Электричество_ч 2 - Камышинский технологический институт

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ФИЗИКА»
Электричество
Часть II
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Физика»
Волгоград
2008
УДК 537 (07)
Э 45
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО. ЧАСТЬ II: методические указания к практическим
занятиям по дисциплине «Физика» / Сост. Ю. А. Гнедов, С. А. Ковалёва;
Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2008. – 42 с.
Излагается теоретический материал, относящейся к разделам «Электростатика» и «Законы постоянного тока». Рассматриваются типовые задачи, даются задачи для самостоятельного решения.
Предназначены для студентов, обучающихся по направлениям 140200,
150900, 230100, 260700.
Библиогр.: 4 назв.
Рецензент к. т. н. доцент В. Б. Караваев
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета

2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2008
ВВЕДЕНИЕ
Данные методические указания являются пособием для проведения
практических занятий по дисциплине «Физика»
(«Электростатика» и «Законы постоянного тока»).
Целью данного пособия является описание методики проведения
практических занятий по следующим разделам физики: «Электростатика»
и «Законы постоянного тока». Каждое практическое занятие рассчитано
на 2 аудиторных часа. К каждому практическому занятию отдельно составлен план проведения занятия с указанием цели занятия; в компактном виде приведён теоретический материал; рассмотрены типовые задачи с их решениями.
3
Практическое занятие № 1.
Тема: Закон кулона. Напряженность электрического поля.
Цель занятия: Освоить законы взаимодействия электрических зарядов.
Время, отведенное на проведение занятия: 2 часа.
Порядок проведения занятия:
1. Ознакомить с особенностями проведения практических занятий по
физике;
2. Повторить теоретический материал;
3. Решить типовые задачи;
4. Самостоятельное решение задач.
Основные теоретические положения:
q1q2
r

4 0 r 2 r
2. Определение напряженности электрического поля:
F
E  , E  В м
q
1. Закон Кулона: F 
3. Напряженность точечного заряда: E 
q
r

40r 2 r
4. Принцип суперпозиции: E p  E1  E2    En
Решение типовых задач.
Пример № 1. Заряды q1  4  10 6 Кл и q2  9  10 6 Кл располагаются
на расстоянии 1м. Где следует расположить заряд
была в равновесии? Какова величина заряда
Дано:
q1  4 10 6 Кл
q3 ?
Решение:
x
 q1
q2  9 10 6 Кл
r  1м.
q3 чтобы система
F12
F
F31
13
 q2
 q3

F32
F23

F21
r
Условия равновесия:
x?
q3  ?
F12  F13
F21  F32 
F21  F23
4
qq
q1q2
 1 3
40 r 2 40 x 2
q3 q1
q3 q2

40 x 2 40 r  x 2
Используем любые два уравнения из 3-х.
2
Из II уравнения: q1  q2   r  x   q2
q1
x 2 r  x 2
 x 
q2 3 ;
rx


x
q1 2
2r  2 x  3 x
2r  5 x
2
x r
5
2
2
Из I уравнения: q3  q2 x  q2 4  r  0,169r
25 r 2
r2
q3 - отрицателен.
Ответ: x  0,4r , q3  0,169r
Пример № 2. Два положительных точечных заряда Q и 9Q закреплены на расстоянии d = 100 см друг от друга. Определить, в какой
точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий
заряд так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещение зарядов возможно только вдоль прямой, проходящей
через закрепленные заряды.
Решение:
Дано:
Q
II
III
I
Q'
9Q
9Q
Q
x
d  1м.

x ?
Q'  ?


F1
F2
Заряд Q ' будет находиться в равновесии, если геометрическая сумма сил, действующих со стороны зарядов Q и 9Q , равна
нулю. Это означает, что на Q ' должны действовать две силы, равные по
модулю и противоположные по направлению. При любом знаке заряда
Q ' на участках I и III, на заряд Q ' действуют сонаправленные силы, т.
к. заряды Q и 9Q одноименные. Значит равновесие Q ' на этих участках невозможно. На участке II силы, действующие на Q ' противоположно направлены и можно найти точку, в которой их модули равны:
F1  F2
5
Выразим F1 и F2 в соответствии с законом Кулона:
kQQ '
k 9QQ '

x2
d  x 2
d  x 2  9x 2
т.е. d  x  3x
d
d
x1  ; x 2  ;
4
2
Корень x2 не является физическим решением задачи.
Определим знак Q ' , при котором равновесие будет устойчивым.
Если Q ' положительный, то при его смещении влево сила F1 увеличивается, а F2 уменьшается, поэтому результирующая сила будет сонаправлена с F1 , т.е. направлена к положению равновесия. Это означает,
что равновесие будет устойчивым.
Если Q '  0, то при смещении влево сила F1 (со стороны 9Q ) будет уменьшаться, а F2 (со стороны Q ) увеличивается. Т.о. результирующая направлена в сторону F2 , т.е. от положения равновесия, т.о. равновесие при Q '  0 неустойчивое.
Т. о. равновесие Q ' наблюдается, когда Q ' находится на расстоянии x  d 4  0,25 м. от заряда Q . Равновесие будет устойчивым при
Q '  0.
Пример № 3. Два одинаково заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на
угол  . Шарики погружают в масло. Какова плотность  масла, если
угол расхождения нитей при погружении в масло остаётся неизменным? Плотность материала шариков  0  1,5  10 3 кг/м3, диэлектрическая проницаемость масла  =2,2.
Дано:
Решение:
 0  1,5 103 кг м 3
Т1  Fк1  m g  0
  2,2
 ?
6
y

