêè. Âûáîðî÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, âûáîðî÷íûå ìîìåíòû. Òåîðåìà Ãëèâåíêî-Êàíòåëëè 71 23. Òèïû ñòàòèñòèê: íåñìåùåííîñòü, ñîñòîÿòåëüíîñòü, íîðìàëüíîñòü. Òåîðåìà î âûáîðî÷íîì ñðåäíåì è âûáîðî÷íîé äåñïåðñèè 73 24. Ïîðÿäêîâûå ñòàòèñòèêè èëè Âàðèàöèîííûé ðÿä 75 25. Âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. χ2 ðàñïðåäåëåíèå è ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà. Ëåììà Ôèøåðà 77 26. Ñïèñîê âîïðîñîâ ïî "Òåîðèè Âåðîÿòíîñòåé" 80 27. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 82 Î. Å. Ùåðáàêîâà " 1. Èñòîðèÿ ñòàíîâëåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ïðåäûñòîðèÿ. 1.1. Èñòîðèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, à òî÷íåå ïîíÿòèé ñëó÷àéíîñòè è øàíñîâ, óõîäèò â ãëóáü âåêîâ. Ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòè ðîæäàåòñÿ èç àçàðòíûõ èãð. Ñàìî ñëîâî "àçàðò"ïðîèñõîäèò îò àðàáñêîãî "àëü çàðä" - èãðàëüíàÿ êîñòü. Àðõåîëîãè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ãîâîðÿò î òîì, ÷òî òàêèå êîñòè èñïîëüçîâàëèñü âî âðåìåíà Ïåðâîé Äèíàñòèè â Åãèïòå (3 500 ã.äî í.ý.), çàòåì â Äðåâíåé Ãðåöèè è Ðèìå. Ïî ëåãåíäå èãðó â êîñòè ïðåäëîæèë Ïàëàìåäåé äëÿ ðàçâëå÷åíèÿ ãðå÷åñêèõ ñîëäàò, ñêó÷àþùèõ â îæèäàíèè áèòâû ïðè Òðîå. Ðèìñêèå èìïåðàòîðû Àâãóñò (63 ã. äî í.ý. - 14 ã. í.ý.) è Êëàâäèé (10 ã. äî í.ý. - 54 ã. í.ý.) áûëè ñòðàñòíûìè èãðîêàìè â êîñòè. Ïàðàëëåëüíî ïîíÿòèå ñëó÷àéíîñòè êðèñòàëëèçðóåòñÿ â ñòðàõîâàíèè è êîììåðöèè â ñâÿçè ñ ïîÿâëåíèåì òàáëèö ñìåðòíîñòè (ðèìñêèé þðèñò Þëïèàí (220 ã. äî í.ý.)).  ýïîõó ðàñöâåòà ãîðîäîâ -ðåñïóáëèê (Ðèì, Âåíåöèÿ, Ãåíóÿ, Ïèçà, Ôëîðåíöèÿ) ïîÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòü â ïðîñòåéøåé ñòàòèñòèêå. Ïåðâûé òî÷íî äàòèðóåìûé êîíòðàêò ïî ñòðàõîâàíèþ æèçíè çàêëþ÷åí â Ãåíóå â 1347 ãîäó. Ïåðâûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç èãðû â êîñòè ïðåäïðèíÿë Äæ. Êàðäàíî (15011576) â "Êíèãå îá àçàðòíûõ èãðàõ" , â êîòîðîé ãîâîðèëîñü î òîì, ÷òî ÷èñëî áëàãîïðèÿòíûõ êîìáèíàöèé ê ÷èñëó âîçìîæíûõ íàõîäÿòñÿ â ñîãëàñèè ñ èãðîâîé ïðàêòèêîé. Êíèãà áûëà èçäàíà òîëüêî ÷åðåç 100 ëåò ïîñëå åå íàïèñàíèÿ. Çàäà÷åé, ïîñòàâëåííîé â ýòîé êíèãå Êàðäàíî, çàíÿëñÿ ïîçæå Ãàëèëåé. Ñ ïåðâîãî âçãëÿäà îíà âûãëÿäèò êàê ïàðàäîêñ: Ïàðàäîêñ 1.1. "ïî÷åìó ”9” âûïàäàåò ÷àùå, êîãäà áðîñàþò äâå êîñòè, à ”10”, êîãäà áðîñàò òðè?" Îáúÿñíåíèå ïàðàäîêñà: 9 = 3+6 = 6+3 = 4+5 = 5+4, 10 = 4+6 = 6+4 = 5+5, - òàêèì îáðàçîì âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ ïðè áðîñàíèÿõ äâóõ êîñòåé ”9” - 4/36, à ”10” - 3/36.  ñëó÷àå æå òðåõ êîñòåé ”9” ìîæíî âûáðîñèòü 25 ñïîñîáàìè, à ”10” - 26. Íåñìîòðÿ íà ïðîñòîòó çàäà÷è åå îøèáî÷íî ðåøàëè è Ëåéáíèö, è Äàëàìáåð, îíè çàáûâàëè ó÷èòûâàòü ïîðÿäîê âûïàäåíèÿ êîñòåé. Ïåðûé ïåðèîä (XVII âåê - íà÷àëî XVIII âåêà). 1.2. Ëàïëàñ ñâÿçûâàåò ðîæäåíèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñ ïåðåïèñêîé (1654 ã.) ìåæäó Áëåçîì Ïàñêàëåì è Ïüåðîì Ôåðìà, ñâÿçàííîé ñ çàäà÷åé êàâàëåðà äå Ìåðå: Ïàðàäîêñ 1.2. ïðè ÷åòûðåõ áðîñàíèÿõ îäíîé èãðàëüíîé êîñòè âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ õîòÿ áû îäíîé ”1” áîëüøå 1/2, à ïðè 24 áðîñàíèÿõ äâóõ êîñòåé âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ äâóõ ”1” îäíîâðåìåííî ìåíüøå 1/2. Îáúÿñíåíèå ïàðàäîêñà: 1 5 1 − ( )k > , k ≥ 4 6 2 ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ # 35 1 1 − ( )k > , k ≥ 25 36 2 Ýòî êàçàëîñü ïðîòèâîðå÷èò "ïðàâèëó ïðîïîðöèîíàëüíîñòè êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé". Àáðàõàì äå Ìóàâð â êíèãå "Äîêòðèíà øàíñîâ"(1718) ïîêàçàë, ÷òî "ïðàâèëî ïðîïîðöèîíàëüíîñòè êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé" íåäàëåêî îò èñòèíû, íî ñïðàâåäëèâî ëèøü àñèìïòîòè÷åñêè ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ âåðîÿòíîñòè p ∈ (0, 1) (1 − p)x = 1 2 Êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå k = [x] + 1, x=− p2 ln 2 = ln 2/(p + + . . .) ln(1 − p) 2  1657 ãîäó â êíèãå Õðèñòèàíà Ãþéãåíñà "Î ðàñ÷åòàõ â àçàðòíûõ èãðàõ" ïðåäñòàâëåí ïåðâûé ñèñòåìàòè÷åñêèé òåêñò ïî "èñ÷èñëåíèþ âåðîÿòíîñòåé" , â ÷àñòíîñòè, òàì äàþòñÿ ïðàâèëà ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, ñîäåðæèòñÿ äèñêóññèÿ îòíîñèòåëüíî ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Öåíòðàëüíîé ôèãóðîé ýòîãî ïåðèîäà ñ÷èòàåòñÿ ßêîâ Áåðíóëëè, êîòîðûé äàë îïðåäåëåíèå êëàññè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè êàê îòíîøåíèÿ ÷èñëà áëàãîïðèÿòíûõ ê ÷èñëó âñåõ ìûñëèìûõ èñõîäîâ. Ãëàâíûì åãî ðåçóëüòàòîâ ÿâèëñÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, äàííûé â åãî êíèãå "Èñêóññòâî ïðåäïîëîæåíèé"(1713 ã.), ëåæàùèé â îñíîâå âñåõ ïðèìåíèé òåîðèè âåðîÿòíîñòè.  åãî òðóäàõ ïîÿâëÿþòñÿ íîâûå "íåôèíèòíûå èäåè", ñâÿçàííûå ñ ïðåäåëüíûìè ÷àñòîòàìè ïðè ïîâòîðíûõ èñïûòàíèÿõ. n k=1 Xk → p ïî âåðîÿòíîñòè, ãäå p = EXk . n Äàíèèë Áåðíóëëè (1667-1727) âíåñ âêëàä â ðàçðåøåíèå ðàäîêñà" "Ïåòåðáóðãñêîãî ïà- Ïàðàäîêñ 1.3. Èãðà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: èãðîê áðîñàåò ìîíåòó, èãðà çàêàí÷èâàåòñÿ íà r-òîì øàãå, êîãäà âûïàäàåò ðåøêà, òîãäà áàíê âûïëà÷èâàåò ñóììó 2r . Âîïðîñ: Êàêèì äîëæåí áûòü ïåðâîíà÷àëüíûé âçíîñ, ÷òîáû èãðà áûëà áåçîáèäíà äëÿ áàíêà? Ñóòü ïàðàäîêñà: ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âûèãðûøà áåñêîíå÷íî. EX = 2r 2 22 + + . . . + r + . . . → ∞. 2 22 2 Ðàçðåøèòü ïàðàäîêñ ìîæíî ëèáî ñäåëàâ ïðåäïîëîæåíèå îá îãðàíè÷åííîñòè ðåñóðñîâ áàíêà ëèáî èçìåíèâ êðèòåðèé áåçîáèäíîñòè. Åñëè ïðåäïîëîæèòü (êàê Áþôôîí è Êðàìåð), ÷òî ðåñóðñû áàíêà îãðàíè÷åíû ìèëëèîíîì, òî ïîëó÷èì ñëåäóþùåå EX = 19 2r r=1 2r + 106 ∞ 1 ≈ 21. r 2 r=20 Î. Å. Ùåðáàêîâà $ Ôåëëåð òàê ïðåäëîæèë îïðåäåëÿòü èãðó áåçîáèäíîé: ïóñòü ñóììàðíûé âûèãðûø Nr , ñóììàðíûé âçíîñ Rr , òîãäà P (| Nr − 1| < ε) → 1, r → ∞. Rr Îí äîêàçàë, ÷òî èãðà ñòàíîâèòñÿ áåçîáèäíîé ïðè âûïîëíåíèè ñîîòíîøåíèÿ Rr = r log2 r. 1.3. Âòîðîé ïåðèîä (XVIII âåê - íà÷àëî XIX âåêà). Ýòîò ïåðèîä ñâÿçàí ñ òàêèìè èìåíàìè, êàê Ïüåð-Ðåìîí Ìîíìîð, Àáðàõàì äå Ìóàâð, Òîìàñ Áàéåñ, Ïüåð Ñèìîí äå Ëàïëàñ, Êàðë Ôðèäðèõ Ãàóññ, Ñèìîí Äåíèñ Ïóàññîí. Ìóàâð â êíèãàõ "Äîêòðèíà øàíñîâ"(1718) è "Àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû, èëè Àíàëèòè÷åñêàÿ ñìåñü"(1730) îïðåäåëÿåò ïîíÿòèÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé, ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè. Êðîìå òîãî, îáíàðóæèë óíèâåðñàëüíóþ çàêîíîìåðíîñòü â ïîâåäåíèè îòêëîíåíèé îò ñðåäíåãî â èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè, íàçâàííóþ êàê "Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà". Ãàóññ è Ëàïëàñó ïðèíàäëåæèò èäåÿ ââåäåíèÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà â òåîðèè îøèáîê.  ýòîò ïåðèîä ïîÿâëÿåòñÿ (íîðìàëüíàÿ, ïóàññîíîâñêàÿ), õîòÿ îíà ðàññìàòðèâàëàñü íè êàê ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé, à êàê àïïðîêñèìàöèÿ.  òîì ÷èñëå, óïîìÿíåì Íüþòîíà (1665 ã.), êîòîðûé ââåë â ðàññìîòðåíèå ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè. Ê òàêèì íåêëàññè÷åñêèì âåðîÿòíîñòÿì òàêæå îòíîñèòñÿ çàäà÷à î è âîçíèêíîâåíèå íåðàâíûõ âåðîÿòíîñòåé â ôîðìóëå Áàéåñà (1763 ã.) "íåêëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü" "èãëå Áþôôîíà" Òðåòèé ïåðèîä (âòîðàÿ ïîëîâèíà XIX âåêà). 1.4. Òðåòèé ïåðèîä ñâÿçàí ñ Ïåòåðáóðãñêîé øêîëîé è òàêèìè åå ïðåäñòàâèòåëÿìè êàê Ë.Ï.×åáûøåâ, À.À.Ìàðêîâ, À.Ì.Ëÿïóíîâ. ×åáûøåâ îáîáùèë òåîðåìó Ìóàâðà -Ëàïëàñà íà ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìîìåíòîâ, ïîçæå óñîâåðøåíñòâîâàííûé Ìàðêîâûì. Òàêæå îáîáùèë , èñïîëüçóÿ . Ëÿïóíîâ ìåòîäîì õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé äîêàçàë òåîðåìó Ìóàâðà Ëàïëàñà äëÿ ñóìì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ìîìåíòû ïîðÿäêà 2 + δ , δ > 0. Ìàðêîâ ââåë â ðàññìîòðåíèå ñõåìû çàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñî ñâîéñòâîì îòñóòñòâèÿ ïîñëåäñòâèÿ, òåïåðü íàçûâàåìûõ .  ýòîò ïåðèîä íà÷èíàåò ïðîñëåæèâàòüñÿ ñâÿçü ìåæäó ÷èñòîé ìàòåìàòèêîé è òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé. Ñâÿçü ñ òåîðèåé ÷èñåë ìîæíî óâèäåòü â ðàáîòàõ Ïóàíêàðå (1896) è Ãþëüäåíà (1890). Ïóàíêàðå ïîñòàâèë âîïðîñ î òîì ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ñëó÷àéíî âûáðàííàÿ òî÷êà ω ∈ [0, 1] áóäåò ðàöèîíàëüíûì ÷èñëîì. Ãóëüäåí ðàññìàòðèâàë âîïðîñ î òîì, êàê ñåáÿ âåäóò öåëûå ÷èñëà â ðàçëîæåíèè â íåïðåðûâíóþ äðîáü ñëó÷àéíîãî ÷èñëà ω ∈ (0, 1], w = (a1 , a2 , . . .). Åãî ïðåäïîëîæåíèåì áûëî P (an (ω) = k) 1/k 2 , ÷òî îêàçàëîñü óæå ïîçäíåå àñèìïòîòè÷åñêè âåðíî 1 + 1/k P (an (ω) = k) → (log 2)−1 log 1 . 1 + k+1 Ìàðêîâà" çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë "íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà- "ìàðêîâñêèìè öåïÿìè" ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ % Âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè ñòàëè èñïîëüçîâàòüñÿ â êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå (ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà äëÿ ìîëåêóëÿðíûõ ñêîðîñòåé, ðàñêðûòèå ôåíîìåíà áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ (1827) Áðîóí, Ýéíøòåéí, Ñìîëóõîâñêèé). Ïîñòðîåíèå òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè ìåðû Áîðåëåì è Ëåáåãîì ïîçâîëèëè â äàëüíåéøåì îáðåñòè òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé àêñèîìàòè÷åñêóþ ñòðîéíîñòü. 1.5. ×åòâåðòûé ïåðèîä (íà÷àëî XX âåêà).  1900 ãîäó íà 2-ì ìàòåìàòè÷åñêîì êîíãðåññå â Ïàðèæå â ÷èñëå äåñÿòè îòêðûòûõ ïðîáëåì ìàòåìàòèêè Ä. Ãèëüáåðò ïîñòàâèë âîïðîñ îá àêñèîìàòèçàöèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ýòó ïðîáëåìó ïûòàëèñü ðåøèòü Ëàåììåëü, Ôèíåòòè, Ìèçåñ, Áåðøòåéí è äðóãèå.  1904 Ëàåììåëü ñäåëàë ïîïûòêó ïîñòðîåíèÿ àêñèîìàòå÷åñêîé òåîðèè, èñïîëüçóÿ äëÿ îïèñàíèÿ ìíîæåñòâà èñõîäîâ òåîðèþ ìíîæåñòâ, íî ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòè îñòàâàëîñü íà èíòóèòèâíîì óðîâíå. Äðóãîé àâòîð, Ó. Áðîããè, â ñâîåé äèññåðòàöèè ïîä ðóêîâîäñòâîì Ãèëüáåðòà â 1907 ãîäó äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè îáðàòèëñÿ ê òåîðèè ìåðû Áîðåëÿ, Ëåáåãà, íî ñ èñïîëüçîâàíèåì èñêóññòâåííûõ ïðåäåëüíûõ ïðîöåäóð. Ñèñòåìà àêñèîì Ñ.Í. Áåðøòåéíà (1917) áûëà îñíîâàíà íà êà÷åñòâåííîì ñðàâíåíèè ñîáûòèé ïî ñòåïåíè èõ ïðàâäîïîäîáèÿ.  1919 Ð. Ìèçåñ ïðåäëîæèë ÷àñòîòíûé (ýìïèðè÷åñêèé èëè ñòàòèñòè÷åñêèé) ïîäõîä ê îáîñîâàíèþ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.  îñíîâå åãî ìåòîäà ëåæèò ðàññìîòðåíèå "êîëëåêòèâîâ" - áåñêîíå÷íûõ óïîðÿäî÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì "ñëó÷àéíîñòè" èõ îáðàçîâàíèÿ. Ïîëíîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è îñóùåñòâèë Êîëìîãîðîâ (1933) íà áàçå òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè ìåðû. Îñíîâíîé òåîðåìîé àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ Êîëìîãîðîâà áûëî óòâåðæäåíèå î ñóùåñòâîâàíèè ïðîöåññîâ ñ çàäàííûìè êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè. Î. Å. Ùåðáàêîâà & 2. Äëÿ ÷åãî íóæíî èçó÷àòü òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé (1) Ðàçâèòèå ìûøëåíèÿ ñòóäåíòîâ. Ïîìîãàåò ïîíÿòü, êàê ïðèìåíÿòü ïðèåìû ëîãè÷åñêîãî ìûøëåíèÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èìååì äåëî ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ. Óìàëÿåò ìàãè÷åñêèé ðåàëèçì. Ðàçâèâàåò òîëåðàíòíîñòü. Ðàçâèâàåò ñìåëîñòü, ïîñêîëüêó ó÷èò âîñïðèíèìàòü íåóäà÷ó âñåãî ëèøü êàê ñëó÷àéíîñòü è äâèãàòüñÿ äàëüøå ê íàìå÷åííîé öåëè. (2) Âûâîäû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íàõîäÿò ïðèìåíåíèå â îáûäåííîé æèçíè, íàóêå è òåõíèêå.  ïîâñåäíåâíîñòè ïðè ïîñòîÿííîì ñòîëêíîâåíèè ñî ñëó÷àéíîñòüþ ó÷èò äåéñòâîâàòü ðàöèîíàëüíî ñ ó÷åòîì ðèñêà ïðèíÿòèÿ îòäåëüíûõ ðåøåíèé. (3) Âàæíîå çíà÷åíèå äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ. Ïîìàãàåò ïîíÿòü âçàèìîñâÿçü äåéñòâèòåëüíîñòè ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè. Äåìîíñòðèðóåò âåëèêîëåïíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ïî ðàáîòå ñî ñëîæíûìè, íåëèíåéíûìè ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè. ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 3. ' Àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè Îïðåäåëåíèå 3.1. U - àëãåáðà ìíîæåñòâ, åñëè ∅∈U è äëÿ ëþáûõ A, B ∈ U A ∩ B ∈ U, A ∪ B ∈ U, A \ B ∈ U. C ïîìîùüþ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ìîæíî ïîëó÷èòü îáîáùåíèå íà êîíå÷íîå ÷èñëî n n Ak ∈ U, Ak ∈ U, A1 , . . . , An ∈ U, k=1 k=1 à òàêæå äîêàçàòü ïðàâèëà äå Ìîðãàíà: n Îïðåäåëåíèå 3.2. n Ak = k=1 A - Ak , k=1 σ -àëãåáðà n Ak = k=1 ∞ Ak ∈ A, k=1 Ak . k=1 ìíîæåñòâ, åñëè A1 , A2 , . . . ∈ A Àêñèîìû âåðîÿòíîñòè. n ∞ A - àëãåáðà è äëÿ ëþáûõ Ak ∈ A. k=1 3.1. Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî - ýòî òðîéêà îáúåêòîâ (Ω, F, P ), äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå àêñèîìû. À1: Ω - ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. À2: F σ-àëãåáðà ñîáûòèé, ïîñòðîåííàÿ íà ìíîæåñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω ∈ F . À3: P : F → [0, 1], P (Ω) = 1 - ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ. À4: Àääèòèâíîñòü n P( Ak ) = k=1 n P (Ak ), åñëè Ai Aj = ∅ ïðè i = j. k=1 À5: Ñ÷åòíàÿ àääèòèâíîñòü ∞ P( Ak ) = k=1 3.2. ∞ P (Ak ), åñëè Ai Aj = ∅ ïðè i = j. k=1 Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè. Â1: Î âåðîÿòíîñòè îáðàòíîãî ñîáûòèÿ P (A) = 1 − P (A) Äîêàçàòåëüñòâî. A ∪ A = Ω, A ∩ A = ∅ Ïî àêñèîìå À4-àääèòèâíîñòè ïîëó÷àåì P (A ∪ A) = P (A) + P (A) = P (Ω) = 1. Î. Å. Ùåðáàêîâà Â2: Ïîëóàääèòèâíîñòü P( ∞ k=1 Ak ) ≤ ∞ P (Ak ). k=1 Â3: Ôîðìóëà äëÿ ñóììû ïðîèçâîëüíûõ ñîáûòèé P( n k=1 Ak ) = n k=1 P (Ak ) − k<i P (Ak Ai ) + k<i<j P (Ak Ai Aj ) − (−1)n P ( n Ak ). k=1 Äëÿ èëëþñòðàöèè ôîðìóëû Â3 ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ïèñüìàõ: Ïðèìåð 3.1. Íàéòè âåðîÿòíîñòü P (A) òîãî, ÷òî èç n ïèñåì íè îäíî íå ïîïàäåò ñâîåìó àäðåñàòó. Ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå äâà ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è: êîðîòêîå è äëèííîå. Äëèííîå êàê ðàç îñíîâàíî íà ïðèìåíåíèè ýòîé ôîðìóëû. ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ (1) Ðàññìîòðèì îáðàòíîå ñîáûòèå: õîòÿ áû êîìó-òî ïîïàäåò ïèñüìî ïî íàçíà÷åíèþ. Ýòî ñîáûòèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü îáúåäèíåíèåì ñîáûòèé Ak , k = 1, . . . , n, - êàêèì-òî k ÷åëîâåê ïðèøëî ïèñüìî k ñïîñîáàìè. ïî àäðåñó. k ÷åëîâåê âûáèðàåì Cn A= n Ak , P (Ak ) = k=1 Íî ñîáûòèÿ ìóëó : Â3 P (A) = P ( n (n − k)! . n! Ak íå äèçúþíêòíû, ïîýòîìó íóæíî ïðèìåíèòü ôîð- Ak ) = nP (A1 ) − Cn2 P (A2 ) + . . . − (−1)n P (An ) = k=1 1 − 1/2 + 1/3! − . . . − (−1)n 1/n! → 1 − 1/e; P (A) → 1/e, n → ∞. (2) Êàæäûé íå ïîëó÷èë ñâîå ïèñüìî - ïðîèçâåäåíèå n îäèíàêîâûõ ìíîæèòåëåé. Íå ïîëó÷èë ïèñüìî - îáðàòíîå ñîáûòèå -ïîëó÷èë ïèñüìî c âåðîÿòíîñòüþ P (A1 ) = 1/n. P (A) = (P (A1 ))n = (1 − 1/n)n → 1/e, n → ∞. Â4: Âåðîÿòíîñòü P íåïðåðûâíà êàê ôóíêöèè ìíîæåñòâ. Îïðåäåëåíèå 3.3. Ôóíêöèÿ S ìíîæåñòâ íåïðåðûâíà, åñëè äëÿ ëþáîé óáûâà- þùåé {An }n∈N ↓, Aj ⊂ Ai , i < j (âîçðàñòàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâ áóäåì èìåòü {Bn }n∈N ↑, Bi ⊂ Bj , i < j ) ∞ lim S(An ) = S( lim An ) = S( n→∞ n→∞ n=1 ∞ lim S(Bn ) = S( lim Bn ) = S( n→∞ n→∞ An ); Bn ) n=1 Òåîðåìà. Àêñèîìà À5 ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè ðàâíîñèëüíà ñâîéñòâó Â4 íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè. Äîêàæåì ðàâíîñèëüíîñòü ýòèõ óòâåðæäåíèé. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåïðåðûâíîñòè äîñòàòî÷íî äîêàçàòü íåïðåðûâíîñòü â íóëå èëè òî÷íåå íà ïóñòîì ìíîæåñòâå. ⇒: Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ óáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáûòèé {An }n∈N ↓ èç σ-àëãåáðû F , òàêóþ ÷òî ∞ n=k An = ∅, äëÿ ëþáîãî k ∈ N è ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ (íåñîâìåñòíûõ) êîëåö Ck = Ak \ Ak+1 . Äîêàçàòåëüñòâî. A1 = ∞ Ck k=1 Ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîëåö ìîæíî ïðèìåíèòü àêñèîìó ñ÷åòíîé àääèòâíîñòè À5: ∞ 1 ≥ P (A1 ) = k=1 P (Ck ) Î. Å. Ùåðáàêîâà Ðÿä ∞ âåðîÿòíîñòü ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàík=1 P (Ck ) ñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó íîé ìåðîé. Òàêèì îáðàçîì, ∞ k=n P (Ck ) → 0 êàê îñòàòîê ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà. Ïîëó÷àåì íåïðåðûâíîñòü âåðîÿòíîñòè P (An ) = ∞ P (Ck ) → 0 = P (∅) = P ( ∞ An ). n=1 k=n Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ äèçúþíêòíóþ ñèñòåìó ìíîæåñòâ (ïîïàðíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïåðåñåêàþùèõñÿ) {Ck }k∈N è ïîñòðîèìóáûâàþùóþ ∞ ìíîæåñòâ An = ∞ k=n Ck . Çàìåòèì, ÷òî n=1 An = ∅. ⇐: P (∪∞ k=1 Ck ) = n k=1 P (Ck ) + P (∪∞ k=n Ck ) = n P (Ck ) + P (An ); k=1 ∞ P (An ) → 0, n → ∞; P (∪∞ k=1 Ck ) = P (Ck ). k=1 ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ ! 4. Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè Âçãëÿä íà êëàññè÷åñêóþ âåðîÿòíîñòü ÷åðåç ïðèçìó àêñèîìàòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ.  êëàññè÷åñêîé ïîñòàíîâêå ðàññìàòðèâàåòñÿ âåðîÿòíîñò4.1. íîå ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ðàâíîâåðîÿòíûõ èñõîäîâ. Âåðîÿòíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå ÷èñëà áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ ê ÷èñëó âñåõ âîçìîæíûõ. Ω= n Ek ; k=1 P (Ω) = 1 = P ( n Ek ) = k=1 n P (E1 ) = A= m Eik , P (A) = P ( k=1 P (Ek ) = nP (E1 ); k=1 m 1 ; n Eik ) = k=1 Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè. 4.2. ïî n ÿ÷åéêàì. ñ ïîâòîðåíèÿìè áåç ïîâòîðåíèé m P (Eik ) = k=1 m . n Ðàññìîòðèì ðàçëè÷íûå ðàçìåùåíèÿ k ÷àñòèö óïîðÿäî÷åííûå nk Akn = n!Cnk íåóïîðÿäî÷åííûå k Cn+k−1 Cnk n! Âñïîìíèì, ÷òî Cnk = k!(n−k)! - ÷èñëî k -ýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ èç n-ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà. Çàäà÷ó î íåóïîðÿäî÷åííîì ðàçìåùåíèè ñ ïîâòîðåíèÿìè ìîæíî ðåøàòü òàê: ïîñêîëüêó ÷àñòèöû íåðàçëè÷èìû, òî ïåðåñòàíîâêè ìîæíî îñóùåñòâëÿòü ïåðåñòàíîâêàìè âíóòðåííèõ ãðàíèö ÿ÷ååê. Òàêèì îáðàçîì, ìû ëèáî ïåðåñòàâëÿåì n − 1 ïàëî÷åê (âíóòðåííèõ ãðàíèö) ëèáî k øàðèêîâ (÷àñòèö), è ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê k . ðàâíî Cn+k−1 ×òîáû áûñðåå ïîíÿòü ýòó ìîäåëü ìîæíî ðàññìîòðåòü òàêóþ çàäà÷ó: Ïðèìåð 4.1. ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàçâåñèòü k ðàçíîöâåòíûõ ôëàãîâ íà n øåñòîâ. Ðåøàòü ìîæíî äâóìÿ ñïîñîáàìè. (1) Ïðåäñòàâèì ñíà÷àëà, ÷òî ôëàãè îäíîãî öâåòà, òîãäà ýòî çàäà÷à î íåóïîk . ðÿäî÷åííîì ðàçìåùåíèè ñ ïîâòîðåíèÿìè, ÷èñëî ñïîñîáîâ ðàâíî Cn+k−1 Òåïåðü ðàñêðàñèì ôëàãè - ýòî ìîæíî ñäåëàòü k! ñïîñîáàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, îòâåò: k . k!Cn+k−1 (2) Áóäåì ðàññóæäàòü ïîñëåäîâàòåëüíî: ïåðâûé ôëàã ìîæíî ïîâåñèòü íà n øåñòîâ, âòîðîé - íà n øåñòîâ è ïîìåíÿòü ìåñòàìè ñ ïåðâûì - n + 1 ñïîñîáîâ, è òàê äàëåå, k ôëàã ìîæåì ðàçâåñèòü n + k − 1 ñïîñîáàìè. Èòàê, îòâåò: k . n(n + 1) . . . (n + k − 1) = k!Cn+k−1 Î. Å. Ùåðáàêîâà " Ïðèìåð 4.2. Äîêàçàòü ôîðìóëó n n (Cnk )2 = C2n . k=0 Äîêàæåì ñ ïîìîùüþ çàäà÷è î ÷èñëå ïóòåé ïî ïðÿìîóãîëüíîé äîñêå n × k, ñîñòîÿùèõ èç øàãîâ "ââåðõ" èëè "âïðàâî". Âñå òàêèå ïóòè áóäóò èìåòü äëèíó è ñîñòîÿòü èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóêâ "Â", "Ï" - èõ ÷èñëî ðàâíî ÷èñëó âûáîðîâ k "Â" è n "Ï" n k = Cn+k . Cn+k n C2n - ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ÷èñëî ïóòåé ïî n×n êâàäðàòíîé äîñêå. Êàæäûé òàêîé ïóòü â îäíîé èç òî÷åê ( îò 0 äî n) ïåðåñåêàåò äèàãîíàëü, âûõîäÿùóþ èç âåðõíåãî ëåâîãî óãëà. Âñå ïóòè äî è ïîñëå òî÷êè íà äèàãîíàëè (k, n − k) ëåæàò íà ïðÿìîóãîëüíèêàõ [(o, 0), (k, n − k)], [(k, n − k), (n, n)]. Òàêèì îáðàçîì, âñå ïóòè ñêëàäûâàþòñÿ òàê: n k k n Cn−k+k Cn−k+k = C2n . k=0  êëàññè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò òðè ìîäåëè: ÌàêñâåëëàÁîëüöìàíà, Áîçå-Ýéíøòåéíà è Ôåðìè-Äèðàêà. Ìàêñâåëëà-Áîëüöìàíà Áîçå-Ýéíøòåéíà Ôåðìè-Äèðàêà âñå ðàçìåùåíèÿ âñå ðàçìåùåíèÿ íå áîëåå îäíîé ðàâíîâîçìîæíû ðàâíîâîçìîæíû ÷àñòèöû â ÿ÷åéêå è ÷àñòèöû ðàçëè÷èìû è ÷àñòèöû íåðàçëè÷èìû p = 1/nk äëÿ ñèëüíî ðàçðåæåííûõ ãàçîâ k p = 1/Ck+n−1 p = 1/Cnk äëÿ ñèñòåì ÷àñòèö äëÿ ÷àñòèö ñ íóëåâûì èëè ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì öåëî÷èñëåííûì ñïèíîì ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 5. # Ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè Îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå 5.1. Ïóñòü Ω ⊂ Rn, n ∈ N, ìû õîòèì îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü 5.1. ïîïàäàíèÿ òî÷êè â îáëàñòü A ⊂ Ω. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå ìåð Ëåáåãà ìíîæåñòâà è îáúåìëþùåãî ïðîñòðàíñòâà P (A) = λn (A) . λn (Ω) Äëÿ èëëþñòðàöèè îïðåäëåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè ðàññìîòðèì íåñêîëüêî çàäà÷. Ïàðàäîêñ Áåðòðàíà. 5.2. Ýòîò ïàðàäîêñ áûë îïóáëèêîâàí â â êíèãå "Èñ÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé"(1889 ã.) Æîçåôîì Ëóè Áåðòðàíîì. Ïàðàäîêñ 5.1. Äëÿ íåêîòîðîé îêðóæíîñòè ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûáèðàåòñÿ õîðäà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîðäà áóäåò äëèííåå ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî âïèñàííîãî òðåóãîëüíèêà. Ñóòü ïàðàäîêñà â òîì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è íåîäíîçíà÷íî: â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ñëó÷àéíîé õîðäû ïðèõîäèì ê ðàçíûì ðåçóëüòàòàì. (1) Ñëó÷àéíàÿ õîðäà âûáèðàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: áåðåì ïðîèçâîëüíûé äèàìåòð è ðàññìàòðèâàåì âñå õîðäû åìó ïåðïåíäèêóëÿðíûå. Ïîäõîäÿùèå õîðäû áóäóò ïåðåñåêàòü äèàìåòð íà îòðåçêå [1/4D, 3/4D]. Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü áóäåò îòíîøåíèåì äëèíû ýòîãî îòðåçêà ê äëèíå äèàìåòðà. P (A) = |[1/4D, 3/4D]| = 1/2. D (2) Âûáèðàåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó íà îêðóæíîñòè è ðàññìàòðèâàåì âñå õîðäû èç íåå âûõîäÿùèå. Ïîäõîäÿùèå õîðäû áóäóò ëåæàòü âíóòðè óãëà îò π/3 äî 2/3π. Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü áóäåò îòíîøåíèåì ìåðû óãëà $ Î. Å. Ùåðáàêîâà π/3 ê ìåðå ðàçâåðíóòîãî óãëà π . P (A) = 1/3π = 1/3. π (3) Âûáèðàåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó â êðóãå è ðàññìàòðèâàåì õîðäó, èìåþùóþ ñåðåäèíó â ýòîé òî÷êå. Ïîäõîäÿùèå õîðäû áóäóò ëåæàòü âíóòðè êîíöåíòðè÷åñêîãî êðóãà ïîëîâèííîãî ðàäèóñà. Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü íàõîäèòüñÿ êàê îòíîøåíèå ïëîùàäåé ýòèõ êðóãîâ. P (A) = π(r/2)2 = 1/4. πr2 Ïàðàäîêñ çàêëþ÷åí â ôðàçå "ðàâíîìåðíûé ñëó÷àéíûé âûáîð" . Êàæäûé èç òðåõ âûáîðîâ âûãëÿäèò ïî ñâîåìó "åñòåñòâåííûì": â ïåðâîì ñëó÷àå ðàâíîìåðíî ïî äèàìåòðó (ëèíåéíûé ñïîñîá), âî âòîðîì - ïî îêðóæíîñòè (êðèâîëèíåéíûé ñïîñîá), òðåòèé - â êðóãå (ïëîñêîñòíîé ñïîñîá). ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ % Çàäà÷à Áþôôîíà. Æîðæ Áþôôîí â ðàáîòå 1733 ãîäà ïîëîæèë íîâîå íàïðàâëåíèå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ãäå èñïîëüçóåòñÿ íå êîìáèíàòîðíûé, à ãåîìåòðè÷åñêèé ìåòîä. 5.3. Ïðèìåð 5.1. Ìåæäó äâóõ íèòåé, ðàñïîëîæåííûõ íà ðàññòîÿíèè 2a, áðîñàåòñÿ èãëà äëèíû 2l. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èãëà ïåðåñå÷åò îäíó èç íèòåé? Ðàññìîòðèì ïîëîæåíèå èãëû, îíî îïðåäåëÿåòñÿ óãëîì íàêëîíà ïî îòíîøåíèþ ê íèòè α ∈ [0, π] è ðàññòîÿíèåì îò öåíòðà èãëû äî íèòè x. Äëÿ òîãî ÷òîáû èãëà ïåðåñåêëà íèòü íåîáõîäèìî, ÷òîáû x < l sin α. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì π P (A) = 0 l sin αdα 2l = . aπ aπ Ïîïóëÿðíîñòü ýòîé çàäà÷è ñâÿçàíî ñ âîçìîæíîñòüþ ýêñïåðåìåíòàëüíîãî îïðå- äåëåíèÿ âåëè÷èíû ÷èñëà π. Åñëè âçÿòü ðàçëèíîâàííóþ áóìàãó è èãëó äëèíû, & Î. Å. Ùåðáàêîâà ðàâíîé ðàññòîÿíèþ ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè, òî ÷èñëî π ìîæåò áûòü îöåíåíî êàê 2 . îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïåðåñå÷åíèé Ìîæíî ðàñøèðèòü ýêñïåðåìåíò è êèäàòü èãëó äëèíû l íà êëåò÷àòóþ áóìàãó ñ øèðèíîé êëåòêè 1, òîãäà ÷èñëî π ìîæåò áûòü îöåíåíî êàê 4l . îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïåðåñå÷åíèé êëåòîê ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 6. ' Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëà Áàéåñà. Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé Îïðåäåëåíèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè. Îïðåäåëåíèå 6.1. Óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè B íàçûâà6.1. þò âåðîÿòíîñòü ðàâíóþ îòíîøåíèþ âåðîÿòíîñòè îäíîâðåìåííîãî âûïîëíåíèÿ ñîáûòèÿ A è óñëîâèÿ B è âåðîÿòíîñòè óñëîâèÿ B : P (A|B) = P (AB) . P (B) Èç îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò ôîðìóëà âåðîÿòíîñòè ïðîèçâåäåíèÿ P (AB) = P (A|B)P (B). Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè. Îïðåäåëåíèå 6.2. Ñîâîêóïíîñòü ñîáûòèé {An}n∈N (íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíóþ ñî6.2. âîêóïíîñòü) íàçûâàþò ïîëíîé ãðóïïîé ñîáûòèé, åñëè âûïîëíåíî ñëåäóþùåå: Ω= ∞ An ; n=1 Ai Aj = ∅, i = j. Òåîðåìà. Ïóñòü {An}n∈N - ïîëíàÿ ãðóïïà ñîáûòèé. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ B∈F P (B) = ∞ P (B|An )P (An ) n=1 Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî Ω= ∞ ∞ An ; B = BΩ = n=1 BAn n=1 Èñïîëüçóÿ òî, ÷òî ñîâîêóïíîñòü ñîáûòèé {An }n∈N ïîïàðíî íåñîâìåñòíàÿ, à ñëåäîâàòåëüíî è {BAn }n∈N , òî ïî àêñèîìå ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè ïîëó÷èì P (B) = ∞ P (BAn ) n=1 Ïî ôîðìóëå âåðîÿòíîñòè ïðîèçâåäåíèÿ ïîëó÷èì P (BAn ) = P (B|An )P (An ). Òàêèì îáðàçîì, P (B) = ∞ P (B|An )P (An ) n=1 Î. Å. Ùåðáàêîâà Ôîðìóëà Áàéåñà. Òåîðåìà. Ïóñòü {A } 6.3. n n=1,...,n - ïîëíàÿ ãðóïïà ñîáûòèé (ãèïîòåç). Òîãäà âåðîÿòíîñòü ãèïîòåçû Ak ïðè óñëîâèè âûïîëíåíèÿ ñîáûòèÿ B ∈ F ðàâíà P (B|Ak )P (Ak ) . P (Ak |B) = n j=1 P (B|Aj )P (Aj ) Äðóãèìè ñëîâàìè ôîðìóëà ïîêàçûâàåò êàê ïî àïðèîðíûì âåðîÿòíîñòÿì P (Ak ) (äî òîãî, êàê ñîáûòèå B ïðîèçîøëî) íàéòè àïîñòîðèîðíûå âåðîÿòíîñòè (êîãäà ñîâûòèå B ïðîèçîøëî). Åñëè ðàññìàòðèâàòü ñîáûòèÿ Ak êàê ïðè÷èíû, òî ôîðìóëà Áàéåñà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òåîðåìó î âåðîÿòíîñòÿõ ïðè÷èí. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè è ïî ôîðìóëå âåðîÿòíîñòè ïðîèçâåäåíèÿ ìîæíî íàïèñàòü P (BAk ) P (B|Ak )P (Ak ) = . P (Ak |B) = P (B) P (B) Ïðèìåíèì äëÿ âåðîÿòíîñòè P (B) ôîðìóëó ïîëíîé âåðîÿòíîñòè n P (B) = P (B|Aj )P (Aj ). j=1 Ñëåäîâàòåëüíî, P (B|Ak )P (Ak ) P (Ak |B) = n j=1 P (B|Aj )P (Aj ) Ïðèìåð 6.1.  ìåøêå 3 øàðèêà: 1 áåëûé è 2 ÷åðíûõ.  ìåøîê êëàäåì åùå 1 øàðèê è âûíèìàåì 2 øàðèêà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïîëîæèëè áåëûé øàðèê ïðè óñëîâèè, ÷òî èç ìåøêà äîñòàëè 2 ÷åðíûõ? P (w|bb) = P (bb|w)P (w) = P (bb|w)P (w) + P (bb|b)P (b) 111 223 111 321 223 + 432 = 1 4 ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 7. Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé Îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå 7.1. Ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè âûïîëíåíî îäíî 7.1. èç ñîîòíîøåíèé P (A|B) = P (A) ⇔ P (A|B) = P (A) ⇔ P (AB) = P (A)P (B). Ïðèìåð 7.1. Ñîáûòèÿ äîñòàòü èç êîëîäû 52 êàðò òóçà è êàðòó áóáíîâîé ìàñòè íåçàâèñèìû. 1 1 , P (áóáíîâàÿ ìàñòü) = , P (òóç) = 13 4 P (áóáíîâûé 1 1 1 òóç) = 52 = · . 13 4 Îïðåäåëåíèå ðàçëè÷íûõ âèäîâ íåçàâèñèìîñòè äëÿ ìíîæåñòâà ñîáûòèé. Îïðåäåëåíèå 7.2. Ñîáûòèÿ {Ak }k=1,...,n íàçûâàåòñÿ 7.2. (1) ïîïàðíî íåçàâèñèìûìè, åñëè Ai , Aj íåçàâèñèìû äëÿ ëþáûõ i = j ; (2) íåçàâèñèìûìè â öåëîì, åñëè P( n n Ai ) = i=1 P (Ai ); i=1 (3) íåçàâèñèììûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè P (Ai Aj ) = P (Ai )P (Aj ), i = j; ... P( n n Ai ) = i=1 P (Ai ). i=1 Çàìåòèì, ÷òî 3 ⇒ 1, 3 ⇒ 2, 1 2 3. Ïðèìåð 7.2. Ïðèìåð Áåðøòåéíà. Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî èç ïîïàðíîé íåçàâèñèìîñòè íå ñëåäóåò íåçàâèñèìîñòü â öåëîì è íåçàâèñèììûìè â ñîâîêóïíîñòè. Ïóñòü ó íàñ åñòü òåòðàýäð ðàñêðàøåíûé òàê: 1 ãðàíü - ñèíÿÿ, 2 - êðàñíàÿ, 3 - ðîçîâàÿ, à 4 - âñåìè òðåìÿ öâåòàìè. Òîãäà ñîáûòèÿ, ÷òî ãðàíü - êðàñíàÿ, ñèíÿÿ èëè ðîçîâàÿ -ïîïàðíî íåçàâèñèìû, íî íå íåçàâèñìû â öåëîì è â ñîâîêóïíîñòè. P (Red) = P (P ink) = P (Blue) = 1 ; 2 P (Red · P ink) = P (Blue · P ink) = P (Blue · Red) = P (Red · P ink · Blue) = 1 1 1 1 = · · . 