Загрузил neya2

СПРЭ лекции

реклама
Министерство науки и образования Российской Федерации
Севастопольский государственный университет
Ю. Б. Гимпилевич
СИГНАЛЫ И ПРОЦЕССЫ В РАДИОЭЛЕКТРОНИКЕ
Севастополь 2018
2
ББК 32.841
Г48
УДК 621.396.1
Рецензенты:
И. Л. Афонин, доктор технических наук, профессор кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» Севастопольского государственного университета;
С. Р. Зиборов, кандидат технических наук, доцент кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» Севастопольского государственного университета.
Гимпилевич Ю.Б.
Г48
Сигналы и процессы в радиоэлектронике: Учеб. пособие / Ю.Б. Гим-
пилевич. — Севастополь: Изд-во СевГУ, 2018. — 248 с.: ил.
В учебном пособии рассмотрены основные теоретические разделы дисциплины, приведены примеры решения задач.
Для студентов очной и заочной форм обучения высших учебных заведений радиоэлектронных специальностей.
Учебное пособие утверждено на заседании кафедры «Радиоэлектроника
и телекоммуникации» (протокол № 6 от 27 декабря 2017 г.).
Допущено ученым советом Института радиоэлектроники и информационной безопасности СевГУ в качестве учебного пособия для студентов очной
и заочной форм обучения (протокол № 2 от 25 января 2018 г.)
Издательский номер: 186/18.
ББК 32.841
 Издательство СевГУ, 2018
3
СОДЕРЖАНИЕ
Принятые сокращения......................................................................................... 9
Предисловие ......................................................................................................... 10
1. Введение в радиоэлектронику ...................................................................... 12
1.1. Основная задача радиоэлектроники......................................................... 12
1.2. Основные радиоэлектронные процессы .................................................. 12
1.3. Основные области применения радиоэлектроники................................ 18
2. Электрические сигналы и их характеристики ......................................... 20
2.1. Определение электрического сигнала...................................................... 20
2.2. Классификация сигналов........................................................................... 20
2.3. Энергетические характеристики сигналов .............................................. 26
2.4. Разложение сигнала по системе ортогональных функций .................... 31
2.5. Пример решения задачи ............................................................................ 32
3. Спектральный Фурье - анализ периодических сигналов....................... 34
3.1. Определение спектра по Фурье и основные понятия............................. 34
3.2. Разложение периодического сигнала в комплексный ряд Фурье ......... 35
3.3. Ряд Фурье в тригонометрической форме................................................. 38
3.4. Спектры чётных и нечётных функций времени...................................... 41
3.5. Распределение средней мощности периодического сигнала по спектру.
Эффективная ширина спектра ......................................................................... 42
3.6. Спектр периодической последовательности импульсов прямоугольной
формы ................................................................................................................. 43
3.7. Меандр и его спектр................................................................................... 46
3.8. Пример решения задачи ............................................................................ 47
4
4. Спектральный Фурье - анализ непериодических сигналов................... 51
4.1. Постановка задачи...................................................................................... 51
4.2. Преобразование Фурье. Спектральная плотность сигнала.................... 52
4.3. Некоторые представления спектральной плотности.............................. 54
4.4. Обратное преобразование Фурье в тригонометрической форме .......... 55
4.5. Спектральная плотность чётных и нечётных функций времени .......... 56
4.6. Свойства спектральной плотности сигнала............................................. 57
4.7. Распределение энергии в спектре непериодического сигнала.
Эффективная ширина спектра ......................................................................... 63
4.8. Спектр одиночного импульса прямоугольной формы ........................... 64
4.9. Функция Дирака (δ-функция) и её свойства............................................ 67
4.10. Спектральная плотность постоянного напряжения.............................. 70
4.11. Спектральная плотность гармонического колебания........................... 71
4.12. Спектральная плотность произвольного периодического процесса .. 72
4.13. Взаимосвязь между спектрами одиночного импульса и сигнала,
получаемого периодическим повторением этого импульса......................... 73
4.14. Спектр пачки разновеликих прямоугольных импульсов..................... 74
4.15. Пример решения задачи .......................................................................... 76
5. Применение преобразования Лапласа для спектрального анализа..... 79
5.1. Постановка задачи...................................................................................... 79
5.2. Преобразование Лапласа ........................................................................... 79
5.3. Методика определения спектральной плотности ................................... 81
5.4. Методика определения оригинала по спектральной плотности ........... 81
5.5. Функция Хэвисайда и ее спектр ............................................................... 82
5.6. Спектральная плотность усечённого гармонического колебания ........ 84
5.7. Пример решения задачи ............................................................................ 86
6. Корреляционный анализ детерминированных сигналов....................... 89
6.1. Автокорреляционная функция сигналов с конечной энергией............. 89
6.2. Автокорреляционная функция прямоугольного импульса.................... 90
5
6.3. Автокорреляционная функция пачки импульсов ................................... 92
6.4. Автокорреляционная функция периодических сигналов ...................... 94
6.5. Автокорреляционная функция гармонического колебания................... 96
6.6. Взаимосвязь автокорреляционной функции и спектральной плотности
детерминированного сигнала........................................................................... 96
6.7. Взаимная корреляционная функция двух сигналов ............................... 97
6.8. Пример решения задачи ............................................................................ 99
7. Сигналы с ограниченным спектром и их свойства ............................... 102
7.1. Определение и критерии ограничения спектра .................................... 102
7.2. Идеальный низкочастотный сигнал ....................................................... 103
7.3. Проблема дискретизации аналогового сигнала .................................... 105
7.4. Теорема отсчетов...................................................................................... 106
7.5. Спектр дискретного сигнала ................................................................... 109
7.6. Синтез аналогового сигнала по дискретным отсчетам ........................ 112
7.7. База сигнала с ограниченным спектром ................................................ 114
7.8. Пример решения задачи .......................................................................... 115
8. Радиосигналы и их характеристики ......................................................... 117
8.1. Общие положения .................................................................................... 117
8.2. Понятие узкополосности радиосигналов............................................... 118
8.3. Радиосигналы с амплитудной модуляцией ........................................... 119
8.4. Радиосигналы с угловой модуляцией .................................................... 130
8.5. Радиоимпульс с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ) .................. 139
8.6. Пример решения задачи .......................................................................... 143
9. Основы теории случайных процессов ...................................................... 145
9.1. Основные характеристики случайных процессов ................................ 146
9.2. Некоторые законы распределения случайных процессов ................... 152
9.3. Спектральный анализ случайных процессов ........................................ 155
9.4. Пример решения задачи .......................................................................... 162
6
10. Линейные радиоэлектронные цепи с постоянными параметрами... 164
10.1. Классификация цепей и основные определения................................. 164
10.2. Характеристики линейных цепей с постоянными параметрами....... 165
10.3. Взаимосвязь характеристик линейной цепи........................................ 169
10.4. Апериодические линейные цепи .......................................................... 172
10.5. Линейные частотно-избирательные (колебательные) цепи............... 179
10.6. Пример решения задачи ........................................................................ 182
11. Методы расчета реакции линейной цепи............................................... 185
11.1. Классический метод расчёта ................................................................. 185
11.2. Спектральный метод расчета ................................................................ 187
11.3. Операторный метод расчета.................................................................. 188
11.4. Метод интеграла наложения ................................................................. 189
11.5. Приближенный метод расчета реакции узкополосной цепи на
узкополосное воздействие (метод комплексной огибающей).................... 190
11.6. Условия неискаженной передачи сигнала линейной цепью ............. 192
11.7. Преобразование статистических характеристик случайного процесса
линейной цепью............................................................................................... 195
11.8. Пример решения задачи ........................................................................ 198
12. Прохождение детерминированных сигналов через линейные цепи .. 201
12.1. Прохождение видеоимпульса прямоугольной формы через цепь
интегрирующего типа ..................................................................................... 201
12.2. Прохождение видеоимпульса прямоугольной формы через цепь
дифференцирующего типа ............................................................................. 203
12.3. Прохождение видеоимпульса прямоугольной формы через
апериодический усилитель............................................................................. 204
12.4. Прохождение радиосигнала с амплитудной модуляцией через
частотно-избирательную цепь ....................................................................... 205
12.5. Прохождение радиосигнала с частотной модуляцией через частотноизбирательную цепь........................................................................................ 209
7
12.6. Прохождение манипулированных радиосигналов через частотноизбирательную цепь........................................................................................ 210
12.7. Пример решения задачи ........................................................................ 217
13. Обратная связь в активных линейных цепях. Устойчивость
линейных цепей с обратной связью........................................................... 219
13.1. Определение обратной связи ................................................................ 219
13.2. Передаточная функция усилителя c обратной связью ....................... 221
13.3. Проблема устойчивости активной линейной цепи............................. 223
13.4. Критерий устойчивости Ляпунова ....................................................... 224
13.5. Критерий устойчивости по передаточной функции........................... 225
13.6. Критерий устойчивости Рауса - Гурвица............................................. 225
13.7. Частотный критерий устойчивости Михайлова.................................. 226
13.8. Частотный критерий устойчивости Найквиста................................... 228
13.9. Устойчивость неинвертирующего усилителя с мостом Вина в цепи
обратной связи ................................................................................................. 231
13.10. Пример решения задачи ...................................................................... 233
14. Собственные шумы радиоэлектронной аппаратуры........................... 235
14.1. Классификация собственных шумов.................................................... 235
14.2. Характеристики дробового тока........................................................... 236
14.3. Дробовый шум на выходе апериодического усилителя..................... 239
14.4. Дробовый шум на выходе резонансного усилителя........................... 240
14.5. Пример решения задачи ........................................................................ 242
Приложение: таблица изображений и оригиналов по Лапласу............... 244
Библиографический список ............................................................................ 247
8
ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ
АД — амплитудный детектор
АКФ — автокорреляционная функция
АМ — амплитудная модуляция
АЧХ — амплитудно-частотная характеристика
ВЧ — высокая частота
ИНЧ — идеальный низкочастотный сигнал
ИХ — импульсная характеристика
ККП — комплексный коэффициент передачи
ЛЗ — линия задержки
НЧ — низкая частота
НБП — нижняя боковая полоса
ВБП — верхняя боковая полоса
ВКФ — Взаимная корреляционная функция
ПХ — переходная характеристика
ПЧ — промежуточная частота
РГЗ — расчетно-графическое задание
РЭА — радиоэлектронная аппаратура
РЭС — радиоэлектронное средство
ТАМ — тональная амплитудная модуляция
ТУМ — тональная угловая модуляция
9
УВЧ — усилитель высокой частоты
УЗЛ — ультразвуковая линия задержки
УМ — угловая модуляция
УН — усилитель напряжения
УНЧ — усилитель низкой частоты
УПЧ — усилитель промежуточной частоты
УЧ — умножитель частоты
ФВЧ — фильтр верхних частот
ФД — фазовый детектор
ФМ ― фазовая модуляция
ФНЧ — фильтр нижних частот
ФЧХ — фазо-частотная характеристика
ЧД — частотный детектор
ЧМ — частотная модуляция
ЭМС — электромагнитная совместимость
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дисциплина «Сигналы и процессы в радиоэлектронике» играет важнейшую роль в системе подготовки специалистов радиоэлектронного профиля. В
рамках этой дисциплины изучаются фундаментальные свойства сигналов,
методы их обработки, преобразования и передачи по каналам связи.
Целью данного методического пособия является оказание помощи студентам очной и заочной форм обучения в изучении теоретической части дисциплины, а также в получении ими практических навыков анализа характеристик сигналов и цепей в процессе выполнения расчетно-графического задания и лабораторного практикума.
Изучение дисциплины базируется на знаниях, которые студенты получили при изучении таких дисциплин, как «Высшая математика», «Физика»,
«Основы теории цепей».
Основу учебного пособия составил лекционный курс, который разработан автором и используется в учебном процессе в Севастопольском государственном университете.
В учебном пособии рассмотрен следующий круг вопросов:
— свойства детерминированных и случайных сигналов;
— разложение детерминированных сигналов по ортогональному базису;
— спектральный и корреляционный анализ детерминированных и случайных сигналов;
— основы теории дискретизации аналоговых сигналов;
— характеристики и свойства узкополосных детерминированных и случайных процессов;
— характеристики линейных цепей с постоянными параметрами;
— преобразование детерминированных и случайных сигналов в линей-
11
ных радиоэлектронных цепях;
— прохождение радиосигналов с различными видами модуляции и манипуляции через избирательные цепи;
— теория устойчивости линейных радиоэлектронных цепей;
— оптимальная фильтрация сигналов в условиях воздействия шумов.
Автор выражает признательность рецензентам профессору Афонину И. Л. и доценту Зиборову С. Р. за полезные замечания и внимание, проявленные к учебному пособию.
12
1.
1.1.
«
»
«
«radio»,
».
-
,
.
.
.
«wireless» (
)
«radio»
.
.
,
,
,
-
.
,
.
.
,
-
.
1.2.
(
(
. 1.1)
:
(
).
.
),
-
13
.
.
1.2.1.
,
,
,
.
.
(
,
,
1),
,
-
.
-
,
.
1.2.2.
,
,
,
,
.
-
,
,
.
(
-
)
-
,
,
,
(
-
2).
1.2.3.
,
,
.
,
(
3).
1.2.4.
—
,
.
.
,
.
-
14
(
4).
,
.
.
1
2
6
5
3
4
14
11
12
13
8
10
7
9
1—
2—
3—
4—
5—
6—
7—
8—
9—
10 —
11 —
12 —
13 —
14 —
;
;
;
;
;
;
(
);
;
;
(
);
;
;
;
.
. 1.1
1.2.5.
—
.
(
),
15
),
(
(
)
.
,
(
-
5).
.
-
.
1)
L
.
(
-
).
1000
λ = 300
)
(L = 75
,
(
L=λ 4
.
).
-
.
.
10
7,5 .
-
.
2)
,
.
,
,
-
.
1.2.6.
.
(
6).
1.2.7.
-
(
.
. 1.1).
16
.
1.2.8.
—
,
-
.
.
-
,
.
,
-
(LC-
,
.
. .).
,
10)
(
7)
(
.
,
.
,
,
.
-
.
,
-
,
-
.
1.2.9.
,
,
(
,
).
.
(
),
17
7),
(
(
(
)(
10).
,
),
-
.
-
.
1.2.10.
,
-
.
(
).
.
,
(
8),
(
9)
-
,
-
-
,
(
)(
10).
,
.
-
-
.
,
,
.
.
.
.
1.2.11.
—
.
(
11).
,
-
,
-
.
-
18
,
,
—
—
-
.
1.2.12.
.
,
(
-
12).
1.2.13.
—
.
-
(
13).
,
.
1.2.14.
,
(
,
.
,
14).
-
,
-
—
—
-
-
,
,
,
-
.
1.3.
.
—
-
.
-
.
.
—
,
,
—
.
,
.
19
—
-
.
.
—
,
.
,
-
,
.
—
.
-
,
.
—
,
GPS (Global Position System),
(
)
.
-
,
. .
:
,
,
,
,
,
,
.
.
-
20
2.
2.1.
«
,
»
(signum)
—
(
«
».
,
.),
,
.
-
,
-
.
—
,
.
.
.
: i (t ) —
(
); a(t) —
(
-
; u (t ) —
; s(t) —
-
).
.
2.2.
2.2.1.
.
—
,
-
,
,
.
(
),
,
-
.
,
.
—
,
,
21
,
:
-
;
-
.
,
:
,
-
. .
-
.
,
-
,
.
−∞ <t <∞
s (t ) = s (t + kT ) ,
k = 0, +1, +2, +3,…
;
(2.1)
—
s(t).
-
,
. 2.1:
(
);
(
-
b).
.
—
t:
Q =T t .
(2.2)
: Q ≥ 1.
Q
s(t)
)
E
…
3
2
0
t
2
…
3
t
s(t)
b)
…
…
E
3
2
0 t
. 2.1
2
3
t
22
(
. 2.2).
s(t)
Um
a)
T
T
0
t
s(t)
b)
t1 0
t
s(t)
c)
0
t1
t
. 2.2
s (t ) = U m cos(ω1 t + θ1 ) ,
Um —
,
(
); ω1 =2πf1 —
(
(2.3)
)
,
,
; T—
/
; θ1 —
,
,
; f1 = 1/T —
.
. 2.2
: a) θ1 = 0; b) θ1 = + ωt1> 0 (
); c) θ1 = − ωt1< 0 (
).
,
−∞
+∞ ,
.
-
-
.
.
,
.
23
,
(2.1).
.
,
.
,
-
.
,
sin( kt) kt ,
-
k = const.
. 2.3
:
(
b);
sin( kt) kt (
3-
-
(
d ).
; Tc —
(
s(t)
s(t)
E
E
c);
-
: t —
-
).
b)
a)
0
t
0
t
s(t)
t
t
s(t)
E
c)
d)
0
t
T
0
t
t
. 2.3
2.2.2.
:
.
—
(
)
.
.
,
(
).
-
24
.
(
f0 (
θ0
A0 ,
. 2.4, )
T0 )
.
-
(2.3).
:
,
a)
.
a0(t)
b)
a(t)
T0
Amin
Amax
A0
t
t
c)
TΩ
d)
a(t)
a(t)
t
t
t
TΩ
. 2.4
:
(
)—
,
;
(
)—
,
;
(
)—
,
.
(
«
»(
)
-
),
.
,
,
2.4,b
(
).
.
,
25
. 2.4,c —
.
: Amax , Amin —
;
TΩ
;Ω—
—
.
. 2.4,d
-
—
t .
—
(
)
,
.
.
-
,
(
).
-
2.2.3.
:
;
;
(
;
)
—
(
. 2.5, ).
-
.
-
.
s(t)
)
0
s(kT )
t
s(T )
s(2T )
s(0)
b)
s(–T )
–T
0
T
2T
3T
t
∆U
s (kT )
c)
−T
0
T
2T
. 2.5
3T
t
26
—
,
-
.
,
,
-
.
(
. 2.5,b)
s(kT )
k .
.
—
.
-
∆U .
s (kT ),
(
. 2.5,c).
—
,
-
.
(
)
,
.
-
.
2.3.
.
[1, 2].
2.3.1.
p(t),
s(t)
t.
1
-
s (t )
p(t ) = s 2 (t ) / R ,
R = 1
,
p (t ) = s 2 (t ) .
s (t )
s (t )
: p(t ) = s 2 (t ) R ,
.
,
(2.4)
27
2.3.2.
,
s (t )
1
-
(t1, t2).
,
,
(2.4),
t2
t1 ÷t 2
t2
= ∫ p (t )dt = ∫ s 2 (t )dt .
t1
(2.5)
t1
2.3.3.
,
s (t )
.
1
-
(2.5)
=
+∞
∫s
2
(t ) dt .
(2.6)
−∞
,
(2.6)
-
.
.
,
,
. 2.3,
t
= ∫ E 2 dt = E 2 t .
(2.7)
0
2.3.4.
,
1
-
(t1, t2),
.
1 t2 2
=
=
s (t )dt .
t 2 − t1 t2 − t1 t∫1
(2.8)
(2.5)
Pcpt1 ÷t2
t1 ÷t2
28
2.3.5.
1 t2 2
Pcp = lim
∫ s (t )dt .
t1 → −∞ t − t
2
1 t1
(2.9)
t 2 →+∞
,
Pcp =
1
,
,
/2
∫s
2
(t )dt .
(2.10)
− /2
,
(2.3)
-
(2.10)
Pcp =
2
/2
1
∫
Um
2
− /2
U
cos (ω1t + θ1 )d t = m ,
2
2
(2.11)
,
. 2.1,
Pcp =
1t
E 2t
E2
∫ E dt = T = Q .
0
2
(2.12)
2.3.6.
(
)
S
(
1
,
,
1 T22
S = Pcp =
∫ s ( t ) dt .
T −T 2
s (t )
),
.
-
(2.13)
29
(2.11)
U = Um
2.
(2.14)
Q.
(2.15)
(2.12)
U =E
2.3.7.
s1(t)
s2(t).
(t1, t2)
t1 ÷t 2 =
t2
∫ [s1 (t ) + s2 (t )]
2
t1
1
2
—
-
(2.5)
t2
dt = ∫
s 12(t ) d t
t1
t2
+ ∫s
2
2 (t ) d t
t1
1-
t2
+ 2 ∫ s1 (t ) s2 (t ) d t =
1
+
2
+2
12
,
t1
2-
(t1, t2);
t2
12
= ∫ s1 (t ) s 2 (t ) d t —
(t1, t2).
t1
,
2
.
12 .
,
.
,
,
12 =
0.
-
.
(t1, t2)
t2
∫ s1 (t ) s2 (t )dt = 0 .
(2.16)
t1
—
,
.
-
30
.
n(t)
-
(t1, t2)
0,

