Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДЕН
на заседании кафедры
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
Заведующий кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин
___________________Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
38.03.01 (080100.620 ЭКОНОМИКА
ФИНАНСЫ И КРЕДИТ
БАКАЛАВР
Курск - 2015
ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ
РЕШЕНИЙ»
1.Общие вопросы теории оптимизации. Классификация оптимальных методов решения
задач. ПК-3
2.Классификация методов условной и безусловной оптимизации. ПК-5
3.Выпуклые множества и экстремальные свойства выпуклых функций. ПК-9, ПК-10
4.Постановки задач безусловной оптимизации. ПК-5
5.Линейное программирование. Общая постановка задач линейного программирования.
ПК-5,ПК-9, ПК-10
6.Геометрическая интерпретация двумерной задачи линейного программирования. ПК-3,
ПК-9
7.Свойства задач линейного программирования. ПК-5
8.Симплекс-метод решения задач линейного программирования. ПК-3, ПК-9
9.Метод искусственного базиса. ПК-3, ПК-9
10.Двойственная задача ЛП в общей форме. ПК-5
11.Основные теоремы теории двойственности. ПК-9, ПК-10
12.Экономическая интерпретация двойственных задач. ПК-3, ПК-10
13.Закрытая и открытая модели транспортной задачи. ПК-5, ПК-9
14.Метод построения первоначального плана – метод северо-западного угла.ПК-10
15.Метод построения первоначального плана – метод наилучших цен. ПК-9
16.Решение транспортной задачи методом потенциалов.ПК-5, ПК-10
17.Примеры задач целочисленного программирования. ПК-3
18.Венгерский алгоритм. Решение задачи о назначениях. ПК-5
19.Метод ветвей и границ. Решение задачи коммивояжера. ПК-5, ПК-9
20.Метод Гомори решения задач ЦП. ПК-3, ПК-9.
21.Постановка задачи нелинейного программирования. Геометрический способ решения
двумерной задачи. ПК-9, ПК-10.
22.Классическая задача нелинейного программирования. Метод множителей Лагранжа.
ПК-5, ПК-10
23. Применение метода множителей Лагранжа для решения задачи потребительского
выбора. ПК-5, ПК-10
24.Постановка задачи многокритериальной оптимизации. ПК-5, ПК-9
25.Примеры многокритериальных задач. ПК-3, ПК-9
26.Решения, оптимальные по Парето, по Слейтеру. ПК-5, ПК-10
27.Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной: способ свёртки. ПК-3,
ПК-10
28. Линейная свёртка. ПК-5, ПК-10
29. Максиминная свёртка. ПК-5, ПК-10
30. Метод идеальной точки. ПК-3, ПК-9.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ
РЕШЕНИЙ»
Тема1. Безусловная оптимизация
8.1 Функция f(x) = x12 – 2 x22 - 2 x1x2 +x1
1) имеет точку глобального максимума;
2) имеет точку глобального минимума;
3) не имеет точек экстремума;
8.2 Функция f(x) = -x12 – 4 x22+2 x1x2 +x1
1) имеет точку глобального максимума;
2) имеет точку глобального минимума;
3) не имеет точек экстремума;
8.3 Функция f с положительно определенной матрицей Гессе является:
1)
вогнутой
функцией
и
2) выпуклой функцией и имеет точку минимума;
имеет
точку
максимума;
3)
имеет
точку
минимума.
вогнутой
функцией
и
8.4 Функция f(x) с отрицательно определенной матрицей Гессе является:
1)
вогнутой
функцией
и
2) выпуклой функцией и имеет точку максимума;
3)
вогнутой
функцией
и
имеет
имеет
точку
точку
максимума;
минимума
Тема2 Общая теория линейного программирования
1.1 Для производства двух видов изделий (A, B) предприятие использует два вида сырья:
металл и пластмассу. Запасы сырья, технологические коэффициенты (расход каждого
вида сырья на производство единицы каждого изделия) представлены следующими