 ' 1
Т1
2


Fк1
x
mg
1)
2)
 
Fк1  T1  sin    0
2
 
T1  cos   mg  0
2
  F
kq2
tg    к1 ;
Fк1  2
r
 2  mg
 
T1  sin    Fк1
2
 
T1  cos   mg
2
y
Т2

FА
2


Fк 2
x
mg
Fк 2  FA  m g  Т 2  0
 
Fк 2  T2  sin    0
2
 
FA  T2  cos   mg  0
2
 
T2  sin    Fк 2
2
 
T2  cos   mg  FA
2
7
kq 2 F
Fк 2
 
tg  
; Fк 2  2  к1

r
 2  mg  FA
Fк1
Fк 2
Fк1


mg mg  FA  mg  FA 
mg   mg  FA ;  0Vш g    0Vш g  Vш g 
 0  0  
   1
 0
 825 кг м 3

Пример № 4. Заряды q1  q 2  q 3  6  10
6
Кл расположены в
вершинах равностороннего треугольника со стороной 10см. Чему равна
сила, действующая на заряд q3 ?
Дано:
Решение:
6
q1  q2  q3  6 10 Кл q2
a  0,1м.


F31

Fp

q3
F3  ?
q1

F32

F31  F32 
q2
40 a 2



F3  F31  F32
F3 
F31 2  F32 2  2F31  F32  cos 3
Ответ: F3  F31 3
Пример № 5. С какой силой взаимодействует точечный заряд
q0 и
стержень, имеющий заряд q1 . Длина стержня l , расстояние от ближайшего конца стержня до заряда а. Заряд на стержне распределен равномерно.
8
Решение:
Дано:
q0
dq1
q1
l
a

x
a
F ?
l
dF 
q0  dq1
q q dx
 0 1
40 x 2 l  40 x 2
a l
F   dF 
q0 q1 dx q0 q1  1 
q q 1
q0 q1
1  q0 q1 a  l  a



   0 1  

40l  x 2 40l  x  a
40l  a a  l  40l aa  l  40 aa  l 
Ответ: F 
q0 q1
40 a a  l 
Пример № 6. Тонкий очень длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 10 мкКл/м на перпендикуляре к оси
стержня, восстановленном из его конца, находится точечный заряд q0 =
10 нКл. Расстояние заряда от конца стержня a = 20 см. Найти силу взаимодействия стержня и заряда.
Дано:
Решение:
dF
  105 Кл м .
dF
y
q0  108 Кл.
а  0,2 м.

q0
d
d Fx

F ?
a
r

dl
Выделим на стержне элементарный участок длины dl который несет
элементарный заряд dq    dl . Заряд dq будет взаимодействовать с
зарядом
q 0 в соответствии с законом Кулона: dF  q0 dq 2  q0  dl2 ,
где r  a и dl  r  d (из рисунка)
cos 
cos 
Тогда dF  q0  rd  q0  d  q0  d
40
40 r 2 cos  40 r cos 
40 r
Разложим вектор d F на составляющие: d F  d Fx  d Fy .
Найдем составляющие:
9
40 r
q sin   d
40
q cos   d
dFy  dF cos  
40
dFx  dF sin  
Для определения результирующего вектора силы взаимодействия
стержня и заряда q 0 , необходимо найти составляющие вектора Fx и
Fy , а для этого необходимого проинтегрировать выражения для dFx и
dFy в пределах от 0 до  2 :
Fx   dFx 
 2
ст
0
Fy   dFy 
ст

 2

0
 2
 2
q sin   d
q
q
 cos   q

sin   d 
40
40 0
40
40
0
 2
 2
q cos   d
q
q
sin    q

cos   d 
40
40 0
40
40
0
и F  F 2  F 2  q 2  6,37 мм
x
y
40
Пример № 7. Точечные заряды Q1  30 мкКл и Q2  20 мкКл находятся на расстоянии d = 20 см друг от друга. Определить напряженность электрического поля E в точке, удаленной от первого заряда на
r1 = 30 см, , а от второго на r2 = 15 см.
Дано:
Решение:
d
Q2
Q1  30 мкКл Q1
r2
Q2  20 мкКл
d  0,2 м
r1  0,3см
r1
E2

E
r2  0,15см

E ?
E1
Используем принцип суперпозиции: E  E1  E2 .
Модуль вектора
E найдем по теореме косинусов:
E  E12  E22  2 E1 E2 cos  ,
где
E1 
Q1 ;
Q2 .
E2 
40 r12
40 r22
10
Т. к. d 2  r 2  r22  2r1r2 cos  , тогда
1
cos  
2
E
1
40
r12  r22  d 2
2r1r2

2

 Q1   Q2  Q1Q2 r12  r22  d 2
    
 5,75  106 В м
3
 r2   r2 


r
r
1 2
 1   2 
Пример № 8. Тонкое кольцо несет распределенный заряд
Q = 0,2 мкКл. Определить напряженность E электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке А равноудаленной от всех
точек кольца на расстояние r = 20 см. Радиус кольца R = 10 см.
Решение:
Дано:
Q  0,2 мкКл.
r  0,2 м.
R  0,1м.
E ?
Выделим на кольце участок длиной dl , который несет заряд: dq    dl ,
где   Q , тогда dq  Qdl .
2R
2R
Заряд dq малый и его можно считать точечным, тогда напряженность
поля, создаваемого зарядом dq в точке A :
dq
Q  dl
dE 

