Задача № 1
Материальная точка движется вдоль оси 𝑥 согласно закону 𝑥 = 𝐴 + 𝐵 ∙ 𝑡 + 𝐶 ∙
𝑡 3 , где 𝐴 = 1 м, 𝐵 = 1 м⁄с , 𝐶 = 0,5 м⁄с3 . Определите:
а) среднюю скорость движения точки за первые три секунды;
б) среднее ускорение движения точки за первые три секунды;
в) путь, пройденный точкой за три секунды;
г) скорость точки в конце пути.
Дано:
Решение:
3 Скорость есть первая производная от уравнения
𝑥 =𝐴+𝐵∙𝑡+𝐶∙𝑡
движения по времени:
𝐴=1м
м
𝑑𝑥
𝐵=1
𝜐(𝑡)
=
= (𝐴 + 𝐵 ∙ 𝑡 + 𝐶 ∙ 𝑡 3 )′ = 𝐵 + 3 ∙ 𝐶 ∙ 𝑡 2 ;
с
𝑑𝑡
м
Ускорение
есть первая производная от скорости по
𝐶 = 0,5 3
с
времени:
𝑡2 = 3 с
𝑑𝜐(𝑡)
𝑎(𝑡) =
= (𝐵 + 3 ∙ 𝐶 ∙ 𝑡 2 )′ = 6 ∙ 𝐶 ∙ 𝑡;
𝜐ср −? 𝑎ср −? 𝑙−?
𝑑𝑡
𝜐(3)−?
Средняя скорость движения точки за первые три секунды:
𝑥(𝑡2 ) − 𝑥(𝑡1 ) 1 + 1 ∙ 3 + 0,5 ∙ 33 − 1
м
𝜐ср =
=
= 5,5 [ ] ;
𝑡2 − 𝑡1
3−0
с
Среднее ускорение движения точки за первые три секунды:
𝜐(𝑡2 ) − 𝜐(𝑡1 ) 1 + 0,5 ∙ 33 − 1
м
𝑎ср =
=
= 4,5 [ 2 ] ;
𝑡2 − 𝑡1
3−0
с
Путь, пройденный точкой за три секунды:
𝑙 = 𝑥(𝑡2 ) − 𝑥(𝑡1 ) = 1 + 1 ∙ 3 + 0,5 ∙ 33 − 1 = 16,5 [м];
Скорость точки в конце пути:
м
𝜐(3) = 1 + 3 ∙ 0,5 ∙ 32 = 14,5 [ ].
с
м
м
м
Ответ: 𝜐ср = 5,5 [ ] ; 𝑎ср = 4,5 [ 2] ; 𝑙 = 16,5 [м]; 𝜐(3) = 14,5 [ ].
с
с
с
Задача № 2
Две шайбы, масса каждой из которых 200 г, пущены навстречу друг другу.
Скорость первой относительно льда – 8 м/с, второй – 12 м/с. В результате
абсолютно упругого столкновения они отскакивают друг от друга. Определить
расстояние между шайбами после их остановки, если коэффициент трения
шайбы о лед 𝜇 = 0,05.
Дано:
𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚 = 200 г = 0,2 кг
м
𝜐01 = 8
с
м
𝜐02 = 12
с
𝜇 = 0,05
𝑆−?
Решение:
На основании закона сохранения импульса
шайбы поменяются скоростями в результате
упругого удара и в силу равности их масс.
