Аналитические и качественные методы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Национальный исследовательский Томский государственный университет
УТВЕРЖДАЮ:
Декан ФФ
________________ О. Н. Чайковская
«_____»__________________ 2014 г.
Рабочая программа дисциплины
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ
Направление подготовки
03.06.01 «Физика и астрономия»
Квалификация (степень) выпускника
Исследователь, преподаватель-исследователь
Форма обучения
Очная
Направленность
01.03.01 «Астрометрия и небесная механика»
Статус дисциплины:
Блок 1 «Образовательные дисциплины»
Дисциплина по выбору
Программа одобрена на заседании учебно-методической
комиссии факультета (института) ____________________
Томского государственного университета
от «____» ___________ 2014 года, протокол № _________
г. Томск — 2015
Рабочая программа составлена на основании федеральных государственных образовательных стандартов к основной образовательной программе высшего образования подготовки
научно-педагогических кадров в аспирантуре по направлению 03.06.01 «Физика и астрономия».
Автор-разработчик: Бордовицына Т.В., д.ф.-м.н., профессор
1. Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Аналитические и качественные методы небесной механики»
является формирование у аспирантов современных представлений о состоянии исследований в области методов небесной механики. Курс предполагает углубленное изучение аналитических и качественных методов исследования динамики небесных тел для углубленной подготовки аспиранта к сдаче кандидатского экзамена по специальности..
Задачами курса являются:
 изучение основных форм представления уравнений движения небесных тел;
 знакомство с физическими и математическими моделями сил, действующих на небесные тела;
 освоение способов построения разложения возмущающей функции;
 освоение методов аналитического интегрирования уравнений движения небесных тел
 овладение методами усреднения уравнений движения рассматриваемых объектов;
 знакомство с методами качественного анализа динамики небесных тел и основами теории Колмагорова –Арнольда – Мозера.
2. Место дисциплины в структуре ООП аспирантской программы
Дисциплина относится к циклу обязательных дисциплин подготовки аспиранта (ОДА).
К моменту изучения курса аспиранты должны знать классическую механику, курсы математических дисциплин, включая математический анализ, алгебру, аналитическую геометрию, теорию функций комплексной переменной, вычислительную математику, и курс
небесной механики.
3. Требования к результатам освоения дисциплины
3.1. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины:






способность к критическому анализу и оценке современных научных достижений,
генерированию новых идей при решении исследовательских и практических задач, в
том числе в междисциплинарных областях (УК-1);
способность проектировать и осуществлять комплексные исследования, в том числе
междисциплинарные, на основе целостного системного научного мировоззрения с
использованием знаний в области истории и философии науки (УК-2);
готовность участвовать в работе российских и международных исследовательских
коллективов по решению научных и научно-образовательных задач (УК-3);
готовность использовать современные методы и технологии научной коммуникации
на государственном и иностранном языках (УК-4);
способность планировать и решать задачи собственного профессионального и личностного развития (УК-5).
способность к самостоятельному проведению научно-исследовательской работы и
получению научных результатов, удовлетворяющих установленным требованиям к
содержанию диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук по направленности 01.03.01 «Астрометрия и небесная механика» (ПК-1).
3.2. Требования к результатам освоения содержания дисциплины:






владение современными методами астрометрии и небесной механики и умение
применять их для решения научных задач;
способность разрабатывать и применять при решении задач астрометрии и небесной
механики новые методы и технологии на основе информационных спутниковых систем;
умение моделировать динамику малых тел Солнечной системы и решать задачи исследования их орбитальной эволюции;
умение применять современные методы высокопроизводительных вычислений для
решения задач астрометрии и небесной механики;
способность формулировать, планировать и осуществлять решение исследовательских задач в области астрометрии и небесной механики;
способность применять методы компьютерного моделирования при решении исследовательских задач астрометрии и небесной механики.
4. Структура и содержание дисциплины
Лекции
Семинары
Сам. работа
с препод.
Индивид.
самост. раб.
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу аспирантов и трудоемкость (в часах)
Неделя семестра
Раздел
дисциплины
Семестр
№
п/п
Формы текущего
контроля (по неделям
семестра) Форма
промежуточной аттестации (по семестрам
Общая трудоёмкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.
1.
Невозмущенное движение.
Уравнения движения в задаче
двух тел и их решение. Возмущенное движение. Уравнения движения п тел и их первые интегралы. Уравнения
движения в координатах Якоби.
3
1
1
1
1
1
Дискуссия
2.
Уравнения движения Эйлера и
Лагранжа в оскулирующих
элементах. Теория возмущенного движения. Малые параметры в теории движения
планет и спутников. Промежуточные орбиты.
3
2
1
1
1
1
Устный
опрос
3.
Разложение пертурбационной
3
3
1
1
1
1
Обсуждение
Модуль 1. Аналитические методы небесной механики
функции.
Интегрирование с помощью
рядов по степеням времени
(метод неопределенных коэффициентов и метод рядов Ли).
Формальное интегрирование
уравнений движения в элементах промежуточной орбиты методом малого параметра
Ляпунова-Пуанкаре. Малые
знаменатели. Резонанс.
Теоремы Пуанкаре о ранге и
классе возмущений. Сходимость в методе малого параметра.
3
4
1
1
1
1
Устный
опрос
3
5
1
1
1
1
Сообщения
аспирантов
3
6
1
1
1
1
Обсуждение
7.
Формальное интегрирование.
Методы осреднения. Асимптотический характер метода
осреднения.
3
7
1
1
1
1
Обсуждение
8.
Канонические преобразования. Метод ГамильтонаЯкоби.
3
8
1
1
1
1
Обсуждение
9.
Метод Делоне–Цайпеля
3
9
1
1
1
1
Обсуждение
10.
Метод преобразований Ли в
теории возмущений. Теория
вековых возмущений.
3
10
1
1
1
1
Обсуждение
11.
Уравнения поступательновращательного движения
небесных тел. - Стационарные
решения этих уравнений.
3
11
1
1
1
1
Обсуждение
3
12
1
1
1
1
Сообщения
аспирантов
3
13
1
1
1
1
Устный
опрос
3
14
1
1
1
1
Обсуждение
3
15
1
1
1
1
Дискуссия
3
16
1
1
1
1
Обсуждение
4.
5.
6.
12.
13.
14.
15.
16.
Модуль 2. Качественные методы небесной механики
Переменные действие-угол.
Интегрируемые системы. Теорема Лиувилля Теоремы Брунса и Пуанкаре об интегрируемости задачи нескольких тел.
Сохранение фазового объема.
Периодические орбиты. Методы Ляпунова и Пуанкаре.
Функция последования.
Условно-периодические
функции. Среднее значение.
Инвариантные торы.
Основные идеи метода Колмогорова - Арнольда - Мозера.
Основы первого и второго ме-
17.
тодов Ляпунова определения
устойчивости движения. Орбитальная устойчивость.
Устойчивость по Лагранжу.
Устойчивость по Пуассону.
Ограниченная задача трех тел.
Интеграл Якоби. Топология
поверхностей Хилла. Устойчивость точек либрации. Семейства периодических решений вблизи точек либрации.
3
17
1
1
1
1
18.
Промежуточная аттестация
3
18
1
1
1
1
18
18
18
18
Всего часов
Устный
опрос
5. Образовательные технологии
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки «Информационные системы и технологии» реализуется компетентностный подход, который предусматривает широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения лекций в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития
профессиональных навыков обучающихся.
Все лекции курса «Аналитические и качественные методы небесной механики» сопровождаются мультимедийной презентацией, которая предоставляется аспирантам в свободное пользование. Также используются различные интерактивные подходы к обучению, такие как общая дискуссия и творческие задания.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы аспирантов.
Методические рекомендации аспирантам по самостоятельной работе
Вопросы, вынесенные на самостоятельное изучение по курсу
Преобразования уравнений движения от одних переменным к другим.
Фонды координат больших планет и Луны.
Структура разложения возмущающей функции в различных задачах динамики.
Применение метода Лагранжа вариации произвольных постоянных в простейших
задачах динамики.
5. Решение задач по применению методов усреднения.
6. Качественный анализ задачи трех тел.
7. Алгоритм метода Эверхарта для численного решения ОДУ.
1.
2.
3.
4.
Примерный перечень контрольных вопросов для текущей аттестации
1.
2.
3.
4.
По Модулю 1
Понятие о задаче двух тел и ее решении.
Задача n тел и ее первые интегралы.
Свойства координат Якоби.
Метод вариации произвольных постоянных
Малые параметры в теории движения планет и спутников.
Принципы разложения пертурбационной функции в ряд.
Ряды по степеням времени
Метод построения рядов по степеням времени (метод неопределенных коэффициентов и метод рядов Ли).
9. Метод малого параметра Ляпунова-Пуанкаре.
10. Малые знаменатели. Резонанс.
11. Операторы осреднения
12. Формальное интегрирование методом осреднения.
13. Канонические преобразования. Метод Гамильтона-Якоби.
14. Основные принципы метода Делоне–Цайпеля.
15. Метод преобразований Ли.
16. Сравнительная характеристика методов осреднения.
17. Понятие о теория вековых возмущений.
18. Уравнения поступательно-вращательного движения небесных тел.
5.
6.
7.
8.
По Модулю 2
1. Интегрируемые системы.
2. Теорема Лиувилля.
3. Теоремы Брунса и Пуанкаре об интегрируемости задачи нескольких тел.
4. Интегральные инварианты Пуанкаре
5. Свойства переменных действие-угол.
6. Сохранение фазового объема.
7. Теорема Пуанкаре о возвратах
8. Периодические орбиты. Методы Ляпунова и Пуанкаре.
9. Условно-периодические функции. Среднее значение.
10. Инвариантные торы.
11. Основные идеи метода Колмогорова - Арнольда - Мозера.
12. Основы первого и второго методов Ляпунова определения устойчивости движения.
13. Понятие о динамической хаотичности.
14. Различные понятия устойчивости.
15. Орбитальная устойчивость.
16. Устойчивость по Лагранжу.
17. Устойчивость по Пуассону.
18. Ограниченная задача трех тел.
19. Интеграл Якоби.
20. Топология поверхностей Хилла.
21. Устойчивость точек либрации.
22. Семейства периодических решений вблизи точек либрации.
Перечень тем для промежуточной аттестации по курсу
По модулю 1
19. Уравнения движения в задаче двух тел и их решение.
20. Уравнения движения n тел и их первые интегралы.
21. Уравнения движения в координатах Якоби.
22. Метод вариации произвольных постоянных Уравнения движения Эйлера и Лагранжа в оскулирующих элементах.
23. Теория возмущенного движения. Малые параметры в теории движения планет и
спутников.
24. Разложение пертурбационной функции.
25. Интегрирование с помощью рядов по степеням времени (метод неопределенных
коэффициентов и метод рядов Ли).
26. Формальное интегрирование уравнений движения в элементах промежуточной орбиты методом малого параметра Ляпунова-Пуанкаре.
27. Малые знаменатели. Резонанс.
28. Теоремы Пуанкаре о ранге и классе возмущений. Сходимость в методе малого параметра.
29. Формальное интегрирование методом осреднения. Асимптотический характер метода осреднения.
30. Канонические преобразования. Метод Гамильтона-Якоби.
31. Метод Делоне–Цайпеля.
32. Метод преобразований Ли в теории возмущений.
33. Теория вековых возмущений.
34. Уравнения поступательно-вращательного движения небесных тел. Стационарные
решения этих уравнений.
По модулю 2
23. Свойства переменных действие-угол. Интегрируемые системы. Теорема Лиувилля.
Теоремы Брунса и Пуанкаре об интегрируемости задачи нескольких тел.
24. Сохранение фазового объема. Периодические орбиты. Методы Ляпунова и Пуанкаре. Функция последования.
25. Условно-периодические функции. Среднее значение. Инвариантные торы.
26. Основные идеи метода Колмогорова - Арнольда - Мозера.
27. Основы первого и второго методов Ляпунова определения устойчивости движения.
28. Орбитальная устойчивость. Устойчивость по Лагранжу. Устойчивость по Пуассону.
29. Ограниченная задача трех тел. Интеграл Якоби. Топология поверхностей Хилла.
30. Устойчивость точек либрации. Семейства периодических решений вблизи точек
либрации.
Глоссарий
Задача двух тел – задача о движении двух материальных точек под действием взаимного
притяжения по закону Ньютона..
Возмущающая сила – любая сила, которая будучи добавлена в уравнения движения задачи двух тел вызывает изменение этого движения.
Малый параметр – физически значимая величина много меньшая единицы, представляющая собой отношение параметров движения, например, отношение массы планеты к массе Солнца.
Усреднение правых частей уравнений движения — преобразование, позволяющее
устранить из функции правых частей уравнений движения колебания, кратные периоду обращения рассматриваемого объекта.
Основная литература
1. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980. 208 с.
2. Холшевников К.В. Асимптотические методы небесной механики. Л.: Изд-во Лен. ун-та,
1985. 208 с.
3. Дубошин Г.Н. Небесная механика Аналитические и качественные методы. М.: Физматлит. 1978
4. Бордовицына Т.В., Авдюшев В.А. Теория движения искусственных спутников Земли.
Аналитические и численные методы: учебное пособие. Томск. Изд-во Том. ун-та. 2007.–
220 с.
Дополнительная литература
1. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. М.: Мир, 1964. 514 с
Программное обеспечение и Интернет-ресурсы
Пакет приложений Microsoft Office. Система компьютерной верстки MiKTeX. Компиляторы языков программирования Fortran и Delphi. Программные продукты компании Golden
Software. Материально-информационная база Научной библиотеки ТГУ. Мультимедийное
оборудование физического факультета ТГУ. Сеть Интернет. Интерактивная база научных
работ по астрономии и физике Astrophysics Data System (ADS).
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом паспорта специальности 01.03.01 — Астрометрия и небесная механика.
Автор, профессор
Бордовицына Т.В.