40 r 2 8 2 0 Rr 2
Вектор d E разложим на составляющие: перпендикулярную плоскость
кольца d E1 и параллельную плоскости кольца d E2 :
d E  d E1  d E2
Результирующая напряженность кольца в точке
11
A:
E   d E1   d E 2 .
L
L
Для каждой пары зарядов dq и dq ' , расположенных симметрично, векторы d E2 и d E 2 ' в точке A равны по модуле и направлены противоположно:
d E 2  d E 2
'
Поэтому d E  0
 2
L
Составляющие d E1 всех элементов кольца сонаправлены, поэтому результирующий вектор E направлен вверх:
E   d E1 .
L
А модуль E  dE ,
 1
L
где dE1  dE1 cos  ;
2
R
cos   1  sin 2   1    .
r
Тогда:
dE1 
2
Qdl
R
1  
8  0 Rr 2
r
Qdl
Q
R
R
 1    2
1  
2
2
r
8


Rr
8


Rr


r
0
0
L
E
2
кВ
E  39
м
E   Q 2
 0   r 

2
2
2
Q  2R
Q
R
R
1   
1  
2
 0 Rr 2
40 r 2
r
r
 dl  8
l
2
2
Кл
Кл
Кл
В



Ф м  м 2 Ф  м Кл В  м м
Задачи для самостоятельного решения:
1. Найти напряженность электрического поля в точке, лежащей посередине между точечными зарядами q1  8  10 9 Кл и q2  6  10 9 Кл .
Расстояние между зарядами r = 0,1 м.
2. В вершинах квадрата со стороной 0,2 м. помещены заряды
q1  q 2  q3  q 4  10 7 Кл Найти напряженность в центре квадрата.
3. В центр проволочной окружности радиуса R, имеющей заряд q 0 ,
помещен заряд
q1  q0 . На сколько возрастет сила растягивания коль-
ца?
12
4. Вычислить напряженность поля, созданного равномерно заряженным стержнем в точке, лежащей на перпендикуляре, проведенным через середину стержня. Заряд стержня q1, длина l , расстояние от центра
стержня до точки – h.
5. Вычислить напряженность, создаваемую заряженным проволочным
кольцом на оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его
плоскости. Радиус кольца R, заряд q, расстояние от плоскости кольца
до точки – h.
Дополнительные вопросы.
1. Определение напряженности. Почему напряженность называют силовой характеристикой?
2. Как формулируется принцип суперпозиции?
3. В каких случаях можно применить закон Кулона?
4. Как рассчитывать силу электрического взаимодействия в тех случаях, когда неприменим закон Кулона?
5. Сформулировать закон сохранения электрического заряда.
13
Практическое занятие № 2
Тема: Теорема Остроградского – Гаусса и ее применение.
Цель занятия: Выработать навык вычисления напряженности электрических полей.
Время, отведенное на проведение занятия 2 часа.
Порядок проведения занятия:
1. Повторить теоретический материал.
2. Решить типовые задачи.
3. Самостоятельное решение задач.
Основные теоретические положения:
1. Понятие потока вектора электрической напряженности:
 
ФЕ  E  S
q
   i
2. Теорема Гаусса: EdS  i

 0
3. Следствие теоремы Гаусса:
q
 ,
а) E
 .
плоскости 
S
2 0
q

б) E
,   .
нити 
l
20 r

r
в) E
, если r  Rшара
шара 
3 0
Решение типовых задач:

Пример № 1. Рассчитать E равномерно заряженного цилиндра,
при условии r  R , где R – радиус цилиндра.
Решение:
Дано:

R

E

n

n
E (r )  ?
R
r

E
 
1
 EdS    dV ,
0
14
 
 
 
 
 EdS   EdS  2  EdS   EdS  E  2rh.
б .S
Sосн.
б .S
2
 dV  r h
2rhE 
Ответ: E  r
2 0
r 2 h
r
E
 0
2 0
Пример № 2. Вычислить силу взаимодействия плоского конденсатора. Нарисовать Е(х) для этой системы.
Дано:

S
d

F ?
E (r )  ?
Решение:



E
I

E
II

E
III

E

E

E
x
0
1)
F  q E ;
E 
d
 ;
2 0
2
q    S ; F   S .
2 0
2) В I области E рез  E  E ;
Во II области E  E  E   ;
рез


 0
В Ш области E рез  0
15
Пример № 3. На двух концентрических сферах радиусом R и 2R
равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями
σ 1 = - 4 σ, σ 2 = σ (σ = 50 HКл/ м ). Требуется:
1) Используя теорему Остроградского – Гаусса, найти зависимость
Е(r) от напряженности электрического поля от расстояния для трех областей: I, II и III;
2) Вычислить напряженность Е в точке, удаленной от центра на расстояние r = 1,5 R;
3) Построить график Е (r).
Дано:
Решение:
E2
 1  4
III
2
n
2 
2
  50 10 9 Кл / м 2
r  1,5R
1
II
I
0
r1
E (r )  ?
S1
S2
r2
S3
r3
1. В области I проводим гауссову поверхность S 1 радиусом r 1 . Из теоремы Остроградского – Гаусса:
E dS  0 т. к. заряд внутри S 1 равен нулю.

n
S1
Таким образом, для всех точек, удовлетворяющих условию: r1  R
Ei  0
2. В области II гауссова поверхность S 2 имеет радиус r 2 :
16
Q1 ,
 E dS  
n
S2
0
Q1 - заряд первой сферы:
Q1   1  4R
Так как E2 n   E (Q1  0) , то E2 можно вынести за знак интеграла:
E 2  dS 
S2
Q1
и
0
E2  
 E 2 4r22 
4 r
2
0 2

