СПРЭ лекции

Министерство науки и образования Российской Федерации Севастопольский государственный университет Ю. Б. Гимпилевич СИГНАЛЫ И ПРОЦЕССЫ В РАДИОЭЛЕКТРОНИКЕ Севастополь 2018 2 ББК 32.841 Г48 УДК 621.396.1 Рецензенты: И. Л. Афонин, доктор технических наук, профессор кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» Севастопольского государственного университета; С. Р. Зиборов, кандидат технических наук, доцент кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» Севастопольского государственного университета. Гимпилевич Ю.Б. Г48 Сигналы и процессы в радиоэлектронике: Учеб. пособие / Ю.Б. Гим- пилевич. — Севастополь: Изд-во СевГУ, 2018. — 248 с.: ил. В учебном пособии рассмотрены основные теоретические разделы дисциплины, приведены примеры решения задач. Для студентов очной и заочной форм обучения высших учебных заведений радиоэлектронных специальностей. Учебное пособие утверждено на заседании кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации» (протокол № 6 от 27 декабря 2017 г.). Допущено ученым советом Института радиоэлектроники и информационной безопасности СевГУ в качестве учебного пособия для студентов очной и заочной форм обучения (протокол № 2 от 25 января 2018 г.) Издательский номер: 186/18. ББК 32.841  Издательство СевГУ, 2018 3 СОДЕРЖАНИЕ Принятые сокращения......................................................................................... 9 Предисловие ......................................................................................................... 10 1. Введение в радиоэлектронику ...................................................................... 12 1.1. Основная задача радиоэлектроники......................................................... 12 1.2. Основные радиоэлектронные процессы .................................................. 12 1.3. Основные области применения радиоэлектроники................................ 18 2. Электрические сигналы и их характеристики ......................................... 20 2.1. Определение электрического сигнала...................................................... 20 2.2. Классификация сигналов........................................................................... 20 2.3. Энергетические характеристики сигналов .............................................. 26 2.4. Разложение сигнала по системе ортогональных функций .................... 31 2.5. Пример решения задачи ............................................................................ 32 3. Спектральный Фурье - анализ периодических сигналов....................... 34 3.1. Определение спектра по Фурье и основные понятия............................. 34 3.2. Разложение периодического сигнала в комплексный ряд Фурье ......... 35 3.3. Ряд Фурье в тригонометрической форме................................................. 38 3.4. Спектры чётных и нечётных функций времени...................................... 41 3.5. Распределение средней мощности периодического сигнала по спектру. Эффективная ширина спектра ......................................................................... 42 3.6. Спектр периодической последовательности импульсов прямоугольной формы ................................................................................................................. 43 3.7. Меандр и его спектр................................................................................... 46 3.8. Пример решения задачи ............................................................................ 47 4 4. Спектральный Фурье - анализ непериодических сигналов................... 51 4.1. Постановка задачи...................................................................................... 51 4.2. Преобразование Фурье. Спектральная плотность сигнала.................... 52 4.3. Некоторые представления спектральной плотности.............................. 54 4.4. Обратное преобразование Фурье в тригонометрической форме .......... 55 4.5. Спектральная плотность чётных и нечётных функций времени .......... 56 4.6. Свойства спектральной плотности сигнала............................................. 57 4.7. Распределение энергии в спектре непериодического сигнала. Эффективная ширина спектра ......................................................................... 63 4.8. Спектр одиночного импульса прямоугольной формы ........................... 64 4.9. Функция Дирака (δ-функция) и её свойства............................................ 67 4.10. Спектральная плотность постоянного напряжения.............................. 70 4.11. Спектральная плотность гармонического колебания........................... 71 4.12. Спектральная плотность произвольного периодического процесса .. 72 4.13. Взаимосвязь между спектрами одиночного импульса и сигнала, получаемого периодическим повторением этого импульса......................... 73 4.14. Спектр пачки разновеликих прямоугольных импульсов..................... 74 4.15. Пример решения задачи .......................................................................... 76 5. Применение преобразования Лапласа для спектрального анализа..... 79 5.1. Постановка задачи...................................................................................... 79 5.2. Преобразование Лапласа ........................................................................... 79 5.3. Методика определения спектральной плотности ................................... 81 5.4. Методика определения оригинала по спектральной плотности ........... 81 5.5. Функция Хэвисайда и ее спектр ............................................................... 82 5.6. Спектральная плотность усечённого гармонического колебания ........ 84 5.7. Пример решения задачи ............................................................................ 86 6. Корреляционный анализ детерминированных сигналов....................... 89 6.1. Автокорреляционная функция сигналов с конечной энергией............. 89 6.2. Автокорреляционная функция прямоугольного импульса.................... 90 5 6.3. Автокорреляционная функция пачки импульсов ................................... 92 6.4. Автокорреляционная функция периодических сигналов ...................... 94 6.5. Автокорреляционная функция гармонического колебания................... 96 6.6. Взаимосвязь автокорреляционной функции и спектральной плотности детерминированного сигнала........................................................................... 96 6.7. Взаимная корреляционная функция двух сигналов ............................... 97 6.8. Пример решения задачи ............................................................................ 99 7. Сигналы с ограниченным спектром и их свойства ............................... 102 7.1. Определение и критерии ограничения спектра .................................... 102 7.2. Идеальный низкочастотный сигнал ....................................................... 103 7.3. Проблема дискретизации аналогового сигнала .................................... 105 7.4. Теорема отсчетов...................................................................................... 106 7.5. Спектр дискретного сигнала ................................................................... 109 7.6. Синтез аналогового сигнала по дискретным отсчетам ........................ 112 7.7. База сигнала с ограниченным спектром ................................................ 114 7.8. Пример решения задачи .......................................................................... 115 8. Радиосигналы и их характеристики ......................................................... 117 8.1. Общие положения .................................................................................... 117 8.2. Понятие узкополосности радиосигналов............................................... 118 8.3. Радиосигналы с амплитудной модуляцией ........................................... 119 8.4. Радиосигналы с угловой модуляцией .................................................... 130 8.5. Радиоимпульс с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ) .................. 139 8.6. Пример решения задачи .......................................................................... 143 9. Основы теории случайных процессов ...................................................... 145 9.1. Основные характеристики случайных процессов ................................ 146 9.2. Некоторые законы распределения случайных процессов ................... 152 9.3. Спектральный анализ случайных процессов ........................................ 155 9.4. Пример решения задачи .......................................................................... 162 6 10. Линейные радиоэлектронные цепи с постоянными параметрами... 164 10.1. Классификация цепей и основные определения................................. 164 10.2. Характеристики линейных цепей с постоянными параметрами....... 165 10.3. Взаимосвязь характеристик линейной цепи........................................ 169 10.4. Апериодические линейные цепи .......................................................... 172 10.5. Линейные частотно-избирательные (колебательные) цепи............... 179 10.6. Пример решения задачи ........................................................................ 182 11. Методы расчета реакции линейной цепи............................................... 185 11.1. Классический метод расчёта ................................................................. 185 11.2. Спектральный метод расчета ................................................................ 187 11.3. Операторный метод расчета.................................................................. 188 11.4. Метод интеграла наложения ................................................................. 189 11.5. Приближенный метод расчета реакции узкополосной цепи на узкополосное воздействие (метод комплексной огибающей).................... 190 11.6. Условия неискаженной передачи сигнала линейной цепью ............. 192 11.7. Преобразование статистических характеристик случайного процесса линейной цепью............................................................................................... 195 11.8. Пример решения задачи ........................................................................ 198 12. Прохождение детерминированных сигналов через линейные цепи .. 201 12.1. Прохождение видеоимпульса прямоугольной формы через цепь интегрирующего типа ..................................................................................... 201 12.2. Прохождение видеоимпульса прямоугольной формы через цепь дифференцирующего типа ............................................................................. 