задачи приморской краевой заочной математической олимпиады

Дальневосточный государственный университет
Институт математики и компьютерных наук
Г. К. Пак
ГОРОДСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
2010
Владивосток 2010
ББК 22.10
П 13
Пак Г. К.
П 13 Городская олимпиада по математике – 2010. Владивосток: Изд-во
Дальневосточного университета, 2010.–56 с.
Разбор задач Владивостокской городской математической олимпиады и
Приморской краевой заочной математической олимпиады 2009 года.
Рассматриваются разнообразные методы решения задач, которые актуальны не
только в связи с подготовкой к олимпиаде, но и при подготовке к
Централизованному тестированию и к ЕГЭ.
Для абитуриентов, учителей математики, студентов физико-математических
факультетов, участников математических олимпиад и всех школьников, которые
желают более глубоко освоить учебный материал.
© Издательство
Дальневосточного
Университета,
Пак Геннадий Константинович
2010
ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ г. Владивосток 28 ноября 2009 года
8 класс
Призёры: Евсюков Алексей – лицей «Технический»
Ильин Виталий – СОШ 78
Павлуш Екатерина – лицей информационных технологий ДВГУ
Иванов Константин – СОШ 74
Решили
задачу 1 – 8, задачу 2 – 28, задачу 3 – 61, задачу 4 – 4, задачу 5 – 5 человек из 105.
1. Расшифруйте запись ЧАЙ : АЙ = 5 арифметического равенства, в котором
цифры заменены буквами, разные буквы заменены разными буквами, одинаковые
– одинаковыми. Равенство записано в десятичной системе счисления по обычным
правилам арифметики. Первая слева значащая цифра не является нулём.
2. Сколько точек пересечения может быть у семи разных прямых?
3. Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке О, а биссектрисы
треугольника A1B1C1 — в точке O1 . Известно, что AB = A1B1 , AO = A1O1
и BO  B1O1. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.
4. Докажите, что для всех чисел x, y и z выполняется неравенство
x 2  y 2  z 2  xy  xz  yz.
5. В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 – в хоккей и 18 – в
волейбол. Четверо увлекаются только баскетболом и хоккеем, трое – только
баскетболом и волейболом, а пятеро – только волейболом и хоккеем. Трое не
увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни волейболом. Сколько ребят
увлекается лишь одним из этих видов спорта?
9 класс
Призёры: Зиман Даниил – СОШ 23
Спорышев Михаил – СОШ 23
Реутова Юлия – СОШ 13
Решили
задачу 1 – 8, задачу 2 – 28, задачу 3 – 61, задачу 4 – 4, задачу 5 – 5 человек из 105.
1. Решите в целых числах уравнение 3x  xy  2 y  6.
2. – Спускаясь вниз по эскалатору, я насчитал 50 ступеней, – сказал волк.
– А я насчитал 75, – возразил заяц, – но я спускался в три раза быстрее.
Сколько ступенек можно насчитать на видимой части эскалатора, когда он
остановится? Учтите, что волк и заяц двигались равномерно и скорость
эскалатора постоянна.
3. Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон
служат вершинами прямоугольника. Докажите.
4. Решите неравенство x  3  x  3.
5. Имеется 5 флажков: синий, белый, красный, оранжевый и зелёный. Для
сообщения на мачте вывешивается 4 флажка. При этом имеют значения не только
цветка флажков, но и порядок в котором они вывешены сверху вниз. Сколько
различных сообщений можно закодировать?
10 класс
Призёры: Синенко Павел – СОШ 23
Четвериков Илья – лицей «Технический»
Дойков Никита – СОШ 14
Серга Виктория – гимназия 2
Мосцевенко Сергей – СОШ 45
Попова Екатерина – СОШ 23
1. При каких a разность корней уравнения 2x 2  (a  1) x  (a  1)  0 равна их
произведению?
2. На компьютере напечатали два числа 2 2009 и 52009 . Сколько цифр при этом
напечатали?
3. С помощью циркуля и линейки разделите угол 54 o на 6 равных частей
4. Среди первых 90 элементов арифметической прогрессии с положительной
1
3
разностью есть числа ,
419
608
и
. Найдите разность этой прогрессии.
15
15
5. Имеется 5 флажков: синий, белый, красный, оранжевый и зелёный. Для
сообщения на мачте вывешивается 4 флажка. При этом имеют значения не только
цветка флажков, но и порядок в котором они вывешены сверху вниз. Сколько
различных сообщений можно закодировать с участием синего флажка?
11 класс
Призёры: Ирхин Илья – лицей «Технический»
Смолейчук Роман – СОШ 23
Спорышев Максим – СОШ 23
Спорышев Михаил – СОШ 23
Гуляев Марк – СОШ 23
Шувалов Борис – гимназия 1
Шувалов Денис – гимназия 1
Пакичев Тимофей – лицей «Технический»

