(1) и

1. Доказать, что не существует многогранника имеющего 7 ребер.
Решение:
Допустим, что одна из граней многогранника — четырехугольник,
тогда даже в самой минимальной фигуре (пирамиде) будет 8 ребер. Значит,
грани— треугольники.
Пусть N— количество граней, тогда, учитывая, что каждая грань
треугольная, ребер должно было бы быть 3N. Но эти грани соединены между
собой, следовательно, каждое ребро является общим для двух граней.
Поэтому, всего ребер будет 3N/2.
Проверим, существует ли многогранник с 7 ребрами:
3*N/2=7
N=14/3.
Итак, мы получили дробное значение
следовательно, такого многогранника не существует.
Ответ: не существует.
количества
граней,
2. Стороны треугольника а, b, с. Угол А=60.
Доказать, что
3
𝑎+𝑏+𝑐
=
1
𝑎+𝑏

1
𝑎+𝑐
.
Решение:
3
𝑎+𝑏+𝑐
3
=
=
1
𝑎+𝑏

1
𝑎+𝑐
2𝑎+𝑏+𝑐
𝑎+𝑏+𝑐 𝑎2 +𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑏𝑐
3a2+3ab+3ac+3bc=2a2+ab+ac+2ab+b2+bc+2ac+bc+c2
a2=b2+c2-bc. (1)
По теореме косинусов:
a2=b2+c2-2bc*cosA= b2+c2-2bc*cos60°= b2+c2-bc (2)
Итак, мы видим, что (1) и (2) совпали, следовательно, равенство
верное, что и требовалось доказать.
3. Первая цифра некоторого шестизначного числа равна 1. Если эту цифру
переставить в конец числа, оставив остальные цифры без изменения, то
полученное число окажется втрое больше исходного. Найдите исходное
число.
Решение:
1******3=*****1
1) Чтобы получить последнюю цифру — «1» , мы можем умножить 3
только на 7.
2
1****7*3=****71.
2) «Два в уме», следовательно, теперь надо получить 7— 2=5. Это
возможно, только если мы умножим 3 на 5.
1
1***57*3=***571
3) «Один в уме», следовательно, теперь надо получить 5-1=4. Это
возможно, только если мы умножим 3 на 8.
2
1**857*3=**8571
4) «Два в уме», следовательно, теперь надо получить 8-2=6. Это
возможно, только если мы умножим 3 на 2.
1*2857*3=*28571
5) Теперь надо получить «2». Это можно сделать, если мы умножим 3
на 4. При умножении 3 на 1 будет 3 и если учесть «один в уме», то как
раз получится 4.
142857*3=428571
Ответ: 142857.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
y=
2𝑥 2 +6𝑥+6
𝑥 2 +4𝑥+5
.
Решение:
1) Найдем область определения функции. Знаменатель не должен
равняться нулю.
х2+4x+5≠0
D=16-20<0, так как дискриминант отрицательный, то знаменатель
никогда не равен нулю, а если учесть, что а положительный, то
знаменатель всегда положительный.
D(x)=R.
2) Найдем пересечения с осью x:
2x2+6x+6=0;
D=36-48<0; то есть числитель также не пересекает ось х и
находится выше ее.
3) Найдем пределы:
2𝑥2 +6𝑥+6
Lim( 2
)
𝑥→∞ 𝑥 +4𝑥+5
=(
6
6
4
5)
2+𝑥+ 2
𝑥
1+𝑥+ 2
𝑥
=2
4) Найдем точки минимума и максимума и рассмотрим поведение
функции:
(4𝑥+6)(𝑥2 +4𝑥+5)−(2𝑥+4)(2𝑥2 +6𝑥+6)
2
(𝑥2 +4𝑥+5)
Y’=
Y’=0
Раскрыв скобки и убрав знаменатель ( он положительный), получим:
x2+4x+3=0
D=16-12=4
𝑥=
−4±2
2
X1=-3 x2=-1
