2 Цели освоения дисциплины

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы механики и теории поля» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и
математическая статистика», 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» подготовки
научно-педагогических кадров в аспирантуре
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины «Механика и теория поля»
для направления 01.06.01 «Математика и механика», профили 01.01.04 «Геометрия и
топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и математическая статистика», 01.01.06
«Математическая логика, алгебра и теория чисел» подготовки научно-педагогических кадров в
аспирантуре
Автор программы: Пятов П.Н., к.ф.-м.н., pyatov@theor.jinr.ru
Одобрена на заседании Академического совета аспирантской школы по Математике
«24» декабря 2014 г.
Москва - 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы механики и теории поля» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и
математическая статистика», 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» подготовки
научно-педагогических кадров в аспирантуре
Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям аспиранта по направлению 01.06.01 «Математика и механика», профили
01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и математическая статистика»,
01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» и определяет содержание и виды
учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, и аспирантов
направления 01.06.01 «Математика и механика» подготовки аспиранта.
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом НИУ ВШЭ;
 Образовательной программой подготовки аспирантов по направлению «Математика и
механика»
 Учебным планом подготовки аспирантов по направлению 01.06.01 «Математика и
механика», профили 01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и
математическая статистика», 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»,
утвержденными в 2014 г.
Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Механика и теория поля» являются:



Формирование у слушателей ясного представления о важнейших физических принципах,
лежащих в основе классической теоретической механики и теории поля;
Знакомство с алгебраическим и аналитическим аппаратом механики и электродинамики,
развитие физической интуиции и навыков решения стандартных задач;
Выработка навыков научного общения, представления математических и физических
результатов перед широкой физико-математической аудиторией.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины

В результате освоения дисциплины аспирант должен:



