Решение простых задач методом противопоставления».

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 31»
г. Подольск
Сообщение на тему:
«Решение простых задач методом
противопоставления».
Составитель: Чернышевская Елена Яковлевна,
учитель начальных классов.
2014 год
1. Классификация простых задач (в одно действие) на сложение и вычитание.
Решение задач в начальной школе имеет центральное значение для развития
мышления учащихся: через задачи дети знакомятся с различными сторонами жизни, с
зависимостями между изменяющимися величинами. Задача – это основной вход во врата
логики.
Всё разнообразие простых задач на сложение и вычитание удобно представить в виде
трёх циклов, по три задачи в каждом цикле.
Основу системы задач составляет первый цикл – задачи на нахождение суммы и
неизвестного слагаемого; второй цикл – это задачи на нахождение суммы и неизвестного
слагаемого; второй цикл – это задачи на нахождение разности, уменьшаемого и
вычитаемого; третий, решающий цикл – задачи на увеличение и уменьшение на несколько
единиц и на разностное сравнение чисел.
Целесообразным и удобным оказывается совместное изучение задач на нахождение
суммы и неизвестного слагаемого, также целесообразно одновременное изучение задач на
нахождение разности и уменьшаемого, а вслед за ними задач на нахождение вычитаемого
– второй цикл.
Из третьего цикла задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц
также рассматриваются совместно, а на их основе и задачи на разностное сравнение.
Так мы приходим к следующей исходной классификации простых задач на сложение и
вычитание, изучаемых в 1 классе.
Цикл
Задачи на сложение
Задачи на вычитание
Нахождение 1-го
Нахождение 2-го
Нахождение суммы
слагаемого (1-я обратная
слагаемого (2-я
I
задача)
обратная задача)
Нахождение
Нахождение
Нахождение остатка
уменьшаемого (1-я
вычитаемого (2-я
II
(прямая задача)
обратная задача)
обратная задача)
Увеличение числа на
Уменьшение числа на
Разностное сравнение
несколько единиц (прямая
несколько единиц (1-я
чисел (2-я обратная
III
задача)
обратная задача)
задача)
В этой классификации прямая задача та, которая логически проще остальных двух
задач и потому изучается как первоначальная из трёх задач того или иного цикла.
В дальнейшем прямой задачей называют любую задачу группы взаимообратных
задач, которая рассматривается как исходная.
Прямая задача и 1-я обратная задача изучаются на одних и тех же уроках в
постоянном преобразовании друг в друга; 2-я обратная задача изучается на основе этой
совместно изученной пары задач.
Завершающим этапом работы над задачами становится решение всей тройки задач с
общим условием.
2. Одновременное изучение задач на нахождение суммы и слагаемого.
Сначала рассмотрим прямую задачу, чтобы преобразовав её, получить обратную
задачу.
Прямая задача. Отец дал Мише 5 яблок, а мать добавила ещё 5 яблок. Сколько всего
яблок дали Мише?
Решение: 12+5=17(яблок)
Составление и решение обратной задачи осуществляется устно.
-Какие числа были даны в задаче? (В задаче были даны числа 12 яблок , 5 яблок).
-Какое число мы нашли после решения задачи? (Мы нашли число 17 яблок).
-Запишем эти три числа рядом:
12 яблок; 5 яблок; 17 яблок.
Решение: 12+5=17 (яблок).
Составим новую задачу, для чего неизвестным сделаем одно из двух чисел,
например, 12 яблок (□; 5 яблок;17 яблок).
Учитель показывает поочерёдно на числа, а учащийся формулирует условие
обратной задачи, ориентируясь на имеющиеся числа:
Отец дал Мише несколько яблок, мать – 5 яблок. Всего у Миши оказалось 17 яблок.
Сколько яблок дал Мише отец? (Если в схеме имеется квадратик, то соответственно
говорим: несколько).
На доске появляются схемы двух задач с их решениями.
Прямая задача
Обратная задача
12 ябл., 5 ябл.,□ ябл.
□ ябл., 5 ябл., 17 ябл.
Решение
12+5=17(ябл.)
Решение
17-5=12(ябл.)
Затем процессы решения данных задач сравниваются: обе задачи в одно действие;
если прямая задача решена действием сложения (так как находили целое), то обратная
решена действием вычитания (находили часть).
