Творец синтетической геометрии ИСТОРИЯ (к 215-летию со дня рождения Якоба Штейнера) ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2013
Вып. 1(13)
ИСТОРИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК
УДК 514 (092)
Творец синтетической геометрии
(к 215-летию со дня рождения Якоба Штейнера)
Н. Н. Макеев
Институт проблем точной механики и управления РАН
Россия, 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24
nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33
Приводятся краткое жизнеописание и некоторые научные
достижения выдающегося швейцарского математика XIX в.
Якоба Штейнера.
Ключевые слова: история синтетической геометрии;
свойства геометрических фигур; система Штейнера;
сеть Штейнера.
Путь в науке 
развивающихся и в настоящее время. В его
работах содержатся элементы теоретико-множественных представлений в проективной
геометрии. Он является продолжателем научных идей и трудов швейцарского математика
Симона Антуана Люилье (1750−1840).
Я.Штейнер как исследователь в истории
математики – явление феноменальное: будучи
в юношестве малообразованным ("…[он] едва
умел читать и писать…" [4]), в течение семи
лет, благодаря своим способностям и тяге к
знаниям, сумел получить школьное, а затем и
несистематическое университетское математическое образование. Многие математические истины он постигал самостоятельно, будучи по складу личности самоучкой [5]. Через
14 лет после прерывания учебы в университете, несмотря на постоянную материальную
необеспеченность и жизненную неустроенность, он становится профессором математики Берлинского университета, а за год до этого избирается членом Берлинской Академии
наук.
В марте 2011 г. исполнилось 215 лет со
дня рождения выдающегося швейцарского геометра, одного из создателей проективной
геометрии, автора замечательных открытий в
синтетической геометрии, профессора Берлинского университета имени Гумбольдта,
члена Берлинской Академии наук, Якоба
Штейнера (18. 03. 1796–01. 04. 1863) [1].
Достижения Я. Штейнера в геометрии
огромны. Его труды обогатили науку многими важными и глубокими теоремами. Он создал ряд оригинальных геометрических методов, среди которых – известный четырехшарнирный метод построения плоских геометрических фигур [2]. Им была упорядочена и систематизирована основная (по Ф.Клейну) идея
о проективном образовании сложных геометрических образов из более простых [3, c. 164],
заложены основы геометрических теорий,

© Макеев Н. Н., 2013
69
Н. Н. Макеев
Как ученый-геометр, Я.Штейнер является “…"крупнейшим представителем" "золотого века" немецкой геометрии… колоритной
и противоречивой фигурой. В [нем] уживались фантастическая геометрическая интуиция и необычайный консерватизм…” [5]. Благодаря своим оригинальным научным трудам
Я.Штейнер занимает достойное место в ряду
классиков мировой математической науки.
Настоящая статья посвящена памяти
выдающегося математика, чьи научные достижения явились крупным вкладом в геометрию и нашли различные применения в
решении ряда актуальных проблем современной науки и техники.
родке Иверден вблизи Берна. Обучение и
проживание для Якоба были бесплатными,
поскольку его семья не располагала необходимыми средствами.
В школе Я.Штейнер учился четыре года, а
после ее окончания стал в ней преподавать математику. Однако его руководитель понял, что
возможности и способности Якоба далеко превосходят уровень школьного педагога. Поэтому
И.Песталоцци настоятельно порекомендовал
Якобу продолжить свое образование. Желая
поддержать своего талантливого ученика и воспитанника, он выдал Якобу некоторую сумму
денег на дорогу и на первое время проживания в
чужом городе. В дальнейшем Якобу предстояло
обеспечивать себя самому. И.Песталоцци надеялся на то, что Якоб окончит университет и затем сам выберет свой жизненный путь. Однако,
как оказалось, эти надежды в полной мере не
осуществились [4].
В 1818 г. Я.Штейнер приезжает в город
Гейдельберг, где находился ближайший к
Ивердену Гейдельбергский университет, в который он поступил и обучался до 1821 г. За
три года обучения он прослушал лишь несколько учебных курсов. Причина этого – недостаток времени, которое он был вынужден
тратить на ведение частных уроков с тем,
чтобы обеспечить своё существование. Никакой другой профессии, кроме профессии
школьного учителя математики, он не имел.
