Из опыта преподавания физики в старших классах технического профиля.

1
Из опыта преподавания физики в старших классах технического профиля.
О.А. Якимова учитель физики 243школа, г. С-Петербург
Моделирование физических задач в курсе общей физики.
В настоящем пособии приводятся примеры использования пакета Matlab для решения
ряда физических задач, что позволило создать соответствующие виртуальные
лабораторные работы. Следует подчеркнуть, что при решении задач не использовались
готовые формулы, но сами формулы могут быть проверены или получены в результате
виртуальных экспериментов! Вычисления проводились методом приближенных
вычислений (аналогичным методу Эйлера).
Представленный материал использовался на практических занятиях по физике в
технических классах . Из весьма обширного перечня были выбраны две задачи по
механике.
первая - это задача-исследование о движении тела в поле силы тяжести, с учетом
высотной зависимости ускорения свободного падения.
Вторая - посвящена исследованию движения тел в вязкой среде.
Указанные задачи относятся к числу важных проблем в курсе общей физики и,
потому, создание виртуальных лабораторных работ на эту тему весьма оправдано.
Применение пакета программ Matlab объясняется легкостью написания программ на
языке высокого уровня - Matlab (автор не является программистом, но, к великому
своему удивлению, довольно быстро освоился в среде Матлаб и получил удовольствие
от работы с ним), а также великолепными графическими возможностями этого пакета.
Каждая задача сопровождается теоретическим материалом и комментариями к
программам. Представлены две лабораторные работы:
- л. р. №1 - методом компьютерного моделирования решается задача о движении тела
в поле сил земного тяготения с учетом высотной зависимости ускорения свободного
падения.
- л. р. №2 - посвящена моделированию падения тела в вязкой среде в предположении,
что сила сопротивления пропорциональна скорости его движения.
Лабораторная работа 1 – «Движение тела в поле сил земного
тяготения с учетом высотной зависимости ускорения свободного
падения».
Настоящая работа посвящена исследованию параметров траектории
материальной точки при учете высотной зависимости ускорения свободного падения.
2
Инструментом исследования является программный продукт freefall.m , созданный на
основе пакета MATLAB ( в версии 2009г.).
Результатом компьютерного эксперимента явились графики, описывающие
кинематические характеристики движения тела, такие как траектория, зависимость
координат и составляющих скорости от времени, а также кривые зависимости отклонения
параметров траектории от их значений для случая, когда ускорение свободного падения
полагается неизменной и равной его значению на поверхности Земли
Известно, что зависимость g от расстояния h до поверхности Земли имеет
g ( h) 
где g 0  9.8 м
с
2
g0

h 
1 

R
з 

вид:
(1)
2
, RЗ  6400  10 3 м . Очевидно, что решение задачи о траектории тела,
движущегося в поле переменной силы невозможно с использованием простых
алгебраических выкладок, основанных на 2 законе Ньютона для случая постоянной силы.
Поэтому мы воспользовались методом приближенных вычислений (аналогичным методу
Эйлера), суть которого состоит в следующем*(см. в конце текста) Координаты х- и у- тела,
брошенного с поверхности земли спустя небольшой промежуток времени t
описываются известными формулами:
x(1)  x0  V0  cos   t ;
g 0  (t ) 2
y (1)  y 0  V0  sin   t 
2
g0
g (1) 
2

y (1) 
 (1 

RÇ 

(2)
В последнем выражении мы вычисляем новое значение ускорения свободного падения
на высоте у(1). Это новое значение g позволяет посчитать значение скорости в конце
промежутка времени t :
V y (1)  V0 sin   g 0  t
Vx (1)  V0 cos 
(3)
(3’)
. Эту скорость (3) мы подставляем в выражение для координаты у(2) для следующего
шага; составляющая скорости вдоль оси х, очевидно, не меняется:
3
g (1)  t 2
;
2
x(2)  x(1)  V0 cos( )t ;
y (2)  y (1)  V y (1)  t 
g (2) 
(4)
g0

