Специальная теория относительности

ТЕМА 7. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
7.1. Принцип относительности Галилея
В 1905 году А. Эйнштейн сформулировал основные положения
специальной теории относительности, которая и в наше время, т.е. спустя сто
лет, по праву считается современной физической теорией пространства и
времени. В первых публикациях на эту тему использовалось английское
слово «special», что означает «частный». Это слово указывает на то, что
рассматриваемая теория развита для частного случая пренебрежимо слабых
гравитационных полей. Поскольку переводчики перевели слово «special» как
«специальный»,
в литературе на русском языке укоренился термин
«специальная теория относительности» (СТО).
Основу СТО составляют два постулата, один из которых называется
принципом относительности Эйнштейна. Прежде чем сформулировать его,
познакомимся с утверждением, которое в ньютоновской механике получило
название принципа относительности Галилея. Для этого рассмотрим
инерциальные системы отсчета K и K ' , оси абсцисс которых совпадают (рис.
7.1). Пусть штрихованная система (K ' ) движется относительно
Y'
Y
K'
K
V
P
O
O'
X
Z
X'
Z'
Рис. 7.1
нештрихованной ( K ) вдоль совпадающих осей вправо с постоянной
скоростью V . Если отсчет времени начать с момента, когда точки O и O'
совпадают, координаты частицы P в системах K и K ' будут связаны
соотношениями x  x'Vt , y  y ' , z  z ' . Поскольку в механике Ньютона
предполагается, что во всех системах отсчета время течет одинаково, имеем,
что t  t ' . Таким образом получается система четырех равенств, которая
называется преобразованиями Галилея:
(7.1)
x  x'Vt , y  y ' , z  z ' , t  t ' .
Продифференцируем первое из равенств (7.1) по переменной t :
dx dx '

V .
(7.2)
dt
dt
вместо производной dx' / dt можно использовать dx' / dt ' . С
Так как t  t ' ,
учетом этого перепишем (7.2):
1
dx dx '