Поэтому Якоб был вынужден перегружать себя частными занятиями, за которые платили
мало, поскольку он не имел серьезного образования. Эти занятия не давали Я.Штейнеру
возможности систематически заниматься в
университете.
В Гейдельберге Я.Штейнер познакомился с некоторыми математиками, что давало ему возможность профессионального общения, необходимого для творческой деятельности.
В 1821 г. открылась вакансия преподавателя математики в Берлинском частном институте Пламанна (аналог классической гимназии).
Возможность стать штатным преподавателем
привлекала Я.Штейнера тем, что это обеспечивало регулярный заработок и, следовательно,
более высокую материальную обеспеченность.
Однако для занятия этого места требовалось
сдать экзамены на право преподавания.
Я.Штейнер выехал в Берлин. В институте кандидата на должность учителя спросили, знаком ли он с учебной программой;
Жизнь и творческая деятельность
Якоб Штейнер (Jakob Steiner) родился 18
марта 1796 г. в деревне Утценедорф, вблизи города Золотурна в Швейцарии, в семье бедного
крестьянина. До 18 лет в школе он не учился;
помогал отцу в работе по хозяйству. Жизнь
Якоба изменилась с тех пор, как ему довелось
встретиться с Иоганном Генрихом Песталоцци
(1746–1827), выдающимся швейцарским педагогом-гуманистом. Именно ему мировая математика обязана тем, что он открыл новый математический талант. И.Песталоцци считается основоположником теории начального обучения,
основанной на сочетании обучения с производительным трудом в целях формирования гармонически развитого человека. Он является одним из основоположников концепции развивающего образования.
Для реализации своих педагогических
идей им была основана начальная школаинтернат для обучения детей бедняков. Сотрудники Песталоцци собирали по всей
Швейцарии способных к учебе детей, родители которых не могли оплатить их учебу в
частных школах.
В 1814 г. один из сотрудников Песталоцци встретил в горах Швейцарии юношу,
работавшего пастухом. Как оказалось, он едва
освоил начала грамотности, хотя самоучкой
приобрел некоторые познания в математике и
в особенно интересовавшей его астрономии.
Это был Якоб Штейнер. Любознательность
Якоба и его интересы настолько поразили сотрудника Песталоцци, что он убедил его отца
отпустить сына на учёбу.
В том же году 18-летний Якоб был принят для обучения в школу-интернат, руководимую И.Песталоцци, находившуюся в го-
70
Творец синтетической геометрии (к 215-летию … Якоба Штейнера)
Я.Штейнер ответил отрицательно. Действительно, в прусских гимназиях в качестве обязательных предметов изучались латынь и
древнегреческий язык, о которых Я.Штейнер
только слышал. На экзамене по математике он
показал превосходные знания по геометрии,
но недостаточные – по алгебре и тригонометрии. По математическому анализу уровень
знаний был весьма низок [5]. И все же вопрос
о замещении должности был решен в пользу
Я.Штейнера. Здесь решающую роль сыграли
его выдающиеся способности, глубокие знания по геометрии и представленные им превосходные рекомендации. Он был принят
учителем математики на определенных условиях. Я.Штейнеру было разрешено в течение
двух лет преподавать математику во всех
классах, за исключением выпускного. Но за
это время он должен был сдать экзамены по
курсу гимназии и дополнительный экзамен по
математике. В результате экзамены по курсу
гимназии Я.Штейнер так никогда и не сдал, а
экзамен по математике сдал значительно позже. За несдачу экзаменов в установленный
срок он был отстранен от преподавания.
В связи с открытием в Берлине городского промышленного училища (аналог реального училища) Я.Штейнер в 1825 г. переходит в него для преподавания математики.
Эта работа привлекала Я.Штейнера тем, что в
училище было увеличено (по сравнению с
гимназией) количество учебных часов на математику и естественные науки и не преподавались древние языки, поэтому их знание не
требовалось и от учителей училища.
Я.Штейнер был зачислен помощником
учителя математики и только в 1829 г., после
сдачи дополнительных экзаменов, был принят
старшим учителем.
Работа Я.Штейнера в гимназии и училище носила нестабильный характер. Временами он покидал постоянную, обеспеченную
работу и снова занимался частными уроками.
Это было вызвано его нетерпимым и раздражительным характером: он с увлечением занимался со способными учениками, сочиняя
для них индивидуальные задания и вопросы.
