Тема урока: Отбор корней при решении тригонометрических уравнений Цели и задачи: дидактические: обобщение и систематизация знаний учащихся по теме « Решение тригонометрических уравнений»; закрепление основных понятий; систематизация умений и навыков по применению способов отбора корней в тригонометрических уравнениях. развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи; воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся. Ход урока: I. Организационный момент. Сформулировать цели и задачи урока. II. Актуализация знаний учащихся. Учитель: Давайте повторим основные типы уравнений и методы их решения, а также решения простейших уравнений в ходе следующих устных упражнений: 1. 2. Назовите вид уравнения и изложите грамотно способ его решения. а) 2cos2 х - cos x - 5 = 0 б) sin2 х + cos x - 8 = 0 в) 3 cos х + sin x = 0 г) sin х - 3 cos x = 1 д) 3cos x - 4sin x = 0 (или 5) е) 5 sin2 х — 8sin x cos x + cos2 x = 0 (или 2) ж) sin 2х - cosx = 0 з) cos 3х = cos х 2) 1 Назовите несколько чисел из множества чисел вида: 2 n; 2k ; 6 2k ; (1) n 4 k III. Переход к изучению нового. Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Сегодня мы на конкретных примерах рассмотрим различные способы и приемы при выборе ответа. Для нас важность этой темы связана с тем, что тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ; это задание С1 с дополнительным условием. При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов. ● Арифметический способ: а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения; б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней. ● Алгебраический способ: а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней; б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами. ● Геометрический способ: а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений; б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений. Функционально-графический: 2 Выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции Сегодня на уроке мы остановимся на наиболее часто применяемых способах отбора корней и тех способах с которыми мы еще не сталкивались. IV. Разбор примеров. Решение задач. №1. . Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим способом . Изображение корней на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2𝜋. 3x Пример 1. cos 2 x cos 2 4 Решение. Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, уравнение равносильно системе cos 2 x 1, 3x cos 4 1; x k , k Z , 8n x 3 , n Z ; Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение 8n k ; 3 8n k ; 3 Получаем k 8t , n 3t , t Z Итак, x 8t , t Z . Ответ : {8t / t Z }. Пример 2. x x cos sin x 2 sin 2 x cos x sin cos x 2 cos 2 0. 4 4 Решение. sin( x ) cos x 2; 4 5x 1, sin 4 cos x 1; 5x 2n, n Z , 2 4 x 2k , k Z ; 2 8n ,n Z, x 5 5 x 2k , k Z ; Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение 2 8n 2k ; 5 5 3 1 4n ; 5 5k 1 4n; 5k 1 n ; 4 k 1 k 1 nk , 4 4 где целое число. k 1 Пусть m, 4 k 4m 1, n 5m 1. тогда Итак, x 2 8m, m Z . k Ответ : {2 8m / m Z }. №2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой окружности (геометрический). Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений часто можно решить с помощью изображения чисел на тригонометрическом круге. В ряде случаев этот прием более наглядный и убедительный. Пример 1. cos x + cos 2x – cos 3x = 1. Решение. cos x – cos 3x – (1 – cos 2x) = 0, 2sin x sin 2x – 2sin2 x = 0, 2sin x (sin 2x – sin x) = 0, 4 sin x sin x 3x cos 0; 2 2 sin x 0, sin x 0, 2 3x cos 0; 2 x k , k Z x n, n Z 2 3x m, m Z ; 2 2 x k , k Z x 2n, n Z 2m , m Z; x 3 3 Изобразим серии корней на числовой окружности. Видим, что первая серия включает в себя корни второй серии, а третья серия включает в себя числа вида x 2k из корней первой серии. 4 0 Ответ : {2n; 3 2m / n, m Z }. 3 № 3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями. Изложенные выше способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти способы комбинируются. Пример 1. Найти корни уравнения sin 2x = cos x | cos x | , удовлетворяющие условию x [0; 2𝜋]. Решение. sin 2x = cos x | cos x |; 2sin x· cos x - cos x | cos x |=0; cos x (2sin x - | cos x |)=0; cos x 0, cos x(2 sin x cos x) 0; cos x 0, cos x(2 sin x cos x) 0; 5 cos x 0, x n, n Z , 2 1 x arctg k , k Z ; 2 cos x 0, 1 x arctg m, m Z . 2 Определим решения систем с помощью числовой окружности. 2 2 1 2 y 2 1 2 2 x 2 n, n Z , 1 x arctg 2m, m Z . 2 x arctg 1 2k , k Z . 2 3 , Условию x [0; 2𝜋] удовлетворяют числа x , x 2 2 1 x arctg 2 (для второй системы). x arctg 1 2 (для первой системы) и 3 1 1 Ответ : { ; ; arctg ; arctg }. 2 2 2 2 Пример 2. Найти все решения уравнения 1 sin 2 x 2 cos 3 x 0, Решение. ОДЗ: cos 3x ≥ 0; 2 2n 3 x 2 [ ; принадлежащие отрезку 3 ]. 2 2n, n Z ; 6 6 2n 2n x ,n Z; 3 6 3 Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге: c o s x 5 6 2 6 < c y o 7 s 0 6 6 x 3 ≥2 3 0 ] принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно Отрезку [ ; 2 [ 7 3 ; ]. . 6 2 Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку: 1 + sin 2x = 2cos2 3x ; sin 2x = cos 6x; sin 2x - cos 6x=0; sin 2 x sin( 2 cos( 4 2 6 x) 0; 2 x) sin( 4 x 2 cos( 2 x 4 ) sin( 4 x 4 4 ) 0; ) 0; cos( 2 x 4 ) 0, sin( 4 x ) 0. 4 2 x n, n Z , 4 2 4 x k , k Z . 4 3 n x 8 2 , x k , k Z . 16 4 Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из первой серии: 7 3 n 3 ,n Z; 6 8 2 2 28 9 12n 36 , n Z ; 19 12n 27, n Z . 7 11 . 8 Следовательно n=2, то есть 7 k 3 ,n Z; Из второй серии: 6 16 4 2 56 3 12n 72 , n Z ; 53 12n 69, n Z . 21 x . 16 Следовательно n=5, то есть 11 21 Ответ : { ; }. 8 16 x VI. Итоги урока. Итак, мы разобрали различные виды задач, где необходим отбор корней, рассмотрели несколько способов такого отбора. Вы в дальнейшем можете применять любой из них. Урок показал, что вы хорошо умеете решать уравнения различных типов (учитель выставляет оценки учащимся, работавшим у доски, наиболее активным учащимся) VII. Домашнее задание. Закрепить дома виды задач. 1) Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку a) cos 2x + sin x = cos2 x на [0;2π] б) sin x + cos x = 0 на [-π;π] 2) Найдите число корней уравнения из [-π;π] 3 3 sin 2 x sin 2 ( x) sin( 2 x) 2 3) Решите уравнение: а) 2 cos 2 x sin x б)* 2 cos x 1 cos x 8