V .
dt dt '
Поскольку производные dx / dt и dx' / dt ' представляют собой проекции
скорости частицы P в системах отсчета K и K ' , имеем:
(7.3)
 X   X' '  V .
Дифференцирование второго и третьего равенства системы (7.1) по аналогии
дает следующее:
(7.4)
Y  Y' ,  Z   Z' .
Систему скалярных уравнений (7.3) и (7.4) можно заменить одним
векторным уравнением
(7.5)
 ' V .
Его можно рассматривать как формулу преобразования скорости при
переходе от системы отсчета K ' к системе K , либо как закон сложения
скоростей в механике Ньютона: скорость движения частицы относительно
системы K равна сумме ее скорости относительно K ' и скорости системы K '
относительно K . Далее продифференцируем по времени равенство (7.5):
'
d d ' d V
 ' 
.
dt
dt
dt
'
(7.6)
Поскольку V - неизменный вектор, его производная по времени равна нулю.
Учтем также, что производные d / dt и d ' / dt ' представляют собой векторы
ускорения a и a ' частицы в системах K и K ' , и перепишем (7.6) в виде a  a' .
Следовательно, ускорения частицы в рассматриваемых системах отсчета
одинаковы. Умножив последнее равенство на массу частицы, получим, что
(7.7)
m a  ma ' ,
т.е. силы, действующие на частицу в обеих системах отсчета, также
одинаковы. Вместе с тем равенство (7.7) имеет значительно более глубокий
смысл: из него следует, что законы механики Ньютона в инерциальных
системах K и K ' выражаются одинаковыми уравнениями. Поскольку
системы K и K ' были выбраны произвольно, из сказанного можно
заключить, что законы ньютоновской механики формулируются
одинаковыми уравнениями во всех инерциальных системах отсчета. Этот
вывод и составляет сущность принципа относительности Галилея.
Галилей первым обратил внимание на то, что никакими опытами с
явлениями механики, поставленными в инерциальной системе отсчета,
невозможно установить, движется или покоится эта система относительно
какой-то другой системы. Физические величины, которые имеют одинаковые
численные значения в различных системах отсчета, называются
инвариантными. В качестве примера таких величин можно упомянуть массу
тела, электрический заряд и т.п. Уравнения, вид которых не изменяется при
переходе от одной инерциальной системы к другой, также называются
инвариантыми относительно преобразований координат и времени.
Воспользовавшись понятием инвариантности, принцип относительности
2
можно сформулировать так: уравнения, выражающие законы механики
Ньютона, инвариантны относительно преобразований Галилея.
7.2. Постулаты СТО
В шестидесятых годах девятнадцатого века выдающийся английский
физик Д.К. Максвелл сформулировал основные положения классической
электродинамики – теории электромагнитных явлений, обусловленных
взаимодействием и движением электрических зарядов. Более подробно
электродинамика Максвелла рассматривается во второй части нашего курса;
теперь отметим лишь, что она позволила объяснить все известные к тому
времени электрические, магнитные и оптические эффекты. Математическим
выражением этой теории является система четырех уравнений, которые
впоследствии стали именоваться уравнениями Максвелла. Из этих
уравнений, в частности, следовало, что свет – это электромагнитная волна,
распространяющаяся со скоростью 3∙108 м/с в вакууме. После публикации
основополагающих работ Максвелла у физиков сразу же возник вполне
естественный вопрос: можно ли распространить принцип относительности
Галилея на явления и законы электродинамики? Иначе говоря, можно ли
считать, что электромагнитные явления, как и явления механики, протекают
одинаково во всех инерциальных системах отсчета?
На первый взгляд кажется, что это не так. В качестве примера,
иллюстрирующего якобы невозможность такого обобщения, рассмотрим
следующий мысленный эксперимент. Пусть в системе отсчета K ' ,
движущейся относительно системы K вдоль оси OX с постоянной скоростью
V , имеется источник, излучающий параллельный пучок света вдоль
направления движения (рис. 7.2,а). Относительно наблюдателя в системе K '
свет источника, т.е. электромагнитная волна, распространяется в вакууме со
б)
a)
Y
Y' K'
S
K
V
B
C
S
A
O
O'
Z
X
X'
VV
З
B
A
S
Z'
Рис. 7.2
скоростью C  3∙108 м/с. Из закона сложения скоростей (7.5) следует, что
относительно наблюдателя в системе K этот же световой пучок будет
распространяться со скоростью C  V . Так как уравнение световой волны
представляет собой решение уравнений Максвелла, различие скоростей света
3
означает, что эти уравнения в системах K и K ' также различаются.
Таким образом, физики пришли к альтернативе: либо справедлив закон
сложения скоростей (7.5), но принцип относительности Галилея неприменим
к электромагнитным явлениям, либо справедлив принцип относительности,
но неверен закон сложения скоростей.
В 1867 году американские физики А. Майкельсон и Р. Морли провели
серию экспериментов, которые подтвердили неверность закона сложения
скоростей (7.5) (впоследствии выяснилось, что этот закон справедлив лишь в
частном случае, когда V  C ). Они измеряли время прохождения светом
источника S участка земной поверхности длиной l в направлении АВ и
обратно (после отражения от зеркала) в двух случаях (рис. 7.2,б). В первом из
них свет распространялся вдоль направления движения Земли по
околосолнечной орбите. Если бы скорость света зависела от скорости
источника, т.е. складывалась бы со скоростью его движения вместе с Землей
( VЗ  30 км/с), время прохождения светом всего пути было бы
t1 
l
l

