Задачи для самостоятельной работы по алгебре 1. Решить уравнение axb c в группе: 1997 2002 1234567 1234567 а) S 7 , где a , c (125)1999 ; ,b 5627134 7162534 1999 108 123456789 123456789 б) S 9 где a , b (12789) 2006 , c 567891234 736548921 * в) Z 23 , где a 71998 , b 5115 , c 2121 ; ; * г) Z 31 , где a 171998 , b 25115 , c 212121 . 2. Найти решение системы уравнений: x 5y z 1 а) 21x 19 y 22 z 21 в Z 23 ; 5 x 17 z 5 11x 5 y 7 z 5 б) x y z 7 в Z19 ; 17 x 3 y 6 z 12 x 2 y z 10 в) 2 x y 3z 1 в Z11 . 5 x y 6 z 2 3. Разрешима ли в кольце вычетов Z m система уравнений: 9 x 7 y z 25 а) 3x 5 y 3z 5 , m 27 ; x 26 y 26 z 26 5x y 6 z 6 б) x 7 y 32 z 31 , m 33 ? 3x y 19 z 1 4. Найти элемент, обратный к a по умножению, в поле Z p . Является ли циклическая подгруппа, порожденная элементом a , всей группой Z p * ? а) a 17, p 31 ; б) a 19, p 37 ; в) a 21, p 43 . 5. Существуют ли в булевом кольце, содержащем не менее трех элементов, обратимые элементы? 6. Доказать, что если в кольце оба произведения ab и ba обратимы, то оба элемента a и b обратимы. Что изменится в результате, если сохранить обратимость только одного прозведения? 7. Найти какие-нибудь делители нуля в кольце квадратных матриц третьего порядка.