Введение обратной задачи не изолировано от прямой и имеет свои положительные
стороны:
-учащиеся не только знакомятся с новой задачей, но и повторяют старое, т.е. ту задачу,
преобразованием которой получена данная задача;
-учащиеся усваивают связи между задачами.
Во второй паре следует вначале предложить задачу на нахождение неизвестного
слагаемого, а затем преобразовать её в задачу на нахождение суммы:
У Сергея было несколько тетрадей в клетку и 13 тетрадей в линейку. Всего у него было 19
тетрадей. Сколько было тетрадей в клетку?
□ 13
19
-При каком действии получится число 19? Расставьте знаки.
□+13=19
Дальнейшее решение сводится к подбору неизвестного слагаемого.
В дальнейших упражнениях делаются переходы и в другом направлении: в
качестве первой задачи предлагается задача на нахождение неизвестного слагаемого,
которая преобразовывается в задачу на нахождение суммы.
При применении данной методики решение любой задачи тройки равносильно
решению любой другой задачи этой тройки.
3. Задачи на нахождение разности, уменьшаемого и вычитаемого.
Одновременное решение задач на нахождение разности и уменьшаемого.
Учащимся предложена следующая задача на нахождение разности:
У Нины было 17 рублей. Она купила конфету за 7 рублей. Сколько денег у неё осталось?
-Какие числа были даны в задаче? (17 и 7).
-Какое число мы нашли? (10)
Записываем схему:
17 рублей; 7 рублей; □ рублей
А теперь составим обратную задачу. Для этого сделаем неизвестным число 17 рублей, а
два других числа будут известны:
□; 7 рублей; 10 рублей
По схеме учащиеся составляют обратную задачу:
У Нины было несколько рублей. Она купила конфету на 7 рублей, после этого у неё
осталось 10 рублей. Сколько было денег у Нины до покупки?
Свяжем записанные числа знаками:
□ - 7 рублей= 10 рублей
-Неизвестное число – целое или часть? (Целое)
-Как находим целое? (Сложением).
На доске и в тетрадях записываются рядом решения двух задач.
Прямая задача
Обратная задача
17 рублей; 7 рублей; □ рублей
□ рублей; 7 рублей; 10 рублей
17-7=10(рублей)
10+7=17(рублей)
Решение задач сравнивается.
-Почему прямую задачу решили вычитанием? (Находили часть)
- Почему обратную задачу решили сложением? (Находили целое)
Следующую пару задач можно предложить в обратной последовательности:
сначала - задачу на нахождение неизвестного уменьшаемого, а потом предложить
преобразовать её в задачу на определение разности.
Из мешка отсыпали 12 кг муки. После этого в мешке осталось 3 кг муки. Сколько
килограммов муки было в мешке первоначально?
-Сколько кг муки было вначале, мы не знаем. Поэтому изобразим неизвестное число
квадратиком. Из мешка взяли 12 кг муки. Какое действие надо выполнить, если из мешка
взяли, отсыпали? (Нужно вычесть.)
-Сколько кг взяли? Сколько кг осталось?
Записывается следующее равенство:
□-12=3
Решение: 3+12=15(кг)
После решения задача на нахождение уменьшаемого преобразуется в задачу на
нахождение разности:
В мешке было 15кг муки. Из неё взяли 12 кг муки. Сколько кг муки осталось?
В тетрадях появляется параллельная запись двух задач:
Прямая задача:
Обратная задача:
15-12=3(кг)
□-12=3
3+12=15
Задачи на нахождение вычитаемого.
Вслед за задачами на нахождение разности и уменьшаемого необходимо изучить
последнюю задачу из данной тройки – задачу на нахождение неизвестного
вычитаемого.
Задачу на нахождение вычитаемого надо вводить через решение прямой задачи (на
нахождение разности).
Пусть решается задача:
К обеду в столовой подали 16 кг хлеба. За обедом съели 11 кг хлеба. Сколько хлеба
осталось после обеда?
Решение:
16-11=5(кг)
Записываем схему решенной задачи:
16, 11, 5кг
Предлагается учащимся составить обратную задачу по схеме:
16кг, □, 5 кг
Первоклассники формулируют условие этой задачи:
К обеду в столовой было подано 16 кг хлеба. После обеда осталось 5 кг хлеба. Сколько кг
хлеба съели за обедом?