203 12.3. Прохождение видеоимпульса прямоугольной формы через апериодический усилитель............................................................................. 204 12.4. Прохождение радиосигнала с амплитудной модуляцией через частотно-избирательную цепь ....................................................................... 205 12.5. Прохождение радиосигнала с частотной модуляцией через частотноизбирательную цепь........................................................................................ 209 7 12.6. Прохождение манипулированных радиосигналов через частотноизбирательную цепь........................................................................................ 210 12.7. Пример решения задачи ........................................................................ 217 13. Обратная связь в активных линейных цепях. Устойчивость линейных цепей с обратной связью........................................................... 219 13.1. Определение обратной связи ................................................................ 219 13.2. Передаточная функция усилителя c обратной связью ....................... 221 13.3. Проблема устойчивости активной линейной цепи............................. 223 13.4. Критерий устойчивости Ляпунова ....................................................... 224 13.5. Критерий устойчивости по передаточной функции........................... 225 13.6. Критерий устойчивости Рауса - Гурвица............................................. 225 13.7. Частотный критерий устойчивости Михайлова.................................. 226 13.8. Частотный критерий устойчивости Найквиста................................... 228 13.9. Устойчивость неинвертирующего усилителя с мостом Вина в цепи обратной связи ................................................................................................. 231 13.10. Пример решения задачи ...................................................................... 233 14. Собственные шумы радиоэлектронной аппаратуры........................... 235 14.1. Классификация собственных шумов.................................................... 235 14.2. Характеристики дробового тока........................................................... 236 14.3. Дробовый шум на выходе апериодического усилителя..................... 239 14.4. Дробовый шум на выходе резонансного усилителя........................... 240 14.5. Пример решения задачи ........................................................................ 242 Приложение: таблица изображений и оригиналов по Лапласу............... 244 Библиографический список ............................................................................ 247 8 ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ АД — амплитудный детектор АКФ — автокорреляционная функция АМ — амплитудная модуляция АЧХ — амплитудно-частотная характеристика ВЧ — высокая частота ИНЧ — идеальный низкочастотный сигнал ИХ — импульсная характеристика ККП — комплексный коэффициент передачи ЛЗ — линия задержки НЧ — низкая частота НБП — нижняя боковая полоса ВБП — верхняя боковая полоса ВКФ — Взаимная корреляционная функция ПХ — переходная характеристика ПЧ — промежуточная частота РГЗ — расчетно-графическое задание РЭА — радиоэлектронная аппаратура РЭС — радиоэлектронное средство ТАМ — тональная амплитудная модуляция ТУМ — тональная угловая модуляция 9 УВЧ — усилитель высокой частоты УЗЛ — ультразвуковая линия задержки УМ — угловая модуляция УН — усилитель напряжения УНЧ — усилитель низкой частоты УПЧ — усилитель промежуточной частоты УЧ — умножитель частоты ФВЧ — фильтр верхних частот ФД — фазовый детектор ФМ ― фазовая модуляция ФНЧ — фильтр нижних частот ФЧХ — фазо-частотная характеристика ЧД — частотный детектор ЧМ — частотная модуляция ЭМС — электромагнитная совместимость 10 ПРЕДИСЛОВИЕ Дисциплина «Сигналы и процессы в радиоэлектронике» играет важнейшую роль в системе подготовки специалистов радиоэлектронного профиля. В рамках этой дисциплины изучаются фундаментальные свойства сигналов, методы их обработки, преобразования и передачи по каналам связи. Целью данного методического пособия является оказание помощи студентам очной и заочной форм обучения в изучении теоретической части дисциплины, а также в получении ими практических навыков анализа характеристик сигналов и цепей в процессе выполнения расчетно-графического задания и лабораторного практикума. Изучение дисциплины базируется на знаниях, которые студенты получили при изучении таких дисциплин, как «Высшая математика», «Физика», «Основы теории цепей». Основу учебного пособия составил лекционный курс, который разработан автором и используется в учебном процессе в Севастопольском государственном университете. В учебном пособии рассмотрен следующий круг вопросов: — свойства детерминированных и случайных сигналов; — разложение детерминированных сигналов по ортогональному базису; — спектральный и корреляционный анализ детерминированных и случайных сигналов; — основы теории дискретизации аналоговых сигналов; — характеристики и свойства узкополосных детерминированных и случайных процессов; — характеристики линейных цепей с постоянными параметрами; — преобразование детерминированных и случайных сигналов в линей- 11 ных радиоэлектронных цепях; — прохождение радиосигналов с различными видами модуляции и манипуляции через избирательные цепи; — теория устойчивости линейных радиоэлектронных цепей; — оптимальная фильтрация сигналов в условиях воздействия шумов. Автор выражает признательность рецензентам профессору Афонину И. Л. и доценту Зиборову С. Р. за полезные замечания и внимание, проявленные к учебному пособию. 12 1. 1.1. « » « «radio», ». - , . . . «wireless» ( ) «radio» . . , , , - . , . . , - . 1.2. ( ( . 1.1) : ( ). . ), - 13 . . 1.2.1. , , , . . ( , , 1), , - . - , . 1.2.2. , , , , . - , , . ( - ) - , , , ( - 2). 1.2.3. , , . , ( 3). 1.2.4. — , . . , . - 14 ( 4). , . . 1 2 6 5 3 4 14 11 12 13 8 10 7 9 1— 2— 3— 4— 5— 6— 7— 8— 9— 10 — 11 — 12 — 13 — 14 — ; ; ; ; ; ; ( ); ; ; ( ); ; ; ; . . 1.1 1.2.5. — . ( ), 15 ), ( ( ) . , ( - 5). . - . 1) L . ( - ). 1000 λ = 300 ) (L = 75 , ( L=λ 4 . ). - . . 10 7,5 . - . 2) , . , , - . 1.2.6. . ( 6). 1.2.7. - ( . . 1.1). 16 . 1.2.8. — , - . . - , . , - (LC- , . . .). , 10) ( 7) ( . , . , , . - . , - , - . 1.2.9. , , ( , ). . ( ), 17 7), ( ( ( )( 10). , ), - . - . 1.2.10. , - . ( ). . , ( 8), ( 9) - , - - , ( )( 10). , . - - . , , . . . . 1.2.11. — . ( 11). , - , - . - 18 , , — — - . 1.2.12. . , ( - 12). 1.2.13. — . - ( 13). , . 1.2.14. , ( , . , 14). - , - — — - - , , , - . 1.3. . — - . - . . — , , — . , . 19 — - . . — , . , - , . — . - , . — , GPS (Global Position System), ( ) . - , . . : , , , , , , . . - 20 2. 2.1. « , » (signum) — ( « ». , .), , . - , - . — , . . . : i (t ) — ( ); a(t) — ( - ; u (t ) — ; s(t) — - ). . 2.2. 2.2.1. . — , - , , . ( ), , - . , . — , , 21 , : - ; - . , : , - . . - . , - , . −∞ <t <∞ s (t ) = s (t + kT ) , k = 0, +1, +2, +3,… ; (2.1) — s(t). - , . 2.1: ( ); ( - b). . — t: Q =T t . (2.2) : Q ≥ 1. Q s(t) ) E … 3 2 0 t 2 … 3 t s(t) b) … … E 3 2 0 t . 2.1 2 3 t 22 ( . 2.2). s(t) Um a) T T 0 t s(t) b) t1 0 t s(t) c) 0 t1 t . 2.2 s (t ) = U m cos(ω1 t + θ1 ) , Um — , ( ); ω1 =2πf1 — ( (2.3) ) , , ; T— / ; θ1 — , , ; f1 = 1/T — . . 2.2 : a) θ1 = 0; b) θ1 = + ωt1> 0 ( ); c) θ1 = − ωt1< 0 ( ). , −∞ +∞ , . - - . . , . 23 , (2.1). . , . , - . , sin( kt) kt , - k = const. . 2.3 : ( b); sin( kt) kt ( 3- - ( d ). ; Tc — ( s(t) s(t) E E c); - : t — - ). b) a) 0 t 0 t s(t) t t s(t) E c) d) 0 t T 0 t t . 2.3 2.2.2. : . — ( ) . . , ( ). - 24 . ( f0 ( θ0 A0 , . 2.4, ) T0 ) . - (2.3). : , a) . a0(t) b) a(t) T0 Amin Amax A0 t t c) TΩ d) a(t) a(t) t t t TΩ . 2.4 : ( )— , ; ( )— , ; ( )— , . ( « »( ) - ), . , , 2.4,b ( ). . , 25 . 2.4,c — . : Amax , Amin — ; TΩ ;Ω— — . . 2.4,d - — t . — ( ) , . . - , ( ). - 2.2.3. : ; ; ( ; ) — ( . 2.5, ). - . - . s(t) ) 0 s(kT ) t s(T ) s(2T ) s(0) b) s(–T ) –T 0 T 2T 3T t ∆U s (kT ) c) −T 0 T 2T . 2.5 3T t 26 — , - . , , - . ( . 2.5,b) s(kT ) k . . — . - ∆U . s (kT ), ( . 2.5,c). — , - . ( ) , . - . 2.3. . [1, 2]. 2.3.1. p(t), s(t) t. 1 - s (t ) p(t ) = s 2 (t ) / R , R = 1 , p (t ) = s 2 (t ) . s (t ) s (t ) : p(t ) = s 2 (t ) R , . , (2.4) 27 2.3.2. , s (t ) 1 - (t1, t2). , , (2.4), t2 t1 ÷t 2 t2 = ∫ p (t )dt = ∫ s 2 (t )dt . t1 (2.5) t1 2.3.3. , s (t ) . 1 - (2.5) = +∞ ∫s 2 (t ) dt . (2.6) −∞ , (2.6) - . . , , . 2.3, t = ∫ E 2 dt = E 2 t . (2.7) 0 2.3.4. , 1 - (t1, t2), . 1 t2 2 = = s (t )dt . t 2 − t1 t2 − t1 t∫1 (2.8) (2.5) Pcpt1 ÷t2 t1 ÷t2 28 2.3.5. 1 t2 2 Pcp = lim ∫ s (t )dt . t1 → −∞ t − t 2 1 t1 (2.9) t 2 →+∞ , Pcp = 1 , , /2 ∫s 2 (t )dt . (2.10) − /2 , (2.3) - (2.10) Pcp = 2 /2 1 ∫ Um 2 − /2 U cos (ω1t + θ1 )d t = m , 2 2 (2.11) , . 2.1, Pcp = 1t E 2t E2 ∫ E dt = T = Q . 0 2 (2.12) 2.3.6. ( ) S ( 1 , , 1 T22 S = Pcp = ∫ s ( t ) dt . T −T 2 s (t ) ), . - (2.13) 29 (2.11) U = Um 2. (2.14) Q. (2.15) (2.12) U =E 2.3.7. s1(t) s2(t). (t1, t2) t1 ÷t 2 = t2 ∫ [s1 (t ) + s2 (t )] 2 t1 1 2 — - (2.5) t2 dt = ∫ s 12(t ) d t t1 t2 + ∫s 2 2 (t ) d t t1 1- t2 + 2 ∫ s1 (t ) s2 (t ) d t = 1 + 2 +2 12 , t1 2- (t1, t2); t2 12 = ∫ s1 (t ) s 2 (t ) d t — (t1, t2). t1 , 2 . 12 . , . , , 12 = 0. - . (t1, t2) t2 ∫ s1 (t ) s2 (t )dt = 0 . (2.16) t1 — , . - 30 . n(t) - (t1, t2) 0,  ∫ ϕn (t )ϕm (t )dt =  2 t1  ϕn , t2 ; ϕn n, m — 2 if n ≠ m; — n(t) 2 ϕn (2.17) if n = m , (t1, t2), t2 = ∫ ϕ 2n (t ) d t . t1 ϕ n (t ) , : p (t ) = ϕ n (t ) ϕ∗n (t ) = ϕ n (t ) ; 2 ϕn 2 (2.18) t2 = ∫ ϕ n (t ) 2 d t . (2.19) t1 : t2 ∫ ϕ n (t )ϕ∗m (t )dt t1 (2.18) . (2.20) 0,  = 2  ϕ n , if n ≠ m; if n = m . “∗” - (2.18)…(2.20) , (2.20) ϕ n (t ) . 31 2.4. . . . ( ) , - , - . , - . . s(t), (t1, t2) t2 ∫s - (t )dt < ∞ , 2 t1 ϕn (t ) , ∞ s (t ) = ∑ n = −∞ n — n ϕ n (t ) (2.21) , , (2.21) . . - n. (2.21) ϕ∗n (t ) (t1, t2). - (2.20) t2 ∫ t1 s (t ) ϕ∗n (t ) dt t2 = Cn ∫ ϕn (t ) ϕ∗n (t ) d t = Cn ϕn t1 2 . (2.22) 32 (2.22) Cn = , t2 1 ϕn 2 ∗ ∫ s (t )ϕ n (t )dt . (2.23) t1 (2.23) . . — , . n, ( ) n- . ( 3 4 - ). - . 2.5. 2.5.1. , . 2.6, s(t) E , . : 0 t . 2.6 t E = 10 ; t = 3 ⋅ 10−3 ; - T = 20 ⋅ 10 −3 . 2.5.2. (2.6). s (t ) . . 2.6 : - 33 0  s( t ) =  E t  t (2.24) if t < 0, t > t ; if 0≤t≤t . (2.6). ∞ E2 t 2 E 2t = ∫ s (t )dt = 2 ∫ t dt = = 0,1 3 t 0 −∞ (2.10). , (2.24) 2 2 . , (2.24), . , - , Pcp = E2 t 2 E 2t 1 T22 s t t t t = = =5 ( )d d ∫ ∫ T −T 2 3T t 2T 0 2 . (2.13) S = P = 5 ≈ 2,24 . 34 - 3. 3.1. . , , . , . ) u1(t) ( E/2 ) . - 0 u2(t) t b) E/2 , 0 s (t ) = E cos ω1t . t 2 c) s(t) . . π/ω1 t . 3.1 cos2 α = [1 + cos(2α)] 2 . , s (t ) = , E E + cos(2ω1t ) . 2 2 s (t ) ( . 3.1, , E 0 0 - . 3.1). , u1 (t ) = E 2 ( 35 ). , - . 3.1,b, 2ω1 : u 2 (t ) = - E cos( 2 ω1t ) . 2 - s(t), . 3.1,c. ( A(ω) . 3.2). ( ÷ - )— θ(ω) . E/2 E/2 0 2ω1 ω 2ω1 ω b÷ ( ) — . , 0 - . 3.2 . 3.2,a - . 3.2,b — . 3.2. - ω1 = 2π T ( s(t) , T, . 