Контрольные задания по высшей математике

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
Р. Б. Лапшина
Контрольные задания по высшей математике
для студентов заочной формы обучения инженерных направлений
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
ПРЕДИСЛОВИЕ
Каждая контрольная работа должна быть сделана в отдельной тетради, на
обложке которой студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины.
Решения задач необходимо проводить в той же последовательности, что и
в условиях задач. При этом условие задачи должно быть полностью переписано
перед ее решением.
Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с
последней цифрой его учебного шифра.
3
ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ
I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Трехмерное пространство R3. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно-независимые системы векторов. Базис.
2. Скалярное произведение в R3 и его свойства. Длина вектора. Угол между
двумя векторами. Ортогональный базис. Разложение вектора по базису.
3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Векторное произведение и его свойства. Смешанное произведение.
4. Уравнение плоскости в R3 (векторная и координатная формы). Уравнение прямой в R2 и R3(векторная и координатная формы).
5. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Правило Крамера. Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
6. Матрицы. Действия над матрицами, обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решения.
7. Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.
8. Поверхности второго порядка. Канонические формы уравнений. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.
II. Введение в математический анализ
9. Множество вещественных чисел. Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние пределы множеств. Существование предела монотонной
ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы. Предел
функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функции, имеющих предел.
10. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных
функций.
11. Бесконечно малые функции и их свойства.
12. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно
большими функциями и бесконечно малыми.
13. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Их
использование при вычислении пределов.
14. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность суммы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функции.
15. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.
16. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
4
III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
17. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса).
18. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование.
19. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических функций.
20. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы дифференциала.
21. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
IV. Исследование функций с помощью производных
22. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существования экстремума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке
функции.
23. Исследование функции на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.
24. Комплексные числа. Их изображение на плоскости. Модуль и аргумент
комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная
формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула
Муавра.
25. Многочлен в комплексной области. Теорема Безу.
26. Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена
с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
27. Комплексные функции действительного переменного. Их дифференцирование. Формула Эйлера.
V. Неопределенный интеграл
28. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственной интегрирование по частям
и подстановкой.
29. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические
функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов.
VI. Определенный интеграл
30. Задачи, приводящие к понятию определенных интегралов. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла.
5
31. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона –
Лейбница.
32. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и
подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы
прямоугольников, трапеций и Симпсона.
33. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин
дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. Физические приложения определенного интеграла.
34. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные
интегралы от неограниченных функций, основные свойства. Абсолютная и
условная сходимости. Признаки сходимости.
VII. Функции нескольких переменных
35. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность.
36. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными
производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная
плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
37. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.
38. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие.
Достаточные условия. Абсолютный экстремум.
VIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения
39. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об основных решениях дифференциальных уравнений. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.
40. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.
41. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные.
Понятие общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
42. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
IX. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
43. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод исключения. Векторно-матричная запись нормальной системы. Структура общего
решения.
44. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение в случае простых корней характеристического уравнения.
6
X. Числовые ряды. Степенные ряды
45. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.
46. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.
47. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
48. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов.
49. Разложение функции в степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.
XI. Ряды Фурье
50. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в ряд Фурье.
XII. Кратные интегралы
51. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла. Двойные и тройные интегралы, их основные свойства.
52. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах.
53. Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей,
для решения задач механики и физики.
XIII. Криволинейные и поверхностные интегралы
54. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Формула Грина.
55. Поверхностные интегралы, их свойства и вычисление.
XIV. Векторный анализ
56. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
57. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.
58. Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля
Теорема Остроградского.
59. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля.
60. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Теорема Стокса.
61. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле.
XV. Операционное исчисление
62. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства изображений. Изображения простейших функций.
7
63. Теорема о свертке, теорема запаздывания, теорема о сдвиге. Интеграл
Дьюамеля.
64. Операционный метод решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
65. Применение операционного метода к решению систем дифференциальных уравнений.
XVI. Теория вероятностей и математическая статистика
66. Элементы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания.
67. Основные понятия теории вероятностей. События и их классификация.
Относительная частота события и ее свойства. Вероятность события и ее свойства.
68. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Зависимые и
независимые события.
69. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Локальная
теорема Муавра – Лапласа, интегральная теорема Лапласа. Формула Пуассона.
70. Понятие случайной величины. Примеры случайных величин. Дискретная случайная величина. Закон распределения, числовые характеристики дискретной случайной величины и их свойства. Вероятностный смысл математического ожидания. Биноминальное распределение, распределение Пуассона.
71. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и ее свойства. Плотность вероятностей. Числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия.
72. Нормальный закон распределения и его параметры. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.
Правило трех сигм.
73. Задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Способы отбора статистического материала и его группировки. Статистическое распределение. Выборочные характеристики: средняя арифметическая, медиана, мода, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Ошибка средней арифметической.
74. Понятие о корреляции. Корреляционная таблица, коэффициент корреляции. Линии регрессии.
8
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Гусак А.А. Высшая математика : в 2 т. / А.А. Гусак. Минск : ТетраСистемс, 1998. Т.1. 544 с.
2. Гусак А.А. Высшая математика : в 2 т. / А.А. Гусак. Минск : ТетраСистемс, 1998. Т.2. 448 с.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. :
Высш. шк. 1972. 367 с.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. М. : Высш. шк., 1979. 400 с.
5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики.
/ В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. М. : Наука, 1989. 656 с.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. в 2 т.
М. : Наука, 1968. Т 1. 551 с.
7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. в 2 т.
М. : Наука, 1968. Т 2. 312 с.
8. Шипачев В.С. Высшая математика. М. : Высш. шк., 1996. 480 с.
9. Сборник индивидуальных заданий по высшей математики : в 3ч.
/ А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть.. Минск :
Высшэйш. шк., 1990. Ч. 1. 270 с.
10.Сборник индивидуальных заданий по высшей математики : в 3ч.
/ А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть. Минск:
Высшэйш. шк. 1991. Ч. 2. 352 с.
11.Сборник индивидуальных заданий по высшей математики : в 3ч.
/ А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть. Минск:
Высшэйш. шк. 1991. Ч. 3. 288 с.
9
Контрольная работа №1
Аналитическая геометрия. Элементы векторной и линейной алгебры.
Комплексные числа.
Основные теоретические сведения
1. Определителем n -го порядка называется число  , записываемое в виде
квадратичной таблицы
a11 a12  a1n
a
a 22  a 2 n
  21
   
a n1 a n 2  a nn
и вычисляемое, согласно указанному ниже правилу, по заданным числам a i j ,
которые называются элементами определителя. Индекс i указывает номер
строки, а j – номер столбца квадратной таблицы.
Минором M i j элемента a i j называется определитель (n  1) порядка, получаемый из определителя n -го порядка, вычеркиванием i -й строки и j -го
столбца.
Алгебраическое дополнение Ai j элемента a i j определяется равенством
Ai j  (1) i  j M i j .
Рекуррентная формула для вычисления определителя n -го порядка имеет
вид
  a n1 An1  a n 2 An 2    a nn Ann
(разложение определителя по элементам n -й строки).
2. Скалярным произведением двух векторов a  a x i  a y j  a z k и b  b x i 
 b y j  bz k называется число, определяемое равенством
(a , b ) | a |  | b |  cos  a x bx  a y b y  a z bz ,
где  – угол между векторами a и b .
3. Векторным произведением векторов a и b называется вектор c , обозначаемый c  a  b  [a , b ] , который удовлетворяет условиям:
cb ;
1) сa ,
2) | c || a |  | b |  sin  ;
3) a , b , c – правая тройка векторов;
10
i
j
k
c  a  b  ax
ay
az
bx
by
bz
1
1
S  | c | a  b – формула для вычисления площади треугольника.
2
2
4. Смешанное произведение трех векторов a  a x i  a y j  a z k , b  b x i 
 b y j  bz k , с  с x i  с y j  с z k есть число, равное
a , b , c  
ax
ay
az
bx
by
bz .
cx
cy
cz
Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах.
5. Выражение вида z  x  yi   (cos  i sin  ) называется комплексным
числом (в алгебраической и тригонометрической форме соответственно). Здесь
i 2  1 , x  Re z – действительная часть, y  Im z – мнимая часть комплексного
числа z ;  и  – модуль и аргумент числа z :
y

 | z | x 2  y 2 ;
  arg z  tg   .
x

Извлечение корня n -ой степени ( n – натуральное число) из числа
z   (cos  i sin  ) производится по формуле
  2k
  2k 

n
z  n   cos
 i sin
,
n
n


где k  0, 1, 2, , n  1.
Пример 1. Дана система линейных алгебраических уравнений:
x  5 y  z  3

2 x  4 y  3 z  2
3x  y  3z  7.

Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить ее: а) по
формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли.
Решение. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
 1 5  1


А   2 4  3
 3  1  3


11
данной системы и ранг расширенной матрицы
1 5 1 3 


В  2 4  3 2 
3  1  3  7


Для этого умножим первую строку матрицы В на –2 и сложим со второй,
затем умножим первую строку на –3 и сложим с третьей, получим
5
 1 3  1  1 5
3 
1 5  1 3  1

 
 

B  2 4  3 2  ~ 0  6 1  4  ~ 0 1  6  4 .
 3  1  3  7   0  16 0  16   0 0  16  16 
 
 


Следовательно, rang A = rang B = 3 (числу неизвестных), исходная система
имеет единственное решение.
а) Находим решение системы по формулам Крамера



x 1,
y 2 ,
z 3,



где
1 5 1
3
5 1
  2 4  3  16;
1  2
4  3  64;
3 1  3
 7 1  3
1
3
1
1
 2  2 2  3  16;
3 7 3
x
64
 4;
 16
y
5
3
3  2 4
2  32.
3 1  7
 16
 1;
 16
z
32
 2.
 16
б) Метод Гаусса. Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Элементы первой строки умножим на –2 и
прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки, затем элементы первой
строки умножим на –3 и прибавим к соответствующим элементам третьей
строки.
x y
z
x
y
z
x
z
y
5
 1 3  1  1 5
3 
1 5  1 3  1

~
 ~

 2 4  3 2   0  6  1  4   0  1  6  4 .
 3  1  3  7   0  16 0  16   0 0  16  16 
 
 


Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:
12
x  z  5 y  3

  z  6 y  4

 16 y  16.

Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:
y  1, z  2, x  4.
в) Матричный метод. Так как det A = -16 0, то матрица А невырожденная, существует обратная матрица А-1, определяемая по формуле:
 A11 A21 A31 


1
А 1 
 A12 A22 A32 ,
det A 

 A13 A23 A33 


где Ai j i  1,3, j  1,3 являются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов матрицы А.
Введем в рассмотрение матрицы столбцы для неизвестных и свободных
членов:
 x
 3 
 
 
   y ,
   2 .
z
 7
 
 
Тогда данную систему можно записать в матричной форме:      , отсюда
находим    1   - решение системы в матричной форме.
А11 
А13 
А22 
А31 
А33 
4
3
 15;
А12  
1  3
2 4
 14;
3 1
1 1
 0;
3 3
5 1
 11;
4 3
1 5
 6;
2 4
А
1
А21  
А23
А32
3 3
5 1
 3;
 16;
1  3
1 5

 16;
3 1
1 1

 1;
2 3
  15 16  11

1 
   3 0
1 .
16 

  14 16  6 
13
2 3
Решение системы:
 x
  15 16
 
1 
   y      3 0
16 
z
 
  14 16
таким образом,
x  4, y  1,
 11  3    4 
    
1    2    1 ,
 6    7    2 
z  2.
Пример 2. Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая ось
которого равна 5, а фокус находится в точке F(3,0); б) гиперболы с мнимой
13
осью в=3 и  
; в) параболы, имеющей директрису x=-3.
2
x2 y2
а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид 2  2  1 . По условию
a
b
задачи большая полуось а=5, с=3. Для эллипса выполняется равенство
b 2  a 2  c 2 . Подставив значения а и с, найдем в2=16. Искомое уравнение эллипса:
x2 y2

1.
25 16
x2 y2
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид 2  2  1 . По условию
a
b
13
задачи мнимая полуось в=3, эксцентриситет  
. Для гиперболы справед2
c
ливо равенство b 2  c 2  a 2 и учитывая, что   , находим а2 = 16. Искомое
a
уравнение гиперболы:
x2 y2

 1.
25
9
в) Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид y2=2px, а
p
уравнение ее директрисы x   . По условию x=-3, следовательно,
2
p
 3   , p  6 , уравнение па2
D(0,1,4)
раболы имеет вид y 2  12 x .
Пример 3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD:
14
C(13,3,10)
M
A(2,1,0)
B(3,-1,2)
A(2,1,0), B(3,-1,2), C(13,3,10), D(0,1,4). Найти: 1) угол между ребрами AB и
AD; 2) уравнение плоскости АВС; 3) угол между ребром AD и гранью АВС; 4)
площадь грани АВС; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из
вершины AD на грань АВС.
1) Угол между ребрами AB и AD вычисляем по формуле:
ab
,
cos 
a  b
где
a  AB  3  2,  1  1, 2  0  1,  2, 2,
b  AD  0  2, 1  1, 4  0   2, 0, 4
a  b  AB  AD  1   2   2  0  2  4  6 .
a  AB  12   22  2 2  3; b  AD 

1
 20  2 5 ;
5
.
5
3 2 5
5
2) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки имеет вид:
x  x1
y  y1
z  z1
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1  0 .
x3  x1 y 3  y1 z 3  z1
Подставляя в данное уравнение координаты точек А,В и С, получим:
x  2 y 1 z  0
x  2 y 1 z
3  2  1  1 2  0  0;
1
 2 2  0;
13  2 3  1 10  0
11
2
10
Разложив определитель по элементам первой строки, получим:
2 2
1 2
1 2
x  2 
  y  1 
 z
 0,
2 10
11 10
11 2
отсюда находим искомое уравнение плоскости АВС:
2x  y  2z  3 .
3) Угол между ребром AD и гранью АВС вычисляем по формуле:
sN
,
sin  
s  N
cos 
6
 22  4 2
;   arccos
где s   2, 0, 4 - направляющий вектор ребра AD, N  2,  1,  2 - нормальный вектор грани АВС.
15
sin  
 2  2  4   2   2 ;   arcsin 

2 
.
5
20  9
5

4) Площадь грани АВС вычисляется по формуле:
1
S   a  b .
2
1
S ABC   AB  AC .
2
AC  11, 2, 10, AB  1,  2, 2.
i
j
k
AB  AC  1  2 2  24i  12 j  24k .
11 2 10
Окончательно имеем
1
 24 2  12 2  24 2  18 кв. ед.
S ABC 
2
5) Объем пирамиды вычисляем по формуле:
1
V   AB, AC , AD .
6
1 2 2
AB, AC , AD  11 2 10  144 .
2 0
4
Объем пирамиды равен 24 (куб. ед.).
6) Уравнение высоты DM, опущенной из вершины D на грань АВС составляет по формуле
x  x0 y  y 0 z  z 0


,
n
m
p




где (x0, y0, z0) – координаты точки D, s  n, m, p - координаты направляющего
вектора прямой DM. Т.к. DM  АВС, то в качестве направляющего вектора s
можно взять нормальный вектор N  2,  1,  2. Уравнение прямой Dm запишется в виде:
x y 1 z  4
.


2
1
2
В задачах 1 – 10 данную систему уравнений исследовать и решить тремя
способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) средствами матричного исчисления.
16
1.
3.
5.
7.
9.
3x  2 y  z  5

2 x  3 y  z  1
2 x  y  3z  11

2 x  y  3z  7

x  2 y  z  4
3x  3 y  2 z  1

2 x  2 y  3 z  0

x  2 y  z  6
2 x  y  2 z  2

4 x  3 y  2 z  9

2 x  5 y  3 z  4
5 x  6 y  2 z  18

7 x  5 y  31

4 x  11z  43
2 x  3 y  4 z  20

 x  2 y  3z  6

2. 2 x  3 y  4 z  20
3x  2 y  5 z  6

x  2 y  z  1

4. 2 x  3 y  z  4
x  y  2z  1

3x  2 y  2 z  1

6. 2 x  3 y  z  3
 x  y  3z  2

 x  4 y  2 z  3

8. 3x  y  z  5
3x  5 y  6 z  9

2 x  y  2 z  3

10.  x  2 y  4
2 y  z  2

В задачах 11 – 20 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти:
1) длину стороны АВ; 2) уравнение стороны АВ; 3) уравнение высоты СН; 4)
уравнение медианы АМ; 5) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; 6)
уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
А (1,-3),
А (7,0),
А (0,2),
А (3,-1),
А (-2,-3),
А (1,2),
А (-4,-1),
А (5,4),
А (-8,-3),
А (1,0),
В (0,7),
В (1,4),
В (-7,-4),
В (11,3),
В (0,7),
В (3,12),
В (-2,9),
В (7,11),
В (4,-12),
В (13,-9),
С (-2,4);
С (-8,-4);
С (3,2);
С (-6,2);
С (8,3);
С (11,8);
С (6,5);
С (15,10);
С (8,10);
С (17,13);
В задачах 21 – 30 составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой; F – фокус; а – большая
(действительная) полуось; в – малая (мнимая) полуось;  - эксцентриситет; y =
17
 kx – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с – фокусное
расстояние).
в) D : x  4.
21.
а) в = 15,
F (-10,0);
б) а = 13,
22.
а) в = 2,
F (4√2;0);
б) а = 7,
23.
а) А (3;0),
  85 7 ;
б) к  3 ,
4
24.
25.
26.
а) а = 4,
а) а = 6,
а) в = 7,
В(2; 5 );
3
F (3,0);
F (-4,0);
F (5,0);
27.
б) А 6 ,0 ,
В(2 2 ;1);
в) D : y  9.
28.
а)   3 ,
5
а) в = 5,
А (0;8);
  54;
F (-11,0);
F (7,0);
  12 11 ;
  12 13 ;
2а = 6;
29.
а) в = 5,
F (-10,0);
б) к  1 ,
3
б) а = 9,
в) ось симметрии
Oy и А (-9;6);
в) D : x  12.
30.
а) 2а = 22,
  10 11 ;
б) к  11 ,
5
  14 13 ;
б) в  2 10 ,
б) в = 3,
б) а = 11,