Остальные ученики его раздражали, поскольку Я.Штейнер не понимал, что некоторые из
них могут и не иметь способностей и интереса
к математике. Но, уходя в очередной раз из
училища, он неизменно возвращался вновь;
математический талант Я.Штейнера ценился
высоко [5].
Большой жизненной удачей Я.Штейнера явилось его знакомство с любителем математики, богатым промышленником, талантливым инженером и железнодорожным магнатом Августом Леопольдом Крелле (Крелль,
1780−1855), который наметил создать и регулярно выпускать математический журнал. Инженер А.Крелле известен, в частности, тем,
что, как талантливый организатор, помогал
многим выдающимся математикам [6].
Первый в Европе специализированный
математический журнал появился в 1810 г. во
Франции под названием "Анналы чистой и
прикладной математики" ("Les annales de la
mathematiques pures et appliquées"). Его основателем и редактором (1810–1831) являлся
французский математик Жозеф Диас Жергонн
(1771−1859), а журнал кратко называли "Анналы Жергонна".
А.Крелле решил основать профессиональный журнал, издаваемый в Германии. Намечая возможный состав авторов журнала, он
прежде всего предполагал участие двух неизвестных профессиональным математикам людей: недоучившегося норвежского студента
Н.Абеля и школьного учителя Я.Штейнера, в
талант которых он верил.
С 1826 г. А.Крелле начал выпускать ставшее впоследствии известным издание "Журнал чистой и прикладной математики"
("Journal fur die reine und angewandte Mathematik"). Основное содержание его первого
выпуска (как и содержание последующих номеров) составляли статьи, представленные
Н.Абелем и Я.Штейнером. Показательно, что
только в первых трех томах этого журнала
было помещено 15 работ Я.Штейнера [5].
За время издания этого журнала в нём
публиковали свои работы многие выдающиеся математики Европы [6]. В частности, в т.17
журнала была опубликована новаторская работа Н.И.Лобачевского "Geometrie imaginaire"
("Воображаемая геометрия").
В журнале А.Крелля, несмотря на его
название, публиковались почти исключительно
теоретические работы, в силу чего его прозвали
"Журнал чистой неприкладной математики" (J. …
unangewandte Math. "). Этот журнал до 1855 г. был
известен как "Журнал Крелле", с 1855 по 1880 г. –
"Журнал Борхардта", а с 1880 г. – как "Журнал
Кронекера" [6]. Новый журнал был настолько авторитетен, что математики стали называть его
"первым математическим журналом мира", в связи с чем Ж.Жергонн закрыл свой журнал [6].
71
Н. Н. Макеев
С появлением журнала Крелле судьба
Я.Штейнера круто изменилась к лучшему. Он
получил хорошую возможность распространять и отстаивать свои научные идеи и укреплять свой профессиональный авторитет.
В 1834 г. А.Крелле, используя свое влияние, инициирует избрание Я.Штейнера в
Берлинскую Академию наук по отделению
математики. Основанием для избрания явились его оригинальные научные труды, опубликованные в журнале Крелле. Следующим
шагом, предпринятым также при участии
А.Крелле, явилось избрание Я.Штейнера экстраординарным профессором Берлинского
университета имени Гумбольдта по естественнонаучному отделению. В связи с этим в
1835 г. Я.Штейнер покидает Берлинское городское промышленное училище.
В дальнейшем оказалось, что посредственный школьный учитель Я.Штейнер проявил себя как выдающийся университетский
профессор. В школе его раздражали неспособные ученики, не имеющие интереса к математике, а в университете интересующиеся
геометрией студенты вдохновляли Я.Штейнера. Большой успех имели его яркие и глубоко содержательные лекции, а также привычка постоянно ставить на лекциях геометрические задачи, для решения которых он вызывал слушателей к доске. Впечатлял даже
швейцарский акцент необыкновенного профессора [5].
Успехи, достигнутые Я.Штейнером в
науке, позволили ему считать себя признанным лидером немецкой геометрии. В силу
этого любые отступления кого-либо от созданных им установок и взглядов заставляли
его реагировать болезненно. Подтверждением
этого является характер отношения Я.Штейнера к научным трудам Ю.Плюккера.