3.3), - T /2 ∫ s (t ) dt < ∞ , (3.1) −T / 2 ( , ). s(t) … … 0 T 2T . 3. 3 t 36 - ϕn (t ) = e , jnω1 t (3.2) . (3.2) - ( − T 2, T 2) . (2.20):  if T 2  ∗ ∫ ϕn (t )ϕm (t )dt =  −T 2  if  T 2 m ≠ n: jnω1 t − jmω1 t e dt = 0 ; −T 2 T 2 m = n: ∫e (3.3) jnω1 t − jnω1 t e dt = ϕ n 2 (3.3) T 2 e jn ω 1 t − j mω 1 t e −T 2 =T . −T 2 m≠n ∫ ∫e dt = : 1 j( n − m ) ω 1 t e jω1 (n − m) T 2 −T 2 =0. , - ( − T 2, T 2 ), , (3.2.). (2.21) ∞ ∑ Cn e s (t ) = jnω1 t . (3.4) n =−∞ (3.4) . , - (3.4), - . n nω1 . n (2.23): - 37 Cn = 1 T /2 s(t )ϕ∗n (t )dt 2 ϕ n −T / 2 ∫ 1 T /2 − jnω t = s(t )e 1 dt . ∫ T −T / 2 (3.5) , : Cn = cnc + jcns =| Cn | e jθn , , cnc , cns — (3.6) | Cn |, θ n — - . (3.5) cnc , cns , | Cn |, θ n : , cnc = 1 T /2 s(t ) cos( nω1t )dt ; T −T∫/ 2 cns = − (3.7) 1 T /2 ∫ s(t ) sin( nω1t )dt . T −T / 2 (3.8) 2 2 | C n |= cnc + cns ; θn = Arctg (3.9) cns = angle(cnc , cns ) . cnc (3.10) angle — (3.10) , - 0 ≤ θ < 2π . (3.7)…(3.10) n, ns , nc θn — Cn - . (3.4) Cn - , s (t ) = ∞ ∑ | Cn | e n= −∞ j( nω1 t +θn ) . (3.11) 38 . . , . 3.4, - . 3.4,b — ) … | C−4 | −4ω1 | C −3 | −3ω1 . | C −2 | | C −1 | | Cn | | C1 | | C2 | | C3 | C0 −2ω1 −ω1 0 ω1 2ω1 3ω1 θn b) −4ω1 −3ω1 −2ω1 … θ −4 θ −2 θ −3 −ω1 0 θ −1 ω1 … ω 4ω1 θ4 θ3 θ2 θ1 | C4 | … 2ω1 3ω1 ω 4ω1 . 3.4 3.3. (3.11) . s (t ) , (3.11) ( ) . - . . (3.11) , C0 : s (t ) = −1 ∑ | Cn | e j( nω1 t + θn ) n =−∞ ∞ + C0 + ∑ | Cn | e j( nω1 t + θn ) . (3.12) n=1 — - . n : 39 ∞ s (t ) = ∑ | C− n | e ∞ + C0 + ∑ | C n | e j( − nω 1 t + θ − n ) n =1 θn — s (t ) = ∑ | Cn | e - Cn | Cn |=| C− n | ; θ n = −θ − n . , ∞ . n =1 , n, j( nω 1 t + θ n ) − j( nω1 t + θn ) n =1 ∞ + C0 + ∑ | C n | e j( n ω1 t + θ n ) . (3.13) n =1 , [ | Cn | e − j( nω1 t + θn ) +e j( nω1 t + θn ) ] = 2 | C | cos(nω t + θ ) n (3.13) 1 n . (3.14) (3.14), ∞ s (t ) = C0 + ∑ 2 | C n | cos(nω1 t + θ n ) . (3.15) n =1 (3.15) - , . s (t ) = (3.15) a0 ∞ + ∑ An cos(nω1 t + θ n ) , 2 n =1 a0 2 = C 0 — An = 2 | Cn | (3.16) , ; θn — nω1. (3.16) An, nω1 - θn . An , θn - (3.9), (3.10): 2 2 An = 2 cnc + cns = an2 + bn2 ; (3.17) 40 θn = Arctg cns b = Arctg n = angle(a n , bn ) , cnc an an (3.7) (3.18) bn , - (3.8): 2 T /2 a n = 2cnc = s (t ) cos(nω1t )dt ; T −T∫/ 2 (3.19) 2 T /2 bn = 2cns = − s(t ) sin( nω1t )dt . T −T∫/ 2 (3.20) , n = 0. (3.19) 1 T /2 a0 = C0 = s (t )dt . 2 T −T∫/ 2 (3.21) (3.21) s(t) [4]. . ( . 3.5). n 1 , a) 2 - 3 . 3.4 . 3.5, , a0 /2 , An - 0 - ω1 2ω1 3ω1 4ω1 θn Cn , , 4 θ1 0 θ2 θ3 . 3.5 . ω θ4 b) … ω1 2ω1 3ω1 4ω1 . … ω 41 ( 1) . — ) - , . 2) nω1 , ω1 = 2 π T — , . . , — . 3) , . 4) - : ( ). , . 3.4. 3.4.1. s(t) — (3.20) , bn = 0 , , an s(t) = s( t). (3.19) , , , an = 4 T /2 s (t ) cos(nω1t )dt . T ∫0 (3.22) : 4 An = an = T T /2 ∫ s(t ) cos(nω1t )dt ; (3.23) 0 0 if θn = angle (an , 0) =  π if an > 0 ; an < 0 . (3.24) 42 s(t) — 3.4.2. (3.19) , s(t) = s( t). an = 0 , , (3.20) bn , , - , 4 T /2 bn = − ∫ s (t ) sin( nω1t )dt . T 0 (3.25) - : 4 An = bn = T T/2 ∫ s(t ) sin(nω1t )dt ; (3.26) 0 + π / 2 if θn = angle (0, bn ) =  − π / 2 if bn > 0 ; (3.27) bn < 0 . 3.5. . (3.16) - s(t) [4]. , - . , . - , — , ( 90%) . . (2.10) 1 T /2 2 P = s (t )dt . T −T∫/ 2 (3.28) 43 . k- , , - , 1 k 2 ∑ An . 2 n =1 Pk = , (3.29) , - ( ) Pk a2 P − 0 4 = γ (k ) — 1 k 2 ∑ An 2 n =1 T /2 1 a02 2 s ( t ) d t − T −T∫/ 2 4 = γ (k ) , (3.30) ( γ (k ) ≤ 1 ), k k. k =k , (3.30) - - γ (k ) ≈ 0,9 . - ∆ω = k ω1 . 3.6. , . 3.6. s(t) … … E – −t /2 0 t /2 2 . 3.6 t 44 , - . ( . . 3.4.1.) (0, /2):  E s (t ) =  0 0≤ t < t 2 ; if (3.31) t 2< t ≤T 2 . if bn = 0 , (3.23). an (3.31),  nω t  sin  1  4 4 2E  2  . (3.32) an = s(t ) cos(nω1t ) dt = E cos(nω1t ) dt = ∫ ∫ nω1t T 0 T 0 Q 2 t /2 T /2 (3.32), , - : a0 E = ; 2 Q (3.33)  nω t  sin  1  2E  2  ; An = an = n ω1t Q 2 (3.34) 0 θn =  π if an > 0 ; if an < 0 . (3.35) — - , An . . (3.34) nω1 ω. 45 ωt  sin   2E 2   A(ω) = . ωt Q 2 (3.36) , (3.36) - . ω0 k = 2π k, t f 0k = 1 k, t (3.37) k =1, 2, 3 ... . ( . 3.7). f = ω 2π . An ( f ) A1 a) A2 a0 /2 … 0 f 1 2f 1 … … … 1/t 2/t 3/t θn( f ) f b) π … … … 0 f1 2f1 … 2/t 1/t 3/t f . 3.7 ( mf1 (m — ) ). , - , f 0 k = mf1 . (3.38) 46 (3.38) (3.37) m= (3.39) f 0k = Qk . f1 , (3.39) Q— , Q. m = 3, 6, 9,… . , Q=3 Q , - Qk. Q = 2,5 m = 5, 10, 15,… . 3.7. ( “ ”). ( . 3.8) Q=2 ( E/2 ). - , . s(t) … … E −T 0 T 2T t . 3.8 (3.32) Q=2 an :  πn  πn an = E sin  .   2  2 (3.39) n, (3.40) , (3.40) an . - 47 (3.24): (3.23) ( 1 = 2 /π 0,7 ; 1 = 0; 3 ) = 2 /3π 0,23 ; 3 = π. , s1(t) . ( . 3.9 s3(t) . b) . 3.9 , s (t). s(t), s1(t), s3(t) . s3(t) s1(t) 0 a) −T s (t), s(t) b) t T −T s (t) 0 s(t) T t . 3.9 s (t) . - , s (t) . , . , - 1,18E [1]. , , . 3.8. 3.8.1. , . 3.10. : . = 100 ; T = 10 ⋅ 10 −3 . - 48 s(t) E … … T T/2 0 2T T/2 T 2T t . 3.10 3.8.2. , bn = 0 , an - (3.22). s(t ) (0, T 2) . s( t ) = (3.41) − 2E t+E . T (3.41) (3.22), 4 an = T T 2  − 2E  t + E  cos( nω1t )dt . T  ∫  0 , 1 an = 8E2 2 2 [1 − cos(nπ)] . T n ω1 , ω1 = 2π T . , 2  sin( πn 2)  an = E  .  πn 2  (3.42) . (3.23) (3.24) - 49  sin( πn 2)  An = an = E  ;  πn 2  (3.43) θn = 0 . (3.44) 2 (3.43) , . (3.44) . a0 2 = E 2 . (3.43) (3.16) E ∞  sin( πn 2)  s (t ) = + ∑ E  cos( nω1t ) . 2 n =1  πn 2  2 (3.45) , : a0 2 = 50 ; , A1 = 4 E π 2 ≈ 40,57 ; A3 = 4 E 9 π2 ≈ 4,51 ; A5 = 4 E 25π2 ≈ 1,62 . . 3.11. An , a 0/2 = 50 A1=40,57 A3=4,51 A 5=1,62 0 100 200 300 400 500 f, 0 100 200 300 . 3.11 400 500 f, θn , . 3.12. - 50 s (t) E … … 2T T 0 T 2T . 3.12 . 3.12 , ( . . 3.10). t 51 - 4. 4.1. « » - , (3.1) . s(t) t1 ( ). . 4.1, . s(t), s1(t) s(t) s1(t) … … 0 t1 T 2T t . 4.1 s1(t) T > t1 ( . 4.1, ). , s(t) - , s1(t) s(t), s (t ) = lim s1 (t ) . T →∞ , - T →∞. , . . 1) s1(t) ω1 = 2π T ( . . 3.5). 52 T →∞ lim (ω1 = 2π T ) = 0 . T →∞ , s(t) . — , , + ∞. 0 , ( ) . 2) , (3.17), (3.19), (3.20), ( T → ∞ ), . lim An = 0 . T →∞ , . , , 0 4.2. - + ∞. . . (3.4) s1 (t ) = ∞ ∑ Cne s1 (t ) jnω 1 t , (4.1) n = −∞ : T 2 1 − jnω1 t Cn = s1(t )e dt . ∫ T −T 2 (4.2) 53 T = 2π ω1 (4.2), s1 (t ) = (4.1)  jnω t 1 ∞  T /2 − jnω t  ∫ s1 (t )e 1 dt  e 1 ⋅ ω1 . ∑ 2π n = −∞  −T / 2  . 4.1) ( (4.3) dω , ω1 — s(t), nω1 — — (4.3) - s1(t) ω, . s (t ) =  1 ∞∞  ∫ s (t )e − jω t dt  e jω t dω . ∫ 2π − ∞  − ∞  (4.4) (4.4) , . , . - , - . s (t ) S ( jω) . - , : S ( jω) = ∞ ∫ s (t ) e − jω t dt ; (4.5) −∞ s (t ) = 1 ∞ jω t S ( jω) e dω . ∫ 2π − ∞ (4.6) (4.5) (4.6) — , - . , , . 54 4.3. (4.5) . (4.5), S ( jω) = A(ω) + jB (ω) , A(ω) (4.7) B(ω) — , : A(ω) = ∞ ∫ s(t ) cos(ω t )dt ; (4.8) −∞ ∞ B (ω) = − ∫ s(t ) sin( ω t )dt . (4.9) −∞ , A(ω) ω, , (4.8) B(ω) — - (4.9). S ( jω) = S ( jω) e jθ(ω) , S ( jω) (4.10) θ(ω) — , - : S ( jω) = , ω, S ( jω) A2 (ω) + B 2 (ω) ; (4.11) θ(ω) = angle ( A(ω), B (ω)) . (4.12) , θ(ω) — A(ω) B (ω) . , . 55 4.4. , (4.6), . - ( ) . ), ( s (t ) , - (4.6) . . ( . 3.3) . (4.10) (4.6), s (t ) = = 1 ∞ 1 ∞ j[ ω t + θ ( ω )] jθ ( ω ) jω t ω ω = S ( j ) e e d S ( jω) e dω = ∫ ∫ 2π − ∞ 2π − ∞ 1 ∞ 1 ∞ S ( j ω ) cos[ ω t + θ ( ω )] d ω + j ∫ ∫ S ( jω) sin[ωt + θ(ω)]dω . 2π − ∞ 2π − ∞ ( S ( jω) ) θ(ω) , - , . : s (t ) = 1∞ S ( jω) cos[ω t + θ(ω)]dω . π ∫0 (4.13) (4.13) . (4.13) . (3.16), (4.13) ∆A , ∆A ≈ 1 S ( jω) ∆ω = 2 S ( jω) ∆f . π - 56 ∆A . ∆f → 0 ∆ f 2 S ( jω) = lim (4.14) , , - , - , . (4.14) ), , / / ( ( ). . 4.5. s (t ) , . 4.5.1. s(t) — . (4.9) B (ω) = 0 . , A(ω) , , - (4.8), ∞ S ( jω) = A(ω) = 2 ∫ s (t ) cos(ω t ) dt . (4.15) 0 : S ( jω) = A(ω) ; 0 θ(ω) =  ± π +π θ( ) (4.16) if A(ω) > 0 ; if A(ω) < 0 . > 0, . (4.17) −π — < 0, - 57 s(t) — 4.5.2. (4.8) . A(ω) = 0 . , jB (ω) , , - (4.9), ∞ S ( jω) = jB (ω) = − j2 ∫ s (t ) sin( ω t ) dt . (4.18) 0 : S ( jω) = B(ω) ; + π 2 θ(ω) =  − π 2 (4.19) if B (ω) > 0 ; if B (ω) < 0 . (4.20) 4.6. , , . . ©=0 4.6.1. : ω = 0. (4.5) S ( jω) ω= 0 = S (0) = - ∞ ∫ s (t ) dt . (4.21) −∞ , - , . . (4.21) - , - . (4.21) s (t ) . , s (t ) ω=0 . 58 4.6.2. s (t ) n n s (t ) = ∑ sk (t ) . (4.22) k =1 s (t ) . (4.22). : n S ( jω) = ∑ S k ( jω) . (4.23) k =1 , . 4.6.3. ( ) s1(t), - S 1 ( jω) . - t0 . s2(t), - s2 (t ) = s1 (t − t 0 ) . t0 > 0 (4.24) , . 4.2. s1(t) t0 < 0 — . s2(t), s1(t). s1(t), s2(t) s2(t) s1(t) 0 t1 t1 + t0 t2 . 4.2 t2 + t0 t 59 s2(t). (4.24) S 2 ( jω) = ∞ ∫ s2 (t ) e − jω t dt = −∞ ∞ ∫ s1(t − t0 ) e − jω t dt . (4.25) : t − t0 = τ . : t = τ + t0 , −∞ (4.25) dt = dτ . :− ∞ ÷ + ∞. (4.25) ∞ S 2 ( jω) = e − jωt0 ∫ s1 (τ) e − jωτ dτ = S 1 ( jω)e − jωt 0 (4.26) . −∞ , t0 e − jω t 0 . - , (4.26):  S 2 ( jω) = S 1 ( jω) ;  θ2 (ω) = θ1 (ω) − ω t 0 . (4.27) (4.27) , , . − t0 , - . 4.6.4. , . - s1(t), S 1 ( jω) . n (n > 1 t , n<1— ). s2(t) s2 (t ) = s1 ( nt ) . (4.28) 60 . 4.3 s1(t) s1(t), s2(t) s2(t) s2(t) . s1(t) 0 t1 t1/n t . 4.3 s2(t). (4.28) : ∞ S 2 ( jω) = ∫ s2 (t ) e −∞ − jω t ∞ dt = ∫ s1 (nt ) e − jω t dt . (4.29) : nt = τ . : t =τ n , −∞ (4.29) : −∞ dt = dτ n . ÷ + ∞. - (4.29) ωτ −j 1 ∞ 1  ω S 2 ( jω) = ∫ s1 (τ) e n dτ = S 1  j  . n −∞ n  n , t (4.30) n n . , n ( ( ) ) . : , - . 4.6.5. s1(t), - S 1 ( jω) . . s2(t), - 61 s2 ( t ) = ds1 (t ) . dt (4.31) s2(t). [4] - , S 2 ( jω) = jω ⋅ S 1 ( jω) . (4.32) (4.32) , jω . 4.6.6. s1(t), - S 1 ( jω) . , S 1 (0) = 0 . s1(t) s2 (t ) = (4.33) s2(t), - t ∫ s1 (t ) dt . (4.33) −∞ s1(t) s1 (t ) = ds2 (t ) . dt (4.32) S 1 ( jω) = jω ⋅ S 2 ( jω) . (4.34) S 2 ( jω) : (4.34) S 2 ( jω) = S 1 ( jω) . jω , (4.35) jω . 62 S 1 (0) ≠ 0 , [1] πδ(ω) S 1 (0) |, (4.35) δ- ( . δ(ω) — 4.9). 4.6.7. g (t ) G ( jω) f (t ) , F ( jω) . s (t ) = g (t ) f (t ) . (4.36) , (4.36): S ( jω) = ∞ ∫ g (t ) f (t ) e − jω t dt . (4.37) −∞ (4.37) g (t ) , ω , x ( ). S ( jω) = ∞ ∫ −∞ 1 ∞  − jω t G ( jx) e jxt dx  f (t )e dt . ∫   2π − ∞  , x, 1 ∞ S ( jω) = G ( jx ) F [ j(ω − x )] dx . 2π −∫∞ (4.39) , (4.38) , (4.39) - ( 1 2π ). (4.39). 63 ω= 0. ω x ∞ ∫ g (t ) f (t ) dt = −∞ 1 ∞ G ( jω) F ∗ ( jω) dω . ∫ 2π − ∞ (4.40) (4.40) . - , . . 4.7. . . (4.40). - g (t ) = f (t ) = s (t ) , ∞ 2 ∫ s (t ) dt = −∞ 1 ∞ 2 S ( jω) dω . ∫ 2π − ∞ (4.41) (4.41) - , , — . . (4.41) , (4.41) - , . S ( jω) , ∞ 1∞ 2 = ∫ s (t ) dt = ∫ S ( jω) dω . π0 −∞ 2 (4.42), (4.41) (4.42) ∆ω = ω2 − ω1 , , ω1 , ω2 — , . 64 ω ∆ω 1 2 2 = ∫ S ( jω) dω . π ω1 (4.43) 2 S ( jω) = W (ω) . , , , . , . - . ( ∆ω . ) — ( , 90%) . ∆ω = ω2 − ω1 , , - ω ∆ω = 1 2 2 S ( jω) dω ∫ π ω1 ∞ ∫s 2 = γ (∆ω) , (4.44) (t ) dt −∞ γ ( ∆ω) — ( 0 ≤ γ ≤ 1 ). , ω1 ω2 (4.44), : γ(∆ω) = 0,9. , ∆ω . 4.8. . 4.4. , , - s (t ) . - 65 . (0, + ∞) , s (t ) s(t) , t −t /2 0 : t /2 E if s (t ) =  0 if t . 4.4 (4.15), 0≤t≤t 2; (4.45) t >t 2. (4.45)  ωt  sin   2 E  ωt  2   S ( jω) = A(ω) = 2 ∫ E cos(ω t ) dt = sin  .  = Et ωt ω  2  0 2 t /2 (4.46) (4.46):  ωt  sin   2   S ( jω) = A(ω) = Et ; ωt 2 if 0 θ(ω) =  ± π if A(ω) ( ( . 4.5, ), (4.47) A(ω) > 0 ; (4.48) A(ω) < 0 . ( . 4.5,b) - . 4.5, ) . . 4.5,b , , . , , . - 66 (ω) Et a) −6π/t −4π/t −2π/t 0 |S(jω)| −4π/t −2π/t 4π/t 6π/t ω Et b) −6π/t 2π/t 0 2π/t 4π/t 6π/t ω 2π/t 4π/t 6π/t ω θ(ω) π c) −6π/t −4π/t −2π/t 0 −π . 4.5 . : ∞ ∫s 2 (t )dt = −∞ t −t 2 ∫E 2 dt = E 2 t . (4.49) 2 ( (4.44)). ( ω1 = 0 ), ω 2 = ∆ω . 