1. Докажите, что cos  cos
5
3 1
 .
5
2
2. Найдите наибольшее и наименьшее среди тех целых чисел n, при которых
имеет корни уравнение nx 2  8x  n  8  0.
3. Трамвайный вагон вмещает не более 150 человек. На остановке сошло ровно
13% пассажиров. Сколько пассажиров осталось в вагоне?
4. В правильном тетраэдре, в котором все рёбра равны a, найдите площадь того
сечения, которое представляет собой квадрат.
5. Докажите, что из любых 52 натуральных чисел можно выбрать два числа так,
чтобы либо их сумма, либо их разность делилась на 100.
Р Е Ш Е Н И Я задач городской олимпиады 2009
8.1. Расшифруйте запись ЧАЙ : АЙ = 5 арифметического равенства, в котором
цифры заменены буквами, разные буквы заменены разными буквами, одинаковые
– одинаковыми. Равенство записано в десятичной системе счисления по обычным
правилам арифметики. Первая слева значащая цифра не является нулём.
♦ Ч × 100 + АЙ = АЙ × 5; Ч × 100 = АЙ × 4; Ч × 25 = АЙ. Так как число АЙ
двузначное, то Ч равно 1 или 2 или 3. Ответ. 125, 250 и 375.
8.2. Сколько точек пересечения может быть у семи разных прямых?
♦ Ответ: 1 или 6–21.
8.3. Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке О, а биссектрисы
треугольника A1B1C1 — в точке O1 . Известно, что AB = A1B1 , AO = A1O1
и BO  B1O1. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.
♦ По трём сторонам ABO  A1B1O1  A  A1 , B  B1. По стороне и
прилежащим углам ABC  A1B1C1.
8.4. Докажите, что для всех чисел x, y и z выполняется неравенство
x 2  y 2  z 2  xy  xz  yz.
♦ 2( x 2  y 2  z 2 )  2( xy  xz  yz); ( x  y) 2  ( y  z) 2  ( x  z) 2  0.
8.5. В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 – в хоккей и 18 – в
волейбол. Четверо увлекаются только баскетболом и хоккеем, трое – только
баскетболом и волейболом, а пятеро – только волейболом и хоккеем. Трое не
увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни волейболом. Сколько ребят
увлекается лишь одним из этих видов спорта?
♦ Пусть x  количество тех, кто увлекается всеми тремя видами, тогда
38 – 16 –17 – 18 + 4 + 3 + 5 + 3 х – х = 3; х = 2.
Только баскетболом увлекается 16– 4– 3– 2 = 7 человек.
Только хоккеем увлекается 17– 4– 5– 2 = 6 человек.
Только волейболом увлекается 18– 3– 5– 2 = 8 человек. Ответ: 7 + 6 + 8 = 21.
9.1. Решите в целых числах уравнение 3x  xy  2 y  6.
♦ Зиман Даниил, СОШ 23, учитель Тихомирова Галина Юрьевна
3( x  2)  y ( x  2).
Ясно, что x  2  0, поэтому y 
3( x  2)
12
12
 y  3
. Число
x2
x2
x2
целое, поэтому x  2  делитель числа 12. Перебрав все делители числа 12,
получим
х +2
1
–1
2
–2
3
–3
4
–4
6
–6
12
х
–1
–3
0
–4
1
–5
2
–6
4
–8
10
у
–9
15
–3
9
–1
7
0
6
1
4
2
Ответ: (–1; –9), (–3; 15), (0; –3), (–4; 9), (1; –1), (–5; 7), (2; 0), (–6; 6), (4; 1),
(–8; 4), (10; 2), (–14; 4).
9.2. – Спускаясь вниз по эскалатору, я насчитал 50 ступеней, – сказал волк.
– А я насчитал 75, – возразил заяц, – но я спускался в три раза быстрее.
Сколько ступенек можно насчитать на видимой части эскалатора, когда он
остановится? Учтите, что волк и заяц двигались равномерно и скорость
эскалатора постоянна.
♦ Зиман Даниил. СОШ 23. учитель Тихомирова Галина Юрьевна
–12
–14
4
Пусть x  пролёт эскалатора, v  скорость волка, c  скорость эскалатора. Тогда
50
50
 время в пути волка; за это время он проехал расстояние x 
(v  c ). За время
v
v
75
75
заяц проехал на эскалаторе расстояние x  (3v  c). Поэтому
3v
3v
50
75
(v  c ) 
(3v  c)  v  с, x  100.
Ответ. 100.
v
3v
9.3. Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон
служат вершинами прямоугольника. Докажите.
♦ Середины сторон любого четырёхугольника – вершины параллелограмма,
противоположные
стороны
которого
попарно
параллельны
соответствующим диагоналям. Если диагонали перпендикулярны, то и все углы
этого параллелограмма прямые.
9.4. Решите неравенство x  3  x  3.
 x  3  0,
 x  3  0,
или  2
;  3  x  3 или 3  x  6. Ответ. [3; 6]
 x  6 z  9  x  3
x  3  0
♦
9.5. Имеется 5 флажков: синий, белый, красный, оранжевый и зелёный. Для
сообщения на мачте вывешивается 4 флажка. При этом имеют значения не только
цветка флажков, но и порядок в котором они вывешены сверху вниз. Сколько
различных сообщений можно закодировать?
♦ Верхнее положение на мачте может занять любой флаг, это даёт 5 способов. Но
тогда вторым можно поставить любой из оставшихся четырёх, 4 способа. Третий
поставить можно тремя способами. Последний можно поставить двумя
способами. Ответ. 120  5  4  3  2 1.
10.1 При каких a разность корней уравнения 2x 2  (a  1) x  (a  1)  0 равна их
произведению?
♦ x1 
a 1
a 1
a 1
, x1  1 
1  
.
2
2
2
Ответ. 2.
10.2. На компьютере напечатали два числа 2 2009 и 52009 . Сколько цифр при этом
напечатали?
♦ Пусть 10 n1  2 2009  10 n , 10 m1  52009  10 m , тогда 10 nm2  2 2009  10 nm ,
10 n1  2 2009  10 n , n  m  1  2009. Ответ. n  m  2010.
10.3. С помощью циркуля и линейки разделите угол 54 o на 6 равных частей
♦ Синенко Павел, СОШ 23, учитель Попова Яна Павловна, достроил угол до
прямого, разделил его пополам и получил угол 54 0  45 0  9 0 . Отложил этот угол 6
раз и получил полное решение.
Червериков Павел, лицей «Технический», учитель Галиос Людмила
Александровна, сумел решить задачу, заметив, что 180 0  54 0  3  18 0.
Серга Виктория, гимназия 2, учитель Чулкова Наталья Георгиевна,
достроила угол до 60 градусов; 60 0  54 0  6 0. Разделив этот угол пополам,
получила 30 и сложив этот угол с углов в 6 градусов, получила 9 градусов.
Бегун Александр, СОШ 35, учитель Блохина Вера Дмитриевна, решил задачу
с помощью наблюдения 54  7  360  18.
Борушнов Никита, СОШ 57, учитель Журавлёва Анна Алексеевна, угол
90 0  54 0  36 0 разделил на 4 равные части. Получил угол в 9 0 .
Левченко Олег, СОШ 60, угол 90 0  54 0  144 0 разделил на 16 равных частей и
тоже получил угол в 9 0 .
10.4. Среди первых 90 элементов арифметической прогрессии с положительной
1
3
419
608
и
. Найдите разность этой прогрессии.
15
15
1
419
608
 a  (m  1)d , al 
 a  (l  1)d . 1  n  m  l  90.
♦ a n   a  (n  1)d , a m 
3
15
15
 189 21
419 1 414
608 419 189
 