4 2 2 2 1 1 1 = · ; 4 2 2 Î. Å. Ùåðáàêîâà Ïðèìåð 7.3. Ïðèìåð èç àëãåáðû. Ïóñòü Ω = N, P (A) = n→∞ lim n1 Card{A ∩ {1, . . . , n}}, A ⊂ N. Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë P = {pi , i ∈ N}, 1 = p1 < p2 < . . . < pi < . . .. Ïî îñíîâíîé òåîðåìå àðèôìåòèêè äëÿ êàæäîãî m ∈ N âåðíî m = rj=1 pαj (m) . Òîãäà ñîáûòèÿ {{αr (m) = ki }}i=1,...,r íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè. m i rm m Óðíîâàÿ ñõåìà Ëàïëàñà. 7.3. Ïðîäåìîíñòðèðóåì â ýòîé ñõåìå èñïîëüçîâàíèå íåçàâèñèìîñòè è ôîðìóëû Áàéåñà. Ïóñòü ó íàñ åñòü N + 1 óðíà ñ k êðàñíûìè øàðèêàìè è N − k ÷åðíûìè. Íàóãàä âûáèðàåì óðíó. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü P (Ar+1 |Br ) íà r + 1 ðàç âûòàùèòü êðàñíûé øàðèê ïðè óñëîâèè òîãî, ÷òî r ðàç ïîäðÿä âûòàñêèâàëè êðàñíûé øàðèê ñ âîçâðàùåíèåì. Ðàññìîòðèì ãèïîòåçû Cj âûáîð j -òîé óðíû, òîãäà P (Cj ) = N1+1 . j Çàìåòèì, ÷òî Bj = Aj Bj−1 = . . . = i=1 Ai . Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè ïîëó÷èì r P (Ar+1 |Br ) = P (Ar+1 | Ai ) = P( i=1 r+1 P (Br+1 ) i=1 Ai ) = P (Br ) P (Br ) Ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè P (Br ) = N i=0 1 P (Br |Ci ). N + 1 i=0 N P (Br |Ci )P (Ci ) = ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ ! Ïîñêîëüêó ó íàñ âûáîð ñ âîçâðàùåíèåì, òî ñîáûòèÿ {Ai }i=1,...,r íåçàâèñèìû, íåçàâèñèìû è ñîáûòèÿ {Ai |Cj }i=1,...,r , j = 0, . . . , N . Òîãäà èç íåçàâèñèìîñòè ïîëó÷èì r r P (Br |Cj ) = P ( Ai |Cj ) = i=1 P (Ai |Cj ) = ( i=1 j r ) . N È, íàêîíåö, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå èíòåãàëüíûõ ñóìì, ïîëó÷èì ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè N j r+1 i=0 ( N ) P (Ar+1 |Br ) = N j r i=0 ( N ) 1 → N →∞ xr+1 dx r+1 = . 1 r+2 xr dx 0 0 Î. Å. Ùåðáàêîâà " 8. Ñëó÷àéíûå ýëåìåíòû è èõ ðàñïðåäåëåíèå Ðàññìîòðèì âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P ). Îïðåäåëåíèå 8.1. Ïóñòü èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî (X, U) ñ σ-àëãåáðîé U íà X. Ñëó÷àéíûì ýëåìåíòîì, ïðèíèìàþùèì çíà÷åíèÿ â X, íàçûâàåòñÿ èçìåðèìîå îòîáðàæåíèå ξ : Ω → X. ξ - èçìåðèìî, åñëè ∀U ∈ U ξ −1 (U ) ∈ F . Îïðåäåëåíèå 8.2. Ïóñòü ξ - ñëó÷àéíûé ýëåìåíò. Ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà ξ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ Pξ (U ). Pξ (U ) = P (ω : ξ(ω) ∈ U ) = P (ξ −1 (U )), U ∈ U. Òåîðåìà. Ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà ξ åñòü âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà (X, U). Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè Q : A âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà, òî ñóùåñòâóåò ξ åñòü ñëó÷àéíûé ýëåìåíò, òàêîé ÷òî Q åãî ðàñïðåäåëåíèå. Äîêàçàòåëüñòâî. ⇒: Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå åñòü âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà. ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü: Pξ (U ) = P (ξ −1 (U )) ≥ 0, U ∈ U; íîðìèðóåìîñòü: Pξ (R) = P (ω : ξ(ω) ∈ R) = P (Ω) = 1; -àääèòèâíîñòü: Pξ ( σ ∞ n=1 Un ) = P (ω : ξ(ω) ∈ ∞ n=1 Un ) = ∞ P (ω : ξ(ω) ∈ Un ) = n=1 ∞ Pξ (Un ), n=1 Ui Uj = ∅, i = j. : ⇐ Ïóñòü Q - ìåðà íà A - σ -àëãåáðå ïðîñòðàíñòâà X. Äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ξ : P (ξ ∈ A) = Q(A). (1) Ïîñòðîèì âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Ω := X; F := A; P (A) := Q(A). (2) Ïîñòðîèì ñëó÷àéíûé ýëåìåíò ξ(x) := x, x = ω ∈ Ω. (3) Ïîñêîëüêó òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå èçìåðèìî, òî ξ áóäåò ñëó÷àéíûì ýëåìåíòîì. Pξ (A) = P (x : ξ(x) ∈ A) = Q(x : x ∈ A) = Q(A), A ∈ A. ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 9. # Ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Ðàññìîèðèì âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P ). Îïðåäåëåíèå 9.1. Îïðåäåëèì ôóíöèþ ξ : Ω → R, êîòîðóþ íàçîâåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, åñëè îíà èçìåðèìà, òî åñòü ïðîîáðàç èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà èçìåðèì: ∀B ∈ B ξ−1 (B) ∈ F . Áîðåëåâñêàÿ àëãåáðà B ïîðîæäàåòñÿ σ-ïåðåñå÷åíèåì è σ-îáúåäèíåíèåì îòêðûòûõ èëè çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ âåùåñòâåííîé îñè R. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïðîâåðêè èçìåðèìîñòè äîñòàòî÷íî ïðîâåðÿòü íà ìíîæåñòâàõ ïîðîæäàþùèõ áîðåëåâñêóþ σ -àëãåáðó, òî åñòü äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ∀x ∈ R ξ −1 ((−∞, x)) ∈ F . Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîðîæäàåò (R, B, Pξ ) - íîâîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. îïðåäåëåíèå: Pξ (B) = P (ω : ξ(ω) ∈ B) = P (ξ −1 (B)), B ∈ B; íîðìèðóåìîñòü: Pξ (R) = P (ω : ξ(ω) ∈ R) = P (Ω) = 1; σ -àääèòèâíîñòü: Pξ ( ∞ n=1 Bn ) = P (ω : ξ(ω) ∈ ∞ Bn ) = n=1 ∞ P (ω : ξ(ω) ∈ Bn ) = n=1 Bi Bj = ∅, i = j. Ïðèìåð 9.1. Áðîñàíèå ìîíåòû. Ω = {îðåë, ðåøêà} ξ( ) = 0, 1, ω = ðåøêà; ω = îðåë. P (ω : ξ(ω) = 1) = P (îðåë) = p; P (ω : ξ(ω) = 0) = P (ðåøêà) = 1 − p = q. ⎧ p, 1 ∈ A; 0 ∈ A; ⎪ ⎪ ⎨ q, 0 ∈ A; 1 ∈ A; Pξ (A) = ⎪ 0, 0, 1 ∈ A; ⎪ ⎩ 1, 0, 1 ∈ A. ∞ n=1 Pξ (Bn ), Î. Å. Ùåðáàêîâà $ 10. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè Îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé. Ðàññìîòðèì ñ÷åòíîå ðàçáèå- 10.1. íèå {Ai }∞ i=1 ïðîñòðàíñòâà Ω. Ω= ∞ Ai , P (Ai ) = pi , i=1 ∞ pi = 1. i=1 Íàçîâåì èñïûòàíèåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èñõîäîâ (ñîáûòèé) A = (A1 , A2 , . . .) è ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ èñïûòàíèé Aj = (Aj1 , Aj2 , . . .). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èñïûòàíèé íåçàâèñèìû, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èõ èñõîäîâ íåçàâèñèìû. Ñ íåçàâèñèìûìè èñïûòàíèÿìè ìîæíî ñâÿçàòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû: ⎧ ⎨ a1 , ω ∈ Aj1 ; a2 , ω ∈ Aj2 ; Aji = {ω : ξj (ω) = ai }. ξj (ω) = ⎩ ... Íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè - ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ñ äâóìÿ èñõîäàìè Aj = (Aj1 , Aj2 ), P (Aj1 ) = p, P (Aj2 ) = 1 − p = q. Ñ íåçàâèñèìûìè èñïûòàíèÿìè Áåðíóëëè ñâÿæåì ñëåäóþùèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû 0, ω = íåóäà÷à; ξj (ω) = 1, ω = óñïåõ. Êðîìå òîãî, íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ÷èñëî óñïåõîâ èç n èñïûòàíèé μn = n ξj . j=1 Ôîðìóëà Áåðíóëëè. Òåîðåìà. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñåðèè èç n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåð10.2. íóëëè ÷èñëî óñïåõîâ áóäåò ðàâíî k âû÷èñëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå P (μn = k) = Cnk pk q n−k Äîêàçàòåëüñòâî. P (μn = k) = P ( = íåçàâèñèìîñòü ξi1 = 1, . . . , ξik = 1, ξik+1 = 0, . . . , ξin = 0) i1 ,...,ik P (ξi1 = 1) . . . P (ξik = 1)P (ξik+1 = 0) . . . P (ξin = 0) = i1 ,...,ik = Cnk pk q n−k âûáîð i1 ,...,ik ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ % Ðàññìîòðèì îáîáùåííûå íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè Aj = (Aj1 , . . . , Ajk ), P (Aji ) = pi , k pi = 1. i=1 Òåîðåìà. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñåðèè èç n = n1 + . . . + nk íåçàâèñèìûõ îáîáùåííûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè ÷èñëî âûïàäåíèé i-òîãî èñõîäà áóäåò ðàâíî ni , âû÷èñëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå P (μ1 = n1 , . . . , μk = nk ) = Cnn1 ,...,nk pn1 1 . . . pnk k = n! pn1 . . . pnk k . n1 ! . . . n k ! 1 Ïðèìåð 10.1. Ïðèìåð îáîùåííîé ñõåìû Áåðíóëëè - ñëó÷àéíîå ñèììåòðè÷íîå áëóæäàíèå â Rd R1 : R2 : . . .: Rd : p = 1/2 - âåðîÿòíîñòü ïîéòè âïðàâî èëè âëåâî. p = 1/4 - âåðîÿòíîñòü ïîéòè âïðàâî èëè âëåâî, ââåðõ èëè âíèç. ... 1 p = 2d - âåðîÿòíîñòü ïîéòè ïî ïîëîæèòåëüíîìó èëè îòðèöàòåëüíî- ìó íàïðàâëåíèþ îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò. Çàäà÷à: íàéòè âåðîÿòíîñòü âåðíóòüñÿ â ïîëîæåíèå 0 çà 2n øàãîâ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âåðíóòüñÿ â ïåðâîíà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ìû äîëæíû ñäåëàòü ñòîëüêî øàãîâ â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè ñêîëüêî è â îáðàòíîì è ñóììàðíîå ÷èñëî øàãîâ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì ðàâíÿëîñü 2n = 2n1 + . . . + 2nd . P (A2n ) = n1 +...+nd n1 +...+nd =n n1 ,n1 ,...,nd ,nd C2n ( (2n)! 1 1 n ( )2n = 2n C2n (n1 !)2 . . . (nd !)2 2d 2 =n n Çàìåòèì, ÷òî n1 +...+nd =n 1 n! = 1, n1 ! . . . nd ! dn 1 2n ) = 2d 1 +...+nd =n ( 1 2 n! ) . (n1 !) . . . (nd !) dn 1 2 1 n! n! ) = O( ). n1 ! . . . nd ! dn ([n/d]!)d dn n n ( n1 +...+nd =n √ 2πn e , ïîëó÷èì √ 1 n C = O(1/ n); 22n 2n √ n n 2πn e d−1 1 n n n ) = O(n− 2 ) O( d (2πn/d)d/2 de ∞ −d 2 ) < ∞ ñõîäèòñÿ ðÿä ∞ n=1 P (A2n ) = n=1 O(n d = 1, d = 2. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ñòèðëèãà n! ≈ ïðè d ≥ 3 è Òàêèì îáðàçîì, ðàñõîäèòñÿ ïðè Ïî ëåììå Áîðåëÿ-Êàíòåëëè 17.1 ïîëó÷àåì, ÷òî âîçâðàùåíèå â íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç ìîæåò ïðîèçîéòè òîëüêî â îäíîìåðíîì è äâóìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè òåîðåìó Ïîéÿ (1921 ã.) Òåîðåìà.  îäíîìåðíîì è äâóìåðíîì ñèììåòðè÷íûõ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèÿõ ÷àñòèöà ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ðàíî èëè ïîçäíî âîçâðàòèòñÿ â ñâîå íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå. Íà÷èíàÿ ñ ðàçìåðíîñòè 3 ýòî íå âåðíî. Î. Å. Ùåðáàêîâà & Èíûìè ñëîâàìè, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî íà ïëîñêîñòè "âñå äîðîãè èäóò â Ðèì". 10.3. Î íàèáîëåå âåðîÿòíîì ÷èñëå óñïåõîâ. Íàéäåì íàèáîëåå âåðîÿòíîå ÷èñëî óñïåõîâ â íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè. Äëÿ ýòîãî íàéäåì îòíîøåíèå C k pk q n−k P (μn = k) q(k + 1) Pk = k+1n . = = Pk+1 P (μn = k + 1) p(n − k) Cn pk+1 q n−k−1 Ïîëó÷àåì, ÷òî Pk ↑ ïðè k < p(n + 1) è Pk ↓ ïðè k > p(n + 1). Åñëè p(n + 1) ∈ Z, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ìàêñèìóìà k = p(n + 1), åñëè p(n + 1) Z, òî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè äîñòèãàåòñÿ äâàæäû k1 = p(n + 1) − 1, k2 = p(n + 1). 10.4. Ëîêàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà. Òåîðåìà. Ïóñòü A1, A2, . . . íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p. Îáîçíà÷èì k − np . xnk = √ npq Òîãäà ðàâíîìåðíî ïî âñåì k òàêèì, ÷òî |xn ëîæèòåëüíîì δ > 0, áóäåì èìåòü k 1 | = O(n 6 −δ ) ïðè íåêîòîðîì ïî- x2 nk P (μn = k) ∼ n→∞ e− 2 √ . 2πnpq 10.5. Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà. Òåîðåìà. Ïóñòü A1, A2, . . . íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p. Òîãäà áóäåì èìåòü 1 μn − np ≤ b) − √ |P (a ≤ √ npq 2π −∞≤a≤b≤∞ sup a b e− x2 2 dx| → 0. n→∞ ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ x ' 2 − t2 Åñëè îáîçíà÷èòü çà Φ(x) = e dt - ôóíêöèþ íîðìàëüíîãî çàêîíà, −∞ òî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü öåíòðèðîâàííîãî è íîðìèðîâàííîãî ÷èñëà óñïåõîâ ðàâíîìåðíî àïïðîêñèìèðóåòñÿ íîðìàëüíûì çàêîíîì. √1 2π 10.6. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë Áåðíóëëè. Îïðåäåëåíèå 10.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {ξn }∞ n=1 ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ0 ïî âåðîÿòíîñòè ξn → ξ0 ïî âåðîÿòíîñòè, n→∞ åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 âûïîëíåíî P (ω : |ξn − ξ0 | > ε) → 0. n→∞ Òåîðåìà. Ïóñòü A1 , A2 , . . . íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p. Òîãäà μn → p n n→∞ ïî âåðîÿòíîñòè. Äîêàçàòåëüñòâî. μn − p| > ε) → 0 ⇔ n→∞ n μn P (ω : | − p| ≤ ε) → 1 ⇔ n→∞ n n μn − pn |≤ε ) → 1⇔ P (ω : | √ npq pq n→∞ P (ω : | ïî èíòåãðàëüíîé òåîðåìå Ìóàâðà-Ëàïëàñà 1 √ 2π n ε√ pq −ε t2 − 2 dt → 1. √n e n→∞ pq 10.7. Òåîðåìà Ïóàññîíà. Òåîðåìà. Ïóñòü A11 A21 , A22 ... ... ... ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p1 ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p2 ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà pn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåðèé íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè. Òîãäà λkn −λ P (μn = k) ∼ , ãäå λn = npn . e n→∞ k! An1 , An2 , . . . Ann n Î. Å. Ùåðáàêîâà ! Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ íà÷àëà ïðîâåäåì ïðåäâàðèòåëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ P (μn = k) = Cnk pkn (1 − pn )n−k = n(n − 1) . . . (n − k + 1) λn k λn n−k ( ) (1 − ) = k! n n ) (1 − n1 ) . . . (1 − k−1 λ n n (λn )k (1 − )n−k . k! n Îáîçíà÷èì Δn = |P (μn = k) − Çàìåòèì, ÷òî λkn −λn e | k! (1 − n1 ) . . . (1 − k−1 λn n−k λkn −λn n ) − |= (λn )k (1 − ) e k! n k! λkn 1 k−1 λn n−k −λn |(1 − ) . . . (1 − )(1 − ) −e | k! n n n Δn = | Äëÿ äàëüíåéøèõ äåéñòâèé âîñïîëüçóåìñÿ ôàêòàìè èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà: (1) 1 − λ ≤ e−λ ; (2) (1 − nλ )n n→∞ → e−λ äëÿ |λ| < A; (3) äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî k : λk e−λ λ→∞ → 0 Ïóñòü k ôèêñèðîâàíî. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0, òîãäà ìîæíî âûáðàòü A íàñòîëüêî áîëüøèì, ÷òî ïðè λ > A áûëî λk −λ/2 e < ε/2. k! Ðàññìîòðèì òå n, äëÿ êîòîðûõ λn > A: Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ìîæåì âçÿòü k < n/2, à çíà÷èò n − k > n/2. Òîãäà Δn ≤ Ðàññìîòðèì 1 k−1 λn n/2 λkn −λn λkn (1 − ) . . . (1 − )(1 − ) e + ≤ k! n n n k! λkn −λn /2 λkn −λn e e + < ε/2 + ε/2 = ε. k! k! òå n, äëÿ êîòîðûõ λn < A: Çàìåòèì, ÷òî (1 − n1 ) . . . (1 − (1 − Òîãäà Δn = Òàêèì îáðàçîì, k−1 n ) λn k n ) λkn (1 − n1 ) . . . (1 − | k! (1 − λnn )k k−1 n ) → 1, n → ∞. (1 − λn n ) − e−λn | < ε. n Δn → 0. n→∞ ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ ! 11. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îïðåäåëåíèå 11.1. Ïóñòü ξ - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ 11.1. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçîâåì Fξ Fξ (x) = P (ω : ξ(ω) < x) = Pξ ((−∞, x)). Ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. 11.2. (1) Fξ (a) − Fξ (b) = P (ω : b ≤ ξ(ω) < a) Äîêàçàòåëüñòâî. Fξ (a) = P (ξ < a) = P ({ω : ξ(ω) < b} ∪ {ω : b ≤ ξ(ω) < a}) = Fξ (b) + P (b ≤ ξ < a). (2) Fξ ìîíîòîííî íå óáûâàåò. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü b ≤ a, òîãäà Fξ (a) − Fξ (b) = P (ω : b ≤ ξ(ω) < a) ≥ 0. (3) Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íå èìååò ðàçðûâîâ âòîðîãî ðîäà. Âñå ðàçðûâû ÿâëÿþòñÿ ñêà÷êàìè è èõ íå áîëåå, ÷åì ñ÷åòíîå ÷èñëî. (4) Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíà ñëåâà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü xn ↑ x, òîãäà äîêàæåì, ÷òî Fξ (xn ) → Fξ (x). Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ An = {ω : ξ(ω) < xn }, A = {ω : ξ(ω) ∞< x}, An ⊂ An+1 - âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ è A = n=1 An . Òîãäà ïî íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè ïîëó÷èì Fξ (xn ) = P (An ) → P (A) = Fξ (x). xn ↑x (5) ∃ lim Fξ (x) = 1; x→∞ ∃ lim Fξ (x) = 0. x→−∞ Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü xn ↑ ∞, yn ↓ −∞. Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ An = {ω : ξ(ω) < xn }, Bn = {ω : ξ(ω) < yn }, An ⊂ An+1 - âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ, Bn ⊃ Bn+1 - óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ è ∞ ∞ Bn . An , ∅ = {ω : ξ(ω) ∈ R} = Ω = n=1 n=1 Òîãäà ïî íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè ïîëó÷èì Fξ (xn ) = P (An ) → P (Ω) = Pξ (R) = 1. xn ↑∞ Î. Å. Ùåðáàêîâà ! Fξ (yn ) = P (Bn ) Òåîðåìà. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âçàèìíî îïðåäåëÿþò äðóã äðóãà. Äîêàçàòåëüñòâî. ⇒: Fξ → xn ↓−∞ P (∅) = 0. è ðàñïðåäåëåíèå Pξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Fξ (x) = Pξ ((−∞, x)). ⇐: Ïîñêîëüêó ìåðà íà Áîðåëåâñêîé σ-àëãåáðå îïðåäåëÿåòñÿ íà ïîëóîòêðûòûõ ìíîæåñòâàõ, äîñòàòî÷íî çàäàòü Pξ ([a, b)) = F (b) − F (a). Òåîðåìà. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ìîíîòîííûõ íåïðåðûâíûõ ñëåâà ôóíêöèé ñ òàêèìè çíà÷åíèÿìè íà áåñêîíå÷íîñòè lim Fξ (x) = 1; x→∞ lim Fξ (x) = 0 x→−∞ ñîâïàäàåò ñ ñîâîêóïíîñòüþ âñåõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. ⇒: Ñëåäóåò èç ñâîéñòâ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. ⇐: Äëÿ êàæäîé F ïîñòðîèì âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P ), ÷òîáû P (ω : ξω < x) = F (x). Ïóñòü Ω = [0, 1], ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó η , èìåþùóþ ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà [0, 1], òî åñòü ⎧ Fη (x) = ⎨ 0, x, ⎩ 1, x ≤ 0; x ∈ (0, 1]; x > 1. Îïðåäåëèì îáîáùåííóþ îáðàòíóþ ôóíêöèþ F (y) = sup{x : F (x) = y}. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Òîãäà ξ(ω) = F (η(ω)). P (ω : ξ(ω) < x) = P (ω : F (η(ω)) < x) = P (ω : η(ω) < F (x)) = Fη (F (x)) = F (x). ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 12. !! Ðàçëè÷íûå âèäû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà òèïà äèñêðåòíûå è íåïðåðûâíûå (åñëè íåïðåðûâíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ), à íåïðåðûâíûå íà àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå (åñëè ñóùåñòâóåò ïëîòíîñòü) è ñèíãóëÿðíûå. Äèñêðåòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 12.1. Ïóñòü ξ - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. ξ èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå 12.1. A ⊂ R, åñëè ñóùåñòâóåò íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé êîòîðîå ïðèíèìàåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 P (ω : ξ(ω) ∈ A) = 1. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçîâåì íàáîð ÷èñåë pk = P (ω : ξ(ω) = ak ), A = {ak }k∈N . Äðóãèìè ñëîâàìè, ìîæíî ñêàçàòü òàê ξ(ω) = ak IAk (ω), Ω = k∈N ãäå è 0 IAk (ω) Ak , Ak = {ω : ξ(ω) = ak }, k∈N - õàðàêòåðåñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà, ðàâíà 1 íà ìíîæåñòâå âíå åãî. Åñëè ñóììà êîíå÷íà, òî òàêèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íàçûâàþòñÿ ïðîñòûìè. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî B ∈ B áóäåò âûïîëíåíî Pξ (B) = P (ω : ξ(ω) ∈ B) = pk . k:ak ∈B Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âûðàæàåòñÿ òàê: Fξ (x) = P (ω : ξ(ω) < x) = pk . k:ak <x pk = P (ω : ξ(ω) = ak ) = Fξ (ak + 0) − Fξ (ak − 0); pk = P (ω : ξ(ω) ∈ A) = 1. Ïðèìåð 12.1. k Ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ξ(ω) = 1; 0. ξ ∈ B(p). ω = óñïåõ; ω = íåóäà÷à. P (ω : ξ(ω) = 1) = p, P (ω : ξ(ω) = 0) = 1 − p = q. Ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî óâèäåòü íà ðèñóíêå 12.1 Ïðèìåð 12.2. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå μn = n μn ∈ Bn (p). ξi , ξi ∈ B(p). i=1 Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âûãëÿäèò òàê: pk = P (ω : μn (ω) = k) = Cnk pk q n−k ; Fμn (x) = k:k<x Cnk pk q n−k . , Î. Å. Ùåðáàêîâà !" Ïðèìåð 12.3. Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ξ ∈ G(p). P (ξ(ω) ∈ {1, 2, . . .}) = 1. ξ = k - ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â íåóäà÷è, à íà k âûïàëà óäà÷à. ñåðèè èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñ 1 ïî k−1 øàã áûëè Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âûãëÿäèò òàê: pk = P (ω : ξ(ω) = k) = q k−1 p; Fξ (x) = Ïðèìåð 12.4. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà μ ∈ Π(λ). P (μ(ω) ∈ {0, 1, 2, . . .}) = 1. k:k<x q k−1 p. ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ !# Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âûãëÿäèò òàê: pk = P (ω : μ(ω) = k) = λk λk −λ e ; Fμ (x) = e−λ . k! k! k:k<x Aáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 12.2. Ïóñòü ξ - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. ξ èìååò àáñîëþòíî 12.2. ðàñïðåäåëåíèå, åñëè ñóùåñòâóåò èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ p, òàêàÿ ÷òî íåïðåðûâíîå p(x)dx, A ∈ B, Pξ (A) = A dP (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî p(x) = ξ , ãäå λ - ëåáåãîâñêàÿ ìåðà). dλ p - íàçîâåì ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Ñâîéñòâî 12.1. p(x)dx = 1 R Äîêàçàòåëüñòâî. 1 = P(R) = P (ω : ξ(ω) ∈ R) = p(x)dx R Ñâîéñòâî 12.2. Äîêàçàòåëüñòâî. Òîãäà p(x) ≥ 0 äëÿ ïî÷òè âñåõ x. Ïóñòü A = {x : p(x) < 0}. 0 ≤ P (ω : ξ(ω) ∈ A) = Pξ (A) = p(x)dx ≤ 0. A Ñëåäîâààòåëüíî, λ(A) = 0. Ñâîéñòâî 12.3. Ïóñòü ïðÿìîé Q : B → [0, 1]. Q(A) = p(x)dx, A òîãäà Q - âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà Äðóãèìè ñëîâàìè, ñóùåñòâóåò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ , òàêàÿ ÷òî p(x)dx, A ∈ B. Pξ (A) = Q(A) = A Òî åñòü äÿ ëþáîé íåîòðèöàòåëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè, èíòåãðàë îò êîòîðîé ïî âñåé îñè ðàâåí 1, ñóùåñòâóåò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ òàêóþ ïëîòíîñòü. Ñâîéñòâî 12.4. Ðàñïðåäåëåíèå è ïëîòíîñòü âçàèìíî îïðåäåëÿþò äðóã äðóãà äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Äîêàçàòåëüñòâî. ⇒: p(x)dx, A ∈ B. Pξ (A) = A Î. Å. Ùåðáàêîâà !$ ⇐: Ïóñòü ðàñðåäåëåíèþ P {x : p(x) > q(x)}, òîãäà ñîîòâåòñòâóþò äâå ïëîòíîñòè p, q è ïóñòü A = Pξ (A) = p(x)dx = A Ñëåäîâàòåëüíî, q(x)dx. A (p(x) − q(x))dx ⇒ p(x) = q(x) 0= A ïî÷òè âñþäó. Ïðèìåð 12.5. Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ξ ∈ U ([a, b]). 1 b−a ; pξ (x) = 0. x ∈ [a, b]; x [a, b]. Ãðàôèê ïëîòíîñòè ìîæíî óâèäåòü íà ðèñóíêå 12.5 ⎧ ⎨ 0; Fξ (x) = ⎩ x−a b−a ; 1. x < a; x ∈ [a, b]; x > b. Ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî óâèäåòü íà ðèñóíêå 12.5 Ïðèìåð 12.6. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ξ ∈ N (a, σ). pξ (x) = (x − a)2 1 √ exp(− ), a ∈ R, σ > 0. 2σ 2 σ 2π Ãðàôèê ïëîòíîñòè ìîæíî óâèäåòü íà ðèñóíêå 12.6 Fξ (t) = 1 √ σ 2π t exp(− −∞ (x − a)2 ). 2σ 2 Ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî óâèäåòü íà ðèñóíêå 12.6 ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ !% Î. Å. Ùåðáàêîâà !& Ïðèìåð 12.7. Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ξ ∈ E(λ). pξ (x) = 0, λe−λx , x < 0; x ≥ 0. Ãðàôèê ïëîòíîñòè ìîæíî óâèäåòü íà ðèñóíêå 12.7 t Fξ (t) = 0 0, λe−λx dx = 1 − e−λx , x > 0, . x < 0. Ñèíãóëÿðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 12.3. Òî÷êàìè ðîñòà ôóíêöèè F íàçûâàþòñÿ òî÷êè x : 12.3. F (x + äëÿ ëþáîãî ε > 0. Îïðåäåëåíèå 12.4. Ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå èìååò íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, íî ìíîæåñòâî òî÷åê ðîñòà êîòîðîé èìååò íóëåâóþ ìåðó Ëåáåãà, íàçûâàòñÿ ñèíãóëÿðíûì. ε) − F (x − ε) > 0 ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ !' Ïðèìåð 12.8. Ëåñòíèöà Êàíòîðà. Ïîñòðîèì êàíòîðîâó ëåñòíèöó ñ ïîìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèé {Fn }n∈N ⎧ ⎨ 1/2, x ∈ [1/3, 2/3]; 0, x = 0; F1 = ⎩ 1, x = 1.  îñòàëüíûõ òî÷êàõ äîîïðåäåëÿåì ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé èíòåðïîëÿöèè. ⎧ 1/2, x ∈ [1/3, 2/3]; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1/4, x ∈ [1/9, 2/9]; 3/4, x ∈ [7/9, 4/9]; F1 = ⎪ ⎪ 0, x = 0; ⎪ ⎪ ⎩ 1, x = 1.  îñòàëüíûõ òî÷êàõ äîîïðåäåëÿåì ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé èíòåðïîëÿöèè. Fn (x) → F (x), n → ∞, x ∈ [0, 1]. Î. Å. Ùåðáàêîâà " F (x) - êàíòîðîâà ëåñòíèöà - íåóáûâàþùàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî÷êè ðî- ñòà êîòîðîé îáðàçóþò ìíîæåñòâî N ëåáåãîâîé ìåðû 0. Äåéñòâèòåëüíî, ñóì- ìàðíàÿ äëèíà îòðåçêîâ ïîñòîÿíñòâà ðàâíà 1: 1/3 + 2/9 + 4/27 + . . . = Òàêèì îáðàçîì, λ(N ) = 0, ∞ 1 2 n ( ) = 1. 3 n=0 3 íî ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè μ - ìåðà, ïîðîæäåííàÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ñîîòâåòñòâóþùåé êàíòîðîâîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, òî μ(N ) = 1.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìåðà ëåáåãîâñêîé ìåðû μ ñèíãóëÿðíà îòíîñèòåëüíî λ. Ëþáàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â ñëåäóþùåì âèäå: F (x) = αF1 (x) + βF2 (x) + γF3 (x), α, β, γ ≥ 0, α + β + γ = 1, ãäå F1 (x) - äèñêðåòíàÿ, F2 (x) - àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ è F3 (x) - ñèíãóëÿðíàÿ. ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 13. " Ñëó÷àéíûå âåêòîðû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ â R n Ïóñòü ó íàñ åñòü âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P ), ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé âåêòîð - óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí − → ξ (ω) = (ξ1 (ω), . . . , ξn (ω), n ∈ N). → − Èíûìè ñëîâàìè, ξ : Ω → Rn èçìåðèìàÿ îòíîñèòåëüíî Áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðû Bn ôóíêöèÿ. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà áóäåò âûãëÿäåòü òàê − → − (A) = P (ω : ξ (ω) ∈ A), A ∈ Bn , P→ ξ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà íàçîâåì − (x1 , . . . , xn ) = P→ − ((−∞, x1 ), . . . , (−∞, x1 )) = P→ − ((−∞, x)); F→ ξ ξ ξ x = (x1 , . . . , xn ), (−∞, x) = (−∞, x1 ) × . . . × (−∞, xn ). Ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Ñâîéñòâî 13.1. F→−ξ âîçðàñòàåò ïî âñåì àðãóìåíòàì xi , i = 1, . . . , n. Ñâîéñòâî 13.2. F→−ξ (∞, . . . , ∞) = 1 Ñâîéñòâî 13.3. F→−ξ (x1 , . . . , xn ) = 0, åñëè i=1,...,n min xi = −∞. Ñâîéñòâî 13.4. Ïóñòü J = [a, b) = [a1 , b1 ) × . . . × [an , bn ), òîãäà − → − (J) = P ( ξ ∈ J) = P→ ξ − (b1 , . . . , bn ) − → − (b1 , . . . , ai , . . . , bn )+ F F→ ξ ξ + 1≤i≤j≤n 1≤i≤n − (b1 , . . . , ai , . . . , . . . , aj , . . . , . . . , bn )− F→ ξ − (a1 , . . . , an ) − . . . + (−1)n F→ ξ − − → Îïðåäåëåíèå 13.1. Ïóñòü → ξ - ñëó÷àéíûé âåêòîð. ξ èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå , åñëè ñóùåñòâóåò íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé A ⊂ Rn , êîòîðîå îí ïðèíèìàåò ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − → P (ω : ξ (ω) ∈ A) = 1. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà íàçîâåì íàáîð ÷èñåë pk,l = P (ω : ξ(ω)l = ak,l ), A = {ak,l }k∈N , l ∈ {1, . . . , n}. − − → Îïðåäåëåíèå 13.2. Ïóñòü → ξ - ñëó÷àéíûé âåêòîð. ξ èìååò àáñîëþòíî ðàñïðåäåëåíèå, åñëè ñóùåñòâóåò èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ p, òàêàÿ ÷òî − (A) = p(x)dx, A ∈ Bn , P→ ξ íåïðåðûâíîå A dPξ , ãäå λn - ëåáåãîâñêàÿ ìåðà â Rn ). dλn − → p - íàçîâåì ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ . (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî p(x) = Î. Å. Ùåðáàêîâà " − → Òåîðåìà. Ðàñïðåäåëåíèå ëþáîãî ïîäâåêòîðà ξ d = (ξi , . . . , ξi ) ïîëíîñòüþ îïðå− → äåëÿåòñÿ âåêòîðîì ξ Çàìå÷àíèå 13.1. Îáðàòíîå íå âåðíî: ñëó÷àéíûé âåêòîð íå îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì ðàñïðåäåëåíèé âñåõ åãî ïîäâåêòîðîâ. Òåîðåìà. Ïóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, òîãäà âñå åãî ïîäâåêòîðà áóäóò èìåòü àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå. − → Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðàñïðåäåëåíèå ïîäâåêòîðà ξ d = (ξi , . . . , ξi ) Ïóñòü A ∈ Bn , òîãäà 1 d 1 d P (ω : (ξi1 (ω), . . . , ξid (ω) ∈ A) = P (ω : (ξi1 (ω), . . . , ξid (ω)) ∈ A, (ξid+1 (ω), . . . , ξin (ω)) ∈ Rn−d ) = p(x)dx = [ . . .]p(x)dx1 . . . dxn = n−d A×R A Rn−d pξi1 ,...,ξid (xi1 , . . . , xid )dxi1 . . . dxid A ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ "! 14. Íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Îïðåäåëåíèå 14.1. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1, . . . , ξn ñî çíà÷åíèÿìè â èçìåðè- ìûõ ïðîñòðàíñòâàõ (X1 , A1 ), . . . , (Xn , An ) åñëè âûïîëíåíî íåçàâèñèìûìè, A1 ∈ A1 , . . . , An ∈ An íàçûâàþòñÿ n P (ξ1 ∈ A1 , . . . , ξn ∈ An ) = P (ξk ∈ Ak ). k=1 Äàäèì åùå íåñêîëüêî ðàâíîñèëüíûõ îïðåäåëåíèé. Îïðåäåëåíèå 14.2. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé âåêòîð −→ξ = (ξ1, . . . , ξn) ñî çíà÷å- íèÿìè â èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (X1 ×. . .×Xn , A1 ×. . .×An ) A1 ∈ A1 , . . . , An ∈ An . • Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè âûïîëíåíî n − (A1 × . . . × An ) = P→ ξ Pξk (Ak ). k=1 • − Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè ìåðà P→ ξ ðàâíà äåêàðòîâó ïðîèçâåäåíèþ ìåð − = P→ ξ n P ξk . k=1 • Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè âûïîëíåíî n − (x1 , . . . , xn ) = F→ ξ Fξk (x). k=1 Òåîðåìà. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íåçàâèñèìû è èìåþò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî n (1) − (x1 , . . . , xn ) = p→ ξ pξk (x). k=1 → È îáðàòíî, åñëè ñëó÷àéíûé âåêòîð − ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå è âûïîëíåíî ðàâåíñòâî 1, òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû. Î. Å. Ùåðáàêîâà "" 15. Èíòåãðàë Ëåáåãà, Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà, Ðèìàíà-Ñòèòüåñà. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Ïîíÿòèå ñâåðòêè. Ñóùåñòâóþò ïî êðàéíåé ìåðå äâà ïîäõîäà ê îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà Ñòèëòüåñà: Ðèìàíà-Ñòèëòüåñà ñòðîèòñÿ íà îñíîâå áëèçîñòè òî÷åê íà îñè, êîíå÷åí äëÿ íå ñëèøêîì ðàçðûâíûõ ôóíêöèé. Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà íà îñíîâå ãðóïïèðîâêè çíà÷åíèé èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé, ñõîäèòñÿ äëÿ áîëåå øèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé. R-S: L-S: Èíòåãðàë Ëåáåãà, Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà. Îïðåäåëåíèå 15.1 (L). Ïóñòü ξ - íåîòðèöàòåëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. 15.1. Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîñòûõ íåîòðèöàòåëüíûõ íûõ âåëè÷èí l {ξn }n∈N ñëó÷àé- n ξn (ω) = xk IAk (ω) k=1 è îïðåäåëèì äëÿ íèõ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êàê Eξn = ln xk P (Ak ) k=1 è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ξn (ω) ↑ ξ(ω), n → ∞ äëÿ êàæäîãî ω ∈ Ω. Òîãäà ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì íåîòðèöàòåëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èëè èíòåãðàëîì Ëåáåãà íàçîâåì âåëè÷èíó Eξ = lim Eξn . n→∞ Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëåíèå áûëî êîððåêòíî íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî çíà÷åíèå ïðåäåëà íå çàâèñèò îò âûáîðà àïïðîêñèìèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû áóäåò ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå Eξ = sup Es, s∈S:s<ξ ãäå S = {s} - ìíîæåñòâî ïðîñòûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îïðåäåëåíèå 15.2 (L). Ïóñòü ξ - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îáîçíà÷èì ξ + = max(0, ξ), ξ − = − min(0, ξ). Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èëè èíòåãðàë Ëåáåãà îò ôóíêöèè ïî âåðîÿòíîñòíîé ìåðå ñóùåñòâóåò, åñëè ïî êðàéíåé ìåðå îäíà èç âåëè÷èí Eξ + èëè Eξ − êîíå÷íà: è ïîëàãàþò min(Eξ + , Eξ − ) < ∞ Eξ = Eξ + − Eξ − . Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êîíå÷íî, åñëè E|ξ| < ∞. ξ(ω)dP (ω) = Eξ. (L) Ω ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ "# Îïðåäåëåíèå 15.3 (L-S). Ðàññìîòðèì âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F ) = (R, B(R)). Ïóñòü G - îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (íåóáûâàþùàÿ, íåïðåðûâíàÿ ñëåâà ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèÿìè â (−∞, ∞)). Òîãäà åé ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðàÿ ìåðà Ëåáåãà μ. Èòåãðàëîì Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà íàçûâàþò (L − S) ξ(x)dG(x) = ξ(x)dμ(x) R R Èíòåãðàë Ðèìàíà-Ñòèëòüåñà. Îïðåäåëåíèå 15.4 (R-S). Ïóñòü G - îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (íåóáû15.2. âàþùàÿ, íåïðåðûâíàÿ ñëåâà ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèÿìè â (−∞, ∞)). Ïóñòü g - îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ, îáðàùàþùàÿñÿ â íóëü âíå îòðåçêà [a, b]. Ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå îòðåçêà è ñîñòàâèì âåðõíèå P P = {x0 , . . . , xn }, a = x0 < . . . < xn = b = P g i (G(xi ) − G(xi−1 )), g i = i=1 è íèæíèå ñóììû n = n g i (G(xi ) − G(xi−1 )), g i = i=1 Îïðåäåëèì ïðîñòûå ôóíêöèè g P (a) = g(a). sup g(y) xi−1 <y≤xi inf xi−1 <y≤xi g(y). g P (x) = g i g P (x) = g i , x ∈ (xi−1 , xi ], g P (a) = Òîãäà ìîæíî çàïèñàòü âåðõíèå è íèæíèå ñóììû ÷åðåç èíòåãðàëû ËåáåãàÑòèëòüåñà P a b = (L − S) g P (x)dG(x), P b = (L − S) a g P (x)dG(x). Ðàññìîòðèì òåïåðü {Pk }k∈N - âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåmax |xki − xki | → 0, k → ∞. íèé Pk ⊂ Pk+1 , ðàíã êîòîðûõ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ 0≤i≤n Òîãäà k g P1 ≥ g P 2 ≥ . . . ≥ g ≥ . . . ≥ g P ≥ g P 2 è èç îãðàíè÷åííîñòè ôóíêöèè g ïîëó÷èì lim Pk k→∞ lim k→∞ Pk 1 b = (L − S) g(x)dG(x), a b = (L − S) g(x)dG(x), a g(x) = lim g Pk (x); g(x) = lim g P (x). k→∞ k→∞ k Åñëè ïðåäåëû limk→∞ P , limk→∞ P êîíå÷íû, ñîâïàäàþò è èõ îáùåå çíà÷åíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Pk } ðàçáèåíèé, òî ãîâîðÿò, k k Î. Å. Ùåðáàêîâà "$ ÷òî ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó-Ñòèëòüåñó è îáùåå çíà÷åíèå ïðåäåëîâ îáîçíàåòñÿ (R − S) g(x)dG(x). R Òåîðåìà. Åñëè ôóíêöèÿ g - íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], òî îíà èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó-Ñòèëòüåñó è (R − S) g(x)dG(x) = (L − S) g(x)dG(x). Ïîíÿòèå ñâåðòêè. R R 15.3. Ðàññìîòðèì ïðèìåð ôóíêöèè îò ìíîãèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïóñòü ξ , η - ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ñîâìåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì F(ξ,η) (x, y), à ϕ = ϕ(x, y) - íåêîòîðàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, òîãäà ìîæåì ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ íîâîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ = ϕ(ξ, η) dF(ξ,η) (x, y). Fη (z) = x,y:ϕ(x,y)<z Ïóñòü ϕ(x, y) = x+y , ζ = ξ +η , à ξ è η íåçàâèñèìû, òîãäà F(ξ,η) (x, y) = Fξ (x)Fη (y) è, ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Ôóáèíè, ïîëó÷èì Fζ (z) = x,y:x+y<z ∞ ∞ −∞ dFξ (x) dF(ξ,η) (x, y) = −∞ R2 Ix+y<z (x, y)dFξ (x)dFη (y) = Ix+y<z (x, y)dFη (y) = è àíàëîãè÷íî Fζ (z) = ∞ −∞ Ñâåðòêó ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü òàê ∞ −∞ Fη (z − x)dFξ (x) Fξ (z − y)dFη (y). Fξ+η = Fξ ∗ Fη . Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé è ïîêà÷åì, ÷òî ïëîòíîñòü ñóììû áóäåò ñâåòðòêîé ïëîòíîñòåé. Fζ (z) = ∞ z [ −∞ −∞ fζ (z) = ∞ z−x [ fη (y)dy]fξ (x)dx = z ∞ fη (u − x)du]fξ (x)dx = [ fη (u − x)fξ (x)dx]du −∞ −∞ −∞ ∞ −∞ −∞ ∞ fη (z − x)fξ (x)dx, fη (z) = −∞ fξ (z − y)fη (y)dy. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ñóììà äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èìåëà àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îäíà èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èìåëà ïëîòíîñòü. Ýòî âèäíî èç ðàâåíñòâ: ∞ ∞ fζ (z) = fη (z − x)dFξ (x), fζ (z) = fξ (z − y)dFη (y). −∞ −∞ ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ "% Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. 15.4. (1) Ïóñòü c - ïîñòîÿííàÿ, Eξ ñóùåñòâóåò. Òîãäà ñóùåñòâóåò E(cξ) è E(cξ) = cEξ (2) Ïóñòü ξ ≤ η , òîãäà Eξ ≤ Eη, â ÷àñòíîñòè, −∞ < Eξ ⇒ −∞ < Eη, Eξ ≤ Eη; Eη < ∞ ⇒ Eξ < ∞, Eξ ≤ Eη. (3) Åñëè Eξ ñóùåñòâóåò, òî |Eξ| ≤ E|ξ|. (4) Åñëè Eξ ñóùåñòâóåò, òî äëÿ ëþáîãî A ∈ F ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå E(ξIA ) òàêæå ñóùåñòâóåò, åñëè Eξ êîíå÷íî, òî E(ξIA ) êîíå÷íî. E(ξIA ) ≤ Eξ (5) Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ , η , äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåíû Eξ ,Eη è âûðàæåíèå Eξ + Eη èìååò ñìûñë. Òîãäà E(ξ + η) = Eξ + Eη. (6) Åñëè ξ = 0 ï.í., òî Eξ = 0. (7) Åñëè ξ = η ï.í. è E|ξ| < ∞, òî E|η| < ∞, Eξ = Eη . (8) Ïóñòü ξ ≥ 0 è Eξ = 0, òîãäà ξ = 0 ï.í. Òåîðåìà (òåîðåìà Ëåáåãà î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè) . Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òàêèå ÷òî |ξn | ≤ η, Eη < ∞, ξn → ξ ï.í. (P (ω : ξn (ω) → ξ(ω)) = 1). Òîãäà E|ξ| < ∞ è Eξn → Eξ , E|ξ − ξn | → 0. Òåîðåìà. Ïóñòü ξ, η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òàêèå ÷òî E|ξ| < ∞, E|η| < ∞. Òîãäà E|ξη| < ∞ è Eξη = Eξ · Eη. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ íà÷àëà ξ ≥ 0, η ≥ 0. Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξn , ηn ñëåäóþùèì îáðàçîì ξn = ∞ k I k k+1 (ξ), n [n, n ) k=0 ηn = ∞ k I k k+1 (η). n [n, n ) k=0 Çàìåòèì, ÷òî |ξ − ξn | ≤ n1 , |η − ηn | ≤ n1 , à êðîìå òîãî, Eξ < ∞, Eη < ∞, òîãäà ïî òåîðåìå Ëåáåãà î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè lim Eξn = Eξ, lim Eηn = Eη. Î. Å. Ùåðáàêîâà "& Èñïîëüçóÿ íåçàâèñìîñòü, ïîëó÷èì Eξn ηn = kl EI k k+1 (ξ)I[ l , l+1 ) (η) = n n n2 [ n , n ) k,l≤0 kl EI k k+1 (ξ)EI[ l , l+1 ) (η) = Eξn Eηn . n n n2 [ n , n ) Îöåíèì ðàçíîñòü k,l≤0 |Eξη − Eξn ηn | ≤ E|ξη − ξn ηn | ≤ E[ξ|η − ηn ]| + E[ηn |ξ − ξn |] ≤ 1 1 1 Eξ + E(η + ) → 0. n n n Ñëåäîâàòåëüíî, Eξη = lim Eξn ηn = lim Eξn lim ηn = Eξ · Eη, Eξη < ∞ Ê îáùåìó ñëó÷àþ ïåðåõîäèì, èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ξ = ξ + − ξ − , η = η + − η − , ξη = ξ + η + − ξ − η + − ξ + η − + ξ − η − . 15.5. Íåðàâåíñòâà, ñâÿçàííûå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì. Íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà: Ïóñòü ξ - íåîòðèöàòåëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 P (ξ ≥ ε) ≤ Äîêàçàòåëüñòâî. Eξ ε Eξ ≥ EξI{ξ≥ε} ≥ εEI{ξ≥ε} = εP (ξ ≥ ε) Íåðàâåíñòâî Ìàðêîâà: Ïóñòü ξ - íåîòðèöàòåëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, g : R+ → R+ - íå óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 P (ξ ≥ ε) ≤ Eg(ξ) g(ε) Äîêàçàòåëüñòâî. Eg(ξ) ≥ Eg(ξ)I{g(ξ)≥g(ε)} ≥ g(ε)EI{ξ≥ε} = g(ε)P (ξ ≥ ε)  êà÷åñòâå g(x) ìîæíî áðàòü x2 , exp x è äðóãèå.  ÷àñòíîñòè, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâà P (|ξ − Eξ| ≥ ε) ≤ D(ξ) E exp(ξ) , P (ξ ≥ ε) ≤ ε2 exp(ε) Íåðàâåíñòâî Éåíñåíà: Ïóñòü ξ - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, E|ξ| < ∞, g - âûïóêëàÿ âíèç èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, òîãäà Eg(ξ) ≥ g(Eξ) ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ "' Äîêàçàòåëüñòâî. Èç âûïóêëîñòè âíèç ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñÿêîãî x0 ñóùåñòâóåò λ(x0 ), òàêîå ÷òî äëÿ âñåõ x âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåñòâî g(x) − g(x0 ) ≥ λ(x0 )(x − x0 ) Ïîëîæèì x0 = Eξ , x = ξ . Ðàññìîòðèì òåïåðü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå g(ξ) − g(Eξ) ≥ λ(Eξ)(ξ − Eξ) Eg(ξ) − g(Eξ) ≥ λ(Eξ)E(ξ − Eξ) = 0 Íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî: Ïóñòü Eξ 2 < ∞, Eξ 2 < ∞, òîãäà E|ξη| ≤ (Eξ 2 Eξ 2 )1/2 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Eξ 2 > 0, Eη2 > 0, èíà÷å åñëè Eξ 2 > òî ξ = 0 ï.í. è Eξη = 0 è íåðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â òðèâèàëüíîå ðàâåíñòâî. Ïóñòü 0, η ξ , η = ξ = Eξ 2 Eη 2 Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì âåùåñòâåííûõ a, b. a2 + b2 ≤ 2|ab|, êîòîðîå âåðíî äëÿ ëþáûõ η |; ξ2 + η2 ≤ 2|ξ η )| = E|ξη| 2 = E ξ2 + E η2 ≤ 2E|(ξ Eξ 2 Eη 2 Íåðàâåíñòâî Ëÿïóíîâà: Åñëè 0 < s < t, òî (Eξ s )1/s ≤ (Eξ t )1/t Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì r = t/s, ðàññìîòðèì âûïóêëóþ âíèç ôóíêöèþ g(x) = xr , (r > 1). Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Éåíñåíà E(ξ t ) = E((ξ s )r ) ≥ ((Eξ s )1/s )r = (Eξ s )t/s Íåðàâåíñòâî üëüäåðà: Ïóñòü E|ξ| s < ∞, 1 < t < ∞, òîãäà s < ∞, E|ξ| < ∞, 1/s + 1/t = 1, 1 < t E|ξη| ≤ (Eξ s )1/s (Eξ t )1/t Äîêàçàòåëüñòâî. Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì äîêàçûâàåìîãî íåðàâåíñòâà, ïðåäïîëîæèì, ÷òî E|ξ| > 0, E|η| > 0, èíà÷å íåðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â òðèâèàëüíîå ðàâåíñòâî. Ïóñòü ξ = |ξ| √ s , η = Eξ 1/s |η| Eη t 1/t # Î. Å. Ùåðáàêîâà Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì xa yb ≤ ax + by, êîòîðîå âåðíî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ x, y, a, b, a + b = 1. Ýòî íåðàâåíñòâî âûòåêàåò èç ñâîéñòâ âûïóêëîñòè ââåðõ ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè: a ln x + b ln y ≤ ln(ax + by). Ïîëîæèì x = ξs , y = ηt , a = 1/s, b = 1/t. Òîãäà η ≤ 1 ξs + 1 ηt ; ξ s t η ) ≤ 1 E ξs + 1 E ηt = 1/s + 1/t = 1. E(ξ s t ×òî è äîêàçûâàåò òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî. Ïóñòü 1 ≤ p òîãäà Íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî: < ∞, E|ξ|p < ∞, E|η|p < ∞, (E|ξ + η|p )1/p ≤ (E|ξ|p )1/p + (E|η|p )1/p ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 16. # Äèñïåðñèÿ. Êîâàðèàöèÿ. Êîððåëÿöèÿ. Äèñïåðñèÿ. Îïðåäåëåíèå 16.1. 16.1. Dξ = E(ξ − Eξ)2 = Eξ 2 − (Eξ)2 Âòîðîé öåíòðàëüíûé ìîìåíò íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé. Êâàäðàòè÷íîå îòêëîíå√ íèå σ(ξ) = Dξ ïîêàçûâàåò ðàçìàõ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, âåëè÷èíó ôëóêòóàöèè. Ñâîéñòâà äèñïåðñèè (1) Dξ = 0 ⇔ {∃ c ∈ R : P (ξ = c) = 1}, (ξ = c ï.í. ) (2) D(ξ + c) = Dξ, D(cξ) = c2 Dξ, c ∈ R (3) Åñëè ξ , η - íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî D(ξ + η) = Dξ + Dη Êîâàðèàöèÿ. Êîâàðèöèîííàÿ ìàòðèöà. Îïðåäåëåíèå 16.2. 16.2. cov(ξ, η) = E[(ξ − Eξ)(η − Eη)] = Eξη − EξEη. Âòîðîé ñìåøàííûé öåíðàëüíûé ìîìåíò íàçûâàåòñÿ êîâàðèàöèåé. → Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé âåêòîð − ξ = (ξ1 , . . . , ξn ). Åãî êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà R = (Ri,j )i=1,...,n;j=1,...,n , Ri,j = cov(ξi , ξj ). Òåîðåìà. Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû: (1) R - êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (2) ñóùåñòâóåò ìàòðèöà → − ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) A = (Ai,j )i=1,...,n;j=1,...,n : R = AAt . (3) R - ñèììåòðè÷íà è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà. Äîêàçàòåëüñòâî. 1 ⇒ 3: Íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîñòü ìàòðèöû äóåò èç íåðàâåíñòâ n Rij λi λj = cov(ξi , ξj )λi λj = E( (ξi − Eξi )λi )2 ≥ 0 ij ij R ñëå- i=1 : 3 ⇒ 2 ⇒ 1 Èç íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîñòè ìàòðèöû R ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà Q (QQt = E ), òàêàÿ ÷òî R = QDQt , D = E(d1 , . . . , dn )t , di ≥ 0, i = 1, . . . , n. √ √ Ïîëîæèì ìàòðèöó B : D = B 2 , B = E( d1 , . . . , dn )t , òîãäà âîçüìåì â êà÷åñòâå A = QB è ïîëó÷èì R = AAt . Î. Å. Ùåðáàêîâà # → Òåïåðü ïîñòðîèì ñëó÷àéíûé âåêòîð − ξ èìåþùèé êîâàðèàöèîííóþ ìàò− ðèöó R. Ïóñòü → η = (η1 , . . . , ηn ), ηi ∈ N (0, 1) ñëó÷àéíûé âåêòîð, ñîñòîÿùèé − èç íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, à â êà÷åñòâå → ξ âîçüìåì − → → − − → ξ = (ξ1 , . . . , ξn ), ξ = A η t . Çàìåòèì, ÷òî Ñëåäîâàòåëüíî, → − E− η→ η t = E. − →− → → → η− η t At = AEAt = R. E ξ ξ t = A− Êîððåëÿöèÿ. Îïðåäåëåíèå 16.3. Êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè íàçûâàåòñÿ 16.3. cov(ξ, η) r(ξ, η) = √ DξDη Ñâîéñòâî 16.1. Åñëè ξ, η - íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî r(ξ, η) = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç íåçàâèñèìîñòè ξ, η ñëåäóåò, ÷òî Eξη = EξEη, cov(ξ, η) = Eξη − EξEη = 0, r(ξ, η) = 0. Çàìå÷àíèå 16.1. Çàìåòèì, ÷òî îáðàòíîå íå âåðíî. Ïðèâåäåì ïðèìåð. Ïðèìåð 16.1. 