Тема 5. Линейные уравнения первого порядка и уравнения, приводящиеся к ним 5.1. Линейные уравнения первого порядка Уравнение y p( x) y q( x) (5.1) линейное относительно неизвестной функции y , (а также любое уравнение, с помощью алгебраических преобразований приводящиеся к виду (5.1)), называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Функция p x 0 , q x 0 должны быть непрерывными в некоторой области, например на отрезке [a;b], для того, чтобы выполнялись условия теоремы Коши существования и единственности решения. Если в (5.1) p( x) 0 или q( x) 0, то получим дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. В случае, когда q ( x) 0, уравнение (5.1) называют однородным линейным дифференциальным уравнением. Общее решение уравнения (5.1) всегда можно записать в виде p ( x ) dx p ( x ) dx dx C ye q( x)e (5.2) где С – произвольная постоянная. Наиболее употребительным способом решения уравнения (5.1) является метод вариации произвольной постоянной. Сущность метода состоит в следующем. Сначала ищется решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (5.1): y p ( x) y 0 (5.3) Затем в общем решении уравнения (5.3) произвольную постоянную С считают некоторой дифференцируемой функцией от x: C=C(x). Эту функцию находят из дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, которое получается в результате подстановки общего решения уравнения (5.3) в уравнении (5.1). Пример 5.1. Решить уравнение y 2 xy 2 xe x 2 (5.4) Сначала находим решение однородного уравнения, соответствующего данному: y 2 xy 0. Разделяя переменные и интегрируя, находим: y Ce x 2 (5.5) Формула (5.5) представляет собой общее решение однородного уравнения, где С – произвольная постоянная. Для получения всех решений данного уравнения считаем C=C(x) и требуем, чтобы функция y C ( x)e x удовлетворяла уравнению (5.4), т.е. 2 Ce x 2 xCe x 2 xCe x 2 xe x или C 2 x. Отсюда находим C ( x) x 2 C 2 2 2 2 (5.6) где C новая произвольная постоянная. Подставив (5.6) в (5.5), окончательно получим y ( x2 C)e x . 2 5.2. Обмен ролями между функцией и аргументом Некоторые уравнения становятся линейными, если в них поменять ролями функцию и аргумент. Пример 5.2. Решить уравнение y (2 x y3 ) y '. Предложенное уравнение линейное относительно x . Так как записать в виде yx 2 x y 3 или dy 1 , то его можно dx dx dy yx 2 x y 3 . (5.7) Общим решением однородного уравнения yx 2 x 0 является функция x Cy 2 . (5.8) Считая, что C C ( y ) , и подставляя (5.8) в (5.7), получим последовательно y(Cy 2 2Cy) 2Cy 2 y 3 C 1 dC dx C x C. Подставляя (5.9) в (5.8), имеем общее решение (5.9) x y 2 ( x C ). 5.3 Уравнения, приводимые к линейным К линейным уравнениям приводятся также уравнения вида: f ( y ) dy a( x) f ( y ) b( x), dx (5.10) dy a ( x) b( x)e ny , dx (5.11) dy a ( x ) y b( x ) y n , dx (5.12) dy a ( x ) y b( x ) y 2 c ( x ) dx (5.13) Уравнение вида (5.10) сводится к линейному, если положить f ( y ) z ( x). Тогда получаем f ( y ) y z( x) и z a( x) z b( x). В уравнении (5.11) целесообразно провести замену e ny z ( x). Тогда получим ne ny y z, z a ( x) z b( x) (n 0). n Уравнение (5.12) называется уравнением Бернулли. Оно приводится к линейному с помощью замены z ( x) y1n (n 0, n 1 , так как в этих случаях оно уже линейное). Пример 5.3. Решить уравнение 3 y y 1 . y2 Чтобы свести данное уравнение Бернулли к линейному, разделим обе части на выражение 1 . Получаем y2 3 y 2 y y 3 