2
3. Гауссова поверхность в области III имеет радиус
 E dS 
n
0
1 R
4R

2
 0 r2
 0 r22
2
Q1
Q1
r3 .
Q1  Q2 ,
S3
0
Где Q1   1  4R  16R и Q2   2  4 2( R) 2  16R 2 , тогда
E dS  0 и E3  0
2
2

n
S3
Таким образом: E1  0 , r1  R
4R 2 ,
R  r2  2R
E2  
 0 r22
E3  0 , r3  2R
II. Напряженность в точке, удаленной на r  1,5 R :
4R 2
4

 10 4 В / м
 0 (1,5R) 2
2,25   0
III. Построим график E(r).
4
E2 ( R )  
 2,26 10 4 В / м
0
E2 ( r )  
E2 ( 2 R )  

 0,56 10 4 В / м
0
17
E,×103 В/м
R
2R
r
-5,56
-22,6
Пример № 4. Две бесконечные пластины расположены под прямым углом и несут равномерно распределенные по площади заряды с
поверхностной плотностью  1  1НКл / м 2 и  2  2НКл / м 2 . Определить напряженность электрического поля и начертить картину силовых
линий.
Дано:
Решение:
 
2  0
 1  10 9 Кл / м 2
E E2
 2  2 10 9 Кл / м 2
E-?

E1
1  0

E
Каждая из пластин создает однородное электростатическое поле,
напряженность которого:


и
E1  1
E2  2 ,
2 0
2 0
напряженность результирующего поля найдем в соответствии с принципом суперпозиции:
1
E  E12  E 22 
 12   22  127 В / м
2 0
Пример № 5. Полый стеклянный шар несет равномерно распределенный по объему заряд с объемной плотностью заряда
  100 НКл / м 3 . Внутренний радиус шара R1  5см, наружный
18
R2  10см . Вычислить напряженность электрического поля в точках,
отстоящих от центра сферы на r1  3см ; r2  6см ; r3  12см. Построить
график E(r).
Дано:
 7
Решение:
III
r3
  10 Кл / м
7
3
S3
II
S2
R1  0,05 м
r1 I
R2  0,1м
S1
R1
R2
r2
r1  0,03 м
r2  0,06 м
r3  0,12 м.
E (r )  ?
1.) В области I теорема Гаусса для поверхности S1 :
S dS  0, т. к. зарядов внутри S1 нет, тогда

E ( r1 )  ?
E ( r2 )  ?
E  0 для r  R1 , и E (r1 )  0
2.) В области 2: R1  r  R2
E ( r3 )  ?
E
S2
n
dS 
n
S1
Q так как E  E (поле центральное), то
E   dS  E  4r 2
n

 0
S2
Заряд заключен в шаровом слое, ограниченном сферами радиусами R1
и r:
4
4
4 3
Q   (V (r )  V ( R1 ))   ( r 3  R13 ) 
(r  R13 ) ,
3
3
3
4

3
3
тогда: E 4r 
(r  R1 )

3 0

E   2
(r 3  R13 )
3r  0
E(r2 )  13,6В / м
3.) В области 3: r  R2
(0  0 )
2
E
n
dS  E  4r 2
S3
И заряд Q   (V ( R2 )  V ( R1 ))  весь заряд шара.
4 3
3 , тогда
Q 
3
( R2  R1 )
E  4r 2 
4 3
( R2  R13 )
3 0
19

E  
( R23  R13 )
3 0 r 2
E (r3 )  229 В / м
E, В/м
329
47,1
0
R1
r, м
R2
Пример № 6. Внутренний цилиндрический проводник длинного
прямолинейного коаксиального провода радиусом R1  1,5мм заряжен с
линейной плотностью  1  0,2НКл / м . Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом R2  3мм . Заряжен с линейной плотностью  2  0,15НКл / м . Пространство между проводниками заполнено
резинкой (   3 ). Определить напряженность электростатического поля
в точках, лежащих от оси провода на расстояниях: 1. r1 = 1 мм; 2. r2 = 2
мм; 3. r3 = 5 мм.
Решение:
Дано:
R1  1.5 10 3 м
 1  0,2 10 9 Кл / м
R2  3 10 3 м
 2  0,15 10 9 Кл / м
 3
III
h
r1
r1  10 3 м
E
S1
1
II
S2
I
0
E
r2  2 10 3 м
r2
h
S3
r3  5 10 3 м
E (r1 )  ?
E (r2 )  ?
E (r3 )  ?
r3
h'
1. В области I теорема Гаусса для поверхности S1 :
E dS  0 , так как внутри S1 зарядов нет. Поэтому

n
S1
E  0 и E (r1 )  0 .
20
2. R1  r  R2 . В области II для поверхности S 2 :
Q
S En dS   0 ; S E n dS  б.n.S Eб.n dS  оснS E n.осн dS
2

2
2
2
Проекция вектора напряженности на нормаль к боковой поверхности:




Eп.б.  E (пб  E ) и En.осн  0(nосн.  Е) .
Тогда
E
n
dS  Е  dS  E  2rh .
S2
Sб 2
Внутри поверхности S 2 заряд Q1   1  h , тогда E 2rh   1h

 0
 1 ; E(r )  600В / м .
E 
2
2r 0
3. r  R2 . В области III для поверхности S 3 :
 E dS 
n
Q1  Q2 ,
S3
E
S3
и
n
dS 