  43 ;
2с = 12;
в) D : x  5.
в) D : y  2.
в) D : x  2.
в) D : x  7.
в) D : x  10.
в) ось симметрии
Ox и А (-7;5);
В задачах 31 – 40 даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти:
1) угол между ребрами AB и AD; 2) уравнение плоскости ABC; 3) угол между
ребром AD и гранью ABC; 4) площадь грани ABC; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты опущенной из вершины D на грань ABC.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
А (4,2,5),
А (4,6,5),
А (7,7,3),
А (2,-3,1),
А (1,-4,0),
А (-3,4,-3),
А (3,1,-2),
А (-2,0,-2),
А (0,4,5),
А (2,-1,7),
В (0,7,1),
В (6,9,4),
В (6,5,8),
В (6,1,-1),
В (5,0,-2),
В (-2,2,-1),
В (4,-1,0),
В (2,4,-4),
В (3,-2,1),
В (6,3,1),
С (0,2,7),
С (2,10,10),
С (3,5,8),
С (4,8,-9),
С (3,7,-10),
С (8,6,7),
С (14,3,8),
С (0,11,-12),
С (4,5,6),
С (3,2,8),
D (1,5,0).
D (7,5,9).
D (8,4,1).
D (2,-1,2).
D (1,-2,1).
D (5,8,3).
D (11,5,6).
D (-2,2,-1).
D (3,3,2).
D (2,-3,7).
В задачах 41 – 50 задана линия      в полярной системе координат.
Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от   0 до   2 и прида18
вая  значения через промежуток  ; 2) найти уравнение данной линии в де8
картовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.
41.
43.
45.
47.
49.
  2  1  cos  .
  6  cos 2.
1

.
2  2  cos
3

.
2  sin 
  4  1  cos  .
48.
  4  1  sin  .
  3  sin 2.
1

.
2  cos
  5  1  sin  .
50.

42.
44.
46.
1
.
1  cos
В задачах 51 – 60 дано комплексное число Z. Требуется: 1) записать число
z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; 2) найти все
корни уравнения  3  z  0.
51.
z2 2
53.
2 2
.
1 i
2 2
z
.
1 i
4
z
.
1 i 3
1
z
.
3i
55.
57.
59.
(1  i)
52.
.
54.
z
56.
58.
60.
z
4
.
1 i 3
4
z
.
1 i 3
2 2
z
.
1 i
4
z
.
3i
1
z
.
3 i
Контрольная работа №2
Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисления
функции одной переменной.
Основные теоретические сведения
19
1. Схема полного исследования функции и построение ее графика.
Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:
1) указать область определения;
2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат;
3) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности
функции;
4) найти асимптоты графика функции;
5) исследовать функцию на монотонность и экстремум;
6) определить интервалы выпуклости и вогнутости;
7) построить график функции.
2. Правила дифференцирования. Если C – постоянное число и U  U (x) ,
V  V (x) – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие
правила дифференцирования:
1) (C )   0 .
2) ( x)   1 .
3) (u  v)   u   v  .

u  u   v  u  v

4) (C u )   C u  .
5) (u v)   u   v  u  v  .
6)   
.
v2
v
3. Таблица производных основных элементарных функций
1. ( x n )   n  x n 1 .
2. (sin x)   cos x .
1
3. (cos x)    sin x .
4. ( tg x)  
.
cos2 x
1
1

(arcsin
x
)

5. (ctg x)   
.
6.
.
2
sin 2 x
1 x
1
1
7. (arccos x)   
.
8. (arctg x)  
.
2
2
1

x
1 x
1
9. (arcctg x)   
.
10. (a x )   a x ln a .
2
1 x
1
11. (e x )   e x .
12. (log a x)  
.
x ln a
1
1
13. (ln x)   .
14. ( x )  
.
x
2 x
1
1
15. (3 x )  
.
16. (n x )  
.
3
n n 1
2
3 x
n x
20
4. Таблица простейших интегралов
dx
x n 1
n
1.  x dx 
2. 
 ln x  C .
 C (n  1) .
x
n 1
ax
x
3.  a dx 
4.  e x dx  e x  C .
 C.
ln a
5.  cos x dx  sin x  C .
6.  sin x dx   cos x  C .
7.
9.
dx
 cos2 x  tg x  C .

11. 
dx
a2  x2
dx
x a
2
2
 arcsin

8.
x
C.
a
10. 
1
xa
ln
C.
2a
xa
dx
 sin 2 x  ctg x  C .
12. 
dx
x2  a2
dx
x2  a

1
x
arctg  C .
a
a
 ln | x  x 2  a | C .
5. Формула Ньютона–Лейбница для вычисления определенного интеграла
имеет вид
b

b
f ( x) dx  F ( x) a  F (b)  F (a) ,
a
если F ( x)  f ( x) и первообразная F (x) непрерывна на отрезке a, b  .
Пример 1. Найти указанные пределы.
а)
б)
x 2  5x  6
lim 2
;
x 2 x  12 x  20
в)
г)
1  cos x
lim
;
x 0
x2
Решение:
а)
lim
1  x2 1
;
x2
5x
 2x  1 
lim 
 ;
x  2 x  3 
x 0
x  2  x  3  1 .
0


lim


x 2 x 2  12 x  20  0  x 2  x  2    x  10  8
lim
x 2  5x  6
21
б)
1  x2 1  0 
lim
    lim
x 0
 0  x 0
x2
в)
lim
1  cos x
x 0
x2
 1  x  1  1  x  1  lim 1  x  1  1 .
x  1  x  1
x  1  x  1 2
2
2
0
    lim
 0  x 0
2 sin 2
x2
г)
 2x  1 
lim 

x  2 x  3 
e
5x
x   2 x 3
4 lim
5x
2
e
2
2
x
x
2 sin 2
2  lim
2  1.
x 0 x 2
2
4
4
 
5
2
x 0
2
 2 x  3  4 
 1  lim 

x 
2x  3 
4
2
5x
4 

 lim 1 

x 
2x  3 
2 x 3 
5x
2 x 3

 e10 .
Пример 2. Исследовать функцию f  x 
x1  3 , x 2  4 .
Решение: для точки x1 = 3 имеем:
1
 8 x 3
на непрерывность в точках
lim f  x   lim
1
x
8 3
 0,
lim f  x   lim
1
x
8 3
 ,
x 3  0
x 3  0
x 3  0
x 3 0
точка x1  3 – точка разрыва II
При x 2  4 функция определена, следовательно x 2  4 не является точкой
разрыва, f 4   8 .
Пример 3. Найти производную функции y  cos 2 x x .
Решение. Логарифмируя данную функцию, получаем:
ln y  x 3 ln cos 2 x  .
Дифференцируем обе части последнего равенства по х:
3
ln y '  x 3   ln cos 2 x   x 3  ln cos 2 x ' .
'
Отсюда
22
 
'
1
y '  x 3  ln cos 2 x   x 3  ln cos 2 x ' .
y
Далее


y '  y 3x 2 ln cos 2 x  2 x 3 tg 2 x .
Окончательно имеем:


y'  cos 2 x x 3x 2 ln cos 2 x  2 x 3tg 2 x .
3
Пример 4. Найти производную функции y, если x 3  y 3  3 xy  0 .
Дифференцируем обе части данного уравнения по x , считая y функцией
от x :
3x 2  3 y 2  y '3 y  3xy '  0 .
Отсюда находим
y '  3x 2  3 y 3x  3 y 2 .

Пример 5. Вычисляем

3

arctg x
x2 1

dx .
Решение.
3 arctg x

4
1
3
3
dx   arctg x  3 d arctg x   arctg 3 x  C  3 arctg 4 x  C
4
4
x 1
2
Пример 6. Вычислить
 xe
2x
dx .
Решение. Интеграл вычисляется по формуле интегрирования по частям:
 u dv  u  v   v du .
J   x  e 2 x dx .
Делаем замену переменной:
получим:
1
u  x; du  dx; dv  e 2 x dx; v  e 2 x .
2
J
1
1
1
1
 x  e 2 x   e 2 x dx   x  e 2 x   e 2 x  C .
2
2
2
4
Пример 7. Вычислить:
3x  1
 x 2  x  1 dx .
23
Решение.
3
3

2 x  1   1
3x  1
3
2x  1
1
dx
2
2

 x 2  x  1 dx   x 2  x  1 dx  2  x 2  x  1 dx  2   2
1 1
x  x    1
4 4

1
x
3
1
dx
3
1 2
2 C 
  ln x 2  x  1  
  ln x 2  x  1  
arctg
2
2
2 
2 3
3
1
3 2
x   
2
2
4


3
1
2x  1
 ln x 2  x  1 
arctg
 C.
2
3
3
5
Пример 8. Вычислить:

0
x dx
3x  1
.
Решение.
5
J 
0
x dx
3x  1
.
Делая замену переменной:
1
2
3x  1  t; x  t 2  1 ; dx   t dt; t1  1, t 2  4 .
3
3
получаем:





2 2
2  t 3
J   t  1 dt    t 
9
9 3

4
1
2  64  1

 
 4  1  4 .
9 3

В задачах 61 – 70 найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
2
2
а) lim 3x  5 x  2 ;
б) lim 5 x  3x  1 ;
61.
x 2 2 x 2  x  6
x  4  2 x  9 x 2
3x
в) lim sin 7 x ;
г)
 2x  3 
lim 
 .
x0 tg 2 x
x  2 x  1 
62.
а)
lim
x 4
5x  x 2  4
x 2  2x  8
б)
;
lim
x 
24
4x 3  x 2  1
3x 2  5
;
в)
63.
а)
tg 2 x
lim
;
x0 sin 2 x
2 x 3
;
x7
lim
x 7
в)
lim
а)
в)
65.
а)
б)
cos 2 x  cos3 2 x
2
x 0
64.
г)
x
2x  1  5
lim
;
x 3
x3
1  cos 4 x
lim
;
x 0 2 x  tg 2 x
2 x 2  5x  3
lim
 11x  6
1  cos 6 x
lim
;
x 0 1  cos 2 x
x 3 3x 2
в)
66.
а)
;
б)
г)
б)
;
67.
а)
г)
б)
;
 x  21
sin 7 x  sin 3x
lim
;
x 0
x  sin x
x2
lim
2x  2
x 2
в)
lim
68.
а)
lim
в)
69.
а)
в)
;
lim
3x 3  5 x  1
г)
7x3  6
2x
 5x  2 
lim 
 .
x  5 x  1 
б)
3x 2  x  1
г)
б)
;
3x 2  x  2
1  cos 3x
lim
;
x 0 x  sin 2 x
x 2  2 x  15
lim
;
x 5 2 x 2  7 x  15
1  cos 2 x
lim
;
x 0 x  tg 3 x
x 1
1  4x 3
6x
 x  4
lim 
 .
x  x  1 
lim
x2  5
4x
 7x  1 
lim 
 .
x  7 x  5 
x 
2
3x
2 x 2  5x  7
lim
5x 3  2 x  3
x 
;
cos 4 x  cos3 4 x
x 0
;
5x 2  6
7x
 3x  4 
lim 
 .
x  3 x  5 
x 
x 3 2 x 2
в)
lim
7 x 2  3x  1
x 
x2  x  6
lim
г)
2x
 4x  1 
lim 
 .
x  4 x  3 
x 3  2x  3
lim
;
x  4 x 3  1
2x
 6x  5 
lim 
 .
x  6 x  1 
lim
x 
г)
б)
25
;
;
4x 2  x  1
;
5x  3
lim 2 x  3 x  2 .
x
x 2
lim
x 
г)
;
4x 4  2x  1
5x  6
3
lim 3  2 x  x 1 .
2x
x 1
;
70.
а)
6x  1  5
lim
x 2
x  sin 3x
x 4
в)
lim
x 0 cos x
б)
;
 cos3 x
lim
4x 2  x  5
x  3x 3
г)
;
 x 1
2
;
lim 7  6 x  3 x 3 .
x
x 1
В задачах 71 – 80 даны функции и два значения аргумента x1 и x 2 . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной
при данных значениях аргумента; 2) найти односторонние приделы в точках
разрыва; 3) построить график данной функции.
x1  1;
x 2  4.
x1  2;
x 2  6.
x1  2;
x 2  2.
1
x1  2;
x 2  0.
1
x1  3;
x 2  1.
x1  3;
x 2  0.
x1  5;
x 2  5.
x1  6;
x 2  5.
x1  4;
x 2  3.
x1  0;
x 2  2.
3x
;
x 1
4x
y
;
x2
4x
y
;
x2
y
71.
72.
73.
74.
y  9 2 x ;
75.
y  4 3 x ;
2x
y
;
x3
4x
y
;
x5
76.
77.
1
78.
y  14 6  x ;
79.
y  3 4 x ;
80.
y  12 x ;
1
1
В задачах 81 – 90 найти производные
81.
а)
y
5x  4
x 2  5x  2
dy
данных функции.
dx
б)
;
26
y  2 arcsin x  cos x ;
83.
y  ln
б)
y  5 sin x  cos 3x ;
в)
y  ctg 4 x sin 2 x .
3x  4
y
;
2
x  9x  6
y  ln cos e 4x ;
г)
y  x2  3
д)
x  y  e y  arctg x  0.
а)
1
y 55 x  x  ;
x
arcsin x
y
;
1  x2
x
ln y  arctg .
y
б)
y  2 sin 4 x  e 2 x ;
г)
y  cos 4 x  x ;
y  2 4 x  3  arcsin 2 x;
б)
y  e cos x  3 ;
г)
y  tg x 3x ;
б)
y  3 cos x  arctg 4 x;
г)
y  tg 7 x  x ;
б)
y  6 sin x  arctg 4 x;
г)
y  x  ln x x ;
б)
y  5 tg 7 x  cos 2 4 x;
г)
y  2 x  3sin x ;
а)
в)
д)
84.
85.
а)
y  ln sin 6 x  7 ;
д)
tg
а)
д)
а)
y
 5x.
x
2x  3
y
;
2
x  4x  3
arctg x
y3
 ln 1  4 x 2 ;

y  sin x  cos  x  y .
y
x 2  10
в)
;
2x  3
2x
y  ln
;
x 1
x 2  y 2  3xy  0.
3x  8
y
;
3
x  2x  1
y  ln arcsin 9 x;
д)
2 x 3  y 2  4e y  x.
в)
д)
87.
2
в)
в)
86.
x 1
;
x 1
г)
д)
82.
3
y  e arctg x ;
в)
а)
27



cos x

;

4
3
88.
а)
y
ex
y  tg 4 6 x;
в)
89.
2
;
д)
y  cos x  sin  x  y .
а)
y
2x  1
;
x 3  6x  5
x
y  ln 3
;
x2
e x  x 3  y 3  e y  0.
3x  1
y
;
3 2
x  9x  1
в)
д)
90.
x 2  4x  5
а)
в)
3
y  ln
3x 2  4
;
3x 2  4
x 2  y 5  e x  e y  5.
д)


б)
y  4 sin x  cos 3x 2  1 ;
г)
y  cos 5x x ;
б)
y  5 tg x  arcsin 9 x;
г)
y  arcsin x x ;
б)
y  ln 1  2 x 3  5 cos x ;
г)
y  sin 2 x tg x ;
3
2


В задачах 91 – 100 исследовать методами дифференциального исчисления
функцию y  f  x  и, используя результаты исследования, построить ее график.
91.
y
4x
x2  4
92.
.
93.
x2
y
.
x 1
95.
y  2  x 2  ex .
8x
y
.
2
 x  2
y  x  ln  x  2 .
97.
99.


2
y
x2 1
.
94.
y  x  e x .
96.
y   x  1  e 3 x 1 .
98.
x3
100.
2
y

3 x2  3
2x 2
y
.
2x  1
В задачах 101 – 110 найти неопределенные интегралы.
28
4x 2

.
101.
а)
в)
102.
а)
в)
103.
104.
а)
107.
108.
x2
 x 2  2x  5

3 arctg x
 1  x2
2x  3


dx
ex  4
x2

в)


dx,
,
3  2x 2
1  3x
1  4x 2
x 1
г)
dx
 1  sin x .
б)
2
 x e
г)
 4 sin x  6 cos x .
б)
x
x
2
dx,
dx
2
 sin 4 x dx,
x3  1
г)
 x 3  x 2 dx.
б)
 x  sin 4 x dx,
3x 2  15
dx,
б)
x
dx,
x  6 x  13
1 x
4x  1
dx,
 x  1  x 2  5 x  6 dx.
2
2
x
2
г)
2  ln x
dx,
x
3x  4
arcsin 3 x

ln 2 x
dx,
 2x 2  x  1
а)
dx,
dx,

а)
dx,
2 x 2  5x  1
а)
а)
б)
,
ln tg x 
 sin x  cos x dx,
3x  1
 x 2  2x  7
в)
106.
 3 3  2 cos x
в)
в)
105.
sin x dx
,
dx,
в)
 4x 2  4x  5
а)
 3 sin 2 x  4 ,
dx,
sin 2 x dx
 5 x dx ,
6x 2
г)
 x  1  x 2  3x  2dx.
б)
x
2
 e x dx,
2 x 2  26
г)
 x 2  4 x  3  x  5dx.
б)

г)
dx
 4  5 cos x .
2
 x  cos 6 x dx,
б)
29
2
x  ln 2 x dx ,
в)

в)
а)
110.
г)
dx,
3  2x  x 2
e 2 x dx
 5  e 2x  1 ,
5x  1
 x 2  4 x  1 dx,
x  arctg x
 x 2  1 dx,
x5
dx,
 2
3x  6 x  1
а)
109.
x 8
в)
б)
г)
б)
г)
dx
 2 sin x  cos x  2 .

arctg 4 x
dx,
x2 1
cos x
 1  cos x dx.
3x
 e  sin x dx,
dx
 3 cos x  4 sin x .
В задачах 111 – 120 вычислить определенный интеграл.
111.
3
3
0
113
117.
3

4
2
 23 3x  8  4
4 x dx
x  1
2
 x 1 1
112.
.
114.
.
3


5 x dx
5x 2  4  4 5x 2  4
3
4 x dx
9 x  1
1
x
 9x  1  1
2
3
3
.
 arctg x dx.
0
116.
2
0
2
1
0
 x  sin 2 x dx.
1
119.
3x  8
7
0
115.
4 x dx
5

0
118.
.
4
120.
 sin 3x  cos 5x dx.