1 γ ( ∆ω) = t π ∆ω ∫ 0 (4.47) (4.49) 2   ωt  ω t   sin   dω .    2  2  (4.50) γ(∆ω), . 4.6 (4.50). - γ ( ∆ω) = 0,9. ( . . 4.6) ∆ω = 2π t , ∆f = 1t . (4.51) 67 γ(∆ω) 1,0 0,9 0 ∆ω 2π/t . 4.6 , 90% . t = 10ó6 , , ∆f = 1 4.9. (¼- , (4.51), . ) 4.9.1. δ- , . , . - . δ- . - , : E =1 t ( . 4.7). t . , δ- . δ(t ) ( . . 4.8). , δ- , [δ] = 1/c. δ- t0 . , : δ(t − t 0 ) . δ- - 68 ∞ s(t) δ(t) E=1/t −t /2 0 t t /2 0 t t . 4.8 . 4.7 , δ- δ(t − t0 ) :  ∞ if t = t0 ; δ(t − t0 ) =   0 if t ≠ t0 ; ∞  δ(t − t ) dt = 1 . 0 −∫∞ δ- (4.52) , kδ(t − t 0 ) ( (k ) . . ¼- 4.9.2. f (t ) , t = t0 δ(t − t 0 ) δ- δ(t − t 0 ) . - t = t0 , , - , f (t0 ) . f (t ) f (t0 ) δ- , ∞ ∫ −∞ . , ∞ f (t )δ(t − t0 )dt = f (t0 ) ∫ δ(t − t0 )dt = f (t0 ) . (4.53) −∞ δ- - : (t − t0 ) f (t ) , t0 , f (t0 ) . 69 4.9.3. δ- , (t − t0 ) . . : ∞ ∆ ( jω) = ∫ δ(t − t0 ) e − jω t dt . (4.54) −∞ (4.54), (4.53). ∆ ( jω) = e − jω t 0 - . (4.55) (4.55): ∆( jω) = 1 ; (4.56) θ(ω) = −ω t0 . (4.57) δ4.9,b. . 4.9, . 4.9, , ) δ. 1 , b) , . , 0 ω 0 ω θ(ω) . 4.9 δ= 1∞ 1∞ 2 ∆ ( j ω ) d ω = dω = ∞ . π 0∫ π 0∫ , , |∆(jω)| (4.58) δ- . 70 ¼- 4.9.4. δ- - 1 ∞ 1 ∞ ± jω( t −t0 ) jω t δ(t − t0 ) = ∆( jω)e dω = e dω . 2π −∫∞ 2π −∫∞ (4.59) (4.59) , , . ω δ- (4.59) t - δ( ω − ω 0 ) : δ(ω − ω0 ) = 1 ∞ ± j( ω− ω0 ) t e dt . 2π −∫∞ (4.60) . 4.10. — , . . s (t ) = C0 = const ( - . 4.10, ). δ- . . . |S(jω)| ∞ s(t) 2πC0δ(ω) ) b) 0 0 0 t . 4.10 (4.60), ω 71 S ( jω) = ∞ ∫ s(t ) e −∞ − jω t ∞ dt = C0 ∫ e − jω t −∞ dt =2 π C0δ(ω) . (4.61) , δ- , . , ( ). C0 - 2 π C0 . , - . 4.10,b. 4.11. s (t ) = A1 cos(ω1t + θ1 ) . (4.62) (4.62) e j( ω1t + θ1 ) + e − j( ω1t + θ1 ) . s (t ) = A1 2 (4.63) S ( jω) = = A1 2 (4.63) : A1 ∞ 2 −∞ ∫e j( ω1t + θ1 ) − jω t e dt + ∞ A1 −∞ 2 e jθ1 ∫ e − j(ω−ω1 ) t dt + A1 ∞ 2 −∞ ∫e − j( ω1t + θ1 ) − jωt e dt = ∞ e − jθ1 ∫ e − j( ω+ ω1 ) t dt . −∞ (4.60) S ( jω) = π A1e jθ1 δ(ω − ω1 ) + π A1e − jθ1 δ(ω + ω1 ) . (4.64) , δ- , ω1 − ω1 . 72 π A1 - . . 4.11,a π 1δ(ω+ω1) 4.11,b |S(jω)| ∞ . ∞ π 1δ(ω–ω1) a) −ω1 b) 0 θ(ω) ω1 0 ω1 ω θ1 −ω1 ω −θ1 . 4.11 δ- , - ω1 . 4.12. , : ∞ s (t ) = C0 + ∑ An cos(nω1 t + θn ) . (4.65) n =1 , 4.10 ∞ [ 4.11, - ] (4.66) S ( jω) = 2π C0δ(ω) + ∑ π An δ(ω − nω1 )e jθ n + δ(ω + nω1 )e − jθ n . n =1 (4.66), δ± nω1 . , - 73 . 4.12. |S(jω)| ∞ ∞ π … −2ω1 … −2ω1 … π 2 −ω1 0 θ(ω) ∞ π 2πC0 1 ω1 −ω1 ω1 0 ∞ π 1 π 2 3 … ω 3ω1 2ω1 θ3 θ2 θ1 −θ1 −θ2 ∞ 2ω1 3ω1 … ω . 4.12 . - , , , - . 4.13. , (4.5) Cn (3.5). 1T, - , ω, nω1 . — - , • . A n = 2C n , , • An = (4.67) , 2 S ( jnω1 ) . T (4.67) - 74 , , , 2T. (4.67) , . 4.14. . 4.13 , t , , - T1 . - i = 0, 1, 2, 3 . Pi , s(t) P3 P2 P0 P1 0 t T1 2T1 . 4.13 3T1 t T1 . , (4.23) . (4.26), (4.46), ( ) −j 2 ωt S ( jω) = sin P0 + P1e − jωT1 + P2e − j2 ωT1 + P3e − j3ωT1 e ω 2 ωt 2 . (4.68) 75 S ( jω) = ωt 2 sin ω 2 P0 + P1e − jωT1 + P2e − j2ωT1 + P3e − j3ωT1 . (4.69) (4.69) T1 t = 2 . 4.14. |S(jω)| 4t a) −2π/t −2π/T 1 0 2π/T 1 2π/t ω 2π/T1 2π/t ω |S(jω)| 6,5t b) −2π/t −2π/T1 0 . 4.14 . 4.14, P0 = P1 = P2 = P3 . [1]. ω1 = 2π T1 , , : ω1 4 ; ω1 2; 3ω1 4 . ω1 . . 4.14,b P0 = 1 , P1 = 1,5 , P2 = 2 , P3 = 2,5 . . . , T = 4T1 , 76 Ω = 2π T = ω1 4 . t = T1 . , (4.67) π 3π −j −j 2 2 A1 = S ( j Ω ) = P0 + P1e 2 + P2 e − jπ + P3e 2 . T π (4.70), (4.70) : A1 = 2 (P0 − P2 ) − j(P1 − P3 ) . π (4.71) , A1 = 2 π (P0 − P2 )2 + (P1 − P3 )2 . , (4.72) , - (4.72). 4.15. 4.15.1. s(t) , E . 4.15. - . t1 /2 0 t1/2 . 4.15 t . : = 40 ; - t1 = 1 ⋅ 10−3 . 4.15.2. s (t ) . - 77 , , - (4.15). s (t ) (0, + ∞ ) : ,  2E  t, s(t ) =  t1 0, (4.73) if 0 ≤ t < t1 2 ; if t > t1 2 . . (4.73) (4.15): ∞ t1 2 0 0 S ( jω) = A(ω) = 2 ∫ s (t ) cos(ωt )dt = 2 ∫ 2E t cos(ωt )dt . t1 , :  t1  sin( ωt1 2) 4E  2 cos(ωt1 2) 1   S ( jω) = A(ω) = + − 2 . t1  ω ω2 ω      2 sin( ωt1 2) Et1  sin( ωt1 4)  S ( jω) = A(ω) = Et1 − . 2  ωt1 4  ωt1 2 (4.74) (4.74) , : S (0) = Et1 2 = 0,02 / , . f, , , . (4.74) . . 4.16. 78 ω0 k = 4π k, t1 f 0k = 2 k, t1 (4.75) k = ±1, ± 2, ± 3,... . A( f ), / −3 −4 −2 −1 0,02 0 |S(j f )|, / −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 f, 1 2 3 4 f, 1 2 3 4 f, 0,02 0 θ( f ) π −4 ±2 , ±4 −3 , ±6 −2 −1 0 −π . 4.16 ,... . , - , , . - , . , ∆f ≈ 2 t1 = 2 . . 79 5. 5.1. s (t ) , [4]: ∞ ∫ | s(t ) | dt < ∞ . (5.1) −∞ . s (t ) −σ t (σ > 0). - s1 (t ) s1 (t ) = s (t )e t<0 , −σ t . (5.2) s (t ) . . , , s1 (t ) (5.1) . 5.2. s1 (t ) . - (5.2) - 80 S 1 ( jω) = ∞ ∫ s1 (t )e − jω t −∞ ∞ dt = ∫ s (t )e −( σ+ jω )t dt = S (σ + jω) . (5.3) −∞ , s1 (t ) - s (t ) , ( σ + jω ). s1 (t ) , - S 1 ( jω) : s1 (t ) = s (t )e − σ t = 1 ∞ S (σ + jω)e jω t dω . ∫ 2 π −∞ s (t ) : 1 ∞ s (t ) = S (σ + jω)e ( σ + jω) t dω . ∫ 2π − ∞ (5.3) : σ + jω = p . (5.4) ω = ( p − σ) j , dω = dp j , (σ − j∞ ) (5.4) (5.4) (σ + j∞) . : S (p) = ∞ ∫ s(t )e − pt dt ; (5.5) −∞ σ + j∞ 1 s (t ) = S (p)e pt dp . ∫ 2πj σ− j∞ (5.5) , (5.6) (5.6) S ( p) , s (t ) — . - σ = 0, p = jω . , - p jω . 81 p = σ + jω , . ω , , exp(−σ t ) . p = σ + jω . , , ω , - . 5.3. . 5.3.1. , s (t ) , S ( p) . , ( . ). S ( p) 5.3.2. p. 5.3.3. jω. p S (p) jω, - . S ( p) 5.3.4. jω, , 5.3.3. . 5.4. . S ( jω) 5.4.1. p. jω S ( p) . 5.4.2. . : - 82 ; — — ; — (5.6). (5.6) - s (t ) = ∑ res i , i resi — i- . S ( p) = pi M ( p) , N (p) (5.7) , [4]: resi = M (p) pt e N ′(p) p=pi (5.8) . k, pi [4]: res i =  1 d k −1  M (p) pt e (p − pi ) k  k −1  (k − 1)! dp  N (p)  p= pi . (5.9) 5.5. ( . 5.1). - , - . : 1 1(t ) =  0 if t >0; if t <0. (5.10) 83 1(t) 1 0 t . 5.1 [4]: 1( p) = 1 . p (5.11) p1 = 0 . (5.11) jω, res1 = , e pt 1 (5.8): =1 . p =p1 =0 , 1/2. (5.11) p jω (4.61), 1( jω) = 1 1 1 + 2π δ(ω) = + πδ(ω) . jω 2 jω (5.12) : 1( jω) = 1 + πδ(ω) ; ω − π 2 if θ(ω) =  + π 2 if (5.13) ω>0; (5.14) ω<0. , (5.13) (5.14), . 5.2. 84 |1(jω)| ∞ πδ(ω) ω 0 θ(ω) π/2 ω 0 −π/2 . 5.2 , , . - δ- . πδ(ω) . - , , 0,5. 5.6. , t=0 . 5.3. s (t ) = E sin( ω 0 t ) ⋅ 1(t ) . - (5.15) T=2π /ω0 s(t) E 0 t . 5.3 (5.15) [4]: 85 S (p) = E ω0 p 2 + ω0 . 2 (5.16) p1 = jω0 (5.16) p 2 = − j ω0 . jω, , - (5.8): Eω0e pt res1 = 2p p= jω0 Ee jω0t = ; 2j Eω0e pt res 2 = 2p p = − j ω0 Ee − jω0t =− . 2j E E π 1 2 1 E jω0t  resi = (e − e − jω0t ) = sin(ω0t ) = cos ω0t −  . ∑ 2 i =1 2 2j 2 2 2  (5.16) p jω (4.64), π π −j j Eω E E S ( jω) = 2 0 2 + π δ(ω − ω0 )e 2 + π δ(ω + ω0 )e 2 . 2 2 ω0 − ω (5.17) : S ( jω) = Eω0 ω02 − ω2 +π 0  + π θ(ω) = − π − π 2  + π 2 , . 5.4. E E δ(ω − ω0 ) + π δ(ω + ω0 ) ; 2 2 if ω < ω0 ; if ω > ω0 ; if ω < −ω0 ; if ω = ω0 ; if ω = −ω 0 . (5.18) (5.18) (5.19) (5.19), - 86 ∞ |S(jω)| ∞ 0,5πEδ(ω−ω0) 0,5πEδ(ω+ω0) E/ω0 −ω0 −ω0 θ(ω) π −π/2 ω0 0 ω π/2 ω0 0 ω −π . 5.4 , , . - ± ω0 δ- . , E 2. 5.7. 5.7.1. , . . 5.5,a. : = 400 ; t1 = 1 ⋅10−4 . 5.7.2. , . s (t ) , : s (t ) = s1 (t ) + s 2 (t ) . - t = 0, , s2 (t ) — - - s1 (t ) “ ” , “ - 87 t = t1 . ” . 5.5,b. s(t) a) s (t ) = E E E t ⋅1(t ) − (t − t1 ) ⋅1(t − t1 ) . t1 t1 s (t ) t1 0 t s(t) s1 (t ) b) E s 2 (t ) . s1 (t) 0 t1 s 2(t) E 1 E 1 −p t1 E (1 − e − p t1 ) S (p) = − = e . t1 p 2 t1 p 2 t1 p2 t (5.20) . 5.5 k =2 (5.20) p1 = 0 . - (5.9): res1 = [ E d (1 − e −pt1 )e pt t1 dp (5.20) p ] =E. p =0 jω , E 2. S ( jω) = - (4.61) E 1 (1 − e − jω t1 ) + πEδ(ω) . 2 t1 ( jω) . (5.21) (5.21) ,  ωt  sin  1  E  2  + πEδ(ω) . S ( jω) = ωt1 ω 2 (5.22) 88 , , - (5.22), f, . 5.6. |S(j f )|, / πEδ(ω) 0,01 0,005 −30 −20 −10 0 θ( f ) 10 20 30 f, 10 20 30 f, π −30 −20 π/2 −10 0 −π/2 −π . 5.6 , - , . , . (5.22) t1 = 0 E ( . - (5.12)), , - . 89 6. “ ” . - . - , . : , — , - . 6.1. s(t), , - , ( B ( τ) = . ) ∞ ∫ s ( t ) s (t + τ ) d t , (6.1) −∞ s (t + τ) — τ, s(t), −∞ < τ< ∞. τ, t (6.1) . . τ 1) (6.1) τ = 0 . B ( τ) τ = 0 = ∞ ∫s 2 (t )dt = . (6.2) −∞ , , . 90 2) Tc , - . - , − Tc . , Tc , , . 3) τ τ, , B (τ) = B (− τ) . (6.3) , . 6.2. , ( . . 6.1,b (τ > 0) - . s(t) E t ) t1 0 s(t+τ) E t2 t τ b) 0 t1óτ t2óτ . 6.1, ). t . 6.1 τ. 91 0≤ τ ≤t . 1) τ>0 (6.1) B (τ) = t2 −τ ∞ ∫ s(t ) s(t + τ)dt = ∫ E −∞ 2 dt =E 2 (t 2 − t1 − τ) = E 2 (t − τ) , t1 t = t2 − t1 — (6.4) (6.4) . B(0) = E 2t = , — . τ - . , 0≤ τ ≤t , τ (6.4) B( τ) = E 2 (t − τ ) . (6.5) τ >t . 2) , , - ( ). - ( . 6.2, ). 2t . , : R ( τ) = B ( τ) . B (0) (6.6) , . . . 6.2,b. τ=0 - 92 B(τ) E2 t = ) ót 0 τ t R(τ) 1 b) ót 0 τ t τ . 6.2 . ( . 6.2,b) , . τ , = - ∞ ∫ R (τ) dτ . (6.7) −∞ , (6.7), , τ - =t . 6.3. , t , T1 ( . 6.3, ). - Tc = T1 + t . - , - . , , — . 93 0≤ τ ≤t ( 1) . 6.3,b) t −τ B ( τ) = ∫ E 2 dt + Tc − τ 0 , ∫E 2 dt = 2 E 2 (t − τ ) . (6.8) T1 B(0) = 2 E 2t = 2 τ = 0 1, 1 = E 2t — . s(t) a) E t 0 s(t+τ) b) T1 T τ E 0 t −τ s(t+τ) c) Tc−τ 0 s(t+τ) t τ E 0 T1−τ s(t+τ) e) t τ E 0 Tc−τ s(t+τ) f) t τ E 0 . 6.3 2) t ≤τ≤ 1 −t ( T1 − t ≤ τ ≤ T1 ( t . 6.3,c) (τ) = 0 . 3) t τ E d) t (6.9) . 6.3,d) t B ( τ) = ∫E T1 −τ 2 dt = E 2 (t − T1 + τ ) . (6.10) 94 , |τ| = 4) 1 B (T1 ) = E 2t = 1 ≤τ≤ ( 1. . 6.3, ) T −τ ∫E B ( τ) = 2 dt = E 2 (Tc − τ ) . (6.11) 0 , ( τ) = 0 . |τ| = τ > Tc ( 5) . 6.3, f) ( τ) = 0 . (6.12) (6.8)…(6.12) ( . 6.4). B(τ) 2 1 1 óTc óT1 ót t 0 T1 τ Tc . 6.4 , . , n , (2n – 1) , - . τ=0 B ( 0) = n 1. 6.4. ( , , (6.1)) (6.1). 95 ( τ) = /2 1 ∫ s(t ) s(t + τ)dt . (6.13) − /2 . 1) (6.13) , τ . 2) . . τ 3) (6.13) τ = 0 . (2.10) ( 0) = /2 1 ∫s 2 (t )dt = . (6.14) − /2 τ , - , . 4) B ( τ) = B (− τ) . τ, 5) (6.13) ¬, , (−T/2, T/2), - . ( B(τ) . 6.5). P … … ó2T óT ót 0 t . 6.5 T 2T τ 96 6.5. , s (t ) = U m cos(ω0t + θ0 ) . (6.15) (6.13): U m2 ( τ) = T /2 ∫ cos(ω0t + θ0 ) cos[ω0 (t + τ) + θ0 ]dt . − /2 , T /2  U m2  T / 2 ( τ) =  ∫ cos(2ω0t + ω0 τ + 2θ0 )dt + ∫ cos(ω0 τ)dt  . 2T −T / 2 −T / 2  , , . T /2 U m2 U2 ( τ) = cos(ω0 τ) ∫ dt = m cos(ω0 τ) . 2T 2 −T / 2 , (6.16) . , . 6.6. . (4.40), g (t ) = s (t ), f (t ) = s (t + τ) . - 97 ∞ ∞ ∞ 1 1 2 − jωτ * − jωτ ∫ s(t ) s(t + τ)dt = 2π ∫ S ( jω) S ( jω)e dω = 2π ∫ S ( jω) e dω . −∞ −∞ −∞ , 2 S ( jω) ( — 2 S ( jω) , « + »). - , S ( jω) . 2 S ( jω) = ∞ ∫ B ( τ )e − jωτ −∞ 2 : ∞ dτ = 2 ∫ B( τ) cos(ωτ)dτ ; (6.17) 0 1 ∞ 1∞ 2 jωτ 2 B ( τ) = S ( jω) e dω = ∫ S ( jω) cos(ωτ)dω . ∫ 2π − ∞ π0 (6.18) , . , , . , . 6.7. s1(t) ( s2(t) . 6.6, ). s1(t), s2(t) s1(t) B21 (τ) B21(τ), B12(τ) B12(τ) s2(t) 0 Tc2 a) Tc1 12 t óTc1 óTc2 Tc2 Tc1 0 b) . 6.6 τ 98 ( ), . : B12 ( τ) = ∞ ∫ s1 (t ) s2 (t + τ)dt ; (6.19) −∞ B21 ( τ) = ∞ ∫ s1 (t + τ) s2 (t )dt . (6.20) −∞ . 6.6,b s1 (t ) s2 (t ) , (6.19) (6.20). . 1) , : = 1 + 2. τ 2) (6.19), (6.20) τ = 0. B12 (0) = B21 (0) = ∞ ∫ s1 (t ) s2 (t )dt = 12 = 21 . (6.21) −∞ τ , - . τ =0 . 3) , , τ. s2(t) , s1(t). : B12 ( τ) = B21 ( − τ) . , 99 6.8. 6.8.1. , . 6.7, . . : - = 50 ; t = 6 ⋅10 −3 . s(t) a) E 0 t t s(t+τ) E b) τ −τ 0 t −τ t s(t+τ) c) E τ −τ t −τ 0 t . 6.7 6.8.2. (−∞, + ∞ ) : 0  s (t ) =  t  t if t < 0, t > t ; if 0≤t <t . (6.22) , - . 100 , (6.1) . 0≤τ≤t ( 1) B (τ) = t −τ ∫ 0   t . 6.7,b) 2 2   (t − τ)3 τ(t − τ) 2    + . 3 2       t (t + τ)dt =   t (6.23) ,  B (τ) =  t τ=0 2) : 2 3  2t 3 − 3t 2 τ + τ  . 6  (6.24) B (0) = E 2t 3 , (6.24) . τ =t (6.24) τ>t ( . 