Искомое расстояние будет равно тормозному
пути каждой из шайб:
𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 ;
Рассмотрим равнозамедленное движение шайбы под действием: силы тяжести
⃗ , силы трения 𝐹тр . На
𝑚 ∙ g⃗, силы реакции подстилающей поверхности 𝑁
основании второго закона Ньютона векторная сумма данных сил сообщает
шайбе ускорение:
∑ 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎;
⃗ + 𝐹тр = 𝑚 ∙ 𝑎;
𝑚 ∙ g⃗ + 𝑁
В проекции на ось 𝑂𝑥:
−𝐹тр = −𝑚 ∙ 𝑎;
𝐹тр = 𝑚 ∙ 𝑎;
На ось 𝑂𝑦:
𝑁 = 𝑚 ∙ g;
По определению сила трения равна произведению коэффициента трения на
силу реакции подстилающей поверхности:
𝐹тр = 𝜇 ∙ 𝑁 = 𝜇 ∙ 𝑚 ∙ g;
Из второго закона Ньютона ускорение шайбы равно:
𝑚 ∙ 𝑎 = 𝜇 ∙ 𝑚 ∙ g;
𝑎 = 𝜇 ∙ g;
Для определения тормозного пути воспользуемся кинематическим
уравнением связи перемещения, скорости и ускорения без учета времени:
𝜐02 − 𝜐 2
𝜐02
𝜐02
𝑆=
=
=
.
2∙𝑎
2∙𝑎 2∙𝜇∙g
Искомое расстояние между шайбами:
2
2
2
2
𝜐01
𝜐02
𝜐01
+ 𝜐02
𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 =
+
=
.
2∙𝜇∙g 2∙𝜇∙g
2∙𝜇∙g
Численно:
82 + 122
𝑆=
= 212 [м].
2 ∙ 0,05 ∙ 9,8
Ответ: 𝑆 = 212 [м].
Задача № 3
Диск, массой 𝑚 = 2 кг и радиусом 𝑅 = 0,5 м начинает вращаться с
постоянным угловым ускорением 𝜀 = 1 рад/с2 . Определить: угловую
скорость диска и число оборотов, сделанных им к моменту времени 𝑡 = 5 с;
момент импульса и кинетическую энергию диска к этому моменту времени.
Рассчитать величину вращающей силы, приложенной касательно к ободу
диска.
Дано:
Решение:
Кинематическое уравнение равноускоренного вращательного
𝑚 = 2 кг
движения имеет вид:
𝑅 = 0,5 м
рад
𝜀 ∙ 𝑡2
𝜀=1 2
𝜑=
;
с
2
𝑡 =5с
Угол, на который повернется диск, совершив 𝑁 оборотов,
𝜔−? 𝑁−? 𝐿−? равен:
𝑊𝑘 −? 𝐹−?
𝜑 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑁;
Приравняв выражения найдем искомое число оборотов:
𝜀 ∙ 𝑡2
= 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑁;
2
𝜀 ∙ 𝑡2
𝑁=
;
4∙𝜋
Из выражения мгновенной угловой скорости:
𝜔 = 𝜀 ∙ 𝑡;
Момент инерции диска:
𝑚 ∙ 𝑅2
𝐽=
;
2
Тогда момент импульса равен:
𝑚 ∙ 𝑅2 ∙ 𝜔 𝑚 ∙ 𝑅2 ∙ 𝜀 ∙ 𝑡
𝐿 =𝐽∙𝜔 =
=
;
2
2
Кинетическая энергия диска:
𝐽 ∙ 𝜔2 𝑚 ∙ 𝑅2 2 𝑚 ∙ 𝑅2 ∙ 𝜀 2 ∙ 𝑡 2
𝑊𝑘 =
=
∙𝜔 =
;
2
4
4
Из основного уравнения динамики вращательного движения:
𝑀 = 𝐽 ∙ 𝜀 = 𝐹 ∙ 𝑅,
где 𝑀 – момент действующей силы.
Откуда искомая сила:
𝐽 ∙ 𝜀 𝑚 ∙ 𝑅2 ∙ 𝜀 𝑚 ∙ 𝑅 ∙ 𝜀
𝐹=
=
=
.
𝑅
2∙𝑅
2
Численно:
𝜔 =1∙5=5 [
рад
];
с
1 ∙ 52
𝑁=
= 2;
4 ∙ 3,14
2 ∙ 0,52 ∙ 1 ∙ 5
кг ∙ м2
𝐿=
= 1,25 [
];
2
с
2 ∙ 0,52 ∙ 12 ∙ 52
𝑊𝑘 =
= 3,125 [Дж];
4
2 ∙ 0,5 ∙ 1
𝐹=
= 0,5 [Н].