3 dx
3x  1  4 3x  1
.
8
 sin x  sin 3x dx.
0
5
dx
 x  1  x  2 .
4
0
В задачах 121 – 130 вычислить несобственные интегралы или установить
их расходимость.
121.

dx
122.
 x 2  4 x  13.
3


0
123.
3
dx
124.
  x  2 2 .
4
3
0
0
30
x
x dx
2
.

1
2
dx
 x  3
2
.
125.
127.
2

0


x dx
4x
dx
2
126.
.
 x  4 x  5
129.
4
2
128.
.
dx
130.
 x2  9 .
3

3
0

x dx
x 1
dx
2
.
 xln x 2 .
e
e
 x
dx
1
ln x
.
Контрольная работа №3
Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Теория поля.
Основные теоретические сведения
1. Частной производной первого порядка функции двух переменных
Z  f ( x, y) по аргументу x называется предел
 Z
f ( x  x, y )  f ( x, y )
lim
 lim x .
 x 0
 x 0  x
x
дZ
дZ
Обозначение: Z x ,
. Нахождение
сводится к дифференцированию функдx
дx
ции одной переменной Z  f ( x, y 0 ) , полученной при фиксировании аргумента
y : y  y0
2. Скалярным полем U  U (M ) называется скалярная функция точки M
вместе с областью ее определения.
Скалярное поле U (M ) характеризуется градиентом
дU
дU
дU
grad U 
i
j
k
дx
дy
дz
и производной по направлению S :
дU дU
дU
дU

cos 
cos  
cos  ,
дS д x
дy
дz
где (cos , cos  , cos  ) – координаты единичного вектора направления S .
3. Вычисление двойного интеграла от функции f ( x, y ) , определенной в
области D , сводится к вычислению двукратного интеграла вида
31
b
f2 ( x)
 f ( x, y) dxdy  dx  f ( x, y) dy ,
D
a
(1)
f1 ( x )
где область D определяется условиями a  z  b , f 1 ( x)  y  f 2 ( x) или вида
d
2 ( y )
 f ( x, y) dxdy  dy  f ( x, y) dx ,
D
c
(2)
1 ( y )
если область D определяется условиями c  y  d , 1 ( y )  x   2 ( y ) .
Переход от равенства (1) к (2) или обратно называется изменением порядка
интегрирования.
4. Векторным полем a (M ) называется векторная функция точки M :
a ( M )  P( x, y, z ) i  Q( x, y, z ) j  R( x, y, z ) k .
Векторное поле a (M ) характеризуется скалярной величиной – дивергенцией:
д P дQ д R
div a ( M ) 


дx д y дz
и векторной величиной – ротором:
i
j
k
д
д
д
rot a ( M ) 

дx д y дz
P
Q
R
 дR дQ 
 дP дR 
 дQ д P 
 i  
 j  
 k .
 



д
y
д
z
д
z
д
x
д
x
д
y






Векторное поле a (M ) называется соленоидальным, если в каждой точке
этой области div a ( M )  0 .
Векторное поле a (M )  ( P, Q, R) называется потенциальным в области V ,
если в каждой этой области rot a ( M )  0 .
Для потенциального векторного поля a ( M )  Pi  Q j  Rk справедлива
формула для нахождения потенциальной функции
U ( x, y, z )   P dx  Q dy  R dz  C ,
M 0M
где M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) – фиксированная точка области V , M ( x, y, z ) – любая точка
области V , C – произвольная постоянная.
Потоком П векторного поля a (M ) через двустороннюю поверхность 
называется поверхностный интеграл
32
П   a ( M )  n ( M ) d ,
(3)

где n (M ) – единичный вектор нормали вдоль  , n (M )  cos i  cos  j 
 cos  k . Если поверхность  задается уравнением U (M )  U ( x, y, z )  0 , то
n 
grad U ( M )
,
grad U ( M )
причем знак в правой части берется так, чтобы получить нормальный вектор n
к выбранной стороне поверхности.
Для вычисления интеграла (3) удобно проектировать поверхность  на
одну из координатных плоскостей. Пусть, например,  взаимно однозначно
проектируется на xoy , тогда
dx dy
.
П   a ( M )  n ( M )
cos

 xy
Если  взаимно однозначно проектируется на yoz или xoz , то
dy dz
dx dz
или П   a ( M )  n ( M )
.
П   a ( M )  n ( M )
cos

cos

 xz
 yz
Иногда вычисление потока проводят методом проектирования  на все три
координатные плоскости :
П   P dy dz  Q dx dz  R dx dy ,

каждое слагаемое вычисляется отдельно посредством проектирования  на
соответствующую координатную плоскость.
Формула Остроградского устанавливает связь между потоком векторного
поля a (M ) через замкнутую поверхность  и дивергенцию поля :
П   a ( M )  n ( M ) d   div a ( M ) dV .

V
5. Циркуляция векторного поля a (M )  P( x, y, z )i  Q( x, y, z ) j  R( x, y, z )k
по замкнутой кривой l называется криволинейный интеграл
C   P dx  Q dy  R dz   a  dS ,
l
l
где dS  dxi  dy j  dz k .
6. Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией векторного
поля a (M ) и его ротором:
33
 Pdx  Qdy  Rdz   (rot a , n ) d ,

l
где  – поверхность, ограниченная замкнутым контуром l , n – единичный вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно быть согласно с
направлением обхода контура l .
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  x 2 y 2  x  y  в треугольнике, ограниченном прямыми x  0 , y  0 ,
x  y  6.
Решение. Найдем стационарные точки, лежащие внутри данного тре- Y
угольника:
6
дz
2
2
 4 xy  3 x y  2 xy  xy 4  3 x  2 y ,
дx
4
дz
2
3
2
2
 2 x  x  2 x y  x 2  x  2 y .
(4, 2)
дy
2
Приравнивая частные производные
P0
нулю, можно на x и y сократить, так как
0
2
4
6
X
внутри треугольника x  0 и y  0 , тогда
4  3x  2 y  0,
2  x  2y  0 .
1
 1
Решение этой системы: x0  1, y 0  . Стационарная точка P0 1,  ле2
 2
1
жит внутри треугольника, z 0  z P0   . На сторонах треугольника x  0 и
4
y  0 значение функции z равно нулю. Найдем наибольшее и наименьшее значения на стороне x  y  6 . На ней y  6  x 0  x  6  и
z  z x   x 2 6  x   2  x  6  x   4 x 2 6  x .
Стационарные точки находим из уравнения z ' x   0 .
 48 x  12 x 2  0,
12 x x  4  0,
x  4.
(т.к. х = 0 – граничная точка).
y  2,
z  4  16  6  4   128 .
На концах интервала z 0  z 6  0 .
Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции z в данном
треугольнике надо искать среди следующих ее значений:
34
1
 1
в точке P0 1, ; z  0 на сторонах x  0 и y  0; z  128 на стороне
4
 2
x  y  6 в точке (4, 2).
1
Сравнивая полученные значения видно, что наибольшее значение z 
4
 1
функция принимает внутри треугольника в точке P0 1,  ; наименьшее значе 2
ние z = - 128 – границе, в точке (4, 2).
z
Пример 2. Найти величину и направление наибольшего изменения функции U M   5 x 2 y z  7 x y 2 z  5 x y z 2 в точке M 0 1, 1, 1.
Решение. Находим частные производные функции U(M) в любой точке
M(x, y, z) и в точке M0:
дU M 0 
дU M 
 10 xyz  7 y 2 z  5 yz 2 ,
 10  7  5  8,
дx
дx
дU M 0 
дU M 
 5 x 2 z  14 xyz  5 xz 2 ,
 5  14  5  4,
дy
дy
дU M 0 
дU M 
 5 x 2 y  7 xy 2  10 xyz ,
 5  7  10  8 .
дz
дz



Тогда в точке M 0 1, 1, 1 имеем grad U M 0   8i  4 j  8k . Наибольшая
скорость изменения поля в точке M0 достигается в направлении grad U M 0 
grad U M 0  :
дU M 0 
дU M 0 
 grad U M 0   8 2   42  8 2  12 .
дS
д grad U



Пример 3. Вычислим работу силы F  y z i  x z j  x y k вдоль отрезка
прямой АВ, если А(1, 1, 1) и В(2, 3, 4).
Решение. Запишем параметрические уравнения прямой АВ:
x 1 y 1 z 1


 t;
2 1 3 1 4 1
x  t  1,
y  2t  1,
z  3t  1, где 0  t  1.
 max
Тогда работа А силы F на пути АВ вычисляется по формуле
A   F  dS   yz dx  xz dy  xy dz 
L AB
L AB
35
1
  2t  1  3t  1dt  t  1  3t  1  2 dt  t  1  2t  1  3 dt 
0
1


  18t 2  22t  6 dt  23 .
0
Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля



aM    x  2 z i   x  3 y  z  j  5 x  y k
Z
по контуру треугольника, полученного в
C 1
результате
пересечения
плоскости
 p  : x  y  z  1 с координатными плоскостями при положительном направлении
0
обхода относительно нормального вектора n  1;1;1 этой плоскости двумя способами: 1) используя определение циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса.
1
Решение. В результате пересечения
A
плоскости (р) с координатными плоскоX
стями получим треугольник АВС и укажем на нем положительное направление обхода контура АВСА.
1. Вычислим циркуляцию С данного поля по формуле:
C   a  dS   a  dS   a  dS   a  dS .
ABCA
AB
BC
1
B
Y
CA
На отрезке АВ имеем:
z  0,
x  y  1,
y  1  x,





a  xi   x  3 y  j  5 x  y k ,
dS  dx i  dyj ,
dy  dx .
a  dS  xdx   x  3 y dy ,
0
 2