6.7,c) B (t ) = 0 . B (τ) = 0 . (6.24) (6.23) (6.25) (6.25), ( B(τ), 2 . 6.8). ⋅ 5 2,5 −5 0 5 τ, . 6.8 - 3 3 2 B( τ) 2t − 3t τ + τ R (τ) = = . B ( 0) 2t 3 (6.26) 101 (6.7) τ = ∞ ∫ −∞ 2t 3 − 3t 2 τ + τ3 1 t4 t4 4 d τ = ( 2 − 3 + ) = 0,75t = 3,75 t 3 3 2 4 2 t t 0 t R (τ) dτ = 2 ∫ , . , ( . 6.2). 102 7. 7.1. , , - ωm ( fm ). , , . - , . . , ( ) , . , ( ) - . , , - . . , ( ) ( . ( 3.5 90%). - 4.7). , ( , 10 ). 103 S ( jω) - ∆ω S max . - , S ( jω) . S max - , ∞ S max ∆ω = ∫ S ( jω) dω . 0 ∞ ∆ω ∫ S ( jω) dω = 0 . S max ωm ( fm ). 7.2. ( )— , - ω1 , . . 7.1 . |Φ(jω)| 0=1/2f 1 –ω1 ω1 0 . 7.1 ω1 , ω : - 104  A0 = const Φ( jω) =   0, if ω < ω1 ; if ω > ω1 . (7.1) ϕ(t ) , - (7.1). (4.6). (7.1), ω 1 ∞ 1 1 jω t jω t ϕ(t ) = Φ ω ω = ( j ) e d ∫ ∫ 0 e dω . 2π − ∞ 2π − ω 1 ω1 = 2πf1 , , ϕ(t ) = (7.2) A0 1 jω1t sin(ω1t ) (e − e − jω1t ) = 2 A0 f1 . ω1t 2π jt (7.3) A0 , A0 = 1 2 f1 . (7.3) ϕ(t ) = sin(ω1t ) . ω1t (7.4) , - sinc (ω1t ) . . 7.2. ϕ(t) −1/f1 1,0 −1/2f 1 0 1/2f1 1/f1 t . 7.2 , , . 105 7.3. ( ), ( ). . 7.3. . 7.3,a s(t) s (nT ) nT , n = 0, ± 1, ± 2 ... . , f =1 T — . . 7.3,b - s (nT ) , - - . — , - . s(t) s(0) s(T ) s(2T ) s(3T ) s(4T ) s(óT ) s(5T ) a) óT 0 s(nT ) T 2T 3T 4T 5T t óT T 2T 3T 4T 5T nT b) 0 . 7.3 : 1) ; 2) ( . ) - . . 106 7.4. . s(t) , - fm, - s (nT ) , T ≤ - 1 , 2 fm (7.5) ω  t nT sin ( ) −  2  ∞  , s (t ) = ∑ s(nT )  ω n = −∞ (t − nT ) 2 ω = 2πf = 2π / T — (7.6) . (7.5) , : f ≥ 2 f m ( ω ≥ 2ωm ). , s(t) - s (nT ) ⋅ sinc[ω (t − nT ) 2] , T. s(nT ), - . s(t) (7.6) . 7.4. , , (7.6) s(t) . 107 s(t) n=1 n=0 n=2 n=3 n=4 s(t) n = −1 óT 0 T 2T 4T 3T 5T t . 7.4 . s(t) (2.21) s (t ) = ∞ ∑ Cnϕn (t ) . (7.7) n =−∞ ω  sin  (t − nT )  2 . ϕ n (t ) = ω (t − nT ) 2 (7.8) (7.4) nT , , , - ϕ n (t )  1 − jωnT − jωnT = Te  e Φ n ( jω) =  f 0  , if ω <ω 2; if ω >ω 2. (4.40), (7.9) 108 ∞ ∞ 1 ∗ ∫ ϕ n (t )ϕm (t )dt = 2π ∫ Φ n ( jω)Φ m ( jω)dω . −∞ −∞ (7.10) (7.9), ∞ 1 ∫ ϕ n ( t ) ϕ m ( t ) d t = 2 πf 2 −∞ ω 2 ∫e −ω − jω ( m − n )T ϕ n (t ) m=n . (7.11) (7.11) , 2 m≠n , dω . (2.20) - (7.11) - 2 ϕn 1 =T . f = (7.12) (2.23), - Cn : C n= ∞ 1 ϕn 2 ∫ s(t )ϕn (t ) dt . (7.13) −∞ , T ≤1 2 fm , (7.9) (7.12), ω 2 ≥ ωm . (7.13) ω 1 m Cn= S ( jω) e jω nT dω . ∫ 2 π − ωm (7.14) (7.13) , ωm , s (t ) ϕ n (t ) — ω 2, ω 2 > ωm . ωm ωm. - 109 (7.14) s (t ) - t = nT , Cn = s(nT ) . (7.8) (7.15) (7.7), (7.15) (7.6), - . > 1 2 fm , ω 2 < ωm . −ω 2 (7.14) ω 2. (7.14) s (t ) , - (7.6) s (t ) . , - 1 2 fm . 7.5. , - . - ∞ sT (t ) = s (t ) yT (t ) = s (t ) ∑ δ(t + nT ) , (7.16) n = −∞ s(t) — ; yT (t ) — - δ- , , T . - δ- , , s (nT ) . (7.16), - 110 S T ( jω) = ∞ ∫ s(t ) y (t )e − jω t T dt . (7.17) −∞ yT (t ) ∞ ∑ Cn e yT (t ) = n jn ω t , (7.18) n= −∞ — , 1 Cn = T , T 2 ∫ y (t )e − jn ω t T (3.5): dt . (7.19) −T 2 ( − T 2, T 2) yT (t ) δ- t = 0. , δ- - (4.53), n (7.18) = 1 . T (7.17), (7.20) (7.20) , S T ( jω) = 1 T ∞ ∞ ∑ ∫ s (t )e n = −∞ − j( ω − nω ) t dt . (7.21) −∞ ( ω − nω ), s(t) S T ( jω) = 1 T (7.21) ∞ ∑ S [j(ω − nω )] . (7.22) n= −∞ (7.22) ( 1/T ) 111 nω , , n = 0, ± 1, ± 2, ... . . 7.5 ( s(t) ) sT (t ) , - T: — T = 1 / 2 f m ( ω = 2ω m ) ( b); — T < 1/ 2 f m (ω > 2ωm ) ( c); — T > 1/ 2 f m (ω < 2ωm ) ( d). |S(jω)| a) 0 óωm |ST (jω)| ωm ω K (ω K (ω b) óω óωm 0 ωm ω ω 2ω |ST (jω)| c) óω óωm 0 ωm |ST (jω)| ω 2ω ω d) óω óωm 0 ωm ω ω 2ω . 7.5 b, c, d , ( b— , c— - 112 ), d . - . “ ” ωm ( - ), . d , - - . T ≤ 1 2 fm , - . 7.6. . - ( ) , . , . - ( fm ) . , - fm . , s (t ) Tc , fm . 7.6.1. (7.6). , , . N1 , - 113 , , T = 1 2 fm . N1 N1 = Tc + 1 = 2 f mTc + 1 . T N1 s (t ) . - N1 >> 1 , N1 ≈ 2 f mTc . (7.23) (7.6) , s1 (t ) , s (t ) ( , ). - ω = 2ωm , , N1 s1 (t ) ≈ s (t ) = ∑ s ( nT ) n =0 sin [ωm (t − nT ) ] . ωm (t − nT ) (7.24) (7.24) . 7.6.2. , 7.5. “ ” ωm . “ ( ” - ). . , - , . [1] : 114 K1 exp(− jω t1 )  K ( jω) =  0  K1 t1 — if ω < ωm ; (7.25) if ω > ωm , . (7.25) , - ω < ωm . , . 7.5,b - K (ω) . [1]: g (t ) = 2 K1 f m ( sin [2πf m (t − t1 )] . 2πf m (t − t1 ) . . 10.6.3), - , t < 0. , K p (ω) . ω > ωm . 7.5,b , - . . c , b. , c - - ω > ωm . 3…4 , 1 2 fm , - . 7.7. Tc ∆f . . - 115 [9]: N = 2Tc ∆f . (7.26) , . , . , (7.26) . , . — , , . , ∆f fm , = fm , (7.23). , . 7.8. 7.8.1. ( 7.6, ). . . - , , fm = 1 t . . . = 10 ; t = 10 −3 . : 7.8.2. , T = 1 2 fm . - 116 fm = 1 t , T = 1 t = = 0,5 ⋅10−3 c . 2 fm 2 . 7.6,b. s(t), N1 = 3 . a) 10 : (7.24), - 0 t =1 t, s(kT ), b) 10 : 2 s1 (t ) = ∑ s (nT ) n= 0 0 0,5 1 kT , 1,5 s1(t), sin[ ωm (t − nT )] . ωm (t − nT ) . 7.6,c. ) , 10 −0,5 - 0 0,5 1 1,5 . 7.6 t, . , - . fm , N1 . s1 (t ) s (t ) . 117 8. 8.1. . . — ( , ) - , . — . , « - ». a0 (t ) = A0 cos[Ψ0 (t )] = A0 cos(ω0t + θ 0 ) , ; ω0 = 2πf 0 — A0 — ; θ0 — ;t— (8.1) ; f0 — - ; Ψ0 (t ) — . , : A0 , ω0 , θ0 = const , Ψ0 (t ) Ψ0 (t ) = ω0t + θ 0 . (8.2) : — , ( )); 118 , — ( — , ); ( ). ( ( ), ). - a(t ) = A(t ) cos[Ψ (t )] , A(t ) — (8.3) ; Ψ (t ) — , , , - . 8.2. , , , ω0 . . . - , , . ∆ω - , - . - ( ), . - , , . ∆ω - ∆ω << 1 . ω0 (8.4) 119 (8.4) . , . , - - , , - . - - . 8.3. 8.3.1. — , , - . . A(t ) = 0 + ∆A(t ) , ∆A(t ) — , . a (t ) = [ (8.3), 0 + ∆A(t )]cos(ω0t + θ0 ) , (8.5) s(t), - ∆A(t ) = k s (t ) , k — - (8.6) , . (8.6) (8.5), a (t ) = [ A0 + k s (t )]cos(ω0t + θ0 ) . (8.7) . 8.1. - 120 s(t) ( . 8.1, ). - ( . 8.1,b). s(t) a) 0 t a(t) b) A0 A0 t . 8.1 — , - , - . ( - ). - , . A(t ) , . . 8.1 (8.3), − A(t ) — , . 8.3.2. — , , s (t ) = S 0 cos(Ω t + ν) , S 0 , Ω, ν — , (8.8) - . 121 (8.8) (8.7) , ( ) a (t ) = A0 [1 + M cos(Ω t + ν )]cos(ω0t + θ 0 ) , (8.9) M = k S 0 A0 — . (8.9) ( . ) . 8.2 - ( ) (b), (8.8) (8.9) s(t) a) . S0 0 A0 Amin - t a(t) Amax b) t TΩ T0 . 8.2 ( ) . 0≤ ≤1 . (8.10) M =0 , . - M =1 — M ( A(t ) = A0 [1 + M cos(Ω t + ν)] . - ). (8.11) . 122 cos(Ω t + ν) +1  Amax = A0 (1 + M ) ;   Amin = A0 (1 − M ) . (8.12) (8.11) −1 : (8.12) M= M, Amax − Amin . Amax + Amin (8.13) (8.13) . 8.3.3. , - . (8.9) : a (t ) = A0 cos(ω0t + θ0 ) + + (8.14) A0 M cos[(ω0 + Ω )t + θ0 + ν ] + 2 A0 M cos[(ω0 − Ω )t + θ0 − ν ] . 2 (8.14) , : ω0 , — θ0 ( - A0 ); ( ω0 + Ω ) , — (θ 0 + ν ) ( (θ 0 − ν ) ( - ); ( ω0 − Ω) — A0 M 2 A0 M 2 ). - 123 , ( ω0 ± Ω ) . - A0 M 2 . . 8.3. A(ω) A(t) A0 A0 M/2 A0 A0 M/2 C1 Ω ν F B ν C2 Ω θ0 0 ω ω0óΩ ω0 ω0 +Ω O . 8.3 ω0 a(t) . 8.4 ∆ω . , ∆ ω = ( ω 0 + Ω ) − ( ω 0 − Ω) = 2 Ω . , . ( . 8.4). t = 0. ν, θ 0 > 0 . - , : — , A0 , ω0 ; — 1, A0 M 2 , - ( ω0 + Ω ); — 2, A0 M 2 , - ( ω0 − Ω ). OF . ω0 ( - ω0 ), - 124 , 1 Ω - 2 ( , — F( — ). A(t)) . - . , OF - . OF a (t ) . 8.3.4. : . . s (t ) Ωi ( i = 1, 2...m ). . 8.5, . A(ω) Si(ω) a) A0 b) … … ω0+Ωm ω0 ω0+Ω2 0 ω0+Ω1 ω ω0−Ω1 Ωm ω0−Ω2 Ω 1 Ω2 ω0−Ωm 0 … ω . 8.5 . : (ω0 + Ω i ) , , , (ω0 − Ω i ) . - 125 . 8.5,b. . ( . 8.5,b) , ∆ω = (ω0 + Ω m ) − (ω0 − Ω m ) = 2Ω m . , . . , ∞ A( jω) = ∫ A0 cos(ω0t + θ0 ) e − jωt dt + k (8.7) ∞ ∫ s(t ) cos(ω0t + θ0 ) e − jωt dt . −∞ −∞ δ- (4.64) ± ω0 ( - ). cos(ω0t + θ0 ) = [ ] 1 j(ω0t +θ0 ) − j(ω0t +θ0 ) e +e , 2 A( jω) = π A0e jθ0 δ(ω − ω0 ) + π A0e− jθ0 δ(ω + ω0 ) + + k k − jθ0 e jθ0 S [ j(ω − ω0 )] + e S [ j(ω + ω0 )] , 2 2 S [ j(ω ± ω0 )] — (8.15) s (t ) , ± ω0 . , - δ- ± ω0 , . ω0 A0 . - 126 . , , ± ω0 . , ± ω0 . ± ω0 . , ± ω0 . , , ( ), - , . . (7.26) - . , , ∆F = 3,4 . ∆f = 6,8 . - . s(t) . - a) . 8.6,b. t A0 - b) . 8.6, . , t 0 a(t) , t 0 . 8.6 t 127 . 8.7. - S ( jω) ± ω0 . |S(jω)| −Ωm ∞ 0 |A(jω)| πA0δ(ω+ω0) ω ∞ πA0δ(ω−ω0) . 8.7 ω0 ω ω0+Ωm 0 ω0−Ωm −ω0 Ωm , A0 = 0 . 8.3.5. , . - (6.2) +∞ Ba (τ) = ∫ a(t )a(t + τ)dt . (8.16) −∞ (8.5) (8.16), Ba ( τ) = +∞ ∫ A(t ) A(t + τ) cos(ω0t + θ0 ) cos[ω0 (t + τ) + θ0 ]dt . −∞ , Ba ( τ ) = 1 +∞ 1 +∞ A ( t ) A ( t + τ ) cos( ω τ ) d t + 0 ∫ ∫ A(t ) A(t + τ) cos( 2ω0 t + ω0 τ + 2θ 0 )dt . 2 −∞ 2 −∞ 128 , - ( 2ω0 ) . Ba (τ) ≈ , (8.17) +∞ 1 cos ω0 τ ∫ A(t ) A(t + τ)dt . 2 −∞ , (8.17) - ω0 . (8.17) : Ba ( τ) = Bs ( τ) B0 (τ) , Bs ( τ) = +∞ ∫ A(t ) A(t + τ)dt (8.18) 1 ; B0 (τ) = cos ω0 τ — 2 — −∞ - . , . a(t) a) t ( 8.8, ). 0 (6.5) (8.17), - Ba(τ) : t t t τ E2t /2 b) 1 2  E (t − τ ) cos ω0 τ if τ ≤ t ; Ba (τ) =  2 0 if τ > t . ót . 8.8 . 8.8,b . ( . . 6.2), . 129 8.3.6. , , , ( ) ( . - ), - , - , ( . . 8.9, ). - . A(ω) A0 . a) ω0 0 - c ω , A(ω) - . 8.9,b. b) ω0 0 A(ω) - ω ( c) ω0 0 A(ω) SSB ω (SSB — Single Side Band). ω0 . 8.9 0 ω . ( . 8.9, . k A0 d) ). . , ), , . , . - 130 . , k A0 , - , k — . - : 0< k <1. - . . 8.9,d. , . 8.4. 8.4.1. — , . - , . (8.3) a (t ) = A0 cos[Ψ (t )]. (8.19) , ( . (8.1)). - θ(t ) , - . Ψ (t ) = ω0t + θ(t ) + θ0 . (8.20) 8.4.2. , , . , - 131 ω(t ) . , — , (8.20) , - : ω(t ) = dψ (t ) dθ(t ) = ω0 + ; dt dt (8.21) t ψ(t ) = ∫ ω(t ) dt + θ0 . (8.22) 0 , — , — ). ( (8.21), (8.22) , - , , . , — . - , . . , - . - , . 8.4.3. s (t ) ∆ω(t ) , , - . ω(t ) = ω0 + ∆ω(t ) = ω0 + k s (t ) , (8.23) 132 k — . (8.22) t ψ(t ) = ∫ [ω0 + k s (t )] dt + θ0 = ω0t + k 0 (8.24) t ∫ s (t ) dt + θ0 . (8.24) 0 , , θ(t ) = k t ∫ s (t )dt , (8.25) 0 . . s (t ) (8.8) : s (t ) = S 0 cos(Ω t + ν) . . 8.10, ( s(t) a) (8.26) ν = 0). S0 0 ωd ω(t) t ω0 b) θ(t) c) 0 m 0 t t a(t) d) A0 t . 8.10 133 (8.23) - ω(t ) = ω0 + k S 0 cos(Ωt + ν) = ω0 + ωd cos(Ωt + ν) , (8.27) ωd = k S 0 — . ω0 . . . 8.10,b. , ψ ( t ) = ω0 t + (8.27) (8.24) ωd sin( Ω t + ν) + θ0 = ω0t + m sin( Ω t + ν) + θ0 , Ω m = ωd Ω — (8.28) . , , . - , ( . . 8.10, ), . (8.19) - a (t ) = A0 cos ψ (t ) = A0 cos[ω0t + m sin( Ω t + ν) + θ0 ] . , . 8.10,d. (8.29) (8.29), , (8.27) (8.28), , π 2. ωd m Ω . 8.11, . ωd , . m - 134 m, ωd m = ωd m, ωd ωd a) ωd = mΩ m b) Ω 0 Ω 0 . 8.11 8.4.4. s (t ) θ(t ) , , . - (8.20) - ψ(t ) = ω0t + θ(t ) + θ0 = ω0t + k s (t ) + θ0 , k — (8.30) . (8.21), ω(t ) = ω0 + k (8.31) ds(t ) . dt (8.31) , , ∆ω(t ) = k ds ( t ) , dt . , (8.25). (8.30) ψ (t ) = ω0t + k S 0 cos( Ω t + ν ) + θ 0 = ω0 t + m cos( Ω t + ν ) + θ 0 , (8.32) 135 m = k S0 — , . , (8.31): ω(t ) = ω0 − mΩ sin( Ω t + ν) = ω0 − ωd sin( Ω t + ν) . (8.32) (8.33) (8.33) , - π 2. (8.32), - a (t ) = A0 cos ψ (t ) = A0 cos[ω0t + m cos(Ω t + ν) + θ0 ] . ωd Ω (8.34) - m . 8.11,b. , m ωd . 8.4.5. - . . a (t ) = A0 cos[ω0t + m sin( Ω t + ν) + θ 0 ]. (8.35) , a(t ) = A0 cos[m sin(Ω t + ν)]cos(ω0t + θ0 ) − A0 sin[m sin(Ω t + ν)]sin(ω0t + θ0 ) . (8.36) , , , π 2. - 136 , - . θ0 = ν = 0 , . cos(m sin Ω t ) sin( m sin Ω t ) ( ), . [4] : cos(msin Ωt ) = J0 (m) + 2J 2 (m) cos(2Ωt ) + 2J 4 (m) cos(4Ωt ) + ... ; (8.37) sin( m sin Ω t ) = 2 J1 ( m) sin( Ω t ) + 2 J 3 (m) sin(3Ω t ) + ... , (8.38) J n (m) — n- - m. (8.37) (8.38) (8.36), a(t) = A0[ J0 (m) cos(ω0t ) − 2J1(m) sin(Ωt ) sin(ω0t ) + 2J 2 (m) cos(2Ω t ) cos(ω0t ) − − 2 J 3 (m) sin( 3Ω t ) sin( ω0t ) + 2 J 4 ( m) cos(4Ω t ) cos(ω0t ) − ...] (8.40) , a (t ) = A0{ J 0 (m) cos( ω0t ) + J1 (m) cos[(ω0 + Ω) t ] − J1 (m) cos[(ω0 − Ω) t ] + + J 2 (m) cos[(ω0 + 2Ω) t ] + J 2 (m) cos[(ω0 − 2Ω) t ] + J 3 ( m) cos[(ω0 + 3Ω) t ] − − J 3 (m) cos[(ω0 − 3Ω) t ] + ...