текст - страница
реклама
Департамент образования Администрации Ярославской области Государственное учреждение Ярославской области «Центр оценки и контроля качества образования» «Арифметические способы решения текстовых задач по математике в 5-6 классах» Методическая разработка Ореховой Елены Юрьевны, учителя математики МОУ Крюковской ООШ Мышкинского МО Ярославской области. Научный руководитель: Шарова Ольга Павловна, кандидат педагогических наук, доцент Ярославль, 2006 СОДЕРЖАНИЕ Стр. ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………. ГЛАВА І Текстовые задачи и их типология…………………………….. 1.1. Определение текстовой задачи……………………………………….. 1.2 Роль текстовых задач в школьном курсе математики………………. 1.3. Различные подходы к классификации текстовых задач……………. 1.4. Этапы решения текстовых задач……………………………………... ГЛАВА ІІ Методика обучения учащихся решению текстовых задач арифметическим методом………………………………………………….. 2.1. Знания, умения учащихся по решению текстовых задач по окончании начальной школы………………………………………….. 2.2. Планирование работы учителя по обучению учащихся решению текстовых задач арифметическим способом………………………… 2.3. Организация работы учителя на каждом этапе решения задачи……. 2.3.1 Организация работы учителя над условием задачи…………….. 2.3.2. Организация работы учителя по составлению плана решения… 2.3.3. Реализация плана решения………………………………………. 2.3.4. Анализ найденного решения и работа по поиску других вариантов решения…………………………………………………………. 2.4. Формирование приёмов решения задач «на процессы»…………….. 2.4.1. Формирование понятия о времени протекания процесса……… 2.4.2 Формирование понятий о скорости протекания процесса и его продукте (результате)……………………………………… 2.4.3. Формирование понятия совместного действия…………………. 2.5. Составление задач учащимися………………………………………… ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………… СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………….. ПРИЛОЖЕНИЕ …………………………………………………………….. Введение. В последние годы большие затруднения у детей на уроках математики вызывает задание: решите задачу. Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и как это делать? – вот вопросы, которые я затронула в этой работе. В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи занимали особое место. Исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания с их решениями. Обученным считался тот, кто умел решать задачи определённых типов, встречавшихся на практике. Со временем работа с задачами совершенствовалась, она была выстроена в систему, оказывающую определённое воздействие на развитие мышления и речи учащихся, развивающую их смекалку и сообразительность, показывающую связь изучаемого с практикой. С помощью задач формируются важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему усвоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и других дисциплин. Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счёт более раннего введения уравнений и функций, методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени. Но арифметические способы решения текстовых задач как раз и готовят ребёнка к овладению алгеброй. А когда это произойдёт, то алгебра доставит ученику более простые, чем арифметические, способы решения некоторых задач. «Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Ещё два десятка лет в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики ( конца 60-х годов) превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим.», - писал академик В.И. Арнольд. Тем не менее, в методической литературе мало внимания уделяется арифметическим методам решения задач, поэтому целью моей работы является разработка методических материалов обучения учащихся 5-6 классов решению текстовых задач арифметическим способом. Для достижения этой цели передо мной встали следующие задачи: изучить психолого-педагогическую литературу по данной проблеме; познакомиться с опытом работы учителей математики, использующих арифметический метод решения текстовых задач и проанализировать свой опыт работы в этом направлении; обосновать необходимость обучения учащихся решению текстовых задач в 5-6 классах; показать преимущество арифметических способов решения текстовых задач; разработать и представить методику обучения решению текстовых задач; представить анализ результатов обучения с использованием данного метода. Методическая разработка состоит из введения, двух глав, заключения, приложения. Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, определяется цель работы и ставятся задачи. В 1-й главе даётся определение текстовой задачи, различные подходы к классификации задач, показана роль текстовых задач в курсе математики, а также раскрываются этапы решения задач арифметическим методом. Во 2-й главе даются методические рекомендации по обучению решению текстовых задач арифметическим методом; представляется работа учителя на каждом этапе решения задачи, более подробно раскрывается организация работы учителя по обучению решению задач «на процессы». ГЛАВА І. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ТИПОЛОГИЯ. 1.1. Определение текстовой задачи. Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют. Что же такое задача? С точки зрения Л.М. Фридмана любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.[17] Задачи, в которых зависимость между условием и требованием сформулирована словами, называются текстовыми. При этом главным отличием задачи от примера является не только наличие текста, но и наличие части условия или требования, выраженного на естественном (нематематическом) языке. По определению Л.М. Фридмана задачи, в которых хотя бы один объект есть реальный предмет, называются практическими (житейскими, текстовыми, сюжетными). Под текстовой задачей я понимаю такую задачу, в которой речь идёт о реальных объектах, процессах, связях и отношениях. Реальные процессы – это движение, работа, наполнение и освобождение бассейнов, покупки, смеси, сплавы и др. Такой терминологии придерживается А.В.Шевкин, кандидат педагогических наук, автор учебников и учебно-методических пособий по математике 1.2. Роль текстовых задач в школьном курсе математики. Можно кратко определить значение текстовых задач в школьном курсе математики. Работа над задачей: - развивает логическое мышление; - помогает осмысливать и закреплять вычислительные навыки; - имеет большое жизненно-практическое и воспитательное значение.[10] А.В.Шевкин так определяет роль текстовых задач в курсе математики: 1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач. 2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению. 3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учётом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учётом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью обратной задачи, то есть формулировать и развивать важные общеучебные умения. 