Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов

Л.Такач
КОМБИНАТОРНЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В книге излагаются комбинаторные методы решения обширного класса задач
теории случайных процессов. Методы эти отличаются изяществом и простотой, а
решаемые задачи имеют многочисленные приложения в теории очередей, теории
запасов, в процессах страхования и в непараметрической статистике. Автор
начинает с рассмотрения классических задач и постепенно переходит к
постановке более сложных современных проблем.
Книга предназначена в первую очередь для специалистов по теории
вероятностей и ее применениям, но она, несомненно, заинтересует и читателей
других специальностей, так как комбинаторные методы в настоящее время
широко используются не только в теории вероятностей, но и в ряде прикладных
инженерных и биологических дисциплин. Она доступна аспирантам и студентам
старших курсов университетов и пединститутов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода
5
Предисловие
6
Глава 1. Теорема о баллотировке
7
§ 1. Введение (7).
§ 2. Обобщение классической теоремы о баллотировке (8).
§ 3. Задачи (13).
Глава 2. Флуктуации сумм случайных величин
16
§ 4. Циклически переставляемые случайные величины (16).
§ 5. Переставляемые случайные величины и независимые одинаково
распределенные случайные величины (17).
§ 6. Распределение максимума последовательности {Nr-r} (20).
§ 7. Дискретное обобщение классической теоремы о разорении (25).
§ 8. Распределение максимума последовательности {r- Nr}(31).
§ 9, Распределение максимума для двойственных последовательностей
(34).
§ 10. Примеры (35).
§ 11. Другие методы (38).
§ 12. Задачи (42).
Глава 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
45
§ 13. Случайные процессы с циклически переставляемыми
приращениями (45).
§ 14. Случайные процессы с переставляемыми приращениями и
случайные процессы со стационарными независимыми приращениями
(46).
§ 15. Распределение верхней Грани значений процесса {χ(u)-u} (52).
§ 16. Континуальное обобщение классической теоремы о разорении (58).
§ 17. Распределение верхней грани значений процесса {u-χ(u } (64).
§ 18. Распределения верхних граней значений двойственных процессов
(67).
§ 19. Примеры (68).
§ 20. Задачи (78).
Глава 4. Случайные блуждания
§ 21. Случайные процессы с переставляемыми приращениями и
случайные процессы со стационарными независимыми приращениями,
принимающие целые значения (81).
§ 22. Процесс случайного блуждания (88). § 23. Броуновское движение
(90).
§ 24. Случайные процессы со стационарными независимыми
приращениями, не имеющие отрицательных скачков (93).
§ 25. Случайные процессы со стационарными независимыми
приращениями (99).
§ 26. Задачи (101).
Глава 5. Теория очередей
§ 27. Очереди к одному обслуживающему прибору (103).
§ 28. флуктуации длины очереди (108).
§ 29. Флуктуации времени ожидания (121).
§ 30. Задачи (136).
Глава 6. Процессы хранения и создания запасов
§ 31. Процессы хранения и создания запасов (141).
§ 32. флуктуации содержимого водохранилища бесконечной емкости"
(141).
§ 33. Флуктуации содержимого водохранилища конечной емкости (147).
§ 34. Задачи (155).
Глава 7. Процессы разорения
§ 35. Процессы разорения в страховом деле (158).
§ 36. Задачи (170).
Глава 8. Порядковые статистики
§ 37. Другое обобщение теоремы о баллотировке (173).
§ 38. Порядковые статистики (180).
§ 39 Дискретные распределения (182).
§ 40. Непрерывные распределения (185).
§ 41, Задачи (194).
