Тема 6. Квадратные неравенства 09-06-02. Алгебраический метод решения квадратных неравенств Теория 2.1. Примеры квадратных неравенств, рассмотренные в предыдущем параграфе позволяют сделать следующий общий вывод. Множество решений квадратного неравенства вида ax 2 bx c 0 где a b c — фиксированные числа, причем a 0 может быть: а) пустым множеством; б) точкой; в) промежутком конечной длины; г) объединением двух бесконечных промежутков; д) всей числовой прямой. Аналогичные выводы можно сделать относительно множества решений квадратных неравенств вида ax 2 bx c 0 ax 2 bx c 0 ax 2 bx c 0 Для получения решений конкретного квадратного неравенства можно сначала получить равносильное ему квадратное неравенство с положительным коэффициентом при x 2 , затем представить график соответствующей квадратной функции найти корни соответствующего квадратного уравнения, когда они существуют, после чего получить ответ. 2.2.* Разберем решение квадратного неравенства (1) ax 2 bx c 0 a 0 алгебраическим методом. Дискриминант b 2 4ac квадратного уравнения ax 2 bx c 0 обозначим через D , то есть D b 2 4ac Выделив полный квадрат, получим 2 b b2 a x c 0 2a 4a или 2 b D a x 0 (2) 2a 4a Последнее неравенство (2) равносильно исходному (1). Рассмотрим теперь, шесть возможных случаев. Сначала разберем те из них, когда a 0 . Случай 1. Пусть a 0 и D 0 . Тогда a x 2ba 0 при всех x , число 4Da 0 , а поэтому неравенство (2) верно для всех действительных значений x , так как в этом случае левая часть неравенства (2) есть сумма двух положительных чисел. Равносильное неравенство (1) при D 0 также верно для всех действительных чисел. 2 Случай 2. Пусть a 0 и D 0 . Разделив обе части неравенства (2) на число a 0 , получим равносильное неравенство 2 2 b D a x 0 2a 2a Квадратное уравнение (3) 2 2 b D a x 0 2a 2a имеет корням числа b D x1 2a и b D x2 2a причем x1 x2 . Отсюда следует, что левая часть уравнения может быть разложена на два множителя. Тогда само уравнение запишется в виде ( x x1 )( x x2 ) 0 Значит, парабола y ( x x1 )( x x2 ) пересекает ось Ox в точках x1 и x2 , а так как коэффициент при x 2 равен 1, то ее ветви направлены вверх (рисунок 1). Следовательно, множество решений неравенства (3) и равносильного ему неравенства (1) есть объединение ( x1 ) ( x2 ) двух бесконечных промежутков с исключенными концами. 2 Случай 3. Пусть a 0 и D 0 . В этом случае неравенство имеет вид a x 2ba 0 . Поэтому неравенство (2), а следовательно, и неравенство (1) верно для всех действительных чисел x 2ba (рисунок 2). 2.3.* Разберем теперь случаи решения квадратного неравенства ax 2 bx c 0 , когда a0. Случай 4. Пусть a 0 и D 0 . Тогда левая часть неравенства (2) отрицательна при любом значении x , а поэтому неравенство (2), а вместе с ним и неравенство (1) не имеют решений. Случай 5. Пусть a 0 и D 0 . Разделив обе части неравенства (2) на число a 0 и изменив знак неравенства на противоположный, получим равносильное неравенство 2 2 b D a x 0 2a 2a (4) 2 2 b D Квадратное уравнение a x 0 перепишем в виде 2a 2a 2 2 b D a x 2a 2a Отсюда b D D x 2a 2a 2a так как a 0 . Следовательно, корнями уравнения будут числа b D b D иx2 2a 2a причем x1 x2 . Для решения неравенства (4) мы можем снова использовать рисунок 1, но x1 выбирать уже те значения x , для которых значения функции y ( x x1 )( x x2 ) отрицательны. Это будут значения, заключенные между x1 и x2 . Таким образом, при a 0 и D 0 множество решений неравенства (1) есть интервал ( x1 x2 ) , где b D b D иx2 2a 2a 2 Случай 6. Пусть a 0 и D 0 . В этом случае неравенство имеет вид a x 2ba 0 . x1 Поэтому неравенство (4) и равносильное ему неравенство (1) при a 0 не имеют решений. 2.4.