4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом к изучаемому предмету. 5. Обучение и воспитание ребёнка во многом напоминает этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических способов их решения позволяет вести обучение математике в историческом контексте, что повышает мотивацию учения, развивает творческий потенциал. Пока мы будем учить детей на русском языке – не только великом и могучем, но и достаточно трудном, пока мы хотим учить их сравнивать, выбирать наиболее простой путь достижения поставленной цели, пока мы не отказались от воспитания гибкости и критичности мышления, пока мы стараемся увязывать обучение математики с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике.[16] 1.3. Различные подходы к классификации текстовых задач. Существуют различные подходы к классификации текстовых задач. Можно говорить о типологии задач по методам решения: арифметический (по действиям или составлением выражения), алгебраический (составлением уравнения, системы уравнений или неравенств), геометрический (использование подобия, площадей фигур и т.п.). Но эта типология, как и любая другая, условна, так как одна и та же задача может быть решена и алгебраическим, и арифметическим методами. К середине ХХ века в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая: задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и др. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но её реализация на практике не была свободна от недостатков. Вот как описывал академик В.И. Арнольд практику обучения решению задач, сложившуюся в нашей стране в то время: «Учеников – в том или ином порядке - знакомят с соответствующими «типами» задач, причём обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приёмов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае… В итоге – полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач…» Но менять необходимо было не методику, а негодную практику её применения. Анализируя содержание арифметических задач, связанных с различными процессами – работа, движение, расход энергии, наполнение и освобождение бассейнов и др. – можно увидеть в них ориентировку на три взаимосвязанные величины: скорость процесса, время его протекания и продукт (результат). Указанные величины составляют сущность всех названных задач. В самом деле, сравним следующие задачи: 1) В одном колхозе для корма коров и лошадей заготовлено 2400 центнеров сена. На сколько дней хватит сена, если в день расходуется по 8 ц на коров и по 4 ц на лошадей? 2) Из двух городов, расстояние между которыми 760 км, одновременно отправляются навстречу друг другу два поезда, один со скоростью 50 км/ч, а другой со скоростью 45 км/ч. Через сколько часов они встретятся? 3) Двум слесарям, которые работают одновременно, дано задание изготовить 120 деталей. Через сколько времени это задание будет выполнено, если один слесарь изготовляет 7 деталей в час, а другой – 5 деталей в час? 4) Одновременно открыты три крана, каждый из них пропускает по 150 литров в час. Через сколько времени надо закрыть краны, если нужно набрать 1350 литров нефти? Все 4 задачи различного предметного содержания, но имеют одинаковую математическую структуру. Во всех задачах требуется узнать время протекания какого-то процесса в ситуации совместного действия. Таким образом, как писала Н.Ф. Талызина в статье «Формирование общих приёмов решения арифметических задач»: «В основу типизации арифметических задач должны быть положены особенности отношений величин, представленных в условии задачи, а не сюжет. Предварительный анализ показал, что задачи на «процессы» и задачи на «куплю-продажу» имеют идентичную систему отношений, что разница лишь в конкретно-предметном плане, что в данном случае не является существенным. Может быть найден способ анализа, позволяющий учащимся подходить к этим двум большим классам арифметических задач как к разновидностям одного и того же типа С другой стороны, открывается возможность перенести рассмотренный приём в курс физики, где он успешно может быть применён не только при изучении движения, но и при определении давления, плотности, механической мощности и др.»[12] 1.3 Этапы решения текстовых задач. Под решением задачи будем понимать процесс, представляющий собой поиск необходимой последовательности действий на основе анализа условия и требования задачи, направленных на определение результата задачи; выполнение этих действий и получение результата, анализа и оценки последних. В методике обучения математике выделены 4 основных этапа процесса решения задачи: 1) осмысление текста задачи и анализ её содержания; 2) осуществление поиска решения и составление плана решения; 3) реализация плана решения; 4) анализ найденного решения, поиск других способов решения. При работе с текстовой задачей на первом этапе предполагается первоначальная работа с целью понимания сюжета, выявление величин, которыми описывается ситуация, установление различных зависимостей между этими величинами, определение отношений, заданных условием задачи. Результаты такого предварительного анализа часто бывает удобно зафиксировать в схематической записи. Обычно говорят: «Сделать краткую запись». Для различных видов задач краткие записи могут быть разными. Это можно сделать в виде таблицы, отрезочных или столбчатых диаграмм, схематического чертежа, рисунков и т. д. Такая запись служит схематизации материала, даёт возможность одновременно видеть все связи между данными. Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна являться математическая модель ситуации. Поиск способа решения может занимать по времени самое большое место в общем процессе решения. При этом довольно часто поиск способа решения приходится производить не один раз, когда в процессе выполнения найденного способа решения мы убеждаемся в его ошибочности или сложности. Очень важно каждый раз в случае неудачи поиска решения возвращаться к анализу условия задачи. Составление плана решения производится двумя методами: аналитическим и синтетическим. Анализ способа решения удобно начинать с вопроса к задаче и производить его по схеме: чтобы узнать – надо знать… Такой метод является аналитическим. Иногда поиск решения осуществляется синтетическим путём. Исходя из данных условия составляют первую простую задачу. Полученный при её решении результат и одна из величин основной задачи позволяют составить новую простую задачу; так поступают до тех пор, пока ответ на последнюю простую задачу не будет ответом на вопрос основной задачи. [13] В процессе поиска решения обычно одновременно используют и анализ и синтез, то есть аналитико-синтетический метод. При этом ученик должен уметь: 1) переводить отношения между величинами на язык равенств; 2) записывать зависимости между величинами с помощью формул известных процессов и выражать величины из формул. Таблица 1. Основные отношения и их перевод на язык равенств. 