 d ,


 d .
Пусть   m  n,   l  m. Тогда


,
15 3 15
15
15
15
 414 46
46   21 ; k :   46k    21k . Так как     l  n  89, то 2  (46  21)k  89  k  1.
414
3
 46d . Ответ. d  .
  46;
15
5
разностью есть числа ,
10.5. Имеется 5 флажков: синий, белый, красный, оранжевый и зелёный. Для
сообщения на мачте вывешивается 4 флажка. При этом имеют значения не только
цветка флажков, но и порядок в котором они вывешены сверху вниз. Сколько
различных сообщений можно закодировать с участием синего флажка?
♦ Синий флажок может занять одно из четырёх положений. Если, например, он
занял верхнее положение, то для следующего места 4 способа выбора, для места
ещё ниже 3 способа и т. д. Всего 24  4  3  2 способа. Ответ. 96  4  24.

11.1. 1. Докажите, что cos  cos

♦ cos  cos
5
5
3 1
 .
5
2
3

2


2
 sin( 4 / 5) 1
 2 cos cos
 4 sin cos cos
: 2 sin 
 .
5
5
5
5
5
5
5 2 sin(  / 5) 2


5
5
♦ Ирхин Илья, лицей «Технический», применил к выражению (cos  i sin ) 5
формулу Муавра и бином Ньютона
cos   i sin  






 cos
 5i cos
sin  10 cos
sin 2  10i cos 2 sin 3  5 cos sin 4  i sin 5 .
5
5
5
2
5
3
5
5
5
5
5 
Отсюда,
5 cos 4

5
4 
sin

5
 10 cos 2


3
3 
sin 3

5
 sin 5

5
 0;

