модели раскроя в планировании и управлении производствами

МОДЕЛИ РАСКРОЯ В ПЛАНИРОВАНИИ И УПРАВЛЕНИИ ПРОИЗВОДСТВАМИ
ЦБП
В. А. Кузнецов, Р. В. Сошкин
ПетрГУ, Петрозаводск
Прикладные задачи расчета оптимального раскроя материалов весьма разнообразны,
поскольку эти технологические операции часто являются важнейшими в производстве
бумаги и картона. В докладе исследуются особенности прикладных моделей планирования и
управления предприятиями ЦБП, связанных с этой операцией. Исследованы наиболее часто
встречающиеся классы таких задач, установлена их основная особенность – наличие
дополнительных ограничений.
Раскрой материалов является одной из основных технологических операций
производства бумаги, картона и изделий из них. Составление планов раскроя –
комбинаторная задача, которая должна решаться с использованием вычислительной
техники, поскольку автоматизация планирования раскроев почти всегда обеспечивает
значительный экономический эффект за счет сокращения неизбежных отходов и
формирования более технологичных планов.
Содержание задачи раскроя составляет поиск наиболее выгодного способа размещения
заготовок определенного набора деталей (предметов раскроя) на кусках материала (объектах
раскроя).
Конкретизация задачи раскроя, построение математической модели и выбор метода
решения связаны с уточнением понятий:
– объектов раскроя;
– предметов раскроя;
– группы движений, определяющей размещение предметов на объектах;
– схемы построения возможных (допустимых) способов размещения;
– целей задачи – критериев эффективности при выборе способа размещения;
– дополнительных требований к решению задачи.
Исследование объектов и предметов раскроя как физических и геометрических
объектов, способов их размещения, критериев эффективности позволяет точнее
сформулировать содержание данных задач, упорядочить и классифицировать их по
определенным признакам. В математической модели могут рассматриваться один, два или
три размера объектов и предметов раскроя. Сложность и метод решения полученной
задачи во многом определяются учитываемой размерностью объекта раскроя, который
может соответствовать отрезку, плоской (ограниченной или нет) фигуре или объемному
телу.
Важны формы объектов и предметов раскроя. Для задач планирования раскроев
ЦБП характерны прямоугольники и круги, параллелепипеды и цилиндры. Каждой фигуре
можно сопоставить численное значение – меру, в зависимости от размерности задачи:
длину, площадь или объем. В одномерном случае требование связности исключает
предметы раскроя, отличные от отрезка прямой, поэтому такие раскрои называют
линейными. Гораздо больше возможностей в двухмерном – плоском и трехмерном –
объемном, пространственном случаях.
Размеры фигур могут быть фиксированными, переменными или условнобесконечными.
К примеру, прямоугольник обычно характеризуется длиной и шириной, хотя при расчете
диаметра съема тамбура бумагоделательной машины (БДМ) длина намотанного на него
бумажного полотна – неизвестная, переменная величина. При производстве изделий из
гофрокартона (ГК) предметы раскроя – прямоугольники заданных размеров, а объект
раскроя, полотно – полоса, длину которой можно считать бесконечной. Размеры плоской
или пространственной фигуры соответствуют ее определенным осям. Технология раскроя
обычно связана с определенной ориентацией этих осей в некоторой системе координат.
Размерность, форма, характеристика размеров фигур и ориентация ее осей задают тип
объекта или предмета раскроя. Конкретный геометрический объект определяется его типом
и набором числовых параметров: углов, размеров, пропорций и пр., выбор которых
дополняет тип до типоразмера. Типоразмер объекта установлен, если заданы все его
параметры, и он характеризует множество конгруэнтных геометрических фигур на прямой,
плоскости или в пространстве.
Необходимо отметить, что перечень параметров предмета раскроя не ограничивается
описанием его геометрических свойств. В математической модели могут использоваться
другие числовые характеристики: физические свойства (плотность, вес), экономические
показатели (рентабельность продукции, возможный доход от ее продажи).
