Мастерская по алгебре

ОТКРЫТЫЙ УРОК В 8 «Ж» КЛАССЕ
Мастерская по алгебре
Тема:
«Решение квадратных уравнений.»
Учитель: Тимофеева В. И.
Г. Санкт-Петербург
Декабрь 2011 г.
Мастерская «Решение квадратных уравнений».
8 класс.
Ученики сидят в группах по 5-6 человек.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Углубленное изучение свойств квадратного уравнения.
Образовательные цели: — обеспечить закрепление навыков и
умений решать квадратные уравнения
различными способами;
— обратить внимание учащихся на решение
кв. уравнения ax 2  bx  c  0 в которых
a  b  c  0 , привить навыки устного решения
таких уравнений.
Воспитательные цели: — способствовать выработке у школьников
желания и потребности обобщения изучаемых
фактов;
— развивать самостоятельность и
творчество.
Ход мастерской.
I. Организационный момент:
Учащимся сообщаются задачи урока.
Индуктор
Каждому ученику выдается карточка с заданием, в котором даны
различные виды уравнений.
ЗАДАНИЕ I.
Каждому индивидуально отсортировать по группам, сортируя по
определенному признаку.
Обсудить в группе.
Карточка № 1.
Отсортировать по группам, сортируя по определенному признаку.
2 x2  x  0
x2 16  0
x2  5x 1  0
9x2  6x 10  0
2 x2  0
2x2  5x 18  0
x2  3x 1  0
4x2  x  3  0
x2  7x 12  0
Ответы вывешиваются на доску. Все знакомятся, затем идет обсуждение в группе.
ЗАДАНИЕ II.
1) Дайте определение тому продукту, который вы сортировали.
2) Объяснить как сортировали и какие группы получили.
Ответы ребят: это квадратные уравнения, полные, неполные, приведенные.
ЗАДАНИЕ III.
А теперь более детально вспомнить все о них и заполнить карточки.
Карточка № 2. Группа №1.
1. ……………….. уравнением называется уравнение
ax2  bx  c  0 ,
где а, b, с — заданные числа, а≠0, x — переменная.
2. Уравнение x2  a , где
x1= …., x2= …..
a  0 , имеет корни
3. Уравнение ax2 bx  0 , где а≠0, b≠0, называют ……… квадратным уравнением.
4. Если ax2  bx  c  0 — квадратное уравнение (а≠0), то b называют ………. коэффициентом.
5. Корни квадратного уравнения
формуле
x1,2=
ax2  bx  c  0 вычисляют по
...  ......
.......
Если x1 и x2 — корни уравнения
то справедливы формулы:
x2  px  q  0 ,
x1+ x2= …..; x1▪ x2=…..
Карточка № 2. Группа № 2.
1. Если ax2  bx  c  0 — квадратное уравнение, то а называют
…… коэффициентом, с — ……………... членом.
2. Уравнение
x2  a , где a  0 , не имеет ……………..
3. Уравнение ax2 c  0 , где а≠0, с≠0, называют ………….. квадратным уравнением.
4. Корни квадратного уравнения
формулам:
ax2  bx  c  0 вычисляют по
x1=
 ...  ......
;
2a
x2=
 ...  ......
;
2a
5. Квадратное уравнение
ня, если ………
ax2  bx  c  0 имеет два различных кор-
6. Выражение b2  4c называют ………………. квадратного уравнения и обозначают буквой ……
Карточка № 2. Группа № 3.
1. Квадратное уравнение вида
x2  px  q  0 называют ………..
2. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна
………… коэффициенту, взятому с ……………. знаком, а произведение корней равно ……………….члену.
3. Выражение
2
b