б .n. S 3
E б .n dS 

оснS3
E n.осн dS 

б .п. S 3
0
E б .п. dS  E 
 dS  E

2rh
б .п. S 3
Q2   2  h . Тогда:
 1 h   2 h ;
0
  2 ;
E  1
20 r
E (r3 )  180 В / м .
Задачи для самостоятельного решения:
E 2rh 
1. Вывести с помощью теоремы Гаусса формулу для расчета Е бесконечной заряженной плоскости.
2. Вывести формулу для Е бесконечной заряженной нити.
3. Вычислить напряженность равномерно заряженного шара при r  R
и r  R . Нарисовать график.
4. Вычислить Е для поверхности заряженной сферы, при r  R и
r  R . Нарисовать график.
5. Нарисовать график для 5-ти или 3-х параллельных плоскостей с поверхностной плотностью заряда  . Расстояние между плоскостями
d.
6. Шар, имеющий массу m и заряд q, подвешен ан нити вблизи плоскости с известным значением  . Какой угол с вертикалью образует
нить подвеса?
21
7. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе заряженная
капелька ртути находится в равновесии при E = 600 B/см. Заряд
капли 10-7 Кл Найти радиус капли, если ρ = 13,6·103 кг/м3.
8. Электрон, имеющий горизонтальную скорость V0  10 6 м / с. влетает
в электрическое поле горизонтальной пластины с известным значением  . Длина пластины l  20cм. Насколько отклонится электрон
от вертикали?
9. Найти напряженность на оси, перпендикулярную к плоскости заряженного круга. Радиус круга R, заряд q, расстояние от круга до
точки h.
Дополнительные вопросы:
1. Сформулировать теорему Гаусса.

2. Что такое поток вектора Е ?
3. В каких случаях удобно использовать теорему Гаусса?
4. Учитываются ли в теореме Гаусса заряды, находящиеся за пределами поверхности интегрирования? Почему?
5. Что такое линии напряженности (силовые линии)?
22
Практическое занятие № 3.
Тема: Потенциал. Работа перемещения заряда в электрическом поле.
Цель занятия: Ознакомить студентов с методикой расчета перемещения заряда.
Время, отведенное на проведение занятия: 2 часа.
1.
2.
3.
Порядок проведения занятия:
Повторить теоретический материал;
Решить типовые задачи;
Самостоятельное решение задач.
4.
Основные теоретические положения:
Определение потенциала:   W
q
Энергия взаимодействия точечных зарядов: W  q1q2 ,
40 r
1
W   q1 k ,
2 ik
Потенциал точечного заряда:   q
40 r
1   2
Связь напряженности и потенциала: E   grad ,
5.
Принцип суперпозиции:  p  1   2     n
1.
2.
3.
6.
E
l
Работа перемещения зарядов: A  q1  2 
Решение типовых задач.
Пример № 1.Вычислить  для заряженного кольца радиусом
R на оси кольца. Высота h .
h
r
d 
R
Пример № 2. Вычислить
известным выражение:

dq
,
40 r
q
40 R 2  h 2
 для объемно заряженного шара, считая
E
23
r
30

Пример № 3. Вычислить
оси круга на расстоянии
q
40 R 2  h 2
 для равномерно заряженного круга на
h.
Пример № 4. Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим равномерно распределенный по длине заряд   0,1 мкКл . Опрем
делить потенциал поля в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня.
1
2
d
l
l
r

rd
l
Т. к. заряд стержня не является точечным, а распределен по его длине,
то разбиваем стержень на элементарные отрезки dl , которые имеют
заряд dQ  dl . Заряд dQ можно считать точечным и его потенциал:
d 
Т. к. dl 

r
2
2 0
ln tg

3
.
rd
d
, то d 
.
cos 
40 cos 
d
2r


4 0 1 cos  4 0
r
dl
40 r
 ln tg

4
2
d
r
  
0 cos   20 ln tg 2  4 

r
2 0
ln tg

3

6

0
 990 В
Пример № 5. Электрон со скоростью V  1,83 10 6 м влетел в однос
родное электрическое поле в направлении, противоположном напряженности поля. Какую разность потенциалов должен пройти электрон,
чтобы обладать энергией E  13,6эВ ?
24
Электрон должен пройти такую разность потенциалов 1  2  , чтобы
W p  T  E ,
где W p - приобретенная в поле энергия.
Т. к. W  e1  2  и
T
mV 2
2
mV 2
E
2
2
1   2   2 E  mV
2e
E  13,6 1,6 10 19  2,18 10 18 Дж
m  9,11 10 31 кг .
1  2   4,15В .
e1   2  
Пример № 6. С поверхности бесконечно равномерно заряженного
(   50 нКл ) прямого цилиндра вылетает   частица ( V0  0 ). Опредем
лить кинетическую энергию T   частицы (кэВ) в точке 2 на расстоянии 8R от поверхности цилиндра.
Используем закон сохранения энергии:
R
1
8R
2
T1  W1  T2  W2
Учитываем, что T1  0
W1  T2  W2
T2  W1  W2  Q1  2  ;
где Q  3,2 10 19 Кл
Найти 1  2  :
r2
1   2     Edr
r1
Т.к. цилиндр бесконечный, то:
25
E
,
dr

9R

ln
r
2

R
0
R
1   2    ln 9
20
 2  1   
Тогда:

20

20 r
9R

Q 
ln 9  3,96кЭВ
20
Кл
Кл 
м  В  Кл  Дж
T2  
ф
м
T2 
Пример № 7. Найти работу перемещения заряда q  10нКл из точки
1 в точку 2, находящиеся между двумя разноименно заряженными с
поверхностной плотностью   0,4 мкКл бесконечными параллельным2
ми плоскостями.
2
1   2   Er  dr

