Методы оптимизации

Методы оптимизации
Доцент, к.ф.-м..н. Плясунов А. В. (лекции 36 часов, семинары 36 часов)
I. Организационно-методический раздел.
1.1. Данный курс реализуется в рамках программы для студентов III курса ФИТ НГУ и относится к вузовской
компоненте раздела
«Общие математические и естественно-научные дисциплины» государственного
стандарта.
1.2. Дисциплина «Методы оптимизации» предназначена для изучения математических методов поиска
оптимальных решений для линейных, выпуклых, нелинейных и частично – целочисленных оптимизационных
задач. Основной целью курса является ознакомление с базовыми математическими моделями и освоение
численных методов решения классических экстремальных задач, а также знакомство с современными
направлениями развития методов оптимизации.
1.3. По окончании изучения указанной дисциплины студент должен:
 иметь представление об областях применения математического программирования и, в частности,
линейного, целочисленного, выпуклого и нелинейного программирования;

знать симплекс – метод, метод возможных направлений, метод Ньютона, градиентные методы, метод
штрафов и методы отсечения Гомори;

уметь правильно классифицировать конкретную прикладную задачу, выбирать наиболее подходящий
метод решения и реализовывать его в виде алгоритма и программы.
1.4. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрены зачет и экзамен. В течение семестра
проводятся контрольные работы, заключающиесяся в решении задач, отражающих основное содержание
дисциплины. Для самостоятельной работы предусмотрены домашние задания.
2. Содержание дисциплины.
2.1 Отличительной чертой курса является использование аппарата линейного, выпуклого и нелинейного
программирования в качестве математической базы. Освещаемые разделы отсутствуют в других курсах.
2.2 Тематический план курса (распределение часов).
Наименование разделов и
тем
Количество
Лекции
Семинары
часов
Лаборатор-
Самостоятель-
Всего
ные
ная
часов
работа
работы
Задачи
математического
2
2
2
6
10
10
10
30
10
10
10
30
10
10
10
30
4
4
4
12
36
36
36
108
программирования
Линейное
программирование
Задачи
нелинейного
программирования
Численные
методы
нелинейного
программирования
Целочисленное
линейное
программирование
Итого по курсу:
2.3 Содержание отдельных разделов и тем.

Введение. Задачи математического программирования. Выпуклые множества и функции, примеры.
Выпуклая комбинация точек и выпуклая оболочка множества. Теорема Фаркаша.

Задачи нелинейного программирования. Конус возможных направлений. Внутренняя и внешняя
аппроксимация конуса возможных направлений. Конус направлений убывания. Условия регулярности.
Геометрические необходимые условия оптимальности. Необходимые условия оптимальности ФритцаДжона. Необходимые условия оптимальности Куна-Таккера. Задачи выпуклого программирования.
Условия регулярности Слейтера. Критерий выпуклости дифференцируемой функции. Необходимые
условия оптимальности. Конус возможных направлений для линейных ограничений. Необходимые
условия оптимальности для линейных ограничений. Теорема Куна-Таккера в локальной форме.
Седловые точки функции Лагранжа и теорема Куна-Таккера в нелокальной форме. Двойственная
задача к задаче выпуклого программирования. Слабая теорема двойственности.

Задачи линейного программирования. Базисные решения и крайние точки линейного многогранного
множества. Существование оптимального базисного решения. Необходимые и достаточные условия
разрешимости задачи линейного программирования. Симплексная таблица.
Элементарные
преобразования базиса и симплексной таблицы. Геометрическая интерпретация элементарного
преобразования базиса. Алгоритм симплекс-метода с использованием симплексных таблиц. Поиск
начального базисного допустимого решения. Конечность симплекс-метода и вырожденность задачи
линейного программирования. Лексикографический вариант симплекс-метода и доказательство его
конечности. Двойственные задачи линейного программирования; правила построения и простейшие
свойства. Первая теорема двойственности. Вторая теорема двойственности (условия дополняющей
нежесткости). Анализ чувствительности. Диапазоны устойчивости для базисных и небазисных
переменных при возмущении коэффициентов целевой функции. Диапазоны устойчивости при
изменении правых частей. Диапазоны устойчивости при возмущении коэффициентов матрицы
ограничений.