3
 3x
 a  dS   xdx  x  3 y dy  x  x  31  x dx  3x  3dx  2  3x   2
1
AB
AB
1
1

y  z  1,
z  1  y,
dz  dy ,
На отрезке ВС: x  0,





a  2 z i  3 y  z  j  yk ,
dS  dy j  dz k ,
a  dS  3 y  z dy  y dz ,
0
0
0
0
1
1
 a  dS   3 y  z dy  ydz   3 y  1  y  y dy    y  1dy 
BC
BC
На отрезке СА: y  0,
x  z  1,
dz  dx ,
a  dS   x  2 z dx  5 x dz ,
36
 y  12
2
0

1
3
2
 a  dS 
CA
2
 x  2 z dx  5xdz   x  2  2 x  5x dx    2 x  2dx x  2 x 
CA
1
1
1
0
0
0
 3
3 3
  3  3 .
2 2
2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью формулы Стокса.
Для этого вычислим:



i
j
k
 
д
д
д
rot aM  
 7 j  k .
дх
ду
дz
x  2 z x  3 y  z 5x  y
В качестве поверхности S в формуле Стокса возьмем боковую поверхность
пирамиды ОАВС:
S  S OCA  S OAB  S OBC .
По формуле Стокса имеем:
C   rot a  n  dS   rot a  dS ,
Следовательно,
C
S
S



rot a  dS  7dx dz  dx dy .
где dS  dy dz i  dx dz j  dx dy k ,
Следовательно,
C    7dx dz  dx dy   7    dx dy  3 .
S
SOAC
SOAB
x y
. Показать, что
x y
дz
дz
x y
 0.
дx
дy
y
132. Дана функция z  x ln . Показать, что
x
дz
дz
x y
 z.
дx
дy
x
133. Дана функция z  x 2  y 2  tg . Показать, что
y
дz
дz
x y
 2z.
дx
дy
131. Дана функция z  arcsin




134. Дана функция z  ln x 2  y 2  2 x  1 . Показать, что
37
д2 z
д2 z
 y 2  0.
дx 2
дy
2x  3y
135. Дана функция z  2
. Показать, что
x  y2
дz
дz
x y
  z.
дx
дy
x
x2  y2
136. Дана функция z 
. Показать, что
x y
дz дz 2x  y 


.
дx дy
x y
y2
137. Дана функция z 
 arcsin x y  . Показать, что
2x
дz
дz
x2
 xy
 y 2  0.
дx
дy
xy
138. Дана функция z 
. Показать, что
x y
дz
дz
x y
 z.
дx
дy


139. Дана функция z  ln x 2  y 2 . Показать, что
дz
дz
y
x
 0.
дx
дy
x
y
140. Дана функция z  e . Показать, что
д 2 z дz дz
y

 .
дxдy дy дx
В задачах 141 – 150 найти наименьшее и наибольшее значения функции
z  f  x, y  в заданной замкнутой области.
z  x 2  2 xy  y 2  4 x
y  0, x  3 .
в треугольнике, ограниченном прямыми
142. z  5 x 2  3xy  y 2  4
x  1, y  1, x  y  1.
в треугольнике, ограниченном прямыми
141.
y  x  1,
38
143. z  x 2  2 y 2  4 xy  1 в квадрате  1  x  1, 0  y  2 .
144. z  x 2  2 y 2  4 xy  6 x  5 в треугольнике, ограниченном прямыми
x  0, y  0, x  y  3 .
145. z  x 2  y 2  2 x  2 y  8 в треугольнике, ограниченном прямыми
x  0, y  0, x  y  1 .
146. z  x 2  2 xy  4 x  8 y в прямоугольнике 0  x  1, 0  y  2 .
147. z  3x  6 y  x 2  xy  y 2 в квадрате 0  x  1, 0  y  1.
1
148. z  x 2  xy в области, ограниченной линиями y  8, y  2 x 2 .
2
149. z  xy  3x  2 y в квадрате 0  x  4, 0  y  4 .
150. z  2 x 3  4 x 2  y 2  2 xy в области, ограниченной линиями y  x 2 ,
y  4 , x  0  x  0 .
В задачах 151 – 160 найти величину и направление наибольшего изменения функции U M   U  x, y, z  в точке M 0  x 0 , y 0 , z 0  .
M 0 2, 0, 2 .
151.
U M   x 2 y z ,
152.
U M   x y 2 z ,
153.
U M   x y z 2 ,
154.
U M   x 2 y z 2 ,
155.
U M   y 2 z  x 2 ,
156.
U M   x 2 y  y 2 z ,
157.
U M    x  y   z 2 ,
158.
U M   x 2 y 2  z ,
159.
U M   x 2  y  z 2 ,
160.
U M   x 2 y  z ,


M 0 1,  2, 0.
M 0 3, 0, 1.
M 0 2, 1,  1.

M 0 0, 1, 1.
M 0 0,  2, 1.
M 0 0,  1, 4.

M 0 4, 1,  3.
M 0 1, 3, 0.
M 0  2, 2, 1.
В задачах 161 – 170 требуется: 1) построить на плоскости xoy область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядке интегрирования.
39
161.
163.
165.
167.
169.
3
2 3
0
2x
3
3 x 3
162.
 dx 2 dy.
3
164.
 dx  dy.
4
4 x
0
x
4
4 x
 dx 3 dy.
8
0
2
x 3
 dx 2 y.
0
x
9
x 1
6
2 x4
0
x
9
0
x
3
 dx 2 dy.
166.
5
168.
1
5x
 dx 2 dy.
0
x
5
2 x4
0
2x
5
5
170.
 dx 2 dy.
4
2
 dx 2 dy.
4
8
2 x 1
0
x
1
2
4
2 x 3
0
x
2
 dx  dy.
 dx 2 dy.
3
В задачах 171 – 180 найти работу силы F при перемещении вдоль линии L
от точки M к точке N.
171.

 



F  x 2  2 y i  y 2  2x j ,
172.
L : отрезок MN ,
173.
M  4, 0 , N 0, 2 .


F   x  y i   x  y  j ,
174.
M  1, 1, N 1, 1.
 
F  y i  xj ,
176.
 y  0 ,
M 1, 0 , N  1, 0 .
177.

M  4, 0 , N 0, 2 .


F  x 2 y i  yj ,
L : отрезок MN ,
L: y  x ,
L : x2  y2 1
 
L : отрезок MN ,
2
175.



F  x 2  2 y i  y 2  2x j ,
M  1, 0 , N 0, 1.


F  x y i  2 yj ,
L : x 2  y 2  1  x  0, y  0 ,
M 1, 0 , N 0, 1.


F  x2 yi x y 2 j,
178.
L : x 2  y 2  4  x  0, y  0 ,
M 2, 0 , N 0, 2 .
40


F  y 2 i  x2 j,
L : x 2  y 2  9  x  0, y  0 ,
M 3, 0 , N 0, 3.
179.




F   x  y 2 i  x 2  y 2 j ,
180.
L : отрезок MN ,




F  x y  y 2 i  x j,
L : y  2x 2 ,
M 1, 0 , N 0, 1.
M 0, 0 , N 1, 2 .
В задачах 181 – 190 даны векторное поле a (M )  P( x, y, z) i  Q( x, y, z) j 
 R( x, y, z ) k и плоскость  p : Ax  Bx  Cz  D  0 , которая с координатными
плоскостями образует пирамиду V . Пусть  – основание пирамиды, принадлежащее плоскости ( p) ;  – контур, ограничивающий  ; n – нормаль к  ,
направленная вне пирамиды V . Требуется вычислить: 1) поток векторного поля
aM  через поверхность  в направлении нормали n ; 2) поток векторного
поля aM  через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней
нормали к ее поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского; 3) вычислить циркуляцию векторного поля aM  по замкнутому контуру 
непосредственно и применив теорему Стокса к контуру  и ограниченной им
поверхности  с нормалью n . Сделать чертеж.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.



aM    y  z i  2 x  z  j   y  3z k ,



aM   3x  y  i   x  z  j  yk ,



aM   2 y  z  i   x  y  j  xk ,



aM    x  y  i   y  z  j  2 x  z k ,



aM    x  2 z  i   y  3z  j  zk ,



aM    y  z  i  2 x  y  j  zk ,



aM    x  y  i  3 yj   y  z k ,



aM   3x  y  i  2 y  z  j  2 z  x k ,



aM   3xi   y  z  j   x  z k ,



aM   z i   x  y  j  yk ,
 p : 2 x  y  3z  6.
 p : x  2 y  z  2.
 p : x  2 y  2 z  4.
 p : 3x  2 y  2 z  6.
 p : 3x  2 y  2 z  6.
 p : 2 x  y  z  2.
 p : 2 x  y  2 z  2.
 p : 2 x  3 y  z  6.
 p : x  3 y  z  3.
 p : 2 x  y  2 z  2.
В задачах 191– 200 проверить, является ли векторное поле



aM   X i  Y j  Z k потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля aM  найти его потенциал.
41
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.



aM   6 x  7 y z  i  6 y  7 x z  j  6 z  7 x y k .



aM   8 x  5 y z  i  8 y  5 x z  j  8 z  5 x y k .