Иметь представление о физических основаниях, основных принципах построения,
математических конструкциях, включая принципы наименьшего действия вгамильтоновом и
лагранжевом формализмах, релятивистскую и калибровочную инвариантности.
Владеть навыками самостоятельного решения задач теоретической механики и теории поля,
самостоятельного построения и исследования простых механических и теоретико-полевых
моделей;
Владеть математическим аппаратом классической теоретической физики, включая теоремы
Э.Нетер, вариационное исчисление и методы теории обобщенных функций;
В результате освоения дисциплины аспирант осваивает следующие компетенции:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы механики и теории поля» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и
математическая статистика», 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» подготовки
научно-педагогических кадров в аспирантуре
Код по
ОС НИУ
ВШЭ
Компетенция
способность
критическому
оценке
к
анализу
и
современных
научных достижений,
том
числе
в УК-1
в
междисциплинарных
Дескрипторы –
основные признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Владение
базовыми
понятиями
основных
математических
дисциплин.
Умение
сделать
научный
доклад по заданной теме.
Демонстрация
грамотного
владения
современной
математической терминологией
и развитый научный кругозор.
Формы и методы
обучения, способствующие
формированию и развитию
компетенции
Осознание материала
лекций.
Самостоятельный
разбор
математических
текстов, научные дискуссии с
преподавателями
и
сокурсниками.
областях
способность
генерировать
оригинальные
УК-2
теоретические
Умение
выдвигать
Постановка сложных
гипотезы и самостоятельно вопросов,
не
имеющих
искать
способы
их однозначной трактовки ,
доказательств и опровержений. стимулирующих
научный
поиск.
конструкции, гипотезы и
исследовательские вопросы
способность
выбирать
и
применять
методы
исследования, УК-3
адекватные предмету и
Понимание
междисциплинарных
связей
основных
математических
дисциплин и всей структуры
математического
знания.
Владение
современной
математической методологией.
задачам исследования
способность
собирать,
анализировать,
обрабатывать
и
хранить
данные в соответствии с
общепринятыми научными
и этическими стандартами
УК-4
Знание
нормативных
требований
к
форме
представления
научной
математической информации,
принятой в мировом научном
сообществе.
Проявление
уважения
к
научным
результатам коллег, умение
строить внутрикорпоративный
диалог.
Демонстрация
возможностей
различных
методологических подходов
для решения некоторого типа
задач.
Компетенция
достигается
в
процессе
накопления опыта, общения
с преподавателями.
Ознакомление
аспирантов с основными
базами
данных
научной
математической информации
и
формальными
требованиями работы с ней.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы механики и теории поля» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и
математическая статистика», 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» подготовки
научно-педагогических кадров в аспирантуре
Код по
ОС НИУ
ВШЭ
Компетенция
способность
осуществлять комплексные
исследования, в том числе
междисциплинарные,
на УК-5
целостного
основе
системного
научного
мировоззрения
способность
к
научно-исследовательской
деятельности
в
области
фундаментальной
и/или
прикладной математики, в
частности,
в
областях
математической
алгебры,
логики,
теории
чисел,
алгебраической геометрии, ПК-1
дифференциальной
геометрии,
топологии,
дифференциальных
уравнений,
теории
вероятностей
математической
статистики,
математической физики
и
Дескрипторы –
основные признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Владение в полном
объеме
спектром
математических
и
мат.
физических
методов,
представление о последних
достижениях
в
области
фундаментальной математики.
Изложение своих результатов
на
иностранном
языке,
доступном
мировому
сообществу.
Формы и методы
обучения, способствующие
формированию и развитию
компетенции
Продумывание
базовых понятий курса
Вырабатывается
в
процессе решения задач,
самостоятельного
чтения,
работы
над
научными
заданиями
Проведение глубокого
Участие в совместных
анализа проблемной области, с
коллегами
формулировка вопросов на его исследовательских проектах.
основе.
Применение
Умение
подбирать математического аппарата на
необходимые
методы практике
для
решения
исследования
и производственных
модифицировать их, исходя из вычислительных задач.
предметной
области
исследования.
Умение
привлекать
аппарат
различных
математических дисциплин для
решения поставленных задач.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы механики и теории поля» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и
математическая статистика», 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» подготовки
научно-педагогических кадров в аспирантуре
Код по
ОС НИУ
ВШЭ
Компетенция
способность
проводить теоретические и
экспериментальные
исследования
в
математике,
математической
физике, ОПК-1
информатике, в том числе с
использованием новейших
информационнокоммуникационных
технологий
способность
к
разработке новых методов
исследования
их
применению
в
самостоятельной
научно-
исследовательской
ОПК-2
деятельности в математике,
математической
информатике
правил
физике,
с
Дескрипторы –
Формы и методы
основные признаки освоения
обучения, способствующие
(показатели достижения
формированию и развитию
результата)
компетенции
Способность правильно
Компетенция
обозначать
проблемную формируется
в
любом
область и разбивать ее на сегменте учебного процесса
подзадачи, требующие решения
Формируется
в
Знаение
широкого процессе решения задач и
спектра современных ИКТ и участия
в
научноумение
их
корректно исследовательских проектах.
применять.
Умение
классифицировать
основные
моменты
базовых
математических доказательств
и
построений.
Разработка
своих методов, являющихся как
обобщениями уже известных,
так и абсолютно новыми.
Умение
вписывать
свои
исследования
в
общематематический мировой
контекст.
Вырабатывается
путем активного решения
задач,
самообразования,
общения с преподавателями.
Практикуется
демонстрация уязвимостей и
слабых мест современного
математического
инструментария.
учетом
соблюдения
авторских прав

Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к блоку дисциплин по выбору, обеспечивающих подготовку
аспиранта.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:




базовые курсы алгебры и математического анализа;
динамические системы;
теория функций комплексного переменного;
механика и теория поля.
Желательно, но не необходимо также знакомство с некоторыми основными понятиями и
результатами из курсов

уравнения в частных производных;
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы механики и теории поля» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и
математическая статистика», 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» подготовки
научно-педагогических кадров в аспирантуре


функциональный анализ;
группы и алгебры Ли.
Для освоения учебной дисциплины, аспиранты должны владеть следующими знаниями:






дифференцирование и интегрирование функций одной и нескольких переменных;
решение дифференциальных уравнений стандартных типов;
варьирование функционалов, применение преобразования Фурье, вычисление интегралов
с помощью вычетов;
владение основными операциями 3-мерного векторного анализа: ротор, дивергенция,
градиент;
владение основными понятиями лагранжевой механики (нерелятивистской).
Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
Всего
часов
Название раздела
Аудиторные часы
Самостояте
Практиче
льная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
1
Симметрии и законы сохранения. 1-я
теорема Нетер
18
4
4
0
10
2
Пространственно-временные симметрии.
Группа Лоренца и группа Пуанкаре.
17
3
4
0
10
3
Скобки
Пуассона.
преобразования и их
функции
Канонические
производящие
17
4
3
0
10
4
Динамика в представлении Лакса. Цепочки
Тоды и Калоджеро.
19
5
6
0
8
5
Законы сохранения в полевых теориях.
Уравнение непрерывности.
20
5
3
0
12
6.
Калибровочная инвариантность и 2-я
теорема Нетер. Фиксация калибровки.
17
5
6
0
6
7.
Действие электромагнитного поля. Тензор
энергии-импульса
э.-м.
поля
и
интерпретация его компонент. Вектор
Пойнтинга.
25
6
5
0
14
8.
Запаздывающая функция Грина волнового
уравнения, потенциалы Лиенара-Вихерта.
Излучение э.-м. поля движущимися
зарядами.
23
6
6
0
11
9.
Спонтанное
34
7
8
0
19
нарушение
симметрии
и
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы механики и теории поля» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и
математическая статистика», 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» подготовки
научно-педагогических кадров в аспирантуре
голдстоуновские
Хиггса.
Итого:

частицы.
Механизм
190
45
45
0
100
Формы контроля знаний
Текущий контроль — 2 домашних задания, 2 контрольные работы.
Итоговый контроль — экзамен.

Критерии оценки знаний и навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Основная форма текущего контроля – решение задач из домашних заданий. Часть задач
повышенной сложности носят исследовательский характер и предполагают самостоятельное
изучение аспирантами материала, не излагавшегося на лекциях. Решение некоторых (но не
обязательно всех) задач повышенной сложности является необходимым условием получения
отличной оценки за домашнее задание (8-10 баллов).
Экзамен включает в себя письменную подготовку, состоящую из двух распространенных задач,
решение которых требует от аспиранта владения как понятийным, так и техническим аппаратом по
изучавшимся в течение модуля темам, а также из одного теоретического вопроса. На письменную
подготовку отводится 1,5 часа. Затем аспирант в очной беседе с преподавателем излагает
результаты своей письменной работы и, при необходимости, отвечает на 1-2 дополнительных
вопроса. Время, отводимое на беседу: ½ - 1½ часа.

Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка текущего контроля Отекущий рассчитывается как взвешенная сумма двух форм текущего
контроля, предусмотренных в РУП
Отекущий = 0.5* Од/з +0.5* Оконтр ,
Оценки за домашние задания Од/з и за контрольные Оконтр выставляются по 10-балльной шкале.
Способ округления накопленной оценки текущего контроля: в пользу аспиранта.
Аспирант, получивший
низкие оценки текущего контроля, имеет возможность их
однократной пересдачи.
Результирующая итоговая оценка за дисциплину учитывает также оценку за экзамен
Оитог.контроль, выставляемую по 10-бальной шкале, и определяется по формуле
Орезультирующая итог = 0,4*Отекукщий + 0,6*Оитог.контроль
Способ округления результирующей итоговой оценки: в пользу аспиранта.
На экзамене аспирант может получить дополнительный вопрос (дополнительную задачу),
ответ на который оценивается в 1 балл.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы механики и теории поля» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и
математическая статистика», 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» подготовки
научно-педагогических кадров в аспирантуре