2
рад
кг∙м2
Ответ: 𝜔 = 5 [ ] ; 𝑁 = 2; 𝐿 = 1,25 [
] ; 𝑊𝑘 = 3,125 [Дж]; 𝐹 = 0,5 [Н].
с
с
Задача № 4
На рисунке изображен график изменения состояния водорода, массой 𝑚 = 4 г.
Определить параметры состояния газа в точке 3. Изобразить графики
процессов, происходящих с газом, в координатах (𝑝, 𝑉) и (𝑝, 𝑇). 𝑉1 = 4 л, 𝑇1 =
100 К, 𝑇2 = 300 К.
Дано:
Решение:
−3
Из уравнения Менделеева-Клайперона найдем
𝑚 = 4 г = 4 ∙ 10 кг
кг
давление в точке 1:
𝑀 = 2 ∙ 10−3
𝑚
моль
𝑝1 ∙ 𝑉1 = ∙ 𝑅 ∙ 𝑇1 ,
−3 3
𝑉1 = 4 л = 4 ∙ 10 м
𝑀
Дж
𝑇1 = 100 К
где 𝑅 = 8,31 [
] – универсальная газовая
моль∙К
𝑇2 = 300 К
кг
−3
постоянная,
𝑀
=
2
∙
10
[
] – молярная масса
𝑝3 −? 𝑉3 −? 𝑇3 −? (𝑝, 𝑉)−?
моль
водорода.
(𝑝, 𝑇)−?
𝑚 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇1 4 ∙ 10−3 ∙ 8,31 ∙ 100
𝑝1 =
=
= 4,155 ∙ 105 [Па];
−3
−3
𝑀 ∙ 𝑉1
2 ∙ 10 ∙ 4 ∙ 10
Процесс 1 → 2 изохорный, поэтому 𝑉2 = 𝑉1 = 4 ∙ 10−3 [м3 ]. Давление в точке
2:
𝑚 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇2 4 ∙ 10−3 ∙ 8,31 ∙ 300
𝑝2 =
=
= 12,465 ∙ 105 [Па];
𝑀 ∙ 𝑉2
2 ∙ 10−3 ∙ 4 ∙ 10−3
Процесс 2 → 3 изотермический, поэтому 𝑇3 = 𝑇2 = 300 [К]. Давление в точке
3:
𝑝3 = 𝑝1 = 4,155 ∙ 105 [Па];
Объем в точке 3:
𝑚 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇3
4 ∙ 10−3 ∙ 8,31 ∙ 300
𝑉3 =
=
= 12 ∙ 10−3 [м3 ];
5
−3
𝑝3 ∙ 𝑀
4,155 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 10
Сведем полученные результаты в таблицу:
5
𝑝, 10 [Па]
𝑉, 10−3 [м3 ]
𝑇, [К]
1
4,155
4
100
2
12,465
4
300
График в координатах в 𝑝, 𝑉:
График в координатах в 𝑝, 𝑇:
Ответ: 𝑝3 = 4,155 ∙ 105 [Па]; 𝑉3 = 12 ∙ 10−3 [м3 ]; 𝑇3 = 300 [К].
3
4,155
12
300
Задача № 5
Ориентируясь на условия предыдущей задачи, определить изменения
внутренней энергии, работу и количество теплоты на каждом участке графика.
Дано:
𝑚 = 4 г = 4 ∙ 10−3 кг
кг
𝑀 = 2 ∙ 10−3
моль
𝑖=5
𝑄𝑖 −? 𝐴𝑝𝑖 −? ∆𝑈𝑖 −?
