Министерство образования Российской Федерации
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. А.Н.ТУГЮЛЕВА
Д.В. ПОГОДИН
РАСЧЕТ ЧАСТОТНЫХ
И ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Учебное п особи е
п о выполнению курсовых и расчетно-графических работ по дисциплине
«Электротехника и электроника»
Реком ендовано к изданию Учебно-методическим центром
К Г Т У им, А.Н. Туполева
КПУш АНЛ)|Имва]
в и б л и отекд
Казань 2003
УДК 621.38/39(075)
Погодин Д.В. Расчет частотных и переходных характери­
стик электрических цепей: Учебное пособие по выполнению кур­
совых и расчетно-графических работ по дисциплине “Электротех­
ника и электроника”. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та,
2003. 64 с.
ISBN 5-7579-0597-2
Предназначено для студентов второго курса специальности 2201, 2202,
2204,0719, 0714 нерадиотехнического направления.
Приведены краткие теоретические сведения и методические советы по
выполнению курсовой работы. Показаны примеры решеийя аналогичных заданий
и требования к оформлению курсовой работы. Каждый индивидуальный вариант
курсовой работы содержит три задания. В первом из них анализируются частот­
ные характеристики линейных электрических цепей, во втором - переходные про­
цессы в цепи. Расчеты выполняется с применением ЭВМ. В третьем задании экс­
периментально, путем моделирования заданной цепи с помощью программы Elec­
tronics Workbench (EWB), определяются рассчитанные характеристики.
Варианты заданий могут быть использованы для'’расчетно-графических
работ по смежным дисциплинам.
Табл. 3. Ил. 44. Библиогр: 9 назв.
Рецензенты: кафедра электропривода и электротехники (Казан­
ский государственный технологический универ­
ситет);
кавд. техн. наук, доцент Кропачев Г.Ф. (Казанский
государственный технологический университет)
ISBN 5-7579-0597-2^)*ЛГ' фЧШд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2003
‘....Погодин Д.В., 2003
Введение
Работа по курсу «Электротехника и электроника» ставит це­
лью систематизацию, закрепление и углубление теоретических
знаний, а также приобретение практических навыков аналитиче­
ского расчета и экспериментального измерения основных характе­
ристик электрических цепей.
Студенты выполняют работу по материалу, требующему
глубокого усвоения основных разделов курса. Курсовая работа за­
ключается в расчете частотных (входных и передаточных) и пере­
ходных характеристик электрической цепи. Обсуждение основных
вопросов курсовой работы проводится на консультациях и заняти­
ях. Трудоемкие расчеты выполняются с использованием ЭВМ.
Работа выполняется в течение семестра. На первой консуль­
тации каждому студенту выдается индивидуальное задание,
в котором указана схема электрической цепи и параметры ее
элементов.
В дополнение к аналитическим методам расчета в курсовой
работе проводится экспериментальное измерение (компьютерное
моделирование) частотных и переходных характеристик электри­
ческой цепи с помощью измерительных приборов, входящих
в состав виртуальной измерительной лаборатории Elektronics
Workbench (EWB).
ГЛАВА 1
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
Большинство электрических цепей используются для переда­
чи электрических сигналов от источника сигнала в нагрузку. В тех
случаях, когда схема цепи неизвестна или не представляет интере­
са, ее изображают в виде прямоугольника с рядом выводов. С их
помощью электрическая цепь соединяется с другими элементами
устройства.
л я
На рис. 1.1 показана обобЯО = ^т , а, Ь.с,..)
•
•
т ~М.(aJb.c-) т
Рис. 1.1
_
щенная электрическая цепь. Слева
располагается вход, к нему подключают источник сигнала, а справа выход.
Х т - воздействие, Ут - отклик, т.е. отклик цепи = пара­
метр-воздействие
Электрические колебания, создаваемые на входе цепи, назы­
вают входным сигналом (или воздействием) - обозначим его x(t).
Сигнал на выходе цепи, воздействующий на нагрузку, называют
реакцией цепи, откликом или выходным сигналом - y(t). В общем
случае связь между откликом и воздействием имеет вид некоторого
уравнения:
У(0 - Fm, о, ь, с,...) >
( 1 -1 )
т.е. отклик цепи зависит от воздействия *(*), схемы цепи и пара­
метров элементов, входящих в цепь (а, b, с...).
4
При гармоническом воздействии вместо мгновенных значе­
ний сигнала можно пользоваться их комплексными амплитудами
х(г) <-» Х т , у ( 0
Уот, а уравнение для линейной цепи принимает
вид линейного алгебраического уравнения :
^т ~ И { а . b,c,...)
здесь
ь, с....) " параметр цепи, зависимый от параметров элемен­
тов схемы и схемы их соединения. В общем случае это комплекс­
ная величина.
В зависимости от числа выводов (полюсов) все цепи подраз­
деляют на двухполюсники, четырехполюсники и многополюсники.
1.1. Параметры двухполюсника (Z, У)
двухполюсника (рис. 1.2) параметрами являются:
1 ) комплексное
сопротивление двухполюсника
Д ля
(здесь воздействием считают ток / 1т,
О-»*-
а откликом - напряжение t / lm= Z /lmдогда параметр
Z. - Uim I h т
+Д» где Я и X - активная и реактивная
составляющие сопротивления двухполюсника);
2
О -Т
Рис. 1.2
) комплексная проводимость двухполюсника У = / 1т /С/1т
(здесь воздействием является напряжение UXm, а откликом - ток
/ 1и -Y_Ulm; параметр Y_= 1 / Z = G + jB, где G и В - активная и реак­
тивная составляющие проводимости двухполюсника).
1.2. Параметры четырехполюсника (Zbx> Цвх, K v , Kj)
Для четырехполюсника (рис. 1.3) все параметры могут быть
разбигы на четыре группы:
Входные параметры. По отношению к источнику сигнала
четырехполюсник является двухполюсником, а потому имеет ана­
логичные ему параметры:
1) комплексное входное сопротивление Z*x = U{m/ I lm;
2 ) комплексную входную проводимость F BX= 11тШ ы .
2. Передаточные параметры. Они характеризуют передачу
сигналов через четырехполюсник со входа на выход, т. е. в прямом
направлении:
1) комплексный
коэффициент
передачи
напряжения
К.и=Огт/ и ы ( X m=Ulm,Ym- U 2m)\ 2 ) комплексный коэффици­
ент передачи тока К ,= 1 2т/1Ы ( Х т = / 1да,Кт = / 2т); 3) комп­
лексное сопротивление прямой передачи Z„= Uml Um ( Х т = U\m’
Yт =12m) или K ui- коэффициент преобразования U в 1\ 4) комп­
лексная проводимость прямой передачи Ут = / 2« / U\m\ X т
Ут = 12т) или Кш-» коэффициент преобразования / в U.
3. Выходные параметры: 1) комплексное выходное сопротив­
ление Z Bblx = i/2xx/ / 2lo; 2 ) комплексная выходная проводимость
Ивых = ^2ю/ ^ 2хх> гДе ^ 2хх - комплексная амплитуда выходного
напряжения при холостом ходе на выходе ( / 2 = 0 ), / 2ю - ком­
плексная амплитуда выходного тока при коротком замыкании
( II2 = 0 ) на выходе.
4. Параметры обратной передачи. Они характеризуют пере­
дачу сигналов через четырехполюсник, с выхода на вход, т.е. в об­
ратном направлении. Их названия аналогичны названиям переда­
точных параметров.
1.3. Частотные характеристики электрических цепей
Если в состав цепи входят реактивные элементы (L, С), то из-за
зависимости их сопротивлений от частоты гармонического сигнала
параметры цепи становятся частотно-зависимыми. Зависимости
параметров цепи от частоты гармонического воздействия называют
частотными характеристиками, т.е. для каждого параметра цепи
есть своя комплексная частотная характеристика (КЧХ). Названия
частотным характеристикам дают в соответствии с названием па­
раметра. Частотная характеристика цепи (или комплексная функ­
ция цепи) естъ зависимость от частоты отношения комплексных
амплитуд отклика и воздействия. Она может быть записана в пока­
зательной и алгебраической форме:
у
y р^У
H (j( 0 ) = 4 ^ = т
.
^т
у
= Я (со) •еМш) =
х
2Ст
- Re[ff (/©)]+ Im[#О'со)] ,
(1.2)
где Н ( ;ю) = VRe 2 [н( jo»]+ Im 2 [НО ) ] - амплитудно-частотная
характеристика (АЧХ) (или модуль комплексной функции |Я(/со)|) есть зависимость от частоты отношения амплитуд выходного
и входного гармонических колебаний;
ф(со) = arctg[Im[tf(/w)]]
-
фазочастотная
характеристика
(ФЧХ) (или аргумент комплексной функции - arg(#(/(o)) - есть за­
висимость ' от частоты разности фаз выходного и входного сигна­
лов, т.е. ф(со) = ф г-ф ь
Re[tf(/co)] и Im[tf(/a>)] - реальная и мнимая части комплекс­
ной функции.
7
1.4. Расчет частотных характеристик
В основу расчета частотных характеристик положен метод
комплексных амплитуд (МКА). Для простых цепей частотную ха­
рактеристику находят по законам Ома и Кирхгофа. Для сложных
функций при расчете частотных характеристик используют методы:
эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потен­
циалов и др. Порядок применения метода МКА следующий:
1. Гармонические токи и напряжения (x(t) = Xmcos(cor-<px))
всех ветвей схемы заменить их комплексными амплитудами
(Xm= Xme~j<9x), а от исходной схемы цепи,составленной из элемен­
тов (R, L, С), перейти к комплексной схеме замещения (Zr = /?,
Zc = 1 / (j(oC), Zl=jaL).
2. Составить уравнения электрического равновесия цепи для
комплексных изображений токов и напряжений, используя законы
Ома и Кирхгофа или Другие методы.
3. Решить систему составленных уравнений относительно
комплексных амплитуд интересующих токов или напряжений
0 W * « - * ') .
4. Для нахождения комплексной частотной характеристики
записать отношение комплексной амплитуды отклика к комплекс­
ной амплитуде воздействия.
5. Если необходимо, то перейти от комплексных амплитуд
интересующих токов и напряжений к гармоническим функциям
времени (y(t) - ymcos(cof-9 y)).
Для цепи второго порядка КЧХ в общем случае можно запи­
сать в виде
,
Хт
h + Ь ,(; 0)) + М ; ю ) 2
( 1 .3 )
Выделим в числителе и знаменателе действительную и мни­
мую части, приведем подобные члены и запишем H(j(0 ) в показа­
тельной форме:
N (M
cm+jKsa)
U )
Отсюда получим выражения для расчета амплитудночастотных (АЧХ) и фазочастотных (ФЧХ) характеристик
1а 2 (“>) + В 2( со) _ л / ( ° о - а 2<»2) 2 +(airo)2
со)
^
’
ф(со) = фиксл(м) - фа„ам(ю).