1. (5.14) Произведем замену z ( x) y 3 . (5.15) Тогда z( x) 3 y 2 y (5.16) z z 1. Подставим (5.15) и (5.16) в (5.14), имеем Последнее уравнение не только линейное, но и z 1 z разделяющимися переменными ln | z 1| x ln C z 1 Ce x является уравнением с dz dx z 1 z Ce x 1. получаем общее решение исходного уравнения Производя обратную подстановку, y 3 Ce x 1. Уравнение (5.13) называется уравнением Риккатти. В общем случае уравнение Риккатти не решается в квадратурах. Если же известно частное решение yчастное ( x), то уравнение (5.13) сводится к уравнению Бернулли с помощью замены y yчастное ( x) z ( x). Если частное решение неизвестно, то его ищут по виду правой части (5.13), понижая при этом его степень. Пример 5.4. Решить уравнение y 2 xy y 2 5 x 2 (5.17) Поскольку правая часть уравнения Риккатти представляет собой квадратичное выражение, то частное решение будем искать в виде yч ax b, (5.18) где a , b - неизвестные коэффициенты, которые находим, подставляя (5.18) в (5.17), приравнивая коэффициенты последовательно при соответствующих степенях x, т.е. получаем a 2 x(ax b) (ax b)2 5 x 2 , a 2 2a 1, a 2 2a x 2 2ab 2b x a b 2 x 2 5, 2ab 2b 0, a b2 5 ( a 1) 2 0, 2b( a 1) 0, b2 5 a a 1, a 1, b 0, b 2 5 a. Если b=0, то последнее уравнение системы не будет выполняться, т.к. Следовательно, a 1, b 2. 0 5 1 0 4. Значит, за частное решение можно принять либо yч ( x) x 2, либо yч ( x) x 2. Допустим yч ( x) x 2. Делаем замену y x 2 z ( x). Подставляя (5.19) в (5.17), получим z 4 z z 2 . (5.19) Последнее является уравнением Бернулли. Сводим его к линейному, поделив обе части на 1 1 z 4 1. 2 z z z2 : (5.20) 1 1 Производим замену t ( x) , тогда t 2 z . Подставляя замену в (5.20), получаем z z t 4t 1. Решая последнее как уравнение с разделяющимися переменными, получаем общее решение уравнения (5.20) 4t 1 Ce4 x , или 4 4 1 Ce 4 x z ( x) 4 x . Подставляя z Ce 1 последнее выражение в (5.14), получим общее решение исходного уравнения (5.17) y x2 4 Ce 1 4x . Задания для работы на семинаре y C 1 2 ln x Ответ : y x ln x . x x 1. y 2. 1 1 y 2 y x e x , y (0) 1 Ответ : y x e x (1 e 2 x ) . 2 4 3. y 3 y e 2 x y 2 , y (0) 1. 4. y ytgx 5. 1 y 2 dx x ye y dy, Ответ : y e . 1 , y ( ) 5 cos x 2 x Ответ : y 5cos x sin x . 1 y (0) 3 Ответ : x e y (3 y ) . 1 1 1 y (1) 1 Ответ : y (1 x ) . x e e 6. xdy e x y dx, 7. y 8. y 4 xy 2 xe x 9. xy y 2 (2 x 1) y x 2 2 x. 10. y x 3 y(1) 2 Ответ : y . 2 x y y2 , x 3 x 3 2 y x2 x2 Ответ : y e ( C ) . 2 1 1 1 y y 2 2 , yч ( x) . x x x Задания для самостоятельной работы 1. x 2. 1 x y y e x , 2 1 y 4 xy 3, ' 3. y 2 x x2 y , x3 3x y 0 0 Ответ : y . 2 2 x 1 1 y 0 0 Ответ : y e x ln . 1 x y 0 0 Ответ : y x 2 1 ex . 2 4. cos ydx x 2cos y sin ydy, xy 1 ln x 2 y, 6. x 7. 2x y dy ydx 4ln ydy, 1 y xy x3 x, 8. y 3x 2 y x 2 e x 0, 3 9. y 2 y y 2 e x 4 1 1 2 Ответ : x sin y . 2 cos y ln 5 x ln 2 x y e 0 Ответ : y . 3 5. 2 y 0 y 2 1 Ответ : y x 1. 2 Ответ : x 2ln y 1 y . y(0) 1 y (0) 0 1 3 x3 Ответ : y x e . 3 1 . Ответ : y 2 x x Ce e 1 10. 2 x 2 y ln y x y y Ответ : x . 2 y (C ln y ) x4 2 11. xy 2 x y 4 y Ответ : y (C ln x) 2 . 4 12. y 13. x 2x e y y Ответ : y e x x2 C . dx 1 y 2 x dy Ответ : x 2 . x y y C 1 14. xy y y 2 ln x Ответ : y . ln x 1 Cx 2e x 15. y y y 2 cos x 0 Ответ : y x . e (cos x sin x) C 16. y 2 y 2 6 . x2 17. ye x y 2 2 ye x 1 e 2 x , yч e x . 18. y y 2 2 y sin x sin 2 x cos x 0, 19. xy 2 x 1 y y 2 x2 . 20. 3 y y 2 2 0. x2 yч sin x.