данными.
А
В
запас
металл
5
1
30
пластмасса
4
2
15
цена продукции
6
8
Указать математическую модель задачи планирования производства, обеспечивающую
максимальный доход, учитывая что х1 - количество металла, х2 - количество пластмассы.
1)F`=6х1+8х2min
5xl+x2>=30
4xl+2x2>=15
F`=30х1+15х2
min
5xl+4x2<=30
xl+2x2<=15
x1>=0 x2>=0
6х1+8х2<=45
x1>=0 x2>=0
3) F`=6х1+8х2 max
4) F`=30х1+15х2 max
5xl+x2<=30
5xl+4x2>=30
4xl+2x2<=15
xl+2x2>=15
x1>=0 x2>=0
6х1+8х2<=45
x1>=0 x2>=0
1.2 Диета основана на трех видах продуктов A, B, C. В таблице дано содержание
количества каждого вида питательных веществ (P1, P2, P3) в одной единице каждого
вида продукта (в относительных единицах), ежесуточная потребность организма в
каждом виде питательных веществ (P), стоимость 1 единицы продукта. Найти
наименьшие затраты на составление диеты, удовлетворяющие минимальные
потребности организма в трех видах питательных веществ.
А
В
С
P
Р1
0,24
0,17
0,21
33
Р2
0,33
0,7
0,1
54
Р3
0,5
0,6
0,2
40
Стоимость.1 кг.продукта
9
6
7
х1 - количество продукта вида А, х2 - количество продукта вида В, х3 – количество
продукта вида С.
1)
F`=9х1+6х2+7х3min
0,24xl+0,33x2+0,5х3>=33
0,17xl+0,7x2+0,6х3>=54
2) F`=33х1+54х2+40x3 max
0,24xl+0,33x2+0,5х3<=9
0,17xl+0,7x2+0,1х3<=6
0,21xl+0,1x2+0,2х3>=40
0,21x1+0,1х2+0,2х2<=7
x1>=0 x2>=0 х3>=0
x1>=0 x2>=0 х3>=0
3) F`=9х1+6х2+7х3min
4) F`=33х1+54х2=40x3 max
0,24xl+0,17x2+0,21х3>=33
0,33xl+0,7x2+0,1х3>=54
0,24xl+0,33x2+0,5х2>=9
0,17xl+0,7x2+0,1x2>=6
0,5xl+0,6x2+0,2х3>=40
0,21x1+0,1х2+0,2x3>=7
x1>=0 x2>=0 х3>=0
x1>=0 x2>=0 х3>=0
Тема 3 Геометрическая интерпретация
Каноническая форма задачи ЛП.
решения
двумерной
задачи
ЛП.
2. 1 Математическая модель задачи линейного программирования имеет вид
F= 31х1-46х2 max
21xl+37x2>=97
llxl+43x2>=153
xl>=0 x2>=0
Каноническую форму данной задачи представляет модель в варианте №
1.
F`=31х1-46х2-0х3-0х4
21xl+37x2+x3=97
llxl+43x2-x4=153
x1>=0 x2>=0 x4>=0
3. F`=31х1-46х2+0х3+0х4 max
min
2. F`=31х1-46х2+0х3+0х4 min
21xl+37x2+x3=97
llxl+43x2+x4=153
x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0
4. F`=31х1-46х2 min
21xl+37x2-x3=97
21xl+37x2-x3=97
llxl+43x2-x4=153
llxl+43x2-x4=153
x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0
x1>=0 x2>=0
2.2 Математическая модель задачи линейного программирования имеет вид
F=50x1+40x2 max
2x1+5x2<=20
8x1+5x2<=40
5x1+6x2<=30
x1>=0
x2>=0
На каком из рисунков представлена геометрическая интерпретация решения задачи?
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
Тема 4 Теория симплекс-метода
3. 1 Результат решения ЗЛП симплекс-методом представлен таблицей
Базис С баз Опорн С1 С2
решен. 3 2
А1 А2
А1
А4
А2
/\j
3
0
2
F=
5
4
2
19
1
0
0
0
0
0
1
0
С3
0
А3
С4
0
А4
С5
0
А5
1\3
2
4
9
0
1
0
0
4\3
-1
1
6
Укажите опорное решение ЗЛП и максимальное значение целевой функции:
1. x = (5,4,2,0,0), Fmax = 9
2. x = (5,2,0,4,0), Fmax = 19
3. x = (0,0,9,0,6), Fmax = 6
3.2Укажите какая из нижеуказанных таблиц является начальной симплекс-таблицей
решения задачи линейного программирования:
35x1-8x2 max
x1+10x2<=5
9x1+8x2<=25
153x1+9x2<=14
x1>=0 x2>=0
1 Базис С баз Опорн С1 С2 С3 С4 С5 2 Базис С баз Опорн С1 С2 С3 С4 С5
решен. 35 -8 0 0 0
решен. 35 -8 0 0 0
А1 А2 А3 А4 А5
А1 А2 А3 А4 А5
А3
А4
А5
/\ j
0
0
0
F=
5
25
14
0
1
9
15
-35
10
8
9
8
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
А3
А4
А5
/\ j
3 Базис С баз Опорн С1 С2 С3 С4 С5
решен. 0 35 -8 0 0
А1 А2 А3 А4 А5
А3
А4
А5
/\ j
0
0
0
F=
5
25
14
0
0 1 10
0 9 8
-1 15 9
0 -35 8
-1
0
0