* Проведенное в пунктах 2.2 и 2.3 исследование квадратного неравенства вида 2 ax bx c 0 , a 0 , позволяет представить ответ в виде следующего правила. Пусть D b 2 4ac — дискриминант квадратного уравнения ax 2 bx c 0 , и при D 0 числа x1 , x2 — корни этого уравнения, причем x1 x2 . Тогда решением квадратного неравенства ax 2 bx c 0 является: - при D 0 и a 0 пустое множество; - при D 0 и a 0 множество всех действительных чисел; - при D 0 и a 0 интервал ( x1 x2 ) ; - при D 0 и a 0 объединение двух бесконечных промежутков. Аналогично можно записать в виде правила ответ для остальных случаев квадратного неравенства. Эти правила позволяют свести решение квадратного неравенства к решению соответствующего квадратного уравнения, после чего можно сразу записать ответ. Пример 1. Найдем решения неравенства x 2 x 1 0 Составим и решим квадратное уравнение x 2 x 1 0 , x 2 x 1 0 , D 1 1 4 5 , x1 12 5 , x2 12 5 . Так как коэффициент при x 2 отрицательный и D 0 , то по правилу ответом является интервал 1 5 2 12 5 . Пример 2. Найдем решения неравенства x 2 2 x 3 0 Составим квадратное уравнение x 2 2 x 3 0 . Тогда D 22 4 3 8 0 . Так как коэффициент при x 2 положительный и D 0 , то по правилу ответом является множество всех действительных чисел. 2.5.** Разберем, как использовать общие правила решения квадратных неравенств в задачах с параметрами. Пример 3. Найдем при каждом значении параметра a множество решений неравенства (a 1) x 2 ax a 1 0 Данное неравенство является квадратным, если a 1 0 . При a 1 0 , то есть a 1 , неравенство имеет вид x 2 0 , откуда x 2 . Следовательно, при a 1 множеством решений данного неравенства является промежуток ( 2] . Пусть a 1 0 . Составим квадратное уравнение (a 1) x 2 ax a 1 0 . Найдем его дискриминант D a 2 4(a 2 1) 4 3a 2 . Найдем решения неравенства D 0 или 4 3a 2 0 . Это неравенство равносильно неравенству a 2 2 3 2 0 . Поэтому D 0 при a 23 и D 0 при a 23 23 . Разберем теперь четыре случая. Случай 1. Пусть a 1 0 и D 0 . Одновременно эти условия выполняются при 2 2 a 3 3 (рисунок 3). По правилу при каждом таком значении a множество решений исходного неравенства пусто. Случай 2. Пусть a 1 0 и D 0 . Одновременно эти условия выполняются при a 23 . По правилу при каждом таком значении a множеством решений исходного 2 3 неравенства является множество всех действительных чисел. Случай 3. Пусть a 1 0 и D 0 . Одновременно эти условия выполняются при a 1 23 (рисунок 4). При каждом таком значении a квадратное уравнение 43a (a 1) x 2 ax (a 1) 0 имеет корни x1 a2( a 1) 2 и x2 a 4 3 a 2 2( a 1) , причем x1 x2 . По правилу множество решений исходного неравенства запишется в виде ( x1 ] [ x2 ) . Заметим, что при a 23 корни x1 и x2 равны, и тогда объединение ( x1 ] [ x2 ) совпадает с множеством всех действительных чисел. Случай 4. Пусть a 1 0 и D 0 . Одновременно эти условия выполняются при a 23 1 . При каждом таком значении a квадратное уравнение (a 1) x 2 ax a 1 0 43a имеет корни, которые теперь в порядке возрастания будут выглядеть так: x1 a2( и a 1) 2 4 3 a . Записанные в этом виде корни x1 и x2 удовлетворяют неравенству x1 x2 . x2 a2( a 1) 2 По правилу при каждом значении a из промежутка 23 1 множество решений исходного неравенства запишется в виде [ x1 x2 ] . Заметим, что при a 23 корни x1 и x2 равны, а поэтому множество решений исходного неравенства состоит из одной точки 2 2 x1 2 2 3 3 1 3 Подведем итог проделанной работе и запишем окончательный ответ: при a 23 решений нет; при a при a 2 3 2 3 решение x 22 3 ; 1 множество решений a 4 3a 2 a 4 3a 2 2(a 1) 2(a 1) при a 1 множество решений ( 2] ; при a 1 2 3 множество решений a 4 3a 2 a 4 3a 2 2(a 1) 2(a 1) при a чисел. 2 3 множество решений совпадает с множеством R всех действительных от от от от Контрольные вопросы 1.* Какой вид имеют решения квадратного неравенства ax 2 bx c 0 a и дискриминанта? 2.* Какой вид имеют решения квадратного неравенства ax 2 bx c 0 a и дискриминанта? 3.* Какой вид имеют решения квадратного неравенства ax 2 bx c 0 a и дискриминанта? 4.* Какой вид имеют решения квадратного неравенства ax 2 bx c 0 a и дискриминанта? в зависимости в зависимости в зависимости в зависимости Задачи и упражнения 1. Решите неравенство: а) x 2 1 0 ; б) x 2 x 0 ; в) x 2 x 1 0 ; г) 2 x 2 4 x 1 0 ; д) 3 x x 2 0 ; е) 5 x 2 6 x 1 0 ; ж) 2 x 2 5 x 2 0 ; з) x 2 1996 x 1995 0 . 2 2.* Для каких значений a неравенство x2 (a 1) x a 41 0 имеет единственное решение? 3.* Решите систему неравенств: а) 3x 2 4 x 1 0 4 x 2 3x 1 б ) 3x 2 3x 1 0 3x 2 x 0 4.* При каких значениях a неравенство (a 2) x 2 ax a 0 выполняется при любом значении x ? 5.** При каких значениях a неравенство (a 1) x 2 (a 1) x a 0 имеет единственное решение? Ответы и указания