Профессор Боннского, Берлинского
университетов и университета в Галле Юлиус
Плюккер (1801–1868), член Парижской Академии наук (с 1867 г.), являлся авторитетным
геометром в Германии того времени. Он был
сторонником аналитического направления в
геометрии, использующего алгебраический
аппарат. Поскольку Я.Штейнер признавал
только чисто геометрические методы, то работы Ю.Плюккера вызывали у него протест.
Кроме того, Ю.Плюккер в своих работах допускал небольшие погрешности, обычно легко устранимые, что непременно использовал
Я.Штейнер для своих нападок. Резкая и порой
несправедливая критика Я.Штейнера заставила Ю.Плюккера на некоторое время прекратить исследования и публикацию работ по
геометрии и заняться физикой. Он вновь вернулся к исследованиям по геометрии лишь
после смерти Я.Штейнера, достигнув выдающихся успехов в этой области.
Последние два года жизни Я.Штейнер
много болел; его здоровье было подорвано
перенапряжением и лишениями, перенесенными им в ранние годы. Поехав в очередной
раз для лечения на свою родину, в Швейцарию, он скончался 1 апреля 1863 г. в Берне, в
гостинице, в полном одиночестве. В своем завещании он оставил 8 тысяч талеров Берлинской Академии наук для учреждения премии
за сочинения по синтетической геометрии.
Другую денежную сумму Я.Штайнер завещал
руководству швейцарского кантона, где он
родился, на премию за успехи в изучении математики ученикам начальной школы для детей бедняков [5].
Так окончил свой жизненный путь выдающийся математик XIX-го в., гениальный
творец синтетической геометрии.
Научное творчество
Научные достижения Я.Штейнера в области геометрии многочисленны и разнообразны. Здесь рассматриваются лишь некоторые из них.
Планиметрические задачи на построение
Еще во время преподавания в промышленном училище, подбирая задачи для способных учеников, Я.Штейнер приобрел стойкий интерес к задачам элементарной геометрии, сохранившийся у него на всю оставшуюся жизнь.
Известен класс планиметрических задач
на построение, "разрешимых по Евклиду";
решения этих задач сводятся к применению
аксиом Евклида и к построению с помощью
линейки и циркуля. В 1672 г. в Амстердаме
была издана книга датского геометра Георга
Мора (1640−1697) "Датский Евклид", в которой доказана теорема: "Все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, разрешимы также с помощью одного лишь циркуля" (теорема Г.Мора – Л.Маскерони).
Я.Штейнер рассматривал построения,
проводимые с применением лишь одной линейки при наличии на плоскости:
• двух параллельных прямых или отрез-
72
Творец синтетической геометрии (к 215-летию … Якоба Штейнера)
ка прямой, разделенного заданной точкой в
данном рациональном отношении;
• параллелограмма;
• квадрата;
• окружности с известным центром.
Он установил, что в случае окружности
разрешимы все евклидовы задачи на построение.
Из многочисленных теорем, доказанных
Я.Штейнером, в качестве примера приведем
следующие две теоремы.
Теорема 1 (Штейнера). Ортоцентры четырёх треугольников полного четырехсторонника (ПЧ) принадлежат одной прямой (прямой Штейнера ПЧ).
Теорема 2 (Штейнера). Для каждого ПЧ
его прямая Штейнера ортогональна его прямой Гаусса.
чины Я.Штейнера [8].
Задача Штейнера. Определить число
всевозможных невырожденных коник, касающихся данных пяти коник.
Я.Штейнер не привел полного решения
этой задачи, а рассмотрел лишь ее отдельные
частные случаи [7].
В 1859 г. французский математик Эрнест де Жонкьер, ученик М.Шаля, нашел полное решение задачи Я.Штейнера, но не решился опубликовать свой результат. Этот результат – 3264; он был позднее опубликован
М.Шалем [8].
Задача Я.Штейнера имеет важное историческое значение, поскольку поиски её строгого и полного решения способствовали развитию нового направления математики – алгебраической геометрии. В связи с этим следует отметить, что существует не только элементарное решение этой задачи методом
М.Шаля, но и ее строгое решение методами
алгебраической геометрии [9, гл. 6, п. 1].
Я.Штейнер является автором интересной планиметрической конструкции, названной впоследствии построением Штейнера.
