Задачник по теории вероятности А. А. Макаров, А. В. Пакшевич

А. А. Макаров, А. В. Пашкевич
Задачник
по теории вероятностей
для студентов социально-гуманитарных
специальностей
Электронное издание
Москва
Издательство МЦНМО

УДК .
ББК .
M
Макаров А. А., Пашкевич А. В.
Задачник по теории вероятностей для студентов
социально-гуманитарных специальностей
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----
В книге содержится большое количество задач, ориентированных
на практику, образцы домашних, контрольных и экзаменационных
работ. Ко всем задачам даны ответы, а некоторые задания снабжены подробным решением и комментариями. Приведены справочные
сведения об основных теоретических понятиях. Учебный материал
изложен просто, интересно и эффективно для усвоения.
Учебное пособие рассчитано в первую очередь на студентов высших учебных заведений, обучающихся по социальным и другим нематематическим специальностям вузов, а также на преподавателей вузов и школьных учителей, интересующихся использованием вероятностных методов на практике.
Книга полностью удовлетворяет образовательным стандартам по
математике, включая федеральный государственный образовательный стандарт нового поколения.
Подготовлено на основе книги:
Макаров А. А., Пашкевич А. В. Задачник по теории вероятностей для студентов социально-гуманитарных специальностей. –– М.: МЦНМО, . ––
 с. –– ISBN ----
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. ()––.
http://www.mccme.ru
ISBN ----
© Макаров А. А., Пашкевич А. В., .
© МЦНМО, .
Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
7
Раздел . Элементы комбинаторики. Основные правила . . . . . . . . .
9
Раздел . Случайное событие. Вероятностное пространство. Классическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Раздел . Операции с событиями. Формула сложения вероятностей.
Независимые события. Условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса . . . . . . . . .
37
Раздел . Испытания Бернулли. Биномиальное распределение . . . . .
53
Раздел . Дискретная случайная величина и её числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия. Независимые случайные
величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Раздел . Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Раздел . Совместное распределение двух дискретных величин. Ковариация и корреляция двух случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Раздел . Непрерывные случайные величины. Равномерное распределение. Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Раздел . Случайная социологическая выборка и её погрешность.
Теорема Муавра––Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Библиография: учебники и задачники-референты . . . . . . . . .
Домашняя работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Домашняя работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Микроконтрольная работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Экзаменационная работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ответы к задачам для самостоятельного решения . . . . . . . . . .
Ответы к задачам микроконтрольной и экзаменационной работ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
121
123
127
132
135
144
152
Предисловие
В настоящем издании собраны задачи по теории вероятностей,
которые авторы использовали в течение многих лет на семинарах,
контрольных работах и экзаменах при проведении курса теории
вероятностей в бакалавриате ряда факультетов социально-экономического, гуманитарного и управленческого профиля Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»
и Московской школы экономики МГУ им. М. В. Ломоносова.
Преподавание теории вероятностей студентам перечисленных
профилей всегда имело свои особенности и заметно отличалось от
аналогичных курсов для естественно-научных и технических специальностей. В частности, оно предполагало другой уровень математического формализма при изложении материала, сокращение
сложных доказательств и, главное, ориентацию на практические
потребности специальности. Отсутствие подобной ориентации часто порождает у студентов-гуманитариев недоумение и отторжение
учебного материала, и как следствие, плохое усвоение курса.
Ситуация последнего десятилетия требует дальнейшей корректировки методики преподавания теории вероятностей. Это обусловлено несколькими причинами.
Во-первых, возросло понимание важности и востребованности
этой области знаний в подготовке специалистов социально-экономических, управленческих и гуманитарных специальностей. Это
связано с заметным расширением доступности больших массивов
изменчивой информации на практике и возможностями вычислительной техники по их обработке. На практике растет спрос на
вероятностно-статистические модели описания и интерпретации
данных.
Во-вторых, базовые понятия теории вероятностей вошли в государственные образовательные стандарты средней и старшей школы. Учащиеся начинают знакомиться с базовыми понятиями статистики и теорией вероятностей с седьмого класса школы. Простейшие задачи по теории вероятностей и статистике включены в государственные аттестации учащихся после  и  классов. Поэтому меняются акценты в преподавании теории вероятностей в бакалавриате университетов. Необходимо учитывать, что описание простых
Предисловие

случайных экспериментов с монетой, игральной костью и пр. даны в школе. Приходя в университет, учащиеся вполне понимают,
что такое классическое определение вероятности, какие операции
можно совершать с событиями и как при этом вычислять вероятность событий. Это не означает, что не стоит кратко повторить такой материал. Однако важно еще показать, как базовые вероятностные понятия используются в реальной практике: при формировании выборочных обследований, интерпретации результатов теста,
определении номера партии в избирательном бюллетене, определении размера страховых взносов и т. п. Этих же принципов следует
придерживаться в изложении нового материала.
Подбирая задачи для наших курсов, мы учитывали материал
школьной программы и, главное, необходимость ориентации на
профиль специальности. Поэтому мы включили в сборник преимущественно не формальные, а практико-ориентированные текстовые задачи. Последние в первую очередь требуют умения формализовать содержание, то есть перевести условие в математические
понятия, формулы и алгоритмы решения. Материал для подобных
задач мы часто заимствуем из реальной жизни, социологических
исследований, баз данных и других источников. На наш взгляд,
содержание курса теории вероятностей должно давать не только
необходимый запас формальных знаний и компетенций, но и обширный обзор того, как эти методы используются на практике.
По своей структуре задачник разбит на  разделов. Каждый раздел состоит из трех частей. В первой части дается краткое простое
изложение основных теоретических понятий и свойств, сопровождаемое примерами. Эти теоретические части не в коей мере не могут заменить учебники [, ] и лекции и носят лишь справочный
характер. Во второй части дается разбор нескольких ключевых задач раздела. Часто эти задачи мы обсуждаем на семинарах. Третья
часть –– задачи для самостоятельного решения. Часть подобных задач мы задаем студентам на дом, формируем из них промежуточные
микро- и контрольные работы. В конце книги к этим задачам даны
ответы, и студенты самостоятельно могут проконтролировать уровень своей компетенции перед контрольными и экзаменами. Тем,
кому требуется больший объем простых формальных задач, мы рекомендуем обратиться к школьному учебнику [].
Учитывая, что современный студент должен хорошо представлять, какие требования и в каком объеме будут предъявлены к нему

Предисловие
на том или ином этапе обучения, мы включили в сборник варианты
типовых домашних заданий, микроконтрольных работ, которые регулярно проводятся на семинарах, а также варианты экзаменов по
курсу. Опыт нашей работы показывает, что без регулярного контроля усвоения текущего материала надеяться на успешное освоение
курса большинством студентов не приходится.
Мы надеемся, что это учебное пособие будет полезно не только
студентам, но и многим преподавателям, испытывающим трудности в подборе задач для аналогичных курсов. Книга, несомненно,
будет полезна учителям и школьникам, интересующимся, как используются вероятностные понятия и методы в социальных и гуманитарных науках.
Благодарности
Выражаем глубокую признательность нашим коллегам-преподавателям, с которыми на протяжении многих лет мы ведем курсы по теории вероятностей, статистике и анализу данных на разных факультетах Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» и в Московской школе экономики МГУ им. М. В. Ломоносова. Совместный опыт работы был очень
важен и ценен для нас при подготовке этого учебного пособия.
Многие люди в разное время способствовали нашей работе. Но
особую благодарность хотим выразить Юрию Николаевичу Тюрину, Ивану Ростиславовичу Высоцкому, Ивану Валерьевичу Ященко,
Денису Константиновичу Стукалу, Галине Ивановне Симоновой,
Ирине Михайловне Дружининской, Марии Владимировне Габелко,
Татьяне Евгеньевне Хавенсон.
В обсуждении задач этой книги участвовали многие студенты
бакалаврской программы «Социология» в Высшей школе экономики. Выражаем большую благодарность всем нашим студентам за
инициативу, активный творческий интерес и индивидуальные предложения, интересные идеи по расширению банка задач в ходе выполнения домашних заданий по теории вероятностей.
Невозможно перечислить поименно всех тех, кто на разных стадиях подготовки книги участвовал в её обсуждении, сюжетном наполнении задач, и мы глубоко признательны всем студентам факультета социологии за этот ценный и ощутимый вклад в развитие
преподавания теории вероятностей.
Особую благодарность выражаем Константину Борисовичу Короткому, Ольге Сергеевне Спесивцевой, Анне Александровне Марченко, Светлане Николаевне Чернышевой, Ирине Валерьевне Николаевой, которые в  –– гг. в качестве учебных ассистентов
по курсу теории вероятностей внесли большой вклад в разработку
и усовершенствование задач.
Мы глубоко признательны рецензентам данной книги: Сергею
Николаевичу Бычкову –– кандидату физико-математических наук,
доктору философских наук, профессору кафедры философии образования Московского института открытого образования, –– и Татьяне

Благодарности
Юрьевне Черкашиной –– кандидату социологических наук, доценту,
заведующей кафедрой общей социологии экономического факультета Новосибирского государственного университета.
А. Макаров
А. Пашкевич
Раздел 
Элементы комбинаторики. Основные
правила
Ключевые понятия теории вероятностей –– случайный эксперимент и его возможные исходы. Когда число возможных исходов
случайного эксперимента конечно, для их описания или описания
какой-то их части полезны правила комбинаторики. Комбинаторика изучает способы перебора, пересчета и упорядочивания предметов. Для решения задач теории вероятностей обычно используются
следующие комбинаторные правила:
• правило умножения;
• правило перестановок;
• правило сочетаний;
• правило размещений.
Правило умножения позволяет найти число упорядоченных пар.
Чтобы найти число всех упорядоченных пар объектов (предметов)
двух типов, нужно число объектов первого типа умножить на число объектов второго типа. Другими словами, если на первом месте
может находится один из m различных объектов (предметов), а на
втором может быть один из k разных объектов, то можно составить
m · k различных упорядоченных пар из этих объектов.
Пример  (Аíêåòà). Если на первый вопрос социологической
анкеты можно ответить двумя способами, а на второй вопрос –– пятью, то всего существует 2 · 5 = 10 возможных способов заполнить
ответы на два вопроса анкеты.
Пример  (Кóáèê). Если игральную кость (кубик) подбросить
дважды, то на первом броске можно получить любую из шести граней игральной кости, и на втором тоже. Значит, согласно правилу
умножения, всего можно получить 6 · 6 = 36 вариантов завершения
этого случайного эксперимента.
Правило умножения особенно полезно для вычисления общего
числа элементарных исходов в независимых, однотипных повторяющихся случайных экспериментах. Если однократный эксперимент

Раздел . Элементы комбинаторики. Основные правила
может закончиться одним из k элементарных исходов, а проводятся
повторно и независимо m подобных экспериментов, то общее число
элементарных исходов в этой серии экспериментов равно N = k m .
Правило перестановок позволяет найти число способов упорядочивания n объектов (предметов). Под упорядочиванием понимается нумерация объектов: один из объектов получает первый номер,
любой из оставшихся объектов получает второй номер и так далее.
Общую формулу числа перестановок можно получить с помощью
правила умножения.
Число перестановок n объектов равно произведению
n · (n − 1) · (n − 2) · …· 3 · 2 · 1.
Такое произведение натуральных чисел от 1 до n называют факториалом числа n («эн-факториал») и обозначают n!.
Пример  (О÷åðåäü â áóôåò). Пять студентов можно поставить
в очередь в буфет 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! = 120 различными способами.
Пример  (Фóòáîë). Есть 11! способов раздать майки с номерами от 1 до 11 одиннадцати игрокам футбольной команды:
11! = 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 39 916 800.
Правило сочетаний позволяет узнать, сколькими способами можно выбрать из n объектов k объектов. При этом порядок выбора
этих объектов не существенен. Число этих способов называют числом сочетаний из n по k и обозначают Cnk . Это правило вытекает из
правила умножения и правила перестановок.
Число способов выбрать из n объектов k объектов или, другими
словами, число сочетаний из n по k, равно
n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1)
.
k!
В числителе этого выражения стоят ровно k сомножителей, каждый из которых показывает, сколькими способами можно выбрать
очередной объект из еще не выбранных. Так, первый объект можно
выбрать n способами, второй –– (n − 1) способами, так как на этом
этапе осталось только (n − 1) объектов и т. д., пока не доберемся до
выбора k-го объекта. В знаменателе число сочетаний стоит выражение k!, которое учитывает, что одни и те же k объектов мы можем
выбрать в разном порядке. Всего таких упорядочиваний ровно k!.
Число сочетаний из n по k кратко можно записать в следующем
виде: Cnk =
n!
.
k! · (n − k)!
Раздел . Элементы комбинаторики. Основные правила

Пример  (Нàëîãè). Налоговая инспекция может выбрать для
10 · 9 · 8
проверки три компании из десяти
= 120 различными спосо1·2·3
бами.
Пример  (Вûáîðêà ðåãèîíîâ). В Центральном федеральном
округе 18 регионов. Социологи хотят выбрать из них 4 произвольных региона для проведения социологического опроса. Это можно
сделать
18 · 17 · 16 · 15
= 3060 способами.
1·2·3·4
Правило размещений позволяет вычислить, сколькими способами можно разместить n объектов по k позициям. При этом сами позиции считаются упорядоченными или, другими словами, занумерованными. Число этих способов называют числом размещений из
n по k и обозначают Akn . Правило размещений вытекает из правила
умножения.
Число размещений n объектов по k упорядоченным позициям
равно n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1). Число размещений n по k
кратко можно записать в следующем виде: Akn =
n!
.
(n − k)!
Пример  (О êðàñîòå). На конкурсе красоты из десяти претенденток надо выбрать трех на первое, второе и третье место. Согласно
правилу размещения, это можно сделать 10 · 9 · 8 = 720 способами.
Задачи для самостоятельного решения
1.1 (Сîöèîëîãè÷åñêàÿ àíêåòà). По итогам исследования имеются ответы респондентов на три вопроса.
) Профессия (имеет 11 вариантов ответа в предложенном меню).
) Уровень среднедушевого дохода в семье относительно существующего прожиточного минимума (имеет 6 вариантов ответа в предложенном меню).
) Пол (имеет 2 варианта ответа в предложенном меню).
Сколькими различными способами можно заполнить такую анкету?
1.2 (Тåñò). Тест знаний включает 10 вопросов, на каждый из которых предложено четыре варианта ответа. На каждый вопрос испытуемый должен выбрать один вариант ответа. Сколькими способами можно ответить на подобный тест?
1.3 (Пðîäóêòû). Участнику исследования предлагается оценить
10 продуктов (сортов сыра) по привлекательности по пятибалльной
шкале. Сколько различных комбинаций ответов существует при этом?

Раздел . Элементы комбинаторики. Основные правила
1.4 (Кëàññè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò). Экспериментатор бросает монету, а затем игральную кость.
а) Сколько всего исходов в таком эксперименте?
б) Сколько будет исходов, если экспериментатор сначала будет
бросать кость, а потом –– монету?
1.5 (Сîáàêå Кà÷àëîâà). Сколькими способами можно переставить слова во фразе «Джим, дай мне лапу»?
1.6 (Аëôàâèò). Во сколько раз число перестановок русских букв
превышает число перестановок латинских? (В русском и латинском
алфавитах 33 и 26 букв соответственно).
1.7 (Фîòîãðàôèè). Семь подруг обменялись фотографиями с летнего отдыха –– каждая подарила по одной своей фотографии каждой
из остальных подруг. Сколько всего фотографий было подарено?
1.8 (Сâåò â îêíå). На фасаде дома 12 окон. В каждом свет либо
есть, либо нет. Сколько всего может быть комбинаций (внешних
«образов» такого дома)?
1.9 (Сòàæèðîâêà). В отборе на стажировку в компании участвуют 9 кандидатов с одинаковыми потенциальными возможностями.
Сколькими способами можно распределить пять вакантных должностей между кандидатами?
1.10 (Цèðê è âîðîíû). В цирке шесть ученых ворон –– одна белая, остальные черные.
а) Сколько существует способов выбрать одну белую ворону и трех
черных ворон?
б) Сколько существует способов выбрать четырех черных ворон?
в) Сколько существует способов выбрать четырех ворон?
г) Как связаны ответы к заданиям а), б) и в)?
1.11 (Лàìïî÷êè). Есть 20 лампочек –– одна перегоревшая, остальные исправные. Из этих лампочек наудачу выбирают 15 штук.
а) Сколько существует способов выбрать одну неисправную лампочку и 14 исправных?
б) Сколько существует способов выбрать 15 исправных лампочек?
в) Сколько существует способов выбрать 15 лампочек?
1.12 (Уëèöà). На улице в ряд стоит семь домов. Хозяева решили
покрасить свои дома, каждый дом в один тон. Сколько существует
способов раскраски, если в местном магазине продаются краски:
а) 3 цветов; б) 7 цветов; в) n цветов?
1.13 (Кàðóñåëü). На детской карусели семь одинаковых лошадок, стоящих по кругу. Сторож весной планирует покрасить этих
Раздел . Элементы комбинаторики. Основные правила

лошадок так, чтобы не все они были одинаковые. У сторожа есть
краски n разных цветов. Сколько существует разных способов покрасить карусель? (Указание: если раскраски совпадают при повороте карусели, они считаются одинаковыми.)
1.14 (Чèñëà ñî÷åòàíèé). а) Докажите, что Cn2 =
n · (n − 1)
.
2
б) Докажите, что Cnk = Cnn−k .
1.15 (Кîíôåðåíöèÿ). На научной конференции каждый из учёных пожал руки всем остальным. Сколько произошло рукопожатий,
если учёных было: а) ; б) ; в) ; г) ; д) n?
1.16 (Тàíöû). Сколько танцевальных пар можно составить из 8
мужчин и 6 женщин, если в паре могут танцевать только лица противоположного пола?
1.17 (Пðåìèè). В отделе компании работают 8 человек. Сколько
существует возможностей распределить между ними: а) 3 одинаковые по величине премии; б) 3 разные по величине премии?
1.18 (ТВ è МС). В библиотеке есть 7 учебников по теории вероятностей и 5 учебников по математической статистике. Студентка
решила наудачу взять 2 книги по ТВ и 3 книги по МС. Сколькими
способами она может это сделать?
1.19 (Рàñïèñàíèå). В сессию за 12 дней студенты одной группы должны сдать четыре экзамена. Сколькими способами можно
составить расписание экзаменов, если в университете запрещается
сдавать два экзамена в один день?
Раздел 
Случайное событие. Вероятностное
пространство. Классическое определение
вероятности
Описание случайного эксперимента, то есть такого эксперимента, исход которого нельзя предсказать заранее, начинается с описания всех возможных исходов эксперимента. Эксперимент может
закончиться лишь одним из возможных исходов, которые называют
элементарными исходами или элементарными событиями. Множество всех возможных исходов случайного эксперимента именуют
пространством элементарных исходов.
Традиционно изучение теории вероятностей начинают с так называемых дискретных пространств элементарных исходов, число
исходов в которых конечно или счётно. Элементарный исход эксперимента принято обозначать греческой буквой ω или ωi (индексом
указывая номер исхода). Все пространство элементарных исходов
обозначают заглавной буквой Ω.
Пример  (Дâà áðîñàíèÿ). Рассмотрим случайный эксперимент,
в котором игральную кость подбрасывают дважды. В качестве одного из возможных исходов этого эксперимента может выступать элементарное событие ω = (4; 3), где 4 –– число очков, выпавшее при
первом броске, а  –– при втором. Всё пространство элементарных
исходов подобного эксперимента согласно правилу умножения будет состоять из 6 · 6 = 36 элементарных исходов.
Пример  (Пÿòü ñòóäåíòîâ). Из пяти студентов (Алексея, Олега, Ивана, Петра, Бориса) наугад выбирают двух. При этом порядок
выбора не важен. Элементарными исходами в таком эксперименте
будут различные пары; например, (Олег, Иван), (Борис, Алексей),
(Олег, Петр) и т. д. Всего таких пар, согласно правилу сочетаний,
можно составить
5!
3! · 4 · 5
5·4
5!
=
=
=
= 10.
C52 =
2! · (5 − 2)!
2! · 3!
2 · 3!
2
Для описания случайного эксперимента с дискретным пространством исходов надо не только указать множество его возможных исхо-
Раздел . Случайное событие. Вероятностное пространство

дов, но и каждому исходу приписать вероятность его появления в эксперименте. Такую вероятность для элементарного события ω обозначают P(ω). Это число показывает шансы появления элементарного
события в эксперименте. Число P(ω) может принимать значения от
нуля (включая и ноль) до единицы (включая единицу). А сумма всех
вероятностей всех элементарных исходов P(ωi ) всегда равна 1.
Приписывать вероятности P(ω) элементарным исходам в реальных ситуациях –– совсем не простая задача. Однако, когда есть основание полагать, что все элементарные исходы эксперимента в дискретном пространстве равновероятны, эта задача решается просто.
Надо вычислить количество всех элементарных исходов в эксперименте и определить вероятность любого из них как единицу, деленную на общее число исходов. Такой способ задания вероятностей
называется классическим.
Пример  (Мîíåòà). Симметричную монету подбрасывают два
раза. Элементарными исходами подобного эксперимента будут различные сочетания «орлов» и «решек», выпавших во время первого
и второго броска. Например: ω1 = {oo}, ω2 = {po}, и т. д. По правилу
умножения получаем, что всего в таком эксперименте возможны
2 · 2 = 4 элементарных исхода. Считая их равновероятными, находим вероятность каждого из них:
P(ω1 ) = P(ω2 ) = P(ω3 ) = P(ω4 ) =
1
.
4
На практике нас обычно интересуют не только отдельные элементарные исходы эксперимента, но и некоторые их совокупности или
множества. Такие множества элементарных исходов называют случайными событиями и обозначают начальными заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, и т. д. Говорят, что в ходе случайного эксперимента произошло случайное событие A, если эксперимент
закончился элементарным исходом, который принадлежит событию
A. Зная вероятности элементарных событий в дискретном пространстве, можно определить вероятность случайного события A как сумму вероятностей всех входящих в него элементарных исходов:
P(A) = P(ω1 ) + P(ω2 ) + … + P(ωk ).
Из свойств вероятностей элементарных исходов следует, что 0 ¶
¶ P(A) ¶ 1 и P(Ω) = 1.
Пример  (Дåæóðñòâî â êëàññå). В классе из двух мальчиков
и трех девочек наугад выбирают двух человек для дежурства. При

Раздел . Случайное событие. Вероятностное пространство
этом порядок выбора не важен. Какова вероятность того, что будет
выбрана пара девочек?
Решение. Все пространство элементарных исходов этого эксперимента содержит C52 = 10 элементарных исходов. Считая все исходы равновероятными, а это именно так, если выбирать наугад,
получаем, что вероятность каждого элементарного исхода этого экс1
перимента равна 10 .
Интересующее нас событие A –– выбрана пара девочек –– содержит
2
C3 =3 элементарных исхода, так как выбрать пару девочек можно
только из трех девочек. (Выбор пары девочек из трех равносилен тому,
что одну из трех девочек мы не выбираем, а это можно сделать тремя
3
способами.) Таким образом, вероятность события A равна P(A)= 10 .
Пример  (Сóììà î÷êîâ íà èãðàëüíûõ êîñòÿõ). Игральную
кость подбрасывают дважды. Какова вероятность того, что в сумме
на двух костях выпадет 4 очка?
Решение. В примере 1 показано, что пространство элементарных
исходов подобного эксперимента состоит из 36 исходов. Если все они
равновероятны (а так оно и бывает, если кости бросают честно), то
1
. Осталось вычислить, сколько
вероятность каждого исхода равна
36
элементарных исходов включает событие A –– в сумме выпало 4 очка. Таких исходов всего 3: ω1 = (1; 3), ω2 = (2; 2), ω3 = (3; 1). Следовательно, вероятность события A равна P(A) =
1
3
= .
36 12
Задачи для подробного разбора на семинаре
Задача  (Сîâïàäåíèÿ äíåé ðîæäåíèÿ). На вечеринке присутствуют 12 человек, не знакомых между собой. Какова вероятность
того, что у любых двух из них месяцы рождения не совпадают (отличаются)?
Решение. Введем интересующее нас событие:
o
n
У любых двух человек, присутствующих
.
A=
на вечеринке, месяцы рождения разные
Опишем множество всех способов распределения месяца рождения у присутствующих 12 человек. У каждого из участников вечеринки месяцем рождения может быть любой из 12. Следовательно,
мы гипотетически (теоретически) можем получить 12 · 12 · 12 · …
… · 12 = 1212 = 8 916 100 448 256 способов распределения месяцев
рождения среди 12 человек.
Раздел . Случайное событие. Вероятностное пространство

Выделим среди этого множества те комбинации распределения
месяцев рождения, среди которых нет ни одного повторяющегося
месяца. В этих комбинациях у первого участника вечеринки может
быть любой из 12 месяцев рождения, у второго (12 − 1) = 11 месяцев, так как один месяц уже отведен первому участнику. У третьего, соответственно, (12 − 2) месяца, и т. д. В итоге получаем:
12 · 11 · 10 · … · 1 = 12! = 479 001 600 –– это и есть количество групп
из 12 человек с неповторяющимися месяцами рождения.
Вероятность интересующего нас события равна отношению числа комбинаций без повторений к общему количеству способов распределения месяцев рождения:
P(A) =
12!
479001600
= 8916100448256 = 0,000054 ≈ 0.
1212
Событие A можно считать невозможным, поскольку его вероятность мало отличается от нуля.
Задача  (Бîëüøîé ïåðååçä). После переезда фирмы в новый
офис коробки одного из сотрудников оказались перепутанными.
Менеджер проектов этой фирмы забыл подписать содержимое своих коробок и теперь ему предстоит нелегкая работа по классификации содержимого –– личных вещей и документов. Всего коробок
одиннадцать, из них только шесть коробок содержат документы
по проектам фирмы. Менеджер наугад открывает четыре коробки.
Какова вероятность того, что хотя бы две из открытых коробок
содержат документы?
Решение. . Введем основное событие, рассматриваемое в задаче:
o
n
Хотя бы две из четырех коробок содержат
.
A=
документы, т. е. две, три или четыре
Вероятность интересующего нас события равна отношению числа
исходов, благоприятствующих наступлению события A, к общему
числу возможных исходов в этом случайном эксперименте.
. Вычислим это общее число способов:
11!
k=4
Cn=11
= 4! · (11 − 4)! =
7! · 8 · 9 · 10 · 11
8 · 9 · 10 · 11
= 1 · 2 · 3 · 4 = 3 · 10 · 11 = 330
4! · 7!
–– столько существует способов открыть (случайным образом) любые четыре коробки из одиннадцати имеющихся.
. Чтобы рассчитать число исходов, благоприятствующих наступлению события A, заметим, что среди имеющихся 11 коробок

Раздел . Случайное событие. Вероятностное пространство
только 6 содержат нужные документы, остальные 5 –– нет. Когда
менеджер открывает 4 коробки наугад, то элементарные исходы, соответствующие событию A, могут быть такими (их всего три и они
взаимоисключающие): ) две коробки с документами, другие две ––
нет, ) три коробки с документами, оставшаяся –– нет, ) все четыре
коробки с документами. Следовательно, число способов открыть
коробки с подходящими документами такое:
5!
6!
·
+
2! · (6 − 2)! 2! · (5 − 2)!
6!
5!
6!
5!
+ 3! · (6 − 3)! · 1! · (5 − 1)! + 4! · (6 − 4)! · 0! · (5 − 0)! =
4! · 5 · 6 3! · 4 · 5 3! · 4 · 5 · 6 4! · 5 4! · 5 · 6 5!
=
·
+
·
+
·
=
2 · 4!
2 · 3!
2 · 3 · 3! 1 · 4!
4! · 2 1 · 5!
C62 · C52 + C63 · C51 + C64 · C50 =
= 15 · 10 + 20 · 5 + 15 · 1 = 150 + 100 + 15 = 265.
Неформально, знак «+» здесь означает «или/или», знак «·» означает
«и при этом». Так, например, первое слагаемое в формуле можно
«прочитать» так: из шести подходящих коробок открываются любые
(какие-то) две, однако при этом другие две открываются из пяти
неподходящих. Второе слагаемое в формуле можно «прочитать» так:
из шести подходящих коробок открываются любые (какие-то) три,
но одновременно с этим оставшаяся четвертая коробка взята из
пяти неподходящих. Третье слагаемое в формуле показывает, что
все четыре коробки взяты из шести подходящих (и при этом ноль
коробок из пяти ненужных).
. Осталось рассчитать вероятность события A:
P(A) =
C62 · C52 + C63 · C51 + C64 · C50
4
C11
=
265
= 0,803 ≈ 0,8.
330
Итак, с вероятностью 0,8 среди любых четырех из одиннадцати
коробок (перепутанных после переезда) хотя бы в двух коробках
окажутся документы по проектам фирмы.
Задачи для самостоятельного решения
2.1 (Нîâîñòè). Исследование показало, что 622 человека из 864
опрошенных сказали, что читают основные новости дня в интернете. Если мы выбираем человека случайно «в толпе», то какова вероятность того, что он скажет, что не читает новости в интернете?
2.2 (Нà÷àëî ñîðåâíîâàíèé). Перед началом соревнований по
художественной гимнастике жеребьёвкой определяется порядок вы-
Раздел . Случайное событие. Вероятностное пространство

ступления спортсменок. Из пятнадцати спортсменок трое представляют Российскую Федерацию. Найдите вероятность того, что начинать соревнования будет спортсменка не из России.
2.3 (Пðûæêè íà ëûæàõ). Перед началом соревнований по прыжкам на лыжах жеребьёвкой определяется порядок выступления прыгунов. Двое спортсменов представляют Россию, четверо –– Канаду,
двенадцать –– страны Европы и Азии. Найдите вероятность того, что
третьим по счету будет выступать спортсмен из России.
2.4 (Пóòåøåñòâèÿ). В анкете туристического агентства респондента просят расставить по привлекательности (т. е. ранжировать) пять стран –– Исландию, Францию, Германию, Данию, Финляндию. Сколько возможных вариантов ранжировки можно получить?
2.5 (Пèñüìà). Два почтальона должны разнести 10 писем по
10 различным адресам. Сколькими способами они могут распределить работу, если известно, что каждому почтальону может достаться любое количество писем (включая ноль)?
2.6 (Дåëèì íà ãðóïïû). Сколькими способами можно разбить
группу из 25 человек на три подгруппы А, B и C по 6, 9 и 10 человек
соответственно?
2.7 (В ðåñòîðàíå). В ресторане суши действует акция: «Закажи
любые два набора роллов, заплатив за один более дорогой набор».
В акции участвуют 4 вида роллов: Филадельфия, Калифорния, Аляска и Канадиан. Посетитель заказал два набора роллов. Какова вероятность того, что эти наборы одинаковы?
2.8 (К ýêçàìåíó). Иван выучил только 6 из 11 вопросов экзамена. В экзаменационном билете 3 вопроса. Если студент верно отвечает как минимум на 2 из них, то получает зачет. Какова в этой
ситуации для Ивана вероятность сдать экзамен по предмету?
2.9 (Сïîðòëîòî). В тираже лотереи «Спортлото» разыгрывались
6 случайных номеров из 49 (сейчас существует похожая лотерея
«Лотто 6 из 49»). В кинокомедии «Спортлото-» главный герой
зачеркивает номера 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Найдите вероятность того, что
в тираже выиграют именно эти 6 номеров.
2.10 (Кîäîâûé çàìîê). На двери установлен кодовый замок
с кнопками. На кнопках изображены цифры от 0 до 9. Чтобы открыть дверь, нужно одновременно нажать 3 кнопки неизвестного
нам кода. Найдите вероятность открыть дверь с первой попытки,
нажав три кнопки наудачу.

Раздел . Случайное событие. Вероятностное пространство
2.11 (Бóêâà «O»). Найдите вероятность того, что все буквы «о»
окажутся на своих местах, если случайным образом перемешать
и выстроить в ряд все буквы слова «обороноспособность».
2.12 (Кîñòþìû). В магазин привезли 10 синих и 10 коричневых костюмов. Продавщица случайным образом выбирает 8 из них,
чтобы выставить на витрине. Найдите вероятность того, что будет
отобрано 3 синих и 5 коричневых костюмов.
2.13 (Кíèæíàÿ ïîëêà). На полке размещены 7 романов и 4 повести. Книги расположены в случайном порядке. С полки сняли
8 первых попавшихся книг. Найдите вероятность того, что на полке
остались: а) только повести; б) только романы.
2.14 (Оïðîñ ñîòðóäíèêîâ). На полевом этапе социологического
исследования из 17 сотрудников корпорации 8 категорически отказываются от участия в опросе. Какова вероятность того, что 6 из
13 случайно выбранных сотрудников этой компании согласятся ответить на вопросы интервьюеров?
2.15 (Вîäèòåëüñêîå óäîñòîâåðåíèå). В отделе некоторой компании работают 14 человек, среди которых водительское удостоверение категории «В» имеют 6 человек, а удостоверение категории
«С» –– 3 человека. Остальные не имеют никакого водительского удостоверения. Какова вероятность того, что при случайном выборе
5 человек ими окажутся 2 человека с удостоверением категории «В»
и 3 человека без водительского удостоверения?
2.16 (Пðîäþñåðû). Для участия в исследовании пригласили 12
продюсеров: 3 работают в кинобизнесе, 4 –– в музыке, 5 –– на телевидении. Случайным образом для первого опроса выбрали двух продюсеров. Какова вероятность того, что оба они работают на телевидении?
2.17 (Пóãîâèöû). В вазе 10 красных, 5 синих пуговиц и 3 зеленых. Вынимаются наудачу три пуговицы. Какова вероятность, что
а) достанут 2 красные и 1 синюю пуговицы; б) все три пуговицы
будут одноцветными?
2.18 (Рàêóøêè). С летнего отдыха на море семья привезла разные ракушки. В коробке лежат 8 ракушек четырех видов: 1 белая,
4 желтые, 1 розовая и 2 серые. Случайно (т. е. наудачу) из коробки достают 3 ракушки. Какова вероятность того, что ими окажутся
2 желтые и 1 серая ракушки?
2.19 (Бèëåòû íà ìþçèêë). Среди 12 студентов (7 юношей и 5 девушек) музыкального училища при помощи жребия распределяют
Раздел . Случайное событие. Вероятностное пространство

5 билетов на мюзикл «Notre Dame de Paris». Какова вероятность того, что билеты достанутся 3 девушкам и 2 юношам?
2.20 (Сóììà î÷êîâ íà òðåõ èãðàëüíûõ êîñòÿõ). Найдите вероятность того, что при трех бросках игральной кости в сумме выпадет менее 6 очков.
2.21 (Иãðàëüíûå êîñòè). Бросают 2 игральные кости: желтую
и зеленую. Вычислите вероятность событий: а) сумма очков на
обеих костях равна 7; б) на желтой кости выпало больше очков,
чем на зеленой; в) числа очков на костях различаются не более, чем
на 2?
2.22 (Оòïóñê). В отделе некоторой компании работают 16 человек, среди которых 3 человека провели отпуск в Скандинавских
странах, 5 человек –– в странах Центральной и Восточной Европы,
4 человека –– в странах Азии, остальные никуда не ездили и провели отпуск дома. Какова вероятность того, что среди 6 случайно
отобранных человек окажутся не менее 4 сотрудников, которые побывали в странах Центральной и Восточной Европы?
2.23 (Бåëûé èìïîðò). Представители государственных инспекций классифицируют импорт на три вида –– «белый» (полностью легальный, ввезенный с соблюдением законодательства в полной мере), «серый» (когда товар ввозится в страну по заниженным тарифным платежам, поскольку часть товара декларируется, а другая часть «умалчивается», минуя закон) и «черный» (абсолютный
контрафакт, товар ввозится в страну без какого-либо декларирования). Предположим, что на склад малой фирмы поступила партия
из 20 сотовых телефонов иностранного производства, причем 10 из
них –– «белый импорт», 6 –– «серый импорт» и 4 –– «черный импорт».
Случайным образом выбрали для продажи 8 телефонов. Какова вероятность того, что среди них как минимум 7 полностью легально
ввезенных («белого импорта»)?
2.24 (Лèôò â çäàíèè íà Мÿñíèöêîé). В здании университета
«Высшая школа экономики» по ул. Мясницкая, д. , пять этажей.
При входе в здание три преподавателя заходят в лифт. Какова вероятность того, что все они выйдут на разных этажах? (Предполагается, конечно, что никто не выходит на первом этаже).
2.25 (Гäå ðàáîòàòü). Изучая распределение на работу 15 выпускников факультета социологии, исследователи выяснили, что из
них 7 пошли работать в PR (связи с общественностью), 6 –– в торговые аналитики, а остальные предпочли работу в академических

Раздел . Случайное событие. Вероятностное пространство
исследованиях. Какова вероятность того, что случайно выбранные
2 выпускника не пошли работать в PR?
2.26 (Пðî ìóëüòôèëüìû). Существует множество детских мультипликационных фильмов с мышами в главной роли. Для исследования выбрали 12 наиболее известных мышей. У них встречаются
такие особенности: ) находчивая, ) наивная, ) поющая, ) храбрая, ) вредная, ) агрессивная. В таблице указано, какими особенностями –– одной или несколькими сразу –– обладает каждая мышь.
Имя мыши и название мультфильма
Особенности
Мышонок с гитарой (м/ф «Песенка мышонка»)
Поющая
Микки Маус (м/ф «Микки Маус и его друзья»)
Поющая, наивная
Пинки (м/ф «Пинки и Брейн»)
Наивная
Глупый маленький мышонок
(м/ф «Сказка о глупом мышонке»)
Наивная
Десперо (м/ф «Приключения Десперо»)
Реми (м/ф «Рататуй»)
Храбрая
Храбрая, находчивая
Пик (м/ф «Мышонок Пик»)
Храбрая, находчивая
Джерри (м/ф «Том и Джерри»)
Находчивая, вредная
Белый (м/ф «Кот Леопольд»)
Вредная
Серый (м/ф «Кот Леопольд»)
Вредная
Брейн (м/ф «Пинки и Брейн»)
Мышиный король
(м/ф «Щелкунчик и мышиный король»)
Находчивая, агрессивная
Агрессивная
а) Сколько существует способов выбрать случайным образом из
таблицы 5 мышей, из которых ровно 2 наивные и 2 находчивые, но
ни одна не агрессивна?
б) Сколько существует способов выбрать 4 мыши, при этом среди них не более 1 храброй и не более 2 вредных?
2.27 (Нà ñòàæèðîâêó). На втором курсе факультета социологии
обучается 120 человек. Одна из базовых кафедр факультета объявила о наборе 3 стажеров, которые будут выбраны из 10 % студентов
в топ-рейтинге по итогам академической успеваемости. Сколькими
способами могут быть выбраны три стажера?
2.28 (Цåíòð çàíÿòîñòè). В центр занятости населения обратилось 7 человек, имеющих одинаковые потенциальные возможности.
Для них есть пять вакансий, три с заработной платой 25 тыс. руб.
Раздел . Случайное событие. Вероятностное пространство

в месяц и две с заработной платой 10 тыс. руб. в месяц. Скольким
способами Центр занятости может распределить между соискателями имеющиеся рабочие места?
2.29 (Иíôðàñòðóêòóðà). Администрация решила обустроить детские площадки на территории жилого района. Для этого приобрели
(разных конструкций и цветов) качели (10 шт.), песочницы (7 шт.),
турники (5 шт.), горки (8 шт.), карусели (4 шт.). Сколько существует
способов построить площадку, на которой будет 2 качелей, 1 песочница, 1 горка, 2 карусели и 2 турника?
2.30 (Тåëåôîííîå èíòåðâüþ). В рамках летней практики студенту социологического факультета поручено провести 12 телефонных
интервью с респондентами –– 5 женщинами и 7 мужчинами. В указании к работе сказано, что сначала ему нужно обзвонить женщин
в любом порядке, а затем мужчин по такому же принципу. Сколькими
способами интервьюер может выстроить очередность этих звонков?
2.31 (Мàðêè). У Антона есть 6 марок, а у Филиппа –– 10 марок.
Филипп хочет обменять любые две свои марки на любые две марки
Антона (известно, что все марки у обоих разные). Сколько вариантов такого обмена существует?
2.32 (Сîöèîëîã). Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы в слове «социолог»? (Под «словом» подразумевается любая комбинация букв; так, слово «осциолог» вполне удовлетворяет условию).
2.33 (Рèåëòîðñêèå óñëóãè). По результатам исследования, случайная выборка для которого составила 700 человек, 545 человек
из их числа хотя бы раз в жизни пользовались услугами риелтора.
Какова вероятность того, что случайно выбранный «в толпе» человек никогда не пользовался услугами риелтора?
2.34 (Нîâîãîäíèå óêðàøåíèÿ). В коробке новогодних украшений вперемешку лежат 12 золотых и 9 серебряных шаров. Из коробки наугад достают 4 шара. Какова вероятность, что ими окажутся:
а) 3 золотых и 1 серебряный шар, б) 4 серебряных шара?
2.35 (Тóðíèð â Тðåíòèíî). В универсиаде в Трентино проходит
отбор в квалификацию для соревнований по сноуборду. На открытие универсиады в качестве почетных гостей приглашены 23 опытных спортсмена. Для проверки состояния трассы среди них нужно
отобрать трех «открывающих» (известно, что «открывающие» никогда не бывают участниками соревнований; это, как правило, известные опытные спортсмены). Сколькими способами это можно сделать?

