Муниципальное казенное образовательное учреждение Кумылженская средняя общеобразовательная школа № 2

Муниципальное казенное образовательное учреждение
Кумылженская средняя общеобразовательная школа № 2
Кумылженского муниципального района
Волгоградской области
Использование свойств функций
при решении уравнений и неравенств
(Программа элективного курса по математике)
10 - 11 класс
Составитель:Житников А.И.
ст.Кумылженская, 2011
1
Пояснительная записка
Главная цель предлагаемой программы состоит в обеспечении прочного сознательного
овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной
жизни и трудовой деятельности члену современного общества, достаточных для изучения
смежных дисциплин и продолжения образования, творческого подхода к любой проблеме.
Данная программа рассчитана на привлечение внимания учащихся, которым интересна
математика, кому она понадобится при учебе, подготовке к различного рода экзаменам, в
частности, к ЕГЭ. Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания,
научиться решать разнообразные задачи различной сложности, способствует развитию
логического мышления учащихся, выработке и закреплению навыков самостоятельной работы,
Слушателями этого курса могут быть учащиеся различного профиля обучения.
Мотивами для выбора элективного курса обучающихся являются:
- подготовка к ЕГЭ;
- углубление базового курса математики;
- заинтересованность математикой;
- профессиональная ориентация.
Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть
школьного курса математики, но временные рамки урока не позволяют рассмотреть все вопросы.
Кроме того, обязательным минимумом содержания обучения математике, заданным
государственным стандартом для основной школы, определен учебный материал для
обязательного рассмотрения, но не для обязательного усвоения (например, нестандартные методы
решения уравнений и неравенств, методы решения уравнений и неравенств с параметром и т.д.).
Для понятий «уравнение» и «неравенство» характерна направленность на установление
связей с остальным содержанием курса математики, а также они тесно связаны с функциональной
линией математики. С одной стороны – применение методов, разрабатываемых при изучении
уравнений и неравенств, к исследованию функции. С другой стороны, изучение функций
оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль
ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения
графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств.
С каждым уравнением, неравенством связаны конструирующие их аналитические
выражения. Последние в свою очередь могут задавать функции одной или нескольких
переменных. Поэтому присутствие функций, а точнее, их свойств, не может не влиять на решение
задач такого рода. Просто в одних случаях мы как бы негласно используем свойства функций, в
других явно ссылаемся на них. Порой «гласное» смещение акцентов в сторону свойств функций
может оказать существенную пользу в поиске рациональных идей решения. Изученные свойства
функций и методы их исследования должны найти применение в школе при решении уравнений,
неравенств. В школьном курсе математики рассмотрение этих вопросов недостаточно, но в ЕГЭ
часто встречаются задания, решаемые с помощью применения свойств функций.
В данном элективном курсе рассматривается метод решения уравнений и неравенств,
основанный на применении свойств функций (монотонность, ограниченность, четность и др.).
Целесообразность этого метода состоит в том, что он дает более рациональное решение уравнений
или неравенств. Учебный материал, касающийся нестандартных методов решения уравнений и
неравенств, содержится в учебных пособиях для подготовки к ЕГЭ по математике. Во временных
рамках уроков полностью этот материал рассмотреть невозможно, поэтому есть смысл вынести
его на курсы по выбору.
Таким образом, тема «Использование свойств функции при решении уравнений и
неравенств» при изучении по выбору в старших классах общеобразовательной школы актуальна.
Цели курса:
 восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса знания о функциях;
 систематизация, обобщение знаний о функциях и их графиках;
 формирование навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний в результате их
применения в незнакомой ситуации;
2




формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
выявление и развитие их математических способностей, ориентация на профессии,
существенным образом связанных с математикой;
продолжить формирование качеств мышления, необходимых человеку для жизни в
современном обществе;
подготовка учащихся к итоговой аттестации и к обучению в вузе.
Задачи курса:
 познакомить учащихся с некоторыми приёмами решения уравнений и неравенств с
использованием свойств входящих в них функций;
 показать применение производной при решении уравнений или неравенств;
 продолжить формирование у учащихся умений решать нестандартные задания, связанные с
понятиями “уравнение”, “неравенство”, “функция”;
 продолжить формирование опыта творческой деятельности учащихся через
исследовательскую деятельность при решении нестандартных задач;
 продолжить развитие математической культуры;
 помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.