aM   10 x  3 y z  i  10 y  3x z  j  10 z  3x y k .



aM   12 x  y z  i  12 y  x z  j  12 z  x y k .



aM   4 x  7 y z  i  4 y  7 x z  j  4 z  7 x y k .



a M    x  2 y z  i   y  2 x z  j   z  2 x y k .



aM   5 x  4 y z  i  5 y  4 x z  j  5 z  4 x y k .



aM   7 x  2 y z  i  7 y  2 x z  j  7 z  2 x y k .



aM   3x  y z  i  3 y  x z  j  3z  x y k .



aM   9 x  5 y z  i  9 y  5 x z  j  9 z  5 x y k .
Контрольная работа №4
Дифференциальные уравнения. Ряды.
Теория вероятностей и математическая статистика
Основные теоретические сведения
1. Уравнение вида P( x) dx  Q( y) dy  0 называется дифференциальным
уравнением с разделяющимися переменными. Его общим интегралом будет
 P( x) dx   Q( y) dy  0 .
2. Дифференциальное уравнение y   f ( x, y ) называется однородным относительно переменных x и y , если f ( x, y ) – однородная функция нулевого
измерения относительно своих аргументов, т.е. f (t x, t y )  t 0 f ( x, y )  f ( x, y ) .
данное уравнение с помощью замены y  x  u сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
3. Уравнение y   P( x) dy  Q( x) называется линейным дифференциальным
уравнением. Общее решение уравнения находим по формуле
 P ( x ) dx 
 P ( x ) dx  dx  C  .
ye 
  Q( x)  e



4. Уравнение вида
42
y   p y   q y  0 ,
(1)
где p и q – постоянные числа называется линейным однородным дифференци-
альным уравнением второго порядка. Квадратное уравнение k 2  pk  q  0
называется характеристическим уравнением.
Если корни k 1 , k 2 характеристического уравнения действительны и различны,
то общий интеграл уравнения (1) выражается формулой
y  C1e k1x  C 2 e k 2 x .
Если k1  k 2 , то общий интеграл уравнения (1) находится по формуле
Если k1, 2
y  e k1x (С1  C 2 x) .
    i , то общее решение уравнения (1) находится по формуле
y  e x (С1 cos  x  C 2 sin  x) .
5. Уравнение вида
y   p y   q y  f (x) ,
(2)
называется неоднородным линейным уравнением второго порядка. Если Y –
общее решение соответствующего однородного уравнения, y – частное решение уравнения (2), то общее решение уравнения (2) имеет вид y  Y  y .
Укажем правило нахождения частного решения y уравнения (2) методом
неопределенных коэффициентов.
Пусть f ( x)  (a x  b) e  x , тогда:
1) y  ( A x  B ) e  x , если  не является корнем характеристического уравнения;
2) y  ( A x  B) e  x x , если  является простым корнем характеристического
уравнения;
3) y  ( A x  B) e  x x 2 , если  является двукратным корнем характеристического уравнения.
Пусть f ( x)  e  x (a cos  x  bsin  x) , тогда:
1) y  e  x ( A cos  x  Bsin  x) , если число    i не является корнем характеристического уравнения;
2) y  x e  x ( A cos  x  Bsin  x) , если число    i не является корнем характеристического уравнения.
6. Ряд вида
a 0  a1 ( x  a)  a 2 ( x  a) 2    a n ( x  a) n  
(3)
43
называется степенным рядом, a n – коэффициенты ряда. Число R называется
радиусом сходимости ряда, если ряд (3) сходится при | x  a |  R и расходится
при | x  a |  R .
При | x  a |  R ряд может как сходиться, так и расходиться. Интервал
(a  R, a  R) называется интервалом сходимости ряда. Радиус сходимости R
находится по формуле
an
R  lim
.
n  a
n 1
7. Рядом Фурье периодической функции f (x) ,  l  x  l , называется ряд
вида
f ( x) 

a0
n x
n x
.
  a n cos
 bn sin
2 n 1
l
l
1l
Коэффициенты Фурье a 0 , a n , bn вычисляем по формулам a 0   f ( x) dx ,
l l
n x
1l
bn   f ( x) sin
dx .
l l
l
n x
1l
a n   f ( x) cos
dx ,
l l
l
Пример 1. Найти решение системы дифференциальных уравнений методом характеристического уравнения.
x'  dx ,
x  xt ,
 x'  x  4 y,
dt

y  yt ,
 y '  2 x  3 y,
y '  dy .
dt
Решение. Частное решение системы будем находить в следующем виде
xt   K1  e  t , y t   K 2  e  t . Требуется определить постоянные К1, К2 и λ так,
чтобы функции x(t), y(t) удовлетворяли заданной системе уравнений. Подставляя их в систему и сокращая на e  t , получим систему уравнений:
1     K 1  4 K 2  0,

2 K 1  3     K 2  0.
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
1 
4
1     3     8  0
 0,
2
3
2  4  5  0,
44
1  1,  2  5 – корни характеристического уравнения.
Корню 1  1 соответствует система
2 K 1  4 K 2  0,
1
или K1  2K 2  0, K 2   K1 .

2
 2 K 1  4 K 2  0.
1
Полагаем K 1  1 , тогда K 2   . Получаем решение системы:
2
1
x 1  e t ,
y 1    e t .
2
Корню  2  5 соответствует система
 4 K 1  4 K 2  0,
или K1  K 2  0, K1  K 2 .

 2 K 1  2 K 2  0.
Получаем K 1  1 , тогда K 2  1 . Получим решение системы:
x 2   e 5t ,
y 2   e 5t .
Общее решение исходной системы имеет вид
xt   C1  e t  C 2  e 5t ,
1
y t    C1  e t  C 2  e 5t .
2
Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда


4n  x n
.
n
2

n
n 1
Решение. Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле:
an
R  lim
.
n  a n 1
Так как
4n
4 n 1
,
an  n
,
a n 1  n 1
2  n
2  n 1
то
4 n  2 n 1  n  1
1
1 1
lim
1

 .
n 2 n  n  4 n 1
2 n
n 2
 1 1
Степенной ряд сходится абсолютно в интервале   ;  .
 2 2
Исследуем поведение ряда на концах интервала.
R  lim
45

При x 
1
имеем
2


n 1
1
4n 

1
2n 
, данный ряд расходится.

2 n  n n 1 n
n
 1
4   


1
2

n 1
При x   имеем 
, ряд сходится по призна



1

n
2
n
2

n
n 1
n 1
ку Лейбница, причем сходится условно. Следовательно, область сходимости
 1 1
ряда является полуинтервал  ;  .
 2 2
n
1
Пример 3. Вычислить
4
e
 x2
dx с точностью до 10 4 .
0
Решение. Разложение подынтегральной функции в степенной ряд имеет
вид:
2n

x4 x6
n x
.
e
1 x 

     1
2 ! 3!
n
!
n 0
Интегрируя этот ряд почленно, получим
 x2
1
4
e
0
1
 x2
dx 
4

   1
0 n 0
2
n


x 2n
 1n
dx  
n!
n 0 n !
1
2
x
0
2n

 1n
n 0
n!
dx  
1
2n  1  4 2n1

1
1
1



4 3  4 3 2 ! 5  4 5
Полученный числовой ряд есть ряд Лейбница. Погрешность происходящая
от отбрасывания всех членов начиная с третьего, будет по абсолютной величине меньше третьего члена:
1
4
.
 

10
2 ! 5  4 5
Вычисляя с точностью до 0,0001, найдем

1
x
1
1

 0,2500  0,0052  0,2448 .
3
4
3

4
0
Пример 4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на
интервале – периоде.
x
 e dx 
2
46
 1
 ,    x  0,
f x    2

0  x  .
 1,
Решение. Функция f(x) удовлетворяет условию Дирихле, поэтому раскладывается в ряд Фурье.
a
f  x   0   a n cos n x  bn sin n x .
2
Вычисляя коэффициенты Фурье функции f(x):

0

 1
1
1   1
a 0   f x  dx       dx   dx  ,
 
   2 
 2
0

0


1
1   1
a n   f x   cos n x dx        cos n x dx   cos n x dx  0 ,
 
   2 

0

0


1
1   1
bn   f  x   sin n x dx        sin n x dx   sin n x dx 
 
   2 

0
0

cos n x  3 1   1n
1  cos n x
 

,

  2n 
n
2

n

0
так как
cos n   1n , или b2k  0 k  1, 2, 3,  ,
3
k  0,1, 2, 3,  .
b2k 1 
  2k  1
1 3  sin 2k  1  x
.
f x    
4  k 0
2k  1


В задачах 201 – 210 найти общее решение дифференциального уравнения
первого порядка.
201.
x y '  y ln
202.
y 'ctg x  y  2 cos 2 x  ctg x.
203.
y
.
x
x 2  1  y ' xy  x 3  x.

204.
205.
x y '2 y  x 2  0.
206.
x 2 y '  2 xy  3.
x  2 y  dx  xdy  0.