0
0
-1
0
0
5
25
14
F=
0
0
0
0
1
9
15
-35
10
8
9
8
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
1. 1
2.2
2.3
3.3 Для ниже приведенной симплекс-таблицы при решении ЗЛП на максимум справедлив
вывод №
Базис С баз Опорн С1 С2 С3 С4 С5
решен. 17 20 0 0 0
А1 А2 А3 А4 А5
А3
А4
А1
/\ j
0
0
17
F=
2
10
5
0 10 1
0 1 0
1 1 0
0 -3 0
0 8
1 15
0 2
0 34
Лучший опорный план будет получен, если из базиса:
1. вывести вектор А2, а ввести вектор А4
2. вывести вектор А1, а ввести вектор А5
3. вывести вектор А3, а ввести вектор А2
Тема 5Теория двойственности. Формальная постановка двойственнойзадачи.
Основные теоремы теории двойственности
4.1 Задача линейного программирования описывается моделью
F=2xl-14x2+3x3max
3х1+2х2+х3<=5
х1+х2-х3<=3
2х1-4х2+5х3<=3
x1>=0, x2>=0, x3>=0
Укажите модель задачи, двойственной данной.
1. F*=5yl+3y2+3y3 min
3y1+y2+2y3>=2
2y1+y2-4y3>= -14
2. F*=5y l+3y2+3y3 max
3y1+y2+2y3>=2
2y1+y2-4y3>= -14
y1-y2+5y3>=3
y1-y2+5y3>=3
yl>=0 y2>=0 y3>=0
yl>=0 y2>=0 y3>=0
3. F*=2y1-14y2+3y3  min
4. F*=1y1-14y2+3y3 max
3y1+y2+2y3>=5
3y1+y2+2y3>=5
2y1+y2-4y3>=3
2y1+y2-4y3>=3
y-y2-4y3>=3
y-y2-4y3>=3
yl>=0 y2>=0 y3>=0
yl>=0 y2>=0 y3>=0
4.2 Исходная ЗЛП имеет все ограничения вида “<=”. Заключительная симплекс таблица
задачи линейного программирования имеет вид:
Базис
А2
А5
А3
/\ j
С баз
112
0
96
F max=
Опорн
решен.
С1
80
А1
656
640
128
85760
19
23
-6
1472
С2 С3 С4 С5 С6
112 96 0
0
0
А2 А3 А4 А5 А6
1
0
0
0
0 5
0 1\2
1 -2
0 368
0 -1\2
1 -5\2
0
2
0 136
Укажите двойственные оценки ресурсов и минимальную стоимость ресурсов при
оптимальном плане производства
1) y = (656,640,128), f = 1472
2) y = (19,23,-6), f = 1472
3) y = (368,0,136), f = 85760
4) y = (1472,0,0), f = 85760
4. 3 Укажите вариант правильно сформулированного утверждения
Для прямой задачи при решении на минимум целевая функция ограничена снизу.
Для двойственной задачи:
1) допустимая область не выпукла;
2) задача имеет единственное решение;
3) целевая функция ограничена сверху;
4) допустимая область пуста.
Тема 6 Экономическая интерпретация решения прямой и двойственной задач
5.1 Результат решения задачи планирования производства продукции с целью получения
максимального дохода представлен симплекс-таблицей (количество видов продукции = 3,
количество видов используемого сырья =3):
Базис
А2
A5
A3
/\ j
С баз
Опорн С1 С2 С3 С4 С5 С6
решен. 1 5 4 0 0 0
А1 А2 А3 А4 А5 А6
5
0
4
F max=
8
4
32
168
4
12
3
31
1
0
0
0
0 20 0 -2
0 1 1 -10
1 -1 0 15
0 96 0 50.
Укажите, на сколько увеличится прибыль при увеличении запасов первого вида сырья на
1 ед., и как изменится оптимальный план выпуска продукции.
5.2 Результат решения задачи планирования производства продукции с целью получения
максимального дохода представлен симплекс-таблицей (количество видов продукции = 4,
количество видов используемого сырья =3):
базис
св
В
8
4
2
1
0
0
0
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А5
0
1800
0
-5/2
-3/2
-4
1
0
-1/2
А6
0
500
0
-6
-3
-5
0
1
-1
А1
8
250
1
7/4
9/4
5/2
0
0
1/4
f=2000
0
10
16
19
0
0
2
Укажите, на сколько увеличится прибыль при увеличении запасов третьего вида сырья на
1 ед., и как изменится оптимальный план выпуска продукции.
1.Увеличение прибыли происходит на 16. Данное увеличение прибыли произойдет за
счет увеличения выпуска изделий первого вида на 9/4 ед., при этом остатки сырья
первого вида уменьшатся на 3/2 ед., а остатки сырья второго вида уменьшатся на 3 ед.
2. Увеличение прибыли происходит на 2. Данное увеличение прибыли произойдет за счет