Процесс 2 → 3
термодинамики:
Решение:
Процесс 1 → 2 изохорный. В ходе данного процесса
газ не совершает работу и количество теплоты,
подведенное к газу, идет на изменение его внутренней
энергии:
𝑖 𝑚
𝑄12 = ∆𝑈12 = ∙ ∙ 𝑅 ∙ (𝑇2 − 𝑇1 );
2 𝑀
изотермический. На основании первого начала
𝑄23 = ∆𝑈23 + 𝐴𝑝23 ,
где ∆𝑈23 = 0 – изменение внутренней энергии, 𝐴𝑝23 =
работа расширения.
Численно:
𝑚
𝑉
∙ 𝑅 ∙ 𝑇2 ∙ ln ( 2) –
𝑀
𝑉
1
𝐴𝑝12 = 0;
3 4 ∙ 10−3
∆𝑈12 = ∙
∙ 8,31 ∙ (300 − 100) = 5000 [Дж] = 5 [кДж];
2 2 ∙ 10−3
𝑄12 = 5 [кДж];
∆𝑈23 = 0;
−3
4 ∙ 10
12
𝐴𝑝23 =
∙
8,31
∙
300
∙
ln
(
) = 5,5 [кДж];
2 ∙ 10−3
4
𝑄23 = 5,5 [кДж].
Ответ: 𝐴𝑝12 = 0; ∆𝑈12 = 5 [кДж]; 𝑄12 = 5 [кДж]; 𝐴𝑝23 = 5,5 [кДж]; ∆𝑈23 =
0; 𝑄23 = 5,5 [кДж].
Задача № 6
Система зарядов состоит из трех положительных зарядов 𝑞 = 10 нКл,
лежащих на одной прямой. Расстояние между соседними зарядами 𝑎 = 5 см.
Определить: напряженность и потенциал поля в точке 𝐴, лежащей на
перпендикуляре к прямой, соединяющей заряды и проведенном через средний
заряд и удаленной от него на расстояние 𝑏 = 8 см; силу, действующую на
заряд 𝑞0 = 5 нКл, находящийся в этой точке. Какой будет скорость заряда 𝑞0
в точке 𝐵, удаленной на 12 см, если он начал движение из точки 𝐴.
Дано:
Решение:
−9
электрического
поля,
𝑞 = 10 нКл = 10 ∙ 10 Кл Напряженность
создаваемого точечным зарядом 𝑞 на расстоянии 𝑟
𝑎 = 5 см = 0,05 м
от него, определяется выражением:
𝑏 = 8 см = 0,08 м
−9
1
𝑞
𝑞
𝑞0 = 5 нКл = 5 ∙ 10 Кл
𝐸=
∙ 2 = 𝑘 ∙ 2,
𝑐 = 12 см = 0,12 м
4 ∙ 𝜋 ∙ 𝜀0 𝑟
𝑟
Ф
𝐸−? 𝜑𝐴 −? 𝐹−? 𝜐−?
где 𝜀0 = 8,85 ∙ 10−12 [ ] - электрическая
м
постоянная, 𝑞 – величина заряда, 𝑟 - расстояние от заряда до точки, в которой
Н∙м2
определяется напряженность электрического поля, 𝑘 = 9 ∙ 109 [ 2 ] Кл
коэффициент пропорциональности.
Сделаем схематический рисунок:
На основании принципа суперпозиции искомый вектор напряженности в точке
𝐴 равен:
𝐸⃗ = 𝐸⃗1 + 𝐸⃗2 + 𝐸⃗3 ;
Заряд 𝑞1 создает в точке 𝐴 электростатическое поле, вектор напряженности
которого 𝐸⃗1 , модуль напряженности:
𝑞
𝑘∙𝑞
𝐸1 = 𝑘 ∙ 2 = 2
,
𝑎 + 𝑏2
𝑟1
где 𝑟1 = √𝑎2 + 𝑏 2 – расстояние от заряда 𝑞1 до точки 𝐴.