5 cos 4

5
 10 cos 2

3
sin 2

5
 sin 4

5
 0;
1 5
;
5
4
3
2
2
 1 5
cos
  cos( 
)   cos
 1  2 cos 2 
;
5
5
5
5
4

3 1  5 1  5 1
cos  cos


 .
5
5
4
4
2
cos

11.2. Найдите наибольшее и наименьшее среди тех целых чисел n, при которых
имеет корни уравнение nx 2  8x  n  8  0.
♦ Если n  0, то корень уравнения существует x  1. При n  0 корень уравнения
существует, если 16  n(n  8)  0. Решим неравенство
n 2  8n  16;
(n  4) 2  32;
 4  4 2  n  4  4 2;
Для целых значений n имеем
9  n 1
Ответ. – 9; 1.
11.3. Трамвайный вагон вмещает не более 150 человек. На остановке сошло ровно
13% пассажиров. Сколько пассажиров осталось в вагоне?
♦ 0,13 x  n  13x  100n  число человек в вагоне  150 и делится на 100, т. е. равно
100; сошло на остановке 13. Ответ. 87.
11.4. В правильном тетраэдре, в котором все рёбра равны a, найдите площадь
того сечения, которое представляет собой квадрат.
♦ Искомое сечение проводим через середины двух рёбер параллельно третьему
ребру. Все три ребра исходят из одной вершины. В сечении получается ромб со
стороной
a
. У этого ромба диагонали равны, значит это квадрат. Ответ a 2 / 4.
2
11.5. Докажите, что из любых 52 натуральных чисел можно выбрать два числа
так, чтобы либо их сумма, либо их разность делилась на 100.
♦ Ирхин Илья, лицей «Технический», разбил множество всех натуральных
чисел на классы чисел вида 100 n, 100 n  1, 100 n  2, 100 n  3, 100 n  49, 100 n  50 . В
условии дано чисел 52, а классов 51. Таким образом, два числа обязательно
попадут в один класс. А разность или сумма чисел одного класса делится на 100.
ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
8 класс г. Владивосток 29.11.2008
Призёры: Реутова Юлия - СОШ 13
Федорищева Елена – СОШ 23
Зиман Даниил - СОШ 23
Спорышев Михаил - СОШ 23
Варакса Максим - СОШ 23
Луценко Ольга – колледж ДВГУ
Ткаченко Ксения – СОШ 13
Решили задачу 1 – 22, задачу 2 – 8, задачу 3 – 0, задачу 4 – 9, задачу 5 – 1 человек
из 92.
1. Придумайте 4 целых числа, сумма и произведение которых нечётные числа.
2. Задача Леонарда Пизанского (1180-1240) по прозвищу Фибоначчи. Один
говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой
говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя». Сколько у каждого?
3. В треугольнике АВС угол С прямой и АС = 20. Длины остальных двух сторон –
целые числа. Придумайте такие треугольники.
4. В ответе запишите сумму целых чисел, удовлетворяющих
неравенству
x
1

.
x  2 1 x
5. Каждый провод соединяет два телефона. Каждая пара телефонов соединена не
более чем одним проводом и от каждого телефона отходит не более двух
проводов. Нужно закрасить каждый провод целиком одной краской так, чтобы от
каждого телефона отходили провода разных цветов. Какого наименьшего числа
красок достаточно для такой закраски, если всего в сети 20 телефонов.
9 класс Городская ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ г. Владивосток
6.12.2008
Призёры: Серга Виктория – гимназия 2,
Синенко Павел – СОШ 23,
Лаврененко Илана – СОШ 23,
Мешков Евгений – ЛИТ ДВГУ,
Беспалов Данила – СОШ 5,
Решили задачу 1 – 2, задачу 2 – 42, задачу 3 – 20, задачу 4 – 3, задачу 5 – 1
человек из 104.
1. Решите неравенство
x 1  x  2
x  199
 1.
 x  y  1,
2. Решите систему 
 x  y  5.
3. На дороге, соединяющей Щербаковку и Ольгу, нет ровных участков.
Автобус в гору едет всегда со скоростью 15 км в час, а под гору 30 км/ час.
Найдите расстояние между Щербаковкой и Ольгой, если без остановок из
Щербаковки в Ольгу и обратно автобус едет 4 часа.
4. Из точки М, взятой вне угла А, проведены к нему две секущие прямые. Одна
отсекает на сторонах угла два равных отрезка АВ и АС. Другая пересекает
BD MD