∫ ϕn (t )ϕm (t )dt =  2
t1
 ϕn ,
t2
; ϕn
n, m —
2
if
n ≠ m;
—
n(t)
2
ϕn
(2.17)
if n = m ,
(t1, t2),
t2
= ∫ ϕ 2n (t ) d t .
t1
ϕ n (t )
,
:
p (t ) = ϕ n (t ) ϕ∗n (t ) = ϕ n (t ) ;
2
ϕn
2
(2.18)
t2
= ∫ ϕ n (t ) 2 d t .
(2.19)
t1
:
t2
∫
ϕ n (t )ϕ∗m (t )dt
t1
(2.18)
.
(2.20)
0,

=
2
 ϕ n ,
if
n ≠ m;
if n = m .
“∗”
-
(2.18)…(2.20)
,
(2.20)
ϕ n (t ) .
31
2.4.
.
.
.
(
)
,
-
,
-
.
,
-
.
.
s(t),
(t1, t2)
t2
∫s
-
(t )dt < ∞ ,
2
t1
ϕn (t ) ,
∞
s (t ) =
∑
n = −∞
n
—
n ϕ n (t )
(2.21)
,
,
(2.21)
.
.
-
n.
(2.21)
ϕ∗n (t )
(t1, t2).
-
(2.20)
t2
∫
t1
s (t ) ϕ∗n (t ) dt
t2
= Cn ∫ ϕn (t ) ϕ∗n (t ) d t = Cn ϕn
t1
2
.
(2.22)
32
(2.22)
Cn =
,
t2
1
ϕn
2
∗
∫ s (t )ϕ n (t )dt .
(2.23)
t1
(2.23)
.
.
—
,
.
n,
(
) n-
.
(
3
4
-
).
-
.
2.5.
2.5.1.
,
. 2.6,
s(t)
E
,
.
:
0
t
. 2.6
t
E = 10 ;
t = 3 ⋅ 10−3 ;
-
T = 20 ⋅ 10 −3 .
2.5.2.
(2.6).
s (t )
.
. 2.6
:
-
33
0

s( t ) =  E
t
 t
(2.24)
if
t < 0, t > t ;
if
0≤t≤t .
(2.6).
∞
E2 t 2
E 2t
= ∫ s (t )dt = 2 ∫ t dt =
= 0,1
3
t 0
−∞
(2.10).
,
(2.24)
2
2
.
,
(2.24),
.
,
-
,
Pcp =
E2 t 2
E 2t
1 T22
s
t
t
t
t
=
=
=5
(
)d
d
∫
∫
T −T 2
3T
t 2T 0
2
.
(2.13)
S = P = 5 ≈ 2,24
.
34
-
3.
3.1.
.
,
,
.
,
.
)
u1(t)
(
E/2
)
.
-
0
u2(t)
t
b)
E/2
,
0
s (t ) = E cos ω1t .
t
2
c)
s(t)
.
.
π/ω1
t
. 3.1
cos2 α = [1 + cos(2α)] 2 .
,
s (t ) =
,
E E
+ cos(2ω1t ) .
2 2
s (t )
(
. 3.1, ,
E
0
0
-
. 3.1).
,
u1 (t ) = E 2 (
35
).
,
-
. 3.1,b,
2ω1 : u 2 (t ) =
-
E
cos( 2 ω1t ) .
2
-
s(t),
. 3.1,c.
(
A(ω)
. 3.2).
(
÷
-
)—
θ(ω)
.
E/2
E/2
0
2ω1
ω
2ω1
ω
b÷
(
) —
.
,
0
-
. 3.2
. 3.2,a
-
. 3.2,b —
.
3.2.
-
ω1 = 2π T (
s(t)
,
T,
. 3.3),
-
T /2
∫ s (t ) dt < ∞ ,
(3.1)
−T / 2
(
,
).
s(t)
…
…
0
T
2T
. 3. 3
t
36
-
ϕn (t ) = e
,
jnω1 t
(3.2)
.
(3.2)
-
( − T 2, T 2) .
(2.20):

if
T 2

∗
∫ ϕn (t )ϕm (t )dt = 
−T 2

if

T 2
m ≠ n:
jnω1 t − jmω1 t
e
dt = 0 ;
−T 2
T 2
m = n:
∫e
(3.3)
jnω1 t − jnω1 t
e
dt = ϕ n
2
(3.3)
T 2
e
jn ω 1 t − j mω 1 t
e
−T 2
=T .
−T 2
m≠n
∫
∫e
dt =
:
1
j( n − m ) ω 1 t
e
jω1 (n − m)
T 2
−T 2
=0.
,
-
( − T 2, T 2 ),
,
(3.2.).
(2.21)
∞
∑ Cn e
s (t ) =
jnω1 t
.
(3.4)
n =−∞
(3.4)
.
,
-
(3.4),
-
.
n
nω1 .
n
(2.23):
-
37
Cn =
1
T /2
s(t )ϕ∗n (t )dt
2
ϕ n −T / 2
∫
1 T /2
− jnω t
=
s(t )e 1 dt .
∫
T −T / 2
(3.5)
,
:
Cn = cnc + jcns =| Cn | e jθn ,
,
cnc , cns —
(3.6)
| Cn |, θ n —
-
.
(3.5)
cnc , cns , | Cn |, θ n :
,
cnc =
1 T /2
s(t ) cos( nω1t )dt ;
T −T∫/ 2
cns = −
(3.7)
1 T /2
∫ s(t ) sin( nω1t )dt .
T −T / 2
(3.8)
2
2
| C n |= cnc
+ cns
;
θn = Arctg
(3.9)
cns
= angle(cnc , cns ) .
cnc
(3.10) angle —
(3.10)
,
-
0 ≤ θ < 2π .
(3.7)…(3.10)
n,
ns
,
nc
θn —
Cn
-
.
(3.4)
Cn
-
,
s (t ) =
∞
∑ | Cn | e
n= −∞
j( nω1 t +θn )
.
(3.11)
38
.
.
,
. 3.4,
-
. 3.4,b —
)
…
| C−4 |
−4ω1
| C −3 |
−3ω1
.
| C −2 |
| C −1 |
| Cn |
| C1 |
| C2 |
| C3 |
C0
−2ω1
−ω1
0
ω1
2ω1
3ω1
θn
b)
−4ω1
−3ω1
−2ω1
…
θ −4
θ −2
θ −3
−ω1
0
θ −1
ω1
…
ω
4ω1
θ4
θ3
θ2
θ1
| C4 |
…
2ω1
3ω1
ω
4ω1
. 3.4
3.3.
(3.11)
.
s (t )
,
(3.11)
(
)
.
-
.
.
(3.11)
,
C0 :
s (t ) =
−1
∑ | Cn | e
j( nω1 t + θn )
n =−∞
∞
+ C0 + ∑ | Cn | e
j( nω1 t + θn )
.
(3.12)
n=1
—
-
.
n
:
39
∞
s (t ) = ∑ | C− n | e
∞
+ C0 + ∑ | C n | e
j( − nω 1 t + θ − n )
n =1
θn —
s (t ) = ∑ | Cn | e
-
Cn
| Cn |=| C− n | ; θ n = −θ − n .
,
∞
.
n =1
,
n,
j( nω 1 t + θ n )
− j( nω1 t + θn )
n =1
∞
+ C0 + ∑ | C n | e
j( n ω1 t + θ n )
.
(3.13)
n =1
,
[
| Cn | e
− j( nω1 t + θn )
+e
j( nω1 t + θn )
] = 2 | C | cos(nω t + θ )
n
(3.13)
1
n
.
(3.14)
(3.14),
∞
s (t ) = C0 + ∑ 2 | C n | cos(nω1 t + θ n ) .
(3.15)
n =1
(3.15)
-
,
.
s (t ) =
(3.15)
a0 ∞
+ ∑ An cos(nω1 t + θ n ) ,
2 n =1
a0 2 = C 0 —
An = 2 | Cn |
(3.16)
,
;
θn —
nω1.
(3.16)
An,
nω1
-
θn .
An
,
θn
-
(3.9), (3.10):
2
2
An = 2 cnc
+ cns
= an2 + bn2 ;
(3.17)
40
θn = Arctg
cns
b
= Arctg n = angle(a n , bn ) ,
cnc
an
an
(3.7)
(3.18)
bn
,
-
(3.8):
2 T /2
a n = 2cnc =
s (t ) cos(nω1t )dt ;
T −T∫/ 2
(3.19)
2 T /2
bn = 2cns = −
s(t ) sin( nω1t )dt .
T −T∫/ 2
(3.20)
,
n = 0.
(3.19)
1 T /2
a0
= C0 =
s (t )dt .
2
T −T∫/ 2
(3.21)
(3.21)
s(t)
[4].
.
(
. 3.5).
n
1
,
a)
2
-
3
. 3.4
. 3.5,
,
a0 /2
,
An
-
0
-
ω1 2ω1 3ω1 4ω1
θn
Cn ,
,
4
θ1
0
θ2
θ3
. 3.5
.
ω
θ4 b)
…
ω1 2ω1 3ω1 4ω1
.
…
ω
41
(
1)
.
—
)
-
,
.
2)
nω1 ,
ω1 = 2 π T —
,
.
.
,
—
.
3)
,
.
4)
-
:
(
).
,
.
3.4.
3.4.1.
s(t) —
(3.20)
,
bn = 0 ,
,
an
s(t) = s( t).
(3.19)
,
,
,
an =
4 T /2
s (t ) cos(nω1t )dt .
T ∫0
(3.22)
:
4
An = an =
T
T /2
∫ s(t ) cos(nω1t )dt ;
(3.23)
0
0 if
θn = angle (an , 0) = 
π if
an > 0 ;
an < 0 .
(3.24)
42
s(t) —
3.4.2.
(3.19)
,
s(t) = s( t).
an = 0 ,
,
(3.20)
bn
,
,
-
,
4 T /2
bn = − ∫ s (t ) sin( nω1t )dt .
T 0
(3.25)
-
:
4
An = bn =
T
T/2
∫ s(t ) sin(nω1t )dt
;
(3.26)
0
+ π / 2 if
θn = angle (0, bn ) = 
− π / 2 if
bn > 0 ;
(3.27)
bn < 0 .
3.5.
.
(3.16)
-
s(t)
[4].
,
-
.
,
.
-
,
—
,
(
90%)
.
.
(2.10)
1 T /2 2
P =
s (t )dt .
T −T∫/ 2
(3.28)
43
.
k-
,
,
-
,
1 k 2
∑ An .
2 n =1
Pk =
,
(3.29)
,
-
(
)
Pk
a2
P − 0
4
=
γ (k ) —
1 k 2
∑ An
2 n =1
T /2
1
a02
2
s
(
t
)
d
t
−
T −T∫/ 2
4
= γ (k ) ,
(3.30)
( γ (k ) ≤ 1 ),
k
k.
k =k ,
(3.30)
-
-
γ (k ) ≈ 0,9 .
-
∆ω
= k ω1 .
3.6.
,
. 3.6.
s(t)
…
…
E
–
−t /2 0 t /2
2
. 3.6
t
44
,
-
.
(
. . 3.4.1.)
(0, /2):
 E
s (t ) = 
0
0≤ t < t 2 ;
if
(3.31)
t 2< t ≤T 2 .
if
bn = 0 ,
(3.23).
an
(3.31),
 nω t 
sin  1 
4
4
2E
 2  . (3.32)
an =
s(t ) cos(nω1t ) dt =
E cos(nω1t ) dt =
∫
∫
nω1t
T 0
T 0
Q
2
t /2
T /2
(3.32),
,
-
:
a0 E
= ;
2 Q
(3.33)
 nω t 
sin  1 
2E
 2  ;
An = an =
n
ω1t
Q
2
(3.34)
0
θn = 
π
if
an > 0 ;
if
an < 0 .
(3.35)
—
-
,
An .
.
(3.34)
nω1
ω.
45
ωt 
sin 

2E
2 

A(ω) =
.
ωt
Q
2
(3.36)
,
(3.36)
-
.
ω0 k =
2π
k,
t
f 0k =
1
k,
t
(3.37)
k =1, 2, 3 ... .
(
. 3.7).
f = ω 2π .
An ( f )
A1
a)
A2
a0 /2
…
0
f 1 2f 1
…
…
…
1/t
2/t
3/t
θn( f )
f
b)
π
…
…
…
0
f1 2f1
…
2/t
1/t
3/t
f
. 3.7
(
mf1 (m —
)
).
,
-
,
f 0 k = mf1 .
(3.38)
46
(3.38)
(3.37)
m=
(3.39)
f 0k
= Qk .
f1
,
(3.39)
Q—
,
Q.
m = 3, 6, 9,… .
,
Q=3
Q
,
-
Qk.
Q = 2,5
m = 5, 10, 15,… .
3.7.
(
“
”).
(
.
3.8)
Q=2
(
E/2
).
-
,
.
s(t)
…
…
E
−T
0
T
2T
t
. 3.8
(3.32)
Q=2
an :
 πn  πn
an = E sin 
.

 2  2
(3.39)
n,
(3.40)
,
(3.40)
an
.
-
47
(3.24):
(3.23)
(
1
= 2 /π
0,7 ;
1
= 0;
3
)
= 2 /3π
0,23 ;
3
= π.
,
s1(t)
.
(
. 3.9
s3(t)
.
b)
. 3.9
,
s (t).
s(t),
s1(t),
s3(t)
.
s3(t)
s1(t)
0
a)
−T
s (t),
s(t)
b)
t
T
−T
s (t)
0
s(t)
T
t
. 3.9
s (t)
.
-
,
s (t)
.
,
.
,
-
1,18E [1].
,
,
.
3.8.
3.8.1.
,
. 3.10.
:
.
= 100 ;
T = 10 ⋅ 10 −3 .
-
48
s(t)
E
…
…
T T/2 0
2T
T/2
T
2T
t
. 3.10
3.8.2.
,
bn = 0 ,
an
-
(3.22).
s(t )
(0, T 2) .
s( t ) =
(3.41)
− 2E
t+E .
T
(3.41)
(3.22),
4
an =
T
T 2
 − 2E

t + E  cos( nω1t )dt .
T

∫ 
0
,
1
an = 8E2 2 2 [1 − cos(nπ)] .
T n ω1
,
ω1 = 2π T .
,
2
 sin( πn 2) 
an = E 
.
 πn 2 
(3.42)
.
(3.23)
(3.24)
-
49
 sin( πn 2) 
An = an = E 
;
 πn 2 
(3.43)
θn = 0 .
(3.44)
2
(3.43)
,
.
(3.44)
.
a0 2 = E 2 .
(3.43)
(3.16)
E ∞  sin( πn 2) 
s (t ) = + ∑ E 
cos( nω1t ) .
2 n =1  πn 2 
2
(3.45)
,
: a0 2 = 50 ;
,
A1 = 4 E π 2 ≈ 40,57 ; A3 = 4 E 9 π2 ≈ 4,51 ; A5 = 4 E 25π2 ≈ 1,62 .
. 3.11.
An ,
a 0/2 = 50
A1=40,57
A3=4,51
A 5=1,62
0
100
200
300
400
500
f,
0
100
200
300
. 3.11
400
500
f,
θn
,
. 3.12.
-
50
s (t)
E
…
…
2T
T
0
T
2T
. 3.12
. 3.12
,
(
.
. 3.10).
t
51
-
4.
4.1.
«
»
-
,
(3.1)
.
s(t)
t1
(
).
. 4.1,
.
s(t),
s1(t)
s(t)
s1(t)
…
…
0
t1
T
2T
t
. 4.1
s1(t)
T > t1 (
. 4.1,
).
,
s(t)
-
,
s1(t)
s(t),
s (t ) = lim s1 (t ) .
T →∞
,
-
T →∞.
,
.
.
1)
s1(t)
ω1 = 2π T (
.
. 3.5).
52
T →∞
lim (ω1 = 2π T ) = 0 .
T →∞
,
s(t)
.
—
,
,
+ ∞.
0
,
(
)
.
2)
,
(3.17), (3.19), (3.20),
( T → ∞ ),
.
lim An = 0 .
T →∞
,
.
,
,
0
4.2.
-
+ ∞.
.
.
(3.4)
s1 (t ) =
∞
∑ Cne
s1 (t )
jnω 1 t
,
(4.1)
n = −∞
:
T 2
1
− jnω1 t
Cn =
s1(t )e
dt .
∫
T −T 2
(4.2)
53
T = 2π ω1
(4.2),
s1 (t ) =
(4.1)
 jnω t
1 ∞  T /2
− jnω t
 ∫ s1 (t )e 1 dt  e 1 ⋅ ω1 .
∑
2π n = −∞  −T / 2

.
4.1)
(
(4.3)
dω ,
ω1 —
s(t),
nω1 —
—
(4.3)
-
s1(t)
ω,
.
s (t ) =

1 ∞∞
 ∫ s (t )e − jω t dt  e jω t dω .
∫
2π − ∞  − ∞

(4.4)
(4.4)
,
.
,
.
-
,
-
.
s (t )
S ( jω) .
-
,
:
S ( jω) =
∞
∫ s (t ) e
− jω t
dt ;
(4.5)
−∞
s (t ) =
1 ∞
jω t
S ( jω) e dω .
∫
2π − ∞
(4.6)
(4.5)
(4.6) —
,
-
.
,
,
.
54
4.3.
(4.5)
.
(4.5),
S ( jω) = A(ω) + jB (ω) ,
A(ω)
(4.7)
B(ω) —
,
:
A(ω) =
∞
∫ s(t ) cos(ω t )dt ;
(4.8)
−∞
∞
B (ω) = − ∫ s(t ) sin( ω t )dt .
(4.9)
−∞
,
A(ω)
ω,
,
(4.8)
B(ω) —
-
(4.9).
S ( jω) = S ( jω) e jθ(ω) ,
S ( jω)
(4.10)
θ(ω) —
,
-
:
S ( jω) =
,
ω,
S ( jω)
A2 (ω) + B 2 (ω) ;
(4.11)
θ(ω) = angle ( A(ω), B (ω)) .
(4.12)
,
θ(ω) —
A(ω)
B (ω) .
,
.
55
4.4.
,
(4.6),
.
-
(
)
.
),
(
s (t )
,
-
(4.6)
.
.
(
.
3.3)
.
(4.10) (4.6),
s (t ) =
=
1 ∞
1 ∞
j[ ω t + θ ( ω )]
jθ ( ω ) jω t
ω
ω
=
S
(
j
)
e
e
d
S ( jω) e
dω =
∫
∫
2π − ∞
2π − ∞
1 ∞
1 ∞
S
(
j
ω
)
cos[
ω
t
+
θ
(
ω
)]
d
ω
+
j
∫
∫ S ( jω) sin[ωt + θ(ω)]dω .
2π − ∞
2π − ∞
(
S ( jω)
)
θ(ω) ,
-
,
.
:
s (t ) =
1∞
S ( jω) cos[ω t + θ(ω)]dω .
π ∫0
(4.13)
(4.13)
.
(4.13)
.
(3.16),
(4.13)
∆A ,
∆A ≈
1
S ( jω) ∆ω = 2 S ( jω) ∆f .
π
-
56
∆A
.
∆f → 0 ∆ f
2 S ( jω) = lim
(4.14)
,
,
-
,
-
,
.
(4.14)
),
,
/
/
(
(
).
.
4.5.
s (t )
,
.
4.5.1.
s(t) —
.
(4.9)
B (ω) = 0 .
,
A(ω) ,
,
-
(4.8),
∞
S ( jω) = A(ω) = 2 ∫ s (t ) cos(ω t ) dt .
(4.15)
0
:
S ( jω) = A(ω) ;
0
θ(ω) = 
± π
+π
θ( )
(4.16)
if
A(ω) > 0 ;
if
A(ω) < 0 .
> 0,
.
(4.17)
−π —
< 0,
-
57
s(t) —
4.5.2.
(4.8)
.
A(ω) = 0 .
,
jB (ω) ,
,
-
(4.9),
∞
S ( jω) = jB (ω) = − j2 ∫ s (t ) sin( ω t ) dt .
(4.18)
0
:
S ( jω) = B(ω) ;
+ π 2
θ(ω) = 
− π 2
(4.19)
if
B (ω) > 0 ;
if
B (ω) < 0 .
(4.20)
4.6.
,
,
.
.
©=0
4.6.1.
: ω = 0.
(4.5)
S ( jω) ω= 0 = S (0) =
-
∞
∫ s (t ) dt
.
(4.21)
−∞
,
-
,
.
.
(4.21)
-
,
-
.
(4.21)
s (t ) .
,
s (t )
ω=0
.
58
4.6.2.
s (t )
n
n
s (t ) = ∑ sk (t ) .
(4.22)
k =1
s (t ) .
(4.22).
:
n
S ( jω) = ∑ S k ( jω) .
(4.23)
k =1
,
.
4.6.3.
(
)
s1(t),
-
S 1 ( jω) .
-
t0 .
s2(t),
-
s2 (t ) = s1 (t − t 0 ) .
t0 > 0
(4.24)
,
. 4.2.
s1(t)
t0 < 0 —
.
s2(t),
s1(t).
s1(t),
s2(t)
s2(t)
s1(t)
0
t1
t1 + t0
t2
. 4.2
t2 + t0
t
59
s2(t).
(4.24)
S 2 ( jω) =
∞
∫ s2 (t ) e
− jω t
dt =
−∞
∞
∫ s1(t − t0 ) e
− jω t
dt .
(4.25)
: t − t0 = τ .
: t = τ + t0 ,
−∞
(4.25)
dt = dτ .
:− ∞
÷
+ ∞.
(4.25)
∞
S 2 ( jω) = e − jωt0 ∫ s1 (τ) e − jωτ dτ = S 1 ( jω)e − jωt 0
(4.26)
.
−∞
,
t0
e
− jω t 0
.
-
,
(4.26):
 S 2 ( jω) = S 1 ( jω) ;

