Из разрезной азбуки выкладывается слово математика. Затем все буквы этого... тщательно перемешиваются и снова выкладываются ... Задание 1.

Задание 1.
Из разрезной азбуки выкладывается слово математика. Затем все буквы этого слова
тщательно перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке. Какова
вероятность того, что снова получится слово математика?
Задание 2.
Пусть события A и B несовместны, причем P A  0 и PB  0 . Доказать, что они
зависимы.
Задание 3.
В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются два
шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары разного цвета, при условии, что не
вынут синий шар.
Задание 4.
Известно, что 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин – дальтоники. На обследование
прибыло одинаковое количество мужчин и женщин. Наудачу выбранное лицо оказалось
дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина?
Задание 5.
Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью, не
меньшей 0.5, хотя бы один раз появилась сумма очков, равная 12?
Задание 6.
В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит
20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10% и третьего – 5%. Какова
вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров
с первого завода, 20% - со второго и 50% - с третьего?
Задание 7.
В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры
наугад берутся 3 мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также
наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры,
новые.
Задание 8.
Вероятность хотя бы одного появления события A при четырех независимых опытах
равна 0.59. Какова вероятность появления события A при одном опыте, если при каждом
опыте эта вероятность одинакова?
Задание 9.
В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того,
что за время 30 секунд не будет ни одного вызова?
Задание 10.
Вероятность появления события при одном опыте равна 0.3. С какой вероятностью
можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах от
0.2 до 0.4?
Задание 11.
На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1
сентября является днем рождения одновременно для k студентов данного факультета?
Вычислить указанную вероятность для значений k  0,1,2,3,4 .
Задание 12.
Дискретная случайная величина  принимает значения x1  1, x2  2, x3  3, x4  4 с
вероятностями p1  0.10, p2  0.25, p3  0.50, p4  0.15 . Найти функцию распределения
F x  случайной величины  , математическое ожидание a , дисперсию  2 и вероятность
P  2.
Случайная
величина

Задание 13.
имеет плотность
распределения
вероятностей


 cos x, x  2
f x   
0, x  

2
Найти константу  , вычислить математическое ожидание a , дисперсию  2 ,


вероятность P    и коэффициент эксцесса случайной величины  .
4

Случайная
величина

Задание 14.
имеет функцию
распределения
вероятностей
0, x  0
 2
x
F x    , 0  x  2
4
1, x  2
Вычислить математическое ожидание a , дисперсию  2 , вероятность P  1 и
коэффициент асимметрии случайной величины  .
Задание 15.
Автобусы идут с интервалом 5 минут. Полагая, что случайная величина  - время
ожидания автобуса на остановке – распределена равномерно на указанном интервале,
найти среднее время ожидания и среднеквадратическое уклонение времени ожидания.
Экспоненциально
Задание 16.
распределенная случайная
 x
величина

имеет
плотность
e , x  0
распределения вероятностей f x   
0, x  0
Вычислить математическое ожидание a , дисперсию  2 , вероятность P  1 и
характеристическую функцию случайной величины  .
Задание 17.
Двумерный случайный вектор  ,  имеет плотность распределения вероятностей
 x  y , x  0;1, y  0;1
f  x, y   
0, x  0;1, y  0;1
Найти константу  и вычислить вероятность P    1.
В условиях задания 17 найти
Задание 18.
f   x  - плотность распределения вероятностей
случайной величины  и f  y  - плотность распределения вероятностей случайной
величины  . Показать, что случайные величины  и  зависимы.
Задание 19.
В условиях заданий 17 и 18 вычислить  - коэффициент корреляции случайных
величин  и  .
Задание 20.

Дискретная случайная величина
может принимать значения x1  1 или x2  2 .
Дискретная случайная величина  может принимать значения y1  1, y2  0 или y3  1 .
Вероятности P  xi ,  y j  представлены в следующей таблице
yj
xi
1
2
-1
0
1
0.15
0.05
0.3
0.05
0.35
0.1
Найти распределение вероятностей случайной величины  и распределение
вероятностей случайной величины  . Установить, зависимы или нет случайные величины
 и  . Вычислить вероятность P  2,  0 .
Задание 21.
В условиях задания 20 вычислить  - коэффициент корреляции случайных величин
 и .