.
CE ME
5. Укажите все пары простых чисел p и q , для которых pq  1 и pq  1 тоже
эти стороны в точках D и Е соответственно. Докажите, что
простые.
10 класс Городская ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ г. Владивосток
15.11.2008
Призёры: Ирхин Илья – лицей «Технический»,
Шувалов Денис – гимназия 1,
Смолейчук Роман – СОШ 23,
Мисник Владислав – гимназия 1,
Харченко Екатерина – гимназия 2,
Спорышев Максим – СОШ 23,
Шавлюгин Александр – СОШ 23,
Овсянников Николай – лицей ДВГТУ
Решили задачу 1 – 11 человек, задачу 2 – 14, задачу 3 – 17, задачу 4 – 36, задачу 5
– 34 из 94.
1. Найдите целое m, для которого неравенство x 2  mx 
2
выполняется при
m
любом х. В ответе запишите найденное значение, а если таких значений
несколько, то их сумму.
2. Для любого натурального n число 5  4 n  1 составное. Докажите.
3. Из всех четырёхугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую
площадь имеет квадрат. Докажите.
4. Преподаватели Института математики и компьютерных наук Дёмшин Иван
Николаевич и Батурин Геннадий Иванович – заядлые рыбаки. Возвращаясь с
рыбалки, Геннадий Иванович отдал Ивану Николаевичу несколько рыбин, чтобы
уравнять улов. Если бы Иван Николаевич отдал Геннадию Ивановичу столько же
рыбин, то у Геннадия Ивановича оказалось бы в пять раз больше рыб, чем у
Ивана Николаевича. Во сколько раз улов Геннадия Ивановича больше улова
Ивана Николаевича?
5. Найдите знаменатель возрастающей геометрической прогрессии, если разность
пятого и первого членов прогрессии в 5 раз больше разности третьего и первого
её членов.
11 класс Городская ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ г. Владивосток
22.11.2008 102 участника
Призёры: Гудименко Софья – СОШ 14,
Бровин Андрей – лицей «Технический»,
Скутельник Марианна – СОШ 22,
Лапшин Алексей – СОШ 61,
Медведев Александр – гимназия 1,
Кузнецов Павел – СОШ 23,
Безручко Дмитрий – лицей 41,
Горев Владислав – СОШ 23
Решили задачу 1 – 2 человека, задачу 2 – 2, задачу 3 – 9, задачу 4 – 25, задачу 5 – 1
из 102.
 x 3  3x 2  5 x  1,
1. Найдите x  y, если  3
 y  3 y 2  5 y  5.
2. После раскрытия скобок функция f ( x)  ( x 2  5x  8)100  x 5 запишется в виде
многочлена f ( x)  a0 x 205  a1 x 204  a 2 x 203    a 204 x  a 205 . Найдите сумму всех
коэффициентов этого многочлена, стоящих при нечётных степенях х.
3. Докажите, что расстояние от всякой точки окружности, описанной около
правильного треугольника, до одной из его вершин равно сумме расстояний от
этой точки до двух других вершин.
4. Какое наибольшее значение может принимать произведение ab, если a  4b  4 ?
5. Множество целых чисел (не всех), содержащее вместе с любыми своими
элементами их разность, является множеством всех кратных некоторого  1
целого числа их этого же множества. Докажите.
Р Е Ш Е Н И Я ЗАДАЧ ГОРОДСКОЙ ОЛИМПИАДЫ 2008
8.1. Произведение нечётно, поэтому все четыре числа нечётны. Сумма четырёх
нечётных чисел чётна. Противоречие. Ответ. Таких нет.
 x  7  5( y  7),
2
14
Ответ: у первого 7 , у второго 9 .
17
17
 y  5  7( x  5).
8.2. 
8.3. a 2  400  (a  k ) 2  k (2a  k )  400 . Целое положительное k ищем среди
чётных  20 делителей числа 400.
k  2  a  1  100  a  99  тройка (99, 101, 20).
k  4  a  2  50  a  48  тройка (48, 52, 20).
k  8  a  4  25  a  21  тройка (21, 28, 20).
k  10  a  5  20  a  15  тройка (15, 25, 20).
k  16  2a  16  25  противоречие.
Ответ. (15; 25; 20), (21; 29; 20), (48; 52; 20), (99; 101; 20).
8.4. Максим Варакса, СОШ 23, учитель Попова Яна Павловна. Максим сразу
же отметил , что x  2 и x  1. Для чисел больше 1 слева число положительное, а
справа отрицательное. Для целых чисел меньше – 2 слева число положительное
больше 1, а справа меньше 1. Противоречия. Осталось проверить лишь – 1. Зачемто Максим проверял и 0. Ответ: – 1.
8.5. Все варианты сети: цепочка и замкнутый круг. В обоих случаях достаточно
две краски. Ответ. 2. Если сеть разорвана или с нечётным числом телефонов, то
потребуется 3 краски.
9.1. Серга Виктория, гимназия 2, учитель Чулкова Наталья Георгиевна. Вика
увидела, что если x  199  0, то неравенство выполняется; x  199 . При
x  199  0 отметила, что дробь принимает значение меньше 1, если числитель
меньше знаменателя и перешла к неравенству x  1  x  2  x  199. Ответ.
(;199)  (66; 200) .
 x  y  1,
9.2. 

 x  y  5.
Ответ: (9; 4).
9.3. Мешков Евгений, ЛИТ ДВГУ, учитель Павлуш Елена Михайловна. Туда
и обратно надо ехать полпути х км в гору; столько же под гору.
x
y

 4  x  40. Ответ. 40.
15 30
9.4. EK BD, K  MC. ABC  CKE, ABC  ACB  KCE  KE  CE. Треугольники
MD BD BD