Содержание дисциплины
Симметрии и законы сохранения. 1-я теорема Нетер
Пространственно-временные симметрии. Группа Лоренца и группа Пуанкаре.
Скобки Пуассона. Канонические преобразования и их производящие функции
Динамика в представлении Лакса. Цепочки Тоды и Калоджеро.
Законы сохранения в полевых теориях. Уравнение непрерывности.
Калибровочная инвариантность и 2-я теорема Нетер. Фиксация калибровки.
Действие электромагнитного поля. Тензор энергии-импульса э.-м. поля и интерпретация его
компонент. Вектор Пойнтинга.
Запаздывающая функция Грина волнового уравнения, потенциалы Лиенара-Вихерта. Излучение э.м. поля движущимися зарядами.
Спонтанное нарушение симметрии и голдстоуновские частицы. Механизм Хиггса.
 Образовательные технологии
На лекциях и семинарах обсуждаются ключевые понятия и технические выкладки
разбираемой темы, даются необходимые определения, разбираются поучительные примеры.
Аспирантам на дом даются задачи для самостоятельного разбора, содержащие как упражнения для
усвоения пройденного материала, так и нестандартные задачи, позволяющие проверить уровень
общего понимания предмета и требующие изучения дополнительного материала. Некоторые задачи
дополняют тематику лекций. Аспирант сдает задачи в виде письменных домашних работ.
Периодически семинарские занятия посвящаются выступлениям аспирантов с рассказами сюжетов,
заранее им заданных для самостоятельного освоения.
 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации аспиранта
 Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы/задания для домашнего задания или для самостоятельного разбора
1. Построить алгебру Ли группы Лоренца (Пуанкаре) иее реализацию в терминах 4x4 (5x5)
матриц, сравнить результат с пуассоновой алгеброй интегралов движения лоренц(пуанкаре)инвариантной механической модели.
2. С помощью первой теоремы Нётер построить интеграл движения отвечающий
лоренцевым бустам (переходу в движущцюся систему отсчета) и выяснить его физический
смысл..
3.Придумать механическую цепочку, имеющую своим непрерывным пределом полевую
модель массивного скалярного поля.
4. Модель релятивистской струны, различные виды действия, уравнения движения, частные
решения.
5. Эффект спонтанного нарушения симметрии. Голдстоуновские частицы и механизм
Хиггса.
 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к экзамену по курсу.
 Вывод теоремы Нётер о симметриях действия и интегралах движения.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы механики и теории поля» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и
математическая статистика», 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» подготовки
научно-педагогических кадров в аспирантуре
 Канонические преобразования и производящие функции. Теорема Лиувилля о
сохранении фазового объема при каноническом преобразовании.
3. Динамика в представлении Лакса. Представление Лакса для простейших многочастичных
систем.
4. Законы сохранения в электродинамике. Тензор энергии-импулься. Вектор Пойнтинга.
5 Запаздывающая функция Грина (подробный вывод). Потенциалы Лиенара-Вихерта.
Излучение движущегося заряда в волновой зоне.
 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
 Основная литература
 Дж. Джексон, Классическая электродинамика, М. Мир, 1965.
 Боум Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс, Электродинамика, Фейнмановские лекции по
физике, т. 6.
 O. Babelon, D. Bernard, M. Talon, Introduction to Classical Integrable Systems. Cambridge
University Press, 2003.
 Дополнительная литература
 В.В. Добронравов, Основы аналитической механики. М., Высшая школа, 1976.
 Литература для самостоятельного изучения:
 Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Курс теоретической физики, т.1, Механика. М., Наука, 1988.
 Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Курс теоретической физики, т.2, Теория поля. М., Наука, 1988..
 В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, — 3-е изд. — М., Наука,
1989.
 В.А. Брумберг, Релятивистская небесная механика. М., Наука, 1972.
 Л. Райдер, Квантовая теория поля, изд. `Платон', 1998.зин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение
Шредингера. М.: Изд. МГУ, 1983.
 Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация. том 1. М., Мир, 1977.
 А.В. Борисов, И.С. Мамаев, Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой
механике. Издательский дом ``Удмуртский Университет'', 1999.
 Белавин А.А., Кулаков А.Г., Усманов Р.А., “Лекции по теоретической физике“ , 2-е изд.,
испр. и доп. - М.: МЦНМО, 2001. - 223 с.
 Справочники, словари, энциклопедии
При освоении курса могут быть полезны материалы по темам, размещенные в онлайн
энциклопедиях
http://www.wikipedia.org,
http://www.scholarpedia.org
 Программные средства
Специальные программные средства не предусмотрены.
 Дистанционная поддержка дисциплины
Специальные дистанционные ресурсы не предусмотрены. Однако должна быть обеспечена
возможность дистанционных консультаций по электронной почте и-или через skype.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы механики и теории поля» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и
математическая статистика», 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» подготовки
научно-педагогических кадров в аспирантуре
 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для проведения семинаров не используется специальное оборудование, кроме, возможно,
компьютерного проектора и системы видеозаписи учебных занятий.