1
1

r
E

2

A  q  (1   2 ) 
l  3см
q
0
Er  E  cos 
2
2
1
1
1  2   E  cos dr  E  cos   dr 

 E  cos   r  E  l  
0
l  13,6 мкДж .
Пример № 8. Две параллельные заряженные плоскости, поверхностные плотности заряда которых  1  2 мкКл м 2 и  2  0,8 мкКл м 2 ,
находятся на расстоянии d  0,6см друг от друга. Определить разность
потенциалов
U между плоскостями.
26
Решение:
Дано:
 1  2 10
6
1  0
Кл
м2
 2  0,8 10 6
Кл
м2
3
d  6 10 м
2  0
d
E1
E2
U ?
E
Согласно принципу суперпозиции:
E  E1  E2
Между плоскостями E1 и E2 сонаправлены, поэтому:
  2
E  E1  E2  1
2 0
Т.к. поле между пластинами является однородным, то:
   2 d  950B
U  Ed  1
2 0
Пример № 9. Электрон с энергией T  400эВ (в бесконечности)
движется вдоль силовой линии по направлению к поверхности металлической заряженной сферы радиусом R  10см . Определить минимальное расстояние a , на которое приблизится электрон к поверхности сферы, если заряд ее Q  10нКл .
Дано:
Решение:
Q0
T1  400эВ  6,4 10 17 Дж
Т2  0
R
R  0,1м
8
Q  10 Кл
2  0
 a
a ?
1

Изменение кинетической энергии электрона равно работе сил электрического поля:
Aэ  Т
Aэ  e  (  2 )
Т. к.   0 , то A  e     e  Q
э
2
40 R  a 
T  T2  T1  T1
27
eQ
 T1
40 R  a 
eQ
a
 R  0,125 м
40T1

Пример № 10. Электрическое поле создано зарядами Q1  2 мкКл и
Q2  2 мкКл , находящимися на расстоянии a  10см друг от
Дано:
Решение:
6
2
Q1  2 10 Кл
Q2  2 10 6 Кл
2a
a  0,5 10 3 м
Q
Q  0,5 10 6 Кл
2
a
A12  ?
Q
1
1
2a
Работа сил поля по перемещению заряда
A12  Q1  2  ,
Q из точки 1 в точку 2:
Работа сил поля по перемещению заряда
A12  Q1  2  ,
Q из точки 1 в точку 2:
зарядов Q1 и Q2 в точке 1:
Q1
Q2
1  Q1 Q2 
1 


 

40 2a 40 a 2  (2a) 2 40 a  2
5
2
- потенциал зарядов
2 
Q1
4 0 3a

Q2
Q1 и Q2 в точке 2:
4 0 2a

 Q1 Q2 



4 0 a  3
2 
1
Тогда работа будет равна:
Q  Q1 Q2 Q1 Q2 
Q  Q1 Q2 2  5 
 

A12 


 

40 a  2
2  40 a  6
5 3
2 5 
Подстановка зарядов ведется с учетом их знаков:

28

A12 


 2 10 6 2 10 6 2  5 
0.5 10 6

  19,7 мДж


4  3,14  8,85 10 12  0,1  6
2 5

2
2
2
A12   Q  ФКл  Кл
 0 Q
Ф
м

Кл 2
 Кл  В  Дж
Кл / В
м
Вопросы по теории.
1. Сформулировать условие потенциальности для электрического поля.
2. Дать 2 определения потенциала.
3. Записать выражение для энергии взаимодействия зарядов.
4. Как связаны E и  в случаях однородного и неоднородного поля?
5. Записать формулу для расчета работы перемещения зарядов.
29
Практическое занятие № 4
Тема: Электроемкость. Конденсаторы.
Цель занятия: Выработать навыки решения задач по теме емкости конденсаторов.
Время, отведенное на проведение занятия: 2 часа.
1.
2.
3.
4.
Порядок проведения занятия:
Повторить теоретический материал;
Показать решение типовых задач;
Самостоятельное решение задач;
Опрос по теории.
Основные теоретические положения:
1. Определение емкости: C  q
U
2. Формулы для расчета емкости плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов:
а) C   0 S
d
2

0l
b) C 
ln r2 r1
c) C  40 R2 R1
R2  R1
3. Энергия конденсатора:
СU 2 q 2 qU
Wэ 


2
2C
2
4. Формулы для расчета емкости при последовательном и параллельном соединении:
а) 1  1  1
C C1 C2
b) C  C1  C2
Решение типовых задач.
Пример № 1. Площадь пластины плоского конденсатора 100 см2,
расстояние между ними 5 мм. К пластинам приложили разность потенциалов 300 В. После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом   2,6 .
1. Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения?
30
2. Какова емкость конденсатора до и после заполнения?
3. Какова поверхностная плотность заряда до и после заполнения?
Дано:
Решение:
2
4
2
S  100см  100  10 м 1) E    U
 0 d
d  5 мм  5  10 3 м

d

U
1 1 0  U 2  2  0
U1  300 B

 2  2,6
U 2  1 U1
2
q  const
2) C   1 0 S   0 S ; C2   2 0 S
U ?
1
d
d
d
C1  ?
q
3)  1   2   const
C2  ?
S
 ?
Пример № 2. Радиус центральной жилы коаксиального кабеля 1,5
см, радиус оболочки 3,5 см. Между жилой и оболочкой приложена разность потенциалов 2300 В. Вычислить напряженность электрического
поля на расстоянии 2 см от кабеля.
1) E  
20 x
  l 20l
20U
C