Требования к подготовке учащихся.
В результате изучения данного элективного курса ученик должен
знать:
 основные свойства функций, которые применяются при решении уравнений и неравенств;
 о применении производной при решении уравнений и неравенств;
 основные приемы решения задач с параметрами, основанных на свойствах функций;
уметь:
 объяснять, на основе какого свойства функции решаются уравнение или неравенство;
 применять производную для доказательства свойства функции, входящей в уравнение или
неравенство;
 использовать технику преобразования выражений, содержащих параметры;
 использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности при подготовке
к ЕГЭ;
 осуществлять самоконтроль своей деятельности.
Тематика и содержание данного элективного курса отвечает следующим требованиям:
 поддержание изучения базового курса алгебры;
 социальная и личностная значимость: повышается уровень образованности учащихся,
расширяется их кругозор, удовлетворяются познавательные интересы в области
математики;
 обладание значительным развивающим потенциалом (развитие математического
мышления, умения систематизировать, обобщать, делать выводы).
Основная форма изложения теоретического материала – лекция. На всех практических
занятиях должна присутствовать самостоятельная работа учащихся: как индивидуально, так и в
группах. Такая организация учебной деятельности способствует реализации поставленных целей
курса, так как развитие способностей учащихся возможно лишь при сознательном, активном
участии в работе самих школьников.
Содержание курса может быть освоено как в коллективных, так и в индивидуальногрупповых формах. Численность учебной группы может быть любой.
Ожидаемый результат изучения курса:
 знание учащимися методов решения уравнений и неравенств с использованием свойств,
входящих в них функций;
 умение самостоятельно добывать информацию и осознанно ее использовать при
3


выполнении заданий;
приобретение опыта в нахождении правильного и рационального пути решения уравнений
и неравенств;
практика работы в группе: умение распределять обязанности, учитывать мнение каждого
члена группы, адекватно оценивать работу товарищей (при условии коллективной формы
организации обучения).
Система форм контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки.
Уровень достижений учащихся определяется в результате:
 наблюдения активности на практикумах;
 беседы с учащимися;
 анализа творческих, исследовательских работ;
 проверки домашнего задания;
 выполнения письменных работ;
 самостоятельно созданных слайдов, мини-задачников, выполненных проектов, которые
могут быть индивидуальными и коллективными;
 итоговой зачетной работы в форме теста, состоящего из трех блоков: А - задания с выбором
вариантов ответа; В - задания с краткой записью ответа; С - задания, предполагающие
развернутый ответ.
Итоговая оценка является накопительной, т.е. результаты выполнения предложенных
заданий оцениваются в баллах, которые суммируются по окончании курса.
Предлагаемый курс, как и любой другой, улучшает имидж и повышает
конкурентоспособность школы, так как реализация элективного курса дает более глубокие знания
по математике, увеличивает уровень интеллектуального развития.
Содержание программы.
Программа рассчитана на второе полугодие 11 класса (1 час в неделю, всего 17 часов). Это
обусловлено тем, что во втором полугодии уже изучены основные функции и их свойства.
 Функции и их основные свойства.
Понятие функции. Область определения и область значения функции. Монотонность функции.
Ограниченность функции. Четность, нечетность, периодичность функций. Элементарные
функции. Преобразование графиков функций.
 Использование свойств функции при решении уравнений и неравенств.
Использование области определения функций. Использование монотонности функций.
Нахождениепромежутковмонотонностиспомощьюпроизводной.Уравнениявидаh(fx)g.Использованиепонятиямножествазначенийфункцииприрешенииуравнений.Способыопределениямножествазначенийфункции.Использованиенеотрицательностифункций,входящихвуравнениеилинеравенство.
Использование понятия множества значений функции при решении уравнений. Способы
определения множества значений функции.
Использование неотрицательности функций,
входящих в уравнение или неравенство. Использование свойств четности или нечетности и
периодичности функций. Производная функции.
 Графические способы решения уравнений и неравенств.
Решение уравнений и неравенств с параметрами с помощью графической интерпретации.
Графический метод решения задач с параметрами.
Учебно-тематическое планирование элективного курса.