Оно состоит в том, чтобы с применением одной только линейки провести прямую, параллельную данному отрезку прямой с заданной
его серединой через известную точку, не принадлежащую данному отрезку [2].
Французский математик Даниэль Лемус
(1780−1863), профессор Берлинской инженерной школы, участвовавший в издании журнала Крелля, сформулировал следующее
утверждение: "Если в треугольнике длины
биссектрис двух внутренних углов равны, то
этот треугольник равнобедренный".
В 1840 г. Д.Лемус послал эту формулировку Я.Штейнеру с предложением привести
её геометрическое доказательство. Я.Штейнер
требуемое доказательство получил и с тех пор
это утверждение называется теоремой Штейнера – Лемуса [7]. Однако Я.Штейнер привёл
довольно сложное доказательство и это побудило математиков на поиски более простых
способов доказательства. В результате работы, связанные с доказательством этой теоремы, появлялись в печати в 1842, 1844, 1848
годах и затем почти каждый год с 1854 по
1864 г., а также в большом количестве и в течение следующего века.
Поризм Штейнера
Я.Штейнером доказана следующая теорема о цепочке взаимно касающихся окружностей ("ожерелье Штейнера") [7].
Теорема (Штейнера). Пусть дана цепочка окружностей A j ( j  1, ..., n), в которой
каждая окружность касается двух соседних и
двух данных непересекающихся окружностей
Bi (i  1, 2). Тогда для любой окружности С1,
касающейся В1, В2, существует аналогичная
цепочка из n касающихся окружностей Cj (j =
1, … n).
Изопериметрические задачи
С древних времен известна изопериметрическая задача о круге, однако ее решение
требовало доказательства. Я.Штейнер провёл
его, применяя созданный им четырехшарнирный метод [7]. В середине 19-го века, когда
работал Я.Штейнер, его доказательство считалось вполне удовлетворительным. Однако
впоследствии выяснилось, что оно не полное
и, следовательно, не строгое [10].
Фактически Я.Штейнером было строго
доказано лишь следующее утверждение: "Если фигура наибольшей площади среди всех
плоских фигур заданного периметра существует, то эта фигура – круг".
Таким образом, Я.Штейнером не было
доказано существование геометрической фи-
Задача Штейнера о кониках
Эта классическая задача – одна из самых знаменитых геометрических задач
XIXв.; она поставлена Я.Штейнером (1848) и
решена французским геометром М.Шалем
(1793−1880) в 1864 г., год спустя после кон-
73
Н. Н. Макеев
гуры наибольшей величины площади. К концу
XIX в. Г.Шварц (1843–1921) и В.Бляшке (1885–
1962) строго доказали существование решения
данной изопериметрической задачи, чем и завершили ее окончательное решение.
Помимо изопериметрической задачи о
круге Я.Штейнер установил ряд изопериметрических свойств призматических и пирамидальных геометрических фигур. Применяя
два различных метода, он доказал, что среди
всех пространственных фигур с заданными
равновеликими поверхностями шар имеет наибольший объем [7].
– Кавальери (задача ФТК, 1640):
• на плоскости найти точку N, для которой
сумма расстояний от нее до каждой из трёх
заданных точек М1, М2, М3, находящихся в той
же плоскости и не расположенных на одной
прямой, наименьшая.
Как оказалось, решение этой задачи инвариантно относительно количества заданных
точек и размерности евклидова пространства
Rn [10].
Я.Штейнер получил чисто геометрическое решение этой задачи. Впоследствии точку N назвали точкой Штейнера, а систему
отрезков (ребер), соединяющих точки, – сетью Штейнера.
Существует следующее обобщение данной задачи.
Обобщенная евклидова задача Штейнера. В пространстве R3 дано множество М, состоящее из n точек Mk (терминалов), не расположенных на одной прямой. Требуется построить систему отрезков прямых, соединяющих
эти точки, наименьшей суммарной длины.
В общей постановке эта задача впервые
была сформулирована в 1934 г. М.Кёсслером
и В.Ярником [12]. Однако данная проблема не
вызвала интереса до 1941 г., когда Р.Курант
(1888−1972) и Г.Роббинс (1915–001) поместили ее в своей книге [13], где ими был введен
термин "задача Штейнера". Они связали эту
задачу с исследованиями Я.Штейнера, поскольку задача ФТК и обобщенная задача Штейнера имеют множество общих свойств.