1. А в сумме с В есть С 2. А>В на С 3. А<В на С 4. А>В в С раз 5. А<В в С раз 6. А составляет m/n от В 7. А составляет х % от В А+В=С А=В+С А=В-С А=В С А=В:С А= m/n В А=х/100 В А=С-В В=А-С В=А+С В=А:С В=А С В=А: m/n В=А: х/100 В=С-А С=А-В С=В-А С=А:В С=В:А m/n=А:В х/100=А:В [13] При арифметическом способе решения необходимо умение учеником найти в задаче три взаимосвязанные величины и по двум известным из них найти неизвестную. Так успешное решение задач на «процессы» предполагает понимание отношений между величинами: скорость процесса (v) , время его протекания (t) и продукт или результат работы (s). s=v t v=s:t t=s:v Причём важно разбираться в отношениях между этими величинами как в условиях одного участника процесса, так и в условиях нескольких участников. Третий этап работы с задачей предполагает решение построенной математической модели, интерпретацию результата решения математической модели в заданную ситуацию. Объяснение решения задачи может иметь такие формы: 1. Составление всего плана перед решением задачи и затем производство действий к каждому пункту плана. 2. Краткий вопрос и следующее за ним действие. 3. Краткое пояснение полученных результатов действий. 4. Производство всех действий с последующим подробным устным объяснением всего решения задачи. 5. Постановка полных вопросов с последующим решением. [10] На практике чаще всего используются первые три вида объяснения. На четвёртом этапе работы с задачей необходимо выполнить проверку результата решения, сравнить результат с условиями задачи, проверить его на достоверность. На этом этапе можно предложить другие варианты решения. Поиск наиболее рационального способа решения будят мысль ученика, развивают сообразительность и уводят его от шаблона, повышая в то же время интерес к работе. Наконец, если ученик научится внимательно, вдумчиво анализировать задачу, вдумчиво решать каждую задачу, фиксируя в своей памяти все приёмы, с помощью которых были найдены решения, способы решения, то постепенно у него выработается умение решать любую задачу, пусть незнакомую. Известный математик, профессор Московского университета С.А.Яновская на вопрос «Что значит решить задачу?» дала короткий ответ: «Решить задачу – значит свести её к уже решённым.» ГЛАВА ІІ МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ АРИФМЕТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ. 2.1. Знания, умения, навыки учащихся по решению текстовых задач по окончании начальной школы. К началу 5-го класса учащиеся должны знать связи между такими величинами, как цена, количество, стоимость; время, скорость, путь при равномерном движении; уметь применять к решению текстовых задач знание изученных зависимостей. Таковы основные требования к знаниям, умениям и навыкам обучающихся, обеспечивающие преемственную связь с курсом математики 5 класса, предъявляемые программой. Основная цель обучения решению текстовых задач в начальной школе – осознанное усвоение детьми смысла арифметических действий, отношений «больше» - «меньше» (на несколько единиц и в несколько раз), «столько же» (или «равно»), взаимосвязи между компонентами и результатами действий, использованию действий вычитания (деления) для сравнения чисел. [8] Поэтому можно выделить следующие ключевые задачи, которые должны уметь решать выпускники начальной школы: нахождение суммы величин, если эти величины известны с использованием сравнений «на…больше», «на…меньше», «в..раз больше», «в… раз меньше» в прямой и косвенной форме; нахождение разницы между величинами с использованием действий вычитания и деления; нахождение одной из трёх величин в задачах на зависимости: цена-количество-стоимость, норма расхода материала на 1 вещьколичество вещей-расход материала всего, скорость-времярасстояние; нахождение одной из трёх величин в задачах на зависимости: было-израсходовали-осталось, было-добавили-стало. 2.2. Планирование работы учителя по обучению решению текстовых задач арифметическим способом. Несмотря на требования к знаниям, умениям учащихся, предъявляемые программой начальной школы, опыт моей работы показывает, что большинство учащихся начальной школы приходят в 5-й класс с небольшим багажом знаний и умений именно по решению текстовых задач. Поэтому основная цель моей работы на первых уроках математики в 5 классе во время повторения учебного материала – определить пробелы в знаниях и умениях учащихся, в том числе и по решению текстовых задач. Простейшие задачи в одно действие можно включить в тренировочные упражнения для устного счёта (см. приложение 1). При решении таких задач следует обращать внимание учащихся на те числовые данные, которые выражены не только числами, но и словами. Иногда при анализе задач обнаруживается неумение некоторыми учащимися переводить на математический язык слова для сравнения величин. В таких случаях я пользуюсь таблицей, которую составляем вместе с учениками на первых уроках математики. Таблица 2 больше меньше выше ниже толще тоньше шире уже дороже дешевле старше младше длиннее короче глубже мельче дальше ближе Как было сказано выше, существуют различные подходы к определению типов задач. Несмотря на то, что любая классификация условна, обойтись без неё невозможно. В своей работе при планировании учебного материала и подготовке к урокам я выделяю некоторые так называемые ключевые задачи, приёмы решения которых должны освоить учащиеся 5 и 6 классов. 1. Задачи на процессы (на движение, на работу, на бассейны) 2. Задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме и разности; задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме (разности) и отношению. 3. Задачи на предположение. 4. Задачи на проценты. 5. Задачи на нахождение части от числа и числа по его части. 6. Задачи на пропорциональные зависимости. Все эти задачи содержат новые приёмы решения. Поэтому требуется серьёзная подготовка к обучению. В учебниках «Математика 5» и «Математика 6» автора Н.Я. Виленкина, по которым я работаю, задачи разных видов «разбросаны», не систематизированы ни по сложности, ни по приёмам решения. Очевидно, для того, чтобы разрушить формирующиеся стереотипы решения, разнообразить способы деятельности учащихся. Но, на мой взгляд, при освоении нового приёма решения такого разнообразия лучше избегать и следовать «от простого к сложному». И только после того, как приём освоен и сформирован навык по его применению, его можно использовать и при решении составных задач разных видов. Наиболее целенаправленно арифметический подход к решению текстовых задач раскрывается в учебниках «Арифметика 5», «Арифметика 6» С.М. Никольского и «Математика 5», «Математика 6» Г.В. Дорофеева. Поскольку я работаю по учебнику Н.Я. Виленкина, который нацеливает учащихся на раннее введение уравнений и решение текстовых задач алгебраическим способом, то в тематическое планирование я внесла некоторые коррективы по использованию задачного материала (см. приложение 2). 