} (8.40) (8.40) . , : ω0 — — , A0 J 0 (m) ; 137 ( ω0 + n Ω ) A0 J n (m) ; — , ( ω0 − n Ω ) A0 J n (m) . , , . - . - , π. n U n = A0 J n (m) , n=0 (8.41) ; n = 1, 2, 3, ... — , . J n (m) , , . m, - . - m. (m << 1) : cos(m sin Ωt ) ≈ 1 ; sin( m sin Ω t ) ≈ m sin Ω t . a(t ) ≈ A0 cos (ω0t ) + (8.42) m, (8.36) A0 m Am cos[(ω0 + Ω)t ] − 0 cos[(ω0 − Ω) t ] . 2 2 (8.42) , : - 138 ω0 ( ω0 + Ω ) ( ω0 − Ω ). A0 m 2 . . 8.12. . - , π. , : ∆ω = 2Ω . , . 8.13 . , . 8.4. A(ω) A0 A0m/2 A0 A0m/2 ω0 O C2 B θ(t) θ0 ω Ω C1 F Ω θ0 > 0 ν>0 ω0 +Ω ω0 −Ω 0 - ω0 a(t) . 8.12 . 8.13 , (BC2) . , BC1 OF BC2 - . . , - . (m >> 1) - m , , . , , . (m >> 1) . 8.14. m = 0,5 m =1 — - 139 , n≤m ( m, n>m ), . 8.14 n≈m . , m ( m +1) , ∆ω = 2(m + 1)Ω ≈ 2mΩ = 2ωd . (8.43) ∆ω Un(ω) … ω ω0+(m+1)Ω ω0+mΩ ω0 ω0+2Ω ω0+Ω ω0−Ω ω0−2Ω ω0−mΩ ω0−(m+1)Ω 0 … . 8.14 , m - , , m ( ). - . 8.5. ( ) 8.5.1. c — , . , , . 140 . 8.15,a . a(t) . 8.15,b . a) A0 - ót /2 t = 0; ωD — : ω0 — , - t ( b) 0 t /2 t ω(t) ω0 ωD ). ót /2 t /2 0 t . 8.15 t ω(t ) = ω0 + β t , β — (8.44) , , - β = ωD t . (8.45) , t ψ(t ) = ∫ (ω0 + β t )dt + θ0 = ω0t + 0 (8.22) βt 2 + θ0 . 2 (8.46) (8.46)   βt 2  a (t ) = A0 cos ψ (t ) = A0 cos ω0t + + θ0  . 2   (8.47) , (8.47) A( jω) = A0 (8.48)   − jωt βt 2   e dt . cos ω t + + θ 0 0 ∫   2 −t 2   t 2 (8.48) [1]. ( . 141 B = f Dt , 8.16) . - . 8.16 . |A(jω)| ) 0 |A(jω)| ω0 ω ω0 ω b) 0 |A(jω)| c) π 2β A0 ω0 − ωD /2 0 |A(jω)| ω0+ ωD /2 ω0 ω ∆ω = ωD d) π 2β A0 ω0 − ωD /2 0 ω0 ω0+ ωD /2 ω . 8.16 B=0 1) . 8.16, . ( 2) B = 10 3) B = 100 . . 8.7). . 8.16,b. . 8.16,c. , . B B ( B >> 1) - (ω0 − ω D 2) (ω0 + ω D . 2) , - , : ∆ω = ω D . - , , 142 , — . B . 8.16,d. . :  0, A( jω) =   A0 π , 2β  ωD ω , ω > ω0 + D ; 2 2 ω ω ω0 − D < ω < ω0 + D . 2 2 ω < ω0 − if if (8.49) B - , [2]: ( ω − ω0 ) 2 θ(ω) = − . 2β (8.50) B >> 1 , - : N ≈ 2 f D t = 2 B >> 1. (7.26) . . 8.5.2. , B >> 1 ). ( , — - . (6.17) Ba ( τ) = - 1 π ω0 + ∫ ωD 2 ω ω0 − D 2 A02 (8.49) π cos(ωτ)dω . 2β (8.51) : 143 A02t sin( ωD τ 2) Ba ( τ) = cos(ω0 τ) . 2 ωD τ 2 (8.52) . 8.17 , - (8.52). Ba(τ) –2/fD A02t /2 1/f D –1/f D τ 2/f D . 8.17 , ω0 . , τ=0 . , τ , . fD, , . 8.6. 8.6.1. : A0 = 10 B; f 0 = 106 . : F = 105 ; θ0 = π. - ; ν = − π 2 ; M = 0,5 . 8.6.2. , , (8.14) , . 144 a (t ) = A0 M AM cos[(ω0 + Ω )t + θ0 + ν] + 0 cos[(ω0 − Ω)t + θ0 − ν] , 2 2 (8.53) ω0 = 2πf 0 ; Ω = 2πF . (8.53) , - . . - (8.53) a (t ) = A0 M cos(Ωt + ν) cos(ω0t + θ 0 ) . (8.54) (8.54) , - ω0 . , (8.54) - , . 8.18. a(t), 5 −10 −5 0 5 10 t, −5 . 8.18 (8.54), , ( M =0, ) , , . , 145 9. . , - x1(t) . , - , 0 t1 t2 , t - . x2(t) : 0 t1 t2 t 1) , ………………………………. - xk(t) ; 0 t1 t2 t 2) , . ………………………………. , - , . 9.1 , ( , ) . - , - . ( , ) . . 146 9.1. 9.1.1. X(t). — , ( , x1(t) - . 9.1). , . , - , . . , , . - , . . 9.1 - X(t), x1(t), x2(t) . : . . , X(t) {x1 (t ), x2 (t ),... xk (t ), ... }. , . , , t1 ( . . 9.1). t1 {x1(t1 ), x2 (t1 ),... xk (t1 ), ... }. 9.1.2. . . , , - 147 . p(x, t). x t - , . p(x, t), , - x ( a, b) b Ft (a < x < b) = ∫ p ( x, t )dx . (9.1) a ( a, b) , - (9.1) ( ). 9.1.3. , . p(x1, x2, t1, t2), , x1 ( . . 9.1). t1 t2 — x2 , p(x1, x2, t1, t2) t1 - t2 , τ = t2 – t1, . t1 t2. p(x1, x2, t1, t2) , , x ( a, b) t1, (c, d ) t2 - 148 bd Ft1 , t 2 (a < x1 < b, c < x2 < d ) = ∫ ∫ p ( x1 , x2 , t1 , t 2 )dx1dx2 . (9.2) a c ( a, b) , ( c, d ) - (9.2) ( ). . — , , τ = t 2 − t1 τ [11]. . . - , - . , : p ( x, t ) = p ( x ) ; p(x1, x2, t1, t2) = p(x1, x2, τ ) . . — - , . 9.1.4. . 149 , . - . f (x) — , p( ), - f (x) . - [11], - M [ f ( x )] = ∞ ∫ f ( x ) p ( x ) dx . (9.3) −∞ ( - ). . ( 1) ) - . f (x) = x. (9.3), ∞ M [ x] = mx = ∫ xp( x)dx . (9.4) −∞ . . 2) . f (x) = x2. M [x ] = 2 (9.3), ∞ ∫x 2 p ( x ) dx . (9.5) −∞ ( ). - 150 ( 3) ) — , . ( ) . ( ) - : x≈ = x − m x . , ( f ( x ) = ( x − mx ) 2 . ). (9.3), [ ∞ ] ∫ (x − m ) Dx = M ( x − m x ) = 2 x 2 p ( x ) dx . (9.6) −∞ , ( ) - . (9.6) Dx = M [ x 2 ] − mx2 . (9.7) , . 4) ( ) , x σ = Dx . (9.8) - . 151 9.1.5. . x1 x2 τ , . (9.3) , . f ( x) = x1 x2 . , ∞ ∞ K x (τ) = M [x1 x2 ] = ∫ ∫ x1 x2 p(x1 , x2 , τ)dx1dx2 . (9.9) − ∞ −∞ τ. (9.9) (9.9) τ = 0 , x2 , x1 x2 — . (9.9) - K x (0) = M [ x 2 ] . (9.10) τ=0 , , - . , τ : Bx (τ) = M [ ( x1 − mx )( x2 − mx ) ] = = ∞ ∞ ∫ ∫ ( x1 − m )( x2 − m ) p( x1 , x2 , τ)dx1dx2 . x −∞ −∞ x (9.11) 152 (9.11) Bx (τ) = K x (τ) − mx2 . (9.12) , , . - . τ=0 (9.12), Bx (0) = M [ x 2 ] − mx2 = Dx , (9.13) τ=0 , . , R x (τ) = Bx ( τ) Bx (0) . , τ=0 - : R x (0) = 1 . (6.7) τ = - ∞ ∫ Rx (τ) dτ . (9.14) −∞ 9.2. 9.2.1. , p(x) 1 x 2 − x1 ( x1 , x2 ) . 0 x1 x2 . 9.2 x 153 ( x1 , x2 ) — , - . , , , - :  1 if x1 < x < x2 ;  p ( x ) =  x2 − x1  0 if x < x1 ; x > x2 . (9.15) . 9.2. (9.4)…(9.7) , , - : x 2 1 x1 + x2 d = ; mx = x x 2 x2 − x1 x∫ (9.16) 1 x 2 1 x12 + x1 x2 + x22 2 M [x ] = x dx = ; x2 − x1 x∫1 3 2 Dx = M [ x 2 ] − m x2 σ x = Dx = 9.2.2. ( (9.17) ( x2 − x1 ) 2 = . 12 (9.18) x2 − x1 . 2 3 (9.19) ) - . . [11] , - , , . - 154 [4]:  ( x − mx ) 2  1 exp − . 2σ 2x  2π σ x  p( x ) = σx (9.20) p(x) σx1 . 9.3. σx2 > σx1 ( mx = 0 ) , - mx . 9.3 0 , x b b  x2  1 F ( a < x < b ) = ∫ p ( x ) dx = exp ∫  − 2σ2  dx . 2 π σ x a x   a b : y = x σx . 1 F ( a < x < b) = 2π (u ) = b σx ∫ 0 : a σx  y2   y2  1   exp −  dy − ∫ exp − 2  dy . 2 2 π     0 (9.21)  y2  1 u exp ∫  − 2 dy = F (0 < y < u ) 2π 0   ( (9.22) ). - y - 0< y <u. x , a = –b. (9.21) (9.22), - 155  b  F (−b < x < b) = 2Φ  .  σx  9.1. - 9.1 ± 3σx , 99,7% , , , −σx …σx 0,683 −2σx …2σx 0,954 −3σx …3σx 0,997 6σ x . , 9.3. 9.3.1. , . , . - - . - , . ( ), - . : . ω = 2πf , , ∆f, . , - 156 ∆M [ x 2 ] Wx (ω) = lim , ∆ f →0 ∆f ∆M [ x 2 ] — (9.23) ∆f . , . (9.23) : 2 , 2 / / . Wx (ω) - : 1) Wx (ω) — ; ω. 2) Wx (ω) — , Wx (ω) = Wx ≈ (ω) + 2π mx2δ(ω) , Wx ≈ (ω) — (9.24) ( ); 2π mx2δ(ω) — ( ) - - 2πmx2 ( ). (9.24) δ- , - mx2 . , M [ x2 ] = ∞ ∫ W x ( f )d f = −∞ (9.25) (9.24) 1 ∞ Wx (ω)dω . 2π −∫∞ (9.7), 1 ∞ M[x ] = Wx ≈ (ω)dω + m x2 = Dx + m x2 . ∫ 2π −∞ 2 (9.25) (9.26) 157 (9.26) Wx ≈ (ω) , ( ) 1∞ Dx = ∫ Wx ≈ (ω)dω . π0 (9.27) . , 90 % ( - ). - . - 9.3.2. , - . : [10]: Wx (ω) = ∞ ∫ K x (τ) e −∞ − jωτ ∞ dτ = 2 ∫ K x (τ) cos(ωτ)dτ ; (9.28) 0 1 ∞ 1∞ jωτ K x ( τ) = Wx (ω)e dω = ∫ Wx (ω) cos(ωτ)dω . 2π −∫∞ π0 (9.29) ( mx = 0 ) K x (τ) (9.28) (9.29) - B x (τ) , . - : , 9.3.3. — , . 158 ( . 9.4), Wx (ω) = W0 = const . (9.30) (9.29), ∞ ∞ 1 1 Bx ( τ) = W0e jωτdω = W0 e jωτdω =W 0δ(τ) . ∫ ∫ 2π −∞ 2π −∞ (9.31) δW0 ( . 9.5). Wx(ω) W0= const , δ- ω 0 . : . 9.4 Bx(τ) ∞ D x = B x (0 ) = ∞ . W0δ(τ) (9.32) , τ 0 , . 9.5 . , . , , - . 9.3.4. — , Wx(ω) − ω1 ω1 ( ω1 = 2π f1 ), — W0 , −ω1 . , ω1 0 . 9.6 . ω 159 . 9.6 - , - . : W = const Wx (ω) =  0 0 if if ω < ω1 ; ω > ω1 . (9.33) (9.29), ω 1 1 sin( ω1τ) B x (τ) = ∫ W0 cos(ωτ)dω =2W0 f1 . π 0 ω1τ . 9.7. τ , (9.34) Rx(τ) 1 - . π ω1 − π ω1 : τ . 9.7 ≅ 2π ω1 = 1 f1 . , ω1 ) ( τ 0 - . 9.3.5. — , Ω1 = 2π F1 ± ω0 , , : Ω1 ω0 << 1 . . Ω1 - Wx(ω) - Ω1 W0 - , . óω0 - 0 . 9.8 ω0 ω . 9.8 . . 160 : W = const if ω0 − Ω1 2 < ω < ω0 + Ω1 2 ; Wx (ω) =  0 if ω < ω0 − Ω1 2, ω > ω0 + Ω1 2 . 0 (9.29), Bx ( τ ) = (9.35) : Ω τ sin  1  2  W0 cos(ωτ)dω = 2W0 F1  cos(ω0 τ) . Ω τ 1 2 2 ω0 + Ω1 2 1 πω ∫ 0 − Ω1 (9.36) (9.36) Rx(τ) 1 ω0 . 9.9 . −2/F1 −1/F 1 - 1/F1 τ . 9. 9 . , 2/F1 , ω0 . . x (t ) = A(t ) cos[ω0t + θ(t )] , (9.37) A(t ) , θ(t ) — , . , x(t) 0 . . 9.10. - t . 9.10 - 161 . 9.3.6. [10]. , ( ) 1 exp − x 2 2σ 2x . 2π σ x p( x) = [10] - (9.38) , , — - : ) (9.39) 1 2π if θ < π ; p(θ) =  if θ > π . 0, (9.40) p( A) = ( A exp − A2 2σ2x ; 2 σx 9.11,a 9.11,b. p(A) a) 0 σx A p(θ) 1/2π b) óπ 0 π θ . 9.11 p (A) , p (θ) , 162 [1]: π σ2 σ x ; M [ A2 ] = 2σ 2x ; DA ≈ x ; σ A ≈ σ x ; 2 2 2 mA = mθ = 0 ; M [θ2 ] = Dθ = π2 ; σθ 3 = (9.41) π . 3 (9.42) 9.4. 9.4.1. ( σx = 1 ) . , , , 0,5 - 2 . 9.4.2. (9.41) , σx = 1 mA = : π π σx = ⋅1 = 1,253 2 2 M [ A2 ] = 2σ 2x = 2 ⋅12 = 2 ; 2 . - , (9.7): Dx = M [ A2 ] − m2A = 2 − (1,253) 2 = 0,429 σ A = Dx = 0,429 = 0,655 . 2 . 163 0,5 2 , (9.1): b F ( a < A < b) = ∫ p ( A)dA . a b=2 a = 0,5 , (9.39), F (0,5 < A < 2) = 2 ( ) ( ) 2 A 2 2 2 exp − A 2 σ d A = x ∫ σ2x ∫ A exp − A 2 dA. 0,5 0,5 , : F (0,5 < A < 2) = 0,558 . , , 55,8 % 0,5 2 . 164 10. 10.1. . : — ; . — , - . ( — ( ). , - ), . , , - . : — ; — ( ). , - . — , . . - 165 . : ( , , ); ( - ). , - , Ri , Li , Ci , S i ... = const , Ri — (10.1) ; Li — ; Ci — - ; Si — . 10.2. , . ( . 10.1). s (t ) — ; s (t ) — . s s (t) (t) . 10.1 , - . 10.2.1. n. - 166 d n s (t ) d n −1 s (t ) ds (t ) a0 + a1 + ... + a n −1 + an s n n −1 dt dt dt = b0 (t ) = d m s (t ) d m −1 s (t ) ds (t ) + + + + bm s (t ) , b ... b 1 − 1 m dt dt m dt m −1 a 0 ... an ; b0 ...bm — (10.2) , ; n, m — - , n > m ). ( , (10.2) - f (t ) . a0 d n s (t ) d n −1s (t ) ds (t ) + a + ... + an−1 + an s 1 n n −1 dt dt dt (t ) = f (t ) . (10.3) 10.2.2. ( ). . 1) , - (10.2). ( ) • U • (ω ) U (ω ) - ω • K ( jω) = U • (ω) . (10.4) U (ω) [3] (10.4) 167 jϕ U (ω) K ( jω) = U (ω) (ω), U (ω) — U ( ω) jϕ ( ω) = K (ω) (10.5) , ( ; ϕ ) (ω), ϕ (ω) — - ; K (ω), ϕ(ω) — ( jϕ ( ω) - ) ( ) - , - : K (ω) = ϕ(ω) = ϕ U (ω) ; U (ω) (10.6) (ω) − ϕ (ω) . (10.7) , — . — , , , - — . . , , . 2) , . - K ( jω) = S ( jω) , S ( jω) — , . S ( jω) , S ( jω) (10.8) 168 , , ( (10.4)) (10.8)) ( . 10.2.3. - K ( p) = S ( p) . S (p) (10.9) , . , (10.9) p (10.8) - jω. 10.2.4. — δ- ( ). h(t ) . : — t < 0, , h(t < 0) = 0. - : ; — t : lim h(t ) = 0 . - t →∞ — . 10.2.5. — ( ). 169 g (t ) . : — t<0 , g(t < 0) = 0, - ; — - t : lim g (t ) = const . , t →∞ . . 10.3. . , , . 10.3.1. , (10.2). S ( jω)[a0 ( jω) n + a1 ( jω) n−1 + ... + an−1 ( jω) + an ] = = S ( jω)[b0 ( jω) m + b1 ( jω) m−1 + ... + bm −1 ( jω) + bm ] , (10.8) K ( jω) = - S ( jω) b0 ( jω) m + b1 ( jω) m −1 + ... + bm −1 ( jω) + bm Pm ( jω) = = . (10.10) S ( jω) a0 ( jω) n + a1 ( jω) n −1 + ... + an−1 ( jω) + an Qn ( jω) , Pm ( jω) Qn ( jω) jω. - 170 (10.2), . Pm ( jω) Qn ( jω) - . 10.3.2. (10.2), (10.10) S ( p) b0 (p) m + b1 (p) m −1 + ... + bm−1 ( p) + bm Pm (p) = . K ( p) = = S (p) a0 ( p) n + a1 (p) n −1 + ... + an −1 (p) + an ] Qn ( p) , (10.11) Pm (p) Qn ( p) p. (10.11) (10.10) (10.2). (10.11) K ( p) = b0 ( p − p 01 )( p − p 02 )...( p − p 0 m ) , a0 ( p − p 1 )(p − p 2 )...( p − p n ) p01, p02,...p0m — p 1, p 2,...p n (10.12) ( — ); ( , ). b0 a0 . 10.3.3. t=0 δ- . , h(t ) . (10.8), , - 171 K ( jω) = H ( jω) , ∆ ( jω) H ( jω) — ; ∆ ( jω) — δ- . δ- , - ∆ ( jω) = 1 , t = 0, - H ( jω) = K ( jω) . (10.13) , : K ( jω) = +∞ ∫ h(t ) − jω t dt ; (10.14) −∞ 1 +∞ h (t ) = K ( jω) 2π −∫∞ jω t dω . (10.15) 10.3.4. , , - K (p) = L[ h(t )]   , −1 h (t ) = L [ K (p )] L L–1 — , (10.16) . 172 10.3.5. δδ- ( ), , - : t g (t ) = ∫ h(t )dt . (10.17) d [ g (t )] . dt (10.18) 0 , h (t ) = , , — . t =0 δ- , g ( 0) , - h(0) = g (0)δ(t ) . 10.3.6. (10.17), , [4], , - : K (p )  = L[ g (t )]  p  . −1  K ( p )   g (t ) = L    p   (10.19) 10.4. , ( ) . , - 173 , , ( , - ). . 10.4.1. . 10.2. , - . , - . K ( jω) = τ— 1 , 1 + jωτ (10.20) , τ = RC , RC- — τ =L/R. RL- L R u (t) - u C (t) R u (t) u (t) . 