Методы оптимизации. Вопросы и задачи

Методы оптимизации. Вопросы и задачи
Вопросы
Семестр 1
1.
2.
3.
4.
Линии уровня функций многих переменных
Линейная комбинация векторов
Линейная зависимость и линейная независимость векторов
Базис пространства
5. Скалярное произведение векторов
6. Норма вектора
7. Неравенство Коши – Буняковского
8. Неравенство треугольника
9. Ранг матрицы
10. Теорема Кронекера – Капелли
11. Единственность решения системы линейных алгебраических уравнений
12. Квадратичные формы. Знакоопределенность квадратичных форм
13. n – мерный шар
14. Сходящаяся последовательность, предел последовательности
15. Предельная точка последовательности
16. Ограниченная последовательность
17. Ограниченное множество, диаметр множества
18. Предельная точка множества, замкнутое множество
19. Внутренняя точка множества, внутренность множества, открытое множество
20. Компактное множество
21. Граничная точка множества, граница множества
22. Изолированная точка множества
23. Инфимум и супремум, минимум и максимум
24. Локальный и глобальный экстремумы
25. Геометрическая интерпретация задачи математического программирования
26. Условия экстремума в задачах без ограничений
27. Правило множителей Лагранжа в задаче на условный экстремум. Применение к
задачам с ограничениями – неравенствами (преобразование Валлентайна)
28. Градиент и гессиан функции многих переменных
29. Метод наименьших квадратов
30. Метод выравнивания по Чебышеву
31. Стандартная и каноническая задачи линейного программирования. Эквивалентные
преобразования задач ЛП
32. Прямая, луч, отрезок, гиперплоскость, полупространство
33. Выпуклые множества
34. Выпуклые многогранные множества
35. Угловая точка выпуклого многогранного множества, вырожденные и невырожденные
угловые точки
36. Базисные решения системы линейных алгебраических уравнений
37. Базисные допустимые решения и угловые точки в канонической задаче ЛП
38. Алгебраическое определение угловой точки в канонической задаче ЛП; базис угловой
точки
39. Формула приращения целевой функции и критерий оптимальности угловой точки в
канонической задаче ЛП
40. Выпуклые функции. Геометрическая интерпретация
41. Экстремальные свойства выпуклых функций
42. Критерии выпуклости гладких функций
43. Критерий выпуклости дважды гладких функций
44. Множество Лебега выпуклой непрерывной функции
45. Теорема Вейерштрасса и ее следствия
46. Расстояние от точки до множества; проекция точки на множество
47. Теорема о существовании проекции точки на множество
48. Теорема о единственности проекции точки на множество
Семестр 2
Критерий неограниченности целевой функции в канонической задаче ЛП
Симплекс-метод (принципиальный алгоритм)
Метод искусственного базиса
Двойственные задачи ЛП
Теоремы двойственности и их следствия
Формула Тэйлора и экстремумы дифференцируемых функций одной переменной
Правило множителей Лагранжа в задаче на условный экстремум
Условия регулярности в задаче на условный экстремум. Нормальная точка минимума.
Анормальная точка
9. Условия второго порядка в задаче на условный экстремум
10. Линейно-выпуклая задача на условный экстремум
11. Отделимость, строгая и сильная отделимость множеств
12. Теорема об отделимости
13. Опорная гиперплоскость
14. Условие минимума дифференцируемой функции на выпуклом множестве
15. Выпуклая комбинация точек в
. Выпуклая оболочка
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
16. Правило множителей Лагранжа в общей задаче математического программирования
17. Правило множителей в задаче выпуклого программирования
18. Правило множителей в задаче линейного программирования
19. Условия дополняющей нежесткости. Активные и пассивные ограничения
20. Геометрическая интерпретация правила множителей
21. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа
22. Производная функции
23. Длина шага вдоль направления спуска в задаче минимизации сильно выпуклой
квадратичной функции
24. Основная лемма вариационного исчисления (лемма Лагранжа)
25. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера
26. Задача оптимального управления со свободным правым концом. Принцип максимума
Понтрягина
Задачи
Семестр 1
[1] : №№ 1.1.1 – 1. 1.22; 1.2.1, 1.2.2, 1.2.9 – 1.2.11; 1.3.1 – 1.3.13; 1.4.1, 1.4.3 – 1.4.5, 1.4.8,
1.4.10 – 1.4.12, 1.4.15 – 1.4.18; 2.1.1, 2.1.4, 2.1.6, 2.1.9, 2.1.15 – 2.1.17;
2.2.2 – 2.2.5, 2.2.8 – 2.2.14; 2.4.4, 2.4.5; 2.5.1 – 2.5.17.
[2] : Задачи 1 –8, 13; Упражнения 1 – 10, 12, 14 – 17, 22.
[4] : №№ 1.1 – 1.59.
Семестр 2
[1] : №№ 2.3.1 – 2.3.19; 2.4.4 – 2.4.6
[2] : Задачи 1 –8, 13; Упражнения 1 – 10, 12, 14 – 17, 22
[4] : Задачи 4.1.6 – 4.1.30; 5.2.8 – 5.2.17, 5.2.22 – 5.2.36
[5] : Задачи 3.1 – 3.31; 5.8 – 5.13, 5.20, 5.21; 6.1 – 6.6, 6.8
Литература
1. Аргучинцев А.В. Введение в оптимизацию: Учебное пособие / А.В. Аргучинцев.,
А.И. Беников. – Иркутск: Изд-во ИГУ, 2011.
2. Аргучинцев А.В. Линейное программирование: практикум / А.В. Аргучинцев.,
А.И. Беников. – Иркутск: Изд-во ИГУ, 2011.
3. Беников А.И. Линейное программирование: Учебное пособие / А.И. Беников. –
Иркутск: Изд-во ИГУ, 2005.
4. Васильев О.В. Методы оптимизации в задачах и упражнениях / О.В. Васильев,
А.В. Аргучинцев . – М.: Физматлит, 1999.
5. Введение в оптимизацию. Дополнение.
6. Ашманов С.А. Теория оптимизации в задачах и упражнениях / С.А. Ашманов,
А.В. Тимохов. – СПб: Изд-во “Лань”, 2012.