Иррациональные уравнения и неравенства Определение. Иррациональным уравнением (неравенством) называется уравнение (неравенство), в котором неизвестная стоит под знаком корня или возведения в дробную степень. При решении иррациональных уравнений используются или равносильные преобразования, или переход к уравнению–следствию и исследованию области определения уравнения. При переходе к следствию необходимой частью решения должна быть проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение. Часто используемым методом является метод введения новой переменной (замены). Рассмотрим основные типы уравнений f ( x) g ( x) f ( x) 0 или g ( x) 0 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x ) g ( x) 0 2 f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) 0 Полезно также помнить, что f ( x) f ( x) и 2 f ( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) g ( x ) f ( x) g ( x) , если f ( x) g ( x) 0 . При решении иррациональных неравенств основным методом является метод равносильных преобразований. Можно использовать и обобщенный метод интервалов. Рассмотрим основные типы неравенств f ( x) 0 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) g 2 ( x) f ( x) g ( x ) g ( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 2 f ( x) g ( x) f ( x) 0 g ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) 0 f ( x) f ( x) g ( x) 0 g ( x) Иррациональные уравнения 1. Сумма корней промежутку А) 1, 8; 3 4x 3x 2 принадлежит или корень (если он единственный) уравнения 3 2 B) 3 2 ; 1 C) 1; 1 2 D) 1 2 ; 0, 2 2. Найти среднее арифметическое корней уравнения 3x 2 4 x 4 x 2 А) 1 B) 2 C) 3 D) 4 3. Корень уравнения x 1 10x 5 x 3 принадлежит промежутку А) 4; 2 B) 2; 1 B) 2; 3 C) 3; 4 D) 4; 5 или корень (если он единственный) уравнения промежутку А) 9 2 ; 7 2 B) 9. Найдите произведение корней уравнения А) –5 C) 2; 3 B) –1 D) 4; 5 E) 2; 4 3 2 3 x x 2 x 13 x 4 E) 5; 6 5. Число различных корней уравнения 2 x 6 x2 1 x 1 равно А) 2 B) 1 C) 4 D) 3 2 6. Найдите сумму корней уравнения ( x 3x 10) x 3 0 А) – 8 B) –1 C) –3 D) –6 2 2 7. Чему равно произведение корней уравнения x 1 x 3 ? А) – 10 B) –5 C) – 2 D) 10 8. Сумма корней 0 4. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения принадлежит промежутку А) 1; 2 E) 0, 2; E) 5 D) 1; 0 C) 0; 3 E) 5 E) 0 E) корней нет x 1x 3 3 4 84 6, 5; 7, 5 2 принадлежит E) 7, 5; 8, 5 x 4 2 x3 x 2 11 2 x 2 2 x 4 C) 1 D) 5 E) 5 3 10. Найдите произведение корней уравнения x 1 x 2 4 x 8 2( x 1) 11. Решите уравнение 2 x 1 4 7 0. x 1 12. Найдите сумму корней, или корень, если он единственный, уравнения 13. Найдите корень (или произведение 3 x 3 x 6 2 x 2 3x 14 0 3 x 3 x 9 x2 корней, если их 5x 6 x 6 1 . x 5x 6 несколько) уравнения 4 x0 7 3 3 , где x0 – корень уравнения 6 . x0 x x2 x x x2 x 16 x x 2 9 4 x 3 14. Найдите значение выражения 15. Решите уравнение 2 y x3 y 1 0 16. Решите систему уравнений 0,5 y 2 1 x x 2 4 x 4 4 x 2 17 x 15 2 x 17. Решите уравнение 18. Модуль разности корней уравнения x 3 x 1 3 x 3 А) 4 5 19. Решите уравнение B) 2 53 3 C) 2 5 53 x 1 3 x 1 6 3x 2 3 6 x 1 . 2 x 1 28 равен x 3 D) 2 E) 0 20. Укажите множество всех значений параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение 256 x a x 0 x C) ; 0 D) ; 0 4 E) 4;4 21. Укажите целое значение параметра а (если оно единственное) или сумму целых значений из А) 0; B) 4 промежутка 1; 9 , при которых уравнение x 2 2 x a 0 имеет единственное решение. 