увеличения выпуска изделий первого вида на 1/4 ед., при этом остатки сырья первого
вида уменьшатся на 1/2 ед., а остатки сырья второго вида уменьшатся на 1 ед.
3. Увеличение прибыли не происходит, так как данный вид сырья не является
дефицитным.
Тема 7 Специальные задачи ЛП. Транспортная задача
6.1 Данные для транспортной задачи приведены в таблице:
Поставщики
Потребители
Запасы
В1 В2
В3
В4
B5
А1
1
2
3
4
5
300
А2
2
3
1
5
4
100
А3
2
2
1
3
5
150
Потребность
10 150 200 100 90 550
Какой из приведенных начальных планов построен по методу северо-западного угла?
1 Поставщики Потребители
Запасы
В1
В2 В3 В4 B5
А1
1
2\150 3\150 4
5
300
А2
2\10
3
1
5 4\90 100
А3
2
2 1\50 3\100 5
150
Потребность
10
150 200 100 90
550
2 Поставщики Потребители
Запасы
В1
В2 В3 В4 B5
А1
1\10
2\150 3\140 4 5
300
А2
2
3 1\60 5\40 4
100
А3
2
2
1 3\60 5\90 150
Потребность
10
150 200 100 90
550
3 Поставщики Потребители
Запасы
В1
В2 В3 В4 B5
А1
1\10
2\150 3\50 4 5\90 300
А2
2
3 1\50 5\50 4
100
А3
2
2 1\100 3\50 5
150
Потребность
10
150 200 100 90
550
4 Поставщики Потребители
Запасы
В1
В2 В3 В4 B5
А1
1\10
2\150 3 4\50 5\90 300
А2
2
3 1\100 5 4
100
А3
2
2 1\100 3\50 5
150
Потребность
10
150 200 100 90
550
1. 1
2. 2
3. 3
6.2 Исходные данные транспортной задачи представлены в таблице:
Пункты отправ
А1
А2
А3
Потребность
Пункт назначения
В1
В2
В3
6
1
7
3
4
2
3
1
5
500 100
200
Запасы
В4
1
1
5
100
250
400
800
900\1450
Какая из приведенных моделей является математической моделью
при определении оптимального плана перевозок?
В5- фиктивный пункт назначения с потребностью а=550 и фиктивными
ценами за перевоз 1 ед. груза с 15=с25=с35=0
1. F=6х11+х12+7х13+х14+0х15+3х21+4х22+2х23+х24+0х25+3х31+х32+
+5x33+5x34+0x35 max
xll+x12+xl3+xl4+x15<=250
x21+x22+x23+x24+x25<=400
x31+x32+x33+x34+x35<=800
x11+x21+x31<=500
xl2+x22+x32<=100
xl3+x23+x33<=200
x14+x24+x34<=100
xl5+x25+x35<=550
2. F=6х11+х12+7х13+х14+0х15+3х21+4х22+2х23+х24+0х25+3х31+х32+
+5x33+5x34+0x35min
xll+x12+xl3+xl4+x15=250
x21+x22+,x23+x24+x25=400
x31+x32+x33+x34+x35=800
x11+x21+x31=500
xl2+x22+x23=100
х13+х23+х33=200
x14+x24+x34=100
xl5+x25+x35=550
3.F=6х11+х12+7х13+х14+0х15+3х21+4х22+2х23+х24+0х25+3х31+х32+
+5x33+5x34 max
xll+x12+xl3+xl4+x15=250
x21+x22+x23+x24+x25=400
x31+x32+x33+x34+x35=800
x11+x21+x31=500
xl2+x22+x23=100
х13+х23+х33=200
x14+x24+x34=100
xl5+x25+x35=550
xl2+x22+x32=100
4.F=6xl l+xl2+7xl3+xl4+3x21+4x22+2x23+x24+3x31+x32+5x33+5x34 min
xll+xl2+xl3+xl4=250
x21+x22+x23+x24=400
x31+x32+x33+x34=800
xll+x21+x31=500
x12+x22+x32=100
xl3+x23+x33=200
xl4+x24+x34=100
Тема 8 Задачи целочисленного ЛП. Задача о назначениях, задача коммивояжера
7.1 Пусть имеется n единиц оборудования различных типов, которые требуются
распределить между n предприятиями, имеющими различный уровень технической
оснащенности. Обозначим Cij – стоимость назначения i-го типа оборудования нaj-ое
предприятие. Задача состоит в таком распределении оборудования (по одному на
предприятие), которое дает минимальную суммарную стоимость назначений. Пусть
xij= 1,если i-й тип оборудования назначается на j-ое предприятие,
0 - в противном случае.
Какая из приведенных ниже моделей является моделью оптимального назначения
оборудования?
n n
1. F    CijXij  min
i 1 j 1
n
 Xij  1
j  1,n
i 1
n n
2. F    CijXij  max
i 1 j 1
n
 Xij  1,
j  1,n
i 1
n
 Xij  1, i  1, n
j 1
n n
3. F    CijXij  min
i 1 j 1
n
 Xij  1,
j  1,n
i 1
n
 Xij  1, i  1, n
j 1
7.2 Матрица стоимостей назначения задачи о назначениях имеет следующий вид:
5