.
ME KE CE
9.5. Оба нечётными не могут. Пусть p  2. Если q  3t  2, то pq  1 делится на 3.
MBD и MKE подобны, отсюда
Если q  3t  1, то pq  1 делится на 3. Число 3 подходит. Ответ. (2; 2), (2; 3); (3;
2).
Серга Вика воспользовалась тем, что простое  5 число можно представить в
виде 6t 1  pq делится на 6, поэтому р и q могут быть только 2 или 3.
10.1 x 2  mx 
2
8
 0  m 2   0  2  m  0  m  1. Ответ: -1.
m
m
10.2 Спорышев Максим, СОШ 23, учитель Тихомирова Галина Юрьевна
5  4 n  1  5(4 n  1)  6  15(4 n1  4 n2    4  1)  6 . Все числа этого вида делятся на 3.
a 2  b 2  (a  b)( a  b);
a 3  b 3  (a  b)( a 2  ab  b 2 );
a n  b n  (a  b)( a n 1  a n  2b    b n 1 ).
10.3. Пусть M и N  точки касания окружности прямых, параллельных диагонали
AD вписанного 4-угольника ABCD. Площадь AMDN наибольшая среди вписанных
4-угольников с диагональю AD. Площадь квадрата наибольшая среди вписанных
4-угольников с диагональю MN , MN  диаметр окружности.
Другое решение. Максимум произведения диагоналей на синус угла между ними
для квадрата.
10.4. Обозначьте через х порцию рыбы, которую Геннадий Иванович отдал Ивану
Николаевичу. Ответ. В 2 раза. 10.5. bq 4  b  5(bq 2  b). Ответ: 2.
11.1. Лапшин Алексей, школа 61, учитель Печёнкина Валентина Павловна.
Алексей обратил внимание на то, что первое уравнение начинается со слагаемых
x 3  3x 2 из формулы куба для ( x  1)3  x 3  3x 2  3x  1. Это позволило ему
( x  1) 3  2( x  1)  2,
переписать систему в виде 
Складываем уравнения. Тогда
( y  1) 3  2( y  1)  2.
( x  y  2) ( x  1) 2  ( x  1)( y  1)  ( y  1) 2  2  0  x  y  2. Ответ. 2.


Чернова
Мария,
Владимировна.
«Буревестник»,
учитель
Ветошкина
Эльвира
Маша заметила, что первое уравнение имеет единственный вещественный корень
 0,23; второе  1,67. Предположив, что x  y  2, Маша подставила в систему
x 1  a и y  1  b. Получила a  b  x  y  2.
Полезно ознакомиться с таким решением. Функция f (t )  t 3  2t возрастающая и
 f ( x  1)  2,
f ( x  1)   f ( y  1)  x  1  ( y  1)  x  y  2.
 f ( y  1)  2.
нечётная и 
- это сумма всех коэффициентов нашего многочлена. Так как
1
f (1)  a0  a1  a2  a3    a204  a205 , то надо вычислить  f (1)  f (1) .
2
99
100
Ответ. 2 (1  6 ).
11.3. Скутельник Марианна, СОШ 22, учитель Кузьмина Ольга Генриховна.
Марианна повернула плоскость на 600 вокруг точки С так, что B  A. При этом
B  P и MB  AP для точки М на дуге АВ, не содержащей С. По свойству
вписанного четырёхугольника MBC  MAC  180 0  PAC  MAC  180 0 ,
поэтому
отрезок
АР
является
продолжением
МА.
Отсюда,
CM  PM  MA  AP  MA  MB
11.2.
f (1)
Классическое решение. Поворот М на 600 вокруг С в другую сторону даёт точку
Е на АМ, для которой АЕ = ВМ, МЕ = МА, СМ = ВМ + МА.
Многие решили задачу с помощью теоремы Птолемея ac  ab  ad  c  b  d.
11.4. ab  b(4  4b)  4b  4b 2  1  (1  2b) 2  1  ab  1. При b  1/ 2 и a  2 равенство
достигается. Ответ. 1.
11.5.
Софья
Гудименко.
СОШ
14,
a, b  M  a  b, b  a  M , a  a  0  M , 0  a  a  M , Так как вместе с любым числом
множеству М принадлежит и противоположное, то в множестве М есть
положительные числа и есть наименьшее положительное число с. Вычитая из
модуля числа этого множества число с несколько раз обязательно получим в
остатке 0. Если положительный остаток не равен нулю, то он меньше с и
принадлежит М, а это противоречит выбору с. Все числа множества М делятся на
с. Все числа, кратные с принадлежат множеству М. a  (a)  2a  M ,  2a  M ,
a  (2a)  3a  M ,, na  M , n  Z .
Сверх этого Соня доказала, что a, b  M  a  b  M , (n, m) na  mb  M ; если в М
найдутся взаимно простые числа, то 1 M и M  Z .
ЗАДАЧИ ПРИМОРСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАОЧНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ОЛИМПИАДЫ
2008 год
1. Под руководством профессоров Алёны Андреевны Степановой, Александра
Юрьевича Чеботарёва и Александра Львовича Абрамова студенты Института
математики и компьютерных наук изучают математический анализ, линейную
алгебру, математическую логику, дискретную математику, программирование и
криптографию. Каждый преподаёт две дисциплины из списка. Преподаватель
линейной алгебры и преподаватель дискретной математики – соседи по
микрорайону. Алёна Андреевна самая младшая из троих. Александр Львович,
преподаватель математического анализа и преподаватель дискретной
математики, как правило, вместе ходят на футбол. Преподаватель
математического анализа старше преподавателя криптографии. В свободное
время, если им удаётся найти четвертого партнёра, преподаватель криптографии,
преподаватель математической логики и Алёна Андреевна играют в настольный
теннис. Кто какие предметы преподаёт?
2. Найдите наименьшее натуральное n, при котором для любого целого m,
0  m  2008,
существует целое k такое, что
m
k m 1
 
.
2008 n 2009
3. Решите уравнение 3 x  5 x  2 3 x
4. Девять гирек расположены по кругу. Одна из них имеет массу 1 г, а за ней
последовательно по ходу часовой стрелки расположены гирьки массами 2 г, 3
г, …, 9 г. Все гирьки внешне одинаковы и других гирек нет. Двумя
взвешиваниями на чашечных весах определите гирьку массой 1 г?
5. Решите в рациональных числах
 x 2  z 2  4 z  6,
 2
2
 y  x  4 x  6,
 z 2  y 2  4 y  6.

