Практическая работа № 9 (10) Тема: Решение задач на определение вероятности Цель: закрепить знания по теме и умения решать простейшие задачи на определение вероятности Методические указания к выполнению практической работы Определение. Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех равновозможных между собой исходов этого испытания. Алгоритм нахождения вероятности случайного события Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует найти: 1) число N всех возможных исходов данного испытания 2) количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие A 3) частное N ( A) ; оно и будет равно вероятности события A. N Принято вероятность обозначать так: P(A). P ( A) N ( A) N Правило умножения. Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний A и B, следует перемножить число всех исходов испытания A и число всех исходов испытания B. Перестановки, сочетания и размещения Определение. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал»: n!=1∙2∙3∙4∙…∙(n-2)∙(n-1)∙n Теорема 1. n различных элементов можно расставить на n различных мест ровно n! способами. Pn=n!, Pn – число перестановок из n различных элементов Теорема 2. Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента без учета их порядка, то такой выбор можно произвести n( n 1) 2 способами. Определение. Число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по 2 и 2 обозначают C n . C n2 n(n 1) 2 Теорема 3. Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать из них два элемента, учитывая их порядок, то такой выбор можно произвести n(n-1) способами. Определение. Число всех выборов двух элементов с учетом их порядка из n данных элементов называют числом размещений из n элементов по 2 и обозначают An2 . Определение. Число всех выборов k элементов из n данных без учета порядка k называют числом сочетаний из n элементов по k и обозначают С n . Число всех выборов k элементов из n данных с учетом их порядка называют числом размещений из n элементов по k и обозначают Ank . Теорема 4. Для любых натуральных чисел n и k таких, что k<n, справедливы соотношения: n! Ank Ank n(n 1)( n 2) ... (n k 1) ; (n k )! Ank C ; k! Следствия. C nk k n C nn 1 C n0 1 n! k!(n k )! C nk C nn k Порядок выполнения работы: 1. Изучить инструкцию к практической работе. 2. Выполнить решение заданий. 3. Ответить на вопросы для самоконтроля. Оформление отчета: 1. Номер практической работы. 2. Тема. 3. Цель. 4. Решение заданий. Задание к практической работе Определите вероятность случайного события: 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. 2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. 3. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых. 4. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Македонии, 7 спортсменов из Сербии, 5 спортсменов из Хорватии и 4 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Словении. 5. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 75 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 33 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? 6. В сборнике билетов по биологии всего 50 билетов, в 15 из них встречается вопрос по зоологии. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по зоологии. 7. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? 8. Слова "математика" написанное на бумажной полоске, разрезано на отдельные буквы. Полученные карточки тщательно перемешаны. Найти вероятности того, вынимая по одной карточке и располагая их в ряд, мы получим слово «тема». 9. Биатлонист 7 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последние три промахнулся. Результат округлите до сотых. 10.На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет 4? 11.Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 40 до 54 делится на 5? 12.На борту самолёта 21 мест рядом с запасными выходами и 15 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир К. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру К. достанется удобное место, если всего в самолёте 450 мест. 13.Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. 14.В классе 21 учащийся, среди них два друга — Андрей и Вадим. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Вадим окажутся в одной группе. 15.Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,085. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 87 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе? Решите задачу, используя формулы комбинаторики: 1. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? 2. Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов? 3. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу? 4. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики? 5. В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране? 6. Чемпионат России по шахматам проводится в один круг. Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов? 7. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга? 8. Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слов а) «ВЕКТОР»; б) «ЛИНИЯ»; в) «ПАРАБОЛА»; г) «БИССЕКТРИСА»; д) «МАТЕМАТИКА». 9. У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Честным обменом называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить честный обмен? 10. Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать 4 карты разных мастей и достоинств? 11. На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? 12. Чемпионат России по шахматам проводится в один круг. Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов? 13. Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестерка. Сколько их? 14. Сколько существует двузначных чисел, составленных из нечетных цифр без повторений? 15. В коробке 12 конфет. Сколькими способами можно выбрать 3 из них? Вопросы для самоконтроля: 1. Дайте определение вероятности. 2. Какое событие называется достоверным, невозможным? 3. Какое событие называется противоположным? 4. Что называют числом сочетаний? 5. Что называют числом перестановок? 6. Сколькими способами можно расставить n элементов на n различных мест?