.
C  VЗ C  VЗ
Во втором случае свет источника распространялся в направлении,
перпендикулярном движению Земли; поэтому время прохождения светом
всего пути было бы
t2 
2l
.
C
Впоследствии опыт Майкельсона и Морли многократно повторялся с
возрастающей точностью измерений, однако никакого различия значений t1
и t 2 обнаружено не было. Последняя попытка получить ненулевую разность
t1  t 2 , также оказавшаяся безуспешной, была предпринята в шестидесятых
годах уже прошлого столетия в связи с появлением лазерных источников
света.
Таким образом было установлено, что скорость распространения света
не зависит от скорости движение источника относительно наблюдателя. Если
считать, что наблюдатель находится в одной инерциальной системе, а
источник света в другой, получается, что скорость света в обеих системах
отсчета одинакова. Поскольку уравнение электромагнитной волны
представляет собой решение уравнений Максвелла, из совпадения значений
скорости света в различных системах отсчета следует, что эти уравнения
также одинаковы.
На основании подобных рассуждений Эйнштейн сформулировал два
положения,
которые впоследствии
стали называться постулатами
специальной теории относительности. Согласно первому из них, скорость
распространения света в вакууме одинакова во всех инерциальных
системах отсчета и имеет наибольшее значение в сравнении со
скоростями всех явлений и процессов, существующих в природе. Второй
постулат по существу представляет собой обобщение принципа
4
относительности Галилея: все физические явления, в том числе
электромагнитные, протекают совершенно одинаково во всех
инерциальных системах отсчета.
Существование в природе предельной скорости, равной скорости света
в вакууме, в корне меняет привычные нам представления о свойствах
пространства и времени. В частности, пространственные координаты и
время, которые в механике Ньютона и, соответственно, в преобразованиях
Галилея считаются независимыми переменными, в специальной теории
относительности взаимосвязаны. Эйнштейн показал, что для выполнения
упомянутых выше постулатов преобразования Галилея необходимо заменить
другими, более общими формулами, которые получили название
преобразований Лоренца.
7.3. Преобразования Лоренца
Эти преобразования, связывающие координаты и время в
инерциальных системах K и K ' , должны удовлетворять следующим
условиям.
1. Формулы преобразования должны быть симметричными
относительно обеих систем отсчета. Иначе говоря, штрихованные
переменные x' , y ' , z ' , t ' выражаются через нештрихованные переменные x, y, z, t
и наоборот – переменные x, y, z, t выражаются через переменные x' , y ' , z ' , t '
посредством одних и тех же формул. Например, если система K ' движется
относительно K вправо со скоростью V , то для перехода от x, y, z, t к
x' , y ' , z ' , t ' в формулы преобразования необходимо подставить численное
значение модуля скорости V . Для обратного перехода, т.е. от x' , y ' , z ' , t ' к
x, y, z, t , в эти же формулы необходимо подставить  V .
2. Если некоторая точка имеет конечные значения координат в одной
системе отсчета (т.е. находится на конечном удалении от начала координат),
то в другой системе отсчета координаты этой точки также должны иметь
конечные значения.
3. Если скорость движения системы K ' относительно K стремится к
нулю, формулы преобразования должны приводить к тождествам x'  x, y '  y ,
z'  z , t'  t .
4. Из формул преобразования должен следовать закон сложения
скоростей, в рамках которого скорость света в вакууме получается
одинаковой во всех инерциальных системах отсчета.
Первые два условия крайне ограничивают возможный вид формул
преобразования. Действительно, из рассмотрения необходимо исключить все
выражения, содержащие квадратичные, кубические и т.п. члены, поскольку в
случае
обратного
преобразования
возникает
иррациональность.
Аналогичными
рассуждениями
можно
показать,
что
формулы
преобразования имеют вид линейной функции.
5
Мы рассмотрим формулы преобразования Лоренца для простейшего
случая, когда система отсчета K ' движется относительно системы K вдоль
совпадающих осей OX и O' X ' с постоянной скоростью V (рис. 7.2,а). Как
уже отмечалось, в этом случае y '  y , z '  z . Линейные преобразования x и t в
наиболее общем виде можно представить так: x'  x  t , t '  x  t .
Коэффициенты  ,  ,  ,  в этих формулах находятся, исходя из упомянутых
выше условий 1-4. В итоге можно получить следующие формулы, которые и
представляют собой преобразования Лоренца:
x' 
x  Vt
V2
1 2
C
Vx
C 2 , y'  y , z'  z .
, t' 
V2
1 2
C
t
(7.8)
Формулы обратного преобразования отличаются от формул (7.8) знаком в
числителе:
Vx'
C 2 , y  y' , z  z' .
t
x
,
V2
V2
1 2
1 2
C
C
x 'Vt '
t '
(7.9)