22. Найдите сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения 23. Если x0 – корень уравнения 3 5 x 24 2 x 9 9 . 2 x2 4 x 3 3x2 6 x 7 2 2 x x2 , то чему равно значение x0 2 21x0 18 выражения ? 2005 sin 2 Иррациональные неравенства 1. Множество решений неравенства 1 А) ; 2 1 5 C) ; B) 4; 2. Решением неравенства А) 10; 3x 5 x 4 имеет вид 13 x 16 x 2 B) 6; 10 1 E) ; D) 5; E) 4; 3 2 3 2 5 D) ; 4 2 является множество C) 4; 3. Сколько целых решений имеет неравенство x А) 0 B) 1 C) 2 2 5 6 6 2x 3 1 D) 3 E) 4 x 2 1 1 x 2 x 2 4. Найдите сумму всех целых чисел, являющихся решениями неравенства А) 1 B) –1 C) 2 D) E) 5. Найдите длину промежутка, составляющего множество всех решений неравенства x 4 x 6 А) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) 2 6. Найдите сумму всех целых чисел из промежутка 6; 6 , являющихся решениями неравенства 14 x 2 x А) 12 B) 15 C) 16 D) 17 2 7. Найдите сумму всех целых решений неравенства 6 x x x 1 0 А) 2 B) 0 8. Множество решений неравенства А) ; 2 B) 0; 1 C) –1 E) –2 D) 3 3 3 x 2 имеет вид 3 x C) E) 18 1; D) 2; 9. Найдите сумму целых решений неравенства x 4 2 3 x А) –2 B) 0 C) –1 D) 3 10. Найдите наименьшее целое решение неравенства x 3 x 1 x 2 А) 2 B) 3 C) 1 D) 5 E) 3; 0 E) 1 E) 4 11. Длина интервала решений неравенства 5 x x 6 3 2 x равна А) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 1 12. Произведение целых решений неравенства x 6 x 5 8 2 x равно А) –4 B) 0 C) –9 D) 9 E) 4 4 13. Наименьшее решение неравенства 2 2 x x 2 x x 14 6 принадлежит промежутку А) 2; 0 B) 1; 1 C) 1; 3 D) 3; 5 E) 5; 7 x 2 16 6 x 15. Найдите сумму всех целых решений неравенства 8 2 x 5 2 x 0 , удовлетворяющих условию x 1 14. Найдите число целых решений неравенства 16. Найдите число целых решений неравенства 5 x2 8x 7 9 x 0 17. Найдите сумму всех целых решений неравенства 8 2 x 2 x 15 x 2 4 x 12 3 0 x 2 x 5 1 2, 5 x 10 19. Найдите сумму всех целых решений системы неравенств 2 x 8 3 18. Найдите число целых решений неравенства 20. Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству 3 x 1. 15 x 21. Найдите все значения х, для которых точки графика функции y соответствующих точек графика функции y 4 x 5x 9 13 4 x 5x 9 лежат не ниже . 2 x 4x 3 2. x 23. Найдите длину отрезка, который образуют решения неравенства x 2 3 x x 1 6 x . 22. Найдите число натуральных решений неравенства 24. Найдите количество целых решений неравенства 25. Найдите сумму всех решений неравенства 7 x2 x x2 1 . x2 x 1 1 x3. x2 26. При каком наименьшем положительном х выполняется неравенство x( x 1) x В ответ записать ближайшее к нему целое число. Ответы «Иррациональные уравнения» 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E B C D A B B E А –12 19 2 20 D 21 7 22 8 11 –¾ 12 6 13 –2 14 –10 15 1,75 16 2; 7 17 18 1,25 С 23 –3 Ответы «Иррациональные неравенства» 1 B 20 14 2 C 3 C 4 В 5 A 6 E 21 ; 1 1,8; 3 7 D 22 2 8 D 23 1 9 А 10 11 12 13 14 15 16 Е С А D 8 7 8 24 5 25 –1 26 3 17 –8 18 19 2 – 19 x 1 3. x Комментарии к задачам 9. Сразу возводить в квадрат и решать уравнение четвертой степени нецелесообразно. Т. к. 4 3 2 x 2 x x x2 x 2 , то исходное уравнение можно переписать в виде замену t x 2 x и решим уравнение 2 x 2 11 2 x x 4 . 2 Сделаем t 2 11 2t 4 . Возведем в квадрат обе части равенства при дополнительном условии 2t 4 0 : t 2 11 2t 4 , 2 t2 x t 2 11 4t 2 16t 16 , 3t 2 16t 5 0 , t1 5 , 1 1 . t2 не удовлетворяет дополнительному условию t 2 , следовательно t 5 . x 2 x 5 , 3 3 x 2 x 5 0 . Т.к. дискриминант положительный, то уравнение имеет два корня, произведение которых по теореме Виета равно –5. 