  ac называют ………. квадратного уравнения


 2 
и обозначают буквой ………….
4. Квадратное уравнение
…….
ax2  bx  c  0 не имеет корней, если
5. Квадратное уравнение
ляют по формуле:
ax2  bx  c  0 , если b – четное, вычис-
x1,2=
 ...  ......
a
;
Заполненные карточки вывешиваются на доску и обсуждаются группами.
ЗАДАНИЕ IV.
Упорядочить, обобщить все сведения о каждой группе уравнений и
свести все в таблицу (примерная форма таблицы прилагается).
Таблица 1. Полные квадратные уравнения. Группа № 1.
Дополнительное
условие
Корни уравнения
Пример
Таблица 2. Неполные квадратные уравнения. Группа № 2.
Уравнение
Корни уравнения
Пример
Таблица 3. Теорема Виета. Группа № 3.
Уравнение
Условие
Пример
Афиширование и социализация результатов.
Заполненные таблицы с ответами вывешиваются на доску. Каждая
группа дает обоснованный ответ. Идет обсуждение в группах и корректировка ответов.
ЗАДАНИЕ V.
Каждому выдается индивидуальная карточка, где предлагается выполнить определенное задание. Необходимо решить каждому, а затем обсудить в группе. После чего представитель группы дает обоснованный ответ.
Карточка №3. Группа № 1.
а). Укажите знаки корней.
3x 2  4 x  1  0
9 x 2  10 x  1  0
6 x 2  5x  1  0
x 2  2x  1  0
б). X1=5
X2=5
X1= - 5
X2=6
X1=5
X2= - 6
X1= - 5
X2= - 6
Написать полученные уравнения и дать названия этим уравнениям.
Карточка №3. Группа № 2.
а). Решить уравнения:
7x 2  9x  2  0
5x 2  8x  3  0
x 2  2 x  15  0
x 2  3x  4  0
x 2  9 x  14  0
б). Какие из уравнений не имеют корней:
1) x 2  1  0
2)
x  12
3)
 x  2 2  4  0
0
4) x 2  5  0
5) x 2  2  0
6)
 x  7 2
0
Карточка №3. Группа № 3.
а). Укажите меньший корень:
1) 9  x 2  0
2) x 2  16 x  0
3) x 2  144  0
4) x 2  3x  40  0
б). Найти подбором корни:
x 2  2 x  15  0
x 2  7 x  12  0
x 2  10 x  16  0
ЗАДАНИЕ VI.
Читается стихотворение, посвященное теореме Виета.
Опишите математически эти прекрасные строки.
Ответы ребят: ax 2  bx  c  0
x1  x2  
x1 * x2 
b
a
c
a
Выдаются исторические данные о квадратных уравнениях.
Ребята знакомятся с информацией.
а) Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В
Древней Индии были распространены публичные соревнования в
решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу
другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические
задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач
знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
2
 x   12  x.
 
8
Решая, получил корни.
б) Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским
математиком Леонардо Фибоначчи.
Эта книга способствовала распространению алгебраических
знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все
европейские учебники XIV — XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду
x 2 bx c были сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифе-
лем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде
имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных
уравнений принимает современный вид.
в) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать
задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с
земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать
около 2000 лет
до н. э. вавилоняне.
Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать,
что в их клинописных текстах встречаются кроме неполных и такие,
например, полные квадратные уравнения:
x2  x  3 , x2  x  14 1 .
4
2
Правило решений этих уравнений, изложенное в вавилонских
текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли они до этого правила. Почти все найденные до сих пор
клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в
клинописных текстах отсутствуют понятия отрицательного числа и
общие методы решения квадратных уравнений.
Учитель: «Ребята, мы с вами умеем решать квадратные уравнения
различными способами: и по формуле корней, и по теореме Виета.
Но есть и другие способы решения и мы сегодня должны с ними познакомиться.»
ЗАДАНИЕ VII.
Карточка № 4. Группа № 1. Группа № 3.
Следуйте алгоритму задания.
x2  7x  2  0
x2  7x  8  0
2 x 2  5x  3  0
4x 2  2x  6  0
Найдите корни уравнений.
Найдите сумму коэффициентов (a-b+c) каждого уравнения.
Сравните корни этих уравнений, сумму коэффициентов.
Попробуйте найти связь между корнями, отдельными коэффициентами и
суммой коэффициентов.
5. Если вы обнаружили такую связь, то напишите правило, используя слова
«если», «то».
1.
2.
3.
4.
Карточка № 4. Группа № 2.
Следуйте алгоритму задания.
x 2  3x  2  0
x 2  5x  4  0
5x 2  8x  3  0
2x 2  7 x  9  0
Найдите корни уравнений.
Найдите сумму коэффициентов (a+b+c) каждого уравнения.
Сравните корни этих уравнений, сумму коэффициентов.
Попробуйте найти связь между корнями, отдельными коэффициентами и
суммой коэффициентов.
5. Если вы обнаружили такую связь, то напишите правило, используя слова
«если», «то».
1.
2.
3.
4.
Индивидуальная и групповая работа.
Все ответы выписываются на доску. Обсуждаются ответы.
Ответы ребят.
1) Если a+b+c=0, то x1=1; x2=
c
a
(если а=1, то x1=1; x2=с).
c
a
2) Если a-b+c=0, то x1=  1 ; x2=  ;
(если а=1, то x1=  1 ; x2=  c )
ЗАДАНИЕ VIII.
Карточка № 5.
Придумайте по три уравнения, в которых:
abc  0
a bc  0
Ответы ребят.
Все ответы выписываются на доску и обсуждаются.
Рефлексия.
Все садятся в круг.
Задание: дать каждому самооценку работы на уроке, какой этап оказался для вас трудным и в чем заключалась трудность, что дала Вам
сегодняшняя работа?
Ребята по кругу отвечают.
Ответы ребят:
— Урок был напряженным, но интересным.
— Урок был интересным.
— Чувствовалась поддержка группы.
— Наконец-то я понял теорему Виета.
— Побольше бы таких уроков.