6 семестр

Вопросы экзамена по математическому анализу для студентов
3 курса специальности «ПМ» 6 семестр.
1. Кратные несобственные интегралы. Определение. Несобственные
интегралы от неотрицательных функций. Теоремы 1,2 (доказать
теорему 1).
2. Несобственные интегралы от знакопеременных функций. Теоремы 1,2
(доказать теорему 2).
3. Главное значение кратных интегралов. Собственные интегралы,
зависящие от параметра. Определение. Пределы интегрирования
постоянные. Теоремы 1-3 (доказать теорему 3).
4. Пределы интегрирования, зависящие от параметра. Теоремы 4,5 (доказать
теорему 5).
5. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Теорема 1(критерий
Коши). Теорема 2 (признак Вейерштрасса). Теорема 3 (признак Дини).
(доказать теорему 3).
6. Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость несобственных
интегралов, зависящих от параметра. Теоремы 1-3 (доказать теорему 3).
7. Несобственные интегралы 2-го рода, зависящие от параметра. Теоремы 4,
(доказать).
8. Интегралы Эйлера. Бета-функция B(p,q). Область сходимости,
непрерывность, свойства симметрии формула приведения.
9. Интегралы Эйлера. Гамма-функция Г(р). Область сходимости,
непрерывность, формула приведения, геометрическая иллюстрация.
10.Связь между гамма-функцией и бета-функцией.
11.Понятие об ортонормированных системах и об общем ряде Фурье.
Определение. Теорема 1 (неравенство Коши-Буняковского). Теорема 2
(доказать). Тригонометрическая система.
12.Тождество и неравенство Бесселя. Теоремы 1,2 (доказать теорему 1). Ряд
Фурье и коэффициенты Фурье в классической форме.
13.Замкнутые и полные ортонормированные системы. Теоремы 1-4 (доказать
теорему 1).
14.Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими
многочленами. Теоремы 1,2,3 (доказать теорему 3(о замкнутости
тригонометрической системы)).
15.Следствия замкнутости тригонометрической системы. 1-5 (доказать
следствие 5).
16. Условие абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического
ряда Фурье. Теорема (доказать).
17.Условие почленного дифференцирования ряда Фурье.
18.Интеграл Фурье. Образ Фурье и его свойства.
19.Условие разложимости функции в интеграл Фурье. Теорема о
разложимости функции в интеграл Фурье.
20. Множества, измеримые по Лебегу. Внешняя и внутренняя меры меры
множества. Критерий измеримости множества (теорема).
21.Свойства измеримых множеств 1-7 (доказать 1,3,5,7 свойства).
22.Функции, измеримые по Лебегу, и их свойства. Теоремы 1-3 (доказать
теорему 1).
23.Последовательности измеримых функций. Теорема Лебега, Рисса
(доказать одну из теорем).
24.Теоремы Егорова и Лузина (доказать теорему Егорова).
25.Интеграл Лебега от ограниченной функции. Свойства интеграла Лебега 17 (доказать 2,4,7 свойства).
26.Теорема Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Теорема.
27.Интеграл от произвольной неотрицательной измеримой функции.
Свойства интеграла от неотрицательной функции: 1-5. Теоремы Фату,
Леви (доказать одну из теорем).
28.Суммируемые функции. Свойства суммируемых функций 1-4(доказать 3,4
свойства).
29.Пространство L1 Теоремы 1,2. (доказать теорему 2).
30.Пространство L2 Теоремы 1,2. (доказать теорему 2).
31.Прямое и обратное преобразование Фурье. Пример.
32.Кратный тригонометрический ряд Фурье. Прямоугольные и сферические
частичные суммы. Разложение в N-кратный интеграл Фурье.
33.Поле комплексных чисел C . Алгебраическая и тригонометрическая
форма. Геометрическая интерпретация поля C комплексных чисел.
34.Стереографическая проекция и расширенная комплексная плоскость C .
Сфера Римана.
35.Функции одной комплексной переменной. Геометрическая
интерпретация. Предел, непрерывность и равномерная непрерывность.
36.Последовательности и ряды функций комплексного переменного.
Равномерная сходимость функционального ряда. Равномерная сходимость
степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда.
37.Производная функции комплексного переменного. Условия
дифференцируемости. Теорема Коши-Римана. Дифференцирование
степенных рядов.
38.Аналитические и гармонические функции и их свойства.
39.Геометрический смысл модуля и аргумента произвольной функции
комплексного переменного.
40.Конформные отображения. Области однолистности аналитических
функций. Примеры.
41.Линейная и дробно-линейная функции.(5, с. 26-27,152,163-167).
42.Степенная функция и радикал. Понятие Римановой поверхности (5, с. 9091, 99-101, 94-97).
43.Показательная и логарифмическая функции, (5, с. 91-94, 102-103).
44.Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (5, с. 7983, 86-90).
45.Функция Жуковского. Степень с произвольным показателем (5, с. 173-175,
103).
46.Интегрирование функции комплексного переменного по кусочногладкому пути. Свойства интеграла (5, с. 38-41).
47.Интегральная теорема Коши, ее обобщение (5, с. 41-43).
48.Первообразная и интеграл. Интегральное определение логарифма (5, с. 4346).
49.Интегральная формула Коши (5, с. 46-49).
50.Разложение функции, представляемой интегралом Коши в ряд Тейлора.
Неравенство Коши для коэффициентов степенного ряда (5, с. 70-73; 7, с.
208-209).
51.Целые функции. Теорема Лиувилля. Алгебраическая замкнутость поля
комплексных чисел (5, с. 77-78, 55, 146-147).
52.Нули аналитической функции, изолированность нулей (5, с. 74-78).
53.Принцип максимума модуля аналитической функции. Теорема Морера (5,
с. 49-51,55).
54.Первая и вторая теоремы Вейерштрасса о разложении аналитических
функций в степенной ряд (5, с. 62-65).
55.Ряд Лорана. Единственность разложения в ряд Лорана. Неравенство Коши
для коэффициентов ряда Лорана (5, с. 111-115).
56.Классификация изолированных особых точек аналитической функции, их
свойства. Теорема Сохоцкого (5, с. 115-120).
57.Поведение аналитической функции в окрестности бесконечно удаленной
точки. Мероморфные функции. (5, с. 120-121, 136; 7, с. 226-227).
58.Разложение рациональной функции на целую часть и простые дроби (7, с.
227-228).
59.Вычеты. Вычет аналитической функции. Теоремы о вычетах. Следствие.
123-128).
60. Лемма Жордана. Применение теории вычетов к вычислению интегралов
(5, с. 132-138).
61.Конформные отображения односвязных областей. Аналитическое
продолжение. Теорема единственности. Задача аналитического
продолжения (5, с. 94-98, 103-104; 7, с. 239-290, 294).
62.Теорема Римана (без доказательства). Элементарные функции
комплексной переменной как аналитические продолжения с
действительной оси. Сохранения функциональных соотношений при
аналитическом продолжении (5, с. 160-163, 79-86)
Литература.
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления т.I,II, 1970 г.
2. Ильин В.А., Поздняк Э.Т. Основы математического анализа,
Наука, ч. 1-2, 1981г.
3. Колмогоров А.Н. , Фомин. С.В. Элементы теории функций и
4.
5.
6.
7.
8.
функционального анализа. 1981 г.
Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной.
1974г.
Свешников А.Г., Тихонов А.Н., Теория функций комплексного
переменного. М., Наука, 1979 г.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций
комплексного переменного. М., Наука 1979г.
Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного
переменного, М., Наука 1977 г.
Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций
комплексного переменного. М., Наука 1984.