Раздел . Случайное событие. Вероятностное пространство
2.36 (Фîêóñ-ãðóïïà). В фокус-группе, состоящей из 5 человек,
каждый из респондентов в ходе анкетирования должен оценить другого по трехбалльной шкале, отражающей личную симпатию к собеседнику (с градациями «1 –– низкая», «2 –– средняя», «3 –– высокая»).
Позже все результаты в виде таблицы выгружаются в специальное
программное обеспечение для обработки. В таблице 5 строк, с ответами определенного участника фокус-группы, и 5 столбцов с именами участников (при этом респондент сам себя не оценивает).
Сколько конфигураций такой таблицы может (гипотетически) получиться, если один респондент всегда ставит своим оппонентам
1 балл (низкая степень симпатии)?
2.37 (Вîâëå÷åííîñòü). По результатам анонимного анкетирования 20 учащихся выяснилось, что 4 из них вовлечены в курение
на регулярной основе; 3 курят иногда и 13 не курят вовсе. Какова
вероятность того, что из трех выбранных случайным образом человек этой группы: а) двое курят на регулярной основе; б) никто не
курит; в) не менее двух курят иногда?
2.38 (Пîòðåáëåíèå òàáàêà). В ходе одного из социологических
исследований о проблеме курения старшеклассников для оценки
интенсивности потребления табака курящими школьниками была
использована анкета, приведенная ниже.
Сколько типов курящих старшеклассников предстоит исследовать (рассмотреть), если анкет, в которых ученики не дали ответа
хотя бы на один из четырех предложенных вопросов, не было?
Отношение
Регулярность курения
Количество сигарет, выкуриваемых в день
Регулярно
Иногда
 ––
 –– 
 ––
Около пачки и более
Попытки бросить курить
Были
Не было
Примерно год
Стаж курения
Два года
Три года
Четыре года и более
Раздел 
Операции с событиями. Формула сложения
вероятностей. Независимые события.
Условная вероятность
Со случайными событиями, связанными с одним и тем же случайным экспериментом, можно совершать различные теоретикомножественные операции, а именно, строить дополнение события
A до всего пространства Ω, пересечение и объединение двух или
нескольких событий. Вероятности полученных в результате событий можно вычислять не только напрямую, изучая полученные множества элементарных исходов, но и по вероятностям событий, которые используются в подобных действиях.
¯ события A до всего пространОпределение . Дополнением ( Ā)
ства элементарных исходов Ω называется такое событие, которое
включает все элементарные исходы из Ω, не входящие в A.
¯
¯ =
Согласно определению, (A∩ Ā)=∅
и (A ∪ ¯
Ā) = Ω. Ясно, что P( Ā)
= 1 − P(A).
Определение . Пересечением событий A и B называется событие C = A ∩ B, включающее те и только те элементарные исходы,
которые одновременно принадлежат и событию A, и событию B.
Определение . Объединением событий A и B называется такое
событие C = A ∪ B, которое содержит все исходы события A и все
исходы события B, включая и те что одновременно принадлежат A
и B.
Формула сложения вероятностей говорит, как вычислить вероятность объединения двух событий A и B, если известны вероятности этих событий и вероятность их пересечения:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Если события A и B не пересекаются, то формула сложения вероятностей принимает более простой вид:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Раздел . Операции с событиями. Формула сложения вероятностей
Независимые события
На практике представляет интерес вопрос о том, как может измениться вероятность события A, если уже известно, что произошло событие B. В общем виде ответ на этот вопрос дает понятие
условной вероятности, которое будет введено в следующем пункте.
Здесь же мы введем понятие независимых событий, то есть таких,
что наступление одного из них никак не влияет на вероятность наступления другого.
Определение . Два события A и B называются независимыми,
если выполняется условие P(A ∩ B) = P(A) · P(B). В противном случае
события A и B называются зависимыми.
Пример  (Иãðàëüíàÿ êîñòü). Игральную кость бросили один
раз. Событие A –– выпало четное число очков, событие B –– выпало
число очков, кратное 3. Являются ли события A и B независимыми?
Решение. Событие A включает 3 элементарных исхода: 2, 4, 6,
а событие B –– два: 3 и 6. Пересечение событий A и B содержит один
исход 6. Отсюда получаем вероятности событий A, B и P(A ∩ B):
P(A) =
1
;
2
P(B) =
1
;
3
P(A ∩ B) =
1
.
6
Легко видеть, что P(A ∩ B) = P(A) · P(B), то есть события A и B являются независимыми.
Пример  (Рåøêà è îðåë). Монету бросили 3 раза. Событие A ––
выпало ровно два орла, событие B –– первый раз выпала решка. Являются ли события A и B независимыми?
Решение. Событие A включает 3 исхода: {oop, opo, poo}. Событие B включает 4 исхода: {poo, pop, ppo, ppp}. Пересечение A∩B
включает один исход poo. Отсюда получаем вероятности этих событий, помня, что всего в случайном эксперименте 8 равновероятных
элементарных исходов:
3
P(A) = 8 ;
4
1
P(B) = 8 = 2 ;
3
1
P(A ∩ B) = 8 .
1
Ясно, что P(A) · P(B) =
не равно P(A ∩ B) = . События A и B
16
8
зависимы.
Пример  (Мàòåìàòèêà è àíãëèéñêèé). На курсе обучаются
100 студентов. Из них 20 получили на экзамене отличные оценки по
математике и английскому языку. При этом всего было поставлено
25 отличных оценок по математике и 30 отличных оценок по англий-
Раздел . Операции с событиями. Формула сложения вероятностей 
скому языку. Являются ли события A –– у случайно выбранного студента отличная оценка по математике –– и B –– у случайно выбранного
студента отличная оценка по английскому языку –– независимыми?
Решение. У всех студентов шансы быть выбранным равны, по25
30
20
этому P(A) =
= 0,25; P(B) =
= 0,3; P(A ∩ B) =
= 0,2. Ясно,
100
100
100
что события A и B зависимы, так как определение независимости
не выполняется.
Перечислим некоторые элементарные свойства независимых событий.
. Если события A и B не пересекаются и их вероятности не равны нулю, то события A и B зависимы.
. Если события A и B независимы, то независимы и события
¯ и B; Ā
¯ и B̄.
в таких парах: A и B̄; Ā
Для независимых событий A и B формула сложения вероятностей имеет вид
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) · P(B).
Условная вероятность
Определение . Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие ненулевой вероятности B, называется
величина
P(A|B) =
P(A ∩ B)
.
P(B)
Пример  (Иãðàëüíàÿ êîñòü). В случайном эксперименте игральную кость бросают один раз. Событие А –– выпало четное число
очков. Событие В –– выпало больше 3 очков. Какова условная вероятность P(A|B)?
Решение. Событие A включает 3 элементарных исхода: A =
= {2, 4, 6}, событие B также включает 3 элементарных исхода: B =
1
2
P(A ∩ B)
2 1
ятность равна P(A ∩ B) = = . По определению P(A|B) =
=
6 3
P(B)
1 1 2
= : = . Заметим, что условная вероятность события A не равна
3 2 3
1
его безусловной вероятности P(A) = 2 . Условная вероятность собы-
= {4, 5, 6} и P(A) = P(B) = . Тогда событие A ∩ B = {4, 6} и его веро-
тия A при условии B возросла, то есть дополнительная информация
(событие B) позволило нам пересмотреть вероятность того, что произойдет событие A.

Раздел . Операции с событиями. Формула сложения вероятностей
Если события A и B независимы, то P(A|B) = P(A). Другими словами, информация о том, что произошло событие B, не меняет вероятность того, что произойдет A, если A и B независимы. Иногда это
свойство используют в качестве определения независимости событий.
Задачи для подробного разбора на семинаре
Задача  (Сûòíî ïîåñòü). Рассматривают два независимых признака X и Y : X –– наличие загородной дачи у городского жителя, Y ––
городской житель любит сытно поесть. Вероятность встретить признак X у случайно выбранного городского жителя равна 0,35, а признак Y –– 0,78. Какова вероятность того, что у случайно выбранного
респондента (городского жителя) обнаружится только один из двух
признаков?
Решение. Выполним следующие шаги.
. Введем основные события, рассматриваемые в задаче:
A = {У случайно выбранного жителя города есть дача},
B = {Случайно выбранный житель города любит сытно поесть},
C=
У случайно выбранного жителя города есть
загородная дача, но он не любит сытно поесть, либо .
у него нет загородной дачи, но он любит сытно поесть
. Укажем вероятности событий, известные из условия задачи:
P(A) = 0,35, P(B) = 0,78.
. Вычислим искомую вероятность. В задаче требуется найти ве¯
роятность P(C) = P(A ¯B̄ ∪ ĀB).
Ее можно вычислить следующим образом:
P(C) = 0,35 · (1 − 0,78) + (1 − 0,35) · 0,78 =
= 0,35 · 0,22 + 0,65 · 0,78 = 0,077 + 0,507 = 0,584 ≈ 0,58.
Задача  (Дûøèòå ëåãêî). По опыту медицинских обследований среди населения одной из европейских стран подмечено: вероятность того, что случайно выбранный в толпе человек имеет тяжелое заболевание лёгких, равна 0,036. Вероятность одновременного стечения обстоятельств, что человек имеет тяжелое заболевание
лёгких и при этом интенсивно курит, составляет 0,015. Определите,
чему равна вероятность того, что случайно выбранный в толпе житель этой страны является интенсивным курильщиком, если достоверно известно, что у него имеется серьезное заболевание лёгких.
Раздел . Операции с событиями. Формула сложения вероятностей 
Решение. Выполним следующие шаги.
. Введем основные события, рассматриваемые в задаче:
A = {Житель страны является интенсивным курильщиком},
B = {Житель страны имеет тяжелое заболевание лёгких}.
. Укажем вероятности событий, известные из условия задачи:
P(B) = 0,036,
P(A ∩ B) = 0,015.
. Найдем искомую вероятность P(A|B). Иными словами, вычислим вероятность события A, если достоверно известно, что событие B случилось (уже имеет место). По формуле условной вероятноP(AB)
сти P(A|B) = P(B) найдем:
P(AB)
0,015
P(A|B) = P(B) = 0,036 = 0,417 ≈ 0,42.
Задача  (Пðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè). По опыту многолетних социально-демографических наблюдений в некоторой стране
известно, что для мужчины вероятность дожить до 40 лет составляет 0,62. Вероятность того, что мужчина доживет до 60 лет, равна 0,45. Чему равна вероятность того, что мужчина в этом социуме
доживет до 60 лет, если известно, что он уже дожил до 40?
Решение. Выполним следующие шаги.
. Введем основные события, рассматриваемые в задаче:
A = {Мужчина в этой стране доживает до 40 лет},
B = {Мужчина в этой стране доживает до 60 лет}.
B = {До 60 лет}
A = {До 40 лет}
Ω
Рис. 

Раздел . Операции с событиями. Формула сложения вероятностей
. Укажем вероятности событий, известные из условия задачи:
P(A) = 0,62, P(B) = 0,45.
. Найдем искомую вероятность P(B|A). Иными словами, вычислим вероятность события B, если достоверно известно, что событие A случилось (уже имеет место). По формуле условной вероятP(AB)
ности P(B|A) = P(A) .
Чему в контексте нашей задачи равна вероятность пересечения
событий? Очевидно, что здесь P(AB) = P(B) (см. рис. ).
P(AB)
P(B)
0,45
P(B|A) = P(A) = P(A) = 0,62 = 0,725 ≈ 0,73.
Задачи для самостоятельного решения
3.1 (Бàíêîìàòû). В отделении банка стоят 2 круглосуточных банкомата. Утром каждый из них независимо от другого неисправен
с вероятностью 0,05. Найдите вероятность, что утром: а) хотя бы
один банкомат исправен; б) ни один банкомат не исправен; в) оба
банкомата исправны; г) исправен только один банкомат.
3.2 (Мîíåòà). Симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что выпадет хотя бы один орел.
3.3 (Иíòåðíåò-ìàãàçèí). В интернет-магазине три телефонных
оператора. В случайный момент оператор занят разговором с клиентом с вероятностью 0,7 независимо от других операторов. Найдите вероятность того, что в случайный момент: а) все операторы
заняты, б) заняты только два оператора.
3.4 (Тåñò ïî õèìèè). В тесте по химии три независимые части.
Чтобы пройти тест, учащийся должен получить не менее 6 баллов
за каждую из них. Николай лучше подготовлен к первой части ––
вероятность получить не менее 6 баллов за первую часть для него
равна 0,9, за вторую –– 0,5, за третью –– только 0,4. Найдите вероятность того, что Николай не пройдет тест.
3.5 (Оêíà ðàáîòû). В банке три окна работы с клиентами. В случайный момент вероятность того, что окно закрыто (нет оператора
на месте, неисправно оборудование и пр.), равна 0,9. Окна работают независимо друг от друга. В банк заходит клиент. Найдите вероятность того, что в этот момент работает хотя бы одно окно.
3.6 (Аâòîìîáèëü). В автомобиле две независимые тормозные
системы. Вероятность того, что одна система откажет в торможении, равна 0,00001. Такова же вероятность отказа и для второй
Раздел . Операции с событиями. Формула сложения вероятностей 
системы. Рассмотрите события A –– отказ первой системы, B –– отказ
второй системы, и найдите вероятность того, что откажут обе системы. Далее найдите вероятность события B при условии события A.
Во сколько раз P(B|A) больше P(A ∩ B)?
3.7 (Сåðâåðû). Системный администратор обслуживает три независимых сервера. Вероятность того, что в течение дня первый сервер потребует вмешательства, равна 0,3. Вероятность того, что второй сервер потребует вмешательства, равна 0,2. Для третьего сервера вероятность вмешательства составляет 0,1. Найдите вероятность
того, что в течение случайно взятого дня ни один сервер не потребует вмешательства.
3.8 (Оñòðîâ â «òèõîì» ìîðå). По многолетнему опыту наблюдений и геологических обследований подмечено, что для некоторого
острова в море вероятность возникновения сильнейшего шторма
в течение года равна 0,2, вероятность землетрясения равна 0,15,
а вероятность одновременного возникновения и шторма, и землетрясения равна 0,16. Какова вероятность землетрясения, если известно, что имеет место сильнейший шторм?
3.9 (Тåëåôîí è êóðåíèå). В ходе исследования в некоторой стране
рассматриваются две характеристики жителей –– курит ли человек
и есть ли у него сотовый телефон. Вероятность того, что случайно
выбранный в толпе человек не курит, составляет 0,56. Вероятность
того, что в этой стране у случайно выбранного в толпе человека есть
сотовый телефон, равна 0,92. Считая оба эти признака независимыми, определите, чему равна вероятность того, что у случайно выбранного в толпе человека: а) обнаружится хотя бы один из этих признаков, б) обнаружится только один из этих признаков, в) не обнаружится ни один из этих признаков, г) обнаружатся оба признака?
3.10 (Вûáîðû â ïàðëàìåíò). Два кандидата в парламент, баллотирующиеся по независимым округам, имеют следующие шансы
войти в его состав после очередных выборов: первый (А) –– 80 %,
второй (Б) –– 70 %. Какова вероятность, что в парламенте будет хотя бы один из них?
3.11 (Вåëîñèïåä è õëåá). Пусть рассматриваемые два признака A и B независимы: A –– сельский житель умеет кататься на велосипеде, B –– сельский житель не покупает хлеб в магазине, а печет
хлеб дома. Вероятность встретить признак A у случайно выбранного сельского жителя равна 0,84, а признак B –– 0,09. Какова вероятность того, что у случайно выбранного респондента (сельского

Раздел . Операции с событиями. Формула сложения вероятностей
жителя) обнаружится: а) только один из двух признаков; б) ни один
из этих признаков?
3.12 (Иíîñòðàííûå ÿçûêè). Среди сотрудников фирмы 28 % знают английский язык, 30 % –– немецкий, 42 % –– французский; английский и немецкий –– 8 %, английский и французский –– 10 %, немецкий и французский –– 5 %, все три языка –– 3 %. Найдите вероятность
того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков. (Указание:
здесь полезно нарисовать круги Эйлера).
3.13 (Вûèãðàòü ìàò÷). По опыту подмечено, что футбольные команды двух отечественных спортивных клубов выигрывают матч
у иностранной команды независимо друг от друга с вероятностями
0,4 и 0,7 соответственно. Какова вероятность того, что ровно одна
из отечественных команд выиграет матч у иностранной команды?
3.14 (Нà òåëåâèäåíèè è â ïðåññå). Магазин по продаже дорогой модной обуви размещает рекламу на телевидении и в прессе.
Вероятность увидеть эту рекламу на телевидении равна 0,7, а вероятность увидеть ее в прессе –– 0,4. Считается, что эти события независимы. Какова вероятность того, что человек (покупатель) вообще
увидит рекламу этого магазина? Какова вероятность того, что покупатель увидит эту рекламу только в прессе?
3.15 (Пîåçäêà äîìîé). Студент сообщил родителям, проживающим в другом городе, что приедет к ним на каникулы в один из двух
дней. В каждый из этих дней он может поехать одним из трех рейсов автобусного маршрута. В первый день первыми двумя рейсами
студент не приехал. Предполагая, что студент выбирает для поездки день и время наугад, найдите вероятность того, что он приедет
в первый день третьим рейсом.
3.16 (Дðåññêîä íà ðàáîòå). Пусть известно, что 20 % мужчин,
являющихся сотрудниками некоторой крупной корпорации, в своей
одежде на работу вообще не используют офисные аксессуары –– ни
галстуки, ни запонки. Известно, что 60 % мужчин этой корпорации
носят галстуки, а 30 % носят запонки. Если один из мужчин этой
корпорации выбран случайно, какова вероятность того, что он носит только один из этих видов одежды (только галстук либо только
запонки)?
3.17 (Оïðîñ îáùåñòâåííîãî ìíåíèÿ). В некоторой стране А*
исследовательский центр проводил опрос на милитаристскую тему:
Раздел . Операции с событиями. Формула сложения вероятностей 
«Считаете ли вы, что нужно призывать женщин в армию –– да или
нет?». Было опрошено 800 человек. Распределение ответов представлено в таблице.
Да (Д)
Нет (Н)
Всего
Мужчины (М)
20
291
311
Женщины (Ж)
76
413
489
Всего
96
704
800
Найдите вероятность того, что:
а) опрошенный отвечает «да», если известно (т. е. «при условии»), что этот респондент женщина;
б) опрошенный является мужчиной, если известно (т. е. «при
условии»), что на поставленный вопрос респондент ответил «нет».
3.18 (Мàòåìàòèêà è ãåîãðàôèÿ). Вероятность того, что студент
решит выбрать углубленное изучение математики и географии одновременно, равна 0,09. Вероятность того, что он (она) решит выбрать углубленное изучение математики, составляет 0,6. Найдите
вероятность того, что студент выберет углубленное изучение географии, если известно, что он уже выбрал математику.
3.19 (Иãðàëüíûå êîñòè). Правильную игральную кость бросают
трижды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков в этом
случайном эксперименте меньше 6, при условии, что при втором
броске выпало не меньше 2 очков.
3.20 (В ëàáîðàòîðèè). В лаборатории проводятся два независимых испытания. Каждое из них может закончиться успехом или
неудачей. Вероятность успеха в первом испытании равна 0,8. Вероятность успеха во втором испытании равна 0,7. Какова вероятность,
что хотя бы один случайный эксперимент завершится успехом?
Какова вероятность, что ни один не завершится успехом?
3.21 (Сòóäåíòû). Два студента независимо друг от друга сдают
экзамен по теории вероятностей. Вероятность того, что первый из
них получит отличную оценку, равна 0,6, а вероятность того, что
второй получит отличную оценку, равна 0,2. Найдите вероятность
того, что отличную оценку а) получит только один; б) получат оба;
в) получит хотя бы один?
3.22 (Рåìîíòíàÿ ìàñòåðñêàÿ). По опыту работы ремонтной мастерской известно, что с вероятностью 0,06 в неисправном приборе
перегорел предохранитель, вероятность обрыва провода равна 0,04,

Раздел . Операции с событиями. Формула сложения вероятностей
а в 1 % случаев всех обращений приборы поступали в ремонт с перегоревшим предохранителем и обрывом провода вместе. Какова вероятность того, что в сданном в ремонт приборе присутствует только одна из этих неисправностей?
3.23 (Мóçûêà). Абитуриент поступал в музыкальное училище
по двум независимым направлениям: вокал и фортепиано. После
творческих испытаний ему сказали, что вероятность того, что он
пройдет отбор в конкурсе по специальности вокал, –– 70 %, по специальности фортепиано –– 60 %. Какова вероятность того, что абитуриент будет зачислен хотя бы на одно из направлений?
3.24 (Пîñòàâùèêè). Один и тот же товар в продуктовый магазин независимо поставляют два поставщика. Вероятность того, что
первый поставщик поставит товар в срок, равна 0,8, а второй –– 0,9
соответственно. Какова вероятность того, что товар не будет поставлен в срок?
3.25 (Тðèæäû). Правильный кубик бросают трижды. Найдите
вероятность того, что сумма выпавших очков в этом случайном
эксперименте меньше шести, при условии, что при первом броске
выпало четное число очков.
3.26 (Сòóäåíò Вèêòîð). Студент Виктор независимо пригласил
двух незнакомых между собой девушек в кино. Вероятности того, что
каждая из девушек пойдет с ним в кино, равны 0,6 и 0,1 соответственно. Какова вероятность того, что ему придется идти в кино как
минимум с одной девушкой (т. е. с одной или двумя)?
3.27 (Сòðîèòåëüñòâî ìîñòîâ). Местная строительная компания
подала заявку на участие в двух независимых конкурсах (тендерах) на возведение пешеходных мостов в речном порту города. По
ощущениям экспертов компании, вероятность успешно заключить
первый контракт равна 0,5, второй контракт –– 0,4.
а) Какова вероятность того, что строительная компания победит
в конкурсе хотя бы по одному из двух рассматриваемых контрактов?
б) Какова вероятность того, что компания победит в конкурсе
только по первому контракту?
3.28 (Пðîâåðüòå íåçàâèñèìîñòü). Правильный игральный кубик кидают два раза. Событие A состоит в том, что во второй раз
выпало строго больше трех очков. Событие B состоит в том, что
в сумме выпало не менее 9 очков. Проверьте, являются ли события
A и B независимыми.
Раздел . Операции с событиями. Формула сложения вероятностей 
3.29 (Пðîâåðüòå íåçàâèñèìîñòü-). Правильный игральный кубик кидают два раза. Событие A состоит в том, что во второй раз
выпало строго больше четырех очков. Событие B состоит в том, что
в сумме выпало не менее 10 очков. Проверьте, являются ли события
A и B независимыми.
3.30 (Пðîâåðüòå íåçàâèñèìîñòü-). Правильный игральный кубик кидают два раза. Событие A состоит в том, что во второй раз
выпала пятерка. Событие B состоит в том, что в сумме выпало не
менее 9 очков. Найдите условную вероятность P(B|A). Проверьте,
являются ли события A и B независимыми.
3.31 (Оáðàçîâàíèå è ìóçûêà). Пусть рассматриваемые два признака независимы: A –– у человека есть высшее образование, B ––
человек умеет хорошо петь. Вероятность встретить признак A у случайно выбранного городского жителя равна 0,64, а признак B ––
0,18. Какова вероятность того, что у случайно выбранного респондента не обнаружится ни один из двух признаков?
3.32 (Чàøêà êîôå). В торговом центре установлены два кофейных автомата. Для каждого автомата вероятность того, что к концу
дня в нём закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе
закончится в обоих автоматах, равна 0,13. а) Найдите вероятность
события «к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов». б) Являются ли события «кофе закончится в первом автомате»
и «кофе закончится во втором автомате» независимыми? Объясните
свой ответ.
3.33 (Пëàò¼æíûå òåðìèíàëû). В продуктовом супермаркете установлены два платежных терминала. Для каждого терминала вероятность того, что к концу дня он выйдет из строя, равна 0,1. Вероятность того, что выйдут из строя оба автомата, равна 0,012. Найдите
вероятность события «к концу дня оба терминала исправны».
3.34 (Оïëàòèòå ïðîåçä). В вестибюле станции метро установлены два автомата по продаже проездных билетов, работающие независимо друг от друга. Для каждого автомата вероятность того, что
до закрытия метро в нём закончится сдача, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к закрытию метро хотя бы в одном из автоматов
сдача останется.
3.35 (Пðî ñåìüþ). В семье трое детей. Известно, что один из детей –– девочка. Найдите вероятность того, что в этой семье две девочки и один мальчик. (Считайте вероятности рождения мальчика
и девочки одинаковыми).

Раздел . Операции с событиями. Формула сложения вероятностей
3.36 (SMS). При отправке SMS телефон автоматически предпринимает несколько попыток до тех пор, пока информация не будет
передана без искажений. Предположим, что вероятность отправки
SMS с одной попытки равна 0,6. Найдите вероятность того, что для
отправки SMS потребуется: а) две попытки; б) не более трёх попыток?
3.37 (У÷åáíûå ãðóïïû). В студенческой группе первого преподавателя учится 17 юношей и 10 девушек, а в группе второго преподавателя –– 15 юношей и 18 девушек. Студенты обеих групп написали контрольную работу. Все работы лежат в папке вперемешку. Преподаватели наугад достают одну работу. Какова вероятность того,
что это работа студента первой группы, если известно, что работу
выполняла девушка?
Раздел 
Формула полной вероятности. Формула
Байеса
Формула полной вероятности
На практике часто бывает нужно по известным условным вероятностям события A восстановить безусловную вероятность P(A).
Это можно сделать с помощью формулы полной вероятности. Для
задания этой формулы нам понадобится дополнительное понятие ––
полная система событий.
Определение . Система подмножеств H1 , H2 , H3 , …, Hn пространства элементарных исходов Ω называется полной системой событий, если выполнены два условия:
. H1 ∪ H2 ∪ H3 ∪ … ∪ Hn = Ω, то есть объединение всех подмножеств дает все пространство элементарных исходов.
. Пересечение любых двух различных множеств из системы H1 ,
H2 , H3 , …, Hn равно пустому множеству.
Множества H1 , H2 , H3 , …, Hn часто называют гипотезами. Отсюда и обозначение H (от английского Hypothesis).
Пример  (Иãðàëüíàÿ êîñòü). В случайном эксперименте игральную кость бросают дважды. Определим событие H1 как выпадение одинакового числа очков оба раза, а событие H2 –– как выпадение разных чисел очков при первом и втором броске. Ясно, что
гипотезы H1 , H2 образуют полную систему событий.
Пример  (Мîíåòà). В случайном эксперименте монету подбрасывают дважды. Пусть событие H1 –– выпала хотя бы одна решка,
а событие H2 –– выпал хотя бы один орел. Образуют ли события H1 ,
H2 полную систему событий?
Решение. Событие H1 включает три элементарных исхода:
H1 = {pp, po, po}.
Событие H2 также включает три исхода:
H2 = {oo, po, op}.

Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса
Их объединение дает всё пространство элементарных исходов Ω, но
пересечение H1 , H2 не равно пустому множеству, так как
H1 ∩ H2 = {po, op}.
Следовательно, H1 , H2 не являются полной системой событий.
Утверждение .. Пусть H1 , H2 , H3 , …, Hn –– полная система событий и все P(Hi ) не равны нулю. Тогда справедлива следующая
формула:
P(A) = P(A|H1 ) · P(H1 ) + P(A|H2 ) · P(H2 ) + … + P(A|Hn ) · P(Hn ).
Её называют формулой полной вероятности.
Пример  (Бàíêîâñêàÿ îøèáêà). В операционном отделе банка работает 90 % опытных сотрудников и 10 % неопытных. Вероятность совершения ошибки при очередной банковской операции
опытным сотрудником равна 0,01, а вероятность совершения подобной ошибки неопытным сотрудником в двадцать раз больше. Чему равна вероятность совершения ошибки при очередной банковской операции в этом отделе?
Решение. Введем обозначения: событие H1 состоит в том, что
очередная банковская операция попала на обслуживание к опытному сотруднику, событие H2 –– что к неопытному, событие A –– что
совершена ошибка. По условию задачи нам заданы условные вероятности события A: P(A|H1 ) = 0,01 у опытных и P(A|H2 ) = 0,2
у неопытных сотрудников. Если все сотрудники отдела работают
«на равных» (нет никаких предпочтений, кто будет выполнять очередную банковскую операцию), то с вероятностью P(H1 ) = 0,9 она
попадет к опытному сотруднику, и с вероятностью P(H2 ) = 0,1 ––
к неопытному. Согласно формуле полной вероятности,
P(A) = P(A|H1 ) · P(H1 ) + P(A|H2 ) · P(H2 ) =
= 0,01 · 0,9 + 0,2 · 0,1 = 0,029.
Формула Байеса
Суть формулы Байеса состоит в том, что при наступлении некоторого события мы можем проверять и корректировать полученные до имеющегося испытания вероятности выдвинутых гипотез.
На практике это позволяет корректировать принятие решений. Вероятности, которые известны до проведения эксперимента, назы-
Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса

ваются априорными, а те, которые после проведения эксперимента
вычислены по формуле Байеса, –– апостериорными.
Пусть задана полная система событий (гипотез) H1 , H2 , H3 , …, Hn ,
разбивающая все пространство элементарных исходов Ω, и их некоторые априорные вероятности P(H1 ), P(H2 ), P(H3 ), …, P(Hn ). На
практике часто существуют трудности с назначением этих вероятностей, и ставится задача их уточнения после получения дополнительной информации в ходе проведения случайного эксперимента,
то есть вычисления новых апостериорных вероятностей гипотез
P(Hi |A), при условии того, что произошло некоторое событие A.
Например, вероятность заключения выгодного контракта может
сильно зависеть от экономической ситуации. При хорошей экономической ситуации она обычно заметно выше, чем при плохой. Однако вероятности наступления хорошей или плохой экономической
ситуации далеко не всегда очевидны. Поэтому при их оценке полезно корректировать их по дополнительной информации, скажем,
по факту заключения выгодного контракта. Для решения подобных
задач используется формула Байеса.
Утверждение .. Если H1 , H2 , H3 , …, Hn –– полная система событий, а вероятность события A не равна нулю, то
P(Hi |A) =
P(A|Hi ) · P(Hi )
.
P(A|H1 ) · P(H1 ) + P(A|H2 ) · P(H2 ) + … + P(A|Hn ) · P(Hn )
Пример  (Пîëèöåéñêîå ðàññëåäîâàíèå). Следователь по материалам предварительного следствия с вероятностью 0,8 подозревает некого человека в совершении преступления и требует его ареста. Известно, что вероятность обнаружения алиби у совершившего преступление равна 0,1 (надо помнить, что преступники иногда
специально организуют фальшивые алиби, но их фальшивость не
всегда сразу очевидна). Вероятность обнаружить алиби у невиновного равна 0,95. В ходе дополнительного следствия было установлено, что у подозреваемого есть алиби. Как должна измениться вероятность того, что подозреваемый совершил преступление?
Решение. В задаче фигурируют две гипотезы: H1 –– подозреваемый совершил преступление –– и H2 –– подозреваемый невиновен.
Вероятности этих гипотез следователь априорно оценивает так:
P(H1 ) = 0,8 и
P(H2 ) = 0,2.
Обозначим через A событие «у подозреваемого есть алиби». Тогда
P(A|H1 ) = 0,1, а P(A|H2 ) = 0,95. В задаче требуется найти P(H1 |A).

Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса
По формуле Байеса
P(H1 |A) =
P(A|H1 ) · P(H1 )
=
P(A|H1 ) · P(H1 ) + P(A|H2 ) · P(H2 )
0,1 · 0,8
8
=
=
≈ 0,296.
0,1 · 0,8 + 0,95 · 0,2
27
Заметим, что эта вероятность существенно снизилась по сравнению с априорной вероятностью P(H1 ).
Задачи для подробного разбора на семинаре
Задача  (Мåäèöèíñêàÿ äèàãíîñòèêà). Вероятность того, что
у ребенка обнаружится определенное заболевание, передающееся
по наследству, составляет 0,4, если у матери имеется это заболевание, и только 0,05, если у матери не обнаружено это заболевание.
Известно, что дети в определенном социуме происходят из семей,
в которых у 15 % матерей имеется это заболевание. У случайно выбранного в этом социуме ребенка медицинская диагностика показала наличие заболевания. Используя эту информацию, определите,
какова вероятность того, что у матери этого ребенка имеется заболевание.
Решение. . Ведем обозначения:
A = {У ребенка диагностировано заболевание};
гипотеза H1 = {У матери имеется заболевание};
гипотеза H2 = {У матери отсутствует заболевание}.
. Укажем известные из условия задачи вероятности событий:
P(H1 ) = 0,15,
P(H2 ) = 1 − 0,15 = 0,85.
Это априорные вероятности гипотез. Условные вероятности события A при каждой из гипотез:
P(A|H1 ) = 0,40,
P(A|H2 ) = 0,05.
. Известно, что у некоторого ребенка медицинская диагностика
обнаружила наличие заболевания. Следовательно, мы знаем, что
событие A достоверно наступило. Рассчитаем, чему теперь (при
имеющихся данных) будет равна вероятность гипотезы H1 (болезнь
есть и у матери). Нужно найти вероятность H1 при условии, что
Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса

имеет место событие A. Это и будет апостериорная вероятность
гипотезы. По формуле Байеса
P(A|H1 ) · P(H1 )
P(A|H1 ) · P(H1 )
=
=
P(A)
P(A|H1 ) · P(H1 ) + P(A|H2 ) · P(H2 )
0,40 · 0,15
0,06
= 0,40 · 0,15 + 0,05 · 0,85 = 0,06 + 0,0425 =
0,06
= 0,1025 = 0,585 ≈ 0,59.
P(H1 |A) =
Эта вероятность (0,59) существенно увеличилась по сравнению с априорной вероятностью P(H1 ) = 0,15.
Задачи для самостоятельного решения
4.1 (Тèïîãðàôèÿ). Заказ на печать книги издательство разместило в двух типографиях –– А и Б. Типография А печатает 60 %
тиража, а типография Б –– оставшиеся экземпляры. Книга может
оказаться с дефектом (перепутанные или перевёрнутые страницы,
обложка от другой книги и др.). В типографии А вероятность брака
книги равна 0,02, а в типографии Б –– 0,04. Найдите вероятность
того, что случайно выбранный экземпляр книги, купленной в магазине, будет содержать дефект.
4.2 (Пîëèòè÷åñêàÿ ñèòóàöèÿ). На федеральном телеканале в одной из передач журналисты проводят экспертное интервью среди
специалистов в области экономики и политической конъюнктуры.
В ходе дискуссии респондентам адресованы вопросы о том, как они
оценивают шансы, что политическая ситуация в мире сохранится
стабильной, и произойдет ли усиление оттока инвестиций на внутреннем рынке. Так, при сохранении стабильной политической ситуации в мире вероятность оттока инвестиций оценивается экспертами как 0,2, а при деструктивной геополитической обстановке эта
вероятность оценивается или как 0,9. Эксперты считают, что вероятность сохранения стабильной политической ситуации в мире равна 0,4. Какова вероятность того, что в следующем году усиление
оттока инвестиций на внутреннем рынке страны не произойдет?
4.3 (Сòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ). Одна из страховых компаний провела анализ в области страхования автомобилей. В результате анализа
выявлены следующие факты: ) 80 % клиентов –– это опытные водители (со стажем вождения более 2 лет), остальные –– начинающие.

Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса
Вероятность того, что с опытным водителем на протяжении года
произойдет страховой случай, равна 0,015. Вероятность того, что
в течение года в аварию попадет начинающий, равна 0,034. Опираясь на эти данные, найдите вероятность того, что со случайно
выбранным водителем –– клиентом этой страховой компании –– не
произойдет страховой случай в течение года.
4.4 (Рûíîê òðóäà ñîöèîëîãîâ). Согласно некоторым исследованиям рынка труда выпускников вузов, вероятность устроиться
на работу для выпускника университета «A» среди социологов равна 0,8; выпускника университета «B» –– 0,6; выпускника университета «C» –– 0,65. Для интервью в маркетинговое агентство на замещение должности аналитика было приглашено несколько выпускников этих университетов, не знакомых между собой. При этом
выпускники вуза «А» среди приглашенных составляли 35 %, вуза
«В» –– 18 %, а остальные был из вуза «С». В результате проведенного
интервью один из выпускников был приглашен на работу. Какова
вероятность того, что им оказался выпускник университета «С»?
4.5 (Пåðâûé è âòîðîé êóðñ). Среди студентов 2 курса 20 % имели отличную оценку по математике на первом курсе. При этом лишь
70 % от числа студентов, имеющих отличную оценку по математике
на первом курсе, получили отличную оценку по математике и на
втором курсе. Кроме того, 15 % от числа студентов, которые не были
отличниками по математике на первом курсе, получили «отлично»
по математике на втором курсе. Сколько процентов студентов второго курса имеют отличную оценку по математике за второй курс?
4.6 (Оòêðûòèå ðåñòîðàíà). Рассматриваются две возможности
размещения ресторана: в западной и в восточной части города. Вероятность размещения ресторана в западной части равна 0,4. Если ресторан находится в западной части города, то вероятность
его успешного функционирования в течение первого года работы
составит 0,9. Если же он будет размещен в восточной части, то
вероятность успешной работы в первый год будет составлять только
0,65. Вычислите вероятность того, что работа ресторана в первый
год будет успешной.
4.7 (Кîôåéíè). Крупная сеть кофеен имеет свои рестораны, расположенные в различных частях города, –– «Деловой Сити», «Спальные районы», «Вокзалы и Аэропорты». На «Деловой Сити» приходится 40 % всех кофеен, на «Спальные районы» –– 50 %, остальные
кофейни приходятся на «Вокзалы и Аэропорты». Вероятность того,
Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса

что посетитель станет их постоянным клиентом, оценивается для
трех типов кофеен как 0,5, 0,7 и 0,3 соответственно. Чему равен
процент постоянных клиентов этой сети кофеен?
4.8 (Вûñøåå îáðàçîâàíèå). В выборке опроса общественного мнения участвует 500 человек, 300 из которых имеют высшее образование. Вероятность того, что респондент с высшим образованием
хочет, чтобы его дети после школы поступили в ВУЗ, равна 0,85. Для
респондентов без высшего образования эта вероятность равна 0,7.
а) Найдите вероятность того, что наудачу выбранный респондент будет стремиться дать своим детям высшее образование.
б) Предположим, оказалось, что респондент не хочет, чтобы его
дети получали высшее образование. Какова тогда вероятность того,
что у него самого есть высшее образование?
4.9 (Пðåäïðèíèìàòåëè). В одной научной статье утверждается,
что в некоторой стране 55 % бизнесменов являются предпринимателями по призванию, остальные –– вынужденно. Только 4 % вынужденных предпринимателей планируют развивать свой бизнес на
протяжении следующих пяти лет, в то время как доля предпринимателей по призванию, планирующих развивать свой бизнес в течение следующих пяти лет, равна 18 %. Предположим, что случайно выбранный предприниматель планирует развивать свой бизнес
в течение следующих пяти лет. Какова вероятность того, что он ––
предприниматель по призванию?
4.10 (Пðèãëàñèòåëüíûé áèëåò). В одном университете юноши
составляют 60 % учащихся. У 80 % юношей и 75 % девушек есть билеты на праздничный вечер. В бюро находок принесли кем-то потерянный билет.
а) Какова вероятность того, что он принадлежал девушке?
б) Какова вероятность того, что он принадлежал юноше?
4.11 (Дðóçüÿ). Ваши друзья могут с равной вероятностью играть
в одну из двух игр. В первой игре используется одна игральная
кость, а во второй –– две игральные кости. Счет в любой игре равен
количеству очков, выпавших на одной кости, или на обеих костях
вместе. Вы слышите, что в какой-то игре у них выпало 4 очка. Каковы шансы в пользу того, что они играют в игру с одной костью?
4.12 (Тåííèñíûå ìÿ÷è). В коробке лежат теннисные мячи: 3 новых и 3 старых. Для первой игры наудачу берут 2 мяча и затем после
игры не возвращают в коробку. Какова вероятность взять из этой
коробки наудачу 2 новых мяча для второй игры?

Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса
4.13 (Уñïåòü âîâðåìÿ). Ася учится в университете, один из учебных корпусов которого расположен в Кочновском проезде (г. Москва).
Когда нет пробок на дорогах, вероятность не опоздать на лекции
в университет составляет для нее 0,9, а когда на улице пробки, то
вероятность успеть к началу занятий падает до 0,7. Причем по опыту
подмечено, что в том районе, где живет Ася, пробки бывают в 60 %
случаев.
а) Какова вероятность того, что сегодня Ася приедет в университет вовремя?
б) Если Ася всё-таки опоздала, то какова вероятность, что это
произошло не по причине пробок?
4.14 (Сóäåáíîå ðàçáèðàòåëüñòâî). В течение месяца состоится
25 судебных разбирательств. В суде А будет рассмотрено 15 дел (по
опыту известно, что в этом суде вероятность вынести верный приговор составляет 0,80), а в суде Б –– 10 дел (по опыту известно, что
в этом суде вероятность вынести безошибочный приговор составляет 0,95).
а) Какова вероятность того, что по итогам очередного судебного
процесса будет вынесен ошибочный приговор?
б) Если станет известно, что приговор вынесен ошибочно, то какова вероятность, что эту ошибку допустили присяжные суда А?
4.15 (Дîðîãà èç Оäèíöîâî). Мила живет в общежитии в г. Одинцово (Московская область) и каждый день добирается до университета на электричке. Всего на этой железной дороге существует 4 ж/д
станции с выходом в метро: Кунцево, Фили, Беговая и Белорусский
вокзал. Каждый день студентка выбирает станцию пересадки по
настроению: как правило, в 20 % случаев она выходит на Кунцево,
в 10 % –– на Филях, в 30 % –– на Беговой и во всех остальных случаях –– на Белорусском вокзале. По опыту поездок уже подмечены
следующие закономерности: выбрав Кунцево или Фили, студентка лишь в 30 % случаев приезжает в университет вовремя, выбрав
Беговую –– в 60 %, Белорусский вокзал –– в 98 %. Сегодня Мила не
успела к началу лекции. Какова вероятность того, что она ехала
через Беговую?
4.16 (Тÿæåëîå çàáîëåâàíèå). В медицине установлен факт, что
некоторое тяжелое неврологическое заболевание в разной степени
характерно для мужчин и женщин в некотором социальном страте. Среди мужчин в этом страте этим заболеванием страдают 3,8 %
респондентов, а среди женщин только 0,46 %. Известно, что числен-
Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса

ность мужчин и женщин в этом страте одинакова. Выяснилось, что
случайно выбранный респондент в этом страте имеет рассматриваемое неврологическое заболевание. Какова вероятность, что этот
человек: а) мужчина; б) женщина?
4.17 (О ôàáðèêå). На текстильной фабрике 30 % продукции ткани
производится оборудованием А, 25 % продукции –– оборудованием В,
а остальная продукция производится оборудованием С. У машины А
в брак идет 1 % производимой ею продукции, у машины В –– 1,2 %
производимой ею продукции, а у машины С –– 2 %. В течение дня
эти три машины производят несколько тысяч единиц продукции.
а) Какова вероятность того, что случайно выбранная единица
продукции окажется бракованной?
б) Случайно выбранная единица продукции оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была произведена оборудованием А? Оборудованием В? Оборудованием С?
4.18 (У÷åáíûå öåíòðû). Корпорация обучает своих сотрудников
в трёх учебных центрах. По причине времени и местоположения
она посылает 20 % работников на курсы финансового менеджмента (ФМ), 35 % –– на курсы транспортной логистики (ТЛ), 45 % –– на
курсы математической статистики (МС). Обычно 80 % сотрудников,
посещающих курсы ФМ, успешно сдают экзамен. Курсы по ТЛ, как
правило, успешно сдают 75 % слушателей, а экзамен по МС успешно
выполняют 60 % человек.
а) Найдите вероятность того, что выбранный случайно сотрудник компании сдаст экзамен.
б) Какова вероятность того, что сотрудник посещал именно курсы ТЛ, если известно, что он не сдал успешно экзамен?
4.19 (Пî÷òà è ïèñüìà). В почтовом отделении небольшого городского квартала, обслуживающем местных жителей, имеется два
подразделения. Работники первого отделения обрабатывают 70 %
всей почты населения и допускают ошибки в 7 % случаев (например, неверная сортировка корреспонденции по адресам/улицам,
опечатки на почтовых извещениях получателям, ошибочно определенный номер почтового ящика в подъезде многоквартирного дома
и др.). Сотрудники второго отделения обрабатывают 30 % почты
населения, а ошибки в работе встречаются несколько реже –– в 4 %
случаев.
а) Чему равна вероятность того, что случайно выбранное письмо
будет безошибочно доставлено своему получателю?

Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса
б) Если стало известно, что случайно выбранное письмо доставлено с ошибкой, то какова вероятность того, что оно сортировалось
(обрабатывалось) сотрудниками второго отделения?
4.20 (Лèòåðàòóðà). В выборке опроса 700 человек, 200 из которых имеют высшее образование. Вероятность того, что респондент
с высшим образованием против отмены литературы как обязательного предмета в средней школе РФ, равна 0,95. Для респондентов
без высшего образования эта вероятность равна 0,75.
а) Найдите вероятность того, что произвольно взятый респондент будет против отмены литературы.
б) Допустим, оказалось, что респондент против отмены литературы; какова вероятность, что у него нет высшего образования?
4.21 (Пîëåéòå ãåîðãèíû). В палисаднике перед домом высажены кусты георгинов. Георгины –– это красиво цветущие растения,
устойчивые к засухе и требующие лишь периодического полива.
Лето выдалось крайне знойным, и в семье составили график дежурств трех дочерей –– Риммы, Эллы и Жанны; –– они должны поливать цветы. Поскольку Римма старшая, ей приходится выполнять
40 % всей работы. Остальные 60 % работы Элла и Жанна делят поровну. Для Риммы вероятность забыть о своих обязанностях полить
цветы равна 0,02; для Эллы и Жанны эта вероятность равна 0,07
и 0,04 соответственно. Родители не знают, кто накануне должен
был полить цветы, но они видят, что грядки сухие. Какова вероятность того, что по графику дежурить выпало: а) Римме; б) Элле;
в) Жанне?
4.22 (Вûáîðû â äóìó). Кандидат баллотируется в областную думу по четырем избирательным округам, находящимся в разных населенных пунктах, в которых он имеет разную степень популярности. Вероятность того, что он будет избран в первом населенном
пункте –– 0,2, во втором –– 0,1, в третьем –– 0,6, в четвертом –– 0,5.
Предполагая, что из всего числа участвующих в голосовании избирателей в первом населенном пункте проживает 40 %, во втором ––
20 %, в третьем –– 10 %, в четвертом –– 30 %, найдите вероятность
того, что этот кандидат будет избран в областную думу.
4.23 (Аâèàêîìïàíèè çàäåðæèâàþò ðåéñû). Президент некоторой корпорации пользуется услугами трёх относительно дешёвых
авиакомпаний, причём 60 % поездок он совершает на самолётах
авиакомпании «А», 30 % поездок –– на самолётах авиакомпании «B»,
а все остальные –– пользуясь услугами авиакомпании «C». Известно,
Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса

что в 3 из 10 случаев авиакомпания «A» задерживает рейсы своих
лайнеров ввиду каких-то причин. Авиакомпания «B» только в 1 из
10 случаев прибегает к таким мерам, в то время как авиакомпания
«C» в половине случаев задерживает свои рейсы. Известно, что президент корпорации срочно вылетает прямым рейсом на переговоры
в другую страну и опаздывает на встречу из-за задержки рейса.
Какова вероятность того, что президент летел самолетом авиакомпании «B»?
4.24 (Пóòåøåñòâèÿ). В репрезентативной выборке общественного мнения участвуют 1000 респондентов, 308 из которых ездят за границу более двух раз в год; остальные респонденты за
границу ездят реже или вообще никогда. Вероятность того, что
у человека, выезжающего за границу более двух раз в год, ежемесячный доход в среднем составляет более 60 тыс. руб., равна 0,75.
Для тех, кто путешествует за границу менее двух раз в год, эта
вероятность равна 0,20. Найдите вероятность того, что ежемесячный доход наудачу выбранного «в толпе» жителя составляет более
60 тыс. руб.
4.25 (Дèàãíîñòèêà áîëåçíè). В некотором городе болезнью A
больны 15 % населения, остальные ею не больны. Диагностика болезни несовершенна: она обнаруживает болезнь у 80 % больных
и 10 % здоровых. После обследования очередного жителя города
диагностика утверждает, что он не болен. Какова вероятность того,
что этот человек действительно здоров?
4.26 (Аâàðèè ôóðãîíîâ). Считается, что фургоны (фуры) чаще
других автомобилей переворачиваются во время аварий. Пусть известно, что в прошлом году 24 % всех дорожно-транспортных происшествий сопровождались переворотами автомобилей. В 16 % из
них участвовали фургоны. В 6 % всех дорожно-транспортных происшествий, в которых участвовали фургоны, переворотов не было. Известно, что на некотором участке трассы произошла авария,
в которой задействован фургон. Какова вероятность того, что это
авария с переворотом?
4.27 (Дèàãíîñòèêà áîëåçíè-). Диагностика болезни несовершенна: она обнаруживает болезнь у 95 % больных и 10 % здоровых. Исследуемое заболевание в некотором социуме распространено среди 25 % людей. Если у человека из этой среды диагностика
выявила заболевание, то какова вероятность того, что заболевание
у него действительно есть?

Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса
4.28 (Мîñò ÷åðåç ðåêó). Служащий, работающий в городе, может возвращаться домой либо туннелем, либо мостом через реку.
1
2
Он ездит по-разному: в всех случаев выбирая туннель, а в слу3
3
чаев –– мост. Если он едет через туннель, то в 75 % всех случаев он
возвращается домой к 6 часам вечера, если же он едет по мосту,
то только в 70 % всех случаев он возвращается к 6 часам вечера,
однако последняя дорога ему больше нравится. Если известно, что
вчера он возвратился домой позже 6 часов вечера, то какова тогда
вероятность того, что он ехал именно по мосту?
4.29 (Сïîêîéíûé, ïåðåìåí÷èâûé, äåðçêèé). Компания по страхованию автомобилей разделяет водителей на три класса (группы):
класс А (мало рискует, спокойный), класс В (рискует средне, переменчивый), класс С (рискует сильно, дерзкий). На основе опыта компания предполагает, что из всех водителей, застрахованных
у нее, 30 % относятся к классу А, 50 % –– к классу В и 20 % –– к классу С. Вероятность того, что в течение года водитель класса А попадет
хотя бы в одну автомобильную аварию, равна 0,01, для водителя
класса В эта вероятность равна 0,03, а для водителя класса С –– 0,10.
Петр Иванович страхует свою машину у этой компании. Известно,
что в течение года он попал в автомобильную катастрофу.
а) Какова вероятность того, что он является водителем класса А?
б) Какова вероятность того, что он является водителем класса С?
4.30 (Хðóñòàëü). В магазин хрустальной посуды один и тот же
ассортимент поставляют 2 фирмы. Первая поставляет 65 %, а вторая
35 % продукции. Вероятность дефекта (сколы, царапины и прочие
повреждения) у первого поставщика –– 0,1, у второго –– 0,05. Покупатель купил товар и обнаружил, что он бракованный. Какова вероятность того, что этот товар первого поставщика?
4.31 (Вûïëàòà äèâèäåíäîâ). Следующий финансовый год для
крупной нефтяной компании ожидается прибыльным с вероятностью 0,4. По оценкам экспертов отрасли, если год будет прибыльным, то с вероятностью 0,95 компания выплатит дивиденды своим
акционерам. Если год с финансовой точки зрения будет трудным, то
согласно мнению экспертов, выплату дивидендов компания сможет
осуществить только с вероятностью 0,3. Спустя год стало известно,
что выплата дивидендов акционерам компании состоялась. Какова
вероятность, что год был финансово прибыльным?
4.32 (Мîðîæåíîå â õîëîäíûé äåíü). Владелец кофейни заинтересовался особенностями заказов, принимаемых официантами в дни,
Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса

когда погода холодная, а именно: заказывают ли посетители мороженое. Он составил таблицы.
Пол
Мужской
Женский
Всего
Да (+)
85
43
128
Нет (−)
246
244
490
Всего
331
287
618
Заказ мороженого
Заказ горячего блюда
Да (+)
Нет (−)
Всего
Да (+)
69
59
128
Нет (−)
111
379
490
Всего
180
438
618
Заказ мороженого
Ответьте на предложенные вопросы на основе имеющихся данных.
а) Какова вероятность того, что случайно зашедший в кофейню
клиент окажется женщиной и не закажет мороженое?
б) Какова вероятность того, что случайно зашедший в кофейню
клиент окажется женщиной или окажется посетителем, который не
закажет мороженое?
в) Какова вероятность того, что случайно зашедший в кофейню
клиент закажет мороженое и горячее блюдо?
г) Какова вероятность того, что в заказе не будет мороженого,
если клиент, у которого официант принял заказ, –– женщина?
д) Какова вероятность того, что в заказе не будет мороженого,
если клиент не заказал горячее блюдо?
4.33 (Сïðîñ íà ìîëîòûé êîôå â ðàñòâîðèìîì). После появления на российском рынке «молотого кофе в растворимом» марки
Jacobs Monarch Millicano структура спроса на кофе изменилась. Маркетологи хотят выяснить, как изменился спрос на новый кофе и какова доля мужчин и женщин, которые предпочтут новое ассортиментное предложение от Jacobs Monarch Millicano. С этой целью
провели репрезентативный социологический опрос в нескольких
продуктовых магазинах Москвы. Выборка составила 1000 покупателей, 650 из которых были женщины. Респондентам был задан такой
вопрос: «Какой кофе Вы предпочитаете –– молотый в растворимом,

Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса
растворимый или натуральный молотый кофе?» Новый вид кофе
выбрали 10 % женщин и 25 % мужчин. Какова вероятность того,
что покупатель, который предпочитает кофе «молотый в растворимом», –– мужчина?
4.34 (О ïîëèòè÷åñêèõ âçãëÿäàõ íàñåëåíèÿ Рîññèè). В результате кластерного анализа, выполненного на данных опроса общественного мнения (проведенного «Левада-центром» в  г.), было
получено 5 кластерных групп населения. Социологи проанализировали ответы людей на следующие вопросы.
. Каким образом, по вашему мнению, скажется на жизни в нашей стране ужесточение порядка проведения массовых митингов,
демонстраций?
. Каким образом, по вашему мнению, скажется на жизни в нашей стране упрощение требований к регистрации и участию в выборах для политических партий?
. Как бы вы оценили в целом политическую обстановку в России?
. Как бы вы оценили нынешнее экономическое положение России?
. Как вы думаете, что ожидает Россию в ближайшие месяцы
в политической жизни?
. Как вы думаете, что ожидает Россию в ближайшие месяцы
в области экономики?
Так, было выяснено, что 20,5 % респондентов являются (по терминологии исследователей) «Путинскими консерваторами», 22,8 % ––
«Умеренными прогрессистами», 18,5 % –– «Скептичными лоялистами», 19,4 % –– «Демократами-нигилистами» и 18,9 % –– «Принципиальными оппозиционерами» . При этом 10, 8, 12, 12 и 19 процентов респондентов, относящихся к разным кластерам соответственно, ответили, что хотят, чтобы Россия снова стала социалистической страной. Пусть известно, что случайно отобранный «в толпе»
человек хочет, чтобы Россия вновь стала социалистической страной. Какова вероятность того, что он: а) не «Принципиальный оппозиционер», б) «Путинский консерватор» либо «Умеренный прогрессист», в) «Скептичный лоялист»?

Подробнее о результатах этого исследования, об описании эмпирической типологии граждан можно прочитать в публикации: Макаренко Б. И. Новые водоразделы
в российском обществе: попытки реконструкции // Вестник общественного мнения.
. №  (). С. ––.
Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса

4.35 (В Еêàòåðèíáóðãå). В Екатеринбурге дрессировкой собак
занимаются несколько специализированных школ и центров. Некоторые владельцы собак готовят своих питомцев к соревнованиям, причем Центр дрессировки «А» выбирают 22 % собаководов,
клуб «Б» –– 46 %, центр дрессировки «С» –– 17 %, другую школу –– 15 %.
Известно, что 34 % собак, тренируемых в центре «А», становятся
победителями соревнований. В клубе «В» победителями становятся 40 % собак, в центре дрессировки «С» –– 25 %, а из других школ
только 20 %. а) Рассчитайте вероятность того, что случайно выбранная собака-победитель была тренирована в центре дрессировки собак «С». б) Если собака (принимавшая участие в соревнованиях) не
смогла стать победителем, какова вероятность того, что ее дрессировкой занимались в центре «А»?
4.36 (Аëèñà). Алиса не только верит в приметы, но и любит проверять их на правдивость эмпирическим путем. Так, она отметила,
что 32 раза из 100 она встает с кровати с левой ноги. Если она встает с правой ноги, то вероятность того, что день пройдет на «ура»,
равна 0,62. Если же она встает с левой ноги, то вероятность удачно
прожитого дня составляет только 0,21. Какова вероятность того, что
завтрашний день для Алисы пройдет плохо?
4.37 (Кóõîííàÿ ìåáåëü). На основе данных за прошлый год было установлено, что 40 % посетителей магазина кухонной мебели
и аксессуаров не бывали в нем ранее. В то время как некоторые
пришли просто посмотреть ассортимент, 30 % посетителей что-либо
купили. Однако среди тех, кто в магазине раньше не был, покупку
совершили только 20 %. Какова вероятность того, что посетитель
уже бывал в магазине ранее, если известно, что при посещении он
ничего не купил?
4.38 (Бèçíåñ-ïðîåêò). Утвержденный график работ по весьма
сложному бизнес-проекту можно выполнить в зависимости от того,
вовремя ли удастся принять на работу нового менеджера. Вероятность своевременно нанять подходящего менеджера равна 0,7.
Если менеджер будет принят на работу вовремя, вероятность успеха
в выполнении графика работы оценивается как 0,8. Если же подходящего менеджера вовремя найти не удастся, то вероятность успеха
в реализации проекта составляет только 0,4. Какова вероятность
успешного выполнения графика работ по бизнес-проекту?
4.39 (Нîâîãîäíèå óêðàøåíèÿ). В первой коробке с новогодними украшениями лежат 6 серебристых и 4 золотистых шаров, а во

Раздел . Формула полной вероятности. Формула Байеса
второй –– 3 серебристых и 6 золотистых шаров. Из первой коробки случайным образом взяли один шар и переложили его во вторую коробку. Затем из второй коробки наугад достали один шар
для украшения елки. Оказалось, что этот шар –– серебристый. Вычислите, какова вероятность того, что из первой коробки во вторую
переложили именно серебристый шар.
4.40 (Чàé è ìàðêåòèíãîâûå ïðîåêòû). Согласно оценкам экспертов в области маркетинга, проект по расширению ассортиментной линии некоторого бренда чая будет реализован успешно с вероятностью 0,8. При условии успешного выполнения этого проекта вероятность успешной реализации другого проекта, связанного с расширением ассортиментного предложения столовой посуды
для чаепития (чашки, ложки, заварочные чайники, термосы и пр.)
той же компании, составляет 0,7. Если же проект с чаем не будет
успешным, то проект с посудой пойдет хорошо только с вероятностью 0,25. Какова вероятность неуспешного выполнения проекта,
связанного с расширением ассортиментной линии столовой посуды
для чаепития?
4.41 (Сèìïòîìû). При симптомах некоторого заболевания врач
назначает анализ на возбудителя этого заболевания. Известно, что
в 2,8 % случаев анализ положителен (показывает наличие возбудителя). Известно также, что только 2 % пациентов, имеющих данные
симптомы, в действительности больны. Вероятность того, что анализ ошибочно окажется положительным у здорового пациента, равна 0,01. Найдите вероятность того, что пациент, у которого анализ
положителен, на самом деле здоров.
4.42 (Нà ñàìîì äåëå çäîðîâûé). При симптомах некоторого заболевания врач назначает анализ на возбудителя этого заболевания. Известно, что в 98 % случаев анализ отрицателен (не показывает наличие возбудителя). Известно также, что только 4 % пациентов, имеющих данные симптомы, в действительности больны. Вероятность того, что анализ окажется отрицательным у здорового
пациента, равна 0,99. Найдите вероятность того, что пациент, у которого анализ положителен, на самом деле не болен, а здоров.
Раздел 
Испытания Бернулли. Биномиальное
распределение
Определение . Испытанием Бернулли называют случайный
эксперимент с двумя возможными элементарными исходами: ω1
и ω2 . Один из этих исходов обычно условно именуют успехом, а другой –– неудачей. Вероятность успеха обозначают через p, а вероятность неудачи –– q = 1 − p.
Пример  (Пîäáðàñûâàíèå ìîíåòû). Подбрасывание монеты
можно считать испытанием Бернулли. Если монета симметричная,
1
то вероятность выпадения орла и решки одинакова и равна 2 . Один
из этих исходов, скажем, выпадение орла, можно условно назвать
успехом.
Пример  (Вûïàäåíèå øåñòåðêè). Если при подбрасывании игральной кости нас интересует лишь выпадение или не выпадение
шестерки, этот эксперимент тоже можно считать испытанием Бернулли. Если считать выпадение шестерки успехом, то его вероят1
. Неудачей назовем выпадение любой другой грани.
6
5
Вероятность неудачи равна .
6
ность равна
Определение . Последовательностью (или серией) из n испытаний Бернулли называют такой случайный эксперимент, в котором независимо повторяют испытание Бернулли n раз. При этом
вероятность успеха p не меняется от опыта к опыту. Число элементарных исходов в серии из n испытаний Бернулли равно n . Вероятность любого элементарного исхода в серии из n испытаний Бернулли равна p k q n−k , где k –– число успехов в этой серии, а (n − k) ––
число неудач.
Пример  (Тðè ðàçà). Монету подбросили 3 раза. Найти общее
число элементарных исходов в этом эксперименте. Найти число элементарных исходов в событии A = {выпал ровно один орел}. Найти
его вероятность.

Раздел . Испытания Бернулли. Биномиальное распределение
Решение. Указанный эксперимент является серией из трех испытаний Бернулли. Общее число элементарных исходов в этом эксперименте равно 23 = 8. В событие A входят три элементарных ис1
8
хода, а именно {орр, рор, рро}. Вероятность каждого из них равна .
3
Следовательно, P(A) = .
8
В серии из n испытаний Бернулли представляет интерес общее
число успехов –– Sn . Эта величина является случайной и в зависимости от исхода испытаний может принимать значения от 0 до n. Основные понятия, связанные с дискретными случайными величинами, вводятся и обсуждаются в разделе . Здесь, однако, мы укажем,
как распределены вероятности различных возможных значений Sn .
Определение . Распределение вероятностей числа успехов Sn
в серии из n испытаний Бернулли называют биномиальным распределением. Вероятность того, что в серии из n испытаний Бернулли
произойдет ровно k успехов, равна P(Sn = k) = Cnk p k q n−k .
Задачи для подробного разбора на семинаре
Задача  (Мíåíèå ñóäåé). Согласно данным опроса экспертного мнения, 22 % судей некоторой страны поддерживают легализацию смертной казни за особо тяжкие преступления. В простой случайной выборке 6 судей. Какова вероятность того, что по крайней
мере двое из них не поддерживают вступление в силу этого закона?
Решение. Выполним следующие расчеты.
. Введем необходимые обозначения событий и укажем их вероятности.
Успехом назовем событие, когда судья против введения данного
законопроекта, а неудачей –– когда судья его поддерживает. Вероятности успеха и неудачи соответственно равны p = 0,78, q = 0,22.
Введем событие
o
n
Из шести судей как минимум два
.
A=
человека против данного законопроекта
Тогда противоположное событие
o
n
¯ = Из шести судей не более одного эксперта .
Ā
поддерживают данный законопроект
. Отметим, что в нашем примере общее число успехов (Sn ) гипотетически может принимать значения от 0 до 6, поскольку се-
Раздел . Испытания Бернулли. Биномиальное распределение

рия испытаний Бернулли состоит из 6 независимых случайных опытов –– каждый из опрашиваемых судей-экспертов либо поддерживает законопроект, либо против него. По условию задачи нам требуется найти вероятность события P(Sn ¾ 2), т. е. P(k = 2, 3, 4, 5 или 6).
Эту вероятность можно найти двумя способами.
Первый способ:
P(A) = P(k = 2, 3, 4, 5 или 6) =
= P(k = 2) + P(k = 3) + P(k = 4) + P(k = 5) + P(k = 6).
Проведем вычисления:
P(A) = C62 p 2 q 6−2 + C63 p 3 q 6−3 + C64 p 4 q 6−4 + C65 p 5 q 6−5 + C66 p 6 q 6−6 =
= C62 · 0,782 · 0,224 + C63 · 0,783 · 0,223 + C64 · 0,784 · 0,222 +
+ C65 · 0,785 · 0,221 + 0,786 .
Это довольно трудоемкий способ вычислений. Второй (рациональный и более удобный) способ расчета искомой вероятности:
¯ = 1 − P(k = 0 или 1) = 1 − P(k = 0) − P(k = 1).
P(A) = 1 − P( Ā)
Проведем вычисления:
P(A) = 1 − C60 p 0 q 6−0 + C61 p 1 q 6−1 = 1 − 1 · 1 · 0,226 − 6 · 0,781 · 0,225 =
= 1 − 0,226 − 4,68 · 0,225 = 1 − 0,00011 − 0,00241 ≈ 0,997.
Эта вероятность практически равна 1, поэтому рассматриваемое
событие A можно назвать достоверным.
Задачи для самостоятельного решения
5.1 (Тåñò). Экзамен состоит из 6 вопросов теста. На каждый
вопрос предлагается 3 возможных варианта ответа, среди которых
необходимо выбрать один правильный. Какова вероятность того,
что методом простого угадывания удастся ответить по крайней мере
на 5 вопросов?
5.2 (Фóòáîë). Вратарь парирует (т. е. отражает) в среднем 0,3
всех одиннадцатиметровых штрафных ударов. Какова вероятность
того, что он возьмет ровно два из четырех ударов?
5.3 (ЕГЭ ïî ðóññêîìó ÿçûêó). В части А варианта ЕГЭ по русскому языку 30 заданий. К каждому из них предлагается четыре варианта ответа, из которых только один верный. Предположим, что
все ответы выпускник дает случайно. Какова вероятность того, что

Раздел . Испытания Бернулли. Биномиальное распределение
выпускник даст верный ответ: а) на первое задание, б) на первые
три задания, в) только на первое задание, г) только на первые три
задания? (В пунктах в) и г) не требуется проводить вычисления ввиду их трудоемкости; достаточно представить ответ в общем виде).
5.4 (Бåçðàáîòèöà ãîðîæàí). Уровень безработицы среди взрослого населения в некотором крупном городе составляет 10 %. Какова
вероятность того, что среди 7 случайно отобранных взрослых жителей этого города не более трех человек окажутся безработными?
5.5 (Тàáëèöà). Укажите в таблице, сколько в серии из семи испытаний Бернулли элементарных событий без успехов, с одним успехом,
с двумя успехами и т. д.
Число успехов








Число благоприятствующих
элементарных событий
5.6 (Рàáîòà â øêîëå). Известно, что 80 % учителей –– женщины.
Найдите вероятность того, что из пяти случайно отобранных учителей более трех –– женщины.
5.7 (Вîäèòåëüñêîå óäîñòîâåðåíèå). Две трети сотрудников компании имеют водительское удостоверение. Для командировки случайным образом выбирают четырех сотрудников. Какова вероятность того, что по крайней мере у двух из них есть права водителя?
5.8 (Нî÷íîé êëóá). По результатам исследования оказалось, что
70 % жителей района против строительства ночного клуба в непосредственной близости от их жилого квартала. Найдите вероятность, что среди 7 случайно выбранных респондентов не менее
5 против?
5.9 (Рîñò). Одна треть всех юношей, поступивших в университет, не ниже 185 см. В одной комнате общежития живут четверо
юношей, выбранных случайным образом. Какова вероятность того,
что рост по крайней мере троих из них меньше 185 см?
5.10 (Иãðàëüíàÿ êîñòü). Игральную кость бросают 5 раз. Какова вероятность того, что при этом выпадет более одной шестерки?
5.11 (Кàíäèäàòû). В некоторой стране у двух кандидатов в президенты на текущий момент предвыборной кампании сторонников
поровну. Случайным образом выбраны 6 избирателей. Какова вероятность того, что среди них: а) ни одного сторонника первого
кандидата; б) более двух сторонников первого кандидата?
Раздел . Испытания Бернулли. Биномиальное распределение

5.12 (Чòî ñëó÷èëîñü). Согласно данным маркетинговых
агентств, представленных на конференции «Что случилось с потребителем?», вероятность того, что зритель запомнит кинорекламу,
равна 0,8. Для выборки из 6 зрителей определите вероятность того,
что рекламу запомнят более половины зрителей.
5.13 (О çäîðîâüå). По результатам исследования оказалось, что
70 % людей старше 35 лет не делают утреннюю гимнастику. Найдите вероятность того, что среди 5 случайно выбранных респондентов
(старше 35 лет) не менее двух не делают утреннюю гимнастику.
5.14 (Сåìüÿ). В семье 8 детей. Считая, что дети в семье рождаются независимо друг от друга, мальчики и девочки с равными
вероятностями, определите вероятность того, что в данной семье
мальчиков не более трех.
5.15 (Бèàòëîí). Вероятность попадания в мишень у некоторого
4
биатлониста при одном выстреле равна 5 . Спортсмен делает 5 выстрелов. Какова вероятность не менее трех попаданий, если попадание в мишень при каждом последующем выстреле не зависит от
предыдущих выстрелов?
5.16 (Яáëîíÿ). Саженец яблони приживается с вероятностью 0,8.
С какой вероятностью из 6 саженцев приживутся не менее 4?
5.17 (Пðî õîëîäèëüíèêè). Перепись населения в России показывает, что в 90 % всех семей некоторого региона А есть холодильники. Для исследования случайным образом отбирают 7 семей из
числа проживающих в регионе. Какова вероятность того, что не более 5 из этих семей имеют холодильники?
5.18 (Тåñò). Абитуриенту задали 5 одинаковых по трудности задач. Вероятность того, что он решает задачу, равна 0,6. Найдите вероятность того, что он решит не менее 4 задач.
5.19 (Сëóæèòü â àðìèè). В ходе социологического исследования, выборка которого случайна, школьникам мужского пола в старших классах предлагалось ответить на вопрос: «Согласны вы или не
согласны с утверждением «Я пойду служить в армию, потому что
считаю, что это долг каждого мужчины перед Родиной»? В опросе
принимали участие 700 человек, 440 из которых были не согласны с данным суждением. Найдите вероятность того, что среди 11
случайно выбранных респондентов ровно 4 из них, напротив, согласились с предложенным утверждением.
5.20 (Оá óñëóãàõ). По итогам опроса, проведенного экспертами
фонда «Общественное мнение» в  г. с участием 1500 респондентов

Раздел . Испытания Бернулли. Биномиальное распределение
(жителей 100 городских и сельских населенных пунктов в 43 субъектах РФ), выяснилось, что 31 % населения не желает оплачивать
содержание своего ребенка в детском саду. С какой вероятностью
можно утверждать, что среди 9 случайно выбранных «в толпе» жителей России не менее 6 не желают оплачивать содержание своего
ребенка в детском саду?
5.21 (Пðåìüåð-Лèãà). По результатам некоторого социологического опроса среди футболистов Российской футбольной премьерлиги выяснилось, что 82 игрока из 368 за год получают вознаграждение в размере 1,5 млн евро и более. Найдите вероятность того, что
среди 7 случайно выбранных футболистов РФПЛ ровно 3 получают
годовое вознаграждение в размере 1,5 млн евро и более.
5.22 (Жèòåëè Бðàçèëèè). По данным социологического Всемирного исследования ценностей ( г.) была получена информация
о том, что 83 % жителей Бразилии никогда не участвовали в протестных акциях, обусловленных экологическими причинами и преступлениями против природы. С какой вероятностью можно утверждать, что среди 8 случайно выбранных «в толпе» бразильцев не
более двух когда-либо принимали участие в протестах, вызванных
мотивами экологического характера?
5.23 (Пîçíàêîìèëèñü â èíòåðíåòå). Вероятность того, что у случайно выбранного «в толпе» человека есть приятели, близкие знакомые, друзья, с которыми он познакомился в интернете, равна 0,22.
Какова вероятность, что в группе из 17 человек не менее 6 и не
более 9 человек имеют приятелей, близких знакомых или друзей,
с которыми они познакомились онлайн?
5.24 (Зèìíÿÿ ýïèäåìèÿ ïðîñòóäû). Во время эпидемии гриппа
и простуды в зимнее время доля заболевших в некотором крупном
городе составляет 24 %. Какова вероятность того, что в случайной
выборке, состоящей из 6 жителей этого города, не более двух человек окажутся заболевшими?
5.25 (Вèçà). По опыту подмечено, что вероятность получить рабочую визу в США для студентов московских учебных заведений
равна 0,6. Какова вероятность, что в группе, состоящей из 14 участников кросс-культурной программы для молодежи Work&Travel визу
получат: а) только студентка O. и студентка Z., б) не менее 12 участников программы (заявителей)?
5.26 (Оðåë). Монету подбрасывают шесть раз. Вероятности выпадения орла или решки равны. Найдите вероятность того, что:
Раздел . Испытания Бернулли. Биномиальное распределение

а) орел выпадет только 1 раз, б) орел выпадет 3 раза, в) орел выпадет не менее 2 раз?
5.27 (Тàêñè â àýðîïîðò). В результате социологического исследования, проведенного в некотором городе, было установлено, что
14 % авиапассажиров пользуются услугами такси для трансфера в
аэропорт или из него. Какова вероятность того, что из случайно выбранных 10 авиапассажиров ровно 5 или 6 вызовут такси для того
чтобы добраться в аэропорт или из него?
5.28 (Нà ìåæäóíàðîäíóþ êîíôåðåíöèþ). Выпускник факультета социальных наук послал заявку на участие с докладом в четырех независимых международных конференциях. На каждую из них
он может попасть с вероятностью 0,6. а) Какова вероятность того, что выпускник будет востребован на двух или трех конференциях? б) Какова вероятность того, что заявитель не будет востребован
только на одной конференции?
5.29 (Вîñåìíàäöàòü êíèã). После переезда в новую квартиру
в одной из неразобранных коробок, содержащей 18 книг, находится
9 исторических романов, 4 детектива, остальные книги –– университетские учебники. Чтобы расставить книги на полке, случайным
образом достали из коробки 6 произведений. Какова вероятность
того, что среди них как минимум четыре исторических романа?
5.30 (Рåêëàìà è éîãóðò). Фирма по производству и продаже молочной продукции рекламирует новый йогурт. По мнению экспертов компании, вероятность того, что потребитель откликнется на
рекламу и купит новый йогурт, составляет 0,7. Какова вероятность
того, что рекламная кампания будет признана успешной? Для этого необходимо, чтобы из случайно выбранных 10 человек хотя бы
четверо откликнулись на нее и купили рекламируемый молочный
продукт.
5.31 (Кðàñèâûé ïîäîêîííèê). На подоконниках большого зала
вперемешку размещены горшки с двумя типами растений: цветущие и вечнозеленые, в пропорции 1 : 3 соответственно. Случайно
выбрали 7 горшков с растениями. Какова вероятность, что среди
них не более двух цветущих растений?
5.32 (Шâåéíûé ìåð÷åíäàéçèíã). Швейная компания покупает
у поставщиков Шри-Ланки торговое оборудование, предназначенное для презентации одежды в торговом зале магазина. Вероятность наличия каких-либо дефектов в комплекте торгового оборудования равна 0,15. Фирма приобрела семь комплектов оборудова-

Раздел . Испытания Бернулли. Биномиальное распределение
ния. Найдите вероятность того, что только пять или шесть комплектов оборудования не будут иметь дефектов.
5.33 (В ïåðâûé êëàññ). В школе города производится запись в будущий первый класс. Будем считать, что очередной ребенок может
оказаться мальчиком или девочкой с равными вероятностями. Напишите выражение для вероятности того, что из записанных 76 детей ровно 38 окажутся мальчиками.
Раздел 
Дискретная случайная величина и её
числовые характеристики: математическое
ожидание и дисперсия. Независимые
случайные величины
Определение . Случайная величина называется дискретной,
если множество ее возможных значений конечно или счетно.
Пример  (Дèñêðåòíàÿ âåëè÷èíà). Игральную кость бросают
один раз. Определим случайную величину X как выпавшее число
очков. Ясно, что эта случайная величина дискретна. Она может принимать шесть значений.
Пример  (Сòðåëîê). Рассмотрим случайный эксперимент, в котором стрелок стреляет в мишень до первого попадания. Определим случайную величину X как число выстрелов до первого попадания. Эта случайная величина может принимать значения 0 (если
попал с первого раза), 1, 2, 3, 4, … Множество значений этой величины бесконечно, так как стрелок может вообще не попасть в мишень, но счетно.
Чтобы полностью описать дискретную случайную величину, надо указать множество ее возможных значений и вероятность каждого из этих значений.
Определение . Рядом распределения дискретной случайной
величины X называется множество всех возможных значений случайной величины и вероятностей этих значений.
Обычно ряд распределения дискретной случайной величины X
записывают в виде таблицы. В первой строке таблицы указывают
значения случайной величины, а во второй строке –– их вероятности. Сумма вероятностей всех значений дискретной случайной веn
P
pi = 1.
личины равна 1, т. е.
i=1
Значения случайной величины X
x1
x2
…
xn
Вероятности значений P(X = xn )
p1
p2
…
pn

Раздел . Дискретная случайная величина
Пример  (Чèñëî îðëîâ). В случайном эксперименте монету
подбросили 2 раза. Определим случайную величину X как число
выпавших орлов. Найти ряд распределения X .
Решение. Случайная величина X может принимать значения
0, 1, 2. Всего в этом эксперименте возможны 4 равновероятных ис1
хода: {pp, op, po, oo}. Вероятность каждого исхода 4 . Следовательно,
ряд распределения X имеет следующий вид:
X
0
1
2
P(X = xn )
1
4
1
2
1
4
Определение . Случайные величины X и Y называются независимыми, если события X = ak и Y = b j независимы для любых возможных значений ak и b j , то есть выполняется равенство
P( X = ak , Y = b j ) = P( X = ak ) · P(Y = b j ).
Если это равенство не выполняется хотя бы для какой-нибудь
пары значений случайных величин, то X и Y не являются независимыми. Тогда их называют взаимно зависимыми.
Можно сформулировать определение независимости случайных
величин и иным эквивалентным образом: случайные величины X
и Y называются независимыми, если независимы два любых события A и B, выражающиеся соответственно только через случайные
величины X и Y . Поясним: независимость случайных величин так
же важна, как и независимость событий. Эти два понятия тесно связаны. Напомним, что два события A и B называются независимыми,
если P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Пусть случайная величина X принимает
значения a1 , a2 , …, am , а случайная величина Y принимает значения
b1 , b2 , …, bn с некоторыми вероятностями. Тогда можно рассмотреть
конкретные (отдельные) события X = ak и Y = b j .
В дальнейшем для краткости вместо P(( X = a) ∩ (Y = b)) можно
писать P( X = a, Y = b), по-прежнему подразумевая под этим вероятность пересечения событий.
Определение . Математическим ожиданием дискретной случайной величины или ее средним значением называется величина
n
P
xi pi .
E( X ) =
i=1
Раздел . Дискретная случайная величина

Пример  (Дâóêðàòíîå áðîñàíèå). Вычислить математическое
ожидание числа выпавших орлов при двукратном бросании монеты.
Решение. Ряд распределения этой случайной величины задается следующей таблицей:
X
0
1
2
P(X = xn )
1
4
1
2
1
4
Следовательно, E( X ) = 0 ·
1
1
1
+ 1 · + 2 · = 1.
4
2
4
Математическое ожидание случайной величины обладает следующими свойствами:
) E(C) = C, где C –– константа;
) E(aX ) = aE( X ), где a –– константа, а X –– случайная величина;
) E( X + Y ) = E( X ) + E(Y );
) E( X · Y ) = E( X ) · E(Y ), если X и Y –– независимые случайные
величины.
Определение . Дисперсией дискретной случайной величины
называется величина D( X ) = E( X − E( X ))2 .
Дисперсия случайной величины –– это средний квадрат отклонения от математического ожидания. Это очень важный параметр,
который показывает разброс значений случайной величины, служит мерой рассеивания ее значений. Для расчетов дисперсии более
удобна формула D( X ) = E( X 2 ) − (E( X ))2 .
Пример  (Дèñïåðñèÿ). Вычислить дисперсию числа выпавших
орлов при двукратном бросании монеты.
Решение. Математическое ожидание E( X ) = 1 (см. пример ).
Для вычисления дисперсии надо уметь вычислять математическое
ожидание величины X 2 . Ее ряд распределения таков:
X2
0
1
4
P
1
4
1
2
1
4
Следовательно,
E( X 2 ) = 0 ·
1
1
1
1
+1· +4· = 1 .
4
2
4
2
Отсюда
1
1
D( X ) = E( X 2 ) − (E( X ))2 = 1 2 − 12 = 2 .

Раздел . Дискретная случайная величина
Перечислим свойства дисперсии:
) D(C) = 0, где C –– константа;
) D(a · X ) = a2 · D( X ), где a –– константа;
) D( X + Y ) = D( X ) + D(Y), если X и Y –– независимые случайные
величины.
) D( X +Y )=D( X )+D(Y )+2·Cov( X , Y ), если X и Y –– произвольные случайные величины, а Cov( X , Y ) = E(( X − E( X )) · (Y − E(Y )) ––
ковариация двух случайных величин. (Более подробно понятие ковариации будет обсуждаться далее в разделе о ковариации и корреляции.)
У дисперсии есть недостаток: дисперсия измеряется не в тех единицах, что сама случайная величина. Например, если случайная величина X –– расстояние, то она измеряется в метрах. В этом случае
D( X ) будет измеряться в квадратных метрах. А что если X –– напряжение и измеряется в вольтах? Тогда дисперсию D( X ) придется измерять в квадратных вольтах... По этой причине вместо дисперсии
часто используется мера рассеивания, которая называется средним
квадратичным или стандартным отклонением и равна арифметическому квадратному корню из дисперсии. Стандартное
p отклонение часто обозначают греческой буквой σ (сигма): σ = D( X ).
Задачи для подробного разбора на семинаре
Задача  (Нàó÷íûå ïóáëèêàöèè). В результате мониторинга преподавательской жизни, ежегодно проводимого администрацией университета, было зафиксировано, сколько научных работ опубликовал
каждый преподаватель в течение минувшего года. В результате исследования стало известно, что число научных работ, опубликованных преподавателем в течение прошлого года, является случайной
величиной со следующим законом распределения:
X (число публикаций)
P (вероятность)
0
1
2
3
4
5
0,2
?
0,3
0,1
0,1
0,1
Найдите: а) среднее значение случайной величины X ; б) дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X .
Решение. Выполним следующие расчеты.
. Вероятность только одной публикации в течение года (по данным таблицы) равна
P( X = 1) = 1 − 0,2 − 0,3 − 0,1 − 0,1 − 0,1 = 0,2.
Раздел . Дискретная случайная величина

. Найдем среднее значение (математическое ожидание случайной величины):
E( X ) = 0 · 0,2 + 1 · 0,2 + 2 · 0,3 + 3 · 0,1 + 4 · 0,1 + 5 · 0,1 =
= 2 (публикации в год).
Это означает, что преподаватель этого университета публикует в течение года в среднем 2 научные работы.
. Рассчитаем дисперсию случайной величины и найдем стандартное отклонение:
D( X ) = (0 − 2)2 · 0,2 + (1 − 2)2 · 0,2 + (2 − 2)2 · 0,3 +
+ (3 − 2)2 · 0,1 + (4 − 2)2 · 0,1 + (5 − 2)2 · 0,1 =
= 4 · 0,2 + 1 · 0,2 + 0 · 0,3 + 1 · 0,1 + 4 · 0,1 + 9 · 0,1 =
= 2,4 (публикации)2 .
Отсюда стандартное отклонение:
p
p
σ = D( X ) = 2,4 ≈ 1,5 (публикации).
Дисперсию можно вычислить и другим образом. Поскольку
D( X ) = E( X 2 ) − (E( X ))2,
то корректными будут вычисления математического ожидания квадрата случайной величины X , из которого вычитается квадрат математического ожидания случайной величины X . Имеем:
E( X 2 ) = 02 · 0,2 + 12 · 0,2 + 22 · 0,3 + 32 · 0,1 + 42 · 0,1 + 52 · 0,1 =
= 02 · 0,2 + 1 · 0,2 + 4 · 0,3 + 9 · 0,1 + 16 · 0,1 + 25 · 0,1 =
= 0 + 0,2 + 1,2 + 0,9 + 1,6 + 2,5 = 6,4.
Тогда
D( X ) = 6,4 − 22 = 6,4 − 4 = 2,4 (публикации)2 .
Задача  (Сàäîâûé ëàáèðèíò). Известно, что во многих странах, особенно в Англии, широкую популярность приобрели садовые
лабиринты. Они привлекательны и представляют собой садовые
украшения, состоящие из живых изгородей или дорожек, обсаженных растениями и ведущих к одному центру. Эти дорожки изгибаются в разные стороны и выглядят порой столь замысловато, что гуляющим людям нелегко добраться до этого центра, также как и найти обратный путь. В некотором культурологическом исследовании,

Раздел . Дискретная случайная величина
посвященном изучению садовых лабиринтов в городских парках,
изучается вся совокупность, состоящая из 15 небольших лабиринтов, имеющих непростую систему садовых коридоров. Рассматривается случайная величина L –– суммарная длина (протяженность)
лабиринта, измеряемая одновременно как в метрах, так и в футах.
Среднее и стандартное отклонение протяженности лабиринта соответственно равны:
p
E(Lm ) = 85 (метров),
D(Lm ) = 8 (метров).
Найдите среднее, дисперсию и стандартное отклонение рассматриваемой случайной величины в футах. (Примечание. Один фут (ф)
равен примерно 30,5 см.)
Решение. Это задача на применение свойств математического ожидания и дисперсии. Введем случайную величину L f –– суммарная протяженность лабиринта (в футах). Тогда L f =
1
L ,
0,305 m
где Lm –– суммарная протяженность лабиринта (в метрах). Отсюда
найдем среднее, дисперсию и стандартное отклонение случайно
величины L f :
Š
€ 1
1
1
E(L f ) = E 0,305 Lm = 0,305 E(Lm ) = 0,305 · 85 ≈ 278,7 (футов);
€ 1
Š € 1 Š2
Lm =
D(Lm ) =
D(L f ) = D
0,305
0,305
€ 1 Š2
=
· 82 ≈ 687,99 ≈ 688 (футов)2 ;
0,305
p
q
D(L f ) = 688 ≈ 26,2 (футов).
Задачи для самостоятельного решения
6.1 (Хëåáîïå÷êè). Менеджер торгового зала бытовой техники
анализирует, каков в течение дня объем продаж домашних хлебопечек. Известно, что число хлебопечек, требуемых в магазине за день,
является случайной величиной с таких законом распределения:
X (число хлебопечек)
P (вероятность)
0
1
2
3
4
0,3
0,4
0,15
?
0,05
Найдите среднее значение случайной величины X , дисперсию
и стандартное отклонение случайной величины X .

Раздел . Дискретная случайная величина
6.2 (Сòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ). Страховая премия (стоимость страховки) равна 1100 руб. При наступлении страхового случая страховая компания выплачивает клиенту (страхователю) 100 000 руб. Вероятность наступления страхового случая равна 0,01. Найдите средний доход компании от продажи одного страхового полиса.
6.3 (Сòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ-). По данным страховой компании,
вероятность того, что с клиентом произойдет страховой случай,
равна 0,015. При наступлении страхового случая выплачивается
страховая выплата –– 44 000 руб. Какой должна быть минимальная
стоимость страховки, чтобы страховая компания в среднем получала с каждого клиента доход не менее 300 руб.?
6.4 (Сòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ-). Согласно таблицам смертности, вероятность того, что -летний человек проживет еще один год, равна 0,992. Страховая компания предлагает такому человеку застраховать свою жизнь на год на сумму 1000 тыс. руб. Страховой взнос равен 10 тыс. руб. Какой доход ожидает получить страховая компания?
6.5 (Аâòîìîáèëè). В некотором многоквартирном доме г. Москвы 30 % домохозяйств не имеют автомобиля, 40 % имеют по одной машине, 20 % домохозяйств имеют по две машины, остальные
домохозяйства имеют по три машины. Найдите среднее значение
и стандартное отклонение числа машин, находящихся в распоряжении одной семьи (домохозяйства).
6.6 (Пðîäóêòû A). В ходе исследования (объем случайной
выборки большой –– около 1000 человек), проведенного среди жителей мегаполиса, респондентам был задан вопрос: «Укажите, пожалуйста, общее количество гаджетов Apple, которыми обладаете
лично вы (MAC, IPHONE, IPAD, IPOD и пр.)». Распределение вероятностей случайной величины –– числа гаджетов Apple, имеющихся
у жителя мегаполиса, –– приведено в таблице ниже:
Число продуктов Apple
Оценка вероятности







0,36
0,25
0,11
0,11
?
0,06
0,03
а) Укажите пропущенную вероятность.
б) Вычислите среднее число продуктов Apple у жителя мегаполиса.
в) Найдите дисперсию и стандартное отклонение.
г) Интерпретируйте полученные значения. Что можно сказать
про выраженность или, напротив, невыраженность дифференциации ответов людей по рассмотренному вопросу?

Раздел . Дискретная случайная величина
6.7 (Хàðàêòåðèñòèêè äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû). Дан
закон распределения случайной величины X .
X
P
−5
1
4
−1
3
8
0
3
?
1
8
а) Найдите пропущенную вероятность.
б) Найдите математическое ожидание данной случайной величины, её дисперсию и стандартное отклонение.
6.8 (Лèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí-). Случайные
величины X и Y независимы. Математическое ожидание случайной
величины X равно –, а стандартное отклонение равно 5. Математическое ожидание случайной величины Y равно 4, а стандартное
отклонение равно 6. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины L = 8X − 4Y − 12.
6.9 (Лèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí-). Случайные
величины X и Y независимы. Математическое ожидание случайной
величины X равно 7, а стандартное отклонение равно 2. Математическое ожидание случайной величины Y равно −5, а стандартное
отклонение равно 3. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины T = 3X − 6Y + 8.
6.10 (Лèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí). Случайные
величины X и Y независимы. Математическое ожидание случайной
величины X равно –, а стандартное отклонение равно 4. Математическое ожидание случайной величины Y равно 6, а стандартное
отклонение равно 1. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины W = −12X + 2Y + 5.
6.11 (Кðåäèò íà ïîêóïêó ìàøèíû). Клиент, желающий получить кредит на покупку машины, заполняет бланк заказа, а компьютерная система банка проверяет, не превысил ли он верхний
порог кредитного лимита. Вероятность того, что клиент превысит
верхний порог кредитного лимита, равна 0,05. В течение дня поступило 40 заказов на получение кредита. Найдите среднее и стандартное отклонение количества клиентов банка, превысивших верхний
порог кредитного лимита при заполнении бланка заказа на кредит.
6.12 (Пîêóïêà îäåæäû). В ходе социологического исследования
(случайная выборка которого большая), проведенного среди молодежи, участникам был адресован вопрос: «Укажите, пожалуйста,
Раздел . Дискретная случайная величина

какую примерно сумму денег вы затрачиваете в течение полугода
на покупку новой одежды для себя?». Было рассчитано, что средняя
величина расходов у юношей составляет 16 400 руб., а у девушек ––
28 790 руб. Стандартные отклонения равны 16 250 руб. и 16 600 руб.
соответственно. Найдите среднее и дисперсию расходов юношей
и девушек: а) за месяц, б) за год.
6.13 (Сèñòåìà âîäîñíàáæåíèÿ). В случае незначительной поломки система водоснабжения находится в неработающем состоянии в течение 5 минут, в случае существенной поломки –– 30 минут,
а в случае катастрофической поломки –– 120 минут. На незначительные поломки приходится 60 % случаев, на существенные поломки ––
30 %, остальные поломки –– катастрофические.
а) Найдите среднее время простоя по причине поломки. б) Вычислите дисперсию и стандартное отклонение времени простоя.
6.14 (Сàëîí øòîð). В некотором салоне штор в будний день
вероятность отсутствия заказов равна 30 %, вероятность поступления одного заказа –– 50 %, вероятность поступления двух заказов ––
15 %, а вероятность поступления трех заказов –– 5 %. а) Чему равно
среднее число заказов в будний день? б) Чему равна дисперсия
числа заказов в будний день?
6.15 (Пàðôþìåðèÿ). Активные потребители составляют 10 % рынка и тратят в среднем 1600 руб. в месяц на покупку парфюмерии.
Пассивные потребители составляют 20 % рынка и тратят 900 руб.
Остальные потребители в среднем тратят 1500 руб.
а) Определите, чему равна средняя величина расходов на покупку парфюмерии для всех покупателей.
б) Какова дисперсия величины расходов?
в) Чему равно стандартное отклонение?
6.16 (Тàíöåâàëüíûå ïàðû). Предположим, что хореограф перебирает все возможные варианты формирования танцевальных пар из
мужчин и женщин. В группе танцоров средний рост мужчин составляет 179 см со стандартным отклонением 10 см, в то время как средний
рост женщин равен 168 см со стандартным отклонением 7,5 см. Чему
будут равны среднее и стандартное отклонение для разности между
ростом потенциальных партнеров в танцевальной паре?
6.17 (Лîòåðåéíûé áèëåò). Вероятность выиграть в лотерее по
одному билету равна 0,1. Человек купил 5 билетов.
а) Какова вероятность того, что выигрышными окажутся больше
двух билетов?

Раздел . Дискретная случайная величина
б) Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной
величины X , где X –– число выигрышных билетов.
6.18 (Фîòîñàëîí). Предположим, что в фотосалоне в будний
день вероятность отсутствия заказов равна 20 %, вероятность поступления одного заказа –– 40 %, вероятность поступления двух заказов –– 25 %, а вероятность поступления трех заказов –– 15 %. Чему
равно среднее число заказов в будний день? Чему равна дисперсия
числа заказов в будний день?
6.19 (Жèòåëè ãîðîäà è ñåëà). Горожане составляют 75 % общей численности населения региона, остальные –– сельские жители.
В ходе социологического обследования опрошено 1014 случайно
выбранных жителей региона. Найдите математическое ожидание
случайной величины: а) число опрошенных горожан, б) число опрошенных сельских жителей.
6.20 (Тåìïåðàòóðà). Измерение некоторого электронного термометра (в градусах Цельсия) –– случайная величины с дисперсией
0,25. Найдите дисперсию и стандартное отклонение этого измерения, выраженного в градусах Фаренгейта (1◦ F = 1,8◦ С).
6.21 (Сêîðîñòü). Спидометр автомобиля определяет скорость
в километрах в час. Дисперсия показаний бортового компьютера
равна 4. Найдите дисперсию и стандартное отклонение показаний
скорости, выраженной в милях в час (1 миля = 1609 м).
6.22 (Вûñîòà ïîë¼òà). Система навигации определяет высоту
полёта самолёта в футах. Ошибка (погрешность) имеет математическое ожидание 0 и дисперсию 10 000. Найдите дисперсию и стандартное отклонение ошибки определения высоты полёта, выраженной в километрах (1 фут = 0,305 м).
6.23 (Бàëëû ЕГЭ). В некотором регионе математическое ожидание балла ЕГЭ по русскому языку равно 45, а математическое ожидание балла по математике в этом же регионе равно 34. Общий балл
равен сумме баллов по математике и по русскому языку. Найдите
математическое ожидание общего балла в этом регионе.
6.24 (Пàðêîâî÷íàÿ ïëîùàäêà). Рассмотрим случайную величину
X –– количество дорожно-транспортных происшествий в течение месяца на автомобильной стоянке некоторого торгового центра. Закон
распределения вероятностей случайной величины представлен ниже:
X
0
1
2
3
4
P
0,203
0,212
?
0,081
0,07

Раздел . Дискретная случайная величина
Какова вероятность того, что в течение определенного месяца
произойдет: а) менее двух аварий; б) более двух аварий?
в) Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение
количества дорожно-транспортных происшествий в течение месяца.
Если считать количество дорожно-транспортных происшествий,
имеющих место в течение любых месяцев года, независимыми случайными величинами, то чему равна вероятность того, что в течение полугода на этой автостоянке: г) не случится ни одной аварии;
д) случится только одна авария?
6.25 (Пîêóïêà ìèíåðàëüíîé âîäû). В оптовом магазине минеральная вода продается либо поштучно, либо упаковками по 2 или
16 бутылок. Предпочтения покупателей этой воды известны: вероятность покупки одной бутылки равна 0,74, упаковки из двух бутылок –– 0,24, упаковки из 16 бутылок –– 0,02. Найдите дисперсию
величины «число бутылок в одной покупке».
6.26 (Еñëè ýòî âîçìîæíî). Рассмотрим случайную величину
X –– число баллов за тест, в котором 10 вопросов и на каждый вопрос 5 вариантов ответа. За правильный ответ начисляется 1 очко,
за неправильный –– 0. Ответы выбираются наугад. Постройте закон
распределения вероятностей X и найдите математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины, если это
возможно.
6.27 (В àñïèðàíòóðå). В результате мониторинга, ежегодно проводимого администрацией университета, было зафиксировано, сколько научных публикаций имеет каждый аспирант к концу первого
учебного года в аспирантуре. В результате исследования стало известно, что число публикаций, подготовленных аспирантом к концу
первого учебного года, является случайной величиной со следующим законом распределения:
X (число публикаций)
0
1
2
3
4
5
P (вероятность)
?
0,3
0,3
0,2
0,1
0,1
Найдите: а) среднее значение случайной величины X , б) дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X .
6.28 (Оëèìïèéñêèé îãîíü). В ходе опроса жителям Москвы был
задан вопрос: «Вы наблюдали или не наблюдали за тем, как Олимпийский огонь проносили в Москве?». Рассмотрим случайную величину X, отражающую ответ каждого отдельного респондента. Эта

Раздел . Дискретная случайная величина
случайная величина принимает лишь два значения: значение 0, если
случайно выбранный респондент сказал «не наблюдал» значение 1,
если случайно выбранный респондент ответил «да, наблюдал». Долю
жителей Москвы, которые сказали, что они «наблюдали за тем, как
в Москве проносили огонь», можно считать равной 0,19. Найдите
дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X .
6.29 (Лèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí-). X и Y независимы. Математическое ожидание случайной величины X равно 3,
а стандартное отклонение равно 7. Математическое ожидание случайной величины Y равно −6, а стандартное отклонение равно 4.
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины R = −2X − 5Y − 9.
6.30 (Иçáèðàòåëè). В ходе социологического опроса установлено, что за кандидата А. в мэры большого города на выборах собирается проголосовать 20 % всех избирателей. На некотором участке проголосовало 900 человек. Найдите математическое ожидание
и стандартное отклонение случайной величины «число проголосовавших за кандидата А. на этом участке».
6.31 (Пàêåò àêöèé). Цена акции компании является случайной
величиной с математическим ожиданием 25 у. е. и стандартным отклонением 4 у. е. Чему равна дисперсия 10 акций компании?
6.32 (Пðîäàþòñÿ âåëîñèïåäû). Менеджер торгового зала, в котором размещен спортивный инвентарь, анализирует объем продаж велосипедов в течение дня. Известно, что число велосипедов,
требуемых в магазине за день, является случайной величиной со
следующим законом распределения:
X (число велосипедов)
P (вероятность)
0
1
2
3
4
0,3
0,4
0,15
?
0,05
Найдите: а) среднее значение случайной величины X , б) дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X .
6.33 (Лèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí-). Случайные величины X и Y независимы. Математическое ожидание случайной величины X равно 4, а стандартное отклонение равно 3.
Математическое ожидание случайной величины Y равно −5, а стандартное отклонение равно 2. Найдите математическое ожидание
и дисперсию случайной величины W = 4X − 3Y − 8.
Раздел . Дискретная случайная величина

6.34 (Бîèòåñü ëåòàòü íà ñàìîëåòå). В ходе социологического
опроса, проведенного среди молодежи, респондентам был задан вопрос: «Боитесь ли вы летать на самолете или не боитесь?». Рассмотрим случайную величину X , отражающую ответ каждого отдельного респондента. Эта случайная величина принимает лишь два
значения: значение 0, если случайно выбранный респондент сказал
«боюсь»; значение 1, если случайно выбранный респондент ответил
«нет, не боюсь». Долю людей, которые сказали, что они «боятся
летать на самолете», можно считать равной 0,12. Найдите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X , получаемой
в ходе описанного социологического опроса.
6.35 (Дèñïåðñèÿ ÷èñëà î÷êîâ). Чему равна дисперсия числа очков, выпадающих при бросании двух игральных костей?
6.36 (Хàðàêòåðèñòèêè äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû). Случайная величина распределена по следующему закону:
X
−4
0
1
5
P
0,1
0,3
0,4
0,2
а) Найдите математическое ожидание случайной величины 2X +3.
б) Найдите EX2 .
в) Найдите дисперсию случайной величины X .
г) Найдите дисперсию случайной величины 0,5X − 5.
6.37 (Мåæäóíàðîäíûå êîíôåðåíöèè). Выпускник факультета
социальных наук послал заявку на участие с докладом в двух независимых международных конференциях. На первую из них он может попасть с вероятностью 0,6, на вторую –– с вероятностью 0,3.
Рассмотрите случайную величину X –– количество международных
конференций, оргкомитет которых откажет выпускнику в участии
с докладом. Найдите: а) закон распределения случайной величины X , б) математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение этой случайной величины.
6.38 (Кîôå â áèçíåñ-öåíòðå). В вестибюле бизнес-центра установлены два автомата с горячим кофе. Автоматы работают независимо друг от друга. Вероятность того, что к концу рабочего дня
кофе закончится в первом автомате, равна 0,25. Вероятность того,
что кофе закончится во втором –– 0,10. Рассмотрите случайную величину X –– количество кофейных автоматов, в которых к концу ра-

Раздел . Дискретная случайная величина
бочего дня еще останется кофе. Найдите: а) закон распределения
случайной величины X , б) математическое ожидание, дисперсию
и стандартное отклонение этой случайной величины.
6.39 (Эêñïåäèöèè). К восхождению на вершину горы независимо друг от друга приступили две группы (экспедиции). Вероятность
неудачного восхождения для первой группы составляет 0,8, а для
второй –– 0,6. Рассмотрите случайную величину X –– количество экспедиций, которые смогут подняться на вершину горы. Найдите:
а) закон распределения случайной величины X , б) математическое
ожидание, дисперсию и стандартное отклонение этой случайной
величины.
Раздел 
Распределение Пуассона
Во многих практических задачах теории массового обслуживания, страхования и надежности для описания случайного числа
наступающих событий за некоторый промежуток времени хорошо
подходит распределение Пуассона. В качестве таких событий могут
выступать заявки на обслуживание, страховые случаи, отказы оборудования и так далее.
Определение . Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона, если она может принимать значения 0, 1, 2, 3, …
…, k, …, а вероятность конкретного значения задается формулой
P( X = k) =
λk −λ
·e ,
k!
где λ > 0 –– параметр распределения.
Математическое ожидание X : E( X ) = λ. Другими словами, λ ––
это среднее число событий в единицу времени. Дисперсия X :
D( X ) = λ.
Пример  (Бåç íàçâàíèÿ). Случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ = 1. Найдем вероятность события
X ¾ 2.
Решение.
P( X ¾ 2) = 1 − P( X = 0) − P( X = 1) = 1 −
10 −1 11 −1
·e − ·e =
0!
1!
= 1 − 2e−1 ≈ 0,24.
Пример  (В îôèñå). В офис некоторой компании в среднем
поступает 90 звонков в час. Найдем вероятность того, что в течение
двух минут в офис поступит ровно 1 звонок.
Решение. Если в час в среднем поступает 90 звонков, то в течение 2 минут в среднем поступает 90 : 30 = 3 звонка. То есть для
интервала времени  минуты λ = 3 (звонка). Тогда
λ1
3
≈ 0,152.
P( X = 1) = 1! · e−λ = 3 · e−λ ≈
(2 · 7)3

Раздел . Распределение Пуассона
Утверждение. Пусть случайные величины X и Y независимы
и имеют распределения Пуассона с параметрами λ1 и λ2 соответственно. Тогда случайная величина X + Y также имеет распределение Пуассона с параметром
λ = (λ1 + λ2 ).
Задачи для подробного разбора на семинаре
Задача  (Дîñòàâêà ïèööû). Среднее число поступающих за
2 часа заказов в компанию по доставке пиццы равно 240. Какова
вероятность того, что в течение минуты поступит от 2 до 3 заказов?
240
Решение. Если в час в среднем поступает 2 = 120 заказов
пиццы, то в течение минуты в среднем поступает 120 : 60 = 2 заказа.
То есть для интервала времени 1 минута λ = 2. Тогда
22 −2 23 −2
λ2 −λ λ3 −λ
·e +
·e =
·e + ·e =
2!
3!
2!
3!
€4 8Š
1
10
1
10
10
≈
=
≈ 0,46.
= 2·
·
= e−2 +
2 6
3
21,87
e
2,72 3
P( X = 2 или 3) =
Задачи для самостоятельного решения
7.1 (Чèñëî òåëåôîííûõ çâîíêîâ). Некоторому человеку в среднем звонят 3 раза в час. Какова вероятность, что в течение часа ему
позвонит 1 или 2 человека?
7.2 (Аâàðèè íà àâòîìàãèñòðàëè). В среднем зимой за неделю на
опасном участке трассы происходит 21 ДТП. Считая, что число аварий имеет распределение Пуассона, определите, чему равна вероятность того, что в течение одного дня на этом участке трассы: а) не
произойдет ни одной аварии; б) произойдет не более двух аварий;
в) произойдет более трех аварий?
7.3 (Пîñò ñêîðîé ïîìîùè). На пост скорой помощи небольшого города N за час поступает в среднем 9 звонков. Какова вероятность, что за 20 минут поступит не более двух звонков?
7.4 (Пîæàðíûå). За полчаса (за 30 минут) пожарным некоторого города N поступает в среднем 3 сообщения о загоревшихся объектах. Какова вероятность того, что в течение 20 минут поступит не
более одного сообщения?
7.5 (Нà÷èíàþùèé âîäèòåëü). Начинающий автомобилист в среднем совершает одну ошибку за 5 минут. Предполагая, что число со-
Раздел . Распределение Пуассона

вершенных таким водителем ошибок подчиняется закону Пуассона,
рассчитайте вероятность того, что автомобилист совершит за 5 минут не менее двух ошибок.
7.6 (Пðàâîíàðóøåíèÿ). В течение 8 часов рабочего дня в детскую комнату милиции поступает в среднем 16 звонков о правонарушениях. Какова вероятность, что в течение 1 часа поступит от 1
до 2 звонков (включительно)?
7.7 (Рåìîíò øîññå). Спустя месяц после асфальтирования на
отрезке шоссе на 1 км в среднем приходится два дефекта. Какова
вероятность, что на определенном участке шоссе длиной 3 км мы
найдем не более одного дефекта спустя месяц после асфальтирования? При решении задачи считайте, что вероятность обнаружения
дефекта не зависит от местоположения участка трассы.
7.8 (Тåëåôîí äîâåðèÿ). В течение 15 минут оператору, работающему на линии телефона доверия и психологической помощи населению, поступает в среднем 6 звонков от жителей города. Какова вероятность, что в течение 5 минут поступит от 1 до 3 звонков
(включительно)?
7.9 (Аâèàöèÿ). Согласно официальным данным, за два минувших года в некоторой стране было зафиксировано 12 крупных авиационных аварий на пассажирских авиалиниях. При имеющейся информации определите, какова вероятность того, что в течение ближайших четырех месяцев произойдет: а) не менее трех аварий,
б) ни одной аварии.
7.10 (Кîìïüþòåðíûé ñåðâèñ). В течение 8 часов рабочего дня
в службу компьютерной диагностики поступает в среднем 16 звонков от пользователей. Какова вероятность того, что в течение часа
в службу поступит не менее 2, но и не более 4 звонков?
7.11 (Лàâêà îáóâè). В лавку по ремонту обуви в среднем заходят
3 человека в час. Считая, что число посетителей распределено по
закону Пуассона, найдите вероятность того, что в течение 20 минут
зайдут не менее двух человек.
7.12 (Мàãàçèí). Магазин работает десять часов в сутки. Случайные величины X1 , X2 , …, X10 –– количество посетителей магазина
в течение первого, второго и т. д. часа работы. Известно, что каждая из этих величин имеет распределение Пуассона с параметром
λ1 , λ2 , …, λ10 соответственно. Укажите распределение числа посетителей магазина за сутки. Чему равно среднее число посетителей
магазина за сутки?

Раздел . Распределение Пуассона
7.13 (Пëàòíàÿ ïàðêîâêà). На платную парковку торгово-развлекательного центра в городе в среднем заезжает 15 автомобилей
в час. Считая, что количество приезжающих машин распределено
по закону Пуассона, найдите вероятность того, что в течение 5 минут на парковку заедет не менее трех машин.
7.14 (Бóòèê). В магазин модной дорогой одежды в среднем заходит 6 человек в час. Считая, что число посетителей распределено
по закону Пуассона, найдите вероятность того, что в течение десяти минут зайдёт: а) более одного человека; б) два человека; в) более двух человек? Скольким продавцам-консультантам целесообразно работать в этом магазине, если считать, что продавец уделяет
обслуживанию одного клиента в среднем те же 10 минут? Дайте
обоснованный ответ.
Раздел 
Совместное распределение двух
дискретных величин. Ковариация
и корреляция двух случайных величин
Определение . Говорят, что задано совместное распределение
двух дискретных случайных величин, измеряемых в одном и том
же случайном эксперименте, если для каждой пары значений этих
величин (xi , y j ) задана вероятность
P( X = xi , Y = y j ) = pij ,
где xi , i = 1, …, n –– множество возможных значений X , а y j , j = 1, …
…, m –– множество всех возможных значений Y .
Совместное распределение двух дискретных случайных величин
удобно записывать в виде таблицы:
Y
y1
y2
…
ym
x1
p11
p12
…
p1m
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
xn
pn1
pn2
…
pnm
X
Сумма всех значений pij :
n,m
P
pij = 1.
i=1, j=1
Пример  (Иãðàëüíûå êîñòè). Игральную кость бросают два
раза. Определим случайную величину X как число выпавших шестерок. Случайная величина Y будет принимать значение 0, если
хотя бы на одной кости выпадет нечетное число очков, и 1, если
на обеих костях выпадет четное. Составить таблицу совместного
распределения случайных величин X и Y .
Решение. Случайная величина X может принимать три значения: 0, 1, 2, а случайная величина Y –– два значения: 0 и 1. Следо-

Раздел . Совместное распределение двух дискретных величин
вательно, таблица совместного распределения будет иметь следующий вид:
Y
0
1
0
p11
p12
1
p21
p22
2
p31
p32
X
Осталось вычислить все вероятности pij = P( X = xi , Y = y j ). Для
этого множество всех элементарных исходов этого эксперимента
надо разбить на части, соответствующие всем возможным парам
значений (xi , y j ). Числа очков на первой и второй костях указаны
в ячейках через запятую:
Число очков на
первой кости
Число очков на второй кости







1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6

2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6

3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6

4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6

5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6

6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
Легко видеть, что
p32 = P( X = 2, Y = 1) = P
n
Выпало две шестерки и на обеих
костях выпало четное число очков
o
1
= 36 ,
так как это событие состоит только из одного элементарного исхода
ωe = {6, 6}.
• p31 = P( X = 2, Y = 0) = P{Выпало две шестерки и хотя бы на одной
кости выпало нечетное число очков}= 0, так как это невозможно.
• p22 = P( X = 1, Y = 1) = P{Выпала одна шестерка и на обеих костях
4
1
= , так как в это событие вховыпало четное число очков}=
36 9
дят четыре элементарных исхода {6, 2}, {6, 4}, {2, 6}, {4, 6}.
• p21 = P( X = 1, Y = 0) = P{Выпала одна шестерка и хотя бы на одной кости выпало нечетное число очков}=
1
6
= , так как в это
36 6
Раздел . Совместное распределение двух дискретных величин

событие входят шесть исходов {6, 1}, {6, 3}, {6, 5}, {1, 6}, {3, 6},
{5, 6}.
• p12 = P( X = 0, Y = 1) = P{Не выпало ни одной шестерки и на обе4
1
их костях выпало четное число очков}= 36 = 9 , так как в это
событие входят четыре элементарных исхода {2, 2}, {2, 4}, {4, 2},
{4, 4}.
• p11 = P( X = 0, Y = 0) = P{Не выпало ни одной шестерки и хотя бы
на одной кости выпало нечетное число очков}. Эту вероятность
можно вычислить так:
1 − p12 − p21 − p22 − p31 − p32 = 1 −
6
4
1
21
4
−
−
−0−
=
.
36 36 36
36
36
Таким образом, таблица совместного распределения X и Y в этом
случайном эксперименте имеет следующий вид:
Y
X
0
1
2
0
1
21
36
6
36
4
36
4
36
1
36
0
Из таблицы совместного распределения двух дискретных случайных величин можно получить распределение каждой из случайных
величин X и Y . Такие распределения называются маргинальными
или частными.
Для того чтобы получить маргинальное распределение X , то есть
найти вероятности P( X = xi ), надо просуммировать вероятности
в i-й строке таблицы совместного распределения:
P( X = xi ) = pi1 + pi2 + … + pim .
Для того чтобы получить маргинальное распределение Y , то есть
найти вероятности P(Y = yi ), надо просуммировать вероятности
в j-м столбце таблицы совместного распределения:
P(Y = y j ) = p1 j + p2 j + … + pnj .
Пример  (продолжение примера ). Рассмотрим совместное
распределение случайных величин X и Y из предыдущего примера.
Найдем их маргинальные распределения.

Раздел . Совместное распределение двух дискретных величин
Решение. Маргинальное (частное) распределение X задается
таблицей:
X
0
1
2
P
25
36
10
36
1
36
Маргинальное (частное) распределение Y задается таблицей:
Y
0
1
P
27
36
9
36
Утверждение. Напомним, что дискретные случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда для любых i и j,
i = 1, …, n, j = 1, …, m выполняется равенство
P( X = xi , Y = y j ) = P( X = xi ) · P(Y = y j ).
Эту формулу мы используем для проверки независимости двух дискретных случайных величин.
Пример  (Нåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí). Рассмотрим
случайные величины X и Y , определенные в примере . Являются
ли эти случайные величины независимыми?
Решение. В примере  было получено совместное распределе21
ние X и Y , в частности: p11 = P( X = 0, Y = 0) = 36 .
В примере  были получены маргинальные распределения X и Y ,
25
27
в частности: P( X = 0) =
и P(Y = 0) = .
36
36
Проверим выполнение условия независимости P( X = 0, Y = 0) =
= P( X = 0) · P(Y = 0):
25 27
21
6=
· .
36
36 36
Следовательно, X и Y зависят друг от друга. В этом примере нам
«повезло», так как проверка ограничилась лишь исследованием равенства для i = 1 и j = 1. Так бывает не всегда. Если бы условие независимости выполнялось бы для p11 , то нам пришлось бы проверять
это условие для всех остальных pij .
В тех случаях, когда случайные величины X и Y зависимы, представляет интерес сила их взаимосвязи. Для этого используется понятие ковариации (то есть совместной вариации или совместной
изменчивости) двух случайных величин.
Раздел . Совместное распределение двух дискретных величин

Определение . Ковариацией двух случайных величин X и Y
называется величина Cov( X , Y ) = E( X − E( X ))(Y − E(Y )).
На практике для вычисления Cov( X , Y ) чаще используется формула Cov( X , Y ) = E( X · Y ) − E( X ) · E(Y).
Пример  (Сîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå). Совместное распределение двух дискретных случайных величин X и Y задано таблицей:
Y
0
1

0,1
0,3

0,4
?
X
Найти Cov( X , Y ).
Решение. Заполним до конца таблицу совместного распределения: P( X = 1, Y = 1) = 1 − 0,1 − 0,3 − 0,4 = 0,2.
Вычислим маргинальные распределения вероятностей X и Y :
X
0
1
Y
0
1
P
0,4
0,6
P
0,5
0,5
При этом E( X ) = 0,6, а E(Y ) = 0,5. Найдем распределение случайной величины X · Y . Эта величина может принимать только два
значения 0 и 1. P( X · Y = 1) = P( X = 1, Y = 1) = 0,2. Следовательно,
P( X · Y = 0) = 1 − 0,2 = 0,8 и распределение случайной величины
X · Y задается таблицей:
X ·Y
0
1
P
0,8
0,2
Тогда
Cov( X , Y ) = E( X · Y ) − E( X ) · E(Y) =
= (0 · 0,8 + 1 · 0,2) − 0,6 · 0,5 = 0,2 − 0,3 = −0,1.
Свойства ковариации
. Если случайные величины X и Y независимы, то Cov( X , Y ) = 0.
. Пусть X1 = a1 + b1 X и Y1 = a2 + b2 Y , тогда
Cov( X1 , Y1 ) = b1 b2 Cov( X , Y ).

Раздел . Совместное распределение двух дискретных величин
Поясним более подробно свойство . На практике линейные преобразования случайных величин обычно означают переход к другим единицам измерения. Свойство  показывает, что величина ковариации между двумя случайными величинам зависит от их единиц измерения. Это очень неудобно для интерпретации значения ковариации как меры связи двух случайных величин. Чтобы устранить это неудобство, вводят понятие корреляции, которая уже не
чувствительна к единицам измерения.
Определение . Корреляцией двух случайных величин называется величина
Cor( X , Y ) = p
Cov(X , Y )
p
.
D(X ) · D(Y )
Свойства корреляции
. Если X и Y независимы, то Cor( X , Y ) = 0.
. | Cor( X , Y )| ¶ 1.
. Если Cor( X , Y ) = 1, то Y = a + bX , где b > 0.
Если Cor( X , Y ) = −1, то Y = a + bX , где b < 0.
. Пусть X1 =a1 +b1 X и Y1 =a2 +b2 Y , тогда Cor( X1 , Y1 )=Cor( X , Y ),
если b1 · b2 > 0 и Cor( X1 , Y1 ) = − Cor( X , Y ), если b1 · b2 < 0.
Пример  (продолжение примера ). Для данных примера  вычислить Cor( X , Y ).
Решение. В примере вычислена ковариация Cov( X , Y ) = −0,1,
а также найдены маргинальные распределения X и Y . Следовательно:
D( X ) = E( X 2 ) − (E( X ))2 = 0,4 · 0,6 = 0,24,
D(Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y ))2 = 0,5 · 0,5 = 0,25.
Отсюда
Cor( X , Y ) = p
Cov(X , Y )
0,1
0,1
p
p
≈ − 0,25 = −0,4.
= −p
0,24 · 0,25
D(Y )
D(X ) ·
Задачи для подробного разбора на семинаре
Задача  (Нà÷èíàþùèå âîäèòåëè). Принято считать, что начинающий водитель –– это человек, чей опыт вождения не превышает двух лет. Рассмотрим две случайные величины X и Y , где X ––
стаж вождения начинающих водителей (со значениями 1 и 2 года), Y –– количество дорожно-транспортных происшествий (страховых случаев) за минувший год (со значениями 0, 1, 2 и 3 аварии).
Раздел . Совместное распределение двух дискретных величин

Согласно данным страховой компании, работающей на рынке автострахования уже много лет, совместный закон распределения случайных величин X и Y выглядит следующим образом:
Число аварий за
минувший год (Y )
Совместный закон
распределения X и Y
Стаж вождения (X )





0,11
0,22
0,18
0,07

0,19
0,14
0,07
0,02
Вычислить ковариацию и корреляцию. Определить, в какой мере можно считать эти две случайные величины взаимосвязанными
(коррелированными).
Решение. Выполним следующие расчеты.
X
1
2
Y
0
1
2
3
P
0,58
0,42
P
0,30
0,36
0,25
0,09
. Найдём маргинальные распределения вероятностей X и Y :
. Рассчитаем математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение рассматриваемых случайных величин:
E( X ) = 1 · 0,58 + 2 · 0,42 = 1,42
(средний стаж),
E(Y ) = 0 · 0,30 + 1 · 0,36 + 2 · 0,25 + 3 · 0,09 = 1,13
(среднее число аварий в год для начинающего автомобилиста),
p
D( X ) = (1 − 1,42)2 · 0,58 + (2 − 1,42)2 · 0,42 = 0,2436 (лет)2 ,
D( X ) = 0,494 ≈ 0,49 (лет),
p
D(Y ) = (0 − 1,13)2 · 0,30 + (1 − 1,13)2 · 0,36 + (2 − 1,13)2 · 0,25 +
+ (3 − 1,13)2 · 0,09 = 0,8931 (аварий в год)2 ,
D(Y ) = 0,945 ≈ 0,95 (аварий в год).
. Найдем распределение случайной величины ( X · Y ). Эта величина может принимать шесть значений, а именно: 0, 1, 2, 3, 4 и 6.

Раздел . Совместное распределение двух дискретных величин
Укажем подробнее:
X ·Y
0
1
2
3
4
6
P
0,11 + 0,19
0,22
0,18 + 0,14
0,07
0,07
0,02
Выпишем получившееся распределение случайной величины X · Y :
X ·Y
0
1
2
3
4
6
P
0,30
0,22
0,32
0,07
0,07
0,02
. Рассчитаем математическое ожидание величины X · Y :
E( X · Y ) = 0 · 0,30 + 1 · 0,22 + 2 · 0,32 + 3 · 0,07 +
+ 4 · 0,07 + 6 · 0,02 = 1,47 (стаж · аварии).
. Найдем ковариацию и корреляцию случайных величин X и Y :
Cov( X , Y ) = 1,47 − 1,42 · 1,13 = 1,47 − 1,6046 =
= −0,1346 (стаж · аварии) ≈ −0,13(стаж · аварии).
0,1346
0,1346
Cor( X , Y ) = − 0,494 · 0,945 ≈ − 0,467 ≈ −0,28.
Случайные величины коррелированы слабо, направление взаимосвязи –– обратная. То есть с увеличением стажа начинающего автомобилиста в среднем падает число аварий с его участием, но это
падение не очень значительное и поэтому водителям стажем до года
и до двух лет предлагают страховые полисы по одной и той же цене.
При дальнейшем росте стажа вождения вероятность наступления
страхового случая снижается и это влечет за собой снижение стоимости самого страхового полиса.
Задачи для самостоятельного решения
8.1 (Нåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû-). В случайном эксперименте независимые случайные величины X и Y заданы рядами
распределений:
X
1
2
Y
−1
0
1
P
0,1
0,9
P
0,2
0,3
0,5
Постройте таблицу их совместного распределения.
8.2 (Мîíåòà è êóáèê). В случайном эксперименте бросают монету и игральную кость. Пусть X –– число выпавших орлов на мо-
Раздел . Совместное распределение двух дискретных величин

нете, а Y –– число выпавших шестерок на кости. Составьте таблицу
совместного распределения этих случайных величин.
8.3 (Дâå ìîíåòû è äâà êóáèêà). В случайном эксперименте бросают две монеты и две игральные кости. Пусть X –– число выпавших
орлов, а Y –– число выпавших пятерок. Составьте таблицу совместного распределения X и Y .
8.4 (Мàðãèíàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ-). Совместное распределение двух случайных величин X и Y задано таблицей:
Y
0
1

0,2
0,3

0,2
0,3
X
Являются ли случайные величины X и Y независимыми? Выпишите ряд распределения вероятностей для случайной величины X · Y .
8.5 (Сòðàõîâîé äîãîâîð). Страховая компания заключает договор страхования, предусматривающий выплату 50 000 руб. в случае
мелкого ущерба и 100 000 руб. в случае крупного ущерба. Страховой
взнос по договору составляет 4000 руб. Вероятность мелкого ущерба 0,05, а крупного –– 0,01. Составьте таблицу совместного распределения выплат по двум таким независимым договорам.
8.6 (Мàðãèíàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ-). Совместное распределение двух случайных величин X и Y задано таблицей:
Y
−1
0
2
−1
0,08
0,12
0,2
1
0,12
0,18
?
X
Выпишите маргинальные распределения вероятностей случайных величин X и Y . Являются ли случайные величины X и Y независимыми? Выпишите ряд распределения вероятностей для случайной величины X · Y .
8.7 (Мàðãèíàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ-). Совместное распределение двух случайных величин X и Y задано таблицей:
Y
1
2
3
0
?
0
0,1
2
0,4
0,1
0,3
X

Раздел . Совместное распределение двух дискретных величин
Выпишите маргинальные распределения вероятностей для случайных величин X и Y . Являются ли случайные величины X и Y
независимыми? Выпишите ряд распределений вероятностей случайной величины: а) X · Y , б) X + Y .
8.8 (Пðîâåðêà íåçàâèñèìîñòè). Совместное распределение двух
случайных величин X и Y задано таблицей:
Y
−1
0
2
−2
0,1
0,3
0,4
1
0,2
0
?
X
Являются ли случайные величины X и Y независимыми? Выпишите ряд распределения вероятностей случайной величины X · Y .
Найдите E( X · Y ).
8.9 (Хàðàêòåðèñòèêè ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ-). Совместный закон распределения случайных величин X и Y задан таблицей
(для каждой пары (комбинации) значений X и Y приводится своя вероятность). Значения X указаны в строках, значения Y –– в столбцах.
Y
X
−1
1
2
−1
0
2
3
24
1
24
5
24
4
24
1
24
7
24
?
1
24
0
Найдите: а) закон распределения случайной величины X, б) закон
распределения случайной величины Y , в) EX, D X, EY , DY , г) Cov( X , Y )
и Cor( X , Y ).
8.10 (Хàðàêòåðèñòèêè ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ-). Совместный закон распределения случайных величин X и Y задан таблицей.
Значения X указаны в строках, значения Y –– в столбцах.
Y
−2
0
2
0,2
0,03
0,05
?
0,6
0,15
0,30
0,35
X
Раздел . Совместное распределение двух дискретных величин

Найдите: а) закон распределения случайной величины X, б) закон
распределения случайной величины Y , в) EX, D X, EY , DY , г) Cov( X , Y )
и Cor( X , Y ).
8.11 (Дîìàøíèå ïèòîìöû). Ниже приводятся результаты выборочного исследования на тему домашних животных. В таблице дано двумерное распределение ответов людей (проживающих в городских квартирах) на два вопроса: «Сколько домашних животных
проживает у вас дома?» (случайная величина X ) и «Сколько комнат в вашей квартире?» (случайная величина Y ). Найдите (приближенно) совместный закон распределения вероятностей случайных
величин –– количество домашних животных в квартире ( X ) и число
комнат в квартире (Y ). В опросе приняли участие 500 человек. Ответы распределились следующим образом:
Число комнат в квартире (Y )
Число домашних
животных (X )




10 человек
85 человек
90 человек

0 человек
100 человек
85 человек

0 человек
55 человек
75 человек
Вычислите ковариацию и корреляцию. В какой мере можно считать эти два признака взаимосвязанными (коррелированными)?
8.12 (Нåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû-). Случайные величины X и Y дискретны и независимы. Составьте таблицу их совместного распределения, если известно, что законы распределения случайных величин X и Y следующие:
X
0
1
2
Y
1
3
p
0,2
0,1
0,7
p
0,6
0,4
8.13 (Цåííîñòü âðåìåíè). Ниже приводятся данные исследования, проведенного среди определенной социальной группы населения. Случайная величина X показывает, сколько часов человек
обычно тратит на сон в будний день. Случайная величина Y показывает, сколько часов человек обычно проводит в социальных
сетях (онлайн) в день. В опросе приняло участие 3000 человек.

Раздел . Совместное распределение двух дискретных величин
Двумерное распределение X и Y приведено в таблице (в ячейках
указаны вероятности).
Время на сон
(X )
Время на социальные сети (Y )





0,05
0,07
0,06
0,04

0,05
0,16
0,02
0,01

0,12
0,12
0,09
0,01

0,08
0,1
0,01
0,01
Вычислите ковариацию и корреляцию. В какой мере можно считать эти две случайные величины взаимосвязанными (коррелированными)?
8.14 (Мîíåòêà). Монету бросили 4 раза.
а) Найдите ковариацию случайных величин «число орлов, выпавших в первый раз» и «общее число выпавших орлов».
б) Найдите коэффициент корреляции этих величин.
8.15 (Иãðàëüíûå êîñòè). Игральный кубик подбрасывают дважды. Известно, что во второй раз выпало на 2 очка больше, чем
в первый. Найдите коэффициент корреляции случайных величин
«число очков, выпавшее первый раз» и «число очков, выпавшее во
второй раз».
8.16 (Сóììà íà èãðàëüíûõ êîñòÿõ). Подбрасывают два игральных кубика. В сумме выпало 9 очков. Найдите коэффициент корреляции случайных величин «число очков, выпавшее на первом кубике» и «число очков, выпавшее на втором кубике».
Раздел 
Непрерывные случайные величины.
Равномерное распределение. Нормальное
распределение
Непрерывные случайные величины
В природе значения многих случайных величин изменяются непрерывно. Например, время безотказной работы часов или телевизора, автомобиля, компьютера, соковыжималки может оказаться
любым (положительным) числом. Любым числом можем оказаться
доход наудачу (случайно) выбранного человека в социуме. В принципе, любым может быть и время, затрачиваемое человеком на
занятия спортом в течение какого-то продолжительного отрезка
времени. Любым числом можем быть рост, вес, продолжительность
жизни и т. д. Совокупность возможных значений непрерывных случайных величин образует непрерывное множество. Таким множеством может быть отрезок числовой прямой, числовой луч, вся числовая прямая.
Для непрерывных случайных величин нельзя задать их распределение, просто указывая вероятности каждого отдельного значения,
как это делалось для дискретных случайных величин. Часто распределение непрерывных случайных величин можно задать с помощью
плотности вероятности.
Определение . Плотностью вероятности называют функцию
p(x), заданную для всех x на числовой прямой, такую что:
) p(x) ¾ 0 для всех x;
+∞
R
) площадь под графиком плотности равна 1, т. е. p(x) dx = 1.
−∞
Если непрерывная случайная величина принимает значения только на части числовой прямой Ω, то полагают, что p(x) = 0 для x, не
принадлежащих Ω.
Пример  (Пëîòíîñòü). Пусть
1 − |x|, x ∈ [−1; 1];
p(x) =
0,
x∈
/ [−1; 1].

Раздел . Непрерывные случайные величины
Тогда p(x) является функцией плотности распределения.
Доказательство. Очевидно, что p(x) ¾ 0 на всей числовой прямой. Покажем, что площадь под кривой плотности равна 1. На отрезке [−1; 1] график p(x) и ось абсцисс образуют равнобедренный
треугольник с основанием 2 и высотой 1. Его площадь равна 1. Следовательно, условие 2 из определения выполнено.
Функция плотности вероятности позволяет находить вероятность
того, что непрерывная случайная величина попадает в некоторую
Rb
область, например, отрезок [a; b]: P( X ∈ [a, b]) = p(x) dx.
a
Другими словами, вероятность попадания случайной величины
в некоторую непрерывную область значений есть площадь фигуры
под графиком плотности над рассматриваемой областью значений.
Другой способ найти такую вероятность связан с заданием функции распределения F(x) случайной величины.
Определение . Функцией распределения F(x) случайной величины X называется функция, в каждой точке x равная вероятности
того, что случайная величина X принимает значение, меньшее или
равное x, то есть F(x) = P( X ¶ x).
Если случайная величина имеет плотность p(x), то ее функция
распределения задается в виде
F(x) =
Íx
p(t) dt.
−∞
Пример  (Функция распределения). Случайная величина X
принимает значения на отрезке [0; 1], и ее плотность вероятности
на этом отрезке имеет вид p(x) = 2x (на всей остальной части числовой прямой p(x) = 0). Найти F(x).
Решение. По определению для x ∈ [0; 1]
F(x) =
Íx
p(t) dt =
−∞
Í0
0 dt +
−∞
Íx
x
2t dt = t 2 0 = x 2 .
0
Для x < 0 положим F(x) = 0, а для x > 1 положим F(x) = 1, так как
для x > 1 имеем
F(x) =
Í0
−∞
0 dt +
Í1
0
2t dt +
Íx
1
1
0 dt = t 2 0 = 1.

Раздел . Непрерывные случайные величины
Вероятность того, что X ∈ [a, b], может быть записана с помощью
функции F(x) в виде разности:
P(a ¶ X ¶ b) =
Íb
−∞
p(x) dx −
Ía
−∞
p(x) dx = F(b) − F(a).
Свойства функции распределения:
) F(x) ¾ 0 для любого x;
) для x1 < x2 выполняется неравенство F(x1 ) ¶ F(x2 );
) F(−∞) = 0 и F(+∞) = 1.
С помощью плотности распределения вероятностей можно определить математическое ожидание E( X ) непрерывной случайной величины X и ее дисперсию D( X ).
Определение . Математическое ожидание E( X ) непрерывной
+∞
R
случайной величины X равно E( X ) = xp(x) dx.
−∞
Определение . Дисперсия D( X ) непрерывной случайной величины X равна
D( X ) = E( X − EX )2 = E( X 2 ) − (E( X ))2 =
=
+∞
Í
−∞
2
x p(x) dx −
 +∞
Í
xp(x) dx
−∞
‹2
.
Пример  (Характеристики распределения). Плотность вероятности случайной величины X имеет следующий вид:


x ¶ 1;
 0,
p(x) = a ln x, x ∈ (1; e];

 0,
x > e.
. Определите коэффициент a и вычислите математическое ожидание.
. Найдите функцию распределения F(x).
. Определите вероятность того, что значение случайной велиp
чины лежит в интервале (−2; e).
Решение. По определению плотности вероятности
1=
+∞
Í
−∞
p(x) dx =
Íe
1
Íe
Š
€
e
1
a ln x dx =a x ln x 1 − x dx = a(e − e + 1) = a.
x
1

Раздел . Непрерывные случайные величины
Здесь мы воспользовались методом интегрирования по частям.
Вычислим математическое ожидание:
E( X ) =
+∞
Í
xp(x) dx =
−∞
Íe
x ln x dx =
1
e
x2
ln x −
2
1
Íe
x2 1
dx =
2 x
1
e2
e2 1
e2 + 1
= − + =
.
2
4
4
4
Функция распределения находится по формуле:

0,
x ¶ 1;




x
x

Í
Í
ln t dt = x ln x − x + 1, x ∈ (1; e];
F(x) = P( X ¶ x) =
p(t) dt =


1
−∞



1,
x > e.
p
Вероятность попадания в интервал (−2; e) вычисляется подстановкой граничных точек в функцию распределения:
p
p
p
p
1p
F( e) − F(2) = e ln e − e + 1 − 0 = − 2 e + 1.
В прикладных задачах встречается не так много типов распределений. Далее мы будем решать задачи о некоторых из них и об их
плотностях.
Равномерное распределение
Это самый простой вид распределений. Пусть [a; b] –– произвольный отрезок числовой прямой. Плотность вероятности p(x) определим на всей числовой прямой. Вне отрезка [a; b] положим p(x) = 0.
На отрезке [a; b] положим p(x) = c (где c –– постоянное число, константа).
y
c
S=1
a
b
Рис. 
x

Раздел . Непрерывные случайные величины
Значение c найдем, зная, что площадь под графиком функции
y = p(x) равна 1. Эта площадь равна площади прямоугольника со
1
сторонами b − a и c (рис. ). Получаем c · (b − a) = 1, откуда c =
.
b−a
Следовательно, функцию плотности равномерно распределенной на отрезке [a; b] случайной величины можно задать выражением


0,
если x < a,


если x > b,
f (x) = 0,


1

если a ¶ x ¶ b.
b−a
Математическое ожидание равномерно распределенной на отрезке
[a; b] случайной величины равно
отрезка значений.
a+b
, оно находится в середине
2
Пример  (Мåõàíè÷åñêèå ÷àñû). Если по какой-то причине механические часы остановились, то можно считать, что угол между
минутной и часовой стрелками –– случайная величина, которая распределена равномерно на отрезке [0◦ ; 180◦ ]. Найдем вероятность
того, что в момент остановки минутная стрелка будет отстоять от
часовой не более чем на 5◦ в ту или иную сторону.
Решение. Обозначим буквой X угол между стрелками. Это случайная величина. График ее плотности изображен на рис. .
y
1
180
5
180
x
Рис. 
Получим
P(0◦ ¶ X ¶ 5◦ ) =
1
5−0
=
≈ 0,0278.
180 − 0
36
Пример  (На отрезке [1; 4]). Случайная величина Y равномерно распределена на отрезке [1; 4]. Найдем вероятность события
1
¶ Y ¶ 3.
2

Раздел . Непрерывные случайные величины
Решение. Построим график плотности распределения случайной величины (рис. ).
y
1
3
1
2
1
4
3
x
Рис. 
Отрезок
”1
2
—
; 3 пересекается с отрезком [1; 4]. Общая часть от-
резков выделена на рисунке. Площадь фигуры равна 2 ·
1 2
= .
3 3
Нормальное распределение
Нормальное распределение вероятностей играет ключевую роль
в большинстве задач статистического анализа данных: в экономических, социальных, естественных и технических науках.
Определение . Непрерывная случайная величина X имеет нормальное (гауссовское) распределение вероятностей на всей числовой
прямой, если ее плотность распределения для всех x ∈ R выражается
формулой
2
p(x) =
(x−µ)
1
−
p e 2σ2 ,
σ 2π
где σ > 0 и µ –– произвольные числа.
Величины µ = E( X ) (среднее) и D( X ) = σ2 (дисперсия) называются параметрами нормального распределения. Параметр µ определяет положение (центр) нормального распределения на числовой
оси. Стандартное отклонение σ задает масштаб нормального распределения: чем меньше σ, тем сильнее вероятность концентрируется вблизи µ. При больших σ график плотности более пологий, чем
при малых. Запись X ∼ N(µ, σ2 ) означает, что случайная величина X
имеет нормальное распределение со средним µ и дисперсией σ2 .
Определение . Нормальное распределение N(0,1) с параметрами µ = 0 и σ2 = 1 называют стандартным нормальным распределением.
Раздел . Непрерывные случайные величины

Для обозначения стандартной нормальной случайной величины
используют символ Z: Z ∼ N(0,1). Функция плотности стандартного
нормального распределения задается формулой
1 − x2
e 2.
2π
p(x) = p
Заметим, что эта функция чётная, поэтому ее график симметри1 − x2
e 2 по данному x
2π
чен относительно оси y. Вычислить p(x) = p
трудно без калькулятора. Делать это нет необходимости, ибо такие
вычисления уже проделаны. Их результаты сведены в специальные
таблицы, которыми удобно пользоваться.
Каждому числу x можно поставить в соответствие площадь под
графиком стандартной нормальной плотности, которая расположена левее числа x. Эта площадь зависит от x и поэтому является
функцией аргумента x. Традиционно эту функцию обозначают Φ(x)
(читается «фи от икс»). Функция y = Φ(x) монотонно возрастает.
Для всякого x имеем 0 < Φ(x) < 1. Это означает, что с ростом x
функция Φ(x) стремится к 1. При убывании (уменьшении) x функция Φ(x) стремится к 0. График функции y = Φ(x) пересекает ось
€
Š
1
1
ординат в точке 0; , потому что Φ(0) = . Функцию y = Φ(x)
2
2
называют функцией стандартного нормального распределения (обратите внимание –– это не плотность, а функция распределения)
или функцией распределения стандартной нормальной величины
Rx 1 − t2
p e 2 dt. Обе функции ––
Z ∼ N(0,1). По определению Φ(x) =
−∞
2π
функция распределения и плотность –– связаны, плотность является производной функции распределения: Φ′ (x) = f (x). С помощью
функции y = Φ(x) можно вычислять вероятности событий a ¶ Z ¶ b:
P(a ¶ Z ¶ b) = P(Z ¶ b) − P(Z < a). Вероятность события Z = a равна
нулю, поэтому вероятности событий Z < a и Z ¶ a совпадают. Получаем:
P(a ¶ Z ¶ b) = P(Z ¶ b) − P(Z ¶ a) = Φ(b) − Φ(a).
Это и есть вероятность того, что случайная величина Z попадает
в некоторый отрезок (диапазон) [a, b].
Пример  (Стандартная нормальная случайная величина). Найдем вероятность того, что случайная величина Z, распределенная
по стандартному нормальному закону, примет значение из отрезка

Раздел . Непрерывные случайные величины
[0,3; 0,7], то есть вероятность события 0,3 ¶ Z ¶ 0,7. Имеем P(0,3 ¶
¶ Z ¶ 0,7) = Φ(0,7) − Φ(0,3) = 0,7580 − 0,6179 = 0,1401.
Общее нормальное распределение
Как уже сказано, плотность произвольной нормально распределенной случайной величины X ∼ N(µ, σ2 ) задается формулой p(x) =
2
(x−µ)
1
−
e 2σ2 . Формула выглядит более сложно, чем формула станσ 2π
= p
дартной нормальной плотности. Однако случайную величину X ,
распределенную по нормальному закону N(µ, σ2 ), можно выразить
через случайную величину Z, имеющую стандартное нормальное
распределение: X = µ + σ · Z. Эту взаимосвязь часто записывают инаX −µ
че: Z = σ , именуя выражение в правой части равенства z-значением (читается: зет-значение). Z-значения обычно используются для сравнения между собой нормальных величин, измеренных
в разных шкалах. Скажем, если мы хотим понять, как соотносится
рост и вес человека с соответствующими средними значениями, то
надо от исходных измерений роста и веса перейти к их z-значениям
и сравнить их между собой.
Пример  (Нормальная случайная величина X с заданным средним µ и дисперсией σ2 ). Вычислим P(A ¶ X ¶ B). Из равенства
X = µ + σ · Z получаем, что P(A ¶ X ¶ B) = P(A ¶ µ + σ · Z ¶ B). Преобразуя неравенства в правой части (и учитывая, что σ > 0), получим
€ A−µ
B−µŠ
P(A ¶ X ¶ B) = P σ ¶ Z ¶ σ .
Следовательно,
P(A ¶ X ¶ B) = P
€ A−µ
σ
¶Z¶
€B−µŠ
€ A−µŠ
B−µŠ
=Φ
−Φ
.
σ
σ
σ
Пример  (О ïîãîäå). Пусть случайная величина X –– температура воздуха в полночь (измеренная в градусах по шкале Цельсия)
первого сентября в некотором населенном пункте распределена по
закону N(1,4). Найдем вероятность того, что исследуемая температура 1,2 ¶ X ¶ 2,6.
Решение. Параметры распределения: µ = 1, σ2 = 4. Это ознаX −µ
X −1
чает, что случайная величина Z = σ = 2 имеет стандартное
нормальное распределение. Найдем границы соответствующего отрезка для Z.
Левая граница:
1,2 − 1
= 0,1.
2
Правая граница:
2,6 − 1
= 0,8.
2
Раздел . Непрерывные случайные величины

Следовательно, нужно найти вероятность того, что 0,1 ¶ Z ¶ 0,8:
P(1,2 ¶ X ¶ 2,6) = P(0,1 ¶ Z ¶ 0,8).
Эту вероятность ищем с помощью специальной таблицы для
стандартной нормально распределенной величины:
Φ(0,8) − Φ(0,1) = 0,7881 − 0,5398 = 0,2483 ≈ 0,25.
Теорема . Сумма двух независимых нормальных случайных величин X1 ∼ N(µ1 , σ12 ) и X2 ∼ N(µ2 , σ22 ) является нормальной случайной величиной: ( X1 + X2 ) ∼ N(µ1 + µ2 , σ12 + σ22 ).
Задачи для подробного разбора на семинаре
Задача  (Нåæåëàòåëüíàÿ ïî÷òà). Известно, что автоматическая фильтрация почтового «мусора» (спама) основана на механизме распознавания легитимных и нежелательных писем, но в зависимости от настроек компьютерной системы она не всегда способна к нормальной классификации почты. В отношении всех писем,
направленных получателю, в связи с этим гипотетически могут возникнуть два типа ошибок: во-первых, легитимное e-mail сообщение может быть иногда классифицировано сервером как спам; но
в то же время нежелательное e-mail сообщение, напротив, может
быть иногда классифицировано им как легитимное. И то, и другое
с практической точки зрения важно для пользователей. Рассмотрим
небольшой пример и решим задачу.
Корпоративная почта сотрудников некоторой крупной фирмы
снабжена специальным программным обеспечением, позволяющим
фильтровать нежелательные сообщения (спам). Так, каждому письму программа присваивает число в диапазоне от 0 до 15. Это число
отражает степень «нежелательности» такого почтового сообщения.
Если в настройках компьютера активирована опция «Автоматически удалять почтовый „мусор“», то все сообщения, которым программа присваивает более 7,5 баллов (т. е. классифицирует их как
спам), удаляются сервером незамедлительно. Однако программное
обеспечение несовершенно и не может достоверно распознать весь
спам, который периодически приходит на почтовый ящик, часть
нежелательной почты всё же «просачивается» и не блокируется таким фильтром. В то же время программа достаточно эффективно
снижает количество спама.
Согласно продолжительным наблюдениям и опыту использования данного программного обеспечения, известно, что баллы, при-

Раздел . Непрерывные случайные величины
сваиваемые программой нежелательным сообщениям, распределены нормально со средним 8,8 баллов и стандартным отклонением
2,0 баллов. Используя эту информацию, рассчитайте, чему равна
доля нежелательных писем, которые сервер удаляет автоматически
при их получении.
Решение. Рассматривается случайная величина X –– балл, автоматически присваиваемый спам-письму. По опыту установлено, что
X имеет нормальное распределение со следующими параметрами:
µ = 8,8, σ = 2,0. Отсюда следует, что случайная величина
Z=
X −µ
X − 8,8
=
σ
2
имеет стандартное нормальное распределение. По условию задачи
нам требуется найти вероятность того, что 7,5 < X ¶ 15. Именно
в этом случае спам-письмо будет автоматически удалено из почтового ящика специальной программой. Итак, выполним вычисления.
Из равенства X = 8,8 + 2Z получаем, что
P(7,5 < X ¶ 15) = P(7,5 < 8,8 + 2Z ¶ 15).
Преобразуем это неравенство (учитывая, что σ > 0):
€ 7,5 − 8,8
15 − 8,8 Š
<Z¶
= P(−0,65 < Z ¶ 3,1).
P
2
2
Следовательно,
P(7,5 < X ¶ 15) = P(−0,65 < Z ¶ 3,1) = Φ(3,1) − Φ(−0,65) =
= Φ(3,1) + Φ(0,65).
Эту вероятность найдем по специальной таблице для стандартной
нормально распределенной величины. Получим:
Φ(3,1) − Φ(−0,65) = 1 − 0,2578 = 0,7422.
Эта вероятность означает, что 74 % писем, фактически и являющихся спамом, успешно удаляются компьютером сразу же при их
получении. Как видим, остальные 26 % нежелательной почты всё же
попадает адресатам (сотрудникам этой фирмы).
Задача  (Нèçêàÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè). Продолжительность жизни людей в некоторой стране имеет стандартное отклонение, равное 12 годам. Чему равно среднее значение продолжительности жизни для жителя этой страны, если известно, что 20 % насе-
Раздел . Непрерывные случайные величины

ления живут дольше 65 лет? Ответьте на поставленный вопрос, исходя из предположения, что продолжительность жизни людей, живущих в этой стране, –– случайная величина, имеющая нормальное
распределение с указанными параметрами.
Решение. Рассмотрим случайную величину X –– продолжительность жизни. Она распределена нормально со среднеквадратичным
отклонением σ = 12 и неизвестным средним µ. По условию задачи
P( X > 65) = 0,2. Введем случайную величину
Z=
X −µ
X −µ
= 12 ,
σ
она имеет стандартное нормальное распределение. Выразим через µ вероятность P( X > 65):
0,20 = P(65 < X ) = P
€ 65 − µ
12
Š
€ 65 − µ
Š
<Z =P
<Z .
12
€ 65 − µ Š
= 0,20.
Получим 1 − Φ 12
€ 65 − µ Š
= 0,80.
Отсюда Φ
12
По специальной таблице для стандартной нормально распреде65 − µ
ленной случайной величины найдем 12 = 0,85.
Значит, µ = 65 − 0,85 · 12 = 65 − 10,2 = 54,8. Итак, средняя продолжительность жизни в этой стране составляет примерно 55 лет.
Задачи для самостоятельного решения
9.1 (Рàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [−1; 1]). Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [−1; 1]. Найдите вероятность события −0,5 ¶ X ¶ 2.
9.2 (Рàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [3; 6]). Случайная
величина X равномерно распределена на отрезке [3; 6]. Найдите
вероятность события 3,6 ¶ X ¶ 7.
9.3 (Зíà÷åíèÿ ïëîòíîñòè-1). Постройте график плотности равномерного распределения на отрезке [1; 4]. Чему равна плотность
в точке: а) x = −1, б) x = 2?
9.4 (Зíà÷åíèÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè-2). Постройте график плотности равномерного распределения на отрезке [−1; 3]. Чему равна
функция плотности в точке: а) x = 1, б) x = 4.

Раздел . Непрерывные случайные величины
9.5 (Вû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè ïî ãðàôèêó ïëîòíîñòè-1). На
рис.  изображен график плотности распределения случайной непрерывной величины X .
y
0.1
0.1
0.1
0.1
0
1
x
Рис. 
Найдите вероятность события: а) X ¶ , б) 2 ¶ X ¶ 5.
9.6 (Вû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè ïî ãðàôèêó ïëîòíîñòè-2). На
рис.  изображен график плотности распределения случайной непрерывной величины X .
y
0.1
0
1
x
Рис. 
Найдите вероятность события: а) X ¶ 4, б) 1 ¶ X ¶ 5.
9.7 (Вû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè ïî ãðàôèêó ïëîòíîñòè-3). На
рис.  изображен график плотности распределения случайной непрерывной величины X .
y
0.1
0.1
0.1
0.1
0
1
x
Рис. 
Найдите вероятность события X ¶ 3.
Раздел . Непрерывные случайные величины

9.8 (Вû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè ïî ãðàôèêó ïëîòíîñòè-4). На
рис.  изображен график плотности распределения случайной непрерывной величины X .
y
0.1
0
1
x
Рис. 
Найдите вероятность события X ¾ −1.
9.9 (Сòàíäàðòíàÿ íîðìàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà-1). Длястандартной нормально распределенной случайной величины Z найдите
вероятность P(−0,7 ¶ Z ¶ 8).
9.10 (Сòàíäàðòíàÿ íîðìàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà-2). Для
стандартной нормально распределенной случайной величины Z найдите вероятность P(−2,1 ¶ Z ¶ 1,9).
9.11 (Пëîòíîñòü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ).
На рис.  изображен график плотности стандартного нормального
распределения. Чему равна вероятность, соответствующая заштрихованной области под графиком?
−4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
Рис. 
9.12 (Чòî áîëüøå). Случайная величина X нормально распределена со средним 35. Вероятность какого события выше: что случайно выбранное значение этой величины попадет между 29 и 31,
или что случайно выбранное значение X попадет между 40 и 42?

Раздел . Непрерывные случайные величины
9.13 (Пðîèçâîëüíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå). Случайная
величина X нормально распределена со средним 46 и дисперсией 36. Найдите вероятность P(37 < X < 49).
9.14 (Сòàíäàðòíàÿ íîðìàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà-3). Для
стандартной нормально распределенной случайной величины Z найдите вероятность P(−0,34 < Z < 1,15).
9.15 (Сòàíäàðòíàÿ íîðìàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà-4). Для
стандартной нормально распределенной случайной величины Z найдите вероятность:
а) P(−0,62 < Z < 2,13), б) P(−1,83 < Z < −1,06),
в) P(0,39 < Z < 1,76).
9.16 (Шîêîëàä). На упаковке шоколадного батончика написано, что его масса равна 50 г. В действительности масса батончика ––
случайная величина, так как при производстве шоколада технологически трудно обеспечить точно заданную массу. Предположим,
что масса шоколадного батончика подчиняется нормальному закону распределения N(50; 1,44). Найдите вероятность того, что масса
случайно выбранной шоколадки этого сорта:
а) меньше 48,8 г; б) не меньше чем 49,3 г; в) находится в пределах от 49,2 до 50,4 г.
9.17 (Вûðó÷êà òîðãîâîãî öåíòðà). Дневная выручка торгового
центра –– случайная величина, нормально распределенная со средним 410 тыс. руб. и стандартным отклонением 60 тыс. руб. Какова
вероятность того, что дневная выручка окажется:
а) между 370 и 445 тыс. руб.; б) между 280 и 380 тыс. руб.?
9.18 (Цâåòû). В одной семье муж каждую неделю дарит жене букет цветов. Средняя стоимость букета –– 400 руб., а стандартное отклонение равно 100 руб. Какова вероятность того, что стоимость
очередного букета составит не менее 500 руб.? (Считайте, что сумма, затрачиваемая мужем на букет, нормально распределена с указанными параметрами.)
9.19 (Кîôåéíÿ). Средняя сумма чека в некоторой кофейне составляет 810 руб., а стандартное отклонение ––  руб. Какова вероятность того, что очередной посетитель кофейни сделает заказ на
сумму от 700 до 1100 руб.? (Считайте, что сумма чека –– случайная
величина, которая описывается нормальным законом распределения с указанными параметрами.)
9.20 (Сïîðò). Средний вес борца сумо составляет 130 кг и имеет нормальное распределение со стандартным отклонением 20 кг.
Раздел . Непрерывные случайные величины

Найдите вероятность того, что вес борца сумо: а) менее 100 кг,
б) от 100 до 150 кг.
9.21 (Кîíêóðñ). Для того чтобы стать участником отборочного
тура в некотором конкурсе, учащийся должен входить в 10 % лучших по среднему баллу в его школе. Средний балл учащихся в этой
школе имеет нормальное распределение со средним 3,78 и стандартным отклонением 0,33. Какие из приведенных ниже баллов
проходные: 4,20; 4,21; 4,25; 4,30; 4,35?
9.22 (В ìàãàçèíå). Дневная выручка X магазина модной верхней
одежды описывается нормальным законом распределения со средним значением 1000 условных единиц и дисперсией 2500. Определите вероятность события:
а) P( X < 925), б) P(900 < X < 1025),
в) P( X > 1120).
9.23 (Кâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ-1). Случайная величина X нормально распределена со средним 20 и дисперсией 36. При каком
значении x справедливо равенство P( X ¶ x) = 0,4?
9.24 (Кâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ-2). Случайная величина X нормально распределена со средним 10 и дисперсией 9. При каком значении x справедливо равенство P( X ¶ x) = 0,6?
9.25 (Нà ïåíñèè). Число пенсионеров X на тысячу человек в некотором регионе описывается нормальным законом распределения
со средним значением 300 и дисперсией 900. Найдите вероятность
того, что в некотором городе этого региона:
а) P( X < 275), б) P(290 < X < 320), в) P( X > 350).
9.26 (Рàñõîäû íà ìîðîæåíîå). На мороженое семья тратит в среднем 480 руб. в неделю. Дисперсия составляет 400 руб.2 . Какова вероятность того, что в следующую неделю семья потратит на мороженое от 200 до 300 руб.? (Считайте, что расходы семьи на мороженое
описываются нормальным законом распределения.)
9.27 (Дîðîãà äî êîëëåäæà). Время (в минутах), которое студенты, проживающие в городке, затрачивают на дорогу до колледжа ––
нормалная случайная величина со средним 25 и дисперсией 9. Найдите вероятность того, что студент добирается до колледжа от 16
до 43 минут (если считать, что время на дорогу до колледжа описывается нормальным законом распределения).
9.28 (Оáóâü). Средняя сумма чека в некотором магазине обуви
составляет 6000 руб., а среднее стандартное отклонение 2000 руб.
Какова вероятность, что очередной покупатель совершит покупку

Раздел . Непрерывные случайные величины
на сумму более 5000 руб.? (Считайте, что сумма покупки –– случайная величина с нормальным законом распределения.)
9.29 (Бàñêåòáîë). Рост баскетболистов имеет нормальное распределение со средним 202 см и стандартным отклонением 5 см.
Найдите вероятность того, что рост случайно выбранного баскетболиста: а) более 2 метров, б) от 195 до 205 сантиметров.
9.30 (Лèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí).
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины U = 4X − 2Y + 1, если известно, что X и Y –– независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение: X ∼ N(−3, 4)
и Y ∼ N(4,1).
9.31 (Уðîâåíü äîõîäîâ). Личный доход взрослого человека в некотором большом городе имеет нормальное распределение со средним 21 700 руб. и стандартным отклонением 5600 руб. Какова величина личного дохода случайно выбранного индивида, проживающего в этом городе, если его z-значение равно: а) −1,35; б) +0,92?
9.32 (Вûìûøëåííûé îñòðîâ). Сергею Сергеевичу приснился
плохой сон. На далеком острове аборигены держат в плену группу
потерпевших кораблекрушение туристов, и для жертвоприношения
планируют отобрать 20 % самых упитанных из них. Известно, что
средний вес туриста –– 82 кг, а стандартное отклонение –– 17 кг. Также известно, что Сергей Сергеевич, чей вес составляет 92 кг, в числе
этой группы туристов, и он очень хочет жить... Выясните, удалось
ли Сергею Сергеевичу избежать страшной участи? (Считайте, что
вес –– случайная величина, которая описывается нормальным законом распределения с указанными параметрами.)
9.33 (О ìîñêîâñêîì ìåòðî). Москвичи проводят в метро в среднем 40 минут в день с дисперсией 36. Найдите вероятность того,
что москвич проводит в метро от 34 до 52 минут в день, считая,
что время пребывания в метро в течение дня имеет нормальное
распределение.
9.34 (Мîñêâà –– Пåòóøêè). Венедикт Ерофеев ежедневно совершает на поезде путь от станции «Москва Курская» до станции «Петушки». Дорога длинная. За одну поездку Веня в среднем успевает
изложить на бумаге 57 философских мыслей. Стандартное отклонение составляет 15. Какова вероятность того, что количество философских мыслей, изложенных Венедиктом в пути, в предстоящей
поездке составит не менее 15, но не более 35? (Считайте, что рассматриваемая случайная величина –– количество изложенных на бу-
Раздел . Непрерывные случайные величины

маге мыслей –– приблизительно описывается нормальным законом
распределения с указанными параметрами.)
9.35 (Оøèáêà íà âåñàõ). Ошибка X при взвешивании на весах
продуктового магазина описывается нормальным законом распределения со средним ноль и стандартным отклонением 5 граммов.
Какова вероятность того, что погрешность взвешивания на этих весах будет в пределах трех граммов?
9.36 (Сòèïåíäèÿ). Стипендию в университете получают 5 % студентов, находящихся в верхней части рейтинга, составленного как
сумма баллов студента по всем предметам, изученным в семестре.
Средняя сумма –– 60 баллов, а стандартное отклонение –– 10 баллов.
Получит ли стипендию Максим, который по итогам сессии набрал
86 баллов? (Считайте, что рассматриваемая случайная величина ––
сумма баллов в рейтинге –– нормально распределена с указанными
параметрами.)
9.37 (Тîðãè íà áèðæå). Биржевая стоимость акции X описывается нормальным законом распределения со средним значением
20 условных единиц и дисперсией 4. Найдите вероятность следующих событий:
а) P( X < 17), б) P(15 < X < 18), в) P( X > 23).
9.38 (Яâêà íà âûáîðû). Явка на избирательный участок X описывается нормальным законом распределения со средним значением 60 % и дисперсией 100. Какова вероятность того, что а) явка
опустится ниже 45 %, б) явка окажется в промежутке от 35 до 50 %,
в) явка превысит 75 %?
9.39 (Тåñò IQ). Можно считать, что распределение результатов
теста на измерение IQ (коэффициента интеллекта) является нормальным. В большинстве современных тестов средний результат
равняется 100 баллам, а стандартное отклонение –– 15 баллам. Какой из следующих результатов является более ожидаемым (вероятным) для случайно выбранного человека: а) от 94 до 97 баллов,
б) от 121 до 139 баллов?
9.40 (Кîëåáàíèå äîõîäà). Колебание дохода на одну акцию компании описывается стандартным нормальным распределением. Чему равна дисперсия дохода 16 акций компании?
9.41 (Мåòåîñòàíöèÿ). По данным метеостанции летняя среднесуточная температура в регионе А* составляет 22◦ С, а стандартное
отклонение равно 3,4◦ С. Какова вероятность того, что в случайно
выбранный летний день эта температура составит от 28◦ С до 33◦ С?

Раздел . Непрерывные случайные величины
(Считайте, что летняя температура описывается нормальным законом распределения с указанными параметрами.) Схематично отразите искомую вероятность на графике плотности нормального распределения и на графике плотности стандартного нормального распределения.
9.42 (Пîòðåáëåíèå ìÿñà â Рîññèè). По данным исследований,
проведенных Росстатом, один человек в год потребляет мяса в среднем 72 кг мяса, дисперсия случайной величины «потребление мяса»
равна 392 кг2 . Какова вероятность того, что случайно выбранный
«в толпе» человек настолько любит мясо, что потребляет в год от 115
до 140 кг? (Считайте потребление мяса случайной величиной, имеющей нормальное распределение с указанными параметрами.) Схематично отразите искомую вероятность на графике нормального
распределения и на графике стандартного нормального распределения.
9.43 (Пðî êàíöåëÿðèþ). Продолжительность «жизни» упаковки
шариковых ручек у студента имеет нормальное распределение со
средним значением 4,8 месяцев и дисперсией 1,44. Какова вероятность того, что упаковка ручек прослужит от 1,5 до 3,4 месяцев?
Схематично отразите искомую вероятность на графике плотности
нормального распределения и на графике плотности стандартного
нормального распределения.
Раздел 
Случайная социологическая выборка и её
погрешность. Теорема Муавра––Лапласа
Социологические исследования и точность приближения
При большом числе испытаний Бернулли частота успеха близка к его вероятности. Этот результат важен для социологических
обследований, которые проводятся с различными целями. Предположим для определенности, что нас интересует, какова доля людей
в России, которые любят мягкую («слякотную») зиму, в противоположность тем, кому нравится зима с сильными морозами. Пусть
в ходе опроса респондентам был задан такой вопрос: «Какая зима
лучше? Теплая (мягкая, слякотная) или морозная (холодная)?» С нашей точки зрения упомянутая доля –– это вероятность p того, что
наудачу выбранный житель окажется человеком, который любит
мягкую зиму. Хорошо бы провести опрос среди всего населения
и узнать, скольким из них нравится мягкая зима. Но, к сожалению, это невозможно. Кроме того, люди не обязаны отвечать на
вопросы о своих предпочтениях. Вместо того чтобы опрашивать
всех, опрашивают небольшую группу людей. Эта группа называется социологической выборкой. Важно, чтобы выборка правильно
представляла всю совокупность жителей страны. Оказывается, нет
лучшего способа добиться такого сходства, чем составлять выборку
случайным образом, когда вероятность любого респондента попасть
в выборку одна и та же. Численность выборки будем обозначать
буквой n.
Если респондент предпочитает мягкую зиму, результат его опроса назовем успехом. В противном случае (когда предпочтение отдается зиме с сильными морозами) будем считать результат неудачей.
Вероятность успеха обозначим p. Безусловно, в процессе опроса вероятность несколько меняется, поскольку часть людей из выборки
уже опрошена. Но выборка настолько мала (!) по сравнению с общей численностью жителей, что эти изменения вероятности несущественны. Поэтому можно считать, что моделью социологического

Раздел . Случайная социологическая выборка и её погрешность
обследования является серия из n независимых испытаний Бернулли. Обозначим буквой S число успехов (т. е. число респондентов,
которые высказались в пользу мягкой зимы), тогда доля сторонниS
S
ков мягкой зимы в этой выборке равна . Вероятность p ≈ , если
n
n
n достаточно велико. Предположим, что мы опросили 2000 человек, выбранных случайным образом среди всех жителей в разных
регионах России, и установили, что S = 940 из них предпочитают
S
940
мягкую зиму. Тогда =
= 0,47. Нужно сказать, что 0,47 –– это
n
2000
приблизительная, только примерная вероятность того, что наудачу выбранный житель России предпочитает мягкую зиму. На основе этих результатов можно сказать, что около 47 % жителей страны предпочитают такую погоду зимой. Но нельзя так утверждать
наверняка, гарантированно. Чтобы делать выводы с определенной
долей уверенности, нужно указать возможные значения истинной
процентной доли. Для этого используют понятие точности приближения выборочной доли к истинной доле и вычисляют погрешность
социологической выборки. Поясним.
Если число испытаний Бернулли невелико (т. е. объем выборки
мал), то различие между частотой и вероятностью может быть весьма значительным. Поэтому нельзя судить о вероятности некоторого
события, проведя мало опытов. Теория вероятностей позволяет оцеS
нить точность приближения n к вероятности p. Когда мы собираS
емся использовать n вместо неизвестной вероятности p, мы хотим,
S
чтобы отклонение между ними − p было малым. Если нас устроn
ит измерение p с точностью 0,05, то такая точность достигается, если в результате серии испытаний происходит событие
S
− p ¶ 0,05.
n
Так, если вероятность этого события близка к , то мы считаем пракS
тически достоверным, что частота n отличается от p не больше чем
на 0,05. Теория вероятностей позволяет выбрать n так, чтобы вероятность события
S
− p ¶ 0,05 оказалась больше чем 0,95 или больn
ше 0,99 или другого наперед (заранее) установленного значения.
Например, при n ¾ 400 вероятность того, что
S
− p ¶ 0,05, больn
ше 0,95. Можно потребовать более точного измерения вероятности,
S
скажем, с точностью до 0,03. При n ¾ 1850 событие n − p ¶ 0,03
имеет вероятность больше, чем 0,99.
Раздел . Случайная социологическая выборка и её погрешность 
Так, возвращаясь к примеру про зиму, можно сказать, что истинная процентная доля приверженцев мягкой зимы, отличается от
47 % меньше чем на 3 % в ту или иную сторону. В отчетах о социологических опросах общественного мнения обычно сообщается
не только приближенное значение p, но также точность приближения и численность выборки. И хотя выборки бывают разными по
объему, обычная их численность не превосходит 2000 респондентов. При этом подчеркнем важную особенность выборочного метода: численность выборки, обеспечивающей нужную точность выводов, не связана с численностью обследуемой совокупности. Чтобы
пояснить, как рассчитывается точность (погрешность) социологической выборки, кратко рассмотрим теорему Муавра––Лапласа.
Теорема (Муавр––Лаплас). Пусть S –– число успехов в n испытаниях Бернулли (число n не случайное; оно не зависит от результатов испытаний). Пусть p –– вероятность успеха в одном испытании
0 < p < 1. Тогда равномерно относительно a и b, где −∞ < a < b < +∞:
€
P a¶ p
S − np
np(1 − p)
Íb z2
Š
1
¶b → p
e− 2 dz
2π
a
при n → ∞.
Теорему Муавра––Лапласа можно переформулировать, используя
функцию стандартного нормального распределения. При n → ∞ равномерно по a, b, a < b, имеет место сходимость:
€
Š
S − np
P a¶ p
¶ b → Φ(b) − Φ(a).
np(1 − p)
Для приложений теории вероятностей эта форма удобна тем, что
функция стандартного нормального распределения снабжена подробными таблицами, в которых можно найти значения Φ(b) и Φ(a).
Другими словами, нормированное число успехов S в серии из
n испытаний Бернулли с ростом n начинает вести себя как стандартная нормальная случайная величина Z ∼ N(0, 1). Теорему Муавра––Лапласа часто используют для приближенного вычисления
вероятностей событий типа (A ¶ S ¶ B) для заданного числа испытаний n и чисел A < B. Для этого событие переводят в форму
Š
€
S − np
¶ b преобразованиями, не меняющими самого соa¶ p
np(1 − p)
бытия. Из элементов неравенства (A ¶ S ¶ B) сначала вычитают
p
np (среднее, математическое ожидание S), а затем делят на npq

Раздел . Случайная социологическая выборка и её погрешность
(стандартное отклонение S). Так для исходного события получают
форму
€ A − np
S − np
B − np Š
p
.
¶p
¶ p
np(1 − p)
np(1 − p)
np(1 − p)
Если n достаточно велико, а вероятность успеха p не слишком близка к 0 или к 1, то
€ B − np Š
€ A − np Š
P(A ¶ S ¶ B) ≈ Φ p
−Φ p
.
np(1 − p)
np(1 − p)
Если вероятность успеха p нам известна, то по этой формуле вероятность события (A ¶ S ¶ B) можно приблизительно вычислить. Задачи решаются с использованием процедуры стандартизации, рассмотренной в предыдущем разделе.
Задачи для подробного разбора на семинаре
Задача  (Рàçäåë Аðêòèêè). По данным Фонда «Общественное
мнение» на  октября  г. 17 % жителей России считают, что
Арктика не должна оставаться нейтральной территорией, а должна быть разделена между государствами. Производится очередной
репрезентативный социологический опрос, в ходе которого респондентов спрашивают о том, следует ли разделить Арктику между
странами. Объем выборки 1000 человек. Используя теорему Муавра––Лапласа, найдите вероятность того, что в выборке окажется от 160 до 180 человек, которые придерживаются мнения, что
Арктика не должна оставаться нейтральной территорией, а должна
быть разделена между государствами.
Решение. Рассмотрим случайную величину S –– число человек
в случайной выборке населения России, которые придерживаются
мнения, что Арктика должна быть разделена между странами. Объем выборки n достаточно велик и равен 1000, а доля сторонников
раздела по данным предыдущего исследования равна 0,17.
Мы можем приближенно вычислить вероятность события (160 ¶
¶ S ¶ 180) для n = 1000. Таким образом мы определим, с какой вероятностью истинная доля людей, придерживающихся мнения о необходимости раздела Арктики, содержится в интервале [16 %; 18 %].
Воспользуемся теоремой Муавра––Лапласа.
. Математическое ожидание (теоретическое среднее) случайной
величины S равно E(S) = n · p = 1000 · 0,17 = 170 (человек). Это всего
лишь наиболее вероятное (правдоподобное) для нас значение S.
Раздел . Случайная социологическая выборка и её погрешность 
. Стандартное отклонение случайной величины S равно
p
p
p
p
D(S) = n · p · q = 1000 · 0,17 · 0,83 = 141,1 ≈ 12 человек.
Это характеристика изменчивости, вариативности случайной величины S.
Š
€
S−np
¶b
. Переведем событие (160¶S¶180) в форму a¶ p
np(1− p)
преобразованиями, не меняющими самого события. Из элементов
неравенства (160 ¶ S ¶ 180) сначала вычтем 170 (среднее, математическое ожидание), а затем разделим на 12 (стандартное отклонение). Так, для исходного события получим форму
€ 160 − 170
Š
S − 170
180 − 170
¶
¶
.
12
12
12
Поскольку n достаточно велико и равно 1000, а вероятность успеха
p = 0,17 не слишком близка к 0 или к 1, получим
€ 180 − 170 Š
€ 160 − 170 Š
P(160 ¶ S ¶ 180) ≈ Φ
−Φ
=
12
12
= Φ(0,83) − Φ(−0,83).
Воспользуемся специальной таблицей для стандартной нормально
распределенной случайной величины:
Φ(0,83) − Φ(−0,83) = 0,7967 − 0,2033 = 0,5934 ≈ 0,60.
Итак, мы можем утверждать, что только с вероятностью 0,6 в случайной выборке n = 1000 человек число россиян, которые полагают,
что Арктика должна быть разделена между государствами, окажется в диапазоне от 160 до 180. Это означает, что с вероятностью 0,4
это число может выйти за границы [160; 180] в ту или другую сторону.
Обратим внимание на то, что если бы мы увеличили объем выборки в два раза –– с 1000 до 2000 человек, то картина существенным образом изменилась бы. Покажем это.
Определим, с какой вероятностью истинная доля людей, придерживающихся мнения о необходимости раздела Арктики, содержится в интервале [16 %; 18 %], т. е. в выборке из 2000 человек окажется не менее 320, но и не более 360 человек, разделяющих эту точку
зрения.
. Математическое ожидание (теоретическое среднее) случайной величины S станет равным E(S) = n · p = 2000 · 0,17 = 340 (человек).

Раздел . Случайная социологическая выборка и её погрешность
отклонение
случайной
p . Стандартное
p
p величины S будет равно
p
D(S) = n · p · q = 2000 · 0,17 · 0,83 = 282,2 ≈ 17 (человек).
Š
€
S−np
¶b
. Переведем событие (320¶S¶360) в форму a¶ p
np(1− p)
преобразованиями, не меняющими самого события. Из элементов
неравенства (320 ¶ S ¶ 360) сначала вычтем 340 (математическое
ожидание), а затем разделим на 17 (стандартное отклонение). Так,
для исходного события получим форму
€ 320 − 340
Š
S − 340
360 − 340
¶
¶
.
17
17
17
Тогда
€ 320 − 340 Š
€ 360 − 340 Š
−
Φ
=
P(320 ¶ S ¶ 360) ≈ Φ
17
17
= Φ(1,18) − Φ(−1,18).
Воспользуемся специальной таблицей для стандартной нормально
распределенной случайной величины:
Φ(1,18) − Φ(−1,18) = 0,881 − 0,119 = 0,762 ≈ 0,76.
Как мы видим, вероятность аналогичного события существенным
образом увеличилась при двукратном увеличении объема социологической выборки. Итак, мы можем утверждать, что с вероятностью 0,76 в случайной выборке n = 2000 человек число россиян, которые полагают, что Арктика должна быть разделена между
государствами, окажется в диапазоне от 320 до 360. Это означает,
что лишь с вероятностью 0,24 эта процентная доля может выйти за
границы [16 %; 18 %] в ту или другую сторону.
Задача  (Оòíîøåíèå ê ãîñóäàðñòâåííûì ñèìâîëàì). По данным Всероссийского центра изучения общественного мнения на
 августа  г., отношение россиян к государственным символам
нашей страны заметно улучшилось по сравнению с  г. Согласно опросу, проведенному социологами ВЦИОМа среди 1600 жителей России, было установлено, что 67 % граждан гордятся российским флагом, а первую строчку государственного гимна смогли
вспомнить 41 % россиян. Рассчитайте, с какой вероятностью можно
утверждать, что повторный опрос по другой, аналогичной выборке
даст результаты, не более чем на 3 % отличающиеся от полученных
в исходном опросе.
Раздел . Случайная социологическая выборка и её погрешность 
Решение. Установлено по выборке, что 67 % россиян гордятся
российским флагом. Если задать погрешность на уровне 3 %, то
нужно определить вероятность, с которой можно утверждать, что
в российском социуме процентная доля граждан, испытывающих
чувство гордости за государственные символы (в частности, российский флаг) находится в интервале [64 %; 70 %], а первую строчку гимна России знают [38 %; 44 %] жителей. Выполним расчеты,
воспользовавшись теоремой Муавра––Лапласа. Пусть S1 –– число человек в случайной выборке населения России, которые гордятся
российским флагом, а S2 –– число человек в случайной выборке населения России, которые знают первую строчку государственного
гимна.
Для величины S1 :
) E(S
p
p · 0,67 = 1072 (человек);
p 1 ) = 1600
) D(S1 ) = 1600 · 0,67 · 0,33 = 353,76 ≈ 19 (человек);
) переведем событие (1024 ¶ S1 ¶ 1120) в следующую форму:
€ 1024 − 1072
Š
S − 1072
1120 − 1072
¶ 1
¶
.
19
19
19
Получим:
€ 1120 − 1072 Š
€ 1024 − 1072 Š
P(1024 ¶ S1 ¶ 1120) ≈ Φ
−Φ
=
19
19
= Φ(2,53) − Φ(−2,53).
Воспользуемся специальной таблицей для стандартной нормально
распределенной случайной величины:
Φ(2,53) − Φ(−2,53) = 0,9943 − 0,0057 = 0,9886 ≈ 0,99.
Для величины S2 :
) E(S
p · 0,41 = 656 (человек);
p
p 2 ) = 1600
) D(S2 ) = 1600 · 0,41 · 0,59 = 387,04 ≈ 20 (человек);
) переведем событие (608 ¶ S2 ¶ 704) в следующую форму:
€ 608 − 656
Š
S − 656
704 − 656
¶ 2
¶
.
20
20
20
Получим:
€ 608 − 656 Š
€ 704 − 656 Š
−Φ
= Φ(2,4) − Φ(−2,4).
P(608 ¶ S2 ¶ 704) ≈ Φ
20
20
Воспользуемся специальной таблицей для стандартной нормально
распределенной случайной величины:
Φ(2,4) − Φ(−2,4) = 0,9918 − 0,0083 = 0,9836 ≈ 0,98.

Раздел . Случайная социологическая выборка и её погрешность
Сделаем практические содержательные выводы. По данным социологического опроса, проведенного ВЦИОМ, с вероятностью 0,99
можно утверждать, что истинная процентная доля российских граждан, которых переполняет чувство гордости при виде государственного флага, содержится в интервале [64 %; 70 %]. Говоря другими
словами, с вероятностью 0,99 погрешность измеренной в ходе опроса процентной доли 67 % не превышает 3 %. Это означает, что лишь
с вероятностью 0,01 эта процентная доля может быть иной, т. е.
выходящей за границы [64 %; 70 %] в ту или другую сторону.
С вероятностью 0,98 (опираясь на те же социологические данные), можно говорить, что истинная процентная доля российских
граждан, которых знают первую строчку государственного гимна,
лежит в интервале [38 %; 44 %]. Говоря другими словами, с вероятностью 0,98 погрешность измеренной в ходе опроса процентной
доли 41 % не превышает 3 %. Это означает, что лишь с вероятностью 0,02 эта процентная доля может быть иной, т. е. выходящей за
границы [38 %; 44 %] в ту или другую сторону.
Как видим, всё это свидетельствует о том, что социологическая
выборка объема 1600 обладает очень высокой точностью.
Задачи для самостоятельного решения
10.1 (Рîññèéñêàÿ Кîíñòèòóöèÿ). Всероссийский центр изучения общественного мнения в  г. проводил опрос на тему «Российская Конституция: первые 20 лет». Согласно полученным данным, только 14 % россиян ответили, что хорошо знают основные
положения Конституции и читали её. Используя теорему Муавра––
Лапласа, найдите вероятность того, что в выборке объема 1600 человек окажется от 250 до 350 человек, которые действительно знают основной закон государства.
10.2 (Мåòðî). По данным Фонда «Общественное мнение» ( г.)
33 % москвичей утверждают, что пользуются метро ежедневно. Производится очередной репрезентативный опрос, в ходе которого респондентам задают вопрос о том, ездят ли они в метро каждый день.
Используя теорему Муавра––Лапласа, найдите вероятность того, что
в выборке объема 1000 человек окажется не более 360 респондентов, которые пользуются метро ежедневно.
10.3 (Пðîñðî÷åííûå éîãóðòû). По опыту известно, что в супермаркете N на прилавке с молочными продуктами 7 % йогуртов про-
Раздел . Случайная социологическая выборка и её погрешность 
срочены. В семье, состоящей из 6 человек, каждый на завтрак съедает один йогурт, поэтому каждую неделю семья закупает йогурты в магазине N. Какова вероятность того, что в течение осеннего
сезона (сентябрь––ноябрь) семья купит от 25 до 35 просроченных
йогуртов? За покупкой йогуртов в супермаркет всегда отправляют
младшего сына, который никогда не проверяет срок годности продуктов, поэтому иногда кто-то из членов семьи вынужден заменять
просроченный йогурт стаканом кефира.
10.4 (Тåàòðû Рîññèè). По данным министерства культуры в  г.
театры в Российской Федерации занимали 3120 помещений. Из них
2190 зданий находились в удовлетворительном состоянии; в остальных же требовалось провести капитальный ремонт. Найдите вероятность того, что при случайном осмотре 100 театральных помещений
специалисты обнаружат от 15 до 20 объектов в плохом состоянии.
10.5 (Мàëîå ÷èñëî èñïûòàíèé Бåðíóëëè-1). Пусть S –– число
успехов в n = 10 испытаниях Бернулли при p = 0,5. Вычислите точную вероятность события 2 ¶ S ¶ 8. Затем вычислите приближенную вероятность того же события, используя теорему Муавра––Лапласа. Сравните полученные результаты. Достаточно ли число испытаний n, чтобы пользоваться приближенными формулами?
10.6 (Мàëîå ÷èñëî èñïûòàíèé Бåðíóëëè-2). Решите предыду1
щую задачу при p = 3 . Ухудшилось или улучшилось согласие точных
и приближенных расчетов по сравнению с результатами задачи ?
10.7 (Сòåêëÿííàÿ ïîñóäà). В продукции компании, производящей стеклянную посуду, дефекты (царапины, небольшие сколы
и прочие повреждения) составляют 10 %. Изделия отправляются потребителям (без предварительной проверки) в коробках по 100 штук.
Найдите вероятность того, что в одной коробке не больше 20 изделий с повреждениями.
10.8 (Мîíåòà). Найдите вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз.
10.9 (Эêçàìåíû). Для поступления в университет необходимо
успешно сдать вступительный экзамен. По опыту известно, что в некотором университете N в среднем его выдерживают лишь 25 % абитуриентов. Известно, что в приемную комиссию поступило 1890 заявлений. Чему равна вероятность того, что хотя бы 500 поступающих успешно сдадут экзамен?
10.10 (Аãðîíîìèÿ). Агрокомпания провела выборочное исследование о всхожести семян моркови. Вероятность того, что семя не

Раздел . Случайная социологическая выборка и её погрешность
прорастет, оценена как 0,1. Сколько пакетов семян нужно купить,
чтобы с вероятностью 0,99 доля взошедших семян превысила 80 %?
(Примечание: в одном пакете 50 семян.)
10.11 (Гîðÿ÷åå ïèòàíèå). По данным Росстата на  год вероятность того, что школьник Российской Федерации получает горячее питание, составляет 0,84. Найдите с помощью теоремы Муавра––Лапласа вероятность того, что из 1500 случайно выбранных российских школьников от 200 до 300 не получают горячее питание.
10.12 (Оáùåñòâåííîå òåëåâèäåíèå Рîññèè). Фонд «Общественное мнение» в конце  г. адресовал жителям России такой вопрос:
« мая  года начал свое вещание новый телеканал –– Общественное телевидение России, ОТР. Вы знаете, что-то слышали или слышите сейчас об этом впервые?». В ходе этого исследования социологи
установили, что 22 % респондентов слышали о существовании такого
телеканала. Используя теорему Муавра––Лапласа, определите вероятность того, что в выборке объема 1500 человек окажется от 150
до 300 человек, которые слышали о существовании канала ОТР.
10.13 (Сïîðòèâíûå íîðìàòèâû). По опубликованным данным
Фонда «Общественное мнение», 56 % россиян уверены, что школьники должны сдавать спортивные нормативы в рамках уроков физической культуры. Используя теорему Муавра––Лапласа, найдите
вероятность того, что на общешкольном собрании, на котором будут присутствовать 900 родителей, не менее 300 и не более 400 родителей поддержат идею сдачи нормативов в школе?
10.14 (Тðèäöàòü çàäà÷). Студенту, изучающему курс теории вероятностей, было дано задание –– решить 30 задач. Исходя из опыта
написания этим студентом контрольных работ по данному предмету, вероятность решить задачу без единой ошибки равна 0,8. Какова
вероятность того, что студент решит не менее 26 задач без единой
ошибки?
10.15 (В ãîñòÿõ). Согласно одному из социологических исследований, 29 % россиян проводят отпуск в гостях у родственников или
в другом городе (населенном пункте). Чему равна вероятность того,
что в выборке объема 400 человек от 94 до 115 из них проводят
отпуск таким образом? При решении воспользуйтесь теоремой Муавра––Лапласа.
10.16 (Нîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ). По данным Фонда «Общественное мнение» на  октября  г., 86 % россиян знают или что-то
слышали о Нобелевской премии. Производится очередной репре-
Раздел . Случайная социологическая выборка и её погрешность 
зентативный опрос, в ходе которого респондентам задается вопрос
о том, знают ли они о том, что такое Нобелевская премия. Объем
выборки 1400 человек. Используя теорему Муавра––Лапласа, найдите вероятность того, что в выборке окажется менее 1200 человек,
которые знают или что-то слышали о Нобелевской премии.
10.17 (Нåîáõîäèìî «ïåðåîáóòüñÿ»). По данным Фонда «Общественное мнение» на  октября  г., 83 % россиян поддерживают инициативу законодательного закрепления за автомобилистами обязанности «переобувать» летние шины своего автомобиля на
зимние шины. Производится очередной репрезентативный опрос,
в ходе которого респондентам задается вопрос о том, поддерживают ли они инициативу законодательного закрепления обязанности
«переобуваться». Объем выборки 1200 человек. Используя теорему
Муавра––Лапласа, найдите вероятность того, что в выборке окажется от 960 до 975 человек, которые склонны считать необходимым
введение такой законодательной меры.
10.18 (Кîììóíàëüíûå ïëàòåæè). По данным Фонда «Общественное мнение» на  октября  г., 69 % россиян утверждают, что
оплачивают коммунальные платежи вовремя. Производится очередной репрезентативный опрос, в ходе которого респондентам задается вопрос о том, оплачивают ли они «коммуналку» вовремя.
Объем выборки 1500 человек. Используя теорему Муавра––Лапласа, найдите вероятность того, что в выборке окажется от 1200 до
1300 человек, которые оплачивают коммунальные платежи вовремя.
10.19 (Рîññèéñêèé ôóòáîë). В ходе телефонного опроса Фонда
«Общественное мнение»  июля  г. россиянам задали вопрос
о том, кто должен тренировать нашу сборную по футболу. Опрошено 1000 человек. Согласно полученным в ходе исследования данным, 44 % россиян придерживаются мнения, что тренировать нашу сборную должен только отечественный специалист, 50 % считают, что важна только квалификация тренера, откуда он –– неважно,
остальные затруднились с ответом на вопрос. Рассчитайте, с какой
вероятностью процентные доли, измеренные в ходе данного социологического опроса, имеют погрешность, не превышающую 2 %.
10.20 (Нàóêà è îáû÷íûå ëþäè). В ходе исследования Фонда
«Общественное мнение» (данные от  сентября  г.) социологи
обратились к россиянам с вопросами:
. Как вы думаете, для обычных людей, не ученых, важно или не
важно быть в курсе достижений современной науки?

Раздел . Случайная социологическая выборка и её погрешность
. Как вы думаете, о большинстве достижений современной науки возможно или невозможно рассказать так, чтобы их смогли понять обычные люди, не ученые?
В ходе телефонных интервью опрошено 1000 человек. Выяснилось, что 82 % россиян считают, что обычным людям важно быть
в курсе последних достижений науки. Оказалось также, что 86 %
россиян уверены, что о достижениях современной науки можно рассказывать доступно. Рассчитайте, с какой вероятностью процентные доли, измеренные в ходе данного опроса, имеют погрешность,
не превышающую 3,5 %.
10.21 (Нóæíû ëè îïðîñû). В ходе исследования Фонда «Общественное мнение» (данные от  июня  г.) социологи обратились
к россиянам с вопросом: «Сегодня довольно часто проводятся опросы населения на различные темы. Как вы думаете, нужны или не
нужны опросы общественного мнения?». В результате этого опроса
(объем выборки составил 1500 человек) были получены такие цифры: 78 % респондентов уверены, что опросы общественного мнения
нужны, 13 % респондентов считают, что не нужны, остальные затруднились ответить на поставленный вопрос. Рассчитайте, с какой
вероятностью процентные доли, измеренные в ходе данного опроса,
имеют погрешность, не превышающую 1 %.
Библиография: учебники
и задачники-референты
1. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Теория вероятностей и прикладная статистика. Ч. . М.: Юнити, .
2. Баюк О. А., Маркорян Е. Г. Математика. Теория вероятностей и дискретная математика: Элементы теории, решение задач. М.: Просвещение,
.
3. Бослаф С. Статистика для всех / Пер. с англ. П. А. Волкова, И. М. Флямер, М. В. Либерман, А. А. Галицына. М.: ДМК Пресс, .
4. Дружининская И. М., Матвеев В. Ф., Мышкис П. А. Нестандартные задачи по теории вероятностей для студентов экономических специальностей. Вып. . Учебное пособие по теории вероятностей. М.: Изд. МАКС
Пресс, .
5. Дружининская И. М., Хованская И. А., Матвеев В. Ф., Мышкис П. А. Банк
задач по теории вероятностей для студентов экономических специальностей. Вып. . Учебное пособие для Вузов. М.: Изд. МАКС Пресс, .
6. Макаров А. А., Ивин Е. А., Курбацкий А. Н. Курс теории вероятностей
в задачах и упражнениях. Учебное пособие для социально-экономических специальностей / Рук. А. А. Макаров. М.: МАКС Пресс, .
7. Макаров А. А., Тюрин Ю. Н., Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Теория вероятностей и статистика. Экспериментальное учебное пособие для ––
 классов общеобразовательных учреждений. М.: МЦНМО, .
8. Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность / Пер. с англ. М.:
МЦНМО, .
9. Пашкевич А. В. Теория вероятностей и математическая статистика для
социологов и менеджеров: учебник для студентов учреждений высшего
образования / Науч. ред. А. А. Макаров. М.: Издательский центр «Академия», .
10. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., Симонова Г. И. Теория вероятностей. Учебник для экономических и гуманитарных специальностей. М.: МЦНМО,
.
11. Ширяев А. Н., Эрлих И. Г., Яськов П. А. Вероятность в теоремах и задачах
(с доказательствами и решениями). М.: МЦНМО, .
12. Agresti A., Finlay B. Statistical Methods for the Social Sciences. th ed.
Pearson Prentice Hall, .
13. Barron’s AP Statistics / Martin Sternstein. th ed. Barron’s Educational
Series, . (Diagnostic Examination).
14. Bluman A. Probability Demystified. McGraw-Hill Professional, .
15. Hogg R. V., Tanis E. A., Zimmerman D. L. Probability and Statistical Inference.
th ed. Pearson, .

Библиография
Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы
1. Информационный портал Фонда «Общественное мнение»: http://
fom.ru/
2. Информационный портал Всероссийского центра изучения общественного мнения: http://wciom.ru/
2. Единый архив экономических и социологических данных http://
sophist.hse.ru/
4. Информационный портал Федеральной службы государственной статистики: http://gks.ru/
Домашняя работа 
Комбинаторика, классическое задание вероятности, операции
с событиями и их вероятностями, условная вероятность и независимость событий, формула полной вероятности, формула Байеса.
Вариант 
1 (Сîðåâíîâàíèÿ). На финальный тур международных соревнований по спортивной гимнастике прошли 15 спортсменок: 6 из России, 4 из США, 2 из Японии и 3 из других стран. Один из спортивных
каналов хочет взять интервью у гимнасток и случайным образом
выбирает трех, чтобы задать несколько вопросов. Какова вероятность того, что в интервью примет участие хотя бы одна российская
спортсменка?
2 (Чëåíñòâî â ïàðòèè è îòäûõ). Известно, что в некоторой деловой организации (фирме) вероятность встретить человека, хотя
бы раз побывавшего за границей, составляет 0,78. В этой же организации доля работников, которые поддерживают партию А, составляет 0,45. Считая оба этих признака независимыми, рассчитайте
вероятность того, что случайно встретившийся работник этой организации будет сторонником партии «А», ни разу не бывавшим за
границей.
3 (Иãðàëüíàÿ êîñòü). Правильную игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков в этом
случайном эксперименте меньше 8, при условии, что при первом
броске выпало не меньше 3 очков.
4 (Вîåííûå ó÷åíèÿ). На военные учения приехали 4 группы
курсантов из разных воинских частей по 120, 80, 150 и 100 человек
соответственно. Вероятность того, что стрелок из первой группы
поражает цель, равна 0,65, из второй группы –– 0,9, из третьей группы –– 0,7, из четвертой –– 0,85. Найдите, какова вероятность того,
что после первого выстрела, выполненного случайно отобранным
курсантом, мишень не будет поражена.
5 (Кîðîáêè ñ ôîòîàëüáîìàìè). После переезда в новую квартиру в многодетной семье имеются три одинаковые запечатанные
и неподписанные коробки с фотоальбомами. В первой коробке все
фотоальбомы –– с детскими фотографиями, во второй коробке доля

Домашняя работа 
фотоальбомов с детскими фотографиями равна 0,3, а в третьей коробке ровно половина фотоальбомов –– с фотографиями детей. Наудачу открыли одну из коробок, и случайно вынутый из нее фотоальбом оказался альбомом с фотографиями родителей и других родственников. Какова вероятность того, что этот фотоальбом достали:
а) из первой коробки, б) из третьей коробки?
Вариант 
1 (Кèñëûå ÿáëîêè). В вазе лежат 13 яблок: 5 кислых, остальные
сладкие. Дедушка любит кислые яблоки. Какова вероятность того,
что из четырех взятых дедушкой яблок хотя бы два кислых?
2 (Цâåò ãëàç è ñïîðò). В некоторой стране проводится исследование, в котором рассматриваются две характеристики человека ––
цвет глаз и отношение к спорту. Вероятность того, что в этой стране
у случайно выбранного в толпе человека глаза карие, равна 0,72. Вероятность того, что в этой же стране случайно выбранный в толпе
человек активно занимается спортом, составляет 0,46. Считая оба эти
признака независимыми, определите, с какой вероятностью случайно
выбранный в толпе человек имеет хотя бы один из этих признаков?
3 (Иãðàëüíàÿ êîñòü). Правильную игральную кость бросают трижды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков в этом
случайном эксперименте не более 7, если известно, что при последнем броске выпало четное количество очков.
4 (Хîðîøåå íàñòðîåíèå). В одной итальянской семье муж, наблюдая за поведением жены, заметил: если погода солнечная, то
вероятность хорошего настроения у жены равна 0,8; если погода
дождливая –– 0,6; если на улице ветер, то вероятность хорошего настроения сокращается до 0,4. Пусть по опыту метеорологических
наблюдений известно, что в итальянском городке, в котором проживает эта семья, в течение года примерно 179 дней –– солнечные,
примерно 82 дней –– дождливые, а остальные дни –– ветреные. Найдите вероятность того, что в случайно выбранный день настроение
жены будет плохим. (Считайте, что в году 365 дней.)
5 (Лåñ). Человек заблудился в лесу и вышел на полянку, откуда
вело три тропинки. Вероятность выйти из леса в течение часа по
этим тропинкам равна 0,7, 0,3 и 0,5 соответственно. Известно, что
в течение часа человек так и не вышел из леса. Найдите вероятности
того, что заблудившийся пошел:
а) второй тропинкой, б) третьей тропинкой.
Домашняя работа 

Вариант 
1 (Сòåíãàçåòà). В 5 классе из 26 школьников семеро учатся в музыкальной школе, пятеро –– в художественной, шестеро занимаются
хореографией, а остальные поют в школьном хоре. Причем таких
школьников, которые ходят на несколько кружков одновременно,
нет. Преподаватель случайным образом выбрал четырех учеников
и попросил их нарисовать стенгазету. Какова вероятность того, что
все выбранные школьники ходят в художественную школу?
2 (Аâòîìîáèëü ñ ïðîáåãîì). Семья собирается купить автомобиль с пробегом. На некотором сайте семья нашла 1000 предложений о покупке автомобиля. Из этих 1000 машин только 175 укомплектованы автоматической коробкой передач, и только в 625 из
них встроен кондиционер. Предположим, что данные признаки совершенно независимы друг от друга. Найдите вероятность того, что
случайно выбранный на этом сайте автомобиль укомплектован автоматической коробкой, но не снабжен кондиционером.
3 (Рûáàê). Рыбак Егор из города Ахтубинск вылавливает очень
большую рыбу при условии прохладной погоды с вероятностью 0,18.
Исходя из некоторых метеорологических наблюдений, Егор рассчитал, что вероятность прохладной погоды в середине сентября в Ахтубинске –– 0,6. Поутру  сентября Егор заметил, что на дворе вполне
прохладно. Какова вероятность того, что Егор выловит очень большую рыбу  сентября, если уже известно, что он обязательно отправится на рыбалку?
4 (Оäèíöîâî). В общежитии ВШЭ в Одинцово на трех этажах
некоторого блока постоянно устраивают вечеринки. Известно, что
на нижнем из этих трех этажей находится 20 квартир, на среднем ––
25 квартир, а на верхнем этаже –– 30 квартир. Согласно наблюдениям, вероятность вечеринки в любой из квартир нижнего этажа на
выходных составляет 0,10. Для среднего и верхнего этажей эти вероятности равны соответственно 0,05 и 0,12. Найдите вероятность
того, что в случайно выбранной квартире (находящейся на одном из
этих трех этажей, при этом неизвестно, на каком именно) состоится
вечеринка в ближайшие выходные.
5 (Аýðîïîðò). Из некоторого аэропорта вылетают только самолеты авиакомпаний A, В и С. Известно, что в самолетном парке
у компании А находятся в распоряжении 48 самолетов, у компании
В имеется 16 самолетов, а компания С обладает 8 воздушными судами. Самолеты компании A в среднем задерживаются при вылете

Домашняя работа 
в 20 случаях из 100, самолеты компании B –– в 10 случаях из 100,
а самолеты компании C –– лишь в 5 случаях из 100. Найдите вероятность того, что случайно выбранный самолет, рейс которого отложен: а) принадлежит компании A, б) не принадлежит компании С.
Вариант 
1 (Иññëåäîâàíèå ëåêàðñòâ). Для лечения некоторой болезни применяются пять лекарств (№ , № , № , № , № ). Врачи хотят провести сравнительное исследование трех из этих пяти лекарств. Три
исследуемых лекарства (из имеющихся пяти) врачи отбирают случайным образом. Чему равна вероятность того, что: а) лекарство
№  будет исследовано, б) будут исследованы лекарства №  и № ,
в) будет исследовано, по крайней мере одно из лекарств №  и № ?
2 (Дâå èãðàëüíûå êîñòè). Бросают две игральные кости. Чему
равна вероятность того, что на одной кости очков в два раза больше,
чем на другой?
3 (Пèêíèê). Семья из 20 человек поехала на пикник. Из них
5 промочили ноги, 8 очень сильно устали, 10 остались всем довольны, и все эти события были независимы. Какова вероятность того,
что человек с мокрыми ногами не устал? Какова вероятность того,
что уставший человек промочил ноги?
4 (Дîêëàäû). В группе учатся 10 студентов –– 6 юношей и 4 девушки. Для доклада выбрали 4 студентов. Найдите вероятность того, что среди докладчиков будет по крайней мере  девушки.
5 (Мîñêâà). По данным официальной статистики, среди населения Москвы коренных москвичей –– 29 %, иммигрантов из других регионов России –– 22 %, иммигрантов из стран Азии –– 39 %,
все остальные –– из других мест. В ходе некоторого опроса общественного мнения жителям города задавали вопрос о том, как они
относятся к планам правительства о территориальном расширении
столицы –– положительно, нейтрально или отрицательно. Из принявших участие в опросе за расширение Москвы высказались 15 %, 45 %,
13 %, 22 % респондентов соответственно, а 19 %, 32 %, 75 %, 57 %
в каждой группе равнодушно (нейтрально) относятся к этому факту.
а) Какова вероятность того, что случайно выбранный респондент отрицательно относится к расширению Москвы?
б) Если стало известно, что случайно выбранный респондент относится отрицательно к расширению Москвы, то какова тогда вероятность, что этот респондент –– коренной москвич?
Домашняя работа 
Схема испытаний Бернулли и биномиальное распределение вероятностей, дискретные случайные величины и их числовые характеристики, нормальное распределение вероятностей.
Вариант 
1 (Бàíêè ñ îãóðöàìè). По опыту замечено, что из 100 закрытых
на зиму банок с маринованными огурцами в первый месяц хранения 8 взрываются. Спустя месяц после подготовки солений на зиму из погреба наудачу (случайно) берут 5 банок с маринованными
огурцами. Какова вероятность того, что из этих банок как минимум 3 –– целые? (Считайте, что банки с соленьями взрываются независимо друг от друга.)
2 (Пðèçû). В семи попытках в ходе праздничной викторины разыгрываются призы. Вероятность выигрыша в каждой такой попытке
равна 0,4. Найдите вероятность выигрыша призов только в четырех
попытках из семи.
3 (Мåäèöèíñêîå îáîðóäîâàíèå). Проводятся пробные испытания нового медицинского диагностического оборудования, состоящего из четырех независимо работающих приборов. Вероятности
отказа каждого из этих приборов равны соответственно 0,3, 0,4, 0,2
и 0,1. Найдите закон распределения случайной величины «количество отказавших приборов», ее математическое ожидание и дисперсию.
4 (Чèñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû). Закон распределения случайной величины X задан таблицей.
X
−7
−2
1
4
5
10
P
0,15
0,25
0,1
0,05
0,2
?
Определите математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X . Найдите математическое
ожидание, дисперсию и стандартное отклонение случайной величины Y = 4X 2 + 5.

Домашняя работа 
5 (Бàëëû ЕГЭ ïî ëèòåðàòóðå). В некотором российском регионе
средний балл ЕГЭ по литературе равен 64; стандартное отклонение
равно 11. Считая распределение баллов ЕГЭ по литературе в этом
регионе нормальным, найдите вероятность того, что случайно выбранный школьник, сдававший ЕГЭ по литературе в этом регионе,
получил за него: а) от 70 до 80 баллов, б) от 50 до 60 баллов, в) от 60
до 70 баллов.
Вариант 
1 (Пîåçäêà â Бåëüãèþ). Группа студентов из 12 человек решают, поехать ли им в Бельгию. Они обладают информацией, что посольство Бельгии дает визу в 85 из 100 случаев. Студенты твердо
решили: если вероятность того, что посольство выдаст визу более
8 студентам из группы, составит более 50 %, то они будут рассматривать эту страну для путешествия. Выберут ли эти люди Бельгию
для путешествия? (Считайте, что решение посольства о выдаче визы
принимается по каждой заявке индивидуально и независимо.)
2 (Дàííûå êîìïàíèè DP). В России самый популярный цвет
легковых автомобилей –– серебристый: около 30 % всех приобретаемых машин, по данным компании DuPont (ведущий производитель
красок), имеют именно этот цвет. Какова вероятность того, что из
5 легковых машин, случайно подъезжающих на автозаправку, 2 или
3 не будут окрашены в серебристый цвет?
3 (Кíèãè). На полке лежат 7 книг: 3 по социологической теории
и 4 по истории социологии. Выбирают наудачу (случайно) 3 книги.
Найдите закон распределения числа книг по социологической теории, отобранных из числа имеющихся книг. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
4 (Чèñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû). Рассчитайте математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X , закон распределения которой задан таблицей.
X
−6
−3
1
4
6
7
9
10
P
0,02
0,05
0,19
0,25
0,21
0,18
0,06
?
Найдите математическое ожидание, дисперсию и стандартное
отклонение случайной величины B = X 2 − 8.

Домашняя работа 
5 (Вåñ êîøêè). Масса взрослых кошек хорошо описывается нормальным распределением вероятностей со средним 4,5 кг и стандартным отклонением 0,6 кг. Чему равна вероятность того, что вес
случайно выбранной взрослой кошки: а) более 4,9 кг, б) от 2,9 до
4,1 кг, в) от 3,4 до 5,1 кг?
Вариант 
1 (Сàâåëèé è ñûíîâüÿ). У Савелия 5 сыновей. Каждому из них
он решил подарить IPhone  Plus. Такие телефоны гнутся в 1 случае
из 20. Найдите вероятность того, что Савелий поедет в сервисный
центр не менее чем с двумя погнутыми аппаратами.
2 (Оïÿòü ïðî ýêçàìåíû). Вероятность того, что случайно выбранный на курсе студент сдаст экзамен по предмету А∗ , равна 0,8.
Найдите вероятность того, что в группе из 10 учащихся экзамен
сдадут не менее 7 студентов.
3 (Рàññòîÿíèÿ). Автовладельцы города Q в будний день в среднем проезжают 15 км, а в выходной –– 8 км. Если рассмотреть случайную величину «пробег в будний день», то ее стандартное отклонение равно 3, а для величины «пробег в выходной день» стандартное отклонение равно 5. Найдите математическое ожидание, стандартное отклонение и дисперсию случайной величины «пробег за
неделю». Зависит ли ответ от того, с какого дня начать отсчитывать
неделю?
4 (Чèñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû). Закон распределения дискретной случайной величины R представлен в таблице.
R
−1,5
−0,2
0
1
12
P
0,3
0,2
0,01
?
0,17
Найдите математическое ожидание, дисперсию и стандартное
отклонение случайной величины T, если T = R2 + R + 2.
5 (ЕГЭ ïî ðóññêîìó ÿçûêó). Случайная величина V , равная числу набранных баллов на ЕГЭ по математике, имеет нормальное распределение со средним 48 и стандартным отклонением 15 баллов.
Найдите вероятность того, что случайно выбранный выпускник набрал на ЕГЭ по математике: а) более 90 баллов, б) от 40 до 70 баллов, в) от 51 до 59 баллов.

Домашняя работа 
Вариант 
1 (Сòóäåíòû  ãîäà ðîæäåíèÿ). Вероятность того, что студент второго курса факультета социологии родился в  году, равна 20 %. Какова вероятность того, что в группе, состоящей из 20 человек, в  году родились: а) как минимум 3 человека; б) ровно
7 человек?
2 (Тðàíñïîðòíûå ïðîèñøåñòâèÿ). В таблице приведено распределение числа X дорожно-транспортных происшествий в течение
дня в небольшом городе.
X






P
0,1
0,2
0,45
?
0,05
0,05
а) Каково ожидаемое число ДТП в течение дня в этом городе?
б) Вычислите дисперсию и стандартное отклонение случайной
величины X .
3 (Тåñò). Некоторый человек сдает тест, в котором на каждый
вопрос предлагается выбрать один из четырех ответов. Тест состоит
из шести вопросов. Допустим, этот человек не знает материал (достоверно не знает ни одного правильного ответа) и решает отвечать
случайным образом (наугад).
а) Какова вероятность того, что человек правильно ответит не
более чем на два вопроса? б) Какова вероятность того, что человек
ни на один вопрос не ответит правильно? в) Чему равно математическое ожидание и стандартное отклонение количества правильных
ответов в тесте в такой ситуации, когда тестируемый отвечает наугад?
4 (Чèñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû). Закон распределения случайной величины X задан таблицей.
X
−6
−2
−1
0
2
3
P
0,10
0,05
0,20
?
0,15
0,10
Определите математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X . Найдите математическое
ожидание, дисперсию и стандартное отклонение случайной величины Y = 5X 2 − 4.
Домашняя работа 

5 (Вûðó÷êà òîðãîâîãî öåíòðà). Ежедневная выручка торгового центра по будням имеет нормальное распределение со средним
значением 2 500 000 руб. и стандартным отклонением 200 000 руб.
Найдите вероятность того, что: а) выручка превысит 3 000 000 руб.;
б) выручка опустится ниже 2 000 000 руб.; в) выручка окажется между 2 400 000 и 2 600 000 руб.
Микроконтрольная работа
Комбинаторика и классическое задание вероятности, формула
Байеса, испытания Бернулли и биномиальное распределение вероятностей, числовые характеристики дискретной случайной величины.
Вариант 
1 ( áàëëà). В классе учатся 22 ученика: 15 девочек, остальные ––
мальчики. Решено при помощи жребия распределить среди учеников
5 билетов на туристическую поездку на озеро Байкал. Какова вероятность того, что билеты достанутся 3 мальчикам и 2 девочкам?
2 ( áàëëà). Спортивная команда из 30 стрелков включает 12 человек, попадающих в цель с вероятностью 0,6, и 9 человек, попадающих в цель с вероятностью 0,5. Остальные попадают в цель с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, не
поразив цель. Какова вероятность того, что этот спортсмен поражает цель с вероятностью 0,7?
3 ( áàëëà). По результатам некоторого исследования, проведенного в российских регионах, 60 % родителей старшеклассников
хотели бы, чтобы их ребенок после окончания школы продолжил
обучение в Москве или Санкт-Петербурге. Найдите вероятность того, что среди пяти случайно выбранных респондентов (родителей)
хотя бы три окажутся против такой стратегии обучения.
4 ( áàëëà). Исследователи, изучающие трудовую занятость населения в возрасте до 25 лет, в ходе опроса выяснили, как часто
(сколько раз) респондентам приходилось менять работу. Число таких ситуаций –– случайная величина X , закон распределения которой задан таблицей.
X
0
1
2
3
P
?
0,3
0,4
0,2
Найдите:
а) среднее значение случайной величины X ,
б) дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X .
Микроконтрольная работа

Вариант 
5 ( áàëëà). В вазе вперемешку стоят 3 желтых, 5 белых и 7 красных тюльпанов. Наудачу (случайно) из вазы взяли пять цветков. Какова вероятность, что они одного цвета?
6 ( áàëëà). Экспедиция пройдет перевал в горах при хорошей погоде с вероятностью 0,9, при ветреной погоде –– с вероятностью 0,7
и с вероятностью 0,3 при буране. После выхода на маршрут радист
получил сведения, что с вероятностью 0,2 погода будет хорошей,
с вероятностью 0,5 погода ожидается ветреной и с вероятностью 0,3
случится буран. Через некоторое время стало известно, что экспедиция не прошла перевал. Какова вероятность того, что погода была
ветреной?
7 ( áàëëà). Вероятность получить за некоторый курс по математике отличную отметку составляет 0,3. Какова вероятность того,
что среди семи случайно выбранных студентов более четырех не будут иметь за этот курс отличную оценку?
8 ( áàëëà). В ходе мониторинга преподавательской жизни, ежегодно проводимого администрацией университета, было зафиксировано, сколько международных конференций посещали преподаватели в течение минувшего учебного года. Распределение этой случайной величины X задано в таблице.
X
0
1
2
3
P
0,1
?
0,2
0,6
Найдите:
а) среднее значение случайной величины X ,
б) дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X .
Вариант 
9 ( áàëëà). На родительском собрании присутствует 18 человек, среди которых 15 имеют высшее образование. Какова вероятность того, что при случайном выборе четырех человек в родительских комитет, в него войдет ровно два родителя без высшего
образования и два родителя с высшим образованием?
10 ( áàëëà). В мире насчитывается 63 % стран, в которых политический режим обозначен как «демократия». Выбранная в ходе исследования научная модель измерения (определения) типа политического режима (демократия –– недемократия) несовершенна:

Микроконтрольная работа
она правильно классифицирует государства (т. е. относит демократии к демократиям, а автократии к недемократиям) в 80 % случаев.
Так, научная модель определила (классифицировала) некоторое государство как демократию. Какова в этом случае вероятность того,
что это действительно демократия?
11 ( áàëëà). По данным исследований некоторой страховой компании известно, что 30 % автомобилистов из числа тех, кто является
«дерзкими на дорогах» (т. е. сильно рискуют), в течение года попадают в крупные ДТП. Найдите вероятность того, что из 8 выбранных
наугад автомобилистов из числа «дерзких на дорогах», в течение
года в крупное ДТП попадут только 2 или 3 человека.
12 ( áàëëà). В конце учебного года в ходе небольшого исследования преподаватели поинтересовались у студентов, сколько раз они
в итоге переписывали (исправляли) литературный обзор к курсовой
работе. Закон распределения числа переписываний X задан таблицей.
X
0
1
2
3
P
?
0,1
0,1
0,8
Найдите:
а) среднее значение случайной величины X ,
б) дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X .
Экзаменационная работа
Вариант 
1 ( áàëëà). На двери два замка. Вероятность того, что первый замок закрыт, равна 0,9. Вероятность того, что второй замок закрыт,
равна 0,8. Вероятность того, что оба замка закрыты, равна 0,72. Найдите вероятность того, что закрыт хотя бы один замок.
2 ( áàëëà). После прогулки в осеннем парке семья принесла
домой корзину, в которой лежат кленовые листья разных цветов ––
10 желтых, 12 зеленых и 5 пурпурных. Наудачу (случайно) вынимаются 3 листа. Какова вероятность того, что все они не желтого
цвета?
3 ( áàëëà). Правильный игральный кубик кидают 2 раза. Событие A состоит в том, что во второй раз выпало строго больше трех
очков. Событие B состоит в том, что в сумме выпало не менее 8 очков. Найдите условную вероятность P(A|B). Проверьте, являются ли
события A и B независимыми.
4 ( áàëëà). В течение месяца состоится 25 судебных разбирательств. В суде А будет рассмотрено 15 дел (по многолетнему опыту
известно, что в этом суде вероятность вынести верный приговор составляет 0,80), а в суде Б –– 10 дел (по опыту известно, что в этом суде вероятность вынести безошибочный приговор составляет 0,95).
Какова вероятность того, что по итогам очередного судебного процесса будет вынесен ошибочный приговор?
5 ( áàëëà). У завода промышленных тракторов А∗ есть два литейных цеха. Вероятность производственной аварии в первом из
них равна 0,1. Вероятность производственной аварии на втором из
них равна 0,15. Аварии происходят независимо друг от друга. По
многолетнему опыту известно, что в течение месяца в каждом цехе
может произойти не более одной аварии. Рассмотрите случайную
величину X –– «общее количество производственных аварий в обоих
литейных цехах в течение месяца». Найдите: ) закон распределения случайной величины X , б) математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение этой случайной величины. (Единицы
измерения при расчетах подписывайте.)
6 ( áàëëà). По данным репрезентативного опроса общественного мнения, 65 % жителей России в школьные годы с интересом

Экзаменационная работа
изучали предмет «Русский язык». В ходе того же исследования респондентам был задан еще такой вопрос: «Раздражают ли Вас речевые ошибки, услышанные в СМИ или в момент общения с окружающими?». Среди тех, кому в школьные годы нравились уроки русского языка, доля людей, испытывающих раздражение от подобного
рода ошибок, составляет 0,35. Среди тех, кто в школьные годы без
интереса относился к занятиям по русскому языку, эта цифра равна 0,13. Допустим, что человек, которого вы случайно встретили «в
толпе», на словосочетание «одеть свитер» отреагировал спокойно,
без раздражения. Какова вероятность того, что в прошлом он, учась
в школе, с интересом относился к урокам русского языка?
7 ( áàëëà). К восхождению на вершину горы независимо друг
от друга приступили пять групп (экспедиций). Исходя из данных за
последний десяток лет, было зафиксировано, что вероятность удачного восхождения составляет 0,2. Найдите вероятность того, что на
вершину горы поднимутся не менее трех групп.
8 ( áàëëà). Случайные величины X и Y независимы. Математическое ожидание случайной величины X равно −13, а стандартное
отклонение равно 4, математическое ожидание случайной величины Y равно 8, а стандартное отклонение равно 3. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Q = −6X −
− 7Y + 12.
9 ( áàëëà). Для стандартной нормально распределенной случайной величины Z найти вероятность P(−0,59 < Z < 2,11).
10 ( áàëëà). Случайная величина X –– масса шоколадки в граммах. Её математическое ожидание равно 50, а дисперсия 1,2 (для
некоторой партии). Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y –– массы шоколадки в унциях (1 унция =
= 31 г).
11 ( áàëëà). По данным метеостанции, осенняя среднесуточная температура в регионе А* составляет +9◦ С, а дисперсия равна 16,81. Какова вероятность того, что в случайно выбранный осенний день эта температура составит не менее +1◦ С, но и не более
+11◦ С (если считать, что температура описывается нормальным
законом распределения с указанными параметрами)? Схематично
отразите искомую вероятность на графике нормального распределения и на графике стандартного нормального распределения.
12 ( áàëëà). По данным Фонда «Общественное мнение» на  октября  г., 40 % россиян поддерживают представление о высо-
Экзаменационная работа

ком уровне квалификации врачей. Производится очередной репрезентативный опрос, в ходе которого респондентам задается вопрос
о том, какого мнения о квалификации врачей они придерживаются. Объем выборки 1500 человек. Используя теорему Муавра––
Лапласа, найдите вероятность того, что в выборке окажется от 550
до 590 человек, которые поддерживают представление о высоком
уровне квалификации врачей. Вычисления производите с точностью до второго знака после запятой.
Вариант 
1 ( áàëëà). У фирмы с таксопарком имеется два автобуса. Клиент хочет срочно заказать один автобус. Вероятность того, что в этот
момент первый автобус свободен, равна 0,6. Такова же вероятность,
что свободен второй автобус. Вероятность того, что свободны оба
автобуса, равна 0,36. Найдите вероятность того, что в момент заказа свободен только один из автобусов.
2 ( áàëëà). В питомнике по защите бездомных животных в коробке спят 9 котят –– 4 серых, 1 белый, 3 черных и 1 рыжий. Наудачу
(случайно) из коробки вынимаются три из них. Какова вероятность
того, что ими окажутся котята одного цвета?
3 ( áàëëà). Правильный игральный кубик кидают 2 раза. Событие A состоит в том, что во второй раз выпала двойка. Событие B состоит в том, что в сумме выпало не более 7 очков. Найдите
условную вероятность P(A|B). Проверьте, являются ли события A
и B независимыми.
4 ( áàëëà). Студент университета живет в общежитии в г. Одинцово (Московская область) и каждый день добирается до университета на электричке. Всего существует 4 ж/д станции с выходом
в метро: Кунцево, Фили, Беговая и Белорусский вокзал. Каждый день
студент выбирает станцию пересадки по настроению: как правило,
в 20 % случаев он выходит на Кунцево, в 10 % –– на Филях, в 30 % –– на
Беговой и во всех остальных случаях –– на Белорусском вокзале. По
опыту поездок уже подмечены следующие закономерности: выбрав
Кунцево или Фили, студент лишь в 30 % случаев приезжает в университет вовремя, выбрав Беговую –– в 60 %, Белорусский вокзал ––
в 90 %. Какова вероятность прийти на занятия без опоздания?
5 ( áàëëà). У торговой компании N* есть два новых ювелирных
магазина, расположенных в разных городах. Вероятность того, что

Экзаменационная работа
по итогам месяца работы минимальная выручка первого магазина составит 5000 у. е., равна 0,4, в остальных случаях (с вероятностью 0,6) она равна 0 у. е. Вероятности аналогичных событий для
второго магазина равны 0,7 и 0,3 соответственно. Магазины работают независимо друг от друга: коммерческий результат одного не
влияет на коммерческий результат другого. Рассмотрите случайную
величину X –– «Минимальный общий размер выручки в обоих магазинах по итогам месяца работы». Найдите: а) закон распределения
случайной величины X , б) математическое ожидание, дисперсию
и стандартное отклонение этой случайной величины. (Единицы измерения при расчетах параметров подписывайте.)
6 ( áàëëà). Следователь по материалам предварительного следствия с вероятностью 0,8 подозревает некого человека в совершении преступления и требует его ареста. Известно, что вероятность
обнаружения алиби у совершившего преступление равна 0,1 (надо
помнить, что преступники иногда специально организуют фальшивые алиби, но их фальшивость не всегда сразу очевидна). Вероятность обнаружить алиби у невиновного равна 0,95. В ходе дополнительного следствия было установлено, что у подозреваемого есть
алиби. Как должна измениться вероятность того, что подозреваемый не совершал преступление, в котором его обвиняют?
7 ( áàëëà). С вероятностью 0,9 преподаватель обнаруживает
арифметические ошибки в студенческой контрольной работе по
высшей математике. Проверяется 4 работы. Найдите вероятность
того, что арифметические ошибки не будут найдены более чем в половине проверенных работ.
8 ( áàëëà). Случайные величины X и Y независимы. Математическое ожидание случайной величины X равно −8, а стандартное
отклонение равно 6, математическое ожидание случайной величины Y равно 7, а стандартное отклонение равно 2. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины L = −3X +
+ 5Y − 9.
9 ( áàëëà). Для стандартной нормально распределенной случайной величины Z найдите вероятность P(−1,16 < Z < −1,03).
10 ( áàëëà). Цена акции компании является случайной величиной с математическим ожиданием 25 долларов и стандартным
отклонением 4 доллара. По нынешнему курсу валют 1 доллар примерно равен 40 рублям. Чему равны среднее и дисперсия 10 акций
компании в рублях?
Экзаменационная работа

11 ( áàëëà). По данным экономико-социологических исследований, проведенных Росстатом в прошлом году, один житель России
потребляет в течение года в среднем 68 кг мяса, дисперсия случайной величины «потребление мяса» равна 324 кг2 . Какова вероятность того, что случайно выбранный «в толпе» человек настолько
не любит мясо, что потребляет в год от 30 до 36 кг? (Считайте потребление мяса одним человеком случайной величиной, имеющей
нормальное распределение с указанными параметрами.) Схематично отразите искомую вероятность на графике нормального распределения и на графике стандартного нормального распределения.
12 ( áàëëà). По данным Фонда «Общественное мнение» на  октября  г., 54 % россиян убеждены, что профессия учителя сегодня пользуется уважением в обществе. Производится очередной
репрезентативный опрос, в ходе которого респондентам задается
вопрос о том, считают ли они, что профессия учителя пользуется
уважением. Объем выборки 1500 человек. Используя теорему Муавра––Лапласа, найдите вероятность того, что в выборке окажется
от 840 до 900 человек, которые считают профессию учителя уважаемой в современном российском обществе. Вычисления производите
с точностью до второго знака после запятой.
Вариант 
1 ( áàëëà). Клиент хочет записаться на обслуживание в автосервис в один из двух дней –– субботу или воскресенье. Вероятность
того, что в субботу автосервис сможет принять клиента, равна 0,8.
Вероятность того, что автосервис сможет принять клиента в воскресенье, равна 0,9. Вероятность того, что автосервис сможет принять
клиента в любой из дней, равна 0,72. Найдите вероятность того, что
сервис не сможет принять клиента ни в один из выходных.
2 ( áàëëà). В антикварной коллекции среди 11 фотокарточек
есть четыре фотокарточки знаменитого артиста. Взяли наудачу (случайно) три фотокарточки. Какова вероятность того, что среди них
есть хотя бы одна фотокарточка знаменитого артиста?
3 ( áàëëà). Правильный игральный кубик кидают 2 раза. Событие A состоит в том, что во второй раз выпала тройка. Событие B состоит в том, что в сумме выпало не менее 7 очков. Найдите
условную вероятность P(B|A). Проверьте, являются ли события A
и B независимыми.

Экзаменационная работа
4 ( áàëëà). Строительная корпорация обучает своих сотрудников в трёх учебных центрах. По причине экономии средств она
посылает сотрудников только на какой-то один из трех курсов повышения квалификации: 20 % работников на курсы финансового
менеджмента (ФМ), 35 % –– на курсы транспортной логистики (ТЛ),
45 % –– на курсы архитектуры и градостроения (АГ). Обычно 80 %
сотрудников, посещающих курсы ФМ, успешно сдают экзамен. Курсы по ТЛ, как правило, успешно сдают 75 % слушателей, а экзамен
по АГ успешно выполняют 60 % сотрудников. Найдите вероятность
того, что выбранный наудачу (случайно) сотрудник компании не
сдаст экзамен по итогам корпоративного обучения?
5 ( áàëëà). Студент Арсений на некоторое время одолжил две
книги своим друзьям –– одну книгу отдал Ивану, вторую –– Стасу.
Каждый из друзей дал обещание, что вернет книгу вовремя. Вероятность того, что Иван сдержит обещание, равна 0,8. Вероятность аналогичного поступка для Стаса равна 0,6. Каждый из друзей независимо друг от друга принимает решение о том, вернуть
книгу вовремя или же повременить. Рассмотрите случайную величину X –– «количество книг, которые будут возвращены Арсению
в обещанный срок». Найдите: ) закон распределения случайной
величины X , б) математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение этой случайной величины. (Единицы измерения при
расчетах параметров подписывайте.)
6 ( áàëëà). В ходе репрезентативного опроса студентов, проведенного в рамках исследования «Мониторинг студенческой жизни»,
оказалось, что 210 человек добираются до своего вуза на метро,
50 –– на наземном общественном транспорте, 10 –– на автомобилях.
При этом вероятность того, что студент, пользующийся метро, доволен своей дорогой до университета, равна 0,3. Аналогичные вероятности для тех, кто едет в университет на наземном общественном
транспорте и на автомобилях, равны 0,5 и 0,6 соответственно. Какова вероятность того, что студент приезжает в институт на автомобиле, если известно, что он не доволен своей дорогой до университета?
7 ( áàëëà). Садоводами подмечено, что луковица королевской
лилии приживается в открытом грунте с вероятностью 0,6. Определите, чему равна вероятность того, что из шести высаженных луковиц приживется не более четырех.
8 ( áàëëà). Случайные величины X и Y независимы. Математическое ожидание случайной величины X равно 11, а стандартное от-
Экзаменационная работа

клонение равно 7, математическое ожидание случайной величины Y
равно −4, а стандартное отклонение равно 6. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины D = 10X − 6Y + 3.
9 ( áàëëà). Для стандартной нормально распределенной случайной величины Z найти вероятность P(−2,18 < Z < 0,25).
10 ( áàëëà). Рост человека, выраженный в сантиметрах, –– случайная величина. Для некоторой совокупности людей известно, что
математическое ожидание этой случайной величины равно 172,
а дисперсия 36. Найдите математическое ожидание и дисперсию
роста этой же совокупности людей, если выразить рост в дюймах
(1 дюйм = 2,54 см).
11 ( áàëëà). Специальный аппарат разливает йогурты по баночкам с некоторой погрешностью. Массы в граммах этих баночек
с йогуртами имеют нормальное распределение. Средняя масса йогурта в баночке равна 115, а дисперсия 9. Какова вероятность того,
что покупая в супермаркете баночку этого йогурта, человек приобретет йогурт, масса которого будет не менее 113 г? Схематично
отразите искомую вероятность на графике нормального распределения и на графике стандартного нормального распределения.
12 ( áàëëà). По данным Фонда «Общественное мнение» на  октября  г., 64 % россиян читают бумажные газеты и журналы.
Производится очередной репрезентативный опрос, в ходе которого
респондентам задается вопрос о том, читают ли они бумажные газеты и журналы. Объем выборки 1200 человек. Используя теорему
Муавра––Лапласа, найдите вероятность того, что в выборке окажется от 710 до 770 человек, которые читают бумажные СМИ. Вычисления производите с точностью до второго знака после запятой.
Вариант 
1 ( áàëëà). Для новогоднего праздника руководство фирмы хочет заказать зал на вечер  декабря в одном из двух ресторанов:
«Поляна» или «Лагуна». Каждый зал свободен с вероятностью 0,4,
а с вероятностью 0,6 уже занят. Оба зала свободны с вероятностью 0,16. Найдите вероятность того, что окажется свободен только
один из залов (а другой уже занят).
2 ( áàëëà). На международную конференцию по современным
проблемам транспорта приехали 14 ученых с мировым именем,
семь из которых летели самолетом, трое приехали поездом, осталь-

Экзаменационная работа
ные добирались на личном автомобиле. В первый день конференции для беседы с журналистами пригласили четырех экспертов,
выбрав их случайным образом. Какова вероятность того, что ими
окажутся ученые, которые добирались одним видом транспорта?
3 ( áàëëà). Правильный игральный кубик кидают 2 раза. Событие A состоит в том, что в первый раз выпало не более трех очков.
Событие B состоит в том, что в сумме выпало не более пяти очков.
Найдите условную вероятность P(A|B). Проверьте, являются ли события A и B независимыми.
4 ( áàëëà). Вероятность того, что женщина на выборах проголосует за определенную партию, равна 0,7. Вероятность того, что
за эту же партию проголосует мужчина, –– 0,5. Доля женщин среди
приходящих на выборы составляет 60 %. На какой процент голосов
избирателей претендует данная партия?
5 ( áàëëà). Компания M*, владеющая двумя кинотеатрами, которые расположены в двух разных городах, начала премьеру нового фильма. По оценкам экспертов, вероятность того, что по итогам
показа минимальные кассовые сборы в первом кинотеатре составят
2000 у. е., равна 0,7, а 0 у. е. –– 0,3. Вероятности аналогичных событий для второго кинотеатра равны 0,9 и 0,1 соответственно. Кинотеатры работают независимо друг от друга: коммерческий результат одного не определяет коммерческий результат другого. Рассмотрите случайную величину X –– «Минимальный общий размер кассовых сборов в обоих кинотеатрах по итогам показа этого фильма».
Найдите: а) закон распределения случайной величины X , б) математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение этой
случайной величины. (Единицы измерения при расчетах параметров подписывайте.)
6 ( áàëëà). Витрина магазина женской одежды оформлена таким образом, что вероятность зайти в такой магазин для молодой
женщины равна 0,1, для женщины среднего возраста –– 0,4, а для
женщины старшего возраста –– 0,5. В то же время вероятность совершить покупку для зашедшей в магазин молодой женщины равна 0,2, для женщины среднего возраста –– 0,4, для женщины старшего возраста –– 0,7. В магазин зашла женщина. Какова вероятность
того, что посетителем оказалась женщина средних лет, если известно, что она не совершила покупку?
7 ( áàëëà). Одно всероссийское исследование показало, что 1600
граждан из 4000 опрошенных отказываются участвовать в теле-
Экзаменационная работа

фонных опросах, остальные соглашаются. Вы планируете провести
опрос и случайно отобрали 7 граждан, которым предложили принять участие в телефонном опросе. Определите вероятность того,
что из них четыре или пять человек откажутся участвовать.
8 ( áàëëà). Случайные величины X и Y независимы. Математическое ожидание случайной величины X равно −4, а стандартное
отклонение равно 9, математическое ожидание случайной величины Y равно −8, а стандартное отклонение равно 1. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины F = −9X −
− 2Y − 30.
9 ( áàëëà). Для стандартной нормально распределенной случайной величины Z найдите вероятность P(0,38 < Z < 5,19).
10 ( áàëëà). В ходе анкетирования родителей школьников начальных классов в одной из подмосковных школ респондентам задали вопрос: «Сколько часов Вы проводите со своим ребенком в выходные дни?» Была рассмотрена случайная величина X –– количество часов, которое родители проводят со своим ребенком за один
уикенд. Было выявлено, что среднее значение этой величины равно
5,4, а стандартное отклонение 1,2 часов. Найдите среднее значение и дисперсию случайной величины Y –– количество часов, которое родители проводят со своим ребенком за 4 уикенда.
11 ( áàëëà). Продолжительность «жизни» упаковки шариковых
ручек в месяцах у студента имеет нормальное распределение со
средним значением 3,5 и дисперсией 1,21. Какова вероятность того,
что у случайно выбранного в университете студента упаковка ручек
прослужит от 2,0 до 4,3 месяцев? Схематично отразите искомую вероятность на графике плотности нормального распределения и на
графике плотности стандартного нормального распределения.
12 ( áàëëà). По данным Фонда «Общественное мнение» на  октября  г., 58 % россиян сказали, что не следят за изменениями
курса рубля на валютной бирже. Производится очередной репрезентативный опрос, в ходе которого респондентам задается вопрос
о том, следят ли они за курсом национальной валюты. Объем выборки 1100 человек. Используя теорему Муавра––Лапласа, найдите
вероятность того, что в выборке окажется от 600 до 620 человек,
которые не следят за курсом рубля. Вычисления производите с точностью до второго знака после запятой.
Ответы к задачам
для самостоятельного решения
Раздел 
10
1.1. 132. 1.2. 4 = 1048576. 1.3. 510 = 9 765 625. 1.4. а) 12; б) 12.
33!
= 21531121920 1.7. 42. 1.8. 212 = 4096.
1.5. 4! = 24. 1.6.
26!
1.9. 126.
1.10. а) ; б) ; в) ; г) Если сложить число способов выбрать четырех
черных ворон и четырех ворон, среди которых есть белая, то получится
общее число способов выбрать четырех ворон. Поэтому сумма двух первых
чисел (10 + 5) равна третьему (15).
14
15
15
1.11. а) C19
= 11628; б) C19
= 3876; в) C20
= 15504.
1.12. а) 37 = 2187; б) 77 = 823543; в) n7 .
1.15. а) 6; б) 10; в) 15; г) 36; д)
1.18. 210. 1.19. 11 880.
1.13.
n(n − 1)
.
2
n7 − n
.
7
1.16. 48. 1.17. а) 56; б) 336.
Раздел 
2.1. ≈ 0,28. 2.2. 0,8.
1
2.3. .
9
2.4. 120. 2.5. 210 = 1024.
4
= 0,25.
16
1
2.10.
.
120
9
6
10
6
9
10
2.6. C25
· C25−6
· C25−6−9
= C25
· C19
· C10
= 16360143800. 2.7.
2.8.
C62 · C51 + C63 · C50
2.11.
2.13.
2.15.
2.17.
2.18.
3
C11
=
95
≈ 0,576.
165
7! · 11!
1
=
≈ 0.
18!
31824
2.9.
1
≈ 0.
13983816
3
5
C10
· C10
≈ 0,24.
8
C20
4
4
7
1
C96 · C87
C7 · C4
C7 · C4
672
≈
0,024;
б)
≈
0,21.
2.14.
а)
8
8
13 = 2380 ≈ 0,28.
C11
C11
C17
C62 · C53
C52 · C30 · C40
150
10
=
=
≈
0,075.
2.16.
≈ 0,15.
5
2
2002
66
C14
C12
3
2
C10
+ C53 + C33
C10
· C51
225
131
≈ 0,276; б)
≈ 0,16.
а)
=
=
3
3
816
816
C18
C18
C42 · C21
C72 · C53
10
210
≈ 0,265. 2.20.
≈ 0,046.
≈ 0,21. 2.19.
=
5
3
792
216
C8
C12
2.12.
6
1
15
5
24 2
= ; б)
= ; в)
= .
36 6
36 12
36 3
2
1
+ C55 · C11
C54 · C11
286
=
2.22.
≈ 0,036.
6
8008
C16
7
1
8
0
· C10
+ C10
· C10
C10
1245
2.21. а)
2.23.
8
C20
=
125970
≈ 0,0099 ≈ 0,01.
Ответы к задачам для самостоятельного решения
2.24.
24
= 0,375.
64

2.25. . ≈ 0,27.
2.26. а) ≈ 0,045 (так как
C32 · C32 · C41
5
C12
=
369 369
36
); б) ≈ 0,745 (так как 4 =
).
792
495
C12
2
2.27. 220. 2.28. 210. 2.29. 151 200 (так как C10
· C71 · C52 · C81 · C42 ).
2.30. 604 800 (так как 5! · 7!). 2.31. 675. 2.32. 40 320.
2.33. ≈ 0,221. 2.34. а)
2.35. 1771.
3
C12
· C91
4
C21
C94
1980
126
≈ 0,331; б) 4 =
≈ 0,021.
5985
5985
C21
=
2.36. 324 (так как 1 · 4 · 34 ).
1
C42 · C16
=
2.37. а)
3
C20
2
1
3
0
C3 · C17 + C3 · C17
в)
3
C20
C3
96
286
≈ 0,084; б) 13
3 = 1140 ≈ 0,25;
1140
C20
=
52
≈ 0,046.
1140
2.38. 64.
Раздел 
3.1. а) 0,9975; б) 0,0025; в) 0,9025; г) 0,095. 3.2. 0,75.
3.3. а) 0,73 = 0,343; б) 0,441. 3.4. 0,82. 3.5. 1 − 0,93 = 0,271.
3.6. а) 10−10 ; б) 10−5; в) Вероятность P(B|A) больше, чем вероятность P(A ∩ B)
в 105 раз.
3.7. 0,504. 3.8. 0,8.
3.9. а) ≈ 0,96; б) ≈ 0,44; в) ≈ 0,04; г) 0,52. (где первый признак –– «у человека есть сотовый телефон», а второй признак –– «человек не курит»).
3.10. 0,94. 3.11. а) ≈ 0,78; б) ≈ 0,15. 3.12. а) 0,50; б) 0,80; в) 0,20.
3.13. 0,54. 3.14. 0,82; 0,12. 3.15. 0,25. 3.16. 0,7.
3.17. а) ≈ 0,16 (так как
76
291
); б) ≈ 0,41 (так как
).
489
704
3.18. 0,15. 3.19. ≈ 0,022. 3.20. 0,94; 0,06; 3.21. а) 0,56; б) 0,12; в) 0,68.
1
3.22. 0,08. 3.23. 0,88. 3.24. 0,02. 3.25.
.
36
3.26. 0,64. 3.27. 0,7; 0,3.
9
1 10
6
=
· .
36 2 36
5
1 6
3.29. События зависимы, так как P(AB) 6= P(A) · P(B), а именно:
6
=
· .
36 3 36
1
3.30. а) P(B|A) = . б) P(A|B) = 0,3. в) События зависимы, так как P(B|A) 6=
2
1 10
6= P(B), а именно: 6= .
2 36
3.28. События зависимы, так как P(AB) 6= P(A) · P(B), а именно:
3.31. 0,2952. 3.32. а) 0,47; б) нет не являются, так как 0,3 · 0,3 6= 0,13.
3.33. 0,812. 3.34. 0,96. 3.35.
3
.
7
3.36. а) 0,24; б) 0,936. 3.37. ≈ 0,36.
Раздел 
4.1. 0,028. 4.2. 0,38. 4.3. ≈ 0,981. 4.4. ≈ 0,441. 4.5. 26 %. 4.6. 0,75.
4.7. 58 %. 4.8. а) 0,79; б) 0,43. 4.9. ≈ 0,846. 4.10. а) 0,38; б) 0,62.

4.11.
4.14.
4.17.
4.19.
4.21.
4.24.
4.29.
Ответы к задачам для самостоятельного решения
≈ 0,67. 4.12. 0,2. 4.13. а) 0,78; б) ≈ 0,182.
а) 0,14; б) ≈ 0,857. 4.15. ≈ 0,355. 4.16. а) ≈ 0,892; б) ≈ 0,108.
а) ≈ 0,015; б) 0,2; 0,2; 0,6. 4.18. а) ≈ 0,693; б) ≈ 0,285.
а) 0,939; б) ≈ 0,197. 4.20. а) ≈ 0,807; б) ≈ 0,664.
а) ≈ 0,195; б) ≈ 0,512; в) ≈ 0,293. 4.22. 0,31. 4.23. ≈ 0,115.
≈ 0,369. 4.25. ≈ 0,962. 4.26. ≈ 0,390. 4.27. 0,76. 4.28. ≈ 0,706.
а) ≈ 0,079; б) ≈ 0,530. 4.30. ≈ 0,788. 4.31. ≈ .0,679.
244
533
); б) ≈ 0,862 (так как
); в) ≈ .0,112 (так как
618
618
244
379
69
); г) ≈ 0,850 (так как
); д) ≈ 0,865 (так как
).
618
287
438
4.32. а) ≈ 0,395 (так как
4.33. ≈ 0,574. 4.34. а) ≈ 0,701; б) ≈ 0,322; в) ≈ 0,185.
4.35. а) ≈ 0,128; б) ≈ 0,217. 4.36. ≈ 0,511. 4.37. ≈ 0,633. 4.38. 0,68.
4.39.
2
.
3
4.40. 0,38. 4.41. 0,35. 4.42. 0,48.
Раздел 
5.1. ≈ 0,017. 5.2. ≈ 0,265.
€ 3 Š27
1
1 € 3 Š29
1
1
≈ 0,016; в) ·
5.3. а) ; б)
≈ 0,00006; г) ( )3 ·
≈ 0,000007.
4
64
4 4
4
4
5.4. ≈ 0,997.
Число успехов
 
5.5. Число благоприятствующих
элементарных событий





 
     

5.6. ≈ 0,737. 5.7. ≈ 0,892. 5.8. ≈ 0,647. 5.9. ≈ 0,596. 5.10. ≈ 0,196.
5.11. а) ≈ 0,016; б) ≈ 0,656. 5.12. ≈ 0,901. 5.13. ≈ 0,969.
5.14. ≈ 0,363. 5.15. ≈ 0,942. 5.16. ≈ 0,901. 5.17. ≈ 0,150.
5.18. ≈ 0,337. 5.19. ≈ 0,243. 5.20. ≈ 0,03. 5.21. ≈ 0,138.
5.22. ≈ 0,859. 5.23. ≈ 0,150. 5.24. ≈ 0,846.
5.25. а) ≈ 0,00055; б) ≈ 0,04. 5.26. а) ≈ 0,094; б) 0,3125; в) ≈ 0,891.
5.27. ≈ 0,0072. 5.28. а) 0,6912; б) 0,3456.
5.29. При использовании формулы Бернулли ответ будет лишь приближенным, более грубым (≈ 0,34), чем при использовании комбинаторики
и строгом, классическом задании вероятности (≈ 0,31).
5.30. ≈ 0,989. 5.31. ≈ 0,756. 5.32. ≈ 0,606.
38
38
5.33. C76
· 0,538 · 0,538 = C76
· 0,576 .
Раздел 
6.1. а) 1,2; б) 1,26; ≈ 1,12. 6.2. 100. 6.3. Не менее 960 рублей.
6.4. 2000. 6.5. а) 1,1; б) ≈ 0,94.
6.6. а) 0,08; б) 1,6; в) 2,98 и ≈ 1,73; г) дифференциация ответов респондентов выражена крайне высоко.
6.7. а)
2
10
99
; б) − ; в)
;
8
8
16
p
99
.
4
6.8. −44; 2176. 6.9. 59; 360.

Ответы к задачам для самостоятельного решения
6.10. 137; 2308. 6.11. 2; ≈ 1,38.
6.12. а) для юношей: ≈ 2733,3 и ≈ 733 5069,4; для девушек: ≈ 4798,3 и
≈ 7654444,4; б) для юношей: 32 800 и 1 056 250 000; для девушек: 57 580
и 1 102 240 000.
6.13. а) 24; б) 1149; ≈ 33,9. 6.14. 0,95; 0,6475. 6.15. а) 1390; б) 60 900;
≈ 246,8.
6.16. 11; 12,5. 6.17. а) 0,00856; б) 0,5; 0,45. 6.18. 1,35; 0,9275.
6.19. а) 760,5; б) 253,5. 6.20. ≈ 0,08; ≈ 0,28. 6.21. ≈ 1,55; ≈ 1,24.
6.22. 0,00093025; 0,0305. 6.23. 79.
6.24. а) 0,415; б) 0,151. Математическое ожидание (числа ДТП в течение месяца): 1,603; стандартное отклонение: ≈ 1,108. Вероятность, что в течение
полугода не случится ни одной аварии: 0,2036 ≈ 0,00007. Вероятность, что
в течение полугода случится только одна авария: C61 · 0,2121 · 0,7885 ≈ 0,386.
6.25. ≈ 4,45.
6.26. Закон распределения случайной величины:
X











p 0,107 0,268 0,302 0,201 0,088 0,026 0,006 0,001 0,000 0,000 0,000
Среднее и дисперсия соответственно равны: 2 и 1,6.
6.27. а) 2,4; б) 1,64; ≈ 1,28. 6.28. 0,1539; ≈ 0,39. 6.29. 15; 596.
6.30. 180; 12. 6.31. 1600. 6.32. а) 1,2; б) 1,26; ≈ 1,12. 6.33. 23; 180.
6.34. 0,1056; ≈ 0,32.
6.37. а)
6.38. а)
6.39. а)
6.35.
35
≈ 5,83.
6
X
0
1
2
p
0,18
0,54
0,28
X
0
1
2
p
0,025
0,3
0,675
X
0
1
2
p
0,48
0,44
0,08
6.36. 5; 7; 6; 1,5.
б) 1,1; 0,45; ≈ 0,67.
б) 1,65; 0,2775; ≈ 0,53.
б) 0,6; 0,4; ≈ 0,63.
Раздел 
7.1. ≈ 0,373. 7.2. а) ≈ 0,05; б) ≈ 0,423; в) ≈ 0,353. 7.3. ≈ 0,423.
7.4. ≈ 0,406. 7.5. ≈ 0,264. 7.6. ≈ 0,541. 7.7. ≈ 0,017. 7.8. ≈ 0,722.
7.9. а) ≈ 0,324; б) ≈ 0,135. 7.10. ≈ 0,541. 7.11. ≈ 0,264.
7.12. Случайная величина (X1 + X2 + X3 + … + X10 ) распределена по Пуассону с параметром (λ1 + λ2 + … + λ10 ) –– это среднее число посетителей
магазина за сутки. Для всякого k = 0, 1, 2, … будет справедливо равенство
P(X1 + X2 + X3 + … + X10 = k) = e−(λ1 +λ2 +…+λ10 ) ·
(λ1 + λ2 + … + λ10 )k
.
k!

Ответы к задачам для самостоятельного решения
7.13. ≈ 0,131.
7.14. а) ≈ 0,264; б) ≈ 0,184; в) ≈ 0,08. Целесообразно, чтобы в магазине
работали минимум 2 продавца-консультанта. Поясним: вероятность того,
что в магазин в течение 10 минут зайдут два посетителя, близка к 0,2 (это
довольно высокая вероятность события); Вместе с тем, вероятность того,
что в течение 10 минут зайдут более двух посетителей (т. е. 3 и выше) резко
снижается и составляет только 0,08. Поэтому, учитывая информацию, что
в среднем продавец-консультант уделяет 10 минут времени одному посетителю, в магазине должны работать как минимум два человека. Вопрос
о большем числе продавцов должен решаться с учетом требований к качеству обслуживания и экономической целесообразности.
Раздел 
Y
Y
−1
0
1
1
0,02
0,03
0,05
2
0,18
0,27
0,45
0
1
2
25
144
50
144
25
144
10
144
20
144
10
144
1
144
2
144
1
144
X
8.1.
Y
X
0
8.3.
1
2
8.2.
Y
0
8.5.
8.6.
0
1
8.4. Да, являются независимыми.
X
1
5
12
5
12
1
12
1
12
X ·Y
0
1
p
0,7
0,3
0
50 000
100 000
0,942
0,94 · 0,05
0,94 · 0,01
2
50 000 0,05 · 0,94
0,05
100 000 0,01 · 0,94
0,01 · 0,05
0,05 · 0,01
0,012
X
−1
1
Y
−1
0
2
p
0,4
0,6
p
0,2
0,3
0,5
X и Y являются независимыми.
0
X
X ·Y
−2
−1
0
1
2
p
0,2
0,12
0,3
0,08
0,3

Ответы к задачам для самостоятельного решения
8.7.
X
0
2
Y
1
2
3
p
0,2
0,8
p
0,5
0,1
0,4
Нет, X и Y не являются независимыми.
X ·Y
0
2
4
6
p
0,2
0,4
0,1
0,3
X +Y
1
2
3
4
5
p
0,1
0
0,5
0,1
0,3
8.8. Нет, X и Y не являются независимыми.
X ·Y
−4
−1
0
2
p
0,4
0,2
0,3
0,1
E(XY ) = −1,6.
8.9. а) закон распределения случайной величины X :
−1
X
8
24
p
1
2
10
24
6
24
б) закон распределения случайной величины Y :
−1
Y
9
24
p
0
2
7
24
8
24
14
812
7
935
, DX =
, EY = , DY =
;
24
576
24
576
2
и Corr(X , Y ) ≈ −0,002.
г) Cov(X , Y ) = −
576
в) EX =
8.10. а) закон распределения случайной величины X :
X
0,2
0,6
p
0,2
0,8
б) закон распределения случайной величины Y :
Y
−2
0
2
p
0,18
0,35
0,47
в) EX = 0,52; DX = 0,0256; EY = 0,58; DY = 2,2636;
г) Cov(X , Y ) = −0,0256 и Corr(X , Y ) ≈ −0,11.
8.11. Cov(X , Y ) = 0,0606 и Corr(X , Y ) ≈ 0,12. Наблюдается крайне слабая
положительная линейная зависимость (корреляция).

Ответы к задачам для самостоятельного решения
Y
1
3
0
0,12
0,08
1
0,06
0,04
2
0,42
0,28
X
8.12.
8.13. Cov(X , Y ) = −0,2104 и Corr(X , Y ) ≈ −0,23. Между двумя рассматриваемыми величинами наблюдается обратная слабо выраженная линейная
зависимость (корреляция).
8.14. 0,25;
1
.
2
8.15. +1. 8.16. −1.
Раздел 
9.1. 0,75. 9.2. 0,8. 9.3. а) 0; б)
1
.
3
9.4. а) 0,25; б) 0.
9.5. а) 0,35; б) 0,65. 9.6. а) 0,75; б) 0,6. 9.7. 0,8. 9.8. 0,7.
9.9. P(−0,7 ¶ Z ¶ 8) ≈ 0,758. 9.10. P(−2,1 ¶ Z ¶ 1,9) ≈ 0,953.
9.11. ≈ 0,317. 9.12. Вероятность первого события больше, чем второго.
9.13. ≈ 0,625. 9.14. P(−0,34 < Z < 1,15) ≈ 0,508.
9.15. а) P(−0,62 < Z < 2,13) ≈ 0,716; б) P(−1,83 < Z < −1,06) ≈ 0,111;
в) P(0,39 < Z < 1,76) ≈ 0,309.
9.16. а) ≈ 0,159; б) ≈ 0,709; в) ≈ 0,433. 9.17. а) ≈ 0,468; б) ≈ 0,294.
9.18. ≈ 0,159. 9.19. ≈ 0,581. 9.20. а) ≈ 0,067; б) ≈ 0,775.
9.21. Все баллы окажутся проходными, кроме балла 4,20.
9.22. а) ≈ 0,067; б) ≈ 0,669; в) ≈ 0,008. 9.23. ≈ 18,5. 9.24. ≈ 10,8.
9.25. а) ≈ 0,203; б) ≈ 0,378; в) ≈ 0,048. 9.26. ≈ 0. 9.27. ≈ 0,999.
9.28. ≈ 0,692. 9.29. а) ≈ 0,655; б) ≈ 0,645. 9.30. −19; 68.
9.31. 14 140 рублей; 26 852 рубля.
9.32. Сергей Сергеевич не попадает в число 20 % самых упитанных туристов, так как в 20 % попали те, чей вес составил не менее 96,5 кг.
9.33. ≈ 0,819. 9.34. ≈ 0,068. 9.35. ≈ 0,451.
9.36. Да, Максим входит в 5 % студентов топ-рейтинга.
9.37. а) ≈ 0,067; б) ≈ 0,153; в) ≈ 0,067.
9.38. а) ≈ 0,067; б) ≈ 0,153; в) ≈ 0,067.
9.39. а) ≈ 0,076; б) ≈ 0,076. Вероятности рассматриваемых событий одинаковы.
9.40. 256. 9.41. ≈ 0,039. 9.42. ≈ 0,015. 9.43. ≈ 0,118.
Раздел 
10.1. ≈ 0,031. 10.2. ≈ 0,978. 10.3. ≈ 0,281. 10.4. ≈ 0,016.
10.5. При точных вычислениях получим: 0,9785. В случае приближенных
вычислений (с помощью теоремы Муавра––Лапласа) ответ несколько отличается: ≈ 0,9426. Величина «несовпадения» составляет примерно 0,036.
Ответы к задачам для самостоятельного решения

10.6. При точных вычислениях получим: 0,896. В случае приближенных
вычислений (с помощью теоремы Муавра––Лапласа) ответ несколько отличается: ≈ 0,813. Величина «несовпадения» составляет примерно 0,083. Видим, что «согласие» (т. е. совпадение) точных и приближенных вычислений
вероятности интересующего события ухудшилось по сравнению с результатами предыдущей задачи .
10.7. ≈ 0,999. 10.8. ≈ 0,841. 10.9. ≈ 0,072.
10.10. Требуется купить 2 пакета семян моркови. 10.11. ≈ 0,998.
10.12. ≈ 0,031. 10.13. ≈ 0. 10.14. ≈ 0,178. 10.15. ≈ 0,448.
10.16. ≈ 0,352, так как в условии задачи сказано «менее 1200 человек». Это
означает, что 1199 и менее.
10.17. ≈ 0,051. 10.18. ≈ 0.
10.19. В отношении процентных долей, измеренных в ходе данного социологического опроса, можно со следующими вероятностями утверждать, что
они имеют погрешность, не превышающую 2 %: ≈ 0,796 (для категории ответа «тренировать нашу сборную должен только отечественный тренер»);
≈ 0,792 (для категории ответа «важна только квалификация тренера, откуда он –– не важно»); ≈ 0,992 (для категории ответа «затрудняюсь ответить»).
10.20. ) ≈ 0,996; ) ≈ 0,999.
10.21. В отношении процентных долей, измеренных в ходе данного социологического опроса, можно со следующими вероятностями утверждать, что
они имеют погрешность, не превышающую 1 %: ≈ 0,648 (для категории
ответа «опросы общественного мнения нужны»); ≈ 0,75 (для категории ответа «опросы общественного мнения не нужны»); ≈ 0,823 (для категории
ответа «затрудняюсь ответить»).
Ответы к задачам микроконтрольной
и экзаменационной работ
Микроконтрольная работа
Вариант 
Вариант 
Вариант 

≈ 0,14
≈ 0,007
≈ 0,103

0,225 ≈ 0,23
≈ 0,39
≈ 0,87

≈ 0,32
≈ 0,65
≈ 0,55

1,7; 0,81; 0,9
2,3; 1,01; ≈ 1
2,7; 0,41; ≈ 0,64
Экзаменационная работа
Вариант 
Вариант 

0,98
0,48

0,23
0,0595 ≈ 0,06

0,8, события зависимы
0,24, события зависимы

0,14
0,63


E(X ) = 0,25 (аварий),
2
D(X
p ) = 0,2175 (аварий) ,
D(X ) = 0,47 (аварий)
E(X ) = 5500 (у. е.),
2
D(X
p ) = 11 250 000 (у. е.) ,
D(X ) = 3354 (у. е.)

0,06
0,0037 ≈ 0,004

E(Q) = 34, D(Q) = 1017
E(L) = 50, D(L) = 424

0,7066 ≈ 0,71
0,0285 ≈ 0,03

E(Y ) ≈ 1,61, D(Y ) ≈ 0,001
10 000, 2 560 000

≈ 0,66
≈ 0,02

0,294 ≈ 0,3
0,057 ≈ 0,06
0,58
0,7
Ответы к задачам микроконтрольной и экзаменационной работ 
Вариант 
Вариант 

0,02
0,48

0,788 ≈ 0,79
0,036 ≈ 0,04

0,5, события зависимы
0,9, события зависимы

0,31
0,62

E(X ) = 1,4 (книг),
2
D(X
p ) = 0,4 (книг) ,
D(X ) = 0,63 (книг)
0,023
E(X ) = 3200 (у. е.),
2
D(X
p ) = 1 200 000 (у. е.) ,
D(X ) = 1095 (у. е.)

≈ 0,77
≈ 0,27

E(D) = 137, D(Q) = 6196
E(F) = 22, D(F) = 6565

0,584 ≈ 0,58
0,352 ≈ 0,35

≈ 68; ≈ 5,6
E(Y ) = 21,6, D(Y ) = 23,04

≈ 0,75
≈ 0,68

0,548 ≈ 0,55
0,126 ≈ 0,13

0,51
x
−2,5
−2,49
−2,48
−2,47
−2,46
−2,45
−2,44
−2,43
−2,42
−2,41
−2,4
−2,39
−2,38
−2,37
−2,36
−2,35
−2,34
−2,33
−2,32
−2,31
Φ(x)
0,0002
0,0002
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0005
0,0005
x
−3,5
−3,49
−3,48
−3,47
−3,46
−3,45
−3,44
−3,43
−3,42
−3,41
−3,4
−3,39
−3,38
−3,37
−3,36
−3,35
−3,34
−3,33
−3,32
−3,31
0,0104
0,0102
0,0099
0,0096
0,0094
0,0091
0,0089
0,0087
0,0084
0,0082
0,0080
0,0078
0,0075
0,0073
0,0071
0,0069
0,0068
0,0066
0,0064
0,0062
Φ(x)
−1,31
−1,32
−1,33
−1,34
−1,35
−1,36
−1,37
−1,38
−1,39
−1,4
−1,41
−1,42
−1,43
−1,44
−1,45
−1,46
−1,47
−1,48
−1,49
−1,5
x
0,0951
0,0934
0,0918
0,0901
0,0885
0,0869
0,0853
0,0838
0,0823
0,0808
0,0793
0,0778
0,0764
0,0749
0,0735
0,0721
0,0708
0,0694
0,0681
0,0668
Φ(x)
−0,31
−0,32
−0,33
−0,34
−0,35
−0,36
−0,37
−0,38
−0,39
−0,4
−0,41
−0,42
−0,43
−0,44
−0,45
−0,46
−0,47
−0,48
−0,49
−0,5
x
0,3783
0,3745
0,3707
0,3669
0,3632
0,3594
0,3557
0,3520
0,3483
0,3446
0,3409
0,3372
0,3336
0,3300
0,3264
0,3228
0,3192
0,3156
0,3121
0,3085
Φ(x)
Φ(x)
0,6915
0,6950
0,6985
0,7019
0,7054
0,7088
0,7123
0,7157
0,7190
0,7224
0,7257
0,7291
0,7324
0,7357
0,7389
0,7422
0,7454
0,7486
0,7517
0,7549
x
0,5
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,6
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
1,69
1,68
1,67
1,66
1,65
1,64
1,63
1,62
1,61
1,6
1,59
1,58
1,57
1,56
1,55
1,54
1,53
1,52
1,51
1,5
x
0,9545
0,9535
0,9525
0,9515
0,9505
0,9495
0,9484
0,9474
0,9463
0,9452
0,9441
0,9429
0,9418
0,9406
0,9394
0,9382
0,9370
0,9357
0,9345
0,9332
Φ(x)
Таблица . Таблица значений функции y = Φ(x) стандартного нормального распределения
x
2,69
2,68
2,67
2,66
2,65
2,64
2,63
2,62
2,61
2,6
2,59
2,58
2,57
2,56
2,55
2,54
2,53
2,52
2,51
2,5
Φ(x)
0,9964
0,9963
0,9962
0,9961
0,9960
0,9959
0,9957
0,9956
0,9955
0,9953
0,9952
0,9951
0,9949
0,9948
0,9946
0,9945
0,9943
0,9941
0,9940
0,9938

Приложение
x
−2,3
−2,29
−2,28
−2,27
−2,26
−2,25
−2,24
−2,23
−2,22
−2,21
−2,2
−2,19
−2,18
−2,17
−2,16
−2,15
−2,14
−2,13
−2,12
−2,11
Φ(x)
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0006
0,0006
0,0006
0,0006
0,0006
0,0007
0,0007
0,0007
0,0007
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
0,0009
0,0009
0,0009
x
−3,3
−3,29
−3,28
−3,27
−3,26
−3,25
−3,24
−3,23
−3,22
−3,21
−3,2
−3,19
−3,18
−3,17
−3,16
−3,15
−3,14
−3,13
−3,12
−3,11
0,0174
0,0170
0,0166
0,0162
0,0158
0,0154
0,0150
0,0146
0,0143
0,0139
0,0136
0,0132
0,0129
0,0125
0,0122
0,0119
0,0116
0,0113
0,0110
0,0107
Φ(x)
−1,11
−1,12
−1,13
−1,14
−1,15
−1,16
−1,17
−1,18
−1,19
−1,2
−1,21
−1,22
−1,23
−1,24
−1,25
−1,26
−1,27
−1,28
−1,29
−1,3
x
0,1335
0,1314
0,1292
0,1271
0,1251
0,1230
0,1210
0,1190
0,1170
0,1151
0,1131
0,1112
0,1093
0,1075
0,1056
0,1038
0,1020
0,1003
0,0985
0,0968
Φ(x)
−0,11
−0,12
−0,13
−0,14
−0,15
−0,16
−0,17
−0,18
−0,19
−0,2
−0,21
−0,22
−0,23
−0,24
−0,25
−0,26
−0,27
−0,28
−0,29
−0,3
x
0,4562
0,4522
0,4483
0,4443
0,4404
0,4364
0,4325
0,4286
0,4247
0,4207
0,4168
0,4129
0,4090
0,4052
0,4013
0,3974
0,3936
0,3897
0,3859
0,3821
Φ(x)
Φ(x)
0,7580
0,7611
0,7642
0,7673
0,7704
0,7734
0,7764
0,7794
0,7823
0,7852
0,7881
0,7910
0,7939
0,7967
0,7995
0,8023
0,8051
0,8078
0,8106
0,8133
x
0,7
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,8
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
1,89
1,88
1,87
1,86
1,85
1,84
1,83
1,82
1,81
1,8
1,79
1,78
1,77
1,76
1,75
1,74
1,73
1,72
1,71
1,7
x
0,9706
0,9699
0,9693
0,9686
0,9678
0,9671
0,9664
0,9656
0,9649
0,9641
0,9633
0,9625
0,9616
0,9608
0,9599
0,9591
0,9582
0,9573
0,9564
0,9554
2,89
2,88
2,87
2,86
2,85
2,84
2,83
2,82
2,81
2,8
2,79
2,78
2,77
2,76
2,75
2,74
2,73
2,72
2,71
2,7
x
0,9981
0,9980
0,9979
0,9979
0,9978
0,9977
0,9977
0,9976
0,9975
0,9974
0,9974
0,9973
0,9972
0,9971
0,9970
0,9969
0,9968
0,9967
0,9966
0,9965
Φ(x)
Продолжение таблицы 
Φ(x)
Таблица значений стандартного нормального распределения

−2,1
−2,09
−2,08
−2,07
−2,06
−2,05
−2,04
−2,03
−2,02
−2,01
−2
0,0010
0,0010
0,0010
0,0011
0,0011
0,0011
0,0012
0,0012
0,0013
0,0013
0,0013
0,0014
0,0014
0,0015
0,0015
0,0016
0,0016
0,0017
0,0018
0,0018
−3,1
−3,09
−3,08
−3,07
−3,06
−3,05
−3,04
−3,03
−3,02
−3,01
−3
−2,99
−2,98
−2,97
−2,96
−2,95
−2,94
−2,93
−2,92
−2,91
−1,91
−1,92
−1,93
−1,94
−1,95
−1,96
−1,97
−1,98
−1,99
x
Φ(x)
x
0,0281
0,0274
0,0268
0,0262
0,0256
0,0250
0,0244
0,0239
0,0233
0,0228
0,0222
0,0217
0,0212
0,0207
0,0202
0,0197
0,0192
0,0188
0,0183
0,0179
Φ(x)
−0,91
−0,92
−0,93
−0,94
−0,95
−0,96
−0,97
−0,98
−0,99
−1
−1,01
−1,02
−1,03
−1,04
−1,05
−1,06
−1,07
−1,08
−1,09
−1,1
x
0,1814
0,1788
0,1762
0,1736
0,1711
0,1685
0,1660
0,1635
0,1611
0,1587
0,1562
0,1539
0,1515
0,1492
0,1469
0,1446
0,1423
0,1401
0,1379
0,1357
Φ(x)
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,5359
0,5319
0,5279
0,5239
0,5199
0,5160
0,5120
0,5080
0,5040
0,5000
0
0,01
0,4960
0,4920
0,4880
0,4840
0,4801
0,4761
0,4721
0,4681
0,4641
0,4602
Φ(x)
−0,01
−0,02
−0,03
−0,04
−0,05
−0,06
−0,07
−0,08
−0,09
−0,1
x
0,8186
0,8212
0,8238
0,8264
0,8289
0,8315
0,8340
0,8365
0,8389
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,09
1,08
1,07
1,06
1,05
1,04
1,03
1,02
1,01
0,8621
0,8599
0,8577
0,8554
0,8531
0,8508
0,8485
0,8461
0,8438
0,8413
0,8159
0,9
1
Φ(x)
x
2,09
2,08
2,07
2,06
2,05
2,04
2,03
2,02
2,01
2
1,99
1,98
1,97
1,96
1,95
1,94
1,93
1,92
1,91
1,9
x
0,9817
0,9812
0,9808
0,9803
0,9798
0,9793
0,9788
0,9783
0,9778
0,9772
0,9767
0,9761
0,9756
0,9750
0,9744
0,9738
0,9732
0,9726
0,9719
0,9713
3,09
3,08
3,07
3,06
3,05
3,04
3,03
3,02
3,01
3
2,99
2,98
2,97
2,96
2,95
2,94
2,93
2,92
2,91
2,9
x
0,9990
0,9990
0,9989
0,9989
0,9989
0,9988
0,9988
0,9987
0,9987
0,9987
0,9986
0,9986
0,9985
0,9985
0,9984
0,9984
0,9983
0,9982
0,9982
0,9981
Φ(x)
Продолжение таблицы 
Φ(x)

Приложение
0,0019
0,0020
0,0021
0,0021
0,0022
0,0023
0,0023
0,0024
0,0025
0,0026
0,0026
0,0027
0,0028
0,0029
0,0030
0,0031
0,0032
0,0033
0,0034
−2,89
−2,88
−2,87
−2,86
−2,85
−2,84
−2,83
−2,82
−2,81
−2,8
−2,79
−2,78
−2,77
−2,76
−2,75
−2,74
−2,73
−2,72
−2,71
−1,71
−1,72
−1,73
−1,74
−1,75
−1,76
−1,77
−1,78
−1,79
−1,8
−1,81
−1,82
−1,83
−1,84
−1,85
−1,86
−1,87
−1,88
0,0436
0,0427
0,0418
0,0409
0,0401
0,0392
0,0384
0,0375
0,0367
0,0359
0,0351
0,0344
0,0336
0,0329
0,0322
0,0314
0,0307
0,0301
0,0294
0,0287
−1,9
0,0019
−2,9
−1,89
Φ(x)
x
Φ(x)
x
−0,71
−0,72
−0,73
−0,74
−0,75
−0,76
−0,77
−0,78
−0,79
−0,8
−0,81
−0,82
−0,83
−0,84
−0,85
−0,86
−0,87
−0,88
−0,89
−0,9
x
0,2389
0,2358
0,2327
0,2296
0,2266
0,2236
0,2206
0,2177
0,2148
0,2119
0,2090
0,2061
0,2033
0,2005
0,1977
0,1949
0,1922
0,1894
0,1867
0,1841
Φ(x)
0,29
0,28
0,27
0,26
0,25
0,24
0,23
0,22
0,21
0,2
0,19
0,18
0,17
0,16
0,15
0,14
0,13
0,12
0,11
0,1
x
0,6141
0,6103
0,6064
0,6026
0,5987
0,5948
0,5910
0,5871
0,5832
0,5793
0,5753
0,5714
0,5675
0,5636
0,5596
0,5557
0,5517
0,5478
0,5438
0,5398
Φ(x)
1,29
1,28
1,27
1,26
1,25
1,24
1,23
1,22
1,21
1,2
1,19
1,18
1,17
1,16
1,15
1,14
1,13
1,12
1,11
1,1
x
0,9015
0,8997
0,8980
0,8962
0,8944
0,8925
0,8907
0,8888
0,8869
0,8849
0,8830
0,8810
0,8790
0,8770
0,8749
0,8729
0,8708
0,8686
0,8665
0,8643
Φ(x)
2,29
2,28
2,27
2,26
2,25
2,24
2,23
2,22
2,21
2,2
2,19
2,18
2,17
2,16
2,15
2,14
2,13
2,12
2,11
2,1
x
0,9890
0,9887
0,9884
0,9881
0,9878
0,9875
0,9871
0,9868
0,9864
0,9861
0,9857
0,9854
0,9850
0,9846
0,9842
0,9838
0,9834
0,9830
0,9826
0,9821
3,29
3,28
3,27
3,26
3,25
3,24
3,23
3,22
3,21
3,2
3,19
3,18
3,17
3,16
3,15
3,14
3,13
3,12
3,11
3,1
x
0,9995
0,9995
0,9995
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9993
0,9993
0,9993
0,9993
0,9992
0,9992
0,9992
0,9992
0,9991
0,9991
0,9991
0,9990
Φ(x)
Продолжение таблицы 
Φ(x)
Таблица значений стандартного нормального распределения

0,0036
0,0037
0,0038
0,0039
0,0040
0,0041
0,0043
0,0044
0,0045
0,0047
0,0048
0,0049
0,0051
0,0052
0,0054
0,0055
0,0057
0,0059
0,0060
−2,69
−2,68
−2,67
−2,66
−2,65
−2,64
−2,63
−2,62
−2,61
−2,6
−2,59
−2,58
−2,57
−2,56
−2,55
−2,54
−2,53
−2,52
−2,51
−1,51
−1,52
−1,53
−1,54
−1,55
−1,56
−1,57
−1,58
−1,59
−1,6
−1,61
−1,62
−1,63
−1,64
−1,65
−1,66
−1,67
−1,68
0,0655
0,0643
0,0630
0,0618
0,0606
0,0594
0,0582
0,0571
0,0559
0,0548
0,0537
0,0526
0,0516
0,0505
0,0495
0,0485
0,0475
0,0465
0,0455
0,0446
−1,7
0,0035
−2,7
−1,69
Φ(x)
x
Φ(x)
x
−0,51
−0,52
−0,53
−0,54
−0,55
−0,56
−0,57
−0,58
−0,59
−0,6
−0,61
−0,62
−0,63
−0,64
−0,65
−0,66
−0,67
−0,68
−0,69
−0,7
x
0,3050
0,3015
0,2981
0,2946
0,2912
0,2877
0,2843
0,2810
0,2776
0,2743
0,2709
0,2676
0,2643
0,2611
0,2578
0,2546
0,2514
0,2483
0,2451
0,2420
Φ(x)
0,49
0,48
0,47
0,46
0,45
0,44
0,43
0,42
0,41
0,4
0,39
0,38
0,37
0,36
0,35
0,34
0,33
0,32
0,31
0,3
x
0,6879
0,6844
0,6808
0,6772
0,6736
0,6700
0,6664
0,6628
0,6591
0,6554
0,6517
0,6480
0,6443
0,6406
0,6368
0,6331
0,6293
0,6255
0,6217
0,6179
Φ(x)
1,49
1,48
1,47
1,46
1,45
1,44
1,43
1,42
1,41
1,4
1,39
1,38
1,37
1,36
1,35
1,34
1,33
1,32
1,31
1,3
x
0,9319
0,9306
0,9292
0,9279
0,9265
0,9251
0,9236
0,9222
0,9207
0,9192
0,9177
0,9162
0,9147
0,9131
0,9115
0,9099
0,9082
0,9066
0,9049
0,9032
Φ(x)
2,49
2,48
2,47
2,46
2,45
2,44
2,43
2,42
2,41
2,4
2,39
2,38
2,37
2,36
2,35
2,34
2,33
2,32
2,31
2,3
x
0,9936
0,9934
0,9932
0,9931
0,9929
0,9927
0,9925
0,9922
0,9920
0,9918
0,9916
0,9913
0,9911
0,9909
0,9906
0,9904
0,9901
0,9898
0,9896
3,49
3,48
3,47
3,46
3,45
3,44
3,43
3,42
3,41
3,4
3,39
3,38
3,37
3,36
3,35
3,34
3,33
3,32
3,31
3,3
x
0,9998
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9995
0,9995
0,9995
Φ(x)
Окончание таблицы 
0,9893
Φ(x)

Приложение
Магазин «Математическая книга»
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая
книга» в Москве по адресу: Б. Власьевский пер., д. ; тел. () --;
biblio.mccme.ru
Книга –– почтой: http://biblio.mccme.ru/shop/order
Книги в электронном виде: http://www.litres.ru/mcnmo/
Мы сотрудничаем с интернет-магазинами
• Книготорговая компания «Абрис»; тел. () --, () --;
www.umlit.ru, www.textbook.ru, абрис.рф
• Интернет-магазин «Книга.ру»; тел. () --; www.kniga.ru
Наши партнеры в Москве и Подмосковье
• Московский Дом Книги и его филиалы (работает интернет-магазин);
тел. () --; www.mdk-arbat.ru
• Магазин «Молодая Гвардия» (работает интернет-магазин): ул. Б. Полянка, д. ;
тел. () --, () --; www.bookmg.ru
• Магазин «Библио-Глобус» (работает интернет-магазин): ул. Мясницкая, д. /,
стр. ; тел. () --; www.biblio-globus.ru
• Спорткомплекс «Олимпийский», -й этаж, точка ; тел. () --
• Сеть киосков «Аргумент» в МГУ; тел. () --, () --; www.arg.ru
• Сеть магазинов «Мир школьника» (работает интернет-магазин); тел. () -, () --, () --, () --; www.uchebnik.com
• Сеть магазинов «Шаг к пятерке»; тел. () --, () --;
www.shkolkniga.ru
• Издательская группа URSS, Нахимовский проспект, д. , Выставочный зал
«Науку –– Всем», тел. () --, www.urss.ru
• Книжный магазин издательского дома «Интеллект» в г. Долгопрудный: МФТИ
(новый корпус); тел. () --
Наши партнеры в Санкт-Петербурге
• Санкт-Петербургский Дом книги: Невский пр-т, д. ; тел. () --
• Магазин «Мир науки и медицины»: Литейный пр-т, д. ; тел. () --
• Магазин «Новая техническая книга»: Измайловский пр-т, д. ;
тел. () --
• Информационно-книготорговый центр «Академическая литература»:
Васильевский остров, Менделеевская линия, д. 
• Киоск в здании физического факультета СПбГУ в Петергофе;
тел. () --, () --, () --
• Издательство «Петроглиф»: Фарфоровская, , к. ; тел. () --,
() --; k_i_@bk.ru, k_i_@petroglyph.ru
• Сеть магазинов «Учебная литература»; тел. () --,
тел. () --, тел. () -- (доб. )
Наши партнеры в Челябинске
• Магазин «Библио-Глобус», ул. Молдавская, д. , www.biblio-globus.ru
Наши партнеры в Украине
• Александр Елисаветский. Рассылка книг наложенным платежом по Украине: тел.
---; df-al-el@bk.ru