Дискретная математика, профиль подготовки

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный педагогический университет
имени Козьмы Минина»
Факультет математики, информатики и физики
Кафедра информатики и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебно-методической
деятельности
__________Г. А. Папуткова
«__» _______20____г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Б3.В.6. Дискретная математика
Направление подготовки: 050100.62 Педагогическое образование
Профиль подготовки: Информатика и физика
Квалификация (степень) выпускника: бакалавр
Форма обучения: очная – 5 лет
Нижний Новгород
2012
Рабочая программа составлена на основе:
1.
Федерального государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование, утвержденного «17» января 2011г., № 46.
2.
Учебного плана по направлению 050100.62 Педагогическое образование по профилю подготовки Математика и информатика, утвержденного
«___» ______________ 20___г.
Рабочая программа по дисциплине «Дискретная математика» принята на заседании кафедры «Информатики и информационных технологий», протокол № ___
от «___» ______________ 20___г.
Разработчик: д.ф.-м.н., профессор
М.А.Иорданский
СОГЛАСОВАНО
Зав. кафедрой «Информатики и информационных технологий»
_________________/М.А. Иорданский/
«____»_______________20__г.
СОГЛАСОВАНО
Зав. выпускающей кафедрой «Информатики и информационных технологий»
_________________/М.А. Иорданский/
«____»_______________20__г.
СОГЛАСОВАНО
Директор библиотеки
_________________/Т. А. Ефимова /
«____»_______________20__г.
2
1. Цели и задачи дисциплины
Цель дисциплины «Дискретная математика» в системе педагогического
образования состоит в формировании у будущих учителей информатики
представлений о проблематике дискретной математики, её особенностях и
методах, ознакомлении с основными модельными объектами и связанными с
ними актуальными прикладными задачами.
Задачи дисциплины:
 сформировать представление о специфике задач дискретной математики;
 познакомить с основными понятиями теории графов;
 рассмотреть решения классических задач обхода и раскраски графов;
 познакомить с основными способами задания и представления графов;
 рассмотреть перечислительные методы комбинаторного анализа;
 выработать умения и навыки решения рекуррентных соотношений;
 рассмотреть задачи выразимости и полноты в алгебре логики.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина «Дискретная математика» относится к вариативной части профессионального цикла (Б3.В.6).
Для освоения дисциплины студенты используют знания, умения и виды
деятельности, сформированные в процессе освоения дисциплин «Алгебра и
геометрия», «Математический анализ и дифференциальные уравнения».
Освоение данной дисциплины является необходимой основой для последующего изучения дисциплин вариативной части профессионального
цикла ( «Теоретические основы информатики» и др.), а также курсов по выбору.
3. Требования к результатам освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций или их составляющих:
ОК-1  владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения;
ОК-4  способность применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования;
ОК-8  готовность использовать основные методы, способы и средства
получения, хранения, переработки информации, готов работать с компьютером как средством управления информацией.
3
В результате освоения данной дисциплины студент должен:
Знать:
 особенности дискретной математики, основные понятия и представления, факты и закономерности, характеризующие свойства абстрактных дискретных объектов;
 методы дискретного анализа, в том числе комбинаторные методы,
методы теории графов, теории рекуррентных соотношений и производящих функций, теории функциональных систем с операциями.
Уметь:
 анализировать алгоритмически разрешимые задачи и проблемы;
 реализовывать алгоритмы основных разделов дискретной математики при решении практических задач;
 применять изученные алгоритмические методы в ходе профессиональной деятельности.
Владеть:
 основными приемами решения задач комбинаторного анализа, теории графов, функциональных систем с операциями;
 навыками практической работы с дискретными объектами.
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
Всего
зач.ед.