-Как связать эти три числа? Какие действия надо выполнить? Какие знаки поставить?
Записывается равенство:
16-□=5
-Сколько хлеба было подано за обедом? (16 кг)
-А съели хлеба больше, чем 16 кг или меньше? (меньше)
-Сколько хлеба осталось?(5кг)
-Как вы находили число 16?(11+5)
-А как можно найти число 11?(16-5)
Окончательно на доске и в тетрадях оформляется параллельная запись решения обеих
задач:
Прямая задача:
Обратная задача:
16кг; 11кг; □
16кг; □; 5 кг
Решение
Решение
16-11=5(кг)
16-□=5(кг)
16-5=11(кг)
Вторая пара задач решается в другой последовательности: сначала – задача на
нахождение неизвестного вычитаемого, а потом – на нахождение разности.
Впоследствии решение обратной задачи оформляется с помощью неизвестных (x,
y, a и т.д.).
Рассмотрим задачу:
На реке плавало 10 гусей. Когда улетело несколько гусей, на реке осталось 3 гуся.
Сколько гусей улетело?
Решение:
10-□=3
10-3=7
Записываем схему решенной задачи:
10 г., □, 3г.
Составляем схему обратной задачи на нахождение остатка:
10г., 7г.,□
Учащиеся формулируют её условие:
На реке плавало 10 гусей. Из них улетело 7 гусей. Сколько гусей осталось на реке?
Решение:
10-7=3(г.)
В конце изучения данной темы необходимо иногда решать изолированные задачи
без составления к ним обратных задач, а иногда решать все 3 взаимосвязанные задачи.
Например, к последней паре задач можно составить третью задачу на нахождение
неизвестного уменьшаемого.
Схема задачи:
□, 7г., 3г.
Условие задачи:
На реке плавало несколько гусей. Когда с реки улетело 7 гусей, на реке осталось 3 гуся.
Сколько гусей плавало на реке первоначально?
Решение:
□-7=3
3+7=10(г.)
4. Одновременное изучение задач на увеличение и уменьшение числа на
несколько единиц. Задачи на разностное сравнение.
Связи между задачами на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц и
задачами на разностное сравнение – двухсторонние.
Не только задача на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц помогает
усвоению понятия «разностное сравнение», но и сама задача не может быть глубоко
усвоена в 1 классе, если редко используются речевые обороты со словами: «больше на…»,
«меньше на…».
Целесообразно обучать всем трём видам задач при изучении первого десятка, при
этом дети должны использовать два взаимосвязанных смысловых оборота:
- 7 больше 5 , значит, 5 меньше 7;
К введению задачи на разностное сравнение необходимо подойти через прямую
задачу на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц.
Прямая задача. Брату 11 лет. Сестра старше брата на 5 лет. Сколько лет сестре?
Решение: 11+5=16.
Решается обратная задача на уменьшение числа на несколько единиц по схеме:
□; на 5 лет; 16 лет.
16-5=11.
Наконец составляется третья разновидность задач – задача на разностное
сравнение.
11 лет; на □ лет; 16 лет.
-Расскажите условие этой задачи. (Брату 11 лет, а сестре 16 лет. На сколько лет
сестра старше брата?)
- К новой задаче могут быть поставлены два разных вопроса, которые решаются
одним и тем же действием. Вместо слова старше можно использовать слово
младше. Сформулируйте новый вопрос. (На сколько лет брат младше сестры?)
На доске и в тетрадях появляется параллельная запись решения двух задач.
Для развития мышления учащихся имеют значение не столько процессы решения
взаимно обратных задач, сколько этап сравнительного анализа их решения.
Благодаря этому две задачи как бы сливаются воедино, вписываясь в общую ткань
рассуждения.
При сочинении взаимно обратных задач прямая и обратная задачи
сращиваются в крупную мыслительную единицу. При этом каждое число, понятие
и суждение дольше сохраняются в кратковременной памяти. А это немаловажно:
«Чем больше сохраняется некоторый материал в кратковременной памяти, тем
более прочным оказывается долговременный след».
Использованная литература:
П.М.Эрдниев «Обучение математике в начальных классах». «Столетие»
Москва 1995.