ВЫНУЖДЕННЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ВНЕШНИМ ТРЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ

ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Нелинейные динамические системы
Вып. 45
Межвузовский сборник научных трудов
2013
УДК 539.3
И.И. Сафаров, З.И. Болтаев,
К.К. Рахмонов, А.О. Умаров
Бухарский инженерно-технологический институт
Республика Узбекистан, 105017, Бухара, ул. К. Муртазаева, 15
safarov54@mail.ru; (+99893455-44-24), (+998936247928)
ВЫНУЖДЕННЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ
КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ
С ВНЕШНИМ ТРЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ
Рассматриваются вынужденные колебания цилиндрических тел с внешним трением. Предполагается, что продольная координата не влияет на процесс колебаний, в
этом случае система дифференциальных уравнений Ламе
распадается на две независимые задачи. Получены численные значения амплитуды колебаний в зависимости от
частот и коэффициентов трения.
Введение. Моделирование колебаний тел, находящихся в
деформируемой среде, осуществлено различными методами [1,
2, 3, 4]. Исследование динамического напряженно-деформируемого состояния трубопроводов в грунтовой среде относится к
сложным задачам механики деформируемого тела. В работах [5,
6] окружающая трубопровод деформируемая среда заменяется
пружинками, при этом учитываются линейные и нелинейные
восстанавливающие силы. Однако проблемы подбора коэффициента восстанавливающих сил и их влияния на динамический процесс не исследованы. Не рассмотрен также вопрос соответствия
© Сафаров И.И., Болтаев З.И., Рахмонов К.К., Умаров А.О., 2013
114
И.И.Сафаров, З.И. Болтаев и др. Вынужденные установившиеся колебания …
предлагаемых моделей динамическому поведению трубопроводов. В данной работе моделируются колебания трубопровода как
цилиндрического тела с радиусами r0 и R, находящегося в деформируемой среде (рисунок 1), которая заменяется вязким
демпфером в радиальном и касательном направлениях. Основной
целью работы является исследование вынужденных колебаний
цилиндра с внешним трением на границе и сравнение полученных результатов для тел, находящихся в упругой среде, с результатами работы [3].
Постановка задачи. Рассмотрим задачу о колебаниях
бесконечного упругого цилиндра с внешним трением на границе
(рис. 1). Замкнутая система уравнений свободных малых колебаний упругого цилиндрического тела имеет вид

2u
 u     grad div u  f   2 ,
t
 i j   i j  2 i j ,
2
где
u
u ,u ,u 
r

z
(1)
– вектор перемещений;  ,  – коэффициенты
Ламе;  – плотность цилиндра;  ij – тензор напряжений;  ij –

тензор деформаций; f – вектор внешней нагрузки.
1
r

R
f t 
2
r0
х
Рис. 1. Расчетная схема цилиндрических тел с вязким
внешним трением
115
ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2013
На внешней границе r  R заданы или перемещения r0 ,
или внешние нагрузки. Внешняя нагрузка может воздействовать
на внутреннюю поверхность цилиндрического тела r  r0 и на
внешнюю поверхность цилиндра r  R ; u  0 . На внешней по-

верхности r  R задано напряжение n  
u
и перемещение
t
u  0 при r  r0 . Заданы также начальные условия:


u
u t 0  0;
t 0  0 .
t
Методы решения. Рассмотрим задачу в цилиндрической системе координат (r ,  , z ). Предполагая, что координата z
не влияет на процесс колебаний, получим систему уравнений,
распадающуюся на две независимые задачи [2]:
u
 rz
2 z
1  z  rz



 f;
r
r 
r
t 2
 r 
 z
 rz   

;
z 
 r
 z
 
 z   

;
 
 z
u
u
u
u
u
u
u
 
116
u
u
u u
 rr 1  r  rr   
2 r



 fr ;
r
r 
r
t 2
 r 1   2
2 

  r  
 f ;
r
r 
r
t 2
 r
 r 1  

 rr  2
 

 r ;
r
r 
r 
 r
1  r  

 r  2 

  ;
r
r 
 r 
1  

 r 1  

 2 
 r   

 r
r 
r 
r 
 r 
 r
u u
u u
u
u u
(2,а)
(2,б)
И.И.Сафаров, З.И. Болтаев и др. Вынужденные установившиеся колебания …
с краевыми условиями при r  R :
 rz  
u
 z
,
t
(2,с)
u
u
 r





,
rr
1

t

(2,d)
 
 r   2
,
t

где R – радиус цилиндра;  ,1 , 2 – параметры внешнего трения. При r0    0 :
 rz  

 z 
u
 rr

 r

 r
 
u
u



.
(3,а)

Назовем краевую задачу (2,а) антиплоской, а (2,б) – плоской, или задачей о плоских колебаниях цилиндра.
Рассмотрим задачу об антиплоских вынужденных установившихся колебаниях цилиндра (2,а).
Если вынуждающая сила f  F r eit cos n , то решение
уравнения (2,а) записывается в виде uz  r eit cos n и задача о колебаниях в перемещениях примет вид
 u
(4)
 u  
  2u  F  0
r r
с краевыми условиями
u
iu r r  
0
u
r
0,
r R
где  – частота вынуждающей силы.
Линеаризованная по  задача выглядит следующим образом:


  u  u   i u  f  0,
r




u

 i
r R

u
r R
; u r0   0.
117
ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2013
Для нахождения разложения коэффициентов решения в
ряд воспользуемся результатами работы [7], в которой для собственных функций спектральной задачи получены два соотношения обобщенной ортогональности. Для упругого тела с внешним трением они принимают вид
xk , xe 1   vk ve  1 vk ... ve d ,
(5,а)
xk , xe 2    vk ve  vk ve d   vk Bvedr,
(5,б)

r

1
где xk , xe – любые два решения краевой задачи, соответствую-
щие различным собственным значениям;  – область решения
задачи. В нашем случае кольцо с внутренней окружностью
r  r0 , с внешней – r=R, 1   – тензор упругих напряжений,
u ,V
v
– собственные функции формы краевой задачи
u
 
xk   k  ,
 Vk 
u
 
xe   e  .
 Ve 
Для нашей конкретной задачи соотношения ортогональности принимают вид
xk , xe 1  2   ikuk ieue r  ukuerdr ,
R
(6)
a
R
xk , xe 2  2   ikukue  ieukue rdr  2ukue R rRa .
(7)
a
u , а уравне-
Далее умножим скалярно уравнение (6) на r
k
ние (7) на rVk :
u  r u  iu  f ru dr  0 ,

2   
a
R

R
2  V   i
a
118
k
u rV dr  0 .
k
И.И.Сафаров, З.И. Болтаев и др. Вынужденные установившиеся колебания …
Сложив полученные уравнения и произведя замену переменных в одном из интегралов  ru   u dr  d  ru  , получим




u d  ru    VV rdr  i  Vu rdr i  uV rdr   fu rdr   0.
R
2  
a
R
R
k
R
k
R
k
a
k
a
k
a
a

(8)
Подставив в (8) выражения


и V   ciVi и интегри-
u  cu
i
i 1
i
i 1
руя по частям, получим первый интеграл:


2 


u ru  r  c uudr     c V V rdr 




R

a
i 1
R
a
k
i
i
R

a
i 1
k
i i
k
u rdr i     c u V rdr  f u rdr   0 . (9)


 i     ciVi 

a  i 1
R
R
k
a

R
 i1
i
i

k
k
a

1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
5
10
15
20
Рис. 2. Зависимость собственных форм от
частоты вынуждающей силы
Теперь, учитывая краевые условия

u

r
r e
u ur   0 ,
 i ,
0
выражение (9) можно записать в виде
119
ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2013

R
i 1
a
u u r  uurdr  2i  c     i V u  u i u rdr 

 ci 2  ii iik
k
i
k
i 1
R
R
a
a
i
i i
k
i
k
k

R
u u R   fu rdr  0.
 2
k
i
k
a
Используя выражения для скалярных квадратов (7), (8) и
учитывая, что xk , xe 1  0 , x k , xe 2  0 при  k   e , получим
ck xk , xk 1  ick xk , xk 2   f , k   0,
f , k 
.
ck 
xk , xk 1  i xk , xk 2
u
u
Известно [7], что k  
Тогда ck 
для
x, x 1
x, x 2
 f , uk 
.
 k  i xk , xk 2
.
Теперь, зная выражение
ck , можем найти решение рассматриваемой задачи

x   ck xk . Интегралы при вычислении скалярного квадрата и
k 1
 f , xk  находились численным методом Ромбера.
Численные результаты. Результаты представлены на
рис. 2 (показаны зависимости собственных форм от частоты вынуждающей силы: 1 – представление решения в виде суммы
двух слагаемых, 2 – решение в виде суммы четырех слагаемых)
для   0,2 соответственно.
В таблице даны значения относительной погрешности
решения в виде ряда (в процентах) для различных значений параметра внешнего трения и различных частот вынуждающей
силы.
120
И.И.Сафаров, З.И. Болтаев и др. Вынужденные установившиеся колебания …
121
ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2013
Выводы. Для всех рассмотренных параметров внешнего
трения, в том числе и для   1 , уже при шести учтенных членах разложения погрешность составляет порядка 1–2%. При
этом нельзя не отметить, что при очень малых   0,2–0,5 и при
очень больших   10 даже при четырех членах разложения
погрешность составляет десятые доли процента.
Амплитуды перемещений точки внутренней поверхности
(    / 2 ) цилиндрического тела, находящегося в упругой среде
[3, 5], возникающие при воздействии гармонических волн, сравнивали с результатами данной работы. Результаты обеих работ сов-


падают в области длинных волн  0 

 1 с разницей до 20%.


R
Библиографический список
1. Рашидов Т.Р. Динамическая теория сейсмостойкости
сложных систем подземных сооружений. Ташкент: Фан, 1973.
182 с.
2. Рашидов Т.Р., Дорман И.Я., Ишанходжаев А.А. Сейсмостойкость тоннельных конструкций метрополитенов. М.:
Транспорт, 1975. 120 с.
3. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в
многосвязных телах. Киев: Наука думка, 1972. 254 с.
4. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой. Киев: Наука думка, 1979. 183 c.
5. Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативнонеоднородных средах и конструкциях. Ташкент: Фан, 1992.
250 с.
6. Базаров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.М. Численное
моделирование колебаний диссипативно-неоднородных и однородных механических систем. Новосибирск: Сиб. отд. РАН,
1996. 189 с.
7. Неймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.
М.: Наука, 1968. 528 с.
122