Функция возрастает на промежутках х∈(— ∞;— 3 ] и [-1;+ ∞).
Функция убывает на промежутках х∈ [-3;-1].
Так как предел равен 2, то функция будет принимать наибольшее значение
при хmax=— 3, у=3. А наименьшее значение при хmin=-1, y=1.
Ответ: унаиб=3;
Унаим=1.
5. Решить уравнение 𝑥 3 + 2√3 𝑥 2 +3x+√3 - 1=0
6. Некоторые члены арифметических прогрессий 17, 21, 25, 29… и 16, 21,
26, 31 одинаковы. Найти сумму первых ста одинаковых членов.
Решение:
Разность прогрессии A (17,21,25,29…) определяется по формуле:
d1 = a2-a1=21-17=4.
Разность прогрессии B (16,21,26,31…) – по формуле:
d2 = b2-b1=21-16=5.
Найдем НОК( d1, d2), чтобы узнать разность D арифметической
прогрессии С, члены которой — одинаковые члены прогрессий А и B.
НОК(4,5)=D=20.
Из условия видно, что первый член арифметической прогрессии С
равен 21. Найдем сумму ее первых ста элементов.
Sn =
2∗a1+D(n−1)
2
*n
S100 =(2*21+20*99)*100/2=101100
Ответ: 101100.
7. Вычислить без таблиц выражение
1−4𝑠𝑖𝑛10°×𝑠𝑖𝑛70°
2𝑠𝑖𝑛10°
.
Решение:
1−4𝑠𝑖𝑛10°×𝑠𝑖𝑛70°
2𝑠𝑖𝑛10°
Ответ: 1.
=
1−2𝑐𝑜𝑠60°+2𝑐𝑜𝑠80°
2𝑠𝑖𝑛10°
=
1−1+2𝑐𝑜𝑠80°
2𝑠𝑖𝑛10°
=
𝑐𝑜𝑠80°
𝑠𝑖𝑛10°
=
𝑠𝑖𝑛10°
𝑠𝑖𝑛10°
=1
8. Пусть N- натуральное число, большее 9, все цифры которого
нечетны. Может ли N быть квадратом натурального числа?
Решение:
Пусть Х— число, при возведении в квадрат которого получилось число
N. Мы знаем, что любое четное число в квадрате — четное. Тогда, Х—
нечетное число:
Х=10*А+В, где В— нечетная цифра.
N=100A2+20AB+B2
Последние цифры числа N зависят от 20АВ+В2. Число при умножении
20 на АВ, будет оканчиваться на 0, а предпоследняя цифра
будет
четной. Второе слагаемое В2, являясь квадратом нечетной цифры,
может быть равным 1,9,25,49 или 81. Если оно будет равно 1 или 9, то
в числе N точно будет четной предпоследняя цифра. Если же оно будет
равно 25, 49,81, то при сложении 2, 4, 8(десятки этих чисел) с четной
предпоследней цифрой будет четное число. Следовательно, число N не
может быть квадратом натурального числа.
Ответ: нет.
9. Каким числом способов можно разделить колоду из 36 карт
пополам так, чтобы в каждый пачке было по 2 туза?
Решение:
При делении карт по условию в каждой колоде содержится 2 туза,
следовательно, остальных карт будет по 16. Эти 16 карт могут быть
любыми(кроме тузов), поэтому количество способов получения 16 карт из 32
будет равно:
C1632
А количество способов доставания тузов будет равно:
С24
При одном тузе могут сложиться любые сочетания оставшихся 16 карт,
поэтому количество способов деления колоды так, как сказано в условии
равно:
C1632*
С24=
32!
*
4!
=
32!
*
4!
=
(32— 16)!∗16! (4— 2)!∗2! 16!∗16! 2!2!
17∗18∗19∗20∗21∗22∗23∗24∗25∗26∗27∗28∗29∗30∗31∗32
5∗6∗7∗8∗9∗10∗11∗12∗13∗14∗15∗16∗4
=17*19*23*10*27*2*29*31=3606482340
Ответ : 3606482340.
=
10. Докажите, что если
(x+√𝑥 2 + 1) × (𝑦 + √𝑦 2 + 1) = 1 , то
x+y=0 .