В современной литературе приводится
следующая формулировка проблемы Штейнера:
• из многообразия всех сетей (связных
одномерных континуумов), затягивающих
данное конечное множество М терминалов
плоскости, найти сеть наименьшей длины
[14].
Решение этой задачи называют абсолютно минимальной сетью, затягивающей
множество М, или деревом Штейнера для
этого множества.
Несмотря на видимую простоту постановки, эта задача поиска оптимальных топологий, относящаяся к классу комбинаторных
задач минимизации, является NP-трудной
[15]. Это означает, что для проблемы Штейнера, по-видимому, не существует полиномиального алгоритма решения. Однако для немногих случаев был найден и реализован экспоненциальный алгоритм – алгоритм З.Мел-
Система Штейнера
Одно из важнейших понятий современной теории множеств и криптологии. Системой Штейнера J(p, q, r) называется набор qэлементных подмножеств (блоков) на непустом r-элементном множестве М, такой, что
любое p-элементное подмножество из М содержится точно в одном подмножестве данного набора. ■ При этом перестановки элементов множества М, сохраняющие систему
Штейнера, называются её автоморфизмами.
У.Вулхаус (1844) сформулировал проблему существования системы Штейнера, а
П.Киркман (1847) решил ее для системы
троек Штейнера. Сам Я.Штейнер (1853) рассматривал данную систему для случая, при
котором q  p  1 [7].
Понятие системы Штейнера применяется в теории кодирования. В частности, с помощью специальных пар систем троек Штейнера порядка n была решена проблема построения неизоморфных замещений неориентируемых поверхностей [11, c. 7].
Сети Штейнера
Я.Штейнером была решена простейшая
трёхточечная задача о сетях [10], которая впоследствии трансформировалась в глобальную
проблему, имеющую большое теоретическое
и прикладное значение. Существо этой проблемы состоит в следующем.
Сетью Штейнера множества точек
M  {M k } (k  1, ... n) называют односвязный граф, обладающий определенными заданными свойствами, определяющими комбинаторную структуру [10].
С этой сетью связана проблема Штейнера, прообразом которой является знаменитая трёхточечная задача Ферма – Торричелли
74
Творец синтетической геометрии (к 215-летию … Якоба Штейнера)
зака [15].
Ввиду этого проблема Я.Штейнера до
настоящего времени решена лишь для отдельных случаев. В случае, при котором n > 3,
Я.Штейнер привел лишь отдельные примеры
минимальных сетей.
пределительных систем;
• для оптимизации систем обустройства газовых и нефтяных месторождений.
Существуют и многие другие применения теории сетей Штейнера [15].
Теорема Штейнера в механике
Применения теории сетей Штейнера
В теоретической механике имеет место
теорема геометрии масс о взаимосвязи между
моментами инерции механической системы
относительно заданной оси и параллельной ей
оси, проходящей через центр масс системы
(теорема Штейнера) [18, c. 277].
Эта теорема была известна ещё Х.Гюйгенсу (1629–1695) и впервые была строго доказана в 1763 г. Л.Эйлером (1707–1783).
Я.Штейнер "… этой теоремы не доказывал"
[19, c. 142].
Разрешимые случаи задачи Я.Штейнера
имеют ряд применений. Важнейшим из них
является использование ее решения при разработке интегральных электронных плат.
Более короткая сеть проводящих линий
на интегральной плате требует меньше времени прохождения цикла зарядки-разрядки по
сравнению с более длинной сетью и повышает быстродействие всей сети. При этом конфигурация сети имеет прямоугольную (двухнаправленную) структуру, поскольку ее проводящие линии обычно прокладываются в
двух направлениях – горизонтальном и вертикальном. В связи с этим ставится следующая
прямоугольная версия задачи Штейнера:
• найти дерево Штейнера, соединяющее все
терминалы, используя только горизонтальные
и вертикальные прямолинейные отрезки.
Задача в такой постановке впервые была исследована в 1965 г. М.Хэнаном (корпорация IBM, США) [16].
Эффективное
применение
задача
Штейнера нашла и в области биологии, исследующей происхождение видов. Это исследование привело к построению эволюционного дерева Штейнера (филогенетического дерева) для выделенной группы биологических
видов. Здесь эволюционные деревья моделируются в филогенетических пространствах.
Для этого был применён генетический алгоритм, выделяющий некоторое абстрактное
множество точек. В дереве Штейнера для этого множества точки Штейнера соответствуют
наиболее вероятностным предкам, а ребра дерева представляют генетическую связь между
данным организмом и его предком. Эта связь
обладает наименьшим числом мутаций [17].
Помимо этого теория сетей Штейнера
применяется:
• для описания моделей транспортных коммуникаций и трубопроводных сетей в задачах
минимизации расходных материалов на прокладку путей и коммуникаций, информационных и электрических сетей;
• в построении теоретико-графовых оптимизационных моделей для газо- и нефтерас-
Я.Штейнер − ученый и человек
Как отмечалось, Я.Штейнер во многом
являлся противоречивой личностью. В нём
уживались непостижимая геометрическая интуиция и необычайный консерватизм, выражавшийся в категорическом неприятии координатно-аналитического метода и комплексных чисел в геометрии. Он был искренне уверен, что они ведут к "… уничтожению истинного духа геометрии" [5]. Как представитель
"чистой" (синтетической) геометрии он был
убеждён в том, что геометрию нужно изучать
умозрительно, без привлечения каких-либо
вычислений. Он утверждал, что "расчет заменяет мышление, а ("чистая") геометрия,
напротив, это мышление укрепляет". В частности, он утверждал, что синтетический метод в геометрии является наиболее пригодным для установления основных положений,
открывающих "истинную природу и действительную причину" минимаксных свойств геометрических фигур.
По его убеждению, каждая геометрическая задача должна иметь чисто геометрическое решение. Если же Я.Штейнеру не удавалось найти геометрическое решение задачи,
то он считал эту задачу не решенной и ее решения не публиковал [5]. Именно по этой
причине многие теоремы Я.Штейнера дошли
до нас без доказательств.
Вероятно, на этой почве у Я.Штейнера
возникла устойчивая неприязнь к жившему в
одно с ним время другому геометру – Юлиусу
Плюккеру, представлявшему аналитическое
75
Н. Н. Макеев
направление в геометрии. Его аналитический
подход к решению геометрических задач был
крайне антипатичен такому "чистому" геометру, как Я.Штейнер. Это обстоятельство
усугублялось значительным социальным и
образовательным неравенством между ними:
Я.Штейнер, выходец из бедной крестьянской
семьи, так и не получил полного университетского образования; Ю.Плюккер происходил
из семьи рейнских промышленных магнатов и
был чрезвычайно богат. Он учился в университетах Бонна, Гейдельберга, Берлина и Парижа (в Сорбонне), тогда как Я.Штейнер не
прошел полный курс обучения в Гейдельбергском университете [7].
Однако, несмотря на принципиальную
непримиримость этих двух выдающихся математиков, каждый из них внес свой значительный вклад в геометрию.
Полное собрание сочинений Я.Штейнера было издано К.Вейерштрассом [7].
странстве R2 , содержащая сумму трёх функционалов Г.Минковского (1864−1909). Эти
функционалы позволяют идентифицировать
геометрию паттерна в рамках "морфологических" координат – периметров, площадей и
связности соответственно [21].
К этому можно отнести и применение
теории Я.Штейнера в исследовании динамики
геофизических систем на основе геометрии
матричных данных [22].
Следует ожидать, что идеи и результаты
работ Я.Штейнера найдут дальнейшее развитие и применение в различных областях современной науки и техники.
Список литературы
1. Штейнер Яков // Энцикл. словарь Брокгауза и Ефрона: в 86 т. (82 т. и 4 доп. т.).
СПб. 1890−1907. Т. 39 А (78). 1903.
2. Штейнер Якоб // Шеренга великих математиков: сб. ст. (Изд-ие на рус. яз.). Варшава: Наша Ксенгарня, 1970. С. 86−87.
3. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в
19 столетии: в 2 ч. М.; Л.: ОНТИ, 1937.
Ч.1. 432 с.
4. Яглом И.М. Якоб Штейнер (из истории
геометрии) // Квант. 1988. № 7. С. 2−9.
5. Steiner Jakob // Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Leipzig: Duncker & Humblot. 1893. Bd. 35. S. 700−703.
6. Боголюбов А.Н. Математики. Механики.
Биографический справочник. Киев: Наукова думка, 1983. 640 с.
7. Weierstrass K. Jacob Steiner’s Gesammelte
Werke. Berlin: Druck und Verlag von G.
Reimer. 1881−1882. 527 s.
8. Kleiman S.L. Chasles’s enumerative theory
of conics: a historical introduction. Studies in
Algebraic Geometry // Studies in Math. 1980.
Vol. 20. P. 117−138.
9. Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии: в 2 т. М.: Мир,
1982. Т.2. 366 с.
10. Протасов В.Ю. Максимумы и минимумы
в геометрии. М.: Моск. центр непрерывного математического образования, 2005.
56 с.
11. Соловьева Ф.И. Комбинаторные методы
построения и исследования кодов: автореф. дис. … д-ра физ.-мат. наук / Ин-т математики им. С.Л.Соболева РАН (СО).
Новосибирск, 2008. 37 с.
Заключение
Я.Штейнер, формулируя полученные
им теоремы, часто не приводил их доказательств. Поэтому его работы стали сокровищницей плодотворных идей, требующих
разработки и доказательства. Это создавало
побудительный мотив к новым изысканиям в
области геометрии.
Он открыл поверхность, названную впоследствии его именем, с двойной бесконечностью конических сечений на ней, которую
называют также римской поверхностью.
Я.Штейнер строил свою проективную
геометрию строго систематически, переходя
от перспективности к проективности, а затем
к коникам. В течение многих лет синтетическая геометрия обогащалась новыми результатами, сохраняя основы, заложенные геометрами XIX в., в том числе Я.Штейнером [20].
Творческий гений Я.Штейнера интуитивно предопределил выбор интересных во
многих отношениях направлений его исследований. В них вошли задачи, которые явились не только значительным вкладом в геометрию, но оказались востребованными и в
настоящее время.
Примером современной востребованности его идей служит описание геометрии физических полей, проводящееся методами диагностики с применением контурных статистик, использующих результаты Я.Штейнера.
Здесь применяется формула Штейнера в про-
76
Творец синтетической геометрии (к 215-летию … Якоба Штейнера)
12. Jarnik V., Kossler M. O minimalnich grafeth
obeahujiicich n danijch bodu // Cas. Pest.
Mat. a Fys. 1934. Bd. 63. S. 223−235.
13. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. М.: Моск. центр непрерывного математического образования, 2001. 568 с.
14. Гилберт Э.Н., Поллак Г.О. Минимальные
деревья Штейнера // Кибернетич. сб. Новая сер. 1971. Вып. 8. С. 19−50.
15. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные
машины и труднорешаемые задачи. М.:
Мир, 1982. 416 с.
16. Hanan M. On Steiner’s problem with rectilinear distance // SIAM Journal Appl. Math.
1966. Vol. 14. P. 255−265.
17. Берн М.У., Грэм Р.Л. Поиск кратчайших
сетей // Scientific American (Изд. на рус.
яз.). 1989. № 3. С. 64−70.
18. Никитин Н.Н. Курс теоретической меха-
19.
20.
21.
22.
ники. М.: Высш. шк., 1990. 607 с.
Павловский М.А., Акинфиева Л.Ю., Бойчук
О.Ф. Теоретическая механика. Динамика.
Киев: Высш. шк., 1990. 480 с.
Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1990. 256 с.
Макаренко Н.Г. Геометрия и топология физических полей из астрономических цифровых изображений // Физика плазмы в солнечной системе: материалы конф. / Ин-т
космических исследований РАН; Главная
астрономическая обсерватория РАН. СПб.,
2011. 39 с.
Макаренко Н.Г. Реконструкция динамики
геофизических систем из геометрии и топологии матричных данных: автореф. дис.
… д-ра физ.-мат. наук / Ин-т математики
АН Республики Казахстан. Алма-Ата,
2005. 32 с.
The creator of the synthetic geometry
(to the 215-years from the birthday of Jacob Steiner)
N. N. Makeyev
Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences
Russia, 410028, Saratov, Rabochaya st., 24
nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33
The brief biography and some scientific achievement of the Jacob Steiner, outstanding Swiss mathematician of the 19 century are described in this article.
Key words: history of the synthetic geometry; properties of a geometrical figures; net of Steiner;
system of Steiner.
77