го члена арифметической прогрессии

Разработка урока алгебры в 9 классе по теме
«Определение арифметической прогрессии.
Формула 𝒏- го члена арифметической прогрессии»
учителя математики МКОУ «Никулинская ООШ»
Мартыновой Ирины Александровны.
Тип урока: комбинированный урок-практикум.
Цель: Формирование понятия арифметической прогрессии как одного из видов
последовательностей, вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии.
Задачи:
Образовательные – повторить понятие последовательности, закрепить умение находить члены
числовой последовательности, заданной формулой 𝑛 – го члена. Познакомить учащихся с
определением арифметической прогрессии, вывести формулу 𝑛 – го члена арифметической
прогрессии. Научить находить 𝑛 – й член арифметической прогрессии.
Развивающие – вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и
различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии;
сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной
ситуации.
Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности,
умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Арифметическая
прогрессия», карточки для выполнения теста.
Ход урока.
I. Организационный момент. На экране высказывание:
СЛАЙД 2
Закончился XX век,
Куда стремится человек,
Изучен космос и моря,
Строенье звезд и вся земля,
Но математиков зовет
Известный лозунг
“Прогрессия – движение вперед!”
Тема сегодняшнего урока - арифметическая прогрессия. На этом уроке мы узнаем, какая
последовательность называется арифметической прогрессией, выясним, как отличить её от других
последовательностей; познакомимся с формулой 𝑛 −го члена арифметической прогрессии и
научимся применять её при решении задач.
Проверим, как вы усвоили материал прошлого урока.
II. Актуализация опорных знаний.
1. Устная работа:
- С каким понятием мы познакомились на предыдущем уроке? (С понятием последовательности).
1
- Объясните, как вы понимаете, что такое последовательность. (Последовательность – это
числовой ряд, заданный некоторой формулой или правилом).
- Какими могут быть последовательности? (Последовательности могут быть конечными и
бесконечными).
- Приведите примеры бесконечных и конечных последовательностей. (Последовательность четных
положительных чисел 2;4;6;8;10;… бесконечна, последовательность двузначных чисел
10;11;12;13;… конечна).
- Как называются числа, образующие последовательность? (Числа, образующие последовательность,
называются членами последовательности).
СЛАЙД 3
- Последовательность (𝑎𝑛 ) задана формулой 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 3. Найдите: 𝑎1 , 𝑎5 , 𝑎70 , 𝑎𝑘 . Как называется
такой способ задания последовательности? (С помощью формулы n-го члена последовательности).
СЛАЙД 4
- Назовите три первых члена последовательности (𝑏𝑛 ), если 𝑏1 = 7, 𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛 + 3. Как называется
такой способ задания последовательности? (Рекуррентный способ).
2. Проверка домашнего задания.
Ребята, на экране представлено решение вашего домашнего задания. Необходимо проверить, верно
ли оно выполнено.
СЛАЙДЫ 5 – 8
№565 (г). Найдите первые шесть членов последовательности, заданной
формулой 𝑛 – го члена: 𝑥𝑛 = (−1)𝑛+1 ∙ 2.
Решение:
𝑥1 = (−1)1+1 ∙ 2 = −12 ∙ 2 = −2, (неверно, получится 2)
𝑥2 = (−1)2+1 ∙ 2 = (−1)3 ∙ 2 = −2,
𝑥3 = (−1)3+1 ∙ 2 = (−1)4 ∙ 2 = −2, (неверно, получится 2)
𝑥4 = (−1)4+1 ∙ 2 = (−1)5 ∙ 2 = −2,
𝑥5 = (−1)5+1 ∙ 2 = (−1)6 ∙ 2 = 2,
𝑥6 = (−1)6+1 ∙ 2 = (−1)7 ∙ 2 = −2,
№ 566. Последовательность (𝑏𝑛 ) задана формулой 𝑏𝑛 = 2𝑛2 + 3𝑛. Найдите 𝑏5 , 𝑏10 , 𝑏50 .