6. Решите в целых числах x yz  ( x  y)( x  z )( y  z ).
7. В окружность радиуса R вписаны равные треугольники, один из углов которых
равен 1200. Найдите геометрическое место точек всех сторон всех таких
треугольников.
8. Сколько решений имеет задача нахождения общего члена последовательности
xn , где xn2  1  xn 1 xn 1 для n  1, 2, 3,  ? Выпишите их.
9.
Многие выпускники Института математики и компьютерных наук
обеспечивают в фирмах информационную безопасность. В числе других наук
им надо хорошо знать криптографию. Есть простой ответ президентов банков,
дальновидных менеджеров, продвинутых директоров по проблеме
трудоустройства
Р ААНУТО БНИРИПМЕА МЬЛОКТАМ ТОТАМИЕ ВО К!
10. Найдите радиус шара, описанного около правильной треугольной призмы,
если радиус вписанного в неё шара, равен 5.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЗАОЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ 2008
2008.1. Заполняем таблицу
А.А.
Степанова
А. Ю.
Чеботарёв
Математический Линейная Математическая Дискретная Программирова
анализ
алгебра
логика
математика
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
А. Л.
Абрамов
0
1
0
0
Александр Львович, преподаватель математического анализа и преподаватель
дискретной математики вместе ходят на футбол. Поэтому А. Л. Абрамов не
преподаёт ни математического анализа, ни дискретной математики.
Алёна Андреевна самая младшая из троих. Преподаватель математического
анализа старше преподавателя криптографии. Это означает, что А. А. Степанова
не преподаёт математический анализ и преподаватель математического анализа
не преподаёт криптографию. А так как преподаватель криптографии,
преподаватель математической логики и Алёна Андреевна играют в настольный
теннис, то А. А. Степанова не преподаёт также и криптографию и
математическую логику. Раз математический анализ не преподают А. Л. Абрамов
и А. А. Степанова, то его преподаёт А. Ю. Чеботарёв. И как преподаватель
математического анализа он не ведёт занятий по криптографии. Таким образом,
криптографию ведёт А. Л. Абрамов. А дискретная математика остаётся за А. А.
Степановой.
Преподаватель линейной алгебры и преподаватель дискретной математики –
соседи по микрорайону. Поэтому А. А. Степанова не может преподавать
линейную алгебру, а значит, она преподаёт программирование. Про
преподавателя криптографии А. Л. Абрамова уже говорилось, что он не преподаёт
математическую логику, значит и он ведёт линейную алгебру.
Ответ: Уважаемый профессор Алёна Андреевна Степанова ведёт дискретную
математику и программирование. Уважаемый профессор Александр Юрьевич
Чеботарёв ведёт математический анализ и математическую логику. Уважаемый
профессор Александр Львович Абрамов ведёт линейную алгебру и
криптографию.
2008.2. Кузнецов Павел, класс 11, школа 23, г. Владивосток. Учитель
a
2a  1 a  1