3
9

6
4 6 1

9 4 5
2 4 7

7 3 7 
Какое из доступных решений задачи о назначениях является оптимальным, и какова
стоимость оптимального назначения?
1.
0

1
0

0
2.
1 0 0  0

0 0 0 1
0 1 0  0

0 0 1   0
Стоимость =18
0 0 1 1

0 0 0  0
1 0 0  0

0 1 0   0
Стоимость =9
3.
0 0 0

1 0 0
0 1 0

0 0 1 
Стоимость =25
8.3 Матрица расстояний задачи коммивояжера задана следующим образом:
 3 7 8 


3

2
10


7 2  6 


8
10
6



Какова оценка исходного множества всех маршрутов?
1) 15
2) 13 3) 18
Тема 9 Общая теория нелинейного программирования. Классическая задача на
условный экстремум. Решение задачи потребительского выбора, задач оптимизации
производства.
9.1 Дана задача нелинейного программирования.
F=x12+x22+x3min
x1+x2+x3=4
2x1-3x2=12
Какая из построенных функций Лагранжа является правильной?
1. L(x1,x2,x3 y1,y2 )= x12+x22+x3 –y1(x1+x2+x3-4)+y2(2x1-3x2-12)
2. L(x1,x2,x3 y1,y2 )= x12+x22+x3 +y1(x1+x2+x3+4)+y2(2x1-3x2+12)
3. L(x1,x2,x3 y1,y2 )= x12+x22+x3 +y1(x1+x2+x3-4)+y2(2x1-3x2-12)
9.2 Математическая модель задачи потребительского выбора имеет вид
25
F= x1
* x23 5  max
3x1+6x2=200
Какая из приведенных ниже систем позволяет определить оптимальный
потребительский набор товаров, в соответствии с методом множителей Лагранжа?
3 5
1) 2 x1
* x23 5  3 =200
3 5
2) 2 x1
5
3 x 2 5 * x 2 5  6 =200
2
5 1
5
3 x 2 5 * x 2 5  6 =0
2
5 1
3x1  6 x2  200  0
3)
3x1  6 x2  200  0
2 x 3 5 * x 3 5  3 =0
2
5 1
3 x 3 5 * x 2 5  6 =0
2
5 1
3x1  6 x2  200  0
9.3 Функция Лагранжа для решения задачи:
минимизировать функцию f(x) = х14 + х22 при ограничениях
х1 5,
* x23 5  3 =0
х1*x2 8 имеет вид:
1) L(x,)= x14 + x22+ 1(5 - x1 ) + 2( x1x2-8)
2) L(x,)= x14 + x22+ 1(5 - x1 ) - 2(8 - x1x2)
3) L(x,)= x14 + x22+1(5 - x1 ) + 2(8 - x1x2)
9.4 Функция Лагранжа для решения задачи:
минимизировать функцию f(x) = x12 + x22 + x32 при ограничениях:
x1 + x2 + x3 3, x1x2x3 3 имеет вид:
1) L(x,)= x12 + x22 + x32 - 1(3 - x1 - x2 - x3 ) - 2 x1x2x3
2) L(x,)= x12 + x22 + x32 - 1( x1 + x2 + x3 ) - 2( x1x2x3-3)
3) L(x,)= x12 + x22 + x32 + 1(3 - x1 - x2 - x3 ) + 2(3 - x1x2x3)
Тема 10. Многокритериальная оптимизация
10.1На каком рисунке изображено Парето-оптимальное множество решений для задачи
многокритериальной оптимизации
x1  max
x 2  min
( x1  1) 2  ( x 2  3) 2  4
X2
X2
B
A
B
A
X1
X1
а)
X2
б)
B
X2
A
B
X1
в)
A
X1
г)
10.2 Математическая модель задачи имеет вид:
f ( x, y)  ( f1 ( x, y)  2x  y, f 2 ( x, y)  2x  3 y)  max ,
D  {( x, y) : x 2  y 2  100, x  0, y  0} .
Составлена задача:
f ( x, y)  0,7  (2x  y)  0,3  (2x  3y)  max
D  {( x, y) : x 2  y 2  100, x  0, y  0}
Каким методом
однокритериальной?
приведена
задача
многокритериальной
оптимизации
к
оптимизации
к
1) методом идеальной точки
2) методом линейной свертки
3) методом максиминной свертки.
10.3 Математическая модель задачи имеет вид:
f ( x, y)  ( f1 ( x, y)  2x  y, f 2 ( x, y)  2x  3 y)  max ,
D  {( x, y) : x 2  y 2  100, x  0, y  0} .
Составлена задача:
f ( x , y )  ( 2 x  y  f1max ) 2  ( 2 x  3 y  f 2max ) 2  min
D  {( x, y) : x 2  y 2  100, x  0, y  0}
Каким методом
однокритериальной?
приведена
1) методом идеальной точки
задача
многокритериальной
2) методом линейной свертки
3) методом максиминной свертки.
ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ
РЕШЕНИЙ»
1.
Анализ проблем. Построение дерева (графа) проблем.
2.
Целевой анализ. Построение дерева целей.
3.
Применение метода анализа иерархий для решения задач выбора.
4.