Решение:
𝑏5 = 2 ∙ 52 + 3 ∙ 5 = 50 + 15,
𝑏10 = 2 ∙ 102 + 3 ∙ 5 = 200 + 15 = 215,
𝑏50 = 2 ∙ 502 + 3 ∙ 50 = 500 + 150 = 650. (неверно, 5000+150=5150)
№569 (г). Выпишите первые пять членов последовательности (𝑎𝑛 ), если:
Решение:
𝑎1 = 3, 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 −1 .
𝑎1 = 3, 𝑎2 = −3, 𝑎3 = 3, 𝑎4 = −3, 𝑎5 = 3.
𝟏
𝟏
(неверно, 𝑎1 = 3, 𝑎2 = 𝟑 , 𝑎3 = 3, 𝑎4 = 𝟑 ,
𝑎5 = 3).
III. Изучение нового материала.
А сейчас приступим к изучению нового материала.
Откройте тетради, запишите дату и тему урока:
«Определение арифметической прогрессии. Формула 𝑛- го члена арифметической прогрессии».
2
СЛАЙД 9. Посмотрите на экран, здесь приведены последовательности.
- Найдите для каждой последовательности следующие два члена.
- Подумайте, можно ли из данных пяти последовательностей выделить группу числовых рядов,
объединённых каким-либо общим признаком? (Каждый следующий член последовательности
больше предыдущего на одно и то же число)
- Такие последовательности называются арифметическими прогрессиями. Итак, какая
последовательность называется арифметической прогрессией? (Арифметической прогрессией
называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему
члену, сложенному с одним и тем же числом).
СЛАЙД 10
Запишем в тетрадях:
Последовательность (𝑎𝑛 ) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n
выполняется условие 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑑, где d – некоторое число.
3
СЛАЙД 11
Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная
со второго, и предыдущим членом равна d.
Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Запишем в тетрадях:
𝑑 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 , d – разность арифметической прогрессии.
СЛАЙД 12
Последовательности заданы несколькими первыми членами? Есть ли среди них арифметические
прогрессии?
Какое условие должно выполняться? (Разность арифметической прогрессии должна быть
постоянна).
СЛАЙД 13
Давайте еще раз посмотрим на последовательности и поговорим о различиях. Какие особенности есть
у каждой последовательности и с чем они связаны?
4
- Ребята, как вы думаете, что необходимо знать, чтобы найти любой член арифметической
прогрессии? (Необходимо знать 𝑎1 и d).
- Рассмотрим следующую задачу.
СЛАЙД 14
- Пусть необходимо выписать первых три члена арифметической прогрессии (𝑎𝑛 ), если известно,
что 𝑎1 = 2, d = 0,3.
- А что, если нужно будет найти 21-й или 90-й члены?
Как вы видите, вышеуказанный способ последовательного нахождения второго, третьего,
четвертого и т. д. членов арифметической прогрессии неудобен. Попробуем отыскать способ,
требующий меньшей вычислительной работы.
Проанализируем, как зависит каждый член последовательности от первого члена и разности.
5
- А нет ли какой-нибудь связи между порядковым номером члена прогрессии и числа, стоящего
перед d. Тогда, 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑(𝑛 − 1).
Запишем в тетрадях:
Мы получили формулу n - го члена арифметической прогрессии 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒅(𝒏 − 𝟏).
- Теперь давайте вернемся к предыдущей задаче. Зная формулу n - го члена арифметической
прогрессии, мы сможем найти 𝑎21 , 𝑎90 .
№1
Дано: (𝑎𝑛 ) – арифметическая прогрессия, 𝑎1 = 2, 𝑑 = 0,3.
Найти: 𝑎21, 𝑎90 .
Решение:
1) Воспользуемся формулой 𝑛 −го члена арифметической прогрессии 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑(𝑛 − 1).
𝑎21 = 𝑎1 + 𝑑(21 − 1),
𝑎21 = 2 + 0,3(21 − 1) = 2 + 0,3 ∙ 20 = 8.
2) 𝑎90 учащиеся находят самостоятельно (𝑎90 = 2 + 0,3(90 − 1) = 2 + 0,3 ∙ 89 = 28,7).
Ответ: 𝑎21 = 8, 𝑎90 = 28,7.