(U )
( 1,6)
1.5. Построение графиков частотных характеристик
При графическом изображении частотных характеристик
электрической цепи обычно строят отдельные графики АЧХ и ФЧХ
цепи. Графики функции, заданной формулой Н(со), строятся по
точкам в определенном диапазоне частот, в котором проявляются
основные свойства электрической цепи, затем соединяющиеся
плавной линией.
Выбор диапазона частот. Для оценки частотного диапазона,
в котором необходимо построить графики частотных характери­
стик цепи, определим особые точки операторной передаточной
функции. Для этого заменим в формуле (1.3) ;'со = р } получим опе­
раторный коэффициент передачи по напряжению
y
р +а2р 2._ М ( р )
\Р )-~
г
; 2 \г7 "\ *
Ъй +Ъхр+Ъгр г N {p)
.
^
Особыми точками (нулями и полюсами) Кц(р) являются зна­
чения аргумента pQi (нули), при которых М{р) = 0 , и значения ар­
гумента p+i (полюсы), при которых N(p) - 0, где i = 1,2.. - порядко­
9
вый номер особой точки. Для наглядности их изображают в ком­
плексной плоскости комплексной частоты p - a + j i o . Нули изо­
бражают кружочками, а полюсы крестиками.
За частотный диапазон можно принять интервал между / ш
И /rain •
_ (2*5) l>2
/max
2я
’
"""
=_ А _
2 я(2 + 5 ) ’
где 5, - расстояние от начала координат до ближайшей особой
точки, которое определяется ее модулем, т.е. S, =mm{|/?0f
S2 -
расстояние до самой удаленной особой точки, т.е.
5 2 = шах{|
|,|р*<|}> где модуль комплексной частоты определяют
по формуле \р\ = V а 2 +со2 .
Выбор масштаба построения графиков. При построении
графиков частотных характеристик применяют различные масшта­
бы по осям (вертикальной - ось ординат и горизонтальной - ось
абсцисс). Абсолютный (линейный) масштаб по осям применяют,
если диапазон изменения величины не более одной декады, а лога­
рифмический, если диапазон изменения величины составляет две
и более декады. На практике часто используется полулогарифми­
ческий масштаб, когда по горизонтальной оси берется логарифми­
ческий масштаб, а по вертикальной - линейный.
В тех случаях, когда предполагаемая частотная характери­
стика располагается в широком диапазоне частот, ее график строят
в логарифмическом масштабе по оси частот. Сначала проводят
расчет точек на частотах / —>0 , / —>оо, а далее на частотах
в логарифмическом масштабе / = lg(/7/0), где / = 1,2,3 и т.д. - нор­
мированная частота в логарифмическом масштабе; / 0 - частота
10
излома (частота среза) характеристики, выбранная за единицу;
/ / /о=/н - нормированная часгюта в абсолютном масштабе. Величина / 0
может быть принята любой. В простейшем случае з а / 0 можно при­
нять 1Гц или 1кГц. Однако, если анализируется цепь первого по­
рядка, то за/о принимают f 0= (2т)л (сйо= 1/т), где т - постоянная
времени цепи.
Если цепь имеет несколько постоянных времени, то ее асим­
птотическая логарифмическая характеристика состоит из несколь­
ких прямых и имеет несколько точек излома, каждой из которых
соответствует своя постоянная времени Tj= l/(0i; Т2 = I/CO2 и т.д.
Выбрав одну из них за опорную, можно построить график в мас­
штабе (ОТили Igcor.
При построении логарифмических частотных характеристик
более подробно в каждой декаде брать по 3 точки (0, 2, 5). Если
необходимо, то проводят уточнение вблизи точек экстремумов минимума или максимума, взяв по 10 точек вблизи них.
Особенности построения графиков ФЧХ. Формула ФЧХ
(уравнение ФЧХ) выражает зависимость аргумента (фазового угла)
комплексной функции КцЦся) от частоты:
ср(сй) « фчисл(со) - фзнам(ю),
( 1 -В)
где фчисл(ю) - аргумент числителя //(/со), фЗШ
ш(ю) - аргумент знаме­
нателя #(/со).
При записи формул для фЧИсл(©) и фэиамО») следует учиты­
вать, что фазовый угол произвольного комплексного числа
Z = А(со) + /#(со) вычисляется по различным формулам в зависимо­
сти от положения комплексного числа на комплексной плоскости
(табл. 1 . 1).
II
Таблица 1.1
Отсюда следует, что уравнение ФЧХ может быть записано
несколькими формулами, каждая из которых справедлива в некото­
ром своем диапазоне частот. Граничные частоты диапазонов можно
оценить приближенно, так как в точках, близких к биссектрисам
координатных квадрантов, можно пользоваться формулами обеих
соседних областей.
Рассмотрим первый пример. Для схемы 3, приведенной
в табл. П.3.2, частотная характеристика коэффициента передачи
имеет вид:
*(/©) = Ш(й)%С1КгСг)/{(1+(]<й)%СЛ1<2Сг)+M R i C i+R2C2+R\C^} =
= {Ж«)}/{С(<й)+Д)(со)Ь
12
(1.9)
где Жсй) = -(со)2Лг, С(со) = i - (ю)2Ль D(co) = аВь Ах= i?iC,^2 C2)
i?l = /?iCj+/?2 C2 +^tC2 .
Формула ФЧХ вычисляется из выражения
ф(<0) = фч„сл(®) - фэнам(ю).
1. Анализ числителя для определения его аргумента.
Действительная часть числителя при любой частоте
Л(со) = —(со)2/41< 0 - отрицательна, а мнимая часть отсутствует, т.е.
всегда равна нулю: В(со) = 0. Следовательно, точка, отображающая
числитель, всегда находится на отрицательной части реальной оси:
фчислСсо) = 7t.
2. Анализ знаменателя для определения его аргумента.
Мнимая часть знаменателя при любой частоте положительна,
а действительная - знакопеременная (следовательно, точка, ото­
бражающая знаменатель, находится в первом или втором квадранте
комплексной плоскости), и для вычисления аргумента знаменателя
нужно использовать формулу 2 из табл. 1.1:
фэпвм(®) = л/2 - arctg((l - Л , ) / ®Bi).
Таким образом, ФЧХ коэффициента передачи для нашего
примера имеет вид
ф(<*>) = %- (тс/2 - arctg((l - со2Л,)/сйД|)) = я/2 + arctg((l - и?А\)1(йВ\)).
Рассмотрим второй, более сложный, пример. Частотная ха­
рактеристика цепи задана выражением
н д ,) —
■ 1Я - ~ 0). ;------. . . № ..... , (1Л0)
(101о -со2) + у0,3636 105 а) С(<й)+jD(a>)
гдеА(со) = (Ю10- со2), £(со) = 0, С(ю) = (Ю10- со2), Дсо) = 0,3636* lO5©.
Учитывая (1.10), получим выражение для АЧХ
Я (со) = J - ~ n r - 1---° ~Ш
-5
2
\ (10 - со ) + (0,3636 10 со)
•
(1.И)
13
Для нашего примера действительные А(со) и С(со) и мнимая Дсо)
части числителя и знаменателя коэффициента передачи (1.10) зави­
сят от частоты и не только меняют свое значение, но и меняют
знак. А это значит, что комплексные числа числителя и знаменателя
меняют свое положение на комплексной плоскости. Это обстоя­
тельство требует анализа аргументов числителя фЧИсл(ю) и знамена­
теля (р3„ам(со) при изменении частоты от нуля до бесконечности.
1. Анализ числителя для определения его аргумента.
1Л
о
Действительная часть числителя равна А( со) = 1 0 - со . Если
О)2 <Ю10, т.е. (0<Ю 5, числитель представляет собой действитель­
ное и положительное число - А(со) > 0. Поэтому <рЧИСл(<») = 0 при
со < 105 .
При (о > 105 /4(со) < 0. Поэтому фчисл(со) = п.
2. Анализ знаменателя для определения его аргумента.
Действительная часть знаменателя равна действительной
части числителя С(со) = А(со) = 10ю- со2 и изменяется с изменением
частоты так же, как и числитель. Мнимая часть знаменателя
2>(со) —0,3636*Ю5со прямо пропорциональна частоте со и положи­
тельная D(p) > 0 при со > 0.
При 0)<Ю 5 точка, отображающая знаменатель, находится
в первом
квадранте
комплексной
плоскости,
причем
при
to>0,8346-105 она пересекает биссектрису первого квадранта. По­
этому в диапазоне 0 < со < 0,8346-Ю5 при вычислении фазового уг­
ла знаменателя нужно использовать формулу 1 из табл. 1.1:
л
В((л)
" 0,3636-105 со
Фзшш(со) = arctg--— = a r c tg — — ------ — .
А(со)
10 -со
При 0,8346- 105< оз < 1,1982- 105 отображающая точка нахо­
дится в области 2 табл. 1.1. Поэтому:
, ч п
А(ш)
фзнам(ю) = —- arctg—
2
В( 0))
п
2
Ю10 —со2
- arctg0,3636-105(1)'
При со > 1,1982- 105 точка переходит в область 4 табл. 1.1:
, ч
, „ В(со)
0,3636 105ш
ф3нам(0)) “ п + arctg-— -= П+ arctg-1—гг-----— .
А((о)
10 -со
Таким образом, ФЧХ коэффициента передачи в нашем при­
мере будет описываться различными формулами для четырех час­
тотных областей:
1 . 0< со <0,8346- 105:
, V
, л
0,3636-ю 5й)
Ф(«) = Фзшш((й) = - arctg- ~1О10_ш2 •
2. 0,8346- 105< со < 105:
, ч
( ч
ф(Сй) * фзнам(Сй) =
ТЕ
Ю10-со 2
arctg
2
0,3636-105О)
3. 105< со <1,1982- 105:
( \= фчисД/СО\) - фзнам(ю)
/ \ = К~~+
11 , arctg_(°2
ф(со)
2
0,3636 -105со*
4. 1Д982- 105< со <оо
, Ч
/ ч
. 0,3636-105со
ф(С0) = фчнсп(ю) - фзнам(ю) = Я - 7И-aiCtg —■ g-— д- .
1.6. Примеры расчета частотных характеристик цепей
Пример 1.1. Для обобщенной одноконтурной цепи, пред­
ставленной комплексной схемой замещения (рис. 1.4), рассчитать
ее частотные характеристики:
1. адсо), ZhX(co), фг(со). 2. £(/со), К(со), Ф*(С0).
15
Z\-R\+jXi Za=R2+jX2
П
”Рис. 71.4/
Решение.