 
U 0 ln r2 r1
ln r2 r1
20U
;
E
20 x ln r2 r1
20U
2) U  
ln r2 r1   
20 x
ln r2 r1

U
E

20 x x ln r2 r1
Пример № 3. Найти емкость сферического конденсатора, у которого
r1  1,5cм , а r2  11см ,   1 .
40 r1 r2
C
r2  r1
Пример № 4. Два конденсатора ёмкостями C1 = 2 мкФ, C2 = 5 мкФ заряжены до напряжений U1 = 100 В и U2 = 150 В соответственно. Определить напряжение на обкладках конденсаторов после их соединения
обкладками, имеющими разноимённые заряды.
31
Дано:
C1  2 10 6
C2  5 10 6
U1  100 B
U 2  100 B
U ?
Решение:
До соединения заряды конденсаторов:
q1  C1U 1 ; q 2  C2U 2
Если конденсаторы соединить параллельно разноименно заряженными обкладками, то общий заряд будет равен:
q  q2  q1  C2U 2  C1U1
Т. к. при параллельном соединении
C  C1  C2 , то:
q C U  C1U 1
U  2 2
 78,6 B
C
C1  C 2
Пример № 5. Конденсаторы емкостями C1  2 мкФ , C 2  5 мкФ ,
C3  10 мкФ соединены последовательно и находятся под напряжением
U  850B . Определить напряжение и заряд на каждом из конденсаторов.
Дано:
Решение:
6
C1  2 10
U1
U2 U3
C2  5 10 6
C3  10 10 6
U  850 B
U1 ;U 2 ;U 3  ?
q1 ; q2 ; q3  ?


  
C1
C2

C3
U
Емкость батареи конденсаторов при их последовательном соединении:
1 1
1
1 C1C2  C1C3  C2C3




C C1 C2 C3
C1C2C3
C1C2C3
Тогда: C 
C1C2  C1C3  C2C3
Заряды конденсаторов при последовательном соединении равны:
U  C1C 2 C3
q1  q 2  q 2  q  CU 
C1C 2  C1C3  C 2 C3
Напряжение на каждом из конденсаторов:
q
q
q
U 1  1  531B ; U 2  2  212,5B ; U 3  3  106,5 B .
C2
C3
C1
32
Пример № 6. В однородное электрическое поле напряженностью E0 =
700 B/м перпендикулярно полю помещается бесконечная плоскопараллельная стеклянная пластина ( = 7).
Определить: 1) напряженность электростатического поля внутри пластины; 2) электрическое смещение внутри пластины; 3) поляризованность стекла; 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле.
Дано:
Решение:
Напряженность поля в диэлектрике:
E0  700 В м
Е
 7
Е  0  100 В
м

Е ?
Электрическое смещение в диэлектрике:
D ?
нКл
D  0 E   0 E0  6,195 2
м
P ?
Смещение
в
диэлектрике
такое же как в вакууме.
 ' ?
Поляризованность диэлектрика:
нКл
P  æ 0 E   0 E0    1 0 E  5,31 2
м
Полный дипольный момент пластины: p  P  V  P  S  d
С другой стороны:
p  Q'd   'S  d
Поэтому
' P
Пример № 7. Плоский воздушный конденсатор ёмкостью C = 10 пФ заряжен до разности потенциалов U1 = 500 В. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в 3 раза. Определить: 1) разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению пластин.
Дано:
Решение:
11
Т.к. конденсатор был отключен от источника, то:
C  10 Ф
q1  q2
U 1  500 B
U 1C  U 2 C ' ,
d 2  3d1
где C '   0 S   0 S  C
U2  ?
d2
3d1
3
А?
Тогда U 2  3U1  1500B
Совершенная работа:
С 'U 22 СU12 С  9U12 СU12
A  W p  W p 2  W p1 



 СU12  2,5 10 6 Дж
2
2
3 2
2
33
Пример № 8. Уединённая металлическая сфера электроёмкостью C = 4
пФ заряжена до потенциала φ = 1 кВ. Определить энергию поля, заключённую в сферическом слое между сферой и концентрической с
ней сферической поверхностью, радиус которой в 4 раза больше радиуса уединённой сферы.
Дано:
Решение:
C  4 10 12 Ф
dr
  103 B
R1  R
r
R2  4 R
R10
Wp  ?
R2
Рассчитать объемную плотность энергии в зависимости от r .
 E 2
q ,
  0 , где E 
2
40 r 2
q - заряд шара;   1 .
Тогда  
 0q 2
q2

2 2 4
2(4 )  0 r
2(4 ) 2  0 r 4
Энергия в слое от R1 до R2 :
R2
2
W   dV ; dV  4r dr
R1
W
R
2
q 2 4r 2dr 2 q 2  dr
q2  1 
q2  1 1  q2  1 1 
3q 2
R 2(4 )2  0r 4  R 80r 2  80r 2   r  R  80  R1  R2   80  R  4R   80  4R
1
1
1
R2
R
Т. к. емкость шара C  40 R , то
W
3q 2
8C
Т. к. q  C   , то
W
3C 2 2 3C 2

 1,5 10 6 Дж
8C
8
34
Задачи для самостоятельного решения.
1) 9,86 B ; 2) 9,89 ; 3) 9,93 4) 9,96
5)
6)
1
 1 2
7)
2
8)