В прикладных задачах представлены следующие задачи раскроя единственного
объекта, заданного количества объектов одного типоразмера, неизвестного количества
объектов одного типоразмера или объектов некоторого множества типоразмеров.
Количество экземпляров объектов каждого вида может быть известным, произвольным
или определяться границами.
Раскрой единственного объекта можно представить как последовательный процесс
выкраивания предметов или деления этого объекта на части, из которых в дальнейшем
будут получены заготовки. Такие задачи назовем задачами построения оптимального
плана
раскроя.
В оставшихся случаях динамическое программирование становится вспомогательным
средством решения задач, поскольку планирование раскроя каждого объекта неотделимо
от раскроев оставшихся, а при решении задач раскроя произвольного количества объектов
требуется техника линейной оптимизации.
Предметы раскроя характеризуются своим типоразмером, их параметры должны
быть заданы численно, они не могут быть переменными или бесконечными. На практике
редко встречается задача раскроя объекта на предметы одного типоразмера, чаще их
количество составляет несколько десятков и сотен.
В оптимизационных задачах важен критерий эффективности, который, в
зависимости от условий задачи, можно связать с расходом материала в натуральном или
стоимостном выражении, количествами выкроенных предметов (заготовок деталей) или
суммарным доходом от их реализации, их мерой, долей потерь материала и т. п. Чаще
всего таковым является некоторая линейная функция количества израсходованных
объектов и полученных предметов раскроя. Иногда важны не только количества, но и
способы размещения предметов. К примеру, полотно бумаги может иметь пятна
пониженного качества, пригодные для выкраивания лишь части продукции, а качество
пиломатериала – определяться положением центра ствола дерева.
Основное содержание задачи – размещение предметов на объектах раскроя – может
быть дополнено рядом условий, включая требования:
– Комплектности предметов, т. е. пропорциональности объемов их производства с
поправкой на имеющиеся запасы;
– Комплектности расходования объектов раскроя;
– Массовости производства, суть которого альтернатива: не выкраивать предметы
данного вида или выкраивать их количество, не меньшее установленной нижней границы;
– Соблюдения определенных границ доли потерь материала;
– Дополнительных ограничений, связанных с весом или другими показателями
выкраиваемых предметов;
– Групповых требований к размещению предметов раскроя, обусловленных более
сложными правилами технологии раскроя по сравнению с указанием группы движений (к
примеру, симметрий, центровки или жесткости размещения);
– Условий последовательной реализации процесса раскроя, примерами которых
могут служить гильотинные резы или определенные требования к очередности
выкраивания и форме остатка материала после каждого шага;
– Взаимосвязей используемых технологий раскроя;
– Учета качества материала, составляющего объект и предметы, наряду с
определенными условиями их соответствия.
Дополнительные условия по-разному влияют на вид математической модели,
сложность алгоритма и трудоемкость решения задачи раскроя. В некоторых случаях
количество вариантов планов раскроя сокращается и задача становится проще, иногда,
существенно не меняя алгоритм, удается его приспособить для решения
модифицированной задачи. Однако чаще дополнительные ограничения усложняют
решение задачи.
Далее в докладе рассматриваются наиболее часто встречающиеся классы задач.
Представленные задачи решены, а алгоритмы реализованы в виде ряда программных
систем, внедренных на некоторых ЦБК, преимущественно Северо-Запада России.
Литература
1. Канторович Л. В. Математические методы в управлении экономикой / Л. В.
Канторович, И. В. Романовский. М.: Знание, 1977. 337 с.
2. Кузнецов В. А. Задачи раскроя в целлюлозно-бумажной промышленности /
В. А. Кузнецов. СПб.: Изд-во СПбЛТА, 2000. 132 с.
3. Воронин А. В. Прикладные оптимизационные задачи в целлюлозно-бумажной
промышленности / А. В. Воронин, В. А. Кузнецов. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ,
2000. 152 с.
4. Воронин А. В. Математические модели и методы планирования и управления
предприятием ЦБП / А. В. Воронин, В. А. Кузнецов. Петрозаводск: Изд-во
ПетрГУ, 2000. 256 с.