В преобразованиях Лоренца «перемешаны» пространственные
координаты и время. Например, время t в системе K согласно (7.9)
определяется не только временем t ' , но и координатой x' в системе K ' . Если
же C   , t  t ' , т.е. преобразование времени по формуле Лоренца переходит
в преобразование Галилея. Следовательно, различие течения времени в
системах K и K ' обусловлено существованием в природе предельной
скорости, т.е. скорости света. Легко видеть, что при V  C все
преобразования Лоренца не отличаются от преобразований Галилея.
Таким образом, преобразования Галилея вполне справедливы при
скоростях, много меньших скорости света. Если же V  C , переменные x, t , x' t '
принимают мнимые значения. В этом проявляется то, что движение со
скоростью, большей скорости света, невозможно. Невозможна также система
отсчета, движущаяся со скоростью V  C , поскольку в этом случае
преобразования Лоренца не определены.
7.4. Некоторые следствия из преобразований Лоренца
Из преобразований Лоренца можно получить следствия, которые, на
первый взгляд, противоречат здравому смыслу. Это обусловлено тем, что
наш повседневный опыт основывается на явлениях, протекающих со
скоростями, значительно меньшими скорости света. Например, мы уверены,
что если какое-либо событие происходит одновременно в двух точках одной
инерциальной системы отсчета, то в любой другой инерциальной системе эти
события будут также одновременны.
6
Относительность одновременности. Предположим, что в системе K
в двух точках с координатами x1 и x 2 в момент времени t происходят два
одинаковых события (для определенности будем считать, что x1  x 2 ).
Найдем, в какой момент времени эти же события произойдут в системе K ' ,
которая движется относительно системы K вправо вдоль совпадающих осей
абсцисс со скоростью V (рис. 7.3). Применяя преобразования
Y
Y'
K'
V
K
O
O'
X
X'
Z'
Z
Рис. 7.3
Лоренца, имеем:
Vx1
Vx
t  22
2
'
C , t 
C ; t. '  t '   x 2  x1  V .
t1 
2
2
1
2
V2
V2
V2 C
1 2
1 2
1 2
C
C
C
'
'
'
Поскольку по условию x1  x 2 , разность t.2  t1  0  t 2  t1 ' . Это означает, что
в системе K ' рассматриваемое событие произойдет вначале в точке с
координатой x 2 ' , а затем в точке x1 ' .
Таким образом, в любой инерциальной системе отсчета, кроме K ,
t
события происходят в различные моменты времени; более того,
последовательность наступления событий может изменяться. Понятно, что
это относится лишь к тем событиям, которые не имеют причинноследственной связи. Если же одно из событий – это причина, а другое
событие – следствие, тогда их порядок не нарушается. Например, распад
элементарной частицы не может предшествовать ее рождению.
Относительность пространственных и временных промежутков.
Сравним длину одного и того же стержня в инерциальных системах отсчета
K и K ' . Будем считать, что стержень расположен вдоль совпадающих осей
абсцисс, неподвижен относительно штрихованной системы, на него не
действуют деформирующие силы. Система K ' движется относительно K со
скоростью V , как показано на рис. 7.3,а. Длину стержня в системе K ' можно
найти как разность координат его конца и начала: l '  x2'  x1' . Длина этого же
стержня в системе K также равна разности соответствующих координат в
определенный момент времени: l  x2  x1 . Для того чтобы сравнить величины
7
l ' и l , выразим координаты x1' и x 2' через координаты x1 и x 2 по формуле
(7.8):
x1' 
x1  Vt
V2
1 2
C
x 2  Vt
, x2' 
V2
1 2
C
, x2'  x1' 
x 2  x1
V2
1 2
C
.
Поскольку l  x2  x1 , l '  x2'  x1' , получим:
l' 
l
V2
1 2
C
 l  l' 1 
V2
.
C2
Таким образом, длина стержня, т.е. его размер вдоль направления
движения, в системе K будет меньше, чем в системе K ' . Это следствие,
полученное с использованием преобразований Лоренца, называется
лоренцевым сокращением длины; поперечные размеры тела при этом не
изменяются. Следует подчеркнуть, что сокращение размеров в направлении
движения – чисто кинематический эффект; при этом в теле не возникает
каких-либо внутренних напряжений, обусловленных его деформацией.
Теперь сравним длительность промежутков времени в системах K и
K ' . Для этого предположим, что в системе K ' в одной и той же точке с
координатой x' в моменты времени t1' и t 2' происходят два события,
разделенные временным промежутком t '  t 2'  t1' . Далее, воспользовавшись
формулой (7.9), найдем моменты наступления этих же событий в системе K ,
и их разность:
Vx'
Vx'
t 2'  2
'
'
2
C , t 
C , t  t  t  t 2  t1 .
t1 
2
2
1
V2
V2
V2
1 2
1 2
1 2
C
C
C
'
'
Заменив в последнем выражении t 2  t1 на t ' , получим:
t1' 
t 
t '
V2
1 2
C
 t '  t 1 
V2
.
C2
(7.10)
Время, отсчитанное по часам системы K ' , называется собственным
временем. Из равенств (7.10) следует, что промежуток собственного времени