θ2 (ω) = θ1 (ω) − ω t 0 .
(4.27)
(4.27)
,
,
.
− t0 ,
-
.
4.6.4.
,
.
-
s1(t),
S 1 ( jω) .
n (n > 1
t
, n<1—
).
s2(t)
s2 (t ) = s1 ( nt ) .
(4.28)
60
. 4.3
s1(t)
s1(t),
s2(t)
s2(t)
s2(t)
.
s1(t)
0
t1
t1/n
t
. 4.3
s2(t).
(4.28)
:
∞
S 2 ( jω) = ∫ s2 (t ) e
−∞
− jω t
∞
dt = ∫ s1 (nt ) e
− jω t
dt .
(4.29)
: nt = τ .
: t =τ n ,
−∞
(4.29)
: −∞
dt = dτ n .
÷
+ ∞.
-
(4.29)
ωτ
−j
1 ∞
1  ω
S 2 ( jω) = ∫ s1 (τ) e n dτ = S 1  j  .
n −∞
n  n
,
t
(4.30)
n
n
.
,
n
(
(
)
)
.
:
,
-
.
4.6.5.
s1(t),
-
S 1 ( jω) .
.
s2(t),
-
61
s2 ( t ) =
ds1 (t )
.
dt
(4.31)
s2(t).
[4]
-
,
S 2 ( jω) = jω ⋅ S 1 ( jω) .
(4.32)
(4.32)
,
jω .
4.6.6.
s1(t),
-
S 1 ( jω) .
,
S 1 (0) = 0 .
s1(t)
s2 (t ) =
(4.33)
s2(t),
-
t
∫ s1 (t ) dt
.
(4.33)
−∞
s1(t)
s1 (t ) =
ds2 (t )
.
dt
(4.32)
S 1 ( jω) = jω ⋅ S 2 ( jω) .
(4.34)
S 2 ( jω) :
(4.34)
S 2 ( jω) =
S 1 ( jω)
.
jω
,
(4.35)
jω .
62
S 1 (0) ≠ 0 ,
[1]
πδ(ω) S 1 (0) |,
(4.35)
δ-
(
.
δ(ω) —
4.9).
4.6.7.
g (t )
G ( jω)
f (t ) ,
F ( jω) .
s (t ) = g (t ) f (t ) .
(4.36)
,
(4.36):
S ( jω) =
∞
∫ g (t ) f (t ) e
− jω t
dt .
(4.37)
−∞
(4.37)
g (t ) ,
ω
,
x (
).
S ( jω) =
∞
∫
−∞
1 ∞

− jω t
G ( jx) e jxt dx  f (t )e dt .
∫

 2π − ∞

,
x,
1 ∞
S ( jω) =
G ( jx ) F [ j(ω − x )] dx .
2π −∫∞
(4.39)
,
(4.38)
,
(4.39)
-
(
1 2π ).
(4.39).
63
ω= 0.
ω
x
∞
∫ g (t ) f (t ) dt =
−∞
1 ∞
G ( jω) F ∗ ( jω) dω .
∫
2π − ∞
(4.40)
(4.40)
.
-
,
.
.
4.7.
.
.
(4.40).
-
g (t ) = f (t ) = s (t ) ,
∞
2
∫ s (t ) dt =
−∞
1 ∞
2
S ( jω) dω .
∫
2π − ∞
(4.41)
(4.41)
-
,
,
—
.
.
(4.41)
,
(4.41)
-
,
.
S ( jω)
,
∞
1∞
2
= ∫ s (t ) dt = ∫ S ( jω) dω .
π0
−∞
2
(4.42),
(4.41)
(4.42)
∆ω = ω2 − ω1 ,
,
ω1 , ω2 —
,
.
64
ω
∆ω
1 2
2
= ∫ S ( jω) dω .
π ω1
(4.43)
2
S ( jω) = W (ω) .
,
,
,
.
,
.
-
.
(
∆ω .
)
—
(
,
90%)
.
∆ω = ω2 − ω1 ,
,
-
ω
∆ω
=
1 2
2
S ( jω) dω
∫
π ω1
∞
∫s
2
= γ (∆ω) ,
(4.44)
(t ) dt
−∞
γ ( ∆ω) —
( 0 ≤ γ ≤ 1 ).
,
ω1
ω2
(4.44),
: γ(∆ω) = 0,9.
,
∆ω .
4.8.
. 4.4.
,
,
-
s (t )
.
-
65
.
(0, + ∞) ,
s (t )
s(t)
,
t
−t /2 0
:
t /2
E if
s (t ) = 
0 if
t
. 4.4
(4.15),
0≤t≤t 2;
(4.45)
t >t 2.
(4.45)
 ωt 
sin 

2 E  ωt 
2 

S ( jω) = A(ω) = 2 ∫ E cos(ω t ) dt =
sin 
.
 = Et
ωt
ω
 2 
0
2
t /2
(4.46)
(4.46):
 ωt 
sin 

2 

S ( jω) = A(ω) = Et
;
ωt
2
if
0
θ(ω) = 
± π if
A(ω) (
(
. 4.5, ),
(4.47)
A(ω) > 0 ;
(4.48)
A(ω) < 0 .
(
. 4.5,b)
-
. 4.5, )
.
. 4.5,b
,
,
.
,
,
.
-
66
(ω)
Et
a)
−6π/t −4π/t
−2π/t 0
|S(jω)|
−4π/t −2π/t
4π/t
6π/t
ω
Et
b)
−6π/t
2π/t
0
2π/t
4π/t
6π/t
ω
2π/t
4π/t
6π/t
ω
θ(ω)
π
c)
−6π/t
−4π/t −2π/t
0
−π
. 4.5
.
:
∞
∫s
2
(t )dt =
−∞
t
−t
2
∫E
2
dt = E 2 t .
(4.49)
2
(
(4.44)).
( ω1 = 0 ),
ω 2 = ∆ω .
1
γ ( ∆ω) = t
π
∆ω
∫
0
(4.47)
(4.49)
2
  ωt  ω t 
 sin 
 dω .

  2  2 
(4.50)
γ(∆ω),
. 4.6
(4.50).
-
γ ( ∆ω) = 0,9.
(
.
.
4.6)
∆ω
=
2π t
,
∆f
=
1t
.
(4.51)
67
γ(∆ω)
1,0
0,9
0
∆ω
2π/t
. 4.6
, 90%
.
t = 10ó6 ,
,
∆f = 1
4.9.
(¼-
,
(4.51),
.
)
4.9.1.
δ-
,
.
,
.
-
.
δ-
.
-
,
: E =1 t (
. 4.7).
t
.
,
δ-
.
δ(t ) (
.
. 4.8).
,
δ-
,
[δ] = 1/c.
δ-
t0 .
,
: δ(t − t 0 ) .
δ-
-
68
∞
s(t)
δ(t)
E=1/t
−t /2
0
t
t /2
0
t
t
. 4.8
. 4.7
, δ-
δ(t − t0 )
:

∞ if t = t0 ;
δ(t − t0 ) = 

0 if t ≠ t0 ;
∞
 δ(t − t ) dt = 1 .
0
−∫∞
δ-
(4.52)
, kδ(t − t 0 )
(
(k )
.
.
¼-
4.9.2.
f (t ) ,
t = t0
δ(t − t 0 )
δ-
δ(t − t 0 ) .
-
t = t0 ,
,
-
,
f (t0 ) .
f (t )
f (t0 )
δ-
,
∞
∫
−∞
.
,
∞
f (t )δ(t − t0 )dt = f (t0 ) ∫ δ(t − t0 )dt = f (t0 ) .
(4.53)
−∞
δ-
-
:
(t − t0 )
f (t ) ,
t0 ,
f (t0 ) .
69
4.9.3.
δ-
,
(t − t0 ) .
.
:
∞
∆ ( jω) = ∫ δ(t − t0 ) e
− jω t
dt .
(4.54)
−∞
(4.54),
(4.53).
∆ ( jω) = e
− jω t 0
-
.
(4.55)
(4.55):
∆( jω) = 1 ;
(4.56)
θ(ω) = −ω t0 .
(4.57)
δ4.9,b.
. 4.9,
. 4.9,
,
)
δ.
1
,
b)
,
.
,
0
ω
0
ω
θ(ω)
. 4.9
δ=
1∞
1∞
2
∆
(
j
ω
)
d
ω
=
dω = ∞ .
π 0∫
π 0∫
,
,
|∆(jω)|
(4.58)
δ-
.
70
¼-
4.9.4.
δ-
-
1 ∞
1 ∞ ± jω( t −t0 )
jω t
δ(t − t0 ) =
∆( jω)e dω =
e
dω .
2π −∫∞
2π −∫∞
(4.59)
(4.59)
,
,
.
ω
δ-
(4.59)
t
-
δ( ω − ω 0 ) :
δ(ω − ω0 ) =
1 ∞ ± j( ω− ω0 ) t
e
dt .
2π −∫∞
(4.60)
.
4.10.
—
,
.
.
s (t ) = C0 = const (
-
. 4.10, ).
δ-
.
.
.
|S(jω)| ∞
s(t)
2πC0δ(ω)
)
b)
0
0
0
t
. 4.10
(4.60),
ω
71
S ( jω) =
∞
∫ s(t ) e
−∞
− jω t
∞
dt = C0 ∫ e
− jω t
−∞
dt =2 π C0δ(ω) .
(4.61)
,
δ-
,
.
,
(
).
C0
-
2 π C0 .
,
-
. 4.10,b.
4.11.
s (t ) = A1 cos(ω1t + θ1 ) .
(4.62)
(4.62)
e j( ω1t + θ1 ) + e − j( ω1t + θ1 )
.
s (t ) = A1
2
(4.63)
S ( jω) =
=
A1
2
(4.63)
:
A1
∞
2
−∞
∫e
j( ω1t + θ1 ) − jω t
e
dt +
∞
A1
−∞
2
e jθ1 ∫ e − j(ω−ω1 ) t dt +
A1
∞
2
−∞
∫e
− j( ω1t + θ1 ) − jωt
e
dt =
∞
e − jθ1 ∫ e − j( ω+ ω1 ) t dt .
−∞
(4.60)
S ( jω) = π A1e jθ1 δ(ω − ω1 ) + π A1e − jθ1 δ(ω + ω1 ) .
(4.64)
,
δ-
,
ω1
− ω1 .
72
π A1
-
.
. 4.11,a
π 1δ(ω+ω1)
4.11,b
|S(jω)|
∞
.
∞
π 1δ(ω–ω1)
a)
−ω1
b)
0
θ(ω)
ω1
0
ω1
ω
θ1
−ω1
ω
−θ1
. 4.11
δ-
,
-
ω1
.
4.12.
,
:
∞
s (t ) = C0 + ∑ An cos(nω1 t + θn ) .
(4.65)
n =1
,
4.10
∞
[
4.11,
-
]
(4.66)
S ( jω) = 2π C0δ(ω) + ∑ π An δ(ω − nω1 )e jθ n + δ(ω + nω1 )e − jθ n .
n =1
(4.66),
δ± nω1 .
,
-
73
. 4.12.
|S(jω)|
∞
∞
π
…
−2ω1
…
−2ω1
…
π
2
−ω1
0
θ(ω)
∞
π
2πC0
1
ω1
−ω1
ω1
0
∞
π
1
π
2
3
…
ω
3ω1
2ω1
θ3
θ2
θ1
−θ1
−θ2
∞
2ω1
3ω1
…
ω
. 4.12
.
-
,
,
,
-
.
4.13.
,
(4.5)
Cn
(3.5).
1T,
-
,
ω,
nω1 .
—
-
,
•
.
A n = 2C n ,
,
•
An =
(4.67)
,
2
S ( jnω1 ) .
T
(4.67)
-
74
,
,
,
2T.
(4.67)
,
.
4.14.
. 4.13
,
t ,
,
-
T1 .
-
i = 0, 1, 2, 3 .
Pi ,
s(t)
P3
P2
P0
P1
0
t
T1
2T1
. 4.13
3T1
t
T1 .
,
(4.23)
.
(4.26),
(4.46),
(
)
−j
2
ωt
S ( jω) = sin
P0 + P1e − jωT1 + P2e − j2 ωT1 + P3e − j3ωT1 e
ω
2
ωt
2
.
(4.68)
75
S ( jω) =
ωt
2
sin
ω
2
P0 + P1e − jωT1 + P2e − j2ωT1 + P3e − j3ωT1 .
(4.69)
(4.69)
T1 t = 2
. 4.14.
|S(jω)|
4t
a)
−2π/t
−2π/T 1
0
2π/T 1
2π/t
ω
2π/T1
2π/t
ω
|S(jω)|
6,5t
b)
−2π/t
−2π/T1
0
. 4.14
.
4.14,
P0 = P1 = P2 = P3 .
[1].
ω1 = 2π T1 ,
,
: ω1 4 ; ω1 2; 3ω1 4 .
ω1 .
. 4.14,b
P0 = 1 , P1 = 1,5 , P2 = 2 , P3 = 2,5 .
.
.
,
T = 4T1 ,
76
Ω = 2π T = ω1 4 .
t = T1 .
,
(4.67)
π
3π
−j
−j
2
2
A1 = S ( j Ω ) =
P0 + P1e 2 + P2 e − jπ + P3e 2 .
T
π
(4.70),
(4.70)
:
A1 =
2
(P0 − P2 ) − j(P1 − P3 ) .
π
(4.71)
,
A1 =
2
π
(P0 − P2 )2 + (P1 − P3 )2 .
,
(4.72)
,
-
(4.72).
4.15.
4.15.1.
s(t)
,
E
. 4.15.
-
.
t1 /2
0
t1/2
. 4.15
t
.
:
= 40 ;
-
t1 = 1 ⋅ 10−3 .
4.15.2.
s (t ) .
-
77
,
,
-
(4.15).
s (t )
(0, + ∞ ) :
,
 2E
 t,
s(t ) =  t1
0,
(4.73)
if
0 ≤ t < t1 2 ;
if
t > t1 2 .
.
(4.73)
(4.15):
∞
t1 2
0
0
S ( jω) = A(ω) = 2 ∫ s (t ) cos(ωt )dt = 2
∫
2E
t cos(ωt )dt .
t1
,
:
 t1

sin( ωt1 2)
4E  2
cos(ωt1 2) 1 

S ( jω) = A(ω) =
+
− 2 .
t1 
ω
ω2
ω 




2
sin( ωt1 2) Et1  sin( ωt1 4) 
S ( jω) = A(ω) = Et1
−
.
2  ωt1 4 
ωt1 2
(4.74)
(4.74)
,
: S (0) = Et1 2 = 0,02
/
,
.
f,
,
,
.
(4.74)
.
. 4.16.
78
ω0 k =
4π
k,
t1
f 0k =
2
k,
t1
(4.75)
k = ±1, ± 2, ± 3,... .
A( f ), /
−3
−4
−2
−1
0,02
0
|S(j f )|, /
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4 f,
1
2
3
4 f,
1
2
3
4 f,
0,02
0
θ( f )
π
−4
±2
, ±4
−3
, ±6
−2
−1
0
−π
. 4.16
,... .
,
-
,
,
.
-
,
.
,
∆f
≈ 2 t1 = 2
.
.
79
5.
5.1.
s (t )
,
[4]:
∞
∫ | s(t ) | dt < ∞
.
(5.1)
−∞
.
s (t )
−σ t
(σ > 0).
-
s1 (t )
s1 (t ) = s (t )e
t<0
,
−σ t
.
(5.2)
s (t )
.
.
,
,
s1 (t )
(5.1)
.
5.2.
s1 (t ) .
-
(5.2)
-
80
S 1 ( jω) =
∞
∫ s1 (t )e
− jω t
−∞
∞
dt = ∫ s (t )e −( σ+ jω )t dt = S (σ + jω) .
(5.3)
−∞
,
s1 (t )
-
s (t ) ,
( σ + jω ).
s1 (t ) ,
-
S 1 ( jω) :
s1 (t ) = s (t )e − σ t =
1 ∞
S (σ + jω)e jω t dω .
∫
2 π −∞
s (t ) :
1 ∞
s (t ) =
S (σ + jω)e ( σ + jω) t dω .
∫
2π − ∞
(5.3)
: σ + jω = p .
(5.4)
ω = ( p − σ) j , dω = dp j ,
(σ − j∞ )
(5.4)
(5.4)
(σ + j∞) .
:
S (p) =
∞
∫ s(t )e
− pt
dt ;
(5.5)
−∞
σ + j∞
1
s (t ) =
S (p)e pt dp .
∫
2πj σ− j∞
(5.5)
,
(5.6)
(5.6)
S ( p)
,
s (t ) —
.
-
σ = 0,
p = jω .
,
-
p
jω
.
81
p = σ + jω
,
.
ω
,
,
exp(−σ t ) .
p = σ + jω .
,
,
ω
,
-
.
5.3.
.
5.3.1.
,
s (t ) ,
S ( p) .
,
(
.
).
S ( p)
5.3.2.
p.
5.3.3.
jω.
p
S (p)
jω,
-
.
S ( p)
5.3.4.
jω,
,
5.3.3.
.
5.4.
.
S ( jω)
5.4.1.
p.
jω
S ( p) .
5.4.2.
.
:
-
82
;
—
—
;
—
(5.6).
(5.6)
-
s (t ) = ∑ res i ,
i
resi —
i-
.
S ( p) =
pi
M ( p)
,
N (p)
(5.7)
,
[4]:
resi =
M (p) pt
e
N ′(p)
p=pi
(5.8)
.
k,
pi
[4]:
res i =

1
d k −1  M (p) pt
e (p − pi ) k 
k −1 
(k − 1)! dp  N (p)

p= pi
.
(5.9)
5.5.
(
. 5.1).
-
,
-
.
:
1
1(t ) = 
0
if
t >0;
if
t <0.
(5.10)
83
1(t)
1
0
t
. 5.1
[4]:
1( p) =
1
.
p
(5.11)
p1 = 0 .
(5.11)
jω,
res1 =
,
e pt
1
(5.8):
=1 .
p =p1 =0
,
1/2.
(5.11)
p
jω
(4.61),
1( jω) =
1
1
1
+ 2π δ(ω) =
+ πδ(ω) .
jω
2
jω
(5.12)
:
1( jω) =
1
+ πδ(ω) ;
ω
− π 2 if
θ(ω) = 
+ π 2 if
(5.13)
ω>0;
(5.14)
ω<0.
,
(5.13)
(5.14),
. 5.2.
84
|1(jω)|
∞
πδ(ω)
ω
0
θ(ω)
π/2
ω
0
−π/2
. 5.2
,
,
.
-
δ-
.
πδ(ω) .
-
,
,
0,5.
5.6.
,
t=0
. 5.3.
s (t ) = E sin( ω 0 t ) ⋅ 1(t ) .
-
(5.15)
T=2π /ω0
s(t)
E
0
t
. 5.3
(5.15) [4]:
85
S (p) =
E ω0
p 2 + ω0
.
2
(5.16)
p1 = jω0
(5.16)
p 2 = − j ω0 .
jω,
,
-
(5.8):
Eω0e pt
res1 =
2p
p= jω0
Ee jω0t
=
;
2j
Eω0e pt
res 2 =
2p
p = − j ω0
Ee − jω0t
=−
.
2j
E
E
π
1 2
1 E jω0t

resi =
(e − e − jω0t ) = sin(ω0t ) = cos ω0t −  .
∑
2 i =1
2 2j
2
2
2

(5.16)
p
jω
(4.64),
π
π
−j
j
Eω
E
E
S ( jω) = 2 0 2 + π δ(ω − ω0 )e 2 + π δ(ω + ω0 )e 2 .
2
2
ω0 − ω
(5.17)
:
S ( jω) =
Eω0
ω02 − ω2
+π
0