1.По
определению
^вхОсо) = 0 Ы / / 1т. Используя законы Ома
* и Кирхгофа,
найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ
г
т
входного сопротивления:
ZJj<£) = Ulm / / 1т = / 1т (Z1+Z2)/ / 1т= (i?i+/?2)+/(^i+^ 2) = Я+Д;
Z,x(0)) = [(Л1+У?2)2+(-^1 +-^2)2]112; Фг(^) = arctg[(X1+Х2)/(R \+Т?2)] •
2.
Используя определение K(ji0) и законы Ома и Кирхгофа,
найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по на­
пряжению:
К
г ш
=
^ 2т.-=
=
A » (Z ,+ Z 2)
z,+z2
^ 2 + Д г ______ .
(Я ,+ « j ) + ./(* , + * , ) ’
Jf„(t 0) = ----------^
•J(r , + r, ) 4 ( x , + x 2) j
Xj + Х 2
/ • ч
Ф* (7С0) = arctg - — arctg — — «2
+ Л2
Пример 1.2. Для обобщенной двух­
контурной цепи, представленной ком­
плексной схемой замещения (рис. 1.5),
рассчитать ее частотные характеристики:
Рис j 5
1. ZJjto), Z,x((0), (рг((0). 2. АГ(/со), К(ю), ф*(со).
Р е ш е н и е . 1. Найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного
сопротивления.
По определению 2^х(/(0) - Ulm / / 1т . Входное сопротивление
находим методом последовательных эквивалентных преобразова­
ний. Этот метод состоит в поэтапном преобразовании простых уча­
стков цепи. Они показаны на рис. 1.6 .
16
@
а
б
5
f E
E
о
1 3 § е т
Рис. 1.6
2.
Найдем КЧХ коэффициента передачи по напряжению. По
определению Ки(]Щ ~ U2m / Ulm, a Ulm = Z4/ 2 - находим по зако­
ну Ома.
Находим / 2, применив метод контурных токов. Для этого:
определим число независимых контуров: Nk - в-у+1 =3-2+1 =2,
каждому из них присвоим свой контурный ток Iu h и составим
уравнения по методу контурных токов.
Z u / j + Z 12/2 = £ц
Z21 i\ + Z22/2 = £ 22»
где Zu - собственное сопротивление первого контура, Zn = Z{+Zi\
Z12 и Z21 - сопротивление смежных контуров, Zl2 =Z2i= -Z 2;
Z22- собственное сопротивление второго контура,
Z^2 - + Z3+ Z4;
Е ц - алгебраическая сумма источников эдс первого контура,
#11 = U1т>
Е22 - алгебраическая сумма источников эдс второго контура,
здесь источников эдс нет, Е22 = 0.
Найдем 1г- ток второго контура (по метод»' Крамера), а затем
и КЧХ коэффициента передачи по напряжению:
Zt +Z 2 u lm
-z2
г
А
Zt + Z 2
£2
0
-Z2
Z 3 + Z 2 +Z 4
(z, +Z2XZj +Z2 +Z4) Z2
“
'■ПУй а .и 11уввпбк]
ш ш ю п к а
17
Z2Z4
(Zj +Z2XZj +Z2 +Z4 )—Z2
_
________ Z2Z4
______
Z2Z3 + ^ 2^4 + ^ 2^1 + З Д +Z,Z4
1. Найдем КЧХ коэффициента передачи по напряжению, ис­
пользуя для расчета Ubn метод узловых потенциалов. Для этого:
1 'j
V
Ф1 2з_ фгi^Z4 j
1_Г Цфо=о U ^ i
Рис. 1.7
* прообразуем исходную схему к виДУ» показанному на рис. 1.7, заменив источник эдс на источник тока;
®потенциал узла 0 примем равным
Л
нулю, ф0= 0 ;
» тогда U2m = ф2 - ф0 = ф2Составив уравнения по методу узловых потенциалов, полу­
чим систему второго порядка и решим ее относительно ф2 по мето­
ду Крамера:
[Уцф1+ У12Ф2—1ц
"|У21ф1+ У22Ф2 = / 22,
где Уц - собственная проводимость первого узла, Уц = (1/Zi) +
+ (1/2г) + (1/2з);'
У12И У21 - межузловая проводимость Y n - У21 = -I/Z3;
У22 - собственная проводимость первого узла У22 = (I/Z 3) + ( 1/Z4);
Фь фг-потенциалы первого и второго узлов;
1ц, In - токи источников, сходящихся в первом и втором узлах.
Отсюда следует, что
Ku(jti) = й2т f Ulm ~ Z2Z4/ (Z2Z4+ Z2Z3+ Z1Z2 + Z 1Z3+ Z1Z4).
Пример 1.3. Для цепи, изображенной на
рис. 1.8, рассчитать:
1- 2вх(/®), Z(C0), фг((0).
2. а д ш ) , В Д /ф к С с о ).
/ } т |— ,
,
(g T ^R i =j=cjf/r
1 -i-I----- 1---- i
Рис. 1.8
От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме заме­
щения. Она соответствует схеме на рис. 1.4.
Используя определение 2вХ(/со) и законы Ома и Кирхгофа, получим
его выражение
joaC ■I»
z„(» =
Чт
Ли
Ли
i
j
'
j<oC ""
JG)C
"ООС
Определим АЧХ и ФЧХ для ZBX0'w) и построим их графики
(рис. 1.9), подсчитав значения при со=0, со=°°.
ZBX(оз)
■
R 5 T1
2 ^ ( 0 ) = со; Z BX(oo) = R.
1
<рг(со)= -arctg — -■, <pz(0)« - 71/ 2, фг(оо) = 0.
(OC/v
Используя определение КцЦсо), получим его выражение
.
1
K u m =U
~ЫL
;шС
lm
Г/,+£/„
/<аС
1
1+*°s c
Определим АЧХ и ФЧХ для Ку(/(0)'и построим их графики
(рис. 1. 10), подсчитав значения при со=0, со=°°.
19
Zi
« 1 +jbi
Ы*
Вспомним, что z = ——= ------- -— = -j— r"£T
z2
a2 +jb2 \z2\em
где |г| = Jfli;
1 ^2
zr
»
ф = ф ! - ф 2, тогда
I
ATtXO) =
1
; АГгХО) = 1; АГУ(~) = 0 ;
VI + (соДС) 2
фл(со) = arctg у ~ arctg ~"у“ - О - arctg (URC.
Отсюда следует: <р*(<») - п/2, <pt(0) = 0.
Такая цепь пропускает сигналы низких частот (Кц{0) = 1)
и подавляет сигналы высоких частот (Кц(°°) = 0) и называется
фильтром низких частот (ФНЧ).
Граничная частота определяется из выражения
Рассчитаем ее для нашего примера:
U®) = I—
■
= —f= i <°грRC = 1 => (о = —— .
д/1+( % К С )г V2
RC
Пример 1.4. Условия прежние. Схема приведена на рис. 1.11.
Найдем комплексную функцию входного
сопротивления, а также ее АЧХ и ФЧХ и по­
строим
графики (рис. 1. 12).
I
От исходной цепи переходим к ее ком-*
1
1
плексной схеме замещения (см. рис. 1.4). Далее,
по аналогии с предыдущей, найдем интересующие нас частотные
зависимости:
20
л / |"
4m
+ - 'M L / l "
= r + №■,
1lm
lm
г ( ш ) - / я 2 +(со!)2 , z(0 ) = ft; z(°°) - °°.
Фг (ш ) = a rc tg — ; фг(0) = 0, фг(°°) = я /2 .
A
Получим выражения для £у(/м), ^(со), фЛ(ш):
U L_______
К и U t o ) » - З*—
^R+^L
1
*Г</Осо) =
11+
jtoZJ,lm
М
R h m + № L Ilm
i?+j(O L
, ад).=о, № ) = i.
k COL
Графики зависимостей ^Гу(ш), ф*(со) приведены на рис. 1.13:
О
т
1
1
ф* (со) = a rc tg — arctg
JL
R
R
coL
coL
= 0 - arctg — = - a r c tg — ;
Ф*(0) = -71/2; ф * Н = 0 .
Эта цепь, пропускающая сигналы высоких частот и подав­
ляющая сигналы низких частот, называется фильтром высоких час­
тот (ФВЧ).
гш
f <W»
•и/2
L
Рис. 1.12
21
Определим
граничную
Ки
частоту.
По
определению
Отсюда:
1+
\
2
R
1
= 1;
D
0 )^,1Г = Я;
=» шп, = уR .
R
Пример 1.5. Для цепи (рис. 1.14) определить комплексную
с
j
функцию входного сопротивления
2;х(/'(0), ее АЧХ - ZbX(0 )) и ФЧХ J/?3
ф 2 (Ю ).
-о--------Рис. 1.14
Дано: R\= 1 кОм; R2 = 2 кОм;
Л3 = 2 кОм; С = 1 мкФ; L = 10'2 Гн.
Р е ш е н и е . Комплексную функцию входного сопротивле­
ния находим методом эквивалентных преобразований, перейдя
к комплексной схеме замещения (см. рис. 1.5).
На первом этапе преобразуем участок цепи, содержащий по­
следовательное соединение элементов L и /?3. Получим выражение
для их комплексного сопротивления £ 3 4 = j(oL + R3.
На втором этапе преобразуем участок цепи, состоящий
из параллельно соединенных элементов R2 и Zj4 . Получим
-7у-. —
_ ^2 (*з
R2 +
1■' •
+ jmL
На третьем, заключительном, этапе преобразуем участок
цепи, содержащий последовательное соединение ветви 2Х. Она со­
стоит из последовательного соединения R\ и С и участка цепй
с сопротивлением Z2 34 . Получим
” ,х
22
о)С
К2 + К3 + jcoL
Запишем полученное выражение в алгебраической форме:
^ (М =
(Л2 +Л3 )+(<*>&)
^Ci)£K2 (K2 + K3)-coLR2K3 __ 1_ Ч
+ J
о с
’ ( я 2 + я 3) 2 + (с о £ )2
/
Отсюда выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид:
Л, +
Я2 Я3 (Л2 +Д1 )+С)ЧгЯ1 Ч 1
(Л2 +Я,)2 +(Ю/ . ) 2
0)L/?2(/^2
)*“(Л/*/?2^3 _ 1_
(Я2 +К5 )г+(аЛ) 2
шС
coZJ?2 ( Я 2 + Я 5 ) - coL K 2K 3 ____ 1
ф, (со) = arctg
(Л 2 + Л 3 ) 2 + (c o -L )2
Я,+
с о -С
/?2 /?3 ( K 2 + / ? 3 ) + c o 2 Z ?/?2
(/?2 +/?3 ) 2 +(co-L) 2
Качественный анализ схемы показывает, что при со = 0, т.к.