Классификация релаксационных методов для задач безусловной оптимизации. Градиентные методы;
две теоремы о сходимости градиентного метода с постоянным шагом. Метод Ньютона; теорема о
сходимости метода. Методы нулевого порядка. Метод случайного поиска. Метод возможных
направлений для задач выпуклого программирования. Критерий оптимальности в методе возможных
направлений. Доказательство сходимости метода. Метод внешних штрафов. Теорема о сходимости
метода. Метод внутренних штрафов. Теорема о сходимости метода.

Задачи целочисленного линейного программирования. Сложность задачи линейного и целочисленного
программирования. Общая идея методов отсечения. Лексикографический двойственный симплексметод (LD–метод). Способ построения дополнительных ограничений (отсечений). Первый
(циклический) алгоритм Гомори и доказательство его конечности. Метод ветвей и границ. Понятия
атомарных и разложимых множеств. Нижняя граница. Функция ветвления. Метод ветвей и границ для
задачи минимизации липшицевой функции на гиперкубе.

Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Линейная задача быстродействия
оптимального управления.
3.
Учебно-методическое обеспечение дисциплины
3.1 Образцы вопросов для подготовки к экзамену.
4. Выпуклые множества и функции. Теорема Фаркаша. Задачи линейного программирования. Базисные
решения и крайние точки линейного многогранного множества. Существование оптимального
базисного решения. Необходимые и достаточные условия разрешимости задачи линейного
программирования. Симплексная таблица. Элементарные преобразования базиса и симплексной
таблицы. Геометрическая интерпретация элементарного преобразования базиса. Алгоритм симплексметода с использованием симплексных таблиц. Поиск начального базисного допустимого решения.
Конечность
симплекс-метода
и
вырожденность
задачи
линейного
программирования.
Лексикографический вариант симплекс-метода и доказательство его конечности. Двойственные задачи
линейного
программирования; правила построения и простейшие свойства. Первая теорема
двойственности. Вторая теорема двойственности. Двойственный симплекс-метод. Диапазоны
устойчивости для базисных и небазисных переменных при возмущении коэффициентов целевой
функции. Диапазоны устойчивости при изменении правых частей. Диапазоны устойчивости при
возмущении коэффициентов матрицы ограничений.
5. Необходимое условие Куна-Таккера. Седловые точки функции Лагранжа и теорема Куна-Таккера.
Двойственность в выпуклом программировании. Классификация релаксационных методов для задач
безусловной оптимизации. Теоремы о сходимости градиентного метода с постоянным шагом. Метод
Ньютона. Метод возможных направлений для задач выпуклого программирования. Критерий
оптимальности в методе возможных направлений. Метод внешних штрафов. Метод внешних штрафов.
Общая идея методов отсечения.
Лексикографический двойственный симплекс-метод. Способ
построения дополнительных ограничений. Первый алгоритм Гомори и доказательство его конечности.
Метод ветвей и границ. Понятия атомарных и разложимых множеств. Нижняя граница. Функция
ветвления. Метод ветвей и границ для задачи минимизации липшицевой функции на гиперкубе.
5.1 Список основной и дополнительной литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Глебов Н.И., Кочетов Ю.А., Плясунов А.В. Методы оптимизации. Учебное пособие, НГУ, 2000.
Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.
Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986.
Ларин Р.М., Плясунов А.В., Пяткин А.В. Методы оптимизации. Примеры и задачи. Учебное пособие,
НГУ, 2003.
Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.
Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. М.: Мир, 1974.
Мину М. Математическое программирование. М.: Наука, 1990.
Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. М.: Мир, 1991.