2.3. Организация работы учителя на каждом этапе решения задачи. Как было сказано выше, работа над задачей включает 4 основных этапа. Причём все четыре этапа одинаково важны. Поэтому рассмотрим работу учителя и учащихся на каждом отдельном этапе при решении задач разных видов. 2.3.1 Организация работы учителя над условием задачи. На первом этапе необходимо добиться того, чтобы учащиеся «приняли задачу», то есть поняли её смысл, сделав целью своей деятельности. С этой целью оформляется краткая запись. Для разных видов задач это можно сделать по-разному. Примеры: 1. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа? [4, задача № 444] Краткую запись к данной задаче (и любой задаче на движение) удобно выполнить в виде схематического чертежа. Графическая иллюстрация создаёт перед учениками пространственный образ, помогает в задачах на движение правильно расположить те неподвижные точки, с которыми условие связывает движущийся объект. Далее составим таблицу, которая поможет в определении известных и неизвестных величин и отношений между ними. v t 1-й поезд 50 км/ч 3 ч 2-й поезд 85 км/ч 3 ч s ? ? В задачах на нахождение двух или нескольких величин по их отношению и сумме (или разности), а также в задачах на части удобно краткую запись оформить в виде отрезков. Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность). Например: 2. За рубашку и галстук заплатили 40 р. Рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит галстук? [2, задача №215] рубашка галстук 3. В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй, а всего 70 тетрадей. Сколько тетрадей было во второй пачке?[2, задача № 264.] К этой задаче краткую запись можно выполнить в виде столбчатой диаграммы. 4. Для санатория купили 12 кресел и 50 стульев на общую сумму 9880 руб. Сколько стоит одно кресло, если один стул стоит 86 руб.[15, задача №34] Оформить краткую запись можно с помощью таблицы: Кресла Стулья Цена Количество Стоимость ? 86 руб 12 50 ? ? 5. В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли ещё 12 человек, а во вторую – 8 человек, то людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?[15, задача №42] было стало Правильно составленная краткая запись указывает на сознательный анализ учеником условия и требования задачи и намечает план дальнейшего решения. 2.3.2. Организация работы учителя по составлению плана решения. Чаще всего при организации поиска решения задачи применяется аналитико- синтетический метод. Рассмотрим план рассуждений на примере задачи 1. 1. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа? [4, задача № 444] В задаче требуется узнать расстояние между поездами через 3 часа. - Что для этого надо знать? - s , которое прошёл 1-й поезд за 3 часа, и s , которое прошёл 2-й поезд за 3 часа. - Что необходимо знать для определения этих расстояний? - скорость каждого поезда, а это в задаче известно. План решения следующий: 1) находим s , которое прошёл 1-й поезд за 3 часа 2) находим s , которое прошёл 2-й поезд за 3 часа 3) находим общее расстояние. Рассмотренный метод составления плана решения задачи является аналитическим. Иногда поиск решения осуществляется синтетическим путём. Например, задача: 2. Молодой рабочий выполнил задание за 8 часов, изготовляя в час по 18 деталей. За сколько часов выполнит то же задание его наставник, если в час он делает на 6 деталей больше, чем молодой рабочий?[4, задача №763] Краткая запись Рабочий Наставник Количество деталей в час 18 дет. на 6 дет. больше Время работы Всего деталей 8ч ? одинаковое одинаковое План рассуждений: -зная скорость работы и время работы молодого рабочего, можно определить его объём работы - количество изготовленных деталей; -поскольку задание одинаковое, то мы определим и объём работы наставника; -зная скорость работы рабочего и разницу в скоростях работы наставника и рабочего, можно определить скорость работы наставника; -зная скорость работы наставника и количество изготовленных им деталей, можно определить время его работы. 3. С бахчи собрали 27 т арбузов. В столовую направили 2/9 этих арбузов, а 6/7 остатка отвезли на рынок. Сколько тонн арбузов отвезли на рынок?[5, задача №512] Краткая запись: Собрали всего 27 т столовая 2/9 от 27 т рынок 6/7 от остатка ? Применяем аналитический метод рассуждений: чтобы узнать…надо знать… Начинаем, как обычно, с вопроса к задаче. -Чтобы узнать сколько тонн арбузов отвезли на рынок, надо знать остаток; -чтобы найти остаток, надо знать сколько «было» и сколько «взяли»; -«было» известно, «взяли», то есть увезли в столовую, можно найти. После такого устного аналитического разбора задачи выстраивается план решения уже синтетическим путём. 1. Находим количество арбузов, отвезённых в столовую. 2. Находим количество арбузов, оставшихся после этого. 3. Находим количество арбузов, отвезённых на рынок. 2.3.3. Реализация плана решения. Различные формы объяснения решения задачи – это различные ступени логического мышления учеников. Как было сказано выше, объяснение решения задачи имеет различные формы. В своей практике при работе в классе я применяю чаще всего такую форму объяснения: краткий вопрос и следующее за ним действие. При выполнении домашних задач я требую от учащихся подробных объяснений к каждому действию. Рассмотрим ход решения на примере одной из задач на нахождение числа по его части. 1. Когда Костя прошёл 0,3 всего пути от дома до школы, ему ещё осталось пройти до середины 150 м. Какой длины путь от дома Кости до школы? [5, задача №672] При подробном анализе данной задачи и оформления краткой записи (см. ниже) ход рассуждений может быть следующим: Если Костя прошёл 3/10 всего пути, значит весь путь разделён на 10 частей. Следовательно, для нахождения всего пути надо найти 1/10 часть его. На схеме хорошо видно, что до середины оставалось 2/10 пути, а это 150 км. ( Половина- это 0,5; 0,5-0,3). Значит, можно найти 1\10 часть (150:2). Зная 1/10 часть, находим 10 частей (умножаем полученное на 10). Ход решения. Сначала найдем часть пути, оставшуюся до середины. 1. 0,5-0,3=0,2(пути) осталось пройти до середины. Теперь можно найти 1/10 часть. 2. 150:2=75(м) составляет 1/10 часть всего пути. Находим весь путь. 3. 75 10=750(м) весь путь. 2.3.4. Анализ найденного решения и работа по поиску других вариантов решения. Проверка решения задачи является моментом очень ценным для развития сознательности и самоконтроля. Часто учащиеся записывают ответ не задумываясь. Как проверить решение? Во-первых, сравнить с реальностью. Например, при решении задачи на нахождение скорости пешехода ученик получил ответ 25км/ч. При анализе найденного решения, приходим к выводу что такая скорость для пешехода нереальна. Или, находя часть класса, состоящего из 25 человек (к примеру 30%), учащаяся получила 750 человек.. Анализируя, понимаем, что часть от числа не может быть больше самого числа.(30% меньше 100%). Во-вторых, если результат реален, то надо проверить задачу на выполнение всех требований. Например, в задаче 1. (см выше) это можно сделать следующим образом. Какой путь прошёл Костя? 750:10 3=225 м. Если он пройдёт ещё 150 м, это будет середина пути? 225+150=375 м, 750:2=375 м. Полезно предлагать учащимся применять различные варианты решения одной задачи, что приводит к выбору наиболее рационального способа решения и в то же время является проверкой результата. Примеры: 1. Два пешехода одновременно вышли в противоположных направлениях из одного пункта. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа? [15, задача №81] 1 способ. 1. 4 3=12 (км) прошёл 1-й пешеход за 3 ч 2. 5 3=15 (км) прошёл 2-й пешеход за 3 ч 3. 12+15=27 (км) расстояние между пешеходами через 3 ч 2 способ. 1. 4+5=9 (км/ч) удаляются пешеходы друг от друга каждый час (общая скорость) 2. 9 3 =27 (км) расстояние между пешеходами через 3 ч 2.В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух вместе – 30 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?[15, задача №61] 1 способ. Если уменьшить количество карандашей в первой коробке на 6, то и сумма уменьшится на 6. Количество карандашей в коробках при этом будет одинаковым. То есть, 30-6=24; 24:2=12(к)-в меньшей коробке и 12=6 =18(к)в большей коробке. 2 способ. Если увеличить количество карандашей во второй коробке на 6, то и сумма увеличится на 6. Количество карандашей в коробках при этом будет одинаковым. То есть, 30+6=36(к); 36:2=18(к)-в большей коробке, 18-6=12(к(в меньшей коробке. 3 способ. Можно уравнять количество карандашей в коробках, если половину излишка переложить в меньшую коробку. При этом сумма не изменится. То есть 6:2=3 (к)-добавляется в меньшую коробку и убавляется из большей коробки; 30:2=15; 15+3=18(к)-в большей коробке, 15-3=12(к)- в меньшей коробке. 2.4. Формирование приёмов решения задач «на процессы». Умение решать задачи данного класса я считаю очень важным умением. Во-первых в учебниках математики большое количество задач связано с разного рода процессами, начиная с 5 класса и по 9 класс. Вовторых, отношения между величинами, «участвующими» в задачах данного типа, встречаются при изучении других смежных дисциплин, таких как физика и химия. Хорошо усвоенные арифметические приёмы решения данных задач позволяют без особого труда перейти и к алгебраическому способу их решения. Основная причина затруднений, которые обычно испытывают учащиеся при решении задач «на процессы», заключена не в исполнительной части деятельности, а в правильном выборе действий. Успешное решение задач данного класса предполагает знание зависимостей между тремя величинами: скоростью протекания процесса (v), временем (t) и его результатом (условно можно обозначить (s). Важно, чтобы у учащихся сформировались правильные понятия о каждой из этих величин и их зависимостях. 2.4.1. Формирование понятия о времени протекания процесса. Некоторые учащиеся даже в 5-м классе плохо ориентируются во временных интервалах. При формировании этого понятия в некоторых случаях необходимо отработать временные интервалы с переходом через 12 часов дня и 12 часов ночи. С этой целью предлагаются задачи, например такого содержания: 1. Поезд отправился от пункта А в 9 часов утра и прибыл в пункт В в три часа дня. Сколько времени был в пути поезд? 2. Туристы вышли в поход в семь часов утра, а вернулись в 18 часов того же дня. Сколько времени туристы были в походе? 3. Сколько времени пройдёт от семи вечера до трёх часов ночи? 4. В 10 часов утра открылся кран. Сколько времени из него текла вода, если отремонтировали его в час дня? 2.4.2. Формирование понятий о скорости протекания процесса и его продукте (результате). При формировании понятия скорости важно добиться от учащихся понимания того, что данное понятие относится не только к движению. Скорость – это часть продукта (результата) и выражается «чем-то», выполненным в единицу времени. Простейшие задачи на определение скорости процесса: 1. Машинистка напечатала 120 страниц за 4 часа. Сколько страниц машинистка печатала за 1 час? 2. Бак ёмкостью 60 литров наполнился за 6 минут. Сколько литров в минуту наливалось в бак? 3. За двадцать лет дуб вырос на 60 дм. Определите на сколько дециметров дуб вырастал в среднем каждый год? В дальнейшем вопросы к задачам такого типа можно ставить в такой форме: определить скорость работы машинистки, скорость наполнения бака, скорость роста дерева. Чтобы проверить насколько учащиеся осознанно оперируют величинами, я использую задачи, которые могут провоцировать неверные действия, то есть такие, в которых нахождение либо v, либо t приводит к нецелому числу. Например: 1. За 5 минут кран наливает 1 ведро воды. Сколько вёдер нальёт кран за минуту? 2. За 21 день строители возвели 3 здания. Сколько зданий они строили за день? 3. Машина прошла 2 км со скоростью 50 км/ч. Сколько времени ехала машина? Краткую запись к задачам «на процессы» можно оформить в виде таблицы: в первой строчке таблицы записываем условное обозначение величин, а во второй расшифровываем эти величины применительно к каждой задаче, в третьей строчке вписываем числовые данные. При анализе условия задачи полезно учащимся задавать вопросы: 1) Кто «участвует» в задаче? 2) Что он (они) делают? Сколько (s) ? 3) Сколько времени делают (t ) ? 4) Сколько выполняет за 1 единицу времени (v) ? Такие вопросы можно повесить у доски или оформить на карточках каждому учащемуся. Отвечая на вопросы, учащиеся заполняют таблицу. Например, к задаче 2 (см. выше) краткая запись выглядит так: v t s Количество зданий за 1 день ? Время работы Всего зданий 3 здания 21 день При решении большого количества таких простых задач у учащихся формируется навык их решения. Они понимают, как надо находить v, t, или s по известным двум другим величинам. Полезны задачи с лишними или недостающими данными, которые показывают наличие двух величин для определения третьей. Примеры: 1. Пешеход отправился в путь в 5 часов утра. С какой скоростью он пройдёт 10 км? 2. За какое время бригада, состоящая из 5 человек, сделает 100 деталей, если она работает со скоростью 25 деталей в час? 3. Ученики 5 класса сажали деревья. Они начали работу в 10 часов утра, в час сажали по 3 дерева. Сколько деревьев они посадят через 3 часа? 4. Три землекопа копали канаву длиной 20 м. За какое время они её выроют? 2.4.3. Формирование понятия совместного действия. Второй уровень сложности задач «на процессы» связан с ситуацией совместного действия». Решение этих задач осложнено следующими факторами: 1. Числом «участников»: действуют не один объект, а несколько. 2. Характером взаимодействия: помогают или противодействуют. 3. Временем включения в процесс: одновременно или в разное время включились в совместное действие. 4. Дополнительными отношениями основных величин: появляются отношения между общими и частными значениями каждой величины. Так общая скорость (v0) теперь является не только функцией общего времени (t0) и общего суммарного продукта (s0), но и функцией частных значений скоростей. Действуя по схеме «от простого к сложному», вначале следует организовать работу по усвоению отношений между суммарным «продуктом» как результатом совместных действий всех участников и частными «продуктами»; между общей скоростью участников и частными скоростями; между общим временем процесса и временем действия отдельных участников. Особое внимание при этом следует уделить характеру взаимодействия: помогают или противодействуют. Примеры задач на функциональную зависимость: v0=f ( v¡); s0= f (s¡). 1. Две бригады собирали фрукты. Одна собрала 800 кг, а другая 700 кг. Сколько кг фруктов они соберут вместе? s0= s1+ s2 2. Два пешехода вышли навстречу друг другу. Один прошёл до встречи 10 км, а другой 8 км. Какое общее расстояние они прошли до встречи? s0= s1+ s2 3. Из одного пункта в противоположных направлениях вылетели два самолёта. Один летел со скоростью 800 км/ч, а другой со скоростью 700 км/ч. С какой скоростью они удаляются друг от друга? v 0= v 1+ v 2 4. Одна труба наливает 10 литров за 1 минуту, а вторая 15 литров за 1 минуту. Сколько литров за 1 минуту нальют обе трубы? v 0= v 1+ v 2 5. Из одного пункта в одно и то же время в одну сторону выехали два велосипедиста. Один проехал 30 км а второй 25 км. На какое расстояние они удалились? s0= s1- s2 6. Кран наливает бочку: каждую минуту 10 литров. А из отверстия в бочке выливается вода со скоростью 2 л в минуту. Какой объём воды набирается в бочке каждую минуту? v 0= v 1- v 2 Анализ задач на процессы с несколькими участниками можно проводить по следующим вопросам: 1) Сколько участников процесса? 2) В одно время включаются в процесс или в разное? 3) Как они взаимодействуют:помогают или противодействуют? 4) Что известно в задачах об общих величинах v, t, s? 5) Что известно в задачах о частных величинах v, t, s? 6) Что требуется узнать? Краткая запись оформляется в виде таблицы, количество строк которой увеличивается на количество участников процесса. Рассмотрим работу с классом по решению задачи на каждом этапе. Например задача: Две тракторные бригады вспахали вместе 762 га поля. Первая бригада работала 8 дней и каждый день вспахивала 48 га. Сколько гектаров поля вспахивала каждый день вторая бригада, если она работала 9 дней? [4, задача №1053] 1 этап. Анализируем условие задачи, отвечая на вопросы. 1) 2 участника, 2 тракторные бригады. 2) Не известно. 3) Помогают, значит s0= s1+ s2 Ответы на остальные пункты можно сразу внести в таблицу. v Площадь, вспаханная за 1 день 1 бригада 48 га 2 бригада ? t Время работы 8 дней 9 дней s Площадь всего ? ? 2 этап. План рассуждений. Используем аналитический метод рассуждений. Начинаем с вопроса к задаче. -Чтобы узнать скорость работы 2-й бригады (v2), надо знать площадь, вспаханную ей (s2) и время её работы (t2). -Время работы известно, а площадь нет. -Чтобы узнать площадь s2, надо знать общую площадь s0 и площадь, вспаханную первой бригадой s1. s0 известно, а s1 нет. -Чтобы найти s1, надо знать v1 и t 1. Это в задаче известно. 3 этап. План решения. Найти s1, затем s2, затем v2. 1) 48 8=364(га) вспахала 1-я бригада за 8 дней. 2) 762-364=398(га) вспахала 2-я бригада всего. 3) 398:9=47(га) вспахивала 2-я бригада за 1 день. 4 этап. Проверка полученного результата. Сначала убедимся в достоверности результата. После этого проверим, сколько га вспахала каждая бригада за всё время работы. Получится ли всё поле. Можно предложить детям поискать другой вариант решения. 2.5. Составление задач учащимися. При работе с арифметической задачей нельзя пройти мимо вопроса о самостоятельном составлении задач учениками. При решении задач того или другого вида проверить качество усвоения вопроса можно такими заданиями: придумать задачу, в которой надо найти одну из трёх величин скорость протекания процесса, время или продукт его сначала с одним объектом, а потом с несколькими. Придумать задачу, в которой требуется найти часть от числа, составить задачу на прямую пропорциональную зависимость и т.д. При этом вначале, следуя принципу «от простого к сложному», предлагаются задачи в одно действие. Необходимо избегать шаблона в этой работе, когда составляется слишком большое количество задач совершенно однотипных. Такая работа для учеников мало продуктивна. Вслед за простенькими задачами можно предложить ученикам составлять так называемые комбинированные задачи, то есть такие, в которых к новому материалу предлагается присоединить материал, пройденный ранее. При этом, конечно, следует учитывать способности разных учащихся. Если ученику не под силу составление сложной задачи, пусть он придумает простую или предложить составить задачу по готовому условию, которое оформлено, например, в виде таблицы: Объект 1 Объект 2 V t 15км/ч 2ч 5ч S 90 км Или в таком виде: Объект 1 Объект 2 в 3 раза больше Для составления задач надо учащимся дать ряд указаний: 1. Задача должна иметь все необходимые данные и чётко поставленный вопрос. 2. Предметное содержание и числовые соотношения задачи должны соответствовать действительности. 3. Очень желательно, чтобы числовые данные, хотя бы частично, добывались самими учащимися, для этого рекомендовать использовать журналы, газеты, исторический материал, производственную практику родителей. Составление условия задачи – хорошее упражнение в краткой и точной математической речи. При таком подходе к составлению задач ясно, что работа эта вызывает большую самостоятельность, интерес, развивает творчество. Примеры задач на разные темы, составленные учащимися см. приложение 3. Заключение. Задачи (в широком смысле этого слова) играют огромную роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни, направляют всю его деятельность, всю жизнь. Мышление человека главным образом состоит из постановки и решения задач. В конце 60-х годов ХХ века арифметические способы решения задач посчитали анахронизмом и перешли к раннему использованию уравнений. Но без достаточной подготовки мышления учащихся это оказалось малоэффективным. Опыт моей работы в школе это подтверждает. За 17 лет работы я могу по памяти перечислить всех учеников, которые умели решать задачи. Таким образом, можно сделать следующие выводы: 1) Исторически люди пришли к применению уравнений, обобщая решения задач, в которых приходилось оперировать с неизвестным числом. Ребёнок должен пройти тот же путь – сначала рассуждать о «частях», опираясь на воображаемые действия с конкретными предметами или величинами, и лишь потом прийти к применению уравнений. За этот путь говорят и особенности мышления учащихся, тяготеющего к оперированию наглядными образами. 