10.2 (10.20) : K (ω) = 1 ϕ(ω) = −arctg(ωτ) , (10.22), . 10.3. , ; 1 + (ωτ) 2 . (10.21) (10.22) (10.21) 174 ( ). K(ω) 1 1 2 0 ϕ(ω) 0 ω ω ω ω −π/4 −π/2 . 10.3 (ω ) , - 2 ( . . 10.3). (10.21) , ωc = 1 τ . (10.23) τ , : τ = 1 ωc . ωτ >> 1 ( τ >> 1 ω) , (10.21) - , K ( jω) ≈ 1 jωτ . (10.24) , jω ( , . . 4.5.6). (10.24) , - . 10.2, . , ωmin . τ >> 1 ωmin . - - (10.25) 175 10.4.2. . 10.4. , - . C u (t) R u R (t) L u (t) u (t) . 10.4 , . K ( jω) = jωτ . 1 + jωτ (10.26) (10.26) : K (ω) = ϕ(ω) = ωτ 1 + (ωτ) 2 ; (10.27) π − arctg (ωτ) . 2 (10.28) , (10.28), (10.27) . 10.5. ( , - ). (10.26) ωτ << 1 ( τ << 1 ω) , - , K ( jω) ≈ jωτ . (10.29) 176 , jω ( , , . . 4.5.6). (10.29) - . 10.4, . K(ω) 1 1 2 ω 0 ϕ(ω) ω π/2 π/4 0 ω ω . 10.5 , ωmax . τ << 1 ωmax . (10.30) 10.4.3. — , , ( , , , ) - . , , . , VT , ( . 10.6). 177 R , . , - R, , . , R . + − R • • I = SU VT u u (t) R R Ri (t) C0 • U R . 10.7 . 10.6 . 10.7. - • • I = SU , (10.31) S — . Ri — . C0 , . Ri R , R, , R= RR R = ; R + R 1+ R R Z : (10.32) 178 1 R jωC0 Z = = . 1 + ω RC 1 j 0 R+ j ωC 0 R • • • SR , 1 + jωτ 0 = − I Z = −U U (10.33) τ 0 = RC0 — (10.34) . (10.34) - , , 1800 . (10.34) • K ( jω) = U • U =− K0 , 1 + jωτ 0 (10.35) K 0 = SR — (ω = 0). (10.35) : K (ω) = K0 ; (10.36) ϕ(ω) = π − arctg (ωτ 0 ) . (10.37) 1 + (ωτ 0 ) 2 . 10.8. , C0 . . (10.20) (10.35), - , - . - 179 K0 ( ) ( ). (10.36) , - K(ω) 2 K0 : 2 ωc = 1 τ0 =1 RC0 . (10.38) , K0 ω 0 ϕ(ω) ω π - π/2 - ω 0 . . 10.8 : — 0 ( , - ); — R, , K0 . 10.5. - ( - — ) , - , , . - - , . - . . 10.5.1. - - K max , . - 180   K max , K (ω) =  0,  if if ∆ω ∆ω ; < ω< ω + 2 2 ∆ω ∆ω ; ω<ω − , ω>ω + 2 2 ω − ;ω — ∆ω — (10.39) ( ) . . 10.9. - . - K(ω) , ∆ω , - Kmax . , ω 0 - ω . 10.9 , , . 10.5.2. - ( +E − C C • L . 10.10). • I = SU VT u u (t) R (t) Ri R0 C L • U R . 10.11 . 10.10 VT , LC - . . 10.11. R0 — . Ri R0 : R0 181 R0 = R R0 R0 = . R + R0 1 + R0 R (10.40) [3]: Z = ξ— R0 , 1 + jξ (10.41) , [3]: ξ = Q (ω ωp − ωp ω) . Q ωp = 1 (10.42) — ; LC — . • U • • SR0 . 1 + jξ = − I Z = −U • K ( jω) = U • =− U K max , 1 + jξ (10.44) ω = ωp ( ξ = 0 ). K max = SR0 — (10.44) : K (ω) = K max 1+ ξ2 ; (10.45) ϕ(ω) = π − arctg(ξ) . (10.46) , (10.45) (10.43) (10.46), . 10.12. - 182 K(ω) - Kmax . , ωp 0 ϕ(ω) 3π/2 - π ( - ω ). π π/2 ) ωp 0 ( - ξ - ω . 10.12 [1]: ξ ≈ (ω − ωp )τ , (ω − ωp ) — (10.47) ; τ — , - [3]: τ = 2Q ∆ω — ωp = 2 ∆ω , (10.48) . 10.6. 10.6.1. , . 10.13, , , L = 1 ⋅10−3 . ; R = 10 . L R R u (t) . 10.13 u (t) : 183 10.6.2. [3], : K ( jω) = R . 2 R + j ωL (10.49) , - (10.49): K (ω) = R ; (10.50) ϕ(ω) = −arctg( ωL 2 R ) . (10.51) 4 R 2 + ( ωL ) 2 , - (10.50), (10.51), . 10.14. , , (10.49) ωc = 2 R L = 2 ⋅104 /c. K(ω) 0,5 0,35 0 ϕ(ω) 0 ωc 4⋅104 8⋅104 ω, /c 4⋅104 8⋅104 ω, /c −π/2 . 10.14 , jω p: (10.49) 184 K (p) = R R L = . 2 R + pL p + 2 R L (10.52) , (10.16) (10.19) ( −1  R L  R − h (t ) = L  = L e + p 2 R L   −1  . 2R t L 1(t ) ): (10.53) ; − t  1 R L = (1 − e L )1(t ) . g (t ) = L    p( p + 2 R L)  2 2R (10.54) , (10.53) (10.54) , . 10.15. h(t) 10 4 0 g(t) 0,5 0,1 0,2 t, 0 0,1 0,2 t, . 10.15 , - , . τ = ( L 2 R ) = 0,05 , 3τ , , . . - 185 11. , , - . s (t ) ( s 11.1). - (t ) , . s s (t) (t) = ? . 11.1 11.1. (10.2). , - [3, 4]: s (t ) = s (t ) + s (t ) , s (t ) — (11.1) , ; s , . t →∞. (t ) — - 186 . , (10.2) d n s (t ) d n −1s (t ) a0 + a1 + ... + a n s dt n dt n −1 : (t ) = 0 . (11.2) p (11.2) , - : a0 p n + a1p n −1 + ... + an −1p + an = 0 . (11.3) (11.3) n . , (11.2) [4]: n s (t ) = ∑ A e p t , (11.4) =1 (11.3); Ai — p — - . Ai , . , (11.4), - . . 1) i- si(t) Ai p i = −α i , (11.4) αi > 0 . 0 t . 11.2 187 si (t ) = Ai e − αi t ( . 11.2). - . 2) - (−α i ± jωi ) . (11.4) A∗i e ( −α i − jωi ) t . [4]: Ai e( − αi + jωi )t Ai = Ai e jϕi — . , si (t ) = 2 Ai e −α i t cos(ωi t + ϕi ) ωi , ( , si (t) , . 11.3). 0 . t - . 11.3 n > 2, , (11.3). , , , . 11.2. K ( jω) . , . . . . . 1) 188 s (t ) : S ( jω) = ∞ ∫s (t ) e − jω t (11.5) dt . −∞ 2) , (10.8) ( jω) = S ( jω) K ( jω) . S (11.6) 3) S s , (t ) = ( jω) . (11.6) 1 +∞ jω t S ( jω) K ( jω)e dω . ∫ 2 π −∞ (11.7) (11.7) , - K ( jω) . 11.3. K (p ) . . . 1) s (t ) : S ( p) = L[ s (t )] , (11.8) - , 2) (11.6) ( . ). , - 189 ( p ) = S ( p) K ( p) . S (11.9) 3) ( S (p) . ) (11.9) σ + j∞ s 1 (t ) = S ( p) K (p)e pt dp , ∫ 2π j σ− j∞ , (11.10) 5.4. 11.4. . - , . , : δ- ( ), ( ). δ- - , — , - , , , , - . [3]: t s (t ) = ∫ s ( x)h(t − x)dx . (11.11) 0 [3]: t s d s ( x) g (t − x)dx . dx 0 (t ) = s (0) g (t ) + ∫ (11.12) 190 11.5. ( ) , - . - . . , , , . , [3]. 8, ( θ0= 0) a (t ) = A(t ) cos[ω0t + θ(t ) ] . (11.13) — , A(t ) , θ(t ) — - . , A (t ) = A(t )e jθ(t ) . (11.14) (11.13) • , . , ( ). 191 :  •  a (t ) = Re  A (t )e jω0t  = A(t ) cos[ω0t + θ(t )] .   (11.15) , . ( ). . [1] , : Ω = ω − ωp . - ω K ( jω) - . - . , , . 10.5.2, K ( jΩ ) ≈ − (11.16) K max 1 + jΩτ (10.35), . - (11.16) , , : τ 0 = RC0 = τ ; K 0 = K max . 192 11.6. 11.6.1. , . , . , . . - , , : • — - , ( ); • — ( ). 11.6.2. , - . . s (t ) , ω1 ω2 . , , . , s K1 — (t ) = K1s (t − t1 ) , ; t1 — (11.17) 193 . S ( jω) = K1 S ( jω)e − jω t1 . (11.18) (11.18)  S ( jω) − jω t1 if  S ( jω) = K1e K ( jω) =    0 if ω1 < ω < ω2 ; (11.19) ω < ω1 , ω > ω2 . (11.19), :  K , if K (ω) =  1 0, if − ω t1 , ϕ(ω) =   K(ω) K1 ω 0 ω = ω2 (11.21) , , - . ω K(ω) K1 (11.21) if ω < ω1; ω > ω2 . (11.20) ω (11.20) ω < ω1; ω > ω2 ; if ω1 < ω < ω2 ; ) 0 ϕ(ω) ω1 < ω < ω2 ; , b) ∆ω 0 ϕ(ω) ω1 0 ω1 - . ω2 ω . , ω2 . 11.4 ω , . 11.4, . 194 ω1 = 0 , , ( ωc — ω = ω2 — ). , . - , ∆ω = ω 2 − ω1 , — ∆ω — - , ( . 11.4,b). , - . 11.6.3. , (11.19) ω 1 − jω t jω t h(t ) = K1e 1 e dω . ∫ 2 π −ω (11.22) (11.22), h (t ) = 2 K1 f m sin[2π f (t − t1 )] . 2π f (t − t1 ) - (11.23) h(t) , (11.23), . 11.5. , t <0 h(t ) 0 t1 , - t . 11.5 ( . . 9.2.4). . - 195 . . , . 11.7. x(t ) c ( . 11.6). : Wx (ω) ( Bx (τ) ); p (x ) . y(t) x(t) . 11.6 y (t ) . W (ω) ; : - B y (τ) ; p( y) . 11.7.1. . 1) , . . - 196 , . W y (ω) = Wx (ω) K 2 ( ω) , K (ω) — (11.24) . , - my = 0 , , 1 ∞ B y ( τ) == Wx (ω) K 2 (ω)e jωτ dω . ∫ 2π − ∞ - (11.25) , . 2) , . . , . - . ( . , - (11.24)) , B y ( τ) = ∞ ∫ Bx (τ) Bh (τ − t )dt , (11.26) −∞ Bh (τ) — . , 197 W y (ω) == ∞ ∫ By (τ)e − jωτ dτ . (11.27) −∞ 11.7.2. , p( ) , - p( y ) [10]. , - . , ( - my = 0 ) ( ) 1 exp − y 2 2σ 2y . 2π σ y p( y) = p( y) (11.28) (11.28) , σ 2y = B y (0) = (11.25): 1∞ Wx (ω) K 2 (ω)dω . ∫ π0 (11.29) . , [1], , , - , . . 198 11.8. 11.8.1. ( . 11.7) W0 . . , . : R = 100 ; = 0,1 ⋅ 10−6 C ; W0 = 10−7 2 . R C R . 11.6 11.8.2. (11.24). (13.27), - W0 (ωRC ) . Wy (ω) = 9(ωRC )2 + [(ωRC ) 2 − 1)]2 2 (11.30) , (11.30) , . 11.7. , . (13.29): 199 ω0 = 1 1 = = 105 /c . −6 RC 100 ⋅ 0,1 ⋅ 10 , - - (9.29): W0 ∞ ωRC )2 ( B y (τ) = cos(ωτ )dω . π ∫0 9(ωRC ) 2 + [(ωRC ) 2 − 1)]2 Wy(ω)×108 , (11.31) 2 1 0,5 −106 0 ω0 −5⋅105 5⋅105 106 ω, /c . 11.7 (11.31). , . . ( . 11.7) , ωm = 107 /c. , ( ). - . 11.8. , (9.13): D y = B y (0) ≈ 0,00164 2 . σ y = D y ≈ 0,040 (9.14) . 200 τ 1 ∞ = R y ( τ ) dτ . B (0) −∫∞ By(τ), (11.32) 2 y(0) 0,001 −1⋅10 −4 −0,5⋅10−4 0,5⋅10−4 0 1⋅10− 4 τ, . 11.8 (11.32). ( . 11.8) - (−10−4…10−4), , . τ = 1,11 ⋅ 10 −5 . : 201 12. 12.1. ( 12.1, ) , . - . 10.2. u (t ) u (t ) = E ⋅1(t ) − E ⋅1(t − t ) , E — (12.1) ;t — . - . [4]: U (p) = E (11.9) U ( p) = E 1 1 − E exp(− pt ) . p p (12.2) (10.20) - 1τ 1τ −E exp(− pt ) . p ( p + 1 τ) p ( p + 1 τ) ( (12.3) ), ( . ): 202 u    t   t − t  (t ) = E 1 − exp −  1(t ) − E 1 − exp −  1(t − t ). τ   τ     (12.4) , τ (12.4), . 12.1,b 12.1,c. 0≤t ≤t ( t >t — ), ( ). τ (τ >> t ) 0≤t ≤t , ( . 12.1,b). - (10.25) τ >> t . (12.5) u (t) a) u 0 (t) t t 0 (t) t t 0 t t b) u c) . 12.1 203 (τ << t ) - , , ( . 12.1,c). 12.2. ( 12.1, ) . , . 10.4. (11.9) (10.26) (12.2) (p ) = E U 1 1 −E exp(− pt ) . (p + 1 τ) ( p + 1 τ) ( ), ( u (12.6) . ):   t    t − t  (t ) = E exp −  1(t ) − E  exp −  1(t − t ). τ      τ   (12.7) , τ (12.7), . 12.2,b 12.2,c. t =0 0<t <t E. ( ). t =t −E ( t >t ). , ( - ). τ (τ << t ) - 204 , ( . 12.2,b). (10.30) τ << t . (12.8) u (t) E a) u t 0 (t) t E b) t 0 t óE u (t) E c) t 0 t . 12.2 (τ >> t ) - , , ( . 12.2,c). 12.3. , 10.4.3 . 10.6. , - 205 . K0 ) ( ( ). , - , - . u (12.4)   t  t −t  (t ) = − EK 0 1 − exp( − )  1(t ) + EK 0 1 − exp( − ) 1(t − t ). τ0  τ0    . 12.3. , (12.9) . u (t) t 0 t óEK0 . 12.3 C0 . - . , , ( - ). 12.4. , . 10.10. (8.9) θ0 = ν = 0 , - 206 a (t ) = A0 [1 + M cos(Ω t )]cos(ω0t ) . (12.10) (8.14) ( , ) ω0 , ω = ω0 + Ω, ω = ω0 − Ω a (t ) = A 0 cos(ω0t ) + A0M 2 : cos[(ω0 + Ω ) t ] + A0M 2 cos[(ω0 − Ω )t ] . (12.11) - , , , , a a1 - (t ) = a1 (t ) + a2 (t ) + a3 (t ) — (t ) , (12.12) ; a2 ; a3 (t ) — (t ) — - . , : ω = ω0 . 12.4. . , . (10.45) a1 (10.46) : (t ) = A0 K max cos( ω0 t + π) = − A0 K max cos( ω 0t ) ; a2 (t ) = a3 (t ) = − A0 M K max 2 1+ ξ 2 − A0 M K max 2 1 + ξ2 (12.13) cos[(ω0 + Ω)t + ϕ ] ; (12.14) cos[(ω0 − Ω)t + ϕ ] . (12.15) 207 ξ ,ξ ,ϕ ,ϕ , — π . K(ω) Kmax ωp 0 ϕ(ω) 3π/2 π π/2 ω ϕ ϕ ωp 0 (ω) ω 0 A0 M A0 M 2 2 ω ω0 + Ω ω0 ω0 − Ω 0 . 12.4 c (10.47) : ϕ ≈ −ϕ = ϕ ≈ arctg(Ωτ ξ ≈ −ξ ≈ Ω τ ; , a M (12.13)…(12.15) (12.12), (t ) = − A0 K max [1 + M cos(Ω t − ϕ)]cos(ω0t ) , (12.16) — , M M ≅ 1+ Ω τ 2 2 , — - (12.17) . : , (12.16); — ). 208 , Ω, , , (12.17); — ϕ. , , , - . . , . , - - . ω ≠ ω0 . , - . 12.4. ϕ0 π. Ω C2 ϕ B - , A0 , - ϕ0 A(t) F ϕ C1 Ω θ(t) O ω0 . 12.5 ϕ ,ϕ . - ω > ω0 . , . 12.5. A(t ) , θ(t ) OF. , - . , . - , . 209 12.5. . (ν = 0) ω (t ) = ω0 + ∆ω(t ) = ω0 + ωd cos(Ω t ) . (12.18) (8.35) θ0 = 0 , a (t ) = A0 cos[ω0 t + m sin( Ω t ) ] . (12.19) ω = ω0. , , - . , - . (10.45) [1]. (10.46): A (t ) = A0 K [ω(t )] = A0 Kmax 1 + ξ2 (t) ; (12.20) (t ) = ψ (t ) + ϕ[ω (t )] = ω0t + m sin Ω t + π − arctg[ξ(t ) ] . ψ (10.47) A ψ (t ) = (12.18), A0 Kmax (12.20), (12.21) = (12.21) : A0 Kmax ; (12.22) (t ) = ω0t + m sin Ω t + π − arctg[ωd τ k cos(Ωt )] . (12.23) (12.23) 1 + [∆ω(t )τk ]2 ω2 τ2 1 + d k [1 + cos(2Ω t )] 2 : 210 ω (t ) = (12.22) d[ψ (t )] dt = ω (t ) − d[arctg(ωd τk cos Ω t )] . dt (12.24) , , - . . (12.24) , , - . - . . , , . 12.6. — , - ( ). - , , . . - . , , : , - . 12.6.1. - ( . 12.6, ) . 211 a (t ) = A0 cos(ω0t )1(t ) . (12.25) , . A (t ) ( θ(t ) = 0 , . 12.6,b). (10.14) • A (t ) = A (t )e jθ(t ) = A (t ) = A01(t ) . (12.26) . 12.3. • A (12.9) (t ) = − A0 K max [1 − exp( − t τk )]1(t ) . - (12.27) . 12.6, .  • (t ) = Re  A  a  (t )e jω0t  = − A0 K max[1 − exp(− t τk )]cos(ω0t )1(t ) . (12.28)  , (12.28), . 12.6,d. , . , , , . ( ) A = A0 K max . , 90% . (12.27) - 212 1 − exp(− t τ ) = 0,9 , t — (12.29) . t , (12.29) (t) t = τ ln 10 ≈ 2,3τ . A0 (12.30) 0 t b) A (t) A0 , - ) . 0 A (t) A0Kmax c) 0 (t) A0Kmax d) t , . ( ω ≠ ω0 ) t A - 0 t −A0Kmax . 12.6 ω − ω0 = ∆Ω [1]. - A = A0 K max 1 + (∆Ωτ )2 (12.31) . 12.6.2. ( . 