Заряд 𝑞2 – 𝐸⃗2 :
𝑞2 𝑘 ∙ 𝑞
𝐸2 = 𝑘 ∙ 2 = 2 ,
𝑏
𝑏
где 𝑏 – расстояние от заряда 𝑞2 до точки 𝐴.
Заряд 𝑞3 – 𝐸⃗3 :
𝑞3
𝑘∙𝑞
𝐸3 = 𝑘 ∙ 2 = 2
,
𝑎 + 𝑏2
𝑟3
где 𝑟3 = √𝑎2 + 𝑏 2 – расстояние от заряда 𝑞3 до точки 𝐴.
На основании теоремы косинусов найдем модуль суммы напряженностей
|𝐸⃗1 + 𝐸⃗3 |:
|𝐸⃗1 + 𝐸⃗3 | = √𝐸12 + 𝐸32 + 2 ∙ 𝐸1 ∙ 𝐸3 ∙ cos 𝛼 =
𝑘∙𝑞
2∙𝑘∙𝑞∙𝑏
(1
√2
∙
∙
+
cos
𝛼)
=
3;
𝑎2 + 𝑏 2
(𝑎2 + 𝑏 2 )2
Вектор 𝐸⃗2 и вектор 𝐸⃗1 + 𝐸⃗3 направлены вдоль одной прямой, поэтому искомая
напряженность в точке 𝐴:
𝑘∙𝑞 2∙𝑘∙𝑞∙𝑏
1
2∙𝑏
𝐸 = 𝐸2 + |𝐸⃗1 + 𝐸⃗3 | = 2 +
=
𝑘
∙
𝑞
∙
+
(
3
3) ;
2
𝑏
𝑏
2
2
2
2
(𝑎 + 𝑏 )2
(𝑎 + 𝑏 )2
На основании закона Кулона сила, действующая со стороны системы зарядов
на заряд 𝑞0 , равна:
1
2∙𝑏
𝐹 = 𝑞0 ∙ 𝐸 = 𝑘 ∙ 𝑞 ∙ 𝑞0 ∙ ( 2 +
3) ;
𝑏
(𝑎2 + 𝑏 2 )2
Потенциал электростатического поля есть скалярная величина, поэтому в
точке 𝐴 потенциал системы зарядов равен:
𝜑𝐴 = 𝜑1 + 𝜑2 + 𝜑3 ;
𝑘∙𝑞
𝑘∙𝑞
𝑘∙𝑞
2
1
𝜑𝐴 =
+
+
=𝑘∙𝑞∙(
+ ).
𝑏
√𝑎2 + 𝑏 2
√𝑎2 + 𝑏 2
√𝑎2 + 𝑏 2 𝑏
Работа электростатических сил по перемещения из точки 𝐴 в точку 𝐵 заряда
𝑞0 равна произведению величины заряда на разность потенциалов между
точками:
𝐴эл = 𝑞0 ∙ (𝜑𝐴 − 𝜑𝐵 ).
=
1
+ );
√𝑎2 + 𝑐 2 𝑐
2
1
2
1
𝐴эл = 𝑘 ∙ 𝑞 ∙ 𝑞0 ∙ (
+ −
− );
√𝑎2 + 𝑏 2 𝑏 √𝑎2 + 𝑐 2 𝑐
C другой стороны на основании закона сохранения энергии работа
электростатических сил равна изменению кинетической энергии заряда 𝑞0 :
𝑚 ∙ 𝜐2
2
1
2
1
𝐴эл =
= 𝑘 ∙ 𝑞 ∙ 𝑞0 ∙ (
+ −
− );
2
√𝑎2 + 𝑏 2 𝑏 √𝑎2 + 𝑐 2 𝑐
Искомая скорость заряда 𝑞0 :
𝜑𝐵 = 𝑘 ∙ 𝑞 ∙ (
2
2 ∙ 𝑘 ∙ 𝑞 ∙ 𝑞0
2
1
2
1
𝜐=√
∙(
+ −
− ).