Дополнение
Решения
Предметный указатель
81
103
141
158
173
199
221
261
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелевы теоремы для
Стильтьеса 215
преобразований Лапласа —
— — — производящих функций 213
— — применения 24, 29, 30, 33, 40,
57, 62, 63, 66
Абеля теорема 213
— тождество 79
Адамара—Лиувилля теорема 218
Асимптотические распределения
113, 117, 118, 126, 131, 162, 164,
169, 203, 204, 208
Баллотировка, задачи о 13, 14, 42, 194
— теоремы о 7
— — классические 8, 9
— — обобщенные 7, 10, 11, 176, 180
Бездействия время 106
— период 104, 106
Бернулли последовательность 35
Бесселя функция 72, 88, 163
Броуновского движения процесс 90,
207
— — — верхняя грань значений 92,
93
— — — время первого возвращения
92
— — — задачи 102
Бюрмана теорема 219
— — применения 242
Вероятностная мера 199
— функция распределения 199
Вероятностное пространство 199
Верхняя грань значений случайных
величин, математическое
ожидание 28
— — — — — распределение 18, 21,
24, 25, 32, 82, 87
— — — — процессов,
математическое ожидание 53,
63, 65, 67, 68, 83, 96
— — — — — распределение 45, 46,
49, 52, 54, 56, 58, 61, 64, 65, 82,
83, 84, 85, 95, 96, 97, 98, 99, 100
Винера процесс 207
Винера—Хопфа интегральное
уравнение 42, 219
— — метод 219
Виртуальное время ожидания 105
Время возвращения 30, 63
— ожидания 105, 121
— — максимум 128
— — распределение 123, 124, 129
— первого прохождения 10, 25, 32,
33, 58, 65, 66, 84. 90, 91, 96, 160
— — — задачи 42, 101, 102
— — — распределение 9, 33, 66, 85,
92, 97. 160, 162, 164
— — — среднее 33, 34, 66, 67, 86, 97,
98, 164
Выборка 180
— случайного объема 191
Выборочное пространство 199
Выборочные функции 45 .
Гамма-процесс 75
Двойственные последовательности
34, 107, 116, 144
— процессы 67, 107, 131, 145 Ди
Бруно формула 219
— — — применения 241, 242
Законы больших чисел сильные 203,
208, 211, 212
— — — слабые 203, 208
Занятости время 106
— — асимптотическое
распределение 113, 117, 126,
133
— — распределение 112, 116, 125,
133
— период 104, 106, 114, 117
— — начальный 113, 114, 118, 119,
122, 127, 133, 134
Игры азартные 9, 25, 42
— — задачи 13, 42
Инвариантности принцип Эрдёша —
Каца 260
Каца функция распределения L(x)
194, 263
Колмогорова теорема о согласовании
203
— — — — применения 207
— функция распределения K(х) 181,
259
Комбинаторные теоремы 7, 10, 173,
177
Лагранжа разложение 219
— — применения 20, 69, 229, 246
Лапласа —Стильтьеса
преобразование 200, 215
— — — применения 38, 39, 48, 50,
54, 57, 60, 61, 65, 67, 82, 86, 93,
98, 99, 125, 153, 232
— — — теоремы непрерывности 217,
244
Максимум случайных величин,
математическое ожидание 21,
30
— — — распределение 16, 20, 31, 38,
39
Марковские процессы 76, 125, 150,
162, 164
— цепи 112, 149
Математическое ожидание 200
— — условное 201
Миттаг-Леффлера функция 74
Начальный период занятости 113,
114, 118, 119, 127, 133, 134
Независимые приращения 35, 100,
206
— случайные величины 18, 202
— — — теоремы о 18, 21, 24, 25, 27,
28, 32, 203, 204
Непрерывности теоремы для
вероятностей 200
— — — преобразований Лапласа —
Стильтьеса 217
— — — производящих функций 217
— — — функций распределения 217
— — — характеристических
функций 218
— — применения 21, 47, 55, 111, 124
Нерешетчатые случайные величины
203
Нормальное распределение 90, 113,
117, 126, 132, 162, 164, 168, 203,
208
Обобщенный устойчивый процесс 74
Обратные процессы 108, 119, 134
Обслуживания время 108, 115, 119,
128, 134
— — полное 106
Оператор А 38, 41
— — применения 38, 100, 237, 238,
253
Отражения принцип 89, 222
Очереди длина 105, 108
— — распределение 110, 111, 120,
121
— — максимум 114
— образования, процессы: Q, Q*, Q'
105, 107, 108, 110, 116, 119
— — — W, W*, W' 106, 107, 108, 122,
131
— с единственным обслуживающим
прибором 104
Паскаля последовательность 35
Переставляемые приращения 46, 212
— случайные величины 17, 46, 210
— — — теоремы о 18, 20, 21, 31, 174,