6
IV. Первичное закрепление. № 584(а), 585(а), 589(а)
№ 584 (а)
Дано: (𝑥𝑛 ) − арифметическая прогрессия, 𝑥30 = 128, 𝑑 = 4.
Найти: 𝑥1 .
Решение:
Воспользуемся формулой 𝑛 − го члена 𝑥𝑛 = 𝑥1 + 𝑑 (𝑛 − 1).
𝑥30 = 𝑥1 + 𝑑 (30 − 1),
128 = 𝑥1 + 4 · 29,
128 = 𝑥1 + 116,
𝑥1 = 12.
Ответ: 12.
№ 585 (а)
Дано: (𝑦𝑛 ) − арифметическая прогрессия, 𝑦1 = 10, 𝑦5 = 22.
Найти: 𝑑.
Решение:
Воспользуемся формулой 𝑛 − го члена 𝑦𝑛 = 𝑦1 + 𝑑 (𝑛 − 1),
𝑦5 = 𝑦1 + 𝑑 (5 − 1),
22 = 10 + 4 · 𝑑,
𝑑 = 3.
Ответ: 3.
№589 (а)
Дано: (𝑐𝑛 ) − арифметическая прогрессия, 𝑐5 = 27, 𝑐27 = 60.
Найти: 𝑑.
Решение:
𝑐27 = 𝑐1 + 26𝑑 = (𝑐1 + 4𝑑) + 22𝑑 = 𝑐5 + 22𝑑,
60 = 27 + 22𝑑,
22𝑑 = 33,
𝑑 = 1,5.
Ответ: 1,5.
V. Тест (с последующей самопроверкой).
Вариант 1
1. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая
прогрессия. Укажите её.
К) 1; 2; 4; 5;…
П) 1; 3; 5; 7;…
О) 1; 2; 4; 8;…
1 2 3
Т) 1; 2 ; 3 ; 4 ; …
2. Первый член арифметической прогрессии 𝑎1 ; 𝑎2 ; 3; 6; …
Е) 2;
М) 0;
Р) −3;
Г) −1.
3. Найдите пятый член арифметической прогрессии 5;11;…
О) 29;
Б) 15;
С) 21;
Д) другой ответ.
7
4. Найдите разность арифметической прогрессии (𝑎𝑛 ), если 𝑎1 = 14, 𝑎9 = 30.
А) 3;
Н) 4;
Г) 2;
В) другой ответ.
Задание 1 2 3 4
Буква
П Р О Г
Вариант 2
1. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая
прогрессия. Укажите её.
А) 2; 3; 4; 6;…
1 1 1 1
П) 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; …
Р) 3; 7;11; 15;…
К) 1; 4; 7; 9;…
2. Первый член арифметической прогрессии 𝑎1 ; 𝑎2 ; 3; 6; …
О) - 1;
Н) 0;
Е) −3;
М) 1.
3. Найдите пятый член арифметической прогрессии 4; 9; ….
А) 14;
С) 24;
Л) 19;
Г) другой ответ.
4. Найдите разность арифметической прогрессии (𝑎𝑛 ), если 𝑎1 = 5, 𝑎7 = 29.
В) 2;
Т) 3;
К) другой ответ;
С) 4.
Задание 1 2 3 4
Буква
Р Е С С
Прогре́сс (лат. progressus — движение вперёд, успех) — направление развития от низшего к высшему,
поступательное движение вперед, к лучшему. Наши познания в курсе алгебры похожи на подъём по
лестнице. И, сегодня мы с вами поднялись ещё на одну ступеньку, под названием «Арифметическая
прогрессия».
VI. Подведение итогов урока.
Давайте, ребята, вспомним начало нашего урока. Удалось ли за сегодняшний урок узнать что-то новое,
сделать какие-то открытия? Какие цели урока мы ставили перед собой? Как Вы считаете, удалось ли
нам достигнуть поставленных целей?
VI. Домашнее задание.
П. 25, № 578(б), № 584(б), № 589(б).
Спасибо за урок, ребята. Желаю удачи при выполнении домашнего задания.
8