𝑚
√𝑎2 + 𝑏 2 𝑏 √𝑎2 + 𝑐 2 𝑐
Численный ответ для скорости невозможно получить так, как неизвестная
масса 𝑚 заряда.
Численно:
1
2 ∙ 0,08
В
кВ
𝐸 = 90 ∙ (
+
=
31213
≈
31,2
)
[
]
[
];
3
(0,08)2
м
м
2
2
((0,05) + (0,08) )2
2
1
𝜑𝐴 = 90 ∙ (
+
) = 3032 [В] ≈ 3 [кВ];
2
2
0,08
√(0,05) + (0,08)
𝐹 = 5 ∙ 10−9 ∙ 31213 = 0,16 ∙ 10−3 [Н] ≈ 0,16 [мН].
кВ
Ответ: 𝐸 = 31,2 [ ] , 𝜑𝐴 = 3 [кВ], 𝐹 = 0,16 [мН].
м
Задача № 7
Определить величину и направление токов в ветвях разветвленной цепи, если
𝜀1 = 4 В, 𝜀2 = 6 В, 𝑅1 = 𝑅3 = 5 Ом, 𝑅2 = 3 Ом. Какое количество теплоты
выделится на сопротивлении 𝑅2 за три секунды? Какой заряд протечет через
𝑅2 за это время? Внутренним сопротивлением источников пренебречь.
Дано:
𝜀1 = 4 В
𝜀2 = 6 В
𝑅1 = 5 Ом
𝑅2 = 3 Ом
𝑅3 = 5 Ом
𝑡 =3с
𝐼𝑖 −? 𝑄−? 𝑞−?
Решение:
На основании первого правила Кирхгофа имеем для первого
узла:
𝐼3 = 𝐼1 + 𝐼2 ;
На основании второго правила Кирхгофа для контура
𝜀1 𝑅1 𝑅2 имеем:
𝜀1 = 𝐼1 ∙ 𝑅1 − 𝐼2 ∙ 𝑅2 ;
Для контура 𝜀2 𝑅2 𝑅3 :
𝜀2 = 𝐼2 ∙ 𝑅2 + 𝐼3 ∙ 𝑅3 ;
Имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
𝐼3 = 𝐼1 + 𝐼2
{ 𝜀1 = 𝐼1 ∙ 𝑅1 − 𝐼2 ∙ 𝑅2 ;
𝜀2 = 𝐼2 ∙ 𝑅2 + 𝐼3 ∙ 𝑅3
Решением этой системы является:
𝜀1 ∙ 𝑅2 + 𝜀2 ∙ 𝑅2 + 𝜀2 ∙ 𝑅1
4 ∙ 3 + 6 ∙ 3 + 6 ∙ 5 60
𝐼
=
=
= 1,09 [А]
3
𝑅1 ∙ 𝑅2 + 𝑅1 ∙ 𝑅3 + 𝑅2 ∙ 𝑅3
5 ∙ 3 + 5 ∙ 5 + 3 ∙ 5 55
𝜀1 + 𝜀2 − 𝐼3 ∙ 𝑅3
4 + 6 − 1,1 ∙ 5
𝐼1 =
⟹
.
𝐼1 =
= 0,909 [А]
𝑅1
5
6 − 1,1 ∙ 5
𝜀2 − 𝐼3 ∙ 𝑅3
𝐼
=
= 0,181 [А]
𝐼2 =
2
{
3
{
𝑅2
Искомое количество теплоты на основании закона Джоуля-Ленца:
𝑄 = 𝐼22 ∙ 𝑅2 ∙ 𝑡;
Искомый заряд:
𝑞 = 𝐼2 ∙ 𝑡.
Численно:
𝑄 = (0,181)2 ∙ 3 ∙ 3 = 0,3 [Дж];
𝑞 = 0,181 ∙ 3 = 0,54 [Кл].
Ответ:
𝐼1 = 0,909 [А], 𝐼2 = 0,181 [А], 𝐼3 = 1,09 [А], 𝑄 = 0,3 [Дж], 𝑞 =
0,54 [Кл].
𝐼3 =
Задача № 8
На рисунке изображено сечение бесконечно длинных, прямолинейных
проводников с током, лежащих в вершинах равностороннего треугольника.
Определить величину и направление вектора магнитной индукции в точке 𝐴.
𝐼1 = 𝐼2 = 𝐼3 = 10 А.
Дано:
Решение:
𝐼1 = 𝐼2 = 𝐼3 = 10 А На основании закона Био-Савара-Лапласа магнитное
поле, создаваемое прямым током, равно:
𝐵−?
𝜇0 ∙ 𝐼
𝐵=
,
2∙𝜋∙𝑟
Гн
где 𝜇0 = 4𝜋 ∙ 10−7 [ ] – магнитная постоянная, 𝑟 – расстояние от оси тока до
м
точки, в которой вычисляется магнитная индукция.
На основании принципа суперпозиции магнитных полей искомый вектор
индукции в точке 𝐴 равен:
⃗ =𝐵
⃗1 +𝐵
⃗2+𝐵
⃗ 3;
𝐵
⃗ 1 , модуль
Ток 𝐼1 создает в точке 𝐴 магнитное поле, вектор индукции которого 𝐵
индукции:
𝜇0 ∙ 𝐼1
𝜇0 ∙ 𝐼
𝐵1 =
=
,
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟1 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑎
где 𝑟1 = 𝑎 – расстояние от тока 𝐼1 до точки 𝐴.
⃗ 2:
Ток 𝐼2 – 𝐵
𝜇0 ∙ 𝐼2
𝜇0 ∙ 𝐼
𝐵2 =
=
,
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑎
где 𝑟2 = 𝑎 – расстояние от тока 𝐼2 до точки 𝐴.
⃗ 3:
Ток 𝐼3 – 𝐵
𝜇0 ∙ 𝐼3
𝜇0 ∙ 𝐼
𝐵3 =
=
,
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟3 2 ∙ 𝜋 ∙ √3 ∙ 𝑎
где 𝑟3 = √3 ∙ 𝑎 – расстояние от тока 𝐼3 до точки 𝐴.
⃗1 +𝐵
⃗ 2 |:
На основании теоремы косинусов найдем модуль суммы индукций |𝐵
𝜇 ∙𝐼
⃗1 +𝐵
⃗ 2 | = √𝐵12 + 𝐵22 + 2 ∙ 𝐵1 ∙ 𝐵2 ∙ cos 𝛼 = 0
,
|𝐵
2∙𝜋∙𝑎
1
где 𝛼 = 1200 и cos 𝛼 = − из построения.
2
⃗
⃗
⃗ 2 находятся во взаимно перпендикулярных
Вектор 𝐵3 и вектор 𝐵1 + 𝐵
направлениях, поэтому искомая индукция в точке 𝐴:
𝜇0 ∙ 𝐼
1
𝜇0 ∙ 𝐼
∙√ +1=
;
2∙𝜋∙𝑎 3
𝜋 ∙ √3 ∙ 𝑎
Так как расстояние 𝑎 не задано по условию, то числовой ответ невозможно
получить.
𝜇 ∙𝐼
Ответ: 𝐵 = 0 .
2
⃗1 +𝐵
⃗ 2 |) =
𝐵 = √𝐵32 + (|𝐵
𝜋∙√3∙𝑎
Задача № 9
Определить, сколько времени займет установление тока 𝐼, равного трем
четвертым от максимального, если замкнуть на источник с ЭДС ℰ = 12 В,
контур, имеющий сопротивление 𝑅 = 0,3 Ом и индуктивность 𝐿 = 0,18 Гн.