+ π
θ(ω) = − π
− π 2

+ π 2
,
. 5.4.
E
E
δ(ω − ω0 ) + π δ(ω + ω0 ) ;
2
2
if
ω < ω0 ;
if
ω > ω0 ;
if
ω < −ω0 ;
if
ω = ω0 ;
if
ω = −ω 0 .
(5.18)
(5.18)
(5.19)
(5.19),
-
86
∞
|S(jω)|
∞
0,5πEδ(ω−ω0)
0,5πEδ(ω+ω0)
E/ω0
−ω0
−ω0
θ(ω)
π
−π/2
ω0
0
ω
π/2
ω0
0
ω
−π
. 5.4
,
,
.
-
± ω0
δ-
.
,
E 2.
5.7.
5.7.1.
,
.
.
5.5,a.
:
= 400 ; t1 = 1 ⋅10−4 .
5.7.2.
,
.
s (t )
,
: s (t ) = s1 (t ) + s 2 (t ) .
-
t = 0,
,
s2 (t ) —
-
-
s1 (t )
“
”
,
“
-
87
t = t1 .
”
.
5.5,b.
s(t)
a)
s (t ) =
E
E
E
t ⋅1(t ) − (t − t1 ) ⋅1(t − t1 ) .
t1
t1
s (t )
t1
0
t
s(t)
s1 (t )
b)
E
s 2 (t ) .
s1 (t)
0
t1
s 2(t)
E 1 E 1 −p t1 E (1 − e − p t1 )
S (p) =
−
=
e
.
t1 p 2 t1 p 2
t1
p2
t
(5.20)
. 5.5
k =2
(5.20)
p1 = 0 .
-
(5.9):
res1 =
[
E d
(1 − e −pt1 )e pt
t1 dp
(5.20)
p
]
=E.
p =0
jω
,
E 2.
S ( jω) =
-
(4.61)
E 1
(1 − e − jω t1 ) + πEδ(ω) .
2
t1 ( jω)
.
(5.21)
(5.21)
,
 ωt 
sin  1 
E
 2  + πEδ(ω) .
S ( jω) =
ωt1
ω
2
(5.22)
88
,
,
-
(5.22),
f,
. 5.6.
|S(j f )|, /
πEδ(ω)
0,01
0,005
−30
−20
−10 0
θ( f )
10
20
30
f,
10
20
30
f,
π
−30
−20
π/2
−10
0
−π/2
−π
. 5.6
,
-
,
.
,
.
(5.22)
t1 = 0
E
(
.
-
(5.12)),
,
-
.
89
6.
“
”
.
-
.
-
,
.
:
,
—
,
-
.
6.1.
s(t),
,
-
,
(
B ( τ) =
.
)
∞
∫ s ( t ) s (t + τ ) d t ,
(6.1)
−∞
s (t + τ) —
τ,
s(t),
−∞ < τ< ∞.
τ,
t
(6.1)
.
.
τ
1)
(6.1) τ = 0 .
B ( τ) τ = 0 =
∞
∫s
2
(t )dt =
.
(6.2)
−∞
,
,
.
90
2)
Tc ,
-
.
-
,
− Tc
.
,
Tc ,
,
.
3)
τ
τ,
,
B (τ) = B (− τ) .
(6.3)
,
.
6.2.
,
(
.
. 6.1,b
(τ > 0)
-
.
s(t)
E
t
)
t1
0
s(t+τ)
E
t2
t
τ
b)
0
t1óτ
t2óτ
. 6.1, ).
t
. 6.1
τ.
91
0≤ τ ≤t .
1)
τ>0
(6.1)
B (τ) =
t2 −τ
∞
∫ s(t ) s(t + τ)dt = ∫ E
−∞
2
dt =E 2 (t 2 − t1 − τ) = E 2 (t − τ) ,
t1
t = t2 − t1 —
(6.4)
(6.4)
.
B(0) = E 2t =
,
—
.
τ
-
.
,
0≤ τ ≤t ,
τ
(6.4)
B( τ) = E 2 (t − τ ) .
(6.5)
τ >t .
2)
,
,
-
(
).
-
(
. 6.2, ).
2t .
,
:
R ( τ) =
B ( τ)
.
B (0)
(6.6)
,
.
.
. 6.2,b.
τ=0
-
92
B(τ)
E2 t =
)
ót
0
τ
t
R(τ)
1
b)
ót
0
τ
t
τ
. 6.2
.
(
. 6.2,b)
,
.
τ
,
=
-
∞
∫ R (τ) dτ .
(6.7)
−∞
,
(6.7),
,
τ
-
=t .
6.3.
,
t ,
T1 (
. 6.3, ).
-
Tc = T1 + t .
-
,
-
.
,
,
—
.
93
0≤ τ ≤t (
1)
. 6.3,b)
t −τ
B ( τ) =
∫
E 2 dt +
Tc − τ
0
,
∫E
2
dt = 2 E 2 (t − τ ) .
(6.8)
T1
B(0) = 2 E 2t = 2
τ = 0
1,
1
= E 2t —
.
s(t)
a)
E
t
0
s(t+τ)
b)
T1
T
τ
E
0 t −τ
s(t+τ)
c)
Tc−τ
0
s(t+τ)
t
τ
E
0 T1−τ
s(t+τ)
e)
t
τ
E
0 Tc−τ
s(t+τ)
f)
t
τ
E
0
. 6.3
2)
t ≤τ≤
1
−t (
T1 − t ≤ τ ≤ T1 (
t
. 6.3,c)
(τ) = 0 .
3)
t
τ
E
d)
t
(6.9)
. 6.3,d)
t
B ( τ) =
∫E
T1 −τ
2
dt = E 2 (t − T1 + τ ) .
(6.10)
94
,
|τ| =
4)
1
B (T1 ) = E 2t =
1
≤τ≤
(
1.
. 6.3, )
T −τ
∫E
B ( τ) =
2
dt = E 2 (Tc − τ ) .
(6.11)
0
,
( τ) = 0 .
|τ| =
τ > Tc (
5)
. 6.3, f)
( τ) = 0 .
(6.12)
(6.8)…(6.12)
(
. 6.4).
B(τ)
2
1
1
óTc
óT1
ót
t
0
T1
τ
Tc
. 6.4
,
.
,
n
,
(2n – 1)
,
-
.
τ=0
B ( 0) = n
1.
6.4.
(
,
,
(6.1))
(6.1).
95
( τ) =
/2
1
∫ s(t ) s(t + τ)dt .
(6.13)
− /2
.
1)
(6.13)
,
τ
.
2)
.
.
τ
3)
(6.13) τ = 0 .
(2.10)
( 0) =
/2
1
∫s
2
(t )dt =
.
(6.14)
− /2
τ
,
-
,
.
4)
B ( τ) = B (− τ) .
τ,
5)
(6.13)
¬,
,
(−T/2, T/2),
-
.
(
B(τ)
. 6.5).
P
…
…
ó2T
óT
ót
0
t
. 6.5
T
2T
τ
96
6.5.
,
s (t ) = U m cos(ω0t + θ0 ) .
(6.15)
(6.13):
U m2
( τ) =
T
/2
∫ cos(ω0t + θ0 ) cos[ω0 (t + τ) + θ0 ]dt .
− /2
,
T /2

U m2  T / 2
( τ) =
 ∫ cos(2ω0t + ω0 τ + 2θ0 )dt + ∫ cos(ω0 τ)dt  .
2T −T / 2
−T / 2

,
,
.
T /2
U m2
U2
( τ) =
cos(ω0 τ) ∫ dt = m cos(ω0 τ) .
2T
2
−T / 2
,
(6.16)
.
,
.
6.6.
.
(4.40),
g (t ) = s (t ),
f (t ) = s (t + τ) .
-
97
∞
∞
∞
1
1
2 − jωτ
*
− jωτ
∫ s(t ) s(t + τ)dt = 2π ∫ S ( jω) S ( jω)e dω = 2π ∫ S ( jω) e dω .
−∞
−∞
−∞
,
2
S ( jω) (
—
2
S ( jω) ,
« + »).
-
,
S ( jω)
.
2
S ( jω) =
∞
∫ B ( τ )e
− jωτ
−∞
2
:
∞
dτ = 2 ∫ B( τ) cos(ωτ)dτ ;
(6.17)
0
1 ∞
1∞
2 jωτ
2
B ( τ) =
S ( jω) e dω = ∫ S ( jω) cos(ωτ)dω .
∫
2π − ∞
π0
(6.18)
,
.
,
,
.
,
.
6.7.
s1(t)
(
s2(t)
. 6.6, ).
s1(t),
s2(t)
s1(t)
B21 (τ)
B21(τ),
B12(τ)
B12(τ)
s2(t)
0
Tc2
a)
Tc1
12
t
óTc1 óTc2
Tc2 Tc1
0
b)
. 6.6
τ
98
(
),
.
:
B12 ( τ) =
∞
∫ s1 (t ) s2 (t + τ)dt ;
(6.19)
−∞
B21 ( τ) =
∞
∫ s1 (t + τ) s2 (t )dt .
(6.20)
−∞
. 6.6,b
s1 (t )
s2 (t ) ,
(6.19)
(6.20).
.
1)
,
:
=
1
+
2.
τ
2)
(6.19), (6.20) τ = 0.
B12 (0) = B21 (0) =
∞
∫ s1 (t ) s2 (t )dt =
12
=
21 .
(6.21)
−∞
τ
,
-
.
τ =0
.
3)
,
,
τ.
s2(t)
,
s1(t).
: B12 ( τ) = B21 ( − τ) .
,
99
6.8.
6.8.1.
,
. 6.7, .
.
:
-
= 50 ; t = 6 ⋅10 −3 .
s(t)
a)
E
0
t
t
s(t+τ)
E
b)
τ
−τ 0
t −τ
t
s(t+τ)
c)
E
τ
−τ
t −τ
0
t
. 6.7
6.8.2.
(−∞, + ∞ ) :
0

s (t ) = 
t
 t
if
t < 0, t > t ;
if
0≤t <t .
(6.22)
,
-
.
100
,
(6.1)
.
0≤τ≤t (
1)
B (τ) =
t −τ
∫
0


t
. 6.7,b)
2
2
  (t − τ)3 τ(t − τ) 2 
 
+
.
3
2
 



 t (t + τ)dt = 

t
(6.23)
,

B (τ) = 
t
τ=0
2)
:
2
3
 2t 3 − 3t 2 τ + τ

.
6

(6.24)
B (0) = E 2t 3 ,
(6.24)
.
τ =t
(6.24)
τ>t (
. 6.7,c)
B (t ) = 0 .
B (τ) = 0 .
(6.24)
(6.23)
(6.25)
(6.25),
(
B(τ),
2
. 6.8).
⋅
5
2,5
−5
0
5
τ,
. 6.8
-
3
3
2
B( τ) 2t − 3t τ + τ
R (τ) =
=
.
B ( 0)
2t 3
(6.26)
101
(6.7)
τ
=
∞
∫
−∞
2t 3 − 3t 2 τ + τ3
1
t4 t4
4
d
τ
=
(
2
−
3
+ ) = 0,75t = 3,75
t
3
3
2
4
2
t
t
0
t
R (τ) dτ = 2 ∫
,
.
,
(
.
6.2).
102
7.
7.1.
,
,
-
ωm ( fm ).
,
,
.
-
,
.
.
,
(
)
,
.
,
(
)
-
.
,
,
-
.
.
,
(
)
(
.
(
3.5
90%).
-
4.7).
,
(
, 10
).
103
S ( jω)
-
∆ω
S max .
-
,
S ( jω) .
S max
-
,
∞
S max ∆ω
=
∫ S ( jω) dω .
0
∞
∆ω
∫ S ( jω) dω
=
0
.
S max
ωm ( fm ).
7.2.
(
)—
,
-
ω1 ,
.
. 7.1
.
|Φ(jω)|
0=1/2f 1
–ω1
ω1
0
. 7.1
ω1 ,
ω
:
-
104
 A0 = const
Φ( jω) = 
 0,
if
ω < ω1 ;
if
ω > ω1 .
(7.1)
ϕ(t ) ,
-
(7.1).
(4.6).
(7.1),
ω
1 ∞
1 1 jω t
jω t
ϕ(t ) =
Φ
ω
ω
=
(
j
)
e
d
∫
∫ 0 e dω .
2π − ∞
2π − ω 1
ω1 = 2πf1 ,
,
ϕ(t ) =
(7.2)
A0 1 jω1t
sin(ω1t )
(e − e − jω1t ) = 2 A0 f1
.
ω1t
2π jt
(7.3)
A0
,
A0 = 1 2 f1 .
(7.3)
ϕ(t ) =
sin(ω1t )
.
ω1t
(7.4)
,
-
sinc (ω1t ) .
. 7.2.
ϕ(t)
−1/f1
1,0
−1/2f 1 0 1/2f1
1/f1
t
. 7.2
,
,
.
105
7.3.
(
),
(
).
. 7.3.
. 7.3,a
s(t)
s (nT )
nT ,
n = 0, ± 1, ± 2 ... .
,
f =1 T —
.
. 7.3,b
-
s (nT )
,
-
-
.
—
,
-
.
s(t)
s(0)
s(T )
s(2T )
s(3T )
s(4T )
s(óT )
s(5T )
a)
óT
0
s(nT )
T
2T
3T
4T
5T
t
óT
T
2T
3T
4T
5T
nT
b)
0
. 7.3
: 1)
; 2)
(
.
)
-
.
.
106
7.4.
.
s(t)
,
-
fm,
-
s (nT ) ,
T ≤
-
1
,
2 fm
(7.5)
ω

t
nT
sin
(
)
−
 2

∞
 ,
s (t ) = ∑ s(nT ) 
ω
n = −∞
(t − nT )
2
ω = 2πf = 2π / T —
(7.6)
.
(7.5)
,
:
f ≥ 2 f m ( ω ≥ 2ωm ).
,
s(t)
-
s (nT ) ⋅ sinc[ω (t − nT ) 2] ,
T.
s(nT ),
-
.
s(t)
(7.6)
. 7.4.
,
,
(7.6)
s(t)
.
107
s(t)
n=1
n=0
n=2
n=3
n=4
s(t)
n = −1
óT
0
T
2T
4T
3T
5T
t
. 7.4
.
s(t)
(2.21)
s (t ) =
∞
∑ Cnϕn (t ) .
(7.7)
n =−∞
ω

sin  (t − nT )
 2
.
ϕ n (t ) =
ω
(t − nT )
2
(7.8)
(7.4)
nT ,
,
,
-
ϕ n (t )
 1 − jωnT
− jωnT
= Te
 e
Φ n ( jω) =  f
0

,
if
ω <ω 2;
if
ω >ω 2.
(4.40),
(7.9)
108
∞
∞
1
∗
∫ ϕ n (t )ϕm (t )dt = 2π ∫ Φ n ( jω)Φ m ( jω)dω .
−∞
−∞
(7.10)
(7.9),
∞
1
∫ ϕ n ( t ) ϕ m ( t ) d t = 2 πf 2
−∞
ω
2
∫e
−ω
− jω ( m − n )T
ϕ n (t )
m=n
.
(7.11)
(7.11)
,
2
m≠n
,
dω .
(2.20)
-
(7.11)
-
2
ϕn
1
=T .
f
=
(7.12)
(2.23),
-
Cn :
C n=
∞
1
ϕn
2
∫ s(t )ϕn (t ) dt .
(7.13)
−∞
,
T ≤1 2 fm ,
(7.9)
(7.12),
ω 2 ≥ ωm .
(7.13)
ω
1 m
Cn=
S ( jω) e jω nT dω .
∫
2 π − ωm
(7.14)
(7.13)
,
ωm ,
s (t )
ϕ n (t ) —
ω 2,
ω 2 > ωm .
ωm
ωm.
-
109
(7.14)
s (t )
-
t = nT ,
Cn = s(nT ) .
(7.8)
(7.15)
(7.7),
(7.15)
(7.6),
-
.
> 1 2 fm ,
ω 2 < ωm .
−ω 2
(7.14)
ω 2.
(7.14)
s (t ) ,
-
(7.6)
s (t ) .
,
-
1 2 fm .
7.5.
,
-
.
-
∞
sT (t ) = s (t ) yT (t ) = s (t ) ∑ δ(t + nT ) ,
(7.16)
n = −∞
s(t) —
; yT (t ) —
-
δ-
,
,
T .
-
δ-
,
,
s (nT ) .
(7.16),
-
110
S T ( jω) =
∞
∫ s(t ) y (t )e
− jω t
T
dt .
(7.17)
−∞
yT (t )
∞
∑ Cn e
yT (t ) =
n
jn ω t
,
(7.18)
n= −∞
—
,
1
Cn =
T
,
T 2
∫ y (t )e
− jn ω t
T
(3.5):
dt .
(7.19)
−T 2
( − T 2, T 2)
yT (t )
δ-
t = 0.
,
δ-
-
(4.53),
n
(7.18)
=
1
.
T
(7.17),
(7.20)
(7.20)
,
S T ( jω) =
1
T
∞
∞
∑ ∫ s (t )e
n = −∞
− j( ω − nω ) t
dt .
(7.21)
−∞
( ω − nω ),
s(t)
S T ( jω) =
1
T
(7.21)
∞
∑ S [j(ω − nω )] .
(7.22)
n= −∞
(7.22)
(
1/T )
111
nω ,
,
n = 0, ± 1, ± 2, ... .
. 7.5
(
s(t)
)
sT (t ) ,
-
T:
— T = 1 / 2 f m ( ω = 2ω m ) (
b);
— T < 1/ 2 f m (ω > 2ωm ) (
c);
— T > 1/ 2 f m (ω < 2ωm ) (
d).
|S(jω)|
a)
0
óωm
|ST (jω)|
ωm
ω
K (ω K (ω
b)
óω
óωm
0
ωm
ω
ω
2ω
|ST (jω)|
c)
óω
óωm 0 ωm
|ST (jω)|
ω
2ω
ω
d)
óω óωm
0
ωm ω
ω
2ω
. 7.5
b, c, d
,
(
b—
,
c—
-
112
),
d
.
-
.
“
”
ωm (
-
),
.
d
,
-
-
.
T ≤ 1 2 fm ,
-
.
7.6.
.
-
(
)
,
.
,
.
-
(
fm )
.
,
-
fm .
,
s (t )
Tc ,
fm .
7.6.1.
(7.6).
,
,
.
N1 ,
-
113
,
,
T = 1 2 fm .
N1
N1 =
Tc
+ 1 = 2 f mTc + 1 .
T
N1
s (t ) .
-
N1 >> 1 ,
N1 ≈ 2 f mTc .
(7.23)
(7.6)
,
s1 (t ) ,
s (t ) (
,
).
-
ω = 2ωm ,
,
N1
s1 (t ) ≈ s (t ) = ∑ s ( nT )
n =0
sin [ωm (t − nT ) ]
.
ωm (t − nT )
(7.24)
(7.24)
.
7.6.2.
,
7.5.
“
”
ωm .
“
(
”
-
).
.
,
-
,
.
[1]
:
114
K1 exp(− jω t1 )

K ( jω) = 
0

K1
t1 —
if ω < ωm ;
(7.25)
if ω > ωm ,
.
(7.25)
,
-
ω < ωm .
,
. 7.5,b
-
K (ω) .
[1]:
g (t ) = 2 K1 f m
(
sin [2πf m (t − t1 )]
.
2πf m (t − t1 )
. . 10.6.3),
-
,
t < 0.
,
K p (ω) .
ω > ωm
. 7.5,b
,
-
.
.
c
,
b.
,
c
-
-
ω > ωm .
3…4
,
1 2 fm ,
-
.
7.7.
Tc
∆f
.
.
-
115
[9]:
N = 2Tc ∆f
.
(7.26)
,
.
,
.
,
(7.26)
.
,
.
—
,
,
.
,
∆f
fm ,
= fm ,
(7.23).
,
.
7.8.
7.8.1.
(
7.6, ).
.
.
-
,
,
fm = 1 t .
.
.
= 10 ; t = 10 −3 .
:
7.8.2.
,
T = 1 2 fm .
-
116
fm = 1 t ,
T =
1
t
= = 0,5 ⋅10−3 c .
2 fm 2
.
7.6,b.
s(t),
N1 = 3 .
a)
10
:
(7.24),
-
0
t =1
t,
s(kT ),
b)
10
:
2
s1 (t ) = ∑ s (nT )
n= 0
0
0,5
1
kT ,
1,5
s1(t),
sin[ ωm (t − nT )]
.
ωm (t − nT )
. 7.6,c.
)
,
10
−0,5
-
0 0,5
1 1,5
. 7.6
t,
.
,
-
.
fm ,
N1 .
s1 (t )
s (t ) .
117
8.
8.1.
.
.
—
(
,
)
-
,
.
—
.
,
«
-
».
a0 (t ) = A0 cos[Ψ0 (t )] = A0 cos(ω0t + θ 0 ) ,
; ω0 = 2πf 0 —
A0 —
; θ0 —
;t—
(8.1)
; f0 —
-
; Ψ0 (t ) —
.
,
: A0 , ω0 , θ0 = const ,
Ψ0 (t )
Ψ0 (t ) = ω0t + θ 0 .
(8.2)
:
—
,
(
));
118
,
—
(
—
,
);
(
).
(
(
),
).
-
a(t ) = A(t ) cos[Ψ (t )] ,
A(t ) —
(8.3)
; Ψ (t ) —
,
,
,
-
.
8.2.
,
,
,
ω0 .
.
.
-
,
,
.
∆ω
-
,
-
.
-
(
),
.
-
,
,
.
∆ω
-
∆ω
<< 1 .
ω0
(8.4)
119
(8.4)
.
,
.
,
-
-
,
,
-
.
-
-
.
8.3.
8.3.1.
—
,
,
-
.
.
A(t ) =
0
+ ∆A(t ) ,
∆A(t ) —
,
.
a (t ) = [
(8.3),
0
+ ∆A(t )]cos(ω0t + θ0 ) ,
(8.5)
s(t),
-
∆A(t ) = k s (t ) ,
k
—
-
(8.6)
,
.
(8.6) (8.5),
a (t ) = [ A0 + k s (t )]cos(ω0t + θ0 ) .
(8.7)
. 8.1.
-
120
s(t)
(
. 8.1, ).
-
(
. 8.1,b).
s(t)
a)
0
t
a(t)
b)
A0
A0
t
. 8.1
—
,
-
,
-
.
(
-
).
-
,
.
A(t )
,
.
. 8.1
(8.3),
− A(t ) —
,
.
8.3.2.
—
,
,
s (t ) = S 0 cos(Ω t + ν) ,
S 0 , Ω, ν —
,
(8.8)
-
.
121
(8.8)
(8.7)
,
(
)
a (t ) = A0 [1 + M cos(Ω t + ν )]cos(ω0t + θ 0 ) ,
(8.9)
M = k S 0 A0 —
.
(8.9)
(
.
)
. 8.2
-
( )
(b),
(8.8)
(8.9)
s(t)
a)
.
S0
0
A0
Amin
-
t
a(t)
Amax
b)
t
TΩ
T0
. 8.2
(
)
.
0≤
≤1 .
(8.10)
M =0
,
.
-
M =1 —
M
(
A(t ) = A0 [1 + M cos(Ω t + ν)] .
-
).
(8.11)
.
122
cos(Ω t + ν)
+1
 Amax = A0 (1 + M ) ;