y (2) 
1 

RЗ 

2
Продолжая эту процедуру N раз, мы получим массив значений координат и скоростей
точки. Вычисления будут тем точнее, чем меньше интервал времени t . Для сравнения
на каждом этапе вычисления рассчитываются значения координат и скоростей, используя
неизменное значение ускорения - g 0  9.8 м
с2
, а затем вычисляется разность значений у-
координаты для двух значений g – постоянного-g0 и g - по формуле (2).
Выражения (2) - (4) справедливы в приближении «плоской» Земли, т.е. не
учитывают кривизну поверхности. Поэтому указанные выражения были исправлены: в
частности это привело к необходимости учета ускорения вдоль оси ох.
На рис. 1 приводятся результаты вычислений по программе freefall2.m c
комментариями.
4
-9.74
6
2
g,m/sec
x 10
-9.76
-9.78
6.42
-9.8
0
50 100
time,sec
(y-y1)*100,m
0
y,y1,m
6.415
-9.82
6.41
6.405
-2000
-4000
6.4
-6000
-8000
-10000
6.395
0
50 100
t,sec
0
0.5
1
x,x1,m
1.5
2
4
x 10
Рис.1 Графическое окно программы freefall2.m. Тело бросают с поверхности Земли (
точка (У0=6400км, Х0=0; поверхность Земли – сфера радиусом 6400км выделена
красным цветом) под углом 65 градусов с начальной скоростью 500м/c. Обращает
внимание отсутствие различия в траекториях, соответствующих зависящему от высоты
g – зависящему от высоты и не зависящему – g0 =9.8 м/с2. см. второй график. На первом
графике отражается зависимость g от времени. На третьем графике представлено
увеличенное в 100 раз отклонение вертикальной координаты (y-y0)*100 от ее значения в
случае g=const=9.8 m/sec2.
5
6
x 10
9
-5
8.5
8
y,y1,m
2
g,m/sec
-6
-7
-8
7
-9
-10
7.5
6.5
0
1000
time,sec
2000
6
0
0.5
1
1.5
2
x,x1,m
2.5
3
6
x 10
Рис.2. Начальная скорость V0 увеличена до 6000м/с . Разница траекторий – становится
существенной.(Красная линия – поверхность Земли).
6
6
x 10
-7.5
6
-8
4
-8.5
y,y1,m
2
g,m/sec
8
-9
0
-2
-9.5
-10
2
0
1000 2000
time,sec
-4
-6
0
2
4
6
x,x1,m
8
10
12
6
x 10
Рис.3 Начальная скорость V0=8200 м/с . Зеленая кривая траектория с переменным g.
Синяя – ускорение свободного падения =9,8м/с2 Угол бросания равен 0 град.
Лабораторная работа 2. «Падение тела в вязкой среде».
Рассмотрим падение тела в присутствии силы сопротивления, пропорциональной
скорости движения тела. Эта задача не имеет простого алгебраического решения и не
решается в школьном курсе физики. Однако, она допускает численное решение на
компьютере с использованием метода последовательных приближений.
Второй закон Ньютона для данной задачи имеет вид:



mg  kV  ma К этому уравнению необходимо добавить начальные условия: начальные
координаты х0 и у0 тела и его скоростьV0 в начальный момент времени.
7
Мы воспользовались методом приближенных вычислений, суть которого состоит в
следующем. Координаты х- и у- тела, брошенного с поверхности Земли ( координатные
оси расположим привычным образом: ось Y –направим перпендикулярно поверхности
Земли, вверх, а ось Х – вдоль поверхности) спустя небольшой промежуток времени t
описываются следующими формулами:
a x (0)t 2
x(1)  x0  V0  cos   t 
;
2
( g 0  a y (0))  (t ) 2
y (1)  y 0  V0  sin   t 
2
Где x0 ; y 0 ;V0 ;  ; g 0 ( g 0  9,8 ì
ñ2
(5)
) –начальные координаты тела, его начальная скорость,
угол бросания и ускорение свободного падения вблизи поверхности( зависимостью
ускорения свободного падения от высоты мы пренебрегаем). a x (0) и a y (0) начальные
составляющие полного ускорения, обусловленные силой сопротивления:
kV0 cos 
;
m
kV sin 
a y 0    0
m
a x 0   
(6)
(знак минус в (6) отражает тот факт, что сила сопротивления антипараллельна скорости
тела)