меньше соответствующего промежутка, отсчитанного по часам системы K . С
точки зрения наблюдателя, находящегося в этой системе, t - это промежуток
времени, измеренный по неподвижным часам, t ' - промежуток, отсчитанный
по часам, движущимся относительно него вместе с системой K ' . Поскольку
t '  t , можно сказать, что движущиеся часы идут медленнее покоящихся.
В качестве подтверждения такого вывода рассмотрим следующее
явление. В составе космического излучения имеются мюоны (  -мезоны) –
частицы, рождающиеся на высоте около 30 км от поверхности Земли. Они
8
распадаются, причем собственное время их жизни составляет в среднем 2
мкс. Двигаясь со скоростью, мало отличающейся от скорости света, мюоны
до распада пролетали бы расстояние около 600 м, не достигнув земной
поверхности. Тем не менее значительная их часть попадает на Землю, где
регистрируется приборами. Это объясняется именно тем, что в земной
системе отсчета время жизни мюонов, движущихся со скоростью, близкой к
скорости света, примерно в 50 раз больше собственного времени жизни.
Вполне естественно, что в связи с рассмотренными следствиями из
преобразований Лоренца возникают два вопроса. Во-первых, почему до
создания специальной теории относительности вся совокупность имевшихся
опытных фактов находилась в полном согласии с представлениями об
абсолютном характере размеров тел и об абсолютном (едином) времени? Вовторых, является ли сокращение размеров движущихся тел и замедление
времени движущихся часов реальным или кажущимся?
Ответ на первый вопрос весьма прост. Дело в том, что до
экспериментов А.Майкельсона и Р.Морли физики просто не сталкивались с
процессами, протекающими со скоростями, близкими к скорости света. При
«обычных» скоростях (значительно меньших световой) можно с достаточной
степенью точности пользоваться ньютоновскими представлениями о
пространстве и времени. Более того, к моменту создания Эйнштейном
теории относительности опыты Майкельсона и Морли были единственным
бесспорным свидетельством о недостатках механики Ньютона. За истекшие
100 лет ситуация коренным образом изменилась – теория относительности
превратилась в одну из основ современной физики. В частности, все
основные соотношения этой теории в настоящее время широко используются
в физике ядра и элементарных частиц для практических расчетов.
В отношении второго вопроса необходимо отметить, что весьма
распространенные выражения «кажущееся сокращение длины» и
«кажущееся замедление хода часов» следует считать неудачными.
Использующие их стремятся таким образом подчеркнуть чисто
кинематический характер этих явлений. Вместе с тем сокращение длины и
замедление хода часов – это реальный и объективный факт, но не иллюзии
наблюдателя. Само собой разумеется, что все значения длины тела или
промежутков времени, полученные в различных системах отсчета, следует
считать истинными. Трудность понимания утверждений о сокращении длины
и замедлении хода часов обусловлена исключительно нашей привычкой
считать понятия длины и промежутка времени абсолютными понятиями, в то
время как они – понятия относительные, т.е. справедливые относительно
конкретной системы отсчета. Поэтому так же бессмысленно спрашивать,
какая длина является истинной, а какая – кажущейся, как бессмысленно
говорить, что данное тело покоится или движется. Понятия длины и
промежутка времени столь же относительны, как и понятия движения или
покоя.
9
7.5. Релятивистский закон преобразования скоростей
Как уже отмечалось, преобразования Галилея и закон сложения
скоростей (7.5) справедливы при скоростях движения тел и систем отсчета,
значительно меньших скорости света в вакууме. Преобразования Лоренца,
справедливые при любых скоростях, называют релятивистскими
преобразованиями координат и времени. Аналогично этому все явления,
протекающие при околосветовых скоростях,
и свойственные им
закономерности также называют релятивистскими явлениями и законами.
Найдем релятивистский закон преобразования скорости частицы при
переходе от системы отсчета K ' к системе K (система K э движется
относительно K , как показано на рис. 7.3). Координаты вектора скорости
частицы в системе K - это соответствующие производные:
X 
dx
dy
dz
, Y  ,  Z  .
dt
dt
dt
Аналогично в системе K ' :
 X' ' 
dx'
dy '
dz '
, Y' '  ,  Z' '  .
dt '
dt '
dt '
Далее воспользуемся преобразованиями Лоренца
Vx'
C2 .
y  y' , z  z' , t 
x
,
V2
V2
1 2
1 2
C
C
t '
x 'Vt '
Используя формулы для вычисления полного дифференциала функций
нескольких переменных (предварительно их нужно привести), можно
показать, что
Vdx'
dx 'Vdt '
C2 .
dy  dy ' , dz  dz' , dt 
dx 
,
V2
V2
1 2
1 2
C
C
dt '
(7.11)
Разделим первое из равенств (7.11) на четвертое:
dx dx'Vdt '

