Разработка урока по теме «Квадратные уравнения (методы

Разработка урока
по теме «Квадратные уравнения (методы решения) »
Шевелева Валентина Евдокимовна, учитель математики.
Цели урока:
1) обучающие: обобщение и систематизация знаний по теме, ликвидация пробелов в знаниях учащихся;
2) развивающие: расширение кругозора учащихся, пополнение словарного запаса, развитие мышления, внимания,
умения учиться, воспитание общей культуры
Ход урока:
1.Организационный момент: приветствие учащихся; проверка готовности к уроку; сообщение темы урока ;
«Квадратные уравнения. Методы решения».
Учитель: как вы думаете, как можно формулировать цель нашего урока исходя из его темы? ( Речь идет о методах,
значит их много, надо вспомнить каждый из методов и проиллюстрировать его примером.). Иными словами надо
обобщить и сисстематизировать опыт решения уравнений по изученной теме.
2. Актуализация знаний:
Учитель: прежде всего вспомним, какие уравнения называются квадратными? (Уравнения вида ах 2+bх+с = 0, где х –
переменная, а,b, c – числа, а≠0). Уравнение, заданное таким видом, называется стандартным видом квадратного
ураванения. Как называются числа а,b,c? (а – старший коэффициент (или первый коэффициент), b – второй
коэффициент, с - свободный член). Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения разных видов?
а) Первый вид квадратных уравнений - неполные квадратные уравнения. С этим видом квадратных уравнений мы
познакомились в начале изучаемой темы ( на первых уроках). Вспомним виды неполных квадратных уравнений и
способы их решений (таблица):
Неполные квадратные уравнения
1. ах2=0
х=0
𝑏
2. ах2+bх = 0, (b ≠0)
Х=0; х =
а
с
3. ах2+с = 0, (с ≠ 0)
если - < 0, то корней нет
а
с
с
а
а
если - > 0, то х = ±√−
b) квадратные уравнения, записанные в стандартном виде:
По формуле
4. ах2+bх+с = 0
D<0
D = b2 - 4ас
D=0
D> 0
4.
корней нет
−𝑏
х=
х=
ах2+bх+с = 0, b=2к (четное
число)
𝑏 2
𝐷1 = ( ) − а𝑐
2
х=
2а
−𝑏±√𝐷
2а
𝑏
а
(− )±√𝐷1
а
(√𝐷1 ≥ 0)
в) решение квадратных уравнений по теореме Виета:
6. Теорема Виета
Если х1 и х2 – корни уравнения
х2+ pх + q = 0, ( D>0),
Если х1 и х2 – корни уравнения ах2+bх+с = 0
𝑏
то
( D>0), то х1 + х2 = (− )
а
х1 + х2 = -p
с
х1 ּ х2 =
х1 ּ х2 =q
а
3. Работа по теме урока
а) Помимо традиционных методов решения квадратных уравнений есть еще специальные и общие методы
решения.
Рассмотрим каждый из специальных методов в отдельности и оценим его «перспективы».
Специальные методы
Пример. Решить уранение:
7. Метод выделения квадрата двучлена
Цель: Привести уравнение общего вида к неполному
х2 -6х+8 = 0
квадратному уравнению.
Решение:
((х2 -2хּ3 +32) -32 +8) = 0
Замечание: метод применим к любому квадратному
(х-3)2-9 + 8=0
уравнению, но не всегда удобен в использовании.
(х-3)2 = 9-8
Используется для доказательства формулы корней
(х-3)2 = 1
квадратного уравнения
х-3 = 1 или х-3 = -1
х = 4 или х = 2
Ответ: 2 ; 4
На основании теорем:
8. Если в квадратном уравнении а+b+с = 0, то один из
корней равен 1, а второй корень по теореме Виета
с
равен
а
9. Если в квадратном уравнении а+ с =- b, то один из
с
корней равен 1, а второй по теореме Виета равен а
Решите уравнение:
4х2 -12х – 7 = 0
Пример. Решить уравнение:
137х2 +47х – 184= 0
−177
40
т.к. 137+47 + (-184) = 0,то х1=1, а х2 =
= -1
137
40
Ответ: 1; -1
137
Решите уравнение:
11х2 +42х – 53 = 0
Пример. Решить уравнение:
1003х2 +1099х + 96 = 0
т.к. 1003+96 = 1099, то х1=1, х2= Ответ: -
137
96
.
1003
96
.;
1003
1.
Решите уравнение:
2999х2 +13х – 2985 =0.
Рассмотрим общие методы решения квадратных уравнений
Общие методы решения квадратных уравнений
10. Метод разложения на множители:
Цель: привести квадратное уравнение общего вида к виду
А(х) ּ В(х) = 0, где А(Х) и В(Х) - многочлены
относительно х.
Способы:

Вынесение общего множителя за скобки;

Использование формул сокращенного
умножения;

Способ группировки.
Пример. Решить уравнение:
3х2+2х -1 =0,
2х2+х2 +2х - 1=0
(2х2+2х) +( х2-1) =0
2х(х+1) + (х+1) (х-1) = 0
(х+1) ּ (2х+х-1)=0,
(х+1) (3х-1)=0,
х+1=0 или 3х-1=0,
х=-1 или 3х=1,
1
х=
1
3
Ответ: -1; .
3
Решите уравнение:
(3х-2) (х-1)=4(х-1)2
11. Метод введения новой переменной
Умение удачно ввести новую переменную – важный
элемент математической культуры. Удачный выбор новой
переменной делает структуру уравнения более прозрачной
Пример. Решите уравнение:
(5х+3)2 = 3(5х+3) -2
(5х+3)2 - 3(5х+3) +2=0,
5х+3 = у, тогда у2-3у+2 = 0
1+2+(-3)=0, то у1=1, у2= 2, а значит
5х+3= 1 или 5х+3 = 2
2
1
х= - ;
х= - .
5
12. Функционально – графический метод
Для решения уравнения f(х) = g(х) необходимо построить
графики функций у= f (х), у= g(х) и найти точки их
пересечения; абсциссы точек пересечения и будут
корнями уравнения
Замечание: Функционально – графический метод часто
применяют не для нахождения корней уравнения, а для
определения их количества.
2
1
5
Ответ: - ; - .
5
5
Решите уравнение:
(х2+3х-25) – 6(х2+3х-25) = -8.
Пример. Решите уравнение:
√х = х2
В прямоугольной системе координат строим графики
функций левой и правой частей уравнения.
Парабола (график функции у=х2 и ветвь параболы (график
функции у= √х пересекутся в одной точке с
координатами (;1) , Поэтому решением уравнения будет
абсцисса х=1.
Ответ х=1
Решите уравнение: х2= х+2
Историческая справка. Посмотрите на многообразие методов решения квадратных уравнений. Как, когда, сразу ли
появилось такое многообразие? Как много вопросов…. И чтобы ответить на них в качестве одного из домашних
заланий вам предстоит найти ответ на данный вопрос.
4. Итог урока:
Сегодня мы с вами обобщили опыт решения квадратных уравнений и пришли к выводу, что решать квадратные
уранения можно разными способами. Для решения квадратных уравнений применяются не только традиционные и
специальные способы решения, но и общие методы решения. Попытались применять наиболее рациональные из них
при решении задач.
5.В качестве домашнего задания : Решить уравненгие х2+6х -16 = 0 4– мя способами.
Решите уравнение (х2 –х) 2 -14(х2 –х) +24 = 0 – методом введения новой переменной… Историческая справка
«Возникновение теории решения квадратных уравнений».