1 Eη = Òåîðåìà. 0 Ω = [0, 1], P = λ, ξ(ω) = sin(πω), η = cos(πω), 1 1 cos(πω)dω = 0, Eξη = sin(2πω)dω = 0, r(ξ, η) = 0. 2 0 Äîêàçàòåëüñòâî. |r(ξ, η)| = 1 ⇔ ξ, η − ëèíåéíî : Îáîçíà÷èì çàâèñèìû. ⇒ ξ − Eξ η − Eη ξ = , η = . D(ξ) D(η) Ïóñòü r(ξ, η) = 1. Ðàññìîòðèì η = 2 − 2 = 0 η − 2E ξ D(ξ − η) = E((ξ − η))2 − (E(ξ − η))2 = Dξ + D Òàêèì îáðàçîì, ξ − η = c , çíà÷èò ξ, η -ëèíåéíî çàâèñèìû. Åñëè r(ξ, η) = −1, òî àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåì D(ξ + η) = 0 ⇐ Ïóñòü ξ = aη + b, òîãäà : r(ξ, η) = r(aη + b, η) = cov(aη + b, η) aEη 2 + bEη − (aEη + b)Eη = = sign(a). |a|Dη |a|Dη ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 17. #! Ðàçëè÷íûå âèäû ñõîäèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1. Ñõîäèìîñòü ï.í. (ïî÷òè íàâåðíîå)èëè ñ âåðîÿòíîñòüþ 1: Îïðåäåëåíèå 17.1. {ξn → ξ ï.í.} ⇔ {P (ω : ξn (ω) → ξ(ω)) = 1}. n→∞ n→∞ 2. Ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè: Îïðåäåëåíèå 17.2. P {ξn → ξ, n → ∞} ⇔ {∀ε > 0 P (ω : |ξn (ω) − ξ(ω)| ≥ ε) → 0}. n→∞ 3. Ñõîäèìîñòü ïî ðàñïðåäåëåíèþ: Îïðåäåëåíèå 17.3. d {ξn → ξ, n → ∞} ⇔ { äëÿ âñÿêîé òî÷êè x ∈ R − òî÷êè íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ Fξn (x) → n→∞ Fξ (x)} ⇔ { äëÿ âñÿêîé íåïðåðûâíîé è îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè f Ef (ξn ) → Ef (ξ)}. n→∞ 4. Ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì ïîðÿäêà p ≥ 1 : Îïðåäåëåíèå 17.4. Lp {ξn → ξ, n → ∞} ⇔ {E|ξn (ω) − ξ(ω)|p → 0}. n→∞ Î. Å. Ùåðáàêîâà #" Êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå. Òåîðåìà. 17.1. ξn → ξ ï.í. ⇔ {∀ε > 0 P (ω : sup |ξk (ω) − ξ(ω)| ≥ ε) → 0}. n→∞ n→∞ k≥n Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàñïèøåì ïîäðîáíî íà ÿçûêå ε − δ ñîáûòèå ñõîäèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {ω : ξn (ω) → ξ(ω)} = {ω : ∀ε > 0∃N : ∀n ≥ N ⇒ |ξn (ω) − ξ(ω)| < ε} n→∞ Ðàññìîòðèì îáðàòíîå ñîáûòèå {ω : ξn (ω) ξ(ω)} = {ω : ∃ε > 0∀n : ∃k ≥ n ⇒ |ξk (ω) − ξ(ω)| ≥ ε} = n→∞ = ∞ {ω : |ξk (ω) − ξ(ω)| ≥ ε} ε>0 n=1 k≥n ∞ Îáîçíà÷èì Aεk = {ω : |ξk (ω) − ξ(ω)| ≥ ε}, Aε = n=1 k≥n Aεk = lim sup Aεk . Òîãäà ñîáûòèå îòñóòñòâèÿ ñõîäèìîñòè ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: Aε . {ω : ξn (ω) ξ(ω)} = n→∞ ε>0 Íàïèøåì öåïî÷êó ðàâíîñèëüíûõ óòâåðæäåíèé {P (ω : ξn (ω) ξ(ω)) = 0} ⇔ {P ( n→∞ {P ( ∞ A1/m ) = 0} m=1 Aε ) = 0} ⇔ ε>0 ⇔ P (A)≥0,∀A∈F {P (Aε ) = 0, ∀ε > 0} ⇔ {P ( {P (A1/m ) = 0, ∀m ∈ N} ⇔ Aεk ) → 0, ∀ε > 0} ⇔ k≥n n→∞ {P (ω : sup |ξk (ω) − ξ(ω)| ≥ ε) → 0, ∀ε > 0} n→∞ k≥n Ñëåäñòâèå 1. { ∞ P (|ξk − ξ| ≥ ε) < ∞} ⇒ {ξn → ξ ï.í.} n→∞ k=1 Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. P (sup |ξk − ξ| ≥ ε) = P ( k≥n {|ξk − ξ| ≥ ε}) ≤ k≥n P (|ξk − ξ| ≥ ε) → 0 k≥n Ïî êðèòåðèþ ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå ïîëó÷èì òðåáóåìîå. n→∞ Ïóñòü äàíà {An }n∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáûòèé. ∞ ∞ Ðàñìîòðèì òàêîå ñîáûòèå {á.÷.An } = lim sup An = n=1 k≥n Ak = n=1 Bn - áóäåò ïðîèñõîäèòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Çàìåòèì, ÷òî òàêîå ñîáûòèå îïðåäå ëåíî êîððåêòíî, ïîñêîëüêó Bn = k≥n Ak îáðàçóþò óáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ, à èõ ïðåäåë - áåñêîíå÷íîå ïåðåñå÷åíèå. Ëåììà 17.1. (Áîðåëÿ-Êàíòåëëè) ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ ## (1) ∞ P (An ) < ∞ ⇒ P (á.÷.An ) = 0 n=1 An íåçàâèñèìû, òî (2) Åñëè ñîáûòèÿ ∞ P (An ) = ∞ ⇒ P (á.÷.An ) = 1 n=1 Äîêàçàòåëüñòâî. (1) Äîïóñòèì, ÷òî ðÿä èç âåðîÿòíîñòåé ñõîäèòñÿ. ∞ P (An ) < ∞. n=1 P (á.÷.An ) = P ( ∞ Bn ) ≤ P (Bn ) = P ( n=1 Ak ) k≥n Ïî ñâîéñòâó ïîëóàääèòèâíîñòè âåðîÿòíîñòè ïîëó÷èì P( Ak ) ≤ k≥n k≥n P (Ak ) → 0, n → ∞ P (Ak ) k≥n êàê îñòàòîê ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà. (2) Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ðÿä èç âåðîÿòíîñòåé ðàñõîäèòñÿ, à ñîáûòèÿ An íåçàâèñèìû. Ðàññìîòðèì îáðàòíîå ñîáûòèå D = {á.÷.An } = ∞ Ak = n=1 k≥n ∞ Bn n=1 Èç íåçàâèñèìîñòè ñàìèõ ñîáûòèé, à ñëåäîâàòåëüíî èç íåçàâèñèìîñòè îáðàòíûõ, P( k≥n Ak ) = (1 − P (Ak ) P (Ak ) = k≥n k≥n Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè ïîëó÷èì ln (1 − P (Ak ) = k≥n ln(1 − P (Ak ) ≤ − k≥n ln(1 − x) ≤ −x, x ∈ (0, 1], P (Ak ) = −∞; P ( k≥n Ak ) = 0, ∀n ∈ N. k≥n Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáûòèé {Bn } áóäåò âîçðàñòàþùåé, òî ïî íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòíîé ìåðû ïðåäåë áóäåò ðàâåí ñ÷åòíîîé ñóììå ñîáûòèé P (D) = P ( ∞ n=1 Bn ) = lim P ( n→∞ Ak ) = 0 ⇒ P (á.÷.An ) = 1. k≥n Î. Å. Ùåðáàêîâà #$ Ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñõîäèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. P → ξ ï.í.} ⇒ {ξn → ξ, n → ∞} Òåîðåìà. (1) {ξn n→∞ 17.2. (2) (3) Lp P {ξn → ξ, n → ∞} ⇒ {ξn → ξ, n → ∞} P d {ξn → ξ, n → ∞} ⇒ {ξn → ξ, n → ∞} Äîêàçàòåëüñòâî. (1) Ïî êðèòåðèþ ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå èìååì {ξn → ξ ï.í.} ⇔ {∀ε > 0 P (ω : sup |ξk (ω) − ξ(ω)| ≥ ε) → 0}. n→∞ k≥n n→∞ Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìû ìîæåì íàïèñàòü íåðàâåíñòâî 0 ← P (ω : sup |ξk (ω) − ξ(ω)| ≥ ε) ≥ P (ω : |ξn (ω) − ξ(ω)| ≥ ε) n→∞ k≥n Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè. (2) Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ íåðàâåíñòâîì Ìàðêîâà ñ ôóíêöèåé g(x) = |x|p . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. P (|ξn (ω) − ξ(ω)| ≥ ε) ≤ E|ξn − ξ|p → 0 n→∞ εp (3) Ïóñòü òî÷êà x - òî÷êà íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóþò δ > 0, N ∈ N, òàêèå ÷òî |Fξ (x + δ) − Fξ (x)| < ε, äëÿ âñÿêèõ íàòóðàëüíûõ n ≥ N P (|ξn − ξ| > δ) < ε. Ðàññìîòðèì |Fξn (x) − Fξ (x)| = |P (ξn < x) − P (ξ < x)| = |P (ξn < x, |ξn − ξ| ≤ δ) + P (ξn < x, |ξn − ξ| > δ) − P (ξ < x)| ≤ |P (ξ ≤ δ + x) + P (|ξn − ξ| > δ) − Fξ (x)| = |Fξ (x + δ) + P (|ξn − ξ| > δ) − Fξ (x)| < 2ε Ñëåäîâàòåëüíî, Fξn (x) → Fξ (x) n→∞ Ïðèâåäåì ïðèìåðû, ïîêàçûâàþùèå, ÷òî äðóãèå ëîãè÷åñêèé ñâÿçêè íåâîçìîæíû. Ïðèìåð 17.1. P,Lp {ξn → ξ ï.í.} {ξn → ξ, n → ∞} n→∞ Ω = [0, 1], F = B[0, 1], P = λ - ìåðà Ëåáåãà, Ain = [ i−1 i , ], ξni (ω) = IAin (ω) n n ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ ξ11 ξ21 ξ22 ... ξn1 ξn2 . . . ξnn Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξnn ñõîäèòñÿ â ñðåäíåì, ïî âåðîÿòíîñòè ê íóëþ 1 → 0, n n→∞ ω ∈ [0, 1]. E|ξnn |p = íî íå ñõîäèòñÿ íè â îäíîé òî÷êå Ïðèìåð 17.2. {ξn → ξ n→∞ ï.í.} ξn (ω) = Lp {ξn → ξ, n → ∞} en , 0, 0 ≤ ω ≤ 1/n; ω > 1/n. P {ξn 0} = 1/n → 0; n→∞ E|ξn |p = Ïðèìåð 17.3. epn → ∞. n L ï.í.} {ξn → ξ, n → ∞} Ïóñòü ξn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè è {ξn → ξ p n→∞ Òîãäà P (ξn = 1) = pn , P (ξn = 0) = 1 − pn . P {ξn → ξ, n → ∞} ⇔ pn → 0; Lp {ξn → ξ, n → ∞} ⇔ pn → 0; {ξn → ξ n→∞ ï.í.} ⇔ ∞ n=1 pn < ∞. Òàêèì îáðàçîì, ïðè pn = 1/n ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå íå áóäåò. #% Î. Å. Ùåðáàêîâà #& 18. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. Óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. Îïðåäåëåíèå 18.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξn }n∈N ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷18.1. íûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì åñëè ÷èñåë, n i=1 (ξi Eξn = an − ai ) n Òåîðåìà (Ìàðêîâà). òàêàÿ, ÷òî Ïóñòü {ξn }n∈N D( óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó áîëüøèõ P → 0, n → ∞. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí n i=1 ξi ) n2 → 0. n→∞ Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí óäîâëåòâîðÿåò ÷èñåë. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ε > 0. çàêîíó áîëüøèõ Ïî íåðàâåíñòâó Ìàðêîâà ñ ôóíêöèåé g(x) = x2 ïîëó÷èì n P( i=1 E( |ξi − Eξi | ≥ ε) ≤ n n i=1 (ξi −Eξi ) n ε2 )2 = D( n i=1 n ε2 ξi ) = D( n i=1 ξi ) ε2 n2 → 0. n→∞ (×åáûø¼âà). Ïóñòü {ξn }n∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òàêàÿ, ÷òî äèñïåðñèè ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû Òåîðåìà Dξi < c. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí óäîâëåòâîðÿåò ÷èñåë. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì òåîðåìó Ìàðêîâà è ïîëó÷èì D( n i=1 ξi ) n2 n = íåçàâèñèìîñòü çàêîíó áîëüøèõ D(ξi ) c → 0. ≤ n2 n n→∞ i=1 Òåîðåìà (Áåðøòåéíà, î ñëàáîçàâèñìûõ íà áåñêîí÷íîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíàõ) . Ïóñòü {ξn }n∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òàêàÿ, ÷òî òàêàÿ, ÷òî äèñïåðñèè ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû Dξi < c. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ r(n) n→∞ → 0, òàêàÿ ÷òî cov(ξi , ξj ) ≤ r(|i − j|). Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí óäîâëåòâîðÿåò ÷èñåë. çàêîíó áîëüøèõ ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ #' Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì òåîðåìó Ìàðêîâà è ïîëó÷èì D( n i=1 ξi ) n2 = n n n 1 1 cov(ξi , ξj ) = 2 cov(ξi , ξj ) ≤ n2 i,j=1 n k=−n j−i=k n n n n 1 1 r(|i − j|) = 2 r(|k|) 1= n2 n k=−n j−i=k k=−n j−i=k n−1 2 1 (2nr(0) + 2(n − 1)r(1) + . . . + 2(n − k)r(k) + . . . + 2r(n − 1)) ≤ r(k). 2 n n k=0 Çàìåòèì, ÷òî ({r(n) → 0} ⇔ {∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀m ≥ N ⇒ |r(m)| < ε}; n→∞ {r(n) → 0} ⇒ {∃M > 0 : |r(k)| < M, ∀k ∈ N}). n→∞ Òàêèì îáðàçîì, ìîæåì ïðîäîëæèòü îöåíêó n−1 2 2 r(k) ≤ (M N + ε(n − 1 − N )) → 0. n→∞ n n k=0 Òåîðåìà (Õèí÷èíà). Ïóñòü {ξn }n∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è Eξi = a. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ïðèâåäåì â ïàðàãðàôå î õàðàêòåðåñòè÷åñêèõ ôóíêöèÿõ. Òåîðåìà (Áåðøòåéíà). Ïóñòü {ξn }n∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí óäîâëåòâîðÿëà çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû E( . ( n 1+( ξ−Eξ 2 )) i=1 ( n nξ−Eξ 2 ) → 0. n→∞ ( i=1 n )) Î. Å. Ùåðáàêîâà $ Óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. Îïðåäåëåíèå 18.2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξn}n∈N ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷18.2. íûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì Eξn = an óäîâëåòâîðÿåò óñèëåííîìó åñëè n áîëüøèõ ÷èñåë, Òåîðåìà çàêîíó − ai ) → 0, n → ∞. ï.í. n (Êàíòåëëè) Ïóñòü {ξn }n∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéi=1 (ξi . íûõ âåëè÷èí è ∃M > 0 : E(ξi − Eξi )4 ≤ M < ∞. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí óäîâëåòâîðÿåò óñèëåííîìó çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë. Äîêàçàòåëüñòâî. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì Eξi = 0. Äîêàæåì äëÿ íà÷àëà, ÷òî Eξi4 ≤ M ⇒ E( n ξi )4 ≤ cM n2 . i=1 E( n ξ i )4 = i=1 n E(ξi4 ) + E(ξi ξk ξj ξm ) i=j =k=m = n E(ξi )4 + + = íåçàâèñèìîñòü i=1 E(ξi )4 + i=j E(ξi )2 E(ξj )2 E(ξi )2 Eξj Eξk + i=j =k Eξi Eξk Eξj Eξm i=j =k=m n E(ξi2 ξj ξk )+ i=j =k E(ξi )2 E(ξj )2 + i=j i=1 E(ξi2 ξj2 ) + i=j i=1 + ≤ íåð. Ëÿïóíîâà n i=1 = Eξi =0 E(ξi )4 + n n (E(ξi )4 )1/2 ≤ i=1 ≤ M n2 (1 + 1/n) Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäñòâèåì èç êðèòåðèÿ ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå è íåðàâåíñòâîì Ìàðêîâà ñ ôóíêöèåé g(x) = x4 . n ∞ n ∞ ∞ E( i=1 ξi )4 cM n2 P (| ξi | ≥ nε) ≤ ≤ < ∞. 4 (εn) (εn)4 n=1 n=1 n=1 i=1 ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ $ Ïðèâåäåì åùå äâå òåîðåìû Êîëìîãîðîâà îá óñèëåííîì çàêîíå áîëüøèõ ÷èñåë áåç äîêàçàòåëüñòâà. n Îáîçíà÷èì Sn = i=1 ξi . Òåîðåìà (Êîëìîãîðîâà äëÿ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí) . Ïóñòü {ξn }n∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è E|ξi | < ∞. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí óäîâëåòâîðÿåò óñèëåííîìó áîëüøèõ ÷èñåë çàêîíó ãäå m = Eξi . Òåîðåìà (Êîëìîãîðîâà äëÿ íåîäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí) . Ïóñòü {ξn }n∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïóñòü {bn }n∈N ïîñëåäîâàòíåëüíîñòü, òàêàÿ ÷òî bn > 0, bn ∞. Òîãäà âåðíû ñëåäóþùèå èìïëèêàöèè Sn → m, n → ∞, n ï.í. ∞ Dξn Sn − ESn <∞ ⇒ → 0; ï.í. b2n bn n=1 â ÷àñòíîñòè, ∞ Dξn Sn − ESn → 0 <∞ ⇒ ï.í. n2 n n=1 òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë. óñèëåííîìó Î. Å. Ùåðáàêîâà $ 19. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè Ðàññìîòðèì êîìïëåêñíîçíà÷íûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ζ = ξ + iη , ïî îïðåäåëåíèþ ïîëîæèì Eζ = Eξ + iEη . Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ |ζ|2 = ξ 2 + η 2 , E|ζ|2 < ∞ ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (ζ1 , ζ2 ) = Eζ1 ζ2 . → Ïóñòü − ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ñëó÷àéíûé âåêòîð − → ξ : (Ω, F, P ) → (Rn , B(Rn )), Îïðåäåëåíèå 19.1. åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé áóäåì íàçûâàòü → − − (t) = Eei(t, ξ ) , t ∈ Rn . ϕ→ ξ  ÷àñòíîñòè, õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ : (Ω, F, P ) → (R, B(R)) íàçîâåì 19.1. ϕξ (t) = Eeitξ , t ∈ R. Ñâîéñòâà õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. (1) Åñëè η = aξ + b, òî ϕη (t) = Eeit(aξ+b) = eitb ϕξ (at). n (2) Åñëè ξ1 , . . . , ξn - íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, Sn = i=1 ξi , òî n ϕSn (t) = i=1 ϕξi (t). ϕSn (t) = E exp(it( n n i=1 n Eeitξi (t) = ξi )) = i=1 ϕξi (t). i=1 Òåîðåìà. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ è õàðàêòåðåñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ϕ(t) = Eeitξ . Òîãäà èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ñâîéñòâà (1) |ϕ(t)| ≤ ϕ(0) = 1, ∀t ∈ R; (2) ϕ(t) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà ïî t ∈ R; (3) ϕ(t) = ϕ(−t) (4) ϕ(t) - âåùåñòâåííîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàñïðå äåëåíèå Fξ ñèììåòðè÷íî ( B dFξ = −B dFξ , B ∈ B(R), −B = {−x, x ∈ B}); (5) Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî n ≥ 1 E|ξ|r < ∞, òî ïðè âñåõ r ≤ n ñóùåñòâóþò ïðîèçâîäíûå ϕ(r) (t) ϕ(r) (t) = R (ix)r eitx dFξ (x), Eξ r = ϕ(t) = n (it)r r=0 r! Eξ r + ϕ(r) (0) , ir (it)n εn (t), |εn (t)| ≤ 3E|ξ|n , εn (t) → 0; t→0 n! (6) Åñëè ñóùåñòâóåò è êîíå÷íà ϕ(2n) (0), òî Eξ 2n < ∞; ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ (7) Åñëè äëÿ âñåõ n ≥ 1 E|ξ| < ∞ è lim sup òî ïðè âñåõ (E|ξ|n )1/n = 1/T < ∞, n |t| < T ϕ(t) = 19.2. $! n ∞ (it)n n Eξ . n! n=0 Ïðèìåðû õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé. (1) Ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ξ ∈ B(p), ϕξ (t) = peit + q (2) Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ξ ∈ Bn (p), ξ = n ξk , ξk ∈ B(p), ϕξ (t) = (peit + q)n k=1 (3) Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ξ ∈ π(λ), ϕξ (t) = ∞ it λn e−λ+int = e−λ(1−e ) n! n=1 (4) Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ξ ∈ U[a,b] , ϕξ (t) = b a eitb − eita eitx dx = b−a it(b − a) Ðàâíîìåðíîå ñèììåòðè÷íîå ðàñïðåäåëåíèå a itx e eita − e−ita sin(ta) ξ ∈ U[−a,a] , ϕξ (t) = dx = = 2ita ta −a 2a (5) Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ∞ λex(it−λ) dx = ξ ∈ E(λ), ϕξ (t) = 0 λ it − λ (6) Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ξ0 ∈ N (0, 1) 1 ϕξ0 (t) = √ 2π ∞ 2 e−x −∞ ξ ∈ N (a, σ 2 ), ξ0 = 2 /2+itx e−t /2 dx = √ 2π ∞ e− (x−it)2 2 dx = e−t −∞ 2 ξ−a , ξ = σξ0 + a, ϕξ (t) = eita−(tσ) /2 . σ 2 /2 Î. Å. Ùåðáàêîâà $" Ôîðìóëà îáðàùåíèÿ. Òåîðåìà (Ôîðìóëà îáðàùåíèÿ). Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ñ ôóíêöèåé ðàñ19.3. ïðåäåëåíèÿ F è õàðàêòåðåñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ϕ(t) = Eeitξ . Òîãäà â êàæäûõ äâóõ òî÷êàõ a, b, (a < b), ãäå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F íåïðåðûâíà, ïîëó÷èì F (b) − F (a) = lim (2) c→∞ Åñëè ∞ −∞ 1 2π c −c e−ita − e−itb ϕ(t)dt. it |ϕ(t)|dt < ∞, òî ñóùåñòâîâåò ïëîòíîñòü f ðàñïðåäåëåíèÿ è áóäåì èìåòü òàêóþ ôîðìóëó (3) f (x) = 1 2π ∞ e−itx ϕ(t)dt. −∞ Çàìå÷àíèå 19.1. Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëà 3 åñòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îò ôóíêöèè ∞ ϕ(t) = eitx f (x)dx. −∞ Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Ôóáèíè, ïîëó÷èì b F (b) − F (a) = 1 2π a ∞ b [ −∞ Äîêàçàòåëüñòâî. e−itx dx]ϕ(t)dt = a Φc = 1 2π 1 2π ∞ [ a 1 2π e−itx ϕ(t)dt]dx = −∞ ∞ −ita e −∞ ∞ −∞ 1 2π c −c −ita e−ita − e−itb it ∞ − e−itb ϕ(t)dt. it eitx f (x)dxdt = −∞ ∞ − e−itb itx e dtdF (x) = ψc (x)dF (x), it −c −∞ c −ita e − e−itb itx 1 e dt. ψc = 2π −c it c e Âîñïîëüçîâàëèñü òåîðåìîé Ôóáèíè, ïîñêîëüêó | b Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ c −ita e − e−itb 1 ϕ(t)dt Φc = 2π −c it Áóäåì èìåòü = f (x)dx = b e−ita − e−itb e−ita − e−itb itx e |=| |=| e−itx dx| ≤ b − a it it a ∞ c (b − a)dtdF (x) ≤ 2c(b − a) < ∞ −∞ −c ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ Çàìåòèì, ÷òî $# c sin t(x − a) − sin t(x − b) 1 dt = 2π −c t c(x−a) c(x−b) 1 sin t sin t 1 dt − dt = 2π −c(x−a) t 2π −c(x−b) t ψc = Ôóíêöèÿ t sin x dx → π, t ↑ ∞, s ↓ −∞. x ⎧ x < a ∨ x > b; ⎨ 0, 1/2, x = a ∨ x = b; ψc (t) → ψ(t), c → ∞, ψ(t) = ⎩ 1, a < x < b. μ ìåðà íà (R, B(R)), òàêàÿ ÷òî μ[a, b) = F (b) − F (a). Òàêèì g(t, s) = Òîãäà Ïóñòü c→∞ s ïîëó÷àåì Φc = ∞ −∞ ψc (x)dF (x) → c→∞ ∞ −∞ îáðàçîì, ïðè 1 1 ψ(t)dF (t) = μ(a, b) + μ{a} + μ{b} = 2 2 1 = F (b) − F (a + 0) + (F (a + 0) − F (a) + F (b + 0) − F (b)) = 2 F (b + 0) − F (b) F (a + 0) − F (a) = − = F (b) − F (a). íåïðåðûâíîñòü 2 2 ×òî è äîêàçûâàåò ôîðìóëó 2. Äîêàæåì âòîðîóþ ÷àñòü òåîðåìû, èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ìàæîðàíòíîé ñõîäèìîñòè è òåîðåìó Ôóáèíè, b f (x)dx = 1 2π a b ∞ [ −∞ 1 2π b ∞ [ e−itx dx]ϕ(t)dt = lim a = lim c→∞ 1 2π c→∞ c −c e−itx ϕ(t)dt]dx = −∞ a 1 2π c b [ −c e−itx dx]ϕ(t)dt = a e−ita − e−itb ϕ(t)dt = F (b) − F (a). it Èç òåîðåìû î ôîðìóëå îáðàùåíèÿ âûòåêàåò òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè. Òåîðåìà (Åäèíñòâåííîñòè). Ïóñòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F è G èìåþò îäíó õàðàêòåðåñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ∞ ϕ(t) = −∞ eitx dF (x) = ∞ −∞ eitx dG(x), ∀t ∈ R. Òîãäà F (t) = G(t), ∀t ∈ R. Òåîðåìà. Êîìïîíåíòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà íåçàâèñèìû ⇔ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé åãî êîìïàíåíò. Îá îñîáåííîñòÿõ ñåìåéñòâà õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ãîâîðÿò ñëåäóþùèå òåîðåìû. Î. Å. Ùåðáàêîâà $$ Òåîðåìà (Áîõíåðà-Õèí÷èíà). Ïóñòü ôóíêöèÿ ϕ(t) íåïðåðûâíà ïðè âñåõ t ∈ R è ϕ(0) = 1 Òîãäà ϕ(t) - õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ⇔ ϕ(t) - íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ, òî åñòü äëÿ ëþáûõ âåùåñòâåííûõ t1 , . . . , t1 è ëþáûõ êîìïëåêñíûõ λ1 , . . . , λ1 , n ≥ 1 áûëî áû âûïîëíåíî n ϕ(ti − tj )λi λj ≥ 0. i,j=1 Òåîðåìà (Ìàðöèíêåâè÷à). Åñëè õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä ϕ(t) = ìíîãî÷ëåí, òî ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà íå ìîæåò áûòü áîëüøå exp{P(t)}, ãäå P(t) äâóõ deg P(t) ≤ 2. Òåîðåìà (Ïîéÿ). Ïóñòü ôóíêöèÿ ϕ(t) íåïðåðûâíà ïðè âñåõ t ∈ R, ÷åòíà, âûïóêëà âíèç ϕ(t) ≥ 0, ϕ(t) → 0, t → ∞ è ϕ(0) = 1. Òîãäà ϕ(t) - õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 20. $% Ñõîäèìîñòü ðÿäîâ èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Îïðåäåëåíèå 20.1. Ïóñòü {ξn}n∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àé- íûõ âåëè÷èí, çàäàííûõ íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, F, P ), Fn - σ-àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ξn , ξn+1 , . . .. Òîãäà σ-àëãåáðà F = ∩∞ n=1 Fn íàçûâàåòñÿ îñòàòî÷íîé σ-àëãåáðîé îòíîñèòåëüíî {ξn }n∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, à ëþáîå ñîáûòèå èç ýòîé σ-àëãåáðû - îñòàòî÷íûì ñîáûòèåì. Òåîðåìà (çàêîí "0"èëè "1"Êîëìîãîðîâà) . Ëþáîå îñòàòî÷íîå ñîáûòèå èìååò âåðîÿòíîñòü 0 èëè 1. ∞  ÷àñòíîñòè, èç ýòîãî çàêîíà ñëåäóåò, ÷òî ðÿä n=1 ξn èç íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ëèáî ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ñõîäèòñÿ ëèáî ðàñõîäèòñÿ. ∞ ("î äâóõ ðÿäàõ") Äëÿ ñõîäèìîñòè ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ðÿäà n=1 ξn Òåîðåìà . èç íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí äîñòàòî÷íî ñõîäèìîñòè äâóõ ðÿäîâ ∞ Eξn , n=1 ∞ Dξn . n=1 Åñëè äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû supn P (|ξn | > c) äëÿ íåêîòîðîãî c > 0, òî ýòè óñëîâèÿ ñòàíóò íåîáõîäèìûìè. Ïóñòü c > 0, ξ - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îáîçíà÷èì ξc = ξ, 0, åñëè |ξ| ≤ c : åñëè |ξ| > c. Òåîðåìà ("î òðåõ ðÿäàõ"). Äëÿ ñõîäèìîñòè ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ðÿäà ∞n=1 ξn èç íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íåîõîäèìî, ÷òîáû ñõîäèäèëèü òðè ðÿäà äëÿ ëþáîãî c > 0 ∞ ∞ ∞ n=1 Eξnc , n=1 Dξnc , è äîñòàòî÷íî äëÿ íåêîòîðîãî c > 0. n=1 P (|ξn | ≥ c), Î. Å. Ùåðáàêîâà $& 21. Ìåòîä õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà (ÖÏÒ) Òåîðåìà (Õèí÷èíà). Ïóñòü {ξn }n∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è Eξi = a. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç êîíå÷íîñòè ïåðâîãî ìîìåíòà ñëåäóåò ðàçëîæåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ϕξi (t) = ϕ(t) = 1 + ita + o(t), t → 0. Èñïîëüçóÿ íåçàâèñèìîñòü, ïîëó÷èì t t ita + o( ))n → eita . ϕ n1 ni=1 ξi (t) = (ϕ( ))n = (1 + n→∞ n n n Çàìåòèì, ÷òî eita - õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ξ : P (ξ = a) = 1. 0, x ≤ a; 1, x > a. Fξ = Ñëåäîâàòåëüíî, ìû äîêàçàëè, ÷òî åñòü ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü n1 Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî åñòü è ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè. Ïóñòü ε > 0, òîãäà n i=1 ξi d → ξ. 1 ξi − a| < ε) = n i=1 n P (| = F n1 ni=1 ξi (a + ε) − F n1 ni=1 ξi (a − ε) → Fξ (a + ε) − Fξ (a − ε) = 1 n→∞ Ïîñêîëüêó ó ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ξ åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ðàçðûâà a, òî òî÷êè a + ε, a − ε áóäóò òî÷êàìè íåïðåðûâíîñòè, à â íèõ áóäåò ñõîäèìîñòü ïî ðàñïðåäåëåíèþ. Òåîðåìà (ÖÏÒ äëÿ í.î.ð.ñ.â.). Ïóñòü {ξn }n∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è Eξi = a, Dξi = σ 2 < ∞. Òîãäà ñïðàâåäëèâà öåíòðàëüíàÿ n äðóãèìè ñëîâàìè, P( Äîêàçàòåëüñòâî. ÷åñêîé ôóíêöèè ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà i=1 (ξi − a) d √ → ξ ∈ N (0, 1), σ n n − a) 1 < x) → √ σ n 2π i=1 (ξi √ x e−t 2 /2 dt = Φ(x). −∞ Èç êîíå÷íîñòè äèñïåðñèè ñëåäóåò ðàçëîæåíèå õàðàêòåðèñòè- ϕξi −a (t) = ϕ(t) = 1 − σ 2 t2 + o(t2 ), t → 0. ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ $' Èñïîëüçóÿ íåçàâèñèìîñòü, ïîëó÷èì ϕ σ 1 √ n n i=1 (ξi −a) 2 t2 t t2 (t) = (ϕ( √ ))n = (1 − + o( ))n → e−t /2 . n→∞ n n σ n Çàìåòèì, ÷òî e−t /2 - õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû äîêàçàëè, ÷òî åñòü ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü σ√(ξn−a) N (0, 1). 2 n i=1 i d → ξ ∈ Èíòåãðàëüíóþ òåîðåìó Ìóàâðà-Ëàïëàñà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 21. Òåîðåìà (Ëèíäåáåðãà). Ïóñòü {ξn }n∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è Eξi = ai , Dξi = σi2 < ∞, Dn2 = n σi2 . i=1 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 äðîáü Ëèíäåáåðãà n 1 (x − ai )2 dFi (x) → 0. n→∞ Dn2 i=1 |x−ai |>εDn Òîãäà ñïðàâåäëèâà öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Sn − ESn d √ → ξ ∈ N (0, 1), Sn = ξi , DSn i=1 n äðóãèìè ñëîâàìè, P( n − ai ) i=1 (ξi Dn 1 < x) → √ 2π x e−t 2 /2 dt = Φ(x). −∞ ðèâåäåì åùå îäíó òåîðåìó, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåîðåìû Ëèíäåáåðãà. Ñëåäñòâèå 2 (Òåîðåìà Ëÿïóíîâà). Ïóñòü {ξn }n∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è Eξi = ai , Dξi = σi2 < ∞, Dn2 = n σi2 . i=1 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò δ > 0, òàêîå ÷òî äðîáü Ëÿïóíîâà n 1 E|ξi − ai |2+δ → 0. n→∞ Dn2+δ i=1 Òîãäà ñïðàâåäëèâà öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Sn − ESn d √ → ξ ∈ N (0, 1), Sn = ξi . DSn i=1 n Î. Å. Ùåðáàêîâà % Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ε > 0, òîãäà E|ξi − ai |2+δ = ≥ |x−ai |>εDn Ñëåäîâàòåëüíî, ∞ |x − ai |2+δ dFi (x) ≥ |x − ai |2+δ dFi (x) ≥ εδ Dnδ |x − ai |2 dFi (x) −∞ |x−ai |>εDn n n 1 1 (x − ai )2 dFi (x) ≤ E|ξi − ai |2+δ → 0. 2+δ 2 n→∞ Dn i=1 |x−ai |>εDn εδ Dn i=1 ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 22. % Ïîíÿòèå âûáîðêè, ñòàòèñòèêè. Âûáîðî÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, âûáîðî÷íûå ìîìåíòû. Òåîðåìà Ãëèâåíêî-Êàíòåëëè Âûáîðêîé îáúåìà n íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà , çàäàííîãî íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (ξ1 , . . . , ξn ) : (X n , F n , Pθn ) - äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè ïðîñòðàíñòâ (X , F, Pθ ) ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fθ , ãäå θ ∈ Θ íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñòàòèñòèêîé T íàçûâàþò ëþáóé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó çàäàííóþ íà X n , T : X n → Rk . Ðàññìîòðèì ñëåäóùóþ ñòàòèñòèêó äëÿ âûáîðêè (x1 , . . . , xn ) c ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F , íàçûâàåìóþ âûáîðî÷íîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ , êîòîðóþ ìîæíî çàäàòü òàê: n I{xi <t} (t) ÷èñëî xi < t = Fn (t) = i=1 n n Çàìåòèì, ÷òî EI{xi <t} = 1 · P (xi < t) + 0 · P (xi ≤ t) = F (t). Òîãäà ïî Ç.Á.×. Õèí÷èíà áóäåì èìåòü Fn (t) −→ F (t), ∀ t ∈ R; P è ïî Ó.Ç.Á.×. Êîëìîãîðîâà áóäåì èìåòü Fn (t) −→ F (t), ∀ t ∈ R. ï.í. Òåîðåìà. Âûáîðî÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè áåñêîíå÷íîì âîçðàñòàíèè îáúåìà âûáîðêè ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè ðàâíîìåðíî ïî âñåì t∈R P( sup −∞<t<+∞ |Fn (t) − F (t)| −→ 0) = 1 n→∞ Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì äëÿ ïðîñòîòû ëèøü ñëó÷àé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå k ∈ N. m=0 m+1 Ïðåäñòàâèì äðîáëåíèå èíòåðâàëà (0, 1] = k−1 ( m k , k ] è îáîçíà÷èì tm ïðîm îáðàçû òî÷åê äðîáëåíèÿ F (tm ) = k , t0 = −∞, tk = +∞. ∀t ∈ R ∃m ∈ 0, . . . , k : t ∈ (tm , tm+1 ). Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü âûáîðî÷íîé è ðåàëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ó÷èòûâàÿ èõ âîçðàñòàíèå. Î. Å. Ùåðáàêîâà % Fn (t) − F (t) ≤ Fn (tm+1 ) − F (tm ) = Fn (tm+1 ) − F (tm+1 ) + F (tm+1 ) − F (tm ) ≤ 1 Fn (tm+1 ) − F (tm+1 ) + ; k Fn (t) − F (t) ≥ Fn (tm ) − F (tm+1 ) = Fn (tm ) − F (tm ) + F (tm ) − F (tm+1 ) ≤ 1 Fn (tm ) − F (tm+1 ) − ; k 1 sup|Fn (t) − F (t)| ≤ max |Fn (tm+1 ) − F (tm+1 )| + . k m=0,k−1 t∈R Îáîçíà÷èì ñîáûòèÿ Al = {Fn (tl ) − F (tl ) n→∞ −→ 0}. Òîãäà ïî òåîðåìå Êîëìîãîðîâà Ó.Ç.Á.×. P (Al ) = 1, ∀l ∈ 0, . . . , k, ñëåäîâàòåëüíî, P (kl=0 Al ) = 1. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ∀ω ∈ Al , ∀l ∈ 0, . . . , k ∃n(ω) : ∀n > n(ω) ⇒ |Fn (tl ) − F (tl | ≤ Òàêèì îáðàçîì, P( sup −∞<t<+∞ |Fn (t) − F (t)| ≤ 1 . k 2 −→ 0) = 1; k k→∞ Ïóñòü V (F ) - íåêîòîðàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàñïðåäåëåíèÿ, íàïðèìåð, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èëè äèñïåðñèÿ. Òîãäà ìîæíî ðàññìîòðåòü ñòàòèñòèêó V (Fn ) = I (t) ) - îöåíêó õàðàêòåðèñòèêè V (F ). V( n  ÷àñòíîñòè, åñëè n i=1 {xi <t} V (F ) = Exn = òî V (Fn ) = xdF (x), R 1 xi = x n i=1 n R xdFn (x) = - âûáîðî÷íîå ñðåäíåå - îöåíêà äëÿ ìàò îæèäàíèÿ. Åñëè òî V (F ) = Exkn = V (Fn ) = xk dF (x), R 1 k x n i=1 i n R xk dFn (x) = - âûáîðî÷íûé k-òûé ìîìåíò - îöåíêà äëÿ k-òîãî ìîìåíòà. Åñëè òî V (F ) = E(xn − Exn )k = V (Fn ) = R (x − Exn )k dF (x), 1 (xi − x)k n i=1 n R (x − x)k dFn (x) = - âûáîðî÷íûé k-òûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò - îöåíêà äëÿ k-òîãî öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà. Âòîðîðîé öåíòðàëüíûé âûáîðî÷íûé ìîìåíò - âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ. ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ s2n = %! 