14. По определению модуля получаем x 2 x 2 . 16 x( x 2) 9 4 x 3 16 x(2 x) 9 4 x 3 x 2, 4 x 3 0 Решим первую систему: 2 , отсюда получаем 2 16 x 32 x 9 16 x 24 x 9 Решим вторую систему: Следовательно, x 15. ОДЗ 3 7 . 4 данной 2y x y 1 x 2, 4 x 3 0 , 2 2 16 x 32 x 9 16 x 24 x 9 отсюда x 0 . Нет решений. x 2 получаем 7 x 0 или x 4 . x 2, x 3 4 2 y x 3 y 1 0 0, 5 y 2 1 x системы: x 0, 2 y x3 0 . Первое уравнение запишем в виде y 1 0 y 1 . Домножим второе уравнение системы на 2 и 2 3 2 3 2 y x y 2 y 1 y 1 x возведем в квадрат: y 1 4 x . 2 Приравнивая левые и правые чисти равенств, найдем, что x3 4 x , откуда x 0, x 2, x 2 . Последний корень не подходит по ОДЗ. При х=0 y 2 1 0 . Значит x 2 и y 1 y 7 . 2 y 1 8 16. x 2 4 x2 17 x 15 2 x . 1) Если x 2 0 , тогда 4 x 2 17 x 15 0 , значит x1 5 , x2 3 . Число 4 4 x2 17 x 15 2 2 x и уравнение 3 не удовлетворяет условию x 2 0 . 2) Пусть x 2 0 , тогда корней не имеет, т.к. его правая часть принимает отрицательные значения. 17. Решая неравенство x 1 3 x 3 3( x 3) x 1 0 , находим ОДЗ уравнения: x3 x 1 x 3 при x 3 и 3( x 3) x 1 3 x 3 x 1 и x 3 . На ОДЗ имеем x 1 x 3 x 3 x 3 x 1 3 исходное уравнение равносильно совокупности систем x 1 x 3 x 1 3 x 3 x 1 , найдем решения Используя подстановку t при x 1. В результате x 3 x 1 28 0 . x 3 x 1 28 0 x1 1 53 , x2 1 2 5 . 18. ОДЗ данного уравнения x 1 x 1 . Заметим, что при замене х на –х уравнение не изменяется, следовательно, достаточно решить уравнение на первом интервале, и x 1 оставшиеся корни. При 6 x 1 2 имеем 3 6 x 1 6 3 x 1 x 1 6 x 1 ; 2 2 x 1 6 x 1 , 2 6 x 1 2 3 x 1 6 в силу симметрии найти x 1 6 3 x 1 x 1 0 , 2 x 1 2 6 x 1 2 , 6 6 x 1 6 3 x 1 0 , ; x 2 . Значит, уравнение имеет корни 2 . 19. ОДЗ данного уравнения x 0 . Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: x a x a . С учетом ОДЗ уравнение имеет корень x 16 . Исходное уравнение имеет 256 x x 16 0 x единственное решение, если первое уравнение совокупности не имеет корней на ОДЗ, или он совпадает с полученным, т.е. при a ; 0 4 . 20. ОДЗ данного уравнения x 2 . Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: x2 20 x 6 . Исходное уравнение имеет единственное решение, если второе уравнение x a x a 0 совокупности имеет корни, не принадлежащие ОДЗ, или корень совпадает с полученным, т.е. при a ; 2 6 . Пересекая с промежутком a 1; 9 , находим такие a 0;1;6 . Их сумма равна 7. 23. При всех действительных х справедливы неравенства 2 x2 4 x 3 2 x 1 1 1 , 2 3x2 6 x 7 3 x 1 4 2 , 2 2 x x 2 3 x 1 3 . С учетом этих оценок исходное уравнение 2 2 2 x2 4 x 3 1 равносильно системе 3x 2 6 x 7 2 x 1 . 2 2 x x 2 3 23. ОДЗ неравенства 2 x 3 . Оценим на этой области левую и правую часть неравенства. Очевидно, что x 2 3 x 0 . А т.к. 1 x 1 2 и 3 6 x 4 , то x 1 6 x , или x 1 6 x 0 . Таким образом, при всех значениях х из отрезка 2 x 3 заданное неравенство выполняется. правая часть неравенства отрицательна, неравенство равносильно 7 x 2 0 . 24. Решение. Т. к. Неравенство имеет 5 целых решений. 25. Возводя в квадрат, получим x2 x 1 1 2 x2 x 2 1 x 1 2 x 3 , x т.е. 1 x x 0 1 1 2 , т.е. для x 1 . x 2 x x 1 2 0 , что возможно лишь когда 1 x x 2 x x 1 0 2 x 2 26. Следует учесть, что при x 0 исходное неравенство принимает вид x x 1 x x 1 3 0 , а при x 1 оно записывается в виде x x 1 x x 1 3 0 . Далее используем замену t x x 1 . Искомое наименьшее положительное число равно 3. 1 15 2 13 . Ближайшее к нему целое число равно 2