Общая трудоемкость дисциплины
4
Аудиторные занятия
(в т.ч. в активной и интерактивной
форме)
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Вид итогового контроля
Всего часов Семестр 4
Экзамен
144
144
54
54
6
6
18
36
54
36
18
36
54
36
5. Содержание дисциплины
5.1. Тематический план
Раздел дисциплины
Введение
Раздел 1. Элементы теории графов
Количество часов
ПракСамоЛектичестояции
ские
тельная
занятия
работа
2
4
14
2
18
Итого
по разделам
дисциплины
4
36
4
1.1 Основные понятия теории графов
1.2 Задачи обхода графов
1.3 Задачи раскраски графов
Раздел 2. Способы задания графов
2.1 Матрицы и списки
2.2 Конструктивные описания графов
Раздел 3. Введение в комбинаторику
3.1 Основные операции и функции
3.2 Перечислительные методы
Раздел 4. Функциональные построения в алгебре логики
4.1 Способы задания функций
4.2 Функциональная полнота
Экзамен
Итого:
1
1
2
4
2
2
4
1
3
4
6
4
4
6
4
2
8
2
6
8
6
6
6
10
6
4
12
3
9
12
13
11
12
20
12
8
24
6
18
24
1
3
4
4
5
7
18
36
54
10
14
36
144
5.2. Содержание разделов дисциплины
Введение. Предмет дискретной математики, особенности, история развития, взаимосвязь с математической кибернетикой
Раздел 1. Элементы теории графов
1.1 Основные понятия теории графов
Абстрактный граф и его геометрическая реализация. Изоморфизм графов. Планарные графы. Критерий Понтрягина-Куратовского. Связность графов. Деревья и их свойства.
1.2 Задачи обхода графов
Необходимое и достаточное условие эйлеровости графов и его следствия. Гамильтоновы графы. Достаточные условия гамильтоновости графов.
1.3 Задачи раскраски графов
Характеризация 2-хроматических графов. Теорема Эйлера о числе
вершин, ребер и граней плоских графов. Раскраска вершин планарных графов в 6 и 5 цветов.
Раздел 2. Способы задания графов
2.1 Матрицы и списки
Основные свойства, необходимая память. Взаимосвязь задач кодирования и перечисления графов. Число помеченных графов с заданными параметрами. Асимптотически оптимальное кодирование помеченных деревьев.
2.2 Конструктивные описания графов
Основные понятия и представления. Структура и способы порождения
замкнутых классов графов. Базисы классов всех графов, мультиграфов и
обыкновенных графов, эйлеровых и планарных графов.
Раздел 3. Введение в комбинаторику
3.1 Основные операции и функции.
5
Общие принципы комбинаторики: правила суммы и произведения.
Число упорядоченных и неупорядоченных выборок с повторением и без повторения элементов.
3.2 Перечислительные методы
Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Производящие функции. Биномиальная и полиномиальная формулы. Основные тождества с биномиальными и полиномиальными коэффициентами.
Метод включения-исключения.
Раздел 4. Функциональные построения в алгебре логики
4.1 Способы задания функций
Табличный, формульный и геометрический способы задания. Принцип
двойственности. Разложение по переменным. Свойства системы P={&,V, }.
Функциональная полнота
Важнейшие замкнутые классы функций алгебры логики. Теорема Поста. Структура и способы порождения замкнутых классов функций алгебры
логики.
5.3. Разделы дисциплины и связь с формируемыми компетенциями
Наименование компетенций № разделов дисциплины, участвующих в
формировании компетенций
ОК-1
ОК-4
ОК-8
1
+
+
2
3
+
+
+
4
+
+
6. Образовательные технологии
Технологии проблемного обучения, интерактивные технологии
6.1. Темы занятий в активной и интерактивной форме
1. Изоморфизм графов – 2 ч.
2. Планарные графы – 2 ч.
3. Раскраска вершин планарных графов в 6 и 5 цветов – 2 ч.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
7.1. Основная литература:
1. Баврин И.И. Дискретная математика. – М.: Высшая школа, 2007. –
200с.
6
2. Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р.
И. Лекции по теории графов.- М.: УРСС, 2009. – 384с.
3. Костюкова Н.И. Графы и их применение. Комбинаторные алгоритмы
для программистов. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 237с.
4. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2002. – 291с.
5. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику.– М.: Наука, 2001.
– 272с.
7.2. Дополнительная литература:
6. Оре О. Теория графов. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. –
352с.
7. Мельников О.И. Обучение дискретной математике. – М.: Издательство
ЛКИ, 2008. – 224с.
8. Мельников О.И. Теория графов в занимательных задачах. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 232с.
9. Иорданский М.А. Перечисление графов: методические указания. –
Н.Новгород: НГПУ, 2000. – 12с.
10. Иорданский М.А. Конструктивные описания и экономное кодирование
графов: методические разработки. – Н.Новгород: НГПУ, 1998. – 18с.
.
7.3. Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:
www.biblioclub.ru
ЭБС «Университетская библиотека онлайн»
www.elibrary.ru
Научная электронная библиотека
www.ebiblioteka.ru
Универсальные базы данных изданий
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Реализация дисциплины требует наличия лекционной аудитории с оборудованием для презентаций.