 Amin = A0 (1 − M ) .
(8.12)
(8.11)
−1
:
(8.12)
M=
M,
Amax − Amin
.
Amax + Amin
(8.13)
(8.13)
.
8.3.3.
,
-
.
(8.9)
:
a (t ) = A0 cos(ω0t + θ0 ) +
+
(8.14)
A0 M
cos[(ω0 + Ω )t + θ0 + ν ] +
2
A0 M
cos[(ω0 − Ω )t + θ0 − ν ] .
2
(8.14)
,
:
ω0 ,
—
θ0 ( -
A0
);
( ω0 + Ω ) ,
—
(θ 0 + ν ) (
(θ 0 − ν ) (
-
);
( ω0 − Ω)
—
A0 M 2
A0 M 2
).
-
123
,
( ω0 ± Ω ) .
-
A0 M 2 .
. 8.3.
A(ω)
A(t)
A0
A0 M/2
A0
A0 M/2
C1
Ω ν F
B ν
C2
Ω
θ0
0
ω
ω0óΩ ω0 ω0 +Ω
O
. 8.3
ω0
a(t)
. 8.4
∆ω .
,
∆ ω = ( ω 0 + Ω ) − ( ω 0 − Ω) = 2 Ω .
,
.
(
. 8.4).
t = 0.
ν, θ 0 > 0 .
-
,
:
—
,
A0 ,
ω0 ;
—
1,
A0 M 2 ,
-
( ω0 + Ω );
—
2,
A0 M 2 ,
-
( ω0 − Ω ).
OF
.
ω0 (
-
ω0 ),
-
124
,
1
Ω
-
2
(
,
—
F(
—
).
A(t))
.
-
.
,
OF
-
.
OF
a (t ) .
8.3.4.
:
.
.
s (t )
Ωi ( i = 1, 2...m ).
. 8.5, .
A(ω)
Si(ω)
a)
A0
b)
…
…
ω0+Ωm
ω0
ω0+Ω2
0
ω0+Ω1
ω
ω0−Ω1
Ωm
ω0−Ω2
Ω 1 Ω2
ω0−Ωm
0
…
ω
. 8.5
.
:
(ω0 + Ω i ) ,
,
,
(ω0 − Ω i ) .
-
125
. 8.5,b.
.
(
. 8.5,b)
,
∆ω = (ω0 + Ω m ) − (ω0 − Ω m ) = 2Ω m .
,
.
.
,
∞
A( jω) = ∫ A0 cos(ω0t + θ0 ) e
− jωt
dt + k
(8.7)
∞
∫ s(t ) cos(ω0t + θ0 ) e
− jωt
dt .
−∞
−∞
δ-
(4.64)
± ω0 (
-
).
cos(ω0t + θ0 ) =
[
]
1 j(ω0t +θ0 ) − j(ω0t +θ0 )
e
+e
,
2
A( jω) = π A0e jθ0 δ(ω − ω0 ) + π A0e− jθ0 δ(ω + ω0 ) +
+
k
k − jθ0
e jθ0 S [ j(ω − ω0 )] +
e S [ j(ω + ω0 )] ,
2
2
S [ j(ω ± ω0 )] —
(8.15)
s (t ) ,
± ω0 .
,
-
δ-
± ω0 ,
.
ω0
A0 .
-
126
.
,
,
± ω0 .
,
± ω0
.
± ω0 .
,
± ω0 .
,
,
(
),
-
,
.
.
(7.26)
-
.
,
,
∆F = 3,4
.
∆f = 6,8
.
-
.
s(t)
.
- a)
. 8.6,b.
t
A0
- b)
. 8.6, .
,
t
0
a(t)
,
t
0
. 8.6
t
127
. 8.7.
-
S ( jω)
± ω0 .
|S(jω)|
−Ωm
∞
0
|A(jω)|
πA0δ(ω+ω0)
ω
∞
πA0δ(ω−ω0)
. 8.7
ω0
ω
ω0+Ωm
0
ω0−Ωm
−ω0
Ωm
,
A0 = 0 .
8.3.5.
,
.
-
(6.2)
+∞
Ba (τ) = ∫ a(t )a(t + τ)dt .
(8.16)
−∞
(8.5) (8.16),
Ba ( τ) =
+∞
∫ A(t ) A(t + τ) cos(ω0t + θ0 ) cos[ω0 (t + τ) + θ0 ]dt .
−∞
,
Ba ( τ ) =
1 +∞
1 +∞
A
(
t
)
A
(
t
+
τ
)
cos(
ω
τ
)
d
t
+
0
∫
∫ A(t ) A(t + τ) cos( 2ω0 t + ω0 τ + 2θ 0 )dt .
2 −∞
2 −∞
128
,
-
(
2ω0 )
.
Ba (τ) ≈
,
(8.17)
+∞
1
cos ω0 τ ∫ A(t ) A(t + τ)dt .
2
−∞
,
(8.17)
-
ω0 .
(8.17)
:
Ba ( τ) = Bs ( τ) B0 (τ) ,
Bs ( τ) =
+∞
∫ A(t ) A(t + τ)dt
(8.18)
1
; B0 (τ) = cos ω0 τ —
2
—
−∞
-
.
,
.
a(t)
a)
t
(
8.8, ).
0
(6.5)
(8.17),
-
Ba(τ)
:
t
t
t
τ
E2t /2
b)
1 2
 E (t − τ ) cos ω0 τ if τ ≤ t ;
Ba (τ) =  2
0
if τ > t .
ót
. 8.8
. 8.8,b
.
(
.
. 6.2),
.
129
8.3.6.
,
,
,
(
)
(
.
-
),
-
,
-
,
(
.
. 8.9, ).
-
.
A(ω)
A0
.
a)
ω0
0
-
c
ω
,
A(ω)
-
. 8.9,b.
b)
ω0
0
A(ω)
-
ω
(
c)
ω0
0
A(ω)
SSB
ω
(SSB — Single Side Band).
ω0
. 8.9
0
ω
.
(
. 8.9, .
k A0
d)
).
.
,
),
,
.
,
.
-
130
.
,
k A0 ,
-
,
k —
.
-
: 0< k <1.
-
.
. 8.9,d.
,
.
8.4.
8.4.1.
—
,
.
-
,
.
(8.3)
a (t ) = A0 cos[Ψ (t )].
(8.19)
,
(
.
(8.1)).
-
θ(t ) ,
-
.
Ψ (t ) = ω0t + θ(t ) + θ0 .
(8.20)
8.4.2.
,
,
.
,
-
131
ω(t ) .
,
—
,
(8.20)
,
-
:
ω(t ) =
dψ (t )
dθ(t )
= ω0 +
;
dt
dt
(8.21)
t
ψ(t ) = ∫ ω(t ) dt + θ0 .
(8.22)
0
,
—
,
—
).
(
(8.21), (8.22)
,
-
,
,
.
,
—
.
-
,
.
.
,
-
.
-
,
.
8.4.3.
s (t )
∆ω(t ) ,
,
-
.
ω(t ) = ω0 + ∆ω(t ) = ω0 + k s (t ) ,
(8.23)
132
k
—
.
(8.22)
t
ψ(t ) = ∫ [ω0 + k s (t )] dt + θ0 = ω0t + k
0
(8.24)
t
∫ s (t ) dt + θ0 .
(8.24)
0
,
,
θ(t ) = k
t
∫ s (t )dt
,
(8.25)
0
.
.
s (t )
(8.8)
:
s (t ) = S 0 cos(Ω t + ν) .
. 8.10, (
s(t)
a)
(8.26)
ν = 0).
S0
0
ωd
ω(t)
t
ω0
b)
θ(t)
c)
0
m
0
t
t
a(t)
d)
A0
t
. 8.10
133
(8.23)
-
ω(t ) = ω0 + k S 0 cos(Ωt + ν) = ω0 + ωd cos(Ωt + ν) ,
(8.27)
ωd = k S 0 —
.
ω0 .
.
. 8.10,b.
,
ψ ( t ) = ω0 t +
(8.27) (8.24)
ωd
sin( Ω t + ν) + θ0 = ω0t + m sin( Ω t + ν) + θ0 ,
Ω
m = ωd Ω —
(8.28)
.
,
,
.
-
,
(
.
. 8.10, ),
.
(8.19)
-
a (t ) = A0 cos ψ (t ) = A0 cos[ω0t + m sin( Ω t + ν) + θ0 ] .
,
. 8.10,d.
(8.29)
(8.29),
,
(8.27)
(8.28),
,
π 2.
ωd
m
Ω
. 8.11, .
ωd
,
.
m
-
134
m,
ωd
m = ωd
m,
ωd
ωd
a)
ωd = mΩ
m
b)
Ω
0
Ω
0
. 8.11
8.4.4.
s (t )
θ(t ) ,
,
.
-
(8.20)
-
ψ(t ) = ω0t + θ(t ) + θ0 = ω0t + k s (t ) + θ0 ,
k
—
(8.30)
.
(8.21),
ω(t ) = ω0 + k
(8.31)
ds(t )
.
dt
(8.31)
,
,
∆ω(t ) = k
ds ( t )
,
dt
.
,
(8.25).
(8.30)
ψ (t ) = ω0t + k S 0 cos( Ω t + ν ) + θ 0 = ω0 t + m cos( Ω t + ν ) + θ 0 ,
(8.32)
135
m = k S0 —
,
.
,
(8.31):
ω(t ) = ω0 − mΩ sin( Ω t + ν) = ω0 − ωd sin( Ω t + ν) .
(8.32)
(8.33)
(8.33)
,
-
π 2.
(8.32),
-
a (t ) = A0 cos ψ (t ) = A0 cos[ω0t + m cos(Ω t + ν) + θ0 ] .
ωd
Ω
(8.34)
-
m
. 8.11,b.
,
m
ωd
.
8.4.5.
-
.
.
a (t ) = A0 cos[ω0t + m sin( Ω t + ν) + θ 0 ].
(8.35)
,
a(t ) = A0 cos[m sin(Ω t + ν)]cos(ω0t + θ0 ) − A0 sin[m sin(Ω t + ν)]sin(ω0t + θ0 ) . (8.36)
,
,
,
π 2.
-
136
,
-
.
θ0 = ν = 0 ,
.
cos(m sin Ω t )
sin( m sin Ω t )
(
),
.
[4]
:
cos(msin Ωt ) = J0 (m) + 2J 2 (m) cos(2Ωt ) + 2J 4 (m) cos(4Ωt ) + ... ;
(8.37)
sin( m sin Ω t ) = 2 J1 ( m) sin( Ω t ) + 2 J 3 (m) sin(3Ω t ) + ... ,
(8.38)
J n (m) —
n-
-
m.
(8.37)
(8.38) (8.36),
a(t) = A0[ J0 (m) cos(ω0t ) − 2J1(m) sin(Ωt ) sin(ω0t ) + 2J 2 (m) cos(2Ω t ) cos(ω0t ) −
− 2 J 3 (m) sin( 3Ω t ) sin( ω0t ) + 2 J 4 ( m) cos(4Ω t ) cos(ω0t ) − ...]
(8.40)
,
a (t ) = A0{ J 0 (m) cos( ω0t ) + J1 (m) cos[(ω0 + Ω) t ] − J1 (m) cos[(ω0 − Ω) t ] +
+ J 2 (m) cos[(ω0 + 2Ω) t ] + J 2 (m) cos[(ω0 − 2Ω) t ] + J 3 ( m) cos[(ω0 + 3Ω) t ] −
− J 3 (m) cos[(ω0 − 3Ω) t ] + ...}
(8.40)
(8.40)
.
,
:
ω0
—
—
,
A0 J 0 (m) ;
137
( ω0 + n Ω )
A0 J n (m) ;
—
,
( ω0 − n Ω )
A0 J n (m) .
,
,
.
-
.
-
,
π.
n
U n = A0 J n (m) ,
n=0
(8.41)
; n = 1, 2, 3, ... —
,
.
J n (m) ,
,
.
m,
-
.
-
m.
(m << 1)
:
cos(m sin Ωt ) ≈ 1 ; sin( m sin Ω t ) ≈ m sin Ω t .
a(t ) ≈ A0 cos (ω0t ) +
(8.42)
m,
(8.36)
A0 m
Am
cos[(ω0 + Ω)t ] − 0 cos[(ω0 − Ω) t ] .
2
2
(8.42)
,
:
-
138
ω0
( ω0 + Ω )
( ω0 − Ω ).
A0 m 2 .
. 8.12.
.
-
,
π.
,
: ∆ω = 2Ω .
,
. 8.13
.
,
. 8.4.
A(ω)
A0
A0m/2
A0
A0m/2
ω0
O
C2
B
θ(t)
θ0
ω
Ω
C1
F
Ω
θ0 > 0
ν>0
ω0 +Ω
ω0 −Ω
0
-
ω0
a(t)
. 8.12
. 8.13
,
(BC2)
.
,
BC1
OF
BC2
-
.
.
,
-
.
(m >> 1)
-
m
,
,
.
,
,
.
(m >> 1)
. 8.14.
m = 0,5
m =1 —
-
139
,
n≤m (
m,
n>m
),
. 8.14
n≈m
.
,
m
( m +1)
,
∆ω = 2(m + 1)Ω ≈ 2mΩ = 2ωd .
(8.43)
∆ω
Un(ω)
…
ω
ω0+(m+1)Ω
ω0+mΩ
ω0
ω0+2Ω
ω0+Ω
ω0−Ω
ω0−2Ω
ω0−mΩ
ω0−(m+1)Ω
0
…
. 8.14
,
m
-
,
,
m
(
).
-
.
8.5.
(
)
8.5.1.
c
—
,
.
,
,
.
140
. 8.15,a
.
a(t)
. 8.15,b
.
a)
A0
- ót /2
t = 0; ωD —
: ω0 —
,
-
t (
b)
0
t /2 t
ω(t)
ω0
ωD
).
ót /2
t /2
0
t
. 8.15
t
ω(t ) = ω0 + β t ,
β —
(8.44)
,
,
-
β = ωD t .
(8.45)
,
t
ψ(t ) = ∫ (ω0 + β t )dt + θ0 = ω0t +
0
(8.22)
βt 2
+ θ0 .
2
(8.46)
(8.46)


βt 2

a (t ) = A0 cos ψ (t ) = A0 cos ω0t +
+ θ0  .
2


(8.47)
,
(8.47)
A( jω) = A0
(8.48)

 − jωt
βt 2

 e dt .
cos
ω
t
+
+
θ
0
0
∫


2
−t 2


t 2
(8.48)
[1].
(
.
141
B = f Dt ,
8.16)
.
-
. 8.16
.
|A(jω)|
)
0
|A(jω)|
ω0
ω
ω0
ω
b)
0
|A(jω)|
c)
π
2β
A0
ω0 − ωD /2
0
|A(jω)|
ω0+ ωD /2
ω0
ω
∆ω = ωD
d)
π
2β
A0
ω0 − ωD /2
0
ω0
ω0+ ωD /2
ω
. 8.16
B=0
1)
.
8.16, .
(
2)
B = 10
3)
B = 100
.
. 8.7).
. 8.16,b.
. 8.16,c.
,
.
B
B ( B >> 1)
-
(ω0 − ω
D
2)
(ω0 + ω
D
.
2) ,
-
,
: ∆ω = ω D .
-
,
,
142
,
—
.
B
. 8.16,d.
.
:

0,
A( jω) = 
 A0 π ,
2β

ωD
ω
, ω > ω0 + D ;
2
2
ω
ω
ω0 − D < ω < ω0 + D .
2
2
ω < ω0 −
if
if
(8.49)
B
-
,
[2]:
( ω − ω0 ) 2
θ(ω) = −
.
2β
(8.50)
B >> 1
,
-
: N ≈ 2 f D t = 2 B >> 1.
(7.26)
.
.
8.5.2.
,
B >> 1 ).
(
,
—
-
.
(6.17)
Ba ( τ) =
-
1
π
ω0 +
∫
ωD
2
ω
ω0 − D
2
A02
(8.49)
π
cos(ωτ)dω .
2β
(8.51)
:
143
A02t sin( ωD τ 2)
Ba ( τ) =
cos(ω0 τ) .
2
ωD τ 2
(8.52)
. 8.17
,
-
(8.52).
Ba(τ)
–2/fD
A02t /2
1/f D
–1/f D
τ
2/f D
. 8.17
,
ω0 .
,
τ=0
.
,
τ
,
.
fD,
,
.
8.6.
8.6.1.
: A0 = 10 B; f 0 = 106
.
: F = 105
;
θ0
=
π.
-
; ν = − π 2 ; M = 0,5 .
8.6.2.
,
,
(8.14)
,
.
144
a (t ) =
A0 M
AM
cos[(ω0 + Ω )t + θ0 + ν] + 0 cos[(ω0 − Ω)t + θ0 − ν] ,
2
2
(8.53)
ω0 = 2πf 0 ; Ω = 2πF .
(8.53)
,
-
.
.
-
(8.53)
a (t ) = A0 M cos(Ωt + ν) cos(ω0t + θ 0 ) .
(8.54)
(8.54)
,
-
ω0
.
,
(8.54)
-
,
. 8.18.
a(t),
5
−10
−5
0
5
10
t,
−5
. 8.18
(8.54),
,
(
M =0,
)
,
,
.
,
145
9.
.
,
-
x1(t)
.
,
-
,
0
t1
t2
,
t
-
.
x2(t)
:
0
t1
t2
t
1)
,
……………………………….
-
xk(t)
;
0
t1
t2 t
2)
,
.
……………………………….
,
-
,
. 9.1
,
(
,
)
.
-
,
-
.
(
,
)
.
.
146
9.1.
9.1.1.
X(t).
—
,
(
,
x1(t)
-
. 9.1).
,
.
,
-
,
.
.
,
,
.
-
,
.
. 9.1
-
X(t),
x1(t), x2(t)
.
:
. .
,
X(t)
{x1 (t ), x2 (t ),... xk (t ), ... }.
,
.
,
,
t1 (
.
. 9.1).
t1
{x1(t1 ), x2 (t1 ),... xk (t1 ), ... }.
9.1.2.
.
.
,
,
-
147
.
p(x, t).
x
t
-
,
.
p(x, t),
,
-
x
( a, b)
b
Ft (a < x < b) = ∫ p ( x, t )dx .
(9.1)
a
( a, b)
,
-
(9.1)
(
).
9.1.3.
,
.
p(x1, x2, t1, t2),
,
x1
(
.
. 9.1).
t1
t2 —
x2
,
p(x1, x2, t1, t2)
t1
-
t2
,
τ = t2 – t1,
.
t1
t2.
p(x1, x2, t1, t2)
,
,
x
( a, b)
t1,
(c, d )
t2
-
148
bd
Ft1 , t 2 (a < x1 < b, c < x2 < d ) = ∫ ∫ p ( x1 , x2 , t1 , t 2 )dx1dx2 .
(9.2)
a c
( a, b)
,
( c, d )
-
(9.2)
(
).
.
—
,
,
τ = t 2 − t1
τ
[11].
.
.
-
,
-
.
,
:
p ( x, t ) = p ( x ) ;
p(x1, x2, t1, t2) = p(x1, x2, τ ) .
.
—
-
,
.
9.1.4.
.
149
,
.
-
.
f (x) —
,
p( ),
-
f (x)
.
-
[11],
-
M [ f ( x )] =
∞
∫ f ( x ) p ( x ) dx .
(9.3)
−∞
(
-
).
.
(
1)
)
-
.
f (x) = x.
(9.3),
∞
M [ x] = mx =
∫ xp( x)dx .
(9.4)
−∞
.
.
2)
.
f (x) = x2.
M [x ] =
2
(9.3),
∞
∫x
2
p ( x ) dx .
(9.5)
−∞
(
).
-
150
(
3)
)
—
,
.
(
)
.
(
)
-
: x≈ = x − m x .
,
(
f ( x ) = ( x − mx ) 2 .
).
(9.3),
[
∞
] ∫ (x − m )
Dx = M ( x − m x ) =
2
x
2
p ( x ) dx .
(9.6)
−∞
,
(
)
-
.
(9.6)
Dx = M [ x 2 ] − mx2 .
(9.7)
,
.
4)
(
)
,
x
σ = Dx .
(9.8)
-
.
151
9.1.5.
.
x1
x2
τ
,
.
(9.3)
,
.
f ( x) = x1 x2 .
,
∞ ∞
K x (τ) = M [x1 x2 ] =
∫ ∫ x1 x2 p(x1 , x2 , τ)dx1dx2 .
(9.9)
− ∞ −∞
τ.
(9.9)
(9.9) τ = 0 ,
x2 ,
x1 x2
—
.
(9.9)
-
K x (0) = M [ x 2 ] .
(9.10)
τ=0
,
,
-
.
,
τ
:
Bx (τ) = M [ ( x1 − mx )( x2 − mx ) ] =
=
∞ ∞
∫ ∫ ( x1 − m )( x2 − m ) p( x1 , x2 , τ)dx1dx2 .
x
−∞ −∞
x
(9.11)
152
(9.11)
Bx (τ) = K x (τ) − mx2 .
(9.12)
,
,
.
-
.
τ=0
(9.12),
Bx (0) = M [ x 2 ] − mx2 = Dx ,
(9.13)
τ=0
,
.
,
R x (τ) = Bx ( τ) Bx (0) .
,
τ=0
-
: R x (0) = 1 .
(6.7)
τ
=
-
∞
∫ Rx (τ) dτ .
(9.14)
−∞
9.2.
9.2.1.
,
p(x)
1
x 2 − x1
( x1 , x2 ) .
0
x1
x2
. 9.2
x
153
( x1 , x2 )
—
,
-
.
,
,
,
-
:
 1
if
x1 < x < x2 ;