За время t , тело приобретает скорость V 1 , проекции которой на координатные оси
будут:
V x 1  V0 cos   a x 0t
V y 1  V0 sin   g 0  a y 0t 
(7)
Эти измененные значения скорости позволят рассчитать координаты x ( 2), y ( 2) тела
спустя следующий промежуток времени t по формуле, аналогичной (5). Затем мы
рассчитываем новые значения ускорения
a x 1, a y 1. , по формуле аналогичной (6), находим скорости V x 2  , V y 2 . и т.д.
Продолжая эту процедуру N раз, мы получим массив значений координат и скоростей
точки. Вычисления будут тем точнее, чем меньше интервал времени t . Отметим
особо, что в рассматриваемом варианте программы учтен удар тела о поверхность
Земли – как упругое взаимодействие. Тело отскакивает без потери импульса.
8
Полученные в результате данные позволяют построить следующие графики:
1) зависимости X- и Y-, а также скорости и ее проекций от времени при различных
значениях начальных условий - начальных координат, начальной скорости, угла
бросания, массы тела и коэффициента сопротивления. ( на этом этапе интересно
сравнить эти кривые со случаем отсутствия силы сопротивления)
2) траектории движения тела ( в случае многократных «отскоков» появляется
возможность описать многообразие полученных кривых одной формулой,
выражающей экспоненциальное убывание последующих максимальных подъемов
– это можно рекомендовать наиболее продвинутым учащимся)
3) Зависимость механической энергии от времени – она конечно должна убывать изза тепловых потерь. Интересно – по какому закону?.
Есть возможность усилить программу, придать ей смысл мини-исследования, добавив
требование неупругого удара тела о поверхность Земли.
Ниже на рисунках представлены графики зависимостей: 1 - координаты У от
времени. 2 - координаты Х от времени,3 – траектория движения тела, 4 –зависимость
проекции скорости Vy от времени, 5 – Зависимость скорости тела от времени и 6 –
зависимость механической энергии Е тела от времени. Там же указаны начальные
параметры
9
2
1
y,meter
10
x,meter
y,meter
3
5
5
0
0
0
10
time,sec
-5
0
10
time,sek
20
0
5
x,meter
50
0
0
10
t,sec
20
15
10
5
0
-5
Etotal,Joul
10
-10
Рис. 1
0
20
v,meter/sec
vy,meter/sec
-1
40
30
20
10
0
10
t,sec
20
Масса =1кг, V0=10 м/c , X0 = 0.0 м , Y0 = 0.0 м.,
начальный угол, град
60 коэффициент сопротивления к = 0.5
интервал времени = 0.01с., число шагов = 2000
0 10 20
t,sec
10
4
100
2
0
y,meter
x,meter
y,meter
50
50
0
-50
10
time,sec
20
10
5
0
-5
-10
0
10
t,sec
20
0
10
time,sek
20
20
Etotal,Joul
0
0
v,meter/sec
vy,meter/sec
-2
10
0
0
10
t,sec
20
0
50
x,meter
0
10
t,sec
60
55
50
45
40
20
Рис. 2. Начальные условия те же, но к=0
4
1.6
1.4
2
0.5
y,meter
1.8
1.2
4
1
x,meter
y,meter
2
x 10
0
-0.5
0
-1
50
100
time,sec
x 10
1.8
1.6
1.4
0
-2000 0 2000
x,meter
50
100
time,sek
0
Рис. 3
50
t,sec
100
80
60
40
20
0
-20
Etotal,Joul
1.6
20
0
-20
-40
-60
-80
v,meter/sec
vy,meter/sec
7
0
50
t,sec
100
x 10
1.4
1.2
1
0
50
t,sec
100
Условия изменились. Падение с высоты 20 000м тела массой m=80 кг.,
11
коэффициент сопротивления к=10. Угол бросания 0, начальная скорость 0. Видим, что
примерно на 50 секунде скорость стабилизируется и становится равной 80м/с.
Следует подчеркнуть, что в указанной работе имеется возможность установления
«эмпирических соотношений»: например, вывести аналитические выражения для
временной зависимости скорости, энергии от времени. Последнее обстоятельство
представляется наиболее ценным, поскольку позволяет рассматривать компьютерный
эксперимент как серьезное подспорье для реальных исследований неизвестных
физических явлений.
Примечание. По поводу схемы Эйлера.
Схема Эйлера при изменяющемся ускорении.
Пусть нам известен закон изменения ускорения. При решении задачи падения тел в
вязкой среде нам будет известна зависимость ускорения от скорости:
a = a(v).
Будем по-прежнему рассматривать движение вдоль прямой.
Пусть известны начальные условия в момент времени t1:
x1 = x(t1),
v1 = v(t1), a1 = a(v1). Найдём скорость и координату в момент времени
t2 = t1 + _t.
Будем считать, что за малый промежуток _t ускорение меняется
незначительно. Запишем изменение скорости при равноускоренном движени:
v2 = v(t2) = v1 + a1_t
(1)
Найдём значение координаты x2 :
x2 = x(t2) = x1 + v1_t
(2) (В нашем алгоритме добавлен член
Теперь, зная координату и скорость в момент времени t2, можно
определить a2 = a(v2) и вычислить скорость и координату в момент
времени t3:
v3 = v(t3) = v2 + a2_t = v1 + a1_t + a2_t,
(3)
at 2
)
2
12
x3 = x(t3) = x2 + v2_t = x1 + v1_t + v2_t.
(4)
В общем виде: зная координату, скорость и ускорение в момент
времени tN−1, мы можем найти координату и скорость в момент времени
tN.
vN = v(tN) = vN−1 + aN−1_t, (5)
xN = x(tN) = xN−1 + vN−1_t. (6)