.
Vdx'
dt
dt ' 2
C
Разделив далее числитель и знаменатель дроби в правой части последнего
равенства на dt ' , получим:
dx'
V
dx
dt
'
.

V dx'
dt
1 2
C dt '
10
Поскольку
dx
dx'
 X ,
  X' ' , имеем:
dt
dt '
 X' '  V
X 
V X' '
1
C2
(7.11А)

По аналогии найдем соотношения, связывающие Y и Y' ' ,  Z и  Z' ' :
V2
dy '
V2
V2
Vdx'
'
dy ' 1  2
1 2
Y ' 1  2
dt ' 2
dy dt '
C
C
C
C ; dy 

dy  dy ' , dt 
,
,
. (7.12)
Y 
'
2
Vdx
'
V
dx
'
dt
dt
V

V
dt ' 2
1 2
1  2X '
1 2
dt
'
C
C
C
C
V2
dz '
V2
V2
Vdx'
'
dz ' 1  2
1 2
Z' 1  2
dt ' 2
dz
dz dt '
C
C
C
C


dt

;
,
, Z 
. (7.13)
dz  dz' ,
2
Vdx
'
V
dx
'
dt
dt
V X' '
V
dt
'

1

1 2
1 2
C2
C 2 dt '
C
C
Воспользовавшись преобразованиями Лоренца
x' 
x  Vt
1
V2
C2
Vx
C2 ,
, y'  y , z'  z , t ' 
V2
1 2
C
t
можно получить формулы, выражающие проекции скорости частицы в
системе отсчета K ' через проекции скорости в системе K :
'X ' 
X V
,  Y' ' 
V X
1
C2

Y 1 
V2
C2
V
1  2X
C
,  Z' ' 
Z 1 
V2
C2
V
1  2X
C
.
(7.14)
Легко видеть, что они отличаются от соответствующих выражений (7.11А),
(7.12) и (7.13) лишь знаком перед слагаемым, содержащим модуль V .
Нетрудно убедиться в том, что при V  C формулы (7.11А), (7.12)(7.14) переходят в формулы преобразования скоростей нерелятивистской
механики Ньютона. Например, в простейшем случае, когда вектор скорости
частицы направлен вдоль положительного направления оси абсцисс,
 X     ,  X' '   '   ' .
Используя релятивистский закон (7.11А), получим:

 'V
.
V '
1
(7.15)
C2
11
Если V  C , т.е.
V
 0 , выражение (7.15) принимает «нерелятивистский»
C
вид:    'V .
Предположим теперь, что в системе отсчета K ' вдоль оси абсцисс
движется фотон, т.е.  '  C . По формуле (7.11а) имеем:
C V
  C .
VC
1 2
C
Таким образом, если частица движется в системе K ' со скоростью света, ее
скорость в системе K также равна C . Этот результат не является

неожиданным, поскольку релятивистский закон сложения скоростей
выведен с использованием преобразований Лоренца. В свою очередь, эти
преобразования получены на основе двух постулатов, один из которых
гласит, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах
отсчета.
Далее предположим, что  '  C , а V  C   , где  - сколь угодно малая
положительная величина (мы не можем считать V  C , т.к. при этом в
преобразованиях Лоренца возникает неопределенность). В таком случае
C  C 
(C  C   )C
 
  C .
(C   )C
C  C )
1
C2
Следовательно, если  '  C , а V  C , скорость частицы в системе K все

равно не превышает скорости света.
7.6. Основы релятивистской динамики
До сих пор в рамках рассматриваемой темы речь шла о релятивистской
кинематике.
Действительно, мы познакомились с релятивистскими
преобразованиями координат и времени (преобразованиями Лоренца),
рассмотрели некоторые кинематические следствия из них (относительность
одновременности, относительность пространственных и временных
промежутков), и вывели закон преобразования скорости в различных
инерциальных системах отсчета. Далее речь пойдет об основах
релятивистской динамики: здесь мы рассмотрим понятия релятивистского
импульса, определение полной и кинетической энергии частицы, а также
взаимосвязь массы и энергии.
Релятивистский импульс. Согласно принципу относительности
Эйнштейна, все законы сохранения, как и прочие законы физики, должны
выполняться во всех инерциальных системах отсчета. Проверим,
выполняется ли в релятивистском случае закон сохранения импульса,
определяемого по хорошо известной формуле ньютоновской механики
(7.15А)
p  m .
Для этого рассмотрим абсолютно неупругое центральное соударение двух
одинаковых частиц массой m , движущихся в системе K ' навстречу друг
12
другу вдоль оси O' X ' . Пусть скорости частиц будут по модулю одинаковы и
равны модулю скорости V движения системы K ' относительно K (рис. 7.4).
Легко видеть, что в системе K ' суммарный импульс частиц до и после
соударения равен нулю, т.е. он сохраняется:
m1' X '  m 2' X '  mV  mV  0
(здесь 1' X '  V и  2' X '  V - проекции скорости частиц на ось O' X ' системы
K ' ). Используя формулу (7.11А), найдем проекции скоростей этих частиц на
ось OX системы K :
Y'
K'
Y
m
K
m
 2'
1'
V
X'
O'
X
O
Z'
Z
Рис. 7.4
1 X 
1' X '  V
; 1' X '  V , 1 X 
'
1 X 'V
1
2X
C2
' V
;  2' X '
 2X '
 V
1  2 X2
C
2V
;
V2
1 2
C
V V
 V  2 X 
 0.
V2
1 2
C
Следовательно, в системе K суммарный импульс частиц до соударения
m
2V
2mV
.
 m0 
2
V
V2
1 2
1 2
C
C
После соударения обе частицы покоятся относительно системы K ' , поэтому
их суммарный импульс в системе K равен 2mV .
Таким образом, в системе K суммарный импульс частиц до и после
соударения не одинаков. Можно показать, что при скоростях, близких к
скорости света, закон сохранения импульса выполняется в обеих системах
отсчета, если импульс частиц определен по формуле
p
m
1
2
.
(7.16)
C2
Легко видеть, что при   C p  m , т.е. из релятивистского импульса
частицы получается импульс механики Ньютона.
13
Необходимо отметить, что ранее формула (7.16) истолковывалась поиному:
m
p
1
Здесь множитель
m
1
2
 .
C2
рассматривался
2
как
релятивистская
масса
C2
частицы, m - ее масса покоя. В рамках современных представлений масса
покоя частицы считается инвариантной величиной и называется просто
массой.
Релятивистские формулы для энергии. Как уже отмечалось, в
механике Ньютона используются две эквивалентные формулировки второго
закона:
ma  F ,
dp
F.
dt
Известно, что инвариантной относительно
преобразований Лоренца является лишь одна из них, а именно
dp
F.
dt
(7.16А)
Сделав здесь замену (7.16), придем к основному уравнение релятивистской
динамики для поступательного движения:


d  m
2
dt 
 1 

C2




F.



