Вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения»,

Вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения»,
2-ой семестр 2014-2015 уч. года.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
Зависимые и независимые интегралы системы дифференциальных уравнений (СДУ).
Приведение СДУ к равносильному уравнению и обратная задача.
Теорема Пикара для СДУ.
Следствия из теоремы Пикара.
Теорема о непрерывной зависимости решения СДУ от параметров.
Теорема о непрерывной зависимости решения СДУ от начальных условий.
Теорема о существовании общего решения СДУ.
Зависимость решений системы в нормальной форме от правых частей системы.
Дифференцируемость решений систем в нормальной форме по параметрам и
начальным данным.
Лемма об элементарной мажоранте.
Теорема Коши о существовании голоморфного решения СДУ.
Линейная СДУ и её свойства.
Фундаментальная матрица линейной СДУ и ее свойства.
Линейная неоднородная СДУ. Общее решение и решение в форме Коши.
Теорема Коши для линейной неоднородной СДУ.
Понятие о сопряжённой системе уравнений.
Матрицант.
Представление матрицанта в случае Лаппо-Данилевского.
At
Построение матрицы e .
Особые точки. Узел и седло.
Особые точки. Центр и фокус.
Особые точки. Вырожденный и дикритический узел.
Особые точки. Случай нулевых собственных чисел.
Фазовые траектории нелинейных систем.
СДУ с периодическими коэффициентами. Теорема Ляпунова – Флоке.
Периодические решения уравнения 2-го порядка. Случай единственного
периодического решения.
Периодические решения уравнения 2-го порядка. Семейства периодических решений.
Случай отсутствия периодических решений у уравнения 2-го порядка.
Метод малого параметра. Нерезонансный случай. Резонансный случай
Метод малого параметра. Резонанс n-го рода. Автономный случай.
Метод малого параметра. Решение задачи Коши.
Понятие о предельном цикле.
Литература.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу диф. уравнений.
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных диф. уравнений.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные диф. уравнения.
Степанов В.В. Курс диф. уравнений.
Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Лектор
О. Н. Чижова