Применение метода «Дельфи» для решения управленческих задач.
5.
Применение метода когнитивного моделирования для построения прогнозных
сценариев развития ситуации.
6.
Разработка управленческого решения методом мозгового штурма.
7.
Использование сценарного подхода при принятии управленческого решения.
8.
Использование симплекс-метода при нахождении и анализе оптимального
решения.
9.
Использование метода потенциалов для оптимизации транспортных перевозок
однородного продукта.
10.
Разработка решения о назначении сотрудников для выполнения работ венгерским
методом.
11.
Решение задачи оптимального распределения ресурсов между предприятиями
отрасли методом динамического программирования.
12.
Применение метода количественного анализа эффективности работы системы
массового обслуживания.
13.
Оценка вариантов работы системы массового обслуживания при различных
условиях ее функционирования.
14.
Определение оптимальной структуры СМО при различных вариантах
обслуживания клиентов.
15.
Применение метода дерева решений для достижения целей организации
16.
Методы принятия коллективных решений.
17.
Методы контроля выполнения решений.
18.
Оценка эффективности управленческих решений.
19.
Принятие решений в сфере управления запасами и поставками сырья и материалов
на предприятии.
20.
Оптимизация процесса управления запасами готовой продукции на предприятии…
21.
Оптимизация управления финансовыми ресурсами на примере бюджета
муниципального образования (региона, государства).
22.
Разработка оптимальной производственной программы на предприятии…
23.
Распределение
подвижного
состава
пассажирского
автопредприятия,
оптимизирующее транспортные пассажирские перевозки в городе… (регионе…).
24.
Разработка оптимального пассажирского маршрута (грузового маршрута) в городе
(регионе…).
25.
Распределение
обязанностей
между
сотрудниками
организационного
подразделения администрации… района (города) при выполнении мероприятий,
связанных с подготовкой проведения… (подготовкой проекта закона, постановления,
распоряжения…).
26.
Разработка оптимального плана мероприятий (последовательности операций) в
условиях ограничения использования материальных и трудовых ресурсов.
27.
Оптимальное управление инвестиционным портфелем компании в условиях риска.
28.
Оптимальное управления бюджетными расходами муниципального образования
(региона) в условиях риска (полной неопределенности).
29.
Разработка оптимальной стратегии ведения боевых действий…
30.
Разработка оптимальной стратегии поведения фирмы… на рынке в условиях
жесткой конкуренции (олигополии, монополии).
31.
Разработка оптимальной стратегии поведения политической партии… при
проведении выборов (в представительном органе власти…)
32.
Оптимизация процесса проведения выборов в… регионе (муниципальном округе).
33.
Разработка оптимальных критериев управления персоналом организации на стадии
отбора (продвижения по службе, увольнения).
34.
Разработка оптимальной стратегии управления карьерным ростом.
СИТУАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
Задача по использованию сырья
Виды сырья
Запасы сырья
S1
Виды продукции
П1
П2
b1
a11
a12
S2
b2
a21
a22
S3
b3
a31
a32
S4
b4
a41
a42
С1
С2
Стоимость 1 ед. продукции
a ij – количество единиц сырья вида Si, расходуемого на производство одной единицы
продукции вида Пj i  1,4, j  1,2 .
x1ед  П1 , х2 ед  П2
F ( x)  c1 x1  c2 x2  max
при условиях
a11 x1  a12 x 2  b1 
a 21 x1  a 22 x 2  b2 