, но нет
a  1 2a  3 a  2
a
2a
a 1
m
2008  2009  2 m  1


. И получил


, но при
цепочки
a  1 2a  3 a  2
2008
2008  2009
2009
m
k
m 1


. Ответ: 4017
натуральных k не выполняются неравенства
2008 2008  2009 2009
2008.3. Корень 1 очевиден. Разделим обе части уравнения 3 x  5 x  2 3 x на 5 x. В
Кузнецова Елена Евгеньевна. Для a натуральных
x
x
3
8
левой части уравнения    1    функция убывающая, а в правой
5
5
возрастающая. Такое уравнение имеет не более одного корня. Следовательно,
корень 1 единственный. Ответ: 1.
2008.4. Реутова Юля,
класс 8, школа 13 г. Владивостока. Учитель
Емельянова Виктория Борисовна. Перенумеруем гирьки. Возможны 9
вариантов нумерации.
0
Первое взвешивание. На чашу кладём слева монеты с номерами 1, 2 и 5, а справа
- 4, 6 и 7. Второе взвешивание. Если они уравновесятся, то сравниваем сумму
весов монет под номерами 17 и сумму монет с номерами 2 и 6. Если первая чаша
тяжелее, то вариант нумерации второй. Если чаши уравновесятся, то четвёртый.
Если легче, то седьмой.
Если при первом взвешивании груз слева легче, то сумму весов монет под
номерами 1 и 2 сравниваем с весом монеты номер 4.
А если тяжелее, то сравниваем вес монеты № 1 с суммой весов монет 6 и 7.
Ответ:
Номер
монеты/
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
1
9
8
7
6
5
4
3
2
2
1
9
8
7
6
5
4
3
3
2
1
9
8
7
6
5
4
4
3
2
1
9
8
7
6
5
5
4
3
2
1
9
8
7
6
6
5
4
3
2
1
9
8
7
7
6
5
4
3
2
1
9
8
8
7
6
5
4
3
2
1
9
Номер
9 125•467 12•4 17•26 1•67 искомой
монеты
9
<
<
1
8
=
>
2
7
>
<
2
6
>
=
4
5
=
=
5
4
>
>
6
3
=
<
7
2
<
>
8
1
<
=
9
2008.5. Сложив все уравнения, получим x  y  z  4,5. А исключив z  4,5  x  y из
системы, а затем и x, получим 48 y 4  288 y 3  312 y 2  584 y  849  0.
( y  1,5)( 24 y 3  108 y 2  6 y  283)  0.
Уравнение
24 y 3  108 y 2  6 y  283  0
y  1,5  x  1,5  z  1,5.
3 3 3
Ответ:  ; ; .
2 2 2
рациональных
корней
не
имеет;
2008.6. Решения в целых числах, указанные в ответе очевидны. Других нет.
Действительно,
раскрыв
скобки,
получим
2
2
2
2
2
2
xz  yz  x y  x z  xy  y z  2 xyz  0  решений в натуральных числах нет, и
решений, в которых все три числа отрицательны, тоже нет. Если тройка x; y; z  решение, то тройка  x; y; z  тоже решение. Поэтому оставшиеся случаи
сводятся к рассмотрению случая, когда одно число отрицательно, а два
положительны. Если отрицательное число по модулю превосходит
положительные, то слева число отрицательное, а справа положительное. Такое же
противоречие видим, предположив, что отрицательное по модулю меньше
положительных. К противоречию приводит и случай равенства модулей двух
чисел с противоположными знаками. Осталось рассмотреть случай, когда
отрицательное число по модулю больше одного положительного, но меньше
второго. Пусть x  y  z. Тогда
xyz  8z  xy  8, x 2  xy  8  x  1, 1  y  8 или x  2, 2  y  4. Перебор полученных
частных случаев показывает, что других решений уравнения нет.
Ответ: 0; 0; 0, a; 0; 0, 0; b; 0, 0; 0; c , d ;  d ; 0, e; 0;  e, 0; f ;  f ; a, b, c, d , e, f  Z .
2008.7. Треугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины
лежат на ней. Пусть О – центр окружности, и пусть угол В равен 1200. Тогда
точки О и В лежат по разные стороны прямой АС. Расстояние от О до АС равно
R
. Вращение треугольника АВС вокруг центра окружности и даст искомое г.м.т.
2
Ответ: Кольцо с радиусом внешней окружности R и радиусом внутренней
R
окружности .
2
2008.8. Задача нахождения общего члена последовательности xn , где xn2  1  xn 1 xn 1
для n  1, 2, 3,  зависит от выбора x0 и x1 . Оба эти два числа одновременно не
могут равняться нулю. Если x0  0, то возникают последовательности 0; -1; 0; 1; 0,
… или 0; 1; 0; -1; 0, … Если x1  0, то возникают последовательности 1; 0; -1; 0; 1;
0, … или -1; 0; 1; 0; -1; 0, …
Ответ: 1) xn  a  n; 2) xn  (1) n1 n; 3) xn   sin
4) x0  a, xn   sin
 (n  1)
2
n
n
; xn   cos
;
2
2
;
5) x0  a, a  0; x1  b, b 2  0; 1; x2 
x 1
b2 1
; xn1  n ; a, b  R, n  N .
xn 1
a
2008.9. Правильный ответ президентов банков, дальновидных менеджеров,
продвинутых директоров по проблеме трудоустройства:
НА РАБОТУ ПРИНИМАЕМ ТОЛЬКО МАТЕМАТИКОВ
Шифрование этого текста производилось следующим образом. Текст был разбит
на пятёрки знаков, при этом пробел считался рядовой буквой. И в каждой пятёрке
буквы переставлялись по одному и тому же правилу. Некоторые ребята написали,
что не смогли расшифровать, так как не изучали криптографии. На самом деле
для успеха в решении этой задачи надо было лишь проявить упорство и
внимательность. Никакие теоретические знания не предполагались.
2008.10. Радиус окружности, описанной около основания призмы 2 5 , половина
высоты призмы 5. Поэтому радиус описанного шара ( 5 ) 2  (2 5 ) 2  5. Ответ: 5
Учебное издание
Геннадий Константинович Пак
Городская математическая олимпиада – 2010
Компьютерный набор Первухина Михаила Александровича
Научный редактор Ткаченко Владимир Иванович
Подписано в печать 7 февраля 2010
Формат 60×84/ 16. Усл. печ. л. 3,24. Уч.-изд. л. 2,20
Тираж 1000 экз. Заказ 103
Отпечатано в Институте математики и компьютерных наук
ДВГУ
690950, г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27