Хс = °° - входное сопротивление - равно бесконечности, а при
СО—
т.к. Xc = 0, Xl=<*>} входное сопротивление равно /?] + Л2.
Это совпадает с расчетом по полученным выражениям, что под­
тверждает их правильность.
Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках
(рис. 1.15 и 1.16). При этом значение частоты взято в логарифмиче­
ском масштабе, т.е. lg со.
*»(•>
23
Пример 1.6. Для цепи (см. рис. 1.14), используя метод кон­
турных токов, вывести выражения для комплексной функции
коэффициента передачи напряжений АГу(/со) (его АЧХ - Ки(&)
и ФЧХ - <р*(со)) и построить графики АЧХ и ФЧХ.
Р е ш е н и е . Топологический анализ показывает: число уз­
лов Пу=2, число ветвей пв= 3. Отсюда число независимых конту­
ров Nt = пу- п в+ 1 = 3-2+1 = 2. Выбираем направление обхода кон­
туров, как правило, по часовой стрелке. Вводим обозначения
и направления контурных токов / и и 12г, как показано на
рис. 1.14.
Для нахождения U2m, используя МКА, необходимо найти
ток /jj ( U2m = R$i22). Система уравнений, составленная по методу
контурных токов, имеет вид:
—R2*/ц + (/?2 + Л3+
•L)i22 = о.
Решая систему по методу Крамера относительно тока 1 ^ ,
получаем:
j
22
_______________________ CU ы ___________________________
(,/Q))2LC(/?, +Д2) + </соС(Л,Л 1 +Л,Л 3 +Л 2Л3 +L/C) +(R2 + /?3)
Отсюда выражение для комплексного коэффициента переда­
чи напряжения имеет вид:
K(ja>) =----------------------------------1
—.-------------------------:----- -•
RiRt + RiRs +RjRi +LI C
( <oL(/?1+J?2)
/?2 ^3
АЧХ и ФЧХ соответственно равны:
24
Я2 + ^3
ШС /?2 /?з
1
_____________ .
K(CD) = __
^ R tR2 + RjR3 + /f2fi3 + L/C у Г (0 L(/?t + R2) R2 + R3 ^
\{
J
R2R3
+(
0)CR2Rj j
Ms
со£(Л, + Л2)
/?2 “Ь
®CR2Rз
R^R^
Фк ((0) = -arctg
/?]Л2 +
+ /?2/?3 + LIC
м
3
Качественный анализ схемы показывает, что при а) = 0, т.к.
*С(о»0)-^ °°> ТО U2m=0, т.е. ^ 0 ) = 0. При СО= =о ХДю-.)-»«>,
а потому t/гт = 0, т.е. К ц ^ ) = 0. Это совпадает с расчетом по полу­
ченным выражениям для АЧХ, что подтверждает правильность
Проведенных расчетов.
Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках
(рис. 1.17 и 1.18). При этом значения частоты взяты в логарифми•ческом масштабе, т.е. lgco.
ВД
«К»)
0.6
N
0.4
0.2
0
100
10*
ю
Рис. 1.17
100
103
10*
10*
10й
Рис. 1.18
Пример 1.7. Решить пример 1.6 методом узловых потенциалов.
Р е ш е н и е . Схема содержит три узла (лу= 3). Пронумеруем
узлы и введем их обозначения (см. рис. 1.14). Для нахождения Ubn
необходимо определить фг = ЭДт* Система уравнений для нахожде­
ния фг, составленная по методу узловых потенциалов, имеет вид:
25
I ll Ф1 “ >12 Ф2 _ hi ~UlmIZ.15
->21
Ф,+У22 Ф2 = 0 '
1
v
V
где Yn = —1 + ——+
—1 Yn
= Yn
~1 t±2 ~3
v
1 , 1
—1- , >22+7
—2
—3 '{±i
Решая эту систему относительно фг по методу Крамера, по­
лучим:
Уц 1и
Фг =
Z j Z aU i,
У21 О __Y21(Ulm/ Z l ) _ _____
Уц ~Уп
-У21
>11^22 “ >21>12
Z 1Z 2 + Z\ Z 3 + Z,Z 4 + Z 2Z 3 + Z 2Z4
>2 2
Отсюда, после подстановок, получим выражение для ком­
плексного коэффициента передачи напряжения:
*Г(Ум)=
1
К\ /?2 + R\ /?з + -^2^3
С
R2R 3
+/
(oL(/?1+/?2)
2
ЛЭ
/?2 + /?3 '
озс/г2 л3
АЧХ и ФЧХ соответственно равны:
1
вд=
^ 1^2 ‘^’^ 1^3 "^^2^3 " t ' L / C Г coZ/(/?j+Л2)
^2^3
Ф* (CD) = -arctg
j
е д
COZ/(/?i + /?2 )
Л2+/?з
/?2/?3
ШС/?2^3
Л2+Лз
сосл 2 л 3
Сопоставляя результаты расчета в данном примере с резуль­
татами предыдущего примера, видим их полное совпадение. Это
подтверждает правильность наших расчетов.
Глава 2
ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Переходной характеристикой цепи h(t) называют отношение,
отклика цепи y(t) (например, выходное напряжение Uy(t)) к величи­
не X ступенчатого воздействия x(t) = X • 1(?) (например, входного
напряжения U(t) = U0- 1(f)) при нулевых начальных условиях
(рис. 2 . 1), т.е.
h(t) = Y(t)IX, *>0
(2.1)
Рис. 2.1
Существует ряд аналитических методов расчета переходных
характеристик (ПХ): классический, операторный, спектральный
и временной.
Рассмотрим классический метод расчета ПХ. Он
к составлению и решению дифференциального ypaj
навливаюгцего связь между входным и выходным
Согласно этому методу необходимо: составить диффер s
уравнение, устанавливающее связь между откликом
действием.
2.1. Дифференциальное уравнение цепи
2.1.1.
Для установления связи между откликом и воздействи
ем на основе законов Кирхгофа или другими приемами решения
задач для разветвленных цепей (например, методами контурных
токов или узловых потенциалов) составляют уравнения для рас­
сматриваемой цепи относительно мгновенных значений токов, на­
пряжений или зарядов: i, и или q.
При их составлении используются следующие соотношения:
i - r dUC
Л ~ d t'
uK= i-R ;
(2.3)
(2.5)
II
i= Tdt ’
i = ~ -\u Ldf,
Lo
n dq
ur - Я — ;
dt
v-/
di
и, = L— ;
L
dt
(2 .2 )
C0
(2.4)
где uRt uLt ис - мгновенное значение напряжения на соответствую­
щих элементах цепи.
Составленные уравнения образуют систему интегродифференциальных уравнений. За переменные в этах уравнениях
обычно принимают переменные состояния - величины, отражаю­
щие энергетическое состояние в цепи. Такими величинами являют­
ся: k - токи через индуктивности, ис - напряжения на емкостях.
Систему уравнений, составленную для переменных состояния, на­
зывают системой уравнений состояния цепи.
2.1.2.
Путем последовательного исключения отдельных пе
ременных, подстановок и повторного дифференцирования, Систему
уравнений состояния сводят к одному дифференциальному урав­
нению вида:
28
где у - отклик, х - воздействие, а0... ап_х ,Ь0... Ът - постоянные ко­
эффициенты, п - порядок дифференциального уравнения, зависи­
мый от числа реактивных элементов в схеме и способа их соединения.
2.2. Общее решение неоднородного линейного
дифференциального уравнения
2.2.1.
Известно, что общее решение неоднородного линейн
го дифференциального уравнения (НЛДУ) состоит из двух частей:
(2.7)
где ус(0 - общее решение линейного однородного дифференци­
ального уравнения (ЛОДУ), полученное из (2.6) при x(t) = 0; yB(t) частное решение НЛДУ.
Частное решение неоднородного уравнения у,(/) зависит от
внешнего воздействия *(/). Поэтому его называют вынужденным.
За него часто принимают решение уравнения в установившемся
режиме у,(°°), то есть при t —> Если воздействие представляет
собой скачок постоянного напряжения x(t) = Е- 1(f), то решение
ищут путем анализа цепи по постоянному току, когда со = 0. Или,
если известно выражение для комплексного коэффициента переда­
чи цепи АТ(/со), то решение находят из выражения
Уво ->«.)- АГу(о)_>о) Е,
(2 .8)
где Кщо) - коэффициент передачи по напряжению на нулевой час­
тоте (со = 0 ).
2.2.2.
Общее решение линейного однородного дифференц
ального уравнения (ЛОДУ) находится при x(t) = 0. Оно характери­
зует собственные процессы в цепи, поэтому называется собствен­
ным или свободным и ищется в виде:
29
yc (t) = A lep't +A2eP2t + ...... + ANePN‘ ,
(2.9)
где Ab A2..A n - постоянные коэффициенты, зависящие от началь­
ных или граничных значений; p h р2-.ры - корни характеристиче­
ского уравнения. Его получают из однородного дифференциально­
го уравнения заменой производных:
рп +
1рп *+...+ до = 0 .
(2 . 10)
Характер решения (2.9) дифференциального уравнения зави­
сит от характера корней уравнения (2.10). Рассмотрим возможные
варианты решения для уравнения второго порядка (п=2 ), для более
высоких, порядков решение получается громоздким. Корнями
уравнения (2 . 10) при п=2 являются:
(2.11)
Если:
а) корни вещественны и равны:
Pi = Рг = ~ — = а , то у = (А +А2)еш ;
( 2 . 12)
б) корни вещественны и неравны:
рх Фр2, то у = А{еР1‘ + А2еР2‘ ;
(2.13)
в) корни мнимые:
Pi =;Р;Рг
30
ТО
y
= A1cospf + A2 sm|3f = ,4cos(Pf + <p),(2.14)
г) корни комплексные:
р 12= а + ;Р , то >' = ea ,(4 c o s P f + A2 sin(3 0 :=Aea,cos(P/+ 9 ) ,( 2 . 15 )
где А и ,ф определяются согласно (2.14).
В пассивных цепях собственные колебания протекают под
действием начальной энергии, накопленной в виде зарядов емко­
стей или токов через индуктивность. С течением времени накоп­
ленная энергия переходит в тепловую. Поэтому собственные коле­
бания затухают, а величина a < 0 .
Существенным этапом решения ЛОДУ являются нахождение
постоянных интегрирования A i...A n. Они определяются, исходя из
начальных условий, т.е. из состояния цепи при t ~ 0 , для искомой
функции и ее производных. Определив при начальных условиях
значения искомой функции у(0) и ее производных у1(О)-уп“1(0) и под­
ставив эти значения в формулу для общего решения (2.18) и ее
производных, при t = 0 получаем систему уравнений, из решения
которой и находятся значения А \..Л п.
Для нахождения значений искомой функции и ее производ­
ных при t = 0 следует учитывать следующие физические законы
непрерывности (законы коммутации):
1- Закон непрерывности изменения магнитного потока. Из
него следует, что ток через индуктивность после изменения напря­
жения на н е й мгновенно изменяться не может т.е.
iL( - 0 ) = iL(+ 0 ) .
WL
•
(2-16)
2.
Закон непрерывности изменения заряда. Из него следу
что напряжение на емкости при изменении тока, протекающего
через него, мгновенно измениться не может, т.е.
о - |£ - о
V с ( -0 ) = £/с (+ 0 ),
Wc = ^ f l .
(2.17)
31
Если порядок уравнения (2.6) больше двух, то расчет ПХ ме­
тодом дифференциальных уравнений оказывается громоздким
и неудобным. В этом случае целесообразно применить оператор­
ный метод.
2.3. Переходная характеристика
В соответствии с определением (2.1), переходная характери­
стика, найденная классическим методом, в общем виде определяет­
ся выражением:
h(t) = y(°o) + '£ A le p‘l.
/=1
(2.18)
2.4. Временные параметры переходной характеристики
Временными параметрами, характеризующими ПХ, являются
постоянная времени т и время установления /уст.
Постоянная времени вводится для экспоненциальной функ­
ции вида: у = ер1, где р < 0. Постоянная времени т =
характериР
зует скорость изменения экспоненциальной функции на начальном
этапе. Под постоянной времени цепи понимают время, за которое
выходной сигнал, изменившийся по закону у = е^, уменьшается
в ^ = 2,71 раз, т.е. до уровня Me = 0,37 от своего начального
значения.
Время установления - это время, за которое переходная ха­
рактеристика достигает своего стационарного значения с заданной
точностью. Функция, уменьшающаяся по закону у = ехр(г/т) за вре­
мя Зт, достигает своего стационарного значения с точностью 5%.
Если нет особых оговорок, то за время установления принимают Зт
(^уст = Зт).
32
Рассмотрим цепь первого порядка.
1. Для цепи 1-го порядка составленное дифференциальное
уравнение имеет вид:
at
+ У* / ( * ) .
*(|) = £/(*)•
2. Общее решение неоднородного ЛДУ известно:
у ( 0 = У1(0 + у 2( 0 .
где уу ( 0 - общее решение однородного дифференциального урав­
нения, когда /( * ) = 0. Его решение известно, оно имеет вид
yY(t) = A{e Plt; у2 (/) - частное решение неоднородного ЛДУ
3. Найдем частное решение неоднородного ЛДУ. Его вид за­
висит от правой части неоднородного уравнения, т.е. от воздейст­
вующего сигнала. Если входной сигнал - ступенчатая функция
Е 1(f), то при / —» его можно считать постоянной величиной,
а потому за y2(t) принять у2 (* —»00) = УгС00) и находить как от­
клик цепи на входной сигнал постоянной величины Е, считая его
гармоническим сигналом с нулевой частотой (Е =Е cosat |о-о).
Отсюда общее решение имеет вид:
y(.t) = Ae">+y(~).
4. Определим р, как корень характеристического уравнения.
Оно для дифференциального уравнения первого порядка имеет ввд
тр\ + 1 = 0 , отсюда ру= — .
х
5. Произвольная постоянная Ai определяется из начальных
условий самой функции и ее производных.
Найдем
А\.
При
t —0
у(0) = А+у(«>),
отсюда
А = у(0)-у(® °). Значение у(0) находится из начальных условий
33
при г = 0 с использованием законов коммутации или из схемы за­
мещения исходной цепи при со —>
6 . Отсюда общее решение для цепи первого порядка имеет вид:
У(0 = У(°°) + (у( 0) - y(°°))ePi‘.
2.5. П рим еры
Пример 2.1: Для схемы, приведенной на рис. 2.2, найти
U 2 (t) = h(t) = l
Р е ш е н и е . 1. Составим дифференциальное уравнение от­
носительно U U c i и приведем его к стандартному виду:
t / „ + t / c = t/,(f); и с = и г -,
iR+U 2=Ut (l)-, Uc = ± \ i d t = ± ; \ v 2df,
2. Запишем
общее
яс^.+£/2=£/,(»)•
решение:
u {t)~ A ePlt +м(«>),
т.е. y(t) = у(<*) + (у( 0 ) - y(°°))ePlt.
3. Найдем
из схемы замещения (рис. 2.3) исходной це­
пи при t -» ©о (когда <ю= 0). Получим у(оо) = Е .
4. Найдем корень характеристического уравнения
1
Pl
”т
1
RC '
5. Найдем у(0) из схемы замещения (рис. 2.4) исходной цепи
при t -» 0 (когда со оо). Учитывая нулевые начальные условия
и закон коммутации для емкости, получим у(0 ) = 0 .
6 . Запишем окончательное решение:
I
h (t) = U2(t) = E ( 1 -е " * с ).
34
I
m
R1
U1
Cl U2
Рис. 2.2
Я-
U2 i
U2
d
'
y(0)=0
Схема при t -» ao
Схема при t -» 0
р ис. 2.3
Рис. 2.4
График ПХ приведен на рис. 2.5.
Переходная характеристика имеет два параметра:
J
1) постоянная времени - время, за
lU2(t)
которое переходная характеристика
E
достигает уровня 0,63 от своего стацио­ 0.63E
•c-RC
нарного значения:
f.
U2(/ = х) = Е(1—е~1) = 0,63£ ;
t
------ ►
Рис.2.5
2) время установления: tycT1%= 5т, tyets%- Зх.
Пример 2.2. Рассчитать переходную характеристику двух­
контурной цепи (рис. 2 .6).
HP
сл(0 = а д ,
о -? .
U2( i )= U 2 = L ^ , U ,~ ± fa d t+ U ( 0 ).
Рнс.2.6
Р е ш е н и е . 1. Составим дифферен­
циальное уравнение и приведем его к стандартному виду.
Уравнение будем составлять относительно тока второго кон­
тура *2, используя метод контурных токов, а в конце найдем
и г= L(di2/ dt). По методу контурных токов запишем систему, после
преобразований сведем ее к дифференциальному уравнению второ­
го порядка:
,1 t
— Jij dt +
- i2R - U j ( 0
U
L —— + Ri2 ~ i xR —0*
dt
2 1
35
L di
+ - f МЙ + L ^ - + i 2R - i 2R = С/, (I),
. c{0 dt
1 dU.
L dt
2. Общее решение относительно тока h имеет вид:
i2 = A « ',', + A !e " '+ i 2( ~ ) .
3.
Найдем /гС00) из схемы замещения (рис. 2.7) при
гда со = 0. Получим h(оо) = 0.
Общее решение относительно напряжения имеет вид
V 2(t) = L (PlAlep' ' + р 2А2е™ ).
4. Найдём А у и Аг из схемы замещения (рис. 2.8) при t —>О,
когда © оо.
Учитывая нулевые начальные условия и законы коммутации
для емкости и индуктивности или условие, когда ю н> «■, получим
систему:
1Ш 0 ) = Д1+Л 2 = 0 ;
2) Ui(0) —Lp\A\ + IjpiAi = Е.
i2(0) = А х+ Аг = 0
А, = -Л 2,
А х- Е ! U p i-рг), А2- —Е / L(p\- рг).
5. Найдем pi, рг - корни характеристического уравнения:
р г +2ар + а>1 = 0 ,
р12 = - а ± д / а 2 -coj .
6. Дальше проводится анализ корней характеристического
уравнения
и
записывается
окончательное
решение
-
U2( t ) ^ L ( p lAle p^ p 2A2e n l ):
36
к
а) если а > too, корни - действительные: ри рг < 0 , то решение
состоит из двух экспонент (рис. 2.9). Такое решение называется
апериодическим;
б) если а < о)о, корни ~ комплексные: р\ = - а + jp; рг= - а - / р .
В этом случае решение будет представлять собой затухающую гар­
моническую функцию. Такое решение называется колебательным.
Схема п ри
Схема при
t
I
Рис. 2.9
Рис. 2.8
Рис. 2.7
Найдем границу между этими двумя случаями:
a 2 =coJ,
2R C j
LC ’
LC
4 (RCY
4 С R2
Q= 2 .
4R 2
При Q < 2 - решение имеет апериодический характер
При Q > 2 ~ решение имеет колебательный характер.
П рим ер 2.3. Рассчитать переходную характеристику после­
довательного колебательного контура (рис. 2.10): Ui(t) = Е 1(f),
1.
Составим дифференциальное уравнение и приведем его
к стандартному виду. Уравнение будем составлять относительно
Uс~ Ut> используя 2-й закон Кирхгофа Ur+ Uc+ Ul= U\ и законы
Ома для элементов контура:
r
dUo
p2
di
.„ d * U 2
2. Общее решение относительно напряжения U2 имеет вид:
U2 = A 1e p't + A 2e P2‘ + U 2 (°°).
3. Найдем U2(«*) из схемы замещения (рис. 2.11) при / —> оо,
когда со = О, Получим t/2(<*>) - Е.
4. Найдем А х и А 2) используя схему' замещения (рис. 2.12) при
t -» О, когда со -> ■*>.
Рис. 2.11
Рис. 2.10
Рис. 2.12
Учитывая нулевые начальные условия и законы коммутации
для емкости и индуктивности, или условие, когда со —> <», получим
систему для нахождения Аь А2:
U2{0) = А\ + А2 + Е —0;
при t - 0
dU '
i(0) = C
\
Aj = -
dt
РгЕ
= CA1p 1 + CA2 p 2 = 0
/=0
Ao = -
P2 “ Pi
PiE
Pi
Pi
5. Найдем pu рг - корни характеристического уравнения:
р 2 + 2 a p + coJ = 0 ,
Pi = - a - 1/ a 2 -coj = -a -p ;
а)
p2 - - a + ^ a 2-coj = - a + (3.
если
a > СОо,
to
p\ - - a -
P2 = - a + p; корни действительные отрица­
тельные.
38
= Е - Е е 'м
20
- £ _ Ё е-Р' =
2Р
Если а » р, то затухание экспоненты преобладает над всеми
остальными функциями, т.е. р/ —►0 —►shO = 0, chO = 1.
б) Если а < соо, то /?1=-а+;Р, р г = - а - $ ', корни комплексные.
Определим время установления переходного процесса на
уровне ОД:
—ОД; tya-OJQT,
где Т - период колебательного процесса. Отсюда следует, что Q добротность, примерно определяется числом периодов, за которое
амплитуда колебаний переходной характеристики уменьшается
в 10 раз.
Пример 2.4. Для схемы, приведенной на рис. 2.14, а
переходную характеристику: U2(t) = h ( t ) - 1 1 Ci = С2= (
Ri = 1кОм, Rz = Ю'кОм.