a31 x1  a32 x 2  b3 
a 41 x1  a 42 x 2  b4 
x1  0, x2  0
Задача о диете
Питательные
вещества
Кол-во единиц питательных веществ, содержащихся в
Количество
единице продукции вида
питательного
вещества в
В1
В2
Вn
…
диете
N1
a11
a12
…
a1n
b1
N2
a21
a22
….
a2n
b2
…
…
…
…
…
…
Nn
am1
am2
…
amn
bm
Стоимость
единицы
продукта
С1
С2
….
cn
a ij - количество единицы питательного вещества вида N i , содержащегося в одной
единице продукта вида В j .
x1ед  B1 ;
x 2 ед  B2 ;

x n ед  Bn
F x   c1 x1    cn xn  min
при ограничениях
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 , 
a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2 , 



a m1 x1  a m 2 x 2    a mn x n  bm .
Общая задача линейного программирования.
Каноническая
форма
(основная) Стандартная
(симметрическая) форма
Общая форма
1) ограничения
Уравнения
Неравенства
Уравнения неравенства
n
n
 ai j x j  bi ,i  1, m
a
j 1
j 1
ij
x j  ( 0)bi ,i  1, m
 
 
ai j x j bi ,i  1, m

j 1
 
 
n
2) условия неотрицательности
Все переменные
Все переменные
Часть переменных
x j  0, j  1, n
x j  0, j  1, n
x j  0, j  1, s s  n
n
3) цель задачи (
F ( x )   ci j x j
max или min F(x)
j 1
)
 (max F(x))
ьфч или ьшт А(ч)
 (min F(x))
Задание 1
На трех хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190 и 90 т муки. Эта мука
потребляется четырьмя хлебозаводами, ежедневные потребности которых равны
соответственно 80, 60, 170 и 80 т. Тарифы перевозок 1 т муки с хлебокомбинатов к
каждому из хлебозаводов задаются матрицей:
Составить такой план доставки муки, при котором общая стоимость перевозок является
минимальной.
Задание 2
В трех хранилищах горючего ежедневно хранится 175, 125 и 140 т бензина. Этот
бензин ежедневно получают четыре заправочных станции в количествах, равных
соответственно 180, 110,60 и 40 т. Тарифы перевозок 1 т бензина с хранилищ к
заправочным станциям задаются матрицей:
Составить такой план перевозок бензина, при котором общая стоимость перевозок
является минимальной.
Задание 3
Имеется три участка земли, на которых могут быть засеяны кукуруза, пшеница,
ячмень и просо. Площадь каждого из участков соответственно равна 600, 180 и 220 га. С
учетом наличия семян кукурузой, пшеницей, ячменем и просом следует соответственно
засеять 290, 180, 110 и 420 га. Урожайность каждой из культур для каждого из участков
различна и задается матрицей:
Определить, сколько гектаров каждой культуры на каждом из участков следует засеять
так, чтобы общий сбор зерна был максимальным.
Задание 4
Мясокомбинат имеет в своем составе четыре завода, на каждом из которых может
изготовляться три вида колбасных изделий. Мощности каждого из заводов соответственно
равны 320, 280, 270 и 350 т/сут. Ежедневные потребности в колбасных изделиях каждого
вида также известны и соответвенно равны 450,370 и 400 т. Зная себестоимость 1 т
каждого вида колбасных изделий на каждом заводе, которая определяется матрицей
,
найти такое распределение выпуска колбасных изделий между заводами, при котором
себестоимость изготовляемой продукции является минимальной.
Задание 5
Для строительства четырех дорог используется гравий из трех карьеров. Запасы
гравия в каждом из карьеров соответственно равны 120, 280 и 160 усл. ед. Потребности в
гравии для строительства каждой из дорог соответственно равны 130, 220, 60 и 70 усл. ед.
Известны также тарифы перевозок 1 усл. ед. гравия из каждого карьера к каждой из
строящихся дорог, которые задаются матрицей
Составить такой план перевозок гравия, при котором потребности в нем каждой из
строящихся дорог были бы удовлетворены при наименьшей общей стоимости перевозок.
Задание 6
Три предприятия данного экономического района могут производить некоторую
однородную продукцию в количествах, соответственно равных 180, 350 и 20 ед. Эта
продукция должна быть поставлена пяти потребителям в количествах, соответственно
равных 110, 90, 120, 80 и 150 ед. Затраты, связанные с производством и доставкой
единицы продукции, задаются матрицей
Составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам, при котором общие
затраты являются минимальными.
Задание 7
Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые
ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации
одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в
следующей таблице :
Ресурсы
Нормы затрат ресурсов на одноОбщее
изделие
количество
стол
шкаф
ресурсов
Древесина (м3):
0,2
0,1
40
I вида
0,1
0,3
60
II вида
1,2
1,5
371,4
Трудоемкость
(человеко-часов)
Прибыль
от60
реализации одного
изделия (руб.)
80
Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовить, чтобы прибыль от их
реализации была максимальной.
Задание 8
На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать
заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 шт. Каждый лист
фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых
заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина
отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.
Вид заготовки
Количество заготовок (шт.) при раскрое по
способу
1
2
I
2
6
II
5
4
III
2
3
Величина отходов (см2) 12
16
Определить, частоту использования способов раскроя фанеры так, чтобы было
получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.
Задание 9
На ткацкой фабрике для изготовления трех артикулов ткани используются ткацкие
станки двух типов, пряжа и красители. В таблице указаны производительность станков