(7.17)
Для того чтобы получить релятивистское выражение для кинетической
энергии, будем считать, что под действием силы F за промежуток времени
dt частица совершила перемещение d r  dt . Если уравнение (7.16А)
представить в виде d p  Fdt , то уравнение (7.17) можно переписать
следующим образом:




 m 
d
 F dt .
2 

 1


2 
C


В
результате
ряда
тождественных
преобразований




mC
1

2
2
WK 
 mC  WK  mC 
 1 .
2
2

 1 

1 2


2
C
C


получается,
что
2
Можно показать, что при   C
WK 
(7.18)
m 2
, т.е. релятивистское выражение
2
14
для кинетической энергии переходит в формулу механики Ньютона.
Уже неоднократно отмечалось, что все законы физики, в том числе и
закон сохранения энергии, должны выполняться во всех инерциальных
системах отсчета. Огромный экспериментальный материал, накопленный в
физике элементарных частиц, свидетельствует о том, что закон сохранения
энергии инвариантен относительно преобразований Лоренца лишь в том
случае, если свободная (не подверженная действию сил) релятивистская
частица массой m кроме кинетической энергии обладает еще энергией,
равной mC 2 . Следовательно, свободная частица обладает энергией
W  WK  mC 2 .
Сделав в этом равенстве замену (7.18), получим:




mC 2
1

2
2
.
mC

1

mC

W

W


2
2

 1 

1 2


2
C
C


Эта энергия называется полной энергией частицы. Если же частица
неподвижна (   0 ), она обладает энергией W0  mC 2 , которая называется
энергией покоя.
Энергия покоя – это внутренняя энергия частицы. В случае
макроскопического тела его энергия покоя состоит из энергии покоя всех
частиц тела, а также кинетической энергии движения частиц относительно
центра масс тела плюс потенциальная энергия их взаимодействия. Особо
следует отметить, что термин «полная энергия» в релятивистской механике
(сумма кинетической энергии и энергии покоя тела) имеет иной смысл, чем
полная механическая энергия в механике Ньютона (сумма кинетической и
потенциальной энергии тела).
Взаимосвязь массы и энергии. Из соотношения W0  mC 2 следует, что
всякое изменение массы тела на m сопровождается изменением его
энергии покоя на W0  mC 2 . Это утверждение получило название закона
взаимосвязи массы и энергии.
Взаимосвязь массы и энергии приводит к тому, что суммарная масса
взаимодействующих частиц не сохраняется. В качестве иллюстрации этого
рассмотрим следующий пример. Пусть две одинаковые релятивистские
частицы массой m , движущиеся с одинаковыми по модулю и
противоположно направленными скоростями, претерпевают абсолютно
неупругое столкновение, в результате которого образуется составная
неподвижная частица. До соударения полная энергия обеих частиц была
W1 
2mC 2
1
2
,
C2
после соударения полная энергия образовавшейся частицы W2  MC 2 ( M - ее
15
масса). Из закона сохранения энергии следует:
2mC 2
1
2
C2
 MC 2  M 
2m
1
2
 M  2m .
C2
Таким образом, масса образовавшейся частицы больше суммарной
массы сталкивающихся частиц. Это обусловлено тем, что их кинетическая
энергия превратилась в эквивалентное количество энергии покоя, а это в
свою очередь привело к увеличению массы. При распаде неподвижной
частицы на несколько разлетающихся в разные стороны частиц наблюдается
обратное явление – сумма масс образовавшихся частиц оказывается меньше
массы исходной частицы на величину, равную суммарной кинетической
энергии, деленной на C 2 .
16