178,210,211
Пойа последовательность 36
— процесс 76
— урновая модель 36, 44
Полная вероятность 201
Полное математическое ожидание
201
Полячека—Хинчина формула 119,
169
Порядковые статистики 180, 195
— — дискретные 182
— — непрерывные 185
Предельные распределения 21, 24,
32, 55, 56, 64, 84, 203, 204
— теоремы 18, 29, 47, 62
Примеры на верхнюю грань значений
случайных процессов 68, 72, 74,
76
— — максимум случайных величин
35, 36
Примеры на процессы образования
очереди 115, 119, 128, 131, 134
— — — разорения 162, 163, 164, 165
Продолжительность игры 9, 35, 36,
42
Производящая функция 200
— -—применения 17, 24, 26, 27, 28,
32, 39, 82, 86, 111, 112, 114
— — теорема непрерывности 217
Протокол избирательный 8
Процессы разорения в страховом
деле 158
Пуассоновская последовательность
36
Пуассоновский процесс 207
— — верхняя грань значений 71, 78,
79, 195
— — обобщенный 68
— — применения 68, 78, 79, 126, 129,
135, 152, 159, 165
Разорение, классическая теорема о 25
— — — — обобщение дискретное
25, 27
— — — — — непрерывное 58, 97
Разорения вероятность 9, 25, 42, 160
Рандомизация 24, 37, 76, 211
Рекуррентные свойства 29, 63, 153,
204
Решетчатые случайные величины 203
Руше теорема 219
— — применения 20, 228, 241
Сепарабельность 206
Сильный закон больших чисел для
случайных величин 203, 211
— — — — — — процессов 208, 212
— — — — применения 25, 57, 181,
233
Слабый закон больших чисел для
случайных величин 18, 203
— — — — — — процессов 47, 208
— — — — применения 18, 22, 47, 54,
111, 124, 126, 181
Случайные блуждания 87, 222, 234,
259
— — процессы 81
— — — верхняя грань значений 82,
83, 84, 88, 89, 90
— — — первое прохождение 84, 85,
86, 91
— величины 199
— — математическое ожидание 200
— — независимые 202
— — переставляемые 210
— — спектр 199
— — функция плотности 199
— — — распределения 199
— — циклически переставляемые 10
— испытания 199
— процессы, не имеющие
неотрицательных скачков 93
— — с переставляемыми
приращениями 46, 212
— — — циклически
переставляемыми
приращениями 45
— — со стационарными
независимыми приращениями
46, 206
— — целочисленные 81
Содержимое хранилищ 141, 146
— — распределение 148, 149, 151,
152, 153
Создание запасов, процессы 140, 143,
149
Статистики, свободные от
распределения 181, 182, 184,
186, 187, 191, 194
— — — — дискретные 182, 183, 184,
185
— — — — непрерывные 185, 186,
188, 189, 190, 192, 193, 194
Стационарные независимые
приращения 46, 93, 100, 206
Страхование 158
Страховая премия 158
Страховой резервный фонд 158
Страховые суммы отрицательные 163
— — положительные 161
— — произвольные 166
Ступенчатая функция 7
Таубера теорема 214
Тауберовы теоремы для
преобразований Лапласа—
Стильтьеса 215
— — — производящих функций 213
— — применения 29, 30, 63
Теоретическая функция
распределения 182, 185
Тождества 25, 28, 34, 44, 58, 62, 67,
78, 79, 102, 165, 169, 254
Уиттекера функция 74
Урновые модели 9, 10, 36, 44
Условная вероятность 200
Условное математическое ожидание
201
Устойчивая предельная теорема 203
Устойчивое распределение 108, 113,
127, 133, 203
Устойчивый процесс 72
— — обобщенный 74
Факторизации метод 42, 101, 228, 237
Флуктуации времени ожидания 121
— — выборочных функций 45, 81
— — длины очереди 108
— — содержимого хранилищ 141
— — сумм случайных величин 15
Функция распределения 199
— — конечномерная 202
— — эмпирическая 180, 181, 182,
184, 185
Характеристическая функция 200
— — теорема непрерывности 218
Хелли—Брея теорема 217
Хранения процессы 140
— — дискретные 142, 147
— — общие 144, 150
Хранилища задачи 154, 155
— содержимое 141, 146
Хранилище бесконечной емкости 140
— конечной емкости 146
Центральная предельная теорема для
случайных величин 203
— — — — — процессов 208
— — — применения 103, 116, 162,
164, 168
Циклически переставляемые
приращения 45
— — случайные величины 16, 45
Циклические перестановки 7, 10, 16,
45, 173, 256