p ( x ) =  x2 − x1
 0
if x < x1 ; x > x2 .
(9.15)
. 9.2.
(9.4)…(9.7)
,
,
-
:
x
2
1
x1 + x2
d
=
;
mx =
x
x
2
x2 − x1 x∫
(9.16)
1
x
2
1
x12 + x1 x2 + x22
2
M [x ] =
x dx =
;
x2 − x1 x∫1
3
2
Dx = M [ x
2
] − m x2
σ x = Dx =
9.2.2.
(
(9.17)
( x2 − x1 ) 2
=
.
12
(9.18)
x2 − x1
.
2 3
(9.19)
)
-
.
.
[11]
,
-
,
,
.
-
154
[4]:
 ( x − mx ) 2 
1
exp −
.
2σ 2x 
2π σ x

p( x ) =
σx
(9.20)
p(x)
σx1
. 9.3.
σx2 > σx1
( mx = 0 )
,
-
mx
. 9.3
0
,
x
b
b
 x2 
1
F ( a < x < b ) = ∫ p ( x ) dx =
exp
∫  − 2σ2  dx .
2
π
σ
x a
x 

a
b
: y = x σx .
1
F ( a < x < b) =
2π
(u ) =
b σx
∫
0
:
a σx
 y2 
 y2 
1


exp −  dy −
∫ exp − 2  dy .
2
2
π




0
(9.21)
 y2 
1 u
exp
∫  − 2 dy = F (0 < y < u )
2π 0


(
(9.22)
).
-
y
-
0< y <u.
x
,
a = –b.
(9.21)
(9.22),
-
155
 b 
F (−b < x < b) = 2Φ  .
 σx 
9.1.
-
9.1
± 3σx
,
99,7%
,
,
,
−σx …σx
0,683
−2σx …2σx
0,954
−3σx …3σx
0,997
6σ x .
,
9.3.
9.3.1.
,
.
,
.
-
-
.
-
,
.
(
),
-
.
:
.
ω = 2πf
,
,
∆f,
.
,
-
156
∆M [ x 2 ]
Wx (ω) = lim
,
∆ f →0
∆f
∆M [ x 2 ] —
(9.23)
∆f .
,
.
(9.23)
:
2
,
2
/
/
.
Wx (ω)
-
:
1) Wx (ω) —
;
ω.
2) Wx (ω) —
,
Wx (ω) = Wx ≈ (ω) + 2π mx2δ(ω) ,
Wx ≈ (ω) —
(9.24)
(
); 2π mx2δ(ω) —
(
)
-
-
2πmx2 (
).
(9.24) δ-
,
-
mx2 .
,
M [ x2 ] =
∞
∫ W x ( f )d f =
−∞
(9.25)
(9.24)
1 ∞
Wx (ω)dω .
2π −∫∞
(9.7),
1 ∞
M[x ] =
Wx ≈ (ω)dω + m x2 = Dx + m x2 .
∫
2π −∞
2
(9.25)
(9.26)
157
(9.26)
Wx ≈ (ω)
,
(
)
1∞
Dx = ∫ Wx ≈ (ω)dω .
π0
(9.27)
.
,
90 %
(
-
).
-
.
-
9.3.2.
,
-
.
:
[10]:
Wx (ω) =
∞
∫ K x (τ) e
−∞
− jωτ
∞
dτ = 2 ∫ K x (τ) cos(ωτ)dτ ;
(9.28)
0
1 ∞
1∞
jωτ
K x ( τ) =
Wx (ω)e dω = ∫ Wx (ω) cos(ωτ)dω .
2π −∫∞
π0
(9.29)
( mx = 0 )
K x (τ)
(9.28)
(9.29)
-
B x (τ) ,
.
-
:
,
9.3.3.
—
,
.
158
(
. 9.4),
Wx (ω) = W0 = const .
(9.30)
(9.29),
∞
∞
1
1
Bx ( τ) =
W0e jωτdω = W0
e jωτdω =W 0δ(τ) .
∫
∫
2π −∞
2π −∞
(9.31)
δW0 (
. 9.5).
Wx(ω)
W0= const
,
δ-
ω
0
.
:
. 9.4
Bx(τ)
∞
D x = B x (0 ) = ∞ .
W0δ(τ)
(9.32)
,
τ
0
,
. 9.5
.
,
.
,
,
-
.
9.3.4.
—
,
Wx(ω)
− ω1
ω1 ( ω1 = 2π f1 ),
—
W0
,
−ω1
.
,
ω1
0
. 9.6
.
ω
159
. 9.6
-
,
-
.
:
W = const
Wx (ω) =  0
0
if
if
ω < ω1 ;
ω > ω1 .
(9.33)
(9.29),
ω
1 1
sin( ω1τ)
B x (τ) = ∫ W0 cos(ωτ)dω =2W0 f1
.
π 0
ω1τ
. 9.7.
τ
,
(9.34)
Rx(τ)
1
-
.
π ω1
− π ω1
: τ
. 9.7
≅ 2π ω1 = 1 f1 .
,
ω1 )
(
τ
0
-
.
9.3.5.
—
,
Ω1 = 2π F1
± ω0 ,
,
: Ω1 ω0 << 1 .
.
Ω1
-
Wx(ω)
-
Ω1
W0
-
,
.
óω0
-
0
. 9.8
ω0
ω
. 9.8
.
.
160
:
W = const if ω0 − Ω1 2 < ω < ω0 + Ω1 2 ;
Wx (ω) =  0
if ω < ω0 − Ω1 2, ω > ω0 + Ω1 2 .
0
(9.29),
Bx ( τ ) =
(9.35)
:
Ω τ
sin  1 
2 
W0 cos(ωτ)dω = 2W0 F1 
cos(ω0 τ) .
Ω
τ
1
2
2
ω0 + Ω1 2
1
πω
∫
0 − Ω1
(9.36)
(9.36)
Rx(τ)
1
ω0
.
9.9
. −2/F1 −1/F
1
-
1/F1
τ
. 9. 9
.
,
2/F1
,
ω0 .
.
x (t ) = A(t ) cos[ω0t + θ(t )] ,
(9.37)
A(t ) , θ(t ) —
,
.
,
x(t)
0
.
. 9.10.
-
t
. 9.10
-
161
.
9.3.6.
[10].
,
(
)
1
exp − x 2 2σ 2x .
2π σ x
p( x) =
[10]
-
(9.38)
,
,
—
-
:
)
(9.39)
1 2π if θ < π ;
p(θ) = 
if θ > π .
0,
(9.40)
p( A) =
(
A
exp − A2 2σ2x ;
2
σx
9.11,a
9.11,b.
p(A)
a)
0
σx
A
p(θ)
1/2π
b)
óπ
0
π
θ
. 9.11
p (A)
,
p (θ)
,
162
[1]:
π
σ2
σ x ; M [ A2 ] = 2σ 2x ; DA ≈ x ; σ A ≈ σ x ;
2
2
2
mA =
mθ = 0 ; M [θ2 ] = Dθ =
π2
; σθ
3
=
(9.41)
π
.
3
(9.42)
9.4.
9.4.1.
(
σx = 1
)
.
,
,
,
0,5
-
2
.
9.4.2.
(9.41)
,
σx = 1
mA =
:
π
π
σx =
⋅1 = 1,253
2
2
M [ A2 ] = 2σ 2x = 2 ⋅12 = 2
;
2
.
-
,
(9.7):
Dx = M [ A2 ] − m2A = 2 − (1,253) 2 = 0,429
σ A = Dx = 0,429 = 0,655
.
2
.
163
0,5
2
,
(9.1):
b
F ( a < A < b) = ∫ p ( A)dA .
a
b=2
a = 0,5
,
(9.39),
F (0,5 < A < 2) =
2
(
)
(
)
2
A
2
2
2
exp
−
A
2
σ
d
A
=
x
∫ σ2x
∫ A exp − A 2 dA.
0,5
0,5
,
:
F (0,5 < A < 2) = 0,558 .
,
,
55,8 %
0,5
2
.
164
10.
10.1.
.
:
—
;
.
—
,
-
.
(
—
(
).
,
-
),
.
,
,
-
.
:
—
;
—
(
).
,
-
.
—
,
.
.
-
165
.
:
(
,
,
);
(
-
).
,
-
,
Ri , Li , Ci , S i ... = const ,
Ri —
(10.1)
; Li —
; Ci —
-
; Si —
.
10.2.
,
.
(
. 10.1).
s
(t ) —
; s (t ) —
.
s
s (t)
(t)
. 10.1
,
-
.
10.2.1.
n.
-
166
d n s (t )
d n −1 s (t )
ds (t )
a0
+ a1
+ ... + a n −1
+ an s
n
n −1
dt
dt
dt
= b0
(t ) =
d m s (t )
d m −1 s (t )
ds (t )
+
+
+
+ bm s (t ) ,
b
...
b
1
−
1
m
dt
dt m
dt m −1
a 0 ... an ; b0 ...bm —
(10.2)
,
; n, m —
-
,
n > m ).
(
,
(10.2)
-
f (t ) .
a0
d n s (t )
d n −1s (t )
ds (t )
+
a
+ ... + an−1
+ an s
1
n
n −1
dt
dt
dt
(t ) = f (t ) .
(10.3)
10.2.2.
(
).
.
1)
,
-
(10.2).
(
)
•
U
•
(ω )
U
(ω )
-
ω
•
K ( jω) =
U
•
(ω)
.
(10.4)
U (ω)
[3]
(10.4)
167
jϕ
U (ω)
K ( jω) =
U (ω)
(ω), U (ω) —
U
( ω)
jϕ ( ω)
= K (ω)
(10.5)
,
(
; ϕ
)
(ω), ϕ (ω) —
-
; K (ω), ϕ(ω) —
(
jϕ ( ω)
-
)
(
)
-
,
-
:
K (ω) =
ϕ(ω) = ϕ
U (ω)
;
U (ω)
(10.6)
(ω) − ϕ (ω) .
(10.7)
,
—
.
—
,
,
,
-
—
.
.
,
,
.
2)
,
.
-
K ( jω) =
S
( jω) , S ( jω) —
,
.
S ( jω)
,
S ( jω)
(10.8)
168
,
,
(
(10.4))
(10.8))
(
.
10.2.3.
-
K ( p) =
S ( p)
.
S (p)
(10.9)
,
.
,
(10.9)
p
(10.8)
-
jω.
10.2.4.
—
δ-
(
).
h(t ) .
:
—
t < 0,
,
h(t < 0) = 0.
-
:
;
—
t
: lim h(t ) = 0 .
-
t →∞
—
.
10.2.5.
—
(
).
169
g (t ) .
:
—
t<0
,
g(t < 0) = 0,
-
;
—
-
t
: lim g (t ) = const .
,
t →∞
.
.
10.3.
.
,
,
.
10.3.1.
,
(10.2).
S
( jω)[a0 ( jω) n + a1 ( jω) n−1 + ... + an−1 ( jω) + an ] =
= S ( jω)[b0 ( jω) m + b1 ( jω) m−1 + ... + bm −1 ( jω) + bm ] ,
(10.8)
K ( jω) =
-
S ( jω) b0 ( jω) m + b1 ( jω) m −1 + ... + bm −1 ( jω) + bm Pm ( jω)
=
=
. (10.10)
S ( jω) a0 ( jω) n + a1 ( jω) n −1 + ... + an−1 ( jω) + an Qn ( jω)
,
Pm ( jω) Qn ( jω)
jω.
-
170
(10.2),
.
Pm ( jω) Qn ( jω)
-
.
10.3.2.
(10.2),
(10.10)
S ( p) b0 (p) m + b1 (p) m −1 + ... + bm−1 ( p) + bm Pm (p)
=
.
K ( p) =
=
S (p) a0 ( p) n + a1 (p) n −1 + ... + an −1 (p) + an ] Qn ( p)
,
(10.11)
Pm (p)
Qn ( p)
p.
(10.11)
(10.10)
(10.2).
(10.11)
K ( p) =
b0 ( p − p 01 )( p − p 02 )...( p − p 0 m )
,
a0 ( p − p 1 )(p − p 2 )...( p − p n )
p01, p02,...p0m —
p 1, p 2,...p
n
(10.12)
(
—
);
(
,
).
b0 a0
.
10.3.3.
t=0
δ-
.
,
h(t ) .
(10.8),
,
-
171
K ( jω) =
H ( jω)
,
∆ ( jω)
H ( jω) —
; ∆ ( jω) —
δ-
.
δ-
,
-
∆ ( jω) = 1 ,
t = 0,
-
H ( jω) = K ( jω) .
(10.13)
,
:
K ( jω) =
+∞
∫ h(t )
− jω t
dt ;
(10.14)
−∞
1 +∞
h (t ) =
K ( jω)
2π −∫∞
jω t
dω .
(10.15)
10.3.4.
,
,
-
K (p) = L[ h(t )] 

,
−1
h (t ) = L [ K (p )]
L
L–1 —
,
(10.16)
.
172
10.3.5.
δδ-
(
),
,
-
:
t
g (t ) = ∫ h(t )dt .
(10.17)
d [ g (t )]
.
dt
(10.18)
0
,
h (t ) =
,
,
—
.
t =0
δ-
,
g ( 0) ,
-
h(0) = g (0)δ(t ) .
10.3.6.
(10.17),
,
[4],
,
-
:
K (p )

= L[ g (t )] 
p

.
−1  K ( p )  
g (t ) = L 

 p  
(10.19)
10.4.
,
(
)
.
,
-
173
,
,
(
,
-
).
.
10.4.1.
. 10.2.
,
-
.
,
-
.
K ( jω) =
τ—
1
,
1 + jωτ
(10.20)
,
τ = RC ,
RC-
— τ =L/R.
RL-
L
R
u (t)
-
u
C
(t)
R
u (t)
u
(t)
. 10.2
(10.20)
:
K (ω) =
1
ϕ(ω) = −arctg(ωτ)
,
(10.22),
. 10.3.
,
;
1 + (ωτ) 2
.
(10.21)
(10.22)
(10.21)
174
(
).
K(ω)
1
1
2
0
ϕ(ω)
0
ω
ω
ω
ω
−π/4
−π/2
. 10.3
(ω )
,
-
2
(
.
. 10.3).
(10.21)
,
ωc = 1 τ .
(10.23)
τ
,
: τ = 1 ωc .
ωτ >> 1 ( τ >> 1 ω) ,
(10.21)
-
,
K ( jω) ≈ 1 jωτ .
(10.24)
,
jω (
,
. . 4.5.6).
(10.24)
,
-
. 10.2,
.
,
ωmin .
τ >> 1 ωmin .
-
-
(10.25)
175
10.4.2.
. 10.4.
,
-
.
C
u (t)
R
u
R
(t)
L
u (t)
u
(t)
. 10.4
,
.
K ( jω) =
jωτ
.
1 + jωτ
(10.26)
(10.26)
:
K (ω) =
ϕ(ω) =
ωτ
1 + (ωτ) 2
;
(10.27)
π
− arctg (ωτ) .
2
(10.28)
,
(10.28),
(10.27)
. 10.5.
(
,
-
).
(10.26)
ωτ << 1 ( τ << 1 ω) ,
-
,
K ( jω) ≈ jωτ .
(10.29)
176
,
jω (
,
,
. . 4.5.6).
(10.29)
-
. 10.4,
.
K(ω)
1
1
2
ω
0
ϕ(ω)
ω
π/2
π/4
0
ω
ω
. 10.5
,
ωmax .
τ << 1 ωmax .
(10.30)
10.4.3.
—
,
,
(
,
,
,
)
-
.
,
,
.
,
VT ,
(
. 10.6).
177
R ,
.
,
-
R,
,
.
,
R
.
+
−
R
•
•
I = SU
VT
u
u (t)
R
R
Ri
(t)
C0
•
U
R
. 10.7
. 10.6
. 10.7.
-
•
•
I = SU
,
(10.31)
S —
.
Ri —
.
C0 ,
.
Ri
R
,
R,
,
R=
RR
R
=
;
R + R 1+ R R
Z :
(10.32)
178
1
R
jωC0
Z =
=
.
1
+
ω
RC
1
j
0
R+
j ωC 0
R
•
•
•
SR
,
1 + jωτ 0
= − I Z = −U
U
(10.33)
τ 0 = RC0 —
(10.34)
.
(10.34)
-
,
,
1800
.
(10.34)
•
K ( jω) =
U
•
U
=−
K0
,
1 + jωτ 0
(10.35)
K 0 = SR —
(ω = 0).
(10.35)
:
K (ω) =
K0
;
(10.36)
ϕ(ω) = π − arctg (ωτ 0 ) .
(10.37)
1 + (ωτ 0 ) 2
. 10.8.
,
C0 .
.
(10.20)
(10.35),
-
,
-
.
-
179
K0 (
)
(
).
(10.36)
,
- K(ω)
2
K0
:
2
ωc = 1 τ0 =1 RC0 .
(10.38)
,
K0
ω
0
ϕ(ω)
ω
π
-
π/2
-
ω
0
.
. 10.8
:
—
0
(
,
-
);
—
R,
,
K0 .
10.5.
-
(
-
—
)
,
-
,
,
.
-
-
,
.
-
.
.
10.5.1.
-
-
K max ,
.
-
180