9. Контроль и оценка результатов освоения дисциплины
Формируемые компетенции и используемые оценочные средства
№ разделов дисциплины, участвуНаимеПоказатель оценки сфорющих в формировании компетеннование
мированности компетенций
компеции
тенции
1
2
3
4
ОК -1 - владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения
7
Тест
Знает:
- историю развития дискретной математики;
- основные понятия, факты и
закономерности, характеризующие свойства абстрактных дискретных объектов.
Умеет:
- анализировать алгоритмически разрешимые задачи и
проблемы.
Владеет:
- классическими арифметическими, теоретико-числовыми
и комбинаторными алгоритмами;
Выступ
ление
на
занятии
ОК-4 – способность применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования
ВыПракти- Пра
Знает:
- основные понятия, факты и ступлеческое
кти
закономерности, характери- ние на
задание
чезующие свойства абстракт- занятии
ско
ных дискретных объектов.
е
заУмеет:
- реализовывать классические
даарифметические, теоретиконие
числовые и комбинаторные
алгоритмы при решении
практических задач;
- применять изученные алгоритмические методы в ходе
профессиональной деятельности.
Владеет:
- навыками практической работы с дискретными объектами, в том числе при осуществлении учебного процесса.
ОК-8  готовность использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации
8
Знает:
- основные понятия, факты и
закономерности, характеризующие свойства абстрактных дискретных объектов.
Умеет:
- реализовывать классические арифметические, теоретико-числовые и комбинаторные алгоритмы при решении практических задач;
- применять изученные алгоритмические методы в ходе
профессиональной деятельности.
Владеет:
- классическими арифметическими, теоретико-числовыми
и комбинаторными алгоритмами;
- навыками практической работы с дискретными объектами, в том числе при осуществлении учебного процесса
Тест
Домашняя контрольная
работа
Контрольные вопросы к экзамену
1. Предмет дискретной математики, особенности, история развития.
Взаимосвязь дискретной математики с математической кибернетикой.
2. Абстрактный граф и его геометрическая реализация. Изоморфизм и
гомеоморфизм графов. Критерий планарности графов.
3. Основные понятия теории графов. Связность графов. Деревья и их
свойства.
4. Задачи обхода графов. Необходимое и достаточное условие существования эйлерова цикла. Гамильтоновы графы.
5. Алгоритмические задачи теории графов. Алгоритмы построения эйлеровых и гамильтоновых циклов.
6. Задачи раскраски графов. Характеризация 2-хроматических графов.
Оценки хроматического числа.
7. Соотношение между числом вершин, ребер и граней в связных
обыкновенных плоских графах (теорема Эйлера и следствия из неё).
9
8. Раскраска вершин планарных графов в 6 и 5 цветов. Гипотеза 4 красок.
9. Матричные и списковые способы задания графов. Оценки необходимых объемов памяти.
10. Постановки задач экономного кодирования графов и их взаимосвязь
с задачами перечисления графов. Число обыкновенных помеченных
графов с заданным числом вершин и ребер.
11. Асимптотически оптимальное кодирование помеченных деревьев
(код Прюфера).
12. Конструктивные описания графов. Структура и способы порождения замкнутых классов графов.
13. Порождающие базисы замкнутых классов всех графов, мультиграфов и обыкновенных графов.
14. Конструктивные описания эйлеровых и планарных графов.
15. Основные комбинаторные правила, операции и функции.
16. Решение однородных и неоднородных линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами.
17. Производящие функции. Бином Ньютона. Основные тождества с
биномиальными коэффициентами.
18. Полиномиальная формула. Производящая функция для биномиальных коэффициентов.
19. Метод включения-исключения и его использование для решения
комбинаторных задач.
20. Функции алгебры логики (ф.а. л.) и способы их задания. Элементарные ф.а. л. и их свойства.
21. Принцип двойственности. Разложение ф.а. л. по переменным.
СДНФ и СКНФ.
22. Функциональная полнота системы P={&,V,-}. Теорема сведения.
Примеры полных систем.
23. Полнота и замкнутость. Важнейшие замкнутые классы ф.а. л..
24. Критерий функциональной полноты (формулировка и идея доказательства теоремы Поста).
25. Предполные классы ф.а. л. Структура и способы порождения замкнутых классов ф.а. л.
10