Р е ш е н и е . 1. Составим дифференциальное yp£
и приведем его к стандартному виду.
Рис. 2.14
За переменную в дифференциальном уравнении принимаем
напряжение, снимаемое с конденсатора С2: оно есть выходное на­
пряжение (отклик) и переменная, характеризующая энергетическое
состояние цепи. Выходное напряжение определяется выражением:
“ 2 = « C2 = 7 T p 2 ^ »
(2-19)
где h - ток второго контура. Пользуясь методом контурных токов,
составим уравнения для 1-го и 2 -го контуров и установим связь
между мгновенными значениями отклика и2 и воздействия щ:
"gfiidt+
~ hR\ ~ Щ»
—Rfy + R^i2 + i^Ri + и2 ~ О,
где iu ii - контурные токи 1-го, 2 -го контуров.
Решим второе уравнение относительно i\ и, учитывая, что
_ du,
h - Сг -----»получим:
.И —
_ t-'O
^ —
du2 Т. —
C2R2 —
du2 , —
и2 .
dt
R: dt
R,
Подставив i\ в первое уравнение, получим
40
Сократим однородные члены и путем дифференцирования по
времени всех членов уравнения получим дифференциальное урав­
нение вида:
dt 2
L. +— +
^C , В Д
Д2С2
dt
1
__ 1 du
ЩСхК2Сг 2 R2C2 dt
2 . Запишем общее решение дифференциального уравнения
второго порядка. Общее решение уравнения (2.20) известно, оно
имеет вид:
и2(1)=и2(°°) + А1е г,'г + А 1еР2‘ .
(2.21)
3. Найдем вынужденную составляющую общего решения
И2(°°) из схемы замещения исходной цепи (рис. 2.14, б), составлен­
ной при t —» ев (со = 0 ).
Анализ цепи показывает, что вынужденная составляющая
переходной характеристики равна:
м2(°°) ” 0 .
Отсюда следует, что искомая функция примет вид
u2(t) = Alep'‘ +А2ер* .
(2.22)
4. Найдем А\ и Л2. Их находят из начальных условий (при
t = 0 ) для искомой функции и ее производных.
Из выражения (2.22) для общего решения следует, что иско­
мая функция при t = 0 равна
• M2(j=0)= ^ 1+Аг,
а производная от искомой функции при t = 0 :
du2
dt
= (AiPiePl' +A 2p 2eP2') |. =o - А ф +Агр г .
1-0
41
Учтем, что С~-~= /2((=0), где i2(t = 0) ток второго контура
dt ,=0
при t —0 .
Определим u2(t = 0) и i2{t ~ 0) из анализа схемы при нуле­
вых начальных условиях с учетом законов коммутации. Поскольку
напряжение на конденсаторе мгновенно измениться не может, то
ис(+0 ) = uc(-0 ) = 0 , где мс(+0 ) - напряжение на конденсаторе после
подачи скачка напряжения; ис(-О) - напряжемте на конденсаторе
до подачи скачка напряжения, которое при нулевых начальных ус­
ловиях равно нулю, а конденсаторы С\ и С2 на схеме (схема t = 0)
представляют собой участки цепи с нулевым сопротивлением.
Следовательно, схема замещения исходной цепи при t —> 0 (0) = °®)
имеет вид, приведенный на рис. 2.14, в.
Из анализа этой схемы замещения следует, что «2о=о) = О
и i2(f=0) = E l R2.. Отсюда уравнения для нахождения постоянных
интегрирования А\ и А2 принимают вид: u2(f = 0) = 0 = Ai+А2;
g
i2(? = 0 ) = —- = C 2A]pt + C2A2p 2.
л2
Из решения этой системы следует:
А
Е
А
R-2^2 (Pi "" Р2 )
-
Запишем общее решение неоднородного дифференциального
уравнения:
мг (г) = --------------------« '■ '------------- ---------е п ‘ .
R-2^2 (Р\ ~ Рг)
^2^2 ( P l ~ P l )
5.
Найдем корни характеристического уравнения pi = a+(5;
рг= a - Р , где:
42
Очевидно, что |ос|>Р, а потому корни вещественны и раз­
личны, причем р2< pi < 0 .
6 . Запишем окончательное решение и проведем анализ ПХ.
Переходная характеристика имеет вид:
/*(,) = М £ 1 = -------- I-------- ер*----------- 1---------e pv,
Е
R2C2(.P\~P2)
&гС2(Р\~~Р2)
Качественный анализ ПХ показывает, что она состоит из
двух экспонент: “быстрой”, с постоянной
времени х2 = ~1 / ръ и “медленной”, с по­
стоянной времени t ’i = -1 / р х ( »
т2),
'Ai/e
V -»
м
амплитуды которых одинаковы по вели­
i
чине, но противоположны по знаку
(A j ~ —A2). Графики составляющих ПХ и hf Aj/e Рис2.15
самой ПХ приведены на рис. 2.15.
Очевидно, что время нарастания ПХ, т.е. область малых вре­
мен, будет определяться т2, а время установления ПХ, область
больших времен, постоянной времени Ti.
7.
Расчет и построение переходной характеристики с помо­
щью ЭВМ.
Для определения временного интервала и шага, с которым
будем производить расчет графика ПХ, необходимо проанализиро­
вать характер функций, составляющих переходную характеристику.
В рассматриваемом примере ПХ представляется суммой двух
1
1
экспонент с постоянными временами т1 = ----- и т 2 = -------.
Р\
Рг
Если величины т, и т 2 одного порядка, то за временной ин­
тервал О-Г1 принимается Тх - 4max{TltT2} • ^ аг изменения вреТ
мени определим из соотношения Д£ = — , где п - число точек Г1Х
п
(примем п = 20 ).
Если величины т, и т 2 сильно отличаются ( t i » x 2), то рас­
чет ПХ необходимо вести для двух интервалов:
а) для области малых времен примем
- (4 + 5 )т 2 с шагом
Д *=3- (П= 10);
п
б) для области больших времен примем Т2 = (4 + 5)Т! с шаТ
гом Д*=— (л -1 0 ).
п
В рассматриваемом примере
= 0,001, т 2 =9,0110”3,
> > х 2 >а примерный вид ПХ приведен на рис. 2.15.
В ряде случаев ПХ может иметь вид затухающей по экспо­
ненте гармонической функции вида Aexp(ou)sinP(0*l(0 . В этом
случае за временной интервал принимаем Г2 = ( 4 +5 ) / а , за шаг
Т
измерения - величину At- ~ ~ , где Т - период гармонических коле8
баний Т - 2 п / р.
8.
Пример расчета переходных характеристик электрических
цепей с помощью пакета математических программ' Mathcad.
8 . 1.
Вычислить корни характеристического уравнения р \, р
и постоянные времени tj,
44
( 1 . 1
1 \
аа -‘ 21 [ R l - C l R 2 -C 1 ' R 2 - C 2 )
1 "1
f l l Г 1 ....1
4 [ R 1-C 1 R 2 -C 1 ' R 2 C 2 JI1 R 1 -C 1 1-R 2 -C 2 1
|
p l : « a + p, pi = -900.98, р 2 := а-|3 , р2 = -1.1М04;
x l : = ~ , т2 :~— , т1 =0.001, т2 = 9.0М0"5.
pi
р2
8.2. Вычислить коэффициенты А1 и А2:
F
-F
Е : = 1 , Л1:=-------- ~--------г, А2:=--------- =-------т.
R2 •С2 •(pi ■
- р2)
R2 •С2 •(pi - р2)
Определим шаг по времени, примем число отсчетов:
Т1г=5-т2, Т2 := 5*.т1, Т1 = 4.50-510-4, Т2 = 5-10-3.
8.3.
Введите выражение для переходной характеристик]
К= 1000,
hli := Al exp(pl-tli) + А2-ехрС
h2i := Al*exp(pl't2j) + А2-ехр<
tli := tli-1000 [мС], , t2j:=.
Результаты расчета переходньг
рис. 2.16.
45
Рис. 2.16
Здесь hlj —переходная характеристика для области малых времен,
h 2 j - переходная характеристика для области больших времен.
ГЛАВА 3
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ЧАСТОТНЫХ И ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
С ПОМОЩЬЮ ПРИБОРОВ ВИРТУАЛЬНОЙ
ЛАБОРАТОРИИ ELEKTRONICS WORKBENCH (EWB)
В состав виртуальной лаборатории (EWB) входят следующие
измерительные приборы.
Осциллограф - это прибор, который предназначен для визу­
ального контроля за формой электрических сигналов и измерения
их параметров по изображению, наблюдаемому на экране элек­
тронно-лучевой трубки. По наблюдаемому изображению сигнала
возможно измерение амплитудных и временных параметров сигналов.
Генератор - это прибор, который предназначен для создания
электрических сигналов, используемых для исследования электри­
ческих цепей и электронных устройств.
Измеритель диаграмм Боде (или плоттер Боде) предназначен
для измерения АЧХ и ФЧХ электрических цепей.
Чтобы скопировать в отчет, подготавливаемый в текстовом
редакторе Word, изображение схемы или любого фрагмента, рас­
положенного на рабочем столе программы EWB, необходимо дей­
ствовать следующим образом:
в меню Edit выделить команду Copy as Bitmap. После чего
курсор мыши превращается в крестик, которым по правилу прямо­
угольника можно выделить нужную часть экрана. После отпуска­
ния левой кнопки мыши выделенная часть копируется в буфер об­
мена, содержимое которого может быть импортировано в любое
приложения Windows.
47
3.1. Методика измерения частотных (АЧХ и ФЧХ)
характеристик
По определению частотная характеристика параметра цепи
есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды
отклика к комплексной амплитуде входного гармонического сигнала:
H<j(o) = Y J X m.
Таким образом, ЧХ есть функция комплексной переменной усо
(комплексной частоты) и ее называют комплексной частотной ха­
рактеристикой (КЧХ), которую в показательной форме можно за­
писать следующим образом:
НО'ш) = 5 V Хт = (YmeI b )HXmel v- ) = (Г ./Л У е'**’.
Из записанного следует, что комплексная функция состоит из
двух действительных функций:
Я(со) = Ym/Xm - АЧХ и <р(со) = фу - ф* - ФЧХ.
Измерение АЧХ и ФЧХ с помощью генератора и осцилло­
графа слишком трудоемко, значительно проще проводить измере­
ния с помощью измерителя диаграмм Боде, входящего в’ состав
виртуальной электронной лаборатории EWB. Передняя панель
и его выводы показаны на рис. 3.1.
...........................................
■
:
........................................ *
га Л
в в U*
г[_ » ЗЦ rfi _....„713 (мТЕ]
ifeojg... М «КГ
I® И И
04
SC3
? ь
[тзздг-
.
Щ«* ?