 K max ,
K (ω) = 
0,

if
if
∆ω
∆ω
;
< ω< ω +
2
2
∆ω
∆ω
; ω<ω −
,
ω>ω +
2
2
ω −
;ω —
∆ω —
(10.39)
(
)
.
. 10.9.
-
.
- K(ω)
,
∆ω
,
-
Kmax
.
,
ω
0
-
ω
. 10.9
,
,
.
10.5.2.
-
(
+E
−
C
C
•
L
. 10.10).
•
I = SU
VT
u
u (t)
R
(t)
Ri
R0
C
L
•
U
R
. 10.11
. 10.10
VT ,
LC -
.
.
10.11.
R0 —
.
Ri
R0 :
R0
181
R0 =
R R0
R0
=
.
R + R0 1 + R0 R
(10.40)
[3]:
Z =
ξ—
R0
,
1 + jξ
(10.41)
,
[3]:
ξ = Q (ω ωp − ωp ω) .
Q
ωp = 1
(10.42)
—
;
LC —
.
•
U
•
•
SR0
.
1 + jξ
= − I Z = −U
•
K ( jω) =
U
•
=−
U
K max
,
1 + jξ
(10.44)
ω = ωp ( ξ = 0 ).
K max = SR0 —
(10.44)
:
K (ω) =
K max
1+ ξ2
;
(10.45)
ϕ(ω) = π − arctg(ξ) .
(10.46)
,
(10.45)
(10.43)
(10.46),
. 10.12.
-
182
K(ω)
-
Kmax
.
,
ωp
0
ϕ(ω)
3π/2
-
π ( -
ω
).
π
π/2
)
ωp
0
(
-
ξ
-
ω
. 10.12
[1]:
ξ ≈ (ω − ωp )τ ,
(ω − ωp ) —
(10.47)
; τ
—
,
-
[3]:
τ = 2Q
∆ω —
ωp = 2 ∆ω
,
(10.48)
.
10.6.
10.6.1.
,
. 10.13,
,
,
L = 1 ⋅10−3
.
;
R = 10
.
L
R
R
u (t)
. 10.13
u
(t)
:
183
10.6.2.
[3],
:
K ( jω) =
R
.
2 R + j ωL
(10.49)
,
-
(10.49):
K (ω) =
R
;
(10.50)
ϕ(ω) = −arctg( ωL 2 R ) .
(10.51)
4 R 2 + ( ωL ) 2
,
-
(10.50), (10.51),
. 10.14.
,
,
(10.49)
ωc = 2 R L = 2 ⋅104 /c.
K(ω)
0,5
0,35
0
ϕ(ω)
0
ωc
4⋅104
8⋅104
ω, /c
4⋅104
8⋅104
ω, /c
−π/2
. 10.14
,
jω
p:
(10.49)
184
K (p) =
R
R L
=
.
2 R + pL p + 2 R L
(10.52)
,
(10.16)
(10.19)
(
−1 
R L  R −
h (t ) = L 
= L e
+
p
2
R
L


−1 
.
2R
t
L 1(t )
):
(10.53)
;
− t
 1
R L
= (1 − e L )1(t ) .
g (t ) = L 

 p( p + 2 R L)  2
2R
(10.54)
,
(10.53)
(10.54)
,
. 10.15.
h(t)
10 4
0
g(t)
0,5
0,1
0,2
t,
0
0,1
0,2
t,
. 10.15
,
-
,
.
τ = ( L 2 R ) = 0,05
,
3τ ,
,
.
.
-
185
11.
,
,
-
.
s (t ) (
s
11.1).
-
(t ) ,
.
s
s (t)
(t) = ?
. 11.1
11.1.
(10.2).
,
-
[3, 4]:
s
(t ) = s (t ) + s
(t ) ,
s (t ) —
(11.1)
,
; s
,
.
t →∞.
(t ) —
-
186
.
,
(10.2)
d n s (t )
d n −1s (t )
a0
+ a1
+ ... + a n s
dt n
dt n −1
:
(t ) = 0 .
(11.2)
p
(11.2)
,
-
:
a0 p n + a1p n −1 + ... + an −1p + an = 0 .
(11.3)
(11.3)
n
.
,
(11.2)
[4]:
n
s (t ) = ∑ A e p t ,
(11.4)
=1
(11.3); Ai —
p —
-
.
Ai
,
.
,
(11.4),
-
.
.
1)
i-
si(t)
Ai
p i = −α i ,
(11.4)
αi > 0 .
0
t
. 11.2
187
si (t ) = Ai e − αi t (
. 11.2).
-
.
2)
-
(−α i ± jωi ) .
(11.4)
A∗i e ( −α i − jωi ) t .
[4]: Ai e( − αi + jωi )t
Ai = Ai e jϕi —
.
,
si (t ) = 2 Ai e −α i t cos(ωi t + ϕi )
ωi ,
(
, si (t)
,
. 11.3).
0
.
t
-
. 11.3
n > 2,
,
(11.3).
,
,
,
.
11.2.
K ( jω)
.
,
.
.
.
.
.
1)
188
s (t ) :
S ( jω) =
∞
∫s
(t ) e
− jω t
(11.5)
dt .
−∞
2)
,
(10.8)
( jω) = S ( jω) K ( jω) .
S
(11.6)
3)
S
s
,
(t ) =
( jω) .
(11.6)
1 +∞
jω t
S ( jω) K ( jω)e dω .
∫
2 π −∞
(11.7)
(11.7)
,
-
K ( jω) .
11.3.
K (p ) .
.
.
1)
s (t ) :
S ( p) = L[ s (t )] ,
(11.8)
-
,
2)
(11.6)
(
.
).
,
-
189
( p ) = S ( p) K ( p) .
S
(11.9)
3)
(
S
(p) .
)
(11.9)
σ + j∞
s
1
(t ) =
S ( p) K (p)e pt dp ,
∫
2π j σ− j∞
,
(11.10)
5.4.
11.4.
.
-
,
.
,
:
δ-
(
),
(
).
δ-
-
,
—
,
-
,
,
,
,
-
.
[3]:
t
s
(t ) = ∫ s ( x)h(t − x)dx .
(11.11)
0
[3]:
t
s
d s ( x)
g (t − x)dx .
dx
0
(t ) = s (0) g (t ) + ∫
(11.12)
190
11.5.
(
)
,
-
.
-
.
.
,
,
,
.
,
[3].
8,
(
θ0= 0)
a (t ) = A(t ) cos[ω0t + θ(t ) ] .
(11.13)
—
,
A(t ) ,
θ(t )
—
-
.
,
A (t ) = A(t )e jθ(t ) .
(11.14)
(11.13)
•
,
.
,
(
).
191
:
 •

a (t ) = Re  A (t )e jω0t  = A(t ) cos[ω0t + θ(t )] .


(11.15)
,
.
(
).
.
[1]
,
: Ω = ω − ωp .
-
ω
K ( jω)
-
.
-
.
,
,
. 10.5.2,
K ( jΩ ) ≈ −
(11.16)
K max
1 + jΩτ
(10.35),
.
-
(11.16)
,
,
: τ 0 = RC0 = τ ; K 0 = K max .
192
11.6.
11.6.1.
,
.
,
.
,
.
.
-
,
,
:
•
—
-
,
(
);
•
—
(
).
11.6.2.
,
-
.
.
s (t ) ,
ω1
ω2 .
,
,
.
,
s
K1 —
(t ) = K1s (t − t1 ) ,
; t1 —
(11.17)
193
.
S
( jω) = K1 S ( jω)e − jω t1 .
(11.18)
(11.18)
 S ( jω)
− jω t1
if
 S ( jω) = K1e
K ( jω) = 

 0
if
ω1 < ω < ω2 ;
(11.19)
ω < ω1 , ω > ω2 .
(11.19),
:
 K , if
K (ω) =  1
0, if
− ω t1 ,
ϕ(ω) = 

K(ω)
K1
ω
0
ω
=
ω2
(11.21)
,
,
-
.
ω
K(ω)
K1
(11.21)
if ω < ω1; ω > ω2 .
(11.20)
ω
(11.20)
ω < ω1; ω > ω2 ;
if ω1 < ω < ω2 ;
)
0
ϕ(ω)
ω1 < ω < ω2 ;
,
b)
∆ω
0
ϕ(ω)
ω1
0
ω1
-
.
ω2 ω
.
,
ω2
. 11.4
ω
,
. 11.4, .
194
ω1 = 0 ,
,
( ωc —
ω = ω2
—
).
,
.
-
,
∆ω = ω 2 − ω1 ,
—
∆ω —
-
,
(
. 11.4,b).
,
-
.
11.6.3.
,
(11.19)
ω
1
− jω t jω t
h(t ) =
K1e 1 e dω .
∫
2 π −ω
(11.22)
(11.22),
h (t ) = 2 K1 f m
sin[2π f (t − t1 )]
.
2π f (t − t1 )
-
(11.23)
h(t)
,
(11.23),
. 11.5.
,
t <0
h(t )
0 t1
,
-
t
. 11.5
(
. . 9.2.4).
.
-
195
.
.
,
.
11.7.
x(t )
c
(
. 11.6).
:
Wx (ω) (
Bx (τ) );
p (x ) .
y(t)
x(t)
. 11.6
y (t ) .
W (ω) ;
:
-
B y (τ) ;
p( y) .
11.7.1.
.
1)
,
.
.
-
196
,
.
W y (ω) = Wx (ω) K 2 ( ω) ,
K (ω) —
(11.24)
.
,
-
my = 0 ,
,
1 ∞
B y ( τ) ==
Wx (ω) K 2 (ω)e jωτ dω .
∫
2π − ∞
-
(11.25)
,
.
2)
,
.
.
,
.
-
.
(
.
,
-
(11.24))
,
B y ( τ) =
∞
∫ Bx (τ) Bh (τ − t )dt ,
(11.26)
−∞
Bh (τ) —
.
,
197
W y (ω) ==
∞
∫ By (τ)e
− jωτ
dτ .
(11.27)
−∞
11.7.2.
,
p( ) ,
-
p( y )
[10].
,
-
.
,
(
-
my = 0 )
(
)
1
exp − y 2 2σ 2y .
2π σ y
p( y) =
p( y)
(11.28)
(11.28)
,
σ 2y = B y (0) =
(11.25):
1∞
Wx (ω) K 2 (ω)dω .
∫
π0
(11.29)
.
,
[1],
,
,
-
,
.
.
198
11.8.
11.8.1.
(
. 11.7)
W0 .
.
,
.
: R = 100
;
= 0,1 ⋅ 10−6
C
; W0 = 10−7
2
.
R
C
R
. 11.6
11.8.2.
(11.24).
(13.27),
-
W0 (ωRC )
.
Wy (ω) =
9(ωRC )2 + [(ωRC ) 2 − 1)]2
2
(11.30)
,
(11.30)
,
.
11.7.
,
.
(13.29):
199
ω0 =
1
1
=
= 105 /c .
−6
RC 100 ⋅ 0,1 ⋅ 10
,
-
-
(9.29):
W0 ∞
ωRC )2
(
B y (τ) =
cos(ωτ )dω .
π ∫0 9(ωRC ) 2 + [(ωRC ) 2 − 1)]2
Wy(ω)×108 ,
(11.31)
2
1
0,5
−106
0 ω0
−5⋅105
5⋅105
106
ω, /c
. 11.7
(11.31).
,
.
.
(
. 11.7)
,
ωm = 107 /c.
,
(
).
-
. 11.8.
,
(9.13): D y = B y (0) ≈ 0,00164
2
.
σ y = D y ≈ 0,040
(9.14)
.
200
τ
1 ∞
=
R y ( τ ) dτ .
B (0) −∫∞
By(τ),
(11.32)
2
y(0)
0,001
−1⋅10 −4
−0,5⋅10−4
0,5⋅10−4
0
1⋅10− 4 τ,
. 11.8
(11.32).
(
. 11.8)
-
(−10−4…10−4),
,
.
τ
= 1,11 ⋅ 10 −5 .
:
201
12.
12.1.
(
12.1, )
,
.
-
. 10.2.
u (t )
u (t ) = E ⋅1(t ) − E ⋅1(t − t ) ,
E —
(12.1)
;t —
.
-
.
[4]:
U (p) = E
(11.9)
U
( p) = E
1
1
− E exp(− pt ) .
p
p
(12.2)
(10.20)
-
1τ
1τ
−E
exp(− pt ) .
p ( p + 1 τ)
p ( p + 1 τ)
(
(12.3)
),
(
.
):
202
u


 t 
 t − t 
(t ) = E 1 − exp −  1(t ) − E 1 − exp −
 1(t − t ).
τ 
 τ 



(12.4)
,
τ
(12.4),
. 12.1,b
12.1,c.
0≤t ≤t
(
t >t —
),
(
).
τ (τ >> t )
0≤t ≤t
,
(
. 12.1,b).
-
(10.25)
τ >> t .
(12.5)
u (t)
a)
u
0
(t)
t
t
0
(t)
t
t
0
t
t
b)
u
c)
. 12.1
203
(τ << t )
-
,
,
(
. 12.1,c).
12.2.
(
12.1, )
.
,
. 10.4.
(11.9)
(10.26)
(12.2)
(p ) = E
U
1
1
−E
exp(− pt ) .
(p + 1 τ)
( p + 1 τ)
(
),
(
u
(12.6)
.
):
  t 

 t − t 
(t ) = E exp −  1(t ) − E  exp −
 1(t − t ).
τ  

  τ 

(12.7)
,
τ
(12.7),
. 12.2,b
12.2,c.
t =0
0<t <t
E.
(
).
t =t
−E (
t >t
).
,
(
-
).
τ
(τ << t )
-
204
,
(
. 12.2,b).
(10.30)
τ << t .
(12.8)
u (t)
E
a)
u
t
0
(t)
t
E
b)
t
0
t
óE
u
(t)
E
c)
t
0
t
. 12.2
(τ >> t )
-
,
,
(
.
12.2,c).
12.3.
,
10.4.3
. 10.6.
,
-
205
.
K0 )
(
(
).
,
-
,
-
.
u
(12.4)


t 
t −t 
(t ) = − EK 0 1 − exp( − )  1(t ) + EK 0 1 − exp( −
) 1(t − t ).
τ0 
τ0 


. 12.3.
,
(12.9)
.
u
(t)
t
0
t
óEK0
. 12.3
C0 .
-
.
,
,
(
-
).
12.4.
,
. 10.10.
(8.9) θ0 = ν = 0 ,
-
206
a (t ) = A0 [1 + M cos(Ω t )]cos(ω0t ) .
(12.10)
(8.14)
(
,
)
ω0 , ω = ω0 + Ω, ω = ω0 − Ω
a (t ) = A 0 cos(ω0t ) +
A0M
2
:
cos[(ω0 + Ω ) t ] +
A0M
2
cos[(ω0 − Ω )t ] . (12.11)
-
,
,
,
,
a
a1
-
(t ) = a1
(t ) + a2
(t ) + a3
(t ) —
(t ) ,
(12.12)
; a2
; a3
(t ) —
(t ) —
-
.
,
: ω = ω0 .
12.4.
.
,
.
(10.45)
a1
(10.46)
:
(t ) = A0 K max cos( ω0 t + π) = − A0 K max cos( ω 0t ) ;
a2
(t ) =
a3
(t ) =
− A0 M K max
2 1+ ξ
2
− A0 M K max
2 1 + ξ2
(12.13)
cos[(ω0 + Ω)t + ϕ ] ;
(12.14)
cos[(ω0 − Ω)t + ϕ ] .
(12.15)
207
ξ ,ξ ,ϕ ,ϕ
,
—
π
.
K(ω)
Kmax
ωp
0
ϕ(ω)
3π/2
π
π/2
ω
ϕ
ϕ
ωp
0
(ω)
ω
0
A0 M
A0 M
2
2
ω
ω0 + Ω
ω0
ω0 − Ω
0
. 12.4
c (10.47)
:
ϕ ≈ −ϕ = ϕ ≈ arctg(Ωτ
ξ ≈ −ξ ≈ Ω τ ;
,
a
M
(12.13)…(12.15) (12.12),
(t ) = − A0 K max [1 + M
cos(Ω t − ϕ)]cos(ω0t ) ,
(12.16)
—
,
M
M
≅
1+ Ω τ
2 2
,
—
-
(12.17)
.
:
,
(12.16);
—
).
208
,
Ω,
,
,
(12.17);
—
ϕ.
,
,
,
-
.
.
,
.
,
-
-
.
ω ≠ ω0 .
,
-
. 12.4.
ϕ0
π.
Ω
C2
ϕ
B
-
,
A0
,
-
ϕ0
A(t)
F
ϕ
C1 Ω
θ(t)
O
ω0
. 12.5
ϕ ,ϕ
.
-
ω > ω0
.
,
. 12.5.
A(t ) ,
θ(t )
OF.
,
-
.
,
.
-
,
.
209
12.5.
.
(ν = 0)
ω (t ) = ω0 + ∆ω(t ) = ω0 + ωd cos(Ω t ) .
(12.18)
(8.35) θ0 = 0 ,
a (t ) = A0 cos[ω0 t + m sin( Ω t ) ] .
(12.19)
ω = ω0.
,
,
-
.
,
-
.
(10.45)
[1].
(10.46):
A
(t ) = A0 K [ω(t )] =
A0 Kmax
1 + ξ2 (t)
;
(12.20)
(t ) = ψ (t ) + ϕ[ω (t )] = ω0t + m sin Ω t + π − arctg[ξ(t ) ] .
ψ
(10.47)
A
ψ
(t ) =
(12.18),
A0 Kmax
(12.20), (12.21)
=
(12.21)
:
A0 Kmax
;
(12.22)
(t ) = ω0t + m sin Ω t + π − arctg[ωd τ k cos(Ωt )] .
(12.23)
(12.23)
1 + [∆ω(t )τk
]2
ω2 τ2
1 + d k [1 + cos(2Ω t )]
2
:
210
ω
(t ) =
(12.22)
d[ψ
(t )]
dt
= ω (t ) −
d[arctg(ωd τk cos Ω t )]
.
dt
(12.24)
,
,
-
.
.
(12.24)
,
,
-
.
-
.
.
,
,
.
12.6.
—
,
-
(
).
-
,
,
.
.
-
.
,
,
:
,
-
.
12.6.1.
-
(
. 12.6, )
.
211
a (t ) = A0 cos(ω0t )1(t ) .
(12.25)
,
.
A (t )
(
θ(t ) = 0 ,
. 12.6,b).
(10.14)
•
A (t ) = A (t )e jθ(t ) = A (t ) = A01(t ) .
(12.26)
.
12.3.
•
A
(12.9)
(t ) = − A0 K max [1 − exp( − t τk )]1(t ) .
-
(12.27)
.
12.6, .
 •
(t ) = Re  A

a

(t )e jω0t  = − A0 K max[1 − exp(− t τk )]cos(ω0t )1(t ) . (12.28)

,
(12.28),
. 12.6,d.
,
.
,
,
,
.
(
)
A = A0 K max .
,
90%
.
(12.27)
-
212
1 − exp(− t τ ) = 0,9 ,
t —
(12.29)
.
t ,
(12.29)
(t)
t = τ ln 10 ≈ 2,3τ .
A0
(12.30)
0
t
b)
A (t)
A0
,
-
)
.
0
A (t)
A0Kmax
c)
0
(t)
A0Kmax
d)
t
,
.
( ω ≠ ω0 )
t
A
-
0
t
−A0Kmax
. 12.6
ω − ω0 = ∆Ω [1].
-
A =
A0 K max
1 + (∆Ωτ
)2
(12.31)
.
12.6.2.
(
. 12.7, )
.
( ω = ω0 )
.
.
-
,
(12.9),
:
-
213
a
A
0,

(t ) = − A0 K max [1 − exp( − t τk )] cos(ω0t ),
− A (t ) exp[(t − t ) τ ] cos(ω t ),
k
0

if t < 0 ;
if 0 ≤ t ≤ t ;
(12.32)
if t > t ,
(t ) —
t=t ,
A
(t ) = A0 K max [1 − exp(− t τk )] .
(12.33)
.
12.7,b.
,
,
-
(
)
(t)
(
)
.
0
)
t
0
-
t
(t)
τ ,
0Kmax
(t )
b)
0
.
t
.
. 12.7
c
,
(12.30),
-
,
.
,
.
,
(
)
.
-
,
,
.
214
( ω ≠ ω0 )
-
0≤t ≤t
[1].
t>t
.
,
.
12.6.3.
,
,
π.
.
12.8, .
-
.
a (t ) = a1 (t ) + a 2 (t ) ,
a1 (t )
a 2 (t )
(12.34)
:
− A0 sin( ω0t ),
a1 (t ) = 
0,
0,
a 2 (t ) = 
 A0 sin( ω0 t ),
if
t≤0;
if
t >0;
if
t≤0;
if
t>0.
(12.35)
(12.36)
( ω = ω0 )
-
:
a1
 A0 K max sin( ω0t ),

(t ) = 
 A K exp(− t τ ) sin( ω t ),
0
 0 max
if
t≤0;
(12.37)
if
t>0;
215
if
0,

(t ) = 
− A K [1 − exp( − t τ )] sin( ω t ), if
0
 0 max
a2
a
(12.37)
(t ) = a1
(t ) + a2
(12.38)
t >0.
(t ) .
(12.39)
(12.38) (12.39),
if
 A0 K max sin( ω0t ),