№
Всего В том числе
Содержание учебного материала
Практикум
п/п
часов Лекция
1
2
3
Функции и их основные свойства
1
Элементарные
функции.
2
Построение графиков функций.
Использование
области
1
определения функций.
Форма контроля
Таблица
элементарных
функций.
1
1
Семинар
1
Таблица, тест
1
доклады
4
4
Использование
функций.
5
Уравнения вида h(f (x)) = h(g(x)).
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
монотонности
Использование понятия множества
значений функции при решении
уравнений.
Использование неотрицательности
функций, входящих в уравнение
или неравенство.
Использование свойств четности
или нечетности и периодичности
функций.
Применение свойств функции к
решению уравнений.
Нахождение
наибольшего
и
наименьшего значения функции,
зависящей от параметра
Критические точки функции в
задачах с параметрами
Экстремальные свойства функции
в задачах с параметрами
Применение производной функции
к
решению
уравнений
и
неравенств.
Зачет по теме «Решение уравнений
и неравенств с использованием
свойств функций».
Итоговая конференция
Итого
1
1
1
1
2
1
Проверочная
работа
1
1
1
1
1
1
1
1
Проверочная
работа
игра
1
1
1
1
1
1
1
1
17
3
12
тест
1
4
Защита проектов
5
Список литературы( для учащихся):
1. Алгоритмы-ключ к решению задач по алгебре. 10-11 классы. Кн. Для учащихся
общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч.1/ Ж.Н. Михайлова.-М.: Просвещение, 2009.-272 с.
2. Алгоритмы-ключ к решению задач по алгебре. 10-11 классы. Кн. Для учащихся
общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч.2/ Ж.Н. Михайлова.-М.: Просвещение, 2009.-191 с.
3. Математика: Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для
подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов/ сост. Г.И.
Ковалева, Т. И. Бузулина, О. Л. Безрукова , Ю. А. Розка.-Волгоград: Учитель, 2009.-494 с.
4. Ященко И. В., Шестаков С. А., Захаров П. И. УГЭ. Математика. Тематическая рабочая
тетрадь. 11 класс/ И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров.-М.: МЦНМО, Издательство
«Экзамен», 2010.-96 с.
5. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010 : Математика/ авт.сост. И. Р. Высоцкий, Д. Д. Гущин, П. И. Захаров и др.; под ред. А. Л. Семенова, И. В.
Ященко.-М.: АСТ: Астрель, 2010.-91 с.
Список литературы:
1. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 частях. Ч. 1: Учебник для
общеобразовательных учреждений. [Текст]: учебник / Под. ред. А. Г. Мордковича. – М.:
Мнемозина, 2008.
2. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 частях. Ч. 2: Задачник для
общеобразовательных учреждений. [Текст]: учебник / Под. ред. А. Г. Мордковича. – М.:
Мнемозина, 2008.
3. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Пособие для учащихся.-М.:
Просвещение, 1984.-175с.
4. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для
10 кл. сред. шк.-М.: Просвещение, 1989.-252 с.
5. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное
пособие для 11 кл. сред. шк.-М.: Просвещение, 1991.-384 с.
6. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа: Учеб. Пособие для подготовительных вузов.-М.:
Высшая школа, 1979.-399с.
7. Карп А.П. Даю уроки математики...: Кн. для учителя: Из опыта работы.-М.: Просвещение,
1992.-191 с.
8. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб. Пособие для 10-11 кл.
сред.шк./ Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, с. И. Шварцбурд.-М.: Просвещение,
1990.-48с.
9. 3000 конкурсных задач по иатематике. -М.: Рольф, 2000.-624 с.
10. Глазков. Ю. А. Математика. ЕГЭ: сборник заданий и методических рекомендаций/ Ю. А.
Глазков, И. К. Варшавский, М. Я. Гаиашвили.-М.: Издательство «Экзамен», 2010.-333 с.
11. Валуцэ И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб.
Пособие.-М.: Наука, 1989.-576 с.
12. Егерев В. К., Мордкович А. Г. 100х4 задач.-М.: Linka-Press, 1993.
13. http://www.ege.edu.ru.
14. Репетитор по математике Кирилла и Мефодия 2006
15. Боревский Л. Я. Курс математики 2000 для школьников и абитуриентов.
6