каждого типа, нормы расхода пряжи и красителей, прибыль от реализации 1 м ткани
данного артикула, а также общий фонд рабочего времени станков каждого типа,
имеющиеся в распоряжении фабрики запасы пряжи и красителей и ограничения на
возможный выпуск тканей данного артикула.
Ресурсы
Нормы затрат на 1 м ткани Общее
артикула
количество
ресурсов
Производительность 0,02
станков
(станко0,04
часов):
0
0,04
200
0,03
0,01
500
I типа
1,0
1,5
2,0
15000
II типа
0,03
0,02
0,025
450
8
8
Пряжа (кг)
Красители (кг)
Прибыль
реализации
от 5
1 м ткани (руб.)
Выпуск ткани (м):
1000
2000
2500
минимальный
2000
9000
4000
максимальный
Составить такой план изготовления тканей, согласно которому будет произведено
возможное количество тканей каждого артикула , а прибыль от реализации максимальна.
Задание 10
Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо
потреблять не менее 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей.
Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг каждого вида потребляемых
продуктов, а также цена 1 кг каждого из этих продуктов приведены в следующей таблице:
Содержание (г) питательных веществ в 1 кг
продуктов
Питательные
вещества
мясо рыба молоко масло сыр
крупа картофель
Белки
180 190
30
10
260
130
21
Жиры
20
3
40
865
310
30
2
Углеводы
0
0
50
6
20
650
200
Минеральные
соли
9
10
7
12
60
20
10
18
10
2,8
34
29
5
1
Цена 1 кг продуктов (руб).
Составить дневной рацион, содержащий не менее минимальной суточной нормы
потребности человека в необходимых питательных веществах при минимальной общей
стоимости потребляемых продуктов.
Задание 11
Для производства трех видов продукции предприятие использует два типа
технологического оборудования и два вида сырья. Нормы затрат сырья и времени на
изготовление одного изделия каждого вида приведены в таблице. В ней же указаны общий
фонд рабочего времени каждой из групп технологического оборудования, объемы
имеющихся запасов сырья каждого вида, прибыль от реализации изделия каждого вида и
ограничения на возможный выпуск каждого из изделий.
Ресурсы
Нормы затрат наОбщее количество ресурсов
одно изделие вида
1
2
3
4
I типа
2
0
4
200
II типа
4
3
1
500
Сырье(кг):
1-го вида
15
10
20
1495
2-го вида
30
20
25
4500
Прибыль
от 10
реализации одного
изделия (руб.)
15
20
-
20
25
-
Производительность
оборудования
(нормо-часов):
Выпуск (шт.):
минимальный
10
максимальный
20
40
100
-
Составить такой план производства продукции, согласно которому будет
изготовлено необходимое количество изделий каждого вида, а прибыль от реализации
изготовляемой продукции максимальна.
Задание 12
Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А,В, и С использует
три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода
сырья каждого вида на производство 1 т карамели данного вида приведены в таблице.
В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть
использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т карамели данного
вида.
Вид сырья
Нормы расхода сырья (т) на 1 т Общее
карамели
количество
сырья (т)
А
В
С
Сахарный песок
0,5
0,3
0,6
8
Патока
0,2
0,6
0,2
6
Фруктовое пюре
0,3
0,1
0,2
3
Прибыль
от 120
реализации 1 т
продукции (руб.)
112
126
Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее
реализации.
Задача о рюкзаке
Контейнер оборудован m отсеками вместимостью
видов продукции
для перевозки n
. Виды продукции характеризуются свойством неделимости,
т.е. их можно брать в количестве 0, 1, 2, ... единиц. Пусть
перевозки единицы j-ой продукции. Обозначим через
- расход i-го отсека для
полезность единицы j-ой
продукции. Требуется найти план
перевозки, при котором максимизируется
общая полезность рейса. Модель задачи примет вид:
при ограничениях на вместимости отсеков
условии неотрицательности
условии целочисленности
- целые
.
Когда для перевозки имеется один отсек и каждый вид продукции может быть взят или
нет, то модель задачи принимает вид:
.
Задача о назначении
Имеет n исполнителей, которые могут выполнять n различных работ. Известна
полезность
, связанная с выполнением i-м исполнителем j-й работы
.
Необходимо назначить исполнителей на работы так, чтобы добиться максимальной
полезности, при условии, что каждый исполнитель может быть назначен только на одну
работу и за каждой работой должен быть закреплен только один исполнитель.
Математическая модель задачи примет вид:
Каждый исполнитель назначается только на одну работу:
На каждую работу назначается только один исполнитель:
Условия неотрицательности и целочисленности
,
.
Задача коммивояжера
Коммивояжер должен посетить один, и только один, раз каждый из n городов и
вернуться в исходный пункт. Его маршрут должен минимизировать суммарную длину
пройденного пути.
Математическая модель задачи:
Условия неотрицательности и целочисленности
,
.
Добавляется условие прохождение маршрута через все города, т.е. так называемое
условие цикличности. Иначе, маршрут должен представлять собой замкнутую ломаную,
без пересечений в городах-точках.
Найти
экстремум
функции
градиентным
методом:
5
f ( x1, x2 )  x12  x2 2  x1x2  7  min , x(0)  (3;1) .
2
2. Решить задачу о рациональном распределении ресурсов методом динамического
программирования:
Номер
Предприятие 1
Предприятие 2
Предприятие 3
варианта
C1
R1
C2
R2
C3
R3
1
0
0
0
0
0
0
2
2
5
2
6
2
5
3
3
7
4
8
3
6
4
4
8
-
-
4
7
5
-
-
-
-
5
9
Общая сумма капитальных вложений 8 млн. у.е.