12.7, ) . ( ω = ω0 ) . . - , (12.9), : - 213 a A 0,  (t ) = − A0 K max [1 − exp( − t τk )] cos(ω0t ), − A (t ) exp[(t − t ) τ ] cos(ω t ), k 0  if t < 0 ; if 0 ≤ t ≤ t ; (12.32) if t > t , (t ) — t=t , A (t ) = A0 K max [1 − exp(− t τk )] . (12.33) . 12.7,b. , , - ( ) (t) ( ) . 0 ) t 0 - t (t) τ , 0Kmax (t ) b) 0 . t . . 12.7 c , (12.30), - , . , . , ( ) . - , , . 214 ( ω ≠ ω0 ) - 0≤t ≤t [1]. t>t . , . 12.6.3. , , π. . 12.8, . - . a (t ) = a1 (t ) + a 2 (t ) , a1 (t ) a 2 (t ) (12.34) : − A0 sin( ω0t ), a1 (t ) =  0, 0, a 2 (t ) =   A0 sin( ω0 t ), if t≤0; if t >0; if t≤0; if t>0. (12.35) (12.36) ( ω = ω0 ) - : a1  A0 K max sin( ω0t ),  (t ) =   A K exp(− t τ ) sin( ω t ), 0  0 max if t≤0; (12.37) if t>0; 215 if 0,  (t ) =  − A K [1 − exp( − t τ )] sin( ω t ), if 0  0 max a2 a (12.37) (t ) = a1 (t ) + a2 (12.38) t >0. (t ) . (12.39) (12.38) (12.39), if  A0 K max sin( ω0t ),  (t ) =   A K [ 2 exp( − t τ ) − 1)] sin( ω t ), if 0  0 max a t ≤0; t ≤ 0; (12.40) t>0. , (12.40), . 12.8,b. - , ∆θ = π - , - t0. , - , - t0 . , . (t) a) A0 (12.40), 2 exp( − t 0 τ ) − 1 = 0 , (12.41) t0 , 0 t (t) b) A0Kmax : 0 t0 t0 ≈ 0,69τ . t (12.42) . 12.8 , τ , , . , [1]. , 216 12.6.4. ( 12.9, ) . t=0 . ω1 - ω2 = ω1 + 2 ∆ω ( . . 12.9,b). : ω = ω1 + ∆ω = ω2 − ∆ω . (t) a) , . 0 0 b) ω1 c) [1]. t . ω (t) ω2 ∆ω ∆ω , . b = ∆ωτ . ωp 0 (t) ω - t b ≤ 1, ω2 ω1 - b>1( b=4 b=2 b = 0,5 0 . . 12.9, ). b , t . 12.9 - , , . . , - , A = A0 K max 1 + (∆ωτ ) 2 = A0 K max 1+ b2 , . (12.43) - 217 , ( ( b > 1) b ≤ 1) - . b. : ∆ω , τ ). ( , - . 12.7. 12.7.1. , - , M = 0,5 ; : F =1 M f0 = 1 . : f p = f0 . - . = 0, 4 . - = 465 (f ), . 12.7.2. (12.17) τ = 1 2πF M 1  0,5  −1 =   − 1 = 1,194 ⋅ 10 − 4 c . 3 M 2π ⋅10  0,4  (9.48), (12.44) (12.44): Q = ωp τ (9.42), 2 2π ⋅10 6 ⋅ 1,194 ⋅ 10 −4 = = 80,72 . 2 (12.45), (12.45) - 218 ξ =Q (f f −f f ) = 80,75(0,465 1 − 1 0,465) = −136,057 . (12.46) (10.45), ( K max - ): K( f ) K max = 1 1+ ξ 2 = 1 1 + (−136,057 ) 2 = 0,735 ⋅ 10 −2 . (12.47) , 136 , . , . - (12.47)  K( f )  = 20 lg( 0,735 ⋅ 10− 2 ) = −42,68 20 lg   K max  - . 219 . 13. 13.1. , . , - , [9]. q x1 x2 . . x1 x2 , , ( ). . , . - , ( ). - . Θ q x1 , x1 x2 β . 13.1 x2 . 13.1 µ x2 . : Θ — x1 ; µ — x2 ; β — x1 . . , - . , x1 220 x2 . x1 x2 , , - : 1) , : µ≠0 β = 0. : β≠0 µ = 0. 2) , , . . : , . , . 13.1,  x1 = Θ 0 q + β x2 ;   x2 = µ x1 , (13.1) Θ0 — . (13.1) x1 - , x2 (1 − βµ ) = qΘ 0µ . (13.2) (13.2) , q x2 F= Θµ x2 = 0 . q 1 − βµ (13.3) 221 , - . , . ( ) . , - , - , . ( µ . ) - β, - ( ) F0 µ 0 = (1 − βµ) , F µ - (13.4) µ0 — F0 µ (β = 0). µ β : , . , ( , , ). 13.2. c , , , . , , , . . - 222 , , , . : K ( jω) — 13.2. . U . ; K oc ( jω) — . U - • • Koc(jω) • K ( jω) = U U . U K (jω) . 13.2 . • - , (13.5) — . • U oc • • U oc = U K oc ( jω) . • U - , , - : • U • U • =U = • + U oc = • • +U •  K ( j ω) =  + U  (13.7) (13.5), • K oc ( jω) .  K oc ( jω) K ( jω) .  • U (13.6) (13.7) 223 K ( jω) = K ( jω) 1 − K ( jω) K oc ( jω) . (13.8) (13.8) . . , (13.3), : F = K ( jω); Θ 0 = 1; µ = K ( jω); β = K oc ( jω) . (13.8) , , . ( ) , - . , - . , . , . K ( jω) K oc ( jω) - , - (13.8) , . (13.8) jω p, K (p) = K ( p) 1 − K (p) K oc (p) . (13.9) 13.3. . , - 224 . , . , . (13.9) , ( ), - . , - , ( , - , .) . , . , , , . . . 13.4. (10.3) , ( f (t) = 0) - d n x(t ) d n −1 x (t ) dx ( t ) a0 + a1 + ... + an −1 + an x (t ) = 0 , n n −1 dt dt dt x(t ) — ( ); n — ; a0 , a1 , ..., an — , . , (13.10) - , . (13.10) [4]: n x (t ) = ∑ Ai exp(p i t ) , i =1 (13.11) 225 Ai — , ; pi — - , a0 p n + a1p n −1 + ... + an −1p + an = 0 . (13.11) (13.12) , - pi , , - . : - , p. 13.5. ( . 10.3), (13.12) . . : , p. , - . . 13.6. ( ) n . , . - - 226 ai (13.9) - . [1, 2], , : 1) 0… n; (n ó 1)- 2) Dn −1 = Dn-1, 1 0 0 0 ... 0 0 3 2 1 0 ... 0 0 5 4 3 2 ... 0 0 ; ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 n −1 0 n (13.13) . 3) 13.7. (13.12) ( ) - . D(p) = a0 p n + a1p n−1 + ...+ an −1p + an . (13.14) jω . (13.14) jω , D( jω) ϕ(ω) : D ( jω) = a0 ( jω) n + a1 ( jω) n −1 + ... + an −1 ( jω) + an = D ( jω) e jϕ( ω) . (13.15) ϕ(ω) , +∞ . - , (13.15) αi . - 227 D ( jω) = a0 ( jω − α1 )( jω − α 2 ) ... ( jω − α n ) . (13.16)  ω   . ϕ(ω) = ∑ arctg i =1  − αi  (13.17) n , , , αi < 0 . , +∞ π2 ( - (13.17) + π 2 ). ∆ (ϕ) = ϕ(∞ ) − ϕ(0) = n π . 2 (13.18) , . m +∞ (13.17) π2 ( π - − π 2 ). π  π ∆ (ϕ) = ϕ(∞) − ϕ(0) = (n − m) + m − 2  2 π   = ( n − 2m ) . 2  (13.19) , , - n. . : , +∞ n π 2, . , n b - 228 ϕ(ω) +∞. - . n 13.8. , K(p). 13.5, , (13.9) K (p) K oc (p) = 1 . . (13.20) K (p) K oc (p) ( . , . 13.3). K (p) K oc (p) = H (p) . (13.21) , . (13.20) , , . K (p) . U H ( p) . U Koc(p) - p, . 13.3 - . H. p H, H = u + jv . (13.22) 229 p ω 0 ω , p=σ+j ( . 13.4). H. σ R→∞ - σ = 0 ( p = jω ), , H (p) - . 13.4 H ( jω) , (13.21) H ( jω) = K (ω) K (ω)e (13.22) j[ ϕ ( ω) + ϕ oc ( ω )] . (13.23) : u (ω) = K (ω) K (ω) cos[ϕ (ω) + ϕ (ω)] ; (13.24) v(ω) = K (ω) K (ω) sin [ϕ (ω) + ϕ (ω)] . K (ω) K (ω) = H (ω) ϕ (ω) + ϕ (ω) = ϕ(ω) — . u (ω) , (13.23) (13.24) , (13.24) v(ω) — . jω , p, H . , , , , - , . - . . 13.5. ( . 13.5 ω1). M 0M, . - 230 (13.23) H(ω1), - v H = u + jv ω=0 ω=∞ ϕ(ω1). ϕ(ω1) 0 H(ω1) −∞ +∞. u . 13.5 u (ω) v(ω) . R →∞, p →∞. , H ( p) . - (9.11) Pm ( p) b = lim 0 p m −n . p →∞ Q ( p ) p →∞ a n 0 lim H (p) = lim p →∞ (13.25) : m < n. (13.25) , - p , - H. , p , — . : , - (1; 0). , - (1; 0). , 1 u , +∞ ( . . 13.6). - 231 , . v a) v 0 1 b) u 0 1 u . 13.6 . 13.6, , 13.6,b — . . 13.9. , - . . 13.7. - K ( jω) = K = const . : ϕ (ω) = 0 . , : K ( jω) = ωRC . 3ωRC + j[(ωRC ) 2 − 1] (13.26) (13.26) : K (ω) = ωRC 9(ωRC ) 2 + [(ωRC ) 2 − 1]2  (ωRC ) 2 − 1 ϕoc (ω) = −arctg  .  3ωRC  ; (13.27) (13.28) 232 , (13.28), (13.27) . 13.8. , - — . (13.28) ω0 , , , - : ω0 = 1 RC . (13.29) , (13.27). (13.29) K (ω0) = 1/3. - R + + . (13.27) H ( jω) = K K ( jω) . - (13.28) - . 13.9 C C K R − . 13.7 K . ω ω = ∞, =0 . - K (ω) 1/3 ω = ω0, ϕ(ω0) = ϕ (ω0) = 0. 0 - ϕ (ω) K (ω0) = 1 3 K . ( ) ω π/2 - 0 ω0 óπ/2 , (1, 0) ω0 . 13.8 : K 3 < 1. ω K , K <3 . (13.30) 233 . 13.9 , (13.30) . v ω = 0; ∞ K /3 M 0 u (1, 0) . 13.9 (13.30) , K , . 13.9 - (1, 0), - . . 13.10. 13.10.1. K 0 = 10 ( . . 13.10), - τ ). - ( , . τ + + u (t) K0 − . 13.10 u (t) - 234 13.10.2. , - (13.9) K ( p) = K K0 , 1 − K 0 K e − pτ (13.31) — . , (13.31) - , e − pτ = 1 K0K . (13.32) p p - 1 2π = ln( K 0 K ) + j k , τ τ k = 0, ± 1, ± 2, ... — (13.33) . , . , ω p, (13.33) . : K < 1 . K0 (13.34) 2 4π/τ 1 2π/τ 0 0 −1 −2π/τ −2 −4π/τ . 13.11 , (13.34) : K < 0,1 . . 13.11 . σ 235 14. 14.1. , . . , . - , . , , , . , , — . - . - i(t) I0 ( ) - ( , ( 0 ). , . 14.1 t , - ), . , - 236 ( - , ( , ). , . .) I0 , . - . 14.1. . . , - , , , . , , . . 14.2. , - , - , - . - .  (i − I 0 ) 2  1 , exp  − p (i ) = 2σ i2  2π σ i  I0 — (14.1) ( — ; σi ) . , , ie (t ) ( . 14.2). , 237 - ie(t) τe ≅ (10−9...10 −11 ) . , . τe 0 - t . 14.2 Ie ( j f ) . 14.3. |Ie ( j f )| e −1/τe 0 1/τe f . 14.3 , ∆f ≈ 1 τ e . ∆f = 109...1011 . , f =0 . ∞ Ie ( j f ) e — f =0 = ∫ ie (t )dt = e , (14.2) −∞ . k - . I 0 = ke . (14.3) , - : 1= ∞ ∫ Ie ( j f ) −∞ 2 df . (14.4) 238 (14.4) ∞ 2 1 = I0 + ∫ k Ie ( j f ) d f , M [i 2 ] = I 02 + k 2 (14.5) −∞ I 02 — . (14.5) , 2 Wi ≈ ( f ) = k I e ( j f ) . k (14.3) (14.6) (14.6), Wi ≈ ( f ) = I0 2 Ie ( j f ) . e (14.7) - . 14.4. f =0 Wi ( f ) (14.2) : Wi ≈ (0) = eI 0 . eI0 , −1/τe ( 0 . 14.4 ) 1/τe f , Wi ( f ) ≅ eI 0 = const . (14.8) , . , - . Wu ( f ) ≅ 2kTR = const , (14.9) 239 R — ; k = 1,38 ⋅ 10 −23 , / — ;T — . - . 14.3. ( . 10.6), . , VT , ( ) - . , (11.24). - , Z : Wu (ω) = Wi (ω) Z (14.8) 2 . (14.10) (10.33), Wu (ω) = eI 0 R2 . 1 + ω2 R 2C02 (14.11) (14.11), , . 14.5. , (14.11) Wu(ω) - eI0R2 ( 0,5 ) , −ωc ωc = 1 τ 0 = 1 RC 0 . ωc 0 ω . 14.5 , - . (9.29), - 240 ∞ eI0 R 2 eI R cos(ωτ) Bu (τ) = dω = 0 exp(− τ RC0 ) . ∫ 2 2 2 π 0 1 + ω R C0 2 0 (14.12) . 14.6. - Ru(τ) . 1,0 - , . 1/e −RC0 0 : τ τ RC0 = 2 RC0 = 2τ 0 . , - . 14.6 ( ), - . : (14.14) Du = Bu (0) = eI 0 R ; 2C0 (14.13) σ u = Du = eI 0 R . 2C0 (14.14) , I0 . . R, 0, , , — . 14.4. ( . , . . 10.10), - 241 , (14.10). - (10.41) Wu (ω) = eI 0 R02 . 1 + ξ2 (14.15) (10.47), R02 . Wu (ω) = eI 0 1 + (ω − ω p ) 2 τ 2 (14.16) (14.16), , . 14.7. (14.16) , ( - 0,5 ) : ∆ω = 2 τ k . Wu(ω) eI 0 R02 −ωp ∆ω ωp 0 ω . 14.7 , - . - (9.29), eI0R02 ∞ cos(ωτ) eI R Bu (τ) = dω = 0 0 exp (− τ τ )cos(ωpτ) . ∫ 2 2 π 0 1 + (ω − ωp ) τ 2 (14.17) . 14.8. Du = Bu (0) = eI 0 R0 ; 2C (14.18) σu = Du = eI 0 R0 . 2C (14.19) 242 (14.19) , , Ru(τ) 1 I0 . τ R0 , , - . 14.8 . 14.5. 14.5.1. - , / - . : - R = 75 ∆f = 9 ; K max = 2 ⋅ 106 ; ; T = 2930 K ; - = 5. - 14.5.2. (11.24). (14.9) , - , (10.39), : 2 2kTRK max if ωp − ∆ω 2 < ω < ωp + ∆ω 2 ;  Wy (ω) = Wx (ω) K 2 (ω) =   if ω > ωp + ∆ω 2; ω < ωp − ∆ω 2. 0 (13.26), (14.20). , (14.20) - 243 , ω +∆ω 2 2 2 p 2kTRKmax 2kTRKmax 1∞ 2 Dy = ∫Wy (ω)dω = dω = ∆ω = 4kTRKmax ∆f . (14.21) ∫ π0 π π ωp −∆ω 2 (14.21) , , - - . σ y = D y = 2 K max kTR∆f = 2 ⋅10 6 1,38 ⋅10 − 23 ⋅ 293 ⋅ 75 ⋅ 9 ⋅103 ≈ 0,010 . , σy = σy K max = 2 kTR∆f = 0,010 = 0,1 ⋅10 − 6 5 10 = 0,1 . , - U = σy ⋅( ) = 0,5 . . 2 4 F(p) f (t) 1 δ(t) 1p 1(t) 1p 2 1 pn ( n = 1, 2, ...) 1 p t⋅1(t) t n −1 ⋅1(t ) ( n − 1)! 1 πt 1 p+a e − at ⋅1(t) p p+a δ(t) − a e − at ⋅1(t) 1 p(p + a ) 1 (1 − e − at ) ⋅ 1(t ) a 1 ( p + a )( p + b) 1 ( e − at − e − bt ) ⋅ 1(t ) b−a p (p + a )(p + b) 1 (ae − at − be − bt ) ⋅ 1(t ) a−b 2 5 p2 (p + a )(p + b) δ(t ) + 1 (a 2e − at − b 2e − bt ) ⋅ 1(t ) b−a 1 (p + a) 2 te − at ⋅1(t) 1 (p + a) n ( n = 1, 2, ...) 1 t n −1e − at ⋅1(t) ( n − 1)! p (p + a ) 2 (1 − at )e − at ⋅1(t ) 1 p + ω2 1 sin( ωt ) ⋅ 1(t ) ω p p + ω2 cos(ωt ) ⋅ 1(t ) 1 (p + a ) 2 + ω2 1 − at e sin( ωt ) ⋅1(t ) ω 2 2 p ( p + a ) 2 + ω2 e − at [cos(ωt ) − a sin( ωt )] ⋅ 1(t ) ω p+a (p + a ) 2 + ω2 e − at cos(ωt ) ⋅1(t ) 1 p − a2 1 sh (at ) ⋅ 1(t ) a p p2 − a 2 ch ( at ) ⋅1(t ) 1 p( p + a )(p + b) 1 1 [1 + (be − at − ae −bt )] ⋅1(t ) ab a −b 1 p 2 (p + a) 1 [at − (1 − e − at )] ⋅1(t ) 2 a 1 p(p + a ) 2 1 [1 − (1 + at )e − at ] ⋅1(t ) 2 a 2 2 6 1 p[(p + a ) 2 + ω2 ] 1 a {1 − e − at [cos(ωt ) + sin( ωt )]}⋅ 1(t ) 2 ω a +ω 1 (p + a )(p 2 + ω2 ] 1 a [e −at − cos(ωt ) + sin( ωt )] ⋅1(t ) 2 ω a +ω p (p + a )(p 2 + ω2 ] 1 [ − ae − at + a cos(ωt ) + ω sin( ωt )] ⋅1(t ) 2 a +ω p2 (p + a )( p 2 + ω2 ] 1 [ a 2 e − at − aω sin( ωt ) + ω2 cos(ωt )] ⋅ 1(t ) 2 a +ω 2 2 2 2 2 7 1. . . .— .: / . . - , 2006. — 720 . 2. . . .: / . . . — , 2005. — 464 . 3. . . / . . . — .: . ., 1985. — 496 . 4. / . , . .— 5. .: , 1974. — 832 . . . [ . : ]: . . .« 2012. — 432 . : »/ , . . . .— . .: . - — , / . . - .— .: : . : 6. , - . . , . . . , .; . . . , 1982. — 528 . 7. . / . . .— 8. .: . . . .; . . . . . . / . . . — ., 1987. — 207 . . . // . , 1989. — 248 . . 9. 10. , . . : .: , . . : . . . . , 1982. — 624 . / . . . — 1997. — - 9. — .3 — 11. / . . . — .: 2 8 - . . , . . . . ____ “___” __________ 2018 . - ____ .

СПРЭ лекции

Разделы

Поддержка

СПРЭ лекции

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib