Решение задач с помощью квадратных уравнений( 8 класс)

Решение задач с помощью квадратных
уравнений
8 класс
Учитель математики Семашко С.И.
Цели и задачи урока:
Образовательные.
 Совершенствовать навыки решения
задач;
 выработать
умение
применять
квадратные
уравнения
для
решения
алгебраических и геометрических задач;
продолжить формирование практических и
теоретических умений и навыков по теме
“Квадратные уравнения”;
Развивающие.
 способствовать умению анализировать
условие задач, развитию умения рассуждать,
развитию познавательного интереса, умению видеть связь между
математикой и окружающей жизнью;
 формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;
 развивать эмоции учащихся через создание на уроке ситуаций
эмоциональных переживаний;
Воспитательные.
 Воспитывать умение работать с имеющейся информацией в необычной
ситуации;
 Воспитывать уважение к предмету, умение видеть математические
задачи в окружающем нас мире;
 воспитывать внимательность и культуру мышления, самостоятельность и
взаимопомощь.
Тип урока: закрепление и расширение ранее полученных знаний.
Форма урока: практикум.
«Уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические
сезамы».С. Коваль
Оборудование урока:
1. Карточки с задачами.
2. Карточки с домашним заданием.
План урока:
1. Организационный этап
2. Актуализация знаний по теме «Квадратные уравнения» (решение
кроссворда)
3. Контроль ранее изученного по теме материала
1
4. Устные упражнения
5. Составление уравнений к задачам разных типов
6. Физкультминутка
7. Решение задач алгебраического, геометрического и физического
содержания
8. Историческая справка
9. Подведение итогов урока и задание на дом (Знакомство с одним из
способов решения квадратного уравнения (через свойства коэффициентов)).
10. Рефлексия
Ход урока
1. Организационный этап
Сообщить учащимся тему, цели и план урока.
Испокон века
Книга растит человека
Урок – это книга, которую можно с интересом читать, перелистывая страницу
за страницей, обогащаясь знаниями, «расти» умом. Сегодня мы с вами
продолжим читать главу «Квадратные уравнения» − очень важную для
изучения курса математики средней школы. Покажем не только знания, но и
свои умения, навыки по этой теме.
2. Этап актуализации комплекса знаний учащихся и способов
деятельности
а) Разминка
Теоретические вопросы: решение кроссворда
1.
п
1.
2. Ш т
3. к
7. Ф р
а
р
а
з
д
е
и
ф
е
2.
д
л
ь
в
а
р
а
л
Я
т
3.
н ы е
е
и
д
с
п
е
к
н
р
н
ц
и
4. Г
е
ю щ и
р
м а
5. В о
л
ь
ф
6. Л
а
г
р
я
н
о
м
ы
е
и
е
н
а
н
т
2
Й
Н и
я
а
ж
н
По горизонтали:
1.Что в переводе с латинского означает слово «дискриминант»?
2. Имя учёного, который произвёл слияние методов решения различных видов
квадратных уравнений в общее правило?
3. Уравнения вида 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 +
𝒄 = 𝟎 называются…?
4. Страна проживания Вольфа и
Штифеля?
5. Кто первый из математиков
применил название «квадратное
уравнение»?
6.
Привычное
для
нас
обозначение корней ввел…?
7. Место жительства Лагранжа
По вертикали:
1. Квадратное уравнение со
старшим
коэффициентом,
равным 1
2. Как называется выражение 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄?
3. Уравнения, в которых средний коэффициент или свободный член равен 0
называются…
б) Провоцирующая задача
Чему равно: 2 в квадрате? 3 в квадрате? 5 в квадрате? Угол в квадрате? ( в
квадрате все углы прямые).
3. Контроль усвоения материала (письменный опрос с последующей
взаимопроверкой).
Вариант 1.
1)
Напишите
формулу
корней
2
квадратного уравнения ах +вх+с=0.
2) Заполните таблицу:
Уравнение а в с в2-4ас х1 х2
х2-6х+9=0
2 7 9
4х2=-7х
Уравнение а в С
в2-4ас х1 х2
Вариант 2.
1) Напишите формулу корней
квадратного
уравнения
2
ах +2кх+с=0
2) Заполните таблицу:
5х2-4х=0
3 0 -27
-2х2=-5-3х
3
4. Устные упражнения
2013 — Год бережливости
Республиканский план мероприятий по
проведению в 2013 году Года бережливости
утвержден в Беларуси. Соответствующее
решение принято постановлением Совета
Министров от 29 декабря 2012 года №1253.
Всего в плане 25 пунктов. Это мероприятия,
направленные на обеспечение режима
экономии и бережливости, максимально
эффективного
и
рационального
использования природных, топливно-энергетических, материальных и
трудовых ресурсов.
Отдельным блоком в план включены мероприятия, направленные на
обеспечение соблюдения гражданами принципов экономии и бережливости,
воспитания у них хозяйственности.
Задание: Составьте квадратное уравнение, используя следующие данные:
А) Многие, уходя из кабинета, не выключают свет. Да и дома порой зажигают
все лапы, когда в этом нет необходимости. Кто-то может сказать: мелочь!
Между тем сосчитайте, сколько за 10 часов расходует одна лампочка в 100 Вт.
Ответ переведите в кВт. Полученное число будет первым коэффициентом
квадратного уравнения. Ответ: 100Вт 10  1000 Вт =1кВт, а =1.
Б) А что такое капля воды из неплотно закрытого крана? За час теряется 0,6л, а
за сутки – .. ? (14,4л воды). В данном числе сложите цифры. Полученное число
будет вторым коэффициентом. Ответ: 14.4л, 1+4+4 = 9, в=9.
В) К обеду школа получает 35 кг хлеба, в бачках для отходов остаётся
1
часть
5
этого хлеба. Труд скольких людей пропадает зря! Посчитайте сколько хлеба
выбрасывается ежедневно и удвойте это число. Полученное число будет
третьим
коэффициентом.
1
5
Ответ: 35   7 , 7  2  14 , с=14.
Г) Все коэффициенты положительные числа. Составьте квадратное уравнение,
решите его. Ответ: у2+9у+14=0;
D=25, у1,2=
 9  25
; у1 = -7,у2 =
2
-2.
5. Этап самостоятельного
применения знаний в сходной
и новой ситуациях
Составить уравнения к задачам,
при этом корни уравнения
находить не надо (7-10 минут).
4
1. Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых
равно 210.
2. Площадь прямоугольника, одна из сторон которого на 3 см больше
другой, равна 54 см². Найти стороны и периметр прямоугольника.
3. Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найти
стороны прямоугольника.
По окончании времени учащиеся выходят к доске и записывают полученные
уравнения с комментариями.
Ответы:
1. х(х + 1) = 210; х2 + х ─ 210 = 0
2. х(х + 3) = 54; х2 +3х ─ 54 = 0
3. х2 + (17 ─ х)2 = 169; 2х2 ─ 34х + 120 = 0
6.Физкультминутка.
Коль писать мешает нос,
Значит, это сколиоз
Вас сгибает над тетрадкой,
Позвоночник не в порядке.
Мы ему сейчас поможем:
Руки за голову сложим,
Повороты влево – вправо,
И наклоны влево – вправо,
Ручки к солнцу потянулись,
Мы назад ещё прогнулись,
Повращаем мы плечами,
Чтоб они не подкачали.
Улыбнулись всем, кто рядом.
Вот! Уже другой порядок!
А теперь повыше нос:
Нам не страшен сколиоз.
Сядем ровно, ручки – в руки,
Продолжаем путь к науке.
7. Решение упражнений
Многие задачи алгебры, геометрии, физики, техники приводят к
необходимости решения квадратных уравнений. Мы с вами должны научиться
проводить анализ задачи, вводить неизвестные величины, находить
зависимость
между
данными
задачи
и
неизвестными
величинами.
Вспомним схему решения
задач
1. Анализ условия
2. Выделение
главных
ситуаций
5
3. Введение неизвестных величин
4. Установление зависимости между данными задачи и неизвестными
величинами
5. Составление уравнения
6. Решение уравнения
7. Запись ответа
Если в уравнении дискриминант положителен, решениями задачи могут быть
оба корня уравнения. Иногда бывает, что по смыслу задачи ей удовлетворяет
лишь один из корней квадратного уравнения.
Задача1. № 5.69 (2). Найдите число, отличное от нуля, которое меньше своего
квадрата в 3 раза.
Анализируем условие задачи, составляем и решаем уравнение.
Пусть данное число равно х, тогда квадрат этого числа равен х 2. По условию
число меньше квадрата в 3 раза. Составим уравнение х2=3х. Получили
квадратное уравнение х2-3х=0. Решим это уравнение: х(х-3) =0, х1= 0,
х2=3. Первый корень не удовлетворяет условию задачи, т.к. х  0 . Значит число
равно 3.
Ответ: 3.
Рассмотрим задачу с геометрическим содержанием, для решения которой,
применяется формула площади треугольника.
Задача 2. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что
один из них на 7 см больше другого, а площадь этого треугольника равна 30
см2.
Решение. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения
катетов. Длины катетов неизвестны. Площадь равна 30 см2.
Пусть х см-длина одного катета, (х+7) см-длина второго катета . Используя
формулу площади треугольника составим уравнение: х(х+7)/2=30 . Решим
уравнение: х2+7х=60 , х2+7х-60=0, D=289, х1=-12; х2=5. Так как длина отрезка
величина положительная, то только х=5 удовлетворяет условию задачи. Найдем
длину второго катета: 5+7=12 см. Ответ: 5см и 12 см.
Задача3. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через
сколько секунд оно окажется на высоте 60 м?
Решение. Из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление
воздуха, то высота h(м), на которой брошенный вертикально вверх мяч
окажется через t(c), может быть найдена по формуле h  V0 t 
gt 2
, где Vo(м/с)2
начальная скорость, g-ускорение свободного падения, приближенно равное 10
м/с2. Подставив значения h и V в формулу, получим 60=40t-5t2. Получили
квадратное уравнение, решим его. 5t2-40t+60=0, t2-8t+12=0, D=16, t1=2;
t2=6. Рассмотрим график зависимости h от t, где h=40t-5t2. Из графика видно,
что мяч, брошенный вертикально вверх, в течении первых 4с поднимается
вверх до высоты 80 м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно
оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после бросания. Условию задачи
удовлетворяют оба найденных корня.
6
Ответ: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и
через 6 с.
Рассмотрим
старинную
задачу,
которая
решается с помощью теоремы Пифагора, но
полученное при решении уравнение после
упрощения оказывается линейным.
Задача 4. (Задача Бхаскары, Индия,
XIIв.)
Цветок лотоса возвышался над
тихим
озером на полфута. Когда
порыв ветра
отклонил цветок от прежнего
места на 2
фута, цветок скрылся под
водой.
Определите глубину озера.
Решение. Пусть отрезки АВ и
АС изображают лотос в
двух положениях. Если АD = х – глубина озера, то ВD = 1/2, АС = х+1/2.
Составим уравнение х2 + 22 = (х + 1/2)2, Решим уравнение х2 + 22 = х2 +2*1/2х +
(1/2)2, х2 + 4 - х2 –х -1/4 =0, х=3
3
. Ответ: глубина озера 3 3/4 фута.
4
8. Историческая справка о квадратных уравнениях
(Использование на уроке странички с дополнительным материалом позволяет
уделить несколько минут оздоровительным моментам. Учитель предлагает
учащимся расслабиться, принять удобную позу, можно закрыть глаза,
представить то, о чем рассказывает докладчик.)
« Квадратные уравнения в Индии».
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате
«Ариабхаттиам», составленном в499 году индийским математиком и
астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный Брахмагупта (VII в)
изложил общее правило решения квадратных уравнений. Правило Брахмагупты
по существу совпадает с нашим.
«Квадратные уравнения в древнем Вавилоне».
Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана
потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных
участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием
астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели
решать еще около 2000 лет до н.э. В их клинописных текстах встречаются не
только неполные, но и полные квадратные уравнения. Правило решения этих
уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с
современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого
правила.
«Квадратные уравнения в Европе».
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в
«Книге абака», написанной в 1202г. итальянским ученым математиком
Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению
алгебраических знаний не только по Италии, но и в Германии, Франции и
7
других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во
все
европейские
учебники
XVI-XVII
вв.
7. Этап подведения итогов урока и информации о домашнем задании
а) Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.
Сегодня на уроке мы ещё раз убедились зачем нужно решать квадратные
уравнения. С помощью квадратных уравнений решаются задачи из различных
сфер деятельности: в геометрии, в физике, на шахматных турнирах, на полях и
даже в кинотеатрах. Задачи на квадратные уравнения впервые встречается в
работах индийских учёных в 499 году. В Древней Индии были распространены
публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в
стихотворную форму. Например:
б) Задание на дом.
1. Задача Бхаскары (знаменитый индийский математик XII века):
Решить задачу: «Обезьянок резвых стая,
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая,
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая.
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?»
Решение. x – число обезьян, тогда (х/8)2 + 12 = х, х2/64 − х + 12 = 0, х2 − 64х +
768 = 0.
D1 = 1024 − 768 = 256, х1 = 16, х2 = 48.
Ответ: 16 или 48.
(Очень эмоциональным и логически завершающим урок моментом может
послужить литературная страничка. Математику относят к точным
наукам, где нет места лирике. Однако очень важно показать ребятам, что
это далеко не так. Рассказывайте им, что среди математиков всегда было и
есть много поэтов, стремящихся показать красоту этой древней науки в
стихах.)
2. Открытия продолжаются… или «Век живи – век учись»
Ещё одна страница главы «Квадратные уравнения» нашей книги
перевернута. Но процесс познаний бесконечен, как бесконечны открытия,
совершаемые человечеством. Итак, открытия продолжаются.
Решите уравнения:
1. х2 − 5х + 6 = 0 (Ответ: 2; 3)
2. 6у2 − 5у + 1 = 0 (Ответ: 1/3; 1/2)
Сравните в этих уравнениях коэффициенты, свободные члены и корни между
собой. Какая наблюдается закономерность между ними? Какую гипотезу
можно выдвинуть для таких уравнений? Составите несколько пар уравнений
такого вида, исследуйте их и обоснуйте выдвинутое предположение в общем
виде.
8
(Ученикам предлагается, в качестве творческой домашней работы,
составить несколько пар уравнений такого вида, исследовать их и доказать
выдвинутое предположение в общем виде.)
8. Рефлексия: продолжи мысль:
 Сегодня я выполнял задания…
 Сегодня я понял, что…
 Было трудно…
 Я попробую…
 Урок дал мне для жизни…
Подведя итоги урока, ученики приходят к выводу: «Чем больше познаём, тем
больше понимаем – что знаем мало»
Приложение 1
Теорема «об обратности» корней
Если а ≠ 0 , с ≠ 0, D > 0 и 1. ах2 + bх + с = 0, где х1 и х2 – корни, 2. су2 + bу + а =
0, где у1 и у2 – корни то у1 = 1/ х2, у2 = 1/ х1, (корни уравнения 1 и 2 обратные)
Приложение 2.
Дополнительный теоретический материал:
Даны уравнения: х² ─ 243х+242=0 и 2х² ─7х+5=0. За 20 секунд найти их корни.
─ Существует способ нахождения корней квадратного уравнения через
свойство коэффициентов.
Если а+в+с=0, то х1=1, х2= . Если а-в+с=0, то х1=1, х2= ─ .
─ Используя эти свойства, приведите пример уравнения и запишите его.
9