Методическая разработка для аудиторной работы №4

Методическая разработка для аудиторной работы №4-11 по теме
Векторная кинематика
x1  t 2  4; y1  t  1 (м), а точка


(м).Записать зависимости r1 (t ) ; r2 (t ) . По
1. Точка 1 движется согласно уравнениям
уравнениям
x 2  5t ; y 2  2t

v1 (t )
2 согласно
характеру

и v 2 (t ) определить тип движения. Встретятся ли эти точки, если
зависимости
встретятся, то в какой момент времени?
2. Две материальные точки двигаются так, что их радиусы-векторы меняются со временем






2
2
по законам: r1 (t )  2t i  (1  t ) j (м); r2 (t )  (2  3t )i  4t j (м ).Найти уравнение траектории


a2 (t ) и модулей этих
величин для второй точки. Определить расстояние между точками через t  1c после начала
движения, найти величину и направление ускорения второй точки в момент времени t  2c .
первой точки; зависимость от времени скорости v 2 (t ) и ускорения



3. Движение материальной точки задано уравнением r  8ti  t 2 j (м). Вычислить величину и
направление средней скорости перемещения в интервале времени от t1  10c до t 2  10,5c .
4. В момент времени t  0c тело начинает свое движение из точки с координатами (0,2) со



скоростью, изменяющейся со временем по закону v  2i  12(1  t ) j (м /с). Найти уравнение
траектории и определить положение точки через
t  1c
5. Материальная точка движется с ускорением
после начала движения.



a  2i  4 j
(м/с2). Определить скорость
t 1c , если она начала свое движение из точки с


координатами (2, -3) со скоростью v 0  4i  5 j (м/с).
точки и ее положение в момент времени





2
v


2
i
a


2
i

4
j
6. Точка движется с ускорением
(м/с ) и начальной скоростью 0
(м).
Определить тангенциальное и нормальное ускорение точки в момент времени  = 0,5 с, если в
начале движения точка имела координаты ( 1, 2 ) м.
7. Частица движется в плоскости ХОУ по закону: x   cos  t ; y   sin  t , где  и 
постоянные положительные величины. Записать, как меняется со временем радиус- вектор
 

частицы (через единичные вектора i , j ). Найти вектора скорости v (t ); и ускорения
частицы и путь, пройденный ею за время t , а также уравнение траектории.

a (t )
8. Тело брошено под углом
к горизонту так, что радиус-вектор его изменяется по закону:


2
r (t )  (5  3t )i  (5  2t  5t ) j (м). Ось ОХ направлена вдоль поверхности земли, ось ОУ перпендикулярно поверхности. Определить под каким углом к горизонту (ось ОХ) брошено
тело, а также записать вектор скорости на высоте h = 3 м. Найти величину и направление
вектора скорости в этой точке. Сопротивлением воздуха пренебречь
Домашнее задание №4-11 по теме
Векторная кинематика
1. ( Л ) Материальная точка движется по плоскости ХОУ. Закон движения имеет


вид: r (t )  (2t  1)i
времени t  5c .
(м). Найти координаты точки, векторы скорости и ускорения в момент



2
2. ( Л ) Материальная точка движется по закону: r (t )  (2t  6)i  t j
траектория через точку (10, 15). Ответ обосновать.
(м). Проходит ли ее
3. ( Л ) Закон движения материальной точки имеет вид: x(t )  2t ; y (t )  t (м). Записать

зависимость r (t ) . Найти величину и направление ее скорости через
прохождения начала координат.
t  2c после
4. ( Л-С ) За какое время тело переместится из точки А (3, 4) в точку В (9, 12), если ее
закон движения имеет вид:



r (t )  3ti  4tj
(м)?
5. ( С ) Две материальные точки движутся так, что радиус-вектор первой точки меняется по






закону: r1  (3t  1)i  4t 2 j (м), а скорость второй точки по закону: v 2  6i  2tj (м/с). Найти
расстояние между точками в момент времени
вторая точка находилась в начале координат.
t  1c
, если в начальный момент времени



6. ( С ) Материальная точка движется по закону: r  a sin t i  a cos t j (м), где a и  положительные константы. Найти уравнение траектории, законы изменения вектора и модуля
скорости как функции времени.