47
207.
x y '2 y  2 x 4 .
208.
y '2 xy   x  e  x .
209.
x 2 y 'xy  1  0.
210.
x  1  y' y  x 3  x 2 .
2
В задачах 211 – 220 найти общее решение дифференциального уравнения,
допускающего понижение порядка.
211.
1  x  y" xy  2.
2
212.
213.
215.
217.
y" y'tg x  sin 2 x.
x y"  y'.
y" tg x  y'1.
214.
216.
218.
219.
2 y y"  1   y'2 .
220.
x 3 y" x 2 y '  1.
y" x ln x  y'.
y"  y' x.
x y" y '  x 2  e x .
y" 1  y   5 y'2 .
В задачах 221 – 230 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
221.
y"6 y '9 y  x 2  x  3;
222.
y" y  9 x  e 2x ;
223.
y"2 y '5 y  5 x 2  4 x  2;
224.
y"3 y '2 y  3  4 x   e 2x ;
225.
y"4 y '20 y  16 x  e 2x ;
226.
y" y  14  16 x   e  x ;
y"5 y'6 y  52 sin 2 x;
227.
228.
229.
230.
y"4 y  8  e 2x ;
y"3 y'2 y   sin x  7 cos x;
y"9 y'18 y  26 cos x  8 sin x;
4
y0   ,
3
y 0   0,
1
.
27
y ' 0   5.
y 0   0,
y ' 0   2.
y 0   0,
y ' 0   0.
y 0   1,
y ' 0   2.
y 0   0,
y ' 0   1.
y 0   2,
y 0  1,
y ' 0   2.
y ' 0   8.
y 0   2,
y 0   0,
y ' 0  7.
y ' 0   2.
y ' 0  
В задачах 231 – 240 найти решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям, двумя способами: а) с
помощью характеристического уравнения; б) методом операционного исчисления.
48
231.
233.
235.
237.
239.
 x'  x  y,

 y '  x  y;
x0   1, y 0   0.
 x'  x  y,

 y '  4 x  y;
232.
234.
x0  1, y 0  3.
 x'  2 x  y,

 y '  3x  2 y;
x0  1, y 0  3.
 x'  3x  y,

 y '  x  3 y;
x0  2, y 0  3.
 x '  7 x3 y ,

 y '  x  5 y;
x0  1, y 0  2.
236.
238.
240.
 x'  2 x  y,

 y '  3 x  4 y;
x0   1, y 0   2.
 x'  x  y,

 y '  4 x  4 y;
x0  2, y0  1.
 x'  2 x  y,

 y '  6 x  3 y;
x0  1, y 0  2.
 x'  8 x  3 y,

 y '  2 x  y;
x0  3, y 0  1.
 x'  4 x  y,

 y '   x  4 y;
x0  1, y 0  1.
В задачах 241 – 250 исследовать сходимость числового ряда.
241.
243.

5n
 3  n !.
n 1


242.
4n  3
3n  n

3n
.

n 1 2 n !
244.
.
n 1
245.
247.

1

n 1 1  4n
249.
2
246.

2  cos n
n 1
3  sin n

248.
.
n
n
250.
.


6n
.
n


5

2
n

1
n 1

1
 n  1  ln n  1 .
n 1

3n
.

n 1 n  1!

1

n 1 n 

.
n 1
3  5  7    2n  1
 2  5  8    3n  1 .
n 1
2
В задачах 251 – 260 найти область сходимости степенного ряда

 an x n .
n 1
49
251.
253.
255.
257.
259.
2n
an 
.
n  n  1
10 n
an 
.
n
n
an  n
.
4  n  1
252.
256.
an 
2n
258.
an 
an 
an 
3  n
1
n
4
254.
.
3n  1  2
n
260.
.
an 
an 
an 
n!
n  1
n
.
3n
5  n  1
n
.
20 n
.
n
5n
6  n
1
n
.
2n  1  3 n
.
В задачах 261 – 270 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в
ряд и почленного интегрирования данного ряда.
261.
1
sin x

3
0
263.
265.
267.
0,5

0,3
1
dx.
x
1  cos x
x
 sin x
262.
2
2
264.
.
266.
dx.
0
1
268.
3
 cos x dx.
0
269.

4
270.
sin x
dx.
x
0

1
2
 x  cos
0
0,5

0
0, 5

0
1
arctg x 2
x

2
dx.
sin x 2
dx.
x
 cos
0
0,5
2 x dx.
x2
dx.
4
1  x 3 dx.
0
В задачах 271 – 280 найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля,
члена этого разложения).
271.
y'  x  y  e y ,
y 0   0.
50
272.
y '  x 2 y 2  1,
y 0   1.
273.
y'  x 2  y 2 ,
275.
y'  e x  y 2 ,
277.
y'  x 2  y 2 ,
279.
y'  x  e y ,
1
y0   .
2
y 0   0.
y 0   2.
y 0   0.
274.
y'  x  y 2 ,
y 0   1.
276.
y'  x  y  y 2 ,
y 0   1.
278.
y '  2  e y  xy ,
280.
y '  xy  e x ,
y 0   0.
y 0   0.
В задачах 281 – 290 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x),
заданную на интервале – периоде.
281.
282.
283.
284.
285.
286.
287.
288.
289.
290.
f  x   x  1,
в интервале   ,  .
f x   x 2 ,
в интервале  1, 1.
2x
f x    ,
0
 1
f x    ,
5
x  1
f x   
,
0
0
f x    ,
x
f  x   x  1,
при    x  0,
при 0  x   .
2
f x    ,
1
f x   x ,
f  x   2  x,
при    x  0,
при 0  x   .
при  3  x  0,
при 0  x  3.
при  1  x  0,
при 0  x  1.
при    x  0,
при 0  x   .
в интервале  1, 1.
в интервале   ,  .
в интервале  2, 2 .
291. Электролампы изготовляются на 3 заводах. Первый завод производит
45% общего количества электроламп, второй – 40%, третий – 15%. Продукция
первого завода содержит 70% стандартных ламп, второй – 80%, третий – 81%.
В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность, что
купленная в магазине лампа окажется стандартной.
292. Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна
0,2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 конденсаторов, работающих независимо, выйдут из строя от 14 до 26 конденсаторов.
51
293. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает,
равно 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность
того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
294. Электрическая схема состоит из трех блоков, работающих независимо
друг от друга. Вероятность того, что каждый из них работает исправно, соответственно равна р1=0,8, р2=0,4, р3=0,7. Схема годна к эксплуатации при наличии двух исправных блоков из трех. Определить вероятность того, что схема
будет работать.
295. У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом №1 и 4 детали – заводом №2. Наудачу взяты две детали. Найти вероятность того, что хотя
бы одна из них окажется изготовленной заводом №1.
296. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из 600 случайно отобранных деталей окажется 4 бракованных.
297. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность
того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, ровно три окажутся
дефектными.
298. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым
стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а)
только один из стрелков попал в цель; б) только два стрелка попали в цель; в)
все три стрелка попали в цель.
299. При установившемся технологическом процессе фабрика выпускает в
среднем 70% продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что в
партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760?
300. Имеются три машины, которые изготавливают соответственно 35%,
20% и 45% некоторых однотипных деталей. Причем первая машина дает 6%
брака, вторая – 4%, третья – 2%. Случайно выбранное изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на
первой машине.
В задачах 301 – 305 задан закон распределения случайной величины X (в
первой строке таблицы даны возможные значения величины X , а во второй
строке указаны вероятности p этих возможных значений). Найти: 1) математическое ожидание M (X ) ; 2) дисперсию D(X ) ; 3) среднее квадратическое отклонение  .
301.

23
p
0,3 0,2 0,4 0,1
25
28
29
302.
52

17
p
0,2 0,4 0,3 0,1
21
25
27
303.
 35
305.
p 0,1 0,3 0,2 0,4
 18 22 23 26
p
39
42
46
304.
 12
p
16
19
21
0,1 0,5 0,3 0,21
0,2 0,3 0,4 0,1
В задачах 306 – 310 задана случайная величина X функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
306.
308.
310.
0, x  0;

F  x    x 2 , 0  x  1;
1, x  1.

307.

0,
x  0;



F  x   2 sin x, 0  x  ;
6



x
1,
6
x  2;
0,
x

F  x     1, 2  x  4;
2
x  4.
1,
309.
0, x  0;

F  x    x 3 , 0  x  1;
1, x  1.

3

0
,
x

;

4

3

F  x   cos 2 x,
 x ;
4

x  .
1,


В задачах 311 – 320 найти методом произведений: а) выборочную среднее
x B ; б) выборочную дисперсию D B ; в) выборочное средне квадратическое отклонение  B по данному статистическому распределению выборки. Построить
полигон частот данного признака X .
311.
xi
21 28 35 42 49 56 63
312.
ni
xi
7 11 12 60 5 3 2
105 110 115 120 125 130 135
ni
4
6
10
40
20
53
12
8
313.
xi
18 23 28 33 38 43 48
314.
ni
xi
1 6 8 30 10 4 1
100 110 120 130 140 150 160
315.
ni
xi
4
6
10 40 30 12
26 32 38 44 50 56 62
316.
ni
xi
5 15 40 25 8 4 3
100 105 110 115 120 125
317.
ni
xi
20 19 15 25 13
8
45 50 55 60 65 70 75
318.
ni
xi
4 6 10 40 20 12 8
65 70 75 80 85 90 95
319.
ni
xi
18 5 15 26 11 16 9
110 115 120 125 130 135 140
320.
ni
xi
5
10 30 25 15 10
5
10,2 10,4 10,6 10,8 11 11,2 11,4 11,6
ni
2
3
8
13
54
25
20
8
12
10