Тематическая подборка олимпиадных задач для учащихся 9

Квадратный трехчлен
1. (2011, 9 класс) Квадратный трехчлен
ax  bx  c не имеет корней и a  b  c  0 . Найдите
знак коэффициента с.
2. (2011, 10 класс) Пусть p и q простые
числа и уравнение x  px  q  0 имеет
различные целые корни. Найдите p и q .
2
2
Теория чисел
1. (2010, 11 класс) Докажите, что все
числа вида 10017, 100117, 1001117, . .
делятся на 53.
2. (2010, 9 класс) На доске записаны
числа 1, 2, 3, …, 2009, 2010. За один
шаг разрешается стереть несколько
записанных чисел и вместо них
записать остаток от деления на 7 их
суммы. После нескольких шагов на
доске остались два числа, одно из
которых число 29. Каким числом
является второе из оставшихся чисел?
Неравенства.
1.(2011, 10 класс) Пусть a, b и с три
положительных числа такие, что
a+b+с=1. Докажите, что тогда 1a  b1  1c  9 .
2. (2010, 10 класс) Докажите, что для
любых положительных чисел a, b
выполняется неравенство a  b  ab  ba .
6
9
9
3
3
6
Комбинаторика.
1. (2010, 10 класс) Сколько существует
трехзначных чисел, у которых цифра
десятков получается из цифры единиц,
умноженной на целое число?
2. (2010, 10 класс) У Васи есть три банки с
красками разного цвета. Сколькими
различными способами он может
покрасить забор, состоящий из 10 досок,
так, чтобы любые 2 соседние доски были
разных цветов и при этом он использовал
краски всех трех цветов?
3. (2010, 11 класс) Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9 составлены все возможные
четырехзначные числа, не содержащие
повторяющихся цифр. Найдите сумму
этих чисел.
Разные задачи. (Логика, текстовые,
прогрессии, игры, конструкции, …..)
1. (2011, 11 класс) В группе людей каждый
имеет хотя бы одного знакомого.
Докажите, что эту группу можно разбить
на две так, чтобы каждый человек имел
хотя бы одного знакомого из другой
группы.
2. (2011, 11 класс) В некоторой компании
каждый сотрудник либо правдивец, либо
лжец (всегда). Каждого из сотрудников
спросили про каждого из остальных,
правдивец тот или лжец. Всего было
получено 32 ответа «правдивец» и 40
ответов «лжец». На сколько отличается в
этой компании количество сотрудниковправдивцев от количества сотрудниковлжецов?
3. (2011, 11 класс) На бесконечной
клетчатой плоскости нужно расположить
ферзей так, чтобы каждый ферзь бился
ровно четырьмя другими. Можно ли
расположить: а) конечное число
прозрачных ферзей (ферзь называется
прозрачным, если сквозь него можно бить
других ферзей); б) бесконечное число
непрозрачных ферзей; в) конечное число
непрозрачных ферзей?
4.(2011, 10 класс) Клетчатый лист бумаги
размером 10×10 покрыт 55 квадратиками,
состоящими из 4 клеток (не выходящими
за пределы исходного квадрата). Докажите,
что один из них можно убрать так, что
оставшиеся будут по-прежнему покрывать
всю доску.
5.(2010, 8 класс) Динозавр ходит на одну
клетку только в одном из трех
направлений: вниз, вправо и вверх-влево.
Сможет ли он пройти из левого нижнего
угла в правый верхний угол, побывав во
всех клетках доски ровно по одному разу:
а) 8 8 ; б) 9 9 ?
6. (2011, 11 класс) Назовём белыми числа
вида: a  b 2 где a и b  целые, не равные
нулю. Аналогично, назовём чёрными числа
вида: c  d 7 где c и d  целые, не равные
нулю. Может ли чёрное число равняться
сумме нескольких белых?