(t ) = 
 A K [ 2 exp( − t τ ) − 1)] sin( ω t ), if
0
 0 max
a
t ≤0;
t ≤ 0;
(12.40)
t>0.
,
(12.40),
. 12.8,b.
-
,
∆θ = π
-
,
-
t0.
,
-
,
-
t0 .
,
.
(t)
a)
A0
(12.40),
2 exp( − t 0 τ ) − 1 = 0 ,
(12.41)
t0 ,
0
t
(t)
b)
A0Kmax
:
0 t0
t0 ≈ 0,69τ .
t
(12.42)
. 12.8
,
τ ,
,
.
,
[1].
,
216
12.6.4.
(
12.9, )
.
t=0
.
ω1
-
ω2 = ω1 + 2 ∆ω (
.
. 12.9,b).
:
ω = ω1 + ∆ω = ω2 − ∆ω .
(t)
a)
,
.
0
0
b)
ω1
c)
[1].
t
.
ω (t)
ω2
∆ω
∆ω
,
.
b = ∆ωτ .
ωp
0
(t)
ω
-
t
b ≤ 1,
ω2
ω1
-
b>1(
b=4
b=2
b = 0,5
0
.
. 12.9, ).
b
,
t
. 12.9
-
,
,
.
.
,
-
,
A =
A0 K max
1 + (∆ωτ ) 2
=
A0 K max
1+ b2
,
.
(12.43)
-
217
,
(
(
b > 1)
b ≤ 1)
-
.
b.
:
∆ω ,
τ ).
(
,
-
.
12.7.
12.7.1.
,
-
,
M = 0,5 ;
:
F =1
M
f0 = 1
.
: f p = f0 .
-
.
= 0, 4 .
-
= 465
(f
),
.
12.7.2.
(12.17)
τ =
1
2πF
M
1
 0,5 
−1 =

 − 1 = 1,194 ⋅ 10 − 4 c .
3
M
2π ⋅10  0,4 
(9.48),
(12.44)
(12.44):
Q =
ωp τ
(9.42),
2
2π ⋅10 6 ⋅ 1,194 ⋅ 10 −4
=
= 80,72 .
2
(12.45),
(12.45)
-
218
ξ
=Q (f
f −f
f ) = 80,75(0,465 1 − 1 0,465) = −136,057 . (12.46)
(10.45),
(
K max
-
):
K( f )
K max
=
1
1+ ξ
2
=
1
1 + (−136,057 )
2
= 0,735 ⋅ 10 −2 .
(12.47)
,
136
,
.
,
.
-
(12.47)
 K( f )
 = 20 lg( 0,735 ⋅ 10− 2 ) = −42,68
20 lg 
 K max 
-
.
219
.
13.
13.1.
,
.
,
-
,
[9].
q
x1
x2 .
.
x1
x2 ,
,
(
).
.
,
.
-
,
(
).
-
.
Θ
q
x1
,
x1
x2
β
. 13.1
x2
. 13.1
µ
x2 .
: Θ —
x1
; µ —
x2 ; β —
x1 .
.
,
-
.
,
x1
220
x2
.
x1
x2
,
,
-
:
1)
,
: µ≠0
β = 0.
: β≠0
µ = 0.
2)
,
,
.
.
:
,
.
,
. 13.1,
 x1 = Θ 0 q + β x2 ;

 x2 = µ x1 ,
(13.1)
Θ0 —
.
(13.1)
x1
-
,
x2 (1 − βµ ) = qΘ 0µ .
(13.2)
(13.2)
,
q
x2
F=
Θµ
x2
= 0 .
q 1 − βµ
(13.3)
221
,
-
.
,
.
(
)
.
,
-
,
-
,
.
(
µ
.
)
-
β,
-
(
)
F0 µ 0
= (1 − βµ) ,
F
µ
-
(13.4)
µ0 —
F0
µ
(β = 0).
µ
β
:
,
.
,
(
,
,
).
13.2.
c
,
,
,
.
,
,
,
.
.
-
222
,
,
,
.
: K ( jω) —
13.2.
.
U
.
;
K oc ( jω) —
.
U
-
•
•
Koc(jω)
•
K ( jω) = U
U
.
U
K (jω)
. 13.2
.
•
-
,
(13.5)
—
.
•
U oc
•
•
U oc = U
K oc ( jω) .
•
U
-
,
,
-
:
•
U
•
U
•
=U
=
•
+ U oc =
•
•
+U
•

K ( j ω) =  + U

(13.7)
(13.5),
•
K oc ( jω) .

K oc ( jω) K ( jω) .

•
U
(13.6)
(13.7)
223
K ( jω) =
K ( jω)
1 − K ( jω) K oc ( jω)
.
(13.8)
(13.8)
.
.
,
(13.3),
:
F = K ( jω); Θ 0 = 1; µ = K ( jω); β = K oc ( jω) .
(13.8)
,
,
.
(
)
,
-
.
,
-
.
,
.
,
.
K ( jω) K oc ( jω)
-
,
-
(13.8)
,
.
(13.8) jω
p,
K (p) =
K ( p)
1 − K (p) K oc (p)
.
(13.9)
13.3.
.
,
-
224
.
,
.
,
.
(13.9)
,
(
),
-
.
,
-
,
(
,
-
,
.)
.
,
.
,
,
,
.
.
.
13.4.
(10.3)
,
( f (t) = 0)
-
d n x(t )
d n −1 x (t )
dx ( t )
a0
+ a1
+ ... + an −1
+ an x (t ) = 0 ,
n
n −1
dt
dt
dt
x(t ) —
(
); n —
; a0 , a1 , ..., an —
,
.
,
(13.10)
-
,
.
(13.10)
[4]:
n
x (t ) = ∑ Ai exp(p i t ) ,
i =1
(13.11)
225
Ai —
,
; pi —
-
,
a0 p n + a1p n −1 + ... + an −1p + an = 0 .
(13.11)
(13.12)
,
-
pi
,
,
-
.
:
-
,
p.
13.5.
(
.
10.3),
(13.12)
.
.
:
,
p.
,
-
.
.
13.6.
(
)
n
.
,
.
-
-
226
ai
(13.9)
-
.
[1, 2],
,
:
1)
0… n;
(n ó 1)-
2)
Dn −1 =
Dn-1,
1
0
0
0
...
0
0
3
2
1
0
...
0
0
5
4
3
2
...
0
0 ;
...
...
...
... ... ...
...
0
0
0
0
n −1
0
n
(13.13)
.
3)
13.7.
(13.12)
(
)
-
.
D(p) = a0 p n + a1p n−1 + ...+ an −1p + an .
(13.14)
jω .
(13.14)
jω ,
D( jω)
ϕ(ω) :
D ( jω) = a0 ( jω) n + a1 ( jω) n −1 + ... + an −1 ( jω) + an = D ( jω) e jϕ( ω) .
(13.15)
ϕ(ω) ,
+∞
.
-
,
(13.15)
αi .
-
227
D ( jω) = a0 ( jω − α1 )( jω − α 2 ) ... ( jω − α n ) .
(13.16)
 ω 
 .
ϕ(ω) = ∑ arctg
i =1
 − αi 
(13.17)
n
,
,
,
αi < 0 .
,
+∞
π2 (
-
(13.17)
+ π 2 ).
∆ (ϕ) = ϕ(∞ ) − ϕ(0) = n
π
.
2
(13.18)
,
.
m
+∞
(13.17)
π2 (
π
-
− π 2 ).
π
 π
∆ (ϕ) = ϕ(∞) − ϕ(0) = (n − m) + m −
2
 2
π

 = ( n − 2m ) .
2

(13.19)
,
,
-
n.
.
:
,
+∞
n π 2,
.
,
n b
-
228
ϕ(ω)
+∞.
-
.
n
13.8.
,
K(p).
13.5,
,
(13.9)
K (p) K oc (p) = 1 .
.
(13.20)
K (p) K oc (p)
(
.
,
. 13.3).
K (p) K oc (p) = H (p) .
(13.21)
,
.
(13.20)
,
,
.
K (p)
.
U
H ( p)
.
U
Koc(p)
-
p,
. 13.3
-
.
H.
p
H,
H = u + jv .
(13.22)
229
p
ω
0
ω
,
p=σ+j
(
. 13.4).
H.
σ
R→∞
-
σ = 0 ( p = jω ),
,
H (p)
-
. 13.4
H ( jω) ,
(13.21)
H ( jω) = K (ω) K (ω)e
(13.22)
j[ ϕ ( ω) + ϕ oc ( ω )]
.
(13.23)
:
u (ω) = K (ω) K (ω) cos[ϕ (ω) + ϕ (ω)] ;
(13.24)
v(ω) = K (ω) K (ω) sin [ϕ (ω) + ϕ (ω)] .
K (ω) K (ω) = H (ω)
ϕ (ω) + ϕ (ω) = ϕ(ω) —
.
u (ω)
,
(13.23)
(13.24)
,
(13.24)
v(ω) —
.
jω
,
p,
H
.
,
,
,
,
-
,
.
-
.
.
13.5.
(
. 13.5
ω1).
M
0M,
.
-
230
(13.23)
H(ω1),
-
v
H = u + jv
ω=0
ω=∞
ϕ(ω1).
ϕ(ω1)
0
H(ω1)
−∞
+∞.
u
. 13.5
u (ω)
v(ω)
.
R →∞,
p →∞.
,
H ( p) .
-
(9.11)
Pm ( p)
b
= lim 0 p m −n .
p →∞ Q ( p )
p →∞ a
n
0
lim H (p) = lim
p →∞
(13.25)
: m < n.
(13.25)
,
-
p
,
-
H.
,
p
,
—
.
:
,
-
(1; 0).
,
-
(1; 0).
,
1
u
,
+∞ (
.
. 13.6).
-
231
,
.
v
a)
v
0
1
b)
u
0
1
u
. 13.6
. 13.6,
,
13.6,b —
.
.
13.9.
,
-
.
. 13.7.
-
K ( jω) = K = const .
: ϕ (ω) = 0 .
,
:
K ( jω) =
ωRC
.
3ωRC + j[(ωRC ) 2 − 1]
(13.26)
(13.26)
:
K (ω) =
ωRC
9(ωRC ) 2 + [(ωRC ) 2 − 1]2
 (ωRC ) 2 − 1
ϕoc (ω) = −arctg 
.
 3ωRC 
;
(13.27)
(13.28)
232
,
(13.28),
(13.27)
. 13.8.
,
-
—
.
(13.28)
ω0 ,
,
,
-
:
ω0 = 1 RC .
(13.29)
,
(13.27).
(13.29)
K (ω0) = 1/3.
-
R
+
+
.
(13.27)
H ( jω) = K K ( jω) .
-
(13.28)
-
. 13.9
C
C
K
R
−
. 13.7
K .
ω
ω = ∞,
=0
.
-
K (ω)
1/3
ω = ω0,
ϕ(ω0) = ϕ (ω0) = 0.
0
- ϕ (ω)
K (ω0) = 1 3 K .
( )
ω
π/2
-
0 ω0
óπ/2
,
(1, 0)
ω0
. 13.8
:
K 3 < 1.
ω
K ,
K <3 .
(13.30)
233
. 13.9
,
(13.30)
.
v
ω = 0; ∞
K /3
M
0
u
(1, 0)
. 13.9
(13.30)
,
K
,
. 13.9
-
(1, 0),
-
.
.
13.10.
13.10.1.
K 0 = 10
(
.
. 13.10),
-
τ ).
-
(
,
.
τ
+
+
u (t)
K0
−
. 13.10
u
(t)
-
234
13.10.2.
,
-
(13.9)
K ( p) =
K
K0
,
1 − K 0 K e − pτ
(13.31)
—
.
,
(13.31)
-
,
e − pτ =
1
K0K
.
(13.32)
p
p
-
1
2π
= ln( K 0 K ) + j k ,
τ
τ
k = 0, ± 1, ± 2, ... —
(13.33)
.
,
.
,
ω
p,
(13.33)
.
:
K <
1
.
K0
(13.34)
2
4π/τ
1
2π/τ
0
0
−1
−2π/τ
−2
−4π/τ
. 13.11
,
(13.34)
: K
< 0,1 .
. 13.11
.
σ
235
14.
14.1.
,
.
.
,
.
-
,
.
,
,
,
.
,
,
—
.
-
.
- i(t)
I0
(
)
-
(
,
(
0
).
,
. 14.1
t
,
-
),
.
,
-
236
(
-
,
(
,
).
,
. .)
I0 ,
.
-
. 14.1.
.
.
,
-
,
,
,
.
,
,
.
.
14.2.
,
-
,
-
,
-
.
-
.
 (i − I 0 ) 2 
1
,
exp  −
p (i ) =
2σ i2 
2π σ i

I0 —
(14.1)
(
—
; σi
)
.
,
,
ie (t ) (
. 14.2).
,
237
-
ie(t)
τe ≅ (10−9...10 −11 )
.
,
.
τe
0
-
t
. 14.2
Ie ( j f )
. 14.3.
|Ie ( j f )|
e
−1/τe
0
1/τe
f
. 14.3
,
∆f ≈ 1 τ e
.
∆f = 109...1011
.
,
f =0
.
∞
Ie ( j f )
e —
f =0
= ∫ ie (t )dt = e ,
(14.2)
−∞
.
k
-
.
I 0 = ke .
(14.3)
,
-
:
1=
∞
∫ Ie ( j f )
−∞
2
df .
(14.4)
238
(14.4)
∞
2
1 = I0 + ∫ k Ie ( j f ) d f ,
M [i 2 ] = I 02 + k
2
(14.5)
−∞
I 02 —
.
(14.5)
,
2
Wi ≈ ( f ) = k I e ( j f ) .
k
(14.3)
(14.6)
(14.6),
Wi ≈ ( f ) =
I0
2
Ie ( j f ) .
e
(14.7)
-
. 14.4.
f =0
Wi ( f )
(14.2)
: Wi ≈ (0) = eI 0 .
eI0
,
−1/τe
(
0
. 14.4
)
1/τe f
,
Wi ( f ) ≅ eI 0 = const .
(14.8)
,
.
,
-
.
Wu ( f ) ≅ 2kTR = const ,
(14.9)
239
R —
; k = 1,38 ⋅ 10 −23
,
/ —
;T —
.
-
.
14.3.
(
. 10.6),
.
,
VT
,
(
)
-
.
,
(11.24).
-
,
Z :
Wu (ω) = Wi (ω) Z
(14.8)
2
.
(14.10)
(10.33),
Wu (ω) = eI 0
R2
.
1 + ω2 R 2C02
(14.11)
(14.11),
,
. 14.5.
,
(14.11)
Wu(ω)
-
eI0R2
(
0,5
)
,
−ωc
ωc = 1 τ 0 = 1 RC 0 .
ωc
0
ω
. 14.5
,
-
.
(9.29),
-
240
∞
eI0 R 2
eI R
cos(ωτ)
Bu (τ) =
dω = 0 exp(− τ RC0 ) .
∫
2 2 2
π 0 1 + ω R C0
2 0
(14.12)
. 14.6.
-
Ru(τ)
.
1,0
-
,
.
1/e
−RC0 0
: τ
τ
RC0
= 2 RC0 = 2τ 0 .
,
-
. 14.6
(
),
-
.
:
(14.14)
Du = Bu (0) =
eI 0 R
;
2C0
(14.13)
σ u = Du =
eI 0 R
.
2C0
(14.14)
,
I0 .
.
R,
0,
,
,
—
.
14.4.
(
.
,
.
. 10.10),
-
241
,
(14.10).
-
(10.41)
Wu (ω) = eI 0
R02
.
1 + ξ2
(14.15)
(10.47),
R02
.
Wu (ω) = eI 0
1 + (ω − ω p ) 2 τ 2
(14.16)
(14.16),
,
. 14.7.
(14.16)
,
(
-
0,5
)
: ∆ω = 2 τ k .
Wu(ω)
eI 0 R02
−ωp
∆ω
ωp
0
ω
. 14.7
,
-
.
-
(9.29),
eI0R02 ∞ cos(ωτ)
eI R
Bu (τ) =
dω = 0 0 exp (− τ τ )cos(ωpτ) .
∫
2 2
π 0 1 + (ω − ωp ) τ
2
(14.17)
. 14.8.
Du = Bu (0) =
eI 0 R0
;
2C
(14.18)
σu = Du =
eI 0 R0
.
2C
(14.19)
242
(14.19)
,
,
Ru(τ)
1
I0 .
τ
R0 ,
,
-
. 14.8
.
14.5.
14.5.1.
-
,
/
-
.
:
-
R = 75
∆f = 9
;
K max = 2 ⋅ 106 ;
;
T = 2930 K ;
-
= 5.
-
14.5.2.
(11.24).
(14.9)
,
-
,
(10.39),
:
2
2kTRK max
if ωp − ∆ω 2 < ω < ωp + ∆ω 2 ;

Wy (ω) = Wx (ω) K 2 (ω) = 

if ω > ωp + ∆ω 2; ω < ωp − ∆ω 2.
0
(13.26),
(14.20).
,
(14.20)
-
243
,
ω +∆ω 2
2
2
p
2kTRKmax
2kTRKmax
1∞
2
Dy = ∫Wy (ω)dω =
dω =
∆ω = 4kTRKmax
∆f . (14.21)
∫
π0
π
π
ωp −∆ω 2
(14.21)
,
,
-
-
.
σ y = D y = 2 K max kTR∆f = 2 ⋅10 6 1,38 ⋅10 − 23 ⋅ 293 ⋅ 75 ⋅ 9 ⋅103 ≈ 0,010 .
,
σy =
σy
K max
= 2 kTR∆f =
0,010
= 0,1 ⋅10 − 6
5
10
= 0,1
.
,
-
U
= σy ⋅(
) = 0,5
.
.
2 4
F(p)
f (t)
1
δ(t)
1p
1(t)
1p
2
1 pn
( n = 1, 2, ...)
1
p
t⋅1(t)
t n −1
⋅1(t )
( n − 1)!
1
πt
1
p+a
e − at ⋅1(t)
p
p+a
δ(t) − a e − at ⋅1(t)
1
p(p + a )
1
(1 − e − at ) ⋅ 1(t )
a
1
( p + a )( p + b)
1
( e − at − e − bt ) ⋅ 1(t )
b−a
p
(p + a )(p + b)
1
(ae − at − be − bt ) ⋅ 1(t )
a−b
2 5
p2
(p + a )(p + b)
δ(t ) +
1
(a 2e − at − b 2e − bt ) ⋅ 1(t )
b−a
1
(p + a) 2
te − at ⋅1(t)
1
(p + a) n
( n = 1, 2, ...)
1
t n −1e − at ⋅1(t)
( n − 1)!
p
(p + a ) 2
(1 − at )e − at ⋅1(t )
1
p + ω2
1
sin( ωt ) ⋅ 1(t )
ω
p
p + ω2
cos(ωt ) ⋅ 1(t )
1
(p + a ) 2 + ω2
1 − at
e sin( ωt ) ⋅1(t )
ω
2
2
p
( p + a ) 2 + ω2
e − at [cos(ωt ) −
a
sin( ωt )] ⋅ 1(t )
ω
p+a
(p + a ) 2 + ω2
e − at cos(ωt ) ⋅1(t )
1
p − a2
1
sh (at ) ⋅ 1(t )
a
p
p2 − a 2
ch ( at ) ⋅1(t )
1
p( p + a )(p + b)
1
1
[1 +
(be − at − ae −bt )] ⋅1(t )
ab
a −b
1
p 2 (p + a)
1
[at − (1 − e − at )] ⋅1(t )
2
a
1
p(p + a ) 2
1
[1 − (1 + at )e − at ] ⋅1(t )
2
a
2
2 6
1
p[(p + a ) 2 + ω2 ]
1
a
{1 − e − at [cos(ωt ) + sin( ωt )]}⋅ 1(t )
2
ω
a +ω
1
(p + a )(p 2 + ω2 ]
1
a
[e −at − cos(ωt ) + sin( ωt )] ⋅1(t )
2
ω
a +ω
p
(p + a )(p 2 + ω2 ]
1
[ − ae − at + a cos(ωt ) + ω sin( ωt )] ⋅1(t )
2
a +ω
p2
(p + a )( p 2 + ω2 ]
1
[ a 2 e − at − aω sin( ωt ) + ω2 cos(ωt )] ⋅ 1(t )
2
a +ω
2
2
2
2
2 7
1.
. .
.—
.:
/
. .
-
, 2006. — 720 .
2.
. .
.:
/
. .
. —
, 2005. — 464 .
3.
. .
/ . .
. —
.:
.
.,
1985. — 496 .
4.
/ .
, .
.—
5.
.:
, 1974. — 832 .
. .
[
.
:
]:
.
.
.«
2012. — 432 . :
»/
,
. .
.
.—
.
.:
.
-
—
,
/ . .
-
.—
.:
:
.
:
6.
,
-
. .
,
. .
.
,
.;
. . .
, 1982. — 528 .
7.
.
/ . .
.—
8.
.:
.
. .
.;
. . .
.
.
.
/ . .
. —
., 1987. — 207 .
. .
//
.
, 1989. — 248 .
.
9.
10.
,
. .
:
.:
, . .
:
.
.
. .
, 1982. — 624 .
/ . .
. — 1997. —
-
9. — .3 — 11.
/ . .
. —
.:
2 8
-
. . ,
. .
. .
____
“___” __________ 2018 .
-
____
.
Скачать