Дано:
Решение:
3
При замыкании цепи помимо внешней ЭДС ℰ возникает
𝐼(𝑡) = ∙ 𝐼0
𝑑𝐼
4
ЭДС самоиндукции ℰ𝑠 = −𝐿 , препятствующая,
𝑑𝑡
ℰ = 12 В
согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону
𝑅 = 0,3 Ом
Ома:
𝐿 = 0,18 Гн
𝑑𝐼
𝑡−?
𝐼 ∙ 𝑅 = ℰ + ℰ𝑠 = ℰ − 𝐿 ;
𝑑𝑡
Разделив в крайнем выражении переменные, получим:
𝑑𝐼
𝑑𝑡
=− ;
𝐼∙𝑅− ℰ
𝐿
Введем новую переменную:
𝑢 = 𝐼 ∙ 𝑅 − ℰ;
Тогда:
𝑑𝑢 = 𝑑𝐼 ∙ 𝑅;
𝑑𝑢
𝑅 ∙ 𝑑𝑡
=−
;
𝑢
𝐿
Интегрируя это уравнение по 𝑢 (от −ℰ до 𝐼 ∙ 𝑅 − ℰ) и 𝑡 (от 0 до 𝑡), находим:
𝐼∙𝑅− ℰ
𝑅∙𝑡
ln (
;
)=−
−ℰ
𝐿
Или
𝐼 − 𝐼0
𝑅∙𝑡
ln (
,
)=−
−𝐼0
𝐿
ℰ
где 𝐼0 = – установившийся ток.
𝑅
Искомое время:
𝐿
𝐼 − 𝐼0
𝑡 = − ∙ ln (
).
𝑅
−𝐼0
Численно:
3
∙ 𝐼0 − 𝐼0
0,18
0,18
1
𝑡=−
∙ ln (4
∙ ln ( ) = 0,83 [с].
)=−
0,3
−𝐼0
0,3
4
Ответ: 𝑡 = 0,83 [с].
Задача № 10
Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 𝐶 = 7 мкФ,
катушки с индуктивностью 𝐿 = 0,23 Гн и сопротивлением 𝑅 = 40 Ом.
Обкладки конденсатора имеют заряд 𝑞 = 0,54 мКл. Найти период колебаний
𝑇 и логарифмический декремент затухания колебаний.
Дано:
Решение:
Частота свободных затухающих колебаний
𝐿 = 0,23 Гн
−6
в электрическом колебательном контуре:
𝐶 = 7 мкФ = 7 ∙ 10 Ф
𝑅 = 40 Ом
2
1
𝑅
−3
2
𝑄0 = 0,54 мКл = 0,54 ∙ 10 Кл
𝜔 = √𝜔0 − 𝛽 2 = √
−(
) ,
𝐿∙𝐶
2∙𝐿
𝑇−? 𝜆−?
где 𝜔0 = √
1
𝐿∙𝐶
– собственная частота колебаний, 𝛽 =
𝑅
2∙𝐿
– коэффициент
затухания.
Искомый период колебаний:
𝑇=
2∙𝜋
=
𝜔
2∙𝜋
2
;
√ 1 −( 𝑅 )
𝐿∙𝐶
2∙𝐿
Логарифмический декремент затухания:
2∙𝜋
𝑅
𝜋∙𝑅
𝜆 =𝛽∙𝑇 =
∙
=
;
2 2∙𝐿
2
1
𝑅
√ 1 −( 𝑅 )
𝐿∙√
−
𝐿∙𝐶
2∙𝐿
𝐿 ∙ 𝐶 (2 ∙ 𝐿)
Численно:
2 ∙ 3,14
𝑇=
= 0,008 [с] = 8 [мс];
1
40 2
−(
2 ∙ 0,23)
0,23 ∙ 7 ∙ 10−6
3,14 ∙ 40
𝜆=
= 0,7;
1
40 2
√
0,23 ∙
−(
2 ∙ 0,23)
0,23 ∙ 7 ∙ 10−6
√
Ответ: 𝑇 = 8 [мс], 𝜆 = 0,7.