"
■......... ...........Г
“В Х О Д "
“В Ы Х О Д "
V m
\ и „
а
1“ В Х О Д "
а ----------1
“ В Ы Х О Д ’'
------------ ч
б
Рис. 3.1
В режиме измерения АЧХ (Magnitude) на экран выводится
график зависимости от частоты отношения Umy! Umx, где Umy - ам48
плитуда гармонического сигнала по напряжению на выводах ОПТ “ВЫХОД”, a Umx - амплитуда гармонического сигнала по напряже­
нию на выводах DS - “ВХОД”. В режиме измерения ФЧХ (Phase)
на экран выводится график зависимости от частоты фазового сдви­
га между гармоническими сигналами по напряжению Umy на выво­
дах “ВЫХОД”, и - Unix на выводах “ВХОД”.
Настройка измерителя заключается в выборе масштабов по
осям: логарифмического (кнопка LOG) или линейного (кнопка LIN),
и в выборе пределов измерения по вертикальной и горизонтальной
осям с помощью кнопок в окошках: F - максимальное значение
и / - минимальное значение.
Измерение конкретных значений АЧХ и ФЧХ можно прово­
дить с помощью вертикальной визирной линии, которая в исход­
ном положении находится в начале координат и перемещается по
экрану с помощью мыши или кнопками
Значения измеряемой функции и ее аргумента в месте уста­
новки визирной линии индицируются в окошках в правом нижнем
углу.
3.2. Схема ц методика измерения частотных
передаточных по напряжению характеристик
(АЧХ и ФЧХ) четырехполюсника
К частотным передаточным характеристикам четырехполюс­
ника относят комплексную функцию коэффициента напряжений
K(j(o) = Ubn! Uim. Она представляет собой зависимость от частотг
отношения комплексной амплитуды выходного напряжения к ком
плексной амплитуде напряжения на входе. Отсюда следует, чт
АЧХ передаточной функции напряжений есть К{(л) - Иъ*1 Ни
а ФЧХ передаточной функции напряжений есть <pK(<o) = ф2- <|>i.
49
Следовательно, для измерения указанных характеристик
клеммы ВХОД измерителя диаграмм Боде необходимо подсоеди­
нить к входу исследуемого четырехполюсника, а клеммы ВЫХОД
к выходу четырехполюсника.
3.3. Схема измерения частотных переда точных
по напряжению характеристик цени
Схема измерения приведена на рис. 3.2.
Рис. 3.2
Как следует из схемы, Ym= Uzm, а Хт= U\m. Отсюда следует,
что измеряемая характеристика представляет собой комплексную
функцию коэффициента передачи напряжений, т.е.
ЯО'Ю) = Ym/ Хт= Ubn I Uim = КО'©).
(3.1)
На рис. 3.3 приведен пример измерения частотных переда­
точных по напряжению характеристик цепи, аналитический расчег
которой был проведен в примере 1.6 .
3.4. Схема и методика измерения частотных входных
характеристик
К входным частотным характеристикам четырехполюсника
относят КЧХ входного сопротивления ZBX(/<o) = Ulm / /1и. Она пред­
ставляет собой зависимость от частоты комплексной амплитуды
входного напряжения к комплексной амплитуде тока на входе. От­
сюда следует, что АЧХ комплексной функции входного сопротив­
ления есть Z(co) = U\m! 1\т, а ФЧХ передаточной функции напряже­
ний есть <p*(fo) = <рУ1 - <рд.
Схема измерения частотных характеристик входного сопро­
тивления четырехполюсника приведена на рис. 3.4.
Рис. 3.4
Для измерения входных характеристик клеммы ВЫХОД из­
мерителя диаграмм Боде необходимо подсоединить к входу иссле­
дуемого четырехполюсника - это будет числитель в выражении (3.1),
а клеммы ВХОД - к дополнительному резистору Лдоп, на котором
создается напряжение, пропорциональное входному току, т.е.
Лт-Кдоп - ЭТО б у д е т знаменатель в выражении (3.1).
Отсюда следует, что измеряемая характеристика представля­
ет собой комплексную функцию входного сопротивления:
Я(/'со) = Ym/ Хт = иш / 1ш = Z jje i).
Если ЯДоп = 1 Ом, то результат измерения в Ом, если
К доп
= 1 кОм, то результат измерения в кОм.
На рис. 3.5 приведена схема измерения частотных характери­
стик входного сопротивления цепи, аналитический расчет которой
был проведен в примере 1.5.
Рис. 3.5
На рис. 3.6 приведены графики результатов измерения АЧХ
и ФЧХ входного сопротивления, полученные в результате копиро­
вания графиков в режиме Analysis Graphs.
R, О т
1е-Ю04
8000
6000
4000
2000
0
100
1000
1е+004
1е+005
1е+00б
100
1000
1е4004
1в-Ю05
I е+006
45
18
S -36
-63
-90
Frequency
Рис. 3.6
52
3*5. М етодика и схема измерения переходных
характеристик
Методика измерения следует из определения переходной ха­
рактеристики (ПХ). По определению ПХ - это отклик цепи
Y(J) - Е h(t) на единичное ступенчатое воздействие X(t) = Е 1(0, при
нулевых начальных условиях: т.е. h(t) ~ Y(t) I Е, если X(t) - Е 1(Г).
Схема измерения ПХ приведена на рис. 3.7.
Рис. 3.7
Генератор поставить в режим формирования однополярных
прямоугольных импульсов положительной полярности с амплиту­
дой 1В (амплитуда - 500мВ, смещение - 500мВ). Осциллограф по­
ставить в режим синхронизации по каналу А. Получить на экране
осциллографа устойчивое изображение выходного сигнала иссле­
дуемой цепи. Сигнал по каналу В есть переходная характеристика
цепи. Частоту генератора подобрать так, чтобы в пределах импуль­
са выходной сигнал практически достигал своего стационарного
значения.
На рис. 3.8 приведен пример измерения переходной характе­
ристики цепи для области больших времен, а на рис. 3.9 - для об­
ласти малых времен.
53
Рис. 3.8
I ко
Г
,7
10 тН
2кО
12кЛ
Рис. 3.9
Рис. 3.10
На рис. 3.10 приведена схема измерений и общий вид пере­
ходной характеристики электрической цепи, расчеты которой про­
водились в примере 2.4.
54
ПРИЛОЖЕНИЕ
Приложение1
Рекомендации по оформлению курсовой работы
Курсовая (расчетно-графическая) работа выполняется на лис­
тах формата А4 в соответствии с требованиями к текстовым доку­
ментам, регламентируемыми ГОСТ 2.105-79 ЕСКД. Титульный
лист (см. образец, приложение 2) выполняется по ГОСТ 2.105-79
ЕСКД.
Пояснительная записка оформляется от руки или набором на
компьютере в текстовом редакторе Word (шрифт -Times New Ro­
man, размер шрифта 14). Текст пояснительной записки разделяется
на разделы и подразделы, обозначенные цифрой с точкой.
Методические рекомендации по оформлению документов
хорошо изложены в книге: В.Е. Саппаров, Н.А. Максимов. "Системы
, стандартов в электросвязи и радиоэлектронике". М., Радио и связь,
• 1985. Условные обозначения элементов схем выполняются в соот­
ветствии с ГОСТ 2.728-74. Требования на выполнение диаграмм
и характеристик даны в ГОСТ 19-81 и ГОСТ 2.105-79.
Написание чисел в тексте выполняют по стандарт
СТ СЭВ 543-73 "Числа. Правила записи и округления". Волыни
и малые числа рекомендуется записывать в экспоненциальной фо£
ме или приводить их в соответствующих единицах измерена
например, 5.МО6 или 125-10_12Ф = 125 пФ.
55
Формулы нумеруются в пределах раздела или всей записки
цифрами; номер раздела и формулы ставят в круглых скобках
с правой стороны листа на уровне формулы. Нумеровать следует те
формулы, на которые в тексте есть ссылки.
При вычислении по формуле следует записать формулу
и подставить в нее числовые значения параметров, а затем записать
числовой результат, после которого указывается размерность.
Например:
/ 0= ------ -------------------- , 1............
2-n-Vi-C 2*3.14*\2*10~4 -5 -10
= 15,9 кГц.
Схемы цепей, графики частотных и переходных характери­
стик и другие рисунки располагаются по возможности сразу после
ссылки на них в тексте. Рисунки нумеруются в пределах каждого
раздела (например, рис. 1.2) или по всей записке (рис. 1, рис. 2 и т.п.).
На графиках следует наносить координатную сетку с указа­
нием на осях числовых значений. Обозначение величин и единиц
измерения может размещаться у середины шкалы с внешней сторо­
ны рисунка или в конце шкалы.
Цифровой материал оформляется в виде таблиц с указанием
величин и их размерностей. Рисунки и таблицы должны иметь на­
именование, поясняющее их содержание.
В конце пояснительной записки следует привести список ис­
пользованной литературы (учебники, справочники, методические
пособия). Например:
Литература
1. Попов В.П. Основы теории цепей. М.: Высшая школа,
1985.
56
Приложение 2
\
(Образец титульного листа)
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. А.Н.ТУПОЛЕВА
Кафедра теоретической радиотехники и электроники
РАСЧЕТ ЧАСТОТНЫХ И ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
КУРСОВАЯ РАБОТА
(РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА)
по курсу «Электротехника и электроника»
Руководитель_________________________
должность, Ф. И. О.
подпись, дата
Студент_____ J
___________________
группа, Ф. И. О.,
подпись, дата
Казань 2003
Приложение 3
ЗАДАНИЯ
к курсовой и расчетно-графической работам
по курсу «Электротехника и электроника: Электротехника»
Чяпяние
1. Расчет частотных характеристик электрической
цепи.
1. Для электрической цепи, представленной в табл. 3.1,
в соответствии с номером своего варианта рассчитать:
а) комплексную функцию входного сопротивления Z„x(/G)),
его амплитудно-частотную характеристику Z^co) и фазо­
частотную характеристику cpz(co);
б) комплексную функцию коэффициента передачи напряже­
ния КиЦ(й), его АЧХ Кц((й) и ФЧХ <р*(Сй).
2. Построить графики Z^co), фг(со), ^iXc0),(pK(C0) при задан­
ных элементах схемы в абсолютном и логарифмическом масштабе
по оси частот.
3. Построить годографы ZbX(/(d), К цЦсо).
4. Определить характерные частоты.
5. Качественно объяснить ход построенных зависимостей.
Задание 2. Расчет линейной цепи при импульсном воздействии.
1. Для заданной электрической цепи рассчитать классиче­
ским И операторным методом переходную характеристику
(табл. 3.2).
2. Построить график переходной характеристики.
3. Определить по графикам параметры переходной характе­
ристики: постоянные времени т, время установления ty„ (на уровне
0,9) и сравнить их с расчетными.