2) На данном этапе обучения (5-6 класс) арифметические способы решения задач имеют преимущество перед алгебраическими уже потому, что результат каждого отдельного шага в решении по действиям имеет совершенно наглядное и конкретное истолкование, не выходящее за рамки опыта учащихся. Мышление пятиклассников конкретно, и развивать его надо в деятельности с конкретными объектами и величинами или их образами, чем мы и занимаемся при арифметическом решении задач. 3) Несмотря на небольшое количество часов, отведённое программой на изучение математики (5 часов в неделю), можно продумать и организовать работу с задачами таким образом, что ребёнок, опираясь на наглядность, будет переходить от простого к сложному, от практических действий с предметами к воображаемым действиям с данными в задаче величинами. Тем самым будет достигнута истинная цель обучения, заключающаяся не столько в освоении школьниками конкретных способов деятельности, сколько в развитии их мышления и практических умений в процессе освоения этих способов деятельности. Невозможно изобрести универсальную методику обучения решению задач, пригодную для всех детей и во всех случаях. Это всё равно, что искать лекарство от всех болезней. Предложенная методическая разработка - один из вариантов специальным образом организованной работы учителя с задачами. Такая система работы даёт положительные результаты. Я проанализировала некоторые умения учащихся по решению текстовых задач в одном классе. Для наглядности я сравнила умения учащихся выполнять работу на каждом их 4-х этапов решения задачи (цифры по горизонтальной оси) разными методами. Под цифрами 1-6 я рассмотрела следующие типы задач: 1.Решение задач на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме (разности) и отношению. 2. Решение задач на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме и разности. 3. Решение задач на движение. 4. Решение задач на предположение. 5. Решение задач на нахождение части от числа и числа по его части. 6. Решение задач на пропорциональную зависимость. Результаты отражены в следующей диаграмме. % учащихся класса Сравнение умений учащихся по решению текстовых задач. 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1 2 3 4 Арифметический метод 1 2 3 4 Алгебраический метод СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Аргинская И.И., Вороницына Е.В. Особенности методики работы по обучению учащихся решению текстовых задач.// Начальная школа, 2005 №24 2. Арифметика: Учебник для 5 кл./ С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин – М.: Просвещение, 2003 3. Арифметика: Учебник для 6 кл./ С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин – М.: Просвещение, 2000 4. Математика: Учебник для 5 кл./ Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков,С.И.Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2004 5. Математика: Учебник для 6 кл./ Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков,С.И.Шварцбурд – М.:Просвещение, 1994 6. Математика: Учебник для 5 кл./ Под ред Г.В.Дорофеева, И.Ф. Шарыгина – М.:Просвещение, 2003 7. Математика: Учебник для 6 кл./ Под ред Г.В.Дорофеева, И.Ф. Шарыгина – М.:Дрофа, 2000 8. Программа по математике: авт. М.И. Моро, Ю.М. Колягин, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.И. Волкова, С.В. Степанова//Программы общеобразовательных учреждений, нач. классы (1 – 4) ч.1. – М.: «Просвещение», 2002 9. Программа по математике: авт. Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд //Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, 5-11 кл. – М.: Дрофа, 2000. 10. Саговская Е.Н. Активизация работы ученика над арифметической задачей //Из опыта преподавания математики в 5-7 классах средней школы – М.: Учпедгиз, 1954 11. Саговская Е.Н. Методические разработки по арифметике – М.: Учпедгиз, 1959 12. Талызина Н.Ф.Формирование общих приёмов решения арифметических задач//Формирование приёмов математического мышления - М.: ТОО «Вентана --Граф», 1995 13. Шарова О.П. Сюжетные задачи в обучении математике 1. 14. Шарова О.П. О некоторых аспектах методики обучения учащихся решению сюжетных задач арифметическим методом 15. Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах. – М.: Русское слово, 2002 16. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики //Математика, 2005 - №17-20. 17. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи – М.: Просвещение, 1984 Приложение 1. Тренировочные задачи на закрепление основных арифметических действий. 1. У одного мальчика16 марок, а у другого 27 марок. Сколько марок у обоих мальчиков вместе? 2. В первый день продали 25 кг яблок, во второй – 40 кг, а в третий день продали 55 кг яблок. Сколько яблок продали за три дня? 3. В первом классе начальной школы 12 учеников, во втором классе -9 учеников, в третьем – 11 учеников, а в четвёртом – 8 учеников. Сколько учеников всего в начальной школе? 4. В жёлтой папке 20 листов, а в красной – 35 листов. Сколько листов в двух папках ? 5. В одном куске15 м проволоки, а в другом на 5 м больше. Сколько метров проволоки во втором куске ? 6. У Алеши в кармане 23 ореха, а у Вани на 5 орехов меньше. Сколько орехов в кармане у Вани? 7. В первый день отремонтировали 13 км дороги, и это на 5 км больше, чем во второй день. Сколько километров дороги отремонтировали во второй день? 8. Сыну 5 лет, он моложе отца в 6 раз. Сколько лет отцу? 9. В первый день бригада собрала 700 кг картофеля, а во второй день в 2 раза больше, чем в первый. Сколько килограммов картофеля собрала бригада во второй день? 10. В первой корзине в 3 раза меньше грибов, чем во второй. Сколько грибов в первой корзине, если во второй 9 кг грибов? 11. Николаю 12 лет, а Игорю 7 лет. Кто из мальчиков старше и на сколько? 12. В одной книге 300 страниц, а в другой 100. Во сколько раз количество страниц во второй книге меньше количества страниц в первой книге? 13. Книга стоит 65 рублей, а блокнот 13 рублей. Во сколько раз книга дороже блокнота, на сколько рублей блокнот дешевле книги? 14. За 5 карандашей заплатили 15 рублей. Сколько стоит один карандаш? 15. Двадцать ящиков весят 300 кг. Сколько килограммов весит один ящик? 16. В зале 20 рядов. В каждом ряду 25 стульев. Сколько всего стульев в зале? 17. 600 конфет положили в коробки. Сколько коробок потребовалось, если в каждую коробку входит 60 конфет? 18. На изготовление десяти сарафанов пошло 20 метров ситца. Сколько материи пошло на изготовление одного сарафана? 19. В баке было 20 литров бензина. По дороге 8 литров израсходовали. Сколько литров бензина осталось в баке? 20. От куска верёвки длиной 20 метров отрезали часть, после чего осталось 5 метров. Сколько метров отрезали? 21. В магазине было 200 кг фруктов. Сколько кг фруктов стало в магазине после того, как туда завезли ещё 40 кг? Приложение 2. Примерное тематическое планирование учебного материала по математике в 5-6 классах. (решение текстовых задач арифметическим способом) по учебникам авторов Н.Я.Виленкина, В.И.Жохова, А.С.Чеснокова, С.И.