1 (xi − x)2 n i=1 n R (x − x)2 dFn (x) = Òèïû ñòàòèñòèê: íåñìåùåííîñòü, ñîñòîÿòåëüíîñòü, íîðìàëüíîñòü. Òåîðåìà î âûáîðî÷íîì ñðåäíåì è âûáîðî÷íîé äåñïåðñèè 23. Ïóñòü ó íàñ åñòü âûáîðêà (x1 , . . . , xn ), V (F ) - íåêîòîðàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàñïðåäåëåíèÿ, åå îöåíêà - ñòàòèñòèêà Tn . Òîãäà ðàçëè÷àþò ñëåäóþùèå òèïû ñòàòèñòèê: (1) Íåñìåùåííàÿ ñòàòèñòèêà - Tn , åñëè ETn = V (F ). Àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåùåííàÿ ñòàòèñòèêà - Tn , åñëè ETn −→ V (F ). (2) (3) n→∞ V (F ). Ñèëüíî ñîñòîÿÑîñòîÿòåëüíàÿ ñòàòèñòèêà - Tn , åñëè Tn −→ P òåëüíàÿ ñòàòèñòèêà - Tn , åñëè Tn ï.í. −→ V (F ). Àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíàÿ ñòàòèñòèêà - Tn , åñëè √n(Tn −V (F )) −→ d N (0, σ 2 (V (F ))). Òàêèì îáðàçîì âûáîðî÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ - íåñìåùåííàÿ è ñèëüíî ñîñòîÿòåëüíàÿ ñòàòèñòèêà äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì òåîðåìû î ñâîéñòâàõ ñðåäíåãî è âûáîî÷íîé äèñïåðñèè. Òåîðåìà. Ïóñòü äàíà âûáîðêà (x1 , . . . , xn ) c ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F è E|xn | < ∞. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: (1) x íåñìåùåííàÿ îöåíêà äëÿ Exn (2) x ñèëüíî ñîñòîÿòåëüíàÿ äëÿ Exn (3) Åñëè Ex2n < ∞, òî x àñèìïòîòè÷åñêè-íîðìàëüíàÿ äëÿ n Exn n 1 1 Äîêàçàòåëüñòâî. (1) Íåñìåùåííîñòü: Ex = E n i=1 xi = n i=1 xi = Exn . (2) Ïîñêîëüêó E|xn | < ∞, òî ïî òåîðåìå Êîëìîãîðîâà (Ó.Ç.Á.×.) ñëåäóåò ñèëüíàÿ ñîñòîÿòåëüíîñòü 1 xi −→ Exn . n i=1 ï.í. n (3) Ïî Ö.Ï.Ò. äëÿ í.î.ð.ñ.â ïîëó÷èì àñèìïòîòè÷åñêóþ íîðìàëüíîñòü: √ n n(x − Exn ) = − Exi ) −→ N (0, σ 2 ) d n i=1 (xi √ Òåîðåìà. Ïóñòü äàíà âûáîðêà (x1 , . . . , xn ) c ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íå÷íîé äèñïåðñèåé σ 2 = Dxn < ∞. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: (1) s2n àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåùåííàÿ îöåíêà äëÿ σ 2 (2) s2n ñîñòîÿòåëüíàÿ äëÿ σ 2 (3) Åñëè Ex4n < ∞, òî s2n àñèìïòîòè÷åñêè-íîðìàëüíàÿ äëÿ σ2 F è êî- Î. Å. Ùåðáàêîâà %" Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó ñäâèã íå ìåíÿåò âûáîðî÷íóþ äèñïåð- ñèþ, 1 ((xi − a) − (x − a))2 n i=1 n s2n = òî ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî Exn = 0, E(x2n − σ2 )2 = Dσ 2 . (1) Àñèìïòîòè÷åñêàÿ íåñìåùåííîñòü: Es2n = E (2) n 1 2 1 1 n−1 2 σ . x − Ex2 = σ 2 − 2 E(xi xj ) = σ 2 − σ 2 = n i=1 i n i,j n n Es2n −→ σ 2 . n→∞ P (|s2n − σ 2 | > ) = P (| n P (| 2 i=1 (xi − σ2 ) n n 2 i=1 (xi − x2 | > ) ≤ | > /2) + P (|x2 | > /2) = p1 + p2 , p1 −→ 0, p2 = P (|x2 | > /2) ≤ (3) − σ2 ) n 2σ 2 2E(x2 ) = → 0. n Ëåììà 23.1. ξn −→ ξ, ηn −→ 0 ⇒ ξn + ηn −→ ξ Äîêàçàòåëüñòâî. ÷åñêèõ ôóíêöèé P d d Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòè- |fξn +ηn (t) − fξ (t)| = |fξn +ηn (t) − fξn (t)| + |fξn (t) − fξ (t)| −→ 0; n→∞ |fξn +ηn (t) − fξn (t)| ≤ E|eitξn (eitηn − 1)| −→ 0, |eitξn (eitηn − 1)| ≤ 2. n→∞ Añèìïòîòè÷åñêóþ íîðìàëüíîñòü: √ n(s2n − σ 2 ) = n i=1 (xi − x)2 − σ 2 ) √ = n n 2 i=1 (xi √ n − σ2 ) − √ nx2 = ξn + ηn −→ N (0, Dσ 2 ) d Ïî Ö.Ï.Ò. äëÿ í.î.ð.ñ.â ïîëó÷èì n − σ2 ) −→ N (0, 1). d nDσ 2 √ √ 2 n i,j Exi xj √ 2 σ2 E( nx ) = = √ → 0. ηn −→ 0 : P ( nx > ) ≤ P n2 n ξn = 2 i=1 (xi √ ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 24. %# Ïîðÿäêîâûå ñòàòèñòèêè èëè Âàðèàöèîííûé ðÿä Ïóñòü äàíà âûáîðêà (x1 , . . . , xn ), óïîðÿäî÷èì åå ïî âîçðàñòàíèþ: x(1) = min{x1 , . . . , xn }, x(2) = min({x1 , . . . , xn } \ {x(1) }), ∗∗∗ x(k) = min({x1 , . . . , xn } \ {x(1) , . . . , x(k−1) }), ∗∗∗ x(n) = max{x1 , . . . , xn }. Òîãäà (x(1) , . . . , x(n) ) íàçîâåì âàðèàöèîííûì ðÿäîì èëè ïîðÿäêîâûìè ñòàòèñòèêàìè. Ðàíãîì ïîðÿäêîâîé ñòàòèñòèêè íàçîâåì íîìåð ÷ëåíà âàðèàöèîííîãî ðÿäà â ïåðâîíà÷àëüíîé âûáîðêå: Ri = k, åñëè x(i) = xk . Ñðåäíèìè ÷ëåíàìè âàðèàöèîííîãî ðÿäà íàçîâåì x(k) : nk → p ∈ (0, 1), êðàéíèìè - x(k) : nk → 0 ∨ 1. Íàéäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòü k -òîé ïîðÿäêîâîé ñòàòèñêèêè Fx(k) (t) = P (x(k) < t) = P (ïî êðàéíå ìåðå k èç xi < t) = P( n I(xi <t) (t) ≥ i) = i=k n Cni F (t)i (1 − F (t))n−i i=k px(k) (t) = Fx(k) (t) = n iCni F (t)i−1 (1 − F (t))n−i − i=k n (n − (n − i)Cni F (t)i (1 − F (t))n−i−1 = kCnk F (t)k−1 (1 − F (t))n−k − i=k k)Cnk F (t)k (1 − F (t))n−k−1 + (k − 1)Cnk−1 F (t)k (1 − F (t))n−k−1 − kCnk F (t)k−1 (1 − F (t))n−k . ... = Îñòàåòñÿ òîëüêî ïåðâîå ñëàãàåìîå - îñòàëüíûå ñîêðàùàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì. Ïðèìåð 24.1. Ðàññìîòðèì âûáîðêó èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ xi ∈ U[0,1] . Íàéäåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå k -òîé ïîðÿäêîâîé ñòàòèñòèêè èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. px(k) (t) = kCnk xk−1 (1 − x)n−k ; Ex(k) = kCnk 1 0 xxk−1 (1 − x)n−k dx = kCnk B(k + 1, n − k + 1) = n!k!(n − k)! k kCnk Γ(k + 1)Γ(n − k + 1) = = Γ(n + 2) (k − 1)!(n − k)!(n + 1)! n+1 Ðàññìîòðèì íîâóþ âûáîðêó ïîëó÷åííóþ äåéñòâèåì ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íà ïåðâîíà÷àëüíóþ. Ïðè äåéñòâèè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèé âàðèàöèîííûé ðÿä Î. Å. Ùåðáàêîâà %$ ïðåâðàùàåòñÿ â íîâûé âàðèàöèîííûé ðÿä, ïðè÷åì âàðèàöèîííûé ðÿä ñîñòàâëåííûé èç âûáîðêè ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîêàæåì ýòî. (x1 , . . . , xn ), (F (x1 ), . . . , F (xn )) = (Y1 , . . . , Yn ) (x(1) , . . . , x(n) ) (F (x(1) ), . . . , F (x(n) )) = (Y(1) , . . . , Y(n) ). FYk (t) = P (Yk < t) = P (F (xk ) < t) = P (xk < F −1 (t)) = F (F −1 (t)) = t ⇒ Yk ∈ U[0,1] . Òîãäà EF (x(k) ) = EY(k) = Ïðèìåð 24.2. E(1), F (t) = k k ⇒ x(k) ≈ F −1 ( ). n+1 n+1 Ðàññìîòðèì âûáîðêó èç ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ 0, 1 − e−t , xi ∈ t < 0; t ≥ 0. Fx(n) = F (t)n P (x(n) < t + ln n) = F (t + ln n)n = 0, t + ln n < 0; −t (1 − e−t−ln n )n → e−e , t + ln n ≥ 0 P (x(n) < t + ln n) → e−e −t Àñèìïòîòèêà êðàéíåãî ÷ëåíà - ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà-Ãíåäåíêî. Òåîðåìà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî nk → p ∈ (0, 1) Ïóñòü êâàíòèëü xp ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f âûáîðêè. Òîãäà n f (xp )(x(k) − xp ) −→ N (0, 1). d p(1 − p) : F (xp ) = p, ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 25. %% Âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. χ ðàñïðåäåëåíèå è ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà. Ëåììà Ôèøåðà 2 Ïóñòü ó íàñ äàíû íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ0 , ξ1 , . . . , ξn , ξi ∈ N (0, 1) èç ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà. χ2 ðàñïðåäåëåíèåì ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íàçîâåì ðàñïðåäåëåíèå ñîîòâåòñòâóþùåå n χ2n = ξi2 d i=1 Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ χ2 ðàñïðåäåëåíèÿ áóäóò òàêèìè: ⎧ ⎨ 0, x < 0; n −1 − t2 kn (t) = ⎩ t 2 n e n 2 , x ≤ 0. 2 2 Kn (t) = P (χ2n < t) = Γ( 2 ) 0 t x2 x 2 −1 e− 2 dx, t > 0 n 2 2 Γ( n2 ) n Ãðàôèê ïëîòíîñòè ìîæíî óâèäåòü íà ðèñóíêå 25 Ãðàôèê ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî óâèäåòü íà ðèñóíêå 25 Ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íàçîâåì ðàñïðåäåëåíèå ñîîòâåòñòâóþùåå ξ0 ξ0 tn = = n χ2n 1 2 ξ i=1 i n n Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû áóäóò òàêèìè: 2 n+1 t − 2 Γ( n+1 2 )(1 + n ) √ , πnΓ( n2 ) t n+1 x2 − n+1 Γ( 2 )(1 + n ) 2 √ dx, t > 0 Sn (t) = P (χ2n < t) = πnΓ( n2 ) 0 sn (t) = Î. Å. Ùåðáàêîâà %& Ãðàôèê ïëîòíîñòè ìîæíî óâèäåòü íà ðèñóíêå 25 Ãðàôèê ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî óâèäåòü íà ðèñóíêå 25 Ëåììà 25.1 (Ôèøåðà). Ïóñòü ó íàñ åñòü âûáîðêà x1, . . . , xn, xi ∈ N (a, σ2) íîðìàëüíîãî çàêîíà. Òîãäà√ (1) n x−a σ ∈ N (0, 1); (2) x, s2n - íåçàâèñèìû; (3) √nsσ ∈ χ2n−1 ; ∈ tn−1 . (4) n − 1 x−a s Äîêàçàòåëüñòâî. (1) 2 n 2 n n √ n √ x−a (xi − a) n i=1 (xi − a) = = i=1 √ n ∈ N (0, 1) σ σ n σ n Ïî Ö.Ï.Ò. (2) x, s2n = ni=2 ξi2 - íåçàâèñèìû; d èç ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ (3) Ïóñòü %' Exn = a = 0. n n √ x2 x2 n n ns2n = 2 ( i=1 i − x2 ) = 2 ( i=1 i ) − ( nx)2 = 2 σ σ n σ n n n n n 2 x i=1 xi √ i )2 = −( ξi2 − ξ12 = ξi2 ∈ χ2n−1 d d σ2 n i=1 i=1 i=2 Ëåììà 25.2. Ïóñòü âåêòîð X ∈ N (O, I) íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåí è ìàòðèöà C îðòàãîíàëüíà (C · C T = I ), è Y Òîãäà Y ∈ N (O, I) (4) = CX . = ( Ïóñòü X x1 , . . . , x n ), x i = xσi . √ = (y1 , . . . , yn )t , y1 = √1 n x Y = CX n x i=1 i = n Y èìåþò îäèíàêîâîå ðàñïðåäåëåíèå. Òîãäà X, √ √ n − 1 x−a n x−a2 = ξ20 ∈ tn−1 . sn = σ nsn (n−1)σ 2 d χ n−1 n−1 Î. Å. Ùåðáàêîâà & 26. Ñïèñîê âîïðîñîâ ïî "Òåîðèè Âåðîÿòíîñòåé" (1) Èñòîðèÿ ðàçâèòèÿ Òåîðèè Âåðîÿòíîñòåé. (2) Àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè, ïîíÿòèå σ -àëãåáðû, ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè. Òåîðåìà î ðàâíîñèëüíîñòè ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè è íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè êàê ìåðû. (3) Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè, ïðèìåðû âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ðàçëè÷íûå ìîäåëè ðàçìåùåíèé. (4) Ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. Ïðèìåðû: • çàäà÷à Áþôôîíà, • ïàðàäîêñ Áåðòðàíà. (5) Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé, óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, ôîðìóëà Áàéåñà. Ðàçëè÷íûå âèäû íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé, ïðèìåðû. Óðíîâàÿ ñõåìà Ëàïëàñà. (6) Îïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïîíÿòèå èçìåðèìîé ôóíêöèè. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. (7) Íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè, òåîðåìà Áåðíóëëè. (8) Ëîêàëüíàÿ è èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà, ëåììà î íàèáîëåå âåðîÿòíîì ÷èñëå óñïåõîâ. (9) Òåîðåìà Ïóàññîíà î ñõåìå ñåðèé. (10) Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, îïðåäåëåíèå, ñâîéñòâà. (11) Íåïðåðûâíûå è äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïðåäåëåíèÿ, ïðèìåðû. (12) Òåîðåìà î ïîñòðîåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïî çàäàííîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. (13) Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà â n-ìåðíîì âåùåñòâåííîì ïðîñòðàñòâå, îïðåäåëåíèå, ñâîéñòâà. Íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. (14) Ïîíÿòèå èíòåãðàëà Ñòèëòüåñà. Ôóíêöèÿ îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîíÿòèå ñâåðòêè. (15) Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ äëÿ äèñêðåòíûõ è íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. (16) Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà äèñïåðñèè. Ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ äëÿ äèñêðåòíûõ è íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. (17) Ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Íåðàâåíñòâà, ñâÿçàííûå ñ ìîìåíòàìè. Êîâàðèàöèÿ è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè. Ñâÿçü êîððåëÿöèè è íåçàâèñèìîñòè, ïðèìåð. (18) Ðàçëè÷íûå âèäû ñõîäèìîñòè. Ëîãè÷åñêèå ñâÿçè ìåæäó îïðåäåëåíèÿìè, äîêàçàòåëüñòâî èìïëèêàöèé. Ëåììà Áîðåëÿ-Êàíòåëëè. (19) Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë è óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. Íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà è Ìàðêîâà. ÇÁ× äëÿ ñóìì íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. ÇÁ× äëÿ ñëàáîçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Òåîðåìû Õèí÷èíà è Êîëìîãîðîâà. (20) Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè. Îïðåäåëåíèå, ñâîéñòâà, Òåîðåìà î ôîðìóëå îáðàùåíèÿ. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè. Òåîðåìû î õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóêöèÿõ. (21) Ñõîäèìîñòü ðÿäîâ èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (22) Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà, òåîðåìû Ëèíäåáåðãà, Ëÿïóíîâà, Ëåâè. Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà êàê ñëåäñòâèå ÖÏÒ. ÊÓÐÑ ËÅÊÖÈÉ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ & (23) Ïîíÿòèå âûáîðêè, ñòàòèñòèêè. Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ñòàòèñòèê (íåñìåùåííîñòü, ñîñòîÿòåëüíîñòü, àñèìïòîòè÷åñêàÿ íîðìàëüíîñòü). (24) Òåîðåìà Ãëèâåíêî-Êàíòåëëè. (25) Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ. Òåîðåìà î ñâîéñòâàõ ýòèõ ñòàòèñòèê. (26) Ïîðÿäêîâûå ñòàòèñòèêè, îïðåäåëåíèå, ñâîéñòâà, ïðèìåð ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê äëÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. (27) Ñâîéñòâà âûáîðêè èç íîðìàëüíîãî çàêîíà, ëåììà Ôèøåðà. Îïðåäåëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ è ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà. Î. Å. Ùåðáàêîâà & 27. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû (1) Áîðîâêîâ À.À. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Îöåíêà ïàðàìåòðîâ. Ïðîâåðêà ãèïîòåç. 1984.Ì., "Íàóêà". (2) Áîðîâêîâ À.À. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. 2007. Ìîñêâà. Ôèçìàòëèò. (3) Ãèõìàí È.È., Ñêîðîõîä À.Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. 1977. Ìîñêâà. "Íàóêà". (4) Ãíåäåíêî Á.Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. 2001. Ìîñêâà. Èçäàòåëüñòâî "ÓÐÑÑ" (5) Êîëìîãîðîâ À.Í. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. 1998. Ìîñêâà. Èçäàòåëüñòâî "Ôàçèñ" (6) Êðàìåð Ã. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ñòàòèñòèêè. 1975. Ì., "Ìèð". (7) Ïðîõîðîâ À.Â., Óøàêîâ Â.Ã., Óøàêîâ Í.Ã. Çàäà÷è ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. Ó÷åáíîå ïîñîáèå. 2009. Ìîñêâà. Èçäàòåëüñòâî "ÊÄÓ" (8) Ñåêåé Ã. Ïàðàäîêñû â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. 1990. Èçäàòåëüñòâî "Ìèð" (9) Òèõîìèðîâ Ñ.Ð. Ðàñ÷åòíûå çàäàíèÿ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. 1999. ÑàíêòÏåòåðáóðã. "Íåñòîð". (10) Ôåëëåð Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿ. 1984. Ì., "Ìèð". 1,2 òîì (11) Øèðÿåâ À.Í. Âåðîÿòíîñòü. 1,2 òîì, 2004, Ìîñêâà, Èçäàòåëüñòâî ÌÖÍÌÎ ÈÏÌÌ, ÑàíêòÏåòåðáóðãñêèé Ïîëèòåõíè÷åñêèé Óíèâåðñèòåò Ïåòðà Âåëèêîãî, Ïîëèòåõíè÷åñêàÿ óë. 29, 195251, ÑàíêòÏåòåðáóðã, Ðîññèÿ E-mail address : gale.inferno@gmail.com