4. Качественно объяснить характер переходной характеристики.
58
5.
Считая, что входной сигнал - прямоугольный импул
с амплитудой Е и длительностью ta~ {т}^, записать выражение
для выходного сигнала и построить его график.
Задание 3. Экспериментально, путем моделирования задан­
ной цепи с помощью программы Electronics Workbench (EWB), оп­
ределить рассчитанные характеристики.
1. Составить схемы измерений частотных и переходных ха­
рактеристик: ZbX(w) и фг(<*>); АГГХ«>) и ф^(со); h(t) с использованием
приборов электронной виртуальной лаборатории Electronics Work­
bench (EWB).
2. Привести графики характеристик, полученных в результа­
те измерений.
3. Привести анализ соответствия результатов аналитическо­
го расчета и эксперимента.
Таблица 3.1
№
Схема
- d
P
еттст
- f
U1
В
U2
4ZJ
и
U1
C1 1R2
=t=
I
—f -
Параметры
№
Параметры
С 1 -1 м гФ
R I - I kOm
R 2 -1 kO h
12
Ы -1 0 м Г л
R l - I kO m ‘
R 2 « 2 kO m
R 3 *2 sO m
13
R I-IO O O m
иг
I ftl
R 2-IO Q O M
С 1-0 .1м кФ
RI^IOkOm
K M O kOm
R2
U -IQ h Tk
R 1 *1 0 k O m
R 2 -1 D k O m :
R3*20kOm
ч = н = к м
R2
L1
!ди
L i -Ю м Г к
RI^IOkOm
R 2 -IO k O m
R3*5kOm
14
U2
С 1- 0, 1мкФ
Ri-lOxOftl
U1
г = * ® Ь
1 _ L H
-
С1-0.1мкФ
С 1 *1 м г Ф
R I - I O kO m
C l -Ш и Ф
U 1
R2« 1Q«Om
R 3 *2 0 s Q m
z
Ы « 10мГл
17
I
I
R1
z
H
I —
I—
!—
•
R2
R I» 1 k O m
112
19
L I - 100мГ
J U - lx O w
R l-U O w
С 1-1 м кФ
U2
lui
20
R1
g =
4
>
i
С 1"1м хФ
R l -Ш х О м
iw
21
1
R > ! O eOm
R 3 -1 0 k Q m
С 1-1 м кФ
R I - I kO m
rC U K Z IH n
Rl
R2
R 2 -1 kO m
R3
R 3 -2 kO m
0
R1
R2 -
lu i
СЫ ОнФ
X ft 2
0
0
R 2 -2 xO m
R 3*2 kO m
L IM O m T h
И
R 3"1D x O m
R 2*1 kO m
1Л "*10м Гк
R l- lP r O w
R 2-2C O M
R 3 -2 0 x O m
[ Q - lR j
R l-М х О м
R > ! O kO m
60
Л
1)1
18
R 2 -2 k O m
R 3 -2 i :Om
Iй
jui
L1
R 2 * I kO m
R 3 -2 k O m
С 1 -1 м кФ
h
Ы -1 0 0 м Г и
R I-IQ kOw
K1” 1xOk
jm
R l-Ш к О и
R 2«1 k O m
a
16
R 2 -2 0 kC)m
R 3-2Q kO m
U—
R2
U2
R 1“ 1x O m
R>UO u
R > 2 kOm
- г и
J—
1Л-1Гк
a s
R2*10rOM
R 3 -2 0 xC)m
Rl
F
\5
н
ciI r3 ~
U2
С 1«10яФ
R 1*1 kO m
R 2 *1 x O m
R3*2*Ow
22
r = =T
■u
I .F
R l -Ю хО ь с
R 2 -1 k O m
R 3»1 kO m
n
П
R3
112
Ы « 0 ,1 Г и
R I - I O x Om
R 2 * 1 0 kO m
R 3“ 5k O m
Т а б л и ц а 3.2
к
Схема
С1
С 1 -!м к Ф
L l -Ю ы Г к
JYY\LI
R1
U1
R2
U2
Схема.
Д&ИХЫ4
R1
12
Г
^ j = -1
ci
1И
R I - I kOm
L I-J O m T k
i
p
ijfl
Cl
U1
•
U2
C2
1
1Г
li­
ft!
Г
\*2
111
U2
U
T
P " l U2
^ b’
R1
R2
^
L1
a y l
4
fg
.— m
.
ui
14
Ll-ir«
l5
L 2 -1 0 m T h
R I-IO O O m -
R2
C1
L2|U*
(H
V
B
W
f
С2«10нФ
R l - ЮкОм
R 2 - 1кОм
С1-0.1мкФ
С 2-0,1м я$
R I- IO hO m
R 2 - ШкОм
16
L i-Ю м Г и
1>100м Гн
R I-Ю О О м
R>UO m
17
С 1-10йФ
18
L I - I O mTk
С 1-1кдФ
in
C1
19
С 1-1м гФ
R I- I kO m
R 2-1 xO m
L I - 1QQmT
i
V - x —
П и = =a | w
Ж
10
w
m
П -1 Г Н
I
"I
С1" 1мкФ
ii 1
L1
w ,,c«
nQ
11
r O "
С 1-1мхФ
С2-1мкФ
E
20
U
R2-2*Om
$
Ы -Ю ы Гк
C l -Ю иФ
R l-lO O iD i
R2 i.CJ
С 1-1м хФ
Lt-irn
С 1-1м кФ
R i-lx O *
"
L
£
_
R2»1 kOm
R > I kOm
&
С1«1мхФ
С2-1мкФ
21
Ri-inOM
R 2 -U O m
R >5kO m
R > I x Om
11
LUIO mT k
R 2 -1 kO m
R I-U O m
"1
R I-Ik O m
R2-IOxOm
RirlicOM
L I-J O m Tk
L > IC W k
R I-IO O O m
R > IO O O m
R I-U O m
R2-IkOm
ljw
U
R2-1Q kOm
R>UOm
Ll-lOftTn
R1
С 1-0Л м кФ
С 2-0,1м*Ф
R l -Ю хО м
R > 1 xO m
U2
U11
U2
С 1-1мкФ
R l-Ю ООм
R 2-IO xOm
С 1*0Л м кФ
С 2-0,1м кФ
R l-Ш ж О ы
R 3 *1 0 *O m
LI-IOO m T h
L 2-100 m T h
П
M
R I-IO O O m
CM O S'
С2-1мхФ
R I-U O m
R 2 -U O k
Ll-ЮмГя
HFr
R>1000m
R I-U O
П
13
L 2-10 m T k
U2
|R2
R2- 1kOm
_ГГ/^ L— *
U1
M
Дойные
Cl*lMrtt>
22
U -IQ O m T k
L i-lib
Ri-tQQxQM
R I-IkO m
R 2 - IkOm
R 2 -1 k O k
R 3 -1 k O m
■
Й
Й
В
-
R >^O
m
6 i
Список литературы
1. Попов JS.П. Основы теории цепей. М.: Высшая школа,
2000.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. М.:
Высшая школа, 1999.
3. Каящас А.А. Основы радиоэлектроники. М.: Высшая
школа, 1988.
4. Диткин S.A., Прудников А.П. Справочник по операцион­
ному исчислению. М.: Высшая школа, 1965.
5. Бирюков В.Н., Попов В.П., Семенцова В.И. Сборник задач
по теории цепей. М.: Высшая школа, 1998.
6 . Крылов В.В., Корсаков С.Я. Основы теории цепей для сис­
темотехников: Учебное пособие. М.: Высшая школа, 1990.
7. Шебес М.Р. Задачник по теории линейных электрических
цепей. М.: Высшая школа, 1990.
8 . Карлащук В.И. Электронная лаборатория на IBM PC. Про­
грамма Electronics Workbench и ее применение. М.: Солон-Р, 2000.
9. Электротехника и электроника в экспериментах и упраж­
нениях. Практикум на Electronics Workbench. В 2-х томах /Под
ред. Д.И. Панфилова. М.: Додэко, 2000.
Оглавление
Введение..........................................................................................
Глава 1. Частотные характеристики электрических цепей..........
1.1. Параметры двухполюсника (Z, У)...................................
1.2. Параметры четырехполюсника (Zry. Y e x , Ku, K i) ...........
1.3. Частотные характеристики электрических цепей..........
1.4. Расчет частотных характеристик.....................................
1.5. Построение графиков частотных характеристик............
1.6 . Примеры расчета частотных характеристик цепей.........
Глава 2. Переходные характеристики электрических цепей......
2.1. Дифференциальное уравнение цепи...............................
2.2. Общее решение неоднородного линейного дифферен­
циального уравнения
2.3. Переходная характеристика.............................................
2.4. Временные параметры переходной характеристики......
2.5. Примеры............................................................................
Глава 3. Экспериментальное определение частотных и пере­
ходных характеристик с помощью приборов виртуальной
лаборатории Elektronics Workbench (EWB).............................
3.1. Методика измерения частотных (АЧХ и ФЧХ) характе­
ристик..................... ,.........................................................
3.2. Схема и методика измерения частотных передаточных
по напряжению характеристик (АЧХ и ФЧХ) четырех­
полюсника............. ■................................... .............. ........
3.3. Схема измерения частотных передаточных по напря­
жению характеристик цепи..............................................
3
4
5
5
7
8
9
15
27
28
29
32
32
34
47
48
49
50
3.4. Схема и методика измерения частотных входных ха­
рактеристик................................... ..................................
3.5. Методика и схема измерения переходных характеристик...
Приложение.................................................................................
Приложение 1. Рекомендации по оформлению курсовой работы...
Приложение 2. Образец титульного листа..................................
Приложение 3. Задания к курсовой и расчетно-графической
работам по курсу «Электротехника и электроника: Электротехника»...................... ....................................................
Список литературы......................................................................
51
53
55
55
57
58
62
ПОГОДИН Дмитрий Вадимович
РАСЧЕТ ЧАСТОТНЫХ И ПЕРЕХОДНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Учебное пособие
по выполнению курсовых и расчетно-графических работ
по дисциплине "Электротехника и электроника”
Ответственный за выпуск М.А. Абсолямова
Технический редактор С.В. Фокеева
Компьютерная верстка - И А. Вячеславова
ЛР № 020678 от 09.12.97
Подписано в печать 11.07.03.
Формат 60x84 1/16. Бумага газетная. Печать офсетная.
Печ.л. 4,0. Усл.печ.л. 3,72. Усл.кр.-отт. 3,77. Уч.-изд.л. 3,57.
____________ Тираж 550. Заказ В48/Г144.____________
Издательство Казанского государственного технического
университета
Типография Издательства Казанского государственного
технического университета
420111 Казань, К. Маркса, 10