7. ( С-Т ) Закон движения материальной точки имеет вид: r (t )  2ti  (4  6t ) j (м). Найти


уравнение траектории, зависимости от времени скорости v (t ) и ускорения a (t ) ; модулей этих
величин. Определить координаты точки, скорость (величину и направление) и ускорение через
время t  3c после начала движения, а также ее перемещение за четвертую секунду.



8. ( С-T ) Точка движется по плоскости XOY с ускорением a  2i  4 j (м/с2). Определить
нормальное ускорение точки как функцию времени, если в начальный момент точка

находилась в начале координат и вектор ее начальной скорости был равен v 0  0 .
9. ( Т ) Точка движется в плоскости ХОУ: вдоль оси ОХ ее скорость изменяется со
временем по закону v x  2  6t (м/с), вдоль оси ОУ точка движется с постоянным ускорением
a y  4 (м/с2). Найти скорость и ускорение точки, а также ее положение в момент времени t  1c ,
если в начальный момент она находилась в начале координат, а проекция вектора начальной
скорости на ось ОУ имела значение v 0y  2 (м/с).
10.( Т ) Тело брошено под углом к горизонту так, что радиус-вектор изменяется по закону:



r (t )  6ti  (10  5t  5t 2 ) j (м). Ось ОХ направлена вдоль поверхности земли, ось ОУ перпендикулярно ей. Изобразить траекторию полета тела. Записать закон изменения вектора

скорости тела v (t ) , а также определить его величину и направление в точке полета,
находящейся на высоте h  5 м над поверхностью земли. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
Основные понятия и формулы.




Закон движения: r  x(t )i  y (t ) j  z (t )k или x  x (t ); y  y (t ); z  z(t ) .
2. Траектория - линия, вдоль которой двигается материальная точка. При плоском движении
уравнение траектории - y  y (x ) (без времени).





2
2
2
3. Перемещение r  xi  yj  zk ; r  x  y  z .

 


 dr 
2
2
2
 r   vxi  v y j  vz k ; v  vx  v y  vz .
4. Мгновенная скорость v 
dt
1.
5.
Средняя (путевая )скорость - скаляр v cp 
S
.
t


r

r 
6. Средняя скорость перемещения - вектор v cp 
; v cp 
t
t
 


 
2
2
2
Ускорение a  v t   a x i  a y j  a z k ; a  a x  a y  a z .


v
8. Вектор среднего ускорения a cp 
.
t
2

v
dv 
  
a 
; a 
9. Для плоского движения a  an  a ; an 
R
dt;
7.

1. x  9 м; y  0 м; v  2i м / с; a  0 м / с 2 .
2. y 
an  a
2
ОТВЕТЫ
(x  6) 2
; не проходит.
4
 
 


r (t) = 2t i + t j ( м ); v(t) = 2 i + j (мм
3. 
vy
v
2
1
v  4  1  5 м/с; cos  = x 
; sin  =  
.
v
v
5
5
r
4. t =   2 (c ) ;
v
5.
6.
7.
8.
S = (x 1  x 2 ) 2  ( y 1  y 2 ) 2  (3t + 1) 2  9t 4  5 м

 

yx   a 2  x 2 , v t   a cos ti  a sin tj ; v  a
 




y = 4 - 3x; v = 2i - 6j м / с; v  40 м / с; a = 0; a  0 м / с 2 ; при t = 3c
 
1
3


x = 6 м, y = -14 м, v  40 м / с, cos  =
, sin  = ; r = 2i - 6j м.
10
10
an  0 .









9. r(t) = 5i + 4j м; v(t) = 8i + 6j м / с; a(t) = 6i + 4j м / с 2 .

 



10. v = t i - (5 + 10t) j ; v = 0,62 i - 11,2 j ;  = -arctg18
2