Me

Для приведенных систем найти емкости.
1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы по теории.
Определение емкости
Расчет емкости различных видов конденсаторов
Энергия конденсатора
Энергия электромагнитного поля
Соединение конденсаторов
Задание на следующее занятие: постоянный ток.
35
Практическое занятие № 5
Тема: Постоянный ток.
Цель занятия: Выработать навыки решения стандартных задач.
Время, отведенное на проведение занятия: 2 часа.
1.
2.
3.
4.
Порядок проведения занятия:
Повторить теорию;
Решить типовые задачи;
Самостоятельное решение задач;
Консультация по материалу контрольной работы.
Основные теоретические положения:
Характеристики цепи постоянного тока:
1) I  dq , j  dI  U
dt
dS
2) U  1   2 ,
3) R     ,    0 (1  t )
S
4)   A0
q
Законы цепи постоянного тока:
1) I  U , I   ,   IU  R , I к . з.   ; j  E ;
Rr
IE R  r
R
r

2
U
2) N  P  I  U  I 2 R 
R
U2
2
Q  I  U  t  I Rt 
t
R
d 2Q E 2 Вт м3 


dtdV

3) Правило Кирхгофа:
 Ii  0
i
   I R
i
i
i
i
i
Решение типовых задач.
Пример № 1. При R1 = 5 Ом сила тока I1 = 2 A, при R2 = 3 Ом сила
тока в цепи I2 = 3 A. Найти ток короткого замыкания.
36
Дано:
R1  5Ом
I1  2 A
R2  3Ом
I2  3A
I к . з.  ?
Решение:
R
1 , r
  I1R1  I 2 r
  I 2 R2  I 2 r
I 2  I1 r  I1R1  I 2 R2
r
  10  2  12B
I к . з. 
I1R1  I 2 R2
I 2  I1
12
 12 А
1
Пример № 2. При каком внешнем сопротивлении тепловая мощность максимальна?
Дано:
Решение:
Q Qmax
dP ; d Q t  d   2 R 
 1
2R 
P 
0
   2 
0
 

2
3
t
t
dR
dR
dt  R  r 2 



R

r
R
 r  

Rx  ?
R  r  2R  0
Rx  r
Пример №3. Найти силу тока, считая внутреннее сопротивление
источников ЭДС равным нулю.
Дано:
Решение:
1
I1
 1  2.1B
 2  1.9 B
I1  I 2  I
I2
R1  4.5Ом
R1
 2  IR1  I 2 R2
R2  10Ом
R3
  1   I1 R3  IR1
I
2
R3  10Ом
R2
Пример № 4. От батареи, ЭДС которой 600 В, требуется передать
энергию на расстояние l  1 км . Потребляемая мощность Р = 5 кВт.
Найти максимальные потери мощности в сети, если диаметр медных
разводящих проводов d = 0,5 см.
37
Решение:
Мощность, потребляемая (если считать, что это
мощность, потребляемая сетью с учетом подводящих проводов):
P  J ,
где J - ток, протекающий в цепи.
Дано:
  600 B
l  103 м
P  5 103 Вт
d  5 10 3 м
  1,7 108 Ом  м Тогда J  P .

Pпот  ?
Потери мощности в сети – это мощность, выделяющаяся на
проводах, длина которых 2l , а сопротивление:
2 l .
Rпр 
S
Тогда потери мощности:
 P  2 l ,
Pпот  J 2 Rпр    
S
 
2
где S 
d 2
4
- площадь сечения проводов и :
 P  8 l
Pпот     2  117 Вт
   d
2
2
 м  м Вт 2  Ом Вт 2 Вт 2
P  Р 2 2l   Вт  Ом



 Вт
2
ВВ
В А
Вт
В  м2
  d 
2
Пример № 5. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 10 Ом
за время t = 50 с равномерно нарастает от J1 = 5 A до J2 = 10 A. Определить количество теплоты, выделившееся за это время в проводнике.
Решение:
Дано:
R  10Ом
Т.к. сила тока в проводнике изменяется со временем, то
количество теплоты, выделившееся за малый период
t  50c.
времени:
J1  5 A
dq  J 2 Rdt .
J 2  10 A
Т.к. сила тока нарастает равномерно, то
Q ?
J  kt .
k - скорость нарастания силы тока.
J  J1
A
k 2
 0,1
t
c
Тогда:
dq  K 2t 2 Rdt
38
За время t = 50 c выделится в проводнике количество теплоты:
t
K 2 Rt 3 10 2  10  5 3  10 3
Q   K 2 t 2 Rdt 

 4,16  10 3 Дж
3
3
0
Задачи для самостоятельного решения.
10,1( В), 10,4( В) ,10,26( В) , 10,33( В) , 10,43( В) ,10,59( В) , 10,81( В )
Консультация перед контрольной работой – информация о числе задач,
типах задач и требованиях к решению.
1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы по теории.
Определение силы тока и ЭДС.
Законы Ома и Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной
формах.
Правила Кирхгофа.
Соединение проводников.
Температурная зависимость сопротивления.
39
Литература
1. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: «Высшая школа», 2002. – 541 с.
2. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики. – М.: «Высшая школа», 1996. – 302 с.
3. Чертов А.Г., Воробьёв А.А., Фёдоров М.Ф. Задачник по физике. – М.:
«Высшая школа», 1973. – 509 с.
4. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – М.:
«Наука», 1969. – 464 с.
40
СОДЕРЖАНИЕ
Введение..............................................................................................
3
Практическое занятие № 1...................................................................
4
Практическое занятие № 2................................................................... 14
Практическое занятие № 3................................................................... 23
Практическое занятие № 4................................................................... 30
Практическое занятие № 5..................................................................
Литература.........................................................................................
41
36
40
Составители:
Юрий Александрович Гнедов
Светлана Александровна Ковалёва
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО. ЧАСТЬ II
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Физика»
Под редакцией авторов
Темплан 2008 г., поз. № 31К.
Подписано в печать 14. 05. 2008 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 2,63. Усл. авт. л. 2,44.
Тираж 100 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
42