Шварцбурд, 2004г. 5 класс Всего – 170 часов, по 5 часов в неделю. № урока Тема урока Количество часов 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ШКАЛЫ. 18 ч 1-3 Обозначение натуральных чисел. 3ч Решение задач на отработку отношений «на…больше», «на…меньше», «всего». 4-8 Отрезок. Треугольник. Плоскость. Прямая. Луч. 5ч Решение задач на отработку отношений «на…больше», «на…меньше», «в…раз больше», «в…раз меньше», «всего» применительно к отрезкам. Нахождение периметра многоугольника. 9-11 Шкалы и координаты. 3ч 12-14 Меньше или больше. 3ч Решение задач на разностное сравнение величин. 15 к/р №1 1ч 16-18 Резервные уроки. 3ч 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. 15ч 19-23 Сложение N-чисел и его свойства. 5ч Вычитание N-чисел. Решение простых и составных задач на применение действий сложения и вычитания N-чисел. 24 к/р№2. 1ч 25-29 Числовые и буквенные выражения. 5ч Составление числовых и буквенных выражений к решению задач. 30-32 Уравнения. 3ч 33 к/р №3 1ч 3. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. 26ч 34-37 Умножение N-чисел и его свойства. 4ч Решение задач на отработку отношений: единица товара-количество товара-всего. 38-44 Деление N-чисел. Решение задач на процессы с одним участником действия. -формирование понятия о времени; 1ч -формирование понятия о скорости протекания процесса; -решение и составление задач на процессы 45 46 47-51 52-54 55 56-57 58-60 61-63 64-66 67-68 69-71 72 73-74 75-77 78-80 81-82 83 84- 86 Деление с остатком. Решение задач, приводящих к делению с остатком. Решение задач на процессы с несколькими участниками. к/р №4 Упрощение выражений. Решение задач на части. -нахождение двух величин по их сумме и отношению; -нахождение двух величин по их разности и отношению. Порядок выполнения действий. Квадрат и куб числа. Решение задач, приводящих к делению ,умножению N-чисел к/р №5 Резервные уроки 4. ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМЫ. 15 ч Формулы. Решение задач на движение. Площадь. Формула площади прямоугольника. Решение задач на нахождение площади прямоугольника и квадрата. Единицы измерения площадей Решение задач на предположение. Прямоугольный параллелепипед. Объёмы. Объём прямоугольного параллелепипеда. к/р №6 5. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ. 26ч Окружность и круг. Доли. Обыкновенные дроби. Решение задач на нахождение части от числа и числа по его части. Сравнение дробей. Отработка умения решать задачи на нахождение части от числа и числа по его части. Правильные и неправильные дроби к/р №7 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Решение задач, приводящих к сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями. 1ч 2ч 1ч 4ч 1ч 3ч 2ч 3ч 1ч 3ч 3ч 3ч 3ч 2ч 3ч 1ч 2ч 4ч 3ч 2ч 1ч 3ч 87-88 89-94 Деление и дроби. Решение задач, приводящих к делению и получению нецелого числа. Смешанные числа. Сложение и вычитание смешанных чисел. Решение задач, приводящих к сложению и вычитанию смешанных чисел. 2ч 6ч 95 к/р №8 1ч 96-98 Резервные уроки 2ч 6. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ.СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ. 15ч 99-100 Десятичная запись дробных чисел. 2ч 101-103 Сравнение десятичных дробей 3ч 104-108 Сложение и вычитание десятичных дробей. 5ч Решение задач, приводящих к сложению и вычитанию десятичных дробей.( отношения «на…больше», «на…меньше», «всего», нахождение разницы между величинами.) 109-111 Округление чисел. 3ч Округление чисел в текстовых задачах. 112 к/р №9 1ч 113 Резервные уроки 1ч 7. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ. 25ч 114-117 Умножение десятичных дробей на N-число. 4ч Решение задач, приводящих к умножению десятичных дробей на N-число. 118-121 Умножение десятичных дробей на десятичную дробь. 4ч Решение задач, приводящих к умножению десятичных дробей на десятичную дробь.(Решение задач на движение по реке.) 122-126 Деление десятичных дробей на N-число. 5ч Решение задач, приводящих к делению десятичных дробей на десятичную дробь.(Решение задач на движение по реке.) 127-132 Деление на десятичную дробь. 6ч Отработка действий с десятичными дробями при решении задач различных видов. 133-136 Среднее арифметическое чисел. 3ч Решение задач на нахождение среднего арифметического чисел. 137 к/р №10 1ч 138-139 Резервные уроки 2ч 8. ИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ИЗМЕРЕНИЙ. 17ч 140-141 Микрокалькулятор 2ч 140-145 Проценты. 6ч Решение задач на проценты: -нахождение части от числа, выраженной в % от этого числа; -нахождение самого числа по части от этого числа, выраженной в %; -нахождение процентного отношения чисел 146 к/р №11 147-151 Углы. Измерение углов. 152-153 Круговые диаграммы. 154 к/р №12 155-170 Итоговое повторение. Решение задач разных типов. 1ч 5ч 2ч 1ч 16ч 6 класс Всего – 170 часов, по 5 часов в неделю. № Тема урока Количество урока часов 1-3 Повторение учебного материала за курс 5 класса. 3ч Решение задач разных видов на повторение и закрепление действий с десятичными дробями. Задачи на %. 1.ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. 16ч 4-5 Делители и кратные. 2ч Решение задач на процессы. 6-10 Признаки делимости на 10,5,2; 9,3. 5ч Простые и составные числа. Решение задач на движение. 11-12 Разложение на простые множители. 2ч Решение задач на части. 13-18 НОД и НОК. 6ч Решение задач, приводящих к нахождению НОД или НОК; решение задач на части. 19 к/р №1 1ч 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ. 25ч 20-24 Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 5ч 25-34 Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными 10ч знаменателями. Решение задач разных видов, в том числе на совместную работу, приводящих к сравнению, сложению и вычитанию обыкновенных дробей. 35 36-42 к/р №2 Сложение и вычитание смешанных чисел. 1ч 6ч Решение задач с применением действий со смешанными числами. Отработка умения решать задачи на совместную работу. 43 к/р №3 1ч 44-45 Резервные уроки 2ч 3.УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ. 33ч 46-49 Умножение дробей. 4ч Решение задач разных типов на умножение обыкновенных дробей. 50-53 Нахождение дроби от числа. 4ч Решение задач 54-58 Применение распределительного свойства 5ч умножения. Решение задач на нахождение части от числа. 59 к/р №4 1ч 60-61 Взаимно-обратные числа. 2ч 62-65 Деление обыкновенных дробей. 4ч Решение задач на деление обыкновенных дробей. 66 к/р №5 1ч 67-70 Нахождение числа по его части. 4ч 71-74 Дробные выражения 4ч 75 к/р №6 1ч 76-78 Резервные уроки 3ч 4. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ. 17ч 79-81 Отношения. Пропорции 3ч 85-89 Прямая и обратная пропорциональные зависимости. 5ч Решение задач на пропорциональные зависимости. 90 к/р №7 1ч 91-93 Масштаб. 3ч Решение задач на применение масштаба. 94-97 Длина окружности. Площадь круга. Шар. 5ч 98 к/р №8 Приложение 3. Задачи, составленные учащимися.
